Physica status solidi: Volume 6, Number 3 September 1 [Reprint 2021 ed.] 9783112496947, 9783112496930

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plrysica status solidi

VOLUME 6 . N U M B E R 3 • 1964

Contents Review Artide E. H.

Page Far Infra-Red Photoconductivity

PUTLEY

571

Original Papers C. H. ITeKap

H K

K).

E.

NEPJIHH

TeopHH

J I O K a j I T j H L I X 3 J i e K T p O H H H X U e H T p O B B HOHHLIX K p H -

CTaJiJiax

616

V . GALLINA a n d M . O M I N I

Vacancy as a Phonon Field Perturbation (II)

M. R O S E N B E R G , C. TANASOITJ, and C. Rusu The Domain Structure of ZTÌ2 - xCoxZ Single Crystals T.

Proposal for Semiconductor Laser with Wide-Gap Emitters. . . .

PEÈENÌ

627 639 651

CH. SCHWINK u n d G . GRIESHAMMER

Untersuchungen des Fließbereichs neutronenbestrahlter Kupfereinkristalle (I)

665

CH. SCHWINK u n d H . NEUHÄUSER

.

Untersuchungen des Fließbereichs neutronenbestrahlter Kupfereinkristalle (II)

679

J . Z . DAMM a n d J . K O W A L C Z Y K

The Influence of Plastic Deformation on Thermal Bleaching of Colour Centres in Potassium Chloride Crystals Irradiated by y R a y s . . . . 693 H . G. GREWE u n d E . KAPPLER

Strukturänderungen von vielkristallinem Kupfer nach extrem hoher plastischer Verformung 699

W.

HEIMANN

Investigations of the Possibility of Reducing the Thermionic Sensitivity Occurring in Composite Photocathodes 713

G . REMAUT, A . LAGASSE, a n d S . AMELINCKX

H . HOFFMANN

The Electron Microscopic Observation of Mechanical Twins in Indium

723

Wellenlänge und Kontrast der Magnetisierungsschwankungen einachsiger Permalloyfilme

733

A . R . H . NIEDERMEYER

Die Diffusionskoeffizienten von Antimon und Arsen in Germanium bei verschiedenen Konzentrationen und die Diffusion bestimmter Störstellenprofile durch Programmdiffusion

R . W . DAVIDGE a n d P . L . PRATT

Plastic Deformation and Work Hardening in NaCl

M . B O Ö E K u n d G . HÖTZSCH

Die plastische Verformung von kadmiumlegierten Zinkeinkristallen(I) (Continued on cover three)

741 759 777

Contents — Continued S . A R A J S a n d R . V . COIATN

Electrical Resistivity of High Purity Iron from 300 to 1300 °K. . .

797

K . M E Y E R u n d E . GRAGERT

Deformations- und Rißstrukturen in NaCl-Rristallen bei der Stoßbearbeitung

803

R . STRUM ÂNE a n d R . D E BATIST

Temperature Dependence of the Dislocation Line Charge in Sodium Chloride Single Crystals

817

V . MARINKOVIC a n d S . AMELINCKX

Anti-Phase Domains and Dislocation Ribbons in Tealite (PbSnS 2 ). .

823

R . GEMPERLE a n d M . Z E L E N Î

Néel Walls in a Massive Uniaxial Ferromagnet in an External Field .

839

J . BOK e t C . GOTHMANN

J. GINTER

Effets des hauts champs électriques sur les phénomènes de transport dans InSb à basse température

853

On the Mixed Scattering by Optical Phonons and Ionised Impurities.

863

K . FOSSHEIM a n d T . OLSEN

Magnetoacoustic Studies of the Fermi Surface of A l u m i n i u m . . . .

867

Hot Carriers in Microplasmas and their Radiation in Germanium and Silicon

877

E . KAMIENIECKI

J . MALINOWSKI a n d W . PLATIKANOWA

W.

RUSKE

Decay of the Concentration of Photoexcited Holes in Silver Bromide

885

Über die Ummagnetisierung dünner polykristalliner Elektrolytnickelschichten bei spannungsinduzierter einachsiger Anisotropie (I).

893

R . GONTARZ, H . RATAJCZAK, a n d P . S U D A

Magnetostriction of Thin Ni-Films J.

DZIESIATY

909

Photoleitfähigkeitsuntersuchungen an CdS- und CdSe-Einkristallen mit einer kontaktfreien Mikrowellenmethode 913

R. v. JAN

Defektverteilung in Verlagerungskaskaden (I)

925

M . WILKENS

Streuung von Blochwcllen schneller Elektronen in Kristallen mit Gitterbaufehlern 939

J . VAN L A N D U Y T

An Electron Microscopic Investigation of Phenomena Associated with Solid Solution of Oxygen in Niobium 957 H. P u r r

Photoströme in Halbleitern mit Barriere

975

Short Notes (listed on the last page of the issue) Pre-printed Titles and Abstracts of Papers to be published in this or in the Soviet journal ,,H3HKa TBepaoro TeJia" (Fizika Tverdogo Tela).

List of Short Notes Page D. MÜNZ und E. MACHERAUCH Periodische Lüdersbandausbreitung bei der plastischen Verformung von ot-Messing

K129

E. SCHNÜRER Infrarotphotoleitung von CdS-Dioden

K133

J. CHROBOCZEK, A. CZACHOR, and J. PIEKOSZEWSKI Influence of Chemical Treatment and Neutron Irradiation on the Surface Recombination Velocity in n-Type Germanium

K137

L. MICHALOWSKY Kristallanisotropie von Ni-Zn-Fe-Ferriten

K143

Z. äROUBEZ, K. 2 M n S K T , and E. ¿¡ImXnEK Paramagnetic Resonance of C u 2 + in CdWO^

K149

L. ZDANOWICZ Some Semiconducting Properties of Thin Evaporated Cd 3 As 2 Films

K153

E.H. OIHEPHH 0 B3äSuocBH3ii cryneHHH SHepruH B n0BepxH0CTH c HeKOTOpUMH $H3HqeCKHUH CBOflCTBaMH

K157

E.H. OIUEPMH HenoTopHe BonpocH cryieHHH BHTponmi B iiOBepxHOCTH .. K159 W. PALZ ahd W. RDPPEL Long Wavelength Photovoltage and Photoconductivity Quenching in CdS Single Crystals

K161

H. SIETHOPF und H. ALEXANDER Die Stapelfehlerenergie von Germanium und Indiumant imonid

K165

R. BOYN Extrinsic Photoconductivity in CdS Crystals

K169

The pre-printed titles and abstracts of papers to be published in this or in the Soviet journal "Fizika Tverdogo Tela" begin on page

K175

physica status solidi B o a r d of E d i t o r s P. A I G R A I N , Paris, S. A M E L I N C K X , Mol-Donk, W. D E K E Y S E R , Gent, W. F R A N Z , Münster, P. G Ö R L I C H , Jena, E. G R I L L O T , Paris, R. K A I S C H E W , Sofia, P. T. L A N D S B E R G , Cardiff, L. N É E L , Grenoble, A. P I E K A R A , Poznan, A. S E E G E R , Stuttgart, 0. S T A S I W , Berlin, M. S T E E N B E C K , Jena, F. S T Ö C K M A N N , Karlsruhe, G. S Z I G E T I , Budapest, J . T A U C , Praha Editor-in-Chief P. G Ö R L I C H Advisory Board M. B A L K A N S K I , Paris, P. C ^ B A N B U R Y , Reading, M. B E R N A R D , Paris, W. B R A U E R , Berlin, W. C O C H R A N , Cambridge, R. C O E L H O , Fontenay-aux-Roses, H.-D. D I E T Z E , Aachen, J . D. E S H E L B Y , Birmingham, G. J A C O B S , Gent, J. J A U M A N N , Köln, E. K L I E R , Praha, E. K R O E N E R , Clausthal-Zellerfeld, M. MATYAS, Praha, H. D. M E G A W , Cambridge, T. S. MOSS, Camberley, E. N A G Y , Budapest, E. A. N I E K I S C H , Jülich, L. P A L , Budapest, M. R O D O T , Bellevue/Seine, B. Y. R O L L I N , Oxford, H.M. R O S E N B E R G , Oxford, R. V A U T I E R , Bellevue/Seine

Volume 6 • Number 3 • Pages 569 to 992 and K 129 to K 200 September 1,1964

AKADEMIE-YERLAG

•

BERLIN

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Editorial Note: "physica status solidi" undertakes that an original paper accepted for publication before the 8tl* of any month will be published within 50 days of this date unless the author requests a postponement. In special cases there may be some delay between receipt and acceptance of a paper due to the review and, if necessary, revision of the paper.

S c h r i f t l e i t e r u n d v e r a n t w o r t l i c h f ü r d e n I n h a l t : P r o f e s s o r D r . D r . h . c. P . C ö r l i c h , B e r l i n C 2, N e u e S c h ö n h a u s e r S t r . 20 b z w . J e n a , H u m b o l d t s t r . 26. R e d a k t i o n s k o l l e g i u m : D r . S. O b e r l ä n d e r , D r . E . G u t s c h e , D r . W . B o r c h a r d t . A n s c h r i f t d e r S c h r i f t l e i t u n g : B e r l i n C 2, N e u e S c h ö n h a u s e r S t r . 20, F e r n r u f : 4 2 6 7 8 8 . Verlag: Akademie-Verlag G m b H , B e r l i n W 8, L e i p z i g e r S t r . 3 - 4 , F e r n r u f : 2 2 0 4 4 1 , T e l e x - N r . 0 1 1 7 7 3 , P o s t s c h e c k k o n t o : B e r l i n 3 5 0 2 1 . D i e Z e i t s c h r i f t „ p h y s i c a s t a t u s solidi 44 e r s c h e i n t j e w e i l s a m 1. d e s M o n a t s . B e z u g s p r e i s e i n e s B a n d e s D M 60, —. B e s t e l l n u m m e r dieses B a n d e s : 1068/6. F ü r 1964 s i n d 4 B ä n d e v o r g e s e h e n . G e s a m t h e r s t e l l u n g : V E B D r u c k e r e i „ T h o m a s M ü n t z e r " B a d L a n g e n s a l z a . — V e r ö f f e n t l i c h t u n t e r d e r L i z e n z n u m m e r 1310 des P r e s s e a m t e s b e i m V o r s i t z e n d e n d e s Ministerrates der Deutschen Demokratischen Republik.

Review Article phys. stat. sol. 6, 571 (1964) Royal Radar Establishment,

Malvern

Far Infra-Red Photoconductivity By E. H . PUTLEY

Contents 1.

Introduction

2. Intrinsic

photoconductivity

3. Extrinsic

photoionization

3.1.1 3.1.2. 3.1.3 3.1.4

Responsivity Absorption of radiation Response time Noise 3.1.4.1 Johnson noise 3.1.4.2 Low frequency noise 3.1.4.3 Generation-recombination noise 3.1.4.4 Fluctuations in background radiation 3.1.4.5 Signal fluctuations 3.1.4.6 Detector temperature fluctuations 3.1.4.7 Amplifier noise 3.1.4.8 Detectivity of an ideal detector 3.1.5 Choice of parameters for a photoionization detector 3.2 Description of detector sj'stems 3.2.1 Group I I I or V impurities in silicon 3.2.2 Zinc, cadmium, and mercury in germanium 3.2.3 Copper doped geimanium 3.2.4 Gold doped germanium 3.2.5 Cobalt in germanium 3.2.6 Germanium doped with group I I I or V impurities 3.2.7 Impuiities in Ge-Si alloys 3.2.8 Impurity photoionization in other semiconductors 4. Free electron 4.1 4.2 4.3 4.4

photoconductivity

Free carrier absorption Hot electron effects Effects in a magnetic field Discussion of experimental results 4.4.1 Behaviour in small or zero magnetic fields 4.4.2 Behaviour in high magnetic fields

5. Future

developments

Appendix

I: The non ohmic photoconductor

Appendix

II: Background

References 38*

radiation

as a circuit

element

Review Article phys. stat. sol. 6, 571 (1964) Royal Radar Establishment,

Malvern

Far Infra-Red Photoconductivity By E. H . PUTLEY

Contents 1.

