Polaronen: Übersetzung aus dem Russischen [Übersetzung aus dem Russischen, Reprint 2021 ed.] 9783112533123, 9783112533116

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FORTSCHRITTE DER PHYSIK 4.

Sonderband

FORTSCHRITTE DER PHYSIK HERAUSGEGEBEN IM A U F T R A G E D E R P H Y S I K A L I S C H E N

GESELLSCHAFT

IN D E R DEUTSCHEN DEMOKRATISCHEN

REPUBLIK

VON R U D O L F RITSCHL UND R O B E R T

ROMPE

4. Sonderband

POLARONEN

A K A D E M I E - V E R L A G

19 6 1

•

B E R L I N

POLARONEN Ü b e r s e t z u n g aus dem R u s s i s c h e n

Mit

1 Bild

und 3

Tabellen

A K A D E M I E - V E R L A G 19 6 1

•

B E R L I N

y u p a H H C K H f i MaTeMaTHqecKHii H i y p i i a j i 2 , 3 ( 1 9 5 0 ) ; 5 , 1 5 2

(1953).

JKypH. 3Kcnep. Teop. $H3. 21, 377 ( 1 9 5 1 ) ; 22, 513 (1952); 23, 381 (1952); 26, 545 H3BecTHH A n a s .

Hayn.

CCCP,

cep. $H3. 2 1 , 3 ( 1 9 5 7 ) h 2 1 , 1 6

Herausgegeben von Prof. Dr. G . HÖHLER. Deutsche Redaktion durch Dr. A . MÜLLENSIEFEN und Dr. E .

A . NIEKISCH.

Erschienen im Akademie-Verlag GmbH, Berlin W 8 , Leipziger Straße 3 — 4 Lizenz-Nr. 202 • 100/512/61 Alle Rechte vorbehalten. Copyright 1961 b y Akademie-Verlag GmbH, Berlin Gesamtherstellung: Druckhaus „Maxim Gorki", Altenburg Bestellnummer: 5409 Preis: DM 17,50 Printed in Germany ES 18 B 7

(1957).

(1954).

INHALTSVERZEICHNIS N. N. Bogoljvbov: Über eine neue Form der adiabatischen Störungstheorie beim Problem der Wechselwirkung eines Teilchens mit einem gequantelten Feld

1

S. V. Tjablikov: Adiabatische Form der Störungstheorie beim Problem der Wechselwirkung eines Teilchens mit einem gequantelten Feld

23

S. V. Tjablikov: Fragen der Translationsinvarianz in der Theorie der adiabatischen Näherung

.

8. V. Tjablikov: Zur Theorie der Polaronen

37 45

S. V. Tjablikov: Das Energiespektrum des Elektrons in einem polaren Kristall I

53

S. V. Tjablikov: Das Energiespektrum eines Elektrons in einem polaren Kristall I I

66

M. A. Krivoglaz und S. I. Pekar: Die Zustandssumme für die Leitungselektronen in Halbleitern I. Schwache Wechselwirkung der Elektronen mit den Gitterschwingungen

.

73

M. A. Krivoglaz und S. I. Pekar: Die Zustandssumme für die Leitungselektronen in Halbleitern II. Variationsverfahren

88

Über eine neue Form der adiabatischen Störungstheorie beim Problem der Wechselwirkung eines Teilchens mit einem gequantelten Feld 1 ) BOGOLJUBOV

Von N. N.

Bei der Behandlung der Bewegung von Teilchen in einem gequantelten Feld betrachtet man gewöhnlich den Hamilton-Operator H

=

H

p

- \ -

H

v

+

H

i

a

U

in dem Hp die Energie des Teilchens, Hv die Energie des gequantelten Feldes und H i n t die Wechselwirkungsenergie des Teilchens mit dem Feld ist. Um mit einem diskreten Spektrum rechnen zu können, betrachten wir das ganze System als in ein gewisses endliches Volum V eingeschlossen, z. B. in den Würfel mit der Seitenlänge L = F 1/j . Dem System werden dann periodische B,andbedingungen auferlegt. Dabei hat man natürlich immer den Grenzübergang V -> oo im Auge, der dem Übergang zum kontinuierlichen Spektrum entspricht. Wenn das betrachtete gequantelte Feld nach nichtwechselwirkenden Oszillatoren entwickelt werden kann, so gilt 1 H

v

=

+ S

h a > f ( b

f

b f

+ +

b

f

b

f

) ,

+

wobei a>f die Oszillatorfrequenzen, bf und bj die gequantelten Amplituden mit den bekannten der Bose-Statistik entsprechenden Vertauschungsrelationen sind. Der Index / bezieht sich bei endlichem Volumen V auf das diskrete Spektrum, das für V oo in ein kontinuierliches Spektrum übergeht. So ist / z. B. bei vielen 2n 2TI

(

L

w

o

b

e

i

n

i >

n2>

n

3

L

ganze positive oder negative Zahlen sind.

