248 100 28MB
Pashto Pages [233]
ر اض د اووم !ﻮل/ﻲ رﻳاضﻲ
7
5cm
5cm
5cm
١٣٩٨هـ .ش.
!ولگ
د پوهن 3وزارت
ملي سرود دا وطن افغانســـتـــان دى
دا عــــزت د هـــر افـغـان دى
کور د سول 3کور د تورې
هر بچی ي 3قهرمـــــان دى
دا وطن د ټولـــو کـور دى
د بـــــلـوڅـــــــو د ازبـکــــــــو
د پښـــتــون او هـــــزاره وو
د تـــرکـمنـــــــو د تـــاجـکــــــو
ورســـره عرب ،گوجــر دي
پــاميــريـــان ،نـورســـتانيــــان
براهوي دي ،قزلباش دي
هـــم ايمـــاق ،هم پشـه يان
دا ه5ــــــواد به تل ځلي8ي
لـکـه لـمــر پـر شـــنـه آســـمـان
په ســـينــه ک 3د آســـيـــا به
لـکــــه زړه وي جـــاويــــــدان
نوم د حق مـــو دى رهبـــر
وايـــو اهلل اکبر وايو اهلل اکبر
رياضي ٧ ټـولگى 1398 ﻫـ .ش.
الف
د تاب ان ت او
-----------------------------------------------------مضمون ر ا
مؤلف ن د تعل مي نصاب د ر ا
ديپار نت د در
تابونو مؤلف
ا يټ وون ي د پ تو ب د اډيټ د پار نت غړي ټول
دم
اووم
به پ تو
ان شاف ور وون
خ روون
د اپ ال د اپ ا اپخونه
بر نال
د تعل مي نصاب د پراخت ا او در
تابونو د تأل ف لو ر است
د پوهن وزارت د اړ و او عامه پوهاوي ر است هجري شم ابل ته [email protected]
-----------------------------------------------------تابونو د چاپ و ش او پلورلو حق د افغانستان اس مي جمهور ت د پوهن د در پلورل او پ رودل منع دي له غړوون و ه وزارت ه محفوظ د په بازار قانو ب
چلند
ي
د
ن د ز ر غام
اقرأ باسم رب مو ته ي وند راب ل او د لوست او لي ش ر ه ا وو د لو او ب ون خدا له نعمت خه ي برخمن ي يو او د الله تعال ر وروست غم محمد مصطف اله لوم ن غام ورته لوستل و درود وايو هجري ريز ال د وهن د ال ه نامه ونومول شو له د ولو ته اره ده رن ه تاب زده وون امله به د ران ه واد وونيز نظام د ورو بدلونونو شاهد وي وون اداره او د والدينو شورا ان د ه واد د وهنيز نظام ش و بنس يز عنا بلل ي ي وون د ه واد د وون او روزن ه راختيا او رمختيا مهم رول لري ه داس مهم وخت د افغانستان د وهن وزارت د م تابه مقام د ه واد ه وونيز نظام د ود او راخت ا ه لور بنس يزو بدلونونو ته من د له همد امله د وونيز نصاب اص ح او راختيا د وهن وزارت له مهمو لوم يتوبونو خه دي تابونو وونيزو تأسيساتو د در همدارن ه ه وون يو مدرسو او ولو دولت او خصو ا لري مو ه د باور يو محتوا يفيت او توز ع ته املرنه د وهن وزارت د ارو ه د با يفيته در تابونو له شتون رته د وون او روزن اسا اهدافو ته رس دل نشو وونيز نظام د رامن ته ولو ل اره د راتلون نسل د ورتنيو موخو ته د رس دو او د اغ زنا روزون و ه تو ه د ه واد له ولو ز ه سواندو وون و استادانو او مسل مديرانو خه ه درناوي هي تابونو ه تدريس او د محتوا ه ل دولو د ه واد ب يانو ته د د در هيله وم ول ه ه او هاند ونه س موي او د يوه فعال او ه دين م او انتقادي تف ر سمبال نسل ه روزنه ه ه د نيت و ي هره ور د من ه نوي ولو او د مسؤوليت ه در زيار او و ران زده وون به سبا د يوه رمختل افغانستان مع ران او د نن ور لوست ل ي د ولن متمدن او ور اوس دون وي د ه واد ارز تنا ه ان ه ده غو تنه لرم و له هر همدا راز له خو و زده وون و خه و او فعالو ونوالو ه تو ه او ه روسه د فرصت خه ه ورته ي او د زده وون و ته ه درناوي ه له تدر س خه ه او اغ زنا ه استفاده و ي د وون او روزن له ولو وهانو او د وونيز نصاب له مسل هم ارانو خه ها دي مننه وم دون هل ل د د تاب ه لي لو او متو ولو ي نه ست بريا له دربار خه دو ته ه د س ي ل او انسان جو وون ه او د لو خدا غوا م د معياري او رمختل وونيز نظام او د داس ودان افغانستان ه ه له و ي خ لوا وه او سو اله وي د وهن وزير د تور محمد م ويس بلخ ج
فهرست
مخونه
لوم7ى څپرکى (سټ)3 ................................................................................ د س ﻣفﻬﻮم ،د ﻳﻮه س عﻨاصر او د ﻳﻮ س د ﻟﻴکﻠﻮ طرﻳﻘ3 ﻣساوي او ﻣعادل س"ﻮﻧﻪ فرعﻲ س ،د س"ﻮﻧﻮ تﻘاطع ،د س"ﻮﻧﻮ اتحاد ،د دوو س"ﻮﻧﻮ تفاضﻞ ،کُﻠﻲ س او ﻣکﻤﻠﻪ س ﻣعﻴﻦ او غﻴر ﻣعﻴﻦ س"ﻮﻧﻪ د ﻟﻮﻣ7ي 'پرکﻲ ﻟﻨ6ﻳز او پﻮ*تﻨ3 دويم څپرکى (طبيعي عددونه)27 ................................................................. د طبﻴعﻲ عددوﻧﻮ د وﻳش ﻳا تﻘسﻴﻢ ﻗابﻠﻴتﻮﻧﻪ ،د طبﻴعﻲ عددوﻧﻮ تجزﻳﻪ او پﻪ ﻟﻮﻣ7ﻧﻴﻮ عددوﻧﻮ تجزﻳﻪ طاﻗت ،د طاﻗتﻮﻧﻮ د ضرب ﻗاﻧﻮن او د طاﻗتﻮﻧﻮ و4ش ﻗاﻧﻮن د عدد د ﻟﻴکﻠﻮ عﻠﻤﻲ طرﻳﻘﻪ تر !ﻮﻟﻮ ﻟﻮى ﻣشترک ﻗاسﻢ او د تجزﻳ 3پﻪ ﻣرستﻪ د تر !ﻮﻟﻮ ﻟﻮى ﻣشترک ﻗاسﻢ پﻴدا کﻮل تر !ﻮﻟﻮ کﻮچﻨﻰ ﻣشترک ﻣضرب او پﻪ ﻟﻮﻣ7ﻧﻴﻮ عددوﻧﻮ باﻧدې د تجزﻳ 3پﻪ واسطﻪ د تر !ﻮﻟﻮ کﻮچﻨﻲ ﻣشترک ﻣضرب پﻴدا کﻮل د ور$ﻨﻲ ژوﻧد د ﻣساﻳﻠﻮ پﻪ حﻞ ک 3د کﻮچﻨﻲ ﻣشترک ﻣضرب او د تر !ﻮﻟﻮ ﻟﻮى ﻣشترک ﻗاسﻢ د استعﻤال $اﻳﻮﻧﻪ د دوو عددوﻧﻮ د تر !ﻮﻟﻮ ﻟﻮى ﻣشترک ﻗاسﻢ او کﻮچﻨﻰ ﻣشترک ﻣضرب تر ﻣت #اړﻳک3 پﻪ ﻳﻮه وخت ک 3د کﻮچﻨﻲ ﻣشترک ﻣضرب او تر!ﻮﻟﻮ ﻟﻮی ﻣشترک ﻗاسﻢ پﻴدا کﻮل ،د ﻳﻮه طبﻴعﻲ عدد ﻣربع او د عدد پﻮره ﻣربع جذر پﻴدا کﻮل د تجزﻳ 3پﻪ طرﻳﻘﻪ ،د ﻳﻮ عدد د ﻣربع جذر د پﻴدا کﻮﻟﻮ عﻤﻮﻣﻲ طرﻳﻘﻪ، د ﻳﻮه طبﻴعﻲ عدد ﻣکعب (درﻳﻢ) جذر ،د دوﻳﻢ 'پرکﻲ ﻟﻨ6ﻳز او پﻮ*تﻨ3 دريم څپرکى(تام عددونه)71 ....................................................................... ﻣثبت او ﻣﻨفﻲ عددوﻧﻪ تام عددوﻧﻪ او د عددوﻧﻮ پر ﻣحﻮر باﻧدې د تاﻣﻮ عددوﻧﻮ *ﻮدﻧﻪ د ﻳﻮه عدد ﻣطﻠﻘﻪ ﻗﻴﻤت ،د تاﻣﻮ عددوﻧﻮ د جﻤع ،3تفرﻳق ،ضرب او وﻳش عﻤﻠﻴ3 د حسابﻲ افادو د ﻗﻴﻤتﻮﻧﻮ پﻴدا کﻮل د عﻤﻠﻴﻮ خاصﻴتﻮﻧﻪ د درﻳﻢ 'پرکﻲ ﻟﻨ6ﻳز او پﻮ*تﻨ3 څلورم څپرکى(نسبتي عددونه)97 ................................................................ ﻧسبتﻲ عددوﻧﻪ د ﻧسبتﻲ عددوﻧﻮ پرتﻠﻪ کﻮل د ﻧسبتﻲ عددوﻧﻮ د جﻤع ،3تفرﻳق ،ضرب او تﻘسﻴﻢ(وﻳش) عﻤﻠﻴ3 د ﻧسبتﻲ عددوﻧﻮ د عﻤﻠﻴﻮ خاصﻴتﻮﻧﻪ پﻪ اعشاري عددوﻧﻮ باﻧدې د ﻧسبتﻲ عددوﻧﻮ بدﻟﻮل د 'ﻠﻮرم 'پرکﻲ ﻟﻨ6ﻳز او پﻮ*تﻨ3
د
پنځم څپرکى(مثلثونه او څو ضلعي(مضلع گانې)119 ................................. د ﻣثﻠث ډوﻟﻮﻧﻪ(د ﻣثﻠث ارتفاع ،ﻣﻴاﻧﻪ او ﻧاصف اﻟزاوﻳﻪ) د ﻣثﻠث د داخﻠﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮعﻪ ،د ﻳﻮه ﻣثﻠث خارجﻲ زاوﻳ3 د ﻳﻮه ﻣثﻠث د ضﻠعﻮ تر ﻣﻨ #اړﻳک3 ﻣضﻠع گاﻧ'(3ﻮ ضﻠعﻲ) د ﻳﻮې ﻣضﻠع د داخﻠﻲ او خارجﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮعﻪ اﻧطباق ﻣﻨﻮﻧکﻲ شکﻠﻮﻧﻪ د ﻣثﻠثﻮﻧﻮ د اﻧطباق ﻣﻨﻨ 3حاﻟتﻮﻧﻪ د پﻨ%ﻢ 'پرکﻲ ﻟﻨ6ﻳز او پﻮ*تﻨ3 شپ8م څپرکى(موازي او عمود خطونه)157 ............................................ داخﻠﻲ او خارجﻲ ﻣتبادﻟ 3زاوﻳ ،3د دوه ﻣستﻘﻴﻤﻮ کر*ﻮ د ﻣﻮازاتﻮ '75ﻧﻪ کﻠﻪ چ 3ﻣتبادﻟ 3زواﻳ3 سره... ﻣتﻮافﻘ 3زاوﻳ3 د ﻳﻮه ﻗاطع ﻣستﻘﻴﻢ خط ﻳﻮې خﻮا تﻪ داخﻠﻲ ﻣتﻤﻤ 3زاوﻳ3 'ﻠﻮر ضﻠع 3گاﻧ(3ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ،ﻣستطﻴﻞ ،ﻣربع ،ﻣعﻴﻦ او ذوزﻧﻘﻪ) د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻣﻘابﻠ 3زاوﻳ ،3د ﻳﻮې 'ﻠﻮر ضﻠع 3خارجﻲ زاوﻳ3 د 'ﻠﻮر ضعﻠﻲ د ﻗطروﻧﻮ خاصﻴتﻮﻧﻪ ،د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع د ﻗطروﻧﻮ خاصﻴتﻮﻧﻪ د ﻣستطﻴﻞ ﻗطروﻧﻪ د ﻣعﻴﻦ(ﻟﻮزي) ﻗطروﻧﻪ د شپ8م 'پرکﻲ ﻟﻨ6ﻳز او پﻮ*تﻨ3 اووم څپرکى(احصائيه)187 ................................................................ د اطﻼعاتﻮ د را!ﻮﻟﻮﻟﻮ طرﻳﻘ3 !ﻮﻟﻨﻪ او ﻧﻤﻮﻧﻪ تصادفﻲ ﻧﻤﻮﻧﻪ تصادفﻲ ﻣتحﻮل او ډوﻟﻮﻧﻪ ﻳ3 د فرﻳکﻮﻧسﻲ جدول تصﻮﻳري (اﻧ%ﻮرﻳز) -راف ﻣﻮډ()Mode اوسط د اووم 'پرکﻲ ﻟﻨ6ﻳز او پﻮ*تﻨ3 اتم څپرکى(احتماالت)211 ................................................................ چاﻧس احتﻤال ،د ﻳﻮې تصادفﻲ پﻴ 3+تجربﻪ تصادفﻲ تجربﻪ د ﻧتﻴج 3ﻳا ﻧﻤﻮﻧ 3فضا ﻧظري احتﻤال د اتﻢ 'پرکﻲ ﻟﻨ6ﻳز او پﻮ*تﻨ3
هـ
لـومړى څپرکى
سـټ
د سټ مفهوم (of a Set
)Concept
آيا تر اوسه مو تصميم نيولى دى چې د خپل ښوونځي دلوبغاړو د ټيمونو د کوم ټيم غ7ي شئ؟
ﻓعاﻟﻴت فرض ک7ئ چې د يوه ښوونځي په اووم ټولگي کې 10کسه زده کوونکي دي او هغوی غواړي چې د خپل ښوونځي د واليبال ،فوټبال او باسکټبال په دريو ټيمونو کې شامل شي.که چيرې 5تنه د واليبـال، 7تنه د فوټبـال په ټيمونو کې شامل شي او د باسکټبال په ټيم کې يو زده کوونکي هم برخه نه وي اخستي نو: د هغو زده کوونکو شمېر به څو وي چې هم د واليبال او A هم د فوټبال په ټيمونو کې يې نومونه ليکلي دي؟ محمود حسن احمد قاسم زلمي د هغو زده کوونکو شمېر به څو وي چې په درې واړو نادر پورتينو ټيمونو کې يې نومونه ليکلي دي؟ عزت اهلل صفت اهلل عطاءاهلل پورتني ټيمونه هر يو ،يوه گ6ه ځانگ7تيا لري .يا په بل عبارت دين محمد دا هر يو ټيم يوه مجموعه(سټ) جوړوي. په عمـومي ډول سيټونه د انگليسي ژبې په لويو تورو لکــه A ,B , C … X, Y, Zسره ښودل کې8ي او د سټ عناصر(غ7ي) په وړو تورو ،لکه a , b , c ... x , y , z :سره چې د { }عالمې په منځ کې ليکل کې8ي ،د سټ عناصر ددې( ) عالمې په مرسته يو له بله جال کېـ8ي. لومړى مثال :که چيرې د اووم ‘ ټولگي د زده کوونکو سټ په ،Aد واليبال ټيم په ،Bد فوټبال ټيم په Cاو د باسکټبال ټيم په Dونوموو ،دا هر يو سټ په الندې ډول ښودل کېـ8ي: {زلمى ،محمود ،دين محمد ،عطاء اهلل ،نادر ،عزت اهلل ،قاسم ،صفت اهلل ،حسن ،احمد}=A {محمود ،زلمي ،قاسم ،حسن ،احمد}=B {عزت اهلل ،عطاء اهلل ،دين محمد ،نادر ،صفت اهلل ،قاسم ،احمد}=C د Dسټ خالي دی ،ځکه د باسکټبال په ټيم کې هېڅ زده کوونکي برخه نه ده اخيستې{ }=D
3
هغه سټ چې هيڅ عنصر و نه لري؛ د تش سټ په نوم يادې8ي او د ښودل کې8ي.
يا { }عالمې په مرسته
کوالى شو سټونه د مختلفو شکلونو په مرسته وښيو چې د وين دياگرام په نامه يادېـ8ي. د مثال په ډول کوالى شو د A ، Bاو Cسټونه دوين دياگرام په مرسته په الندې ډول ښکاره ک7و. Aد اووم ټولگي د زده کوونکو سټ
Bد واليبال د ټيم سټ
احﻤد زﻟﻤﻲ حسﻦ ﻣحﻤﻮد ﻗاسﻢ ﺻﻔت اﷲ ﻧادر دﻳﻦ ﻣحﻤد ﻋزت اﷲ ﻋﻄاء اﷲ
احﻤد حسﻦ زﻟﻤﻲ ﻣحﻤﻮد ﻗاسﻢ
Cد فوټبال د ټيم سټ
ﻗاسﻢ احﻤد ﺻﻔت اﷲ دﻳﻦ ﻣحﻤد ﻧادر ﻋزت اﷲ ﻋﻄاءاﷲ
ﻓعاﻟﻴت يو داسې سټ وليکئ چې عناصر يې د هندسي بکس سامان او آالت وي. يو پنځه عنصري سټ وليکئ چې عناصر يې د اهلي حيواناتو نومونه وي. يو شپ 8عنصري سټ وليکئ چې عناصر يې د تازه مېوو نومونه وي. دويم مثال:که د هغو طاقو عددونو سټ ته چې له 10څخه کوچني وي Oاو د هغه جفتو عددونو سټ ته چې له 10څخه کوچني وي Eووايو ،نو: }O = {1,3,5,7,9 }E = {2, 4,6,8 يو شمېر ځانگ7و شيانو ته سټ او په خپله شيانو ته د سټ عناصر(غ7ي) وايي.
پوښتنې -1داسې يو سټ وليکئ چې عناصر يې د اون 9د ورځو نومونه وي. -2داسې يو سټ وليکئ چې عناصر يې د کال د مياشتو نومونه وي. -3د انگليسي ژبې د غ 8لرونکو(واول) تورو سټ وليکئ. -4داسې يو سټ وليکئ چې عناصر يې د افغانستان د واليتونو نومونه وي. -5داسې يو سټ وليکئ چې عناصر يې هغه انسانان وي چې د تنې لوړوالى يې 3متره وي.
4
د يو سټ عناصر(غړي)
)(Members of a Set
آيا کوالى شئ ووايئ چې وزه د اهلي حيواناتو په سټ کې شامله ده که نه؟
د ورزشي ټيمونو په مثال کې مو وليدل صفت اهلل د فوټبال د ټيم غ7ى(عنصر) و چې د Cد سټ يو عنصر دى او په دې ډول ښودل کې8ي C :صفت اهلل څرنگه چې زلمى د فوټبال د ټيم (د Cد سټ) غ7ى (عنصر) نه دى ،په دې ډول ښودل کې8ي. Cزلمی (زلمى د Cد سټ يا د فوټبال د ټيم عنصر نه دى) ليکن زلمى د واليبال د ټيم يا د Bد سټ عنصر دى ،نو په دې اساس ليکو: B
زلمى (زلمى د Bد سټ عنصر دى) فعاليت
الندې سټونه په پام کې ونيسئ:
}A = {a, b, c, d, e }B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
آيا bد Bد سټ عنصر دى؟ د dپه برخه کې څه ويالى شئ چې د Bعنصر دى که نه؟ آيا 5د Aد سټ عنصر دى؟ آﻳا 5د Bد سټ عنصر دى؟ د Aسټ څو عناصر لري؟ همدارنگه د Bسټ څو عناصر لري؟ لومړى مثال :د Aاو Bسټونه په دې ډول په پام کې نيسو چې:
{جفت يو رقمي عددونه}=A {هغه يو رقمي عددونه چې پر 3پوره د وېش وړ وي}=B
د Aاو Bد سټونو عناصر وليکئ. د Aاو Bسټونه د وين د دياگرام په واسطه ښکاره ک7ئ. حل
5
}A = {2, 4, 6,8 }B = {3, 6,9
ليدل کې8ي چې: 3 B 9 B 6 B
2 A 4 A 8 A
4 B
6 A
B
3 9
6
A
8 2 4
دويم مثال:له الندې اړيکو څخه کومه يوه سمه او کومه يوه ناسمه ده؟ (a
{
(b
}
f
}{a , b , c , d , e
حل :د aاړيکه سمه؛ خو د bاړيکه ناسمه ده. په يوه سټ کې د يو عنصر غ7يتوب د ( ) عالمې او نه غ7يتوب د( )عالمې په واسطه ښودل کې8ي. پوښتنې B
1 3 4 15
6
12
7
A
5
-1الندې تش ځايونه د Aاو Bد سټونو د پورتني شکل په اساس ډک ک7ئ. B
12 A 4 A -2که} A = {2, 4, 6,8او} B = {1,3,5, 7 ,9وي په الندې عبارتونو کې کوم يو سم او کوم
يو يې ناسم دى؟
B
A ، 9
B ، 8
5 7
6 3
A ، 7
، 4
A
5
10 A ، 11 B ، 1 A ، 2 A ، 3 B -3که } A = {1, 2, 3, 4او } B = {3, 4, 5, 6وي په الندې عبارتونو کې کوم يو يې سم او کوم يو ناسم دى؟ A
6
A
5
5 B
A
4
A
6
A
2
2
A
3
B
-4په الندې عبارتونو کې سم او نا سم و ښاياست: }{2,4,6,8,10 }{a,b,c,d,e
5 g
، ،
}8 {3,5,7,8,9,11,13 }10 {1,2,3,4,5,6,7,8
6
د يو سټ د ليکلو طريقې يو سټ په څو ډوله ښودالى شو؟
}
,
,
{=A
{د طييبې کلمه ،لمونځ ،روژه ،زکات ،حج}=B {د اسالم پنځه بناوې}=C
په عمومي ډول سټ په دوو طريقو ليکي: -1هغه طريقه ده چې د سټ ټول عنصرونه او يا يې تصويرونه د سټ د عالمې{ } په منځ کې وي په دې ډول چې د عناصرو تر منځ( )،عالمه ليکل کې8ي .دې طريقې ته تفصيلي طريقه او يا د عناصرو د لست کولو طريقه( )Tabulation Methodوايي. لومړى مثال{:
,
,
,
,
}={ ، Aاحمد ،حسن ،قاسم ،زلمی ،محمود} = B
} D = {a , b , c , d , e} , C = {1, 2, 3, 4,5, 6, 7 ,8او }E = {1, 2,3, 4,...,500
څرنگه چې د Eد سټ عناصر زيات دي ،په همدې اساس درې ټکي ...دا مفهوم لري چې عددونه تر 500پورې دوام لري. -2د سټ د عناصرو د خاصيتونو په اساس سټ په يوه جمله کې ځانگ7ی کې8ي .په دې طريقه کې د سټ د عالمې{ } ليکل ضروري نه دی .دا طريقه د اجمالي يا تشريحي طريقې ( )Description Methodپه نامه يادې8ي. دويم مثال :د لوم7ي مثال د Bاو Eسټونه د اجمالي طريقې په مرسته په الندې ډول ليکو: د اووم ټولگي د زده کوونکو د واليبال ټيم د نومونوسټ = B له( )1څخه تر 500پورې د طبيعي عددونو سټ = E } P = {2,3,5, 7,11,...په الندې ډول ليکو: د لوم7نيو عددونو سټ = P دريم مثال :که {طييبې کلمه ،لمونځ ،روژه ،زکات ،حج}= Kوي ،د Kسټ د اجمالي طريقې په شکل په الندې ډول ليکو: د اسالم د پنځو بناوو سټ = K
7
فعاليت د انگليسي ژبې د 8لوم7نيو تورو سټ = A له ( )2څخه لوى او له ( )10څخه د کوچنيو طبيعي عددونو سټ = B د ( )3عدد د مضربونو سټ چې له 20څخه کوچنى وي = C
د B، Aاو Cسټونه ،د عناصرو د لست کولو په طريقې وليکئ.
څلورم مثال :که } A = {a , e , i , o , uاو } B = {a , b , c , d , eوي ،دا سټونه په اجمالي يا توصيفي طريقې سره وليکئ. حل: د انگليسي ژبې د غ 8لرونکو تورو سټ = ، Aد انګليسي ژبې د پنځو لوم7نيو تورو سټ = B
پوښتنې -1الندې سټونه د عناصرو د لست کولو په طريقې وليکئ. د اون 9د ورځو د نومونو سټ = B د کال د مياشتو د نومونو سټ = A د افغانستان د بيرغ د رنگونو سټ = E
-2الندې سټونه په توصيفي( تشريحي) طريقې سره وليکئ. }A = {a , e , i , o , u {تور ،سور ،شين} = B
}C = {1,3,5,7,9 }D = {2, 4,6,8 }E = {1, 2,3, 4,5 -3الندې سټونه د عناصرو د لست کولو په طريقې وليکئ. د جفتو يو رقمي طبيعي عددونو سټ = K د طاقو يو رقمي طبيعي عددونو سټ = L د ( )7د عدد د مضربونو سټ = T د اووم ټولگي د زده کوونکو د فوټبال دټيم سټ = C د اووم ټولگي د زده کوونکو د واليبال دټيم سټ = B د اووم ټولگي د زده کوونکو سټ = A
8
مساوي او معادل سټونه )(Equal and Equivalent Sets آيا ويالى شئ چې د Aاو Cسټونه په خپل منځ کې څه اړيکه لري همدارنگه د Aاو Bد سټونو په منځ کې څه اړيکه وجود لري؟
}
,
,
{=A
}
,
,
{=B
}
,
,
{=C
ﻓعاﻟﻴت که } A = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8سره وي ،د Aد سټ له مخې د Bاو Cسټونه داسې وليکئ، چې: Bد جفتو يو رقمي عددونو سټ وي. Cد يو رقمي عددونو سټ چې پر 2پوره د وېش وړ وي. د Bاو Cد سټونو په اړه څه ويالى شئ؟
تعريف :د Aاو Bسټونه هغه وخت سره مساوي دي چې د دواړو سټونو د عناصرو شمېر مساوي او يو شى وي او يا په بل عبارت که د Aسټ ټول عناصرد Bپه سټ کې او د Bد سټ ټول عناصر د Aپه سټ کې شامل وي .په دې حالت کې ليکو چې A=B:دى. لومړى مثال:که } A = {1, 2 , 6او } B = {1,1, 2 , 2 , 6وي ،متوجه اوسئ چې A = Bدى. بايــد پــه پــام کــې ولــرو چــې } {2, 3, 5, 7} = {5, 3, 2, 7دى .د } A = {1, 2او }B = {2, 3 ســټونه پــه نظــر کــې ونيســئ ،دا دواړه ســټونه يو له بل ســره مســاوي نــه دي ځکه چــې 1 Aدى ليکن . 1 B د يو سټ د عناصرو تکرار او يا د يو سټ د عناصرو د ځايونو بدلول په سټ کې هېڅ بدلون نه راوړي.
9
ﻓعاﻟﻴت د Aاو Bدوه سټونه په پام کې ونيسئ. } B = {5,4,7,8او }A = {a,b,c,d د Aاو Bد هر يو سټ د عناصرو شمېر څو دى؟ آﻳا aد Bد سټ عنصر دى؟ آﻳا د Aسټ د Bله سټ سره برابر دى ،ولې؟ A = { ,او} B = {8,10,12وي ،آﻳا د Aاو Bسټونه سره
دويم مثال :که } , معادل دي؟ حل :څرنگه چې د Aدسټ د عناصرو شمېر درې او د Bسټ د عناصرو شمېر هم درې دى نو، د Aاو Bسټونه سره معادل دي. دريم مثال :آﻳا د طاقو او جفتو يو رقمي عددونو سټونه سره معادل دي؟ حل څرنگه چې د Aسټ د عناصرو شمېر پنځه او د Bسټ د عناصرو شمېر څلور دى ،نو له دې کبله د Aاو Bسټونه سره معادل نه دي. د Aاو Bسټونه چې عناصر يې يو شى وي ،مساوي سټونه دي او که يوازې د عناصرو شمېر يې سره مساوي وي ،د معادل سټونو( )Equivalent setsپه نامه يادې8ي. }B = {2 , 4 , 6 , 8
}A = {1, 3 , 5 , 7 , 9
پوښتنې -1د } A = 1, 2, 3, 4, 5,او } B = {a, b, c, d , eسټونه په پام کې ونيسئ. آﻳا د Aسټ د Bله سټ سره مساوي دى؟ آﻳا د Aسټ د Bله سټ سره معادل دى؟ -2د } A = {1, 7, 8, 9او } B = {9, 8,1, 7, 9سټونه په پام کې ونيسئ. آﻳا د Aسټ د Bله سټ سره مساوي دى؟ -3له الندې عبارتونو څخه کوم يو يې سم او کوم يو يې ناسم دی؟ که } A = {5, 6, 8,11او } B = {11, 11, 6, 5, 8وي ،نو A = Bدى. که {شنبه ،يکشنبه ،دوشنبه}= Cاو } D = {x, y, zوي ،د Cاو Dسټونه سره معادل دي. که } M = {2, 4, 6او } N = {6, 4, 6, 2وي M N ،دى.
10
فرعي سټ)(Subset ستاسو د کورن 9غ7ي د يو ښار يا کلي خلک دي، او ستاسو د ښار يا کلي خلک د افغانستان له خلکو څخه دي او د افغانستان خلک . ...
فعاليت Aد اووم ټولگي د زده کوونکو سټ او Bد اووم ټولګي د زده کوونکو د واليبال ټيم سټ دى. B
زﻟﻤﻲ احﻤد ﻋزت اﷲ ﻣحﻤﻮد ﻗاسﻢ حسﻦ ﺻﻔت اﷲ
A
ﻋﻄاء اﷲ دﻳﻦ ﻣحﻤد ﻧادر
پورته شکل ته په پام سره ،د Aاو Bد سټونو عناصر وليکئ. د Aاو Bد سټونو د عناصرو په منځ کې څه ډول اړيکه موجوده ده؟ څرگنده يې ک7ئ. ليدل کې8ي چې د Bسټ هر عنصر د Aسټ عنصر هم دى نو ويالى شو چې د Bسټ د Aد سټ يو فرعي سټ دى چې په دې ډول ښودل کې8ي ، B A :دا د فرعي سټ عالمه ده. له بلې خوا څرنگه چې د Aد سټ هر عنصر د Bپه سټ کې نشته ،نو Aد Bد سټ ،فرعي سټ نه دى ،چې داسې ښودل کې8ي A B : لومړى مثال :الندې سټونه په نظر کې نيسو: {احمد ،محمود ،زهرا ،مريم} = A {داوود ،قاسم ،احمد ،مريم} = B {مريم ،احمد} = C
11
B
B ,
C
A
,
C
نو کوالى شو چې ووايوA , A B : او همدارنگه ويالى شو چې A Aدى .يا هر سټ د خپل ځان فرعي ست دى.
که د Aد سټ هر عنصر د Bپه سټ کې او د Bد سټ هر عنصر د Aپه سټ کې شامل وي ،نو ويالى شو چې دا دواړه سټونه يو له بل سره مساوي دي او ليکالى شو: B Aاو A B A=B فعاليت د } E = {7, 6, 2, 5} ، B = {5, 7} ، A = {2, 5, 6, 7او } D = {1, 2, 5, 6سټونه راک7ل شوي دي. آﻳا B Aدى؟ آﻳا D Aدى؟ آﻳا د Eسټ د Aد سټ يو فرعي سټ دى؟ دويم مثال :که } A = {2, 4, 6, 8وي له الندې سټونو څخه کوم سټ د Aفرعي سټ دى؟
} { = B = {1, 2 , 4} , E حل E A :دى؛ ځکه چې تش سټ د هر سټ فرعي سټ کيداى شي ،او A فرعي ست نه دى) ځکه چې 1 Bدى ليکن 1 A
B( Bد A
که د Bسټ ټول عناصر د Aپه سټ کې شامل وي B ،د Aسټ يو فرعي سټ دى چې داسې B A ښودل کې8ي:
پوښتنې -1که } A = {1, 2, 3, 4وي ،د C ، Bاو Dسټونه په تفصيلي طريقې سره وليکئ. Bيو داسې سټ وي چې ټول عناصر يې جفت عددونه وي. Cيو داسې سټ وي چې ټول عناصر يې طاق عددونه وي. Dيو داسې سټ وي چې ټول عناصر يې له 4څخه لوى وي. -2آﻳا هر سټ ،د خپل ځان فرعي سټ دى؟ -3له الندې سټونو څخه کوم يو د } C = {2, 4, 6,8د سټ فرعي سټ دى؟ } { = A = {1,2,4} , B
-4له الندې سټونو څخه کوم يو يې د } C = {1, 2, 3,4, 5سټ فرعي سټ دى؟ }A = {3,5, 7 }، B = {1, 2,3, 4,5 -5له الندې سټونو څخه کوم يو يې د } C = {1, 2, 3,4له سټ سره مساوي دى؟ }B = {4,3, 2,1
،
}A = {1, 2,3
12
د سټونو تقاطع )(Intersection of Sets
آﻳا د لوم7ي لوست له لوم7ي مثال څخه ويالى شئ چې کومو زده کوونکو هم د واليبال او هم د فوټبال په ټيم کې برخه اخيستې ده؟
Cد فوټبال ټيم لکه څرنگه چې ليدل کې8ي ،احمد او قاسم د واليبال او فوټبال په ﻋزت اﷲ دواړو ټيمونو کې برخه اخيستى ده. ﻧادر احﻤد د Bاو Cد سټونو تقاطع له هغه سټ څخه عبارت ده چې ﺻﻔت اﷲ ﻗاسﻢ عناصر يې احمد او قاسم دي او په دې ډول ښودل کې8ي: دﻳﻦ ﻣحﻤد {احمد ،قاسم}= B Aچې د تقاطع عالمه ده. ﻋﻄاء اﷲ {احمد ،قاسم ،عزت اهلل ،نادر ،صفت اهلل ،دين محمد ،عطاء اهلل} {حسن ،زلمی ،محمود ،احمد ،قاسم} = A {احمد،قاسم} =
Bد واليبال ټيم حسﻦ زﻟﻤﻲ ﻣحﻤﻮد B
U
U
U
U
لومړى مثال :که د } A = {4, 5, 6, 8,10او } B = {3, 5, 8,1سټونه راک7ل شوي ويB ، او B Aپيدا ک7ئ. حلA B = {4 , 5 , 6 , 8,10} I {3 , 5 , 8 ,1} = {5 , 8} : A B 4 }B A = {3 , 5 , 8 ,1} I {4 , 5 , 6 , 8,10} = {5 , 8 5 1
A
U
U
U U
په پايله کې لکه څرنگه چې په شکل کې هم ليدل کې8ي ويالى شو چې:
3
}A B = B A = {5 , 8
8
6
10
U
U
فعآليت که د } B = {1, 2 , 7, 8} ، A = {1, 2, 3, 4, 5, 6او } C = {2, 3, 7, 8, 9سټونه راک7ل شوي وي B C ، A Bاو (A I B) I Cپيدا او د وين په دياگرام کې يې وښاياست. U
U
دويم مثال :د Aاو Bسټونه ،په الندې ډول په پام کې ونيسئ: }A = {1, 3 , 5} ، B = {2 , 4 , 8 ليدل کې8ي چې: = }A B = {1, 3, 5} {2, 4, 8 U
U
13
A
B 4
2
3
8
1 5
=AI B
هغه سټونه چې هېڅ مشترک( گ )6عنصر ونه لري ،د غير مشترکو(سره بېل) سټونو ( )Disjoint Setsپه نامه يادې8ي. د Aاو Bد داسې د دوو سټونو تقاطع چې د Aټول عناصر د Bپه سټ کې شامل وي ،د Aله سټ څخه عبارت دی. دريم مثال :که } A = {1, 2, 3او }B = {1, 2, 3, 4, 5, 6 A B 4 1 2 6 وي A B ،معلوم ک7ئ. AI B 3 حل :لکه څنگه چې په شکل کې ښودل شوي دي. 5 U
U
A B = {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3} = A U
څلورم مثال :که } B = {1, 2} ، A = {1او } C = {1, 2, 3وي ،د (A B) Cاو U
U
U
U
) A (B Cپيدا ک7ئ او يو له بل سره يې پرتله ک7ئ. }B I C = {1, 2}I {1, 2, 3} = {1, 2 }A ( B C( = {1} {1, 2} = {1 }A B = {1} {1, 2} = {1 }(A B) C = {1} {1, 2, 3} = {1 U U
U
U
U
په همدې ډول:
U U
حل:
U
U
U
په نتيجه کې: دې خاصيت ته د سټونو د تقاطع اتحادي خاصيت وايي. د Aاو Bد دوو سټونو تقاطع له هغه سټ څخه عبارت ده چې عناصر يې هم د Aاو هم د Bپه سټ کې شامل وي .د Aد سټ تقاطع له خپل ځان سره (له Aسره) برابره دهA A = A . }A (B C ) = (A B) C = {1 U
U
U
U
U
پوښتنې -1شکل په پام کې ونيسئ. د شکل له مخې د Aاو Bد سټونو عناصر وليکئ. U
U
A Bاو B Aپيدا ک7ئ او په شکل کې يې وښياست. -2که } B = {6,10,12, 20} ، A = {5,10,15, 20او } C = {1, 2,10, 20, 30وي. د B ، Aاو Cسټونه په وين دياگرام کې وښياست. A C ، A Bاو B Cپيدا ک7ئ.
B
d x c t
a
A
b
U
14
U
U
د سټونو اتحاد )(Union of Sets د اووم ټولگي 5تنه زده کوونکي د واليبـال او 7تنه زده کوونکي د فوټبال په ټيم کې شامل دي .هغه وخت چې د دواړو ټيمونو زده کوونکي د درس لپاره ټولگي ته ځي ،په ټولگي کې به ټول څو زده کوونکي وي؟
د اووم ټولگى د زده کوونکو سټ = {دين محمد ،عطاءاهلل ،صفت اهلل ،نادر،عزت اهلل ،قاسم ،احمد ،محمود ،زلمي ،حسن}=A د واليبال د ټيم سټ = { قاسم ،احمد ،محمود ،زلمی ،حسن}=B د فوټبال د ټيم سټ = {عطاء اهلل ،دين محمد ،صفت اهلل ،نادر ،عزت اهلل ،قاسم ،احمد} = C
ليدل کې8ي چې 5زده کوونکي د واليبال په ټيم کې او 7زده کوونکي د فوټبال په ټيم کې برخه لري. خو کله چې ټولگي ته ځي ،په ټولگي کې 10تنه زده کوونکي دي ،دا د Bاو Cد سټونو اتحاد دى چې په الندې ډول ښود ل کې8ي. B U Cچې Uد دوو سټو په منځ کې د اتحاد عالمه ده. {عطاءاهلل ،دين محمد ،صفت اهلل ،نادر ،عزت اهلل ،قاسم ،احمد} { Uقاسم ،احمد ،محمود ،زلمی ،حسن} = B U C {دين محمد ،عطاءاهلل ،صفت اهلل ،نادر ،عزت اهلل ،قاسم ،احمد ،محمود ،زلمی ،حسن} = A Cد فوټبال ټيم
ليدل کې8ي چې قاسم او احمد هم د واليبال د ټيم او هم د فوټبال د ټيم غ7ي(عناصر) دي .د سټونو په اتحاد کې مشترک عناصر يا گ 6غ7ي يوازې يو وار ليکل کې8ي. لکه څنگه چې په شکل کې ښودل شوي دي.
فعاليت
ﻋزت اﷲ ﻧادر احﻤد ﺻﻔت اﷲ ﻗاسﻢ دﻳﻦ ﻣحﻤد ﻋﻄاء اﷲ
حسﻦ زﻟﻤﻲ ﻣحﻤﻮد
B B U Cد واليبال ټيم
که د } A = {1, 2, 3, 4او } B = {3, 4, 5, 6سټونه راک7ل شوي وي A U B ،او B U Aپيدا او په وين دياگرام کې يې وښاياست.
15
B
A
لومړى مثال :که } A = {1, 2, 3او } B = {1, 2, 3, 4, 5سټونه راک7ل شوي وي A U B ،او B U Aپيدا او په شکل کې يې وښاياست.