Introduction

2. Intrinsic

photoconductivity

3. Extrinsic

photoionization

3.1.1 3.1.2. 3.1.3 3.1.4

Responsivity Absorption of radiation Response time Noise 3.1.4.1 Johnson noise 3.1.4.2 Low frequency noise 3.1.4.3 Generation-recombination noise 3.1.4.4 Fluctuations in background radiation 3.1.4.5 Signal fluctuations 3.1.4.6 Detector temperature fluctuations 3.1.4.7 Amplifier noise 3.1.4.8 Detectivity of an ideal detector 3.1.5 Choice of parameters for a photoionization detector 3.2 Description of detector sj'stems 3.2.1 Group I I I or V impurities in silicon 3.2.2 Zinc, cadmium, and mercury in germanium 3.2.3 Copper doped geimanium 3.2.4 Gold doped germanium 3.2.5 Cobalt in germanium 3.2.6 Germanium doped with group I I I or V impurities 3.2.7 Impuiities in Ge-Si alloys 3.2.8 Impurity photoionization in other semiconductors 4. Free electron 4.1 4.2 4.3 4.4

photoconductivity

Free carrier absorption Hot electron effects Effects in a magnetic field Discussion of experimental results 4.4.1 Behaviour in small or zero magnetic fields 4.4.2 Behaviour in high magnetic fields

5. Future

developments

Appendix

I: The non ohmic photoconductor

Appendix

II: Background

References 38*

radiation

as a circuit

element

572

E . H . PUTLEY

1. Introduction Photoconductivity may be used as a means for obtaining information on the properties of semiconductors or it may be utilized as a means for detecting radiation. This article is an attempt to describe the properties required for the efficient detection of far infra-red radiation. The definition of the term 'far infra-red' is somewhat arbitrary. In this article it will be taken to cover the range of wavelengths from about 10 [xm (0.01 mm) to 1000 (i.m (1.0 mm). When radiation is absorbed by a photoconductor it induces electronic transitions which produce a change in electrical conductivity. This process must be distinguished from thermal effects which are caused by the radiation raising the temperature of the conductor and thus causing its conductivity to change. These two processes can be distinguished by the fact that the response time of the photoconductive process is usually much shorter than that for the thermal effects. Three types of electronic transition may lead to photoconductivity. Referring to Fig. 1, the left-hand side of the diagram shows the excitation of electrons from the valence to the conduction band of a semiconductor. Thus the concentration of both free electrons and holes is increased. This process occurs when the energy of the quanta of radiation is greater than the energy difference between the bands. This process will therefore have a long-wave threshold corresponding to the energy gap. Impurities in semiconductors can also be ionized to provide free electrons or holes. The ionization energy will be smaller than that of the intrinsic energy gap so that these centres can be represented by levels drawn in the gap. Ionization of these levels also leads to photoconductivity. The threshold will be at a longer wavelength than the intrinsic threshold and only one type of free carrier will be produced. This process will be called impurity or extrinsic photoionization. The third type of photoconductivity occurs when radiation is absorbed by the free electrons in a semiconductor. At first sight one would not expect this process to lead to a change in conductivity, but when a semiconductor is cooled to very low temperatures the coupling between the electron and the lattice becomes very weak. Hence if energy is supplied to the electrons either from a static source or from radiation a steady state can be set up in which their mean energy is considerably greater than their thermal energy. Usually the electron mobility depends upon energy so that this process leads to a change in mobility and hence a change in conductivity. This type of photoconductivity does not have a longwave threshold since at long wavelengths the free electron absorption is a maximum and is independent of wavelength. Below a certain wavelength, the absorption falls off as A2 so that the effect will be reduced at the shorter wavelengths. The lower part of Fig. 1 illustrates the type of spectral response expected for the types of process. So far intrinsic photoconductivity has only been observed at the short-wave end of our range. The intrinsic process has some advantages, however, so that the possibility of extending this process to longer wavelengths will be discussed in Section 2. To study extrinsic photoionization effects one needs a semiconductor into which a range of impurities can be introduced in controlled amounts. For this purpose Ge has been widely used. Photoconductive effects have been studied at wavelengths from a few microns out to just beyond 100 (xm, corresponding to the shallowest impurities known in Ge. This effect has also been studied in Si and InSb. This work is discussed in Section 3.

Far Infra-Red Photoconductivity

573

VALENCE BAND

INTRINSIC EXCITATION

WWWWWNWN

IMPURITY IONIZATION

FREE CARRIERS (a) (b) IN THERMAL ABSORBING EQUILIBRIUM RADIATION

WAVELENGTH (firn) Fig. 1. Diagram illustrating three photoconductive processes

The free-carrier effect is useful at wavelengths greater than 100 [Am. The most suitable materials for studying it are low effective mass semiconductors such as InSb. When a magnetic field is applied some very interesting effects are observed, including a narrow-band tunable effect. These effects are desribed in Section 4. In the final section the results achieved will be compared and some possible future developments considered. 2. Intrinsic Photoconductivity For intrinsic photoconductivity to occur at a wavelength of 10 |xm or longer the gap between the conduction and valence bands must be less than 0.12 eV. Some semiconductors are known with energy gaps smaller than this, and there have been some observations of intrinsic photoconductivity. Possible semiconductors include grey Sn, alloys of HgTe-CdTe, Mg2Sn-Mg2Pb, InSb-InAs, or InSb-BiSb, certain rare earth arsenides, and Bi-Sb alloys.

574

E . H . PTTTLEY

Although grey Sn has an energy gap of 0.08 eV and large single crystals can be grown from solution in Hg, at room temperature it is unstable, reverting to the metallic form [1]. For this reason work on it has been restricted. Extensive photoconductive studies have not been made, but BECKER [2] has observed photoconductivity at 5 °K in thin polycrystalline films with an electron concentration of about 1018 cm" 3 . The photoconductive response was constant between 5 and 12 ¡xm, peaking at 16 ¡xm and falling off at about 18 ¡un. The value for the energy gap was estimated to be 0.075 eV. HgTe is probably a semimetal, but CdTe has an energy gap of 1.6 eV. Mixed compounds can be produced for all intermediate compositions. The energy gap for Hgo.8Cdo.2Te is about 0.15 eV. Photoconductive effects out to about 13 ¡xm have been observed at 77 °K in alloys in which the Hg content ranged between 0.8 and 0.9. These were first r e p o r t e d b y LAWSON, NIELSEN, PUTLEY, a n d YOUNG [3]

and have been confirmed by subsequent workers [4]. This system offers considerable promise as an intrinsic photoconductor for the 10 ¡xm region. I n addition to photoconductive effect, light sensitive p - n junctions have been formed [5] and the photo-electro-magnetic effect has been observed between 8 and 10 ¡xm at room temperature [6]. Although these results look promising, the major difficulty in this work is to prepare compounds with the desired Hg-Cd ratio and at the same time to control the stoichiometry to obtain a small free carrier (preferably hole) concentration. This problem to a greater or lesser extent is present with all compound semiconductors but in general the smaller the required energy gap the more difficult to achieve a sufficiently small carrier concentration. One way round this difficulty is to develop p - n junctions. Then a high resistivity region will be formed in the junction. Another advantage of a junction is that the effective response time is determined by the transit time of carriers across the junction. This can be made much shorter than the recombination times which determine the time constant of either intrinsic or impurity bulk photoconductors. Where response times of less than 10~8 are required the use of a p - n junction is necessary. I t is for this reason that the development of photodiodes for the 10 [xm region is of particular interest. Mg2Sn has an energy gap of 0.35 eV while Mg 2 Pb is a semimetal [7]. A complete range of intermediate compounds is formed. Photoconductive effects both in the bulk and in p - n junctions have been observed in Mg2Sn [8]. Therefore it should be possible to prepare a mixed with an energy gap of 0.1 eV or less. Unfortunately, these compounds are unstable, being attacked by water vapour. Therefore attempts to develop them as photoconductors have not gone beyond the initial studies. InSb has proved one of the most successful of the intrinsic photoconductors. Photoconductive effects extend to about 7 [xm at room temperature, falling to 5.5 fxm at 77 °K. To extend the photoresponse to longer wavelengths the possibility of alloying InSb with related I I I - V compound has been considered. InAs has a larger energy gap than InSb but the energy gap of the mixed compound goes through a minimum atInAs 0 46Sb0-54 and has a value of about 0.11 eV at room temperature [9]. BiSb is a semimetal so that if a range of intermediate compounds with InSb exist this would be a very promising system to study [10]. So far attempts to form this intermediate compound have not been very successful. Further metallurgical study is required to decide whether or not this compound can exist.

575

F a r Infra-Red Photoconductivity

Sclab [11] has pointed out that analogies exist between the I I I - V compounds and the (rare earth)-V compounds. He has predicted that PrAs, NdAs, and PmAs should be semimetals while SmAs, EuAs, and GdAs should have small energy gaps. So far none of these compounds has been prepared in a sufficiently pure form to decide whether these predictions are correct. This group does appear to have some interesting potentialities which should repay further study. J a i n ' s [12] work on B i - S b alloys has shown that with a small percentage of S b there is a small energy gap. With 7 % Sb the gap is 0.004 eV, corresponding to a wavelength of 310 (xm. Photoconductive studies do not appear to have been made on this alloy. 3. Extrinsic Photoionization 3.1.1

Responsivity

Consider a semiconductor containing a concentration ND of impurity centres of ionization energy EN. If there is also a concentration NA of acceptors, the concentration available for ionization will be ( N D — N A — n) where n is the concentration of electrons in the conduction bands in the absence of signal radiation. If the semiconductor were maintained in thermal equilibrium at a temperature T, n would be the thermally excited free electron concentration; but a photoconductor is usually exposed to background radiation from objects within its field of view which are at a temperature TB > T. This exposure may be unavoidable or it may be deliberately adjusted to control the characteristics of the detector. In either case n can be considerably larger than the thermal equilibrium value. Now suppose the detector receives a small flux of photons AJ/s of energy h v > ED. A fraction rj of these will be absorbed by the impurity centres. Assume that each photon absorbed ionizes one electron (if the energy of the photons were larger than about 10 E D multiple ionization might occur). Thus the rate of generation of free-electrons will be increased by an amount rj AJ. The rate of recombination will increase with the increase in free carrier concentration until a steady state is reached when the total number of free carriers is increased from N to N + AN. If the radiation signal is modulated at angular frequency m so that A J = AJ0 (1 + exp j co t)

(1)

the relation between A J and A N can be expressed by the equation (2) where r is the lifetime of the free carriers. The solution of this equation is AN = AN0 [1 + (1 + coa r 2 ) - 1 / 2 exp j(a>t +

0)],

(3)

where AN0

= RJZ AJ0

(4)

E. H. PUTLEY

576

The corresponding change in conductivity will be Aa = e firj r AJ\v ,

(5)

where e is the electronic charge, [X the mobility, and v the volume of the sample. If the frequency of the radiation is v, (5) can be expressed in terms of energy by writing AQ = hvAJ, (6) A a =

e

ril vhv

J t

To calculate the signal voltage produced by the detector the quantity required. R is the resistance of the detector

is

a A where A is the area of the current contacts and I the distance between them dR _ dR da dQ~'da'~dQ'

so that

dR R e fi rj t ~dQ~~~~o vhv

~

Rrj r Nhv'

For a detector which obeys Ohm's law and open-circuit conditions, the voltage responsivity, dVjdQ, is dV

dV

dR

dQ

dR

dQ

IRT)T

Nhv

dV

'

dQ

VTJT

Nhv'

(9)

In fact, far infra-red detectors usually show deviations from Ohm's law. The behaviour of the detector as a circuit element for this case is discussed fully in Appendix I . 3.1.2 Absorption of

radiation

The quantity rj introduced in Section 3.1.1 indicates mainly the absorption efficiency of the detector. For a properly designed detector it will approach 1. Absorption measurements show that when the radiation energy exceeds the intrinsic energy the absorption coefficient a becomes very large (say a q) 0sn(q), (3) B KOTOpOM BOJIHOBaH yHKIJHH SJieKTpOHHOH nOflCHCTeMbl fs{r, q) 3aBHCHT OT q ropa3Ho MejjJieHHee, tom BOJiHOBaa (JjyHKnnH KOJieöaTejibHOH nonCHCTeMbi 0sn(q). HTO6m nojiyHHTb HHTerpajibHoe no cneKTpy n o r j i o m e m i e T12, cBH3aHHoe c aneKTpoHHbiM nepexonoM coneTaiomHMCH co BCeB03M0JKHbIMH KOJieÖaTejIbHblMH nepeXOflaMK, HeOÔXOflHMO BejIHHHHy (1) npocyMMHpoBaTb no HaöopaM KoneßaTejibHbix KBaHTOBbix i n c e j i % H n~.

T T

«

l l p n 3T0M n J i a B H O MeHHIOmHHCH MHOJKHTeJIb

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12

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n{ co12) 3HâK cyMMbi n p n 3HaqeHHH nacTOTbi w12 = w m , oTBenaiomen MaKCMMyMy cyMMHpyeMOH (JjyHKijHH. T o r n a , yHHTbiBan, HTO S ^ n A q ) K n M ' ) = à(q~q') (4) n2

h n o n a r a n = ; < # » , « , ! = rpajibHoro noraoiqeHHH 2 )

/niWn2/

nojiynnM hjih nmre-

oo

Tn = I K(oj) ,(co = 0

á

f h e 2 c ™ l j Gu >

Ö11 = f

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(6)

B cooTBeTCTBHH c ajinaôaTimecKHM npnöJiHJKeHHeM, |> oj12 ¡g 0 , KOTOpoe HapymaeTCH b oónacra S o j i l u i h x „OTpHijaTejitHbix TenjioBbiAejieHHñ". PacnpocTpaHeuHe cyMMnpoBaHnn Ha yKa3aHHyio oßjiacTi» He npHBOjurr, oaHano, K CKOJIbKO-HHßyHb CymeCTBeHHbIM nOrpeUIHOCTHM, eCJIH MaKCHMyMbI BepOHTHOCTefl onTimecKHx nepexonoB naxonHTCH b oßjiacTH nacTOT, c o o T B e T C T B y r o m n x nojiowHTGJlbHblM TeilJIOBblUCJieilHHM.

MOHteT

41

physica

C. M. rienap H IO. E. IlepjiHH

618 nOJIOJKHTb

®,n(q) =n0nK(qK JÍ

-

qxs),

(7)

rjue 0nx OCUHJIJIHTOpHBie B0JIH0BBI6 | ,

G n

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|1^-»,,.

