Repetitorium Regelungstechnik: Band 2 [2. Aufl. Reprint 2014] 9783486795486, 9783486245325

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Repetitorium

Regelungstechnik Band 2 von Hanns Peter Jörgl Mit 214 Abbildungen, 7 Tabellen, 72 Beispielen und 66 Aufgaben Zweite Auflage

R. Oldenbourg Verlag Wien München 1998

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Jörgl, Hanns P.: Repetitorium Regelungstechnik / von Hanns Peter Jörgl. Wien ; München : Oldenbourg Bd. 2, 2. Aufl. 1998 ISBN 3-486-24532-5 (München) ISBN 3-7029-0441-7 (Wien)

© 1998. R. Oldenbourg Verlag Ges. m. b. H. Wien Das Werk einschheßlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Umschlagentwurf: MendeU & Oberer, München Herstellung: Grasl Druck & Neue Medien, Bad Vöslau ISBN 3-7029-0441-7 R. Oldenbourg Verlag Wien ISBN 3-486-24532-5 R. Oldenbourg Verlag München

Vorwort zur zweiten Auflage Die nunmehr vorliegende zweite Auflage von Band 2 des Repetitoriums Regelungstechnik baut auf die im ersten Band behandelten Grundlagen der konventionellen Regelung von Eingrößensystemen auf. Neben der Wurzelortskurvenmethode, der Störgrößenaufschaltung und der Kaskadenregelung, die noch als Ergänzungen zu Band 1 gesehen werden können, werden die Grundlagen der Analyse und des Entwurfs von Eingrößenregelsystemen im Zustandsraum, der Analyse nichtlinearer Regelsysteme und der digitalen Regelung behandelt. Gegenüber der ersten Auflage wurden keine grundsätzhchen .Änderungen, sondern nur eine Fehlerberichtigung vorgenommen. Dieser Band soU nicht als Lehrbuch angesehen werden. Es wird vorausgesetzt, daß der Leser die Grundlagen der konventionellen Regelungstechnik, wie sie in Band 1 dargestellt wurden, beherrscht und sich mit dem hier behandelten Stoff in entsprechenden Lehrveranstaltungen vertraut gemacht hat. Dem Repetitorium liegen die vom Verfasser für Studierende des Maschinenbaus an der TU-Wien gehaltenen Vorlesungen "Regelungstechnik" und "Digitale Regelung" zugrunde. Auf Herleitungen angegebener Beziehungen wurde in der Mehrzahl der Fälle, und auf Beweise von Sätzen bewußt vollständig verzichtet. Die angegebene Liste von Lehrbüchern mit ausführlichen Literaturzitaten sollte es dem interessierten Leser ermögUchen, seine dahingehenden Wünsche zu befriedigen. Dem Charakter eines Repetitoriums entsprechend wurde eine große Anzahl durchgerechneter Beispiele sowie Aufgaben samt Lösungen (im Lösungsteil am Ende des Buches) aufgenommen. Dabei wurden Zahlenwerte, wo immer solche verwendet wurden, vorwiegend nach didaktischen Aspekten ausgewählt. Die Voraussetzungen, die ein Leser für ein erfolgreiches Arbeiten mit diesem Repetitorium mitbringen muß, sind genau jene, mit denen Studierende des Maschinenbaus an der TUWien im 6. Semester, d.h. nach einer ersten einführenden Vorlesung über die Grundlagen der Regelungstechnik, vertraut sind. Auf die zahlreichen existierenden Softwarepakete zur rechnergestützten Analyse und Synthese von Regelsystemen wird in diesem Repetitorium nicht eingegangen. Diese stellen zwar ein sehr nützhches, in vielen Situationen beinahe unverzichtbares Hilfsmittel dar, liefern jedoch zum theoretischen Verständnis der Zusammenhänge keinen nennenswerten Beitrag. Die Studierenden der TU-Wien werden in den Rechen- und Laborübungen exemplarisch in den Umgang mit derartigen Programmpaketen eingeführt. Danken möchte ich meinen derzeitigen und ehemahgen Mitarbeitern am Institut für Maschinen- und Prozeßautomatisierung der TU-Wien, den Herren Dr. Christian Hanser, Dipl.-Ing. Ensio Hokka und Dr. Reinhard Korb für die Kapiteldurchsicht, das Korrekturlesen und das Überprüfen der Lösungen zu den Beispielen und Aufgaben. Schließlich gilt mein Dank Herrn Dr. Thomas Cornides vom Oldenbourg Verlag für die Einladung, dieses Repetitorium zu verfassen. Wien, im Januar 1998

H. Peter Jörgl

Inhalt 1. Wurzelortskurven

1

1.1

Definition

1.2

Regeln zum Zeichnen der Wurzelortskurven. . . . . . .

1 1

1.3

Reglerentwurf mit Hilfe der Wurzelortskurven.

8

. . .

1.3.1 Verstärkungskompensation

. . .

1.3.2 Entwurf von dynamischen Korrekturgliedern .

9

1.3.3 Verstärkungskompensation plus Lag-Glied . . . . 1.3.4 Überprüfung der Parameterempfindlichkeit 1.4

11 14

Aufgaben

16

2. Verbesserung des Regelverhaltens durch Erweiterung der Regelungsstruktur

3.

8

19

2.1

Störgrößenaufschaltung

19

2.2

Kaskadenregelung

21

2.3

Aufgaben

25

Systemanalyse im Zustandsraiun. 3.1

Zustandsraumdarstellung

.

. .

27 .

.

.

.

.27

3.1.1 Einleitung

27

3.1.2 Zustands-und Ausgangsgleichung

27

3.1.3 Normalformen der Zustandsdarstellung von Eingrößensystemen

29

3.1.4 Transformation allgemeiner Zustandsdarstellungen 3.2

auf die Normalformen

34

Lösung der Zustandsgieichung

36

3.2.1 Lösung im Zeitbereich

36

3.2.2 Lösung der Zustandsgieichung mit Hilfe der Laplace-Transformation

37

3.2.3 Zusammenhang zwischen Übertragungsfunktion und Zustandsdarstellung 3.3

3.3.1 Steuerbarkeit

4.

.

.

.

. . . .

3.3.2 Beobachtbarkeit. 3.4

38

Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit

38 38

.

39

Aufgaben

41

Reglerentwurf im Zustandsraum.

. .

43

4.1

Führungsregelung durch Zustandsvektor-

4.2

Führungsregelung mit stationärer

4.3

Regelung durch Zustandsvektorrückführung mit

4.4

Zustandsschätzung durch Beobachter.

4.5

Aufgaben

rückführung und Polvorgabe

.

. . . .

43

Störgrößenkompensation

47

Integration des Regelfehlers und Polvorgabe .

48 .

.

52 56

VIH

Inhalt

5. Nichtlineare Regelsysteme 5.1

5.2

5.3

5.4

58

Einführang 5.1.1 Struktur nichtlinearer Regelsysteme. . . 5.1.2 Die wichtigsten statischen Nichtlinearitäten Darstellung und Analyse nichtlinearer Systeme in der Phasenebene 5.2.1 Trajektorien-Diflerentialgleichung 5.2.2 Bestimmung der Trajektorien 5.2.3 Grenzzyklen 5.2.4 Die mehrblättrige Phasenebene Analyse nichtlinearer Regelsysteme mit Hilfe der Beschreibungsfiinktion 5.3.1 Definition der Beschreibungsfunktion. . . . 5.3.2 Grenzzyklusbestimmung und Stabihtätsanalyse . Aufgaben

6. Grundlagen der digitalen Regelung 6.1 6.2 6.3

6.4 6.5

6.6 6.7

6.8

Arbeitsweise digitaler Regelungen Impulsabtastung (δ-Abtastung) z-Transformation 6.3.1 Definition 6.3.2 Wichtige Eigenschaften und Sätze der z-Transformation 6.3.3 Inversez-Transformation Differenzengleichungen z-Übertragungsfunktion, Gewichtsfolge und Faltungssumme 6.5.1 z-Übertragungsfiinktion (Pulsübertragungsfunktion). . 6.5.2 Gewichtsfolge . . . 6.5.3 Faltungssumme 6.5.4 Halteglied O.Ordnung 6.5.5 z-Übertragungsfunktion kaskadierter Übertragungssysteme 6.5.6 z-Übertragungsfiinktion des geschlossenen Regelkreises . . . . Zusammenhang zwischen s-Ebene und z-Ebene . Stabilität 6.7.1 Definition 6.7.2 Stabilitätskriterien Aufgaben

7.2

Einleitung 7.1.1 Allgemeines . . . 7.1.2 Wahl der Abtastzeit Entwurf diskreter Äquivalente kontinuierlicher Regler . 7.2.1 Entwurfsvorgang . . .

59 59 60 61 63 68 68 72 78

80

7. Entwurf digitaler Regelungen 7.1

58 58 58

80 81 81 81 82 85 86 86 86 87 87 88 89 90 92 94 94 95 98

100

.

100 100 100 101 101

Inhalt

IX

7.3

7.4

7.5 7.6

7.2.2 Methoden zur Diskretisierung kontinuierlicher Übertragungsfunktionen Entwurf mit Hilfe der Wurzelortskurven 7.3.1 Statische Spezifikationen 7.3.2 Dynamische Spezifikationen 7.3.3 Eigenformen des dynamischen Verhaltens eines Abtastregelkreises 7.3.4 Analyse und Entwurf in der Wurzelortskurvenebene Analytischer Entwurf 7.4.1 Entwurf einer dmd-òeof-Führungsregelung 7.4.2 Deod-óeoí-Reglerentwurffür Störungs- und Führungsverhalten. . Bestimmung geeigneter Reglerparameter fur PID-Regler mit Hilfe empirischer Einstellregeln . Aufgaben

102 107 107 107 108

. . .

109 114 114 120 127 130

Lösungen zu den Aufgaben

134

Literatur

151

Sachverzeichnis

153

1. Wurzelortskurven 1.1 Definition Betrachtet wird der in Bild 1.1 dargestellte Eingrößenregelkreis. Die Übertragungsfunktion Go(s) des offenen Regelkreises wird in folgender Form geschrieben: W

Б

Go(s)

Y n(s-q^) =

, -~ 0 r=1.2 ν = Φςτ=·^[(Ζρ-ΖΝ-2)180°+Γ360°]

p.

(1.6)

für K < 0

Zp und Z^ sind darin die Anzahl der reellen Pole bzw. Nullstellen rechts vom betrachteten Pol (Nullstelle), und ρ ist die Vielfachheit des betrachteten Poles (der betrachteten Nullstelle). (1.05) Enden n-m Äste im UnendHchen, so existieren n-m Asymptoten, die sich im sogenannten Wurzelschwerpunkt σ, auf der reellen Achse schneiden. Es gilt:

σ, =

£Ке(р„)-£Ке(Чц) ΪΞί , n-m

-00 1 _Kp(s-t-4) 0,26s s + 2 ~ s(s + 2)

1.

Wurzelortskurven

4 Im 2

41

P2 1

Pl

-2

Kp 0

Re 2

-4

-8

-2

Re О

Bild 1.3

Es ist die Wurzelortskurve für K p > 0 zu zeichnen und mit Hilfe der Betragsbedingung jener Bereich der Reglerverstärkung Kp zu bestimmen, für den der geschlossene Regelkreis reelle Pole besitzt. Lösung: (1.01):

Pi = 0, P2=-2, q i = - 4 , n = 2, m = l, n - m = l.

0 = WOK, (1.04):

φρι = 180°, φρ2 = 0°. φ,ι = 180°.

(1.06):

Κ„ = -

- 4 < s < - 2 : Zp+Zn = 2 => ^ WOK, - o o < s < - l : Zp + Z^, = 3 =» = WOK.

s(s + 2) dKg^^_(2s+2)(s + 4 ) - s ( s + 2) = 0 => σ„ι = -1,17, σν2 =-e,83. 5 + 4 ' ds (s + 4)'

(1.08): к

|qvi-Pilki-P2l

(1,17)(0,83)

k2-PiK2-P2|

(6,83)(4,83)

Der geschlossene Regelkreis hat für 0 < Kp < Kpi und Kpj < Kp < d.h. für 0 < Kp < 0,34 und 11,66 < Kp < ~ ausschließlich reelle Pole. In Bild 1.3 ist die resultierende Wurzelortskurve dargestellt. Beispiel 1.3: CJegeben ist die Übertragungsfiinktion eines offenen Regelkreises: - , , K(s + 4) „ Go(s)= ^ о ^ —, - ~ < K < o o . s(s^+2s + 2) Es ist die Wurzelortskurve für К > 0 und К < 0 zu zeichnen und mit Hilfe der Betragsbedingung die kritische Verstärkung K^^^ zu bestimmen. LösMrag.· (1.01):

Pi = 0, P2,3=-l±j, 4ι = -4, n = 3, m = l, n - m = 2.

(1.03): K>0:

0krit.-q2

2 (3,93)(4,74)

: 14,4.

Beispiel 1.5: Der Regelkreis mit der Übertragungsfunktion des offenen Kreises G„(s) =

3(s + 4 / 3 ) s(s+l)(s + 3)

besitzt Pole bei Sj j = - l ± j und S3 = - 2 . Der Streckenpol bei - 1 ändert seine Lage, d.h. in der Übertragungsfunktion Go(s) werde der Term (s + 1) durch (s + 1+Δ), -οο0: Δ = WOK, - ~ < s < - 3 : Zp+Zn=3 =>

- 2 < s < 0 : Z p + Z n = 1 => * WOK,

(1.04):

n-m=l.

WOK.

Δ0: Φρι = -Фр2 - Фрз + Φςΐ + Φς2 + 180° = -90°^5°+135°+26,6°+180°=206,6° Δ1,6л/2 gelten muß. Gewählt wird Шп=-У8. Damit erhält man für die gewünschte Lage des dominanten Polpaares: s^2 = - 2 ± j 2 . In Bild 1.12 ist die WOK des Regelkreises mit einem P-Regler dargestellt. Es gilt: G„(s) =

5 Im

K„

P-Regler

! j 17,6 /

s(s + 3)(s + 6)

.ß = 45° Man erkennt, daß die Spezifikationen durch eine S3P3 Pl reine Verstärkungskompensation nicht erfüllt werden können, d.h. das dominante Polpaar Sj 2 = - 2 ± j2 ist nicht zu realisieren. Für einen geforderten Dämpfungsgrad ζ = V2/2 (ß = 45°) L -5 ergibt sich mit Kp = 17,62 für das dominante -10 -5 0 Re Polpaar Sj^g = - 1 Д 4 6 ± j l , 1 4 6 ein ω^ = 1,62 s"'. BUd 1.12 Damit wird die Spezifikation bezüglich e^, erfüllt, nicht jedoch jene bezüglich T,. Die Führungsübergangsfunktion des geschlossenen Regelkreises ist in Bild 1.14 dargestellt.

>

Es muß also gefordert werden, daß die gewünschten Pole Punkte auf der Wurzelortskurve sind. Dies wird durch das Einfügen der Reglernullstellen und Reglerpole erreicht, die so gelegt.werden, daß die Winkelbedingung für die gewünschten Pole des geschlossenen Kreises erfüllt wird. Es soll nun diese Vorgangsweise anhand des Entwurfs des realen PDReglers demonstriert werden. Die Übertragungsfunktion des offenen Kreises lautet für diesen Fall: G„(S)=V11M 1+Ts s(s + 3)(s + 6)

K„T„ K(s + a) K =s(s + b)(s + 3)(s + 6 ) '

1 u 1 a = —> b = — . T„ Τ

Bild 1.13 In Bild 1.13 wird veranschaulicht, wohin aufgrund der zu erfüllenden Winkelbedingung die Reglernullstelle q^ = - a und der Reglerpol pjj = - b gelegt werden müssen, um s, zu einem WOK-Punkt zu machen. Mit der Winkelbedingung (Gl. 1.4) muß gelten: Фяв-Фрв - Σ φ ρ ν = - ΐ 8 0 ° v=l

1.

11

Wurzelortskurven

Man erhält damit für den Winkelbeitrag des Reglers: «PqR - 0 zu zeichnen. b) Es ist nunmehr ein Geschwindigkeitsfehler |e(~)| = 0,02 verlangt. Um diese Spezifikation zu erfüllen, soll ein Lag-Kompensationsglied in Serie mit dem PID-Regler entworfen werden. Es ist die Wurzelortskurve des derart kompensierten Systems zu zeichnen. Lösung: a) Mit K = KrTj,iTr2, a = l / T m und Ь = 1/Тц2 lautet die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises: K(s + a)(s + b) G„(s) = s(s-2)(s + 6)

13

1. Wurzelortskurven

Bild 1.18

Für den erforderlichen Winkelbeitrag der Nullstellen Qm = - a und qi}2 = - b erhält man mit der Winkelbedingung (Gl. 1.4): Ф4В2 + «PqRi = -180°+(180°-arctan (0,5))+135°+arctan (0,5). Wählt man z.B., wie in Bild 1.18 veranschaulicht, q[ii = - a = -2 (Tri =0,5s) und somit φ,κι = 90°, dann ergibt sich für die zweite Reglernullstelle ç ^ r j =45° und q^g = - b = -4 (Tb2 =0,25 s). Die Lösung ist also nicht eindeutig. Für die WOK-Verstärkung К bzw. die Reglerverstärkung Kr erhält man mit der Betragsbedingung (Gl. 1.3): KB=K/ThiTR2=80. Die charakteristische Gleichung lautet: GJs)+l=

10(s + 2)(s + 4) + 1=0 s(s-2)(s + 6)

bzw.

s® + 14s^+48s+ 80 = 0.

Für den dritten Pol des geschlossenen Regelkreises erhält man S3 =-10. Das Polpaar Sj j kann als dominant betrachtet werden, da der dritte Pol weit genug links davon liegt. Bild 1.19 zeigt die resultierende Wurzelortskurve. b) Der (jeschwindigkeitsfehler des oben entworfenen Regelkreises beträgt: e(~) =

Kv

1 = l i m — : sGo(8) 10(2)4 (-2)6

_3_

4 Im 2

20'

0 S3 Die (jeschwindigkeitsfehlerkonstante beträgt demnach K^=-20/3. Gefordert .2 ist jedoch Ky = -50, was bedeutet, daß eine Verstärkung K^ = 7,5 in Serie mit -4 dem PID-Regler geschaltet werden muß. -10 -8 Um das dominante Polpaar S12 in seiner Lage zu erhalten, wird zusätzlich ein Lag-Kompensationsglied mit der Übertragungsfunktion

Рз

02

qi

-4

-2

BUd 1.19

G (д)_ 1 s + l / T ^ 1 s+0,15 '' ® β s+1/βΤ 7,5 s + 0,02 eingefügt. Die Übertragungsfiinktion des offenen Kreises lautet nunmehr: G „ ( s ) = K , G , ( s ) G r ( s ) G s ( s ) = 10(^ + 2 ) ( s + 4 ) ( s + 0 , 1 5 ) ' ^ Rv ' SV ^ s ( S - 2 ) ( S + 6)(S + 0.02)

Рг/ Pi

О

Re

14

1. Wurzelortskurven

Damit ist sowohl die Lage des dominanten Polpaares näherungsweise erhalten als auch die Spezifikation bezüglich des Geschwindigkeitsfehlers erfüllt. Bild 1.20 zeigt die neue Wurzelortskurve sowie den vergrößerten Ausschnitt der WOK um den Ursprung. Die Pole des geschlossenen Regelkreises liegen bei Sj^a =-l>98± j2,08 (ζ = 0,69), Sg =-9,91 und S4 = -0,147. Das Polpaar S12 ist nach wie vor dominant, da der Pol S4 des geschlossenen Kreises nahe bei der Nullstelle qL liegt und seine Wirkung damit faktisch aufgehoben wird. Bild 1.19 zeigt die Führungsübergangsfunktionen des Regelkreises mit und ohne Lag-Kompensation. Der Positionsfehler ist in beiden Fällen Null. 0,1

Im

QL

0 Re

-0,1

-0,2

PL

1 -0,1

0

Re

BUd 1.20

In Bild 1.21 sind die Führungsübergangsfunktionen des geschlossenen Regelkreises mit und ohne Lag-Kompensation sowie dessen Störübergangsfunktionen dargestellt.

ohne Lag-Glied ^ mit Lag-Glied

5 t[s] Bild 1.21

1.3.4 Überprüfung der Parameterempfindlichkeit Die Wurzelortskurven sind auch zur Überprüfung der Parameterempfindlichkeit eines Regelkreises hervorragend geeignet. Die Vorgangsweise soll an einem Beispiel demonstriert werden. Beispiel 1.9: Es wird der in Bild 1.22 dargestellte Regelkreis betrachtet. Dieser ist so ausgelegt, daß er ein komplexes Polpaar bei S12 = - l ± j und den dritten Pol bei S3 = - 4 besitzt. Es soll mit Hilfe der Wurzelortskurvenmethode untersucht werden, in welchem Ausmaß sich die Pole der Strecke ändern dürfen, so daß für alle Pole des geschlossenen

15

1. Wurzelortskurven Regelkreises ein Mindestdämpfungsgrad ζ^ίη ¿0,5 und ein Realteil ^ -0,8 garantiert wird. Lösung: Die Übertragungsfiinktion des offenen Regelkreises wird dazu für die Parametervariationen wie folgt geschrieben: 5(s+l,6) G„(s) = s(s+l+Ai)(s + 5)'

Büd 1.22

g:(s)=-

5(s+l,6) s(s + 1)(s + 5 + A2)"

Darin sind -o« < Δι < 0

/

2

1

. 1 l

0

. = 0 bzw. l + ^ + (s + 4)(s'' + 2s + 2)

.

