Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen [Reprint 2019 ed.] 9783111560007, 9783111189352

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Sitzungsberichte der

Heidelberger Akademie der Wissenschaften Stiftung Heinrich Lanz

Mathematisch - naturwissenschaftliche Klasse *) Jahrgang 1921 erschien in Heidelberg.

im Verlage von Carl Winters

Universitätsbuchhandlung

Im Verlag von Walter de Oruyter & Co. vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung — ,/. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J. Trübner — Veit & Comp., Berlin erschienen:

Abteilung A. Mathematisch-physikalische Wissenschaften. 1. 2. 3.

1. 2. 3. 4

5. 1. 2. 3.

4. 5. 6. 7.

8. 9.

10. 11.

J a h r g a n g 1922. Neue Summationsmetlioden und Entwicklungen nach Polynomen. Reichsmark 0'30 P E R R O N , O S K A R . Über transzendente Funktionen auf RiEMANNSchen Flächen. Reichsmark 0 60 BALDUS, R I C H A R D . Über die singulären Punkte reeller Parameterkurven. Reichsmark 0'50 J a h r g a n g 1923. DEECKE, W. Mitteleuropäische Meeresströmungen der Vorzeit. Reichsmark 0 60 LIEBMANN, HEINRICH. Die LIE'sche Cyklide und die Inversionskrümmung. Reichsmark 0-40 PERRON, OSKAR. Über Gleichungen ohne Affekt. Reichsmark 0 ' 4 0 LIEBMANN, H E I N R I C H . Beiträge zur Inversionsgeometrie III. Reichsmark 0 - 4 0 K R A T Z E R T , J. Beitrag zur Kenntnis des Andesins von Bodenmais. Reichsmark 0 50 J a h r g a n g 1924. T H . C U R T I U S und A . BERTHO. Einwirkung von Stickstoffkohlenoxyd und von Stick wasserstoffsäure unter Druck auf aromatische Kohlenwasserstoffe. Reichsmark 0'5() LIEBMANN, H E I N R I C H . Umkehrung des Variationsproblems der ebenen Affingeometrie. Reichsmark 0'60 SALOMON, W I L H E L M . Die Intensitäten alluvialer und diluvialer geologischer Vorgänge und ihre Einwirkung auf die pliocäne Rumpffläche des Kraichgaues und Odenwaldes. Reichsmark 1'20 H E F F T E R , L. Zur absoluten Geometrie. Reichsmark 0'60 VAN W E R V E K E , L. Über die Entstehung der lothringischen Lehme und des mittelrheinischen Lößes. Reichsmark 1*50 KRULL, W O L F G A N O . Die verschiedenen Arten der Hauptidealringe. Reichsmark 0'50 ROESER, E R N S T . Übergang von der nichteuklidischen Streckentrigonometrie zur Winkelmessung. Reichsmark 0 30 WELLSTEIN, J U L I U S . Zur Differentialgeometrie der isotropen Kurven. Reichsmark 1'50 E W A L D RUDOLF. Die geodynamischen Erscheinungen des krystallinen Odenwaldes als Beispiel einer geoisostatischen Ausgleichsschwingung. Reichsmark 1'50 VOELCKER, ILSE. Über eine ganz junge Verwerfung bei Rauenberg im Kraichgau. Reichsmark 0 30 LIEBMANN, H E I N R I C H . Die Aufschließung von Differentialinvarianten. Reichsmark 050 PERRON, O S K A R .

(Fortsetzung siehe 3. ümschlagsseite.l

*) Bestellungen auf solche Veröffentlichungen der math.-naturw. Klasse, welche früher im Verlag von Carl Winters Universitätsbuchhandlung in Heidelberg erschienen sind, nimmt auch der Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin, entgegen.

Sitzungsberichte d e r H e i d e l b e r g e r A k a d e m i e der W i s s e n s c h a f t e n Mathematisch - naturwissenschaftliche Klasse —

J a h r g a n g 1928. 7. A b h a n d l u n g .

Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen Von

Wolfgang Krull in F r e i b a r g i. Br.

Eingegangen am 22. Mai 1928

Vorgelegt von Herrn A l f r e d L o e w y in Freiburg i. Br.

