Mathematik in der Betriebswirtschaft [4., überarb. Aufl.] 9783486726596, 9783486719529

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Mathematik in der Betriebswirtschaft von

Dr. Lothar Walter Universität Bremen

4., überarbeitete Auflage

Oldenbourg Verlag München

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © 2013 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 www.oldenbourg-verlag.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Thomas Ammon Herstellung: Constanze Müller Titelbild: thinkstockphotos.de Einbandgestaltung: hauser lacour Gesamtherstellung: freiburger graphische betriebe GmbH & Co. KG, Freiburg Dieses Papier ist alterungsbeständig nach DIN/ISO 9706. ISBN 978-3-486-71952-3 eISBN 978-3-486-72659-6

Vorwort Die Wissenschaft Mathematik entstand aus den praktischen Problemen des Zählens, Messens, Rechnens und geometrischen Zeichnens. Sie hat die Aufgabe, Modelle zur Beschreibung natur-, wirtschafts- und sozialwissenschaftlicher Erscheinungen bereitzustellen. Neben den Naturwissenschaftlern haben auch die Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler erkannt, dass sie komplexe Zusammenhänge nicht nur mit verbalen Formulierungen, sondern auch mithilfe mathematischer Modelle übersichtlicher darstellen können. Für das Verständnis wirtschaftlicher Zusammenhänge sind daher gute Mathematikkenntnisse unerlässlich. Die Mathematik ist wie die Gottseligkeit zu allen Dingen nütze, aber wie diese nicht jedermanns Sache. Diese Erkenntnis gewann der Philosoph Christian Jakob Krause schon im 18. Jahrhundert, und so ist es nicht verwunderlich, dass das Fach Mathematik auch bei vielen Studierenden der Wirtschaftswissenschaft noch heute viele Bauchschmerzen bereitet. Mit diesem Buch sollen diese Bauschmerzen gemildert werden, und es soll das Interesse für Mathematik als Hilfsmittel für die Wirtschaftswissenschaft geweckt werden. Im Rahmen der Vorlesungsreihe Rahmenwissenschaften der Ökonomie an der Universität Bremen wird das Modul Mathematik angeboten. Mit diesem Modul soll den Studierenden im Bachelorstudium Betriebswirtschaftslehre die an die Belange der Wirtschaftswissenschaft ausgerichteten notwendigen mathematischen Grundlagen nahegebracht werden. Diese ausgewählten mathematischen Grundlagen sollen die Basis für ein weiteres erfolgreiches Studium der Betriebswirtschaftslehre und auch Volkswirtschaftslehre schaffen. Aufbauend auf den allgemeinen Kenntnissen der Schulmathematik durch die gymnasiale Ausbildung ist es das Ziel in diesem Modul, durch die universitäre Ausbildung die Kenntnisse der Schulmathematik zu verfestigen, auszubauen und konkret auf ökonomische Fragestellungen anzuwenden. Es ist nicht das Ziel, mathematische Beweise zu führen, sondern es soll die Mathematik als Hilfsmittel für die Wirtschaftswissenschaft verstanden werden. Das Buch wendet sich insbesondere an diese Studierenden des Bachelorstudienganges Betriebswirtschaftslehre der Universität Bremen sowie an alle anderen Studierenden der Betriebswirtschaftslehre, Volkswirtschaftslehre oder der Wirtschaftswissenschaft anderer Universitäten, Hochschulen und Verwaltungs- und Wirtschaftsakademien. Das Buch soll eine wesentliche Grundlage für eine Vorlesungsmitschrift schaffen und den Studierenden eine gezielte Vorbereitung auf die Mathematikvorlesungen ermöglichen.

VI

Vorwort

Das Buch gliedert sich inhaltlich in drei Teile: • Im ersten Teil wird mit Kapitel 1 und 2 eine allgemeine Einführung mit Grundlagen und elementaren Begriffen gegeben. • Der zweite Teil steht unter dem Thema Analysis und behandelt in Kapitel 3 bis 8 Folgen und Reihen, finanzmathematische Zusammenhänge, Funktionen, Grenzwerte, die Differential- und Integralrechnung wie auch Funktionen mit mehreren Veränderlichen. • Im dritten Teil stehen dann mit Kapitel 9 und 10 Aspekte der Linearen Algebra wie Vektoren, Matrizen, Gleichungssysteme und Gaußscher Algorithmus im Mittelpunkt der Betrachtung. Zur Erleichterung des Verständnisses vieler Zusammenhänge in der Wirtschaftswissenschaft sind zahlreiche Beispiele und Aufgaben aus der ökonomischen Praxis aufgeführt. An diesen Aufgaben können die Rechentechniken aus den genannten Gebieten geübt werden. Die im Anhang angegebenen Lösungen ermöglichen eine schnelle Überprüfung des Lernerfolges. Schlüsselbegriffe: Arithmetik, Folgen und Reihen, Finanzmathematik, Funktionen und ihre Eigenschaften, Grenzwert und Stetigkeit, Differentialrechnung, Funktionen mehrerer Veränderlicher, Integralrechnung, Vektoren, Matrizen, Gleichungen, lineare Gleichungssysteme, Gaußscher Algorithmus Dr. Lothar Walter Bremen, im September 2006

In der nun vorliegenden vierten Auflage habe ich mich bemüht, die (hoffentlich) letzten Tippfehler und Zahlendreher, die sich bedauerlicherweise in den vorangegangenen Auflagen eingeschlichen haben, zu beseitigen. Bedanken möchte ich mich an dieser Stelle bei den Studierenden, die die vorangegangenen Auflagen des Buches fleißig durchgearbeitet haben und mich auf die angesprochenen Fehler hingewiesen haben. Allen Studierenden der Betriebswirtschaftslehre wünsche ich guten Erfolg im Studium und viel Freude bei der Anwendung der Mathematik in Ihrem Fachgebiet. Dr. Lothar Walter Bremen, im Oktober 2012

Abkürzungen und Symbole a, b, c x, y, z ∧ ∨ → ↔ {} ∈ ∈ / N Z Q R ⊆ ∪ ∩ Rn = 6= ∃ @ ∀ ∞ > < ≥ ≤ i P Q n! [] f : X→Y

Konstanten, Parameter Variablen Konjunktion (sowohl ... als auch) Disjunktion (entweder ... oder) Implikation Äquivalenz Mengenklammer Element von nicht Element von Menge der natürlichen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Menge der rationalen Zahlen Menge der reellen Zahlen Teilmenge von Vereinigung (ODER) Durchschnitt (UND) n-dim. reeller Zahlenraum Gleichheitszeichen ist ungleich es existiert es existiert nicht Allquantor (für alle) unendlich ist größer ist kleiner ist größer gleich ist kleiner gleich √ imaginäre Zahl = −1 Summenzeichen Produktzeichen n-Fakultät abgeschlossenes Intervall Abbildung, Funktion

VIII

Abkürzungen und Symbole

f (x) f −1 (x) pn (x) xn ax ex loga x log x ln x sin x cos x lim

Funktion mit einer Veränderlichen Umkehrfunktion Polynom n-ten Grades Potenzfunktion Exponentialfunktion zu Basis a Exponentialfunktion zu Basis e Logarithmusfunktion zur Basis a dekadische Logarithmusfunktion (Basis 10) natürliche Logarithmusfunktion (Basis e) Sinusfunktion Cosinusfunktion Grenzwert für x gegen ξ

∆y, ∆x

Differenz zwischen y-Werten, Differenz zwischen x-Werten Differenzenquotient Differential Differentialquotient Differentialoperator erste Ableitung der Funktion f (x) nach x zweite Ableitung der Funktion f (x) nach x Punktelastizität Funktion mit zwei Veränderlichen Funktion mit n Veränderlichen partieller Differentialoperator gemischter partieller Differentialquotient zweiter Ordnung

x→ξ ∆y ∆x

dy, df df dx d dx 0

f (x) d2 f 00 dx2 = f (x) yx f (x, y) f (x1 , x2 , ..., xn ) ∂ ∂x ∂2f ∂x∂y ∂2f R∂x2

reiner partieller Differentialquotient zweiter Ordnung Integralzeichen R f (x dx unbestimmtes Integral der Funktion f (x) F (x) Stammfunktion zu f (x) Rb Fab = a f (x) dx bestimmtes Integral der Funktion f (x) von a bis b   a1  a2    ~a =  .  Spaltenvektor  ..  am (a1 , a2 , ..., an ) Zeilenvektor T ~a transponierter Vektor ~e Einheitsvektor   x11 x12 . . .   A =  x21 x22 . . .  Matrix .. .. . . . . .

IX

Abkürzungen und Symbole Amn (aij )mn AT A−1 E rg(A) detA, |A|

mXn-Matrix mXn-Matrix Transponierte der Matrix A Inverse der Matrix A Einheitsmatrix Rang der Matrix A Determinate der Matrix A

Griechisches Alphabet α β Γ ,γ  ζ η Θ ,θ κ Λ ,λ µ

Alpha Beta Gamma Epsilon Zeta Eta Theta Kappa Lambda My

ν ξ Π ρ Σ ,σ τ χ Φ ,φ Ψ ,ψ Ω ,ω

Ny Xi Pi Rho Sigma Tau Chi Phi Psi Omega

Inhaltsverzeichnis 1

Grundlagen und Motivation

1

1.1

Rechenregeln und Umformung von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Wirtschaftswissenschaftlich relevante Teilgebiete der Mathematik . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Vorgehensweise bei der Anwendung der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2

Elementare Begriffe und Instrumente

2.1

Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2

Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3

Summen-, Produkt- und Fakultätszeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3

Folgen und Reihen

3.1

Definition und Eigenschaften einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2

Definition und Eigenschaften einer Reihe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4

Finanzmathematik

4.1

Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2

Einfache Verzinsung und Zinseszinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3

Abschreibungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4

Renten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.5

Tilgungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.6

Verfahren der Investitionsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5

Funktionen

5.1

Funktionsbegriff und Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2

Darstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.3

Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

11

23

29

39

XII

Inhaltsverzeichnis

5.4

Nullstellen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.5

Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.6

Funktionen in der Ökonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6

Differentialrechnung

6.1

Begriffliche Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.2

Differentialquotient und Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.3

Anwendungen der Differentialrechnung in der Ökonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7

Funktionen mit mehreren Veränderlichen

7.1

Begriffsbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.2

Differentiation von Funktionen mit mehreren Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8

Integralrechnung

8.1

Begriffliche Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.2

Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.3

Technik des Integrierens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.4

Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.5

Anwendungen der Integralrechnung in der Ökonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9

Vektoren und Matrizen

9.1

Grundbegriffe zu Matrizen und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9.2

Addition von Matrizen und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

9.3

Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9.4

Skalares Produkt von Vektoren und Multiplikation von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . 79

9.5

Matrizen als spezielle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.6

Anwendung der Matrizenrechnung in der Ökonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

10

Gleichungen und Gleichungssysteme

10.1

Begriff des linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

10.2

Lösung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

10.3

Gaußscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

51

61

65

73

87

Inhaltsverzeichnis

XIII

10.4

Matrixinversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

10.5

Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

10.6

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

A

Lösungen zu den Aufgaben

107

B

Formelsammlung

119

C

Literaturverzeichnis

125

D

Zum Verfasser

127

Index

129

1

Grundlagen und Motivation

Die Mathematik ist ein hilfreiches Instrument der Darstellung und Analyse, welches nicht nur in den natur- und ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen, sondern zunehmend auch in den wirtschaftswissenschaftlichen Disziplinen - in der Volkswirtschaftslehre ebenso wie in der Betriebswirtschaftslehre - Anwendung findet. Dabei dient den Naturwissenschaftlern, Ingenieuren und Wirtschaftswissenschaftlern die Mathematik als Hilfsmittel, d.h. sie wenden die Mathematik auf ihre entsprechenden Frage- und Problemstellung an; nur die Mathematiker betreiben die Mathematik um ihrer selbst willen. Gerade in einem Anwendungsfach wie der Wirtschaftswissenschaft bedarf es eines grundlegenden mathematischen Verständnisses. Beispielsweise soll in der Produktion eine Bestellmengenformel verstanden werden, wozu einfache Gleichungssysteme gelöst werden müssen; im Marketing muss der Umgang mit der Differentialrechnung beherrscht werden, um mittels Kurvendiskussion eine Preisbildung zu erklären; in der Mikroökonomie lässt sich die Funktion von Märkten erläutern, wenn der Schnittpunkt zweier Geraden berechnet werden kann, und in der Makroökonomie lässt sich staatliches Handeln veranschaulichen, wozu der korrekte Umgang mit Durchschnitten, Zeitreihen und Indizes notwendig ist. Mithilfe der Mathematik ist es zudem möglich, Marktanalysen zu erstellen, Wahlergebnisse mit erstaunlicher Genauigkeit vorherzusagen, das Börsengeschehen zu modellieren und Prämien von Versicherungsgesellschaften auf einer zuvor bestimmten zu erwartenden Schadenslage zu kalkulieren. Die Schwierigkeiten, die mit der Mathematik in der Wirtschaftswissenschaft bestehen, liegen oftmals im Umgang mit der abstrakten Symbolik und dem Zusammenspiel der einzelnen Symbole und Variablen begründet. Betrachtet sei hierzu das allen bekannte Kommutativgesetz. Mithilfe der Sprache der Mathematik kann es kurz in einer Gleichung a + b = b + a formuliert werden, wobei die Variablen a und b beispielsweise als Platzhalter für reelle Zahlen stehen. Umgangsprachlich wird das Kommutativgesetz eher kompliziert ausgedrückt: Wenn man zwei Zahlen zusammenzählt, kommt es auf ihre Reihenfolge nicht an. Die mathematische Formulierung a + b = b + a spart zwar Platz, aber es ist Abstraktionsfähigkeit für das Verständnis gefragt. Der Umgang mit Variablen, Platzhaltern und Symbolen muss beherrscht werden, sie müssen bekannt sein und gewissermaßen zum Leben erweckt werden. Beim Anwender müssen Assoziationen durch die Symbole hervorgerufen werden, wie das Symbol 13 mit Unglück in Verbindung gebracht werden kann, falls ein Hotelzimmer damit gekennzeichnet ist, dagegen mit Glück und Freude, wenn es die dreizehnte Auszahlung eines Monatsgehaltes in einem Jahr bedeutet.

2

1 Grundlagen und Motivation

Ein starker Wille, Ausdauer und kontinuierliches Üben von Aufgaben erleichtern das Lernen und Anwenden der Mathematik in der Wirtschaftswissenschaft und unterstützen die Fähigkeit zur mathematischen Abstraktion. Ein besonderes Talent ist nicht notwendig, aber es schadet auch nicht. Um also wirtschaftswissenschaftliche Zusammenhänge in der Sprache der Mathematik beschreiben zu können, muss man daher kurz gesagt: (i) die Elemente der Sprache und ihre Bedeutung kennen wie z.B. Zahlen und Symbolik, Mengen, Operatoren, Graphen, Abbildungen, Funktionen usw., (ii) die korrekte Beziehungen zwischen den Elementen aufstellen können, um mittels Gleichungen, Funktionen usw. ein geeignetes Modell zu formulieren, sowie (iii) die mathematischen Instrumente handhaben können, was die Kenntnisse der Arithmetik, Mengenlehre, Analysis, Linearen Algebra, Statistik usw. voraussetzt.

1.1

Rechenregeln und Umformung von Gleichungen

Das Rechnen in der Menge der reellen Zahlen R basiert auf einigen grundlegenden und unbeweisbaren Annahmen, sogenannten Axiomen, und daraus ableitbaren und beweisbaren Rechenregeln. Es werden nachfolgend die zwei Operationen Addition und Multiplikation erklärt, die den folgenden 11 Axiomen genügen: Axiom 1:

Für a, b ∈ R existiert genau ein s ∈ R mit s = a + b (Addition).

Axiom 2:

Für a, b, c ∈ R gilt (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c (Assoziativgesetz bzgl. der Addition).

Axiom 3:

Es gibt genau ein Element 0 ∈ R, so dass für alle a ∈ R gilt: a + 0 = a (Nullelement bzgl. der Addition).

Axiom 4:

Zu jedem a ∈ R gibt es genau ein inverses Element −a ∈ R, so dass gilt: a + (−a) = (−a) + a = 0 (inverses Element bzgl, der Addition).

Axiom 5:

Für a, b ∈ R gilt: a + b = b + a (Kommutativgesetz bzgl. der Addition).

Axiom 6:

Für a, b ∈ R exitiert genau ein p ∈ R mit p = a · b (Multiplikation).

Axiom 7:

Für a, b, c ∈ R gilt: (a · b) · c = a · (b · c) = a · b · c (Assoziativgesetz bzgl. der Multiplikation).

3

1.1 Rechenregeln und Umformung von Gleichungen Axiom 8:

Es gibt genau ein Element 1 ∈ R, so dass für alle a ∈ R gilt: a · 1 = a (Einselement bzgl. der Multiplikation).

Axiom 9:

Zu jedem a ∈ R, a 6= 0 gibt es genau ein inverses Element a · a1 = a1 · a = 1 (inverses Element bzgl. der Multiplikation).

Axiom 10:

Für a, b ∈ R gilt: a · b = b · a (Kommutativgesetz bzgl. der Multiplikation).

Axiom 11:

Für a, b, c ∈ R gilt: a · (b + c) = a · b + a · c (Distributivgesetz).

1 a

∈ R, so dass gilt:

Zu den Operationen Addition bzw. Multiplikation stehen die dazugehörigen Umkehroperationen Subtraktion bzw. Division in einem engen Zusammenhang: a − b = a + (−b),

a:b=

a 1 =a· b b

Das mehrfache Multiplizieren einer Größe a wird Potenzieren genannt. Man schreibt bei einer Multiplikation von n Faktoren: an = a · a · a · a . . . · a, Bezeichnung + a+b=c − a−b=c · a·b=c a/b / ∧ ab = p

n Faktoren, n ∈ N

Summand + Summand = Summe Minuend - Subtrahend = Differenz Faktor · Faktor = Produkt Dividend / Divisor = Quotient Basis hoch Exponent = Potenz

Stufe 1 1 2 2 3

Bemerkung: Die Operation höherer Stufe hat Vorrang („Punkt vor Strich“), falls nicht durch Klammern etwas anderes angezeigt wird. Klammern werden von innen nach außen abgearbeitet. Für den Umgang mit den genannten Operationen sind verschiedene Rechenregeln zu beachten: Rechenregeln in R −(−a) = a −a = (−1) · a −ab = −a · b = a · (−b) = (−a) · b ab = (−a) · (−b) (a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd

4

1 Grundlagen und Motivation −(a : b) = −(a/b) = − a:b =

a −a = b −b

a −a a = = b b −b

, b 6= 0

Multiplikation und Division von Brüchen ac a c · = b d bd a b c d

=

a·

a d ad · = b c bc

b ab a = = ·b c c c a b

c

=

a bc

ac a = bc b a b c

=

ac b

a da = b db wobei b, c, d 6= 0

Addition von Brüchen a±b a b ± = c c c

a c ad ± bc ± = b d bd

Multiplikation und Division „mit 0“ a·0=0·a=0 a·b=0 ↔ a=0∨b=0 0 a = 0 mit a 6= 0 nicht definiert a 0 a = 0 ↔ a = 0 ∧ b 6= 0 b Potenzen und Wurzeln am · an = am+n am /an = am−n an · bn = (a · b)n
n an /bn = ab

√ √ a· nb= na·b √ p √ n a/ n b = n ab p m √ ( n a)m = n (a ) p√ p√ √ m n a = mn a = n m a √ n

a−n = 1

an =

1 an

√ n

a √ = n am

a

m n

a

−m n

=

1 √ n m a

(am )n = amn = (an )m Binomische Formeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

a2 + b2 nicht zerlegbar (im Reellen)

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

Quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0)

x1,2 =

x2 + px + q = 0

x1,2 =

√ −b± b2 −4ac 2a
p p p − 2 ± ( 2 )2

−q

5

1.1 Rechenregeln und Umformung von Gleichungen

Das Beherrschen der oben aufgeführten elementaren Rechenregeln hilft beim Umgang mit algebraischen Ausdrücken und beim Lösen von Gleichungen. Gleichungen spielen gerade in der Ökonomie eine große Rolle. So liefert beispielsweise die Gleichung U = p · x den Umsatz U , der sich aus dem Produkt von Preis p und Menge x berechnet. Eine Gleichung wird auch als eine Aussage bezeichnet, wobei unter Aussage ein Satz zu verstehen ist, der entweder wahr oder falsch ist. Gleichungen mit nur einer Variablen (meistens als x abgekürzt) bezeichnet man als sogenannte lineare Gleichungen. Hier stellt sich die Frage, welche Werte für x die Gleichungen denn erfüllen. So kann beispielsweise die Gleichung 3x + 10 = x + 4 durch den Wert x = −3 gelöst werden. Der dabei beschrittene Lösungsweg basiert darauf, dass mathematische Operationen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens angewandt werden, also Addition (oder Subtraktion) derselben Zahl bzw. Multiplikation mit derselben (oder Division durch die Zahl) Zahl 6= 0. Bei komplizierteren Gleichungen mit Klammern und Brüchen ist zu beachten, dass gewöhnlich zunächst die Klammern ausmultipliziert und sodann beide Seiten der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner aller Brüche multipliziert werden. Beispiel 1-1: Es sei die folgende quadratische Gleichung x2 + 4x = 12 gegeben. Bestimmen Sie aus dieser Gleichung die Variable x. Lösung: x2 + 4x = 12

|+4

2

x + 4x + 4 = 12 + 4 2

(x + 2) = 16 √ x + 2 = ± 16

|nach binomischer Formel |Wurzelziehen

x + 2 = ±4 also x1 = 4 − 2 = 2 und x2 = −4 − 2 = −6 Beispiel 1-2: Bestimmen Sie x aus folgender Gleichung: 2a2 − 1 x − 2a x2 x−a + = − 2 2 ax + x a+x ax + x x Lösung: Der Hauptnenner lautet

x(a + x) = ax + x2

und es folgt nach Multiplikation:

(2a2 − 1) + (x2 − 2ax) = x2 − (x − a)(a + x) x2 − 2ax + 2a2 − 1 = x2 − x2 + a2 x2 − 2ax + a2 − 1 = 0 x1,2 = a ± x1 = a + 1

p

a2 − a2 + 1

und x2 = a − 1

| − a2

6

1.2

1 Grundlagen und Motivation

Wirtschaftswissenschaftlich relevante Teilgebiete der Mathematik

Grundrechenarten finden in der Wirtschaftswissenschaft Anwendung, da bei jedem Umgang mit Zahlen Rechenoperationen erforderlich sind, und sei es nur eine einfache Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division. Für das Umformen und Lösen von Gleichungen ist die fehlerfreie Beherrschung dieser Rechenoperationen unumgänglich. Traditionelles Wirtschaftsrechnen fasst alle elementaren Rechenverfahren zusammen, die speziell für die Behandlung wirtschaftlicher Fragestellungen eine Rolle spielen. Erwähnt seien beispielsweise die Kalkulation, d.h. die Bestimmung der Kosten für Produkte oder Dienstleistungen, die Abschreibung langlebiger Wirtschaftsgüter im Rahmen der Kostenrechnung wie auch die Prozentrechnung, die es ermöglicht, prozentuale Zu- oder Abschläge zu bestimmen. Finanzmathematik liefert das technisch-rechnerische und damit quantitative Instrumentarium für die Behandlung und Bewertung zukünftiger oder vergangener Zahlungsströme (Kapitalvorgänge), d.h. beispielsweise der Verzinsung und Rückzahlung von Kapital. Dabei kommen besondere mathematische Ansätze durch den Einfluss der Zinsen und Zinseszinsen auf den zeitlichen Verlauf der Geld- und Zahlungsströme zum Einsatz. Versicherungsmathematik ermöglicht die rechnerische Behandlung aller mit Versicherungen im Zusammenhang stehenden Fragen, darunter z.B. die Deckung von Schäden und Vermögenswerten. Mit der Versicherungsmathematik ist eine mathematische Modellierung der versicherten Risiken (inkl. statistischer Schätzung), Tarifierung und Prämienkalkulation möglich. Funktionen beschreiben Wirkungszusammenhänge zwischen ökonomischen Größen wie beispielsweise die Abhängigkeit der Gesamtkosten von der produzierten Menge oder den Zusammenhang zwischen Volkseinkommen und Konsumausgaben. Differentialrechnung wird in der Wirtschaftswissenschaft vorwiegend zur Analyse von Funktionen eingesetzt, beispielsweise zur Berechnung von Grenzwerten und Extrema ökonomischer Funktionen sowie zur Erklärung von Grenzänderungsraten bzw. von sogenannten Elastizitäten. Die Differentialrechnung wird auch als Lehre von Veränderungen bezeichnet. Matrizenrechnung liefert Rechenregeln für geordnete rechteckige Zahlenschemata (Matrizen) bestehend aus einer bestimmten Anzahl von Zeilen und Spalten. Die Matrizenrechnung bietet vielfältige Einsatzmöglichkeiten im Rechnungswesen z.B. in der Kostenrechnung oder im Controlling. Ferner findet sie Anwendung beim Umformen und Lösen linearer Gleichungssysteme zur Beschreibung von volks- und betriebswirtschaftlichen Input/Output-Beziehungen, zur Abbildung von Mengen- und Kostenzusammenhängen in sogenannten Betriebsmodellen oder zur linearen Planungsrechnung mit ihren vielen Möglichkeiten der Lösung unterschiedlicher Entscheidungsprobleme.

1.3 Vorgehensweise bei der Anwendung der Mathematik

1.3

7

Vorgehensweise bei der Anwendung der Mathematik

Um die Vorgehensweise bei der Anwendung der Mathematik auf ökonomische Fragestellungen zu verdeutlichen, sei ein einfaches Lagerhaltungsmodell betrachtet: Beispiel 1-3: Betrachtet sei die Menge m Mengeneinheiten [ME] eines Produktes, welches pro Jahr gleichmäßig verbraucht wird. In regelmäßigen Abständen werden x ME bestellt, wobei die Kosten jedes Bestellvorgangs E C betragen. Der Lagerbestand b kann in diesem Fall durch das sogenannte Sägezahnmodell beschrieben werden. Der Stückpreis des Produktes betrage s C/M E, und der Wert des im Lager gebunden Kapitals werde mit p% im Jahr verzinst. Bestimmen Sie die Summe der Bestell- (KB ) und Lagerkosten (KL ), d.h. die Gesamtkosten K in Abhängigkeit der Bestellmenge x, und berechnen Sie die Gesamtkosten für m = 800 ME, E = 12, 50 C, s = 20, 00 C/ME, p = 10% und x = 80 ME bzw. x = 200 ME? Lösung: Die Gesamtkosten K(x) bestimmen sich aus der Summe der Bestellkosten KB und der Lagerkosten KL . Jährlich sind hier m x Bestellungen nötig und der Lagerbestand beträgt durchschnittlich m . Also folgt: 2 Bestellkosten KB bestimmen sich zu: KB = m x ·E p Lagerkosten KL bestimmen sich zu: KL = m 2 · s ·
100
ps mE Daraus folgt für die Gesamtkosten K: K(x) = x + 200 ·m Mit den angegebenen Werten für m, E, s, p und x folgt: K(80) = 925 C K(200) = 850 C Die prinzipielle Vorgehensweise bei der Anwendung der Mathematik zur Erklärung und Analyse ökonomischer Zusammenhänge oder zur Vorbereitung von Entscheidungen entspricht in den meisten Fällen dem Weg, der implizit bei der Lösung der obigen Beispielaufgabe beschritten wurde. Zunächst wurde ein Realitätsausschnitt gewählt, eine ökonomisch relevante Fragestellung formuliert und das reale Problem abgegrenzt. Der Systemanalyse folgt sodann die Formulierung des Modells durch die Definition der Variablen und der Formulierung ihrer Beziehungen. Nach der Problemanalyse schließt sich die Modellformulierung (Formulierung einer Textaufgabe) an. Der Modellanalyse folgt die Lösung des mathematischen Problems (Anwendung der Mathematik), beispielsweise dem Lösen von Gleichungssystemen. Mit der Lösungsanalyse folgt dann abschließend die problemgerechte Interpretation der Ergebnisse (Zahlen einsetzen). Zusammengefasst lassen sich also vier Phasen bei der Vorgehensweise herausarbeiten: (i) (ii) (iii) (iv)

Systemanalyse Problemanalyse Modellanalyse Lösungsanalyse

-

Erhebung und Abgrenzung des Ist-Systems, Formulierung des Modells (Gleichungssysteme), Lösung des mathematischen Problems und Problemgerechte Interpretation des Ergebnisses.