(8)

T.e. Mbl npHXOJIHM K H3BCCTHMM pe3yJIbTaTaM [2, 11, 12], CJieayiOmHM H3 npHHuuna OpaHKa-KoHnoHa. H3 (8) BHHHo, HTO HJiH nonnomaiomero h H3JiyHaiomero nepexonoB B (|)opMyjiax (5) h (6) (ho He b (1) h (2)) hojihíhh (^HrypHpoBaTb pa3Hbie MaTpHHHbie 3JieMeHTbi. HMeHHo sto pa3JiHHHe HMejiH b BH«y O a y j i e p h ,U,eKCTep (b najibHeñmeM O . h 3 . ) [3], upHTHKya Haiiiy paßoTy [10]. Ondano, pa3JiHHne Memay G n H 0 2 l He oneHb BCJIHKO: ecjiH gjiH oueHKH B0Cn0JIb30BaTbCH KOHTHHyajIbHOH Teopweft -F-HeHTpOB, TO COrjiaCHO BbIHHCJieHHHM . H [2] •>naayq. ^ 1 + 0,312 [e/w2 - 1] no™om. 1 + 0.3914 [e/n* - 1]

(9)

(e nH3JieKTpHHecKaH nocTOHHHaa). 3 t o OTHomeHHe cocTaBJineT, HanpHMep, b KCl h NaCl okojio 0,9. 3HaHHTejibHO ßonbuiyio oiuHÔKy b 3HaieHHe BepoHTHocTH (|)0T0nepex0Ha mojkct BHecTH, HanpHMep, HeoöocHOBaHHbiit Bbißop K03eKTHBH0H MaCCbl, HH MaKpOpâCieTOM nOJIHpH3aiíHH. TaKHMH -o6jiaKa 3neKTpoHa. Manpopacneia TpeöyeTCH JiHiiib, i t o 6 h n0JiflpH3aiiH0HHbiñ papaye 6wji ßonbine nocToame nojiHpH3auHH

HOH peineTKH ( n o a p o Ô H e e c m . [ 6 ] § 7 h

[13] § 3).

3 . C p a B H c n n e c aKcnepiiivieHTOM i i H T e r p a j i t n o r o n o r j i o m e H H J i , p a a n a u i i o H H o r o BpeMeiiH vi.iumn B o a ß y s K a c n n o r o

c o c t o h h h h

h

ocuiiJiJiaTopa

chjii.i

F-ijeHTpa H3 (6) cjienyeT tl(r, q) H fgt(r, q). E c j i h HCXOHHoe h KOHeiHoe 3JieKTpoHHbie c o c t o h h h h (|)OTonepexoHa H B J I H I O T C H BbipOJKJteHHMMH, T O HHTeHCHBHOCTH nOrJIOmeHHH H H3JiyieHHH (5), (6), (15) JJOJIJKHH ôbiTb ycpeflHeHbi no BbipoHî^eHHbiM h c x o u h h m coCTOHHHHM h npocyMMHpoBaHM no KOHeiHbiM COCTOHHHHM. B cjiyiae -F-ueHTpa ocHOBHoe c o c t o h h h c HeBbipoHtneHO, a B036yjKn;eHH0e c o c t o h HHe TpexKpaTHO BbipomneHO, npHieM, KaK bo Bcex 3anaHax, oßnanaioIIJHX T0H61H0ÍÍ CHMMeTpneit Kyôa, BepOHTHOCTh (|)0T0B036y5KJ];eHHH B Ka>Kj3;oe H3 Tpex BbipojKjieHHbix c o c t o h h h ö OHHHaKOBa. B 3 T O M cnynae npaBbie HacTH (5) h (16) h o j i j k h w 6biTb npocTo yMHOHteHbi Ha Tpw, a 4>opMyna (15) He MeHHeTca. ~ T ^ - t ôbijia HaMH BbinncneHa ana . F - u e H T p o B b KCl. IlpH •"i npaByio lacTb (16) 6biJi n o ô a B J i e H M H O H î H T e n b 3, ô b i j i o npHHHTO

B e j i H i H H a 3 T 0 M

~

b

= 1, n(com) • n{w'm) = 2 , 1 7 5 ; hcom

21 BoubT.

= 2,19 3JI. BOUbT; ha>'m—

/ 1 \ B pe3yjibTaTe nojiynnjiocb [ ^ - T ^ - t ) i

me B3HTb H3MepeHHoe CßaHKOM h BpoyHOM 0,59-10"® c.

h

H3MepeHHoe

C h j i c ô h

=5,8•

/buthcji.

1,26

10 -9 cm 2 .

3Ji.

Ecnn

[20, 21] 3HaieHHe t =

[22] 3HaqeHHe y r „ = 0,13 c m

2

c-1,

t o nojiyiaeTca (-^r T12t\/ H 3 M . = 76 • 10~9 cm2. 3 ï a H3MepeHHaa BejiHiHHa, cjienoBaTejibHo, npeBocxonHT BHHHCJieHHyio b 13 pa3. . h [3] o t -

K TeopHH JIOKaJlbHblX OJieKTpOHHHX UeHTpOB B HOHHMX KpilCTaJIJiaX

MenaioT 3 f l e c b pacxojKjjeHHe oß^HCHeHHH [2, 3]: G 1. 3 a

CieT

OTJIHIHH

b

12 pa3

623

npejjjiaraiOT HBa B 0 3 M 0 » H b i x ero

h

OT eHHHHUbl, CBH3aHHOrO C pa3JIHHHeM KOH-

Si b H e n o T o p o e c o c t o h h h c c HeMH o r o M e H b i u e ö S H e p r n e ñ . T o r n a b ( 1 4 ) h ( 1 5 ) BMecTO G21 ö y n e T $ H r y p a p o B a T b BejiHHHHa 0 3 1 , K O T o p a H MOJKeT ébiTb Ha n o p H H O K M e H b i u e , q e M ( ? 2 1 . H a n p H M e p , c o c t o h h h c m %pH m o h í c t ßbiTb B o n o p o H o n o g o ß H o e c o c t o h h h c 2s c H e ö o j i b m o ü n p H M e c b K » c o c t o h h h h 2p. I l e p B O e H3 3THX OÓTjHCHeHHÜ HaM IipeHCTaBJIHeTCH MaHOBepOHTHblM,

Q

TaK KaK

He

MomeT

jjocTHraTb

BejinqHHbi

13.

Biopoe

o6i>HCHeHHe

12

öonee yße^HTejibHo; oho nonTBepmaaeTCH HaßjiioAeHHbiM yöbiBaHneM t

OT 0 , 9 • I O " 6 ho 0 , 6 • 10~6 c e K .

100 ° K

n p i i H3MeHeHHH T e M n e p a T y p b i o t 0 no

[20], noKa3biBaiomHM, hto jiioMHHecijeHHHH coBepuiaeTcn

no

MeHbuieü Mepe c H B y x oneHb 6 j i h 3 k h x B H e p r e T H i e c K H X y p o B H e ö h h t o HHJKHHH H3 HHX o S j i a j j a e T r 0 p a 3 H 0 ÖOJIblHHM paHHaUHOHHbIM BpeMeHeM 5KH3HH, HeM B e p X H H H . 3 ) B CBH3H c 3THM HHTepeCHO CpaBHHTb nOJIHyiO 3 H e p r H I 0 CHCTeMbI, K O r n a 3JieKTpOH í - I i e H T p a HaXOHHTCH B 2s H 2p COCTOHHHHX. E c J I H 3JieKTpOH HaXOHHTCH B COCTOHHHH ips, TO n o j i H a n S H e p r a n [ 6 ]

Hs...„x... = J[fs\ + e * K. 3Kcnep. Teop. $H3. 16, 933 (1946). (Received

April 27,

1964)

V. GALLINA and M. OMINI: Vacancy as a Phonon Field Perturbation (II)

627

phys. stat. sol. 6, 627 (1964) FIAT

Research

Laboratories

Torino

Vacancy as a Phonon Field Perturbation II. Relaxation Energy for Vacancies and Vacancy Pairs By V . GALLINA a n d M . OMINI

The lattice relaxation theory of Part I of this pair, and the interaction required in this work are

energy caused by a vacancy is calculated by using the general work. The lattice-centre displacements, produced by a vacancy energy between two vacancies are also evaluated. Some matrices tabulated; numerical results for argon at 80 ° K are given.

En employant la théorie générale donnée dans la première partie, nous étudions l'énergie associée & la distorsion d'un réseau autour d'une vacance. La théorie est capable aussi de donner l'énergie d'interaction entre deux vacances, au moyen d'un système de matrices, dont la tabulation est reportée. Les résultats numériques sont donnés pour un cristal d'Argon à 80 °K.

1. Introduction work1)

In the first part of this it was shown that a vacancy may be regarded as a quantum perturbation of the perfect lattice state and the Hamiltonian operator corresponding to the vacancy perturbation was written down explicitly. Further it was proved that the only part of the operator contributing to the reticular distorsion around the vacancy is Hvll

= U fh • *lh , h

where h is the position vector of a generical lattice centre with respect to the vacancy ; /j, =

dh

the interatomic potential gradient calculated at h and the

Yji, 's the displacement operators represented by r i h = i

]Y

ZTO1V

QRP J/COGP

teiq'ha™

~

e

'i9

h

a

ipi

•

(2)

The ciqp and dqP are absorption and creation operators, respectively, for a phonon of wave vector q and branch p, £qP and (Oqp being its polarization vector and angular frequency. 2. Relaxation Energy ior a Single Vacancy I t is quite reasonable to expect that (I) gives the so called "lattice relaxation energy" around the vacancy, through the methods of perturbation theory. More precisely, by perturbative expansion up to the second order, the energy results gg

_ YaC

y, I « ri -oat s- aoio« o5 c' isi ^© t -cr oa oeôoHï ofolailc> W Oo^O o oCqOq O o qMol O q-H^H rO t rHHHr H t rO t o o o o o o o o o o o o o o o onio^coH'íN'^iNtDOiom «q iqnqœqtq- qo O o or jHO^ï ^Oi O - HHFHHF- tHHi H -; ö o o o o o o o o o o o o o O0îil«5»(flM100)t-M(l3l0 ^q IqQq îqOqCqO H^HHHrHt ^ rf f- ijO ^O r HHi H -H o ö o o o o o o o o o ö o ŒH O M H liM l j^h' Jl i»a (r tßt nDtO- Q 0 0O0^® © O O O O "H -H ^H H r-H -iH r-l OOOOOOOOQOOO «B^HHH o 0 0 OS i-H I N CO T Ì T i T i © o © l-H l-H r H i-H i-H r H o d © d © © d © ©

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IN c o

i-H

V a c a n c y as a Phonon Field Perturbation (II)

—iNM^»)®t-®«OHM«T|HO

pH t- IO 00 IM >o M oo >o >a © pH 00 Ir- oo OS 05 05 00 CO IO co O O- o iO >o IO »o K5 io IO i 1 i—i pH rH i—i H pH I—1 pH pH pH pH pH O O o © O O © o © © © © © 05 o 1» CD CD < D CD CD r-H i—l i—i 1—1 pH i—1 pH pH C pH pH pH O pH O O O © o O O O © © © © "O O co CD p—i CD i> © CO 00 >o 00 05 CD pH eo IO CO CM

-tí

M

o -»s ? oS EH >o

o oo co rt oo o to 05 CO P0.2), P = 2 x 1 0 " cm"3, M: mirror, C: contact. Composition of materials and concentration of carriers correspond to example B

If-Wjim

(34)

660

T. PECENY

If radiative recombination takes place between states with an occupation probability An and 1 — Ap, the rate of spontaneous radiative recombination into one mode is -^11 ~ ^ Ap An ,

where r is constant for a given system; for stimulated emission to the Z-th mode = Sj r Ap

An

(si is the number of photons in the mode) and for absorption R13 = s,r(

1 -

Ap) (1 -

An) .

The expression for effective stimulated emission (after subtracting absorption) can thus be written in the form Rn

where =

-

R13 = si k Rn (1 - Ap) (1 Ap A ** n

1

,

(35)

An) •

The value of k can be estimated from the known values of A Pl and A n i relations (19) and (22). I t will be assumed below t h a t there are altogether s 1 photons in the modes of a resonator in the steady state. The number of axial modes is compared with the total effective number of modes v in the volume of the nator. Then the rate of radiative recombination into the axial modes is R'la=lfJH

V

B'

for

k > 0,

(35,)

from axial small reso-

(36)

the rate of non-radiative recombination R'2 = (1 -

(37)

q) R'

and the rate of radiative recombination into other modes (38)

R'i« = qR'

(in non-axial modes only spontaneous recombination occurs, see Appendix 2). Thus _ Ij ¿j n B'la qecz (R'la + It'ln + R'J '

(39)

where n is the refractive index, c the velocity of light, and Ij the total current through the junction. We put (40)

qecz

and by rearrangement we obtain

For the quantum efficiency q0 of emission into the axial modes we get from relations (36), (37), (38) and (41) R'la

^

v

Proposal for Semiconductor Laser with Wide-Gap Emitters

661

The total effective number v of modes in the volume of the resonator shown in Fig. 5, which fall to the spontaneous emission band of GaAs is cass A) case B)

v = 5 X10 5 for T = 77 °K, v= 10« for T = 300 °K,

AElj2 = 0.017 eV, AE1/S = 0.04 eV,

E = 1.47 eV E = 1.38 eV

[10] [11]

if the resonator is taken to be a cylinder of diamater d and length l v the refractive index of the Ga(As, P) alloy as n = 3.3 and if a Lorentz-type spontaneous emission band is assumed. For the typical value = 30 mA (corresponding to 15000 A/cm 2 ) z = 0.14 and the dimensions shown in Fig. 5, we obtain / = 1.4 x 10®. Then for T = 77 °K, q — 0.85 and k = 1 we obtain q0 = 0.6 (case A) T = 300 ° K , q = 0.4 oscillation does not occur T = 300 °K, q = 0.7, Jc = 0.85, AEV2 = 0.025 eV we have q0 = 0.25 (case B). I t is thus seen that, for CW action at room temperature (case B), emission with larger quantum efficiency or smaller band width of spontaneous emission, than has been reported so far, would be required. In case B the total quantum efficiency at stimulation is -^l a -^l n R'la + R'm +

Q

In the planar arrangement it would in principle also be possible to limit the junction area by using a resonator with spherical or cylindrical mirrors and regions of semi-insulating GaAs (again for a width around 15 ¡xm at a length of 100 (xm). Due to heating effects it is necessary to use a somewhat smaller current density; the total current across the junction increases several times. In this case the volume of the resonator is smaller than before so that the average number of photons per mode is larger. This accelerates recombination and increases the quantum efficiencies while the concentrations in the inverted layer decrease. Thus the set-up shown in Fig. 5 is more suitable if spontaneous emission in a narrower band and possibly also higher quantum efficiency can be achieved more easily at a lower ionization energy U and the planar set-up is thus better if material with sufficient ionization energy U and medium quantum efficiencies is available. 6. Temperature ol Inverted Region The difference in temperature of the inverted region compared with the surface of the system was estimated for the structure in Fig. 5 by means of a simple model: a GaAs sphere 4 [xm in radius, which is placed in Ga(As, P) and in the volume of which the same power losses arise as in the inverted layer and on the adjacent junctions from wide-gap emitters. For case B , thermal conductivity of GaAs equal to 0.37 W/cm °C [12] and thermal conductivity of Ga(As0.8, P0.2) equal to 0.08 W/cm °C (the value for ( G a 0 . 8 , Ino.2) As from [12]), the difference in temperature of the inverted region compared with the surface is 65 °K. In case A, due to the smaller ionization energy and larger radiative efficiency, the temperature rise of inverted region can be expected to be smaller. I t is obvious that the use of mixed crystals is unsuitable from the point of view of heat conduction. I t is possible, for example, to use a (Ga, In)As-GaAs structure (with greater wave-length of the emitted light).

