Mathematics 07 [7]

Citation preview

‫‪100‬‬ ‫‪90‬‬

‫‪15‬‬

‫‪80‬‬

‫‪10‬‬

‫‪70‬‬ ‫‪60°C‬‬

‫‪5‬‬

‫‪60‬‬ ‫‪50‬‬

‫‪–4°C‬‬

‫‪40‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪–5‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10°C‬‬

‫‪10‬‬

‫‪15‬‬

‫‪–10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪–10°C‬‬

‫‪10°C‬‬

‫‪–20‬‬ ‫‪–30°C‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–30‬‬

‫‪–5‬‬

‫کتب درسی مربﻮط وزارت معارف بﻮده‪ ،‬خرﻳد و فروش أن‬ ‫ممنﻮع است‪.‬‬ ‫‪[email protected]‬‬

‫‪10 11 12 13‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫(ب ای‬

‫ارس د ی)‬

‫‪1398‬‬

‫هـ ش‬

‫الف‬

‫مؤلفان‬ ‫پوهنیار عبیداﷲ صافﻰ متخصص ریاضیات ریاست انکشاف نصاب تعلیمﻰ و تالیف کتب درسﻰ‬ ‫اﻳدﻳتوران علمﻰ‬ ‫حبیب اﷲ راحل مشاور وزارت معارف در ریاست انکشاف نصاب تعلیمﻰ و تالیف کتب درسﻰ‬ ‫سرمولف عبدالکبیر عضو علمﻰ دیپارتمنت ریاضیات‬ ‫اﻳدﻳتور زبان‬ ‫سید محمود خلیق‬ ‫کمﻴتﺔ دﻳنﻰ‪ ،‬سﻴاسﻰ و فرﻫنگﻰ‬ ‫حبیب اﷲ راحل مشاور وزیر در ریاست انکشاف نصاب تعلیمﻰ و تألیف کتب درسﻰ‬ ‫محمد آصف کوچﻰ آمر دیپارتمنت تعلیمات اسالمﻰ‬