8

1 Grundlagen und Motivation

Die nachfolgenden Aufgaben befassen sich ausschließlich mit der Modellierung einfacher Zusammenhänge mithilfe mathematischer Symbolik. Die beschriebenen Sachverhalte sollen mit Gleichungen dargestellt werden, wobei es häufig wesentlich darauf ankommt, die richtige(n) Variable(n) zu wählen. Es sind also lediglich die funktionalen Abhängigkeiten zu beschreiben. Aufgabe 1-1: Gegeben sei ein rechteckiges Blatt Papier mit den Seitenlängen a und b. An den vier Ecken des Blattes sollen vier gleich große Quadrate der Länge c ausgeschnitten werden, so dass durch Auffalten des entstandenen Randes eine offene Schachtel gefaltet werden kann. a) Wie groß ist der Rauminhalt der Schachtel in Abhängigkeit der Randhöhe c (=Kantenlänge) des ausgeschnittenen Quadrates. b) Welcher Rauminhalt der Schachtel ergibt sich für a = 12 cm, b = 24 cm und c = 4 cm? Aufgabe 1-2: Betrachten wir zwei in einem Ort im Wettbewerb stehende Speditionsunternehmen A und B. Für einen Transport verlangt Spedition A 50,- C Frachtpauschale und 10,- C für jedes transportierte Stückgut. Spedition B fordert dagegen 70,- C Pauschale und 8,- C pro Stückgut. a) Ab welcher Stückzahl ist die Spedition B günstiger als die Spedition A? b) Stellen Sie die dargelegten Zusammenhänge graphisch dar. Aufgabe 1-3: Eine Fischdose habe in der Grundfläche die Form eines Rechteckes mit zwei an den Schmalseiten angesetzten Halbkreisen. Sie lässt sich beschreiben durch die Gesamtlänge l, die Breite b, und die Höhe h. a) Bestimmen Sie die Oberfläche A und das Volumen V der Fischdose in Abhängigkeit der gegebenen Parameter b, l und h (die Blechdicke der Dose sei zu vernachlässigen). b) Wie lauten die Formeln für A und V in Abhängigkeit von b, wenn die Abmessungen in dem bestimmten Verhältnis h : b : l = 1 : 3 : 6 zueinander stehen sollen? Aufgabe 1-4: Über eine Rohrleitung soll in einem Haus an zwei Stellen B und C die Wasserversorgung gewährleistet werden. Dabei sollen die zwei Punkte B und C von einem Anschluss A aus versorgt werden. Dazu wird eine Wasserleitung, deren Kapazität zur Versorgung beider Punkte ausreicht, von A aus bis zu einem Verteiler V verlegt. Diese Wasserleitung kostet pAV C/m. Vom Verteiler aus werden dann die Punkte B und C durch Leitungen geringerer Kapazitäten verbunden, die pV B C/m und pV C C/m kosten. Die Lage der Punkte sei durch die Abstände a und b gekennzeichnet. a) Was kostet die gesamte Verbindung in Abhängigkeit der Lage des Verteilers V ? b) Welche Kosten ergeben sich für die konkreten Zahlenwerte: a = 10m, b =6m, pAV = 20,- C/m, pV B = 16,- C/m, pV C = 14,- C/m, AV = 4m.

1.3 Vorgehensweise bei der Anwendung der Mathematik

9

Aufgabe 1-5: Die drei Kunden K1 , K2 und K3 können in einer Stadt von zwei Lieferanten L1 und L2 mit Heizöl beliefert werden. Der Transport einer Tonne T vom Lieferanten Li zum Kunden Kj kostet cij C /T. Diese Kosten sind in folgender Tabelle zusammengestellt:

L1 L2

K1 55 70

K2 80 145

K3 140 85

Die Kunden bestellen 71T (K1 ), 133 T (K2 ) bzw. 96 T (K3 ), während die beiden Lieferanten L1 und L2 103 T respektive 197 T verfügbar haben. Es sei xij die Heizölmenge, die vom Lieferanten Li zum Kunden Kj transportiert wird. Formulieren Sie folgende Aussagen: a) Es soll exakt die Menge zum Kunden Kj transportiert werden, die diese bestellen. b) Es kann nicht mehr vom Lieferanten Li geliefert werden, als dieser verfügbar hat. c) Drücken Sie die gesamten Transportkosten in Abhängigkeit der Transportmengen aus.

2

Elementare Begriffe und Instrumente

In diesem Kapitel sollen elementare Begriffe und Instrumente der Mathematik, insbesondere der Mengenlehre und der Arithmetik, erläutert werden. Des Weiteren wird das Summen-, Produkt- und Fakultätszeichen eingeführt, da diese für Anwendungen in der Wirtschaftswissenschaft oftmals benötigt werden.

2.1

Mengenlehre

Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik. Zahlreiche Disziplinen wie Algebra, Analysis oder Stochastik bauen auf die Mengenlehre auf. Als Begründer der Mengenlehre gilt Georg Cantor (1845-1918). Er hat durch sein Begriffssystem der Mengenlehre die heutige Mathematik wesentlich geprägt. Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von bestimmten, wohl unterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die zu einer Menge zusammengefassten Objekte a werden als Elemente der Menge M bezeichnet. a ist Element der Menge M : a ∈ M ; bzw. a ist kein Element der Menge M : a ∈ / M. Zur Beschreibung oder Definition einer speziellen Menge M benutzt man häufig geschweifte Klammern: M = {a, b, c, d}

aufzählbare Definition,

M = {x|x hat die Eigenschaft E} beschreibende Definition. So besteht beispielsweise die Menge M mit M = {2, 5, 7} aus den drei Zahlen 2, 5 und 7 oder die Menge M mit M = {a, e, i, o, u} = {ξ|ξ ist ein Vokal des lateinischen Alphabets} aus den Vokalen a, e, i, o, u. Die Variable wird hier ξ genannt, nicht x, denn eine Aussage über das lateinische Alphabet darf die Buchstaben des lateinischen Alphabets nicht für einen anderen Zweck beinhalten. Graphisch lassen sich Mengen und Mengenoperationen auch durch ein Gebiet (Rechteck, Kreis etc.) in einer Ebene veranschaulichen. Solche graphische Darstellungen werden Mengendiagramme oder auch Venn-Diagramme (nach John Venn (1834-1923)) genannt.

12

2 Elementare Begriffe und Instrumente

Eine Menge A heißt Teilmenge der Menge M , wenn für jedes x ∈ A auch gilt x ∈ M . Man schreibt dafür A ⊂ M . Spezielle Mengen sind beispielsweise: N Z Q R

= = = =

{1, 2, 3, ...} {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} m n | m ∈ Z, n ∈ N {r| r ist eine reelle Zahl}

Menge der natürlichen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Menge der rationalen Zahlen Menge der reellen Zahlen

Es besteht hier folgende Teilmengenbeziehung: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R Als Grenzfall betrachtet man auch die Menge ohne Elemente, die leere Menge. Man schreibt ∅ und es gilt: ∅ ⊂ M für jede Menge M . Zwei Mengen A und B heißen gleich, und man schreibt A = B, wenn beide Mengen genau dieselben Elemente besitzen, unabhängig davon, wie oft die Elemente in der Menge aufgezählt werden. Ist dies nicht der Fall, so nennt man die Mengen ungleich und schreibt A 6= B. Die Vereinigung oder Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B enthält alle Elemente, die entweder in A oder in B oder in beiden Mengen enthalten sind. Man schreibt: A ∪ B = {x| x ∈ A ∨ x ∈ B} Der Durchschnitt oder die Durchschnittsmenge zweier Mengen A und B enthält alle Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind. Man schreibt: A ∩ B = {x| x ∈ A ∧ x ∈ B} Die Differenz oder Differenzmenge zweier Mengen A und B (A vermindert um B, oder A weniger B) enthält alle Elemente von A, die nicht in B enthalten sind. Man schreibt: A\B = {x| x ∈ A ∧ x ∈ / B} Das Komplement oder die Komplementärmenge der Menge A bezüglich der Universalmenge Ω enthält alle Elemente der Menge Ω, die nicht in der Menge A enthalten sind. Man schreibt: A = {x| x ∈ Ω ∧ x ∈ / A} Das Produkt oder die Produktmenge zweier Mengen A und B besteht aus allen Paaren je eines Elementes aus der Menge A und aus der Menge B. Man sagt auch kartesisches Produkt von A und B und schreibt: A × B = {(x, y)| x ∈ A, y ∈ B}

13

2.1 Mengenlehre

Für die Anwendung der Mengenoperationen gelten die in nachfolgender Tabelle aufgeführten Regeln und Gesetze: Name Idempotenzgesetze Identitätsgesetze

Komplementgesetze Kommutativgesetze Assoziativgesetze Distributivgesetze

Bedeutung A∪A=A A∩A=A A∪∅=A A∩∅=∅ A∪Ω=Ω A∩Ω=A A∪A=Ω A∩A=∅ A∪B =B∪A A∩B =B∩A (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Aufgabe 2-1: In einem Lager eines großen Kleiderherstellers befinden sich aus der letzten Winterkollektion noch 200 (Damen- und Herren-) Mäntel, darunter sind 60 Ledermäntel. Von den 70 in diesem Lager vorhandenen Herrenmäntel sind 20 aus Leder gefertigt. Wie viele Damenmäntel sind in diesem Lager, die nicht aus Leder gefertigt sind? (Tipp: mit Venn-Diagramm lösen) Aufgabe 2-2: In einem Bremer Unternehmen, das in verschiedenen Ländern Europas Zweigstellen unterhält, soll das Personal der Telefonzentrale aufgestockt werden. Einstellungskriterium sind Fremdsprachenkenntnisse in Englisch, Französisch und Italienisch. Es haben sich 100 Personen gemeldet, von denen 30 nur Englisch, 18 nur Französich und 9 nur Italienisch sprechen. Weiterhin beherrschen 29 Personen genau 2 Sprachen. Wie viele Personen beherrschen alle drei Spachen? Aufgabe 2-3: Gegeben seien die drei Mengen A, B, C mit A = {1, 2, 3, 0}, B = {2, 1, 0} und C = {3, 1, 0, 5}. Bestimmen Sie a) A ∪ B b) A ∩ B c) C ∩ B d) C\B

14

2.2

2 Elementare Begriffe und Instrumente

Arithmetik

Die Zahlenlehre (Arithmetik) ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit den Zahlen, ihren Verknüpfungen durch die Rechenoperationen sowie den dabei geltenden Rechengesetzen und ihren Folgerungen (z. B. binomischer Lehrsatz) beschäftigt. Die Gesetze umfassen die Grundgesetze der Arithmetik sowie die auf der Grundlage des Potenz-, Wurzel- und Logarithmusbegriffs basierenden Potenz-, Wurzel- und Logarithmengesetze. Die Arithmetik taucht überall dort auf, wo „gerechnet“ wird, also bei der Umformung von Termen in der Algebra (Lösen von Gleichungen), Analysis, Wirtschaftsmathematik und Physik. Natürliche Zahlen sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, ... . Sie bilden die Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}. Ganze Zahlen sind die Erweiterung der natürlichen Zahlen um die 0 und alle negativen Zahlen. Sie bilden die Menge Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} der ganzen Zahlen. Rationale Zahlen sind die Erweiterung der ganzen Zahlen Z um die Zahlen, die sich als Quotient zweier ganzer Zahlen (mit Nenner 6= 0) darstellen lassen. Sie bilden die Menge der rationalen Zahlen Q = {q| q = m n mit m ∈ Z ∧ n ∈ N}. Irrationale Zahlen lassen sich nicht mehr als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellen. Irrationale Zahlen sind z.B. die Zahl Pi, π = 3, 1415926535..., die Eulersche Zahl e, e = √ 2, 718281828..., oder die Quadratwurzel aus 2, 2 = 1.414213562.... Reelle Zahlen: Die rationalen und irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen R = {x| x ist eine rationale Zahl oder eine irrationale Zahl}. Komplexe Zahlen: Eine einfache Gleichung z 2 +1 = 0 zeigt, dass die Menge der reellen Zahlen noch nicht alle Lösungen quadratischer Gleichungen umfasst. Formale Lösung ist die imaginäre √ √ Lösung z = ± −1, i = −1, i wird als imaginäre Zahl bezeichnet. Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Zahlenpaar (x, y) mit x, y ∈ R, wobei x als Realteil und y als Imaginärteil bezeichnet wird. Man schreibt z = x + yi.

2.3

Summen-, Produkt- und Fakultätszeichen

Summen können mithilfe des sogenannten Summenzeichens, dem großen griechischen Buchstaben Σ (Sigma), beschrieben werden. Das Summenzeichen Σ steht als Wiederholungszeichen für die fortgesetzte Addition: m X

ai = ak + ak+1 + ... + am

i=k

mit i = Summationsindex, k = untere Summationsgrenze, m = obere Summationsgrenze und ai = allgemeine Glied.

2.3 Summen-, Produkt- und Fakultätszeichen

15

Produkte können mithilfe des sogenannten Produktzeichens, dem großen griechischen Buchstaben Π (Pi), beschrieben werden. Das Produktzeichen Π steht als Wiederholungszeichen für die fortgesetzte Multiplikation: m Y

ai = ak · ak+1 · ... · am

i=k

mit i = Multiplikationsindex, k, m = untere, obere Multiplikationsgrenze und ai = allgemeine Glied. Ein weiteres Sonderzeichen mit der Bedeutung eines Operators ist das sogenannte Fakultätszeichen. Für jede natürliche Zahl n hat das Fakultätszeichen (!) die Bedeutung:

n! =

n Y

i = 1 · 2 · 3 · ... · n

i=1

Man spricht „n-Fakultät“. Definitionsgemaäß gilt 0! = 1. Die Fakultäten finden insbesondere in der Kombinatorik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung Verwendung. Für das Rechnen mit Summen und Produkten sind nachfolgende Regeln zu beachten: • Summen mit gleichen Summationsgrenzen m m m X X X bi ai + (ai + bi ) = i=k

i=k

i=k

• Summen mit additiven Konstanten m m X X (ai + c) = ai + (m − k + 1) · c i=k

i=k

• Summen mit multiplikativen Konstanten m X

c · ai = c ·

i=k

m X

ai

i=k

• Summenzerlegung m X i=k

ai =

l X i=k

ai +

m X i=l+1

ai

;k ≤ l ≤ m

16

2 Elementare Begriffe und Instrumente

• Produkte zweier indizierter Größen m Y

(ai · bi ) =

i=k

m Y

ai ·

i=k

m Y

bi

i=k

• Produkte einer Konstanten m Y

c = cm−k+1

i=k

• Produkte mit einer Konstanten m Y

c · ai = cm−k+1 ·

m Y

ai

i=k

i=k

Beispiel 2-1: Berechnen Sie die nachfolgenden beiden Summen 4 X 3i(−1)i − 1 i=1

und

3i

2 X (−k)3 2k

k=−2

Lösung: 4 X 3i(−1)i − 1 i=1

3i

=

(−3 − 1) (6 − 1) (−9 − 1) (12 − 1) + + + = 3 6 9 12

4 5 10 11 75 = − + − + =− 3 6 9 12 108

2 X (−k)3 8 1 0 (−1) (−2)3 = −2 + −1 + 0 + 1 + = k 2 2 2 2 2 22

k=−2

= 32 + 2 + 0 −

1 1 − 2 = 31 2 2

2.3 Summen-, Produkt- und Fakultätszeichen

17

Aufgabe 2-4: Berechnen Sie die folgenden Summen und Produkte:

a)

3 3 X X k2 i(i − 1) + k + 1 i=1 i2

k=0

b)

3 X

(−3)i · 210−i

i=−2

c)

d)

3 Y 2 · 3j 3+j j=−1 6 Y (l + 2) l=1

Aufgabe 2-5: Schreiben Sie die folgenden Summen unter Verwendung des Summenzeichens: a) b) c)

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 1 2 3 4 5 6 7 + + + + + + 2 3 4 5 6 7 8 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28

Doppel- und Mehrfachsummen Durch eine zwei- oder mehrfache Indizierung und eine entsprechende Anwendung der Summationsvorschrift entstehen Doppel- bzw. Mehrfachsummen. Das Rechnen mit Doppelsummen lässt sich am folgenden Beispiel der monatlichen Umsätze u eines n Güter produzierenden Unternehmens veranschaulichen. Die Umsätze u der einzelnen Güter in m Monaten sind in der nachfolgenden Tabelle (Güter versus Monate) zusammengestellt. Mit uij wird der Umsatz für das i-te Gut im j-ten Monat bezeichnet. Den Gesamtumsatz aller Güter während des betrachteten Zeitraums erhält man, indem man zunächst den Gesamtumsatz je Monat bestimmt, d.h. über die Güter i summiert, und diese Umsatzzahlen dann für die m Monate addiert, d.h. über j summiert. Es folgt: m n X X j=1

! uij

i=1

Eine solche Summe der Art

m P n P

aij heißt Doppelsumme mit j, i als Summationsindizes, m

j=1 i=1

und n als Summationsgrenzen und aij als allgemeines Glied.

18

2 Elementare Begriffe und Instrumente Monate

Gesamtum-

Güter

1

2

···

j

···

m

1

u11

u12

···

u1j

···

u1m

u21

2

···

u22

u2j

···

u2m

satz je Gut m P u1j j=1 m P

u2j

j=1

.. .

···

···

···

···

···

···

i

ui1

ui2

···

uij

···

uim

.. . m P

uij

j=1

.. .

···

···

···

···

···

···

n

un1

un2

···

unj

···

unm

.. . m P

unj

j=1

monatl. Gesamt-

n P

n P

ui1

i=1

ui2

···

i=1

n P

uij

···

i=1

n P

uim

i=1

m P n P

uij

j=1 i=1

umsatz Auch für die Doppelsummen sind entsprechende Zerlegungsregeln zu beachten (k, l sind variable untere Summationsgrenzen): • Vertauschen der Summation m X n X

aij =

i=k j=l

n X m X

aij

j=l i=k

• Doppelsummen mit additiven Konstanten m X n m X n X X (aij + c) = aij + (m − k + 1) · (n − l + 1) · c i=k j=l

i=k j=l

• Doppelsummen mit einfach indizierten additiven Koeffizienten m X n m X n n X X X (aij + bj ) = aij + (m − k + 1) · bj i=k j=l m X n X

i=k j=l

(ai + bij ) = (n − l + 1) ·

i=k j=l

i=k

• Doppelsummen mit multiplikativen Konstanten m X n X i=k j=l

c · aij = c ·

j=l m X

m X n X i=k j=l

aij

ai +

m X n X i=k j=l

bij

19

2.3 Summen-, Produkt- und Fakultätszeichen • Doppelsummen mit einfach indizierten multiplikativen Faktoren m X n n X m n m X X X X (aij · bj ) = bj · aij = bj · aij i=k j=l

j=l i=k

j=l

i=k

Beispiel 2-2: Die Situation eines Unternehmens sei wie folgt charakterisiert: Aus einem Lager liefert das Unternehmen n Produkte (j = 1, 2, ..., n) an seine Kunden q (k = 1, 2, ..., q). Die Lagerbestände werden zu Beginn in jedem Monat t (t = 1, 2, ..., 12) überprüft. Mit xjt sei die im Lager zu Beginn des Monats t gelagerte Menge von Produkt j bezeichnet, mit yjkt die im Monat t an den Kunden k ausgelieferte Menge des Produktes j, mit pj der Wert (Preis) einer Mengeneinheit des Produktes j und mit zjt die dem Lager im Monat t durch die Fertigung zugeführte Menge des Produktes j bezeichnet. a) Welchen Wert hat der gesamte Lagerbestand zu Beginn des Monats t? b)

Stellen Sie eine Beziehung zwischen der gesamten Lagerbestandsmenge zu Beginn des n n P P Monats t, xjt , und am Ende des Monats t, xjt+1 her, in der die Zugänge und j=1

j=1

Abgänge im Monat t berücksichtigt sind. c)

Welcher Umsatz wird in einem Jahr mit dem Kunden k gemacht?

Lösung: a)

gesamter Warenwert Wt ist:

Wt =

n P

pj · xjt

j=1

b)

n P

Zu- und Abgänge:

j=1

c)

Kundenumsatz Uk ist:

n P

xjt+1 =

Uk =

n P

xjt +

j=1 n P 12 P

zjt −

j=1

q n P P j=1 k=1

pj · yjkt

j=1 t=1

Beispiel 2-3: Berechnen Sie folgende Doppelsumme

3 P 4 P

(k + 2 · l) .

k=1 l=1

Lösung: 3 P 4 P

(k + 2 · l) =

k=1 l=1

=

3 P

[(k + 2) + (k + 4) + (k + 6) + (k + 8)]

k=1 3 P

(4k + 20) = 24 + 28 + 32 = 84

k=1

yjkt

20

2 Elementare Begriffe und Instrumente

Aufgabe 2-6: Ein Unternehmen besitzt m Maschinen (i = 1, 2, ..., m), mit denen sie n Produkte (j = 1, 2, ..., n) herstellt. Dabei soll in einem betrachteten Produktionszeitraum von 12 Monaten (t = 1, 2, ..., 12) jedes Produkt j auf jeder Maschine i produziert werden können. Die nachstehenden Symbole haben folgende Bedeutung: xijt gibt an, wie viele Mengeneinheiten (M E) des Produktes j auf der Maschine i im Monat t hergestellt werden und aij gibt an, wie viele Stunden die Fertigung einer M E des Produktes j auf der Maschine i benötigt. Diese Angabe ist für alle Monate gleich. kij sind die Kosten der Fertigung einer M E des Produktes j auf der Maschine i. Sie sind ebenfalls zeitunabhängig. pj ist der in allen Monaten konstante Verkaufspreis für eine ME des Produktes j. Drücken Sie unter Verwendung des Summenzeichens aus: a) b)

c) d)

Wie viele M E des Produktes j im Monat t hergestellt werden. Welchen Umsatz das Unternehmen im betrachteten Produktionszeitraum erzielt, wenn alle hergestellten Produkte im gleichen Jahr verkauft werden (der Umsatz (Erlös) ist gleich der Menge mal dem Verkaufspreis). Wie viele Stunden die Maschine i in der ersten Jahreshälfte belegt ist. Welcher Gewinn im Monat t gemacht wird, wenn außer den genannten Kosten keine weiteren Kosten anfallen (Gewinn = Umsatz-Kosten).

Aufgabe 2-7: Gegeben sei folgende Tabelle von n2 Zahlen a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

a13 a23 .. .

··· ···

a1j a2j .. .

··· ··· .. .

a1n a2n .. .

ai1 .. .

ai2 .. .

ai3 .. .

···

aij .. .

··· .. .

ain .. .

an1

an2

an3

···

anj

···

ann

Geben Sie unter Verwendung des Summenzeichens folgende Summen an: a) Summe aller Elemente der 2-ten bis (n − k)−ten Spalte. b) Summe aller Elemente der k−ten bis n−ten Zeile. c) Summe aller Elemente auf der Hauptdiagonalen (das sind die Elemente, für die i = j gilt, also a11 , a22 , a33 , ..., ann ). d) Summe aller Elemente auf der Hauptdiagonalen und sämtlicher Elemente darunter. Aufgabe 2-8: Gegeben sind die Zahlen i xi yi

1 5 2

2 3 3

3 2 4

4 1 1

5 6 0

2.3 Summen-, Produkt- und Fakultätszeichen Berechnen Sie: a)

5 P

xi

b)

i=1

c)

5 P i=1

5 P

(xi + yi )

i=1

xi yi

d)

5 P i=1

xi

5 P i=1

yi

21

3

Folgen und Reihen

Im täglichen Leben kann man oft beobachten, dass die Objekte einer Menge durchnummeriert sind. Man denke beispielsweise an die Seiten dieses Buches, die Blätter in einem Ordner oder die Teilnehmerliste einer Mathematikvorlesung bzw. eines Mathematikübungskurses. Bezeichnet man die Elemente einer Menge mit dem Symbol a, so können diese durchnummeriert werden indem jedem Element eine Nummer, d.h. eine natürliche Zahl als Index angehängt wird: a1 , a2 , a3 , . . .. Als Startindex wird häufig die 0 oder die 1 verwendet, aber auch jeder andere Startindex ist zulässig. Der funktionale Zusammenhang zwischen diesen sogenannten Folgengliedern ist das wesentliche Merkmal einer mathematischen Folge, sie ist stets eine Zahlenfolge.

3.1

Definition und Eigenschaften einer Folge

Eine Funktion, durch die jeder Zahl n ∈ N (oder einer Teilmenge von N) eine reelle Zahl an ∈ R zugeordnet wird, heißt eine Folge. Man schreibt: [an ]. Die reellen Zahlen a1 , a2 , . . . an heißen Glieder der Folge mit an als allgemeines Glied und a1 als Anfangsglied. Man kann zwischen endlichen Folgen wie der Folge der natürlichen Zahlen zwischen 1 und 4, also 1, 2, 3, 4, und unendlichen Folgen wie die Folge der natürlichen Zahlen, 1, 2, 3, 4, ... unterscheiden. Betrachtet man weiterhin beispielsweise die unendliche Zahlenfolge 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, ..., so erkennt man relativ schnell, wie die nächsten Folgenglieder gebildet werden. Die Bildungsvorschrift oder auch das Bildungsgesetz dieser Folge lautet an = n2 − n für alle n ∈ N. Um eine Folge zu beschreiben, genügt es also, das Bildungsgesetz mit dem allgemeinen Glied und den Definitionsbereich anzugeben. Aufgabe 3-1: Gegeben sei das Bildungsgesetz an = dazugehörende Zahlenfolge?

2 3

· n für alle n ∈ N. Wie lautet die

Aufgabe 3-2: Geben Sie die nächsten drei Glieder der nachstehenden beiden Folgen an und bestimmen Sie die Bildungsgesetze: a) 1, 2, 4, 7, 11, 16, , , , . . . 1 1 1 b) 1, 61 , 13 , 22 , 33 , , , ,...

24

3 Folgen und Reihen

Aufgabe 3-3: Wie lauten die allgemeinen Glieder an der nachstehenden beiden unendlichen Zahlenfolgen: a) 1, 0, 3, 0, 5, 0, . . . b) 1, 7, 17, 31, 49, 71, . . . In der Finanz- und Versicherungsmathematik spielen insbesondere die arithmetische und die geometrische Folge eine wichtige Rolle. Arithmetische Folge Eine arithmetische Folge ist eine Folge, bei der die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist: an+1 − an = d mit d = konstant für alle n ∈ N. Das Bildungsgesetz führt auf die Folge: a1 , a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, ... . D.h. man kann auch schreiben: an = a1 + (n − 1) · d

für alle n ∈ N

Geometrische Folge Eine geometrische Folge ist eine Folge, bei der der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist: aan+1 = q mit q = konstant für alle n ∈ N. n Das Bildungsgesetz führt auf die Folge: a1 , a1 q, a1 q 2 , a1 q 3 , ... . D.h. man kann auch schreiben: an = a1 · q n−1

für alle n ∈ N

Eigenschaften von Folgen - Wenn eine Folge ein Ende hat, so nennt man sie eine endliche Folge; andernfalls handelt es sich um eine unendliche Folge. - Eine Zahlenfolgen ist nach oben (unten) beschränkt, wenn alle Glieder kleiner (oder größer) als ein bestimmter Wert sind. - Weiterhin nennt man eine Zahlenfolge streng monoton steigend, wenn die Glieder ständig größer werden; wenn die Werte immer kleiner werden, nennt man die Folge entsprechend streng monoton fallend. Wenn man zusätzlich erlaubt, dass das nächste Glied auch genau so groß wie das vorherige ist, so spricht man von monoton steigenden (fallenden) Folgen. - Ein Punkt heißt Häufungspunkt einer unendlichen Zahlenfolge, wenn in jeder beliebig kleinen Umgebung dieses Punktes mindestens noch ein Glied (= Punkt) der Zahlenfolge liegt.

