Netzwerk- und Filtersynthese: Grundlagen und Anwendungen 9783486783803, 9783486221589

Citation preview

Netzwerkund Filtersynthese Grundlagen und Anwendungen von Rolf Unbehauen 4., überarbeitete und erweiterte Auflage

Mit 516 Abbildungen, 5 Tabellen und einer Programmdiskette

R. Oldenbourg Verlag München Wien 1993

Die erste und zweite Auflage dieses Werkes erschienen unter dem Titel ,,R. Unbehauen, Synthese elektrischer Netzwerke", die dritte Auflage erschien unter dem Titel ,,R. Unbehauen, Synthese elektrischer Netzwerke und Filter". Dr.-Ing. R o l f U n b e h a u e n o. Prefessor, Lehrstuhl für Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik der Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Närnberg

Die Deutsche Bibliothek — CEP-Einheitsaufnahme Unbehauen, Rolf : Netzwerk-und Filtersynthese : Grundlagen und Anwendungen / von Rolf Unbehauen. - 4., Überarb. und erw. Aufl. — München ; Wien : Oldenbourg, 1993 Bis 3. Aufl. u.d.T.: Unbehauen, Rolf: Synthese elektrischer Netzwerke ISBN 3-486-22158-2

© 1993 R. Oldenbourg Verlag GmbH, München Das Werk außerhalb lässig und filmungen

einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzustrafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverund die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen.

Gesamtherstellung: R. Oldenbourg Graphische Betriebe GmbH, München ISBN 3 - 4 8 6 - 2 2 1 5 8 - 2

INHALT

Vorwort

XV

Teil I: Synthese passiver Netzwerke

1

1. Einführung

1

1.1. 1.2. 1.3.

Die Aufgaben der Netzwerksynthese Beschreibung von Netzwerken Normierung

2. Die Charakterisierung von Zweipolen 2.1. 2.2. 2.3. 2.3.1. 2.3.2. 2.3.3. 2.4. 2.5.

Die Zweipolfunktion Eigenschaften von Zweipolfunktionen Wichtige Sonderfälle von Zweipolfunktionen. LC-Zweipolfunktionen RL-Zweipolfunktionen RC-Zweipolfunktionen Sätze über Zweipolfunktionen Weitere Sätze über rationale Funktionen

3. Realisierung von Zweipolfunktionen 3.1. 3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. 3.1.4. 3.2. 3.2.1. 3.2.2. 3.3. 3.3.1. 3.3.2. 3.4. 3.5. 3.5.1.

Die Synthese verlustfreier Zweipole Partialbruchnetzwerke Kettennetzwerke Nichtkanonische Realisierungen Stabilitätsprüfung durch Reaktanzzweipolsynthese Die Synthese kapazitätsfreier Zweipole Partialbruchnetzwerke Kettennetzwerke Die Synthese induktivitätsfreier Zweipole Partialbruchnetzwerke Kettennetzwerke Vorbemerkungen zur Synthese allgemeiner Zweipole Zweipolfunktionen ersten und zweiten Grades Realisierung von Zweipolfunktionen ersten Grades

1 3 5 7 7 12 15 16 18 20 22 25 32 32 32 34 38 39 40 40 42 43 43 44 44 47 47

VI

Inhalt 3.5.2. Realisierung von Zweipolfunktionen zweiten Grades durch Reaktanz- und Widerstandsreduktion 3.5.3. Allgemeine Zweipolfunktionen zweiten Grades 3.6. Das Verfahren von O. Brune 3.7. Erweiterung des Brune-Verfahrens 3.7.1. Die Entwicklungsstellen 3.7.2. Entwicklungsstelle auf dem Rand des ersten Quadranten 3.7.3. Entwicklungsstelle im Innern des ersten Quadranten 3.7.4. Schlußbemerkung 3.8. Realisierung einer Zweipolfunktion durch ein Reaktanzzweitor und einen Ohmwiderstand 3.8.1. Entwicklungsstellen erster Art 3.8.2. Entwicklungsstellen zweiter Art 3.8.3. Entwicklungsstellen dritter Art 3.8.4. Realisierungen 3.8.5. Zusätzliche Bemerkungen 3.8.6. Verhalten der Entwicklungsstellen bei der Durchführung eines Entwicklungszyklus 3.9. Das Verfahren von R. Bott und R. J. Duffin 3.9.1. Vorbemerkungen 3.9.2. Der Entwicklungsprozeß 3.9.3. Die Verwirklichung 3.9.4. Verbesserung der Netzwerke 3.10. Abschließende Bemerkungen

4. Die Charakterisierung von Zweitoren 4.1. 4.1.1. 4.1.2. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.5.1. 4.5.2.

Eigenschaften der Impedanz- und der Admittanzmatrix Allgemeine Bedingungen, positive Matrizen Sonderfälle Übertragungsfunktionen Reaktanzzweitore Induktivitätsfreie Zweitore Kopplungsfreie Zweitore Kettenzweitore Die Fialkow-Gerst-Bedingungen

5. Die Synthese von Reaktanzzweitoren 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

Die Realisierung der Kettenmatrix Die Realisierung der Übertragungsfunktion bei Einbettung des Reaktanzzweitors zwischen Ohmwiderständen Die Realisierung der Übertragungsfunktion bei Abschluß des Reaktanzzweitors mit einem Ohmwiderstand Synthese eines zwischen Ohmwiderständen eingebetteten Reaktanzzweitors bei Vorgabe einer charakteristischen Funktion

48 50 51 57 57 59 62 68 69 70 70 72 73 75 75 77 77 78 80 81 82 83 83 83 87 90 91 95 98 98 99 104 105 114 122 125

Inhalt

VII

5.4.1. Zusammenhang zwischen Eingangsimpedanz und charakteristischer Funktion 5.4.2. Praktische Bestimmung der Eingangsimpedanz aus der charakteristischen Funktion 5.5. Synthese eines mit einem Ohmwiderstand abgeschlossenen Reaktanzzweitors bei Vorgabe des Betrags der Übertragungsfunktion 5.6. Kopplungsfreie Realisierungen 6. Die Synthese von RC-Zweitoren 6.1. 6.2. 6.2.1. 6.2.2. 6.3. 6.4. 6.4.1. 6.4.2. 6.5. 6.6. 6.7. 6.7.1. 6.7.2. 6.7.3. 6.7.4.

Die vorgeschriebenen Funktionen Realisierung von Übertragungsfunktionen ohne positiv reelle Übertragungsnullstellen Vorbereitungen Das Realisierungsverfahren Realisierung von Übertragungsfunktionen mit positiv reellen Übertragungsnullstellen Die entsprechende Synthese von Reaktanzzweitoren Vorbemerkungen Das Realisierungsverfahren Realisierung von Übertragungsfunktionen mit negativ reellen Nullstellen durch Kettennetzwerke Ein weiteres Verfahren zur Realisierung von Übertragungsfunktionen ohne positiv reelle Übertragungsnullstellen nach Guillemin Die Realisierung von Mindestphasenübertragungsfunktionen nach Dasher Der Entwicklungsprozeß Die Dasher-Bedingung Die Realisierung Realisierung eines Paares von Admittanzmatrix- oder Impedanzmatrixelementen zweiten Grades

7. Die Realisierung allgemeiner Übertragungsfunktionen 7.1. 7.1.1. 7.1.2. 7.2. 7.2.1. 7.2.2. 7.2.3. 7.2.4. 7.3.

Die Realisierung mit Hilfe symmetrischer Kreuzglieder Der Fall dualer Impedanzen Die Darlington-Netzwerke Die Realisierung von Allpaßübertragungsfunktionen Mindestphasenübertragungsfunktionen und Allpaßübertragungsfunktionen... Allpaßrealisierung Die Allpaßübertragungsfunktion ersten Grades Die Allpaßübertragungsfunktion zweiten Grades Die Realisierung von Mindestphasenübertragungsfunktionen durch überbrückte T-Glieder 7.3.1. Analyse eines überbrückten T-Gliedes 7.3.2. Realisierung einer allgemeinen Mindestphasenübertragungsfunktion 7.3.3. Ein Beispiel

126 127 129 133 136 137 140 140 143 147 148 148 150 153 161 163 164 172 174 180 183 183 185 187 188 188 190 191 191 199 199 201 205

VIII 7.4. 7.5.

Inhalt Die Realisierung von Mindestphasenübertragungsfunktionen durch Kettennetzwerke nach dem Verfahren von Ho 206 Realisierung Allgemeiner Übertragungsfunktionen mit Hilfe von Reaktanzzweitoren 214

8. Praxis der Reaktanzfiltersynthese 8.1. 8.2. 8.2.1. 8.2.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.6.1.

Vorteil der Widerstandseinbettung verlustloser Filter Synthese kopplungsfreier Reaktanzfilter Die verschiedenen Arten von Abspaltzyklen Das Problem der Abspaltreihenfolge Parametrische Filter Transformation der Abschlußimpedanz Numerische Aspekte Beispiel: Synthese eines parametrischen Bandpasses Erzeugung von Filtern mit speziellen Eigenschaften durch Teilabspaltungen..

9. Synthese nichtreziproker passiver Netzwerke 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6.

220 220 223 224 232 235 236 243 246 250 260

Die verallgemeinerte Richards-Transformation 261 Entwicklungszyklen für kanonische Realisierungen 263 Übertragerfreie Zyklen 268 Realisierung von Entwicklungsstellen dritter Art 272 Duale Transformation der Admittanz 272 Realisierung von Übertragungsfunktionen durch nichtreziproke passive Zweitore 273

10. Synthese von Reaktanzzweitoren mit frequenzabhängigem Abschluß

280

10.1. Vorbereitungen

280

10.2. Das Syntheseverfahren

282

Teil II: Synthese aktiver RC-Netzwerke

287

1. Vorbereitungen

287

1.1. 1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.2. 1.3. 1.4.

Empfindlichkeitsanalyse Nützliche Formeln zur Berechnung von Empfindlichkeiten Multiparameter-Empfindlichkeit Allgemeine Beziehungen zwischen Empfindlichkeiten Das En bloc-Realisierungskonzept Die Kaskadenrealisierung Die aktiven Elemente

288 288 291 294 296 300 302

Inhalt 1.4.1. 1.4.2. 1.4.3. 1.4.4. 1.4.5. 1.5. 1.6.

IX Verstärker und Verstärkergrundbausteine Der Negativimpedanzkonverter Der Gyrator Immittanzkonverter Der Zirkulator Positive und negative Rückkopplung Grundbausteine für Signalflußdiagramme

2. En bloc-Konzepte 2.1. Synthese mit Hilfe von Negativimpedanzkonvertern 2.1.1. Realisierung von Übertragungsfunktionen nach LINVILL 2.1.2. Das Verfahren von YANAGISAWA zur Realisierung von Übertragungsfunktionen 2.1.3. Die Realisierung von Immittanzen nach SIPRESS 2.2. Synthese mit Hilfe von Verstärkern 2.2.1. Die Netzwerkstrukturen nach KUH und HAKIM 2.2.2. Eine Netzwerkstruktur mit einem einzigen Operationsverstärker 2.2.3. Realisierung von Übertragungsfunktionen mittels Differenzenverstärkern 2.2.4. Realisierung von Immittanzen 2.2.5. Das Syntheseverfahren von LOVERING 2.2.6. Zustandsraumrealisierungen 2.3. Simulation von Induktivitäten 2.4. Simulation von Induktivitätsnetzwerken 2.5. Impedanztransformation von RLC-Zweitoren 2.6. Leapfrogrealisierungen 2.6.1. Das allgemeine Konzept 2.6.2. Einfache Filterrealisierungen 2.6.3. Einsparung von Operationsverstärkern 2.6.4. Allgemeine Filterrealisierungen 2.6.5. Maximierung des Dynamikbereichs allgemeiner Kettenstrukturen 3. Biquadratische Blöcke 3.1. 3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. 3.1.4. 3.2. 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4. 3.3.

Ein biquadratisches Netzwerk mit einem Operationsverstärker Der Realisierungsprozeß Realisierung eines Paares imaginärer Übertragungsnullstellen Praktische Beispiele Realisierung einer Bandpaßübertragungsfunktion Ein biquadratisches Netzwerk mit einem Verstärker endlicher Verstärkung... Der Realisierungsprozeß Komplexe Übertragungsnullstellen Reelle Übertragungsnullstellen Ergänzungen Mehrverstärkerblöcke zweiter Ordnung

303 311 313 315 318 320 327 329 329 329 331 332 336 336 339 342 344 345 348 351 356 357 362 362 365 371 373 375 376 377 377 380 381 383 385 385 387 390 393 395

X

Inhalt 3.3.1. Eine Netzwerkstruktur mit drei Operationsverstärkern und einer Rückführung 3.3.2. Eine Netzwerkstruktur mit vier Operationsverstärkern und einer Rückführung 3.3.3. Eine Netzwerkstruktur mit vier Operationsverstärkern und zwei Rückführungen 3.3.4. Eine weitere Struktur mit vier Summationsknoten und zwei Rückführungen .. 3.3.5. Eine Struktur mit drei Summationsknoten und einer Rückführung 3.4. Gyrator-RC-Netzwerke zweiter Ordnung 3.4.1. Gyrator-RC-Kettennetzwerk 3.4.2. RC-Gyrator-Parallelnetzwerke

396 398 402 406 408 412 414 421

Teil III: Synthese von Netzwerken mit verteilten Elementen

425

1. Synthese von Netzwerken mit verlustlosen verteilten Elementen

425

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.4.1. 1.4.2. 1.4.3. 1.4.4. 1.5. 1.6. 1.6.1. 1.6.2. 1.6.3. 1.6.4.

Das Einheitselement Netzwerke aus Einheitselementen Synthese von Zweitoren mit verteilten Elementen Realisierung des Brune-Gliedes mittels verteilter Elemente Die Parallelschleife (Ikeno-loop) Die Reihenschleife Zweitore mit gekoppelten Leitungen Die Realisierbarkeitsbedingungen Entwurfsbeispiel und Ergänzungen Beschreibung der Netzwerke mittels Wellengrößen Beschreibung der Netzwerkelemente Beschreibung der Verbindungen. Wellenbeschreibung von Netzwerken Die Übertragungsfunktion

2. Synthese von Netzwerken aus RC-Leitungselementen 2.1. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.3. 2.3.1. 2.3.2. 2.3.3. 2.3.4. 2.3.5.

Das homogene RC-Leitungselement Frequenz- und Impedanztransformationen Abbildungen der p-Ebene und Skalierungen der Impedanzen Transformationen des homogenen RC-Leitungselements Synthese in den transformierten Bereichen Synthese von Zweipolen aus homogenen RC-Leitungselementen Synthese von Zweitoren aus homogenen RC-Leitungselementen Entwurf aktiver Zweitore aus homogenen RC-Leitungselementen Erweiterung der Dasher-Netzwerke Ein Beispiel

426 428 430 436 438 442 443 448 449 455 455 459 464 465 467 467 469 469 471 474 474 476 478 480 487

Inhalt

XI

Teil IV: Digitalfilter und SC-Filter

489

1. Allgemeine Grundlagen

489

1.1. 1.2. 1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 1.2.4. 1.3. 1.4. 1.5.

Beschreibung diskontinuierlicher Signale und Netzwerke Beschreibung im Frequenzbereich Die z-Transformatioa Systemtheoretische Konzepte Duale Darstellungen diskontinuierlicher Netzwerke Der Frequenzgang Wichtige Sonderfälle von Frequenzgängen Signalabtastung Nachbildung von Frequenzgängen durch diskontinuierliche Systeme

2. Synthese von Digitalfiltern 2.1. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.2.4. 2.3. 2.3.1. 2.3.2. 2.3.3. 2.3.4. 2.3.5. 2.4. 2.5. 2.5.1. 2.5.2. 2.6. 2.6.1. 2.6.2. 2.6.3. 2.6.4. 2.6.5. 2.6.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.9.1. 2.9.2.

Nichtrekursive Digitalfilter Konventionelle rekursive Digitalfilter Direktformen Parallel-und Kaskadenform Abzweigstrukturen Beseitigung verzögerungsfreier Schleifen Wellendigitalfilter Einführendes Beispiel Allgemeine Vorgehensweise Adaptoren Zusammenfassung und Beispiele Synthese von Digitalfiltern mit Givens-Rotoren Zustandsraumfilter Kreuzgliedstrukturen Darstellung von Allpaß-und Allpolübertragungsfunktionen Darstellung allgemeiner Übertragungsfunktionen Orthogonale Filterstrukturen Orthogonalität Orthogonale Entwicklung nach Schur-Funktionen und Realisierung Orthonormale Entwicklung und Realisierung Orthonormale Entwicklung nach Walsh-Funktionen Eigenschaften orthonormaler Filterstrukturen Ein Beispiel Parallelanordnung von Allpässen ersten Grades Realsierung von Tiefpässen und Hochpässen mittels zweier Allpässe Quantisierungseffekte Quantisierungsfehler Koeffizientenquantisierung

490 494 495 496 498 499 500 503 504 506 506 508 508 510 511 515 517 518 520 522 525 527 534 539 539 543 546 546 548 550 553 557 559 560 564 569 569 570

XII 2.9.3. 2.9.4. 2.9.5. 2.9.6. 2.9.7.

Inhalt Signalquantisierung Skalierung Anwendungen auf klassische Strukturen Koeffizientenempfindlichkeit bei komplexen Parallelstrukturen Grenzzyklen

3. Synthese von SC-Filtem 3.1. 3.2. 3.3. 3.3.1. 3.3.2. 3.3.3. 3.3.4. 3.3.5. 3.3.6. 3.3.7. 3.3.8. 3.3.9. 3.4. 3.4.1. 3.4.2. 3.5. 3.5.1. 3.5.2. 3.5.3. 3.5.4. 3.5.5. 3.6. 3.6.1.

Einführung Analyse aktiver SC-Netzwerke im Zeitbereich SC-Basisnetzwerke Der Eulersche Vorwärtsintegrierer Der Eulersche Rückwärtsintegrierer Ein nichtinvertierender Integrierer Der Bilinearintegrierer Gedämpfte Integrierer Erweiterung auf mehrere Eingänge Einfluß von Streukapazitäten Ein einfaches Realisierungsverfahren Zusammenschaltung von SC-Netzwerken SC-Grundblöcke ersten und zweiten Grades SC-Grundblöcke ersten Grades SC-Grundblöcke zweiten Grades SC-Nachbildung von LC-Filtern Beschreibung von Referenzfiltern durch Signalflußdiagramme Umwandlung der Signalflußdiagramme in SC-Netzwerke Fehlerdiskussion Ein Beispiel Exakte Transformation von Polynomtiefpässen Bilineartransformation von LC-Filtern Beschreibung von Referenznetzwerken durch Ladungs-Potential-Flußdiagramme 3.6.2. Transformation der Signalflußdiagramme 3.6.3. Weitere Strukturen 3.6.4. Ein einfaches Beispiel 3.7. SC-Nachbildungen von zweipoligen Netzwerkelementen

573 575 577 580 583 586 586 588 590 590 593 594 596 598 598 600 601 602 603 603 605 611 612 617 619 620 622 628 628 631 637 642 644

TeilV: Approximation — Entwurf

651

1. Einführung

651

2. Wahl der Vorschrift

654

Inhalt

XIII

3. Lösung der Approximationsprobleme: zeitkontinuierliche Netzwerke

656

3.1.

Formelmäßige Approximation von Amplitudenvorschriften

657

3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. 3.1.4. 3.2. 3.3. 3.3.1. 3.3.2. 3.3.3. 3.4. 3.4.1. 3.4.2. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11.

Butterworth-Tiefpässe Tschebyscheff-Tiefpässe Cauer-Tiefpässe Frequenztransformationen Formelmäßige Approximation von Phasenvorschriften Tiefpaßübertragungsfunktionen mit vorgeschriebenem Phasenverhaltea Transformation der gesuchten Funktion Auswertung bei geradem Grad » Auswertung bei ungeradem Grad n Die Approximation allgemeiner Amplitudenvorschriften Direkte Verfahren Approximation durch Optimierung Die Approximation von Filterforderungen Erfüllung zweiseitiger Toleranzvorschriften für die Dämpfung Die Verlustkompensation Die Approximation von Ortskurvenvorschriften Die Approximation allgemeiner Phasenvorschriften Die Approximation von Zweipolforderungen Die Approximation von Zeitforderungen

657 659 662 664 666 670 671 673 676 677 677 683 685 688 689 692 696 704 705

4. Lösung der Approximationsprobleme: zeitdiskrete Netzwerke 4.1. 4.2. 4.2.1. 4.2.2. 4.2.3. 4.2.4. 4.3. 4.3.1. 4.3.2. 4.4. 4.4.1. 4.4.2. 4.4.3. 4.4.4. 4.4.5. 4.5. 4.6. 4.6.1. 4.6.2.

708

Übertragung der Aufgabe in den/»-Bereich 708 Direkte Erfüllung von Amplitudenforderungen 711 Approximation von allgemeinen Amplitudenvorschriften 711 Formelmäßige Erfüllung spezieller Amplitudenforderungen 714 Frequenztransformation von Amplitudencharakteristiken 715 Erzeugung einer optimalen Grundcharakteristik 717 Approximation von Phasenvorschriften 719 Verwendung einer speziellen Klasse von Filtern 719 Verwendung allgemeiner Übertragungsfunktionen 723 Formelmäßige Approximation einer Konstante in einem Frequenzband durch einen Betragsfrequenzgang 725 Abbildung der z-Ebene 725 Betragsquadratfunktionen mit gleichmäßigem Verhalten 729 Vorgabe der Pole der Übertragungsfunktion 733 Approximation in der if-Ebene 734 Sonderfälle von Allpol- und nichtrekursiven Filtern 738 Entwurf nichtrekursiver Filter 739 Approximation mittels Modellierungsverfahren 741 Vorbereitungen 741 Verfahren zur Minimierung indirekter Fehler 746

XIV 4.6.3. 4.7. 4.7.1. 4.7.2. 4.7.3. 4.7.4. 4.7.5.

Inhalt Minimierung direkter Fehler, Iterationsverfahren Entwurf komplexer Digitalfilter Vorbereitungen Vorschrift für den Amplitudengang Vorschrift für den Realteil des Frequenzgangs Weitere Approximationsprobleme Beispiele

754 757 757 760 762 764 765

ANHANG Das Filterentwurfsprogramm

769

Formelzeichen und Abkürzungen

774

Literaturverzeichnis

776

Sachregister

786

VORWORT ZUR DRITTEN AUFLAGE

Die Netzwerksynthese ist aus dem Bedürfnis entstanden, elektrische Schaltungen mit vorgeschriebenen Eigenschaften auf systematischem Wege zu ermitteln. Man wollte sich vom glücklichen Einfall als Voraussetzung für die Erfindung einer Schaltung befreien, andererseits stellten sich Aufgaben, die rein intuitiv nicht mehr lösbar waren. So kann man die Netzwerksynthese als Folge ständiger Herausforderung der Wissenschaft verstehen, deduktive Verfahren zu entwickeln. Man darf dieses Gebiet als eine der schönsten Errungenschaften ingenieurwissenschaftlichen Forschens unseres Jahrhunderts betrachten. Die deduktive Methodik wurde zu einem Prinzip entwickelt, das dazu beitragen kann, auch in anderen Bereichen das für die Technik spezifische Problem der Synthese zu lösen. Die Anfänge der Netzwerksynthese reichen in die zwanziger Jahre zurück. Der junge Forschungszweig erhielt von den Nachbardisziplinen Mathematik und Physik kaum Unterstützung. So dauerte es relativ lange, bis die Umrisse einer Theorie des Schaltungsentwurfs erkennbar wurden. Auf diesem Weg hat sich eine Schar von Pionieren, unter ihnen WILHELM CAUER, bleibende Verdienste erworben. Einer Verbreitung der Netzwerksynthese war zunächst hinderlich, daß für das Verständnis der gewonnenen Ergebnisse mathematische Kenntnisse erforderlich waren, über die Ingenieure damals nicht verfügten. Hinzu kam, daß die praktische Anwendung der Ergebnisse meistens einen erheblichen numerischen Aufwand erforderte. So verschaffte erst der Computer der Netzwerksynthese die ihr gebührende Geltung. Zu dieser Zeit war die erste Pionierarbeit bereits abgeschlossen. In den nachfolgenden Jahrzehnten wurden die Forschungsschwerpunkte wesentlich von den technologischen Entwicklungstendenzen mitbestimmt: So initiierte die Halbleitertechnik der fünfziger Jahre die Synthese aktiver (Analog-) Netzwerke. In den sechziger Jahren begann die Synthese von Digitalfiltern und ein Jahrzehnt später die von SC-Filtern. Das vorliegende Buch ist aus der 1972 erstmals erschienenen "Synthese elektrischer Netzwerke" hervorgegangen. Teil I wurde in einer korrigierten und um zwei Abschnitte erweiterten Version übernommen. Der Rest des Buches wurde weitgehend neu verfaßt. Insgesamt wurde versucht, einen Ausschnitt des heutigen Standes der Netzwerksynthese darzustellen, der für praktische Anwendungen von Bedeutung und als Einführung in das Gebiet gedacht ist, aber auch als Grundlage für eine weitergehende wissenschaftliche Beschäftigung dienen kann. Es war ein besonderes Anliegen zu versuchen, die verschiedenen Ergebnisse einheitlich und geschlossen darzustellen sowie durch eine erschöpfende Begründung die wesentlichen Zusammenhänge aufzuzeigen. Das Buch enthält zahlreiche bisher noch nicht veröffentlichte Forschungsergebnisse. Es ist in fünf Teile gegliedert. Teil I ist der Synthese von passiven (Analog-) Netzwerken gewidmet, insbesondere der von Zweipolen und Zweitoren, welche aus Ohmwiderständen (R), Induktivitäten (L), Kapazitäten (C) und Übertragern (Ü) aufgebaut sind. Dabei wird der Zweipolsynthese wegen ihrer besonderen Bedeutung für die Synthese von Zweitoren breiter Raum geschenkt. Hinter den verschiedenen ausführlich behandelten Verfahren zur Synthese von Reaktanzzweitoren und verlustlosen Filtern verbirgt sich ein einheitliches Konzept, da die Rea-

XVI

Vorwort

lisierung ausnahmslos mit Hilfe der Eingangsbetriebsimpedanz erfolgt, was hinsichtlich der Systematik interessant erscheint und darüber hinaus für programmierungstechnische Anwendungen wichtig ist. Die ebenfalls ausführlich behandelte Synthese von RC-Zweitoren hat für die spätere Synthese von aktiven Netzwerken und Netzwerken mit verteilten Parametern große Bedeutung. Für die Realisierung allgemeiner Übertragungsfunktionen werden einige Verfahren zur Synthese von RLCÜ-Zweitoren behandelt. Am Ende des ersten Teiles findet man noch Verfahren zur Synthese nichtreziproker Netzwerke. Die Synthese von aktiven RC-Netzwerken ist Gegenstand von Teil II. Dabei werden als aktive Netzwerkelemente vorzugsweise Verstärker verwendet, aber auch mit Verstärkern realisierbare komplexere Bausteine, wie Immittanzkonverter und Zirkulatoren. Bestimmte Reaktanzzweitore, die mittels Verfahren aus Teil I synthetisiert werden können, dienen bei einigen der im Teil II behandelten Synthesemethoden als Referenz-(Prototyp-) Netzwerke. Zur Realisierung von (Teil-) Übertragungsfunktionen zweiten Grades werden zahlreiche aktive RC-Blöcke beschrieben, durch deren Kaskadierung Übertragungsfunktionen höheren Grades vorteilhaft realisiert werden können. Im dritten Teil wird gezeigt, wie Netzwerke synthetisch ermittelt werden können, deren wesentliche Bauelemente-Parameter räumlich verteilt, also nicht konzentriert auftreten. Diese Art von Netzwerken spielt bei Anwendungen im Bereich höherer Frequenzen und bei bestimmten Implementierungen eine besondere Rolle. Es wird zwischen verlustlosen Netzwerken und aktiven RC-Netzwerken unterschieden. Die Klasse der erstgenannten Netzwerke ist mit der Klasse der Reaktanzfilter aus Teil I eng verwandt und hat, wie sich im vierten Teil zeigt, einen speziellen Bezug zu den Wellendigitalfiltern. Während in den ersten drei Teilen Verfahren zur Synthese von Netzwerken behandelt werden, die Signale zeitkontinuierlich verarbeiten, ist die Synthese von diskontinuierlich arbeitenden Netzwerken Gegenstand von Teil IV. Hierbei wird zwischen Digitalfiltern und Schalter-Kondensator (SC)-Filtern unterschieden. Die im Rahmen der Digitalfilter-Synthese vorgestellten Wellendigitalfilter werden aus den im Teil III behandelten verlustlosen Filtern mit verteilten Parametern einfach und anschaulich begründet. Auch bestimmte Klassen von SC-Filtern, die besprochen werden, haben einen engen Bezug sowohl zu den Reaktanzfiltern aus Teil I als auch zu den verlustlosen Filtern mit verteilten Parametern aus Teil III. In diesem Zusammenhang wird die innige Verflechtung von Verfahren zur Synthese verschiedener Klassen von Netzwerken besonders deutlich. Der fünfte Teil ist der bei der Synthese von Netzwerken meist erforderlichen approximativen Ermittlung von Netzwerkcharakteristiken aufgrund bestimmter Forderungen im Frequenzbereich oder Zeitbereich gewidmet. Die verschiedenen Verfahren wurden in erster Linie nach der zugrundegelegten Vorschrift geordnet. Dabei wird zwischen Verfahren für zeitkontinuierliche Netzwerke und Verfahren für zeitdiskrete Netzwerke unterschieden. Zum Verständnis des Stoffes sollte der Leser über Kenntnisse in Elektrotechnik und Mathematik im Umfang der üblichen Ingenieur-Grundausbildung verfügen. Bei einer ersten Beschäftigung mit dem Buch kann man sich auf den Ablauf der Verfahren und die Ergebnisse konzentrieren und Einzelheiten der Beweisführung zunächst übergehen. Was die verwendete Notation betrifft, so wurde gelegentlich das Zuordnungszeichen (:= oder =:) verwendet, um bestimmte Bezeichnungen hervorzuheben; ansonsten wird von der üblichen Nomenklatur kaum abgewichen.

Vorwort

XVII

Es ist mir ein besonderes Anliegen, allen Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern zu danken, die zur Fertigstellung des Buches beitrugen. Stellvertretend für alle sei Herr Dipl.-Ing. R. FINKLER genannt, der mich durch Vorschläge, Hinweise und aufopfernde Mithilfe in besonderer Weise unterstützte.

Erlangen, im März 1988

R. Unbehauen

VORWORT ZUR VIERTEN AUFLAGE

Bei der Vorbereitung der Neuauflage des Buches wurde die Gelegenheit benutzt, den Text einer gründlichen Überarbeitung in der Absicht zu unterziehen, durch Präzisierungen, Modifikationen, zusätzliche Erläuterungen und neue Beispiele die Erarbeitung der Netzwerksynthese weiter zu erleichtern. Darüber hinaus ergab sich die Möglichkeit, den Stoff um neuere Erkenntnisse zu erweitern. Dies betrifft im Teil I des Buches die Einbeziehung spezieller Teilabbauten bei der Reaktanzfiltersynthese. Dadurch wird es möglich, Quarzfilter synthetisch zu erzeugen, Reaktanzfilter mit genau spezifiziertem ohmschen Abschlußwiderstand kopplungsfrei zu synthetisieren, Reaktanzfilter mit gleichen Induktivitätswerten zu erzeugen usw., was auch an Beispielen demonstriert wird. Dadurch dürfte das im Buch ausführlich behandelte Filtersyntheseverfahren große praktische Bedeutung erlangen, und zwar auch im Hinblick auf die Erzeugung von Referenznetzwerken (insbesondere für Digital- oder SCFilter). Ein Verfahren zur Synthese von Reaktanzfiltern mit vorgeschriebener frequenzabhängiger Last wurde ebenfalls in den Teil I aufgenommen. Das Leapfrogverfahren aus Teil II zur Synthese aktiver RC-Filter konnte wesentlich ausgebaut werden, so daß sich allgemeine Frequenzcharakteristiken mit beliebigen Dämpfungspolen verwirklichen lassen. Teil IV wurde um einige interessante Verfahren zur Synthese von Digitalfiltern mit günstigem Empfindlichkeitsverhalten erweitert. Es handelt sich dabei um ein Verfahren zur Synthese von Digitalfiltern, die Givens-Rotoren als wesentliche Bausteine enthalten, ferner um ein Konzept zur Synthese orthogonaler Digitalfilter auf der Basis der Schur- bzw. Walsh-Entwicklung und schließlich um ein Verfahren zur Realisierung allgemeiner Übertragungsfunktionen in Gestalt von Parallelverbindungen elementarer Digitalallpässe. In den Teil V wurde ein Abschnitt über den Entwurf komplexer Digitalfilter aufgenommen. Schließlich sei folgende Neuerung hervorgehoben: Das Buch wurde um ein im Anhang beschriebenes Programm (gespeichert auf einer beigefügten Diskette) zur vollständigen Synthese von Butterworth-, Tschebyscheff- und Cauer-Filtern ergänzt. Das Programm ersetzt und erweitert zugleich die aus dem Schrifttum bekannten umfangreichen Tabellenwerke für den Filterentwurf.

XVIII

Vorwort

Die vorliegende Auflage wäre ohne die tatkräftige Unterstützung zahlreicher Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter nicht zustande gekommen. Besonderer Dank gebührt in diesem Zusammenhang Herrn Dipl.-Ing. R. FINKLER, der neben seiner außerordentlich intensiven Beteiligung an der Korrektur der Text- und Bildvorlagen erneut durch eine Vielzahl von Verbesserungsvorschlägen und Ergänzungen einen unschätzbaren Beitrag geleistet hat. Weiterhin muß den Herren Dipl.-Ing. J. KINTSCHER, Dipl.-Ing. H. BRANDENSTEIN, Dr.-Ing. K.-H. FEISTEL, Dr.-Ing. W. HOHNEKER, Dipl.-Ing. B. ANHÄUPL, Dipl.-Ing. K. HECKELMANN, Dipl.-Ing. M. LENDL und Ing. (grad.) G. TRIFTSHÄUSER besten Dank für ihre Mithilfe ausgesprochen werden. Frau Dipl.-Ing. M.D. TOPA (T.H. Cluj, Rumänien) sei für die Erstellung des Filtersyntheseprogramms vielmals gedankt, den Herren Prof. Dr. A. CICHOCKI (T.U. Warschau), Prof. Dr. ZOU Mou-yan (Academia Sinica, Peking), Prof. Dr. D. RAGHURAMIREDDY (S.V.U. College of Engineering, Tirupati, Indien) und Prof. Dr. G. MARTENS (University of Manitoba, Canada) für wertvolle Diskussionen. Stellvertretend für alle Mitarbeiterinnen, die sich an der Texterstellung beteiligt haben, sei Frau H. SCHÄDEL genannt, die mit viel Engagement und Geschick die gesamte Textverarbeitung koordiniert, den Umbruch in eigener Verantwortung durchgeführt und selbst einen großen Teil des schwierigen Textes in den Computer eingegeben hat. Ihr gilt an dieser Stelle ein herzlicher Dank. Frau E. ORTH sei für die sorgfältige Erstellung der Bilder gedankt.

Erlangen, im März 1993

R, Unbehauen

1

I

SYNTHESE PASSIVER NETZWERKE

Ziel von Teil I dieses Buches ist vorrangig eine Einführung in die Verfahren zur Synthese von elektrischen Netzwerken, die aus Ohmwiderständen, Induktivitäten, Kapazitäten und Übertragern aufgebaut sind. Verfahren zur Synthese von Netzwerken, bei denen Gyratoren als zusätzliche Bauelemente Verwendung finden, werden gegen Ende von Teil I behandelt, während die späteren Teile des Buches Syntheseverfahren gewidmet sind, bei denen andersartige (aktive, verteilte und zeitdiskrete) Netzwerkelemente einbezogen oder ausschließlich zugelassen werden.

1

Einführung

Zunächst wird die Aufgabe der Netzwerksynthese allgemein formuliert. Dann sollen einige Grundtatsachen aus der Netzwerkanalyse mitgeteilt werden, welche für die späteren Betrachtungen von besonderer Wichtigkeit sind.

