Quantentheorie - Grundlagen und Anwendungen [1 ed.] 3860250159, 3860253301

Citation preview

Das Titelbild zeigt eine abstrakte Grafik von Kenneth Scallon (© THE IMAGE BANKlKenneth Scallon)

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme

Schubert, Max: Quantentheorie: Grundlagen und AnwendungenIMax Schubert; Gerhard Weber. - Heidelberg; Berlin; Oxford: Spektrum, Akad. VerI., 1993 ISBN 3-86025-015-9 brosch. ISBN 3-86025-330-1 Gb. NE: Weber; Gerhard:

© 1993 Spektrum Akademischer Verlag GmbH Heidelberg· Berlin· Oxford Aile Rechte, insbesondere die der Dbersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Kein Teil des Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages photokopiert oder in irgendeine von Maschinen verwendbare Sprache tibertragen oder libersetzt werden. Lektorat: Peter Ackermann, Caputh Produktion: Erdmute Wendland, Birgit Burkhardt Umschlaggestaltung: Claus Rieger, Heidelberg Satz: Hagedomsatz, Berlin Druck und Verarbeitung: Franz Spiegel Buch GmbH, Ulm

Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg· Berlin· Oxford

EIS

VENLAG OEN

S P E K TN [' .II FA CHI' EN LAG E G.lf I] II

Vorwort

In die meisten Zweige der Physik ist ein tieferes Eindringen nur möglich, wenn sowohl hinreichendes Verständnis der Grundlagen der Quantentheorie als auch anwendungsbereites Wissen über die Methoden zur Lösung wichtiger Probleme der Quantenphysik vorhanden sind. Beide Aspekte sollen durch das vorliegende Lehrbuch den Studierenden der Physik und benachbarter Disziplinen sowie naturwissenschaftlich-technischen Mitarbeitern in Forschungsinstituten und in der Industrie vermittelt werden. Im Laufe des Studienganges bedeutet die Beschäftigung mit der Quantentheorie eine Fundierung und qualitative Erweiterung der klassischen Theorien der Mechanik, der Elektrodynamik und der statistischen Thermodynamik. Dieser Aspekt des "Übergangs" zwischen klassischer Theorie und Quantentheorie wird im Buch durch die Zusammenstellung von Gesetzmäßigkeiten der klassischen Physik (im Komplex A) vorbereitet und hauptsächlich in der Beschreibung des induktiven Zugangs zur Quantentheorie (im Komplex B) behandelt, der insbesondere auf einer konsequenten Interpretation empirischer Befunde basiert und die Grundbeziehungen der Heisenbergschen Matrizenmechanik und der Schrödingerschen Wellenmechanik liefert. Der deduktive Aufbau wird in der Standarddarstellung der Dirac-Formulierung der Quantentheorie (im Komplex C) vollzogen. Diese enthält die quantenphysikalischen Wurzeln, Grundbegriffe und Basisbeziehungen in einer abstrakten, kompakten Form, aber doch so, daß damit die Verknüpfung der theoretischen Größen mit den der Messung zugänglichen klar herausgestellt wird und daß man damit ohne Umschweife in die konkrete Behandlung spezifischer Probleme eintreten kann. Dazu gehört vor allem auch die Anwendung auf wichtige physikalische Systeme des atomaren und subatomaren Bereiches (im Komplex D). Vertiefte Einsichten in die im Komplex C dargestellten Grundlagen und eine Erweiterung derselben in Richtung auf Symmetriebetrachtungen, Quantenstatistik, Besetzungszahldarstellungen, Quantenfeldtheorie erfolgen im Komplex E. Eine vollständige Lösung quantentheoretischer Probleme verlangt die Verwendung spezifischer Methoden (wie beispielsweise zur Bestimmung von Eigenwerten) und spezifischer Konzeptionen (wie beispielsweise den Formalismus der Streutheorie). Dabei sind häufig Näherungsverfahren wichtig, weil - wie in der klassischen Physik auch bei vielen bedeutsamen Prozessen und Problemen mathematisch geschlossene Lösungen nicht oder nicht ohne weiteres gewonnen werden können. Diese Methoden und Konzeptionen sind an den dafür didaktisch geeigneten Stellen des Buches untergebracht und werden an repräsentativen Problemen exemplifiziert. Insgesamt sind die Anwendungsbeispiele so ausgewählt, daß durch sie wichtige Resultate von problemorientierten Hauptrichtungen der Physik (Atom-,