Für nichtrelativistische Teilchen gilt bei Abwesenheit eines äußeren Feldes H

P

*

A

Denselben Ausdruck kann man auch bei Anwesenheit eines äußeren Feldes benutzen, wenn man nur die Methode der äquivalenten Masse benutzt. Die typische Form der Wechselwirkungsenergie ist ein räumlich homogener Ukrainskij matematiceskij Zurnal 2, 3 (1950) 1

4. Sonderband

2

N. N. Boooljubov

Ausdruck, der von den gequantelten Feldfunktionen linear abhängt, z. B. Hint

= jK(r

— r') y(r')

dr' -f J K(r

— r')tjj(r)

dr'.

Wenn wir y>(r) nach ebenen Wellen entwickeln, die im Volumen V normiert sind, ei(fr)

(/>

yv

so erhalten wir einen Ausdruck der Form //int = I

{91feiifr)bf + k f e - ^ b j ) ,

wobei 3lf und 91/ proportional l / ] / F sind. I n dem vorliegenden Artikel benutzen wir die genannten typischen Ausdrücke f ü r Hp, Hv und Hint und erhalten so B

= 1r

+ T

ZhfMhih!

+ bfbf)

+2,{V;(/r)

b

f +

2t/e-i(/r)M-

(1)

Der Hamilton-Operator dieser Form wird hier für die verschiedensten Probleme betrachtet. Wie erwähnen hier nur das Problem der Bewegung von Beimischungen [i, 2, 3] in Helium I I oder der Bewegung von Elektronen in Halbleitern [4] oder der Wechselwirkung eines Nukleons mit einem skalaren Mesonenfeld in nichtrelativistischer Näherung. Der Hamilton-Operator ist ziemlich kompliziert, aber auch in den nichtrelativistischen Theorien der Wechselwirkung des Elektrons mit dem elektromagnetischen Feld, des Nukleons mit einem pseudoskalaren oder vektoriellen Mesonenfeld usw. werden eigentlich ganz analoge Ausdrücke betrachtet. Man muß bemerken, daß, obwohl der betrachtete Hamilton-Operator (1) einer der einfachsten ist, der die Wechselwirkung von Teilchen und gequantelten Feldern beschreibt, eine exakte Lösung der zugehörigen Wellengleichung unmöglich ist, wenigstens nach dem heutigen Stande der Wissenschaft. Man muß deshalb zu den Näherungsmethoden der Störungstheorie übergehen. Die gewöhnlich bekannten Methoden dieser Theorie werden bei der Betrachtung der Fälle schwacher Kopplung der Teilchen an das Feld verwendet, wenn in dem Ausdruck des Hamilton-Operators Hv und Hv die hauptsächlichen Terme sind und //¡ n t ein kleines Störglied ist. Jedoch kann in einer Reihe von Problemen die Kopplung des Teilchens an das Feld nicht als schwach angesehen werden. Als Beispiel sei der Fall der starken Kopplung erwähnt, bei dem iZ illt nicht proportional einem kleinen sondern proportional einem großen Parameter ist, oder auch der mathematisch sehr komplizierte Fall der „adiabatischen Kopplung", bei der die „kinetische Energie" des Feldes klein ist. Wir nehmen zur Erläuterung ein konkretes Beispiel, und zwar betrachten wir

Über eine neue Form der adiabatischen Störungstheorie

3

die Bewegung eines Elektrons in einem Ionenkristall mit Hilfe des Modells, das von S. I. P E K A R [4] vorgeschlagen wurde. I n diesem Modell wird die Existenz des periodischen Feldes des Ionengitters mit Hilfe der Methode der effektiven Masse berücksichtigt, d. h. es wird

p2 H

*=2y

angenommen. Die Wechselwirkung des Elektrons mit dem Gitter wirkung mit polarisierten (optischen) Wellen betrachtet, die polarisation entsprechen. Das Ionengitter selbst wird hier durch K o n t i n u u m ersetzt. Geht m a n von diesen Voraussetzungen aus, so erhält / / i n t die

wird als Wechseleiner Trägheitsein dielektrisches Form

wobei P ( r ) der Vektor ist, der dem trägen Anteil der spezifischen Polarisation entspricht. Da Hint nur f ü r longitudinale Wellen von Null verschieden ist, können transversale Wellen vollständig von der Betrachtung ausgeschlossen werden, u n d als gequanteltes Feld, mit dem das Elektron wechselwirkt, k a n n ein Feld longitudinaler Wellen gewählt werden. Wenn wir dann P(r) nach ebenen Wellen, die im Volumen V normiert sind, entwickeln, können wir

ti l/l

' f r '

schreiben u n d Pf als verallgemeinerte komplexe Koordinaten betrachten, die das Feld charakterisieren. Mit Hilfe dieser Entwicklung erhalten wir

Schließlich wird die Feldenergie in der Theorie „

v

4

^ p

p

+ p P w

1

vl

4 ? r

PEKARS

P P

hiüy c

?'

