Mathematik in der Betriebswirtschaft: Aufgabensammlung mit Lösungen 9783486717808, 9783486716832

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Mathematik in der Betriebswirtschaft Aufgabensammlung mit Lösungen von

Dr. Lothar Walter Universität Bremen

Oldenbourg Verlag München

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © 2012 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 www.oldenbourg-verlag.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Thomas Ammon Herstellung: Constanze Müller Titelbild: thinkstockphotos.de Einbandgestaltung: hauser lacour Gesamtherstellung: freiburger graphische betriebe GmbH & Co. KG, Freiburg Dieses Papier ist alterungsbeständig nach DIN/ISO 9706. ISBN 978-3-486-71683-2 eISBN 978-3-486-71780-8

Vorwort Im Rahmen der Vorlesungsreihe Rahmenwissenschaften der Ökonomie an der Universität Bremen wird das Modul Mathematik angeboten. Mit diesem Modul soll den Studierenden im Bachelorstudium Betriebswirtschaftslehre die an die Belange der Wirtschaftswissenschaft ausgerichteten notwendigen mathematischen Grundlagen nahegebracht werden. Diese ausgewählten mathematischen Grundlagen sollen die Basis für ein weiteres erfolgreiches Studium der Betriebswirtschaftslehre und auch Volkswirtschaftslehre schaffen. Insbesondere für Studierende des Bachelorstudienganges Betriebswirtschaftslehre der Universität Bremen sowie natürlich auch für Studierende der Betriebswirtschaftslehre, Volkswirtschaftslehre oder der Wirtschaftswissenschaft anderer Universitäten, Hochschulen wie auch Verwaltungs- und Wirtschaftsakademien wurde das ebenfalls im Oldenbourg Verlag erschienene Buch „Mathematik in der Betriebswirtschaft“ von mir als Begleitmaterial verfasst. Das Buch soll eine wesentliche Grundlage für eine Vorlesungsmitschrift schaffen und den Studierenden eine gezielte Vorbereitung auf die Mathematikvorlesungen ermöglichen. Dieses vorliegende Buch „Mathematik in der Betriebswirtschaft – Aufgabensammlung mit Lösungen“ kommt dem vielfachen Wunsch der Studierenden nach, auch die Lösungen zu den Mathematikaufgaben aus dem Lehrbuch zur Verfügung zu stellen. Es enthält nun die Lösungswege und Lösungsmöglichkeiten zu allen Aufgaben aus dem Lehrbuch sowie Übungsaufgaben zum in den Fachkapiteln behandelten Stoff. Durch das detaillierte Aufzeigen der Lösungswege werden den Studierenden der Betriebs- wie auch Volkswirtschaftslehre die Zusammenhänge zwischen mathematischen Fragestellungen und Anwendungen in der Wirtschaftswissenschaft nahegebracht. Die Studierenden sollten aber erst versuchen, die Aufgaben selber zu lösen und dann die Lösungswege anschauen; so wird auch ein nachhaltiger Lerneffekt erreicht. Vielen Dank möchte ich an dieser Stelle Frau cand. math. Marie Antoinette van Amelsvoort sagen. Sie hat mich bei der Aufgabenauswahl tatkräftig unterstützt. Allen Studierenden der Betriebswirtschaftslehre wünsche ich nun viel Spaß und Erfolg beim Lösen der zahlreichen Aufgaben. Dr. Lothar Walter Bremen, im Juli 2012

Abkürzungen und Symbole a, b, c

Konstanten, Parameter

x, y, z

Variablen

∧

Konjunktion (sowohl . . . als auch)

∨

Disjunktion (entweder . . . oder)

→

Implikation

↔

Äquivalenz

{}

Mengenklammer

∈

Element von

∈ /

nicht Element von

N

Menge der natürlichen Zahlen

Z

Menge der ganzen Zahlen

Q

Menge der rationalen Zahlen

R

Menge der reellen Zahlen

⊆

Teilmenge von

∪

Vereinigung (ODER)

∩ R

Durchschnitt (UND) n

n-dim. reeller Zahlenraum

=

Gleichheitszeichen

=

ist ungleich

∃

es existiert



es existiert nicht

∀

Allquantor (für alle)

∞

unendlich

>

ist größer


70 + 8x 10x > 20 + 8x 2x > 20 x > 10 , also ab einer Stückzahl von 10 ist Spedition B günstiger. b)

Die Kostenfunktionen für die beiden Speditionen A und B lassen sich in einem Diagramm wie folgt darstellen:

200

Kosten in € Spedition A Spedition B

150 100 50

Stückzahl x 0

2

4

6

8

10

12

14 MatheGrafix.de

Aufgabe 1-3: Eine Fischdose habe in der Grundfläche die Form eines Rechteckes mit zwei an den Schmalseiten angesetzten Halbkreisen. Sie lässt sich beschreiben durch die Gesamtlänge l, die Breite b und die Höhe h. a) Bestimmen Sie die Oberfläche A und das Volumen V der Fischdose in Abhängigkeit der gegebenen Parameter b, l und h (die Blechdicke der Dose sei zu vernachlässigen). b) Wie lauten die Formeln für A und V in Abhängigkeit von b, wenn die Abmessungen in dem bestimmten Verhältnis h : b : l = 1 : 3 : 6 zueinander stehen sollen? Lösung: Mit der in der Aufgabenstellung angegebenen Gesamtlänge l, der Breite b und der Höhe h lässt sich die Fischdose wie folgt skizzieren:

b

h l

4

1 Grundlagen und Motivation a)

Sei AD die Oberfläche des Deckels und AM die Oberfläche des Mantels, dann gilt: AD = (l − b) · b + π ·

AM =

 2 b 2

  b ·h 2 · (l − b) + 2π · 2

Die Gesamtfläche setzt sich aus der Mantel- und Deckelfläche wie folgt zusammen: AG = 2 · AD + AH  AG = 2 · (l − b) · (b + h) + π · b ·

b +h 2



Das Gesamtvolumen der Dose kann durch VG = AD · h berechnet werden: VG = (l − b) · b · h + π · b)

 2 b ·h 2

Mit den Verhältnissen h:b:l=1:3:6

⇒

h=

b , 3

l = 2·b

und Einsetzen in die obigen Formeln erhält man:     b b b +π·b· + AG (b) = 2 · (2 · b − b) · b + 3 2 3 5 4 = 2b · b + πb · b 3  6  8 5 + π · b2 = 3 6  2 b b b VG (b) = (2b − b) · b · + π · · 3 2 3   π 1 + · b3 = 3 12

Aufgabe 1-4: Über eine Rohrleitung soll in einem Haus an zwei Stellen B und C die Wasserversorgung gewährleistet werden. Dabei sollen die zwei Punkte B und C von einem Anschluss A aus versorgt werden. Dazu wird eine Wasserleitung, deren Kapazität zur Versorgung beider Punkte ausreicht, von A aus bis zu einem Verteiler V verlegt. Diese Wasserleitung kostet pAV C/m. Vom Verteiler aus werden dann die Punkte B und C durch Leitungen geringerer

1.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 1

5

Kapazitäten verbunden, die pVB C/m und pVC C/m kosten. Die Lage der Punkte sei durch die Abstände a und b gekennzeichnet. a)

Was kostet die gesamte Verbindung in Abhängigkeit der Lage des Verteilers V ?

b)

Welche Kosten ergeben sich für die konkreten Zahlenwerte: a = 10 m, b = 6 m, pAV = 20,– C/m, pVB = 16,– C/m, pVC = 14,– C/m, AV = 4 m.

Lösung:

B

b

a) Mit dem Pythagoras ergibt sich für die Rohrlängen VB und VC :   b 2 VB = + (a − x)2 2   b 2 VC = + (a − x)2 2

C

V

a

Damit ergibt sich für die Gesamtkosten K:

x :=AV

K A

= = =

b)

pAV · AV + pVB · VB + pVC · VC   b 2 + (a − x)2 pAV · x + (pVB + pVC ) · 2  2 pAV · x + (pVB + pVC ) · b4 + (a − x)2

Einsetzen der Werte in die Formel ergibt  C C 36 2 m + (10 − 4)2 m2 K = 20 · 4m + (16 + 14) · m m 4 = 80 C + 30

C  · (9 + 36)m2 m

≈ 80 C + 201,25 C = 281,25 C

Aufgabe 1-5: Die drei Kunden K1 , K2 und K3 können in einer Stadt von zwei Lieferanten L1 und L2 mit Heizöl beliefert werden. Der Transport einer Tonne T vom Lieferanten Li zum Kunden Kj kostet cij C/T . Diese Kosten sind in folgender Tabelle zusammengestellt:

L1 L2

K1 55 70

K2 80 145

K3 140 85

6

1 Grundlagen und Motivation

Die Kunden bestellen 71 T (K1 ), 133 T (K2 ) bzw. 96 T (K3 ), während die beiden Lieferanten L1 und L2 103 T respektive 197 T verfügbar haben. Es sei xij die Heizölmenge, die vom Lieferanten Li zum Kunden Kj transportiert wird. Formulieren Sie folgende Aussagen: a)

Es soll exakt die Menge zum Kunden Kj transportiert werden, die diese bestellen.

b)

Es kann nicht mehr vom Lieferanten Li geliefert werden, als dieser verfügbar hat.

c)

Drücken Sie die gesamten Transportkosten in Abhängigkeit der Transportmengen aus.

Lösung: Die Kunden benötigen zusammen (71 T + 133 T + 96 T ) = 300 T Heizöl. Da die Lieferanten über insgesamt (103 T + 197 T ) = 300 T Heizöl verfügen, können auch alle drei Kunden bedient werden. a) K1 = 71 T = x11 + x21 K2 = 133 T = x12 + x22 K3 = 96 T = x13 + x23 b)

L1 = x11 + x12 + x13 ≤ 103 T L2 = x21 + x22 + x23 ≤ 197 T

c)

Die Transportkosten zu den einzelnen Kunden berechnen sich aus dem jeweiligen Preis mal der jeweils gelieferten Menge. Also folgt für die gesamten Transportkosten KG : KG = 55x11 + 80x12 + 140x13 + 70x21 + 145x22 + 85x23

1.2

Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 1

Zum Thema Grundlagen und Motivation werden im Folgenden noch weitere Aufgaben und die dazugehörigen Lösungswege aufgezeigt, um den Lesern die Möglichkeit zu geben, durch weiteres Üben das Gelernte zu verfestigen. Aufgabe 1-6: Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke so weit wie möglich: a)

8x − x + [(3x − 2y) − (5x + 3y)] − [−(−x + y)]

b)

2ax + 8ab − 2ay 2ax − 2ay

Lösung: a)

8x − x + [(3x − 2y) − (5x + 3y)] − [−(−x + y)] = = 7x + [−2x − 5y] − [x − y] = 7x − 2x − 5y − x + y = = 4x − 4y = 4(x − y)

1.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 1 b)

7

2a(x + 4b − y) x + 4b − y 2ax + 8ab − 2ay = = 2ax − 2ay 2a(x − y) x−y

Aufgabe 1-7: Berechnen Sie folgende Brüche:   1 1 3 2 − · + 4 6 4 3 a) 5 2 − 3 6 b)

5 2 7 + 11 6 3

Lösung:  a)

1 1 − 4 6



3 2 · + 4 3

5 2 − 3 6 = b)

 =

3−2 12

 ·

3 2 + 4 3

10 − 2 6

 =

1 2 + 16 3



6 · = 8

35 1 35 · = 16 4 64

2 47 35 47 70 117 1 5 + = + = = 19 7 + 11 = 6 3 6 3 6 6 6 2

Aufgabe 1-8: Berechnen Sie folgende Ausdrücke:   3 a) −4 · −2a + b 2 b)

(x + y) · (2x − 4y) − (3x + y) · (2x − y)

Lösung: a)

  3 12 −4 · −2a + b = 8a − b = 8a − 6b 2 2

b)

(x + y) · (2x − 4y) − (3x + y) · (2x − y) = = 2x2 − 2xy − 4y 2 − 6x2 + xy + y 2 = −4x2 − xy − 3y 2



3 + 32 48

 ·

3 4

8

1 Grundlagen und Motivation

Aufgabe 1-9: Berechnen Sie mithilfe der binomischen Formeln:    √ √ 1 1 a) 2·x+ y 2·x− y 2 2 b)

(5x + 4)2 − (3x − 5)2 + 4(x − 3)(x + 3)

Lösung:    √ √ 1 1 1 2·x+ y 2 · x − y = 2x2 − y 2 a) 2 2 4 b)

(5x + 4)2 − (3x − 5)2 + 4(x − 3)(x + 3) = = 25x2 + 40x + 16 − 9x2 + 30x − 25 + 4x2 − 36 = 20x2 + 70x − 45

Aufgabe 1-10: Stellen Sie die folgenden beiden Ausdrücke mithilfe der binomischen Formeln als Produkte dar: a)

16x2 − 24x + 9

b)

144a2 x2 − 81b2 y 2

Lösung: a)

16x2 − 24x + 9 = (4x − 3)(4x − 3) = (4x − 3)2

b)

144a2 x2 − 81b2 y 2 = (12ax − 9by)(12ax + 9by)

Aufgabe 1-11: Berechnen Sie die folgenden Potenzen: a) b)

(15x)2 5x−3  2 −1  2 −2 x 3a · · 5xa−4 a3 4x3

Lösung: a) b)

(15x)2 225 x2 · = = 45 · x2 x3 = 45 · x5 5x−3 5 x−3  2 −1  2 −2 a3 (4x3 )2 5x a3 16x6 5x 80  x 5 x 3a −4 · · 5xa = · · = = a3 4x3 x2 (3a2 )2 a4 x2 9a4 a4 9 a

1.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 1

9

Aufgabe 1-12: Berechnen Sie die folgenden Wurzeln:  (5x)/6 a)  20/(6x) 1 √ 2 3 8

b)

Lösung:     (5x)/6 5x · 6x 30 · x2 x2 x = = = = a)  6 · 20 120 4 2 20/(6x) 1 1 1 1 1 √ 2 = 2 = 3 2 = 2 = 3 2 4 83 (2 ) 3 8

b)

Aufgabe 1-13: Lösen Sie die folgenden zwei linearen Gleichungen: √ √ a) 4 x − 2 = 2 x + 3 x+3 2−x + =0 x−5 x−6

b)

Lösung: √ √ a) 4 x − 2 = 2 x + 3 ⇒

4x − 8 = x + 3

x+3 2−x + =0 x−5 x−6

b)

⇒

√ √ 2 x−2= x+3

⇒

3x = 11

⇒

⇒

x=

⇒ 4(x − 2) = x + 3 11 3

x+3 x−2 = =0 x−5 x−6

⇒

(x + 3)(x − 6) = (x − 2)(x − 5)

⇒

x2 − 3x − 18 = x2 − 7x + 10

⇒

4x = 28

⇒

x=7

 3 −1 1 −1 − y −1 ·y so weit wie möglich. Aufgabe 1-14: Vereinfachen Sie die Potenz x · −2 x Lösung:   3 −1 3 −1  3 −1 1 x−1 −1 −1 −1+1 −1−(−2) x · −2 − y ·y = − y = x − y0 = x x−2 =

 3 −1 1 1 x3 1 − x3 x1 − 1 = x1·3·(−1) − 1 = x−3 − 1 = 3 − 1 = 3 − 3 = x x x x3

10

1 Grundlagen und Motivation

Aufgabe 1-15: Wie groß ist (−ax )2 , wenn a = 3 und x = 4 ist? Lösung: (−ax )2 = (−1)2 (ax )2 = 1 · a2x = a2x

und mit a = 3

und x = 4

folgt 32·4 = 38 = 6561 Aufgabe 1-16: Berechnen Sie die folgenden vier Ausdrücke: a)

ln(8) − ln(4)

b)

ln(2 · e2 ) + ln(0.5)

c)

ln(312 ) ln(33 )

d)

3 · ln(4) ln(64)

Lösung

  8 = ln(4) 2

a)

ln(8) − ln(2) = ln

b)

ln(2 · e2 ) + ln(0.5) = ln(2 · e2 · 0.5) = ln(e2 ) = 2

c)

12 · ln(3) 12 ln(312 ) = = =4 ln(33 ) 3 · ln(3) 3

d)

3 · ln(4) ln(43 ) ln(64) = = =1 ln(64) ln(64) ln(64)

Aufgabe 1-17: Stellen Sie folgende Gleichungen nach x um: √ b) 92+x = 3 a) a2x = b4 √ c) ln(x2 + 6x + 9) = 4 · ln(5) d) a2+x = 3 Lösung: a) b)

c) d)

ln(b) ln(b) ln(b4 ) ⇔ 2x = 4 · ⇔ x=2· ln(a) ln(a) ln(a) √ 1 √ ln(3) ln( 3) 2+x ⇔ 2+x= 2 9 = 3 ⇔ 2+x= ln(9) 2 · ln(3) 7 1 ⇔ x=− ⇔ 2+x= 4 4

a2x = b4 ⇔ 2x =

ln(x2 + 6x + 9) = 4 · ln(5) ⇔ ln((x + 3)2 ) = ln(54 ) ⇔ x + 3 = 25 √ 1 √ ln(3) ln( 3) ⇔ 2+x= 2 a2+x = 3 ⇔ 2 + x = ln(a) ln(a) ln(3) −2 ⇔ x= 2 ln(a)

1.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 1

11

Aufgabe 1-18: Eine rechtlich relevante Grenze beim Blutalkoholgehalt ist die 0,5-PromilleGrenze. Welche Menge Alkohol darf somit maximal im Blut eines Menschen zirkulieren, wenn man davon ausgeht, dass eine Gesamtblutmenge von 6 l vorliegt? Lösung: Bei einer 0,5-Promille Grenze dürfen im Blut maximal 0,5 · 6 l = 3 ml 1000 Alkohol zirkulieren. Aufgabe 1-19: In den Fahrtkartenpreisen der Bahn waren im Jahre 2012 19% Mehrwertsteuer (MWSt.) enthalten. Wieviel MWSt. ist in einem Fahrkartenpreis enthalten, wenn der Bahnkunde am Schalter für eine Fahrkarte 29,– C bezahlt? Lösung: Der Fahrpreis entspricht also 119% des Nettopreises. Damit folgt für die gezahlte MWSt.: 29,– C = 24,37 C 1,19

⇒

(29 − 24,37) C = 4,63 C MWSt.

Aufgabe 1-20: An einer Mathematikklausur nahmen 135 Studierende teil. Davon bestanden 45 Studierende die Klausur. Wie hoch war die Durchfallquote? Lösung: Wenn von 135 Studierenden 45 die Klausur bestanden haben, dann sind 90 Studierende durchgefallen. Also liegt die Durchfallquote bei rund 66,7%

  2 90 = ≈ 0,667 . =  135 3

2

Elementare Begriffe und Instrumente

In diesem Kapitel wurden elementare Begriffe und Instrumente der Mathematik, insbesondere der Mengenlehre und der Arithmetik, erläutert. Des Weiteren wurden das Summen-, Produktund Fakultätszeichen eingeführt, da diese in der Mathematik sehr häufig verwendet werden.

2.1

Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 2

Nachfolgend werden die Aufgaben aus Kapitel 2 des Lehrbuches „Mathematik in der Betriebswirtschaft“ mit ihren dazugehörigen Lösungswegen im Detail vorgestellt. Aufgabe 2-1: In einem Lager eines großen Kleiderherstellers befinden sich aus der letzten Winterkollektion noch 200 (Damen- und Herren-) Mäntel, darunter sind 60 Ledermäntel. Von den 70 in diesem Lager vorhandenen Herrenmäntel sind 20 aus Leder gefertigt. Wie viele Damenmäntel sind in diesem Lager, die nicht aus Leder gefertigt sind? (Tipp: mit Venn-Diagramm lösen) Lösung: Von den 70 Herrenmänteln sind 20 aus Leder, also sind 50 nicht aus Leder und die restlichen 40 Ledermäntel von insgesamt 60 sind Damenmäntel. Das sind zusammen 20 + 50 + 40 = 110 Mäntel, somit gibt es im Lager 200 − 110 = 90 Damenmäntel, die nicht aus Leder gefertigt sind.

Damen

Herren

Ledermäntel 20 50

40 x=90

Aufgabe 2-2: In einem Bremer Unternehmen, das in verschiedenen Ländern Europas Zweigstellen unterhält, soll das Personal der Telefonzentrale aufgestockt werden. Einstellungskriterium sind Fremdsprachenkenntnisse in Englisch, Französisch und Italienisch. Es haben sich 100 Personen gemeldet, von denen 30 nur Englisch, 18 nur Französich und 9 nur Italienisch sprechen. Weiterhin beherrschen 29 Personen genau 2 Sprachen. Wie viele Personen beherrschen alle drei Spachen?

14

2 Elementare Begriffe und Instrumente

Lösung: Es beherrschen genau 14 Personen drei Sprachen, wie es auch aus nachfolgendem Kuchendiagramm abgelesen werden kann: 14 30

dreiSprachen zweiSprachen Italienisch

29

18

Französisch Englisch

9

Aufgabe 2-3: Gegeben seien die drei Mengen A, B, C mit A = {1, 2, 3, 0}, B = {2, 1, 0} und C = {3, 1, 0, 5}. Bestimmen Sie a) A ∪ B b) A ∩ B c) C ∩ B d) C \ B Lösung: a) A ∪ B = {1, 2, 3, 0} ∪ {2, 1, 0} = {0, 1, 2, 3} b) A ∩ B = {1, 2, 3, 0} ∩ {2, 1, 0} = {0, 1, 2} c) C ∩ B = {3, 1, 0, 5} ∩ {2, 1, 0} = {0, 1} d) C \ B = {3, 1, 0, 5} \ {2, 1, 0} = {3, 5} Aufgabe 2-4: Berechnen Sie die folgenden Summen und Produkte: a) b) c) d)

3 3   k2 i(i − 1) + k + 1 i=1 i2 k=0 3  (−3)i · 210−i i=−2 3  j=−1 6 

2 · 3j 3+j

(l + 2)

l=1

2.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 2

15

Lösung: a)

    3 3   k2 i(i − 1) 2 6 1 4 9 + + + + 0 + + = = 0 + k + 1 i=1 i2 2 3 4 4 9

k=0

= b)

117 + 48 + 24 189 63 1 13 4 6 + + = = = =5 4 3 9 36 36 12 4

3 

(−3)i · 210−i = (−3)−2 · 212 + (−3)−1 · 211 + (−3)0 · 210 +

i=−2

+(−3)1 · 29 + (−3)2 · 28 + (−3)3 · 27 =  1 5 1 4 7 3 2 1 0 · 2 − · 2 + 1 · 2 − 3 · 2 + 9 · 2 − 27 · 2 = =2 9 3   133 17024 32 − 48 + 72 − 108 + 81 − 243 7 =2 · = −128 · =− 9 9 9 

c)

3  j=−1

d)

6 

2 · 3j 2 · 3−1 2 · 30 2 · 31 2 · 32 2 · 33 2 2 6 18 54 54 = · · · · = · · · · = 3+j 2 3 4 5 6 6 3 4 5 6 5

(l + 2) = 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 20160

l=1

Aufgabe 2-5: Schreiben Sie die folgenden Summen unter Verwendung des Summenzeichens: a)

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12

b)

1 2 3 4 5 6 7 + + + + + + 2 3 4 5 6 7 8

c)

4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28

Lösung: a)

6  i=1

2i

b)

7  i=1

i i+1

c)

9 

(3i + 1)

i=1

Aufgabe 2-6: Ein Unternehmen besitzt m Maschinen (i = 1, 2, ..., m), mit denen sie n Produkte (j = 1, 2, ..., n) herstellt. Dabei soll in einem betrachteten Produktionszeitraum von 12 Monaten (t = 1, 2, ..., 12) jedes Produkt j auf jeder Maschine i produziert werden können. Die nachstehenden Symbole haben folgende Bedeutung: xijt gibt an, wie viele Mengeneinheiten (ME) des Produktes j auf der Maschine i im Monat t hergestellt werden, und aij gibt an, wie viele Stunden die Fertigung einer ME des Produktes j auf der Maschine i benötigt. Diese Angabe ist für alle Monate gleich.

16

2 Elementare Begriffe und Instrumente

kij sind die Kosten der Fertigung einer ME des Produktes j auf der Maschine i. Sie sind ebenfalls zeitunabhängig. pj ist der in allen Monaten konstante Verkaufspreis für eine ME des Produktes j. Drücken Sie unter Verwendung des Summenzeichens aus: a) Wie viele ME des Produktes j im Monat t hergestellt werden. b)

Welchen Umsatz das Unternehmen im betrachteten Produktionszeitraum erzielt, wenn alle hergestellten Produkte im gleichen Jahr verkauft werden (der Umsatz (Erlös) ist gleich der Menge mal dem Verkaufspreis).

c)

Wie viele Stunden die Maschine i in der ersten Jahreshälfte belegt ist.

d)

Welcher Gewinn im Monat t gemacht wird, wenn außer den genannten Kosten keine weiteren Kosten anfallen (Gewinn = Umsatz-Kosten).

Lösung: a)

Mengeneinheit mj im Monat t:

mjt =

m 

xijt

i=1

b)

Erlös (Umsatz) e in 12 Monaten:

e=

m  n  12 

pj xijt

i=1 j=1 t=1

c)

belegte Maschinenstunden si im ersten Halbjahr:

si =

6 n  

aij xijt

j=1 t=1

d)

Gewinn g im Monat t:

gt =

n m  

(pj − kij )xijt

i=1 j=1

Aufgabe 2-7: Gegeben sei folgende Tabelle von n2 Zahlen a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

a13 a23 .. .

··· ···

a1j a2j .. .

··· ··· .. .

a1n a2n .. .

ai1 .. .

ai2 .. .

ai3 .. .

···

aij .. .

··· .. .

ain .. .

an1

an2

an3

···

anj

···

ann

Geben Sie unter Verwendung des Summenzeichens folgende Summen an: a)

Summe aller Elemente der 2-ten bis (n − k)−ten Spalte.

b)

Summe aller Elemente der k−ten bis n−ten Zeile.

2.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 2

17

c)

Summe aller Elemente auf der Hauptdiagonalen (das sind die Elemente, für die i = j gilt, also a11 , a22 , a33 , ..., ann ).

d)

Summe aller Elemente auf der Hauptdiagonalen und sämtlicher Elemente darunter.

Lösung: a)

n n−k  

b)

aij

i=1 j=2

c)

n 

n  n 

aij

i=k j=1

d)

aii

i=1

i n  

aij

i=1 j=1

Aufgabe 2-8: Gegeben sind die Zahlen i xi yi

1 5 2

2 3 3

3 2 4

4 1 1

5 6 0

Berechnen Sie: a)

5 

b)

xi

i=1

c)

5 

5 

(xi + yi )

i=1

xi yi

i=1

d)

5  i=1

xi

5 

yi

i=1

Lösung: a)

5 

xi = 5 + 3 + 2 + 6 = 17

i=1

b)

5 

(xi + yi ) = (5 + 2) + (3 + 3) + (2 + 4) + (1 + 1) + (6 + 0) = 27

i=1

c)

5 

xi yi = (5 · 2) + (3 · 3) + (2 · 4) + (1 · 1) + (6 · 0) = 28

i=1

d)

5  i=1

xi

5  i=1

yi = (5 + 3 + 2 + 1 + 6) · (2 + 3 + 4 + 1 + 0) = 17 · 10 = 170

18

2 Elementare Begriffe und Instrumente

2.2

Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 2

Zum Thema Elementare Begriffe und Instrumente werden im Folgenden noch weitere Aufgaben und die dazugehörigen Lösungswege aufgezeigt, um den Lesern die Möglichkeit zu geben, durch weiteres Üben das Gelernte zu verfestigen. Aufgabe 2-9: Beweisen Sie die Gleichung n 

(2k − 1) = n2

k=1

für a) n = 10 und

b) für beliebiges n als Zusatzaufgabe (vollständige Induktion!).

Hinweis: Die vollständige Induktion ist eine mathematische Beweismethode, mit der man Aussagen für alle natürlichen Zahlen zeigen kann. Sie wird in zwei Teile unterteilt: 1.

Induktionsanfang: Man zeigt die Aussage für die kleinste Zahl n ∈ N, für die sie gelten soll (in der Regel 0 oder 1).

2.

Induktionsschritt: Man geht davon aus, dass die Aussage für ein bestimmtes n ∈ N gilt (Induktionsvoraussetzung) und zeigt dann, dass sie unter dieser Voraussetzung auch für den Nachfolger n + 1 gilt.

Lösung: a)

Beweis durch Einsetzen von n = 10: 10 

(2k − 1) = 2 · 1 − 1 + 2 · 2 − 1 + . . . + 2 · 10 − 1 = 100

k=1

und n2 = 102 = 100 ⇒ Aussage korrekt für n = 10. b)

Beweis für beliebiges n durch vollständige Induktion: 1.

Induktionsanfang: Da bisher nur die Gültigkeit der Aussage für n = 10 gezeigt wurde, muss noch die Aussage für n = 1 gezeigt werden: 1  k=1

(2k − 1) = 2 · 1 − 1 = 1 = 12 = n2 .

2.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 2 2.

19

Induktionsschritt: Man geht davon aus, dass die Aussage für ein bestimmtes n ∈ N gilt (Induktionsvoraussetzung (IV)): n 

(2k − 1) = n2

k=1

und zeigt dann, dass sie unter dieser Voraussetzung auch für den Nachfolger n + 1 gilt. Also ist zu zeigen: n+1 

(2k − 1) = (n + 1)2 .

k=1

Beweis: n+1 

n 

(2k − 1) =

k=1

! (2k − 1)

+ (2(n + 1) − 1)

k=1 (IV)

= n2 + (2(n + 1) − 1) = n2 + 2n + 2 − 1

= n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 Damit ist der Induktionsschritt korrekt und die Gültigkeit der Aussage für alle n ∈ N bewiesen.

Aufgabe 2-10: Berechnen Sie die folgenden Summen und Produkte: a)

2  4 

(xk + 2)

b)

k=0 x=1

5  2 

(m + y + 2my)

m=1 y=0

Lösung: a)

2  4 

(xk + 2) =

k=0 x=1

2 

((1k + 2) · (2k + 2) · (3k + 2) · (4k + 2))

k=0 0

= (1 + 2) · (20 + 2) · (30 + 2) · (40 + 2) +(11 + 2) · (21 + 2) · (31 + 2) · (41 + 2) +(12 + 2) · (22 + 2) · (32 + 2) · (42 + 2) = 3 · 3 · 3 · 3 + 3 · 4 · 5 · 6 + 3 · 6 · 11 · 18 = 81 + 360 + 3564 = 4 005

20

2 Elementare Begriffe und Instrumente 2 5  

b)

(m + y + 2my) =

m=1 y=0

5 

((m) + (m + 1 + 2m) + (m + 2 + 4m))

m=1

=

5 

(9m + 3)

m=1

= (9 + 3)(18 + 3)(27 + 3)(36 + 3)(45 + 3) = 12 · 21 · 30 · 39 · 48 = 14 152 320

Aufgabe 2-11: Gegeben sei folgende Tabelle von n2 Zahlen: a11 a12 a21 a22 .. .. . . ai1 ai2 .. .. . . an1 an2

··· ··· .. .

a1j a2j .. .