3.1 Definition und Eigenschaften einer Folge

25

- Eine Zahl α heißt Grenzwert einer unendlichen Zahlenfolge [an ], wenn zu jedem beliebig kleinen  > 0 eine natürliche Zahl N existiert, so dass für alle i ≥ N gilt: |ai − α| <  Man schreibt: lim ai = α

i→∞

- Eine Folge, für die genau ein Grenzwert existiert, heißt konvergent, andernfalls heißt sie divergent. - Jede beschränkte, monotone Folge ist konvergent. Wichtige, häufig verwendete Grenzwerte sind: √ n c = 1 für alle c ∈ R, c > 0 √ lim n n = 1 lim

n→∞ n→∞

lim (1 +

n→∞

1 n ) =e n

Der letzte Grenzwert, die Eulersche Zahl e, spielt beim Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Wachstumsprozessen eine wichtige Rolle wie z.B. bei der stetigen Verzinsung. Für die Berechnung von Grenzwerten sind die nachfolgenden Rechenregeln hilfreich. Mit den Variablen α = lim an und β = lim bn gelten die Beziehungen: n→∞

n→∞

lim (an + c) = α + c für alle c ∈ R

n→∞

lim (c · an ) = c · α

n→∞

lim (an ± bn ) = α ± β

n→∞

lim (an · bn ) = α · β

n→∞

lim (

n→∞

an α )= bn β

für β 6= 0

In vielen Situationen des Lebens werden regelmäßige Ein- und Auszahlungen vorgenommen, die einem Konto gutgeschrieben oder von einem Konto abgezogen werden (beispielsweise Gehaltskonto oder Bausparkonto). Die Kontostände bei regelmäßig vorgenommenen Ein- und Auszahlungen stellen Zwischensummen dar, die in Abhängigkeit von den Zahlungszeitpunkten die Glieder einer Folge bilden. Aufgrund des Bildungsgesetzes bezeichnet man diese Folge als eine Reihe.

26

3.2

3 Folgen und Reihen

Definition und Eigenschaften einer Reihe

Ausgangspunkt für die Bildung einer Reihe ist stets eine unendliche Zahlenfolge [an ] mit den Gliedern a1 , a2 , a3 , .... Summiert man die jeweils ersten n Glieder der Folge, so ergibt sich die n-te Teilsumme (Partialsumme) sn : sn =

n X

ai = a1 + a2 + ... + an

i=1

Die Folge der n-ten Teilsumme [sn ] heißt Reihe. Von speziellem Interesse sind in der Finanzmathematik Reihen, die bei regelmäßigen Ein- und Auszahlungen desselben Betrages entstehen, d.h. die sich aus der arithmetischen Folge ableiten. Die entstehende Reihe wird entsprechend arithmetische Reihe genannt. Die geometrische Reihe basiert analog auf der geometrischen Folge. Arithmetische Reihe Eine Reihe, die aus den ersten Gliedern einer arithmetischen Folge gebildet wird, heißt eine (endliche) arithmetische Reihe. Für die Glieder der arithmetischen Folge galt: an+1 − an = d bzw. an = a1 + (n − 1) · d. Die n-te Teilsumme der arithmetischen Reihe ist: sn =

n · (a1 + an ) 2

oder sn =

n · (2a1 + (n − 1) · d) 2

Beispiel 3-1: Am 1. Januar eines Jahres legen Sie einen Betrag von 100,- C in einen Sparstrumpf und sodann am Anfang jedes Folgemonats einen um 50,- C erhöhten Betrag. Wie viel Euro haben Sie am Ende des Jahres in ihrem Sparstrumpf angesammelt? Lösung: a1 = 100 a2 = 100 + 50 = 150 a3 = 100 + 2 · 50 = 200 usw. Für a12 folgt somit a12 = 100 + (12 − 1) · 50 = 650 und daraus für die Summe des Folge sn = 12 2 (100 + 650) = 4.500. Also sind am Ende des Jahres 4.500,- C im Sparstrumpf. Geometrische Reihe Eine Reihe, deren Glieder eine geometrische Folge (endlich oder unendlich) bilden, nennt man eine geometrische Reihe. Es gilt an = an−1 · q = a1 · q n−1 für die Glieder der geometrischen Folge. Die n-te Teilsumme der geometrischen Reihe ist: sn = a1 + a1 q + a2 q 2 + ... + a1 q n−1

oder sn = a1

1 − qn 1−q

27

3.2 Definition und Eigenschaften einer Reihe

Beispiel 3-2: Bestimmen Sie ausgehend von der geometrischen Folge 1, 21 , 41 , 18 , ... die 5-te Teilsumme der geometrischen Reihe, also die Summe der ersten fünf Folgeglieder. Lösung: Für die geometrische Folge gilt hier: q = 12 . Damit berechnet sich die 5-te Teilsumme zu: s5 = 1 ·

1 − ( 12 )5 1 31 = 1 · 2 · (1 − ( )5 ) = 2 16 1 − 12

Eigenschaften von Reihen - Konvergiert die Folge [sn ] der Teilsummen sn = so bezeichnet man σ = lim sn = lim n→∞

n P

n→∞ i=1

n P

ai gegen einen endlichen Wert σ,

i=1 ∞ P

ai =

ai als den Grenzwert der Reihe,

i=1

und die Reihe heißt konvergent. - Notwendig für die Konvergenz einer Reihe [sn ] mit sn =

n P

ai für alle n ∈ N ist, dass

i=1

die Folge [an ] eine Nullfolge ist, d.h. lim an = 0 gilt. n→∞

- Eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern an ≥ 0 konvergiert dann und nur dann, wenn die Folge der Teilsummen sn nach oben beschränkt ist. - Alternierende Reihen, die aus Folgen [an ] entstehen, deren Glieder betragsmäßig monoton fallen und gegen Null streben, sind konvergent. - Besitzt eine Folge [an+1 /an ] einen Grenzwert γ, d.h. gilt lim aan+1 = γ, so ist die n n→∞ n P Reihe mit sn = ai konvergent, falls γ < 1 ist, und sie ist divergent, falls γ > 1 gilt. i=1

Für γ = 1 ist keine Entscheidung möglich. Unendliche geometrische Reihe n

Für die aus der geometrischen Folge entstehende Reihe mit sn = a1 1−q 1−q und |q| 6= 1 gilt folgendes:   1 − qn 1 qn a1 qn lim sn = lim a1 · = a1 · lim − = − a1 · lim n→∞ n→∞ n→∞ 1 − q n→∞ 1 − q 1−q 1−q 1−q n

Für |q| > 1 ist lim |q| = ∞. n→∞

n

Für |q| < 1 ist lim |q| = 0. n→∞

Die Reihe divergiert für |q| > 1. Sie konvergiert für |q| < 1, und ihr Grenzwert lautet in diesem a1 Fall: lim sn = 1−q für |q| < 1. n→∞

28

3 Folgen und Reihen

Aufgabe 3-4: Betrachte die Zahlenfolge 1, − 12 , 14 , − 18 , .... Führe die Folge fort; wie lautet das Bildungsgesetz und strebt die Folge gegen einen bestimmten Wert? Aufgabe 3-5: Für die arithmetische Folge seien folgende beiden Glieder a15 = 37 und a20 = 117 gegeben. Bestimmen Sie a1 , d, a10 und s10 . Aufgabe 3-6: Für eine geometrische Folge seien die beiden Glieder a3 = 64 und a5 = 40, 96 gegeben. Bestimmen Sie a1 , q, a4 und s4 . Aufgabe 3-7: Zehn Zahlen bilden eine arithmetische Folge mit der Summe 255. Die fünfte Zahl ist die 23. Bitte geben Sie diese zehn Folgenglieder an. Aufgabe 3-8: Gegeben seien die ersten Glieder einer unendlichen geometrischen Folge mit 5, 10, 20, 40, 80, .... Bestimmen Sie die Anzahl n der Folgenglieder, die als Summe 5.115 ergibt. Aufgabe 3-9: Man berechne die ersten Glieder der Fibonacci-Folge, die durch a1 = 1, a2 = 2 und an+2 = an+1 + an für n ≥ 1 definiert ist. Ist die Folge monoton? Strebt die Folge gegen einen bestimmten Wert? Aufgabe 3-10: Bestimme, falls sie existieren, die Grenzwerte der Folgen [an ]: a) b) c) d) e) f)

an = (−2)−n 1 an = (n + 1)(n + 2) n2 an = (n + 1) 1−n an = n  2 1 an = −1 n n2 − 1 an = 2 3n + 2n

Aufgabe 3-11: Ein Kleinwagen beschleunigt in 10 Sekunden von 0 auf 80km/h. Danach sei der Geschwindigkeitszuwachs in jeweils 10 Sekunden genau die Hälfte des im Zeitintervall vorher erreichten Zuwachses. Gegen welche Geschwindigkeit konvergiert der Prozess, wenn sie hinreichend lange beschleunigen? Aufgabe 3-12: Ein Unternehmen erhält den Auftrag, 14.000 Nähmaschinen herzustellen. In der ersten Woche (5 Arbeitstage) können täglich 45 Nähmaschinen produziert werden. Diese Stückzahl soll in den folgenden Wochen um 50 Einheiten je Woche erhöht werden. Nach wie vielen Wochen ist der Auftrag erfüllt, und wie viel Stück werden in der letzten Woche hergestellt?

4

Finanzmathematik

Unter Finanzmathematik versteht man Verfahren zur Behandlung von Problemen, bei denen Zahlungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten fällig werden. Als Beispiel seien Fragestellungen zu Lebensversicherungen, Rentenversicherungen, Bausparverträgen, Absetzung für Abnutzung, Hypothekendarlehen und Sparverträge genannt. Vorausgesetzt wird hierbei grundsätzlich, dass sich ein Kapital verzinst. Gemeinsames Merkmal der hier angesprochenen Aspekte sind dann regelmäßig wiederkehrende Ein- und/oder Auszahlungen einschließlich der Verzinsung. Die Finanzmathematik ist somit ein wichtiges Anwendungsgebiet des Rechnens mit Folgen und Reihen und stellt das quantitative Instrumentarium für die Bewertung zukünftiger oder vergangener Zahlungsströme dar. Zur Verdeutlichung von Zeitpunkten (Einzahlungs- und Auszahlungstermine, Zinstermine oder Wertstellungstermine) und Zeitperioden (Laufzeiten, Zinsperioden oder Tilgungszeiten) kann ein sogenannter Zeitstrahl zum Einsatz kommen, auf dem Termine als Punkte und Perioden als Intervalle abgetragen werden.

4.1

Grundbegriffe

Nachfolgend werden einschlägige Grundbegriffe aus der Finanzmathematik aufgeführt. Als Einheit für Geldbeträge wird der Euro (C) verwendet. Zinsen: Entgelt für die teilweise Überlassung eines Geldbetrages, den man Kapital nennt. Zinsfuss p: Zinsen pro Jahr für ein Kapital von 100 C. Zinssatz i: i = p% = Zinsfaktor q: q = 1 +

p 100 p 100

=1+i

Nachschüssige Zinsen: Zinsen, die jeweils am Ende einer Periode fällig werden. Vorschüssige Zinsen: Zinsen, die jeweils am Anfang einer Periode fällig werden. Einfache Verzinsung: Verzinsung eines Kapitals, wobei die Zinsen nicht mitverzinst werden. Verzinsung zu Zinseszinsen: Verzinsung, bei der fällig gewordene Zinsen dem Kapital hinzugerechnet und mitverzinst werden. Anfangskapital K0 : Kapital am Anfang eines Betrachtungszeitraums.

30

4 Finanzmathematik Endkapital Kn : Kapital am Ende eines Betrachtungszeitraums von n Zinsperioden. Abschreibung: Der für die Wertminderung langlebiger Wirtschaftsgüter in der betrachteten Periode zu berücksichtigende Betrag. Rente: Regelmäßige, in gleichen Zeitabständen fällige Zahlung. Barwert: Gegenwert, dem Zahlungen, die noch anstehen, zum aktuellen Zeitpunkt entsprechen.

Nachfolgend werden die Berechnung von Zinsen, Abschreibungen, Renten und Tilgungen näher behandelt sowie ein Verfahren der Investitionsrechnung, die Kapitalwertmethode, kurz vorgestellt.

4.2

Einfache Verzinsung und Zinseszinsen

Einfache Verzinsung Werden Zinsen nur auf das Anfangskapital K0 geleistet und nicht auf die schon angefallenen Zinsen, so spricht man von einfacher Verzinsung. Über n Zinsperioden summiert, ergibt sich als Endkapital Kn bei einfacher Verzinsung: Kn = K0 + niK0 = K0 · (1 + ni) Als Beispiel für eine einfache Verzinsung sei eine Anlage in festverzinsliche Wertpapiere genannt. Dabei ist aber zu beachten, dass bei anfallenden Gebühren die Rendite nicht gleich dem Nominalzins, sondern gleich dem Effektivzins ist. Aufgabe 4-1: Wie viel Kapital musste man zum 01. Januar 1994 einzahlen, um dann am 31. Dezember 2005 bei einfacher Verzinsung von 5% über ein Kapital von 10.000 C zu verfügen? Aufgabe 4-2: Wie hoch ist der Zinssatz bei einfacher Verzinsung, wenn ein Anfangskapital von 4.000 C nach 4 Jahren auf 4.600 C angewachsen ist? Aufgabe 4-3: Erwirbt man 6%-ige Bundesobligationen im Werte von 10.000 C , so erhält man jährlich genau 600 C Zinsen. Bei einem Ausgabekurs von 100% und ohne Berücksichtigung von Gebühren ist die Rendite oder auch der Effektivzins bei einfacher Verzinsung gleich dem Nominalzins, zu dem das Papier ausgegeben wurde. Nun fallen aber auch Gebühren und Provisionen an! Wie hoch ist die Effektivverzinsung beim Erwerb folgender Anleihe: Nominalwert 10.000 C; Nominalzins 6%; Ausgabekurs 98%; Laufzeit 10 Jahre; Provisionen insg. 1.1% vom Ausgabewert.

31

4.2 Einfache Verzinsung und Zinseszinsen

Aufgabe 4-4: Beim Kauf eines Autos im Wert von 24.000 C müssen 25% angezahlt werden. Für die Restkaufsumme werden monatlich 0,5% Zinsen vereinbart. Die Tilgung soll in 36 gleichen Monatsraten von 500 C geleistet werden. Wie hoch ist in diesem Fall die Effektivverzinsung? Zinseszinsen Werden die zu Beginn oder am Ende einer Periode fälligen Zinsen dem Kapital zugeschlagen und vom Fälligkeitszeitpunkt an mitverzinst, dann spricht man von Zinseszinsen. Bei nachschüssigen Zinseszinsen entwickelt sich das Anfangskapital K0 wie folgt: K1 = K0 · (1 + i)

nach einer Zeitperiode 2

K2 = K1 · (1 + i) = K0 · (1 + i)

nach zwei Zeitperioden

Wird das Anfangskapital über n Zeitperioden verzinst und werden die Zinsen kapitalisiert, d.h. dem jeweiligen Kapital zugeschlagen, so ergibt sich das Endkapital zu: Kn = K0 · (1 + i)n = K0 · q n Der Faktor (1 + i) = q wird Aufzinsungsfaktor genannt. Beispiel 4-1: Wie lange müssen Sie ein Kapital von 10.000 C mindestens anlegen, damit Sie bei einem angenommenen Zinssatz von 5% jährlich 1.000 C Zinsen erhalten? Lösung: Da Zinsen gleich Kapital mal Zinssatz sind, folgt: 1.000 0,05 = 20.000, d.h. also, dass bei einem Kapital von 20.000 C somit 1.000 C Zinsen erzielt werden. Also stellt sich nun die Frage nach der Laufzeit, die notwendig ist, um aus dem Anfangskapital von 10.000 C ein Endkapital von 20.000 C anzusparen. Also: 10.000 · (1 + 0, 05)n = 20.000 n · ln 1, 05 = ln 2



1, 05n = 2



n = 14, 21

d.h., dass nach 15 Jahren Wartezeit mehr als 1.000 C Zinsen erzielt werden. Diskontierung Legt man den Bezugspunkt an das Ende des Zinszeitraumes, so kann man vom Endkapital auf das Anfangskapital schließen. Statt des Zinszuschlages muss nun ein Zinsabschlag berücksich1 tigt werden - das Kapital wird abgezinst oder diskontiert. Mit dem Faktor ν = 1+i = 1q als Diskontierungsfaktor beträgt der Barwert eines über n Zeitperioden abgezinsten Kapitals: K0 = Kn ·

1 = Kn · ν n (1 + i)n

32

4 Finanzmathematik

Beispiel 4-2: Ihre Tante aus Amerika ist gerade zu Besuch und verspricht Ihnen, bei Ihrem nächsten Besuch in zwei Jahren einen Betrag von 1.000 C zu schenken. Welchen Betrag muss sie dafür heute zurücklegen, wenn ein Zinssatz von 3% p.a. unterstellt wird? Lösung: K0 =

1.000 = 942, 60 C (1 + 0, 03)2

Unterjährige und stetige Verzinsung Bisher wurde die Verzinsung auf eine Zeitperiode (Jahr) (p.a., per annum) Bezug genommen. Wenn der Zinszuschlag aber halbjährlich, vierteljährlich, monatlich oder in noch kleineren Zeitperioden berücksichtigt wird, liegt eine sogenannte unterjährige Verzinsung vor. Verzinsung bei Ratenverträgen Werden in regelmäßigen Abständen Zahlungen (Ratenzahlungen) r vorgenommen, kann der Endwert einer Ratenzahlung bei nachschüssiger Verzinsung wie folgt berechnet werden: Kn = r · q ·

1 − qn 1−q

mit q = (1 + i) 6= 1

Beispiel 4-3: Die glücklichen Eltern beschließen, nach der Geburt ihrer kleinen Tochter ab dem kommenden 1. Januar jeweils am Jahresanfang 1.000 C auf ein Konto einzuzahlen. Über welchen Betrag kann Ihre Tochter nach 18 Jahren verfügen, wenn ein Zinssatz von 5% unterstellt wird, und welche Rate müssten die Eltern dagegen einzahlen, wenn Ihre Tochter nach 18 Jahren über einen Betrag von 36.000 C verfügen soll? Lösung: 1 − 1, 0518 = 29.539 C 1 − 1, 05 Kn 1 − q 36.000 (−0, 05) r= · ;r= · = 1.218, 73 also 1.218,73 C q 1 − qn 1, 05 1 − 1, 0518 K18 = 1.000 C · 1, 05 ·

Aufgabe 4-5: Welches Endkapital ergibt ein Anfangskapital von 5.000 C nach 10 Jahren, wenn eine jährliche Verzinsung von 3% angenommen wird und Zuschlag der Zinsen erfolgt? Wie groß ist der Unterschied zur einfachen Verzinsung? Aufgabe 4-6: Zu welchem Zinssatz wurde das Anfangskapital von 5.500 C verzinst, wenn nach 7 Jahren ein Endkapital von 7.325,24 C besteht?

33

4.3 Abschreibungen

Aufgabe 4-7: Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich ein mit 6% p.a. verzinstes Anfangskapital von K0 ? Aufgabe 4-8: Ein Kapital von 5.000 C soll 10 Jahre lang vierteljährlich mit 0,75% verzinst werden. Welches Endkapital ergibt sich? Welchem effektiven Jahreszins würde dies bei jährlicher Verzinsung entsprechen? Aufgabe 4-9: In einen Bausparvertrag werden jeweils zum 1. Januar eines Jahres 2.000 C eingezahlt. Welches Kapital wurde bei 2,5%-iger Verzinsung nach 7 Jahren angespart? Aufgabe 4-10: Wie lange muss man sparen, um bei Einzahlung von jährlich 2.000 C einen Bausparvertrag über 30.000 C zu 40% angespart zu haben (i=2%)?

4.3

Abschreibungen

Als Abschreibung bezeichnet man die buchmäßige Erfassung der Wertminderung eines Wirtschaftsgutes. Sie kann sich über die Zeit der wirtschaftlichen Nutzungsdauer oder über einen bestimmten anderen Zeitraum erstrecken. Der Wert des Wirtschaftgutes wird in der entsprechenden Abschreibungsperiode um eine Abschreibungsrate korrigiert, d.h. diese Rate wird abgezogen. Folgende Abkürzungen finden Verwendung: K0 =Nennwert (Anschaffungswert); n=Nutzungsdauer; rk =Abschreibung im k-ten Jahr; Kk =Buchwert (nach k Perioden); Kn =Restwert. Lineare Abschreibung Bei der linearen Abschreibung wird die Differenz zwischen Nennwert und Restwert in n glein . Der Restwert am Ende des k-ten Jahres beträgt: chen Raten r abgeschrieben: r = K0 −K n Kk = K0 − k ·

K0 − Kn k k = K0 · (1 − ) + · Kn n n n

Geometrisch degressive Abschreibung Der Restwert der geometrisch degressiven Abschreibung (fester Prozentsatz des Restwertes) lautet am Ende des k-ten Jahres: Kk = Kk−1 · (1 − i) = K0 · (1 − i)k Die Abschreibungsrate im k-ten Jahr ist: rk = Kk−1 · i = K0 · (1 − i)k−1 · i

34

4 Finanzmathematik

Arithmetisch degressive Abschreibung Der Restwert der arithmetisch degressiven (oder digitalen) Abschreibung nach k Jahren mit r1 als erster Abschreibungsrate und d als dem Minderungsbetrag der Abschreibungsrate lautet: Kk = K0 −

k · [2r1 − (k − 1)d] 2

Aufgabe 4-11: Eine IT-Ausstattung eines Unternehmens im Wert von 40.000 C kann jährlich mit 13% vom Restwert abgeschrieben werden. Wie groß ist die Abschreibungsrate und der Restwert am Ende des vierten Jahres? Aufgabe 4-12: Das Unternehmen möchte seine IT-Ausstattung im Wert von 40.000 C im 1. Jahr mit 12.000 C abschreiben. Die Abschreibungsrate soll jährlich um 2.000 C sinken. Welcher Restwert ergibt sich nach 4 Jahren?

4.4

Renten

Unter einer Rente versteht man in der Finanzmathematik gleich bleibende Zahlungen (Auszahlungen), die in regelmäßigen Abständen geleistet werden. Je nachdem, zu welchem Zeitpunkt innerhalb der zugehörigen Zeitperiode die Rente ausgezahlt wird, unterscheidet man zwischen einer vorschüssigen Rente, wenn sie am Anfang, und einer nachschüssigen Rente, wenn sie am Ende des zugehörigen Zeitintervalls ausgezahlt wird. Folgende Abkürzungen finden Verwendung: R0 = Rentenbarwert (zum Zeitpunkt t = 0); Rn = Rentenendwert nach n Rentenzahlungen; r = nachschüssige Rente; r0 = vorschüssige Rente. Nachschüssige Rente Der Barwert der nachschüssigen Rente über n Jahre ist: R0 = r · ν ·

1 − νn 1−ν

Beispiel 4-4: Herr Glücklich hat im Lotto 150.000 C gewonnen. Diese Summe möchte er komplett in eine Rentenversicherung (Kapitalverzinsung 3%) einzahlen, von der er am Ende eines Jahres jeweils 15.000 C ausgezahlt bekommen möchte. Nach wie viel Jahren ist der Lottogewinn völlig aufgebraucht? Lösung: 1 − νn R0 = r · ν · 1−ν



  1 R0 n= · ln 1 − (1 − ν) ln ν r·ν

35

4.4 Renten

mit den Zahlenwerten für ν, R0 und r folgt für n=12,067, d.h. Herr Glücklich kann gut 12 Jahre lang eine jährlich nachschüssige Rente von 15.000 C beziehen. Vorschüssige Rente Der Barwert der vorschüssigen Rente beträgt: R00 = r0 ·

1 − νn 1−ν

Beispiel 4-5 : Herr Glücklich hat im Lotto 150.000 C gewonnen. Diese Summe möchte er komplett in eine Rentenversicherung (Kapitalverzinsung 3%) einzahlen, von der er nun am Anfang eines Jahres jeweils 15.000 C ausgezahlt bekommen möchte. Nach wie viel Jahren ist der Lottogewinn völlig aufgebraucht? Lösung: R00

1 − νn =r · 1−ν 0



  1 R00 n= · ln 1 − 0 (1 − ν) ln ν r

mit den Zahlenwerten für ν, R00 und r0 folgt für n=11,65, d.h. Herr Glücklich kann knapp über 11 21 Jahre eine jährlich vorschüssige Rente von 15.000 C beziehen. Aufgabe 4-13: Was kostet eine vorschüssige Rente von r0 =12.000 C bei einem Zinssatz von i=0,05, die über 15 Jahre ausgezahlt wird? Aufgabe 4-14: Wie viel Jahre kann eine nachschüssige Rente r in Höhe von 12.000 C gezahlt werden, wenn ein Kapital von 100.000 C bei einem Zinssatz von 6% eingezahlt wurden? Aufgabe 4-15: Sie zahlten zum 01.01.2004 das Kapital K0 ein, das mit 7% p.a. verzinst wird. Welchen Stand weist Ihr Konto am 01.01.2016 auf? Das Kapital soll anschließend in Form einer vorschüssig zahlbaren Rente r0 , beginnend am 01.01.2016, ausbezahlt werden. Welchen Betrag müssten Sie einzahlen, damit Sie bei einem Zinssatz von 7% 10 Jahre lang eine Rente von r0 =2.000 C erhalten? Aufgabe 4-16: Ein Arbeiter soll, nachdem er einen berufsbedingten Unfall hatte, zu Beginn eines jeden Jahres eine Rente in Höhe von 2.400 C erhalten. Welche einmalige Abfindung hat sein Arbeitgeber jetzt zu leisten, wenn man annimmt, dass die Rente 20 mal ausgezahlt wird und der Zinssatz 5.5% beträgt?

36

4.5

4 Finanzmathematik

Tilgungen

Bei der Tilgungsrechnung steht eine Auszahlung am Beginn der Tilgungszeit, z.B. bei Auszahlung eines Darlehens oder einer Hypothek. Die Rückzahlung dieser Anfangsschuld erfolgt i.d.R. in (regelmäßigen oder unregelmäßigen) Raten, von denen jeweils ein Teil für die Schuldzinsen und der Rest für die Tilgung der Schuld aufgewendet wird. Zinsen (auf die Restschuld) und Tilgungen werden i.d.R. zum Jahresende ermittelt, sie ergeben zusammen die Jahreszahlung oder Annuität. Folgende Abkürzungen finden Verwendung: S0 = Anfangsschuld; Sk = Restschuld; q = Zinsfaktor; a = Annuitätenzahlung; a1n = Annuitätenfaktor. Für die Annuitätentilgung gilt allgemein: Sn = S0 · q n − a · q n−1 − a · q n−2 − ... − a = S0 · q n − a · (q n−1 + q n−2 + ... + 1) Nach n Jahren soll die Schuld getilgt sein, d.h. Sn = 0. Also gilt: S0 · q n = a ·

1 − qn 1−q

Hiermit lässt sich aus der Anfangsschuld die Annuität berechnen: a = S0 · q n ·

1 1−q = S0 · 1 − qn an

Aufgabe 4-17: Eine Hypothek zu 6% p.a. über 200.000 C soll über 30 Jahre getilgt werden. Wie hoch ist in diesem Fall die Annuität?

4.6

Verfahren der Investitionsrechnung

Die Wirtschaftlichkeit oder Vorteilhaftigkeit einer Investition lässt sich mithilfe der Finanzmathematik berechnen. Unter einer Investition versteht man allgemein die langfristige Anlage von Kapital. Es kann sich dabei sowohl um Sachinvestionen als auch um Finanzinvestitionen handeln. Die sogenannten dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung dienen der Untersuchung der Wirtschaftlichkeit derartiger Investitionen. Hierbei werden alle mit einem Investitionsobjekt verbundenen Zahlungen auf einen Bezugszeitpunkt diskontiert. Folgende Abkürzungen finden Verwendung: et = Ertrag in Periode t (t = 1, ..., T ); kt = Kosten oder Aufwendungen in Periode t; E0 = Barwert der Erträge; K0 = Barwert der Kosten; A = Anschaffungsausgaben für die Investition; T = Nutzungsdauer oder Kapitalbindungsdauer; p = Kalkulationszinsfuss.

