Proporzionamento di strutture in acciaio [3 ed.]

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Claudio Bernuzzi

PROPORZIONAMENTO DI STRUTTURE IN ACCIAIO Progettazione e verifiche semplificate secondo NTC 2018

HOEPLI

PROPORZIONAMENTO DI STRUTTURE IN ACCIAIO

CLAUDIO BERNUZZI

PROPORZIONAMENTO DI STRUTTURE IN ACCIAIO Progettazione e verifiche semplificate secondo NTC 2018

EDITORE ULRICO HOEPLI MILANO

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Indice

Premessa .............................................................................................. XI di Claudio Bernuzzi Prefazione .......................................................................................... XIII di Giulio Ballio Cap. 1 Prodotti, materiale e metodi di calcolo .....................................1 1.1 Premessa .......................................................................................1 1.2 I prodotti .......................................................................................2 1.2.1 I prodotti lunghi ............................................................................2 1.2.2 I prodotti piani ..............................................................................4

1.3 Il materiale acciaio ..........................................................................8 1.3.1 I processi di lavorazione ................................................................. 13 1.3.2 Le imperfezioni ........................................................................... 16

1.4 Cenno storico ............................................................................... 21 1.5 I metodi di calcolo......................................................................... 24 1.5.1 Il metodo delle tensioni ammissibili ................................................... 34 1.5.2 Il metodo semiprobabilistico agli stati limite ........................................ 36

1.6 L’approccio progettuale.................................................................. 44 Applicazioni ................................................................................. 50

Cap. 2 Le tipologie strutturali ............................................................ 57 2.1 Premessa ..................................................................................... 57 2.1.1 Il trasferimento delle azioni verticali .................................................. 58 2.1.2 Meccanismi di trasferimento delle azioni orizzontali ............................... 63

2.2 Classificazione dei telai .................................................................. 67 2.2.1 Classificazione in base alla tipologia strutturale .................................... 67 2.2.2 Classificazione in base alla stabilità trasversale ..................................... 70 2.2.3 Classificazione in base ai giunti trave-colonna ...................................... 73

2.3 Classificazione delle sezioni trasversali ............................................. 74

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Indice

2.4 I telai pendolari ............................................................................. 81 2.4.1 La disposizione dei controventi ....................................................... 82

Applicazioni ........................................................................................ 87

Cap. 3 Gli elementi tesi ...................................................................... 91 3.1 Premessa ...................................................................................... 91 3.2 Dimensionamento degli elementi tesi ................................................. 93 Applicazioni ....................................................................................... 95

Cap. 4 Gli elementi inflessi ................................................................ 97 4.1 Premessa ..................................................................................... 97 4.2 Verifiche di deformabilità ............................................................... 98 4.3 Verifiche di resistenza ...................................................................101 4.3.1 Resistenza a flessione ...................................................................102 4.3.2 Resistenza a taglio ......................................................................102 4.3.3 Resistenza a flessione e taglio .........................................................103

4.4 Approccio semplificato alle tensioni .................................................. 104 4.4.1 Resitenza a flessione ....................................................................104 4.4.2 Resistenza a taglio ......................................................................106 4.4.3 Resistenza a flessione e taglio .........................................................108

4.5 Progettazione di elementi inflessi .....................................................109 4.5.1 Progettazione con interasse definito .................................................110 4.5.2 Progettazione con interasse non definito ............................................114

4.6 Stabilità di elementi inflessi ...........................................................117 4.6.1 Approccio semplificato per la progettazione .......................................118

Applicazioni ......................................................................................120

Indice

Cap. 5 Gli elementi compressi ...........................................................141 5.1 Premessa ....................................................................................141 5.2 L’asta ideale ................................................................................142 5.2.1 La curva di stabilità per l’asta ideale ................................................145

5.3 L’asta industriale..........................................................................147 5.4 Progetto e verifica di elementi compressi .........................................155 Applicazioni......................................................................................158

Cap. 6 Gli elementi presso-inflessi ....................................................173 6.1 Premessa ....................................................................................173 6.2 La deformabilità ..........................................................................174 6.3 La resistenza ...............................................................................174 6.4 La stabilità ..................................................................................175 6.5 Progetto e verifica di elementi presso-inflessi ...................................176 Applicazioni ......................................................................................178

Cap. 7 Le travi reticolari ...................................................................187 7.1 Premessa .....................................................................................187 7.2 Introduzione alle travi reticolari ......................................................190 7.3 Proporzionamento delle travi reticolari .............................................193 7.3.1 Deformabilità delle travi reticolari ...................................................194 7.3.2 La resistenza delle travi reticolari ....................................................197 7.3.3 La stabilità delle travi reticolari ......................................................197

7.4 Progettazione di travi reticolari .......................................................198 Applicazioni......................................................................................200

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Indice

Cap. 8 Le unioni bullonate ................................................................223 8.1 Premessa .....................................................................................223 8.2 Generalità sulle unioni bullonate......................................................224 8.2.1 Le unioni a taglio ........................................................................225 8.2.2 Le unioni a trazione .....................................................................231 8.2.3 Le unioni a taglio e trazione ...........................................................235

8.3 Verifiche di unioni bullonate ............................................................235 8.3.1 Prescrizioni dimensionali ...............................................................235 8.3.2 Verifica a taglio sui bulloni .............................................................236 8.3.3 Verifica a trazione sui bulloni .........................................................237 8.3.4 Verifica a taglio e trazione sui bulloni ...............................................237 8.3.5 Verifica dell’unione ad attrito .........................................................237 8.3.6 Verifica a rifollamento della lamiera .................................................239

Applicazioni......................................................................................241

Cap. 9 Le unioni saldate ...................................................................247 9.1 Premessa .....................................................................................247 9.2 Generalità sulle unioni saldate.........................................................247 9.3 Le sollecitazioni nelle unioni saldate ................................................250 9.3.1 La trazione ...............................................................................252 9.3.2 La flessione e il taglio ..................................................................254 9.3.3 La torsione e il taglio ...................................................................256

9.4 Verifica delle unioni saldate ............................................................258 Applicazioni......................................................................................261

Cap. 10 I giunti ...................................................................................265 10.1 Premessa ....................................................................................265 10.2 Articolazioni e giunti.....................................................................265

Indice

10.3 Giunti intermedi ..........................................................................266 10.3.1 Giunti trave-trave ......................................................................267 10.3.2 Giunti colonna-colonna ...............................................................268

10.4 Giunti d’estremità ........................................................................270 10.4.1 Giunti tra travi .........................................................................270 10.4.2 Giunti tra trave e colonna ............................................................271 10.4.3 Giunti per elementi di controventi ..................................................273 10.4.4 Giunti di base ...........................................................................274 10.4.5 Giunti tra elementi in acciaio ed elementi in calcestruzzo .....................276

10.5 Dimensionamento dei giunti ...........................................................277 10.5.1 I giunti a cerniera ......................................................................280 10.5.2 I giunti rigidi ............................................................................283 10.5.3 I giunti semi-rigidi .....................................................................284

Applicazioni .......................................................................................288

Appendice A .......................................................................................303 Appendice B .......................................................................................311 Appendice C .......................................................................................337 %LEOLRJUDÀD .........................................................................................369

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Premessa

Pubblicato per la prima volta nel 2004 e successivamente nel 2011 (Polipress, Milano), il volume recepisce in questa nuova edizione la recente pubblicazione delle Norme Tecniche delle Costruzioni, in vigore dal 22 marzo 2018 su tutto il territorio nazionale. La principale finalità del testo consisteva e consiste tuttora nel contribuire alla formazione di architetti e geometri, costituendo, al contempo, un riferimento, pratico e concreto, per tutte le figure professionali attive nell’ambito delle costruzioni in acciaio e tuttavia necessitanti di una specifica formazione di base. Il volume è articolato in 10 capitoli strutturati, per quanto possibile, in modo indipendente al fine di agevolarne la consultazione anche in momenti successivi allo studio. In dettaglio, a seguito di una parte introduttiva su materiale, prodotti e metodi di calcolo (capitolo 1), nel capitolo 2 si affronta la tematica delle tipologie strutturali ed in particolare dei telai pendolari, sicuramente ricorrenti per le comuni applicazioni. L’attenzione è stata quindi posta su profilati isolati di dimensioni trasversali non sensibili a fenomeni di instabilità locale considerando il dimensionamento di membrature tese (capitolo 3), inflesse (capitolo 4), compresse (capitolo 5) e presso-inflesse (capitolo 6). Il successivo capitolo 7 tratta il caso in cui siano accoppiati profilati singoli, con esplicito riferimento alle travature reticolari, indubbiamente convenienti per coprire grandi luci o sopportare carichi di intensità elevata. Una particolare attenzione è stata poi dedicata ai sistemi di vincolo tra le membrature. In dettaglio, sono state considerate le unioni bullonate (capitolo 8) e quelle saldate (capitolo 9), ossia sono stati proposti criteri e regole per la verifica di collegamenti elementari intesi come componenti dei giunti. A questi ultimi è stato invece dedicato il capitolo 10, illustrando alcune tra le soluzioni maggiormente ricorrenti nella carpenteria metallica per l’edilizia civile e industriale. Il volume è corredato da numerose applicazioni al fine di favorire una più diretta e immediata comprensione dei concetti proposti e le appendici costituiscono un pratico supporto per casi progettuali ricorrenti in ambito formativo, ovvero professionale. Lungi dal voler essere una guida alla progettazione, il testo è comunque caratterizzato da una pratica semplificazione delle formule pro-

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gettuali con la finalità di definire l’ingombro degli elementi portanti. Tra l’altro il concetto di proporzionamento (o dimensionamento di massima) risulta di estrema attualità anche con riferimento alle NTC, essendo il progettista obbligato a esprimere un “giudizio motivato di accettabilità dei risultati” associati alla progettazione, ora obbligatoriamente richiesto dal capitolo 10 (Redazione di progetti) delle norme stesse. Esprimo anticipatamente i più sentiti ringraziamenti a tutti coloro che vorranno segnalare eventuali refusi o spunti di miglioramento, in vista di possibili futuri aggiornamenti e/o nuove edizioni.

Claudio Bernuzzi

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Prefazione

Le mie esperienze di docente e di progettista mi hanno mostrato quanto possano essere diversi gli atteggiamenti necessari per affrontare un problema strutturale. Vi è una via intuitiva, basata sull’esperienza e sull’imitazione, che permette di individuare soluzioni costruttive e loro dimensioni. Vi è una via deduttiva, basata sulla modellazione matematica, che permette di ottenere soluzioni innovative che non potrebbero essere in altro modo raggiunte. La prima è semplice e rapida; la seconda è complessa e spesso richiede tanto lavoro. Purtroppo oggi le due vie vengono spesso confuse massimizzando non i loro pregi, bensì i loro difetti: per concepire soluzioni costruttive e il loro primo dimensionamento oggi si tende a utilizzare analisi di modelli matematici anche sofisticate. Il progettista viene così a dipendere da quanto il tecnico, o il programma di calcolo, gli propone. Forse molta responsabilità dell’attuale situazione sta nella dicotomia che si è verificata negli ultimi decenni tra i processi formativi dell’ingegneria strutturale da un lato e dell’architettura dall’altro. Il primo sempre più orientato alla trattazione di modelli matematici, il secondo sempre più angustiato da argomentazioni volte più alla verifica che non al progetto. Credo che qualcosa si stia positivamente muovendo per migliorare l’atteggiamento di docenti e studenti; forse questo libro costituisce un primo tentativo di trovare una strada comune nell’insegnamento e nell’apprendimento dei molti problemi strutturali delle costruzioni in acciaio. Giulio Ballio

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1 Prodotti, materiale e metodi di calcolo

1.1 Premessa La costruzione in acciaio, sia essa a uso civile oppure industriale, è sempre caratterizzata da una struttura portante intelaiata (Figura 1.1), ossia nasce dall’assemblaggio di elementi monodimensionali, in cui la dimensione longitudinale degli elementi prevale nettamente rispetto alle dimensioni trasversali. Figura 1.1 Tipico sistema intelaiato per struttura in acciaio.

Gli elementi monodimensionali vengono tagliati e lavorati in stabilimento e assemblati in opera mediante i giunti trave-colonna (Figura 1.2), i giunti intermedi (trave-trave e colonna-colonna) e i giunti di base tra la colonna e la fondazione. Figura 1.2 Dettaglio di un giunto tra travi e colonna.

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Capitolo 1

Gli orizzontamenti di piano, le coperture, i tramezzi e i tamponamenti sono invece realizzati utilizzando componenti piane, ossia elementi aventi sviluppo bidimensionale.

1.2 I prodotti I prodotti per le costruzioni in acciaio dell’edilizia civile e industriale vengono distinti in prodotti lunghi e prodotti piani. 1.2.1 I prodotti lunghi

Gli elementi monodimensionali che vengono usualmente impiegati per la realizzazione di travi, colonne ed elementi diagonali nelle strutture in acciaio sono denominati prodotti lunghi. Nelle Figure 1.3 e 1.4 vengono riportate alcune tipiche sezioni trasversali utilizzate nei profilati più comuni. In dettaglio si osservano: • profilati a doppio T ad ali strette (a), impiegati principalmente per le travi di solaio e di copertura; • profilati a doppio T ad ali larghe (b), utilizzati prevalentemente per le colonne e anche per le travi di solaio e di copertura nel caso in cui si voglia contenere l’altezza del pacchetto strutturale; • profilati a C (c), impiegati nelle diagonali, nelle componenti di travi reticolari e nelle membrature composte; • profilati a L o angolari (d), impiegati nelle diagonali, nei giunti, nelle componenti di travi reticolari e nelle membrature composte; • profilati scatolari (e-f ), a sezione circolare o rettangolare, impiegati prevalentemente nelle colonne; • profilati a T (g), impiegati nei giunti, nelle componenti di travi reticolari e nelle membrature composte. Figura 1.3 Tipiche sezioni trasversali per profilati in acciaio. (a)

(b)

(e)

(f)

(c)

(g)

(d)

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

Figura 1.4 Movimentazione di profilati a doppio T.

Questi elementi vengono prodotti con sezioni traversali di dimensioni prefissate e le caratteristiche dimensionali, unitamente alle principali proprietà geometriche della sezione, sono riportate nei sagomari (detti anche profilari). Nell’Appendice A di questo volume sono fornite le caratteristiche geometriche dei principali tipi di prodotti lunghi, e in particolare per i profilati a doppio T delle serie IPE, HEA, HEB e HEM, e per i profili a C, singoli e accoppiati. A volte l’utilizzo di profilati singoli può non essere possibile oppure non risultare conveniente (per esempio a causa di carichi di notevole entità oppure per le grandi dimensioni richieste all’elemento strutturale). Si utilizzano quindi profili composti, ossia profili dati dall’accoppiamento di profili singoli aventi idonee sezioni trasversali (Figura 1.5). Figura 1.5 Profili composti per la realizzazione di colonne.

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Capitolo 1

1.2.2 I prodotti piani

I prodotti piani sono così denominati poiché hanno uno sviluppo prevalentemente bidimensionale, essendo caratterizzati da uno spessore notevolmente ridotto rispetto alle altre dimensioni (lunghezza e larghezza). Essi vengono distinti in: • lamiere sottili, con spessore fino a 3 mm, utilizzate per ricavare profili sagomati a freddo, tubi saldati e lamiere grecate ossia prodotti la cui particolare forma della sezione trasversale (Figura 1.6) conferisce caratteristiche di rigidezza e resistenza che la lamiera piana non possiede; • lamiere medie, con spessore compreso tra 3 mm e 4,7 mm, impiegate, in relazione alle esigenze di utilizzo, negli ambiti delle lamiere sottili e di quelle grosse; • lamiere pesanti, con spessore superiore a 4,7 mm, particolarmente utilizzate nella costruzione di elementi composti a parete piena e come componenti essenziali dei collegamenti. Le lamiere grecate vengono correntemente utilizzate per la realizzazione di strutture portanti di piano, di copertura, di tramezzi e di tamponamenti verticali. Figura 1.6 Tipiche sezioni trasversali per elementi in lamiera grecata.

Nel caso di orizzontamenti di piano, usualmente sono disponibili lamiere grecate in spessori da 0,7 mm a 1,5 mm e con altezze da 55 mm a circa 200 mm. Per queste applicazioni si preferiscono soluzioni miste, dette anche composte in acciaio e calcestruzzo (Figura 1.7) a causa delle migliori capacità prestazionali associate all’utilizzo dei due materiali. Figura 1.7 Tipico solaio misto con lamiera grecata e conglomerato cementizio.

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

L’altezza dei solai misti non è mai inferiore a 80 mm e lo spessore del getto di completamento deve essere superiore a 40 mm. La lamiera grecata, che funge da cassero per il conglomerato cementizio nelle fasi di getto e maturazione, può avere pareti con bugnature o sistemi regolari di rilievi che rendono possibile la perfetta solidarizzazione tra acciaio e calcestruzzo. In questi casi la lamiera viene detta collaborante (HI-BOND) e la soletta è composta e deve essere quindi progettata tenendo conto anche del contributo statico offerto dalla sezione della lamiera (che assorbe gli sforzi di trazione associati alla flessione) mediante le regole utilizzabili per le strutture in conglomerato cementizio armato ovvero quelle per le strutture miste in acciaio e calcestruzzo. In altri casi, la lamiera grecata, usualmente con pareti lisce, funge soltanto da cassero a perdere e pertanto la funzione resistente è garantita dal conglomerato cementizio che deve quindi essere sempre accoppiato a specifiche barre di armatura in acciaio, necessarie per sopportare gli sforzi di trazione associati all’impegno flessionale della soletta. L’uso di sola lamiera grecata per la realizzazione del solaio (in questo caso denominato a secco) è estremamente raro per la scarsa capacità portante e coibentante e per le notevoli vibrazioni che si avvertono in esercizio a causa della sua leggerezza. Figura 1.8 Elemento coibentato per copertura.

Figura 1.9 Elemento coibentato per tamponamenti.

Nel caso di tettoie, pensiline e coperture per edifici di importanza secondaria oppure opere provvisionali, si utilizzano usualmente lamiere grecate non coibentate. Molti prodotti per coperture, tramezzi e tamponamenti vengono commercializzati direttamente in pannelli con la coibentazione inserita in stabilimento e interposta (Figura 1.8) tra le

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Capitolo 1

Tabella 1.1 Esempio di tabella di portata per solaio a secco in lamiera grecata.

due lamiere (pannelli sandwich). Nella Figura 1.9 viene schematicamente indicato un tipico elemento grecato coibentato per tamponamenti. Le scelte dei tamponamenti e il dimensionamento delle lamiere per coperture e solai (sia a secco sia composti) avvengono in fase di dimensionamento iniziale mediante le tabelle di portata. Per ogni tipologia di elemento sono presenti, nel catalogo del produttore, specifiche tabelle nelle quali vengono indicati il peso proprio per unità di superficie e il massimo valore della luce compatibile con determinati valori di carico o sovraccarico, ovvero il massimo valore di carico o sovraccarico in funzione della luce per alcuni ricorrenti schemi statici (usualmente la trave in semplice appoggio e la trave continua a tre campate). Le Tabelle 1.1 e 1.2 rappresentano schematicamente le tabelle di portata, tipiche rispettivamente per lamiere grecate a secco e per solai composti in acciaio e calcestruzzo, gettati su lamiera grecata collaborante. Nel primo caso il prodotto è fornito con differenti spessori di lamiera (da 0,6 mm a 1,5 mm) e, per ognuno di questi, viene riportato il valore del massimo carico sopportabile in funzione della distanza tra gli appoggi.

LAMIERA GRECATA A SECCO tipo XYZ

H = 58 mm

H

Caratteristiche geometriche della lamiera al variare del suo spessore (sp) sp = 0,6 mm sp = 0,8 mm sp = 1,0 mm sp = 1,2 mm sp = 1,5 mm 12,07 Peso kg/m2 Peso kg/m 7,85 157,24 J totale in cm4/m 151,32 J ridotto in cm4/m 36,01 Ws in cm3/m 43,89 Wi in cm3/m

CARATTERISTICHE PRESTAZIONALI sovraccarico massimo in N/m2 1,5 m

2,0 m 5500 6660 9220 11 500 14 700

1,5 m

2,0 m 6880 8320 11 500 14 800 18 450

sp = 0,6 mm sp = 0,8 mm sp = 1,0 mm Sp = 1,2 mm sp = 1,5 mm

sp = 0,6 mm sp = 0,8 mm sp = 1,0 mm sp = 1,2 mm sp = 1,5 mm

distanza tra gli appoggi in metri 2,5 m 3,0 m 3,5 m 4,0 m 4,5 m 5,0 m 5,5 m 6,0 m

distanza tra gli appoggi in metri 2,5 m 3,0 m 3,5 m 4,0 m 4,5 m 5,0 m 5,5 m 6,0 m

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

Tabella 1.2 Esempio di tabella di portata per solaio composto in acciaio e calcestruzzo.

La tabella di portata tipica per il solaio misto in acciaio e calcestruzzo (Tabella 1.2) contiene, come ulteriore variabile di progetto, anche l’altezza totale del solaio (intesa come somma tra l’altezza della lamiera e quella del getto di completamento in calcestruzzo). Le tabelle di portata sono elaborate sulla base di approcci, usualmente richiamati nei relativi cataloghi commerciali, che tengono conto dei limiti di deformabilità e dei criteri di resistenza riportati nella normativa. A volte, in corrispondenza di una precisa configurazione, si possono trovare due diversi valori di carico sopportabile dalla lamiera o di distanza tra gli appoggi. Il valore minore soddisfa entrambe le limitazioni su resistenza e deformabilità mentre quello più grande ne soddisfa una soltanto (solitamente quella associata alla resistenza).

LAMIERA GRECATA COLLABORANTE PER SOLAIO COMPOSTO tipo KYZ Caratteristiche geometriche della lamiera al variare della sua altezza totale (H) Spessore Peso solaio J totale in Ws in cm3/m Wi in cm3/m H totale del solaio cm kg/m2 lamiera mm cm4/m H = 11 0,6 mm 643 0,9 mm 828 H = 12 1,2 mm 943 1,5 mm 1 100 H = 13

CARATTERISTICHE PRESTAZIONALI distanza tra gli appoggi in metri Sovraccarico massimo in N/m2 H totale del solaio cm H = 11 H = 12

Spessore lamiera mm sp = 0,6 sp = 0,9 Sp = 1,2 sp = 1,5

2500

mm mm mm mm

3000 2,41 3,01 3,29 3,64

3500

4000

4500

5000

5500

6000

m m m m

H = 13 Sovraccarico massimo in N/m2 H totale del solaio cm H = 11 H = 12 H = 13

Spessore lamiera mm sp = 0,6 sp = 0,9 Sp = 1,2 sp = 1,5

mm mm mm mm

2500

3000 2,57 3,29 3,59 3,96

m m m m

3500

4000

4500

5000

5500

6000

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Capitolo 1

1.3 Il materiale acciaio Il termine acciaio individua particolari leghe ferro-carbonio caratterizzate da ben definite quantità percentuali delle componenti. In particolare, le leghe ferro-carbonio sono distinte, sulla base del quantitativo di carbonio (C), in: • ghise, se il tenore di carbonio (ossia il quantitativo percentuale in peso di carbonio presente nella lega) è superiore all’1,7% (in letteratura si trova a volte indicato come limite il valore del 2%); • acciai quando il tenore di carbonio è inferiore. A loro volta, gli acciai vengono distinti, sulla base di una terminologia in uso soprattutto in passato, in extra-dolci (C < 0,15%, comunemente anche denominati ferro), dolci (C = 0,15 ÷ 0,25%), semiduri (C = 0,25 ÷ 0,50%), duri (C = 0,50 ÷ 0,75%) e durissimi (C > 0,75%). Gli acciai per le costruzioni ad uso civile e industriale, denominati anche acciai da costruzione o acciai da carpenteria, hanno tenore di carbonio indicativamente compreso tra 0,1% e 0,3%. Il carbonio eleva le caratteristiche di resistenza, ma riduce sensibilmente la duttilità e la saldabilità del materiale; per tale motivo gli acciai da costruzione devono necessariamente essere caratterizzati da un basso tenore di carbonio. Oltre a ferro e carbonio, negli acciai da costruzione si hanno anche modesti quantitativi di altri elementi in parte derivanti dal materiale estratto e non eliminati nelle successive lavorazioni e in parte invece appositamente aggiunti per conferire alla lega determinate caratteristiche fisiche-meccaniche. Il materiale acciaio è caratterizzato da un legame costitutivo tensionedeformazione (σ −ε) simmetrico a trazione e compressione. Usualmente viene determinato mediante la prova di trazione su spezzoni opportunamente lavorati ricavati dai profili. In Figura 1.10 è schematicamente riportato il tipico legame costitutivo per gli acciai da costruzione. In dettaglio, è possibile individuare le seguenti fasi: • un primo tratto pressoché rettilineo (fase elastica) in cui il materiale ha un comportamento praticamente elastico lineare fino al raggiungimento della tensione di snervamento ( fy ). La pendenza in questo primo tratto individua il modulo di elasticità del materiale (detto anche modulo di elasticità longitudinale o modulo di Young), usualmente indicato con E, il cui valore convenzionale è 210 000 N/mm2; • una fase plastica caratterizzata, nel sistema di riferimento σ −ε,

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

da una pendenza estremamente ridotta o addirittura nulla; • un ultimo tratto (fase incrudente) la cui pendenza è sensibilmente minore rispetto a quella del primo tratto, fino ad arrivare alla rottura del provino, in corrispondenza della tensione fu. Il modulo elastico (definito per questa fase incrudente) assume in questo tratto un valore compreso tra 4 000 N/mm2 e 6 000 N/mm2. Figura 1.10 Legame costitutivo per gli acciai da costruzione.

σ fu fy

εy ε

tensione di snervamento

campo incrudente

m

campo plastico

Figura 1.11 Schematizzazione del legame costitutivo per l’acciaio da costruzione.

campo elastico

Usualmente il legame costitutivo dell’acciaio viene schematizzato con tratti lineari come indicato in Figura 1.11, con un modello elastoplastico incrudente. In realtà molte volte nei calcoli progettuali è sufficiente utilizzare un modello elasto-plastico perfetto, trascurando la pendenza e l’incremento di resistenza del ramo incrudente e limitando la capacità portante al raggiungimento della tensione di snervamento.

¡ Le principali caratteristiche meccaniche, in termini di valori minimi della tensione di snervamento e di rottura (rispettivamente fy e fu) delle classi di acciaio più diffuse sono riportate nelle Tabelle 1.3a

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Capitolo 1

e 1.3b, riferite rispettivamente ai prodotti laminati a caldo e alle sezioni tubolari. In queste tabelle i valori delle tensioni riportate sono differenziati a seconda che lo spessore del prodotto sia inferiore o superiore a 40 mm, a causa dell’influenza dei processi di lavorazione. Il sistema di designazione degli acciai ora in uso prevede una sigla alfanumerica in cui il primo termine S individua appunto gli acciai per impieghi strutturali. Il numero successivo indica invece la tensione di snervamento. In passato, il sistema di designazione prevedeva invece la sigla Fe (che indicava acciaio per uso strutturale) accompagnata da un numero che rappresentava il valore minimo di tensione di rottura. Risulta quindi immediata la seguente corrispondenza in quanto: • l’acciaio S 235 corrisponde all’acciaio denominato Fe 360 nel precedente sistema di designazione; • l’acciaio S 275 corrisponde all’acciaio denominato Fe 430 nel precedente sistema di designazione; • l’acciaio S 355 corrisponde all’acciaio denominato Fe 510 nel precedente sistema di designazione. Tabella 1.3a Caratteristiche meccaniche degli acciai impiegati per i prodotti laminati a caldo.

(Riferimento normativo) Classe di acciaio (UNI-EN 10025-2) S 235 S 275 S 355 S 450 (UNI-EN 10025-3) S 275 N/NL S 355 N/NL S 420 N/NL S 460 N/NL (UNI-EN 10025-4) S 275 M/ML S 355 M/ML S 420 M/ML S 460 M/ML (UNI-EN 10025-5) S 235 W S 355 W (UNI-EN 10025-6) S 460 Q/QL/QL1

Gli altri termini che compaiono nelle sigle identificative delle classi di acciaio permettono di individuare importanti caratteristiche del materiale e del prodotto, come ad esempio le condizioni di fornitura ovvero i requisiti richiesti per la fragilità alle basse temperature. Spessore nominale dell’elemento t espresso in millimetri t ≤ 40 mm 2

40 mm < t ≤ 80 mm 2

fy [N/mm ]

fu [N/mm ]

fy [N/mm2]

fu [N/mm2]

235 275 355 440

360 430 510 550

215 255 335 410

360 410 470 550

275 355 420 460

390 490 520 540

255 335 390 430

370 470 520 540

275 355 420 460

370 470 520 540

255 335 390 430

360 450 500 530

235 355

360 510

215 335

340 490

460

570

440

580

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

Spessore nominale dell’elemento t espresso in millimetri (Riferimento normativo) tipo di acciaio

t ≤ 40 mm

40 mm < t ≤ 65 mm

fy [N/mm2]

fu [N/mm2]

fy [N/mm2]

fu [N/mm2]

235 275 355

360 430 510

215 255 335

340 410 490

S 275 NH/NLH S 355 NH/NLH S 420 NH/NLH S 460 NH/NLH (UNI-EN 10219-1) S 235 H S 275 H S 355 H

275 355 420 460

390 490 540 560

255 335 390 430

370 470 520 550

235 275 355

360 430 510

S 275 NH/NLH S 355 NH/NLH S 460 NH/NLH

275 355 460

370 470 550

S 275 MH/MLH S 355 MH/MLH S420 MH/MLH S 460 MH/MLH

275 355 420 460

360 470 500 530

(UNI-EN 10210-1) S 235 H S 275 H S 355 H

Tabella 1.3b Caratteristiche meccaniche degli acciai impiegati per i prodotti con sezioni cave.

Maggiori dettagli relativi ai sistemi di designazione degli acciai si possono trovare in: • UNI EN 10027-1:2006 “Sistemi di designazione degli acciai – Parte 1: Designazione simbolica”; • UNI EN 10027-2:1993 “Sistemi di designazione degli acciai. Designazione numerica”. Affinché un acciaio ricada in una particolare classe è necessario che siano soddisfatti anche tutti i requisiti legati alla sua composizione chimica, ossia ci deve essere la garanzia che gli elementi “secondari” presenti nella lega siano in quantità estremamente ridotte e non generino effetti indesiderati (ad esempio, riduzione della duttilità, alterazione delle proprietà di saldabilità, ecc.). Esistono pertanto specifiche normative di settore le quali definiscono oltre le caratteristiche meccaniche, anche il massimo tenore (ossia contenuto in termine percentuale) di elementi ammessi nella lega a seconda della classe di acciaio. Per quanto riguarda i profili laminati a caldo deve essere fatto riferimento alle seguenti normative: • UNI EN 10025-1:2005 “Prodotti laminati a caldo per impie-

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Capitolo 1

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ghi strutturali – Parte 1: Condizioni tecniche generali di fornitura”; UNI EN 10025-2:2005 “Prodotti laminati a caldo per impieghi strutturali – Parte 2: Condizioni tecniche di fornitura di acciai non legati per impieghi strutturali”; UNI EN 10025-3:2005 “Prodotti laminati a caldo per impieghi strutturali – Parte 3: Condizioni tecniche di fornitura di acciai per impieghi strutturali saldabili a grano fine allo stato normalizzato/normalizzato laminato”; UNI EN 10025-4:2005 “Prodotti laminati a caldo per impieghi strutturali – Parte 4: Condizioni tecniche di fornitura di acciai per impieghi strutturali saldabili a grano fine ottenuti mediante laminazione termo meccanica”; UNI EN 10025-5:2005 “Prodotti laminati a caldo per impieghi strutturali – Parte 5: Condizioni tecniche di fornitura di acciai per impieghi strutturali con resistenza migliorata alla corrosione atmosferica”; UNI EN 10025-6:2005 “Prodotti laminati a caldo di acciai per impieghi strutturali – Parte 6: Condizioni tecniche di fornitura per prodotti piani di acciaio per impieghi strutturali ad alto limite di snervamento, bonificati”.

Per quanto riguarda i profili tubolari viene fatto riferimento alle seguenti normative: • UNI EN 10210-1:2006 “Profilati cavi finiti a caldo di acciai non legati e a grano fine per impieghi strutturali – Parte 1: Condizioni tecniche di fornitura”; • UNI EN 10219-1:2006 “Profilati cavi formati a freddo di acciai non legati e a grano fine per strutture saldate – Parte 1: Condizioni tecniche di fornitura”. Nella Tabella 1.4 sono invece riportati i valori della tensione di snervamento ( fy ) e di rottura ( fu ) per le diverse classi di acciaio impiegate per i bulloni. L’impiego di acciai diversi per la realizzazione di costruzioni a uso civile e industriale è consentito purché venga sempre garantita alla costruzione, con adeguata documentazione teorica e sperimentale, un Tabella 1.4 Caratteristiche meccaniche degli acciai per bulloni.

Classe

ƒy [N/mm2]

fu [N/mm2]

4.6 5.6 6.6 8.8 10.9

240 300 360 640 900

400 500 600 800 1000

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

grado di sicurezza non inferiore a quello previsto dalle vigenti norme. Relativamente a coefficienti e costanti del materiale acciaio da impiegare nei calcoli di dimensionamento o di verifica per le costruzioni metalliche, si adottano i seguenti valori: ρ = 7 850 kg/m3 • densità (massa per unità di volume): • coefficiente di Poisson: ν = 0,3 • modulo di elasticità longitudinale: E = 210 000 N/mm2 • modulo di elasticità trasversale: G=

E 2 = 80769 N/mm 2(1 + ν)

• coefficiente di espansione termica lineare: α =12 · 10-6 °C-1 1.3.1 I processi di lavorazione L’acciaio è prodotto per fusione da miscele di minerale e coke oppure da rottame. Da questo processo si ottengono lingotti che, sottoposti a cicli di lavorazione meccanica a caldo ovvero a freddo, vengono trasformati in prodotti finiti (lamiere, piatti, barre, profilati, fili, bulloni, ecc.). Questi prodotti possono essere ottenuti in diversi modi, sostanzialmente però riconducibili alle due seguenti tecniche: • processo di lavorazione per compressione o trazione (per esempio: forgiatura, laminazione e estrusione); • processo di lavorazione per flessione e taglio. Tra le prime tipologie di lavorazione quella più nota è la laminazione, eseguibile sia a caldo sia a freddo; tramite essa si ottiene la maggior parte dei prodotti (detti appunto laminati) comunemente impiegati nelle costruzioni. Nel processo di laminazione a caldo i lingotti, riscaldati a una temperatura tale da rendere il materiale plastico, passano (laminazione primaria) attraverso una serie di rulli contrapposti e ruotanti in senso inverso (Figura 1.12) e vengono poi sbozzati in barre aventi sezione trasversale quadrata o rettangolare. Queste (denominate semilavorati) prendono il nome, a seconda delle dimensioni della sezione trasversale e della lunghezza, di: • slebi o bramme, utilizzati per ricavarne lamiere; • blumi (a forma di parallelepipedo tozzo) per ottenere profilati di medie e grosse dimensioni; • billette (a forma di parallelepipedo allungato, con lunghezze fino a 15 m) per ottenere profilati di piccole dimensioni, barre e fili.

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Capitolo 1

Figura 1.12 Processo di laminazione.

Successivamente, i semilavorati vengono trasformati, mediante il processo di laminazione secondaria in prodotti finiti, ossia barre, lamiere, piatti e profilati. Per ottenere di profilati a doppio T, la billetta (a una temperatura di poco superiore ai 1 200 °C) viene inviata al treno di laminazione e la sua sezione trasversale da rettangolare viene lavorata fino a ottenere la forma voluta. In Figura 1.13a sono proposte le principali sezioni trasversali delle fasi del processo di laminazione secondaria, dalla billetta al profilato a doppio T all’uscita del treno di laminazione (Figura 1.13b). Figura 1.13 Laminazione di un profilo a doppio T: a) principali passaggi; b) il profilato all’uscita del treno di laminazione.

(a)

(b)

La laminazione a freddo è frequentemente usata, specie per materiali non ferrosi, per ottenere resistenze elevate, mediante incrudimento a scapito però di una riduzione della duttilità non sempre trascurabile. I processi di formazione per flessione e taglio consistono nel piegare lamiere sottili fino a ottenere elementi con sezioni trasversali aventi la forma voluta. Tipici, a tale proposito, sono i profili sagomati a freddo, in cui lo spessore della lamiera deve essere contenuto entro alcuni

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

Figura 1.14 Piegatura in continuo per profili tubolari circolari.

Figura 1.15 Stampaggio per elementi sagomati a freddo.

millimetri affinché sia attuabile questo tipo di lavorazione. In Figura 1.14 sono schematicamente presentati i principali passaggi per realizzare profili cavi circolari sagomati a freddo mediante processo di piegatura in continuo. Si osservi che la lamiera, inizialmente piana, viene trascinata e gradualmente sagomata fino alla sezione del prodotto finito. In Figura 1.15 sono invece proposti i principali passaggi per l’ottenimento a stampo, mediante macchina pressa-piegatrice, di alcuni profili correntemente usati nell’edilizia. Con questa tecnica si riescono a sagomare lamiere di spessore, anche fino a 10-12 mm, maggiore rispetto a quello degli elementi lavorabili con la tecnica di piegatura in continuo. Un’altra famiglia di prodotti realizzati mediante lavorazione a freddo è costituita dalle lamiere grecate (Figura 1.6), correntemente utilizzate per solai, coperture e tamponamenti.

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Capitolo 1

1.3.2 Le imperfezioni

Il comportamento delle strutture in acciaio (e quindi la capacità portante dei singoli elementi) dipende, a volte anche significativamente, dalla presenza di imperfezioni, ossia difetti o manchevolezze per cui il prodotto non risulta conforme al suo prototipo ideale. Queste vengono distinte, a seconda della loro natura, in: • imperfezioni meccaniche; • imperfezioni geometriche. Le imperfezioni meccaniche

Con il termine imperfezioni meccaniche o imperfezioni strutturali si indicano sostanzialmente le tensioni residue e la non omogenea distribuzione delle caratteristiche meccaniche nella geometria della sezione trasversale (per esempio, la tensione di snervamento e la tensione di rottura che variano lungo lo spessore delle ali e dell’anima del profilo). Le tensioni residue o autotensioni costituiscono uno stato tensionale autoequilibrato, strettamente legato ai processi di produzione dell’elemento e associato a deformazioni plastiche non uniformi. Si consideri, per esempio, un elemento prismatico in acciaio ottenuto per processo di laminazione a caldo (Figura 1.16). A seguito del processo di lavorazione, a partire dalla temperatura di fine laminazione (circa 600°C) le sue zone più esposte raffreddano prima di quelle interne. Le parti laterali tenderebbero quindi ad accorciarsi ma la contrazione viene impedita dalle zone centrali che si trovano a una temperatura superiore. Quindi si ha inizialmente la distribuzione di tensioni in Figura 1.16b, caratterizzata da tensioni di trazione che si oppongono all’accorciamento delle zone perimetrali e sforzi di compressione che le equilibrano nelle zone più interne. Quando anche le zone più calde si raffredano, si manifestano scorrimenti plastici che riducono i valori estremi delle tensioni residue (Figura 1.16c). Il completo raffredamento delle zone maggiormente esposte impedisce la contrazione di quelle centrali, in cui la temperatura sta diminuendo. Come conseguenza, a raffredamento avvenuto, le zone più esterne del profilo sono soggette a tensioni di compressione mentre quella centrale, più protetta, è soggetta a sforzi di trazione (Figura 1.16d). Nella Figura 1.17 sono riportati, per un profilo a doppio T lamiFigura 1.16 Tensioni residue durante il raffreddamento di un profilato a sezione rettangolare.

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

Figura 1.17 Tensioni residue in un profilato a doppio T laminato a caldo.

nato a caldo, le distribuzioni di tensione associate alle fasi di raffredamento, da quella di fine laminazione (a) a quella in cui il profilato si trova a temperatura ambiente (d). Globalmente la sezione del profilo è sempre scarica in quanto la risultante delle tensioni di trazione è bilanciata da quella delle compressioni. A livello locale invece esiste una tensione che riduce, a volte anche sensibilmente, la distanza tra la condizione di carico nullo (con la tensione quindi nulla) e il limite di resistenza del materiale (per esempio, la tensione di snervamento). Per i profili e le lamiere sagomate a freddo, il prodotto di partenza è una lamiera o un rotolo (coils), ottenuto per laminazione a caldo oppure a freddo. In quest’ultimo caso le fibre superficiali a contatto con i rulli tendono ad allungarsi mentre la zona centrale rimane indeformata. Nasce quindi uno stato tensionale autoequilibrato (Figura 1.18) dovuto al fatto che la parte centrale contrasta l’allungamento di quelle esterne.

Figura 1.18 Tensioni residue in un prodotto piano laminato a freddo.

Le imperfezioni geometriche

Con il termine imperfezioni geometriche si intendono quegli scostamenti dai modelli teorici di analisi assunti nella progettazione relativamente alla geometria dell’elemento strutturale o del sistema strutturale nel suo complesso. In dettaglio, si possono individuare i seguenti tipi di imperfezioni geometriche: • imperfezioni della sezione trasversale; • imperfezioni dell’elemento; • imperfezioni del sistema strutturale. Le imperfezioni della sezione sono relative alle variazioni delle dimensioni delle sue componenti rispetto a quelle nominali e sono imputa-

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Capitolo 1

bili essenzialmente ai processi di lavorazione e all’usura delle attrezzature utilizzate negli stabilimenti. Si traducono quindi in differenze, anche fino a qualche unità percentuale, delle grandezze geometriche significative per il dimensionamento rispetto a quelle nominali. Valori diversi di area, momenti di inerzia e moduli di resistenza hanno di conseguenza influenza anche sulle caratteristiche prestazionali della sezione (per esempio, in termini di capacità portante assiale e flessionale). Per i più diffusi profili laminati a caldo (tipicamente quelli con sezioni trasversali a I e H, a L, a C e a T) esistono normative che definiscono le dimensioni e le caratteristiche geometriche dei prodotti (denominati quindi profili unificati o standardizzati), specificando anche le massime tolleranze dimensionali ammesse affinché le differenze tra le proprietà reali e quelle nominali (usate nella progettazione) della sezione siano tali da non compromettere la sicurezza della struttura. Il rispetto delle tolleranze è molto importante. Come evidenziato anche negli esempi di calcolo riportati in questo testo, il progettista nelle proprie verifiche considera sempre le caratteristiche geometriche nominali delle sezioni trasversali dando per scontato che le differenze relative ai valori reali misurabili sul prodotto fornito in cantiere siano modeste e in tolleranza. Affinché questo sia vero devono essere in atto, negli stabilimenti di produzione e nei centri di lavorazione, periodici ed efficaci controlli di qualità effettuati da maestranze specializzate in modo che i prodotti difettosi, ossia non conformi, non vengano utilizzati in ambito strutturale. I limiti di tolleranza presenti nelle specifiche normative rappresentano la massima difettosità ammessa. Quando il profilo ha caratteristiche dimensionali fuori tolleranza, le caratteristiche geometriche reali (area, momenti di inerzia, moduli di resistenza, ecc.) possono essere “pericolosamente” diverse da quelle assunte nei calcoli, con ovvie conseguenze sulla sicurezza della costruzione, inficiando di conseguenza la validità dei calcoli di dimensionamento. Viene di seguito riportato un elenco delle principali normative che specificano i valori di tolleranza ammessi per i più diffusi prodotti laminati a caldo, ovvero lavorati a freddo. • Travi IPN: UNI 5679:1973 Prodotti finiti di acciaio laminati a caldo. Dimensioni e tolleranze e UNI EN 10024:1996 Travi ad I ad ali inclinate laminate a caldo. Tolleranze dimensionali e di forma; • Travi IPE ad ali larghe parallele: UNI 5398:1978 Prodotti finiti di acciaio laminati a caldo. Travi IPE ad ali larghe parallele. Dimensioni e tolleranze e UNI EN 10034:1995 Travi ad I e ad H di acciaio per impieghi strutturali. Tolleranze dimensionali e di forma; • Travi HE ad ali larghe parallele: UNI 5397:1978 Prodotti finiti di acciaio laminati a caldo. Travi HE ad ali larghe parallele. Di-

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mensioni e tolleranze e UNI EN 10034:1995 Travi ad I e ad H di acciaio per impieghi strutturali. Tolleranze dimensionali e di forma; Profilati di acciaio ad U laminati a caldo. UNI EU 54:1981 Piccoli profilati di acciaio ad U laminati a caldo, UNI EN 10279: 2002 Profilati a U laminati a caldo – Tolleranze sulla forma, dimensioni e sulla massa. (Riferimento ritirato UNI 5680: Prodotti finiti di acciaio laminati a caldo. Travi UPN. Dimensioni e tolleranze); Angolari ad ali uguali ed a spigoli arrotondati: UNI EN 100561:2000 Angolari a ali uguali e disuguali di acciaio per impieghi strutturali – Dimensioni. (Riferimento ritirato UNI EU 56: Angolari ad ali uguali ed a spigoli arrotondati laminati a caldo); Angolari ad ali ineguali ed a spigoli arrotondati: UNI EN 100561:2000 Angolari ad ali uguali e disuguali di acciaio per impieghi strutturali – Dimensioni. (Riferimento ritirato UNI EU 57: Angolari ad ali ineguali ed a spigoli arrotondati laminati a caldo); Profilati di acciaio a T ad ali uguali: UNI EN 10055:1998 Profilati a T ad ali uguali e a spigoli arrotondati di acciaio laminati a caldo – Dimensioni e tolleranze dimensionali e di forma. (Riferimento ritirato UNI EU 55: Profilati di acciaio a T ad ali uguali e a spigoli arrotondati laminati a caldo); Profilati cavi circolari formati freddo: UNI EN 10219-2:1999 Profilati cavi formati a freddo di acciai non legati e a grano fine per strutture saldate – Parte 2: Tolleranze, dimensioni e caratteristiche del profilo. (Riferimento ritirato UNI 7811: Prodotti finiti di acciaio formati a freddo per costruzioni metalliche. Profilati cavi circolari. Dimensioni e caratteristiche); Profilati cavi circolari laminati a caldo: UNI EN 10210-2:2006 Profilati cavi finiti a caldo di acciai non legati e a grano fine per impieghi strutturali – Parte 2: Tolleranze, dimensioni e caratteristiche del profilo. (Riferimento ritirato UNI 7807: Prodotti finiti di acciaio formati a caldo per costruzioni metalliche. Profilati cavi circolari. Dimensioni e caratteristiche); Profilati cavi quadrati formati freddo: UNI EN 10219-2:1999 Profilati cavi formati a freddo di acciai non legati e a grano fine per strutture saldate - Parte 2: Tolleranze, dimensioni e caratteristiche del profilo. (Riferimento ritirato UNI 7812: Prodotti finiti di acciaio formati a freddo per costruzioni metalliche. Profilati cavi quadrati. Dimensioni e caratteristiche); Profilati cavi quadrati laminati a caldo: UNI EN 10210-2: 2006 Profilati cavi finiti a caldo di acciai non legati e a grano fine per impieghi strutturali – Parte 2: Tolleranze, dimensioni e caratteristiche del profilo. (Riferimento ritirato UNI 7808:1983

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Prodotti finiti di acciaio formati a caldo per costruzioni metalliche. Profilati cavi quadrati. Dimensioni e caratteristiche); • Profilati cavi rettangolari formati freddo: UNI EN 10219-2: 1999 Profilati cavi formati a freddo di acciai non legati e a grano fine per strutture saldate – Parte 2: Tolleranze, dimensioni e caratteristiche del profilo. (Riferimento ritirato UNI 7813:1983 Prodotti finiti di acciaio formati a freddo per costruzioni metalliche. Profilati cavi rettangolari. Dimensioni e caratteristiche); • Profilati cavi rettangolari laminati a caldo: UNI EN 10210-2: 2006 Profilati cavi finiti a caldo di acciai non legati e a grano fine per impieghi strutturali – Parte 2: Tolleranze, dimensioni e caratteristiche del profilo. (Riferimento ritirato UNI 7809:1983 Prodotti finiti di acciaio formati a caldo per costruzioni metalliche. Profilati cavi rettangolari. Dimensioni e caratteristiche). Relativamente alle imperfezioni dell’elemento, le normative sui profilati specificano, tra gli altri dati, la tolleranza sulla lunghezza, dato molto importante affinché il sistema intelaiato portante possa essere effettivamente costruito. Si pensi per esempio a una trave che deve essere assemblata tra due colonne già posizionate in opera: una sua lunghezza eccessiva, oppure ridotta, richiederebbe lavorazioni aggiuntive d’officina o un nuovo elemento di dimensioni rispettose delle tolleranze. Entrambe le soluzioni implicherebbero però un incremento dei costi e un aumento dei tempi di assemblaggio. Con il termine imperfezioni del sistema strutturale si intendono usualmente: • gli scostamenti relativi di piano delle colonne; • gli scostamenti tra le basi delle colonne; • le variazioni di luce delle travi; • le variazioni di lunghezza in termini di altezza di piano delle colonne. Figura 1.19 Esempio di imperfezione del sistema strutturale.

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

Imperfezioni di questo tipo contribuiscono a creare sugli elementi stati tensionali più severi rispetto a quelli associati al caso di elementi privi di difetti. Per meglio comprendere questo concetto basta considerare una colonna di altezza h vincolata da un incastro alla base e soggetta a un’azione assiale in sommità: l’elemento, idealmente verticale, è in realtà inclinato dell’angolo ϕ. Per effetto di questa imperfezione nasce un’azione flettente aggiuntiva alla base della colonna (Figura 1.19) pari, nell’ipotesi di piccoli spostamenti e deformazioni infinitesime, a [N ⋅ (h ⋅ ϕ)], e quindi l’elemento in teoria compresso è in realtà pressoinflesso. Con riferimento al generico sistema intelaiato, le imperfezioni possono ad esempio essere intese come fuori piombo delle colonne (quindi le colonne non sono perfettamente verticali), come risulta dallo schema riportato in Figura 1.20a. Dal punto di vista pratico, il più delle volte si preferisce fare riferimento alla configurazione geometrica ideale (colonne verticali e travi orizzontali) del sistema intelaiato trasformando le imperfezioni in forze statiche equivalenti che costituiscono un ulteriore caso di carico (Figura 1.20b). Figura 1.20 imperfezioni sul sistema intelaiato: configurazione delle colonne per effetto delle imperfezioni (a) e caso di carico equivalente alle imperfezioni (b)

(a)

(b)

L’angolo f può essere prudenzialmente assunto pari a 0,005 rad, ossia la generica forza orizzontale di piano risulta pari a 1/200 dei carichi verticali applicati. Le più recenti normative, quali ed esempio le NTC 2018, consentono però una valutazione più accurata del fuori piombo (quantificato appunto nell’angolo f) facendolo dipendere dal numero delle colonne che costituiscono il telaio. All’aumentare del numero di colonne il valore di f decresce in quanto risulta poco probabile che le difettosità di ogni colonna cumulino sempre in modo più sfavorevole).

1.4 Cenno storico L’estrazione del ferro è avvenuta per millenni in forni parzialmente incassati nel terreno: il prodotto ottenuto da questo processo è deno-

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Capitolo 1

minato ferro fucinato. Si tratta di una massa di ferro pastosa, spugnosa e ricca di impurità. Le sue caratteristiche meccaniche sono modeste ed è saldabile tramite un procedimento chiamato bollitura: si riscaldano i pezzi da unire fino a quando essi non raggiungono un colore rosso vivo e una consistenza pastosa, a una temperatura compresa tra 750 °C e 850 °C e dopo si premono tra loro energicamente i pezzi mediante azione di battitura fino a ottenerne la compenetrazione. Un tempo gli elementi in ferro fucinato venivano induriti superficialmente mediante tempra in bagno di acqua fredda o di olio, ottenendo un prodotto finito comunemente denominato acciaio. Nel xiii secolo in Prussia si ebbe un’evoluzione decisiva: fu possibile incrementare la temperatura raggiungibile nel forno grazie all’aumento dell’altezza del forno (altoforno) e della quantità di aria immessa dai mantici. Il materiale ottenuto con questi forni era la ghisa: le sue proprietà erano ben diverse da quelle del ferro; una volta raffreddata era fragile e non si poteva fucinare, ma poteva essere versata fusa in stampi e assumere così la forma desiderata. La ghisa, se fusa per una seconda volta in un forno aperto, si impoveriva di carbonio (decarburazione della ghisa) e diveniva ferro malleabile. Da quanto detto si deduce che le difficoltà legate all’estrazione del ferro ne hanno limitato in passato l’uso, soprattutto in ambiti in cui erano richieste spiccate proprietà di resistenza e durezza. Per questo stesso motivo il ferro è stato sempre utilizzato in settori marginali nel campo delle costruzioni: catene, tiranti e zanche per strutture in pietrame e muratura e collegamenti per costruzioni in legno (Figura 1.21). Con l’avvento della rivoluzione industriale, a partire dal xviii secolo il settore delle costruzioni metalliche fece grossi progressi. La grande novità fu l’invenzione della macchina a vapore: con essa l’alimentazione della soffieria avveniva tramite vapore e non più con le ruote idrauliche; ciò comportava il vantaggio di poter spostare l’impianto siderurFigura 1.21 Estremità di tiranti in ferro con capochiave in una costruzione in blocchi di pietra.

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

gico vicino alla miniera e non più nei pressi dei corsi d’acqua. Altra invenzione fondamentale fu quella del forno a riverbero, di H. Cort nel 1784: al suo interno la ghisa veniva impoverita di carbonio attraverso il rimescolamento manuale, venendo a contatto con l’aria. Il prodotto ottenuto, detto ferro puddellato, veniva poi battuto al maglio per eliminare le scorie e attraverso il processo di laminazione con cilindri scanalati se ne ottenevano lamiere e prodotti a sezione quadrata, portando a un materiale di qualità decisamente migliore. Un ulteriore progresso nella tecnologia siderurgica avvenne nella seconda metà del xix secolo: nel 1856 fu ideato un procedimento di conversione rapida della ghisa in acciaio a opera dell’inglese H. Bessemer. Tale processo consisteva nell’insufflare direttamente aria nella ghisa fusa, favorendo la combinazione dell’ossigeno dell’aria col carbonio e l’eliminazione di quest’ultimo sotto forma di composti gassosi. Negli ultimi decenni del xviii secolo si datano le prime significative applicazioni della ghisa nel campo dell’ingegneria civile. Tra il 1775 e il 1779 viene costruito il ponte in ghisa sul fiume Severn, a circa 30 km da Birmingham, poggiato su cinque archi affiancati su una luce di circa 30 m. Nello stesso periodo si realizzano colonne di ghisa fuse con sezione quadrata, a croce o circolare cava, le cui forme esteriori possono essere modellate ispirandosi alle colonne e ai capitelli dei diversi stili architettonici creati dai Greci e dai Romani. Poco dopo si diffonde l’utilizzo di elementi strutturali di ghisa inflessi soprattutto in strutture come i solai con voltine in laterizio: uno studioso dei primi decenni dell’Ottocento, E. Hodgkinson, giunge a concludere che la forma ottimale per le travi inflesse di ghisa è il profilo a doppio T non simmetrico con l’ala compressa anche 6 volte più piccola di quella tesa. Il primo esempio di struttura con elementi monodimensionali in ghisa è uno stabilimento industriale di sette piani realizzato nel 1801 a Manchester. Nuovi impulsi al settore delle strutture in acciaio si ebbero con lo sviluppo dell’ingegneria ferroviaria. Tra il 1844 e il 1850 fu edificato il maestoso ponte Britannia sul fiume Menai (uk): realizzato con lamiere chiodate di ferro puddellato, era una struttura con sezione trasversale scatolare e schema statico a travata continua su 5 appoggi, con le due campate centrali aventi luce di 142 m e quelle d’estremità di luce pari a 70 m. Su quest’opera intervennero alcuni grandi esperti dell’epoca: B. Clapeyron studiò lo schema a trave continua mediante l’equazione dei tre momenti, mentre D. Jourawsky propose nuove soluzioni per rinforzare alcune sezioni trasversali del ponte nei confronti dell’instabilità delle lamiere. Seguirono poi studi sulle giunzioni chiodate, sull’influenza dell’azione del vento e sull’effetto delle azioni termiche. A metà dell’Ottocento l’uso della ghisa nelle costruzioni civili si

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Capitolo 1

esaurisce progressivamente, lasciando il posto all’acciaio. Questo viene utilizzato per grandi opere di edilizia, quali grattacieli e ponti di elevate dimensioni: l’Home Insurance Building viene edificato a Chicago nel 1883 con struttura metallica multipiano intelaiata a nodi rigidi e tamponamenti in muratura con funzione irrigidente nei confronti delle azioni orizzontali. All’inizio del secolo scorso compaiono a Chicago e New York (usa) i primi edifici di altezza ancora oggi rilevante (il grattacielo Pirelli di Milano è alto 127 m): nel 1913 viene realizzato il Wollworth Building alto 240 m, nel 1924 il Chrysler Building (318 m) e nel 1930 l’Empire State Building (381 m). Altre opere sicuramente maestose e imponenti sono i ponti in acciaio: nel 1890 viene costruito nei pressi di Edimburgo il ponte First of Fort con luci centrali di 521 m mentre nel 1932 viene realizzato il ponte George Washington a New York con tipologia sospesa su una luce di 1067 m.

1.5 Sicurezza strutturale e metodi di calcolo In ogni costruzione la funzione resistente è garantita dalla struttura, ossia da quelle specifiche componenti che servono per trasferire in fondazione i carichi agenti, legati alla destinazione d’uso, alle condizioni climatiche oppure all’esigenza di resistere ad azioni eccezionali. In passato costruzione e struttura erano generalmente coincidenti (si pensi, ad esempio, alle vecchie case in muratura portante, oppure ai luoghi di culto). Nel campo dell’edilizia civile, con l’evoluzione dei sistemi portanti ad ossatura intelaiata, ai nostri giorni ciò non accade generalmente più e si ha in modo netto e marcato la distinzione tra elementi portanti ed elementi portati. Il progettista deve dimensionare la struttura di ogni costruzione affinché sia sempre sicura, dalla sua consegna al Committente fino alla messa fuori servizio per vecchiaia. Per ogni struttura e sua componente deve sempre essere soddisfatta la condizione: sollecitazione d resistenza

(1.1)

Per determinare la sollecitazione il progettista, in funzione degli schemi statici adottati e della destinazione d’uso, deve quantificare le azioni interne sugli elementi portanti. Sulla base poi dei concetti elementari della Scienza delle Costruzioni si risale alle azioni interne o egualmente agli stati tensionali di maggiore interesse ed opera le verifiche del caso che testimoniano il soddisfacimento dell’equazione 1.1 per ogni componente strutturale.

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

Operazione sicuramente delicata e non banale è la determinazione dei carichi che interessano l’opera oggetto di dimensionamento e la conseguente definizione dei valori di calcolo con i quali effettuare la verifica strutturale. Relativamente alla resistenza, viene fissato un valore limite di tensione, proprio di ogni materiale, che non può mai essere ecceduto e che deve essere raffrontato direttamente agli stati tensionali agenti, ovvero considerato per la valutazione delle caratteristiche prestazionali resistenti dell’intera sezione o dell’elemento. Il concetto di sicurezza della costruzione è molto antico: può essere attribuito a Hammurabi che circa 4000 anni or sono applicò al costruttore la legge del taglione. In dettaglio, nel Codice del re babilonese, primo importante esempio di trattato giuridico, si prescriveva che: • se la costruzione crolla e causa la morte del padrone, il costruttore verrà ucciso; • se il figlio del padrone muore, il figlio del costruttore verrà ucciso; • se uno schiavo del padrone muore, il costruttore darà uno schiavo al padrone; • se la costruzione ha qualche inconveniente durante il suo uso, sarà ricostruita a spese del costruttore. Circa due secoli fa, Napoleone Bonaparte introdusse il concetto di responsabilità decennale, limitando quella del Costruttore ed al contempo chiamando in causa anche il Tecnico (ad esempio, il progettista), con cui il Costruttore condivide le responsabilità (pagandone le associate conseguenze) nel caso di danni o crolli entro dieci anni dalla realizzazione dell’opera. Ora, ogni Nazione ha una propria normativa legislativa relativa alle regole di calcolo delle strutture. Per l’Italia esiste una legge quadro, la Legge 5 Novembre 1971 n° 1086, “Norma per la disciplina delle opere in conglomerato cementizio, normale e precompresso ed a struttura metallica” che disciplina le opere in conglomerato cementizio armato normale, precompresso e quelle a struttura metallica. La legge n° 1086 tratta gli aspetti generali associati alle strutture e rimanda le regole di calcolo a Decreti Ministeriali specifici ed a relative Circolari Esplicative emanati periodicamente dal Servizio Tecnico Centrale del Ministero dei Lavori Pubblici (ora Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti). La legge quadro al riguardo infatti recita: … Il Ministro per i Lavori Pubblici, sentito il Consiglio Superiore dei Lavori Pubblici e il Consiglio Nazionale delle Ricerche, emanerà entro

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Capitolo 1

sei mesi dalla pubblicazione della presente legge e, successivamente, ogni biennio, le norme tecniche alle quali dovranno uniformarsi le costruzioni di cui alla presente legge)… I riferimenti normativi nazionali per la progettazione delle strutture in acciaio ora (aprile 2018) sono: • Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti, Decreto Ministeriale 17 gennaio 2018, “Norme tecniche per le costruzioni”, pubblicata sulla Gazzetta Ufficiale n. 42 del 20.2.2018, supplemento ordinario n. 8 Queste normative, denominate per semplicità NTC (acronimo di Norme Tecniche per le Costruzioni, inteso in senso lato comprendendo anche le Istruzioni) , riportano in unico documento tutte le indicazioni necessarie per la progettazione strutturale. Con particolare riferimento alle costruzioni in acciaio deve essere precisato che: • il capitolo 2 espone infatti i principi fondamentali in merito alla sicurezza strutturale ed alle prestazioni attese; • il capitolo 3 fornisce alcune indicazioni per la valutazione delle azioni sulle costruzioni; • il capitolo 4 definisce le verifiche strutturale da sviluppare sulle componenti portanti e al paragrafo 4.2 tratta specificamente le costruzioni in acciaio; • il capitolo 6 tratta della progettazione geotecnica ed è quindi di fondamentale importanza per l’interazione terreno struttura, spesso trascurata dai progettisti; • il capitolo 7 è riferito alla progettazione per azioni sismiche; • il capitolo 11 descrive le procedure e prove sperimentali di accettazione di materiali e prodotti. Al momento non è ancora disponibile la circolare esplicativa che per le NTC 2008 era: • Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti, Circolare 2 febbraio 2009, n. 617 C.S.LL.PP., “Istruzioni per l’applicazione delle “Norme Tecniche per le costruzioni” di cui al D.M. 14 gennaio 2008”, pubblicata sulla Gazzetta Ufficiale n. 27 del 26.2.2009, supplemento ordinario n. 27. In alternativa alla normativa italiana (quindi alle NTC) è possibile operare il dimensionamento strutturale facendo riferimento ad una normativa Europea, applicabile in tutti i paesi membri della Comunità. Sono stati infatti di recente redatti documenti tecnici, definiti Eurocodici, in cui sono riportate regole di calcolo adeguate e diffe-

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

renziate per tematiche e materiali. In dettaglio, l’Eurocodice 1 tratta l’argomento delle azioni sulle costruzioni indipendentemente dal materiale che realizza la struttura; l’Eurocodice 2 è dedicato alla verifica delle costruzioni in conglomerato cementizio, mentre l’Eurocodice 3 (denominato di seguito EC3) a quella delle costruzioni metalliche. L’EC3 è strutturato in diversi documenti normativi, differenziati per tematiche. In particolare, con riferimento alla progettazione di costruzioni in acciaio, devono essere considerati: • UNI EN 1993-1-1:2005 “Eurocodice 3 - Progettazione delle strutture di acciaio - Parte 1-1: Regole generali e regole per gli edifici”; • UNI EN 1993-1-2:2005 “Eurocodice 3 - Progettazione delle strutture di acciaio - Parte 1-2: Regole generali - Progettazione strutturale contro l’incendio”; • UNI EN 1993-1-3:2007 “Eurocodice 3 - Progettazione delle strutture di acciaio - Parte 1-3: Regole generali - Regole supplementari per l’impiego dei profilati e delle lamiere sottili piegati a freddo”; • UNI EN 1993-1-4:2007 “Eurocodice 3 - Progettazione delle strutture di acciaio - Parte 1-4: Regole generali - Regole supplementari per acciai inossidabili”; • UNI EN 1993-1-5:2007 “Eurocodice 3 - Progettazione delle strutture di acciaio - Parte 1-5: Elementi strutturali a lastra”; • UNI EN 1993-1-6:2007 “Eurocodice 3 - Progettazione delle strutture di acciaio - Parte 1-6: Resistenza e stabilità delle strutture a guscio”; • UNI EN 1993-1-7:2007 “Eurocodice 3 - Progettazione delle strutture di acciaio - Parte 1-7: Strutture a lastra ortotropa caricate al di fuori del piano”; • UNI EN 1993-1-8:2005 “Eurocodice 3 - Progettazione delle strutture di acciaio - Parte 1-8: Progettazione dei collegamenti”; • UNI EN 1993-1-9:2005 “Eurocodice 3 - Progettazione delle strutture di acciaio - Parte 1-9: Fatica”; • UNI EN 1993-1-10:2005 “Eurocodice 3 - Progettazione delle strutture di acciaio - Parte 1-10: Resilienza del materiale e proprietà attraverso lo spessore”; • UNI EN 1993-1-11:2007 “Eurocodice 3 - Progettazione delle strutture di acciaio - Parte 1-11: Progettazione di strutture con elementi tesi”. Con particolare riferimento alle regole di progettazione delle costruzioni in acciaio si segnala che le NTC ricalcano in modo pressoché totale i contenuti e le formule riportate nell’Eurocodice 3.