\

- 1

0 q 2

>

- 2

-3 -8

-7

1 1 -7 -6

-6

1

„

Рз

У 1

-5 -4

-5 -4

,

1 .

1 J

1

\

Im

/

0

/

1 42

Рз

-1 -2

-3 -2 -0,8 Re

-3 -2

Δι 0 . Bestimmen Sie, wenn angebracht, mit Hilfe der Betragsbedingung die Verstäikung Κ^^ι. an der Stabilitätsgrenze. Aufgabe 1.4: Betrachten Sie den in Bild 1.24 im Blockschaltbild dargestellten Regelkreis. W -

|K„(1 +0,376s) и - j s

4 (s+ 2X8+ 6)

Y

Bild 1 24

a) Zeichnen Sie unter Verwendung aller relevanten Regeln die Wuraelortskurve mit K^^ > 0 als veränderlichem Parameter. Welchen Wert hat die Verstärkung KR im auf der Wuraelortskurve liegenden konjugiert komplexen Polpaar 8j_2 j2? Bestimmen Sie den dritten Pol des geschlossenen Regelkreises.

b) Es werde nunmehr angenommen, dafi der Streckenpol bei s = - 2 seine Lage ändert. Ersetzen Sie daher in der Streckenübertragungsfiinktion den Term (s + 2) durch (s + 2 + Δ), wobei gilt: 0 und Δ < 0 . Bestimmen Sie mit Hilfe der Betragsbedingung jenen Bereich von Δ , für welchen der geschlossene Kreis asymptotisch stabil bleibt. Aufgabe 1Л: Gegeben ist ein Regelkreis mit Einheitsrückfilhrung und der Übertragungslunktion 2K„ G„(s) = ' ( s - l ) ( s ' + 4 s + 8)' a) Zeichnen Sie die WOK für dieses System. Bestimmen Sie, um die WOK genauer zeichnen zu können, deren Sduiittpunkt mit der imaginären Achse aus der charakteristischen Gleichung. Bestimmen Sie sodann mit Hilfe der Betragsbedingung jenes Kp, filr das der geschlossene Regelkreis ein komplexes Polpaar mit einem Dämpfungsgrad ζ = 0,5 besitzt. (Hinweis zum Zeichnen der WOK: Die Punkte s, 2 = - l ± j liegen auf der WOK). b) Stellen Sie fest, wie sich der Verlauf der Wuraelortskurve qualitativ ändert, wenn in der Übertragungsfunktion GJs) der Term (s^ +4s + 8) durch (s^ +4s + 5) ersetzt wird. Betrachten Sie dazu die Bedingung far das Auftreten von Vereinigungs- bzw. Veraweigungspunkten. Aufgabe Ι.β: Von einem Regelkreis ist die TJbertragungsñinktion des offenen Kreises gegeben: G„(s) =

10K.(s + 2) s(S + 4)(S + 8)(8'' + 4S + 6)

17

1. Wurzelortskurven

a) Zeichnen Sie unter Verwendung aller relevanten Regeln die Wurzelortskurve dieses Systems für Kp > 0 . Bestimmen Sie kritische Reglerverstäikung sowie den Schnittpunkt der WOK mit der imaginären Achse aus der charakteristischen Gleichung. b) Bestimmen Sie mit Hüfe der Betragsbedingung jenen Bereich, den die Reglervers^äricung Kp annehmen muß, so daß für alle Pole des geschlossenen Kreises die Spezifikationen ζ a Vz / 2 und ReCs; ) < - 1 erfüllt werden. Aufgabe 1.7: Betrachten Sie den in Bild 1.25 dargestellten Regelkreis mit einem PI-Regler und einem reinen Totzeitglied als Regelstrecke. Um das Wurzelortskurvenverfahren mit G„(s) als gebrochen rationaler Übertragungsfunktion anwenden zu können, muß die Totzeit durch eine gebrochen rationale Näherung ersetzt werden. Dies kann durch die sogenannte Pade-Approximation, einem AllpaBglied 2. Ordnung, geschehen: _„

l-ts/2-fTV/12 " l + ts/2 + t V / 1 2 ·

Diese Näherung gilt mit guter Genauigkeit im Frequenzbereich 0 < ω < W

•Λ ,

KR(1 + 0,2S) и s

У

e·'

a)

Nähern Sie die Regelstrecke durch eine Pade-Approximation an und zeichnen Sie unter Verwendung aller relevanten Regeln die Wurzelortskurve. Berechnen Sie die Stabilitätsgrenze (Κ^,^ι. "D'I «>]„.(,.) exakt aus der charakteristischen Gleichung.

b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Betragsbedingung jene Reglerver-

BUd 1.25

stärkung К д , für die der geschlossene Regelkreis ein komplexes Polpaar mit einem Dämpfiingsgrad ζ = V 2 / 2 besitzt.

Aufgabe

Gegeben ist die Übertragungsfunktion eines offenen Regelkreises G„(s) = s(s + 6Xs46s-f 13)

Zeichnen Sie die Wurzelortskurve unter Verwendung aller relevanten Regeln. Bestimmen Sie die Stabilitätsgrenze analytisch. b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Betragsbedingung jenen Bereich, den die Reglerverstäikung annehmen darf, so daß folgende Spezifikationen für die Pole des geschlossenen Regelkreises erfüllt werden: ζ 2 V2 / 2 und Re(s¡) < - 1 . Skizzieren Sie die Führungssprungantworten für die beiden Grenzfälle. Aufgabe 1.9: Gegeben ist der in Bild 1.26 dargesteUte Regelkreis. a) Bestimmen Sie, vorerst ohne Lag-Glied, Kp und T^ Kp(l + Xs) 1+0,05s

1 s(l + 0,5s)

Gl^s)

derart, daß der Regelkreis ein dominantes Polpaar mit ζ = 0,5 und

aufweist. Bestimmen Sie

den dritten Pol des geschlossenen Kreises sowie den Geschwindigkeitsfehler.

BUd 1.26

b) Entwerfen Sie das Lag-Korrekturglied so, daß ein

Geschwindigkeitsfehler von 0,01 gewährleistet ist und das dominante Polpaar näherungsweise eriialten bleibt. c)

Zeichnen Sie die Wurzelortskurve des kompensierten Systems mit К ρ als freiem Parameter. Skizzieren Sie die Führungsübergangsfunktion des gesdïlossenen Regelkreises.

Aufgabe 1.10: Gegeben ist die Übertragungsfunktion eines offenen Regelkreises G„ (s) = Gh(S)GS(S)

S

(s-2)(s-^6)

a) Zeichnen Sie die Wurzelortskurve für dieses System unter Anwendung aller relevanten Regeln. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der WOK mit der imaginären Achse rechnerisch. Für K j , = 4 besitzt der geschlossene Regelkreis Pole bei s, 2 = - 2 ± j2 und Sg = -20 / 3. Bestimmen Sie mit Hilfe der Betragsbedingung jenen Bereich, den die Streckenverstärkung (Nominalwert Kg = 0,5) annehmen darf, um für das Polpaar Sj j einen Dämpfungsgrad 0,6 S ζ < 0,8 zu garantieren. b) Gehen Sie nunmehr davon aus, daß sich die Lage der Streckennullstelle und der Streckenpole verändern kann. Ersetzen Sie dazu in der Übertragungsfunktion G„(5) die Terme (s-f8),(s + 6) und ( s - 2 ) durch (s-i-8 + Δι), ( s - b a - f A j ) sowie ( s - 2 + A3). Zeichnen Sie dazu die Wurzelortskurven mit K r = 4 fílr positive und negative

18

1. Wurzelortskurven Änderungsparameter Δ;, Aj und Δ3. Bestimmen Sie sodann die Grenzen, innerhalb derer sich die Nullstelle bzw. die Pole bewegen dürfen, so daB die in Punkt a) geforderten Spezifikationen eingehalten werden.

Aufgabe 1.11: Betrachten Sie die in BUd 1.27 schematisch dargestellte Niveauregelstrecke. Regelgröfie ist dabei der Behälterstand Η [m], der mit einem Meßgerät in eine Spannung ид [V] umgewandelt wird. Die Stellgröße u [V] verstellt über den Ventilhub h [cm] den Stellvolumenstrom [l/s]. Als Störgrößen wirken die Zu- bzw. Abflüsse Qji, Q22 und Q^g [l/s]. Das Blockschaltbild der Strecke ist ebenfalls in Büd 1.27 angegeben.

1

Qd u

2.ia^(s4· 0,005) s(s +0,015)

h 0,2

10"°

5

s(s +0,015) Qzl

"H

10

BUd 1.27 Diese Strecke soll mit einem РШ-Regler mit der Übertragungsfunktion G,(s)=billMl±M geregelt werden. a) Entwerfen Sie den Regler mit Hilfe der Wurzelortskurvenmethode derart, daß der Regelkreis ein Polpaar bei Sj2 = - 0 , 0 1 ± j0,01 besitzt. Zeichnen Sie die FOhrungs- und Störungsübergangsfunktionen des geschlossenen Regelkreises. Hinweis: Legen Sie eine der Reglemullstellen über den Streckenpol (Pol-NuUstellen-Küizung). b) Zeichnen Sie die Wurzelcrtskurve mit K¡, als freiem Parameter. Für welches K¡, besitzt dieser Regelkreis einen reellen Doppelpol, und wo liegt dieser? c) Es werde nunmehr angenommen, daß der Verstärkungsfaktor des Ventils im Laufe der Standzeit der Anlage von seinem Nominalwert ( K , = 5 ) abweicht: K , = 5 + ДКу. Zeichnen Sie mit dem in Punkt a) entworfenen Regler die Wurzelortskurven für ΔΚ, > 0 und ΔΚ, < 0. In welchem Bereich darf sich ΔΚ, bewegen, damit filr die Pole des geschlossenen Regelkreises die Forderang Reisi j) S 0,008 erfüllt ist? Aufgabe 1.12: Betrachten Sie das in Bild 1.28 schematisch sowie als Blockschaltbild dargestellte elektrohydraulische Positionlerangssystem als Regelstrecke.

m

Kolben-Zylinder-Einheit

u Masse

200 Pi s + 20

200

li

Hydraulik ilüssigkeit

1 1008 + 400 0,5

BUd 1.28 у [cm] ist dabei die Regelgröße, Ρ [Ν] die Störgröße (z.B. die Schnittkrafl), u [V] die Stellgröße und u , [V] die der Position proportionale Meßspannung. a) Entwerfen Sie mit Hüfe der Wurzelortskurvenmethode einen PI- und einen РШ-Regler mit den Übertragungsfunktionen G „ ( s ) = 5 a < l ± M „nd

G«(s)=bii±W±M

derart, daß der geschlossene Regelkreis ein dominantes Polpaar bei S] 2 = - 5 ± j 5 besitzt. Zeichnen Sie die Wurzelortskurven für beide Fälle mit der Reglerverstärkung Kj, als WOK-Parameter. b) Skizzieren Sie die Führungs- und StörungsUbergangsfunktionen des geschlossenen Regelkreises für beide Entwürfe.

2. Verbesserung des Regelverhaltens durch Erweiterung der Regelungsstruktur In vielen konventionellen Eingrößen-Regelkreisen ist, bedingt z.B. durch das Totzeitverhalten der Regelstrecke, eine zufriedenstellend schnelle Ausregelung von Störeinflüssen oder auch ein rasches Folgen der Regelgröße auf Führungsgrößenänderungen oft nicht zu erzielen. In diesen Fällen bietet sich eine Modifizierung der Struktur des einschleifigen Regelkreises an. In den folgenden Abschnitten werden zwei derartige Erweiterungen, nämlich die Störgrößenaufschaltung und die Kaskadenregelung, behandelt.

2.1 Störgrößenaufschaltung Ist in einem Regelkreis der Einfluß der Störgröße z(t) auf die Regelgröße y(t), d.h. die Übertragungsfunktion Gsz(s) bekannt, und ist diese Störgröße meßbar, dann kann die in Bild 2.1 im Blockschaltbild dargestellte Störgrößenaufschaltung realisiert werden. Wie man sieht, handelt es sich bei der Störgrößenaufschaltung um eine reine Steuerung, die hier in Kombination mit einer konventionellen Regelung wirksam wird. Aus Bild 2.1 erhält man: 1+GRGSU

1+GRGsu

Für eine vollständige Kompensation der Störung muß demnach gelten: Bild 2.1

Gsz = GrzGSU

r - G« "sz Wz G, •SU

(2.2)

Anmerkungen zur Realisierung von Grz^ Eine Realisierung der Störgrößenaufschaltung ist nur dann möglich, wenn in der Übertragungsfunktion Grz =Qrz/Rrz gilt· Grad(QRz)^Grad(RRz)· Weist Ggu Allpaßverhalten auf und/oder Ggz instabiles Verhalten, dann führt eine vollständige Realisierung zu einer instabilen Übertragungsfunktion Grz, eine Tatsache, die nicht wünschenswert ist. Besitzen sowohl Ggu als auch Ggz Totzeitverhalten, gilt also: .-T.s Gsue-"^'' dann ist aus Kausalitätsgründen eine Realisierung nur mit Tj - Tj > 0 möglich. In jenen Fällen, in denen eine dynamische Realisierung nicht möglich ist, begnügt man sich mit einer statischen Kompensation: Ρ _ ^SZ (2.3) K,SU worin Kgz und Ksu die stationären Übertragungsbeiwerte der Übertragungsfunktionen Ggz bzw. Ggu sind. Jede zwischen den Extremen "vollständige" und "statische Kompensation" liegende mögliche Realisierung verbessert das Störverhalten des geschlossenen Regelkreises.

2. Verbesserung des Regelverhaltens

20

Beispiel 2.1: Betrachtet wird der in Bild 2.2 dargestellte Regelkreis. Es soll eine Störgrößenaufschaltung ОщСз) entworfen werden.

s+4 GHZ(S)

W

5 (s + 2Xs + 10)

-*o

Bild 2.2

Lösung: Die Stönibertragungsfunktion des geschlossenen Kreises ohne Störgrößenaufschaltung lautet: Y(8) (s + 2)(s+10) GZ(8) = Z(s) (s + 4)(s + 5)(s + 7)· Die Störübergangsfunktionen des ungeregelten Systems sowie des geregelten Systems ohne Störgrößenaiifschaltung sind in Bild 2.3 dargestellt. a)

ohne Regelung ohne StöigiöBenaufschaltung

— mit statischer StörgiöSenaufschaltung

ОД

Vollständige Kompensation: GBZ(S) =

К 0,2

mit dynamischer Störgrößenaufschaltung

^^

0,2(s + 2)(s+10) s+4

Diese Übertragungsfiinktion ist nicht realisierbar!

1

1

1

1

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1

1,2 t[s]

Bild 2.3

b)

Statische Störgrößenaufschaltung; Kbz = 1=> Gz(s) =

(s + 4)(s + 5)

Die zugehörige Störübergangsfunktion ist ebenfalls in Bild 2.3 dargestellt. Wie zu erwarten, wird die sprungfbrmige Störung stationär ausgeregelt. c)

Dynamische Kompensation: GRZ(s) wird näherungsweise durch 2(s + 2) s+4

Gbz(s)=:-

ersetzt. Damit erhält man eine Störübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises: Gz(s) =

s(s + 2) (8 + 4)(S + 5)(S + 7)·

Die ebenfalls in Bild 2.3 dargestellte Störübergangsfunktion des geschlossenen Regelkreises zeigt eine wesentliche Verbesserung der Störgrößenausregelung gegenüber jener, die durch statische Kompensation zu erzielen ist.

21

2. Verbesserung des Regelverhaltens

2.2 Kaskadenregelung Die Kaskadenregelung ist eine vor allem in verfahrenstechnischen Anlagen hàufìg verwendete Regelschaltung zur Verbesserung des Störverhaltens. Die Struktur der Kaskadenregelung ist in Bild 2.4 dargestellt.

Bild 2.4

Neben der Regelgröße des Führungsregelkreises y(t) wird bei der Kaskadenregelung noch eine Hilfsregelgröße ynCt) gemessen, die als Regelgröße im sogenannten Folgeregelkreis fungiert. Die Hilfsregelgröße muß so gewählt werden, daß sie die Wirkung der Störgröße enthält. Der Führungsregler wirkt hier nicht direkt auf das StellgUed, sondern liefert den Sollwert für den unterlagerten Folgeregler. Zusammen mit dem Streckenteil Ggi bildet dieser den Folgeregelkreis. Die Störung z(t) wird bereits im Hilfsregelkreis soweit "angeregelt" (aber nicht notwendigerweise ausgeregelt), daß sie im zweiten Streckenteil nur mehr abgeschwächt wirksam wird. Es ist vorteilhaft, wenn der erste Streckenteil "schnell" im Vergleich zum zweiten ist, da in diesem Fall eine bessere Kompensation der Störung im Folgeregelkreis zu erwarten ist. Faßt man den Folgeregelkreis zu einer Übertragungsfunktion G„ =

(2.4)

Ζ

I+GrhGSI zusammen, so erhält man das in Bild 2.5 dargestellte modifizierte Blockschaltbild der Kaskadenregelung. Der Folgeregelkreis kann also als Teilübertragungsglied des Führungsregelkreises betrachtet werden. Man erhält: Y = GzZ+GwW =

W —О·

Gsz 1 + GrhGSI

E - GK

WH

GH

Gs2

Bild 2.5

GszGg2_ Z+ ψ (1+GRGHGs2)(1+GRHGS,) 1+GRGHGS2

(2.5)

Der Entwurf einer Kaskadenregelung kann somit in zwei Schritten erfolgen: Zuerst wird der Folgeregelkreis ausgelegt. Da eine Ausregelung der Störung im Folgeregelkreis nicht erforderlich ist, wird als Hilfsregler üblicherweise ein P-Regler verwendet. Ist der Folgeregelkreis bestimmt, d.h. GH(s) festgelegt, so kann in einem zweiten Schritt der Führungsregelkreis ausgelegt werden. Beispiel 2.2: Es wird die in Bild 2.6 dargestellte Kaskadenregelung betrachtet. Für die Auslegung der Kaskadenregelung sollen folgende Spezifikationen gelten: a)

Der Folgeregelkreis soll so ausgelegt werden, daß, würde er isoliert betrachtet, die stationäre Störgrößenwirkung auf Ун halbiert wird.

