Mechanik deformierbarer Körper 9783110865899, 9783110062755

Citation preview

SAMMLUNG G Ö S C H E N BAND 1189/1189a

MECHANIK DEFORMIERBARER KÖRPER von

D R . MAX P Ä S L E R o. Prof. an der Technischen Universität Berlin

Mit 48 Abbildungen

WALTER DE GRUYTER & CO. vormale G. J . Göschen'sche Verlagshandlung * J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung · Georg Reimer · Karl J . T r ü b n e r · Veit & Comp

BERLIN

1960

© Copyright I960 by Walter de Gruyter ^ Co., Berlin W 35. - Alle Rechte, einschl. der Hechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 1 1 1 1 8 9 . — Satz: Walter de Gruyter «fr Co., Berlin W. 35. Druck: Kahmann - Druck, Berlin Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis Literaturangaben Liste der benutzten Symbole

A. Vorbereitendes § § § §

1. 2. 'i. 4.

Einführung Formeln und Sätze aus der Vektorrechnung Einiges über Tensoren Die Wcllengleichung

B. Mechanik der deformierbaren festen Körper (Elastomechanik) § 5. Der elastische Körper

I. Kinematik § 0. Der sog. Fundamentalsatz der Kinematik § 7. Der Deforniationstensor § 8. Die Kompatibilitätsbedingungen

II. Statik § § § § § § §

0. Die Kräfte (Volumen-, Massen- und Oberflächenkräfte) . . 10. Der Spannung^tensor 11. Die Gleichgewichtsbedingungen 12. Das Η o o k e sehe und das Ν a ν i e r sehe Gesetz 13. Die Spannungs-Dehnungs-Beziehungen 14. Bemerkungen über Elastizitätskonstanten 15. Der ebene Spannungszustand. Die A i r y sehe Spannungsfunktion § 16. Das elastische Potential § 17. Extremalsätze

III. Dynamik § § § §

18. 19. 20. 21.

Die sog. Bewegungsgleichungen Die elastische Grundgleichung Elastische Wellen Die schwingende Saite a) Herleitung der Differentialgleichung b) Anpassung der Lösung an einen Anfangszustand . . . o) Eigenschwingungen einer beidseitig eingespannten Saite

C. Mechanik der Flüssigkeiten und Gase (Hydround Aeromechanik) i 22 .Die ideale Flüssigkeit

L Hydrostatik § 23. Die Gleichgewichtsbedingung

5

Inhaltsverzeichnis § 25. ADwendungen a u f : a) Inkom pressi ble Flüssigkeiten. 1. Flüssigkeit im Erdfeld. 2. Kommunizierende Röhren. 3. Die hydraulische Presse. 4.Das hydrostatische Paradoxon. 5.Das A r c h i m e d l sehe Prinzip. 6. Eine im Erdfeld rotierende Flüssigkeit, . . . 93 b) Kompressible Flüssigkeiten. l . D i e polytrope Atmosphäre. 2. Die gleichförmige Atmosphäre. 3. Die isotherme Atmosphäre. 4. Die adiabatische Atmosphäre 100

II. Hydrodynamik Allgemeines § § § § § § §

25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

Problemstellung und Lösungsmethoden Stromlinien, Bahnlinien Die E u l e r s c h e Gleichung der Hydrodynamik Dio Kontinuitätsgleichung Randbedingungen Einteilung der 'Flüssigkeitsströmungen Energetische Betrachtungen

Stationäre wirbelfreie

104 106 108 111 113 115 116

Flüssigkeitsbewegungen

§ 32. Die B e r n o u l l i s e h e Gleichung § 33. Anwendungen: 1. Die kritische Geschwindigkeit. T o r r i c e l l l s c h e Formel. 3. Das V e n t u r i r o h r . G r a h a m s c h c Gesetz für Gase § 34. Das Geschwindigkeitspotential § 35. Die Zirkulation § 36. Ebene Potentialströmungen

Nichtstationäre wirbelfreie

2. Die 4. Das

Die verallgemeinerte B e r n o u l l i s e h e Gleichung . . . . Schwingungen einer Flüssigkeit im U-Rohr OberfJächenwellen Die Differentialgleichung des Schallfeldes Der D o p p l e r - E f f e k t Vergleich von kompressiblen mit inkompressiblen Flüssigkeiten § 43. Bemerkungen zur Gasdynamik § 44. § 45. § 46. § 47. § 48. § 49.