37

4.6 Verfahren der Investitionsrechnung Barwert der Erträge und Kosten Für die Barwerte der Erträge E0 bzw. der Kosten K0 gilt: T

X et e1 e3 eT e2 E0 = + 2 + 3 + ... + T = q q q q qt t=1 T

K0 =

X kt k1 k2 k3 kT + 2 + 3 + ... + T = q q q q qt t=1

Kapitalwert Der Kapitalwert C0 der Investition lässt sich aus der Differenz aus den Barwerten der Erträge E0 und der Kosten K0 berechnen, wobei noch die Anschaffungskosten A abgezogen werden müssen:

C0 = E0 − A − K0 =

T X et t=1

qt

−A−

T X kt t=1

qt

= −A +

T X (et − kt ) t=1

qt

Kapitalwertmethode Als Kapitalwertmethode wird die Untersuchung der Wirtschaftlichkeit oder Vorteilhaftigkeit einer Investition oder mehrerer alternativer Investitionen bezeichnet. Eine Investition ist vorteilhaft, wenn ihr Kapitalwert positiv ist. Werden mehrere Investitionen miteinander verglichen, so ist die Investition mit dem größten Kapitalwert am vorteilhaftesten. Kann für eine Investition am Ende der Nutzungs- oder Kapitalbindungszeit noch ein Erlös erzielt werden, dann ist dieser zu den Erträgen eT in der letzten Nutzungsperiode dazuzurechnen bzw. abgezinst zu berücksichtigen. Man spricht dabei vom Restwert einer Investition. Beispiel 4-6: Für eine Sachinvestion in eine IT-Ausstattung, dessen Anschaffungskosten bei 12.000 GE lagen, liegen die Barwerte zu den entsprechenden Zeitperioden 1 bis 5 vor, aus denen sich bei einem Zinsfuss von p=12% die Vorteilhaftigkeit der Investion berechnen lässt. Lohnt sich diese Investition? t et kt et − kt et −kt qt

1 5.000 2.000 3.000 2.679

2 6.000 3.000 3.000 2.392

3 7.000 3.000 4.000 2.847

4 8.000 3.000 5.000 3.178

5 7.000 3.000 4.000 2.270

38

4 Finanzmathematik

Lösung: Als Kapitalwert ergibt sich C0 = −12.000+13.366 = 1.366, also ein positiver Wert und damit lohnt sich die Investition in die IT-Ausstattung. Interner Zinsfuss Ein anderer Ansatz der Investitions- oder Wirtschaftlichkeitsrechnung ist die Methode des internen Zinsfusses. Dabei wird der Zinsfuss gesucht, bei dem der Kapitalwert einer Investition gerade Null wird, d.h. die Gleichung

C0 = −A +

T X (et − kt ) p t =0 (1 + 100 ) t=1

wird nach p aufgelöst. Die Lösung ergibt den internen Zinsfuss p0 . Der interne Zinsfuss p0 einer Investition wird mit dem Kalkulationszinsfuss p verglichen. Gilt p0 > p , ist die Investition vorteilhaft, da ihre Verzinsung größer ist als der Kalkulationszinsfuss. Aufgabe 4-18: Zu einer Investition mit Anschaffungsausgaben von 8.000 C gehören in 4 Jahren der Nutzung folgende Erträge und Kosten: t et kt

1 7.000 5.000

2 6.000 4.000

3 7.000 4.000

4 7.000 4.000

Bestimmen Sie den Kapitalwert bei einem Zinsfuss von 9%. Aufgabe 4-19: Betrachtet sei eine Investition, die 6 Jahre lang jährliche Überschüsse in Höhe von 4.000 C erbringt. Der Anschaffungswert sei 23.000 C und der Restwert nach 6 Jahren noch 5.000 C . Lohnt sich die Investition bei einem Zinsfuss von 5%?

5

Funktionen

Eine Funktion dient der Beschreibung von Zusammenhängen zwischen mehreren verschiedenen Variablen. In diesem Sinne wird der Begriff der Funktion sowohl in der Umgangssprache als auch in der Mathematik verwendet. Die Lehre von den Funktionen - die Analysis - ist der wohl wichtigste Bereich der Mathematik, der auch für ökonomische Fragestellungen benötigt wird. In der Wirtschaftswissenschaft beschreiben Funktionen Wirkungszusammenhänge zwischen ökonomischen Größen wie z.B. die Abhängigkeit des Absatzes vom Preis und die Abhängigkeit des Endkapitals vom Anfangskapital oder auch der Zusammenhang zwischen Volkseinkommen und Konsumausgaben.

5.1

Funktionsbegriff und Abbildung

Funktionen zeigen die gegenseitigen Abhängigkeiten mehrerer Größen. Eine Größe, die unterschiedliche Werte annehmen kann, heißt Variable oder Veränderliche. Variablen werden in der Mathematik üblicherweise mit den Buchstaben x, y, z, u, v, ... bezeichnet. Wenn eine Variable nur einen festen Wert annehmen kann, wird sie als Konstante und gewöhnlich mit den Buchstaben a, b, c, d, ... bezeichnet. Bei physikalischen Größen wie z.B. Geschwindigkeit (Dimension „Weg/Zeit“ in km/h) oder elektrische Spannung (Dimension „Stromstärke·Widerstand“ in A · Ω) ist ebenso wie bei ökonomischen Größen auf die Dimensionen zu achten. Beispielsweise kann den anfallenden Kosten in einem Unternehmen die Dimension „Geldeinheiten“ zugeordnet werden. Da es nun aber verschiedene Kostengrößen gibt, muss diese weiter präzisiert werden, um die Kosten ökonomisch sinnvoll interpretieren zu können. So kann man für die Gesamtkosten eines Betriebes in einem Monat die Dimension „Geldeinheiten pro Zeiteinheit“ angeben und für die bei der Herstellung einer Produktionseinheit entstehende Stückkosten die Dimension „Geldeinheiten pro Stück“. Es ist zu erkennen, dass erst durch die Angabe der Dimension der ökonomische Inhalt einer Größe wie „Kosten“ genau definiert wird. Beim Rechnen mit ökonomischen Größen werden, wie auch mit physikalischen Größen, auch die Dimensionen entsprechend umgeformt. Interessiert man sich beispielsweise für die Stückkosten k, so werden sie als Quotient aus den Gesamtkosten K und der Produktionsmenge x berechnet, und es folgt damit für die Dimension der Stückkosten: Geldeinheit Geldeinheiten / Zeiteinheit = Stück / Zeiteinheit Stück

40

5 Funktionen

Die meisten Beziehungen zwischen ökonomischen Größen sind so gestaltet, dass man jedem Wert einer Größe x den Wert einer anderen Größe y zuordnen kann. Betrachtet man beispielsweise ein Unternehmen, das nur ein Produkt herstellt, so kann der Produktionsmenge x in einer bestimmten Periode ein Wert K für die Kosten in dieser Periode zugeordnet werden. Die Zuordnung von Elementen der einen Menge (z.B. Produktionsmenge) zu denen einer anderen Menge (z.B. Gesamtkosten) wird Relation genannt. Nur eine Relation mit einer eindeutigen Zuordnung ist eine Funktion. Bei einer eindeutigen Zuordnung wird jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen zugewiesen; jedem x wird genau ein y zugeordnet und nicht mehrere. Eine eineindeutige Funktion liegt dann vor, wenn jedem Element der Menge X genau ein Element der Menge Y zugeordnet werden kann (eindeutig) und umgekehrt. Zu jedem x gehört genau ein y, und zu jedem y gehört genau ein x. Eine Funktion ist somit eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element x der einen Menge X eindeutig ein Element y einer anderen Menge Y zuordnet. Eine Funktion schreibt man: y = f (x) Dabei wird y als die abhängige Variable und x als die unabhängige Variable bezeichnet; y hängt von x ab. Der Definitionsbereich ist der Gesamtbereich der Werte, die die unabhängige Variable annehmen kann. Der Wertebereich ist die Menge der Funktionswerte, die die abhängige Variable y annimmt.

5.2

Darstellung von Funktionen

Für die Darstellung von Funktionen gibt es drei Möglichkeiten: (i)

die tabellarische Darstellung (Wertetabelle),

(ii)

die analytische Darstellung (Funktionsgleichung) und

(iii)

die graphische Darstellung.

Bei der Untersuchung konkreter Fragestellungen ist es nicht immer möglich, zwischen allen drei Darstellungsformen zu wählen, da sie verschiedenen Zwecken dienen und da die Darstellungsformen mit unterschiedlichen Vor- und Nachteilen verbunden sind.

5.3

Eigenschaften von Funktionen

Ist der funktionale Zusammenhang der ökonomischen Größen bekannt, so kann man aufgrund bestimmter Eigenschaften der Funktion Rückschlüsse auf den zu diskutierenden Sachverhalt ziehen. Solche charakteristische Eigenschaften sind u.a. die Eineindeutigkeit, Umkehrbarkeit, Monotonie, Beschränktheit, Symmetrie, Steigung und Stetigkeit einer Funktion.

5.3 Eigenschaften von Funktionen

41

Eineindeutigkeit Gibt es bei einer Funktion y = f (x) zu jedem Wert der abhängigen Variablen y genau einen Wert der unabhängigen Variablen x, dann heißt die Funktion f eineindeutig. Umkehrfunktion Es sei y = f (x) eine eineindeutige Funktion. Die Funktion x = g(y), die man durch Umkehrung der Zuordnungsvorschrift erhalten kann, heißt Umkehrfunktion, inverse Funktion oder auch nur die Inverse und wird mit x = f −1 (y) bezeichnet. Monotonie Ist eine Funktion f (x) mit x ∈ R und f (x) ∈ R gegeben, so läßt sich formulieren: Gilt für alle x1 , x2 ∈ D(f ) : x1 < x2 → f (x1 ) < f (x2 ) , so heißt die Funktion streng monoton steigend. Gilt für alle x1 , x2 ∈ D(f ) : x1 < x2 → f (x1 ) > f (x2 ) , so heißt die Funktion streng monoton fallend. Gilt x1 < x2 → f (x1 ) ≤ f (x2 ) bzw. f (x1 ) ≥ f (x2 ) , so heißt die Funktion monoton steigend bzw. fallend. Beschränktheit Gegeben sei eine Funktion y = f (x) und ein c ∈ R (c=const.). Wenn für alle Funktionswerte f (x) gilt: |f (x)| ≤ c ,

so heißt f beschränkt;

f (x) ≤ c ,

so heißt f nach oben beschränkt;

f (x) ≥ c ,

so heißt f nach unten beschränkt.

c heißt eine (untere bzw. obere) Schranke von f . Symmetrie Eine Funktion y = f (x) heißt spiegel- oder achsensymmetrisch um a (gerade Funktion), wenn gilt f (a + x) = f (a − x). Eine ungerade Funktion y = f (x) mit f (−x) = −f (x) heißt punktsymmetrisch zum Nullpunkt. Stetigkeit Eine Funktion y = f (x) heißt stetig an der Stelle x0 ∈ D(f ), wenn sich zu jedem beliebigen kleinen  ∈ R+ ein δ ∈ R+ finden lässt, so dass für alle x-Werte, die weniger als δ von x0 entfernt liegen, die zugehörigen y-Werte weniger als  von y0 = f (x0 ) entfernt liegen; wenn also aus |x − x0 | < δ stets |f (x) − f (x0 | <  folgt.

42

5 Funktionen

Beispiel 5-1: Welche der nachfolgenden Funktionen f1 , f2 , f3 ist gerade oder ungerade? f1 (x) = log(x4 + 2x2 ), 1 f2 (x) = x5 − x3 + x, 5 1 f3 (x) = sin( ) x Lösung: f1 (−x) = log((−x)4 + 2(−x)2 ) = log(x4 + 2x2 ) = f1 (x) (gerade) 1 f2 (−x) = (−x)5 − (−x)3 + (−x) 5 1 = − x5 + x3 − x = −f2 (x) (ungerade) 5 1 1 f3 (−x) = sin( ) = − sin( ) = −f3 (x) (ungerade) (−x) x

5.4

Nullstellen von Funktionen

Häufig interessiert man sich für die Werte der unabhängigen Variablen x einer Funktion f (x), für die der Funktionswert 0 wird, d.h. die Funktion schneidet bzw. berührt an den sogenannten Nullstellen die x-Achse. Nullstelle einer Funktion Gegeben sei eine Funktion y = f (x). Ein Wert x0 der unabhängigen Variablen x, für den gilt f (x0 ) = 0, heißt Nullstelle der Funktion. Beispiel 5-2: Bestimmen Sie die Nullstelle der Funktion 3y = 17x + 51. Lösung: y=

1 ! (17x + 51) = 0 3

17x + 51 = 0 ⇒ 17x = −51 ⇒ x = −

51 = −3 17

Aufgabe 5-1: Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen y1 bis y4 : y1 = 4x − 8

y2 = x2 − 4x − 5

y3 = 3 · 2x − 24

y4 = 10x + 3

43

5.5 Elementare Funktionen

5.5

Elementare Funktionen

Nachfolgend seien einige wichtige elementare Funktionen aufgeführt: Konstante Funktion Eine konstante Funktion f besitzt die Funktionsgleichung y = f (x) = c mit c aus R (fest). Im Spezialfall c = 0 erhalten wir die Nullfunktion f (x) = 0 für alle x. Reziprokfunktion Die Reziprokfunktion y = f (x) = 1/x ist für alle x ∈ R\ {0} definiert. Ihr Funktionsgraph besteht aus den zwei Ästen der Normalhyperbel. Betragsfunktion Die Betragsfunktion lautet für x aus R y = f (x) = |x| =

( x

für x ≥ 0

−x für x < 0

.

Potenzfunktion Die Potenzfunktion lautet y = f (x) = xk mit k aus N und x aus R. Im Falle k = 1 erhält man die Identität. Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion zur Basis a besitzt die Funktionsgleichung y = f (x) = ax = exlna . Die Basis a (a > 0) ist eine reelle Zahl. Speziell für a = e = 2, 71828... (Eulersche Zahl) spricht man von der natürlichen Exponentialfunktion f (x) = ex . Logarithmusfunktion Die Logarithmusfunktion besitzt die Funktionsgleichung y = f (x) = loga x mit loga ax = x und a > 1. Speziell für a=10 spricht man vom dekadischen Logarithmus (log10 = lg). Natürliche Logarithmusfunktion Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion heißt natürlicher Logarithmus und wird mit ln bezeichnet: y = loge x = ln x mit x aus R+ und der Eulerschen Zahl e. Es gilt y = ln x und damit ey = x, also x = eln x . Gesetzmäßigkeiten:

loga (x · u) = loga x + loga u,

mit x, u > 0

loga ( ux ) = loga x − loga u,

mit x, u > 0

u

loga x = u · loga x,

mit x > 0 und u aus R

Sinus- und Cosinusfunktion Die Sinus- bzw. Cosinusfunktion ist für x zwischen 0 und 2π über die Längen der Ordinaten bzw. Abszissen (bei einem Kreisumlauf des Punktes P) definiert. Dabei gilt: sin(x + 2π) = sin x und cos(x + 2π) = cos x. Für x aus R heißen die Funktionsgleichungen: Sinusfunktion y = f (x) = sin x und Cosinusfunktion y = f (x) = cos x.

44

5 Funktionen sin(x ± y) = sin x · cos y ± cos x · sin y

Gesetzmäßigkeiten:

cos(x ± y) = cos x · cos y ∓ sin x · sin y sin2 x + cos2 x = 1 Ganze rationale Funktion Eine Funktion der Form pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 =

n X

a i xi

i=0

mit ai ∈ R heißt ganze rationale Funktion n-ten Grades oder Polynom n-ten Grades. Ein Polynom n-ten Grades pn (x) hat genau n Nullstellen, die jedoch nicht reell zu sein brauchen, und von denen einzelne mehrfach vorkommen können. Für eine ganz rationale Funktion y = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 =

n X

ai xi

i=0

mit den Nullstellen x01 , x02 , . . . , x0n gilt: n X

ai xi = an (x − x01 )(x − x02 )(x − x03 ) · · · (x − x0n )

i=0

Ist x = x01 eine Nullstelle der ganzen rationalen Funktion

y=

n X

ai xi

i=0

so kann dieses Polynom ohne Rest durch (x − x01 ) dividiert werden: n X i=0

! ai x

i

: (x − x01 ) =

n−1 X

bi xi

i=0

Das Ergebnis ist wieder eine ganze rationale Funktion (n−1)-ten Grades. Die Nullstellen dieser Funktion sind zugleich Nullstellen der ursprünglichen Funktion.

45

5.5 Elementare Funktionen So lässt sich als Beispiel das Polynom 4-ten Grades in Faktoren zerlegen: p4 (x) = x4 − 2x3 − 13x2 + 14x + 24 = (x + 1)(x − 2)(x + 3)(x − 4) da es die folgenden Nullstellen x01 = −1, x02 = 2, x03 = −3 und x04 = 4 besitzt.

Beispiel 5-3: Betrachtet sei das Polynom 3-ten Grades p3 (x) = x3 − 3x2 − x + 3, von der eine Nullstelle mit x01 = 1 bekannt ist. Bestimmen Sie mithilfe der Polynomdivision die anderen beiden Nullstellen. Lösung: Das Polynom p3 (x) wird durch die Differenz (x − 1) geteilt, und man erhält:
x3 − 3x2 − x + 3 : (x − 1) = x2 − 2x − 3 −(x3 − x2 ) − 2x2 − x + 3 −(− 2x2 + 2x) −3x + 3 −(−3x + 3) 0 und mit der p, q-Formel lauten die weiteren Nullstellen x02 = 3 und x03 = −1 Aufgabe 5-2: Bestimmen Sie die Nullstellen mittels Polynomdivision der nachfolgenden Gleichung, von der die Nullstellen x01 = 1 und x02 = −2 bekannt sind: p4 (x) = x4 − x3 − 7x2 + x + 6 = p2 (x) · (x − 1) · (x + 2)

Gebrochen rationale Funktion Der Quotient zweier Polynome pn (x) und qm (x): n P

pn (x) r(x) = = i=0 m P qm (x)

ai xi bj xj

j=0

mit qm (x) 6= 0 und ai , bj ∈ R heißt gebrochen rationale Funktion.

46

5 Funktionen

Die Nullstellen einer gebrochen rationalen Funktion sind die Punkte, in denen das Zählerpolynom, jedoch nicht zugleich das Nennerpolynom Null annimmt: x = x0 ist Nullstelle → r(x0 ) =

pn (x0 ) = 0 → pn (x0 ) = 0 und qm (x0 ) 6= 0 qm (xo )

Die Polstellen einer gebrochen rationalen Funktion liegen dort, wo das Nennerpolynom seine Nullstellen besitzt, ohne dass das Zählerpolynom gleichzeitig verschwindet: x = xp ist Polstelle → qm (xp ) = 0 und pn (xp ) 6= 0 Aufgabe 5-3: Ermitteln Sie ohne Wertetabelle nur aufgrund des Verhaltens an Nullstellen bzw. Polstellen und mithilfe der Asymptoten in groben Zügen den Verlauf der folgenden gebrochen rationalen Funktionen f (x) und g(x), und skizzieren Sie diese. (x − 1) · (x + 2)2 x2 · (x2 − 16) (x − 4) · (x − 2)2 · (x + 1)3 g(x) = (x − 3)2 · (x − 1)

f (x) =

5.6

Funktionen in der Ökonomie

Zusammenhänge zwischen ökonomischen Größen lassen sich im allgemeinen durch Funktionen beschreiben. So kann man beispielsweise zeigen, dass Wachstumsvorgänge aufgrund der ökonomischen Bedingungen eines betrachteten Problems häufig durch eine Exponentialfunktion f (t) = kat oder unter der Annahme einer Sättigungsgrenze durch eine sogenannte logistische Funktion f (t) = 1+eka+bt (b < 0) beschrieben werden können. In der Praxis tritt aber häufig das Problem auf, dass solche die Zusammenhänge beschreibenden Funktionen nicht bekannt sind und sich zudem nur sehr schwer abschätzen lassen. Beispielsweise sei einem Unternehmen bekannt, dass die Nachfrage nach ihrem Produkt steigt, wenn der Preis gesenkt wird, doch der genaue Verlauf der Nachfragefunktion ist dem Unternehmen nicht bekannt. Er kann auch nicht exakt ermittelt werden, da dazu Experimente mit verschiedenen Preisen notwendig wären, die in der Realität nicht durchzuführen sind. Häufig kennt man aber einige Eigenschaften der Funktion, aus denen sich Folgerungen für wirtschaftliche Entscheidungen ableiten lassen. Zusammenhänge zwischen ökonomischen Größen sind in der Realität i.d.R. sehr komplex und werden von vielen Parametern beeinflusst. Zur Beschreibung dieser Zusammenhänge sind Funktionen mit mehreren Veränderlichen heranzuziehen (siehe Kapitel 7). So ist z.B. die Nachfrage nach einem Produkt nicht nur von dessen Preis abhängig, sondern auch von den Preisen

5.6 Funktionen in der Ökonomie

47

der konkurrierenden Produkte und aller anderen Produkte, die ein Abnehmer konsumiert. Außerdem spielen das Einkommen und viele weitere Faktoren eine Rolle. Zur Lösung ökonomischer Fragestellungen durch mathematische Methoden ist es nicht möglich, die Realität in ihrer vollen Komplexität zu berücksichtigen. Deshalb wird ein Modell als ein vereinfachtes Abbild der Wirklichkeit erstellt, das die realen Zusammenhänge auf das Wesentliche reduziert (siehe hierzu auch Kapitel 1). Häufig unterstellt man für die Bestimmung der Nachfragefunktion, dass alle Faktoren bis auf den Preis des Produktes konstant bleiben (ceteris paribus Bedingung), so dass nur noch eine unabhängige Variable in die Berechnung eingeht. Eine weitere Vereinfachung liegt darin, dass häufig lineare Funktionen verwendet werden, auch wenn die Beziehungen zwischen zwei ökonomischen Größen nur annähernd linear verlaufen oder nur in einen bestimmten Intervall eine konstante Steigung haben. Nachfrage- oder Absatzfunktion Die Nachfragefunktion gibt die Abhängigkeit der nachgefragten Menge (Absatz) x vom Preis p des entsprechenden Produktes an: x = f (p). Wenn man die Abhängigkeit zwischen Preis p und nachgefragter Menge x eines Produktes betrachtet, bezeichnet man die Nachfragefunktion als Preis-Absatz-Funktion: p = f (x). Kostenfunktion Die Kostenfunktion K eines Unternehmens zeigt den Zusammenhang zwischen den gesamten Kosten in einer Periode und der in dieser Zeit produzierten Menge x eines Produktes auf. Man schreibt: K = f (x). Die Gesamtkosten K(x) setzen sich aus den Fixkosten Kf und den variablen Kosten Kv , die sich durch Multiplikation der variablen Stückkosten kv mit der Produktionsmenge x errechnen, zusammen: K(x) = Kf + Kv = Kf + kv x Umsatzfunktion Durch Multiplikation von Preis p und Menge x ergibt sich der Umsatz U (auch Erlös genannt): U (x) = p · x Da der Preis p eine Funktion der Menge x ist (siehe Preis-Absatz-Funktion), kann man auch genauer schreiben: U (x) = p(x) · x

48

5 Funktionen

Gewinnfunktion Die Differenz von Umsatz U und Kosten K stellt den Gewinn eines Unternehmens dar. Unter der Bedingung, dass U und K von der Menge x abhängig sind, schreibt man: G(x) = U (x) − K(x)

Durch Einsetzen der Umsatz- und Kostenfunktion ergibt sich: G(x) = p · x − Kf − kv · x = −Kf + (p − kv ) · x

Aufgabe 5-4: Für ein Produkt gelte die Preis-Absatz-Funktion p(x) = −0, 1x + 1.600, die natürlich nur für x, p größer gleich 0 sinnvoll interpretierbar ist, sowie die Kostenfunktion K(x) = 800.000 + 600x mit K in GE (Geldeinheiten), x in M E (Mengeneinheiten) und p in GE/M E. Man beschreibe die Umsatzfunktion U (x) sowie die Gewinnfunktion G(x) jeweils als Funktion von x und stelle K, U und G graphisch dar. Aufgabe 5-5: Bestimmen Sie die Umkehrfunktion zu: a) b) c) d)

f (x) = 3x − 2 mit D = R 3x − 1 mit D = R\ {−2} f (x) = x+2 1 f (x) = − (x + 5)2 + 7 mit D = [2, +∞[ 3 f (x) = 3 · 2x mit D = R

Aufgabe 5-6: Bestimmen Sie die Gleichung einer Kostenfunktion K(x) = ax2 + bx + c die den drei Beobachtungswerten K(0) = 2 und K(6) = 26 sowie K(2) = 6 genügt.

49

5.6 Funktionen in der Ökonomie

Aufgabe 5-7: Eine Wachstumsfunktion sei als Exponentialfunktion W (x) = a+bcx darstellbar. Berechnen Sie die Koeffizienten a, b, c aus R aufgrund der empirischen Wertepaare x W(x)

1 1

2 13

3 49

Aufgabe 5-8: Berechnen Sie durch Raten einer Nullstelle und anschließende Polynomdivision alle Nullstellen des Polynoms 4-ten Grades p4 (x) = x4 − 3x3 − 4x2 + 12x. Aufgabe 5-9: Welche der drei Zahlen −2, 2, 10 sind Nullstellen der nachfolgenden Polynome p3 (x), q3 (x) und p4 (x)? x3 − 2x2 − 2x +

p3 (x) =

3

4

2

4x + 2x + 5x − 4250

q3 (x) = 4

p4 (x) = x − 6x3 + 2x2 − 3x −

78

Aufgabe 5-10: Ein freier Handelsvertreter der Firma A und ein angestellter Reisender der Firma B erzielen im gleichen Verkaufsgebiet die gleichen Umsätze. Für den Handelsvertreter entstehen der Firma A Fixkosten in Höhe von 100 C pro Monat. Der Vertreter bekommt eine Umsatzprovision von 4%. Die Firma B hat für ihren angestellten Reisenden Fixkosten von 2.000 C pro Monat und zahlt ihm zusätzlich eine Umsatzprovision von 2%. Der Verkaufspreis der Produkte liegt bei 10 C. a) Welche Firma hat die kostengünstigste Absatzmittlerentscheidung getroffen, unter der Annahme, dass im ersten Fall 10.000 Stück und im zweiten Fall 1.000 Stück verkauft werden? b) Wie groß ist der kritische Umsatz, bei dem beide Firmen die gleichen Kosten für ihre Absatzmittler haben? c) Skizzieren Sie graphisch die Kosten des Handelsvertreters und des Reisenden als Funktion des Umsatzes? Aufgabe 5-11: Für die Herstellung seines Produktes hat ein Unternehmen eine Kostenfunktion mit progressiver Steigung ermittelt: K(x) = 0, 25x2 + 20x + 3.255. Die Preisabsatzfunktion lautet: p(x) = 590 − 14, 75x. a) Bestimmen Sie die Umsatz- und Gewinnfunktion, und zeichnen Sie die beiden Funktionen gemeinsam mit der Kostenfunktion in ein Koordinatensystem. b) Bei welcher Stückzahl wird die Gewinnschwelle erreicht, und welcher Preis muss dafür verlangt werden? c) Bei welcher Absatzmenge wird ein maximaler Gewinn erzielt, und wie hoch ist er?

6

Differentialrechnung

Ab der Mitte des 17. Jahrhunderts wurde die Mathematik um ein Gebiet erweitert, das auch für die Wirtschaftswissenschaft wichtig ist. Isaac Newton (1642-1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) legten die Grundlagen zur Differentialrechnung, deren Kern die Lehre von den Bewegungen und Veränderungen ist. Die Differentialrechnung etablierte sich anfangs in der Physik zur Lösung einfacher Bewegungsprobleme und später auch in der Wirtschaftswissenschaft zur Analyse ökonomischer Zusammenhänge und Funktionen. Mithilfe der Differentialrechnung werden charakteristische Eigenschaften der Funktionen wie Steigung, Maxima, Minima oder Wendepunkte bestimmt. Des Weiteren wird die Differentialrechnung zur Beschreibung von Veränderungen herangezogen z.B. zur Erklärung der Grenzänderungsrate bzw. von Elastizitäten genutzt.

