Röntgenspektroskopie und Kristallstrukturanalyse: Band 2 9783111443461, 9783111077062

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Röntgen s p e k t r o s k o p i e und

Kristallstrukturanalyse Von

Dr. Arthur Schleede und Dr. Erich Schneider

II. B a n d M i t 5 5 3 F i g u r e n u n d 40 T a b e l l e n im

Berlin und W a l t e r

de

Text

Leipzig

G r u y t e r & C o .

vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung - J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung Georg Reimer - Karl .F.Trübner - Veit & Comp.

19 2 9

Alio Rechte, einschließlich des Übersetzungsrechts, vorbehalten. Copyright 1929 by Walter de Gruyter & Co., Berlin und Leipzig.

Druck von Metzger «t W i t t i g in Leipzig

Inhaltsverzeichnis. Υ. Kapitel.

Punktgvuppen (Kristallklassen) und Raumgruppen. Seite

§ 1. D i e 32 P u n k t g r u p p e n u n d i h r e S y m m e t r i e a) Die kubischen Punktgruppen b) Die hexagonalen Punktgruppen c) Die übrigen Punktgruppen d) Das Symmetriegerüst e) Spezielle Punktlagen, Eigensymmetrie § 2. K r i s t a l l f l ä c h e n , K r i s t a l l z o n e n , K r i s t a l l f o r m e n § 3. K r i s t a l l p r o j e k t i o n a) Parallelprojektion und Linearprojektion b) Gnomonische Projektion c) Stereographische Projektion, GÄDOLiNsche Projektion, zyklographische Projektion d) Stereographische Darstellung der 32 Kristallklassen § 4. V o r b e r e i t e n d e s z u r ß i t t e r t h e o r i e a) Vektoren und schiefwinklige Koordinaten in der Ebene b) Übergang von einem schiefwinkligen Koordinatensystem in der Ebene auf ein anderes e) Linienkoordinaten d) Determinanten u n d schiefwinklige Koordinaten im R a u m e) Übergang von einem schiefwinkligen Koordinatensystem im R a u m auf ein anderes f) Ebenenkoordinaten (Indices von Flächen und Zonen) § 5. A l l g e m e i n e s ü b e r P u n k t g i t t e r a) Punktnetze b) Ebene Translationsgruppen (Schiebungsgruppen) c) Raumgitter § 6. D i e 14 BBAVATSschen T r a n s l a t i o n s g i t t e r a) Die kubischen Raumgitter b) Die hexagonalen R a u m g i t t e r c) Die übrigen R a u m g i t t e r ; Paralleloeder §7. V o r b e r e i t e n d e s zur T h e o r i e der R a u m g r u p p e n a) Produkt einer Symmetrieoperation mit einer Translation b) Produkt zweier Symmetrieoperationen c) Die Symmetrie in der Ebene d) Paralleloedrische Darstellung der 32 Klassen § 8. D i e 230 R a u m g r u p p e n a) Die kubische Raumgruppe b) Die hexagonale Raumgruppe Φβ^1 und die rhomboedrische Raumgruppe c) Die tetragonale Raumgruppe Φ.,;,1 d) Die übrigen Raumgruppen e) Hauptgruppen

VI. Kapitel.

3 3 12 20 25 27 30 40 40 42 45 49 54 54 58 60 61 67 71 74 74 75 80 82 82 87 91 98 98 102 104 109 114 114 121 126 129 131

Wellen und Interferenzen.

§ 1. L i n e a r e W e l l e n §2. Die l i n e a r e W e l l e n g l e i c h u n g § 3. Z u s a m m e n s e t z u n g v o n W e l l e n , d i e v o n d e m s e l b e n P u n k t gehen § 4. K r e i s w e l l e n ; Z u s a m m e n s e t z u n g v o n W e l l e n , d i e v o n z w e i schiedenen Punkten ausgehen

158 159 aus161 \rer163

Inhaltsverzeichnis.

IV

§ 5. Z u s a m m e n s e t z u n g v o n W e l l e n , die v o n e i n e m e n d l i c h e n l i n e a r e n G i t t e r ausgehen § 6. K u g e l w e l l e n § 7. Z u s a m m e n s e t z u n g v o n W e l l e n , die v o n e i n e m e b e n e n G i t t e r ausgehen § 8. Z u s a m m e n s e t z u n g v o n W e l l e n , die von e i n e m r ä u m l i c h e n ( J i t t e r ausgehen

VII. Kapitel.

Seile

168 172 173 175

Kristallstrulituranalysc.

§ 1. Ü b e r s i c h t ü b e r die e x p e r i m e n t e l l e n V e r f a h r e n §2. Indizierung einer L a u e a u f n a h m e § 3. M e t h o d e n , bei d e n e n der K r i s t a l l g e d r e h t wird a) Das BRAGGSche Verfahren b) Drehkristallaufnahmen mit vertikaler Drehachse c) Drehkristallaufnahmen mit schiefer Drehachse

178 182 186 186 188 196

§ 4. P u l v e r a u f n a h m e n a) Allgemeines zur Auswertung von Pulveraufnahmen b) Methode der Schiebestreifen c) Methode der Kurventafeln

204 204 208 209

d) Das Röntgengoniomctcr von WEISSENBERG

d) Methode von

§ 5.

§ 6. § 7. § 8.

201

JOHNSEN u n d TOEPLITZ

e) Methode von RUNGE Die I n t e n s i t ä t s f a k t o r e n a) Der Strukturfaktor b) Der Strukturfaktor und das reziproke Gitter c) Der Strukturfaktor und die allgemeinen Punktlagen d) Der Lorentzfaktor e) Der Spektralfaktor f) Polarisationsfaktor, Flächenhäufigkeitsfaktor g) Wärmefaktor h) Absorption, Dynamische Theorie, Mosaikkristalle, Atomfaktor -Gang d e r S t r u k t u r a n a l y s e Beispiele erforschter Strukturen Chemische Kristallographie (Kristallchemie) a) Die praktisch angewandte Symmetrielehre V. M. GoLDSCHMIDTS b) Die geometrische Stereochemie

ΥΙΙΓ. Kapitel.

212

. .

217 224 224 233 234 240 245 247 250 251 202 268 284 285 296

Mathematisch-physikalische Ergänzungen.

§ 1.