‫إشراف‬ ‫‪ -‬دکتور شیر علﻰ ظریفﻰ رئیس پروژه انکشاف نصاب تعلیمﻰ‬

‫ب‬

‫ج‬

‫سرود ملی‬

‫د‬

‫دا وطن افغانستـــان دى‬

‫دا عزت د هـــر افـــغان دى‬

‫کور د سول‪ ３‬کور د تورې‬

‫هر بچی ي‪ ３‬قهرمـــــان دى‬

‫دا وطن د ټولو کـور دى‬

‫د بـــــــلوڅــــو د ازبکـــــو‬

‫د پښتــــون او هزاره وو‬

‫د تــــــرکمنــــو د تاجکــــو‬

‫ورسره عرب‪ ،‬ګوجــر دي‬

‫پـــاميــريان‪ ،‬نورستانيــــان‬

‫براهوي دي‪ ،‬قزلباش دي‬

‫هـــم ايمـــاق‪ ،‬هم پشـه ‪４‬ان‬

‫دا هيـــواد به تل ځلي‪８‬ي‬

‫لـــکــه لمــر پر شنه آسمـان‬

‫په سينــه ک‪ ３‬د آسيـــا به‬

‫لـــکـــه زړه وي جــاويدان‬

‫نوم د حق مو دى رهبـــر‬

‫وايو اهلل اکبر وايو اهلل اکبر‬

‫بسم اﷲ الرحمن الرحﻴم‬

‫پﻴام وزﻳر معارف‬

‫نصاب تعلیمي معارف اســاس نظام تعلیم و تربیه را تشــکیل داده و در رشــد و توسعۀ‬ ‫علمﻰ‪ ،‬فکرى و ســلوکﻰ نســلهاى امروز و فرداى کشور نقش بنیادى و سرنوشت ساز‬ ‫دارد‪.‬‬ ‫نصاب تعلیمﻰ با گذشــت زمان و تحول و پیشــرفت در عرصــه هاى مختلف زندگﻰ‪،‬‬ ‫مطابــق بــا نیازهاى جامعه‪ ،‬باید هم از نظر مضمون و محتوا و هم از نظر شــیوه و روش‬ ‫عرضۀ معلومات‪ ،‬تطور و انکشاف نماید‪.‬‬ ‫یکــﻰ از عرصه هاى نصاب تعلیمﻰ کــه مورد توجه جدى بــراى تجدید نظر و بهبود‬ ‫مﻰ باشــد‪ ،‬نصاب تعلیمات اســالمﻰ اســت؛ زیرا از یک جانب‪ ،‬فارغان مدارس دینﻰ‬ ‫به حیث پیشــوایان معنوى جامعه‪ ،‬باید محور تالشــهاى معارف قرار گیرند و از سوى‬ ‫دیگر نصاب تعلیمات اســالمﻰ شــامل عقاید‪ ،‬احکام و هدایات دین مبین اسالم است‬ ‫که به حیث نظام و قانون مکمل‪ ،‬تمام ابعاد زندگﻰ انسان ها را در بر گرفته و به عنوان‬ ‫آخرین پیام خالق و پروردگار جهان تا روز قیامت‪ ،‬رسالت رهنمایﻰ و هدایت بشریت‬ ‫را انجام مﻰ دهد‪.‬‬ ‫علماى امت اسالمﻰ در طول تاریخ نقش مهمﻰ را در ایجاد‪ ،‬توسعه و غنامندى سیستم‬ ‫تعلیمــات و معارف اســالمﻰ مخصوصا انکشــاف تدریجﻰ نصاب تعلیمــﻰ مراکز و‬ ‫مؤسسات علمﻰ جهان اسالم‪ ،‬ایفاء کرده اند‪.‬‬ ‫مطالعۀ دقیق در ســیر تطور تاریخﻰ علوم و معارف اسالمﻰ در جهان نشان مﻰ دهد که‬ ‫نصاب تعلیمﻰ مدارس و مراکز علمﻰ ما‪ ،‬همواره بنا بر ضرورت هاى جامعه و در تطابق‬ ‫با احکام ثابت و پا بر جاى دین اسالم‪ ،‬که براى همۀ انسانها در همۀ زمانها و مکانها مﻰ‬ ‫باشد‪ ،‬توسعه یافته است‪.‬‬ ‫کشور عزیز ما افغانستان با سابقۀ درخشان علمﻰ‪ ،‬روزگارى مهد علم و دانش و جایگاه‬ ‫بزرگترین مراکز علمﻰ عصر بوده و در شکل گیرى تمدن بزرگ اسالمﻰ نقش عظیمﻰ‬ ‫داشــته اســت‪ ،‬وجود هزاران دانشــمند و عالم در عرصه هاى مختلف علم و فرهنگ‬ ‫مخصوصاً در علوم شــرعﻰ مانند عقاید‪ ،‬تفســیر‪ ،‬حدیث‪ ،‬فقه‪ ،‬اصول فقه و غیره‪ ،‬گواه‬ ‫هـ‬

‫واضح آنچه گفته شد مﻰ باشد‪.‬‬ ‫همزمان با رشــد بیدارى اســالمﻰ در عصر حاضر‪ ،‬تعلیمات اســالمﻰ در کشور ما شاهد‬ ‫تحول کمﻰ و کیفﻰ بوده و اطفال و جوانان کشــور ما با شــوق و رغبت فراوان به طرف‬ ‫مدارس و مراکز تعلیمات اسالمﻰ رو مﻰ آورند‪.‬‬ ‫وزارت معارف جمهورى اســالمﻰ افغانســتان بر اساس مســؤولیت ورسالت خویش‪ ،‬در‬ ‫مطابقت با احکام قانون اساســﻰ کشور‪ ،‬به منظور رشــد و توسعۀ کمﻰ و کیفﻰ تعلیمات‬ ‫اسالمﻰ و از جمله نصاب آن‪ ،‬اقدامات قابل توجه نموده است‪.‬‬ ‫درین راستا وزارت معارف با دعوت از علماء‪ ،‬استادان و متخصصین باتجربه و قابل اعتماد‬ ‫کشــور‪ ،‬به بهبود و انکشــاف نصاب تعلیمﻰ پرداخته و کتابهاى رایــج مدارس تعلیمات‬ ‫اسالمﻰ‪ ،‬را با شرح و توضیح متون‪ ،‬جا بجا ساختن فعالیتها‪ ،‬ارزیابﻰ و تمرینها با معیارهاى‬ ‫کتب درسﻰ عیار ساخت‪.‬‬ ‫امیــدوارم این تالشــهاى قابل تمجید علمــاء و متخصصان وزارت معــارف‪ ،‬در بهبود و‬ ‫انکشــاف هر چه بیشتر تعلیمات اســالمﻰ در افغانستان عزیز مفید واقع شده وسبب کسب‬ ‫رضاى خداوند متعال قرار گیرد‪.‬‬ ‫وباﷲ التوفیق‬ ‫دکتور محمد مﻴروﻳس بلخﻰ‬ ‫وزﻳر معارف‬