22

2. Verbesserung des Regelverhaltens

Bild 2.6

b)

Beim Führungsregelkreis soll es sich um ein VerzögerungsgHed 2.0rdnung mit Polen bei = - 4 ± j4 handeln.

Lösung: Betrachtet man den Folgeregelkreis isoliert, dann gilt:

Z(s)

=

s + 4 + Крн

.

Yh(s) = 0,5 => KpH=4. Z(s) s=o 4 + KpH

Gefordert ist:

Das umgeformte Blockschaltbild (Bild 2.5) ist in Bild 2.7 dargestellt: Ζ W

s+4 s+8

E p t ^ ö T ^ Wh s+8

2 s-Hl

Y

Bild 2.7

Um den geschlossenen Regelkreis in Form eines PT2-Gliedes zu erhalten, wählt man die Nachstellzeit T^ = 1 s. Man erhält sodann für die Führungsübertragungsfiinktion: Gw(s) =

8Kr s^ + 8S + 8Kb

Um das geforderte Polpaar s^2 = - 4 ± j4 zu erreichen, muß Kr =4 gewählt werden. Für die Führungs- und Störübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises folgt somit: G„(s) =

32 ^ 2s(s + 4) , G.(s) = (s+l)(s^ + 8s + 32) s^ + 8s + 32

Bild 2.8 zeigt die Führungs- und Störübergangsfiinktion des Regelkreises mit und ohne Kaskade und mit demselben Regler. К 1

t[s]

0 Bild 2.8

23

2. Verbesserung des Regel verhaltens

Beispiel 2.3: Bild 2.9 zeigt das Schema eines Doppeltanksystems als Regelstrecke. Regelgröße y ist der Stand Hg im zweiten Behälter. Als Stellgröße u wirkt der Ventilhub h, wobei Qi = Kh gilt. Störgrößen sind die Verbraucher-Volumenströme Zj = Qg und Zj = Q3. a) Diese Strecke soll vorerst mit einem PRegler so geregelt werden, daß die Pole des geschlossenen .Kreises einen Dämpfungsgrad ζ = 0,5 besitzen. Bild 2.10 zeigt das Blockschaltbild der Strecke mit bereits eingesetzten Zahlenwerten.

ч А QT

1 Hl IQ /l\

Q2

H2 Оз Bild 2.9

h

1

b) Zur Verbesserung der Ausregelung der Störung zj ist eine Kaskadenregelung mit einem P-Regler als Folge- und als Führungsregler zu entwerfen, wobei der Pol des Folgeregelkreises bei s = - 5 liegen und der Führungsregelkreis wieder einen Dämpfungsgrad ζ = 0,5 aufweisen soll.

1 Hl s+1

Q3

1

o—Η

QJ. H2 _LJ

Büd 2.10 c) Zur Verbesserung der Ausregelung der Störgröße Zj ist eine Störgrößenaufschaltung zu entwerfen. In welcher Form ist diese realisierbar? Lösung: a) Geschlossener Regelkreis ohne Kaskade: Gw(s) =

0,2Kp

s'' + s + 0,2K. ωί s'' + 2ζωη8 + Шп

BUd2.11 Um ein ζ = 0,5 zu erreichen, muß Kp = 5 gewählt werden. Für die Kreisfrequenz folgt: œn = ls"V Die Führungs- und Störübertragung^funktionen des geschlossenen Regelkreises lauten dann: г

ί.Λ

1 ρ .„ч -0,2 „ , , -0,2(s+l) 7. G z i ( s ) = - 2 7> Crz2(s) = —2 s-' + s + l s'' + s+1 s-'+s+l

Gw(s) = - 2

Die entsprechenden Übergangsfiinktionen sind in den Bildern 2.16 und 2.17 dargestellt. b) Kaskadenregelung:

BUd2.12

24

2. Verbesserung des Regelverhaltens

Zi

1 s + 1 + ς,Η

WH

Крн s + 1 + I^H

J

-

Bild 2.13 zeigt den umgeformten Folgeregelkreis. Aus der Forderung: К pH к pH GH(S) = s + l + K pH s + 5

YH

folgt für die Folgereglerverstärkung Крц=4. Das Blockschaltbild des Führungsregelkreises hat somit das in Bild 2.14 dargestellte Aussehen.

^Üd2.13

w

Zi

1 s+5

Wh

4 s+5

Kp

Für die Führungsübertragungsfunktion Gw(s) folgt somit:

J

0,2

Gw(s) =

0.8Kp s^ + 5s + 0,8Kp ω„2 ,2 · s^ + 2ζωη8 + ωΐ

BUd2.14

Die Spezifikation ζ = 0,5 führt auf eine Führungsreglerverstärkung Kp = 31,25. Die Eigenfrequenz des ungedämpften Systems beträgt nunmehr Юп=5з"'. Die Übertragungsfunktionen des geschlossenen Kreises lauten somit: GW(s) =

-0,2 25 -0,2(s + 5) , G,,(s) = , Gz2(s) = s'' + 5s + 25 s^ + 5s + 25 s^ + 5s + 25·

c) Zusätzliche Aufschaltung der Störgröße Zj : Die Übertragungsfunktion Gr2 für eine vollständige Kompensation der Störung Zg lautet: GRZ(S) GRZ(S) =

s+5

Zi

1 s+5 4 s+5

w„ und ist nicht realisierbar. Es W ,4 •O M Kp - O wird daher einerseits eine statische Kompensation mit Giiz(s) = Krz = 1,25, und andererseits eine dynamische Bild 2.15 Kompensation mit Hilfe eines Lead-Kompensationsgliedes mit der Übertragungsfunktion 4(s + 50) realisiert. Beim Lead-Glied ist zu beachten, daß dessen stationäre Verstärkung gleich der des idealen Kompensationsgliedes sein muß. Der Pol des Lead-Gliedes kann frei gewählt werden. Nach einer Umformung des Blockschaltbildes (Bild 2.15) erhält man für die Störübertragungsfunktion GZ2(S): Statische Kompensation: G7,(S) =

-0,2s s^ + 5s + 25'

Iv

2. Verbesserung des Regelverhaltens Dynamische Kompensation:

Gz2(s) =

25 -0,2s(s + 5) (s + 5 0 ) ( s 4 5 s + 25)·

Die Kaskadenregelung bleibt von der Störgrößenaufschaltung unbeeinflußt. In Bild 2.16 sind die Führungsübergangsfunktionen des Regelkreises mit und ohne Kaskade dargestellt. Es ist deutlich die unterschiedliche Dynamik zu erkennen. Bild 2.17 zeigt die Störübergangsfunktionen des geschlossenen Regelkreises. Hier ist die Ausregelung der Störung Z2 zu erkennen, wobei sich bei einer dynamischen Aufschaltung eine annähernd vollständige Kompensation ergibt.

0 hzi

mit Kaskade und djm. Störgrößenaufschalt. I mit Kaskade und stat. Störgrößenaufschalt.

^ mit Kaskade ohne Kaskade

-0Д

-0,2 1

8

1

t[s]

0

8

t[s]

BUd 2.17

2.3 Aufgaben Aufgabe 2.1: Gegeben ist der in Bild 2.18 dargestellte, auf Führungsverhalten ausgelegte Regelkreis a) Bestimmen Sie die Störübertragungsiunktion des geschlossenen Kreises ohne Störgrößenaufschaltung. b) Ergänzen Sie das Blockschaltbild zu einem Regelkreis mit Störgrößenaufschaltung. Bestimmen Sie G ^ i s ) zur vollständigen Kompensation der Störung z(t). Ist diese realisierbar?

Büd 2.18

c) Realisieren Sie eine stationäre Kompensation. Bestimmen Sie die Störübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises. d) Entwerfen Sie eine realisierbare dynamische Störgröflenkompensation durch ein Lead-Kompensationsglied und bestimmen Sie wiederum die Störübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises. e) Skizzieren Sie die Störübergangsfunktionen für die drei entworfenen Regelungen. Aufgabe 2.2: Gegeben ist die in Bild 2.19 im Blockschaltbild dargestellte Regelstrecke, Es ist dafür eine Kaskadenregelung zu entwerfen, wobei der Folgeregler P- und der Führungsregler PI-Verhalten haben sollen.

c) Geben Sie die Ubertragungsftinktion des offenen Führungsregelkreises an.

Bild 2.19

d) Entwerfen Sie den Führungsregler mit Hilfe der Einstellregeln nach Ziegler-Nichcls. Dabei gilt für die optimalen Parameter eines PI-Reglers: Kp =0,45Κρ^^ι.

T„ =0,85X^,11

Aufgabe 2.3: Bild 2.20 zeigt das Schema einer Bandforderanlage für Granulat. In Bild 2.21 ist das Blockschaltbild dieser Regelstrecke dargestellt. Regelgröße ist der Behälterstand Hj, Stellgröße die Schieberstellung h, und als Störgrößen wirken die Granulatvolumenströme Qz und Q4. Die angegebenen Variablen seien bereits Abweichungen von einem Arbeitspunkt.

26

2. Verbesserung des Qz 0,08

Qi

Regelverhaltens

04 40 1 + 20S

Hl

Hs 0,025

Vorratsbehälter

BUd2.21 a) Es werde Hjals meßbar angenommen. Entwerfen Sie zur besseren Ausregelung der StörgrOBe Q j Kaskadenregehing mit zwei P-Reglem derart, daß der Pol des Folgeregellireises bei s = - 0 , 2 5 zu liegen kommt und der Fahrungsregelkreis eine Phasenreserve ψ , = 60° besitzt. b) Entwerfen Sie filr die Störgröße Q4 eine Störgrößenaufschaltung. Ist eine vollständige Kompensation realisierbar? Wenn nicht, wie muß dann eine statische Störgrößenkompensation aussehen?

Aufgabegefäß

Œ

Q3 Förderband

Нг Aufeabe2.4: Bild 2.22 zeigt schematisch einen WärmeZwischenbunker Q. tauscher, in dem im Gegenstrom das Medium von der Eintrittstemperatur T, auf die Austrittstemperatur T, erwännt 1 wird. Dabei wird angenommen, daß dazu Dampf konstanter Büd 2.20 Temperatur und konstanten Druckes verwendet wird. Regelgröße ist die Temperatur T,, Stellgröße die Spannung u und als Störgröße werde die Temperatur T, betrachtet. Ebenfalls in Bild 2.22 ist die Blockschaltbilddarstellung der Strecke mit den experimentell um einen Arbeitspunkt ermittelten Übertragungsfunktionen Gsu(s) und Ggz(s) angegeben. Es soll ein PI-Regler mit folgender Übertragungsfunktion realisiert werden: s a) Entwerfen Sie den Regler derart, daß eine Amplitudendurchtrittsfrequenz Ш; й 0,15 s"' und eine Phasenreserve ψ, = 50°±Г erzielt werden. b) Eine Kompensation der Wirkung einer Störung ΔΤ^ soll durch eine Störgrößenaufschaltung auf die Stellgröße erreicht werden. Geben Sie die Steuerübertragungsfiinktion ОщСз) für eine vollständige Kompensation an. Ist diese realisierbar? c) Entwerfen Sie die statische Störgrößenaufschaltung К щ . Aufgabe 2.5: Betrachten Sie das in Bild 2.23 dargestellte mechanisch-nitatorische System als Regelstrecke. Die Regelgröße sei die BUd 2.22 Winkelauslenkung SjCt), und als Stellgröße wirke das Moment M(t). Eine konventionelle Regelung führt, wenn man sich auf Standardreglertypen beschränkt, nicht zum Erfolg. Nimmt man an, daß neben Bjit) auch noch das Moment MgCt) = Κ[θ j(t) - SjCt)] gemessen werden kann, so kann man damit eine Kaskadenregelung aulbauen. «iC«

„

02(t) -

w=e,„„

Μ Gb(s)

-

M(t)

n

к s2[JiJ¡s=¡ + K(Ji + Jli)]

^MK(t) MK(t) BUd 2.23

BUd 2.24

a) Zeigen Sie, daß der Regelkreis in BUd 2.24 mit konventionellen Reglertypen struktureU instabil ist. b) Ermitteln Sie die Übertragungsfunktionen Ggiis) = M^is) / M(s) und Gs2(s) = ejCs) / Mk(s) . Benutzen Sie dabei die Zahlenwerte J^ = J2 = 1 kgm^ und K = 8 N m . c) Zeichnen Sie das BlockschaltbUd der Kaskadenregelung. d) Bestimmen Sie die Parameter Kpj] und Ту eines idealen PD-Folgereglers derart, daß der Folgeregelkreis ein komplexes Polpaar bei - 4 ± j4 besitzt. e) Wählen Sie als Fiihrungsregler einen P-Regler und zeichnen Sie die Wurzelortskurve mit Kp als Parameter. 0

Bestimmen Sie jenen Bereich von K . , far welchen das Gesamtsystem stabU ist.

3. Systemanalyse im Zustandsraum 3.1 Zustandsraumdarstellung 3.1.1 Einleitung Bei der Beschreibung dynamischer Systeme im Zustandsraum handelt es sich um eine Beschreibung im Zeitbereich. Hat man es beim sogenannten Ein-/Ausgangsmodell im einfachsten Fall mit einem mathematischen Modell in Form einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten zu tun, so führt die Beschreibung im Zustandsraum auf η Differentialgleichungen 1. Ordnung. Beispiel 3.1: Es wird das in Bild 3.1 schematisch dargestellte mechanisch-rotatorische System betrachtet. Eingangsgröße (Stellgröße) ist die Winkelgeschwindigkeit mi(t) und als К Ausgangsgröße (Regelgröße) werde die Winkelgeschwindigkeit ©ait) betrachtet. Die чУ Welle, über welche die Drehmasse angetrie- ωχ, θι ben wird, werde als nachgiebig betrachtet, d.h. für das durch sie übertragene Moment Biidsi M(t) gelte das Hookesche Gesetz M(t) = K[9i(t)-92(t)]. Die Lagerreibung werde durch das winkelgeschwindigkeitsproportionale Reibungsmoment MH(t) = Bro2(t) modelliert. Es ist eine Zustandsdarstellung für dieses System (Regelstrecke) zu ermitteln. Lösung: Für die Welle und die Drehmasse erhält man durch Differenzieren des Hookeschen Gresetzes bzw. mit dem Drallsatz: M(t) = Κ[ωι (t) - Ш2 (t)], 02 (t) = 4[M(t) - Вша (t)]. J Definiert man nun die Zustandsvariablen x, =M und Xa =ω2 sowie die Eingangsvariable u= und die Ausgangsvariable y = ©2, und faßt man die Zustandsvariablen zum Zustandsvektor χ zusammen, so erhält man mit den entsprechenden Anfangszuständen: 0 1/J

-K x+ -B/J

u; x(to) = b .

y = [0 l]i·

Das so erhaltene mathematische Modell besteht also aus einem System von zwei gekoppelten Differentialgleichungen I.Ordnung sowie einer skalaren Ausgangsgleichung. 3.1.2 Zustands· und Ausgangsgleichung Jedes lineare zeitinvariante dynamische System läßt sich allgemein durch die Zustandsdifferentialgleichung (Zustandsgieichung) und die Ausgangsgleichung wie folgt beschreiben: x = Ax + Bu + Ez; x(to) = Xo.

(3.1)

y = Cx + Du + Fz

(3.2)

28

3. Systemanalyse im Zustandsraum,

In Bild 3.2 sind die Gleichungen (3.1) und (3.2) als Blockschaltbild dargestellt. Z. E |(-)dt

В

D Bild 3.2

Darin sind: A: B: Ç: D: E:

(nxn) - Systemmatrix (nxr) - Eingangsmatrix ( m x n ) - Ausgangsmatrix (mxr) - Durchgangsmatrix (nxq) - Systemstörmatrix

F : (mxq) - Ausgangsstörmatrix u: (rxl) - Steuervektor X : (nxl) - Zustandsvektor y: (mxl) - Ausgangsvektor (qxl) - Störvektor

Im Fall, daß es sich um ein Eingrößensystem handelt, daß also nur eine Steuergröße und eine Ausgangsgröße existieren, u und у also skalare Größen sind, lauten die Zustandsdifferentialgleichung und die Ausgangsgleichung: x = Ax + bu + Ez; x(to) = *o> у = c^x + du + f'^z.

(3.3) (3.4)

Im Unterschied zum Mehrgrößenfall werden hier die Matrizen В, Ç, D und F zu: b : (nxl) - Eingangsvektor ç : (Ixη) - Ausgangsvektor

d: (1x1) f : (Ixq) -

Durchgangsbeiwert Ausgangsstörvektor

In diesem Repetitorium werden nur derartige Eingrößensysteme behandelt. Bild 3.3 zeigt die Blockschaltbilddarstellung der Gleichungen (3.3) und (3.4).

i E uD

è* V

io χ |(-)dt

cT С

Bild 3.3

(3.01) Unter den Zustandsvariablen eines dynamischen Systems versteht man die kleinstmögliche Anzahl von Größen, aus denen sich bei Kenntnis ihrer Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt to das Verhalten des Systems für t > to, bei in diesem Zeitraum bekannten Steuergrößen, eindeutig bestimmen läßt.

29

3. Systemanalyse im Zustandsraum (3.02)

Unter der Zustandsvektorwahl versteht man die Festlegung der Zustandsvariablen, d.h. jener Größen, die als Komponenten des Zustandsvektors zur Beschreibung des Systemzustandes verwendet werden.

Beispiel 3.2: Es wird die in Bild 3.4 dargestellte Niveau-Regelstrecke betrachtet, h

1

'I' iO^u

H,

ih Q οψζ R

0.2

Q.1 Bild 3.4

Für die Volumenströme [m®/s] gelte: Q2„=Kh, RQ = H i - H 2 . Qji=zi und Яг2=^2 sií^^ variable Störgrößen. R [s/m^] ist ein fluidischer Widerstand und К [m%,cm] die Ventilkonstante. Stellgröße ist der Ventilhub h = u [cm] und Regelgröße der Behälterstand Hg = у [m]. Es sollen, mit im System auftretenden physikalischen Größen als Zustandsvariablen, zwei verschiedene Zustandsdarstellungen angegeben werden. Lösung: Die dieses System beschreibenden Bilanzgleichungen lauten;

Zustandsvektorwahl 1: Xj = Hj, Xj = Hg. Damit erhält man direkt aus den Bilanzgleichungen mit den Beziehungen für Q und О^ц die Zustandsgieichung und die Ausgangsgleichung: -1/RAi 1/RAi 'K/Al' -1/Ai 0 x+ u+ z, y = [0 l]x. I/RA2 -I/RA2 0 0 -I/A2 Zustandsvektorwahl 2: xj = Hi, Xg = Q. Differenziert man die Beziehung für den Volumenstrom Q und setzt darin für Hj und H j ein, so erhält man folgende Zustands- und Ausgangsgleichung: K/Al 0 -1/Ai -1/A X+ u+ K/RAiJ -1/RAi 0 -(I/RA1 + I/RA2)

1/RA2_

z, y = [ l

-R]x·.

