Aufgabensammlung mit Lösungen zur Mathematik für Nichtmathematiker 9783486593792, 9783486238723

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Aufgabensammlung mit Lösungen zur

Mathematik für Nichtmathematiker Grundbegriffe

Funktionen einer und mehrerer Veränderlicher- Folgen und Reihen,Zinsrechnung Differential- und Integralrechnung-Vektorrechnung und analytische Geometrie- Matrizenrechnung und lineare Gleichungssysteme Kombinatorik und -

-

-

Wahrscheinlichkeitsrechnung Klausuraufgaben -

von

Dr. Martin Bachmaier Dr. Roland Kraft Prof. Dr. Manfred Precht

Oldenbourg Verlag München Wien

Dr. Martin Bachmaier lehrt am Wissenschaftszentrum Weihenstephan der Technischen Universität München. Dr. Roland Kraft, Diplom-Agraringenieur und Physiker, war viele Jahre lang Mitarbeiter der Abteilung Mathematik und Statistik an der TU München-Weihenstephan. Prof. Dr. Manfred Precht, Diplom-Mathematiker, war 30 Jahre lang Leiter dieser Abteilung sowie der Datenverarbeitungsstelle an der TU München-Weihenstephan.

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen

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© 2006 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0

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Lektorat: Stephanie Schumacher-Gebler Herstellung: Anna Grosser Umschlagkonzeption: Kraxenberger Kommunikationshaus, München

Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Druckhaus „Thomas Müntzer" GmbH, Bad Langensalza ISBN 3-486-23872-8 ISBN 978-3-486-23872-3

Inhalt Vorwort I. Teil: 1

IX

Aufgaben

Mathematische Grundbegriffe Potenzen und Logarithmen.

1

Gleichungen, Ungleichungen und Absolutbetrag.

2

Prozentrechnen. Rechnen mit dem Summenzeichen, Mittelwerte. Fakultät und Binomialkoeffizient. Induktionsbeweise. Komplexe Zahlen.

3

Mengenlehre 2

1

.

6

7 7 8 11

Geraden. Parabeln.

11 12

Kubische Funktionen und weitere

15

.

16 18 21

22 26

Folgen, Grenzwerte, Reihen, Zinsrechnung Folgen, Grenzwerte.

29

Reihen.

32

Zinsrechnung. Anwendung der Zinsrechnungsformeln auf Bereiche

34

außerhalb des Bankwesens.

4

4

Funktionen einer reellen Veränderlichen

Polynome. Exponentialfunktionen. Exponentialfunktionen in einfachlogarithmischem Maßstab Potenzfunktionen in doppeltlogarithmischem Maßstab. Trigonometrische Funktionen und Schwingungen. Verschiedene Funktionen und ihre Eigenschaften. 3

1

29

37

Differential- und

39

Begriff

der

39

Höhere

Ableitungen

Integralrechnung Ableitung, Differentiationsregeln. .

41

Inhalt

VI

Kurvendiskussion. Optimierungsprobleme und Extremwertaufgaben aus der Praxis Weitere Anwendungen der Ableitung in der Praxis.

42 45

Integralrechnung. Anwendung von Integralen und gemischte Aufgaben zur Differential- und Integralrechnung.

49

Funktionen zweier Veränderlicher

55

Schnitte und Höhenlinien. Partielle Ableitungen.

55 55

Kurvendiskussion.

56

Maximalfehlerrechnung Gaußsche Fehlerrechnung.

56 59

Vektorrechnung und analytische Geometrie Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren. Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Winkel, Länge, Fläche und Volumen

63

...

5

.

6

.

Geraden und Ebenen. 7

47

51

63 64 66

Matrizenrechnung und lineare Gleichungssysteme Matrizenrechnung Lineare Gleichungssysteme

69

8

Lineare

77

9

Kombinatorik und

.

.

Optimierung

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kombinatorik.

79

79 82

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes. Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz.

86 88

.

10

69 73

Klausuraufgaben

93

Erste Klausur in Mathematik.

93

Zweite Klausur in Mathematik. Dritte Klausur in Mathematik.

95

Vierte Klausur in Mathmatik.

99

97

Inhalt_

VII

II. Teil:

103

1

2

Lösungen

Mathematische Grundbegriffe 103 Potenzen und Logarithmen. 103

Gleichungen, Ungleichungen und Absolutbetrag.

106

Prozentrechnen.