Gruppentheorie Dn,Cnh,Dnh b) Ikosaedergruppe, Produkt zweier Drehungen c) Abstrakte Gruppentheorie § 2. K r i s t a l l p h v s i k §3. T e n s o r e n . ' a) Tensoren in der Ebene b) Anwendung auf die symmetrischen Punktnetze c) Tensoren im Raum d) Darstellung der Symmetrieoperationen V e r z e i c h n i s der K r i s t a l l s t r u k t u r e n d e r E l e m e n t e u n d Verbindungen E r g ä n z u n g e n zu T a b e l l e 35a (S. 273) Verzeichnis der Tabellen E r k l ä r u n g einiger Fremdwörter Autorenverzeichnis Sachverzeichnis

309 309 313 314 316 319 319 323 325 329 anorganischen 332 333 334 336 338 340

V. Kapitel, Punktgruppen (Kristallklassen) und Raumgruppen. Literatur.1 1784 1829 1831 1835 1842 1843 1849 1849 1850 1851 1856

1862 1868 1869 1871 1879 1884 1884 1885 1887

1890 1891 1891

1892 1894 1894

1896 1898

H A U T , Essai d'un theorie de la structure des cristaux. Paris. Gr. GRÄSSMANN , Zur physischen Krystallonomie und geometrischen Kombinationslehre. Stettin. I . F R . C H E . H E S S E L , Krystallometrie oder Krystallonomie und Krystallographie. Leipzig. (Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften 88, 89.) M . L . FRANKENHEIM, Die Lehre von der Cohäsion. Breslau. M . L. FRANKENHEIM, System der Krystalle, Acta nova Leopoldina X I X , Pars I I . Bonn. G. DELAFOSSE, Recherches sur la cristallisation consideree sous les rapports physiques et mathimatiques, Mim Sav. etrang. Paris. A . B R A V Ais, Memoire sur les polyfedres de forme symetrique, Journ. de math. (Ostwalds Klassiker 17.) A . F . MÖBIUS, Uber das Gesetz der Symmetrie der Kristalle, Sachs. Ber. Leipzig. A . BRAVAIS, M6moire sur les systimes de points distribues regulierement sur un plan ou dans l'espace, Journ. ec. polyt. (Ostwalds Klassiker 90.) A . BRAVAIS, fitudes crystallographiques, Journ. ec. polyt. M. L. FRANKENHEIM, Die Anordnung der Moleküle im Kristall. Poggendorffs Ann. d. Phys. I . F R . C H R . H E S S E L , Uber gewisse merkwürdige statische und dynamische Eigenschaften des Raumes. Marburg. C . JORDAN, Memoire sur les groupes de mouvements, Ann. di mat. C H R . W I E N E R , Grundzüge der Weltordnung. Leipzig. A . GADOLIN, Memoire sur la deduction d'un aeul principe de tous les systemes crystallographiques, Acta soc. fenn. Helsingfors. (Ostwalds Klassiker 75.) L. SOHNCKE, Entwicklung einer Theorie der Kristallstruktur. Leipzig. P . C U R I E , Sur les questions d'ordre, Bull. soc. min. de France. Β . MINNIGERODE, Untersuchungen über die Symmetrieverhältnisse und die Elastizität der Krystalle, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen. E. v. FEDOROW, Elemente der Lehre von den Figuren. St. Petersburg (russisch). B . MINNIQERODE, Untersuchungen über die Symmetrieverhältnisse der Krystalle. Neues Jahrb. f. Min. E. v. FEDOROW, Symmetrie der regelmäßigen Systeme von Figuren. St. Petersburg (russisch). T H . LIEBISCH, Physikalische Krystallographie. Leipzig, Veit u. Co. A . SCHOENFLIES, Krystallsysteme und Krystallstruktur. Leipzig. E. v. FEDOROW, Zusammenstellung der kristallographischen Resultate des Herrn SCHOENFLIES und der meinigen, Ztschr. f. Kryst. H. FLETCHER, Recent progress in mineralogy and crystallography, Report of the British Assoc. Oxford. L O R D K E L V I N , The molecular Tactics of a Crystal. Second Boyle Lecture. Oxford. T H . LIEBISCH, Grundriß der physikalischen Krystallographie. Leipzig, Veit u. Co. W . BARLOW, A mechanical cause of homogenity of structure and symmetry geometrically investigated, Proc. Roy. Soc. Dublin. R. I. J.

1

Vgl. auch die Literatur zum VII. Kapitel.

SCHLBEDE-SCHNEIDER, Böntgenspektroskople und Kristallstrukturanalyse II.

1

2 1901. 1903 1904 1905 1905 1906 1910

1915 1916 1919

1920 1920 1921 1922

1922 1922

1923 1923 1923 1924

1926 1928

V. Kapitel.

Punktgruppen (Kristallklassen) und Raumgruppen.

W. BABLOW, H . A. MIERS and HEBBEBT SMITH, The structure of crystals, Report Brit. Assoc. Glasgow. Η . H I L T O N , Mathematical crystallography and the theory of groups of movements. Oxford. G-. FBIEDEL, fitudes sur les groupements cristallins Bull. soc. de l'industrie mineral. Saint-£tienne. T H . L I E B I S C H , A . SCHOENFLIES, 0 . MÜGGE, Krystallographie, Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften V, 7. P. GBOTH, Physikalische Kristallographie. Leipzig, Engelmann. F . POCKELS, Lehrbuch der Kristalloptik. Leipzig und Berlin, Teubner. W . VOIGT, Lehrbuch der Kristallphysik. Leipzig und Berlin, Teubner. S T . KBEUTZ, Elemente der Theorie der Kristallstruktur. Leipzig, Engelmann. A . JOHNSEN, Krystallstruktur, Fortschritte der Min. Krist. Petr. P . NIGGLI, Geometrische Krystallographie des Diskontinuums. Leipzig, Gebr. Bornträger. J. BECKENKAMP, Leitfaden der Kristallographie. Berlin, Gebr. Bornträger. P . NIGGLI, Lehrbuch der Mineralogie. Berlin, Gebr. Bornträger. P . GBOTH, Elemente der physikalischen und chemischen Kristallographie. München, Oldenbourg. Α . Ε . H . TÜTTON, Crystallography and Practical Crystal Measurement. London, Macmillan. R. W. G. W Y C K O F F , The analytical expression of the results of the theory of space-groups. Washington, Carnegie Institution. F. R I N N E , Kristallographische Formenlehre. Leipzig, Jänecke. Μ. BOEN, Atomtheorie des festen Zustandes (Dynamik der Kristallgitter), 2. Aufl. Leipzig und Berlin, Teubner. G. L I N C K , GrundriS der Kristallographie, 5 . Aufl. Jena, Fischer. A. SCHOENFLIES, Theorie der Kristallstruktur, 2 . Aufl. des Buches von 1 8 9 1 . Berlin, Gebr. Bornträger. W . T. ASTBUBY and KATHLEEN YAKDLEY, Tabulated Data for the Examination of the 230 Space-Groups by Homogeneous X-Rays, Phil. Trans, of the Roy. Soc. London A. S. 221. P . G B O T H , Entwickelungsgeschichte der mineralogischen Wissenschaften. Berlin, Springer. P . NIGGLI, Kristallographische und strukturtheoretische Grundbegriffe. Handbuch der Experimentalphysik von W I E N - H A B M S , Band VII, 1 . Teil. Leipzig, Akad. Yerlagsges.