3.1.3 Normalformen der Zustandsdarstellung von Eingrößensystemen Bei den aus der theoretischen Modellierung resultierenden Zustandsdarstellungen treten physikalische Größen als Zustandsvariablen auf. Daneben sind spezielle Formen, sogenannte Normalformen, definiert, in denen die Zustandsvariablen im allgemeinen keine physikaUsche Bedeutung haben. Es handelt sich dabei um die Regelungsnormalform, die Beobachtungsnormalform und die Jordan-Normalform. Ausgehend von der Übertragungsfunktion Y(s)^anS"-t-... + a2S^ + aiS + ao (3.5) U(s) s" + .... + b2s4biS + bo '

30

3. Systemarmlyse

im

Zustandsraum

sind diese Normalformen wie folgt definiert: Regelunganormalform:

XR=áBXR+bRU, y=ÇRÏR + ,(t) = u(t) sowie die Störgröße ML(t) = z(t) (Lastmoment). Die Winkelgeschwindi^eit К «>2(0 = y(t) sei die Regelgröße. Die Antriebswelle werde als nachgiebig betrachtet und es gelte Шг das von der Welle übertragene Moment: dMj^ / dt= Κ(ω2 - (ù^). Für das von der fluidischen Kupplung übertragene Moment gelte die linearisierte Beziehung BUd 3.12 Mf = Β ( ω , - Ш ] ) . Wählen Sie Χι = ωι, Xj = Mj^ und хэ=(1)2 als Zustandsvariable und geben Sie die Zustandsdarstellung far diese Strecke an. Aufgabe 3 ^ : Betrachten Sie das in Bild 3.13 dargestellte elektromechanische System als Regelstrecke. Dabei ist die Ankerspannung u des Gleichstrommotors die . Stellgröße, die Winkelgeschwindigkeit ω^ die Regelgröße (Ausgangsgröße) und das Lastmoment die Störgröße. Für das vom Motor abgegebene Moment gelte M = K j i und die GegenEMK sei durch U|, = К2Ш] gegeben. Für das von der Welle übertragene Moment gelte Μ κ = Κ ( θ ι - β 2 ) . Wählen Sie als Zustandsvariable Xi = i und Xj = Ш2 und ermittehi Sie die daraus resultierende Zustandsdarstellung.

R "b

№

К

Bild 3.13

Aufgabe 3.4: Betrachten Sie das in Bild 3.14 dargestellte thermische System als Regelstrecke. Es wird dabei die Flüssigkeit im inneren Behälter durch jene im äußeren erwärmt. Die interessierende Ausgangsgröße (Regelgröße) ist die Temperatur Bj [К]. Eingangsgrößen in das System sind der Volumsnstrom Q2 [m®/min] (StellvolumenIsolierung strom) und die Temperatur 0]^ [K] (Störgröße). Büd3.14 Die Temperatur sowie der Volumenstrom Qi seien konstant. Vj und V j [m'] sind die konstanten Volumina der Flüssigkeiten, А [ш^] ist die effektive Wärmedurchgangsfläche und к [kJ/min,K,m'] die als konstant angenommene Wärmedurchgangszahl. Die speziñsche Wärme der beiden Flüssigkeiten с sowie deren Dichte ρ können als konstant angenommen werden. Wählen Sie die Abweichungen der Temperaturen θ] und Θ2 von einem Arbeitspunkt als Zustandsvariable und geben Sie die resultierende Zustandsdarstellung des um diesen Arbeitspunkt linearisierten Systems an.

42

3. Systemanalyse im

Aufgabe ЗЛ: Betrachten Sie den in Bild 3.15 dargestellten Riementrieb als Regelstrecke. Die Nachgiebigkeit und Dámpñingseigenschafl des vorgespannten Riemens werde durch eine Parallelschaltung eines Feder- und Dämpiungselements modelliert. Eingangsgrößen sind das Antriebsmoment (Stellgröße) M [Nm] sowie das Lestmoment (Störgröße) Mj, [Nm]. Ausgangsgröße ist die Winkelgeschwindigkeit Шг [1/s]. Wehlen Sie als Zustandsvariable: Xj = Wj, X2 = Шг und Хэ Geben Sie damit die Zustandsdarstellung des Riementriebes an.

Vi to, ,

Zustandsraum

.

i m L b

/

^

M

BUd 3.15

Ш

Aufgabe 3.6: Geben Sie für die durch folgende Übertragungsfunktionen beschriebenen Systeme jeweils die Regelungs- und die Jordan-Normalform an. a)

2s + 2 G(s) = s(s'' + 4s + 8)

b)

e) G(s) = (s + 2)''

_8 (s + 2)(3 + l)''(s-' + 2s + 2)

Aufgabe 3.7: Gegeben sind folgende Zustandsdarstellungen dynamischer Systeme: a)

x=

-1 0 -1" 0' 0 - 1 0 x + 1 u, 1 0 1 -1

b)

y = 2 1 l]x.

- 2 10 1 "2 "-1 0 -2' 1 x + 0 u, c) X = 0 - 4 0 * x= - 1 0 0 0 - 1 1 0 - 1 1 y = 4 2 -3]x + 3u,

y= 0

+

1 1 0

1 0]x.

Transfonnieren Sie diese Darstellungen in die Regelungs- und die Jordan-Normalform und geben Sie die jeweiligen Transformationsmatrizen an. Aufgabe ЗЛ: Gegeben sind folgende Zustandsdarstellungen: x=

0 1" 0' 1 x+ u+ 0 -4 1 0

Г-2

»

2 0]x.

0

-[t

x+

'2 Τ u + z, x„ = 0, 1 0

y = [l -2]x + [l]

Bestimmen Sie für beide Systeme mit Hilfe der Laplace-Transformation die Transitionsmatrix Φ(1) sowie die Lösung der Zustandsgieichung x(t) und den Ausgang y(t) für die Fälle a) u(t) = bK^w. (4.7) Setzt man das Regelgesetz (4.3) und die Beziehung (4.7) in die Ausgangsgleichung (4.2) ein und berücksichtigt, daß y = w gilt, dann folgt für die Vorverstärkung: K„ = V - d k ' ' ) ( b k ' r - A ) - ' b + d r .

(4.8)

Die Zustande- und Ausgangsgleichung des geschlossenen Regelkreises lauten dann: x = (A-bk'^)x + bK„w + Ez, y = (ç^-dkT)x + dK„w.

(4.9) (4.10)

Die Führungs- und Störübertragungsfiinktionen des geschlossenen Regelkreises lauten nach der Laplace-Transformation der Zustandsgieichung (4.9) und der Ausgangsgleichung (4.10) wie folgt: Gw(s) = [(ç·^ - dk·^ )(sl - A+bk·^ b + dl K^, (4.11) Gz(8) = (ç' - d k ' ) ( s I - A + ^ ^ ) - i E .

(4.12)

Anmerkungen: •

Man kann aus vorgegebenen Spezifikationen für die Führungssprungantwort, wie maximale Überschwingweite, Anregelzeit, Ausregelzeit etc. die gewünschten Eigenwerte (die Pole) des geschlossenen Regelkreises bestimmen. Hier sei vor allem auf das Prinzip des dominanten Polpaares hingewiesen, bei dem angestrebt wird, das Verhalten des geschlossenen Regelkreises näherungsweise gleich dem eines vorgegebenen PT2-Gliedes zu machen. Es wird daher das gewünschte komplexe Polpaar spezifiziert und die restlichen Pole werden so piaziert, daß sie das dynamische Verhalten des Kreises wenig oder nicht beeinflussen, d.h. "so weit nach links" wie möglich. Dem sind jedoch durch eine etwaige Stellgrößenbeschränkung Grenzen gesetzt, deren Überprüfung nur in einer Simulation geschehen kann.

•

Etwaige Nullstellen der Regelstrecke sind gegenüber einer Zustandsvektorrückführung invariant, d.h. sie werden nicht beeinflußt und treten in der Führungsübertragungsfunktion unverändert auf (ohne Beweis).

•

Eine Ausregelung sprungformiger Störungen ist mit diesem Regelschema im allgemeinen nicht möglich, d.h. es tritt ein permanenter Regelfehler auf.

Beispiel 4.1: Es wird die Niveauregelstrecke (Doppeltanksystem) aus Beispiel 3.2 betrachtet. Mit der ersten Zustandsvektorwahl (xi = Hi, X2=H2) und den Zahlenwerten Ai = lm^, A2=0,5m^, R = 100s/m^, K = 0,01m®/s,cm erhält man die folgende Zustandsdarstellung:

45

4. Reglerentwurf im Zustandsraum -0,01 0,01 0,01 x+ u+ 0 0,02 -0,02

-1

0

0

-2

5, y = [0 l]x.

Es ist eine Führungsregelung durch Zustandsvektorrückführung derart zu entwerfen, daß die Pole des geschlossenen Regelkreises bei Sj^a =~0,04± j0,04 zu liegen kommen. Dies entspricht einer maximalen Überschwingweite e„ = 4,3% und einer Anregelzeit T^^ = 59 s. Ferner sollen die Führungs- und die Störübertragungsfiinktionen des geschlossenen Regelkreises berechnet werden. Lösung: Das charakteristische Polynom (4.5) lautet mit k'' =[ki kg]: Pk(s,k^ =

s + 0,01+0,01ki -0,02

-0,01 + 0,Olka = s^ + (0,03 + 0,01ki)s + 0,02(0,01ki + 0,01k2). s + 0,02

Das Sollpolynom mit dem gewählten Polpaar lautet: P(s) = (s + 0,04)^ + 0,04^ = s 4 0,08s + 0,0032. Der Koeffizientenvergleich ergibt: 0,08 = 0,03 + 0,01kl 0,0002kl+ 0,0002k2 =0,0032

=> =>

kl = 5, k j = IL

Der Rückführvektor lautet also: k^=[5 11]. Für die Vorverstärkung erhält man für d = 0 mit Gleichung (4.8): 1 0,0032 " 0,06 [0 1] -0,02

0,10" 0,02

-1

"0,01

0,0002

= 16.

_ 0

Mit dem Regelgesetz u = 16w - [ 5 ll]x folgt für die Zustandsgieichung des geschlossenen Regelkreises: . [-0,06 - 0 , 1 ' x + "0,16" w + "-1 0" 0 0 -2 0,02 -0,02 Die gesuchten Übertragungsfunktionen erhält man mit P(s) = s^ + 0,08s + 0,0032 zu: Y(s) = [0 1]

Y(s) = [0 1]

s+ 0,06 0,1 T-ir 0,16 W(s) -0,02 s + 0,02 0

s + 0,06

0,1 " -1 "-1 0" "Zi(s)" + 0,02j 0 - 2 Z2(s)

G(s) =

0,0032 P(s) '

Gz(s) =

-0,02 P(s)

-2(s + 0,06) P(s)

Wie man sehen kann, haben beide Störübertragungsfunktionen globales P- und nicht wie erwünscht globales D-Verhalten, wodurch keine Ausregelung der Störungen möglich ist. In Bild 4.2 ist die Führungssprungantwort für Aw = 0,2 m und in Bild 4.3 die Störsprungantworten für Δζι = Δζ2 = 0,001 m^ / s dargestellt. Nach beiden sprungförmigen Störungen verbleibt ein stationärer Regelfehler. In vielen Fällen ist es vorteilhaft, die Zustandsgieichung vor dem Reglerentwurf in die Regelungsnormalform zu transformieren. Die Berechnung des Rückführvektors gestaltet sich dann besonders einfach, da man die Berechnung der Determinante von ( s I - A + bk^) nicht durchführen muß, sondern das charakteristische Polynom des geschlossenen Regel-

46

4. Reglerentwurf im Zustandsraum

kreises sofort anschreiben kann. Nach Beendigung des Entwurfs muß das Regelgesetz wieder rücktransformiert werden. Diese Vorgangsweise soll anhand des Beispiels 4.2 demonstriert werden.

0

20

40

60

80

100

t[s]

0

20

Bild 4.2

40

60

80

100

t [s]

Bild 4.3

Beispiel 4.2: Eine Regelstrecke werde durch folgende Zustandsdarstellung beschrieben: ' 0 1/3 x = -6 0 0 -1

0" 0 6 x + 0 u, y = [ l 0 0]x. 4

Eine Führungsregelung durch Zustandsvektorrückführung soll derart entworfen werden, daß das dominante Polpaar des geschlossenen Regelkreises bei j2 und der dritte Pol bei Sg = -10 zu liegen kommen (P(s) = s® + 14s^ + 48s + 80 ). Lösung: Die Transformationsmatrix T, die resultierende Zustandsdarstellung in Regelungsnormalform sowie die Matrix (A-bkg) lauten: "8 0 0 "0" " 0 " 0 1 0" u, (A-bkT)= 0 24 0 0 0 0 0 1 TB = 2B + . ÌR = -8-кк1 8 0 4 - 8 - 8 -4 1

1

0

0 -8-кв2

1 -4-квз

y = [8 О 0]xr, Wie man sieht, enthält die letzte Zeile der Matrix ( A - b k J ) in dieser Form exakt die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms des geschlossenen Regelkreises mit negativen Vorzeichen. Dieses lautet somit: Pk (s, k^ ) = s® + (4 + квз

+ (8 + кв2 )s + (8 + k^i).

Der Koeffizientenvergleich mit dem Sollpolynom P(s) liefert: k j = [72 40 10]. Für die Vorverstärkung erhält man: • 0 -1 Ol'Vo""·"' K „ = [8 0 0]| 0 0-1 0 =10. 80 48 14 1 Mit der inversen Transformationsmatrix 1/8 0 0 1/24 -1/4 0

0 0 1/4

47

4. Reglerentwurf im Zustandsraum und der Transformation Xg = T r i lautet sodann das Regelgesetz: u=10w-[72

40

10]Tr'x=10w-[6,5

5/3

2,5]x.

Die Zustandsdarstellung des geschlossenen Kreises sowie die Übertragungsfunktion G^Cs) lauten somit: • 0 x = -6 0

Gw(s) =

0"

0"

0

-26 y = [l

1/3 -23/3

6 x + 0 w, -14 40

0]x, Y(s) W(s)

80 s® + 1 4 s 4 4 8 s + 8 0 ·

2,5 t [ s ]

In Bild 4.4 ist die Führungsübergangsfunktion des geschlossenen Regelkreises dargestellt.

4.2 Führungsregelung mit stationärer Störgrößenkompensation Zur stationären Kompensation der q^ auf die Regelstrecke wirkenden und meßtechnisch erfaßbaren Störgrößen z^, in der Zustandsgieichung x = Ax + bu + E „ z „ + E„„z„„;

Xo = 0.

(4.13)

kann das Regelgesetz (4.3) wie folgt modifiziert werden: u = K^w + k J z „ - k ^ x .

(4.14)

Der Vektor in Gleichung (4.13) enthält alle nichtmeßbaren Störungen. Für w = 0 und nach der Substitution von (4.14) in (4.13) und unter Verwendung der Ausgangsgleichung (4.2), erhält man im stationären Zustand: y = (çT -dkT)(bkT - A ) - 4 b k J + E) + dkJ

+(çT - d k ^ í b k ^ -

.

(4.15)

Um den stationären Einfluß von Zjj, auf den Ausgang y zum Verschwinden zu bringen, muß die Forderung (çT - d k ^ í b k ^ - A ) - 4 b k J + E „ ) + dkJ = 0^ (4.16) erfüllt werden. Für die nicht meßbaren Störgrößen z^^ ist ein bleibender Regelfehler zu erwarten. Die Zustandsgieichung und die Ausgangsgleichung des geschlossenen Regelkreises lauten in diesem Fall: x = ( A - b k ^ ) x + bK„w + [ b k J + E y = (c^ - dk'f )x + dK„w + d k J z „ .

(4.17) (4.18)

Während für die Führungsübertragungsfiinktion nach wie vor Gleichung (4.11) gilt, erhält man für die Störübertragungsfunktionen: G^, = ( J - dk^ )(sl - A + ЬкТ )-i(bk J + E „ ) + dk J ,

(4.19) (4.20)

48

4. Reglerentwurf im Zustandsraum

Beispiel 4.3: In Beispiel 4.1 wurde das Regelgesetz u = 1 6 w - [ 5 Führungsregelung des Systems -0,01 0,01 "0,01" x+ u+ 0,02 -0,02 0

-1"

0

Zi +

" 0" -2

ll]x

für die

Z2, y = [0 l]x

durch Zustandsvektorrückiüihrung ermittelt. Die Matrizen und werden hier zu Vektoren e^ bzw. . Das Regelgesetz wird nunmehr um eine stationäre Störgrößenaufschaltung der Störgröße zg erweitert: u = 1 6 w - [ 5 ll]x + kj2Z2· Es wird dabei angenommen, daß nur der Störvolumenstrom Zg meßbar ist. Die Antwort des geschlossenen Regelkreises auf eine sprungformige Störung Azj entspreche bereits den Spezifikationen (siehe Bild 4.3). Die Auswertung der Gleichung (4.17) lautet sodann: [0 1]

0,06 0,10 Ί-1Γ 0,01 -0,02 0,02 0 K2 +

= 0 bzw. kj2=600.

Die Zustandsgieichung des geschlossenen Regelkreises ist somit gegeben durch: x=

-0,06 -Ό,ΙΟ"•

Σ+

0,16 -1 6 u+ Zi + Z2. -2 0 0

Die Störübertragungsfunktion G^jCs) lautet: G

^ Y(s) ^ -2s Z2(s) 8^+0,088 + 0,0032·

Sie hat nunmehr wie erwartet globales DVerhalten. In Bild 4.5 ist zum Vergleich mit Bild 4.3 wieder die Antwort des geschlossenen Regelkreises auf eine sprungformige Änderung der Störgröße Δζ2 = 0,001 m®/s dargestellt. Die Verbesserung des Störverhaltens ist darin deutlich zu erkennen (geringerer maximaler Regelfehler, kein bleibender Regelfehler).

-0,005 -0,01

-0,015 160 t [s]

4.3 Regelung durch Zustandsvektorrückfjihrung mit Integration des Regelfehlers und Polvorgabe Eine andere Methode, die neben der Führungsregelung die Ausregelung sprungförmiger Störungen erlaubt, ist die der Zustandsvektorrückführung mit zusätzlicher Integration des Regelfehlers. Es wird dazu die Zustandsdarstellung eines Eingrößensystems x = Ax+bu + Ez , y = c'''x + du + f^z,

(4.21) (4.22)

betrachtet. Die Entwurfsaufgabe kann wie folgt definiert werden: Es ist ein Regelgesetz derart zu entwerfen, daß bei spezifizierter Dynamik die Regelgröße der Führungsgröße stationär exakt folgt und daß sprungformige Störungen ohne bleibenden Regelfehler ausgeregelt werden.

49

4. Reglerentwurf im Zustandsraum Dazu definiert man eine zusätzliche Zustandsvariable t p = J(y-w)dt.

(4.23)

0

Dann folgt mit der Ausgangsgleichung (4.22): p = y - w = c'^x + du + f ^ z - w . Faßt man (4.21) und (4.24) in Matrixschreibweise zusammen, so erhält man: "A 0]Γχ1 b" "E X 0" ζ + u+ p. " OJLP. d 1 w .f

(4.24)

(4.25)

Im stationären Zustand gilt χ = 0 und da y = w ist, auch ρ = 0. Damit folgt aus (4.25): E

A

OTz] -llwj-

f

0" 0 Ps.

"b" d Us·

(4.26)

Definiert man nun die Abweichungen vom stationären Zustand wie folgt: 5=

"Si"

=

P-Ps.

=> s =

χ p.

V = U-Us,

(4.27)

und setzt man die Beziehung (4.26) in die erweiterte Zustandsgleichung (4.25) ein, so erhält man: "A 0" b" s = Âs + bv mit À = (4.28) 0 . Ь= d Der erwünschte Zustand, in den das System durch die neue Steuergröße ν gebracht werden muß, ist s = 0. Das Regelgesetz wird wieder in Form einer Zustandsvektorrückführung realisiert: bzw.:

v = -k'^s = -k'^Si-Ks2, u-u,=-k^(x-x.)-K(p-p,).

(4.29) (4.30)

Da für die stationären Werte u, = - k ^ i s ~ ^Ps gelten muß, folgt schheßHch aus (4.30) das Regelgesetz: u = -k

= -k^x + K j ( w - y ) d t .

(4.31)

Der Rückführvektor k'·' = [k'·' K] wird wieder durch Polvorgabe bestimmt. Bild 4.6 zeigt das Blockschaltbild des derart realisierten Regelkreises.

J Bild 4.6

50

4. Reglerentwurf im Zustandsraum

Die oben beschriebene Regelung durch Zustandsvektorrückfuhrung ist nur dann möglich, wenn das System (4.28) vollständig zustandssteuerbar ist. Dies ist dann der Fall, wenn das System (4.21) vollständig zustandssteuerbar ist und zusätzlich die Matrix G =

A

bl

c^

d

(4.32)

den vollen Rang besitzt (ohne Beweis). Setzt man das Regelgesetz (4.31) in die erweiterte Zustandsgieichung der Strecke (4.25) ein, so folgt für die erweiterte Zustandsgieichung des geschlossenen Regelkreises: X

A-bk^

-Kbix'

i

.P.

c^-dk^

-dK

fT

Ojz

(4.33)

-1

Die Führungs- und Störübertragungsfunktionen des geschlossenen Regelkreises lauten: z = 0:

Gw(s)= (c'^-dk^)

- d K Φ(8)

(4.34)

w = 0:

G,(s) =

£.T + 1 .