Inhalt

Verzeichnis der nach Hauptrichtungen der Physik geordneten Anwendungen. . . . . . . .

15

Mathematische Zeichen und Symbole für physikalische Größen. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Zusammenstellung von Gesetzmäßigkeiten der klassischen Physik ..

21

A

Theoretische Grundlagen der klassischen Physik ...................... .

23

1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.2.1 1.1.2.2 1.1.2.3 1.2 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.4 1.4.1 1.4.2

Mechanik ...................................................... Kanonische Mechanik ............................................ Einige repräsentative Beispiele der Mechanik ......................... Eindimensionaler harmonischer Oszillator ........................... Kepler-Problem ................................................. Relativistische Bewegung eines Teilchens ............................ Elektrodynamik ................................................. Allgemein-feldtheoretische Grundbegriffe und Probleme ............... Kanonischer Feldformalismus ..................................... Aufbau von Feldtheorien und Folgerungen aus Invarianzen ............ Wellenstreuung an einer Raumgitterstruktur . . . . . . . . .. . ............. Wellengruppen .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... Unschärferelation zwischen Ortskoordinate und Wellenzahl ............ Phänomenologische und statistische Thermodynamik ................. Phänomenologische Thermodynamik ............................... Statistische Thermodynamik .......................................

23 23

2

Grundsätzliche Aspekte der klassisch-physikalischen Theorien ........... .

63

B

Induktiver Zugang zur Quantentheorie ........................... .

65

3

Empirische Befunde. Vorstufe zur Quantentheorie .................... .

67

3.1 3.1.1 3.1.1.1 3.1.1.2

Grundlegendes zur Atomistik ...................................... Atom als Ganzes ................................................ Atommassen .................................................... Atom- bzw. Molekülanzahl ....................................... Atom- bzw. Molekülvolumen ...................................... Diskrete Struktur der elektrischen Ladung ........................... Nachweis der diskreten Struktur der Ladung ......................... Elektronen als spezielle elementare Ladungsträger .................... Bemerkungen zu anderen elementaren Ladungsträgern .......... KI,lSSllsclle Vorstellungen über die Struktur der Atome ................. Streuung schneller Elektronen .......... . ......................... Streuung von ::x-Teilchen .......................................... Rutherfordsches Atommodell ...................................... Kontinuierliche und diskrete Struktur der elektromagnetischen Strahlung .......................................................

. . . . . . . . . . . . .

67 67 67 68 71 72 72 75

.

85

3.1.1.3 3.1.2

3.1.2.1 3.1.2.2 3.1.2.3 3.1.3 3.1.3.1 3.1.3.2

3.1.3.3 3.1.4

. . . . . . . . . . . . . . . .

28 28 29 30 30 36 36 38

49 51

52 54 54 57

78 79

79 80 83

8

3.1.4.1 3.1.4.2 3.2

Inhalt

85

3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.2.1 3.4.2.2 3.4.2.3 3.4.3 3.5 3.5.1 3.5.2