1.1 DIE AUFGABEN DER NETZWERKSYNTHESE In der Netzwerksynthese beschäftigt man sich mit der Ermittlung elektrischer Netzwerke, deren Eigenschaften vorgeschrieben sind. Während die Methoden der Netzwerkanalyse dazu dienen, das Verhalten und die Eigenschaften gegebener Netzwerke anzugeben, besteht die Aufgabe der Netzwerksynthese umgekehrt darin, bei Vorschrift des Verhaltens bzw. der Eigenschaften eines Netzwerks dessen Struktur und dessen Elemente zu bestimmen. Dies soll an einigen Beispielen erläutert werden, wobei nur Netzwerke mit linearen, zeitunabhängigen und konzentrierten Elementen betrachtet werden. In der Informationstechnik ergibt sich im Zusammenhang mit verschiedenen Anwendungen die Aufgabe, ein elektrisches Zweitor zu ermitteln, dessen Dämpfung a(u) in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz u einen vorgeschriebenen Verlauf annähert. Im Bild 1.1a ist ein derartiges Problem angedeutet, wobei die Eingangsspannung x ( t ) die Erregung und die Ausgangsspannung y ( t ) die Reaktion bedeutet. Die Aufgabe besteht dann darin, die Struktur und die Elemente des im Bild 1.1a durch ein Kästchen gekennzeichneten (linearen, zeitinvarianten) stabilen Zweitors aufzufinden, so daß bei der Erregung mit dem speziellen Signal x(t) =Xt'ul im stationären Zustand - in dem auch die Reaktion von der Form y(t) = Y(u)e'ul ist - die offensichtlich nur von der Kreisfrequenz cj abhängige Dämpfung a(cj) = - 2 0 d B log10 \y(t)/x(t) | die vorgeschriebene Schranke gleichmäßig annähert. Hierbei bleibt zunächst offen, welche Arten von Netzwerkelementen zuzulassen sind. Darüber hinaus kann die Aufgabe entsprechend auch für SC-Filter und Digitalfilter (Teil IV) formuliert werden. Ein weiteres, ebenfalls im Zusammenhang mit informationstechnischen, aber auch anderen Anwendungen vorkommendes Problem der Netzwerksynthese besteht darin, ein zweipoliges Netzwerk zu ermitteln, dessen Impedanz in einem bestimmten Frequenzintervall eine vorgeschriebene bezifferte Ortskurve wenigstens näherungsweise aufweist. Eine derartige Aufgabe, der man häufig bei der Nachbildung (Simulation) von komplexen Leitungswiderständen begegnet, ist im Bild 1.1b skizziert. Schließlich sei noch auf ein

2

I Synthese passiver Netzwerke

Beispiel aus der Regelungstechnik hingewiesen. Man kann eine Regelstrecke gemäß Bild 1.2 unter Verwendung eines elektrischen Zweitors zu einem Regelkreis ergänzen und wird dabei auf die Aufgabe geführt, dieses Zweitor etwa derart zu gestalten, daß die Reaktiony (t) des

Bild 1.1: Beispiele von Aufgaben der Netzwerksynthese (a) Gleichmäßige Annäherung einer Schranke durch die Dämpfung eines Zweitors, (b) Ortskurvenvorschrift für die Impedanz eines Zweipols

Regelkreises auf eine vorgeschriebene Erregung x ( t ) ein bestimmtes Verhalten zeigt. Wenn die Übertragungseigenschaften der Regelstrecke bekannt sind, erhält man damit unmittelbar eine (Zeit-)Vorschrift für das zu ermittelnde Zweitor.

Bild 1.2: Regelkreis

Seitdem sich in der Netzwerksynthese die deduktive Vorgehensweise durchgesetzt hat, wird die Synthese elektrischer Netzwerke in folgenden Schritten vorgenommen. (a) Netzwerkcharakterisierung Das zu ermittelnde Netzwerk wird durch eine oder mehrere Funktionen gekennzeichnet, deren Eigenschaften wesentlich von der Betriebsweise des Netzwerks (z.B. als Zweipol oder als Zweitor) und von der Art der zugelassenen Netzwerkelemente abhängen. So kann ein nur aus linearen, zeitunabhängigen und konzentrierten Elementen aufzubauendes zweipoliges Netzwerk durch seine Impedanz, welche eine skalare rationale Funktion des komplexwertigen Frequenzparameters p ist, charakterisiert werden. Für die genannten Funktionen, die das gesuchte Netzwerk kennzeichnen und im allgemeinen zunächst numerisch nicht bekannt sein werden, müssen notwendige und hinreichende Bedingungen aufgestellt werden, welche die Realisierbarkeit im Rahmen der für das Netzwerk getroffenen Voraussetzungen sicher-

1.2 Beschreibung von Netzwerken

3

stellen. So müssen einer rationalen Funktion Z(p) bestimmte notwendige und hinreichende Bedingungen auferlegt werden, damit Z(p) die Impedanz eines Zweipols mit ausschließlich linearen, zeitunabhängigen und konzentrierten Elementen ist. Die Charakterisierung von Netzwerken in der beschriebenen Weise ist meistens mit dem Lösungsschritt c verbunden, weil der Beweis, daß die betreffenden Bedingungen hinreichend sind, gewöhnlich durch Auffindung einer Realisierung (also konstruktiv) am einfachsten erbracht wird. (b) Funktionsbestimmung (Entwurf) U n t e r Berücksichtigung der im Schritt a ermittelten notwendigen und hinreichenden Bedingungen müssen Funktionen, die das zu bestimmende Netzwerk charakterisieren, derart gewonnen werden, daß die gewünschten (Betriebs-)Eigenschaften des Netzwerks garantiert werden. Diese Eigenschaften werden meistens in einer F o r m gefordert, die in Strenge nicht erfüllbar ist. Aus diesem Grund müssen die kennzeichnenden Funktionen durch Approximation bestimmt werden. Beispielsweise läßt sich eine Ortskurvenvorschrift gemäß Bild 1.1b im allgemeinen nur näherungsweise durch eine Impedanz erfüllen. (c) Verwirklichung Die im vorausgegangenen Schritt gefundenen Funktionen sind nun durch ein Netzwerk der betrachteten Klasse zu realisieren. Es muß also ein Netzwerk vollständig angegeben werden, dessen kennzeichnende Funktionen mit den im Schritt b gefundenen Funktionen identisch sind. Die Realisierungsverfahren stellen mathematische Prozesse dar, in deren Verlauf sich auf rein deduktivem Wege die Struktur (Topologie) und die Elemente des Netzwerks einschließlich ihrer numerischen Werte ergeben. Die Verfahren liefern meistens m e h r e r e Lösungen. Aus den so gewonnenen äquivalenten Netzwerken kann m a n bei praktischen Anwendungen die Lösung entnehmen, welche nach bestimmten Gesichtspunkten (beispielsweise im Hinblick auf die minimale Zahl der erforderlichen Übertrager) die günstigste ist. Im vorliegenden Buch wird die Synthese elektrischer Netzwerke unter dem Gesichtspunkt der aufgezeigten drei Lösungsschritte studiert. Dabei werden vorerst nur Netzwerke betrachtet, die aus linearen, zeitunabhängigen und konzentrierten Elementen aufgebaut sind. Zunächst w e r d e n nur Ohmwiderstände (R), Induktivitäten (L), Kapazitäten (C) und Übertrager ( Ü ) zugelassen. Später werden noch weitere Arten von Netzwerkelementen, z.B. Gyratoren und gesteuerte Quellen, einbezogen. Eingeprägte Quellen dienen nur als äußere Erregungen. Die Definition der genannten Netzwerkelemente als Idealisierungen von realen Schaltungsbausteinen wird als bekannt vorausgesetzt. Einzelheiten finden sich im Schrifttum über Netzwerkanalyse (z.B. [UN2]).

1.2

BESCHREIBUNG VON NETTWERKEN

Die Beschäftigung mit der Netzwerksynthese erfordert eine gewisse Kenntnis der Verfahren der Netzwerkanalyse. Diese Verfahren erlauben die Bestimmung der Ströme und Spannungen in einem gegebenen Netzwerk (mit Elementen der im letzten Abschnitt genannten Art). Die äußeren Erregungen werden dabei als bekannt vorausgesetzt. Bei einem der Analyseverfahren, d e m (modifizierten) Maschenstromverfahren, werden als Netzwerkvariablen ein vollständiger Satz von Maschenströmen und die Spannungen an den Kapazitäten im betreffenden Netzwerk betrachtet. Bezeichnet m a n diese G r ö ß e n einheitlich mit z1 (t), z2(t),

4

I Synthese passiver Netzwerke

... ,zn(t), dann erhält man aufgrund des Spannungsgleichgewichts in den gewählten Maschen (der Maschenregel) und aufgrund der Strom-Spannungs-Beziehungen für die Kapazitäten ein System von gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen zur Bestimmung der zK(t) (K = 1 , . . . ,n). Diese Differentialgleichungen haben die allgemeine Form [UN2] AT 2

dz, ( i ) 1 ~ =*.(')

+

(1 = 1 , 2 , . . . , « ) .

(1.1)

Die Größen a l K und ßlK sind reelle Konstanten, die aus den Netzwerkelementen berechnet werden können. Die Funktionen xx ( f ) , . . . ,x„(t) enthalten die bekannten Erregungen. Soweit mehrere Erregungen in einer der Funktionen ( t ) enthalten sind, treten sie in Form einer Linearkombination auf. Sobald man die zK ( t ) durch Lösung der Differentialgleichungen (1.1) bestimmt hat, sind alle Ströme und Spannungen im Netzwerk bekannt. Zur eindeutigen Lösung der Differentialgleichungen werden aber noch Anfangsbedingungen benötigt, die man aus den Anfangswerten der Induktivitätsströme und Kapazitätsspannungen gewinnt. Die Eigenwerte pß des betrachteten Netzwerks erhält man als Lösungen der charakteristischen Gleichung

det

"li+Pii P

«12+/W

«21+021 P

«22 + 022 P

a

a

nl+ßnlP

«1,, + 0 1 nP •••

m + ß m P - "

«2n+02*P a

nn

+ ßnn P

Diese Gleichung entsteht dadurch, daß man das Netzwerk im erregungsfreien Zustand betrachtet | X ( f ) = 0; L = 1,..., n], dann in den Gin. (1.1) für d i e z K ( t ) den Lösungsansatz Kk e p l wählt und zur Bestimmung der Lösungen KK des auf diese Weise entstehenden homogenen linearen algebraischen Gleichungssystems die Koeffizientendeterminante (Systemdeterminante) gleich null setzt. Mit Hilfe der Eigenwerte lassen sich schließlich die Lösungen zK(t) der Gin. (1.1) für den erregungsfreien Zustand angeben. Wird ein Netzwerk nur durch eine Quelle erregt, wobei die Quellfunktion die Form x (t) = X ep'

(t 2 0)

(1.2)

( X , p komplexe Konstanten) haben möge, und wird als Netzwerkreaktion y ( t ) irgendein Strom oder eine Spannung im Netzwerk betrachtet, dann erhält man als stationäi e Lösung {y ( t ) für t -» y{t)

= H(p)Xt R e p M { ¡ J L = 1 , 2 , . . . , M ) stellen diese Teillösungen die stationären Lösungen der Spannungen w„(f) bzw. Ströme iv(t) dar, d.h. sie liefern das Verhalten dieser Größen für t -» Unter der genannten Einschränkung für p ist nämlich der durch das Summenzeichen in Gl. (1.6) gekennzeichnete Term der Spannung uv(t) gegenüber dem restlichen Teil Uv(p)tp' für t -> °° vernachlässigbar. Entsprechendes gilt bei den Strömen. Alle Funktionen Uv(p)/Iü und Iv(p)/Ia sind im Sinne von Abschnitt 1.2 Übertragungsfunktionen, die in R e p > 0 keine Pole haben. Damit darf man zusammenfassend feststellen, daß alle Quotienten Uv(p)/Iil und Iv(p)/I0 reelle, d.h. für reellep reellwertige, rationale und in der gesamten Halbebene R e p > 0 analytische (holomorphe) Funktionen vonp sind. Im folgenden sollen die Ströme und Spannungen der einzelnen Elemente des betrachteten Netzwerks gemäß Bild 1.5 durch die Funktionspaare ( H i ( / ) > ' i ( 0 ) > ( " 2 ( 0 . '2 (0)> • • • beschrieben werden. Bei einem idealen Übertrager treten zwei derartige Funktionspaare auf d e r Prim ( " M ( 0 > V ( O ) und 0 V i ( O . ' M + i ( 0 ) = ( " M " M ( 0 . ä r - bzw. Sekundärseite auf. Dabei ist das Übersetzungsverhältnis des Übertragers. Je nach Art des Netzwerkelements gilt für die den eingeführten Funktionspaaren entsprechenden komplexen Größen t / „ ( p ) , I v ( p ) : (a) Für einen Ohmwiderstand Rp (1.10a)

VP (P) = RP IP (P), (b) Für eine Induktivität LL Ut(p)

= p LlIi

(1.10b)

(p),

(c) Für eine Kapazität CK UAP)

(1.10c)

= -77-/«(p), P C*

(d) Für einen idealen Übertrager mit dem Übersetzungsverhältnis ü^ UM+1 (p) = aM Uß (p),

/M+1 (p) = - ju - lß (P) . ß

(l.lOd)

Es sei bemerkt, daß die eingeführten komplexen Spannungen und Ströme im Sonderfall p = jcj als (Amplituden-)Zeiger der entsprechenden Größen im Sinne der komplexen Wechselstromrechnung aufgefaßt werden können, wobei cj die Kreisfrequenz der harmonischen

Element Bild 1.5: Element eines Netzwerks

10

I Synthese passiver Netzwerke

Stromerregung mit dem Zeiger / 0 bedeutet. Auf den betrachteten Zweipol soll jetzt Satz 1.1 angewendet werden. Hierbei werden als Spannungen die im vorstehenden eingeführten komplexen Spannungen der Netzwerkelemente Up(p), Ut(p), UK(p), Uß+1(p) sowie die komplexe Eingangsspannung U0 ( p ) betrachtet. Als Ströme werden hierbei die konjugiert komplexen Ströme der Netzwerkelemente I* (p), I* (p), I* (p), / * (p), 7* + 1 (p) und der Strom / * gewählt, der den konjugiert komplexen Wert des erregenden Eingangsstroms / 0 bedeutet. Man beachte, daß angesichts der Gin. (1.8) und (1.9) die Voraussetzungen zur Anwendung von Satz 1.1 gegeben sind. Somit erhält man die Beziehung E u p ( P ) i ; (P)+zut(p)i; P L

(p)+£i4(p)/; K

00

+Z[utl(p)i;(p)+ufl+i(p)C*1(p)]-u0(p)i; M

=0.

(1.11)

Die erste Summe in Gl. (1.11) ist über alle Ohmwiderstände zu erstrecken, die zweite Summe über alle Induktivitäten usw. Der letzte Term -U0(p)Iq rührt von der Quelle her, wobei das Minuszeichen darauf zurückzuführen ist, daß die entgegengesetzten Orientierungen von Spannung und Strom bei der Quelle nicht im Einklang mit Bild 1.3 steht. Berücksichtigt man die Verknüpfung zwischen den komplexen Spannungen und Strömen gemäß den Gin. (l.lOa-d), dann läßt sich aus der Gl. (1.11) die folgende wichtige Darstellung der Impedanz Z(p) = U0 ( p ) / I 0 des Zweipols gewinnen: z

(P)

= L,rp p

lp(P)ip(P) —i 'o'o

, +PL4 i

h{p)l'{p) r-p 'o'o

, 1 ^ 1 +- ¿ 7 P k W

h(p)I* (P) —* • 'o'o

(

U 2

)

Die Beiträge der idealen Übertrager heben sich heraus und sind daher in Gl. (1.12) nicht mehr enthalten. Mit den Abkürzungen 17/ \

v1 d p

V^)7* hll

i

'o 'o

/, „

N

(1.13b)

... . . ^ 1 iAp)C (P) V(p) -=L r ¡-Ti K K ' 0 '0

n

. (1-13c)

läßt sich die Gl. (1.12) in der Kurzform Z(p)=F(P)+pT(p)

+ ±V(p) P

(1.14)

schreiben. Aus den Gin. (1.13a-c) ist zu erkennen, daß die Funktionen F(p), T(p) und V(p) stets reell und nichtnegativ sind. Die Funktion F ( p ) wird dann und nur dann null, wenn entweder keine Ohmwiderstände im Zweipol vorhanden sind oder alle komplexen Ströme Ip ( p ) in den Ohmwiderständen verschwinden. Entsprechendes gilt für die Funktionen T(p) und V(p). Da 70 konstant und U0 (p), wie bereits früher festgestellt wurde, eine rationale Funktion in der Veränderlichen p ist, muß auch Z ( p ) = U0(p)/I0 rational und im übrigen für reelle p reell sein. Die Variable p wird in der komplexen p -Ebene betrachtet (Bild 1.6).

11

2.1 Die Zweipolfunktion Der Realteil von p wird mit er, der Imaginärteil mit cj bezeichnet: p =CT+ jcj. Dann kann die Gl. (1.14) in der Form Z(p)=F

+ oT+

g

CT + CJ

K+jcfrL CT

V

1 + CJ J

(1.15)

dargestellt werden, wobei die Abhängigkeiten der Funktionen F, T und V von a, cj nicht explizit angeschrieben wurden. Da fürp t* p^ nicht alle Ströme /„(/>) (v = p, t, ic) verschwinden, können offensichtlich auch nicht alle Größen F, T, V zugleich null sein (der triviale Fall, daß im Zweipol überhaupt kein Netzwerkelement vorhanden ist, wird natürlich ausgeschlossen). Damit erlaubt die Gl. (1.15) die wichtige Feststellung, daß die Summe F+ aT+ aV/(a2 + cj 2 ), d.h. der Realteil von Z ( p ) , für ct > 0 positiv ist: ReZ(p)

> 0

für

Rep > 0 .

(1.16)

Infolge der Stetigkeit von Z(p) und wegen der Bedingung (1.16) muß R e Z ( j c j ) = 0 für alle cj-Werte gelten, für die Z ( jcj) endlich ist. Dies entspricht der aus der Netzwerkanalyse bekannten Tatsache, daß die Wirkleistung eines RLCÜ-Zweipols nicht negativ sein kann. jCJ,

p-Ebene •P

Bild 1.6: E b e n e der komplexen Zahlen

Die Impedanz eines jeden nur aus Ohmwiderständen, Induktivitäten, Kapazitäten und idealen Übertragern bestehenden Zweipols ist also aufgrund der vorausgegangenen Betrachtungen eine rationale Funktion Z(p), die für reelle p-Werte reell ist und deren Realteil in der offenen rechten Halbebene R e p > 0 nur positiver Werte fähig ist. Eine derartige Funktion nennt man eine positive, reelle, rationale Funktion. Wird der Zweipol im Bild 1.4 durch eine Spannungsquelle erregt, so kann man eine der Gl. (1.14) analoge Darstellung für die Admittanz Y(p) = \/Z(p) des Zweipols angeben. Es zeigt sich wie bei der Untersuchung der Impedanz, daß auch Y(p) eine rationale, reelle und positive Funktion ist. Wie noch gezeigt wird, ist die Eigenschaft einer Funktion, rational, reell und positiv zu sein, nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend dafür, daß sie als Impedanz oder Admittanz eines RLCÜ-Zweipols aufgefaßt werden kann. Deshalb soll eine derartige Funktion künftig Zweipolfunktion genannt werden. Die Ergebnisse der vorausgegangenen Betrachtungen ändern sich nicht, wenn man neben den bisher verwendeten Netzwerkelementen auch noch Gyratoren zuläßt. Die Definition des Gyrators als Netzwerkelement findet man im Teil II des Buches. In der durch die Einführung von Gyratoren ergänzten Gleichung (1.11) ist der zusätzliche Beitrag, der von diesen Elementen herrührt, imaginär, so daß die Impedanz Z(p) die durch Ungleichung (1.16) ausgedrückte Eigenschaft nach wie vor besitzt.

I Synthese passiver Netzwerke

12

2.2

EIGENSCHAFTEN VON ZWEIPOLFUNKTIONEN

Aus der Positivitätsbedingung (1.16) folgt unmittelbar, daß jede Zweipolfunktion Z ( p ) in der offenen rechten Halbebene R e p > 0 keine Nullstellen hat. Die Zweipolfunktion Z ( p ) kann in R e p > 0 aber auch keine Pole aufweisen. Solche Pole wären nämlich Nullstellen der reziproken Funktion 1 / Z ( p ) , die ebenfalls Zweipolfunktion sein muß, da sie offensichtlich rational und reell ist und die Eigenschaft Re [ l/Z(p)] > 0 für R e p > 0 hat. Eine jede Zweipolfunktion kann dann weder Nullstellen noch Pole in der offenen rechten Halbebene R e p > 0 haben. JCJ p-Ebene

P/'

"2 ^ 0, =0) hat. Angesichts der in den vorausgegangenen Untersuchungen gefundenen Eigenschaften, welche die Impedanz bzw. Admittanz Z ( p ) eines Reaktanzzweipols hat, ist jetzt zu erkennen, daß sich auf der imaginären Achse stets zwischen zwei Polen genau eine einfache Nullstelle befinden muß. Die Pole und Nullstellen von Z (p) wechseln sich also gegenseitig

18

I Synthese

passiver

Netzwerke

auf der imaginären Achse ab. Der Punkt p = 0 ist entweder ein Pol oder eine Nullstelle von Z ( p ) ; dasselbe gilt auch für den Punkt p = °°. Die gewonnenen Ergebnisse werden zusammengefaßt im Satz 1.3: Die Impedanz und Admittanz Z(p) eines jeden Reaktanzzweipols läßt sich in der Form der Gl. (1.24b) darstellen und besitzt die folgenden Eigenschaften: a) Z ( p ) ist eine ungerade, rationale und reelle Funktion. b) Die Pole von Z(p) sind einfach; sie müssen auf der imaginären Achse (einschließlich p = oo) liegen und positiv reelle Entwicklungskoeffizienten aufweisen. c) Die Nullstellen von Z(p)

sind einfach; sie müssen auf der imaginären Achse (ein-

schließlich p = liegen und positiv reelle Entwicklungskoeffizienten aufweisen. d) Nullstellen und Pole wechseln sich gegenseitig auf der imaginären Achse ab. Der Punkt p = 0 ist ebenso wie der Punkt p = °° Nullstelle oder Polstelle von Z (p). e) Z ( jcj) ist für alle u-Werte, für welche die Funktion endlich ist, rein imaginär. Außerdem gilt d [ Z ( j c j ) / j ] / d c j > 0 für alle o Werte, für welche Z ( j o ) / j endlich ist. In einem späteren Abschnitt wird gezeigt, daß jede Funktion Z(p), welche die Eigenschaften a und b von Satz 1.3 erfüllt, als Admittanz oder Impedanz durch einen LC-Zweipol verwirklicht werden kann. Deshalb sind die Eigenschaften a und b nicht nur notwendige, sondern auch hinreichende Bedingungen dafür, daß Z (p) die Impedanz oder Admittanz eines Reaktanzzweipols ist.

2.3.2

RL-Zweipolfunktionen

Enthält ein Zweipol keine Kapazitäten, dann verschwindet die Funktion V(p) (1.13c) f ü r alle/)-Werte, und die Impedanz erhält gemäß Gl. (1.14) die Form

nach Gl.

(1.25)

Z ( p ) = F ( p ) + p T ( p ).

Hieraus folgt für/) =CT+ jcj Z ( p ) = F+

aT

+ iuT

(1.26)

.

In einer Nullstelle von Z ( p ) muß, wie man aus dieser Darstellung sieht, F+

AT

= 0

und

CJT = 0

(1.27a,b)

gelten. Offensichtlich darf in einer Nullstelle von Z(p) die Funktion T(p) nicht verschwinden. Denn sonst müßte auch F(p) null werden. Damit folgt aus Gl. (1.27b), daß Nullstellen von Z(p) nur für CJ = 0 auftreten können, d.h. auf der reellen Achse der p-Ebene. Die Impedanz Z (p) eines jeden kapazitätsfreien Zweipols besitzt also nur Nullstellen auf der nichtpositiv reellen Achse a i 0, u = 0. Im Gegensatz zum Nullpunkt kann p = °° keine Nullstelle von Z(p) sein, da Z(a) für a > 0 beständig positiv ist und monoton ansteigt, wie im folgenden gezeigt wird. Da der Realteil und der Imaginärteil von Z (p) in jedem Punkt p, abgesehen von den Polen von Z (p), die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen müssen, stimmt der Differentialquotient des Realteils

2.3 Wichtige Sonderfälle von Zweipolfunktionen

19

von Z (p) bezüglich a mit dem Differentialquotienten des Imaginärteils von Z (p) bezüglich u überein. Auf diese Weise erhält man mit Hilfe der Gl. (1.26) die Beziehung 3 R e Z ( p ) _ 3(6,7-)

da

du

_

,

T

0

dT

du

Für u -»0 folgt hieraus 3

^

=n

0.

(1.28)

Dieser Differentialquotient stimmt mit Polen von Z(p),

dZ(cr + j - 0 ) / d c r

überein, da 3 I m Z

/da

für

u

= 0, abgesehen von den

verschwindet. Wie bereits gezeigt wurde, ist in jeder Nullstelle von Z (p) die Funktion T von

null verschieden.

Deshalb gilt in jeder der Nullstellen von d Z M da

Z(p)

> 0

Dies besagt, daß alle Nullstellen von Z ( p ) einfach sind und positive Entwicklungskoeffizienten haben. Man beachte, daß allgemein der Entwicklungskoeffizient einer Funktion in einer einfachen endlichen Nullstelle mit dem Differentialquotienten der Funktion in diesem Punkt übereinstimmt. Da gemäß Ungleichung (1.28) für alle er-Werte, für welche Z(a) endlich ist, dZ(a)/da t 0 gilt, steigt Z(a) monoton an, und zwischen zwei Nullstellen muß Z(p) auf der negativ reellen Achse jeweils einen Pol haben. Da jede rationale Funktion in der p Ebene einschließlich p = °° gleich viele Nullstellen wie Pole besitzt, 4 können die Pole von Z(p) nur auf der negativ reellen Achse liegen, und sie müssen einfach sein. Nach Gl. (1.25) kann Z (p) in p = °° einen einfachen Pol haben. Bild 1.13 zeigt den grundsätzlichen Verlauf von Z(a) für den Fall, daß die Impedanz Z(p) in p = °° und in einem Punkt der negativ reellen Achse einen Pol hat. Es soll jetzt die Funktion fV(p) = Z ( p ) / p betrachtet werden. Sie hat dieselben Pole wie Z (p) mit Ausnahme der Stellenp = 0 u n d p = Inp = 0 weist fV(p) genau dann einen einfachen Pol auf, wenn Z(0)^0 ist. In diesem Fall ist der Entwicklungskoeffizient von fV(p) in p = 0 positiv (man beachte, daß hier Z ( a ) in einer Umgebung von o = 0 positiv ist). In p = oo besitzt fV(p) keinen Pol. Sofern Z(oo) = oo ist, wird W( 0, da Z(p) im P o l p = °° einen positiven Entwicklungskoeffizienten hat. Die Entwicklungskoeffizienten von W(p) in den Polen auf der negativ reellen Achse müssen wegen der Monotonieeigenschaft von Z ( CT) (man vergleiche Bild 1.13) positiv sein. Damit muß die Partialbruchdarstellung 3 Man bcachte, daß die Funktion

T und

damit auch die Ableitung

dT/du

nirgends, abgesehen von den Polen

der Zweipolfunktion Z (p), unendlich werden darf. Dies gilt insbesondere auf der reellen Achse u = 0, weil uT = Im Z (p) für u -»0 verschwinden muß. 4

Dies ist eine allgemeine Eigenschaft jeder rationalen Funktion /

(p) = Px (p)/Pz (p)- Dabei bedeuten Pl (p)

und P2 (p) Polynome, die keinen gemeinsamen Polynomfaktor besitzen. Die Nullstellen und Pole von /

(p)

werden stets ihrer Vielfachheit entsprechend gezählt. Der Grad m von P1 (p) ist gleich der Zahl der endlichen Nullstellen von / (p) und der Grad n von P2 (p) gleich der Zahl der endlichen Pole von / (p). Ist m > n, so hat / (p) i n p = oc genau (m - n ) Pole, also (m - n) + n = m Pole in der gesamtenp-Ebene, d.h. die Zahl der Nullstellen und Pole von / (p) ist gleich. Ist m < n, so hat / (p) in p = °° genau (n - m) Nullstellen, also (n-m)+m=n

Nullstellen in der gesamten /»-Ebene, d.h. auch in diesem Fall ist die Zahl der Nullstellen

und Pole von f (p) gleich. Im Fall m = n ist die Gültigkeit dieser Aussage unmittelbar einzusehen, da hier

/ (p)

in p

=

°° weder null noch unendlich ist. Die Gesamtzahl der Nullstellen oder Pole von /

von / (/>). Hierauf wird noch einmal im Abschnitt 3.1.1 eingegangen.

(p) heißt Grad

I Synthese passiver Netzwerke

20

J

Z(a)

/

0

0 (u = 1,2,...,

r) existieren. In den Punkten pv = -av

< 0 und

gegebenenfalls in p = 0 befinden sich die Pole von H r ( p ) . Für die Impedanz eines jeden RLZweipols existiert somit die Darstellung

Z(p)=B(¡

+ ¿

+B„p

( B o . ß ^ O ;

Bv ,av >

0

(1.29) für

= 1, 2 , . . . ,

r).

Die gewonnenen Ergebnisse werden zusammengefaßt im Satz 1.4: Die Impedanz Z ( p ) eines jeden Zweipols, der keine Kapazitäten enthält, läßt sich stets in F o r m d e r Gl. (1.29) darstellen. Die Nullstellen und Pole von Z (p) sind einfach und alternieren auf der nichtpositiv reellen Achse einschließlich des Punktes Unendlich, wobei jedoch der Nullpunkt keinesfalls Polstelle und der Punkt Unendlich keinesfalls Nullstelle von Z ( p ) ist. F ü r p = a ist Z (p) eine monoton ansteigende Funktion. Im Abschnitt 3.2 wird gezeigt, daß jeder Funktion Z (p), welche sich in der (1.29) darstellen läßt, mindestens ein RL-Zweipol zugeordnet werden kann, danz mit Z(p) identisch ist. Deshalb ist die Darstellbarkeit gemäß Gl. (1.29) notwendige, sondern auch eine hinreichende Bedingung für die Impedanz tätsfreien Zweipols.

2.3.3

F o r m der Gl. dessen Impenicht nur eine eines kapazi-

RC-Zweipolfunktionen

Enthält ein Zweipol keine Induktivitäten, dann verschwindet die Funktion T(p) (1.13b) f ü r alle/»-Werte, und die Impedanz erhält gemäß Gl. (1.14) die Form

Z(p)

= F(p)

+

P

±V(p).

nach Gl.

(1.30)

2.3 Wichtige Sonderfälle von Zweipolfunktionen

21

Hieraus folgt f ü r p =CT+ jw Z

(P)

=

F +

2°

2 V~iU

2V

2 '

O-31)

er"2 + u*

a +

In einer Nullstelle von Z(p) muß, wie man aus dieser Darstellung sieht, und , " , V =0 F + , Z ,Z V = 0 CT +CJ (7 + CJ

(1.32a,b)

gelten. Offensichtlich darf in einer Nullstelle von Z ( p ) die Funktion V(p) nicht verschwinden. Denn sonst müßte auch F(p) null werden. Damit folgt aus Gl. (1.32b), daß Nullstellen von Z(p) nur für cj = 0 auftreten können, d.h. auf der reellen Achse. Dabei ist er = 0 (der Nullpunkt der p -Ebene) ausgeschlossen, da für p -»0 nicht gleichzeitig F und V verschwinden können, was für das Auftreten einer Nullstelle von Z ( p ) im Nullpunkt gemäß Gl. (1.30) notwendig wäre. Für eine Nullstelle von Z(p) muß also nach Gl. (1.32a) F + — V =0

CT

gelten. Das ist nur für er < 0 möglich, er = - °° eingeschlossen. Da der Realteil und der Imaginärteil von Z (p) in jedem Punkt p, abgesehen von den Polen von Z(p), die Cauchy-Riemannschcn Differentialgleichungen erfüllen müssen, erhält man für den Differentialquotienten d Z ( a + j-0)/d 0 monoton fällt und nur positive Werte aufweist. Bild 1.14 zeigt den grundsätzlichen Verlauf von Z(CT). Aufgrund der gefundenen Eigenschaften von Z ( p ) erhält man die folgende Partialbruchdarstellung: Z(p)=Z>.

+

^

+

£

(1.34)

22

I Synthese passiver Netzwerke

a Bild 1.14: Grundsätzlicher Verlauf einer RC-Impedanz für reelle p -Werte

(D0,

£>„ ^ 0 ;

DV,0

für

v = \ ,2,...,

r).

Die gewonnenen Ergebnisse werden zusammengefaßt im Satz 1.5: Die Impedanz Z ( p ) eines jeden Zweipols, der keine Induktivitäten enthält, läßt sich stets in Form der Gl. (1.34) darstellen. Die Nullstellen und Pole von Z(p) sind einfach und alternieren auf der nichtpositiv reellen Achse einschließlich des Punktes Unendlich, wobei jedoch der Nullpunkt keinesfalls Nullstelle und der Punkt Unendlich keinesfalls Pol von Z(p) ist. F ü r p =CTist Z (p) eine monoton fallende Funktion. Im Abschnitt 3.3 wird gezeigt, daß jeder Funktion Z(p), welche sich in Form der Gl. (1.34) darstellen läßt, mindestens ein RC-Zweipol zugeordnet werden kann, dessen Impedanz mit Z(p) identisch ist. Deshalb ist die Darstellbarkeit gemäß Gl. (1.34) nicht nur eine notwendige, sondern auch eine hinreichende Bedingung für die Impedanz eines induktivitätsfreien Zweipols.

2.4 SÄTZE ÜBER ZWEIPOLFUNKTIONEN Im folgenden werden Sätze ausgesprochen und bewiesen, die für die späteren Untersuchungen von großer Wichtigkeit sind. Einige dieser Sätze erlauben es, in einfacher Weise zu entscheiden, ob eine rationale und reelle Funktion positiv, d.h. eine Zweipolfunktion ist. Die direkte Prüfung der Positivität anhand der Bedingung (1.16) ist in der Regel zu umständlich. Satz 1.6: Notwendig und hinreichend dafür, daß eine rationale, reelle Funktion Z (p) positiv, also eine Zweipolfunktion ist, sind die folgenden Bedingungen: a) Es gilt Re Z (jcj) ^ 0 für alle u -Werte, für welche Z(jcj) endlich ist. b) Z(p) hat in der offenen rechten Halbebene R e p > 0 keine Pole. c) Alle Pole von Z(p) auf der imaginären Achse (einschließlich p = sind einfach und weisen positive Entwicklungskoeffizienten auf. Beweis: Die Notwendigkeit der aufgestellten Bedingungen folgt direkt aus Satz 1.2. Zum Beweis, daß die Bedingungen auch hinreichend sind, werden zunächst die den einfachen Polen auf der imaginären Achse entsprechenden Partialbrüche aus Z (p) entfernt. Auf diese Weise erhält man die Funktion

23

2.4 Sätze über Zweipolfunktionen Z„(P) = Z ( P ) - 4 r " t [ P v-l 1 P - J " , Der Partialbruchanteil A0/p

(1.35a)

i—1 ", J p + Jm

entspricht dem möglichen Pol von Z ( p ) in p = 0; dabei ist A0 der Entwick-

lungskoeffizient. Falls Z (p) in p = 0 keinen Pol hat, verschwindet A0. Die Größen A„ (v = 1, 2 , . . . , r ) stellen die notwendigerweise positiven Entwicklungskoeffizienten von Z (p) in den Polen p = jcj„ dar. Zu jedem derartigen Pol gehört ein konjugiert komplexer Pol p = - jcj^ mit dem gleichen Entwicklungskoeffizientcn, da Z ( p ) eine reelle Funktion ist. Die Größe A _ bedeutet den Entwicklungskoeffizienten im Pol p = °° von Z (p). Es ist

= 0, falls Z ( p ) im Unendlichen polfrei ist. Durch Zusammenfassung der in eckigen Klammern

stehenden Terme in Gl. (1.35a) erhält man 2Avp

Z0(p) = Z ( p ) -

-i

(1.35b)

P-

Die Funktion Z 0 ( p ) hat, wie die Gl. (1.35a) erkennen läßt, die gleichen Pole wie Z(p) Polstellen von Z (p), die auf der imaginären Achse (einschließlich p = Z„ ( p ) endlich. Daher hat Z 0 (p) in der abgeschlossenen

mit Ausnahme aller

liegen. An diesen Stellen bleibt

rechten Halbebene R e p 5 0 keine Pole. Außerdem

stimmen gemäß Gl. (1.35b) die Realteile von Z 0 ( j c j ) und Z ( j u ) für alle cj-Werte, für die Z ( j c j ) endlich ist, überein. Daher gilt Re Z0 ( j c j ) 5 0 für sämtliche 0 für

Rep > 0 sein. Der triviale Fall Z0 (p) = 0 sei ausgeschlossen. Es ist somit gezeigt, daß die durch die Gin. (1.35a,b) eingeführte Funktion Z0(p)

eine positive, reelle, rationale Funktion, d.h. eine Zweipolfunktion ist.

Da sich nach Gl. (1.35b) die Funktion Z (p)

als Summe der Zweipolfunktion Z„(p)

und einer LC-Zweipol-

funktion (man vergleiche Abschnitt 2.3.1, insbesondere Gl. (1.24b)) ausdrücken läßt, erfüllt auch Z(p)

die

Positivitätsbedingung (1.16), und somit ist Z ( p ) eine Zweipolfunktion. Der Satz 1.6 ist damit vollständig bewiesen.