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Capitolo 1

I tradizionali metodi di calcolo utilizzabili nella progettazione di massima (o proporzionamento) delle strutture in acciaio, così come di quelle in conglomerato cementizio armato e in muratura, sono: • il metodo delle tensioni ammissibili; • il metodo semiprobabilistico agli stati limite. Il metodo delle tensioni ammissibili, nato all’inizio del 1900, è sicuramente ancora molto indicato, nonostante la sua età, per la fase di dimensionamento di massima delle strutture a causa della sua semplicità ed immediatezza. Questo metodo non è utilizzabile, secondo le NTC 2018. Data però l’immediatezza, semplicità e comprensibilità di questo metodo, seppure obsoleto, quando applicato ai sistemi portanti in acciaio e visto lo scopo principale del presente volume, nel seguito sarà comunque descritto, avendo tuttavia ben chiaro che non può essere usato come metodo di verifica, da eseguirsi, in Italia come in Europa, in accordo al metodo semi-probabilistico agli stati limite. Il metodo semi-probabilistico agli stati limite, nato tra il 1950 e il 1960, sicuramente più completo e raffinato rispetto a quello delle tensioni ammissibili, è basato sulla definizione di particolari condizioni (definite stati limite) che non devono mai manifestarsi durante la vita della struttura (per esempio un abbassamento eccessivo, la rottura di una componente, la fessurazione eccessiva di un elemento in conglomerato cementizio armato). Gli Eurocodici, ed in particolare l’EC3 per le strutture in acciaio, prevedono nella progettazione strutturale soltanto il metodo semi-probalistico agli stati limite. Le grandezze che intervengono nella fase di verifica svolta in accordo al metodo semi-probabilistico agli stati limite, ossia i termini associati a resistenza e sollecitazione, “attori” che giocano un ruolo fondamentale nella relazione 1.1, sono sempre di carattere aleatorio, di fatto non riconducibili a valori univocamente individuabili, tipici invece delle grandezze deterministiche. A titolo di esempio si ricorda che la non omogeneità del materiale impedisce di associare un unico valore alle caratteristiche di resistenza (quali, ad esempio la tensione di snervamento o quella di rottura) del materiale stesso. Allo stesso modo, lo stato tensionale interno indotto dalle azioni agenti sulla struttura non può essere conosciuto con esattezza a causa delle notevoli fonti di approssimazione che intervengono sempre nella definizione della loro intensità oppure nella descrizione geometrica delle zone di applicazione dei carichi. Per meglio comprendere il concetto di variabile aleatoria, si propone di seguito un semplice ma significativo esempio legato alla deter-

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

minazione sperimentale della tensione di snervamento per un acciaio da costruzione. In particolare sono disponibili i risultati di 16 prove di trazione effettuate in Laboratorio su prototipi appositamente sagomati (Figura 1.22). e per ognuna di queste nella Tabella 1.5 viene riportato il valore della tensione di snervamento ricavata dalla prova. Figura 1.22 esempi di prototipi per l’esecuzione di prove di trazione fasi significative della prova di trazione.

Tabella 1.5 Numero di prova e valore della tensione di snervamento espressa in newton su millimetro quadrato

Prova

Prova Valore

1

Prova Valore

5 237.8

2

9 244.7

6 242.5

3 4

14

11

236.1 15

250.6 12

223.4

240.8

248.3

235.9 8

238.2

13

10

7

Valore

234.7

228.2

233.3

Prova Valore

230.6 16

245.7

225.9

Volendo rappresentare i risultati sperimentali, nella Figura 1.23 sono riportati i dati della Tabella 1.5 ponendo sull’asse delle ascisse il numero progressivo della prova e sull’asse delle ordinate il valore misurato della tensione di snervamento. Una rappresentazione grafica sicuramente più comoda, efficace e di immediata lettura è invece rappresentata dall’istogramma (Figura 1.24). La tensione di snervamento rilevata sperimentalmente è sempre compresa tra 220 N/mm2 e 255 N/mm2; ponendo i valori sperimentali sull’asse delle ascisse, diviso in intervalli di adeguata ampiezza (ad esempio 5 N/mm2) e riportando sull’asse delle ordinate il numero di prove il cui esito è compreso nell’intervallo in esame (frequenza o occorrenza) si ottiene appunto la rappresentazione grafica di Figura 1.24.

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Capitolo 1

Figura 1.23 Rappresentazione grafica dei dati riportati nella tabella 1.5.

Considerando i dati in Tabella 1.5 e al contempo osservando la Figura 1.24, si deduce che: • 1 prova sola ha fornito un valore compreso tra 220 N/mm2 e 225 N/mm2; • 2 prove hanno fornito un valore compreso tra 225 N/mm2 e 230 N/mm2; • 3 prove hanno fornito un valore compreso tra 230 N/mm2 e 235 N/mm2; • 4 prove hanno fornito un valore compreso tra 235 N/mm2 e 240 N/mm2; • 3 prove hanno fornito un valore compreso tra 240 N/mm2 e 245 N/mm2; • 2 prove hanno fornito un valore compreso tra 245 N/mm2 e 250 N/mm2; • 1 prova sola ha fornito un valore compreso tra 250 N/mm2 e 255 N/mm2. Figura 1.24 Istogramma dei dati riportati in tabella 1.5.

Valore Tensione snervamento [N/mm2]

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

Rapportando il numero di prove la cui tensione di snervamento cade in un determinato intervallo al numero di prove totale, è possibile associare ad ogni intervallo che esprime i valori sperimentali la probabilità che il risultato, ossia il valore misurato della tensione di snervamento, sia ivi contenuto. Come si evince dalla Figura 1.25, si ha che: • la probabilità che la tensione sia compresa tra 220 N/mm2 e 225 N/mm2 è del 6.25%; • la probabilità che la tensione sia compresa tra 225 N/mm2 e 230 N/mm2 è del 12.5%; • la probabilità che la tensione sia compresa tra 230 N/mm2 e 235 N/mm2 è del 18.75%; • la probabilità che la tensione sia compresa tra 235 N/mm2 e 240 N/mm2 è del 25%; • la probabilità che la tensione sia compresa tra 240 N/mm2 e 245 N/mm2 è del 18.75%; • la probabilità che la tensione sia compresa tra 245 N/mm2 e 250 N/mm2 è del 12%; • la probabilità che la tensione sia compresa tra 250 N/mm2 e 255 N/mm2 è del 6.25%. Figura 1.25 Istogramma dei dati riportati in tabella 1.5.

Valore Tensione snervamento [N/mm2]

Nella progettazione strutturale, si opera sempre con riferimento a valori limite (si pensi, ad esempio, alla resistenza del materiale che non può mai essere ecceduta). Per tale motivo ha senso considerare la frequenza cumulata, ossia prendere in esame quelle prove il cui esito è risultato inferiore ad un determinato valore. Con riferimento ad un determinato valore, si devono quindi considerare tutte le prove il cui esito non eccede l’estremo superiore dell’intervallo in esame. Il digramma delle frequenze cumulate dei dati di Tabella 1.5 è rappresentato in Figura 1.26 in cui sull’asse delle ascisse viene riportato, in aggiunta al numero delle prove considerate (n) anche il valore della probabilità che il dato sperimentale non ecceda l’estremo superiore

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Capitolo 1

dell’intervallo in esame. In dettaglio, si osserva quindi che: • 1 prova ha fornito un valore inferiore a 225 N/mm2 (la probabilità che non sia ecceduto questo valore è quindi del 6.25%; • 3 prove hanno fornito un valore inferiore a 230 N/mm2, ovvero la probabilità che non sia ecceduto questo valore è del 18.75%; • 6 prove hanno fornito valori inferiori a 235 N/mm2, ovvero la probabilità che non sia ecceduto questo valore è del 37.5%; • 10 prove hanno fornito valori inferiori a 240 N/mm2, ovvero la probabilità che non sia ecceduto questo valore è del 62.5%; • 13 prove hanno fornito valori inferiori a 245 N/mm2, ovvero la probabilità che non sia ecceduto questo valore è del 81.25%; • 15 prove hanno fornito valori inferiori a 250 N/mm2, ovvero la probabilità che non sia ecceduto questo valore è del 93.75%; • la totalità delle prove (ossia 16 prove) ha fornito valori inferiori a 255 N/mm2, ovvero la probabilità che non sia ecceduto questo valore è del 100% (evento certo). Figura 1.26 Valori della tensione di snervamento in termini di frequenza cumulata e di probabilità cumulata.

Valore Tensione snervamento [N/mm2]

Aumentando il numero di prove (e quindi la numerosità della base statistica) è possibile arrivare dalla distribuzione discreta mediante l’istogramma ad una distribuzione continua in cui la frequenza, o egualmente la frequenza cumulata, assumono l’andamento qualitativo riportato in Figura 1.27. A titolo di esempio, in Figura 1.28 vengono riportati a confronto i dati relativi al peso per unità di volume del conglomerato cementizio (Cls) e dell’acciaio, espressi dalla funzione di densità di probabilità relativa approssimata con un modello statistico Gaussiano (detto anche normale) al quale sono state troncate le code. Si osservi che la curva del conglomerato interessa una porzione dell’asse delle ascisse notevolmente più ampia rispetto a quella associata alla curva di distribuzione dell’acciaio, a testimonianza di una maggiore eterogenei-

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

tà del primo materiale rispetto al secondo. In aggiunta, si precisa che queste distribuzioni risentono anche delle approssimazioni legate alle misure ed alla relativa strumentazione. Figura 1.27 Esempio di distribuzione continua della frequenza (a) e della frequenza cumulata (b).

(a)

(b)

Figura 1.28 Esempio di distribuzione continua della densità di probabilità.

Tutte le grandezze che intervengono nell’equazione 1.1, sia sul fronte resistenza che su quello sollecitazione, sono a rigore variabili aleatorie e pertanto i dati da utilizzare nella fase progettuale a rigore dovrebbero essere sempre scelti in base a valori di probabilità ragionevoli (o egualmente, livelli di rischio accettabili), direttamente in relazione alle quantità che esprimono. In realtà, alcune grandezze che comunque concorrono nella definizione dei termini presenti nell’equazione 1.1 (ad esempio, quelle dimensionali legate agli ingombri ed alle geometrie degli elementi portanti oppure alle eccentricità dei carichi) vengono, nella maggior parte dei casi, assunte come deterministiche, per semplificare la progettazione. Riferendosi ancora alla Figura 1.28 sono in questa indicati per il conglomerato cementizio e per l’acciaio i valori numerici che vengono correntemente utilizzati nella progettazione in merito alla determinazione del peso proprio degli elementi strutturali (2400 kg/m3 per il

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Capitolo 1

conglomerato cementizio e 7850 kg/m3 per l’acciaio). Questi, come tutti i pesi per unità di volume di altri materiali, strutturali e non (dati che concorrono nel determinare lo stato tensionale in quanto intervengono nella quantificazione dello stato tensionale), riportati direttamente dalle normative, usualmente corrispondono al valore che ha il 95% di probabilità di non essere superato, ovvero il 5% di probabilità di essere ecceduto, e sono definiti frattili o valori caratteristici al 95% Di seguito l’attenzione verrà in prevalenza posta al metodo semiprobabilistico agli stati limite, essendo questo più completo, recente e aggiornato rispetto al metodo delle tensioni ammissibili, nonché utilizzabile e riconosciuto anche in ambito internazionale. Si precisa che, dato lo scopo principale del volume, nel seguito le formule di verifica in accordo al metodo semi-probabilistico agli stati limite sono proposte in termini tensionali privilegiando quindi la quantificazione immediata dell’esito della verifica stessa in relazione al valore limite della tensione 1.5.1 Il metodo delle tensioni ammissibili

La verifica in accordo al metodo delle tensioni ammissibili deve essere condotta garantendo che, in ogni sezione della struttura, sia verificata la seguente disegualianza: σ ≤ σadm

(1.2)

in cui σ rappresenta la tensione nella generica sezione e σadm rappresenta il valore ammissibile di tensione, legata alla classe di acciaio. La vigente normativa NTC 2018 non riporta prescrizioni tecniche relative al metodo di calcolo delle tensioni ammissibili. Tale metodo non è più applicabile e per avere maggiori dettagli, ad esempio perché si deve comprendere appieno una relazione di calcolo relativa ad un edificio esistente e dimensionato con tale metodo, deve essere fatto invece riferimento a un precedente decreto ministeriale e relativa circolare esplicativa, ossia a: • ministero dei lavori pubblici – Decreto Ministeriale del 14 febbraio 1992, “Norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione e il collaudo delle strutture in cemento armato, normale e precompresso e per le strutture metalliche (GU n. 65 del 18 marzo 1992); • ministero dei lavori pubblici – Circolare 24 giugno 1993, n. 37406/STC “Legge 5 novembre 1971, n. 1086. Istruzioni relative alle norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione e il collaudo delle strutture in cemento armato, normale e precompresso e per le strut-

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

ture metalliche, di cui al decreto ministeriale 14 febbraio 1992 (suppl. ord. alla GU n. 191 del 16 agosto 1993). Il materiale

I valori delle tensioni ammissibili da usare per acciai laminati nel caso di stati di sollecitazione monoassiali sono riportati nella Tabella 1.6a, in termini di tensioni normali (σadm) e di tensioni tangenziali (τadm). Nel caso di stati piani pluriassiali deve essere verificato che: 2 Vid = ± V x2 + Vy2 − V xVy + 3W xy ≤ Vadm

(1.3a)

in cui σx e σy rappresentano le tensioni normali e τxy quelle tangenziali nel generico sistema di riferimento. Esprimendo le tensioni nel riferimento principale si ha: Vid = ± V12 + V22 − V1V2 ≤ Vadm

(1.3b)

in cui σ1 e σ2 rappresentano le tensioni principali. Tabella 1.6a Valori di tensioni ammissibili per acciai laminati. Sp = spessore

σadm [N/mm2] ACCIAIO Fe 360 Fe 430 Fe 510

Sp ≤ 40 mm 160 190 240

Sp > 40 mm 140 170 210

τadm [N/mm2] Sp ≤ 40 mm 92 109 138

Sp > 40 mm 80 98 121

Nella Tabella 1.4b vengono invece riportati i valori delle tensioni ammissibili normali (σadm ) e tangenziali (τadm ) per le classi di acciaio impiegate nei bulloni. Tabella 1.6b Valori di tensioni ammissibili degli acciai per bulloni.

CLASSE

σadm [N/mm2]

τadm [N/mm2]

4.6 5.6 6.6 8.8 10.9

160 200 240 373 467

113 141 170 264 330

Le azioni

Le azioni agenti sulla struttura sono raggruppate in due condizioni di carico: • la condizione di carico I che cumula nel modo più sfavorevole le azioni permanenti e accidentali (compresi eventuali effetti dinamici) a eccezione degli effetti del vento e degli stati coattivi sfavorevoli (temperatura, cedimento dei vincoli, ecc.). Si devono includere nella condizione di carico I gli effetti statici e dinamici

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Capitolo 1

del vento qualora le tensioni da essi provocate siano maggiori di quelle generate dagli altri carichi permanenti e accidentali; • la condizione di carico II che cumula nel modo più sfavorevole i carichi permanenti e accidentali includendo anche il vento e il sisma. Sono obbligatorie le verifiche per ambedue le condizioni di carico. La tensione ammissibile a trazione e compressione σadm e la tensione tangenziale ammissibile τadm si riferiscono (Tabella 1.6a e 1.6b) alla condizione di carico I; le corrispondenti tensioni per la condizione di carico II sono da assumere pari a 1,125 σadm e 1,125 τadm. Si precisa che il metodo di calcolo delle tensioni ammissibili non è previsto dall’Eurocodice 3 (uni en 1993-1-1: Eurocodice 3 Progettazione di strutture in acciaio. Parte 1-1 Regole generali e regole per gli edifici), normativa per il dimensionamento delle costruzioni in acciaio applicabile nelle nazioni della comunità europea in alternativa ai codici nazionali. 1.5.2 Il metodo semiprobabilistico agli stati limite

II metodo semiprobabilistico agli stati limite risulta sicuramente più recente e completo rispetto a quello delle tensioni ammissibili. Il suo nome è dovuto al fatto che la variabilità di resistenza e sollecitazione viene tenuta in considerazione, seppure in modo semplificato, introducendo coefcienti di sicurezza γ, distinti in coefcienti minorativi o riduttivi, γm, per i materiali e maggiorativi o amplificativi, γf , per le azioni. Si definisce stato limite una situazione raggiunta la quale la struttura (o uno dei suoi elementi portanti) non può più assolvere la sua funzione primaria o non soddisfa più le condizioni per cui è stata concepita. In funzione della severità del danno che si manifesta, gli stati limite sono suddivisi in: • stati limite ultimi (slu), corrispondenti al raggiungimento della capacità portante o a valori limite di spostamento e deformazioni; • stati limite di esercizio (sle), anche detti di servizio, legati a esigenze di impiego normale e di durata. La progettazione delle strutture nei riguardi degli stati limite deve essere effettuata con riferimento sia agli stati limite di servizio (sls) sia agli stati limite ultimi (slu). Il raggiungimento di uno stato limite può essere provocato dall’intervento concomitante di vari fattori di carattere aleatorio derivanti da incertezze relative ai seguenti fattori: • resistenze dei materiali differenti dai valori assunti dal progetti-

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

sta, anche in relazione alle effettive condizioni in sito; • parametri che influiscono sullo stato limite considerato (carichi di lunga durata, fatica, fragilità, ecc.); • intensità delle azioni dirette, indirette e di natura chimico-fisica; • effettiva geometria della costruzione; • divergenza tra gli effetti realmente indotti dai carichi e quelli calcolati. Gli stati limite di esercizio che generalmente possono essere presi in considerazione per le strutture in acciaio includono: • collasso per eccessiva deformazione della struttura o di una sua parte, considerando anche i vincoli e le fondazioni; • superamento, in almeno un punto di una sezione dell’elemento strutturale in esame, della deformazione unitaria corrispondente al limite elastico del materiale (stato limite elastico della sezione); • collasso per perdita di stabilità della struttura o di una sua parte, considerando anche i supporti e le fondazioni; • rottura localizzata per sollecitazioni cicliche con elevato numero di cicli (superiore a 104); • perdita di equilibrio della struttura o di una sua parte, considerate come corpo rigido; • collasso per rottura della struttura o di una sua parte, considerando anche i vincoli e le fondazioni; • rottura fragile alle basse temperature. Gli stati limite di servizio che generalmente possono essere presi in considerazione per le strutture in acciaio includono: • deformazioni o spostamenti eccessivi in grado di compromettere l’aspetto esteriore o l’utilizzo efficiente della struttura o che possano diventare causa di danni a finiture o elementi non strutturali; • vibrazioni che possano creare fastidio alle persone, danni all’edificio o ai suoi contenuti o che ne limitino la fruibilità. Il metodo semiprobabilistico agli stati limite impone, in sede di progetto, una serie di verifiche in modo che sia sempre soddisfatta la relazione: Sd ≤ Rd

(1.4)

in cui Sd è la sollecitazione interna (o l’associata tensione di progetto) indotta dal carico di progetto e Rd la resistenza di progetto dell’elemento strutturale in esame per una determinata condizione di carico e in funzione del particolare stato limite considerato.

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Capitolo 1

Le principali fasi di una verifica operata con il metodo semiprobabilistico agli stati limite sono le seguenti: • si assumono i valori caratteristici (ossia valori con una prefissata probabilità di non essere superati) di resistenze e carichi (Rk, e Fk, rispettivamente). Tali valori vengono desunti direttamente dalle indicazioni riportate nelle Normative Tecniche; • si coprono i fattori di incertezza trasformando i valori caratteristici, Rk e Fk, nei valori di calcolo (o di progetto), Rd e Fd, tramite i coefficienti di sicurezza γ (relativi alle incertezze dei materiali e alle incertezze delle azioni), riportati nelle Normative Tecniche; • dai valori di progetto delle azioni, Fd , si passa, tramite la fase di analisi strutturale, alle sollecitazioni di progetto, Sd ; • si opera quindi il confronto diretto (Equazione 1.4) tra i valori di Rd e quelli di Sd verificando che la sollecitazione di progetto non ecceda la resistenza. Da quanto esposto si evince che i coefficienti di sicurezza γ assumono un ruolo determinante nel metodo semiprobabilistico agli stati limite. Le aleatorietà legate alle caratteristiche meccaniche dei materiali vengono infatti conteggiate considerando i valori caratteristici delle resistenze, intesi come valori che hanno il 95% di probabilità di essere superati. Tutte le altre cause di incertezza si scontano riducendo ulteriormente il valore assunto dalla resistenza per mezzo di coefficienti riduttivi γm, dati dai termini parziali γm’ e γm”. II primo di questi deve tenere conto della differenza tra la resistenza del materiale in opera e quella determinata in laboratorio mediante specifiche prove meccaniche, mentre il secondo considera la presenza in opera di difetti o errori costruttivi. Per gli stati limite ultimi si assumono coefficienti γm superiori all’unità mentre per gli stati limite di esercizio si assumono, in linea di principio, coefficienti unitari. Ne consegue quindi che per gli stati limite ultimi i valori di resistenza di progetto risultano sempre minori del valore caratteristico al 5% e corrispondono approssimativamente al frattile allo 0,5% (ossia a un valore che solo 5 volte ogni 1 000 non viene superato, o egualmente 995 volte ogni 1 000 è ecceduto). Per gli stati limite di esercizio esiste invece in generale una coincidenza tra i valori di progetto e i valori caratteristici. Per quanto riguarda il mondo delle sollecitazioni, l’ottica utilizzata dal metodo semiprobabilistico considera come uniche e sole variabili aleatorie le azioni e i valori indicati dalla normativa devono essere intesi come caratteristici, al 95%, ossia con il 5% della probabilità di essere ecceduti (in 95 casi su 100 il valore reale dell’azione è inferiore

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

a quello considerato nella progettazione). Si assumono invece come deterministiche tutte le altre grandezze coinvolte nella quantificazione delle sollecitazioni (ovvero bracci di leva, dimensioni geometriche, ecc.). Risulta quindi indispensabile e necessario l’inserimento di coefficienti γf che consentano di scontare tutte le altre cause di incertezza e di aleatorietà non ancora conteggiate (in aggiunta alle azioni). La determinazione del valore di progetto delle azioni (Fd ) si ottiene come combinazione delle azioni considerate agenti ciascuna assunta con il proprio valore caratteristico e modulate per mezzo del coefficiente amplificativo γf e di opportuni coefficienti di combinazione Ψ, che tengono conto della ridotta probabilità che tutte le azioni si manifestino con i loro valori significativi. Particolare attenzione va posta ai termini γf , dati dalla combinazione di tre differenti contributi: • γf1, che tiene conto del fatto che durante la vita dell’edificio possano presentarsi azioni eccezionali di valore superiore a quanto desumibile dalla statistica assunta. Inoltre questo contributo consente di considerare quelle azioni che non possono essere studiate in dettaglio o quegli effetti ritenuti poco essenziali, ma comunque presenti; • γf2, introdotto per tenere conto della ridotta probabilità che tutte le azioni statisticamente studiate si presentino contemporaneamente con i loro valori caratteristici; • γf3 che consente di conteggiare le aleatorietà e le incertezze dell’analisi strutturale, cioè di quel momento del calcolo che permette di passare dalle cause (azioni agenti sulla struttura) agli effetti (sollecitazioni nelle componenti). Nelle comuni costruzioni a uso civile e industriale, vengono implicitamente considerati, e quindi assunti quali requisiti di base per l’affidabilità della costruzione, i seguenti valori per quanto riguarda la probabilità di raggiungimento di una situazione indesiderata (pr ): • danni allo stato limite di servizio (sls): pr varia tra 10-3 e 10-2; • danni allo stato limite ultimo (slu): pr varia tra 10-7 e 10-5. L’obiettivo delle verifiche è quello di mantenere la probabilità di raggiungimento (ossia il livello di rischio) dello stato limite considerato entro il valore prestabilito in relazione al tipo di costruzione in esame, alla sua influenza sull’incolumità delle persone e alla sua prevista durata di esercizio.

39

40

Capitolo 1

Il materiale

Il valore di progetto Xd di una proprietà del materiale viene definito come: Xd

Xk

(1.5)

Jm in cui Xk e γm rappresentano rispettivamente il valore caratteristico della proprietà del materiale e il suo coefficiente parziale di sicurezza.

Tabella 1.7 Valori dei coefficienti di sicurezza dei materiali previsti dalle NTC.

I valori dei coefficienti γm dipendono essenzialmente dal tipo di verifica che si considera, ossia prevalentemente da quella del materiale di base (oppure del dettaglio costruttivo) e dalla modalità di rottura (duttile o fragile). Nella Tabella 1.7 sono riportati i valori dei coefficienti di sicurezza in accordo alle NTC, dettagliati a seconda del tipo di verifica in esame.

NTC-Tabella 4.2.VII Coefficienti di sicurezza per la resistenza delle membrature e la stabilità

NTC-Tabella 4.2.XI Coefficienti di sicurezza da assumere per le verifiche a fatica

Resistenza delle Sezioni di Classe 1-2-3-4

γM0 = 1,05

Resistenza all’instabilità delle membrature

γM1 = 1,05

Resistenza all’instabilità delle membrature di ponti stradali e ferroviari

γM1 = 1,10

Resistenza, nei riguardi della frattura, delle sezioni tese (indebolite dai fori)

γM2 = 1,25

Strutture poco sensibili alla rotture per fatica che ha conseguenze moderate

γMf = 1,00

Strutture poco sensibili alla rotture per fatica che ha conseguenze significative

γMf = 1,15

Strutture sensibili alla rotture per fatica che ha conseguenze moderate

γMf = 1,15

Strutture sensibili alla rotture per fatica che ha conseguenze significative

γMf = 1,35

Resistenza dei bulloni

γM2 = 1,25

Resistenza dei chiodi

γM2 = 1,25

Resistenza delle connessioni a perno

γM2 = 1,25

Resistenza delle saldature a parziale penetrazione e a cordone d’angolo NTC-Tabella 4.2. XIV Coefficienti di sicurezza Resistenza dei piatti a contatto per la verifica delle unioni Resistenza a scorrimento per SLU Resistenza a scorrimento per SLE

γM2 = 1,25 γ M2 = 1,25 γM3 = 1,25 γM3 = 1,10

Resistenza delle connessioni a perno allo stato limite di γM6,ser = 1,0 esercizio Precarico di bulloni ad alta resistenza

γM7 = 1,10

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

Le azioni

Indipendentemente dal metodo di verifica adottato, le azioni debbono essere cumulate secondo condizioni di carico tali da risultare più sfavorevoli ai fini delle singole verifiche, tenendo conto della ridotta probabilità di intervento simultaneo di tutte le azioni con i rispettivi valori più sfavorevoli. Le combinazioni di carico del metodo semiprobabilistico agli stati limite vengono simbolicamente espresse mediante la relazione: n

Fd = J G 1G1 + J G 2 ⋅ G2 + J p Pk + J q Q1 k + ∑ J qi (Ψ 0 i Qik ) (1.6) i=2

dove i simboli + e Σ significano l’applicazione concomitante dei rispettivi addendi, i coefficienti γ rappresentano i fattori amplificativi, il pedice k indica il termine caratteristico mentre G individua i carichi permanenti, Q (quelli variabili detti anche accidentali o sovraccarichi), e P l’azione di precompressione. Il termine Ψoi rappresenta il coefficiente di combinazione allo stato limite ultimo (Tabella 1.9). Nella espressione di Fd ciascuna azione variabile Q ik deve essere di volta in volta assunta come azione di base o dominante della combinazione (Q 1k ). I coefficienti amplificativi dei carichi, γ, sono distinti a secondo dello stato limite in esame. In dettaglio l’ultima versione della normativa europea, così come le Norme Tecniche per le Costruzioni, prevedono i tre seguenti stati limite: • lo stato limite di equilibrio come corpo rigido, definito in forma semplificata EQU • lo stato limite di resistenza della struttura compresi gli elementi di fondazione, definito in forma semplificata STR • lo stato limite di resistenza del terreno, definito in forma semplificata GEO In Tabella 1.8, sono forniti i valori dei coefficienti γ che compaiono nella formula di combinazione delle azioni, distinti a seconda che l’azione in esame generi un effetto favorevole (ossia attenui l’entità della sollecitazione) ovvero sfavorevole (ossia, si cumuli in modo sfavorevole con altre azioni già agenti). Il significato dei simboli è il seguente: • γG1 è il coefficiente parziale del peso proprio della struttura, nonché del peso proprio del terreno e dell’acqua, quando pertinenti; • γG2 è il coefficiente parziale dei pesi propri degli elementi non strutturali;

41

42

Capitolo 1

• γQi è il coefficiente parziale delle azioni variabili. Il coefficiente parziale della precompressione si assume pari all’unità (γP =1,0). Tabella 1.8 Coefficienti parziali per le azioni o per l’effetto delle azioni nelle verifiche stato limite ultimo (SLU).

Coefficiente EQU γF

A1 STR

A2 GEO

Carichi permanenti

favorevoli sfavorevoli

γG2

0,9 1,1

1,0 1,3

1,0 1,0

Carichi non permanenti non strutturali(1)

favorevoli sfavorevoli

γG2

0,0 1,5

0,0 1,5

0,0 1,3

Carichi variabili

favorevoli sfavorevoli

γQ1

0,0 1,5

0,0 1,5

0,0 1,3

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es. carichi permanenti portati) siano compiutamente definiti si potranno adottare per essi gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti.

Le formule di combinazione per gli stati limite di esercizio hanno carattere orientativo e possono applicarsi a costruzioni per le quali non esistono regolamentazioni specifiche. Si devono prendere in esame le seguenti combinazioni: • caratteristiche: n

Fd = G1 + G2 + Pk + Q1 k + ¦ < 0 i Qik

(1.7a)

i=2

• frequenti: n

Fd = G1 + G2 + Pk + 30 kN) Categorie H, I, K Coperture da valutarsi caso per caso Vento Neve (a quota d 1000 m s.l.m.) Neve (a quota > 1000 m s.l.m.) Variazioni termiche

0,7

0,5

0,3

0,7 0,7

0,5 0,7

0,3 0,6

0,7

0,7

0,6

1,0

0,9

0,8

0,7 0,7

0,7 0,5

0,6 0,3

0,6 0,5 0,7 0,6

0,2 0,2 0,5 0,5

0,0 0,0 0,2 0,0

Tabella 1.9 Valori dei coefficienti di combinazione delle azioni secondo NTC.

Relativamente agli stati limite ultimi (slu) nella fase di predimensionamento a titolo semplificativo, generalmente si adotta l’equazione che fornisce il valore maggiore tra le seguenti combinazioni di carico: a. combinazione con l’azione variabile maggiore a sfavore di sicurezza:

¦J

g, j

Gk, j + J q ,1Qk,1

(1.8a)

j

b. combinazione con tutte le azioni variabili a sfavore di sicurezza:

¦J

g, j

Gk, j + 0, 9¦ J q ,i Qk,i

(1.8b)

it1

j

Relativamente agli stati limite di servizio (sls) con riferimento alle condizioni rara e frequente, si adotta l’equazione che fornisce il valore maggiore tra le seguenti combinazioni di carico: a. combinazione con l’azione variabile maggiore a sfavore di sicurezza:

¦G

k, j

j

+ Qk,1

(1.9a)

43

44

Capitolo 1

b. combinazione con tutte le azioni variabili a sfavore di sicurezza:

¦G

k, j

j

+ 0, 9¦ Qk,i

(1.9b)

it1

Si sottolinea che in fase di verifica devono essere utilizzate le combinazioni di carico da normativa.

1.6 L’approccio progettuale Il proporzionamento e la progettazione di ogni sistema strutturale sono usualmente effettuati in due momenti distinti: • fase d’analisi globale; • fase di verifica locale. Nella fase d’analisi globale viene condotta l’analisi strutturale dell’intero sistema intelaiato per valutare le azioni interne e le associate deformazioni significative, considerando le combinazioni di carico per quanto riguarda gli stati limite sia ultimi sia di esercizio. In questa fase si deve tenere conto delle limitazioni sugli spostamenti orizzontali che non possono eccedere particolari valori definiti dalla normativa di riferimento, esaminando il comportamento spaziale (spesso ricondotto a bidimensionale) della struttura in relazione ai possibili carichi agenti. In particolare, con riferimento alle azioni orizzontali (per esempio, quella del vento o del sisma) viene richiesto che la struttura in servizio non ecceda i limiti di deformabilità trasversale forniti dalla normativa. La NTC, così come la normativa Europea (ec3) prescrivono, per gli edifici, ben definiti limiti per gli spostamenti laterali in sommità delle colonne, differenziati per i portali e gli edifici multipiano. In dettaglio, definita h l’altezza della colonna e h0 l’altezza totale dell’edificio per edifici multipiano, deve invece essere controllato che, in ciascun piano, lo spostamento trasversale (δ ) sia limitato a h/300 e comunque lo spostamento totale (δTOT) della struttura non ecceda h0/500. (Figura 1.29) Nella fase di verifica locale per le componenti del telaio vengono individualmente considerate le sollecitazioni interne maggiormente sfavorevoli, con riferimento alle caratteristiche geometriche efficaci delle sezioni resistenti. Le verifiche sugli elementi strutturali devono essere condotte in accordo a quanto previsto dalla normativa alla quale viene riferita la progettazione, nel caso specifico alle NTC 2018, richiamate in sintesi nei capitoli successivi di questo volume.

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

Figura 1.29 Deformabilità trasversale dei telai.

Figura 1.30 La struttura in esame con l’associato diagramma delle azioni flettenti (a) e la distribuzione di tensioni relativa al raggiungimento della tensione di snervamento (b).

I due metodi di calcolo precedentemente descritti ed utili per la fase di proporzionamento delle costruzioni in acciaio possono essere profondamente differenti, non solo a livello di impostazione concettuale, ma anche per quanto concerne gli esiti delle verifiche. Si ricorda che per la fase di verifica è utilizzabile solo il metodo semiprobabilistico agli stati limite. Il metodo delle tensioni ammissibili prende come riferimento progettuale la tensione agente a livello della fibra di interesse della sezione trasversale ed opera appunto nel mondo delle tensioni. Il metodo degli stati limite considera invece le caratteristiche prestazionali della sezione nella sua globalità (ad esempio, in termini di azione assiale, azione flettente, taglio, ecc.) ed opera nel mondo delle azioni interne (forze e momenti). Dal punto di vista pratico la condizione limite può risultare quindi determinata dal raggiungimento non della tensione ammissibile in un punto ma dal particolare valore di azione interna che provoca la crisi dell’elemento. Per meglio comprendere questo concetto, si faccia riferimento all’esempio riportato in Figura 1.30a e relativo al caso di una trave in semplice appoggio con carico concentrato nella sezione di mezzeria. Ipotizzando in via semplificata che la tensione limite sia quella di snervamento ( fy ) allora il carico limite Plim è quello che provoca il raggiungimento della tensione di snervamento nelle fibre estreme del profilato (Figura 1.30b). Il momento associato a questa distribuzione tensionale viene denominato momento al limite elastico (Mel).

a)

b)

45

46

Capitolo 1

Questa particolare condizione (il raggiungimento della tensione limite all’estremità della sezione trasversale del profilo) non ha generalmente conseguenze dirette sulla sicurezza della struttura. Come visto al § 1.1, il materiale acciaio ha un legame costitutivo schematizzabile in via approssimata come elastico-perfettamente plastico. Di conseguenza il carico può aumentare ulteriormente, il diagramma delle deformazioni cresce sempre linearmente ma si modifica la forma del diagramma delle tensioni, limitato dal valore della tensione di snervamento (Figura 1.31), che non può essere ecceduto. Figura 1.31 Distribuzione di tensioni per un carico superiore al carico limite.

L’incremento di carico è possibile fino al raggiungimento del carico Pult, ossia fintanto che la plasticizzazione si estende a tutto il profilo, essendo plasticizzate la parte superiore a compressione e quella inferiore a trazione. Nella sezione di mezzeria, per questa particolare distribuzione di tensione, la cui risultante globale è un’azione flettente definita momento plastico del profilo (Mpl), possono avvenire scorrimenti relativi tra le parti tese e compresse senza alcun ulteriore lavoro (ossia incremento di carico) e pertanto la distribuzione di tensione riportata in Figura 1.32 provoca l’attivazione di un vincolo interno alla trave di cerniera, che è definito cerniera plastica in quanto si forma quando il momento sulla sezione è quello plastico della trave. La cerniera plastica può essere intesa come una cerniera ad attrito che funziona solo come vincolo rotazionale quando agisce il momento plastico sulla sezione (Figura 1.33). Il valore di carico che provoca il raggiungimento del momento plastico nella sezione di mezzeria altera lo schema statico della struttura in quanto, per P=Pult si hanno 3 cerniere allineate (2 nelle sezioni di vincolo e 1 in quella di mezzeria) che rendono il sistema labile e quindi Pult corrisponde al carico ultimo che il sistema può reggere.

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

Figura 1.32 Distribuzione di tensioni per il carico limite.

Figura 1.33 Meccanismo di collasso della trave.

Il rapporto tra il momento plastico (Mpl) e quello elastico (Mel) viene definito fattore di forma (Dforma). Nella Figura 1.34 sono riportati i valori dei fattori di formi per i più comuni tipi di profili laminati a caldo (serie IPE e serie HE). Figura 1.34 Fattore di forma per i più comuni tipi di profilati a doppio T.

47

48

Capitolo 1

Si consideri ora una trave doppiamente incastrata con carico uniformemente distribuito indicata in Figura 1.35a. Facendo, per semplicità riferimento ad un carico agente pari a D∙p, in cui D è il moltiplicatore di carico e p rappresenta il carico di servizio (corrispondente a D=1), l’analisi elastica di questo sistema iperstatico porta alla distribuzione delle azioni flettenti riportata in Figura 1.35b. Figura 1.35 La trave doppiamente incastrata (a) ed il diagramma elastico dei momenti flettenti(b).

Il moltiplicatore di carico può crescere fintanto che si raggiunge il valore DE, che attiva nelle sezioni di momento massimo (quelle di estremità), nelle quali si raggiunge il momento plastico Mpl, due cerniere plastiche (Figura 1.36). Il moltiplicatore DE vale: 12 ⋅ M pl DE (1.10) p ⋅ L2 Figura 1.36 Diagramma dei momenti corrispondente all’attivazione delle prime 2 cerniere plastiche.

αEp Mpl

Mpl Mpl Mpl 2

Il sistema non collassa in quanto lo schema statico è isostatico e deve a questo punto essere fatto riferimento allo schema statico di Figura 1.37. Figura 1.37 Schema statico e diagramma dei momenti corrispondente all’attivazione delle prime 2 cerniere plastiche (equivalente a quello di Figura 1.36).

αEp Mpl

Mpl

Mpl Mpl 2

Il moltiplicatore di carico 'D può quindi crescere ulteriormente ed il diagramma delle azioni flettenti deve essere sommato a quello associato al moltiplicatore DE (Figura 1.38). Il moltiplicatore 'D può quindi crescere fintanto che non viene raggiunto il valore 'D* tale che: (ΔD * ⋅ p) L2 M pl + = M pl 8 2

(1.11a)

Prodotti, materiale e metodi di calcolo

αEp

Figura 1.38 Schema statico e diagramma dei momenti corrispondente ad un moltiplicatore di carico superiore a DE.

Mpl

Mpl

Mpl Mpl 2 ∆αp ∆αpL2 8

Risulta quindi: ΔD*

4 ⋅ M pl p ⋅ L2

(1.11b)

Il collasso avviene pertanto quando si attiva anche la cerniera plastica nella sezione di mezzeria (Figura 1.39), ossia per il valore Du: 16 ⋅ M pl Du = D E + ΔD * = (1.12) p ⋅ L2 Figura 1.39 Meccanismo di collasso per la trave di figura 1.35.

Un altro aspetto che può influenzare il comportamento delle sezioni trasversali è quello dell’instabilità locale, particolare forma di instabilità che si può manifestare quando lo spessore del profilo è ridotto rispetto alle dimensioni delle componenti (ad esempio, ala e anima) ed impedisce il raggiungimento della tensione di snervamento (Figura 1.40). Figura 1.40 Tipiche deformazioni per instabilità locale di lamiere grecate.

49

50

Capitolo 1: applicazioni

Applicazioni

Applicazione 1.1 Combinazioni di carico per un solaio di civile abitazione

Si determinino le combinazioni di carico significative per un solaio di un edificio di civile abitazione adibito ad uffici aperti al pubblico. I valori dei carichi verticali assegnati sono riportati nella Tabella 1.10. Tabella 1.10 Valori dei carichi verticali assegnati.

Tipo di carico

Simbolo

Valore

Permanente portato Accidentale

G2 Q

3,8 kN/m2 3,0 kN/m2

Poiché i carichi permanenti e quelli accidentali hanno verso concorde, i relativi coefficienti amplificativi vengono di seguito applicati con il loro massimo valore. Combinazioni di carico per gli stati limite ultimi (slu), (Equazione 1.6): n

Fdu = J g G2 + J q Q1 k + ¦ J qi (< 0 i Qik ) i=2

Fdu = 1, 5 · 3, 8 + 1, 5 · 3 = 10, 2 kN/m 2 Combinazioni di carico per gli stati limite di servizio (sls), (Equazione 1.7) • Combinazioni rare (Equazione 1.7a): n

Fdsr = G2 + Q1 k + ¦ < 0 i Qik i=2

Fdsr = 3, 8 + 3 = 6, 8 kN/m 2

• Combinazioni frequenti (Equazione 1.7b): n

Fdsf = G2 + Ae,min. A seguito della scelta di Ae, ossia del progetto, deve poi sempre essere effettuata la verifica in accordo al metodo semiprobabilistico agli stati limite.

95

Applicazioni

Applicazione 3.1 Progetto e verifica di un elemento teso

Si progetti e si verifichi un elemento teso formato da due angolari a lati uguali accoppiati soggetto a una forza assiale di progetto pari a 300 kN dovuta a un’azione accidentale. Procedura

Per il progetto si determina l’area minima dell’elemento resistente mentre per la verifica si tiene conto della presenza di fori per la realizzazione del collegamento e quindi si riduce il valore dell’area di riferimento. Progetto

Si sceglie un acciaio S 275 e si ha fd = 261,9 N/mm2 (Tabella 3.1). Si valuta l’area minima resistente depurata dei fori (Equazione 3.5): Ae, min

N

1, 5 ⋅ 300 000

fd

261, 9

1718, 2 mm

2

Si scelgono due angolari a lati uguali accoppiati. Ogni angolare ha lato 100 mm, spessore 6 mm (profilo 100 x 6 mm) e area pari a 1 120 mm2. I dettagli della sezione di attacco, che presenta fori dal diametro di 25,5 mm per il posizionamento di bulloni dal diametro di 24 mm, sono presentati in Figura 3.7. Figura 3.7 Profilo composto da angolari.

25,5

96

Capitolo 3: applicazioni

9HULÀFD

Determinazione dell’area netta Ae , data dall’area normale del profilo ridotta dalla presenza dei fori: Ae

2 ⋅ (1120 − 25, 5 ⋅ 6)

2

1934 mm

Verifica in accordo all’Equazione 3.1: N VN

1, 5 ⋅ 300 000 1934

Ae

232, 68 N/mm 2 :

232, 68 N/mm ≤ 261, 9 N/mm 2 ( fd ) 2

La verifica risulta soddisfatta

97

4 Gli elementi inflessi

4.1 Premessa Il dimensionamento degli elementi inflessi deve essere sempre condotto con riferimento sia alla condizione di deformabilità sia a quella di resistenza. Nel generico elemento inflesso si ha usualmente anche azione tagliante, che deve perciò essere sempre esplicitamente considerata nella fase di verifica. Gli elementi inflessi possono manifestare una particolare forma di instabilità denominata instabilità laterale (Figura 4.1), anche chiamata instabilità flesso-torsionale o svergolamento, dovuta alla forza di compressione che agisce su una parte di profilo (per elementi in semplice appoggio con carico verticale sono l’ala superiore del profilo e parte dell’anima) e che può provocare sbandamento laterale e al contempo torsione, ossia traslazione e rotazione della sezione. In realtà, riferendosi prevalentemente all’orditura di piano di edifici a uso civile con schema pendolare, la soletta mista in acciaio e calcestruzzo (vedi Paragrafo 1.2.2) usualmente contrasta gli spostamenti trasversali dell’ala superiore della trave associati allo svergolamento, fungendo quindi da efficace vincolo nei suoi confronti. Il fenomeno dell’instabilità laterale deve comunque essere considerato per le travi di copertura, generalmente collegate a pannelli coibentati o lamiere grecate (elementi non efficaci nei confronti dello svergolamento). Figura 4.1 Deformata per svergolamento di travi inflesse.

98 Capitolo 4

Viene di seguito fatto riferimento, per quanto concerne l’aspetto teorico e gli esempi applicativi, a travi isostatiche, ossia a elementi orizzontali tipici dei telai pendolari. I concetti proposti sono però comunque validi anche per travi iperstatiche, ma cambia l’approccio che deve essere utilizzato nell’analisi strutturale per la determinazione delle azioni interne, basato oltre che sulle condizioni di equilibrio anche su quelle di congruenza.

4.2 Verifiche di deformabilità Come noto dalla Scienza delle Costruzioni, il massimo abbassamento v dell’elemento inflesso può essere sempre valutato come somma di due contributi, quello associato alla deformabilità flessionale (vF ) e quello associato alla deformabilità a taglio (vT ): v = vF + vT

(4.1)

Il contributo della deformabilità a taglio viene usualmente trascurato, in quanto spesso costituisce una percentuale di vF estremamente modesta. Nel caso di travi corte, ossia con elementi di lunghezza inferiore a 1012 volte l’altezza della trave, il termine vT è invece rilevante e quindi deve essere esplicitamente considerato nelle verifiche di deformabilità. Questo contributo può essere sempre quantificato mediante il principio dei lavori virtuali. Nel caso di elementi in semplice appoggio può essere generalmente valutato come: vT

∫

x 0

FT

T ( y) G⋅ A

dy

(4.2)

in cui l’integrale è esteso tra la sezione di appoggio e quella in cui si vuole conoscere l’abbassamento, T ( y) rappresenta il valore dell’azione tagliante nella generica sezione dell’elemento, G il modulo di elasticità tangenziale del materiale, mentre A e FT indicano rispettivamente l’area e il fattore di taglio della sezione trasversale. Il fattore di taglio è un coefficiente adimensionale che dipende dalla forma della sezione. Il suo valore è sempre maggiore dell’unità ed è tanto più grande quanto più le tensioni tangenziali associate all’azione tagliante si scostano dalla distribuzione uniforme. La sua quantificazione rigorosa è possibile mediante l’Equazione:

Gli elementi inflessi

A FT

I

⋅ 2 ∫

y′′ y′

Si2 bi

dy

(4.3)

in cui I rappresenta il momento di inerzia della sezione, y’ e y” sono gli estremi della sezione e Si il momento statico rispetto all’asse neutro della parte di sezione sottesa dalla corda di larghezza bi. Nel caso di sezione rettangolare si ha χT = 1,2, mentre per i profilati a doppio T il valore assunto da χT varia nei seguenti intervalli: • per i profilati della serie IPE χT è compreso tra 2,2 e 2,6; • per i profilati delle serie HEA e HEB χT è compreso tra 2,1 e 4,7; • per i profilati della serie HEM χT è compreso tra 2,1 e 4,4. In alternativa alla valutazione del fattore di taglio proposta dall’Equazione 4.3, per i profilati a doppio T il termine χT può essere stimato come: A FT (4.4) Aw in cui A rappresenta l’area della sezione trasversale ed AW l’area della sola anima. L’approssimazione data dall’Equazione 4.4 rispetto alla definizione rigorosa (Equazione 4.3) è estremamente contenuta: l’errore non è superiore al 5% per i profilati della serie IPE e comunque sempre inferiore al 9% per i profilati della serie HE. A titolo di esempio, per la trave di Figura 4.2 vengono di seguito esplicitati in funzione di due diverse lunghezze di trave, ossia L = 6H e L = 12 H, i valori di vT espressi come percentuale di vF . Figura 4.2 Trave di riferimento.

Travi con L = 6H: • per i profilati della serie IPE vT varia dal 24% al 30% di vF ; • per i profilati delle serie HEA e HEB vT varia dal 23% al 58% di vF ; • per i profilati della serie HEM vT varia dal 23% al 49% di vF . Travi con L = 12H: • per i profilati della serie IPE vT varia dal 6% al 7% di vF ;

99

100 Capitolo 4

• per i profilati delle serie HEA e HEB vT varia dal 6% al 15% di vF ; • per i profilati della serie HEM vT varia dal 6% al 12% di vF . La verifica di deformabilità viene condotta con i metodi classici della Scienza e Tecnica delle Costruzioni calcolando il massimo abbassamento (usualmente in campo elastico), v, e confrontandolo con i valori limite ammessi dalla normativa di riferimento vLim. Deve essere garantito che: v ≤ vLim Tabella 4.1 Azioni interne e freccia massima per condizioni di carico tipiche della trave isostatica.

Condizione Di carico

(4.5)

Si riassumono nella Tabella 4.1 i dati principali relativi all’analisi strutturale della trave in semplice appoggio a sezione costante e di lunghezza pari a L, con alcune tra le più ricorrenti condizioni di carico associate al proporzionamento di sistemi pendolari. Azione flettente Diagramma

Azione tagliante

Valore

p

Diagramma

Valore

2

M max

M max

M max

pL 8

FL

Tmax

Tmax

4

FL 3

Tmax

pL

Freccia vf 5 pL4

2

384 EI

F

FL3

2

48 EI

F

23 FL3 648 EI

Si riportano per ognuna di queste e in funzione del tipo di carico applicato (distribuito o concentrato) che esprime comunque la combinazione tra carichi permanenti e accidentali, i diagrammi delle azioni flettenti e taglianti con i valori estremi e l’espressione del massimo abbassamento, valutato tenendo conto soltanto del solo contributo flessionale della trave (vF). Nelle NTC (come in EC3) sono proposti, per gli elementi orizzontali, valori limite dello spostamento tenendo conto, oltre che della presenza dei carichi permanenti e accidentali, anche della eventuale controfreccia (o pre-monta iniziale), ossia di una deformazione iniziale che viene volutamente impressa alla trave in stabilimento, opposta a quella associata ai carichi permanenti e accidentali (sovraccarichi). In questo modo, soprattutto con travi di grande luce o in presenza di azioni di elevata entità, è possibile contenere la deformabilità totale dell’elemento in esercizio. In

Gli elementi inflessi

dettaglio, con riferimento alla trave in semplice appoggio di sezione costante e luce L (Figura 4.3), vengono proposti nella Tabella 4.2 i limiti di deformabilità relativi sia allo spostamento totale, Gmax (dovuto alla somma dei contributi legati ai carichi permanenti, G1, ai sovraccarichi, G2 , e all’eventuale contromonta, G0 ), sia allo spostamento per i soli sovraccarichi, G2 . Tabella 4.2 Valori limite per gli spostamenti verticali in accordo all’EC3. G0: pre-monta iniziale della trave nella condizione scarica G1: variazione di inflessione dovuta ai carichi permanenti G2: variazione di inflessione dovuta ai carichi accidentali

Condizioni

Limiti

Gmax=G1+G2−G0 Copertura in generale: Coperture praticate frequentemente da personale diverso da quello della manutenzione: Solai in generale: Solai o coperture che reggono intonaco o altro materiale di finitura fragile o tramezzi non flessibili: Solai che supportano colonne (a meno che lo spostamento sia stato incluso nella analisi globale per lo stato limite ultimo):

G2

L/200

L/250

L/250

L/300

L/250

L/300

L/250

L/350

L/400

L/500

Figura 4.3 Definizione degli spostamenti trasversali in accordo all’EC3.

Nel caso in cui lo spostamento trasversale possa compromettere l’aspetto dell’edificio Gmax è limitato a L/250.

4.3 Verifiche di resistenza La flessione è generalmente associata al taglio e pertanto, nella fase di progetto e verifica, risulta necessario tenere conto delle rispettive componenti in termini di tensioni agenti sulla sezione. Di seguito si considera soltanto il caso di flessione semplice, rimandando il caso di flessione deviata a trattazioni più specialistiche. Si ricorda che la flessione deviata si ha quando l’asse di sollecitazione non coincide con uno degli assi principali di inerzia della sezione. Di seguito, focalizzando l’attenzione sui casi maggiormente ricorrenti nel mondo delle costruzioni in acciaio, si considera la flessione semplice su profili dotati di sezione trasversale con almeno un asse di simmetria coincidente con l’asse di sollecitazione.

101

102 Capitolo 4

4.3.1 Resistenza a flessione

Nel ricorrente caso progettuale di flessione attorno ad un asse principale della sezione, viene richiesto che, in assenza di azione tagliante, il valore del momento di progetto, MEd (di seguito indicato con M) soddisfi la relazione: M(

M Ed ) d M c, Rd

(4.6)

in cui Mc,Rd rappresenta il momento resistente di progetto della sezione trasversale, da assumersi in funzione della classe della sezione trasversale come di seguito riportato: • per le sezioni trasversali di classe 1 e 2: f M c, Rd M pl, Rd Wpl y (4.7a) JM0 in cui Wpl rappresenta il modulo di resistenza plastico della sezione, fy è la tensione di snervamento e gM0 il coefficiente di sicurezza. • per le sezioni trasversali di classe 3: f M c, Rd M el, rd Wel,min y (4.7b) JM0 in cui Wel,min rappresenta il modulo di resistenza elastico associato alla fibra più sollecitata. • per le sezioni trasversali di classe 4: f M c, Rd Weff ,min y (4.7c) JM0 in cui Weff,min rappresenta il modulo di resistenza della sezione efficace. 4.3.2 Resistenza a taglio

Il valore dell’azione tagliante di progetto VEd (di seguito indicata con V) in ogni sezione trasversale non deve eccedere la resistenza a taglio di progetto, Vc,Rd, ossia deve essere verificato che: V ( VEd ) d Vc, Rd

(4.8)

La resistenza plastica di progetto taglio, Vpl,Rd, in assenza di torsione, è: fy Vpl, Rd

Av

3 JM0

(4.9)

Gli elementi inflessi

in cui Av rappresenta l’area resistente a taglio, fy è la tensione di snervamento e JM0 il coefficiente di sicurezza. 4.3.3 Resistenza a flessione e taglio

Il momento resistente di progetto non viene ridotto quando il valore di progetto della forza di taglio VEd non supera il 50% della resistenza a taglio plastica di progetto Vpl,Rd. Se questa condizione non è soddisfatta, allora la capacità portante flessionale deve essere ridotta ed il dominio resistente taglio-momento è presentato nella figura 4.4. Al crescere del valore dell’azione tagliante si riduce la quota di azione flettente trasferita dall’anima (Mv) fino ad arrivare al caso limite di azione flettente trasferita dalle sole ali del profilo (Mf). Figura 4.4 Dominio resistente azione flettente-azione tagliante

Momento

Mpl

MV (Area a taglio) Mf Mf (Ali)

0

Taglio 0,5 Vpl

Vpl

Nel caso di profilati a doppio T, in via semplificata e conservativa, quando VEd > 0,5VPl,Rd il momento flettente resistente MPl,Red ridotto può essere valutato come: f h2 ⋅t M Pl, Rd (Wpl,y − W w ) ⋅ y (4.10) 4 JM0

103

104 Capitolo 4

4.4 Approccio semplificato alle tensioni

Tabella 4.3 valori delle tensioni di progetto per elementi soggetti a flessione e taglio (adottando gM0 = 1,05)

Le regole per la verifica appena vista possono essere molte volte trasportate nel dominio delle tensioni, rendendo più semplice il dimensionamento di massima anche se a volte lievemente più conservativo. Il termine fd ed il termine td rappresentano rispettivamente la tensione di progetto per tensioni normali e tangenziali e le verifiche per elementi soggetti a flessione, taglio e flessione e taglio prevedono l’utilizzo del coefficiente di sicurezza gM0 = 1,05 (Tabella 1.6). Per semplicità vengono in tabella 4.3 riportati i valori delle tensioni di progetto fd e td per le classi di acciaio previste dalla vigente normativa, ottenuti come: fy fd (4.11a) JM0 Wd

fy

(4.11b)

JM0 ⋅ 3

Classe di acciaio Tensione di snervamento Tensione di progetto Tensione di progetto fy [N/mm2] fd [N/mm2] td [N/mm2] S S S S S

235 275 355 420 460

235 275 355 420 460

223,81 261,90 338,10 400,00 438,10

129,22 151,21 195,20 230,94 252,93

Per profilati in classe 1, 2 e 3, il progetto e/o verifica di elementi inflessi, soggetti a taglio o interessati da flessione e taglio può essere quindi svolto in termini tensionali utilizzando il modulo di resistenza elastico Wel (di seguito denominato W). Egualmente, nel caso di azione tagliante è possibile riferirsi al massimo valore della tensione tangenziale agente nella sezione.

4.4.1 Resistenza a flessione

Relativamente alla verifica di profili soggetti a flessione semplice sono frequenti, nel campo delle costruzioni a uso civile e industriali i seguenti casi: • sezione dotata di due assi di simmetria; • sezione dotata di un asse di simmetria.

Gli elementi inflessi

La verifica di resistenza risulta soddisfatta se: Vmax d fd

(4.12)

Nel caso di sezione dotata di due assi di simmetria (ossia realizzata, per esempio, con profili delle serie IPE, HEA, HEB e HEM, oppure con profili a C accoppiati o con profili a sezione scatolare rettangolare), in presenza di azione flettente M i valori massimi delle tensioni, Vsup e Vinf sono uguali tra loro in modulo (Figura 4.5) e valgono: V max

V sup

Vinf

M h ⋅ I 2

M W

(4.13)

in cui I e W rappresentano rispettivamente il momento di inerzia e il modulo di resistenza della sezione di altezza h rispetto all’asse x ortogonale all’asse di sollecitazione. Figura 4.5 Tensioni normali nella sezione inflessa doppiamente simmetrica.

Nel caso invece di sezione dotata di un solo asse di simmetria (tipicamente i profili saldati oppure quelli composti) le tensioni hanno ancora una variazione lineare lungo la sezione trasversale dell’elemento, ossia una distribuzione a farfalla (Figura 4.6). I loro valori estremi sono però diversi, poiché dipendono dalla distanza tra la corda superiore e l’asse neutro (rispettivamente ysup e yinf ). Le tensioni significative da considerare nelle verifiche sono quindi: M V sup

I

M Vinf

I

⋅ ysup

(4.14a)

⋅ yinf

(4.14b)

105

106 Capitolo 4

Figura 4.6 Distribuzione delle tensioni nella sezione inflessa con un solo asse di simmetria.