Elektromagnetische Wellen ........................................ . Diskrete Struktur der elektromagnetischen Strahlung .................. . Theorie der Wärmestrahlung und die Entdeckung des universellen Wirkungsquantums ................................ . Wärmestrahlungsgesetze von Stefan, Boltzmann und Wien ............. . Plancksches Strahlungsgesetz ...................................... . Verfeinerte Vorstellungen über die Struktur der Atome ................ . Serienspektren der Atome ......................................... . Bohrsches Atommodell ........................................... . Direkter Nachweis der diskreten Energieniveaus von Atomen (Franck-Hertz-Versuch) ........................................... . Quantentheorie auf der Basis des Korrespondenzprinzips .............. . Grundlagen des Korrespondenzprinzips ............................. . Beispiele zur Handhabung des Korrespondenzprinzips ................. . Eindimensionaler harmonischer Oszillator ........................... . Starrer Rotator .................................................. . Elektron im Coulomb-Potential .................................... . Unzulänglichkeiten der korrespondenzmäßigen (älteren) Quantentheorie .. Wellenaspekt der stomichen Materie ................................ . Nachweis der Materiewellen durch Beugungsexperimente .............. . Klassische Wellentheorie der stomichen Materie ...................... .

125

4

Heisenbergsche Matrizenmechanik .................................. .

130

4.1 4.2 4.3

Einführung in die Matrizenmechanik ............................... . Matrizenmechanische Dynamik. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .............. . Matrizenmechanische Berechnung der Energieniveaus des harmonischen Oszillators ...................................... .

130

5

Schrödingersche Wellenmechanik . .................................. .

139

5.1

Schrödinger-Gleichung und statistische Interpretation der Wellenfunktion ............................................... . Wellenmechanik im Operator-Formalismus .......................... . Eigenwertproblem ............................................... . Mittelwerte hermitescher Operatoren ............................... . Nichtvertauschbarkeit wellenmechanischer Operatoren ................ . Unschärferelation für Ort und Impuls ............................... . Stationäre Zustände und Energie-Eigenwertproblem .................. . Übersicht über das Energie-Eigenwertproblem ..................... .. Lösung des Energie-Eigenwertproblems ausgewählter physikalischer Systeme ........................................................ . Eindimensionales Kastenpotential .................................. . Eindimensionaler rechteckiger Potentialwall und Potentialtopf .......... . Kräftefreie Rotation um eine feste Achse (starrer eindimensionaler Rotator) .................................. . Eindimensionaler harmonischer Oszillator ........................... .

3.2.1 3.2.2 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3

5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.3 5.3.1 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.4.5 5.4.5.1 5.4.5.2

6 6.1

6.1.1 6.2

89 96 96

97 106

107 109 110 111

112 116 116

118 118 120 121

121

134

137

140 143

145 146 146 147

148 149

156 156

158 164 165

Kugelsymmetrisches Potential ..................................... . Coulomb-Potential ............................................... .

169 169 175

Zusammenhang zwischen Matrizen- und Wellenmechanik und Näherungsbeziehungen zur klassischen Mechanik ...................... .

185

Kugelsymmetrisches Ein-Teilchen-Problem und Wasserstoff-Atom ...... .

Zusammenhang zwischen Wellen- und Matrizenmechanik .............. . Energie-Darstellung von Orts-, Impuls- und Energie-Matrix beim harmonischen Oszillator ..................................... . Wentzel-Brillouin-Kramers-Näherung und Phasenintegralmethode ...... .

185 187 188

Inhalt

9

c

Deduktiver Aufbau der Quantentheorie. Dirac-Formulierung .... . . .

193

7

Grundlegende Begriffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

195

7.1 7.2 7.3

Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamische Variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Observable .....................................................

195 197 199

8

Vertauschungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

202

8.1 8.2 8.3 8.4 8.4.1 8.4.2

Vertauschungsrelationen der Grundobservablen des Ortes und des Impulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vertauschungsrelationen von abgeleiteten Variablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Observable ohne klassisches Analogon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Folgerungen für die Grundobservablen des Ortes und des Impulses. . . . . . . Eigenwertproblem der Grundobservablen ............................ Darstellungen mit Hilfe von Eigenlösungen . . . . . . . . . . . . . . .. ..........