(4.35)

0(s)

worin ®(s) =

( s I - A + bk'f)

Kb

(dk^'-çT)

s + dK

(4.36)

die Transitionsmatrix des geschlossenen Regelkreises im Laplace-Bereich ist. Beispiel 4.4: Die in Bild 4.7 dargestellte Regelstrecke besteht aus einer zweiseitig beaufschlagten Kolben-Zylinder-Einheit. Es wird damit ein Werkstück bewegt. Als Stellgröße wirke die Spannung u rV] in das 4-Wegeventil, als Störgröße ζ die Schnittkraft F [Ν] und als Regelgröße werde die Werkstückposition y [m] betrachtet. Die Zustandsdarstellung dieser Regelstrecke mit der Zustandsvektorwahl Xi = y und X2 = y lautet: 0 0

1" -4

x+

•0" 0,5

u+

'

Bild 4.7

0• -0,2

z,

y = [l

0]x.

Es soll eine Regelung durch Zustandsvektorrückfuhrung mit Integration des Regelfehlers derart entworfen werden, daß die Pole des geschlossenen Regelkreises bei

=

S3 = -10 zu liegen kommen. Lösung: Die Kriterien für die vollständige Zustandssteuerbarkeit des erweiterten Systems "A

sind erfüllt, denn es gilt:

0'

s+

b" 0

"0 V =

1 0"

0 -4 1

0•

0 § + 0,5 0

0 0

V,

51

4. Reglerentwurf im Zustandsraum

0 0,5 = 2 und Rang[b Ab] = Rang 0,5 - 4

Rang

0 1 0 A b = Rang 0 -4 0,5 = 3. c^ 0 1 0 0

Das charakteristische Polynom P^(s,kT,K) und das Sollpolynom P(s) Regelkreises lauten: s -1 0,5kl s + 4 + 0,5k2 Pk(s,k^,K) = Det[sI-Â + b[k·^ К -1 0

des geschlossenen 0 0,5K s

= s 4 (4 + 0,5k2)s^ + 0,5k is + 0,5K, P(S) = S3 + 18S2 + 96S+160. Der Koeffizientenvergleich ergibt: k·"· =[ki kj] =[192 28] und K = 320. Das Regelgesetz lautet somit: l· u = -192xi - 28x2 + 320j(w - y)dt. Bild 4.8 zeigt das Blockschaltbild des geschlossenen Regelkreises:

0,05

1

2 BUd4.10

Mit den Gleichungen (4.31) bis (4.33) oder durch Blockschaltbildumformung können die Führungs- und die Störübertragungsfunktion ermittelt werden: G

160 „ s® + 18s2 + 96s+160' ^

-0,2s s418s496s+160"

52

4. Reglerentwurf im

Zustandsraum

In Bild 4.9 ist die Führungssprungantwort für Aw = 0 , l m und in Bild 4.10 die Störsprungantwort für Δζ = 10 N dargestellt.

4.4 Zustandsschätzung dm4;h Beobachter Bei den in den vorhergehenden Abschnitten beschriebenen Methoden des Reglerentwurfs durch Zustandsvektorrückführung wird vorausgesetzt, daß alle Zustandsgrößen meßbar sind. Diese Annahme ist jedoch in vielen Anwendungen unrealistisch, da entweder nur die Ausgangsgröße y oder allgemeiner, m in einem Meßvektor m zusammengefaßte Meßgrössen zur Verfügung stehen. Die Aufgabe des 1964 von D.G. Luenberger vorgestellten Zustandsbeobachters (Beobachter, Luenberger-Beobachter) ist es, aus der üblicherweise meßbaren Stellgröße u und den Meßgrößen m einen möglichst genauen Näherungswert (Schätzwert) χ des Zustandsvektors χ zu ermitteln. Für das dynamische System mit der Zustandsgieichung und dem Vektor der Meßgrößen x = Ax+bu, m = C'x,

(4.37) (4.38)

wird unter der Voraussetzung, daß das System mit dem Meßvektor m vollständig zustandsbeobachtbar ist, für den Zustandsbeobachter nach Luenberger der folgende Ansatz gewählt: i = Fx + gu + Hm. (4.39) Dabei ist χ der Schätzwert des Zustandsvektors, m der (m χ l)-Meßvektor, Ç' die (m χ n)Meßmatrix, F die (n χ n)-Beobachter-Systemmatrix, g der (n χ 1)-Beobachter-Eingangsvektor und Η die (n χ m)-Meßgrößen-Eingangsmatrix des Beobachters. Die Ordnung des Beobachters ist hier gleich der Ordnung der Regelstrecke, dieser kann daher als "Modell" der Strecke aufgefaßt werden. Mit Hilfe der frei wählbaren Elemente der Matrix Η ist nunmehr der Beobachter so zu entwerfen, daß der Rekonstruktionsfehler (Schätzfehler) x = x - x f ü r t ^ ~ asymptotisch gegen Null geht. Setzt man (4.38) in (4.39) ein, so folgt: i = Fx + gu + HC*x.

(4.40)

Erweitert man die Zustandsgieichung (4.37) mit ( F x - F x ) und zieht man davon die Gleichung (4.40) ab, so erhält man mit der Definition des Rekonstruktionsfehlers: i = Fx + ( A - F - H C * ) x + ( b - g ) u .

(4.41)

Der Rekonstruktionsfehler χ geht dann mit der durch die Matrix F bestimmten Dynamik asymptotisch gegen Null, wenn gilt: F = A-HÇ·, (4.42) g = b. (4.43) Mit den Bedingungen (4.42) und (4.43) ergibt sich die homogene Differentialgleichung für den Schätzfehler χ : i = Fx. (4.44) Setzt man die Bedingungen (4.42) und (4.43) in die Gleichung (4.40) ein, so erhält man fur den Zustandsbeobachter:

4. Reglerentwurf im

bzw.:

53

Zustandsraum i = ( A - H C ' ) x + bu + Hm.

(4.45)

i = Ax + bu + H ( m - C ' x ) .

(4.46)

Das charakteristische Polynom des Beobachters ist gegeben durch: PB(s,H) = Det(sI-A + HÇ·).

(4.47)

Die η Eigenwerte der Matrix ( A - H Ç ' ) , d.h. die η Pole des Beobachters können durch die ( m x n ) frei zu wählenden Elemente der Matrix Η festgelegt werden. Dies geschieht wieder durch einen Koeffizientenvergleich zwischen dem Beobachter-Sollpolynom PB(S) = (S

(s-XbJ

(4.48)

und dem Polynom PB(s,H), wobei für m > 1 keine eindeutige Lösung zu erwarten ist. Die Vorgabe der Beobachterpole hat dabei so zu geschehen, daß diese "schneller" als die Pole des vorher entworfenen geschlossenen Regelkreises sind. (4.01)

Die Pole des geschlossenen Regelkreises und die Pole des Beobachters können bei einem vollständig zustandssteuerbaren und zustandsbeobachtbaren System jeweils unabhängig voneinander gewählt werden, d.h. die charakteristische Gleichung des Gesamtsystems läßt sich in der Form: Det[sl - ( A - bk·^ )] · Det[sl - ( A - HC* )] = 0

(4.49)

darstellen (ohne Beweis). Diese Tatsache wird Separationseigenschaft genannt. Bild 4.11 zeigt das Blockschaltbild der Strecke mit dem Beobachter nach Gleichung (4.46). У

m

Strecke Beobachter

BUd4.11 Anmerkungen: Steht nur die Ausgangsgröße y als Meßgröße zur Verfügung, lautet also die Meßgleichung m = y = c^x. dann wird die Matrix H zu einem (nχ 1)-Spaltenvektor h und die Beobachterpolvorgabe führt auf eine eindeutige Lösung. Sind in einem System nur einige der Zustandsgrößen meßbar, dann kann ein Beobachter reduzierter Ordnung entworfen werden, mit dem nur die nichtmeßbaren Zustandsgrößen geschätzt werden. Diese Art von Beobachter wird hier nicht behandelt.

54

4. Reglerentwurf im Zustandsraum

Bild 4.12 zeigt das Gesamtblockschaltbild einer Führungsregelung durch Zustandsvektorrückfuhrung, bei der anstelle des nicht vollständig meßbaren Zustandes χ dessen Schätzwert X, der Ausgang des Beobachters, im Regelgesetz verwendet wird: û = K„w-k''x.

(4.50)

Beobachter Büd4.12

Beispiel 4.5: Gegeben sei eine Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion U(s)

s(s + 2)

Es soll eine Führungsregelung durch Zustandsvektorrückfiihrung derart entworfen werden, daß das dominante Polpaar des geschlossenen Regelkreises bei = ± j2 zu liegen kommt. Ferner werde angenommen, daß nur die Ausgangsgröße y meßbar ist, also ein Beobachter notwendig ist. Lösung: Die Zustandsdarstellung der Strecke in Regelungsnormalform lautet: 1" "0 0" x+ u, .0 -2 1

y = [2 0]x.

Das Sollpolynom lautet: P(s) = s 4 4 s + 8. Das Polynom P]((s,k^) kann sofort angeschrieben werden und lautet: Pk(s,k'^) = s^+(2 + k2)s + ki. Aus einem Koeffizientenvergleich folgt für den Rückführvektor: k^=[8 2]. Für die Vorverstärkung erhält man mit Gleichung (4.8): K^ =4. Das Regelgesetz lautet somit: û = 4w-[8

2]x.

Beobachterentwurf: Die Ranguntersuchung der Beobachtbarkeitsmatrix Q^ ergibt, daß das System mit y vollständig zustandsbeobachtbar ist. Ein Beobachter kann also realisiert werden. Es gilt: -2hl 0 1 hl F = (A-hç'') = [2 0] = 0 -2 -2h2 -2. Lb2j Das charakteristische Polynom des Beobachters lautet somit: PB(s,h) = Det(sI-A+hc^) =

s + 2hi -1 = s 4 ( 2 + 2hi)s + (2h2 + 4hi). 2h2 s+2

55

4. Reglerentwurf im Zustandsraum

Man wählt nunmehr die Beobachterpole hinreichend weit links von den dominanten Polen des geschlossenen Regelkreises zu λι = Xg = - 2 0 . Damit lautet das Sollpolynom: Pg(s) = 8^ + 403 + 4 0 0 . Der Koeffizientenvergleich ergibt: h'''=[l9 Gleichung (4.42): ,

Γ-38

162]. Damit folgt für den Beobachter nach

iL

[Ol

Γ 191

Bild 4.13 zeigt das ausfuhrliche Blockschaltbild des gesamten Regelkreises. 2 *

и

4

X2

Jdt

1

Strecke I I

I Beobachter 19

162 jdt

jdt

324—4

Regler

Î1 Büd4.13

Bild 4.14a zeigt die Verläufe von у und у im geschlossenen Regelkreis mit Beobachter nach einer sprungfbrmigen Änderung der Führungsgröße Aw= 1. In Bild 4.14b sind die Anfangsverläufe von Xj und x¡ nach einer impulsformigen Störung am Eingang der Strecke der Dauer 0,2 s und der Amplitude Δ ζ = 1 (w = 0) dargestellt. Wie man sehen kann, geht der Schätzfehler Xj - Xj sehr schnell asymptotisch gegen Null.

0

0,5

1

1,5 BUd 4.14a

2

2,51 [s]

0,2

0,4

0,6

BUd 4.14b

0,8

t[s]

56

4. Reglerentwurf im Zustandsraum

4.5 Aufgaben и

Aufgabe 4.1: a) Bestimmen Sie die Zustandsdarstellung der in Bild

s+4 s+2

1 s+1

4.15 gegebenen Strecke mit den defînierten Zustandsvariablen. b) Transformieren Sie das System in die Regelungsnormalfonn. c)

X,= Y

1 s

h.

BUd 4.15

Entwerfen Sie dafür eine Führungsregelung so, daß das dominante

Polpaar ein ζ = 0,5 und ω„ = 2

aufweist und der dritte Pol bei Sg = -10 ги liegen kommt. Transformieren Sie

das Regelgesetz auf die unter a) erhaltene Darstellung zurück (alle Zustandsgrößen seien meßbar). d) Geben Sie die Zustandsdarstellung des geschlossenen Regelkreises an. e) Berechnen Sie aus dem Ergebnis von c) die Pührungsübertragungsfiinktion G^^ (s) = Y(s) / U(s). Aufgabe 4Л: In Bild 4.16 ist die Regelstrecke für die Positionsregelung

eines

automatisch

betriebenen

Kabine

Kabinen-

к

JV

s+2

der Modellierung vernachlässigt. Als Stellgröße wirkt die

Leistungsverstärker

Eingangsspannung u in die Leistungsverstärker/Antriebs-

+ Antrieb

Einheit und als Regelgröße wird die Kabinenposition у be-

a

M

Schnellbahnsystems dargestellt. Reibungseffekte wurden bei

1 s

ν s

Bild 4.16

trachtet. a) Bestimmen Sie mit dem Zahlenwert KM = 1000 m / s''V sowie mit der Zustandsvektorwahl χ i = y, Хг = ν und Хз = а die Zustandsdarstellung dieser Strecke. b) Entwerfen Sie eine Führungsregelung durch Zustandsvektorrückfährung derart, daß sich der geschlossene Regelkreis näherungsweise wie ein PTl-GIied mit einer Zeitkonstante Τ = 1 s verhält. Alle Zustandsgrößen seien meßbar. Kann mit ν als einziger Meßgröße ein Zustandsbeobachter entworfen werden? c)

Berechnen Sie die Filhrungsübertragungsñinktion des geschlossenen Regelkreises.

Aufgabe 4.3: Bild 4.17 zeigt das Schema einer Flüssi^eitsstand-Regelstrecke bestehend aus Gleichstrommotor, Getriebe, Ventil und Tank. Stellgröße ist die Ankerspannung des Motors u [V], Regelgröße y der Behälterstand H [m] und als meßbare Störgröße ζ wirke der Volumenstrom Qy [m^/s]. Nach der Analyse dieses Systems ergibt sich mit entsprechenden Zahlenwerten und den Zustandsgitìssen Xj = Oji, X2 = Шу und xg - Η folgende Zustandsdarstellung: 0

1

0

-12 0

0,02

y = 0 0

0 ï+

160 u + 0

0 0

z,

u

-0,02

l]x.

Motor a) Entwerfen Sie eine Festwertregelung (Störungsrege-

Bild 4.17

lung, w = 0 ) mittels Zustandsvektorrückführung und

stationärer Störgrößenkompensation derart, daß das dominante Polpaar bei Si 2 = - 2 ± j2 und der dritte Pol bei Sg = -20 zu liegen kommen. b) Geben Sie die Zustandsdarstellung des geschlossenen Regelkreises an und bestimmen Sie dessen Störübertragungsfunktion Gz(s) = Y(s)/Z(s). Aufgabe 4.4: Es werde die in Bild 4.18 dargestellte mechanische Regelstrecke betrachtet. Dabei ist OJj = u die Stellgröße,

®2

Wg = у die Regelgröße und M die Störgröße z. Für das durch die Welle übertragéne Moment gelte dMg / dt = Κ ( ω , - roj) und die Lagerreibungsmomente können proportional den entsprechenden Winkelgeschwindigkeiten angenommen werden. Als Zah-

M

lenwerte sind gegeben: N = 4, K = 0,625Nm, Bi = 0,lNms, B j = 0 , 4 N m s , J ] =0,05 kgm^ und J j =0,2 kgm^. a) Geben Xj =

sie

mit

der

Zustandsvektorwahl

0

und und

ςε > xi > -ε, ε > Χι > -ςε.

für: bzw. für:

X2 < 0 X2 > 0

und und

xi>qe, χι>ε.

а

Regelsysteme

Bild 5.13b zeigt die in diesem Fall dreiblättrige Phasenebene mit den Blättern I, II und III. Beispiel 5.5: Es wird der in Bild 5.14 im Blockschaltbild dargestellte nichtlineare Regelkreis betrachtet. Es soll das Eigenverhalten (w = 0) dieses Regelkreises in der Phasenebene w = e К 1 + Ts für die folgenden zwei Fälle untersucht werden: a) a = l , ε = 0,2, K = 0,4, T = 2s, b) a = l , ε = 0,3, K = 0,2; T = 2s. Büds.u Lösung: Die Schaltbedingungen ergeben sich hier zu: u=а

für: bzw. für:

X2 < 0 X2 > 0

und und

Xj < - e , χι 0

und und

χι>-ε Χι>ε.

|u = а|

Х2

шшж

Xi

|и =

ш ш

Die resultierenden Blätter der Phasenebene sind in Bild 5.15 dargestellt. Für das lineare Teilsystem gilt:

1;

BUd 5.15

Ty + y = Ku; u = ±a. Mit den Phasenvariablen Xi = у und X2 = у erhält man für dieses System I.Ordnung direkt die Trajektoriengleichung: Tx2 + ^ i = ± K a

bzw.

X2=—xi±^.

Fall a): Mit den gegebenen Zahlenwerten ergibt sich die in Bild 5.16 dargestellte Situation in der Phasenebene. Х2 |и = l| -0,Я -0.V! 04

Xi

^

А 0,2 0,3 0I4 ¿1 1

1 — ^ Bild 5.16

Bild 5.17

1

65

5. Nichtlineare Regelsysteme

Ausgehend von z.B. dem Anfangspunkt A(0,4;0) entsteht ein stabiler Grenzzyklus. Der zeitliche Verlauf der Regelgröße y ist in Bild 5.18 dargestellt. Die halbe Periodendauer

Tgz/2

des Grenzzyklus kann

mit

Gleichung (5.4) wie folgt berechnet werden: Für u = 1 gilt: • ^ = X 2 = - 0 , 5 x 1 + 0,2 dt 0,2

"^z _

2 - Í

-0,2

dxi 0,2-0,5x1

= -21n(0,2-0,5xi)|^\=2,2s.

Der Grenzzyklus hat also eine Periodendauer von Tq^ = 4,4 s. Fall b) Die Situation in der Phasenebene ist in Bild 5.17 veranschaulicht. Die Trajektorien treffen nicht auf die Schaltgeraden und es entsteht kein Grenzzyklus. Das System kommt im Endpunkt E(-0,2;0) zur Ruhe. Der zeitliche Verlauf der Regelgröße ist in Bild 5.18 angegeben. Beispiel 5.6: Es wird der in Bild 5.19 im Blockschaltbild dargestellte nichtlineare Regelkreis betrachtet. Für den Zweipunktregler gelte ε = 0,2 und a = 1. Es ist in der Phasens(l + s)

ebene zu untersuchen, ob in diesem Regelkreis ein Grenzzyklus auftritt. Wenn dies der Fall ist, so ist dessen Periodendauer T^^ zu berechnen.

BUd 5.19

Lösung: Für das lineare Teilsystem y + y = u erhält man die Trajektorien-Differentialgleichung sowie die für u = 1 und u = - 1 in den beiden Blättern I und

Θ

.

\ Y~-Grenzzyklus

dx2 ^ u - X2 Xj

% [|[o,2

I:

u = +l:

Xi = - x 2 - l n | x 2 - l j + Ci,

II:

u = -l:

Xi = - X 2 + ln|x2 + II + C2.

Die Schaltbedingungen und damit die Aufteilung der Phasenebene in zwei Blätter sind gleich wie in Beispiel 5.5 (siehe Bild 5.20).