Im § 2 des I. Kapitels waren die charakteristischen Merkmale des kristallinen Zustandes bereits kurz besprochen worden. Was bei einem Kristall zunächst auffällt, ist seine Begrenzung durch ebene Flächen. Der Teil der Kristallographie, welcher sich mit dieser äußeren Form der Kristalle beschäftigt, heißt kristallographische Formenlehre oder morphologische Kristallographie (§§ 1, 2, 3 dieses Kapitels). Aber auch, wenn man einen Kristall seiner äußeren Form beraubt, behält er seine kristalline Eigenart bei, indem sich die physikalischen Vorgänge im Kristall in verschiedenen Richtungen verschieden abspielen. Einen solchen Körper bezeichnet man als anisotrop, während unkristalline (amorphe) Körper, bei denen alle Eichtungen gleichwertig sind, isotrop genannt werden. Bei einem gut ausgebildeten Kristall sind die physikalischen Eigenschaften nur von der Richtung, dagegen nicht von der betrachteten Stelle abhängig. Ein gut gewachsener Kristall ist homogen. Weisen einzelne Stellen eines Kristalls dagegen verschiedene Eigenschaften

3

§ 1. Die Punktgruppen und ihre Symmetrie.

auf, ist das betrachtete Kristallstück heterogen, so hat man es mit einem gestörten Kristallbau oder einem Aggregat verschiedener Kristalle zu tun. Die Wissenschaft, die sich mit dem inneren anisotropen, homogenen Bau der Kristalle beschäftigt, ist die Kristallphysik oder physikalische Kristallographie (vgl. VIII § 2). Der Begriff der Homogenität muß in besonderer Weise gefaßt werden, wenn man sich die Materie nicht mehr kontinuierlich den Raum erfüllend, sondern diskontinuierlich vorstellt. Es ist dann nicht mehr möglich, daß jeder Punkt mit jedem anderen identisch ist, wohl aber kann man den Raum in Gebiete von submikroskopisch kleiner aber nicht unendlich kleiner Größe (Elementarzellen) derart einteilen, daß jede Elementarzelle mit jeder anderen identisch ist; die Homogenität ist eine periodische. Es ist die Aufgabe der Kristallstrukturlehre, zu untersuchen, was sich vom mathematischen Standpunkt über den Aufbau der Kristalle als derartige homogene Diskontinua aussagen läßt. Es wird dabei das Zusammentreten der makroskopischen Kristallsymmetrie mit den submikroskopischen Perioden des Diskontinuums untersucht und zwar unter Benutzung des mathematischen Hilfsmittels der Gruppentheorie, über die in VIII § 1 einiges zusammengestellt ist. Die Strukturtheorie wurde schon 1 8 9 1 von FEDOBOW und SCHÖNELIES zum Abschluß gebracht und erhielt 1 9 1 9 durch NIGGLI in seiner „Geometrischen Kristallographie des Diskontinuums" die Darstellung, welche heute von fast allen Forschern als Grundlage ihrer Untersuchungen genommen wird. Die in diesem Kapitel gegebene Darstellung unterscheidet sich von den meisten anderen dadurch, daß sie mit den Kristallen höchster Symmetrie, als den speziellsten und daher einfachsten beginnt.

§ 1. Die Punktgruppen und ihre Symmetrie. a) Die kubischen Punktgruppen. Wir beginnen mit der Kristallform des Diamanten, dem Oktaeder. In den Figg. 1—24 ist das Oktaeder so gestellt, daß sich seine 6 Ecken vorn, hinten, rechts, links, oben, unten befinden. Verbindet man die vordere mit der hinteren Ecke und dreht das Oktaeder um diese Verbindungslinie um 90°, so kommt es mit sich selbst zur Deckung, d. h. man kann nachträglich nicht mehr entscheiden, ob überhaupt eine derartige Drehung stattgefunden hat oder nicht. Derartige Operationen, welche die Kristalle ungeändert lassen, (Decktransformationen) wollen wir benutzen, um die Kristallsymmetrie zu beschreiben. Eine Drehung um 90 0 kann nun noch in zwei verschiedenen Richtungen erfolgen, wie die Figg. 13 und 14 andeuten. Wir wollen die Operationen mit A4 und Ä4 bezeichnen. Der Index 4 zeigt, daß 90° der vierte Teil von 360° ist und der Strich von Ä4 soll andeuten, daß Ä4 die inverse Operation zu A4 ist, d. h. Ä4 hebt die Drehung A4 wieder auf. (1) A4 · Ä4 = 1 . 1*

4

V. Kapitel.

Punktgruppen (Kristallklassen) und Raumgruppen.