202 203 204 205 205 207

9

Quantentheoretische Beschreibung des Meßprozesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

211

9.1 9.1.1 9.1.2 9.1.3 9.2 9.3 9.3.1 9.3.2 9.4

Messung einer Observablen am Einzelsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diskretes Spektrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontinuierliches Spektrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeines Spektralverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Messung einer Observablen an einer Gesamtheit von Einzelsystemen ..... Messung verschiedener Observabler ................................. Verträgliche Observable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nichtverträgliche Observable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

211 211 212 214 216 218 219 221 224

10

Vektorraum Je eines gegebenen physikalischen Systems. . . . . . . . . . . . . . . . .

227

10.1 10.2 10.3

N punktförmige Teilchen ohne innere Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeines physikalisches System .................................. Unabhängige Teilräume ...........................................

227 229 230

11

Zeitliches Verhalten ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

232

11.1 11.2 11.2.1 11.2.2 11.3

Bewegungsgleichung des Zustandsvektors ............................ Bestimmung der physikalisch-relevanten Größen ...................... Schrödinger-Bild ................................................. Heisenberg-Bild ................................................. Allgemeines zu den Bildern der Quantentheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

232 236 236 237 239

D

Quantentheoretische Behandlung konkreter physikalischer Systeme.

243

12

Der harmonische Oszillator und seine Anwendungsmöglichkeiten . . . . . . . .

245

12.1 12.2

Behandlung des Nummernoperator-Eigenwertproblems auf der Basis von Operatorbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpretationen. Besetzungszahldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

246 249

13

Äußerer und innerer Drehimpuls eines Teilchens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

252

13.1

Behandlung des Drehimpuls-Eigenwertproblems auf der Basis von Operatorbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bahndrehimpuls . . . . . . . . . . . . . . .. ................................. Innerer Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

252 256 258

13.2 13.3

10

Inhalt

14

Ein-Elektronen-Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

262

14.1 14.1.1 14.1.2 14.1.3 14.1.4 14.2 14.3

Elektron im vorgegebenen Potential ................................. Zentralkraftfeld ......................................... ..... .. Zwei-Zentren-Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kastenpotential .................................................. Periodisches Potential .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gesamtdrehimpuls eines Elektrons ........................ ...... .. Berücksichtigung von äußeren elektromagnetischen Feldern sowie relativistischen Korrekturen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .....

262 263 266 270 271 271 273

15

Atomare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . .. ..............................

280

15.1

Mehr-Teilchen-Systeme. Coulomb-Wechselwirkung zwischen Ladungsträgern in atomaren Systemen ............... '. . . . . . . . . . . . Abspaltung der Translationsbewegung bei Atomen und Molekülen. . . . . . . Elektronenzustand bei fester Kernlage in Atomen, Molekülen und Festkörpern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trennung von Elektronen- und Kernschwingungsbewegung bei Molekülen und Festkörpern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rotationsbewegung eines Moleküls. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gesamtstruktur der Energiezustände eines Moleküls ................... Mehr-Teilchen-Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Über die Coulomb-Wechselwirkung hinausgehende Wechselwirkungen bei einem Atom. . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . .. . . . ... . . . .. . . . . . . . ... . . . . . . Relativistische Wechselwirkungen bei Atomverbänden . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassende Betrachtungen im gesamten Hilbert-Raum atomarer Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

297

16

Das quantisierte elektromagnetische Strahlungsfeld und seine Wechselwirkung mit Ladungsträgern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

300

16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6

Quantisierung des isolierten Strahlungsfeldes und resultierende Grundeigenschaften ................................... Eigenschaften von Zuständen fester Photonenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenschaften von Glauber-Zuständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kohärenzeigenschaften. Quantentheoretische Korrelationsfunktionen . . . . . Wechselwirkung des quantisierten Strahlungsfeldes mit Ladungsträgern. . . Gequetschtes Licht. Yuen-Zustand ..................................