5
1
3
4
2
}A U B = {1, 2 , 3} U {1, 2 , 3 , 4 , 5} = {1, 2 , 3 , 4 , 5 }B U A = {1, 2 , 3 , 4 , 5} U {1, 2 , 3} = {1, 2 , 3 , 4 , 5
دويم مثال :که د } A = {1, 3, 5او } B = {2, 4, 6سټونه راک7ل شوي وي A U B ،پيدا او په }A U B = {1,3,5} U {2, 4, 6} = {1, 2,3, 4,5, 6 شکل کې يې وښاياست: B
A 4
2
1
6
5 3
AU B
دريم مثال :که } B = {1, 2} , A = {1او } C = {1, 2, 3وي A U ( B U C ) ،او ( A U B) U C
پيدا ک7ئ. حل:
}B U C = {1, 2} U {1, 2,3} = {1, 2,3 }A U (B U C) = {1} U {1, 2,3} = {1, 2,3 }A U B = {1} U {1, 2} = {1, 2 }(A U B) U C = {1 , 2} U {1, 2,3} = {1, 2,3
په پايله کېA U (B U C) = (A U B) U C : پورتني خاصيت ته د سټونو د اتحاد د عمليي اتحادي خاصيت وايي.
د Aاو Bد دوو سټونو اتحاد هغه سټ دى چې عناصر يې يا په Aاو يا په Bکې شامل وي.
پوښتنې د مخامخ شکل له مخې: د B , Aاو Cسټونو په پام کې نيولو سره د B U C ، A U C ، A U Bاو (A U B) U C سټونه ،د عناصرو د لېست کولو په طريقې وليکئ.
B
A
1
2
4
6 7
5 10
3 11 C
16
د دوو سټونو تفاضل )(Difference of two Sets
که د اووم ټولگي د واليبال د ټيم زده کوونکي مسابقې ته الړ شي ،په ټولگي کې به څو تنه زده کوونکي پاتې شي؟
لکه څنگه چې پوهې8ئ :د اووم ټولگي هغه زده کوونکي چې د واليبال په ټيم کې دي ،د Bله سټ څخه عبارت دی. {قاسم ،احمد ،محمود ،زلمي ،حسن} = B
د اووم ټولگي د ټولو زده کوونکو سټ يا د Aسټ مساوي دى په: {زلمی ،محمود ،دين محمد ،عطاءاهلل ،نادر ،عزت اهلل ،قاسم ،صفت اهلل ،احمد،حسن} = A په دې ډول هغه زده کوونکي چې په ټولگي کې پاتې کې8ي او د واليبال په ټيم کې شامل نه دي، له:صفت اهلل ،عزت اهلل ،نادر ،عطاء اهلل او دين محمد څخه عبارت دي. په ټولگي کې پاتې زده کوونکي چې د واليبال په ټيم کې شامل نه دي={صفت اهلل ،عزت اهلل ،نادر ،عطاءاهلل ،دين محمد} = A B Aد اووم ټولګي زده کوونکو سټ
چې په حقيقت کې د دې دواړو سټونو تفاضل دى. د پورتنيو دوو سټونو تفاضل په شکل کې هم ښودل شوى دى.
Bد واليبال ټيم
حسﻦ زﻟﻤﻲ ﻣحﻤﻮد احﻤد ﻗاسﻢ
ﺻﻔت اﷲ ﻋزت اﷲ ﻧادر ﻋﻄاء اﷲ دﻳﻦ ﻣحﻤد
A B
د واليبال ټيم ={محمود ،زلمي ،قاسم ،حسن ،احمد} = B لومړى مثال: د فوټبال ټيم ={عزت اهلل ،عطاءاهلل ،دين محمد ،نادر ،صفت اهلل ،قاسم ،احمد} = C
B Cاو C Bپيدا او په شکل کې وښاياست. ﻋزت اﷲ حل :په ، B Cکې هغه عناصر شامل دي چې د Bپه ﻧادر حسﻦ سټ کې شامل وي ،خو د Cپه سټ کې شامل نه وي(،هغه احﻤد ﺻﻔت اﷲ زﻟﻤﻲ زده کوونکي چې د واليبال په ټيم کې شامل وي او د فوټبال ﻗاسﻢ دﻳﻦ ﻣحﻤد ﻣحﻤﻮد په ټيم کې شامل نه وي) ﻋﻄاء اﷲ Cد فوټبال ټيم
B C
17
Bد واليبال ټيم
{عزت اهلل ،عطاءاهلل ،دين محمد ،نادر ،صفت اهلل ،قاسم ،احمد}{-محمود ،زلمي ،قاسم ،حسن ،احمد} = B C {محمود ،زلمي ،حسن} = B C په C Bکې هغه زده کوونکي شامل دي چې د فوټبال په ټيم کې شامل وي ،خو د واليبال په ټيم کې
شامل نه وي. {محمود ،زلمی ،قاسم ،حسن ،احمد}{-عزت اهلل ،عطاءاهلل ،دين محمد ،نادر ،صفت اهلل ،قاسم ،احمد} = B
{عزت اهلل ،عطاءاهلل ،دين محمد ،نادر ،صفت اهلل} =
Cد فوټبال ټيم
C Bپه شکل کې ،په الندې ډول ښودل شوي دي. ليدل کې8ي چې B C C Bدى ،د( )عالمه د مساوي نه دى په مفهوم په کار وړل کې8ي.
ﻓعاﻟﻴت
C
ﻋزت اﷲ ﻧادر حسﻦ احﻤد اﷲ ﺻﻔت زﻟﻤﻲ ﻗاسﻢ دﻳﻦ ﻣحﻤد ﻣحﻤﻮد ﻋﻄاء اﷲ
C
B
Bدواليبال ټيم
B
1 5 7 9 3 6 10 8 4
A
2
د Aاو Bد سټونو عناصر وليکئ. A Bاو B Aپه الس راوړئ او په شکل کې يې وښاياست. }{a , b} {b} = {a دويم مثال: }{x , y , z} {a , b} = {x , y, z حل: = }{a , b} {a , b A Bهغه سټ دى چې عناصر يې د Aپه سټ کې شامل وي ،خو د Bپه سټ کې شامل نه وي او B Aهغه سټ دى چې عناصر يې د Bپه سټ کې شامل وي ،خو د Aپه سټ کې شامل نه وي.
پوښتنې -1که } B = {1, 3, 5, 7} ، A = {2, 4, 6, 8او } C = {4, 6, 8سټونه راک7ل شوي وي: A C , B B , B A , A B , A Aاو C Aپه الس راوړئ. -2که د } C = {a, b, 8,12او } D = {a,12,16سټونه راک7ل شوي وي C Dاو D C پيدا ک7ئ. B A B A -3په کوم يو شکل کې ،رنگه شوې برخېA B ، b: ښکاره کوي؟ -4که د } A = {1, 3, 5او } B = {2, 4, 6سټونه راک7ل شوي وي A B ،مساوي دى په: a( B b( A
18
a:
کلي سټ او مکمله سټ )(Universal Set and Complement Set
په اووم ټولگي کې د اسالمي ښوونې ،رياضي، ساينس ،اجتماعياتو ،پښتو ،دري ،انگليسي، عربي ،هنر او د بدني روزنې مضمونونه لوستل کې8ي .د اووم ټولگي يو زده کوونکى ،د اسالمي ښوونې ،ټولنيزو ،پښتو ،هنر ،انگليسي ،عربي، او بدنــې روزنــې کتابونــه الســته راوړي دي. زده کوونکى بايد نور کوم کتابونه السته راوړي چې کتابونه يې ټول پوره شي؟
ﻓعاﻟﻴت د انگليسي ژبې د ټولو تورو سټ وليکئ او په Uسره يې وښاياست. د انگليسي ژبې د غ 8لرونکو(واول) تورو سټ په Aسره وښاياست. د انگليسي ژبې د ټولو تورو سټ د وين دياگرام په مرسته وښاياست. د غ 8لرونکو(واول) تورو او غ 8نه لرونکو(غير واول) تورو سټونه په همدې شکل کې وښاياست. په پورتني فعاليت کې د انگليسي ژبې د تورو سټ ته کلي سټ وايي چې په Uسره ښودل کې8ي .د غ 8نه لرونکو(غيرواول) تورو سټ د غ 8لرونکو(واول) تورو سټ د( )Aد مکمله سټ په نامه يادې8ي. د Aمکمله سټ په ' Aيا Aسره ښودل کې8ي. يا په بل عبارت د انگليسي ژبې غ 8نه لرونکو( غير واول) تورو د سټ اتحاد له غ 8لرونکو(واول) تورو سره د انگليسي ژبې د تورو سټ جوړوي. لکه چې پوهېـ8ئ د انگليسي ژبې توري 26دي 5 .توري يې غ 8لرونکي او 21توري يې غ 8نه لرونکي دي .د غ 8نه لرونکو تورو سټ د غ8لرونکو تورو د سټ د مکمله سټ په نامه يادې8ي: }A = {a , e , i , o , u }U = {a, b, c, d , e, f , g , h, i, j , k , l , m, n, o, p, q, r , s, t , u, v, w, x, y, z د غ 8لرونکو تورو سټ
A
A =U
د غ 8نه لرونکو تورو سټ(غير واول)
د انگليسي ژبې د تورو سټ }A = {a, b, c, d, e, f , g, h,i, j, k, l, m, n, o, p, q, r,s, t, u, v, w, x, y, z} {a , e,i , o , u }= {b, c, d, f , g, h, j, k, l, m, n, p, q, r,s, t, v, w, x, y, z
19
U g
h
f
Aد Aد سټ ،مکمله سټ دى چې په شکل کې خط ،خط شوى دى. p i تر بحث الندې موضوع په اړوند يو ټاکلى سټ o u چې د موضوع ټول اړوند عناصر پکې شامل وي د w x y z عمومي يا کلي سټ په نامه يادې8ي. e
d l
a
c k
n
b j
m
s
q
r
v
t
A
A
مثال :که } U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10او } A = {2, 4,6, 8, 10وي د Aمکمله سټ نظر Uته پيدا ک7ئ او په شکل کې يې وښاياست. حل :د ' Aد پيدا کولو لپاره د Aد سټ عناصر له Uڅخه حذفوو .هغه عناصر چې د Uپه سټ کې پاتې کې8ي A ،يا د Aمکمله سټ نظر Uته په الس راځي. }A = U A = {1, 2,3, 4,5, 6, 7 ,8,9,10} {2, 4, 6,8,10} = {1,3,5, 7 ,9 4 A 6 5 8 10 2
A د Aد سټ مکمله په ' Aيا Aسره ښکاره کوي .د Aد سټ عناصر هغه دي چې په عمومي سټ Uکې شامل او په Aکې شامل نه وي .په شکل کې هغه برخه چې شين رنگ لري له Aڅخه عبارت ده.
7
'A
1
3
U
9
A U
پوښتنې -1د شکل له مخې A ،او Bپه مخامخ شکل کې وښاياست. -2له 20څخه کوچني د لوم7نيو عددونو سټ پيدا ک7ئ او په Uسره يې وښياست. د Bفرعي سټ داسې وټاکئ چې عناصر يې د 5او 15تر منځ وي. Bپه شکل کې وښاياست.
B
A U
20
معين او غير معين سټونه )(Finite and Infinite Sets
آﻳا ستوري چې په اسمان کې وينئ د شميرلو وړ دي؟
که } A = {a, bوي Aدوه عنصره او که } B = {1, 2 , 3, 4وي B ،څلور عنصره لري .که د 2او 20 تر منځ د طبيعي طاقو عددونو سټ په Cسره ښکاره ک7و نو }C = {3, 5, 7, 9,11,13,15,17 ,19 دى او 9عناصر لري. لومړى مثال :د انگليسي ژبې د غ 8لرونکو تورو سټ چې عناصر يې د شمېر وړ دي يو معين سټ }A = {a , e , i , o , u دى. خو د طبيعي عددونو سټ يو غير معين سټ دى چې په الندې ډول ښودل کې8ي. چې عناصر يې د شمېر وړ نه دي: }N = {1, 2 , 3 , 4 ... ...دا نقطې د دې معنا ورکوي چې طبيعي عددونه دوام لري او پاى نه لري.
ﻓعاﻟﻴت د 20او 30تر منځ د جفتو عددونو سټ وليکئ. د دې سټ عناصر(غ7ي) وشمېرئ او وواياست چې دا يو معين سټ دى او که نه؟ له 20څخه د لويو جفتو عددونو سټ وليکئ .آﻳا کوالى شئ چې ددې سټ عناصر وشمېرئ؟ آﻳا دا يو معين او که غير معين سټ دى؟ دويم مثال :په الندې سټونو کې کوم سټونه معين او کوم سټونه غير معين دي؟ {د يو کال د مياشتو نومونه} = A {د افغانستان د بيرغ رنگونه} = B
}C = {2 , 3 , 4 , 5
}D = {2 , 4 , 6 , 8 , ... ,100 }E = {2 , 4 , 6 , 8 , ... }N = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ...
21
حل :د A ، B ، Cاو Dسټونه معين ،خو د Eاو Nسټونه غير معين سټونه دي. دريم مثال :په الندې سټونو کې کوم يو معين او کوم يو غير معين سټ دى؟ {د 6د عدد مضربونه} = B
،
{د انگليسي ژبې توري} = A
حل :د Aسټ يو معين سټ دى ،ځکه چې 26عناصر لري ،خو د Bسټ يو غير معين سټ دى، ځکه چې د 6مضربونه شمېرالى نه شو. که د يو سټ عناصر د شمېر وړ وي ،نو د معين سټ په نامه يادې8ي او که د يو سټ عناصر د شمېر وړ نه وي ،نو دې ډول سټ ته غير معين سټ ويل کې8ي .تش سټ هم يو معين سټ دى.
پوښتنې -1په الندې سټونو کې معين او غير معين سټونه وښاياست: }M = {1, 2 , 3 , a , b , c }D = {a , b , c , d , e }O = {1, 3 , 5 , 7 , 9 ... }E = {10, 20,30,...,1000
-2په الندې سټونو کې کوم سټ غير معين سټ دى: {د 50او 100تر منځ طاق عددونه} = A = {1, 2,3...,1000} ، B = {1, 2,3...} ، C -3په الندې سټونو کې کوم يو معين سټ دى؟ ، {د اسالم پنځه بناوې} = A }B = {2 , 4 , 6 , 8...} ، D = {1, 3 ,5... -4څلور معين او څلور غير معين سټونه وليکئ.
22
د لومړى څپرکي لنډيز يو شمېر ټاکلو او سره راز راز شيانو ته سټ وايي او دا شيان د سټ له غ7و يا عناصرو څخه عبارت دي .د يوه سټ عناصر د { } عالمې په منځ کې ليکل کې8ي چې د (( ))،عالمې په مرسته يو له بله جال کې8ي. هغه سټ چې عناصر يې د شمېر وړ وي معين او که عناصر يې د شمېر وړ نه وي د غير معين سټ په نامه يادې8ي. } عالمې په يا { هغه سټ چې هيڅ عنصر و نه لري د تش سټ په نامه يادې8ي چې د مرسته ښودل کې8ي. په يو سټ کې د عنصر د شموليت عالمه ( ) ده او د يو عنصر ،نه شموليت په يوه سټ کې د ( ) عالمې په مرسته ښودل کې8ي. سټونه عموماً په دوو طريقو ليکل کې8ي .د عناصرو د لېست کولو طريقه(تفصيلي طريقه) چې د يو سټ ټول عناصر او يا تصويرونه يې د { } عالمې په منځ کې ليکل کې8ي او بله توصيفي(اجمالي) طريقه ده چې د عناصرو د ځانگ7تياوو پر اساس په يوه جمله کې ليکل کې8ي. دوه سټونه چې عناصر يې يو شى وي ،مساوي سټونه دي او که يوازې د عناصر وشمېر يې مساوي وي د معادلو سټونو په نامه يادې8ي. که د Bد سټ ټول عناصر د Aپه سټ کې شامل وي ،نو Bد Aفرعي سټ دى او داسې ښودل کې8يB A . د Aاو Bد دوو سټونو تقاطع هغه سټ دى چې عناصر يې هم په Aاو هم په Bکې شامل وي او داسې ښودل کې8يA I B : د Aاو Bد دوو سټونو اتحاد هغه سټ دى چې عناصر يې يا په Aيا په Bاو يا په دواړو کې شامل وي ،او داسې ښودل کې8يA U B : د Aاو Bد دوو سټونو تفاضل( ) A Bله هغه سټ څخه عبارت دى چې عناصر يې د Aپه سټ کې شامل وي ،خو د Bپه سټ کې شامل نه وي. د Aدسټ مکمله نظر د Uسټ ،له هغه سټ څخه عبارت دى چې عناصر يې د Uپه سټ کې شامل وي ،خو د Aپه سټ کې موجود نه وي او په Aسره ښودل کې8ي. د سټونو د تقاطع او اتحاد په عمليو کې د تبديل 9او اتحادي قوانين صدق کوي.
23
د لومړى څپرکي پوښتنې -1د هغو طاقو عددونو سټ وليکئ چې پر 2پوره د وېش وړ وي. -2که Aد کال د مياشتو د نومونو سټ وي ،د عناصرو د لست کولو په طريقه يې وليکئ. -3که } B = {2 , 4 , 6 , 8} ، A = {1, 2 , 3 , 4او } C = {a , e , i , o , uوي ،تش ځايونه د او عالمو په مرسته ډک ک7ئ. 3 A , u B , 10 C , i A , 8 B , e C f C , 2 A , e B , 8 C 8 A , 3 B ,
□ □
□ □
□ □
□ □
□ □
□ □
-4که } B = {1, 2, 3} , A = {a, b, cاو } C = {b, a, cسټونه راک7ل شوي وي ،کومه جوړه يې مساوي او کومه يوه يې معادل سټونه دي؟ -5که ستاسو د ښوونځي د زده کوونکو سټ Aاو ستاسو د ټولگي د زده کوونکو سټ Bوي ،آﻳا کيداى شي چې د Bسټ د Aدسټ فرعي سټ وي؟ 1
-6کـــه د } B = {0, ,1} , A = {0,1, 2او } C = {3, 4ســـــټونه راکـــــ 7شـــــوي وي 2 A U B , C U A , B U C , A I C , A I B , A I Aاو B I Cپيدا ک7ئ. -7که } B = {2, 4, 6, 8} , A = {1, 2, 3, 4, 5وي A B ،او B Aپيدا ک7ئ. -8کــه } A = {2 , 4 , 6 , 8 ,10 }، U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10او}B = {1, 3, 5, 7 , 9 وي. A , B , A U B , B U A , A I Bاو A U Bپيدا ک7ئ. -9له الندې سټونو څخه کوم معين او کوم يو غير معين سټ دى؟ }A = {x , y , m }B = {1, 2 , 3 , 4 .... }C = {1, 2 ...100 -10په کوم شکل کې رنگه شوې برخه د Aاو Bد دوو سټونو تقاطع ښکاره کوي؟ B
B
A
(b
A
(a
-11که } A = {7, 9,11,13او } B = {6, 8,10,12سټونه راک7ل شوي وي A B ،او A
B
پيدا او په وين دياگرام کې يې وښاياست؟
24
دويم څپر کى طﺒيعي عﺪدونه
انسانان د تاريخ له لوم7يو وختونو را هيسې په خپل چاپېريال کې د شيانو له شميرلو سره بلد وو.
طﺒيعي عﺪدونه ):(Natural Numbers
څه فکــر کوئ ،لومــ7ي عددونــه چې د انســانانو ورســره مخــه وه ،کــوم عددونه وو؟
انسانانو له پخوا زمانې راهيسې ،د هغو شيانو شميرلوته چې په طبيعت کې به يې ليدل اړتيا درلوده. د شيانو له همدې شميرنې څخه د طبيعي عددونو مفهوم منځ ته راغلى دى .طبيعي عددونو ته د شميرنې عددونه ( )Count Numbersهم وايي. دا عددونــه لــه يــو څخه پيــل او له مخکني عدد ســره د يوه په زياتولو ســره وروســتنى عدد الس تــه راځي ،د 1, 2 , 3 , 4 ...عددونو ته طبيعي عددونه وايي او د طبيعي عددونو سټ په الندې ډول ښودل کې8ي: } IN = {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, کوالى شو چې طبيعي عددونه د اعدادو پر محور ( )Line Numbersپه الندې دول وښيو: 10 11 12 13 14
9
8
7
6
5
4
3
2
1
کوم عدد چې د عددونو پر محور د يوه عدد ښي خواته واقع وي ،له دې عدده لوى او کوم چې يې کي2ې خواته پروت وي ،له دې عدد څخه کوچنى دى. د مثال په ډول 7 < 8 :او 5 < 6په دې پوهې8و چې د دوو طبيعي عددونو د جمعې حاصل بيا هم يو طبيعي عدد دى ،لکه 3او 5دوه طبيعي عددونه دي 3 + 5 = 8 ،چې 8بيا هم يو طبيعي عدد دى ،نو د طبيعي عددونو سټ د جمعې په عمليه کې يو ت7لى سټ دى. پوښتنه :آﻳا د دوو طبيعي عددونو په جمع کولو کې ترتيﺐ شرط دى؟ لومړى مثال :پوهي8و چې 7 + 6 = 13او هم 6 + 7 = 13دي او په دې ډول 6 + 7 = 7 + 6 دى. ليدل کې8ي چې د دوو طبيعي عددونو په جمع کولو کې ،د عددونو ترتيﺐ ضروري نه دى ،دې خاصيت ته د طبيعي عددونو د جمعې د عمليې تبديل 9خاصيت وايي. دويم مثال: 8 + (3 + 2) = (8 + 3) + 2 8 + 5 = 11 + 2 13 = 13
27
دې خاصيت ته د طبيعي عددونو د جمعې د عمليي اتحادي خاصيت وايي. صفر که د هر طبيعي عدد سره جمع شي ،د جمعې حاصل خپله له عدد سره مساوي کي8ي. ال 0 + 3 = 3 + 0 = 3 :صفر د جمعې د عمليې د عينيت د عنصر په نامه يادې8ي. مث ً
فعاليت آﻳا پورتني خاصيتونه د طبيعى عددونو د ضرب په عمليه کې هم صدق کوي؟ الندې تش ځايونه ډک ک7ئ: ، =0 ( = )11 + ( +17 + 18) +
888
، 11 (18 + =) 18 + 15 25 = 12 ليدل کې8ي چې د طبيعي عددونو د ضرب په عمليه کې هم اتحادي او تبديلي خاصيتونه صدق کوي. په ياد ولرئ ﭼې :د هر طبيعي عدد د ضرب حاصل له صفر سره مساوي په صفر او د هر طبيعي عدد 3 × 0 = 0 , 3 ×1 = 3 د ضرب حاصل له يوه سره په خپله له عدد سره مساوي دى. دريم مثال: )3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5 27 = 27يا 3 × 9 = 12 + 15 دې خاصيت ته پر جمع باندې د ضرب توزيعي قانون وايي. صفر د طبيعي عددونو د جمعې او يو د ضرب د عمليې د عينيت عنصر دى او د بستگ ،9تبديل9 او اتحادي خاصيتونه د طبيعي عددونو د جمعې او ضرب په عمليو کې او د ضرب توزيعي قانون پر جمع باندې صدق کوي.
پوښتنې: -1له الندې جملو څخه کومه يوه يې سمه او کومه يوه يې ناسمه ده؟ د دوو طبيعي عددونو د جمع حاصل يو طبيعي عدد دى. د طبيعي عددونو د جمعې په عمليه کې يو د عينيت عنصر دى. د طبيعي عددونو د جمعې په عمليه کې د تبديل 9خاصيت صدق کوي. د طبيعي عددونو د ضرب په عمليه کې هم د تبديل 9خاصيت صدق کوي. د تبديل 9خاصيت د طبيعي عددونو د تفريﻖ په عمليه کې صدق کوي. د تبديل 9خاصيت د طبيعي عددونو د وېش (تقسيم) په عمليه کې صدق کوي. -2الندې تش ځايونه ډک ک7ئ! )
+
( × 325 × 88 + 325 × 73 = 325 × 803 × 593 = 593 × 35) × 89
211 + 327 = 327 + × 3935 =0 ( = )79 × (35 × 89
28
د طﺒيعي عﺪدونو د و4ﺶ يا تقسيم ﻗاﺑليتونه ):(Divisibility آﻳا د 82عدد پر 9پوره وېشل کې8ي (تقسيمې8ي)؟ يو داسې عدد پيدا ک7ئ چې پر 9پوره د وېش (تقسيم) وړ وي.
له را ک7ل شوي مثال سره سم ،د جدول تش ځايونه ډک ک7ئ ،کوم عدد په کومو عددونو پوره وېشل کې8ي؟ ﺍﻋﺪﺍﺩ
2
3
4
5
6
7
8
9
10
210 1200 817 105 2008
که د 36،81او 45عددونه پر 9ووېشو نو ،د وېش باقي يا پاتې له صفره سره مساوي کې8ي ،ليکن که 82پر 9ووېشو ،نو باقي نه صفر کې8ي .په لوم7ې حالت کې چې باقي صفر کې8ي ،نو وايو چې د 81عدد پر 9پوره د وېش وړ دى ،خو د 82عدد پر 9پوره د وېش وړ نه دى.
فعاليت د هغو عددونو الندې چې پر 2پوره د وېش وړ وي ،کرښه وکاږئ: 47, 29, 7821 , 2790 , 3154 , 106 , 218 , 7822 د هغو عددونو الندې ،چې پر 9پوره د وېش وړ وي کرښه وکاږئ: 882 , 1232 , 11115 , 1115 , 315 , 702 سمې جملې د او ناسمې جملې د × عالمې په مرسته په نښه ک7ئ: -هغه عدد چې يويز رقم يې صفر او يا 5وي ،پر 5پوره د وېش وړ دى.
29
هغه عدد چې د رقمونو مجموعه يې پر 3پوره ووېشل شي ،پر 3پوره د وېش وړ دى. که يو عدد پر 9پوره د وېش وړتيا ولري ،پر 3هم پوره وېشل کې8ي.د هغو عددونو الندې چې پر 2او هم پر 3پوره وېشل کي8ي کرښه وکاږئ او د وېش د عمليې په مرسته وښاياست چې پر 6هم پوره د وېشلو وړ دي او کنه؟ 438 , 216 , 73 , 128 , 54 , 537 , 126 , 582 , 602 مثال :کوم عدد پر 6او کوم عدد پر 9پوره د وېش وړ دى؟ 14,12,24,18 حل :څرنګه چې 18،12او 24هم پر 3او هم پر 2پوره د وېش وړ دي ،نو په 6هم پوره د وېش وړ دي او يوازى د 18عدد پر 9هم پوره وېشل کې8ي. که چيرې يو پر بل باندې د دوو عددونو د وېش په عمليه کې باقي صفر شي ،نو وايو چې مقسوم پر مقسوم عليه د وېش وړ دى (د تقسيم قابليت لري).
پوښتنې -1په تشو ځايونو کې تر ټولو داسې کوچنى رقم وليکئ تر څو هغه عدد چې السته راځي پر راک7ل شوو عددونو پوره د وېش وړ وي: پر پر 4 725 3 56 2 723پر 6 56 56
392پر 2
5
-2صحيﺢ ځوابونو په نښه ک7ئ: هغه عددونه چې يويز رقم يې صفر وي پر کومو عددونو د وېش وړ دي؟c) 4
d) 8
672پر 5
a) 2,5,10
b) 3
د 1110عدد له الندې عددونو څخه پر کوم يو پوره د وېش وړ دى؟c) 7
d) 9
a) 2,5, 6,10
b) 4
د 12300عدد پر کومو عددونو پوره د وېش وړ دى؟d) 7,8,9
c) 2,3, 4,5, 6,10
a) 7
b) 8
-3له الندې عددونو څخه کوم عددونه پر 4،3،2او 6پوره د وېش وړ دي؟ 1017
,
858 531
, ,
128 76
, ,
-4درې داسې بېالبېل عددونه پيدا ک7ئ چې هم پر 3او هم پر 4پوره د وېش وړ وي. -5درې داسې بېالبېل عددونه پيدا ک7ئ چې هم پر 2او هم پر 3پوره د وېش وړ وي. -6د 4092عدد په الندې کومو عددنونو پوره د وېش وړ دی؟ d ) 13
c) 11,3
b) 7
87 24324
a) 8
30
د طبيعي عددونو تجز ه )(Factoring
د 20عدد د دوو طبيعي عددونو د ضرب د حاصل په شکل وليکئ. د هغو عددونو الندې چې يوازې پر يو او پر خپل ځان د وېش وړ وي کرښه وکاږئ: 21, 17, 15, 23, 32
پوهي8و چې 24 = 4 × 6دي 4 ،او 6د 24د عدد د ضربي اجزاوو(ضربي عواملو) په نامه يادي8ي. پوښتنه :آﻳا يوازې 6او 4د 24ضربي اجزاوې دي؟
فعاليت د 18او 31عددونه په ضربي اجزاوو تجزيه ک7ئ ،وواياست چې د 81د ضربي اجزاوو شمېر زيات دى که د 31؟ د 11،5او 19ضربي اجزاوې وليکئ. په پورتني فعاليت کې مو وليدل چې ځينې عددونه لکه 18له دوو څخه زياتې ضربي اجزاوې لري، او ځينې عددونه لکه 31او 11يوازې دوه ضربي اجزاوې لري.
لومړني عﺪدونه ( :)Prime Numbersهغه عددونه دي چې پرته له يو او خپل ځان څخه په بل عدد، پوره د وېش وړ نه وي يا هغه عددونه چې دوه قاسمونه ولري ،د لوم7نيو عددنو په نامه يادي8ي .لوم7ني عددونه
په Pسره ښيو او عبارت دي ،لهP = {2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23, 29, 31 } : مرکﺐ عددونه ( :)Composite Numbersهغه عددونه دي چې سربېره د يو او خپل ځان څخه په نورو عددونو هم پوره د وېش وړ وي ،داسې عددونه د مرکبو عددونو په نوم يادي8ي لکه: }C = {4,6,8,9,10,12,14,15..... په ياد ولرئ ﭼې :د يو( )1عدد نه لوم7نى او نه مرکﺐ عدد دى.
مثال :له 36،17،27او 19عددونو څخه کوم يو لوم7نى او کوم يو يې مرکﺐ عدد دى؟ حل :لوم7ى د هر يوه عدد قاسمونه ليکو:
31
د 3،9،27او 1عددونه د 27د عدد قاسمونه دي ،نو 27يو مرکﺐ عدد دى. د 1او 17عددونه د 17قاسمونه دي ،نو په دې اساس د 17عدد لوم7نى عدد دى. د 2 ,3 ,4 ,6 ,9 ,12 ,18 ,36او 1د 36د عدد قاسمونه دي ،نو په دې اساس د 36عدد يو مرکﺐ عدد دى. د 3،9او 1عددونه د 9د عدد قاسمونه دي ،نو 9يو مرکﺐ عدد دى. د 19او( )1عددونه د 19عدد قاسمونه دي ،نو 19يو لوم7نى عدد دى ،ځکه چې يوازې دوه قاسمونه لري. د ضربي اجزاوو د ضرب په شکل د يو عدد ليکلو ته تجزيه ( )Factoringوايي.
پوښتنې -1کومه جمله سمه ده؟ )bد يو ( )1عدد د تجزيې وړ دى. )aيو ( )1لوم7نى عدد نه دى. -2که 187 = 11×17وي ،نو: 17 )bد 187يوه ضربي جزوه ده. 187 )aيو لوم7نى عدد دى. -3له الندې عددونو څخه کوم يو يې لوم7نى او کوم يو مرکﺐ عدد دى؟ ، 14 ، 37 ، 49 ، 51 ، 15 -4آﻳا د يو عدد يو مرکﺐ عدد دى؟ ولې؟
11
-5د هغو عددونو په وړاندې چې لوم7ني دي ،لوم7ني او د هغه عددونو په وړاندې چې مرکﺐ دي مرکﺐ وليکئ: 67 1111
-6په الندې عددونو کې کوم عدد ،لوم7نى عدد نه دی؟ c) 21 d) 23 -7په الندې عددونو کې کوم ،يو مرکﺐ عدد نه دي؟ d) 64
c) 39
90 847
b) 19 b) 67
59 73
a) 47 a) 90
32
په لومړنيو عﺪدونو تﺠزيه )(Prime Factoriing 12 = 3 × 4و 12 = 2 × 2 × 3
د 12د ضربي اجزاوو په منځ کې چې په پورته ډول ليکل شوي دي ،څه توپير شته دى؟
د 72عدد په بېال بېلو ډولونو سره په ضربي اجزاوو تجزيه ک7ئ: 1) 72 = 2 × 36 = 2 × 4 × 9 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 2) 72 = 6 × 12= 2 × 3 × 3 × 4 = 2 × 3 × 3 × 2 × 2
پورتن 9تجزيې په الندې ډول ښيو: 72
72 12
2
6 3
4
2
2
3
4 2
2
36 9 2
3
فعاليت د 72عدد دوو په پورتنيو ډولونو سربېره پر څو نورو ډولونو تجزيه کوالى شئ د تجزيې ډول يې هم وښاياست.
33
3
72 36 18 9 3 1
کوالى شو چې د تجزيې عمليه په يوه جدول کې په الندې ډول لن6ه ک7و: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
2 2 2 3 3
که د تجزيې عمليه په هر ډول سرته ورسوو ،ليدل کې8ي چې په پای کې يوې پايلې ته رسې8و: مثال :د 208،416او 2574عددونه په لوم7نيو ضربې اجزاوو (ضربي عواملو) تجزيه ک7ئ: حل: 2574 1287 429 143 13 1
2 3 3 11 13
416 208 104 52 26 13 1
2 2 2 2 2 13
2 2 2 2 13
208 104 52 26 13 1
208 = 2 × 2 × 2 × 2 × 13 ، 416 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 13 ، 2574 = 2 × 3 × 3 × 11× 13
پوهي8و چې د يو عدد په تجزيه کولو کې که د تجزيې وړ (مرکﺐ عدد) وي ،کوالى شو عدد د دوو طبيعي عددونو د ضرب د حاصل په ډول چې له يوه څخه لوى وي وليکو ،که له دې ضربي اجزاوو څخه يو او يا دواړه د تجزيې وړ وي ،د طبيعي عددونو د ضرب دحاصل په ډول يې ليکو او دې کار ته ،تر هغو پورې ادامه ورکوو ،ترڅو ټولې ضربي اجزاوې ،لوم7ني عددونه شي .که د يوه مرکﺐ عدد ټولې ضربي اجزاوې لوم7ني عددونه وي ،دې ډول تجزيې ته په لوم7نيو عددونو تجزيه وايي.
پوښتنې -1د 48،36او 70عددونه په لوم7نيو ضربي اجزاوو تجزيه ک7ئ. -2د 64،45،20،12او ،80عددونه په لوم7نيو ضربي اجزاوو تجزيه ک7ئ. -3د 70او 80عددونه ،لوم7ى په مرکبو او بيا يې په لوم7نيو ضربي اجزاوو تجزيه ک7ئ. -4له الندې عددونو څخه د کوم عدد تجزيه سمه او د کوم يو ناسمه ده؟ 15 = 53 16 = 2 × 13
16 = 24
28 = 22 × 9
27 = 3 × 9
18 = 2 × 32
-5د 24،9،15او 29د عددونو ټولې لوم7ني ضربي اجزاوې وليکئ؟ -6د 144او 121عددونه ،په لوم7نيو ضربي اجزاوو تجزيه ک7ئ.
34
طاﻗت )(Power
پوهي8و چې هره حجره څنګه په دوو حجرو وېشل کې8ي .په مخامخ شکل کې د دې عمل د سرته رسيدلو پ7اوونه ليدل کې8ي.
فعاليت دريمه
څلورمه 2
2
دويمه لوم7نى صفر 2
2 2
2
1
پ7اوونه(مرحلې)
د حجرو شمېر
څلورم پ7او وليکئ او جدول پوره ک7ئ. د حجرو د شمېر او د وېش د پ7اوونو ترمنځ کومه اړيکه شته؟ په لسم پ7او کې به څو حجرې ولرو؟ د لسم پ7او د حجرو شمېر په لن 6ډول ليکالی شو؟ د جمعې حاصل د ضرب د عمليې په مرسته په لن 6ډول وليکئ: 4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 3 + 3 + 3 + 3 = 4 × 3 = 12 د 2 × 2 × 2د ضرب حاصل په لن 6ډول ليکالى شو؟ د کار د اسانتيا لپاره 2 × 2 × 2د 23په ډول ليکو او داسې وايو چې 2په توان د ،3د 23په عدد توان= 16 کې 2 ،ته قاعده (13 ،)Baseته× 2 ښودونکى ( )Exponentاو 23د 2د دريم طاقت په نامه يادوي. 3 توان ښودونکى ښکاره کوي چې قاعده څو ځلې په خپل ځان کې ضرب شوې ده ،د 4عدد کې 4 درې ځلې په خپل ځان کې ضرب شوي دي .يعنې43 = 4 × 4 × 4 : لومړى مثال :د الندې طاقتونو د هر يوه قيمت پيدا ک7ئ: 42 , 53 , 23 , 54 , 102 , 34 حل: 42 = 4 × 4 = 16 ، 23 = 2 × 2 × 2 = 8 ، 102 = 10 ×10 = 100 53 = 5 × 5 × 5 = 125 ، 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 ، 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 په همدې ډول
35
2 ( )4 3
د
2 2 2 2 × × × 3 3 3 3
په معنا دي چې
2 3
قاعده او ٤توان ښوودونکى دى.
ﻓعاﻟﻴت د الندې طاقتونو د هر يوه قيمت پيدا ک7ئ:
وليکئ□ ، 4 = □ ، 10 =□ ، 1: □= =□ ، 2 =□ ، 10 الندې د ضرب حاصلونه د طاقت په ډول 5
2
5
=8×8×8×8×8×8×8×8
3
3
=9×9×9×9
2
= 3
=4×4×4
آﻳا 27او 7 2عددونه سره برابر دي؟ ولې؟ 3 2 دويم مثال :آﻳا د 2او ( )3عددونه سره برابر دي؟ 3 3 حل:
2 2× 2× 2 8 = = 3 3 3 2 2 2 2 8 = × × = ( )3 3 3 3 3 27 3
2 3 23 او ) ( عددونه سره مساوي نه دي. په پايله کې ويالى شو چې د 3 3 که چيرې يو عدد څو ځلې په خپل ځان کې ضرب شوى وي ،نو د ضرب حاصل د طاقت په شکل په لن6 ډول ليکل کې8ي او يا د يو عددد څو ضلعې د ضرب د حاصل د ښودلو لن6ې طريقې ته طاقت()Power وايې.
پوښتنې -1د 2 × 2 × 2 × 2 × 2د ضرب حاصل مساوي دى په: c)25 d) 36 -2د 10 ×10 ×10د ضرب حاصل مساوي دى په: c)100
2
5
b) 5
a) 2
b) 310
a) 103
d) 1010 -3د 33عدد مساوي دى په: a) 9 b) 27 c)54 d) 12 -4يو ه زده کوونکي يو عدد په لوم7نيو ضربي اجزاوو تجزيه ک7ى دى چې ځواب يې 2 × 2 × 5 × 2 × 5دى .دا ځواب د طاقت په شکل څنګه ليکالى شو؟ 2 3 a) 2 × 5 b) 23 × 52 c) 22 × 52 d) 23 × 53 -5د 36او 24عددونه په لوم7نيو ضربي اجزاوو تجزيه او د طاقت په ډول يې وليکئ. -6د 416د عدد لوم7ن 9ضربي اجزاوې ،د طاقت په شکل مساوي دي په: 5 a) 2 × 13 b) 24 × 13 -7د 208د عدد لوم7ن 9ضربي اجزاوې ،د طاقت په شکل مساوي دي په: 4 a) 2 × 13 b) 25 × 13
36
د طاﻗتونو د ضرب ﻗانون 24×36په لوم7نيو ضربي اجزاوو تجزيه او د طاقت په ډول يې وليکئ د 16عدد په دوه ډوله د طاقت په ډول وليکئ .آﻳا کوالى شئ کوم بل عدد پيدا ک7ئ چې په دوه ډوله د طاقت په شکل وليکل شي؟
لومړى مثال 33 × 3 2 :د ضرب حاصلله 35سره پرتله ک7ئ. حل :څرنگه چې پوهي8و 32 = 3 × 3او 33 = 3 × 3 × 3دى په دې اساس:
32 × 33 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35 په نتيجه کې ليدل کې8ي چې:
32 × 33 = 32+3 = 35
فعاليت په الندې مساواتو کې تش ځايونه ډک ک7ئ. + )=2
7 3 × 7 2 = (7 × 7 × 7 ) × (7 × 7 ) = 7 ×
×
×
( × )22 × 24 = (2 × 2
آﻳا کوالى شئ د هغه توان لرونکو عددونو د ضرب لپاره چې مساوي قاعدې ولري يوه عمومي قاعده وړاندې ک7ئ؟ په پورته فعاليت کې مو وليدل چې د هغو طاقتونو په ضرب کې چې مساوي قاعدې ولري له مساوي قاعدو څخه يوه قاعده ليکو چې توان يې د ټولو توانونو د جمعې له حاصل څخه عبارت دى. دويم مثال :د 23 × 25او 32 × 33 × 34د ضرب حاصل په الس راوړئ. حل: 3 5 3+ 5 8 2 ×2 = 2 = 2 32 × 33 × 34 = 32+3+ 4 = 39
37
د 23 × 33د ضرب حاصل په برخه کې څه ويالى شئ؟ 23 × 33 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = (2 × 3)(2 × 3)(2 × 3) = (2 × 3)3 = 63 د هغو طاقتونو په ضرب کې چې توانونه يې مساوي ،خو قاعدې يې مختلفې وي ،قاعدې يو له بله سره ضربوو او له مساوي توانونو څخه د يوه په توان يې ليکو. دريم مثال: 3 × 4 = (3 × 4) = 12
5
څلورم مثال:
5
5
5
2 × 3 = (2 × 3) = 6
5
،
(34 ) 2 = (3) 4× 2 = 38
يا
5
5
5
(34 ) 2 = 34 × 34 = 38
په هغه صورت کې چې يو توان لرونکى عدد په توان پورته شي ،د طاقتونو د ضرب د قانون په اساس قاعده د دواړو توانونو د ضرب د حاصل په توان ليکو.