T. Peceny

662

7. Discussion

The possibility of using N - p - P structure for semiconductor lasers has been discussed. It is shown that the proposed structure can improve the injection efficiency of carriers into the inverted region to the extent that almost all the exciting current flowed through the laser by recombination in the inverted region. In the given structure it is also possible, with no further regards to the injection efficiency, to create optimum doping in the inverted region by choosing a suitable concentration P and doping impurity from the point of view of lifetime, quantum efficiency, spontaneous emission bandwidth, and ionization energy. It is shown in section 2 how a substantial decrease in the concentration of injected carriers necessary for inversion in semiconductors, and concretely in GaAs, could be possible by finding an impurity (acceptor) with greater ionization energy U by means of which radiative recombination could take place. Such a decrease is desirable both from the point of view of the absorption of light on free carriers and from the aspect of heating effects during operation. At the same time, from analogy with the conditions at 77 °K, it can be assumed that the thermal transitions between the acceptor and the valence band will be fast enough — the required increase in V is smaller than the increase in kT. The actual set-up would then depend on the real properties (quantum efficiency, emission bandwidth) of the material and the technological possibilities (maintenance of planarity in planar structure or optical homogeneity in mixed semiconductor crystals). It is assumed of the proposed structure that it can be realized using epitaxial technology, the fundamentals of which are described in [13]. The requirements of miniaturization are very great here. The realization of the spherical mirror of small radius with the required accuracy will probably also bring considerable technological difficulties although it means only a small correction from the planar surface (cleaved ?) in the neighbourhood of the optical axis of the resonator. Because the area of the junction is small, the resulting statical capacitance of the system is also small (for the set-up shown in Fig. 5, of the order of pF).2) Acknowledgements

The author is greatly indebted to Dr. Kahel Patek, for his interest in this work and many helpful discussions. He also thanks all those who helped him in any way. Appendix 1

For absorption on the corresponding transition just equal to emission, equality instead of inequality in (1) is valid: A„ = 1 - A, . (42) Substituting the right side of (9) and left side of (7) into (12) gives a

'

p

+

T=STph'~

a

»

h

» ^

p


1 so t h a t the right-hand side of (44) need not be considered. Substituting (44) and (42) into the right-hand side of (7) and rearranging gives expression (15) for n2 in (13). If it is simultaneously valid A„ 1 and

one can write the equality instead of the inequality on the right-hand side of (9), the left-hand side of (7) and thus in (43) and on the left-hand side of (44) and therefore = n2 (see Table 1). Relation (14) for % is derived analogically as the expression for n 2 . Appendix 2 According to [14] the diffraction losses per transition in the axial modes of the resonator shown in Fig. 5 (A = 0.9 ¡xm, n = 3.3) are smaller t h a n 0.1% (data for resonator with both surfaces spherical and twice the length). The total losses z in an axial mode can be estimated as follows: output (one mirror with 6 % transmissivity) 3% reflection 2% absorption in less doped Ga(As, P) 6% (6 cm" 1 for photon energy of 0.16 eV from absorption edge) more strongly doped Ga(As, P), p-type 3% (somewhat increased value for analogous doping in GaAs according to [9]) Free carrier absorption in the inverted region is neglected because, according to the estimate [15] and measurements [9] for the concentrations in question, it corresponds to absorption coefficients of a few tens of cm - 1 . I t follows from the equal rate of emission into the modes t h a t in the axial modes it is far below the threshold of stimulated emission more t h a n l/z = 7 times more photons t h a n in the others in which the photons remain for a period of less t h a n one transition. If the usual semi-classical procedure is adopted, it is seen t h a t just below the start of oscillation the amplification in the inverted layer is 1 + z = 1.14 in the axial direction. I n the direction perpendicular to the resonator axis the amplification during one transition is smaller t h a n the amplification of the plane wave, propagating through a homogeneous medium having the same negative absorption, over a length d, i.e. z' = (1 + z) dl1'. I n our case z' < 2. J u s t below the threshold of stimulated emission the axial modes thus contain many more photons t h a n the non-axial modes. I t will therefore be assumed t h a t only spontaneous emission takes place in the non-axial modes.

664

T. PEÖENY : Proposal for Semiconductor Laser with Wide-Gap E m i t t e r s

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April

7,

1964)

CH. SCHWINK u n d G. GKIESHAMMER: F l i e ß b e r e i c h v o n b e s t r a h l t e m C u ( I )

665

phys. stat. sol. 6, 665 (1964) II. Physikalisches

Institut

der Universität

München

Untersuchungen des Fließbereichs neutronenbestrahlter Kupfereinkristalle I. Elektronenmikroskopische und mechanische Untersuchungen an Proben vor und nach dem Anlassen Von CH. SCHWINK u n d G . GKIESHAMMER

Elektronenmikroskopische Beobachtungen machen es sehr wahrscheinlich, daß bei vorsichtigem Anlassen die Zahl der Bestrahlungsfehler über 50 Ä zunächst zunimmt und sich erst bei stärkerem Tempern langsam vermindert. Die Krümmung der Temperaturabhängigkeit der kritischen Schubspannung r 0 , die von 77 °K bis 510°K gemessen wird, im r ^ 3 — T2I3Diagramm nichtangelassener Kristalle verschwindet mit dem Anlassen und kehrt sich dann sogar um. Es wird nahegelegt, letztere Krümmung unmittelbar mit der Dichteabnahme der Gleithindernisse in Zusammenhang zu bringen. Die Seegersche Theorie wird für diesen Fall modifiziert. Bei Raumtemperatur wächst r0 nichtangelassener Proben nicht proportional zu In e, erst mit zunehmendem Tempern nähert man sich einer Beziehung z1r0 — In e. Die Berechnung einer Aktivierungsenergie U0 aus den Messungen erscheint nach den mitgeteilten Ergebnissen noch fragwürdiger als ohnehin bei der Durchsicht älterer Arbeiten. Lediglich die Zunahme von U0 mit dem Anlassen darf als weitgehend gesichert-gelten. Electron microscopic observations show that the number of irradiation defects which are greater than 50 A increases during the first stages of mild annealing. Only more intensified annealing diminishes this number. The critical shear stress r 0 of irradiated crystals, measured between 77 and 510 °K, shows a curvature in the rjJ 3 — T^ 3 -diagram which first vanishes and is then reversed by increased annealing. It is suggested that this is due to a reduction of the number of glide obstacles with annealing. Seeger's theory is modified for this case. There is not a proportional increase of r 0 with In £ at room temperature, a Ar0 ~ In ¿-relation is approached only after prolonged annealing. In the light of the new results, the calculation of an activation energy U0 from the measurements seems to be even more doubtful than in former work. However, an increase of U0 with annealing can be estimated with some confidence. 1. Einleitung und Problemstellung Bestrahlt man Kupfereinkristalle mittlerer Orientierung mit einer hinreichend großen Dosis schneller Neutronen, so wird dadurch deren mechanische Festigkeit erhöht. Erste experimentelle Untersuchungen von BLEWITT und Mitarbeitern [ 1 ] zu dieser Frage lieferten hohe W e r t e f ü r die kritische Schubspannung (KSS), verglichen mit den W e r t e n unbestrahlter Proben (z. B. [2]), und ergaben außerdem, daß die K S S stark von der Temperatur abhängt, und zwar mit abnehmender Temperatur rasch größer wird. Heute diskutiert man dieses Verhalten auf der Grundlage einer Theorie von SEEGER [3, 4], der die Vorstellung zugrunde liegt, daß durch die Neutronenbestrahlung verdünnte Zonen im K u p f e r entstehen, die als Gleithindernisse f ü r die Versetzung wirken und von diesen beim Abgleitvorgang durchschnitten werden 44 physica

666

CH. SCHWINK und G . GBIESHAMMER

müssen. Unter der Annahme einer einheitlichen Aktivierungsenergie leitete folgende Formel ab, die in guter Näherung gelten sollte:

SEEGER [4]

(1)

Es bedeuten: r 0 kritische Schubspannung (KSS), Nz Zahl der Gleithindernisse pro cm2 der Gleitebene, 0 Schubmodul, b Burgers Vektor, U0 Potentialwall der Gleithindernisse, x0 Maß für die Ausdehnung des Potentialwalls, k Boltzmann-Konstante, T absolute Temperatur, N Zahl der in den Gleitebenen aktiven Versetzungen pro cm3, v0 Frequenz, mit der die Versetzungen gegen die Gleithindernisse anlaufen, ä Abgleitgeschwindigkeit, a = 2 / 3 ; dieser Faktor, der erst später von SCHWINK eingeführt wurde (zitiert in [5, 6]), hängt von der Wahl des Potentialverlaufs ab (siehe Anhang in Teil III). Die strenge Seegersche Theorie liefert für die KSS einen Ausdruck, der im r 0 2 ' 3 — 212/3-Diagramm keine Geraden ergibt wie (1), sondern leicht durchhängende Kurven [6]. In Untersuchungen von F I S C H E R [5] und von D I E H L und Mitarbeitern [6] wurde nachgewiesen, daß im Gegensatz zu Messungen von G R E E N F I E L D und W I L S D O R F [7] die KSS von der Verformungsgeschwindigkeit abhängt, was nach obiger Formel von S E E G E R ZU erwarten ist und andere bekannt gewordene Deutungsversuche, wie den von HOLMES [8], ausschließt. Diese Untersuchungen zeigten weiter, daß die Beziehung (1) bezüglich der Temperaturabhängigkeit der KSS zwar in ihrem qualitativen Verlauf erfüllt ist, daß aber die Kurven im r 0 2 l 3 — 212/3-Diagramm keineswegs strenge Geraden sind, wie das MAKIN und MINTER [ 9 ] für bestrahlte polykristalline Kupferproben1) gefunden haben, sondern daß sie durchhängen [5, 6] und dabei stärker gekrümmt sind, als es die strenge Seegersche Theorie fordert. Wir bestätigten das durch Auswertung der Meßergebnisse von F I S C H E R [5] und unserer vorliegenden eigenen. Ähnliche Abweichungen finden wir auch für die Geschwindigkeitsabhängigkeit der KSS. Das hat zur Folge, daß man aus derartigen Messungen nur sehr ungefähre Angaben über den Potentialanstieg der Gleithindernisse, der durch x0 charakterisiert ist, und vor allem über die Aktivierungsenergie U0, die zu ihrer Überwindung nötig ist, machen kann. Gerade an diesen Größen hängt aber ein volles physikalisches Verständnis der Vorgänge. Es liegt nahe, die Abweichungen der Meßergebnisse von der theoretischen Erwartung zunächst einmal darauf zurückzuführen, daß die Neutronenbestrahlung nicht einheitliche Fehler, sondern solche verschiedener Größe erzeugt, so daß nicht nur eine Aktivierungsenergie, sondern ein ganzes Energiespektrum vorliegt. Darauf deuteten bereits Anlaßversuche von MAKIN und MINTER an Vielkristallen [ 9 ] und 1 ) Gegen die Ergebnisse von MAKIN und MINTER [9] an Vielkristallen h a t MEAKIN [10] einen schwerwiegenden Einwand erhoben: Diese Autoren bestimmen den Fließbeginn a^ durch Extrapolation der vielkristallinen Verfestigungskurve auf die Dehnung Null und identifizieren O^ mit r 0 . Nach MEAKIN fällt jedoch 0,1 MeV) finden wir bei Zimmertemperatur ä = 1 bis 4 s - 1 , verglichen mit a TU 5 x 10~4 s" 1 bei Annahme homogener Gleitung. Unser Verfahren erlaubt es weiter, den Zusammenhang zwischen Abgleitgeschwindigkeit a und Dehngeschwindigkeit e zu untersuchen. Wir finden eine lineare Beziehung zwischen diesen Größen, keine Proportionalität, wie bisher stets angenommen wurde. Dieses überraschende Ergebnis ermöglicht eine zwanglose Beschreibung der in Teil I mitgeteilten Messungen der Geschwindigkeitsabhängigkeit der kritischen Schubspannung. Alle mitgeteilten Messungen sind nur bei Zimmertemperatur durchgeführt worden. A cinematographic method is described for measuring the strain rate a of neutron-irradiated Cu crystals. Since the glide process is inhomogeneous the values for a are much greater than with homogeneous glide. After a radiation dose of about 2 x 1018 nvt ( > 0.1 MeV) it is found t h a t at room t e m p e r a t u r e ä = 1 . . . 4 s - 1 , to be compared with i f « 5 x 10~4 s - 1 , if homogeneous glide occurs. The present method enables a study to be made of the connection between the strain rate ä and the deformation rate e of the deforming apparatus. There exists only a linear relationship between ä and e, not a proportionality, as has been assumed hitherto. With this unexpected result a simple explanation occurs for the measurements of the strain rate dependence of the critical shear stress given in part I. The measurements described have been made only at room temperature.