‫و‬

‫مقدمه‬ ‫استادان عالﻴقدر و شاگردان گرامﻰ‪،‬‬ ‫ریاضﻰ زبان علوم طبیعﻰ است که قوانین طبیعت را فورمول بندى مﻰ کند و مسائل مربوط‬ ‫به اعداد و مقادیر را به زبان حساب ارائه مﻰ نماید‪.‬‬ ‫انسان ها در زنده گﻰ روز مره به علم ریاضﻰ احتیاج دارند‪ ،‬این علم براى ساینس حیثیت‬ ‫کلید را دارد که اکثر قوانین طبیعت به زبان ریاضﻰ بیان مﻰ شــود و در مســائل شرعﻰ نیز‬ ‫به علم ریاضﻰ ضرورت مﻰ باشــد‪ ،‬در تقسیم میراث‪ ،‬تقسیم زمین و دریافت مساحت آن‪،‬‬ ‫تعیین حقوق شرکاء و غیره موارد‪ ،‬از علم ریاضﻰ استفاده صورت مﻰ گیرد‪.‬‬ ‫براى اینکه فارغان مدارس علوم شرعﻰ قابلیت هاى ضرورى داشته باشند‪ ،‬مسائل روزمرۀ‬ ‫زنده گﻰ مربوط ریاضﻰ را حل کرده بتوانند و مســائل مانند میراث‪ ،‬مشارکت‪ ،‬تقسیمات‬ ‫اموال و محتواى مضامین ساینســﻰ را بفهمند‪ ،‬ریاســت عمومﻰ انکشــاف نصاب تعلیمﻰ‬ ‫وزارت معارف جمهورى اســالمﻰ افغانستان مسائل ضرورى ریاضﻰ را در نصاب تعلیمﻰ‬ ‫مدارس جابه جا نمود‪.‬‬ ‫به گونۀ که ضرورت هاى اساسﻰ شاگردان مدارس شرعﻰ‪ ،‬تخصص آینده ایشان و ساعات‬ ‫تعیین شــده در پالن تعلیمﻰ براى مضمون ریاضﻰ را در نظر گرفته و مســائل ضرورى این‬ ‫علم را با درنظرداشــت به فن معاصر نصاب نویســﻰ بر میتود آسان و مؤثر تالیف نمود‪ ،‬تا‬ ‫فارغان مدارس شرعﻰ در پهلوى علوم دینﻰ بعضﻰ علوم ضرورى دنیوى را نیز فرا گیرند‪،‬‬ ‫ظرفیت هاى شان بلند برود و رول مؤثر و مثمر را در جامعه ایفا نمایند‪.‬‬ ‫و اﷲ ولﻰ التوفیق‬