· · · a1n · · · a2n .. .. . . · · · ain .. .. . .

· · · aii=jj .. .. . . · · · anj · · · ann

Geben Sie unter Verwendung des Summen- und respektive des Produktzeichens folgende Summen und Produkte an: a)

Zum einen die Summe aller Elemente der 2-ten Spalte, und zum zweiten die Summe aller Elemente der 2-ten bis (n − k)-ten Spalte,

b)

sodann die Summe aller Elemente der k-ten bis n-ten Zeile,

c)

die Summe aller Elemente auf der Hauptdiagonalen – die sogenannte Spur,

d)

die Summe aller Elemente auf und unterhalb der Hauptdiagonalen,

e)

das Produkt aller Elemente auf der Hauptdiagonalen,

f)

das Produkt aller Elemente auf und unterhalb der Nebendiagonalen und

g)

das Produkt aller Randelemente der Tabelle.

Lösung: a)

n  i=1

ai2

und

n n−k  j=2 i=1

aij

b)

n n   j=1 i=k

aij

2.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 2

c)

n 

21

d)

aii

n 

aii

f)

i=1

g)

aij

i=1 j=1

i=1

e)

i n  

n−1 

n 

n 

aij

i=1 j=n−i+1

ai1 · ani · a(1)(i+1) · a(i+1)(n) =

i=1

n 

(ai1 · ain ) ·

i=1

n−1 

(a1j · anj )

j=2

Aufgabe 2-12: Berechnen Sie die beiden nachfolgenden Doppelsummen: 2 3  2  4 4    k·l a) (k · 3l ) b) k+l k=1 l=1

l=0 k=2

Lösung: a)

3  4 

(k · 3l ) =

k=1 l=1

=

3 

3 

(k · 3 + k · 9 + k · 27 + k · 81) =

k=1

120k = 120 · 1 + 120 · 2 + 120 · 3 = 120 · 6 = 720

k=1

b)

2  2  2  2 !  2  2 4   2·l k·l 3·l 4·l = = + + k+l 2+l 3+l 4+l l=0 k=2 l=0  2  2  2 !  2  2  2 ! 2 4 3 4 6 8 = (0 + 0 + 0) + + = + + + + 3 4 5 4 5 6 =

9 16 36 64 21113 3113 4 + + +1+ + = =5+ 9 16 25 25 36 3600 3600

Aufgabe 2-13: Berechnen Sie folgende Dreifachsumme: 2  2 2  

(i + j + k)

i=1 j=1 k=1

22

2 Elementare Begriffe und Instrumente

Lösung: 2  2 2  

(i + j + k) =

i=1 j=1 k=1

=

2 2  

2 2  

(2i + 2j + 3) =

i=1 j=1

=

2 

((i + j + 1) + (i + j + 2)) =

i=1 j=1 2 

((2i + 2 + 3) + (2i + 4 + 3)) =

i=1

(4i + 12) = (4 + 12) + (8 + 12) = 36

i=1

Aufgabe 2-14: Gegeben sei folgende Tabelle: a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

0 3 1

mit

1 0 2

4 1 1

Berechnen Sie a)

2 3  

b)

aij

i=1 j=1

2 3  

aij

i=1 j=1

Lösung: a)

2 3  

aij =

i=1 j=1

3 

(ai1 + ai2 ) = a11 + a12 + a21 + a22 + a31 + a32 =

i=1

=0+1+3+0+1+2=7 b)

2 3   i=1 j=1

aij =

3 

(ai1 · ai2 ) = (a11 · a12 ) + (a21 · a22 ) + (a31 · a32 ) =

i=1

= (0 · 1) + (3 · 0) + (1 · 2) = 2 Aufgabe 2-15: Ist (a + b)2 oder a2 + 2b + b2 oder (a + b)3 oder a3 + a2 b + ab2 + b3 die richtige Lösung des Produktes 2  (a + b)i i=1

Lösung: Die Lösung (a + b)3 ist richtig, da

2  i=1

(a + b)i = (a + b)1 · (a + b)2 = (a + b)3 .

3

Folgen und Reihen

Im täglichen Leben kann man oft beobachten, dass die Objekte einer Menge durchnummeriert sind. Man denke beispielsweise nur an die Seiten dieses Buches. Bezeichnet man die Elemente einer Menge mit dem Symbol a, so können diese durchnummeriert werden indem jedem Element eine Nummer, d.h. eine natürliche Zahl als Index angehängt wird: a1 , a2 , a3 , . . .. Als Startindex wird häufig die 0 oder die 1 verwendet, aber auch jeder andere Startindex ist zulässig. Der funktionale Zusammenhang zwischen diesen sogenannten Folgengliedern ist das wesentliche Merkmal einer mathematischen Folge, sie ist stets eine Zahlenfolge [an ]. Summiert man die jeweils ersten n Glieder einer Folge auf, so spricht man von einer Reihe oder von der n-ten Partialsumme einer Folge. Insbesondere die arithmetische Folge und Reihe wie auch die geometrische Folge und Reihe haben in der Wirtschaftswissenschaft eine besondere Bedeutung. Sie bilden eine wichtige Grundlage für die Finanzmathematik und werden beispielsweise bei der Berechnung von Abschreibungen wie auch beim Zinseszinsrechnen oder Rentenrechnen angewendet. Darum ging es in diesem Kapitel.

3.1

Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 3

Nachfolgend werden die Aufgaben aus Kapitel 3 des Lehrbuches „Mathematik in der Betriebswirtschaft“ mit ihren dazugehörigen Lösungswegen im Detail vorgestellt. Aufgabe 3-1: Gegeben sei das Bildungsgesetz an = 23 n für alle n ∈ N. Wie lautet die dazugehörende Zahlenfolge? Lösung: Mit den natürlichen Zahlen n ∈ N ist n = 1, 2, 3, .... Setzt man diese Zahlen in das Bildungsgesetz ein, so ergibt sich für die gesuchte Zahlenfolge: [an ] =

2 4 6 8 10 12 , , , , , , ... 3 3 3 3 3 3

Aufgabe 3-2: Geben Sie die nächsten drei Glieder der nachstehenden beiden Folgen an und bestimmen Sie die Bildungsgesetze: a)

1, 2, 4, 7, 11, 16, , , , . . .

b)

1,

1 1 1 1 6 , 13 , 22 , 33 ,

, ,

, ...

24

3 Folgen und Reihen

Lösung: a)

Die Differenz zwischen dem zweiten Folgenglied a2 = 2 und dem ersten Folgenglied a1 = 1 ist 1; zwischen drittem a3 = 4 und zweitem a2 = 2 ist die Differenz 2, zwischen dem vierten a4 = 7 und dritten Folgenglied a3 = 4 genau 3 usw. D.h. die Differenz an+1 − an ist also immer genau so groß wie der Laufindex n des entsprechenden Folgengliedes an . Damit ist a7 = a6 + 6 = 16 + 6 = 22 und a8 = 29 und a9 = 37. Also kann man mit a1 = 1 für das gesuchte Bildungsgesetz auch schreiben: an = an−1 + (n − 1) = 1 +

b)

n(n − 1) 2

Bei diesen Folgengliedern handelt es sich um Brüche mit dem ersten Folgenglied a1 = 1 , usw.. Da der Zähler immer 1 ist, kann 1 = 11 , dem zweiten Folgenglied a2 = 16 , a3 = 13 man sich auf den Nenner zur Herleitung des Bildungsgesetzes konzentrieren, d.h. es geht um die Zahlenfolge 1, 6, 13, 22, .... Man erkennt (ggf. durch Ausprobieren), dass sich die Zahlenfolge im Nenner durch n2 + 2n − 2 bestimmen lässt. Also lautet das gesuchte Bildungsgesetz hier: an =

1 n2 + 2n − 2

Aufgabe 3-3: Wie lauten die allgemeinen Glieder an der nachstehenden beiden unendlichen Zahlenfolgen: a)

1, 0, 3, 0, 5, 0, . . .

b)

1, 7, 17, 31, 49, 71, . . .

Lösung: a)

Die allgemeinen Glieder lauten an = 12 · (n − (−1)n · n) lautet die Zahlenfolge: 1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, 0, 9, . . .

b)

Die allgemeinen Glieder lauten an = 2n2 − 1 mit Zahlenfolge: 1, 7, 17, 31, 49, 71, 97, 127, 161, . . .

mit

n ∈ N und damit

n ∈ N und damit lautet die

Aufgabe 3-4: Betrachte die Zahlenfolge 1, − 21 , 14 , − 81 , .... Führe die Folge fort; wie lautet das Bildungsgesetz und strebt die Folge gegen einen bestimmten Wert? Lösung: Es handelt sich in diesem Fall um eine alternierende Folge. Der Wechsel im Vorzeichen lässt sich mit dem Faktor (−1)n im Bildungsgesetz umsetzen. Betrachtet man den Nenner, so erkennt man hier die Zweierpotenzen 20 , 21 , 22 , ... usw. Somit lautet das Bildungsgesetz wie folgt: an = (−1)n ·

1 2n

3.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 3

25

wobei der Laufindex mit n = 0 startet. Also ist hier n = 0, 1, 2, .... Und da der Nenner mit zunehmendem n immer kleiner wird folgt, dass die angegebene Zahlenfolge alternierend gegen Null strebt. Aufgabe 3-5: Für die arithmetische Folge seien folgende beiden Glieder a15 = 37 und a20 = 117 gegeben. Bestimmen Sie a1 , d, a10 und s10 . Lösung: Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz zwischen zwei Folgenglieder konstant d, d.h. es gilt an+1 − an = d. Mit dem daraus resultierenden Bildungsgesetz an = a1 − (n − 1) · d und der Gleichung für die arithmetische Reihe sn = n2 (a1 + an ) lässt sich die Aufgabe wie folgt lösen: a15 = a1 + 14 · d und a20 = a1 + 19 · d ⇒ a15 − 14 · d = a20 + 19 · d ⇒ d · (19 − 14) = a20 − a15 1 ⇒ d = (117 − 37) = 16 und damit folgt für a1 und a10 5 a1 = a15 − 14 · d = 37 − 14 · 16 = −187 a10 = a1 + 9 · d = −187 + 9 · 16 = −187 + 144 = −43 10 (a1 + a10 ) = 5 · (−187 − 43) = −1150 und für die Reihe folgt: s10 = 2 Also zusammengefasst:

a1 = −187

d = 16

a10 = −43

s10 = −1150

Aufgabe 3-6: Für eine geometrische Folge seien die beiden Glieder a3 = 64 und a5 = 40,96 gegeben. Bestimmen Sie a1 , q, a4 und s4 . Lösung: Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant q, d.h. an+1 /an = q. Mit dem daraus resultierenden Bildungsgesetz an = a1 · q n−1 und der Gleichung für die geometrische Reihe sn = a1 · (1 − q n )/(1 − q) lässt sich die Aufgabe wie folgt lösen: a3 = a1 · q 2 und a5 = a1 · q 4 a3 a5 a5 ⇒ = 4 ⇒ = q2 2 q q a3   a5 40,96  = 0,64 = 0,8 ⇒ q= = a3 64 und a1 =

a3 64 64 = 100 = = q2 0,82 0,64

sowie a4 = a1 · q 3 = 100 · 0,83 = 51,2

26

3 Folgen und Reihen

Damit lautet die Reihe Also zusammengefasst:

s4 = a 1 · a1 = −100

1 − 0,84 1 − q4 = 100 · = 295,2 1−q 1 − 0,8 q = 0,8

a4 = 51,2

s4 = 295,2

Aufgabe 3-7: Zehn Zahlen bilden eine arithmetische Folge mit der Summe 255. Die fünfte Zahl ist die 23. Bitte geben Sie diese zehn Folgenglieder an. Lösung: Mit a5 = 23 und s10 = 255 und den bekannten Gleichungen für die arithmetische Folge und Reihe lassen sich die ersten zehn Folgenglieder berechnen: a5 = a 1 + 4 · d ⇒

und a10 = a1 + 9 · d

a10 = a5 − 4 · d + 9 · d = a5 + 5 · d 10 · (a1 + a10 ) = 5 · (a1 + a5 + 5 · d) = 2 = 5 · (a5 − 4 · d + a5 + 5 · d) = 5 · (2a5 + d)

und s10 =

daraus folgt d =

s10 255 − 2 · a5 = − 2 · 23 = 5 5 5

und a1 = a5 − 4 · d = 23 − 4 · 5 = 3 Also lauten die ersten zehn Glieder der Folge:

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48

Aufgabe 3-8: Gegeben seien die ersten Glieder einer unendlichen geometrischen Folge mit 5, 10, 20, 40, 80, .... Bestimmen Sie die Anzahl n der Folgenglieder, die als Summe 5115 ergibt. Lösung: Mit a1 = 5, a2 = 10, a3 = 20 usw. sowie sn = 5115 und den bekannten Gleichungen für die geometrische Folge und Reihe lässt sich die gesuchte Anzahl n der Folgenglieder berechnen: 20 1 − qn 10 = = 2 und mit sn = a1 · 5 10 1−q s sn n ⇒ qn = 1 − · (1 − q) ⇒ n = logq (1 − · (1 − q)) a1 a1

q=

also 2n = 1 −

5115 · (1 − 2) = 1024 ⇒ 5

n = log2 1024 = 10

Aufgabe 3-9: Man berechne die ersten Glieder der Fibonacci-Folge, die durch a1 = 1, a2 = 2 und an+2 = an+1 + an für n ≥ 1 definiert ist. Ist die Folge monoton? Strebt die Folge gegen einen bestimmten Wert?

3.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 3

27

Lösung: Die Fibonacci-Folge ist dadurch charakterisiert, dass das erste Folgenglied 0 und das zweite Folgenglied 1 ist, und dass sich die jeweils weiteren Folgenglieder durch Addition ihrer beiden vorangegangenen Folgenglieder ergeben. Sie lautet also: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .. Diese Folge ist nach Leonardo Fibonacci benannt, der damit im Jahre 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Es handelt sich also um eine monoton steigende Folge, da an+1 > an ist. Des Weiteren strebt die Folge gegen ∞, h.h. mit zunehmendem Laufindex n werden die Glieder immer größer. Aufgabe 3-10: Bestimmen Sie, falls sie existieren, die Grenzwerte der Folgen an : a)

an = (−2)−n

b)

an =

1 (n + 1)(n + 2)

c)

an =

n2 (n + 1)

d)

an =

e)

f)

1−n n 2  1 −1 an = n

an =

n2 − 1 3n2 + 2n

Lösung: a) b)

c)

d) e)

f)

lim (−2)−n = lim

n→∞

lim

n→∞

n→∞

1 1 = lim =0 (n + 1)(n + 2) n→∞ (n2 + 3n + 2)

n2 = lim n→∞ (n + 1) n→∞ lim

(−1) 1 = (−1) · lim n = 0 n→∞ 2 2n

1 n

1 =∞ + n12

1 −1 1−n = lim n = −1 n→∞ n→∞ n 1 2  1 −1 =1 lim n→∞ n

lim

1 − n12 n2 − 1 1 = lim = 2 n→∞ 3n + 2n n→∞ 3 + 2 3 n lim

28

3 Folgen und Reihen

Aufgabe 3-11: Ein Kleinwagen beschleunigt in 10 Sekunden von 0 auf 80 km/h. Danach sei der Geschwindigkeitszuwachs in jeweils 10 Sekunden genau die Hälfte des im Zeitintervall vorher erreichten Zuwachses. Gegen welche Geschwindigkeit konvergiert der Prozess, wenn sie hinreichend lange beschleunigen? Lösung: Die Folge der Geschwindigkeitszuwächse ist 80, 40, 20, 10, 5, .... Dividert man ein Folge20 10 1 glied durch sein vorangegangenes Folgeglied 40 80 = 40 = 20 = 2 , so erkennt man, dass es sich hier um eine geometrische Folge mit a1 = 80 und q = 12 handelt. Die geometrische Reihe als Summe der Geschwindigkeitzuwächse konvergiert, da q = 12 < 1 und somit lim sn = lim a1 ·

n→∞

n→∞

a1 1 − qn = 1−q 1−q

gegen den Wert 80 a1 80 = = 1 = 160 1 1−q 1− 2 2 Also konvergiert der Beschleunigungsprozess gegen die Geschwindigkeit 160 km/h. Aufgabe 3-12: Ein Unternehmen erhält den Auftrag 14000 Nähmaschinen herzustellen. In der ersten Woche (5 Arbeitstage) können täglich 45 Nähmaschinen produziert werden. Diese Stückzahl soll in den folgenden Wochen um 50 Einheiten je Woche erhöht werden. Nach wie vielen Wochen ist der Auftrag erfüllt, und wie viel Stück werden in der letzten Woche hergestellt? Lösung: Das Unternehmen produziert 45 Nähmaschinen am Tag und somit 5 · 45 = 225 Nähmaschinen in der Woche. Damit wäre a1 = 225 das erste Folgenglied einer arithmetischen Folge mit der Summe sn = 14000 (arithmetische Reihe). Damit folgt mit n · (2a1 + (n − 1) · d), dass 2 · 14000 = n · (2 · 225 + (n − 1) · 50) 2 ⇒ 28000 = 450n + 50n2 − 50n ⇒ 560 = 8n + n2

sn =

Die daraus folgende quadratische Gleichung n2 − 8n − 560 = 0√lässt sich mit der p, q-Formel lösen und es ergeben sich die beiden Nullstellen n01,02 = −4 ± 16 + 560 (also 20 und −28). Eine Zahl von −28 Wochen ergibt aber keinen Sinn, und so ist die Lösung hier n = 20 Wochen. Also werden in 20 Wochen insgesamt 14000 Nähmaschinen hergestellt und in der 20-ten Woche alleine a20 = 225 + (20 − 1) · 50 = 1175 Nähmaschinen.

3.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 3

3.2

29

Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 3

Zum Thema Folgen und Reihen werden im Folgenden noch weitere Aufgaben und die dazugehörigen Lösungswege aufgezeigt, um den Lesern die Möglichkeit zu geben, durch weiteres Üben das Gelernte zu verfestigen. Aufgabe 3-13: Im Erdinneren wächst die Temperatur pro 100 m Tiefe um 3 ◦ C. In 25 m Tiefe beträgt die Temperatur 10 ◦ C. a)

Um welche Art von Folge bzw. Reihe handelt es sich?

b)

Welche Temperatur wird in 575 m Tiefe gemessen?

c)

In welcher Tiefe beträgt die Temperatur 70 ◦ C?

Lösung: ◦

C m . Es

a)

Es handelt sich um eine arithmetische Folge mit d = 0,03 gesetz an = a1 + (n − 1) · d für alle n ∈ N

b)

Also 10 = a1 + 24 · 0,03 ⇒ a1 = 9,28 ⇒ a575 = 9,28 + 574 · 0,03 = 26,5 ◦ C

c)

Oder auch 70 = 9,28 + (n − 1) · 0,03 ⇒ n = 2025 m

gilt somit das Bildungs-

Aufgabe 3-14: Bestimmen Sie die fehlenden Größen der arithmetischen Folgen bzw. Reihen: a1 7 1 2

d n an sn 7 6 3 12 258 1 5050 250 156125

Lösung: Es sind also die fehlenden Größen von vier arithmetischen Folgen und Reihen zu bestimmen. Hierfür sind die entsprechenden Gleichungen an = a1 − (n − 1) · d und sn = n2 (a1 + an ) heranzuziehen, die gegebenen Werte einzusetzen und die Gleichungen nach den fehlenden Größen aufzulösen. Im ersten Fall sind a6 und s6 gesucht und es folgt: a6 = 7 + 5 · 7 = 42 und s6 = 3 · (14 + 5 · 7) = 147 Im zweiten Fall sind a1 und a12 gesucht und es folgt: 258 = 6 · (2a1 + 11 · 3) ⇒ a1 = 5 und a12 = 5 + 11 · 3 = 38

30

3 Folgen und Reihen

Im dritten Fall sind n und das zugehörige an gesucht und es folgt: 5050 =

n · (2 + (n − 1) · 1) ⇒ n = 100 und a100 = 1 + 99 · 1 = 100 2

Im vierten Fall sind d und a250 gesucht und es folgt: 156125 = 125 · (4 + 249 · d) ⇒ d = 5

und a250 = 2 + 249 · 5 = 1247

Aufgabe 3-15: In einem Fischteich werden Forellen gezüchtet. Man setzt 5000 Fische aus und rechnet damit, dass der Bestand innerhalb eines Jahres um 50% zunimmt. 35% des Bestandes werden am Jahresende gefangen. a)

Handelt es sich um eine arithmetische oder geometrische Folge?

b)

Wie viele Fische sind nach 2, 5, 10 Jahren im Teich?

c)

Welchen Grenzwert hat die Folge?

Lösung: a)

Es handelt sich um eine geometrische Folge (der Bestand verändert sich prozentual) mit a1 = 5000 und q = 1,5 · 0,65 = 0,975.

b)

Die Folgenglieder lassen sich berechnen durch an = a1 · q n−1 . Am Anfang des 1. Jahres sind also a1 = 5000 Fische, nach 2 Jahren (= ˆ Anfang des 3. Jahres) sind a3 = 5000 · 0,9752 = 4753,13 Fische, nach 5 Jahren (= ˆ Anfang des 6. Jahres) sind schon a6 = 5000 · 0,9755 = 4405,48 Fische und nach 10 Jahren (= ˆ Anfang des 11. Jahres) sind schon a11 = 5000 · 0,97510 = 3881,65 Fische im Teich.

c)

Die geometrische Folge an = a1 · q n hat mit q = 0,975 < 1 den Grenzwert 0, denn: ⎧ falls q < 1 ⎪ ⎨ a1 · 0 = 0 lim an = lim a1 · q n = a1 · lim q n = a1 · 1 = a1 falls q = 1 n→∞ n→∞ n→∞ ⎪ ⎩ a1 · ∞ = ∞ falls q > 1

4

Finanzmathematik

Dieses Kapitel stand unter dem Thema Finanzmathematik. Unter Finanzmathematik versteht man Verfahren zur Behandlung von Problemen, bei denen Zahlungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten fällig werden. Als Beispiel seien Fragestellungen zu Lebensversicherungen, Rentenversicherungen, Bausparverträgen, Absetzung für Abnutzung, Hypothekendarlehen und Sparverträge genannt. Vorausgesetzt wird hierbei grundsätzlich, dass sich ein Kapital verzinst. Gemeinsames Merkmal der hier angesprochenen Aspekte sind dann regelmäßig wiederkehrende Ein- und/oder Auszahlungen einschließlich der Verzinsung. Die Finanzmathematik ist damit ein wichtiges Anwendungsgebiet des Rechnens mit Folgen und Reihen und stellt das quantitative Instrumentarium für die Bewertung zukünftiger oder vergangener Zahlungsströme dar. So wurden Grundbegriffe aufgeführt und die einfache Verzinsung, Zinseszinsen, Abschreibung, Renten, Kapitalwertmethode und die Methode des internen Zinsfusses näher erläutert.

4.1

Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 4

Nachfolgend werden die Aufgaben aus Kapitel 4 des Lehrbuches „Mathematik in der Betriebswirtschaft“ mit ihren dazugehörigen Lösungswegen im Detail vorgestellt. Aufgabe 4-1: Wie viel Kapital musste man zum 01. Januar 1994 einzahlen, um dann am 31. Dezember 2005 bei einfacher Verzinsung von 5% über ein Kapital von 10.000 C zu verfügen? Lösung: Der Zeitraum vom 01. Januar 1994 bis zum 31. Dezember 2005 umfasst genau 12 Jahre. Damit sind die Variablen mit n = 12, i = 0,05 und K12 = 10.000 bekannt, und es kann mit der Gleichung für die einfache Verzinsung Kn = K0 · (1 + ni) das Anfangskapital K0 berechnet werden: K0 =

10.000 10.000 10.000 Kn = = = = 6.250 (1 + ni) (1 + 12 · 0,05) (1 + 0,6) 1,6

Das Anfangskapital betrug somit:

K0 = 6.250,00 C

32

4 Finanzmathematik

Aufgabe 4-2: Wie hoch ist der Zinssatz bei einfacher Verzinsung, wenn ein Anfangskapital von 4.000 C nach 4 Jahren auf 4.600 C angewachsen ist? Lösung: Die Gleichung für die einfache Verzinsung Kn = K0 · (1 + ni) muss nun nach der gesuchten Variablen i aufgelöst werden. Einsetzen der Werte für K0 = 4.000, n = 4 und K4 = 4.600 ergibt: Kn = K0 · (1 + ni)

⇒

i=

1 Kn 1 4.600 ( − 1) = 0,0375 − 1) = ( n K0 4 4.000

Aus i = 0,0375 folgt für den Zins p = 3,75%. Aufgabe 4-3: Erwirbt man 6%-ige Bundesobligationen im Werte von 10.000 C, so erhält man jährlich genau 600 C Zinsen. Bei einem Ausgabekurs von 100% und ohne Berücksichtigung von Gebühren ist die Rendite oder auch der Effektivzins bei einfacher Verzinsung gleich dem Nominalzins zu dem das Papier ausgegeben wurde. Nun fallen aber auch Gebühren und Provisionen an! Wie hoch ist die Effektivverzinsung beim Erwerb folgender Anleihe: Nominalwert 10.000 C; Nominalzins 6%; Ausgabekurs 98%; Laufzeit 10 Jahre; Provisionen insg. 1.1% vom Ausgabewert. Lösung: Bundesobligationen sind Schuldverschreibungen und damit verzinsliche Wertpapiere. Der Nominalzins von 6% bezieht sich auf den Nominalwert der Bundesobligationen von 10.000 C, und damit liegen die jährlich über 10 Jahre auszuzahlenden Zinsen bei 600 C. Bei einem Ausgabekurs von 98% und einer anfallenden Provision von 1,1% bezogen auf den Ausgabekurs kosten diese Obligationen (9.800 + 107,80) C = 9.907,80 C. Dieses Kapital K0 wird somit am Anfang investiert und man erhält jährlich 600 C Zinsen (einfache Verzinsung) und nach 10 Jahren dann auch den Nominalwert von 10.000 C ausgezahlt. Diese Zusammenhänge lassen sich auch auf einem Zeitstrahl wie folgt darstellen: Einzahlung Auszahlung

K0 1.

2.

3. …

600 600 600

10. Zeit 600

Mit der Gleichung für die einfache Verzinsung Kn = K0 · (1 + ni) folgt für den Zins i = (1/n)[(Kn /K0 ) − 1]. Setzt man die Werte für K0 = 9.907,80, n = 10 und K10 = 10.000 + 6.000 = 16.000 ein, berechnet sich i zu 0,0615. D.h. der Effektivzins des eingesetzten Kapitals beträgt bei einfacher Verzinsung 6,15%.

4.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 4

33

Aufgabe 4-4: Beim Kauf eines Autos im Wert von 24.000 C müssen 25% angezahlt werden. Für die Restkaufsumme werden monatlich 0,5% Zinsen vereinbart. Die Tilgung soll in 36 gleichen Monatsraten von 500 C geleistet werden. Wie hoch ist in diesem Fall die Effektivverzinsung? Lösung:  25% von 24.000 C) und so bleibt noch eiFür das Auto müssen 6.000 C angezahlt werden (= ne Restkaufsumme über 18.000 C zu finanzieren. Die Tilgung soll durch 36 monatliche Raten in Höhe von 500 C erfolgen. Zusätzlich fallen monatlich 0,5% Zinsen bezogen auf die Restkaufsumme an (=  90 C monatlich). Das Auto wird also durch 36 Monatsraten von jeweils 590 C finanziert. Über die gesamte Laufzeit sind somit Zinsen in Höhe von 36 · 90 C = 3.240 C und Tilgungen in Höhe von 90 =  0,5% 36 · 500 = 18.000 C zu zahlen. Dabei fallen im 1. Monat Zinsen in Höhe von 18.000 90 90  0,514%, im 3. Monat von 17.000 =  0,529% usw. an. Im letzten an, im 2. Monat von 17.500 = 90 =  18% Zinsen für die Autofinanzierung fällig. Monat sind dann 500 Die monatlichen Restschulden entsprechen einer arithmetischen Folge mit a1 = 18.000 bis a36 = 500. Daraus folgt für die arithmetische Reihe s36 = 36 2 (18.000 + 500) = 333.000 und relativ zu dieser Summe errechnet sich der Effektivzins bei einfacher Verzinsung zu 0,973% 36·90 ). Bezogen auf ein Jahr (=  12 Monate) liegt der Effektivzins somit bei 11,68%. Der (=  333.000 Effektivzins ist hier deshalb so hoch, weil die Zinsen auf die Restkaufsumme und nicht auf die Restschuld bezogen wurden.

Aufgabe 4-5: Welches Endkapital ergibt ein Anfangskapital von 5.000 C nach 10 Jahren, wenn eine jährliche Verzinsung von 3% angenommen wird und Zuschlag der Zinsen erfolgt? Wie groß ist der Unterschied zur einfachen Verzinsung? Lösung: Mit den Gleichungen für den Zinseszins Kn = K0 · (1 + i)n und für die einfache Verzinsung Kn = K0 · (1 + n · i) und den Werten für K0 = 5.000, i = 0,03 und n = 10 lässt sich diese Aufgabe wie folgt lösen: K10 = 5.000 · (1 + 0,03)10 = 6.719,58

bei Zinseszins

K10 = 5.000 · (1 + 10 · 0,03) = 6.500,00

bei einfacher Verzinsung

Damit ist der Unterschied zwischen Zinseszins und einfacher Verzinsung in diesem Fall genau (6.719,58 − 6.500,00) C = 219,58 C

34

4 Finanzmathematik

Aufgabe 4-6: Zu welchem Zinssatz wurde das Anfangskapital von 5.500 C verzinst, wenn nach 7 Jahren ein Endkapital von 7.325,24 C besteht? Lösung: Nun ist die Zinseszinsgleichung nach i aufzulösen und mit den gegebenen Werten für n = 7, K0 = 5.500 und K7 = 7.325,24 kann der Zins wie folgt berechnet werden:  n Kn = K0 (1 + i)n ⇒ i = n K K0 − 1  also i = 7 7.325,24 5.500,00 − 1 ≈ 0,0418 Damit liegt hier der Zins bei p = 4,18% Aufgabe 4-7: Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich ein mit 6% p.a. verzinstes Anfangskapital von K0 ? Lösung: Die Zinseszinsformel ist jetzt nach n aufzulösen. Mit den gegebenen Werten für i = 0,06 und Kn = 2 · K0 und dem Zinsfaktor q = 1 + i folgt: Kn = K0 · (1 + i)n ⇒

n=

ln Kn −ln K0 ln q

⇒

n ln( K K0 ) = n · ln(1 + i)

⇒

n=

ln 2 ln 1,06

≈ 11,9

D.h. also, dass sich das Kapital nach ca. 11,9 Jahren verdoppelt hat. Aufgabe 4-8: Ein Kapital von 5.000 C soll 10 Jahre lang vierteljährlich mit 0,75% verzinst werden. Welches Endkapital ergibt sich? Welchem effektiven Jahreszins würde dies bei jährlicher Verzinsung entsprechen? Lösung: Mit der Gleichung Kn = K0 (1 + i)n für die Zinseszinsen und den Werten für K0 = 5.000, für i = 0,075 und für n = 40 (=  10 Jahre geteilt durch 14 -Jahr) folgt: K40 = 5.000(1 + 0,0075)40 = 6.741,74 Es ergibt sich hierbei also ein Endkapital von K40 = 6.741,74 C. Zur Berechnung des effektiven Jahreszins folgt jetzt mit n = 10:  10 6741,74 n − 1 = 0,03034 5.000(1 + i) = 6.741,74 ⇒ i = 5.000 Bei einer jährlichen Verzinsung entspricht dies also einem effektiven Jahreszins von 3,034%.