6.1

Begriffliche Einführung

Um zu verdeutlichen, welche Möglichkeiten die Differentialrechnung eröffnet, bestimmte ökonomische Fragestellungen zu beantworten, sei die anfallende Lohnsteuer in Abhängigkeit eines sich ändernden Monatslohns betrachtet. Lohn L in C bis 914,99 923,99 1.049,99 1.058,99 1.193,99 1.202,99 1.346,99 1.355,99 3.263,99 3.272,99 4.433,99 4.442,99 5.333,99 5.342,99

Steuer S in C 2,00 3,08 20,75 22,33 47,83 49,66 82,08 84,58 644,25 647,25 1.074,41 1.078,08 1.443,08 1.446,91

Differenz Lohn ∆L

Differenz Steuer ∆S

Steueränderungsrate

9,00

1,08

12,00%

9,00

1,58

17,56%

9,00

1,83

20,33%

9,00

2,50

27,78%

9,00

3,00

33,33%

9,00

3,67

40,78%

9,00

3,83

42,56%

52

6 Differentialrechnung

Bekanntlich steigt die Lohnsteuer mit zunehmenden Lohn progressiv an. Aus obenstehender Wertetabelle lässt sich der Zusammenhang zwischen Steueränderungsrate und Monatslohn im Jahre 2006 bei Steuerklasse I herausarbeiten. Die Steueränderungsrate ∆S ist eine Funktion des Monatslohns L, wie auch die Lohnsteuer S eine Funktion des Monatslohns L, d.h. also derselben unabhängigen Veränderlichen, ist. Die Änderungsrate ∆S nimmt im Bereich bis ca. 3.200 C überproportional zu (konvexe Krümmung), sie wächst dann weiter, jedoch unterproportional (konkave Krümmung) - sie zeigt insgesamt einen s-förmigen Verlauf, wie er häufig bei ökonomischen Funktionen auftritt. Der Verlauf der Kurve stellt den sogenannten Differenzenquotienten (∆S/∆L) dar, der als gute Näherung des Differentialquotienten angesehen werden kann. Letzterer ergibt sich, wenn man den Grenzübergang zu unendlich kleinen Differenzen vollzieht.

6.2

Differentialquotient und Differentiationsregeln

Die Änderungsrate lautet er

∆S ∆L

aus obigem Beispiel wird Differenzenquotient bezeichnet. Allgemein

f (x + ∆x) − f (x) ∆y = , ∆x ∆x wobei y die abhängige Variable und x die unabhängige Variable bezeichnet. Er bedeutet also die Änderung des Funktionswertes relativ zur Änderung der unabhängigen Veränderlichen über einem endlichen Intervall. Der Grenzwert dy f (x + ∆x) − f (x) = lim dx ∆x→0 ∆x heißt Differentialquotient der Funktion y = f (x) an der Stelle x. Man spricht „dy nach dx“. Andere Bezeichnungen für den Differentialquotient sind: dy df d = y 0 = f 0 (x) = = f (x) dx dx dx f 0 (x) heißt Ableitung von f nach x. Geometrisch bedeutet die Differenzierbarkeit von f in einem Punkt x, dass der Graph von f in diesem Punkt x eine Tangente besitzt. Die Funktion f wird in der Nähe dieses Punktes durch eine lineare Funktion (die Funktion, deren Graph die Tangente ist) approximiert. Die Ableitung in diesem Punkt ist die Steigung der Tangente in diesem Punkt.

53

6.2 Differentialquotient und Differentiationsregeln

Beispiel 6-1: Betrachtet sei die Parabel f (x) = x2 , die in jedem Punkt x0 ∈ R differenzierbar ist. Bestimmen Sie den Differentialqoutienten und damit die erste Ableitung dieser Funktion f (x). Lösung: f 0 (x0 ) = lim

x→x0

x2 − x20 (x + x0 )(x − x0 ) = lim = lim (x + x0 ) = 2x0 x→x0 x→x0 x − x0 x − x0

Da der Differentialquotient die Steigung einer Funktion angibt, folgt, dass eine Funktion an der zu differenzierenden Stelle stetig sein muss. Eine stetige Funktion ohne Ecken und Spitzen oder ähnliches ist somit differenzierbar. Für die Bestimmung von Differentialquotienten muss nicht jedes Mal der Grenzwert berechnet werden, denn es existieren zahlreiche Nachschlagewerke mit Ableitungen verschiedener Funktionen. Potenzfunktion

y = xn

y 0 = n · xn−1

Exponentialfunktion zur Basis e

y = ex

y 0 = ex

Natürlicher Logarithmus

y = ln x

y0 =

Sinusfunktion

y = sin x

y 0 = cos x

1 x

Funktionen, die durch die Verknüpfung elementarer Funktionen (Addition, Multiplikation, Division, Wurzel, Exponieren) gebildet sind, oder die in Form zusammengesetzter Funktionen vorkommen, kann man nach den folgenden Regeln differenzieren: Konstanter Faktor-Regel Die Ableitung einer konstanten Funktion ist gleich 0. Ein konstanter Faktor c kann beim Differenzieren stets vor die Ableitung gezogen werden. D.h. also für die Ableitung der Funktion y = c · f (x) gilt: y 0 = c · f 0 (x)

Summenregel Sind f (x) und g(x) zwei differenzierbare Funktionen und y = f (x) ± g(x) die Summe (Differenz), so gilt: y0 =

d df (x) dg(x) (f (x) ± g(x)) = ± = f 0 (x) ± g 0 (x) dx dx dx

54

6 Differentialrechnung

Produktregel Ein Produkt von zwei Funktion y = f (x) · g(x) wird nach der sogenannte Produktregel differenziert. Es gilt: y 0 = f 0 (x) · g(x) + g 0 (x) · f (x) Quotientenregel Ist eine Funktion als Quotient zweier differenzierbarer Funktionen darstellbar, d.h. y = mit g(x) 6= 0, dann lautet ihre Ableitung: y0 =

f (x) g(x)

f 0 (x) · g(x) − g 0 (x) · f (x) (g(x))2

Kettenregel Für die zusammengesetzte Funktion y = f (g(x)) mit z = g(x) als innere und y = f (z) als äußere Funktion lautet der Differentialquotient: y0 =

df (z) dg(x) d (f (g(x))) = · = f 0 (z) · g 0 (x) dx dz dx

Beispiel 6-2: Bilden Sie die erste Ableitung der folgenden Funktion f (x) =

2x2 − 20x + 50 . x−3

Lösung: (4x − 20) · (x − 3) − 1 · (2x2 − 20x + 50) (x − 3)2 2 2x − 12x + 10 = (x − 3)2

f 0 (x) =

Aufgabe 6-1: Bestimmen Sie zu den nachfolgenden Funktionen f (x), g(x) und h(x) die Differentialquotienten f 0 (x), g 0 (x) und h0 (x) sowie die Ableitungen in den angegebenen Punkten x1 , x2 und x3 : p

x2 + 5x in x1 = 4 x−3 g(x) = √ in x2 = 5 3 x+3 2x + 3 h(x) = √ in x3 = 2 4x2 + 9

f (x) =

6.2 Differentialquotient und Differentiationsregeln

55

Aufgabe 6-2: Bilden Sie die ersten Ableitungen der folgenden vier Funktionen: f (x) = log10 (3x + 1) g(x) = 7 · 3x + 5 · (ln x)3 h(x) = ln x2x 2

k(x) = 2 · ex+x − log2

1 x6

Aufgabe 6-3: Bilden Sie die ersten Ableitungen nachfolgender fünf Funktionen: f (x) =

√ 3

x2

g(x) = sin x · cos x √ 1 h(x) = x · ( x3 + x−1 ) 3 1 k(x) = − ln x e 2 l(x) = 2x2 · ln(x2 ) + ex · sin x Ableitung höherer Ordnung Falls die erste Ableitung f 0 (x) ein weiteres Mal differenziert wird, ergibt sich die zweite Ableitung f 00 (x) und man schreibt: f 00 (x) =

d2 f (x) dx2

Führt man das Differenzieren der Funktion f (x) so fort, folgt allgemein für die n-te Ableitung f (n) (x): f (n) (x) =

dn d (n−1) f (x) = f (x) für n = 1, 2, ... n dx dx

Dabei wird f (0) (x) als „nullte“ Ableitung der Funktion f (x) bezeichnet. Kurvendiskussion Mithilfe der Differentialrechnung lassen sich weitere charakteristische Eigenschaften von Funktionen wie Maxima oder Minima bestimmen. Diese zusätzlichen Eigenschaften erlauben neben den Symmetrieeigenschaften, den Nullstellen oder der Monotonie einer Funktion eine genauere Beschreibung des Kurvenverlaufes einer Funktion. Mit der zweiten Ableitung einer Funktion lassen sich insbesondere Maximum, Minimum und Wendepunkt eines Funktionsverlaufes charakterisieren:

56

6 Differentialrechnung Kurve steigt Kurve fällt Maximum Minimum Wendepunkt

f 0 (x) > 0 f 0 (x) < 0 f 0 (a) = 0 ∧ f 00 (a) < 0 f 0 (a) = 0 ∧ f 00 (a) > 0 f 00 (a) = 0 ∧ f 000 (a) 6= 0

Beispiel 6-3: Gegeben sei die Funktion f (x) = 5x2 − 2x + 5. Bestimmen Sie die Maxima oder Minima der Funktion. Lösung: 1 = 0, 2 ; 5 00 da f (0, 2) = 10 > 0 hat die Funktion an der Stelle x = 0, 2 ein Minimum

f 0 (x) = 10x − 2 ; ausf 0 (x) = 0 = 10x − 2 folgt x =

6.3

Anwendungen der Differentialrechnung in der Ökonomie

In vielen praktischen Anwendungen wird nach der Veränderungsrate einer Größe gefragt, beispielsweise wie schnell die Wirtschaft wächst oder um wie viel sich die nachgefragte Menge eines Gutes ändert, wenn sein Preis um einen geringen Betrag geändert wird. Zur Beantwortung dieser und anderer Fragen ist das Verständnis der ersten Ableitung als Grenzwert ökonomisch relevanter Funktionen notwendig. Die ersten Ableitungen der ökonomisch relevanten Funktionen werden deshalb nicht ohne Grund als Grenzfunktionen (z.B. Grenzkostenfunktion, Grenzertragsfunktion) bezeichnet. Produktionsfunktion Mittels einer Produktionsfunktion lässt sich die Abhängigkeit der Produktionsmenge Y eines Gutes von den Einsatzmengen xi der Produktionsfaktoren (z.B. Arbeitskräfte, Maschinen, Rohstoffe, Kapital) darstellen. Y = f (x1 , x2 , ..., xn ) Y Produktionsmenge (Output) , xi Einsatzmenge (Input) Zur Funktion mit mehreren unabhängigen Veränderlichen (siehe Kapitel 7). Klassisches Ertragsgesetz Das klassische Ertragsgesetz ist aus der Landwirtschaft her bekannt und besagt, dass man mit zunehmenden Einsatz an Dünger zunächst zunehmende und ab einer bestimmten Menge abnehmende Grenzerträge zu verzeichnen hat, die schließlich auch negativ werden können.

6.3 Anwendungen der Differentialrechnung in der Ökonomie

57

Grenzertragsfunktion Die Grenzertragsfunktion GE trifft eine Aussage über die näherungsweise Änderung des Ertrages, wenn ausgehend von einer gegebenen Faktoreinsatzmenge selbige um eine Einheit erhöht wird. Die Grenzertragsfunktion GE ist die erste Ableitung der Produktionsfunktion: GE = Y 0 (x). Durchschnittsfunktion oder Durchschnittsertragsfunktion Die Durchschnittsertragsfunktion DE gibt an, welchen Ertrag eine Einheit des eingesetzten Faktors x durchschnittlich erbringt. DE(x) =

Y (x) Ausbringungsmenge Output = = x Faktoreinsatzmenge Input

Bei einer gegebenen Produktionsfunktion lässt sich die zugehörige Durchschnittsertragsfunktion auch graphisch bestimmen: Vom Ursprung aus wird eine Verbindungslinie zu dem zu untersuchenden Punkt gezogen. Die Steigung dieser Verbindungslinie gibt den Durchschnittsertrag an. Elastizität Die Elastizität  ist ein (dimensionsloses) Maß für die relative Änderung einer abhängigen Variable y zur relativen Änderung der sie bestimmenden unabhängigen Variable x. Man unterscheidet zwischen der Durchschnittselastizität (bezieht sich auf ein Intervall) und der Punktelastizität (bezieht sich auf einen Punkt). Durchschnittselastizität

yx =

∆y y ∆x x

=

relative Änderung der abhängigen Variable y relative Änderung der unabhängigen Variable x

Punktelastizität ∆y y ∆x→0 ∆x x

yx = lim

∆y ∆x y ∆x→0 x

= lim

=

dy dx y x

=

dy x x · = y0 · dx y y

58

6 Differentialrechnung

Vorgehensweise bei der Bestimmung der Elastizitäten a. b. c. d. e. f.

Kennzeichnung von abhängiger und unabhängiger Variable Gegebenenfalls vorliegende Beziehung umformen zu abhängigen Variable y = f (unabhängige Variable x) Funktion f differenzieren dy x In Formel  = dx · y einsetzen Ergebnis: Elastizitätsfunktion der abhängigen Variable x in Bezug auf die unabhängige Variable y Ausrechnen konkreter Werte

Klassifikation von Elastizitäten  = ±∞ −∞ <  < −1 1 <  < +∞  = ±1 −1 <  < 0 0 0 gibt, so dass - Die Funktion fg(x) stets |g(x)| ≥ λ für x ∈ [a, b].

71

8.5 Anwendungen der Integralrechnung in der Ökonomie

Beispiel 8-3: Berechnen Sie folgendes bestimmte Integral

R5

e2x dx.

2

Lösung: Da

R

e2x dx = 21 e2x + c ist, erhält man Z5

e2x dx =

1 2x 5 1 1 1 e |2 = e10 − e4 = e4 (e6 − 1) 2 2 2 2

2

Aufgabe 8-5: Berechnen sie die nachfolgenden drei bestimmten Integrale: Z

∞

x · ex dx

2

Z

1

x · ex

−∞ Z 7

√

3

8.5

2

+1

dx

1 dx x−3

Anwendungen der Integralrechnung in der Ökonomie

Ein wesentlicher Nutzen der Integralrechnung in der Ökonomie liegt in der Bestimmung der Stammfunktion zu einer gegebenen Grenzfunktion. Anzumerken ist, dass die Bestimmung der Stammfunktion oder Gesamtfunktion aus einer Grenzfunktion in der Ökonomie nicht als unbestimmtes Integral, sondern als Berechnung eines bestimmten Integrals mit variabler oberer Grenze aufzufassen ist. Gesamtkostenfunktion und Grenzkostenfunktion x

Z

K 0 (t) dt + K(0) = Kv (x) + Kf (x)

K(x) = 0

Gesamterlösfunktion und Grenzerlösfunktion Z E(x) = 0

x

E 0 (t) dt = E(x) − E(0) = E(x) da E(0) = 0

72

8 Integralrechnung

Beispiel 8-4: Es sei die Grenzerlösfunktion E 0 (x) beim Absatz eines Produktes mit E 0 (x) = 5 − 23 x bekannt. Ermitteln Sie die Preis-Absatz-Funktion p(x). Lösung: Z

3 3 (5 − x) dx = 5x − x2 2 4 3 = p(x) · x → p(x) = − x + 5 4

E(x) =

Aufgabe 8-6: Gegeben sei die Grenzkostenfunktion K 0 (x) = 3x2 − 7x + 11. Bestimmen Sie die Funktion der gesamten variablen Kosten sowie die Gesamtkostenfunktion. Aufgabe 8-7: Gegeben seien die Grenzkostenfunktion K 0 (x) = 3x2 − 8x + 8, die fixe Kosten Kf = 4 sowie die Grenzerlösfunktion E 0 (x) = 12 − 4x. Bestimmen Sie die Gesamtkostenfunktion, die Gesamterlösfunktion, die Preis-Absatz-Funktion und die Gewinnfunktion.

9

Vektoren und Matrizen

In der Wirtschaftwissenschaft und in der betriebs- und volkswirtschaftlichen Praxis hat man es oftmals mit mehrfachen Zusammenhängen oder Beziehungen zu tun, die sich nicht durch Funktionen, wie beispielsweise in Kapitel 5 bis 7 beschrieben, darstellen lassen. So kommt einer tabellenähnlichen Anordnung von Zahlen (Matrizen und Vektoren) zur Beschreibung derartiger Zusammenhänge eine sehr große Bedeutung zu. Die Beziehungen zwischen solchen Zahlenblöcken lassen sich mithilfe der Matrizen- und Vektorrechnung sehr übersichtlich darstellen. Das Rechnen mit Vektoren und Matrizen ist ein Teilgebiet der Linearen Algebra und geht auf den Mathematiker Arthur Cayley (1821-1895) zurück. Er hat die Bezeichnung Matrizen für rechteckige (insbesondere quadratische) Zahlenschemata eingeführt. Beispiel 9-1: Betrachtet sei eine Supermarktkette, die in einer Verkaufsregion 3 Lager und 6 Filialen besitzt. Die Kosten für den Transport einer Tonne von Lager 1 zu Filiale 1 betrage 9 GE, von Lager 1 zu Filiale 2 6 GE, von Lager 1 zu Filiale 3 5 GE, von Lager 1 zu Filiale 4 4 GE, von Lager 1 zu Filiale 5 1 GE und von Lager 1 zu Filiale 6 9 GE. Weitere Kosten entstehen von Lager 2 bis 3 jeweils zu den Filialen 1 bis 6. Stellen Sie die Ergebnisse in einer Tabelle dar. Lösung: Für die Kosten von Lager 1 zu allen Filialen 1 bis 6 werden die konkreten Zahlenwerte in die Tabelle eingetragen, für die restlichen Kosten Zahlenwerte willkürlich gewählt, so dass alle Kosten in einer Tabelle Lager versus Filiale wie folgt zusammengestellt werden können:

Lager

1 2 3

1 9 8 5

2 6 12 2

Filiale 3 4 5 4 9 6 3 2

5 1 7 3

6 9 8 1

Um mit solchen Zahlenschemata konkreter umgehen und rechnen zu können, werden nachfolgend grundlegende Aspekte der Matrizen- und Vektorrechnung dargelegt.

9.1

Grundbegriffe zu Matrizen und Vektoren

Zunächst werden einige Grundlagen zu Matrizen und Vektoren vorgestellt, die für das Verständnis des Rechnens mit Matrizen und Vektoren notwendig sind. Die beiden Begriffe Matrix und Vektor werden eingeführt und spezielle Matrizen erläutert.

74

9 Vektoren und Matrizen

Matrix Das rechteckige Zahlenschema 

a11 a  21 . . . A=  ai1   .. . am1

 a12 . . . a1j . . . a1n a22 . . . a1j . . . a2n   .. ..   . .  ai2 . . . aij . . . ain   .. ..  . . am2 . . . amj . . . amn

heißt Matrix mit m Zeilen und n Spalten oder mXn-Matrix. Die aij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) heißen Elemente der Matrix. Man schreibt (aij )mn oder Amn oder einfach kurz A. Vektor Eine Matrix, die nur aus einer einzigen Spalte besteht, also eine mX1-Matrix, heißt Spaltenvektor, und man schreibt wie folgt:    ~a =  

a1 a2 .. .

    

am Eine Matrix, die nur aus einer einzigen Zeile besteht, also eine 1Xn-Matrix, heißt Zeilenvektor, und man schreibt wie folgt ~a T = (a1 , a2 , ..., an ) Zeilenvektoren mit n-Komponenten (Elementen) werden auch geordnete n-Tupel genannt. Ein Tupel ist ein Bündel von reellen Zahlen. Gleichheit von Matrizen Zwei mXn-Matrizen A = (aij ) und B = (bij ) heißen einander gleich, also A = B, wenn aij = bij für alle i = 1, ..., m und j = 1, ..., n. Matrizenungleichung Gegeben seien zwei mXn-Matrizen A = (aij ) und B = (bij ). Gilt aij < bij für alle i = 1, ..., m und j = 1, ..., n, also für alle entsprechenden Elemente der beiden Matrizen, so schreibt man A < B. Wird für einzelne Elemente auch aij = bij zugelassen, so schreibt man A ≤ B.

9.1 Grundbegriffe zu Matrizen und Vektoren

75

Nullmatrix und Nullvektor Eine Matrix, deren sämtliche Elemente aij = 0 sind, heißt Nullmatrix und wird mit 0 bezeichnet. Ein Vektor, bei dem alle Elemente Null sind, heißt Nullvektor. Quadratische Matrix Gilt bei einer mXn-Matrix m=n, d.h. stimmen Zeilenzahl und Spaltenzahl überein, so hat man eine quadratische Matrix n-ter Ordnung. Dreiecksmatrix Eine quadratische Matrix, bei der sämtliche Elemente auf einer Seite der Hauptdiagonalen gleich Null sind, heißt Dreiecksmatrix. Man unterscheidet zwischen einer oberen Dreiecksmatrix und einer unteren Dreiecksmatrix. Diagonalmatrix Eine quadratische Matrix n-ter Ordnung heißt Diagonalmatrix n-ter Ordnung, wenn alle Elemente, die nicht auf der Hauptdiagonalen liegen, gleich Null sind. Einheitsmatrix Eine Diagonalmatrix n-ter Ordnung, deren Diagonalelemente alle gleich 1 sind, heißt Einheitsmatrix n-ter Ordnung und wird mit E bezeichnet. Einheitsvektor Ein Vektor, dessen i-te Komponente „1“ ist und der sonst nur „0“ enthält, heißt i-ter Einheitsvektor und wird mit ei bezeichnet. Transponierte Matrix Gegeben sei eine mXn-Matrix A = (aij ). Die nXm-Matrix B = (bji ) mit bji = aij für j = 1, ..., n; i = 1, ..., m heißt transponierte Matrix zu A (oder kurz Transponierte zu A) und wird mit A0 oder AT bezeichnet. Symmetrische Matrix Gilt für eine quadratische Matrix A = AT , dann heißt die Matrix symmetrisch. Inverse einer quadratischen Matrix Für eine quadratische Matrix A ist die Inverse oder inverse Matrix A−1 als eine Matrix definiert, für die gilt: A−1 · A = A · A−1 = E.

76

9 Vektoren und Matrizen

Aufgabe 9-1: Gegeben sei die Matrix   3 4 −1 9 −6  −2 5 2 −8 5      A =  −1 −3 −3 7 −8     2 5 2 8 −5  3 −4 1 −9 6 a) b)

Wie lauten die Elemente a15 , a34 , a43 , a52 und a41 5 5 P P Bestimmen Sie ai2 und a2j i=1

j=1

Aufgabe 9-2: Bestimmen Sie die Transponierten zu den Matrizen A, B, C:       5 17 −2 29 12 8 16 3 2 8 A= ; B =  6 12 3 18  ; C =  −7 9 7  4 1 −7 2 −9 14 32 34 2 −3 Aufgabe 9-3: Vervollständigen Sie die Matrizen A und B zu symmetrischen Matrizen:   1 5 −1 4 9   5 1 3 2 . 2 2 0 8   1 2 0 .    A=. . 6 1 7; B= 3 0 . .   . . . 0 7 2 . . . . . . . 3

9.2

Addition von Matrizen und Vektoren

Addition von Matrizen Zwei Matrizen gleicher Ordnung A = (aij ) und B = (bij ) werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die in den Matrizen an gleicher Stelle stehenden Elemente addiert bzw. subtrahiert: (aij ) + (bij ) = (aij + bij ) bzw. (aij ) − (bij ) = (aij − bij ). Additionsgesetze für Matrizen Gegeben seien Matrizen gleicher Ordnung A, B, C. Dann gelten A + B = B + A das Kommutativgesetz, (A + B) + C = A + (B + C) das Assoziativgesetz, und aus A = B folgt A + C = B + C und aus A ≤ B folgt A + C ≤ B + C die Monotoniegesetze. Addition von Vektoren Zwei m-dimensionale Vektoren ~a und ~b werden addiert (bzw. subtrahiert), indem die entsprechenden Komponenten (Elemente) addiert (bzw. subtrahiert) werden. Man schreibt: ~c = ~a ± ~b

⇔

ci = ai ± bi für alle i = 1, 2, ..., m

77

9.2 Addition von Matrizen und Vektoren Der Vektor ~c heißt Summen- bzw. Differenzvektor von ~a und ~b.

Beispiel 9-2: Gegeben seien die Produktionsmengen x dreier Produkte im 1-ten Halbjahr bzw. 2-ten Halbjahr eines Produktionsjahres. Sie lassen sich durch die folgenden Produktionsvektoren darstellen: 

 20.000 ~x1 =  15.000  10.000



 17.000 und ~x2 =  25.000  15.000

Wie lauten die Jahresproduktionsvektoren? Lösung: 

 37.000 ~x = ~x1 + ~x2 =  40.000  25.000

Aufgabe 9-4: Gegeben seien die drei Matrizen A, B und C:       3 4 5 6 1 3 5 4 4 7 6 A=7 2 0 1; B=7 2 2 8; C=3 0 1 2 1 9 4 9 3 8 6 1 9 3 Berechnen Sie A + B, A − B, B − A und A + C. Aufgabe 9-5: Gegeben seien die Matrizen A und B:     1 2 −3 −2 A =  3 4  und B =  1 −5  5 6

4

3

Bestimmen Sie die Matrix C so, dass A + B − C = 0, wobei 0 die Nullmatrix bezeichnet. Aufgabe 9-6: Ein Unternehmen besitzt drei Teilelager, in denen jeweils drei Artikel lagern. Die in zwei aufeinanderfolgenden Monaten verbrauchten Mengen sind in den folgenden Tabellen wiedergegeben:

Artikel

1 2 3

Teilelager 1 2 3 3 5 4 2 6 1 0 3 4

Artikel

1 2 3

Teilelager 1 2 3 2 1 0 3 2 1 2 1 4

78

9 Vektoren und Matrizen

Schreiben Sie die verbrauchten Mengen als Matrizen und bestimmen Sie den Gesamtverbrauch in den beiden Monaten je Artikel und je Teilelager. Aufgabe 9-7: Gegeben seien die drei Matrizen A, B und C:       4 2 1 1 −2 −1 A= ; B= ; C= 1 0 1 1 −3 −2 Bestimmen Sie 5A, −2B, 3A − 2B + C und A − 10B − 3C.

9.3

Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar

Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Eine Matrix A = (aij ) wird mit einer Zahl λ (einem Skalar) multipliziert, indem man jedes Element der Matrix mit dieser Zahl multipliziert: λ(aij ) = (λaij ). Gesetze für die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Gegeben seien Matrizen gleicher Ordnung A und B und die Skalare λ und ν. Dann gelten: Kommutativgesetz:

λA = Aλ

Assoziativgesetz:

(λν)A = λ(νA)

Distributivgesetz:

λ(A + B) = λA + λB (λ + ν)A = λA + νA

Monotoniegesetze:

Aus A = B folgt λA = λB und aus A ≤ B folgt λA ≤ λB falls λ > 0, und aus A ≤ B folgt λA ≥ λB falls λ < 0.

Beispiel 9-3: In 4 Unternehmen werden die gleichen 3 Produkte gefertigt. Folgende Produktionsmatrix beschreibt die monatliche Produktion der Unternehmen: 

XM

 8 10 28 15 =  10 12 20 25  8 8 10 9

Wie groß ist bei unverändertem monatlichen Output die Jahresproduktionsmatrix? Lösung: 

XJ = 12 · XM

 96 120 336 180 =  120 144 240 300  96 96 120 108

Im Unternehmen 3 werden beispielsweise jährlich 336 Einheiten von Produkt 1 gefertigt.