4.4.2 Resistenza a taglio

Come già anticipato, nel caso di flessione usualmente si ha anche azione tagliante. Di seguito si considerano sezioni trasversali con centro di taglio coincidente con il baricentro e soggette a un’azione tagliante T applicata nel baricentro. Si ricorda che nel caso in cui l’azione tagliante sia baricentrica ma il centro di taglio non coincida con il baricentro della sezione (tipicamente con profili a L o con profili a C), nasce sulla sezione anche un’azione torcente che genera ulteriori tensioni tangenziali. La trattazione approssimata di Jourawski definisce la distribuzione delle tensioni tangenziali in corrispondenza della corda a una distanza y dal baricentro come: W( y)

T ⋅ Si ( y) I ⋅t

(4.15)

in cui Si(y) rappresenta il momento statico rispetto all’asse neutro dell’area della parte di sezione delimitata dalla corda distante y dal baricentro, I è il momento di inerzia della sezione rispetto all’asse neutro e t è lo spessore della sezione nella corda considerata. La massima tensione tangenziale, Wmax, si ha (Figura 4.7) nella fibra baricentrica (che coincide con l’asse neutro della flessione). In corrispondenza del raccordo tra ala e anima si ha un’evidente discontinuità delle tensioni tangenziali, dovuta alla variazione di spessore, essendo la larghezza dell’ala molto più grande dello spessore dell’anima. Figura 4.7 Tensioni tangenziali in un profilo a doppio T.

Gli elementi inflessi

L’andamento delle tensioni nelle ali e nell’anima è di tipo parabolico, essendo il momento statico una grandezza in cui compare la variabile y al quadrato. Le verifiche di resistenza devono essere condotte con riferimento al massimo valore della tensione tangenziale Wmax che non deve eccedere la resistenza del materiale, Wd , ossia: (4.16)

W max d W d

Nel caso di un profilo a doppio T con due assi di simmetria la massima tensione tangenziale, valutata in accordo all’Equazione 4.15 e trascurando la presenza dei raccordi curvilinei tra ali e anima, vale: 2

W max

T⋅ T

⎛ ⎜⎜b ⎜⎜⎝ f

⎞ ⎛H (bf − tw ) ⋅ ⎜⎜⎜ − tf ⎟⎟⎟ ⎟⎠ H H⎞ ⎝⎜ 2 ⋅ ⋅ ⎟⎟⎟ − 2 2 4 ⎟⎠ I ⋅ tw

(4.17)

Sx I ⋅ tw

in cui T rappresenta l’azione tagliante agente nella sezione in esame, I il suo momento di inerzia, H e b rispettivamente altezza e larghezza del profilo, t lo spessore e i pedici f e w sono riferiti rispettivamente ad ali e anima. In molti sagomari, come pure nell’Appendice A del presente testo, viene riportato direttamente il valore del momento statico Sx, valutato tenendo conto dell’esatta geometria della sezione (ossia considerando anche la presenza dei raccordi circolari tra le ali e l’anima). Si osservi che il contributo delle ali alla resistenza a taglio per i profili della serie IPE ed HE è estremamente modesto. Un’approssimazione comunque accettabile, in quanto a favore di sicurezza, porta a ipotizzare che solo l’anima (quindi una sezione rettangolare di altezza H-2·tf e larghezza tw ) assorba il taglio. Sulla base della trattazione di Jourawski applicata alla sezione rettangolare è possibile approssimare la massima tensione tangenziale come: W max

3

T ⋅

2 tw ( H − 2tf )

(4.18)

Un approccio sicuramente più corretto e adeguato, derivante dalla trattazione teorica di De Saint Venant, è quello raccomandato

107

108 Capitolo 4

dall’EC3 che prevede la determinazione della massima tensione tangenziale, in funzione dell’area resistente a taglio Av, come: T W max

Av

(4.19)

L’area resistente a taglio Av può essere determinata, in accordo all’EC3, come segue: • profilati laminati a I e H con carico parallelo all’anima: Av = A-2btf + (tw + 2r)tf • profilati laminati a C con carico parallelo all’anima: Av = A-2btf + (tw + r)tf • sezioni saldate ad I, H ed a cassone con carico parallelo all’anima: Av = Σ(dtw ) • profilati laminati a I e H con carico parallelo alle ali: Av = A- Σ(dtw ) • profilati cavi rettangolari di spessore uniforme con carico parallelo all’altezza: Av = Ah/(b + H) • profilati cavi rettangolari di spessore uniforme con carico parallelo alla larghezza: Av = Ab/(b + H) • sezioni cave circolari e tubi di spessore uniforme: Av = 2A/π • piatti e barre piene: Av = A Facendo riferimento alla sezione trasversale del profilo, A rappresenta l’area, b e H individuano rispettivamente la larghezza e l’altezza totale, d l’altezza dell’anima, r il raggio di raccordo tra ala e anima, t lo spessore e i pedici f e w sono riferiti rispettivamente all’ala e all’anima. Nel caso di profili laminati a I, a H e a C con carico parallelo all’anima, il termine Av può comunque essere approssimato, a favore di sicurezza, come Av = (1,04 · H · tw ). 4.4.3 Resistenza a flessione e taglio

Nel caso in cui sulla sezione o sull’elemento agiscano azione flettente e azione tagliante, a rigore dovrebbe essere sempre effettuata una verifica a flessione e taglio. Con riferimento ai comuni profili a doppio T delle serie IPE e HE, nella generica sezione si hanno infatti tensioni normali (flessione) e tangenziali (taglio) i cui diagrammi sono riportati in Figura 4.8. Data la particolare forma del profilo, si osserva però che in corrispondenza della massima tensione normale (estremi delle ali della sezione) il valore della tensione tangenziale verticale è nullo. Sull’asse neutro invece si ha il massimo valore della tensione tangenziale verticale mentre è nullo il valore della σ.

Gli elementi inflessi

Figura 4.8 Distribuzione delle tensioni normali e tangenziali in un profilo a doppio T doppiamente simmetrico.

La verifica dovrebbe essere di conseguenza riferita alla generica sezione in cui agiscono valori di V e W non nulli. In realtà, tale verifica viene usualmente omessa in quanto considerata sempre meno penalizzante di quella effettuata riferendosi ai valori massimi delle V e delle W. Esistono però altri casi in cui la verifica sull’elemento deve essere fatta tenendo conto della contemporanea presenza di tensioni normali e tangenziali. Tipico è il caso del collegamento soggetto a flessione e taglio trattato in dettaglio al Paragrafo 8.2.2, in cui i bulloni sono soggetti sia ad azione assiale di trazione (a cui corrisponde una tensione normale V), sia ad azione tagliante (a cui corrisponde una tensione tangenziale W). Anche negli elementi monodimensionali presso-inflessi si possono avere situazioni in cui è necessario effettuare una verifica tenendo in conto la presenza contemporanea di tensioni normali e tangenziali. La verifica di resistenza deve essere pertanto condotta riferendosi a entrambi i valori di tensione agenti nella fibra in esame e risulta soddisfatta se: 2

2

§ V ·¸ § W ·¸ ¨¨ ¸ ¨¨ ¸ ¨¨ ¸¸¸ + ¨¨ ¸¸¸ d 1 ¨© fd ¹ ¨© W d ¹

(4.20)

in cui fd e Wd rappresentano rispettivamente le tensioni normali e tangenziali di progetto. Si osservi che l’Equazione 4.20 esprime il criterio di resistenza di Von Mises, essendo W d

fd / 3

4.5 Progettazione di elementi inflessi Nei paragrafi precedenti sono state introdotte le limitazioni progettuali in termini di deformabilità e di resistenza (trascurando la problematica dell’instabilità laterale). Il profilo in esercizio deve ave-

109

110 Capitolo 4

re un abbassamento (freccia) non superiore ai limiti ammessi dalla normativa e uno stato tensionale, opportunamente amplificato, che non ecceda la resistenza del materiale. Questo controllo o verifica, presuppone che il profilo sia già stato scelto, ossia che si conoscano i valori delle sue caratteristiche geometriche e, nel caso particolare, del momento d’inerzia (I ), del modulo di resistenza (W ) e dell’area resistente a taglio. Nella fase di proporzionamento la scelta del profilo può essere operata in base all’esperienza progettuale acquisita precedentemente oppure può essere legata direttamente alle limitazioni prescritte dalla normativa vigente. Con riferimento a questo secondo approccio di seguito sono considerate due situazioni significative ai fini della progettazione: a. la maglia strutturale è completamente definita e pertanto la lunghezza e l’interasse dei profili sono noti; b. la maglia strutturale non è completamente definita e l’interasse delle travi deve essere stabilito in funzione della scelta del profilo. Per ogni situazione sono di seguito proposte formule approssimate da utilizzare nella progettazione, ipotizzando lo schema pendolare, ossia la trave vincolata con appoggio e cerniera. In dettaglio relativamente ai carichi applicati si considera, in via semplificata, la situazione in cui insistano soltanto un carico permanente ( g) e un carico accidentale (q). Per quanto concerne i loro coefficienti amplificativi J, si ricorda che per lo stato limite di esercizio (sle), la valutazione della massima freccia deve essere efettuata assumendo, per i carichi permanenti Jg = 1 e per quelli accidentali Jq = 1. Per lo stato limite ultimo (slu) le verifiche di resistenza devono, invece, essere efettuate assumendo Jg = 1,3 o Jg = 1,5 e Jq = 1,5. Nella fase di progettazione iniziale, ossia per la scelta del profilo, i coefficienti amplificativi per lo stato limite ultimo si considerano in via semplificata uguali tra loro e sempre pari a 1,5 (Jg = Jq = 1,5), ossia viene implicitamente assunto, a favore di sicurezza, che tutti i permanenti siano di tipo “non strutturale”. La leggera sovrastima del contributo associato ai carichi permanenti, comunque a favore di sicurezza, contribuisce in parte a compensare il fatto che viene trascurato il peso proprio della trave (in quanto ancora incognito), da considerare invece sempre nella verifica. 4.5.1 Progettazione con interasse definito

Nel caso in cui la maglia strutturale sia già definita, la progettazione viene operata in termini di scelta di un’adeguata sezione trasversale del

Gli elementi inflessi

profilo. In dettaglio, considerando la situazione tipica rappresentata in Figura 4.9, e ipotizzata la scelta dei solai già effettuata, si propongono di seguito le regole di dimensionamento della trave secondaria (travi bb’, cc’, dd’, b’b”, c’c” e d’d”) e di quella principale (travi a’b’c’ e c’d’e’). Sono esclusi gli elementi di bordo sia secondari (travi aa’, ee’, a’a” e e’e”) sia principali (travi abc, cde, a”b”c” e c”d”e”), in quanto meno interessanti ai fini del proporzionamento poiché caratterizzati da un’area di pertinenza ridotta e quindi generalmente interessati da carichi di minore entità. Trascurando, a favore di sicurezza, le riserve post-elastiche della sezione si basa il dimensionamento sul modulo di resisteza elastico a flessione (W) e i pedici s e p sono riferiti rispettivamente alla trave secondaria e a quella principale. Figura 4.9 Ordito di piano di riferimento.

Per la trave secondaria in esame, viene fatto riferimento alla situazione riportata in Figura 4.10, in cui l’elemento è soggetto al carico uniformemente distribuito dato dalla reazione dell’impalcato di solaio che sostiene. Figura 4.10 Schema di carico della trave secondaria.

Le condizioni limite sull’abbassamento v e sulla resistenza, rispettivamente relative allo stato limite di servizio e allo stato limite ultimo, sono di seguito distinte a seconda che la trave appartenga a un solaio o a una copertura.

111

112 Capitolo 4

Solaio 5

v

⋅

qL4s

Copertura Ls

≤

384 EI

v=

300

V

M max W

5

⋅

384

( g + q) L4s

≤

Ls 200

EI

d fa

Per la scelta del profilo appare conveniente considerare le condizioni limite ossia: Solaio Copertura 5 ⋅

qL4s

384 EI

Ls

5

300

384

1, 5·( g + q) L4s 8W

⋅

( g + q) L4s EI

=

Ls 200

= fd

Da queste, usando come unità di misura i newton e i millimetri e assumendo E = 210 000N/mm2, si ottengono i valori minimi di Imin, momento di inerzia richiesto per soddisfare la condizione relativa allo stato limite di servizio e di Wmin, modulo di resistenza necessario al soddisfacimento dello stato limite ultimo. Solaio I min

⎛ 5 ⋅ 300 ⎞⎟ qL3 ⎜⎜ s ⎟ ⎜⎜ 384 ⎟⎟ ⋅ E ⎠ ⎝

Copertura ⎛ 5·200 ⎞⎟ ( g + q) L3 ( g + q) L3 s s ⎟⎟ ⋅ = I min = ⎜⎜⎜ 80640 E ⎝⎜ 384 ⎟⎠

qL3s 53760

Wmin =

1, 5 ⋅ ( g + q) L2s

=

8 fd

= 0, 188 ⋅

2 3 ( g + q) Ls ⋅ = 16 fd

( g + q) L2s fd

Usualmente a questi due valori di minimo corrispondono due diversi profili all’interno della stessa gamma di prodotti. Deve essere pertanto scelto quello di altezza maggiore il cui momento di inerzia e modulo di resistenza vengono di seguito denominati rispettivamente I e W. La verifica, estesa poi anche all’azione tagliante, deve essere effettuata incrementando i carichi permanenti in modo da tenere conto del peso proprio del profilo selezionato, gt.

Gli elementi inflessi

Solaio 5

qL4s

Copertura ( g + g + q) L4s L 5 t ⋅ ≤ s EI 384 200

Ls

⋅ ≤ 384 EI 300

(1, 3 ⋅ gt + 1, 3 ⋅ g1 + 1, 5 ⋅ g2 + 1, 5 q) L2s 8W

≤ fd

(1, 3 ⋅ gt + 1, 3 ⋅ g1 + 1, 5 ⋅ g2 + 1, 5 q) Ls 1 · ≤ Wd Av 2 Per la trave principale, viene fatto riferimento alla situazione riportata in Figura 4.10, in cui l’elemento è soggetto a un’azione concentrata applicata nella mezzeria, dovuta ai carichi permanenti e a quelli accidentali scaricati dalle due travi secondarie che sostiene. Figura 4.11 Schema di carico della trave principale.

Le condizioni limite sull’abbassamento e sulla resistenza, rispettivamente relative allo stato limite di servizio e allo stato limite ultimo, sono rappresentate dalle equazioni: Solaio Copertura v

Pq L3p

Lp

48 EI

300

v=

V=

1, 5( Pg + Pq ) Lp 4W

I min

300 Pq L 48

E

48 EI

=

Lp 200

= fd

Solaio 2 p

( Pg + Pq ) L3p

Copertura 2 p

2

Pq L

I min =

33600

Wmin =

1, 5( Pg + Pq ) Lp

= 0, 375

=

4 fd fd

48

3 ( Pg + Pq ) Lp 8

( Pg + Pq ) Lp

200 ( Pg + Pq ) Lp

fd

E =

=

( Pg + Pq ) L2p 50400

113

114 Capitolo 4

I valori minimi del momento di inerzia e modulo di resistenza, usando come unità di misura i newton e i millimetri ed assumendo E = 210 000N/mm2, sono: Scelto il profilo di inerzia I e modulo di resistenza W, la verifica, estesa anche all’azione tagliante, deve essere poi effettuata incrementando i carichi permanenti in modo da tenere conto del peso proprio del profilo, gt . Solaio Copertura 3 3 ( Pg + Pq ) Lp 5 gt L4p L Pq Lp L d p + d p 48 EI 300 48 EI 348 EI 200 (1, 3 ⋅ g1 + 1, 5 ⋅ g2 + 1, 5 Pq ) Lp

+

1, 3 ⋅ gt L2p

4W

8W

≤ fd

⎡ (1, 3 ⋅ g + 1, 5 ⋅ g + 1, 5 P ) 1, 3 ⋅ g L ⎤ 1 ⎢ q t p⎥ 1 2 + ≤ Wd ⎥⋅ ⎢ 2 8W ⎥ Av ⎢ ⎦ ⎣ 4.5.2 Progettazione con interasse non definito

Nel caso più generale, in cui la maglia strutturale non sia ancora completamente definita, occorre quantificare anche l’interasse delle travi stesse. I concetti di seguito proposti sono immediatamente applicabili al caso di profili doppiamente simmetrici, quali i profili delle serie IPE, HEA, HEB e HEM oppure i profili scatolari a sezione rettangolare o circolare, oppure i profili composti da elementi singoli, quali per esempio i profili a C accoppiati. Per le definizioni precedentemente introdotte, il modulo di resistenza W della sezione trasversale è legato al momento di inerzia I mediante la relazione: W

I

2⋅ I

H /2

H

(4.21)

in cui H rappresenta l’altezza della sezione. Nel caso di trave di solaio con carico uniformemente distribuito (Figura 4.10), si è pervenuti, al paragrafo precedente, alla seguente condizione di progetto: Wmin =

2 3 ( g + q) Ls

16

fd

(4.22)

Da questa si ricava sulla base dell’Equazione 4.16 il valore della minima inerzia richiesta per il soddisfacimento della condizione di resi-

Gli elementi inflessi

stenza in funzione dell’altezza del profilo: I min =

2 3 ( g + q) Ls ⋅ H min

32

(4.23)

fd

Uguagliando l’Equazione 4.23 all’espressione che fornisce il valore minimo del momento di inerzia nel rispetto della deformabilità, si ottiene, nel caso di trave di solaio: ⎛ 5 ⋅ 300 ⎞⎟ qL3 ( g + q) L2s ⋅ H min ⎟⎟ ⋅ s = 3 (4.24) I min = ⎜⎜⎜ ⎜⎝ 384 ⎟⎠ E 32 fd Dalla relazione precedente è possibile ottenere l’altezza minima come: ⎛ 5 ⋅ 300 ⎞⎟ L 32 q ⎟⎟ ⋅ s ⋅ f H min = ⎜⎜⎜ ⎜⎝ 384 ⎟⎠ E ( g + q) 3 d = 41, 666 ⋅

Ls

q

E ( g + q)

(4.25)

⋅ fd

L’Equazione 4.25 fornisce il valore dell’altezza minima della sezione associata al rispetto contemporaneo di deformabilità e resistenza in funzione del carico agente, della luce dell’elemento e delle caratteristiche del materiale. In modo analogo, per la trave di solaio con carico concentrato in mezzeria (trave principale in Figura 4.11), si ottiene: ⎛ ⎞ 300 ⋅ 2 ⎜⎜ Pg ⎟⎟ Lp 8 (4.26) ⎟⎟ ⋅ H min = ⋅ f ⎜ 48 ⎜⎜⎝ Pg + Pq ⎟⎟⎠ E 3 d ⎛ P ⎞⎟ L ⎜ g ⎟⎟ ⋅ p ⋅ f = 33, 333 ⎜⎜ ⎜⎜ P + P ⎟⎟⎟ E d ⎝ g q⎠ Nella Tabella 4.4 vengono riportati, al variare del tipo di acciaio e considerando sia elementi in copertura sia elementi di solaio, i valori dell’altezza minima valutati usando come unità di misura i newton e i millimetri, esplicitando il valore della tensione di progetto e assumendo E = 210 000 N/mm2. Dalle Equazioni 4.25 e 4.26 o dalla Tabella 4.4 risulta che l’altezza minima della trave di solaio è direttamente proporzionale al valore della resistenza di progetto del materiale. Quanto migliore è il materiale, tanto più risulta alta la trave. Questo apparente controsenso è giustificato dal fatto che scegliendo un acciaio migliore, al quale corrisponde una trave più alta, si ha una maggiore larghezza di pertinenza, ossia le travi hanno un interasse più grande. Con riferimento

115

116 Capitolo 4

Tabella 4.4 Formule progettuali per la trave inflessa in semplice appoggio.

al caso di trave in semplice appoggio (Figura 4.10) con carico uniformemente distribuito, definiti gud e qud rispettivamente i contributi di carico permanente e accidentale per unità di superficie, i carichi per unità di lunghezza che interessano la trave, ipotizzando una larghezza di pertinenza pari a X, sono: g = gud . X (4.27a) q = qud . X

g, Pg è carico permanente q, Pq è carico accidentale.

(4.27b)

Elemento di solaio - altezza HMin ACCIAIO

2

S 235

S 275

S 355

S 420

S 460

L

L

2⋅ L

L

2⋅ L

27

23

35

15

qL

⋅ 45 ( g + q)

1

qL

1

qL

2 qL ⋅ 25 ( g + q)

27 2

qL ⋅ 23 ( g + q)

⋅ 19 ( g + q)

⋅ 15 ( g + q)

2⋅ L

L

2⋅ L

L

L

67

29

45

19

17

1 qL ⋅ 28 ( g + q)

1 qL ⋅ 24 ( g + q)

2 qL ⋅ 37 ( g + q)

1 qL ⋅ 16 ( g + q)

2 qL ⋅ 29 ( g + q)

Elemento di copertura - altezza HMin TRAVE: Altezza Hmin

1

S 235

S 275

S 355

S 420

S 460

L

L

2⋅ L

L

2⋅ L

34 qL

29 qL

⋅ 27 ( g + q)

1

1

⋅ 23 ( g + q)

1

45 qL

⋅ 14 ( g + q)

2⋅ L

2⋅ L

L

L

36 qL

28 qL

⋅ 29 ( g + q)

33 qL

⋅ 15 ( g + q)

L

⋅ 34 ( g + q)

1

⋅ 18 ( g + q)

42 qL

1

1

19 qL

2

⋅ 45 ( g + q)

1

47 qL

⋅ 19 ( g + q)

2

43 qL

⋅ 27 ( g + q)

Nella tabella 4.4 sono riportate, per ognuna delle due condizioni di carico considerate (carico uniformemente distribuito e carico concentrato in mezzeria) ed al variare della classe di resistenza dell’acciaio due valori di altezza minima (Hmin) associati alle limitazioni dell’abbassamento totale ed a quello legato ai soli carichi variabili. Per esempio, nel caso di trave di copertura, intendendo i pedici SLS e SLU riferiti rispettivamente allo stato limite di servizio e a quello ultimo, le condizioni limite sono: 4 L 5 [( gud + qud ) ⋅ X SLS ] ⋅ L ⋅ = (4.28a) EI 384 200

Gli elementi inflessi

[(1, 5 gud + 1, 5 qud ) ⋅ X SLU ] ⋅ L2 8W

= fd

(4.28b)

Da queste condizioni si ricava: X SLS =

384

5 ⋅ 200 ( gud + qud ) L3

= 0, 384

X SLU =

EI

=

(4.29a)

EI ( gud + qud ) L3

8W 1

1

2

L 1, 5 ( gud + qud )

fd = 5, 33

1

fd

( gud + qud ) L2

(4.29b)

In modo analogo, riferendosi a un elemento di solaio, sempre con carico uniformemente distribuito, si ottiene: X SLS X SLU =

384

EI

(4.30a)

5 ⋅ 300 qud L3 8W 2

1

L 1, 5 ⋅ ( gud + qud )

fd

(4.30b)

4.6 Stabilità di elementi inflessi Come già anticipato nella premessa di questo capitolo, gli elementi inflessi possono essere interessati dall’instabilità laterale (Figura 4.1). Le grandezze statiche e geometriche che influenzano questa forma di instabilità sono principalmente la lunghezza della trave, la distribuzione di carichi e dei vincoli, le rigidezze flessionali e torsionali della sezione e la quota di applicazione del carico rispetto al baricentro e al centro di taglio della sezione. La posizione del carico è estremamente rilevante nei confronti della capacità portante qualora si possa manifestare l’instabilità laterale. Nel caso di profilati a I e H, il carico applicato all’ala superiore ha un effetto instabilizzante mentre ha effetto invece stabilizzante quando è applicato all’ala inferiore. Nella Figura 4.1 vengono riportate due configurazioni deformate tipiche dell’instabilità flesso-torsionale relative alla trave in semplice appoggio con vincoli torsionali alle estremità e alla mensola. Riferendosi esplicitamente al dimensionamento di strutture a uso civile e industriale, in molti casi, la soletta o la copertura, che è sostenuta dalla trave può contrastare efficacemente sia gli spostamenti trasversali dell’ala su-

117

118 Capitolo 4

periore sia la rotazione della sezione della trave, fungendo quindi da vincolo effettivo nei confronti dell’instabilità laterale. Dal punto di vista operativo la verifica di instabilità laterale di travi inflesse risulta molto complessa in quanto la distribuzione del momento flettente agente sull’elemento oggetto di verifica deve essere ricondotta ad una distribuzione flessionale equivalente. Di seguito si propone pertanto un approccio semplificato basato sul metodo dell’ala isolata, applicabile per le travi a doppio T, laminate o composte, a sezione simmetrica o dissimmetrica, inflesse nel piano dell’anima (Figura 4.12). Figura 4.12 Dettagli relativi al metodo dell’ala isolata

bf tf

4.6.1 Approccio semplificato per la progettazione

La verifica viene condotta controllando, nel piano normale a quello di flessione, la stabilità dell’ala compressa ipotizzata isolata dall’anima e pertanto viene basata sulle regole dettagliate al successivo capitolo 5 per gli elementi compressi. Si sottolinea che tale approccio ha significato indicativo, sicuramente utile per il proporzionamento, e non sostituisce le più articolate verifiche da normativa, proprie della fase progettuale di dettaglio. La snellezza Of dell’ala isolata viene valutata come: Of

Lf bf

12

(4.31)

in cui Lf rappresenta la distanza tra due ritegni della trave che contrastino la sua instabilità laterale. La verifica può essere omessa nel caso in cui la tensione nell’ala compressa V, associata al valore massimo di momento flettente, esprimendo le forze in newton e le lunghezze in millimetri, soddisfi la relazione:

Gli elementi inflessi

Vf ≤ 432 ⋅

fy Of

(4.32a)

Esplicitando la snellezza dell’ala si ottiene:

Vf ≤ 120 ⋅

bf Lf

⋅ fy

(4.32b)

Nel caso in cui la tensione nell’ala compressa non soddisfi l’Equazione 4.32 deve allora essere sviluppata una verifica a compressione utilizzando la curva di stabilità c, secondo le indicazioni riportate al successivo paragrafo 5.3. Con riferimento soltanto a profili a doppio T laminati a caldo e non in classe 4, si deve valutare la massima tensione nell’ala (Vf) associata all’azione flettente massima nell’elemento e la si amplifica di un fattore ZLT (o equalmente 1/FLT) in cui il pedice LT indica instabilità laterale. La verifica risulta soddisfatta se:

Z LT Vf

Vf F LT

d fd

(4.33)

Il fattore ZLT è dato da:

Z LT = ) LT + ) 2LT + Of2

(4.34)

in cui il termine )LT è definito come: Φ LT = 0, 45 + 0, 245 ⋅ Of + 0, 5 ⋅ Of2

(4.35)

119

120

Capitolo 4: applicazioni

Applicazioni

Applicazione 4.1 Verifica di una trave di copertura con carico uniformemente distribuito

Si verifichi, la trave di copertura (profilo IPE 300 in acciaio S 235) di luce pari a 11,5 m in Figura 4.13, nell’ipotesi che le azioni uniformemente distribuite valgano: carichi permanenti portanti: g1 = 2,05 kN/m carichi accidentali: q = 1,87 kN/m Figura 4.13 Trave in esame con carichi uniformemente distribuiti.

La trave in esame sostiene una soletta composta, costituita da una lamiera grecata collaborante con un getto di completamento di conglomerato cementizio armato alleggerito e, pertanto, si può considerare adeguatamente vincolata nei confronti dello svergolamento. Procedura

Si effettua dapprima la verifica allo stato limite di servizio, valutando la deformabilità della trave e confrontandola con i limiti imposti dalla normativa. Successivamente si procede al controllo dello stato tensionale per flessione e taglio in base ai valori di carico agenti allo stato limite ultimo. Pur essendo la trave un elemento di copertura, non si procede alla verifica di svergolamento in quanto la soletta presente la vincola adeguatamente nei confronti dell’instabilità flesso-torsionale. Il profilo IPE 300 in acciaio S235 è in Classe 1 quando è inflesso (Tabella 2.2). Si trascurano, a favore di sicurezza le risorse post–elastiche della sezione e si basa il dimensionamento sul modulo di resistenza elastico (W).

Gli elementi inflessi

Soluzione

Nelle verifiche di seguito riportate si è trascurato il termine deformativo associato all’azione tagliante in quanto L/H = 11 500/300 = 38,3. Si procede nelle verifiche prima allo stato limite di esercizio e successivamente allo stato limite ultimo. Vengono di seguito riportati i dati significativi per la verifica. Tabella 4.5 Caratteristiche del materiale.

Tabella 4.6 Caratteristiche del profilo.

Tensioni di progetto Normale fd = 223,81 N/mm2

Materiale acciaio S 235

Tangenziale Wd = 129,22 N/mm2

Profilo IPE 300 I = 8 356 cm4 W = 557cm3 gt = 42,2 kg/m H = 300 mm B = 150 mm tf = 10,7 mm tw = 7,1 mm

Momento di inerzia Modulo di resistenza Peso unitario Altezza profilo Larghezza profilo Spessore ali Spessore anima

Stato limite di esercizio • Calcolo dell’abbassamento totale associato a carichi permanenti e variabili: Gmax =

5

⋅

( gt + g1 + q) L4

384

EI

≤

L 200

Sostituendo i valori numerici e utilizzando come unità di misura i newton e i millimetri (si osservi che 1 kN/m equivale a 1 N/mm) si ha: Gmax =

5

⋅

(0, 422 + 2, 05 + 1, 87) ⋅ 11500 4

210000 ⋅ (8356 ⋅ 10 4 ) L = 56, 32 mm ≤ 57, 5 mm(= s ) 200

=

384

• Calcolo dell’abbassamento associato ai soli carichi variabili: G2

5

⋅

q ⋅ L4

≤

L

384 EI 250 sostituendo i valori numerici si ha:

121

122

Capitolo 4: applicazioni

G2

5

⋅

1, 87 ⋅ 11500 4

384 210000 ⋅ (8356 ⋅ 10 4 ) 24, 27 mm ≤ 46, 0 mm(

Ls 250

)

la verifica di deformabilità è soddisfatta

Stato limite ultimo Calcolo della massima tensione associata alla flessione:

(1, 3 g + 1, 3 g + 1, 5 q)⋅ L

2

t

8W

≤ fd

Sostituendo i valori numerici si ha:

(1, 3 ⋅ 0, 422 + 1, 3 ⋅ 2, 05 + 1, 5 ⋅1, 87)⋅11500 8 ⋅ (557 ⋅ 10 3 ) = 178, 63 N/mm 2 ≤ 223, 81N/mm 2 (= fd )

2

=

Calcolo della massima tensione associata al taglio sulla base della trattazione approssimata di Jourawsky:

Tmax = Tmax =

(1, 3 gt + 1, 3 g + 1, 5 q) L 2 (1, 3 ⋅ 0, 422 + 1, 3 ⋅ 2, 05 + 1, 5 ⋅ 1, 87) ⋅ 11500 2 ⎡ ⎢ bf − tw ⎢ ⎢⎛⎜ H H ⎞⎟ Tmax ⋅ ⎢⎜⎜bf ⋅ ⎟− ⎢⎜⎝ 2 4 ⎟⎟⎠ ⎣

(

W max =

)

= 34607,, 0 N

2 ⎛H ⎞⎟ ⎤⎥ ⎜ ⋅ ⎜⎜ − tf ⎟⎟ ⎥ ⎟⎠ ⎥ ⎝⎜ 2 ⎥ ⎥ 2 ⎦

I ⋅ tw

sostituendo i valori numerici si ha:

⎡ ⎢ 150 − 7, 1 ⎢ ⎢⎛⎜ 300 300 ⎞⎟⎟ 34607, 0 ⋅ ⎢⎜⎜150 ⋅ ⋅ ⎟⎟ − ⎢⎜⎝ 2 4 ⎠ ⎣ W max = 8356 ⋅ 10 4 ⋅ 7, 1 = 17, 56 N/mm 2 < 129, 22 N/mm 2 = W d

(

(

)

)

2

⎛ 300 ⎞⎟ ⋅⎜⎜⎜ − 10, 7⎟⎟ ⎟⎠ ⎜⎝ 2 2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Gli elementi inflessi

Se si trascura invece il contributo delle ali si ha: (1, 3 gt + 1, 3 g + 1, 5 q) L 3 W max = ⋅ 2

W max

tw

(

2 H − 2tf

)

(1, 3 ⋅ 0, 422 + 1, 3 ⋅ 2, 05 + 1, 5 ⋅ 1, 87) ⋅ 11500 3 2 = = ⋅ 2 7, 1 300 − 2 ⋅ 10, 7

(

2

)

2

= 26, 24 N/mm ≤ 129, 22 N/mm (= W d ) Determinando l’area a taglio Av in accordo a quanto prescritto dall’EC3 (Equazione 4.14) si ha:

W max

Tmax

Tmax

34607, 0 ⋅ 11500

Av

1, 04 ⋅ tw ⋅ H

1, 04 ⋅ 7, 1⋅⋅ 300

15, 62 N/mm 2

Le verifiche di resistenza risultano soddisfatte Il profilo è verificato

Applicazione 4.2 Verifica di una trave di solaio con carico uniformemente distribuito

Si verifichi, in accordo al vigente DM, la trave di solaio (profilo IPE 400 in acciaio S 235) di luce L pari a 11,5 m in Figura 4.14, nell’ipotesi che i carichi uniformemente distribuiti valgano: carichi permanenti portanti: g1 = 2,93 kN/m carichi accidentali: q = 4,85 kN/m Figura 4.14 Trave di progetto con carichi uniformemente distribuiti.

Procedura

Si effettua dapprima la verifica dello stato limite di servizio, valutando la deformabilità della trave e confrontandola con i limiti da normativa. Successivamente si procede al controllo dello stato tensionale

123

124

Capitolo 4: applicazioni

per flessione e taglio in base ai valori di carico agenti allo stato limite ultimo. Non si verifica la trave nei confronti dello svergolamento in quanto la soletta presente nell’orizzontamento di piano (di tipo composto in acciaio e calcestruzzo) la vincola adeguatamente nei confronti dell’instabilità flesso-torsionale. Il profilo IPE 400 in acciaio S235 è in Classe 1 quando inflesso (Tabella 2.2). Si trascurano, a favore di sicurezza le risorse post-elastiche della sezione e si basa il dimensionamento sul modulo di resistenza elastico (W). Soluzione

Nelle verifiche di seguito riportate si è trascurato il termine deformativo associato all’azione tagliante in quanto L/H = 11 500/400 = 28,7. Si procede nelle verifiche prima allo stato limite di esercizio e successivamente allo stato limite ultimo. Vengono di seguito riportati i dati sul materiale e sul profilo significativi ai fini della verifica: Tabella 4.7 Caratteristiche del materiale.

Tabella 4.8 Caratteristiche del profilo.

Tensioni di progetto Normale fd = 223,81 N/mm2

Materiale acciaio S 235

Tangenziale Wd = 129,22 N/mm2

PROFILO IPE 400 I = 23 130 cm4 W = 1 156cm3 gt = 66,3 kg/m H = 400 mm B = 180 mm tf = 13,5 mm tw = 8,6 mm

Momento di inerzia Modulo di resistenza Peso unitario Altezza profilo Larghezza profilo Spessore ali Spessore anima

Stato limite di esercizio • Calcolo dell’abbassamento totale associato a carichi permanenti e variabili: Gmax =

5 384

⋅

( gt + g1 + q) L4 EI

≤

L 250

Sostituendo i valori numerici e utilizzando come unità di misura i newton e i millimetri (si osservi che 1 kN/m equivale a 1 N/mm) si ha:

Gli elementi inflessi

5

Gmax =

⋅

(0, 663 + 2, 93 + 4, 85) ⋅ 11500 4

210000 ⋅ ( 23130 ⋅ 10 4 ) ⎛ L ⎞⎟⎟ = 39, 59 mm < 46, 0 mm ⎜⎜⎜= ⎟ ⎜⎝ 250 ⎟⎟⎠ 384

=

• Calcolo dell’abbassamento associato ai soli carichi variabili:

5

G2

⋅

qL4

≤

L

384 EI 300 sostituendo i valori numerici si ha: G=

5

⋅

1, 87 ⋅ 11500 4

= 384 210000 ⋅ (8356 ⋅ 10 4 ) ⎛ L ⎞⎟⎟ = 24, 27 mm < 38, 33 mm ⎜⎜⎜= ⎟ ⎝⎜ 300 ⎟⎠⎟ La verifica di deformabilità è soddisfatta

Stato limite ultimo Calcolo della massima tensione associata alla flessione:

(1, 3 g + 1, 3 g + 1.5 q)⋅ L

2

t

8W

≤ fd

Sostituendo i valori numerici si ha:

(1, 3 ⋅ 2, 93 + 1, 3 ⋅ 0, 663 + 1, 5 ⋅ 4, 85)⋅11500 8 ⋅ (1156 ⋅ 10 3 ) = 170, 83 N/mm 2 ≤ 223, 81 N/mm 2 (= fd )

2

=

Relativamente alle verifiche a taglio, si utilizza l’approccio che trascura il contributo delle ali e si ha: Tmax =

Tmax =

(1, 3 gt + 1, 3 g + 1, 5 q) L 2

(1, 3 ⋅ 0, 422 + 1, 3 ⋅ 2, 05 + 1, 5 ⋅ 1, 87) ⋅ 11500 2 3

W max

⋅

Tmax

2 tw ( H − 2tf )

= 34607,, 0 N

125

126

Capitolo 4: applicazioni

3 68668, 9 W max = ⋅ = 2 8, 6 ⋅ 400 − 2 ⋅ 13, 5

(

)

2

= 32, 12 N/mm ≤ 129, 22 N/mm 2 (= W d ) Determinando l’area a taglio Av sulla base dell’aea dell’anima maggiorata si ha: 68688, 9 W max

1, 04 ⋅ 8, 6 ⋅ 400

19.20 N/mm 2 ≤ 129, 22 N/mm 2 ( W d )

Le verifiche di resistenza risultano soddisfatte Il profilo è verificato

Applicazione 4.3 Verifica di una trave di copertura con carichi concentrati

Si verifichi, la trave di copertura (profilo IPE 360 in acciaio S 235) di luce L pari a 6,3 m in Figura 4.15, nell’ipotesi che non siano presenti vincoli intermedi allo svergolamento della trave e che i carichi concentrati uguali di intensità e dovuti alle travi secondarie valgano: carichi permanenti non portanti: PG2 = 20 kN carichi accidentali: PQ = 25 kN Si precisa che la copertura è frequentata anche da personale diverso da quello della manutenzione. Figura 4.15 Trave di copertura in esame soggetta a carichi concentrati.

Procedura

Si esegue dapprima la verifica dello stato limite di servizio, valutando la deformabilità della trave e confrontandola con i limiti da normativa. Successivamente si procede al controllo dello stato tensionale per flessione e per taglio in base ai valori di carico agenti allo stato limite ultimo. Si procede quindi alla verifica allo svergolamento. Il profilo IPE 360 in acciaio S235 è in Classe 1 quando è inflesso (Tabella 2.2). Si trascurano, a favore di sicurezza le risorse post – elastiche e si basa il dimensionamento sul modulo di resistenza elastico (W ).

Gli elementi inflessi

Soluzione

Nelle verifiche di seguito riportate si è trascurato il termine deformativo associato all’azione tagliante in quanto L/H = 6 300/360 = 17,5. Si procede nelle verifiche prima allo stato limite di esercizio e successivamente allo stato limite ultimo. Vengono di seguito riportati i dati su materiale e profilo significativi ai fini della verifica: Tabella 4.9 Caratteristiche del materiale.

Tabella 4.10 Caratteristiche del profilo.

Tensioni di progetto Normale fd = 223,81 N/mm2

Materiale acciaio S 235

Tangenziale Wd = 129,22 N/mm2

Profilo IPE 360 Momento di inerzia Modulo di resistenza Peso unitario Altezza profilo Larghezza profilo Spessore ali Spessore anima

I = 16 270 cm4 W = 904 cm3 gt = 57,1 kg/m H = 360 mm B = 170 mm tf = 12,7 mm tw = 8 mm

Stato limite di esercizio • Calcolo dell’abbassamento totale associato a carichi permanenti e variabili: 3 23 ( PG 2 + PQ ) L L Gmax = ⋅ + ⋅ ≤ 384 EI 648 250 EI sostituendo i valori numerici si ha:

gt L4

5

Gmax =

5

⋅

0, 571 ⋅ 6300 4

+ 384 210000 ⋅ 16270 ⋅ 10 4 23 ( 20 + 25) ⋅ 1000 ⋅ 6300 3 = + ⋅ 648 210000 ⋅ 16270 ⋅ 10 4 ⎛ L ⎞⎟⎟ = 12, 03 mm < 25, 2 mm ⎜⎜⎜= ⎟ ⎜⎝ 250 ⎟⎟⎠

• Calcolo dell’abbassamento associato ai soli carichi variabili: 3 23 PQ L L G2 ⋅ ≤ 648 EI 300 sostituendo i valori numerici si ha:

127

128

Capitolo 4: applicazioni

G2 =

⎞ ⎛ ⎜⎜= L ⎟⎟ 1 mm 6 49 2 = , mm < ⎟ ⎜ ⎜⎝ 300 ⎟⎟⎠ 648 210000 ⋅ 16270 ⋅ 10 4 23

25 ⋅ 1000 ⋅ 6300 3

⋅

la verifica di deformabilità è soddisfatta

Stato limite ultimo: verifiche di resistenza Calcolo della massima tensione associata alla flessione (sezione di mezzeria): M max

V

W

d fd

(1.3 g )⋅ L + (1.5 P 2

t

G2

8W

)

+ 1.5 PQ ⋅ L 3W

≤ fd

(1, 3 ⋅ 0, 571)⋅ 6300 + (1, 5 ⋅ 20 + 1, 5 ⋅ 25)⋅ 10 2

3

⋅6 6300

8 ⋅ 904 ⋅ 10 3 3 ⋅ 904 ⋅ 10 3 2 = 160, 88 N/mm ≤ 223, 81 N/mm 2 (= fd )

≤ fd

Calcolo della massima tensione associata al taglio (sezione di appoggio) mediante l’approccio semplificato (Equazione 4.13): 1, 3 gt L Tmax

3

3

W max = ⋅ = ⋅ 2 tw ( H − 2tf ) 2

2

+ (1, 5 PG 2 + 1, 5 PQ ) tw ( H − 2tf )

1, 3 ⋅ 0, 571 ⋅ 6300 + (1, 5 ⋅ 20 + 1, 5 ⋅ 25) ⋅ 10 3 2 = ⋅ 8 ⋅ (360 − 2 ⋅ 12, 7) 2 2 = 39, 14 N/mm ≤ 129, 22 N/mm 2 (= W d ) 3

W max

Le verifiche di resistenza risultano soddisfatte

Stato limite ultimo: verifiche di instabilità Si utilizza il procedimento semplificato dell’ala isolata e si valuta la sua snellezza Of: Of

Lf bf

12

6300

12

128, 36

170

In primo luogo si valuta se la verifica può essere omessa in quanto

Gli elementi inflessi

la tensione dell’ala compressa Vf è modesta ed ininfluente, e ciò è garantito dal rispetto della condizione 4.32 ripresa di sotto per comodità: Vf ≤ 432 ⋅

fy Of

Il valore limite vale:

432 ⋅

fy Of

432 ⋅

235

51, 58

128, 38

Dal valore calcolato in precedenza, a proposito della verifica a flessione allo stato limite ultimo, si ha Vf := 160,88 e pertanto è necessaria la verifica di instabilità laterale. Sulla base della procedura descritta al capitolo 5, si valuta la snellezza relativa: Of

Af ⋅ fy N cr

Af ⋅ fy 2

S ⋅ E ⋅ Af 2 f

O

fy 2

S E 2 f

O

235 2

00 S ⋅ 21000 128, 38 2

1, 3668

Considerando la curva c si valuta il coefficiente riduttivo della tensione di progetto F = 0,3618 o egualmente il coefficiente amplificativi del carico Z = 2,7640. Le verifica risulta soddisfatta se: Vf ≤ Vc ( F ⋅ fd ) o egualmente se: Z ⋅ Vf ≤ fd Sostituendo i valori numerici si ha: 160, 88 N/mm 2 ! 80, 97 N/mm 2 ( 0, 3618 ⋅ 223, 81) o egualmente: 366, 23 N/mm 2 ( 2, 764 ⋅ 160, 88) ! 223, 81 N/mm 2 Non essendo verificato il profilo esistono due diverse possibilità a seconda che: • la trave oggetto di verifica si trovi già in opera; • la verifica sia relativa a un calcolo progettuale di massima, o comunque la trave non sia ancora in opera.

129

130

Capitolo 4: applicazioni

Nel primo caso usualmente non è possibile intervenire su dimensioni e componenti dell’elemento strutturale e pertanto una soluzione affinché non si manifestino situazioni pericolose è quella di inserire opportuni vincoli che impediscano lo sbandamento laterale della trave (vedi Paragrafo C.6 dell’Appendice C). In alternativa si può operare il declassamento della struttura, ossia si definisce una destinazione d’uso meno impegnativa dal punto di vista statico. Alcuni esempi di declassamento sono: • con una destinazione d’uso prevista per una biblioteca si può declassare il locale a sala riunioni; • locali suscettibili di grande affollamento possono essere declassati a locali suscettibili di affollamento ovvero locali non suscettibili di affollamento. Se la verifica è invece relativa a un calcolo progettuale, è possibile ancora intervenire sulla sezione cambiandone il profilo. Nel caso specifico dell’applicazione in esame si ipotizza di agire nell’ambito del proporzionamento e quindi è possibile aumentare la sezione del profilato. Si sceglie un profilo IPE 450 in acciaio S 355 e si presentano di seguito gli associati calcoli di verifica nei confronti dell’instabilità laterale. Il profilo IPE 450 in acciaio S 355 quando è inflesso è classe 1 (Tabella 2.2). Tabella 4.11 Caratteristiche del profilo.

Profilo IPE 450 I = 33 740 cm4 W = 1 500 cm3 gt = 77,6 kg/m H = 450 mm B = 190 mm tf = 14,6 mm tw = 9,4 mm

Momento di inerzia Modulo di resistenza Peso unitario Altezza profilo Larghezza profilo Spessore ali Spessore anima

In Tabella 4.12 sono riportate le tensioni di progetto del materiale. Tabella 4.12 Caratteristiche del materiale.

Tensioni di progetto Normale fd = 338,1 N/mm2

Materiale acciaio S 355

Tangenziale Wd = 195,2 N/mm2

Si valuta la tensione Vf: Vf =

Vf =

(1, 3 gt ) ⋅ L2

+

(1, 5 PG 2 + 1, 5 PQ ) ⋅ L

8W

(1, 3 ⋅ 0, 776) ⋅ 6300 2

3W

+

(1, 5 ⋅ 20 + 1, 5 ⋅ 25) ⋅ 10 3 ⋅ 6300

8 ⋅ 1500 ⋅ 10 3 3 ⋅ 1500 ⋅ 10 3 = 3, 337 + 94, 5 = 97, 837 N/mm 2

=

Gli elementi inflessi

Si valuta la snellezza dell’ala Of: Of

Lf

6300

12

bf

12

114, 86

190

In primo luogo si valuta se la verifica può essere omessa in quanto la tensione dell’ala compressa Vf è modesta ed ininfluente, e ciò è garantito dal rispetto della condizione 4.32 ripresa di sotto per comodità: Vf ≤ 432 ⋅

fy Of

Il valore limite vale: 432 ⋅

fy Of

432 ⋅

355

70, 86

114, 86

È pertanto necessaria la verifica di instabilità laterale. Sulla base della procedura descritta al capitolo 5, si valuta la snellezza relativa: Of

Af ⋅ fy N cr

Af ⋅ fy 2

355 2

S ⋅ E ⋅ Af

S ⋅ 210000

Of2

114, 86 2

1, 5032

Considerando la curva c si valuta il coefficiente riduttivo della tensione di progetto F = 0,3135 o egualmente il coefficiente amplificativi del carico Z = 3,1898. Le verifica risulta soddisfatta se: Vf ≤ Vc ( F ⋅ fd ) o egualmente se: Z ⋅ Vf ≤ fd Sostituendo i valori numerici si ha: 97, 84 N/mm 2 ! 105, 99 N/mm 2 ( 0, 3135 ⋅ 338, 1) o egualmente: 312, 09 N/mm 2 ( 3, 1898 ⋅ 97, 84) ! 338, 1 N/mm 2 Essendo soddisfatta la verifica di instabilità laterale, dovrebbero essere

131

132

Capitolo 4: applicazioni

effettuate di nuovo le verifiche di deformabilità e di resistenza. Queste sono però di seguito omesse in quanto già soddisfatte dal profilo IPE 360. Il profilo è verificato

Applicazione 4.4 Verifica di una trave di solaio con carichi concentrati

Si verifichi, la trave di solaio (profilo IPE 400 in acciaio S 355) di luce L pari a 6,3 m in Figura 4.16, nell’ipotesi che i carichi concentrati uguali e dovuti alle travi secondarie valgano: carichi permanenti non portanti (di tipo G1): Pg = 48,17 kN carichi accidentali: Pq = 65,13 kN Figura 4.16 Trave in esame con carichi concentrati.

I carichi permanenti concentrati si considerano associati ad elementi non strutturali (carichi portati di tipo G2). Procedura

Si effettua dapprima la verifica dello stato limite di servizio, valutando la deformabilità della trave e confrontandola con i limiti da normativa. Successivamente si procede al controllo dello stato tensionale per flessione e taglio in base ai valori di carico agenti allo stato limite ultimo. Non si verifica la trave nei confronti dello svergolamento in quanto la soletta presente nell’orizzontamento di piano la vincola adeguatamente nei confronti dell’instabilità flesso-torsionale. Il profilo IPE 400 in acciaio S 355 è in Classe 1 quando è inflesso (Tabella 2.2). Si trascurano, a favore di sicurezza le risorse post-elastiche e si basa il dimensionamento sul modulo di resistenza elastico (W)

Gli elementi inflessi

Tabella 4.13 Caratteristiche del materiale.

Tabella 4.14 Caratteristiche del profilo.

Tensioni di progetto Normale fd = 338,1 N/mm2

Materiale acciaio S 355

Tangenziale Wd = 195,2 N/mm2

Profilo IPE 400 I = 23 130 cm4 W = 1 156 cm3 gt = 66,3 kg/m H = 400 mm B = 180 mm tf = 13,5 mm tw = 8,6 mm

Momento di inerzia Modulo di resistenza Peso unitario Altezza profilo Larghezza profilo Spessore ali Spessore anima

Soluzione

Si procede nelle verifiche prima allo stato limite di servizio e successivamente allo stato limite ultimo. Nelle verifiche di seguito riportate si è trascurato il termine deformativo associato all’azione tagliante in quanto L/H = 6 300/400 = 15,7.

Stato limite di esercizio • Calcolo dell’abbassamento totale associato a carichi permanenti e variabili: Gmax = Gmax =

5

⋅

384 5

gt L4 EI

⋅

+

3 23 ( PG 1 + PQ ) L L ⋅ ≤ 648 EI 250

0, 663 ⋅ 6300 4

+ 384 210000 ⋅ 23130 ⋅ 10 4 23 (48, 17 + 65, 13) ⋅ 10 3 ⋅ 6300 3 = + ⋅ 648 210000 ⋅ 23130 ⋅ 10 4

⎛ L ⎞⎟⎟ = 0, 28 + 20, 70 = 20, 98 mm ≤ 25, 2 mm ⎜⎜⎜= ⎟ ⎜⎝ 250 ⎟⎟⎠ • Calcolo dell’abbassamento associato a soli carichi variabili: G2

3 23 PQ ⋅ L ⋅ 648 EI

23

⋅

65, 13 ⋅ 10 3 ⋅ 6300 3

648 210000 ⋅ 23130 ⋅ 10 4 ⎛ L ⎞⎟⎟ 11, 91 mm ≤ 21 mm ⎜⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ 300 ⎟⎟⎠ Le verifiche di deformabilità risultano soddisfatte

133

134

Capitolo 4: applicazioni

Stato limite ultimo Calcolo della massima tensione associata alla flessione (sezione di mezzeria): M max

V

W

d fd

(1, 3 gt ) ⋅ L2

+

(1, 5 PG 2 + 1, 5 PQ ) ⋅ L

8W

3W

(1, 3 ⋅ 0, 663) ⋅ 6300 2 8 ⋅ 1156 ⋅ 10 3

+

≤ fd

(1, 5 ⋅ 48, 17 + 1, 5 ⋅ 65, 13)⋅ 10 3 ⋅ 6300 3 ⋅ 1156 ⋅ 10 3

≤ fd

3, 70 N/mm 2 + 308, 73 N/mm 2 = = 312, 43 N/mm 2 < 338, 1 N/mm 2 (= fd ) Calcolo della massima tensione associata al taglio (sezione di appoggio) mediante l’approccio semplificato: 3 W max

⋅

Tmax

2 tw ( H − 2tf ) 1, 3 gt L 3

W max = ⋅ 2

2

+ (1, 5 PG 2 + 1, 5 PQ ) tw ( H − 2tf )

1, 3 ⋅ 0, 663 ⋅ 6300 + (1, 5 ⋅ 48, 17 + 1, 5 ⋅ 65, 13) ⋅ 10 03 2 = ⋅ 8, 6 ⋅ (400 − 2 ⋅ 13, 5) 2 3

W max

3 172, 66 ⋅ 10 3 = 80, 74 N/mm 2 < 195, 2 N/mm 2 (= W d ) W max = ⋅ 2 3207, 8 Le verifiche di resistenza risultano soddisfatte Il profilo è verificato

Gli elementi inflessi

Applicazione 4.5 Proporzionamento di una maglia di solaio

Si progettino e si verifichino le travi secondarie (di luce Ls = 5 m) e quelle principali (di luce Lp = 8 m) della maglia di solaio indicata in Figura 4.17. La maglia in esame appartiene a un sistema pendolare. Si utilizzino profili di tipo IPE in acciaio S 355, nell’ipotesi che i carichi uniformemente distribuiti sul solaio valgano: carichi permanenti: gud = 3,28 kN/m2 carichi accidentali: qud = 3,00 kN/m2 I carichi permanenti si ipotizzano associati ad elementi strutturali non portanti (ossia si considerano carichi di tipo G2) Figura 4.17 Maglia di solaio in esame.

Procedura

Si eseguono dapprima il progetto e la verifica della trave secondaria (a) e successivamente quello della trave principale (b). Non si verificano le travi nei confronti dello svergolamento in quanto la soletta presente nell’orizzontamento di piano offre un vincolo adeguato nei confronti dell’instabilità flesso-torsionale. Tabella 4.15 Caratteristiche del materiale.

Tensioni di progetto Materiale acciaio S 355

Normale fd = 338,1 N/mm2

Tangenziale Wd = 195,2 N/mm2

Soluzione

a. progetto della trave secondaria Le condizioni di carico e di vincolo della trave secondaria sono rappresentate in Figura 4.15. I valori dei carichi (distribuiti per unità di lunghezza) sono: g = gud.i = 3,28 . 4 = 13,12 kN/m q = qud.i = 3,00 . 4 = 12,00 kN/m Si valutano quindi i valori di minimo di momento di inerzia e di modulo di resistenza per il soddisfacimento rispettivamente delle condi-

135

136

Capitolo 4: applicazioni

Figura 4.18 Trave secondaria con carichi uniformemente distribuiti.

zioni di deformabilità e di resistenza. I min

I min

⎛⎜ 5 ⋅ 300 ⎞⎟ ( q) L3 s ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎜⎝ 384 ⎟⎟⎠ E

⎛ 5 ⋅ 300 ⎞⎟ (12, 00) ⋅ 5000 3 ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ 384 ⎟⎟⎟ ⋅ 210000 ⎝ ⎠

2790, 2 ⋅ 10 4 mm 4

2 3 ( g + q) Ls Wmin = ⋅ fd 16

Wmin =

3 (13, 12 + 12, 00)·5000 2 ⋅ = 348, 3 ⋅ 10 3 mm 3 16 338, 1

Con riferimento ai profili riportati nella Tabella A.1 dell’Appendice A, al requisito associato alla deformabilità corrisponde un profilo IPE 240 o superiore e a quello associato alla resistenza corrisponde ancora un profilo IPE 270. Si utilizza pertanto un profilo IPE 270 in acciaio S 355. Il profilo IPE 270 in acciaio S 355 è in Classe 1 quando è inflesso (Tabella 2.2). Si trascurano, a favore di sicurezza, le risorse post-elastiche e si basa il dimensionamento sul modulo di resistenza elastico (W). Tabella 4.16 Caratteristiche del profilo.

Profilo IPE 270 Momento di inerzia

I = 5 790 cm4

Modulo di resistenza

W = 429 cm3

Peso unitario

gt = 36,1 kg/m

Altezza profilo

H = 270 mm

Larghezza profilo

B = 135 mm

Spessore ali

tf = 10,2 mm

Spessore anima

tw = 6,6 mm

Momento statico di metà sezione (Sx) Sx = 242 cm3

Gli elementi inflessi

137

Verifica della trave secondaria

Nelle verifiche di seguito riportate si è trascurato il termine deformativo associato all’azione tagliante in quanto L/H = 5000/270 = 18,5.

Stato limite di esercizio • Calcolo dell’abbassamento totale associato a carichi permanenti e variabili: 5

Gmax =

⋅

( gt + g2 + q) L4

≤

L

384 250 EI Sostituendo i valori numerici e utilizzando come unità di misura i newton e i millimetri (si osservi che 1 kN/m equivale a 1 N/mm) si ha: Gmax =

5

⋅

(0, 361 + 13, 12 + 12) ⋅ 5000 4

210000 ⋅ (5790 ⋅ 10 4 ) ⎛ L ⎞⎟⎟ = 17, 06 mm < 20, 0 mm ⎜⎜⎜= ⎟ ⎜⎝ 250 ⎟⎟⎠ 384

=

• Calcolo dell’abbassamento associato ai soli carichi variabili: 5

G2

⋅

qL4

≤

L

384 EI 300 sostituendo i valori numerici si ha:

G2 =

⎛ ⎞ ⎜⎜= L ⎟⎟ m 8 03 16 67 = , mm < , mm ⎜⎜ 300 ⎟⎟⎟ 384 210000 ⋅ (5790 ⋅ 10 4 ) ⎝ ⎠ 5

⋅

12 ⋅ 5000 4

La verifica di deformabilità è soddisfatta

Stato limite ultimo Calcolo delle massime tensioni: Massima tensione associata alla flessione (sezione di mezzeria): V=

(1, 3 gt + 1, 5 g2 + 1, 5 q) ⋅ L2 8W

≤ fd

(1, 3 ⋅ 0, 361 + 1, 5 ⋅13, 12 + 1, 5 ⋅12)⋅ 5000 V= 8 ⋅ (429 ⋅ 10 3 ) = 277, 89 N/mm 2 < 338, 1 N/mm 2 (= fd )

2

=

138

Capitolo 4: applicazioni

Massima tensione associata al taglio (sezione di appoggio): Tmax =

Tmax =

(1, 3 gt + 1, 5 g + 1, 5 q) L 2

(1, 3 ⋅ 0, 361 + 1, 5 ⋅ 13, 12 + 1, 5 ⋅ 12) ⋅ 5000

=

2

= 95373, 3 N/mm 2 W max =

Tmax ⋅ Sx

=

95373, 3 ⋅ 242000

=

(5790 ⋅ 10 4 ) ⋅ 6, 6

I ⋅ tw

= 60, 40 N/mm 2 < 195, 2 N/mm 2 (= W d ) Le verifiche di resistenza risultano soddisfatte Il profilo della trave secondaria è verificato b. Progetto della trave principale La condizione di carico e di vincolo della trave principale è rappresentata in Figura 4.19. I valori dei carichi concentrati, dati dalle reazioni delle due travi secondarie sostenute, sono: Pg = 2 ⋅ Pq

( gts + g) ⋅ Ls 2 q ⋅ Ls

= 2⋅

(0, 361 + 13, 12) ⋅ 5 2

= 67, 4 kN

12·5

60 kN 2 2 Si valutano quindi i valori di minimo di momento di inerzia e di mo2⋅

2⋅

Figura 4.19 Schema di carico della trave principale.

dulo di resistenza per il soddisfacimento rispettivamente delle condizioni di deformabilità e di resistenza. I min

⎛ 300 ⎞⎟ ( Pq ) Lp2 ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ 48 ⎟⎟⎟ ⋅ E ⎝ ⎠

⎛ 300 ⎞⎟ (60 ⋅ 10 3 ) ⋅ 8000 2 ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ 48 ⎟⎟⎟ ⋅ 210000 ⎝ ⎠

11429, 1 ⋅ 10 4 mm 4

Gli elementi inflessi

Wmin

⎛ ⎞ 3 ⎜ P ⋅+ Pq ⎟⎟ 3 ⎟⎟ ⋅ Lp = = ⎜⎜ g 8 ⎜⎝⎜ fd ⎟⎠⎟ 8

⎡(67, 4 + 60) ⋅ 10 0 3 ⎤⎥ ⎢⎣ ⎦ ⋅ 8000 = 1130, 4 cm 3 338, 1

Al requisito associato alla deformabilità corrisponde dalla Tabella A.1 dell’Appendice A un profilo IPE 330 o superiore mentre a quello associato alla resistenza corrisponde un profilo IPE 450 o superiore. Si utilizza pertanto un profilo IPE 450 in acciaio S 355 e di seguito sono riportare le principali caratteristiche del profilo. Tabella 4.17 Caratteristiche del profilo.

Profilo IPE 450 Momento di inerzia Modulo di resistenza Peso unitario Altezza profilo Larghezza profilo Spessore ali Spessore anima Momento statico di metà sezione (Sx)

I = 33 740 cm4 W = 1 500 cm3 gt = 77,6 kg/m H = 450 mm B = 190 mm tf = 14,6 mm tw = 9,4 mm Sx = 851 cm3

Nelle verifiche di seguito riportate si è trascurato il termine deformativo associato all’azione tagliante in quanto L/H = 8 000/450 = 17,8.