Statt um 90° kann man aber auch um 180° drehen und hierbei ist der Drehungssinn gleichgültig, d. h. man kann die Operation sowohl A2 als auch Ä2 nennen. Derartige Drehungen um 180° nennt man auch Umwendungen und, da sie sehr häufig vorkommen, will ich bei ihnen den Index fortlassen. (2)

_ A2 = Ä2 = A Läßt ein Körper die Operationen A, A 4 , A4 zu, so sagt man, er besitzt eine vierzählige Drehungsachse (Tetragyre • ) der Richtung A. Derartige Graden, Punkte und Ebenen, die für die Symmetrie eine besondere Rolle spielen, wollen wir Symmetrieelemente nennen. Das Oktaeder besitzt außerdem noch eine von links nach rechts verlaufende vierzählige Achse, deren Operationen wir mit B, B4, B4 bezeichnen (Figg. 3, 17, 18) und eine von unten nach oben verlaufende Achse: Γ, Γ4, Γ4 (Figg. 4, 21, 22). Die Reihenfolge der Figuren richtet sich dabei nach Tab. 1. Weshalb die Reihenfolge der Operationen in Tab. 1 eine andere ist als diejenige, in der wir hier die Operationen aufzählen, werden wir weiter unten sehen. Verbindet man die Mitten zweier Oktaederflächen, ζ. B. der Flächen vorn rechts oben und hinten links unten, so ist diese Verbindungslinie eine dreizählige Achse (Trigyre Δ), d. h. man kann das Oktaeder um diese Achse um 120° = ^ · 8 6 0 ° in der einen oder anderen Richtüng drehen. Diese Operationen nennen wir Δ 3 und Δ 3 (Figg. 5 und 9). Es gibt noch drei andere dreizählige Achsen E3 E3 (Figg. G, 10), Z 3 Z 3 (Figg. 7, 11), Hs fl3 (Figg. 8,12). Verbindet man schließlich die Mitten zweier Oktaederkanten, ζ. B. der Kanten rechts oben und links unten, so ist diese Verbindungslinie eine zweizählige Achse (Digyre ()), d.h. um die Achse ist die eine Drehung von 180° möglich. Derartige Umwendungen gibt es beim Oktaeder sechs. W i r nennen sie Θ, Κ, Λ, Μ, Ν, Π (Figg. 15, 16, 19, 20, 23, 24). W i r müssen nun die betrachteten 23 Operationen koordinatenmäßig darstellen. Mit dem Oktaeder denken wir uns ein rechtwinkliges Koordinatensystem x, y, ζ fest verbunden, dessen Achsen durch die Ecken des Oktaeders hindurchgehen. Die sechs Ecken des Oktaeders kann man dann mit x, x, y, y, z, % bezeichnen. Die Minuszeichen sind dabei, wie' es in der Kristallographie üblich ist, über statt vor die Koordinaten gesetzt. Außerdem denken wir uns ein im Räume festes rechtwinkliges Koordinatensystem, dessen Achsen x',y',z' stets nach vorn, rechts, oben gehen sollen. In Fig. 1, welche die Ausgangsstellung darstellt, liegt χ auf x'\ y auf y'\ ζ auf %'. Zu den 23 besprochenen Operationen fügt man nun aus Symmetriegründen noch eine uneigentliche Operation hinzu, die Identität, die alles ungeändert läßt, und bezeichnet sie mit 1. 1: x\ y = y; z'=z. In Fig. 13 dagegen liegt zwar noch χ vorn, d. h. auf χ aber rechts, d. h. auf der Achse y liegt ζ und oben, d. h. auf der Achse %' liegt y. A4:

X

= X\

y'=z\

z = y.

Entsprechend kann man durch Betrachtung der Figg. 1 bis 24 zu den 22 anderen Operationen die Gleichung finden. Die Resultate sind in Tab. 1 eingetragen.

§ 1.

Die Punktgruppen und ihre Symmetrie.

5

Außer den Drehungen gibt es noch andere Symmetrieoperationen, die wir Operationen zweiter Art nennen wollen. Diese Operationen lassen sich an materiellen Körpern nicht mehr ausführen. Denken wir uns jede Ecke des Oktaeders mit der gegenüberliegenden vertauscht, so bezeichnet man diese Operation als Inversion (Spiegelung am Mittel-

Fig. 1—24.

Die 24 Operationen der Punktgruppe Ο dargestellt am Oktaeder.

6

V. Kapitel.

Punktgruppen (Kristallklassen) und Raumgruppen.

punkt des Oktaeders). Wir wollen dafür das Zeichen I einführen. Von einem Körper, der durch Inversion ungeändert bleibt, sagt man, er besitzt ein Symmetriezentrum. Durch die Inversion vertauscht sich die «-Achse mit der δ-Achse, die «/-Achse mit der y-Achse und die «-Achse mit der »-Achse: I:

χ

=

χ-,

y ' = y \

« ' = « .

Die Inversion drückt sich also koordinatenmäßig durch Änderung sämtlicher Vorzeichen aus. Aus jeder der 23 Drehungen erhält man nun eine neue Operation indem man die Inversion hinzunimmt. Bezeichnen wir die Koordinaten eines Punktes nach der 1. Operation mit χ , y , «' und nach der 2. Operation mit x", y", z", so ist also ζ. B. Α: = I χ'

;

χ

H

;

χ

y

t

=

χ

=

y

; «' = « . —/ // —/

=

y

H

·

y

·

«

=

«

.

Aus den ersten Gleichungen folgt nun: A: « = «. Eliminieren wir die Zwischenkoordinaten x, y , %', so folgt: A Hierbei haben wir die Zusammensetzung der beiden Operationen A und I symbolisch durch das Produkt Al ausgedrückt. 1 Wird die Reihenfolge der Operationen geändert, so ist: I: = = . x

l . I:

=

χ

//

x ]

— = x ;

x'

A : I Α :

y ' ^ y ;

y

x ;

=

χ

= y \

y

x " = x ' \ χ "

ff

ζ

y \

t/

=

z .

ζ

=

%

ζ "

—

ζ

y " = y · , ;

y " =

y

;

.

Es ist also: (3)

AI= IA. Das Produkt ist also kommutativ (Tab. 40), d. h. es kommt auf die Reihenfolge der Operationen nicht an. Wir wollen nun künftighin IA nicht mehr als Produkt, sondern als einheitliche Operation auffassen und daher statt x" y" z" wieder χ y ζ schreiben I A :

x

'

=

x

,

y ' = y ,

z

'

=

z

.

Diese Operation hat nämlich eine einfache geometrische Bedeutung; sie stellt eine Spiegelung an der y, «-Ebene dar. Das Oktaeder geht durch diese Spiegelung in sich über. Denken wir uns das Oktaeder durch die y, «-Ebene zerschnitten, so zerfällt es in eine vordere und eine hintere Hälfte, die genau gleich sind. Man sagt, es hat die y, «-Ebene zur Symmetrieebene. Es gibt noch acht derartige Symmetrieebenen: IB, I Γ, IΘ, IK, ΙΑ, IM, IN, ITT. Es gibt noch mehrere Körper, welche dieselbe Symmetrie wie das Oktaeder besitzen, wie wir in § 2 sehen werden. Der einfachste dieser Körper ist der Würfel. In den Figg. 25, 26, 27, 28 sind daher die neun Symmetrieebenen als Symmetrieebenen des Würfels dargestellt. Die übrigen 14 Symmetrieoperationen 2. Art wollen wir kurz Drehinversionen nennen, man kann sie aber auch als Drehspiegelungen bezeichnen. Da nämlich \ = Α Ä4 ist, kann man statt IA4 schreiben: IA-Ä4 1

Vgl. S. 98.