پوښتنې - 1الندې د ضرب حاصلونه د توان لرونکي عدد په ډول وليکئ: - 2د 23 × 32د ضرب حاصل مساوي دى په:
7 2 × 73 × 75 , 25 × 35 , 34 × 32
c) 65 - 3د 3 × 32 × 33د ضرب حاصل مساوي دى په: دواړه نا سم دي )c -4د 23 × 33 × 43ﻣساوي دى ﭘﻪ: d) (24)27
c) 93
b) 72
a) 81
b) 36
a) 35
b) (2 × 3 × 4)3
a) (24)9
(42 )3 - 5مساوي دى په: d) 45
c) 24
b) 48
a) 46
38
د طاﻗتونو و4ﺶ د طاقتونو د ضرب د حاصل لپاره مو وکوالى شول چې عمومي قاعده پيدا ک7و آﻳا کوالى شئ چې د طاقتنونو د وېش لپاره هم کومه عمومي قاعده الس ته راوړئ؟
n
A An-m = Am
m2
2 3
–3 < –1
مثبت تام عددونه ،صفر او منفي تام عددونه مو مخکې د محور پر مخ په دې ډول ښودلي دي:
–
+ +3
+2
+1
0
–1
–2
–3
که پورتني محور ته پام وک7و ليدل کې8ي چې د 1او –1عددونه له مبدآ څخه په مساوي واټنو(فاصلو) کې پراته دي .په دې معنا چې دا دواړه عددونه له مبدآ(صفر) څخه د يوه واحد په اندازه لرې پراته دي دا دواړه عددونه يو د بل ﺟمعې معکوس (متضاد) دي ،په همدې ډول +2او -2يا +3او –3يو د بل جمعې معکوسونه(متضاد) دي. نو هر تام عدد او جمعې معکوس يې د عددونو پر محور له صفر څخه په مساوي فاصلو کې پراته دي او عالمې يې مختلفې دي د يو عدد فاصله له مبد ْا څخه د عدد د مﻄلقه ﻗيمت په نوم يادي8ي.
75
د مثال په ډول :د +3او –3دواړه عددونه له صفر څخه د 3واحدونو په اندازه لېرې پراته دي ،نو د +3او –3د عددونو مطلقه قيمت 3دى .د يوه عدد مطلقه قيمت د ښودلو لپاره عدد د دوو عمودي خطونو( | | ) تر منځ ليکل کې8ي. | - 3| = 3
,
| + 3| = 3
,
|0|= 0
فعاليت – د مخامخ عددونو جمعې معکوسونه وليکئ:
–6 , –12 , –20 , +13 , –15 , 8
– د مخامخ عددونو مطلقه قيمت پيدا ک7ئ-8, 3 , 5 , –11 , –1 , –14 , +17 , 19 : زده مو کړل ﭼې: هر عدد چې صفر نه وي مثبت يا منفي مطلقه قيمت يې مثبت عدد دى ،خو د صفر مطلقه قيمت صفر دى يعنې| 0 | = 0 : د يو عدد او د عدد د جعمې معکوس مطلقه قيمت سره مساوي دی: | –7 | = | +7 | = 7
پوښتنې –1الندې تام عددونه په داسې ډول له کي2ې څخه ښ 9خوا ته ترتيﺐ ک7ئ چې کوچنى عدد کي2ې خواته وي: –5 , +6 , –8 , –3 , +12 –2د –6او –9په عددونو کې کوم يو لوى دى او په –7او صفر کې کوم عدد کوچنى دى؟ –3دالندې عددونو مطلقه قيمت پيدا ک7ئ: +5 , –5 , –3 , 3 , –7 +16 , –10 , 10 , +12 , –12 +132 , –132 , +200 , a , –200 –4يو محور رسم ک7ي او د +2 ،–5او –3عددونه د محور پر مخ وټاکئ او ددې عددونو د هر يو جمعې معکوس(متضاد) هم پر همدې محور وښاياست.
76
د ﻫم عﻼمه تامو عﺪدونو د ﺟمعې عمليه فرض ک7ئ يو څوک د عددونو پر محور 9واحده کي2ې خوا ته او بيا 3واحده نور هم کي2ې خواته تللى وي ،نوموړي څو واحده وهلې دي؟
)(–3
)(–9
–
+ +1
–1
0
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–11 –10 –9
–12
)?(
په طبيعي عددونو کې د جمعې په عمليه پوهي8ئ د مثال په ډول 3 + 4 = 7
هر طبيعي عدد په حقيقت کې يو تام مثبت عدد دى ،نو کوالى شو ،د جمعې پورتن 9عمليه په الندې ډول وليکو)+3( + )+4( = )+7 ( : د تامو عددونو د جمع کولو لپاره يوه طريقه دا هم ده چې د عددونو له محور څخه گټه واخلو. د مثﺒتو عﺪدونو ﺟمع د ( )+3( + )+4عددونو د محور پر مخ د ښودلو لپاره الندې محور ته پاملرنه وک7ئ: )(+3
)(+4
–
+ +7
+6
+5
+4
+3
+2
+1
0
)(+7
په پورتني محور کې ليدل کې8ي چې: ( ) +3 ( + )+4 ( = )+7 3 + 4 = 7
يا
فعاليت د +5عدد د +2له عدد سره جمع ک7ئ او پر محور يې وښاياست.
77
–1
–2
د منفي عﺪدونو ﺟمع که چېرې له مبدآ څخه کي2ې خواته 5واحده ( )-5او بيا 3واحده نور هم کي2ې خواته ( )-3په اندازه حرکت وک7و ،په حقيقت کې چپې خواته د ( )-8ټکې ته رسي8و .الندې شکل و-ورئ. )(–3
)(–5
–
+ +1
–1
0
–2
–3
–5
–4
–6
–7
–8
)(–8
( )–5 ( + ) – 3 ( = ) –8
له دې امله :
مثال :که يو کس د محور پر مخ 8واحده کي2ې خواته حرکت وک7ي او بيا 4واحده نور هم کي2ې خواته الړ شي ،نوموړى کوم ټکې ته رسيدلى دى؟ حل:
)(–4
)(–8
–
+ +1
0
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–11 –10
–12
)(–12
(–8 ( + (–4 ( = –12 زده مو کړل ﭼې :د دوو هم عالمه عددونو د جمعې حاصل ددې دواړو عددونو د مطلقه قيمتونو له جمعې سره برابر دى او شريکه عالمه يې د جمعې د حاصل عالمه ده.
پوښتنې –1الندې عددونه جمع ک7ئ:
?=()–12(+)–3 ?=()–7(+)–6 ?=37+47 –2زينﺐ خپلې گوتې ته د 3واحدونو په اندازه د عددونو پر محور د محور له مبدا(صفر) څخه ښ 9خواته او بيا 4واحده نور هم ښ 9خواته حرکت ورکوي او په دې ټکي گوته ږدي ،د زينﺐ گوته کوم عدد ته رسيدلي ده؟ –3په عمودې ډول يو محور رسم او د محور پر مخ د مبدا ټکى و ټاکئ ،د يو مي8ي حرکت 4 واحده له مبدآ ښکته خواته ا و بيا 6واحده نور هم د محور ښکته خوا ته په پام کې ونيسئ د مي8ي اخيرنى ځاى دمحور پر مخ وښاياست.
78
د مﺨتلف العﻼمه تامو عﺪدونو ﺟمع احمد له يوه دوکاندار څخه 7افغان 9پور اخيستي وې (پور په منفي عالمه ښکاره کوو) ،څو ورځې وروسته يې هغه دوکاندار ته 5افغانى ورک7ې، اوس احمد څو افغان 9پور وړى دى؟
که چېرې د محور پر مخ له مبدا څخه په حرکت پيل وک7و لوم7ى د 2واحدونو په اندازه کي2ې خواته او بيا له همدې ټکي څخه د 6واحدونو په اندازه ښـ 9خواته حرکت وک7و ،په پای کې د +4 ټکي(نقطې) ته رسي8و .الندې شکل ته وگورئ: )(+6 )(–2
+ +5
+6
+3
+4
+2
0
+1
– –1
–3
–2
)(+4
د پورته شکل له مخې ليدل کي8ي چې –2 + )+6 ( = )+4 ( :يا –2 + 6 = 4 لومړى مثال :د ( )–8عدد د ( )+3له عدد سره جمع کوو: حل: )(–8 )(+3
+ 2
1
–1
0
–3
–2
–4
– –5
–6
–7
)(–5
–8
(–8( + (+3( = –8+ 3 = –5 دويم مثال :ددې لوست په پيل کې چې کومه پوښتنه راک7ل شوې وه ،د عددونو له محور څخه په گټه اخيستلو يې حلوو: )(–7 ﺣﻞ: – + +2
+1
0
–1 )(–2
–2
–3
–4
–5
–6
)(+5
(–7( + (+5( = –2 پوښتنه :د (–) عالمه د ( )–2په عدد کې څه شى ښکاره کوي؟
79
–7
فعآليت د الندې شکل له مخې يوه پوښتنه جوړه او بيا يې حل ک7ئ:
–
+ +6
+5
+3 +4
+2
+1
–1
0
–2
–3
–4
دريم مثال :د ژمې په يوه ورځ کې د کابل د تودوخې درجه له صفر څخه 5درجې د سانتي -ري6 پورته ده که د شپې له خوا د کابل د تودوخې درجه د ( )–3په اندازه تغير وک7ي ،په شپه کې د کابل د تودوخې درجه څومره ده؟ )(+5 حل:
–
)(–3
+ +6
+5
+3 +4
+2
+1 )(+2
0
–1
–2
–3
–4
((+5( + (–3( = (+2 د کابل هوا په شپه کې 2درجې د سانتي -ري 6له صفره پورته يا +2درجې د سانتي -ري 6ده. پاملرنه :د ورځې له خوا دکابل د تودوخې درجه 5( +5درجې له صفر څخه پورته) او په شپه کې چې هوا س7ي8ي ،نو د تودوخې درجه د 3درجو په اندازه تغيير کوي او د 3درجو په اندازه نسبت ورځې ته س7ي8ي. زده مو کړل ﭼې :د دوو تامو مختلﻒ العالمه عددونو د جمع کولو لپاره: له هغه عدد څخه چې مطلقه قيمت يې لوی وي ،هغه عدد چې مطلقه قيمت يې کوچنى وي تفريقوو او د هغه عدد عالمه دتفريﻖ د حاصل عالمه ده چې مطلقه قيمت يې لوى وي.
پوښتنې –1الندې راک7ل شوي تام عددونه سره جمع ک7ئ: =)(–3)+(+7)+(–4)+(–9
,
=)(+3)+(–5
,
=)(–6)+(+5
–2د ( ) 4عدد د ( ) 3له تام عدد سره جمع ک7ئ او د محور پر مخ يې وښاياست. –3که د هرات د تودوخې درجه 8درجې د سانتي گري 6له صفره ښکته او باميان له هرات څخه 3 درجې سوړ دى ،د باميانو د تودوخې درجه څومره ده؟ پر محور يې وښاياست. –4د ( ) + 8 ( ، ) 6او ( ) 10درې تام عددونه سره جمع ک7ئ.
80
د تامو عﺪدونو د تفريﻖ عمليه څرنگه کوالى شو چې د 7عدد د 5له عدد څخه تفريﻖ ک7و؟
په مخکنيو درسونو کې مو وليدل چې د تامو عددونو د جمعې پر عمليې د ښه پوهېدو لپاره د عددونو محور له موږ سره مرسته وک7ه. دلته دمحور په مرسته د تامو عددونو د تفريﻖ عمليه څي7و:
فعآليت )(+5
–
+ +7
+6
+5
+4
+3 )(- 4
+2
+1
0
–1
–2
)(+1
شکل ته په پاملرنه ښکاره ک7ئ چې 5 4څرنگه پيدا کوو؟ په همدې ډول 4 5پر محور وښياست او حاصل يې په الس راوړئ. د يو محور پر مخ ) 4 + ( 5وښياست او حاصل يې پيدا ک7ئ. 4 5او ) 4 + ( 5يو له بله سره پرتله ک7ئ .څه نتيجه السته راځي؟د پورتني فعاليت پايله موږ ته ښکاره کوي ،ددې لپاره چې د 4له عدد څخه د 5عدد تفريﻖ ک7و، بايد د -5عدد له 4سره جمع کوو .يا په بل عبارت کوالى شو چې د تفريﻖ عمليه د جمعې په عمليه بدله ک7و: 4 – 5 = )+4( + )–5( = –1 ليدل کي8ي چې د تفريﻖ په عمليه کې د مفروق عالمه بدلون کوي ،په دې معنا چې په حقيقت کې د تفريﻖ په عمليه کې د مفروق جمعې معکوس( )Additive inverseد مفروق منه سره جمع کوو.
81
لومړى مثال :د 5عدد د 7له عدد څخه تفريﻖ ک7ئ. حل :د مفروق جمعې معکوس (متضاد) يا د 5جمعې معکوس چې + 5دى له مفروق منه ()7 7 – (–5) = 7 + (+5) = 7+5 =12
سره جمع کوو:
دويم مثال :د 9عدد د –3له عدد څخه تفريﻖ ک7ئ. دلته د 9عدد مفروق دى ،نو د 9جمعې معکوس( ) 9له مفروق منه( ) 3سره جمع کوو. دريم مثال :د 4
عدد د 2
(–3( – (+9( = (–3( + (–9( = – 12 له عدد سره جمع ک7ئ او بيا د جمعې له حاصل څخه د 9عدد
تفريﻖ ک7ئ. حل :لوم7ى د 4او 2عددونه سره جمع کوو ،بيا د مفروق ( ) 9د عدد عالمه بدلوو چې + 9شي ،په پاى کې مفروق منه او مفروق سره جمع کوو: (–6( –(–9( =–6 +9 = +3 = 3
(–4( + (–2( = –6 ,
زده مو کړل ﭼې: د دوو تامو عددونو د تفريﻖ په عمليه کې لوم7ى د مفروق عالمه بدلوو او بيا مفروق له مفروق منه سره جمع کوو .يا په بل عبارت د مفروق جمعې معکوس له مفروق منه سره جمع کوو.
پوښتنې –1الندې حاصلونه په الس راوړئ: 0–5
()–3( – )–9( )–8( – )–4
5–0
8 – 12
– 20 – 12
()–3( – )9
()–12( –)–20
()–25( – )–12( –13 – )–3
–2د 6له تام عدد څخه چې مفروق منه دى د 4تام عدد تفريقوو ،دا عمليه د عددونو پر محور وښاياست؟ –3د 6عدد له + 8سره جمع ک7ئ او د جمعې له حاصل څخه د 14عدد تفريﻖ ک7ئ.
82
د مﺨتلفو العﻼمه عﺪدونو ضرب
که چيرې دوه مختلﻒ العالمه تام عددونه ســره ضرب شــي دضــرب د حاصل عالمــه به څه وي؟
فعآليت که چېرې د ضرب په حاصل کې له يو ضربي عامل څخه يو ،يو واحد کم ک7و د ضرب په حاصل کې به څه توپير راشي؟ مخامخ ضربونو ته پاملرنه وک7ئ: 4 × 4 = 16 3× 2 = 6
د ضرب له پورتنيو حاصلونو څخه منځته راغلی بدلون پيدا ک7ئ. د دوو مثبتو عددونو د ضرب د حاصل عالمه څه ده؟ د يوه منفي عدد او يو مثبت عدد د ضرب د حاصل عالمه څه ده؟په الندې ډول هم کوالى شو چې همدا نتيجه الس ته راوړو.
2× 2 = 4
3 × 4 = 12
1× 2 = 2 0× 2 = 0
2× 4 = 8 1× 4 = 4
1× 2 = 2 2× 2 = 4 3× 2 = 6
0× 4 = 0 1× 4 = 4 2× 4 = 8 3 × 4 = 12
4× 2 = 8
00 0
00 0
که چېرې يو تام مثبت عدد ،د مثال په ډول +2درې ځلې سره جمع ک7و ،نو ليدل کې8ي چې: (+2( + (+2( + (+2( = +6 په دې ځاى کې په حقيقت کې د +2عدد درې چنده شوى دى په طبيعي عددونو کې مو درلودل 3× 2 = 6 چې: پورتن 9عمليه د محور پر مخ داسې ښکاره کوو: )(+2
+ +7
+6
+5
)(+2 +4
+3
)(+2 +2
+1
په همدې ډول په الندې شکل کې د –2عدد درې ځلې راغلى دى:
83
– 0
–1
–2
)( –2
+ +1
0
)( –2 –2
–1
–3
)(–2 –4
–5
– –6
–7
–8
–9
(–2( +(–2( +(–2( = 3 ×(–2( = –6 مثال :د 4عدد په 3کې ضرب ک7ئ: 3 × (–4( = (–4( + (–4( + (–4( = –12 حل: پوښتنه:الندې تش ځايونه ډک ک7ئ: ( ( = (–6( × 2 , ( ( × 5 = –25 , (–3(× ( ( = –3
فعآليت له 7څخه تر –7پورې د عددونو د ضرب حاصل له 2سره د دې لوست د لوم7ني فعاليت په شان وليکئ.
زده مو کړه ﭼې: که چېرې دوه مثبت عددونه يوله بله سره ضرب شي ،د ضرب د حاصل عالمه مثبت ده. که چېرې يو منفي عدد له مثبت عدد سره او يا يو مثبت عدد له منفي عدد سره ضرب شي ،دضرب د حاصل عالمه منفي ده.
پوښتنې –1د الندې محور پر مخ څه وينئ؟ د ضرب په شکل يې وليکئ. -1 0
-1 -1
-1 -2
-3
-4
پورې تام عددونه په ترتيﺐ سره په 2کې ضرب ک7ئ او د ضرب حاصلونه دوه په
–2د + 5څخه تر 5 دوه سره پرتله ک7ئ. –3که چېرې د دووتامو عددونو د ضرب حاصل +8وي که يو عدد +4وي ،بل عدد به څو وي؟ –4که چېرې د دوو تامو عددونو د ضرب حاصل _ 8دى که يو عدد _ 4وي ،بل عدد به څو وي؟
–5الندې د ضرب عمليې سرته ورسوئ؟
= (–4( × 5 = (–5( × 3 = ((–3( × (+1 = ((–1( × (+1 = ((–7( × (+10 = ((–9( × (100 –6د +7سره کوم عدد ضرب ک7و ،تر څو د ضرب حاصل ( ) 56شي؟
=4×7 = ((–2( × (+3 = (–1( × 0
84
د منفي تام عﺪد ضرب په منفي تام عﺪد کې که چيرې يو تام عدد ،لکه (د 2يا 5تام عددونه) په نورو تامو عددونو(مثبت ،صفر او منفي تامو عددونو) کې په پرله پسې ډول په ترتيﺐ سره ضرب ک7و ،د 2او 5د اړوندو عددونو د ضرب له حاصلونو څخه به ،څه نتيجه په الس راوړو؟ سربېره پر دې د دوو منفي عددونو د ضرب د حاصل عالمه څه ده؟
3 × (–5) = – 15
3 × (–2) = – 6
2 × (–5) = –10
2 × (–2) = –4
1 × (–5) = –5
1 × (–2) = –2
0 × (–5) = 0
0 × (–2) = 0
–1 × (–5) = 5
–1 × (–2) = 2
–2 × (–5) = 10
–2 × (–2) = 4
–3 × (–5) = 15
–3 × (–2) = 6
فعآليت د لوم7ني ضربي عامل په کمولو سره د ضرب په حاصلونو کې څه توپير وينئ؟ ددې توپير په پام کې نيولو سره د ضرب الندې حاصلونه پوره ک7ئ: ... 5 × (–5) = –25 4 × (–5) = –20 3 × (–5) = –15 2 × (–5) = –10 1 × (–5) = –5 0 × (–5) = 0 –1 × (–5) = +5 –2 × (–5) = +10 –3 × (–5) = +15 = )–4 × (–5 = )–5 × (–5
.. .
.. . 5 × (–2) = –10 4 × (–2) = –8 3 × (–2) = –6 2 × (–2) = –4 1 × (–2) = –2 0 × (–2) = 0 –1 × (–2) = +2 –2 × (–2) = +4 –3 × (–2) = +6 = )–4 × (–2 = )–5 × (–2
.. .
ددې لوست د پيل په فعاليت کې مو وليدل ،که يو منفي عدد په بل منفي عدد کې ضرب شي لکه: ] ) [ ( 4) × ( 5د ضرب حاصل يې يو مثبت عدد کې8ي.
85
لومړى مثال :د 6عدد د 2په عدد کې ضرب ک7ئ. حل :لکه څرنګه چې ددې لوست د پيل په فعاليت کې مووليدل ،ددې عددونو له ضربولو څخه الندې نتيجه الس ته راځي: (–6( × (–2( = +12 دويم مثال :د ) ( 2) × (+3) × ( 10د ضرب حاصل په الس راوړئ. حل :لوم7ى د کي2ې خوا دوه عددونه سره ضربوو ،بيا د ضرب حاصل له دريم عدد سره ضربوو: )–2( × )+3( = –6 اوس د ضرب په الس راغلى حاصل په ( ) 10کې ضربوو ،نو لرو چې: (–6( × (–10( = +60 زده مو کړل ﭼې: -1د يو مثبت او يو منفي عدد د ضرب حاصل يو منفي عدد دى. -2ددوو منفي عددونو د ضرب حاصل يو مثبت عدد دى. -3په عمومي ډول د دوو هم عالمه عددونو د ضرب حاصل يو مثبت عدد او د دوو مختلﻒ العالمه عددونو د ضرب حاصل ،يو منفي عدد دى.
پوښتنې –1الندې د ضرب عمليې سرته ورسوئ: = )(–1) × (–1
= )(+3) × (–3
= )(–6) × (–1
= )(–4) × (–8
= )(–2) × (+5
= )(–12) × (–3
–2له + 2څخه تر 6پورې عددونه په ترتيﺐ سره د 3په عدد کې ضرب ک7ئ او د ضرب حاصلونه دوه په دوه سره پرتله ک7ئ. –3په مناسبو عددونو سره الندې تش ځايونه ډک ک7ئ. (–3) × ( ) = +21 ) ( = )(–1) × (–11
) ( = )(–2) × (–5 (–3) × ( ) = –6
–4الندې د ضرب حاصلونه په الس راوړئ
= ((–3( × (+2( × (–5 = ((–6( × (–4( × (–2 = ((–10( × (–2( × (+1
(–4) × ( ) = +8 ( ) × (–9) = +27 = ((–2( × (+3( × (–4 = ((+7( × (–4( × (–2 = ((–1( × (–1( × (–1
86
د تامو عﺪدونو و4ﺶ ? = )(+18) ÷(–6
× (+18) ÷ ( – 6 ) = – 3
? × (+6) = –18
× (–18) ÷ ( – 6 ) = + 3
? = )(–18) ÷ (–6
لکه څرنگه چې د طبيعي عددونو له بحث څخه پوهي8و ،د وېش عمليه د ضرب له عمليې سره معکوسه اړيکه لري ،په دې معنا: که چېرې د ضرب حاصل په لوم7ۍ ضربي جزوو ووېشل شي ،دويمه ضربي جزوه په الس راځي ،په همدې ډول که د ضرب حاصل په دويمه ضربي جزوه وويشل شي ،لوم7ۍ ضربي جزوه په الس راځي.
الندې جدول ته وگورئ!
د وېش عمليه
د ضرب عمليه
(+18( ÷ (+6( = +3
(+6( × (+3( = +18
(+18( ÷ (–6( = –3
(–6( × (–3( = +18
(–18( ÷ (+6( = –3
(+6( × (–3( = –18
(–18( ÷ (–6( = +3
(–6( × (+3( = –18
فعآليت د ضرب له الندې عمليو څخه د پورته جدول په شان يو جدول جوړ ک7ئ چې د تامو عددونو د ضرب او ويش تر منځ اړيکه ښکاره کوي:
واضﺢ ک7ئ چې دوه تام عددونه څرنګه يو پر بل وېشو.
87
1( 6 × 2 = 12 2( (–6( × 2 = –12 3( 6 × (–2( = –12 4( (–6( × (–2( = 12
نتيﺠه :د ضرب او وېش سرته رسيدلو عمليو ته مو په پام کولو سره وليدل چې: _ که يو منفي عدد پر مثبت عدد ووېشل شي ،د وېش د حاصل عالمه منفي ده. _ که يو منفي عدد پر بل منفي عدد ووېشل شي ،د وېش د حاصل عالمه مثبت ده. _ که يو مثبت عدد ،پر منفي عدد ووېشل شي ،د وېش د حاصل عالمه منفي ده. لومړى مثال :لوم7ى د صورتونو او مخرجونو عالمې وټاکئ او بيا د وېش حاصلونه په الس راوړئ: ﺣﻞ
)(+5) × ( 8 = )( 10) × (+1
)(+6) × ( 5 = =? ? , , )(+2) × ( 15
,
? =,
)( 4) × ( 3 ?= )( 2 )× ( 1
د تامو عددونو په وېش کې لکه د تامو عددونو د ضرب په شان لوم7ى د وېش د حاصل عالمه پيدا کوو بيا د وېش عمليه سرته رسوو: )( 4) × ( 3) (+12 )(+6) × ( 5) ( 30 )(+5) × ( 8) ( 40 = =+6 , = = +1 , = =+ 4 )(+2) × ( 15) ( 30 )( 10) × (+1) ( 10 )( 2 )× ( 1) (+2
په ياد ولرئ ﭼې: د وېش په عمليه کې ،لوم7ى د وېش دحاصل عالمه ټاکو او بيا د مقسوم مطلقه قيمت د مقسوم عليه په مطلقه قيمت باندې وېشو.
پوښتنې –1لوم7ى د کي2ې خوا تش ځايونه ډک او بيا د ښ 9خوا د وېش حاصلونه وليکئ: ( 5) × ( ) = +20 , = )(20) ÷ ( 5 (+7) × ( ) = 56 , = )( 56) ÷ (+7 )( ) × (+8 8) == (4040) , , ( 40 = )÷ (+÷8()+=8 )( )40 ( ) × ( 5) = 35 , = )( 35) ÷ ( 5
–2د ) (+6) ( 18حاصل د ) ( 8) + ( 4افادې د حاصل په وېشلو کې بايد څرنګه عمل وک7و.
–3الندې عمليې پوره ،د ضرب او د وېش جدول يې جوړ ک7ئ: ( = )(–42) ÷ (+6 ) ( ) × (–2) = –72 (–100) ÷ ( ) = +100 )(+60) ÷ ( ) = (–20
) ( = )(–8) × (+4 (+50) × ( ) = –200 ( ) ÷ ( –4) =+20 ) ( = )(–12) × (+3
88
د حساﺑي افادو د ﻗيمتونو پيﺪا کول ]})-3[2-(4-3)-{-1+1-(-1-1
که په يوه پوښتنه کې څو عمليې(جمع ،تفريﻖ ،ضرب او وېش) وي ،څه بايد وک7و؟
]}-3[2-4+3-{-1+1+1+1
آيا الندې پوښتنه د څلورو اساسي عمليو په مرسته چې تر اوسه مو زده ک7ې دي حلوالى شئ؟
]-3[2-4+3+1-1-1-1
? = {( ( 5( – }( –4 ( × ( –7 ({ – }( –6 ( ÷ ( +2
-3[-1]=3
په ياد ولرئ ﭼې: دې( ) قوس ته کوچنى قوس ،دې { } قوس ته منځنى او دې ] [ قوس ته لوى قوس وايي. د قوسونو په رفع کولو کې لوم7ى کوچنى قوس ،بيا منځنى او په پاى کې لوى قوس خالصي8ي. د يوې حساﺑي افادې د ساده کولو لپاره ﻻنﺪې پړاوونه په پام کې نيسو: لومړى :که په حسابي افادو کې طاقت او جذر وي ،لوم7ى بايد هغه ساده ک7و. دويم :که په حسابي افادو کې قوسونه وي ،لوم7ى قوسونه له منځه وړو. دريم :د ضرب او وېش عمليې له کي2ې خوا څخه ښ 9خواته سر ته رسوو. څلورم :د جمع او تفريﻖ عمليې له کي2ې خوا څخه ښ 9خواته سرته رسوو. مثال :الندې حسابي افاده ساده ک7ئ. ﺣﻞ:
( 6 × 4) × 23 5 + 49 ÷ 7 10
: )–6 × 4( × 8 –5 + 7 ÷ 7 – 10لوم7ى : –24 × 8 –5 +7 ÷ 7 –10دويم : –192 – 5 + 7 ÷ 7 –10دريم : –192 –5 + 1 – 10څلورم : –197 + 1 – 10پنځم : –196 – 10شپ8م : –206اووم
89
د عمليو ﺧاصيتونه:
ﻓعاﻟﻴت الندې عمليې سرته ورسوئ: = )18 + ( 7
,
= 7 + 18
)1
= {( 3)} + {( 7)} + 2 = ( 3) × 2
, ,
= )3 + ( 7 + 2 = )2 × ( 3
)2 )3
= {( 4) × 5} × 7 = }{( 4 × 7)} + {( 4) × 9
, ,
= )( 4) × (5 × 7 = )( 4) × (7 + 9
)4 )5
-6آيا لکه د طبيعي عددونو په شان د ضرب او جمعې د عمليو د تبديل 9خاصيتونه په تامو عددونو کې هم صدق کوي؟ -7آيا لکه د طبيعي عددونو په شان د ضرب او جمعې د عمليو اتحادي خاصيت په تامو عددونو کې هم صدق کوي؟ -8آيا د تامو عددونو د تفريﻖ په عمليه کې ،د تبديل 9خاصيت صدق کوي که نه؟ له مثال سره يې وښياست. زده مو کړل ﭼې: د تامو عددونو د جمعې او ضرب په عمليو کې لکه په طبيعي عددونو کې د تبديل 9او اتحادي خاصيتونه صدق کوي.
پوښتنې الندې افادې ساده ک7ئ. {(–6 × 4 ) × 2} – {5 × (–5 + 3)} + 20
)1
[9 ÷ {– (–3) × (5 – 8 )}] +10
)2
10 × 24 ÷ {– (–4) × (5 – 7 )} –6
)3
[{5 × (–4)} – {(–5) × (–1)}] – 10
)4
2×{(–3) + (–2)} + 8 – 2
)5
90
د دريم څپرکي لنډيز
دا ... 5, 4, 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, 4, 5 , ...عددونه د تامو عددونو په نامه يادي8ي. د تامو عددونو سټ (مجموعه) په الندې ډول ښودل کي8ي: } I = { . . . , –5, –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4,+5, . . .
د عددونو محور يوه جهت لرونکې خط دی چې د هغې پر مخ کوالى شو چې مثبت عددونه ،صفر او منفي عددونه وښيو. هر تام عدد او د هغه جمعې معکوس(متضاد) دمحور پر مخ له صفره څخه مساوي فاصلې لري او عالمې يې مختلفې وي چې له مبدآ (صفر) څخه دې فاصلې ته ددې عددونو مطلقه قيمت وايي. په مثبتو عددونو کې د عالمې ليکلو ته اړتيا نشته. د تامو عددونو د تفريﻖ په عمليه کې ،لوم7ى د مفروق عالمه بدلوو او بيا نور د جمعې د عمليې په شان عمل کوو ،يا په بل عبارت د مفروق جمعې معکوس(متضاد) له مفروق منه سره جمع کوو. د دوو هم عالمو عددونو دضرب حاصل مثبت دى. د دوو مختلﻒ العالمه عددونو د ضرب حاصل منفي دى. د تامو عددونو د وېش په عمليه کې لوم7ى د وېش د حاصل عالمه پيدا کوو او بيا د مقسوم مطلقه قيمت د مقسوم عليه پر مطلقه قيمت وېشو. د ( ) کوچنى قوس ،دا {
91
} منځنى قوس او ]
[ لوى قوس دى.
د قوسونو د رفع کولو لپاره ،لوم7ى کوچنى ،بيا منځنى او په پاى کې لوى قوس له منځه وړل کې8ي .که د قوس د باندې عالمه منفي وي د قوس د نني عالمې بدلي8ي او که د قوس د باندې عالمه مثبت وي نو د قوس په د ننه عالمو کې بدلون نه راځي. د جمعې او ضرب د عمليو تبديلي او اتحادي خاصيتونه د طبيعي عددونو په شان په تامو عددونو کې هم صدق کوي.
92
دريم څپرکي پوښتنې
–1د 6, 4,+7, 3او + 10تام عددونه او د دوى جمعې معکوسونه د عددونو پر محور وښياست. –2د 0, 10, + 8, 8او 12د عددونو مطلقه قيمتونه وليکئ. –3الندې مساواتونه پوره ک7ئ: = )5 – (–3
)b
= (–6) + 4
)a
= (–8) + 0
)d
= 8+0
)c
–4د ) (+2) , ( 4او ) ( 1دريو تامو عددونو د جمعې حاصل د يو محور پر مخ وښياست: –5الندې تش ځايونه ډک ک7ئ: )a ( (+20) + (13) = +13 + ) )
( (–8 + 3 +0 ) – (–5 +0 ) = (–5) +
)b
( +4 – (–2) + (3–7) = (–20) +
)c
)
–6د عددونو پر محور د الندې شکل په شان حرکت د غشي په مرسته ښودل شوی دی دا عددونه جمع ک7ئ او حاصل يې په الس راوړئ.
–
+ +6
+5
+3 +4
+2
+1
0
–1
–2
–3
–4
–7د کابل د تودوخې درجه له صفر نه پورته د سانتي گري 30 6درجې ده او بغالن له کابله 7 درجې سوړ دى د بغالن د تودوخې درجه څو ده؟
93
–8د قالت د تودوخې درجه له صفره الندې 5درجې د سانتي گري 6ده او هرات له قالته 7 درجې د سانتي گري 6گرم دى ،د هرات د تودوخې درجه څو ده؟ –9له ( 7) + 10تام عدد څخه د( – ( –6 +10 – 4تام عدد تفريﻖ ک7ئ. –10الندې د ضرب حاصلونه په الس راوړئ: = (a( )– 8 + 2 – 4( × ) –5 +2 –1 = ( b( – )– 4+ 6 –3( × ) –5 + 0 = (c( )6 – 10 ( × ) –7 + 3 × 2 –11که چېرې يو منفي عدد پر بل منفي عدد وويشل شي د وېش د حاصل عالمه: د :هېڅ يو ج :هم مثبت او هم منفي ده الﻒ :مثبت ده ب :منفي ده –12الندې د وېش حاصلونه په الس راوړئ:
= )a) – (–10) ÷ ( –2 = )b) (–16 +4 ) ÷ (–2) × (3 = )c) – (+10 +8 ) ÷ (– 6 ÷ 2
–13الندې افاده ساده ک7ئ: = ) –6 ( ÷ ) –2 ( – [)10( ÷ })–2( + )+22×3({] – 2 –14الندې افاده ساده ک7ئ: = {( (–2 ( × 23 + (–5 + 3( + 20 – 18 ÷}– (–3( × (5 – 8
94
څلورم څپرکى
نسﺒتي عﺪدونه
53 kg 500
وزن لري. پاسن 9مرغ9 د دې مرغ 9وزن په يوه نسبتي عدد سره ښودل شوی دی.
نسﺒتي عﺪدونه
آيا کله مو فکر ک7ى دی ،چې دوه م2ې په درېو تنو څرنګه په مساوي ډول ووېشالی شو؟
فعاليت -1يو سپ2سي(تار) د 10cmپه اوږدوالي راواخلئ. -2سپ2سى په درېو مساوي برخو وويشئ. -3د خط کش په مرسته د درې واړو برخو اوږدوالى پيدا ک7ئ. له پورتني فعاليت څخه معلومي8ي چې د هرې برخې اوږدوالى ،له 3سانتي مترو څخه لوى او له 4سانتي مترو څخه کوچنى دى ،نوځکه نشو کوالى چې د تار اوږدوالى د تام (پوره) عدد په شکل ښکاره ک7و ،نو د عددونو يو بل سټ ته اړتيا ده چې د هغو په مرسته پورتنى عدد وښيو .په دې فعاليت کې څرنګه چې لس ( )10په درېو مساوي برخو ويشل شوی دی ،نو کوالى شو چې د 10په شکل 3 يې وښيو دا ډول عددونه د نسبتي عدددونو په نامه يادې8ي. اوس غواړو چې د عددونو د محور په واسطه ،د 10 3 10 —
عدد وښيو. 10 —–
3
+
+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10
3
0
–
–4 –3 –2 –1
لکه څنګه چې هر تام عدد جمعې معکوس لري ،نو نسبتي عدد هم جمعې معکوس لري. د بيلگې په تو-ه :د 10عدد جمعې معکوس ،د 10عدد دى چې په پورته شکل کې ښودل شوی دى. 3
3
7 3 مثال :د 11 ، ،نسبتي عددونه او د دوې جمعې معکوسونه(متضاد) ،د عددونو پر محور 5
وښاياست.
97
5
5
حل: جمعي معکوس(متضاد) ﻣﺘﻀﺎﺩ 11 —+
+
7 —+
5
3 —+
5
+2
3 —–
5
0
+1
7 —–
5
11 —–
5
–1
5
–
–2
معکوس(متضاد) دي يود بل جمعي ﻣﺘﻀﺎﺩ معکوس(متضاد) دي يود بل جمعي ﻣﺘﻀﺎﺩ
فعاليت -1لوم7ى د عددونو پر محور ،درې واحده جال ک7ئ. -2دا درې واحده پر څلورو مساوي برخو وويشئ. -3هره برخه ،د کوم نسبتي عدد ښودونکې ده؟ 3
-4يو واحد په څلورو مساوي برخو وويشئ او د عدد وښاياست. 4 -5د دې عدد جمعې معکوس کوم عدد دی؟ د محور پر مخ يې وښاياست. که چيرې د چې د 3 4 چې د n d
3 4
کسر د عددونو پر محور وښيو او د پورتني فعاليت نتيجه ورسره پرتله ک7و ،ليدل کي8ي
نسبتي عدد همدا د
3 4
عام کسر دى ،نو يو نسبتي عدد له هغه عدد څخه عبارت دى
په شکل وليکل شي ،د nاو dعددونه تام عددونه دي چې d 0دى.
پوښتنې 7 5 2 -1د عددونو پر يوه محور باندې يو واحد په درېو مساوي برخو ووېشئ او د , , 3 3 3
عددونه
او د هغوې جمعې معکوسونه د محور پر مخ وښياست.
-2د محور پر مخ هر واحد په څلورو مساوي برخو ووېشئ او هرې برخې ته يې aووايئ ،بيا د نسبتي عدد او جمعي معکوس يې د محور پر مخ په نښه ک7ئ او همدارنگه وواياست چې د عدد د څو aپه اندازه د
5 4
له عدد څخه لرې پروت دى.
4 3 -3يو محور داسې ووېشئ ،چې د , 5 5
ښودل شوی وي.