4.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 4

35

Aufgabe 4-9: In einem Bausparvertrag werden jeweils zum 1. Januar eines Jahres 2.000 C eingezahlt. Welches Kapital wurde bei 2,5%-iger Verzinsung nach 7 Jahren angespart? Lösung: Mit der Gleichung für die Ratenzahlung bei nachschüssiger Verzinsung und den Werten r = 2.000, n = 7, i = 0,025 und damit q = 1 + i = 1,025 folgt: Kn = r · q ·

1 − qn 1−q

⇒

K7 = 2.000 · 1,025 ·

1 − 1,0257 ≈ 15.472,23 1 − 1,025

Damit wurden rund 15.472,23 C angespart. Aufgabe 4-10: Wie lange muss man sparen, um bei Einzahlung von jährlich 2.000 C einen Bausparvertrag über 30.000 C zu 40% angespart zu haben (i = 2%)? Lösung: Die Gleichung für die Ratenzahlung bei nachschüssiger Verzinsung muss jetzt nach n aufgelöst werden. Mit den Werten für r = 2.000, i = 0,02 und Kn = 0,4 · 30.000 = 12.000 berechnet sich die Laufzeit n wie folgt: Kn 1 − qn ⇒ · (1 − q) = 1 − q n 1−q r·q Kn Kn · (1 − q) ⇒ n · ln q = ln(1 − · (1 − q)) qn = 1 − r·q r·q 12.000 n ln(1 − K ln(1 − 2.000·1,02 · (1 − 1,02)) r·q · (1 − q)) n= ⇒ n= ≈ 5,62 ln q ln 1,02

Kn = r · q · ⇒ ⇒

Dieser Bausparvertrag ist somit nach ca. 5,62 Jahren zu 40% der Bausparsumme angespart. Aufgabe 4-11: Eine IT-Ausstattung eines Unternehmens im Wert von 40.000 C kann jährlich mit 13% vom Restwert abgeschrieben werden. Wie groß ist die Abschreibungsrate und der Restwert am Ende des vierten Jahres? Lösung: Es handelt sich hier um eine geometrisch degressive Abschreibung mit einem Restwert am Ende des k-ten Jahres von Kk = K0 (1 − i)k . Die Abschreibungsrate ist rk = K0 (1 − i)k−1 · i. Mit den Werten K0 = 40.000, n = 4 und i = 0,13 folgt: Kk = K0 (1 − i)k rk = K0 (1 − i)k−1 · i

⇒

K4 = 40.000(1 − 0,13)4 ≈ 22.915,90

⇒

r4 = 40.000(1 − 0,13)3 · 0,13 ≈ 3.424,22

Also liegt die Abschreibungsrate bei 3.424,22 C und der Restwert bei 22.915,90 C.

36

4 Finanzmathematik

Aufgabe 4-12: Das Unternehmen möchte seine IT-Ausstattung im Wert von 40.000 C im 1. Jahr mit 12.000 C abschreiben. Die Abschreibungsrate soll jährlich um 2.000 C sinken. Welcher Restwert ergibt sich nach 4 Jahren? Lösung: Aus der Gleichung für die arithm. degressive Abschreibung Kk = K0 − k2 [2r1 − (k − 1)d] und mit den Werten K0 = 40.000, r1 = 2.000, d = 4 und k = 4 folgt: 4 K4 = 40.000 − [2 · 12.000 − (4 − 1) · 2.000] 2 ⇒ K4 = 40.000 − 2[24.000 − 6.000] = 4.000 Der Restwert der IT-Ausstattung liegt nach 4 Jahren somit bei 4.000 C. Aufgabe 4-13: Was kostet eine vorschüssige Rente von r = 12.000 C bei einem Zinssatz von i = 0,05, die über 15 Jahre ausgezahlt wird? Lösung: Mit den Werten r = 12.000, n = 15, i = 0,05 und mit ν = Rente: R0 = r ·

1 − νn 1−ν

⇒

R0 = 12.000 ·

1 15 ) 1 − ( 1,05 1 1 − ( 1,05 )

1 q

=

1 1+i

folgt für die vorschüssige

≈ 130.783,82

Somit kostet diese vorschüssige Rente R0 = 130.783,82 C. Aufgabe 4-14: Wie viel Jahre kann eine nachschüssige Rente r in Höhe von 12.000 C gezahlt werden, wenn ein Kapital von 100.000 C bei einem Zinssatz von 6% eingezahlt wurden? Lösung: Die Gleichung für die nachschüssige Rente R muss nach n aufgelöst werden. Mit den Werten 1 lässt sich n wie folgt berechnen: R0 = 100.000, r = 12.000 und i = 0,06 und damit ν = 1,06 R0 1 − νn ⇒ · (1 − ν) = 1 − ν n 1−ν r·ν   R0 R0 · (1 − ν) ⇒ n · ln ν = ln 1 − · (1 − ν) νn = 1 − r·ν r·ν   100.000 1 ln 1 − 12.000·( 1 ) · (1 − 1,06 ) 1,06 ≈ 11,9 n= 1 ln( 1,06 )

R0 = r · ν · ⇒ ⇒

Die nachschüssige Rente kann 11,9 Jahre lang gezahlt werden.

4.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 4

37

Aufgabe 4-15: Sie zahlten zum 01.01.2004 das Kapital K0 ein, das mit 7% p.a. verzinst wird. Welchen Stand weist Ihr Konto am 01.01.2016 auf? Das Kapital soll anschließend in Form einer vorschüssig zahlbaren Rente r , beginnend am 01.01.2016, ausbezahlt werden. Welchen Betrag müssten Sie einzahlen, damit Sie bei einem Zinssatz von 7% 10 Jahre lang eine Rente von r = 2.000 C erhalten? Lösung: Das am 01.01.2004 eingezahlte Kapital K0 wird bis zum 01.01.2016 - also für 12 Jahre - zu 7% angelegt. Nach 12 Jahren weist ihr Konto dann ein Kapital von K12 = K0 · 1,0712 auf. Da dieses Kapital K12 nun in Form einer vorschüssigen Rente r ausgezahlt werden soll, entspricht K12 dem vorschüssigen Rentenbarwert R0 . Diese vorschüssige Rente r wird dann über eine Laufzeit von 10 Jahren bis zum 01.01.2016 ausgezahlt. Nachfolgender Zeitstrahl stellt diese Ein- und Auszahlungsaktivitäten graphisch dar: 01.01.16

K0

R0‘

12 Jahre …

r‘

01.01.04

10 Jahre r‘

r‘

K0 =

1 − ν 10 1−ν

⇒

r‘ 01.01.26

K12

Es lässt sich also mit den Werten q = 1,07 und ν = berechnen: K0 · q 12 = r ·

…

K0 =

1 1,07

Zeit

das gesuchte Kapital K0 wie folgt

1 1 − ν 10 · r · 12 q 1−ν

1 10 ) 1 − ( 1,07 1 ≈ 6.673,71 · 2.000 · 1 12 1,07 1 − ( 1,07 )

Sie mussten also ein Kapital von K0 = 6.673,71 C einzahlen. Aufgabe 4-16: Ein Arbeiter soll, nachdem er einen berufsbedingten Unfall hatte, zu Beginn eines jeden Jahres eine Rente in Höhe von 2.400 C erhalten. Welche einmalige Abfindung hat sein Arbeitgeber jetzt zu leisten, wenn man annimmt, dass die Rente 20 mal ausgezahlt wird und der Zinssatz 5.5% beträgt? Lösung: Es handelt sich um eine vorschüssige Rente, wobei eine Rente von r = 2.400 C gezahlt wird. Mit der Gleichung für die vorschüssige Rente und den Werten n = 20, i = 0,055 und damit 1 lässt sich der Barwert R0 (entspricht der Abfindung) berechnen: ν = 1,055 R0 = r ·

1 − νn 1−ν

⇒

R0 = 2.400 ·

1 )20 1 − ( 1,055 1 1 − ( 1,055 )

≈ 30.258,37

Der Arbeitgeber hat also eine Abfindung von 30.258,37 C zu leisten.

38

4 Finanzmathematik

Aufgabe 4-17: Eine Hypothek zu 6% p.a. über 200.000 C soll über 30 Jahre getilgt werden. Wie hoch ist in diesem Fall die Annuität? Lösung: Mit der Gleichung für die Annuität a und den Werten S0 = 200.000, n = 30 und q = 1,06 ergibt sich: a = S0 · q n ·

1−q 1 − 1,06 = 200.000 · 1,0630 · ≈ 14.529,78 1 − qn 1 − 1,0630

Die Annuität für die Hypothek beträgt 14.529,78 C. Aufgabe 4-18: Zu einer Investition mit Anschaffungsausgaben von 8.000 C gehören in 4 Jahren der Nutzung folgende Erträge und Kosten: t et kt

1 7.000 5.000

2 6.000 4.000

3 7.000 4.000

4 7.000 4.000

Bestimmen Sie den Kapitalwert bei einem Zinsfuss von 9%. Lösung: Der Kapitalwert bestimmt sich durch die Einnahmeüberschüsse (E0 − K0 ) bezogen auf die Anschaffungsausgaben A. Mit den angegebenen Einnahmen- und Kostenwerten aus der Tabelle und A = 8.000 und q = 1 + i = 1,09 folgt: C0 = E0 − A − K0 = −A +

T  (et − kt ) t=1

C0 = −8.000 +

qt

(7.000 − 5.000) (6.000 − 4.000) (7.000 − 4.000) + − 1,091 1,092 1,093 −

(7.000 − 4.000) = −39,95 1,094

Die Investition lohnt sich nicht, da der Kapitalwert mit −39,95 C negativ ist. Aufgabe 4-19: Betrachtet sei eine Investition, die 6 Jahre lang jährliche Überschüsse in Höhe von 4.000 C erbringt. Der Anschaffungswert sei 23.000 C und der Restwert nach 6 Jahren noch 5.000 C. Lohnt sich die Investition bei einem Zinsfuss von 5%?

4.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 4

39

Lösung: Mit den Werten q = 1,05, A = 23.000 und (et − kt ) = 4.000 lässt sich der Kapitalwert nach 6 Jahren unter Berücksichtigung des diskontierten Restwertes wie folgt berechnen: 4.000 4.000 4.000 1 + + ... + + 5000 · = 1,051 1,052 1,056 1,056 1 1 1 1 + + ... + ) + 5.000 · = = −23.000 + 4.000 · ( 1,051 1,052 1,056 1,056

C0 = −23.000 +

= −23.000 + 20.302,77 + 3.731,60 ≈ 1.034 > 0 Die Investition lohnt sich, da der Kapitalwert mit 1.034 C größer als Null ist.

4.2

Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 4

Zum Thema Finanzmathematik werden im Folgenden noch weitere Aufgaben und die dazugehörigen Lösungswege aufgezeigt, um den Lesern die Möglichkeit zu geben, durch weiteres Üben das Gelernte zu verfestigen. Aufgabe 4-20: Nach wie vielen Jahren verdreifacht sich ein Kapital von 2.500 C, das zu einem Zinssatz von 7,5% angelegt wurde? Lösung: Es gilt: Kn = K0 · (1 + i)n = K0 · q n . Mit den Werten für K0 = 2.500 und i = 0,075, also q = 1,075, ergibt sich: 3 · K0 = K0 · q n ⇔ 3 = 1,075n ⇔ n =

ln(3) ⇔ n ≈ 15,19 ln(1,075)

D.h. dass sich ein Kapital K0 nach 15,19 Jahren verdreifacht hat. Aufgabe 4-21: Ein Kleinunternehmen möchte seine Druck- und Kopierausstattung im Wert von 3.000 C im ersten Jahr mit 800 C abschreiben. Die Abschreibungsrate soll in jedem weiteren Jahr um 150 C sinken. a)

Um was für eine Abschreibung handelt es sich?

b)

Welcher Restwert ergibt sich nach einem Jahr bzw. nach fünf Jahren?

Lösung: a)

Es handelt sich um eine arithmetisch degressive Abschreibung mit K0 = 3.000, r1 = 800 und d = 150.

40 b)

4 Finanzmathematik Es gilt: Kk = K0 − k2 [2r1 − (k − 1)d] ⇒ K1 = 3.000 − 12 [2 · 800] = 2.200 ⇒ K5 = 3.000 − 52 [2 · 800 − 4 · 150] = 3.000 − 2,5 · 1000 = 500

Also beträgt der Restwert nach einem Jahr 2.200 C und nach fünf Jahren 500 C. Aufgabe 4-22: Eine Bank wirbt mit folgendem Angebot: Der Kunde erhält 5.000 C als Sofortkredit und zahlt dafür 2 Jahre lang jeweils 2.800 C. Die erste Rate ist 1 Jahr nach Erhalt des Kredits zu zahlen. Welcher effektive Jahreszins liegt diesem Angebot zu Grunde? Lösung: Um den effektiven Jahreszins für dieses Bankangebot zu bestimmen, werden nachfolgend drei Lösungswege aufgezeigt: i)

Es gilt, dass „früh gezahlte“ Raten für den Empfänger der Raten besser sind als „spät gezahlte“ Raten. Unter Hinzuziehung der Zinseszinsgleichung lassen sich die Raten also aufzinsen. Ebenso macht es einen Unterschied, ob ein Kredit heute oder in einem Jahr aufgenommen wird, d.h. auch die Kreditwerte können aufgezinst werden:

Kreditwert Ratenwert

Heute 5.000

Nach 1 Jahr 5.000 · q 2.800

Nach 2 Jahren 5.000 · q 2 2.800 · q

Nach Ablauf der 2 Jahre muss also die Summe der aufgezinsten Raten dem aufgezinsten Kreditwert entsprechen und es folgt: 2.800 + 2.800 · q = 5.000 · q 2 Aus dieser quadratischen Gleichung kann der Zinsfaktor q bestimmt werden. Mit der p, q-Formel ergibt sich für den Zinsfaktor q ≈ 1,079. Also liegt dem Angebot ein effektiver Jahreszins von 7,9% zu Grunde. ii)

Der Zins kann aber auch mit dem Barwert einer nachschüssigen Rente (erste Rate wird am Ende des ersten Jahres gezahlt, die Rate des Kunden entspricht der Rente der Bank) berechnet werden: R0 = r · ν ·

1 − νn 1−ν

Mit den Werten für R0 =5.000, n = 2 und r = 2.800 ergibt sich: 5.000 = 2.800 · ν ·

1 − ν2 1−ν

4.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 4

41

1 − ν2 1−ν (1 − ν) · (1 + ν) 5.000 = 2.800 · ν · 1−ν 5.000 = 2.800 · ν · (1 + ν) 1 1 5.000 = 2.800 · · (1 + ) q q 1 5.000 · q = 2.800 · (1 + ) q 2 5.000 · q = 2800 · q + 2.800 5.000 = 2.800 · ν ·

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

Damit erhält man als Lösung dieselbe quadratische Gleichung wie auf dem ersten Lösungsweg. Also ist auch hier q gleich und der effektive Jahreszins liegt bei 7,9%. iii)

Man kann die Aufgabe aber auch mit der Gleichung für Tilgungen lösen. Nach 2 Jahren soll die Schuld S2 getilgt sein und mit der Gleichung S0 · q n = a ·

1 − qn 1−q

und den Werten für S0 = 5.000 als Kreditwert und a = 2.800 für die Rate folgt mit (1 − q 2 )/(1 − q) = 1 + q wieder eine Beziehung, die dieselbe quadratische Gleichung wie beim ersten Lösungsweg ergibt. Also ist auch hier wieder der effektive Jahreszins 7,9%. Aufgabe 4-23: Die Uni möchte einige Seminarräume neu ausstatten. Die Ausstattungskosten sollen jährlich mit 15% vom Restwert abgeschrieben werden. Nach 3 Jahren beträgt der Restwert 42.988,75 C. Wie hoch waren die Anschaffungskosten? Lösung: Die Abschreibung erfolgt hier geometrisch degressiv, d.h. es gilt Kk = K0 (1 − i)k . Mit den Werten für k = 3 und K3 = 42.988,75 lässt sich K0 wie folgt bestimmen: K3 = 42.988,75 = K0 (1 − 0,15)3

⇒

K0 = 70.000

Die Ausstattungskosten der Seminarräume lagen somit bei 70.000 C. Aufgabe 4-24: Ein Kredit in Höhe von 100.000 C soll bei 10% Zinsen p.a. durch folgende Tilgungsraten getilgt werden: nach 3 Jahren 20.000 C, nach 4 Jahren 30.000 C und nach 6 Jahren 50.000 C, also nominell insgesamt 100.000 C. An jedem Jahresende sollen die entstandenen Zinsen voll bezahlt werden.

42

4 Finanzmathematik

a)

Erstellen Sie den Tilgungsplan.

b)

Berechnen Sie die Barwertsumme aller Annuitäten in t = 0, also im Zeitpunkt der Kreditaufnahme.

Lösung: Mit dem Zinssatz von 10% und einer Kreditaufnahme von 100.000 C sieht der Tilgungsplan über 6 Jahre wie folgt aus:

a)

Jahr 1 2 3 4 5 6 b)

Restschuld Jahresbeginn 100.000 100.000 100.000 80.000 50.000 50.000

Zinsen Jahresende 10.000 10.000 10.000 8.000 5.000 5.000

Restschuld + Zinsen 110.000 110.000 110.000 88.000 55.000 55.000

Tilgung 0 0 20.000 30.000 0 50.000

Annuität 10.000 10.000 30.000 38.000 5.000 55.000

Restschuld Jahresende 100.000 100.000 80.000 50.000 50.000 0

Die Barwertsumme der Annuitäten beträgt natürlich 100.000 C, da sie sich durch Diskontierung aller Annuitäten, also jeglicher Zahlungen, ergibt. Diese muss nach dem Äquivalenzprinzip der anfänglichen Kreditsumme entsprechen.

Aufgabe 4-25: Die DOS AG plant eine Anlageinvestition, wobei die folgenden beiden Alternativen möglich sind: i)

Investitionsauszahlung: 80.000 C. In den nächsten fünf Jahren werden folgende Einzahlungsüberschüsse erwartet: 23.000 C, 30.000 C, 39.000 C, 37.000 C und 48.000 C.

ii)

Die Zahlungsreihe lautet hier: −124.400 C (Investitionsauszahlung), 50.000 C, 52.000 C, 30.000 C, 33.000 C und 34.000 C.

Zur Beantwortung der folgenden Aufgaben ist die Erstellung eines Investitionsplans sinnvoll. a)

Der Kalkulationszinssatz betrage 10% p.a. Welche Alternative ist günstiger, wenn als Entscheidungskriterium die Höhe des Kapitalwertes herangezogen wird?

b)

Um wieviel muss bei gleichen Einzahlungsüberschüssen die Investitionsauszahlung der zweiten Alternative sinken, damit beide Alternativen den gleichen Kapitalwert haben?

c)

Wie müsste sich der Einzahlungsüberschuss im dritten Jahr in der ersten Alternative ändern, damit beide Alternativen identische Rentabilität aufweisen?

4.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 4

43

Lösung: Die Gleichung für den Barwert der Erträge lautet:  et e2 e1 e3 eT + 2 + 3 + ...+ T = q q q q qt t=1 T

E0 =

und so lässt sich ein Investitionsplan für beide Alternativen wie folgt erstellen (Zinssatz 10%): Alternative i):

nominell real

Investitionsauszahlung 80.000 80.000

Einzahlungsüberschüsse in den Jahren 1 bis 5 23.000 30.000 39.000 37.000 48.000 20.909,09 24.793,39 29.301,28 25.271,5 29.804,22

Kapitalwert: E0 − A = 130.079,48 − 80.000,00 = 50.079,48 Alternative ii):

nominell real

Investitionsauszahlung 124.400 124.400

Einzahlungsüberschüsse in den Jahren 1 bis 5 50.000 52.000 30.000 33.000 34.000 45.454,55 42.975,21 22.539,44 22.539,44 21.111,32

Kapitalwert: E0 − A = 154.619,96 − 124.400,00 = 30.219,96 a)

Die erste Alternative ist zu bevorzugen, da sich dort ein um 19.859,52 C höherer Kapitalwert ergibt. Hinweis: Der Kapitalwert C0 kann natürlich auch zu jedem anderen Zeitpunkt berechnet werden, z.B. wäre der Kapitalwert nach 3 Jahren 50.079,48 C · 1,13 = 66.655,79 C. Wichtig ist, dass der Kapitalwert positiv ist, damit sich die Investition lohnt. Es ist klar, dass unter der Annahme, dass ein Kapitalwert zu einem bestimmten Zeitpunkt positiv ist, auch alle anderen Kapitalwerte zu anderen Zeitpunkten positiv sind, da nur (dis)kontiert wird.

b)

Die Investitionsauszahlung muss um die eben genannten 19.859,52 C sinken, dann wären beide Kapitalwerte identisch. Dies gilt natürlich nur, wenn die Investitionsauszahlung in dem Zeitpunkt fällig wird, in dem auch der Kapitalwert berechnet wird. Wäre dies nicht der Fall, muss die Auszahlung oder der Kapitalwert entsprechend des zeitlichen Unterschiedes der Berechnung in Jahren (dis)kontiert werden.

44 c)

4 Finanzmathematik Der Einzahlungsüberschuss im dritten Jahr muss geringer ausfallen, denn: Ausführlich: Sei ut der Einzahlungsüberschuss im Jahre t. Gesucht ist also ein u3 , so dass C0 = 30.219,96 C gilt. Umstellen der Formel nach u3 und Einsetzen der bereits diskontierten (realen) Werte ergibt: u3 = (C0 + A −



ut ) · q3 t q t=1;2;4;5

= (30.219,96 + 80.000 − 20.909,09 − 24.793,39 − 25.271,5 −29.804,22) · 1,13 = 12566,98. Kurz: Dreimaliges Kontieren der Differenz zwischen den beiden Kapitalwerten 50.079,48 C und 30.219,96 C ergibt die bereits genannten 19.859,52 C. 19.859,52 ¤ · 1,13 = 26.433,02 ¤ Abziehen von dem wahren u3 = 39.000 C ergibt 12.566,98 C.

5

Funktionen

Funktionen dienen der Beschreibung von Zusammenhängen zwischen mehreren verschiedenen Variablen. Die Lehre von den Funktionen - die Analysis - ist der wohl wichtigste Bereich der Mathematik, der auch für ökonomische Fragestellungen benötigt wird. In der Wirtschaftswissenschaft beschreiben Funktionen Wirkungszusammenhänge zwischen ökonomischen Größen wie z.B. die Abhängigkeit des Absatzes vom Preis und die Abhängigkeit des Endkapitals vom Anfangskapital oder auch der Zusammenhang zwischen Volkseinkommen und Konsumausgaben. Darum ging es in diesem Kapitel. Es wurden der Funktionsbegriff näher erläutert, die Darstellung und Eigenschaften von Funktionen wie beispielsweise ihre Nullstellen thematisiert sowie elementare Funktionen und Funktionen in der Ökonomie vorgestellt.

5.1

Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 5

Nachfolgend werden die Aufgaben aus Kapitel 5 des Lehrbuches „Mathematik in der Betriebswirtschaft“ mit ihren dazugehörigen Lösungswegen im Detail vorgestellt. Aufgabe 5-1: Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen y1 bis y4 : y1 = 4x − 8

y2 = x2 − 4x − 5

y3 = 3 · 2x − 24

y4 = 10x + 3

Lösung: Zur Bestimmung der Nullstellen müssen alle Funktionen y1 bis y4 jeweils gleich Null gesetzt und nach x aufgelöst werden: y1 = 4x − 8 = 0

⇒

4x = 8

y2 = x2 − 4x − 5 = 0

y3 = 3 · 2x − 24 = 0 y4 = 10x + 3 = 0

⇒

⇒

x01,02

Nullstelle x0 = 2  = 2 ± 22 + 5 = 2 ± 3

⇒

Nullstellen x01 = −1 und x02 = 5

⇒

2x =

⇒

24 =8 3

10x = −3

⇒

⇒ Nullstelle x0 = log2 8 = 3 nicht lösbar, keine Nullstelle

46

5 Funktionen

Aufgabe 5-2: Bestimmen Sie die Nullstellen mittels Polynomdivision der nachfolgenden Gleichung, von der die Nullstellen x01 = 1 und x02 = −2 bekannt sind: p4 (x) = x4 − x3 − 7x2 + x + 6 = p2 (x) · (x − 1) · (x + 2) Lösung: In einem ersten Schritt kann das Polynom p4 (x) durch die Differenz von x minus der zweiten Nullstelle x02 dividiert werden. Es folgt also: 

   x4 − x3 − 7x2 + x + 6 : x + 2 = x3 − 3x2 − x + 3 − x4 − 2x3 − 3x3 − 7x2 3x3 + 6x2 − x2 + x x2 + 2x 3x + 6 − 3x − 6 0

Das nun vorliegende Restpolynom p3 (x) kann dann in einem zweiten Schritt durch die Differenz von x minus der ersten Nullstelle x01 dividiert werden. Es folgt dann: 

   x3 − 3x2 − x + 3 : x − 1 = x2 − 2x − 3 − x3 + x2 − 2x2 − x 2x2 − 2x − 3x + 3 3x − 3 0

Damit liegt das Restpolynom p2 (x) als quadratische Gleichung vor. Da das Polynom p2 (x) die Form x2 + px + q besitzt, lassen sich mit dem p = −2 und q = −3 und der p, q-Formel die beiden Nullstellen der quadratischen Gleichung wie folgt berechnen: x03,04

p =− ± 2

 √ p ( )2 − q = 1 ± 1 + 3 = 1 ± 2 2

Damit sind alle vier Nullstellen bestimmt und das Polynom p4 (x) kann geschrieben werden als: p4 (x) = x4 − x3 − 7x2 + x + 6 = (x − 1) · (x + 2) · (x − 3) · (x + 1)

5.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 5

47

Da für das Ausgangspolynom p4 (x) schon zwei Nullstellen vorgegeben wurden, kann alternativ dieses p4 (x) auch gleich durch das Produkt (x − 1)(x + 2) = (x2 + x − 2) dividiert werden. Es folgt: 

   x4 − x3 − 7x2 + x + 6 : x2 + x − 2 = x2 − 2x − 3 − x4 − x3 + 2x2 − 2x3 − 5x2 + x 2x3 + 2x2 − 4x − 3x2 − 3x + 6 3x2 + 3x − 6 0

So erhält man auch auf diesem Wege direkt das obige Restpolynom p2 (x), dessen beiden Nullstellen wieder x03 = 3 und x04 = −1 sind. Aufgabe 5-3: Ermitteln Sie ohne Wertetabelle nur aufgrund des Verhaltens an Nullstellen bzw. Polstellen und mithilfe der Asymptoten in groben Zügen den Verlauf der folgenden gebrochen rationalen Funktionen f (x) und g(x) und skizzieren Sie diese. (x − 1) · (x + 2)2 x2 · (x2 − 16) (x − 4) · (x − 2)2 · (x + 1)3 g(x) = (x − 3)2 · (x − 1)

f (x) =

Lösung: Für die Bestimmung der Nullstellen wie auch der Polstellen der gebrochen rationalen Funktion f (x) wird das Zählerpolynom und das Nennerpolynom hinsichtlich ihrer Nullstellen untersucht. Der Zähler wird an der Stelle x0 = 1 und x0 = −2 Null und dabei wird der Nenner nicht gleichzeitig Null. Da im Zähler der Faktor (x + 2) zum Quadrat vorkommt, liegt somit bei x0 = −2 eine doppelte Nullstelle vor, und eine weitere Nullstelle der Funktion liegt bei x0 = 1. Das Nennerpolynom wird dagegen bei xp = 0, xp = 4 und xp = −4 Null, wobei das Zählerpolynom an diesen Stellen nicht gleich Null wird. Unter der Beachtung, dass x im Nenner als Faktor quadratisch vorkommt folgt, dass an der Stelle xp = 0 eine doppelte Polstelle vorliegt und zwei weitere Polstellen liegen bei xp = 4 und xp = −4. Das Verhalten der Funktion f (x) für sehr große und sehr kleine Werte von x lässt auf die Asymptoten schließen. Wird die unabhängige Variable x sehr groß und geht gegen Unendlich, so nähert sich die Funktion der Asymptote 1/x und die Funktionswerte gehen gegen Null. Gehen die x-Werte dagegen gegen Minus-Unendlich, dann nähert sich f (x) der Funktion −1/x und die Funktionswerte gehen von großen negativen Funktionswerten her gegen Null.

48

5 Funktionen

Zur Skizzierung des Funktionsverlaufes von f (x) muss man noch die Funktionswerte zwischen den Polstellen hinsichtlich ihres Vorzeichens analysieren. Zwischen x = −4 und x = −2 sind die Funktionswerte von f (x) immer positiv, beispielsweise ist f (−1) = −2/ − 15 = 2/15. Zwischen x = 0 und x = 4 tritt dagegen ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte auf. Zwischen x = 0 und x = 1 sind die Funktionswerte f (x) positiv und zwischen x = 1 und x = 4 sind die Funktionswerte negativ. Mit diesen Informationen lässt sich der Funktionsverlauf von f (x) leicht skizzieren: f(x) 4 3 2 1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

-1 -2 -3 3 -4 MatheGrafix.de

g(x) 35 30 25 20 15 10 5

-4

-3

-2

-1

0 -5

1

2

3

4

5

6

x

-10 -15 MatheGrafix.de

Für die Bestimmung der Nullstellen, Polstellen wie für die Diskussion des asymptotischen Verhaltens der Funktion g(x) geht man analog vor. Man erhält für die Funktion g(x) sechs Nullstellen, nämlich die Werte x0 = 4, x0 = 2 (doppelt) und x0 = −1 (dreifach). Des Weiteren hat die Funktion g(x) drei Polstellen. Sie liegen bei xp = 3 (doppelt) und xp = 1. Für sehr große x-Werte gehen die Funktionswerte g(x) gegen Unendlich; und gehen die x-Werte gegen Minus-Unendlich, dann gehen die Funktionswerte g(x) hier gegen Minus-Unendlich. Unter der Hinzuziehung einzelner Funktionswerte und insbesondere deren Vorzeichen lässt sich auch diese Funktion g(x) skizzieren (siehe oben).