Stato limite di esercizio • Calcolo dell’abbassamento totale associato a carichi permanenti e variabili: 3 1 ( PG 2 + PQ ) L L Gmax = ⋅ + ⋅ ≤ 384 EI 48 EI 250 sostituendo i valori numerici si ha: 5 0, 776 ⋅ 8000 4 Gmax = ⋅ + 384 210000 ⋅ (33740 ⋅ 10 4 ) 1 (67, 4 + 60) ⋅ 1000 ⋅ 8000 3 + ⋅ = 48 210000 ⋅ (33740 ⋅ 10 4 ) ⎛ L ⎞⎟⎟ = 0, 58 + 19, 18 = 19, 76 mm < 32 mm ⎜⎜⎜= ⎟ ⎜⎝ 250 ⎟⎟⎠

5

gt L4

• Calcolo dell’abbassamento associato ai soli carichi variabili: G2

1 48

⋅

PQ L3 EI

≤

L 300

139

140

Capitolo 4: applicazioni

sostituendo i valori numerici si ha: G2 =

1

⋅

(60 ⋅ 1000) ⋅ 8000 3

= 48 210000 ⋅ (33740 ⋅ 10 4 ) ⎛ L ⎞⎟⎟ m < 26, 6 mm ⎜⎜⎜= = 9, 03 mm ⎟ ⎝⎜ 300 ⎟⎠⎟ La verifica di deformabilità è soddisfatta

Stato limite ultimo Calcolo delle massime tensioni: Massima tensione associata alla flessione (sezione di mezzeria): V=

(1, 3 gt ) ⋅ Lp2

+

(1, 5 Pg 2 + 1, 5 Pq ) ⋅ Lp

8W V=

4W

1, 3 ⋅ 0, 776 ⋅ 8000 2 8 ⋅ 1500 ⋅ 10 3

+

≤ fd

[(1, 5 ⋅ 67, 4 + 1, 5 ⋅ 60) ⋅ 10 3 ] ⋅ 8000 4 ⋅ (1500 ⋅ 10 3 )

≤ fd

V = 5, 38 N/mm 2 + 254, 80 N/mm 2 = = 260, 18 N/mm 2 d 338, 1 N/mm 2 (= fd ) Massima tensione associata al taglio (sezione di appoggio) determinate in base alla trattazione approssimata di Jourawsky: Tmax =

1, 3 gt L

+

1, 5 Pg + 1, 5 Pq

= 2 2 1, 3 ⋅ 0, 776 ⋅ 8000 (1, 5 ⋅ 67.4 + 1, 5 ⋅ 60) ⋅ 10 3 = + 2 2

Tmax = 4035, 2 + 95550 = 99585, 2 N W max

Tmax ⋅ Sx

99585 ⋅ (851 ⋅ 10 3 )

I ⋅ tw

(33740 ⋅ 10 4 ) ⋅ 9, 8

25, 63 N/mm 2 ≤ 195, 2 N/mm 2 ( W d ) Le verifiche di resistenza risultano soddisfatte Il profilo della trave principale è verificato

141

5 Gli elementi compressi

5.1 Premessa Il dimensionamento degli elementi compressi è usualmente effettuato considerando la sola condizione di stabilità e pertanto viene basato sui valori delle azioni interne conseguenti a combinazione dei carichi proprie degli stati limite ultimi (vedi Paragrafo 1.5.2). I fenomeni di instabilità possono interessare l’intero elemento (Figura 5.1a) oppure riguardare soltanto un tratto longitudinale di modesta lunghezza (Figura 5.1b). Figura 5.1 Configurazione deformata per instabilità globale (a) e locale (b).

(a) (b) Il primo caso è relativo ai fenomeni di instabilità globale, che viene a sua volta distinta in: • instabilità flessionale (Figura 5.2a), quando si ha traslazione rispetto a un asse della sezione; • instabilità torsionale (Figura 5.2b), quando si ha rotazione rispetto a un punto della sezione; • instabilità flesso-torsionale (Figura 5.2c), quando si ha sia traslazione sia rotazione della sezione. Figura 5.2 Tipica deformata per instabilità flessionale (a).

142 Capitolo 5

Figura 5.2 Tipica deformata per instabilità torsionale (b) e flesso-torsionale (c).

Nel caso in cui il fenomeno dell’instabilità non sia esteso all’intera lunghezza dell’elemento, o a una sua porzione significativa, e si manifesti con semi-onde di ampiezza paragonabile alle dimensioni della sezione trasversale, si ha invece l’instabilità locale (Figura 5.3). Questa è tipica dei profili in parete sottile, generalmente ottenuti per presso-piegatura a freddo di rotoli o lamiere di modesto spessore. Figura 5.3 Tipica configurazione deformata per instabilità locale di un elemento compresso (a) e di un elemento inflesso (b).

Di seguito sono proposti, a fronte di alcuni richiami teorici, i concetti essenziali per effettuare il dimensionamento di massima in accordo alla vigente normativa considerando la sola instabilità flessionale. Il dimensionamento nei confronti dell’instabilità locale richiede conoscenze proprie dell’ingegneria strutturale e pertanto esula dal campo di applicazione e dai precisi scopi di questo testo.

5.2 L’asta ideale La trattazione dell’instabilità degli elementi compressi venne affrontata da Eulero a partire dal 1774. Sono di seguito trascurati, per ovvie

Gli elementi compressi

ragioni di spazio, tutti quegli importanti contributi storici che hanno portato al progredire delle conoscenze su questo argomento, fino allo sviluppo degli approcci proposti dalle vigenti normative. Per il generico elemento compresso, nell’ipotesi di assenza di imperfezioni e di materiale con legame costitutivo elastico-lineare (un elemento con queste caratteristiche viene definito asta ideale o asta di Eulero), esiste un valore di carico, definito carico critico elastico, Pcr , che attiva il fenomeno dell’instabilità dell’elemento. Nel caso di profili con sezione trasversale a doppio T dotata di almeno un asse di simmetria si ha che su questo giacciono il centro di taglio e il baricentro del profilo; il fenomeno di instabilità torsionale (Figura 5.3b) può quindi generalmente essere trascurato, a differenza di quanto avviene con profili aventi sezione trasversale di altre forme (per esempio, quelle a croce, a L o a T, ossia le sezioni in cui tutte le componenti convergono in un unico punto). Se il fenomeno dell’instabilità flessionale si manifesta prima di altre forme di instabilità, questo valore 2 di carico è definito come: S 2 EI x S EI y (5.1) Pcr min( Pcr ,x , Pcr ,y ) min{ 2 , 2 } L0,x L0,y in cui E rappresenta il modulo di elasticità del materiale, I il momento d’inerzia della sezione e Lo la lunghezza libera d’inflessione (definita come la distanza tra due punti successivi di flesso della configurazione deformata oppure come la distanza tra due punti successivi di momento nullo), mentre i pedici x e y si riferiscono agli assi principali della sezione trasversale. In Figura 5.4 vengono presentati i casi più ricorrenti di vincolo, specificando l’associato valore della lunghezza di libera inflessione L0. Si osservi che nell’Equazione 5.1 sono espressi due valori di carico Figura 5.4 Valori di lunghezza di libera inflessione per l’asta con diversi tipi di vincoli.

143

144 Capitolo 5

critico usualmente diversi tra loro, ognuno dei quali associato all’inflessione attorno a uno dei due assi principali della sezione trasversale. In ambito progettuale, si considera come carico critico elastico il più basso tra questi. La presenza di imperfezioni geometriche, per semplicità rappresentate da una deformata sinusoidale dell’asse longitudinale, influisce sul comportamento dell’asta ideale. La risposta dell’asta priva di imperfezioni (asta a) è rappresentata dalla curva a in Figura 5.5, in termini di relazione tra lo spostamento trasversale δ (sbandamento) della sezione di mezzeria e il carico assiale P applicato. Lo spostamento trasversale δ è nullo (ossia l’elemento si accorcia) fintanto che non si raggiunge il valore Pcr per il quale sono possibili infinite configurazioni deformate e pertanto si perde l’unicità di soluzione. In questo caso si parla di comportamento biforcativo dell’elemento. Figura 5.5 Relazione caricospostamento trasversale per l’asta priva di imperfezioni (a) e con imperfezioni (b).

Nel caso invece di elemento dotato di un’imperfezione geometrica iniziale (asta b in Figura 5.5), la relazione P−δ tende asintoticamente al valore del carico critico (comportamento asintotico). Nel sistema di riferimento in Figura 5.5 la relazione P−δ non passa dall’origine, essendo comunque presente l’imperfezione iniziale δ0 anche per la condizione di elemento scarico (P = 0). Incrementando il carico viene accentuata la configurazione deformata curvilinea dell’elemento (essendo questo presso-inflesso) e pertanto aumenta lo spostamento trasversale (curva b). Una relazione approssimata, che consente di legare l’azione assiale P sull’elemento dotato di imperfezione allo spostamento trasversale δ, è: ⎛ 1 ⎞⎟ ⎟⎟ (5.2) G G0 ·⎜⎜⎜ ⎜⎜ P ⎟⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ 1 − Pcr ⎟⎟⎠ ⎜⎝ in cui Pcr rappresenta il carico critico euleriano nel piano di flessione e δ0 è l’imperfezione iniziale dell’elemento. La validità di tale relazione è limitata al campo elastico ma può

Gli elementi compressi

essere impiegata con una maggiore approssimazione anche con aste dotate di legame costitutivo più aderente alla realtà (per esempio del tipo elasto-plastico).

5.2.1 La curva di stabilità per l’asta ideale

Dal punto di vista progettuale può essere a volte comodo riferirsi, anziché al carico critico (Equazione 5.1), alla tensione critica Vcr definita come: Pcr

Vcr

(5.3a)

A

in cui A rappresenta l’area della sezione trasversale dell’asta. Sostituendo quindi l’espressione del carico critico (Equazione 5.1), si ottiene: ⎧⎪ S 2 EI S 2 EI ⎫⎪ ⎪ ⎪ Vcr min ⎪⎨ 2 x , 2 y ⎪⎬ (5.3b) ⎪⎪ L A L A ⎪⎪ 0 , , x y 0 ⎪⎩ ⎭⎪ o in modo del tutto analogo: ⎧⎪ S 2 E U 2 S 2 E U 2 ⎫⎪ ⎪ ⎪ (5.3c) Vcr min ⎪⎨ 2 x , 2 y ⎪⎬ ⎪⎪ ⎪⎪ L L 0 ,y ⎪ ⎪⎩ 0, x ⎭ in cui compare il raggio giratore d’inerzia i o U attorno al generico asse j, dato da: iJ

Uj

Ij

A Introducendo il termine O che rappresenta la snellezza dell’elemento, definita come: O

L0 U

si ottiene: ⎧⎪ S 2 E S 2 E ⎫⎪ min ⎪⎨ 2 , 2 ⎪⎬ (5.3d) ⎪⎪ ⎪⎪ O O y ⎪ ⎪⎩ x ⎭ La snellezza è una grandezza adimensionalizzata, data dal rapporto tra una dimensione globale dell’asta (la sua lunghezza di libera inflessione) e un parametro legato alla geometria della sezione trasversale (il raggio giratore d’inerzia, che tiene conto della distribuzione del materiale della sezione rispetto all’asse baricentrico). La tensione critica dipende quindi dalla snellezza dell’asta. Dalle Vcr

145

146 Capitolo 5

Equazioni 5.3 appare che più alta è la snellezza più basso è il valore dell’associato carico critico. Nel sistema di riferimento Vcr −O (intendendo con O il valore massimo tra Ox e Oy), l’Equazione 5.3c rappresenta un’iperbole di secondo grado (iperbole di Eulero). Tale curva, diagrammata in Figura 5.6, viene anche definita curva di stabilità elastica. Figura 5.6 Curva di stabilità elastica (iperbole di Eulero).

Si noti che a volte l’elemento può essere diversamente vincolato in funzione del piano di sbandamento che viene considerato. Per esempio, in Figura 5.7 viene considerata un’asta di lunghezza L, vincolata con cerniera e appoggio nei confronti dello spostamento trasversale nel piano x-z e dotata anche di un appoggio intermedio nei confronti dello sbandamento nel piano y-z. In questo caso è allora necessario tenere conto dei differenti vincoli nei piani x-z e y-z e delle diverse lunghezze di libera inflessione associate. Di conseguenza, la snellezza deve essere valutata come: § L L ·¸ ¨ O max(Ox , Oy ) max ¨¨ 0 x , 0 y ¸¸¸ (5.4) ¨¨ U U ¸¸ © x y ¹ § L / 2 L ·¸ max ¨¨¨ , ¸¸ ¨© U x U y ¸¸¹ Figura 5.7 Esempio di asta diversamente vincolata nei piani x-z e y-z.

Gli elementi compressi

5.3 L’asta industriale La trattazione proposta nel paragrafo precedente non ha alcuna applicabilità in campo progettuale, essendo valida nel caso di elementi ideali, quindi dotati di legame costitutivo perfettamente elastico. In realtà, come già introdotto a proposito del materiale acciaio, gli elementi impiegati nella corrente pratica costruttiva hanno inevitabilmente imperfezioni e sono realizzati con un materiale dotato di un legame costituivo schematizzabile in via semplificata come elasticoplastico perfetto o elasto-plastico incrudente, ossia limitato nella resistenza (Figura 5.8) e dotato di un tratto post-elastico caratterizzato da notevole deformabilità. Figura 5.8 Legami costitutivi per l’acciaio: relazione sperimentale (a), elasto-plastica perfetta (b), elasto-plastica incrudentale (c).

Con riferimento a un elemento privo di imperfezioni, considerando solo la limitazione sulla resistenza (ossia associata al raggiungimento della tensione di snervamento fy ), si osservi che sicuramente il carico critico non può essere superiore alla forza Py che provoca la plasticizzazione della sezione (Py = fy .A) e pertanto l’associata frontiera di crisi assume la forma riportata in Figura 5.9. L’intersezione tra l’iperbole di Eulero e la retta orizzontale in corrispondenza del livello di carico Py individua il punto P in Figura 5.9 la cui ascissa Op viene denominata snellezza di proporzionalità, definita come: Op Figura 5.9 Curva di stabilità per l’elemento senza imperfezioni e con legame costitutivo elasto-plastico.

S

E fy

(5.5)

147

148 Capitolo 5

In Tabella 5.1 vengono riportati, per i tipi di acciaio più ricorrenti, i valori dell’associata snellezza per gli acciai più comuni nel campo delle costruzioni. Tabella 5.1 Valori della snellezze di proporzionalità.

Acciaio

Elementi di spessore ≤ 40 mm

Elementi di spessore ≤ 40 mm

S 235

λp = 93,91

λp = 98,18

S 275

λp = 86,81

λp = 90,15

S 355

λp = 76,41

λp = 78,66

S 420

λp = 70,25

λp = 72,90

S 460

λp = 67,12

λp = 69,42

Il significato della snellezza di proporzionalità è immediatamente collegabile alla modalità di crisi dell’elemento strutturale: • se λ < λp la crisi avviene per raggiungimento della resistenza (si parla in questo caso di elementi tozzi) e quindi si ha schiacciamento della sezione; • se λ > λp la crisi è dovuta a fenomeni di instabilità (in tal caso si parla di elementi snelli); • se λ = λp si manifesta l’instabilità con contemporanea crisi per schiacciamento della sezione. Nel caso di asta con imperfezione iniziale, rappresentata da una curvatura iniziale sinusoidale, ma realizzata con un materiale dotato di legame costitutivo elastico-perfettamente plastico, la risposta dell’elemento varia in modo sensibile rispetto al caso di asta ideale. Al crescere del carico applicato aumenta anche l’inflessione δ (Equazione Figura 5.10 Incremento dell’inflessione al crescere del carico applicato.

5.2) e quindi l’entità dell’azione flettente associata all’eccentricità del carico P (Figura 5.10). Nella sezione di mezzeria si ha il massimo valore di momento pari a P·δ. La sezione di mezzeria è quindi presso-inflessa e al crescere del carico aumenta anche il valore della tensione massima nella fibra estrema (Figura 5.11) che, in questo caso non può eccedere il valore limite dello snervamento.

Gli elementi compressi

Figura 5.11 Stato tensionale nella sezione di mezzeria.

L’elemento imperfetto con legame costitutivo elastico-plastico ha una risposta, in termini di relazione carico-spostamento trasversale, inizialmente coincidente con quella dell’elemento ideale, essendo il materiale dell’elemento ovunque in campo elastico (Figura 5.12). Raggiunto a livello locale nella sezione più sollecitata il valore della tensione di snervamento, si ha una variazione di comportamento rispetto a quello dell’elemento ideale, con una progressiva perdita di rigidezza dell’elemento (ossia la pendenza della relazione carico-spostamento diminuisce gradualmente). Un valore di carico Pu (inferiore al carico critico Pcr ) corrisponde al raggiungimento della capacità portante dell’elemento per contemporanea instabilità e plasticizzazione dell’elemento (instabilità elasto-plastica) e incrementi ulteriori dello spostamento G implicano che l’equilibrio possa essere mantenuto a patto che il valore del carico applicato P diminuisca. Il fenomeno dell’instabilità per l’asta industriale si manifesta con zone più o meno estese della sezione in campo plastico e, pertanto, viene denominato instabilità elasto-plastica. Figura 5.12 Relazione caricospostamento trasversale per l’asta industriale.

Confrontando la relazione tra carico e snellezza dell’asta ideale con quella dell’asta industriale si nota che il legame costitutivo non lineare e la contemporanea presenza di imperfezioni riducono la capacità portante rispetto al caso di elemento ideale (Figura 5.13). Anche il limite di transizione tra le due diverse modalità di crisi (schiacciamento e instabilità) varia traslando da Op a circa 0,2Op. Le aste compresse nelle strutture civili e industriali sono denominate colonne industriali o aste industriali e sono caratterizzate da:

149

150 Capitolo 5

• legame costitutivo del materiale di tipo non lineare (usualmente si considera un legame semplificato di tipo elastico-perfettamente plastico); • imperfezioni geometriche; • imperfezioni meccaniche. Tutti questi parametri influenzano la capacità portante dell’elemento compresso. Dal punto di vista progettuale, la verifica dell’elemento compresso viene effettuata controllando che il valore di tensione (o di azione assiale) non ecceda un valore limite (o capacità portante) definito sulla base di: • tipo di acciaio, dal quale dipende il valore della tensione di snervamento che può essere raggiunta quando si manifesta l’instabilità elasto-plastica; • snellezza dell’elemento, che tiene conto della geometria dell’elemento in termini di lunghezza, vincoli e proprietà geometriche della sezione trasversale; • tipo della sezione trasversale, direttamente legata alle imperfezioni sia meccaniche sia geometriche. • asse di flessione del profilo. Figura 5.13 Curve di stabilità dell’asta industriale (a tratto pieno) e dell’asta priva di imperfezioni (a tratteggio).

La verifica di stabilità dell’elemento compresso dell’azione assiale NEd è soddisfatta quando non viene ecceduta la sua capacità portante Nb,Rd, ed è quindi soddisfatta la relazione: N Ed d N b, Rd

(5.6)

La capacità portante dell’elemento dipende dalla classe di appartenenza della sezione, e vale: f (5.7a) • per le sezioni di clase 1, 2 o 3: N b, Rd F ⋅ A y JM1 • per le sezioni di classe 4:

N b, Rd

F ⋅ Aeff

fy JM1

(5.7b)

Gli elementi compressi

in cui A rappresenta l’area nominale della sezione trasversale, Aeff l’area della sezione efficace, fy è la tensione di snervamento del materiale, il termine c è un fattore di riduzione e gM1 è il coefficiente di sicurezza. Il termine c (che non può mai superare il valore unitario) è il coefficiente di riduzione della resistenza ed è definito come: 1 F= con F ≤ 1 (5.8) I + I2 −O 2 in cui il termine f è definito come: I = 0, 5 ⋅ ⎢⎣⎡1 + D(O − 0, 2) + O 2 ⎤⎥⎦

(5.9)

ove a rappresenta il coefficiente di imperfezione che è definito nella tabella 5.2 in relazione alla curva di stabilità da selezionare in accordo alle indicazioni fornite in tabella 5.4. Tabella 5.2 Valori di a per le differenti curve di stabilità.

Curva di stabilità

a0

a

b

c

d

Fattore di imperfezione a

0,13

0,21

0,34

0,49

0,76

Il termine c può essere anche dedotto per interpolazione e nella tabella 5.4 sono riportati i valori in funzione della snellezza adimensionalizzata, λ per le diverse curve di stabilità. Si osservi che il termine c deve essere assunto come il minore tra cy e cz ossia: F

(5.10)

min(Fy , Fz )

La snellezza relativa λ è definita, in funzione della classe di appartenenza della sezione trasversale, come di seguito specificato:

• sezioni di classe 1, 2 oppure 3:

O

• sezioni di classe 4:

O

A ⋅ fy N cr Aeff ⋅ fy N cr

(5.11a)

(5.11b)

in cui Ncr rappresenta la forza elastica critica per la modalità pertinente (flessionale, torsionale o flesso-torsionale).

151

152 Capitolo 5

Tabella 5.3 Indicazioni per la scelta della curva di stabilità.

Sezione trasversale

Sezioni laminate a I

Instabilità attorno all’asse

Curva di stabilità S 235 S 275 S 355 S 420

S 460

h/b > 1,2 tf ≤40 mm

y-y z-z

a b

a0 a0

40 mm ≤ tf ≤ 100 mm

y-y z-z

b c

a a

h/b ≤ 1,2 tf ≤ 100 mm

y-y z-z

b c

a a

tf > 100 mm

y-y z-z

d d

c c

tf ≤ 40 mm

y-y z-z

b c

b c

tf > 40 mm

y-y z-z

c d

c d

Laminate a caldo

tutti

a

a0

Sagomate a freddo

tutti

c

c

tutti

b

b

tutti

c

c

tutti

c

c

tutti

c

c

Limiti

Sezione saldate a I

Sezioni scatolari

Sezioni scatolari saldate

In generale (eccetto quanto specificato sotto) Saldature spesse a > 0,5 tf b/tf < 30 h/tw < 30

Sezioni a U, L e T e sezioni piene

Angolari

Gli elementi compressi

Coefficiente c

Coefficiente w

Curva di stabilità λ 0,0

a0

a

b

c

Curva di stabilità d

a0

a

b

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

c

d

1,0000

1,0000

0,1

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

1,0000

1,0000

0,2

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

1,0000

1,0000

0,3

0,9859 0,9775 0,9641 0,9491 0,9235 1,0143 1,0230 1,0372

1,0536

1,0829

0,4

0,9701 0,9528 0,9261 0,8973 0,8504 1,0308 1,0496 1,0798

1,1144

1,1759

0,5

0,9513 0,9243 0,8842 0,8430 0,7793 1,0512 1,0819 1,1309

1,1863

1,2832

0,6

0,9276 0,8900 0,8371 0,7854 0,7100 1,0781 1,1236 1,1947

1,2733

1,4084

0,7

0,8961 0,8477 0,7837 0,7247 0,6431 1,1159 1,1796 1,2760

1,3799

1,5549

0,8

0,8533 0,7957 0,7245 0,6622 0,5797 1,1719 1,2567 1,3803

1,5102

1,7250

0,9

0,7961 0,7339 0,6612 0,5998 0,5208 1,2562 1,3625 1,5124

1,6671

1,9202

1,0

0,7253 0,6656 0,5970 0,5399 0,4671 1,3787 1,5024 1,6750

1,8521

2,1409

1,1

0,6482 0,5960 0,5352 0,4842 0,4189 1,5426 1,6778 1,8684

2,0651

2,3871

1,2

0,5732 0,5300 0,4781 0,4338 0,3762 1,7446 1,8868 2,0915

2,3054

2,6583

1,3

0,5053 0,4703 0,4269 0,3888 0,3385 1,9791 2,1261 2,3426

2,5719

2,9539

1,4

0,4461 0,4179 0,3817 0,3492 0,3055 2,2416 2,3929 2,6199

2,8635

3,2732

1,5

0,3953 0,3724 0,3422 0,3145 0,2766 2,5295 2,6850 2,9220

3,1793

3,6157

1,6

0,3520 0,3332 0,3079 0,2842 0,2512 2,8409 3,0009 3,2478

3,5184

3,9809

1,7

0,3150 0,2994 0,2781 0,2577 0,2289 3,1747 3,3396 3,5964

3,8802

4,3684

1,8

0,2833 0,2702 0,2521 0,2345 0,2093 3,5302 3,7004 3,9673

4,2642

4,7779

1,9

0,2559 0,2449 0,2294 0,2141 0,1920 3,9070 4,0828 4,3600

4,6700

5,2090

2,0

0,2323 0,2229 0,2095 0,1962 0,1766 4,3048 4,4864 4,7742

5,0973

5,6615

2,1

0,2117 0,2036 0,1920 0,1803 0,1630 4,7233 4,9110 5,2095

5,5458

6,1352

2,2

0,1937 0,1867 0,1765 0,1662 0,1508 5,1625 5,3564 5,6657

6,0154

6,6300

2,3

0,1779 0,1717 0,1628 0,1537 0,1399 5,6221 5,8224 6,1428

6,5059

7,1457

2,4

0,1639 0,1585 0,1506 0,1425 0,1302 6,1021 6,3090 6,6406

7,0172

7,6822

2,5

0,1515 0,1467 0,1397 0,1325 0,1214 6,6024 6,8160 7,1590

7,5491

8,2395

2,6

0,1404 0,1362 0,1299 0,1234 0,1134 7,1230 7,3435 7,6978

8,1016

8,8173

2,7

0,1305 0,1267 0,1211 0,1153 0,1062 7,6638 7,8912 8,2571

8,6746

9,4158

2,8

0,1216 0,1182 0,1132 0,1079 0,0997 8,2248 8,4592 8,8368

9,2681

10,0347

2,9

0,1136 0,1105 0,1060 0,1012 0,0937 8,8060 9,0475 9,4368

9,8820

10,6741

3,0

0,1063 0,1036 0,0994 0,0951 0,0882 9,4073 9,6559 10,0571 10,5162 11,3339

Tabella 5.4 Valori del coefficiente c e del coefficiente w per le verifiche in accordo all’EC3.

Quando il fenomeno dell’instabilità flessionale si manifesta prima di altre forme di instabilità, come ad esempio nel caso di profili ad I e H con almeno un asse di simmetria, la snellezza relativa λ risulta, a seconda della classe di appartenenza della sezione, espressa da:

153

154 Capitolo 5

• sezioni di classe 1, 2 oppure 3: O

• sezioni di classe 4: O

Aeff ⋅ fy N cr

A ⋅ fy

O

N cr

OP

O OP

⋅

Aeff A

(5.12a)

(5.12b)

• in cui λP rappresenta la snellezza di proporzionalità. Sulla base delle relazioni precedentemente introdotte, con riferimento a profili in classe 1, 2 o 3, la verifica è soddisfatta se N Ed ≤ F ⋅ A

fy

(5.13a)

JM1

In alternativa può essere conveniente riferirsi al termine w, inteso come fattore amplificativo del carico (w = 1/c) e pertanto, in modo del tutto equivalente, la verifica è soddisfatta quando: Z ⋅ N Ed ≤ A

fy

(5.13b)

JM1

In analogia a quanto visto per il termine c, anche il coefficiente amplificativo del carico w dipende dall’asse di flessione ed in dettaglio deve essere assunto come il maggiore tra wy e wz, ossia: Z

max(Z y , Z z )

(5.14)

Anche in questo caso è possibile operare la verifica nel campo delle tensioni. In dettaglio il fattore c può essere visto come un termine riduttivo della tensione di progetto limite (σc = c ∙ fd) per effetto appunto dei fenomeni di instabilità. La Relazione 5.13a diventa: V

N Ed A

≤ Vc ( F ⋅ fd )

(5.15a)

o egualmente: V

Z ⋅ N Ed A

≤ fd

(5.15b)

in cui la tensione di progetto fd è definita come: fd

fyk

(5.16)

JM1

I valori della tensione di progetto sono riportati nella tabella 5.5 per le diverse classi di acciaio, in accordo al valore del coefficiente di sicurezza gM1 riportato in Tabella 1.6.

Gli elementi compressi

Tabella 5.5 Valori delle tensioni di progetto per elementi tesi.

Classe di acciaio

Tensione di snervamento fyk [N/mm2]

Tensione di progetto fd [N/mm2]

S 235

235

223,81

S 275

275

261,90

S 355

355

338,10

S 420

420

400,00

S 460

460

438,10

Il progetto/verifica di elementi compressi può essere quindi svolto in termini tensionali.

5.4 Progetto e verifica di elementi compressi Nel caso di profili soggetti ad azione assiale, devono essere considerate le regole di combinazione dei carichi proprie degli stati limite ultimi. Relativamente alla scelta del profilo, questa può essere fatta sulla base di considerazioni legate agli ingombri degli elementi orizzontali e alle esigenze di collegamento di questi con le colonne. In alternativa, scelto il materiale, si definisce un valore iniziale di snellezza e si ricerca il profilo che soddisfa il requisito sulla capacità portante. In questo caso, si può seguire la procedura di seguito riportata: • definizione del valore di snellezza (per esempio, si sceglie λ*). Usualmente si considera un valore di tentativo compreso tra 80 e 120. Si precisa che la normativa prescrive che la snellezza degli elementi compressi non ecceda mai il valore di 200 (ovvero, se λ > 200 l’elemento viene assimilato a una fune e pertanto non ha alcuna resistenza a compressione); • calcolo del rapporto di snellezza λ*/λp; • sulla base della Tabella 5.2 si calcola la massima tensione σc o egualmente il coefficiente w; • in base all’entità dell’azione assiale P che interessa l’elemento allo stato limite ultimo, si determina l’area minima del profilo data da: Amin

P

Z⋅ P

Vc

fd

(5.17)

• dal profilario si procede alla scelta di un profilo adeguato che abbia area superiore ad Amin. Si osservi che la limitazione sulla snellezza (che non può eccedere il

155

156 Capitolo 5

valore di 200) può a volte risultare estremamente penalizzante e impedire l’utilizzo di profilati a parete piena a doppio T, anche se l’entità del carico agente è modesta. Con riferimento ai tradizionali profili laminati a caldo, considerando come direzione di sbandamento quella associata al minore valore del momento di inerzia e in assenza di vincoli intermedi, si ha infatti che: • nel caso dei profilati della serie IPE il massimo valore di lunghezza libera di inflessione compatibile con la limitazione sulla snellezza di 200 è di 9,3 m ed è associata al profilo IPE 600 (essendo il raggio giratore di inerzia minimo pari a 4,66 cm); • nel caso dei profilati della serie HEA il massimo valore di lunghezza libera di inflessione è circa di 15 m ed è associata ai profili HEA 300 e HEA 320 (essendo il raggio giratore di inerzia minimo pari a 7,49 cm); • nel caso dei profilati della serie HEB il massimo valore di lunghezza libera di inflessione è di 15,2 m ed è associata al profilo HEB 300 (essendo il raggio giratore di inerzia minimo pari a 7,58 cm); • nel caso dei profilati della serie HEM il massimo valore di lunghezza libera di inflessione è circa di 16 m ed è associata al profilo HEM 320 (essendo il raggio giratore di inerzia minimo pari a 7,98 cm). Qualora sussistano particolari esigenze e i profilati a doppio T non siano in grado di soddisfare il requisito sulla snellezza, è necessario impiegare profili con sezione scatolare rettangolare o circolare oppure profili composti realizzati accoppiando profili a parete piena (vedi Paragrafo 7.2). Per quanto riguarda invece la verifica di stabilità, deciso il materiale e il tipo di profilo, si procede, nel caso in cui le lunghezze di libera inflessione siano uguali nei due piani principali del profilo, nel seguente modo: • si calcola la snellezza massima del profilo: O

L0

(5.18)

U min

• si calcola la snellezza di proporzionalità in base al materiale, o la si deduce dalla Tabella 5.1: Op

S

E fyk

(5.19)

• si calcola la snellezza adimensionalizzata λ/λp; • si valuta, in base alla Tabella 5.2 la massima tensione σc che può

Gli elementi compressi

sopportare l’elemento o egualmente il coefficiente Z. La verifica risulta soddisfatta se: P V A

d Vc

(5.20a)

o egualmente se: ZP V A

d fd

(5.20b)

157

158

Capitolo 5: applicazioni

Applicazioni

Applicazione 5.1 Determinazione del carico critico di un’asta a sezione quadrata

Si determini il carico critico euleriano dell’asta ideale in acciaio rappresentata in Figura 5.14. Figura 5.14 Mensola compressa a sezione quadrata.

Procedura

Si valuta la snellezza dell’elemento e quindi si calcola il carico critico elastico in termini di azione assiale e di tensione normale. Soluzione

L’asta è vincolata con un incastro e perciò la lunghezza libera d’inflessione (Figura 5.4) è L0 = 2L = 200 cm. La sezione è quadrata e quindi i momenti di inerzia rispetto a entrambi gli assi principali sono uguali tra loro e valgono: Ix

54

Iy

12

52, 08 cm 4

Il carico critico, esprimendo tutte le lunghezze in millimetri e le forze in newton, vale (Equazione 5.1): Pcr

S 2 EI

S 2 ⋅ 210000 ⋅ (52, 08 ⋅ 10 4 )

L02

2000 2

269854, 7 N

Gli elementi compressi

È possibile ripetere il calcolo in termini di tensione critica: La snellezza O vale: O

L0

200

i

52, 08 5⋅5

138, 57

La tensione critica Euleriana vale (Equazione 5.3d): Vcr

Pcr

S 2 EI

A

2 0

A⋅ L

S2 E O

2

S 2 ⋅ 210000 138, 57

2

107, 94 N/mm 2

Applicazione 5.2 Determinazione del carico critico di un’asta a sezione rettangolare

Si determini il carico critico euleriano dell’asta ideale in acciaio in Figura 5.15. Figura 5.15 Mensola compressa a sezione rettangolare.

Procedura

Si valuta la snellezza dell’elemento e quindi si calcola il carico critico elastico in termini di azione assiale e di tensione. Soluzione

L’asta è vincolata solo con un incastro e perciò la lunghezza libera d’inflessione (Figura 5.4) è L0 = 2L = 200 cm. La sezione, in questo caso, è rettangolare e quindi si hanno due differenti valori per i momenti di inerzia: Ix

6 ⋅ 33 12

13, 5 cm 4

Iy

3 ⋅ 63 12

54 cm 4

159

160

Capitolo 5: applicazioni

Si assume il valore minimo di momento di inerzia I = Ix = 13,5cm4 Il carico critico, esprimendo tutte le lunghezze in millimetri e le forze in newton, vale (Equazione 5.1): Pcr

S 2 EI min

S 2 ⋅ 210000 ⋅ (13, 5 ⋅ 10 4 )

L02

2000 2

69950,8 8N

È possibile ripetere il calcolo in termini di tensione critica. Si determina il valore di snellezza massima (quindi considerando, dati i vincoli eguali agli estremi della sezione lungo i due assi principali di inerzia, il raggio giratore di inerzia minimo, ovvero il momento di inerzia minimo): O

L0,x

Ox

L0,x

ix

200

230, 94

13, 5 6⋅3

Ix A

La tensione critica Euleriana vale (Equazione 5.3d): Vcr

Pcr

S 2 EI

S2 E

S 2 ⋅ 210000

A

A ⋅ L02

O2

230, 94 2

38, 86 N/mm 2

Applicazione 5.3 Proporzionamento di un palo portafari

Si progetti il palo portafari indicato in Figura 5.16 e per il quale si voglia usare una sezione circolare cava di snellezza non superiore a 185. Siano noti: • il valore del carico permanente pari a 15 kN; • il valore del carico accidentale pari a 12 kN. Si utilizzi un profilo tubolare circolare in acciaio S 235, avente quindi fyk = 235 N/mm2. Figura 5.16 Mensola a sezione circolare cava.

Gli elementi compressi

Procedura

Il progetto viene impostato considerando elementi di snellezza inferiore al valore limite. La verifica viene effettuata determinando la tensione ridotta (o egualmente il coefficiente Z) sulla base della curva di stabilità pertinente. Soluzione

Si determina dapprima l’entità dell’azione assiale P che interessa l’elemento, con riferimento alle regole di combinazione dei carichi degli stati limite ultimi: P = 1,3 · 15 + 1,5 · 12 = 37,5 kN Si procede per tentativi desumendo i dati delle sezioni cave circolari dal catalogo del produttore. Si riportano nella Tabella 5.3 i dati dei profili che verranno di seguito considerati: Tabella 5.6 Stralcio del catalogo del produttore con dati geometrici e inerziali dei profili circolari cavi.

Dimensioni [mm] 139,7 × 2,6 168,3 × 3,2 168,3 × 4,0 219,1 × 4,0

Area A [cm2] 11,2 16,6 20,6 27,0

Momento di inerzia I [cm4] 263 566 697 1564

Raggio giratore di inerzia U [cm] 4,85 5,84 5,81 7,61

L’asta è vincolata solo con un incastro e la lunghezza libera d’inflessione (Figura 5.4) è L0 = 2L = 14 m. Progetto

Si considera dapprima il tubo 139,7 x 2,6 e si calcola la sua snellezza: O

L0

2 ⋅ 700

U

4, 85

288, 7

Il requisito sulla snellezza (non superiore a 185) non è soddisfatto. Si considera il tubo 168,3 x 3,2 e si calcola la sua snellezza: O

L0

2 ⋅ 700

U

5, 84

239, 7

Il requisito sulla snellezza (non superiore a 185) anche in questo caso non è soddisfatto. Il profilo tubolare 168,3 x 4 non viene considerato in quanto caratterizzato da un raggio giratore di inerzia inferiore a quello del tubo 168 x 3,2 appena considerato. Si considera il tubo 219,1 x 4,0 e si calcola la sua snellezza: O

L0

2 ⋅ 700

U

7, 61

184, 0

161

162

Capitolo 5: applicazioni

Il requisito sulla snellezza (non superiore a 185) è soddisfatto. Si sceglie questo profilo e si procede con la verifica. 9HULÀFD

Si calcola la snellezza di proporzionalità: Op

E

S

S

210000

fyk

235

93, 91

Si passa quindi al calcolo della snellezza adimensionalizzata: O

184

Op

93, 91

1, 96

La massima tensione sull’elemento compresso viene ricavata dalla tabella 5.4 facendo riferimento alla curva c. In dettaglio si procede per interpolazione dei valori riportati: λ/λp

χ

1,9 2,0

0,2141 0,1962

Con interpolazione lineare tra i valori di 1,9 e di 2,0 si ottiene: O Op

1, 96 o F

0, 2031

o egualmente il coefficiente ω = 4,9238 (vedi tabella). Si passa pertanto alla verifica delle tensioni: P

37500

A

2700

V

13, 89 N/mm 2 d 45, 45 N/mm 2

In modo analogo incrementando l’azione assiale del fattore ω e confrontandolo con la tensione di progetto si ha: V=

ZP A

=

4, 9238 ⋅ 37500

= 68, 39 N/mm 2 < 223, 81 N/mm 2

2700

Il profilo è verificato

Gli elementi compressi

Applicazione 5.4 Verifica di una colonna in un sistema pendolare

Si verifichi una colonna realizzata con un profilo HEA 160 in acciaio S 355 avente fyk = 355 N/mm2. L’asta è alta 5 m, incernierata alle sue estremità e caricata da due azioni concentrate di compressione: l’entità del carico permanente è di 80 kN mentre quello accidentale vale 160 kN. Procedura

La verifica viene effettuata determinando, a seguito del calcolo della snellezza dell’elemento, la tensione ridotta (o egualmente il coefficiente Z amplificativo del carico) sulla base della curva di stabilità pertinente. Soluzione

Si determina dapprima l’entità dell’azione assiale che interessa l’elemento, con riferimento alle regole di combinazione dei carichi degli stati limite ultimi: P = 1,3 · 80 + 1,5 · 160 = 344 kN Per il pilastro HEA 160, dalla tabella A.2 della Appendice A si ha A = 38,8 cm2 e Imin = Iy = 616 cm4 e Imax = Iz = 1673 cm4, quindi: Flessione asse debole 616 U min

3, 98 cm

38, 8

O

L0

500

U min

3, 98

125, 6

Si calcola la snellezza di proporzionalità (Equazione 5.5): Op

S

E

S

210000

fyk

355

76, 41

Si passa quindi al calcolo della snellezza relativa: O

125, 6

Op

76, 41

1, 64

La massima tensione dell’elemento compresso viene ricavata dalla Tabella 5.4 facendo riferimento alla curva c, essendo l’asse di riferimento l’asse z-z. In dettaglio si procede per interpolazione dei valori riportati: O/Op

F

Z

1,6 1,7

0,2842 0,2577

3,5184 3,8802

163

164

Capitolo 5: applicazioni

Con interpolazione lineare tra i valori di 1,6 e di 1,7 si ottiene: O Op

1, 64 o F

0, 2736 o Z

3, 6631

da cui si ricava σc = 92,50 N/mm2 o egualmente il coefficiente ω = 3,6550. Si passa pertanto alla verifica: V=

P

=

344000

= 88, 65 N/mm 2 < 92, 50 N/mm 2

A 3880 In modo analogo incrementando l’azione assiale e confrontandolo con la tensione di calcolo si ha: V=

ZP A

=

3, 6631 ⋅ 344000

= 324, 77 N/mm 2 < 338, 1 N/mm 2

3880 Il profilo è verificato

Applicazione 5.5 Verifica della diagonale compressa di un sistema di controvento

Si verifichi la diagonale compressa del controvento verticale in Figura 5.17a, realizzata con un profilo HEA 240 in acciaio S275 avente fyk = 275 N/mm2. L’azione orizzontale dovuta al carico permanente è del tutto trascurabile mentre quella dovuta al carico accidentale vale 880 kN. Figura 5.17 Sistema di controvento a K.

Procedura

La verifica viene effettuata determinando, a seguito del calcolo della snellezza dell’elemento, la tensione ridotta (o egualmente il coefficiente ω amplificativo del carico) sulla base della curva di stabilità pertinente. Soluzione

Si determina dapprima l’entità dell’azione assiale che interessa l’ele-

Gli elementi compressi

mento, con riferimento alle regole di combinazione dei carichi degli stati limite ultimi. Si assume il carico orizzontale come carico accidentale (amplificato di un fattore pari a 1,5) e si calcola il contributo che sollecita l’elemento diagonale (Figura 5.17b): P = 0,707 · F = 0,707 · (1,5 · 880) = 933,2 kN Per l’elemento diagonale di lunghezza pari a L/cos(π/4), realizzato con un profilato HEA 240, si ha A = 76,8 cm2 e Imin = Iy = 2769 cm4 Imax = Iz = 7763 cm4. Flessione asse debole 2769 U min

6, 00 cm

76, 8

O

L0

636, 39

U min

6, 00

106, 07

Si calcola a questo punto la snellezza di proporzionalità (Equazione 5.5): Op

S

E

S

fyk

210000

86, 81

275

Si passa quindi al calcolo della snellezza adimensionalizzata: O

106, 07

Op

86, 81

1, 22

La massima tensione sull’elemento compresso viene ricavata dalla Tabella 5.4 facendo riferimento alla curva c (essendo il rapporto H/b ≤ 1,2). In dettaglio si procede per interpolazione dei valori riportati: λ/λp

χ

ω

1,2 1,3

0,4338 0,3888

2,3054 2,5719

Con interpolazione lineare si ottiene: O Op

1, 22 o F

0, 4240 o Z

da cui si ricava σc = 111,26 N/mm2 Flessione Asse Forte L0

636, 39

Umax

10, 05

63, 32

Si calcola la snellezza relativa:

2, 3585

165

166

Capitolo 5: applicazioni

O

63, 32

Op

86, 81

0, 7294

La massima tensione dell’elemento compresso viene ricavta dalla Tabella 5.4 facendo riferimento alla curva b. λ/λp

χ

ω

0,7 0,8

0,7837 0,7245

1,2760 1,3803

Con interpolazione lineare tra i valori 0,7 e di 0,8 si ottiene: O Op

0, 7294 o F

0, 7665 o Z

1, 3045 da cui si rcava che:

σc = 200,75 N/mm2 Si passa pertanto alla quantificazione della tensione agente (considerata la condizione più sfavorevole data dalla tensione calcolata rispetto all’asse debole σc = 111,26): P

(933, 2 ⋅ 10 3 )

A

7680

V

121, 51 N/mm 2 ! 111, 26 N/mm 2

In modo analogo incrementando l’azione assiale e confrontandola con la tensione di calcolo si ha: ZP V

2, 3585 ⋅ (933, 2 ⋅ 10 3 )

A 7680 286, 6 N/mm 2 ! 261, 9 N//mm 2 La verifica NON è soddisfatta Non essendo soddisfatta la verifica di instabilità dell’elemento, esistono due possibilità a seconda che: • la diagonale oggetto di verifica si trovi già in opera; • la verifica sia relativa a un calcolo progettuale di massima, o comunque la diagonale non sia ancora stata posta in opera. Nel primo caso non è possibile intervenire agevolmente su dimensioni e materiale dell’elemento strutturale; pertanto, una soluzione affinché non si manifestino situazioni pericolose è costituita dal declassamento della struttura (ossia si definisce una destinazione d’uso meno impegnativa dal punto di vista statico). Se la verifica è invece relativa a un calcolo progettuale, è possibile ancora intervenire sulla sezione oppure sulla scelta del materiale. Nel caso specifico dell’applicazione in esame, si ipotizza di agire nell’ambito del proporzionamento e quindi si sceglie di aumentare la

Gli elementi compressi

classe dell’acciaio assumendo il medesimo profilo (HEA 140) ma in acciaio S 420 (avente fyk = 420 N/mm2). Non variando la sezione trasversale dell’elemento, anche la snellezza rimane uguale. Si calcola a questo punto la snellezza di proporzionalità (Equazione 5.5): Flessione asse debole Op

S

E

S

fyk

210000

70, 25

420

Si passa quindi al calcolo della snellezza relativa: O

106, 07

Op

70, 25

1, 51

La massima tensione dell’elemento compresso viene ricavata dalla Tabella 5.4 facendo riferimento alla curva c. O/Op

F

Z

1,5 1,6

0,3145 0,2842

3,1793 3,5184

Con interpolazione lineare tra i valori 1,5 e di 1,6 si ottiene: O Op

1, 51 o F

0, 3115 o Z

3, 2132

da cui si ricava Vc = 124,60 N/mm2. Flessione Asse Forte Si calcola la snellezza adimensionalizzata: O

63, 32

Op

70, 25

0, 901

La massima tensione dell’elemento compresso viene ricavata dalla Tabella 5.4 facendo riferimento alla curva b. O/Op

F

Z

0,9 1,0

0,6612 0,5970

1,5124 1,6750

Con interpolazione lineare tra i valori 0,9 e di 1,0 si ottiene: O Op

0, 901 o F

0, 6605 o Z

Si passa pertanto alla verifica:

1, 5139

167

168

Capitolo 5: applicazioni

V

P

933, 2 ⋅ 10 3

A

7680

121, 51 N/mm 2 ≤ 124, 60 N/mm 2 La verifica è soddisfatta Il profilo è verificato

Applicazione 5.6 Proporzionamento di una colonna per edificio pendolare

Si progetti e si verifichi la colonna interna di un edificio a due piani avente altezza di interpiano pari a 3,5 m. L’edificio, a schema pendolare, è destinato a uffici e il primo piano è aperto al pubblico. L’area di pertinenza della colonna (Figura 5.18) è di 48 m2 e i valori dei carichi sui piani e in copertura sono dati in Tabella 5.7. Dato il modesto numero di piani e le differenze tra i carichi verticali accidentali insistenti a ogni piano, non si opera alcuna riduzione dei carichi accidentali. Si precisa inoltre che, a favore di sicurezza, tutti i carichi permanenti sono considerati di tipo non strutturale. Figura 5.18 Area di pertinenza della colonna in esame.

Tabella 5.7 Carichi su solai e copertura.

Elemento Primo piano Secondo piano Copertura

Carico [kN/m2] permanente accidentale 3,45 3,0 3,12 2,0 1,85 2,1

Procedura

A seguito della determinazione dell’azione assiale sull’elemento in esame, il progetto viene impostato considerando un valore intermedio di snellezza e determinando di conseguenza l’area minima del profilo. La verifica viene condotta valutando la tensione ridotta sulla base della curva di stabilità pertinente.

Gli elementi compressi

Soluzione

Si determina l’entità dell’azione assiale P che interessa il tronco di pilastro maggiormente sollecitato, ossia quello in corrispondenza del primo interpiano. I carichi permanenti e quelli accidentali, indicati rispettivamente dai pedici g e q, sono tenuti distinti a causa dei differenti valori dei coefficienti amplificativi da adottare allo stato limite ultimo. Contributi del primo piano: Pg,piano I = 3,45 · 48 = 165,6 kN Contributo del secondo piano: Contributo della copertura:

Pq,piano I = 3,0 · 48 = 144 kN Pg,piano II = 3,12 · 48 = 149,8 kN Pq,piano II = 2,0 · 48 = 96 kN Pg,copertura = 1,85 · 48 = 88,8 kN Pq,copertura = 2,1· 48 = 100,8 kN

Carico assiale sulla colonna di base: Pg= Pg,copertura + Pg,piano I + Pg,piano II = 404,2 kN Pq = Pq,copertura + Pq,piano I + Pq,piano II = 340,8 kN Progetto

Si sceglie un acciaio S 235 avente fyk = 235 N/mm2. Si considera come colonna un elemento della serie HEB assumendo un valore di snellezza di tentativo pari a 120. Si calcola a questo punto la snellezza di proporzionalità: Op

E

S

S

210000

fyk

235

93, 91

Si passa quindi al calcolo della snellezza relativa: O

120

Op

93, 91

1, 28

Si approssima il termine O/Op con il valore 1,3. Dalla Tabella 5.4 e con riferimento alla curva c, essendo il rapporto tra l’altezza del profilo (H) e la larghezza delle ali (b) non superiore al valore di 1,2 si ha: O/Op

F

Z

1,3

0,3888

2,5719

da cui si ricava Vc = 87,02 N/mm2. Si passa pertanto alla determinazione dell’area minima richiesta Amin: Amin =

1, 5 Pg + 1, 5 Pq Vc

=

1117, 50 ⋅ 1000 87, 02

= 12842, 3 mm 2 = 128, 4 cm 2

=

169

170

Capitolo 5: applicazioni

Si sceglie il primo profilo che abbia area superiore ad Amin, ossia si sceglie il profilo HEB 280. 9HULÀFD

Per il pilastro HEB 280 si ha A = 131 cm2 e Imin = Iz = 6 595 cm4 Imax = Iy = 19270 cm4. Flessione asse debole 6595 U min

7, 09 cm

131

Si passa quindi al calcolo della snellezza relativa: O

L0

350

U min

7, 09

49, 3

O

49, 3

Op

93, 91

0, 525

La massima tensione dell’elemento compresso viene ricavata dalla Tabella 5.4 facendo riferimento alla curva c. Si ottiene: O Op

0, 525 o F

0, 8289 o Z

1, 2064

da cui si ricava Vc = 185,52 N/mm2. Flessione Asse Forte 19270 U

131

12, 13 cm

O

L0

350

Umin

12, 13

28, 86

Si calcola la snellezza relativa: O

28, 86

Op

93, 91

0, 307

Con interpolazione lineare tra i valori 0,3 e di 0,4 (curva b) si ottiene: O Op

0, 307 o F

0, 9615 o Z

1, 040

Si passa pertanto alla verifica: 1, 5 Pg + 1, 5 Pq 1117, 50 ⋅ 1000 V= = = 13100 A = 85, 30 N/mm 2 ≤ 185, 52 N/mm 2 Il profilo è verificato

Gli elementi compressi

Applicazione 5.7 Determinazione della capacità portante di una colonna

Si determini la capacità portante assiale di un profilo HEB 200 in acciaio S 420 (avente fyk = 420 N/mm2) che realizza le colonne di una struttura pendolare con altezza di piano è di 7,5 m. È presente un vincolo a metà della colonna che impedisce lo sbandamento in direzione perpendicolare dell’anima. Il profilo HEB 200 ha area A = 78,1 cm2, momento di inerzia rispetto all’asse forte Iy = 5 696 cm4 e momento di inerzia rispetto all’asse debole Iz = 2 003 cm4. Procedura

Valutata la snellezza del profilo, si determina la tensione ridotta in base all’associata curva di stabilità e quindi si calcola il massimo carico assiale che può essere sopportato dall’elemento. Soluzione

Calcolo della snellezza massima del profilo: Oz

L0, z

3750

Uz

2003 ⋅ 10 4

74, 05

78, 1 ⋅ 10 2 Oy

L0,y

7500

Uy

5696 ⋅ 10 4

87, 82

78, 1 ⋅ 10 2 Si calcola la snellezza di proporzionalità: Op

S

E fyk

S

210000 420

70, 25

Calcolo della snellezza relativa: di seguito ci si riferisce alla massima snellezza dell’elemento, ossia viene ipotizzato che l’instabilità si manifesti attorno all’asse forte del profilo (ovvero all’asse x): O

87, 82

Op

70, 25

1, 250

Si valuta, in base alla Tabella 5.4 la massima tensione Vc che può sopportare l’elemento. In dettaglio, con riferimento ai valori riportati per la curva b, da utilizzarsi per il profilo HEB 200 (in quanto H/b < 1,2) si ha:

171

172

Capitolo 5: applicazioni

O/Op

F

Z

1,2 1,3

0,4781 0,4269

2,0915 2,3426

Con interpolazione lineare tra i valori 1,2 e di 1,3 si ottiene: O Op

1, 25 o F

0, 4525 o Z

2, 2171

da cui si ricava Vc = 181,00 N/mm2. Calcolo della capacità portante Nu: Nu

Vc · A

181, 00 ⋅ 7810 → 1413, 61 kN

173

6 Gli elementi presso-inflessi

6.1 Premessa

Figura 6.1 Tre casi di pressoflessione: a. per forza assiale non baricentrica; b. per azione assiale e carichi trasversali; c. dovuta alla continuità dei nodi trave-colonna.

Lo stato di sollecitazione di presso-flessione si ha quando l’elemento è soggetto a una forza assiale non baricentrica, ossia quando, per esempio: • la forza normale è applicata con eccentricità, e, nota rispetto al baricentro dell’asta (Figura 6.1a) e il valore di e è superiore a 1/1000 della luce dell’elemento. Nel caso in cui l’eccentricità sia inferiore, l’entità delle sollecitazioni indotte dalla flessione è estremamente ridotta e pertanto è lecito trascurarla; • l’asta compressa è anche soggetta ad azioni trasversali che inducono flessione (Figura 6.1b). Tipico esempio è quello di alcune travi dei sistemi pendolari o dei sistemi di controvento, interessate, oltre che dai carichi verticali, anche dalla forza assiale associata al trasferimento dell’azione del vento o del sisma, oppure quello dei correnti di strutture reticolari soggetti ad azioni verticali uniformemente distribuite (vedi Paragrafo 7.2); • l’asta compressa appartiene a un telaio a nodi rigidi o semicontinuo e riceve alle sue estremità azioni flettenti di continuità dai nodi trave-colonna (Figura 6.1c);

Quando il centro di pressione giace su uno dei due piani principali di inerzia della sezione, e quindi l’asse di sollecitazione è asse di simmetria della sezione, oppure è a questo ortogonale, si ha compressione e flessione monoassiale. Quando queste condizioni non sussistono, ossia il centro di pressione è esterno all’asse di flessione, si ha compressione e flessione biassiale (di seguito non considerata). Per elementi presso-inflessi devono essere condotte, in aggiunta all’e-

174

Capitolo 6

ventuale controllo di deformabilità in esercizio (vedi Paragrafo 6.2) per la condizione di carico allo stato limite di servizio, verifiche sia di resistenza (vedi Paragrafo 6.3) sia di stabilità (vedi Paragrafo 6.4) per le condizioni di carico agli stati limite ultimi. L’assenza di fenomeni di instabilità è comunque rara e di fatto le verifiche maggiormente significative (e penalizzanti) sono, nella maggior parte dei casi, proprio quelle di stabilità.

6.2 La deformabilità Negli elementi presso-inflessi orizzontali (travi di solaio o di copertura), come anche in quelli inflessi (vedi Paragrafo 4.2), la verifica di deformabilità deve essere riferita alle combinazioni di carico proprie degli stati limite di servizio. Generalmente, con riferimento alle travi che compongono l’orditura di solaio, l’elemento orizzontale è presso-inflesso nella fase di realizzazione dell’edifico mentre, nelle usuali condizioni di servizio, le azioni assiali associate al trasferimento delle forze orizzontali (vento e sisma) interessano prevalentemente la soletta. Possono tuttavia esistere situazioni particolari (per esempio, con travi di copertura o con travi appartenenti a sistemi di controvento) in cui la condizione di presso-flessione deve essere esplicitamente considerata nella fase di dimensionamento (Figura 6.2). L’abbassamento totale v può essere stimato in via approssimata amplificando lo spostamento associato alle forze verticali, vv , in funzione dell’azione assiale applicata all’elemento come: ⎛ P ⎞⎟ ⎛ 1 ⎞⎟ cr ⎟⎟ ⋅ v ⎟⎟ ⋅ v ⎜⎜⎜ vN ⎜⎜⎜ (6.1) ⎜⎜ P ⎟⎟⎟ v ⎝⎜⎜ Pcr − P ⎟⎟⎠ v ⎟ ⎜⎜ 1 − Pcr ⎟⎟⎠ ⎜⎝ in cui Pcr rappresenta il carico critico euleriano nel piano di flessione e P è l’azione assiale agente sull’elemento.

6.3 La resistenza Nel caso di sezione soggetta ad azione assiale P e ad azione flettente M, le verifiche in assenza di fenomeni di instabilità devono essere effettuate considerando la massima tensione, V, risultante dalla combinazione di azione normale (Equazione 3.1) e flessione (Equazione 4.7), ossia: M

P V=

+ A

W

(6.2)

Gli elementi presso-inflessi

in cui A rappresenta l’area della sezione trasversale, W il suo modulo di resistenza e ψ il coefficiente di adattamento plastico. Generalmente la verifica per tensioni normali non è necessaria, in quanto meno severa e penalizzante rispetto a quella per instabilità piana (vedi Paragrafo 6.4). Bisogna però tenere conto della presenza dell’azione assiale nelle sezioni in cui è massima l’azione tagliante e pertanto riferirsi a una condizione di verifica in cui siano contemporaneamente presenti tensioni normali e tangenziali (Equazione 4.15).

6.4 La stabilità

Figura 6.2 Configurazione deformata per instabilità piana (a) e flessotorsionale (b).

Le aste presso-inflesse possono instabilizzarsi secondo modalità diverse, dipendenti dalla geometria della sezione trasversale e dalle condizioni di vincolo. Una di queste modalità prevale nel definire la capacità portante della membratura. Nel caso tipico dei profilati delle serie IPE e HE, aventi sezioni doppiamente simmetriche in cui il centro di taglio coincide con il baricentro della sezione, si possono avere due forme tipiche di instabilità: • instabilità piana, se le condizioni di vincolo presenti impediscono lo sbandamento della flangia compressa, mediante l’inflessione dell’asta nel piano che contiene l’eccentricità del carico (Figura 6.2a); • instabilità flesso-torsionale, quando l’instabilità è accompagnata dallo sbandamento laterale tipico dello svergolamento (Figura 6.2b).

Se il centro di taglio e il baricentro della sezione non sono tra loro coincidenti, allora l’instabilità flesso-torsionale risulta generalmente determinante, anche nel caso di carico con modesta eccentricità.

175

176

Capitolo 6

6.5 Progetto e verifica di elementi presso-inflessi Nel caso di aste soggette ad azioni assiali di compressione P e a momento flettente M, bisogna tener conto della riduzione della capacità portante a compressione dell’asta a causa della flessione. Tale valutazione può a rigore essere condotta mediante formule di interazione basate su comprovati metodi teorici o sperimentali. Dal punto di vista normativo, vengono però proposti criteri semplificati, comunque generalmente cautelativi, di immediata applicabilità progettuale. Come visto nei capitoli precedenti, per gli elementi compressi (vedi Paragrafo 5.4) si effettua una verifica di stabilità, mentre per gli elementi inflessi, ai fini di un dimensionamento di massima può essere molte volte sufficiente la sola verifica di resistenza (vedi Paragrafo 4.3). Nel caso di elementi presso-inflessi lo stato tensionale risultante viene approssimato dalla somma di due contributi: il primo legato all’azione assiale e quindi condizionato dai fenomeni di instabilità, e il secondo legato al momento flettente. Mentre il carico assiale P è costante sull’elemento in tutta la sua lunghezza, la distribuzione delle azioni flettenti è generalmente variabile ed è quindi necessario riferirsi a un valore di momento opportuno, costante lungo tutta l’asta, Meq, già definito al Paragrafo 4.6 a proposito della verifica di instabilità degli elementi inflessi. Stabilità. Per quanto concerne le verifiche di stabilità, si possono impiegare, in assenza di più accurate valutazioni, o il metodo A o il metodo B. Il metodo A prevede che nel caso di aste prismatiche soggette a compressione NEd e a momenti flettenti Myeq,Ed e Mzeq,Ed agenti nei due piani principali di inerzia, in presenza di vincoli che impediscono gli spostamenti torsionali, risulti: N Ed Fmin A

fyk JM1

+

M yeq, Ed ⎛ N ⎞⎟ f ⎜ Wy ⎜⎜1 − Ed ⎟⎟⎟ yk ⎜⎜ N cr ,y ⎠⎟⎟ J M 1 ⎝

+

M zeq, Ed ⎛ N ⎞⎟ f ⎜ Wz ⎜⎜1 − Ed ⎟⎟⎟ yk (6.3a) ⎜⎜ N cr , z ⎟⎟⎠ J M 1 ⎝

in cui Fmin è il minimo fattore F relativo all’inflessione intorno agli assi principali di inerzia, A e W rappresentano rispettivamente l’area e il modulo di resistenza (elastico per le sezioni di classe 3 e plastico per le sezioni di classe 1 e 2), Ncr è il carico critico euleriano, Meq,Ed è il valore equivalente del momento flettente ed i pedici y e z sono relativi agli assi principali di inerzia. In accordo all’approccio presentato in precedenza, la 6.3a può essere

Gli elementi presso-inflessi

scritta, in termini tensionali come: N Ed

+

Fmin A

M yeq , Ed ⎛ N ⎞⎟ ⎜ Wy ⎜⎜1 − Ed ⎟⎟⎟ ⎜⎜ N cr ,y ⎟⎟⎠ ⎝

+

M zeq , Ed ⎛ N ⎜ Wz ⎜⎜1 − Ed ⎜⎜ N cr , z ⎝

⎛ f ⎞⎟ ⎜ ≤ fd ⎜⎜= yk ⎟⎟⎟ ⎜⎜ J ⎟⎟ ⎞⎟ ⎝ M1 ⎠ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎠

(6.3b)

La tensione di progetto da utilizzare è quella relativa alle verifiche di instabilià su elementi compressi (Tabella 5.5). Se il momento flettente varia lungo l’asta, per ogni asse principale di inerzia, si assume: M eq , Ed

(6.4)

1, 3 ⋅ M m , Ed

essendo Mm,Ed il valor medio del momento flettente, con la limitazione: (6.5)

0, 75 ⋅ M max, Ed ≤ M m , Ed ≤ M max, Ed

Nel caso di asta vincolata agli estremi, soggetta a momento flettente variabile linearmente tra i valori di estremità Ma e Mb (con |Ma|≥|Mb|, Figura 6.3), si può assumere per Meq,Ed il valore dato dall’espressione: M eq, Ed

0, 6 ⋅ M a − 0, 4 ⋅ M b ≥ 0, 4 ⋅ M a

Figura 6.3 Trave soggetta a momenti di estremità.