1. Einleitung Die plastische Zugverformung von Metallkristallen, die mit Dosen über 1017 cm - 2 schneller Neutronen ( > 0 , 1 MeV) bestrahlt wurden, erfolgt inhomogen [1 bis 6]. Die Verfestigungskurve beginnt mit einem Fließbereich, in dem sich bei nahezu konstant bleibender Last ein Lüdersband ausbreitet. In Fig. 1 ist die Struktur der Gleitspuren schematisch angedeutet. Die kräftigen, etwa 0,1 bis 0,3 [j.m breiten Gleitbänder laufen um den ganzen Kristallumfang. Sie sind zu Gruppen, den Gleitbündeln, zusammengefaßt und häufig durch Gleitbänder des Quergleitsystems miteinander verbunden. l

) Teil I phys. stat. sol. 6, 665 (1964).

680

C H . SCHWINK u n d H . NESTHAUSER Luders

bond

Fig. 1. Schema tische Darstellung eines Lüdersbandes mit Gleitspuren, B Gleitbandbreite

Da die Gleitung während der Ausbreitung des Lüdersbandes nur auf einen kleinen Bereich der Probe beschränkt bleibt, kann sich die Abgleitgeschwindigkeit ¿ v o n dem Wert, den man unter der Annahme homogener Gleitung des Gesamtkristalls aus den makroskopischen Daten ableitet, erheblich unterscheiden. Bisherige Abschätzungen für a weichen um einige Zehnerpotenzen voneinander a b : Während S E E G E R ursprünglich mit einem Wert von 5 X 1 0 - 4 s - 1 rechnet [7], nimmt D I E H L [8] 5 X 10~ 2 s" 1 an; Abschätzungen von F I S C H E R [ 5 ] und S C H W I N K (zitiert in [8]) lassen bei einer Verformungsgeschwindigkeit von 8,3 X 10~3 mm s _ 1 Abgleitgeschwindigkeiten von 1 0 - 1 bis 1 0 + 1 s - 1 mögB lich erscheinen. Obwohl die Abgleitgeschwindigkeit ö in die Seegersche Theorie [7] nur logarithmisch eingeht (vgl. Teil I), erscheint es angesichts derartiger Unsicherheit, die den Wert des Logarithmus in (1), Teil I, bis um den Faktor 2 verändern kann, notwendig, wenigstens die Größenordnung von ä zu kennen. In der vorliegenden Arbeit wird eine Methode dargelegt, die mit Hilfe einer Mikrokinematographie der sich im Fließbereich ausbildenden Gleitbänder eine Bestimmung der Abgleitgeschwindigkeit gestattet. Nach der Beschreibung der Grundlagen und experimentellen Ausführung der Meßmethode werden Absolutwerte der Abgleitgeschwindigkeit für eine bestimmte Bestrahlungsdosis mitgeteilt. Dabei gelangen wir nebenbei zu Beobachtungen, die unser Bild von der Lüdersband-Ausbreitung ergänzen und erweitern. Dann wenden wir uns der Frage nach dem Zusammenhang zwischen Verformungsgeschwindigkeit ( = Dehngeschwindigkeit) und Abgleitgeschwindigkeit zu. Die hier gewonnenen Ergebnisse werden es uns schließlich ermöglichen, die Geschwindigkeitsabhängigkeit der K S S , wie sie in Teil I gemessen wurde, zu verstehen.




Ka

l/ /!

[Y*)hs--

Y J

-5p

/fr

Näheres zur Bestimmung der Größen B, und tB wird im nächsten Kapitel ausgeführt. Als erste wendeten 1 9 5 3 B E C K E R und H A A S E N [ 1 0 ] und C H E N und P O N D [ 1 1 ] die Mikrokinematographie bei der Untersuchung der Ausbreitung von Gleitbändern auf Aluminiumeinkristallen an. Eine spätere mikrokinematographische Arbeit stammt von H A A S E N und S I E M S [ 1 2 ] . 2 ) Wir geben im folgenden eine kurze Beschreibung unserer Anordnung, die schematisch in Fig. 2 dargestellt ist. Die Dehnungsmaschine ist nach dem PolanyiPrinzip in horizontaler Lage aufgebaut. Ein Stirnradgetriebe gestattet durch Auswechseln der Stirnradpaare Geschwindigkeitswechsel im Verhältnis 7:1, 3:1, 1:1, 1:3, 1:7. Da der verwendete Drehstrommotor mit zwei verschiedenen Drehzahlen, nämlich 1500 oder 3000 U/min, betrieben werden kann, lassen sich damit bei der verwendeten Untersetzung 1:2000 die Dehnungsgeschwindigkeiten nach Tabelle 1 einstellen. Die ganze Dehnungsapparatur ist auf Kugeln gelagert, um den Kristall mit einem Längstrieb (1 Umdrehung = 0,75 mm) in seiner Achsenrichtung verschieben zu können. Damit kann eine bestimmte Stelle des Kristalls während der Verformung genügend lang unter dem Mikroskopobjektiv gehalten und beobachtet werden. Gleichzeitig wird dadurch ein bequemes Auszählen der Gleitbänder und Tabelle 1 Mit der Verformungsapparatur einstellbare Dehngeschwindigkeiten in 10~2 mm • s _ 1 Übersetzung Mo tordrehzahl 1500

min- 1

3000 min-1

1:1

1:3

1:7

3,75

1,25

0,41

0,178

7,5

2,5

0,83

0,357

7:1

3:1

8,73

-\

17,5

2 ) Als Vorläufer dieser Arbeiten ist noch die Untersuchung von YAMAGUCHI [13] zu nennen.

Fließbereich neutronenbestrahlter Kupfereinkristalle (II)

683

die Messung von Abständen mit einer Genauigkeit von etwa + 2 [xm möglich. Die Apparatur ist ferner noch auf Kugeln in Querrichtung verschiebbar, so daß die ganze Kristallbreite durchgemustert und ein Längenwachstum der Gleitbänder verfolgt werden kann. Die Abbildung der Kristalloberfläche geschieht mit einem Auflichtmikroskop (Zeiss-Standard) über eine Zwischenoptik auf den Film der Kamera. Das Mikroskop, das starr mit der Dehnungsapparatur auf einer gemeinsamen Grundplatte montiert ist, kann mit einem Feintrieb auch während der Dehnung nachjustiert werden. Das ist notwendig, um beim Durchlaufen des Lüdersbandes die Verjüngungszone an jeder Stelle scharf abzubilden. Epiplanobjektive (10 X bis 40 X) erlauben die Beobachtung bei Hell- und Dunkelfeldbeleuchtung. Als Lichtquelle dient für die Filmaufnahmen die Mikroskopierleuchte von Zeiss mit der Hg-Höchstdrucklampe HBO 200. Das aus dem Mikroskopokular austretende Licht wird zum größten Teil (etwa 90%) der Zwischenoptik zugeführt, deren Aufgabe es ist, selbst bei Wahl verschiedener Objektive der Kamera, eine optimale Lichtausnützung zu gewährleisten. Die Linsen 1 und 3 vermitteln die Abbildung, Linse 2 wirkt als Feldlinse. Die für optimale Abbildung zu verwendenden Linsen und die dabei erzielbaren Vergrößerungen gibt Tabelle 2 an. Bei lichtstarken Objektiven und kleinen Bildfrequenzen konnte mitunter auf die strenge Angleichung der Aperturen zu gunsten einer höheren Vergrößerung verzichtet werden. Zwischenoptik und Kamera sitzen getrennt vom Mikroskop auf einer justierbaren optischen Bank. Als Kamera stand eine Arriflex 16 zur Verfügung, deren Bildfrequenz zwischen 8 und 50 Bildern/s kontinuierlich regelbar ist. Hauptschwierigkeit beim Filmen sind Erschütterungen, die vom Motor der Dehnungsmaschine, von der Kamera und von außen herrühren. Sie lassen sich aber durch geeignete Maßnahmen, wie massiven Aufbau eines verstrebten Unterlagentisches, Verwendung von Gummi- und Schwingmetallpuffern und Anbringung von Zusatzmassen hinreichend klein halten.

Tabelle 2 Linsen und Vergrößerungen. / K Brennweite des Kameraobjektivs, / M totale Brennweite des Mikroskops I

2

3

4

5

-—^^/^(mm) /M(mm)

16

50

250

250

250

3,1 1,25 0,78

5X 13 X 21 X

7X 17,5 X 28 X

11,5x 29 X 46,5 X

35 X 87 x 139 X

81 200 320

x x x

Die Spalten 1 bis 3 entsprechen der idealen Abbildung, Spalten 4 und 5 stellen noch mögliche Vergrößerungen bei Verzicht auf die ideale Abbildung dar. Zwischenoptik: Spalten 1 und 4 : fx = f3 = 80 mm, /2 = 120 mm; Spalten 2 und 5: / t = 35 mm, /2 = f3 = 80 mm; Spalte 3: fx = 35 mm, /2 = 80 mm, f3 = 250 mm; fx, /2 und / 3 sind die Brennweiten der Linsen 1, 2 und 3 von Fig. 2 45»

684

CH. SCHWINK u n d H . NEUHÄUSIIR

3. Beobachtungen zur Lüdersband-Ausbreitung und Bestimmung der Abgleitgeschwindigkeit

Um einen Vergleich und eine Auswertung mit den Experimenten von Teil I dieser Arbeit zu ermöglichen, führten wir auch die Experimente der vorliegenden Untersuchung mit Kupfereinkristallen von 4 mm Durchmesser, etwa Z = 65 mm Länge und der gleichen mittleren Orientierung aus und ließen sie im FRM Garching ebenfalls mit einer Dosis von 2 ^ 0,5 X10 18 cm -2 schneller Neutronen über 0,1 MeV bestrahlen. Mikroskopische Ausmessungen des Oberflächenbilds zeigten, daß die Dichte 6 der Gleitbänder in den einzelnen Gleitbündeln eine für einen bestrahlten Kristall charakteristische Größe ist. Im allgemeinen stimmten nur Kristalle, die in derselben Aluminiumhülse (15 mm Durchmesser) während der Neutronenbestrahlung lagen, darin überein. Bereits die Kristalle aus Hülsen, die im Abstand von rund 2 cm benachbart lagen, besaßen manchmal einen merklich verschiedenen mittleren Wert von d; mit der Dehngeschwindigkeit ändert sich aber und die mittlere Periodenlänge dieser Schwankungen vom Experiment her unmittelbar beobachtbar. Bei der defokussierten Abbildung äußern sich die Schwankungen der Magnetisierungsrichtung in einem Kontrast des elektronenmikroskopischen Bildes. F U L L E R und H A L E [ 1 ] berechneten, daß die auf den Bildern sichtbaren Intensitätsschwankungen durch und ^ bestimmt werden, wenn x und y die Koordinaten in einem in der Schichtfläche liegenden rechtwinkligen Koordinatensystem sind. Legt man die x-Richtung in die leichte Achse einachsiger Filme, so ist, wie frühere Ripple-Berechnungen [3] zeigten, — gegen_

dy

über — vernachlässigbar, so daß man aus den Intensitätsschwankungen im Bild parallel zur leichten Richtung auf die Magnetisierungsschwankungen und eine mittlere Wellenlänge dieser Schwankungen schließen kann.

734

H . HOFFMANN

Bei der Bestimmung einer mittleren Schwankungsamplitude oder eines mittleren Betrags der Magnetisierungsschwankungen

10"

,10*

\

\

10* 10*

\

| I

\

10n 101s 10* 10 17

^

I T

.

10" 10" 10 ,e 10" 1fl n

gemessener Vertäut' '^/ohne Korrektur i

*Cum) -

10* 10« 10" tri"

^

-

C

Sgemessener Verlauf mit Korrektur

10"

Fig. 2. Zuordnung von Indikatorstreifen-Konzentration zu eindiffundierter Störstellenkonzentration

Vv. —

Fig. 3. Korrektur der Störstellenverteilung infolge thermischer Einflüsse während des Diffusionsvorganges

Diffusionsvorganges, so ordnet man der gemessenen Eindringtiefe eine falsche Konzentration zu. Fig. 3 veranschaulicht diesen Vorgang und die dadurch notwendigen Korrekturen. Man vermeidet diesen Fehler durch die vorbeschriebenen Maßnahmen. Wählt man die Anfangsbedingungen wie folgt: (0 =

t = 0

C\

für

x >

0,

für x < 0 , [C = C2 dann erhält man eine Störstellenverteilung in den Proben und in den Indikatorstreifen analog zu Gleichung (1). Für C2 = 0 und CJ2 = O0 erhält man

C(x, t) = C0 erfc

(3)

2]¡Dt

II

Durch Extrapolation des gemessenen Kurvenverlaufs C{x) nach x = 0 erhält man graphisch die Oberflächenkonzentration C0 . Zur Berechnung der Oberflächenkonzentration nach (3) wählt man einen gemessenen Punkt sehr geringer, und einen sehr großer Eindringtiefe. Man erhält so zwei Bestimmungsgleichungen, ans denen sich der Diffusionskoeffizient und die Oberflächenkonzentration berechnen lassen.