121 125 130 132

Strömungen

§ 37. § 38. § 39. § 40. § 41. § 42.

Wirbelbehaftete

119

144 147 150 155 159 160 166

Flüssigkeitsbewegungen

Wirbelvektor, Wirbelröhre, Wirbelfaden Die Erhaltung der Wirbelstärke Die Erhaltung der Zirkulation Folgerungen (weitere Erhaltungssätze) Der H e l m h o l t z s c h e Satz Bestimmung eines Strömungsfeldes aus

seinen

167 169 170 172 174 Wirbeln 176

Zähe F l ü s s i g k e i t e n § § § §

50. 51. 52. 53.

Register

Die N a v i e r - S t o k e s s c h e Gleichung Das H a g e n - P o i s e u i l J e s c h e Gesetz Kleine Schwingungen Bemerkungen zur Turbulenz

180 186 190 193

197

Literaturangaben Der nur sehr begrenzt zur Verfügung stehende Raum bedingte, daß in diesem Bande nur die G r u n d z ü g e des sehr ausgedehnten Gebietes der Mechanik deformierbarer Körper behandelt werden konnten. Es muß daher wegen Einzelheiten und hier nicht besprochener Fragen auf das umfangreiche einschlägige Schrifttum verwiesen werden. Daraus ist nachstehend eine Auswahl vornehmlich von Neuerscheinungen angegeben, womit jedoch weder eine Rangfolge noch ein Werturteil verbunden ist. I. Angabe einiger Werke, in denen ausschließlich (oder überwiegend) die Mechanik deformierbarer Körper und/oder ihre Anwendung behandelt werden: E c k , B.: Technische Strömungslehre. Springer, Berlin-GöttingenHeidelberg, 1957. F ö p p l , A. u. L. F ö p p l : Drang und Zwang. 3 Bde., Oldenbourg, München und Berlin, 1941/47. F ö p p l , Α.: Vorlesungen über Technische Mechanik. Bd. 1 u. 4, Oldenbourg, München und Berlin, 1942/48. G e i g e r - S c h e e l : Handb. d. Phys. Bd. VI: Mechanik des elastischen Körpers, Bd. VII: Hydrodynamik. Springer, Berlin, 1928. Gehler, W. u. W. H e r b e r g : Festigkeitslehre I. Sammlung Göschen Band 1144. H a m e l , G.: Mechanik der Kontinua. Teubner, Stuttgart, 1966. H e r b e r g , W. u. H. D i m i t r o v : l·estigkeitslehre II. Sammlung Göschen Band 1145/1145a. K a u f m a n n , W.: Technische Hydro- u. Aeromechanik. Springer, Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1958. K o t s c h i n , N . J . ; I.A. K i b e l u. N.W. R o s e : Theoretische Hydrodynamik. 2 Bde. Akademie-Verlag, Berlin, 1954. L o h r , E.: Mechanik der Festkörper. W. de Gruyter, Berlin, 1952. M ü l l e r , W.: Einführung i. d. Theorie der zähen Flüssigkeiten. Akad. Verlagsges., Leipzig, 1932. O s w a t i t s c h , Kl.: Gasdynamik. Springer-Verlag, Wien, 1952. P r a n d t l , L.: Führer durch die Strömungslehre. F. Vieweg, Braunschweig, 1949. P r o l i , Α.: Grundlagen der Aeromechanik und Flugtechnik. Springer-Verlag Wien, 1951. S a u e r , R.: Theoretische Einführung in die Gasdynamik. Springer, Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1951.