S a t z 1.7: N o t w e n d i g und hinreichend d a f ü r , daß e i n e rationale, r e e l l e F u n k t i o n Z ( p ) positiv, also e i n e Z w e i p o l f u n k t i o n ist, sind f o l g e n d e B e d i n g u n g e n : a) E s gilt R e Z (JCJ) ^ 0 f ü r a l l e CJ-Werte, f ü r w e l c h e Z ( j c j ) endlich ist. b) Z ( p ) hat in d e r o f f e n e n r e c h t e n H a l b e b e n e R e p > 0 k e i n e Nullstellen. c) A l l e N u l l s t e l l e n v o n Z (p)

auf d e r imaginären A c h s e ( e i n s c h l i e ß l i c h p =

sind einfach

und w e i s e n positive E n t w i c k l u n g s k o e f f i z i e n t e n auf. Beweis: Die Notwendigkeit der aufgestellten Bedingungen folgt direkt aus Satz 1.2. Zum Beweis, daß die Bedingungen auch hinreichend sind, wird die reziproke Funktion 1 / Z (p) betrachtet. Beim Übergang von zu 1 / Z ( p ) gehen die Bedingungen b und c von Satz 1.7 für Z(p)

Z(p)

in die Bedingungen b und c von Satz 1.6

für 1 / Z (p) über. Deshalb ist 1 / Z (p) Zweipolfunktion. Somit muß auch Z (p) Zweipolfunktion sein. Satz 1.7 ist damit vollständig bewiesen.

D i e S ä t z e 1.6 und 1.7 b i e t e n M ö g l i c h k e i t e n , auf v e r h ä l t n i s m ä ß i g e i n f a c h e W e i s e festzustellen, o b e i n e rationale, r e e l l e F u n k t i o n eine Z w e i p o l f u n k t i o n ist. D e r f o l g e n d e Satz l i e f e r t eine zusätzliche E r l e i c h t e r u n g zur P r ü f u n g der Positivität.

S a t z 1.8: E s sei Z ( p ) — P^ ( p ) / / * 2 ( p ) e i n e rationale, r e e l l e Funktion, w o b e i P1 ( p ) und P j ( p ) l y n o m e sind, d i e k e i n e g e m e i n s a m e n Nullstellen haben. N o t w e n d i g und hinreichend dafür, daß Z ( p ) positiv, also e i n e Z w e i p o l f u n k t i o n ist, sind d i e f o l g e n d e n B e d i n g u n g e n : a) E s gilt R e Z ( j c j ) § 0 für a l l e CJ-Werte, für d i e Z ( j c j ) endlich ist. b) D a s P o l y n o m Px ( p ) + P2 ( p ) ist ein H u r w i t z - P o l y n o m und s o m i t in der abgeschloss e n e n H a l b e b e n e R e / ? ^ 0 nullstellenfrei. Beweis: Es wird die Funktion

KP>

z(p)

+1

PAP)*

PAP)

v

;

betrachtet. Aufgrund des durch die Gl. (1.38) gegebenen Zusammenhangs zwischen W und Z wird gemäß Bild 1.16 die rechte Halbebene R e Z g O

in das Innere des Einheitskreises

| W | 5 1 abgebildet. Die

Bedingung Re Z ( j u ) ^ 0 geht dadurch in die Forderung | W( ']CJ) \ ^ 1 über. Ist die rationale, reelle Funktion Z (p)

positiv, dann wird die Bedingung a von Satz 1.8 sicher erfüllt. Für einen Punkt p mit Re/) > 0 ist

R e Z > 0 und daher | W | < 1. Es gilt also für p -Werte mit R e p > 0 stets | W \ < 1 und für p -Werte mit Rcp = 0 sicher | W | S 1. Die rationale Funktion W(p)

ist deshalb in Re/) i 0 frei von Polen, d.h. das Nen-

nerpolynom P , (p) + P1 (p) kann nur in der linken Halbebene Re/) < 0 Nullstellen haben. Damit wird auch die Bedingung b von Satz 1.8 erfüllt.

2.5 Weitere Sätze über rationale Funktionen

25

jlm

W-Ebene

Bild 1.16: Abbildung der Z - E b e n e in die W-Ebene gemäß Gl. (1.38) Falls umgekehrt die Bedingungen a und b erfüllt sind, gilt | W(ju)

| S 1, und es ist W(p)

analytische Funktion. Angesichts des Prinzips vom Maximum muß damit bedeutet aber, daß R e Z (p)

> 0 für alle p-Werte

in Rcp

i 0 eine

| W | < 1 in Re/> > 0 sein. Dies

mit R e p > 0 gilt, die Funktion Z ( p ) also positiv ist. Der

Satz 1.8 ist damit vollständig bewiesen.

Im Vergleich mit den Sätzen 1.6 und 1.7 hat der Satz 1.8 seine Bedeutung darin, daß bei der Nachprüfung, ob eine rationale, reelle Funktion positiv ist, neben der Bedingung a nur die Bedingung b geprüft zu werden braucht. Die Prüfung einer der Bedingung c aus Satz 1.6 bzw. Satz 1.7 entsprechenden Forderung entfällt bei Anwendung von Satz 1.8.

Satz 1.9: Sind Y(p)

und Z (p) positive Funktionen, dann ist auch Z [ Y ( p ) ] eine positive Funktion.

Die Richtigkeit dieser Aussage folgt direkt aus der Positivitätsbedingung. Satz 1.9 findet vor allem Anwendung für den Fall, daß Y(p)

oder Z(p)

gleich 1 /p gewählt wird.

2.5 WEITERE SÄTZE ÜBER RATIONALE FUNKTIONEN Im folgenden werden einige wichtige Sätze über rationale Funktionen formuliert und bewiesen. Die Sätze werden bei späteren Untersuchungen benötigt. Dabei sind hauptsächlich die Aussagen dieser Sätze, weniger ihre Beweise erforderlich. Die Beweise erlauben jedoch einen tieferen Einblick in diese Aussagen. Man kann diesen Abschnitt zunächst übergehen und zu gegebener Zeit dann die Sätze heranziehen. juf

Bild 1.17: Hinfach-zusammenhängendes

p-Ebene

Gebiet

G mit Rand C in der p -Ebene

Zum Beweis der folgenden Sätze spielt unter anderem der aus der Funktionentheorie bekannte Satz vom logarithmischen Residuum eine wichtige Rolle. Er wird in der folgenden Form verwendet: Es sei G ein einfach-zusammenhängendes, nicht notwendig endliches Gebiet, dessen Rand C ein einfach geschlossener W e g ist (Bild 1.17).5 Die rationale Funktion / ( p ) besitze auf C weder Nullstellen noch Pole. Innerhalb von G befinden sich M Nullstel^ Im ausgearteten Fall, daß auf C der Punkt Unendlich liegt, muß der W e g C gegen unendlich schließlich geradlinig verlaufen.

26

I Synthese passiver

Netzwerke

len und N Pole von / ( p ) , die ihrer Vielfachheit entsprechend gezählt werden. - Dann gilt für die Umlaufzahl Z von f ( p ) um den Ursprung beim einmaligen Durchlaufen von C im mathematisch positiven Sinn Z-M -N. Der Winkel von / (p) ändert sich also längs C u m 2n(M - N ) . Satz 1.10: Es sei W(p) eine rationale Funktion, die nicht identisch verschwinden soll, mit der Eigenschaft R e W(j'cj) § 0 für alle cj-Werte, für die W ( j u ) endlich ist. Auf der imaginären Achse der p -Ebene (einschließlich p = habe W(p) außer n einfachen Polen mit negativen Entwicklungskoeffizienten beliebig viele einfache Pole mit positiven Entwicklungskoeffizienten. Darüber hinaus besitze W(p) in der abgeschlossenen rechten p -Halbebene keine Pole. Unter den genannten Voraussetzungen läßt sich folgendes aussagen: a) Die Funktion tV(p) hat im Innern der r e c h t e n p -Halbebene höchstens n Nullstellen. 6 b) Hat die Funktion W(p) im Innern der rechten p -Halbebene genau n Nullstellen, 6 so sind alle Nullstellen der Funktion auf der imaginären Achse (einschließlich p = einfach und weisen positive Entwicklungskoeffizienten auf. c) Falls die Funktion W(p) im Innern der rechten Halbebene mindestens (« - 1) Nullstellen 6 hat, so ist nur einer der folgenden Fälle möglich. Fall 1. Die Funktion W(p) hat im Innern der rechten p -Halbebene genau n Nullstellen. 6 Dann sind alle Nullstellen von W(p) auf der imaginären Achse (einschließlich p = einfach und weisen positive Entwicklungskoeffizienten auf. Fall 2. Die Funktion W(p) hat im Innern der rechten Halbebene genau (n - 1) Nullstellen. 6 Dann besitzt W(p) auf der imaginären Achse (einschließlich p = außer beliebig vielen Nullstellen erster Ordnung mit positiven Entwicklungskoeffizienten nur noch eine einzige Nullstelle der folgenden Art. Sie ist entweder doppelt, oder sie ist einfach bzw. dreifach und weist dann einen negativen Entwicklungskoeffizienten auf. Anmerkung: Falls W(p) im Innern der rechtenp-Halbebene mindestens (n - s ) Nullstellen hat (s ^ 2), 6 so können über die Nullstellen von i V ( p ) in der abgeschlossenen rechten Halbebene Aussagen gemacht werden, die dem Satz 1.10 für s = 1 (man vergleiche die Aussage c ) entsprechen. Dabei müssen mit zunehmendem 5 immer mehr Fälle unterschieden werden (siehe dazu Gl. (1.39)). Beweis: Die Voraussetzung Re W ( j d ) i 0 ( o beliebig) bedingt, daß auf der imaginären Achse Nullstellen und Pole ungeradzahliger Vielfachheit von W(p) nur reelle Entwicklungskoefflzienten aufweisen können. Für den Fall einer Nullstclle erster Ordnung wird dies ausführlich gezeigt. Zunächst soll von der rationalen Funktion IV(p)

nur Re W ( j c j ) ä 0 gefordert werden; eine Spezialisierung auf die im Satz 1.10 vorausgesetzten

Pole erfolgt erst später. Dann läßt sich die Gesamtheit der Nullstellen und Pole in der abgeschlossenen rechten Halbebene folgendermaßen klassifizieren: Im Innern der rechten Halbebene liegen genau m , Nullstellen und n0 Pole. 6 Auf der imaginären Achse liegen genau m , Nullstellen ungeradzahliger Vielfachheit qj (i/ = 1, 2 , . . . , m , ) mit positiven Entwicklungskoeffizienten, m2 Nullstellen ungeradzahliger Vielfachheit q" (v = 1 , 2 , . . . , m2) mit negativen Entwicklungskoeffizienten und m3 Nullstellen geradzahliger Vielfachheit qj" (v = 1 , 2 , . . . , m 3 ) . Weiterhin liegen auf der imaginären Achse genau n, Pole ungeradzahliger Vielfachheit rj (v = 1 , 2 , . . . , rii) mit positiven Entwicklungskoeffizienten, n 2 Pole ungeradzahliger Vielfachheit r„" (v = 1 , 2 , . . . , n2) mit negativen Entwicklungskoeffizienten und n3 Pole geradzahliger Vielfachheit r"' (v = 1 , 2 , . . . , 6

Nullstellen und Pole sind jeweils ihrer Vielfachheit entsprechend zu zählen.

n,).

11

2.5 Weitere Sätze über rationale Funktionen

Bild 1.18: Gebiet G zum Beweis von Satz 1.10 Im folgenden soll ein Zusammenhang zwischen den eingeführten Größen m , , n 0 , m , , qj, m 2 , q", m,,

q"\

n

i > r "< nj > r J " ermittelt werden, indem ein geeignetes Gebiet G betrachtet wird, das alle entsprechen-

.

den Nullstellen und Pole enthält. Durch Untersuchung des Verhaltens von W(p)

längs des Randes von G

erhält man dann mit Hilfe des Satzes vom logarithmischen Residuum einen Zusammenhang der gewünschten Art. Man wählt zweckmäßigerweise als Gebiet G die rechte p -Halbebene, in welche die auf der imaginären Achse liegenden Nullstellen und Pole von W(p) durch Halbkreisumgcbungen vom Radius p und ein eventueller Pol oder eine Nullstellc in °° durch eine Halbkreisumgebung vom Radius 1 / p einbezogen sind. Im Bild 1.18 ist ein derartiges Gebiet G angegeben, das zu einer Funktion W(p)

gehört, welche auf der imaginären

Achse Nullstellen bzw. Pole, namentlich b e i p = 0,p - ± jcj, u n d p = , besitzt. Dabei ist p so klein zu wählen, daß das Verhalten von W(p)

auf den Halbkreisbögen im wesentlichen vom ersten Glied der Reihenentwick-

lung von W ( p ) im Mittelpunkt des betreffenden Halbkreises gemäß Gl. (1.22) bzw. im Punkt Unendlich gemäß Gl. (1.23) bestimmt wird. Dieses Verhalten wird zunächst auf den Halbkreisbögen untersucht, welche die Nullstellen auf der imaginären Achse in G einbeziehen. Der Punkt pa = jco0 (Bild 1.19) sei Nullstelle von W(p). Entsprechend der Ordnung dieser Nullstelle werden folgende Fälle unterschieden: 1. Nullstelle erster Ordnung: Für das Verhalten von W(p)

auf dem Halbkreisbogen um p„ gilt bei der Wahl

eines hinreichend kleinen p

W(p) = a(p-p0)

+

(p-payRl(p)

(Entwicklungskoeffizient a / 0, | R^ (p) |
0, 7 < 0; der Fall Im 7 ¡¿0 muß wegen Re W( jcS) i 0 ausgeschlossen werden). Entsprechende Ergebnisse erhält man, wenn p0 eine Nullstelle von höherer als dritter Ordnung ist. Der Fall Po = 00 bringt keine Besonderheiten.

r^ c

1

/ w - Ebene

Bild 1.22: Abbildung des Randstücks von G aus Bild 1.19 im Fall einer dreifachen Nullstelle p„ von W{p)

l

V

°

\

7>0

f

W-Ebene

0

1

7].

E

z,

1

Z 3 := - |

Z Z

s

(-l)«""2],

2

E K" + (-l)wt,v,l,

: = - i E r J " . Z

I/-1

E K "

v-l

Die Größen Z , , Z 2 , Z 3 sind die Beiträge, die von den (m, + m2 + m3)

imaginären Nullstellen von

W(p)

herrühren. Die beiden ersten Beiträge werden von den m 1 bzw. m 2 Nullstellen ungeradzahliger Vielfachheit mit positiven bzw. negativen Entwicklungskoeffizienten geliefert, der dritte Beitrag stammt von den m 3 Nullstellen geradzahliger Vielfachheit. Entsprechend sind Z 4 , Z 5 , Z 6 die Beiträge der (nt + n2 + n3) imaginären Pole. Für die Zahl der Nullstellen und Pole von W(p) in G gilt mj

mj

«3

M = rna + E l l + E 4 " + E 9 " ' . v=\

v-1

nj N = "o + E v-1

flj

13

+ E r " + E ), z2(p),... nur jeweils der Pol in p = 0 abgebaut wird. Dies bedeutet die Wahl Zi(p)=Jo/P,

z2(p)

=B0/p

,...

.

Auf diese Weise erhält man das Netzwerk nach Bild 1.31, falls Z(p) eine Impedanz ist. Hierbei kann Cj = °° werden, und weiterhin ist C„ = 0 möglich. Die übrigen Elemente müssen endliche positive Zahlenwerte haben. Falls Z(p) eine Admittanz ist, erhält man das Netzwerk nach Bild 1.32. Hierbei kann L, = °° werden, und weiterhin ist Ln = 0 möglich. Die übrigen Elemente müssen auch hier endliche positive Zahlenwerte aufweisen.

Bild 1.31: Kettenrealisierung einer LC-Impedanz Z(p)

durch beständigen

Z

(P) ~~

R •/,, |/N4 |/G T _

_

_

MLZ

MLi

WL&

_

•

¿n-l

Polabbau i n p = 0

Die in den Bildern 1.29, 1.30, 1.31 und 1.32 dargestellten Kettennetzwerke gehen auf W. CAUER zurück. Jede Reaktanzzweipolfunktion läßt sich stets durch zwei Kettennetzwerke

37

3.1 Die Synthese verlustfreier Zweipole

nach CAUER realisieren. Diese beiden Netzwerke sind allerdings erst dann voneinander verschieden, wenn die betrachtete Reaktanzzweipolfunktion mindestens den Grad drei hat. Falls die Reaktanzzweipolfunktion genau den Grad drei hat, sind die beiden Cauerschen Kettennetzwerke mit den Fosterschen Partialbruchnetzwerken identisch. Die Cauerschen Kettennetzwerke sind im Vergleich zu den Fosterschen Partialbruchnetzwerken im allgemeinen numerisch bequemer zu ermitteln, weil die für die Berechnung der Kettennetzwerke erforderlichen Kettenbruchentwicklungen die Bestimmung von Polynomnullstellen nicht erfordern. Die Cauerschen Kettennetzwerke sind kanonische Zweipole, weil durch sie wie durch die Partialbruchnetzwerke jede Reaktanzzweipolfunktion mit dem Minimum an Energiespeichern (Reaktanzelementen) verwirklicht werden kann. c

Bild 1.32: Kettenrealisierung einer LC Admittanz Z (p)

T T

Z(p)

durch be

1

"

n-3

- " - r

c

1 1

n-l

" !

ständigen Polabbau i n p = 0 Beispiel: Im Bild 1.33 ist ein nichtkanonischer Reaktanzzweipol dargestellt, für den im folgenden äquivalente kanonische Zwcipole ermittelt werden sollen. Wandelt man das in diesem Zweipol vorkommende Kapazitätsdreieck in einen äquivalenten Kapazitätsstern um, so gelangt man zum äquivalenten Zweipol nach Bild 1.34. M a n erhält als Impedanz dieses Zweipols

Bild 1.33: Nichtkanonischer Reaktanzzweipol

Z„

. (P) =

C I M+ tP C\/> Ii + L2C2p2

C

l +

3P L,C3p2i

also C

>P

p[C2 + C3 +

Wie man hieraus sieht, hat Z(p) (u, ^ 0,

C2C3(L2+L3)p2)

in p = 0, in p =

00

und in zwei weiteren Punkten p = jco,, p = - jco,

Pole. Deshalb besteht die Partialbruchentwicklung

Z(P) = Die Konstanten

A0 P

+

2A,p -y^J+A-Pp2 + CJ?

und . 4 . lassen sich aus Gl. (1-50) in bekannter Weise bestimmen. Ausgehend von der

Partialbruchdarstellung für Z (p) kann man mit Hilfe von Kettenbruchentwicklungen gemäß Gl. (1.49) zum

i

=j=Cz =J=C3 Bild 1.34: Umwandlung des im Bild 1.33 dargestellten nichtkanonischen Reaktanzzweipols in einen äquivalenten Zweipol

• ¿2

( ¿ 3

38

I Synthese passiver Netzwerke

Zweipol aus Bild 1.33 vier äquivalente kanonische Kettennetzwerke angeben (Bild 1.35). Die zwei ersten Zweipole sind Fostersche Netzwerke, die beiden anderen Zweipole stellen Cauersche Netzwerke dar. Auf die Herleitung von Formeln zur Berechnung der Werte der Elemente in den Netzwerken aus Bild 1.35 wird verzichtet. Alle diese Netzwerke enthalten eine Kapazität weniger als der äquivalente Zweipol aus Bild 1.33. Die Zahl der Kapazitäten ist ebenso wie die Zahl der Induktivitäten bei allen kanonischen Zweipolen aus Bild 1.3S gleich. Dies ist eine allgemeine Eigenschaft kanonischer Zweipole.

Hh Hh Bild 1.35: Zum Zweipol von Bild 1.33 äquivalente kanonische Reaktanzzweipole

3.1.3

L J

Ii Ö

Nichtkanonische Realisierungen

Man erhält weitere, jedoch nichtkanonische Reaktanzzweipole, die eine gegebene Reaktanzzweipolfunktion Z ( p ) verwirklichen, wenn man in der Kettenbruchdarstellung von Z(p) nach Gl. (1.49) die Funktionen z1 (p), z2 (p),... so wählt, daß nur Teile der bisher verwendeten Pol-Entwicklungskoeffizienten auftreten. Hat Z ( p ) einen Pol in p = dann kann man in Gl. (1.49) etwa Zi(p)

= 7 A„p

den Entwicklungskoeffizienten von Z ( p ) inp = 00 bedeutet. mit 0 < y ^ 1 wählen, wobei Die Wahl 7 = 1 entspricht einem der bisher betrachteten Fälle. Es wird dabei durch Anwendung der Gl. (1.46) der Pol von Z(p) in p = °° voll abgebaut. Im Gegensatz hierzu findet für 0 < 7 < 1 nur ein Teilabbau des Poles i n p = °° statt. Bei Anwendung der Gl. (1.46) hat nämlich hier die Restfunktion 1 / Z j ( p ) einen Pol in p = der im zuerst betrachteten Fall 7 = 1 verschwunden war. Der Grad von Zx ( p ) ist für 0 < 7 < 1 gleich dem von Z ( p ) . In dieser Weise kann man bei der Kettenbruchentwicklung von Z ( p ) Teilabbauten in beliebigen Polstellen durchführen. Im Verlauf der Kettenbruchentwicklung müssen jedoch auch Vollabbauten angewendet werden, damit überhaupt eine Gradreduktion der Zweipolfunktion erreicht wird. Dies ist notwendig, damit die Entwicklung nach endlich vielen Abbauten endet. Verfährt man bei der Kettenbruchdarstellung von Z ( p ) gemäß Gl. (1.49) in der vorstehenden Weise, dann erhält man neben den kanonischen Zweipolen weitere äquivalente Zweipole, die mehr Elemente als die kanonischen Netzwerke enthalten. Die Bedeutung derartiger nichtkanonischer Reaktanzzweipole liegt vor allem im folgenden: Die Zweipole können durch geeignete Anwendung der Kettenbruchentwicklung in bestimmter Weise gestaltet werden, so daß nach einer Erweiterung der Zweipole zu Zweitoren bestimmte Zweitoreigenschaften erzielt werden.

39

3.1 Die Synthese verlustfreier Zweipole

3.1.4

Stabilitätsprüfung durch Reaktanzzweipolsynthese

Abschließend sei noch auf eine Verbindung der Reaktanzzweipolsynthese zur Stabilitätsprüfung hingewiesen. Für die asymptotische Stabilität linearer (kontinuierlicher) Systeme mit konstanten und konzentrierten Parametern ist notwendig und hinreichend, daß das charakteristische Polynom [UNI] P(p)

=a0+alP

+ •••

+a„pn

(au > 0 , u = 0 , 1 , . . . , n )

(1.51)

ein Hurwitz-Polynom ist, d.h. nur Nullstellen in der offenen linken Halbebene R e p < 0 hat. Man kann hierzu folgende Aussage machen. Satz 1.14: Das Polynom P(p) aus Gl. (1.51), das vom Grad n ^ 1 sei und ausschließlich positive Koeffizienten besitze, stellt genau dann ein Hurwitz-Polynom dar, wenn der Quotient aus dem geraden Teil Pg (p) und dem ungeraden Teil Pu (p) des Polynoms, also die Funktion Zip)

PJp) a0 + a2p2 + • • • = - f f { = PU(P) aip + a3p3 + •••

(1.52)

oder die reziproke Funktion eine Reaktanzzweipolfunktion vom Grad n ist. Beweis: Ist P(p)

ein Hurwitz-Polynom, dann stellt Z (p) jedenfalls eine ungerade Funktion mit der Eigen-

schaft R e Z ( j c j ) = 0 für alle reellen o>-Werte dar, für welche Z (]cj) endlich ist. Da voraussetzungsgemäB die Summe von Zähler- und Nennerpolynom von Z(p)

ein Hurwitz-Polynom ist, repräsentiert Z (p) nach Satz 1.8

eine Zweipolfunktion, die Reaktanzeigenschaften aufweist, weil sie ungerade ist. Der Grad der Reaktanzzweipolfunktlon beträgt n, da Pg(p)

und Pu (p) keine gemeinsamen Nullstellcn besitzen; denn jede derar-

tige Nullstelle />0 müßte zwangsläufig -p0

als Nullstellenpartner haben, so daß der Faktor (p1 - p 0 2 ) im P o -

lynom P (p) enthalten wäre. Diese Beobachtung widerspricht aber der Voraussetzung, daß P (p) ein HurwitzPolynom sein m u ß . - Ist umgekehrt Z{p)

von Gl. (1.52) eine Reaktanzzweipolfunktion vom Grad n, so ist

das durch Addition des Zähler- und Nennerpolynoms von Z(p)

entstehende Polynom P(p)

ein Hurwitz-

Polynom. Dies wurde bereits beim Beweis von Satz 1.8 für eine allgemeine Zweipolfunktion gezeigt. Somit ist obige Behauptung vollständig bewiesen.

Man kann jetzt mit Hilfe der gefundenen Ergebnisse die Prüfung, ob ein Polynom P(p) nach Gl. (1.51) nur in der Halbebene R e p < 0 Nullstellen hat, so durchführen, daß man zunächst die Funktion Z(p) nach Gl. (1.52) bildet und sodann Z ( p ) durch ein Kettennetzwerk gemäß Bild 1.29 bzw. Bild 1.30 (oder Bild 1.31 bzw. Bild 1.32) zu verwirklichen versucht. Ergeben sich hierbei ausschließlich positive Netzwerkelemente, dann ist Z(p) eine Reaktanzzweipolfunktion und P(p) Hurwitz-Polynom. Diese Stabilitätsprüfung entspricht dem Routhschen Verfahren [UNI]. Beispiel: Gegeben sei das Polynom vierten Grades P ( p ) = 2p4 + 10p3 + 5p* + 3 p + l . Man erhält sofort Z

(P)

.

=

2p* + 5p2 + 1 3 .„ 10p,3 + ,3p

8

p ^ 1 y T5 ++ T7ZZ Z,(p)

mit

.,

mit

Ii" Z, (p) == —rf c- = — i O) 11 -p + — — p ' +^l = TTP —p*+1

Z

_ , .

10p3 + 3 p

25

40

I Synthese passiver Netzwerke

Hieraus ist direkt zu ersehen, daß Z (p) eine Reaktanzzweipolfunktion vom vierten Grad ist und somit

P(p)

ein Hurwitz-Polynom darstellt. Ergänzend sei noch im Bild 1.36 die entsprechende Realisierung von Z (p) als Impedanz angegeben.

121/20 Bild 1.36: Realisierung der Impedanz Z(p)

für das Beispiel zum

Hurwitz-Test Ergänzung: Beschränkt man sich nicht auf die Prüfung der asymptotischen Stabilität, betrachtet man vielmehr das Problem der marginalen Stabilität [UNI], so ist zu prüfen, ob das (hier Minimal-) Polynom P(p)

n -ten

Grades nach Gl. (1.51) mit a„ ä 0 (v = 0 , 1 , . . . , n ) keine Nullstellen in der offenen Halbebene R e p > 0 und auf der imaginären Achse R e p = 0, wenn überhaupt, nur einfache Nullstellen aufweist. Dabei sei vorausgesetzt, d a ß P (0) t 0 gilt, da eine einfache Nullstelle im Ursprung sofort erkannt und dann der Faktor p abgespalten werden kann. Treten nun auf der imaginären Achse außerhalb des Ursprungs Nullstellen von auf, so besitzen die Polynome Pt(p) Q„(p)

= n(y

2 +

und P„(p)

P(p)

zwangsläufig einen gemeinsamen geraden Polynomfaktor

dessen Nullstellcn ± ju, identisch sind mit der Gesamtheit aller Nullstellen von

P(p)

auf R e p = 0, und damit kann man P ( p ) = Q0 ( p ) Q, ( p ) Q2 (p) schreiben. Dabei bedeutet Q, ( p ) ein weiteres gerades auf R e p = 0 nullstellenfreies Polynom mit der Eigenschaft, daß Q0 (p) Q, (p) der gemeinsame Polynomfaktor von P (p) und Pu (p) maximalen Grades ist. Die Existenz von Q (p): = Qa (p) Q, (p) äußert sich dadurch, d a ß der Grad der Funktion Z ( p ) nach Gl. (1.52) kleiner als n ist und demzufolge die auch hier zu verwendende Kettenbruchentwicklung vorzeitig endet. U m ausschließen zu können, daß Q2 ( p ) in R e p > 0 verschwindet, ist als notwendige und hinreichende Bedingungen zu verlangen, daß alle bei der Kettenbruchentwicklung von Z(p)

vor deren Abbruch auftretenden Koeffizienten positiv sind. Führt man die Kettenbruchent-

wicklung wie in obigem Zahlenbeispiel mittels wiederholter Division (d.h. mittels des Euklidschen Algorithmus) durch, so liefert der letzte hierbei auftretende nicht identisch verschwindende Divisor den gradhöchsten gemeinsamen Polynomfaktor Q(p)

= Qa(p)Qi(p)

von Pg(p)

und Pu(p).

der Durchführung der Kettenbruchentwicklung die Funktion Z(p)

Geht man davon aus, daß sich bei

als Reaktanz und damit Q2 (p) als ein Hur-

witz-Polynom erweist, sich aber ein Q ( p ) = Q„ (p) Q, (p) mindestens vom Grad zwei ergibt, so m u ß sichergestellt werden, daß alle Nullstcllen von Q (p) einfach sind und auf der imaginären Achse liegen. Dies ist aufgrund der leicht zu beweisenden Tatsache möglich, daß ß ( p ) diese Eigenschaft genau dann besitzt, wenn Q' (p)/Q

( p ) eine Reaktanzzweipolfunktion gleichen Grades wie Q (p) ist, was erneut durch Kettenbruchent-

wicklung geprüft werden kann. Z u m Beweis sei Q(p)

in der Produktform Q (p) = Y\(P2

Nullstellen ± jcj, geschrieben und der Differentialquotient von In Q (p) - ^ In ( p 2 + co/), also =£2p /(p

2

+ u f ) gebildet. Man sieht direkt, daß Q '(p)/Q

+ u

t)

m

''

den

Q'(p)/Q(p)

(p) eine Reaktanzzweipolfunktion von gleichem

Grad wie Q ( p ) ist, wenn alle Nullstellen ± ju, einfach sind, und daß im Falle mehrfacher Nullstellen oder (und) Nullstellcn von Q (p) Q' (p)/Q

3.2

3.2.1

außerhalb der imaginären Achse (d.h. Grad von ß , ( p ) > 0) der Quotient

( p ) keine Reaktanzzweipolfunktion gleichen Grades wie Q ( p ) darstellt.

DIE SYNTHESE KAPAZITÄTSFREIER ZWEIPOLE

Partialbruchnetzwerke

Die Synthese von Zweipolen, die keine Kapazitäten enthalten, kann nach dem Vorbild der im letzten Abschnitt beschriebenen Reaktanzzweipolsynthese durchgeführt werden. Man geht aus von einer Zweipolfunktion Z(p), die als Impedanz realisiert werden soll und die in der Form der für kapazitätsfreie Zweipole charakteristischen Gl. (1.29) darstellbar sein

3.2 Die Synthese

kapazitätsfreier

41

Zweipole

möge. Diese Darstellung von Z(p) gewinnt man, indem man die rationale Funktion Z(p)/p in eine Partialbruchsumme entwickelt. Durch Multiplikation mit p entsteht dann hieraus die Gl. (1.29). Aufgrund dieser Darstellung kann Z(p) als Summe der Teilimpedanzen Bwp

aufgefaßt werden. Es entsteht auf diese Weise eine erste Realisierung von Z(p) in Form eines Partialbruchnetzwerks nach Bild 1.37. Für die Elemente dieses Netzwerks gilt B„ Ro-B0;

Ru

- Bv,

Lv

(I/ = l , 2 , . . . , r ) ;

-

L,

Statt von der Zweipolfunktion Z(p) kann man auch von der Zweipolfunktion Y(p) = 1 / Z ( p ) ausgehen, die als Admittanz eines kapazitätsfreien Zweipols realisiert werden soll. Eine solche Admittanz hat, wie man den im Abschnitt 2.3.2 gewonnenen Ergebnissen unmittelbar entnimmt, die Eigenschaften der Impedanz eines induktivitätsfreien Zweipols kann wegen seiner Eigenschaften, insbesondere wegen seines Verlaufs auf (Y(p) = 1/Z(p) der reellen p -Achse in der Form von Gl. (1.34) dargestellt werden). Deshalb muß die Darstellung 1 •Z(p) (D'ü,

DLt

0;

D'0

iL

D'

p

v=tP

+ ov

Dl,

al>

0

für

v = \ ,2,. .., r')

bestehen. Der Gl. (1.53) läßt sich sofort eine zweite Verwirklichung von Z(p) in Form eines Partialbruchnetzwerks nach Bild 1.38 entnehmen. Für die Elemente dieses Netzwerks gilt offensichtlich L

1 o = TTT ; D'a

1 K = TiT . K = yD,r r Dl

CT k' ( v = 1,2, . . . , / • ' ) ;

1 = —7 . DL

Die beiden in den Bildern 1.37 und 1.38 dargestellten Netzwerke sind kanonische Realisierungen der Impedanz Z(p). Neben diesen Partialbruchnetzwerken gibt es Kettennetzwerke, durch die Z ( p ) verwirklicht werden kann und auf die im folgenden eingegangen wird.

*o Bild 1.37: Partialbruchrealisierung einer RL-Impedanz Z ( p )

Bild 1.38: Realisierung einer RL-Impedanz Z ( p ) durch Partialbruchentwicklung der Admittanz 1 / Z (p)

Zip)

42

3.2.2

I Synthese passiver

Netzwerke

Kettennetzwerke

Ausgehend von der im Abschnitt 3.2.1 eingeführten Zweipolfunktion Z(p),

die als Im-

pedanz eines kapazitätsfreien Zweipols realisiert werden soll, wird mit z1(p)=ß0

(1.54)

die Funktion

gebildet. Nach Gl. (1.29) erfüllt \/Z1 (p) die notwendigen Bedingungen für die Impedanz eines kapazitätsfreien Zweipols, welche inp = 0 verschwindet. Daher hat die Funktion Z , ( p ) einen Pol in p = 0. Der Entwicklungskoeffizient von Z , (p) in p = 0 sei mit D bezeichnet. Mit z2(p)

= P

(1.55)

wird weiterhin die Funktion Zi(p)

~z2(p)

=

1 Z2(p)

gebildet. Gemäß Gl. (1.53) erfüllt 1 / Z 2 ( p ) die notwendigen Bedingungen für die Admittanz eines kapazitätsfreien Zweipols, welche in p = 0 einen endlichen, im allgemeinen von null verschiedenen Wert besitzt. Mit zAP)=Z2(0)

(1.56)

wird die Funktion Z2(p)

-z3(p)

=

1 ZÄP)

gebildet. In dieser Weise fährt man mit dem sukzessiven Polabbau \np = 0 fort, bis die Restfunktion den Grad null erreicht hat. Dadurch erhält man für die Zweipolfunktion Z(p)

eine

Kettenbruchentwicklung gemäß Gl. (1.49), welcher das Netzwerk von Bild 1.27 entspricht. Da die Zweipolfunktion Z (p) als Impedanz realisiert werden soll, müssen die Zweipolfunktionen Zj (p), z 3 (p),...

als Impedanzen und die Zweipolfunktionen z 2 (p),...

als Admit-

tanzen aufgefaßt werden. Damit entsteht bei Beachtung der Gin. (1.54), (1.55) und (1.56) das kanonische Netzwerk nach Bild 1.39. Dabei kann R^ = 0 werden, weiterhin ist Rn = °° möglich. Ü3 Bild 1.39: Kettenrealisierung einer RL-Impedanz Z(p)

p =0

durch beständigen Polabbau in

Z{p)

Rn

43

3.3 Die Synthese induktiuitätsfreier Zweipole

Wird im Gegensatz zum vorausgegangenen Prozeß jetzt z , ( p ) =B„p, z2(p) = Z 1 (°°) usw. gewählt, so erhält man das Netzwerk nach Bild 1.40, welches die Impedanz Z(p) kanonisch verwirklicht. Hierbei wurde ein sukzessiver Polabbau in p = °° durchgeführt. Dabei kann 0 werden, weiterhin ist Ln = °° möglich.