5.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 5

49

Aufgabe 5-4: Für ein Produkt gelte die Preis-Absatz-Funktion p(x) = −0,1x + 1.600, die natürlich nur für x und p größer gleich Null sinnvoll interpretierbar ist, sowie die Kostenfunktion K(x) = 800.000 + 600x mit K in GE (Geldeinheiten), x in ME (Mengeneinheiten) und p in GE/ME. Man beschreibe die Umsatzfunktion U (x) sowie die Gewinnfunktion G(x) jeweils als Funktion von x und stelle K, U und G graphisch dar. Lösung: Die Multiplikation der Preis-Absatz-Funktion p(x) = −0,1x + 1 600 mit der Menge x ergibt die Umsatzfunktion U (x). Zieht man von dieser die Kostenfunktion K(x) ab, erhält man die Gewinnfunktion G(x), und in diesem Fall gilt konkret: U (x) = p(x) · x = −0,1x2 + 1.600x G(x) = U (x) − K(x) = −0,1x2 + 1.600x − 800.000 − 600x = −0,1x2 + 1.000x − 800.000 Die graphische Darstellung der Funktionen zeigt den linearen Anstieg der Kostenfunktion K(x) und die jeweils parabelförmigen Verläufe der Umsatzfunktion U (x) und Gewinnfunktion G(x) mit ihren Maxima. (Info: y-Achse mal tausend) U(x), K(x), G(x) 7000

K(x)

6000 5000

U(x)

4000 3000

G(x)

2000 1000

x 0

2000 4000 6000

8000 10000 12000 14000 16000 MatheGrafix.de

50

5 Funktionen

Aufgabe 5-5: Bestimmen Sie die Umkehrfunktion zu: a)

f (x) = 3x − 2

mit D = R

b)

f (x) =

c)

1 f (x) = − (x + 5)2 + 7 3

d)

f (x) = 3 · 2x

3x − 1 x+2

mit D = R\ {−2} mit D = [2, +∞[

mit D = R

Lösung: Betrachten wir die Funktionen f (x) als y , so lauten die Umkehrfunktionen x = f −1 (y). Für die gesuchten Umkehrfunktionen folgt somit: a)

y = 3x − 2

⇒

y + 2 = 3x

b)

y=

3x − 1 x+2

⇒

y(x + 2) = 3x − 1

⇒ c)

d)

3x − yx = 2y + 1

⇒

⇒

x=

2 1 y+ 3 3

⇒

yx + 2y = 3x − 1

x(3 − y) = 2y + 1

⇒

x=

2y + 1 3−y

1 y = − (x + 5)2 + 7 → (x + 5)2 = 3(7 − y) 3   ⇒ x + 5 = 3(7 − y) ⇒ x = −5 + 3(7 − y) ⇒

y = 3 · 2x

2x =

y 3

y x = log2 ( ) 3

⇒

Aufgabe 5-6: Bestimmen Sie die Gleichung einer Kostenfunktion K(x) = ax2 + bx + c die den drei Beobachtungswerten K(0) = 2 und K(6) = 26 sowie K(2) = 6 genügt. Lösung: K(0) = a · 0 + b · 0 + c = 2 K(6) = a · 36 + b · 6 + 2 = 26 ⇒

6a + b = 4

⇒

⇒ ⇒

c=2 36a + 6b = 24

b = 4 − 6a

2

K(x) = a · x + (4 − 6a) · x + 2 = ax2 + 4x − 6ax + 2 mit K(2) = 4a + 8 − 12a + 2 = 6 1 ⇒ 8a = 4 ⇒ a = 2 1 damit folgt für b = 4 − 6 · = 1 2

⇒

10 − 8a = 6

⇒

K(x) =

1 2 x +x+2 2

5.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 5

51

Aufgabe 5-7: Eine Wachstumsfunktion sei als Exponentialfunktion W (x) = a+bcx darstellbar. Berechnen Sie die Koeffizienten a, b, c aus R aufgrund der empirischen Wertepaare x W(x)

1 1

2 13

3 49

Lösung: Setzt man die Werte aus obiger Tabelle sukzessive in die Gleichung W (x) = a + bcx ein, resultieren die folgenden drei Gleichungen a + bc = 1 [1], a + bc2 = 13 [2] und a + bc3 = 49 [3]. Daraus folgt: aus [1]

⇒ bc = 1 − a

in [2]

⇒ a + (1 − a) · c = 13 ⇒ c =

in [3]

⇒ a + (1 − a)

(13 − a)2 = 49 (1 − a)2

13 − a 1−a

und daraus folgt (1 − a) · a + (13 − a)2 = 49 − 49a und somit ist a − a2 + 169 − 26a + a2 = 49 − 49a ⇒

13 + 5 =3 c= 1+5

24a = −120 ⇒ a = −5 1 1 ⇒ b = (1 − a) = (1 + 5) = 2 c 3

Also lautet die gesuchte Exponentialfunktion konkret

W (x) = −5 + 2 · 3x .

Aufgabe 5-8: Berechnen Sie durch Raten einer Nullstelle und anschließende Polynomdivision alle Nullstellen des Polynoms 4-ten Grades p4 (x) = x4 − 3x3 − 4x2 + 12x. Lösung: Das Polynom p4 (x) hat auf den ersten Blick eine Nullstelle bei x01 = 0. Durch Division von x erhält man ein Polynom 3-ten Grades, nämlich p3 (x) = x3 − 3x2 − 4x + 12. Auf den zweiten Blick erkennt man, dass dieses Polynom eine Nullstelle bei x02 = 2 besitzt. Durch Division von p3 (x) durch (x − 2) erhält man: 

   x3 − 3x2 − 4x + 12 : x − 2 = x2 − x − 6 − x3 + 2x2 − x2 − 4x x2 − 2x − 6x + 12 6x − 12 0

52

5 Funktionen

und damit bestimmen sich die restlichen Nullstellen unter Hinzuziehung der p, q-Formel zu x03 = 3 und x04 = −2. So lässt sich das Polynom p4 (x) = x4 − 3x3 − 4x2 + 12x auch schreiben als: p4 (x) = x · (x − 2) · (x − 3) · (x + 2). Aufgabe 5-9: Welche der drei Zahlen −2, 2, 10 sind Nullstellen der nachfolgenden Polynome p3 (x), q3 (x) und p4 (x)? p3 (x) = q3 (x) =

x3 − 2x2 − 2x + 3

4

2

4x + 2x + 5x − 4250

p4 (x) = x4 − 6x3 + 2x2 − 3x −

78

Lösung: p3 (−2) = (−2)3 − 2(−2)2 − 2(−2) + 4 = −8 − 8 + 4 + 4 = −8 ⇒ −2 ist keine Nullstelle p3 (2) = 23 − 2 · 22 − 2 · 2 + 4 = 8 − 8 − 4 + 4 = 0 ⇒ 2 ist eine Nullstelle p3 (10) = 103 − 2 · 102 − 2 · 10 + 4 = 1000 − 200 − 20 + 4 = 784 ⇒ 10 ist keine Nullstelle q3 (−2) = 4 · (−2)3 + 2 · (−2)2 + 5 · (−2) − 4250 = −32 + 8 − 10 − 4250 = −4284 ⇒ −2 ist keine Nullstelle q3 (2) = 4 · 23 + 2 · 22 + 5 · 2 − 4250 = 32 + 8 + 10 − 4250 = −4200 ⇒ 2 ist keine Nullstelle q3 (10) = 4 · 103 + 2 · 102 + 5 · 10 − 4250 = 4000 + 200 + 50 − 4250 = 0 ⇒ 10 ist eine Nullstelle p4 (−2) = (−2)4 − 6 · (−2)3 + 2 · (−2)2 − 3(−2) − 78 = 16 + 48 + 8 + 6 − 78 = 0 ⇒ −2 ist eine Nullstelle p4 (2) = 24 − 6 · 23 + 2 · 22 − 3 · 2 − 78 = 16 − 48 + 8 − 6 − 78 = −108 ⇒ 2 ist keine Nullstelle p4 (10) = 104 − 6 · 103 + 2 · 102 − 3 · 10 − 78 = 100000 − 6000 + 200 − 30 − 78 = 94092 ⇒ 10 ist keine Nullstelle Aufgabe 5-10: Ein freier Handelsvertreter der Firma A und ein angestellter Reisender der Firma B erzielen im gleichen Verkaufsgebiet die gleichen Umsätze. Für den Handelsvertreter entstehen der Firma A Fixkosten in Höhe von 100 C pro Monat. Der Vertreter bekommt eine Umsatzprovision von 4%. Die Firma B hat für ihren angestellten Reisenden Fixkosten von 2.000 C pro Monat und zahlt ihm zusätzlich eine Umsatzprovision von 2%. Der Verkaufspreis der Produkte liegt bei 10 C.

5.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 5 a)

b) c)

53

Welche Firma hat die kostengünstigste Absatzmittlerentscheidung getroffen, unter der Annahme, dass im ersten Fall 10.000 Stück und im zweiten Fall 1.000 Stück verkauft werden? Wie groß ist der kritische Umsatz, bei dem beide Firmen die gleichen Kosten für ihre Absatzmittler haben? Skizzieren Sie graphisch die Kosten des Handelsvertreters und des Reisenden als Funktion des Umsatzes?

Lösung: a)

Die Gesamtkosten berechnen sich aus der Summe von Fixkosten und variablen Kosten. Umsatz U ist gleich Menge mal Preis. Es gilt für die beiden Varianten somit: Variante A: Gesamtkosten = 100 + 0,04 · U Variante B: Gesamtkosten = 2.000 + 0,02 · U Bei 10.000 verkauften Produkten zu einem Preis von 10 C liegen die Gesamtkosten bei den beiden Varianten A und B bei: KA (10.000 · 10) = 100 + 0,04 · 100.000 = 4.100 KB (10.000 · 10) = 2.000 + 0,02 · 100.000 = 4.000 d.h. in diesem Fall hat die Firma B weniger Gesamtkosten als Firma A. Bei 1.000 verkauften Produkten zu einem Preis von 10 C hat die Firma A weniger Gesamtkosten als Firma B, denn es gilt: KA (10.000) = 500

b)

KB (10.000) = 2.200

Die beiden Firmen haben gleiche Gesamtkosten, wenn KA (x) = KB (x) ⇔ 100 + 0,04 · U = 2.000 + 0,02 · U ⇔ 0,02U = 1.900 ⇔ U = 95.000 Der kritische Umsatz wird also bei einer Stückzahl von xkrit =9.500 erzielt und beträgt 95.000 C bei xkrit schneiden sich somit die beiden Kostenfunktionen und beide Firmen liegen bei Gesamtkosten von 3.900 C.

c)

In nachfolgendem Diagramm sind die Gesamtkostenfunktionen für die Firma A mit ihrem Handelsvertreter respektive für die Firma B mit ihrem angestellten Reisenden abgebildet.

54

5 Funktionen KA, KB 6000

KA

5000

KB

4000 3000 2000 1000

x 0

2000 4000 6000

8000 10000 12000 14000 16000 MatheGrafix.de Firma B günstiger

Firma A günstiger

Aufgabe 5-11: Für die Herstellung seines Produktes hat ein Unternehmen eine Kostenfunktion mit progressiver Steigung ermittelt: K(x) = 0,25x2 + 20x + 3.255. Die Preis-Absatzfunktion lautet: p(x) = 590 − 14,75x. a) Bestimmen Sie die Umsatz- und Gewinnfunktion, und zeichnen Sie die beiden Funktionen gemeinsam mit der Kostenfunktion in ein Koordinatensystem. b) Bei welcher Stückzahl wird die Gewinnschwelle erreicht, und welcher Preis muss dafür verlangt werden? c) Bei welcher Absatzmenge wird ein maximaler Gewinn erzielt, und wie hoch ist er? Lösung: a)

Mit der gegebenen Kosten- und Preis-Absatzfunktion kann die Umsatz- und Gewinnfunktion wie folgt bestimmt werden: U (x) = p(x) · x = 590x − 14,75x2 G(x) = U (x) − K(x) = 590x − 14,75x2 − (0,25x2 + 20x + 3255) = 570x − 15x2 − 3255 Um die drei Funktionen in ein Koordinatensystem zu zeichnen, werden einige Werte der ökonomischen Funktionen ausgerechnet, um sich vorab über den Verlauf einen Überblick zu verschaffen. Es zeigt sich zudem, dass die Nullstellen der Umsatzfunktion den relevanten Bereich (also für x ≥ 0) begrenzen. x U K G

0 0 3255 -3255

10 4425 3480 945

20 5900 3755 2145

30 4425 4080 345

40 0 4455 -4455

5.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 5

55

U(x), K(x), G(x) 6000

K(x)

5000 4000

U(x)

G(x)

3000 2000 1000

x 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45 MatheGrafix.de

b)

Die Gewinnschwelle wird erreicht, wenn G(x) = 0: 0 = G(x) = 570x − 15x2 − 3255 = x2 − 38x + 217 ⇒x = 7

oder

x = 31

D.h. die Gewinnschwelle wird bei dem kleineren x-Wert, also 7 Einheiten, erreicht; der dazugehörige Preis ist p(7) = 486,75 C. c)

Die Gewinnfunktion ist eine nach unten geöffnete Parabel. Wegen der Symmetrie liegt das Maximum genau in der Mitte zwischen den Nullstellen der Gewinnfunktion, also bei einer Absatzmenge von 19 Stück. Der dazugehörige Gewinn liegt bei G(19) = 2.160 C.

5.2

Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 5

Zum Thema Funktionen werden im Folgenden noch weitere Aufgaben und die dazugehörigen Lösungswege aufgezeigt, um den Lesern die Möglichkeit zu geben, durch weiteres Üben das Gelernte zu verfestigen. Aufgabe 5-12: Berechnen Sie die Nullstellen der vier Funktionen f1 (x) bis f4 (x): f1 (x) = 2x2 + 2x − 40

f2 (x) = 5x + 1

f3 (x) = ln(5x − 1)

f4 (x) = −1,5x2 − 3x − 4,5

Lösung: f1 (x) hat die beiden Nullstellen x01 = −5 und x02 = 4 Anwendung der p, q-Formel f2 (x) hat keine Nullstellen, da log5 (−1) nicht existiert 2 f3 (x) hat eine Nullstellen bei x = ln ln 5 = 0,43... √ f4 (x) hat keine reellen Nullstellen, da x01,02 = −1 ± −4 nicht lösbar

56

5 Funktionen

Aufgabe 5-13: Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Monotonie, Beschränktheit, Achsen- und Punktsymmetrie: a)

f (x) = sin(2x )

b)

f (x) = 2x4 − 2x2 + 2x

c)

f (x) =

d)

f (x) = ln(2x2 )

2ex 1+ex

−1

Lösung: Bei dieser Aufgabe genügt es zu erkennen, welche der aufgezählten Eigenschaften eine Funktion hat und welche Eigenschaft sie nicht hat. a)

f (x) = sin(2x ): f (5) = sin(25 ) = 0,5 f (6) = sin(26 ) = 0,9 f (7) = sin(27 ) = 0,8 Es liegt also keine Monotonie vor. Da die Sinusfunktion (sin(x)) durch c = 1 beschränkt ist, ist also auch f (x) beschränkt (es gilt |f (x)| ≤ c für alle Funktionswerte). Symmetrie liegt bei dieser Funktion keine vor, denn f (−x) = sin(2−x ) 1 = sin( x ) 2

b)

f (x) = 2x4 − 2x2 + 2x: f (−2) = 2 · (−2)4 − 2 · (−2)2 + 2 · (−2) = 32 − 8 − 4 = 20 f (0) = 2 · 04 − 2 · 02 + 2 · 0 = 0 f (2) = 2 · 24 − 2 · 22 + 2 · 2 = 32 − 8 + 4 = 28 Es liegt also hier keine Monotonie vor. f ist nach unten beschränkt, eine untere Grenze ist zum Beispiel c = −12. Um dies zu zeigen, muss eine Fallunterscheidung gemacht werden:

5.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 5 •

57

x > 2: f (x) = 2x4 − 2x2 + 2x = 2x2 (x2 − 1) + 2x ≥ 0 ≥ −12

•

|x| ≤ 2: f (x) = 2x4 − 2x2 + 2x = 2x2 (x2 − 1) + 2x ≥ 2x2 (0 − 1) + 2x ≥ −2 · 4 + 2 · (−2) = −12

•

x < −2: f (x) = 2x4 − 2x2 + 2x = 2x2 (x2 − 1) + 2x ≥ 2x2 (4 − 1) + 2x = 6x2 + 2x ≥ 6 · (−2) · x + 2x = −10x ≥ 20 ≥ −12

f (x) = 2x4 − 2x2 + 2x ist nicht symmetrisch, denn f (−x) = 2x4 − 2x2 − 2x. c)

f (x) =

2ex 1+ex

− 1:

2ex −1 1 + ex x 2e = x −x −1 e · e + ex 2 −1 = −x e +1

f (x) =

Die Funktion ex ist eine streng monoton wachsende Funktion, also ist e−x und somit auch der Term e−x + 1 streng monoton fallend und dadurch ist e−x2+1 und auch f eine

58

5 Funktionen streng monoton steigende Funktion. Außerdem ist f beschränkt durch c = 1, denn es gelten mit ex ≥ 0 folgende Abschätzungen: 2ex 2ex − 1 ≤ −1 1 + ex ex = 2−1=1 2ex 2·0 −1 ≥ −1 1 + ex 1 + ex = 0 − 1 = −1 Es wurde schon gezeigt, dass f (x) = f (−x) = = = = = =

2 e−x +1

− 1, damit gilt:

2 −1 +1 2 −2+1 x e +1 2 2ex + 2 − x +1 x e +1 e +1 2 − 2ex − 2 +1 ex + 1 x 2e − +1 1 + ex −f (x) ex

Also ist die Funktion f hier punktsymmetrisch. d)

f (x) = ln(2x2 ): f (−2) = ln(2 · (−2)2 ) = ln(8) = 2,1 f (−1) = ln(2 · (−1)2 ) = ln(2) = 0,7 f (2) = ln(2 · 22 ) = ln(8) = 2,1 Es liegt also wieder keine Monotonie vor. Die Funktion ln(x) ist für positive x nicht beschränkt und da 2x2 positiv ist (die Definitionslücke bei x = 0 spielt für die Beschränkt-

5.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 5

59

heit keine Rolle), ist auch f (x) nicht beschränkt. Außerdem ist f (x) achsensymmetrisch, denn f (−x) = ln(2 · (−x)2 ) = ln(2x2 ) = f (x)

Aufgabe 5-14: Bestimmen Sie durch Ausprobieren eine Nullstelle und durch anschließende Polynomdivision alle Nullstellen des Polynoms 3. Grades p3 (x) = x3 − 3x − 2. Lösung: Schaut man sich das Polynom dritter Ordnung genauer an, so erkennt man, dass −1 eine Nullstelle sein muss, denn (−1)3 − 3 · (−1) − 2 = −1 + 3 − 2 ist gleich Null. Also kann man, um die weiteren Nullstellen zu bestimmen, das Polynom p3 (x) durch (x + 1) wie folgt dividieren:     x3 − 3x − 2 : x + 1 = x2 − x − 2 − x3 − x2 − x2 − 3x x2 + x − 2x − 2 2x + 2 0 Die Nullstellen dieser nun erhaltenen quadratischen Gleichung lassen sich mit der p, q-Formel bestimmen, aber es kann auch weiter die Polynomendivision herangezogen werden. Man erkennt, dass hier eine Nullstelle bei 2 liegt − denn 22 − 2 − 2 = 0 − und so ist die quadratische Gleichung durch (x − 2) zu dividieren und man erhält eine weitere Nullstelle:     x2 − x − 2 : x − 2 = x + 1 − x2 + 2x x−2 −x+2 0 Also lauten die drei Nullstellen −1 (doppelt) und 2, und so kann das Polynom auch geschrieben werden als p3 (x) = x3 − 3x − 2 = (x + 1)(x + 1)(x − 2) = (x + 1)2 (x − 2)

60

5 Funktionen 

   x3 − 3x − 2 : x − 2 = x2 + 2x + 1 − x3 + 2x2 2x2 − 3x − 2x2 + 4x x−2 −x+2 0

Und zum Üben noch einmal: 

   x2 + 2x + 1 : x + 1 = x + 1 − x2 − x x+1 −x−1 0

Aufgabe 5-15: Ein Unternehmen stellt medizintechnische Verbrauchsmaterialien her, wobei deren Produktion einem linearen Kostenverlauf unterliegt. Für die Produktion von 5 Einheiten der Verbrauchsmaterialien entstehen Kosten in Höhe von 6 C, während 25 Einheiten in der Produktion 25 C kosten. Wie lautet die Kostenfunktion? Lösung: Da ein linearer Kostenverlauf vorliegt, müssen die beiden Punkte P1 = (5,6) und P2 = (25,25) auf der Geraden K(x) = m · x + b mit den Konstanten m und b wie der Produktionsmenge x liegen. Es sind also folgende Zusammenhänge zu erfüllen: K(5) = m · 5 + b = 6

und K(25) = m · 25 + b = 25

Aus dem ersten Zusammenhang folgt, dass b = 6 − m · 5 ist. Setzt man dieses b in den zweiten Zusammenhang ein folgt, dass m · 25 + 6 − m · 5 = m · 20 + 6 = 25 ist. Damit ist also die 5 Steigung der Geraden m = 19 20 und b = 4 . Damit lautet die gesuchte Kostenfunktion: K(x) =

19 5 ·x+ 20 4

6

Differentialrechnung

In diesem Kapitel stand die Differentialrechnung im Mittelpunkt des Interesses. Es wurde gezeigt, wie die Differentialrechnung in der Wirtschaftswissenschaft zur Analyse ökonomischer Zusammenhänge und Funktionen angewendet werden kann. Mithilfe der Differentialrechnung werden charakteristische Eigenschaften der Funktionen wie Steigung, Maxima, Minima oder Wendepunkte bestimmt. Des Weiteren wird die Differentialrechnung zur Beschreibung von Veränderungen herangezogen z.B. zur Erklärung der Grenzänderungsrate bzw. von Elastizitäten.

6.1

Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 6

Nachfolgend werden die Aufgaben aus Kapitel 6 des Lehrbuches „Mathematik in der Betriebswirtschaft“ mit ihren dazugehörigen Lösungswegen im Detail vorgestellt. Aufgabe 6-1: Bestimmen Sie zu den nachfolgenden Funktionen f (x), g(x) und h(x) die Differentialquotienten f  (x), g  (x) und h (x) sowie die Ableitungen in den angegebenen Punkten x1 , x2 und x3 :  a) f (x) = x2 + 5x in x1 = 4 b)

x−3 g(x) = √ 3 x+3

in x2 = 5

c)

2x + 3 h(x) = √ 4x2 + 9

in

x3 = 2

Lösung: a)

Der Differentialquotient der Funktion f (x) wird mit der Kettenregel bestimmt. Mit der inneren Funktion z = x2 + 5x und seiner Ableitung z  = 2x + 5 folgt für f (z), dass nun 1 ist. Damit bestimmt sich der gesuchte Differentialquotient f  (x) zu: f  (z) = 2√ z 1 · (2x + 5) f  (x) = √ 2 2 x + 5x und die Ableitung an der Stelle x1 = 4 lautet: 13 2·4+5 f  (4) = √ = 12 2 42 + 5 · 4

62

6 Differentialrechnung

b)

Der Differentialquotient der Funktion g(x) lässt sich unter Anwendung der Quotientenregel bestimmen. Die √ Funktion (x − 3) im Zähler lässt sich differenzieren und ist genau 1. Auch die Funktion 3 x + 3 im Nenner kann differenziert werden und deren Ableitung 1 lautet − 3 √ 4 . Mit diesen Nebenrechnungen lässt sich nun der Differentialquotient 3 x+3  g (x) und die Ableitung an der Stelle x2 = 5 wie folgt bestimmen: √ 3 3 x+3 1 1 3−x − √ g (x) = 1 · √ 3 4 · (x − 3) = √ 4 + √ 4 = 3 3 3 x+3 3 x+3 x+3 3 x+3 x+3 3−x 3(x + 3) + 3 − x = √ = √ 4 + √ 4 = 4 3 3 x+3 3 x+3 33x+3 11 2 · 5 + 12 22 2x + 12 = und g  (5) = = = √ √ 4 4 3 3 3 · 16 24 3 x+3 3 8 

c)

Die Produktregel hilft bei der Bestimmung des Differentialquotienten der Funktion h(x) (natürlich wäre das Lösen auch mithilfe der Quotientenregel möglich). Der erste Faktor (2x + 3) der Funktion h(x) ist auch eine differenzierbare Funktion und dessen Ableitung √ −1 lautet exakt 2. Der Nenner der Funktion h(x) kann auch als zweiter Faktor 4x2 + 9 angesehen werden. Auch dieser Faktor ist eine differenzierbare Funktion, und es folgt für seine Ableitung − √ 8x2 3 . Mit diesen Nebenrechnungen lässt sich nun der Diffe2 4x +9 rentialquotient h (x) und die Ableitung an der Stelle x3 = 2 wie folgt bestimmen: 8x 1 − √ · (2x + 3) = h (x) = 2 · √ 2 4x + 9 2 4x2 + 93 √ 2 2 4x2 + 9 8x2 + 12x = √ 3 − √ 3 = 4x2 + 9 4x2 + 9 8x2 + 18 − 8x2 − 12x −12x + 18 = = √ √ 3 3 4x2 + 9 4x2 + 9

und somit ist

−12 · 2 + 18 6 h (2) = √ 3 = − 125 4 · 22 + 9

Aufgabe 6-2: Bilden Sie die ersten Ableitungen der folgenden vier Funktionen: f (x) = log10 (3x + 1)

g(x) = 7 · 3x + 5 · (ln x)3

h(x) = ln x2x 2

k(x) = 2 · ex+x − log2

1 x6

6.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 6

63

Lösung: Unter Hinzuziehung von bekannten Ableitungen elementarer Funktionen lassen sich die gesuchten ersten Ableitungen von f (x), g(x), h(x) und k(x) bestimmen. Dabei sind insbesondere die Ableitungen der Logarithmusfunktion (y = loga x) und der Potenzfunktion (y = ax ), die 1  x y  = x·ln a respektive y = a · ln a lauten, zu berücksichtigen. Man erhält für die gesuchten vier Ableitungen also: 3 (3x + 1) · ln 10 15(ln x)2 g  (x) = 7 · ln 3 · 3x + x h (x) = 2 · ln x + 2

f  (x) =

2

k  (x) = 2 · ex+x · (1 + 2x) +

6 x · ln 2

Aufgabe 6-3: Bilden Sie die ersten Ableitungen nachfolgender fünf Funktionen: √ 3 f (x) = x2 g(x) = sin x · cos x √ 1 h(x) = x · ( x3 + x−1 ) 3 1 k(x) = − ln x e 2 l(x) = 2x2 · ln(x2 ) + ex · sin x Lösung: Auch hier werden die Ableitungsregeln geschickt mit der Kenntnis von Ableitungen elemenatarer Funktionen verknüpft, um die ersten Ableitungen von f (x), g(x), h(x), k(x) und l(x) zu bestimmen. Man erhält: f  (x) =

2 23 −1 2 − 13 2 x = x = √ 3 3 33x

g  (x) = cos x · cos x − sin x · sin x = cos2 x − sin2 x 1 7 5 1 3 1 7 h (x) = x 2 − x− 2 (da h(x) = x 2 + x− 2 ) 6 2 3 1  (da k(x) = − ln x = eln x = x) k (x) = 1 e Für die Ableitung l (x) müssen erst einige Nebenrechnungen durchgeführt werden. Erst werden 2 die zusammengesetzten Funktionen y1 = ln(x2 ) und y2 = ex nach x unter Hinzuziehung der Substitutionsregel abgeleitet und man erhält: y1 =

2 x

und y2 = 2xex

2

64

6 Differentialrechnung

Sodann kann man die einzelnen Summanden der Funktion l(x) mithilfe der Produktregel ableiten und man erhält für den ersten l1 (x) und zweiten Summanden l2 (x) die folgenden Ableitungen: l1 =

d 2 (2x2 · ln(x2 )) = 4x · ln(x2 ) + 2x2 · = 4x · ln(x2 ) + 4x = dx x

= 4x(ln(x2 ) + 1) l2 =

2 2 2 d x2 (e ) · sin x = 2xex sin x + cos xex = (2x sin x + cos x)ex dx

und mit diesen Nebenrechnungen ergibt sich die Lösung für die Ableitung von l(x) wie folgt: l (x) = 4x · (ln(x2 ) + 1) + (cos x + 2x sin x) · ex

2

Aufgabe 6-4: Bestimmen Sie die Elastizität  folgender zwei Funktionen f (x) und g(x): 3

f (x) = e−(x −3x+5) x2 g(x) = 2 x −9 Lösung: Zur Bestimmung der Elastizität  von Funktionen, wie beispielsweise y(x), multipliziert man dy mit der unabhängigen Variablen x und dividert dieses die Ableitung der Funktion y  (x) = dx Produkt durch die Funktion y(x). Zur Bestimmung der Elastizitäten f und g der gesuchten Funktionen f (x) und g(x) sind also als erstes deren Ableitungen zu bestimmen und es folgt unter Anwendung der Kettenregel und respektive der Quotientenregel: f  (x) = (−3x2 + 3) · e−(x g  (x) =

3

−3x+5)

2x(x2 − 9) − 2x · x2 (x2 − 9)2

Damit lauten die gesuchten Elastizitäten f und g wie folgt: f = (−3x2 + 3) · e−(x

g =

3

−3x+5)

·

x e−(x3 −3x+5)

= −3(x3 − x)

−18 2x(x2 − 9) − 2x · x2 x · (x2 − 9) 2(x2 − 9) − 2x2 = 2 · = (x2 − 9)2 x2 x2 − 9 x −9

6.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 6

65

Aufgabe 6-5: Bestimmen Sie die Elastizität der Absatz-Preis-Funktion x(p) = 2p2 − 100p + 1200 an der Stelle p0 = 10 und interpretieren Sie das Ergebnis. Lösung: In diesem Fall ist x die abhängige Variable (Menge) und p die unabhängige Variable(Preis), und so muss die Funktion x(p) nach p abgeleitet werden: dx(p) = 4p − 100 dp Damit lässt sich nun die Elastizität der gegebenen Absatz-Preis-Funktion wie folgt bestimmen: =

2p2 − 50p (4p − 100) · p = 2 − 100p + 1200 p − 50p + 600

2p2

und für den Punkt p0 = 10 folgt: (p0 =10) =

300 3 2 · 100 − 50 · 10 =− =− 100 − 500 + 600 200 2

dass die Punktelastizität bei p0 = 10 negativ und betragsmäßig größer 1 ist und damit an dieser Stelle ein elastisches Verhalten zeigt. D.h. bei einer 1%-igen Erhöhung der unabhängigen Variablen p (Preis) geht der Absatz x um 1,5% zurück. Aufgabe 6-6: Ein Kaffeeproduzent habe pro Tag Kosten in Höhe von K(x) =

1 3 7 2 3 x − x + x + 10 12 8 2

[ 1.000 C]

wenn x Tonnen Kaffee pro Tag hergestellt werden. Wie groß ist der maximal erzielbare Tagesgewinn, wenn vollständige Konkurrenz herrscht und der Marktpreis 6.000 C je Tonne beträgt. Lösung: Zur Bestimmung des maximal erzielbaren Tagesgewinns des Kaffeeproduzenten muss das Maximum der Gewinnfunktion G(x) berechnet werden. Für die Gewinnfunktion benötigt man neben der gegebenen Kostenfunktion K(x) noch die Umsatzfunktion U (x). Da der Umsatz sich aus dem Produkt von Preis p in C und Menge x in Tonnen berechnet und in diesem Fall für ein „Rechnen mit kleinen Zahlen“ die Preise jeweils durch 1.000 C geteilt werden sollen folgt für die Umsatzfunktion U (x) = 6 · x. Damit lässt sich die Gewinnfunktion wie folgt formulieren: G(x) = U (x) − K(x) = 6 · x −

1 3 7 2 3 x + x − x − 10 12 8 2

66

6 Differentialrechnung

Die erste Ableitung dieser Gewinnfunktion ergibt G (x) und lautet: 1 7 7 3 1 9 G (x) = 6 − x2 + x − = − x2 + x + 4 4 2 4 4 2 Die Extremwerte der Gewinnfunktion G(x) erhält man nun durch die Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung G (x). Ist an einer ermittelten Nullstelle die zweite Ableitung der Gewinnfunktion G (x) kleiner Null, dann handelt es sich hier um ein Maximum der Gewinnfunktion. So lässt sich aus dieser ermittelten Nullstelle x der maximale Tagesgewinn wie folgt berechnen: 1 7 9 G (x) = 0 = − x2 + x + 4 4 2 ⇒ die quadratische Gleichung ⇒ mit der p, q-Formel

− 18 = 0 x2 − 7x

x01,02 = + 27 ±

49 4

+ 18 = 3,5 ± 5,5

Also eine Nullstelle liegt bei x01 = 9 und eine weitere bei x02 = −2. Da x aber die Menge an hergestelltem Kaffee sein soll, muss x größer sein als Null und damit ist ein Maximum der Gewinnfunktion bei x = 9 zu erwarten. Die zweite Ableitung G (x) = − 12 x + 7 ist somit bei x = 9 mit − 11 4 negativ. Daher hat G(x) an der Stelle x = 9 ein Maximum und sein Wert liegt bei: G(9) = 6 · 9 −

729 567 27 20 + − − = 40,625 12 8 2 2

Der erzielbare Tagesgewinn (mal 1.000 C) ist daher genau 40.625,– C Aufgabe 6-7: Berechnen Sie für die s-förmige Kostenfunktion K(x) = 0,02x3 − 2,5x2 + 50x + 250 die Grenzkostenfunktion sowie die Elastizitätsfunktion. Wie groß sind die Grenzkosten für die Produktion von x = 10 Mengeneinheiten bzw. 5 und 1 Mengeneinheit? Bestimmen Sie die Punktelastizität und interpretieren Sie das Ergebnis. Lösung: Die Grenzkostenfunktion bestimmt sich durch GK (x) = oben angegebene Kostenfunktion konkret:

dK(x) dx

= K  (x) und lautet für die

K  (x) = 0,06x2 − 5x + 50 Also betragen die Grenzkosten für die Produktion von x = 10 Mengeneinheiten (ME) genau K  (10) = 6 Geldeinheiten (GE). D.h. wenn die Produktion von x = 10 ME um eine ME erhöht oder verringert wird, dass dadurch um 6 GE erhöhte oder verringerte Kosten entstehen. Bei x = 5 ME bzw. x = 1 ME liegen die Grenzkosten nun bei K  (5) = 26,5 GE respektive K  (1) = 45,06 GE.