79

9.4 Skalares Produkt von Vektoren und Multiplikation von Matrizen Aufgabe 9-8: Gegeben seien die drei Vektoren ~a, ~b und ~c mit:  5 ~a =  4  ; −3 

 1 ~c =  0  −3

  1 ~b =  1  ; 0



Bestimmen Sie die Werte für λ und ν so, dass gilt: ~a + λ~b + ν~c = ~0.

9.4

Skalares Produkt von Vektoren und Multiplikation von Matrizen

Skalares Produkt von Vektoren 

Gegeben seien ein Zeilenvektor ~a T

 b1   = (a1 , a2 , ..., an ) und ein Spaltenvektor  ... , die beide

bn die gleiche Ordnung haben. Unter dem skalaren oder inneren Produkt der beiden Vektoren versteht man den Skalar:   b1 n X  ..  T ~ ai bi ~a · b = (a1 , a2 , ..., an ) ·  .  = a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn = bn

i=1

Gesetze für skalare Vektorprodukte Gegeben seine Vektoren gleicher Ordnung ~a, ~b, ~c. Dann gelten: Kommutativgesetz:

~a T ~b = ~b T ~a

Distributivgesetz:

(~a T + ~b T )~c = ~a T ~c + ~b T ~c

Monotoniegesetze:

Aus ~a T = ~b T folgt ~a T ~c = ~b T ~c, ~c beliebig, und aus ~a T ≤ ~b T folgt ~a T ~c ≤ ~b T ~c falls ~c > ~0, und aus ~a T ≤ ~b T ~c folgt ~a T ≥ ~b T ~c falls ~c < ~0.

Beispiel 9-4: Ein Unternehmen stelle 4 verschiedene Artikel her. Die wöchentliche Produktionsmenge x1 , x2 , x3 (in ME) werde durch den Produktionsvektor ~x und die erzielten Verkaufspreise p1 bis p3 (in C/ME) durch den Preisvektor p~ beschrieben. Wie groß ist der wöchentliche Umsatz? 

 10 ~x =  15  7



 5, 50 und p~ =  8, 00  10, 00

80

9 Vektoren und Matrizen

Lösung: U = x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 = = 10 · 5, 50 + 15 · 8, 00 + 7 · 10, 00 = 245 C/Woche

also einfach das Skalarprodukt bilden: 

 p1 U = ~xT p~ = (x1 , x2 , x3 ) ·  p2  = 245 C/Woche p3 Betrag eines Vektors Die Länge eines Vektors ~a lässt sich mithilfe des Satzes von Pythagoras (In allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates, kurz a2 + b2 = c2 ) berechnen. Es gilt: v um √ uX a2i = ~aT ~a |~a| = t i=1

Für den Betrag eines Vektors gelten die Eigenschaften, dass aus |~a| ≥ 0 folgt ~a = ~0 und dass für jedes λ ∈ R gilt |λ · ~a| = |λ| · |~a|. Für die Summe gilt die Dreiecksungleichung ~a + ~b ≤ |~a| + ~b . Beispiel 9-5: Gegeben seien die beiden Vektoren:   1  ~a = 2  3

 −1 und ~b =  2  −3 

Bestimmen Sie die Beträge der beiden Vektoren. Lösung: p √ √ |~a| = 12 + 22 + 32 = 1 + 4 + 9 = 14 p √ √ ~ b = (−1)2 + 22 + (−3)2 = 1 + 4 + 9 = 14

9.4 Skalares Produkt von Vektoren und Multiplikation von Matrizen Linearkombinationen von Vektoren Ein Vektor ~a heißt Linearkombination von m Vektoren ~a1 , ~a2 , ..., ~am , und man schreibt: ~a =

m X

λi · ~ai

mit λi ∈ R

i=1

Die Linearkombination heißt konvex, wenn λi ≥ 0 und

m P

λi = 1 gilt.

i=1

Die Vektoren ~a1 , ~a2 , ..., ~am sind linear unabhängig, wenn aus m X

λi · ~ai = ~0

i=1

folgt λ1 = λ2 = ... = λm = 0. Die Vektoren ~a1 , ~a2 , ..., ~am sind linear abhängig, wenn in der Gleichung m X

λi · ~ai = ~0

i=1

nicht alle λi verschwinden. Beispiel 9-6: Bestimmen Sie die Linearkombination der drei Vektoren   2  ~a1 = 3  0

 −3 ~a3 =  −2  1



 4 ~a2 =  7  −3



mit λ1 = 3, λ2 = −1 und λ3 = 2. Lösung:    2 3·3−1· 0

     4 −3 −4 7  + 2 ·  −2  =  −2  −3 1 5

Aufgabe 9-9: Gegeben sind die drei Vektoren   1 ~a1 =  0  2

  1 ~a2 =  0  3

  0 ~a3 =  1  0

81

82 a) b) c) d)

9 Vektoren und Matrizen Bestimmen Sie die Beträge der Vektoren? Sind die drei Vektoren linear unabhängig? Berechnen Sie alle möglichen Skalarprodukte. Berechnen Sie (~aT1 · ~a2 ) · ~a3

Matrizenmultiplikation Das Produkt der mXn-Matrix A = (aij ) mit der nXr-Matrix B = (bjk ) ist definiert als   n X C = AB =  aij bjk  j=1

und ist eine mXr-Matrix. Das Element cik des Produktes C erhält man als skalares Produkt der i-ten Zeile von A und der k-ten Spalte von B. Die Matrizenmultiplikation ist nur definiert für den Fall, dass die Spaltenzahl des ersten Faktors mit der Zeilenzahl des zweiten Faktors übereinstimmt. Das Ergebnis ist eine Matrix, die soviel Zeilen hat wie der erste Faktor und soviel Spalten wie der zweite Faktor. Es gilt also Amn Bnr = Cmr . Für die Multiplikation einer Matrix A mit einer Einheitsmatrix E geeigneter Ordnung gilt AE = EA = A. Ist in einem Matrizenprodukt einer der beiden Faktoren eine Nullmatrix 0, so ist das Produkt ebenfalls eine Nullmatrix: A0 = 0 bzw. 0A = 0. Das Produkt eines Zeilenvektors mit einer Matrix ergibt einen Zeilenvektor. Das Produkt einer Matrix mit einem Spaltenvektor ergibt einen Spaltenvektor. Das Produkt eines Spaltenvektors mit einem Zeilenvektor ergibt eine Matrix. Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ: AB 6= BA. Multiplikationsgesetze Gegeben seien Matrizen geeigneter Ordnung A, B, C, D. Dann gilt: Assoziativgesetz:

A(BC) = (AB)C = ABC,

Distributivgesetz:

A(B + C) = AB + AC bzw. (A + B)C = AC + BC

Monotoniegesetze:

Aus A = B folgt AC = BC und DA = DB, aus A ≤ B folgt AC ≤ BC für C ≥ 0 und DA ≤ DB für D ≥ 0, aus A ≤ B folgt AC ≥ BC für C ≤ 0 und DA ≥ DB für D ≤ 0

Die Transponierte eines Produktes zweier Matrizen ist gleich dem Produkt der Transponierten T der beiden Matrizen in umgekehrter Reihenfolge: (AB) = BT AT .

9.5 Matrizen als spezielle Funktionen

83

Potenz einer quadratischen Matrix Unter der n-ten Potenz einer quadratischen Matrix A versteht man das n-fache Produkt der Matrix A mit sich selbst: An = A · A · ... · A. Für Matrizenpotenzen gilt: An Am = An+m und (An )m = Anm .

9.5

Matrizen als spezielle Funktionen

Betrachtet sei eine Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen (x1 , x2 , ..., xn ) und einer abhängigen Variablen y: y=

n X

ai xi

i=1

Matrizen können nun als lineare Abbildung aus einer Menge von n-Tupeln in eine Menge von m-Tupeln aufgefasst werden: Mit ~y und ~x und der mXn-Matrix A = (aij ) erhält man ~y = A~x. Die lineare Abbildung ~y = A~x kann man sich auch als aus den m linearen Funktionen yi =

n X

aij xj ,

i = 1, ..., m

j=1

zusammengesetzt vorstellen.

9.6

Anwendung der Matrizenrechnung in der Ökonomie

In der betrieblichen Praxis spielt die Matrizen- und Vektorrechnung eine wichtige Rolle. Bei der Anwendung der Matrizenrechnung sollte man sich den Sinn der einzelnen Rechenschritte vergegenwärtigen und die einzelnen Zwischen- und Endergebnisse problembezogen interpretieren. Eine nur schematische Anwendung der mathematischen Rechenregeln führt gerade bei der Matrizenrechnung leicht zu grotesken Fehlern, beispielsweise bei Missachtung der Nichtkommutativität der Matrizenmultiplikation. Nachfolgend soll dies an einem Beispiel einer linearen Produktionsfunktion und seiner Darstellung mit Matrizen demonstriert werden. Beispiel 9-7: Ein Unternehmen produziert und verkauft k Produkte (k = 1, 2, ..., K) in den Mengen x = xk . Für jede Mengeneinheit (ME) eines Produktes k werden aik ME des Rohstoffes i (i = 1, 2, ..., I) verbraucht. Die Elemente aij seien in der Matrix A zusammengefasst.

84

9 Vektoren und Matrizen

Der Verbrauch der Rohstoffe sei durch den Vektor ~r ausgedrückt. a) Wie lautet in Matrizenschreibweise die Gesamtverbrauchsfunktion r = f (x)? b) Die Maschinen j (j = 1, 2, ..., J) werden djk Zeiteinheiten je ME der zu fertigenden Produkte k eingesetzt. Die Elemente djk sind in der Matrix D zusammengefasst. Wie groß ist die Nutzungsdauer der Maschinen n = nj als Funktion von x? c) Die Betriebsstoffe h (h = 1, 2, ..., H) werden je Zeiteinheit der Nutzung der j-ten Maschine in der Menge phj benötigt. Diese Elemente sind in der Matrix P zusammengefasst. Wie lautet der Verbrauch v = vh dieser Stoffe als Funktion von x? d) Die Rohstoffe kosten ~uT C je ME, die Betriebsstoffe ~tT C je ME. Die Erlöse für die Endprodukte sind gleich ~qT C je ME. Wie groß sind die Deckungsbeiträge ~eT pro ME der Endprodukte, und wie groß ist der Gewinn G als Funktion von ~x, wenn von den Deckungsbeiträgen die Fixkosten von Kf C abgehen? e) Berechnen Sie mit folgenden Daten die zahlenmäßigen Werte zu den Fragen a) bis d):     4 5 1   600 2 2 0 0, 7 0, 5 0, 3     ~x = 200 A= D= 3 0 0 0, 4 0, 6 0, 8 500 6 1 7   1.000 2.000 P =  0, 6 0, 3  ~uT = (2, 1, 3, 1) 50 60 ~tT = (0, 002, 4, 0, 05) ~qT = (20, 40, 50) Kf = 8.000 Lösung: a)

Die Gesamtverbrauchsfunktion lautet:

~r = A · ~x

(Falsch ist: ~r = ~x · A)

b)

Die Nutzungsdauer ist:

~n = D · ~x

(Falsch ist: ~n = ~x · D)

c)

Der Verbrauch lautet:

~v = P · ~n = P · D · ~x (Falsch ist: ~v = D · P · ~x ~v = P · ~x · D)

d)

Die Deckungsbeiträge sind:

~eT = ~q − ~uT · A − ~tT · PD (Falsch sind „Dreher“ wie A · ~uT oder P · D · ~tT etc. Dagegen ist die Reihenfolge der Glieder ~qT , ~uT · A und ~uT · PD beliebig.) G = ~eT · ~x − Kf = ~qT · ~x − ~uT · A · ~x − ~tT · P · D · ~x − Kf

Der Gewinn ist: e)

Verbrauchsfunktion der Rohstoffe:       4 5 1 3.900 600 2 2 0    ·  200  =  1.600  ~r = A · ~x =  3 0 0  1.800  500 6 1 7 7.300

85

9.6 Anwendung der Matrizenrechnung in der Ökonomie Nutzungsfunktion der Maschinen:       600 0, 7 0, 5 0, 3 670   ~n = D · ~x = · 200 = 0, 4 0, 6 0, 8 760 500 Verbrauchsfunktion der Rohstoffe:    1.000 2.000 0, 7 ~v = P · D · ~x =  0, 6 0, 3  · 0, 4 50 60

0, 5 0, 6

0, 3 0, 8



 600 ·  200  500 



     1.000 2.000 2.190.000 670 P · ~n =  0, 6 = 0, 3  · 630  760 50 60 79.100 Deckungsbeiträge: 4 2 1) ·  3 6 

~uT · A = (2,

1,

3,

5 2 0 1

 1 0  = (25, 0 7

13,

9)



   1.000 2.000 0, 7 0, 5 0, 3 ~tT · P · D = (0, 002, 4, 0, 05) ·  0, 6 0, 3  · 0, 4 0, 6 0, 8 50 60   0, 7 0, 5 0, 3 = (~tT · P) · D = (6, 9, 8, 2) · = (8, 11, 8, 37, 8, 63) 0, 4 0, 6 0, 8 ~eT = ~q − ~uT · A − ~tT · PD = (20, 40, 50) − (25, 13, 9) − (8, 11,

8, 37,

8, 63) = (−13, 11, 18, 63, 32, 37)

Gewinn: 

G = (−13, 11,

18, 63,

 600 32, 37) ·  200  − 8.000 = 4.095 C 500

Aufgabe 9-10: In einem Sommermonat verkauft ein Unternehmen von 4 Artikeln die Mengen x1 , x2 sowie x3 , x4 zu den Sonderpreisen p1 , p2 , p3 und p4 . Mengen und Preise können zu Vektoren ~x und p~ zusammengefasst werden. a) Der Erlös E soll mindestens E ∗ betragen. Schreiben Sie diese Bedingung mit dem skalaren Produkt von Preis- und Mengenvektor. b) Die Gesamtmenge aller Produkte soll mindestens 1.000 Stück betragen. Schreiben Sie diese Bedingung unter Verwendung von Vektoren.

86

9 Vektoren und Matrizen

Aufgabe 9-11: Gegeben sei ein zweistufiger Produktionsprozess, der durch die beiden folgenden Produktionsmatrizen P1 und P2 beschrieben werden kann (dabei bezeichnen r1 , r2 die eingesetzten Rohstoffe und z1 , z2 , z3 die nach der ersten Produktionsstufe erzeugten Zwischenprodukte und e1 , e2 die nach der zweiten Produktionsstufe erhaltenen Endprodukte):     3 1 3 1 2 P1 = ; P2 =  0 3  2 3 4 1 2 Die Rohstoffpreise betragen q1 = 2, q2 = 4 und die Endproduktpreise p1 = 70, p2 = 95. a) b) c) d)

Bestimmen Sie die Matrix der Gesamtverarbeitung. Welche Rohstoffkosten entstehen je Einheit des Endproduktes? Welche Rohstoffmengen werden für 10 Einheiten des ersten und 5 Einheiten des zweiten Endprodukts benötigt? Welcher Erlös wird für die unter c) angegebenen Endproduktmengen erzielt?

10

Gleichungen und Gleichungssysteme

Mathematische Modelle zur Beschreibung ökonomischer Zusammenhänge basieren vielfach auf einem System mit mehreren Gleichungen. Sind diese Gleichungen linear, also treten die Variablen nur in der ersten Potenz auf und kommen auch keine Produkte der Variablen vor, so spricht man von linearen Gleichungen oder linearen Gleichungssystemen. Im einfachsten Fall werden lineare Gleichungen nur in Abhängigkeit von einer Variablen x betrachtet und man schreibt i.d.R. ax + b = c. Auflösen dieser Gleichung nach x ergibt die Lösung x = c−b a . In der Ökonomie sind aber Abhängigkeiten bekanntlich von mehreren Variablen von Interesse, die im Falle der Gleichungen und Gleichungssysteme dann mit x1 , x2 , ..., xn abgekürzt werden. Es liegen in der Ökonomie vielfältige Anwendungsmöglichkeiten linearer Gleichungen und Gleichungssysteme vor; beispielsweise in der Input-Output-Analyse, Break-Even-Analyse, innerbetrieblichen Leistungsverrechnung oder Linearen Optimierung. Beispiel 10-1: Gegeben seien nachfolgende Gleichungen, die von den Variablen x1 , x2 , x3 und x4 abhängig sind: a) b) c)

5x1 − 2x2 − x3 + x4 = 75 7(x1 − x3 ) = 9(x1 − x2 + x4 ) √ 2x1 + 7 x3 − x1 · x2 = x34

Welche der drei Gleichungen ist in den vier Variablen linear, welche ist nichtlinear? Lösung: Die Gleichungen in a) und b) sind linear, da x1 bis x4 nur in der ersten Potenz vorkommt und auch kein Produkt dieser Variablen vorkommt; dagegen ist die Gleichung in c) 1 nichtlinear, da sie Produkte wie x1 · x2 und Potenzen wie x34 und x32 beinhaltet. Beispiel 10-2: Ein Mathematikstudent kauft morgens in einer Bäckerei 2kg Brot und 3l Milch und zahlt 7,40 C. Der Kilopreis des Brotes betrage 2,80 C und der Literpreis der Milch betrage 0,60 C. Er stellt sich zuhause die Frage, welche Menge Brot und Milch er bekommen hätte, wenn er 20 C bezahlen und das Warenbündel ein Verhältnis aus fester und flüssiger Nahrung von 1 zu 2 betragen würde. Helfen Sie diesem Studenten, und stellen Sie das dazugehörige lineare Gleichungssystem auf.

88

10 Gleichungen und Gleichungssysteme

Lösung: Das Gleichungssystem besteht aus zwei Gleichungen, wobei die Variablen x1 die Menge des Brotes und x2 die Menge an Milch bezeichnet: 2, 80 · x1 + 0, 60 · x2 = 20 2 · x1 − x2 = 0 Auflösen der zweiten Gleichung nach x2 (x2 = 2x1 ) und Einsetzen in die erste Gleichung liefert das Ergebnis: x1 = 5 und daraus x2 = 10, also er könnte 5 kg Brot und 10 l Milch für 20 C kaufen.

10.1

Begriff des linearen Gleichungssystems

Gleichung Allgemein wird eine lineare Gleichung in den n Variablen x1 , ..., xn und den konstanten Koeffizienten aj (j = 1, 2, ..., n) geschrieben in der Form:

a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn =

n X

aj xj = b

j=1

mit b als das sogenannte absolute Glied. Wenn nur eine einzige lineare Gleichung in n Variablen gegeben ist, so ist sie nicht eindeutig lösbar. Es sind noch weitere Informationen notwendig, die dann die anderen (n − 1) Variablen näher bestimmen. Gleichungssystem Ein lineares Gleichungssystem besteht aus m linearen Gleichungen und man schreibt: a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = ∧

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn =

n P j=1 n P

a1j xj = b1 a2j xj = b2

j=1

.. .

.. .

∧

am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn =

.. .

.. .

.. .

.. . n P

amj xj = bm

j=1

Verkürzt und nur unter Vewendung des Summenzeichens lässt sich ein lineares Gleichungssystem schreiben als: n X j=1

aij xj = bi

mit i = 1, 2, ..., m

89

10.1 Begriff des linearen Gleichungssystems

Unter Verwendung der Vektor- und Matrizenschreibweise lässt sich ein lineares Gleichungssystem auch darstellen als A~x = ~b (Diese Darstellung heißt auch Normalform eines linearen Gleichungssystems), oder ausführlicher: 

a11 a12  a21 a22  . ..  .. . am1 am2

     b1 x1 . . . a1n     . . . a2n    x2   b2  .. ..  ·  ..  =  ..  . .  .   .  bm xn . . . amn

Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme Ein Gleichungssystem A~x = ~0 heißt homogen; ist dagegen auf der rechten Seite wenigstens ein Koeffizient des Vektors von Null verschieden, so heißt dass Gleichungssystem A~x = ~b inhomogen mit ~b 6= ~0. Beispiel 10-3: Schreiben Sie folgendes lineare Gleichungssystem in einer Matrizengleichung: x1 x1 2x1

+ − +

3x2 x2 6x2

+ + −

x3 x3 4x3

= = =

5 4 1

Lösung: 

     1 3 1 x1 5  1 −1 1  ·  x2  =  4  2 6 −4 x3 1 Aufgabe 10-1: Gegeben seien die Matrix A und die Vektoren ~x und ~b wie folgt:

 A=

1 −2 2 −1 0 1





 x1 ~x =  x2  x3

~b =



12 4



Formulieren Sie die zu der Matrizengleichung A~x = ~b gehörenden linearen Gleichungen. Aufgabe 10-2: Ein junger Student bekam von seiner Großmutter 3.600 C geschenkt. Da er dieses Geld langfristig für die Zukunft anlegen möchte, kauft er hierfür 20 Aktienfonds-, 100 Rentenfonds- und 3 Geldmarktfondsanteile. Dabei wählt er ein Verhältnis von Geldmarktfonds zu Rentenfonds von 10 zu 1. Als sein Vater von der Anlageentscheidung seines Sohnes erfährt, unterstützt er ihn weiter und investiert in das Depot des Sohnes nochmal 1.600 C. Er kauft für ihn noch 20 Aktienfonds-, 20 Rentenfondsanteile und einen Geldmarktfondsanteil. Formulieren Sie für diese Transaktionen ein lineares Gleichungssystem.

90

10.2

10 Gleichungen und Gleichungssysteme

Lösung linearer Gleichungssysteme

Die Bestimmung der Lösung eines linearen Gleichungssystems ist ein zentrales Thema der Linearen Algebra. Betrachtet man obiges Gleichungssystem aus Beispiel 10-2: 2, 80 · x1 + 0, 60 · x2 = 20 2 · x1 −

x2 = 0

so ist die Lösung des Systems durch x1 = 5 und x2 = 10 eindeutig gegeben. Dies kann leicht durch Einsetzen dieser Lösungswerte für die Variablen in die beiden Gleichungen überprüft werden. Trägt man graphisch die Gleichungen in der Form x2 = f (x1 ) in ein zweidimensionales Koordinatensystem ein, so stellt sich die Lösung als Schnittpunkt der beiden (in diesem Fall) Geraden dar. Dieses Gleichungssystem hat somit eine eindeutige Lösung, die durch das Zahlenpaar (x1 , x2 ) = (5, 10) gegeben ist. Es sind aber nicht immer eindeutige Lösungen bei linearen Gleichungssystemen gegeben. So existieren noch weitere Lösungsmöglichkeiten linearer Gleichungssyteme. Beispielsweise liefert die einfache lineare Gleichung 2 · x1 + 3 · x2 = 5 nicht nur eine Lösung, wie z.B. x1 = 1 und x2 = 1, sondern gleich mehrere Lösungen, die alle die Beziehung x2 =

5 − 2x1 3

erfüllen. Die Gleichung ist also lösbar, aber nicht eindeutig, sondern mehrdeutig. Anders sieht es mit der Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems aus: 2 · x1 + 3 · x2 = 5 2 · x1 + 3 · x2 = 4 Da sich beide Gleichungen widersprechen, ist das Gleichungssystem nicht lösbar, es hat keine Lösung.

91

10.2 Lösung linearer Gleichungssysteme Lösungsmöglichkeiten linearer Gleichungssysteme

Zusammengefasst sind bei linearen Gleichungssystemen drei Lösungsmöglichkeiten gegeben: (i)

das Gleichungssystem hat keine Lösung und es ist nicht lösbar,

(ii)

das Gleichungssystem hat eine Lösung und ist eindeutig lösbar, oder

(iii)

das Gleichungssystem hat mehrere Lösungen und ist mehrdeutig lösbar.

Die aufgeführten Beispiele zeigen, dass durch Auflösen der Gleichungen nach Variablen und gegenseitiges Einsetzen die Variablen schrittweise eliminiert werden können, um die Lösung oder Lösungen zu bestimmen. Ebenso können Lösungen erhalten werden, wenn die Gleichungen mit geeigneten Faktoren multipliziert und von anderen Gleichungen subtrahiert oder addiert werden oder wenn durch Gleichsetzen der Gleichungen Variablen eliminiert werden. Alle diese äquivalenten Umformungen verändern die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit mehreren Variablen nicht. Aufgabe 10-3: Lösen Sie mit den angesprochenen Umformungsmöglichkeiten folgende drei Gleichungssysteme: a)

x1 3 · x1

− −

4 · x2 x2

= =

1 14

b)

4 · x1 6 · x1

− +

x2 x2

= =

10 10

c)

2 · x1 8 · x1

+ −

2 · x2 6 · x2

= =

6 52

Formuliert man die Gleichungssysteme wieder in Normalform A · ~x = ~b, so erkennt man, dass das lineare Gleichungssystem nur dann lösbar ist, wenn der Vektor ~b als Linearkombination der Spaltenvektoren ~aj darstellbar ist. Dabei hat das homogene lineare Gleichungssytem A · ~x = ~0 immer mindestens die triviale Lösung ~x = ~0. Rang einer Matrix Unter dem Rang einer Matrix A wird die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen bzw. Spalten der Matrix verstanden, und man schreibt rg(A). Es läßt sich zeigen, dass bei jeder Matrix A der Spaltenrang gleich dem Zeilenrang ist. Bestimmung des Rangs einer Matrix Man erzeugt in den Spalten (in beliebiger Reihenfolge) Einheitsvektoren ~ei , wobei für je zwei Einheitsvektoren ~ei und ~ej die Bedingung i 6= j gelten muss. Der Rang einer Matrix stimmt nun mit der maximalen Anzahl von Einheitsvektoren, die erzeugt werden können, überein.

92

10 Gleichungen und Gleichungssysteme

Erweiterte Matrix Die erweiterte Matrix entsteht durch Hinzufügen des Spaltenvektors ~b zur Matrix A. Man schreibt: 

 a11 a12 . . . a1n   a21 a22 . . . a2n  . .. .. ..  .. . . .  am1 am2 . . . amn

 .. . b1   .. . b2   = (A, ~b) .. ..  . .  .. . bm

Ist das lineare Gleichungssystem lösbar, muss der Vektor ~b wegen der Bedingung n X

xj · ~aj = ~b

j=1

als Linearkombination der Spaltenvektoren ~a1 , ~a2 , ..., ~an darstellbar sein. Bei der Erweiterung von A auf (A, ~b) kommt dann kein von den Spaltenvektoren ~aj linear unabhängiger Vektor hinzu. Beide Matrizen müssen daher den gleichen Rang besitzen. Die Einführung des Ranges von Matrizen erlaubt die Formulierung von Kriterien für die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems. Lösbarkeitskriterien für lineare Gleichungssysteme Für die Lösbarkeit des Gleichungssytems A · ~x = ~b mit m Gleichungen und n Variablen gilt: rg(A) < rg(A, ~b)

−→

A · ~x = ~b

nicht lösbar

rg(A) = rg(A, ~b) = r < n

−→

A · ~x = ~b

ist mehrdeutig lösbar. Es können (n − r) Variablen beliebig vorgegeben werden.

rg(A) = rg(A, ~b) = n

−→

A · ~x = ~b

ist eindeutig lösbar.

Aufgabe 10-4: Bestimmen Sie den Rang folgender zwei Matrizen:  4 2 −4 4 A =  1 −1 2 4  −1 −2 4 2 



 2 0 0 B=0 2 0 0 0 2

93

10.3 Gaußscher Algorithmus

10.3

Gaußscher Algorithmus

Mit den in den letzten Abschnitten genannten Umformungen und Grundoperationen wird das Ziel verfolgt, lineare Gleichungssystemen zu lösen. Der Lösungsweg wurde aber bislang eher unsystematisch beschritten. Unter Verwendung von Matrizen ist dagegen eine systematische Lösungsfindung bei linearen Gleichungssystemen möglich. Mithilfe des sogenannten Gaußschen Algorithmus können lineare Gleichungssysteme auf einfache Art und Weise gelöst werden, sofern überhaupt Lösungen existieren. Das Ziel einer systematischen Lösungsfindung bei linearen Gleichunssystemen ist es, die dem Gleichungssystem zugeordnete Koeffizientenmatrix durch eine Anwendung der Bruchrechnung, Multplikation/Division und Addition/Subtraktion so in eine Dreiecksform zu bringen, dass die Lösungen leicht abgelesen werden können. Das aus der Dreicksform der Matrix wieder ausformulierte Gleichungssystem kann dann mit den Koeffizienten aij (mit i, j = 1, 2, 3) und den Variablen x1 , x2 , x3 beispielsweise lauten: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a22 x2 + a23 x3 = b2 a33 x3 = b3

Falls die Koeffizienten a11 , a22 , a33 6= 0 sind, lassen sich die Lösungen aus obigen Gleichungen sofort ablesen: b3 a33 1 (b2 − a23 x3 ) mit x3 von oben x2 = a22 1 x1 = (b1 − a12 x2 − a13 x3 ) mit x2 , x3 von oben a11 x3 =

Vorgehensweise Betrachtet man ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Variablen (und m ≥ n) in der Normalform A~x = ~b, so kann die Lösung dadurch bestimmt werden, dass man durch äquivalente Zeilenumformungen der erweiterten Koeffizientenmatrix (A, ~b) den oberen quadratischen Teil von A in eine obere Dreiecksform umwandelt. Durch Rückwärtseinsetzen kann man dann aus dem sich ergebenden Gleichungssystem die Lösungen bestimmen.