Bild 1.40: Kettenrealisicrung pedanz Z(p)

einer

durch

RL-Im-

z(v)-

beständigen

Polabbau in p =

3.3 DIE SYNTHESE INDUKTMTÄTSFREIER ZWEIPOLE

3.3.1

Partialbruchnetzwerke

Die Synthese von Zweipolen, die keine Induktivitäten enthalten, läßt sich ganz entsprechend wie die im letzten Abschnitt beschriebene Synthese von RL-Zweipolen durchführen. Es wird ausgegangen von der Zweipolfunktion Z (p), die als Impedanz eines RC-Zweipols verwirklicht werden soll. Durch Partialbruchentwicklung von Z(p) erhält man die Darstellung nach Gl. (1.34). Ihr kann das im Bild 1.41 dargestellte kanonische Partialbruchnetzwerk entnommen werden. Für die Elemente dieses Netzwerks gilt mit den Bezeichnungen aus Gl. (1.34) J_ Dn

C„

1 TP" . Du

~ —— 0

für

l = 1,2,..., r')

bestehen. Hieraus läßt sich das zweite Partialbruchnetzwerk nach Bild 1.42 entnehmen, welches die Zweipolfunktion Z (p) als RC-Impedanz kanonisch verwirklicht. Es gilt für die Elemente dieses Netzwerks

44

7 Synthese passiver Netzwerke

Bild 1.42: Realisierung einer RC-Impedanz

1/Z(p)

Ro = 4 ;

3.3.2

f

Tc> T

durch Partialbruchentwicklung der Ad-

mittanz

«1

Z(p)~

Z(p)

/»„ = - ¿ 7 , C„ = ^ o» a»

(1/ = 1, 2 , . . r ' ) \

«2

C z

l

C.-BL.

Kettennetzwerke

Man kann die im Abschnitt 3.3.1 eingeführte Zweipolfunktion Z ( p ) jetzt noch durch zwei Kettennetzwerke verwirklichen. Diese Netzwerke sind im Bild 1.43 und im Bild 1.44 dargestellt. Das erste entsteht dadurch, daß man Z ( p ) gemäß Gl. (1.49) entwickelt. Dabei sind die Funktionen zi (p), z3 (p),... als Konstanten mit dem Wert der entsprechenden Funktionen Z (p), Z2 ( p ) , • •. in p = °° und die Funktionen z2 (/>), z4 (p),... gleich dem mit p multiplizierten Entwicklungskoeffizienten der entsprechenden Funktionen Z j (p), Z 3 (p),... inp = » zu wählen (man vergleiche Bild 1.27). Auch bei der Ermittlung des Netzwerks nach Bild 1.44 wird Z ( p ) in Form eines Kettenbruchs gemäß Gl. (1.49) entwickelt. Dabei werden die Funktionen z1 (p), z3 (p),... gleich dem durch p dividierten Entwicklungskoeffizienten der entsprechenden Funktionen Z ( p ) , Z 2 ( p ) , . . . in p = 0 und die Funktionen z 2 (p), z4 (p),... als Konstanten mit dem Wert der entsprechenden Funktionen Z , (p), Z 3 ( p ) , . . . in p = 0 gewählt. Die gefundenen RC-Kettennetzwerke sind kanonische Realisierungen der Zweipolfunktion Z ( p ) .

Bild 1.43: Kettenrealisicrung einer RC-Impedanz Z(p)

durch beständigen

Polabbau in p =

00

Bild 1.44: Kettenrealisierung einer RC-Impedanz

Z(p)

durch beständigen Polabbau inp = 0

3.4 VORBEMERKUNGEN ZUR SYNTHESE ALLGEMEINER ZWEIPOLE Bei der Verwirklichung einer allgemeinen Zweipolfunktion wird man wie in den vorausgegangenen Sonderfällen zunächst versuchen, durch eine Partialbruchdarstellung der Zweipolfunktion ein Netzwerk zu ermitteln. Anhand von Beispielen läßt sich leicht zeigen, daß auf

45

3.4 Vorbemerkungen zur Synthese allgemeiner Zweipole

diese Weise eine Zweipolfunktion im allgemeinen nicht realisiert werden kann. Nur in Sonderfällen gelingt eine Verwirklichung auf diesem Wege. Es besteht nun die Möglichkeit, eine Zweipolfunktion so zu verändern, daß wenigstens eine teilweise Realisierung durchführbar ist und die Aufgabe auf die Verwirklichung einer anderen (gradniedrigeren oder einfacher zu realisierenden) Zweipolfunktion zurückgeführt ist. Man kann beispielsweise die zu realisierende Zweipolfunktion Z (p) als Summe Z ( p ) = Z , ( p ) + Z2(p)

(1.57)

zweier Zweipolfunktionen darstellen, wobei Z, (p) gleich der Summe aller Partialbrüche von Z (p) ist, welche zu den Polen auf der imaginären Achse einschließlich p = °° gehören. Die Funktion Z j (p) muß daher eine Reaktanzzweipolfunktion und in Form von Gl. (1.24b) darstellbar sein. Die Funktion Z 2 (p) hat angesichts der Wahl von Z, (p) und der Eigenschaften von Z ( p ) als Zweipolfunktion keine Pole in der abgeschlossenen rechten Halbebene R e p ^ 0, und ihr Realteil stimmt für alle Werte p = jw ( - 00 = cj = für welche Z (p) endlich ist, mit jenem von Z ( j u ) überein. Nach Satz 1.6 ist deshalb Z 2 ( p ) eine Zweipolfunktion. Entsprechend der Darstellung von Z (p) gemäß Gl. (1.57) erhält man das im Bild 1.45 dargestellte Netzwerk, wenn Z(p) als Impedanz verwirklicht werden soll. Man kann jetzt die Funktion Y2(p) = 1 / Z 2 ( p ) betrachten. Sie läßt sich wie die Funktion Z(p) als Summe zweier Zweipolfunktionen schreiben: Y2(P)

=Y3(P)

+ Ya(P)-

(1-58)

Dabei wird die Teilfunktion Y3(p) aus allen in Y2(p) vorhandenen Partialbruchanteilen aufgebaut, welche zu den auf der imaginären Achse einschließlich p = « gelegenen Polen von Y2 (p) gehören. Daher muß Y3 ( p ) eine Reaktanzzweipolfunktion sein und als Partialbruchsumme gemäß Gl. (1.24b) geschrieben werden können. Die Funktion Y4(p) ist Zweipolfunktion (Satz 1.6). Aufgrund der Gin. (1.57) und (1.58) erhält man die Verwirklichung von Z ( p ) nach Bild 1.46. Hierbei tritt der Restzweipol mit der Admittanz V4 ( p ) auf.

-Zi (?)

II

H

H

\Zz(p)

Bild 1.45: Teilweise Realisierung einer Zweipolfunktion Z (p) als Impedanz gemäß Gl. (1-57)

Besitzt Z (p) keine Pole auf der imaginären Achse, so ist Z x (p) = 0, und die im Netzwerk von Bild 1.45 dargestellten Reaktanzen sind durch einen Kurzschluß zu ersetzen. Weiterhin ist y 3 ( p ) =0, wenn Y2(p) auf der imaginären Achse keine Pole hat, und im Bild 1.46 sind dann die entsprechenden Reaktanzen durch einen Leerlauf zu ersetzen. Man kann jetzt die Impedanz 1 / Y 4 ( p ) wie Z ( p ) bzw. Y2(p) als Summe zweier Zweipolfunktionen darstellen, wobei einer der Summanden durch einen Reaktanzzweipol realisiert wird. Fährt man in dieser Weise fort, so entsteht schließlich eine Restzweipolfunktion Z 0 (p), die weder Pole noch Nullstellen auf der imaginären Achse hat. Bei den vorausgegangenen Umformungen

46

I Synthese passiver Netzwerke

wurde der Grad der Zweipolfunktion Z (p) sukzessive reduziert, so daß der Grad von Z 0 (p) um die Zahl der bei der Realisierung erforderlichen Reaktanzelemente kleiner ist als jener von Z (p). Stellt Z 0 ( p ) keine Konstante dar, läßt sich diese Funktion also nicht durch einen Ohmwiderstand verwirklichen, dann müssen zur Realisierung dieser Restfunktion neue Überlegungen angestellt werden. - Soll Z ( p ) als eine Admittanz verwirklicht werden, dann erfolgt die Realisierung dual zu jener nach Bild 1.46.

Bild 1.46: Teilweise Realisierung einer Zweipolfunktion Z(p)

als Impedanz gemäß den Gin. (1.57) und

(1.58)

Der Abbau von Reaktanzzweipolfunktionen von Z(p), der solange durchgeführt wird, bis die Restzweipolfunktion weder Pole noch Nullstellen auf der imaginären Achse hat, heißt Reaktanzreduktion. Die dadurch gewonnene Zweipolfunktion Z0 (p) hat für p = jcj nichtnegativen Realteil. Wird Re Z ( j c j ) in i cj ^ °° nicht null, dann kann man mit einem positiven R die Funktion 0

Z ( p ) =Z0(p)

-R

(1.59)

bilden, welche eine Zweipolfunktion ist, solange R das absolute Minimum Rm der Realteilfunktion R e Z 0 ( j c j ) für ^ cj ^ °° nicht überschreitet. Dann gilt nämlich R e Z (jcj) ^ 0 (—00 = cj = und im übrigen hat Z ( p ) dieselben Pole einschließlich der zugehörigen Entwicklungskoeffizienten wie die Zweipolfunktion Z 0 (p). Wählt man R = Rm, so erhält A

man eine Restzweipolfunktion Z ( p ) , die in bestimmten Fällen teilweise oder vollständig durch Reaktanzabbauten verwirklicht werden kann. Dies ist sicher dann der Fall, wenn das absolute Minimum von ReZ 0 (jco) in co = 0 oder cj = °° aufgetreten ist. Da der Imaginärteil von Z 0 ( p ) in p = 0 und in p = °° verschwindet, hat die Restfunktion Z (p) in einem solchen Fall in p = 0 bzw. p = °° eine Nullstelle, so daß von der Funktion 1 / Z ( p ) eine Reaktanz abgespalten werden kann. o Zo (j>) — Bild 1.47: Teilweise Realisierung der Zweipolfunktion Z„ (p) aufgrund einer Widerstandsreduktion

R

CZ Z(P)

o

Entsprechend der Gl. (1.59) läßt sich die Zweipolfunktion Z 0 (p), als Impedanz aufgefaßt, durch eine Reihenanordnung aus dem Ohmwiderstand R und einem Zweipol mit der Impedanz Z ( p ) realisieren (Bild 1.47). Bedeutet Z 0 ( p ) eine Admittanz, dann erfolgt die Verwirklichung durch Parallelanordnung eines Ohmwiderstands mit einem Zweipol, dessen Admittanz Z ( p ) ist. Die durch Gl. (1.59) ausgedrückte Widerstandsreduktion kann auch auf Zweipolfunktionen angewendet werden, die Pole auf der imaginären Achse aufweisen.

3.5 Zweipolfimktionen

ersten und zweiten

47

Grades

3.5 ZWEIPOLFUNKTIONEN ERSTEN UND ZWEITEN GRADES

3.5.1

Realisierung von Zweipolfunktionen ersten Grades

Mit Hilfe der im letzten Abschnitt entwickelten Möglichkeiten zum Abbau von Zweipolfunktionen lassen sich beliebige Zweipolfunktionen vom Grad eins verwirklichen. Dies soll im folgenden gezeigt werden. Dabei sollen solche Zweipolfunktionen ersten Grades außer acht gelassen werden, welche im Nullpunkt oder im Punkt Unendlich verschwinden oder einen Pol haben. Diese lassen sich nämlich durch eine Reaktanzreduktion stets auf eine konstante Zweipolfunktion zurückführen, so daß in einem solchen Fall die Zweipolfunktion mit einem Reaktanzelement und einem Ohmwiderstand gemäß Bild 1.46 realisiert werden kann. Es werden daher im weiteren nur Zweipolfunktionen der Art Z

^ >

=

a, p + aa

h ft, p +

aa

a,

T^T1-) o0 ft,

(«o,a>AA>0; ft0

(1.60)

betrachtet. Es handelt sich hierbei tatsächlich um Zweipolfunktionen, weil die rechte Halbebene Rep > 0 durch Gl. (1.60) auf das Innere eines vollständig in der Halbebene R e Z > 0 und symmetrisch zur reellen Achse liegenden Kreises abgebildet wird. Die Ortskurve Z ( j c j ) stellt für 0 ^ u ^ °° einen Halbkreis dar, so daß man das Minimum des Realteils von Z ( j c j ) für CJ = 0 oder für CJ = °° erhält, je nachdem ob a0 /b0 kleiner oder größer als ax /b, ist. Deshalb wird durch eine Widerstandsreduktion die Zweipolfunktion -7t \ Z ( p ) Z ( P ) =

°°

A l P

ft0 ft,

p

— =

a, Z ( p ) - —

=

ft, ft,

^

:

mit

+

A0 p

u

A

+ bg

mit A

°°

= a, - f t , —

Ax ft0

ft0

g

=ag-bg—

ft,

a,

c-

a

°

^

01

fur — < —

ft0

für

ft,

a0 —-> bg

a, —

(1.61)

v

'

ft.

gebildet. Aufgrund der Gl. (1.61) kann man die Zweipolfunktion Z(p) unmittelbar realisieren. Soll Z ( p ) als Impedanz realisiert werden, dann erhält man eines der Netzwerke, die im Bild 1.48 dargestellt sind. o,

• IisBild 1.48: Realisierung der Zweipolfunktion Z(p)

von

U f>n

Gl.

(1.60) als Impedanz auf-

( ao ^

/£to

g r u n d d e r G l . (1.61)

Man kann auch von der Admittanz Y ( p ) = 1 Widerstandsreduktion erhält man die Darstellung

l>i

/ Z ( p )

* f>o

a

i \ '

ausgehen. Nach Durchführung der

I Synthese passiver Netzwerke

48 +

Y(P)

=

(

«0

Ol *0 b_i_ «0 < — für mit B0 = ¿0 ~ao~ atp + öo bo Ol bi Bxp ßi P + a0

(1.62)

a b0 a0 i > — mit 5 , = 6, " 0 1 — für Oo bi b0

Hieraus resultiert eine weitere Verwirklichung der Zweipolfunktion (Bild 1.49). Damit ist zu erkennen, daß die Zweipolfunktion Z (p) von Gl. (1.60) stets durch zwei verschiedene äquivalente Zweipole, bestehend aus einem Reaktanzelement und zwei Ohmwiderständen, realisiert werden kann. - Soll Z(p) von Gl. (1.60) als Admittanz realisiert werden, dann kann man in analoger Weise verfahren. Die Realisierungen verlaufen völlig dual.

Bild 1.49: Realisierung der Zweipolfunktion 1 /Z(p)

mit Z ( p ) aus Gl. (1.60)

, q0

als Admittanz aufgrund der Gl.

qt •

(1.62)

3.5.2

Realisierung von Zweipolfunktionen zweiten Grades durch Reaktanz- und Widerstandsreduktion

Mit Hilfe von Reaktanz- und Widerstandsreduktion kann man jede Zweipolfunktion Z

(P)=

a1p2 + a,p + a0 L 2 u , b2p +b, p + b0

{a0,aua2,b0,bub2^O)

(1.63)

zweiten Grades realisieren, sofern sie auf der imaginären Achse (einschließlich p = wenigstens einen Pol oder eine Nullstelle besitzt. Im Fall b0 = 0 hat Z (p) in p = 0 einen Pol. Unter der dann notwendigen Voraussetzung bl ^ 0 läßt sich Z(p) in der Form —

z

2 )- Diese Größe muß rein reell werden. Daher müssen die Koeffizienten der betrachteten Zweipolfunktion Z(p) von Gl. (1.63) für fc, = 0 die Bedingung a0 - a2 cjq = 0 oder (1.68)

aQb2 = a2b0 erfüllen. Es ergibt sich somit die Darstellung Z

(P)

02_ = TT b2

+

aiP • 2 b2p + b0

O-69)

aus der sich sofort eine Verwirklichung der Zweipolfunktion Z ( p ) entnehmen läßt. Will man Z(p) als Impedanz realisieren, so erhält man als Zweipol die Reihenanordnung eines Ohmwiderstands (R = a2 /b2) mit einem ungedämpften Parallelschwingkreis (L = ax /b0 und C = b2/ai). Falls Z(p) als eine Admittanz verwirklicht werden soll, ergibt sich als Zweipol die Parallelanordnung eines Ohmwiderstands mit einem ungedämpften Reihenschwingkreis. - Gilt zusätzlich a2 = 0, dann besitzt die Zweipolfunktion neben dem Polpaar p = ± j ü 0 eine Nullstelle im Unendlichen. Nach Gl. (1.68) muß auch a0 = 0 gelten und Z (p)

50

I Synthese passiver Netzwerke

in Gl. (1.69) stellt offensichtlich eine Reaktanzzweipolfunktion dar. Hat eine Zweipolfunktion zweiten Grades Nullstellen auf der imaginären Achse (einschließlich p = •*>), so kann die Funktion in gleicher Weise wie beim Auftreten von Polen durch Anwendung von Reaktanz- und Widerstandsreduktion verwirklicht werden. Dabei wird man von der Funktion 1 / Z (p) ausgehen.

3.5.3

Allgemeine Zweipolfunktionen zweiten Grades

Bereits bei Zweipolfunktionen zweiten Grades kann es vorkommen, daß Reaktanz- und Widerstandsreduktionen allein eine Verwirklichung nicht ermöglichen. Hat man eine Funktion a2p2 + a, p + a0 Z(P)= ' ° (a0,aua2,b0,bi,b2>0), (1.70) u 2 biP +b1p + b0 so liegen alle Nullstellen und Pole von Z(p) wegen der Positivität der Koeffizienten in der offenen linken Halbebene Rcp < 0. Für p = jcj wird a0

Z

(J")

=

-

a2

CJ2 + JCJßJ

iO—- : b— CJ2 0

2

• i

+ JCJDJ

O-71)

*

Die Realteilfunktion von Z(jcj) wird, wie man hieraus sieht, genau dann nirgends negativ in - °O S CJ ^ wenn die Ungleichung (a0 - a2

CJ2) (Ö0 -

b2

CJ2) +

Ö , £>I W 2

Ä

0

oder a2 b2 CJ4 + (AJ BJ - a0b2-

a2 b0) CJ2 + a0 b0 ^ 0

(1-72)

für alle W-Werte besteht. Die linke Seite dieser Ungleichung läßt sich als Funktion von CJ2 geometrisch durch eine Parabel deuten, die für alle CJ-Werte (d.h. für alle nichtnegativen CJ 2 -Werte) keine negativen Ordinatenwerte haben darf. Deshalb muß gefordert werden, daß die Bedingung 4 a0 b0 a2 b2 - (at bt - a0 b2- a2 b0)2

S 0

für

aib1-a0b2-a2b0 0 f ü r p „ = jcj„ und L2< 0 f ü r p „ = (J„.

Die Funktion 1 Z

2

(P)'

,=

1 Z,(p)

_

p/L2 p

* - p l

ist rational und reell; sie besitzt die folgenden Eigenschaften. ( C l ) Es gilt Re [ 1 / Z 2 ( j u ) ] 2 0 für alle oWerte, für die 1 / Z 2 ( j u ) endlich ist. (C2) Über die Pole von 1 /Z1 (p) läßt sich aufgrund der Aussage (B3) folgendes feststellen. Im Fall L, < 0 ist 1 / Z , (p) und damit auch 1 / Z 2 ( p ) Zweipolfunktion. Dadurch sind die zulässige Lage und die Eigenschaften der Pole bekannt. Im Fall L, > 0 und p„ = a„ ist 1 / Z 2 (p) f ü r R e p > 0 polfrei, und alle Pole auf der imaginären Achse einschließlich p = 0 sind nach Aussage (B3) einfach und weisen positive Entwicklungskoeffizienten auf. Deshalb muß diese Funktion wegen Aussage ( C l ) und Satz 1.6 ebenfalls Zweipolfunktion sein. Falls L, > 0 undp„ = jcj„ gilt, sind alle Pole auf der positiv imaginären Achse einfach und weisen positive Entwicklungskoeffizienten auf. Im weiteren muß man zwei Fälle unterscheiden. Fall 1: In R e p > 0 befindet sich ein einziger Pol der Funktion 1/Z2(p). Dieser ist einfach und weist einen negativen Entwicklungskoeffizienten auf. Dann hat die Funktion 1 / Z 2 ( p ) im Punkt p = 0 allenfalls einen einfachen Pol mit positivem Entwicklungskoeffizienten. Fall 2: In Re p > 0 ist 1 / Z 2 ( p ) polfrei. Dann ist der Punkt p = 0 entweder ein doppelter Pol von 1 / Z 2 ( p ) oder ein einfacher bzw. dreifacher Pol von 1 / Z 2 ( p ) mit negativem Entwicklungskoeffizienten.

3.7 Erweiterung des Brune-Verfahrens

61

(C3) Im Punkt p = °° befindet sich eine einfache Nullstelle von 1 / Z 2 (p) mit dem Entwicklungskoefflzienten

_1_. = _ J

1_

Nach Aussage (C2) ist

_ ¿1 +¿2 l/Z2(p)

für L, < 0 bzw. für L,

>0

und pv =

a„

eine Zweipolfunktion; in diesen

beiden Fällen sind also die Eigenschaften der Nullstellen von 1 /Z2 (p) in Re p 5 0 bekannt. Im Fall > 0, p„ = ]CJV ist 1/L,

< 0; es kann Satz 1.11 herangezogen werden, der mit der Aussage (C2) zu

dem folgenden Ergebnis führt: Die Funktion 1 / Z 2 ( p ) hat im Innern der rechten Halbebene keine Nullstellen. Falls 1 / Z 2 (p) außer in p = °° weitere Nullstellen auf der imaginären Achse hat, müssen diese einfach sein und positive Entwicklungskoefflzienten aufweisen.

Die rationale, reelle Funktion Z 2 ( p ) besitzt die folgenden Eigenschaften. ( D l ) Es gilt Re Z2 (jcj) 2 0 für alle u-Werte, für die Z2 (jtS) endlich ist. (D2) Nach Aussage (C3) hat Z2 (p) in der offenen Halbebene Re p > 0 keine Pole. Falls sich auf der imaginären Achse, abgesehen von p =

Pole von Z2 (p) befinden, müssen sie einfach sein und positive

Entwicklungskoeffizienten aufweisen. Der Punkt p = °° ist einfacher Pol von Z 2 (p) mit dem Entwicklungskoefflzienten L3 < 0.

Die Restfunktion Z3(p):=

Z

2(P)~L3P

ist eine Zweipolfunktion, da für alle reellen cj-Werte, für die Z 3 ( j u ) endlich ist, die Relation Re Z j ( j c j ) = 0 gilt, Z 3 (p) nach Aussage (D2) in Re p > 0 frei von Polen ist und auf der imaginären Achse nur einfache Pole mit positiven Entwicklungskoeffizienten aufweist, sofern dort überhaupt Pole von Z 3 ( p ) auftreten. Die Aussage (C3) enthält eine Bindung zwischen den Konstanten LX,L2, L3 in Form der GL (1.81). Man kann zwischen drei wesentlichen Fällen unterscheiden: pv= jcj„ ,

Lj > 0 ,

L2> 0 ,

L3 < 0 ;

pv= \uv,

Lx < 0 ,

L2 > 0 ,

L3 > 0 ;

pv = av ,

Lj > 0 ,

L2 < 0 ,

L3 > 0 .

Die Realisierung erfolgt nun gemäß Bild 1.52 bzw. Bild 1.55, je nachdem ob Z(p) als Impedanz oder als Admittanz verwirklicht werden soll. Die hierbei auftretende Größe C = - 1 /(pl L2) ist stets positiv. Die vorkommenden negativen Elemente lassen sich wie im Abschnitt 3.6 durch Einführung eines festgekoppelten Übertragers (im Fallp v = cr„ mit negativer Gegeninduktivität L 2 ) beseitigen. Der Grad der Restzweipolfunktion Z 3 (p) ist auch hier um zwei kleiner als der von Z(p). Dies kann man wie im Abschnitt 3.6 zeigen. Die durch den beschriebenen Entwicklungszyklus gewonnene Verwirklichung darf damit als kanonisch bezeichnet werden, da die erzielte Gradabnahme mit der Zahl der zur Verwirklichung erforderlichen Energiespeicher (Reaktanzen) identisch ist. Die Restfunktion Z 3 (p) wird wie Z 0 (p) weiterbehandelt. Bereits BRUNE hat das im Abschnitt 3.6 beschriebene Verfahren auf die Einbeziehung von reellen Entwicklungsstellen erweitert. Im folgenden wird gezeigt, wie auch Entwicklungsstellen im Innern des ersten Quadranten zur Verwirklichung von Z (p) herangezogen werden können. Dabei ergeben sich gegenüber den bisherigen Realisierungen neuartige Netzwerke [Uni].

62

/ Synthese

3.7.3

passiver

Netzwerke

Entwicklungsstelle im Innern des ersten Quadranten

Für die Entwicklungsstelle soll jetzt pv=pe>*

(p>0,Q - p l

,

1 L'

p

_ P K L

p * - p ? ~

+

L ' ) P ' - ( L ' P : ^ L P I ) ]

L L ' ( p > - p l ) ( p > - p ? )

Im Hinblick auf die spätere Realisierung soll die reziproke Funktion z(p) durch ihre Partialbruchentwicklung mit reellen Koeffizienten dargestellt werden. Die Funktion z(p) hat offensichtlich inp = 0 und inp = einfache Pole, außerdem einfache Pole in den beiden Punkten

64

I Synthese passiver Netzwerke

P

= ± P 4 := ± J

. -V / V

-L*pt2 j - j p

-Lpl

.

Damit erhält man die Partialbruchdarstellung C2P

Ca P

(1.94)

~Pi

Zwischen den Gin. (1.93) und (1.94) wird nun mit den Abkürzungen 1 / C := -Lp\, - \ / p \ := L2C2,LA := - l / ( C 4 p 4 ) ein Koeffizientenvergleich durchgeführt. So ergibt sich 1

! L

c2 = c + c* =

J L"

+

1

Lpl

+

1

L*pl2

pIpI

-C

(1.96)

(.P4 - p l ) { p i - p ? ) ' -1 Pi = C-tL-, 2 _

P4

- 1 c4l4

L + L* LL* _

1 C + C*

c + c*

1

L + L*

CC*

(1.95a,b)

(1.97)

p 2 2 LL*

C C*

(1.98)

Es wird weiter unten gezeigt, daß die Größen C 2 und L 2 negativ sind. Damit muß nach Gl. (1.97)p 2 = j'cj2 und nach Gl. (1.98) somit auchp 4 = jcj 4 mit reellen Werten cj2, cj4 gelten. Außerdem muß hiermit nach Gl. (1.96) C 4 und nach Gl. (1.98) L 4 positiv reell werden. Im Bild 1.60 sind zwei äquivalente Netzwerke dargestellt, deren Impedanz mit der Funktion z(p) gemäß den Gl. (1.93) und (1.94) übereinstimmt. Beide in diesem Bild dargestellten Zweipole sind nicht realisierbar. Während der linke Zweipol komplexe Netzwerkelemente hat, besitzt der rechte zwar nur noch reelle Elemente, von denen allerdings zwei negativ sind.

Bild 1.60: Zwei äquivalente Zweipole mit der Impedanz 2 (p) nach Gl. (1.94)

Es wird nun die Funktion Z 2 (p) betrachtet. Sie ist eine Zweipolfunktion und hat inp = 0 und i n p = °° einfache Pole mit den Entwicklungskoeffizienten 1 Q

c, + c,

>0

bzw.

L, : =

-LXL2

l,+L2

>0 .

(1.99)

Man erhält diese Koeffizienten durch Untersuchung der Funktion 1 / Z 2 ( p ) von Gl. (1.92) in den Punkten p = 0 und p = 00 bei Berücksichtigung der Gin. (1.91) und (1.95a,b). Die Pole p = 0 und p = 00 werden vollständig abgebaut. Auf diese Weise erhält man die Restzweipolfunktion

3.7 Erweiterung des Brune-Verfahrens Z3(p)

•= Z2(p)-L3p

65

- -L_ . C3p

(1.100)

Der Entwicklungszyklus ist damit beendet. Die Funktion Z 3 (p) ist i n p = 0 und inp = °° polfrei. Den Gin. (1.99) entnimmt man die beiden Beziehungen L^L2 + L2L3 + L3LX

= 0

und

C t + C 2 + C 3 = 0.

(1.101a,b)

Da L , , L 3 > 0 und C , , C 3 > 0 gilt, müssen die Konstanten L2 und C2 aufgrund der Gin. (1.101a,b) negativ sein. Diese Tatsache wurde an früherer Stelle zum Beweis dafür herangezogen, daß cj2 , "4 reell und C 4 , L 4 positiv sind.

Bild 1.61: Realisierung der Zweipolfunktion Z(p) als Impedanz bei Verwendung einer Entwicklungsstelle im Innern des ersten Quadranten

Z(p)

Mit den Gln.(1.91), (1.92), (1.94) und (1.100) ist eine Entwicklungsmöglichkeit für die Zweipolfunktion Z(p) geschaffen, welche direkt das Netzwerk von Bild 1.61 liefert, wenn man Z ( p ) als eine Impedanz auffaßt. Dieses Netzwerk enthält acht Reaktanzelemente und einen Restzweipol mit der Impedanz Z3(p). Es ist jedoch wegen der negativen Reaktanzen C2 und L2 in der vorliegenden Form noch nicht realisierbar. Diese Schwierigkeit läßt sich durch die folgende Zweitoräquivalenzbetrachtung beseitigen.

¿1

1

¿3

c2

Bild 1.62: Reaktanzzweitor mit festgekoppeltem

- X

Übertrager

Zunächst wird das im Bild 1.62 dargestellte Reaktanzzweitor betrachtet. Der in diesem Zweitor auftretende Induktivitätsstern möge einen festgekoppelten Übertrager darstellen. Daher muß L,L 2 + L2Li + L1Li = 0 gelten. Aufgrund einer Analyse des Zweitors erhält man für die Elemente der Impedanzmatrix Z , (p)

1

Bild 1.63: Festgekoppelter Übertrager

l'

uj 0 :1

2

2'

I Synthese passiver Netzwerke

66

C2p

_

Li _

» . pz +

1

C2p

j .

i c.CL. +

M

-¿iL, Z

f

f

W

: C 2 />

^

. - ^ ) ! . 1 P2 + C0(Z.,+L3)

Weiterhin wird der im Bild 1.63 dargestellte festgekoppelte Übertrager betrachtet. E r besitzt, wie man direkt sieht, die Impedanzmatrix

_

¿0 — p Wo

L0p Zo 0 0 :

Lo Wo

¿0

P

Wo2

Verbindet man die Klemme 1' des Übertragers aus Bild 1.63 mit der Klemme 1 des Zweitors aus Bild 1.62 und verbindet man außerdem die Klemme 2' des Übertragers mit der Klemme 2 des Reaktanzzweitors, dann sind beide Zweitore in Reihe geschaltet, und das resultierende Gesamtzweitor hat die Impedanzmatrix ZJ(p):=Zl(p)+Z„(p). Z u dieser Reihenanordnung wird nun noch auf der Sekundärseite ein idealer Übertrager mit dem Übersetzungsverhältnis w : 1 in Kette geschaltet. Auf diese Weise erhält man schließlich das Reaktanzzweitor nach Bild 1.64, dessen Impedanzmatrix die folgenden Elemente besitzt:

Lf z

n

0 0 := U P +

C0(L,+L,)2

C2p

L

IV2

i>2 +

C0(L, + L 3 )

Li C,(LI+L,y

1 ° p +, —— x +

wi

C2p

(1.102a)

p

(1.102b)

1 C„(L,+L3)

I

iu0:l

Li

IX

w:l

L3

Li

Bild 1.64: Reihenanordnung der Zweitore von Bild 1.62 und Bild 1.63 und Nachschaltung eines idealen Übertragers

C,

IIIIII

2

67

3.7 Erweiterung des Brune-Verfahrens

L 1 ° x -=— + +. —p Wo C2p

Zl2(p):=-L-

(1.102c)

C0(L,+L,)

Die Impedanzmatrix des Reaktanzzweitors aus Bild 1.61 hat die folgenden Elemente: C, + C 2

Zu(p) •= (L, + L2)p + •

i

p/C, p2+u}

.

p

C, + C, 1 c c

j3

p

(1.103a)

p /C.

(1.103b)

p2 + u;

•7 , S. = L, p x+ y,1 1 ^+ - TP/C< r Zn(p) 2 C2 p p2 + u}

(1.103c)

Da die beiden Reaktanzzweitore nach Bild 1.61 und Bild 1.64 äquivalent werden sollen, müssen die entsprechenden Elemente ihrer Impedanzmatrizen für alle p -Werte übereinstimmen. Dies läßt sich, wie ein Vergleich zwischen den Gin. (1.102a-c) und den Gin. (1.103a-c) zeigt, dadurch erreichen, daß man die Parameter des Reaktanzzweitors aus Bild 1.64 in der folgenden Weise wählt:

L0 = L, + L2

hh-

C, +C 2

C3

= - —

C,

L,

C2 C,

> 0

0, u}C 4

C2C3

i

c?

aic,

,

c2 =

> 0,

C,

C, L, + L2

M-o =

C, C>

L2

C,c 2

SiSi. c, + c 2

> 0,

L 1

>0,

) = w2Z,(p).

Die modifizierte Restfunktion Z3(p)

unterscheidet sich also nur um

den positiven Faktor w 2 von der ursprünglichen Restfunktion Z 3 ( p ) . Im endgültigen Netz-

Bild 1.6S: Ausführbare Realisierung der Zweipolfunktion Z (p) als Impedanz bei Verwendung einer Entwicklungsstelle im Innern des ersten Quadranten. Für die Parameter der auftretenden Übertrager gilt: L'n = L„,

L'a=L^/wl,

M'= L0 /h»0; L[\ =

Co

Z(p)

Hb

'

+ L2,

L'n= L 2 + ¿3, M " = L 2 . Die Größen w„, L„, L , , L2, L3 sind durch die Entwicklungsparameter gegeben, wie oben gezeigt wurde.

M m

u m i p ^22

M"

£

o-

11 III l

£

22

[J

UP)

68

I Synthese passwer Netzwerke

werk nach Bild 1.65 treten Übertrager nur in festgekoppelter Form auf. Der Grad der Restzweipolfunktion Z 3 ( p ) ist, wie man anhand der einzelnen Entwicklungsschritte erkennen kann, um vier kleiner als jener der Ausgangsfunktion Z 0 (p). Diese Gradabnahme stimmt mit der Zahl der für das Netzwerk von Bild 1.65 erforderlichen Energiespeicher überein. Deshalb kann auch hier von einer kanonischen Realisierung gesprochen werden, falls man die Restzweipolfunktion Z 3 ( p ) in gleicher Weise behandelt und den Entwicklungszyklus so lange wiederholt, bis als Restzweipol ein Ohmwiderstand verbleibt. Soll die Ausgangszweipolfunktion Z0(p) als eine Admittanz verwirklicht werden, so wird die Funktion wie bisher entwickelt. Die Realisierung erfolgt gegenüber der bisherigen Verwirklichung in dualer Weise. Die Umwandlung des dabei auftretenden, zunächst nicht realisierbaren Zweitors in ein ausführbares Netzwerk läßt sich wie im Falle der Impedanz durchführen. Man kann bei der Realisierung einer Admittanz auch folgendermaßen vorgehen. Zunächst wird Z 0 ( p ) wie bisher untersucht und eine Entwicklungsstelle ausgewählt. Sodann bildet man gemäß GL (1.88) die Funktion Z (p), deren gerader Teil in der Entwicklungsstelle eine mindestens doppelte Nullstelle hat. Bei der weiteren Entwicklung wird nun aber die Impedanz Z(p):=

1/Z(p)

verwendet. Ihr gerader Teil hat in der gewählten Entwicklungsstelle ebenfalls eine mindestens doppelte Nullstelle. Diese Tatsache folgt unmittelbar aus der Darstellung des geraden Teils G (p) der Zweipolfunktion Z (p) mit Hilfe des geraden Teils G (p) und des ungeraden Teils U(p) der Zweipolfunktion Z (p). Man erhält nach kurzer Rechnung die Beziehung C(p)

^ G2(p)-U2(p)

der die Behauptung sofort entnommen werden kann. Das weitere Vorgehen und die hieraus folgende Realisierung unterscheiden sich gegenüber der bisherigen Behandlungsweise nicht. Gegebenenfalls muß allerdings durch einen Vorabbau dafür gesorgt werden, daß die Funktion Z ( p ) in p = 0 und in p = °° polfrei ist. Die Realteilabspaltung gemäß Gl. (1.88) wird hier natürlich durch einen Querwiderstand verwirklicht.