Ma

(6.6) Mb

Nel caso di instabilità flesso-torsionale deve essere verificato: N Ed Fmin A

fyk JM1

+

M yeq, Ed ⎛ N ⎞⎟ f ⎜ F LT ⋅ Wy ⎜⎜1 − Ed ⎟⎟⎟ yk ⎜⎜⎝ N cr ,y ⎠⎟ J M 1

+

M zeq, Ed ⎛ N ⎞⎟ f ⎜ Wz ⎜⎜1 − Ed ⎟⎟⎟ yk ⎜⎜⎝ N cr , z ⎟⎠ J M 1

≤1

(6.7) in cui FLT è il fattore di riduzione per l’instabilità flesso-torsionale, secondo la procedura semplificata riportata al § 4.5. Relativamente alla progettazione dell’elemento presso-inflesso, usualmente si individua la condizione di maggior impegno statico (compressione o flessione) e a questa ci si riferisce per la scelta dell’elemento. Per esempio, nel caso di una colonna si effettua la progettazione a compressione, mentre per una trave si considera la progettazione a flessione, includendo anche la condizione di deformabilità.

177

178

Capitolo 6: applicazioni

Applicazioni

Applicazione 6.1 Verifica di un una trave di copertura presso-inflessa

Si verifichi l’elemento di luce L = 4,8 m, indicato in Figura 6.4 (le quote riportate sono espresse in metri), realizzato con un profilo IPE 330 in acciaio S 275 e appartenente a una copertura di un sistema intelaiato pendolare. I carichi verticali sono dati dai seguenti contributi: carichi permanenti: Pg = 55 kN carichi accidentali: Pq = 28 kN I carichi orizzontali (assiali per la trave) sono dati dai seguenti contributi: carichi permanenti: Ng= 32 kN carichi accidentali: Nq= 90 kN Tutti i carichi permanenti sono stati considerati, in via conservativa, non strutturali. Figura 6.4 Elemento presso-inflesso oggetto di verifica.

Tabella 6.1 Caratteristiche dei materiali.

Materiale acciaio S 275

Tensioni di progetto Normale Tangenziale 2 fd = 261,90 N/mm Wd = 151,21 N/mm2

Procedura

Si considera dapprima lo stato limite di servizio e poi si effettuano, con le combinazioni di carico degli stati limite ultimi, la verifica di stabilità dell’elemento e la verifica ad azione assiale e taglio delle sezioni di estremità dell’elemento.

Gli elementi presso-inflessi

Soluzione

Nelle verifiche di seguito riportate si è trascurato il termine deformativo associato all’azione tagliante, in quanto L/H = 4 800/330 = 14,5. Tabella 6.2 Caratteristiche del profilo.

Profilo IPE 330 Momento di inerzia (asse forte) Momento di inerzia (asse debole) Modulo di resistenza (asse forte) Peso unitario Area del profilo Altezza profilo Larghezza profilo Spessore ali Spessore anima

Ix = 11 770 cm4 Iy = 788 cm4 Wx = 713 cm3 gt = 49,1 kg/m A = 62,6 cm2 H = 330 mm B = 160 mm tf = 11,5 mm tw = 7,5 mm

Stato limite di esercizio Calcolo dell’azione assiale: NSLE = Ng+Nq = 32+90 =122 kN Calcolo dell’abbassamento dovuto alle sole azioni verticali: 3

vv =

4 L 1 ( P + Pq ) Ls 5 gt Ls · + · g d s 48 200 384 EI EI

Sostituendo i valori numerici e assumendo come unità di misura i newton e i millimetri, si ha: 3⎤ 3 ⎡ 5 0, 491 ⋅ 4800 4 1 ⎢⎣(55 + 28) ⋅ 10 ⎥⎦ ⋅ 4800 v= ⋅ + ⋅ 384 210000 ⋅ (11770 ⋅ 10 4 ) 48 210000 ⋅ (11770 ⋅ 10 4 ) v = 0, 137 + 7, 737 = 7, 87 mm Calcolo del carico critico euleriano nel piano di flessione: Pcr

S 2 ⋅ 210000 ⋅ (11770 ⋅ 10 4 ) 4800 2

→ 10588 kN

Calcolo dell’abbassamento tenendo conto anche dell’azione assiale (Equazione 6.1): ⎛ ⎛ ⎞⎟ ⎞⎟ 1 1 ⎟⎟ ⋅ 7, 87 ⎟⎟ v ⎜⎜ vN ⎜⎜⎜ ⎜⎜ 122 ⎟⎟⎟ N SLE ⎟⎟⎟ v ⎜⎜⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 1 − ⎜⎜ 1 − ⎝ 105 588 ⎟⎠ ⎜⎝ Pcr ⎟⎟⎠ ⎛ L ⎞⎟⎟ 7, 96 mm ≤ 24 mm ⎜⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ 200 ⎟⎟⎠ La verifica di deformabilità è soddisfatta

179

180

Capitolo 6: applicazioni

Stato limite ultimo Calcolo dell’azione assiale di progetto allo stato limite ultimo: NSLU = 1,5 ⋅ Ng+1,5 ⋅ Nq = 183,0 kN PSLU = 1,5 ⋅ Pg+1,5 ⋅ Pq = 124,5 kN Calcolo della snellezza massima del profilo: O

L0

4800

135, 3

U min

7880000 / 6260 Calcolo della snellezza relativa: O

135, 3

Op

86, 81

1, 56

Si valuta il coefficiente ω facendo riferimento alla curva b e si procede per interpolazione dei valori riportati: c 0,3422 0,3079

λ/λp 1,5 1,6

ω 2,9220 3,2478

Con interpolazione lineare tra i valori 1,5 e di 1,6 si ottiene: O Op

1, 56 o F

0, 322 o Z

3, 104

Calcolo del momento equivalente Meq sommando il contributo equivalente dei carichi distribuiti (Meq,ud ) e quello dovuto all’azione concentrata Meq,c : M ed = M eq, ud + M eq,c M eq = 0, 867 ⋅

(1, 3 ⋅ 0, 491) ⋅ 4, 8 2

+ 0, 75 ⋅

8 = 1,5 59 + 112, 05 = 113, 64 kNm

124, 5 ⋅ 4, 8

=

4

Verifica per l’instabilità piana 3, 104 ⋅ (183 ⋅ 10 3 ) 62, 6 ⋅ 10 2

+

113, 64 ⋅ 106 ≤ fd ⎛ 183 ⎞⎟⎟ 3 ⎜ (713 ⋅ 10 ) ⋅⎜⎜1 − ⎟ ⎜⎝ 10588 ⎟⎠

90, 74 + 162, 18 = 252, 93 N/mm 2 d 261, 90 N/mm 2 (= fd )

Gli elementi presso-inflessi

Verifica ad azione assiale e taglio Calcolo delle tensioni normali associate all’azione assiale allo stato limite ultimo (NSLU): V

N SLU

183 ⋅ 1000

A

6260

29, 23 N/mm 2

Calcolo delle tensioni tangenziale associata all’azione tagliante massima allo stato limite ultimo (TSLU): TSLU =

1, 3 ⋅ gt Ls

+

1, 5 Pg + 1, 5 Pq

=

2 2 = 1, 53 + 62, 25 = 63, 78 kN

W

TSLU

63, 78 ⋅ 1000

Av

1, 04 ⋅ 330 ⋅ 7, 5

24, 78 N/mm 2

Verifica per tensioni normali e tangenziali: 2 2 § V ·¸ § W ·¸ ¨¨ ¸ + ¨¨ ¸ d 1 ¨¨ V ¸¸¸ ¨¨ W ¸¸¸ © d¹ © d¹ 2

2

§ 29, 23 ·¸ § 24, 78 ·¸ ¨¨ ¸ = 0, 0125 + 0, 0269 = 0, 0394 < 1 ¸ + ¨¨ ¨¨© 261, 9 ¸¸¹ ¨¨© 151, 21 ¸¸¸¹ Il profilo è verificato

Applicazione 6.2 Proporzionamento di una trave presso-inflessa di solaio

Si progetti e si verifichi l’elemento di luce L = 8 m indicato in Figura 6.5 (le quote riportate sono espresse in metri), appartenente a un’orditura di solaio di un sistema pendolare. Si scelga un profilo della serie HEA in acciaio Fe 360. I carichi uniformemente distribuiti sono dati dai seguenti contributi: carichi permanenti: g = 11 kN/m carichi accidentali: q = 6 kN/m I carichi concentrati (orizzontali per la trave) sono dati dai seguenti contributi: carichi permanenti: Ng = 52 kN carichi accidentali: Nq = 163 kN

181

182

Capitolo 6: applicazioni

A favore di sicurezza si ipotizza che i carichi permanenti siano di tipo non strutturale. Figura 6.4 Elemento pressoinflesso oggetto di proporzionamento.

Tabella 6.3 Caratteristiche dei materiali.

Materiale acciaio S 235

Tensioni di progetto Normale Tangenziale fd = 223,81 N/mm2 Wd = 129,22 N/mm2

3URFHGXUD

La progettazione viene effettuata considerando la sola flessione. La verifica viene eseguita con riferimento allo stato limite di servizio di deformabilità e agli stati limite ultimi di instabilità e di resistenza per taglio e azione assiale. Soluzione

Progetto della trave: si considera soltanto la condizione di flessione e pertanto la progettazione viene condotta in accordo a quanto proposto al Paragrafo 4.5.1. ⎛ 5 ⋅ 300 ⎞⎟ ( q) L3 ⎟⎟ ⋅ I min ⎜⎜⎜ ⎜⎝ 384 ⎟⎠ E I min

⎛ 5 ⋅ 300 ⎞⎟ (6, 00) ⋅ 8000 3 ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ 384 ⎟⎟ ⋅ 210000 ⎠ ⎝

5714, 3 ⋅ 10 4 mm 4

Wmin =

3 ( g + q) L2 ⋅ fd 16

Wmin =

3 (11, 00 + 6, 00) ⋅ 8000 2 ⋅ = 911, 5 ⋅ 10 3 mm 3 16 223, 81

Con riferimento ai profili riportati nella Tabella A.2 dell’Appendice A, al requisito associato alla deformabilità corrisponde un profilo HEA 240 o superiore mentre a quello associato alla resistenza corrisponde un profilo HEA 280. Poiché l’elemento è comunque soggetto anche ad azione assiale, si sceglie un profilo superiore a quello minimo che soddisfa le condizioni di deformabilità, e in particolare un profilo HEA 300.

Gli elementi presso-inflessi

Tabella 6.4 Caratteristiche del profilo.

Profilo hea 300 Momento di inerzia secondo l’asse forte Momento di inerzia secondo l’asse forte Modulo di resistenza Peso unitario Altezza profilo Larghezza profilo Spessore ali Spessore anima

Ix=18 260 cm4 Iy=6310 cm4 W=1260 cm3 g=88,3 kg/m H=290 mm b=300 mm t=14 mm t=8,5 mm

Verifica della trave Nelle verifiche di seguito riportate si è trascurato il termine deformativo associato all’azione tagliante in quanto L/H = 8 000/290 = 27,6.

Stato limite di servizio Calcolo dell’azione assiale: NSLS=Ng+Nq=52+163=215 kN Calcolo dell’abbassamento dovuto alle sole azioni verticali: v

v

5

⋅

384

( q) L4 EI

5 ⋅

≤

L 300

6 ⋅ 8000 4

384 210000 ⋅ (18260 ⋅ 10 4 )

8, 345 mm

Calcolo del carico critico euleriano nel piano di flessione: S 2 ⋅ 210000 ⋅ (18260 ⋅ 10 4 )

→ 5913, 4 kN 8000 2 Calcolo dell’abbassamento tenendo conto anche dell’azione assiale (Equazione 6.1): ⎛ ⎛ ⎞⎟ ⎞⎟ 1 1 ⎟⎟ ⋅ v ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 8, 345 vN ⎜⎜⎜ v ⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ 215 ⎟⎟⎟ N SLS ⎟⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ 1 − ⎜⎜ 1 − ⎝ 591 13, 4 ⎟⎠ ⎜⎝ Pcr ⎟⎟⎠ ⎛ L ⎞⎟⎟ 8, 66 mm ≤ 26, 67 mm ⎜⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ 300 ⎟⎠ Pcr

Stato limite ultimo Calcolo dell’azione assiale di progetto allo stato limite ultimo: NSLU = 1,5Ng+1,5Nq = 322,5 kN

183

184

Capitolo 6: applicazioni

Calcolo della snellezza massima del profilo: L0

O

800

107, 06

U min

6310 / 113 Calcola della snellezza relativa: O

107, 06

Op

93, 91

1, 14

Si valuta il coefficiente Z facendo riferimento alla curva c, procedendo per interpolazione dei valori riportati: F 0,4842 0,4338

O/Op 1,1 1,2

Z 2,0651 2,3054

Con interpolazione lineare tra i valori 1,1 e di 1,2 si ottiene: O

1, 14 o F

Op

M eq = 0, 867 ⋅

0, 4640 o Z

2, 1612

[1, 3 ⋅ 0, 883 + 1, 5 ⋅ 11 + 1, 5 ⋅ 6 ] ⋅ 8 2 8

m = 184, 85 kNm

Verifica per l’instabilità piana Z· N SLU

M eq

+

A

W ·(1 −

2, 1612 ⋅ 322, 5 ⋅ 10 3 113 ⋅ 10 2

N SLU Pcr +

≤ fd

)

184, 85 ⋅ 106 = ⎛ 322, 5 ⎞⎟⎟ 3 ⎜ (1260 ⋅ 10 ) ⋅⎜⎜1 − ⎟ ⎝⎜ 5913, 4 ⎟⎠

= 61, 68 + 155, 15 = 216, 85 N/mm 2 < 223, 81 N/mm 2 (= fd )

Verifica ad azione assiale e taglio Calcolo delle tensioni normali associate all’azione assiale allo stato limite ultimo (NSLU): N SLU

322, 5 ⋅ 10 3

28, 54 N/mm 2 A 113 ⋅ 10 2 Calcolo delle tensioni tangenziali associate all’azione tagliante massima allo stato limite ultimo (TSLU): V

Gli elementi presso-inflessi

TSLU =

(1, 3 ⋅ gt + 1, 5 ⋅ g) ⋅ L 2

+

1, 5 ⋅ q ⋅ L 2

= 70, 6 + 36 = 106, 6 kN

Verifica per tensione normale e tangenziale: 2 2 § V ·¸ § W ·¸ ¨¨ ¸ + ¨¨ ¸ d 1 ¨¨ V ¸¸¸ ¨¨ W ¸¸¸ © d¹ © d¹ 2

2

§ 28, 53 ·¸ § 41, 58 ·¸ ¨¨ ¸ ¸ ¨ ¨¨ 223, 81 ¸¸ + ¨¨¨ 128, 58 ¸¸ = 0, 0162 + 0, 104 = 0, 120 < 1 ¹ © ¹ © Il profilo è verificato

185

Capitolo 6: applicazioni

187

7 Le travi reticolari

7.1 Premessa Le membrature singole hanno caratteristiche geometriche strettamente vincolate alle loro modalità di realizzazione e quindi alla gamma di prodotti disponibili mediante processi di laminazione a caldo o di presso-piegatura a freddo (vedi Paragrafo1.4.1). Benchè questi prodotti trovino un esteso utilizzo nelle costruzioni civili e industriali, a volte le loro caratteristiche statiche non sono adeguate all’utilizzo richiesto, ovvero non rappresentano la soluzione economicamente o prestazionalmente più conveniente. Per esempio, nei comuni profilati laminati a doppio T le ali contribuiscono in misura preponderante alla definizione del momento d’inerzia della sezione e pertanto condizionano la deformabilità e lo stato tensionale associato alla flessione; l’azione tagliante è invece sostenuta principalmente dall’anima del profilato stesso. A parità di materiale impiegato nelle ali, un aumento dell’altezza del profilo provoca quindi un non trascurabile incremento del momento d’inerzia e pertanto una riduzione della deformabilità e dei valori associati allo stato tensionale normale. Per contro si ha un peso del profilo comunque più elevato per il maggiore quantitativo di materiale necessario per realizzare la sua anima. In aggiunta, si precisa che i più tradizionali profili laminati a caldo, detti anche a parete piena, presentano la limitazione di essere prodotti con dimensioni trasversali (e in particolare altezza e larghezza delle ali) vincolate alle caratteristiche dei treni di laminazione. A tutt’oggi, non sono disponibili profili IPE di altezza superiore a 600 mm e profili di tipo HE di altezza superiore a 1100 mm. Pur essendo utilizzabili anche profili accoppiati, intervengono a volte non trascurabili problemi di peso che rendono improponibile il loro utilizzo (il profilo IPE 600 ha un peso di 122 kg/m, il profilo HEA 1000 di 272 kg/m, il profilo HEB 1000 di 314 kg/m e il profilo HEM 1000 di 349 kg/m). Con elementi di grande luce, o con carichi di rilevante entità, oppure quando si manifestano entrambe le condizioni, è spesso conveniente utilizzare profili composti, ossia elementi ottenuti collegando tra loro, in modo trasversalmente discontinuo, membrature singole opportu-

188

Capitolo 7

namente distanziate per garantire prestazioni adeguate con un non trascurabile contenimento di peso dell’elemento portante. A fronte dei vantaggi che caratterizzano questi tipi di membrature, occorre tenere conto che, confrontando a parità di richieste prestazionali un elemento composto con uno a parete piena, generalmente il primo ha un ingombro maggiore, una minore rigidezza trasversale a causa della sensibile influenza del contributo deformativo associato all’azione tagliante e un costo più alto per le lavorazioni necessarie per la sua realizzazione. I profili composti si distinguono in aste composte e travi reticolari, intendendo le prime interessate prevalentemente da azione assiale e le seconde soggette a carichi trasversali. Le aste composte (Figura 7.1) sono formate da due o più correnti (profili continui lungo l’intero sviluppo dell’elemento composto) distanziati e opportunamente collegati tra loro in modo discontinuo; ogni corrente può, a sua volta, essere realizzato con uno o più profili collegati tra loro. Il campo preferenziale di utilizzo di questa tipologia di elementi è quello in cui si hanno lunghezze di libera inflessione elevate e al contempo carichi di non rilevante entità. La risposta globale di una membratura composta dipende dalla deformabilità per flessione e taglio. La deformabilità per flessione è legata al momento di inerzia della sezione composta, mentre quella per taglio è prevalentemente imputabile alla deformabilità delle componenti e dei collegamenti. La capacità portante degli elementi composti è principalmente influenzata da: • comportamento globale dell’elemento; • comportamento locale delle singole componenti; • tipi di collegamento tra le componenti ed entità delle azioni che li impegnano. A seconda del tipo di collegamento è possibile distinguere: • aste tralicciate (Figura 7.1a), costituite da correnti collegati tra loro mediante un traliccio, in cui ogni tratto di corrente può, in genere, essere considerato come un’asta isolata, semplicemente compressa e avente lunghezza di libera inflessione pari all’interasse dei collegamenti; • aste calastrellate (Figura 7.1b), costituite da correnti collegati tra loro mediante lamiere rettangolari (calastrelli), in cui i correnti sono compressi e inflessi;

Le travi reticolari

189

• aste abbottonate (Figura 7.1c), costituite da correnti ravvicinati tra i quali vengono interposte lamiere in acciaio. Figura 7.1 Esempi di aste composte: asta tralicciata (a), asta calastrellata (b) e asta abbottonata (c).

L’attenzione è di seguito prestata alle travi reticolari, ossia a sistemi di aste collegate alle estremità con vincoli schematizzati come cerniere (Figure 7.2 e 7.3). Figura 7.2 Componenti principali di una trave reticolare: correnti, montanti e diagonali.

190

Capitolo 7

7.2 Introduzione alle travi reticolari Le componenti fondamentali delle travi reticolari sono: • i correnti (detti anche briglie) che possono essere considerati equivalenti alle ali dei profili a parete piena; • le aste di parete, dette anche aste di traliccio, che vengono a loro volta distinte in: - montanti se disposti verticalmente oppure ortogonalmente ad almeno un corrente; - diagonali se non soddisfano la precedente condizione; • i collegamenti tra gli elementi che compongono la trave reticolare, tipicamente distinti in nodi di attacco delle aste di parete e in giunti di corrente. I nodi di attacco servono per collegare le estremità di ogni asta di parete ai correnti. I giunti di corrente (Figura 7.3) si hanno in tutti quei casi in cui la trave reticolare sia preparata in tronchi in stabilimento e assemblata in opera. Figura 7.3 Giunti di corrente nella trave reticolare.

Una prima classificazione delle tipologie di travi reticolari può essere fatta in base alla posizione dei correnti. In dettaglio, è possibile individuare: • travi reticolari con correnti paralleli (Figura 7.4), particolarmente utilizzate negli edifici civili e nella realizzazione di ponti, viadotti e passerelle pedonali. Gli elementi diagonali nelle travi Warren sono alternatamene tesi o compressi, nelle travi Pratt sono tesi mentre nelle travi Linville sono compressi; • travi reticolari con correnti non paralleli (Figura 7.5), particolarmente diffuse negli edifici industriali per la realizzazione delle capriate.

Le travi reticolari

Figura 7.4 Travi reticolari con correnti paralleli.

Figura 7.5 Travi reticolari di tipo Pratt con correnti non paralleli.

Le travi reticolari, indipendentemente dai dettagli che realizzano i collegamenti (saldature o bullonature), sono usualmente dimensionate sulla base di uno schema che considera ogni asta incernierata alle sue estremità. L’adozione di un simile modello di calcolo risulta a favore di sicurezza a patto che siano soddisfatte le seguenti condizioni: • per tutte le aste compresse deve essere assunta una lunghezza di libera inflessione nel piano della trave pari alla distanza tra i vincoli ideali di cerniera; • lo schema della trave deve essere tracciato con riferimento agli assi baricentrici e ci deve essere sempre totale rispondenza tra il modello di calcolo e la struttura realizzata. Gli assi baricentrici di tutti gli elementi concorrenti in un nodo devono quindi incontrarsi dove è stata ipotizzata la cerniera. Nel caso in cui ciò non venga garantito (Figura 7.6), possono nascere azioni taglianti e flettenti di entità non trascurabile che, se non debitamente conteggiate nella progettazione, riducono anche perico-

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192

Capitolo 7

losamente la capacità portante dell’elemento composto reticolare, usualmente dimensionato considerando soltanto l’azione assiale. Figura 7.6 Dettagli del nodo di attacco e schemi di calcolo.

Nella Figura 7.7 sono presentate le soluzioni più ricorrenti per la realizzazione delle travi reticolari a correnti paralleli. In dettaglio, è possibile osservare: • trave con correnti a T e diagonali realizzate con tondi (a); • trave con correnti a T e diagonali realizzati con angolari o con profili a C (b); • trave in profili leggeri ottenuti da lamiere sottili sagomate a freddo (c); • trave con profili tubolari cavi (d); • trave reticolare realizzata da angolari (e); • trave reticolare con correnti costituiti da profili a C accoppiati e aste di parete realizzate con angolari (f ); • trave reticolare con correnti a doppio T e aste di parete realizzate con profili a C accoppiati (g); • trave reticolare realizzata da profili a doppio T (h). Un criterio di classificazione delle travi reticolari in acciaio a correnti paralleli, è quello basato sul rapporto di trasparenza, definito come [1-(a/h)] essendo a l’ingombro totale dei correnti e h e l’altezza della trave composta. Si hanno: • travi reticolari con trasparenze alte (indicativamente pari a 0,90); • travi reticolari con trasparenze medie (circa 0,80); • travi reticolari con trasparenze basse (circa 0,70). Come nel caso delle tradizionali travi a parete piena, la fase di progettazione delle travi reticolari deve essere condotta con riferimento a: • stato limite di servizio relativo alle condizioni di deformabilità; • stato limite ultimo di resistenza relativo allo stato tensionale di tutte le componenti (aste e collegamenti); • stato limite ultimo di instabilità degli elementi compressi e presso-inflessi della trave reticolare e dell’intero corrente compresso.

Le travi reticolari

Figura 7.7 Dettagli di alcune comuni tipologie di travi reticolari.

7.3 Proporzionamento delle travi reticolari Come già accennato, le travi reticolari sono sistemi di aste singole opportunamente vincolate alle loro estremità. Nel caso in cui questi vincoli siano cerniere, ogni asta si comporta come una biella e pertanto con carichi applicati ai nodi di attacco (Figura 7.8a): lo stato di sforzo che viene indotto in ogni asta è quindi puramente assiale. Nel caso invece di carichi uniformemente distribuiti sul corrente (per esempio quello superiore nella Figura 7.8b), le aste che lo realizzano sono soggette anche a flessione e taglio, mentre quelle di parete e quelle del corrente inferiore sono soggette a forza assiale. In aggiunta alla resistenza delle membrature e dei collegamenti, un parametro molto importante nel proporzionamento delle travi reticolari è costituito dalla loro deformabilità, ossia dall’entità dello spostamento trasversale.

193

194

Capitolo 7

Figura 7.8 Condizioni di carico per travi reticolari: concentrato ai nodi (a) e distribuito sul corrente superiore (b).

7.3.1 Deformabilità delle travi reticolari

La normativa impone, per le travi reticolari come già per gli altri elementi a parete piena, limiti di spostamento ben definiti (vedi Paragrafo 4.2). Lo spostamento trasversale, nel caso di travi reticolari, può essere determinato mediante metodi raffinati come quelli propri del calcolo automatico delle strutture o come il principio dei lavori virtuali (vedi Paragrafo 7.3.1), oppure mediante trattazioni approssimate come il metodo dell’anima equivalente (vedi Paragrafo 7.3.1). Un importante contributo in termini di spostamento, caratteristico delle travi reticolari con collegamenti bullonati, è quello associato agli scorrimenti foro-bullone. Una stima di questo contributo tipicamente anelastico, denominato di seguito vFB, può essere ottenuta come somma di un’aliquota dovuta agli assestamenti dei giunti dei correnti, vC , e una dovuta ai nodi di attacco agli estremi delle diagonali, vD. Lo spostamento vFB può essere stimato mediante l’espressione: vFB = vC + vD =

n L L L ⋅ ⋅ (I − d) + ⋅ d ⋅ (I − d) 6 p p h

(7.1)

in cui (φ-d ) rappresenta la differenza tra il diametro del foro e quello del bullone (gioco foro-bullone), n è il numero totale dei giunti nei correnti di tipo a sovrapposizione (i giunti con coprigiunto valgono 2), L e h sono rispettivamente luce e altezza della trave reticolare, p il passo dei nodi delle aste di parete e Ld la lunghezza delle diagonali (Figura 7.3). Il principio dei lavori virtuali

Con riferimento a travi reticolari internamente ed esternamente isostatiche, anche a correnti non paralleli, lo spostamento trasversale massimo può essere determinato in modo diretto, applicando il principio dei lavori virtuali (plv)e considerando soltanto i contributi energetici relativi all’allungamento o all’accorciamento delle aste. Lo spostamento trasversale v della sezione d’interesse (ossia quella sezione di cui si vuole conoscere l’abbassamento) è dato da: m

v

¦ i 1

N i N i1 Li Ei Ai

(7.2)

Le travi reticolari

dove m rappresenta il numero delle aste, E il modulo di elasticità del materiale, mentre Ai e li sono rispettivamente l’area e la lunghezza dell’i-esima asta. I termini Ni e Ni1 rappresentano i valori delle azioni interne relative rispettivamente alla condizione di carico data per la struttura reticolare (Figura 7.9a) e a quella della struttura ausiliaria, o di servizio, (Figura 7.9b), caricata da una forza unitaria applicata (F = 1) nella sezione di interesse. Figura 7.9 Calcolo dell’abbassamento mediante il PLV: struttura principale con F =1, e struttura di servizio.

Il metodo dell’anima equivalente

Nel caso di strutture reticolari isostatiche con correnti paralleli, il metodo semplificato dell’anima equivalente prevede la stima di v come: v = vI + vII

(7.3)

essendo vI l’abbassamento massimo di una trave fittizia costituita da due masse concentrate, fornite dalle aree dei correnti, e vII l’abbassamento legato alla deformabilità a taglio e basato sulla valutazione dell’area dell’anima equivalente AW. Il termine vII può essere valutato come: vII

M0 G ⋅ AW

(7.4)

in cui G rappresenta il modulo di elasticità tangenziale (pari a E/2,6) e M0 la differenza tra il valore del momento flettente agente nella sezione di interesse e quello nella sezione di vincolo. Nel caso della trave in semplice appoggio con carico verticale simmetrico, il termine M0 è relativo all’azione flettente agente nella sezione d’interesse; riferendosi invece alla mensola nella Figura 7.9, deve essere considerato il valore del momento flettente nella sezione di vincolo. In termini generali, il contributo AW può essere stimato, con riferimento al campo tipo rappresentato in Figura 7.10, come:

195

196

Capitolo 7

cotg T1 + cotg T2 (7.5) ⎤ ⎡ 1 1 ⎢ ⎥ + ⎥ ⎢ 3 3 ⎣⎢ Ad1 ⋅ sin T1 Ad 2 ⋅ sin T2 ⎥⎦ in cui θ1 e θ2 rappresentano gli angoli di inclinazione sull’orizzontale delle diagonali d1 e d2 di area rispettivamente Ad1 e Ad2 . AW = 2, 6 ⋅

Figura 7.10 Tipica maglia della struttura reticolare.

Nel caso di traliccio a V simmetrico, ossia θ1 = θ2 = θ e Ad1 = Ad2 = Ad (Figura 7.11), il termine AW diventa: AW

1, 3 Ad ⋅

L0 h 2 3 d

2, 6 Ad ⋅ sin 2 T ⋅ cos T

L Se θ = 45° allora si ha AW = 0,919 Αd.

(7.6)

Figura 7.11 Trave reticolare con correnti inclinati di 45° (traliccio a V simmetrico).

Nel caso del traliccio a N mostrato nella Figura 7.12, con Ad1 = Ad2 = Ad , il termine AW vale invece: L 2, 6 Ad 0 h = 2, 6 Ad cotgT AW = (7.7) Ad Ad L3d 1 + + At sin 3 T At h 3 Se θ = 45° allora si ha AW = 0,679 Αd. Figura 7.12 Trave reticolare con montante e corrente inclinato (traliccio a N).

Le travi reticolari

7.3.2 La resistenza delle travi reticolari

Le verifiche di resistenza degli elementi che compongono la trave reticolare vengono effettuate sulla base dei criteri presentati nei capitoli precedenti relativi agli elementi singoli. Nel caso di elementi compressi o presso-inflessi, devono essere effettuate anche le verifiche di stabilità sia sull’elemento del singolo campo (ossia nel tratto di elemento delimitato da due nodi di attacco contigui) sia sull’intero tratto di corrente compresso. Quest’ultima verifica di seguito non viene considerata. 7.3.3 La stabilità delle travi reticolari

Le verifiche di stabilità devono essere condotte in accordo ai principi presentati nel Capitolo 5. La lunghezza di libera inflessione, Le,v , nel piano della capriata viene usualmente assunta come la distanza tra i due vincoli ideali di cerniera. Gli elementi compressi possono sbandare anche fuori dal piano della capriata e pertanto si rende necessario valutare la pertinente lunghezza di libera inflessione, Le,h, fuori piano dell’intero corrente (Figura 7.13b), che dipende dall’orditura tridimensionale della struttura. La limitazione di Le,h , può essere eseguita mediante i controventi orizzontali di piano o di copertura (Figura 7.14a), inserendo una specifica controventatura longitudinale Figura 7.14b), oppure vincolando i punti inferiori con quelli superiori della trave reticolare (Figura 7.14c) tramite elementi diagonali che sono impegnati a trazione a seconda della direzione in cui tende a verificarsi lo sbandamento. Figura 7.13 Forme di instabilità di correnti compressi in travi reticolari.

197

198

Capitolo 7

Figura 7.14 Tipiche controventature per correnti compressi di travi reticolari.

7.4 Progettazione di travi reticolari La progettazione delle travi reticolari può essere condotta sulla base delle regole già presentate per gli elementi singoli e in particolare per quelli inflessi (vedi Paragrafo 4.4). L’altezza è usualmente compresa tra 1/20 e 1/10 della sua luce e il numero di campi è generalmente pari. In particolare, ipotizzando come primo tentativo che gli elementi dei correnti e delle aste di parete siano uguali tra loro, è possibile dimensionare la trave reticolare riferendosi all’elemento più sollecitato a compressione, sulla base quindi dei risultati conseguenti all’analisi della struttura per la combinazione di carico allo stato limite ultimo, in accordo alla procedura proposta al Paragrafo 5.3. In alternativa è possibile, sulla base delle limitazioni dello spostamento associato alla condizione di servizio, determinare il valore dell’area minima. In questo caso è però conveniente scegliere un profilo di area abbondantemente superiore (almeno doppia o tripla di quella minima) e quindi effettuare le verifiche di resistenza e di stabilità. Nel caso in cui gli elementi della travatura reticolare siano realizzati accoppiando profilati singoli (casi c, e, f, nella Figura 7.7), le verifiche devono essere condotte riferendosi alle proprietà geometriche della sezione composta. I profilari forniscono le caratteristiche geometriche del singolo elemento, mentre quelle del profilo composto vengono valutate sulla base delle regole proprie della geometria delle masse.

Le travi reticolari

In dettaglio, con riferimento alla sezione composta indicata nella Figura 7.15 e realizzata con due profili a C uguali tra loro e distanziati da una piastra di spessore S interposta almeno in corrispondenza dei nodi di attacco, riferendo i pedici c e s rispettivamente all’elemento composto e a quello singolo, si ha: Ac I x ,c

2 ⋅ As 2 ⋅ I x,s

(7.8) (7.9)

2⎤ ⎡ ⎛ ⎢ S ⎞⎟⎟ ⎥ ⎜ I y,c = 2 ⋅ ⎢ I y,s + As ⋅ ⎜⎜ xg + ⎟ ⎥ (7.10) ⎢ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎥⎦ ⎣ in cui A e I rappresentano rispettivamente l’area e il momento d’inerzia, xG è la distanza tra il baricentro della sezione dell’elemento singolo e il filo esterno dell’anima e S lo spessore della piastra interposta.

Nella Tabella A.6 dell’Appendice A sono riportate le caratteristiche geometriche dei profilati a C accoppiati con piastre di diverso spessore (8 mm, 10 mm e 12 mm). Figura 7.15 Sezione composta da profili a C e piastra interposta.

Per quelle componenti per le quali le verifiche risultino ampiamente soddisfatte, può essere allora conveniente ridurre poi l’area della sezione trasversale, ripetendo però, oltre alle verifiche di resistenza e stabilità, anche quella di deformabilità. Per quest’ultima, se i nodi di attacco sono realizzati con dettagli bullonati è necessario considerare anche il contributo dovuto agli scorrimenti anelastici nei nodi di attacco e in quelli di corrente (Equazione 7.1).

199

200

Capitolo 7: applicazioni

Applicazioni

Applicazione 7.1 Calcolo dell’abbassamento di una trave reticolare

Si valuti l’abbassamento massimo della trave indicata nella Figura 7.16. Si ipotizzano briglie, montanti ed elementi diagonali realizzati con il medesimo profilo e quindi con le aree delle sezioni trasversali uguali tra loro e pari ad A. Figura 7.16 La trave reticolare oggetto dell’applicazione.

Procedura

Si esprime la lunghezza della trave (L) in funzione della altezza della trave reticolare (h) e quindi si procede alla valutazione dell’abbassamento dapprima utilizzando il principio dei lavori virtuali (a) e successivamente il metodo dell’anima equivalente (b). Soluzione

a) principio dei lavori virtuali Si valutano le azioni interne Ni mediante le equazioni di equilibrio alle traslazioni orizzontale e verticale, ottenendo i valori riportati nella Figura 7.17.

Figura 7.17 Reazioni vincolari e azioni interne.

Le travi reticolari

Si procede quindi all’analisi della struttura caricata nella sezione di mezzeria da una forza unitaria (Figura 7.18) e si valutano le azioni interne NiI ottenendo i valori riportati nella Figura 7.19. Figura 7.18 Struttura di servizio.

Figura 7.19 Reazioni vincolari e azioni interne della struttura di servizio. 0,5

1

Si valuta quindi lo spostamento trasversale verticale nella sezione di mezzeria v in base all’Equazione 7.2: m

v

¦

N i N i1 Li

i 1

Ei Ai

in cui m rappresenta il numero delle aste, E il modulo di elasticità del materiale e li la lunghezza generica asta i-esima (pari a h per i montanti, 3h per i correnti e h√10 per gli elementi diagonali). Si separano, per comodità computazionale, i contributi degli elementi che compongono la trave reticolare: v = vCS + vCI + vM + vD in cui QCS indica il contributo dovuto al corrente superiore, QCI quello del corrente inferiore, QM quello dei montanti e QD quello delle diagonali. vCS =

3h

[(13, 5 qh ⋅ 1, 5) ⋅ 2 + (18 qh ⋅ 3) ⋅ 2 ] = 445, 5

qh 2

EA EA qh 2 3h vCI [(13, 5 qh ⋅ 1, 5) ⋅ 2 ] 121, 5 EA EA h vM = [(6 qh ⋅ 0, 5) ⋅ 2 + (4, 5 qh ⋅ 0, 5) ⋅ 2 + (3 qh ⋅ 1)] = EA qh 2 = 13, 5 EA

201

202

Capitolo 7: applicazioni

3, 162 h

vD =

EA

= 189, 7

[(14, 23 qh ⋅ 1, 581) ⋅ 2 + (4, 743 qh ⋅ 1, 581) ⋅ 2 ] =

qh 2 EA

v = vCS + vCI + vM + vD =

770, 2 qh 2 EA

b) metodo dell’anima equivalente Si procede alla determinazione dell’abbassamento mediante il metodo dell’anima equivalente, determinando dapprima l’area dell’anima equivalente e poi valutando i contributi allo spostamento. L’angolo θ relativo all’inclinazione della diagonale rispetto all’asse della trave vale 18,4349°, ossia θ = 18° 26’ 06” e quindi cotgθ = 3 e sinθ = 0,316. In base alla simbologia presentata nella Figura 7.20 si ha: Figura 7.20 Maglia tipo della trave reticolare.

Lo

AW =

2, 6 A ⋅ cotg T 1+

=

1 sin 3 T

2, 6 A ⋅ 3 = 0, 239 A ⎛ 1 ⎞⎟ ⎜ ⎟ 1 + ⎜⎜ ⎜⎝ 0, 316 3 ⎟⎟⎠

In modo analogo AW può essere determinato in base alla geometria del campo tipo: L0

3h h = 0, 239 A h = AW = 3 (3, 162 h )3 Ad Ld 1+ + 3 h3 At h L’abbassamento v è stimato come somma del contributo deformativi dei correnti (vI) e di quello di diagonali e montanti (vII) come: 2, 6 Ad

2, 6 Ad

v = vI + vII

vI vII

qL4

5

⋅

384 E [ 2 A( h / 2)2 ]

384 EI 1 qL2 ⋅ 8 GAw

q(12 h )4

5

⋅

q(12 h )2

1 ⋅

8 E / 2, 6 ⋅ 0, 239 A

540 ⋅ 195, 8 ⋅

qh 2 EA qh 2 EA

Le travi reticolari

v = vI + vII = 735, 8

qh 2 EA

Si osservi che il metodo dell’anima equivalente in questo caso sottostima leggermente lo spostamento della trave reticolare (circa del 5%) rispetto al principio dei lavori virtuali.

Applicazione 7.2 Proporzionamento di una trave reticolare di copertura con carichi uniformemente distribuiti.

Si progettino le travi reticolari (di luce pari a 15 m e poste a un interasse di 10 m) di copertura di un capannone industriale, la cui pianta è riportata nella Figura 7.21. I carichi uniformemente distribuiti (pedice ud) che interessano la copertura, comprendendo anche il suo peso proprio, sono: • carico permanente uniformemente distribuito per unità di superficie: gud = 800 N/m2; • carico accidentale uniformemente distribuito per unità di superficie: qud = 1 800 N/m2.

Si ipotizzino le travi reticolari realizzate da profili a C accoppiati in acciaio S355, le cui tensioni di progetto sono riportate in Tabella 7.1. Figura 7.21 Pianta dell’edificio oggetto dell’applicazione.

Procedura Tabella 7.1 Caratteristiche dei materiali.

Materiale acciaio S355

Tensioni di progetto Normale Tangenziale fd = 338,10 N/mm2 Wd = 195,20 N/mm2

La progettazione viene effettuata ipotizzando la trave reticolare caricata in corrispondenza dei nodi di attacco del corrente superiore, con riferimento alla condizione di deformabilità. Le verifiche di resistenza e di stabilità sono riferite alle effettive condizioni di carico agenti sugli elementi e tenendo conto del peso proprio della trave reticolare.

203

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Capitolo 7: applicazioni

Soluzione

Essendo l’interasse delle travi reticolari pari a 10 m, e ipotizzando la lamiera direttamente appoggiata sul corrente superiore, su ogni trave reticolare agiranno i seguenti carichi (distribuiti per unità di lunghezza): g = gud · i = 1800 · 10 = 8 000 N/m q = qud · i = 1800 · 10 = 18 000 N/m Progetto

Si sceglie una trave reticolare (Figura 7.22) con traliccio a N, diagonali inclinate di 45° sull’orizzontale e rapporto L/h pari a 12 (l’altezza h è quindi pari a 1,25 m) e si ipotizzano gli elementi che realizzano correnti, diagonali e montanti tutti della medesima sezione trasversale (quindi con la medesima area). Figura 7.22 Geometria della trave reticolare scelta.

Essendo la trave reticolare composta da un numero sufficiente di maglie, la condizione di carico uniformemente distribuito sul corrente superiore può essere semplificata considerando azioni concentrate equivalenti applicate nei nodi di attacco (Figura 7.23). Questa semplificazione è particolarmente conveniente quando si determinano le azioni interne per le verifiche di resistenza e d’instabilità degli elementi e per le verifiche di resistenza dei nodi (in questa applicazione non considerate). Figura 7.23 Carico nodale equivalente.

h=1,25 m

La progettazione viene effettuata determinando l’area dei profili che compongono la trave reticolare in base alla sola condizione di deformabilità in servizio e facendo quindi riferimento a un carico p, uniformemente distribuito sul corrente superiore, pari a: p = g + q = 8 000 + 18 000 = 26 000 N/m = 26 N/mm

Le travi reticolari

Applicando il metodo dell’anima equivalente (Equazione 7.3) si ha: v = vI + vII Considerando la condizione di carico uniformemente distribuito, il contributo di deformabilità dovuto alla trave fittizia a parete piena, essendo θ = 45° in quanto L0 = h e Ld = 1,4142h, è: vI

pL4

5

p(12 h )4

5

⋅

⋅

384 E [ 2 A( h / 2)2 ]

384 EI

540 ⋅

ph 2 EA

Lo

Figura 7.24 Maglia tipo della trave reticolare.

L’area equivalente dell’anima, AW, è valutata in accordo alla simbologia introdotta nella Figura 7.24 e vale: L h 2, 6 Ad 0 2, 6 A h = h = 0, 679 A AW = Ad L3d A ( h / 2 )3 + + At h 3 A h2 In modo analogo, il termine AW può essere determinato mediante le formule trigonometriche come: 2, 6 Ad cotg T 2, 6 A ⋅ 1 AW = = = 0, 679 A Ad A 1 1 + + A ( 2 / 2)3 At sin 3 T essendo cot θ = 1 e sinθ = 1,4142/2. Il contributo di deformabilità dovuto ai montanti e alle diagonali della trave reticolare vale: vII

1 pL2 ⋅ 8 GAw

p(12 h )2

1 8

⋅

E ⋅ 0, 679 A 2, 6 L’abbassamento totale v vale quindi: v = vI + vII = 608, 91

ph 2 EA

68, 91 ⋅

ph 2 EA

205

206

Capitolo 7: applicazioni

Imponendo la condizione che sia raggiunto il limite di spostamento ammesso dalla vigente normativa per la copertura in presenza dei carichi permanenti e di quelli accidentali, si ha: 608, 91

ph 2

L

12 h

EAmin

200

200

Dall’equazione precedente si ottiene l’area minima degli elementi della trave reticolare, Amin, data da: Amin

10149

ph E

10149

26 ⋅ 1250

1571 mm 2

210000

In base alla Tabella A.5 dell’Appendice A, si scelgono due profili a C da 160 accoppiati della serie UPN, collegati in corrispondenza dei nodi di attacco da una piastra di spessore S = 10 mm (Figura 7.25). Figura 7.25 Sezione composta degli elementi della trave reticolare.

Ogni profilo UPN 160 ha le seguenti caratteristiche: Caratteristiche profilo UPN 160 Momento di inerzia secondo l’asse baricentrico parallelo alle ali (Ix) Momento di inerzia secondo l’asse baricentrico parallelo all’anima (Iy) Modulo di resistenza secondo l’asse baricentrico parallelo alle ali (Wx) Area (A) Peso unitario (gt) Distanza tra il baricentro del profilo e la sua anima (xG) Altezza profilo (H) Larghezza delle ali (bf) Spessore ali (tf) Spessore anima (tw) Tabella 7.2 Caratteristiche del profilo.

925,0 cm4 85,1 cm4 116,0 cm4 24,0 cm2 18,9 kg/m 18,4 mm 160,0 mm 65,0 mm 10,5 mm 7,5 mm

9HULÀFD

Si stima il peso proprio della trave reticolare, Gt, considerando lo sviluppo lineare dei correnti, quello dei montanti e quello delle diagonali. Posto gt il peso unitario di un profilo UPN 160 si ha: Gt = [(2 · 15) + (13 · 1,25) + (12 · 1,25 · √2)] · (2 · gt) Gt = 67,46 · (2 · 0,189) = 25,5 kN

Le travi reticolari

Ai fini della determinazione della freccia e delle azioni interne, il peso proprio della trave reticolare, gt, si considera in via semplificata uniformemente spalmato soltanto sul corrente superiore e si ha: gt = Gt/15 = 25,5 · 1000/15 = 1700 N/m

Verifiche allo stato limite di servizio (deformabilità) I carichi agenti sulla trave risultano superiori a quelli assunti in fase di progettazione a causa del peso proprio della trave stessa: gr = gt + gud · i = 1700 + 800 · 10 = 9 700 N/m = 9,7 N/mm q = qud · i = 1800 · 10 = 18 000 N/m = 18 N/mm Il carico p, uniformemente distribuito sul corrente superiore, vale: p = gr + q = 9,7 + 18 = 2 7,7 N/mm L’abbassamento valutato mediante il metodo dell’anima equivalente vale: v

608, 91

( 27, 7) ⋅ 1250 2

210000 ⋅ ( 2 ⋅ 2400) ⎛ L ⎞⎟⎟ 26, 15 mm ≤ 75 mm ⎜⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ 200 ⎟⎠

La verifica di deformabilità è ampiamente soddisfatta, essendo il profilo di area abbondantemente superiore (quasi 4,5 volte) a quella minima ottenuta nella progettazione. Questa verifica non poteva comunque essere omessa in quanto obbligatoria da normativa.

Verifiche allo stato limite ultimo Per le verifiche allo stato limite ultimo (resistenza ed instabilità) è con-

veniente risolvere la struttura imponendo l’equilibrio tra forze attive e forze reattive e poi determinando le condizioni di equilibrio in corrispondenza di ogni nodo d’attacco (Figura 7.26). Le azioni interne sono state determinate riferendosi a metà struttura. Figura 7.26 Azioni interne per la condizione di carico nodale.

207

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Capitolo 7: applicazioni

I carichi nodali applicati valgono: G = 1,3 · (gt + g) · h = 1,3 ·[1700 + (800 · 10)] · 1,25 = 15762,5 N Q = 1,5 · q · h = 1,5 · (1800 · 10) · 1,25 = 33 750 N L’azione nodale F valutata allo stato limite ultimo vale quindi: F = G + Q = 15762,5 + 33 750 = 49512,5 N

Verifica sull’elemento di corrente soggetto alla massima forza di trazione, Nmax,T In base ai risultati dell’analisi strutturale risulta: N max ,T VN

17, 5 ⋅ F

17, 5 ⋅ 49, 513

N max ,T

866, 48 ⋅ 10 3

Ae

2 ⋅ 2400

866, 48 kN

180, 52 N/mm 2 ≤ 338, 1 N/mm 2 ( fd )

Verifica sull’elemento di montante soggetto alla massima forza di compressione, Nmax,C In base ai risultati dell’analisi strutturale risulta: N max ,C

6⋅ F

6 ⋅ 49, 513

297, 08 kN

Ogni elemento della trave reticolare è composto da due profilati a C e pertanto è necessario determinare le caratteristiche inerziali della sezione composta. Momento di inerzia secondo un asse baricentrico parallelo alle ali, Ix,c: I x ,c

2 ⋅ Ix

2 ⋅ 925

1850 cm 4

Modulo di resistenza secondo un asse baricentrico parallelo alle ali, Wx,c: Wx ,c

2 ⋅ Wx

2 ⋅ 116

232 cm 3

Momento di inerzia secondo un asse baricentrico parallelo alle anime, Iy,c: 2⎤ ⎡ ⎛ ⎢ S ⎞⎟⎟ ⎥ ⎜ I y,c = 2 ⋅ ⎢ I y + A ⋅ ⎜⎜ xG + ⎟⎟ ⎥ ⎝ ⎢⎣ 2 ⎠ ⎥⎦ I y,c = 2 ⋅ [ 85, 1 + 24 ⋅ (1, 84 + 0, 5)2 ] = 433 cm 4 La verifica dell’elemento compresso viene condotta in accordo a quanto proposto al Capitolo 5.

Le travi reticolari

Calcolo della snellezza secondo l’asse x (parallelo alle ali): L0 1250 Ox 20, 13 U x ,c (1850 ⋅ 10 4 ) ( 2 ⋅ 2400) Calcolo della snellezza secondo l’asse y (parallelo all’asse di simmetria del profilo): L0 1250 Oy 41, 62 U y ,c (433 ⋅ 10 4 ) ( 2 ⋅ 2400) Si considera quindi la snellezza massima, Oy, e si valuta la snellezza relativa: Oy 41, 62 0, 545 O p 76, 41 Si valuta il coefficiente Z facendo riferimento alla curva c, procedendo per interpolazione dei valori riportati: F 0,8430 0,7854

O/Op 0,5 0,6

Z 1,1863 1,2733

Con interpolazione lineare tra i valori 0,5 e di 0,6 si ottiene: O 0, 545 o F 0, 8171 o Z 1, 2239 Op La tensione limite Vc è pari a 276,30 N/mm2 Verifica per instabilità: N max ,C

V

297, 08 ⋅ 10 3

A 2 ⋅ 2400 61, 89 N/mm 2 ≤ 276, 30 N/m mm 2 ( Vc )

Verifica sull’elemento di corrente presso-inflesso soggetto alla massima azione di compressione, Nmax,PF In base ai risultati dell’analisi strutturale risulta: N max , PF

18 ⋅ F

18 ⋅ 49, 513

891, 23 kN

La verifica dell’elemento presso-inflesso viene condotta in accordo a quanto proposto al Capitolo 6, ossia mediante la seguente formula: Z⋅ N A

+

M eq ⎛ N ⎞⎟⎟ W ⋅ ⎜⎜⎜1 − ⎟ ⎜⎝ N cr ⎟⎟⎠

≤ fd

209

210

Capitolo 7: applicazioni

in cui Z rappresenta il coefficiente di amplificazione del carico, da valutare in base ai criteri di verifica per gli elementi compressi, A e W rispettivamente l’area e il modulo di resistenza della sezione, Ncr il carico critico euleriano nel piano di flessione e fd la resistenza di progetto del materiale. Vengono di seguito determinati i termini necessari per la verifica. Calcolo del carico critico euleriano nel piano di flessione: S 2 ⋅ 210000 ⋅ (1850·10 4 )

⇒ 24540 kN 1250 2 Calcolo del momento flettente equivalente: il corrente nel tratto delimitato da due nodi di attacco successivi si può considerare un elemento in semplice appoggio con carico uniformemente distribuito. In accordo a quanto visto al Paragrafo 4.5, si determina il momento equivalente come: N cr

M eq = 0, 867 ⋅ M max = 0, 867

M eq = 0, 867

[1, 3( gt + g) + 1, 5 q ] ⋅ L2 8

[1, 3 ⋅ (1, 7 + 8) + 1, 5 ⋅ 18 ] ⋅ 1250 2 8

1, 2239 ⋅ 891, 23 ⋅ 10 3

+

2 ⋅ 2400

= 6, 707 kNm

6, 707 ⋅ 106 ≤ fd ⎛ 891, 23 ⎞⎟⎟ 3 ⎜ ( 232 ⋅ 10 ) ⋅ ⎜⎜1 − ⎟ ⎝ 24540 ⎟⎠

227, 24 + 30, 0 = 257, 24 mm 2 d 338, 1 mm 2 (= fd )

Verifica della sezione del corrente presso-inflesso soggetta alla massima azione assiale, Nmax,PF e di taglio TPF

In base ai risultati dell’analisi strutturale risulta: N max , PF TPF = =

18 ⋅ F

18 ⋅ 49, 523

891, 23 kN

[1, 3 ⋅ ( gt + g) + 1, 5 ⋅ q ] ⋅ Ls

= 2 [1, 3 ⋅ (1, 7 + 8) + 1, 5 ⋅ 18]] ⋅ 1250 2

= 24756 N

Calcolo delle tensioni normali associate all’azione assiale: V

N max , PF

891, 23 ⋅ 10 3

A

2 ⋅ 2400

185, 67 N/mm 2

Le travi reticolari

Calcolo delle tensioni tangenziali associate all’azione tagliante massima: W

TPF

24756

Av

2 ⋅ 1, 04 ⋅ 160 ⋅ 7, 5

9, 92 N/mm 2

Il coefficiente moltiplicativo pari a 2 è dovuto al profilo composto da due anime, ognuna delle quali associata a un profilo a C. Verifica per tensione normale e tangenziale: 2 2 § V ·¸ § W ·¸ ¨¨ ¸ + ¨¨ ¸ d 1 ¨¨ V ¸¸¸ ¨¨ W ¸¸¸ © d¹ © d¹ 2

2

§ 185, 67 ·¸ § 9, 92 ·¸ ¨¨ ¸ ¨ ¸ ¨¨© 338, 1 ¸¸¹ + ¨¨¨© 195, 2 ¸¸¹ = 0, 302 + 0, 003 = 0, 305 d 1 Si omettono le verifiche sugli elementi diagonali tesi, in quanto meno penalizzanti rispetto a quella effettuata per il corrente compresso. Il profilo risulta verificato

Applicazione 7.3 Proporzionamento di una trave reticolare di solaio.

Si progetti la trave reticolare di solaio rappresentata nella Figura 7.27. I carichi concentrati permanenti (Pg ) e accidentali (Pq ) che interessano la trave reticolare hanno i seguenti valori: Pg = 20 kN Pq = 35 kN

Le componenti della trave reticolare (corrente superiore, corrente inferiore, montanti e diagonali) si ipotizzano realizzate con il medesimo profilo. Figura 7.27 La trave reticolare oggetto dell’applicazione.

Procedura

Si basa la progettazione sulla condizione di deformabilità, determinando l’area incognita sia con il metodo dell’anima equivalente (a) sia con quello basato sul principio dei lavori virtuali (b). Si sceglie di utilizzare un profilo composto con elementi a C accoppiati in acciaio S 235 (le cui caratteristiche meccaniche sono riportate nella Tabella

211

212

Capitolo 7: applicazioni

7.3). Si effettua quindi la verifica considerando gli stati limite sia di servizio sia ultimi. Si assume h = 3 m. Tabella 7.3 Caratteristiche dei materiali.

Materiale acciaio S 235

Tensioni di progetto Normale Tangenziale fd = 223,81 N/mm2 τd = 129,22 N/mm2

Progetto

a) metodo dell’anima equivalente Si determina il valore dell’area equivalente AW. L’angolo θ vale 26,565°, ossia θ = 26° 33’ 54” e quindi cotg θ = 2 e sinθ = 0,447. In base alla simbologia presentata nella Figura 7.28 si ha:

2, 6 Ad AW =

L0

h = 2, 6 A ⋅ cotg T 1 Ad L3d 1+ + 3 sin 3 T At h

Figura 7.28 Maglia tipo della trave reticolare.

2⋅ h h = 2, 6 A ⋅ 2 = 0, 426 ⋅ A AW = 1 ( h 5 )3 1 + 1+ 3 (0, 447)3 h 2, 6 A ⋅

L’abbassamento v è stimato come somma del contributo deformativi dei correnti (vI) e di quello di diagonali e montanti (vII) come: v = vi + vII Essendo il carico concentrato applicato simmetricamente in tre sezioni della trave con geometria simmetrica, per la determinazione di vI viene fatto riferimento, in via semplificata, a un’azione equivalente uniformemente ripartita sul corrente superiore della trave reticolare. Come conseguenza della limitazione della normativa sulla deformabilità delle travi di solaio, si considera soltanto il contributo legato alle azioni accidentali qeq definito come:

Le travi reticolari

qeq

3 ⋅ Pq 8⋅ h 3 ⋅ Pq

4

⋅ (8 ⋅ h )4

Ph ⋅ 8⋅h 40 ⋅ q 2 384 EI 384 E [ 2 A( h / 2) ] EA Il momento M0 viene valutato tenendo in conto anche le reazioni vincolari dovute alla reale condizione di carico (Figura 7.29) e vale: vI

M0 vII

qeq L

5

5

⋅

3 2

⋅ Pq ⋅ (4 ⋅ h ) − Pq ⋅ ( 2 ⋅ h )

M0

4 ⋅ Pq h

GAw

E / 2, 6 ⋅ 0, 426 ⋅ A

v = vI + vII = 64, 413 ⋅

4 ⋅ Pq ⋅ h 24, 413 ⋅

Pq h EA

Pq h EA

Imponendo la condizione che sia raggiunto il limite di spostamento ammesso dal solaio in presenza dei soli carichi accidentali, si ha: 64, 413 ⋅

Pq h

L

8⋅ h

EA

250

250

Si ottiene l’area minima degli elementi della trave reticolare, data da: Amin

2013

Pq E

2013

35 ⋅ 1000 210000

335, 5 mm 2

b) Principio dei lavori virtuali Si determinano le azioni interne (azioni assiali Ni) della struttura assumendo l’intensità delle forze concentrate pari a F (in modo da potere utilizzare i risultati della distribuzione delle azioni interne anche per la successiva fase di verifica). Si ottengono i valori delle azioni interne riportate nella Figura 7.29.

Figura 7.29 Azioni interne per la condizione di carico data.

F

3,3

54

F

F/2

0,5 F

213

214

Capitolo 7: applicazioni

Si procede quindi all’analisi della struttura caricata nella sezione di mezzeria da una forza unitaria (Figura 7.30). Si valuta quindi lo spostamento trasversale verticale nella sezione di mezzeria v separando i contributi degli elementi che compongono la trave reticolare: v = vCS + vCI + vM + vD in cui vCS indica il contributo dovuto al corrente superiore, vCI quello del corrente inferiore, vM quello dei montanti e vD quello delle diagonali. Figura 7.30 Azioni interne nella struttura di servizio.

0,5 F

vCS =

2h EA 2h

vCI

EA

vM =

vD =

⋅ [(3 F ⋅ 1) ⋅ 2 + (4 F ⋅ 2) ⋅ 2 ] = 44

⋅ [(3 F ⋅ 1) ⋅ 2 ]

12

Fh EA

Fh EA

⎤ ⎛ 3 F 1 ⎞⎟ Fh h ⎢⎡⎛⎜ 3 F 1 ⎞⎟⎟ ⋅ ⎢⎜⎜ ⋅ ⎟⎟ ⋅ 2 + ⎜⎜⎜ ⋅ ⎟⎟⎟ ⋅ 2 + ( F ⋅ 1)⎥⎥ = 4 ⎝ 2 2⎠ EA EA ⎣⎝ 2 2 ⎠ ⎦ 2, 236 h EA

= 22, 361 ⋅

[(3, 354 F ⋅ 1, 118) ⋅ 2 + (1, 118 F ⋅ 1, 118) ⋅ 2 ] = Fh

EA Sommando i contributi si ottiene: v = vCS + vCI + vM + vD =

82, 361 Fh EA

Imponendo la condizione che sia raggiunto il limite di spostamento ammesso per le strutture di piano in presenza dei soli carichi accidentali, si ha: Ph 8⋅h L 82, 359 ⋅ q EAmin 250 250

Le travi reticolari

Si ottiene l’area minima Amin degli elementi della trave reticolare, data da: Amin

82, 359

250 Pq

429, 0 mm 2

8 E Si osservi che il metodo approssimato fornisce un’area inferiore circa del 28% rispetto a quello ottenuto con il principio dei lavori virtuali. La differenza tra i risultati associati ai due differenti approcci è dovuta prevalentemente al ridotto numero di campi (in totale 4) che realizzano la trave reticolare (e che rendono quindi il metodo dell’anima equivalente estremamente approssimativo) e alla semplificazione che viene operata assimilando le forze concentrate a un’azione uniformemente distribuita sulla trave reticolare per la stima del contributo vI. Figura 7.31 Sezione composta degli elementi della trave reticolare.

Tabella 7.4 Caratteristiche del profilo.

Si scelgono due profili a C da 120 accoppiati della serie UPN, collegati in corrispondenza dei nodi di attacco da una piastra di spessore S = 10 mm (Figura 7.31). Ogni profilo UPN 120 ha le seguenti caratteristiche:

Caratteristiche profilo UPN 120 Momento di inerzia secondo l’asse baricentrico parallelo alle ali (Ix) Momento di inerzia secondo l’asse baricentrico parallelo all’anima (Iy) Area (A) Peso unitario (gt) Distanza tra il baricentro del profilo e la sua anima (xG) Altezza profilo (H) Larghezza delle ali (bf) Spessore ali (tf) Spessore anima (tw)

Verifica

364,0 cm4 43,1 cm4 17,0 cm2 13,3 kg/m 16,1 mm 120,0 mm 65,0 mm 9,0 mm 7,0 mm

Si stima un peso proprio totale della trave reticolare, considerando il contributo dei correnti, quello dei montanti e quello delle diagonali, assumendo come unità di misura i newton e i millimetri, dato da: Gt = [(2 · 24) + (5 · 3) + (4 · √45)] · 103 · (2 · gt) Gt = 89 833 · (2 · 0,133) = 23 896 N

215

216

Capitolo 7: applicazioni

Verifiche allo stato limite di servizio (deformabilità) Si applicano i risultati ottenuti dai due metodi considerati nella progettazione per la stima del massimo abbassamento. a) metodo dell’anima equivalente: P ⋅h v 64, 413 ⋅ q EA (35 ⋅ 1000) ⋅ 3000 9, 47 mm 64, 413 ⋅ 210000 ⋅ 2 ⋅ (17 ⋅ 100)] b) principio dei lavori virtuali: 82, 361 ⋅ Pq ⋅ h 82, 361 ⋅ (35 ⋅ 1000) ⋅ 3000 v 17 ⋅ 100)] EA 210000 ⋅ 2 ⋅ (1 12, 11 mm Si osservi che, con entrambi gli approcci, la verifica di deformabilità è ampiamente soddisfatta, essendo il limite di deformabilità pari a 96 mm (L/250), in quanto il profilo composto scelto è di area abbondantemente superiore a quella minima ottenuta nella progettazione.