94

10 Gleichungen und Gleichungssysteme

Beispiel 10-4: Betrachten Sie nachfolgendes Gleichungssystem mit den drei Variablen x1 bis x3 . Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems durch Anwendung der folgenden Operationen: Vertauschen zweier Zeilen, Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor und/oder Ersetzen einer Zeile durch die Summe aus dieser und dem mehrfachen einer anderen Zeile. x1 2x1 3x1

+ + −

2x2 x2 2x2

− + −

3x3 x3 2x3

= = =

6 1 12

Lösung: Umformung I II III

x1 2x1 3x1

+ + −

2x2 x2 2x2

Gleichungssystem − 3x3 = 6 + x3 = 1 − 2x3 = 12

1 2 3

erweiterte Matrix 2 −3 6 1 1 1 −2 −2 12

I’ 2I-II=II’ 3I-III=III’

x1

+

2x2 3x2 8x2

− − −

3x3 7x3 7x3

= = =

6 11 6

1 0 0

2 3 8

−3 −7 −7

6 11 6

I” II” 1 (8II’-3III’)=III”’ 35

x1

+

2x2 3x2

− − −

3x3 7x3 x3

= = =

6 11 2

1 0 0

2 3 0

−3 −7 −1

6 11 2

Daraus berechnen sich die Variablen zu x3 = −2 und durch Rückwärtseinsetzen dann x2 = −1 und x1 = 2. Wie man leicht sieht, taucht pro Zeile mindestens eine Variable weniger auf. Es wird also mindestens eine Variable eliminiert, um zur Dreiecksform zu gelangen. Dabei werden (komplette) Zeilen vertauscht, eine Zeile mit einer von Null verschiedenen Zahl multipliziert, oder eine Zeile oder das Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addiert. Aufgabe 10-5: Löse folgende erweiterte Matrix mit dem Gauß-Algorithmus: 

 .. . 3.600   .. . 0  .. 1 . 1.600

 20 100 3   0 10 −1  20 20

95

10.3 Gaußscher Algorithmus

Aufgabe 10-6: Bestimmen Sie die Lösung x1 , x2 , x3 des folgenden linearen Gleichungssystems mithilfe des Gaußschen Algorithmus: 7x1 −x1 −4x1

+ − +

3x2 2x2 x2

− + −

5x3 4x3 3x3

= = =

−12 5 1

Aufgabe 10-7: Bestimmen Sie die Lösung des von vier Variablen linear abhängigen inhomogenen Gleichungssystems: x1 −2x1 x1 −3x1

+ + − +

3x2 x2 3x2 4x2

− − + −

2x3 4x3 x3 6x3

+ −

x4 5x4

+

2x4

= = = =

−7 −6 6 −21

Aufgabe 10-8: Ein Unternehmen stellt drei Erzeugnisse E1 , E2 , E3 her, die auf den Maschinen M1 , M2 , M3 bearbeitet werden. Um eine Einheit Ei auf den Maschinen zu bearbeiten, werden unterschiedliche Maschinenlaufzeiten benötigt. Aus der nachfolgenden Tabelle ist ersichtlich, wie viele Stunden hierfür jeweils benötigt werden.

je E1 je E2 je E3

M1 3 2 3

M2 2 0 5

M3 1 2 4

Wie viele Einheiten eines jeden Erzeugnisses werden in dem Unternehmen produziert, wenn jede Maschine genau 120 Stunden arbeitet?

96

10 Gleichungen und Gleichungssysteme

10.4

Matrixinversion

Neben der Addition und Multiplikation von Matrizen und der Multiplikation von Matrizen mit einem Skalar gibt es eine weitere Matrizenoperation, die eine wichtige Rolle beim Lösen quadratischer linearer Gleichungssyteme spielt, die Inverse einer Matrix. Daher wird nachfolgend dargelegt, was unter einer Inversen zu verstehen ist und wie sich der Zusammenhang zwischen der Lösung eines Gleichungssystems und der Berechnung der Inversen herstellen lässt. Inverse einer Matrix Für die Matrizen ist die Division nicht definiert, sondern nur die Multiplikation mit einer Inversen. Eine Matrizengleichung, wie es beispielsweise die Normalform eines linearen Gleichungssystems A~x = ~b beschreibt, lässt sich also nicht einfach nach ~x auflösen wie es im Falle der reellen Zahlen mit ax = b und Auflösen nach x zu x = b/a möglich ist. Eine Division ist aber beim Rechnen mit reellen Zahlen zu umgehen, indem man die Gleichung mit der Inversen multipliziert. So ergibt die Multiplikation der Gleichung ax = b mit dem reziproken oder inversen Element a−1 (a 6= 0) die Lösung a−1 · a · x = 1 · x = x = a−1 · b =

b . a

Analog verfährt man mit Matrizen und führt mit A−1 die Inverse der Matrix A ein: Sei A eine quadratische Matrix und gibt es eine (ebenfalls) quadratische Matrix A, für die gilt: AB = BA = E, so wird B die inverse Matrix zu A genannt und man schreibt A−1 . Für eine reguläre Matrix A gilt also: A · A−1 = A−1 · A = E

Die Einschränkung regulär bedeutet, dass die quadratische (mXm)-Matrix den vollen Rang rg(A) = m besitzen muss, d.h. also, dass alle Zeilen (und Spalten) linear unabhängig sein müssen. Eigenschaften von Inversen Es seien die Matrizen A und B reguläre invertierbare quadratische Matrizen, dann gilt: - A−1 ist invertierbar und (A−1 )−1 = A, - AB ist invertierbar und (AB)−1 = B−1 A−1 , - die Transponierte AT ist invertierbar und (AT )−1 = (A−1 )T , und - (cA)−1 = 1c A−1 für alle c 6= 0.

97

10.4 Matrixinversion Lösung von linearen Gleichungssystemen durch Matrizeninversion

Schreibt man ein lineares Gleichungssystem als Matrizengleichung A~x = ~b, so ist dieses System genau dann exakt bestimmt, wenn die Koeffizientenmatrix A quadratisch ist, d.h. die Gleichungen linear unabhängig sind. Sei nun die Inverse A−1 der Matrix A gegeben, so folgt durch linksseitige Multiplikation der Matrizengleichung mit der Inversen: A−1 · (A · ~x) = (A−1 · A) · ~x = E · ~x = ~x = A−1 · ~b Die Lösung ~x des Gleichungssystems bestimmt sich also durch die linksseitige Multiplikation der inversen Matrix A−1 mit dem rechtsseitigen Vektor ~b. Berechnung der Inversen Die elementaren Zeilenoperationen wie die Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl oder das Vertauschen zweier Zeilen können bei der Berechnung der Inversen einer Matrix ebenfalls herangezogen werden (s.a. Gaußscher Algorithmus). Drei Schritte gilt es bei der Berechnung einer Inversen einer Matrix abzuarbeiten: (i)

Bildung einer erweiterten nX2n-Matrix aus den n-Spalten von A, gefolgt von n-Spalten der Einheitsmatrix E,

(ii)

Anwendung der elementaren Zeilenoperationen auf diese erweiterte Matrix, um sie in eine nX2n-Matrix (E|B) zu transformieren, deren n erste Spalten nun die der Einheitsmatrix sind, und

(iii)

gelingt die Umformung von A in die Einheitsmatrix, so ist die B die Inverse A−1 . Ist eine solche Umformung nicht möglich, so existiert keine Inverse zu A.

Beispiel 10-5: Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem, deren Lösung über die Bestimmung der inversen Koeffizientenmatrix erfolgen soll: x1 2x1 x1

+ + +

2x2 3x2 2x2

+ + +

3x3 2x3 2x3

= = =

2 −4 1

Lösung: In Matrizenschreibweise lautet das Gleichungssystem A~x = ~b bzw.: 

     1 2 3 x1 2  2 3 2  ·  x2  =  −4  1 2 2 x3 1

98

10 Gleichungen und Gleichungssysteme

Daraus folgt für die erweiterte Matrix zur Bestimmung von A−1 :

I II III

1 2 1

2 3 2

3 2 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I=I’ II-2I=II’ III-I=III’

1 0 0

2 −1 0

3 −4 −1

1 −2 −1

0 1 0

0 0 1

I’+3III’=I” II’-4III’ =II” -III’=III”

1 0 0

2 −1 0

0 0 1

−2 2 1

0 1 0

3 −4 −1

I”+2II”=I”’ -II” =II”’ III”=III”’

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2 −2 1

2 −1 0

−5 4 −1

Damit folgt für  2 2 −5 = B =  −2 −1 4  1 0 −1 

A−1

Das Gleichungssystem besitzt somit die Lösung:      2 2 −5 2 −9 ~x = A−1 · ~b =  −2 −1 4  ·  −4  =  4  1 1 0 −1 1 

Aufgabe 10-9: Berechnen Sie die Inversen der beiden Matrizen A und B:  A=

0 −1 1 0



 ;

 1 2 3 B=1 2 1 1 3 4

99

10.5 Determinanten

Aufgabe 10-10: Bestimmen Sie ~x mithilfe der inversen Koeffizientenmatrix A−1 des folgenden Gleichungssystems: x1 + 3x2 + 3x3 = 12 x1 + 3x2 + 4x3 = 13 x1 + 4x2 + 3x3 = 14

10.5

Determinanten

Determinanten sind Kenngrößen quadratischer Matrizen und dienen der Überprüfung auf lineare Abhängigkeit. Sie werden bei der Inversion von Matrizen verwendet. Betrachtet man beispielsweise das einfache lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit von zwei Variablen a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2   a11 a12 A= a21 a22 so ist die Lösung gegeben durch x1 =

b1 a22 − b2 a12 a11 a22 − a21 a12

,

x2 =

b2 a11 − b1 a21 a11 a22 − a21 a12

Der Nenner in x1 und x2 muss ungleich Null sein, damit das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat, und er ist zudem gleich, nämlich a11 a22 − a21 a12 . Dieser Nenner wird Determinante der Matrix A genannt. Man schreibt detA oder |A|. Mit der Determinante wird eine quadratische Matrix somit auf einen Skalar abgebildet. Determinante der Ordnung 2 und der Ordnung 3 Ist eine quadratische Matrix der Ordnung 2 oder 3 gegeben, so versteht man unter detA = |A| bzw. detB = |B| diejenige Zahl, die nach der folgenden Vorschrift berechnet wird: a11 a12 = a11 a22 − a21 a12 detA = |A| = a21 a22 b11 b12 b13 detB = |B| = b21 b22 b23 = b11 b22 b33 − b11 b23 b32 + b b b 31 32 33 +b12 b23 b31 − b12 b21 b33 + b13 b21 b32 − b13 b22 b31

100

10 Gleichungen und Gleichungssysteme

Beispiel 10-6: Bestimmen Sie die Determinante der 2X2-Matrix 

3 4 −2 5



Lösung: 3 4 −2 5 = 3 · 5 − (−2) · 4 = 15 + 8 = 23 Eigenschaften von Determinanten Gegeben sei eine quadratische Matrix A der Ordnung n. Dann gilt: - Die Determinante det(A) = |A| = 0, wenn alle Elemente in einer Zeile (oder Spalte) gleich Null sind. - Die Determinante |A| ist gleich der der Determinanten der transponierten von A, also T |A| = A - Multipliziert man eine Zeile (oder Spalte) der Matrix A mit einer Zahl λ, so erhält man den λ-fachen Wert der ursprünglichen Determinanten. - Vertauscht man zwei Zeilen (oder Spalten) von A, so wechselt die Determinante das Vorzeichen, der absolute Wert der Determinanten ändert sich nicht. - Sind zwei Zeilen (oder Spalten) von A proportional (→ lineare Abhängigkeit), dann ist |A| = 0. - Addiert man ein Vielfaches einer Zeile (oder einer Spalte) zu einer anderen Zeile (oder Spalte) von A, so bleibt der Wert der Determinanten unverändert. - Multipliziert man die Matrix A mit einem Skalar c, so folgt |cA| = cn |A|. - Für das Produkt zweier quadratischer Matrizen gleicher Ordnung A und B gilt |A| · |B| = |AB|. Man beachte aber, dass (gewöhnlich) die Determinante einer Summe von Matrizen nicht die Summe der Determinanten ist: Es gilt also: |A + B| = 6 |A| + |B| im allgemeinen Determinaten spielen eine nützliche Rolle bei der Lösung inhomogener linearer Gleichungssysteme der Art A · ~x = ~b. Dabei soll das Gleichungssytem aus n Gleichungen und n Variablen bestehen. Mittels der sogenannten Determinantenmethode (Cramersche Regel) lasssen

101

10.5 Determinanten

sich eindeutig lösbare Gleichungssysteme der genannten Art relativ elegant lösen. Da aber eine Bestimmung von Determinanten höherer Ordnung recht aufwendig ist, ist eine Anwendung der Cramerschen Regel i.d.R. nur für Gleichungssysteme mit zwei oder drei Variablen geeignet. Cramersche Regel Die Cramersche Regel besagt, das sich die Werte der Variablen des linearen Gleichungssystems wie folgt berechnen: xi =

det(Ai ) det(A)

Dabei ist der Zähler von xi die Determinante det(Ai ) der Matrix Ai , die aus der Koeffizientenmatrix A des Gleichungssystems dadurch entsteht, indem man die i-te Spalte durch ~b ersetzt. Beispiel 10-7: Bestimmen Sie mithilfe der Cramerschen Regel die Lösung des Gleichungssystems: x1 + 2x2 = 5 3x1 + 4x2 = 6

Lösung: Das Gleichungssystem kann durch folgende Matrizengleichung A~x = ~b beschrieben werden:       1 2 x1 5 · = 3 4 x2 6 für die Determinante det(A) folgt det(A) = 1 · 4 − 3 · 2 = 4 − 6 = −2. Die Matrizen A1 und A1 lauten:     5 2 1 5 A1 = ; A2 = 6 4 3 6 und damit folgt für die Determinanten det(A1 ) und det(A2 ):

det(A1 ) = 5 · 4 − 6 · 2 = 8 und für det(A2 ) = 1 · 6 − 3 · 5 = −9. damit lautet die Lösung: x1 =

8 det(A1 ) = = −4 det(A) −2

x2 =

det(A2 ) −9 = = 4, 5 det(A) −2

Aufgabe 10-11: Lösen Sie das lineare Gleichungssystem aus Aufgabe 10-10 mithilfe der Cramerschen Regel.

102

10.6

10 Gleichungen und Gleichungssysteme

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung

Unter innerbetrieblicher Leistungsverrechnung versteht man die Verrechnung von Kosten innerhalb eines Unternehmens. Beispielsweise erbringt eine IT-Abteilung Leistungen in Form von Programmiertätigkeiten für die Marketingabteilung. Die innerbetriebliche Leistungsverrechnung fordert nun, dass die Kostenstelle der Marketingabteilung die Kostenstelle der IT für die erbrachten Leistungen bezahlt. Die zu verrechnenden Kosten aus Leistungsmenge und Kostensatz werden somit der empfangenden Kostenstelle (Marketingabteilung) belastet und auf der leistenden Kostenstelle (IT-Abteilung) entlastet. Kostenarten lassen sich nach unterschiedlichen Kriterien einteilen. Wie in Kapitel 5.6 beschrieben, können Kosten beispielsweise in Abhängigkeit der Beschäftigung zum einen in fixe Kosten (leistungsmengenunabhängig) und zum anderen in variable Kosten (leistungsmengenabhängig) unterschieden werden. Bei der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung ist eine Unterscheidung der Kosten hinsichtlich der Herkunft nützlich. Man unterscheidet hierbei zwischen primären Kosten und sekundären Kosten. Primäre Kosten entstehen dabei dem Unternehmen und seinen Abteilungen (Kostenstellen) aufgrund seiner Beziehungen zur Umwelt, während sekundäre Kosten das geldmäßige Äquivalent des Verbrauches an innerbetrieblichen Leistungen darstellen. Die Gesamtkosten einer Kostenstelle (Ki ) ergeben sich somit als Summe ihrer primären (Kiprim ) und sekundären Kosten (Kisek ):

Ki = Kiprim + Kisek

für alle i (d.h. für alle Kostenstellen)

Die innerbetriebliche Leistungsverrechnung (auch Sekundärkostenrechnung genannt) stellt eine wichtige Anwendungsmöglichkeit linearer Gleichungssysteme in der Wirtschaftswissenschaft, insbesondere innerhalb der Betriebswirtschaftslehre, dar.

Beispiel 10-8: Betrachtet sei ein Unternehmen mit drei Abteilungen die untereinander in gegenseitigem Leistungsaustausch stehen. Jede Abteilung verursacht zum einen primäre Kosten wie Lohn-, Material-, Energie- und Kapitaldienstkosten sowie sekundäre Kosten, also die anteiligen Kosten für die von anderen Abteilungen bezogenen Leistungen. In nachstehender Tabelle sind die Primärkosten (in GE), die erstellten Leistungen (in LE) und die an die anderen Abteilungen erbrachten Liefermengen (in LE) aufgeführt. So hat z.B. die Abteilung 2 in der betrachteten Periode 500 Einheiten seiner Leistung erbracht, wovon 80 an Abteilung 1 und 100 Einheiten an Abteilung 3 abgegeben wurden. Für die Erstellung ihrer 500 LE fallen Primärkosten von 400 GE an sowie die Sekundärkosten durch die Leistungslieferungen an Abteilung 1 und 3. Ermitteln Sie die Gesamtkosten, d.h. die Verrechnungspreise für die untereinander ausgetauschten Leistungen, der Abteilungen 1, 2 und 3.

103

10.6 Innerbetriebliche Leistungsverrechnung

von Abteilung

1 2 3

an Abteilung 1 2 3 0 100 50 80 0 100 20 60 0

erstellte Leistung

primäre Kosten

200 500 200

340 400 650

Lösung: Für die gesamten Kosten je Leistungseinheit lassen sich folgende Beziehungen aufstellen: 200p1 500p2 200p3

= = =

340 400 650

+ +

100p1 50p1

+

80p2

+

100p2

+ +

20p3 60p3

Bringt man alle Variablen auf eine Seite, so erhält man das Gleichungssystem: 200p1 −100p1 −50p1

− + −

80p2 500p2 100p2

− − +

20p3 60p3 200p3

= = =

340 400 650

das sich mithilfe des Gaußschen Algorithmus lösen lässt:

I II III

200 −100 −50

−80 500 −100

−20 −60 200

340 400 650

1 20 I=I’ 1 20 (I+2II)=II’

1 20 (I+4III)=III’

10 0 0

−4 46 −24

−1 −7 39

17 57 147

1 1.626 (24II’+46III’)=III”

10 0 0

−4 46 0

−1 −7 1

17 57 5

Die Lösung dieses Gleichungssystems lautet: p3 = 5 GE/LE, p2 = 2 GE/LE und p1 = 3 GE/LE. Mit diesen Preisen müssen die von den Abteilungen an den Hauptbetrieb erbrachten Leistungen verrechnet werden, so dass die Kosten der Abteilungen gedeckt sind. Durch Einsetzen lässt sich die Lösung überprüfen. Insgesamt entstehen in den Abteilungen Kosten von 340GE + 400GE + 650GE = 1.390GE. Von den einzelnen Abteilungen werden an den Hauptbetrieb geliefert:

104

10 Gleichungen und Gleichungssysteme

Abt. 1: 200LE − 100LE − 50LE = 50LE multipliziert mit p1 = 3GE/LE ergibt 150GE Abt. 2: 500LE − 100LE − 80LE = 320LE multipliziert mit p2 = 2GE/LE ergibt 640GE Abt. 3: 200LE − 60LE − 20LE = 120LE multipliziert mit p3 = 5GE/LE ergibt 600GE Insgesamt hat die Hauptabteilung somit 150GE+640GE+600GE = 1.390GE zu zahlen. Die primären Kosten der Abteilungen belaufen sich auf 340GE + 400GE + 650GE = 1.390GE. Damit decken also die primären Kosten genau die Summe der Leistungslieferungen an Abteilung 1, 2 und 3. Z.B. fließen der Abteilung 1 zunächst 50 LE·3 GE/LE = 150 GE zu und es erhält dann für seine Leistungen an Abteilung 2 und 3 noch (100LE + 50LE) · 3GE/LE = 450GE. Davon gehen für die Inanspruchnahme der von 2 und 3 erstellten Leistungen wieder (80LE · 2GE/LE + 20LE · 5GE/LE) = 260GE ab. Es bleiben also insgesamt (150GE + 450GE − 260GE) = 340GE über, mit denen gerade die primären Kosten gedeckt sind. Entsprechendes gilt auch für Abteilung 2 und 3.

Allgemein lässt sich die innerbetriebliche Leistungsverrechnung durch folgende Tabelle verdeutlichen:

1

von Kostenstelle

an Kostenstelle 2 ···

n

erstellte Leistung (LE)

primäre Kosten (GE)

Verrechnungspreise (GE/LE)

1

a11

a12

···

a1n

m1

k1

p1

2 .. .

a21 .. .

a22 .. .

··· .. .

a2n .. .

m2 .. .

k2 .. .

p2 .. .

i .. .

ai1 .. .

ai2 .. .

··· .. .

ain .. .

mi .. .

ki .. .

pi .. .

n

ani

an2

···

ann

mn

kn

pn

Dabei stehen aij für die von der Kostenstelle i an Kostenstelle j gelieferten Leistungen. Also enthält die j-te Spalte der Verflechtungsmatrix die von der Kostenstelle j insgesamt bezogenen Leistungen, deren Wert den sekundären Kosten der Kostenstelle j entsprechen. Man kann daher allgemein schreiben:

Kisek = a1j · p1 + a2j · p2 + · · · + aij · pj + · · · + anj · pn .

105

10.6 Innerbetriebliche Leistungsverrechnung Daraus lässt sich ein lineares Gleichungssystem aufstellen k1 + a11 · p1 + a21 · p2 + · · · + an1 · pn = m1 · p1 k2 + a12 · p1 + a22 · p2 + · · · + an2 · pn = m2 · p2 .. .. .. .. . . . . kj + a1j · p1 + a2j · p2 + · · · + anj · pn = mj · pj .. .. .. .. . . . . kn + a1n · p1 + a2n · p2 + · · · + ann · pn = mn · pn

dessen Lösung die gesuchten Verrechnunsgpreise p~T = (p1 , p2 , ..., pn ) darstellen. Aufgabe 10-12: Gegeben seien drei Hilfsbetriebe A, B und C, in denen in einer Zeitperiode primäre Kosten von 950, 150 bzw. 550 GE enstehen. Sie erstellen in der gleichen Zeit Leistungen von 80, 50 bzw. 50 LE, die sie, soweit sie nicht an andere Hilfsbetriebe liefert, an die Hauptbetriebe abgibt. So liefert der Hilfsbetrieb A von den erzeugten 80 LE die Mengen von 10 LE an B und 5 LE an C. Die gesamten Daten sind in nachfolgender Tabelle aufgeführt:

von Hilfsbetrieb

A B C

an Hilfsbetrieb A B C 0 10 5 20 0 10 30 10 0

erstellte Leistung

primäre Kosten

80 50 50

950 150 550

Welche Verrechnungspreise und welche primäre Gesamtkosten liegen in diesem Fall vor?

106

10 Gleichungen und Gleichungssysteme

Aufgabe 10-13: Betrachtet sei ein Unternehmen mit vier Hilfsbetrieben, die die drei Hauptkostenstellen sowie sich selbst untereinander wechselseitig beliefern. Die entsprechenden Leistungseinheiten und primäre Kosten zeigt die nachfolgende Tabelle:

von Hilfsbetrieb

A B C D

an Hilfsbetrieb (LE) A B C D 10 30 40 50 40 10 50 100 100 80 0 40 80 20 20 30

an Hauptkostenstelle (LE) H1 H2 H3 80 90 100 100 150 150 180 70 30 250 200 200

primäre Kosten (GE) 2.020 3.700 1.960 7.700

Bestimmen Sie die Verrechnungspreise (in GE/LE) für die Leistungen der vier Hilfsbetriebe und die Kostenumlage der Primärkosten auf die drei Hauptkostenstellen.

A

Lösungen zu den Aufgaben

Kapitel 1 Grundlagen a)

V = (a − 2c)(b − 2c)c

b)

V = 256 cm3

A 1-2:

a)

x > 10

A 1-3:

a)

AG = 2(l − b)(b + h) + πb( 2b + h)

A 1-1:

VG = (l − b)bh + π4 b2 h b)

Ab = ( 38 + 56 π)b2 Vb = ( 31 +

A 1-4:

A 1-5:

π 3 12 )b

a)

K = pAV · AV + pV B · V B + pV C · V C mit AV = x q 2 K = pAV · x + (pV B + pV C ) · b4 + (a − x)2

b)

K = 281, 30 C

a)

K1 = 71T = x11 + x21 K2 = 133T = x12 + x22 K3 = 96T = x13 + x23

b)

L1 = x11 + x12 + x13 ≤ 103T L2 = x21 + x22 + x23 ≤ 197T Kosten = 55x11 + 80x12 + 140x13 + 70x21 + 145x22 + 85x23

Kapitel 2 Elementare Begriffe und Instrumente A 2-1:

90 Damenmäntel

A 2-2:

14 Personen

108 A 2-3:

A 2-4:

Lösungen zu den Aufgaben a)

{0, 1, 2, 3}

b)

{0, 1, 2}

c)

{0, 1}

d)

{3, 5}

a)

c)

63 12 − 17.024 9 54 5

d)

20.160

b)

A 2-5:

a) b) c)

6 P

2i

i=1 7 P

i i+1

i=1 9 P

(3i + 1)

i=1

A 2-6:

a)

mjt =

b)

e=

c) d)

m P

xijt i=1 m P n P 12 P

si =

gt =

aij xijt

j=1 t=1 m P n P

(pj − kij )xijt

i=1 j=1

A 2-7:

a) b) c) d)

n n−k P P i=1 j=2 n P n P

aij aij

i=k j=1 n P

aii

i=1 n P

i P

i=1 j=1

A 2-8:

pj xijt

i=1 j=1 t=1 n P 6 P

a)

17

b)

27

c)

28

d)

170

aij

109

Lösungen zu den Aufgaben Kapitel 3 Folgen und Reihen 2 4 6 8 10 12 14 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , ...