HO

Rechnen mit dem

Summenzeichen, Mittelwerte. Fakultät und Binomialkoeffizient.

112

Induktionsbeweise. Komplexe Zahlen.

117 118

Mengenlehre

119

.

Funktionen einer reellen Veränderlichen

125

Geraden. Parabeln. Kubische Funktionen und weitere Polynome.

125 132 135

Folgen, Grenzwerte, Reihen, Zinsrechnung Folgen, Grenzwerte.

159

Reihen.

167

Zinsrechnung. Anwendung der Zinsrechnungsformeln auf Bereiche

174

außerhalb des Bankwesens.

4

128

Exponentialfunktionen. Exponentialfunktionen in einfachlogarithmischem Maßstab Potenzfunktionen in doppeltlogarithmischem Maßstab. Trigonometrische Funktionen und Schwingungen. Verschiedene Funktionen und ihre Eigenschaften. .

3

115

138 142 144

152

159

181

183 Differential- und Integralrechnung Begriff der Ableitung, Differentiationsregeln. 183 189 Höhere Ableitungen Kurvendiskussion. 191 205 Optimierungsprobleme und Extremwertaufgaben aus der Praxis .

.

.

Weitere

Anwendungen der Ableitung

.

in der Praxis.

211

VIH

Inhalt

Integralrechnung. Anwendung von Integralen und gemischte Aufgaben zur Differential- und Integralrechnung. 5

213 220

229 Funktionen zweier Veränderlicher Schnitte und Höhenlinien. 229 Partielle Ableitungen. 231

Kurvendiskussion. 234

Maximalfehlerrechnung Fehlerrechnung. .

235

Gaußsche

239

Vektorrechnung und analytische Geometrie Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren. Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Winkel, Länge, Fläche und Volumen

247

Geraden und Ebenen.

252

Matrizenrechnung und lineare Gleichungssysteme Matrizenrechnung Lineare Gleichungssysteme

263

8

Lineare

281

9

Kombinatorik und

6

.

7

.

.

Optimierung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Kombinatorik.

247 249

263 271

285 285

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. 288 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes. 294 Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz. 297 10

Klausuraufgaben

309

Erste Klausur in Mathematik. Zweite Klausur in Mathematik.

309

Dritte Klausur in Mathematik. Vierte Klausur in Mathematik

314

.

312 317

Vorwort vorliegende Sammlung von knapp 400 Übungsaufgaben und weit über 1000 Teilaufgaben mit Lösungen umfasst zum größten Teil den Stoff der beiden

Die

Bücher Mathematik für Nichtmathematiker, Band 1 und 2. Er bezieht sich auf Studiengänge, in denen Mathematik nicht die Hauptrolle spielt, in denen man aber ohne sie nicht auskommt. Den Stoff der Ingenieurwissenschaften, der vertieft Differentialgleichungen behandelt, deckt diese Aufgabensammlung nicht ab.

Aufgaben stammen aus unseren langjährigen Übungen, die wir zusammit der Mathematik-Vorlesung an der Technischen Universität MünchenWeihenstephan durchgeführt haben. Viele davon wurden in Klausuren oder Diplomvorprüfungen gestellt. Einige Original-Klausuraufgaben sind am Ende der Sammlung gesondert aufgenommen. Die schönsten anwendungsbezogenen Aufgaben verdanken wir unserem leider schon verstorbenen Kollegen und Koautor Roland Kraft. Seine Aufgaben sind aus der Praxis gegriffen und zeigen, dass Mathematik in nahezu allen Gebieten Die

men

der Wissenschaft unerlässlich ist.

Zusammenstellung von Übungsaufgaben hat sicherlich den Vorteil, den Lösungsgang der Aufgaben im Einzelnen jederzeit bequem nachvollziehen zu können. Auf der anderen Seite besteht aber in dem Bewusstsein, dass alle Lösungen schwarz auf weiß vor einem liegen, auch die Gefahr, sich nicht oder zu wenig mit dem selbständigen Durchrechnen der Aufgaben zu beschäftigen. Daher appellieren wir eindringlich an Sie, diese Lösungen nicht als Ersatz für eigene Arbeit zu nehmen, sondern als zusätzliche Hilfestellung, Orientierung und Kontrolle bei der Lösung der mathematischen Aufgaben zu verstehen. Die vorliegenden Lösungen erheben nicht den Anspruch, jeweils die kürzeste oder eleganteste zu sein. Manch einer mag einen Lösungsweg finden, der ihm besser gefällt. Wir können auch nicht ausschließen, dass noch Fehler enthalten sind. Für Hinweise, Anregungen bzw. Korrekturen sind wir jederzeit dankbar. Wir danken Herrn Joachim Billinger für das Schreiben vieler Textvorlagen in IATeX und die Erstellung vieler der gerahmten Funktionsskizzen. Ferner gilt unser Dank Frau Inge Precht für wichtige Ergänzungen und ihren großen Beitrag zur Überarbeitung dieser Aufgabensammlung. Generell möchten wir uns bei all jenen bedanken, die zu dieser Sammlung von Aufgaben beigetragen haben. Musikinteressierte finden unter oldenbourg-wissenschaftsverlag.de sechs anspruchsvolle Mathematikaufgaben mit Lösungen. Eine