§ 1.

Die Punktgruppen und ihre Symmetrie.

7

und erhält so statt des Produktes aus Inversion und Drehung ein Produkt aus Spiegelung und Drehung. Läßt ein Kristall die Operationen 1, A, I A4, IÄ4 zu, so sagt man, er besitzt eine vierzählige Drehspiegelachse (Tetragyroide) f»l, obgleich es besser wäre, statt dessen Drehinversionszentrum zu sagen, da es sich bei diesem Symmetrieelement nicht wie bei 0 Δ • um die Symmetrie um eine Grade herum, sondern um die Symmetrie um einen Punkt herum handelt (Fig. 29 a). Selbständige Bedeutung hat dieses Symmetrieelement übrigens erst bei den Gruppen Vd und St des tetragonalen « Systems. Läßt ein Kristall die Operationen 1, Δ 3 , Δ 3 , I, I Δ 3 , I Δ 3 zu, so sagt man, er besitzt eine sechszählige Drehspiegelachse (Hexagyroide) (ΔΙ, da man diese Operationen in der Form (I Δ · Δ β )" darstellen kann (Fig. 29 b) (vgl. VIII § 1 a). Dieses Symmetrieelement ist aber entbehrlich, da es nur die Kombination einer dreizähligen Achse mit einem Symmetriezentrum darstellt. Wir haben also im ganzen 48 Operationen und wollen sie uns noch einmal an dem in den Figg. 30 a und b gelfi

>r

^

/

Fig. 25—28. Die 9 Symmetrieebenen des Würfels.

Λ

Fig. 29. a) vierzählige |—ι b) sechszählige Drehspiegelachse l—•' Drehspiegelachse

ν

zeichneten Körper klarmachen. Er wird begrenzt von sechs Achtecken entsprechend den drei vierzähligen Achsen, acht Sechsecken entsprechend den vier dreizähligen Achsen und zwölf Rechtecken, entsprechend den sechs zweizähligen Achsen. In Fig. 30 a sind die 13 Drehungsachsen und neun Symmetrieebenen eingezeichnet. Der Körper hat 48 Ecken. Sie entstehen dadurch, daß man, wie Fig. 30 b zeigt, einen beliebigen Eckpunkt den 47 eigentlichen Operationen der Tab. 1 unterwirft. Die 48 besprochenen Operationen bilden eine endliche Gruppe. Darunter versteht man folgendes: Werden 2 Operationen der Gruppe nacheinander ausgeführt, so ist das Resultat wieder mit einer Operation der Gruppe identisch. Betrachten wir ζ. B. die Operationen Δ 3 und Ä4:

8

V. Kapitel.

Punktgruppen (Kriatallklassen) und Raumgruppen.

δ3

χ = ζ]

Κ

δ 3 Ä4 (4) _ Andererseits ist:

α; = s;

y = χ] 2/"=«'; y = y\

%—y ζ = χ

Δ 3 Α , = Β4. Ä4: x' = x; ' Δ,/ χ = ζ ; 3: Α4Δ3: x"=y\ Α4Δ3

y' = s; tt

x' = £ t u t

y = x\ y" = x\ = Γ4.

ζ

=y z"=z

(5) Es ist also: (6)' ΔΛφΑ,Δ,. Die Reihenfolge der Operationen ist also im Gegensatz zu (3) wesentlich. Will man die in Rede stehende Gruppe vollständig beschreiben, so müßte man 4 8 - 4 8 Gleichungen von der Art (4) und (δ) angeben. Es genügt nun aber, die 24 · 24 Gleichungen zwischen den Operationen 1. Art anzugeben. Das ist in Tab. 2 geschehen. Um Platz zu sparen sind die 24 · 24 Gleichungen nun nicht vollständig ausgeschrieben, sondern in einer Tafel vereinigt. Den 1. Faktor, wir wollen ihn φ nennen, sucht man am linken Rande und den 2. Faktor, wir wollen ihn X nennen, am oberen Rande der Tafel. Dort, wo sich die links mit Φ beginnende Zeile und die oben mit X beginnende Spalte schneiden, findet man das Produkt (7) Φ · X = ψ. Aus dieser Gleichung folgt nun: (8) | φ . χ = |ψ, (9) Φ · Ι Χ = ΙΨ, (10) |φ·ΙΧ = ψ, Diese Formeln ergeben sich aus den 3 Gleichungen (11) ΙΦ = ΦΙ, (12) ΙΦ·Χ = Ι·ΦΧ, (13) M = l, d. h. wenn die Inversion mit anderen Operationen zusammengesetzt wird, gilt sowohl das kommutative als auch das assoziative Gesetz (Tab. 40), und wenn die Inversion mit sich selbst zusammengesetzt wird, ergibt sich die Identität. Wegen der Formeln (8) (9) (10) genügt es, statt der 48 · 48 Gleichungen zwischen den Operationen 1. u. 2. Art in der Tab. 2 nur die 24 · 24 Gleichungen zwischen den Operationen 1. Art anzugeben. Betrachtet man die Tab. 2 näher, so erkennt man, daß es praktisch war, die 24 Operationen gerade in die gewählte Reihenfolge zu bringen. Die Tafel zerfällt in 36 Quadrate. In 6 von ihnen stehen die Operationen 1 Α Β Γ, in 6 die Operationen Δ 3 E3 Z 3 H3 usw. Man kann die Tafel auch in 4 Quadrate zerlegen. In den Quadraten links oben und rechts unten stehen dann die Operationen 1 bis fi3 und in den beiden anderen Quadraten die Operationen A4 bis TT. Die Gruppe, welche sämtliche 48 Operationen von 1 bis I TT umfaßt, nennt man Oktaedergruppe 2. Art und bezeichnet sie

§ 1. Die Punktgruppen und ihre Symmetrie.