301 308 310 313 322 326

17

Systeme mit Positronen, Müonen und Nukleonen. . . . . . . .. . . . . . ... . .. . ..

330

17.1 17.2

Müonen-Atome ........................ . . . . . . . .. ................ Schalenmodell der Atomkerne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

331 333

E

Quantentheoretische Method~n und ihre Anwendungen. Erweiterung der Grundlagen .....................................

339

15.1.1 15.1.2 15.1.3 15.1.4 15.1.5 15.2 15.3 15.4 15.5

280 282 284 286 289 290 291 293 295

18

Systeme im gemischten Zustand. Dichteoperator .......................

341

18.1 18.2 18.3 18.4 18.4.1 18.4.2 18.5 18.6 18.6.1

Einführung und Grundeigenschaften des Dichteoperators . . . . . . . . . . . . . . . Beschreibung physikalisch-relevanter Größen mit dem Dichteoperator . . . . Zeitliches Verhalten des Dichteoperators ............................. Beziehungen zwischen Dichteoperator und Entropie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellung der mittleren Entropie mittels Dichteoperator .............. Systeme mit maximaler Entropie. Kanonisches Ensemble ........ . . . . . . . Anwendung auf Spin-Systeme ...................................... Anwendung auf Photonen-Systeme. . . . . . . ........................ Energieverteilung der Wärmestrahlung. Chaotische Strahlung. . . . . . . . . . .

342 344 346 347 347 350 351 352 352

Inhalt

1t

18.6.2 18.6.3 18.6.4

Die Glauber-Sudarshan-Darstellung des Dichteoperators ... . . . . . . . . . . . . Das Nichtklassische Licht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lichtausbreitung durch lineare optische Anordnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . .

355 357 359

19

Symmetrieeigenschaften physikalischer Systeme. Anwendung gruppentheoretischer Methoden in der Quantentheorie. . . . . . . . .

364

19.1

Symmetrieeigenschaften, Gruppen von unitären Transformationen und Erhaltungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppe der räumlichen Translationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppe der zeitlichen Translationen ................................. Gruppe der dreidimensionalen Drehungen im Orts- und Spinraum ....... Inversionsgruppe ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poincare- und Lorentz-Gruppe ..................................... Permutationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendung gruppentheoretischer Methoden zur Gewinnung quantentheoretischer Resultate ..................................... Klassifizierung und Konstruktion von Eigenzuständen auf Grund der Symmetriegruppe des Hamilton-Operators ........................ Folgerungen für Ein-Elektronen-Zustände bei Translationssymmetrie .......................................... in Kristallen . ..... Symmetrieeigenschaften von Molekülzuständen ....................... Energieniveau-Aufspaltung durch eine Störung mit Symmetrieverminderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppentheorie als Hilfsmittel bei der Berechnung von Matrixelementen von Operatoren .................................................. Gruppentheoretische Überlegungen bei zusammengesetzten physikalischen Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

388

20

Näherungsverfahren für die Lösung des Energie-Eigenwertproblems . . . . . . . .

390

20.1 20.2 20.2.1 20.2.2 20.2.3 20.3

390 393 394 396 397

20.3.7

Variationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schrödingersche Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Störungstheorie für einen nichtentarteten ungestörten Eigenwert. . . . . . . . . Störungstheorie für einen entarteten ungestörten Eigenwert ............. Übergang zwischen Nichtentartung und Entartung. Quasientartung . . . . . . Anwendungen der Variationsmethode und der Schrödingerschen Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wasserstoff-Molekülion ........................................... Gewinnung optimaler Ein-Teilchen-Zustände. Hartree-Gleichungen . .... Anharmonischer Oszillator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ........ Spin-Bahn-Kopplung eines Elektrons in einem kugelsymmetrischen Kraftfeld ..................... Zeeman-Effekt des Ein-Elektronen-Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Born-Oppenheimer-Näherung der Elektronen- und Kernbewegung in Molekülen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brillouin-Näherung für Elektronen im Kristall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

411 414

21

Systeme identischer Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .......