Freising,

im

April

2006

Martin Bachmaier Manfred Precht

Aufgaben

I. Teil: 1

Mathematische Potenzen und

1.1

Grundbegriffe

Logarithmen

Berechnen Sie

folgende Potenzen ohne Taschenrechner: l5/39 Q4/27 1000 00 ^100

a) 70 b) 81/3 8-V3 84/3 c) O.Ol3/2 10002/3 1.2

1.3

(82)1/3

d) 32°8

(¿)"1/3

8"5/3

16"2-5

folgenden Potenzen als Dezimalzahlen an: 100°3/2 b) 27"1/2 27~5/6 c) (I)1'5

Geben Sie die

a)

8"2

(iübö)1/2

Lösen Sie nach

auf und vereinfachen Sie: a~l

a

b~l

=

—

möglich

sfx2

_}1/2

1.4

Fassen Sie

1.5

Für welche x, y, z sind folgende Wurzeln definiert? Radizieren Sie sie teilweise:

so

weit wie

a) sjx y2 z3 1.6

,

,

,,,

,,,w ,,,

x

4x3 + 6x2

c)

x~1

y~x

tyxn+2 y2""1 •

3

u\ '

b)

V2

/0.00004-25 000 (Q ^

^

folgenden Ausdrücken den 1

c)\'

^+Vb .

/r

6log5

=

500

x

3/r

w

=

ln3

d)' a\

v^+v^

3/(-27)"2

^

x

^^IF

Exponentialgleichungen: c) 2 log 10 z

folgenden Gleichungen

b)

-

Nenner rational:

+y !

- —

(|)4/3

d)

4x + 1

-

a=

3"

b) u

-

Schreiben Sie die

a)

2i3\

-

-

Schreiben Sie die

a)

x1/o

,

_

Machen Sie bei den '

1.9

z7

(»1/3 j,l/3)(a;2/3 + (^1/3+^2/3)

c) vV

1.8

fyx21 yu

(b c)_1

Berechnen Sie:

a)

1.7

b)

zusammen:

0.6-3/2

als

=

folgenden Gleichungen mit Hilfe von Logarithmen: c) ex 10 b) 102 0.000001 =

=

Aufgaben

2

Was

1.11

Bestimmen Sie die

a) d) 1.12

ergibt 2 4

6loga alog6

das Produkt

1.10

folgenden Logarithmen:

b) 3log6 e) or log 0.75

log 37 log 0.25

Berechnen Sie y als Funktion

a)

Ax

=

b)

6y

von

x,

3027x-3

1.56

=

6

d.h.,

log 46 656

y

=

4.1 5V •

und

f(x): c) 22x

b) x2 + y2

Beschreiben Sie die Ungleichung

geometrisch

c)

< 4

in

=

4 e^

Absolutbetrag

Skizzieren Sie die Punktmengen im 1R2, die durch oder Ungleichungen beschrieben werden.

a) x-y 0, a,b ^ 1)?

•

y


9 erfüllt ist.

-

1.15

Geben Sie die

Lösungsmengen

1.16

Für welche

a) s/x$

-

G IR sind die

b) V4x

Bestimmen Sie alle

-3

-

folgenden Quadratwurzeln definiert?