A 3-1: A 3-2:

A 3-3:

n(n−1) 2 1 n2 +2n−2

a)

..., 22, 29, 37, ...

an = 1 +

b)

1 1 1 , 61 , 78 , ... ..., 46

an =

a)

an =

b)

an = 2n2 − 1

1 2

· (n − (−1)n · n)

1 1 , − 32 , ... ..., − 18 , 16

A 3-4:

an = (−1)n ·

1 2n

strebt alternierend gegen Null A 3-5:

a1 = −187

A 3-6:

a1 = 100

A 3-7:

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48

A 3-8:

n = 10

A 3-9:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... ist streng monoton steigend und konvergiert gegen ∞

A 3-10:

a)

gegen 0

b)

gegen 0

c)

gegen ∞

d)

gegen −1

e)

gegen 1

f)

gegen

d = 16 q = 0, 8

a10 = −43 a4 = 51, 2

s10 = −1.150 s4 = 295, 2

1 3

A 3-11:

160 km h

A 3-12:

20 Wochen, in der letzten Woche 1.175 Maschinen produziert

110

Lösungen zu den Aufgaben

Kapitel 4 Finanzmathematik A 4-1:

K0 = 6.250, − C

A 4-2:

p = 3, 75%

A 4-3:

p = 6, 15%

A 4-4:

p = 11, 68%

A 4-5:

K10 = 6.719, 58 C

A 4-6:

i = 0, 0418

A 4-7:

n = 11, 9 Jahre

A 4-8:

Kn = 6.741, 74 C

A 4-9:

Kn = 15.472, 23 C

A 4-10:

n = 5, 62 Jahre

A 4-11:

r4 = 3.424, 22 C

A 4-12:

K4 = 4.000, − C

A 4-13:

R00 = 130.783, 82 C

A 4-14:

n = 11, 9 Jahre

A 4-15:

K0 = 6.673, 71 C

A 4-16:

R00 = 30.258, 37 C

A 4-17:

a = 14.529, 78 C

A 4-18:

C0 = −39, 95

A 4-19:

C0 = 1.034 > 0

Unterschied zur einf. Verzinsung = 219, 58 C

i = 0, 03034

K4 = 22.915, 90 C

→ lohnt sich nicht

111

Lösungen zu den Aufgaben Kapitel 5 Funktionen bei y1 ist die Nullstelle x0 = 2

A 5-1:

bei y2 sind die Nullstellen x01 = −1 und x02 = 5 bei y3 ist die Nullstelle x0 = 3 bei y4 existiert keine Nullstelle x03 = −1

A 5-2: A 5-3:

f (x)

x04 = 3

Nullstellen: x0 = 1 und x0 = −2 (doppelt) Polstellen: xP = 0 (doppelt) und xP = 4 und xP = −4 Asymptoten: für x → +∞ f (x) → 0 und für x → −∞ f (−x) → 0

g(x)

Nullstellen: x0 = 4 und x0 = 2 (doppelt) und x0 = −1 (dreifach) Polstellen: xP = 3 (doppelt) und xP = 1 Asymptoten: für x → +∞ f (x) → ∞ und für x → −∞ f (−x) → −∞ U (x) = −0, 1x2 + 1.600x

A 5-4: A 5-5:

G(x) = −0, 1x2 + 1.000x − 800.000

2 3

a)

x = 31 y +

b)

x=

c)

x = −5 +

d)

x = log2 ( y3 )

2y+1 3−y

p

3(7 − y)

A 5-6:

K(x) = 12 x2 + x + 2

A 5-7:

W (x) = −5 + 2 · 3x

A 5-8:

x0 = −2, 0, 2, 3

A 5-9:

p3 hat eine Nullstelle bei x0 = 2 q3 hat eine Nullstelle bei x0 = 10 p4 hat eine Nullstelle bei x0 = −2

112 A 5-10:

A 5-11:

Lösungen zu den Aufgaben a)

bei 10.000 Stück Firma B günstiger; bei 1.000 Stück Firma A günstiger

b)

xkrit = 9.500 Stück, Gesamtkosten=3.900 C

a)

U (x) = 590x − 14, 75x2 und G(x) = −15x2 + 570x − 3.255

b)

G(x) = 0 Gewinnschwelle bei x1 = 7, p(7) = 486, 75 C

c)

Maximaler Gewinn bei 19 Stück, Wert von 2.160 C

Kapitel 6 Differentialrechnung A 6-1:

f 0 (x) = g 0 (x) = h0 (x) =

A 6-2:

f 0 (x) =

f 0 (4) =

√2x+5 2 x2 +5x 2x+12 √ 4 3 3 x+3 −12x+18 √ 3 4x2 +9

g 0 (5) =

13 12

11 24

6 h0 (2) = − 125

3 (3x+1)·ln 10

g 0 (x) = 7 · ln 3 · 3x +

15(ln x)2 x

h0 (x) = 2 · ln x + 2 2

k 0 (x) = 2 · ex+x · (1 + 2x) + A 6-3:

f 0 (x) =

3

6 x·ln 2

2 √ 3 x 2

g 0 (x) = cos x − sin2 x h0 (x) =

7 6

· x5/2 −

1 2

· x−3/2

k 0 (x) = 1 l0 (x) = 4x(ln x2 + 1) + (cos x + 2x sin x)ex A 6-4:

2

f = −3(x3 − x) g =

−18 x2 −9

2p2 −50p p2 −50p+600

(p=10) = − 32

A 6-5:

=

A 6-6:

40.625, − C

A 6-7:

K 0 (x) = 0, 06x2 − 5x + 50 =

;

0,06x3 −5x2 +50x 0,02x3 −2,5x2 +50x+250

K 0 (10) = 6 K 0 (5) = 26, 5 K 0 (1) = 45, 06

113

Lösungen zu den Aufgaben G0 (x) = − 112 15 x + 224 = 0 ⇒ x = 30

A 6-8:

p(30) = 150 C A 6-9:

 = 4x(x − 2) bei x = 3 elastisch

A 6-9:

250 Mengeneinheiten; G(250) = 4.500

Kapitel 7 Funktionen mehrerer Veränderlicher

A 7-1:

A 7-2:

A 7-3:

∂f ∂x ∂g ∂x

= 6xy +

1 y

= cos x · cos y − sin y · sin x 1 y −1

∂h ∂x

=

∂k ∂x

= (1 + x) · y · ex+y

∂l ∂x

=

3 y

· (3x)

+ y · exy 2

x2 +y 2 √ √ 2y x3 x2 −y 2

f,x1 =

x2 x1 +x2

f,x2 =

∂f ∂y ∂g ∂y

= − sin x · sin y + cos y · cos x

∂h ∂y

= 3x y · ln(3x) · (− y12 ) + x · exy

∂k ∂y

= (1 + 2y 2 ) · x · ex+y

∂l ∂y

=

= 3x2 −

x y2

1

y2

2

−x2 √ √ 2 x x −y 2

x1 x1 +x2

g,x1 = 2

g,x2 = 2

g,x3 = −2

h,x1 = 1 + x1

h,x2 = 1 + x2

h,x3 = 1 + x3

0 0 df = fx1 · dx1 + fx2 · dx2 = 44 · 2 − 80 · (−1) = 168

a)

also, Weizenertrag erhöht sich um 168 Mengeneinheiten [M E] 1 bei (x1 , x2 ) = (18, 32 3 ) maximaler Weizenertrag mit 929 3 M E

b)

Kapitel 8 Integralrechnung

A 8-1:

K(x) = 72 x2 + 5x + 45

A 8-2:

x4 · ln x −

x4 4

+C

x · e − 2x · ex + 2ex + C 2

1 2

A 8-3:

x

sin2 x + C 2

− 12 e−x + C 1 2 1 2

ln |2x + 3| + C

für x 6= − 32

ln(1 + sin2 x) + C

114

Lösungen zu den Aufgaben 1 4 4 (x + 4) + C 1 2 4 8 (x + 3) + C 1 4 16 ln(4x + 1) +

A 8-4:

C

−∞ ;

A 8-5:

+∞ ;

A 8-6:

Kv (x) = x3 − 3, 5x2 + 11x

A 8-7:

K = x3 − 4x2 + 8x + 4

4 K(x) = Kv (x) + Kf

E = 12x − 2x2 p = 12 − 2x G = −x3 + 2x2 + 4x − 4

Kapitel 9 Vektoren und Matrizen

A 9-1:

a) b)

a15 = −6 a34 = 7 a43 = 2 a52 = −4 a41 = 2 5 P i=1 5 P

ai2 = 4 + 5 − 3 + 5 − 4 = 7 a2j = −2 + 5 + 2 − 8 + 5 = 2

j=1



3 4 AT =  2 1  8 −7   12 −7 34 CT =  8 9 2 16 7 −3

A 9-2:



A 9-3:



1 5   A =  −1  4 9

. 2 2 0 8

. . 6 1 7

. . . 0 7



A 9-4:

a)

 . .   .  . 3

5  17 BT =   −2 29

 6 2 12 −9   3 14  18 32



5 1 B= 3 2 

 4 7 10 10 A + B =  14 4 2 9  10 10 12 11

1 2 0 a

3 0 d b

 2 a  b c

a, b, c, d beliebig!

115

Lösungen zu den Aufgaben 

b)

c) d)

 2 1 0 2 A − B =  0 0 −2 −7  −2 8 −6 5   −2 −1 0 −2 B−A=0 0 2 7 2 −8 6 −5 A + C = nicht definiert, da die Matrizen unterschiedliche Ordnungen haben        1 2 −3 −2 −2 0 0 0  3 4  +  1 −5  −  4 −1  =  0 0  5 6 4 3 9 9 0 0 

A 9-5:



A 9-6:

A 9-7:

    3 5 4 2 1 0 5 6 2 6 1+3 2 1=5 8 0 3 4 2 1 4 2 4   20 10 a) 5A = 5 0   8 3 c) 3A − 2B + C = −2 −4

 4 2 8  b)

−2B =

d)

A − 10B − 3C =

λ = −4

A 9-9:

a)

|~a1 | =

b)

linear unabhängig

c)

~aT1 · ~a2 = 7 ~aT1 · ~a3 = 0 ~aT2 · ~a3 = 0   0 7 0

A 9-10:

a)





A 9-8:

d)

−2 −2 −2 −2

0 −5 0 −4



ν = −1 √ 5

|~a2 | =

√ 10

|~a3 | = 1

E = p~ T · ~x ≥ E ∗ 

 x1  x2  ∗  (p1 , p2 , p3 , p4 ) ·   x3  = p1 · x1 + p2 · x2 + p3 · x3 + p4 · x4 ≥ E x4  x1  x2   (1, 1, 1, 1) ·   x3  = x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 1.000 x4 (1, 1, 1, 1) · ~x ≥ 1.000 

b)

116

Lösungen zu den Aufgaben      3 1 11 10 3 1 2   · 0 3 = 10 19 2 3 4 1 2   11 10 = (62, 96) (2, 4) · 10 19       11 10 10 160 · = 10 19 5 195   10 (70, 95) · = 1.175 5 

A 9-11:

a) b) c) d)

Kapitel 10 Gleichungen und Gleichungssysteme A 10-1:

x1 − 2x2 + 2x3 = 12 −x1

A 10-2:

+ x3 =

4

20x1 + 100x2 + 3x3 = 3.600 10x2 − x3 =

0

20x1 + 20x2 + 1x3 = 1.600 A 10-3:

A 10-4:

A 10-5:

a) Lösen durch Einsetzten:

x1 = 5

und x2 = 1

b) Durch Gleichsetzen:

x1 = 2

und x2 = −2

c) Durch Addition von Gleichungen:

x1 = 5

und x2 = −2

rgA = 2 rgB = 3   50 ~x =  20  200

A 10-6:

~xT = {−1, 0, 1}

A 10-7:

x1 = 1,

x2 = −1 x3 = 2 x4 = −1

10 Einheiten E1 , 15 Einheiten E2 und 20 Einheiten E3 5  1   − 24 2 2 0 1 2  A 10-9: A−1 = B−1 =  − 32 12 2 −1 0 1 − 12 0 2     7 −3 −3 3 A 10-10: A−1 =  −1 0 ~x =  2  1 −1 1 0 1 A 10-8:

117

Lösungen zu den Aufgaben

A 10-11:

A 10-12:

detA = −1 detA1 = −3 und damit ist x1 =

−3 −1

=3

detA2 = −2 und damit ist x2 =

−2 −1

=2

detA3 = −1 und damit ist x3 =

−1 −1

=1

Verrechnungspreise p~T = (20, 10, 15) primäre Gesamtkosten 1.650 GE

A 10-13:

Das lineare Gleichungssystem lautet: −390p1 30p1 40p1 50p1

+ − + +

40p2 590p2 50p2 100p2

+ + − +

100p3 80p3 500p3 40p3

+ + + −

80p4 20p4 20p4 770p4

= = = =

−2.020 −3.700 −1.960 −7.700

Daraus folgt für p1 = 10GE/LE, p2 = 8GE/LE, p3 = 6GE/LE und p4 = 12GE/LE Gesamtumlagekosten für Hauptkostenstelle H1 : 5.680 GE, für H2 : 4.920 GE und für H3 : 4.780 GE

B

Formelsammlung

Grundgesetze Kommutativgesetz

a+b=b+a

a·b=b·a

Assoziativgesetz

(a + b) + c = a + (b + c)

(a · b) · c = a · (b · c)

a · (b + c) = a · b + a · c

Distributivgesetz Rechnen mit rationalen Zahlen Gleichheit Erweitern Kürzen Addition Subtraktion Multiplikation Division

a b a b

c wenn a d a·z = b·z a/z a (z 6= 0) b = b/z c ad+bc a b + d = bd a c ad−bc b − d = bd a c ac · = b d bd a c ad b / d = bc

=

·d=c·b

Potenzen und Wurzeln an = a · a · a · a · ... · a , n ∈ N n ≥ 2 , a 6= 0 , wobei a0 = 1 , a1 = a √ √ √ n a = x ⇔ xn = a, a ≥ 0, n ∈ N , n ≥ 2 , x ≥ 0 , 2 a = a am · an = am+n am /an = am−n an · bn = (a · b)n
n an /bn = ab

√ √ √ n a· nb= na·b √ p √ n a/ n b = n ab p m √ ( n a)m = n (a ) p√ p√ √ m n a = mn a = n m a

a−n = 1

1 an

√ n a √ = n am

an = m

an a

−m n

=

1 √ n m a

(am )n = amn = (an )m Logarithmen x = logb a ⇔ bx = a (a, b > 0 und b 6= 1) daraus folgt logb b = 1; logb 1 = 0 log(u · v) = log u + log v ;
log uv = log u − log v ;

log un = n · log u √ log n u = n1 · log u

120

Formelsammlung Zehnerlogarithmen

log10 x = lg x

Natürlicher Logarithmus

loge x = ln x

logb x = logb g · logg x ;

logb g · logg b = 1

lg x = M · ln x ;

M = lg e = 0, 43429448...

ln x =

1 M

· lg x ;

1 M

mit e = 2, 7182...

= ln 10 = 2, 3025850...

Binomische Formeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

a2 + b2 nicht zerlegbar (im Reellen)

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

Quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0)

x1,2 =

x2 + px + q = 0

x1,2 =

√ −b± b2 −4ac 2a
p − p2 ± ( p2 )2

−q

Folgen und Reihen arithm. Folge und Reihe

geometr. Folge und Reihe

an+1 − an = d (d = const., n ∈ N) ; an = a1 + (n − 1) · d sn =

n 2

an+1 an

= q (q = const., n ∈ N) ; an = a1 · q n−1

· (2a1 + (n − 1) · d)

n

n

q −1 sn = a1 1−q 1−q = a1 q−1

Finanzmathematik einfache Verzinsung

Kn = K0 + niK0 = K0 (1 + ni)

Zinseszins

Kn = K0 · (1 +

p n 100 )

= K0 (1 + i)n =

K0 · q n , mit (1 + i) = q Barwert eines abgezinsten Kapitals

K0 = Kn · ν=

1 1+i

=

1 (1+i)n 1 q

= Kn · ν n ,

1−q n 1−q

Endwert einer Ratenzahlung bei

Kn = rq ·

nachschüsiger Verzinsung

mit q = (1 + i) 6= 1

lineare Abschreibung

Kk = K0 − k · K0 · (1 −

k n)

+

K0 −Kn n k · n Kn

=

121

Formelsammlung Kk = Kk−1 · (1 − i) = K0 · (1 − i)k

geom. degressive Abschreibung

rk = Kk−1 · i = K0 · (1 − i)k−1 i arithm. degressive Abschreibung

Kk = K0 −

k 2

Barwert einer nachschüssigen Rente

R0 = r · ν ·

1−ν n 1−ν

Barwert einer vorschüssigen Rente

R00 = r0 ·

Annuitätentilgung

Sn = S0 q n − aq n−1 − aq n−2 − ... − a =

· [2r1 − (k − 1)d]

1−ν n 1−ν

S0 q n − a(q n−1 + q n−2 + ... + 1) 1−q n 1−q S0 · a1n

Sn = 0 S0 q n = a · a = S0 q n ·

1−q 1−q n

=

C0 = E0 − A − K0 =

Kapitalwert einer Investition

T P t=1

−A +

T P t=1

(et −kt ) qt

Polynomendivision n P pn (x) = ai xi = an (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) · · · (x − xn ) i=0

Spezielle Funktionen und Grunddifferentiale y = xn √ y= x

y 0 = n · xn−1 y0 =

1 √ 2· x

y = xq

y0 =

 

y = ln x

y0 =

1 x

y = loga x

y0 =

1 x·ln a

y = ex

y 0 = ex

y = ax

y 0 = ax · ln a

y = sin x

y 0 = cos x

y = cos x

y 0 = − sin x

p

p q

p

x( q −1)

Differentiationsregeln y = c · f (x)

y 0 = c · f 0 (x)

y = f (x) ± g(x)

y 0 = f 0 (x) ± g 0 (x)

et qt

−A−

T P t=1

kt qt

=

122

Formelsammlung y 0 = f 0 (x) · g(x) + g 0 (x) · f (x)

y = f (x) · g(x) f (x) g(x)

y=

y0 =

mit g(x) 6= 0

y = f (g(x)) mit z = g(x) und y = f (z)

f 0 (x)·g(x)−g 0 (x)·f (x) (g(x))2

y 0 = f 0 (z) · g 0 (x)

Elastizität yx = lim

∆x→0

∆y y ∆x x

∆y ∆x y x

= lim

∆x→0

=

dy dx y x

=

dy dx

·

x y

= y0 ·

x y

Funktionen mehrerer Veränderlicher ∂2z ∂x2

00 = zxx

2

∂ z ∂x∂y

00 = zxy

dy =

∂f ∂x1

bzw. bzw.

· dx1 +

∂f ∂x2

∂2z ∂y 2 2

00 = zyy

∂ z ∂y∂x

00 = zyx

· dx2 + ... +

∂f ∂xn

· dxn =

n P i=1

∂f ∂xi

· xi

Unbestimmtes Integral R f (x) dx = F (x) + c Bestimmtes Integral Rb Fab = a f (x) dx = F (b) − F (a) Grundintegrale R n 1 · xn+1 + c x dx = n+1 R 1 x dx = ln |x| + c R x e dx = ex + c R sin x dx = − cos x + c R cos x dx = sin x + c

mit n 6= −1

Integrationsregeln R R a · f (x) dx = a · f (x) dx mit a = const. R R R (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx R R (f (x) · g 0 (x)) dx = f (x) · g(x) − f 0 (x) · g(x) dx R R f (g(x)) · g 0 (x) dx mit z = g(x) folgt f (z) dz Addition von Matrizen (aij ) + (bij ) = (aij + bij ) bzw. (aij ) − (bij ) = (aij − bij )

123

Formelsammlung Skalarprodukt von Vektoren  b1 n P   ai bi · ~b = (a1 , a2 , ..., an ) ·  ...  = a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn = 

~a T

i=1

bn Gesetze für skalare Vektorprodukte ~a T ~b = ~b T ~a (~a T + ~b T )~c = ~a T ~c + ~b T ~c Betrag eines Vektors s n √ P |~a| = a2i = ~aT ~a i=1

Matrizenmultiplikation C = AB =

n P

! aij bjk

j=1

AB 6= BA Gleichungssystem n P aij xj = bi mit i = 1, 2, ..., m j=1      a11 a12 . . . a1n x1  a21 a22 . . . a2n   x2        . .. .. ..  ·  ..  =  . . . . .  .   am1 am2 . . . amn

xn

b1 b2 .. .

    

bm

Determinante der Ordnung 2 und 3 a11 a12 = a11 a22 − a21 a12 detA = |A| = a21 a22 b11 b12 b13 detB = |B| = b21 b22 b23 = b b b 31 32 33 b11 b22 b33 − b11 b23 b32 + b12 b23 b31 − b12 b21 b33 + b13 b21 b32 − b13 b22 b31

C

Literaturverzeichnis

Das Thema Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler wird in der Literatur in einer fast unüberschaubaren Anzahl von Büchern und Skripten behandelt. Die nachfolgende kleine Auswahl an Literaturstellen wird zum einen den Lesern dieses Buches als Ergänzung wie auch Weiterführung und Vertiefung des Stoffes empfohlen, zum anderen hat der Verfasser diese Literatur gelesen und neben allgemeiner Lehrmeinung diese Quellen zur Erstellung des vorliegenden Buches herangezogen. Bosch, Karl (2003): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 14. Aufl., Oldenbourg, München, Wien. Bronstein, Ilja N.; Semendjajew, Konstantin, A. (1979): Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun. Dörsam, Peter(2003): Mathematik anschaulich dargestellt für Studierende der Wirtschaftswissenschaften. 11. überarbeitete und erweiterte Aufl., PD-Verlag, Heidenau. Eichholz, Wolfgang; Vilkner, Eberhard (2002): Taschenbuch der Wirtschaftsmathematik. 3. verbesserte Aufl., Fachbuchverlag, Leipzig. Holland, Heinrich; Holland, Doris (2004): Mathematik im Betrieb. Praxisbezogene Einführung mit Beispielen. 7. überarb. Aufl., Gabler Verlag, Wiesbaden. Jensen, Uwe (2003): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 3. Aufl., Oldenbourg Verlag, München, Wien. Luderer, Bernd; Paape, Conny; Würker, Uwe (2002): Arbeits- und Übungsbuch Wirtschaftsmathematik. Beispiele - Aufgaben - Formeln. 3. durchgesehene Aufl., Teubner Verlag, Stuttgart et al. Mayer, Christoph; Weber, Carsten (2004): Lineare Algebra für Wirtschaftswissenschaftler. Gabler Verlag, Wiesbaden. Ohse, Dietrich (1998): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I - Analysis. 4. Aufl., Verlag Vahlen, München. Ohse, Dietrich (1998): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II - Lineare Wirtschaftsalgebra. 4. Aufl., Verlag Vahlen, München. Rommelfanger, Heinrich (2001): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I. 5. Aufl. Spektrum, Akad. Verl., Heidelberg, New York.

126

Literaturverzeichnis

Rommelfanger, Heinrich (2002): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II. 5. Aufl. Spektrum, Akad. Verl., Heidelberg, New York. Schwarze, Jochen (2005): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Band 1: Grundlagen. 12. Aufl., Verlag Neue Wirtschafts-Briefe, Herne, Berlin. Schwarze, Jochen (2005): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Band 2: Differentialund Integralrechnung. 12. Aufl., Verlag Neue Wirtschafts-Briefe, Herne, Berlin. Schwarze, Jochen (2005): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Band 3: Lineare Algebra, Lineare Optimierung und Graphentheorie, 12. Aufl., Verlag Neue Wirtschafts-Briefe, Herne, Berlin. Sydsaeter, Knut; Hammond, Peter (2004): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler - Basiswissen mit Praxisbezug. Pearson Studium, München. Tallig, Heiko (2006): Anwendungsmathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Oldenbourg Verlag, München, Wien. Terveer, Ingolf (2005): Mathematik. UVK Verlagsgesellschaft, Konstanz. Tietze, Jürgen (2005): Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik. 12. Aufl., Vieweg Verlag, Wiesbaden. Tietze, Jürgen (2005): Übungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik. 5. Aufl., Vieweg Verlag, Wiesbaden. Tietze, Jürgen (2004): Einführung in die Finanzmathematik. 7. Aufl., Vieweg Verlag, Wiesbaden. Tietze, Jürgen (2005): Übungsbuch zur Finanzmathematik. 4. Aufl., Vieweg Verlag, Wiesbaden.

D

Zum Verfasser

Dr. Lothar Walter studierte von 1979 bis 1985 an der Technischen Hochschule Darmstadt Physik, Mathematik und Biochemie. Nach seinem Diplom in Physik war er als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl für Biotechnologie der Universität Würzburg tätig. Hier forschte er auf dem Gebiet der Membranbiophysik. 1990 wechselte er an den Fachbereich Physik/Elektrotechnik der Universität Bremen und promovierte 1992 mit einer Arbeit über NMRspektroskopische Untersuchungen an pflanzlichen Systemen. Von 1993 bis Mitte 2001 war er für neugegründete Unternehmen im Bereich der Medizintechnik in den neuen Bundesländern aktiv. Sein Tätigkeitsfeld lag in der Erarbeitung von Vertriebskonzepten sowie in der Schaffung und Umsetzung eines für Medizinproduktehersteller geforderten Qualitätsmanagementsystems. Als Vertriebsleiter war er für den Absatz der Produkte in Deutschland verantwortlich. Seit September 2001 arbeitet Dr. Lothar Walter als Akademischer Oberrat am Lehrstuhl für Innovation und Kompetenztransfer von Prof. Dr. Martin G. Möhrle im Fachbereich Wirtschaftswissenschaft der Universität Bremen. Als Senior Researcher der Universität Bremen forscht er auf dem Gebiet des Intellectual Property Managements, insbesondere stehen hier Fragen zum methodischen Erfinden, zur Organisation der internationalen Patentarbeit, und zur Informationserschließung aus Patenten mittels computergestützten Patentanalysen im Vordergrund. Hier setzt er das Potenzial semantischer Textanalysen und des Patent Mappings zur Visualisierung der inhaltlichen Verknüpfung von Patenten ein. Seit 2003 ist Dr. Lothar Walter als Dozent für das Fach Mathematik an der Hanseatischen Verwaltungs- und Wirtschaftsakademie (VWA) und seit 2010 auch an der Hochschule für Ökonomie und Management (FOM) in Bremen tätig. An der Universität Bremen lehrt er das Fach Mathematik im Bachelorstudiengang Betriebswirtschaftslehre seit 2006. Weitere Informationen unter: www.innovation.uni-bremen.de

Index Ableitung, 52 partielle Ableitung, 62 Absatzfunktion, 47 Abschreibung, 30, 33 Abstraktion, 1 Annuität, 36 Arithmetik, 14 Axiom, 2 Barwert, 30, 31, 36 Bildungsgesetz, 23 Binomische Formel, 4 Cramersche Regel, 101 Determinante, 99 Differentialquotient, 52 Diskontierung, 31 Doppelsummen, 17 Elastizität, 57 Durchschnittselastizität, 57 partielle, 64 Punktelastizität, 57 Ertragsgesetz, 56 Fakultät, 15 Finanzmathematik, 29 Folge, 23 arithmetisch, 24 Eigenschaften, 24 geometrisch, 24 Funktion, 39 differenzierbar, 52 gerade, 41 stetig, 41

Umkehrfunktion, 41 ungerade, 41 Gauß Algorithmus, 93 Gewinn, 48 Gleichungen, 87 Gleichungssystem, 88 homogen, 89 inhomogen, 89 lineare, 88 Grenzertrag, 57 Grenzfunktion, 56 Grenzkosten, 71 Integral, 65 bestimmte, 69 unbestimmtes, 66 Kapital, 29, 30 Kapitalwert, 37 Kapitalwertmethode, 37 Kosten, 47 Kurvendiskussion, 55 achsensymmetrisch, 41 Maximum, 56 Minimum, 56 Nullstelle, 42 spiegelsymmetrisch, 41 Wendepunkt, 56 Linearkombination, 81 konvex, 81 linear abhängig, 81 linear unabhängig, 81 Logarithmus, 43

130 Matrix, 73 erweiterte, 92 inverse, 96 Rang, 91 regulär, 96 Menge, 11, 40 Differenz, 12 Durchschnitt, 12 Komplement, 12 Produkt, 12 Vereinigung, 12 Mengenlehre, 11 Mengenoperationen, 13 Nachfragefunktion, 47 Nullstelle, 44 Polynom, 44 Potenzen, 43 Preis-Absatz-Funktion, 47 Produktionsfunktion, 56 Produktzeichen, 15 Rang, 91 Ratenzahlung, 32 Rechenregeln, 2 Reihe, 26 arithmetische, 26 Eigenschaften, 27 geometrische, 26 Rente, 30, 34 Summenzeichen, 14 Tilgung, 36 totale Differential, 63 Tupel, 74 Umkehrfunktion, 41 Umsatz, 47 Vektor, 73

Index Zahlen, 14 Zeitstrahl, 29 Zins, 29, 30 Zinseszinsen, 31 Zinsfaktor, 29 Zinsfuss, 29 Zinssatz, 29