Berlin

und

Leipzig

1928

W a l t e r d e G r u y t e r & Co. v o r m a l s G. J . G ö s c l i e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g / J . G u t t e n t a g , Verlagsb u c h h a n d l u n g I G e o r g K e i m e r / K a r l J . T r ü b n e r I Veit & Comp.

—

Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen. Die vorliegende Note beschäftigt sich mit abstrakten kommutativen Ringen mit Einheitselement, in denen jede Idealteilerkette im Endlichen abbricht. Die Hauptsätze der allgemeinen Idealtheorie1) sind, soweit sie benötigt werden, in § 1 kurz zusammengestellt. Zweck der Untersuchung ist die Übertragung gewisser von den Polynomringen2) her bekannter Sätze auf allgemeine Bereiche. Verstehen wir unter einer Primidealvielfachenkette eine Kette p2, bei der das Primideal jeweils ein echtes Vielfaches des Primideals darstellt, ( i = 1, 2 . . .), so gelten im Ring ^S der Polynome in xv x2, . . ., xn mit Koeffizienten aus einem Körper ® die Sätze: 1. Die Gliederzahl der mit einem festen vom Einheitsideal o verschiedenen Primideal p beginnenden Primidealvielfachenketten ist beschränkt. 2. -Sind p und p' feste Primideale und ist dabei .p ein von o verschiedener echter Teiler von so besitzen die sämtlichen „geschlossenen" Primidealvielfachenketten p, , p', die nicht durch Einschieben eines Mittelglieds vergrößert werden können, die gleiche Gliederzahl. 3. Die Behauptungen 1 und 2 gelten auch dann, wenn das Anfangsprimideal p das Einheitsideal darstellt. In § 4 wird nun gezeigt, daß der Satz 1 für allgemeine Ringe des im Einleitungssatze gekennzeichneten Typus zutrifft. Die Gültigkeit *) Über allgemeine Idealtheorie vgl. die folgende Literatur: 1. E. NOETHER: Idealtheorie in Ringbereichen. Math. Annal. 83 (1921) S. 2 3 - 6 6 . Zitiert mit „N". 2. H. GRELL: Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe. Math. A n n a l . 97 (1926) S. 4 9 0 - S 2 3 .

Zitiert m i t „ G " .

3. W. KRULL: Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen Bereichen. Math. Zeitschrift 28 (1928) S. 481—503. Zitiert mit „K". 2 ) Zu den in der Note benutzten Sätzen über Polynomringe vgl.: B. L. V. D. VVAERDEN: Zur Nullstellentheorie der Polynomideale. Math. Annal. 96 (1926) S. 183—208. Zitiert mit „v. d. W." Die in der Einleitung angeführten Sätze über Primidealketten in Polynomringen können aus v. d. W. § 3 herausgelesen werden. 1*

4

WOLFGANO KÜÜLL:

von Satz 2 vermute ich gleichfalls, ohne sie aber bisher beweisen zu können. Satz 3 dagegen braucht im allgemeinen Fall nicht immer richtig zu sein.1) Das gewonnene Ergebnis ist nicht nur an sich bemerkenswert, sondern auch durch einige zu seiner Herleitung nötige Hilfssätze, die selbständiges Interesse bieten dürften. Zunächst handelt es sich (in § 2) um eine Verallgemeinerung dés bekannten Satzes, daß in einem Ring ohne Nullteiler die Idealgleichung a2 = a nur durch das Einheitsideal und das Nullideal befriedigt wird. Daraus ergibt sich dann weiter (gleichfalls in § 2) der Satz, daß in einem „primären" 2 ) Ring das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der sämtlichen zu einem festen vom Einheitsideal o verschiedenen Primideal p gehörigen Primärideale gleich dem Nullideal ist, eine Tatsache, die in der Anwendung auf den Polynomring einen einfachen Beweis einer Lasker-Macaulayschen Verallgemeinerung des Noetherschen Fundamentalsatzes3) liefert (§ 4). Schließlich ist noch folgende (in § 3 bewiesene) Tatsache hervorzuheben, die den entscheidenden Schritt auf dem Wege zum Beweis des Primidealvielfachenkettensatzes darstellt : Ist 31 ein Ring ohne Nullteiler, i) ein vom Null- und Einheitsideal verschiedenes Hauptideal, p ein Primideal, das Teiler von f) ist, aber kein echtes Primidealvielfaches mit der gleichen Eigenschaft besitzt, so gibt es in 9i außer dem Nullideal überhaupt kein echtes Primidealvielfaches von p. Die Anwendung dieses Satzes auf Polynomringe liefert: Es sei p ein Primideal aus von der „Dimension" m 4 ), p irgendein durch p unteilbares Polynom. Dann besitzt jede isolierte Primärkomponente Man betrachte z. B. das folgende, von v. d. Waerden angegebene Beispiel: Es sei 3t der Ring aller derjenigen rationalen Funktionen in x und y mit rationalen Zahlkoeffizienten, bei denen bei gekürzter Darstellung der Nenner ein von 0 verschiedenes, von den Variabein freies Glied enthält und außerdem durch x— 1 unteilbar ist. Dann gilt in 3t der Teilerkettensatz und e3 sind die Ketten o, = (x—1), p g = r t ; 0, pj = (x, y), p a = (x), p 3 = tl zwei Primidealvielfachenketten, die gleiche Anfangs- und Endglieder haben, durch Einschiebung von Zwischengliedern nicht mehr verlängert werden können, aber gleichwohl verschiedene Gliederzahl besitzen. E s verliert also mindestens Satz 2 sicher seine Allgemeingültigkeit, wenn man die Forderung, daß das Anfangsglied von o verschieden sein muß, aufgibt. 2 ) Zur Definition der primären Ringe vgl. § 1. Zur Verallgemeinerung des Satzes auf bei. Ringe vgl. § 2 Satz 3. 3 ) Den Hinweis auf die Möglichkeit dieses Beweises verdanke ich V. D. WAERDEN. Über das Theorem selbst vgl. v. d. W. S. 205, sowie E . LASKER: Zur Theorie der Moduln und Ideale. Math. Annal. 60 (1905) S. 95 und F. S. MACAULAY: Modular Systems. Cambridge Tracts 19 (1916) S. 61. 4 ) Zur Definition der Dimension eines Primideals bzw. Primärideals vgl. v. d. W. § 3. 5 bzw. v. d. W. § 5. 1.

Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen.

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des Ideals (p, f ) genau die Dimension m—1. Ein ganz entsprechender Satz für Potenzreihenbereiche, der von 0 . Blumenthal 1 ) bewiesen wurde, dürfte gleichfalls als Spezialfall aus unserm Hauptidealsatz folgen. Die Untersuchungen dieser Note stellen also nicht nur eine Verallgemeinerung vom konkreten Sonder- auf den abstrakten allgemeinen Fall dar, sondern sie liefern gleichzeitig Methoden, die geeignet sind, das Studium eben jenes Sonderfalls (des Polynomrings) weiter zu fördern. §1-

Vorbemerkungen. Den Untersuchungen liegt ein kommutativer Ring 91 mit Einheitselement e zugrunde, der die Eigenschaft hat, daß. im Bereich seiner Ideale jede Kette von echten Teilern im Endlichen abbricht. Elemente werden mit kleinen lateinischen oder griechischen, Ideale mit kleinen deutschen Buchstaben bezeichnet; o bedeutet das Einheits-, tt das Nullideal. Unter „Ideal" schlechtweg verstehen wir stets ein Ideal £ o. Für den größten gemeinschaftlichen Teiler, das kleinste gemeinschaftliche Vielfache, den Quotienten, das Restklassensystem verwenden wir die bzw. Schreibweisen: a + b; c n b ; a : b; 9i / m, a/m 2 ). a = ß(a) bedeutet die Teilbarkeit von a—ß du^ch a. Ist a Vielfaches von £>, so schreiben wir a ^ b, b ^ a; das Gleichheitszeichen wird nur dann weggelassen, wenn a und b sicher verschieden sind. Das Ideal b heißt zu a p r i m , wenn die Gleichung a : b = a gilt; das Element ß wird zu a prim genannt, wenn das Hauptideal (ß) zu a prim ist. In § 2 benutzen wir den Satz, daß j e d e s zu a prime I d e a l m i n d e s t e n s ein zu a p r i m e s E l e m e n t e n t h ä l t . 3 ) Ein Ideal p heißt P r i m i d e a l , wenn jedes durch p unteilbare Ideal zu p prim ist, d. h. wenn ein Produkt zweier Ideale nur dann durch p teilbar ist, wenn mindestens ein Faktor durch p teilbar ist. Ein Ideal q wird P r i m ä r i d e a l genannt, wenn ein Produkt zweier Ideale nur dann durch q teilbar ist, wenn das gleiche von *) O. BLUMENTHAL: Zum Eliminationsproblem bei analytischen Funktionen mehrerer Veränderlicher. Math. Annal. 57 (1903) § 8. S. 966f. Um nachzuweisen, daß der dort formulierte Satz tatsächlich eine Folge des Hauptidealsatzes ist, hat man zu zeigen, daß auch bei den Potenzreihenringen die irreduzibeln Mannigfaltigkeiten den Primidealen entsprechen, eine Tatsache, von der mir kein ausgeführter Beweis bekannt ist. 2 ) Die Schreibweise a/ttt wird nur dann benutzt, wenn m durch a teilbar ist, wenn also a/m genau so definiert werden kann wie SR/m. 3 ) Die Beh. kann leicht aus dem weiter unten angeführten Hilfssatz c) abgeleitet werden. Ist b durch keines der endlich vielen zu a gehörigen Primideale teilbar, so kann man stets auch ein einzelnes Element ß in b finden, das durch keines jener Primideale teilbar ist. (Zur Konstruktion eines solchen Elements vgl. S. 10 Anm. 2.)