2x2 -

1.17

an:

-

—

x

folgender Ungleichungen

b) |x2 1| < 3 d)' x2 3x 1 >

a) |2x + 6|

J

betrachten wir die

{x e E | 16x e IN} {x G E | 12x e IN} {x e E | 15x e IN}

Schreiben Sie diese Mengen, indem Sie ihre Elemente aufzählen. Bilden Sie aus A, B und C die folgenden Mengen: A

AnB

BUC

A\B

(AnC)UB

AUBUC

AnBnC

(AuC)n(BuC) An (.4 ÜB)

Grundmenge E bestehe aus den acht möglichen Ergebnissen des gleichzeitigen Werfens einer Ein-Cent-, einer Zwei-Cent- und einer FünfDie

Cent-Münze. Jede dieser Münzen hat eine nationale Seite (Wappen W) und eine europäische Seite (Zahl Z). a) Wie lauten die Elemente von E? auf b) Die Teilmenge A enthalte die Ergebnisse der Würfe, bei denen die ErB die das Teilmenge Wappen erscheint, der Ein-Cent-Münze gebnisse, bei denen die drei Münzen das Gleiche zeigen, und Teildie menge C diejenigen, bei der die Anzahl der Wappen größer als an. C und B ist. Sie diese Geben der Zahlen Mengen A, die daraus Sie Bilden Mengen: folgenden c) AUC AUB B Ä Buc

AnB

AnC

Âne

(AnB)nc

(AnB)nc

Bnc

Aufgaben

10

1.56

von denen 40 im Glashaus, die übrigen 60 im Freien worden waren, wurden auf Eigenschaft K (Krankheitsbefall) gezogen und auf Eigenschaft U (Unterschreiten der Mindestgröße) untersucht. Dabei haben sich folgende Zahlen ergeben:

100

—

—

Salatköpfe,

Insgesamt 20 haben die Eigenschaft K, 27 die Eigenschaft U; 20 haben die Eigenschaft U, nicht aber die Eigenschaft K; den im Glashaus gezogenen haben die Eigenschaft K oder beide (oder Eigenschaften K und U); drei von den im Glashaus gezogenen haben die Eigenschaft K, nicht zehn

—

—

—

von

U

aber die

Eigenschaft U;

fünf von den im Glashaus gezogenen haben die aber die Eigenschaft K.

Eigenschaft U, nicht

Wie viele der im Freien gezogenen Salatköpfe haben beide Eigenschaften, sowohl K als auch U? 1.57

In einer Gruppe von 200 Studenten sind 56 Autofahrer, 60 Ökotrophologen, 84 aus Bayern, 16 Autofahrer und 20 Autofahrer und aus Bayern, zehn Ökotrophologen und aus Bayern und sechs Auto-

Ökotrophologen,

fahrer,

Ökotrophologen und aus Bayern.

Stellen Sie diese Beziehungen durch ein

worten Sie

folgende Fragen:

Venn-Diagramm dar und beant-

Wie viele Studenten sind:

a) weder Autofahrer noch Ökotrophologen noch aus Bayern? b) Nicht-Ökotrophologen und Nicht-Autofahrer aus Bayern? c) Autofahrer aus Bayern, die nicht Ökotrophologie studieren? 1.58

Ein Psychologe schickte bei einem Experiment 50 Mäuse in ein Labyrinth und berichtet folgende Zahlen: 25 Mäuse waren männlich; 25 waren vorher abgerichtet; 20 liefen am ersten Abzweigepunkt nach links; zehn waren vorher abgerichtete Männchen; vier männliche Mäuse gingen nach links; 15 vorher abgerichtete Mäuse liefen nach links, von diesen 15 waren drei männlich. Zeichnen Sie das dazugehörige Venn-Diagramm und bestimmen Sie die Zahl der weiblichen Mäuse, die weder vorher abgerichtet waren noch nach links liefen.

2

Funktionen einer reellen Veränderlichen Geraden

2.1

Eine Gerade geht durch den Punkt (2, —3) und hat die Bestimmen Sie ihre Gleichung y ax + b.

Steigung

4.

=

2.2

Eine Gerade schneidet die x-Achse bei Xo —3. Wie lautet ihre Gleichung? yo

—2 und die

=

y-Achse

bei

=

2.3

Es seien

jeweils die folgenden

Punkte P und

Q gegeben:

a) P(0, -6), Q(l, 0) b) P(0, 1), Q(2, 3) c) P(-3, 4), Q(-4, -1) Bestimmen Sie jeweils die Gleichung y durch die beiden Punkte P und Q geht.

