Rhombische Geradennetze im Raum [Reprint 2019 ed.] 9783111559292, 9783111188645

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Sitzungsberichte der

Heidelberger Akademie der Wissenschaften Stiftung Heinrieh Lanz

Mathematisch - naturwissenschaftliche Klasse *) Jahrgang 1921 erschien im Verlage von Carl Winters buchhandlung in Heidelberg.

Universitäts-

Im Verlag von Walter de Gruyter & Co. vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung — J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Gedrg Reimer — Karl J. Trübner — Veit & Comp., Berlin erschienen: Abteilung A. Mathematisch - physikalische Wissenschaften. J a h r g a n g 1923. Neue Summationsmethoden und Entwicklungen nach Polynomen. Reichsmark 0-30 2 . PERRON, OSKAR. Über transzendente Funktionen auf RiEMANNschenFlächöi. Reichsmark 0'60 3 . BALDUS, RICHARD. Uber die singulären Punkte reeller Parameterkurven. Reichsmark 0'50 J a h r g a n g 1928. 1. DEECKE, W . Mitteleuropäische Meeresströmungen der Vorzeit. Reichsmark 0-60 2 . LIEBMANN, HEINHICH. Die LIE'sche Cyklide und die Inversionskrümmung. Reichsmark 0-40 8 . PERRON, OSKAB. Über Gleichungen ohne Affekt. Reichsmark Ö-4Q 4 . LIEBMANN, HEINRICH. Beiträge zur Inversionsgeometrie III. Reichsmark 0 * 4 0 5. KRATZERT, J. Beitrag zur Kenntnis des Andesins von Bodenmais. Reichsmark 0'50 J a h r g a n g 1924. 1 . T H . CURTIÜS und A . BERTHO. Einwirkung von Stickstoffkohlenoxyd und von Stickwasserstoffsäure unter Druck auf aromatische Kohlenwasserstoffe. Reichsmark 0 - 50 2 . LIEBMANN, HEINRICH. Umkehrung des Variationsproblems der ebenen Affingeometrie. Reichsmark 0-60 8 . SALOMON, WILHELM. Die Intensitäten alluvialer und diluvialer geologischer Vorgänge und ihre Einwirkung auf die pliocäne Rumpffläche des Kraiehgaues und Odenwaldes. Reichsmark 1 2 0 1.

PERRON,

OSKAR.

fFotUehcunt ttehe 3. Umtehlaeeseite.J

*) Bestellungen auf solche Veröffentlichungen der math.-natnrw. Klasse, welche früher im Verlag von Carl Winters Universitätsbuchhandlung in Heidelberg erschienen sind, nimmt auch der Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin, entgegen.

Sitzungsberichte der H e i d e l b e r g e r A k a d e m i e der Wissenschaften Stiftung Heinrich. L a n z Mathematisch-naturwissenschaftliche =

Klasse

J a h r g a n g 1927. 2. A b h a n d l u n g .

,

Rhombische Geradennetze im Raum Von

Heinrich Liebmann in Heidelberg.

Eingegangen am 28. Januar 1927

Berlin

und

Leipzig

1927

W a l t e r d e G r u y t e r & Co. v o r m a l s G. J. Göschen'sche V e r l a g s h a n d l u n g I J. G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g / G e o r g K e i m e r / K a r l J. T r ü b n e r / V e i t & Comp.

=

Rhombische Geradennetze im Raum. Die Bestimmung der rhombischen Geradennetze in der Ebene ist — eine schöne Weiterbildung der grundlegenden Arbeit von Herrn A. Voss — in mehreren Arbeiten der Herren O . V O L K und O . P E R R O N vollständig erledigt. Man weiß, daß diese Geradennetze mit den Strahlenbüscheln zweiter Klasse identisch sind. 1 ) Der Beweis kann noch auf ganz anderem Wege durch eine einfachere und zugleich umfassendere Betrachtung gefuhrt werden, die auch die Lösung einer entsprechenden Aufgabe für den R n gibt. Dies soll hier dargelegt werden. 1. Die rhomboedrischen Netze.