3.7.4

Schlußbemerkung

In den vorausgegangenen Abschnitten wurde ein Verfahren zur Verwirklichung einer beliebigen Zweipolfunktion durch RLCÜ-Zweipole entwickelt. Das Verfahren besteht in der fortgesetzten Abspaltung von Teilfunktionen, die für jeden Entwicklungszyklus durch einen Ohmwiderstand und ein Reaktanzzweitor verwirklicht werden. Maßgebend für die Struktur des jeweiligen Zweitors und für die Werte der Netzwerkelemente ist die Wahl der Entwicklungsstelle. Weiterhin ist bei jedem Entwicklungszyklus entscheidend, ob die betreffende Impedanz oder die Admittanz entwickelt wird. Je nach der Lage der Entwicklungsstelle wird der Grad der betreffenden Zweipolfunktion bei Durchführung des Entwicklungszyklus um eins, zwei oder vier reduziert. Die Gradreduktion wiederholt sich so lange, bis schließlich eine nichtnegative reelle Konstante übrig ist, die als Ohmwiderstand realisiert wird. Unter Ausnützung sämtlicher Entwicklungsstellen und der Möglichkeiten, bei jedem Entwicklungszyklus sowohl für die jeweilige Zweipolfunktion als auch für ihre Reziproke Ent-

69

Realisierung einer Zweipolfimktion

wicklungsstellen bestimmen zu können, entsteht eine Klasse äquivalenter kanonischer Zweipole, welche die vorgelegte Zweipolfunktion verwirklichen und aus denen in einem praktischen Fall das am günstigsten erscheinende Netzwerk (etwa im Hinblick auf die Zahlenwerte der auftretenden Netzwerkelemente oder im Hinblick auf eine möglichst geringe Zahl an Übertragern) entnommen werden kann. Alle Zweipole haben den Charakter von kanonischen Kettennetzwerken. Übertrager treten nur in festgekoppelter Form auf.

3.8 REALISIERUNG EINER ZWEIPOLFUNKTION DURCH EIN REAKTANZZWEITOR UND EINEN OHMWIDERSTAND Im folgenden soll gezeigt werden, wie eine beliebige Zweipolfunktion Z (p) als Impedanz (und in dualer Weise als Admittanz) gemäß Bild 1.66 durch ein mit einem Ohmwiderstand abgeschlossenes Reaktanzzweitor realisiert werden kann. Auch dieser Prozeß besteht in einer sukzessiven Abspaltung von Teilfunktionen, die durch Reaktanzzweitore verwirklicht werden. Diese Abspaltung wiederholt sich in Form einzelner Zyklen so lange, bis die Restzweipolfunktion den Grad null erreicht hat. Der Unterschied zum bisherigen Vorgehen liegt darin, daß keine Abspaltungen auftreten, die durch Ohmwiderstände realisiert werden müssen. Dadurch ergibt sich erst am Ende des Prozesses eine konstante Restfunktion, die als Ohmwiderstand verwirklicht wird. Die resultierenden Zweipole enthalten im allgemeinen nicht die Minimalzahl an Energiespeichern. Es handelt sich also im allgemeinen um nichtkanonische Realisierungen. Vom numerischen Standpunkt aus ist der folgende Prozeß einfacher als das bisherige Vorgehen. Die Bedeutung des Prozesses liegt jedoch vor allem darin, daß er bei der Synthese von Reaktanzzweitoren grundlegende Anwendung findet.

Bild 1.66: Realisierung einer Zweipolfunktion als

Eingangsimpedanz

gangsadmittanz Ohmwiderstand

eines

oder mit

Gineinem

Z(P)

abgeschlossenen

Reaktanzzweitors

Im weiteren spielt neben der zu realisierenden Zweipolfunktion Z (/>) ihr gerader Teil G(p):=±[Z(p)

+ Z(-p)]

(1.104a)

und ihr ungerader Teil U{p):=\[Z{p)-Z(-p)}

(1.104b)

eine besondere Rolle. Es gilt Z(p)

= G(p) + U(p) .

Zur Verwirklichung der Zweipolfunktion werden auch hier bestimmte Entwicklungsstellen eingeführt. Ausgehend von irgendeiner dieser Entwicklungsstellen kann Z ( p ) durch ein Reaktanzzweitor realisiert werden, das auf seiner Sekundärseite mit einem Restzweipol abgeschlossen ist. Diese Teilrealisierung von Z (p) hängt von der Art der gewählten Entwick-

70

/ Synthese passiver Netzwerke

lungsstelle ab. Hierauf wird im folgenden näher eingegangen. Durch wiederholte Anwendung dieser Teilrealisierung auf die jeweilige Restzweipolfunktion ergibt sich schließlich die gewünschte Verwirklichung.

3.8.1

Entwicklungsstellen erster Art

Unter einer Entwicklungsstelle erster Art versteht man jeden Pol pß von Z(p), welcher auf der oberen Hälfte der imaginären Achse (er = 0 ; cj ^ 0) liegt. Nach Wahl einer derartigen StellePp bildet man die Funktion

q(p)- =

D/p

für pß = 0

Lp

für p M = °o

p/C

für

(1.105)

p

welche von Z ( p ) abgespalten werden soll. Dabei ist D,L bzw. 1 / ( 2 C ) der notwendig positiv reelle Entwicklungskoeffizient von Z ( p ) im Punkt pß. Man erhält nun als Restfunktion Z3(p):=Z(p)-q(p).

(1.106)

Die Funktion Z 3 ( p ) ist eine Zweipolfunktion, deren Grad in den Fällen p M = 0 und pß = 00 um eins, im Fall p M ^ 0 , °° um zwei kleiner ist als derjenige von Z (p). Die Bedeutung der Gin. (1.105) und (1.106) für die Realisierung der Zweipolfunktion Z ( p ) wird später erörtert.

3.8.2

Entwicklungsstellen zweiter Art

Jede Nullstelle pu = av + jcj„ der Funktion G ( p ) mit cr„ ^ 0, uv ^ 0, die keine Entwicklungsstelle erster Art von Z ( p ) ist, wird Entwicklungsstelle zweiter Art von Z ( p ) genannt. Nach Wahl irgendeiner der Stellen p„ bildet man nun die ungerade, reelle Funktion r(p):=L1p + - i - . C,p

(1.107)

Die Koeffizienten Lx und C1 werden aufgrund der Forderung bestimmt, daß r(p) mit Z ( p ) für das gewähltep„ übereinstimmt. Dabei sind die folgenden Fälle zu unterscheiden. (a) Es ist pv Nullstelle von Z ( p ) . Dies ist nur möglich, wenn die Entwicklungsstelle p„ auf der imaginären Achse liegt. Im Fall pl, = 0 oder p„ = °° ist die Entwicklungsstelle stets Nullstelle von Z (p). Es wird r ( p ) = 0, d.h. L, = 0 und 1 / C , = 0 gewählt. Der Einfachheit wegen wird für die weiteren Fälle zunächst vorausgesetzt, daß Z(p) in p = 0 und in p = °° keine Pole hat. Mögliche Pole an diesen Stellen lassen sich nach Abschnitt 3.8.1 stets beseitigen. Außerdem wird im weiteren angenommen, daß das gewählte p „ keine Nullstelle von Z ( p ) ist.

Realisierung einer Zweipolfunktion

71

(b) Es istp^ = cr v (a v > 0) o d e r / v =jcj„(cj„ > 0). Dann wird $0

Pv

und

1/Q = 0

(1.108)

gewählt.

(c) Es ist pv = a „ + \cju mit a v > 0 und u u > 0. Die Koeffizienten Lx und C, sind durch die Forderung r(p„) = Z(pv) eindeutig als reelle Konstanten bestimmt. Man vergleiche hierzu Abschnitt 3.7.3, insbesondere Bild 1.59. Mit Hilfe der nunmehr eindeutig festgelegten Funktion r(p) tionale, jedoch nicht notwendig positive Funktion

aus Gl. (1.107) wird die ra-

Z ^ - Z ^ - r i p )

(1.109)

gebildet. Sie besitzt die Eigenschaft Re Z, (jo>) = 0 für alle o Werte, für die Z, (jcj) endlich ist. Da die Funktion so bestimmt wurde, daß sie in p =p„ mit Z (p) übereinstimmt, muß die Funktion Z, (p) für p =pv den und außerdem auch f ü r p = Im Fall pv = av +

(cr„,

r(p)

verschwin-

-p„, weil dort G(p) null ist und daher r(-p„) = U( -/>„) = Z ( - p „ ) gilt.

> 0) verschwindet Z, (p) auch in den Punkten ± p ' . Die genannten Nullstellen

von Z, (p) sind Pole von 1 / Z , (p). Diese Funktion hat die Eigenschaft R e [ 1 / Z , (jcj)] ä 0 für alle w-Werte, für welche die Funktion 1 / Z , (jcj) endlich ist.

Es wird jetzt die einfachste, rationale, reelle und ungerade Funktion s (p) eingeführt, welche in p = p v einen Pol hat und deren Entwicklungskoeffizient in diesem Pol mit jenem der Funktion 1 / Z ] (p) übereinstimmt. Man erhält 1 L

10P

P/Li „2

P

s(p):-

„2

~Pu

p/L „2

P

^ „2

~Pv

p/L* „2 „*2 P ~PV

für

pv = 0,

für

pv =

für

pw = av

oder

pv = jcj„ (0 < cj„
0) der Funktion 1 / Z , (p) beim Übergang zur Funktion 1/Z2(p) gemäß Gl. (1.111) im allgemeinen nicht abgebaut, es wird nur der Entwicklungskoeffizient in dieser Polstelle geändert. Dies hat zur Folge, daß der Grad von \/Z1

(p) gewöhnlich nur um eins (p„ - a„ > 0) oder um zwei (p„ = 0) kleiner ist

72

I Synthese passiver Netzwerke

als derjenige von 1 / Z , (p). In dieser Tatsache zeigt sich der Unterschied zu dem im Abschnitt 3.7 behandelten Realisierungsverfahren. Dort gelang ein vollständiger Polabbau auch in p = -pv (und in p = - p ' bei cj„ > 0), weil der gerade Teil G(p) der zu realisierenden Zweipolfunktion Z(p) in der Entwicklungsstelle eine Nullstelle von mindestens zweiter Ordnung hatte. In dem hier erörterten Verfahren dagegen ist die Entwicklungsstelle p„ mit R e p „ > 0 gewöhnlich eine einfache Nullstelle von G (p).

Im Fall r ( p ) = 0 ist der Entwicklungszyklus beendet und die Restfunktion Z 3 ( p ) = In den übrigen Fällen wird durch Vollabbau der Pole i n p = 0 u n d p = °° Z3(p):=Z2(p)-L3p - - L C3p

Z2(p).

(1.112)

gebildet und der Zyklus abgeschlossen. Dabei können die Konstanten L 3 und 1 / C 3 je nach der Lage der Entwicklungsstelle positiv, negativ oder null sein. Man kann jetzt aufgrund der gleichen Überlegungen wie im Abschnitt 3.7 sofort zeigen, daß Z 3 ( p ) stets eine Zweipolfunktion ist. Ist die Entwicklungsstelle p„ Nullstelle von Z ( p ) , dann ist der Grad von Z 3 (p) um eins oder zwei kleiner als jener von Z(p), je nachdem ob pv = 0, °° oder pv = j o „ (CJ„ ^ 0, 00) ist. Ist pu = jo„ keine Nullstelle von Z ( p ) , dann ist (mit 1 / C 3 = 0) der Grad von Z 3 ( p ) um zwei kleiner als jener von Z ( p ) . Ist pv = cr„ reell, dann ist (mit 1 / C 3 = 0) gewöhnlich der Grad von Z 3 ( p ) um eins kleiner als jener von Z ( p ) . In diesem Fall findet nur ausnahmsweise eine Gradabnahme um zwei statt, wenn nämlich G ( p ) in p = p „ eine mehrfache Nullstelle hat. Liegt p„ = a„ + jcj„ weder auf der reellen noch auf der imaginären Achse, dann hat Z 3 ( p ) gewöhnlich einen um zwei kleineren Grad als Z (p). In diesem Fall findet nur ausnahmsweise eine Gradabnahme um vier statt, wenn nämlich G (p) in p =pv eine mehrfache Nullstelle hat. Die Bedeutung der Gin. (1.109), (1.111) und (1.112) für die Realisierung der Zweipolfunktion Z (p) wird erst später erörtert.

3.8.3

Entwicklungsstellen dritter Art

Alle Punkte p l = at+jut mit at > 0, 0 und G{pL) / 0 heißen Entwicklungsstellen dritter Art von Z (p). Auch hier wird zunächst nach Wahl einer derartigen Entwicklungsstelle gemäß Gl. (1.107) eine Funktion r(p) eingeführt, deren Koeffizienten Lx und Cx reell seien und aus der Forderung r(pt) = Z(pi) bestimmt werden. Diese Forderung impliziert bemerkenswerterweise r (~pt) ^ Z ( - p , ) . Es sind die beiden folgenden Fälle zu unterscheiden. (a) Es ist Pj = cri reell. Dann werden die Konstanten L x und Cj nach Gl. (1.108) gewählt. (b) Es ist p, = crt + J'CJ1 mit CJ, > 0. Die Koeffizienten L, und C, sind dann durch die Forderung r{pL) = Z(pt) eindeutig als reelle Konstanten bestimmt. Man vergleiche hierzu Abschnitt 3.7.3, insbesondere Bild 1.59. Nach Bestimmung der Funktion r ( p ) wird die rationale und reelle Funktion Z x ( p ) nach Gl. (1.109) gebildet. Sodann wird f ü r Z , (p) gemäß Gl. (1.110c) bzw. Gl. (1.11 Od) die Funktion s ( p ) bestimmt. Nach Gl. (1.111) erhält man damit die Funktion Z 2 ( p ) . Sie ist, wie man aufgrund bekannter Überlegungen (Abschnitt 3.7) zeigen kann, eine Zweipolfunktion, die im Fallp L = a t einen Pol inp = °° und im Fallp t = a i + j c j ( ( u , > 0) Pole i n p = 0 u n d p = °° hat. Zum Abschluß des Zyklus wird die Restzweipolfunktion Z 3 ( p ) gemäß Gl. (1.112) durch

Realisierung einer Zweipolfunktion

73

den vollständigen Abbau der genannten Pole von Z 2 ( p ) gebildet. Die Funktion Z 3 (p) hat den gleichen Grad wie die Ausgangsfunktion Z(p). Dies liegt daran, daß die Funktion 1/Zj(p) zwar inp =pt (und in p=p* bei uL > 0) einen abzubauenden Pol hat, inp = -pt (und in p = -p * bei cjt > 0) jedoch einen endlichen Wert aufweist. Deshalb findet beim Übergang von der Funktion 1/Z1(p) zur Funktion 1 / Z 2 (p) gemäß Gl. (1.111) keine Gradänderung statt, da in -pt (und -p * bei cj, > 0) ein Polanbau erfolgt. Die Verwendung von Entwicklungsstellen dritter Art ist für eine reine Zweipolsynthese damit unwirtschaftlich. Diese Entwicklungsstellen haben jedoch Bedeutung bei der Synthese von Reaktanzzweitoren.

3.8.4

Realisierungen

Den in den vorausgegangenen Abschnitten beschriebenen Entwicklungszyklen der Zweipolfunktion Z (p) entsprechen in allen Fällen Realisierungen von Z (p) in Form eines Zweipols, der aus einem Reaktanzzweitor besteht, dessen Ausgang mit einem durch die Restzweipolfunktion Z 3 ( p ) bestimmten Zweipol abgeschlossen ist (Bild 1.67). Für das Reaktanzzweitor kann man in allen Fällen ausführbare Netzwerke angeben, wie im folgenden für den Fall der Realisierung von Z (p) als Impedanz gezeigt werden soll. Bild 1.67: Teilweise Realisierung einer Zweipolfunktion Z (p) durch ein

Reaktanzzweitor,

das

Z(p)

durch einen Zweipol mit der Restzweipolfunktion

Reaktanzzweitor

(7»)

Z 3 (p)

abgeschlossen ist

Im Falle einer Entwicklungsstelle erster Art erhält man eines der im Bild 1 68 dargestellten Reaktanzzweitore. Der Grad von Z3(p) nimmt gegenüber Z ( p ) um eins oder zwei ab. Die Gradabnahme stimmt mit der Zahl der Energiespeicher des jeweiligen Reaktanzzweitors überein. -1 cp2ß Bild 1.68: Mögliche

D

Reaktanz-

zweitore bei Verwendung einer Entwicklungsstelle erster Art der Impedanz

Z(p)

Wird eine Entwicklungsstelle zweiter Art gewählt, welche Nullstelle von Z (p) ist, dann erhält man eines der im Bild 1.69 dargestellten Reaktanzzweitore. Auch hier stimmt die Bild 1.69: Mögliche Reaktanzzweitore

bei

Ver-

] c

Wendung einer Entwicklungsstelle zweiter Art, welche Nullstelle der Impedanz

Z{p)

ist

1

1

E

74

I Synthese passiver Netzwerke

Gradabnahme, die sich beim Übergang von Z ( p ) zu Z 3 ( p ) ergibt, mit der Zahl der Energiespeicher des betreffenden Reaktanzzweitores überein. Dasselbe gilt bei Z(pv) ? 0, Pv ~ > 0); hierbei erfolgt die Realisierung nach Abschnitt 3.6. Bei Wahl einer Entwicklungsstelle zweiter Art pv = av > 0 und bei Wahl einer Entwicklungsstelle dritter Art p t = a, > 0 erhält man zunächst das im Bild 1.52 dargestellte, aus drei Induktivitäten und einer Kapazität bestehende Reaktanzzweitor. Es ist in dieser Form nicht ausführbar, da L2 < 0 gilt. Dagegen sind die Werte der übrigen Netzwerkelemente positiv, und es besteht die Gl. (1.81). Der Induktivitätsstern ( L j , L2, L 3 ) läßt sich somit in bekannter Weise (man vergleiche auch Abschnitt 3.7.2) durch einen festgekoppelten Übertrager ersetzen. Der Grad von Z 3 ( p ) ist um null, eins oder zwei kleiner als jener von Z(p), je nachdem ob die gewählte Entwicklungsstelle eine Nullstelle von G ( p ) der Ordnung null (Fall einer Entwicklungsstelle dritter Art), eins oder größer als eins ist. Die Zahl der Energiespeicher im Reaktanzzweitor ist zwei. Bei Wahl einer Entwicklungsstelle zweiter Art pv = av + ( 0, > 0) und bei Wahl einer Entwicklungsstelle dritter Art pL = aL + ¡cjl (a L > 0, u t > 0) erhält man gemäß Abschnitt 3.7.3 zunächst das im Bild 1.61 dargestellte Reaktanzzweitor, welches in dieser Form noch nicht ausführbar ist, da L 2 und C 2 negativ sind. Alle übrigen Elemente sind positiv, und es bestehen auch hier die Gin. (1.101a,b). Eine ausführbare Form des Reaktanzzweitors ergibt sich nach Bild 1.64, wenn der dort auftretende Induktivitätsstern durch einen festgekoppelten Übertrager ersetzt wird. Die Netzwerkelemente lassen sich explizit nach den im Abschnitt 3.7.3 entwickelten Beziehungen bestimmen. Der im Bild 1.64 auf der Sekundärseite auftretende ideale Übertrager kann in den Restzweipol Z 3 ( p ) in bekannter Weise einbezogen werden. Dadurch wird die Restzweipolfunktion mit dem konstanten Faktor w 2 multipliziert, und das genannte Reaktanzzweitor enthält neben zwei Kapazitäten nur zwei festgekoppelte Übertrager, insgesamt also vier Energiespeicher. Diese Anzahl von Energiespeichern erzielt eine Gradabnahme von Z 3 ( p ) gegenüber Z (p) um null, zwei oder vier, je nachdem ob die gewählte Entwicklungsstelle eine Nullstelle von G ( p ) der Ordnung null (Fall einer Entwicklungsstelle dritter Art), eins oder größer als eins ist. Zu bemerken ist noch, daß eine Zweipolfunktion, die mindestens den Grad eins hat, wenigstens eine Entwicklungsstelle erster oder zweiter Art besitzt. Wenn man die Restzweipolfunktion Z 3 ( p ) (bzw. w 1 Z 3 ( p ) ) ebenso wie die Ausgangsfunktion Z (p) behandelt und dieser Prozeß zyklisch hinreichend oft wiederholt wird, entsteht ein Zweipol, der Z ( p ) in der gewünschten Weise realisiert. Das Verfahren ist genau dann beendet, wenn die Restfunktion eine Konstante R ist und keine Entwicklungsstelle dritter Art für eine mögliche Weiterentwicklung von R benützt wird. An früherer Stelle wurde bei der Verwendung einer Entwicklungsstelle zweiter Art mit der Eigenschaft Z (pu) / 0 und bei der Verwendung einer Entwicklungsstelle dritter Art vorausgesetzt, daß zunächst immer Z (p) in p = 0 und in p = °° frei von Polen sein soll. Auf diese Voraussetzung kann verzichtet werden. Hierauf soll im folgenden kurz eingegangen werden. Die Entwicklungskoeffizienten von Z ( p ) in p = 0 und p = °° werden mit 1 / C 0 = 0 bzw. L 0 ä 0 bezeichnet. In der gleichen Weise wie früher Z ( p ) wird jetzt Z ( p ) - q ( p ) entwickelt; dadurch ergeben sich die Größen LK, C„. (/c = 1, 2, 3) und die Restfunktion Z 3 (p), wenn man q{p) = L0p oder q{p) = L0p + l / ( C 0 p ) wählt, je nachdem ob Lx und 1 / C j = 0 o d e r L , / C , ^ 0 gilt. Im FallL, * 0 , 1 / Q = 0 wird L\ : = L0 + L ,

und

L3 : =

L3-L'0

Realisierung einer Zweipolfunktion

75

mit L, + L3, L' a := ¿0 . _ , ^ 0 L 0 + L, + L 2 gesetzt, so daß wegen L, L 2 + L 2 L 3 + L 3 LJ = 0 die Beziehung

L[L2 + L2L'i + L'iL{

=0

besteht. Bei der Realisierung werden statt und L 3 die Konstanten L J und L 3 verwendet, und an die Stelle der Restfunktion Z3(p) tritt die Zweipolfunktion Z3 (p) + L '0p. Ist L J = 0, dann muß auch L 3 = 0 sein, und man erhält als Reaktanzzweitor das im Bild 1.69 dargestellte Zweitor mit zwei Energiespeichera - Entsprechend dem Fall Lx ^ 0, l/Cl = 0 ist der Fall L x / C , ^ 0 zu behandeln.

3.8.5

Zusätzliche Bemerkungen

Bei Verwendung einer Entwicklungsstelle zweiter Art pv = av oder pv = J'CJ^ , die keine Nullstelle von Z (p) ist, oder bei Verwendung einer Entwicklungsstelle dritter A r t p t = at > 0 kann man die Funktion r(p) aus Gl. (1.107) auch dadurch festlegen, daß man Lx= 0 und C, = \/[pvZ{pv)] bzw. C, = \/[plZ(pi)] wählt. Das weitere Vorgehen unterscheidet sich nicht von der bisherigen Verfahrensweise. Allerdings muß in Gl. (1.112) jetzt L 3 = 0 gewählt werden. Die Größe C 3 ergibt sich aufgrund der Forderung, daß beim Übergang von Z2 (p) zu Z 3 (p) der Pol im Nullpunkt vollständig abgebaut werden soll. Es gilt C, + C2 + C 3 = 0. Das hierbei entstehende Reaktanzzweitor ist zunächst wegen des Auftretens einer negativen Kapazität nicht ausführbar. Man kann jedoch dieses Zweitor leicht in ein ausführbares äquivalentes Netzwerk überführen, das einen festgekoppelten Übertrager enthält. Auf die Voraussetzung, daß Z (p) in p = 0 keinen Pol hat, kann auch hier verzichtet werden. Die Vorgehensweise muß dazu ähnlich abgeändert werden, wie dies früher in entsprechenden Fällen geschah. Es besteht die Möglichkeit, in einem Entwicklungszyklus gleichzeitig zwei Entwicklungsstellen zweiter oder dritter Art, die auf den Koordinatenachsen der p -Ebene liegen, abzubauen. Dadurch erhält man zusätzliche Realisierungsmöglichkeiten, die unter Umständen Vorteile gegenüber den im vorausgegangenen gewonnenen Netzwerken bieten. Diesbezügliche Einzelheiten können der Arbeit [Un2] entnommen werden.

3.8.6

Verhalten der Entwicklungsstellen bei der Durchführung eines Entwicklungszyklus

Für die praktische Anwendung des in den vorausgegangenen Abschnitten beschriebenen Realisierungsverfahrens ist es wichtig zu wissen, wie sich die Entwicklungsstellen erster und zweiter Art der Funktion Z (p) beim Übergang zur Zweipolfunktion Z 3 (p) verhalten. Diese Frage wird im folgenden in Form einiger Sätze beantwortet. Die Beweise werden nur angedeutet. Eine ausführliche Beweisführung findet man in der Arbeit [Un2]. Es sei px eine in der offenen Halbebene R e / j > 0 gelegene Entwicklungsstelle zweiter Art von Z ( p ) und q1 die Ordnung der Nullstelle p1 von G (p). Mit G 3 (p) wird künftig stets der gerade Teil von Z 3 (p) bezeichnet.

I Synthese passiver Netzwerke

76

Satz 1.15a: Wird p 1 zur Bildung von Z 3 ( p ) als Entwicklungsstelle verwendet, dann ist Pj im Falle qx > 2 Nullstelle von G3 (p) der Ordnung q1 - 2; andernfalls gilt G3 ( p , ) ^ 0. Falls p, nicht als Entwicklungsstelle verwendet wird, istpj Nullstelle von G 3 ( p ) der Ordnung qx. Zum Beweis dieses Satzes muß man untersuchen, wie sich die geraden und die ungeraden Teile der Funktionen Zt(p), Z2(p), Z 3 (p) in p = Pi verhalten. Erfolgt ein direkter Obergang von Z(p) zu Z 3 (p) nach Abschnitt 3.8.1, dann gilt G, (p) = G(p), und die Richtigkeit der Aussage von Satz 1.15a ist offenkundig.

Es sei p2 * 0, °° eine auf der imaginären Achse gelegene Entwicklungsstelle zweiter Art von Z (p) und q2 die (notwendig geradzahlige) Ordnung der Nullstellep 2 von G (p). Satz 1.15b: Für das Verhalten der Entwicklungsstelle p2 beim Übergang zur Zweipolfunktion Z3 (p) gibt es genau zwei Möglichkeiten. 1. Der Punkt p2 wird Entwicklungsstelle erster Art von Z 3 (p). Weiterhin wird der Punkt p2 Nullstelle von G3 (p) der Ordnung q2 - 4 2 0 oder q2 - 2 ^ 0, je nachdem ob p2 zur Bildung von Z 3 ( p ) verwendet wurde oder nicht. 2. Der Punkt p2 wird nicht Entwicklungsstelle erster Art von Z 3 ( p ) , jedoch Nullstelle von G 3 (p) der Ordnung q2 - 2 i 0 oder q2, je nachdem obp 2 zur Bildung von Z 3 (p) verwendet wurde oder nicht. Der Beweis von Satz 1.15b erfolgt in ähnlicher Weise wie der von Satz 1.15a.

Es sei p3 = 0 oder p3 = °° eine Entwicklungsstelle zweiter Art von Z(p) und q3 die Ordnung der Nullstellep 3 von G (p). Satz 1.15c: Wird der Punkt p3 zur Bildung von Z 3 ( p ) als Entwicklungsstelle verwendet, dann ist dieser Punkt für q3 = 4 Entwicklungsstelle erster Art von Z 3 ( p ) und Nullstelle von G 3 (p) der Ordnung q} - 4, oder der Punkt p 3 ist keine Entwicklungsstelle von Z 3 (p), falls q3 = 2 gilt. - Wird dagegen der Punkt p 3 nicht als Entwicklungsstelle benützt, so ist er eine Nullstelle von G 3 ( p ) der Ordnung q3 und somit Entwicklungsstelle zweiter Art von Z3(p). Es sei p 4 ^ 0, °° eine auf der imaginären Achse gelegene Entwicklungsstelle erster Art von Z ( p ) und qA bzw. r4 die Ordnung der Nullstelle p 4 von G (p) und G 3 (p). Satz 1.15d: Wird der Punkt p 4 zur Bildung von Z3 ( p ) nicht als Entwicklungsstelle verwendet, dann ist dieser Punkt entweder Entwicklungsstelle erster Art von Z 3 (p), und es gilt r4 = q4, oder p 4 ist Entwicklungsstelle zweiter Art von Z 3 (p), und es gilt r4 = + 2. - Wird dagegen der Punkt p 4 als Entwicklungsstelle benützt, dann ist er nicht Entwicklungsstelle erster Art von Z 3 (p), und es gilt G 3 ( p ) = G (p). Es sei p 5 = 0 oder p 5 = °° eine Entwicklungsstelle erster Art von Z (p) und q5 die Ordnung

3.9 Das Verfahren von R, Bott und R. J. Duffln

11

der Nullstellep 5 von G (p). Satz l.lSe: Wird der Punkt ps zur Bildung von Z 3 (p) nicht als Entwicklungsstelle verwendet, dann ist dieser Punkt auch Entwicklungsstelle erster Art von Z 3 (p), und die Ordnung der Nullstelle p5 von G 3 (p) ist q5. - Wird dagegen der Punkt ps als Entwicklungsstelle benützt, dann ist er keine Entwicklungsstelle erster Art von Z 3 (p), und es gilt G3 (p) = G (p). Auch die Sätze 1.15c-e werden in ähnlicher Weise wie der Satz 1.15a bewiesen. Ausführliche alternative Beweise der Sätze 1.15a-e findet man in [UN3], Band I.

Zusammenfassend kann man feststellen, daß die Restzweipolfunktion Z 3 ( p ) nur solche Entwicklungsstellen erster und zweiter Art besitzen kann, die Entwicklungsstellen erster oder zweiter Art der Zweipolfunktion Z(p) waren.

3.9 DAS VERFAHREN VON R. BOTT UND R. J. DUFFIN

3.9.1

Vorbemerkungen

Die in den Abschnitten 3.6, 3.7 und 3.8 behandelten Verfahren zur Realisierung einer beliebigen Zweipolfunktion führen zu Netzwerken, die im allgemeinen Übertrager enthalten. R. BOTT und R. J. DUFFIN haben im Jahre 1949 gezeigt, daß jede Zweipolfunktion durch einen reinen RLC-Zweipol, also ohne Verwendung von Übertragern, verwirklicht werden kann [Bol]. Hierauf soll im folgenden eingegangen werden. Der Bott-Duffin-Prozeß liefert allerdings keine kanonischen Netzwerke. Ausgehend von der zu realisierenden Zweipolfunktion werden zunächst Reaktanz- und Widerstandsreduktionen sukzessive so lange angewendet, bis sich eine Restzweipolfunktion Z (p) ergibt, auf die keine derartigen Reduktionen mehr anwendbar sind. Diese Präambel wurde im Abschnitt 3.6 auch dem Brune-Zyklus vorangestellt. Ihr entspricht eine Verwirklichung der Ausgangsfunktion in Form eines Netzwerks, das außer Ohmwiderständen, Induktivitäten und Kapazitäten nur noch einen Restzweipol enthält, dessen Impedanz bzw. Admittanz mit Z ( p ) bezeichnet wurde. Für eine übertragerfreie Realisierung der Ausgangsfunktion genügt es also, diese Zweipolfunktion Z(p) durch einen RLC-Zweipol zu verwirklichen. Wie im Abschnitt 3.6 bereits gezeigt wurde, muß als Folge der vorausgegangenen Widerstandsreduktion ein Punkt p =J'CJ 0 mit CJ0 / 0 , ™ existieren, für den die Zweipolfunktion Z (/>), deren Grad zwangsläufig mindestens zwei beträgt, rein imaginär ist: Z(jUo)=jX.

(1.113)

Hierbei gilt X i 0. Im folgenden soll Z(p) als Impedanz verwirklicht werden. Die entsprechende Realisierung von Z (p) als Admittanz läßt sich in dualer Weise erreichen.

78

I Synthese passiver Netzwerke

3.9.2

Der Entwicklungsprozeß

Bei den folgenden Betrachtungen empfiehlt es sich, die Fälle X > 0 und X < 0 zu unterscheiden. (a) Der Fcdl X > 0 Ausgehend von der Zweipolfunktion Z(p)

wird die Funktion

Wu(p):=Z(p)-Lap

(1.114)

La = X/cj

(1.115)

mit 0

eingeführt. Diese Funktion hat dieselben Eigenschaften wie die Funktion Z , ( p ) aus Gl. (1.76), die im Abschnitt 3.6 ausführlich diskutiert wurde. Demnach existiert eine einfache Nullstelle p = 0 von Wla(p).

Hierbei wurde Z ( 0 ) ^ 0

berücksichtigt. Außer der

Nullstelle p = aa hat Wu (p) keine Nullstellen in der Halbebene R e p > 0 . Alle Nullstellen von Wu ( p ) auf der imaginären Achse sind einfach und weisen positive Entwicklungskoeffizienten auf. Zu diesen Nullstellen gehören die Punkte p = ± J ' C J 0 . Als weitere Funktion wird WM-.=

(1.116)

\-kaLaPZ{P)

eingeführt. Dabei wird ka = 1/Z 2 (CTJ = l / ( L a f f J 2 gewählt. Da Wu(aa)

(1.117)

= 0 gilt, folgt aus Gl. (1.114) = 0.

Z(cia)-Laaa

(1.118)

Damit muß aber nach Gl. (1.116) und Gl. (1.117) auch f V ^ ( a a ) = 0 gelten. Der Punkt p = aa ist sicher eine einfache Nullstelle von W^ ( p ) . Diese Tatsache sieht man leicht ein, wenn man die Funktion WZa(p)/Z(p)

= 1/Z(p)

- ka Lap

betrachtet, die offensichtlich

die grundsätzliche Form der Funktion Wla ( p ) hat und daher ganz entsprechende Nullstelleneigenschaften wie diese Funktion besitzt. Bildet man nun den Quotienten Wla(p)

* 0 werden auch hier zwei Funktionen W

i b

( p ) : = Z ( p ) - L

b

p

(1.120)

und W ^ ( p ) : = \ - k

b

L

b

p Z { p )

(1.121)

mit positiven Konstanten kb und Lb eingeführt, deren genaue Wahl noch zu treffen ist. Zunächst stellt man fest, daß die Funktion fVlb(p) aus Gl. (1.120) die gleichen Nullstellen- und Poleigenschaften wie die Funktion WXa{p) aus Gl. (1.114) hat. Es muß insbesondere eine Stelle p = ab > 0 existieren, die eine einfache Nullstelle von Wib (p) ist. Entsprechend Gl. (1.117) wird durch die Wahl k

b

= \ / Z \ a

b

)

(1.122)

erreicht, daß p = crb auch eine einfache Nullstelle der Funktion W^ (p) ist. Schließlich bewirkt die Wahl Lb = - \/(kb

u0X)

> 0,

(1.123)

daß die Punkte p = ± jw 0 Nullstellen der Funktion Wlb (p) nach Gl. (1.121) werden. Diese Funktion hat die gleichen Nullstellen- und Poleigenschaften wie die Funktion W^ ( p ) aus Gl. (1.116). Für die Nullstellep = a b gilt gemäß Gl. (1.120) die Beziehung Z ( a b ) = L b a b . Ersetzt man hier die Konstante Lb gemäß Gl. (1.123) und anschließend die Konstante kb durch die rechte Seite der Gl. (1.122), dann erhält man als Bestimmungsgleichung für 0 keine Pole haben. Das Auftreten einer Polstelle von Z j 2 ( p ) in Rc p > 0 hätte nämlich nach Gl. (1.130) bei Wähl von xux2 / 0 zur Folge, daß diese Stelle auch ein Pol von Z (p) wäre, was jedoch ausgeschlossen ist. (b) Jeder auf der imaginären Achse einschließlich p = °° gelegene Pol von Z 12 (p) muß einfach sein. Hätte nämlich Z12(p) dort eine mehrfache Polstelle, dann hätte auch Z(p) bei Wahl von xl7x2 ^ 0 in diesem Punkt einen Pol der gleichen Vielfachheit. Es sei nun p = jcj 0 (0 ^ cj0 = °°) ein Pol der Funktion Z I 2 (p); der Entwicklungskoeffizient von Z 12 (p) in diesem Punkt soll mit r12 bezeichnet werden. Die Entwicklungskoeffizienten der Zweipolfunktionen Zn (p) und Z 22 (p) in p = ju0 sollen mit r n bzw. r22 bezeichnet werden. Es sei

4.1 Eigenschaften der Impedanz- und der Admittammatrix

85

rn bzw. r22 gleich null, falls die entsprechende Funktion im Punkt p = j u 0 keinen Pol hat. Dann erhält man für den Entwicklungskoeffizienten der Zweipolfunktion Z(p) in p = jo0 aufgrund von Gl. (1.130)

r := rnxf

+ 2r12 x, x2 + r22 xx2 •

(1.131)

Die Entwicklungskoeffizienten rn, r22 und r müssen notwendig positiv reell oder null sein, da sie zu Zweipolfunktionen gehören. Daher muß auch der Entwicklungskoeffizient rn nach Gl. (1.131) eine reelle Konstante sein. Da der Entwicklungskoeffizient r für beliebige reelle Größen jcj und x2 nicht negativ werden darf, muß die rechte Seite der Gl. (1.131) eine positiv semidefinite quadratische Form in den Variablen Xj, x2 sein. Notwendig und hinreichend dafür, daß diese Form positiv semidefinit ist, sind bekanntlich die Forderungen r

n = 0,

r 2 2 ä 0,

rnr22

- r2n t

(1.132a-c)

0.