6

Literatuiangaben

S k u d r z y k , E : Die Grundlagen der Akustik. Springer-Verlag Wien, 1954. S n e d d o n , J . : The Classical Theory of Elasticity, Hdb. d. Physik, Bd. VI. (Herausgegeben ν. S. Flügge) Springer, Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1958. S o k o l n i k o f f , J . S.: Mathematical Theory of Elasticity. Me. Graw-Hill, New York, 1956. S o m m e r f e l d , Α.: Vorlesungen über Theoretische Physik, Bd. 2. Akad. Verlagsges., Leipzig, 1957. T i e t j e n , 0 . : Hydro- und Aeromechanik. Springer-Verlag, Wien, 1944. T i m o s h e n k o , S. u. J. N. G o o d i e r : Theory of Elasticity, Me. Graw-Hill, New York, 1951. II. Werke, in denen sich ein Abschnitt über die Mechanik deformierbarer Körper befindet: B r i l l o u i n , L.: Les Tenseurs en Mécanique et en Elasticité. Masson et Cie., Paris, 1949. Β u d ó, A. : Theoretische Mechanik. Dtsch. Verl. Wiss., Berlin, 1956. F r a n k , P. u. R. v. M i s e s : Diff.- u. Integralgleichungen, Bd. 2. F. Vieweg, Braunschweig, 1928. H a m e l , G.: Theoretische Mechanik. Springer, Berlin-GöttingenHeidelberg, 1949. J o o s , G.: Lehrbuch der Theoretischen Physik. Akad. Verlagsges., Leipzig, 1959. M ü l l e r - P o u i l l e t : Lehrbuch der Physik, Bd. 1/2. Teil. F. Vieweg, Braunschweig, 1929. S c h a e f e r , Cl.: Einf. i. d. Theor. Physik, Bd. 1. W. de Gruvter, Berlin, 1950. S c h l i c h t i n g , H. u. E. T r u c k e n b r o d t : Aerodynamik des Flugzeuges, Bd. I. Springer, Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1959. W e i z e l , W.: Lehrbuch der Theoretischen Physik, Bd. 1. Springer, Berlin-Göttingen-Ileidelberg, 1955. III. Werke, die sich mit Sonderfragen und modernen Problemen der Mechanik deformierbarer Körper befassen: E i r i c h , F. R.: Rheology, Theory and Applications. Acad. Press Inc., New York, 1956. G ö r t i e r , H. u. W. T o l l m i e n : 50 Jahre Grenzschichtforschung. F. Vieweg, Braunschweig, 1955. G r a m m e l , R.: Verformung und Fließen des Festkörpers. Springer, Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1956.

Literaturangaben

7

Hencky, IL: Neuere Verfahren in der Festigkeitslehre. Oldenbourg, München, 1951. Melan, E. u. Ii. P a r k u s : Wärmespannungen. Springer-Verlag, Wien, 1953. Pflüger, Α.: Stabilitätsprobleme der Elastostatik. Springer, Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1950. Prager, W. u. P. G. Hodge, jr.: Theorie ideal plastischer Körper. Springer-Verlag, Wien, 1954. Prager, W.: Probleme der Plastizitätstheorie. Birkhäuser, BaselStuttgart, 1955. Reiner, M.: Twelve Lectures on Theoretical Rheology. NorthHolland Pubi., Amsterdam, 1949. S c h l i c h t i n g , H.: Grenzschicht-Theorie. G.Braun, Karlsruhe, 1951. Ζ e η e r, Cl. : Elasticity and Anelasticity of Metals. Univ. of Chicago Press, Chicago, 1948. IV. Einige klassische Werke: Helmholtz, H. v.: Dynamik continuierlich verbreiteter Massen. J . Α. Barth, Leipzig, 1902. K i r c h h o f f , G.: Vorlesungen über mathematische Physik. Bd. I. Teubner, Leipzig, 1877. Lamb, H.: Lehrbuch der Hydrodynamik. Teubner, Leipzig, 1931. Love, Α. Ε. H.: A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. 2 Bde. Univ. Press, Cambridge, 1893. Neudruck 1959. Neumann, F.: Vorlesungen über die Theorie der Elastizität. Teubner, Leipzig, 1885. R a y l e i g h , Lord, (J. W. S t r u t t ) : The Theory of Sound, 2Bde. Mc. Millan, London, 1894. Neudruck 1945. Riemann, B. u. H. W e b e r : Partielle Diff.Gl. der math. Physik. F. Vieweg, Braunschweig, 1869 (letzter unveränderter Abdruck der 3. Auflage: 1938).

Liste der benutzten Symbole Die nachstehend alphabetisch geordneten deutschen, lateinischen u n d griechischen Buchstaben werden in den folgenden Ausführungen, soweit sich dies ermöglichen ließ, als Symbole f ü r die gleichen Begriffe verwendet und zwar b e d e u t e t : 91 {Ax, Ay, A¿) I

einen Vektor 2t mit den Komponenten Ax, Ay, Az in bezug auf ein cartesisches Koordinatensystem I = Λ = J!a% + A\ +~A% den absoluten Betrag des Vektors 21

21° = ρ ϊ

den Einheitsvektor in Richtung von 21

S3 S

«22 = (i, j'), «32 = (Ι, Π ,

«23 = (f> j') «33 = (ΐ> ϊ')

i3·2)

Vgl. etwa D ö r i n g , \V.: Einf. i. d. t.heor. r h v s . Sammlung Göschen, Band 76, S. 81. ') Vgl. Fußnote 2, S. 12.