9

mit Oh. Diejenige, welche die 24 Operationen 1. Art umfaßt, nennt man Oktaedergruppe 1. Art und bezeichnet sie mit 0. Die Gruppe, welche nur die 12 Operationen 1 bis fl3 enthält, nennt man Tetraedergruppe und ver-

yzx yzx Fig. 30 b. Die 48 Punktlagen von Oh. Die durch kleine schwarze Kreise hervorgehobenen Punkte gehören zu Th.

wendet das Zeichen T. Man sagt, Ο bildet eine Untergruppe von Oh und Τ ist eine Untergruppe von 0. Es gibt noch viele andere Untergruppen von 0, wie aus Tab. 1 zu erkennen ist. Die 5 Gruppen Oh Ο Th Td Τ charakterisieren die 5 Kristallklassen des kubischen Systems.

10

V. Kapitel.

Punktgruppen (Kristallklassen) und Raumgruppen.

Tabelle 1. Kubisches System Fig. x' 1 2 3 4 Δ 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17. 18 19 20 21 22 23 24 25

X X X X X X X X

y y y y X X X X

y y y y X X X X X X X X

X X X X X X X X

y ν V y X X X X X X X %

26 »J

27

28 7Ϊ

y'

V V V y X X X X X X X X y y y y

y y V y X X X X

OH

0

Th

ΤΛ

τ

X X X X

1 A Β Γ

1 Α Β Γ

1 Α Β Γ

1 Α Β Γ

1 Α Β Γ

y y y y X X X X

Δ» Ε„ 2» Η, Δ, Ε, ζ. Η8

Δ, Ε» ζ, Η, Δ» Ε» ζ, Η,

Δ„ Ε» ζ, Η, Δ» Ε» ζ» Η3

Δ, Ε, ζ3 Η, Δ, Ε, ζ» Η3

Δ, Ε, ζ3 Η,

Δ,

Δ, Ε3 Ζ, Η,

Δ8

y y y y X X X X X X X X

Α, Α4 Θ Κ Β4

Α4 Α4 Θ Κ

x'

Β, Λ Μ

ZV

Dih 1 Α Β Γ

1 Α Β Γ

1 Α Β Γ

Κ Β4 Β4 Λ Μ

X X X X y y V y X X X X

ΙΔ, ΙΕ, ΙΖ, I Η, ΙΔ, ΙΕ, ΙΖ, I Η,

%

y y y y

ΙΑ* ΙΑ, IΘ I Κ

ΙΑ 4 ΙΑ 4 ΙΘ I Κ

y y y y X X X X

X X X X X X X X

IB, I Β, ΙΛ I Μ

|Β4 IB, ΙΑ IM

I Γ< ΙΓ, IΝ ιπ

ΙΓ« ΙΓ4 I Ν ιπ

I I Α IB IΓ

I ΙΑ IB IΓ ΙΔ, ΙΕ, ιζ» ΙΗ, ΙΔ, ΙΕ, ΙΖ, ΙΗ,

1

Ε,

Β4 Β4 Λ Μ Γ4 Γ» Ν π

1

Ε,

Α4 Α4 Θ Κ

Γ4 Γ4 Ν π ι IΑ IΒ I Γ

y ν V y X X X X X X X X X X X

Weitere Untergruppen von Oh

I ΙΑ IB IΓ

Γ4 Ι4 Ν π ι I Α IΒ IΓ

Μ

π ι

Κ

Λ

1

ζ,

Ζ,

Θ

Μ

Ν

Ν

I

I

1

Η,

Η3

Θ

Λ

π I

ι Δ, ΙΕ,

ΙΔ,

ιζ,

it, ΊΖ3

ΙΑ, ΙΑ 4 ΙΘ I Κ

ικ ΙΒ4 ΙΒ 4 IΛ IM

IM

ΙΗ,

I Κ

ΙΛ

IΘ

IΜ

ΙΗ,

ΙΘ

ΙΑ

ι Γ4 ΙΙ4 I Ν ιπ

ιπ

I Ν

I Ν I II

§ 1.

Die Punktgruppen und ihre Symmetrie.

11

Die Gruppen Oh 0Th Td Τ bilden das kubische System. Dih zum tetragonalen System (Tabelle 6). D3d zum rhomboedrischen (Tabelle 3). Vgl. noch: zu die Fig.

oh

0

Th

1 Τd

Τ

164 315

165 316

166 317

167 318

168 319

T a b e l l e 2. 1 Α Β Γ

Α 1 Γ Β

Β Γ 1 Λ

Γ Β Α 1

Δ 3 Ε3 Ζ 3 Η, Δ 3 Η3 Ζ 3 Ε3 Δ 3 Ζ , ^3 Δ 3 Η 3 Ζ 3 Η 3 Ζ 3 Η3 Δ 3 Ε3 ΕΙ

ζ 3 Η 3 Ε3 Δ 3 Ζ , Η 3 Ε 8 V φ

Ε3 HS Ζ 3 Δ 3 Ζ 3 Δ 3 Ε 3 Η3 Η 3 Ε3 Δ , Ζ 3 Ä . Η3 Ε3 Δ3 Ε 3 Η3 H3 Δ , Ζ 3

Ζ, Η3 Δ3

Ε3

Α , Ä4 Κ

Θ

Η3 Ε3 Δ 3 Ζ 3

§3 Η , Ζ 3 Δ 3 Ε3 1 Γ Α Γ 1 Β Α Β 1 Β Α Γ

Δ3

1 Β Γ Α

Η3 Β Δ3 Α Ζ3 Γ Η3 1 Ε,

Ν TT Γ 4 Γ 4

Tafel für Ο.