6 7 ,او 5 5
5 4
3 4
نسبتي عددونه په ښکاره ډول پر محور
98
د نسﺒتي عﺪدونو پرتله کول
په کوم تصوير کې- ،لونو ډېر ځاى پوښلى دى؟
> 5 7 35 35 4 7 نسبتي عددونو کې کوم يو لوى دى؟ دويم مثال :د او 9 12 7 9 63
,
3 7 21 = × 5 7 35
4 12 48 = ) (× , = ) (× حل: 9 12 108 12 9 108 7 4 نو ليکالى شو چې 63 > 48او له دې ځايه څخه کوالی شو نتيجه واخلو: > 108 108 12 9
د نسبتي عددونو په پرتله کولو کې چې مخرجونه يې سره مساوي وي هغه عدد لوى دى چې صورت يې لوى وي او که صورتونه يې سره مساوي وي ،هغه عدد لوى دى چې مخرج يې کوچنى وي .د دوو او يا زياتو داسې نسبتي عددونو د پرتله کولو لپاره چې صورتونه او مخرجونه يې سره مساوي نه وي ،لوم7ى د دې عددونو مشترک مخرج(کوچنى مشترک مضرب) پيدا کوو او بيايې سره پرتله کوو.
پوښتنې الندې نسبتي عددونه سره پرتله ک7ئ. 5 3 1 , , 9 7 3
)e
11 7
8 , 5
)d
1 1 , 2 2
)c
5 6 , 7 11
)b
3 4 , 5 7
)a
100
د نسﺒتي عﺪدونو د ﺟمعې او تفريﻖ عمليې 1 د يوه څادر د جوړولو لپاره 3 2 د غاړې د څادر لپاره 2متره له همدې ټوکر څخه 5 1 اړتيا ده .که د اړتياوړ ټوکر له 15مترو ټوکر څخه 2 پريک7و ،څومره ټوکر به پاتې شي؟
5متره ټوکر په کار دى او
فعاليت 1 -1لوم7ى د 2
عدد د عددونو پر محور وښاياست او د Aټکى ورته ووايئ.
-2د Aله ټکي څخه د 13په اندازه ښ 9خواته حرکت وک7ئ او Bورته ووايئ. 10
-3د Bټکى له کوم نسبتي عدد سره برابر دى. -4د دې عددونو د مشترک مخرج په مرسته ،د 1 13 + 2 10
-5د
2 3 + 6 6
د جمعې حاصل او د
4 6
5 6
د جمعې حاصل پيدا ک7ئ.
د تفريﻖ حاصل پيدا ک7ئ.
لومړى مثال :الندې نسبتي عددونه د کوچنی مشترک مخرج او يا د مخرجونو د کوچني مشترک مضرب د پيدا کولو په مرسته جمع ک7ئ. حل:
5 7 60 + 126 186 93 31 = + = = = 18 12 216 216 108 36
که اوس په دې مثال کې د مخرجونو کوچنى مشترک مضرب پيدا ک7و ،کوالى شو د جمعې عمليه په الندې ډول سرته ورسوو: 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 32 12 = 3 × 2 × 2 = 3 × 2 2 ليدل کې8ي چې د 18او 12عددونو کوچنى مشترک مضرب له 32 × 22 = 36څخه عبارت دى.نو
لرو چې: 5 7 10 + 21 31 = + = 18 12 36 36
101
فعاليت 5 -1لوم7ى د 6
نسبتي عدد د محور په مخ وښاياست او دې ټکې ته Aووايئ.
1 -2د Aله ټکي څخه د 4 5 1 د تفريﻖ حاصل د کوچني مشترک مضرب د پيدا کولو په مرسته په الس راوړئ. -3د 6 4
په اندازه د محور کي2ې خواته الړ شئ ،کوم ټکي ته رسي8ئ؟
2 5 دويم مثال :د له نسبتي عدد څخه ،د 3 4
نسبتي عدد تفريﻖ ک7ئ:
حل:
2 15 8 7 = ) ( = 3 12 12
5 4
د نسبتي عددونو د جمعې يا تفريﻖ په عمليو کې هم دومره بس دى چې مشترک مخرج يې پيدا ک7و او صورتونه يې سره جمع يا تفريﻖ ک7و.
پوښتنې -1الندې نسبتي عددونه جمع ک7ئ. 4 6 7 3 5 7 9 3 + )= , b) + = , c + )= , d = + 5 5 3 4 8 12 16 8 3 5 نسبتي عدد د محور پر مخ وښاياست او له دې عدد څخه د -2د 2 2 1
)a
نسبتي عدد تفريﻖ ک7ئ.
2 -3يو زده کوونکى په لوم7ۍ ورځ د يو کتاب برخه او په دويمه ورځ يې د همدې کتاب 5 5
برخه
ولوستله د کتاب کومه برخه ال لوستل شوی نه ده؟
102
د نسﺒتي عﺪدونو ضرب او تقسيم (و4ﺶ)
مخامخ شکل ،د مستطيلونو په منځ کې د کومې اړيکې ښودونکى دى؟
?
= فعآليت -1يو سپ2سي (تار) د يو واحد په اندازه په پام کې ونيسئ ،بيا يې نيم ک7ئ. -2هره نيمايي برخه په درېو مساوي برخو وويشئ. -3دا هره يوه برخه د واحد څوومه برخه ده؟ 1 1 -4د ،او 1په منځ کې څه اړيکه ليدالى شئ. 2
3
6
د دوو نسبتي عددونو د ضرب لپاره ،صورت په صورت کې او مخرج په مخرج کې ،يو له بله سره ضربوو.
3 2 ) کې ضرب ک7ئ. نسبتي عدد ،په ( لومړى مثال :د 4 7 2 3 )2 ( 3) ( 6 3 3 3 حل: × = ) (×) ( = = = = 7 4 7 4 28 14 14 14 3 ) په نسبتي عدد کې ضرب ک7ئ. دويم مثال :د ( ) 8نسبتي عدد ،د ( 4 15 ﺣﻞ : 8 3 8 3 ( 8) × ( 3) 24 2 ( =) × (=) ( ) = = 15 4 15 4 15 × 4 60 5
اوس د دوو نسبتي عددونو وېش په الندې مثالو کې څې7و. 3 7 پر دريم مثال: 5 10
ﺣﻞ :
103
وويشئ.
7 3 7 5 35 7 = × = ÷ = 10 5 10 3 30 6
2 1 څلورم مثال :د ( ) 3نسبتي عدد د ( 3 2 ﺣﻞ: 1 2 7 2 7 3 21 = ) (×) ( = ) ( ÷ ) ( = ) ( ÷ ) ( 3 2 3 2 3 2 2 4
) پر نسبتي عدد ووېشئ.
د نسبتي عددونو د ضرب په عمليه کې ،صورت په صورت او مخرج په مخرج کې ضربوو او د تقسيم په عمليه کې دويم نسبتي عدد(مقسوم عليه) سرچپه کوو او نور د ضرب په شان عمل کوو.
پوښتنې -1الندې عددونه ،يو په بل کې ضرب او ځواب يې په ساده ډول وليکئ: 15 12 (× ) 16 5 8 4 3 ) ( × × ) ( ), f 3 5 4 2 برخه څو کې8ي؟ - 2د 111د عدد 3 )c
,
12 5 ) × 3 6 16 3 ( )e ×) 15 4 ( )b
41 13 × , 5 2 7 13 ( )d (×) ) , 11 9
1 -3هر انسان بايد ل 8تر ل8ه ،د خپل بدن د هر کيلو -رام وزن لپاره ،هره ورځ تقريبا َ 2
)a
ديسي ليتره اوبه
وڅښي .يو س7ى چې 70کيلو -رامه وزن لري ،هره ورځ څومره اوبو ته اړتيا لري؟
104
د نسﺒتي عﺪدونو د عمليو ﺧاصيتونه
احمد اومحمود غواړي چې يوه کوټه رن ,ک7ي، 2 احمد 5
1 برخه او محمود 3
برخه کار ک7ي
دى .احمد وويل :د دې لپاره چې و-ورو څومره 2 1 کار سرته رسيدلى دى نو بايد + 5 3 1 2 محمود وويل ،بايد +د جمعې حاصل په 3 5
جمع ک7و،
الس راوړو ،آيا ستاسو په فکر دا توپير لري؟
فعآليت - 1که يو متر سپ2سى ولرئ او نيمايي يې ک7ئ او بيا هره نيمايي برخه په درېو مساوي برخو ووېشئ د هرې برخې اوږدوالى پيدا ک7ئ. - 2که يو بل سپ2سى د يو متر په اوږدوالي ولرئ ،لوم7ى يې په درېو مساوي برخو ووېشئ او بيا هره برخه نيمايي ک7ئ د هرې نيمايي برخې اوږدوالي پيدا ک7ئ. - 3ددې دواړو سپ2سيو اوږدوالى څه اړيکه سره لري. له پورتني فعاليت څخه داسې پايله په الس راځي چې د نسبتي عددونو په ضرب کې د تبديل9 خاصيت هم صدق کوي.
3 7 ) عددونو په مرسته د نسبتي عددونو د جمعې او ضرب په عمليو لومړى مثال :د او ( 4 5
کې د تبديلي خاصيت وښاياست.
7 3 28 15 13 = ) (+ = 5 4 20 20
نو: په همدې ډول لرو ،چې:
7 3 21 =) (×) ( 5 4 20
ﻧﻮ:
105
3 7 15 + 28 13 = )+ = , 4 5 20 20 3 7 7 3 ) (( )+ = + 4 5 5 4
(
3 7 21 =) ( × ) , 4 5 20 3 7 7 3 (× = ×) ( ) 4 5 5 4
(
5 3 دويم مثال :د نسبتي عدد د 2 2
نسبتي عدد څخه تفريﻖ ک7ئ او د تبديل 9خاصيت پکې وڅي7ئ.
حل:
5 3 5 3 2 = = =1 2 2 2 2 3 5 3 5 2 = = = 1 2 2 2 2
5 3 3 5 2 2 2 2 2 4 پر عدد ووېشئ او د تبديل 9خاصيت پکې وڅي7ئ. عدد د دريم مثال :د 3 3 حل: 4 2 4 3 12 ÷ = × = =2 3 3 3 2 6
دى ،نو د تفريﻖ په عمليه کې د تبديل 9خاصيت صدق نه کوي.
2 4 2 3 6 1 = = × = ÷ 3 3 3 4 12 2 2 4 4 2 ÷ ÷ 3 3 3 3
ليدل کې8ي چې: د تبديل 9خاصيت د نسبتي عددونو د وېش په عمليه کې صدق نه کوي د تبديل 9خاصيت يوازې د جمعې او ضرب په عمليو کې صدق کوي.
پوښتنې په تشو ځايونو کې مناسﺐ عدد وليکئ:
1 17 1 × ) (×) (= 5 2 5 8 1 8 ( ( )+ ( ) = + ) 3 2 3 8 ) ( × )× ( 5) = ( 5 2 2 5 5 (× ) (×) (=) 3 6 6 3 9 9 ) ( × )× ( 5 + 6) = (11 2
)a )b )c )d )e
106
اتحادي ﺧاصيت: 1 کــه د عــدد ســره د 2او 3عددونــو د 5
5
4
جمعــې حاصل جمع کــ7و او يا داچــې که د 1او 2عددونود جمعې له حاصل سره د 3 5 5 4
عدد جمع ک7و آيا د جمعې دا دواړه حاصلونه يو له بله سره توپير لري؟
فعاليت 4 2 الﻒ) لوم7ى د او 5 3
دوه نسبتي عددونه سره جمع ک7ئ.
6 ب) د الﻒ د برخې د جمعې حاصل ،د 7 6 4
پ) د
5
او
7
له نسبتي عدد سره جمع ک7ئ.
عددونه سره جمع ک7ئ.
2 ت) د پ د برخې د جمعې حاصل د 3
له نسبتي عدد سره جمع ک7ئ.
ث) اوس د (ب) او (ت) د برخو د جمعې حاصلونه سره پرتله ک7ئ. 2 4 6 2 4 6 ) ( + )+ = +( + 3 5 7 3 5 7
په پورته فعاليتونو کې ليدل کې8ي چې:
دې خاصيت ته د جمعې د عمليې اتحادي خاصيت وايي. لومړى مثال :آﻳا ) ( 3 + 2 ) + 3 = 3 + ( 2 + 3دى؟ 5
5
2
حل :په ل8ه پاملرنه سره وينو چې که
3 5
5
5
او
2 5
2
سره جمع ک7و ،کارمو اساني8ي ،نو د جمعې د اتحادي
خاصيت په مرسته لرو چې: 1 2
=2
1 1 3 2 3 3 + ( + ) = +1 = 1 +1 = 2 2 2 2 5 5 2 3 2 15 + 4 19 = + = 2 5 10 10 1 19 3 19 + 6 25 1 1 1 = + = =2 2 =22 2 2 2 2 10 5 10 10
دويم مثال :د 2 × ( 4 × 6 ) = ( 2 × 4 ) × 6ددې مساوات صحت ښکاره ک7ئ. 7
107
3 5
5 7
3
2 4 6 8 6 48 16 = ×) ( = ×) × ( = 3 5 7 15 7 105 35
2 4 6 2 24 48 16 = ) (× = ) × (× = , 3 5 7 3 35 105 35 2 4 6 2 4 6 16 = ×) × ( = ) × (× 3 5 7 3 5 7 35
نو لرو چې:
په دې اساس د نسبتي عددونو د ضرب په عمليه کې اتحادي خاصيت هم صدق کوي. دريم مثال :د تفريﻖ اتحادي خاصيت په ) 4 ( 1 1کې وڅي7ئ. 5
2
3
3 40 9 31 = =) ( , 10 30 30 1 25 6 19 = = 5 30 30
نو په الس راځي:
4 1 1 4 5 2 4 ( =) ( =) 3 2 5 3 10 3 4 1 1 8 3 1 5 ( ) (= ) ) (= 3 2 5 6 5 6
1 1 ) 2 5
4 3
(
4 1 1 ( ) 3 2 5
دا ) ( د غير مساوات عالمه ده ښکاره کوي چې د تفريﻖ په علميه کې اتحادي خاصيت صدق نه کوي. څلورم مثال :د نسبتي عددونو د وېش په علميه کې اتحادي خاصيت د دريو عددونو لپاره 4 1 1 4 1 5 4 5 4 2 8 وڅي7ئ. = × = ÷ = ) × (÷ = ) ÷ (÷ 3 2 5 3 2 1 3 2 3 5 15 4 1 1 4 2 1 8 1 8 5 40 = × = ÷) (= ÷) × (= ÷) ÷ ( 3 2 5 3 1 5 3 5 3 1 3 4 1 1 ÷) ÷ ( 3 2 5
نو:
4 1 1 ) ÷ (÷ 3 2 5
اتحادي خاصيت د نسبتي عددونو د جمعې او ضرب په عمليو کې صدق کوي ،ليکن د تفريﻖ او وېش په عمليو کې صدق نه کوي.
پوښتنې په دې عمليو کې اتحادي خاصيت وڅي7ئ. 7 9 5 6 2 4 )c =) ( + 5 3 9 4 5 2 = ) ÷ ( ÷ )d 3 3 5
4 2 5 = a) ( + ) + 3 5 7 5 4 3 = ) × ( × )b 7 9 5
108
توزيعي ﺧاصيت
په تامو عددونو کې مو د ضرب توزيعي قانون پر جمع باندې وليده .آيا دا خاصيت په نسبتي عددونو کې هم صدق کوي.
فعاليت B
4
E
2
مخامخ شکل په پام کې ونيسئ. د AEFDمستطيل مساحت څومره دى؟ د EBCFمستطيل مساحت څومره دى؟ د ABCDمستطيل مساحت څومره دى؟ C F آﻳا کوالى شو چې ووايو EBCF :مساحت AEFD +مساحت = ABCDمساحت. )3(2 + 4) = (3 × 2) + (3 × 4 آﻳا کوالى شو چې وليکو: کله چې يو عدد ،د دوو عددونو د جمعې په حاصل کې ضرب شي ،کوالى شو دا عدد په هر يو د دې عددونو کې ضرب ک7و او بيا د ضرب حاصلونه سره جمع ک7و چې دې خاصيت ته د ضرب توزيعي خاصيت پر جمعې باندې وايي. لومړى مثال :د ضرب توزيعي خاصيت په جمع باندې وڅي7ئ. حل :لوم7ى په عادي ډول عمليې سرته رسوو: 15 4 2 15 20 + 6 15 26 390 39 13 1 (× = ) ×( + = ) (× = ) = = =3 8 3 5 8 15 8 15 120 12 4 4
اوس توزيعي خاصيت پرې تطبيقوو: 15 4 2 15 4 15 2 60 30 5 3 10 + 3 13 1 = × ×( + ) = × + + = = + = =3 8 3 5 8 3 8 5 24 40 2 4 4 4 4
109
A 3 D
د پورتنيو دواړو حلونو له پرتله کولو څخه په الس راځي چې: 15 4 2 15 4 15 2 13 1 ×( + ) = ( × ) + ( × ) = = 3 8 3 5 8 3 8 5 4 4
دويم مثال :د ) 2 ÷ ( 4 + 7حاصل د توزيعي خاصيت له تطبيﻖ کولو پرته او د توزيعي 3 5 2 خاصيت د تطبيﻖ په صورت کې په الس راوړئ ،دواړه نتيجې سره پرتله ک7ئ چې آيا د وېش د علميې توزيعي خاصيت د جمعې په عمليې باندې صدق کوي؟ حل: 2 27 2 10 20
2 4 7 2 8 + 35 ( ÷ = ) ÷( + = ) (× = ) ( ÷ = ) 3 5 2 3 10 3 10 3 27 81
اوس پرې توزيعى خاصيت تطبيقوو: 2 4 7 2 4 2 7 2 5 2 2 10 4 70 + 16 54 9 = × ÷( + ) = ÷( ) + ÷ = ×( ) + = + = = 3 5 2 3 5 3 2 3 4 3 7 12 21 84 84 14
2 4 7 2 4 2 7 ) ÷ ( ÷ ( + ) [ ÷ ( )] + 3 5 2 3 5 3 2
له دې ځايه داسې نتيجه په الس راځي: 9 14
20 81
توزيعي خاصيت د ضرب په جمع باندې صدق کوي ليکن توزيعي خاصيت د وېش پر جمع باندې صدق نه کوي.
پوښتنې -1په الندې عمليو کې توزيعي خاصيت وڅي7ئ. 1 2 1 ) ×( + 5 3 2
)c
2 ) 5
,
5 5 ( × 6 3
)b
,
4 3 1 ) ×( + 7 2 4
)a
-2په الندې پوښتنه کې توزيعي خاصيت وڅي7ئ. 6 4 3 ×) + 5 3 2
(
-3په الندې عمليو کې توزيعي خاصيت وڅي7ئ. 8 3 3 ÷ ( + ) 5 2 4
)c
,
2 ) 3
6 3 ( ÷ 1 4
)b
,
6 3 1 ) ÷ ( + 7 2 2
)a
110
د نسﺒتي عﺪدونو ﺑﺪلول په اعﺸاري عﺪدونو ﺑانﺪې
احمد او ورور يې غواړي چې يو کار په څلورو ورځو کې سرته ورسوي د لوم7ۍ ورځې په پاى کې احمد له وروره پوښته وک7ه چې »تر اوسه څو سلنه کار سرته رسيدلى دى؟«
فعاليت په مخامخ شکل کې څو مربع گانې رنگه شوې دي. د دې مربع گانو کوم کسر آبي رنگ لري دا عدد په اعشاري عدد سره وښاياست. د دې مربع گانو کوم کسر شين رنگ لري دا عدد په اعشاري عدد سره وښاياست. د دې مربع گانو کوم کسر رنگه شوی دی؟ د يو اعشاري عدد په مرسته يې وښاياست. لومړى مثال :د 257363نسبتي (-ويا) عدد ،د اعشاري عدد په ډول وښاياست. 100 257363 63 63 حل: = 2573 = 2573 +
په دې حالت کې 2573ته د عدد صحيﺢ برخه او 0.63ته د عدد اعشاري برخه وايي.
111
100 100 60 3 = 2573 + + 100 100 6 3 = 2573 + + = 2573.63 10 100
100
فعاليت د 2.3125او 0.412اعشاري عددونه د نسبتي عددونو په شکل وليکئ. (
) 10000
=
(
) 10000 )
+ (
1000
(
) 1000
=
)
+ (
1000
)
+
( 100 )
+ (
100
) 10
+
دويم مثال :د 2.32عدد د نسبتي عدد په شکل وليکئ حل: 200 30 2 232
+ + = 100 100 100 100
(
)
2.3125 = 2 + 2.3157
( 10
0.412 = 0 +
= 2.32 = 2 + 0.3 + 0.02
کوالى شو نسبتي عددونه د اعشاري عددونو په شکل او اعشاري عددونه د نسبتي عددونوپه شکل تبديل ک7و.
پوښتنې -1د 0.420 ، 0.212او 5.215اعشاري عددونه د نسبتي عددونو په ډول وښاياست. 235 4250 او 2410نسبتي عددونه د اعشاري عددونو په شکل وليکئ. -2د , 10000 100 1000 -3د 1.5 , 0.5او 1.25اعشاري عددونه دمحور پر مخ وښاياست
- 4په الندې جدول کې د هر عدد صحيﺢ او اعشاري برخه په ټاکلو ځايونو کې وليکئ. اعشاري برخه
صحيﺢ برخه
اعشاري عددونه
12.1 13.25 1.7394 0.16
112
د څلورم څپرکي لنډيز n " نسبتي عدد هغه عدد دی چې d ( ) d 0دى.
په شکل وليکل شي په داسې حال کې چې nاو dتام عددونه او
نسبتي عددونه د -ويا يا ناطقو عددونو( )Rational numbersاو يا کسري عددونوپه نوم هم يادي8ي. لکه څنګه چې هر تام عدد (پرته له صفره) يو جمعې معکوس لري .هر نسبتي عدد(پرته له صفر) هم يو جمعي معکوس لري. د نسبتي عددونو ساده کول ،لکه د عام کسر په شان که صورت او مخرج پر يوه عدد د وېش وړ وي نو پر هغه عدد يې وېشو ،تر څو چې صورت او مخرج شريک قاسم و نه لري. په دوو نسبتي عددونو کې هغه عدد لوى دى چې د عددونو پر محور نظر بل عدد ته ښ 9خواته پروت وي ،لکه چې په تامو عددو کې مو هم وليدل. د دوو نسبتي عددونو د پرتله کولو لپاره چې صورتونه او مخرجونه يې سره مساوي نه وي لوم7ى دا عددونه بايد هم مخرج ک7و او بيا يې سره پرتله ک7و. د دوو يا څو نسبتي عددونو په جمع کولو کې د عام کسر دجمعې په شان ،تر ټولو کوچنى مشترک مخرج يې پيدا کوو او صورتونه يې د تامو عددونو په شان جمع کوو. د نسبتي عددونو د تفريﻖ عمليه دجمعې د عمليې په شان ده يوازې دا توپير لري چې د مفروق عالمه بدلون مومي او بيا نور د جمعې په شان عمل کوو. نسبتي عددونه ،لکه د تامو عددونو په شان د عددونو د محور په مرسته هم جمع او يا تفريﻖ کوالى شو. د نسبتي عددونو د ضرب په عمليه کې صورت په صورت کې او مخرج په مخرج کې ضربوو خو د وېش په عمليه کې لوم7ى مقسوم عليه معکوس کوواو نور د ضرب په شان عمل سرته رسوو.
113
د تبديل 9خاصيت د نسبتي عددونو د جمعې او ضرب په عمليو کې صدق کوي ،خو د تفريﻖ او وېش په عمليو کې صدق نه کوي. د نسبتي عددونو د جمعې او ضرب په عمليو کې اتحادي خاصيت صدق کوي خو دا خاصيت د تفريﻖ او وېش په عمليو کې صدق نه کوي. په نسبتي عددونو کې توزيعي خاصيت پر جمع او تفريﻖ باندې صدق کوي او بس. د عام کسر په شان نسبتي عددونه ،د اعشاري عددونو او اعشاري عددونه د نسبتي عددونو په شکل ليکالى شوو.
114
د څلورم څپرکي پوښتنې -1الندې نسبتي عددونه د عددونو پر محور وښاياست: 7 3
)e
2 3
,
)d
1 3
,
)c
7 3
,
)b
,
4 3
)a
-2د عددونو په الندې محور باندې نسبتي عددونه چې د محور پر مخ سره جمع شوي دي ،د عددونو په مرسته يې وليکئ.
–
+ +1
1 —+
5 —– 8
0
2
5 1 -3د نسبتي عدد څخه د 2 2
3 —–
–1
–2
2
نسبتي عدد تفريﻖ او د عددونو پر محور يې وښاياست.
-4الندې نسبتي عددونه جمع او د تبديل 9خاصيت پکې وڅې7ئ: 6 4 ) (+ 5 3
,
1 7
3 5
,
5 1 + 2 3
-5د ضرب په الندې عمليو کې اتحادي خاصيت وڅې7ئ: 5 3 3 ) × (× 6 2 5
,
1 3 5 ) × (× 2 5 3
,
8 4 6 ) × (× 5 3 10
-6تش ځايونه په مناسبو عددونو سره ډک ک7ئ:
)
115
3 2 b) ( + )×( ) =1 2 9 3 4 1 1 4 ( )d (+ )× =( × )+ 2 5 2 2 5
, ,
1 1 a) ( + ) × ( ) = 1 2 3 1 c) ( ) × = 1 3
-7په الندې پوښتنو کې توزيعي خاصيت وڅې7ئ: 2 ) 3
5 3 (× 9 4
,
5 3 4 (× + ) 8 2 3
,
6 3 2 (× ) + 5 4 5
-8د نستبي عددونو اتحادي خاصيت په الندې کومو عمليو کې صدق نه کوي؟ )aجمع 6 -9د 5
)cتفريﻖ
)bضرب
)eهېڅ يو
)dتقسيم
نسبتي عدد په اعشاري عدد تبديل د محور پر مخ يې وښاياست او هم د دې عدد
جمعې معکوس په اعشاري ډول وليکئ. -10الندې اعشاري عددونه د نسبتي عددونو په شکل وليکئ. 1.23412
,
5.2345
,
2.342
0.340
,
-11د 3.234او 4.543دوه اعشاري عددونه د نسبتي عددونو په شکل وښاياست. -12د نسبتي عددونو د تبديل 9خاصيت په الندې په کومو عمليو کې صدق نه کوي. )aجمع
)bضرب
)cتفريﻖ
)dتقسيم
-13د نسبتي عددونو توزيعي خاصيت په الندې کومو عمليو کې صدق کوي )aضرب په جمع باندې
)bضرب په تفريﻖ باندې
)cدواړه سم دي
-14د 1.25او 2.5اعشاري عددونه د نسبتي عددونو په ډول وښاياست او په همدې ډول جمعې معکوسونه يې د نسبتي عددونو په شکل د عددونو پر محور وښاياست.
116
پن%م څپرکى مثلثونه آو څو ضلعي گانې (مﻀلع گانې)
مثلثونه ،زموږ په چاپېريال کې شته.
د ضلعو له پلوه د مثلﺚ ډولونه
په مخامخ شکل کې کوم هندسي شکلونه وينئ؟
فعاليت په الندې شکلونو کې د هرې ضلعې اوږدوالى پيدا او ويې ليکئ. که وغواړو چې دا مثلثونه په ډولونو ووېشو ،کوم مثلثونه په يوه ډول کې راځي؟
)c
)f
)a
)b
)e
)d
ددې لپاره چې مثلثونه په بېال بېلو ډولو وويشئ ،کوم خاصيتونه مو په پام کې نيولي دي؟ د هغو مثلثونو زاويې چې ضلعې يې سره مساوي دي ،پيدا ک7ئ ،څه نتيجه الس ته راوړئ؟ د هغو مثلثونو زاويې چې دوه ضلعې يې سره مساوي وي پيدا ک7ئ ،څه نتيجه به الس ته راوړئ؟ له پورتني فعاليت څخه نتيجه اخلو چې مثلثونه د ضلعو د اوږدوالي له پلوه په درې ډولو ويشالی شو: _ هغه مثلث چې درې واړه ضلعې يې سره مساوي وي متساوي االضالع مثلث نومې8ي .په هر متساوي االضالع مثلث کې درې واړه زاويې هم سره مساوي دي.
119
_ هغه مثلث چې دوه ضلعې يې سره مساوي وي ،متساوي الساقين مثلث نومې8ي .په متساوي الساقين مثلث کې له دواړو مساوي ضلعو څخه ،هرې يوې ته د مثلث ساق او دريمې ضلعې ته يې قاعده وايې .په متساوي الساقين مثلث کې د ساقونو مجاورې زاويې سره مساوي وي. _ هغه مثلث چې د درې واړو ضلعو اوږدوالى يې سره توپير ولري ،مختلﻒ االضالع مثلث ور ته وايې. مثال :الندې هر يو مثلث د ضلعو له پلوه ونوموئ.
)(a
)(b
)(c
حل :لوم7ى د هرې ضلعې اوږدوالى پيدا کوو او بيا پرې نوم ږدو .د ( )aد شکل مثلث چې درې مساوي ضلعې لري ،متساوي االضالع مثلث دى .د ( )bدشکل مثلث چې دوه مساوي ضلعې لري متساوي الساقين مثلث دى او د ( )cد شکل مثلث چې د درې واړو ضلعو اوږدوالى يې سره توپير لري ،مختلﻒ االضالع مثلث دى.
پوښتنې -1يو متساوي االضالع مثلث رسم ک7ئ چې هره ضلعه يې 4cmوي. -2يو متساوي الساقين مثلث رسم ک7ئ چې له دوو مساوي ضلعو څخه هره يوه يې 3cmوي او د قاعدې اوږدوالى يې اختياري وي. -3يو متساوي الساقين مثلث رسم ک7ئ چې يوه زاويه يې 90وي. -4د يــو مثلــث د ضلعو اوږدوالى په ترتيﺐ ســره 4cm ،5cmاو 8cmدی .دا مثلث په کوم نوم يادې8ي؟
120
د زاويو له حيثه د مثلﺚ ډولونه که وغواړئ چــې د زاويو له پلوه په مثلثونو باندې نوم کې8دئ ،د مثلث زاويې له کومې زاويې ســره پرتله کوئ؟
A
D
B
C
E
H
I
G F
فعاليت الندې مثلثونه په پام کې ونيسئ.
f
e
d
b
c
a
لوم7ى د هر مثلث زاويې اندازه ک7ئ چې څو درجې دي؟ د هر يوه مثلث زاويې له قايمې زاويې سره پرتله ک7ئ. په کومو مثلثونو کې ټولې زاويې يې له قايمې زاويې څخه کوچن 9دي؟ کوم يو له دې مثلثونو څخه قايمه زاويه لري؟ کوم يو له دې مثلثونو څخه له قايمې زاويې څخه لويه زاويه لري؟ په الندې جدول کې د مثلثونو نومونه وليکئ. هغه مثلثونه چې زاويې يې له قايمې څخه کوچنى وي
121
هغه مثلثونه چې يوه زاويه يې له قايمې څخه لويه وي
هغه مثلثونه چې يوه زاويه يې قايمه وي
مثلثونه يې د زاويو له پلوه هم په دريو ډولو ويشلي دي. _ هغه مثلث چې يوه زاويه يې قايمه وي ،قايم الزاويه مثلث نومې8ي. _ هغه مثلث چې يوه زاويه يې له قايمې زاويې څخه لويه وي ،منفرج الزاويه مثلث نومې8ي. _ هغه مثلث چې درې واړه زاويې يې له 90څخه کوچن 9وي ،حاده الزاويه مثلث نومې8ي. مثال :له الندې مثلثونو څخه کوم يو يې حاده الزاويه ،قايم الزاويه او منفرج الزاويه مثلث دى؟
B
E G
C F
A
D
I
H
حل :لوم7ى د مثلثونو زاويې اندازه کوو: د BACمثلث چې يوه زاويه يې 90ده ،قايم الزاويه مثلث دى. د EGFمثلث چې يوه زاويه يې له 90څخه لويه ده ،منفرج الزاويه مثلث دى. د DHIمثلث چې ټولې زاويې له 90څخه کوچن 9دي ،حاده الزاويه مثلث دى.د زاويو له حيثه(پلوه) د مثلثونو په ډولونو د ويشلو لپاره قايمه زاويه معيار ټاکل کې8ي.
پوښتنې -1يو مثلث رسم ک7ئ چې يوه ضلعه يې 3cmاو د دې ضلعې هره مجاوره زاويه يې 60وي دا کوم ډول مثلث دى؟ -2هغه مثلث چې دوه ضلعې يې سره مساوي او ددې ضلعو تر منځ زاويه يې 90وي ،د ضلعو او زاويو له پلوه کوم ډول مثلث دى؟ -3يو داسې مثلث رسم ک7ئ چې يوه زاويه يې 120او د دې زاويې يوه مجاوره ضلع يې 4cmوي په دې ډول څو نور مثلثونه رسموالى شئ؟ -4يو منفرج الزاويه مثلث رسم ک7ئ چې منفرجه زاويه يې 100وي او د دې زاويې دوه مجاورې ضلعې 4cmاو 6cmوي.
122
د يوه مثلﺚ لوړوالﯽ(ارتفاع) ،ميانه او ﻧاﺻﻒ اﻟﺰاوﻳﻪ آﻳا تراوسه مو کوښ) ک7ئ دى چې پر عمودا ً والړ پنسل کوم مثلث ډوله شى ودروئ؟
فعاليت د ABCيو کيفي(اختياري) مثلث رسم ک7ئ. د دې مثلث درې واړه ارتفاع گانې رسم ک7ئ. آﻳا داسې نقطه(ټکى) پيدا کوالى شئ چې د مثلث درې واړه ارتفاع گانې پکې قطع شوي وي؟ د دې مثلث درې واړه ميانې رسم ک7ئ ،آﻳا دا درې واړه ميانې په يوه ټکى کې يوه له بلې سره قطع کوي؟ د دې مثلث درې واړه ناصﻒ الزاويه رسم ک7ئ ،آﻳا درې واړه ناصﻒ الزاويه هم په يوه ټکى کې قطع کوي؟ پورتني فعاليتونه ښکاره کوي چې په يوه مثلث کې درې واړه ارتفاع گانې درې واړه مياني او درې واړه ناصﻒ الزاويه ،يو بل په يوه نقطه کې قطع کوي.
2 1
2
123
2 1
1
لومړى مثال :د ABCيو منفرج الزاويه مثلث رسم ک7ئ او هغه ټکى پيدا ک7ئ چې درې واړه ارتفاع گانې يو بل سره پکې C قطع کوي. حل :څرنگه چې په يوه منفرج الزاويه مثلث کې ځينې ارتفاع گانې له مثلث څخه د باندې پرتې دي ،نو له همدې کبله د ارتفاع گانو د تقاطع ټکى هم له مثلث څخه د باندې پروت دى.
B
H A D N M
دويم مثال :د ABCيو کيفي حاده الزاويه مثلث رسم ک7ئ او د ميانو د تقاطع ټکى يې پيدا ک7ئ. حل :لوم7ی يو کيفي حاده الزاويه مثلث او بيا يې ميانې رسموو ليدل کې8ي ،چې د مثلث په دننه کې درې واړه ميانې په يوه ټکي کې قطع کوي. O دا هماغه ټکى دى چې په دې ټکي کې مثلث ډوله شى د پنسل په څوکه د تعادل په حال کې دى ،نو له همدې کبله ويالى شو C د يوه مثلث د ﺛقل مرکز د مثلث د درې واړو ميانو د تقاطع ټکى دى. د يوه مثلث ميانې ،ارتفاع گانې او ناصﻒ الزاويه درې واړه په يوه ټکي کې قطع کوي. A
B
پوښتنې -1يو قايم الزاويه مثلث رسم ک7ئ او د ميانو د تقاطع ټکى په کې وښاياست. -2د هغه مثلث ارتفاع گانې رسم ک7ئ چې ضلعې(څن6ې) يې 3cm , 5cmاو 6cmوي. -3يو متساوي الساقين مثلث رسم ک7ئ چې د هر ساق اوږدوالى يې 4cmاو قاعده يې 6cmوي د زاويو د ناصفونو د تقاطع ټکى يې پيدا ک7ئ. -4يو متساوي االضالع مثلث رسم ک7ئ ميانې ،ارتفاع گانې او د زاويو ناصفونه يې په شکل کې وښاياست څه نتيجه پکې وينئ؟
124
د يوه مثلﺚ د داﺧلي زاويو مﺠموعه آﻳا د ټولو مثلثونو د داخلي زاويو مجموعې سره مساوي دي؟
˚60 ˚60
˚60 ˚90
˚30
˚60
˚60˚ + 90˚ + 30˚ = 60˚ + 60˚ + 60
فعاليت A
د کاغذ پر مخ د ABCيو کيفي(اختياري) مثلث رسم ک7ئ او بيا يې د قيﭽي په واسطه پرې ک7ئ. د Aله راس څخه پر قاعده ارتفاع رسم د ارتفاع او قاعدې د تقاطع ټکي ته Hووايئ. مثلث داسې قات ک7ئ چې د Aټکى د Hپر ټکي باندې واقع شي (ټکى C ټکى خطونه د قات کيدو ځاى راښيي). دا وار مثلث داسې قات ک7ئ چې د Bاو Cراسونه هم پر Hمنطبﻖ شي. د قات کولو له مخې د الندې پوښتنو ځوابونه پيدا ک7ئ. ?=C
B=? ,
,
?=A
,
3
1
H
2
B
? = H1 + H 2 + H 3
نو لرو چېH1 + H 2 + H 3 = A + B+ C = 180o :
ځکه چې د يو مستقيم خط يوې خوا ته د زاويو مجموعه 180oده. د مثلث زاويې ،د نقالې په مرسته اندازه ک7ئ او پورتن 9نتيجې وڅي7ئ. له پورتني فعاليت څخه کوالی شو چې نتيجه واخلو: د هر مثلث د داخلي زاويو مجموعه 180oده او د مثلث هرې يوې داخلي زاويې ته په لن 6ډول د مثلث زاويه وايي. لومړى مثال :د ABCد يو متساوي الساقين مثلث دريمه زاويه پيدا ک7ئ که له دوو مساوي زاويو څخه يوه يې 70oوي.
125
حل :څرنگه چې مثلث متساوي الساقين دى ،د ساقونو مجاورې زاويې يې سره مساوي دي، نو: څرنگه چې د مثلث د داخلي زاويو مجموعه 180ده ،نو ليکلى شو چې: B = C = 70o
o
, 140 o + A = 180 o
, 70 o + 70 o + A = 180 o
A + B+ C = 180 o
له دې ځايه معلومې8ي چې A = 40oده. دويم مثال :د يوه قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث حادې زاويې څو درجې دي؟ حل :څرنگه چې مثلث قايمه زاويه دى ،نو يوه زاويه يې 90oده او نورې دوه زاويې يې حاده دي لکه په الندې شکل کې: B A + B + C = 180o 90o + B + C = 180o B + C = 90 B + C = 90o
C
څرنگه چې مثلث متساوي الساقين دى ،نو:
A
B = C = 90 ÷ 2 = 45o o
نو هره حاده زاويه يې 45 oده.
فعاليت يو قايمه زاويه مثلث رسم ک7ئ چې هره قايمه څن6ه يې 5cmوي ،د دې مثلث دوه نورې زاويې څو درجې دي .لوم7ى يې له نقالې څخه پرته پيدا او بيا يې د نقالې په مرسته اندازه پيدا ک7ئ. د هر مثلث د داخلي زاويو مجموعه 180oده او د مثلث په ډول پورې اړه نه لري.پوښتنې -1که په يوه متساوي الساقين مثلث کې د دوو ساقونو تر منځ زاويه 50 oوي ،ددې مثلث له دوه نورو زاويو څخه هره يوه به څو درجې وي؟ -2په يو متساوي االضالع مثلث کې ،هره زاويه څو درجې ده؟ -3که په يو متساوي الساقين مثلث کې ،د دوو ساقونو تر منځ زاويه 70 oوي ،دوې نورې زاويې هره يوه به يې ،څو درجې وي؟
126
د يوه مثلﺚ ﺧارﺟي زاويې
په مخامخ شکل کې څو ډوله زاويې وينئ؟
فعاليت د ABCمثلث په پام کې ونيسئ د BCضلعې ته د Cله ټکي څخه امتداد ورکوو تر څو چې د C 2زاويه جوړه شي. الندې پوښتنو ته ځواب ورک7ئ.