‫ز‬

‫فﻬرست‬

‫صفحه‬

‫فصل اول(ست)‬ ‫مفهوم ست‪3........................................................................................................‬‬ ‫طرق نوشتن یک ست‪7........................................................................................‬‬ ‫ست هاى مساوى‪ ،‬ست هاى معادل وست فرعﻰ‪9..................................................‬‬ ‫تقاطع و اتحاد ست‪11...........................................................................................‬‬ ‫تفاضل دو ست و مکلمۀ یک ست‪13....................................................................‬‬ ‫خلص و تمرین فصل اول‪15.................................................................................‬‬ ‫فصل دوم(اعداد طبﻴعﻰ)‬ ‫خاصیت هاى عملیه هاى اعدادى طبیعﻰ‪19 ...........................................................‬‬ ‫تجزیه اعداد طبیعﻰ ‪21..........................................................................................‬‬ ‫طاقت‪25..............................................................................................................‬‬ ‫خاصیت عملیه هاى طاقت ‪27..............................................................................‬‬ ‫بزرگترین قاسم مشترک و دریافت آن توسط تجزیه‪29.........................................‬‬ ‫کوچکترین مضرب مشترک ‪31...........................................................................‬‬ ‫دریافت کوچکترین مضرب مشترک توسط تجزیه و موارد استعمال آن در حل مسائل‬ ‫روزمره زنده گﻰ ‪33............................................................................................‬‬ ‫رابطه بین‪ ،‬کوچکترین مضرب مشترک و بزرگترین قاسم مشترک دو عدد‪35.......‬‬ ‫مربع و جذر مربع تام اعداد طبیعﻰ‪ ،‬دریافت جذر مربع توسط تجزیه و طریق عمومﻰ‪37 ...‬‬ ‫جذر مکعب تام اعداد طبیعﻰ‪39...........................................................................‬‬ ‫خالصه و تمرین فصل دوم‪41...............................................................................‬‬ ‫فصل سوم( اعداد تام)‬ ‫اعداد تام و نمایش اعداد تام روى محور اعداد‪47..................................................‬‬ ‫قیمت مطلقه یک عدد تام و عملیه هاى جمع‪ ،‬تفریق‪ ،‬ضرب و تقسیم اعداد تام‪49..‬‬ ‫دریافت قیمت افاده هاى حسابﻰ‪63.......................................................................‬‬ ‫خالصه و تمرین فصل سوم‪65 .............................................................................‬‬ ‫فصل چﻬارم‪ :‬اعداد نسبتﻰ‬ ‫نمایش اعداد نسبتﻰ روى محور اعداد‪69...............................................................‬‬ ‫مقایسه اعداد نسبتﻰ‪71..........................................................................................‬‬ ‫عملیه هاى جمع‪ ،‬تفریق‪ ،‬ضرب و تقسیم اعداد نسبتﻰ‪73........................................‬‬

‫ح‬

‫فﻬرست‬

‫صفحه‬

‫تبدیل اعداد نسبتﻰ به اعداد اعشارى‪77.........................................................‬‬ ‫خالصه و تمرین فصل چهارم‪79...................................................................‬‬ ‫فصل پنجم( مثلث ﻫا از حﻴث اضﻼع و زواﻳا‬ ‫میانه‪ ،‬ارتفاع و ناصف الزوایه مثلث‪83...........................................................‬‬ ‫زاویه خارجﻰ یک مثلث و مجموع زوایایﻰ داخلﻰ مثلث‪87..........................‬‬ ‫چند ضلعﻰ ها( مضلع ها)‪89.........................................................................‬‬ ‫مجموع زوایه هاى داخلﻰ یک مضلع‪91.......................................................‬‬ ‫مجموع زوایه هاى خارجﻰ یک مضلع‪93.....................................................‬‬ ‫اشکال انطباق پزیر‪95...................................................................................‬‬ ‫حاالت انطباق پزیرى مثلث ها‪97..................................................................‬‬ ‫خالصه و تمرین فصل پنجم‪101....................................................................‬‬ ‫فصل ششم( خطوط موازى و عمود)‬ ‫زوایایﻰ متبادله داخلﻰ و خارجﻰ‪109.............................................................‬‬ ‫بررسﻰ موازات دو خط در صورتﻰ که زوایاى متبادله با هم مساوى باشند ‪111‬‬ ‫زوایایﻰ متوافقه‪113........................................................................................‬‬ ‫زوایایﻰ متممه داخلﻰ یک طرف خط قاطع‪115..............................................‬‬ ‫چهار ضلعﻰ ها(متوازى االضالع‪ ،‬مستطیل‪ ،‬مربع‪ ،‬معین و ذوزنقه)‪117..............‬‬ ‫زوایایﻰ مقابل متوازى االضالع‪119................................................................‬‬ ‫زوایایﻰ خارجﻰ یک چهار ضلعﻰ‪121...........................................................‬‬ ‫خاصیت هاى قطر هاى چهار ضلعﻰ‪123.........................................................‬‬ ‫خاصیت هاى قطر هاى مستطیل‪125...............................................................‬‬ ‫خاصیت هاى قطر هاى معین(لوزى)‪127........................................................‬‬ ‫خالصه و تمرین فصل ششم‪129....................................................................‬‬

‫ط‬

‫ﻓﺼﻞ ا ّول‬ ‫ِست‬

‫ﻣفﻬﻮم ست(‪)Concept of a Set‬‬

‫ﻣﻲ تﻮاﻧﻴد بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ بز در ست‬ ‫حﻴﻮاﻧات اﻫﻠﻲ ﺷاﻣﻞ است ﻳا خﻴر؟‬