Verifiche allo stato limite di ultimo I carichi nodali applicati, approssimando il contributo del peso proprio della trave reticolare con tre forze concentrate applicate nelle tre sezioni su cui insistono i carichi concentrati, valgono: ⎛G ⎞⎟ ⎜ F = 1, 3 ⋅ ⎜⎜ t + Pg ⎟⎟⎟ + 1, 5 ⋅ Pq = ⎜⎝ 3 ⎠ ⎛ 23, 896 ⎞⎟ = 1, 3 ⋅ ⎜⎜ + 20⎟⎟⎟ + 1, 5 ⋅ 35 = 88, 86 kN ⎜⎝ 3 ⎠ Le conseguenti azioni interne a seguito della risoluzione della struttura sono determinate in base a quanto riportato nella Figura 7.29.

Verifica sull’elemento diagonale soggetto alla massima forza di trazione, Nmax,T In base ai risultati dell’analisi strutturale risulta: N max ,T VN

3, 35 ⋅ F

3, 35 ⋅ 88, 86

N max ,T

297, 5 ⋅ 10 3

Ae

2 ⋅ (17 ⋅ 100)

297, 5 kN

87, 54 N/mm 2 ≤ 223, 81 N/mm 2 ( fd )

Verifica sull’elemento di corrente soggetto alla massima forza di compressione, Nmax,C

Le travi reticolari

In base ai risultati dell’analisi strutturale risulta: N max ,C

4⋅ F

4 ⋅ 88, 86

355, 44 kN

Il profilo che realizza ogni elemento della trave reticolare è composto da due profilati a C e pertanto è necessario determinare le caratteristiche inerziali della sezione composta: Momento di inerzia secondo un asse baricentrico parallelo alle ali, Ix,c: I x ,c

2 ⋅ Iy

2 ⋅ 364

728 cm 4

Momento di inerzia secondo un asse baricentrico parallelo alle anime, Iy: 2⎤ ⎡ ⎛ ⎢ S ⎞⎟⎟ ⎥ ⎜ I y,c = 2 ⋅ ⎢ I y + A ⋅ ⎜⎜ xG + ⎟⎟ ⎥ ⎝ ⎢⎣ 2 ⎠ ⎥⎦ I y,c = 2 ⋅ [ 43 + 17 ⋅ (1, 61 + 0, 5)2 ] = 237, 5 cm 4

Tabella 7.5 Caratteristiche del profilo.

La verifica dell’elemento compresso viene condotta in accordo a quanto proposto nel Capitolo 5, ossia mediante i seguenti passaggi, considerando la snellezza secondo y (parallelo all’asse di simmetria): L0 6000 227, 02 Oy U y ,c ( 237, 5 ⋅ 10 4 ) [ 2 ⋅ (17 ⋅ 10 2 )] Essendo la snellezza abbondantemente superiore al valore di 200 (limite esplicitamente dato dalla normativa per gli elementi compressi), si cambia il profilo adottando il profilo UNP 200. La piastra di attacco ha spessore S = 10 mm. Ogni profilo UPN 200 ha le seguenti caratteristiche:

Caratteristiche profilo UPN 200 Momento di inerzia secondo l’asse baricentrico parallelo alle ali (Ix) Momento di inerzia secondo l’asse baricentrico parallelo all’anima (Iy) Area (A) Peso unitario (gt) Distanza tra il baricentro del profilo e la sua anima (xG) Altezza profilo (H) Larghezza delle ali (bf) Spessore ali (tf) Spessore anima (tw)

Verifica

1911,0 cm4 148,0 cm4 32,2 cm2 25,3 kg/m 20,1 mm 200,0 mm 75,0 mm 11,5 mm 8,5 mm

Si stima un peso proprio totale della trave reticolare, considerando il contributo dei correnti, quello dei montanti e quello delle diagonali, dato da: Gt = [(2 · 24) + (5 · 3) + (4 · √45)] · 103 · (2 · gt)

217

218

Capitolo 7: applicazioni

Gt = 89 833 · (2 · 0,253) = 45 455 N

Verifiche allo stato limite ultimo Si effettua in primo luogo solo la verifica di resistenza e nel caso in cui questa (che è la più limitativa) sia soddisfatta, si effettuano tutte le altre verifiche. I carichi nodali applicati, approssimando il contributo del peso proprio della trave reticolare con tre forze concentrate applicate nelle tre sezioni su cui insistono i carichi concentrati, valgono: ⎛G ⎞⎟ ⎜ F = 1, 3 ⋅ ⎜⎜ t + Pg ⎟⎟⎟ + 1, 5 ⋅ Pq = ⎜⎝ 3 ⎠ ⎛ 45, 455 ⎞⎟ = 1, 3 ⋅ ⎜⎜ + 20⎟⎟⎟ + 1, 5 ⋅ 35 = 98, 20 kN ⎜⎝ 3 ⎠

Verifica sull’elemento di corrente soggetto alla massima forza di compressione, Nmax,C In base ai risultati dell’analisi strutturale risulta: N max ,C

4⋅ F

4 ⋅ 98, 20

392, 79 kN

Il profilo che realizza ogni elemento della trave reticolare è composto da due profilati a C e pertanto è necessario determinare le caratteristiche inerziali della sezione composta: Momento di inerzia secondo un asse baricentrico parallelo alle ali, Ix,c: I x ,c

2 ⋅ Ix

2 ⋅ 1911

3822 cm 4

Momento di inerzia secondo un asse baricentrico parallelo alle anime, Iy,c: 2⎤ ⎡ ⎛ ⎢ S ⎞⎟⎟ ⎥ ⎜ I y,c = 2 ⋅ ⎢ I y + A ⋅ ⎜⎜ xG + ⎟⎟ ⎥ ⎝ ⎢⎣ 2 ⎠ ⎥⎦ I y,c = 2 ⋅ [148 + 32, 2 ⋅ ( 2, 01 + 0, 5)2 ] = 701, 7 cm 4 La verifica dell’elemento compresso viene condotta in accordo a quanto proposto nel Capitolo 5, ossia mediante i seguenti passaggi, considerando la snellezza secondo y (parallelo all’asse di simmetria): Oy

L0 U y ,c

6000 (701, 7 ⋅ 10 4 ) [ 2 ⋅ (32, 2 ⋅ 10 2 )]

Si valuta la snellezza relativa:

181, 76

Le travi reticolari

Oy

181, 76

Op

93, 91

1, 94

Si valuta il coefficiente Z facendo riferimento alla curva c, in quanto il profilo è composto. Procedendo per interpolazione dei valori riportati, si ha: O/Op 1,9 2,0

F 0,2141 0,1962

Z 4,6700 5,0973

Con interpolazione lineare si ottiene Fc = 0,2069 da cui si ha la tensione limite Vc = 46,32 N/mm2. Verifica per instabilità: VN

N max ,C

392, 79 ⋅ 10 3

2 ⋅ 3220 A 60, 99 N/mm 2 ! 46, 32 N/m mm 2 ( Vc ) La verifica dell’elemento compresso non è soddisfatta e quindi si sceglie un profilo superiore e in particolare, un profilo composto formato da due UPN 240. Ogni profilo UPN 240 ha le seguenti caratteristiche: Caratteristiche profilo UPN 240 Momento di inerzia secondo l’asse baricentrico parallelo alle ali (Ix) Momento di inerzia secondo l’asse baricentrico parallelo all’anima (Iy) Area (A) Peso unitario (gt) Distanza tra il baricentro del profilo e la sua anima (xG) Altezza profilo (H) Larghezza delle ali (bf) Spessore ali (tf) Spessore anima (tw) Tabella 7.6 Caratteristiche del profilo.

3599,0 cm4 247,0 cm4 42,3 cm2 33,2 kg/m 22,4 mm 240,0 mm 85,0 mm 13,0 mm 9,5 mm

Verifica

Si stima un peso proprio totale della trave reticolare, considerando il contributo dei correnti, quello dei montanti e quello delle diagonali, dato da: Gt = [(2 · 24) + (5 · 3) + (4 · √45)] · 103 · (2 · gt) Gt = 89 833 · (2 · 0,332) = 59 649 N Si ripetono tutte le verifiche, anche se quella di deformabilità e di resistenza a trazione saranno sicuramente soddisfatte, essendo positiva la verifica già con il profilo composto dagli UPN 120.

Verifiche allo stato limite di servizio (deformabilità)

Si applicano i risultati ottenuti dai due metodi considerati nella pro-

219

220

Capitolo 7: applicazioni

gettazione per la stima del massimo abbassamento. a) metodo dell’anima equivalente: v

64, 413 ⋅ 64, 413 ⋅

Pq EA (35 ⋅ 1000) ⋅ 3000 42, 3 ⋅ 100)] 210000 ⋅ [ 2 ⋅ (4

3, 81 mm

b) principio dei lavori virtuali: 82, 361 ⋅ Pq ⋅ h 82, 361 ⋅ (35 ⋅ 1000) ⋅ 3000 v EA 210000 ⋅ [ 2 ⋅ (42, 3 ⋅ 100)]

4, 87 mm

Si osservi che, con entrambi gli approcci, la verifica di deformabilità è ampiamente soddisfatta (il limite di deformabilità, L/250, vale 96 mm) in quanto il profilo è di area abbondantemente superiore a quella minima ottenuta nella progettazione.

Verifiche allo stato limite ultimo I carichi nodali applicati, approssimando il contributo del peso proprio della trave reticolare con tre forze concentrate applicate nelle tre sezioni su cui insistono i carichi concentrati, valgono: ⎛G ⎞⎟ ⎜ F = 1, 3 ⋅ ⎜⎜ t + Pg ⎟⎟⎟ + 1, 5 ⋅ Pq = ⎜⎝ 3 ⎠ ⎛ 59, 649 ⎞⎟ = 1, 3 ⋅ ⎜⎜⎜ + 20⎟⎟⎟ + 1, 5 ⋅ 35 = 104, 35 kN ⎝ 3 ⎠

Verifica sull’elemento diagonale soggetto alla massima forza di trazione, Nmax,T In base ai risultati dell’analisi strutturale risulta: N max ,T VN

3, 35 ⋅ F

3, 35 ⋅ 104, 35

N max ,T

349, 57 ⋅ 10 3

Ae

2 ⋅ (42, 3 ⋅ 100)

349, 57 kN

41, 32 N/mm 2 ≤ 223, 81 N/mm 2 ( fd )

Verifica sull’elemento di corrente soggetto alla massima forza di compressione, Nmax,C In base ai risultati dell’analisi strutturale risulta: N max ,C

4⋅ F

4 ⋅ 104, 35

417, 4 kN

Il profilo che realizza ogni elemento della trave reticolare è composto

Le travi reticolari

da due profilati a C e pertanto è necessario determinare le caratteristiche inerziali della sezione composta: Momento di inerzia secondo un asse baricentrico parallelo alle ali, Ix,c: I x ,c

2 ⋅ Ix

2 ⋅ 3599

7198 cm 4

Momento di inerzia secondo un asse baricentrico parallelo alle anime, Iy,c: 2⎤ ⎡ ⎛ ⎢ S ⎞⎟⎟ ⎥ ⎜ I y,c = 2 ⋅ ⎢ I y + A ⋅ ⎜⎜ xG + ⎟⎟ ⎥ ⎝ ⎢⎣ 2 ⎠ ⎥⎦ I y,c = 2 ⋅ [ 247 + 42, 3 ⋅ ( 2, 24 + 0, 5)2 ] = 1129, 1 cm 4 La verifica dell’elemento compresso viene condotta in accordo a quanto proposto nel Capitolo 5, ossia mediante i seguenti passaggi, considerando la snellezza secondo y (parallelo all’asse di simmetria): L0

Oy

U y ,c

6000

164, 23 4

(1128, 5 ⋅ 10 ) [ 2 ⋅ (42, 3 ⋅ 10 2 )]

Si valuta la snellezza adimensionalizzata: Oy 164, 23 1, 75 93, 91 Op Si valuta il coefficiente Z facendo riferimento alla curva c, in quanto il profilo è composto. Procedendo per interpolazione dei valori riportati, si ha: F 0,2577 0,2345

O/OS 1,7 1,8

Con interpolazione lineare si ottiene F = 0,2461 da cui si ha la tensione limite Vc = 55,08 N/mm2. Verifica per instabilità:

V

N max ,C

417, 4 ⋅ 10 3

A 2 ⋅ 4230 49, 3 N/mm 2 ≤ 55, 08 N/mm 2 ( Vc ) Il profilo risulta verificato

221

223

8 Le unioni bullonate

8.1 Premessa In passato, i collegamenti di elementi metallici erano realizzati con chiodature o rivettature (Figura 8.1a). Queste tecniche di unione prevedono che gli organi di collegamento, ossia chiodi e rivetti (Figura 8.1b-d), siano introdotti nel foro dell’elemento adeguatamente riscaldati (fino al raggiungimento del colore rosso vivo, corrispondente a una temperatura compresa tra i 750 °C e gli 850 °C) e successivamente vengano ribattuti con opportuno stampo e controstampo (Figura 8.2). Con questo procedimento di messa in opera, la deformazione plastica del gambo consente di eliminare in modo pressoché completo il gioco tra la parete del foro e il gambo del chiodo, garantendo anche un notevole grado di rigidezza all’unione. Figura 8.1 Unioni chiodate: tipico dettaglio di giunto per ponte (a); chiodi a testa tonda stretta (b); chiodi a testa svasata piana (c); chiodi a testa svasata con calotta (d).

(a) Queste tecniche, diffuse fino ai primi decenni del secolo scorso, sono ora praticamente scomparse nella pratica costruttiva, essenzialmente a causa del maggior impiego di manodopera richiesta per la loro esecuzione e delle minori caratteristiche prestazionali loro associate, a favore delle unioni bullonate e saldate. I criteri di dimensionamento e verifica delle unioni chiodate praticamente coincidono con quelli delle unioni bullonate, ma i riferimenti normativi nazionali su materiali e prodotti risalgono agli anni ’40 del secolo scorso.

224

Capitolo 8

Figura 8.2 Messa in opera del chiodo.

8.2 Generalità sulle unioni bullonate Le unioni bullonate permettono uno spedito assemblaggio della struttura in opera (dove generalmente la saldatura presenta difficoltà esecutive, specie in quota o alle basse temperature). Queste unioni hanno come componenti fondamentali il bullone (Figura 8.3): • vite con testa (detta comunemente bullone), generalmente esagonale, e con gambo completamente o parzialmente filettato. Il diametro nominale dei bulloni per costruzioni di carpenteria civile è compreso tra i 12 mm ed i 36 mm (a); • dado, usualmente di forma esagonale (b); • rosetta, di forma per lo più circolare (c). Figura 8.3 Componenti di base dell’unione bullonata.

Affinché siano effettivamente assemblabili in opera i pezzi da collegare, i fori delle unioni bullonate devono avere diametro leggermente superiore a quello dei bulloni (vedi Paragrafo 8.3.1). I materiali utilizzati per la produzione di viti, dadi e rosette presentano una composizione chimica leggermente diversa da quella usata per i prodotti lunghi. Senza entrare nel merito di concetti propri della metallurgia, come risultato delle differenti percentuali di componenti nella lega ferro-carbonio (vedi Paragrafo 1.3) si ha un’elevata resistenza (Tabella 1.4) associata però a una modesta duttilità. Attualmente sono utilizzati per bulloni diversi tipi, o classi di resistenza, di acciaio, identificati da sigle. Con riferimento al metodo semiprobabilistico agli stati limite, nella Tabella 8.1 vengono riportati i valori delle resistenze di progetto ƒd e Wd, rispettivamente per azioni perpendicolari e parallele alle sezioni trasversali del gambo. La simbologia usata per

Le unioni bullonate

identificare le classi di resistenza esprime in modo immediato le caratteristiche meccaniche della classe stessa. In dettaglio, per la generica classe i·J si ha che: • i·100 fornisce approssimativamente il valore della tensione di rottura in N/ mm2; • i·J·10 fornisce approssimativamente il valore della tensione di snervamento, o di progetto, in N/ mm2. Tabella 8.1 Classi di acciaio per bulloni e relative tensioni di progetto.

Tipo di bullone Normale Alta resistenza

Classe 4.6 5.6 6.8 8.8 10.9

ƒd [N/mm2] 288 360 432 576 720

Wd [N/mm2] 192 240 240 384 400

Le verifiche delle unioni bullonate sono eseguite sulla base di modelli semplificati di comportamento: la ripartizione delle forze sui bulloni viene operata considerandoli puntiformi, ossia l’area della sezione trasversale del bullone è ipotizzata concentrata nel suo baricentro. I valori convenzionali delle tensioni calcolate sono confrontati con i limiti forniti dalla normativa in funzione della resistenza delle componenti. La progettazione viene basata sull’ipotesi di pressioni uniformemente distribuite sui fori e sul gambo dei bulloni, trascurando usualmente la deformazione della lamiera sotto carico, l’inflessione del gambo dei bulloni e le concentrazioni di tensioni in corrispondenza dei bordi dei fori. Di seguito vengono proposti alcuni concetti fondamentali relativi alle unioni elementari bullonate, rimandando poi alle applicazioni del Capitolo 10 la trattazione degli approcci per le verifiche delle giunzioni tra le membrature. 8.2.1 Le unioni a taglio

Nell’unione a taglio i piatti collegati sono sollecitati da una forza agente nel piano di contatto degli stessi (Figura 8.4), ossia ortogonalmente all’asse dei bulloni. Figura 8.4 Tipica unione a taglio.

225

226

Capitolo 8

Il comportamento è diverso a seconda che i bulloni lavorino a taglio oppure ad attrito. Nel primo caso il bullone è attivo quando la superficie laterale del gambo è a contatto con la superficie del foro (Figura 8.5). Nelle zone di contatto si hanno localmente tensioni oltre il limite elastico che provocano una plasticizzazione localizzata del materiale, aumentando al contempo l’estensione della zona di contatto e riducendo di conseguenza l’entità delle tensioni. Si ipotizza convenzionalmente che le tensioni tangenziali si ripartiscano uniformemente e ne deriva uno sforzo tangenziale medio su ciascun bullone (W), distinto a seconda che la parte filettata sia o meno a contatto con i piatti del giunto, valutabile rispettivamente come: V W nf ⋅ Ares V W nf ⋅ A

(8.1a)

(8.1b)

in cui V rappresenta la forza di taglio sul bullone (nel caso dell’unione in Figura 8.5 si ha V = Fv), nf indica il numero dei piani di contatto delle lamiere, ovvero il numero di sezioni resistenti del gambo del bullone (Figura 8.6), A è l’area nominale mentre Ares individua l’area resistente della parte filettata del gambo. Figura 8.5 Sollecitazioni sul gambo del bullone.

Nel funzionamento ad attrito i bulloni vengono preventivamente serrati con una chiave dinamometrica e come conseguenza dell’accorciamento del gambo si ha una compressione delle piastre di acciaio. Il collegamento funziona in virtù dell’attrito e dello sforzo di presollecitazione fra le superfici a contatto dei pezzi collegati, indotto dal serraggio dei bulloni (Figura 8.7). Figura 8.6 Giunzione a taglio con uno e due piani di contatto.

Le unioni bullonate

Il serraggio dei bulloni ad attrito viene effettuato tenendo bloccata la testa del bullone e avvitando il dado e può essere eseguito usando diverse tecniche. Tra le più comuni si citano: • metodo di controllo a momento torcente: i bulloni vengono serrati con una chiave dinamometrica azionata a mano o meccanicamente; • metodo giro del dado: i bulloni, raggiunta la condizione di ben serrato, vengono serrati applicando un valore ben definito dell’angolo di rotazione, legato allo spessore totale delle parti da collegare; • metodo combinato: vengono utilizzati prima il metodo di controllo a momento torcente, applicando usualmente il 75% del precarico e poi il metodo del giro del dado. Figura 8.7 Trasmissione della forza nell’unione ad attrito.

Il comportamento di una giunzione a taglio è diverso in relazione alla presenza o meno del serraggio e dipende anche dal valore della coppia torcente impressa alla vite, ossia dal grado di serraggio. Il diagramma di Figura 8.8 riporta lo scorrimento relativo 'L tra le estremità delle piastre esterne e quella centrale, ossia la distanza tra i punti A e B indicati nella Figura 8.5, in funzione del carico applicato (Fv ), fino al collasso dell’unione. Se il bullone non è serrato (curva a) lo scorrimento è praticamente sempre proporzionale al carico fino a quando non viene superato il limite elastico delle piastre collegate o del bullone stesso. Se il bullone è serrato, inizialmente la trasmissione del carico avviene per attrito tra i piatti con scorrimento nullo. Raggiunto il carico Fb (ossia il carico massimo trasmissibile per attrito) si ha un brusco scorrimento (curva b) e la relazione Fv -'L si raccorda alla curva a. Al crescere del grado di serraggio aumenta il carico trasmissibile per attrito (curva c) ma si ha comunque sempre il raccordo con la curva a. Figura 8.8 Relazione tra carico applicato e scorrimento al variare del grado di serraggio per la giunzione a taglio.

227

228

Capitolo 8

Le giunzioni ad attrito sono utilizzate qualora eventuali distorsioni compromettano il regime statico o deformativo della struttura (per esempio, con strutture reticolari volendo evitare il contributo anelastico all’abbassamento verticale dovuto al gioco foro-bullone dei nodi di attacco e dei giunti di corrente). È opportuno però limitare il carico sui bulloni a un valore di regola inferiore a quello che gli stessi bulloni potrebbero sopportare in campo elastico in un’unione a taglio. Per l’unione ad attrito è possibile definire il carico limite di servizio Fs che dipende dal numero dei bulloni, dal trattamento effettuato sulle sue superfici a contatto delle lamiere (e quindi dall’attrito che si sviluppa tra queste) e dal grado di serraggio adottato. Usualmente questo è limitato in funzione delle caratteristiche del materiale, in modo da evitare stati di presollecitazione che possano pregiudicare il funzionamento statico dell’unione. La forza massima trasmissibile per attrito Vs da ciascun bullone presollecitato da un’azione assiale Ns è espressa dalla relazione: Vs

nf ⋅P ⋅ N s

(8.2)

in cui P rappresenta il coefficiente di attrito e nf il numero di piani di contatto. La crisi di un’unione a taglio può manifestarsi, oltre che nel bullone (Figura 8.9a), anche per altre cause che interessano i dettagli del collegamento. In particolare, si possono manifestare: • rottura per rifollamento della lamiera (Figura 8.9b); • rottura per trazione della lamiera (Figura 8.9c); • rottura per taglio della lamiera (Figura 8.9d). Figura 8.9 Tipici meccanismi di crisi nell’unione a taglio.

La resistenza di progetto dell’unione è quella associata al meccanismo di rottura più debole. Oltre alle verifiche sui bulloni, devono quindi essere effettuate anche altre specifiche verifiche sulle componenti collegate.

Le unioni bullonate

Il fenomeno del rifollamento della lamiera provoca un’ovalizzazione del foro (Figura 8.10) a causa del superamento della tensione di snervamento del materiale, che può poi innescare la rottura a taglio o trazione della lamiera. Figura 8.10 Ovalizzazione del foro.

Relativamente all’approccio progettuale, si ammette una distribuzione convenzionale delle pressioni di contatto (Figura 8.11) tra bullone e piatto, Vrif, definita come: V V rif

tmin ⋅ d

(8.3)

in cui V rappresenta lo sforzo di taglio in corrispondenza del piatto di spessore minimo tmin e d il diametro del bullone. La resistenza di progetto nei confronti del rifollamento è quella del materiale costituente il giunto nella sezione più debole, ossia di minore spessore, amplificata in modo forfettario per tenere conto degli incrementi di resistenza rispetto al caso monassiale, principalmente imputabili a stati tensionali pluriassiali e plasticizzazione locali (Figura 8.10). Figura 8.11 Distribuzione delle tensioni di rifollamento.

Per la verifica a trazione della lamiera si ammette una ridistribuzione uniforme degli sforzi nella sezione. La tensione media V è data da: V V Ae

(8.4)

in cui V rappresenta lo sforzo di taglio sulla sezione resistente e Ae l’area efficace o area netta della sezione di lamiera depurata dai fori (vedi Paragrafo 3.2).

229

230

Capitolo 8

Nel caso di più file di bulloni, l’individuazione della sezione più debole può essere non immediata. Si utilizza la regola empirica, comunque a favore di sicurezza, di fare corrispondere la sezione più debole al minimo percorso passante per uno o più fori, depurato dal diametro degli stessi. Con particolare riferimento alla Figura 8.12, l’area netta è data dal valore minimo tra le aree corrispondenti ai percorsi a-a e b-b, ossia: Ae

min[( La−a − 2 d0 ) ⋅ t;( Lb−b − 3 d0 ) ⋅ t ]

in cui La-a e Lb-b rappresentano rispettivamente la lunghezza del segmento e della spezzata corrispondenti ai percorsi a-a e b-b e d0 il diametro del foro. Figura 8.12 Esempi di percorsi per la determinazione della’area netta.

Nel caso di giunzioni bullonate, come in alcune applicazioni del successivo Capitolo 10, l’azione tagliante FV può avere eccentricità nel piano rispetto al baricentro della bullonatura, ossia l’unione risulta sollecitata a taglio e torsione. Indicando con e la distanza tra la retta di applicazione del carico e il baricentro della bullonatura, lo stato di sollecitazione può essere convenientemente ricondotto, ai fini del dimensionamento, a un’azione tagliante, pari appunto a FV , agente nel baricentro della bullonatura (Figura 8.13) e un’associata azione torcente pari a T = FV ·e. Figura 8.13 Ripartizione di azione tagliante e torcente sull’unione bullonata.

Ogni sezione resistente del bullone è quindi interessata da due diversi contributi: quello associato all’azione tagliante Fv e quello relativo

Le unioni bullonate

all’azione torcente T. Se vengono rispettate le limitazioni dimensionali sui collegamenti proposte dai codici progettuali (vedi Paragrafo 8.3.1), la ripartizione di queste sollecitazioni sui singoli bulloni può avvenire mediante meccanismi estremamente semplici. In dettaglio, definito nb il numero totale di bulloni e nf il numero delle sezioni resistenti (o egualmente dei piani di contatto) interessate dal meccanismo di trasferimento dei carichi, su ognuna di queste, nel caso in cui i bulloni non siano preserrati, agiscono i seguenti contributi: • l’azione tagliante FV , ipotizzata equamente ripartita su ogni piano di contatto del bullone, che provoca in ogni sezione resistente del bullone un’azione tagliante VF definita come: VF

Fv

(8.5)

nf ⋅ nb

• l’azione torcente T, che provoca un’azione tagliante, VT,i, in ogni sezione resistente del bullone pari a: VT ,i

T ⋅ ai n

2

(8.6)

nf ⋅ ∑ a i 1

i

in cui ai rappresenta la distanza tra il centro del bullone e il baricentro della bullonatura. L’azione globale agente sulla faccia è quindi data dalla composizione vettoriale dei contributi VF e VT,i (Figura 8.13). Nel caso in cui ci sia una sola fila di bulloni, i contributi associati all’i-esimo bullone sono tra loro ortogonali e pertanto la risultante Vi può essere semplicemente determinata con il teorema di Pitagora come: Vi = VF2 + VT2,i

(8.7)

8.2.2 Le unioni a trazione

L’unione è soggetta a trazione quando le due piastre collegate mediante bulloni sono sollecitate da una forza che agisce normalmente al piano di contatto, ossia se la direzione della forza è parallela all’asse del bullone. Nel caso in cui l’unione sia non preserrata, l’azione assiale N viene trasferita interamente mediante i bulloni. Con un solo bullone, l’azione sull’unione coincide con la forza sul bullone Nb, come si può osservare dalla curva a nella Figura 8.14, che riporta la relazione tra

231

232

Capitolo 8

il carico applicato all’unione non preserrata in funzione dell’allungamento del gambo del bullone 'L. L’allungamento è proporzionale al carico applicato (fase elastica) fino a quando non si raggiunge il limite elastico. Oltre questo si evidenziano grandi deformazioni per piccoli incrementi del carico (fase plastica) fino al raggiungimento del carico ultimo (Nu) dell’unione elementare. Se invece il bullone è preserrato e il valore di Ns rappresenta la forza di serraggio nel gambo, questo è soggetto già prima dell’applicazione del carico a un allungamento 'Ls conseguente al serraggio. All’aumentare del carico esterno, l’incremento della forza di trazione (curva b) nel gambo del bullone è minimo come pure il suo allungamento, in quanto il carico applicato all’unione decrementa principalmente lo stato di compressione delle piastre. Quando il carico esterno raggiunge un valore di poco superiore alla forza di serraggio i piatti si staccano e il carico viene assorbito interamente dal bullone (raccordo alla curva a). Figura 8.14 Risposta dell’unione bullonata in termini di relazione tra: (a) carico sull’unione (N) e allungamento del gambo dell’unione (ΔL) e (b) carico sull’unione (N) e azione assiale nel gambo del bullone (Nb).

Quando invece la forza esterna non passa per il baricentro della bullonatura (trazione eccentrica), l’unione è soggetta anche ad azione flettente e si ipotizza che le forze di trazione nei bulloni e di compressione nella piastra siano proporzionali alla distanza dall’asse neutro. In particolare, nel caso di giunzioni bullonate, come appare anche nell’Applicazione 10.3 del successivo Capitolo 10, l’azione tagliante FV può non appartenere al piano dell’unione oggetto di verifica. Indicata con e l’eccentricità del carico rispetto al piano della bullonatura (Figura 8.15), si osserva che la bullonatura giacente sul piano A è interessata da taglio e torsione mentre quella nel piano B è interessata da taglio e flessione. Lo stato tensionale del piano A può essere determinato seguendo i criteri appena proposti. Nel piano B la valutazione delle sollecitazioni (taglio e flessione) può essere condotta, in campo elastico, ipotizzando la planarità della sezione e assumendo una distribuzione lineare delle deformazioni. Sfruttando le ipotesi di base del metodo delle tensioni ammissibili (in particolare, planarità delle sezioni, legame costitutivo elastico lineare e assenza di resistenza a compressione dei bulloni), è

Le unioni bullonate

necessario in primo luogo determinare la posizione dell’asse neutro. Indicando con x la distanza tra l’asse neutro e la fibra con la massima sollecitazione di compressione (Vmax ), ossia l’estensione della parte compressa di piastra, e con yi la distanza tra il baricentro dell’i-esimo bullone di area Abi e il bordo inferiore della piastra, la condizione di eguaglianza tra la risultante delle forze di trazione e compressione porta all’equazione: n

V max

∑V

⋅ [( 2 ⋅ B) ⋅ x ]

2

si

⋅ Abi

(8.8)

i 1

Figura 8.15 Esempio di unione sollecitata a taglio e flessione e ipotesi di trasferimento dell’azione flettente.

B

B

La proporzionalità tra le tensioni (Figura 8.15), unitamente all’assunzione dell’ipotesi di bulloni puntiformi, che implica che la tensione su ogni bullone sia costante e uguale a quella che si ha nel suo baricentro, permette di esprimere la tensione Vsi in funzione di Vmax mediante la proporzione: V max

V si

x

yi − x

(8.9)

esplicitando i termini dell’Equazione 8.8 in funzione della massima tensione della piastra e semplificando, si ottiene: 1 2

n

∑A

⋅ [( 2 ⋅ B) ⋅ x 2 ]

bi

⋅ ( yi − x)

(8.10)

i 1 n

n

B ⋅ x 2 + ∑ ( Abi ⋅ x) − ∑ [ Abi ⋅ ( yi )] = 0 i=1

(8.11)

i=1

Dall’equazione di secondo grado, l’unica radice positiva, e quindi con concreto significato fisico, è: x=

n

1 2· B

⋅[−∑ Abi + n

+

(8.12)

i=1

(∑ ( A )

2

bi

i=1

n

+ (4 ⋅ B)∑ ( Abi ⋅ yi )] i=1

233

234

Capitolo 8

Se i bulloni sono in zona compressa (ossia x > yi) è necessario determinare di nuovo la posizione dell’asse neutro escludendo il loro contributo dalla risultante delle pressioni di contatto, ossia la sommatoria deve comprendere soltanto i soli bulloni tesi. In base alla corretta posizione dell’asse neutro, nel caso in cui i primi k bulloni vengano esclusi dal meccanismo di trasferimento delle forze (in quanto collocati nella zona compressa), il momento di inerzia della sezione reagente (costituita da bulloni tesi e parte compressa delle piastre) è dato da: J=

( 2 ⋅ B) ⋅ x 3

n

∑

+

3

Abi ⋅ ( yi − x)2

(8.13)

i= k+1

La massima tensione di compressione è data da: V max

M ⋅x

(8.14)

J

La massima azione di trazione sul bullone è data da: N max

M ⋅ Ai ⋅( ymax − x)

(8.15)

J

Esistono però anche altri approcci semplificati che consentono di ottenere una stima della massima forza di trazione sui bulloni. È possibile ipotizzare l’asse neutro sempre al bordo inferiore della piastra (ossia x = 0) e quindi, dalle equazioni precedenti, si ottiene: N max

M ⋅ Abi ⋅ ymax

(8.16)

n

∑A

bj

⋅y

2 j

j 1

È in alternativa possibile ipotizzare direttamente l’estensione della zona compressa forfettariamente pari a 1/6 dell’altezza della piastra (x = H/6 ). La massima tensione di compressione vale: H H M⋅ M⋅ 6 = 6 (8.17a) V max = 2 3 n I ⎛ ⎞⎟ B⋅ H H + ∑ Abi ⋅ ⎜⎜⎜ yi − ⎟⎟⎟ ⎝ 324 6⎠ i= k+1

La massima forza di trazione sul bullone è data da: ⎛ H⎞ M ⋅ Abi ⋅ ⎜⎜⎜ ymax − ⎟⎟⎟⎟ ⎝ 6⎠ N max = 2 n ⎛ H ⎞⎟⎟ B⋅ H 3 ⎜ + ∑ Abj ⋅ ⎜⎜ y j − ⎟⎟ ⎝ 324 6⎠ j= k+1

(8.17b)

Le unioni bullonate

8.2.3 Le unioni a taglio e trazione

Nel caso di azione combinata di taglio e trazione (per esempio nei bulloni del piano B di Figura 8.15), la determinazione degli sforzi nei bulloni avviene come per i casi elementari già considerati (vedi Paragrafo 8.2.1 e Paragrafo 8.2.2) e gli sforzi devono essere combinati attraverso le formule di interazione per la verifica degli stati tensionali pluriassiali (vedi Paragrafo 4.3.3).

8.3 Verifiche di unioni bullonate Ogni normativa per il dimensionamento delle costruzioni in acciaio riporta particolari prescrizioni che la geometria dell’unione bullonata deve soddisfare affinché valgano gli approcci appena introdotti per le unioni elementari e basate su ipotesi semplificative (per esempio, l’eguale impegno statico di ogni bullone). Di seguito vengono richiamati i requisiti essenziali previsti dalle NTC. I bulloni devono essere serrati in modo opportuno. Un eccessivo grado di serraggio provoca tensioni plastiche nel gambo e quindi indebolisce la sezione, mentre un serraggio eccessivamente debole non genera alcun beneficio. 8.3.1 Prescrizioni dimensionali

Per l’applicabilità dei criteri di verifica, indicato con tmin il minore degli spessori degli elementi collegati, devono essere rispettate le limitazioni sull’interasse e la distanza dai margini delle file prossime ai bordi delle giunzioni bullonate. In dettaglio, con riferimento alla simbologia proposta nella Figura 8.16, devono essere soddisfatte le condizioni esplicitate nella Tabella 8.2. Figura 8.16 Definizioni per le limitazioni dimensionali.

La normativa pone limitazioni sul gioco foro-bullone (ossia sulla differenza tra il diametro del foro e quello nominale del bullone).

235

236

Capitolo 8

1,2 d0

Unioni esposte a fenomeni corrosivi o ambientali 4 t + 40 mm

Massimo Unioni non esposte a fenomeni corrosivi o ambientali –

Unioni di elementi in acciaio resistente alla corrosione (EN10025-5) max (8 t; 125 mm)

e2

1,2 d0

4 t + 40 mm

–

max (8 t; 125 mm)

p1

2,2 d0

min (14 t; 200 mm)

min (14 t; 200 mm)

min (14 t; 175 mm)

p1,0

–

min (14 t; 200 mm)

–

–

Distanze e interassi

Minimo

e1

p1,i

–

min (28 t; 200 mm)

–

–

p2

2,4 d0

min (14 t; 200 mm)

min (14 t; 200 mm)

min (14 t; 175 mm)

L’instabilità locale del piatto posto tra i bulloni/chiodi non deve essere considerata se (p1/t) < [9(235/fy)0,5]: in caso contrario si assumerà una lunghezza di libera inflessione pari a 0.6 · p1. Tabella 8.2 Indicazioni relative alla posizione dei fori per le unioni bullonate.

In dettaglio, nel caso di unioni con bulloni normali, il gioco forobullone non deve essere superiore a: • 1 mm fino a un diametro del bullone di 20 mm; • 1,5 mm oltre i 20 mm. Si può derogare da tali limiti quando eventuali assestamenti sotto i carichi di servizio non comportino il superamento dei limiti di deformabilità o di servizio. Quando necessario, è possibile adottare “accoppiamenti di precisione” in cui il gioco foro-bullone non dovrà superare 0,3 mm per bulloni sino a 20 mm di diametro e 0,5 mm per bulloni di diametro superiore, o altri accorgimenti di riconosciuta validità. Le NTC 2018, a differenza di quelle precedenti e di tutte le più vecchie normative nazionali per la progettazione di costruzioni in acciaio, ammettono ora l’uso di fori maggiorati o asolati. In questo caso deve essere fatto riferimento alla parte 1-8 dell’EC3, dedicata appunto ai collegamenti, usando ulteriori coefficienti riduttivi della resistenza per tenere in conto le riduzioni di prestazioni rispetto al caso di fori normali.

8.3.2 Verifica a taglio sui bulloni

Per la verifica dei bulloni soggetti nella propria sezione resistente ad azione di taglio V deve essere verificato, a seconda che il gambo del bullone o la sua parte filettata sia a contatto con le piastre dell’unione, che: V W A

V d W d (8.18a)

W Ares

d Wd

(8.18b)

Le unioni bullonate

in cui A e Ares rappresentano rispettivamente l’area del gambo nella sezione non filettata e in quella filettata. I valori di τd sono riportati in Tabella 8.3 a seconda della classe dell’acciaio che realizza i bulloni. Tabella 8.3 Valori di τd per verifiche a taglio.

Classe dei bulloni 2

τd [N/mm ]

4.6

5.6

6.8

8.8

10.9

192

240

240

384

400

8.3.3 Verifica a trazione sui bulloni

Per la verifica dei bulloni soggetti ad azione di trazione N e aventi la sezione filettata di area Ares , deve essere verificata la seguente relazione: N V

JN

Ares

d fd

(8.19)

in cui il carico applicato viene forfettariamente aumentato del 25%, ossia si assume γN = 1,25 per tener conto degli effetti di leva e di eventuali flessioni parassite. I valori di fd sono riportati in Tabella 8.4 a seconda della classe che realizza i bulloni. Tabella 8.4 Valori di fd per verifiche a trazione.

Classe dell’acciaio dei bulloni 2

fd [N/mm ]

4.6

5.6

6.8

8.8

10.9

288

360

432

576

720

8.3.4 Verifica a taglio e trazione azione sui bulloni

Come nel caso di profilati interessati da tensioni sia normali sia tangenziali (vedi Paragrafo 4.3.3) deve essere verificata la seguente relazione: V

W +

1, 4 ⋅ fd

≤1

(8.20)

Wd

8.3.5 Verifica dell’unione ad attrito

Nel caso in cui si debbano impedire gli scorrimenti delle giunzioni bullonate affidando lo sforzo sull’unione all’attrito tra le superfici a contatto, il valore massimo dell’azione di taglio trasmissibile da ogni bullone non deve eccedere il valore Vf,0 , definito come: Vf ,0

nf ⋅P ⋅ N s

(8.21)

JM3

in cui nf è il numero di piani di contatto, μ il coefficiente di attrito,

237

238

Capitolo 8

Ns rappresenta il valore dell’azione di serraggio sul bullone (Tabella 8.2) e JM3 rappresenta il coefficiente di sicurezza nei confronti dello slittamento (assunto usualmente pari a 1,25). Il coefficiente di attrito tra le piastre μ a contatto nelle unioni “precaricate” è in genere assunto pari a: • μ = 0,5 per superfici sabbiate meccanicamente o a graniglia, esenti da incrostazioni di ruggine e da vaiolature; • μ = 0,4 per superfici sabbiate meccanicamente o a graniglia, e verniciate a spruzzo con prodotti a base di alluminio o di zinco. • μ =0,4 per superfici sabbiate meccanicamente o a graniglia, e verniciate con silicato di zinco alcalino applicando uno spessore dello strato di 50-80 μm; • μ = 0,3 per superfici pulite mediante spazzolatura o alla fiamma, esenti da incrostazioni di ruggine; • μ = 0,2 per superfici non trattate. I valori di Ns, sono riportati per i diametri correntemente utilizzati in carpenteria civile nelle tabelle 8.5 e 8.6, relative rispettivamente ai bulloni di classe 8.8 e 10.9. Nella medesima tabella sono riportati anche i valori di area resistente Ares unitamente ai valori del momento di serraggio Ms. Tabella 8.5 Coppia di serraggio per bulloni di classe 8.8.

VITE M12 M14 M16 M18 M20 M22 M24 M27 M30 M36

Momento di serraggio Ms k=0,1 k=0,12 k=0,14 56,6 68,0 79,3 90,2 108,2 126,2 140,7 168,8 196,9 193,5 232,2 271,0 274,4 329,3 384,2 373,3 448,0 522,6 474,4 569,3 664,2 694,0 832,8 971,6 942,5 1131,0 1319,5 1647,1 1976,5 2305,9

[Nm] k=0,16 90,6 144,3 225,1 309,7 439,0 597,3 759,1 1110,4 1508,0 2635,3

Ns [kN] 47,2 64,4 87,9 107,5 137,2 169,7 197,7 257,0 314,2 457,5

Ares [mm2] 84,3 115 157 192 245 303 353 459 561 817

La forza di serraggio Ns è data da: Ns

0, 7 ⋅ fub ⋅ Ares

(8.22)

Il momento di serraggio Ms è legato all’azione di serraggio Ns dalla relazione: Ms

k ⋅ d ⋅ Ns

(8.23)

in cui d rappresenta il diametro della vite e k è un valore numerico (fattore di precarico) variabile da 0,1 a 0,22 a seconda del lotto di produzione in esame.

Le unioni bullonate

Si osservi che in accordo alle vigenti normative sulle unioni bullonate (UNI EN 14399), viti, dadi e rondelle devono essere fornite da un unico produttore il quale deve specificare, sulla base delle prove sperimentali eseguite sul lotto in esame, il valore del fattore di precarico k. Tabella 8.6 Coppia di serraggio per bulloni di classe 10.9.

VITE M12 M14 M16 M18 M20 M22 M24 M27 M30 M36

Momento di serraggio Ms k=0,1 k=0,12 k=0,14 70,8 85,0 99,1 112,7 135,2 157,8 175,8 211,0 246,2 241,9 290,3 338,7 343,0 411,6 480,2 466,6 559,9 653,3 593,0 711,6 830,3 867,5 1041,0 1214,5 1178,1 1413,7 1649,3 2058,8 2470,6 2882,4

[Nm] k=0,16 113,3 180,3 281,3 387,1 548,8 746,6 948,9 1388,0 1885,0 3294,1

Ns [kN] 59,0 80,5 109,9 134,4 171,5 212,1 247,1 321,3 392,7 571,9

Ares [mm2] 84,3 115 157 192 245 303 353 459 561 817

8.3.6 Verifica a rifollamento della lamiera

La pressione sul contorno del foro, riferita alla proiezione diametrale dell’elemento del collegamento, Vrif , deve risultare: V d ⋅t

V rif

krif ⋅ Drif ⋅ fd ,rif

(8.24)

in cui V è l’azione tagliante applicata al foro, d e t sono il diametro del bullone e lo spessore della piastra e fd,rif rappresenta la tensione di progetto della lamiera a rifollamento, definita nella Tabella 8.7. I termini krif e Drif sono due fattori numerici da assumere in base alle indicazioni riportate di seguito. Per quanto concerne il termine krif nel caso di bulloni nella direzione ortogonale a quella di trasferimento del carico applicato si assume, con riferimento alla simbologia presentata in Figura 8.16: ⎪⎫⎪ ⎪⎧⎪ 2, 8 ⋅ e 2 − 1, 7; 2, 5⎬ (8.25a) • per bulloni di bordo: krif min ⎨ ⎪⎪ d ⎪⎪ ⎪⎩ 0 ⎪⎭ • per bulloni interni: krif

⎫⎪ ⎧⎪1, 4 ⋅ p ⎪ ⎪ 2 min ⎨ − 1, 7; 2, 5⎬ ⎪⎪ d ⎪⎪ 0 ⎪⎩ ⎪⎭

(8.25b)

Per quanto concerne il termine krif vengono date le seguenti indicazioni nel caso di bulloni nella direzione di trasferimento del carico applicato, si assume:

239

240

Capitolo 8

⎪⎧⎪ e f ⎪⎫⎪ min ⎨ 1 ; ub ; 1,0⎬ (8.26a) ⎪⎪ 3 ⋅ d f ⎪⎪ u 0 ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎫⎪ ⎪⎧⎪ p 1 f (8.26b) • per bulloni interni: arif min ⎨ 1 − ; ub ; 1,0⎬ ⎪⎪ 3 ⋅ d 4 f ⎪⎪ u 0 ⎪⎩ ⎪⎭ in cui fub e fu rappresentano rispettivamente la tensione di rottura del bullone e della piastra mentre d0 indica il diametro del foro. • per bulloni di bordo: arif

Tabella 8.7 Valori della tensione di progetto a rifollamento.

Classe dell’acciaio della piastra 2

fd, rif [N/mm ]

S 235

S 275

S 355

S 420

S 460

288

344

408

416

432

Le unioni bullonate

Applicazioni

Applicazione 8.1 Verifica di una giunzione a taglio con bulloni non preserrati

Si verifichi il giunto indicato in Figura 8.17 (le dimensioni sono espresse in millimetri). Il carico assiale di progetto allo stato limite ultimo, Fv , è di 140 kN. Si precisa che i bulloni, di diametro 16 mm, sono di classe 6.8 non preserrati e la loro sezione resistente è quella filettata: • i fori hanno diametro 17 mm; • i piatti di collegamento hanno larghezza pari a 150 mm e spessore di 10 mm e sono in acciaio S 235. Figura 8.17 L’unione oggetto dell’applicazione.

Procedura

La verifica dell’unione bullonata, con bulloni non preserrati e sollecitati a taglio nella parte filettata (giunto con una sola sezione resistente), viene eseguita attraverso le seguenti fasi: • controllo dimensionale della geometria del collegamento; • determinazione dell’azione tagliante sulla sezione resistente del bullone; • verifica a taglio della sezione resistente del bullone; • verifica a rifollamento; • verifica del piatto del collegamento nella sezione forata. In questa applicazione non si entra nel dettaglio della verifica del piatto nella sezione non forata. L’area resistente del bullone è dedotta dalla Tabella 8.6.

241

242 Capitolo 8: applicazioni

Nella Tabella 8.8 sono riportati i valori delle tensioni di progetto dei materiali. Tabella 8.8 Caratteristiche dei materiali.

Tensioni di progetto Piatto (acciaio S 235) Bulloni (classe 6.8)

Normale

Tangenziale

fd = 223,8 N/mm2

Wd = 129,2 N/mm2

fd = 432 N/mm2

Wd = 240 N/mm2

Soluzione

Controllo dimensionale della geometria del collegamento: con riferimento alle prescrizioni dimensionali delle NTC (Tabella 8.1) si ha: • interasse dei fori in direzione della forza p1: 70 mm < 14 · 10 (= 140 mm) 70 mm < 200 mm 70 mm > 2,2 · 17 (= 37,4 mm) • interasse dei fori in direzione perpendicolare della forza p2: 60 mm < 14 · 10 (= 140 mm) 60 mm < 200 mm 60 mm > 2,4 · 17 (= 40,8 mm) • distanza fori dal bordo libero, in direzione della forza e1: 50 mm < 4 · 10 + 40 (= 80 mm) 50 mm > 1,2 · 17 (= 20,4 mm) • distanza fori dal bordo libero in direzione perpendicolare alla forza e2: 45 mm < 4 · 10 + 40 (= 80 mm) 45 mm > 1,2 · 17 (= 20,4 mm) Tutte le verifiche dimensionali risultano soddisfatte L’azione su ogni bullone vale: Vv

Fv

140

nb ⋅ nf

4 ⋅1

35 kN

• Verifica a taglio del bullone: Wb

Vv

35 ⋅ 10 3

Ares

157

222, 93 N/mm 2 ≤ 240 N/mm 2 ( W d )

• Resistenza a rifollamento (riferita ai bulloni di bordo): ⎛ 45 600 ⎞⎟ Drif min ⎜⎜⎜ ; ; 1, 0⎟⎟ 0, 882 ⎟⎠ ⎝ 3 ⋅ 17 360 krif

⎛ 2, 8 ⋅ 45 ⎞⎟ min ⎜⎜ ; − 1,7; 2,5⎟⎟ ⎟⎠ ⎜⎝ 17

V rif

Drif ⋅ krif ⋅ fd ,rif

2,5

0, 882 ⋅ 2, 5 ⋅ 288

635, 09 N/mm 2

Le unioni bullonate

Vv

V rif

35 ⋅ 10 3

10 ⋅ 16 t⋅d 218, 75 N/mm 2 ≤ 635, 04 N/mm 2 ( V rif )

• Verifica di resistenza del piatto di collegamento (Equazione 4.3): valutazione dell’area netta, Ae: Ae

(10 ⋅ 150) − 2 ⋅ (10 ⋅ 17) F

140 ⋅ 10 3

Ae

1160

V

1160 mm 2

120, 69 N/mm 2 ≤ 223, 8 N/mm 2 ( fd )

Le verifiche di resistenza risultano soddisfatte

Applicazione 8.2 Verifica di una giunzione a taglio con bulloni preserrati

Si determini la capacità portante a taglio Fv dell’unione indicata in Figura 8.18 (le dimensioni sono in millimetri). Si precisa che: • i bulloni, di diametro 20 mm, sono di classe 10.9 preserrati e le superfici a contatto sono state trattate con sabbiatura meccanica; • i fori hanno diametro 21,5 mm; • gli elementi collegati e le piastre di collegamento sono in acciaio S 235. Figura 8.18 L’unione oggetto dell’applicazione.

Procedura

La capacità portante dell’unione bullonata, ipotizzando i bulloni preserrati in modo da evitare scorrimenti allo stato limite ultimo (giunto con 2 sezioni resistenti, n = 2), viene eseguita attraverso le seguenti fasi:

243

244 Capitolo 8: applicazioni

• controllo dimensionale della geometria del collegamento; • calcolo della forza di serraggio del bullone e determinazione della resistenza di progetto allo scorrimento; • determinazione della resistenza di progetto a rifollamento; • determinazione resistenza del piatto del collegamento nella sezione forata. Non si entra nel dettaglio della verifica del piatto nella sezione non forata. Nella Tabella 8.9 sono riportati i valori delle tensioni di progetto dei materiali. Tabella 8.9 Valori delle tensioni di progetto dei materiali.

Tensioni di progetto Normale Piatto (acciaio S 235)

fd = 223,8 N/mm

Bulloni (classe 10.9)

fd = 720 N/mm2

Tangenziale 2

td = 129,2 N/mm2 td = 400 N/mm2

Soluzione

Controllo dimensionale della geometria del collegamento: con riferimento alle prescrizioni dimensionali delle NTC (Tabella 8.1) si ha: • interasse dei fori in direzione della forza p1: 60 mm ≤ 14 · 8 (= 112 mm); 60 mm ≤ 200 mm 60 mm ≥ 2,2 · 21,5 (= 47,3 mm) • interasse dei fori in direzione perpendicolare della forza p2: 55 mm ≤ 14 · 8 (= 112 mm) 55 mm ≤ 200 mm 55 mm ≥ 2,4 · 21,5 (= 51,6 mm) • distanza fori dal bordo libero, in direzione della forza e1: 35 mm ≤ 4·8 + 40 (= 72 mm) 35 mm ≥ 1,2 · 21,5 (= 25,8 mm) • distanza fori dal bordo libero in direzione perpendicolare alla forza e2: 35 mm ≤ 4 · 8 + 40 (= 72 mm) 35 mm ≥ 1,2 · 21,5 (= 25,8 mm) Tutte le verifiche dimensionali risultano soddisfatte Calcolo della forza di scorrimento conseguente al serraggio di ogni bullone, impresso in accordo ai valori nella Tabella 8.6 (Equazione 8.21) e considerando le giunzioni sabbiate meccanicamente (P = 0,40): Vf ,0

nf ⋅P ⋅ N s

2⋅0,40⋅(171,5)

JM3

1, 25

109,76 kN

Le unioni bullonate

Calcolo della resistenza a scorrimento dell’unione Fv,0

nb ⋅ Vf ,0 = 4 ⋅109,76 kN = 439,04 kN

Resistenza a rifollamento (Equazione 8.3 e Equazione 8.22): ⎛ 35 1000 ⎞⎟ ; ; 1,0⎟⎟ 0, 543 Drif min ⎜⎜⎜ ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⋅ 21, 5 360 krif

⎞⎟ ⎛ 2, 8 ⋅ 35 min ⎜⎜⎜ ; − 1,7; 2,5⎟⎟ ⎟⎠ ⎜⎝ 21, 5

V rif

Drif ⋅ krif ⋅ fd ,rif

0, 543 ⋅ 2, 5 ⋅ 288

Vrif

nb ⋅ ( d ⋅ t ⋅ V rif )

4 ⋅ [(390,96) ⋅ 8 ⋅ 20 ] ⇒ 250, 2 kN

2, 5

390, 96 N/mm 2

Calcolo della resistenza dei piatti di collegamento (Equazione 4.3b): Valutazione dell’area netta, Ae: Ae Fs, p

(8 ⋅ 125) − 2 ⋅ (8 ⋅ 21, 5) 2 ⋅ ( Ae ⋅ fd )

656 mm 2

2 ⋅ (656 ⋅ 235) ⇒ 308, 32 kN

La capacità portante a taglio del collegamento è condizionata dal valore minimo tra quelli calcolati e quindi dipende, nel caso specifico, dalla resistenza dei piatti di collegamento e vale 340,07 kN.

245

247

9 Le unioni saldate

9.1 Premessa La saldatura è una tecnica di giunzione che consente di unire elementi metallici in modo permanente realizzando la continuità del materiale mediante fusione. Confrontando le unioni saldate con quelle bullonate o chiodate (vedi Paragrafo 8.2), si evince che le prime sono monolitiche e, al contempo, più rigide e semplici rispetto a quelle bullonate, vincolando la libertà del progettista in modo meno pesante. A fronte di tali vantaggi devono però essere sempre adottate particolari precauzioni progettuali, costruttive e soprattutto di controllo di qualità dell’esecuzione dell’unione, allo scopo di evitare possibili riduzioni di resistenza o rotture fragili associate al procedimento di saldatura stesso. Il costo dell’unione saldata è superiore a quello dell’unione bullonata a causa della complessità del processo di saldatura e per il fatto che deve essere sempre impiegata manodopera qualificata.

9.2 Generalità delle unioni saldate Nelle unioni saldate il materiale di base è quello dei pezzi da collegare, mentre il materiale di apporto, se presente, è il materiale che viene introdotto allo stato fuso tra gli elementi da collegare. Una classificazione dei procedimenti di saldatura prevede la distinzione in: • procedimenti autogeni, nei quali il metallo dei pezzi da collegare partecipa, con l’eventuale materiale di apporto, alla realizzazione dell’unione. Il più antico procedimento di saldatura utilizzato dai fabbri sin dalle epoche più remote, è quello autogeno di bollitura: i pezzi da unire venivano scaldati fino a farli diventare di colore rosso vivo, accostati e poi pressati energicamente tra loro; • procedimenti eterogenei, nei quali si ha fusione del solo materiale di apporto, a una temperatura di fusione quindi inferiore a quella del metallo di base. Come diretta conseguenza dei fenomeni metallurgici (solidificazione

248

Capitolo 9

del materiale fuso e trattamento termico del metallo di base in prossimità del cordone di saldatura) si possono avere difetti dell’unione saldata. Questi pregiudicano il funzionamento statico e la loro presenza deve essere accertata al fine di evitare situazioni pericolose durante il normale esercizio. I difetti delle unioni saldate sono differenziabili in metallurgici e geometrici. Tra i principali difetti di natura metallurgica, si menzionano: • le cricche, ossia tipiche discontinuità (o fessure) originatesi per strappo (Figura 9.1), distinguibili in cricche a caldo e cricche a freddo. Nel bagno fuso si addensano, in zone preferenziali, segregazioni di impurezze che solidificano a temperature inferiori a quelle del metallo di base, dando luogo a una decoesione del materiale. In questo caso si generano le cricche a caldo, legate al tenore di carbonio, alle impurezze nel metallo e al fenomeno del ritiro nella saldatura. Un altro tipo di cricche è rappresentato da quelle a freddo, che si manifestano a raffreddamento quasi concluso e sono dovute all’assorbimento di idrogeno da parte sia del materiale di apporto allo stato fuso sia della zona adiacente del materiale di base; Figura 9.1 Cricche nei cordoni di saldatura.

• gli strappi lamellari (Figura 9.2): nel materiale di base si possono avere particolari cricche date da una sollecitazione a trazione ortogonale al piano di laminazione del materiale di base; • le inclusioni: zone anomale dovute alla presenza nel bagno fuso di sostanze diverse da quelle del metallo di base e di apporto. Figura 9.2 Tipici strappi lamellari.

Le unioni saldate

Tra i principali difetti di natura geometrica si citano: • eccesso di sovrametallo: si ha quando viene depositato uno spessore di materiale di apporto maggiore rispetto a quello previsto; • mancanza di penetrazione: si ha quando esistono zone in cui il materiale fuso non è penetrato (Figura 9.3a); • disassamento dei lembi: è dovuto a un montaggio imperfetto delle componenti da unire e può provocare una variazione nella geometria del profilo (Figura 9.3b). Figura 9.3 Difetti nelle saldature: mancanza di penetrazione (a) e disassamento dei lembi (b).

Devono inoltre essere previsti specifici esami finali delle unioni saldate, per accertare la presenza di eventuali difetti. Nella maggior parte dei casi si effettuano controlli di tipo prevalentemente non distruttivo, in modo da non pregiudicare il funzionamento statico dell’unione in esercizio. Figura 9.4 Classificazione in funzione della posizione dei pezzi da saldare.

249

250

Capitolo 9

Figura 9.5 Classificazione in base alla posizione dei cordoni rispetto alla sollecitazione: cordoni laterali (a), frontali (b) e obliqui (c).

Gli elementi resistenti dell’unione saldata sono i cordoni di saldatura. In funzione della posizione reciproca dei pezzi da collegare, si possono avere (Figura 9.4): • giunti testa a testa (a); • giunti d’orlo (b); • giunti d’angolo (c); • giunti a T (d); • giunti a L (e); • giunti per sovrapposizione (f ).

In base alla posizione dei cordoni di saldatura e in relazione alla sollecitazione agente sull’unione (Figura 9.5), si possono avere: • cordoni di saldatura laterali (a); • cordoni di saldatura frontali (b); • cordoni di saldatura obliqui (c).

9.3 Le sollecitazioni nelle unioni saldate Nei giunti testa a testa, lo stato tensionale può considerarsi quello di un pezzo continuo (Figura 9.6) avente lunghezza pari a quella del cordone e larghezza data dal minore dei due spessori collegati in prossimità della saldatura. Figura 9.6 Giunto testa a testa e flusso delle tensioni nella sezione resistente.

Nei giunti a cordone d’angolo la sezione resistente, definita sezione di gola, viene identificata dalla lunghezza del cordone di saldatura e dall’altezza di gola, indicata usualmente con il simbolo a e coincidente con l’altezza del triangolo inscritto nella sezione trasversale del cordone di saldatura (Figura 9.7).

Le unioni saldate

Figura 9.7 Definizione dell’altezza di gola.

Le tensioni agenti nella sezione di gola sono convenzionalmente individuate con la simbologia indicata nella Figura 9.8: σ⊥ rappresenta la tensione normale alla sezione di gola e ortogonale all’asse del cordone; τ⊥ rappresenta la tensione nella sezione di gola in direzione perpendicolare all’asse del cordone; τ// rappresenta la tensione nella sezione di gola in direzione parallela all’asse del cordone; σ// rappresenta la tensione che agisce in direzione parallela all’asse del cordone sulla sua sezione trasversale. Figura 9.8 Stato tensionale nella sezione di gola.

Sono di seguito considerate alcune situazioni tipiche di sollecitazione sulle unioni saldate, per le quali sono stimati i valori delle associate tensioni, valutate con l’ipotesi semplificativa di considerarle uniformemente distribuite sulla sezione di gola del cordone. L’altezza della sezione di gola viene di seguito sempre indicata con a e la lunghezza del cordone di saldatura è rappresentata, a seconda del caso in esame, da L, h o b. La sezione di gola può essere ribaltata, a seconda della convenien-

251

252

Capitolo 9

za, sul piano verticale o su quello orizzontale, ovvero su un piano inclinato secondo una giacitura dipendente dall’orientamento dell’unione, al fine di semplificare la quantificazione delle sollecitazioni per la fase di verifica. 9.3.1 La trazione

Nel caso di giunto saldato che deve trasmettere un’azione di trazione di intensità F, i cordoni possono essere paralleli alla forza (cordoni laterali), perpendicolari (cordoni frontali) oppure inclinati secondo un angolo generico (cordoni inclinati). Cordoni laterali

Con riferimento alla Figura 9.9, se i cordoni sono paralleli alla direzione della forza, le tensioni possono essere determinate direttamente sulla sezione di gola di ogni cordone di lunghezza L nella sua posizione effettiva oppure ribaltate sul piano verticale o sul piano orizzontale. Si hanno sempre contributi tensionali di tipo o// il cui valore è dato dall’espressione: Figura 9.9 Unione con cordoni laterali.