418

21.1 21.2 21.3 21.4 21.4.1 21.4.2 21.5 21.6

Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fermionen- und Bosonen-Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hartree-Fock-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zwei-Elektronen-Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Helium-Atom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wasserstoff-Molekül. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Besetzungszahldarstellung eines Bosonen- und eines Fermionen-Systems .. Bose-Einstein- und Fermi-Dirac-Statistik. Anwendungen ...............

418 421 423 427 427 430 432 436

19.1.1 19.1.2 19.1.3 19.1.4 19.1.5 19.1.6 19.2 19.2.1 19.2.2 19.2.3 19.2.4 19.2.5 19.2.6

20.3.1 20.3.2 20.3.3 20.3.4 20.3.5 20.3.6

365 366 368 369 370 370 370 371 371 374 384 385 386

399 399 401 403 405 408

12

Inhalt

22

Dirac-Bild. Zeitabhängige Störungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

443

22.1 22.2 22.3 22.4 22.4.1 22.4.2

Grundlagen des Dirac-Bildes ....................................... Zeitabhängige Störungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übergangswahrscheinlichkeit und Übergangsrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Emission und Absorption von Photonen. Natürliche Linienbreite. . . . . . . . Zusammenhang zwischen elektrischer Polarisation und Feldstärke .......

443 446 447 449 450 454

23

Streuprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

460

23.1 23.2 23.3 23.3.1 23.3.2 23.3.3 23.3.4 23.4 23.5

460 462 465 465 466 468 471 472

23.5.1 23.5.2

Grundbegriffe der Streutheorie ..................................... Methode der zeitabhängigen Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Methode der Greenschen Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufstellung der Lippmann-Schwinger-Gleichung für den Streuzustand . . . . Greenscher Operator und Greensche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Streuamplitude und differentieller Streuquerschnitt .................... Streuung schneller Elektronen an schweren Atomen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Streumatrix-Theorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Methode der Wegintegral-Quantisierung und ihre Anwendung in der Streutheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellung eines Propagators als Wegintegral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendung der Wegintegral-Methode in der Streutheorie. . . . . . . . . . . . . . .

24

Besetzungszahldarstellung von atomaren Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

483

24.1 24.2 24.3 24.3.1 24.3.2

Ein-Elektronen-Atom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeine atomare Systeme ....................................... Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . Grundsätzliches zum Zwei-Niveau-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wechselwirkung des Zwei-Niveau-Systems mit dem elektromagnetischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Photonendetektor auf der Basis des äußeren Photoeffektes . . . . . . . . . . . . . .

483 486 487 487

24.3.3

476 477 480

487 488

25

Dissipation und Fluktuation. Wechselwirkung zwischen dynamischen und dissipativen Systemen ..........................................

25.1 25.2 25.3 25.4 25.4.1 25.4.2 25.4.3

Charakterisierung des dissipativen Systems ........................... Kopplung eines harmonischen Oszillators an ein dissipatives System. . . . . . Kopplung eines Zwei-Niveau-Systems an ein dissipatives System. . . . . . . . . Physikalische Interpretation und Anwendung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamische und dissipative Systeme. Wechselwirkungsmechanismen ..... Bewegungsgleichungen. Dämpfungsglieder. Relaxationszeiten ........... Simultane Wirkung stochastischer und zeitlich determinierter Kräfte beim Laser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