6.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 6 Zur Bestimmung der Punktelastizität an der Stelle x = 10 wird die Gleichung K(x) = x K(x) herangezogen und es folgt: K(x) =

67 dK(x) dx

·

(0,06x2 − 5x + 50) · x 0,02x3 − 2,5x2 + 50x + 250

K(x=10) =

60 60 − 500 + 500 = = 0,115 20 − 250 + 500 + 250 250

D.h. eine Änderung bei x = 10 um 1% (Produktionserhöhung) hat hier eine Änderung der Kosten bei K(10) um 0,115% zur Folge, was einem inelastischem Verhalten entspricht. Aufgabe 6-8: Ein Hersteller von DVD-Playern produziert x Geräte je Woche mit Gesamtkosten in Höhe von 2 2 x + 26x + 1.000 5

[C]

Er ist Monopolist und die Nachfrage seines Marktes ist x = 75 −

3 p, 10

wenn der Preis je Gerät p C beträgt. Zeigen Sie, dass der maximale Gewinn erzielt wird, wenn 30 DVD-Player je Woche hergestellt werden. Wie hoch ist dann der Preis des DVD-Players? Lösung: Der Gewinn berechnet sich aus der Differenz von Umsatz und Kosten. Die Kosten sind als Funktion der Menge x gegeben, so dass auch der Umsatz eine Funktion der Menge sein muss und dann gilt G(x) = U (x) − K(x). Da der Umsatz das Produkt aus Preis mal Menge x ist, muss der Preis auch als Funktion der Menge x ausgedrückt werden. Aus der vorgegebenen Absatz-Preis-Funktion x(p) erhält man durch die Umkehrfunktion die Preis-Absatz-Funktion 3 p folgt also p(x) = 10 p(x). Aus x(p) = 75 − 10 3 (75 − x) mit der sich dann die Gewinnfunktion G(x) wie folgt bestimmt: G(x) = x · p(x) − K(x) = x ·

= 250x −

also

2 10 (75 − x) − x2 − 26x − 1.000 3 5

10 2 2 2 x − x − 26x − 1.000 3 5

G(x) = −

56 2 x + 224x − 1.000 15

68

6 Differentialrechnung

Der maximale Gewinn wird durch die Nullstelle der ersten Ableitung der Gewinnfunktion G (x) wie folgt ermittelt: G (x) = −

112 x + 224 = 0 15

⇒

x0 =

15 · 224 = 30 112

Damit liegt bei einer Herstellung von 30 DVD-Playern der gesuchte Preis bei: p(30) =

10 (75 − 30) = 150 C 3

Aufgabe 6-9: Bestimmen Sie die Elastizität der Funktion f (x) = e2(x−2)

2

Interpretieren Sie die Elastizität der Funktion f an der Stelle x=3. Lösung: Die Elastizität berechnet sich mit f =

df (x) dx

·

x f (x)

2

wie folgt:

f  (x) = 2 · 2(x − 2)e2(x−2) = 4(x − 2)e2(x−2)

2

2

f =

4(x − 2)e2(x−2) · x = 4x(x − 2) e2(x−2)2

f (x=3) = 4 · 3 · (3 − 2) = 12

⇒

elastisch

D.h. wenn x an der Stelle x = 3 um 1% erhöht wird, so erhöht sich die abhängige Variable f (x) um 12%. Aufgabe 6-10: Ein Unternehmen ist alleiniger Produzent eines in Deutschland besonders nachgefragten Produktes. Bei der Herstellung des Produktes unterliegt das Unternehmen folgender Kostenfunktion: K(x) = 0.1x2 + 8000 und folgender Preis-Absatz-Funktion p(x) = −0.1x + 100 Wie viele Einheiten des Produktes soll das Unternehmen herstellen, um seinen Gewinn zu maximieren und wie hoch ist dieser?

6.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 6

69

Lösung: Der Gewinn G(x) ist Umsatz U (x) minus Kosten K(x), wobei der Umsatz sich aus dem Produkt von Preis p(x) und Menge x berechnet. So folgt: U (x) = p(x) · x = −0.1x2 + 100x G(x) = −0.1x2 + 100x − 0,1x2 − 8000 = −0,2x2 + 100x − 8000 G (x) = −0,4x + 100 = 0 → x = 250 G (x = 250) = −0,4 also kleiner Null

→ x = 250 ist Maximum

G(x = 250) = −0,2 · 2502 + 100 · 250 − 8000 = 4500 und damit ist der gesuchte Gewinn G(250) = 4500.

6.2

Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 6

Zum Thema Differentialrechnung werden im Folgenden noch weitere Aufgaben und die dazugehörigen Lösungswege aufgezeigt, um den Lesern die Möglichkeit zu geben, durch weiteres Üben das Gelernte zu verfestigen. Aufgabe 6-11: Ein Freizeitpark hat bei einem Eintrittspreis von 24 C durchschnittlich 600 Besucher pro Tag. Bei einer Senkung des Eintrittspreises würden pro Euro Senkung 50 Besucher mehr kommen (Besuchersensibilität von 50). Bei einer Preiserhöhung entsprechend pro Euro 50 Besucher weniger. a)

Untersuchen Sie, bei welchem Eintrittspreis die Tageseinnahmen maximal sind. Wie groß ist dann die Besucherzahl? Wie groß sind die maximalen Einnahmen? Wie lauten Nachfrage-, Preis-Absatz- und Umsatzfunktion?

b)

Wie ändern sich die Ergebnisse, wenn die Besucher toleranter auf Preiserhöhungen reagieren und sich pro Euro Preisdifferenz die Besucherzahl nur um 30 ändert? Führen Sie die Überlegungen auch für eine auf Preiserhöhungen intolerant reagierende Kundschaft mit einer Besuchersensibilität von 100 aus.

c)

Bei welcher Besuchersensibilität wäre der Eintrittspreis von 24 C optimal?

Lösung: a)

Zunächst betrachtet man die Nachfragefunktion f (p) = x, wobei δp = 24 − p die Preisdifferenz repräsentiert: f (p) = f (24 − δp) = 600 + 50δp = 600 + 50 · 24 − 50p = 1800 − 50p

70

6 Differentialrechnung Berechnung der Preis-Absatz-Funktion: x = 1800 − 50p

⇔

p=

1800 − x 50

⇔

p = 36 − 0,02x

Umsatzfunktion U (x): U (x) = x · p(x) = x · (36 − 0,02x) = 36x − 0,02x2 U  (x) = 36 − 0,04x ⇒ 0 = 36 − 0,04x ⇔ x = 900 U  (x) = −0,04 < 0

Hochpunkt

Beim optimalen Preis hat der Freizeitpark also 900 Besucher, der dazugehörige Preis ist mit p(900) = 36 − 0,02 · 900 = 18 also genau 18 C. b)

•

s = 30: f (p) = 600 + 30 · (24 − p) = 1320 − 30p x p(x) = 44 − 30 1 U (X) = 44x − x2 30 1 U  (x) = 44 − x 15 Für die maximale Besucherzahl folgt also mit x = 44 · 15 = 660, dass diese bei 660 Besuchern liegt. Aus der Gleichung p(660) = 44 − 22 = 22 bestimmt sich der dazugehörige Preis zu 22 C.

•

s = 100: f (p) = 600 + 100 · (24 − p) = 3000 − 100p x p(x) = 30 − 100 1 2 x U (X) = 30x − 100 1 U  (x) = 30 − x 50

6.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 6

71

Hier bestimmt sich die maximale Besucherzahl aus der Gleichung x = 30 · 50 = 1500 zu 1500 Besuchern. Der dazugehörige Preis berechnet sich also hier mit p(1500) = 30 − 15 = 15 zu 15 C. c)

Für beliebiges s gilt f (p) = 600 + s · (24 − p) = 600 + 24s − s · p x 600 + 24 − p(x) = s s 1 600 · x + 24x − x2 U (X) = s s 2 600  + 24 − x U (x) = s s

Der maximale Umsatz soll bei einem Preis von 24 C liegen, dann besuchen den Freizeitpark x = 600 Besucher, also 0 = U  (600) 2 600 + 24 − · 600 ⇔ 0= s s ⇔ 0 = 600 + 24s − 1200 ⇔ 24s = 600 ⇔ s = 25 Bei s = 25 ist der vorhandene Eintrittspreis optimal. 1 Aufgabe 6-12: Gegeben sei die Parabel f (x) = − x2 + 2. 2 Wie lautet die Gleichung der Tangente im Punkt P (3/f (3))? Lösung: Es gilt: 1 f (x) = − x2 + 2 2

⇒



f (x) = −x,

P (3/f (3)) = P (3/ − 2,5).

Für die Tangentengleichung gilt: t(x) = mx + b. Da der Punkt P (3/ − 2,5) auch auf der Tangente liegen muss, ist t(x) = −2,5 für x = 3 bekannt, m entspricht der Steigung der Parabel im Punkt x = 3:

72

6 Differentialrechnung

t(3) = −2,5,

f(x), t(x)

x=3

6

m = f  (3) = −3

5 4

Einsetzen in die Tangentengleichung ergibt:

t(x)

3

−2,5 = −3 · 3 + b

2 1

⇒ b = 6,5 -1

⇒ t(x) = −3x + 6,5

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

x

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

f(x)

-8

Aufgabe 6-13: Gegeben sei die Gerade g(x) = −1,5x + 4. Welcher Punkt auf dem Graphen hat vom Ursprung den minimalen Abstand? Lösung: In nachfolgender Abbildung wird die Distanz zu der Geraden g(x) mit d(x) bezeichnet. Dieses d kann als Hypotenuse des grau markierten Dreiecks − deren eine Kathete genau x ist − angesehen werden. Wegen des Satzes des Pythagoras, der besagt, dass in allen Ebenen bei rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist, folgt hier konkret: 2

d2 (x) = x2 + [g(x)] = x2 + 2,25x2 − 12x + 16 = 3,25x2 − 12x + 16. Da nun die minimale Distanz gesucht wird, ist die erste Ableitung von d(x) (oder auch von d2 (x)) zu bilden und diese ist dann Null zu setzen. Es folgt: 

(d2 ) (x) = 6,5x − 12 d2 (1,846) = 4,923

⇒ ⇒

x=

12 ≈ 1,846 und g(1,846) = 1,231. 6,5

d = 2,22.

6.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 6

73

Somit liegt der gesuchte Punkt auf der Geraden g(x) bei (1,231/1,846) und der Abstand ist genau d = 2,22. g(x) 4 3

d(x)

g(x)

2 1

x 0

0,5

1

1,5

x

2

2,5

3 MatheGrafix.de

Aufgabe 6-14: Gegeben sei die Kostenfunktion K(x) = 2,5x2 + 50x + 250. a)

Berechnen Sie die Elastizität in den Mengen x = 5 und x = 100, und interpretieren Sie das Ergebnis.

b)

Bei welcher Stückzahl ergibt sich eine Elastizität von 1? Was bedeutet das?

Lösung: Die Elastizität berechnet sich in diesem Fall durch 

K(x) = a)

b)

(5x + 50) · x K (x) · x = K(x) 2,5x2 + 50x + 250

375 ≈ 0,67 (inelastisch), d.h. wenn x um beispielsweise 1% steigt (also K(5) = 562,5 Produktionserhöhung), dann steigen die Kosten um 0,67%. K(100) = 10.000 7750 ≈ 1,82 (elastisch), d.h. wenn sich x um z.B. 20% erhöht, dann gehen die Kosten um 36,4% nach oben.

Um die gesuchte Stückzahl zu bestimmen, muss K(x) gleich 1 gesetzt werden: K(x) = 1 2

5x + 50x = 2,5x2 + 50x + 250 2,5x2 = 250 x = 10 Eine Grenze zwischen elastisch und inelastischem Verhalten bedeutet, dass in diesem Fall die Kosten K(x) um den gleichen Prozentsatz wie die Produktionsmenge x steigen.

74

6 Differentialrechnung

Aufgabe 6-15: Gegeben sei eine Absatz-Preis-Funktion x(p) =

3 (p − 20)2 − 54, 2

p ∈ (0; 14).

Bestimmen Sie die Funktion der Preis(-Absatz-)elastizität. Lösung: Die Absatz-Preis-Funktion lautet: 3 (p − 20)2 − 54, p ∈ (0; 14) 2 3 p ∈ (0; 14) = (p2 − 40p + 400) − 54, 2 3 p ∈ (0; 14) = p2 − 60p + 546, 2

x(p) =

Aus seiner Umkehrfunktion folgt die Preis-Absatz-Funktion: 

2 x ∈ (0; 546) (x + 54) · + 20, 3  2 x + 36 + 20, x ∈ (0; 546) = − 3

p(x) = −

Damit ergibt sich für die Elastizität: x p(x) = p (x) · p(x) ⎛ ⎞ 1 1 2 x  = ⎝− ·  · ⎠· 2 3 2 (− 32 x + 36 + 20) 3 x + 36 x 1  · = −  2 2 3 3 x + 36 (− 3 x + 36 + 20) x  = 2x + 108 − 60 23 x + 36

7

Funktionen mit mehreren Veränderlichen

Zusammenhänge zwischen ökonomischen Größen wurden bisher vereinfachend durch Funktionen mit nur einer unabhängigen Variablen beschrieben. So wurde bei der Absatz- oder Nachfragefunktion nur die Abhängigkeit der nachgefragten Menge x vom Preis p berücksichtigt. Es wurde dabei vorausgesetzt, dass alle anderen beeinflussenden Faktoren, wie beispielsweise Einkommen oder Preise der Wettbewerbsprodukte konstant bleiben. Diese Bedingung, ceteris paribus-Bedingung genannt, erlaubt die Reduktion einer komplexen Problemstellung auf einen vereinfachten Zusammenhang. Um aber ökonomische Probleme und Fragestellungen mit Funktionen, die von mehreren Veränderlichen (Variablen) abhängen, behandeln zu können, wurden in diesem Kapitel die analytische Darstellung solcher Funktionen, die partielle Ableitung und das totale Differential eingeführt.

7.1

Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 7

Nachfolgend werden die Aufgaben aus Kapitel 7 des Lehrbuches „Mathematik in der Betriebswirtschaft“ mit ihren dazugehörigen Lösungswegen im Detail vorgestellt. Aufgabe 7-1: Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung zu den folgenden Funktionen: x a) f (x, y) = 3x2 · y + y b)

g(x, y) = sin x · cos y + sin y · cos x

c)

h(x, y) =

d)

k(x, y) = x · y · ex+y

e)

 x2 − y 2 √ l(x, y) = y· x

√ y

3x + ex·y 2

76

7 Funktionen mit mehreren Veränderlichen

Lösung: a)

Die ersten partiellen Ableitungen der Funktion f (x, y) nach x und y lauten: 1 ∂f = 6xy + ∂x y

b)

x ∂f = 3x2 − 2 ∂y y

Die ersten partiellen Ableitungen der Funktion g(x, y) nach x und y lauten: ∂g = cos x · cos y − sin y · sin x ∂x

c)

Die ersten partiellen Ableitungen der Funktion h(x, y) nach x und y lauten: 1 ∂h 3 = (3x) y −1 + y · exy ∂x y

d)

∂g = − sin x · sin y + cos y · cos x ∂y

1 ∂h 1 = 3x y · ln(3x) · (− 2 ) + x · exy ∂y y

Die ersten partiellen Ableitungen der Funktion k(x, y) nach x und y lauten: 2 2 2 ∂k = y · ex+y + x · y · ex+y = (1 + x) · y · ex+y ∂x

2 2 2 ∂k = x · ex+y + x · y · ex+y · 2y = (1 + 2y 2 ) · x · ex+y ∂y

e)

Die ersten partiellen Ableitungen der Funktion l(x, y) nach x und y lauten: ∂l 2x =  √ − 2 ∂x 2y x − y 2 x =



x2 − y 2 2xx − (x2 − y 2 ) = √ 3 = √ 3 2 2y x 2y x x − y 2

x2 + y 2 √ 3 2 2y x x − y 2

∂l −2y = √  − ∂y 2y x x2 − y 2

  x2 − y 2 x2 − y 2 −1 √ 3 = √  − √ 2 = xy xy x x2 − y 2

−y 2 − (x2 − y 2 ) x2 = √  =− √  x x2 − y 2 y 2 y 2 x x2 − y 2

7.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 7

77

Aufgabe 7-2: Bestimmen Sie die partiellen Elastizitäten f,xi , g,xi und h,xi der folgenden Funktionen f (x1 , x2 ), g(x1 , x2 , x3 ) und h(x1 , x2 , x3 ): x1 · x2 x1 + x2

a)

f (x1 , x2 ) =

b)

g(x1 , x2 , x3 ) =

c)

h(x1 , x2 , x3 ) = x1 · x2 · x3 · ex1 +x2 +x3

x21 · x22 x23

Lösung: a)

Mit der partiellen Ableitung von f (x1 , x2 ) nach x1 : x2 x1 · x2 x2 · (x1 + x2 ) − x1 x2 x22 ∂f = − = = ∂x1 x1 + x2 (x1 + x2 )2 (x1 + x2 )2 (x1 + x2 )2 folgt für die partielle Elastizität f,x1 : f,x1 =

x22 x1 (x1 + x2 ) x2 · = 2 (x1 + x2 ) x1 x2 x1 + x2

und mit der partiellen Ableitung von f (x1 , x2 ) nach x2 : ∂f x1 x1 · x2 x1 · (x1 + x2 ) − x1 x2 x21 = − = = 2 2 ∂x2 x1 + x2 (x1 + x2 ) (x1 + x2 ) (x1 + x2 )2 folgt für die partielle Elastizität f,x1 : f,x2 =

b)

x21 x2 (x1 + x2 ) x1 · = (x1 + x2 )2 x1 x2 x1 + x2

Die partiellen Ableitung von g(x1 , x2 , x3 ) nach x1 , x2 und x3 lauten: ∂g = 2x1 x22 x−2 3 ∂x1

∂g = 2x2 x21 x−2 3 ∂x2

2x2 x2 ∂g = − 13 2 ∂x3 x3

und damit berechnen sich die partiellen Elastizitäten g,x1 , g,x2 und g,x3 zu: g,x1 =

2x1 x22 x1 x23 2x2 x21 x2 x23 −2x21 x22 x3 x23 = 2; g,x2 = = 2; g,x2 = = −2 2 2 2 2 2 2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x23 x21 x22

78

7 Funktionen mit mehreren Veränderlichen

c)

Die partielle Elastizität h,x1 lautet: h,x1 =

x1 x2 x3 ex1 +x2 +x3 + x1 x2 x3 ex1 +x2 +x3 · x1 = 1 + x1 x1 x2 x3 ex1 +x2 +x3

und analog folgt für die partiellen Elastizitäten h,x2 und h,x3 : h,x2 = 1 + x2 ;

h,x2 = 1 + x2

Aufgabe 7-3: Eine Ackerfläche wird mit x1 Mengeneinheiten des Naturdüngers N vor Aussaat des Weizens behandelt. Nach 2 Monaten wird erneut gedüngt, aber mit x2 Mengeneinheiten des Kunstdüngers K. Aus langjähriger Erfahrung kennt der Landwirt den Zusammenhang zwischen Weizenertrag y und Düngung unter normalen Wetterbedingungen: y = f (x1 , x2 ) = 840 + 4x1 − x21 + 10x2 − 3x22 + 3x1 x2 a)

b)

Wie ändert sich das Produktionsergebnis, wenn der Düngereinsatz vom Niveau (10, 20) aus so geändert wird, dass 20% mehr Naturdünger, aber 5% weniger Kunstdünger ausgestreut werden? (approximative Näherung mit dem totalen Differential erwünscht!) Bei welcher Düngermenge erzielt dieser Landwirt einen maximalen Weizenertrag, und wie hoch ist dieser Ertrag?

Lösung: a)

Als erstes sind die partiellen Ableitungen von f (x1 , x2 ) nach x1 und x2 zu bilden und sodann die Werte der jeweiligen Steigungen an der Stelle x1 = 10 und x2 = 20 zu berechnen: ∂f ∂f = 4 − 2x1 + 3x2 ; = 10 − 6x2 + 3x1 ∂x1 ∂x2 ∂f ∂f |(10,20) = 4 − 20 + 60 = 44; |(10,20) = 10 − 120 + 30 = −80 ∂x1 ∂x2 Daraus lässt sich das totale Differential bestimmen. Bei einer prozentualen Änderung von 20% des Naturdüngers bei x1 = 10 und bei einer Änderung von 5% des Kunstdüngers bei x2 = 20 lauten die Differentiale dx1 = 2 respektive dx2 = −1 und es gilt: ∂f ∂f · dx1 + · dx2 ∂x1 ∂x2 df = 44 · 2 − 80 · (−1) = 168 df =

d.h. der Weizenertrag erhöht sich um 168 Mengeneinheiten.

7.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 7 b)

79

Für die Bestimmung des maximalen Weizenertrags müssen die ersten partiellen Ableitungen gleich Null gesetzt werden (Extremalbedingung): ∂f = 0 = 4 − 2x1 + 3x2 ∂x1 ∂f df = = 0 = 10 − 6x2 + 3x1 ∂x2 df =

Aus den daraus resultierenden zwei Gleichungen lassen sich die Werte für x1 und x2 berechnen. Durch das Auflösen der ersten Gleichung nach x1 und darauffolgendem Einsetzen dieser Gleichung in die zweite Gleichung erhält man den Wert für x2 . Die Werte sind für x2 = 32/3 und für x1 = 18, so dass an der Stelle (x1 , x2 ) = (18,32/3) der Weizenertrag maximal ist, und er liegt bei f (x1 , x2 ) = f (18,32/3) = 929 31 ME .

7.2

Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 7

Zum Thema Funktionen mit mehreren Veränderlichen werden im Folgenden noch weitere Aufgaben und die dazugehörigen Lösungswege aufgezeigt, um den Lesern die Möglichkeit zu geben, durch weiteres Üben das Gelernte zu verfestigen. Aufgabe 7-4: Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung zu den folgenden Funktionen f (x, x) und g(x, y): a ∈ R beliebig f (x, y) = 3xy 2a + xy + y x √ 2 b ∈ R beliebig g(x, y) = (ex − y) · xy + bxy Lösung: Für die Funktion f (x, y) = 3xy 2a + xy + y x wie folgt:

berechnen sich die partiellen Ableitungen

∂f (x, y) = 3y 2a + yxy−1 + y x ln(y) ∂x ∂f (x, y) = 6axy 2a−1 + xy ln(x) + xy x−1 ∂y √ Für die Funktion g(x, y) = (ex2 −y)· xy+bxy berechnen sich die partiellen Ableitungen wie folgt:   √ 4ex2 y + ex2 y − y 2 1 ∂g(x, y) 2 = 2ex · xy + (ex − y) · + by √ · y + by = √ ∂x 2 xy 2 xy =

5ex2 y − y 2 + by √ 2 xy

80

7 Funktionen mit mehreren Veränderlichen ∂g(x, y) √ = −1 · xy + (ex2 − y) · ∂y =



 −2xy + ex3 − yx 1 + bx √ · x + bx = √ 2 xy 2 xy

ex3 − 3xy + bx √ 2 xy

Aufgabe 7-5: Gegeben sei folgende Produktionsfunktion vom Cobb-Douglas-Typ: f (x, y) = C · xa · y b Dabei seien f (x, y) der Output, x und y die Produktionsfaktoren Arbeit und Kapital mit den Konstanten a und b. Berechnen Sie die partiellen Produktionselastizitäten der beiden Produktionsfaktoren. Lösung: Die zu bestimmenden partiellen Elastizitäten geben Auskunft darüber, um wie viel Prozent sich der Output f (x, y) ändert, wenn der Arbeitseinsatz bzw. der Kapitaleinsatz um 1% verändert wird. Hierfür müssen die partiellen Ableitungen bestimmt werden. Dann berechnen sich die beiden partiellen Elastizitäten wie folgt: f,x =

x ∂f (x, y) · ∂x f (x, y)

und f,y =

∂f (x, y) = a · C · xa−1 · y b ∂x ∂f (x, y) = b · C · xa · y b−1 ∂y

y ∂f (x, y) · ∂y f (x, y)

a · C · xa−1 · y b · x =a C · xa · y b b · C · xa · y b−1 · y = =b C · xa · y b

⇒

f,x =

⇒

f,y

8

Integralrechnung

Die Integralrechnung kehrt die Wirkung des Differentialoperators um. Mittels der Integralrechnung werden also Informationen über die Ableitung von Funktionen erhalten. Darum ging es im Kapitel 8 und es wurden insbesondere das unbestimmte und bestimmte Integral behandelt. Des Weiteren wurde die Anwendung der Integralrechnung in der Ökonomie thematisiert.