F W//

(9.1)

4 ⋅ L⋅ a

Cordoni frontali

Con riferimento alla Figura 9.10, se i cordoni sono perpendicolari alla forza, non risulta agevole effettuare la stima delle tensioni direttamente sulla sezione di gola di ogni cordone. Ipotizzandola inclinata di 45° sull’orizzontale (piano x-z), si ha: F V⊥

2⋅ L⋅ a F

W⊥

2⋅ L⋅ a

⋅

⋅

2 2 2 2

(9.2a)

(9.2b)

Per semplificare la stima delle sollecitazioni, la sezione di gola può però essere ribaltata sul piano verticale (piano y-z) o sul piano orizzontale (piano x-z).

Le unioni saldate

Nel primo caso si hanno tensioni normali all’asse y (σ⊥) date da: F V⊥

(9.3a)

2⋅ L⋅ a

Ribaltando invece nel piano x-z, si hanno tensioni parallele all’asse x: F W⊥

(9.3b)

2⋅ L⋅ a

Figura 9.10 Unione con cordoni frontali.

y F/2

σ a

y z

τ

x

F

x

a

L

F

F/2

Cordoni inclinati

Con cordoni inclinati rispetto alla direzione della forza, nella sezione di gola agisce una forza scomponibile in un contributo tangente (V = F · cosθ) ed uno normale (N = F · sinθ) all’asse longitudinale del cordone e si viene quindi a creare uno stato tensionale più complesso rispetto a quelli appena presentati. Facendo riferimento alla Figura 9.11, se la sezione di gola viene ribaltata sul piano orizzontale le tensioni associate sono interamente contenute in questo e assumono i seguenti valori: W⊥ W// Figura 9.11 Unione con cordoni inclinati.

F ⋅ sin T

(9.4a)

2⋅ L⋅ a F ⋅ cos T

(9.4b)

2⋅ L⋅ a a F/2

F

F/2

V F

F

N

253

254

Capitolo 9

Ribaltando la sezione di gola nel piano verticale, si hanno invece i seguenti contributi tensionali: V⊥ W//

F ⋅ sin T 2⋅ L⋅ a F ⋅ cos T 2⋅ L⋅ a

(9.5a)

(9.5b)

Combinazione di cordoni

Con più tipologie di cordoni di saldatura (Figura 9.12) conviene affidare l’intero carico soltanto a un solo tipo di cordone. Buona norma è che le altezze di gola dei cordoni di saldatura siano sempre uguali tra loro, in modo da potere sfruttare la loro mutua collaborazione, cercando di evitare cordoni con altezza di gola modesta eseguiti soltanto per ragioni di tenuta stagna. Figura 9.12 Combinazione di cordoni.

9.3.2 La flessione ed il taglio

In aggiunta al caso di trazione, le sollecitazioni di flessione e taglio sono estremamenti frequenti nelle unioni saldate. Di seguito si fa riferimento a una giunzione saldata sulla quale agisce un’azione tagliante F e un’azione flettente M, pari a F·Lb, in cui Lb rappresenta la distanza tra la retta di applicazione del carico e il baricentro delle sezioni resistenti dell’unione saldata. Cordoni frontali longitudinali

La sezione resistente (Figura 9.13) è individuata nel piano verticale ed è costituita da due sezioni rettangolari, corrispondenti alla sezione di gola di ogni cordone di altezza a e lunghezza h. Ribaltando le sezioni di gola nel piano y-z, si hanno le seguen-

Le unioni saldate

ti tensioni, associate rispettivamente a taglio (τ//) e azione flettente (σ⊥,max): F W//

(9.6a)

2⋅ a⋅ h

V⊥,max

F ⋅ Lb

3 ⋅ F ⋅ Lb

W

a ⋅ h2

Figura 9.13 Unione inflessa con cordoni frontali longitudinali.

(9.6b) Lb

F

h

a

z y x

Cordoni frontali trasversali

La sezione resistente (Figura 9.14) è costituita da due sezioni orizzontali di altezza di gola a e lunghezza b. La distanza tra i baricentri dei due cordoni viene assunta, a favore di sicurezza pari a h (in realtà sarebbe leggermente superiore). Ribaltando le sezioni di gola nel piano y-z, si hanno i seguenti contributi tensionali, associati rispettivamente al taglio (τ⊥) e all’azione flettente (σ⊥,max): F W⊥

(9.7a)

2⋅ a⋅b

V⊥, max Figura 9.14 Unione inflessa con cordoni frontali trasversali.

F ⋅ Lb

F ⋅ Lb

W

( a ⋅ b) ⋅ h

(9.7b)

Lb

F a h

b

255

256

Capitolo 9

Combinazione di cordoni

Nel caso di collegamenti saldati per profilati a doppio T può essere conveniente utilizzare cordoni trasversali combinati con cordoni longitudinali (Figura 9.15). Usualmente si semplifica il calcolo assumendo che l’azione di taglio venga assorbita dai cordoni d’anima (cordoni C nella Figura 9.15) mentre la sollecitazione di flessione sia assorbita dai cordoni di saldatura sulle ali (cordoni A e B). Ribaltando le sezioni di gola nel piano y-z, si hanno i seguenti contributi tensionali, associati rispettivamente a taglio (τ//) e azione flettente (σ⊥,max): F W//

(9.8a)

2 ⋅ a3 ⋅ h3

V⊥, max =

F ⋅ Lb W

Figura 9.15 Unione inflessa con cordoni frontali longitudinali e trasversali.

F ⋅ Lb

=

(9.8b)

( L1 ⋅ a1 ⋅ h1 ) + 2 ⋅ ( L2 ⋅ a2 ⋅ h2 ) Lb

F

L1 tw

Cordone A

tf a3 h1 h2

Cordone B Cordone C

h3

Cordone B

a2 a1 Cordone A

z

L2

y x

9.3.3 La torsione e il taglio

Quando si hanno azioni eccentriche su unioni saldate in cui i cordoni resistenti e la retta di applicazione del carico appartengono a un unico piano (Figura 9.16), si può creare uno stato di sollecitazione caratterizzato da contemporanea presenza di torsione e taglio. Qui si fa riferimento a un’unione sollecitata da un’azione tagliante F e un’azione torcente pari a F · e, in cui e rappresenta la distanza tra la retta di applicazione del carico e il baricentro delle sezioni resistenti dei cordoni di saldatura. Cordoni laterali

Nel caso rappresentato nella Figura 9.16, l’azione torcente viene bilanciata nei cordoni da una coppia di forze di intensità H, la cui entità è approssimabile come:

Le unioni saldate

H

F ⋅e

(9.9)

h

All’azione H è associata nei cordoni una tensione tangenziale riferita alla sezione di gola τ// pari a: W//

F ⋅e

(9.10)

h ⋅ ( a ⋅ L)

Ribaltando la sezione di gola sul piano orizzontale è possibile valutare lo stato tensionale associato all’azione tagliante F. In dettaglio, le tensioni τ⊥ valgono: F W⊥

(9.11a)

2⋅ L⋅ a

In alternativa, ribaltando la sezione di gola sul piano verticale, le tensioni σ⊥ dovute a F valgono: F V⊥

(9.11b)

2⋅ L⋅ a

Figura 9.16 Unione a torsione con cordoni laterali.

a

F

H h H

L a

e

Cordoni frontali

Nel caso rappresentato nella Figura 9.17, l’azione torcente viene bilanciata da una coppia di forze di intensità V, data da: V

F ⋅e z

(9.12)

in cui z rappresenta la distanza tra i cordoni. Ribaltando la sezione di gola sul piano orizzontale (o egualmente su quello verticale), è possibile valutare in modo immediato lo stato tensionale associato. In dettaglio, all’azione V necessaria per bilanciare il momento torcente è associata nei cordoni una tensione tangenziale τ//,1 pari a:

257

258

Capitolo 9

W //,1

F ⋅e

(9.13)

z ⋅ ( a ⋅ L)

Al carico applicato F è associata nei cordoni una tensione tangenziale o//,2 pari a: F W //,2

(9.14)

2 ⋅ ( a ⋅ L)

La massima tensione o// risulta quindi pari a: F ⎛⎜ e 1 ⎞⎟⎟ W / / = W //,1 + W //,2 = ⋅⎜ + ⎟ a ⋅ L ⎝⎜ z 2 ⎠⎟ Figura 9.17 Unione a torsione con cordoni frontali.

a

a

(9.15)

F

V h

L V

z e

9.4 Verifica delle unioni saldate L’approccio seguito nei criteri di verifica consiste nel ricondurre lo stato tensionale pluriassiale (Figura 9.18) a uno stato equivalente ideale monoassiale e confrontarlo con la resistenza del materiale opportunamente ridotta per tenere conto della presenza di eventuali difetti e imperfezioni. I metodi proposti a livello normativo per la verifica delle unioni saldate sono stati sviluppati a seguito di estese indagini sperimentali. Figura 9.18 Tensioni nei cordoni di saldatura.

Unioni saldate a completa penetrazione I collegamenti testa a testa, a T e a croce a completa (piena) penetrazione sono generalmente realizzati con materiali d’apporto aventi resistenza

Le unioni saldate

uguale o maggiore a quella degli elementi collegati. La resistenza di calcolo dei collegamenti a piena penetrazione si assume eguale alla resistenza di progetto del più debole tra gli elementi connessi. Una saldatura a piena penetrazione è caratterizzata dalla piena fusione del metallo di base attraverso tutto lo spessore dell’elemento da unire con il materiale di apporto. Unioni saldate a parziale penetrazione I collegamenti testa a testa, a T e a croce a parziale penetrazione vengono verificati con gli stessi criteri dei cordoni d’angolo. L’altezza di gola dei cordoni d’angolo da utilizzare nelle verifiche è quella teorica, corrispondente alla preparazione adottata e specificata nei disegni di progetto, senza tenere conto della penetrazione e del sovrametallo di saldatura, in conformità con la specifiche norme di settore. Unioni saldate a cordoni d’angolo Allo stato limite ultimo si ipotizza che le sollecitazioni sui cordoni d’angolo si distribuiscano uniformemente sulla sezione resistente di gola. La verifica può essere effettuata considerando la sezione resistente di gola nella sua posizione effettiva oppure ribaltandola secondo un piano particolare, per comodità di calcolo. Il metodo riportato per la verifica della sezione di gola nella sua effettiva posizione (metodo direzionale) prevede che siano soddisfatte entrambe le seguenti condizioni: ⎛ fu ⎞⎟⎟ ⎜⎜ 2 2 2 V⊥ + 3 ⋅ (W / / + W ⊥ ) ≤ fd , MD ,1 ⎜= ⎟ (9.16a) ⎜⎜⎝ E ⋅ J ⎠⎟⎟ w M2 § 0, 9 f ·¸ ¨ u¸ VA d fd , MD ,2 ¨¨ ¸ (9.16b) ¨¨© J ¸¸¹ M2 ove fu è la resistenza nominale a rottura per trazione dell’elemento più debole costituente il giunto, aM2 (=1,25) è il coefficiente parziale di sicurezza e `w è un opportuno coefficiente di correlazione legato alla classe dell’acciaio (`w = 0,8 per l’acciaio S 235, `w = 0,85 per l’acciaio S 275, `w = 0,9 per l’acciaio S 355 e, `w = 1 per gli acciaio S 420 e S 460). Nella tabella 9.1 sono riportati i valori delle tensioni di progetto in accordo al metodo direzionale (fd,MD,1 e fd,MD,2) in funzione della classe di acciaio. In alternativa, è possibile applicare il metodo semplificato, secondo il quale la tensione agente nella saldatura msal (considerata con la sua effettiva direzione) deve soddisfare la relazione:

259

260

Capitolo 9

⎛ ⎞⎟ fu ⎜ ⎟⎟ V sal ≤ fd , MS ⎜⎜ (9.17) ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ 3 ⋅ ⋅ E J ⎝ M2 ⎠ Z in cui fd,MS rappresenta la tensione di progetto da utilizzare per la verifica in accordo al metodo semplificato ed è riportata anch’essa in Tabella 9.1. Tabella 9.1 Valori della tensione di progetto per la verifica di saldature a cordone d’angolo con sezione di gola considerata nell’effettiva posizione.

Classe dell’acciaio della piastra S 275 S 355 S 420 S 460 404,71 453,33 416,00 432,00

fd,MD,1 [N/mm2]

S 235 360,00

fd,MD,2 [N/mm2]

259,20

309,60

367,20

374,40

388,80

207,85

233,66

261,73

240,18

249,42

2

fd,MS [N/mm ]

Il metodo riportato per la verifica della sezione di gola ribaltata (metodo ribaltato) prevede che, indicate con n⊥ e con t⊥ rispettivamente la tensione normale e la tensione tangenziale perpendicolari all’asse del cordone, siano soddisfatte entrambe le seguenti condizioni: n⊥2 + t⊥2 + t/2/ ≤ fd , MR,1 (= E1 ⋅ fyk )

(9.18a)

n⊥ + t⊥ ≤ fd , MR,2 (= E2 ⋅ fyk )

(9.18b)

in cui fd,MR,1 e fd,MR,2 rappresentano le tensione di progetto da utilizzare per la verifica in accordo al metodo ribaltato (Tabella 9.2), fyk è la tensione di snervamento caratteristica dell’acciaio mentre i coefficienti b1 e b2 dipendono dalla classe di acciaio. Tabella 9.2 Valori della tensione di progetto per la verifica di saldature a cordone d’angolo con sezione di gola ribaltata.

fd,MR,1 [N/mm2]

S 235 199,75

fd,MR,2 [N/mm2]

235,00

Classe dell’acciaio della piastra S 275 S 355 S 420 S 460 192,50 248,50 260,40 285,20 233,75

301,75

315,00

345,00

Il soddisfacimento delle diseguaglianze appena presentate equivale ad assumere, come dominio di resistenza, una sfera (detta sfera mozza) alla quale sono stata asportate le calotte in corrispondenza degli assi della terna cartesiana (Figura 9.19). Figura 9.19 Il dominio della sfera mozza.

261

Applicazioni

Applicazione 9.1 Verifica di un’unione testa a testa

Si verifichi il giunto saldato testa a testa indicato in Figura 9.20 (le dimensioni sono espresse in millimetri). Il valore del carico assiale di progetto allo stato limite ultimo, N, è di 700 kN e i piatti collegati (di dimensioni 180 · 20 mm) sono in acciaio S 235. Il giunto è di classe 2. Figura 9.20 Unione saldata a trazione.

Procedura

La verifica dell’unione saldata con cordone di tipo testa a testa viene sviluppata valutando la resistenza della sezione di gola. Soluzione

Verifica dell’unione saldata (Equazione 9.16): N V⊥

VA

700 ⋅ 10 3

a⋅ L 20 ⋅ 180 194, 4 N/mm 2 ≤ 360 N/mm 2 ( fd , MD,1 ) 194, 4 N/mm 2 d 259, 2 N/mm 2 ( fd , MD ,2 ) La verifica di resistenza risulta soddisfatta

262

Capitolo 9: applicazioni

Applicazione 9.2 Determinazione della resistenza di un’unione saldata a cordoni d’angolo

Si determini la capacità portante del giunto saldato a cordoni d’angolo rappresentato nella Figura 9.21 (le dimensioni sono espresse in millimetri e a = 5 mm). Gli elementi sono realizzati in acciaio S 275. Figura 9.21 Unione saldata a trazione.

Procedura

La capacità portante dell’unione saldata con cordone d’angolo viene determinata assumendo l’ipotesi di sezione di gola ribaltata sul piano orizzontale, attraverso le seguenti fasi: • si calcola la tensione di progetto della saldatura e la si eguaglia alla tensione resistente; • si determina la resistenza dell’unione saldata. Soluzione

Si calcola la tensione massima sostenibile dalla saldatura (Equazione 9.18): Per l’acciaio S 275 si ha: nA2 + tA2 + t/2/ = nA d 192, 5 N/mm 2 (= fd , MR,1 ) |tA |+| nA |= nA d 233, 75 N/mm 2 (= fd , MR,2 ) Si assume come tensione resistente il valore minore (192,5 N/mm2) e si valuta quindi la resistenza dell’unione saldata e ribaltando la sezione di gola nel piano verticale. Dall’Equazione 9.3a: n⊥,y

F 2⋅ L⋅a

Le unioni saldate

si ricava la massima forza trasmissibile: F

n⊥,y ⋅ ( 2 ⋅ L ⋅ a)

192, 5 ⋅ ( 2 ⋅ 200 ⋅ 5) ⇒ 385 kN

La capacità portante risulta quindi di 385 kN.

Applicazione 9.3 Proporzionamento di un’unione saldata a cordoni d’angolo

Si progetti e si verifichi il giunto saldato rappresentato nella Figura 9.22 (le dimensioni sono espresse in millimetri). Il valore del carico assiale di progetto, agente sull’elemento in aggetto, valutato allo stato limite ultimo, è di 100 kN e i piatti collegati sono in acciaio S 235. Figura 9.22 Unione saldata inflessa.

Procedura

Il proporzionamento dell’unione saldata con cordone d’angolo viene sviluppato attraverso le seguenti fasi: • determinazione delle tensioni nella saldatura in funzione dell’altezza di gola (incognita); • scelta dell’altezza di gola in base alle condizioni di resistenza del materiale; • verifica dell’unione. Progetto

Determinazione dell’altezza di gola dei cordoni di saldatura. Si assume Lb = 100 mm e h = 200 mm. La sezione resistente dell’unione saldata viene ribaltata, per comodità sul piano verticale ortogonale all’elemento in aggetto ed è quindi interessata da tensioni tangenziali τ⁄⁄ legate al taglio (Equazione 9.6a) e da tensioni normali σ⊥ associate alla flessione (Equazione 9.6b). W//

F

100 ⋅ 10 3

250

2⋅ a⋅ h

2 ⋅ a ⋅ 200

a

263

264

Capitolo 9: applicazioni

3 ⋅ F ⋅ Lb

n⊥, max

a⋅h

3 ⋅ (100 ⋅ 10 3 ) ⋅ 100

2

a ⋅ 200

750

2

a

Sostituendo i valori esplicitati delle tensioni agenti sulle sezioni resistenti e in base ai criteri di resistenza da utilizzare per l’unione, si determina l’altezza di gola, incognita del problema della progettazione. Imponendo le condizioni limite che la tensione ideale eguagli il limite di resistenza del materiale (Equazione 9.18) si ottiene: 2

2

§ 750 ·¸ § 250 ·¸ ¸¸ + ¨¨ ¸¸ = 790, 57 = n + t = ¨¨¨ ¸ ¨ © a ¹ © a ¸¹ a 2 = 199, 75 N/mm (= fd , MR,1 ) 2 A

2 //

da questa condizione si ottiene a = 3,96 mm Imponendo la seconda condizione, risulta: | nA |+ tA =

750 a

= 235 N/mm 2 (= fd , MR,2 )

da questa condizione si ottiene a = 3,19 mm Per i cordoni di saldatura si sceglie quindi un’altezza di gola a = 5 mm. 9HULÀFD

Ribaltando le sezioni di gola nel piano verticale, si hanno le seguenti tensioni, associate rispettivamente a taglio (τ//) e azione flettente (n⊥,max): W//

F

100 ⋅ 10 3

2 ⋅ ( a ⋅ L)

2 ⋅ 5 ⋅ 200

n⊥, max

3 ⋅ F ⋅ Lb a⋅h

2

50 N/mm 2

3 ⋅ 100 ⋅ 10 3 ⋅ 100 5 ⋅ 200

2

150 N/mm 2

Si procede quindi alla verifica in accordo al criterio della sfera mozza: nA2 + t/2/ = (150)2 + (50)2 = = 158, 11 N/mm 2 d 199, 75 N/mm 2 (= fd , MR,2 ) nA + tA = 150 < 235 N/mm 2 (= fd , MR,1 ) L’unione saldata risulta verificata

265

10 I giunti

10.1 Premessa La concezione delle tipologie di giunzione da utilizzare in una costruzione in acciaio costituisce una fase estremamente importante e delicata della progettazione. L’onere economico associato alle giunzioni includendo, oltre ai costi delle lavorazioni in officina, anche la manodopera in cantiere richiesta per l’assemblaggio delle componenti, può incidere in modo non indifferente sul costo globale della struttura. Come per il dimensionamento di tutti gli elementi strutturali precedentemente introdotti, anche in questo caso deve esserci sempre una buona rispondenza tra le ipotesi di comportamento adottate in fase di progettazione e l’effettiva risposta delle giunzioni in opera. Figura 10.1 Articolazione per il collegamento dell’impalcato di un ponte galleggiante.

10.2 Articolazioni e giunti Una classificazione delle giunzioni può essere effettuata in funzione degli effetti prodotti dagli spostamenti relativi tra i pezzi da collegare. In dettaglio, si individuano:

266

Capitolo 10

• le articolazioni, che consentono, nelle usuali condizioni di esercizio, spostamenti relativi tra i pezzi collegati senza però provocare plasticizzazioni localizzate negli elementi costituenti il collegamento. (Figura 10.1), Le articolazioni, diffuse e comuni nel mondo delle costruzioni in acciaio fino ai primi decenni del secolo scorso, sono ancora frequentemente utilizzate soltanto per applicazioni particolari quali appoggi per ponti e viadotti o sistemi speciali destinati a sorreggere macchinari industriali o strutture con componenti in movimento; • i giunti, che non consentono invece spostamenti relativi tra gli elementi collegati, a meno che non si generino plasticizzazioni locali nei dettagli che realizzano le unioni (Figura 10.2). Figura 10.2 Esempio di giunto trave-colonna.

Di seguito l’attenzione verrà rivolta prevalentemente ai giunti. In funzione della loro resistenza, posta in relazione a quella degli elementi collegati, si possono individuare: • giunti a parziale ripristino di sollecitazione, quando costituiscono zone di minore resistenza strutturale, ossia quando trasferiscono soltanto un’aliquota delle componenti di sollecitazione che possono essere sopportate dalla membratura più debole; • giunti a completo ripristino di sollecitazione, se consentono il trasferimento dei massimi valori di sollecitazione che possono essere assorbiti dal profilato più debole, ossia la crisi avviene sempre nell’elemento meno resistente e non nel giunto.

10.3 Giunti intermedi La struttura intelaiata in acciaio nasce dall’assemblaggio di elementi monodimensionali, lavorati in officina e assemblati in sito. In aggiunta alle problematiche associate ai giunti di estremità, necessari per la costruzione dell’ossatura portante spaziale, spesso si ha l’esi-

I giunti

genza di realizzare giunti intermedi tra elementi la cui lunghezza non può eccedere i limiti di trasportabilità associati alla movimentazione delle merci su gomma. Di seguito verranno considerate le seguenti tipologie di giunti intermedi: • giunti trave-trave; • giunti colonna-colonna. 10.3.1 Giunti trave-trave

I giunti intermedi tra travi possono costituire, come anche per tutte le altre tipologie di giunto, soluzioni a parziale o completo ripristino delle sollecitazioni. Di seguito è privilegiata la descrizione di alcune tipiche soluzioni di giunti intermedi a completo ripristino tra travi aventi le medesime dimensioni trasversali, in quanto maggiormente significative per una trattazione generale del problema. In dettaglio, con riferimento alla Figura 10.3, è possibile individuare: • giunto con piastre in acciaio (flange) saldate all’estremità di ogni trave e bullonate tra loro (a); • giunto con piastre coprigiunto d’ala e d’anima bullonate in opera (b); • giunto con piastre coprigiunto saldate (c); • giunto con saldature di testa nelle ali e nell’anima delle estremità delle travi collegate (d). Figura 10.3 Esempi di giunti intermedi tra travi.

L’assenza di alcune delle componenti strutturali (le piastre coprigiunto d’ala o d’anima nelle soluzioni b e c di Figura 10.3) rendono il giunto a parziale ripristino di sollecitazione.

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Capitolo 10

10.3.2 Giunti colonna-colonna

I giunti intermedi tra le colonne sono nella maggior parte dei casi compressi o presso-inflessi e di conseguenza anche la problematica dell’instabilità deve essere tenuta in debita considerazione in fase progettuale. Alcune tipiche soluzioni sono illustrate nella Figura 10.4 valide nel caso in cui le dimensioni delle sezioni trasversali varino tra loro in modo non sensibile. Figura 10.4 Esempi di giunti per colonne.

Tra i tipi più ricorrenti di giunti intermedi, si individuano: • giunto con doppie piastre coprigiunto d’ala e d’anima bullonate (a); • giunto con doppie piastre coprigiunto d’ala bullonate (b); • giunto con piastra coprigiunto d’ala e piastre coprigiunto d’anima bullonate (c); • giunto per contatto con piastre coprigiunto d’ala interne al profilo e saldate con cordoni d’angolo (d);

I giunti

• giunto per contatto con piastre coprigiunto d’ala interne al profilo e bullonate (e); • giunto per contatto con flangia saldata all’estremità della colonna inferiore e colonna superiore (f ); • giunto per solo contatto tra flange saldate all’estremità di ogni colonna (g). Nelle soluzioni a, b e c le estremità delle colonne non sono a contatto tra loro e pertanto le azioni vengono trasmesse mediante i dettagli che realizzano le unioni (piastre coprigiunto e bulloni). Nei giunti per contatto è invece necessario che le estremità delle travi siano state adeguatamente lavorate in officina, in modo da creare una zona di contatto di area pari a quella della sezione trasversale del profilo più piccolo. Le piastre coprigiunto presenti nelle soluzioni d ed e, usualmente saldate o bullonate all’estremità della colonna inferiore, hanno la sola funzione di facilitare l’assemblaggio in opera del giunto. Quando le sezioni trasversali delle colonne hanno dimensioni trasversali diverse, è invece sempre necessario disporre almeno una piastra intermedia tra gli elementi longitudinali. Nella Figura 10.5 vengono proposte, a titolo di esempio, le seguenti tipiche soluzioni: • giunto con piatto saldato in stabilimento alla colonna inferiore e irrigidito da costole verticali, saldate allo scopo di evitare concentrazioni di sforzi (a); Figura 10.5 Giunti intermedi per colonne con differenti sezioni trasversali.

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Capitolo 10

• giunto con piatto saldato in stabilimento all’estremità della colonna inferiore, irrigidito da costole verticali (in corrispondenza delle ali della colonna superiore) sostenute da costole orizzontali saldate (b); • giunto rastremato saldato sia in officina a un’estremità della colonna sia in opera all’estremità dell’altra colonna (c).

10.4 Giunti d’estremità Esistono differenti tipologie di giunti di estremità, classificabili in base agli elementi che vengono collegati. Di seguito ci si riferirà ai seguenti tipi: • giunti tra travi; • giunti tra trave e colonna; • giunti di attacco per controventi; • giunti di base delle colonne. 10.4.1 Giunti tra travi

Tra le possibili soluzioni di collegamento tra trave principale e trave secondaria, nella Figura 10.6 ne vengono di seguito proposte alcune estremamente ricorrenti. In dettaglio, sono considerate: • giunto con angolari d’anima, bullonati all’anima sia della trave principale sia di quella secondaria. L’ala della trave secondaria è posizionata a una quota inferiore rispetto a quella della trave principale (a); • giunto con angolari d’anima, saldati all’anima della trave secondaria e bullonati a quella della trave principale. Anche in questo caso le ali superiori delle due travi sono a quote diverse (b); • giunto con angolari bullonati all’anima sia della trave principale sia di quella secondaria. Questa soluzione differisce dalla prima poiché le ali superiori delle travi sono posizionate alla medesima quota. Risulta pertanto necessaria, rispetto ai casi precedenti l’asportazione (mortesatura, detta anche scantonamento) di parte dell’anima e dell’ala superiore della trave secondaria, in prossimità del giunto (c); • giunto con un piatto saldato all’anima della trave secondaria e bullonato a quella della trave principale (d); • giunto con un piatto saldato all’estremità della trave secondaria e bullonato a una flangia saldata alla trave principale opportunamente irrigidita da costole trasversali alle estremità (e); • giunto con un piatto saldato all’anima della trave principale e bullonato a quella della trave secondaria (f ).

I giunti

Figura 10.6 Tipici giunti tra trave principale e trave secondaria.

10.4.2 Giunti tra trave e colonna

I giunti trave-colonna possono essere realizzati collegando la trave all’ala della colonna oppure vincolandola alla sua anima. Nella Figura 10.7 sono presentati alcuni tipici collegamenti all’ala della colonna. In dettaglio, le soluzioni considerate sono: • giunto con angolari bullonati all’ala della colonna e all’anima della trave (a); • giunto con un piatto saldato in aggetto alla colonna e bullonato

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Capitolo 10

all’anima della trave (b); • giunto con una piastra saldata a parte di anima all’estremità della trave e bullonata alla colonna (c); • giunto con una piastra saldata con cordoni di saldatura sia d’anima sia d’ala, alla trave e bullonata alla colonna (d). Tutte le tipologie di giunto trave-colonna possono presentare costolature di irrigidimento del pannello d’anima nella colonna, in corrispondenza della ali della trave, spesso necessarie per non creare zone preferenziali di debolezza del giunto. Ulteriori soluzioni di giunto, comunque altrettanto ricorrenti nel mondo delle costruzioni metalliche, sono di seguito presentate anche in funzione delle loro prestazioni statiche (vedi Paragrafo 10.5). Figura 10.7 Giunti trave-colonna.

I giunti

10.4.3 Giunti per elementi di controventi

Le giunzioni tra le membrature principali e gli elementi che realizzano i controventi trasferiscono forze tra elementi differentemente orientati. Usualmente il dimensionamento dei controventi viene eseguito considerando gli elementi diagonali soggetti soltanto ad azioni assiali, ossia ipotizzando sempre cerniere alle loro estremità. Come già visto a proposito delle travature reticolari (vedi Paragrafo 7.2), l’intersezione degli assi baricentrici degli elementi che convergono nella giunzione deve coincidere con il punto nel quale è stato ipotizzato il vincolo, al fine di evitare azioni concentrate che agiscono con eccentricità non previste in fase di progetto (Figura 7.6). Figura 10.8 Giunti per controventi orizzontali.

Nella Figura 10.8 vengono proposte alcune soluzioni per i controventi orizzontali, ossia controventi di piano o di copertura. Gli elementi diagonali sono usualmente bullonati a una piastra orizzontale (collare) opportunamente sagomata in modo da essere collegata a più elementi dell’ossatura principale. Se non si hanno interferenze con il

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Capitolo 10

solaio soprastante, il collare può essere posizionato all’estradosso delle travi (soluzioni a e c rappresentate nella Figura 10.8); altrimenti devono essere ideate e realizzate soluzioni differenti come quella di prevedere l’attacco delle piastre orizzontali all’anima o all’ala inferiore della trave. Con riferimento ai controventi verticali, alcune soluzioni di attacco delle componenti del controvento sono riportate nella Figura 10.9. Figura 10.9 Giunti per controventi verticali.

Per il controvento a croce di Sant’Andrea sono proposti i dettagli tipici per gli attacchi al nodo trave-colonna (A) e per l’incrocio tra le diagonali (B), relativi al caso in cui queste siano realizzate con profilati doppi oppure con linee d’asse complanari. In quest’ultimo caso (soluzione B) una diagonale deve essere interrotta mentre l’altra è invece passante. Le soluzioni presentate per il controvento a K sono relative ai dettagli degli attacchi delle diagonali alla trave (C) e alla colonna (D). 10.4.4 Giunti di base

In tutte le moderne costruzioni le fondazioni, ossia l’elemento di contatto tra la struttura vera e propria e il terreno, sono sempre in conglomerato cementizio. Nelle costruzioni in acciaio, una componente sempre presente nel giunto di base della colonne è la piastra in acciaio. Questa è saldata all’estremità inferiore della colonna, e usualmente poggia su uno strato di malta di livellamento, all’estradosso della fondazione. In quest’ultima vengono annegati i tirafondi (barre in acciaio filettate alle estremità) unitamente a eventuali perni di centraggio che agevolano la fase di assemblaggio del giunto di base stesso. Quando sulla colonna agiscono soltanto forze di compressione (Figura 10.10a) la trasmissione dell’azione assiale avviene per contatto tra piastra di base e colletto di fondazione. Se sulla colonna agiscono anche azioni flettenti e di taglio, allora i tirafondi, come

I giunti

pure i cordoni di saldatura, assolvono anche una funzione statica e pertanto devono essere opportunamente dimensionati. Nel caso in cui i valori di queste azioni siano contenuti, la soluzione con tirafondi in prossimità degli spigoli delle piastre (Figura 10.10b) risulta molto pratica ed economicamente conveniente. Se invece alla base della colonna convergono diagonali di controvento (Figura 10.10c) in grado di trasferire una significativa componente tagliante al giunto di base, devono essere previste specifiche piastre saldate per consentirne l’attacco. Con elevate forze di compressione alla base della colonna lo spessore della piastra del giunto può essere ridotto introducendo opportune costole di irrigidimento verticale (soluzioni c e d rappresentate nella Figura 10.10). Figura 10.10 Giunti di base.

Le azioni taglianti, possono essere trasmesse alla fondazione dalla piastra di base per attrito, eventualmente dai tirafondi (anche se alcune normative lo proibiscono esplicitamente) oppure per contatto, nel caso di forze di notevole entità, mediante specifici dettagli simili a quelli rappresentatati nella Figura 10.11. La soluzione a è relativa a un tronco di profilato, identico a quella della colonna, saldato all’intradosso della piastra della fondazione e annegato nel getto di completamento. La soluzione b prevede la saldatura di costole di irrigidimento alla piastra di base della fondazione.

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Capitolo 10

Figura 10.11 Giunti di base soggetti ad elevati valori di azione tagliante.

10.4.5 Giunti tra elementi in acciaio ed elementi in calcestruzzo

Negli edifici in acciaio siano essi multipiano oppure capannoni industriali, i controventi verticali possono essere costituiti, in alternativa a specifici sistemi in acciaio, dai vani scala o da pareti a taglio in conglomerato cementizio armato. Nasce quindi l’esigenza di vincolare efficacemente le componenti in acciaio alle pareti del controvento in calcestruzzo. Nella Figura 10.12 vengono proposte alcune pratiche soluzioni per i collegamenti di elementi di differente materiale. In dettaglio, si individuano i seguenti casi: • giunto con incavo nella parete del controvento e dispositivo di centraggio, sicuramente conveniente per l’assemblaggio della trave metallica ma impegnativo nella fase di realizzazione della parete in conglomerato (a); • giunto con piastra annegata nella parete e con una piastra ortogonale in aggetto alla quale viene saldata in opera la trave (b); • giunto con piastra annegata nella parete vincolata a una piastra ortogonale (o un angolare) in aggetto alla quale viene bullonata la trave (c); • giunto con piastra annegata nella parete, dotata di sella a sostegno della trave in fase di montaggio, e solidale a un piatto ortogonale o a un angolare in aggetto (di dimensioni ridotte rispetto al caso precedente in quanto è presente anche una sella in grado di assorbire una quota del taglio all’estremità della trave) al quale è bullonata la trave (d); • giunto con piastra annegata all’interno della parete e con una parte in aggetto alla quale viene bullonata la trave metallica (e); • giunto con piastra fissata in opera alla parete di calcestruzzo e bullonata alla trave (f ). Per queste le soluzioni devono essere previsti idonei sistemi di vincolo delle componenti metalliche alla parete in calcestruzzo, mediante barre, profilati o dispositivi di connessione, opportunamente sagomati allo scopo di garantire la perfetta solidarizzazione tra i due materiali.

I giunti

Figura 10.12 Giunti tra elementi in acciaio e pareti in conglomerato cementizio.

10.5 Dimensionamento dei giunti Il dimensionamento dei giunti rappresenta una fase estremamente importante e delicata dell’intera progettazione. Errori o discrepanze tra quanto previsto teoricamente e le effettive caratteristiche prestazionali del giunto in opera possono infatti generare stati tensionali sugli elementi della struttura, pericolosi in quanto non considerati in fase progettuale. Si intende con nodo il punto di intersezione tra gli assi di due o più elementi. Facendo riferimento alla Figura 10.13, relativa a un nodo tra due travi e una colonna interna di un sistema intelaiato piano, si distinguono le seguenti componenti: • il collegamento, ossia il dettaglio o l’insieme degli elementi che rendono possibile l’unione tra due differenti membrature (piastre, angolari, bulloni o cordoni di saldatura); • il giunto, ossia la zona in prossimità del collegamento in cui si manifestano interazioni specifiche tra gli elementi collegati; oltre al collegamento appartengono quindi al giunto anche il tronco d’estremità della trave e la parte di colonna in prossimità del collegamento; • la zona nodale, ossia la zona individuata da tutti i giunti che concorrono nel nodo.

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Capitolo 10

Figura 10.13 Definizione di zona nodale, giunto e collegamento.

Una trattazione rigorosa della problematica del dimensionamento del nodo è sicuramente complessa e onerosa dal punto di vista computazionale. L’approccio correntemente seguito considera, in via semplificata, isolatamente ogni giunto e cumula gli effetti associati nelle componenti interessate da più giunti. In ogni nodo lo stato di deformazione è per sua natura complesso e può comportare distorsioni locali significative. Pensando a un sistema intelaiato spaziale, lo stato tensio-deformativo di un giunto trave-colonnna perimetrale (ossia relativo a una colonna d’estremità) dovrebbe essere a rigore descritto con riferimento alle sei componenti di sollecitazione interna e alle sei relative componenti di deformazione (Figura 10.14). Figura 10.14 Tipico stato tensiodeformativo del nodo trave-colonna.

In realtà negli edifici a uso civile e industriale l’impiego di profilati a doppio T e l’uso di solai sufficientemente rigidi nel piano, rendono possibile l’adozione di ipotesi semplificative che consentono, comunque con accuratezza soddisfacente ai fini progettuali, la descrizione della risposta del giunto mediante la sola relazione che ne

I giunti

governa il comportamento rotazionale nel piano del telaio, ossia la relazione Mz-\z, di seguito semplicemente indicata come relazione M-\. Come già introdotto nel Paragrafo 2.2.3, la rotazione \ è intesa come rotazione relativa tra trave e colonna (Figura 10.15), ossia come differenza tra quella della trave (eb ) e quella della colonna (ec ). Figura 10.15 Tipica relazione momento-rotazione per un giunto trave-colonna.

La tipica legge momento-rotazione del giunto, (M-\), ricavata su base sperimentale oppure mediante raffinati modelli teorici, ha l’andamento riportato nella Figura 10.15. In dettaglio, è possibile osservare, come tratti caratterizzanti: • una fase elastica iniziale con comportamento pressoché lineare caratterizzato da un unico valore di rigidezza rotazionale Ci e delimitata dal momento al limite elastico Me; • una fase post-elastica successiva con una rigidezza Cred , sensibilmente inferiore a quella precedente a causa delle plasticizzazioni locali e di altri fenomeni non lineari. Al termine di questa fase viene raggiunto il momento plastico del giunto Mp; • un’eventuale fase, definita incrudente, in cui il valore dell’azione flettente sul giunto può ancora aumentare fino al raggiungimento della sua capacità portante Mu, con una rigidezza rotazionale Cp, ulteriormente ridotta rispetto alla precedente; • un tratto perfettamente plastico fino al collasso di una delle componenti del giunto, o al raggiungimento di livelli di rotazione elevati, oltre valori di interesse per pratiche applicazioni progettuali. Ogni giunto ha una propria legge momento-rotazione e pertanto dovrebbe, a rigore, essere considerato come semi-rigido. In realtà, le differenze associate a una progettazione rigorosa in cui viene considerato l’effettivo comportamento del giunto rispetto a una semplificata (riferita quindi ai vincoli ideali di cerniera o di incastro) possono essere a volte veramente modeste. Pertanto l’uso dei tradizionali modelli di telaio pendolare o di telaio a nodi rigidi risulta in questi casi ancora possibile e ragionevolmente a favore di sicurezza.

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Capitolo 10

10.5.1 I giunti a cerniera

Nelle costruzioni in acciaio viene spesso adottato il modello di telaio pendolare e quindi i dettagli dei collegamenti del giunto tra trave e colonna devono essere caratterizzati da una capacità portante flessionale e da un’adeguata capacità rotazionale. La cerniera può essere realizzata adottando soluzioni differenti a livello di dettagli costruttivi. Nella Figura 10.16 ne sono riportate alcune, ricorrenti nei telai pendolari, e in particolare: • collegamento con una piastra saldata all’ala (o all’anima) della colonna e bullonata all’anima della trave (a); • collegamento con angolari bullonati all’ala (o all’anima) della colonna e all’anima della trave (b); • collegamento con una piastra saldata a parte di anima della trave e bullonato all’ala (o all’anima) della colonna (c); • collegamento con angolari bullonati all’ala (o all’anima) della colonna e all’anima della trave. Oltre ai dettagli della soluzione b è presente anche un angolare bullonato all’ala inferiore della trave per facilitare la fase di assemblaggio del giunto in opera (d); • collegamento per profili tubolari con una piastra saldata in aggetto alla colonna alla quale vengono bullonati piatti in acciaio che consentono il collegamento con l’anima della trave (e); • collegamento che garantisce la continuità della trave e il trasferimento di sola azione assiale alla colonna, costituito da una piastra saldata all’estremità della colonna e bullonato all’ala inferiore della trave (f ). Figura 10.16 Giunti trave-colonna schematizzabili a cerniera.

I giunti

Nei collegamenti schematizzati come cerniere devono essere sempre utilizzati almeno due bulloni. Un unico bullone non è in grado di trasferire aliquote anche modeste di azione flettente conseguenti alle eccentricità sempre presenti associate ai dettagli che realizzano il collegamento (Applicazioni 10.2 e 10.3). Figura 10.17 Schemi di calcolo per sistemi pendolari.

Nonostante venga adottato il modello di telaio pendolare, il giunto risulta infatti impegnato da azioni flettenti. Al riguardo, si consideri la trave di Figura 10.17 collegata alle sue estremità alle colonne di larghezza hc mediante angolari d’ala, ossia mediante il tipo di collegamento b della Figura 10.16. Nell’usuale ipotesi che i vincoli siano individuati dalle intersezioni tra le linee baricentriche degli elementi, il dimensionamento della trave viene effettuato facendo riferimento a una lunghezza L superiore a quella effettiva della trave (L-hc) a causa dell’ingombro delle colonne. Con riferimento invece ai collegamenti, sulla base del modello di calcolo teorico devono essere dimensionati per trasferire, oltre che il taglio, anche una quota di azione flettente dovuta all’eccentricità tra il punto in cui è ipotizzata la cerniera e la sezione del collegamento in esame. Definito Ri il valore della reazione vincolare all’estremità della trave ipotizzata soggetta a un carico uniformente distribuito pari a p, si hanno le seguenti azioni interne, in termini di taglio (T ) e di momento flettente (M ) sulle sezioni significative del collegamento:

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Capitolo 10

• sezione a filo dell’ala della colonna (sezione x-x): Tx−x M x−x

Ri − p ⋅ Ri ⋅

hc 2

hc

−

(10.1a)

≈ Ri

2

p ⋅ hc2 8

Ri ≈ Ri ⋅

hc 2

(10.1b)

• sezione in corrispondenza della foratura d’anima della trave (sezione y-y): ⎛h ⎞⎟ ⎜ Ty−y = Ri − p⎜⎜⎜ c + e⎟⎟⎟ ≈ Ri (10.2a) ⎝2 ⎠ 2

⎞⎟ ⎛h ⎜⎜ c ⎟⎟ ⋅ + p e ⎛h ⎞⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎜ c 2 ⎟ M y−y = Ri ⎜⎜ + e⎟⎟ − ≈ ⎝2 ⎠ 2 ⎛h ⎞⎟ ⎜ ≈ Ri ⋅ ⎜⎜⎜ c + e⎟⎟⎟ ⎝2 ⎠

(10.2b)

I bulloni della sezione x-x risultano quindi soggetti ad azione tagliante e ad azione assiale conseguente all’azione flettente agente. I bulloni della sezione y-y trasferiscono invece l’azione flettente per taglio. Considerando una luce di calcolo della trave maggiormente rispondente alla realtà (ossia L-hc ) e al contempo volendo ridurre l’eccentricità dell’azione tagliante è possibile ipotizzare la cerniera allocata in corrispondenza dell’ala della colonna. I bulloni del collegamento della sezione x-x risultano soggetti soltanto ad azione tagliante mentre quelli della sezione y-y trasferiscono un’azione flettente, pari a: M y−y

Ri ⋅ e −

p ⋅ e2 2

≈ Ri ⋅ e

(10.3)

In questo caso però le colonne risultano presso-inflesse in quanto, per effetto dell’eccentricità della reazione Ri rispetto all’asse della colonna, ogni giunto esercita un’azione flettente di entità pari a Ri ⋅ hc/2. Quando la posizione della cerniera è invece in corrispondenza della sezione forata nell’anima della trave, ossia nella sezione y-y, la luce di calcolo risulta ulteriormente ridotta. In questo caso però nella sezione x-x del collegamento agisce anche un’azione flettente, di entità pari a Ri·e e la colonna risulta presso-inflessa da un’azione assiale con eccentricità pari a e+hc/2.

I giunti

10.5.2 I giunti rigidi

Impiegando nodi rigidi non viene ammessa alcuna rotazione relativa tra trave e colonna e i dettagli del nodo devono di conseguenza consentire il trasferimento alla colonna delle azioni flettenti alle estremità della trave. Figura 10.18 Contributi deformativi in giunti rigidi.

La soluzione più immediata per realizzare un giunto rigido è quella di saldare la sezione d’estremità della trave direttamente all’ala o all’anima della colonna. Questo nodo è sensibile a due modalità di collasso che si possono manifestare per carichi a volte sostanzialmente più bassi rispetto a quelli che provocano il raggiungimento della capacità portante a flessione e a taglio dell’elemento più debole. In dettaglio, si può avere il cedimento dell’anima della colonna (Figura 10.18a) per schiacciamento o instabilità oppure, in corrispondenza della zona della trave tesa, l’ala può inflettersi o l’anima può distaccarsi dall’ala (Figura 10.18b). Per incrementare le caratteristiche prestazionali di questo tipo di giunto si inseriscono costole di irrigidimento della colonna in corrispondenza delle ali della trave. Nella Figura 10.19 sono proposte alcune ricorrenti soluzioni di nodo rigido tra trave e colonna e, in particolare: • nodo di sommità per colonna perimetrale con costole di irrigidimento. In questo caso l’ala inferiore della trave è saldata alla colonna e ha un piatto d’estremità e una costolatura intermedia in corrispondenza delle ali della colonna (a); • nodo di sommità per colonna perimetrale preparato irrigidendo con costole e piastre forate le estremità di trave e colonna, e bullonato (b); • nodo di sommità per colonna perimetrale realizzato saldando

283

284

Capitolo 10

piatti forati, inclinati rispetto all’asse baricentrico di trave e colonna, e bullonandoli in opera (c); • nodo interno trave-colonna con trave saldata all’ala della colonna e costole di irrigidimento interne alla colonna in corrispondenza delle ali della trave (d); • nodo interno trave-colonna con piastra forata saldata all’estremità della trave e bullonata all’ala della colonna, dotata come nel caso precedente di irrigidimenti d’anima (e); • nodo tra la trave alla cui estremità viene saldata una piastra forata in aggetto e l’anima della colonna preventivamente forata (f ). Figura 10.19 Tipici giunti rigidi.

10.5.3 I giunti semi-rigidi

Fino a pochi anni or sono i giunti venivano distinti in rigidi o cerniere in base ai loro dettagli costruttivi, prescindendo dalle loro caratteristiche geometriche o da quelle meccaniche del materiale delle componenti. Una rigorosa classificazione del giunto dovrebbe però essere fatta in base a criteri specifici, come quello proposto dall’Eurocodice 3, al fine di evitare grossolane approssimazioni nella fase di modellazione.

I giunti

A titolo di esempio si propongono di seguito alcuni risultati di una ricerca svolta presso l’Università di Trento sulla risposta di differenti tipologie di collegamento. Nella Figura 10.20 sono rappresentate le curve di comportamento, in termini di relazione momento-rotazione, di alcuni collegamenti provati, individuati per comodità dai seguenti acronimi: • TSC = giunto con angolari d’ala (Top and Seat Cleated Connection); • FPC = giunto con piastra saldata in spessore di trave (Flush end Plate Connection); • EPC = giunto con piastra saldata estesa oltre l’ala tesa della trave (Extended end Plate Connection); • EPB = giunto con piastra saldata estesa oltre entrambe le ali della trave (Extended end Plate on Both side). Figura 10.20 Relazione momento rotazione per alcune ricorrenti tipologie di collegamento.

Tali relazioni sono state adimensionalizzate secondo il criterio dell’EC3 con riferimento ad una lunghezza di trave di 6 m. Si osserva che, i collegamenti di tipo EPBC e EPC tradizionalmente sono considerati rigidi mentre la sperimentazione ha dimostrato che, variando lo spessore del piatto del collegamento (da 12 mm per EPBC-1 a 18 mm per EPBC-2 e EPC-1) si incrementa sensibilmente la capacità portante anche se questa è comunque sempre collocata nella regione

285

286

Capitolo 10

dei giunti semi-rigidi. L’adozione del modello di telaio semi-continuo provoca una distribuzione delle azioni interne compresa tra quelle associate al modello di telaio pendolare e di telaio a nodi rigidi. Nel caso in cui il giunto trave-colonna sia classificato come semirigido, allora è necessario tenerne in conto in fase di analisi strutturale l’influenza dell’effettivo comportamento del giunto. Nella Figura 10.21 sono proposte alcune soluzioni per la modellazione di giunti trave-colonna semi-rigidi, differenti per raffinatezza e complessità. Figura 10.21 Modellazione di giunti semi-rigidi.

Un approccio sicuramente semplice e adeguato allo scopo, soprattutto quando non viene richiesta una notevole accuratezza nei risultati dell’analisi strutturale, è quello di simulare il giunto di rigidezza rotazionale C con una trave corta equivalente (Figura 10.21a) di momento di inerzia Ib definito come: Ib

C ⋅ Lb E

(10.4)

I giunti

in cui Lb rappresenta la zona di estensione del giunto Lb = hc/2, individuata dalla semi-larghezza della colonna. Disponendo invece di raffinati codici di calcolo a elementi finiti dotati dell’elemento molla rotazionale, questo può essere impiegato per una modellazione diretta della giunzione (Figura 10.21b) la cui rigidezza rotazionale diventa il parametro caratterizzante l’elemento molla. Nel caso in cui il codice consenta analisi non lineari è possibile rappresentare la risposta del giunto con gradi di raffinatezza differenti, a seconda delle specifiche esigenze (Figura 10.21).

287

288

Capitolo 10: applicazioni

Applicazioni

Applicazione 10.1 Verifica del giunto di corrente di una trave reticolare

Si verifichi il giunto indicato in Figura 10.22a (le dimensioni sono espresse in millimetri) appartenente al corrente (Figura 10.22b) di una trave reticolare. Il corrente, costituito da un profilo a doppio T saldato, è soggetto a un’azione assiale di trazione N pari a 2250 kN, valutata allo stato limite ultimo. Le ali del profilo e le piastre coprigiunto sono costituite da piatti di larghezza 340 mm e spessore 16 mm, in acciaio S 275. L’anima della trave è realizzata con un piatto di 260 mm x 12 mm in acciaio S 275. I bulloni, di diametro 24 mm e classe 10.9, non sono preserrati e sono posizionati in fori dal diametro di 25,5 mm. Nella Tabella 10.1 sono presentati i valori di progetto delle tensioni per i tipi di acciaio che realizzano il giunto. Figura 10.22 L’unione bullonata oggetto dell’applicazione.

(a)

(b) Tabella 10.1 Classi di resistenza e caratteristiche dei materiali.

Materiale acciaio S 275 Classe 10.9

Tensioni di progetto Normale Tangenziale fd = 261,9 N/mm2 od = 151,2 N/mm2 fd = 720 N/mm2

od = 400 N/mm2

Procedura

A seguito del controllo dimensionale sulla geometria del giunto si procede a effettuare le seguenti verifiche: • verifica in corrispondenza della sezione non forata; • verifica in corrispondenza della sezione forata; • verifica a taglio sul bullone; • verifica a rifollamento.

I giunti

6ROX]LRQH

Controllo dimensionale della geometria del collegamento Con riferimento alle prescrizioni dimensionali dal NTC (Figura 8.16), essendo d = 24 mm e tmin = 16 mm, si ha: • interasse dei fori in direzione della forza p1,0: 160 mm < 14 · 16 (= 224 mm) 160 mm < 200 mm • interasse dei fori in direzione della forza p1,i: 280 mm < 28 · 16 (= 448 mm) 280 mm < 400 mm • interasse dei fori in direzione perpendicolare della forza p2: 80 mm < 14 · 16 (= 224 mm) 80 mm < 200 mm 80 mm > 2,4 · 25,5 (= 61,2 mm) • distanza fori dal bordo libero, in direzione della forza e1: 60 mm < 4 · 16 + 40 (= 104 mm) 60 mm > 1,2 · 25,5 (= 30,6 mm) • distanza fori dal bordo libero in direzione perpendicolare alla forza e2: 50 mm < 4 · 16 + 40 (= 104 mm) 50 mm > 1,2 · 25,5 (= 30,6 mm) Tutte le verifiche dimensionali risultano soddisfatte

Verifica in corrispondenza delle sezioni non forate Area lorda del profilo saldato: Ab = 2 ⋅ bf ⋅ tf + bw ⋅ tw = = 2 ⋅ 340 ⋅ 16 + 260 ⋅ 12 = 14000 mm 2 Area lorda delle piastre di giunto: 2 ⋅ (bp ⋅ tp )

Af

2 ⋅ 340 ⋅ 16

10880 mm 2

Per la verifica della sezione trasversale netta si considera il valore minore tra l’area lorda del profilo e quella dei piatti che realizzano il giunto, quindi Af , e viene fatto riferimento a fd = fyk/amo Vn =

N Af

=

2250 ⋅ 10 3

=

10880

= 206, 80 N/mm 2 < 261, 9 N/mm 2 (= fd ) La verifica sulle sezioni non forate risulta soddisfatta

289

290

Capitolo 10: applicazioni

Verifica del giunto in corrispondenza della sezione forata Essendo i fori per i dispositivi di giunzione tra loro sfalsati (Figura 10.23), l’area totale da dedurre in ogni piastra coprigiunto per la valutazione dell’area netta (Ae ) è assunta pari al minimo tra l’area corrispondente a un percorso rettilineo ( pedice 1), che interessa 2 fori, e l’area corrispondente a una spezzata ( pedice 2), che interessa 4 fori. Il coefficiente moltiplicativo 2 nei calcoli per la valutazione di Ae è dovuto ai contributi di entrambi le ali (o egualmente delle 2 piastre coprigiunto). Figura 10.23 Percorsi per la determinazione della’area netta.

Ae1

2 ⋅ [ 340 − 2 ⋅ ( 25, 5)] ⋅ 16

9248 mm 2

Ae2 = 2 ⋅ {[( 2 ⋅ 50) + ( 2 ⋅ 80 2 + 80 2 + 80 ] ⋅ ⋅16 − 4 ⋅ ( 25, 5 ⋅ 16)} = 9737 mm 2 L’area netta Ae vale quindi: Ae

min( Ae1 , Ae 2 )

9248 mm 2

Per la verifica della sezione trasversale netta si considera il valore minore tra l’area lorda del profilo e quella dei piatti e viene fatto riferimento alla tensione di progetto fd valutata in base alla tensione ultima del piatto come: fd

0, 9 fuk

309, 6 N/mm 2

Jm2 Vn

N

2250 ⋅ 10 3

Ae

9248

243, 30 N/mm 2 ≤ 309, 6 N/mm 2 ( fd ) La verifica sulla sezione forata risulta soddisfatta

I giunti

Verifica di resistenza a taglio sul bullone (Equazione 8.18b) Ogni bullone ha un’unica sezione resistente sulla quale insiste un’azione tagliante pari a: Vv

Wb

N

1 ⋅

2 nb

2250 1 ⋅ 2 10

Vv

112, 5 ⋅ 10 3

Ares

353

112, 5 kN

318, 70 N/mm 2 ≤ 400 N/mm 2 ( W d ) La verifica di resistenza a taglio sul bullone risulta soddisfatta

Verifica di resistenza a rifollamento (Equazioni 8.3 e 8.22) Verifica di resistenza a rifollamento (Equazione 8.3): per bulloni di bordo: ⎛ 60 1000 ⎞⎟ ; ; 1, 0⎟⎟ 0, 78 Drif min ⎜⎜⎜ ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⋅ 25, 5 430 krif

⎛ 2, 8 ⋅ 50 ⎞⎟ min ⎜⎜⎜ − 1, 7; 2, 5⎟⎟ ⎟⎠ ⎜⎝ 25, 5

2, 5

per bulloni di interni: ⎛ 160 ⎞⎟ 1000 Drif min ⎜⎜⎜ − 0, 25; ; 1, 0⎟⎟ ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⋅ 25, 5 430 krif

⎛ 1, 4 ⋅ 80 ⎞⎟ min ⎜⎜⎜ − 1, 7; 2, 5⎟⎟ ⎟⎠ ⎜⎝ 25, 5

V rif

Drif ⋅ krif ⋅ fd ,rif

V rif

Vv

1, 0

2, 5

0, 78 ⋅ 2, 5 ⋅ 344

670, 8 N/mm 2

112, 5 ⋅ 10 3

16 ⋅ 24 t⋅d 292, 97 N/mm 2 ≤ 670, 8 N/mm m 2 ( V rif ) La verifica di resistenza a rifollamento risulta soddisfatta Il giunto di corrente è verificato

Applicazione 10.2 Proporzionamento di un giunto tra trave principale e trave secondaria

Si progetti e quindi si verifichi il giunto d’estremità tra una trave principale (IPE 600) e una trave secondaria (IPE 500), appartenenti a un sistema pendolare. Entrambe le membrature sono in acciaio S

291

292

Capitolo 10: applicazioni

275 e le ali delle due travi, alla medesima quota, sostengono un solaio misto in acciaio e calcestruzzo. Si sceglie la tipologia f di Figura 10.6, in cui il giunto è realizzato con un piatto in aggetto saldato all’anima della trave principale con due cordoni frontali longitudinale e collegati con bulloni non preserrati non preserrati all’anima della trave secondaria (di spessore 10,2 mm). Il giunto è soggetto a un’azione verticale, valutata con le combinazioni di carico agli stati limite ultimi, FV = 100 kN. Si precisa che nel modello di calcolo è stata ipotizzata una cerniera in corrispondenza della linea d’asse della trave principale (il cui spessore è 12 mm). Per i bulloni si scelga la classe 8.8 e nella Tabella 10.2 sono riportate le tensioni di progetto per i materiali impiegati nel giunto. Tabella 10.2 Classi di resistenza e caratteristiche dei materiali.

Materiale acciaio S 275 Classe 8.8

Tensioni di progetto Normale Tangenziale fd = 261,9 N/mm2 od = 151,2 N/mm2 fd = 576 N/mm2

od = 384 N/mm2

Procedura

Il progetto viene eseguito calcolando prima il numero di bulloni, quindi dimensionando il piatto di collegamento e il cordone di saldatura. La verifica viene condotta riferendosi dapprima alla bullonatura e successivamente al cordone di saldatura, al piatto di collegamento e all’anima forata della trave. In dettaglio, a seguito del calcolo delle sollecitazioni nelle componenti resistenti, sono effettuate le seguenti verifiche: • verifica dimensionale del giunto; • verifica a taglio del bullone; • determinazione delle sollecitazioni sul bullone; • verifica a rifollamento; • verifica del cordone di saldatura; • verifica a flessione del piatto. Progetto

Relativamente al collegamento si sceglie per il piatto uno spessore di 10 mm, essendo lo spessore dell’anima pari a 10,2 mm (in questo caso il criterio è quello di scegliere uno spessore simile o superiore a quello dell’anima della trave) ed un acciaio S 275 (si cerca, per quanto possibile di utilizzare componenti della medesima classe di acciaio). Per i bulloni si sceglie il diametro di 20 mm (il diametro dei fori è di 21,5 mm) aventi area resistente (Tabella 8.5) di 245 mm2. Calcolo del numero di bulloni (si assume una sezione resistente essendoci un solo piano di contatto tra la piastra e l’anima della trave secondaria).

I giunti

Dalla condizione di verifica: Fv W ≤ Wd nf ⋅ nb ⋅ Ares si ricava: nb

Fv

100 ⋅ 10 3

nf ⋅ Ares ⋅W d

1 ⋅ 245 ⋅ 384

1, 06

La scelta del numero di bulloni è stata effettuata trascurando l’azione flettente dovuta all’eccentricità della bullonatura rispetto all’asse dell’anima della trave principale (in cui è posizionata la cerniera nel modello di calcolo). A favore di sicurezza si scelgono quindi 3 bulloni. La geometria del collegamento viene determinata in base alle prescrizioni dimensionali riportate al Paragrafo 8.3.1 (Figura 8.16). Essendo d0 = 21,5 mm e tmin = 10 mm, si ha: • interasse dei fori in direzione della forza (p): interasse dei fori in direzione della forza p1: p1 ≤ 14 · 10 (= 140 mm) p1 ≤ 200 mm p1 ≥ 2,2 · 21,5 (= 47,3 mm) Si sceglie un valore p1 = 60 mm distanza fori dal bordo libero, in direzione della forza e1: e1 ≤ 4 · 10 + 40 (= 80 mm) e1 ≥ 1,2 · 21,5 (= 25,8 mm) Si sceglie un valore e1 = 40mm distanza fori dal bordo libero in direzione perpendicolare alla forza e2: e2 ≤ 4 · 10 + 40 (= 80 mm) e2 ≥ 1,2 · 21,5 (= 25,8 mm) Si sceglie un valore e2 = 40mm La distanza tra l’asse della bullonatura e il bordo della trave secondaria è posta pari a 40 mm mentre la distanza tra il bordo della trave secondaria e l’anima della trave principale è di 10 mm. Il piatto di collegamento ha quindi altezza 200 mm, larghezza 90 mm e spessore 10 mm (Figura 10.24). Figura 10.24 Dettagli del giunto tra trave principale e trave secondaria.