‫ﻫر دستﻪ ﻣﺸخﺺ ﺷده از اﺷﻴا را ﻳﻚ ست و اﺷﻴاى آن را بﻪ ﻧام ﻋﻨاﺻر ست ﻣﻰ ﻧاﻣﻨد‪ .‬ﻛﻪ‬ ‫ﻋﻨاﺻر ﻳﻚ ست را بﻴﻦ ﻋﻼﻣﻪ { } ﻣﻰ ﻧﻮﻳسﻨد‪.‬‬ ‫ﻋﻨاﺻر ست تﻮسﻂ ﻋﻼﻣﻪ (‪ )،‬از ﻳﻚ دﻳﮕر جدا ﻣﻰ ﺷﻮﻧد ست ﻫا تﻮسﻂ حروف ﻛﻼن و‬ ‫ﻋﻨاﺻر آن تﻮسﻂ حروف ﻛﻮچﻚ ﻧﺸان داده ﻣﻰ ﺷﻮﻧد‪ .‬بﻪ ﻃﻮر ﻣثال }‪ A = {e, f , g‬و‬ ‫}‪ B = {a , b, c, d‬و ﻏﻴره‪ .‬ﻃﻮرى ﻛﻪ حرف ‪ e‬در ست ‪ A‬ﺷاﻣﻞ ﻣﻰ باﺷد‪ ،‬اﻳﻦ ﻃﻮر ﻧﻮﺷتﻪ‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد‪ e A .‬اﻣا حرف ‪ h‬در ست ‪ A‬ﺷاﻣﻞ ﻧﻤﻰ باﺷد؛ پس ﻣﻰ ﻧﻮﻳسﻴﻢ ﻛﻪ‪h A :‬‬

‫ستﻰ ﻛﻪ ﻋﻨاﺻر آن ﻗابﻞ ﺷﻤارش باﺷد بﻪ ﻧام ست ﻣتﻨاﻫﻰ و ست ﻛﻪ ﻋﻨاﺻر آن ﻗابﻞ ﺷﻤارش‬ ‫ﻧباﺷد بﻪ ﻧام ست ﻏﻴر ﻣتﻨاﻫﻰ ﻳاد ﻣﻰ ﺷﻮد ﻃﻮر ﻣثال‪:‬‬ ‫}‪ A = {1,3,5,7,9‬ﻳﻚ ست ﻣتﻨاﻫﻰ اﻣا ست }‪ IN = {1,2,3...‬ﻳﻚ ست ﻏﻴر ﻣتﻨاﻫﻰ‬ ‫ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫ﻣثال اول‪ :‬در ست ﻫاى داده ﺷدهﻳﻲ زﻳر ﻛدام ست ﻣتﻨاﻫﻰ و ﻛدام ﻳﻚ آن ست ﻏﻴر‬ ‫ﻣتﻨاﻫﻰ ﻣﻰ باﺷد؟‬ ‫{ﻣﻀرب ﻫاى ﻋدد ‪B = }6‬‬

‫‪{ ،‬حروف زبان اﻧﮕﻠﻴسﻰ} = ‪A‬‬

‫حﻞ‪ :‬ست ‪ A‬ﻳﻚ ست ﻣتﻨاﻫﻲ ﻣﻲ باﺷد؛ زﻳرا ‪ 26‬ﻋﻨﺼر دارد؛ اﻣا ست ‪ B‬ﻳک ست ﻧاﻣتﻨاﻫﻰ‬ ‫ﻣﻰ باﺷد؛ زﻳرا ﻣﻀرب ﻫاى ﻋدد ‪ 6‬را ﺷﻤرده ﻧﻤﻰ تﻮاﻧﻴﻢ‪.‬‬ ‫ست ﻛﻪ ﻫﻴچ ﻋﻨﺼر ﻧداﺷتﻪ باﺷد بﻨام ست خاﻟﻲ ﻳاد ﻣﻲ ﺷﻮد و تﻮسﻂ ﻋﻼﻣتﻲ ‪ φ‬و ﻳا{ }‬ ‫ﻧﺸان داده ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫ست ﻫا را ﻣﻲ تﻮاﻧﻴﻢ تﻮسﻂ اﺷﻜال ﻣختﻠﻒ ﻧﺸان دﻫﻴﻢ ﻛﻪ بﻨام دﻳاﮔرام وﻳﻦ ﻳاد ﻣﻲ ﺷﻮﻧد‪.‬‬ ‫ﻃﻮر ﻣثال اﮔر ‪ A‬ست ﺷاﮔردان ﺻﻨﻒ ﻫﻔتﻢ و ‪ B‬ست ﺷاﮔردان ﺻﻨﻒ ﻫﻔتﻢ ﻛﻪ در تﻴﻢ واﻟﻴبال‬ ‫و ‪ C‬ﺷاﮔردان ﺻﻨﻒ ﻫﻔتﻢ ﻛﻪ در تﻴﻢ ﻓﻮتبال ﺷاﻣﻞ باﺷﻨد‪ ،‬ﻣﻲ تﻮاﻧﻴﻢ ست ﻫاي ‪ B, A‬و ‪C‬‬