8.1

Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 8

Nachfolgend werden die Aufgaben aus Kapitel 8 des Lehrbuches „Mathematik in der Betriebswirtschaft“ mit ihren dazugehörigen Lösungswegen im Detail vorgestellt. Aufgabe 8-1: Bei einem Ein-Produkt-Unternehmen seien bei der Herstellung eines Produktes die Grenzkosten der Herstellung von x Einheiten gleich K  (x) = 7x + 5. Bestimmen Sie die Gesamtkostenfunktion K(x), wenn die Fixkosten 45 sind. Lösung: Durch die Integration der Grenzkostenfunktion K  (x) lassen sich die Gesamtkosten K(x), bestehend aus variablen Kv (x) und fixen Kosten Kf , bestimmen. Es gilt: 

K  (x) dx = Kv (x) + Kf

Setzt man die Grenzkostenfunktion und die fixe Kosten entsprechend ein, berechnen sich die Gesamtkosten zu:  (7x + 5) dx =

7 2 x + 5x + 45 = K(x) 2

Aufgabe 8-2: Bestimmen Sie durch partielle Integration folgende unbestimmten Integrale:  a)

4x3 · ln x dx

82

8 Integralrechnung 

b)

x2 · ex dx

 sin x · cos x dx

c) Lösung: a)

Setzt man f (x) = ln x folgt für die Ableitung f  (x) = x1 . Aus g  (x) = 4x3 folgt für die Stammfunktion g(x) = x4 . Mit diesen Zuordnungen lässt sich die partielle Integrationsregel anwenden. Man erhält: 

b)

4x3 · ln x dx = ln x · x4 −



x4 ·

1 x4 dx = x4 ln x − +c x 4

Setzt man f (x) = x2 folgt für die Ableitung f  (x) = 2x. Aus g  (x) = ex folgt für die Stammfunktion g(x) = ex . Mit diesen Zuordnungen lässt sich die partielle Integrationsregel anwenden und das Integral lässt sich umformen zu: 

2

2 x



x · e dx = x e − 2 x

xex dx

Nun muss für das zweite Integral nochmal die partielle Integrationsregel angewendet werden. Mit den weiteren Zuordnungen von f (x) = x und g  (x) = ex folgt für f  (x) = 1 und g(x) = ex . Damit kann das zweite Integral entsprechend umgeformt werden und die Lösung für das Ausgangsintegral lautet: 

2

2 x



x · e dx = x e − 2(xe −

c)

x

x

ex dx) = x2 ex − 2xex − 2ex + c

Wählt man jetzt für f (x) = sin x und für g  (x) = cos x folgt f  (x) = cos x und g(x) = sin x. Also kann man für das Integral auch schreiben: 

sin x · cos x dx = sin2 x −

 sin x · cos x dx

Damit sind die beiden Integrale auf der rechten und linken Seite gleich und es folgt als Lösung für das Ausgangsintegral:  sin x · cos x dx =

1 sin2 x + c 2

8.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 8

83

Aufgabe 8-3: Bestimmen Sie mithilfe der Substitutionsregel die folgenden drei unbestimmten Integrale:  2 a) x · e−x dx  b)  c)

1 dx 2x + 3 sin x · cos x dx 1 + sin2 x

Lösung: a)

Man substituiert (−x2 ) durch z und berechnet dx: dz −1 = −2x → dx = dz dx 2x Eingesetzt folgt daraus:  x·e

b)

−x2

 dx =

1 −1 ) dz = − x·e ( 2x 2 z



2 1 1 ez dz = − ez + c = − e−x + c 2 2

Man substituiert (2x + 3) durch z und berechnet dx: 1 dz = 2 → dx = dz dx 2 Eingesetzt folgt daraus: 

c)

dx = 2x + 3



1 dz 1 1 3 = ln |z| + c = ln |2x + 3| + c für x = − 2 z 2 2 2

Man substituiert (1 + sin2 x) durch z und berechnet dx: dz 1 = 2 sin x · cos x → dx = dz dx 2 sin x · cos x Eingesetzt folgt daraus: 

=

sin x · cos x 1 dx = 2 1 + sin2 x 1 ln(1 + sin2 x) + c 2



2 sin x · cos x 1 dx = 2 1 + + sin2 x



1 1 dz = ln |z| + c = z 2

84

8 Integralrechnung

Aufgabe 8-4: Berechnen Sie unter Anwendung der Integrationsregeln folgende unbestimmten Integrale: 

(x + 4)3 dx

a) 

x(x2 + 3)3 dx

b) 

x3 dx 4x4 + 1

c) Lösung: a)

Man substituiert (x + 4) durch z und es folgt für dz = dx. Damit folgt für das Integral: 

b)

(x + 4)3 dx =



1 4 1 z + c = (x + 4)4 + c 4 4

Man substituiert nun (x2 + 3) durch z und es folgt für dz = 2x dx. Daraus folgt: 

2



3

x(x + 3) dx =

c)

z 3 dz =

1 dz = x·z · 2x 3



1 3 1 1 z dz = z 4 + c = (x2 + 3)4 + c 2 8 8

Man substituiert nun (4x4 + 1) durch z und es folgt für dz = 16x3 dx. Daraus folgt: 

=

x3 dx = 4 4x + 1



x3 1 · dz = z 16x3



1 1 1 · dz = ln |z| + c = 16 z 16

1 · ln(4x4 + 1) + c 16

Aufgabe 8-5: Berechnen sie die nachfolgenden drei bestimmten Integrale: 

∞

a) 2



1

b) −∞



7

c) 3

x · ex dx x · ex

√

2

+1

dx

1 dx x−3

8.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 8

85

Lösung: a)

Hier wird die partielle Integration angewendet. Man wählt geschickterweise für f (x) = x und g  (x) = ex und damit sind f  (x) = 1 und g(x) = ex . Als Nebenrechnung wird das unbestimmte Integral wie folgt gelöst: 

 x · e dx = xe − x

x

ex dx = (x − 1) · ex + c

und so folgt für das bestimmte Integral: 

∞

b)

x 2 x · ex dx = (x − 1) · ex |∞ 2 = lim ((x − 1)e ) − e = +∞ x→∞

2

Die Berechnung dieses Integrals erfolgt unter Anwendung der Substitutionsregel. Ersetzt man (x2 + 1) durch z folgt für dz = 2xdx. Dann lässt sich als erstes das unbestimmte Integral wie folgt lösen:  x · ex

2

+1

 dx =

xez

1 1 dz = 2x 2

 ez dz =

1 x2 +1 e +c 2

und es folgt als zweites für das bestimmte Integral: 

1

−∞

c)

x · ex

2

+1

dx =

2 1 x2 +1 1 1 e |−∞ = lim ( e2 − ex +1 ) = −∞ x→−∞ 2 2

Auch zur Lösung dieses Integrals wird die Substitutionsregel angewendet. Man ersetzt jetzt (x − 3) durch z und so ist dz = dx. Dann lässt sich als erstes das unbestimmte Integral wie bestimmen: 

1 √ dx = x−3



√ √ 1 √ dz = 2 z = 2 x − 3 + c z

Als zweites folgt dann für das bestimmte Integral konkret:  3

7

√ √ √ 1 √ dx = 2 x − 3|73 = 2 4 − 2 0 = 4 x−3

86

8 Integralrechnung

Aufgabe 8-6: Gegeben sei die Grenzkostenfunktion K  (x) = 3x2 − 7x + 11. Bestimmen Sie die Funktion der gesamten variablen Kosten sowie die Gesamtkostenfunktion. Lösung: Zur Bestimmung der variablen Kostenfunktion Kv (x) ist die Grenzkostenfunktion zu integrieren. Es folgt:  Kv (x) =

x





K (t) dt = 0

0

x

(3t2 − 7t + 11) dt = x3 − 3,5x2 + 11x

Eine exakte Bestimmung der Gesamtkosten als Funktion von x ist nicht möglich, da keine Angaben zu den fixen Kosten Kf gemacht wurden. Es folgt also für die Gesamtkostenfunktion: K(x) = Kv (x) + Kf = x3 − 3,5x2 + 11x + Kf

Aufgabe 8-7: Gegeben seien die Grenzkostenfunktion K  (x) = 3x2 − 8x + 8, die fixe Kosten Kf = 4 sowie die Grenzerlösfunktion E  (x) = 12 − 4x. Bestimmen Sie die Gesamtkostenfunktion, die Gesamterlösfunktion, die Preis-Absatz-Funktion und die Gewinnfunktion. Lösung: Für die Gesamtkostenfunktion K(x) und die Gesamterlösfunktion E(x) sind die jeweiligen Grenzkostenfunktionen zu integrieren. Die Preis-Absatz-Funktion p(x) berechnet sich aus dem Quotienten der Erlösfunktion und x; die Gewinnfunktion G(x) wird durch die Differenz von Erlös- und Kostenfunktion bestimmt. Es folgt: 

x

K(x) = 0

 E(x) = 0

p(x) =

x

(3t2 − 8t + 8) dt + Kf = x3 − 4x2 + 8x + 4

(12 − 4t) dt = 12x − 2x2

12x − 2x2 E(x) = = 12 − 2x x x

G(x) = E(x) − K(x) = 12x − 2x2 − (x3 − 4x2 + 8x + 4) = = −x3 + 2x2 + 4x − 4

8.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 8

8.2

87

Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 8

Zum Thema Integralrechnung werden im Folgenden noch weitere Aufgaben und die dazugehörigen Lösungswege aufgezeigt, um den Lesern die Möglichkeit zu geben, durch weiteres Üben das Gelernte zu verfestigen. Aufgabe 8-8: Gegeben sei die Funktionenschar 2 fk (x) = − x3 + 2x2 , mit k > 0 k a)

Berechnen Sie die Koordinaten der Minima und Maxima von fk (x).

b)

Erstellen Sie eine grobe Skizze der Funktionen f1 , f2 und f3 .

c)

Wie muss k gewählt werden, damit die von der x-Achse und fk (x) eingeschlossene Fläche genau 5 Flächeneinheiten misst?

d)

Wie muss k gewählt werden, damit die durch die nachfolgenden Bedingungen eingegrenzte Fläche 5 Flächeneinheiten misst? •

Die Fläche wird von der x-Achse und fk eingeschlossen und

•

durch den Ursprung und die Senkrechte an der Stelle des Maximums begrenzt.

Lösung: a)

Es gilt: 2 fk (x) = − x3 + 2x2 k 6 fk (x) = − x2 + 4x k fk (x) = −

12 x+4 k

6 0 = fk (x) ⇔ 0 = − x2 + 4x k  6 ⇔ 0=x· − x+4 k 2 ⇒ x = 0 bzw. x = k 3 fk (0) = 4   2 k = −4 fk 3

⇒ Minimum in (0|fk (0)) = (0|0)  &    &  2 && 2 && 8 2 2 ⇒ Maximum in k &fk k = k& k 3 3 3 27

88 b)

8 Integralrechnung Bei den drei Funktionen f1 , f2 und f3 ist die Variable k der Funktionenschar fk (x) 1, 2 respektive 3. So lassen sich die drei Funktionen f1 (x) = −2x3 +2x2 , f2 (x) = −x3 +2x2 und f3 (x) = − 23 x3 + 2x2 wie folgt skizzieren: f(x) 2,5 2 1,5 1 05 0,5

x -0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-0,5 -1 -1,5

f1

f2

f3

MatheGrafix.de

c)

Die von der x-Achse und fk eingeschlossene Fläche wird durch die Nullstellen von fk begrenzt.

0 = fk (x)

⇔ ⇔ ⇒

2 0 = − x3 + 2x2 k   2 0 = x2 − x + 2 k x = 0 bzw. x = k

8.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 8

89

Somit sind die Nullstellen bekannt und das Integral kann wie folgt berechnet werden:  k 2 5= − x3 + 2x2 dx k 0 &k ⇔ 5 = − 2 x4 + 2 x3 & 4k

3

5=

⇔

5 = 16 k 3

⇔

k 3 = 30 √ k = 3 30 ≈ 3,11

+

0

2 3 3k

⇔

⇔ d)

− 21 k 3

Nun sind die Grenzen 0 und die Stelle des Maximums der Funktion fk (wie sie in dem Aufgabenteil a) berechnet wurde) als Intergrationsgrenzen heranzuziehen. fk (x)

x



2 3k

2 − x3 + 2x2 dx k 0 8 16 ⇔ 5 = − k3 + k3 81 81 405 ⇔ k3 = 8

5=

⇔

5= −

⇔

5=

⇔

&2k 2 4 2 3 && 3 x + x & 4k 3 0

8 3 k 81  3 405 k= ≈ 3,7 8

Die Variable k muss also rund 3,7 sein, damit die eingegrenzte Fläche entsprechend den oben genannten Bedingungen genau 5 Flächeneinheiten misst.

Aufgabe 8-9: Berechnen Sie beiden nachfolgenden bestimmte Integrale:  2  4 5 · (x − 3)2 2 x3 +1 √ a) dx x ·e dx b) x−3 −∞ 3

90

8 Integralrechnung

Lösung: Die nähere Betrachtung der beiden Integranden zeigt, dass die Anwendung der Substitutionsregel zur Berechnung des Intergrals angewendet werden kann: a)

Substitution mit z = g(x) = x3 + 1 und g  (x) = 3x2 , f (g(x)) = ez , also ist   2 3 1 2 2 x3 +1 x ·e dx = 3x2 · ex +1 dx 3 −∞ −∞  1 2  = g (x) · f (g(x)) dx 3 −∞  g−1 (2) Subst. 1 = ez dz 3 g−1 (−∞) &g−1 (2) 1 z && = e & 3 g−1 (−∞) &2 Resubst. 1 x3 +1 && e = & 3 −∞ 3 1 9 1 e − lim e−b +1 b→∞ 3 3 1 9 1 = e − ·0 3 3 1 9 = e ≈ 2701 3

=

b)

3

Substitution mit z = g(x) = x − 3 und g  (x) = 1, f (g(x)) = z 2 , also ist  4  4 5 · (x − 3)2 (x − 3)2 √ √ dx = 5· dx x−3 x−3 3 3  4 3 = 5· (x − 3) 2 dx 3

Subst.

=

= Resubst.

=

 5·

g−1 (4)

3

z 2 dz g−1 (3)

&g−1 (4) 2 5& 5 · z 2 && 5 g−1 (3) & 5 &4 2(x − 3) 2 & 3

5 2

5

=

2 · 1 − 2 · 02

=

2

8.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 8

91

Aufgabe 8-10: Für ein monopolistisches Unternehmen gelte eine lineare Nachfragefunktion und die folgenden Zusammenhänge: E  (x) = 10 − 0,2x, Kf = 0 und K  (x) = 2 + 0,05x. Dabei stellen E  (x) den Grenzerlös, x die produzierte Menge, Kf die fixen Kosten und K  (x) die Grenzkosten dar. Berechnen Sie die gewinnmaximale Preis-Mengen-Kombination des Monopolisten. Wie hoch sind im Gewinnmaximum der Gewinn und die Kosten? Lösung: Für den Grenzgewinn gilt G (x) = E  (x) − K  (x) . Damit ist hier der Grenzgewinn G (x) = (10−0,2x)−(2+0,05x) = −0,25x+8 . Die notwendige Bedingung für das Gewinnmaximum ist G (x) = 0 und damit ist in diesem Fall x = 32. Bei x = 32 ist zudem G (x) mit −0,25 negativ, d.h. bei x = 32 produzierten Mengeneinheiten liegt ein Gewinnmaximum vor. Aus dem Grenzerlös von E  (x) = 10 − 0,2x kann die Preis-Absatz-Funktion p(x) hergeleitet werden, indem die Grenzerlösfunktion integriert wird. Aus dem daraus bestimmten Erlös E(x) geteilt durch x lässt sich p(x) bestimmen. Es folgt also hier, dass p(x) = 10 − 0,1x gilt. An der Stelle x = 32 liegt also ein Preis von p(32) = 10 − 0,1 · 32 = 6,80 vor. Für den Gewinn und für die Kosten an der Stelle x = 32 folgt nun: 





G (x) dx =

G(x) =

(−0,25x + 8) dx =

= −0,125x2 + 8x  K(x) =



⇒

G(32) = 128



K (x) dx =

(2 + 0,05x) dx =

= 2x + 0,025x2 + 8x (c = 0, da Kf = 0) ⇒

K(32) = 89,60

9

Vektoren und Matrizen

In der Wirtschaftwissenschaft und in der betriebs- und volkswirtschaftlichen Praxis hat man es oftmals mit mehrfachen Zusammenhängen oder Beziehungen zu tun, die sich nicht durch Funktionen darstellen lassen. So kommt einer tabellenähnlichen Anordnung von Zahlen (Matrizen und Vektoren) zur Beschreibung derartiger Zusammenhänge eine sehr große Bedeutung zu. Die Beziehungen zwischen solchen Zahlenblöcken lassen sich nämlich mithilfe der Matrizen- und Vektorrechnung sehr übersichtlich darstellen. Das Rechnen mit Vektoren und Matrizen ist ein Teilgebiet der Linearen Algebra. Darum ging es in diesem Kapitel. Es wurden das Rechnen mit Vektoren und Matrizen erklärt, die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar besprochen und Matrizen als spezielle Funktionen und deren Anwendung in der Ökonomie vorgestellt.

9.1

Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 9

Nachfolgend werden die Aufgaben aus Kapitel 9 des Lehrbuches „Mathematik in der Betriebswirtschaft“ mit ihren dazugehörigen Lösungswegen im Detail vorgestellt. Aufgabe 9-1: Gegeben sei die Matrix ⎛ ⎞ 3 4 −1 9 −6 ⎜ −2 5 2 −8 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ A=⎜ ⎜ −1 −3 −3 7 −8 ⎟ ⎝ 2 5 2 8 −5 ⎠ 3 −4 1 −9

a) b)

6

Wie lauten die Elemente a15 , a34 , a43 , a52 und a41 ? 5 5   Bestimmen Sie ai2 und a2j . i=1

j=1

Lösung: a) b)

a15 = −6 5 

a34 = 7

a43 = 2

ai2 = 4 + 5 − 3 + 5 − 4 = 7

i=1 5  j=1

a2j = −2 + 5 + 2 − 8 + 5 = 2

a52 = −4

a41 = 2

94

9 Vektoren und Matrizen

Aufgabe 9-2: Bestimmen Sie die Transponierten zu den Matrizen A, B, C:  A=

3 2 8 4 1 −7

⎛

 ;

⎞ 5 17 −2 29 B = ⎝ 6 12 3 18 ⎠ ; 2 −9 14 32

⎛

⎞ 12 8 16 C = ⎝ −7 9 7 ⎠ 34 2 −3

Lösung: Um die Transponierte einer Matrix A zu bestimmen, werden „Zeilen zu Spalten und Spalten zu Zeilen“. Damit lauten die gesuchten transponierten Matrizen AT , BT und CT : ⎛

⎛

⎞ 3 4 AT = ⎝ 2 1 ⎠ 8 −7 ⎛ ⎞ 12 −7 34 CT = ⎝ 8 9 2⎠ 16 7 −3

5 ⎜ 17 BT = ⎜ ⎝ −2 29

⎞ 6 2 12 −9 ⎟ ⎟ 3 14 ⎠ 18 32

Aufgabe 9-3: Vervollständigen Sie die Matrizen A und B zu symmetrischen Matrizen: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 5 −1 4 9 5 1 3 2 ⎜. 2 2 0 8⎟ ⎜ ⎜1 2 0 .⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ A=⎜ ⎜. . 6 1 7⎟; B=⎝3 0 . .⎠ ⎝. . . 0 7⎠ 2 . . . . . . . 3 Lösung: ⎛

1 ⎜5 ⎜ A=⎜ ⎜ −1 ⎝4 9

5 2 2 0 8

−1 2 6 1 7

4 0 1 0 7

⎞ 9 8⎟ ⎟ 7⎟ ⎟ 7⎠ 3

⎛

5 ⎜1 B=⎜ ⎝3 2

1 2 0 a

3 0 d b

⎞ 2 a⎟ ⎟ b⎠

a, b, c, d beliebig!

c

Aufgabe 9-4: Gegeben seien die drei Matrizen A, B und C: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 4 5 6 1 3 5 4 4 7 6 A=⎝7 2 0 1⎠; B=⎝7 2 2 8⎠; C=⎝3 0 1⎠ 4 9 3 8 6 1 9 3 2 1 9 Berechnen Sie A + B, A − B, B − A und A + C.

9.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 9 Lösung:

⎛

3 A+B= ⎝7 4 ⎛ 3 A−B= ⎝7 4 ⎛ 1 ⎝ B−A= 7 6

95

⎞ ⎛ ⎞ 4 5 6 1 3 5 4 2 0 1⎠ + ⎝7 2 2 8⎠ = 9 3 8 6 1 9 3 ⎞ ⎛ ⎞ 4 5 6 1 3 5 4 2 0 1⎠ − ⎝7 2 2 8⎠ = 9 3 8 6 1 9 3 ⎞ ⎛ ⎞ 3 5 4 3 4 5 6 2 2 8⎠ − ⎝7 2 0 1⎠ = 1 9 3 4 9 3 8

⎛

4 7 10 ⎝ 14 4 2 10 10 12 ⎛ 2 1 0 ⎝ 0 0 −2 −2 8 −6 ⎛ −2 −1 0 ⎝0 0 2 2 −8 6

⎞ 10 9⎠ 11 ⎞ 2 −7 ⎠ 5 ⎞ −2 7⎠ −5

A + C = nicht definiert, da die Matrizen unterschiedliche Ordnungen haben Aufgabe 9-5: Gegeben seien die Matrizen A und B: ⎛

1 A=⎝3 5

⎞ 2 4 ⎠ und 6

⎛

⎞ −3 −2 B = ⎝ 1 −5 ⎠ 4 3

Bestimmen Sie die Matrix C so, dass A + B − C = 0, wobei 0 die Nullmatrix bezeichnet. Lösung:

⎛

⎞ −2 0 Die Matrix C lautet ⎝ 4 −1 ⎠ 9 9 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 2 −3 −2 −2 0 0 denn A + B − C = ⎝ 3 4 ⎠ + ⎝ 1 −5 ⎠ − ⎝ 4 −1 ⎠ = ⎝ 0 5 6 4 3 9 9 0

⎞ 0 0⎠ =0 0

Aufgabe 9-6: Ein Unternehmen besitzt drei Teilelager, in denen jeweils drei Artikel lagern. Die in zwei aufeinanderfolgenden Monaten verbrauchten Mengen sind in den folgenden Tabellen wiedergegeben:

Artikel

1 2 3

Teilelager 1 2 3 3 5 4 2 6 1 0 3 4

Artikel

1 2 3

Teilelager 1 2 3 2 1 0 3 2 1 2 1 4

96

9 Vektoren und Matrizen

Schreiben Sie die verbrauchten Mengen als Matrizen und bestimmen Sie den Gesamtverbrauch in den beiden Monaten je Artikel und je Teilelager. Lösung: Aus den beiden genannten Tabellen lassen sich die verbrauchten Mengen ablesen und als Matrizen wie folgt schreiben: ⎛

⎞ 3 5 4 ⎝2 6 1⎠ 0 3 4

⎛ und

⎞ 2 1 0 ⎝3 2 1⎠ 2 1 4

Aus der Addition dieser Matrizen ergibt sich dann der Gesamtverbrauch in den beiden Monaten je Artikel und je Teilelager wie folgt: ⎛

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 5 4 2 1 0 5 6 4 ⎝2 6 1⎠+⎝3 2 1⎠=⎝5 8 2⎠ 0 3 4 2 1 4 2 4 8 Aufgabe 9-7: Gegeben seien die drei Matrizen A, B und C:       4 2 1 1 −2 −1 A= ; B= ; C= 1 0 1 1 −3 −2 Bestimmen Sie 5A, −2B, 3A − 2B + C und A − 10B − 3C. Lösung:



   4 2 20 10 = 1 0 5 0     1 1 −2 −2 −2B = −2 · = 1 1 −2 −2         4 2 1 1 −2 −1 8 3 3A − 2B + C = 3 · −2· + = 1 0 1 1 −3 −2 −2 −4         4 2 1 1 −2 −1 0 −5 A − 10B − 3C = − 10 · +3· = 1 0 1 1 −3 −2 0 −4

5A = 5 ·

Aufgabe 9-8: Gegeben seien die drei Vektoren a, b und c mit: ⎛

⎞ 5 a = ⎝ 4 ⎠ ; −3

⎛ ⎞ 1 b = ⎝ 1 ⎠ ; 0

⎛

⎞ 1 c = ⎝ 0 ⎠ −3

Bestimmen Sie die Werte für λ und ν so, dass gilt: a + λb + νc = 0.

9.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 9

97

Lösung: Mit den Vektoren a, b und c und der Gleichung a + λb + νc = 0 resultiert folgendes lineare Gleichungssystem: 5 4 −3

+ +

λ λ

+ + −

ν

= = =

3ν

0 0 0

[1] [2] [3]

Aus der Gleichung [3] folgt, dass ν = −1 ist; und aus der Gleichung [2] lässt sich λ zu −4 bestimmen. Setzt man diese beiden Werte in Gleichung [1] ein, folgt dass 5 − 4 − 1 korrekterweise 0 ist. Damit sind die zu bestimmenden Werte λ = −4 und ν = −1. Aufgabe 9-9: Gegeben sind die drei Vektoren ⎛ ⎞ 1 a1 = ⎝ 0 ⎠ 2

⎛ ⎞ 1 a2 = ⎝ 0 ⎠ 3

⎛ ⎞ 0 a3 = ⎝ 1 ⎠ 0

a)

Bestimmen Sie die Beträge der Vektoren?

b)

Sind die drei Vektoren linear unabhängig?

c)

Berechnen Sie alle möglichen Skalarprodukte.

d)

Berechnen Sie (aT1 · a2 ) · a3

Lösung:

√ √ √ √ 12 + 02 + 22 = 5 |a2 | = 12 + 02 + 32 = 10 √ √ |a3 | = 02 + 12 + 02 = 1 = 1

a)

|a1 | =

b)

Für die lineare Unabhängigkeit müssen in nachfolgender Gleichung alle λ1,2,3 = 0 sein, also: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 0 0 λ1 · ⎝ 0 ⎠ + λ2 · ⎝ 0 ⎠ + λ3 · ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ 2 3 0 0 Daraus resultiert das folgende lineare Gleichungssystem: λ1

+

λ2

2λ1

+

3λ2

λ3

= = =

0 0 0

welches nur lösbar ist, wenn λ3 = λ2 = λ1 = 0 sind. Damit sind die drei Vektoren a1 , a2 und a3 linear unabhängig.

98

c)

d)

9 Vektoren und Matrizen ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 aT1 · a2 = (1, 0, 2) · ⎝ 0 ⎠ = 7 = (1, 0, 3) · ⎝ 0 ⎠ = aT2 · a1 3 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 1 aT1 · a3 = (1, 0, 2) · ⎝ 1 ⎠ = 0 = (0, 1, 0) · ⎝ 0 ⎠ = aT3 · a1 0 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 1 aT2 · a3 = (1, 0, 3) · ⎝ 1 ⎠ = 0 = (0, 1, 0) · ⎝ 0 ⎠ = aT3 · a2 0 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 0 0 (aT1 · a2 ) · a3 = ((1, 0, 2) · ⎝ 0 ⎠) · ⎝ 1 ⎠ = 7 · ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 7 ⎠ 3 0 0 0

Aufgabe 9-10: In einem Sommermonat verkauft ein Unternehmen von 4 Artikeln die Mengen x1 , x2 sowie x3 , x4 zu den Sonderpreisen p1 , p2 , p3 und p4 . Mengen und Preise können zu Vektoren x und p zusammengefasst werden. a) b)

Der Erlös E soll mindestens E ∗ betragen. Schreiben Sie diese Bedingung mit dem skalaren Produkt von Preis- und Mengenvektor. Die Gesamtmenge aller Produkte soll mindestens 1.000 Stück betragen. Schreiben Sie diese Bedingung unter Verwendung von Vektoren.

Lösung: Der Erlös (Umsatz) bestimmt sich durch den Preis mal der Menge. In diesem Fall werden mehrere Artikelmengen mit unterschiedlichen Preisen betrachtet und durch einen Mengen- und Preisvektor dargestellt. Für den Erlös ist damit das Skalarprodukt dieser Vektoren zu bestimmen und es folgt: a)

b)

E= p T · x ≥ E ∗ also ⎛ ⎞ x1 ⎜ x2 ⎟ ∗ ⎟ (p1 , p2 , p3 , p4 ) · ⎜ ⎝ x3 ⎠ = p1 · x1 + p2 · x2 + p3 · x3 + p4 · x4 ≥ E x4 (1, 1, 1, 1) · x ≥ 1.000 also ⎛ ⎞ x1 ⎜ x2 ⎟ ⎟ (1, 1, 1, 1) · ⎜ ⎝ x3 ⎠ = x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 1.000 x4

9.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 9

99

Aufgabe 9-11: Gegeben sei ein zweistufiger Produktionsprozess, der durch die beiden folgenden Produktionsmatrizen P1 und P2 beschrieben werden kann (dabei bezeichnen r1 und r2 die eingesetzten Rohstoffe und z1 , z2 , z3 die nach der ersten Produktionsstufe erzeugten Zwischenprodukte und e1 , e2 die nach der zweiten Produktionsstufe erhaltenen Endprodukte): ⎛ ⎞   3 1 3 1 2 ; P2 = ⎝ 0 3 ⎠ P1 = 2 3 4 1 2 Die Rohstoffpreise betragen q1 = 2, q2 = 4 und die Endproduktpreise p1 = 70, p2 = 95. a)

Bestimmen Sie die Matrix der Gesamtverarbeitung.

b)

Welche Rohstoffkosten entstehen je Einheit des Endprodukts?

c)

Welche Rohstoffmengen werden für 10 Einheiten des ersten und

d)

Welcher Erlös wird für die unter c) angegebenen Endproduktmengen erzielt?

5 Einheiten des zweiten Endproduktes benötigt?

Lösung: a)

Um bei den durchzuführenden Matrizenmultiplikationen nicht die Zeilen mit den Spalten zu verwechseln, werden die beiden Produktionsmatrizen P1 und P2 als erstes genauer interpretiert: Die Produktionsmatrix P1 gibt an, wieviele Rohstoffe zur Produktion der drei Zwischenprodukte benötigt werden. Damit sind die Zeilen mit den Rohstoffen und die Spalten mit den Zwischenprodukten in Verbindung zu setzen. So werden beispielsweise zur Produktion einer Mengeneinheit des Zwischenproduktes z1 3 Mengeneinheiten des Rohstoffes r1 und 2 Mengeneinheiten des Rohstoffes r2 benötigt. Der Vektor, der die Mengen an Rohstoffen widerspiegelt, lässt sich also schreiben als:  r = P1 · z =

3 1 2 2 3 4



⎛

⎞     z1 r1 3z1 + z2 + 2z3 ⎝ ⎠ = · z2 = 2z1 + 3z2 + 4z3 r2 z3

Die Produktionsmatrix P2 verknüpft dagegen die Zwischenprodukte mit den Endprodukten und gibt an, wieviele Zwischenprodukte zur Produktion der beiden Endprodukte benötigt werden. Beispielsweise sind für die Produktion einer Mengeneinheit des Endproduktes e1 genau 3 Mengeneinheiten des Zwischenproduktes z1 und eine Mengeneinheit des Zwischenproduktes z3 vonnöten. Es lässt sich für den Vektor, der die Mengen an Zwischenprodukten repräsentiert, auch schreiben: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞   3e1 + e2 3 1 z1 e1 = ⎝ 3e2 ⎠ = ⎝ z2 ⎠ z = P2 · e = ⎝ 0 3 ⎠ · e2 e1 + 2e2 z3 1 2 ⎛

100

9 Vektoren und Matrizen Damit lassen sich die Mengen an benötigten Rohstoffen r1 und r2 in Abhängigkeit der zu produzierenden Endprodukte e1 und e2 berechnen. Es folgt: r1 = 3(3e1 + e2 ) + (3e2 ) + 2(e1 + 2e2 ) = 11e1 + 10e2 r2 = 2(3e1 + e2 ) + 3(3e2 ) + 4(e1 + 2e2 ) = 10e1 + 19e2 Dieses Ergebnis lässt sich auch als Matrix C der Gesamtverarbeitung darstellen, welche wiederum auch durch das Produkt der beiden Produktionsmatrizen P1 und P2 entsteht:  C=

11 10 10 19



 = P1 · P2 =

3 1 2 2 3 4



⎛

⎞ 3 1 ·⎝0 3⎠ 1 2

Die Matrix der Gesamtverarbeitung verknüpft damit direkt die benötigten Rohstoffmengen mit den Mengen der zu produzierenden Endprodukte. Es lässt sich auch schreiben:  C· b)

e1 e2



 =

r1 r2



Für die gesuchten Rohstoffkosten je produziertes Endprodukt ist der Preisvektor q der Rohstoffe mit der Matrix der Gesamtverarbeitung C zu multiplizieren. Damit folgt:  (q1 , q2 ) · C = (2, 4) ·

11 10 10 19

 = (62, 96)

Also entstehen für je Endprodukt e1 , e2 Rohstoffkosten in Höhe von 62 respektive 96 Geldeinheiten. c)

Mit den vorgegebenen zu produzierenden Endproduktmengen von e1 = 10 und e2 = 5 Einheiten lassen sich durch Multiplikation mit der Matrix der Gesamtverarbeitung der Rohstoffbedarf - und damit die Mengen an Rohstoffen r1 und r2 - wie folgt berechnen: 

11 10 10 19

     10 160 · = 5 195

Somit werden zur Produktion der genannten Endproduktmengen insgesamt 160 Mengeneinheiten des Rohstoffes r1 und 195 Mengeneinheiten des Rohstoffes r2 benötigt. d)

Der Erlös bestimmt sich grundsätzlich aus dem Produkt von Preis und Menge. Die Endproduktpreise können in dieser Aufgabe durch den Preisvektor p und die Endproduktmengen durch den Vektor e ausgedrückt werden. Dann bestimmt sich der Erlös aus dem

9.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 9

101

Skalarprodukt dieser beiden Vektoren und es folgt:  p · e = (70, 95) ·  T

10 5

 = 1.175

Durch den Verkauf der genannten zwei Endproduktmengen wird in diesem Fall ein Erlös von 1.175 Geldeinheiten erzielt.