Die Forderungen (1.132a,b) korrespondieren mit einer der Bedingungen, welche die Zweipolfunktionen Zn (p) und Z22 (p) erfüllen müssen. Neu ist die Forderung (1.132c). Aus ihr folgt, daß die Funktion Z12(p) i n p = jcj 0 einen notwendigerweise einfachen Pol nur dann besitzen kann, wenn dort sowohl Z n (p) als auch Z 22 ( p ) einen Pol hat. Die Funktion Zn(p) braucht zwar keine Zweipolfunktion zu sein, jedoch muß sie die obigen Bedingungen erfüllen, die aus der Tatsache abgeleitet wurden, daß Z(p) nach Gl. (1.130) für beliebigex i ,x 2 Zweipolfunktion ist. Es ist möglich, daß in den Bedingungen (1.132a-c) einer der Entwicklungskoeffizienten r n und r 22 positiv ist, während der andere Koeffizient und r, 2 verschwinden. In einem solchen Fall hat eine der Zweipolfunktionen Z u (p) und Z 22 (p) i n p = j'cj0 einen Pol, während die andere und die Funktion Z , 2 ( p ) in p = j'cj0 endliche Werte besitzen. Gilt in der Bedingung (1.132c) das Gleichheitszeichen, dann nennt man den Pol p = jcj 0 der Impedanzmatrix

kompakt. Während die Funktion Z 1 2 (p) auf der imaginären Achse einschließlich p = °° nur in den Punkten Pole haben kann, in denen auch Zn (p) und Z^ (p) Polstcllcn haben, braucht dies für die linke Halbebene R e p < 0 nicht zu gelten. Diese Tatsache läßt sich anhand des im Bild 1.7S dargestellten Zweitors direkt erkennen. Dieses Zweitor besitzt als Elemente der Impedanzmatrix

Zn(p) = Zn(p)=-E— , p+a

Zu(p) = l. 1 a 1

-o

1

a

Bild 1.75: RLC-Zweitor mit Zu (p) = Zu ( p ) = p / ( p + a ) und

Zn (p) =

-o

1

Mit den Abkürzungen Rßv(u)

:= R e Z M „ ( j c j ) erhält man aus Gl. (1.130)

R e Z ( j u ) = ^ „ ( c j ) ^ ! 2 + 2 R ^ 2 { u ) x i x 2 + R22(u)xi Da Z(p)

.

(1.133)

eine Zweipolfunktion ist, muß R e Z ( j c j ) ^ 0 für alle u-Werte gelten. Die rechte

I Synthese passiver Netzwerke

86

Seite der Gl. (1.133) m u ß daher eine positiv semidefinite quadratische F o r m in den Variablen xx u n d x2 sein. Als notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, daß die Zweipolfunktion Z ( p ) auf p = J'CJ einen nichtnegativen Realteil hat, erhält m a n damit die Forderungen

Ru

( C J )

?

0 ,

-R22(CJ) ^ 0 ,

Ru(U)R22(CJ)

-

Rt22(U)

T

0

(1.134a-c)

für alle CJ-Werte. Beispielsweise folgt hieraus, daß in jedem Punkt auf der imaginären Achse, in welchem Zn (p) oder Z22 ( p ) verschwindenden Realteil hat, auch der Realteil von Z 1 2 ( p ) gleich null ist. Insbesondere m u ß Z 1 2 ( p ) in jeder auf der imaginären Achse gelegenen Nullstelle von Z n ( p ) oder Z 2 2 ( p ) imaginär sein. J e d e Stelle p , in der mindestens ein Element der Matrix

Z(p): =

Zn(p)

Z12(p)

zn(p)

Z22(p)

(1.135)

unendlich wird, soll Pol der Matrix Z ( p ) genannt werden. M a n nennt eine Matrix Z ( p ) rational, falls ihre Elemente rationale Funktionen von p sind. Sind die Elemente von Z ( p ) für r e e l l e p - Werte reell, dann wird Z ( p ) eine reelle Matrix genannt. Weiterhin heißt die Matrix Z ( p ) positiv, wenn die nach Gl. (1.130) aus ihren Elementen gebildete Funktion Z(p) für beliebige reelle Werte xt und x2 positiv ( R e Z ( p ) > 0 für R e p > 0) oder identisch null ist. Damit kann m a n feststellen, daß die Impedanzmatrix eines jeden RLCÜ-Zweitors eine rationale, reelle, quadratische, symmetrische und positive Matrix sein muß, sofern das betreff e n d e Zweitor durch eine Impedanzmatrix beschrieben werden kann (was nicht immer der Fall ist). Die Admittanzmatrix Y(p) = [Yrs ( p ) ] ist durch die Gleichung /l

Yn(p)

y12(p)

h

y12(p)

Y22ÍP)

u, U

(1.136)

2 .

definiert. Untersucht man diese Matrix im betrachteten Fall eines R L C Ü - Z w e i t o r s in gleicher Weise wie die Impedanzmatrix, dann gelangt man zu dem Ergebnis, daß Y ( p ) ebenfalls eine rationale, reelle, quadratische, symmetrische und positive Matrix sein muß. Aufgrund der vorausgegangenen Erörterungen und mit Hilfe von Satz 1.6 kann nun folgendes festgestellt werden. Satz 1.16: Notwendig und hinreichend dafür, daß eine rationale, reelle, quadratische u n d symmetrische Matrix Z ( p ) nach Gl. (1.135) positiv ist, sind die folgenden Bedingungen: a) Die Realteile der Matrixelemente erfüllen die Bedingungen (1.134a-c) für alle CJWerte. b) Z ( p ) hat in der offenen rechten Halbebene R e p > 0 keine Pole. c) Alle Pole von Z ( p ) auf der imaginären Achse (einschließlich p = sind einfach. Die Entwicklungskoeffizienten der Matrixelemente in j e d e m derartigen Pol erfüllen die Bedingungen (1.132a-c). Die Impedanzmatrix und die Admittanzmatrix eines jeden RLCÜ-Zweitors müssen die Bedingungen von Satz 1.16 erfüllen, soweit diese Matrizen existieren. Umgekehrt kann jede Matrix, welche die Bedingungen von Satz 1.16 erfüllt, als Impedanzmatrix oder als Admittanzmatrix durch ein RLCÜ-Zweitor verwirklicht werden. B.D.H. T E L L E G E N [Te2] hat

4.1 Eigenschaften der Impedanz- und der Admittanzmatrix

87

ein Verfahren entwickelt, das j e d e derartige Matrix in der gewünschten Weise zu realisieren erlaubt. Dieses Verfahren stellt eine Erweiterung des Brune-Prozesses auf mehrtorige R L C Ü - N e t z w e r k e dar. Damit sind die Bedingungen von Satz 1.16 notwendig und hinreichend f ü r die Realisierbarkeit einer rationalen, reellen, quadratischen und symmetrischen Matrix als Impedanz- oder Admittanzmatrix eines RLCÜ-Zweitors. Auf eine Übertragung der Realisierbarkeitsbedingungen auf die anderen Arten von Zweitormatrizen soll hier verzichtet werden.

4.1.2

Sonderfälle

E i n wichtiger Sonderfall der durch Satz 1.16 gekennzeichneten positiven Matrizen ist gegeben, wenn für ein spezielles Wertepaar x , = x10, x2 = x 20 mit (jtr]0, jc20 ) ^ ( 0 , 0 ) die Zweipolfunktion Z(p) nach Gl. (1.130) identisch null ist. In diesem Fall erhält m a n nach Gl. (1.130) für alle reellen Werte p = a > 0

Z(a)^f(a,xl,x2):=Zn(a)x21 + 2Z12(a)Xjx2 + Z22(a)xi Z 0 für beliebige reelle Werte xi und x2, wobei das Gleichheitszeichen für x} = (und damit auch für xi-k

, x2 = x20

xi0 und x2 = k x2a bei beliebig reellem k ) gilt. Die obige Funktion

/ (er, x1, x2) m u ß also für jeden festen Wert er > 0 in Abhängigkeit der Variablen Xj und x2 eine stationäre Stelle inorj =

IL dxt

=

*|0. *2 = X2Q

x10,x2 = x20

haben. Daher gilt

2xi0Zn(a)+2x20Zn(a) = Q

(1.137)

und

IL d*2

" *10,

= 2x10 Z 1 2 (ct) + 2j:2o Z„(a)

= 0.

(1.138)

x

2 = *20

Die linken Seiten dieser beiden Beziehungen sind rationale Funktionen in der Veränderlichen a und haben daher nur in endlich vielen Punkten Nullstellen, sofern sie nicht identisch in er verschwinden. Da die Gin. (1.137) und (1.138) für alle W e r t e er > 0 gelten, die linken Seiten dieser Gleichungen also in mehr als endlich vielen Punkten null sind, müssen die Gin. (1.137) und (1.138) für beliebige komplexe Werte der unabhängigen Veränderlichen identisch verschwinden. Man erhält nichttriviale Lösungen * ] 0 , x20 dieser Gleichungen genau dann, wenn die Relation

Zil(p)Z22(p)-Z122(p)^0 gilt. D a n n ergeben sich für Zu(p)

(1.139)

f- 0, Z 2 2 ( p ) N 0 und x10

Zn (P)=~— Z» (p) =

(—

f Z22

0, x20 ^ 0 die Beziehungen

(p) •

(1.140)

Falls keines der Elemente Zn (p), Z 2 2 ( p ) und Z 1 2 ( p ) identisch null ist, kann m a n umgekehrt aufgrund von Gl. (1.139) nachweisen, daß Z ( p ) von Gl. (1.130) für ein spezielles reelles Wertepaar at, = x10 * 0, x2 = x20 ^ 0 identisch null ist und daß in der Tat dann auch die Gin. (1.140) bestehen. Gilt die Gl. (1.139), also Z ( p ) = ( x ^ Z

n

( p ) ± *2 V Z 2 2 ( p ) ) 2 ,

88

I Synthese passiver Netzwerke

dann muß nämlich für ein beliebiges p = cr0 > 0 ein Wertepaar xx = x 10 ^ 0 und x 2 = x20 ^ 0, beispielsweise x10 = - VZ 2 2 (ct 0 ), x20 = V Z n ( c r 0 ) existieren, so daß Z(cr0) = 0 ist. Da aber Z ( p ) eine Zweipolfunktion sein muß, folgt hieraus Z ( p ) = 0. Aus den Gin. (1.140) läßt sich für den betrachteten Sonderfall eine Realisierung gemäß Bild 1.76 entnehmen. Dabei ist die Zweipolfunktion Z n ( p ) mit Hilfe eines der bekannten Verfahren zu verwirklichen. Wie aus Gl. (1.139) zu entnehmen ist, existiert im vorliegenden Fall keine Admittanzmatrix. - x z o : ijo Zn\ Bild 1.76: Realisierung einer speziellen Impedanzmatrix

o

Der betrachtete Sonderfall entartet, wenn mindestens eines der Elemente Zn (p), Z 22 (p) identisch null ist. Dann gilt auch Z 1 2 ( p ) = 0. Im Fall Z22(p) = 0 erhält man als Verwirklichung das Zweitor nach Bild 1.77a, im Fall Z n ( p ) = 0 das Zweitor nach Bild 1.77b.

Bild 1.77: Entartung des Sonderfalls von Bild 1.76

(a)

(b)

Auch für die Admittanzmatrix [ Yrs (p)] gibt es einen entsprechenden Sonderfall. Er ist dadurch gekennzeichnet, daß die entsprechend Gl. (1.130) aus den Elementen der Admittanzmatrix gebildete Zweipolfunktion Y(p) für ein spezielles Wertepaar jtj = , x2 = x20 mit (*i 0 , x20) ? (0,0) identisch null ist. Wie bei der Diskussion des Sonderfalls der Impedanzmatrix erhält man hier für Yu (p) ^ 0 , Y 2 2 ( p ) f 0 und jc10 ^ 0, x20 * 0 die Beziehungen YU{p)Yn(p)-Yh{p)

=*

(1-141)

und YU(P)=-

^Y»(p)= Xm

i ^ f Y (p). V Xm ) 22

(1.142)

Auch hier ist die durch Gl. (1.141) ausgedrückte Eigenschaft, daß die Determinante der Matrix identisch null ist, kennzeichnend für den betrachteten Fall. Wie man sieht, existiert hier keine Impedanzmatrix. Aufgrund der Gin. (1.142) erhält man die Realisierung aus Bild 1.78. Der betrachtete Sonderfall entartet, wenn mindestens eines der Elemente Yn(p), Y22{p) identisch null ist. Dann verschwindet auch Yn ( p ) für alle p -Werte. Im Fall Y22 (p) = 0 erhält man als Verwirklichung das Zweitor nach Bild 1.79a, im Fall Y n ( p ) = 0 das Zweitor nach Bild 1.79b. y 11 xi0 : xzo

Bild 1.78: Realisierung einer speziellen Admittanzmatrix

4.1 Eigenschaften der Impedanz- und der Admittanzmatrix

89

Abschließend soll noch untersucht werden, in welcher Weise die behandelten Sonderfälle mit Hilfe der Kettenmatrix gekennzeichnet werden können. Die Beschreibung eines Zweitors mit Hilfe seiner Kettenmatrix ist durch die Gleichung

An(p)

Ui II 'l

A12(P)

u2

A21 (p) A22(P)

gegeben. Die Determinante der Kettenmatrix muß gleich eins sein, da hier nur RLCÜZweitore betrachtet werden.

(a)

Bild 1.79: Entartung des Sonderfalls von Bild 1.78

(b)

Ist das Element A12(p) der Kettenmatrix identisch null, das Element A2i (p) dagegen nicht, dann kann die Gl. (1.143) auf die Form von Gl. (1.127) gebracht werden. Es existiert somit für das betreffende Zweitor eine Impedanzmatrix; ihre Determinante verschwindet identisch. Der Fall Au (p) = 0, A21 (p) ^ 0 entspricht also Zweitoren, die sich nach Bild 1.76 verwirklichen lassen. An Hand dieser Realisierung ist zu erkennen, daß für die Hauptdiagonalelemente der Kettenmatrix Au (p) = - x20/xl0 und A22(p) = ~x1B/x20 gilt. Ist das Element A2i (p) der Kettenmatrix identisch null, das Element An (p) dagegen nicht, dann kann die Kettenmatrix in die Admittanzmatrix umgerechnet werden. Es zeigt sich dabei, daß die Determinante der Admittanzmatrix identisch verschwindet. Der Fall An (p) / 0, A2l (p) = 0 entspricht also Zweitoren, die sich nach Bild 1.78 verwirklichen lassen. An Hand dieser Realisierung ist zu erkennen, daß für die Hauptdiagonalelemente der K e t t e n m a t r i x y l u ( p ) = x10/x20 u n d / f 2 2 ( p ) = x20/x,0 gilt. Verschwinden A12 (p) undv4 21 ( p ) gleichzeitig für allep-Werte, dann gilt Ux = U2 Au (p) und /) = - I2/An (p). In diesem Fall existiert weder eine Impedanz- noch eine Admittanzmatrix. Man kann zeigen, daß An (p) eine Konstante ist. Das betreffende Zweitor wird zu diesem Zweck auf seiner Sekundärseite mit einem Zweipol abgeschlossen, der die Impedanz ZA ( p ) hat. Am Zweitoreingang erhält man dann die Impedanz ZE (p) = A f, ( p ) ZA ( p ) . Damit ZE(p)

für jede beliebige Zweipolfunktion ZA ( p ) selbst eine solche Funktion wird, m u ß / 4 u ( p ) eine Kon-

stante sein. Dies läßt sich folgendermaßen zeigen. Es sei Au ( p ) = G ( p ) + U(p) geraden und U(p)

/- const, wobei G (p) den

den ungeraden Teil von An (p) bedeutet. Verschwindet eine der beiden Funktionen G (p)

und U (p) identisch, so kann die andere Funktion Pole und Nullstellen nur auf der imaginären Achse haben, da sonst die Impedanz ZE (p) in Rep

> 0 Nullstellen oder Pole haben müßte. In diesem Fall sind aber auch ima-

ginäre Nullstellen und Pole der Funktion G (p) bzw. U(p) achtenden Beziehung ZE(p)

ausgeschlossen, da sonst angesichts d e r hier zu be-

= Af, (p) ZA ( p ) die Impedanz ZE(p)

längs R e p = 0 mehrfache Nullstellen oder

Pole hätte. Verschwindet keine der Funktionen G ( p ) und U ( p ) identisch, so läßt sich durch die Wahl von

(P)

=

Lp

oder

ZA ( p )

= 1 / C p immer eine Stelle p = j c j angeben, für die Re

ZE(ju) < 0

ist. Damit ist die

obige Annahme An ( p ) ^ const nicht zulässig. Im betrachteten Fall kann also das Zweitor als idealer Übertrager verwirklicht werden.

Zusammenfassend kann man feststellen, daß die Hauptdiagonalelemente der Kettenmatrix Konstanten sind, falls mindestens eines der Elemente in der Nebendiagonale verschwindet. Die Konstanten müssen zueinander reziprok sein, damit die Determinante der Kettenmatrix eins wird.

90

I Synthese passiver Netzwerke

4.2

UBERTRAGUNGSFUNKTIONEN

Es wird ein RLCÜ-Zweitor nach Bild 1.74 betrachtet, das gemäß Gl. (1.127) bzw. Gl. (1.136) durch seine Impedanz- oder seine Admittanzmatrix darstellbar sein soll. Ein eventuell vorhandener Innenwiderstand der erregenden Quelle sei in das Zweitor einbezogen. Ebenso sei ein Abschlußzweipol in das Zweitor eingerechnet. Bei praktischen Anwendungen der Synthese von Zweitoren geht man häufig nicht von einer Zweitormatrix, sondern von einer Übertragungsfunktion aus. Wird das betrachtete Zweitor auf der Primärseite durch eine Spannung Ux oder einen Strom / j erregt, dann kann man zwischen den folgenden Typen von Übertragungsfunktionen unterscheiden:

H2(P) H3(P)

z7...(n\ I2(p)

II

II. tfl(p)

h=0

Zn(p)

H H t/2 = o

Y..tn\ YNIP) Y22(P)

Yn(p)

2,2 ( p )

YNIP)

Z22(p)

(1.144)

(1.145)

H Ui U2 = 0

=

Y12(p), (1.146)

U2 H /2= 0

(1.147)

Es sei nun p — j'cjq eine Nullstelle von Z ^ (/?), jedoch keine von ZX2 ip)- Nach den Überlegungen von Abschnitt 4.1.1 muß dann Z ] 2 ( j o 0 ) imaginär sein. Daher verhält sich Hx (p) in der Umgebung von p = j'cj0 wie

b(p

-j"o)

wobei a und b reelle Konstanten bedeuten. Hieraus ist zu ersehen, daß alle Pole der Übertragungsfunktion Hi (p) auf der imaginären Achse einfach sind und imaginäre Entwicklungskoeffizienten aufweisen. Weiterhin stellt man fest, daß die Übertragungsfunktion Hl ( p ) in p = 0 und i n p = °o keine Pole haben kann, weil aus Z n (p) = 0 f ü r p = 0, °° nach Bedingung (1.134c) in diesen Punkten ReZu(p) - 0 und damit Z,2(p) = 0 f ü r p = 0, °° folgt; dabei wurde berücksichtigt, daß die Funktion Zl2(p) für reellep-Werte reell ist. Außerhalb der imaginären Achse kann //, ( p ) nach Gl. (1.144) nur in der linken Halbebene R e p < 0 Pole haben. Die Übertragungsfunktion H2(p) hat die gleichen Poleigenschaften wie die Übertragungsfunktion Ht (p). Etwas anders liegen die Verhältnisse bei den Übertragungsfunktionen H3(p) und H4(p). Die Poleigenschaften lassen sich direkt aufgrund der Gin. (1.146) und (1.147) erkennen. Die gewonnenen Ergebnisse werden zusammengefaßt im

4.3 Reaktanzzweitore

91

Satz 1.17: a) Die durch die Gin. (1.144) bis (1.147) definierten Übertragungsfunktionen sind rationale, reelle Funktionen, die in der rechten Halbebene Rep > 0 keine Pole haben. Alle Pole auf der imaginären Achse sind einfach und weisen im Falle von H t ( p ) oder H2 (p) imaginäre, im Falle von Hi (p) oder // 4 (p) reelle Entwicklungskoeffizienten auf. Inp = 0 und inp = °° sind Hl (p) und H2 (p) frei von Polen. b) Für die Nullstellen der genannten Übertragungsfunktionen (Übertragungsnullstellen) können keine allgemeingültigen Einschränkungen angegeben werden. Ergänzung: Aufgrund der Ergebnisse von Abschnitt 4.1.2 kann die Aussage von Satz 1.17 ergänzt werden. Existiert mindestens eine der Matrizen Y(p) und Z ( p ) des betrachteten Zweitors nicht, dagegen die Kettenmatrix, so sind die Übertragungsfunktionen Hx (p) nach Gl. (1.144) und H2 (p) nach Gl. (1.145) vonp unabhängige Konstanten. Es gilt damit auch für diese Fälle die Aussage von Satz 1.17.

4.3 REAKTANZZWEITORE Im folgenden werden Zweitore betrachtet, die keine Ohmwiderstände enthalten. Es soll untersucht werden, wie sich derartige Reaktanzzweitore aufgrund der vorausgegangenen Ergebnisse charakterisieren lassen. Enthält das betrachtete Zweitor keine Ohmwiderstände, dann verschwindet in Gl. (1.128) die Funktion F(p). Daher ist der Realteil der Zweipolfunktion Z(p) nach Gl. (1.130) für p = j u identisch null; Z ( p ) muß also eine Reaktanzzweipolfunktion sein. Dabei wird natürlich vorausgesetzt, daß die Impedanzmatrix des Zweitors existiert. Da die Funktionen Zn ( p ) und Z 22 (p) Reaktanzzweipolfunktionen sind, muß nach Gl. (1.130) auch die Funktion Z 1 2 ( jcj) identisch verschwindenden Realteil haben. Es muß deshalb Z 1 2 ( p ) + Z 12 ( - / > ) = 0

(1.148)

zunächst für alle Wertep = ju gelten. Da die linke Seite der Gl. (1.148) eine rationale Funktion ist, die nur endlich viele Nullstellen hat, sofern sie nicht identisch null ist, muß die Gl. (1.148) in der gesamten p-Ebene gelten. Die Funktion Z 1 2 ( p ) ist daher eine ungerade Funktion. Sie kann somit in der linken Halbebene R e p < 0 keine Pole haben, da sie sonst auch in der Halbebene R e p > 0 Polstellen hätte, was aber grundsätzlich ausgeschlossen ist. Auf der imaginären Achse darf Z 12 (p) nur einfache Pole aufweisen, und zwar nur dort, wo Z n (p) und Z22(p) zugleich unendlich werden. Die Entwicklungskoeffizienten dieser Funktionen an den genannten Polen sind durch die Bedingungen (1.132a-c) eingeschränkt. Damit gilt für die Elemente der Impedanzmatrix eines Reaktanzzweitors (1.149a) B, Z22(p)= — + P

(1.149b)

92

I Synthese passiver Netzwerke C0

"

P

2Cup

v.\

(1.149c)

P +

mit den Bedingungen cjv > 0

für

v = 1,2,...,

(1.150a)

n

und nach den Gin. (1.132a-c) Avl

0,

(1.150b)

fl^fl,

^„ß^-Cj^O

für

v = 0,1,...,

(1.150c)

n,

Die Funktion Z 1 2 (p) braucht keine Reaktanzzweipolfunktion zu sein. Die Darstellbarkeit der Impedanzmatrixelemente eines Reaktanzzweitors gemäß den Gin. (1.149a-c) unter Beachtung der Bedingungen (l.lSOa-c) ist nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend. Man kann nämlich leicht ein Reaktanzzweitor angeben, welches eine Matrix mit Elementen der genannten Art als Impedanzmatrix verwirklicht. Zur Herleitung einer Realisierungsvorschrift werden zunächst die Impedanzen Z n (p) und Z22 ( p ) an Hand ihrer Partialbruchdarstellungen je in die Summe zweier Teilimpedanzen zerlegt: Zu (P) = ZFR (P) + ZFI> (P) -

Z22 (P) =

(P) + Z§> (p) •

Die Reaktanzzweipolfunktion Z f f l ( p ) umfaßt alle Partialbrüche der Funktion Zn (p) nach Gl. (1.149a), deren Pole in Z i 2 ( p ) nicht enthalten sind. Ebenso umfaßt die Reaktanzzweipolfunktion Z&(p) alle Partialbrüche der Funktion Z22{p) nach Gl. (1.149b), deren Pole in Z I 2 ( p ) nicht vorkommen. Weiterhin werden die Partialbrüche von Z n ( p ) oder von Z22(p), deren Pole auch Pole von Zn(p) sind, teilwebe so zur Funktion Z ^ ( p ) bzw. zur Funktion Z $ ( p ) geschlagen, daß die Entwicklungskoeffizienten der Funktionen Z ^ ( p ) , z ) n (P)< z n ( p ) die Bedingung (1.150c) für alle Pole von Z 1 2 ( p ) mit dem Gleichheitszeichen erfüllen. Damit erhält man die folgende Darstellung der Impedanzmatrix: zfrip) 0 Z(P)

+ — + P

=

2

2

p + CJL

+

0

0

0

Z&>(p)

(1.151)

Dabei b e d e u t e n R 0 , R V , R „ die Matrizen der Entwicklungskoeffizienten der Restmatrix Z[\\p) Z(p): =

z

u

(p)

Zl2(p) z£\p)

in ihren Polstellen. Die Pole jco^ der Matrix Z(p) seien so geordnet, daß diejenigen für v = 1, 2 , . . . , k mit den endlichen, von null verschiedenen Polen der Funktion Z 1 2 (p) übereinstimmen. Die Determinanten der Matrizen R0, Rv (u = 1, 2 , . . . , k) und sind aufgrund der besonderen Konstruktion der Darstellung nach Gl. (1.151) gleich null. Alle Pole der Matrix Z ( 6 ) ( p ) sind also kompakt. Die Impedanzmatrizen 1 *Ä — o > P

2p P2 + "1

( i / = 1 , 2 , . . . , k),

PR„

4.3 Reaktanzzweitore

93

haben also identisch verschwindende Determinanten und lassen sich daher gemäß Abschnitt 4.1.2 durch Zweitore nach Bild 1.76 verwirklichen. Dabei wird der Zweipol Zn im Bild 1.76 bei der Realisierung von R0/p eine Kapazität, bei der Realisierung einer Matrix Rv2p/(p2 + u>l) ein ungedämpfter Parallelschwingkreis und schließlich bei der Verwirklichung von p R„ eine Induktivität. Werden die auf diese Weise entstandenen Zweitore gemäß Gl. (1.151) in Reihe geschaltet und noch die erste und letzte Matrix auf der rechten Seite der Gl. (1.151) berücksichtigt, dann erhält man die Verwirklichung der Impedanzmatrix Z(p) nach Bild 1.80. Derartige Zweitore werden Partialbruchzweitore genannt, da sie aufgrund einer Partialbruchentwicklung der Matrix Z(p) entstehen. Sie wurden von W. CAUER zuerst angegeben. Für praktische Anwendungen haben die Partialbruchzweitore allerdings wenig Bedeutung. Sie sind im allgemeinen nicht kanonisch. Man realisiert Reaktanzzweitore in der Praxis in Form von Kettennetzwerken. Dies wird an späterer Stelle ausführlich besprochen. Die Admittanzmatrix von Reaktanzzweitoren kann ebenso wie die Impedanzmatrix charakterisiert werden. Die Realisierung erfolgt in diesem Fall dual zu Bild 1.80.

Bild 1.80: Partialbruchrealisierung einer Reaktanzimpedanzmatrix

Im folgenden soll noch auf die Charakterisierung von Reaktanzzweitoren unter Verwendung der Kettenmatrix eingegangen werden. Die Beschreibung eines Zweitors mit Hilfe seiner Kettenmatrix ist durch die Gl. (1.143) gegeben. Dabei muß natürlich die Existenz dieser Matrix vorausgesetzt werden. Von H. PILOTY stammt der folgende fundamentale Satz [Pi2], Satz 1.18: Notwendig und hinreichend dafür, daß eine zweireihige quadratische Matrix [ A r s ( p ) ] (r, j = 1,2) die Kettenmatrix eines Reaktanzzweitors ist, sind die folgenden Forderungen: a) Alle Elemente Ars(p) sind rationale, reelle Funktionen, und zwar sind die Hauptdiagonalelemente An (p), A12 (p) gerade und die Nebendiagonalelemente An (p), A21 (p) ungerade Funktionen.

94

I Synthese

passiver

Netzwerke

b) Die Determinante der Matrix ist identisch eins. c) Mindestens drei der vier aus den Ars(p) gebildeten Quotienten An(p)/An ./4j2 (p)/A22

( p ) , A21 ( p ) / A

n

(p),

A21 (p)/A22

(p),

( p ) sind Reaktanzzweipolfunktionen.

Damit ist es auch der vierte Quotient. Zugelassen als Reaktanzzweipolfunktion ist auch die identisch verschwindende Funktion. Tritt eine solche verschwindende Reaktanzzweipolfunktion auf, dann müssen An (p) und A22 (p) zwei (zueinander reziproke) reelle Konstanten sein. Beweis: Es wird die Kettenmatrix in der Form

E(P)

A(p)

B(p)

C(p)

D(p)

geschrieben. Dabei bedeuten A (p), B(p),

(1.152)

C (p), D (p) und E(p)

Polynome. Es darf angenommen werden,

daß es keinen Punkt in der p -Ebene gibt, in welchem alle diese Polynome zugleich null werden. Im Fall B (p) = 0 oder (und) C (p) - 0 kann man aufgrund von Abschnitt 4.1.2 direkt die Aussagen von Satz 1.18 beweisen. Im folgenden kann daher vorausgesetzt werden, daß keines der Elemente der Kettenmatrix für allep -Werte verschwindet. Unter dieser Voraussetzung existiert die Impedanzmatrix und die Admittanzmatrix des betreffenden Zweitors. Aus den Gin. (1.127), (1.136) und (1.143) erhält man . , , Zu(p) y22(p) n = - y • n(P) '12 (P)

A

A .l l (

A

-p)

Zn(p)Z22(p)~

=

z

" (p)=

¿aiP)=

Zf2(p)

7 / \ u(P)

12 KP)

y„(p) = ~ y . 'n(P)

(1.153a,b)

1 " V~77Ä ' 12 \Pj

u(P)

rr-r— M2 KP)

z

z22(P) 7

(1.153c)

.

(i.i53d)

Aus diesen Gleichungen läßt sich aufgrund der bekannten Eigenschaften der Impedanzmatrix und der Admittanzmatrix von Reaktanzzweitoren die Notwendigkeit der Forderungen a, b und c von Satz 1.18 sofort erkennen. Es braucht jetzt nur noch gezeigt zu werden, daß die Forderungen von Satz 1.18 im Falle An(p)

t 0,

A2, (p) ^ 0 auch hinreichend sind. Dieser Beweis wird unter der Annahme geführt, daß gemäß Forderung c von Satz 1.18 An(p)

B (P) A(p)

A

'

-

An(p)

C(P) A(p)

'

A22(p)

C

(P) D(p)

a 1541

Reaktanzzweipolfunktionen sind. Setzt man voraus, daß drei andere der in Forderung c von Satz 1.18 genannten Funktionen Reaktanzzweipolfunktionen sind, dann läßt sich der Beweis ganz entsprechend wie im folgenden führen. Falls die drei F u n k t i o n e n / 1 1 2 ( p ) / A u (p),An A2i (p)/Alt

(p), A21 (p)/A22

(p)/An

(p),A21

(p)/A22(p)

odcr.4 1 2

(p)/A22(p),

(p) Reaktanzzweipolfunktionen sind, führt man den Beweis mit Hilfe der Impe-

danzmatrix, sonst mit Hilfe der Admittanzmatrix. Da voraussetzungsgemäß die in den Gin. (1.154) genannten Funktionen Reaktanzzweipolfunktionen sind, folgt mit den Gin. (1.153a,b,d), daß auch Z,,(/>)=

- d

(1.155a,b)

derartige Funktionen darstellen. Die Reaktanzzweipolfunktion B (p)/A

(p) läßt sich angesichts der aus For-

derung b folgenden Relation A (p) D (p) - B (p) C (p) = E1 (p) in der Form d l E l R i E l - f E i E l Y

B(P) _ C(p) A(p)

C(p) a±2L C(P)

[c(p)j

4.4 Induktiuitätsfreie

95

Zweitore

darstellen. Der hierbei auftretende Quotient E(p)/C(p)

Da voraussetzungsgemäß die Quotienten B (p)/A tioncn sind, kann der Quotient E (p)/C

ist ungerade und nach Gl. (1.153d)

(p), A (p)/C

(p) und D (p)/C

(p) Reaktanzzweipolfunk-

(p) wegen Gl. (1.156) keine mehrfachen Pole haben, sondern nur ein-

fache Polstellen, die auf der imaginären Achse liegen und zugleich auch Pole vonA (p)/C

(p) sein müssen.

Bezeichnet man nunmehr mit rn, rn bzw. rl2 die Hntwicklungskoeffizienten der Funktionen A D (p)/C

(p) und E (p)/C

erfüllen, weil B (p)/A

(/?) nach Gl. (1.156) Reaktanzzweipolfunktion ist. Die Funktion E (p)/C

Pole nur dort haben, wo sowohl A (p)/C(p) tionen Zn(p)

(p)/C(p),

(p) in einem derartigen Pol, so müssen sie die Bedingung (r,, rn - r?2 )/rn als auch D(p)/C(p)

§ 0

(p) kann also

Pole besitzen. Damit erfüllen die Funk-

aus Gl. (1.155a), Z ^ ( p ) aus Gl. (1.155b) und Z 1 2 ( p ) aus Gl. (1.155c) der Impedanzmatrix,

welche der nach Satz 1.18 gegebenen Kettenmatrix entspricht, alle notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Elemente der Impedanzmatrix von Reaktanzzweitoren. Man kann also jede Matrix mit den Eigenschaften nach Satz 1.18 als Kettenmatrix durch ein Partialbruchzweitor realisieren. Satz 1.18 ist damit bewie-

Ergänzung: Die Bedingung c von Satz 1.18 kann durch die Forderung ersetzt werden, daß das Polynom A (p) + B (p) + C (p) + D ( p ) keine Nullstellen in der Halbebene R e p ^ 0 hat, also ein Hurwitz-Polynom ist. Die Notwendigkeit dieser Aussage läßt sich dadurch zeigen, daß man das betreffende Zweitor am Ausgang mit dem Ohmwiderstand eins abschließt und die Eingangsimpedanz Z ( p ) bestimmt. M a n erhält

( P )

C(p)

+

D(p)

Da die vier Quotienten/I (p)/B

(p),A

(p)/C(p),

D (p)/B(p)

und D (p)/C(p)

Reaktanzzweipolfunktionen

sind, kann keines der Polynome A (p), B ( p ) , C (p)> D (p) Nullstellen in der Halbebene R e p > 0 haben, da sonst alle diese Polynome und damit auch das Polynom E ( p ) wegen der Bedingung det [Arl ( p ) ] = 1 eine gemeinsame Nullstelle haben müßten, was aber ausgeschlossen wurde. Wendet man Satz 1.8 auf die Reaktanzzweipolfunktionen A(p)/B(p) A(p)

+ B (p) und C(p)

und D(p)/C(p)

an, so stellt man fest, daß somit die Polynome

+ D (p) in der Halbebene R e p

0 Nullstellen allenfalls auf der imaginären Achse

haben können. Eine derartige Nullstelle von A (p) + B (p) müßte dann sowohl im Polynom A (p) als auch im Polynom B (p) enthalten sein. Das Entsprechende gilt auch für das Polynom C(p) Polynome A (p) + B (p) und C(p)

+ D(p).

da sonst wegen der Determinantenbedingung alle Polynome A(p),

B(p),

C (p), D (p) und E (p) dort eine

gemeinsame Nullstelle haben müßten. Wendet man Satz 1.8 auf die Eingangsimpedanz Z(p) fest, daß somit das Polynom A(p)

Damit können die

+ D (p) keine gemeinsamen Nullstellen auf der imaginären Achse haben,

+ B(p)

+ C (p) + D(p)

an, so stellt man

notwendigerweise ein Hurwitz-Polynom ist. Der

Beweis, daß die genannte Eigenschaft des betrachteten Summenpolynoms A (p) + B (p) + C (p) + D (p) zusammen mit den Forderungen a und b von Satz 1.18 auch hinreichend für die Realisierbarkeit der Matrix [/!„ (/>)] nach Gl. (1.152) durch ein Reaktanzzweitor ist, wird im Abschnitt 5.2 geführt.