л©

1

II geltenden Trajektoriengleichungen zu: dxi

C·^

X2

-1

-1

A

1

joM

0

В

1

j

1

1

Büd5.20

Bild 5.20 zeigt die Trajektorien ausgehend von den Anfangspunkten A(0,1;0), B(l,2;0) und C(0,3;l,45). Deutlich ist der stabile Grenzzyklus zu erkennen. Bild 5.21 zeigt die korrespondierenden Zeitverläufe von y. Diese laufen alle, nach einem durch die verschiedenen Anfangsbedingungen bedingten unterschiedlichen transienten Teil, in den Grenzzyklus ein.

5. Nichtlineare

66

Regelsysteme

Die Berechnung der Amplitude und der Periodendauer dieses stabilen Grenzzyklus kann nunmehr wie folgt vorgenommen werden. In den Umschaltpunkten Si(e;x2s) und S2(-e;-x2s) gilt: 0,2=-X2S + H*2S + 1| + C

0,4 = -2x2s + ln|x2s + l|-ln|x2s-l|

-0,2 = +X2S + ln|x2s -1| + С

=>

X2s=0,731.

Für die Konstante C, die gleichzeitig die maximale Amplitude darstellt, erhält man: С = Ximax = 0.2 + 0,731 - ln(l,731) = 0,382. Die Periodendauer kann wie folgt bestimmt werden: Mit dxa / dt = u - Xj gilt für u = - L 4bz _ 2

-0,731

1,731

^ . - H - i - .

1,731

= 1,862 s.

0,731

Die Periodendauer des Grenzzyklus beträgt demnach T^z = 3,724 s. Beispiels.?: Betrachtet wird der in Bild 5.22 gegebene nichthneare Regelkreis in der Phasenebene.

w = 0^ e ^

a) Es ist die Aufteilung der Phasenebene in die entsprechenden Blätter vorzunehmen.

BUd5.22

b) Wie lauten die in den einzelnen Blättern gültigen Trajektorien-Differentialgleichungen? c) Die Trajektoriengleichungen sind in jenen Blättern, bei denen dies durch Integration möglich ist, analytisch zu bestimmen. d) In jenen Blättern, in denen nicht integriert werden kann, sind die Isoklinengleichungen anzugeben. e) Von einem Anfangspunkt A(0,5;0,5) ausgehend ist die Trajektorie zu berechnen bzw. zu skizzieren. Lösung: a) Mit e = - y , у = Xj, у = Хг und ν = -4xi - 4x2 lauten die Schaltbedingungen: I: u = + l II: u = ^ X i - 4 x 2 III: u = - l

für: für: füir:

4xi + 4 x 2 < - l , - l < 4 x i + 4x2 < 1, 4xi + 4 x 2 > l .

b) Strecke: y = u => Trajektorien-Differentialgleichung: I:

dx. dx^

X2

II:

dxa dx^

-4x^-4x2 X2

*

dx,

=

. dx2 _ 1 III: X, dx^ X2

c) In den Blättern I und III können die Trajektoriengleichungen analytisch durch Integration ermittelt werden, und man erhält dafür jeweils eine Schar von Parabeln: 1 : х | = 2 х , + С,

III: x | = - 2 x i + C.

d) Im Blatt II erhält man Geraden als Isokhnen : —4x, -4xo „ 1 ^=K Xo

, bzw.

4 X2=-77-7X1· K+ 4

5. Nichtlineare

Regelsysteme

67

e) Im Blatt III lautet die Trajektoriengleichung durch den Punkt A:

Die maximale Amplitude erhält man im Schnittpunkt der Trajektorie mit der XjAchse zu y ^ =Ximax =0,625 Die Trajektorie schneidet die Schaltgerade im Punkt B(0,573;-0,323). Im Blatt II kann die Trajektorie nur näherungsweise mit Hilfe der Isoklinenmethode gezeichnet werden. Die Isokhnen für K = 0 , ± l , ± 2 sind im Büd 5.23 eingezeichnet. Wie man erkennen kann, verläuft die Trajektorie für t œ mit der Neigvmg К = -2 asymptotisch in den Ursprung. Entlang dieser Isokhne ist deren Steigung identisch mit der Trajektoriensteigung.

BUd 6.23

Bild 5.24 zeigt den zeitlichen Verlauf der Regelgröße y(t).

Beispiel 5.8: Betrachtet wird der in Bild 5.25 dargestellte Zustandsregelkreis, in dem die Stellgröße u(t) beschränkt und die Führungsgröße eine Sprungfunktion der Höhe 2 ist. a) Es ist die Aufteilung der Phasenebene in ihre Blätter vorzunehmen.

w = aj

1 s+1

1 s

У

BUd 5.26

b) Gesucht sind die Trajektorien-Diñferentialgleichungen in den verschiedenen Blättern. c) Ausgehend vom Anfangszustand A(0;0) ist die Trajektorie zu berechnen bzw. zu skizzieren. Lösung: a) Aus der Sättigungskennhnie liest man ab: I: II: III:

u=2 u=4-2xi-X2 u=-2

für: für: für:

4-2x,-X2>2 - 2 0 und (-1)"P(-1)>0,

(6.48)

ΚΙ|b..,|, |co|>|c„_2|

(6.49)

|so|>|s2|·

Beispiel 6.19: Das charakteristische Polynom eines Regelkreises lautet: P(z) = 2 z ^ - 3 z 4 2 z ^ - z + l . Es ist die Stabihtät mit Hilfe des Jury-Kriteriums zu überprüfen. Lösung: Jury-Schema:

P(1)=1>0 und (-1)^P(-1) = 9>0 => erfüllt. ζ» 1 2 -3 -1 8

1 2 3 4 5

|ao||Ьз|: |со|>Ы:

ζ» -1 -3 5 -2 -17

ζ^ 2 2 -2 5 11

11 8 >11

ζ^ -3 -1 -1 -3

ζ^ 2 1

erfüllt, erfüllt, nicht erfüllt.

Der geschlossene Regelkreis ist instabil. Beispiel 6.20: Gegeben ist das charakteristische Polynom P(z) = z' - z^ + K^. Gesucht ist jener Bereich von K^, für den der geschlossene Kreis stabil ist. Lösung:

P ( l ) = l - 1 + K „ > 0 => K„>0, (-1)®P(-1) = 2 - K „ > 0 =i. K0, Нз = K„ 2-3K„

Diese werden durch d.h. mit

4 + 3K„ 2-K„ 2-3K„ 0 0

K2 + K „ - 1 < 0 , K„< 0,618

0 4+3K„ K„

>0.

98

6. Grundlagen der digitalen Regelung

erfüllt. Der geschlossene Regelkreis ist für Verstärkungen im Bereich 0 W(z) = — — r r ^ . (Einheitsrampenfunktion) vi—ζ ) = \· Τ _ 1 (7.20) ™ (1-Z-1)GD(Z)G(Z)

К /

K^ = Geschwindigkeitsfehlerkonstante 7.3.2 Dynamische Spezifikationen Die für das Führungsverhalten üblicherweise geforderten Spezifikationen sind in Bild 7.13 dargestellt.

108

7. Entwurf digitaler Regelungen

Es sind dies:

• • •

die Anregelzeit T,„ , die maximale Überschwingweite e^ die Ausregelzeit T^.

У 2Δ, Уоо

ν /

Τ, BUd 7.13

BUd 7.14

Für einen gesclilossenen Regelkreis, dessen Verhalten (näherungsweise) durch ein dominantes Polpaar s, 2 beschrieben werden kann, gilt: Τ'an =-

I = a)„д/ΐ-ζ^, α = arelan e„ = exp

-πζ

.τ лшх= " . »d

τ, « - = — , für Δ - 2 % . σ ζω„ Darin ist ζ der Dämpfungsgrad, ω„ die ungedämpfte und ω^ die gedämpfte Kreisfirequenz des Einschwingvorganges (siehe Bild 7.14). In Abschnitt 6.6 wvurden die Zusammenhänge zwischen den Verhältnissen in der s-Ebene und der z-Ebene ausführUch dargestellt. Es können somit Spezifikationen bezügUch des Zeitverhaltens in solche betreffend die gewünschte Lage der Pole der Pulsübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises transformiert werden. 7.3.3 Eigenformen des dynamischen Verhaltens eines Abtastregelkreises Liegt die Übertragungsfunktion eines geschlossenen Abtastregelkreises in der Form Gw ( z ) =

"

Y(z) W(z)

bo+biZ-4....H-b„z-° il + a,z-' + .... + a„z

(7.21)

vor, dann erhält man allgemein für die Regelgröße bpz" -i-biz""' + .... +b„ W(z). z"+a,z° +.... + a„

(7.22)

und für z.B. ausschließlich einfache Pole nach einer Partialbruchzerlegung: γ

(

„

, v "bZ , v ζ ) = α

ßize-"^sin(0j „ + 2 -

:

yiZ(z-e"''^cosœjT)

(7.23)

109

7. Entwurf digitaler Regelungen

Die zu den in Gleichung (7.23) auftretenden Partialbrüchen gehörenden Eigenformen sind in den Tabellen 7.1 bis 7.3 dargestellt.

z-p Pol-/Nullstellenverteilung

= Z ip''] (p = einfacher Pol)

Inverse z-Transformierte

Pol-/Nullstellenverteilung

Inverse z-Transformierte u

π

llüi.. Tabelle 7.1

ze ^'''βΙηωΤ Pol-/Nullstellenverteilung

Inverse Z-Transformierte

Pol-/Nullstellenverteilung

Inverse Z-Transformierte ,

11, TT

I

I

TT

Ιϊ.,,.η·,. TI

Tabelle 7.2

7.3.4 Analyse und Entwurf in der Wurzelortskurvenebene Die charakteristische Gleichung des Regelkreises nach Bild 7.12 lautet: 1+GD(z)G(Z) = 1+G„(Z) = 0.

(7.24)

GD(Z) ist darin die Übertragungsfunktion des Reglers, G(z) die z-Transformierte der Strecke Gs(s) inklusive Halteglied Ho(s) nach Gleichung (6.28), und Go(z) die z-Übertragungsfiinktion des offenen Regelkreises.

по

7. Entwurf digitaler

z(z-e *^α»ωΤ) Лл Γ , Λ Λ β Л х Т .1 Ä z^-2e '^zcosroT+e Pol-/Nullstellenverteiliing

Inverse z-Transformierte

»zr-акт J

Pol-/Nullstellenverteilung

Inverse z-Transformierte

Ж

π

ili

τΓτητ

ψ-τ 1

Regelungen

tt.

π Tabelle 7.3

Die Wurzelortskurve kann nunmehr entsprechend den in Kapitel 1 angegebenen Regeln gezeichnet werden. Bei der Bestimmung der Stabilitätsgrenze sowie bei der Überprüfung der Spezifikationen (Dämpfiingsgrad, Eigenfrequenz etc.) sind die entsprechenden Verhältnisse in der z-Ebene zu beachten. Beispiel 7.3: Es werde der Regelkreis aus Beispiel 6.18 betrachtet. Die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises lautet hier: °

Kp(0,3679z+ 0,2642) (z-l)(z-0,3679) •

a) Es ist die Wurzelortskurve für dieses System zu zeichnen. b) Es ist die kritische Verstärkung Kp^^t sowie jene Reglerverstärkung zu bestimmen, bei welcher der geschlossene Regelkreis einen Dämpfungsgrad ζ = 0,6 besitzt. Lösung: a) Mit К = 0,3679 Kp gilt: G„(z) = K

ζ+ 0,7181 (z-l)(z-0,3679)·

Pole: pi = 1, P2 =0,3679, Nullstelle: qi =-0,7181. Bild 7.15 zeigt die resultierende Wurzelortskurve. Auf die Regeln zum Zeichnen der WOK wird hier nicht eingegangen (siehe dazu Kapitel l)". b) Im Schnittpunkt der WOK mit dem Einheitskreis erhält man: K,^t.=0,88

= 2,392.

1 Re

7. Entwurf digitaler

III

Regelungen

Für den Schnittpunkt der WOK mit der Kurve ζ = 0,6 erhält man z,2 =0,605 ± jO,332 und mit Hilfe der Betragsbedingung für die WOK-Verstärkung bzw. die gesuchte Reglerverstärkung: 0 1^44 К =0,1544 und K- = ' «0,42. ^ 0,3679 Die resultierende Pulsübertragungsfunktion des Reglers GD(z) sowie die Führungs-Pulsübertragungsfunktion lauten: Gd(z) = Gw(z) =

0,42(z"'+0,7181 z " ^ (l-z"')(l-0,3679 z"')'

0,1544 z"'+0,1109 z"^ 1-1,2135 z"'+0,4788 z'^ '

Bild 7.16 zeigt zengleichung

die

mit

der

Differen-

y(k) = 1.2135 y(k - 1) -0,4788 у(k - 2 ) + +0,1544 w ( k - l ) + 0,1109 w ( k - 2 ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12131415 к ermittelte Führungsübergangsfunktion des geschlossenen Regelkreises.

Bild 7.16

Beispiel 7.4: Gegeben ist eine Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion Gs(s) =

(s+2)(s+5)

.

Es ist mit Hüfe der Wurzelortskurvenmethode ein diskreter PI-Regler so zu entwerfen, daß das dominante Polpaar des geschlossenen Regelkreises einen Dämpfungsgrad ζ = 0,5 aufweist und für die Abtastfrequenz (Oj = ΙΟω^ gilt. Die Abtastzeit ist mit Τ =0,25 s zu wählen. Lösung: Die z-Übertragungsfvmktion der Strecke Gs(s) inklusive dem Halteghed Ho(s) lautet mit Gleichung (6.28): 0,5404 (z +0,5586) (z-0,6065)(z-0,2865)' Die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises ist dann mit К =0,5404 Kp : Go(z) =

K(z+a)(z + 0,5586) (z-l)(z-0,6065)(z-0,2865)'

Das dominante Polpaar in der z-Ebene wird nimmehr mit den Gleichungen (6.42) und (6.43) festgelegt. Es gilt mit ω^ /ω^ = 1 /10 : = exp und damit:

-2π0,5 1 Vi-0,25 10

1 1 яо^ 0,6958, arg(z,2) = ± 2 n - = - — = ±36°, 10 π

z, 2 = 0,5629 ±j0,4090.

In Büd 7.17 ist die Vorgangsweise zur Festlegung der freien ReglernuUsteUe q^ = - a dargestellt, mit der erreicht wird, daß die Pole z, 2 tatsächlich Wurzelortskurvenpunkte sind. Dazu wird die Winkelbedingung laut Gleichung (1.4) verwendet.

7. Entwurf digitaler Regelungen

112

Man erhält damit für den erforderlichen Winkelbeitrag der ReglernuHstelle: φ,κ =-180°+фрк +фр,+фр2-ф,, =-180°+136,9°+96,l°+55,9°-20°«88,9° Die Reglernullstelle muß demnach bei q^ =0,5550 zu liegen kommen. Die WOK-Verstärkung in den Polen z¡2 wird mit Hüfe der Betragsbedingung bestimmt und beträgt К =0,2489 . Die charakteristische Gleichung lautet: z'-1,6441

+1,0676 ζ-0,2509 =0

Der dritte Pol ergibt sich dann zu Zj =0,5183. Büd 7.18 zeigt die Wurzelortskurve mit К als freiem Parameter. Anmerkung: Das Polpaar kann als dominant angesehen werden, da der Pol Zj =0,5183 sehr nahe bei der Nullstelle qg =0,5550 hegt, die auch eine Nullstelle des geschlossenen Regelkreises ist. Die Führungsübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises lautet: Gw(z) =

Y(z) W(z)

Büd 7.18

0,2489z'' + 0,0009z-^ - 0,0772z'' 1 -1,644 Iz'' + l,0676z"^ - 0,2509z

Wie erwartet, gilt für den stationären Übertragungsfaktor: GwWLi = l' d.h. der Positionsfehler ist NuH. Bild 7.19 zeigt die Führungsübergangsfunktion des geschlossenen Regelkreises. Diese wurde mit der aus der Übertragungsfunktion Οψ(ζ) erhaltenen Differenzengleichung berechnet.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1213 1415 к Büd 7.19

7. Erawurf digitaler

113

Rodungen

Beispiel 7.5: Eine Regelstrecke mit der Ubertragungsfunktion Gs(s) = — s + 0,4 soll mit einem PI-Regler geregelt werden. Das dominante Polpaar des geschlossenen Regelkreises soll dabei näherungsweise einen Dämpfungsgrad ζ = 0,5 aufweisen, und es soll mit Τ = 2,5 s, ©g = 12 ω^ gelten. Lösung: Für die Pulsübertragungsfunktion von Strecke und Halteglied erhält man mit Gleichung (6.28): l,5803z-^ ^ 1,5803 l-0,3679z-> z^(z-0,3679)· Mit der Reglerübertragungsfunktion Gd(z) = K,

z+a z-1

folgt mit К = 1,5803Kp für die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises bzw. für deren Pole und Nullstellen:

Für das spezifizierte dominante Polpaar erhält man mit den Beziehungen (6.42) und (6.43): Im II -2π0,5 1 = 0,7391, argz = 3 6 0 ° ^ = 30°, bzw.:

Zi2 = 0,6401 ± jO,3696.

Die Bestimmung der Reglernullstelle erfolgt wieder mit Hilfe der Winkelbedingung der Wurzelortskurvenmethode (siehe Bild 7.20): φ,в = -ΙβΟο+φρΐ + 2фр2,з + Фрк = -180V53,6°+60'>+134,2'>= 67,8°. Damit folgt Qr = 0,4898 und mit Hilfe der Betragsbedingung für die WOK-Verstärkung im Polpaar z ^ bzw. die Reglerverstärkung: К = 0,3242 und Kp = 0,2052. Für die Pulsübertragungsfunktion des Reglers Gd(z) sowie für Go(z) und die Führungsübertragungsfunktion G^r(z) erhält man dann: ° Q , , ^ ^

'

z-1

'

z2(z-1)(z-0,3679)'

0,3242z-0,1588 z* - 1 , 3 6 7 9 z 4 0, 3 6 7 9 z 4 0,3242z - 0,1588 '

Die restlichen Pole des geschlossenen Regelkreises sind: Z3 = 0,5848 und Z4=-0,4971. Bild 7.21 zeigt die Wurzelortskurve dieses Regelkreises und Bild 7.22 dessen aus dem Entwurf resultierende Führungsübergangsfunktion.

114

7. Entwurf digitaler Regelungen

1 Im

Ά

О ' ' У

-1 -1

\

" ζ Λ /

0

1

Re

0 1 2 3 4 5 6 7 8

9 101H2131415k

Bild 7.22

Büd 7.21

7.4 Analytischer Entwurf Bei analog implementierten Reglern ist man aijfgrund von Realisierungsproblemen im wesentlichen auf PID-Algorithmen (bzw. vereinfachte Varianten davon) beschränkt. Diese Einschränkungen gelten für digitale Realisierungen nicht. In diesem Abschnitt wird der Entwurf des sogenannten dead-fteoi-Reglers behandelt. Es ist dies ein Regelalgorithmus, durch dessen Anwendung die Regelgröße nach einer sprungfbrmigen Führungs- und/oder Störgrößenänderung und nach einer endlichen Anzahl von Abtastschritten ihren Sollwert erreicht und in diesem verbleibt. Es tritt also kein Positionsfehler auf und auch zwischen den Abtastschritten schwingt die Regelgröße nicht, d.h. es tritt kein sogenanntes "intersample-rippling" auf 7.4.1 E n t w u r f e i n e r cieod-beoi-Führungsregelung Betrachtet werde der Führungsregelkreis nach Bild 7.23. Die Regelstrecke habe nichtsprungfahiges Verhalten (Ьц = 0) und werde zusammen mit dem HaltegUed durch die Pulsübertragungsfunktion Y(z) U(z)

W(z) „ E(z)

U(z)

Y(z)

G{z)

Büd 7.23

B(z) A^(z)A-(z)

B(z) d A(z)

GD(Z)

blZ"^ + bgz'^ + . . . + bpZ 1+aiZ M-ajZ ·' + . . . + anZ

(7.25)

beschrieben. Darin enthält A*(z) alle Streckenpole innerhalb, und А (ζ) alle jene außerhalb des Einheitskreises bzw. auf diesem. Die Soll-Führungsübertragungsfunktion sei Gw(z)soii=Fw(z) = -

GD(Z)G(Z)

1+GD(Z)G(Z)

(7.26)

Daraus erhält man die Grundgleichung des analytischen Entwurfs. Für die erforderliche Regler-Pulsübertragungsfunktion gilt: GD(Z) = -

1

Fw(Z)

G(Z) 1 - F w ( Z )

A^(Z)A-(Z)

.-d B(2)Z ^

FW(Z)

1-FW(Z)

(7.27)

Bei der Wahl von F^(z) sind die im folgenden angegebenen Bedingungen zu erfüllen.