494 495 499 501 501 502

26

Quantenfeldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

512

26.1 26.1.1

Grundlagen des quantenfeldtheoretischen Formalismus. . . . . . . . . . . . . . . . . Operatoren der kanonischen Quantenfeldtheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analyse von Feldern mittels vollständiger Orthonormalsysteme von Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quantenfeldtheorie in Besetzuogszahldarstellung (Teilchenzahldarstellung). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hilbert-Raum für feste Gesamtteilchenzahl und Fock-Raum ............ Physikalische Aussagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Observable ...................................................... Übergang vom quantisierten Schrödinger-Feld mit innerer Wechselwirkung zur Mehr-Teilchen-Quantenmechanik mit Wechselwirkung zwischen den Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

513 513

26.1.2

26.1.3 26.1.4 26.2 26.2.1 26.2.2

493

506

517 519 520 521 521 526

Inhalt

26.3 26.3.1 26.3.2 26.4 26.4.1 26.4.1.1 26.4.1.2 26.4.1.3 26.4.1.4 26.4.2 26.4.3 26.4.3.1 26.4.3.2 26.4.3.3 26.4.4

13

Anwendung auf Quasiteilchen (Phononen) ........................... . Massenpunktmodell der Phononen ................................. . Kontinuumsmodell der Phononen .................................. . Anwendung auf ausgewählte Elementarteilchen. Aspekte der Wechselwirkung ...................................... . Quantisierte Felder für ausgewählte Elementarteilchen ................. . Mesonfeld (Klein-Gordon-Feld) ................................... . Elektron-Positron-Feld (Dirac-Feld) ................................ . Nukleonenfeld ................................................. . Neutrinofeld (Weyl-Feld) ......................................... . Nichtrelativistische Näherung des Dirac-Feldes bei Wechselwirkung mit äußeren statischen elektrischen und magnetischen Feldern .......... . Wechselwirkung von Feldern ...................................... . Quantenelektrodynamik und Feynman-Diagrammtechnik .............. . N ukleonen-Mesonen-Wechselwirkung ............................... . Vier-Fermionen-Kopplung (ß-Zerfall) ............................... . Kopplungskonstanten bei starker, elektromagnetischer und schwacher Wechselwirkung ........................................ .

Anhang

Al A 1.1 A 1.1.1 A 1.1.1.1 A 1.1.1.2 A 1.1.1.3 A 1.1.1.4 A 1.1.2 A 1.1.3 A 1.1.4

527 528 530 532 532 532 535 540 540 541 546 547 556 557 557

563

Erweiterter Hilbert-Raum als matbematiscbe Grundlage der Dirac-Formulierung ........................................... .

563 563 563 563 564 566 566 567 567

A1.2 A 1.2.1 A1.2.2 A 1.3 A 1.3.1 A 1.3.2 A1.4 A 1.4.1 A 1.4.2

Zu verwendende Vektor-Räume .................................... . Hilbert -Raum ................................................... . Linearität und Komplexität ....................................... . Hermitesche Metrik .............................................. . Abzählbar-unendliche Dimension. Separabilität ...................... . Vollständigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ............................. . Duale Vektor-Räume ............................................. . Erweiterung des Hilbert-Raumes ................................... . Rechenregeln für den verwendeten Vektor-Raum (erweiterten Hilbert-Raum) ........................................ . Operatoren ... . ................................................ . Grundlegende Eigenschaften von linearen Operatoren ................. . Rechenregeln und spezielle Eigenschaften von linearen Operatoren ...... . Eigenwertproblem linearer Operatoren .............................. . Allgemeine Definitionen und Aussagen .............................. . Eigenwertproblem hermitescher Operatoren ......................... . Produkt-Räume ................................................. . Produkt-Raum mit 2 Teilräumen ................................... . Produkt-Räume mit mehr als 2 Teilräumen .......................... .

A2

Diracscbe Delta-Funktion ......................................... .

585

A2.1 A2.1.1 A2.1.2

Definition der «>-Funktion ......................................... Darstellung der «>-Funktion als Grenzfunktion von Funktionenfolgen .... Fourier-Darstellung, Vollständigkeitsrelationen für Orthonormalsysteme und weitere «>-Funktionsdarstellungen ............................... «>-Funktions-Relationen ........................................... Ableitungen der «>-Funktion und der Sprungfunktion. Transversale «>-Funktion ..........................................