Β,

Μ

Β, Μ Β , Λ

Λ Β, Μ Μ Β4 Λ

Β, Β4

Γ 4 TT Ν Γ 4 Γ 4 Ν TT Γ 4 Ν Γ4 Γ 4 TT TT Γ 4 Γ 4 Ν

Λ Β, Β4 Μ Β4 Μ Λ Β ,

Β4 Λ

Μ Β4

Μ Β, Β,

Λ

Β 4 Β4 Λ Μ Μ Α Β4 Β4 Β4 Β 4 Μ Λ

Γ4 Ν TT r4

Γ4 TT Ν γ4

TT Γ 4 Γ 4 Ν Γ 4 Ν π Γ4

Θ Α4 Ä4 Κ

Α4 Α4 Κ Θ ΚΑ, Κ Θ Α4 Ä4 Α4 Θ

Ä4 Θ Α4 Κ Θ Ä4 Κ Α4

Μ Β,

Ν Γ4

Α, Κ Α, θ κ Α4 Θ Α 4

Λ Β4 Μ Β4 Β 4 Μ Β4 Λ

Β Γ 1 Α

Η3 Ζ 3 Δ 3 Ε3

Δ 3 Ε3 Η3 Ζ 3

Ζ3 ΔΒ Ε8 Η3

HJ Ε3 Δ3 Ζ8

Α 4 Α4 Θ Κ Ä4 Α 4 Κ Θ

Β 1 Α Γ

Γ Α 1 Β

Α Γ Β 1

Λ Β4 Β 4 Μ Μ Β4 Β 4 Λ

Ν r 4 γ4 π Γ4 π Ν Γ4

Β, Λ Μ Β4 Μ Λ

Β, Β,

Η 3 Ε3 Ε3 Η3 Δ3 Ζ3 ζ, Δ3

Ζ8 Δ3 Ε3 Η3

Γ4

Ν Γ4 π Γ4 π Γ4 Ν

Β4 Β 4 Λ Μ

θ Α, Κ Ä, Γ , π Γ , Ä4 Κ Ν Γ 4 TT Α4 Θ Γ , Ν Γ , Κ Α , θ Α 4 TT Γ 4 Ν

Α4 Θ Ä4 Κ

X

Ε3 Η, Ζ8 Δ8

Ä4 Α4 Θ Κ r 4 γ4 π Ν Λ Μ Β , Β , 0 Κ Ä, Α, r 4 γ4 Ν π Β 4 Β 4 Μ Λ Κ 0 Α, Ä, Π Ν Γ, Γ , Μ Λ Β , Β , Β( Λ

ν

Θ Κ Α4 Ä4 Κ Θ Ä4 Α4

TT Γ 4

Ν

Γ4 π Γ4

Α 1 Γ Β

1 Α Β Γ

Ν Δ3 Γ 4 Ε3 Π Ζ3 Γ4 Η3

Ä 4 Θ Κ Α4 Θ Ä, Α, Κ

Α, Κ θ Ä, Κ Α, Α 4 Θ

Ζ3 Η3 Δ3 Ε3

Γ Β Α 1

Ζ 3 Ε3 Η8 H3 Δ 3 Ζ 3

Δ 3 Η8 Ε3 Ε8 Ζ 3 Δ , Ε3 Δ3 Η3 Ζ3

gehört System

Δ8 Ε3 Ζ3 Η.(

Λ Μ Β,

Β,

Ν Γ4 Γ4 π

TT Γ4 Γ4 Ν

Β4 Λ Β 4 Μ Λ

Β4

!» ? · b ü« Η 3 Ζ 3 Δ 3 Ε 3 Δ 3 Ε3 Η3 Ζ 3 Ε3 Δ 3 Ζ , Η 3 Ζ 3 Η 3 Ε 3 Δ 3 Ζ 3 Η 3 Ε„ Δ 3 Β 1 Α Γ

1 Β Γ Α

Η 3 Δ 3 Η3 Ζ 8 Ζ 3 Ε3 Ε3 Η, Δ 3 Δ 3 Ε3 Ζ 3

Γ Α 1 Β

Α Γ Β 1

|S Ζ„ Δ8 H8

Η. Δ3 Ζ3 Ε,

ζ 8 Ε8 Δ 3 Η3

Γ 1 Β Α

1 Α Γ Β Α 1 Β Γ

Ε3 Ζ 3 Η3 Δ 3

Eine Tafel für Oh ist nicht nötig, denn aus Φ · X = Ψ folgt Ι Φ - Χ = I Ψ, Φ · Ι Χ = ΙΨ, I Φ·I Χ = Ψ. Zusammenhang der Operationen mit den Symmetrieelementen: 1, A4, A, Ä4 vierzählige Achse • , 1, Δ 3 , Δ 3 dreizählige Achse Δ , 1, Α zweizählige Achse 0 , 1, A, I A4, I Ä4 vierzählige Drehspiegelachse j®j, ^ 1, Δ 3 , Δ 3 , I, I Δ 8 Ι I Δ , sechszählige Drehspiegelachse [Δ,, 1, I Symmetriezentrum, 1, I Α Symmetrieebene und dasselbe für die anderen Buchstaben.

Δ3 Ζ,

Η, Ε 8 Ε 8 Η3

Ζ3 Δ3

Β Α Γ 1

12

V. Kapitel.

Punktgruppen (Kristallklassen) und Raumgruppen.

b) Die h e x a g o n a l c n P u n k t g r u p p e n . Die Symmetrieoperationen der hexagonalen Gruppen können wir uns am regelmäßigen Sechseck klarmachen. Die Seitenmitten des Sechsecks

w> fr/ Fig. 31—42: Die 12 Operationen der Punktgruppe Ds,

§ 1. Die Punktgruppen und ihre Symmetrie.

13

bezeichnen wir mit Rücksicht auf die koordinatenmäßige Darstellung, die wir weiter unten geben, mit u, v, w, ü, v, w. Das Sechseck bleibt ungeändert, wenn man es um seinen Mittelpunkt um die Winkel 60°, 120°, 180°, 120°, 60° dreht (Figg. 31—36). Diese Operationen nennen wir Δ 6 Δ 3 Δ Δ 3 Δ β . Ferner bleibt es ungeändert, wenn man es um die Achse u ü, ν v, w w herumklappt (Figg. 37, 38, 39). Diese Operationen bezeichnen wir mit Ρ, Σ, T. Schließlich bleibt es ungeändert, wenn man es um die in den Figg. 40, 41, 42 gezeichneten Achsen herumklappt. Diese Operationen heißen Κ Μ TT. Um eine symmetrische koordinatenmäßige Darstellung der hexagonalen Gruppen zu erlangen müssen wir in der Ebene eine neue Art von Koordinaten einführen. Bei den gewöhnlichen rechtwinkligen Koordinaten zieht man von einem Punkt Ο aus 2 Koordinatenachsen Ox und Oy, die den Winkel 90° miteinander einschließen. Diese Achsen wollen wir als W

»

%

Qx

'p

χ Fig. 43. Die rechtwinkligen Koordinaten x, y.

Die überzähligen Koordinaten u, ν, tv.