7. Entwurf digitaler Regelungen 1)

115

Fw(z) muß ein endliches Polynom in negativen Potenzen von ζ der Ordnung m = q + d sein: =

=

+

+

(7.28)

Dann ist der Übergangsvorgang nach einer sprungförmigen Führungsgrößenänderung nach m Abtastschritten abgeschlossen. 2)

Gi)(z) muß realisierbar sein, d.h. ein kausales Übertragungsglied darstellen. Dies bedeutet, daß der Absolutkoeffizient des in negativen Potenzen von ζ angeschriebenen Nennerpolynoms von GD(Z) ungleich Null sein muß. Um diese Forderung zu erfüllen, muß Fw(z) den Totzeitterm z"^ enthalten.

3)

Da keine bleibende Regelabweichung auftreten soll, muß Fy^r(z) die stationäre Verstärkung 1 besitzen. Es muß also für den Positionsfehler gelten: 1 e,. = lime(k) = lim (l-z-i)E(z) =lim ( l - z - ' ) ( l - F w ( z ) ) : l-z" bzw.:

= 0,

1-Fw(l) = 0.

(7.29)

Dies bedeutet, daß die Gleichung 1-F^(z) = 0 mindestens eine Nullstelle bei z = l aufweisen muß, oder da gilt: Go(z) = G p ( z ) G ( z ) = / ^ ^ ' / ^ , l-r^(z)

(7.30)

daß der offene Kreis mindestens einen Pol bei ζ == 1 besitzen muß, d.h. im offenen Kreis ein I-Anteil vorhanden sein muß. Für F^^f(z) laut Gleichung (7.28) bedeutet dies:

4)

5)

= 1. (7.31) i=l Pole der Strecke außerhalb des Einheitskreises oder auf diesem dürfen nicht durch Reglernullstellen gekürzt werden, da sonst bei geringen Schwankungen der Streckenparameter Instabilität im Regelkreis auftreten kann. Um eine Bewegung der Regelgröße zwischen den Abtastzeitpunkten zu verhindern, d.h. damit kein "intersample-rippling" auftritt, muß die Pulsübertragungsfunktion W(z)

ebenfalls ein endliches Polynom in ζ

1+GD(Z)G(Z)

G(Z) '

(7.32)

sein.

Diese Bedingungen können durch folgenden Ansatz für F^(z) erfüllt werden: Fw(z) = B(z)C(z)P(z)z^, l-Fw(z) Fw( = A-(z)(l-z-i)Q(z).

(7.33) (7.34)

Für die Reglerübertragungsfunktion erhält man dann: Ρ _

A^(z)C(z)P(z) (l-z-')Q(z) · G(z)= l+C2z"' + C2Z~^ + ... ist darin ein frei wählbares Polynom beliebiger Ordnung, das zur Stellgrößenbeschränkung verwendet werden kann, jedoch die Reglerordnung erhöht.

116

7. Entwurf digitaler Regdungen

Setzt man aus den Gleichungen (7.33) und (7.34) gleich, dann können die Polynome P(z) und Q(z) mit minimaler Ordnung durch Koeffizientenvergleich aus folgender Gleichung bestimmt werden: 1 - (1- z-')A-(z)Q(z) = B(z)C(z)P(z)z-''.

(7.36)

Anmerkung: Besitzt die Streckenübertragungsfunktion G(z) bereits integrales Verhalten, d.h. enthält A"(z) den Term (l-z"^), dann lautet anstelle von (7.34) der modifizierte Ansatz l-Fw(z) = A-(z)Q(z).

(7.34)

Die Reglerübertragungsfunktion (7.35) und die Gleichung (7.36) lautet dann: =

(7.35) Q(z)

und die Gleichung zur Bestimmung der Polynome Q(z) und P(z) lautet: 1 - A-(z)Q(z) = B(z)C(z)P(z)z·^.

(7.36)

Der Reglerentwurf vereinfacht sich für den Fall, daß die Strecke asymptotisch stabil ist, d.h. wenn A~(z) = 1 ist und damit A^(z) = A(z) gilt. Bezeichnet man abkürzend D(z) = B(z)C(z) = ¿ d i z \

(7.37)

i=0

dann wird mit dem Ansatz

P(z) = 1 / D( 1)

(7.38)

genau die Bedingung F ^ d ) = 1 erfüllt. Setzt man die Sollführungsübertragungsfiinktion =

(7.39)

in Gleichung (7.27) ein, so folgt für den Regler: A(z)C(z) Anmerkung:

Wählt man in Gleichung (7.37) q = η, dann ergibt sich die minimale Anregelzeit.

Wahl von C(z): Einerseits erhöht man mit der Ordnung von C(z) die Reglerordnung und damit die Anzahl der Abtastschritte bis zur Ausregelung nach einem Sollwertsprung. Andererseits kann durch die geeignete Wahl von C(z) das Stellverhalten verbessert werden. Wählt man z.B. C(z)= 1+CiZ"', dann kann der Anfangswert der Stellgröße u(0) bei einer sprungfbrmigen Sollwertänderung frei vorgegeben werden. Mit:

=^

=

und Fw(z) = ^^^^ ^ z -

erhält man: U(z) _ C(z)A(z) Wendet man auf U(z) den Anfangswertsatz der z-Transformation an, so folgt:

.

7. Entwurf digitaler Regelungen

117

1· TT/ Ч 1- C(z)A(z) 1 1 u(0) = l™ U(z) = 1L°Îc(1)B(1)1-z-^^B(1)(1.c,)'

Anmerkung: Wählt man für C(z) ein Polynom höherer Ordnung, so können auch die weiteren Werte der Stellfolge begrenzt werden. Beispiel 7.6: Es werde die Regelstrecke mit der folgenden Übertragungsfunktion betrachtet: Gs(s) =

l+4s·

a) Es ist ein dead-beoi-Regler für das Führungsverhalten derart zu entwerfen, daß der Regelvorgang nach der kleinstmöglichen Anzahl von Abtastschritten abgeschlossen ist. b) Der Entwurfsvorgang ist nunmehr so vorzunehmen, daß die maximale Stellgröße K a x | = l beträgt. Lösung: Die z-Übertragungsiunktion von Strecke und Halteglied lautet mit einer Abtastzeit T = l s : B(z) , 0,8848z-' ^ - 1-0,7788z-'' · a) Da der einzige Streckenpol innerhalb des Einheitskreises liegt, kann die vereinfachte Vorgangsweise gewählt werden. Es werde vorerst C(z)=l gewählt. Damit folgt D(z)=B(z), und mit Gleichung (7.39) für die Soll-Führungsübertragungsfunktion: „ D(z) . B(z) a 0,8848 z - ' . rw(z) = Ζ = Ζ = Ζ =z . ^

D(l)

B(l)

0,8848

und für die das Führungsverhalten beschreibende Differenzengleichung: y(k) = w(k-4). Für den Regler erhält man mit Gleichung (7.40): G (z)^ ^ 1-0,7788z-' _ 1,1302 - 0,8802z-' ° ^ B(l)-B(z)z-'' 0,8848 - 0,8848z^ 1-z^ Die am Rechner zu implementierende DifFerenzengleichung lautet damit: u(k) = u(k - 4) + 1,1302e(k) - 0,8802e(k - 2). Mit Gleichung (7.41) ergibt sich für die Stellübertragungsfunktion:

und für die den Stellgrößenverlauf beschreibende Differenzengleichung: u(k)= l,1302w(k)-0,8802w(k- 1). Bild 7.24a zeigt die Übergangsfunktion und Bild 7.24b den Stellgrößenverlauf. DeutUch ist zu erkennen, daß die Regelgröße nach 4 Abtastschritten den Sollwert erreicht hat und diesen für k > 4 beibehält. Die maximale Stellgröße ist и^.^^ = u(0) = 1,1302. Da die Regelstrecke eine stationäre Verstärkung Kg = 4 besitzt, nimmt die Stellgröße nach einem Abtastschritt den Wert 0,25 an und behält diesen für к > 1 bei.

118

7. Entwurf

0 1 2 3 4 5 6 7 k a)

0,25 0

0

1

I I I I I I

2

3 4 5 6 b)

7k

digitaler

Regdungen

0 1 2 3 4 5 6 7 k a)

0,25 0

Π

о 1

I I I

2 3 4 5 6 b)

Büd 7.24

M

7 к

Büd 7.25

b) Man wählt nunmehr C(z) = 1 + CiZ"'. Mit u(0) = 1 folgt aus Gleichung (7.42): 1

--1=0,1302, und damit: C(z) = 1+0,1302zc, =0,8848 Damit erhält man folgende Pulsübertragungsfunktionen und Differenzengleichungen: Führungsverhalten:

= 0,8848z^ + 0,1152z-®, y(k) = 0,8848 w(k - 4) + 0,1152 w(k - 5).

Regler:

_ , ,

lin (,Ζ) =

l-0,6486z-'-0,1014z-^ -¡ -с . l-0,8848z^-0,1152z-®

u(k) = 0,8848u(k - 4) + 0,1152u(k - 5) + e(k) - 0,6486e(k - 1 ) - 0,1014 e(k - 2). Stellverhalten:

Ου^(ζ)= l-0,6486z-i-0,1014z-^, u(k) = w(k) - 0,6486 w(k - 1 ) - 0,1014 w(k - 2).

Wie ersichtlich, wird durch die Beschränkung der Stellgröße und der damit verbundenen Erhöhung der Reglerordnung der neue Sollwert erst bei к = 5 erreicht (Bild 7.25a). Bild 7.25b zeigt wieder den Stellgrößenverlauf. Die Stellgröße u(k) erreicht ihren Endwert u(k) = 0,25 erst für к > 2 . Beispiel 7.7: (Gegeben sei die instabile Strecke mit der Übertragungsfunktion Gs(s) =

1 8-0,2"

a) Es ist mit Τ = 1 s ein dead-òeai-Regler für das Führungsverhalten derart zu entwerfen, daß der Regelvorgang nach der kleinstmöglichen Anzahl von Abtastschritten abgeschlossen ist. b) Der Entwurfsvorgang ist nunmehr so vorzunehmen, daß die maximale Stellgröße | u „ „ | = 1,5 beträgt.

119

7. Entwurf digitaler Regelungen

Lösung: Die z-Übertragungsfunktion von Strecke und Halteglied lautet mit einer Abtastzeit T = l s : B(z) 1,1070z-' A(z) l-l,2214z-i ' d.h. es gilt:

B(z) = 1,1070z"', A(z) = A" (z) = 1 - 1,2214 z"'.

a) Mit C(z)= 1, Q(z)= Qo und P(z) = Po + p¡z ' (kleinstmögliche Ordnung beider Polynome) lautet Gleichung (7.36): l - ( l - z - i ) ( l - l , 2 2 1 4 z - ' ) q o = l,1070z->(po + piz-'). Durch Koeffizientenvergleich erhält man Q(z)= 1 und P(z) = 2,0067-1,1033z-'. Die SollFührungsübertragungsfunktion (7.33) sowie die entsprechende Differenzengleichung ergeben sich dann zu: Fw(z) = B(z)P(z) = 2,2214 z-' - 1,2214 z'^, y(k) = 2,2214 w(k - 1 ) -1,2214 w(k - 2). Für die Regler-Pulsübertragungsfunktion Gd(z) (7.35) und die Stell-Pulsübertragungsfunktion Guw(z) (7.32) folgt: „ , ,

P(z)

2,0067-1,1033z-'

Guw(z) = P(z)A(z) = 2,0067 - 3,5543z-' + l,3476z-^ Die dazu gehörenden Differenzengleichungen lauten: u(k) - u(k - 1 ) = 2,0067e(k)- 1,1033e(k -1), u(k) = 2,0067w(k) - 3,5543 w(k - 1 ) + 1,3476w(k - 2).

0 1 2 3 4 5 6 k a)

-2

0 1 2 3 4 5 6 k b) BUd7.26

0 1 2 3 4 5 6 k b) Büd 7.27

Bild 7.26a zeigt die Übergangsfolge und Bild 7.26b den Stellgrößenverlauf. Dieser Entwurf ist wegen des zu großen Überschwingens nicht akzeptabel.

7. Entwurf digitaler Regelungen

120

b) Es wird nunmehr C(z)= l+ClZ"^ gewählt, d.h. die Reglerordnung wird um eins erhöht. Man erhält dann mit (7.33): Fw(z) = 1,1070z-4l+ CiZ-»)(po + Piz"»), und (7.32):

Guw(z) = (l+CiZ-^(Po+PiZ"')(l-1,2214z-').

Aus der letzten Gleichung folgt die Differenzengleichung für das Stellverhalten: u(k) = Pow(k)+(poCi +Pi - l,2214po)w(k- l)+[piCi - l,2214(poCi + P l ) ] w ( k - 2 ) - l , 2214 ρ jC iw(k - 3). Fordert man fur den Anfangswert der Stellgröße u(0) = 1,5, so folgt Po = 1,5. Gleichung (7.36) muß dann lauten: l - ( l - z - i ) ( l - l,2214z-')(qo + qjz"») = l,1070z-4l+ CiZ-')(l,5 + PiZ"»). Durch KoefBzientenvergleich erhält man: C(z)=l+0,6498z-\ P(z)= 1,5-0,9525z"', Q(z)=l+0,5609z-'. Die interessierenden Übertragungsfunktionen und Differenzengleichungen lauten dann: Fw(z) = 1,1070z-4l+ 0,6498z-')(l,5 - 0,9525z-i) = l,6605z-i + 0,0246z-2 - 0,6851z-^, Guw(z) = (1+ 0,6498z-')(1,5 -0,9525z-')(l- 1,2214z-') = = 1,5- 1,8099z-' -0,6460z-2 + 0,7559ζ-^, g ^^

(l+0,6498z-')(l,5-0,9525z-') _ 1,5 + 0,0222ζ-'-0,6189z-^ (l-z-')(l+0,5609z-') l-0,4391z-i-0,5609z-2 •

y(k) = 1,6605w(k - 1) + 0,0246w(k - 2) - 0,6851w(k - 3), u(k) = l,5w(k) - 1,8099 w(k - 1) - 0,6460w(k - 2) + 0,7559w(k - 3), u(k) - 0,4391u(k - 1) - 0,5609u(k - 2) = l,5e(k) + 0,0222e(k - 1 ) - 0,6189e(k - 2). Bild 7.27 zeigt wieder die Führungsübergangsfolge sowie die Stellgrößenfolge. Da die Ordnung der Übertragungsfunktion Γ^(ζ) um eins größer wurde, erreicht die Regelgröße ihren neuen Sollwert einen Abtastschritt später, d.h. erst bei k = 3, und ihr Überschwingen wird geringer. Die Stellgrößenbeschränkung wird eingehalten. 7.4.2 Dead-beai-Reglereatwvrf

für Stönmgs- und Führungsverhalten

Es wird nunmehr der Regelkreis um eine Störgröße mit der Struktur nach Bild 7.28 erweitert. Die Stör-PulsÜbertragungsfunktion laiatet mit dem im vorhergehenden Abschnitt entworfenen Regler (7.35):

. ^^^ ^^^^ »-Q

G(z)

GD(Z)

Büd 7.28

Y(z)

7. Entwurf digitaler

G (-) ^

121

Regdungen

Y(z) Z(z)

(l-z-^)B(z)Q(z)z-^' 1+GD(Z)G(Z)

(1-Z-1)A(Z)Q(Z) + A^(Z)B(Z)C(Z)P(Z)Z-''•

Es gilt zwar Gz(l) = 0, d.h. eine sprangformige Störung wird ausgeregelt, aber Gz(z) ist im allgemeinen kein endliches Polynom, sondern eine gebrochen rationale Übertragungsfunktion. Um sowohl die deod-òeai-Ausregelung einer sprungformigen Störung als auch einer sprungformigen Führungsgrößenänderung zu erreichen, wird die in Bild 7.29 dargestellte Struktur verwendet. Z(z) W(z)

W(z)

Gv(z)

E(z)

U(z) GD(Z)

Y(z) O —

Büd7.29 Annahme: Die Regelstrecke Ggis) sei nicht totzeitbehaflet und alle Nullstellen Hegen innerhalb des Einheitskreises. Die Pulsübertragungsfunktion der Strecke inklusive Halteglied habe die Form: A(z)

1 + alZ"^ + agz'^ + . . . + anz"

(7.44)

Der Entwurf erfolgt in zwei Schritten: 1) Der Regler GpCz) wird so entworfen, daß die Wirkung der Störung dead-beat ausgeregelt wird. 2) Danach wird das Vorfilter mit der Pulsübertragungsfunktion GyCz) so entworfen, daß auch eine dead-6eai-Führungsregelung resultiert. Entwurf des Reglers GD(z): Definiert man die Soll-Störübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises (7.45) so erhält man daraus die Entwurfsgleichung fur den Regler: Ρ , ,

G(z)-Fz(z) G(z)F,(z) ·

(7.46)

Bei der Wahl von F^Cz) sind folgende Bedingungen zu erfüllen: 1)

Für eine dead-òeaf-Störungsregelung muß F2(z) ein endliches Polynom sein: =

2)

=¿f-

= f^O + fzl^-' + · · · + fzmZ-·"

(7.47)

Bei Gd(z) muß es sich um ein kausales Übertragungsglied handeln, d.h. der Absolutkoeffizient seines Nennerpolynoms muß ungleich Null sein. Man erhält für Gleichung (7.46) unter Verwendung der Gleichung (7.44):

122

7. Entwurf digitaler Regelungen

3)

Damit sprungfbrmige Störungen ausgeregelt werden, muß Fz(l) = 0 gelten, d.h. Ρχίζ) muß eine Nullstelle bei ζ = 1 enthalten.

4)

Da auch die Stellgröße u(k) nach einer endlichen Anzahl von Abtastschritten ihren stationären Endwert erreicht haben muß, da ansonsten "intersample-rippling" auftritt, muß auch die Übertragungsfunktion

Z(z)

1+GD(Z)G(Z)

G(Z)

ein endliches Polynom sein. Mit dem Ansatz

Fz(z) = (l-z-')B(z)Cz(z)

(7.50)

werden alle vier Bedingungen erfüllt. Cz(z) = 1+ c^iz"' + c^gz'^ + . . . ist ein frei wählbares Polynom, das wieder zu einer etwaigen Stellgrößenbeschränkung verwendet werden kann. Die resultierende Reglerübertragungsfunktion lautet dann: l-(l-z-')A(z)C,,(z) (l-z-)C,(z)B(z) · Entwurf des Vorfilters Oy (z) :

Für die Soll-Führungsübertragungsfiinktion gilt nach Bild 7.29:

Mit Gd(z) aus Gleichung (7.46) folgt für das Vorfilter: Gv(z)=^w(z)G(z) G(z)-Fz(z) Um auch eine 0,75 s"',

= 0,685.

b) Pi = 2 , P2 =0, Рз =-6,q],2 = - 3 ± j , σ , - 0 , 8 3 , φ,ι = 78,7°, ω^ϋ. = 2 8"', K ^ t . = 8 / 3 . c) Pi = О, Р2 = -1, Рз = -2, Р4

4 (Рр4 = 2), qi¿ = - 2 ± й Оз = - 7 / 3, ф,1 = 60°, ф.2 = 180°,

ф,з = 300°, σ , ι . -0,41, σ,2 - -2,84, ω ^ , . . 1,57 s"', K^i,. - 16,5, φ,ι - 161,6°. d) Ρι = 1, Ρ2 = 0, p3,4=-2±j2V3, qi = - ] , σ. = - 2 / 3 , φ,ι=60°, φ,2 = 180°, φ,3 = 300°, σ,ι . 0,45, σ,2 - -2,26, ωί,^. - 1,56 s'i, Kl^t. - 20,7, ω ^ , . - 2,56 s"', KÍ,¡t. = 35,7, фрЗ = -60,6°. Der geschlossene Kreis ist für 20,7 < К < 35,7 asymptotisch stabil. e) Pi = 0, P2 = -3, Рэ,4 =

± j2, σ, = -2,75, φ.ι = 90°, φ.2 = 270°, σ , - -1,03, ω^,. = 2,34 s"',

Kkfit =.210,25. Der geschlossene Kreis ist für К < 210,25 asymptotisch stabil. 0

pi=0(ppi = 2), P2 = - l , Р з = - 8 , qi,2 = - l ± j 2 , σ, =-3,5, φ,ι=90°, φ,2 = 270°, σ , =-4,57, φρί = 90° und 270°, φ,ι - 69,1°, ω^,ι, - 2,04 s"', K ^ t . "18,64. Der geschlossene Kreis ist für К > 18,64 asymptotisch stabil.