A
? = C1+ C 2 ? = C 1 + A+ B
له پورتنيو دوو مساواتونو څخه کومه نتيجه الس ته راځي؟
2
1 C
B
يه هر مثلث کې هغې زاويې ته چې د مثلث د يوې ضلعې له امتداد څخه د مثلث له بلې ضلعې سره جوړې8ي ،د مثلث خارجي زاويه وايي او په يوه مثلث کې د هرې خارجي زاويې اندازه د مثلث د دوو نورو غيرو مجاورو داخلي زاويو له مجموعې سره مساوي ده. لومړى مثال :په يوه قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث کې غواړو چې هغه خارجي زاويه چې د وتر له امتداد ورکولو څخه جوړې8ي ،اندازه ک7و .آﻳا دا به توپير ولري چې وتر ته کومه خوا امتداد B ورک7و؟ o حل :څرنگه چې مثلث قايم الزاويه دى ،نو يوه زاويه يې 90ده او هم څرنگه چې مثلث متساوي الساقين دى ،نو هره يوه حاده الزاويه يې 45 o 1 C ده، C2 = 90 o+ 45 o= 135 o . C2 = A + B A 2 څرنگه چې دواړه حاده زاويې سره مساوي دي:
127
نو خارجي زاويې يې هم سره مساوي دي .دا توپير نه لري چې خارجي زاويه د وتر کومې خواته پرته وي. o o دويم مثال :د ABCپه يوه مثلث کې که A = 50او B = 70وي د Cخارجي زاويه به څو درجې وي؟ C2 = A + B = 50 o + 70 o = 120 o
فعاليت C
د الندې مختلﻒ االضالع مثلث د درې واړو خارجي زاويو اندازه پيدا ک7ئ.
50o
A
30o
100o
B
د يوه مثلث خارجي زاويه د مثلث د دوو داخلي غير مجاورو زاويو له مجموعې سره مساوي ده.
پوښتنې -1په الندې شکلونو کې هغه زاويې چې د xپه عالمې سره ښودل شوي دي ،په الس راوړئ: A
A A
x
60° 30°
x
60°
C
B
C 140°
A
x
x 120° 144°
B
C
B
C
60° 30°
-2د يوه متساوي االضالع مثلث خارجي زاويې په خپل منځ کې څه اړيکه لري؟ -3يو قايم الزاويه مثلث رسم ک7ئ چې ضلعې يې 4cm , 3cmاو 5cmوي ،بيا د دې مثلث د خارجي زاويو مجموعه پيدا ک7ئ. -4د څو مثالونو په مرسته وښاياست چې د مثلثونو د خارجي زاويو مجموعه ﺛابته ده؟ -5د يو مثلث د خارجي زاويو مجموعه د مثلث د داخلي زاويو د مجموعې څو چنده ده؟
128
B
د يوه مثلﺚ د ضلعو تر من# اړيکې
آيا داسې مثلث جوړيدالی شي چې د دوو ضلعو د اوږدوالي مجموعه يې له دريمې ضلعې څخه کوچنی وي؟
فعآليت د ABيو قطعه خط د 7cmپه اوږدوالي رسم ک7ئ. د Aله ټکي څخه يوه دايره د 4cmپه شعاع او د Bله ټکي څخه يوه دايره د 5cmپه شعاع رسم ک7ئ. د دواړودايرو د تقاطع ټکي ته Cووايئ او د Aاو Bسره يې ونښلوئ. د ABCمثلث په پام کې ونيسئ او ووايئ چې د ACاو BCد ضلعو اوږدوالى څومره دى؟ بل ځل د Aله نقطې څخه يوه دايره ،د 4cmپه شعاع او د Bله نقطې څخه يوه دايره د 2cm په شعاع رسم ک7ئ. آﻳا دا دواړه دايرې يو له بله سره قطع کوي او مثلث جوړې8ي؟ که د Aله نقطې څخه يوه دايره د 4cmاو د Bله نقطې څخه يوه دايره د 3cmپه شعاع رسم ک7و .آﻳا دا دواړه دايرې يو له بل سره قطع کوي؟ په پورتنيو دريو حالتونو کې څه توپير دى چې په يو حالت کې مو مثلث جوړ ک 7او په دوو نورو حالتونو کې مو ونشو کولى چې مثلثونه جوړ ک7و. په پورتني فعاليت کې مو وليدل چې د مثلث د جوړيدو A
لپاره د مثلث د دوو ضلعو مجموعه بايد له دريمې ضلعې څخه زياته وي .په دې معنا چې د ABCپه مثلث کې د BCاو ACد ضلعو مجموعه له ABڅخه لويه ده.
129
C
B
لومړى مثال :يو داسې مثلث رسم ک7ئ چې ضلعې يې 6cm , 3cmاو 8cmوي؟
حل :بايد وگورو چې د مثلث د ضلعو تر منځ اړيکه ،د ټولو ضلعو لپاره سمه ده او که نه؟ 6
3
3+ 6 = 9 , 9 > 8 3 + 8 = 11 , 11 > 6 6 + 8 = 14 , 14 > 3
8
نو کوالى شو چې دا مثلث رسم ک7و ،پورته شکل ته وگورئ.
دويم مثآل :آﻳا کوالى شو چې يو داسې مثلث رسم ک7و چې ضلعې يې 6cm , 3cmاو 2cm
وي؟ حل:
3+ 6 = 9 , 9 > 2 2 + 6 = 8 , 8> 3 3+ 2 = 5 , 5 < 6
د دې لپاره چې وکوالی شو يو مثلث رسم ک7و ،بايد درې واړه شرطونه صدق وک7ي .په دې معنا چې د دوو ضلعو د اوږدوالي مجموعه يې له دريمې ضلعې څخه لويه وي ،په دې مثال کې 3 + 2 = 5 < 6 ده نو مثلث نه جوړې8ي. که د دوو ضلعو د اوږدوالي مجموعه له دريمې ضلعې څخه کوچن 9وي مثلث نه جوړې8ي. پوښتنې -1آيا کوالى شو داسې يو مثلث رسم ک7و چې دوه ضلعې يې 7cm , 5cmاو دريمه ضلع يې د دواړو نورو ضلعو د مجموعې له نيمايي سره برابره وي؟ -2له داسې دريو قطعه خطونو څخه چې يو قطعه خط د دوو قطعه خطونو له مجموعې څخه لوى وي ،ولې مثلث نه شو رسموالى؟ -3په الندې مثلثونو کې د ضلعو د اندازه کولو په مرسته د ضلعو تر منځ اړيکه پکې وڅي7ئ. A
A
A B
C
B
C B C )(b )(c )(a -4يو داسې قايم الزاويه مثلث رسم ک7ئ چې قايمې ضلعې يې 5cmاو 3cmاو د وتر اوږدوالى يې 7cmوي؟
-5آﻳا يو متساوي الساقين مثلث رسموالى شئ چې د قاعدې اوږدوالى يې د يوه ساق اوږدوالي درې چنده وي؟
130
مﻀلع گانې يا څو ضلعې
په مخامخ شکل کې څو ډوله مضلع گانې وينئ؟
فعاليت الندې جدول ته وگورئ او د ستونونو دننه شکلونه سره پرتله ک7ئ. منظمې څو ضلعي(مضلعې گانې)
څو ضلعي دي (غير منظمې)
څو ضلعي نه دي
د لوم7ي او دويم ستون شکلونه له کي2ې څخه ښ 9خواته سره پرتله ک7ئ. په کوم حالت کې يو شکل مضلع او په کوم حالت کې يو شکل مضلع نه ده؟ د يوې منظمې مضلعې زاويې اندازه او وواياست چې په خپل منځ کې څه اړيکه لري؟ آيا دا خصوصيت په ټولو مضلع گانو کې شته دى؟ ددې لوست د پيل په فعاليت کې ليدل کې8ي چې مضلع يو ت7لى منکسر خط دى چې يوازې يوه ت7لې ناحيه ولري.
131
که د يوې مضلع زاويې او ضلعې سره مساوي وي ،منظمه مضلع ورته وايې .هغه مضلع چې زاويې او ضلعې يې سره مساوي نه وي ،د غير منظمې مضلع په نامه يادې8ي. مثال :له الندې شکلونو څخه کوم يو يې څو ضلعي(مضلع) ده؟
)(c
)(f
)(b
)(e
)(a
)(d
حل :د ( )aشکل يو ت7لى شکل نه دى ،نو يوه مضلع هم نه ده. د ( )bشکل ت7لى دی خو منکسر خط نه دى ،نو يوه مضلع نه ده. د ( )cشکل يو ت7لى منکسر خط دى ،نو يوه مضلع ده. د ( )dشکل يو ت7لى منکسر خط دى ،نو يوه مضلع(څو ضلعي) ده. د ( )eشکل يو ت7لى منکسر خط دى نو يوه مضلع(څو ضلعي) ده. د ( )fشکل يو ت7لى منکسر خط دى اوپه ټولو پورتنيو شکلونو کې يوازينى شکل دى چې ضلعې يې سره مساوي دي ،نو يوه منظمه مضلع ده او نورې پورتن 9مضلع گانې ،د غير منظمو مضلع گانو په نامه يادې8ي. مضلع(څوضلعي) يوه ت7لې ناحيه ده چې د څو مستقيمو قطعه خطونو له تقاطع څخه جوړې8ي چې هېڅ دوه خطونه د يوه مستقيم خط په امتداد نه وي او د مضلعې هر رآس يوازې او يوازې د دوه قطعه خطونو د تقاطع ټکى وي. پوښتنې -1څو ضلعې -انې چې پيﮋنئ ،نومونه يې واخلئ. -2په څو ضلعي گانو کې چې يې پېﮋنئ کومې يې منظمې څو ضلعي گانې دي؟ -3آﻳا مستطيل ،ذوذنقه او معين منظمې مضلعې گانې(څو ضلعي گانې) دي؟ -4آﻳا يو قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث يوه منظمه څو ضلعې ده ،ولې؟ -5آﻳا يو متساوي االضالع مثلث يوه منظمه مضلع ده ،ولې؟ -6که درې شکلونه مستطيل ،دايره او مربع په پام کې ونيسو ،کوم يو له دې شکلونو څخه مضلع نه ده ،کومه يو يې منظمه مضلع او کومه يوه يې غير منظمه مضلع ده؟
132
د يوې مﻀلع د داﺧلي زاويو مﺠموعه د مخامخ مضلع گانو د داخلي زاويو مجموعه څو درجې ده؟
90º
90º
? = 90º + 90º + 90º + 90º
90º 108º 108º
90º
108º
108º 108º
? = 108º + 108º + 108º + 108º + 108º
فعاليت په الندې شکلونو کې هرې ضلعې ته امتداد ورک7ئ.
)(e
)(d
)(c
)(b
)(a
د ( )eاو ( )aشکلونه د ( )d( ،)bاو ( )cله شکلونو سره څه توپير لري؟ له پورته فعاليت څخه داسې نتيجه السته راځي چې د ځينو مضلع گانو د ځينو ضلعو امتداد د څو ضلعي گانو له منځه څخه تيرې8ي چې داسې څو ضلعي ته مقعره څو ضلعي وايي .او هغه مضلع گانې چې د ضلعو امتداد يې د مضلع له منځ څخه نه تيري8ي ،محدبه مضلع بلل کې8ي.پاتې دې نه وي که د مضلع له نوم سره د مقعرې او محدبې نوم ونه ويل شي موخه(هدف) ترې محدبه مضلع ده.
فعاليت د ABCDڅلور ضلعي په پام کې ونيسئ. د دې څلور ضلعي داخلي زاويې د نقالې په مرسته اندازه ک7ئ او د زاويو مجموعه يې پيدا ک7ئ. د څلور ضلعي يو قطر رسم ک7ئ ،دا قطر څلور ضلعي په څو مثلثونو ويشي؟ د داخلي زاويو مجموعه د نقالې له مرستې پرته پيدا ک7ئ.
133
که د دې قطر پر ځاى مو د څلور ضلعي بل قطر رسم ک7ى واى آيا په نتيجه کې به توپير راغلى واى؟ يوه پنځه ضلعي رسم ک7ئ او د دې پنځه ضلعي له يوه رآس نه دوه اختياري(کيفي) قطرونه رسم ک7ئ ،د پنځه ضلعي د داخلي زاويو مجموعه پيدا ک7ئ؟ يوه شپ 8ضلعي رسم ک7ئ او ووياست چې څو قطرونه بايد رسم ک7و تر څو د شپ 8ضلعي د داخلي زاويو مجموعه په الس راوړو. مخامخ جدول په خپلو کتابﭽو کې وليکئ او پوره يې ک7ئ ،د ضلعو د هر شمېر په مقابل کې کوم عدد په 180 o کې ضربي8ي ،دا عدد د څو ضلعې د ضلعو له شمېر سره څه اړيکه لري؟
د داخلي زاويو مجموعه
د ضلعو شمېر
˚1 × 180
3
˚2 × 180
4
˚3 × 180
5
˚4 × 180
6
·
·
·
·
·
·
آﻳا اټکلوالى شئ چې د يوې اته ضلعي د داخلي زاويو مجموعه څو درجې ده؟ د nضلعي د داخلي زاويو مجموعه څومره ده؟ له پورتني فعاليت څخه څرگندي8ي چې S = (n 2)180 oده چې دلته Sد داخلي زاويو مجموعه او nد مضلع د ضلعو شمېر ښکاره کوي. مثال :د يوې لس ضلعي د داخلي زاويو مجموعه څو درجې ده؟ او هم وواياست چې د يوې قايمې زاويې څو برابره کې8ي؟ o o o o حل: S = (n 2) ×180 = (10 2) ×180 = 8 ×180 = 1440 چې د يوې قايمې زاويې له ()16چنده سره برابره ده. د يوې مضلع د داخلي زاويو مجموعه د مضلع د ضلعو په شمېر پورې اړه لري. پوښتنې -1په الندې مضلع گانو کې محدبې او مقعرې مضلع گانې وښاياست؟
)(d
)(c
)(b
)(a
-2د يوې دولس ضلعي د داخلي زاويو مجموعه پيدا ک7ئ؟ -3د يوې اته ضلعي د داخلي زاويو مجموعه د يوې قايمې زاويې څو برابره کې8ي؟ -4د يو مثلث ،يوې مربع ،يو مستطيل او يوې شل ضلعي د داخلي زاويو مجموعه د پورتني فورمول له مخې پيدا ک7ئ.
134
د يــوې مﻀلع(څو ضلعي) د ﺧارﺟي زاويو مﺠموعه 72º
آﻳا کوالى شئ ووايئ ،د يوې مضلع(څوضلعي) د خارجي زاويو مجموعه څو درجې ده؟
72º
72º 72º 72º ? = 72º + 72º + 72º + 72º + 72º
فعاليت
A
د ABCيو مثلث په پام کې ونيسئ. د ABضلعي ته له Aڅخه Bته امتداد ورک7ئ. د BCضلعې ته له Bڅخه Cته امتداد ورک7ئ. د ACضلعې ته له Cڅخه Aته امتداد ورک7ئ. د دې مثلث درې خارجي زاويې وښاياست او نوم پرې کې8دئ. الندې جدول په خپلو کتابﭽو کې وليکئ او پوره يې ک7ئ:
C
د داخلي زاويو مجموعه
د خارجي زاويو د داخلي او خارجي مجموعه زاويو مجموعه o ? = ............. × 180 = ? ........................... .......... ......... ? = ........................... .......... .........
? = ............. × 180o
? = ........................... .......... .........
? = ............. × 180o
? = ........................... .......... .........
? = ............. × 180
...
...
o
...
B مضلع گانې درې ضلعي څلور ضلعي پنځه ضلعي شپ 8ضلعي ...
يوه څلور ضلعي رسم او خارجي زاويې يې وښاياست: يوه پنځه ضلعي رسم او خارجي زاويې يې وښاياست: o پورتنى فعاليت ښکاره کوي چې د يوې مضلع د خارجي زاويو مجموعه 360ده او د ضلعوپه شمېر پورې اړه نه لري.
135
لومړى مثال :د يوې مربع د خارجي زاويو مجموعه لوم7ى د شکل له مخې او بيا يې د فورمول له مخې پيدا او سره پرتله يې ک7ئ. حل :څرنگه چې پوهې8و د يوه مستقيم خط يوې خوا ته د زاويو مجموعه 180 oده .نو: B1 + B 2 = 90 o + 90 o = 180 o
A1 + A 2 = 90 o + 90 o = 180 o
D1 + D 2 = 90 o + 90 o = 180 o
C1 + C 2 = 90 o + 90 o = 180 o
نو د مربع د خارجي زاويو مجموعه مساوي ده ،په:
A 2
D 1 2
1
1
1 2 C
2
B
A 2 + B 2 + C 2 + D 2 = 90 o + 90 o + 90 o + 90 o = 360 o
دويم مثال :د يوه قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث د خارجي زاويو مجموعه پيدا ک7ئ. حل :د ABCيو قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث رسم ک7ئ ،ضلعو ته يې امتداد ورک7ئ ،تر څو خارجي زاويې يې جوړې شي .ليدل کې8ي چې:
A 45°
A 2 =180o 45o = 135o B2 = 180o 90o = 90o C2 = 180o 45o = 135o
2
2
C
45°
90° 2
نو د مثلث خارجي زاويو مجموعه يې مساوي ده په: A 2 + B2 + C2 =135o + 90o + 135o = 360o د يوې مضلع (څو ضلعي) د خارجي زاويو مجموعه 360 oده او د مضلع د ضلعو په شمېر پورې
اړه نه لري.
پوښتنې -1د يو متساوي االضالع مثلث د خار جي زاويو مجموعه پيدا ک7ئ. -2که په يوه متساوي الساقين مثلث کې د دوو ساقونو تر منځ زاويه 80 oوي ،د دې مثلث د خارجي زاويو مجموعه پيدا ک7ئ. -3د يوې منظمې لس ضلعي د خارجي زاويو مجموعه پيدا ک7ئ. -4د مستطيل هره خارجي زاويه څو درجې ده؟ مجموعه يې په الس راوړئ.
136
B
انﻄﺒاق منوونکى ﺷکلونه لکه څنگه چې پوهې8ئ ،زيات قلفونه دوه يا درې کيلي گانې لري .ولې؟ دا کيلي گانې په خپل منځ کې څه اړيکه لري چې قلﻒ پرې خالصې8ي ،آﻳا په الندې ځوابونو کې سم ځواب شته دى؟ الﻒ) ځکه چې دا کيلي گانې يو رنگ لري. ب) ځکه چې د دې کيلي گانو اوږدوالى يو شى دي. پ) ځکه چې يو شان غاښونه لري. ت) ځکه چې د دې کيلي گانو پن6والى برابر دى. ج) د ب ،پ او ث ځوابونه سم دي.
فعاليت د کاغذ پر مخ يوه داسې مربع رسم ک7ئ چې هره ضلع يې 4cmوي او الﻒ ورته ووايئ. د کاغذ پر مخ يوه داسې مربع رسم ک7ئ چې هره ضلع يې 6cmوي او(ب) ورته ووايئ. د کاغذ پر مخ يوه داسې مربع رسم ک7ئ چې هره ضلع يې 4cmوي او(پ) ورته ووايئ. دا مربع گانې ،د قيﭽي په مرسته جال ک7ئ او دوه په دوه يې يو پر بل کې8دئ او سره يې پرتله ک7ئ. د دوه انطباق منوونکو شکلو تر منځ د
عالمه کارول کې8ي.
لومړى مثال :په الندې شکلونو کې انطباق منوونکي شکلونه وښاياست(اړونده عددونه په سانتي متر سره د شکلونو د ضلعو اوږدوالى ښکاره کوي). 4 حل :د aاو cجوړه شکلونه يو له بل سره انطباق منونکي دي ليکن د bشکلونه يو له بل سره انطباق منونکي نه دي.
4
4
4
4
4
4
((a
((b
4
2
4 4
((c 2 دويم مثال :يو اختياري مستطيل رسم ک7ئ ،څرنگه کوالى شو چې يو داسې مستطيل رسم ک7و چې به لوم7ي مستطيل منطبﻖ وي.
137
حل :په دوه ډوله دا کار سرته رسوو. -1د ABCDيو مستطيل په تيز رنگ سره رسموو ،بيا يو نرۍ کاغذ
B
A
ددې مستطيل پر مخ ږدو ،د کاغذ پر مخ پنسل پرې گرځوو اود کاغذ پر
مخ بل مستطيل رسموو ،اوس نو دا دواړه شکلونه يو له بله سره منطبﻖ C
D
F
E
G
H
دي.
-2څرنگه چې پوهې8و ،د مستطيل هره زاويه 90oده ،نو د شکل مطابﻖ د Eقايمه زاويه رسموو او د EFضلع د ABپه اندازه او د EHضلع د CDپه اندازه رسموو ،بيا د پرکار په مرسته د FGضلع د BCپه اندازه او د HGضلع د DCپه اندازه رسموو ،اوس نو د
EFGHمستطيل د ABCDله مستطيل سره انطباق منونکی دی. دوه شکلونه چې پوره يو پر بل منطبﻖ وي ،په دې معنا چې يو بل وپوښي ،انطباق منونکي شکلونه ورته وايې.
پوښتنې -1دوه انطباق منوونکي مربع گانې رسم ک7ئ. -2دوه لوزي گانې راک7ل شوي دي ،څرنگه پوهېداى شو چې سره انطباق منوونکي دي؟ -3دوه انطباق منوونکي مثلثونه رسم ک7ئ. -4يوه دايره چې 4cmشعاع لري رسم ک7ئ ،يوه بله داسې دايره رسم ک7ئ چې له لوم7ۍ دايرې سره منطبﻖ وي.
138
د ﻫﻐو مثلثونو انﻄﺒاق مننه ﭼې د يوه مثلﺚ دوې ضلعې او د من #زاويه يې د ﺑل مثلﺚ د دوو ضلعو او د من #زاويې سره مساوي وي
د دې لپاره چې ووينو ،آيا په شکل کې دا دواړه باغﭽې سره انطباق منوونکي دي او که نه؟ آيا کوالى شو چې يو شکل راواخلو او پر بل يې کې8دو؟
فعاليت په الندې شکل کې د ABCاو ' A' B' Cپه مثلثونو کې ' AB = A' Bاو ' AC = A' Cاو A
A′
' A = Aده.
B′ C′
B
C
يو نرى کاغذ راواخلئ او د ABCد مثلث پر مخ يې کې8دئ او د ABCله مثلث سره برابر يې پرې ک7ئ او د " A" B" Cورته ووايئ. د ' Aرآس پر " Aکې8دئ. آيا د ' A' Bضلع پر " A" Bاو د ' A'Cضلع پر " A" Cپر يوزي؟ ولې؟ آيا د ' Bرآس پر " Bاو ' Cپر " Cپريوزي؟ ولې؟ د ABCاو ' A' B' Cدوه مثلثونه يو له بل سره څه اړيکه لري ولې؟ د ABCاو " A" B" Cدوه مثلثونه يو له بل سره څه اړيکه لري ولې؟ د ' A' B' Cاو " A" B" Cدوه مثلونه يو له بل سره څه اړيکه لري ولې؟ کوالى شو له پورتني فعاليت څخه يوه داسې نتيجه واخلو: که د يوه مثلث دوه ضلعې او ددې ضلعو د منځ زاويه ،د بل مثلث د دوه ضلعو او د منځ زاويې سره مساوي وي دا مثلثونه انطباق منونکي دي.
139
مثال :په الندې شکل کې AB = BCاو BHد ABCد زاويې ناصﻒ الزاويه دى ،ﺛبوت ک7ئ چې د ABHاو BCHدوه مثلثونه انطباق منوونکي دي( HBC
) ABH
A B
حل :د ABHاو BCHپه مثلثونو کې( B1 = B 2 :ځکه چې د B زاويه نيمايې شوې ده) BA = BCدى چې په مثال کې راک7ل شوى دى. او ( BH = BHمشترکه ضلعه) له دې ځايه څرگندې8ي چې د ABHاو BCHپه دوو مثلثونو کې دوې ضلعي او د منځ زاويې سره مساوي دى،
12
C C
نو دا دواړه مثلثونه انطباق منوونکي دي.
H
BA
پوښتنې A
-1په مخامخ شکل کې AE = BDدى او يو بل د تنصيﻒ په ټکى( )Cکې قطع کوي او هم د AEاو BDدوه خطونه يو پر بل عمود دي ،ﺛبوت ک7ئ، چې ABC CDEدي؟
D
C
B
E
-2که چيرې د دايرې دوه قطرونه يو پر بل عمود وي او د قطرونو د تقاطع ټکي د دايرې له محيط سره د شکل په شان ونښلوو آﻳا د AODاو BOCمثلثونه سره انطباق منونکي دي؟
A
D
O
B
C
-3يوه مستطيل الشکله ځمکه په څه ډول په دوه انطباق منونکو مثلثونو ويشالى شئ؟
140
د دوو مثلثونو د انﻄﺒاق مننې حالت ،د دوو زاويو او ددې زاويو د من #د ضلعې له مﺨې
که چيرې په دوو مثلثونو کې دوې زاويې او د منځ ضلعه يې سره مساوي وي ،څرنگه کوالى شو ﺛبوت ک7و چې دا دواړه مثلثونه سره انطباق منونکي دي؟
A
C A′
B
C′ B′
AB = A′B′ ^ ^ A = A′ ^ ^ B = B′
فعاليت د ABCيو داسې مثلث رسم ک7ئ چې BC = 4cmد B = 60 oاو د C = 80 oوي. د ' A' B' Cيو داسې مثلث رسم ک7ئ چې B' C ' = 4cmد B' = 60 oاو د C' = 80 oوي. يو نرى کاغذ د ABCد مثلث پر مخ کې8دئ او کاغذ د ABCله مثلث سره برابر پرې ک7ئ ،دې مثلث ته " A" B" Cووايئ. د " Bرآس په ' Bکې8دئ آيا " Cپه ' Cپريوزي ولې؟ آيا د " A" Bضلع په ' A' Bمنطبﻖ کې8ي ولې؟ آيا د " A"Cضلع په ' A'Cمنطبﻖ کې8ي ولې؟ له پورتني فعاليت څخه دا نتيجه په الس راځي چې: که د يوه مثلث دوه ضلعې او د منځ زاويه يې د بل مثلث د دوه ضلعو او د منځ زاويې سره مساوي وي ،دا دواړه مثلثونه انطباق منونکي دي. لکه څنگه چې په مخامخ شکل کې لرو چې: C′
A′
A
B′
'AB = A' B' , A = A' , B = B
نــو د ABCاو ' A' B' Cمثلثونه ســره انطباق منونکي دي. مثال :د ABCپه متساوي الساقين مثلث کې د AHناصﻒ الزاويه د BCپر قاعده عمود دي، C
ﺛبوت ک7ئ چې د ABHاو ACHمثلثونه سره انطباق منونکي دي.
141
B
حل :د ABHاو ACHپه دوو مثلثونو کې لرو چې: د Aزاويه نيمايې شوې ده A1 = A 2 ..................... مثلث متساوي الساقين دى B = C ...................... د متساوي الساقين مثلث ساقونه AB = AC ...................
A 12
له پورتني فـعــــاليت څخه لـرو چې د ABHاو ACHپه دوو مثـلثـونـو کې د ABH
د مثلــث دوي زاويې او د منــــځ ضــلع د C
ACHد مثلث د دوه زاويو او د منځ ضلعې سره مساوي دي ،نو: ACH
B
H
ABH
دويم مثال :ولې داسې دوه قايم الزاويه متساوي الساقين مثلثونه چې د دواړو مثلثونو ساقونه سره مساوي وي ،انطباق منونکي دي؟ حل :د ABCاو ' A' B' Cپه دوه قايم الزاويه متساوي الساقين مثلثونو کې لرو چې: (قايمه) B = B د متساوي الساقين ساقونه سره مساوي دي AB = A B ......... 'A متساوي الساقين ساقونه سره مساوي دي BC = B C ......... څرنگه چې په دواړو مثلثونو د ABCاو ' A' B' C 'C B کې دوه ضلــــعي او د هغــــوى د منــــځ زاويې ســـــره 'C مساوي دي. ABC
ABC
که په دوو مثلثونو کې دوې زاويې او د منځ ضلعي سره مساوي وي ،دا مثلثونه سره انطباق منوونکي دي.
پوښتنې -1دوه قايم الزاويه متساوي الساقين مثلثونه بايد کوم بل شرط ولري تر څو يو پر بل منطبﻖ شي. -2که په دې دوه مختلﻒ االضالع مثلثونو کې ' A = A' , B = Bاو ' AB = A' Bوي آيا دا دوه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي ،ولې؟ A C B
142
A B
د مثلثونو انﻄﺒاق مننه د در4و مساوي ضلعو له حيثه
A C
که د يوه مثلث درې واړه ضلعې ،د بل مثلث له درې واړو ضلعو سره مساوي وي ،دا دواړه مثلثونه په خپل منځ کې څه اړيکه لري؟
A′
B
C′
AB = A′B′
B′
AC = A′C′ BC = B′C′
فعاليت د A' B' = AB = 5cmدوه قطعه خطونه رسم ک7ئ. که دا دوه قطعه خطونه د دوو مثلثونو ضلعې وي او دوه نورې ضلعې يې AC = A' C' = 7cm او BC = B' C' = 4cmوي .دا مثلثونه رسم ک7ئ. يو نرى کاغذ د ABCد مثلث پر مخ کې8دئ او پرې يې ک7ئ چې د " A" B" Cمثلث جوړ شي. دا د " A" B" Cمثلث د ' A' B' Cد مثلث پر مخ کې8دئ ،څه به وشي؟
له پورتني فعاليت څخه څرگندې8ي چې که د يوه مثلث درې واړه ضلعې د بل مثلث له دريو ضلعو سره مساوي وي دا مثلثونه انطباق منونکي دي. C C′ د مثال په ډول په دې دوو مثلثونو کې لرو چې: 'AB = A' B
B′
'AC = A' C 'BC = B' C
A′
A
څرنگه چې د دې مثلثونو درې واړه ضلعې يوه له بلې سره مساوي دي ،نو دا دواړه مثلثونه سره انطباق منونکي دي. ABC
143
ABC
B
لومړى مثال :د ABCاو ECDپه دوو مثلثونو کې که چيرې AB = EDوي ،آﻳا دا دواړه مثلثونه سره انطباق منونکي دي AD ،او EBد دايرې قطرونه دي. حل: A B ( د دايرې شعاع گانې) AC = CE ....................... د دايرې شعاع گانې BC = CD ....................... C په مثال کې راک7ل شوي دي AB = ED ....................... څرنگه چې په دې دواړو مثلثونو کې درې ضلعې يې يوه E D له بلې سره مساوي دي ،نو: ECD
ABC
دويم مثال :که د يوه مستطيل يو قطر رسم ک7و ،آيا قطر مستطيل په دوو مساوي مثلثونو ويشي، ولې؟ B A حل :مستطيل او يو قطر يې رسموو ليدل کې8ي چې: AB = CD AD = BC BD = BD
C
D
څرنگه چې د ABDاو BCDد مثلثونو درې واړه ضلعې سره مساوي دي ،نو دا دواړه مثلثونه سره انطباق منونکي دي او د مستطيل قطر مستطيل په دوو مساوي برخو ويشي. که چيرې د يوه مثلث درې ضلعې د بل مثلث له درې ضلعو سره برابرې وي ،دا دواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي. پوښتنې -1د يوه مثلث درې ضلعې 7cm , 5cmاو 3cmدي د يوه بل مثلث د دوو ضلعو مجموعه 10cmده ،دريمه ضلع به يې څو سانتي متره وي ،ترڅو دا دواړه A مثلثونه سره انطباق منونکي شي؟ -2د مخامخ شکل په شان د ABCمثلث راک7ل شوى دى ،بل يو داسې مثلث رسم ک7ئ چې د دې مثلث سره انطباق منونکي وي.
C
B
144
ﻫﻐــه ﻗايــم الزاويــه انﻄﺒــاق منونکــي مثلثونه ﭼې وتر او يــوه حاده الزاويه يې سره مساوي وي په دريو حالتونو ســربېره چې د دوه مساوي(انطباق منونکــو) مثلثونو په برخه کې مو ولوســتل ،آﻳا د قايم الزاويه مثلثونو په برخه کې بل حالت هم شته دى؟
A
B
C
A′
B′
C′
AB = A′B′ ^ ^ B = B′
فعاليت د 5cmپه اوږدوالي د ABيو قطعه خط رسم ک7ئ. د ABد ضلعې د Bپه ټکي کې د 40 oزاويه رسم ک7ئ چې يوه ضلع يې ABاو بله يې BCوي. د Aله ټکي څخه د BCپر ضلع عمود رسم ک7ئ. کوم ډول مثلث جوړې8ي؟ په همدې شرطونو يو بل مثلث رسم ک7ئ او ' A' B' Cورته ووايئ. يو نرى کاغذ د ' A' B' Cمثلث پر مخ کې8دئ او د " ' A" B" Cمثلث جوړ ک7ئ. " Aد ' Aپر مخ کې8دئ ،آيا " Bپر ' Bپرې وزي ،ولې؟ آيا " B"Cپه ' B'Cپريوزي؟ ولې؟ آيا د ABCاو ' A' B' Cمثلثونه سره انطباق منونکي دي؟ له پورتني فعاليت څخه څر-ندي8ي چې: که چيرې د يو قايم الزاويه مثلث وتر او يوه حاده زاويه د بل مثلث له وتر او حاده زاويې سره مساوي وي دا دواړه مثلثونه سره انطباق منونکي دي؟ A A لومړى مثال :دوه قايم الزاويه مثلثونه چې وتر يې 5cm 5cm 5cm او هره يوه حاده زاويه يې 60 oوي رسم ک7ئ ،آيا دا دواړه 60° 60° مثلثونه انطباق منونکي دي؟ C C B
145
B
حل :لوم7ى د 60oزاويه رسموو چې يوه ضلع يې 5cmوي ،د دې ضلعې له انجام څخه پر بله ضلعه يو عمود رسم ک7ئ او په همدې ډول دويم مثلث هم رسموو ،څرنگه چې د دې قايمه الزاويه مثلثونو وتر او يوه حاده زاويه سره مساوي دي ،دا مثلثونه انطباق منونکي دي. دويم مثال :څرنګه ﺛبوت ک7و که يوې زاويې د ناصﻒ الزاويه له يوه ټکى څخه د زاويې په دوو ضلعو دوه عمود خطونه رسم ک7و دوه مثلثونه چې جوړې8ي انطباق منونکي دي. حل :د Bزاويه او د دې زاويې ناصﻒ الزاويه ،د الندې شکل په شان رسموو او دالندې شکل په شان دوه مثلثونه د ABDاو DBCجوړې8ي په دې دواړو قايم الزاويه مثلثونو کې لرو چې:
D
B1 = B2 ................. (ناصﻒ الزاويه د Bزاويه نيمايي ک7ې ده) مشترکه ضلعهBD = BD ................................
C
A 1 2
B
څرنگه چې په دوه قايم الزاويه مثلثونو کې وتر او يوه حاده زاويه سره مساوي دي ،دا دواړه مثلثونه انطباق منونکي دي. په قايم الزاويه مثلثونو کې د انطباق مننې لپاره د يوې حاده زاويې او وتر مساوي کيدل کفايت کوي.
پوښتنې -1دوه داسې قايم الزاويه مثلثونه چې د هر يوه وتر 6cmاو يوه حاده زاويه يې 60 oوي په پام کې ونيسئ ،څرنگه ﺛبوتوالى شئ چې دا دواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي. -2د مربع قطر ،مربع پر دوو مثلثونو ويشي ،ﺛبوت ک7ئ چې دا دواړه مثلثونه سره انطباق منونکي دي.
146
د ﻫﻐو ﻗايم الزاويه مثلثونو د انﻄﺒاق مننې حالت ﭼې وتر او يوه ﻗايمه ضلعه يې سره مساوي وي آيا په قايم الزاويه مثلثونو کې ،په مخکني حالت سربېره د انطباق مننې بل حالت هم شته دى، چې دوه قايم الزاويه مثلثونه سره انطباق منونکي وي؟
A
B
C
A′
B′
C′
AB = A′B′ BC = B′C′
فعاليت يوه قايمه زاويه رسم او رآس ته يې Aووايئ. د دې زاويې له يوې ضلعې څخه د 4cmپه اندازه خط جال ک7ئ او د خط انجام ته Bووايئ. د Bله ټکي څخه د 5cmپه اوږدوالي وتر رسم ک7ئ ،تر څو د Aد زاويې بله ضلع قطع ک7ي. يو بل مثلث هم په همدې شرطونو رسم ک7ئ او ' A' B' Cورته ووايئ. يو نرى کاغذ د ' A' B' Cد مثلث پر مخ کې8دئ او د " A" B" Cمثلث چې د ' A' B' Cسره
انطباق منونکى وي ،جوړ ک7ئ. د " Aرآس پر Aکې8دئ ،آيا " Bپر Bواقع کې8ي ،ولې؟ آيا د " Cرآس په Cهم لوې8ي؟ آيا د ABCاو " A" B" Cمثلثونه يو له بله سره منطبﻖ دي؟ له پورتني فعاليت څخه څرگندي8ي چې: که د يوه قايم الزاويه مثلث وتر او يوه قايمه ضلعه ،د بل قايم الزاويه مثلث د وتر او يوې قايمې ضلعې سره مساوي وي ،دا دواړه مثلثونه انطباق منونکي دي. لومړى مثال :دوه داسې قايم الزاويه مثلثونه چې د هر يوه وتر 5cmاو يوه قايمه ضلع يې 4cm وي څرنگه رسموئ ،آﻳا دا دواړه مثلثونه انطباق A A منوونکي دي؟ حل :لوم7ى راک 7شوې قايمه ضلعه رسموو چې په يو 5cm 5cm 4cm 4cm انجام کې يې قايمه زاويه او د دې قايمې ضلعې بل انجام C
147
60°
B
C
60°
B
مرکز نيسو او د وتر د اوږدوالې په شعاع يو قوس وهو .په هر ټکي کې چې قوس د قايمې زاويې بله قايمه ضلع قطع ک7ي ،د تقاطع ټکى د راک7ل شوې قايمې ضلعې سره وصلوو او په همدې ډول يو بل قايم الزاويه مثلث رسموو ،چې د يوه مثلث وتر او يوه قايمه ضلع د بل مثلث له وتر او قايمې ضلعې سره مساوي وي ،نو دا دواړه مثلثونه سره انطباق منونکي دي. دويم مثال :په الندې شکل کې ،د مستطيل قطر رسم ک7ئ ،ﺛبوت ک7ئ چې ABDاو CBDدوه انطباق منونکي مثلثونه دي. حل :د مستطيل د الندې شکل له مخې لرو چې AB = DC :او BD = BDنو د ABDاو CBDدواړه مثلثونه سره انطباق منونکي دي چې وتر او يوه قايمه ضلع يې سره مساوي ده. همدارنگه د دې دوو مثلثونو انطباق مننه د دوه ضلعو او ددې ضلعو تر منځ زاويې له حالته هم څي7لى شو. A B (دوه ضلعې او د منځ زاويې يې سره مساوي دي). AB = DC AD = BC A=C
D
C
نو له دې ځايه نتيجه اخيستل کې8ي: په قايم الزاويه مثلثونو کې د انطباق مننې له دريو حالتونو سربېره دوه نور حالتونه هم شته دي. -1که د يوه قايم الزاويه مثلث وتر او يوه حاده زاويه د بل قايم الزاويه مثلث له وتر او يوې حادې زاويې سره مساوي وي دا دواړه مثلثونه انطباق منونکي دي. -2که د يوه قايم الزاويه مثلث وتر او يوه قايمه ضلعه د بل قايم الزاويه مثلث له وتر او يوې قايمې ضلعې سره مساوي وي دا دواړه مثلثونه سره انطباق منونکي دي. DBC
ABD
پوښتنې -1په الندې شکل کې ACد دايرې قطر دى که د ABCاو ADC په قايم الزاويه مثلثونو کې BC = CDوي آﻳا دا دواړه مثلثونه سره انطباق
منوونکي دي؟ ولې؟ -2ﺛبوت ک7ئ چې د مربع قطر ،مربع په دوو انطباق منونکو قايم الزاويه مثلثونو ويشي.