4.4 INDUKTMTÄTSFREIE ZWEITORE Als weiterer interessanter Fall sollen in diesem Abschnitt noch Zweitore betrachtet werden, die keine Induktivitäten enthalten. Es soll untersucht werden, wie sich derartige Zweitore charakterisieren lassen. Dabei wird vorausgesetzt, daß das betrachtete Zweitor durch die Impedanzmatrix beschrieben werden kann. Da das Zweitor keine Induktivitäten enthält, verschwindet die Funktion T(p) in Gl. (1.128). Deshalb muß Z(p) aus Gl. (1.130) eine RCImpedanzfunktion sein (man vergleiche Abschnitt 2.3.3). Außerdem müssen die Funktionen Zn (p) und Z22 (p) RC-Impedanzfunktionen sein, wie man bei der Wahl Xj ^ 0, x2 = 0 bzw.

96

I Synthese passiver Netzwerke

x1=0,x2*0

aus Gl. (1.130) entnimmt. Gemäß Gl. (1.34) bestehen somit die Darstellungen Ao ZU (P) = —

mit

A

A

v

+ E ~R—

+

•

(1.157a)

B0 " B„ Z22(P) = — + E — t - + a v > 0 ( i / = 1v-iP , . . . , +n )v* , (7t * a K Av*0,

0

(v = 0,1,...,

(1.157b) (1.158a)

(i^k),

n,

(1.158b)

Da Z(p) aus Gl. (1.130) im betrachteten Fall eine RC-Impedanzfunktion sein muß, kann Z 1 2 (p) nur dort Polstellen haben, wo Zu (p) und Z 2 2 (p) Pole haben. Deshalb muß die Darstellung Zi2(p) = ^ ~ +

(1.157c)

gelten. Zudem müssen die Ungleichungen AVBV-CL*

0

(i/ = 0 , l

(1.158c)

, . . . , n , o o )

bestehen, damit die Entwicklungskoeffizienten der Funktion Z ( p ) in ihren Polen und der Funktionswert Z(°°) nicht negativ werden. Man kann jetzt die durch die Gin. (1.157a-c) gegebene Impedanzmatrix wie im Fall von Reaktanzzweitoren als Summe Z&HP) Z(P)

0

O

1 + 1 » +. £E 0 P „-1 P+

*„+*- +

0

0

0

Zg>(p)

(1.159)

darstellen. Die Polstellen p = - av der Matrix Z ( p ) seien so geordnet, daß diejenigen für v = 1,2,... ,k mit den von null verschiedenen Polen der Funktion Z 12 ( p ) übereinstimmen. Es kann wegen der Bedingungen (1.158b,c) stets erreicht werden, daß die Determinanten der Matrizen fi„ (i/ = 0 , 1 , . . . , k, null sind und nichtnegative Hauptdiagonalelemente haben. Die Funktionen Z [ \ ' ( p ) und ( p ) sind RC-Impedanzfunktionen. Durch Realisierung der Teilimpedanzmatrizen von Z(p) nach Abschnitt 4.1.2 und anschließende Reihenanordnung der Teilzweitore erhält man die Verwirklichung der Impedanzmatrix nach Bild 1.81.

Damit ist gezeigt, daß die Darstellbarkeit der Funktionen Zn(p), der Gin. (1.157a-c) unter den Bedingungen (1.158a-c) notwendig Elemente der Impedanzmatrix eines jeden induktwitätsfreien Zweitors Erfüllen die Koeffizienten Au, Bv und C„ gegenüber den (1.158b,c) die schärferen Bedingungen AV T C„ ,

Z22 (p), Z 12 ( p ) in Form und hinreichend für die ist. bisherigen Forderungen

BV g C„ ^ 0

für v = 0 , 1 , . . . , k, so kann in der Darstellung nach Gl. (1.159) erreicht werden, daß jede der Matrizen Rv (v = 0,1 wertegleiche Elemente hat. Dann haben alle Übertrager im Netzwerk nach Bild 1.81 das Übersetzungsverhältnis eins, und man kann diese durch direkte Kurzschlußverbindungen ersetzen. Das Zweitor enthält dann nur Ohmwider-

4.4 Induktwitätsfreie Zweitore

97

Bild 1.81: Partialbruchrealisierung der Impedanzmatrix eines induktivitätsfreien Zweitors

stände und Kapazitäten. Man kann die Admittanzmatrix [ Y r i ( p ) \ von induktivitätsfreien Zweitoren in gleicher Weise untersuchen wie die Impedanzmatrix. Es zeigt sich, daß die Funktionen Yn (p) und Yn (p) gemäß Gl. (1.29), d.h. in der Form von RL-Impedanzen darstellbar sein müssen. Weiterhin zeigt sich, daß auch die Funktion Yi2 (p) in entsprechender Weise darstellbar sein muß. Dabei müssen alle Pole dieser Funktion sowohl in Y n ( p ) als auch in Y22 (p) vorkommen, und die auftretenden Entwicklungskoeffizienten von y i 2 ( p ) müssen zusammen mit den entsprechenden Entwicklungskoeffizienten der Funktionen Y n (p) und Y22(p) die Bedingungen (1.158c) erfüllen. Durch Verwirklichung in Form eines Partialbruchzweitors kann noch gezeigt werden, daß die genannten Eigenschaften nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend für die Elemente der Admittanzmatrix eines jeden induktivitätsfreien Zweitors sind. Natürlich muß dabei die Existenz der Admittanzmatrix vorausgesetzt werden. Man kann auch für die Elemente der Kettenmatrix induktivitätsfreier Zweitore notwendige und hinreichende Bedingungen wie bei Reaktanzzweitoren angeben. Aufgrund der gewonnenen Ergebnisse ist anhand der Gin. (1.144) bis (1.147) zu erkennen, daß alle Pole der Übertragungsfunktionen / / M ( p ) ( ß = 1,2, 3, 4) im Falle von RCZweitoren auf der negativ reellen Achse in der p -Ebene liegen müssen. Darüber hinaus kann die Übertragungsfunktion H3(p) in p = °° und die Übertragungsfunktion / / 4 ( p ) in p = 0 einen Pol haben. Alle genannten Pole müssen einfach sein. Die vorausgegangenen Untersuchungen induktivitätsfreier Zweitore sind vor allem für die Synthese von übertragerfreien RC-Zweitoren von großer Bedeutung. Dieses Problem wird im Abschnitt 6 ausführlich behandelt. Netzwerke, die nur Ohmwiderstände und Kapazitäten enthalten, haben gegenüber RLCÜ-Netzwerken verschiedene Vorteile. Bei niederen Frequenzen sind nämlich Induktivitäten und Übertrager nur schwer zu verwirklichen, da sie verhältnismäßig große Abmessungen und im Vergleich zu Kapazitäten einen wesentlich größeren Verlustwert haben. Auch für die Synthese aktiver RC-Zweitore, die neben Ohmwiderständen und Kapazitäten aktive Elemente enthalten und die gegenüber passiven RC-Zweitoren mehr leisten, sind die gewonnenen Ergebnisse von grundlegender Wichtigkeit.

98

I Synthese passiver Netzwerke

4.5 KOPPLUNGSFREIE ZWEITORE

4.5.1

Kettenzweitore

Die in den vorausgegangenen Abschnitten vorkommenden Zweitore enthalten im allgemeinen Übertrager. Im folgenden werden RLC-Zweitore untersucht, also Zweitore, die keine Übertrager enthalten. Dabei erfolgt eine Beschränkung auf Kettennetzwerke, die gemäß Bild 1.82 aus einzelnen Zweipolen mit den Impedanzen ZM(p) bzw. Admittanzen Yß(p) aufgebaut sind. Die Zß(p) und Yß(p) seien beliebige Zweipolfunktionen. Die entsprechenden Zweipole können in bekannter Weise kopplungsfrei verwirklicht werden (Abschnitt 3.9). Zi

Bild 1 . 8 2 : Kettenzweitor, das aus einzelnen Zweipolen aufgebaut ist

Man kann ein gemäß Bild 1.82 aufgebautes Zweitor als Kettenanordnung von Zweitoren nach Bild 1.83 auffassen. Diese Zweitore besitzen die Kettenmatrizen 1

0

y^p)

i

bzw.

K2(p):

=

1

Z^(p)

(1.160)

1

0

Die Kettenmatrix [AlK(p)\ des Gesamtzweitors erhält man durch Multiplikation von Matrizen Klß(p) und K2/1(p), wobei die Reihenfolge der Multiplikatoren durch Bild 1.82 bestimmt ist. Damit ergeben sich die Funktionen Alic(p) als Aggregate der Yß(p) und Z M (p), d.h. als Ausdrücke, in denen 1, y 0 (p), Y2 (p), ...,Z1 (p), Z3 (p),... nur durch Additionen und Multiplikationen miteinander verknüpft sind. Die Funktionen AM(p) haben demzufolge in der offenen rechten Halbebene keine Pole. Daher können die Übertragungsfunktionen HÄP)

=

1 A

,(P)

rr , , ffi(p) =

-1 A22 (P)

„ , , h,{p)

-1

„ , , ff*(p)

AziP)

1

(1.161)

(man vergleiche die Gin. (1.143) - (1.147)) grundsätzlich in der Halbebene R e p > 0 keine Nullstellen haben. Kettenzweitore nach Bild 1.82 haben also die Eigenschaften von Mindestphasensystemen [UNI]. O

Bild 1 . 8 3 : Teilzweitore des Kettenzweitors von Bild 1.82

(a)

o

1

(b)

I

o

4.5 Kopplungsfreie Zweitore

99

Wegen der Gin. (1.161) und der zwischen den Elementen der Kettenmatrix [AlK(p)] sowie den Zweipolfunktionen Yß(p), Z^(p) bestehenden Verknüpfung können die Übertragungsfunktionen Hi,{p) (v = \,... ,4) nur dort Nullstellen haben, wo Pole der Zweipolfunktionen Yß(p), Zß(p) auftreten. I s t p = p0 ein Pol einer der Funktionen Y>1(p), Zß(p), dann muß aber in diesem Punkt nicht jede der Übertragungsfunktionen Hv(p) verschwinden. Ist beispielsweise der Punkt p = pa ein einfacher Pol der Admittanz Y, (p) aus Bild 1.82 und hat die in Kettenbruchschreibweise dargestellte Eingangsimpedanz Z, (p) + 1 | Y2 (p) + 1 | . . . des Zweitors rechts vom Zweipol y 0 (p) im Punkt p„ eine einfache Nullstelle und gilt weiterhin Z, (pa), Y2 (pn),...

/

dann verschwindet

die Übertragungsfunktion f f 4 (p) für p = pQ sicher nicht. Zum Beweis dieser Behauptung wird die Kettenmatrix des Zweitors, das im Bild 1.82 rechts vom Zweipol Y0(p) liegt, mit [ a „ (/>)] (r,s

= 1,2) bezeichnet. Dann

erhält man durch Multiplikation der Matrix JC,„ (p) aus Gin. (1.160) mit der Matrix [ a„ (p)] die Kettenmatrix des gesamten Zweitors von Bild 1.82

ii (P) ^21 (p)

^n(p)

Oll (P)

"12 (p)

"n (P) >-o (P) + «2i (P) "n (P) Y0 (p) + aa (p)

Da Z, ( p 0 ) , y 2 (Po) > • • • ^

00

gilt, haben alle Elemente o„ (p) für p = p„ endliche Werte. Die einfache Nullstel-

le p = pa der Impedanz au (p)/a2:

(p), die am Eingang des Zweitors rechts vom Zweipol Y0 (p) auftritt, kann

daher nur durch eine einfache Nullstelle von an (p) hervorgerufen werden. Daher ist A2] (p) = an (p)

Ya(p)

+ ÖJ, (p) für p = Po endlich, und deshalb kann die Übertragungsfunktion f f 4 (p) = 1/A2, (p) für p = p0 nicht verschwinden. In diesem Fall hat die Funktion Zn (p) gemäß Gl. (1.147) in p = pa keine Nullstelle.

Aufgrund der vorausgegangenen Untersuchungen ist zu erkennen, daß die Übertragungsfunktionen Hv (p) Nullstellen ausschließlich auf der imaginären Achse haben, falls im Kettenzweitor nach Bild 1.82 jeder der Zweige Y0(p), Z1(p), Y2(p),..., Z„_1(p), Y„(p) entweder ein Reaktanzzweipol oder ein Ohmwiderstand ist. Insbesondere gilt dies für Reaktanzkettenzweitore, die durch eine Quelle mit ohmschem Innenwiderstand erregt werden und am Ausgang durch einen Ohmwiderstand abgeschlossen sind.

4.5.2

Die Fialkow-Gerst-Bedingungen

Ein Kettenzweitor nach Bild 1.82 ist dadurch ausgezeichnet, daß zwei der äußeren Klemmen identisch sind und daß damit eine von der Primär- zur Sekundärseite durchgehende Kurzschlußverbindung besteht. In diesem Abschnitt sollen allgemein kopplungsfreie Zweitore mit (mindestens) einer von der Primär- zur Sekundärseite durchgehenden Kurzschlußverbindung untersucht werden (Bild 1.84). 8 Für die Impedanz- und Admittanzmatrix solcher Zweitore werden im folgenden fundamentale Eigenschaften erkannt. Die Knoten des RLC-Zweitors mit durchgehender Kurzschlußverbindung nach Bild 1.84 werden von 0 bis n durchnumeriert. Zwischen zwei beliebigen Knoten ß

und V (fJ. ^ u; ß, v e { 0 , 1 , . . . , n }) tritt ein

(Elementar-)Zweipol auf, dessen A d m i t t a n z d i e Form

y^,(p) := 8

+ p C„„ + — j — P nv

Es wird von solchen Kettenzweitoren abgesehen, die keine Impedanz- bzw. Admittanzmatrix haben. Die im

folgenden interessierenden Eigenschaften derartiger Zweitore lassen sich sofort erkennen. Auch von Zweitoren mit Impedanz- bzw. Admittanzmatrizen, die nur in der Diagonalen besetzt sind, wird im folgenden abgesehen.

/ Synthese passiver Netzwerke

100

h

1 a- »

-oc 2

—CHI—

U,

U, Bild 1.84: RLC-Zweitor mit durchgehender Kurzschlußverbindung

0°-

~II-

r.

fn

-«0

hat (Gm„, CMi, und sind nichtnegative Netzwerkelementewerte). Unter Verwendung des Bezugsknotens 0 werden für die Knoten 1 , 2 , n die Knotenpotentiaie UltU2, •••, U„ eingeführt. Darüber hinaus wird für jeden der Knoten 1, 2 , . . . , n die Summenadmittanz

y^(p)-=

t yßAp)

(m =

1,2,...,»)

eingeführt. Nach dem Knotenpotentialverfahren [UN2] besteht die Beziehung

YU =/

mit

yn -yu ••• -.ym ->•21 ••• -y»

r :=

(1.162a,b)

und den n -dimensionalen Vektoren 1/ := [{/, ••• Un\T , Man kann die Matrix y = y

y =y +

T

/ : = [ / , /2 0 ••• 0] T .

(1.162c,d)

in der Form

^ ...

...

-y •••

y •••

schreiben. Die zweite Matrix auf der rechten Seite dieser Gleichung ist nur in der r-ten Zeile, der s -ten Zeile, der r -ten Spalte und der s -ten Spalte mit vier von null verschiedenen Elementen, nämlich y bzw. ~y, besetzt, wobei

y =y„ =y„ die Admittanz zwischen zwei von null verschiedenen Knoten r und s bedeutet. Die Matrix Y stimmt also mit y für y„ = 0 überein. Jede A d m i t t a n z ( q / 0) zum Bezugsknoten tritt nur in einem Hauptdiagonalelement der Matrix Y als Summand auf. Durch Lösung der Gin. (1.162a-d) mit Hilfe der Cramerschen Regel erhält man i/, = Z,i

= Zn (P) h +

(P) h + Zu (P) h .

(p) h

mit den Impedanzmatrixelementen des Zweitors Zrr

/

\

0»)

n(P) = Aa „(p) .'

-

/ x

A

21 O ) Zn12(p) = A,(p) ',

, , Z„n(p)=

* 12 A.CP)

',

a y r

'

22 0») A0(p)

und z

n(.P) =Zidp)-

Dabei ist A0 (p): = det Y(p), und AM„ (p) ( ß , v £ {1,2}) sind Kofaktoren der Determinante A0 bezüglich fj,, v. Betrachtet man eine Admittanz y = y„, so können die Determinante A0 (p) und die Kofaktoren AMti (p) (iu.,1/ £ {1,2}) ohne Änderung ihrer Werte dadurch modifiziert werden, daß man jeweils die r-te Zeile zur i-ten Zeile addiert und gegebenenfalls die r-te Spalte zur s-ten Spalte addiert, so daß die Admittanz nur noch in einem Element erscheint. Für Admittanzen y = y0l (q # 0 ) , die ausschließlich in der Hauptdiagonale der Matrix Y auftreten (und möglichen Netzwerkelementen zum Bezugsknoten hin entsprechen), erübrigt sich

101

4.5 Kopplungsfreie Zweitore

diese Modifikation. In dieser Weise erkennt man, daß jede dieser Determinanten eine lineare Funktion der (beliebig im Zweitor gewählten) Admittanz y ist. Die Matrix Y hat die Form

Y=G+pC+-

r,

P

wobei G, C und T von p unabhängige Koefflzientenmatrizen sind. Bezeichnet man den Rang von f ' mit 7 , so erhält man z.B. für das Impedanzmatrixelement Z 1 2 (/>) die Darstellung z uKP) in) = wobei

+yb(p) (p) + y d(p)

p 7 A 2 l ( p )

= c" ( p )

p-'h^p)

a(p),b(p),c(p)

und

d(p)

(1.163a)

Polynome sind, von denen

a (p)

oder

b (p)

und auch

c (p)

verschwinden

können (falls y einen Summanden der Art 1 / ( p L ) besitzt, enthalten die Polynome b und d jeweils einen Polynomfaktor p ) . Ersetzt man nun im betrachteten Zweitor den Elementarzweipol y durch einen Leerlauf, d.h. wählt man y = 0, so ergibt sich

Z,'ÄP)-=Zt2(p)\

- o(P) ' c(p) •

(1.163b)

= AM.

(1.163c)

während man

Z^(p)-=Zu(p)ir..

erhält, wenn man den Zweipol y durch einen Kurzschluß ersetzt. Enthält das Zweitor von Bild 1.84 insgesamt m zwischen jeweils zwei Knoten vorhandene Elementarzweipole, dann kann man feststellen, d a ß

Zll(p),

Z,'2 (p) und Z , j (p) drei Übertragungsfunktionen (sogenannte Übertragungsimpedanzen) von Zweitoren mit m , m - 1 bzw. m - 1 Elementarzweipolen bedeuten. Die Darstellungen dieser Übertragungsimpedanzen zeigen, daß Zn(p)

keine negativen Koeffizienten hat, sofern Z , ; ( p ) und Z,¡' (p) keine negativen Koeffizienten

aufweisen.

Bild 1.85: RLC-Zweitor, das durch Änderung der durchgehenden

Kurzschlußver-

bindung aus dem Zweitor von Bild 1.84 entstanden ist Das Zweitor von Bild 1.84 kann man nun schrittweise erzeugen, indem man mit einem oder zwei Elementarzweipolen beginnt und in jedem Schritt einen weiteren Elementarzweipol hinzunimmt, bis das vollständige Zweitor entstanden ist. Begonnen werde dieser Prozeß mit einem Elementarzweitor, dessen Impedanzmatrix existiert. M a n kann sich leicht davon überzeugen, daß in dieser Impedanzmatrix keine negativen Koeffizienten vorkommen. Aufgrund der Gin. (1.163a-c), die entsprechend bei allen Schritten gelten, schließt man nun (induktiv), daß die Übertragungsimpedanz Z 1 2 ( p ) gemäß Gl. (1.163a) keine negativen Koeffizienten enthält. Diese Eigenschaft gilt damit für alle Elemente der Impedanzmatrix in der aus der Lösung der Gin. (1.162a-c) mittels der Determinanten daß Z,, (p) und Zu(p)

A 0 (p),

A„

(p),

(p),

A ¡¡(p), A ; 1

(p) gewonnenen

Darstellung. Z u beachten ist,

Zweipolfunktionen sind. Das Netzwerk von Bild 1.84 wird nun gemäß Bild 1.8S als

Zweitor mit Eingangstor (2,1) und Ausgangstor (0,1) aufgefaßt. Für das Nebendiagonalelement der Impedanzmatrix dieses RLC-Zweitors mit durchgehender Kurzschlußverbindung (Knoten 1) gilt ZniP)

t/,,

= ~ T 1

U, - U,L | J

= -

-T- I|

, |'2"°

=Z„(p)-ZI2(p).

Auch diese Funktion hat nach den vorausgegangenen Überlegungen keine negativen Koeffizienten in der Darstellung, die unmittelbar aus der Lösung der Gin. (1.162a-c) resultiert. Ganz entsprechend kann man diese Eigenschaft auch für die Funktion Zn ( p ) - Z , 2 (p) zeigen.

102

I Synthese passiver Netzwerke

Die gewonnenen Ergebnisse werden nun zusammengefaßt. Es wird davon ausgegangen, daß die folgende Darstellung der Elemente der Impedanzmatrix durch eine Analyse des Zweitors entstanden ist: a0 + aip + • • • + a.p" 0 monoton ansteigende, positive Polynome. Deshalb kann die Übertragungsfunktion / / , (p) eines RLC-Zweitors mit durchgehender Kurzschlußverbindung für positiv reelle, endliche Werte von p keine Nullstellen haben. Diese Eigenschaft besitzen auch die Übertragungsfunktionen H2 (p), H3 (p) und H4 (p) jedes derartigen Zweitors, wie man in gleicher Weise leicht zeigen kann.

103

4.5 Kopplungsfreie Zweitore

Angesichts der Fialkow-Gerst-Bedingungen (1.165a,b) muß weiterhin die Ungleichung //] (0 mit denjenigen der Polynome E1 (p) und E2 (p) übereinstimmen. Dabei sei dafür gesorgt, daß die Polynome ,4 (p), B (p), C(p), D (p), E (p) keinen gemeinsamen Polynomfaktor besitzen. Die Aussage über die Identität der Nullstellen gilt mit Einschluß der Vielfachheiten dieser Nullstellen. Beweis: Zunächst kann festgestellt werden, daß die Polynome A,(p), B,(p), C,(p), D,(p) in R e p >0 keine (isolierten) Nullstellen haben. Eine derartige Nullstelle müßte wegen Satz 1.18 gleichzeitig in allen diesen Polynomen und damit auch im Polynom E,(p) enthalten sein. Dies ist aber ausgeschlossen. Falls eines der Elemente der Matrizen A,(p) identisch verschwindet, ist die Richtigkeit des Satzes unmittelbar einzusehen. Deshalb wird im folgenden vorausgesetzt, daß keines der Polynome Ar(p), B,(p), C,(p), D,(p) ( r = 1, 2) identisch verschwindet. Es wird jetzt angenommen, daß die Aussage von Satz 1.19 falsch sei. Dann müßte ein Punkt p =p0 mit R e p , > 0 existieren, für den das bei der Multiplikation der Matrizen Al (p) und A¡ (p) entstehende Polynom A¡ (p)A2(p) + ß , (p) C 2 ( p ) gleich null ist. Da A¡(pa) B, (p0) ¡¿0 gilt, müßte die Gleichung A¡ (p0)/B¡ (p„) + C2(p0)/A¡(p0) = 0 bestehen. Dies ist aber unmöglich, da die beiden Zweipolfunktionen A¡ (p)/B, (p) und C2(p)/A2(p) f ü r p = pa positiven Realteil aufweisen.

Durch (/ - l ) - m a l i g e Anwendung von Satz 1.19 auf die rechte Seite der Gl. (1.185) ist nun zu erkennen, daß das Nennerpolynom f ( p ) und die vier Zählerpolynome der Produktmatrix bt b2 • • • b, keine gemeinsame Nullstelle in R e p > 0 und damit auch in der gesamten p Ebene haben. Da die Eingangsimpedanz Zb (p) für alle p -Werte eins ist und die Zählerpolynome in der Hauptdiagonale gerade, die Zählerpolynome in der Nebendiagonale ungerade sind, müssen die genannten Polynome in der Hauptdiagonale identisch sein. Ebenso müssen die Polynome in der Nebendiagonale für alle p -Werte miteinander übereinstimmen. Da die vier Zählerpolynome der Produktmatrix wegen der Determinantenbedingung keine gemeinsame Nullstelle haben können, müssen die Zählerpolynome in der Hauptdiagonale mit dem geraden Teil, die Zählerpolynome in der Nebendiagonale mit dem ungeraden Teil eines Hurwitz-Polynoms hb{p) übereinstimmen. Aus der bekannten Determinantenbeding u n g / 2 (p) = hb(p) hb(-p) und der Gl. (1.183b) folgt die Beziehungh b (p) = ±h(p). Damit ist die Gültigkeit der Gl. (1.185) gezeigt. Für die praktische Anwendung dieser Aussage muß allerdings noch festgestellt werden, ob in Gl. (1.185) das Plus- oder das Minuszeichen gilt. Falls das Minuszeichen gilt, muß am Ausgang des durch Verwirklichung der Impedanz Zb ( p ) = 1 erhaltenen Zweitors eine Umpolung vorgenommen werden. Dies kann man bequem dadurch nachprüfen, daß man aus dem gewonnenen gesamten Reaktanzzweitor die Vorzeichen der Elemente der Kettenmatrix a(p) b¡(p) b2(p) • • • b,{p) f ü r p 0 ermittelt und mit der vorgegebenen Kettenmatrix A ( p ) vergleicht. Falls >4 ( p ) = ±a(p) gilt, entfällt natürlich eine Realisierung von b (p). Es sei noch auf folgendes hingewiesen: Aus den vorausgegangenen Untersuchungen ist direkt zu erkennen, daß alle bei der Realisierung der Zweipolfunktion Z ( p ) nach Abschnitt 3.8 erforderlichen endlichen Entwicklungsstellen erster, zweiter und dritter Art mit den im abgeschlossenen ersten Quadranten der p -Ebene liegenden Nullstellen des Polynoms E ( p ) identisch sind. Verallgemeinerung Man kann nun das bisherige Vorgehen zur Verwirklichung der Kettenmatrix A ( p ) so verallgemeinern, daß bei der Realisierung der Zweipolfunktion Z(p) aus Gl. (1.172) nach Abschnitt 3.8 nicht nur die Entwicklungsstellen erster und zweiter Art von Z(p) benützt werden, sondern auch die im ersten Quadranten der p -Ebene gelegenen Nullstellen des Poly-

5.1 Die Realisierung der Kettenmatrix

111

noms f ( p ) als Entwicklungsstellen dritter Art von Z(p)

oder einer späteren Restfunktion.

Wenn nun alle diese Entwicklungsstellen erster, zweiter und dritter Art in irgendeiner möglichen Reihenfolge bei der Durchführung des Verfahrens zur Verwirklichung von Z ( p ) verwendet werden, entsteht ein Reaktanzzweitor, das die Matrix A (p)

realisiert. Dabei muß

dafür gesorgt werden, daß der am Ende des Prozesses auftretende Ohmwiderstand den Wert eins erhält und eventuell eine Umpolung der Ausgangsklemmen vorgenommen wird. Der Beweis dieser Behauptung wird entsprechend wie im obigen Fall geführt, in dem zunächst die Entwicklungsstellen erster und zweiter Art und dann erst die erforderlichen Entwicklungsstellen dritter Art verwendet wurden. Betrachtet man so alle nach Abschnitt 3.8 möglichen Entwicklungen der Zweipolfunktion Z ( p ) , dann erhält man eine Klasse äquivalenter Reaktanzzweitore, welche die gegebene Matrix A (p) verwirklichen. Bei praktischen Anwendungen kann man aus dieser Klasse von Netzwerken das jeweils günstigste Reaktanzzweitor entnehmen, etwa im Hinblick auf die Zahl der notwendigen Übertrager. Der in den vorausgegangenen Untersuchungen gewonnenen Realisierung der Kettenmatrix A (p)

entspricht eine Faktorisierung dieser Matrix in Kettenmatrizen Ai ( p ) , die durch

Teilzweitore verwirklicht werden. Der Grad der Kettenmatrizen Aj(p)

ist gleich der Zahl

der bei der Realisierung benötigten Energiespeicher. Es ist sofort einzusehen, daß die Kettenmatrizen A j ( p ) nicht mit weniger Energiespeichern verwirklicht werden können. Die hier gewonnenen Reaktanzzweitore, welche die Kettenmatrix A ( p ) realisieren, sind also kanonische Netzwerke. Zusammenfassung Die Realisierung einer gegebenen Kettenmatrix

A(p):=

1

E(P)

A(p)

B(p)

C(p)

D(p)

die alle Bedingungen von Satz 1.18 erfüllt und mit gekürzten Polynomen A ( p ) , . . .

,E(p)

dargestellt sei, erfolgt aufgrund obiger Untersuchungen in den folgenden vier Schritten: 1. Schritt:

Es wird die Eingangsimpedanz zr„v=

-

KP>

(p)

A

+

(p)

B

C(p)+D(p)

ermittelt, wobei ein eventuell im Zähler und Nenner gemeinsam vorhandener Polynomfaktor gekürzt wird. Dabei sollte beachtet werden, daß als gemeinsame Nullstellen der Polynome A (p) + B (p) und C(p)

+ D (p) nur Nullstellen von E ( p ) in R e p < 0 in Betracht kommen,

und zwar eventuell mit doppelter Vielfachheit im Vergleich zu E ( p ) . Dies läßt sich folgendermaßen erklären: Nach den Gin. (1.177a,b) ist das dortige Hurwitz-Polynom h 2 ( p ) gradhöchster gemeinsamer Polynomfaktor von Zähler- und Nennerpolynom der Impedanz Z(p). hi(p)

= h (p) h1 (p).

Nach Gl. ( 1 . 1 8 2 c ) sind alle Nullstellen von h (p)

fachheit haben) auch Nullstellen von E2(p)

und die von h,(p)

Es gilt

(die ausnahmslos geradzahlige Viel-

angesichts der Gin. ( 1 . 1 8 0 b ) , ( 1 . 1 8 1 ) und

( 1 . 1 8 2 c ) zugleich Nullstellen von E ( p ) .

2. Schritt:

Es werden die Nullstellen des Polynoms E ( p ) im abgeschlossenen ersten Qua-

dranten der p - E b e n e ermittelt. Diese sind die endlichen Entwicklungsstellen für die Verwirklichung von Z ( p ) . Entwicklungsstellen auf der imaginären Achse können nur von erster oder zweiter Art sein. Eine Entwicklungsstelle mit positivem Realteil ist von zweiter Art

I Synthese passiver Netzwerke

112

genau dann, wenn sie Nullstelle des geraden Teils G (p) von Z (p) ist. Entwicklungsstellen in p = co entstehen aufgrund einer Nullstelle von G (p) für p = °° oder (und) eines Poles von Z (p) inp = Eine derartige Entwicklungsstelle äußert sich in der gegebenen Kettenmatrix dadurch, daß der maximale Grad der Polynome A (p),B(p), C (p), D (p) größer ist als der Grad von E(p). 3. Schritt: Es wird die Impedanz Z(p) mit Hilfe des Verfahrens nach Abschnitt 3.8 realisiert, wobei die im zweiten Schritt ermittelten Entwicklungsstellen entsprechend ihren Vielfachheiten zu verwenden sind. Der Prozeß kann mit einer beliebigen Reihenfolge der Entwicklungsstellen durchgeführt werden. Auf diese Weise erhält man unterschiedliche Lösungen. 4. Schritt: Der am Ende des Prozesses entstandene Ohmwiderstand R wird durch Vorschaltung eines idealen Übertragers mit Übersetzungsverhältnis V/? : 1 auf den Wert 1 transformiert. Dieser transformierte Widerstand wird abgetrennt. Das verbleibende Reaktanzzweitor mit der Kettenmatrix A realisiert die gegebene Kettenmatrix A bis auf eine eventuelle Vorzeichenumkehrung des Übersetzungsverhältnisses des idealen Übertragers, d.h. es gilt A(p)

=

±Ä(p).

Ob eine solche Vorzeichenänderung erforderlich ist, kann etwa dadurch festgestellt werden, daß eines der Elemente der Kettenmatrix A (p) (z.B. An) für einen speziellen Argumentwert p (z.B. für p -* 0 oder p -») aus dem erhaltenen Reaktanzzweitor berechnet und mit dem Funktionswert des entsprechenden Elements der vorgeschriebenen Matrix A für dasselbe spezielle p verglichen wird. Bei unterschiedlichen Vorzeichen der berechneten Elementewerte ist das Vorzeichen des Übersetzungsverhältnisses zu ändern. Beispiel Gegeben sei die Matrix p* + 8 p 2 + 1

2p'+2p

5p' + 5p p4 + 2 p 2 + l

'

Man kann sich leicht davon überzeugen, daß diese Matrix alle Bedingungen von Satz 1.18 erfüllt und damit als Kettenmatrix durch ein Reaktanzzweitor verwirklicht werden kann. Aus A folgt die Eingangsimpedanz unmittelbar in der Form =

p' + 5 p3

+ 8 p 2 + 5p + 1 p + 2 p + 2 p 2 + 2p + l 4

3

Es ist nun unschwer festzustellen, d a ß p 2 + 2p + 1 ein dem Zähler und Nenner von Z ( p ) gemeinsamer Teiler ist. Er resultiert aus dem Versuch, Zähler und Nenner von Z ( p ) mit ( p - p 0 ) oder ( p - p 0 ) 2 zu dividieren, wobei p 0 = - 1 die einzige Nullstelle von E (p) in R e p < 0 ist. Dieser Teiler kann auch mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus folgendermaßen festgestellt werden: Führt man die Division von Zähler durch Nenner der Impedanz durch, so erhält man als Rest nach Kürzung des unwesentlichen Faktors 3 das Polynom p 3 + 2 p 2 + p . Nun wird eine zweite Division von Divisor der ersten Division durch Rest der ersten Division durchgeführt, und man erhält jetzt als Restpolynom p 2 + 2p + 1. Bei einer dritten Division von Divisor der zweiten Division durch Rest der zweiten Division ergibt sich der Rest null. Der letzte von null verschiedene Rest, d.h. das Polynom p 2 + 2p + 1, ist gradhöchster gemeinsamer Teiler von Zähler und Nenner der Impedanz. Nach Kürzung des gemeinsamen Teilers erhält man

z(P)-p2+2'py

p2 + 1

5.1 Die Realisierung

der

113

Kettenmatrix

Die Nullstellen von E (p) = p* - 1 im abgeschlossenen ersten Quadranten, />, = j

p2 = 1 ,

und

sind Entwicklungsstellen. Wie man sieht, ist p , Entwicklungsstelle erster Art, weil sie eine Polstelle der Eingangsimpedanz darstellt. Da eine Entwicklungsstelle p1 zweiter Art neben der Entwicklungsstelle p, = j einen höheren Grad von Z (p) als zwei bedingen würde, muß p 2 Entwicklungsstelle dritter Art sein, was auch aus der Tatsache folgt, daß der gerade Teil G (p) = 1 von Z (p) in p = 1 nicht verschwindet. Zur Realisierung von Z (p) wird die Reihenfolge pt, p2 gewählt (die umgekehrte Reihenfolge ist ebenfalls möglich). Die Verwirklichung v o n i s t besonders einfach, da hierfür nur die Reaktanzreduktion gemäß z.(p)

= z(p)

- -p r ^+r1 - i

erforderlich ist. Auf diese Restimpedanz ist ein Zyklus zur Verwirklichung von p2 = 1 anzuwenden. Die drei Schritte dieses Zyklus lauten

(i) r \

z,(/>) = z.(P) -Up = i - P -

1

_ (1/L')P ~

1

(,,)

zÄp)=

zjp)

(iii)

Z,(p)

= Z2(p)

- L,p

=

1

Die aus vorstehender Entwicklung von Z(p)

(z., =

_ =

-1 T T

_ f -1 ' l r r T

= i), . +

-1 ) _ ^ T T r

1 JTT

,,

_ _ , ...

(¿3 = 1). unmittelbar folgende Realisierung zeigt Bild 1.89. Der im allge-

meinen erforderliche Anpassungsübertrager kann hier zunächst entfallen, da der Restwiderstand Z 3 (p) den Wert eins besitzt. Der Induktivitätsstern mit einer negativen Induktivität wird in bekannter Weise mit einem festgekoppelten Übertrager verwirklicht. Entfernt man den Widerstand R = 1, so erhält man ein Reaktanzzweitor mit der Kettenmatrix A , deren Element An ( - 1 ) des Elements An

fürp -»0 offensichtlich ( +1) ist im Gegensatz zum Wert

der gegebenen Matrix A . Um die Matrix A vollständig zu realisieren, müßte also im

Zweitor von Bild 1.89 das Ausgangsklemmenpaar umgepolt oder noch ein idealer Übertrager mit dem Übersetzungsverhältnis ( - 1 ) : 1 angeschlossen werden.