Wolfgang Krüll:

6

einem Faktor oder von einer endlichen Potenz jedes Faktors gilt. Ringe, in denen das Nullideal Primärideal ist, bezeichnen wir als p r i m ä r e Ringe. Unter einem I n t e g r i t ä t s b e r e i c h verstehen wir einen Ring, in dem das Nullideal Primideal ist, in dem also keine Nullteiler auftreten. Ein Integritätsbereich 9i kann stets durch formale Quotientenbildung (nach dem Vorbild der Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen) zu einem Q u o t i e n t e n k ö r p e r ft erweitert werden. Ist p ein Primideal tt) aus SR, so bildet die Gesamtheit derjenigen Elemente aus ft, die sich als Quotienten von Elementen aus 9} mit durch p unteilbarem Nenner schreiben lassen, einen zwischen 9fJ und fi liegenden Integritätsbereich, für den wir die Schieibweise 9ip benutzen. Unter dem E r w e i t e r u n g s i d e a l des Ideals a aus 9d verstehen wir das Ideal m

• ait (ai bei. aus a • 9ip aus 9ip, also die Gesamtheit der Elemente £ ¿= 1 a, a 4 bei. aus 9f{p); als V e r e n g u n g s i d e a l des Ideals ä aus 9?p definieren wir das Ideal aus SR. J e d e s I d e a l a u s 9lp ist E r w e i t e r u n g s i d e a l seines Verengungsideals. 1 ) Das Erweiterungsideal von p, p • 9t p ist in 9tp größter gemeinschaftlicher Teiler aller vom Einheitsideal verschiedenen Ideale. Ferner verifiziert man aus der Definition von 9ip leicht die folgenden Tatsachen: Das Ideal p aus 9ip ist dann und nur dann Primideal, wenn sein Verengungsideal p^9t durch p teilbares Primideal in 91 ist. Sind p t und p 2 durch p teilbare Primideale aus 91, so ist p x • 9ip dann und nur dann durch p 2 ' 9tp teilbar, wenn pj durch p 2 teilbar ist. Man k a n n also a n s t a t t die T e i l b a r k e i t s v e r h ä l t n i s s e der d u r c h p t e i l b a r e n P r i m i d e a l e in 9t zu u n t e r s u c h e n , a u c h die T e i l b a r k e i t s v e r h ä l t n i s s e der s ä m t l i c h e n P r i m i d e a l e in 9tp s t u d i e r e n . Es seien schließlich noch einige im folgenden benutzte Hilfssätze über Primär- und Primideale zusammengestellt.2) H i l f s s a t z a): Der größte gemeinschaftliche Teiler aller der Ideale, die zu einem gegebenen Primärideal q nicht prim sind, ist ein Primideal p, das „zu q gehörige P r i m i d e a l " . Eine Potenz des zu q gehörigen Primideals ist durch q teilbar. H i l f s s a t z b): Jedes Ideal a läßt sich als kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches von endlich vielen, zu verschiedenen Primidealen gehörigen Primäridealen darstellen. Ist die Darstellung eine „kürzeste", 1