B C
A D
148
د پن%م څپرکى لنډيز د اضالعو له پلوه مثلثونه په دريو ډولونو ويشل شوي دي. متساوي االضالع مثلث ،متساوي الساقين مثلث او مختلﻒ االضالع مثلث. د زاويو له حيثه هم مثلثونه په دريو ډولونو ويشل شوي دي. حاده الزاويه مثلث ،قايم الزاويه مثلث او منفرجه الزاويه مثلث. په هر مثلث کې ميانې ،ناصﻒ الزاويه او ارتفاع گانې په ترتيﺐ سره په يوټکي کې قطع کوي. د هر مثلث د داخلي زاويو مجموعه 180 oکې8ي. د يوه مثلث خارجي زاويه د مثلث د دوو غير مجاورو داخلي زاويو له مجموعى سره مساوي ده. په هر مثلث کې بايد د دوو ضلعو مجموعه له دريمې ضلعې څخه لويه وي. په متساوي الساقين مثلث کې د مساوي ساقونو مخامخ زاويې سره مساوي دي. يو څوضلعي له هغه منکسر خط څخه عبارت ده چې يوازې يوه ت7لى ناحيه جوړه ک7ي هېڅ دوه خطونه يې د يوه مستقيم خط په امتداد نه وي او د مضلع هر رآس يوازې او يوازې د دوو خطونو د تقاطع ټکي وي. په ځينو څو ضلعي گانو کې د يوې يا څو ضلعو امتداد يې ،د څو ضلعي له داخل څخه تيرې8ي چې داسې څو ضلعي ته مقعره څو ضلعي وايي او هغه څو ضلعي چې دضلعو امتداد يې د څو ضلعي له داخل څخه نه تيرې8ي محدبه څو ضلعي نومې8ي. o د هغې مضلعې د داخلي زاويو مجموعه چې( )nضلعې ولري ،مساوي ده په(n 2)180 : د هرې څو ضلعي د خارجي زاويو مجموعه 360 oده او د ضلعو په شمېر پورې اړه نه لري. دوه شکلونه چې په پوره ډول يو پر بل منطبﻖ شي او يو بل وپوښي ،انطباق منونکي شکلونه ورته وايي. که د يوه مثلث دوې ضلعې او د دې ضلعو د منځ زاويه د بل مثلث له دوو ضلعو او د منځ زاويې سره مساوي وي دا دواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي. که د يوه مثلث دوې زاويې او د دې زاويو تر منځ ضلعه دبل مثلث له دوو زاويو او د تر منځ ضلعې سره مساوي وي دا دواړه مثلثونه انطباق منوونکي دي. که د يو مثلث درې واړه ضلعې دوه په دوه ،د بل مثلث له درې واړه ضلعو سره مساوي وي ،دا مثلثونه سره مساوي (انطباق منونکي) دي. په قايمه الزاويه مثلثونو کې که د يوه مثلث وتر او يوه قايمه ضلع د بل مثلث د وتر او يوې قايمې ضلعې سره مساوي وي او يا وتر او يوه حاده زاويه يې د بل قايم الزاويه مثلث د وتر او حاده زاويې سره دوه په دوه مساوي وي ،نو دا قايم الزاويه مثلثونه سره انطباق منونکي دي.
149
د پن%م څپرکي پوښتنې -1هرې پوښتنې ته څلور ځوابونه ورک7ى شوي دي سم ځواب وټاکئ: د يوې نهه ضلعي د داخلي زاويو مجموعه څو درجې ده؟ 1260° )b 360° )a )dهيڅ يو 180° )c د يوې مضلع د داخلي زاويو مجموعه 1980 oده ،د دې څو ضلعي(مضلعې) د ضلعو شمېر څو دى؟ 13 )b 18 )a 17 )d 11 )c که درې خطونه په يوه ټکي کې يو بل سره قطع ک7ي ،د هغو زاويو مجموعه چې د تقاطع د ټکي پر شاخوا جوړې8ي څو درجې ده؟ (180° b (260° a )dهيڅ يو (360° c که د يوې مضلع يوه داخلي زاويه 144 oوي ،د دې مضلع د ضلعو شمېر مساوي دى ،په: 9 )b 8 )a 12 )d 10 )c د الندې شکل ټولې ضلعې او زاويې سره مساوي دي ،دا شکل په کوم نوم يادې8ي؟
)aمنظمه محدبه لس ضلعي مضلع ده. )bمنظمه مقعره لس ضلعي مضلع ده. که په يوه مثلث کې دوې ضلعې سره مساوي وي نو دا مثلث څه نومي8ي؟ )aمتساوي الساقين. )bمتساوي االضالع. )cمختلﻒ االضالع. )dمختلﻒ الزوايه.
150
که په يو مثلث کې دوې زاويې سره مساوي وي نو دا مثلث څه مثلث نومي8ي: )aمختلﻒ االضالع مثلث. )bمتساوي الساقين مثلث. )cمتساوي االضالع مثلث. )dهېڅ يو. o که په يو قايم الزاويه مثلث کې يوه حاده زاويه يې 60وي ،بله حاده زاويه يې مساوي ده ،په: 30° )a
50o )b
40° )c
29° )d
د يوه مثلث خارجي زاويه د مثلث له دوو غير مجاورو زاويو سره څه اړيکه لري؟ )dهيڅ يو )cکوچن 9ده. )bمساوي ده. )aلويه ده. -2د سمې جملې په وړاندې(س) او د ناسمې په وړاندې(ن) وليکئ. ) تر ټولو لويه زاويه چې د مضلع د يوې ضلعې له امتداد څخه جوړې8ي 120 oده. ( ) مثلث کيداى شي يوه مقعره څو ضلعي وي. ( ) د يوې درې ضلعي(مثلث) خارجي زاويه هې(کله د مثلث د يوې داخلي زاويې څخه کوچن9 ( نه ده. ) د يوې مضلع دوي غير مجاورې ضلعې د څو ضلعي له رآسونو څخه په يوه رآس کې متقاطع ( دي (
) يوې مضلعې ته هغه وخت متساوي الزاويه وايي چې ټولې ضلعې يې سره مساوي وي. ) د يوې منظمې مضلعې د خارجي زاويو مجموعه عبارت ده ،له(n 2)180 :
( ) که د يوې مضلعې د ضلعو شمېر زيات شي د خارجي زاويو مجموعه يې هم زياتې8ي. ( ) حاده الزاويه مثلث هغه مثلث دى چې يوازې دوه زاويې يې حاده وي. ( ) دوه مثلثونه هغه وخت انطباق منونکي دي چې د يوې ضلعې اوږدوالى او د دې ضلعې دوه ( مجاورو زاويو اندازې يې يو په يو سره مساوي وي. ) که په يو مثلث کې دوي ضلعې يې سره مساوي وي د دې ضلعو مقابلې زاويې هم سره مساوي ( دي. ) د يوه متساوي االضالع مثلث هره زاويه 61oوي. (
151
) د يوه مثلث د داخلي زاويو مجموعه له درې قايمو زاويو سره مساوي ده. ( -3په مناسبو کلمو سره تش ځايونه ډک ک7ئ. که د يوې منظمې مضلعې خارجې زاويه د مجاورې داخلي زاويې له دوه چنده سره مساوي وي دا مضلع د ...................په نوم يادې8ي. د يوې منظمې مضلعې د ضلعو د شمېر په زياتوالي سره د مضلعې د داخلي زاويو مجموعه ...................او د خارجي زاويو مجموعه يې ...................نه کوي. د يوې اته ضلعي له يوه رآس څخه ...................قطرونه رسميداى شي. که د يوې منظمې مضلعې يوه خارجي زاويه 120 oوي ،نوموړې مضلع ..................ضلعې لري. که د يوې مضلع د داخلي زاويو مجموعه د خارجي زاويو له مجموعې سره مساوي وي ،دا مضلع ...................ضلعې لري. يو متساوي االضالع مثلث او يوې مربع ته منظمې ...................وايې. هغه مستقيم خط چې د يوې مضلعې دوه غير مجاور رآسونه سره وصلوي د ...................په نامه يادې8ي. يو متساوي االضالع مثلث او يوه مربع د منظمو ...................په نامه يادې8ي. هغه مثلث چې درې واړه ضلعې يې سره مساوي وي ...................نومې8ي. په هر مثلث کې د دوو ضلعو د اوږدوالى مجموعه له دريمې ضلعې څخه ...................وي. هغه خط چې د مثلث له رآس څخه په مخامخ ضلع عمود وي د ...................په نامه يادې8ي. که د يوه متساوي الساقين مثلث د رآس زاويه 50oوي هره يوه له دوو نورو زاويو څخه ..........................ده. -4الندې پوښتنې حل ک7ئ. د يوې مضلع د يوې داخلي او يوې خارجې زاويې مجموعه څو درجې ده؟ که د ABCاو DBCپه دوه متساوي الساقين مثلثونو کې د BCقاعده مشترکه وي ،ﺛبوت ک7ئ، چې DBA = ACDپه دې ډول چې د Aاو Dرآسونه د BCد قاعدې يوې خواته واقع نه وي.
152
A A
د ABCپه متساوي الساقين مثلث کې AB = ACدى ،که د Bاو Cزاويې د OBاو OCپه مرسته نيمايې شي ﺛبوت ک7ئ چې: OC = OB )a
C C
OA )bد Aد زاويې ناصﻒ الزاويه دى.
O O
B B
ﺛبوت ک7ئ چې د يوه قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث له دوو حاده زاويو څخه هره يوه يې 45oده. د ABCمثلث د BCضلعې ته د الندې شکل په شان د Dتر نقطې پورې امتداد ورک7ل شوی o o زاويې پيدا ک7ئ. دی په دې ډول چې DAC = 134او BAC = 42وي ،د دې مثلث دوه نورې A
A
42°
42°
134°
D D
B B
C134° C
د ACDاو AEBپه مثلثونو کې دالندې شکل په شان که AD = ABاو AE = ACوي ﺛبوت ک7ئ ،چې ACD AEB C B E
په قايم الزاويه مثلث کې د انتطباق مننې پنځه حالتونه کوم دي؟
D
A
د يوه معين(لوزي) يو قطر معين په دوو مثلثونو وويشئ ،په څو حالتونو ﺛبوتوالى شئ چې دا دواړه مثلثونه انطباق منونکي دي.
153
په يوه متساوي الساقين مثلث کې هغه ميانه چې له راس څخه په قاعده رسمې8ي ،دا مثلث پر دوو نورو مثلثونو ويشي .آﻳا دا دواړه مثلثونه انطباق منونکي دي؟ په څو حالتونو سره کولى شئ چې ﺛبوت يې ک7ئ. که په يوه قايمه زاويه متساوي الساقين مثلث کې د قايمې زاويې له رآس څخه په قاعده ناصﻒ الزاويه رسم ک7و ،دا قايمه زاويه مثلث په دوو مثلثونو ويشي. آﻳا دا دواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي ولې؟ د ABCپه مثلث کې AB = ACاو ADد Aد زاويې ناصﻒ دى ،ﺛبوت ک7ئ چې د A
ADجگوالى يا ارتفاع ددې مثلث ميانه هم ده.
C
C
D
A
B D
B
که په الندې شکل کې PBد HBRد زاويې ناصﻒ وي ﺛبوت ک7ئ ،چې HP = PRدى. H P R
P R
H
B
B
154
ﺷپ8م څپرکى موازي او عمود ﺧﻄونه
طبيعت له موازي خطونو څخه ډک دى.
موازي او عمود ﺧﻄونه Parallel and Perpendicular Lines په شکل کې څو خطونه وينئ ،د خطونو د وضعيت په برخه کې څه ويالى شئ؟ A B
E F
H
D G
C
فعاليت A
لوم7ى د dمستقيم خط رسموو او-ونيا د dپر خط ،لکه چې په شکل کې ښودل شوې ده ږدو .د -ونيا رآس ته Aوايو د AHاو AD خطونه رسموو. d H D د Aله نقطې څخه د dپر مستقيمه کرښه د AE , ABاو ACدرې مستقيم خطونه چې يو يې عمود او دوه خطونه مايل وي رسم ک7ئ. دا خطونه د خط کش په مرسته اندازه ک7ئ او ووياست چې تر ټولو کوچنى خط کوم دى؟ د AHخط د dله خط سره د 90 oزاويه جوړ وي .د AHخط د dپر مستقيم خط عمود دى AH d چې په دې ډول ښودل کې8ي:
فعاليت خط کش د کاغذ پر مخ کې8دئ او د خط کش له دواړو څن6و څخه دوه خطونه رسم ک7ئ d1او d 2ورته ووايئ. A B C d 6 4
F
4
5 3
3 2
E
1
2 1
0 0
D
1
d2
د d1پر خط باندې د B,Aاو Cدرې ټکي وټاکئ او د -ونيا په مرسته د B,Aاو Cله ټکو څخه د d 2پر خط عمود خطونه رسم ک7ئ او د شکل له مخې AD,BEاو CFورته ووايئ. د AD,BEاو CFخطونو اوږدوالى پيدا ک7ئ د اوږدوالو په برخه کې يې څه ويالى شئ. د d1او d 2دواړو مستقيمو خطونو ته چې ترمنځ فاصلې يې سره مساوي دي موازي خطونه وايي او دا ډول ښودل کې8يd1 || d 2 :
157
G C
د ACاو DGدوه مستقيم خطونه چې د دوى ترمنځ فاصله مساوي نه ده ،لکه چې په شکل کې هم ليدل کې8ي ،موازي خطونه نه دي، A ځکه چې امتداد يې يو بل په يوه نقطه کې قطع کوي او دا ډول ښودل کي8ي. AC || DG : کوالى شو چې د -ونيا يا خط کش په واسطه وښيوو چې په مختفلو ټکو کې د دې دواړو مستقيمو خطونو په منځ کې فاصلې مساوي نه دي. A C که د ABاو CDدوه قطعه خطونه د EFپر کرښې عمود رسم ک7و E F ) ( AB EFاو ) (CD EFنو د ABاو CDقطعه خطونه په خپل منځ کې سره موازې دي ،ځکه چې که موازي نه وي يو له بله سره قطع کوي او د تقاطع له نقطې څخه د FEپر خط دوه عمود خطونه B D رسم شوي دي او دا امکان نه لري. D
مثال :په الندې خطونو کې موازي ،عمود او متقاطع خطونه وښاياست. ´a b
´d
d a
´b
حلa ، d || d ، e || e :
e ´e
' aاو د bاو bخطونه سره متقاطع دي.
دوو خطونو ته هغه وخت موازي خطونه وايو چې خپله خطونه او يا امتداد يې شريک ټکي و نه لري او په ټولو نقطو کې د دې دواړو خطونو ترمنځ فاصله مساوي وي .او دوه خطونه هغه وخت يو پر بل عمود دي چې د دواړو ترمنځ زاويه يوه قايمه زاويه ( ) 90oوي.
پوښتنې په مخامخ شکل کې کوم قطعه خطونه سره موازي دي؟ کوم قطعه خطونه يو پر بل عمود دي؟ کوم دوه خطونه متقاطع دي؟ کومې زاويې قايمې دي؟ آﻳا ټول متقاطع خطونه هر وخت يو پر بل عمود وي؟
C
B
G
F D
E
A
158
داﺧلي او ﺧارﺟي متﺒادلې زاويې (Alternate interior and )alternate exterior angles
خارجي متبادلې زاويې
مخامخ شکل ته و-وړئ د جوړوشوو زاويو په برخه کې خپل نظر څر-ند ک7ئ.
داخلي متبادلې زاويې
فعاليت د d1او d 2دوه موازي خطونه او د d 3او d 4دوه غير موازي خطونه رسم ک7ئ. دوه قاطع خطونه چې يو يې د d1او d 2خطونه او بل يې د d 3او d 4خطونه قطع ک7ي ،رسم ک7ئ. د نقالې په مرسته هغه زاويې چې قاطع خط يې له موازي خطونو سره او هغه زاويې چې قاطع خط يې له غير موازي خطونو سره جوړ وي ،اندازه ک7ئ ،څه نتيجه به په الس راشي؟ د ABاو CDدوه قطعه خطونه سره موازي دي او د EFخط په واسطه قطع شوي دي ،لکه څنګه چې په شکل کې ليدل کې8ي.
E B
ﺧﺎرﺟﻰ ﺧﺎرﺟﻰ
د دوو خطونو تر منځ ناحيې ته داخلي او د خطونو د باندې ناحيې ته خارجي ناحيه وايي.
ﺩﺍﺧﻠﻰ ﺩﺍﺧﻠﻰ D
AB || CDدي او د LKخط دا دواړه خطونه قطع ک7ي دي .ددې لپاره چې وښيو 3 = 6ده ،د LKپر خط د Oټکی ټاکو او د Oله
K
او OFNپه دوه مثلثونو کې ،څرنګه چې
B
متقابل براس FON = EOM ................ او OME = ONF = 90oده ،نو ددې مثلثونو دريمې زاويې هم
D
159
ﺧﺎرﺟﻰ ﺧﺎرﺟﻰ
C
F
ټکي څخه د ABاو CDپر خطونو عمود خط رسموو .د OME
سره مساوي دي .په نتيجه کې 3 = 6ده چې د 6او 3زاويې د داخلي متبادلو زاويو په نامه يادي8ي. په همدې ډول 4 = 5دي چې دا هم داخلي متبادلې زاويې دي.
A
M E
A
3 4
O 5 6
C
F N
L
همدارنګه په شکل کې د 2 , 7 , 1او 8زاويې خارجي متبادلې زاويې دي.د داخلي متبادلو زاويو په مرسته لرو چې: 1=7 , 8=2
E 1 2 60 3
B
مثال :په مخامخ شکل کې د 60oاو 120oدوې زاويې راک7ل
5 6 8 120
D
شوې دي ،د 6 ، 5 ، 3 ، 2 ، 1او 8زاويې څو درجې دي؟ حل: ( 6 = 60oداخلي متبادلې) ( 5 = 120oمتقابل برآس) ( 5 = 3داخلي متبادلې)
A C F
..........متبادلې) ( 1 = 120oخارجي ( 8 = 6 = 60oمتقابل برآس) ........ 2 = 8 (خارجي متبادلې)
په نتيجه کې 3 = 120 oده.
په نتيجه کې 2 = 60oده.
که د ABاو CDدوه موازي مستقيم خطونه د EFد قاطع خط په واسطه قطع شي ،دوه جوړې داخلي متبادلي او دوه جوړې خارجي متبادلې زاويې جوړ وي چې: E داخلي متبادلې خارجي متبادلې
4=6 2=8
,او ,او
3=5 1=7
1 2 4 3
B
A
5 6 8 7
D
C F
پوښتنې E
-1که AB || CDوي په شکل کې 6 , 7 , 8 , 3 , 1او 2
زاويې څو درجې دي؟
1 2 30 3
B
150 6 8 7
D
-2په شکل کې که 7 = 120 oوي ،د 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8
او 1زاويو اندازه پيدا ک7ئ.
D
C F
E B
A
1 2 4 3
A
5 6 8 120
C F
160
د دووه مستقيمو کرښو د موازاتو څ5ړنه، کله ﭼې متﺒادلې زاويې سره مساوي وي K
په مخامخ شکل کې 3 = 6ده چې دوه داخلي متبادلې زاويې دي آيا کيداى شي AB || CD
E
B
وي؟
A
3
O 6
D
C
F L
فعاليت K
3او 6زاويې سره مساوي دي. په مخامخ شکل کې د EFله نيمايي ،د( )Oله نقطې څخه د ABپر کرښه باندې عمود رسم ک7ئ ،چې د ABخط د M په نقطه کې قطع يا پريک7ئ او عمود خط ته امتداد ورک7ئ چې د CDخط د Nپه نقطه کې قطع ک7ي. وښاياست چې د MOEاو FONمثلثونه سره مساوي دي؟
E
B
A
3
O 6
D
C
F L
آيا د MNمستقيم خط د CDپر مستقيم خط هم عمود دى؟ ولې د ABخط د CDله خط سره موازي دى؟
لومړى مثال :په الندې شکلونو کې د ABاو CDکوم دوه خطونه سره موازي دي؟ A
E C B D
110° 120°
C F
161
E
110°
A
B D
110° F
B D
K 70°
A
70° L
C
حل( 70o = 70o :خارجي متبادلې) ( 110o = 110oداخلي متبادلې) ، 120o 110oنو AB || CD
نو AB || CDدى. نو AB || CDدى.
دويم مثال :که 2 = 3 ، 1 = 2او 3 = 4وي ،کومه جوړه خطونه سره موازي دي؟ A حل :څرنگه چې: 1= 2
ده ،نو
2=3 3=4
ده ،نو
FG || BCدى. AB || CHدى.
ده ،نو
BC || DEدى.
G C E
4
2
3
F
1
B D
H
که دوه مستقيم خطونه د يو خط په واسطه داسې قطع شي چې دوه مساوي متبادلې زاويې جوړي ک7ي .نو دا دواړه خطونه سره موازي دي؟ پوښتنې -1په الندې شکل کې B1 = D 2او B2 = D1ده آﻳا AB || CDدي ،ولې؟ B
A
1 2
1 2
C
D
-2په الندې شکل کې که چيرې A1 = D 2او A 2 = D1وي ،کوم مستقيم خطونه سره A موازي دي؟ 1 2
E 1 2
C
-3په الندې شکلونو کې د ABاو CDکوم دوه خطونه سره موازي دي؟ c B D
b
120° 130°
A
B
C
D
150°
150°
B
D
a A
B
C
D
60° 60°
A C
162
متوافقې زاويې )(Corresponding angles په شکل کې AB || CDدي او د FEخط دا دواړه خطونه قطع ک7ي دي.
1 2 4 3
په شکل کې ( 4او 2 ( ،) 8او 7 ( ،) 6او ) 3او
5 6 8 7
( 1او ) 5زاويو ته متوافقې زاويې وايي ،آﻳا دا زاويې يو له بله سره مساوي دي؟
فعاليت
E
مخامخ شکل په پام کې ونيسئ. د شکل څلور خواوي د قيﭽي په واسطه پرې ک7ئ. بيا د ټکي ټکى( )....له ځايه يې سره جالک7ئ. اوس د CDخط د ABپر خط کې8دئ ،چې Mد Nله پاسه واقع شي. د 8, 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1زاويو په برخه کې څه ويالى شئ؟
=4
,
=7
,
B
M
1 2 4 3
A 5 6 8 7
D
N
=2
,
C F
1=5
د نقالې په واسطه له 1څخه تر 8زاويې پورې اندازه ک7ئ ،د پورته مساواتو سموالى اوناسموالى وڅي7ئ.
همدارنګه که دوه کرښې د يو قاطع خط په واسطه داسې قطع شي چې مساوي متوافقې زاويې جوړې ک7ئ ،دا دواړه خطونه سره موازي دي. E د ABاو CDدوه مستقيم خطونه ،د FEمستقيم خط په واسطه قطع شوي دي ،که 2 = 6وي غواړو وښيو چې AB || CDدي. څرنګه چې:
متقابل برآس 2 = 4
B D
مفروض له مخې2 = 6 :
په نتيجه کې 4 = 6 :ده.
له بلې خوا څرنګه چې 4او 6زاويې متبادلې زاويې دي ،نو AB || CDدى.
163
1 2 4 3
A 5 6 8 7
C F
لومړى مثال :په شکل کې m = o , b = j , h = p :او n = pدي. آﻳا AB || CDاو d1 || d 2دي؟
B
حل:څرنگــه چــې h = pاو b = jدى چــې متوافقې زاويې دي او ســره
D
a b e f
c d g h k q o p
مساوي هم دي ،نو AB || CDدى او څرنگه چې n = pاو m = oدي
A
i j m n
C
d1
d2
چې متوافقې زاويې او سره مساوي هم دي ،نو d1 || d 2دى.
دويم مثال :د( )aپه شکل کې دوي زاويې د ABCاو ، DEF
A
چې ABاو EDضلعې سره موازي او هم جهت او BCد EFد ضلعې سره موازي او هم جهت هم ده ،آﻳا کوالى شئ چې وښاياست
G 2
1
C D
1 = 3ده.
F
حل :لوم7ۍ د ( )aاو ( )bپه شکلونو کې د BCاو EDضلعو ته امتداد ورکوو ،تر څو د Gپه نقطه کې قطع ک7ي. د ( )aپه شکل کې: متوافقې 1 = 2 متوافقې 3 = 2 په نتيجه کې 1 = 3ده.
1
3
A
همدارنګه د ( )bپه شکل کې د ABضلعه موازي او مختلﻒ
C
2
G
الجهت د EDد ضلعې او BCموازي او مختلﻒ الجهت د EFد
E
B
B
(a E
F
3
D
(b
ضلعې ده ،نو 1او 3زاويې هم سره مساوي دي ځکه چې: (متبادلې) 1 = 2او (متوافقې) 3 = 2په نتيجه کې 1 = 3ده. که دوه موازي خطونه د يوه قاطع خط په واسطه قطع شي ،مساوي متوافقې زاويې جوړوي او که دوه مستقيم خطونه د يوه قاطع خط په واسطه داسې قطع شي چې مساوي متوافقې زاويې جوړې ک7ي دا دواړه مستقيم خطونه سره موازي دي. پوښتنې E
-1له دې مستقيمو خطونو څخه کومه جوړه خطونه سره موازي دي؟
B D
E A
120°
C
110°
B D
30°
A 30°
C
F
-2د ABاو CDدوه مستقيم خطونه سره موازي دي ،کومې زاويې سره مساوي دي؟
F
B D
c d g h k q o p
a b e f i j m n
A C
164
د يو ﻗاطع ﺧﻂ يوې ﺧواته داﺧلي متممې زاويې:
)(Supplementary Angles AB || CDدى او د EFمســتقم خــط ،لکه څنګــه چې په شــکل کې ليدل کيــ8ي ،دا دواړه خطونه يې قطع ک7ي دي. آيــا کوالى شــئ چې ووايــئ 2+ 3څو درجې کي8ي؟
E B
A
2 3
D
C F
فعاليت د ABاو CDدوه قطعه خطونه سره موازي او د EFقطعه خط ،لکه څنګه چې په شکل کې ليدل کي8ي ،قطع ک7ي دي. = 3+ 4
E
له بلې خوا 4 = 6ده ،ولې؟ له پورتنيو دوو مساواتو له مخې الندې تش ځاى ډک ک7ئ؟
B
1 2 4 3 5 6 8 7
D
= 3+ 6
A C F
دنقالې په مرسته 3او 6اندازه ک7ئ او مجموعه يې په الس راوړئ. الندې تش ځای ډک ک7ئ. = 4+ 5
مثال :که په شکل کې د ABخط د CDله خط سره موازي وي د 1او 2اندازه پيدا ک7ئ. o
حل :څرنګه چې د 75درجو زاويه او 1داخلي متممې زاويې دي: BC
1+ 75o = 180o
1 75° 2
نو1 = 180o 75o = 105o : څرنګه چې 75oزاويه او 2متبادلې دي ،نو 2 = 75oده.
165
A A
D D
BC
که چيرې د ABخط د CDله خط سره موازي وي او د FEخط لکه څنګه چې په شکل کې ليدل کي8ي دا دواړه خطونه قطع ک7ي وي ،د قاطع يوې خواته دوې داخلي زاويې د متممو زايو په نامه o يادي8ي چې د دواړو زاويو مجموعه 180کي8ي2+ 3 = 180o .
F
او 1+ 4 = 180o
B
او که يو قاطع خط چې دوه مستقيم خطونه يې داسې قطع ک7ې وي چې د قاطع خط يوې خواته يې دوې داخلي متممې زاويې جوړې ک7ې وي،دا دوه مستقيم خطونه سره موازي دي.
A
1 2 4 3
D
C
E
پوښتنې A
-1په مخامخ شکل کې د ABCاو DEFدوه زاويې لرو چې د ABضلع د DEله ضلعې سره موازي او هم جهت او د BCضلع د EFله ضلعې سره موازي او مختلﻒ الجهت ده
C
ښکاره ک7ئ چې ABC+ DEF = 180 oکې8ي.
B
D G
E
-2له الندې خطونو څخه کوم جوړه خطونه سره موازي دي. D
F
F B C
B 30°
F
D
140°
A
E E
C
A B
D
F
81° 99°
C
F
A 60° 120°
D B
A
118°
C
61°
B
D
A
80°
C
E
166
E
څلور ضلعي -انې)(Quadrilaterals په مخامخ شکل کې څومره څلور ضلعې -انې ليدل کې8ي؟
فعاليت A
ABCDيوه څلور ضلعي ده ،د څلورو ضلعو ،څلورو رآسونو ،څلورو زاويو او دوه قطرونو نومونه يې واخلئ. د الندې څلور ضلعي گانو نومونه وواياست. A
B
B
A
B
A
B
D
ﺷﻜﻞ((1
C
ﺷﻜﻞ((3 D
C
C
ﺷﻜﻞ((2
C
D
A
A
B
B
C
D
ﺷﻜﻞ((5
D
ﺷﻜﻞ((4
D C
لکه څنګه چې پوهي8ئ په پورتنيو ټولو څلور ضلعي -انو کې پرته له ذوذنقې څخه د نورو څلور ضلعي گانو مخامخ ضلعې دوه په دوه سره موازي دي ،په ذوذنقه کې يوازې دوه مخامخ ضلعې سره موازي دي. په ( )1شکل کې متوازي االضالع ( )Parallelogramداسې يوه څلور ضلعي ده چې مخامخ ضلعې يې دوه په دوه سره موازي او مساوي دي. په ( )2شکل کې يو مستطيل ( )Rectangleهغه څلور ضلعې ده چې مخامخ ضلعي يې دوه په دوه سره موازي او مساوي دي او څلور واړه زاويې يې قايمې دي. په ( )3شکل کې مربع ( )Squareهغه څلور ضلعې ده چې څلور واړه ضلعې يې سره مساوي دي او
167
څلور واړه زاويې يې قايمې دي. په ( )4شکل کې يو معين يا لوزي ( )Rhombusهغه څلور ضلعې ده چې مخامخ ضلعې يې دوه په دوه موازي ،څلور واړه ضلعې يې مساوي او مخامخ زاويې هم يوه له بلې سره موازي وي. په ( )5شکل کې ذوذنقه يا منحرف ( )Trapezoidهغه څلور ضلعې ده ،چې يوازې دوه مخامخ ضلعې يې سره موازي دي. مثال :په الندې شکلونو کې مربع ،مستطيل ،متوازي االضالع ،معين يا لوزي او ذوزنقه وښاياست: حل: F A B B
()a
G
D
()b
E
H
B
A
F
E
D
C
D
C
B
()c
A
E
A
()d C
C
D
F
د ( )aپه شکل کې ABDCمربع او FEHGمعين دى. د ( )bپه شکل کې ABDCيوه ذوزنقه ده. د ( )cپه شکل کې ABDCاو EFDCذوذنقې دي. د ( )dپه شکل کې ABCDيوه متوازي االضالع ده او AFCEيو مستطيل دى. پوښتنې -1په الندې شکل کې کوم يو مستطيل او کومه يوه ذوذنقه ده او هم په دې شکل کې څو مثلثونه شته دي. D -2کومې جملې سمې او کومې ناسمې دي؟ هي(کله يوه ذوذنقه متوازي االضالع نه شي کيداى. د مستطيل مخامخ ضلعې دوه په دوه سره موازي او مساوي دي. د ذوذنقې مخامخ ضلعې دوه په دوه سره موازي او مساوي دي. معين (لوزي) يوه متوازي االضالع ده. مربع يوه متوازي االضالع ده. معين(لوزي) يوه مربع ده. -3په مخامخ شکل کې درې ذوذنقې ،يو مستطيل او يوه متوازي االضالع وښاياست.
A
B
E
D
F
B
A
E
F
C
C
168
د متوازي اﻻضﻼع مﺨامﺦ(مقاﺑلې) زاويې
آيا د متوازي االضالع مخامخ(مقابلې) زاويې سره مساوي دي؟
فعاليت د ABDCيوه متوازي االضالع راک7ى شوې ده: څرنګه چې AB || CDدى ،نو =A+C څرنګه چې AC || BDدى .نو =C+D C D له پورتن 9رابطې څخه لرو چې A+C=C+ که Cله دواړوخواوو څخه تفريﻖ ک7و ،کومه رابطه په الس راځي. = د Aاو Dد زاويو په برخه کې څه ويالى شئ؟ په همدې ډول وښاياست چې B = Cده. په يوه متوازي االضالع کې مقابلې زاويې سره مساوي دي. مثال :د ABDCشکل يوه متوازي االضالع ده د Bاو Dد B A 110° زاويو اندازه پيدا ک7ئ. حل :څرنګه چې د يوې متوازي االضالع مقابلې زاويې سره 70° C D o مساوي دي D = A = 110 .او B = C = 70o A
B
فعاليت A
B
د ABCDيوه څلور ضلعې په نظر کې نيسو: = )I(........ A + B+ C+ D
D
دې ته په پام کولو سره چې د متوازي االضالع مقابلې زاويې سره مساوي دي ،نو لرو چي:
169
C
A
B =, C , A =,
B C
اوس په لوم7ن 9رابطه کې د Aاو Bپرځاى Cاو Dږدو. =D+C+C+D
له پورتن 9رابطې څخه لرو چې:
= 2C + 2D
د ABاو CDخطونه په خپل منځ کې څه اړيکه لري؟ او په همدې ډول ،د ACاو BDخطونه ،په خپل منځ کې څه اړيکه لري؟
=C+D
که په يو څلور ضلعې کې مقابلې زاويې سره مساوي وي ،دا څلور ضلعې متوازي االضالع ده.
پوښتنې -1که د مخامخ شکل په متوازي االضالع کې د D = 110 o
A
B
وي د A , Bاو Cزاويو اندازه پيدا ک7ئ.
110o D
C
-2که چيرې د يوې څلور ضلعي قطر ،څلور ضلعې په دوه انطباق منوونکو مثلثونو وويشئ ،آﻳا دا څلور ضلعي متوازي االضالع ده؟
170
د يوې څلور ضلعې ﺑانﺪنى (ﺧارﺟي) زاويې آيا کوالى شئ چې ووايئ چې د يوې څلور ضلعي
5
B
د خارجي زاويو مجموعه څو درجې کې8ي؟
6
D
4 7
2
A 1 8
3
C
د BD , AB , ACاو CDضلعو ته ،له پورته شکل سره سم امتداد ورکوو 7 , 6, 5او 8د دې څلور ضلعې باندنى زاويې دي.
1 + 5 = 180°
غواړو چې وښيو 5+ 6+ 7+ 8 = 360oده. که دواړه خواوې سره جمع ک7و لرو ،چې:
2 + 6 = 180° 4 + 7 = 180° 3 + 8 = 180°
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 180° + 180° + 180° + 180°
دا چې د يوې څلور ضلعي د داخلي زاويو مجموعه 360oده ،نو: په نتيجه کې 5+ 6+ 7 + 8 = 360oکې8ي ،نو د يوې څلور ضلعي د باندېنيو زاويو مجموعه 360o ده. 360° + 360°
ﻓعاﻟﻴت په شکل کې د څلور ضلعي دوې خارجي زاويې معلومې نه دي ،پيدا يې ک7ئ.
171
= 360° + 5+ 6+ 7 + 8
مثال :د دې څلور ضلعي درې خارجي زاويې راک7ل
85°
شوي دي ،څلورمه خارجي زاويه يې پيدا ک7ئ.
30°
حل: 150 + 30 + 85 = 265 څرنګه چې د يوې څلور ضلعي د خارجي زاويو o
o
o
o
150°
o مجموعه 360ده ،نو د دې څلور ضلعي څلورمه زاويه مساوي ده ،په360 o 265 o = 95 o : د يوې څلور ضلعي د خارجي زاويو مجموعه 360oده.
پوښتنې -1د يوې څلور ضلعي د دريو خارجي زاويو مجموعه 301oده ،د دې څلور ضلعي څلورمه خارجي زاويه څو درجې ده؟ -2په مخامخ شکل کې د څلور ضلعي يوه خارجي زاويه راک7ل شوې ده ،ددې څلور ضلعي درې خارجي زاويې پيدا ک7ئ.
2C 1 2 1 D
-3آﻳا د يوې څلور ضلعې د داخلي زاويو مجموعه او د خارجي زاويو مجموعه سره مساوي ده؟ ولې؟ -4د يوې څلور ضلعي د داخلي او خارجي زاويو مجموعه مساوي ده په: b) 720o
B 2 1 1 A 110°
a) 360o
-5که چيرې د يوې څلور ضلعي د درېو داخلي زاويو مجموعه 315oوي ،د دې څلور ضلعي څلورمه داخلي زاويه څو درجې ده؟ c) 25o
b) 45o
a) 50o
172
د څلور ضلعي د ﻗﻄرونو ﺧاصيتونه د متوازي اﻻضﻼع د ﻗﻄرونو ﺧاصيتونه: د متوازي االضالع د قطرونو په برخه کې څه ويالى شئ؟
B
2
D
3
E 4
A
1
C
BCاو ADد ABDCد متوازي االضالع دوه قطرونه دي.
فعاليت لوم7ى د متوازي االضالع د قطرونو اوږدوالى پيدا ک7ئ. ويالى شئ چې قطرونه يو له بله سره څه اړيکې لري؟ الندې تش ځايونه ډک ک7ئ؟ B ولې؟ =1 ولې؟
=3
ولې؟
= AB
3
2
A
E D
4
1
C
ولې؟ آﻳا د ABEاو CEDد دوو مثلثونو له برابروالي څخه ويالى شي چې د متوازي االضالع قطرونه يو بل سره نيمايي کوي؟ د متوازي االضالع قطرونه يو بل سره نيمايي کوي. مثال :د ABDCپه متوازي االضالع کې د BC قطر 8cmاو د ADقطر 6cmدى د AEاو EC
اوږدوالى پيدا ک7ئ.
173
A
B E D
C
حل :څرنګه چې د متوازي االضالع قطرونه يو له بله سره نيمايي کوې ،نو: BC 8cm = = 4cm 2 2
= EC
AD 6cm = = 3cm 2 2
= AE
پوښتنې -1په دې څلور ضلعي کې نامعلوم قطعه خطونه پيدا ک7ئ. A
B 2.5cm
D
2cm 3cm
R
4.5cm
C
-2پوره سم ځواب په نښه ک7ئ. په يوه متوازي االضالع کې قطرونه: )aيو پر بل عمود وي. )bيو له بله سره نيمايي کوي. )cدواړه سم دي. -3په يوه متوازي االضالع کې: )aمخامخ زاويې دوه په دوه سره مساوي دي. )bمخامخ ضلعې دوه په دوه سره مساوي دي. )cدواړه سم دي. -4د متوازي االضالع د قطرونو له تقاطع څخه: )aدوه جوړې انطباق منوونکي مثلثونه جوړي8ي. )bڅلور انطباق منوونکي مثلثونه جوړي8ي.
174
د مستﻄيل ﻗﻄرونه په مخامخ شکل کې ،د مېز د مخ سطحه، کوم هندسې شکل لري او د خاصيتونو په برخه کې يې څه پوهي8ئ؟
فعاليت د ABDCمستطيل په نظر کې ونيسئ. د مستطيل قطرونه رسم ک7ئ او د تقاطع نقطې ته يې ( )Eووايئ. د خط کش په واسطه د مستطيل قطرونه اندازه ک7ئ او و-ورئ چې أيا يو له بله سره مساوي دي؟ په الندې شکل کې د ACDاو BCDد مثلثونو په نظر کې نيولو سره الندې تش ځايونه ډک A B ک7ئ. = DB =C
ﻣﺸﺘﺮﻛﻪ ﺿﻠﻌﻪ
E
= C
D
د ACDاو BCDد دوو مثلثونو په برخه کې څه ويالى شئ؟ آيا BC = ADدى؟ په هر مستطتيل کې قطرونه يو له بله سره مساوي او يو بل سره نيمايي کوي. مثال :په مخامخ شکل کې ADاو BCد ABDC
B
د مستطيل قطرونه دي که چيرې ، ED = 4cmوي د BC
E
اوږدوالى پيدا ک7ئ. D
175
A
C
حل :څرنګه چې د مستطيل قطرونه يو بل سره نيمايي کوي ،نو AE = 4cmاو AD = 8cm له بلې خوا څرنګه چې د مستطيل قطرونه يو له بله سره مساوي دي BC = AD ،نو BC = 8cm
دى.
پوښتنې -1په الندې مستطيل کې نامعلوم اوږدوالی پيدا ک7ئ.
B
A
8cm 5cm
6cm
E
C
D
-2که چيرې BC = 6cmوي ،د EB , ED , AE , ADاو ECاوږدوالى پيدا ک7ئ. A
B E
C
D
-3که چيرې د يوه مستطيل يو قطر 18cmوي ،ددې مستطيل بل قطر مساوي دى په: a) 9cm b) 18cm c) 4.5cm -4که د يوه مستطيل د يو قطر نيمايې 6cmوي ،ددې مستطيل د هر قطر اوږدوالى مساوي ،دى په: a) 12cm b) 6cm c) 24cm -5د يوه مستطيل د قطرونو له تقاطع څخه څو انطباق منوونکى مثلثونه جوړي8ي. b( 4 دواړه سم نه دي (c
a( 2
-6پوره سم ځواب په نښه ک7ئ: په مستطيل کې قطرونه: )aيو له بله سره مساوي دي:
)bيو بل نيمايې کوي.