Das durch die Gleichungen x = x (M, v, w), y = y (u, v, w), z = 3 (u, v, w) gegebene Kurvennetz möge r h o m b o e d r i s c h ziehungen bestehn

heißen, wenn die Be-

)

2

(1)

Wir werden es selbstverständlich auch dann noch rhomboedrisch nennen, wenn die Parameter u, v, w erst „geeicht" werden müssen, d. h. wenn an ihrer Stelle neue Parameter durch die Gleichungen U --- u(u),

V -

v(v),

w =

w(w)

eingeführt werden müßten, so daß dann erst

wird. ') Literaturangaberi bei OTTO VOLK, Über geodätische rhombische Netze auf krummen Flächen usw. Diese Berichte 1925, J3. Abhandlung. 1*

4

HEINRICH LIEBMANN

Während in der Ebene die angegebenen Geradennetze wirklich rhombisch sind, d. h. bei ihnen nach vorgenommener Eichung

©ViHSMir

wird, würde man im Raum das Feld der Untersuchungen durch die Forderung (1) oder (1') sehr einschränken. In der Ebene ist z. B. das aus zwei linearen Strahlbüscheln aufgebaute Netz 1 - {axu + a2v + a0) : (b^u + b2v + 60) : (qu + c2v + c0)

x-.y. mit

a2u + a0|2 cx c2 v + c0 '•

(

«2 % U + «0 ca ct u+c0

+

b2 ^u + bo c2 q u + bo

+

b2v + b0 Cj c2v + c0

2

)

= A (v) : B (u)

rhombisch — die „Eichung" wird durch die Quadraturen n du n dv

Ü=

JVW)' v=JVW)

geleistet — während im Raum schon das sehr einfache Netz auf Werte führt: x -,y : e: 1 = u: v: 1:

(u-\-v-{-w)

= ((ü + w)2 + w2+1): ((m+m>)2+w2+1) : (u + v*+ 1) : (u + v + w)\ denen man sofort ansieht, daß das Netz nicht rhomboedrisch ist. Diese Feststellung gibt Anlaß, die Forderung (1) bez. (1') zu ersetzen durch die weniger beschränkende Zx*-.

Zx*-.2xfil

2

(2)

: Zxv2 : Zx,/

= A{v,w):B

(w, u) : C(u, v),

die folgende geometrische Bedeutung hat: A u f j e d e r F l ä c h e j e d e r d e r d r e i S c h a r e n (u = const., v = const., w = const.) s o l l e n d i e S p u r e n d e r b e i d e n a n d e r n F l ä c h e n s c h a r e n rhombische Netze bilden. Ein solches Netz möge d r e i f a c h r h o m b i s c h heißen. 2. Beispiele dreifach rhombischer Geradennetze.

Es kann leicht festgestellt werden, daß die durch x-.y.g-. 1 = (ffljM + + a3M> + «0) : (Piu + b2v + b3w + b0) : (CjU -f c2v + c3w -f c 0 ): ( d x u + d2v + dzw + d0) gegebenen Netze, die sich aus linearen Strahlbündeln in einfachster Weise aufbauen, dreifach rhombisch sind.

Rhombische Geradennetze im Baum.

5

Interessanter sind zwei weitere Beispiele. Nimmt man

x = viv, y = wu, s — uv

so wird

dx2 + dy2 + dz2 = du2 (V

iv2) + dv2 (w2 + u2) + dw2 (ii2 + vr) -|— .

-f

Das Netz ist aufgebaut aus den Geraden dreier Scharen von hyperbolischen Paraboloiden und weist bereits auf die später abzuleitende allgemeinste Form der dreifach rhombischen Netze hin. Sodann mögen die durch

x—yt + st2-ts

= 0

gegebenen Schmiegungsebenen einer speziellen Raumkurve dritter Ordnung betrachtet werden. Durch jeden Raumpunkt gehn drei Schmiegungsebenen (t — u,v,w), und es ist also wird

u-\-vJrw,

x = uvw, y = uv-\-vw-\- IOU, s =

dx2 + df + dz2 = du2 [v2w2 + (v + w)2 +1} + dv2 {w2u2 -f (w + u)2 +1} + dw2 {mV + (u + v)2 + 1} + • •. Also bilden die Schnittgeraden der drei durch einen Punkt gehenden Schmiegungsebenen dieser C3 ein dreifach rhombisches-System. Diese beiden Beispiele mögen hier genügen. Endlich mag als Vorbereitung auf die allgemeine Untersuchung hier darauf hingewiesen werden, daß auf jeder F2 die beiden Gradenscharen ein rhombisches Netz bilden. Dies folgt aus der Parameterdarstellung

(3)

x:y:z:

1 = (a12uv -f- axu + a2v + a0) : (p12uv + b^u + b2v + b0) : (c12uv -f CfU + c2v -4- c0): (d12uv + dxu + d2v -f d0),

in der die Parameterkurven die Geraden sind, durch elementare Rechnung. Um in zwei einfachen Fällen auch die Eichung vorzunehmen, wollen wir hyperbolisches Parabolo'id und Rotationshyperboloid heranziehen. Beim Parabolo'id 0 = xy oder x=u, y—v, s = uv,

dx2 + dy2 -f- dz2 = (udv + vdtif -f- du2 + dv2 muß man so eichen:

du = ,

Y

du : ,

i

+

M2'

dv dv = -,>— Y I

+

erhält also, wenn man die Normalparameter mit u,v (ohne Strich) bezeichnet, die Darstellung

x = shu, y — shv, z = shu • shv dx2 + dy2 + dz2 = ch2u ch2v {du2 + dv2 + 2 thu thv du dv).

6

HEINBICH

LIEBMANN:

Beim Hyperboloid wird die richtige Darstellung sein /ü - 1 sin (v—u):

x: y. z-. 1 = cos (v-\-u): sin (v-\-u):

cos (v — u) - a _ 1 ,

wie dies die Formel für das Bogenelement zeigt, nämlich ds2 = —

rf (du2 + dv2) (l + ^ ) + 2dudv

C O S 4 ( M — V) V

A

(cos (2

v-2M)-

k r ' J

Hier sind die Parameter leicht zu deuten, es sind nämlich 2M und 2v die Winkel, welche die Radii vectores der Spureu der beiden durch einen Punkt der Fläche gehenden Erzeugenden auf dem Kehlkreis mit der ic-achse bilden. In beiden Fällen, Parabolo'id und Hyperboloid, erhält man übrigens noch sehr leicht dreifach rhombische Netze besonderer Art, die wir als „halb rhomboedrisch" bezeichnen können, und das soll gleich allgemein für (3) gezeigt werden. Ersetzt man (3) -durch x-.y.z:

\ — w (a12uv -f axu + a2v + a0): w (b12uv + \u + b2v + b0) : w (c12uv + CjM + c2v + c 0 ): (d12uv -f dxn + d2v -f- d0),

so wird wieder

2xu2:

Zxv2 = A(v): B (u),

also wird die „Eichung" auf den Flächen w = c u n a b h ä n g i g von w. Wie erhält man die allgemeinsten „halbrhomboedrischen" Netze? — Noch eine andere Frage taucht auf: Bekanntlich gibt es nur auf L I O U V I L L E sehen Flächen aus geodätischen Linien gebildete rhombische Netze, als klassisches Beispiel hierfür sind ja gerade die Erzeugenden einer F2 anzusehen. Unsere Beispiele zeigen, was sich auch leicht allgemein beweisen läßt, daß auf den Fz die Diagonalkurven t

u 4- v — cv bez. u — v =»c2

dieses rhombischen Netzes die Krümmungslinien sind. Und so gelangt man zu der Frage: Wie verhalten sich überhaupt auf L I O U V I L L E sehen Flächen geodätisch-rhombische Netze und Krümmungslinien? Schärfer gefaßt: Wann sind die Diagonalkurven dieser Netze „virtuelle Krümmungslinien", d. h. wann kann die Fläche so „in den i? 3 eingebettet werden", daß die Diagonalkurven eines geodätisch-rhombischen Netzes Krümmungslinien werden?

Rhombische Geradennetze im Raum.

7

3. Bestimmung aller dreifach rhombischen Geradennetze.

Von den Parametern u, v, w wird zweierlei verlangt: Es soll gelten :

:

= A (w, v): B (u, w): C (v, u)

wobei die Fußmarken die Differentiationen nach u, v und w bedeuten, also muß gelten w

S

:

^

=

a

:

S

^

=

H

^

••

-

Außerdem sollen die Kurven Gerade sein, daher xn = Xxv

yn = Xyv

"^22 =

=

zn = 1.2v

/¿Dil &22 =

2'

^33 = ^3» 2/33 = ^ 3 . %3 = Hieraus kann die Darstellung der Netze unschwer gewonneu werden. Man erhält aus =

2 gü

^ ^ \ 2 dw ~

2 Xs

-xixn

— ¿^Xj2,

V =

~

(Sxj2)

V 2 ^

X&X3S = v

3

= 22,

/y

O 3

'

=

in Verbindung mit (4) ¿2 — ^ = 0, fl 3 — V 2 = 0 , »