9.2

Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 9

Zum Thema Vektoren und Matrizen werden im Folgenden noch weitere Aufgaben und die dazugehörigen Lösungswege aufgezeigt, um den Lesern die Möglichkeit zu geben, durch weiteres Üben das Gelernte zu verfestigen. Aufgabe 9-12: Eine Getreidemühle beliefert vier Bäckereien mit drei Sorten Mehl. Folgende Bestellung ist zu realisieren: Bäcker B1: 5 Säcke der Sorte A, 3 Säcke der Sorte B, 10 Säcke der Sorte C Bäcker B2: 10 Säcke der Sorte A, 5 Säcke der Sorte B Bäcker B3: 15 Säcke der Sorte A, 10 Säcke der Sorte C Bäcker B4: 10 Säcke der Sorte A, 4 Säcke der Sorte B, 6 Säcke der Sorte C Die Preise in Euro pro Sack für die Sorte A, B bzw. C sind in einem Preisvektor wie folgt zusammengefasst:   pT = 30, 25, 35 Notieren Sie die Auslieferung an die Bäckereien als Matrix und berechnen Sie die Euro-Beträge, die die vier Bäckereien zu zahlen haben. Lösung: Die gesuchte Matrix stellt den Zusammenhang zwischen den vier Bäckereien und ihren Mengen an Lieferungen der drei Sorten Mehl dar. Es ergibt sich somit die (4x3)-Matrix: ⎛ ⎞ 5 3 10 ⎜10 5 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝15 0 10⎠ 10 4 6 Aus dieser Matrix ist beispielsweise abzulesen, dass die dritte Bäckerei (Zeile 3) mit 15 Säcken Mehl der Sorte A (Spalte 1) beliefert wurde. Die Bäckereien müssen für ihre Mehllieferungen den für die jeweilige Sorte festgesetzten Preis bezahlen. Um die Beträge zu bestimmen, die jede Bäckerei zu zahlen hat, muss die Matrix mit

102

9 Vektoren und Matrizen

dem Preisvektor multipliziert werden („Menge mal Preis“) und es folgt: ⎛

5 ⎜10 ⎜ ⎝15 10

3 5 0 4

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 10 575 30 ⎜425⎟ 0⎟ ⎟ · ⎝25⎠ = ⎜ ⎟ ⎝800⎠ 10⎠ 35 6 610

Somit muss die erste Bäckerei 575 C, die zweite Bäckerei 425 C, die dritte 800 C und die vierte Bäckerei 610 C für ihre Mehllieferungen bezahlen. Aufgabe 9-13: In einem Produktionsprozess werden aus drei Rohstoffen R1 , R2 und R3 zwei Zwischenprodukte Z1 und Z2 entsprechend untenstehender Zusammenstellung hergestellt (linke Tabelle). Anschließend entstehen aus den beiden Zwischenprodukten Z1 und Z2 (rechte Tabelle, unterer Teil) mit weiteren Rohstoffen R1 und R2 (rechte Tabelle, oberer Teil) in der angegebenen Zusammensetzung zwei verschiedene Endprodukte. Ermitteln Sie, wieviel Rohstoffeinheiten zur Herstellung von je einer Einheit der Endprodukte E1 und E2 benötigt werden! Z1 R1 2 R2 1 R3 2

Z2 1 3 1

E1 E2 R1 1 3 R2 2 1 Z1 4 Z2 3

1 5

Lösung: Um die benötigten Roffstoffeinheiten zu bestimmen sind in diesem Fall zwei Rechenschritte durchzuführen. In einem ersten Schritt wird bestimmt, aus wieviel Einheiten von Rohstoffen die beiden Zwischenprodukte bestehen und wie diese in die Endprodukte eingehen. Es sind also die beiden Produktionsmatrizen wie folgt zu multiplizieren: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞   2 1 11 7 4 1 ⎝1 3 ⎠ · = ⎝13 16⎠ = C1 3 5 2 1 11 7 Da für die zu produzierenden Endprodukte auch direkt die beiden Rohstoffe R1 und R2 benötigt werden, ist in einem zweiten Schritt die Matrix C1 zu der Matrix, die den Zusammenhang zwischen den in die Endprodukte direkt eingehenden Rohstoffeinheiten repräsentiert, zu addieren. Es gilt also: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 3 12 10 C = C1 + ⎝2 1⎠ = ⎝15 17⎠ 0 0 11 7 Die Produktionsmatrix C gibt jetzt genau an, wieviele Rohstoffeinheiten zur Produktion je einer Einheit der Endprodukte benötigt werden. So werden für die Produktion einer Einheit

9.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 9

103

des Endproduktes E1 und einer Einheit E2 genau 12 + 10 = 22 Einheiten des Rohstoffes R1 , 15 + 17 = 32 Einheiten des Rohstoffes R2 und 11 + 7 = 18 Einheiten des Rohstoffes R3 benötigt. Der Rohstoffvektor r, der die Mengeneinheiten r1 , r2 und r3 der Rohstoffe R1 , R2 und R3 umfasst, lässt sich nun auch direkt als Produkt der Produktionsmatrix C mit den Endproduktvektor e (mit den Mengeneinheiten e1 und e2 der Endprodukte E1 und E2 ) darstellen: ⎛ ⎞ 12 10 ⎝ 15 17 ⎠ · e = r 11 7

Aufgabe 9-14: Bestimmen Sie von einer Matrix A die transponierte Matrix AT und berechnen Sie sodann die Summe AT + A und das Produkt AT · A. Die Matrix A lautet: ⎛

⎞ 1 −1 3 A = ⎝4 0 2⎠ 1 −2 5 Lösung:

⎛

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 4 1 1 −1 3 2 3 4 AT + A = ⎝−1 0 −2⎠ + ⎝4 0 2⎠ = ⎝3 0 0 ⎠ 3 2 5 1 −2 5 4 0 10 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 4 1 1 −1 3 18 −3 16 AT · A = ⎝−1 0 −2⎠ · ⎝4 0 2⎠ = ⎝−3 5 −13⎠ 3 2 5 1 −2 5 16 −13 38 Aufgabe 9-15: Gegeben seien die beiden Matrizen A und B mit  A=

2 x+1 1 1



 und

B=

 2x 5x − 1 3 2x − 3

Für welche Werte von x ∈ R gilt A · B = B · A Lösung: Es werden als erstes die beiden Produkte A · B und B · A berechnet: A·B=

      2 x+1 2x 5x − 1 7x + 3 2x2 + 9x − 5 · = 2x + 3 7x − 4 1 1 3 2x − 3

104

9 Vektoren und Matrizen

      2x 5x − 1 2 x+1 9x − 1 2x2 + 7x − 1 B·A = · = 2x + 3 5x 3 2x − 3 1 1 Für die Erfüllung des Kommutativgesetzes müssen die vier Koeefizienten der beiden Produktmatrizen A · B und B · A identisch sein. Setzt man die Koeeffizienten gleich, erhält man den gesuchten Wert für x. Aus 7x + 3 = 9x − 1 folgt also, dass 2x = 4 und somit ist hier x = 2; und aus 2x2 + 9x − 5 = 2x2 + 7x − 1 folgt, dass 2x = 4 und somit ist auch hier x = 2; und aus 2x + 3 = 2x + 3 folgt, dass hier x alle Werte aus R annehmen kann; und aus 7x − 4 = 5x folgt, dass 2x = 4 und somit ist auch hier wieder x = 2. D.h. nur für den Wert von x = 2 gilt A · B = B · A. Damit lauten die beiden Matrizen A und B, die das Kommutativgesetz erfüllen, konkret: A=

  2 3 1 1

und B =

  4 9 3 1

10

Gleichungen und Gleichungssysteme

Mathematische Modelle zur Beschreibung ökonomischer Zusammenhänge basieren vielfach auf einem System mit mehreren Gleichungen. Sind diese Gleichungen linear, also treten die Variablen nur in der ersten Potenz auf und kommen auch keine Produkte der Variablen vor, so spricht man von linearen Gleichungen oder linearen Gleichungssystemen. Im einfachsten Fall werden lineare Gleichungen nur in Abhängigkeit von einer Variablen x betrachtet und man schreibt i.d.R. ax + b = c. Auflösen dieser Gleichung nach x ergibt die Lösung x = c−b a . In der Ökonomie sind aber Abhängigkeiten bekanntlich von mehreren Variablen von Interesse, die im Falle der Gleichungen und Gleichungssysteme dann mit x1 , x2 , ..., xn abgekürzt werden. Es liegen in der Ökonomie vielfältige Anwendungsmöglichkeiten linearer Gleichungen und Gleichungssysteme vor; beispielsweise in der Input-Output-Analyse, Break-Even-Analyse, innerbetrieblichen Leistungsverrechnung oder Linearen Optimierung. Dies war Gegenstand dieses Kapitels. Es ging um das Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme und um die Anwendung des Gaußschen Algorithmus. Des Weiteren wurde die Matrixinversion und das Rechnen mit Determinanten vorgestellt. Abgeschlossen wurde das Kapitel mit einer wichtigen Anwendungsmöglichkeit linearer Gleichungssysteme in der Ökonomie, nämlich der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung.

10.1

Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 10

Nachfolgend werden die Aufgaben aus Kapitel 10 des Lehrbuches „Mathematik in der Betriebswirtschaft“ mit ihren dazugehörigen Lösungswegen im Detail vorgestellt. Aufgabe 10-1: Gegeben seien die Matrix A und die Vektoren x und b wie folgt: ⎛ ⎞     x1 1 −2 2 12  ⎝ ⎠ A= x = x2 b= −1 0 1 4 x3 Formulieren Sie die zu der Matrizengleichung Ax = b gehörenden linearen Gleichungen.

106

10 Gleichungen und Gleichungssysteme

Lösung: Das lineare Gleichungssystem kann wie folgt geschrieben werden: x1 − 2x2 + 2x3 = 12 −x1

+ x3 =

4

Aufgabe 10-2: Ein junger Student bekam von seiner Großmutter 3.600 C geschenkt. Da er dieses Geld langfristig für die Zukunft anlegen möchte, kauft er hierfür 20 Aktienfonds-, 100 Rentenfonds- und 3 Geldmarktfondsanteile. Dabei wählt er ein Verhältnis von Geldmarktfonds zu Rentenfonds von 10 zu 1. Als sein Vater von der Anlageentscheidung seines Sohnes erfährt, unterstützt er ihn weiter und investiert in das Depot des Sohnes nochmal 1.600 C. Er kauft für ihn noch 20 Aktienfonds-, 20 Rentenfondsanteile und einen Geldmarktfondsanteil. Formulieren Sie für diese Transaktionen ein lineares Gleichungssystem. Lösung: Bezeichnet man mit x1 , x2 und x3 die Anteile des Aktienfonds, des Rentenfonds und respektive des Geldmarktfonds, so lässt sich das angegegebenen Verhältnis von Geldmarkt- zu Rentenfonds als xx32 = 10 1 schreiben. Daraus folgt, dass x3 = 10 · x2 ist. Das gesuchte lineare Gleichungssystem lautet damit: 20x1 + 100x2 + 3x3 = 3.600 10x2 − x3 =

0

20x1 + 20x2 + x3 = 1.600 Aufgabe 10-3: Lösen Sie mit den angesprochenen Umformungsmöglichkeiten folgende drei Gleichungssysteme: a)

x1 3 · x1

− −

4 · x2 x2

= =

1 14

b)

4 · x1 6 · x1

− +

x2 x2

= =

10 10

c)

2 · x1 8 · x1

+ −

2 · x2 6 · x2

= =

6 52

Lösung: Mit den Umformungsmöglichkeiten sind die sogenannten äquivalenten Umformungen gemeint. Derartige äquivalente Umformungen verändern die Lösungsmenge einer Gleichung nicht. Die drei Gleichungssysteme lassen sich beispielsweise durch folgende Umformungen wie folgt lösen:

10.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 10 a)

Umformung der Gleichungen durch „Einsetzen“: ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

x1 = 1 + 4x2

b)

107

3 · (1 + 4x2 ) − x2 = 14 3 + 12x2 − x2 = 14 11 · x2 = 11 x2 = 1 und x1 = 5

Umformung der Gleichungen durch „Gleichsetzen“: 4x1 − x2 = 10 = 6x1 + x2

4x1 − 10 = x2 = −6x1 + 10

c)

⇒ ⇒ ⇒ sowie ⇒ ⇒ ⇒

4x1 − 6x1 = 2x2 −2x1 = 2x2 x1 = −x2 4x1 + 6x1 = 20 10x1 = 20 x1 = 2 und somit x2 = −2

Umformung der Gleichungen durch „Addition“: −8x1 − 8x2 = −24 und 8x1 − 6x2 = 52 ⇒ −14x2 = 28 2x1 + 2 · (−2) = 6 ⇒ 2x1 = 4 + 6 = 10

⇒

x2 = −2

⇒

x1 = 5

Aufgabe 10-4: Bestimmen Sie den Rang folgender zwei Matrizen: ⎛

⎞ 4 2 −4 4 A = ⎝ 1 −1 2 4 ⎠ −1 −2 4 2

⎛

⎞ 2 0 0 B=⎝0 2 0⎠ 0 0 2

Lösung: Zur Bestimmung des Ranges wird der Gauß Algorithmus angewendet: I II III

4 1 −1

2 −1 −2

−4 2 4

4 4 2

− 21 I 4II−I=II’ 4III+I=III’

2 0 0

1 −6 −6

−2 12 12

2 12 12

108

10 Gleichungen und Gleichungssysteme 2 0 0

1 6 II’

II’−III’

1 −1 0

−2 2 0

2 2 0

Die dritte Zeile hat nur Nullen und damit besitzt die Matrix A nur zwei unabhängige Zeilen. D.h. der Rang der Matrix A ist somit 2. I II III

2 0 0

0 2 0

0 0 2

1 2I 1 2 II 1 2 III

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Die Spalten repäsentieren jeweils den Einheitsvektor und somit sind alle drei Spaltenvektoren linear unabhängig. Der Rang dieser Matrix B ist also 3. Aufgabe 10-5: Löse folgende erweiterte Matrix mit dem Gauß-Algorithmus: ⎛

⎞ .. 20 100 3 . 3.600 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ . ⎜ 0 10 −1 .. 0⎟ ⎝ ⎠ .. 20 20 1 . 1.600 Lösung: Anwendung des Gaußschen Algorithmus auf die erweiterte Matrix ergibt: I II III

20 0 20

100 10 20

3 −1 1

3600 0 1600

II=II’ I−III=III’

20 0 0

100 10 80

3 −1 2

3600 0 2000

20 0 0

100 10 0

3 −1 5

3600 0 1000

1 2 III’−4II’

10.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 10

109

Daraus folgt für x3 = 200 und mit 10x2 − 200 = 0 folgt für x2 = 20. Und für x1 muss 20x1 + 2000 + 600 = 3600 gelten und so ist x1 = 50. Der Lösungsvektor lautet somit xT = (50, 20, 200). Aufgabe 10-6: Bestimmen Sie die Lösung x1 , x2 , x3 des folgenden linearen Gleichungssystems mithilfe des Gaußschen Algorithmus: 7x1 −x1 −4x1

+ − +

3x2 2x2 x2

− + −

5x3 4x3 3x3

= = =

−12 5 1

Lösung: Durch die Anwendung des Gaußschen Algorithmus folgt in diesem Fall: I II III

7 −1 −4

3 −2 1

−5 4 −3

−12 5 1

4I=I’ 28II=II’ 7III=III’

28 −28 −28

12 −56 7

−20 112 −21

−48 140 7

I’=I” II’+I’=II” III’+I’=III”

28 0 0

12 −44 19

−20 92 −41

−48 92 −41

7 0 0

3 −11 0

−5 23 −1

−12 23 −1

1 4 I” 1 4 II”

1 56 (44III”+19II”)

Daraus berechnen sich die Variablen x1 , x2 und x3 durch sukzessives Einsetzen zu x3 = 1, x2 = 0 und x1 = −1. Aufgabe 10-7: Bestimmen Sie die Lösung des von vier Variablen linear abhängigen inhomogenen Gleichungssystems: x1 −2x1 x1 −3x1

+ + − +

3x2 x2 3x2 4x2

− − + −

2x3 4x3 x3 6x3

+ −

x4 5x4

+

2x4

= = = =

−7 −6 6 −21

110

10 Gleichungen und Gleichungssysteme

Lösung: Es wird die erweitere Matrix aufgestellt und mit dem Gauß-Algorithmus die Lösung wie folgt bestimmt: I II III IV

1 −2 1 −3

3 1 −3 4

−2 −4 1 −6

1 −5 0 2

−7 −6 6 −21

2I+II=II’ I−III=III’ 3I+IV=IV’

1 0 0 0

3 7 6 13

−2 −8 −3 −12

1 −3 1 5

−7 −20 −13 −42

6II’−7III’=III” 13II’−7IV’=IV”

1 0 0 0

3 7 0 0

−2 −8 −27 −20

1 −3 −25 −74

−7 −20 −29 34

1 0 0 0

3 7 0 0

−2 −8 −10 0

1 −3 −37 1498

−7 −20 17 −1498

1 2 IV”

20III”−27IV”

Daraus lassen sich die Variablen bestimmen: x4 = −1, x3 = 2, x2 = −1 und x1 = 1. Aufgabe 10-8: Ein Unternehmen stellt drei Erzeugnisse E1 , E2 , E3 her, die auf den Maschinen M1 , M2 , M3 bearbeitet werden. Um eine Einheit Ei auf den Maschinen zu bearbeiten, werden unterschiedliche Maschinenlaufzeiten benötigt. Aus der nachfolgenden Tabelle ist ersichtlich, wie viele Stunden hierfür jeweils benötigt werden.

je E1 je E2 je E3

M1 3 2 3

M2 2 0 5

M3 1 2 4

Wie viele Einheiten eines jeden Erzeugnisses werden in dem Unternehmen produziert, wenn jede Maschine genau 120 Stunden arbeitet?

10.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 10

111

Lösung: Zur Bestimmung der in 120 Stunden zu produzierenden Mengeneinheiten an Erzeugnissen E1 , E2 und E3 wird als erstes die obige Tabelle interpretiert. Betrachtet man beispielsweise den Zahlenwert 3 in der Tabelle links oben, so besagt dieser Wert, dass für die Produktion des Erzeugnisses E1 die Maschine M1 3 Stunden arbeiten muss. Für dieses Erzeugnis muss aber auch Maschine M2 und M3 arbeiten. Deren Maschinenlaufzeiten liegen hierfür bei zwei, respektive einer Stunde. Diese Informationen sind also in den Spalten der Tabelle ablesbar. Interessiert man sich nun aber für die in den Zeilen der Tabelle abgetragenen Werte, so sieht man beispielsweise, dass die Maschine M1 zur Herstellung je einer Mengeneinheit E1 3 Stunden, je einer Mengeneinheit E2 2 Stunden und je einer Mengeneinheit E3 3 Stunden arbeiten muss. Diese Informationen ermöglichen es nun die Zusammenhänge in Gleichungen auszuformulieren. Unter Beachtung der Einheiten lässt sich beispielsweise für die gesamte Laufzeit der  h): Maschine M1 auch schreiben (Info: Stunde = 3h 2h 3h · E1 + · E2 + · E3 = M1 E1 E2 E3

in Stunden h

Entsprechend lassen sich die beiden Gleichungen auch für die Laufzeiten der Maschinen M2 und M3 aufstellen. Dieses lineare Gleichungssystem kann dann in einer Matrizengleichung wie folgt geschrieben werden: ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ M1 3 2 3 E1 ⎝ 2 0 5 ⎠ · ⎝ E2 ⎠ = ⎝ M2 ⎠ E3 M3 1 2 4 ⎛

Da konkret die Maschinen jeweils 120 Stunden arbeiten sollen, kann man schreiben: ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ 120 3 2 3 E1 ⎝ 2 0 5 ⎠ · ⎝ E2 ⎠ = ⎝ 120 ⎠ E3 120 1 2 4 ⎛

 erhält man durch Anwendung des Gauß-Algorithmus wie folgt: Den Lösungsvektor E I II III

3 2 1

2 0 2

3 5 4

120 120 120

2I−3II=II’ I−3III=III’

3 0 0

2 4 −4

3 −9 −9

120 −120 −240

112

10 Gleichungen und Gleichungssysteme 3 0 0

−II’+III’

2 4 0

3 −9 18

120 −120 360

Hieraus berechnen sich die Werte zu E3 = 20, E2 = 15 und E1 = 10. Damit lautet der  T = (10, 15, 20) und d.h., wenn alle drei Maschinen genau 120 Stunden Lösungsvektor E arbeiten werden 10 Mengeneinheiten des Erzeugnisses E1 , 15 Mengeneinheiten des Erzeugnisses E2 und 20 Mengeneinheiten des Erzeugnisses E3 produziert. Aufgabe 10-9: Berechnen Sie die Inversen der beiden Matrizen A und B:  A=

0 −1 1 0

⎛

⎞ 1 2 3 B=⎝1 2 1⎠ 1 3 4

 ;

Lösung: Zur Bestimmung der Inversen A−1 wird die um die Einheitsmatrix E erweitere Matrix (A|E) wie folgt umgeformt: I II

0 1

−1 0

1 0

0 1

II −I

1 0

0 1

0 −1

1 0 

Damit lautet die Inverse A−1 =

 0 1 . −1 0

Zur Bestimmung der Inversen B−1 wird die um die Einheitsmatrix E erweitere Matrix (B|E) wie folgt umgeformt:

I II III

1 1 1

2 2 3

3 1 4

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I=I’ I−II=II’ III−I=III’

1 0 0

2 0 1

3 2 1

1 1 −1

0 −1 0

0 0 1

10.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 10

113

I’=I” 2III’−II’=II” 1 2 II’=III”

1 0 0

2 2 0

3 0 1

1 −3

1 2 II”=II”’

I”−II”

III”=III”’

1 0 0

0 1 0

3 0 1

I”’−3III”’=I”” II”’=II”” III”’=III””

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎛ Damit lautet die Inverse B−1 = ⎝

5 2 − 23 1 2

1 2

0 1

− 12

0 2 0

4 − 23

−1

1 2

1 2 − 12

−2 1 0

5 2 − 23 1 2

1 2 1 2 − 12

−2 1 0

1 2 1 2 − 12

⎞ −2 1 ⎠. 0

Aufgabe 10-10: Bestimmen Sie x mithilfe der inversen Koeffizientenmatrix A−1 des folgenden Gleichungssystems: x1 + 3x2 + 3x3 = 12 x1 + 3x2 + 4x3 = 13 x1 + 4x2 + 3x3 = 14 Lösung: Zur Bestimmung der Inversen A−1 wird die nachfolgende erweiterte Matrix (A|E) mit dem Gaußschen Algorithmus wie folgt umgeformt:

I II III

1 1 1

3 3 4

3 4 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I=I’ II−I=II’ III−I=III’

1 0 0

3 0 1

3 1 0

1 −1 −1

0 1 0

0 0 1

I’−3III’=I” II’=II” III’=III”

1 0 0

0 0 1

3 1 0

4 −1 −1

0 1 0

−3 0 1

114

10 Gleichungen und Gleichungssysteme I”−3II”=I”’ III”=II”’ II”=III”’

1 0 0

0 1 0

0 0 1

7 −1 −1

−3 0 1

−3 1 0

Mit der Beziehung A−1 · b = x und bT = (12, 13, 14) lässt sich x nun berechnen: ⎛

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 7 −3 −3 12 84 − 39 − 42 3 x = ⎝ −1 0 1 ⎠ · ⎝ 13 ⎠ = ⎝ −12 + 0 + 14 ⎠ = ⎝ 2 ⎠ −1 1 0 14 −12 + 13 + 0 1

Aufgabe 10-11: Lösen Sie das lineare Gleichungssystem aus Aufgabe 10-10 mithilfe der Cramerschen Regel. Lösung: Zur Lösung des Gleichungssystems wird nachfolgende Matrizengleichung betrachtet: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 12 1 3 3 x1 ⎝ 1 3 4 ⎠ · ⎝ x2 ⎠ = ⎝ 13 ⎠ x3 14 1 4 3 ⎛

Mit der Cramerschen Regel sind von der Matrix A mehrere Determinanten zu bestimmen. Dies sind zum einen die det A sowie zum zweiten die Determinanten det Ai mit i = 1, 2, 3 der Matrix Ai , die aus der Koeffizientenmatrix A des Gleichungssystems dadurch entsteht, indem man die i-te Spalte durch b ersetzt. Damit berechnen sich x1 , x2 und x3 wie folgt: & & &1 3 3& & & det A = && 1 3 4 && = 1 · 3 · 3 − 1 · 4 · 4 + 3 · 4 · 1 − 3 · 1 · 3 + 3 · 1 · 4 − 3 · 1 · 3 = −1 &1 4 3& & & & 12 3 3 & & & det A1 = && 13 3 4 && = 12 · 3 · 3 − 12 · 4 · 4 + 3 · 4 · 14 − 3 · 13 · 3 + 3 · 13 · 4 & 14 4 3 & −3 · 14 · 3 = −3 & & & 1 12 3 & & & det A2 = && 1 13 4 && = 1 · 13 · 3 − 1 · 14 · 1 + 12 · 4 · 1 − 12 · 1 · 3 + 3 · 1 · 14 & 1 14 3 & −3 · 13 · 1 = −2

10.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 10

115

& & & 1 3 12 & & & det A3 = && 1 3 13 && = 1 · 3 · 14 − 1 · 4 · 13 + 3 · 13 · 1 − 3 · 1 · 14 + 12 · 1 · 4 & 1 4 14 & −12 · 3 · 1 = −1 also

x1 =

det A1 =3 det A

x2 =

det A2 =2 det A

x3 =

det A3 =1 det A

Aufgabe 10-12: Gegeben seien drei Hilfsbetriebe A, B und C, in denen in einer Zeitperiode primäre Kosten von 950, 150 bzw. 550 GE enstehen. Sie erstellen in der gleichen Zeit Leistungen von 80, 50 bzw. 50 LE, die sie, soweit sie nicht an andere Hilfsbetriebe liefert, an die Hauptbetriebe abgibt. So liefert der Hilfsbetrieb A von den erzeugten 80 LE die Mengen von 10 LE an B und 5 LE an C. Die gesamten Daten sind in nachfolgender Tabelle aufgeführt:

von Hilfsbetrieb

an Hilfsbetrieb A B C 0 10 5 20 0 10 30 10 0

A B C

erstellte Leistung

primäre Kosten

80 50 50

950 150 550

Welche Verrechnungspreise und welche primäre Gesamtkosten liegen in diesem Fall vor? Lösung: Die in der Aufgabenstellung dargelegten Zusammenhänge lassen sich auch mit nachfolgendem Gonzintograph verdeutlichen: A 950

10

30 20

B 150

5

10

C 10

550

Für die Hilfsbetriebe A, B und C seien p1 , p2 und p3 die zugehörigen Verrechnungspreise. Damit folgt beispielsweise für den Hilfsbetrieb A, dass dieser Leistungen in einer Kostenhöhe von 80 p1 erstellt. Dafür fallen Primärkosten in Höhe von 950 GE an, sowie Sekundärkosten durch

116

10 Gleichungen und Gleichungssysteme

die Leistungslieferung von Hilfsbetrieb B und C. Also kann folgendes lineares Gleichungssystem aufgestellt werden: 80p1

=

950

+

50p2

=

150

+

10p1

50p3

=

550

+

5p1

20p2

+

+

30p3

+

10p3

10p2

Bringt man alle Variablen der Verrechnungspreise auf eine Seite, so erhält man das folgende Gleichungssystem: 80p1

−

20p2

−

30p3

=

950

−10p1

+

50p2

−

10p3

=

150

−5p1

−

10p2

+

50p3

=

550

das sich mithilfe des Gaußschen Algorithmus wie folgt lösen lässt:

I II III 1 10 I=I’

1 10 (I+8II)=II’

1 10 (I−2III)=III’

(II − III ) = III

80 −10 −5

−20 50 −10

−30 −10 50

950 150 550

8 0 0

−2 38 7

−3 −11 0

95 215 310

8 0 0

−2 38 31

−3 −11 0

95 215 310

Aus der Gleichung III folgt für den Verrechnungspreis p2 = 10 GE/LE. Daraus lässt sich mit Gleichung II der Verrechnungspreis p3 zu 15 GE/LE und abschließend mit Gleichung I  der Verrechnungspreis p1 zu 20 GE/LE berechnen. Insgesamt entstehen somit in den Hilfsbetrieben primäre Gesamtkosten in Höhe von 1.650 GE (also die Summe aus 950 GE+150 GE +550 GE). Als Ergebnis folgt kurz zusammengefasst, dass die Verrechnungspreise pT = (20, 10, 15) und die primären Gesamtkosten 1.650 GE sind. Aufgabe 10-13: Betrachtet sei ein Unternehmen mit vier Hilfsbetrieben, die die drei Hauptkostenstellen sowie sich selbst untereinander wechselseitig beliefern. Die entsprechenden Leistungseinheiten und primäre Kosten zeigt die nachfolgende Tabelle:

10.1 Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 10

A B C D

von Hilfsbetrieb

117

an Hilfsbetrieb (LE) A B C D 10 30 40 50 40 10 50 100 100 80 0 40 80 20 20 30

an Hauptkostenstelle (LE) H1 H 2 H3 80 90 100 100 150 150 180 70 30 250 200 200

primäre Kosten (GE) 2020 3700 1960 7700

Bestimmen Sie die Verrechnungspreise (in GE /LE) für die Leistungen der vier Hilfsbetriebe und die Kostenumlage der Primärkosten auf die drei Hauptkostenstellen. Lösung: Für die die vier Kostenstellen lassen sich die folgenden vier Gleichungen aufstellen: 2020 + 10p1 + 40p2 + 100p3 + 80p4 = (10 + 30 + 40 + 50 + 80 + 90 + 100)p1 = 400p1 3700 + 30p1 + 10p2 + 80p3 + 20p4 = (40 + 10 + 50 + 100 + 100 + 150 + 150)p2 = 600p2 1960 + 40p1 + 50p2 + 0p3 + 20p4 = (100 + 80 + 40 + 180 + 100 + 70 + 30)p3 = 500p2 7700 + 50p1 + 100p2 + 40p3 + 30p4 = (80 + 20 + 20 + 30 + 250 + 200 + 200)p3 = 800p2 Diese vier Gleichungen lassen sich auch in einem linearen Gleichungssystem zusammenfassen: −390p1 30p1 40p1 50p1

+ − + +

40p2 590p2 50p2 100p2

+ + − +

100p3 80p3 500p3 40p3

+ + + −

80p4 20p4 20p4 770p4

= = = =

−2020 −3700 −1960 −7700

Durch die Anwendung des Gaußschen Algorithmus auf die Koeffizientenmatrix erhält man den Lösungsvektor  p: I II III IV

−390 30 40 50

40 −590 50 100

100 80 −500 40

80 20 20 −770

−2020 −3700 −1960 −7700

1 - 10 I=I’ 1 10 II=II’ 1 10 III=III’ 1 10 IV=IV’

39 3 4 5

−4 −59 5 10

−10 8 −50 4

−8 2 2 −77

202 −370 −196 −770

118

10 Gleichungen und Gleichungssysteme

I’−13II’=II” 3III’−4II’=III” 3IV’−5II’=IV”

1 4 (251II”−763III”)=III”’ 1 3 (251IV”−325III”)=IV”’

−1 9 (27563IV”’−17374III”’)

39 0 0 0

−4 763 251 325

−10 −114 −182 −28

−8 −34 −2 −241

202 5012 892 −460

39 0 0 0

−4 763 0 0

−10 −114 27563 17374

−8 −34 −1752 −19947

202 5012 144354 −135120

39 0 0 0

−4 763 0 0

−10 −114 27563 0

−8 −34 −1752 57706657

202 5012 144354 692479884

Daraus folgt, dass p4 = 12, p3 = 6, p2 = 8 und p1 = 10 ist, wobei die ermittelten Preise die Einheit GE/LE besitzen. Damit lautet die Matrizengleichung zur Berechnung der an den drei Hauptkostenstellen anfallenden Kosten H1 , H2 und H3 wie folgt: ⎛ ⎞ 80 90 100 ⎜ 100 150 150 ⎟ ⎟ (p1 , p2 , p3 , p4 ) · ⎜ ⎝ 180 70 30 ⎠ = (H1 , H2 , H3 ) 250 200 200 Daraus bestimmen sich die gesuchten anfallenden Kosten an den drei Hauptkostenstellen: 80p1 + 100p2 + 180p3 + 240p4 = 80 · 10 + 100 · 8 + 180 · 6 + 250 · 12 = 5680GE 90p1 + 150p2 + 70p3 + 200p4 = 90 · 10 + 150 · 8 + 70 · 6 + 200 · 12 = 4920GE 100p1 + 150p2 + 30p3 + 200p4 = 100 · 10 + 150 · 8 + 30 · 6 + 200 · 12 = 4780GE

10.2

Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 10

Zum Thema Gleichungen und Gleichungssysteme werden im Folgenden noch weitere Aufgaben und die dazugehörigen Lösungswege aufgezeigt, um den Lesern die Möglichkeit zu geben, durch weiteres Üben das Gelernte zu verfestigen. Aufgabe 10-14: Gegeben ist das lineare Gleichungssystem mit den reellen Parametern a und b wie folgt: x + y − 2z = 1 5x + 9y − 13z = 1 −5x − 6y + az = b

10.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 10

119

Ermitteln Sie mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus, für welche a, b ∈ R das System genau eine Lösung, keine Lösung bzw. unendlich viele Lösungen besitzt! Lösung: Die Anwendung des Gauß-Algorithmus auf die Koeffizientenmatrix liefert: I II III

1 5 −5

1 9 −6

−2 −13 a

1 1 b

II+III=II’ 5I+III=III’

1 0 0

1 3 −1

−2 a − 13 a − 10

1 b+1 b+5

II’+3III’=III”

1 0 0

1 3 0

−2 a − 13 4a − 43

1 b+1 4b + 16

Die Lösbarkeit lässt sich nun an der letzten Zeile ablesen: • III : 0 0 0 | = 0 : In diesem Fall gibt es keine Lösung. Er tritt ein, wenn 4a − 43 = 0

⇔

a = 10,75

4b + 16 = 0

⇔

b = −4

0 0 0 | 0: • III : Ist die letzte Zeile eine Nullzeile, so ist sie linear abhängig von den übrigen und es gibt unendlich viele Lösungen. Dies tritt ein, wenn a = 10,75

und

b = −4.