)cدواړه سم دى.
-7هغه څلور ضلعي -انې چې د متوازي االضالع ټول خاصيتونه لري عبارت دي ،له: )aمربع
)bمعين (لوزی)
)cمستطيل
)dد رې واړه ځوابونه سم دي
176
د معين (لوزي) ﻗﻄرونه په مخامخ شکل کې د هندسي شکلونو نومونه واخلئ.
فعاليت يو داسې معين (لوزي) رسم ک7ئ چې يوه ضلعه يې 4cmاو يوه زاويه يې 50oوي. د دې معين (لوزي) قطرونه رسم ک7ئ. د قطرونو ترمنځ زاويه پيدا ک7ئ .ددې زاويو په برخه کې څه ويالى شئ؟ ACاو BDد ABCDد معين دوه قطرونه دي. غواړو ﺛبوت ک7و چې د معين قطرونه يو پر بل عمود دي. د ABCDپه معين (لوزي) کې لرو چې: C (د معين ضلعې سره مساوي دي) AB = BC = CD = AD له بلې خوا د ACاو BDدوه قطرونه يو بل سره نيمايي کوي. (لوزي يوه متوازي االضالع ده). نو: EB = ED AE = EC
B
E
A
D
ABCاو ACDدوه متساوي الساقين مثلثونه دي(د لوزي ضلعې سره مساوي دي). د ABCپه متساوي الساقين مثلث کې د ACضلعه په دوو مساوي برخو وېشل شوي ده .په دې معنا چې د BEمستقيم خط د ABCد مثلث ميانه او ارتفاع هم ده. څرنګه چې د BEمستقيم خط د Eپه نقطه کې د ACپر ضلعه عمود دى او همدارنګه د ED مستقيم خط د Eپه نقطه کې هم پر ACعمود دى. په نتيجه کې BC AC BDدى.
177
مثال :په مخامخ شکل کې د ACاو BDد ABCDد لوزي قطرونه
B
دي ،که A1 = A 2 = C5 = C6 = 60o :وي.
34
د D7 , B 4 , B3او D8زاويې پيدا ک7ئ.
حل :څرنګه چې CDE ،BCE ،ABEاو ADEمثلثونه قايم C
5 6
الزاويه مثلثونه دي D7 = 90o 60o = 30o په نتيجه کې B3 = B4 = D7 = D8 = 30o :دى.
1 2E
A
87
D د معين (لوزي) قطرونه يو پر بل عمود او يو بل نيمايي کوي.
پوښتنې -1آﻳا د معين (لوزي) قطرونه د رآسونو زاويې نيمايي کوي؟ -2آﻳا د معين (لوزي) قطرونه يو پر بل عمود او يو له بل سره مساوي دي؟ -3آﻳا د معين (لوزي) قطرونه يو بل نيمايي کوي؟ -4آﻳا معين (لوزي) يوه متوازي االضالع ده؟ A
-5د معين (لوزي) په دې شکل کې 4 , 3 , 2 , 1او 5زاويې پيدا ک7ئ.
1
35o
2 B
D 5
43 C
178
د ﺷپ8م څپرکي لنډيز دوه مستقيم خطونه چې په يوه مستوي کې واقع وي او خپله خطونه او يا امتداد يې شريکه نقطه ونه لري سره موازي دي .د دوه موازي خطونو ترمنځ فاصله مساوي ده. دوه مستقيم خطونه چې پر يوه خط باندې عمود وي ،په خپل منځ کې موازي دي. دوه مستقيم خطونه هغه وخت يو پر بل عمود دي چې تر منځ زاويه يې 90oوي. که چيرې دوه موازي خطونه د يوه قاطع خط په واسطه قطع شي ،څلور داخلي متبادلې او څلور خارجي متبادلې زاويې جوړ وي چې دوه په دوه سره مساوي دي.
E B
خارجي متبادلې زاويې
2=8
داخلي متبادلې زاويې
3=5
D
1 2 4 3
A 5 6 8 7
4=6
1=7
C F
که چيرې دوه مستقيم خطونه د يوه خط په واسطه داسې قطع شي چې مساوي متبادلې زاويې جوړې ک7ي دا دوه مستقيم خطونه سره موازي دي. که چيري دوه موازي خطونه يو مستقيم خط قطع ک7ي 8 ،متوافقي زاويې جوړ وي چې دوه په دوه سره مساوي دي.
، 1=5
2=6
، 4=8
3=7
که چيرې دوه مستقيم خطونه د يوه مستقيم خط په واسطه داسې قطع شي چې مساوي متوافقې زاويې جوړې ک7ي ،دا دوه خطونه سره موازي دي. o
که دوه موازي خطونه د يو ه خط په واسطه قطع شي د قاطع يوې خواته د داخلي زاويو مجموعه 180 کې8ي. که چيرې دوه مستقيم خطونه د يوه قاطع خط په واسطه داسې قطع شي چې د قاطع خط د يوې خوا د داخلي زاويو مجموعه 180oشي ،دا دوه مستقيم خطونه سره موازي دي. په يوه متوازي االضالع کې مقابلې زاويې دوه په دوه سره مساوي دي.
179
د متوازي االضالع قطرونه يو بل نيمايي کوي او د قطرونو له تقاطع څخه دوه جوړې انطباق منوونکي مثلثونه جوړي8ي. په مستطيل کې قطرونه يو له بله سره مساوي او يو بل نيمايي کوي او د مستطيل د قطرونو د تقاطع څخه دوه جوړه انطباق منوونکي مثلثونه جوړي8ي او د مستطيل څلورواړه زاويې قايمې دي. د معين (لوزي) څلور ضلعې سره مساوي دي ،قطرونه يې يو پر بل عمود دي او يو بل نيمايي کوي .د قطرونو له تقاطع څخه څلور انطباق منونکي مثلثونه جوړي8ي او هم قطرونه د رآسونو زاويې نيمايي کوي.
د مربع قطرونه سره مساوي ،يو پر بل عمود او يو بل سره نيمايي کوي .د مربع قطرونه د رآس زاويې نيمايي کوي او د قطرونو له تقاطع څخه څلور انطباق منونکي مثلثونه جوړې8ي. د يوې څلور ضلعي د داخلي زاويو مجموعه 360oده .همدارنګه د څلور ضلعي د خارجي زاويو مجموعه هم 360oده. د متوازي االضالع ،مستطيل ،معين (لوزي) او مربع د خاصيتونو شريکوالى د سټونو د تقاطع په ډول په وين ديا-رام کې ښودل شوي دي.
ﻣﺘﻮﺍزى ﺍﻻﺿﻼع
ﻣﻌﻴﻦ ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ
180
د ﺷپ8م څپرکي پوښتنې -1په الندې شکلونو کې د ABاو CDکوم دوه قطعه خطونه سره موازي دي؟ B 50°
A B
40°
D
A
60°
C
60°
D
C
B
D
80°
B
70°
A
110° C
80°
D
A
C
-2په الندې شکلونو کې که چيرې AB || CDاو CD || EFوي 1 ،او 2څو درجې دي؟ E
B
1 30°
C
A 110°
1
2
95°
2
D
C
F
D B
-3په الندې شکل کې که AB || EDاو EF || CDوي 1 ،او 2پيدا ک7ئ.
C
F B D
181
A
110°
2 1
A E
-4هر څلور ضلعي چې کوم خاصيت لري مخامخ ورته د √ عالمه وليکئ. مربع
مستطيل
معين(لوزي)
خاصيتونه
متوازي االضالع
قطرونه يو بل سره نيمايي کوي. قطرونه سره مساوي دي. قطرونه يو پر بل عمود دي. قطرونه د راس زاويې نيمايي کوي. د قطرونو له تقاطع څخه دوه جوړى انطباق منونکي مثلثونه جوړي8ي. د قطرونو له تقاطع څخه ،څلور انطباق منونکي مثلثونونه جوړي8ي.
مقابلې ضلعې يې سره موازي او مساوي دي. ټولې ضلعې يې سره مساوي دي. مقابلې زاويې يې سره مساوي دي. څلور واړه زاويې يې سره مساوي دي.
-5سم ځوابونه په نښه ک7ئ. هغه وخت چې دوه مستقيم خطونه(کرښې) د يوه قاطع په واسطه قطع شي او مساوي متبادلې زاويې جوړې ک7ي ،دا کرښې سره: )cمتقاطع دي )bموازي دي )aعمودي دي دوه زاويې چې ضلعې يې سره موازي او هم جهت يا موازي او مختلﻒ الجهت وي ،دا زاويې سره )cد دواړو زاويو مجموعه 90oده. )bيو د بل متممې دي )aمساوي دي
دوې زاويې چې دوې ضلعې يې موازي او هم جهت او دوې ضلعې يې موازي او مختلﻒ الجهتوي:
)aمجموعه يې 180کې8ي o
o
)bمجموعه يې 90کې8ي.
)cسره مساوي دى.
182
دوه مستقيم خطونه چې پر يوه خط باندې عمود وي يو له بله سره: )cمتقاطع دي )bعمود دي )aموازي دي که چيرې دوه مستقيم خطونه ديوه مستقيم خط په واسطه داسې قطع شي چې د قاطع د يوې خواد دوو داخلي زاويو مجموعه 180oشي .دا دوه خطونه سره: )aموازي دي
)cمتقاطع دي
)bعمود دي
4
-6په الندې څلور ضلعي -انو کې د نامعلومو ضلعو اوږدوالى پيدا ک7ئ. 5
2.5
2.5
5
2.5
2.5
4 3
4 2.5
2.5
4
5
4
3 3
4
-7د الندې څلور ضلعي -انو د هرې يوې درې نامعلومې زاويې پيدا ک7ئ. 90°
130°
60°
90°
130°
60°
90°
130°
60°
-8په شکل کې p || qاو m || nدى ،که 2 = 40وي ،د نورو پاتې زاويو اندازه پيدا ک7ئ. o
m
n
m n 1 2 9 10 4 3 12 11 m n 1 2 9 10 p 4 3 12 11 5 6 13 14 q 1 2 9 10 p 8 7 16 15 4 3 12 11 5 6 13 14 q 8 7 16 15 p
13 14 16 15
183
5 6 8 7
q
-9د الندې جملو څخه کومه يوه يې سمه او کومه يوه يې ناسمه ده؟ د متوازي االضالع قطرونه سره مساوي دي. د مربع قطرونه يو پر بل عمود دي. دمعين (لوزي) قطرونه يو بل سره نيمايي کوي. د معين (لوزي) څلورواړه زاويې قايمې دي. د متوازي االضلع مقابلې ضلعې دوه په دوه مساوي او موازي دي. د ذوذنقې مقابلې ضلعې دوه په دوه سره موازي دي. هي(کله يوه ذوذنقه متوازي االضالع کيداى نه شي. هر مستطيل يوه څلور ضلعي ده. معين (لوزي) يوه متوازي االضالع ده. يوازې مربع يوه داسې څلور ضلعي ده چې څلور واړه زاويې يې قايمې دي. که د يوې څلور ضلعي د درېو زاويو مجموعه 300oوي ،څلورمه زاويه يې 60oده. د يوې څلور ضلعي د خارجي زاويو مجموعه 360oده. د يوي څلور ضلعي د داخلي زاويو مجموعه 360oده. د متوازي االضالع قطرونه يو پر بل عمود دي. د مستطيل د قطرونو له تقاطع څخه څلور انطباق منونکي مثلثونه جوړي8ي. د معين(لوزي) د قطرونو له تقاطع څخه څلور انطباق منونکي مثلثونه جوړې8ي. د مستطيل قطرونه يو بل سره نيمايي کوي. د معين قطرونه يو پر بل عمود دي. -10که د يوې متوازي االضالع يوه زاويه قايمه وي ،ښکاره ک7ئ چې درې نورې زاويې يې هم قايمې دي. o -11که د يوې متوازي االضالع يوه زاويه 55وي ،درې نورې زاويې يې پيدا ک7ئ. -12په شکل کې AB || CDدى 2 , 1او 3پيدا ک7ئ. C
90°
90°
A
3 2 D
70° 1 50° B
184
اووم څپرکى احﺼاﺋيه
احصاﺋيه د چاپېريال په برخه کې زموږ د معلوماتو روښانه کوونکې ده.
د اطﻼعاتو د را!ولولو طريقې ستاسو د ښوونځي مدير غواړي چې ستاسو لپاره يو تفريحي پرو-رام جوړ ک7ي .که تاسو د ښوونځي د مدير پر ځاى واى ،کوم معلومات بايد الس ته راوړئ؟
فعاليت ستاسو د ښوونځي مدير له تاسو غوښتي دي چې له خپلو ټولګيوالو (هم صنفيانو) څخه معلومات را ټول ک7ئ او هغه ته يې ورک7ئ ،تر څو مدير وکوالى شي ستاسو لپاره يو تفريحي پرو-رام جوړ ک7ي. -1د خپل ټولگي له 5ملگرو څخه الندې پوښتنې وک7ئ: کوم ډول ورزش مو خوښ دى؟ په يوه اون 9کې څو ساعته ورزش کول غواړئ. آيا دې ته چمتو ياست چې د رخصت 9په ورځ هم د ورزش کولو لپاره ښوونځي ته راشئ؟ -2څه فکر کوئ دا به ښه وي چې پورتني معلومات په شفاهي پوښتنو دخپل ټولگى له ملگرو څخه الس ته راوړئ او يا دا چې هغوى ته ليکلي پوښتنې ورک7ئ چې هغوى يې ځوابونه ووايي؟ شفاهي پوښتنې له ليکلو پوښتنو سره څه توپير لري؟ غواړئ چې پوه شئ چې ستاسو د ټولگي کوم ملگرى د واليبال له لوبې سره بلد دى؟ آﻳا له هغه پوښتنه کوئ؟ آﻳا دا ښه گ2ئ چې د هغه د لوبې سيل(ننداره) وک7ئ.په پورتنيو دوو طريقو کې څه توپير دى کومه طريقه ښه ده؟ د باسکټبال د ټيم د ټاکلو لپاره د خپل ټولگي د ملگرو د تنې لوړوالى اندازه ک7ئ. آﻳا د هغوی د تنې د لوړوالي د پيدا کولو لپاره کومه بله طريقه وړاندې کوئ؟ خپل معلومات د کاغذ په يوه پا1ه کې وليکئ او ښوونکي ته يې ورک7ئ. څه وخت چې د معلوماتو د راټولولو لپاره پوښتنه کوئ کوالى شئ چې په شفاهي يا ليکلي ډول وپوښتئ .ځينې وختونه ښه دا ده چې پوښتنه و نه ک7و او کتنه (مشاهده) وک7و تر څو ښه معلومات په الس راوړو او ځينې وختونه بايد تجربه سرته ورسوو تر څو معلومات را ټول ک7و ،د معلوماتو د راټولولو ځينې طريقې (الرې) دا دي :چې معلومات د پوښتنو (شفاهي يا ليکلي ډول) ،مشاهدې او
187
تجربې په مرسته راټول ک7و. مثال: -1که وغواړو چې د يوې کورن 9په عايداتو وپوهي8و ،کومه الره (طريقه) به ښه وي چې معلومات را ټول ک7و او که يا د مخکنيو ﺛبت شوو معلوماتو څخه -ټه واخلو؟ -2که وغواړو چې د شپ8م ټولگي د زده کوونکو د رياضي نمرې و څي7و له کومي الرې (طريقي) څخه به ښه وي چې معلومات را ټول ک7و؟ -3که وغواړو چې د خويندو او ورو1و زده کوونکو په شمېر وپوهي8و ،په کومه طريقه معلومات راټولوو؟ -4که وغواړو چې د نوي زي8يدلو ماشومانو وزن وڅي7و د اطالعاتو د راټولولو لپاره کومه طريقه ښه ده؟ حل :په لوم7ى مثال کې که عايدات ل 8وي ،نو ښايې زده کوونکي معلومات ورکول خوښ نه ک7ي، نو ښه داده چې پرته له نامه له هغوی څخه پوښتنه وک7و. په دويم مثال کې امکان لري چې زده کوونکي خپله واقعي نمره ونه وايي ښه داده چې د هغو معلوماتو څخه گټه واخلو چې ﺛبت شوي وي. په ( )3مثال کې کوالى شو چې له شفاهي يا ليکل شوو پوښتنو څخه -ټه واخلو. په ( )4مثال کې بايد د نوو زي8يدلو ماشومانو وزنونه اندازه ک7و.
پوښتنې -1که چپرې تاســو وغواړئ چې د خپل کلي د باســواده خلکو شــمېر معلوم ک7ئ ،له کومې طريقې څخه بايد گټه واخلئ؟ -2که تاســو وغواړئ چې د خپل ښــوونځي د زده کوونکو شــمېر پيدا ک7ئ له کومې طريقې نه بايد گټه واخلئ؟ -3کــه تاســو وغواړئ چې د شــپې له خــوا د حيواناتو حال وڅيــ7ئ ،بايد له کومــې طريقې نه -ټه واخلئ؟ -4د اطالعاتــو د راټولولــو د هرې طريقې لپاره د اطالعاتو د راټولولو د څي7نې دوه ډوله موضوعگانې بيان ک7ئ شفاهي پوښتنې (مصاحبه) ليکلې پوښتنې مشاهده (کتنه)
188
!ولنه او نمونه Population and sample يو -ن6ونکى غواړي چې د ښوونځي د زده کوونکو لپاره يو رن ,کالي و-ن6ي. 2-دونکــى بايــد د کومو شــا-ردانو د تنــې لوړوالى اندازه ک7ي؟
فعاليت د پوهنې وزارت غواړي چې د رياضي مضمون د درسې ساعتونو په برخه کې څي7نه وک7ي چې درسي ساعتونه ورته بس دي که نه؟ څه فکر کوئ له چا څخه بايد پوښتنې وشي؟ أيا د يو ځانګ7ي (خاص) ټولګي له ښوونکو څخه پوښتنه وشي؟ څه فکر کوئ چې که وغواړو له ټولو اړونده ښوونکو څخه پوښتنې وک7و ،څه ستونزې به وي؟ أياهمدا به کافي وي چې له يو شمېر ښوونکو څخه پوښتنې وشي؟ أيا همدا به بس وي چې دا ښوونکي يوازې د اووم ټولګي له ښوونکو څخه وټاکو؟ په پورتني فعاليت کې د رياضي د ښوونکو څخه بايد پوښتنې وشي ،ليکن په کار نه ده چې د ټولنيزو علومو له ښوونکي څخه پوښتنه وشي. په يوه څي7نه کې دهغو خلکو ډله او يا شيان چې د اړتيا وړ اطالعات ترې الس ته راوړو ،ټولنه يا جامعه ورته وايو .که د ټولنې ياجامعې له هر تن څخه اطالعات په الس راوړو ،دې کار ته ټول پوښته وايي .ځينې وختونه ،د ځينو ستونزو له سببه ،لکه د وخت کموالى ،اقتصادي ستونزې ،يا د ټولنې ټولو کسانو ته نه رسيدنې له امله مجبور يو چې د ېوې ټولنې(جامعې) د يوې برخې له غ7و نه معلومات په الس راوړو. نمونه د يوې ټولنې(جامعې) د غ7و يوه برخه ده .د يوې ټولنې نمونه ،بايد د ټولې ټولنې خاصيتونه او صفتونه ولري.
189
مثال :د ټولنې او د دوى د څي7نې د موضوع -انو مثالونه په الندې ډول دي: د هرات د ښوونکو د تدريس سابقه ..............................د هرات واليت ښوونکي د شمالي سيمو د پنبې پيداوار ............................د پنبې د پيداوارو اندازه. د افغانستان زراعتي محصوالت ..............................دافغانستان د محصوالتو ډولونه. -2د نمونې مثالونه په الندې ډول دي: يو موټى وريجې د يوې بورې وريجو نمونه ده. ستاسو د ښوونځي د اووم ټولگي زده کوونکي د افغانستان د اوومو ټولگيو د زده کوونکو نمونه ده. د کندز واليت د رياضي ښوونکي د کندز د واليت د ښوونکو نمونه ده. غنم د افغانستان د زراعتي محصوالتو نمونه ده.
پوښتنې -1د څي7نې د الندې موضوع گانو لپاره يوه ټولنه وټاکئ. ستاسو د کورنى د غ7و د تحصيل اندازه، ستاسو د ټولگي د خويندو او ورو1و زده کوونکو شمېر، د علي أباد روغتون د ډاکترانو د کار د ساعتونو شمېر، له يوه سرک څخه د موټرو د تېريدو وخت. -2د اطالعاتو د راټولولو له پاره په کومو حالتونو کې د سرشميرنې او په کومو حالتونو کې له نمونې اخيستلو څخه کار اخلو. د افغانستان د نفوسو پيدا کول، د فوټبال له لوبې سره د 5کلنو ماشومانو د عالقې اندازه، په اوسط يا منځنى ډول د يو دوه کلن پسه وزن، د درجې د ټاکلو لپاره د اووم ټولګي د زده کوونکو د رياضي نمرې، د يوې څا د اوبو د څښلو وړتيا، د يوې کار خانې له محصوالتو څخه د اخيستونکو (مشتريانو) خوښي، د کابل ښار د هرې کورن 9د اوالدونو شمېر.
190
تﺼادفي نمونه په دې کارټن کې د اووم ټولګي د زده کوونکو نومونه ليکل شوي دي که زده کوونکی د باسکټبال د ټيم د ټاکلو لپاره د پنځو زده کوونکو نومونه له کارټن څخه راوباسي .آﻳا دا يوه تصادفي نمونه ده؟
فعاليت غواړو چې ستاسو د واليت د لسم ټولگي د زده کوونکو د تنې لوړوالى اندازه ک7و. أيا کوالى شو چې ستاسو د واليت د لسم تولگي د ټولو زده کوونکو د تنې لوړوالى اندازه ک7و؟ أيا د دې څي7نې لپاره کوالى شو چې ستاسو د واليت د لسم ټولگي د باسکټبال د ټيم غ7ي وټاکو؟ ولي؟ د نمونې په ډول د خپل ښوونځي لسم ټولگی په پام کې ونيسئ ،له هغوى څخه 6کسه د الفبا د تورو د ترتيﺐ په اساس غوره ک7ئ .آيا کيداى شي چې دا نمونه ستاسو د ښوونځي د لسم ټولگي د زده کوونکو د تنې د لوړوالي ښکارندوی وي؟ أيا کيداى شي چې د دغو شپ8و کسانو د تنې لوړوالى ستاسو د واليت د لسم ټولگي د ټولو زده کوونکو د تنې د لوړوالى نمونه وي؟ په پورتني فعاليت کې د باسکټبال د ټيم غوره شوې نمونه يوه تصادفي نمونه نه ده ،ځکه چې تر مخه اټکل کوالى شو چې د هغوى د ټولو تنې لوړې دي .ليکن هغه نمونه چې د الفبا د تورو په اساس ټاکل شوي وي يوه تصادفي نمونه ده ،ځکه د زده کوونکو لوړوالى د دوى په نومونو پورې اړه نه لري. او که له مخکې څخه زده کوونکي ونه پيﮋنو نشو کوالى چې له نومونو څخه د دوى د تنو د لوړوالي اټکل وک7اى شو. ددې لپاره چې يوه نمونه د يوې ټولنې او د ټولنې د خصوصيتونو ښکارندوى وي بايد دا الندې خصوصيتونه ولري:
191
د نمونې د غ7ي په توگه د هر کس او يا هر شي ټاکنه امکان ولري. د نمونې د ټاکنې تر مخه ونشو کوالى چې د نمونې د غ7و په برخه کې قضاوت وک7و. په نمونه کې د نمونې ټول غ7ي برابره برخه ولري.مثال :له الندې نمونو څخه کومه يوه يې تصادفي نمونه ده؟ موضوع :د ښار د خلکو د سواد څي7نه. ټولنه (جامعه) :د ښار خلک. لوم7ۍ نمونه :هغه کس چې د مازديګر په 5بجو له سرک څخه تيري8ي. دويمه نمونه :د يوه روغتون ډاکتران.حل: لوم7ن 9نمونه تصادفي نمونه ده ،ځکه چې نه شو کوالى مخکې له مخکې د هغه چا د سواد پهبرخه کې چې له سرک څخه تيري8ي ،واړندوينه وک7و. دويمه نمونه يوه غير تصادفي نمونه ده .ځکه چې مخکې له مخکې کوالى شو چې د پايلې(نتيجې) په برخه کې وړاندوينه وک7و .دا نمونه د ټولې ټولنې ښکارندوی نه ده.
پوښتنې -1په الندې مثالونو کې ټولنه او د څي7نې وړ موضوع وټاکئ. موضوع :د يوې کار خانې له محصوالتو څخه د اخيستونکو(مشتريانو) خوښي. نمونه :د کارخانې د کاريګرو کورن.9 موضوع :د ښار د هرې کورن 9د اوالدونو شمېر نمونه :د ښار د يوې کوچن 9برخې اوسيدونکي چې په تصادفي ډول ټاکل شوي وي. -2د خپل ټولگي د ټولو ملگرو نومونه د کاغذ په وړو وړو پا1و کې وليکئ او بيا له هغو څخه د پﭽې په اساس پنځه کسان وټاکئ ،آﻳا دا نمونه تصادفي ده ،ولې؟
192
تﺼادفي متحول او ډولونه يې زلمى بازار ته الړ د مېوو د بېالبېلو رنګونو له ليدلو څخه خوشحاله شو ،څو دانې کيلې، بادرن ,او 2کيلو انګور يې واخيستل .ددې مېوو د اخيستلو ډول سره څه توپير لري؟
فعآليت تر څي7نې الندې د يوې داسې موضوع نوم واخلئ چې د موضوع په برخه کې د اطالعاتو اندازه په الس راوړو. تر څي7نې الندې د يوې داسې موضوع نوم واخلئ چې وکوالى شو په شمېرنې سره يې ځواب ورک7و.
د پورتنيو دوو موضوعګانو ځوابونه ،په خپل منځ کې څه توپير لري؟ تر څي7نې الندې د يوې داسې موضوع نوم واخلئ چې په عدد سره يې ځواب وويالى شو. د پورتنيو مثالونو په هر حالت کې يوه ټولنه وڅي7ئ او معرفي يې ک7ئ. په پورتنيو مثالونو کې أيا کوالى شو چې په يوه موضوع کې له اطالعاتو له راټولولو څخه مخکې د جامعې د هر غ7ي په برخه کې واړندوينه وک7و؟ که ترڅي7نې الندې موضوع څخه را ټول شوي اطالعات د ټولنې له يوه غ7ي څخه بل غ7ي ته د وړاند وينې وړ نه وي داسې موضوع ته تصادفي متحول وايي. کوالى شو ځينې اطالعات په عدد سره ښکاره ک7و: دا ډول متحولين دمقداري يا عددي متحول په نامه يادوو .که په مقداري متحول کې ونشو کوالى چې د دوو پرله پسې واحدونو ترمنځ عدد پيدا ک7و ،دې ته منفصل(يو له بله جال) مقداري متحول وايي او که د دوو پرله پسې واحدونو ترمنځ يو عدد پيدا ک7اى شو ،نو متصل مقداري متحول ورته وايي. په هغه صورت کې چې معلومات پرته له عدده په توصيفي ډول بيان ک7و ،داسې متحول ته کيفي يا توصيفي متحول وايي .کوالى شو ،پورتني مطلبونه د شکل په مرسته ښکاره ک7و.
193
مثال :د درېو داسې تصادفي متحولينو نومونه واخلئ چې وکوالى شو په شمېرلو سره ،د درېو داسې تصادفي متحولينو نومونه واخلئ چې په اندازه کولو سره او د درېو داسې تصادفي متحولينو نومونه واخلئ چې په توصيفي ډول د دوى په برخه کې خبرې وک7و. ﺣﻞ: کميتي (مقداري) منفصل
کميتي (مقداري) متصل
کيفي
ستاسو د کورن 9د غ7و شمېر
د زده کوونکو د تنې لوړوالى
د زده کوونکو د ستر-و رنگ
د ښوونځي د ټولگيو شمېر
ستاسو د ښار د حرارت درجه
د کارگرانو د سواد اندازه
د هغه موټرو شمير چې له يوه سرک څخه تيري8ي
د پسونو وزن
د خلکو د خوښې موسيقي
پوښتنې -1د داسې تصادفي متحولينو نومونه واخلئ چې د يوې مادې په درېو ډولونو (مايع ،جامد او غاز) پورې اړه ولري. -2آﻳا د مرغومي د مياشتې په ورځو کې د کابل واليت د تودخي (حرارت) درجه تصادفي، متحولونه دي .ولې؟ دا کوم ډول متحول دى؟ -3آﻳا د هغه موټرو شمېر چې د سهار په اتو بجو ،ستاسو له مخې څخه تيري8ي يو تصادفي متحول دى؟ ولې؟ د متحول ډول وټاکئ. -4له الندې متحولينو څخه کوم يو يې منفصل ،متصل اوکوم يو يې کيفي دى: په يوه ورځ کې د يوې ادارې د ټليفوني مکالمو(خبرو اترو) شمېر، د يوې ادارې د ټليفوني خبرو اترو وخت، په يوه ميلمستيا کې د 6-ون کوونکو جنسيت، په يوه صندق کې د ليکونو شمېر، د يوه واليت د خلکو د سواد حالت، په يوه صندوق کې د ليکونو وزن، په يوه ورځ کې يوه روغتون ته د راغلو ناروغانو شمېر، په يو ښار کې د اوسيدونکو د زده ک7و د درجواندازه (بکلوريا ،ليسانس ،ماسټر ،ډاکتر)، د يوې ادارې د کارکوونکو مدني حالت.
194
د فريکونسي ﺟﺪول ()Frequency Table د ښوونکي په کلمه کې د (و) تورى څووارې تکرار شوى دى؟
ښوونکى
فعاليت ستاسو د ښوونځي له 30تنو زده کوونکو څخه چې په تصادفي ډول ټاکل شوي وو ،د دوی د خوښې د رنگ په برخه کې پوښتنه وشوه چې د هغوى ځوابونه په الندې ډول دي:
شين سور ژي7
ابي ژي7 سور
ژي7 شين ژي7
سور ابي ابي
شين ابي ابي
سپين شين شين
ابي ژي7 ابي
شين سور سور
أيا په يوه نظر سره ژر ويالى شئ چې کوم رن ,تر ټولو زيات او کوم رن ,تر ټولو رنگو ل 8د عالقې وړ دى؟ وشميرئ او وواياست چې د هر رن ,خوښوونکي څو دي خپل ځوابونه په تشو ځايونو کې وليکئ. د ښ 9خوا ستون د عددونو مجموعه څو ده؟ دا عدد څه شی ښکاره کوي؟ أيا اوس چې رنگونو ته وگورئ د لوم7ۍ پوښتنې ځواب ژر ويالى شئ؟ که د رنګو ترتيﺐ ته تغيير ورک7و ،أيا ستاسو ځواب بدلي8ي؟
ژي7 سپين ژي7
سور ابي ژي7
شمېر رنګونه ابي ژې7 شين سپين سور
ورته وايي. د راټولو شوو ديتاگانو په څي7نه کې چې هيڅ عمل پرې سرته نه وي رسيدلى ،خامه په هره څي7نه کې معلومات په يو جدول کې ترتيبوو چې دې جدول ته د فريکونسي جدول وايي په پورتنى فعاليت کې ددې جدول د کي2ې خوا ستون د راک7ل شوو ډيتاگانو يا معلوماتو ښکارندوى او ددې جدول د ښ 9خوا ستون د دې معلوماتو د هر يوه فريکونسي ښکاره کوي .ځينې وختونه جدول په سطري ډول ترتيبوي او د يو معلومات د ځلونو (وارونو) تکرار ته د دې معلوماتو فريکونسي وايي.
195
په يوه نمونه کې د فريکونسيو مجموعه د ټولو راک7ل شوو معلوماتو او يا د نمونې د غ7و شمېر وي که چيرې f1د لوم7ى ډيټاگانو يا معلوماتو فريکونسي f 2د دويمو ډيټاگانو يا معلوماتو فريکونسي , f n ... ،د ام ډيټاگانو يا معلوماتو فريکونسي او د ټولو راک 7شوو ډيټاگانو يا معلوماتو شمېر وي. n = f1 + f 2 + ... + f n ) وايو. پاملرنه :د لوم7نيو راټول شوي معلوماتو ته ديتا ( مثال :يو ښار د جامعې او ددې ښار څلويښت کورن 9د نمونې په تو-ه ټاکو ،بيا له دې کورنيو څخه د کورنيو د غ7و د شمېر پوښتنه کوو او الندې معلومات مو الس ته راوړي دي.
3 6 7 3
4 2 3 3
1 4 4 2
2 4 2 4
5 3 5 5
2 3 1 4
3 4 2 3
5 1 4 6
1 5 1 8
2 3 6 7
د ښو معلوماتو د الس ته راوړنې لپاره پورتني معلوماتونه په منظم ډول په الندې جدول کې لن 6وو. په دې جدول کې لوم7ن 9کرښه (سطر) د کورنيو د غ7و شمېر او دويمه کرښه د کورنيو شمېر ښکاره کوي: د هرې کورن 9د غ7و شمېر مجموعه 40
8 1
7 2
6 3
5 5
4 8
3 9
2 7
1 5
د کورنيو شمېر
پورتنى جدول ښکاره کوي چې پنځه کورن 9يو ،يو او 8کورن 4 ،4 9غ7ي لري .په پورتنيو کورنيو کې يوازې يوه کورن 9ده چې 8غ7ي لري. پوښتنې -1له 20تنو ملګرو ،کورنيو يا له خپلو -اون6يو څخه پوښتنه وک7ئ چې د (فوټبال ،واليبال ،باسکټبال او د من6و وهلو) لوبو څخه کومه يوه خوښه 2-ئ .ځوابونه د فريکونسي په جدول کې په لن 6ډول وليکئ کومه يوه لوبه يې له نورو څخه ډيره خوښه شوې ده؟ د ښار نوم
-2مخامخ جدول د وري په مياشت کې ،په منځني ډول د بېال بېلو ښارونو د حرارت درجې د سانتي -ري 6په حساب ښکاره کوي. باميان په دې مياشت کې ،کوم ښار تر ټولو ښارونو سوړ دى؟ کندهار او کوم ښار په دې مياشت کې ،تر ټولو ښارونو تود دى؟ بلخ
ننګرهار
حرارتي اوسط 20 10 24 25
196
تﺼويري (ان%وريز) -راف کــه د يــوه ســ7ک پــه پيــل کــې د نښه ووينئ ،ستاسو ذهن ته څه درځي؟
فعاليت د لوم7نيو انسانانو لوستل او ليکل زده نه و چې که تاسو د لوم7نيو انسانانو په ځاى واى نو د خپلو پسونو د شمېر لو لپاره به مو څه کول؟ که مو يو پسه درلود؟ که مو پنځه پسونه درلودالى؟ که مو سل پسونه درلودالى؟ له پورتني فعاليت څخه ښکاري چې د معلوماتو پيﮋندلو لپاره کوالى شو ،د سمبولونو او شکلونو څخه گټه واخلو .دا طريقه د انځوري يا تصويري -راف په نامه يادې8ي .په هغه حالت کې چې د راک7ل شوو معلوماتو فريکونسي زياته وي ،له مقياس څخه گټه اخلو. مثال :يو هنرمند يو شمېر مجسمې په شپ8و مياشتو (ورى ،غوايي ،غبر-ولي ،چنگاښ ،زمرى او وږى) کې جوړوي او د خپل کار په المارۍ کې يې په الندې ډول ځاى پر ځاى کوي:
=2
197
ورى
غوايى
غبرگولى چنگاښ
زمرى
وږى
په کومه مياشت کې ډيرې مجسمې جوړې شوي دي ،څو دانې؟ په کومه مياشت کې ،تر ټولو ل8ې مجسمې جوړې شوي دي ،څو دانې؟ حل :مقياس دوه دى ،نو هره نښه دوه مجسمې ښکاره کوي ،تر ټولو زياتي مجسمې د چنګاښ په مياشت کې جوړې شوي دي ،ځکه چې 6 × 2 = 12کي8ي او تر ټولو ل8ې مجسمې د غبرگولي په مياشت کې جوړې شوي دي ،ځکه چې - ، 3 × 2 = 6راف ښکاره کوي .د غبر-ولي او زمري په مياشتو کې برابرې مجسمې جوړې شوي دي. پوښتنې -1خالد يو شمېر کتابونه د الندې انځوريز يا تصويري -راف په مرسته ښکاره ک7ي دي:
د کتابونو ډولونه
خالد له هر ډول کتابونو څخه ،څو کتابونه لري؟ کوم ډول کتابونه ډير لري؟
مذهبي
داستاني
درسي
-2الندې گراف په بېلو ،بېلو ورځو کې ،د خالد د مطالعې ساعتونه ښکاره کوي.
د اون 9ورځې چهارشنبه سه شنبه دوشنبه يک شنبه
شنبه
3ساعتونه = د څه ښکاره کوونکي دي؟ د څه ښکاره کوونکي دي؟ خالد هره روځ څو ساعته مطالعه ک7ې ده؟
198
مـــوډ )(Mode
د لباسونو د جوړولو فابريکه له ځينو رنگونو څخه زياته استفاده کوي څه فکر کوئ چې ولې؟
فعاليت په يوه واليت کې چې دوه سوه پنځوس زره تنه نفوس لري ،درې کسان غواړي چې دملي شوراى غ7يتوب لپاره ځانونه کانديد ک7ي ،څوک چې زياتې رايې واخلي ،د ملي شورا د مجلس غ7ي کې8ي. په رآى ورکولو کې 150000کسانو برخه اخيستې ده. تاسو غواړی ،چې پوه شئ چې له دې کانديدانو څخه کوم يو يې د ملي شورا غ7يتوب ترالسه ک7ى دى.
لوم7نى کانديد ...................په سلو کې 30رايې اخيستي دي. دويم کانديد ...................په سلو کې رايې اخيستي دي. دريم کانديد ...................په سلو کې رايې اخيستي دي د هر کانديد د رايو د شمير لپاره د فريکونسي جدول جوړ ک7ئ. زيا تې رايې چا اخيستي دي؟ څو رايې يې اخيستي دي؟ څوک به ملي شوراى ته الړ شي؟ أيا د دوو نورو کانديددانو د رايو د شمېر ترمنځ توپير ،په ټولټاکنو کې څه تاتير لري؟ په پورتني فعاليت کې مو وليدل چې کوالى شو هغه را ټول شوي معلومات پيدا ک7و چې زياته ) فريکونسي لري .هغه را ټول شوي معلومات چې زياته فريکونسي ولري موډ ورته وايي .موډ( په ډيرو موضوع -انو کې استعمالي8ي ،لکه :په رايې اچولو ،د مالونو په خرڅولو او نورو کې. لومړى مثال :په تيرو شپ8و مياشتو کې د اووم ټولگي د يوه زده کوونکي د رياضي د مضمون نمرې په دې ډول دى: 91
199
81.5
70
81
91
71
د زده کوونکي د نمرو موډ پيدا ک7ئ. ددې زده کوونکي د نمرو موډ 91دى .ځکه چې دا عدد تر ټولو زيات راغلى دی. پاملرنه :امکان لري چې يوه سلسله راک7ل شوي معلومات يو يا له يوه څخه زيات موډونه ولري او يا هيڅ موډ و نه لري. دويم مثال :الندې راک7ى شوي عددونه: 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 2 , 5 , 7, 5 , 5 درې موډه لري چې ( )1( ،)2او( )5دي. او همدارنگه دا عددونه 2,4,3,5,7 :هېڅ موډ نه لري. پوښتنې -1د الندې راک7ل شوو عددونو موډ پيدا ک7ئ: 2 , 2 , 5 , 7 , 9 , 9 , 10 , 10 , 11 , 12 , 18 3 , 5 , 8 , 10 , 2 , 15 , 16 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 7, 7, 7 -2د الندې سټونو موډ پيدا ک7ئ. }A = {17, 19, 19, 19, 21 } B = {1, 4, 10, 61 }C = {0 , 9 , 8 , 5 , 9 , 10, 8
-3د يوه زده کوونکي د کلن 9أزموينې نمرې په الندې ډول راک7ل شوي دي موډ يې پيدا ک7ئ: دري
پښتو
68 90
انګليسي
عربي
اسالمي زده ک7ې
ټولنيز علوم
بدني روزنه
هنر
ساينس
رياضي
77
84
78
81
95
80
82
97
-4د لباسونو په يوه پلورنځي کې پنځه ډوله لباسونه چې سور ،شين،سپين ،تور او ابي رنګونه لري شته دي ،که د سره رن ،9 ,د شنه رن ،14 ,د تور رن،12 , د سپين رن ,او د ابي رن ,جوړې خرڅې شوي وي د کوم رن ,لباسونه زيات خرڅ شوي دي؟ -5په الندې گراف ،کې د موډ تقريبي ځاى وټاکئ.