16

Α. Vorbereitendes

sind, was übersichtlich durch folgendes Schema dargestellt werden möge: I t i Ϊ t 1 f

!

ot n 21 α31

α12 «22 α32

α

I

a13 «23 a33

(3,3)

Die 9 Richtungskosinusse a ^ (i, fc = 1, 2, 3) sind nicht voneinander unabhängig, sondern genügen den O r t h o g o n a l i t ä t s r e l a t i o n e n

Σ

«m^hm

^

«mi « m i

J= = {J ì

1

I

0

... für

. , »= « ¿

Φ

( 3,4) fc

,„ r , (3,5)

Diese Gleichungen sagen aus, daß die S u m m e der Produkte je zweier korrespondierender Glieder von zwei v e r s c h i e d e n e n Zeilen bzw. Spalten des Schemas (3) verschwindet, dagegen die S u m m e der Q u a d r a t e der in e i n e r Zeile bzw. Spalte stehenden Glieder gleich 1 ist. Geht man von dem System © zu © ' über, so geht der Vektor 2t in einen Vektor 31' über, dessen („gestrichene") Komponenten Ax, A'y, A'z sich vermittels der Richtungskosinusse α,·4 (i, k = 1, 2, 3) durch die („ungestrichenen") Komponenten Ax, Ay, Az l i n e a r und h o m o g e n ausdrücken lassen. Denn es gelten bekanntlich die Transformationsgleichungen :

A'x = αnAx + a i s i j + oclaAi Ay = a21Ax + cc22Ay + a23Az A'z = a 3 1 A X + a 3 2 A y + a 3 3 ^ l 2 .

(3,6 a) (3,6 b) (3,6 c)

Diese (und ebenso noch später auftretende) Gleichungen lassen sich in sehr einfacher F o r m schreiben, wenn man die übliche Bezeichnung für die rechtwinkligen Koordinaten abändert, also s t a t t

χ, y, 2 —> xlt z 2 , xa

kurz Xf (i =- 1, 2, 3)

(3,7)

und entsprechend für die Komponenten eines Vektors

Ax, Ay, Az-> Av At, As kurz Ai (i = 1, 2, 3) (3,8) schreibt. Mit dieser Bezeichnungsweise kann man, wie ohne weiteres ersichtlich, die Gl. ( 6 a — c ) in 'i = Σ h

A

-ik Ak

a

(i, k = 1, 2, 3)

(3,9)

§ 3. Einiges über Tensoren

17

zusammenfassen. Hieraus ergibt sich — mit Verwendung der Relationen (4) und (5) — durch Auflösen nach den „ungestrichenen" Komponenten für diese A

f} = ï ' _ r (6)i) beschrieben wird. Seine Komponenten ξ, η, ζ sind — wegen der hier rein kinematischen Betrachtungsweise — allein als Funktionen des Ortsvektors τ{χ, y, sj des Punktes Ρ (τ) anzusehen, also £=£(ϊ,!Λ2)=£(ϊ),

η=η(τ),

C=C(r).

(6,2a-c)

Von der Vielzahl der möglichen Verschiebungen, die die vorstehenden Gleichungen beinhalten, betrachten wir nachfolgend allein den S o n d e r f a l l f ü r k l e i n e W e r t e der Argumente x, y, z. Geometrisch bedeutet dies, daß wir die Betrachtungen auf eine genügend kleine Umgebung von P0 beschränken, innerhalb der P(r) liegt. D a n n lassen sich die Komponenten von g = ë(t) in erster Näherung durch die linearen Glieder einer T a y l o r - E n t w i c k l u n g von § { ξ , η , ζ ] „ u m P 0 " darstellen, also l(t) =

y, z) = lo +

+ j^y 8y δη

8η

η {τ) =

£(r) =

3ζ

;

8Í + âî2 8η

ôï2 -

+ Sx

Χ

8ζ 8y •

8ζ

(6,3 a) (6,3 b) (6,3 c)

32

Β- Mechanik der deformierbareii festen Körper

Hierin bedeuten £ 0 , η0, ζ0 die Komponenten von § 0 , d. h. des Verschiebungsvektors von P 0 , während SI 8x = β η > 8η

=

δ® =

M dy = 8η

ßil,

dy

ß3l,

H 8y

Si 8z =

ßl2>

=

/522 !