0 0 4a − 43 = 0 : • III : Es gibt in diesem Fall genau eine Lösung. Er tritt ein, wenn a = 10,75, und damit folgt aus 4a − 43 = 4b + 16, dass b = a − 14,75 mit a ∈ R\ {10,75}. Aufgabe 10-15: In einem landwirtschaftlichen Betrieb soll aus drei Futtermitteln ein Mischfutter hergestellt werden. Die drei Futtermittel F1 , F2 und F3 enthalten nach der folgenden Tabelle Anteile (in Mengeneinheiten (ME) pro kg) an Kohlenhydraten, Eiweiß und Fett: F1 F2 F3

Kohlenhydrate Eiweiß Fett 4 3 1 6 4 1 5 2 1

120

10 Gleichungen und Gleichungssysteme

a)

Wieviel Kilogramm von F1 , F2 und F3 sind für die Mischung zu verwenden, wenn das Mischfutter 290 ME Kohlenhydrate, 180 ME Eiweiß und 62 ME Fett enthalten soll?

b)

Prüfen Sie, ob mit den vorhandenen Futtermitteln F1 , F2 und F3 ein Mischfutter mit 250 ME Kohlenhydraten, 150 ME Eiweiß und 40 ME Fett hergestellt werden kann!

Lösung: a)

Anwendung des Gauß-Algorithmus liefert hier: 1

4 6 5 290 3 4 2 180

⇒

1 1 1 62

3 2

0 1 0 1

5 4 7 2 1 2

145 2

75

1 ⇒

21

3 2

0 1

5 4 7 2

145 2

75

0 0 1 18

D.h. x3 = 18, x2 = 12 und x1 = 32. Somit sind für das gesuchte Mischfutter 32 kg des Futtermittels F1 , 12 kg des Futtermittels F2 und 18 kg des Futtermittels F3 zu verwenden. b)

Die Anwendung des Gauß-Algorithmus liefert in diesem Falle: 1

4 6 5 250 3 4 2 150 1 1 1 40

⇒

3 2

0 1 0 1

5 4 7 2 1 2

125 2

75

1 ⇒

45

3 2

0 1

5 4 7 2

125 2

75

0 0 1 10

Das Gleichungssystem lässt sich lösen, wobei x1 = −10 ist. Da es sich aber bei der Lösung um Mengeneinheiten von Futtermitteln handelt, macht diese Lösung keinen Sinn. Es lässt sich also kein Mischfutter mit den oben genannten Bestandteilen an Kohlenhydrat, Eiweiß und Fett herstellen. Aufgabe 10-16: Bestimmen Sie den Rang folgender Matrix: ⎛

⎞ −1 0 5 A = ⎝ 2 1 −3⎠ 3 2 −1 Hinweis: Der Rang einer quadratischen Matrix ist die Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten. Verfahren Sie analog wie in Aufgabe 9-8 aus dem Buch. Die Vektoren a, b, c sind hier die Zeilen (oder Spalten) der Matrix A. Existiert keine Lösung für λ und ν, ist der Rang 3. Sind λ und ν eindeutig bestimmbar, so ist der Rang 2. Sollte eine nicht-eindeutige Lösung existieren, ist der Rang 1.

10.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 10

121

Lösung: Die Vektorgleichung a + λb + νb = 0 lässt sich auch als Gleichungssystem schreiben: −1 2 3

+ +

λ 2·λ

5·ν 3·ν ν

+ − −

= = =

0 0 0

[1] [2] [3]

Aus der Gleichung [1] folgt ν = 15 und mit Gleichung [2] bestimmt sich λ dann zu − 75 . Diese beiden Werte erfüllen auch die Gleichung [3], denn 3 − 2 · 75 − 15 = 0. Damit waren λ und ν eindeutig bestimmbar. Die Matrix A hat somit den Rang 2. Alternativ kann zur Bestimmung des Ranges der Matrix auch der Gaußsche Algorithmus angewendet werden. Es folgt: I II III

−1 2 3

0 1 2

5 −3 −1

−I=I’ 2I+II=II’ 3I+III=III’

1 0 0

0 1 2

−5 7 14

2II’−III’

1 0 0

0 1 0

−5 7 0

Die letzte Zeile enthält nur Nullen. Die Matrix hat also nur zwei linear unabhängige Zeilen und damit ist rg(A) = 2. Aufgabe 10-17: Im Betriebsteil A eines Unternehmens sollen die Erzeugnisse E1 und E2 , im Betriebsteil B die Erzeugnisse E3 und E4 aus einem Rohstoff R produziert werden. Insgesamt stehen 6000 Mengeneinheiten (ME) Rohstoff zur Verfügung, wobei man für die Herstellung eines Stückes von E1,2,3,4 jeweils 5, 10, 8 bzw. 4 ME Rohstoff benötigt. Der Betriebsteil A kann für die Produktion 1400 Stunden Maschinenkapazität aufwenden und braucht für ein Stück der Sorte E1 bzw. E2 jeweils 5 Stunden; Betriebsteil B hat eine Kapazität von 900 Stunden Maschinenzeit und benötigt für die Herstellung eines Stückes E3 genau 2 Stunden und für ein Stück E4 genau 3 Stunden. Bestimmen Sie die möglichen Produktionszahlen je Erzeugnis in Abhängigkeit von der Produktionszahl von E4 !

122

10 Gleichungen und Gleichungssysteme

Lösung: Der Gauß-Algorithmus wird nun auf folgendes Gleichungssystem angewendet: Gleichung für Maschine A : 5x1 + 5x2 = 1400 für B : 2x3 + 3x4 = 900 Gleichung für Rohstoff R : 5x1 + 10x2 + 8x3 + 4x4 = 6000 1 1 0 0 280 5 5 0 0 1400 0 0 2 3 900 ⇒ 0 1 1,6 0,8 920 5 10 8 4 6000 0 0 1 1,5 450 ⇒

x3 = 450 − 1,5x4 x2 = 200 + 1,6x4 x1 = 80 − 1,6x4

Aufgabe 10-18: Ein Medizintechnikhersteller produziert Dialysatoren, Blutschlauchsysteme und Kochsalzlösungen. Die Preise betragen für eine Mengeneinheit Dialysatoren p1 , für eine Mengeneinheit Blutschlauchsysteme p2 und für eine Mengeneinheit Kochsalzlösungen p3 . Im Januar eines Jahres wurden zwei Mengeneinheiten von Dialysatoren, eine Mengeneinheit von Blutschlauchsystemen und drei Mengeneinheiten von Kochsalzlösungen verkauft. Damit wurde ein Umsatz von 23 Geldeinheiten erzielt. Im Februar wurden dagegen eine, drei und zwei Mengeneinheiten, und im März dann zwei, vier und eine Mengeneinheit an Dialysatoren, Blutschlauchsysteme und respektive Kochsalzlösungen verkauft. Die Umsätze lagen im Februar und im März jeweils bei 19 Geldeinheiten. Stellen Sie als erstes ein lineares Gleichungssystem für die realisierten Umsätze durch den Verkauf dieser drei Medizinprodukte auf. Formulieren Sie sodann die ermittelten Zusammenhänge als Matrizengleichung. Lösung: Für die drei Produkte Dialysatoren, Blutschlauchsysteme und Kochsalzlösungen werden die drei Variablen x1 , x2 und x3 gewählt. Für die Preise sind die Variablen p1 , p2 und p3 vorgegeben und so lässt sich allgemein für den Gesamtumsatz schreiben: x1 · p1 + x2 · p2 + x3 · p3 = Gesamtumsatz Somit ergibt sich mit den angegebenen Mengeneinheiten und Umsätzen folgendes Gleichungssystem: 2 · p1 + 1 · p2 + 3 · p3 = 23 1 · p1 + 3 · p2 + 2 · p3 = 19 2 · p1 + 4 · p2 + 1 · p3 = 19

10.2 Weitere Aufgaben und Lösungen zum Kapitel 10

123

Mit dem Preisvektor  p lässt dieses Gleichungssystem auch schreiben als ⎛

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 1 3 23 p1 ⎝ 1 3 2 ⎠ · ⎝ p2 ⎠ = ⎝ 19 ⎠ p3 2 4 1 19 Aufgabe 10-19: Gegeben sei das Gleichungssystem aus der Aufgabe A-18. Wie hoch sind die Preise der drei Medizinprodukte? Lösung: Durch Auflösung des Gleichungssystems lassen sich die Preise p1 , p2 , p3 bestimmen: I II III I−2II

III−2II

II

2p1 p1 2p1

+ + +

p2 3p2 4p2

+ + +

−5p2 − 1p3 p3

= = =

3p3 2p3 p3 = =

-15 15-p2

−2p2 − 3p3 2p2 + 3p3 2p2 + 3(15 − p2 ) 2p2 + 45 − 15p2 −13p2 p2 p3 p3 p1 + 3p2 + 2p3 p1 + 6 + 10 p1

= = =

23 19 19

= = = = = = = =

-19 19 19 19 -26 2 15-5·2 5

19 19 3

Die gesuchten Preise sind für die Dialysatoren p1 = 3 Geldeinheiten, für die Blutschlauchsysteme p2 = 2 Geldeinheiten und für die Kochsalzlösungen p3 = 5 Geldeinheiten je Mengeneinheit des Medizintechnikproduktes. Aufgabe 10-20: Gegeben sei die Matrix ⎛

1 1 A=⎝ 1 1+m 1+m 1

⎞ 1 1⎠ . 1

124

10 Gleichungen und Gleichungssysteme

Bestimmen Sie die Inverse dieser Matrix in Abhängigkeit des Parameters m. Für welche m ist die Matrix A invertierbar? Wie lautet die Lösung des Gleichungssystems A · x = b, wenn bT = (m2 , m, 0) ist? Lösung: Als erstes wird die Inverse der Matrix A wie folgt bestimmt: I II III

1 2 1+m

1 1+m 1

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I=I’ I−II=II’ I−III=III’

1 0 −m

1 −m 0

1 0 0

1 1 1

0 −1 0

0 0 −1

I’=I” II’=II” III’+mI’=III”

1 0 0

1 −m m

1 0 m

1 1 1+m

0 −1 0

0 0 −1

I”=I”’ II” =II”’ III”+II”=III”’

1 0 0

1 −m 0

1 0 m

1 1 2+m

0 −1 −1

0 0 −1

−mI”’+III”’=I”” II”’ =II”” III”’=III””

−m 0 0

−m −m 0

0 0 m

2 1 2+m

−1 −1 −1

−1 0 −1

1 m (II””−I””) 1 -m II”” 1 III”” m

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0

1 m

1 −m 1 −m

2+m m

1 m 1 −m

0 1 −m

Damit ist für alle m ∈ R\ {0} die Matrix A invertierbar. Mit dem Vektor bT = (m2 , m, 0) lässt sich für das obige Gleichungssystem der Vektor x wie folgt bestimmen: ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ ⎞ 1 −m 0 m −m m ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 1 0⎠·⎝ m ⎠=⎝ x = A−1 · b = ⎝ − 1 1−m ⎠ m 2+m m

m

1 1 −m −m

0

m2 + 2m − 1

A

Formelsammlung

Grundgesetze Kommutativgesetz

a+b=b+a

a·b=b·a

Assoziativgesetz

(a + b) + c = a + (b + c)

(a · b) · c = a · (b · c)

Distributivgesetz

a · (b + c) = a · b + a · c

Rechnen mit rationalen Zahlen Gleichheit

c a = b d

Erweitern

a·z a = b b·z

Kürzen

a/z a = b b/z

Addition

c ad + bc a + = b d bd

Subtraktion

c ad − bc a − = b d bd

Multiplikation

ac a c · = b d bd

Division

ad a c / = b d bc

wenn a · b = b · a

(z = 0)

Potenzen und Wurzeln an = a · a · a · a · . . . · a , n ∈ N n ≥ 2 , a = 0 , wobei a0 = 1 , a1 = a √ √ √ n a = x ⇔ xn = a, a ≥ 0, n ∈ N , n ≥ 2 , x ≥ 0 , 2 a = a √ √ √ n am · an = am+n a· nb= na·b a−n = 1/an √  √ √ 1 n am /an = am−n a/ n b = n a/b an = n a

126

Formelsammlung

an · bn = (a · b)n n

an /bn = (a/b)

√ √ ( n a)m = n am √ √ √ m n a = mn a = n m a

m

√ n am √ = 1/ n am

an = a

−m n

(am )n = amn = (an )m

Logarithmen x = logb a ⇔ bx = a (a, b > 0 und b = 1) daraus folgt logb b = 1; logb 1 = 0 log(u · v) = log u + log v   log uv = log u − log v

log un = n · log u √ log n u = n1 · log u

Zehnerlogarithmen

log10 x = lg x

Natürlicher Logarithmus

loge x = ln x

logb x = logb g · logg x

logb g · logg b = 1

lg x = M · ln x

M = lg e = 0, 43429448 . . .

ln x =

1 M

· lg x

1 M

mit e = 2, 7182 . . .

= ln 10 = 2, 3025850 . . .

Binomische Formeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

a2 + b2 nicht zerlegbar (im Reellen)

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

Quadratische Gleichung √ b2 − 4ac 2a p  p ± ( )2 − q =− 2 2

ax2 + bx + c = 0 (a = 0)

x1,2 =

x2 + px + q = 0

x1,2

−b ±

Folgen und Reihen arithm. Folge und Reihe

geometr. Folge und Reihe

an+1 − an = d (d = const., n ∈ N) ; an = a1 + (n − 1) · d n sn = · (2a1 + (n − 1) · d) 2 an+1 = q (q = const., n ∈ N) ; an = a1 · q n−1 an 1 − qn qn − 1 = a1 sn = a1 1−q q−1

Formelsammlung

127

Finanzmathematik einfache Verzinsung Zinseszins

Barwert eines abgezinsten Kapitals

Endwert einer Ratenzahlung bei nachschüsiger Verzinsung lineare Abschreibung

geom. degressive Abschreibung

arithm. degressive Abschreibung Barwert einer nachschüssigen Rente Barwert einer vorschüssigen Rente Annuitätentilgung

Kn = K0 + niK0 = K0 (1 + ni) p n ) = K0 (1 + i)n = Kn = K0 · (1 + 100 K0 · q n , mit (1 + i) = q 1 K0 = Kn · = Kn · ν n , (1 + i)n 1 1 = ν= 1+i q 1 − qn Kn = rq · 1−q mit q = (1 + i) = 1 K0 − Kn = Kk = K0 − k · n k k K0 · (1 − ) + · Kn n n Kk = Kk−1 · (1 − i) = K0 · (1 − i)k rk = Kk−1 · i = K0 · (1 − i)k−1 i k Kk = K0 − · [2r1 − (k − 1)d] 2 1 − νn R0 = r · ν · 1− ν n   1−ν R0 = r · 1−ν Sn = S0 q n − aq n−1 − aq n−2 − . . . − a = S0 q n − a(q n−1 + q n−2 + . . . + 1) 1 − qn 1−q 1−q 1 n = S0 · a = S0 q · 1 − qn an T T   et kt C0 = E0 − A − K0 = −A− = t q qt t=1 t=1 T  (et − kt ) = −A + qt t=1

S n = 0 S0 q n = a ·

Kapitalwert einer Investition

Polynomendivision

pn (x) =

n  i=0

ai xi = an (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) · · · (x − xn )

128

Formelsammlung

Spezielle Funktionen und Grunddifferentiale y  = n · xn−1

y = xn √ y= x

1 √ 2 ·  x p p x( q −1) = q 1 = x 1 = x · ln a = ex

y =

p

y = xq

y

y = ln x

y

y = loga x

y

y = ex

y

y = ax

y  = ax · ln a

y = sin x

y  = cos x

y = cos x

y  = − sin x

Differentiationsregeln y = c · f (x)

y  = c · f  (x)

y = f (x) ± g(x) y = f (x) · g(x)

y  = f  (x) ± g  (x) y  = f  (x) · g(x) + g  (x) · f (x)

f (x) mit g(x) = 0 g(x) y = f (g(x)) mit z = g(x) und y = f (z)

f  (x) · g(x) − g  (x) · f (x) (g(x))2    y = f (z) · g (x)

y=

y =

Elastizität

yx = lim

Δx→0

Δy/y Δy/Δx dy/dx dy x x = lim = = · = y · Δx/x Δx→0 y/x y/x dx y y

Funktionen mehrerer Veränderlicher ∂2z  = zxx ∂x2 ∂2z  = zxy ∂x∂y

bzw. bzw.

∂2z  = zyy ∂y 2 ∂2z  = zyx ∂y∂x

 ∂f ∂f ∂f ∂f · dx1 + · dx2 + . . . + · dxn = · xi ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂xi i=1 n

dy =

Formelsammlung

129

Unbestimmtes Integral  f (x) dx = F (x) + c

Bestimmtes Integral 

b

f (x) dx = F (b) − F (a)

Fab = a

Grundintegrale  xn dx =  

1 · xn+1 + c n+1

mit n = −1

1 dx = ln |x| + c x ex dx = ex + c

 sin x dx = − cos x + c  cos x dx = sin x + c

Integrationsregeln 

 a · f (x) dx = a ·

f (x) dx mit a = const.   (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx    (f (x) · g (x)) dx = f (x) · g(x) − f  (x) · g(x) dx    f (g(x)) · g (x) dx mit z = g(x) folgt f (z) dz 

Addition von Matrizen (aij ) + (bij ) = (aij + bij ) bzw. (aij ) − (bij ) = (aij − bij )

130

Formelsammlung

Skalarprodukt von Vektoren ⎛

a T

⎞ b1 n  ⎜ ⎟ · b = (a1 , a2 , . . . , an ) · ⎝ ... ⎠ = a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn = ai b i i=1 bn

Gesetze für skalare Vektorprodukte a T b = b T a (a T + b T )c = a T c + b T c

Betrag eines Vektors ' ( n √ ( a2i = aT a |a| = ) i=1

Matrizenmultiplikation ⎛ C = AB = ⎝

n 

⎞ aij bjk ⎠

j=1

AB = BA

Gleichungssystem n 

aij xj = bi

mit i = 1, 2, . . . , m

j=1

⎛

a11 a12 ⎜ a21 a22 ⎜ ⎜ .. .. ⎝. . am1 am2

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x1 b1 . . . a1n ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ . . . a2n ⎟ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ b2 ⎟ · = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ . . ⎟ .. .. . . ⎠ ⎝ .. ⎠ ⎝ .. ⎠ . . . amn xn bm

Formelsammlung

131

Determinante der Ordnung 2 und 3 & &a det A = |A| = && 11 a21 & & b11 & det B = |B| = && b21 & b31

& a12 && = a11 a22 − a21 a12 a22 & & b12 b13 && b22 b23 && b32 b33 &

= b11 b22 b33 − b11 b23 b32 + b12 b23 b31 − b12 b21 b33 + b13 b21 b32 − b13 b22 b31

B

Literaturverzeichnis

Das Thema Mathematik in der Betriebswirtschaft wird in der Literatur in einer fast unüberschaubaren Anzahl von Büchern und Skripten behandelt. Die nachfolgende kleine Auswahl an Literaturstellen wird zum einen den Nutzern dieser Aufgabensammlung mit Lösungen als Ergänzung wie auch Weiterführung und Vertiefung des Stoffes empfohlen, zum anderen hat der Verfasser diese Literatur gelesen und neben allgemeiner Lehrmeinung diese Quellen auch zur Erstellung der vorliegenden Aufgabensammlung mit Lösungen herangezogen. Bosch, Karl (2003): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 14. Aufl., Oldenbourg, München, Wien. Bronstein, Ilja N.; Semendjajew, Konstantin, A. (1979): Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun. Dörsam, Peter(2003): Mathematik anschaulich dargestellt für Studierende der Wirtschaftswissenschaften. 11. überarbeitete und erweiterte Aufl., PD-Verlag, Heidenau. Eichholz, Wolfgang; Vilkner, Eberhard (2002): Taschenbuch der Wirtschaftsmathematik. 3. verbesserte Aufl., Fachbuchverlag, Leipzig. Holland, Heinrich; Holland, Doris (2004): Mathematik im Betrieb. Praxisbezogene Einführung mit Beispielen. 7. überarb. Aufl., Gabler Verlag, Wiesbaden. Jensen, Uwe (2003): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 3. Aufl., Oldenbourg Verlag, München, Wien. Luderer, Bernd; Paape, Conny; Würker, Uwe (2002): Arbeits- und Übungsbuch Wirtschaftsmathematik. Beispiele - Aufgaben - Formeln. 3. durchgesehene Aufl., Teubner Verlag, Stuttgart et al. Mayer, Christoph; Weber, Carsten (2004): Lineare Algebra für Wirtschaftswissenschaftler. Gabler Verlag, Wiesbaden. Ohse, Dietrich (1998): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I - Analysis. 4. Aufl., Verlag Vahlen, München. Ohse, Dietrich (1998): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II - Lineare Wirtschaftsalgebra. 4. Aufl., Verlag Vahlen, München. Rommelfanger, Heinrich (2001): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I. 5. Aufl. Spektrum, Akad. Verl., Heidelberg, New York.

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Literaturverzeichnis

Rommelfanger, Heinrich (2002): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II. 5. Aufl. Spektrum, Akad. Verl., Heidelberg, New York. Schwarze, Jochen (2005): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Band 1: Grundlagen. 12. Aufl., Verlag Neue Wirtschafts-Briefe, Herne, Berlin. Schwarze, Jochen (2005): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Band 2: Differentialund Integralrechnung. 12. Aufl., Verlag Neue Wirtschafts-Briefe, Herne, Berlin. Schwarze, Jochen (2005): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Band 3: Lineare Algebra, Lineare Optimierung und Graphentheorie, 12. Aufl., Verlag Neue Wirtschafts-Briefe, Herne, Berlin. Sydsaeter, Knut; Hammond, Peter (2004): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler - Basiswissen mit Praxisbezug. Pearson Studium, München. Tallig, Heiko (2006): Anwendungsmathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Oldenbourg Verlag, München, Wien. Terveer, Ingolf (2005): Mathematik. UVK Verlagsgesellschaft, Konstanz. Tietze, Jürgen (2005): Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik. 12. Aufl., Vieweg Verlag, Wiesbaden. Tietze, Jürgen (2005): Übungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik. 5. Aufl., Vieweg Verlag, Wiesbaden. Tietze, Jürgen (2004): Einführung in die Finanzmathematik. 7. Aufl., Vieweg Verlag, Wiesbaden. Tietze, Jürgen (2005): Übungsbuch zur Finanzmathematik. 4. Aufl., Vieweg Verlag, Wiesbaden. Walter, Lothar (2011): Mathematik in der Betriebswirtschaft. 3. Aufl., Oldenbourg Verlag, München.

C

Zum Verfasser

Dr. Lothar Walter studierte von 1979 bis 1985 an der Technischen Hochschule Darmstadt Physik, Mathematik und Biochemie. Nach seinem Diplom in Physik war er als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl für Biotechnologie der Universität Würzburg tätig. Hier forschte er auf dem Gebiet der Membranbiophysik. 1990 wechselte er an den Fachbereich Physik/Elektrotechnik der Universität Bremen und promovierte 1992 mit einer Arbeit über NMR-spektroskopische Untersuchungen an pflanzlichen Systemen. Von 1993 bis Mitte 2001 war er für neugegründete Unternehmen im Bereich der Medizintechnik in den neuen Bundesländern aktiv. Sein Tätigkeitsfeld lag in der Erarbeitung von Vertriebskonzepten sowie in der Schaffung und Umsetzung eines für Medizinproduktehersteller geforderten Qualitätsmanagementsystems. Als Vertriebsleiter war er für den Absatz der Produkte in Deutschland verantwortlich. Seit September 2001 arbeitet Dr. Lothar Walter als Akademischer Oberrat am Lehrstuhl für Innovation und Kompetenztransfer von Prof. Dr. Martin G. Möhrle im Fachbereich Wirtschaftswissenschaft der Universität Bremen. Als Senior Researcher der Universität Bremen forscht er auf dem Gebiet des Intellectual Property Managements, insbesondere stehen hier Fragen zum methodischen Erfinden, zur Organisation der internationalen Patentarbeit, und zur Informationserschließung aus Patenten mittels computergestützten Patentanalysen im Vordergrund. Hier setzt er das Potenzial semantischer Textanalysen und des Patent Mappings zur Visualisierung der inhaltlichen Verknüpfung von Patenten ein. Seit 2003 ist Dr. Lothar Walter als Dozent für das Fach Mathematik an der Hanseatischen Verwaltungs- und Wirtschaftsakademie (VWA) und seit 2010 auch an der Hochschule für Ökonomie und Management (FOM) in Bremen tätig. An der Universität Bremen lehrt er das Fach Mathematik im Bachelorstudiengang Betriebswirtschaftslehre seit 2006. Weitere Informationen unter: www.innovation.uni-bremen.de

Index Abschreibung, 31 arithmetisch degressiv, 36 geometrisch degressiv, 35 Arithmetik, 1, 13 Bildungsgesetz, 23 Differentialrechnung, 61 Kettenregel, 61 partielle Ableitung, 76 Produktregel, 62 Quotientenregel, 62 Tangente, 71 Elastizität, 61, 64 partielle, 77 Punktelastizität, 66 Finanzmathematik, 31 Folge, 23 arithmetische, 23 Fibonacci, 26 geometrische, 23 Grenzwert einer, 27 Funktionen, 45 Eigenschaften, 56 elementare, 45 gebrochen rationale, 47 Gewinn, 49 Kosten, 49 mit mehreren Veränderlichen, 75 Nullstellen, 45 ökonomische, 45 Polstellen, 47 Preis-Absatz, 49

Umkehrfunktion, 50 Umsatz, 49 Gleichungen, 105 äquivalente Umformungen, 106 Gleichungssystem, 105 Gauß Algorithmus, 107 inhomogenes, 109 lineares, 97, 106 Gonzintograph, 115 Grenzänderung, 61 Grenzkosten, 86 Induktion, 18 vollständige, 18 Integral, 81 bestimmte, 81 unbestimmte, 81 Integralrechnung, 81 partielle Integration, 81, 82 Substitutionsregel, 83 Kapitalwertmethode, 31 Barwert, 42 Tilgungsplan, 42 Kurvendiskussion Maxima und Minima, 61 Steigung, 61 Wendepunkt, 61 Kurvendskussion, 61 Lineare Algebra, 93 Matrix, 93 Einheitsmatrix, 112 erweiterte, 108

138 inverse, 112 Nullmatrix, 95 Rang, 108 symmetrisch, 94 Transponierte, 94 Mengenlehre, 13 Nullstellen, 45 Polynomdivision, 46 Produktzeichen, 13 Reihe, 23 arithmetische, 23 geometrische, 23

Index Renten, 31 nachschüssige, 36 vorschüssige, 36 Summenzeichen, 13 Vektor, 93 linear unabhängig, 97 Skalarprodukt, 97, 98 Zins, 31 Effektivzins, 33, 34 einfache Verzinsung, 31, 32 interne Zinsfuss, 31 Ratenzahlung, 35 Zinseszins, 31, 33