(Tg)

D-f( V V

| 10w X

\ 10 17

c?

/

*

/

10

/

/

V

//

10-

k

16

10 15

*

300 ra

wo

10'•

500

CO-

Fig. 4. Die Oberflächenkonzentration C0 und der Diffusionskoeffizient D von Antimon (durchgezogene Kurve) bzw. Arsen (gestrichelte Kurve) als Funktion der Quelltemperatur Tq bzw. der Oberflächenkonzentration C0 bei T o = = 750 °C. O gemessen, x berechnet, A -DAS, • -Dsi)

Die Diffusionskoeffizienten von Sb und As in Germanium

745

10n C0'f f rs) o=f( V 10

§

1011 — *

10"

10"

100

k

/

Y

/

200 300 rQ CC)

r

WO

10~

§

10'

500

Fig. 5. Die Oberflächenkonzentration C0 und der Diffusionskoeffizient I) von Antimon (durchgezogene Kurve) bzw. Arsen (gestrichelte Kurve) als Funktion der Quelltemperatur Tq bzw. der Oberflächenkonzentration O0 bei Td = = 800 °C. O gemessen, x berechnet, A Das, • Dab

Die Fig. 4, 5 und 6 zeigen die Oberflächenkonzentration C0 und die Diffusionskoeffizienten D von Antimon und Arsen in Abhängigkeit von der Quelltemperatur TQ. Die Diffusionstemperaturen betragen 750 °C, 800 °C und 850 °C. In einem isothermen System sollte sich bei idealem Verhalten des Gases die Oberflächenkonzentration nach der Beziehung C0 = kgPlkT

= kg-Gg

(4)

berechnen lassen, wo rp der Dampfdruck, kg = cfjcg der Verteilungskoeffizient zwischen Festkörper und Gas sind. Die nach der idealen Gasgleichung errechneten Konzentrationen in der Gasphase, sind in Tabelle 1 aufgeführt. Für eine Temperatur von 800 °C liegt kg nach S M I T S und M I L L E R [ 1 1 ] in der Größenordnung von 2 • 10® (Fehler ± 5 0 % ) . Multipliziert man die Dampfkonzentrationen für Antimon nach Tabelle 1 mit kg = 2 • 106, so wird man eine relativ gute Übereinstimmung mit den experimentell ermittelten Werten (Fig. 4 bis 6) beobachten können. Trotz der von S M I T S und MELLES, angegebenen Temperaturabhängigkeit von kg konnte keine nennenswerte Änderung (innerhalb der Meßgenauigkeit) der Oberflächenkonzentration in Abhängigkeit von der Diffusionstemperatur festgestellt werden.

Fig. 6. Die Oberflächenkonzentration C0 und der Diffusionskoeffizient D von Antimon (durchgezogene Kurve) bzw. Arsen (gestrichelte Kurve) als Funktion der Quelltemperatur Tq bzw. der Oberflächenkonzentration C0 bei Td = = 850 °C. O gemessan, x berechnet, A -Dab, A 49

physica

746

A . R . H . NIEDERMEYER

Tabelle 1 Dampfdruck und Dampfkonzentration von Antimon CK)

i (°C) j(Torr)

620 660 704 755 820 900

347 387 431 482 547 627

10"6 10"6 10"4 10"3 10'2 10"1

(Dyn/m')

1,333 • 10' 4 1,333 • 10"3 1,333 • 10'2 1,333 • 1 0 1 1,333 13,33

Arsen Konzentration C (cm - 3 )

1,56 • 1,462 • 1,371 • 1,28 • 1,166 • 1,072 •

1010 1011 1012 1013 1014 1015

(Dyn/m')

CK)

(°C)

(Torr)

400 422 447 479 510 548 590

127 149 174 206 237 275 317

10-7 1,333 • 10-6 1,333 • IO-6 1,333 • 10-4 1,333 • 10"3 1,333 • IO"2 1,333 1 0 1 13,33

893

620 760

10"5 10"4 10" 3 10"2 IO"1

1,01 • 105

Konzentration C

2,420 • 2,29 • 2,160 • 2,020 • 1,895 • 1,760 • 1,640 •

10» 1010 10 n 1012 1013 1014 1015

8,200 • 1018 (Siedepunkt)

Bei Arsen liegen die Verhältnisse insofern wesentlich schwieriger, als As4-Moleküle in der Dampfphase vorhanden sind, deren Dissoziationsgrad von der Temperatur und vom Druck abhängt [12]. Mit der Änderung der Quelltemperatur ändert sich die Oberflächenkonzentration und damit die Dissoziationsrate, so daß ein einfacher (für die jeweilige Diffusionstemperatur konstanter) Konzentrationsverteilungskoeffizient kg wie bei Antimon nicht angegeben werden kann. Die ideale Gasgleichung läßt sich mit den Konzentrationsverteilungskoeffizienten lcg für Antimon anwenden, nicht aber für Arsen. 3. Die Konzentrationsabhängigkeit des Diffusionskoeffizienten Bei konzentrationsabhängigem Diffusionskoeffizienten [13] ist das zweite Ficksche Gesetz durch die Gleichung

zu ersetzen [14]. In der Literatur [15 bis 21] findet man eine Reihe von Lösungen dieser Differentialgleichung. Bei Halbleitern tritt zusätzlich der Effekt auf, daß die zur Diffusion verwendeten Materialien im Kristall ionisiert sind. Wir haben es daher mit zwei Arten von geladenen Teilchen zu tun, die diffundieren. Im vorliegenden Fall handelt es sich um die positiven Donatorrümpfe von Antimon oder Arsen und die ionisierten negativen Elektronen. Die erstgenannten weisen einen vergleichsweise niedrigen Diffusionskoeffizienten gegenüber den letztgenannten auf. Bei der Anwesenheit eines Gradienten werden die Elektronen infolge ihres hohen Diffusionskoeffizienten versuchen, entgegen dem Gradienten wegzulaufen. Da die Teilchen aber verschieden geladen sind, wird diese Tendenz aufgrund der Forderung nach Ladungsneutralität gehemmt. Physikalisch gesprochen ergibt sich ein elektrisches Feld, welches die langsam diffundierenden Donatorionen bei der Diffusion beschleunigt und die schnell diffundierenden Elektronen bremst. Der Diffusionskoeffizient

Die Diffusionskoeffizienten von Sb und As in Germanium

747

ist daher bei steil verlaufendem Gradienten eine Funktion der Oberflächenkonzentration (d. h. speziell bei hoher Oberflächenkonzentration und geringer Eindringtiefe). Liegt ein Diffusionspotential mit entsprechendem Feld E vor, so kann man sich den Diffusionsfluß F aus einem Diffusionsanteil und einem Feldanteil zusammengesetzt denken. Diese Annahme führt zu dem Ansatz f =

_

d + 8

( N

- NA) 8x ^

I )

a

E^jt-N^ kT

'

y

'

(( + ) gilt für einen diffundierenden Donator, ( —) f ü r einen Akzeptor, ¡i Beweglichkeit, k Boltzmannkonstante, q Elementarladung, T absolute Temperatur), wobei ukT D+ = den Selbstdiffusionskoeffizienten darstellt. Setzt man f ü r den Fluß F ?

in der Transportgleichung (6) den Fluß F aus dem ersten Fickschen Gesetz ein, dann erhält man f ü r den Diffusionskoeffizienten D die folgende Gleichung: _

D

g (Aj - Na) _ _ 8x

d+HNd-Na)

8x

D =

D+\IT,

E{Nd-Na)d+ kT

± q

(?) k TS(ND-

Nä) êx

Das elektrische Feld kann nach zwei Verfahren berechnet werden [22], Unter zulässigen Vereinfachungen ergibt sich in beiden Fällen f ü r das „eingebaute" elektrische Feld i e = = _ ^ , H n d - N a ) 9

8x

j/(2 ntf + (Nd -

NAf

Setzt man in (7) Gleichung (8) ein, so erhält m a n f ü r den Diffusionskoeffizienten D = D+( I T V

/(2 ntf + (ND - NAf

j

.

(9)

Die folgenden Fig. 7 a und b zeigen die Abhängigkeit der Diffusionskoeffizienten von der Oberflächenkonzentration sowohl f ü r Antimon, wie auch f ü r Arsen mit der Diffusionstemperatur T D als Parameter. Die Abhängigkeit des Diffusionskoeffizienten von der Oberflächenkonzentration wurde f ü r Diffusionszeiten t 30 min ermittelt. Der starke Einfluß eines steilen Gradienten auf den Diffusionskoeffizienten bei sehr kurzer Dauer des Diffusionsprozesses t 30 min (TD = 750 °C) und damit sehr kleinen Eindringtiefen x konnte dadurch umgangen werden. Es wirkt sich im wesentlichen nur das Konzentrationsverhältnis Störstellenkonzentration (Oberflächenkonzentration) zu Eigenleitungskonzentration auf die Konzentrationsabhängigkeit des Diffusionskoeffizienten aus. Der Diffusionskoeffizient erscheint bei Diffusionszeiten t 30 min (TB 750°C) f ü r eine Oberflächenkonzentration bezogen auf die Gesamtdauer des Diffusionsprozesses als Konstante, wenngleich in jeder Phase des Diffusionsvorganges in Wirklichkeit ein anderer Diffusionskoeffizient gilt. Bei sehr steilem Gradienten ist der Diffusionskoeffizient groß, d. h. zu Beginn eines jeden Diffusionsvorganges, da ein starkes elektrisches Feld auf die diffundierenden Ionen wirkt. Mit flacher werdendem Gradienten nimmt die Größe des auf die Ionenrümpfe wirkenden 49*

748

A . R . H . NIEDERMEYER Fig. 7. Die Abhängigkeit des Diffusionskoeffizienten D von der Oberflächenkonzentration C„ x gemessener Verlauf, O theoreticher Verlauf a) Antimon in Germanium b) Arsen in Germanium

C0 (cm

elektrischen Feldes ab. Die Änderung des Gradienten bei größeren Eindringtiefen mit der Wurzel aus der Zeit ist nur noch gering, so daß die Größe des Feldes maßgeblich von dem schon erwähnten Konzentrationsverhältnis, Oberflächenkonzentration zu Eigenleitungsdichte, bestimmt wird. Nach unendlich langer Diffusionszeit t wird der Gradient Null, und der Diffusionskoeffizient D geht in den Selbstdiffusionskoeffizienten D+ über. Die Fig. 8 zeigt den Einfluß des elektrischen Feldes bei Diffusionszeiten t ^ 30 min und der Diffusionstemperatur Td = 750 °C als Parameter (für Antimon und Arsen). Man sieht deutlich den Anstieg des Diffusionskoeffizienten mit kleiner werdender Diffusionszeit, was letztlich auf die stark ansteigende elektrische Feldstärke infolge steiler werdendem Gradienten zurückzuführen ist. Hieraus erklärt sich auch z. B. die bei der Herstellung der Basiszone von Mesatransistoren durch Störstellendiffusion bekannte Erscheinung, daß die rechnerisch ermittelte Eindringtiefe mit aus der Literatur bekannten Diffusionskoeffizienten erheblich unter der wirklichen Eindringtiefe bleibt. In der Tabelle 2 sind die Diffusionskoeffizienten von Antimon und Arsen im Vergleich mit Ergebnissen anderer Autoren aufgeführt. Eine

t 1ts £ 4

10"'

10

10-

20

M

SO t (min) •

•120 Fig. 8. Der Diffusionskoeffizient von Antimon und Arsen in Abhängigkeit von der Diffusionszeit

749

Die Diffusionskoeffizienten von Sb und As in Germanium

Diskussion ist schwierig, da von keinem Verfasser Angaben über die Konzentrationsverhältnisse gemacht werden. Tabelle 2 2

£>(cm /s)

D0(cm2/s)

E(eV)

^(kcal/Mol)

Literatur

Antimon 2,25 4,00 3,64 2,10 2,63 1,45

• 10" u • 10- 11 • lO"11 • 10" u • 10" n • 10"11

4,00 1,00 4,00 1,00 1,11

u

1,2 0,71 1,3 + 1,0 10 1,4 3,5 ± 1,0

2,3 2,21 2,26 + 0,07 2,5 2,3 2,45

53 51 52,15 57 53 56,5

[23] [2] [11] [3] [24] eigene Werte C0 g 10" cm"3

51 55 57 56 57

[2] [23] [3] [12] eigene Werte C'o ^ 1017 cm"3

Arsen • 10" • 10"11 • 10" u • 10"11 • 10"11

0,71 2,1 10 3,0 5,0

2,21 2,39 2,5 2,43 2,5

4. Die Erzeugung bestimmter Störstellenprofile durch Programmdiffusion 4.1 Die mathematische

Methode

Einen einfachen Fall von Programmdiffusion stellt die Lösung C(x, t) = exp { — (ax

— D a2t)}

(10)

dar [25], Den Verlauf der Oberflächenkonzentration in Abhängigkeit von der Zeit erhält man, indem man x gleich Null setzt C0 = exp (D a2 t) . Diese Lösung gilt für einen konstanten Diffusionskoeffizienten. Da aber der Diffusionskoeffizient konzentrationsabhängig ist, wie im vorgegangenen Abschnitt gezeigt wurde, gilt diese Lösung nur in einem sehr kleinen Bereich des Diffusionskoeffizienten (in Abhängigkeit von der Oberflächenkonzentration). Speziell bei sehr kleinen Eindringtiefen und hoher Oberflächenkonzentration (d. h. C0 > nt f ü r die jeweilige Diffusionstemperatur) ist die Anwendung dieser Lösung um so fraglicher. Es wird nun gezeigt, wie man eine bestimmte gewünschte Störstellenverteilung in einem Festkörper herstellen kann. Während eines Diffusionsvorganges wird die Oberflächenkonzentration in geeigneter Weise verändert. Das zweite Ficksche Gesetz mit konstantem Diffusionskoeffizienten stellt eine lineare Differentialgleichung dar. Aus diesem Grund lassen sich kompliziertere Lösungen durch Überlagerung von einfachen Lösungen erzielen. Wenn man nämlich z. B. t in Gleichung (3) durch einen Differenzausdruck A = t — dß ersetzt (öM ist zunächst eine beliebige Konstante), dann erhält man anstelle der unabhängigen Variablen t die neue unabhängige Variable A. Die lineare Differentialgleichung f ü r C(x, t)