=

2.4

ax

+b

derjenigen Geraden,

die

Tc die Temperatur in Grad Celsius und Tp die Temperatur in Grad Fahrenheit. Stellen Sie anhand von Gefrier- und Siedepunkt sowohl Tp als Funktion von Tc als auch Tc als Funktion von Tp dar. Nach Fahrenheit liegt der Gefrierpunkt bei 32° F und der Siedepunkt Es sei

bei 212°F. 2.5

Wie lautet die Gleichung der Geraden, die durch den Schnittpunkt der Geraden 2x 5y 9 und 4x + 3y 12 sowie zusätzlich durch den Punkt =

=

P(3, -6) geht? —

2.6

Sie wollen sich ein Auto anschaffen und haben einen Benziner B und einen Diesel D in die engere Wahl gezogen. Die folgende Tabelle enthält die Fixkosten, die Ihnen pro Jahr entstehen, den Kraftstoffverbrauch und die derzeitigen Kraftstoffpreise.

_1

B 2 000 €

Fixkosten

Verbrauch Preis

I

8

1/(100 km) 1.25 €/l

D 2 500 €

6

1/(100 km) 1.10 €/l

c)

Bestimmen Sie für beide Typen B und D die jährlichen Gesamtkosten cb bzw. cd in Abhängigkeit von der Jahreskilometerleistung x. Welcher Funktionstyp ergibt sich? Welche Gesamtkosten pro Jahr entstehen für die beiden Typen bei einer Jahreskilometerleistung von 20 000 km? Bei wie vielen Kilometern pro Jahr sind die Gesamtkosten der beiden

d)

Welcher

a) b)

Typen gleich? Typ ist

bei 10 000 Jahreskilometern

günstiger?

Aufgaben

12

2.7

a)

Die

folgende Tabelle zeigt Punkte einer linearen Nachfragefunktion Abhängigkeit vom Preis p. Bestimmen Sie ç/v vollständig.

ijjv in

Preis p

Nachfrage qu(p)

b)

€/Stück Stück/Woche

in in

12

48

13 46

14 44

15 42

16 40

Weiter sei die Angebotsfunktion qA durch qA (p) 3p 3 gegeben. Bestimmen Sie nun den Gleichgewichtspreis p* und die Gleichgewichtsmenge q* aus der Beziehung qA{p*) Qn{p*) q* =

—

=

2.8

Die men

=

folgende Tabelle zeigt die durchschnittliche Höhe h von Sonnenbluin Abhängigkeit der Zeit t nach dem Saattermin.

i[d] h [cm]

10 20

20

70

30 100

35 130

40 160

50 200

a) Tragen Sie die Messwerte in ein Streudiagramm ein und zeichnen Sie eine

b)

c) d) e) f) 2.9

geeignete Ausgleichskurve.

Stellen Sie ein geeignetes mathematisches Modell für die Abhängigkeit der Pflanzenhöhe h von der Zeit t auf und bestimmen Sie die Parameter dieses Modells. Wie hohe Sonnenblumen erwartet man 39 Tage nach der Saat? Wie hoch sind die Sonnenblumen nach Ihrem Modell 0 Tage und 70 Tage nach der Saat? Halten Sie dies für realistisch (Begründung!)? Wie groß ist die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit? Wann sind die Sonnenblumen nach Ihrer Modellierung

Wie lautet die 2.10?

Gleichung

Parabeln 2.10

Geben Sie die Gleichung der nebenstehend skizzierten Parabel g an:

y

der Geraden in der

aufgegangen?

Abbildung

zu

Aufgabe

2

Funktionen einer reellen Veränderlichen

2.11

13

Die folgende Abbildung zeigt das Streudiagramm von Messwerten der durchschnittlichen Höhe h von Sonnenblumen in Abhängigkeit der Zeit t nach dem Saattermin. An die Messwerte wurde ein Polynom zweiten Grades angepasst. 220

-j

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

|

i

i

i

200-"—^-"~^__ —^-

180-

-y¿—-

160 —

-

—"

—

el40-y-

^120

= = ———-Z————

-

———

———

£100-Z7tu / °

-—-/-

80

B0-2-

-

40-—220

—

'

0 -

'

n-1-1-1-1-1-1-1-1~

10

0

a) b) c) d)

—

yr ^-

"

20

30

40 50 Zeit t [fj]

60

70

80

Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Parabel. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des quadratischen Modells. Wie hoch sind die Sonnenblumen erwartungsgemäß 45 Tage nach dem Saattermin? Wie hoch sind die Sonnenblumen nach dem quadratischen Modell zum Zeitpunkt t 0? Halten Sie dies für realistisch (mathematische =

Begründung!)? e)

f) 2.12

Wie

groß ist

die

Wachstumsgeschwindigkeit

30

Tage nach dem Saat-

termin? Am wie vielten Tag nach dem Saattermin sind die Sonnenblumen

aufgegangen?