293

294

Capitolo 10: applicazioni

Per il dimensionamento dei cordoni di saldatura si considera un’unione con due cordoni d’angolo frontali. Si assume come incognita l’altezza di gola a. Il cordone è sollecitato da tensioni tangenziali e da tensioni normali (vedi Paragrafo 9.3.2). L’azione tagliante Fv ha eccentricità e = 6 mm (metà spessore dell’anima della trave principale) rispetto al punto in cui è posizionato il vincolo di cerniera. La sezione resistente dell’unione saldata viene ribaltata, per comodità sul piano verticale ed è quindi interessata da tensioni tangenziali legate al taglio (Equazione 9.6a) e da tensioni normali associate alla flessione (Equazione 9.6b). t/ /

Fv

(100 ⋅ 10 3 )

250

2⋅ a⋅ h

2 ⋅ a ⋅ 200

a

n⊥, max

3 ⋅ Fv ⋅ e a⋅ h

2

3 ⋅ (100 ⋅ 10 3 ) ⋅ 6 a ⋅ 200

2

45 a

Sostituendo i valori esplicitati delle tensioni agenti sulle sezioni resistenti e in base al criterio di resistenza da utilizzare per la verifica dell’unione saldata, si determina l’altezza di gola, incognita del problema della progettazione. Imponendo le condizioni limite che la tensione ideale eguali i limiti di resistenza del materiale (Equazione 9.18) si ottiene: 2 2 § 45 ·¸ § 250 ·¸ 254 2 2 ¨ ¨ ¸ ¸ nA + t/ / = ¨¨ ¸¸ + ¨¨ = ¸¸ = ©a¹ © a ¹ a = 192, 5 N/mm 2 (= fd , MR,1 ) nA + tA =

45 a

= 233, 75 N/mm 2 (= fd , MR,2 )

Dalla prima condizione si ottiene a = 1,32 mm mentre la seconda fornisce a = 0,19 mm. Si sceglie un’altezza di gola a = 6 mm, abbondantemente superiore al valore minimo calcolato, essendo comunque di norma i cordoni di saldatura con altezza di gola mai inferiore ai 3-4 mm. 9HULÀFD

Il giunto progettato è illustrato in Figura 10.24 (le dimensioni sono espresse in millimetri). Si procede al controllo dimensionale del collegamento. Con riferimento alle prescrizioni dimensionali del NTC (Figura 8.16), essendo d0 = 21,5 mm e tmin = 10 mm, si ha: • interasse dei fori in direzione perpendicolare della forza p1:

I giunti

60 mm < 14 · 10 (= 238 mm) 60 mm < 200 mm 60 mm > 2,2 · 21,5 (= 47,3 mm) • distanza fori dal bordo libero, in direzione della forza e1: 40 mm < 4 · 10 + 40 (= 80 mm) 40 mm > 1,2 · 21,5 (= 25,8 mm) • distanza fori dal bordo libero in direzione perpendicolare alla forza e2: 40 mm < 4 · 10 + 40 (= 80 mm) 40 mm > 1,2 · 21,5 (= 25,8 mm) Tutte le verifiche dimensionali risultano soddisfatte

Determinazione delle sollecitazioni sul bullone La sollecitazione globale V è generata dal contributo verticale dovuto all’azione tagliante (Fv) e dal contributo orizzontale dovuto all’eccentricità tra l’asse della foratura e l’anima della trave (VT). La forza verticale sul bullone in base all’Equazione 8.5 vale: Vv

Fv

100 ⋅ 10 3

3

3

33333 N

La massima forza orizzontale sul bullone in base all’Equazione 8.6 vale: ( Fv ⋅ b) ⋅ ai

VT , Max = =

nf ⋅ ∑ in=1 ai2

=

[(100 ⋅ 10 3 ) ⋅ (50 + 6)] ⋅ 60 2 ⋅ 60 2

= 46667 N

V = Vv2 + VT2, Max = 33333 2 + 46667 2 = 57348 N

Verifica a taglio del bullone (Equazione 8.18b) V W nf ⋅ Ares W

57348 1 ⋅ 245

≤ Wd 234, 07 N/mm 2 ≤ 384 N/mm 2 ( W d )

Verifica a rifollamento (Equazione 8.3 e Equazione 8.22) dei bulloni di bordo Drif

⎛ 40 800 ⎞⎟ min ⎜⎜⎜ ; ; 1, 0⎟⎟ ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⋅ 21, 5 430

0, 62

295

296

Capitolo 10: applicazioni

krif

⎛ 2, 8 ⋅ 40 ⎞⎟ – 1, 7; 2, 5⎟⎟ min ⎜⎜⎜ ⎟⎠ ⎜⎝ 21, 5

V rif

Drif ⋅ krif ⋅ fd ,rif

V rif

Vv

57348

t⋅d

10 ⋅ 20

2, 5

0, 62 ⋅ 2, 5 ⋅ 344

533, 3 N/mm 2

286, 74 N/mm 2 ≤ 533, 3 N/mm 2 ( V rif )

Resistenza del cordone d’angolo dell’unione saldata Si valuta la tensione normale e quella tangenziale nei cordoni di saldatura: Fv ⋅ e W ⎡⎢ ⎛⎜ a ⋅ h 3 ⎞⎟⎤⎥ 2 ⎟ ⎢ 2 ⋅ ⎜⎜⎝ 12 ⎟⎟⎠⎥ ⋅ h ⎣ ⎦ 3 100 ⋅ 10 ⋅ 6 7, 50 N/mm m2 ⎡ ⎛ 6 ⋅ 200 3 ⎞⎤ 2 ⎟⎟⎥ ⎢ 2 ⋅ ⎜⎜ ⎢ ⎜⎝ 12 ⎟⎠⎟⎥ ⋅ 200 ⎦ ⎣ Fv 100 ⋅ 10 3 t/ / 41, 67 N/mm 2 2 ⋅ a ⋅ h 2 ⋅ 6 ⋅ 200 n⊥

M

Si procede quindi alla verifica in accordo del criterio della sfera mozza (Equazione 9.18 e Figura 9.19): (7, 5)2 + (41, 67)2 = = 42, 34 N/mm 2 d 192, 50 N/mm 2 (= fd , MR,1 ) 7, 5 N/mm 2 d 233, 75 N/mm 2 ( fd , MR,2 ) L’unione saldata risulta verificata

Resistenza a flessione del piatto Per potere valutare lo stato tensionale è necessario calcolare le caratteristiche prestazionali del piatto in corrispondenza della sezione forata, in termini di momento di inerzia (Ip) e modulo di resistenza (Wp): Ip Wp

10 ⋅ 200 3 12 Ip 100

− 2 ⋅ (10 ⋅ 21, 5 ⋅ 60 2 )

51, 19 ⋅ 10 3 mm 4

511, 87 ⋅ 10 4 mm 4

I giunti

V max =

M

=

(100 ⋅ 10 3 ) ⋅ (50 + 6)

Wp

51, 19 ⋅ 10 3

=

= 109, 40 N/mm 2 ≤ 261, 9 N/mm 2 (= fd ) Il piatto è verificato Il giunto è verificato

Applicazione 10.3 Verifica di un giunto trave-colonna.

Si verifichi il giunto in Figura 10.25 (le dimensioni sono in millimetri), appartenente a una struttura intelaiata pendolare. Sul giunto agisce un’azione di taglio Fv = 75 kN applicata in corrispondenza dell’intersezione tra l’asse longitudinale delle trave e quello della colonna (dove è stata ipotizzata la cerniera nel modello di calcolo). I bulloni hanno diametro 16 mm (l’area resistente è 157 mm2) e sono di classe 10.9 non preserrati. I fori hanno diametro 17 mm. Trave (profilo IPE 400, la cui anima ha spessore di 8,6 mm), colonna (profilo HE 200 B, la cui larghezza è 200 mm) ed angolari (a lati uguali 90 x 9 mm) sono realizzati in acciaio S 355. Le tensioni di progetto dei materiali impiegati nel giunto sono riportate in Tabella 10.3 La distanza tra l’estremità della trave ed il filo esterno della colonna è 5 mm. Figura 10.25 Dettagli del giunto trave-colonna.

Tabella 10.3 Classi di resistenza e caratteristiche dei materiali.

Materiale acciaio S 355 Classe 10.9

Tensioni di progetto Normale Tangenziale fd = 338,1 N/mm2 od = 195,2 N/mm2 fd = 720 N/mm2

od = 400 N/mm2

Procedura

La verifica viene sviluppata riferendosi dapprima ai bulloni e successivamente agli angolari e all’anima forata della trave. In dettaglio, a seguito del controllo dimensionale sulla geometria del giunto è effettuato il calcolo delle sollecitazioni nelle componenti resistenti.

297

298

Capitolo 10: applicazioni

A seguito del controllo dimensionale del collegamento le verifiche vengono differenziate per le due sezioni critiche in corrispondenza alle forature degli angolari: a) per la sezione di attacco tra angolari e anima della trave (ogni bullone ha 2 sezioni resistenti): • determinazione delle sollecitazioni sul collegamento; • verifica della resistenza a taglio del bullone; • verifica a rifollamento sull’angolare; • verifica a rifollamento sull’anima della trave. b) per la sezione di attacco tra angolari e ala della colonna (ogni bullone ha 1 sezione resistente) si procede alla: • determinazione delle sollecitazioni sul collegamento; • verifica a taglio e trazione dei bulloni. 6ROX]LRQH

Controllo della geometria del collegamento In base alle prescrizioni dimensionali dal NTC (Figura 8.16), essendo d0 = 17 mm e tmin = 8,6 mm, si ha: • interasse dei fori in direzione perpendicolare della forza p1: 50 mm < 14 · 8,6 (=120,4 mm) 50 mm < 200 mm 50 mm > 2,2 · 17(=37,4 mm) • distanza fori dal bordo libero, in direzione della forza e1: 40 mm < 4 · 8,6 + 40 (=74,4 mm) 40 mm > 1,2 · 17 (=20,4 mm) • distanza fori dal bordo libero in direzione perpendicolare alla forza e2: 45 mm < 4 · 8,6 + 40 (=74,4 mm) 45 mm > 1,2 · 17 (=20,4 mm) Tutte le verifiche dimensionali risultano soddisfatte a) sezione di attacco tra angolari e anima della trave. Sollecitazione agente sul collegamento: Fv

75 kN

T = Fv ⋅(45 mm + hc / 2) = 75 ⋅ (45 + 100) = = 10875 kNmm = 10, 875 kN Nm La sollecitazione dovuta al taglio su ognuno dei due piani di contatto di ogni bullone vale (Equazione 8.5): Vv

Fv

75000

nv ⋅ nb

2⋅4

9375 N

I giunti

La sollecitazione massima dovuta al momento sui bulloni d’estremità (Equazione 8.6): VT , Max =

T ⋅ ai nv ⋅ ∑ in=1 ai2

=

(10, 875 ⋅ 106 ) ⋅ 75 2 ⋅ [ 2 ⋅ ( 25 2 + 75 2 )]

= 32625 N

La sollecitazione sulla sezione resistente del bullone maggiormente sollecitato vale: V = Vv2 + VT2, Max = 9375 2 + 32625 2 = 33945 N Verifica a taglio del bullone (Equazione 8.1b): V

33945

Ares

157

W

216, 2 N/mm 2 d 400 N/mm 2 ( W d ) La verifica è soddisfatta

Verifica a rifollamento sull’angolare (Equazione 8.3 e Equazione 8.22): ⎛ 40 1000 ⎞⎟ ; ; 1, 0⎟⎟⎟ 0, 78 Drif min ⎜⎜⎜ ⎝ 3 ⋅ 17 510 ⎠ krif

⎛ 2, 8 ⋅ 45 ⎞⎟ min ⎜⎜⎜ − 1, 7; 2, 5⎟⎟⎟ ⎝ 17 ⎠

V rif

Drif ⋅ krif ⋅ fd ,rif

V rif

Vv

33945

t⋅d

9 ⋅ 16

2, 5

0, 78 ⋅ 2, 5 ⋅ 408

795, 6 N/mm 2

235, 73 N/mm 2 ≤ 795, 6 N/mm 2 ( V rif ) La verifica è soddisfatta

Verifica a rifollamento sull’anima della trave (Equazione 8.3 e Equazione 8.22): La sollecitazione trasmessa attraverso l’anima della trave in corrispondenza del bullone maggiormente sollecitato è doppia rispetto a quella considerata per l’analoga verifica sull’angolare (in quanto i piani di contatto sono due). ⎛ 40 1000 ⎞⎟ ; ; 1, 0⎟⎟⎟ 0, 78 Drif min ⎜⎜⎜ ⎝ 3 ⋅ 17 510 ⎠

299

300

Capitolo 10: applicazioni

krif

⎛ 2, 8 ⋅ 45 ⎞⎟ min ⎜⎜ − 1, 7; 2, 5⎟⎟⎟ ⎜⎝ 17 ⎠

V rif

Drif ⋅ krif ⋅ fd ,rif

V rif

2, 5

0, 78 ⋅ 2, 5 ⋅ 408

Vv

2 ⋅ 33945

t⋅d

8, 6 ⋅ 16

795, 6 N/mm 2

493, 38 N/mm 2 ≤ 795, 6 N/mm 2 ( V rif ) La verifica è soddisfatta

b) sezione di attacco tra angolari e ala della colonna. Sollecitazione agente sul collegamento: V

75 kN

T

V ⋅ ( hc / 2)

75 ⋅ (100)

7500 kNmm

7, 5 kNm

Sollecitazioni agenti sui bulloni: in questa sezione i bulloni sono sollecitati da taglio e trazione. La sollecitazione dovuta al taglio vale (Equazione 8.5): V

75000

nf ⋅ nb ⋅ Ares

1 ⋅ 8 ⋅ 157

W

59, 71 N/mm 2

Relativamente alla sollecitazione di trazione si procede determinando la posizione dell’asse neutro rispetto al bordo inferiore degli angolari (Equazione 8.12): ⎤ ⎡ 2 n ⎛ n ⎞⎟ ⎥ 1 ⎢⎢ n ⎜ x= ⋅ −∑ A + ⎜⎜∑ Abi ⎟⎟ + (4 ⋅ B) ⋅ ∑ ( Abi ⋅ yi ) ⎥ ⎥ ⎟⎠ ⎜⎝ i=1 2 ⋅ B ⎢⎢⎣ i=1 bi i=1 ⎥⎦ 1 x= ⋅ [−(8 ⋅ 157) + 2·90 + (8 ⋅ 157)2 + (4 ⋅ 90) ⋅ ( 2 ⋅ 157) ⋅ (40 + 90 + 140 + 190)] = = 33, 686 mm Tutti i bulloni sono interessati da forze di trazione e si determina il momento di inerzia della sezione reagente (Equazione 8.13): J=

( 2 ⋅ B) ⋅ x 3 3

n

+ ∑ Abi ⋅ ( yi − x)2 i=1

( 2 ⋅ 90) ⋅ 33, 686 3

+ ( 2 ⋅ 157) ⋅ [(40 − 33, 686)2 + 3 +(90 − 33, 686)2 + (140 − 33, 686)2 + (190 − 33, 686)2 ] J=

I giunti

J = 2293593 + 12229541 = 14523134 mm 4 Si valutano quindi la tensione massima di compressione sulla piastra in acciaio e la massima forza di trazione sui bulloni (Equazione 8.14): Forza di compressione sulla piastra di acciaio: (7, 5 ⋅ 106 ) ⋅ 33, 686

M ⋅x V max

J 1452, 3 ⋅ 10 4 17, 40 N/mm 2 ≤ 338, 1 N/mm 2 ( fd ) La verifica è soddisfatta

Tensione sui bulloni (Equazione 8.15 e Equazione 8.19): M ⋅ Abi ⋅( ymax − x)

N max

J (7, 5 ⋅ 106 ) ⋅ 157 ⋅ (190 − 33, 686) 1452, 3 ⋅ 10 4

V

N max

12674

A

157

12674 N

80, 73 N/mm 2 d 720 N/mm 2 ( fd )

Verifica a taglio e trazione sui bulloni (Equazione 8.20): V

W +

1, 4 ⋅ fd 80, 73 1, 4 ⋅ 720

≤1

Wd +

59, 71

= 0, 080 + 0, 149 = 0, 229 ≤ 1

400 La verifica è soddisfatta Il giunto è verificato

301

Appendice A

IPE 80 IPE 100 IPE 120 IPE 140 IPE 160 IPE 180 IPE 200 IPE 220 IPE 240 IPE 270 IPE 300 IPE 330 IPE 360 IPE 400 IPE 450 IPE 500 IPE 550 IPE 600

Profilo

80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300 330 360 400 450 500 550 600

h

Tabella A.1

46 55 64 73 82 91 100 110 120 135 150 160 170 180 190 200 210 220

b

[m2/m] [cm4] [cm3] [cm]

J = Momento di inerzia

W = Modulo di resistenza

i

Caratteristiche geometriche dei profilati IPE

Sx = Momento statico di metà sezione [cm3]

= Raggio di inerzia

U 0,3 0,4 0,5 0,6 0,6 0,7 0,8 0,8 0,9 1,0 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,9 2,0

U = Area di contorno

6,0 8,1 10,0 13,0 16,0 19,0 22,0 26,0 31,0 36,0 42,0 49,0 57,0 66,0 78,0 91,0 106,0 122,0

p

[kg/m]

7,6 10,0 13,0 16,0 20,0 24,0 29,0 33,0 39,0 46,0 54,0 63,0 73,0 85,0 99,0 116,0 134,0 156,0

A

p = Peso per metro

5 7 7 7 9 9 12 12 15 15 15 18 18 21 21 21 24 24

r

[cm2]

5 6 6 7 7 8 9 9 10 10 11 12 13 14 15 16 17 19

tf

A = Area del profilo

4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 9 10 11 12

mm tw

Dimensioni geometriche

80,1 171,0 318,0 541,0 869,0 1 317,0 1 943,0 2 772,0 3 892,0 5 790,0 8 356,0 11 770,0 16 270,0 23 130,0 33 740,0 48 200,0 67 120,0 92 080,0

Jx 20,0 34,2 53,0 77,3 109,0 146,0 194 ,0 252,0 324,0 429,0 557,0 713,0 904,0 1 160,0 1 500,0 1 930,0 2 440,0 3 070,0

X - X Wx 3,2 4,1 4,9 5,7 6,6 7,4 8,3 9,1 10,0 11,2 12,5 13,7 15,0 16,5 18,5 20,4 22,3 24,3

ix 8,5 15,0 27,7 44,9 68,3 101,0 142,0 205,0 284,0 420,0 604,0 788,0 1 043,0 1 318,0 1 676,0 2 142,0 2 668,0 3 387,0

Jy

Assi di riferimento

3,6 5,8 8,7 12,3 16,7 22,2 28,5 37,3 47,3 62,2 80,5 99,0 123,0 146,0 176,0 214,0 254,0 308,0

Y - Y Wy 1,1 1,2 1,5 1,7 1,8 2,1 2,2 2,5 2,6 3,0 3,4 3,6 3,8 4,0 4,1 4,3 4,5 4,7

iy 11,6 19,7 30,4 44,2 61,9 83,2 110,0 145,0 183,0 242,0 314,0 402,0 510,0 654,0 851,0 1 100,0 1 390,0 1 760,0

Sx

304 Appendice A

HEA 100 HEA 120 HEA 140 HEA 160 HEA 180 HEA 200 HEA 220 HEA 240 HEA 260 HEA 280 HEA 300 HEA 320 HEA 340 HEA 360 HEA 400 HEA 450 HEA 500 HEA 550 HEA 600 HEA 650 HEA 700 HEA 800 HEA 900 HEA1000

Profilo

96 114 133 152 171 190 210 230 250 270 290 310 330 350 390 440 490 540 590 640 690 790 890 990

h

Tabella A.2

100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300

Caratteristiche geometriche dei profilati HEA

2

= Raggio di inerzia

[cm]

[cm4]

[cm3]

J = Momento di inerzia

134 231 389 616 925 1 340 1 950 2 770 3 670 4 760 6 310 6 990 7 440 7 890 8 560 9 470 10 370 10 820 11 270 11 720 12 180 12 640 13 550 14 000

Sx = Momento statico di metà sezione [cm3]

4,1 4,9 5,7 6,6 7,5 8,3 9,2 10,1 11,0 11,9 12,7 13,6 14,4 15,2 16,8 18,9 21,0 23,0 25,0 26,9 28,8 32,6 36,3 40,0

27 38 56 77 103 134 178 231 282 340 421 466 496 526 571 631 691 721 751 782 812 843 903 934

Y - Y Wy

[m /m]

73,0 106,0 155,0 220,0 294,0 389,0 515,0 675,0 836,0 1 010,0 1 260,0 1 480,0 1 680,0 1 890,0 2 310,0 2 900,0 3 550,0 4 150,0 4 790,0 5 470,0 6 240,0 7 680,0 9 480,0 11 190,0 W = Modulo di resistenza

349 606 1 030 1 670 2 510 3 690 5 410 7 760 10 450 13 670 18 260 22 930 27 690 33 090 45 070 63 720 86 970 111 900 141 200 175 200 215 300 303 400 422 100 553 800

Jy

U = Area di contorno

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,8 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,7 2,8 2,9 3,1

ix

Assi di riferimento

i

17 20 25 30 36 42 51 60 68 76 88 98 105 112 125 140 155 166 178 190 204 224 252 272

Jx

X - X Wx

[kg/m]

21,2 25,3 31,4 38,8 45,3 53,8 64,3 76,8 86,8 97,3 113,0 124,0 133,0 143,0 159,0 178,0 198,0 212,0 226,0 242,0 260,0 286,0 321,0 347,0

U

p = Peso per metro

12 12 12 15 15 18 18 21 24 24 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 30 30 30

p

[cm2]

8 8 9 9 10 10 11 12 13 13 14 16 17 18 19 21 23 24 25 26 27 28 30 31

r

A

A = Area del profilo

5,0 5,0 5,5 6,0 6,0 6,5 7,0 7,5 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,5 15,0 16,0 16,5

Dimensioni geometriche mm tf b tw 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,3 6,0 6,5 7,0 7,5 7,5 7,5 7,4 7,3 7,3 7,2 7,2 7,1 7,0 6,8 6,7 6,5 6,4

iy 41,5 59,7 86,7 123,0 162,0 215,0 284,0 372,0 460,0 556,0 692,0 814,0 925,0 1 040,0 1 280,0 1 610,0 1 970,0 2 310,0 2 680,0 3 070,0 3 520,0 4 350,0 5 410,0 6 410,0

Sx

Caratteristiche geometriche dei profilati in acciaio 305

HEB 100 HEB 120 HEB 140 HEB 160 HEB 180 HEB 200 HEB 220 HEB 240 HEB 260 HEB 280 HEB 300 HEB 320 HEB 340 HEB 360 HEB 400 HEB 450 HEB 500 HEB 550 HEB 600 HEB 650 HEB 700 HEB 800 HEB 900 HEB1000

Profilo

100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 400 450 500 550 600 650 700 800 900 1 000

h

Tabella A.3

100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300

Caratteristiche geometriche dei profilati HEB

[cm]

[cm4]

= Raggio di inerzia

J = Momento di inerzia

2

[cm3]

167 318 550 889 1 360 2 000 2 840 3 920 5 130 6 590 8 560 9 240 9 690 10 140 10 820 11 720 12 620 13 080 13 530 13 980 14 440 14 900 15 820 16 280

Sx = Momento statico di metà sezione [cm3]

4,2 5,0 5,9 6,8 7,7 8,5 9,4 10,3 11,2 12,1 13,0 13,8 14,6 15,5 17,1 19,1 21,2 23,2 25,2 27,1 29,0 32,8 36,5 40,1

33 53 79 111 151 200 258 327 395 471 571 616 646 676 721 781 842 872 902 932 963 994 1 050 1 090

Y - Y Wy

[m /m]

90 144 216 311 426 570 776 938 1 150 1 380 1 680 1 930 2 160 2 400 2 880 3 550 4 290 4 970 5 700 6 480 7 340 8 880 10 980 12 890 W = Modulo di resistenza

450 864 1 510 2 490 3 830 5 700 8 090 11 260 14 920 19 270 25 170 30 820 36 660 43 190 57 680 79 890 107 200 136 700 171 000 210 600 256 900 359 100 494 100 644 700

Jy

U = Area di contorno

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,8 1,9 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,7 2,9 3,1

ix

Assi di riferimento

i

20,4 26,7 33,7 42,6 51,2 61,3 72,0 83,0 93,0 103,0 117,0 127,0 134,0 142,0 155,0 171,0 187,0 199,0 212,0 225,0 241,0 262,0 291,0 314,0

Jx

X - X Wx

[kg/m]

26,0 34,0 43,0 54,3 65,3 78,1 91,0 106,0 118,0 131,0 149,0 161,0 171,0 181,0 198,0 218,0 239,0 254,0 270,0 286,0 306,0 334,0 371,0 400,0

U

p = Peso per metro

12 12 12 15 15 18 18 21 24 24 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 30 30 30

p

[cm2]

10 11 12 13 14 15 16 17 18 18 19 21 22 23 24 26 28 29 30 31 32 33 35 36

r

A

A = Area del profilo

6,0 6,5 7,0 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,5 14,0 14,5 15,0 15,5 16,0 17,0 17,5 18,5 19,0

Dimensioni geometriche mm tf b tw 2,5 3,1 3,6 4,1 4,6 5,1 5,6 6,1 6,6 7,1 7,6 7,6 7,5 7,5 7,4 7,3 7,3 7,2 7,1 7,0 6,9 6,7 6,5 6,4

iy 52 83 123 177 241 321 414 527 641 767 934 1 070 1 200 1 340 1 620 1 990 2 410 2 800 3 210 3 660 4 160 5 110 6 290 7 430

Sx

306 Appendice A

HEM 100 HEM 120 HEM 140 HEM 160 HEM 180 HEM 200 HEM 220 HEM 240 HEM 260 HEM 280 HEM 300 HEM 320 HEM 340 HEM 360 HEM 400 HEM 450 HEM 500 HEM 550 HEM 600 HEM 650 HEM 700 HEM 800 HEM 900 HEM1000

Profilo

106 126 146 166 186 206 226 248 268 288 310 309 309 308 307 307 306 306 305 305 304 303 302 302

Tabella A.4

120 140 160 180 200 220 240 270 290 310 340 359 377 395 432 478 524 572 620 668 716 814 910 1 008

h 75 112 157 212 277 354 444 657 780 914 1 250 1 280 1 280 1 270 1 260 1 260 1 250 1 250 1 240 1 240 1 240 1 230 1 220 1 220

Caratteristiche geometriche dei profilati HEM

p = Peso per metro

2

[cm2]

A = Area del profilo

= Raggio di inerzia [m /m]

399 703 1 140 1 760 2 580 3 650 5 010 8 150 10 450 13 160 19 400 19 710 19 710 19 520 19 340 19 340 19 150 19 160 18 980 18 980 18 860 18 630 18 450 18 460

[cm4]

4,6 5,5 6,4 7,3 8,1 9,0 9,9 11,0 11,9 12,8 14,0 14,8 15,6 16,3 17,9 19,8 21,7 23,6 25,6 27,5 29,3 33,1 36,7 40,3

Y - Y Wy

U = Area di contorno

190 288 411 566 748 967 1 220 1 800 2 160 2 550 3 480 3 800 4 050 4 300 4 820 5 500 6 180 6 920 7 660 8 430 9 200 10 870 12 540 14 330

Jy

J = Momento di inerzia

1 140 2 020 3 290 5 100 7 480 10 640 14 600 24 290 31 310 39 550 59 200 68 130 76 370 84 870 104 100 131 500 161 900 198 000 237 400 281 700 329 300 442 600 570 400 722 300

ix

[cm]

0,6 0,7 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 2,5 1,6 1,7 1,8 1,9 1,9 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,8 2,9 3,1

Jx

Sx = Momento statico di metà sezione [cm3]

42 52 63 76 89 103 117 157 172 189 238 245 248 250 256 263 270 278 285 293 301 317 333 349

U

i

53,2 66,4 80,6 97,1 113,0 131,0 149,0 200,0 220,0 240,0 303,0 312,0 316,0 319,0 326,0 335,0 344,0 354,0 364,0 374,0 383,0 404,0 424,0 444,0

p

[kg/m]

12 12 12 15 15 18 18 21 24 24 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 30 30 30

A

Assi di riferimento

[cm3]

20 21 22 23 24 25 26 32 33 33 39 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40

r

X - X Wx

W = Modulo di resistenza

12,0 12,5 13,0 14,0 14,5 15,0 15,5 18,0 18,0 18,5 21,0 21,0 21,0 21,0 21,0 21,0 21,0 21,0 21,0 21,0 21,0 21,0 21,0 21,0

Dimensioni geometriche mm tf b tw 2,7 3,3 3,8 4,3 4,8 5,3 5,8 6,4 6,9 7,4 8,0 8,0 7,9 7,8 7,7 7,6 7,5 7,4 7,2 7,1 7,0 6,8 6,6 6,5

iy 118 175 247 337 442 568 710 1 060 1 260 1 480 2 040 2 220 2 360 2 490 2 790 3 170 3 550 3 970 4 390 4 830 5 570 6 240 7 220 8 280

Sx

Caratteristiche geometriche dei profilati in acciaio 307

C 30x15 C 30x33 C 40x20 C 40x35 C 50x25 C 50x38 C 60x30 C 65x42 UPN 80 UPN 100 UPN 120 UPN 140 UPN 160 UPN 180 UPN 200 UPN 220 UPN 240 UPN 260 UPN 280 UPN 300

Profilo

h

30 30 40 40 50 50 60 65 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300

Tabella A.5

15 33 20 35 25 38 30 42 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

r 4,5 7,0 5,0 7,0 6,0 7,0 6,0 7,5 8,0 8,5 9,0 10,0 10,5 11,0 11,5 12,5 13,0 14,0 15,0 16,0

2,21 5,44 3,66 6,21 4,92 7,12 6,46 9,03 11,00 13,50 17,00 20,40 24,00 28,00 32,20 37,40 42,30 48,30 53,40 58,80

1,74 4,27 2,87 4,88 3,86 5,59 5,07 7,09 8,65 10,6 13,30 16,00 18,90 22,00 25,30 29,40 33,20 37,90 41,90 46,10

p 1,69 4,26 3,79 7,07 6,73 10,60 10,50 17,70 26,50 41,10 60,70 86,40 116,00 150,00 191,00 245,00 300,00 371,00 448,00 535,00

1,07 1,08 1,44 1,51 1,85 1,93 2,21 2,52 3,10 3,91 4,63 5,45 6,21 6,96 7,71 8,48 9,22 10,00 10,80 11,70

ix 0,385 5,10 1,14 6,68 2,49 9,10 4,51 14,00 19,40 29,20 43,10 62,50 85,10 114,00 148,00 196,00 247,00 317,00 398,00 493,00

Caratteristiche geometriche dei PROFILI a C

[cm]

[cm4]

J = Momento di inerzia

xG = Posizione del baricentro

Sx = Momento statico di metà sezione [cm3]

[cm]

i

[kg/m] [m2/m]

[cm3]

0,391 2,600 0,858 3,080 1,480 3,740 2,160 5,040 6,350 8,450 11,100 14,700 18,300 22,400 26,900 33,500 39,500 47,800 57,200 67,600

Y - Y Wy

U = Area di contorno

= Raggio di inerzia

Jy

Assi di riferimento

W = Modulo di resistenza

2,53 6,39 7,58 14,10 16,80 26,50 31,60 57,50 106,00 205,00 364,00 605,00 925,00 1354,00 1911,00 2691,00 3599,00 4824,00 6276,00 8028,00

Jx

X - X Wx

p = Peso per metro

[cm2]

4,5 7,0 5,5 7,0 6,0 7,0 6,0 7,5 8,0 8,5 9,0 10,0 10,5 11,0 11,5 12,5 13,0 14,0 15,0 16,0

A

A = Area del profilo

4,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 6,0 5,5 6,0 6,0 7,0 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,0 10,0

Dimensioni geometriche mm tf b tw iy 0,417 0,968 0,558 1,040 0,711 1,130 0,836 1,240 1,330 1,470 1,590 1,750 1,880 2,010 2,140 2,290 2,420 2,560 2,730 2,900

1,09 2,79 2,42 4,44 4,20 6,49 6,55 10,70 15,90 24,50 36,40 51,40 68,80 89,60 114,00 146,00 179,00 211,00 266,00 316,00

Sx 0,52 1,31 0,67 1,33 0,81 1,37 0,91 1,42 1,46 1,55 1,61 1,91 1,84 1,93 2,01 2,14 2,24 2,37 2,53 2,70

posiz. baric. xg

308 Appendice A

2 C 30x15 2 C 30x33 2 C 40x20 2 C 40x35 2 C 50x25 2 C 50x38 2 C 60x30 2 C 65x42 2 UPN 80 2 UPN 100 2 UPN 120 2 UPN 140 2 UPN 160 2 UPN 180 2 UPN 200 2 UPN 220 2 UPN 240 2 UPN 260 2 UPN 280 2 UPN 300

3,48 8,54 5,74 9,76 7,72 11,18 10,14 14,18 17,30 21,20 26,60 32,00 37,80 44,00 50,60 58,80 66,40 75,80 83,80 92,20

Tabella A.6

4,42 10,88 7,32 12,42 9,84 14,24 12,92 18,06 22,00 27,00 34,00 40,80 48,00 56,00 64,40 74,80 84,60 96,60 106,80 117,60

1,07 1,08 1,44 1,51 1,85 1,93 2,21 2,52 3,10 3,90 4,63 5,45 6,21 6,95 7,70 8,48 9,22 9,99 10,84 11,68

4,5 42,0 10,7 50,5 19,4 62,8 31,2 87,8 114,8 160,9 223,5 342,5 411,0 532,0 670,1 874,5 1 083,1 1 375,7 1 711,0 2 115,8

[cm3] [cm]

J = Momento di inerzia

W = Modulo di resistenza

I

Caratteristiche geometriche dei PROFILI a C accoppiati

tp = Spessore della piastra tra i due profili

= Raggio di inerzia

[kg/m] [cm4]

p = Peso per metro

3,01 28,00 5,33 25,27 7,76 25,13 10,40 27,02 28,70 32,17 37,25 48,93 51,38 59,11 67,01 79,50 90,25 105,82 122,21 141,05

1,01 1,97 1,21 2,02 1,40 2,10 1,55 2,21 2,28 2,44 2,56 2,90 2,93 3,08 3,23 3,42 3,58 3,77 4,00 4,24

5,4 45,8 12,3 55,0 21,9 68,0 34,7 94,6 123,2 171,6 237,5 361,8 433,0 558,7 701,7 913,3 1 128,5 1 430,2 1 774,6 2 189,9

3,59 30,56 6,15 27,48 8,75 27,20 11,57 29,10 30,80 34,33 39,59 51,68 54,13 62,08 70,17 83,02 94,05 110,01 126,76 145,99

Wy,c [cm3] 1,10 2,05 1,30 2,10 1,49 2,19 1,64 2,29 2,37 2,52 2,64 2,98 3,00 3,16 3,30 3,49 3,65 3,85 4,08 4,32

iy,c [cm]

Profilo composto - Asse y tp=10 mm

Wy,c [cm3] iy,c [cm] Jy,c [cm4]

[cm2]

3,37 8,52 7,58 14,10 13,44 21,20 21,07 35,38 53,00 82,00 121,33 172,86 231,25 300,89 382,20 489,27 599,83 742,15 896,57 1 070,40

Jy,c [cm4]

Profilo composto - Asse y tp=8 mm

A = Area del profilo

5,06 12,78 15,16 28,20 33,60 53,00 63,20 115,00 212,00 410,00 728,00 1 210,00 1 850,00 2 708,00 3 822,00 5 382,00 7 198,00 9 648,00 12 552,00 16 056,00

ix,c [cm]

Profilo composto - Asse x

Ac [cm2] Pc [kg/m] Jx,c [cm4] Wx,c [cm3]

Profilo composto

6,3 49,9 14,1 59,6 24,6 73,5 38,5 101,7 132,0 183,0 252,2 381,9 456,0 586,5 734,7 953,5 1 175,7 1 486,6 1 840,3 2 266,3

Jy,c [cm4] 4,22 33,26 7,05 29,81 9,82 29,39 12,83 31,29 33,01 36,60 42,04 54,55 57,00 65,16 73,47 86,68 97,98 114,35 131,45 151,09

1,20 2,14 1,39 2,19 1,58 2,27 1,73 2,37 2,45 2,60 2,72 3,06 3,08 3,24 3,38 3,57 3,73 3,92 4,15 4,39

Wy,c [cm3] iy,c [cm]

Profilo composto - Asse y tp=12 mm

Caratteristiche geometriche dei profilati in acciaio 309

311

Appendice B

B.1 Premessa La scelta dei carichi e la loro quantificazione avviene nella fase di dimensionamento iniziale della struttura. Come già accennato nel Capitolo 1, al fine di ottenere una progettazione sempre caratterizzata da un adeguato livello di sicurezza, il progettista deve seguire norme specifiche valide a livello nazionale, ossia quelle indicazioni tecniche che appositi organismi emanano con prefissata periodicità. Queste norme trattano argomenti specifici, quali, per esempio, le regole sia per il dimensionamento strutturale sia per la determinazione dei carichi agenti sulla struttura. Al riguardo, le norme italiane vigenti, relative alla determinazione dei carichi, di seguito riprese solo nei punti salienti, sono le NTC 2018 che ad oggi non sono però corredate della relativa circolare esplicativa. Qualora i carichi non siano esplicitamente previsti o quantificati da tali norme, in quanto la struttura ha una forma molto particolare (per esempio una torre inclinata) oppure ubicata in zone impervie (per esempio ad alta quota), questi devono essere accuratamente determinati, sia per via sperimentale, sia mediante specifiche analisi statistiche. Per esempio, per la valutazione degli effetti di venti ciclonici sui grattacieli oppure su ponti strallati di grande luce, possono essere necessarie prove aerodinamiche su modelli in scala nella galleria del vento. Non si entra di seguito nei dettagli associati ai carichi da considerare in zona sismica o in condizioni di incendio in quanto generalmente tipici di un approfondimento progettuale di livello superiore rispetto al proporzionamento strutturale, oggetto del presente testo.

B.2 I carichi permanenti I carichi permanenti sono dovuti al peso proprio della struttura e a tutti quei carichi che su di essa gravano per il suo intero periodo di vita. Sono considerati carichi permanenti quelli non rimovibili durante il normale esercizio della costruzione, come tamponature esterne, di-

312

Appendice B

visori interni, massetti, isolamenti, pavimenti e rivestimenti del piano di calpestio, intonaci, controsoffitti e impianti, ecc. Essi vanno valutati sulla base delle dimensioni effettive delle opere e dei pesi per unità di volume dei materiali costituenti. Per determinare il peso di una struttura, una volta stabilito il tipo e la dimensione degli elementi, si deve calcolare il loro volume e moltiplicarlo per il peso di un’unità di volume del materiale. Al riguardo, sono disponibili tabelle, presenti nella normativa, con i valori del peso per unità di volume dei materiali più comunemente impiegati nell’edilizia civile e industriale (Tabelle B.1 e B.2). Si precisa che nelle strutture in pietra, muratura o a pareti portanti in calcestruzzo armato, come negli edifici del passato, in cui costruzione e sistema portante sono praticamente coincidenti, il carico dovuto al peso proprio delle componenti portanti delle costruzioni può risultare a volte il maggiore tra quelli che esse devono sostenere: risulta quindi di fondamentale importanza quantificare tali carichi con la minore approssimazione. Oltre al peso proprio degli elementi portanti deve essere considerata, come azione sempre presente, anche quello delle opere di finitura (Figura B.1) della costruzione (pavimenti, rivestimenti, soffitti, tavolati, serramenti e infissi, ecc.) e degli impianti. I tramezzi e gli impianti leggeri di edifici residenziali possono assumersi in genere come carichi equivalenti diffusi, quando i solai hanno capacità di ripartizione trasversale delle sollecitazioni. Figura B.1 Esempi di carichi permanenti.

Viene in sostanza richiesto che le strutture orizzontali di piano (solai) possano realizzare tale diffusione, ossia che le parti di solaio non direttamente caricate siano capaci di collaborare con quelle direttamente caricate riducendo lo stato di sollecitazione in queste ultime. Il monolitismo delle strutture del solaio può usualmente consentire questa collaborazione strutturale e pertanto è bene cercare di favorirla

La normativa per le azioni sulle costruzioni

al meglio, per esempio, mediante collegamenti trasversali (travetti di ripartizione) tra i diversi elementi portanti. Figura B.2 Carico uniformemente distribuito equivalente alle tramezzature.

Il progettista, sulla base del progetto architettonico, anche se preliminare, deve quindi valutare, nel caso in cui la tramezzatura abbia peso gt per unità di superficie, il suo peso totale per piano e trasformarlo in un carico uniformemente distribuito gtr,eq, opportunamente amplificato e spalmato sull’intera superficie di solaio interessata dai tramezzi. Considerando l’illustrazione di Figura B.2, il carico gtr,eq ha valore: gtr ,eq =

gt ⋅ ( a1 + a2 + b1 + b2 ) ⋅ h a⋅b

(B.1)

Per semplificare questa operazione, la normativa fornisce dei valori indicativi di carico permanente spalmato g2 uniformemente distribuito in funzione del peso per unità di lunghezza G2 del tamponamento (ottenuto moltiplicando il peso per unità di superficie del tamponamento per l’altezza di piano). In dettaglio sono prescritti i seguenti valori: • con G2 ≤ 1,00 kN/m g2 = 0,40 kN/m2 • con 1,00 < G2 ≤ 2,00 kN/m g2 = 0,80 kN/m2 • con 2,00 < G2 ≤ 3,00 kN/m g2 = 1,20 kN/m2 • con 3,00 < G2 ≤ 4,00 kN/m g2 = 1,60 kN/m2 • con 4,00 < G2 ≤ 5,00 kN/m g2 = 2,00 kN/m2 Gli elementi divisori interni con peso proprio maggiore di 5,00 kN/m devono essere considerati in fase di progettazione, tenendo conto del loro effettivo posizionamento sul solaio. La normativa prescrive che elementi divisori interni con peso proprio maggiore devono essere considerati in fase di progettazione, tenendo conto del loro effettivo posizionamento sul solaio.

313

314

Appendice B

B.3 I carichi accidentali o sovraccarichi

Tabella B.1 Sovraccarichi variabili per edifici.

CAT.

A

B

C

I valori del carico accidentale riportati nella normativa sono prescritti in base a risultati di studi statistici condotti a livello europeo a partire dagli anni ’50. In dettaglio, è proposta una tabella, in cui sono distinte e definite sette differenti tipologie di destinazioni d’uso individuate in termini di categorie di locali (Tabella B.1). Per ciascuna di queste viene proposto il valore del sovraccarico variabile da considerare nella fase progettuale, come carico verticale uniformemente ripartito, ossia spalmato sull’intera superficie del solaio. Per le verifiche locali delle membrature sono poi anche riportati i valori dei carichi verticali conAmbienti

Ambienti ad uso residenziale Aree per attività domestiche e residenziali; sono compresi in questa categoria i locali di abitazione e relativi servizi, gli alberghi (ad esclusione delle aree soggete ad affollamento), camere di degenza di ospedali Scale comuni, balconi e ballatoi 8IÀFL Cat. B1 Uffici non aperti al pubblico Cat. B2 Uffici aperti al pubblico Scale comuni, balconi e ballatoi Ambienti suscettibili di affollamento Cat. C1 Aree con tavoli, quali scuole, caffè, ristoranti, sale per banchetti, lettura e ricevimento Cat. C2 Aree con posti a sedere fissi, quali chiese, teatri, cinema, sale per conferenze e attesa, aule universitarie e aule magne Cat. C3 Ambienti privi di ostacoli al movimento delle persone, quali musei, sale per esposizioni, aree d’accesso a uffici, ad alberghi e ospedali, ad atri di stazioni ferroviarie Cat. C4 Aree con possibile svolgimento di attività fisiche, quali sale da ballo, palestre, palcoscenici Cat. C5 Aree suscettibili di grandi affollamenti, quali edifici per eventi pubblici, sale da concerto, palazzetti per lo sport e relative tribune, gradinate e piattaforme ferroviarie Scale comuni, balconi e ballatoi

D

E

Ambienti ad uso commerciale Cat. D1 Negozi Cat. D2 Centri commerciali, mercati, grandi magazzini Scale comuni, balconi e ballatoi Aree per immagazzinamento e uso commerciale ed uso industriale Cat. E1 Aree per accumolo di merci e relative aree d’accesso, quali biblioteche, archivi, magazzini, depositi, laboratori manifatturieri Cat. E2 Ambienti ad uso industriale

qk (kN/m2)

Qk (kN)

Hk (kN/m)

2,00

2,00

1,00

4,00

4,00

2,00

2,00 3,00 4,00

2,00 2,00 4,00

1,00 1,00 2,00

3,00

3,00

1,00

4,00

4,00

2,00

5,00

5,00

3,00

5,00

5,00

3,00

5,00

5,00

3,00

secondo categoria d’uso servita, con le seguenti limitazioni ≥ 4,00 ≥ 4,00 ≥ 2,00 4,00 4,00 2,00 5,00 5,00 2,00 secondo categoria d’uso servita

≥ 6,00

7,00

1,00*

da valutarsi caso per caso

La normativa per le azioni sulle costruzioni

CAT.

Ambienti

qk (kN/m2)

Qk (kN)

Hk (kN/m)

Rimesse e aree per traffico di veicoli (esclusi i ponti) Cat. F Rimesse, aree per traffico, parcheggio e sosta di 2,50 2 x 10,00 1,00** F-G veicoli leggeri (peso a pieno carico fino a 30 kN) Cat. G Aree per traffico e parcheggio di veicoli medi (peso da valutarsi caso per caso e comunque a pieno carico compreso fra 30 kN e 160 kN), quali rampe non minori di d’accesso, zone di carico e scarico merci 5,00 2 x 50,00 1,00** H-I-K Coperture Cat. H Coperture accessibili per sola manutenzione e 0,50 1,20 1,00 riparazione Cat. I Coperture praticabili di ambienti di categoria d’uso secondo categorie di apparteneza compresa fra A e D Cat K Coperture per usi speciali, quali impianti, eliporti da valutarsi caso per caso * non comprende le azioni orizzontali eventualmente esercitate dai materiali immagazzinati ** per i soli parapetti o partizioni nelle zone pedonali. Le azioni sulle barriere esercitate dagli automezzi dovranno essere valutate caso per caso

centrati (o meglio distribuiti su una superficie di limitata estensione) e dei carichi orizzontali lineari (da usarsi, per esempio, nel caso delle spinte per le verifiche di parapetti e corrimani). I sovraccarichi concentrati, che non devono essere sovrapposti ai corrispondenti uniformemente distribuiti, vanno considerati applicati su una superficie di limitata estensione (impronta di carico), assunta quadrata di lato 50 mm ad eccezione che per le rimesse e parcheggi (tipi di locale di categoria F-G) in cui si devono considerare due impronte quadrate di lato 100 mm per la F e 200 mm per la G (associate a due pneumatici) distanti tra loro 1,80 m. I valori indicati nella Tabella B.1 devono essere considerati di minimo: possono infatti sussistere condizioni tali per cui il progettista decida di utilizzare carichi maggiori rispetto a quelli prescritti per la particolare destinazione d’uso. I valori proposti per i sovraccarichi devono necessariamente essere adeguati per rappresentare ogni situazione di carico locale (praticamente impossibile da prevedere). Ipotizzando ogni impalcato interessato dai sovraccarichi da normativa si può avere per alcuni elementi come le colonne un impegno statico eccessivamente a favore di sicurezza poiché è poco realistico assumere che contemporaneamente insista in ogni elemento di ogni piano Figura B.3 Esempi schematici di individuazione dell’area di spettanza.

315

316

Appendice B

della struttura il massimo valore di sovraccarico verticale. In alcuni casi la quantificazione dei carichi sugli elementi strutturali può essere direttamente fatta riferendosi alle aree di spettanza, secondo quanto indicato in Figura B.3.

B.4 Il carico da neve

Tabella B.2 Espressioni per la valutazione del carico da neve.

Il carico che simula l’effetto della neve sulle coperture viene valutato in relazione al sito in cui sorge la costruzione (al fine di tenere in conto le condizioni locali di clima, di esposizione e la variabilità delle precipitazioni nevose) e in relazione al tipo e all’inclinazione della copertura. La normativa, in mancanza di una completa indagine statistica associata al luogo in cui verrà ubicata la costruzione oggetto di progettazione, stabilisce una suddivisione dell’Italia in tre zone (Figura B.4).

Zona Zona I - Alpina Aosta, Belluno, Bergamo, Biella, Bolzano, Brescia, Como, Cuneo, Lecco, Pordenone, Sondrio, Torino, Trento, Udine, Verbania, Vercelli, Vicenza Zona I – Mediterranea Alessandria, Ancona, Asti, Bologna, Cremona, Forlì-Cesena, Lodi, Milano, Modena, Novara, Parma, Pavia, Pesaro e Urbino, Piacenza, Ravenna, Reggio Emilia, Rimini, Treviso, Varese Zona II Arezzo, Ascoli Piceno, Bari, Campobasso, Chieti, Ferrara, Firenze, Foggia, Genova, Gorizia, Imperia, Isernia, La Spezia, Lucca, Macerata, Mantova, Massa Carrara, Padova, Perugia, Pescara, Pistoia, Prato, Rovigo, Savona, Teramo, Trieste, Venezia, Verona

Carico da neve qsk = 1,50 kN/m2

as ≤ 200 m

qsk = 1,39 [1 + (as/728)2] kN/m2

as > 200 m

qsk = 1,50 kN/m2

as ≤ 200 m

qsk = 1,35 [1 + (as/602)2] kN/m2

as > 200 m

qsk = 1,00 kN/m2

as ≤ 200 m

qsk = 0,85 [1 + (as/481)2] kN/m2

as > 200 m

Zona III qsk = 0,60 kN/m2 Agrigento, Avellino, Benevento, Brindisi, Cagliari, Caltanisetta, Carbonia-Iglesias, qsk = 0,51 [1 + (as/481)2] kN/m2 Caserta, Catania, Catanzaro, Cosenza, Crotone, Enna, Frosinone, Grosseto, L’Aquila, Latina, Lecce, Livorno, Matera, Medio Campidano, Messina, Napoli, Nuoro, Ogliastra, Olbia Tempio, Oristano, Palermo, Pisa, Potenza, Ragusa, Reggio Calabria, Rieti, Roma, Salerno, Sassari, Siena, Siracusa, Taranto, Terni, Trapani, Vibo Valentia, Viterbo

as ≤ 200 m as > 200 m

La normativa per le azioni sulle costruzioni

Per ognuna di queste, con riferimento ad altezze sul livello del mare o altitudine (as) inferiori ai 1500 m, vengono fissati i valori del carico di neve al suolo qsk sulla base di una formula legata al valore dell’altitudine del sito (Tabella B.2). Per altitudini superiori a 1500 m sul livello del mare è necessario fare specifico riferimento alle condizioni climatiche locali; se non sono disponibili dati specifici possono essere usate le espressioni presentate in Tabella B.2, utilizzando comunque valori di carico da neve non inferiori a quelli previsti per i 1500 m. Per tenere conto dell’influenza della forma della copertura si devono moltiplicare i valori del carico da neve al suolo qsk per i fattori di forma µi, differenziati per le diverse tipologie di coperture (coperture a una falda, a due falde, multiple, cilindriche, ecc.) e in funzione del tratto di copertura da considerare interessato dalla neve. Figura B.4 Zonizzazione del territorio italiano per la neve.

Per altitudini superiori a 1500 m sul livello del mare si deve fare riferimento alle condizioni locali di clima e di esposizione utilizzando comunque valori di carico neve non inferiori a quelli previsti per 1500 m. Il carico di neve al suolo è dato da:

qs = μi · qsk · CE · Ct

(B.2)

in cui qsk rappresenta il valore caratteristico del carico di neve, Pi è il coefficiente di forma specifico per le diverse tipologie di coperture, CE è il coefficiente di esposizione e Ct è il coefficiente termico.

317

318

Appendice B

I valori dei coefficienti di forma sono specificati in funzione del tipo di copertura e dell’angolo α che rappresenta l’inclinazione delle falde della copertura sull’orizzontale. In Tabella B.5 sono riportati i valori dei coefficienti di forma da normativa. Tabella B.3 Coefficienti di forma in funzione dell’angolo di inclinazione della copertura sull’orizzontale.

Angolo di inclinazione della falda α μ1 μ2

0° < α < 30°

30° < α < 60°

α > 60°

0,8 0,8 + 0,8α/30

0,8(60 - α)/30 1,6

0,0 –

Per le più comuni tipologie di coperture devono poi essere esplicitamente considerate le condizioni di carico significative, differenziate tra loro in funzione del tratto di copertura caricata e del valore del coefficiente di forma da assumere. A titolo di esempio, nelle successive Figure B.5, B.6 e B.7 sono riportate le indicazioni della normativa relativamente alle coperture monofalda e a due falde. Figura B.5 Condizioni di carico per copertura monofalda.

Figura B.6 Condizioni di carico per copertura a due falde.

Figura B.7 Condizioni di carico per copertura multipla.

La normativa per le azioni sulle costruzioni

Al riguardo si precisa che stante l’assenza nelle NTC 2018 di indicazioni relative alle coperture multiple, la figura B.7 ed il coefficiente numerico P2 di tabella B.3 derivano dalla precedente versione delle NTC. Il coefficiente di esposizione CE può essere utilizzato per modificare il valore del carico neve in copertura in funzione delle caratteristiche specifiche dell’area in cui sorge l’opera. Sono raccomandati i seguenti valori: • CE = 0,9 per classi di topografia battute dai venti (aree pianeggianti non ostruite esposte su tutti i lati, senza costruzioni o alberi più alti); • CE = 1,0 per classi di topografia normale (aree in cui non è presente una significativa rimozione di neve sulla costruzione prodottadal vento, a causa del terreno, altre costruzioni o alberi; • CE = 1,1 per classi di topografia riparata (aree in cui la costruzione considerata è sensibilmente più bassa del circostante terreno ocircondata da costruzioni o alberi più alti). Il coefficiente di esposizione Ct può essere utilizzato per tener conto della riduzione del carico neve a causa dello scioglimento della stessa, causata dalla perdita di calore della costruzione. Tale coefficiente tiene conto delle proprietà di isolamento termico del materiale utilizzato in copertura. In assenza di uno specifico e documentato studio, deve essere utilizzato Ct = 1. Si precisa che con il termine carico da neve al suolo si intende una forza per unità di superficie riferita a un piano orizzontale ideale. È poi compito del progettista ricondursi alle azioni normali e tangenziali sugli elementi portanti della copertura nel caso di falde non orizzontali. Nel caso di coperture inclinate, in cui D rappresenta l’angolo di inclinazione della falda sull’orizzontale, è conveniente scomporre il carico da neve al suolo in due contributi, qsN e qsT , rispettivamente normale e tangente alla copertura (Figura B.8), dati da: qsN

qs ⋅ cos 2 D

(B.3a)

qsT

qs ⋅ cos D ⋅ sin D

(B.3b)

319

320

Appendice B

Figura B.8 Contributo normale e tangente al piano di falda del carico da neve.

B.5 L’azione del vento Relativamente al vento, le norme italiane lo rappresentano come un’azione quasi statica data da una pressione p (espressa in Newton al metro quadrato), definita come: p

qS ⋅ ce ⋅ cp ⋅ cd

(B.4)

ove il termine qr rappresenta la pressione cinetica di riferimento (vedi Paragrafo B.5.1), ce il coefficiente di esposizione (vedi Paragrafo B.5.2), cp il coefficiente di pressione (vedi Paragrafo B.5.4) e cd il coefficiente dinamico (vedi Paragrafo B.5.5). Usualmente si considerano come direzioni del vento quelle individuate dagli assi principali in pianta dell’edifico o della figura geometrica in cui la pianta stessa è inscritta. B.5.1 La pressione cinetica di riferimento

Le norme suddividono l’Italia in 9 zone (Figura B.9) a ciascuna delle quali è assegnata la velocità convenzionale di riferimento del vento, vb,0, espressa in metri al secondo e rappresentante il valore massimo della velocità del vento in condizioni particolari, ossia mediata in un intervallo di tempo di 10 minuti, misurato a 10 m dal suolo su un terreno in II categoria di esposizione e riferita a un periodo di ritorno di progetto TR.

La normativa per le azioni sulle costruzioni

Figura B.9 Zonizzazione del territorio italiano per l’azione del vento.

In funzione della zona di appartenenza e dell’altitudine del sito sul livello del mare, as, si determina il valore della velocità di riferimento (sempre espressa in metri al secondo) del vento da utilizzare per il sito della costruzione. In particolare, nel caso in cui si possa assumere un periodo di ritorno di 50 anni, sono proposte due differenti relazioni: se as d a0: vb = vb,0 (B.5a) se as ! a0 e as ≤ 1500 m:

vb,0= 1+LT(B_T -1) B0

(B.5b)

I termini vb,0, a0 e ks sono valori specifici forniti dalle norme (Tabella B.4) caratterizzanti ciascuna delle 9 zone in cui è suddiviso il territorio italiano. In funzione di vb si calcola poi la pressione cinetica qr (espressa in Newton al metro quadrato ) mediante la relazione: qS

1 2

U ⋅ vb2

con la densità dell’aria U = 1,25 kg/m3

(B.6)

321

322

Appendice B

ZONA

REGIONI

vb,0 [m/s]

a0 [m]

ks

1

Valle d’Aosta, Piemonte, Lombardia, Trentino Alto Adige, Veneto, Friuli Venezia Giulia (con l’eccezione della provincia di Trieste)

25

1000

0,40

2

Emilia Romagna

25

750

0,45

3

Toscana, Marche, Umbria, Lazio, Abruzzo, Molise, Puglia, Campania,Basilicata, Calabria (esclusa la provincia di Reggio Calabria)

27

500

0,37

4

Sicilia e provincia di Reggio Calabria

28

500

0,36

5

Sardegna (zona a oriente della retta congiungente Capo Teulada con l’Isola di Maddalena)

28

750

0,40

6

Sardegna (zona a occidente della retta congiungente Capo Teulada con l’Isola di Maddalena)

28

500

0,36

7

Liguria

28

1000

0,54

8

Provincia di Trieste

30

1500

0,50

9

Isole (con l’eccezione di Sicilia e Sardegna) e mare aperto

31

500

0,32

B.5.2 Il coefficiente di esposizione

L’intensità della pressione del vento p dipende, inoltre, anche dalla distanza dal mare, dall’altezza z del piano della struttura considerato nonché dalla topografia del terreno. Queste grandezza vengono messe in conto mediante un coefficiente ce, detto coefficiente di esposizione. Per tale coefficiente, sono proposte le seguenti espressioni: per z < zmin: ce ( z)

ce ( zmin )

(B.7a) (B.7b)

per z t zmin: ⎛ z ⎞⎟⎤ ⎛ z ⎞⎟ ⎡ ce ( z) = kr2 ⋅ ct ⋅ ln ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎢⎢7 + ct ⋅ ln ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎥⎥ ⎟ ⎜⎝ z0 ⎟⎟⎠ ⎢ ⎝⎜ z0 ⎟⎠⎥⎦ ⎣

(B.7b)

essendo z la quota dal livello del suolo del punto considerato e ct è il coefficiente di topografia (Paragrafo B.5.3). I termini kr, z0, zmin sono assegnati dalle norme in funzione della categoria d’esposizione del sito che dipende dall’altitudine e dalla distanza dal mare. I valori di tali coefficienti sono riportati nella Tabella B.5. Tabella B.5 Coefficienti in funzione della categoria di esposizione del sito.

Categoria

kr

zo (m)

zmin (m)

I

0,17

0,01

2

II

0,19

0,05

4

III

0,20

0,10

5

IV

0,22

0,30

8

V

0,23

0,70

12

La normativa per le azioni sulle costruzioni

In particolare, individuata la classe di rugosità del terreno (Tabella B.6), si determina la categoria di appartenenza in funzione della zona di ubicazione dell’edifico con riferimento alla zonizzazione del territorio nazionale (Tabella B.4) e in relazione alla distanza dalla costa ovvero all’altitudine del sito (Figura B.10). Tabella B.6 Definizioni delle classi di rugosità del terreno.

Figura B.10 Definizione della categoria di esposizione.

Classi

Descrizione Aree urbane in cui almeno il 15% della superficie sia coperto da edifici A la cui altezza media superi i 15 m. Aree urbane (non di classe A), suburbane, industriali e boschive. B Aree con ostacoli diffusi (alberi, case, muri, recinzioni, ...), aree con C rugosità non riconducibile alle classi A, B, D. Aree prive di ostacoli o con al più rari ostacoli isolati (aperta campagna, D aeroporti, aree agricole, pascoli, zone paludose o sabbiose, superfici innevate o ghiacciate, mare, laghi, ...). L’assegnazione della classe di rugosità non dipende dalla conformazione orografica e topografica del terreno. Si può assumere che il sito appartenga alla Classe A o B, purché la costruzione si trovi nell’area relativa per non meno di 1 km e comunque per non meno di 20 volte l’altezza della costruzione, per tutti i settori di provenienza del vento ampi almeno 30°. Si deve assumere che il sito appartenga alla Classe D, qualora la costruzione sorga nelle aree indicate con le lettere a) o b), oppure entro un raggio di 1 km da essa vi sia un settore ampio 30°, dove il 90% del terreno sia del tipo indicato con la lettera c). Laddove sussistano dubbi sulla scelta della classe di rugosità, si deve assegnare la classe più sfavorevole (l’azione del vento è in genere minima in Classe A e massima in Classe D).

323

324

Appendice B

Il termine ce è costante lungo tutta l’altezza dell’edificio se questa risulta inferiore al termine zmin dato dalla Tabella B.5. Nel caso di edifici di altezza maggiore, la distribuzione è costante fino alla quota pari a zmin e quindi cresce secondo la legge espressa dall’Equazione B.7b quando l’altezza eccede zmin. B.5.3 Il coefficiente di topografia

Il valore del coefficiente di topografia ct è riferito alla componente del vento ortogonale al ciglio del pendio o della collina. Usualmente questo coefficiente viene assunto pari all’unità. Le NTC 2018 rimandano a normative di comprovata validità per casi particolari. Di seguito, vengono riportate, a titolo indicativo, le indicazioni contenute nella precedente normativa sui carichi (DM 16/1/1996 e relativa Circolare Esplicativa). In assenza di più approfondite analisi, può essere calcolato con le formule di seguito riportate. In dettaglio, definita H l’altezza della collina o del dislivello e H/D=tanφ la sua pendenza media (Figura B.11), il coefficiente ct varia lungo l’altezza z della costruzione secondo un coefficiente β dato da: E

0, 5

E

0, 8 − 0, 4

E

0

per z H

per per

z H

0, 75 ≤ z H

(B.8a)

d 0, 75 z H

≤2

(B.8b) (B.8c)

!2

In funzione della pendenza H/D è definito un coefficiente γ dato da: J

0

J=

⎞ 1 ⎛⎜ H ⎜⎜ − 0, 10⎟⎟⎟⎟ per ⎠ 0, 20 ⎝ D

J =1

per

per

H D

(B.9a)

d 0, 10

0, 10