) Die 3tp sind „Quotientenringe" im Sinne von G. § 6. Daraus kann die Beh.. sowie auch die weiteren Beh. über den Zusammenhang der Primideale von 9t und 9tp abgeleitet werden. Vgl. G., besonders § 4 u. § 6! 2 ) Zu den angeführten Hilfssätzen vgl. N., sowie die andersartige Einführung der zugehörigen Primideale und isolierten Komponentenideale in K. § 2—4.

Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen.

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d. h. ist keine Primärkomponente überflüssig, so ist die Gesamtschar S der zu den einzelnen Primäridealen gehörigen Primideale durch a allein eindeutig bestimmt. Die Primideale der Schar S werden als „die zu a gehörigen P r i m i d e a l e " bezeichnet. H i l f s s a t z c): Das Ideal 6 ist dann und nur dann zu a prim, wenn kein zu b gehöriges Primideal durch ein zu a gehöriges teilbar ist. H i l f s s a t z d) 1 ): Es sei S1 eine Teilschar von der Gesamtschar S der zu a gehörigen Primideale, die gleichzeitig mit p auch jedes in S vorkommende Vielfache von p enthält. Ist dann a = ••• • irgendeine Darstellung von a durch Primärkomponenten und sind etwa q 1; q2, • • • qm (m < n) gerade diejenigen unter den q i; deren zugehörige Primideale der Schar n • m ergibt sich ein Gleichungssystem s

2

(aiK-ß-dix)-mK

= 0 (1 = 1,2..

.8)

* —i bei dem die aix Elemente aus a sind, während biy —

(1)

das

Hilfssatz d) wird nur für die ohne Beweis angegebenen Sätze 3 und 4 von § 2 benötigt! 2 ) Der Beweis kann z . B . aus KRULL: Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Gruppen (diese Sitz.-Ber. 1926, 1. Abh.) § 4 herauspräpariert werden.

8

Wolfgang Krdli:

Kroneckersche Symbol bedeutet. Die Determinante a 2 ; a 2 • ( q j " cx) > m > a 1; daraus folgt dj = a 2 . Nach Definition ist ferner m durch jedes zu p gehörige Primärideal, im besonderen auch durch q 2 teilbar. Es wird daher m • c2 > (a 2 " q 2 )" c2 ¡> a 2 ~ q 2 c2 = m • p; t t r (c2 + p) = m • c2 + tn • p = m ' p. In der letzteren Gleichung ist aber c2 + p zu p prim. Wir können daher Satz 1 anwenden und erhalten m = tt, wie behauptet. Mit Hilfe des Begriffs des isolierten Komponentenideals kann man Satz 1 und Satz 2 auf bei. Ringe übertragen. Es ergibt sich: S a t z 3. Zu g e g e b e n e m tri u n d a g i b t es d a n n u n d n u r d a n n ein d e n G l e i c h u n g e n ttt • a = m ' f>; a : 6 = a g e n ü g e n d e s b, w e n n m t e i l b a r ist d u r c h d a s j e n i g e i s o l i e r t e K o m p o n e n t e n i d e a l d e s N u l l i d e a l s , zu d e m a l l e u n d n u r die P r i m i d e a l e des N u l l i d e a l s g e h ö r e n , die zu a n i c h t p r i m sind.

Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen.

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S a t z 4. Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der s y m b o l i s c h e n P o t e n z e n von p i s t g l e i c h d e m j e n i g e n i s o l i e r t e n K o m p o n e n t e n i d e a l des N u l l i d e a l s , zu d e m a l l e u n d n u r d i e d u r c h p t e i l b a r e n P r i m i d e a l e v o n n gehören. Wir verzichten auf einen Beweis der Sätze 3 und 4, denn wir brauchen diese Sätze im folgenden nicht, und der Grundgedanke der betr. Beweise findet sich schon in den Beweisen von Satz 1 und Satz 2, auch kann Satz 3 leicht durch Kombination von Satz 1 und Hilfssatz b) von § 1 abgeleitet werden. §3. Hauptidealsatz und Primidealkettensatz in Integritätsbereichen.