Zeichnen Sie die

a) /(x)

=

x2

Graphen folgender quadratischer Funktionen: x

b) f(x)

+3

=

-0.5x2

+3

-

2.13

Ermitteln Sie die Parabel y

Pi(-4, 6), P2(-2, 2)

und

=

ax2

+ bx + c, die durch die Punkte

P3(0, 6) geht.

14

2.14

Aufgaben

folgende Abbildung zeigt die parabelförmige Geschwindigkeits-Verteilung der Strömung in einem Wasserrohr eines Gewächshauses. Der Rohrradius beträgt R 4 cm, die maximale Strömungsgeschwindigkeit Die

=

in der Rohrmitte bei d

=

4 cm ist i>max

d

=

0-5

m/s.

[cm] i

a)

Wie lautet die funktionale

c)

Bestimmen Sie durch Wahl dreier markanter Punkte auf der Parabel und durch Lösen des daraus resultierenden Gleichungssystems die Parameter der Polynomform. Fügen Sie ihr dann die Einheiten hinzu. Wie groß ist die Strömungsgeschwindigkeit in 2 cm Entfernung von der Rohrwand? Wie viel Prozent des Rohrradius muss der Abstand von der Rohrwand betragen, damit die Geschwindigkeit halb so groß wie in der Rohrmitte ist?

Abhängigkeit

der

Strömungs-Geschwin-

digkeit v vom Abstand d von der Rohrwand in Polynom- und Scheitelpunkt-Darstellung allgemein? b) Bestimmen Sie die Parameter der Scheitelpunktform aus dem Diagramm. Berücksichtigen Sie dabei auch die Einheiten.

d)

e) 2.15

Durch P(x) + 3x 4 ist eine Parabel P definiert. Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen dieses Polynoms und geben Sie damit ihre Darstellung als Produkt von Linearfaktoren an. Skizzieren Sie diese Parabel. =

—

2.16

\x2

—

Berechnen Sie die Koeffizienten ao,ai,a2 eines Polynoms zweiten Grades, P: x i-» P{x) a2x2 + a\x + a0, das die Nullstellen x\ 2 und 4 hat und durch den Punkt (1, 2) geht. X2 =

=

=

2.17

Ein Betriebsleiter geht davon aus, dass sich der jährliche Gewinn y in Abhängigkeit von der produzierten Anzahl x durch die Funktionsgleichung —10~5 x2 + lOx 500 000 beschreiben lässt. Skizzieren Sie y als y Funktion von x und bestimmen Sie den maximalen Gewinn des Betriebes sowie die Produktion, bei der dieser maximale Gewinn erreicht wird. =

—

2

Funktionen einer reellen Veränderlichen

2.18

15

Ein Betriebsleiter

geht davon aus, dass die durchschnittlichen Kosten y produzierte Einheit durch den quadratischen Zusammenhang 10"12 (x 1000 000)2 + 1.50 gegeben sind. Dabei gibt x die Gesamtproduktion an. Skizzieren Sie die Durchschnittskosten y als Funktion von x und bestimmen Sie, bei welchem Produktionsumfang das

pro y =

-

Minimum der durchschnittlichen Kosten auftritt und wie

Kubische Funktionen und weitere

groß es

ist.

Polynome

2.19

Bestimmen Sie für die Durchschnittskostenfunktion in Gesamtkostenfunktion und skizzieren Sie sie.

2.20

Bei einer laminaren Strömung einer viskosen Flüssigkeit durch ein Rohr (Kapillare) mit Innenradius r und Länge / wird der Volumenstrom V, d.h., das geflossene Volumen pro Zeit, durch das Gesetz von HagenPoiseuille beschrieben: j/

(aus http://de.wikipedia.org/wiki/ GesetZ-Von-Hagen-Poiseuille)

wr^Ap

dV —

o„/

~~

Aufgabe 2.18 die

Dabei ist n die dynamische Viskosität der strömenden Flüssigkeit und Ap die Druckdifferenz zwischen Vorder- und Rückseite der Kapillare.

a)

b)

2.21

Inwiefern ist der Volumenstrom V als Funktion vom Innenradius r sowohl ein spezielles Polynom als auch eine spezielle Potenzfunktion? Wir betrachten den Durchsatz des Blutes durch Blutgefäße: Durch Ablagerungen an der Gefäßwand verengt sich eine Kapillare um 10 %. Um wie viel Prozent muss dann die Druckdifferenz (der Blutdruck) ansteigen, um die Nährstoffversorgung weiterhin zu gewährleisten?