92

\

wobei die w f die Frequenzen der optischen Ionenschwingungen u n d cf gewisse Konstante sind. So wird der gesamte Hamilton-Operator, der die Bewegung eines Elektrons im Ionenkristall beschreibt, in unserem angenommenen Modell dargestellt in einem 1*

4

N. N. Bogoljubov

Ausdruck von der F o r m * = -

| U

+

J

A2

^ P , « - .

+

-

d2 (2)

^ ^ d P ^ P Z /

I n einigen Fällen ist die Frequenz der Ionenschwingungen hinreichend klein. D a n n liefern in dem Ausdruck f ü r H die drei ersten Glieder den H a u p t b e i t r a g und das vierte, das der kinetischen Energie der longitudinalen, polarisierten Ionenschwingungen entspricht, wird klein sein; so erhalten wir hier das typische Beispiel jener Kopplung, die wir adiabatische nennen. D u r c h E i n f ü h r u n g der gequantelten Bose-Amplituden

h

- l /

2 n

p

I 1 lh(üJc!

9

.

t -

l/

271

P

\lh

(28)

30

S . Y . TJABLIKOV

Mit diesen Bezeichnungen n i m m t die Wellengleichung zweiter folgende Form a n : (E

-

£0)

C0

=

2

£

| i

2 E

(Je) Q -

Qk -

k

2 B

Qg Qf

t {

Näherung

+

+ ~SE(k)(pLk-

(29)

Zur Bestimmung der Eigenwerte müssen wir den äquivalenten HamiltonOperator H2 auf Diagonalform transformieren. Da eine Linearform in Pk ist, P i = P

t

- v t Z ( t , f ) r

f

P

f

,

ist H2 eine quadratische Form in Pk, Qk, wobei die Variablen P und Q getrennt eingehen. Vor allem eliminieren wir aus dem Hamilton-Operator die in P linearen Glieder. Hierzu setzen wir P k = % + % (30) und setzen die Koeffizienten der ersten Potenz von chungen zur Bestimmung der c-Zahlen ak liefert: *?(*) Ja'_» -

gleich Null, was Glei-

- y W ) } -

(*,/)„; = o,

(31)

wo a'k =

ak—

s

k

^ ( k , f ) r

i

a

i

.

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn wir setzen i(4)|o'_»--^-(i>J)J=

- i h ( J c , V ) r

k

(32)

,

wo V ein neuer Vektor ist. Durch Einsetzen von a'k in die I d e n t i t ä t Zlcarkai = 0 erhalten wir unter Berücksichtigung der Orthogonalitätsbeziehung (5) folgende Gleichung zur Bestimmung von V:

Nach diesen Umformungen n i m m t (29) die Form a n : cE

-

k'Qk+

~

- Z B - v Q - t Q t - Z ^ r * - * ^

(38)

wo die Größen rk, Bkf durch (26), (28) definiert sind. Um H2 auf die Diagonalform zu bringen, geht man bequemerweise zur Vorstellung einer zweiten Quantelung über, die in (38) durch die Variablensubstitution

~70'

(50)

wo co die Frequenz der optischen Schwingungen, e 0 die Dielektrizitätskonstante u n d n der Brechungsindex ist. Nach (27) können wir den Hamilton-Operator Schon früher wurde diese Idee von

LANDAU

[10] und

FRENKEL

[11] ausgesprochen.

Adiabatische Form der Störungstheorie

35

des Polarons folgendermaßen schreiben: H0=

+

-

Uai + C,

rC — 1 v2 l^/l2 l 1f 7(0.0)12 ~ 2 ~ W ) '' u ef f = -

2

Zur Bestimmung des Grundzustandes benutzt man besser ein Variationsprinzip J

(

+

P f

Pf)

giltZur B e s t i m m u n g der E i g e n f u n k t i o n e n u n d Eigenwerte m u ß m a n ferner die O p e r a t o r f o r m der Störungstheorie [4] anwenden. W i r bezeichnen m i t