Den Untersuchungen von § 3 liegt ein I n t e g r i t ä t s b e r e i c h 9t zugrunde. Ein Primideal p ^ n heißt „höchstes Primideal von 9t", wenn es in Di außer n kein echtes Primidealvielfaches von p gibt, p ist dann und nur •dann höchstes Primideal von 9t, wenn p • 91p höchstes Primideal von 9tp ist. p wird „ h ö c h s t e s P r i m i d e a l v o n o " genannt, wenn a durch p teilbar ist, und wenn es kein echtes Primidealvielfaches von p gibt, das gleichfalls Teiler von a wäre. a besitzt stets mindestens ein, abeT immer nur endlich viele höchste Primideale; eine Potenz des Produktes sämtlicher höchster Primideale von a ist durch a teilbar. 1 ) Ist p höchstes Primideal von a, so stellt a 1 TFty in 9tp ein zu p • 9tp gehöriges Primärideal dar. Hauptidealsatz. J e d e s höchste P r i m i d e a l eines 1) t n iSt h ö c h s t e s P r i m i d e a l v o n 9t.

Ideales

Aus der Tatsache, daß gleichzeitig mit f) in 9t auch f) • 3tp in 9tp Hauptideal ist, sowie aus den in § 1 über die Primideale in 9tp gemachten Bemerkungen ergibt sich, daß man beim Beweis 31 = 3ip voraussetzen darf, d. h. man hat nur zu zeigen: Ist jedes Ideal o) durch p teilbar, und stellt ein gewisses Hauptideal f) ein zu p gehöriges Primärideal dar, so ist p höchstes Primideal von 9t. Es sei p' irgendein echtes Primidealvielfaches von p; dann bilden wir, um die Gleichung p' = n zu beweisen, die symbolischen Potenzen von p' r p ' W ^ p ' W ^ p ' « ) p'(,+1> + f), und daraus folgt (nach dem Dedekindschen „Modulaxiom") 1 ) p' ( r ) ;> p'(,+1> + f ^ p ' 0 0 . Wegen der Hauptidealeigenschaft von f) gilt eine Gleichung p' (r> ^ f) = i) • ^ mit eindeutig bestimmtem ty, und es muß dabei 1) = p' p'(H-D u n d daraus folgt p' (r) = p' (r+1) , weil (r) wegen r = e (p) in 9i = 9ip das Einheitsideal darstellt. Durch Anwendung von Satz 2 ergibt sich schließlich: p' (r) = p , ( f + X ) = . . . . = n, also p' = tt, weil n Primideal. Unter einer mit p beginnenden Primidealkette der Länge l verstehen wir eine Kette p = p0 < p! < p 2 < < p ^ $ tt. H i l f s s a t z . Gibt es eine m i t p b e g i n n e n d e P r i m i d e a l k e t t e p = p0 < pj < . . . . < der L ä n g e l, und ist p d u r c h die P r i m i d e a l e p(1>, p(2), . . . ., p(s) n i c h t t e i l b a r , so g i b t es a u c h eine K e t t e p < pj* < . • • • < p*_i, bei der kein p* d u r c h e i n e s der I d e a l e p (x) (x = 1, 2 . . . s) t e i l b a r ist. a) Der Hilfssatz ist trivial für l = 1. Er gilt aber auch für l = 2; ist nämlich hier a ein (stets vorhandenes)2) durch kein p (x) teilbares Element aus p, so kann nach dem Hauptidealsatz p jedenfalls kein höchstes Primideal von (a) sein; andrerseits muß es mindestens ein höchstes Primideal px* von (a) geben, das durch p3), aber — wegen der Auswahl von a — sicher durch kein p2 < . . . < fy das Ideal px durch kein p(x) teilbar, so folgt aus der für die Kette pj < p2 < . . . < fy zutreffenden Induktionsvoraussetzung die Existenz einer Kette p < pj* = px < p2" < • • • • < p* mit durch die p(x) unteilbaren p*. Ist aber px durch eines der Ideale p(x> teilbar, so sei a ein in keinem 1 an, und weisen sie für l nach; dabei darf SR = 9tp vorausgesetzt werden, weil die mit p beginnenden Primidealketten aus 9? eindeutig umkehrbar den mit p • 9tp beginnenden Primidealketten aus 9ip entsprechen. Wir setzen 6 = (a^ a2, . . . . a ^ j J und verstehen tfnter p(1), p p*

weiterschließen:

p* j q x

/ q x ohne echten Teiler, mithin sind die Ideale

die symbolischen

Potenzen

von

p*x / q^ 1 )

und

ihr

kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches ist nach Satz 2 von § 2 in dem primären Ring

/ qÄ gleich dem Nullideal.