Das

Polynom P sei gegeben durch P(x) x3 2x2 x + 2. BestimSie sämtliche Nullstellen und geben Sie damit seine Darstellung als =

—

men

Produkt 2.22

a)

b) 2.23

von

Linearfaktoren

an.

—

Skizzieren Sie diese kubische Funktion.

Bestimmen Sie das Polynom dritten Grades, dessen Graph die Punkte (-1, -10), (0, -4), (1, -2) und (2, 14) enthält, Gesucht ist ein Polynom, dessen Graph durch die vier Punkte (—1, 2), (0, 2), (1, 6) und (2, 14) verläuft. Ist es eine kubische Funktion, d.h., eine Funktion dritten Grades?

/(x) (x 3)3 + 4 symmetrisch? Skizzieren Sie /. Durch P(x) x5 x4 2x3 + 2x2 + x 1 ist ein Polynom gegeben, das Ist /:

x

(->

=

-

2.24

—

bei —>

1 eine Nullstelle hat. Wie lauten die —

x

=

Weitere

—

—

übrigen Nullstellen?

Aufgaben zu Polynomen: siehe die Aufgaben 7.36

7.38. -

16

Aufgaben

Exponentialfunktionen 2.25

Zeichnen Sie

folgende

Funktionen yi und y2 im Bereich

5
0 und u eine Funktion von x mit nun die erste Ableitung von /(x) bu(x\ =

?

1?

Differenzieren Sie

Trjx-

1 -

„2

1 cosx (V x3 + 3v/x-— xVxy

+

2

=

x:

(2x l)5

Welchen Wert hat die

a) fix) b) fix)

y:

i—>

-

-

c)

x

Ableitungen folgender Funktionen /:

Differenzieren Sie nach y

/:

e~x + 2e~[ -z=^—

d) fix) =ln|x3| f) /(x) (9x2)3 h) /(x) aresin x + arceos x

Vx3

Bestimmen Sie die

a)

b) fix)

-j-

Berechnen Sie die

a)

Funktionen

Ableitungen folgender x2+4x+l

l(W

5

Ableitung u'.

Berechnen Sie

4

Differential- und

4.10

Differenzieren Sie nach

a)

y

=

41

Integralrechnung

x2/3

b)

x:

y

=

2log(2 x)

c)

/l + x \lV 1 x

f)

y =xsinx-|-

i)

y

=

tan2 x cos2 x

1)

y

=

arctan

y

=

aresin \/l

,,

d)

,

o

?/

=

n 3U^X

e)

y —

x2 —

—

,.

smx

.

x

—

g)

y

=

2^

h)

y

=

lg x

•

—

j) 4.11

y

=

102x

k)

y

=

arceos

(V 7T /) —

Bilden Sie die Ableitungen folgender Funktionen f:x>-*y. sind diese Funktionen definiert und differenzierbar?

(

)

\ cos x / Für welche -

x

a) 4.12

y

=3cos(4x3)

b)

Bestimmen Sie die erste

=tan(3x —4)2

y

Ableitung folgender

c)

a) fix)

2

^2[(i +1)^ 2}

b) /(x)

+

Leiten Sie

a) fit) c>

folgende xo

=

le z

Höhere

d) m

4.15

Berechnen Sie die zweite =

sin2 y 2ln

=

Ableitung zu /(i)

Bilden Sie die zweite

y

=

Argument

ab:

cosy x

^M,x-)+t

Ableitungen

4.14

a)

nach ihrem

/

b) f(y)

™-h

2

¿=1 fc=l

Funktionen

cos(2o;i)

•

cot(3x2)

EEixfe

=

i=l

4.13

=

Summen:

3 =

y

In Vsin2 x

Ableitung

b)

y

für

=

x2

.

•

sin

folgende

=

V f>2

xa

Í J£

•

í + -^>y: 1 arctan s/x2

Funktionen

c)

y

=

-

—

4.16

Durch

gegeben. 4.17

/2 ist die Dichte