A2.2 A2.3

570

572 572 574 579 579 580 583 583 584

585

. .

586

. .

587 588

.

589

14

Inhalt

A3

Grundbegriffe und Sätze der Gruppentheorie .......................... .

591

A 3.1 A 3.1.1 A 3.1.2 A 3.1.3 A3.2 A 3.2.1 A3.2.2 A 3.2.2.1 A3.3 A 3.3.1 A3.3.2 A3.3.3 A3.4 A3.5

Allgemeine Definitionen .......................................... . Definition einer Gruppe .......................................... . Klasseneinteilung der Elemente einer Gruppe ........................ . Untergruppen einer Gruppe ....................................... . Darstellungen einer Gruppe ....................................... . Definition der Darstellung ........................................ . Reduzibilität und Irreduzibilität von Darstellungen ................... . Sätze über irreduzible Darstellungen ................................ . Charaktere von Darstellungen ..................................... . Definition des Charakters ......................................... . Charaktere von Darstellungen ..................................... . Relationen zwischen Charaktersystemen ............................. . Direktes Produkt von Darstellungen einer Gruppe .................... . Projektionsoperatoren ............................................ .

591 591 592 592 592 594 594 595 595 595 596 596 597

A4

Transformation auf Normalkoordinaten .............................. .

598

A5

Lorentz-Transformationen und relativistische Invarianz ................. .

601

A5.1 A5.2

Lorentz-Transformationen ........................................ . Infinitesimale Lorentz-Transformationen von Feldgrößen .............. .

601 603

Literaturverzeichnis ........................................................

607

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

613

592

4

Heisenbergsche Matrizenmechanik

Die mit der Bohrsehen korrespondenzmäßigen Atommechanik begonnene Entwicklung wurde 1925 von W. HEISENBERG, M. BORN und P. JORDAN durch den Aufbau einer im atomaren Bereich gültigen Mechanik, der Matrizenmechanik, folgerichtig zu Ende geführt - vgl. [B-lO, 11, 12, 13]. HEISENBERGS Überlegungen dazu lag das heuristische Prinzip zugrunde, daß sich die Aussagen einer konsequenten physikalischen Theorie nur auf solche Begriffe und Größen beziehen sollten, die Messungen prinzipiell zugänglich sind. In dieser Hinsicht hegte er bezüglich klassisch geprägter Begriffe wie .Bahnkurve eines Elektrons im Atom" oder "Ort" und "Geschwindigkeit" sowie "Umlaufzeit" eines Elektrons im Atom Zweifel. Als geeignete atomare Meßgrößen erschienen dagegen die energetischen Anregungsstufen beim Elektronenstoß (vgl. 3.3.3 - Franck-Hertz-Versuch), die mit den Übergängen zwischen den Anregungsstufen verknüpften Frequenzen der elektromagnetischen Ausstrahlung und die zugehörigen Strahlungsintensitäten samt Polarisationen (vgl. 3.3.1 - Serienspektren der Atome). Wir beginnen in 4.1 mit der Einführung von Matrizen für die physikalischen Größen nach HEISENBERG, BORN und JORDAN und schließen daran in 4.2 die dynamischen Grundgleichungen an. Abschließend betrachten wir in 4.3 als Beispiel für das matrizenmechanische Vorgehen den eindimensionalen harmonischen Oszillator.

4.1

Einführung in die Matrizenmechanik

Wie bereits in 3.4.1 bei der quantitativ-formelmäßigen Fassung des Korrespondenzprinzips angedeutet wurde, kann man bei einem periodischen Vorgang x(I) iTw t nach einer Fourier-ZerJegung in der Form x(l) = XT e den Grund- und Oberfrequenzen TW Übergangsfrequenzen r

L

Wtn+