((Ö))in^/qx,d.h.a =

Wir haben also a =

0

0(qJ0 2. LIEBMANN, HEINRICH. Rhombische Geradennetze im Raum. Reichsmark 1"— .'J VOLK, OTTO. Uber geodätische Dreiecknetze auf Flächen konstanten Krümmungsmafies. Reichsmark 180 4. PÜTTER. A. Chemische Reizwirkung und Giftwirkung. Mit einem mathematischen Anhang: Ein Diffussionsproblem von E. TREFFTZ. Reichsmark 2'40 5. REMBS, EDUARD. Die Verbiegung des verlängerten Rotationsellipsoids. Reichsmark 1*60 1!. MAYER, ADOLF. Naturwissenschaftliche Ästhetik. Reichsmark Q'90 7. MAYER, ADOLF. Naturwissenschaftliche Volkswirtschaftslehre. Reichsm. 0'80 8.

9. 10. 11. 12. 13.

BAER, R . ,

KAPFERER, H . ,

KRULL, W . ,

SCHMIDT, P . K .

Beiträge

zur

Algebra.

Nr. 5—10. Reichsmark 6-20 MÜLLER, MAX. Über die Eindeutigkeit der Intregale eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen und die Konvergenz einer Gattung von Verfahren zur Approximation dieser Integrale. Reichsmark 2-50 FBEUDENBERG, KARL. Intramolekulare Umlagerung optisch-aktiver Systeme. Reichsmark 1"— ROESER, ERNST. Abbildung der hyperbolischen Ebene auf die Kugel mittels der Beziehung zwischen Lot und Parallelwinkel. Reichsmark 1'— RÜGER, L. Die direkte gebirgsgetreue Übertragung der auf dem Universaldrehtisch gewonnenen Messungsergebnisse gebirgsorientierter Schliffe in das Diagramm. Reichsmark 1'20 JOST, L. Elektrische PotentialdifFerenzen an der Einzelzelle. Reichsmark l'ÖO J a h r g a n g 1928.

1. RÜGER, L. Einige Bemerkungen zur Darstellung tektonischer Elemente, insbesondere von Klüften und Harnischen. Reichsmark 120 2. HERBST, CURT. Untersuchungen zur Bestimmung des Geschlechts. Ein neuer W e g zur Lösung des Geschlechtsbestimmungsproblems bei Bonellia viridis. Reichsmark 150 3. MERTON, HUGO. Untersuchungen über die Entstehung amöbenähnlicher Zellen aus absterbenden Infusorien. Reichsmark 2'20 4. BAER, REINHOLD. Zur Einordnung der Theorie der Mischgruppen in die Gruppentheorie. Reichsmark 2 20 5. BAER, REINHOLD. Über die Zerlegungen einer Mischgruppe nach einer Untermischgruppe. Reichsmark 1'50 6. ROESER, ERNST. Komplementäre Körper der beiden nichteuklidischen Geometrien. Reichsmark 1'— 7. KRULL, WOLFGANG. Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen. Reichsmark 1*10

Abhandlungen der Heidelberger Akademie der Wissenschaften Mathematisch - naturwisseD schaftliche Klasse Abteilung A 12. MOHR, ERNST. Über den Zusammenhang zwischen der Struktur und den morphologischen Merkmalen des Diamanten. 1924. Reichsmark 3v>0 13. REINMUTH, KARL. Die Herschel-Nebel, nach Aufnahmen der Königstuhlsternwrte. 1926. Reichsmark 20' — 14. SALOMON WILHELM. Die Erbohrung der Heidelberger Radium-Sol-Therme und ihre geologischen Verhältnisse. 1927. Reichsmark 8-—

Druck: Hermann [löhlaus Nachfolger Hof-Buchdrackeroi G . m . b . H . W o i m a r .