750

A. R. H.

NIEDERMEYER

mit konstantem Koeffizienten geht dann wieder in dieselbe Differentialgleichung für die Funktion C*(x, A) über. Mit Hilfe der Lösung (Gleichung (3)) C(x, t) = C0 erfc

\2]/DtD t ),

findet man allgemeine Lösungen von der Form G(x, t ) = ] £ c

„-o

M

erfc I . \2 ]/d

* (t —

)

ö^) /

(11)

bzw. mit stetigem Oberflächenkonzentrationsprogramm t (12)

C(x>t)=Jc(S)

o da erfc(a;, t) = 1 für x = 0 ist, erhält man für die Oberflächenkonzentration im Fall der Gleichung (11) m

0 = 27

(13)

und im Fall der Gleichung (12) (7(0, t) =

jc(d)dd.

o

(14)

Die Gleichung (11) kann man bei Bedarf als Näherung für die Gleichung (12) verwenden. Aus Gleichung (11) bzw. (12) erhält man bei geeigneter Wahl von cß bzw. c(d) eine ganze Reihe verschiedener Störstellenverteilungen C(x, d), wobei exponentielle Verteilungen eingeschlossen sind. Die Zeit d bedeutet die irgendwie vorgegebene Gesamtdauer des Diffusionsvorganges. Die Gesamtdauer d des Diffusionsvorganges läßt sich in gewissen Grenzen beliebig wählen, da die Eindringtiefe nach einer gewissen Zeit t im wesentlichen durch das Produkt Dt bestimmt wird. Der Diffusionskoeffizient D kann durch entsprechende Wahl der Diffusionstemperatur vorgegeben werden. Bei vorgegebenem Diffusionskoeffizienten D läßt sich die für den gesamten Diffusionsvorgang nötige Zeit auf folgende Weise abschätzen: Man berechnet diejenige Zeit, die zur Erzeugung eines erfc-Profils notwendig ist, das an der Oberfläche und an einer hinreichend weit im Inneren gelegenen Stelle mit dem gewünschten Störstellenprofil in der Konzentration übereinstimmt. Die Konzentration im Inneren ist zweckmäßigerweise in der Größenordnung der Eigenleitungsdichte zu wählen. Selbstverständlich kann man nicht jede beliebige Störstellenverteilung in der beschriebenen Weise herstellen, sondern nur solche Profile, die als Einhüllende einer Schar von einfachen Lösungskurven auftreten. Die gewünschte Störstellenverteilung darf von keiner der verwendeten Lösungskurven geschnitten werden. Wenn nach der Zeit d im Inneren des Kristalls eine vorgegebene Verteilung v(x) erwünscht ist, erhält man für die Gleichung (11) das lineare Gleichungssystem m

v(Xi) = ZCp erfc {/(«,-, d - .-(M 00 CO c i TÍ* »O IO* ' ' l > HH !> T j î c O HH CO CO Tfl »O IO i-H O CO CO 00 1-1 TITI-H O O ©"© COiO l O O i n O O i O N H W M H HH HH HH

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1

11 , 1

C O CT C OCTC O

1 1 1 1 1 1 i 1 1 ' 1 1 1 1 1 1 11

1 1 1

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-

«

SS_ ©

24,49 26,88 29,30 36,07 38,19

05 52.

MMWM M rr ~ rin CO CO IG

5-, 0M

Kristall

6, o 5"

^ lij ® Hw 1 1 co" o" © WH

1 1 11

PS SS_

« *

1 1 1 1 II

00 O Oi KD Ci iß CO )

(Um) 1 )

Tiefe

A A A A A B B B B B

214 242 229 229 214 243 229 243 237 243

73 55 73 48 55 47 55 58 55 55

Mittelwert: 232

Mittelwert: 57

Durchmesser der Kontaktfläche. ) Abstand des kleinsten Durchmessers der Rißfigur von der Oberfläche. Mechanische Bedingungen: Stahlkugel, Durchmesser 2 , 5 mm, Fallhöhe 15 cm.

814

K . M E Y E R u n d E . GRAGEKT "7"

Fig. 9. Räumlicher Verlauf der Rißfigur, konstruiert aus Abtragungsversuchen: Die untere Rißfigur mit kegelförmiger Begrenzung schiebt sich in Richtung zur Oberfläche

0

80 £

^

120 Ii 160 I 200 *

0 40 80 120 160 Haller Ourchmesser der Rißfigar ijunl

ausgewertet und die Rißfiguren für die verschiedenen Stoßbedingungen graphisch aufgetragen. Das Ergebnis einer Auswertung ist in Fig. 8 zusammengestellt. Die Kurve stellt einen Schnitt senkrecht zur Bearbeitungsfläche dar und entspricht dem in Fig. 6 c dargestellten Riß typ. Die Auswertung einer großen Zahl von Versuchen bei verschiedenen Energien hat ergeben, daß der Abstand des kleinsten Durchmessers der Rißfigur von der Kristalloberfläche im Zusammenhang mit dem Kontaktradius der Kugel steht. In der Tabelle 1 sind einige Ergebnisse zusammengestellt. Daraus ergibt sich, daß der Kontaktdurchmesser etwa viermal so groß ist wie die Entfernung der Einschnürung von der ursprünglichen Kristalloberfläche. Dabei muß betont werden, daß die Angabe eines Kontaktdurchmessers mit Unsicherheiten behaftet ist, weil er sich mikroskopisch schwierig ausmessen läßt. Aus der Hertzschen Stoßtheorie [16, 17] folgt, daß das Maximum der Schubspannung beim Stoß einer Kugel gegen einen Kristall in einer Tiefe von r/2 unterhalb des Trefferortes auftritt, wobei r den Kontaktradius bedeutet. Berechnet man den Radius nach der Formel

wobei q die Dichte der Kugel, v die Poissonsche Zahl, E den Elastizitätsmodul, v die Geschwindigkeit der Kugel und R den Radius der Kugel bedeuten, so gelangt man bei 15 cm Fallhöhe (v = 171 cm/s unter Berücksichtigung folgender Werte für q = 7,7 g/cm 3 , ^ = 0,2072, v2 = 0,30; E1 = 4,40 • 1011 dyn/cm 2 , E2 = = 2,13 • 1012 dyn/cm 2 und R = 0,125 cm zu einem Wert r = 93,9 ¡im; r/2 ist also tu 47 (i.m. Dieser Wert stimmt erträglich mit dem experimentell bestimmten Radius überein, wenn man berücksichtigt, daß die Stoßübertragung nicht rein elastisch erfolgt. Auch wenn man die Temperaturabhängigkeit des Elastizitätsmoduls [22] mit in Betracht zieht, ergibt sich nur eine unwesentliche Veränderung. Es wird daher angenommen, daß die Einschnürung der räumlichen Rißfigur in einem bestimmten Abstand von der Oberfläche auf das in dieser Tiefe auftretende Schubspannungsmaximum zurückzuführen ist. Bei der Untersuchung der plastischen Deformationen in MgO-Kristallen bei Beanspruchung durch eine rollende Kugel wurden ebenfalls hohe Versetzungsdichten, verursacht durch Schnitt zweier Gleitebenen, in einer Tiefe gemessen, in der das Maximum der nach der Hertzschen Stoßtheorie berechneten Schubspannung auftrat [18].

Deformations- u n d R i ß s t r u k t u r e n in NaCl-Kristallen

815

In verschiedenen Fällen schiebt sich auch die unterhalb der Einschnürung befindliche Rißfigur in Richtung zur Oberfläche, wodurch die in Fig. 9 dargestellte Figur zustandekommt. Frau I . H E I N Z sind wir für ihre verständnisvolle Mitarbeit bei der Durchführung der Versuche sehr zu Dank verpflichtet. Literatur [1] K . MEYER u n d E . GRAGERT, p h y s . s t a t . sol. 3, 2005 (1963). [2] K . MEYER u n d M . KEUTEL, p h y s . s t a t . sol. 3 , 3 9 2 ( 1 9 6 3 ) . [3] E . VOTAVA, S . AMELINCKX u n d W . DEKEYSER, A c t a m e t a l l . 3 , 8 9 ( 1 9 5 5 ) .

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[22] C. I I . H H K a H a p o B H A . B . C/renaHOB, } .

(19)

a) If h + k = odd the sulfur contribution disappears, and also the contribution of the kations becomes zero: i.e. Fhk0 = 0. The same extinctions as in the SnS structure are valid for the h k 0 reflections. b) If h = k = even one finds for h and k both even 1.)

Fhko = 4 / s cos (2nk u) e~ 2nikx

+ 2 / P b e~ iKihx

+ 2 /gr,

(20)

and if h and k are both odd: 2.)

Fhk0=

-4i/ssin(27r&M)e-2*ii:*-2/Pbe-4'• oo) EA - » 0 and ED ~> 0 since there the direction of the vector of magnetization does not change and its equilibrium orientation is described by minimizing the expression EK + EB = K cos2 # — — H0 I, cos from which cos # 00 = ^ = h .

(3)

I t follows from the condition that HDOO = 0 that the integration constant C = 4 n J, cos •&ao ; then, substituting (2) into (1) gives Ed

= 2 n Ps (cos & - cos tf«,)2 .

(4)

From the expressions for the density of the anisotropic energy and the energy of the external field we subtract their values at infinity whereby the density of the free energy at infinity will be zero :

}

(5)

E = T / 1(f)2+ * **(cos * ~cdosi d,oo)*

(6)

E'K =

E

Eft =

EA

K

- E

K

x

EHoo

=

K(co&$-co&&ao),

=

- H0

Ì

I, (cos 0 -

cos

If we introduce the quantity y0 = 4 ^ A K , which is the energy of the Bloch wall with zero field, and also 8 = ]/ A/K and the reduced coordinate | = x/6, we obtain for the total free energy of unit surface of wall using Eqs. (1), (5), (4) and (3):

where ft* =

1

A variation of this expression with boundary conditions for f — ^ oo, —

0,

cos 0 - > cos '»oo = h gives the first integral in the form » 1 et en supposant que |I? H | m n = — ou I-RCT! m n est la valeur absolue de la constante de Hall mesurée n e

au champ magnétique qui la rend minimum [4]. Echantillons 5 • 1013 cm"3 5,2 • 106 cm2/Vs 2,6 • 105 cm2/Vs

Nombre de porteurs Mobilité ¡j,a mesurée à 77 °K Mobilité /j0 mesurée à 20 °K

4,6 • 1013 cm"3 5,0 • 105 cm2/Vs 3,0 • 105 cm2/Vs

A champ électrique élevé, pour éviter réchauffement de l'échantillon, nous avons utilisé des impulsions de 1 à 1,5 [xs avec une fréquence de répétition de 1 à 15 Hz. Nous avons relevé les caractéristiques courant tension en présence et en l'absence d'un champ magnétique transverse de 300 G à 20 et 77 °K. Nous avons également fait des mesures d'effet Hall. Les Fig. 2 et 3 représentant la variation avec le champ électrique de la densité du courant J , la densité volumique des électrons n et de leur mobilité fi, à 77 et 20 °K respectivement en présence d'un champ magnétique transverse de 300 G. A 77 °K on voit que le nombre de porteurs déduit de la mesure de la constante de Hall est sensiblement constant jusqu'à des champs de l'ordre de 200 V/cm qui marquent le début du phénomène d'avalanche. L'aspect de la caractéristique J(E) et la courbe (i{E) montrent que la

18

T-77°K

H'O

10

\

6

2

0A

1

4

10 10 iO E/fOlts/cm/

-

100

200

Fig. 4. Résistance de l'échantillon ( \ en fonction du champ électrique à 77 °K

856

J . B O K e t C . GUTHMANN

EMts/cml Fig. 5.

Résistance de l'échantillon

-

en fonction du champ électrique à 20 ° K

mobilité décroît avec le champ électrique entre la région de conduction ohmique (bas champs électriques) et la région d'avalanche. Nous avons également tracé la courbe donnant la résistance de l'échantillon en fonction du champ électrique à champ magnétique nul (Fig. 4) ; avant l'avalanche elle représente la variation de l'inverse de la mobilité. C'est cette courbe que nous comparons à la théorie pour ne pas être gênés par les phénomènes de magnétorésistance. A 20 ° K le champ d'avalanche est du même ordre de grandeur. Dans la région de pré-avalanche, nous observons toujours une décroissance de la mobilité avec le champ électrique mais à champ électrique plus faible il y a au contraire une croissance de la mobilité avec le champ électrique avec passage par un maximum ; il faut que le champ électrique devienne aussi faible que 0,4 V/cm pour que la caractéristique devienne ohmique. A champ magnétiquë nul, on voit bien le phénomène sur la courbe de la résistance en fonction du champ électrique (Fig. 5) : une droite horizontale (loi d'Ohm) à très bas champ électrique est suivie par une courbe qui décroît, présente un minimum et croît à nouveau, avant de décroître brutalement dans la région d'avalanche. Nous avons tracé sur la Fig. 6 la variation de résistance de l'échantillon avec la température entre 20 et 77 ° K .