=

^32 ,

ßis

8η

(6,4)

~8z 8ζ

== A s

ëz

die Werte der Ableitungen der Komponenten von § nach den Ortskoordinaten in P 0 , also K o n s t a n t e n , sind. Mit den durch (4) eingeführten Abkürzungen wird aus (3 a): ξ = ξ ο + ßnx

+ ßuV

+ ßizz

,

(6,5)

und das ist offensichtlich gleichwertig mit ξ = ξ0 + ßnx

+ γ + 4

(ß12 (ß

u

ß21) y + γ

+ ßn) y + 4

(ßls (βί3

-

ß31) 2

+ ßn)

2 • (6,6)

Nun ist nach (4) und weiterhin mit Bezug auf (2,6) und (2,2) (Ä. -

ω

y + (β» -

/ ω « = { ξ -

S ) y + g

— — y rot 2 § + 2 rotj, § = — [ r , r o t g ] « = [rot M ] , .

-

ϋ )

2

(6,7)

Führt man schließlich noch die neuen Abkürzungen - β

— M.

— a

— ÈIL

—R—ÎHîcq..

eyy — Ρ22 — Qy , εXV = «y* = γ = % = 4 ε « = e» = 4

+

=

4

o ? » + ω = 4 ( Ä » + ft») = 4

(ff

FZZ

+

II)

g + ψ ν ) ( H + fí)

\

Ρ33 — gz

Cj (6>9) (6,io) ί6'11)

§ 6. Der sog. Fundamentalsatz der Kinematik

33

ein, so ergibt sich aus (6) für ξ und daraus durch zyklische Vertauschung für die beiden anderen Komponenten des Verschiebungsvektors : i = io + \ [rot

*]* + εχχχ + ZxvV + εχζζ

(6,12a)

η = η0 + γ [rot §, ι] ν + eyxx + s„yy + ε„2ζ

(6,12b)

C = Co + Y [ r o t ê, τ]ι + ε2Χχ + eiyy + εΖΖζ.

(6,12 c)

Faßt man diese drei Gleichungen unter Benutzung der Vektorschreibweise in § = gW + ê + g (6,13) zusammen, so besagt (13): Eine Verschiebung, die Punkte (innerhalb eines nicht zu ausgedehnten Bereiches) eines Körpers erleiden können, setzt sich im allgemeinen aus d r e i Anteilen zusammen. Der e r s t e Anteil 3 ( 1 ) = §o{£O>»7O,CO} (6.14) ist offensichtlich eine T r a n s l a t i o n , denn (14) stellt die gleiche Verschiebung § 0 der Umgebung von P0 dar, die auch der (willkürlich gewählte) Nullpunkt P0 erfährt. Der z w e i t e Anteil § ( 2 ) = y [rot g, r]

(6,15)

stellt, wie aus der Mechanik des starren Körpers als bekannt vorausgesetzt werde, eine (infinitesimale) Drehung des betrachteten Körpers dar. Die Stereomechanik lehrt nämlich: Wird durch den Einheitsvektor a° die Richtung einer Achse angegeben, um die ein starrer Körper eine infinitesimale Drehung um den Winkel δ φ erfährt (vgl. Abb. 5), so ist die Verschiebung die ein Punkt P(r) des Körpers infolge der Drehung erfährt: wenn unter

á§(2) = [ = t f cos oc + ¿ f cos β + 4 Z) cos γ und zwei analoge Komponenten: t¡

n)

Gleichungen für die beiden

(10,5 a) anderen

= t f cos « + t f cos β + ¿ « cos y

(10,5 b)

= t¡

(10,5 c)

)x

cos λ + i f cos β + Í

z)

cos γ .

Die drei Gl. (5) bringen zunächst zum Ausdruck, daß ein an einem beliebig orientierten Flächenelement df = n°df angreifender Spannungsvektor t _ „ /(*) _ n Λ*) — n v x — υχχ ι iy — uxy ι 'ζ — υχζ W =