200
اوســـﻂ )(Mean د يوه زده کوونکي د نمرو ا وسط 87دى او د يوه بل زده کوونکي د نمرو اوسط 82دى أيا ويالى شئ چې ووايئ ،دويم زده کوونکى په ټولو مضمونونو کې له لوم7ي زده کوونکي څخه ښه دى؟
37 + 45 + 29 ?= 3
فعاليت پرويز يوکتاب څلور ورځې پرله پسې لوستى دي په لوم7ۍ ورځ يې 12پا1ې ،په دويمه ورځ يې 14 پا1ې ،په دريمه ورځ کې 13پا1ې او په څلورمه ورځ کې 11پا1ې لوستې دي .دا معلومات د الندې -راف په مرسته ښودل شوي دي.
د ورځو شمير
پرويز څو پا1ې لوستي دي؟ د ميلو پر مخ مربع -انې داسې ځاى پر ځاى ک7ئ چې د څلور واړو ميلو اوږدوالى برابر وي ،شکل يې رسم ک7ئ. له برابروالى څخه وروسته د ميلو اوږدوالى څو واحده دى؟ دميلو مجموعي اوږدوالى څومره دى؟ آﻳا دا مجموعه د کتاب له لوستل شوو مخونو سره څه توپير لري؟ څنگه کوالى شو چې د کتاب د ټولو مخونو او ورځو له مخې د برابرو ميلو اوږدوالى پيدا ک7و؟ أيا پرويز کوالى شي چې ووايي په اوسط ډول يې هر ورځ څو مخه لوستې دي؟ څلورمه ورځ دريمه ورځ
دويمه ورځ لوم7ۍ ورځ
له پورتنى فعاليت څخه څرگنده شوه چې د څو عددونو اوسط د پيدا کولو لپاره د عددونو مجموعه د عددونو پر شمېر وويشو .که عددونه ولرو او په x1 , x 2 , x 3 ...x nسره يې ښکاره ک7و او اوسط په Xسره وښايو نو لرو چې:
201
x l + x 2 + ...x n n
=X
مثال :د کال په پاى کې په مختلفو مضمونونو کې ،د زرغونې او نازو نمرې په الندې ډول دي: مضمون رياضي
زرغونه نازو
78 86
ساينس
78 89
دري
پښتو
85 85
87 88
عربي
79 91
اسالمي زده ک7ې
90 79
هنرونه
بدني روزنه
70 89
85 90
انګليسي
ټولنېز علوم
86 92
91 73
د نمرو له ليدلو سره أيا ويالى شى چې ووايئ ،کومې زده کوونکې ښه درس ويلى دى؟ د اوسط په پيدا کولو سره خپل نظر وواياست. که ښوونځـی زرغونې ته د دويم ځل لپاره د ازموينې ورکولو وخت ورک7ئ چې خپل اوسط پورته ک7ي ،نو د کوم مضمون ازموينه بايد د دويم ځل له پاره ورک7ي؟ د دې لپاره چې د زرغونې اوسط 85ته ورسي8ي ،نو د هنرونو په مضمون کې بايد څو نمرې واخلي؟ آﻳا امکان لري چې د دې د نمرو اوسط 90ته ورسي8ي؟ حل:
86 + 91 + 85 + 70 + 90 + 79 + 87 + 85 + 78 + 78 829 831 = == 83.1 د زرغونه د نمبرو اوسط 82.9 10 10 10 92 + 73 + 90 + 89 + 79 + 91 + 88 + 85 + 89 + 86 862 862 = ==86.2 د نازو د نمبرو اوسط 86.2 10 10 10
هغه نمره چې زرغونه يې بايد د هنرونو د مضمون په دويمه ازموينه کې په الس راوړي داسې پيدا 86 + 91 + 85 + + 90 + 79 + 87 + 85 + 78 + 78 کوو: = 85 = 85
+ 10 90 + 79 + 87 + 85 + 78 + 78
86 + 91 + 85 +
10 + 759 = 85 · 10 = 850 + 759 = 85 · 10 = 850 = 850 - 759 = 91 = 850 - 759 = 91
ددې لپاره چې د زرغونې د نمرو اوسط 85شي ،بايد د هنرونو په مضمون کې 91نمرې په الس راوړي او ددې لپاره چې د زرغونې د نمرو اوسط شي ،داسې عمل کوو: = 90 = 90
+ 90 + 79 + 87 + 85 + 78 + 78
86 + 91 + 85 +
10 + 79 + 87 + 85 + 78 + 78 + 90
86 + 91 + 85 +
10 + 759 = 90 × 10 = 900 + 759 = 90 × 10 = 900 = 900 - 759 = 141
داسې نمره امکان نه لري ،نو د يوې بلې ازموينې په ورکولو سره د زرغونې د نمرو اوسط د هنرونو په = 900 - 759 = 141 مضمون کې هي(کله 90نمرې نه کي8ي.
202
پوښتنې -1د درې زراعتي فارمونو د تيرو پنځو کلونو د پنبې پيداوار د ټن په حساب په الندې ډول دى:
لوم7ن 9مزرعه:
8
20
13
15
12
دويمه مزرعه:
13 10
7 11
18 8
17 9
11 18
دريمه مزرعه:
په تيرو پنځو کلونو کې د هرې مزرعې د پيداوارو اوسط پيدا ک7ئ. په اوسط ډول د کومې مزرعې پيدا وار زيات دي؟ -2د يوې کورن 9د شپ8و کسانو مياشتنى عايد په الندې ډول دى: 5000افغان 10000 ،9افغان 8000 ،9افغان 5000 ،9افغان 15000 ،9افغان 9او ددې کورن 9د عايد مجموعه پيدا ک7ئ؟ ددې کورن 9د مياشتني عايد اوسط پيدا ک7ئ. -3د فوټبال دملي ټيم د لوبغاړو عمرونه په الندې ډول دي: 22 21
23 31
18 33
31 25
19 25
29 29
26 23
26 27
افغان9
24 26 25
27 25 26
د لوبغاړو د ټيم د عمرونو اوسط پيدا ک7ئ. د هغو لوبغاړو شمېر پيدا ک7ئ چې عمرونه يې تر اوسط زيات او هم د هغو لوبغاړو شمېر پيدا ک7ئ چې عمرونه يې تر اوسط ل 8دي. -4د a, 8 , 7, 3, 9, 5 , 8, 3او 4نهو عددونو اوسط 5.5دى ،پيدا ک7ئ.
203
-5د احمد او حامد د کلن 9ازموينې نمرې په الندې جدول کې راک7ل شوې دي. مضمون رياضي
ساينس
عربي
انګليسي
دري
پښتو
ټولنيز علوم
بدني روزنه
هنرونه اسالمي زده ک7ې
احمد
73
71
76
86
93
75
82
85
62
92
حامد
85
65
76
82
94
78
66
93
91
82
د هر يوه د نمرو اوسط پيدا ک7ئ. د دوى د نمرو د اوسطونو د پرتله کولو له مخې وواياست چې کوم يوه زياتې نمرې اخيستي دي.
204
د اووم څپرکي لنډيز ) وايي. را ټول شوو معلوماتو ته ،ډيټا ( د معلوماتو د را ټولولو طريقې عبارت دي له: پوښتنې (شفاهي يا تحريري) ،کتنه (مشاهده) ،د تجربې سرته رسول او يا له ليکل شوو معلوماتو څخهگټه اخيستل. احصاﺋيوي ټولنه يا په لن 6ډول ټولنه ،د هغو کسانو او يا شيانو مجموعه ده چې د غ7و په برخه کې يې د اړتيا وړ معلومات السته راوړو. د ټولنې يا جامعې يوې برخې ته نمونه وايي. د يوې ټولنې د غ7و شمېر ته ،د ټولنې اندازه او د نموني د غ7و شمېر ته ،د نمونې اندازه وايي. د يوې ټولنې د پېﮋندلو لپاره ،هغه نمونه چې له ټولنې څخه ټاکل کې8ي بايد تصادفي نمونه وي .د نمونې د ټاکلو شرطونه په الندې ډول دي: د نمونې د هر غ7ي ټاکل امکان ولري. د يوې نمونې د ټاکلو تر مخه د نمونې د خصوصياتو په برخه کې قضاوت ونه شو کوالى.د يوې موضوع په برخه کې راټول شوو معلوماتو ته ناڅاپي (تصادفي) متحول وايي. ناڅاپي يا تصادفي متحولونه په دوه ډوله دى: مقداري يا عددي متحول چې د اندازه کولو وړ وي. کيفي يا غير عددي متحول چې د اندازه کولو وړ نه وي.مقداري يا عددي متحول په دوه ډوله دى: يو متصل دى چې د هرو دوو مقدارونو ترمنځ کوالى شو بل مقدار پيدا ک7و. بل سره بيل (جال) مقداري متحول يا منفصل متحول دى.که x1 , x 2 , ...x nد يوې موضوع راک7ل شوي معلوماتو نه وي د راک7ل شوو معلومات تکرار د راک7ل شوو معلوماتو د فريکونس 9په نامه يادي8ي او معموالَ يې په f1 , f 2 , ...f nسره ښکاره کوي. ځينې وختونه د اطالعاتو د پيﮋندلو لپاره له نښو (سمبولونو) او شکلونو څخه استفاده کوي چې انځوري يا تصويري گراف ورته وايي. ) :هغه راک7ل شوي معلومات دي چې ډيره فريکونسي ولري. موډ ( د ارقامو د جمعې حاصل که د ارقامو پر شمېر وويشو ،د ارقامو اوسط په الس راځي.
205
د اووم څپرکي پوښتنې -1الندې موضوع گانې په پام کې ونيسئ او ددې فرضيو د تجربه کولو لپاره د معلوماتو د راټولولو لپاره د ښې طريقې په برخه کې تصميم ونيسئ. زيات خلک دا فکر کوي چې د موټرو په تم ځاى کې ،تر ټولو ل 8سرعت بايد معلوم وي. د مطالعې په وخت کې موسيقي ته غوږ نيول په يادولو کې مرسته کوي. د غذايي رژيم مراعاتول د فکر د کمزورۍ سبﺐ گرځي. -2که چيرې وويل شي چې په تيرو کلونو کې ،په اوسط ډول د کورنيو د اوالدونو شمېر 7تنه او اوس 5تنه دي ،که له تاسو څخه وغوښتل شي چې يوه د 100کورنيو نمونه په پام کې ونيسئ او ددې موضوع سموالى وڅي7ئ په دې څې7نه کې تاسو جامعه (ټولنه) او نمونه وښاياست. -3د يوې څي7نيزې موضوع او ټولنې نوم واخلئ چې ستاسو ټولگى يې نمونه وي. -4د څي7نې له يوې موضوع او د افغانستان له ټولنې څخه د يوې نمونې نوم واخلئ -5تش ځايونه ډک ک7ئ: که د يوې ټولنې غ7ي د مطالعې الندې ونيول شي نو وايو چې .....................مو ک7ى ده. نمونه د يوې جامعې (ټولنې) ............................مجموعه ده. د يوې ټولنې د غ7و شمېر ته د جامعې .............................وايي. د يوې نمونې د غ7و شمېر ته د نمونې .......................وايي. -6نا څاپې (تصادفي) متحولونه په څو ډوله دى؟ -7د څلورو ډولونو تصادفي متحولينو نومونه وواياست او د کميت او کيفيت له مخې د هر يوه ډول وټاکئ. -8د څلور ډولونو کمى متحولينو نومونه وواياست چې دوه يې متصل او دوه يې منفصل وي. -9د شپ 8ډوله ناڅاپي (تصادفي) متحولينو نومونه وواياست چې درې يې د اندازې وړ او درې نورې يې د اندازې وړ نه وي. -10په دې جمله کې چې ( زه د اتم ټولگي زده کوونکى يم) د کوم حرف فريکونسي زياته ده؟ -11د يو لس کسيز -روپ د تنې لوړوالى د سانتي متر په حساب الندې ډول راک7ل شوى دي:
156
170
151
177
175
177
156
159
152
177
د 177عدد او د 159عدد فريکونسي وليکى.
206
-12د يو ښار وويشئ: مجموعه
40
156
170
151
177
175
177
156
159
152
177
کورن 9د نمونې په ډول ټاکل شوي دي ،په دريو ډلو يې د الندې جدول په شان
هغه کورن 9چې د غ7و هغه کورن 9چې د غ7و شمېر يې متوسط وي شمېر يې زيات وي
20
هغه کورن 9چې د غ7و شمېر يې ل 8وي
د کورن 9ډول
8
د کورنيو شمېر
12
د ،12او عددونه د څه په نامه يادوي. -13په ژوب 0کې د الندې جدول په شان پنځه ډوله کبان ساتل کې8ي: 200000دويم ډول لوم7ى ډول
دريم ډول
500000پنځم ډول څلورم ډول
80 400000 100 250000
120
110 350000 70 450000
کبانو ښکاره کوونکى وي ،گراف يې رسم ک7ئ. د که -14د الندې ډيتا موډ پيدا ک7ئ: 110 70 120 80 100 , , , , , , , 50 137 155 139 150 155 -15که پورتني ډيټا دوه چنده ک7و د موډ په اندازه کې څه توپير راځى. 132 130 160 135 141 راښيئ: 144سانتي متر142په حساب 158تنې لوړوالى د -16الندې ډيتا د زده کوونکو د 151 150 141 155
140 150
138 139
146 155
156 137
141 158 141
135 144 140
160 142 138
130 150 146
132 151 156
د زده کوونکو د تنو د لوړوالي اوسط کې پيدا ک7ئ. که دا ډيټا د په عدد کې ضرب ک7و په اوسط کې به څه بدلون راشي؟ که د هرې ډيټا څخه د عددکم ک7و ،څه بدلون به په اوسط کې راشي؟وي ،د ډيټا مجموعه پيدا ک7ئ. -17که له راک7ل شوي ډيټا شمېر او د ډيټا اوسط
207
-18د شپ8م ټولگي د تنو زده کوونکو د څلور نيم مياشتې ازموينې نمرې په الندې جدول کې راک7ل شوي دي وواياست چې د کوم زده کوونکي د نمرو اوسط زيات دى. مضمون رياضي ساينس عربي انګليسي
پښتو
دري اسالمي زده ک7ې هنرونه
بدني روزنه
ټولنيز علوم
محمود
24
35
20
25
27
22
36
34
30
40
احمد
22
26
28
30
35
40
37
32
38
33
منصور
40
38
32
30
33
35
33
40
39
خالد
40
30
20
35
38
34
22
27
30
پﮋواک
35
38
39
40
35
26
28
40
35
208
اتـم څپـرکى احـتماﻻت
احتماالت له موږ سره مرسته کوي چې د پېښو د وړاند وينې له مخې د راتلونکى وخت لپاره پالن جوړ ک7و.
ﭼانﺲ آيا سبا هم د باران د اوريدو چانس شته دى؟
ﺗﺼﻮﻳﺮ از اﺑﺮ و ﺑاران
ﻓعاﻟﻴت د ورځنيو تجربو په اساس د الندې پېښو د پيښيدو چانس په خامخا (حتمي) شونى(امکان لري) او ناشوني(ناممکن) ځوابونو سره وواياست ،خپل ځوابونه د عبارتونو مخامخ په تشو ځايونو کې وليکئ. ) ( زموږ هر ټولګيوال د ورځې يو -يالس شيدې څښي. ) ( پيل الوزي. ) ( د کوټې په بام د فوټبال په پن6وس (توپ) لوبې کول خطر نه لري. ) ( لمر له ختيځه راخيﮋي. د يوې روپ 9په پورته اچولو کې ،نتيجه کيداى شي چې د روپ 9مخ يا شا(شېر يا خط وي).
د روپ 9د مخ چانس نيمايي ( ) 1دى. 2
(
)
(
)
) ( که يوه روپ 9پورته واچول شي بيرته نه رالوي8ي. له پورتنيو کلمو څخه سربيره چې د پوښتنو د ځوابونو لپاره مو کارولى دي ،کوالى شو ،نورې مناسبې کلمې د پورته کلمو پر ځاى وليکئ: ) ) ( ، خامخا ( ) ) ( ، امکان لري( ) ) ( ، امکان نه لري(
211
له پاسني فعاليت څخه الندې نتيجه په الس راځي. پايله: هره پېښه (حادﺛه) کوالى شو چې د خامخا ،شونی او نا شونی او يا ددې د معادلو کلمو ،لکه سل په سلو کې ،ښايي او يا هيڅ ،سره ارزيابي ک7و .او د چانس د کلمې په کارولو سره وړاندوينه وک7و. مثال :د الندې جملو مخامخ په تشو ځايونو کې د خامخا ،ښايې ،په سلو کې سل ،په سلو کې صفر ( )0%کلمې وليکئ: )aله منى وروسته ژمى راځى. )bلمر په شمال کې پريوزي. )cد گاون6ي چرګ يوه پښه لري. )dله شين اسمان څخه تل ږل 9اوري. )eد ماشومانو خواږه نه دي خوښ. )fيو پن6وس چې هوا ته اچول شوى وي ،ځمکې ته را-رځي.
(خامخا ،په سلو کې سل) (ناشونی ،په سلو کې صفر) ( شونی ،ښايي) (ناشونی ،په سلو کې صفر) ( شونی ،ښايې) (خامخا ،سل په سلو کې)
پوښتنې له خپل ورځني ژوند څخه ،د خامخا ،شونې (امکان لري) او ناشونې( امکان نه لري) کلمو لپاره مثالونه پيدا او په تشو ځايونو کې يې وليکئ: -1خامخا(حتمي): )aځمکه د لمر پر شاوخوا څرخي. ............................................. )b ............................................ )c -2شونې (ممکن): )aامکان لری چې نن شپه دخپل نيکه د ليدو لپاره الړ شم. .......................................... )b ......................................... )c -3ناشونې(ناممکن): )aاوښ الوزي ..................................... )b ..................................... )c
212
احتمال ))Probability زلمي د خپل ټولگي يوه ملگري ته وويل: ماسپښين ما ته راشه چې د فوټبال لوبه وک7و. ملگري يې ځواب ورک:7 شونى(امکان لري) دى چې درشم.
فعاليت د خپلو ورځنيو چارو له مخې په داسې ډول چې درک 7شوې فيصدي په پام کې ونيسئ ،د شونو(امکاناتو) د مختلفو درجو مثالونه ووايئ چې د يوې پېښې د احتمال فيصدي پکې موجوده وي. 95% -1شونى دى چې سبا ښوونځى ته راشم. ( 95فيصده) 0% -2وزه الوزي ( 0فيصده) ................................................................. -3 ( 10فيصده) ................................................................. -4 ( 50فيصده) ................................................................ -5 ( 20فيصده) ................................................................. -6 ( 75فيصده) ................................................................. -7 ( 80فيصده) ................................................................ -8 ( 99فيصده) ................................................................. -9 ( 100فيصده) ............................................................... -10 ( 1فيصده) پوښته :هغه مثال مو چې په پورتني فعاليت کې د 5شميرې لپاره راوړى دى ،د خپل څن ,ملګرې ته يې وښاياست او له هغه نه پوښتنه وک7ئ چې آيا د هغه نظر هم له تا سو سره يو شان دی چې د پيښې د پيښيدو احتمال 20%دى؟ له پورتني فعاليت څخه الندې نتيجه السته راځي:
213
پايله: د يوې پيښې د پېښېدو د احتمال د وړاند وينې لپاره يوه ناشونې پيښه په ( )0%او د خامخا شونې پيښه په 100%ښکاره کوي. د شونو(امکان لرونکو) پيښو د پېښېدو احتمال تل د( )0او يو ( )1په منځ کې واقع کې8ي. مثال :د بخت د ازميښت څرخ(طالع بجنګان) لوبه داسې په پام کې نيسو چې د شکل په شان لکه د ساعت ستنه په يوه رنګه شوې برخه دري8ي. د الندې پيښو د احتمال فيصدي داسې پيدا ک7ئ چې ستنه له څرخيدو وروسته په الندې رنګونو ودري8ي.
-1د دې احتمال چې په نارنجي رن ,ودري8ي 50%دى ،ځکه چې:
1 50 (د نارنجي رن ,د سطحې نسبت د ټولې دايرې سطحې ته) = = 50% 2 100 1 25 = -2د دې احتمال چې په سره رن ,ودري8ي ( )25%دى ،ځکه چي= 25% : 4 100 0 =0 -3د دې احتمال چې په تور رن ,ودري8ي ( )0%دى ،ځکه چې= 0% : 100
پوښتنې د پورتني مثال د بخت د ازمايښت څرخ په پام کې ونيسئ د الندې پيښو احتمال حساب ک7ئ. -1د دې احتمال چې ستنه (عقربه) په ابي يا شنه رن ,ودري8ي. -2د دې احتمال چې ستن په ژي 7رن ,ودري8ي. -3د کومو رنګونو احتمال سره برابر دى؟ -4د کوم رن ,احتمال د بل رن ,دوه برابره دى؟ قيمتونه يې پيدا ک7ئ. -5يوازې دا احتمال چې په يو اختياري رن ,ودري8ي؟ (د ټولو رنګونو)
214
د يوې تﺼادفي پي+ې تﺠرﺑه
له ښ 9خوا څخه د واليبال د لوبې د پيل کېدو لپاره د ميدان رفري يوه روپ 9د دواړو ټيمونو لپاره پورته واچوله. آﻳا ويالى شئ چې د واليبال ددې دواړو ټيمونو څخه کوم يو به لوم7ى له ښ 9خوا سرويس وک7ي؟
فعاليت يوه روپ 9څو وارې هوا ته واچوئ ،د روپ 9په مخ يا شا د راتلو پايلې په خپل نامه په الندې جدول کې شا (شير) وليکئ .د پيښې احتمال حساب ک7ئ مخ (خط) ، احتمال
د پر مخ يا خط د راتللو شمېر
د روپى د پورته اچولو وارونه(ځلونه)
د ازميښت د سرته رسولو مسﺆول
شمېر
3 8
3
8ځلې
ﻣﺤﻤﻮد
1
215
15ځلې
2
20ځلې
3
25ځلې
4
40ځلې
5
20ځلې
6
30ځلې
7
له پورتني فعاليت څخه کوالى شو چې الندين 9دوي نتيجې واخلو. پايله: -1د يوې پيښې د چانس بيانول په عدد سره ،د احتمال په نوم يادي8ي. -2په پورتني فعاليت کې وليدل شوه چې د تجربو نتيجې د مختلفو کسانو لپاره ،يوه له بلې سره توپير لري. مثال :د افغانستان د پنځو وروستنيو کلونو د ورزشي ټيمونو د لوبو نتيجې څرگندوي چې :په سيمه ييزو سياليو کې د نجونو د تکواندو ټيم د لوبې گټوونکی نه و ،د س 8کال د سيمه ييزو سياليو د سيال9 د نتيجو د وړاند وينې په هکله الندې جملو ته په سمو يا ناسمو کلمو سره ځواب ورک7ئ: -1د تيرو کلونو د نتيجو پر بنسټ په س8ني سياليو کې د نجونو د ټيم د -ټلو احتمال څومره دی؟ $واب :څرنګه چې د نجونو ټيم په پنځو کلونو کې يوه لوبه هم نه ده گټلې ،س 8کال يې د گټلو 0 احتمال برابر دى په= 0 : 5 خو څرنگه چې د احتمال په بيانولو کې يوه وړاندوينه سرته رسي8ي .دا وړاندوينه کيداى شي ،سمه نه وي يعنې س 8کال کيداى شي چې د نجونو ياهلکانو ټيم هم گټونکى شي. ) ( احتمال لري چې د نجونو د لوبغاړو ټيم گټونکى شي. ) ( " احتمال لري چې د هلکانو د لوبغاړو ټيم گټونکى شي.
پوښتنې -1د يوه رمل( )1دانه مو اته ځلې واچوله ،درې ځلې د يو ( )1عدد ښکاره شو: )aد دې احتمال څومره دى چې که د نهم ځل لپاره د رمل دانه واچول شي او د يو ( )1عدد ښکاره شي؟ -2په يوه ښوونځي کې حاضري هره ورځ سهار د لين پرسر اخيستل کې8ي ،تاسو د دې احتمال پيدا ک7ئ چې نن ورځ به: )aحاضري د لين پر سر واخيستل شي. )bحاضري به د لين پر سروانه خيستل شي. 1رمل داسې يوه مکعبي دانه ده چې شپ 8برابرې خواوې چې هره يوه يې د .....، ¨¨ ، ¨. ، ¨ ، .او ¨¨ نښې ¨¨ لري.
216
تﺼادفي تﺠرﺑه آﻳا د لوم7ي ټولگى زده کوونکې سواد لري؟ ويالى شئ چې د يو ټلويزون خبريال سواد لري او که نه؟ آﻳا زمون 8د کوڅې هر اوسيدونکى سواد لري؟
فعاليت که د يوه داسې سرک پر غاړه والړ اوسئ چې د موټرو زياته گ2ه گو1ه ولري تر ټولو د مخه به د کوم ډول موټرو د تېريدو انتظار وک7ئ. (الرۍ ،سرويس ،گ7ندى موټر ،موټر سايکل ،بايسکل او يا بگ)9 آﻳا ويالى شى چې: په يو ساعت کې به څو الرۍ ستاسو له مخې تيرې شي؟ څو گ7ندي موټر به په يو ساعت کې له ښ 9خوا څخه کي2ې خواته تېر شي؟ د يو پيل د تېريدو انتظار هم لري؟ په يو س7ک باندې د پيل د تيريدو او د الرۍ د تريدو د پيښې ترمنځ څه توپير دى؟ آيا ويالى شئ چې د يوې تصادفې پيښې په برخه کې مخکې له پيښدو وړاندوينه وک7ئ؟ له پورته فعاليت څخه الندې نتيجه يا پايله الس ته راځي. پايله: يوه داسې پيښه چې تر اوسه يې په بشپ 7ډول پايله ښکاره نه وي او په ناڅاپه ډول پيښه شي د تصادفي تجربې په نامه يادي8ي. د هغه پيښو له پاره چې تصافي نه وي وړاندوينه معنا نه لري.
217
مثال :د يوه ټولگى د مشر د غوره کولو لپاره د پﭽې اچولو په واسطه د پنځو عالقه لرونکو زده کونکو(حسن ،زلمى ،خيبر ،انور او زمرى) نومونه د کاغذ په وړو وړو پا1و کې ليکو او په يوه جعبه کې يې اچوو له جعبې څخه يوه پا1ه چې د يوه کانديد نوم پرې ليکل شوى دى را اخلو دا کار يوه تصادفي تجربه ده. که پنځه تنه کانديدان نه وي او يوازې يو تن د مثال په ډول خيبر کانديد وي آﻳا ويالى شئ چې په دې حالت کې هم دا يوه تصادفي تجربه ده؟ نه ،ځکه چې پايله يې ښکاره ده او وړاندوينه مخکې له مخکې ښکاره ده.
پوښتنې -1آﻳا د يوې داسې روپ 9پورته اچول چې دواړه خواوې يې يو شان وي کيداى شي يوه ناڅاپى پيښه وي؟ که نه ،نو ولې؟ -2آﻳا د خلکو د مستقيمو پټو رايو په مرسته د ولس مشر ټاکل کيداى شي چې يوه تصادفي پيښه وي؟ -3له خپل روځني ژوند څخه د تصادفي حادﺛې د دوو نمونو مثالونه وليکئ: ............................................... )a ............................................... )b که د يوې جعبې نه چې درې د شنه رن ,پن6وسونه لري يو راواخلو ،کيداى شي و وايو چې دا يوه ناڅاپه ازميښت يا تصادفي تجربه ده؟
218
د نتيﺠې يا د نمونې فﻀا نتيجه به څه وي مخ (خط) يا شا (شېر) کوم يو؟
فعاليت آﻳا د روپ 9اچول يوه تصادفي تجربه ده؟ آﻳا ويالى شو چې روپ 9به په مخ راشي؟ که روپ 9په مخ يا خط را نه شي ،نو څه به وشي؟ آﻳا له دوو حالتو سربېره ( مخ يا شا څخه) درېم حالت هم شته دى؟ وواياست چې ازميښت (تجربه) څو شونې پايلې لري؟ د تصادفي تجربې شونې پايلې د سټ د عالمې په داخل کې وليکئ. د پورتني فعاليت په سرته رسولو کې الندې نتيجې ته رسي8و. پايله: د يو تصادفي ازميښت ټولې شونې(ممکنې) پايلې(نتيجې) د يوې مجموعي يا سټ ( )Setپه مرسته ښودالى شو چې د نمونې د فضا په نوم يادې8ي .يوه د نمونې فضا په عمومي ډول په Sسره ښودل کې8ي. د نمونې د فضا هر غ7ى (عضو) د هماغه تصادفي تجربي يوه شونې پايله ده چې د لوم7نيو پيښو په نامه يادي8ي.
219
مثال :د 3مترو په فاصله د يوې دايروي تختې سطحه په غشي ولو ،لکه چې په مخامخ شکل کې ښودل شوى ،دايره په څو بيلو بيلو برخو ويشل شوې ده؟ که غشى د 3،2،1او 6په عددونو ولګي8ي او هغه عددچې غشى پرې ولګي8ي د نتيجې په صفت وليکو ،که چېرې غشى له دايرې څخه د باندې ولگي8ي پايلې ته صفر نمره ورکول کي8ي. په دې اساس د امکان لرونکو پايلو شمېر پنځه عددونه دي چې د نمونې فضايې عبارت ده له: }S = {0,1, 2,3, 6
په پورتني شکل کې د دايرې ځينې برخې دوه ځلې د يوه عدد په مرسته ښودل شوي دى ،لکه د 2 عدد ،دا خبره د 2عدد د لګيدو چانس زياتوي ،ليکن دواړه پايلې يو له بله توپير نه لري.
پوښتنې -1د مخامخ شکل په شان په يوه ک(وړه کې اته يو شان پن6وسونه چې بېالبېل (مختلﻒ) عددونه پرې ليکل شوي دي په پام کې ونيسئ، کله چې په پټو ستر-و په تصادفي ډول د ک(وړې څخه يو پ2دوس را 13 12 2 واخيستل شي آﻳا امکان لري د ک(وړې څخه داسې پن6وس چې د 8 17 50عدد پرې ليکل شوى وي ،راووزي؟ 6 4 5 کــه چيــرې ځــواب مو(نه) وي نــو د نمونــې فضــا او د امــکان لرونکو پايلو(نتيجو) شمېر وواياست. -2د نمونې فضا اود امکان لرونکو پايلو شمېر د يو رمل داچولو له پاره وليکئ.
220
نﻈري احتمال حسن ،زلمى ،خيبر انور او زمري د خپل ټولگي د مشرۍ لپاره ځانونه کانديد ک7ي وو. آﻳا دا احتمال شته دى چې زلمى -ټونکى شي؟ د انور د گټنې احتمال څومره دى؟
فعاليت د يو رمل د دانې د اچولو د تجربې فضا په پام کې ونيسئ، شونې پايلې عبارت دي له: د تجربې د نمونې فضا وليکئ. د ممکنو نتيجو شمير څو دى؟ ليدل کې8ي چې د رمل د 6امکان لرونکو حالتونو څخه يو حالت يې د 2د عدد ښکاره کيدل دي دا احتمال د يو کسر په شکل وليکئ. آيا د رمل د ( )1او ( )2د عددونو د ښکاره کيدو احتمال سره برابر دي. د رمل د دانې د هر عدد د راتلو احتمال څومره دى؟ د رمل څو عددونه جفت دي؟ ددې احتمال چې جفت عدد ښکاره شي د يوه کسر په شکل وليکئ. د پورتنيو پيښو د احتمال په پيدا کولو کې د پام وړ پايلې د مساعدو(برابرو) حالتونو د شمېر رقمونه د کسر په صورت کې ليکل کې8ي. د پورتنيو حالتونو څخه کوالى شو چې الندې نتيجه په الس راوړو: پايله: د يوې پيښې احتمال کوالى شو د الندې کسر په مرسته په الس راوړو. د تصادفي پيښې دمساعدو حالتونوشمېر د تجربې د ټولو پايلود حالتونو شمېر
221
= د يوې تصادفي پيښې د پېښېدو احتمال
ﻣﺜال :په تصادفي تجربه کې د يوې دانې رمل اچول په پام کې ونيسئ ،د الندې پېښو احتمال پيدا ک7ئ. - aکه د رمل شمېره طاقه وي. - bکه د رمل شمېره 5وي - cکه د رمل شمېره 8وي - dد رمل د دانې شمېره له ( )1او يا له يو څخه لويه وي. حل :پوهي8و چې ټول ممکن حالتونه 6دى ،د احتمال د تعريﻒ په پام کې نيولو سره لرو چې: )aپه دې حالت کې مساعد حالتونه 3دي ،نو:
( = 3 = 1 = 50%د دې احتمال چې د رمل شمېره طاقه وي) 6 2 )bپه دې حالت کې مساعد حالتونه له ( )1سره مساوي دي نو:
( = 1 = 0,167 = 16,7%د دې احتمال چې د رمل شمېره 5وي) 6 )cد ( )8د عدد له پاره مساعد حالتونه نشته دى نو: ( = 0 = 0 = 0%ددې احتمال چې د رمل شمېره 8وي) 6
)dممکن حالتونه په دې صورت کې 6عددونه دي نو: 6 = 1 = 100% 6
= (د دې احتمال چې رمل شمېره ( )1او يا له ( )1څخه لوى وي)
پوښتنې -1د يوه ښوونځي د 12هلکانو زده کوونکواو 6نجونو څخه 1تن د مشر په تو-ه په پﭽې ټاکل کي8ي ،احتمال به څومره وي که: )aد زده کوونکو مشره ،يوه جل 9وي )bد زده کوونکو مشر ،يو هلک وي. -2په يوه جعبه کې درې شنه ،دوه ژې 7او يو سور پن6وسونه پراته دي .که په ناڅاپي يا تصادفي ډول له جعبې نه يو پن6وس راوباسو ،د الندې پيښو احتمال پيدا ک7ئ: )aد دې احتمال چې پن6وس شين وي. )bددې احتمال چې پن6وس ژې 7وي. )cددې احتمال چې تور وي. -3د يوې روپ 9د اچولو په ناڅاپى تجربه کې د الندې پېښو احتمال په الس راوړئ. )aروپ 9په مخ راځي )bروپ 9نه په مخ راځي اونه په شا(څټ).
222
د اتم څپرکى لنډيز ﭼانﺲ :د هغو پيښو د واړندوينې لپاره چې په عددي شکل د اټکل وړ نه وي د چانس له کلمې څخه -ټه اخيستل کې8ي .د يوې پيښې د وړاند وينې لپاره دچانس دکلمې په کارولو سره ،شونې ،ناشونې، خامخا ،ل 8چانس ،ډير چانس او يا چانس نه لري کلمې کارول کې8ي. د مثال په ډول: -1د هرات او لغمان تر منځ فاصله په يو ساعت کې د موټرپه مرسته وهلى شو ،ناشونې خبره ده. -2د خداى
په قدرت هرې شپې پسې د ورځې د راتلو چانس خامخا او سل په سلو کې دى.
-3په اوړي کې د باران اوريدل هم امکان لري. احتمال :که چيرې د يوې پيښې د وړاندوينې چانس د عددونو يا رقمونو په مرسته وټاکل شي د ناڅاپي يا تصادفي پيښې د احتمال په نامه يادي8ي. د يوې ناممکنې پيښې احتمال ( )0او د يوې خامخا پيښودونکې پيښې احتمال ( )1دى. د مثال په تو-ه: -1ددې احتمال چې د يوې ليسې مدير بي سواده وي صفر دى -2د دې احتمال چې لمر له ختيځه را خيﮋي ( )1دى تﺼادفي پي+ې:هغه ازميښت(تجربه) چې د سر ته رسولو په وخت کې يې ممکنه پايله معلومه نه وي د تصادفي پيښې په نوم يادي8ي. د مثال په ډول: -1آﻳا کيداى شي چې واړندوينه وک7و چې د س 8کال د کانکور د ازموينې د عالي نمرو -ټونکي به يوه جل 9وي؟ -2آﻳا کوالى شو چې وړاندوينه (پيشبيني) وک7و چې س8نى ژمى به خپلې کورن 9سره جالل آباد ته الړ شو. تﺼادفي تﺠرﺑه:هغه پيښه چې تر اوسه يې پايله ښکاره نه وي او يا په ناڅاپې (تصادفي) ډول پيښې8ي د ناڅاپى ازميښت يا تصادفي تجربې په نامه يادي8ي.
223
د پﭽې اچولو په مرسته د يو ټولګي د مشر ټاکل د څو کانديدانو له جملې څخه يوه ناڅاپي پيښه يا تصادفي تجربه ده. او ياد يوې روپ 9اچول چې نتيجه به يې خط يا شېر وي هم يوه تصادفي تجربه ده. تﺠرﺑوي احتمال:هغه احتمال ته چې د يوې تجربې په سرته رسولو کې په عملى ډول او يا ديوې تجربې د پايلو د شمېر له مخې په الس راځي د تجربوي احتمال په نامه يادي8ي. نﻈري احتمال:هغه احتمال چې د نمونې فضا له مخې د تصادفي پيښو د مساعدو حالتونو شمېر او د تجربې د پايلو د ټولو حالتونو د شمېر ترمنځ نسبت د نظري احتمال په نامه يادي8ي.
د تصادفي پيښې دمساعد حالتونوشمير = د يوې تصادفي پيښې د پېښېدو احتمال د تجربې د ټولو پايلو د حالتونو شمېر
224
د اتم څپرکي پوښتنې
-1الندې سوالونه امکان لري ،امکان نه لري او د خامخا په کلمو سره ځواب ک7ئ. له وريځ لرونکي اسمانه باران اوري، د ورځې له خوا د ستورو ليدل امکان نه لري، پيل مرغ الوزي، مي8ه ورى نه زي8وي ،هګ 9اچوي. -2د يوې تصادفي تجربې بيلګه راوړئ لوم7ن 9تصادفي پيښه او څو تصادفي پيښې په نښه ک7ئ. -3که يوه نمونوي فضا څلور لوم7ن 9تصادفي پيښى ولري ،څو تصادفي پيښى لري د يو مثال په مرسته يې واضﺢ ک7ئ او د تصادفي پېښو فهرست وليکئ. -4د ناڅاپي ازميښت(د تصادفي تجربې) په مثال کې ډاډمنې تصادفي پېښې او ناشونې تصادفي پېښې د مثال په مرسته واضﺢ ک7ئ. -5يوه نمونه يي فضا څه شى دى؟ سم ځواب د ( )Pپه توري سره په نښه ک7ئ. (
) د يو ازميښت(تجربې) هره نتيجه نمونوې فضا ده
(
) نمونوي فضا پايلې نه لري
(
) د يوې تجربې(ازميښت) د ټولو ممکنو پايلو سټ دى.
(
) يوه د ډاډ وړ او ناممکنه پېښه ده.
-6په يوه تصادفي تجربه کې هره تصادفي پيښه په ( )Pسره په نښه ک7ئ (
) يو عنصر د نمونې فضا ده
(
) د نمونې فضا يو فرعي سټ دى
(
) په يوه تصادفي تجربه کې تصادفي پيښه چانس نه لري.
(
) امکان نه لري
-7د دوو دانو روپيو په اچولو کې: د نمونې فضا جوړه ک7ئ.
225
د دې احتمال پيدا ک7ئ چې دواړه روپ 9شېر وي ددې احتمال پيدا ک7ئ چې دواړه روپ 9خط وي ددې احتمال پيدا ک7ئ چې دواړه روپ 9يو شان وي -8په يوه ک(وړه کې سل -لولى دي چى له ( )1څخه تر ( )100پورې عددونه پرې ليکل شوي دي يوه -لوله راباسو ددې احتمال پيدا ک7ئ چې: راويستل شوى عدد په 5پوره د وېش وړ وي راويستل شوى عدد جفت وي راويستل شوى عدد به په 12پوره د وېش وړ وي عدد درې رقمي وي. عدد څلور رقمي وي.
226