V

\ \

courbe théorique

expérience \

-s. \

s: Fig. 6. Var.ation de la résistance de l'échantillon C s en fonction de la température entre 20 ° K et 77 ° K

20

50

T(°K)

100

857

Phénomènes de transport dans InSb

3. Théorie Nous nous plaçons dans l'hypothèse où les collisions inter-électroniques déterminent principalement la fonction de distribution. On peut alors avec F H R Ô L I C H et P A B A N J A P E [ 5 ] prendre comme fonction de distribution en présence du champ une distribution de Maxwell déplacée dans l'espace des moments où les électrons sont affectés d'une température Te différente de celle du réseau: f(p) — A exp 1

avec

n0 pour les échantillons étudiés. Dans le cas des impuretés ionisées, BOK [7] trouve en utilisant les résultats connus de BROOKS-HERRING pour le temps de relaxation dû aux impuretés ionisées

G(Te)l0 = ]/2 n e k T f ^ j

1/8

(i _ Z)

,

)

(6

ou f/,l0 est la limitation de mobilité à champ électrique nul due uniquement aux impuretés ionisées, M la masse des impuretés ionisées. Cette dernière étant très grande devant la masse de l'électron, il sera toujours licite de négliger (6) devant les autres termes de G(Te). EI/ rp \ Il est à remarquer que, si on fait tendre T. vers T, les limites de m* — n e 1 1 et m* F(Te)i0 sont — et — respectivement, ce qui est licite puisque aussi bien: Mac Mio m* F{Te) _ E _ 1 ne Vp fi E H R E N R E I C H [ 9 ] a montré que la diffusion par les modes polaires optiques était un mécanisme important dans InSb. Il s'agit de la diffusion des électrons dûe à leur interaction avec la branche longitudinale optique des vibrations du réseau

Phénomènes de transport dans InSb

859

qui polarise le cristal quand les deux atomes de la cellule unité n'ont pas la même charge, ce qui est le cas ici. STRATTON [10] a calculé les contributions à F et G dues à un tel processus et a obtenu les expressions suivantes dans le cas où les collisions interélectroniques contrôlent les échanges-d'énergie:

F(Te)nwp =

h fn X

F, 1

2

(2 w* À; 0)1/2

x

y [ e x p (y0 - y) — i ] «¿o + [ e x P (Yo - y) + i] J

G(Te)mop = neF0N0(2kdljt

m*)V* [exp (y0 - y) - 1] yW J0 ,

(7)

(8)

où le 6 est l'énergie des modes optiques (qui est constante) ; si T est la température r 0 du réseau ; N0 = exp — — 1 • F0 est une quantité qui a les dimensions d'un champ électrique et qui est définie par

où e et sont les constantes diélectriques statique et à haute fréquence respectivement. J et J0 sont exprimées à l'aide de fonctions de Bessel du second ordre : J = exp (y/2) K0(yl2) ,

Jo = ~y

exp (y 12 K¿y\2) .

Pour que ces équations soient valables, il faut que la distribution énergétique des électrons soit déterminée par les collisions interélectroniques. Aux basses températures, T < 6, STRATTON trouve comme condition que le nombre des électrons n soit plus grand que w¿ donné par =

7-10^o£2(^)1/2exp(-e)

Si l'on prend F = 560 V/cm déterminé par 6 = 260 °K [11], £œ = 15,7 [12] et s = 18,7 [13] et m* = 0,013 m0 pour Te = 260 °K ,

= 3 • 1013 cm" 3 ,

pour Te = 520 °K ,

^ = 8 • 1013 cm" 3 .

On voit donc que pour nos échantillons, nous sommes à la limite de validité de cette théorie. Mais il faut remarquer que F0 est estimé à partir de d, e œ et e, qui ne sont pas connus avec une grande précision. D'autre part, la masse effective m* des électrons dans InSb est une fonction de l'énergie. Les théories ci-dessus ne s'appliqueront donc pas exactement, mais il peut être intéressant de comparer leurs prédictions avec l'expérience. 50*

860

J. BOK et C. GUTHMANN

4. Interprétation Des équations (1) et (2) nous pouvons tirer: E ne

E 2 = m*

F(Te)

G(Te)

Nous pouvons ainsi déterminer la variation de la mobilité, donc de la conductivité en fonction du champ électrique à condition de connaître F(Te) et G(Te). Tant à 77 °K qu'à 20 °K l'échange d'énergie dû aux modes optiques polaires apparaît comme prédominant [6] quand on fait l'analyse numérique des expressions (4), (6) et (8). Nous avons donc pris G(Te) = 0(Te)mop- A 77°K, nous avons considéré les échanges de quantité de mouvement dûs, aux modes optiques polaires, aux collisions avec les phonons acoustiques, et aux collisions sur les impuretés ionisées. Pour estimer (F( Te))ac nous avons pris comme limitation de mobilité fxA0 dûe aux chocs sur les phonons acoustiques celle que l'on obtient à partir de la valeur E1 = 7 , 2 eV du potentiel de déformation de la bande de conduction que EHRENREICH [ 9 ] a déduit des mesures de LONG [ 1 4 ] et K E Y E S [ 1 5 ] . Pour ce qui est de la limitation de mobilité fi l0 due aux impuretés ionisées nous avons fait l'hypothèse que la mobilité à 20 °K était limitée uniquement par ces chocs, les limitations dûes au réseau étant d'ordre de grandeur beaucoup trop grand on a donc pris fii0 2O°K = Mo 20°K ET on a fait l'approximation /ui0 — . > T3/'2. Nous avons tracé sur la Fig.4 la courbe théorique I de la variation de la résistance de l'échantillon ainsi obtenue. L'accord est assez bon. Nous avons tracé la courbe théorique I I sans tenir compte de la limitation dûe aux phonons acoustiques et on voit bien que son effet est faible. A 20 °K nous avons de nouveau calculé la variation de résistance en fonction du champ, en prenant les mêmes mécanismes d'échange d'énergie et de quantité de mouvement. A faible champ électrique l'échange de quantité de mouvement est régi principalement par les collisions sur les impuretés ionisées, ce qui entraîne une augmentation de mobilité avec le champ électrique, suivi d'une décroissance quand le champ électrique est assez élevé pour que les autres mécanismes, chocs sur les phonons acoustiques et les modes optiques polaires, l'emportent. La courbe théorique de variation de résistance présente donc un minimum. Ce minimum apparaît à un champ électrique trop fort par rapport à l'expérience, mais la courbe théorique a cependant un aspect très proche de la courbe expérimentale. L'accord est moins bon qu'à 77 °K. Nous n'avons pas cherché, ni à 20 °K ni à 77 °K, à étendre notre analyse théorique aux champs électriques où le cristal est en avalanche. En effet il intervient alors un nouveau mécanisme dissipatif qui est la création de paires électron-trou par ionisation par choc. L'approximation des électrons chauds qui est déjà à la limite de la validité doit alors être abandonnée car on ne peut plus considérer que les échanges d'énergie inter-électroniques soient prédominants. A la limite des champs électriques très faibles la théorie de STBATTON donne comme limitation de mobilité dûe aux modes optiques polaires

A 77 °K cela donne (fi map ho °K = 66 m 2 /V s ce qui est un peu faible.

861

Phénomènes de transport dans InSb

Nous avons comparé la variation de la résistance de l'échantillon C5 entre 20 °K et 77 °K avec la variation théorique obtenue dans l'hypothèse où le nombre de porteurs est constant à partir de MT)

fimoi {T)

+

iHo(T)

+ flao(T)

+

'

où on a pris pour /¿mop l'expression de S T R A T T O N , pour /xi0, fil0 = ¡à,0 2O°K et pour fiao les valeurs obtenues à partir du potentiel de déformation. Nous pensons que la variation de résistance avec la température serait mieux interprétée si on introduisait un mécanisme de diffusion supplémentaire qui réduirait la conductivité quand la température diminue, et qui interviendrait principalement à 20 °K en même temps que les impuretés ionisées dont le rôle serait alors diminué. BROTJDY [ 1 6 ] a montré que les dislocations dans InSb font varier justement dans ce sens la conductivité à basse température. Nos échantillons ont une densité de dislocations de l'ordre de 106/cm2. Il est donc possible que ce mécanisme intervienne de 77 °K aux plus basses températures. BROTJDY a montré en outre que la théorie de R E A D [ 1 7 ] pouvait s'appliquer aux dislocations dans le InSb. Le modèle de R E A D des dislocations entraine que le libre parcours moyen des porteurs correspondant à ce mécanisme de collision est indépendant de l'énergie de l'électron. Quand le champ électrique augmente ceci donnerait une contribution à la mobilité qui décroîtrait en fonction du champ électrique. Les dislocations pourraient donc être responsables de l'écart entre théorie et expérience de la Fig. 5. 5. Conclusion Nous avons appliqué l'approximation des „électrons chauds" à l'étude de la conductivité de InSb de type n dans le domaine de champ électrique compris entre la région de conductivité ohmique et celle de l'avalanche. Les modes optiques polaires jouent un rôle dominant dans les échanges d'énergie électron-réseau à 20 °K et 77 °K. A 77 °K ils sont dominants également dans les échanges de quantité de mouvement pour des échantillons purs. L'étude en électrons chauds semble donc bien confirmer que la diffusion de réseau est dûe principalement dans InSb aux modes optiques polaires. Nous avons mis en évidence un maximum de mobilité à bas champ électrique à 20 °K quand la mobilité à champ nul est limitée par les impuretés ionisées. Le moins bon accord avec l'expérience à 20 °K d'une théorie d'électrons chauds tenant compte de la diffusion par les modes optiques polaires, les phonons acoustiques et les impuretés ionisées, peut s'expliquer qualitativement tout au moins par l'influence des dislocations dont l'effet sur les propriétés électriques à champ électrique nul a été observée dans InSb par B R O U D Y . Bibliographie [1] [2] [3] [4] [5] [6]

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STRATTON, P r o c . P h y s . S o c . A 2 4 6 , 4 0 6 ( 1 9 5 8 ) . D . P A L I K , G . S . PICUS, S . TEITLER e t R . F . WALLIS, P h y s . R e v . 1 2 2 , 4 7 5 ( 1 9 6 1 ) . LAX, J . G . MAVROIDES, H . J . ZEIGER e t R . I . K E Y E S , P h y s R e v . 1 2 2 , 3 1 ( 1 9 6 1 ) . P i c u s , E . BURSTEIN, B . HARRIS e t M . HASS, J . P h y s . C h e m . S o l i d s 8 , 2 8 2 ( 1 9 5 9 ) .

[14] D. LONG, Phys. Rev. 99, 388 (1955). [15] R . W . K E Y E S , P h y s . R e v . 9 9 , 4 9 0 ( 1 9 5 5 ) .

[16] R. M. BROTJDY, Adv. Phys. 12, 46, 135 (1963). [ 1 7 ] W . T . READ, P h i l . M a g . 4 5 , 7 7 5 , 1 1 1 9 ( 1 9 5 4 ) .

( Received June

15,1964)

J.

GINTER

: Scattering by Optical Phonons and Ionised Impurities

863

phys. stat. sol. 6, 863 (1964) Institute

of Experimental

Physics,

Warsaw

University

On the Mixed Scattering by Optical Phonons and Ionised Impurities By J . GINTER

The temperature dependence of the Hall mobility is calculated for the case of mixed scattering by optical phonons and ionised impurities. It is assumed that below the D e b y e temperature a relaxation-time exists and that for pure lattice-scattering this is given by TQ = C B° (eelT — 1). Results of the calculation are compared with the authors measurements for CdSe and with S EG ALLS experimental data for CdTe. Es wurde die Temperaturabhängigkeit der Hallbeweglichkeit für gemischte Streuung an optischen Phononen und ionisierten Störstellen berechnet. Dabei wurde angenommen, daß unterhalb der Debye-Temperatur eine Relaxationszeit existiert, die für reine Gitterstreuung durch T„ = C e° (eelT — 1) gegeben ist. Die Ergebnisse werden mit eigenen Messungen an CdSe und SEGALLS experimentellen Daten für CdTe verglichen.

Introduction By experimental and theoretical investigations it is found t h a t scattering by optical phonons is the dominant scattering mechanism of current carriers in semiconducting A I U B V and A n B V I compounds. The theory of this scattering mechanism was worked out by SONDHEIMER, HOWARDS, and L E W I S [1]. However, in the experiment we usually do not meet the pure phonon scattering, but a mixed scattering by phonons and ionised impurities. I n the present paper the carrier mobility for this case is evaluated. Calculation of the Hall Mobility I t was shown in the papers mentioned above t h a t a relaxation time essentially does not exist. Nevertheless for temperatures much lower than the Debye temperature a relaxation time can be formally introduced by the following expression : v e M ( k o 0 ) 3/2 T

°

2 ji(2ra„)i/ 2 e 2 e* 2

(1

'

'

Here are ve the volume of the unit cell, M the reduced mass of ions, 6 the Debye temperature, mn the effective mass, and e* the effective ionic charge. The results of calculations, based on this assumption, agree with the results of exact calculations. Especially for the Hall mobility (R a) this agreement is better than 10% up to temperatures as high as T = 6. Therefore in this paper it has been assumed t h a t a relaxation time exist which is given by (1). The relaxation time for scattering by ionised impurities is given by 21/2 mlj2

£2

£3/2

i

/3 e 0 k 0 T V e 2 AT/ / . '

(2)

864

J . GINTER

Fig. 1. Hall mobility of CdSe vs temperature calculations, experiment

Here are e0 E

the dielectric constant, the energy of current carriers, and JVj the concentration of impurity centres (see W. S H O C K L E Y [2]).

The relaxation time due to the mixed scattering is

±=±+

(3)

(ee/r - 1) a;3/2 («S/2 +