®

Θ

ч

Θ

σ.ι/

Pi

Чэ

Рз

q,/

Kkrt,

^ ^ ^

^ fa

V λ

γ

σ,ι/

P4

Ч2 \

ι

-3

-2

-1

®

0 Re ]

8

-6

-4

-2

0 Re 2

- ^ V k L

Оуг/ \

\

γ

I J Pi ''Ν

a

\ v

ΡΑ' - 8 - 6 - 4 - 2 Aufgabe 1.4:

2

P·

В

-€

/

©

Pi

Рз

-4

-2

σ. P2

\

-8

\

0 Re 2

-2

0 Re

a) P i = 0 , P2 = -2, Рз = - 6 , qi = - 8 / 3, σ, = - 8 / 3, φ,ι = 90°, φ,2 = 270°, σ , - -1,23, K r = 8, S3 = -4. 123 + 32 ^ ^ ^ ρι,2 = - 2 ± j2, Рз = -4, 4ι = Ο, q2 = -6. Δ > 0: Ov » -8,68, φρί - 206,6°. Δ < 0: σ , = 2,43, ω^,, - 2,52 s"', Δ,^,κ - -2,94, φρί =

26,6°.

Der geschlossene Regelkreis ist für -2,94 < Δ < ~ asymptotisch stabil. 4 Im κ»>ο 2

Рз

-8

-6

ο. s, q,

-4

\

Δ>0 /

J

\

Pi

2

-4

-10

Δ β = 13,889. Wähle 1/Τ = 0,25 => 1/ρΤ = 0,018. G,Lag^ s + 0,25 , G„(s) „ , ,= 48(s+ 0,25X8 + 6) S(S + 0,018XS + 2)(8 + 20) S + 0,18 c) Die Wurzelortskurve ist im folgenden Bild zusammen mit einer Vergrößerung um den Ursprung der komplexen Ebene dargestellt. Der durch das Lag-Glied eingefahrte vierte Pol des geschlossenen Regelkreises liegt nahe bei der NuUstelle des Lag-Gliedes und beeinfluBt die Dominanz des Polpaares s j 2 nur sehr geringfagig. Außerdem ist noch die Führungsübergangsfiinktion des geschlossenen Regelkreises dargestellt.

137

Lösungen zu den Aufgaben

V i 0.1, a)

o , = 0 , 8 , φ , ι = 6 7 , 4 ° , ω^,,ι. = 1,59 s ' l , К к ы , . = 0 . 4 6 , K„=4Ks„=3,39=»Ks K g ^ = 0 , 3 2 2 5 .

k V T

2

Ч1'

D e r g e s c H o a a e n e R e g e l k r e i s erfíiUt Ш г 0 , 3 2 2 5 ä K g ä 0 , 8 4 7 6 die v e r langten Spezifikationen. b)

0

яз = - 8 :

= 1 7 3 , Д", = - 2 , 2 2 => - 5 , 7 8 S qg S - 9 , 7 3 .

Рз = - 6 :

Δ°2 - 1,61, Δ ^ = - 2 , 4 4 => - 3 , 5 6 S рз S - 7 , 6 1 .

Pi = 2 :

Δ°3 = 0 , 6 1 ,

Чз

Рз

^

^

к

= - 0 , 6 8 => 1 , 3 9 S P l i 2 , 6 8 . -2

10

-8

-6

У

Р2

ЧзГ

-4

-:3 -:2

О Re 2

Re 0

1 _ )2

1m j i ι I κ , I I

-6,667

, -8

-6

-4 -3 -2

j

0

Re

2

2

Re

Aufgabe 1.11: a)

=

s (s + 0 , 0 1 5 )

K = IO-'KkTiTj, a =

=

Ti

T2

Mit a = 0,015bzw. Ti = 6 6 , 6 6 7 s

k ü i í u n g ) f o l g t : b = 0 , 0 1 = » T2 = 1 0 0 s , К = 0 , 0 2 = » K r = 0 , 0 3 , G r ( S ) = b)

(Pol-Nullstellen-

0.03(l-'-66.667s)(l+100s)

σ , = 8 ι , 2 = -0,02, K r ( o , ) = 0,06. 0,01 " Κ » > 0 Ira

/

0

σ.

Im

.

•дк.>0

0,01

4M

Ρι

I PR

0

0 Re

ч

V

-O.Ol -0,01

0,01

(

-0,01 -0,02

Im " Δ Κ , < 0

о.

-0,03

-0,02

Pi»

0

Ч1

-

-0,01

-0,01 0

Re

PI» -0,03

с)

ч

-0,02

у

-0,01

\ / О Re

138

0

Lösungen zu den

Aufgaben

K(s + 0,01) G„(8) = s·'+0,028 + 0,0002 mit:K = 0,004AK,.

"-!· Damit ist Иг - 1 < ΔΚν < ~ die geforderte Spezifikation erfüllt. Die Führungs- und Störungsübergangsfunktionen sind im nebenstehenden Bild dargestellt.

600

t[s]

Aufgabe 1.12: a) PI-Regler: G„(s) =

Л HJ л

2(1+0,175s)

Pole des gescMossenen Regelkreises: s = -5 ± j5, S3 = -10 und S4 = -25.

R>,3

Тй,3

b) РШ-Regler: ^ 3,5(1+0,1SX1+38 / 35) Pole des geschlossenen kreises: 812 = -5 ± j5,

«te Чв1

Pi у Pu

Regel-

83,4 =-17,5 ±j2,5/7. Im nebenstehenden Bild sind neben den Wurzelortskurven auch die Führungs- und Störungsübergangsfunktionen dargestellt.

Kapitel 2 Aufgabe 2.1: 0,1

hz Gœ(s) W

О

10s + 24 s + 18

-0,1

О - ·

y mitdyn. SGA

•

0 V /

^

mit »tat SOA

s+1 -0,2 -

у Г ^ ohne SGA

-0,3 0 «1 r i.i

™

-(8 + 1X8+18)

^

8^ + 193=^+688+120

t[s]

b) G[e (s) = 0,2(s + 1), nicht realisierbar. 8+5

(s + 5Xs® + 19s='+68s+ia0)

m

Lösungen zu den Aufgaben A\ifgabe2^: a)

b) K„H = 2, ( i n = — . s+5 d) Gr(s) =

s+ 1 s+5

— ^ 1+GrhGsi

0,6(1+8,88) 8,83

Aufgabe 2.3: a)

Gh =

нЗ,2К

0,2 G; s + 0,25' 1 + G r h G s i

s + 0,25'

20 0 Mit Kp = 10 => G„(s) =

und Ψ, = 50°.

b) Gin(s) = 6 0 ( l + 4 s ) e ' ° ' . Diese Übertragungsfiinktion ist nicht realisierbar. Statische Kompensation: K j z = 50. Aufgabe 2.4: a) Gk(s) = b) Gbz(s) =

^ OM = ω, = 0,15 s"', y , = 50,5". s(l + 4s) (nicht realisierbar), statische Störgrtißenaufschaltung: l + 5s 4(l+14s)e" realisierbare dynamische StürBTöBenaufschaltung: z.B. ОщСз) l+5s s +

Aufgabe 2.6: a^ Bei Verwendung konventioneller Regler ist der geschlossene Regelkreis strukturinstabü. b) Gs:(s) = M í í Í 5 ) = M(s)

8

^

8^ + 16

Mk(s)

c) W

Gk(s)

1 s2 Mv

Ghh(s)

s^+ie

»2

Im

Рз\

2

/к

0

ι •Ί

К

K,h=2.T,=0,5s,G„=-§^. S

e) G » = 0

-

+ Ib

, Κ = 8Κ·.

-4 -10-8

- 6 - 4

Pli

1\

Vk

-2

d)

K k J Γωω.

-2

0 Re

«krii. = 4 s Kbit = 128 => Kpkjit = 16. Der geschlossene Regelkreis ist für 0 < Kp < 16 asymptotisch stabü. Allerdings hat das dominante Polpaar einen relativ kleinen Dämpfungsgrad.

140

Lösungen zu den Aufgaben

Kapitel 3 Aufgabe S.l: Mit der Zustandsvektorwahl x'*'= [ * ! Xj Хз] = [р1 У у] und mit ζ = F erhält man: "-1/T 0 A / m

0

0

0

1

K/T"

- к / m

0

U+

0

x +

1

. 0

•

ζ und y = [0 1 0]x.

0 -1/

J

m

Aufgabe ЗЛ: Mit der ZustandsvektorwaM x''' = [xj Xj X3] = [®i Μχ ö j ] und mit u = ω, sowie ζ = Ml folgt: 0"

- B / J i

- 1 / J ]

К

0

- К

0

I/J2

0

0

B / J i

0

x +

u +

0

ζ und y = [0 0

0

Aufgabe 3^: Mit der ZustandsvektorwaM x^ = [x 1 Хг ] = [i ''г ] x =

•-ΚΚ/(Κί + ΚιΚ2)

- K K 2 / ( K L + K I K 2 )

K i / J

0

l]x.

-1/J2

x +

mit ζ == М^ erhält man:

K / ( K L + KIK2)·

u +

0

0

ζ und у = [ 0

- 1 / J

1]

χ.

Aufgabe 3.4: Mit der Zustandsvektorwahl x'' = [xi X2] = [Δβ] ABj] und mit u = AQj sowie ζ = Δθι^ erhält man: -(Q:PC + kA)/Vjpc kA/V]pc kA/Vjpc 4 k A + Q2opc)/V2pc

•Qi/νιζ und y = [l ο

u+

.(θ2β-θ2ο)/ν2

0]x.

Qjq und SjQ sind darin Arbeitspunktwerte. Aufgabe ЗЛ: Mit der Zustandsvektorwahl x^ = [xi X2 X3] = [ci>i ω2 F^] und mit u = M sowie ζ = M^ folgt:

x=

•-(Bi+r?b)/Ji rjrjb/J] Г]Г2Ь / J2 -(B2+r|b)/J2 kri -кП!

•l/Ji· 0 -ri/Ji^ Г2 / J2 x + 0 u + - l / J j ζ und y = [0 1 0]x. 0 0 0

Aufgabe 3.6:

y=

-2 ÎJ =

0

Ό

1

о"

0

0

0

-8

1 ÏR + 0

2

2

1

0'

1

y=

0]xb·

0

-2 2 j + 1

u,

y = [6 -6]xj+[2]u.

ÏR =

0 0

0 0

0 1

0

-8

-4

0,26

1

1 Ï J +

0

u,

b)

iR-

1

_4

y=

-0,25]xj.

;-6

_4

-6]îH+[2]u.

0

1

0

0

0

0'

-2

0

0

0

о·

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

-2

-2

0

0

0

0

0 ÎR + 0 1 0

0

0

0

0

0

-1

0 Ï J + 1 u, 1 0

0

0

-1

-4 У Н [8

-20

-14 0 0

0

-15

-6

1

0

0 ] хн-

У =

0

4

0

4

8

1

-8kj·

Aufgabe 3.7: 1 a)

1

0

Regelungsnormalform:

-1

-2

Regelungsnonnalform:

1

-1

0

0

- 1

1

0'

0

0

'0

1

О О О

-1

0

0

3

2

0

ÏR

+

X. +

- 1

0

• 0 0

0

1 0 1

10

2

1

-10

-12

-3

-1

0

0

0 - 1 0

0

0

1

1

0 0

0

-10

-2

16

8

1"

6

5

1

• 0 0

0

1 0

-24

-26

4

O l "

u,

y = [l

0

u,

y = [l

-1

0]Xß.

l]xj.

-1

- 1

Ч

c)

0

0

10

Jordan-Normalform:

1 0

0

0 -1

RegelungsnormaUorm:

0

1

" 1 Jordan-Normalform;

h)

0

0

u,

y = [8

4

5]xh+[3]u.

Ί' ÏJ + 0

1 0 1

u,

y = [l

-2

4]xj+[3]u.

1 0'

ÎR + 0 -9 1

u,

y = [6

5

l]x«.

141

Lösungen zu den Aufgaben "2 -1 0" Î2 = 0 0 1 1 -1 0

Jordan-NormaUbrm:

-2 0 0 l ÍJ = 0 -3 0 2j + 1 u, y=[0 0 l]xj. 0 0 -4 1

Aufgabe 3.8: 1 0,25(l-e-^') 0,25(t-0,25 + 0,25e-") а)Фа) = , x(t) = 0 e^' 0,25(1-6-·") 0

b) Ф ( « =

, x(t) =

Aufgabe 3.9: Y(8), 2 ,U(s) = ft a)Z(s) = 0: U(s) ' s(s + 4) Z(s) Aufgabe 3.10: 3.1; G(s) = Gz(s) =

3.3: G(8) = Gz(s) =

KA

(l + Ts)[ins2+(b + RA2)s + k

' X(t) =

z(t) = 0.

b) Z(s) = 0:

U(s)

3.2: G(s) =

1-е"·

y(t) = 2t, u(t) = 0.

y(t) = 2-e-^ u(t) = 0.

= U(s) = (s + 2)(s + 4)

ft - 2 Z(s) s + 2

KB JiJjs"+BJ2S''+ K(Ji +J2)s + BK

-(Jis^'+Bs + K) Gz(s) = " JlJsS^+BJ2S=+K(Ji + J2)s + BK •

- 1

ms-'+ib + RAOs + k KK J(KL + KiK2)S''+ JRKs + KKiKj

y(t) = 0,5(t-0,25 + 0,25e-"), x(t) = z(t) = 0.

3.4:

=

R(s) R(s)

-[(KL + KiK2)S + RK]

• R(s) = ViVjpcs^ + [pc(V2Qi + V1Q20) + kA(Vi + V2)]s +

J(KL + К iK2)s2 + JRKs + KK 1K2 '

+QiQ2oPc + kA(Qi + Q2o). Aufgabe 3.11: a)x =

"-5 1 1" 0" -0,5 3 -2,5' •-3 0 0" Ί" 0 -3 -2 x + 1 u. b) T = -1 2 0 . i j = 0 - i 0 ÏJ + 1 u 0 0 -5 0 0-4 1 0 1 0 1

y = 1 0 -3]x.,

y = -0,5 0 -2,5]xj.

Das System ist vollständig zustandssteuerbar, aber nicht vollständig zustandsbeobachtbar (Xj2 ist nicht beobachtbar). Y(s) -(3s+10) c) Ubertragungsfiinktion G(s) = U(s) (s + 3)(s + 5) Aufgabe 3.12: 0

1 0

0

2 - 1

0 - 1 2 0 1 -5 = 3, b) Rang Q = Rang 0 c)RangQg=Rang 1 - 3 9 1 - 2 = 2, 1 -4 2 1 -4 -2 1 -2 6 steuerbar. nicht steuerbar. steuerbar. 1 2 1 • 0 1 0 -1 0 1 RangQg = Rang 0 2 1 0 1 = 3, RangQg = Rang - 2 RangQ^ = Rang 6 1 ^ ООО 4 -10 -2 -28 -5 16 nicht beobachtbar. beobachtbar. beobachtbar.

a)RangQ^ = Rang

Kapitel 4 "0 1 0'1 0' b) ÍR = 0 0 1 ΪΒ + 0 u, y = [4 1 0]x„. 0 -2 -3 1_

Ό 1 0" 0" Aufgabe 4.1: a) x = 0 -2 3 x + 1 u, y = [l 0 0]x. 0 0 -1 Ij

4 10 c) u = 10w-[40 22 9]x„.MitT = 0 4 1 folgt: U=10w-[10 -3 12]x. 0

2

1

142

Lösungen

O l d) x = -10

-9

w, y = [ l 0 0]x.

Ol

G„(s)=-5—

40

Г о '

1 x+

0

0 0 -2J b)

e)

3 -13

O l χ= 0 0

Aufgabe 4Λ: a)

Aufgaben

0 1

-10

zu den

u,

y = [ l 0 0]x.

[loooj

Μί1λι = -1,λ23 = 10 folgt:u = 0 , l w - [ 0 , l 0,12 0,019]x.

c)

Gw(s)=-

100 + 218=^ + 1208 + 100

100 (s + 1X8 + 10)2

Mit V = X2 als einzig meBbarer ZustandsgröSe ist das System nicht 4 t(8] beobachtbar, da die Beobachtbariieitsœatrix nicht den vollen Rang —в besitzt. Es kann damit also auch kein Beobachter realisiert werden. Die Führungsübergangslunktion zusammen mit der eines FTl-Gliedes mit einer Zeitkonstante Τ = 1 s ist im obigen Bild dargestellt. 0 0 1 -24 -8000 x + 88 0 0,02 0 -0,02 0

Aufgabe4.3:

a) u = 0,55z-[0,56

0,075

50]x.

b) x = -88

-0,02s(s + 24) ^ " 8 ^ + 248^+888+160 Aufgabe 4.4:

• - 2 4" 0 -1 x+ u+ z, -2,5 Oj 0 0,625

a) χ

с) Mit λΒΐ.2 = -20 folgt: X =

Aufgabe 4.6:

a) χ =

0

-1 '

0 -0,05

x+

"-«)

0 0,0025

y = [ l 0]x.

t 19,2]x+16j(w-y)dt. 0

4'

-100 0

u+

b) u = -[4

x+

0 0,625

u+

' 38 • y· 97,5 t

1 0

y = [ l 0]x. b) u — ( - 1 2

100]x-0,4j(w-y)dt. 0

с) Gw(a) = „

, .

I

0,001

(8 + 0,1)' ' s(s + 0,3)

Aufgabe 4.6: a)

3750

x-

b) u = -[0,04 c)

u = -[l

1400]x + 2400z. t 13400]x + 7,0632|(w-y)dt.

r -38,23s d) Gz(s) = 5·, (s + 0,15)'

„ ,, -38,238(8+1.8) Gz(s) = 5 . (8 + 0,15)^(8+1,5)

mit StörgröBenauCschaltung mit Integration des Regelfehters

e) y(t)—0,3823te-°·'", e „ „ =0,94 cm, y(t) —0,4672te-°·'^' +0,0629(e-°·'" -e-"·®'), e „ „ - 1,12 cm.

80 Aufgabe 4.7: a) x = c)

0

2

0

-4

u = 8w-[8

x+

Ό 2

2]x.

u,

y = [l

l]X'

b) Das System ist vollständig 8teuer-und beobachtbar,

d) Mit Xbi = Xb2 = - 1 0 folgt fflr den Beobachter: -34 -32' 18

t[s]

14

x+

0" 2

u+

• 34' -18

Lösungen zu den Aufgaben

143

Kapitel 5 AufgabeS.!: a) Jy+ Ку+Мн = 0; Мв=Мс für y>0, Мв=-Мс für y0: •^ + (xi + 0,5)^ =R^ Xa 0: xi+(Xl + 0,5Я = R^

X2Δ: u = Κρ(Δ-Χι), ΙΙ:-Δ