1/3

i

Bild 1.89: Realisierung der Impedanz

1/2

^=2

Z { p ) des Beispiels mit den

D'

Entwicklungsstellen p , ,p 2 Abschließend sei noch gezeigt, wie die gegebene Kettenmatrix bis auf das Vorzeichen als Produkt der Kettenmatrizen beider Teilzweitore entsteht, die bei den zwei Zyklen zur Verwirklichung der Entwicklungsstellen p, undp 2 entstanden sind: p2 + 1 0

3p p'

+1

1

-p'-l

-2p

-2p

-p'-l

1

-p-

-Sp3-Sp 2p

]

114

I Synthese passiver Netzwerke

5.2 DIE REALISIERUNG DER UBERTRAGUNGSFUNKTION BEI EINBETTUNG DES REAKTANZZWEITORS ZWISCHEN OHMWIDERSTÄNDEN Die Übertragungsfunktion und ihre Eigenschaften Reaktanzzweitore werden häufig gemäß Bild 1.90 zwischen zwei Ohmwiderständen betrieben, dem Innenwiderstand Rx der Quelle und dem Lastwiderstand R2. Es sei R1 * 0 und R2 * 0. Der Belastungswiderstand R2 kann durch Einführung eines idealen Übertragers, der in das Reaktanzzweitor einbezogen wird, auf den Wert gebracht werden. Weiterhin kann durch Normierung (Abschnitt 1.3) erreicht werden, daß R t = 1 wird. Daher darf im Netzwerk von Bild 1.90 ohne Einschränkung der Allgemeinheit R1 = R2 = 1 gewählt werden. Die Kettenmatrix des Reaktanzzweitors wird mit (Ars (p)] bezeichnet. Für die Übertragungsfunktion H(p):= U2/U0 erhält man mit Hilfe der Gl. (1.143) und der Beziehungen U0 = /?! / j + t/j und U2= - R2I2 bei Berücksichtigung von Rl =R2 = 1 1 12

21

(P)

(1.186a)

oder bei Verwendung der Bezeichnungen nach Gl. (1.152) H(p)

=

A(p)+B(p)

E(P) +

C(p)+D(p)

(1.186b)

Das Nennerpolynom A (p) + B (p) + C(p) + D (p) muß notwendigerweise ein Hurwitz-Polynom sein, wie in der Ergänzung zu Satz 1.18 gezeigt wurde. Das Zählerpolynom E (p) ist ein gerades oder ungerades Polynom. Es kann gemeinsame Nullstellen mit dem Nennerpolynom A (p) +B(p) + C(p) +D(p) haben. Man kann also feststellen, daß die Übertragungsfunktion notwendigerweise als Quotient eines geraden oder ungeraden Polynoms durch ein Hurwitz-Polynom darstellbar ist, wobei diese Form unter Umständen durch Erweiterung mit einem Hurwitz-Polynom erzeugt werden muß. Letzterer Fall ist genau dann gegeben, wenn es zur imaginären Achse nicht paarweise symmetrisch auftretende Nullstellen der Übertragungsfunktion gibt; diese müssen aber ausschließlich in der rechten Halbebene R e p > 0 liegen. Dann erfolgt die Erweiterung mit jenem (Hurwitz-)Polynom, dessen Nullstellen durch die Spiegelpunkte aller genannten nichtsymmetrischen Nullstellen bezüglich der imaginären Achse festgelegt sind. Insofern ist das Erweiterungspolynom (bis auf einen unwesentlichen nichtverschwindenden reellen Faktor) eindeutig bestimmt.

Bild 1.90: Zwischen Ohmwiderständen eingebettetes Reaktanzzweitor.

Es soll nun eine weitere, wichtige notwendige Eigenschaft der Übertragungsfunktion H(p) hergeleitet werden. Die dem Reaktanzzweitor von Bild 1.90 im stationären Wechselstrombetrieb am Eingang zugeführte Wirkleistung beträgt [UN2] ReZ(jcj)

Die Realisierung der Übertragungsfunktion..

115

wobei Z(p) die Impedanz am Zweitoreingang und den komplexen Eingangsstrom für p = ja bedeutet. Diese Wirkleistung ist gleich der dem Belastungswiderstand R2 zugeführten Wirkleistung. Daher gilt weiterhin

Dabei ist U2 die komplexe Ausgangsspannung für p = jcj. Der Maximalwert der Wirkleistung P wird bekanntlich genau dann erreicht, wenn Z (p) = R^ ist, d.h. wenn Anpassung vorliegt. Daher ist - max

1 2 I 2

I2 J L I '

Die komplexe Spannung U0 bedeutet die Amplitude der Spannungserregung mit p = ju. Somit gilt | U2 12 AR, P = TT = 1 " (1187> ^max I U(S I Rl Für die Übertragungsfunktion H(p)

= U2/U0

folgt aus Gl. (1.187) m i t ^ =R2 = 1

H(ja)H(- j c j ) ^ ! .

(1.188)

Der Betrag der Übertragungsfunktion H(p) kann also f ü r p = joj nicht größer als 1 / 2 sein. Die charakteristische Funktion Es wird nun die rationale Funktion 0 mit püfl, die Nullstellen im Inneren des ersten Quadranten mit p0 „ und die Nullstellen auf der imaginären Achse CJ > 0 mit p0i bezeichnet. Die Vielfachheiten dieser Nullstellen seien müfl, m0v bzw. 2 m0l. Entsprechend seien die Pole von F(p2) m i t p « , ß , p « , v u n d i h r e Vielfachheiten mit mxß, m„v bzw. 2 m „ , bezeichnet. Dann kann die Funktion F(p2) in der Form 2

2k p

n(p2-pomP*ntp4-(PQ,+pq')P2+pip:,2r" f k p 2

n(p -p^)

m

4

2

2

2

-PD

-"n[p -(pi,+p^)p +p^p^r-"n(p -p^)

2

^

2 m

-'

(1.190) dargestellt werden. Dabei ist k eine reelle Konstante und tc 1 0 eine ganze Zahl. Angesichts der Gl. (1.190) und der Eigenschaft F(-cj2) ^ 0 kann die Funktion F(p2) in das Produkt F(p2)=K(p)K(-p)

(1.191)

I Synthese passiver Netzwerke

116 ju

p-Ebene

« x-P:„

xP°°v >

0

QP0v

-Pou

-POM

Poofi

P«M

POM er

o Bild 1.91: Lage der Nullstellen und Pole der Funktion F(p2) nach Gl. (1.189) in der komplexen Ebene

-Pou

Pov O i

^

POOL

x-p„„

(är P o
0 mit R e pa > 0 und - p0

heit n o d e r eine Nullstelle der Vielfachheit - n; falls W ( - p

0

ein Pol von W(p)

der Vielfach-

) weder null noch unendlich ist, sei n = 0. Nach

Satz 1.20 gilt jedenfalls n S m, d a p 0 in der rechten p -Halbebene liegt. Damit kann man einerseits

K ( P )

W(p) (P

-Pc) m(P

+Po)"

andererseits

W(p)

W(-p)

= (P - ? . ) " " ( ?

+P*)mt"

schreiben, wobei W 0 ( p ) W0 ( - p ) für p = ± p0

weder null noch unendlich ist. G e m ä ß G l . (1.193) wird nun die

charakteristische Funktion gebildet, die im Hinblick auf die Verteilung des Poles p0 Nullstelle) - p0

und des Poles (bzw. der

in der Form

K(p) =

m = m,n

mit

=

n,

m = n = 0,

( p - p o y - ' i p + p o y * »

mit ganzzahligem ß dargestellt wird, w o b e i K0 ( p ) für p = ± p0

falls

m + n g 0

falls

m + n
n und T = m + ß. für m + n < 0, und es besteht für die W a h l von /i insgesamt die Einschränkung 0 g yUS D i e Zahl [(m+n

(m +

+ n k 0)

- m

bzw.

l ) / 2 ] ( m + n 2 0 ) bzw. \(m +

den ganzen Teil bezeichnen, gibt die Vielfachheit

S ¡u. § m

(m

+ n < 0).

l ) / 2 ] (m + n < 0), wobei die eckigen Klammern

an, mit der pQ als Entwicklungsstelle

zweiter Art realisiert

wird.

Damit bedeutet

m - [(m + n + die Anzahl

der Zyklen,

l)/2]

(m + n

0)

die mit p„ als Entwicklungsstelle

oder

m - [(m + ß +

dritter Art durchzuführen

l)/2]

(m + n < 0)

sind, da m die Gesamtzahl der

Zyklen zur vollständigen Realisierung der m -fachen Übertragungsnullstellep 0 ist. Es besteht also im allgemeinen die Möglichkeit, durch die Wahl von ß im Intervall 0 S ß i

m - n bzw. - m i

ßS

m die jeweilige A n -

zahl der Zyklen zweiter und dritter A r t zu beeinflussen. Da eine Polstelle von W(p)

in R e p < 0 stets einen bezüglich der imaginären Achse symmetrisch gelegenen

Polpartner hat und die oben durchgeführten Überlegungen für jedweden P o l p 0 in R e p > 0 gültig sind, ist damit die Frage der Verteilung der Pole von ¡V(p)

W ( - p ) auf K ( p ) und K ( - p ) beantwortet. Darüber hinaus

kann man nach individueller W a h l des Parameters ß für jeden Pol (im R a h m e n der gewonnenen Einschränkung) im voraus alle Entwicklungsstellen zweiter und dritter A r t in R e p > 0 erkennen. Im häufig auftretenden Fall m = n ( = 1 ) eines Poles kann nur ß = 0 gewählt werden. Im Fall m = - n (der für Allpässe charakteristisch ist) gibt es mehrere Wahlmöglichkeiten für ß.

122

I Synthese passiver Netzwerke

Im bereits angesprochenen, aber bislang ausgeschlossenen (Allpaß-) Fall W ( p ) W ( - p ) = 4 existiert als einzige Lösung K(p) = 0 und damit Z ( p ) =1. Alle Übertragungsnullstellen sind als Entwicklungsstellen dritter Art zu realisieren.

5.3 DIE REALISIERUNG DER UBERTRAGUNGSFUNKTION BEI ABSCHLUSS DES REAKTANZZWEITORS MIT EINEM OHMWIDERSTAND In diesem Abschnitt soll das im Bild 1.93 dargestellte Netzwerk untersucht werden, das aus einem mit dem Ohmwiderstand R belasteten Reaktanzzweitor besteht und durch einen eingeprägten Strom / , oder durch eine eingeprägte Spannung U^ erregt wird. Durch Normierung (Abschnitt 1.3) kann erreicht werden, daß R = 1 wird. Dies soll im folgenden angenommen werden. Unter der Voraussetzung, daß das Reaktanzzweitor eine Impedanzmatrix [ Z r j (p)] und zudem eine Admittanzmatrix [ Yrs ( p ) ] besitzt, können die beiden Übertragungsfunktionen Hx(p) := i / 2 / / , = ( - l ) / 2 / / , und H2(p) := I2/Ux = [U2/(1 )]/Ul mit Hilfe der Gl. (1.127) bzw. der Gl. (1.136) folgendermaßen dargestellt werden: Z12(p) 1+

Z22(p)

H2(P) =

Yn(p)

(1.200a,b)

1 + ^22 (P)

Unter Berücksichtigung der Gin. (1.149b,c), durch welche die Funktionen Z22(p) und Zl2(p) von Reaktanzzweitoren dargestellt werden, sowie der entsprechenden Darstellungen für die Funktionen Y22(p) und Y12(p) ist aus den Gin. (1.200a,b) zu erkennen, daß die Übertragungsfunktionen Ht(p) und H2(p) notwendigerweise als rationale, reelle und in p = oo endliche Funktionen darstellbar sein müssen, deren Zählerpolynome entweder gerade oder ungerade und deren Nennerpolynome Hurwitz-Polynome sind. Dabei wurde die durch Satz 1.8 bekannte Tatsache berücksichtigt, daß die Summe aus Zähler- und Nennerpolynom einer in gekürzter Form geschriebenen Zweipolfunktion stets ein Hurwitz-Polynom ist. Es ist allerdings denkbar, daß das Zählerpolynom und das Nennerpolynom von / / j (p) gemeinsame Nullstellen haben und daß damit ein Polynomfaktor in diesen Polynomen gekürzt werden kann. Das Entsprechende gilt für H2 (p). Es ist daher möglich, daß die Übertragungsfunktionen Hx (p) und H2 (p) erst nach Erweiterung im Zähler und Nenner mit einem geeigneten Hurwitz-Polynom als Quotient erscheinen, dessen Zähler ein gerades oder ungerades Polynom und dessen Nenner ein Hurwitz-Polynom ist. Der Grad des Zählerpolynoms darf nicht größer sein als der des Nennerpolynoms.

Bild 1.93: Ein mit einem Ohm widerstand belastetes Reaktanzzweitor

Reaktanzzweitor

w

Uo

Man kann in Umkehrung der vorausgegangenen Betrachtungen zeigen, daß jede rationale, reelle und i n p = °° endliche Funktion H(P)

=

PAP) Pt(p)

(1.201)

Die Realisierung der Übertragungsfunktion..

123

deren Zählerpolynom Px ( p ) gerade oder ungerade und deren Nennerpolynom P2 ( p ) ein Hurwitz-Polynom ist, als Übertragungsfunktion Hi (p) oder H2(p) gemäß Bild 1.93 verwirklicht werden kann. Dies soll für Hl (/?) im einzelnen gezeigt werden. Dabei wird das Polynom P2 (p) in seinen geraden und seinen ungeraden Teil zerlegt: P2(P)=Plg(P)

+ P2u(P)-

Ist P1 (p) gerade, dann setzt man =

und

Z2ÄP) =

(1 202a b)

W ) -

-

'

Damit ist H(p) aus Gl. (1.201) identisch mit H, (p) aus Gl. (1.200a). Man beachte dabei, daß in Gl. (1.202b) der Quotient aus geradem und ungeradem Teil des Hurwitz-Polynoms P2 (p) eine Reaktanzzweipolfunktion ist und daß die Funktion Z 12 (p) nach Gl. (1.202a) nur dort Pole hat, wo auch die Funktion Z22(p) aus Gl. (1.202b) unendlich wird. Den Funktionen Z 1 2 ( p ) nach Gl. (1.202a) und Z22(p) nach Gl. (1.202b) läßt sich ohne weiteres eine Reaktanzzweipolfunktion Zn (p) zuordnen, so daß die Matrix Z(p):=

zn(p)

Z12(p)

Zu(p)

Z22(p)

(1.203)

als Impedanzmatrix durch ein Reaktanzzweitor realisiert werden kann. Ist Px(p) ungerade, dann setzt man =

Pl (P)

P und

P

=

2u (P) P

2g(P)

2g(P>

•

(1.204a,b)

Damit ist H(p) nach Gl. (1.201) identisch mit Ht (p) nach Gl. (1.200a). Den Funktionen Zn(p) aus Gl. (1.204a) und Z22(p) aus Gl. (1.204b) läßt sich auch in diesem Fall ohne weiteres eine Reaktanzzweipolfunktion Zn (p) zuordnen, so daß die Matrix Z (p) nach Gl. (1.203) als Impedanzmatrix durch ein Reaktanzzweitor realisiert werden kann. Die Verwirklichung der Übertragungsfunktion H l (p) erfordert also die Ermittlung eines Reaktanzzweitors, von dessen Impedanzmatrix nur die beiden Elemente Z ) 2 (p) und Z22 (p) gemäß den Gin. (1.202a,b) bzw. den Gin. (1.204a,b) vorgeschrieben sind. Unter Verwendung der Gl. (1.127) läßt sich die Eingangsimpedanz eines solchen, mit dem Ohmwiderstand R = 1 abgeschlossenen Reaktanzzweitors in der Form Z(p)=Zn(p)~

z f 2 v( p ) " 7 1 + Z22 (p)

(1.205)

darstellen. Wie man aus dieser Darstellung ersieht, wird der Grad der Funktion Z (p) sicher dann am kleinsten, wenn man bei gegebenen Funktionen Z 12 (p) und Z22 (p) die Reaktanzzweipolfunktion Z n (p) dadurch bestimmt, daß man ihr nur diejenigen Pole zuordnet, die in der Funktion Z12(p) vorkommen. Die Entwicklungskoeffizienten der Funktion Zn(p) in den genannten Polen sind dabei so zu wählen, daß diese Pole, als Pole der Impedanzmatrix betrachtet, kompakt sind. Wie man der Gl. (1.205) direkt entnimmt, treten diese kompakten Pole der Impedanzmatrix damit in der Eingangsimpedanz Z (p) nicht auf. Man kann jetzt das gesuchte Reaktanzzweitor dadurch bestimmen, daß man die Impedanz aus Gl. (1.205) nach Abschnitt 5.1 realisiert. Dabei sind gemäß den Gin. (1.153a-d) als endliche Entwick-

124

I Synthese passiver Netzwerke

lungsstellen sämtliche Nullstellen der Funktion Z 12 ( p ) zu verwenden und außerdem alle Pole der Impedanz Z22 (p), die in der Impedanz Zn (p) (und damit auch in Z 12 (p)) nicht auftreten, also alle nichtkompakten Pole der Impedanzmatrix. Der gerade Anteil der Eingangsimpedanz ist G(p)

= -

z M

In entsprechender Weise läßt sich nun eine Übertragungsfunktion H2 (p) realisieren. Dabei betrachtet man die Eingangsadmittanz Y(p) des mit dem Ohmwiderstand eins abgeschlossenen, gesuchten Reaktanzzweitors. Mit Gl. (1.136) erhält man Y(P)

=Y n ( p ) -

y? 2 ( p ) 1 + Y22(p)

Die Funktionen Y]2 (p) und Y22 (p) folgen aus der gegebenen Übertragungsfunktion H2 (p) in naheliegender Weise. Fordert man, daß alle Pole von Yn (p) mit denen von y i 2 (p) übereinstimmen und kompakte Pole der Admittanzmatrix [ Yrs (p)] sind, so wird die Admittanz Yn ( p ) eindeutig festgelegt, und sie erhält minimalen Grad. Bei der Realisierung der Admittanz Y(p) oder der Impedanz 1 /Y(p) nach Abschnitt 5.1 hat man gemäß den Gin. (1.153a-d) als endliche Entwicklungsstellen sämtliche Nullstellen von Y12(p) und alle nichtkompakten Pole der Admittanzmatrix im abgeschlossenen ersten Quadranten zu verwenden. Die gewonnenen Ergebnisse werden zusammengefaßt im Satz 1.21: Notwendig und hinreichend dafür, daß eine rationale, reelle Funktion H(p) als Verhältnis i / j / A °der / j / i / j durch das Netzwerk nach Bild 1.93 (R = 1) realisiert werden kann, sind die beiden folgenden Bedingungen: a) Die Funktion H(p) ist (gegebenenfalls durch Erweiterung mit einem Hurwitz-Polynom) so darstellbar, daß ihr Zähler ein gerades oder ungerades Polynom und ihr Nenner ein Hurwitz-Polynom ist. b) Die Funktion H(p) hat im Punktp = °° einen endlichen Wert. Erregt man ein Reaktanzzweitor mit einer Spannungsquelle, die einen normierten Innenwiderstand R = 1 hat, und betreibt man den Zweitorausgang im Leerlauf oder Kurzschluß, so erhält man gemäß den Bildern 1.94a,b die Übertragungsfunktion bzw.

H4(p):=^~.

Aufgrund des Umkehrungssatzes [UN2] kann man zeigen, daß die Übertragungsfunktion H3(p) mit der Übertragungsfunktion / / , ( p ) des Zweitors übereinstimmt, das aus dem Reaktanzzweitor von Bild 1.94a durch Vertauschung von Primär- und Sekundärseite hervorgeht und gemäß Bild 1.93 betrieben wird (Stromerregung). Damit muß auch die Übertragungsfunktion H3 (p) die im Satz 1.21 genannten notwendigen und hinreichenden Bedingungen erfüllen. Eine solche Funktion läßt sich also dadurch realisieren, daß man // 3 (p) zunächst als Übertragungsfunktion H 1 (p) verwirklicht, Primär- und Sekundärseite des erhaltenen Reaktanzzweitors vertauscht und dieses gemäß Bild 1.94a betreibt.

125

Synthese eines Reaktanzzweitors

Uo

(a) 1 1 Bild 1.94: Erregung eines

Reaktanzzweitors

durch eine Spannungsquelle mit Innenwiderstand. Der Ausgang wird im Leerlauf oder im Kurzschluß betrieben.

1 0

r .

•

Reaktanzzweitor

(b)

Entsprechend kann man mit Hilfe des Umkehrungssatzes zeigen, daß die Übertragungsfunktion H4 ( p ) mit einer Übertragungsfunktion H2 (p) übereinstimmt. Daher muß auch H4(p) die notwendigen und hinreichenden Bedingungen von Satz 1.21 erfüllen. Eine solche Übertragungsfunktion läßt sich dadurch realisieren, daß man sie zunächst als Übertragungsfunktion H2(p) verwirklicht, Primär- und Sekundärseite des erhaltenen Reaktanzzweitors vertauscht und dieses gemäß Bild 1.94b betreibt.

5.4 SYNTHESE EINES ZWISCHEN OHMWIDERSTÄNDEN EINGEBETTETEN REAKTANZZWEITORS BEI VORGABE EINER CHARAKTERISTISCHEN FUNKTION Bei der Synthese von Reaktanzzweitoren, die gemäß Bild 1.90 betrieben werden und als frequenzselektive Filter Verwendung finden, werden häufig nur Forderungen an den Betrag der Übertragungsfunktion | //(jcj) | = | U2/U0 | gestellt. Da nach Gl. (1.193) die Betragsfunktion | H( jcj) | = 1 / | W( jw) | eindeutig durch die Betragsfunktion | K( jcj) | gegeben ist, kann man die genannten Forderungen auf eine Vorschrift für die Funktion | K(jcj) | umrechnen. Aufgrund dieser Vorschrift läßt sich mit Hilfe eines Approximationsprozesses eine Funktion K(p) bestimmen. Hierauf wird im Teil V, Abschnitt 3.5 eingegangen. Die Verwendung der charakteristischen Funktion K(p) anstelle der Übertragungsfunktion H(p) hat bei der Approximation den beachtlichen Vorteil, daß die durch Gl. (1.192) gegebene charakteristische Funktion K(p) keinerlei Einschränkungen unterworfen ist, d.h. die in Gl. (1.192) auftretenden Parameter frei variiert werden dürfen. Aus der Funktion K(p) erhält man über die Eingangsimpedanz Z{p)-U-i/l-i ein Reaktanzzweitor, wie im folgenden gezeigt wird. Der Weg über die Übertragungsfunktion mittels der Gin. (1.193) und (1.198) ist auch möglich.

126

5.4.1

I Synthese passiver Netzwerke

Zusammenhang zwischen Eingangsimpedanz und charakteristischer Funktion

Dem Bild 1.90 entnimmt man direkt die Beziehung t/0 =[Rl+Z(p)]I1

.

Hieraus folgt für die Übertragungsfunktion H(p) :=U2/U0 H ( P )

- [*,

+

\ p )

] h

die Darstellung

•

Damit erhält man für p = j u 1I

H(\u) I2 =

I U2 | 2 , \R, + Z ( j C J ) | 2 | / , | 2

.

(1.206)

Mit Hilfe der beiden im Abschnitt 5.2 angegebenen Darstellungen für die Wirkleistung P , die dem Reaktanzzweitor von Bild 1.90 am Eingang zugeführt wird, erhält man weiterhin I U2 12 I Ii I

=R2RCZ(JCJ)

.

(1.207)

Dabei sind / j und U2 die komplexen Größen des Eingangsstroms bzw. der Ausgangsspannung f ü r p = jcj. Führt man die Gl. (1.207) in die Gl. (1.206) ein, so ergibt sich R2ReZ(\u)

oder, wenn man jco durch p ersetzt, R2[Z(p)

+

Z(-p)]

Da auf beiden Seiten von Gl. (1.208) rationale Funktionen in der Variablen p stehen, muß diese Gleichung in der gesamten p -Ebene Gültigkeit haben. Wie bereits früher festgestellt wurde, darf ohne Einschränkung der Allgemeinheit Rx = R2= 1 gewählt werden. Diese Wahl soll im folgenden getroffen werden. Wenn man jetzt die Gl. (1.208) in die Gl. (1.193) einführt, erhält man die Beziehung 211

™>

Damit ergibt sich aus den Gin. (1.208) und (1.209) H(p)m-P)K(P)K(-P)

- l ^ f M

•

(1.210a)

oder H(p)H(-p)K(p)K(-p)=p(p)p(-p),

(1.210b)

Synthese eines Reaktanzzweitors

127

wobei (1.211) die Reflexionsfunktion des zwischen den Ohmwiderständen R1 = 1 und R2 = 1 betriebenen Reaktanzzweitors ist. Aus den Gin. (1.193) und (1.210b) erhält man 1-4

H(p)H(-p)=p(p)p(-p).

(1.212)

Wegen der Beziehungen H( j'cj) H( - jcj) ^ 0 und p (jw) p ( - jcj) ^ 0 folgt aus Gl. (1.212) 0 = p ( j w ) P(~iu)

= 1.

Da die Funktion Z (p) eine Zweipolfunktion ist, muß wegen Gl. (1.211) für die Reflexionsfunktion p (p) die Beziehung |p(p) | < 1

für

Rep > 0

bestehen.

5.4.2

Praktische Bestimmung der Eingangsimpedanz aus der charakteristischen Funktion

Es wird davon ausgegangen, daß die FunktionF(p 2 ) = K(p) K(-p) aus Gl. (1.190) durch Approximation bestimmt worden ist. Jetzt soll gezeigt werden, daß die Eingangsimpedanz Z (p) direkt aus den Nullstellen und Polen von F(p2) berechnet werden kann. Die endlichen Nullstellen von F(p2) seien mitp 0 , und -p0r (r = 1 , 2 , . . . ,M), die endlichen Pole mitp„ r und - p _ r ( r = 1 , 2 , . . . , N) bezeichnet. Mehrfache Nullstellen und Pole sind ihrer Vielfachheit entsprechend aufgeführt. Die Nullstellen von F(p2) seien gemäß Gl. (1.209) so aufgeteilt, daß die Punkte p 0r (r = 1, 2 , . . . , M) die Einsstellen der Impedanz Z (p) und die Punkte - p 0 r (r = 1 , 2 , . . . ,M) die Einsstellen der Funktion Z ( - p ) sind. Die Pole ± p„ r ( r = 1, 2 , . . , , N ) von F ( p 2 ) sind nach Gl. (1.209) die Nullstellen des geraden Teils 1 G(p):=|[Z(p) + Z(-p)] von Z ( p ) . Daher gilt Z(Por) = l

(r = 1 , 2 , . . . , M)

(1.213a)

und G(p_r) = 0

(r = 1 , 2 , . . . ,

N).

(1.213b)

Führt man das Polynom P(P)=±

M U(P r=1

-Por)

ein, so läßt sich damit die Impedanz Z (p) durch den Ansatz

(1.214)

128

I Synthese passiuer Zip)

- 1+

Netzwerke (1.215)

darstellen. Dabei bedeutet Q{p) ein noch zu bestimmendes Polynom. Durch den Ansatz gemäß Gl. (1.215) mit Gl. (1.214) ist sichergestellt, daß die Bedingung nach Gl. (1.213a) erfüllt wird. Führt man die Gl. (1.215) in die Gl. (1.209) ein, so erhält man 2P(P)

P(-P)

Q(P)

Q(-p)

Andererseits kann man die Funktion F(p2) (1.214) in der Form F(P2) =

J{~P) R(p )

(1.216b)

P { P )

ausdrücken. Dabei ist R(p2) man

R(p2)

aus Gl. (1.190) unter Verwendung der Gl.

ein bekanntes Polynom i n p 2 . Aus den Gin. (1.216a,b) erhält

= Q(p) Q(~P)

Q(p)

+ \ p ( p ) Q ( - p ) + \p(~P)

(woraus man sieht, daß P ( p ) und Q ( p ) keine gleichen Nullstellen haben) oder [Q(P)+

\P(P)][Q{-P)+

\P(-P)}

=R(P2)+

jP(P)P(-P)-

(1-217)

Die rechte Seite der Gl. (1.217) S0(p2):=R(p2)+

±P(p)P(-p)

kann auf der imaginären Achse keine Nullstellen besitzen, da nach den Gin. (1.191) und (1.216b) R(-cj2) ^ 0 für alle cj-Werte ist, P ( j c o ) P ( - j c j ) / 4 ^ 0 gilt und R(p2) keine gemeinsame Nullstelle mit P ( p ) P(~p) hat. Damit läßt sich nach dem Vorbild von Abschnitt 5.2 eine Faktorisierung R(P2)

+jP(p)P(-p)=S(p)S(-p)

(1.218)

so durchführen, daß S ( p ) ein Hurwitz-Polynom ist. Durch die Wahl Q(p)+

^P(P)

=S(p)

(1.219)

wird die Gl. (1.217) erfüllt, wie ein Vergleich dieser Beziehung mit der Gl. (1.218) zeigt. Schließlich erhält man aus den Gin. (1.215) und (1.219)

Der gerade Teil der Funktion Z(p)

wird mit den Gin. (1.218) und (1.219)

Synthese eines Reaktanzzweitors G(p) =

R(p2) Q(p)Q(-p)

129 (1.221)

'

Man beachte, daß wegen Gl. (1.221) R e Z ( j c j ) = G ( j c j ) S 0 gilt. Mit Satz 1.8 folgt dann, daß Z(p) eine Zweipolfunktion ist. Wie man sieht, war es entscheidend, daß beim Vergleich der Gin. (1.217) und (1.218) das Polynom Q(p) + P(p)/2 gleich dem Hurwitz-Polynom S(-p) S (p) gesetzt wurde. Man hätte eine Faktorisierung der Funktion S0(p2) = S (p) auch so durchführen können, daß dem Polynom S(p) Nullstellen aus der Halbebene Rep > 0 zugewiesen worden wären, und dann dieses Polynom S (p) gleich Q(p) + P (/>)/2 setzen können. Dann aber wäre Z (p) nach Gl. (1.220) keine Zweipolfunktion geworden. Damit ist eine Eingangsimpedanz Z(p) mit den gewünschten Eigenschaften gefunden. Zusammenfassend darf folgendes festgestellt werden: Die Bestimmung von Z(p) erfolgt aus der Funktion F(p2) = K(p) K(-p), die als gegeben betrachtet wird. Zunächst wird diese Funktion F(p2) in der Form der Gl. (1.216b) dargestellt. Dabei gibt es im allgemeinen verschiedene Möglichkeiten zur Darstellung des Polynoms P(p) aus Gl. (1.214), da von den Nullstellen p0r nur verlangt wird, daß sie zusammen mit den Punkten -p0r die Gesamtheit aller endlichen Nullstellen von F(p2) bilden, jeweils der Vielfachheit entsprechend aufgeführt. Demzufolge erhält man auch mehrere Eingangsimpedanzen. Durch Hurwitz-Faktorisierung des durch die F u n k t i o n e n P ( p ) P(-p) und R(p2) gegebenen Polynoms S0(p2) ergibt sich das Polynom S(p) und damit die Impedanz Z(p) nach Gl. (1.220). Die Möglichkeit, statt S(p) das Polynom -S(p) zu verwenden, bringt keine zusätzlichen Lösungen, da dieser Fall durch eine Vorzeichenumkehrung des Polynoms P (p) erreicht werden kann. Dies ist jedoch im Rahmen der mehrdeutigen Darstellung von P(p) aufgrund der Gl. (1.214) enthalten. Führt man die Lösungsfunktion Z ( p ) nach Gl. (1.220) unter Beachtung der Gl. (1.221) in die Gl. (1.209) ein, so bestätigt sich die Richtigkeit des Ergebnisses. Es bedarf also jetzt nur der Realisierung der Zweipolfunktion Z ( p ) als Eingangsimpedanz eines mit dem Ohmwiderstand eins abgeschlossenen Reaktanzzweitors. Hierzu verwendet man das Verfahren nach Abschnitt 3.8. Dabei ist es sinnvoll, nur Entwicklungsstellen erster und zweiter Art zu verwenden. Man beachte, daß sich sowohl wegen der Mehrdeutigkeit der Zweipolfunktion Z(p) nach Gl. (1.220) als auch wegen der verschiedenen Entwicklungsmöglichkeiten von Z(p) nach Abschnitt 3.8 im allgemeinen mehrere Reaktanzzweitore ergeben, welche die vorgeschriebene charakteristische Funktion realisieren. Man kann die Synthese eines zwischen Ohmwiderständen eingebetteten Reaktanzzweitors bei Vorgabe einer charakteristischen Funktion K(p)

auch dadurch erreichen, daß man zunächst durch Lösung der (Feldtkeller-)

Gleichung (1.193) eine Übertragungsfunktion

H(p) = \/W(p)

ermittelt und diese nach Abschnitt 5.2 reali-

siert. Hier sollte ein vom Verfahren nach Abschnitt 5.2 unabhängiges Lösungskonzept entwickelt werden.

5.5 SYNTHESE EINES MIT EINEM OHMWIDERSTAND ABGESCHLOSSENEN REAKTANZZWEITORS BEI VORGABE DES BETRAGS DER ÜBERTRAGUNGSFUNKTION Auch bei der Synthese eines Reaktanzzweitors, das gemäß Bild 1.93 mit einem Ohmwiderstand abgeschlossen ist, werden gelegentlich nur Forderungen an den Betrag der Übertragungsfunktion | / 2 / / , = | / / , ( j u ) | bzw. | U2/U1 |P=J£J = | H2(JCJ) | gestellt. Da die dem Zweitor zugeführte Wirkleistung gleich der im Ohmwiderstand R umgesetzten

/ Synthese passiver Netzwerke

130 Wirkleistung ist, müssen die Beziehungen |^ |

2

R e Z ( j c j ) = | /2 | 2 R

(1.222a)

und \U, | 2 R e y ( j o ) = \U2

(1.222b)

gelten. Dabei bedeutet Z(p) die Impedanz und Y(p) die Admittanz am Eingang des gesuchten, mit dem Ohmwiderstand R abgeschlossenen Reaktanzzweitors. Durch Normierung (Abschnitt 1.3) kann erreicht werden, daß R = 1 wird. Dies soll im folgenden angenommen werden. Damit erhält man aus den Gin. (1.222a,b) |//,(jcj) | 2 = ReZ(jcj)

und

| / / 2 ( j c j ) | 2 = Re Y(jcj).

(1.223a,b)

Der gerade Anteil von Z(p) sei mit Gl(p)-=^[Z(p)

+ Z(-p)],

(1.224a)

derjenige von Y(p) mit G2(p):=±[Y(p)+Y(-p))

(1.224b)

bezeichnet. Dann lassen sich wegen der Identitäten R e Z ( j c j ) = Gj (jco)

und

Re Y(J'CJ) = G2(J'CJ)

die Gin. (1.223a,b) auch in der Form =:^,(-p2),

H,(p)H1(-p)

= Gi(p)

H2(p)H2(-p)

= G2(p)=:A2(-p2)

(1.225a) (1.225b)

für/7 = j u darstellen. Da diese Beziehungen für alle Punkte auf der imaginären Achse erfüllt sind und die auftretenden Funktionen rational sind, müssen beide Gleichungen in der gesamten /7-Ebene gelten. Somit müssen die Funktionen A,(-p2) und A2(~p2) notwendigerweise rationale, reelle und gerade Funktionen in Abhängigkeit von p sein. Außerdem müssen diese Funktionen für p = j u (0 ^ u ^ endlich und nichtnegativ sein, weil sie, wie gezeigt wurde, Realteile von Zweipolfunktionen auf der imaginären Achse sind. Man kann umgekehrt zu jeder derartigen Funktion ein Reaktanzzweitor angeben, so daß bei Abschluß des Zweitors mit dem Ohmwiderstand R = 1 gemäß Bild 1.93 der Ausdruck I h ^ h I 2 bzw. | f / j / i / i | 2 für p = j u mit der genannten Funktion übereinstimmt. Dies soll im folgenden gezeigt werden. Dabei sei angenommen, daß die Funktion ^ ( u 2 ) = |/2//, | 2

(1.226)

die oben genannten Bedingungen erfüllt. Falls \U2/U1 \ 2 vorliegt, wird entsprechend verfahren. Es sei noch bemerkt, daß bei praktischen Anwendungen die Funktion Ax (cj 2 ) zunächst noch nicht in zulässiger Form vorliegt, sondern durch Approximation erst ermittelt werden muß. Hierauf wird im Teil V des Buches eingegangen.

131

Synthese eines Reaktanzzweitors

Führt man in der gegebenen Funktion Ax (w 2 ) aus Gl. (1.226) die Variable p = jcj ein, dann erhält man nach Gl. (1.225a) den geraden Teil Al(-p2)

G] ( p ) =

der Funktion Z(p). Die Aufgabe besteht jetzt zunächst darin, die Gl. (1.224a) bei bekannter linker Seite nach der unbekannten Funktion Z ( p ) aufzulösen. Dazu wird die Funktion Gi (p) in der Form RAp2)

C,(p) =

(1.227)

ßi(p)ß.(-p)

dargestellt. Hierbei bedeutet ß , (p) ein Hurwitz-Polynom, dessen Koeffizient qm bei der höchsten Potenz von p gleich eins sein soll: (1.228)

ß i ( p ) =