Halbstrahlen betrachten und zeichnen ihre rückwärtigen Verlängerungen Ox und Oy daher gestrichelt. Von einem Punkte Ρ fällen wir dann auf die Koordinatenachsen die Lote PQ, und P O . Dann sind 0 0 . und 0 0 , die beiden Koordinaten und zwar werden sie positiv gerechnet, wenn sie auf den Achsen selbst liegen negativ, wenn sie auf den rückwärtigen Verlängerungen liegen. So sind in Fig. 43 f ü r Ρ beide Koordinaten positiv und für P ' beide negativ. Bei dem neuen, den hexagonalen Gruppen angepaßten Koordinatensystem haben wir nun 3 Achsen, die die Winkel 120° miteinander bilden (Fig. 44). Es sind dann immer 2 Koordinaten positiv und eine negativ oder eine Koordinate positiv und 2 negativ. Da in der Ebene ein Punkt schon durch Angabe 2 er Koordinaten bestimmt ist, sind die neuen Koordinaten überzählige Koordinaten und können daher nicht unabhängig voneinander sein. Wir nennen die Koordinaten u, v, w und wollen sie durch die Polarkoordinaten r und δ des Punktes Ρ nach Fig. 44 darstellen. Es ist: u = + r cos δ ν = + r cos (120° - δ) = + r cos 120° cos δ + r sin 120° sin δ tv = — r cos (60° — £) = — r cos 60° cos δ — r sin 60° sin δ.

14

V. Kapitel.

Punktgruppen (Krietallklassen) und Kaumgruppen.

Da nun: cos 120° = - cos 60° = sin 120° = + sin 60°.

\

so folgt: u + υ + w = 0. Vergleichen wir die Figg. 31 und 32, so erkennen wir, daß ν an Stelle von u getreten ist. Es ist also für Δ β : u — v. Ferner ist w an Stelle von ν getreten: v' = w und schließlich ist ü an Stelle von w getreten: w' — ü. U = V, ν = w: w = u. 6 *

Zu den 3 Koordinatenachsen Ou, Ov, Ow kommt nun noch eine 4. Koordinatenachse senkrecht zu den 3 ersten hinzu. Der Einheitsmaßstab auf dieser Achse braucht dabei nicht gleich dem Maßstab α auf den 3 anderen Achsen zu sein (hexagonales Koordinatensystem). Es ist dann also: Δ 6 : u'—V\ v'= W\ W'= Ü) Z' = Z. Entsprechend folgen aus den Figg. 31 bis 42 die übrigen Operationen, die in Tab. 3 eingetragen sind. Wird zu jeder der betrachteten 12 Operationen noch die Inversion hinzugenommen, so ergeben sich 12 neue Operationen, nämlich außer der Inversion selbst 7 Spiegelungen und Fig. 45. Die 7 Symmetrieebenen der 4 Drehinversionen. In Fig. 45 sind die hexagonalen Säule. 7 Spiegelebenen gezeichnet und zwar begrenzt durch eine sechsseitige Säule. In Fig. 46 sind die sechszählige Achse, die 6 Umwendungsachsen und die 7 Spiegelebenen an einer Säule dargestellt, die von 2 Zwölfecken und 12 Rechtecken, begrenzt wird. Von den Rechtecken sind immer je 6 einander kongruent. Die 24 Ecken des Körpers entstehen dadurch, daß man, wie Fig. 47 zeigt, einen beliebigen Eckpunkt den 23 eigentlichen Operationen der Tabelle 3 unterwirft. Die Operationen 1 bis Δ β bilden die zyklische Gruppe Ce, die Operationen 1 bis TT die Diedergruppe 1. Art D6 und die 24 Operationen 1 bis ITT bilden die Diedergruppe 2. Art Deh. Deh bildet mit 6 Untergruppen das hexagonale Kristallsystem und 5 weitere Untergruppen bilden das rhomboedrische System. In den Tab. 4 a und 4 b stehen die Gruppentafeln für De und DSh. Die eingeführten symmetrischen Koordinaten stehen in Zusammenhang mit den in der Mineralogie gebräuchlichen Dreieckskoordinaten. Bei den letzteren werden vom Punkte Ρ die Lote nicht wie in Fig. 44 auf 3 von einem Koordinatenanfangspunkt ausgehende Strahlen, sondern auf die

§ 1. Die Punktgruppen und ihre Symmetrie.

15

3 Seiten eines gleichseitigen Dreiecks gefällt. Die Summe der Koordinaten ist dann nicht 0, sondern nur konstant und wird gewöhnlich zu 100 angenommen, so daß die Koordinaten in Prozenten ausgedrückt werden (Konzentrationsdreieck ternärer Verbindungen). Da es in manchen Fällen von Vorteil ist, statt der überzähligen Koordinaten gewöhnliche schiefwinklige oder rechtwinklige Koordinaten zu verwenden, sind in Tab. 5 die 24 Operationen von D%h in diesen Koordinaten aasgedrückt. Bei den schiefwinkligen Koordinaten sind noch die Fälle unterschieden, daß die Koordinatenachsen den Winkel 60° oder 120° miteinander bilden. Die Gleichungen werden in VIII, § 3a vom allgemeinen Gesichtspunkt aus abgeleitet. Hier kann man ihre Richtigkeit aus den Figg. 48, 49, 50 feststellen. Nach Fig. 50 gelangt ζ. B. durch Δ β der Punkt r\ 0 der x-Achse nach })·; Ist also y = 0, so ist: ix>

y'=

Fig. 46. Die Symmetrieachsen und Symmetrieebenen von _DeÄ.

i^V3

·

Fig. 47. Die 24 Punktlagen von Dth.

Der Punkt 0; r der y-Achse gelangt durch Δ β nach \ r~|/3; }c. also χ — 0, so ist: x'=\y~|/3;

Ist

y'=\y.

Daraus folgt also: Δβ:

x ' = \ x - \ y i 3;

y'=

\x~fi

+

\y.

Während wir hier also angenommen haben, daß die Maßstäbe in der x- und «/-Achse einander gleich sind, ist es für die hexagonalen Gruppen praktisch, sie ungleich zu machen im Verhältnis |/ίί:1. Das Koordinatensystem ist dann ein spezielles rhombisches (vgl. § 1 c) und wird orthohexagonales System genannt (vgl. Fig. 250b). Bezeichnen wir die überzähligen symmetrischen Koordinaten mit u0 v0 w0, die gewöhnlichen schiefwinkligen Koordinaten (120°) mit u, v, und die orthohexagonalen Koordinaten mit x0 y0, so bestehen zwischen den 3 Koordinatensystemen folgende Übergangsgleichungen:

i

-

Weitere Untergruppen von Deh

d

Rhomboedrisches System