‫را در اﺷﻜال زﻳر ﻧﺸان دﻫﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪ A‬ست ﺷاﮔردان ﺻﻨﻒ ‪7‬‬

‫‪ B‬ست تﻴﻢ واﻟﻴبال‬

‫احﻤد زﻟﻤﻲ‬ ‫حسﻦ‬ ‫ﻣحﻤﻮد ﻗاسﻢ ﺻﻔت اﷲ‬ ‫ﻧادر‬ ‫دﻳﻦ ﻣحﻤد‬ ‫ﻋزت اﷲ ﻋﻄاء اﷲ‬

‫احﻤد‬ ‫حسﻦ‬ ‫زﻟﻤﻲ‬ ‫ﻣحﻤﻮد ﻗاسﻢ‬

‫‪ C‬ست تﻴﻢ ﻓتبال‬

‫ﻗاسﻢ‬ ‫احﻤد‬ ‫ﺻﻔت اﷲ‬ ‫دﻳﻦ ﻣحﻤد ﻧادر‬ ‫ﻋزت اﷲ ﻋﻄاءاﷲ‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫ستﻲ را بﻨﻮﻳسﻴد ﻛﻪ ﻋﻨاﺻر آن ﻟﻮازم و ساﻣان ﻳﻚ بﻜس ﻫﻨدسﻲ باﺷﻨد‪.‬‬ ‫ﻳﻚ ست ‪ 5‬ﻋﻨﺼري را بﻨﻮﻳسﻴد ﻛﻪ ﻋﻨاﺻر آن ﻧام حﻴﻮاﻧات اﻫﻠﻲ باﺷﻨد‪.‬‬ ‫ست ‪ 6‬ﻋﻨﺼري را بﻨﻮﻳسﻴد ﻛﻪ ﻋﻨاﺻر آن ﻧام ﻣﻴﻮه ﻫاي تازه باﺷﻨد‪.‬‬ ‫ﻣثال دوم ‪ :‬اﮔر ست اﻋداد ﻃاﻗﻰ را ﻛﻪ از ‪ 10‬ﻛﻮچﻜتر باﺷد ‪ O‬و ست اﻋداد جﻔتﻰ را ﻛﻪ‬ ‫از ‪ 10‬ﻛﻮچﻜتر باﺷد ‪ E‬بﻨاﻣﻴﻢ‪ ،‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت دارﻳﻢ ﻛﻪ‪:‬‬ ‫}‪O = {1,3,5,7,9‬‬ ‫}‪E = {2, 4,6,8‬‬ ‫ﻫر دستﺔ ﻣﺸخﺺ ﺷده از اﺷﻴا را ﻳﻚ ست و اﺷﻴاى آن را بﻪ ﻧام ﻋﻨاﺻر ست ﻳاد ﻣﻲ ﻛﻨﻨد‪.‬‬

‫فعاﻟﻴت‬

‫ست ﻫاي زﻳر را در ﻧﻈر بﮕﻴرﻳد‪:‬‬

‫}‪A = {a , b , c , d , e‬‬ ‫}‪B = {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8‬‬

‫‪4‬‬

‫آﻳا ‪ b‬ﻋﻨﺼر ست ‪ B‬ﻣﻲ باﺷد؟ در ﻣﻮرد ﻋﻀﻮﻳت ‪ d‬در ست ‪ B‬چﻪ ﻣﻲ ﮔﻮﻳﻴد؟‬ ‫آﻳا ‪ 5‬ﻋﻨﺼر ست ‪ A‬است؟ آﻳا ‪ 5‬ﻋﻨﺼر ست ‪ B‬است؟‬ ‫ست ‪ A‬چﻨد ﻋﻨﺼر دارد؟ وست ‪ B‬چﻨد ﻋﻨﺼر دارد؟‬ ‫سﻮم‪ :‬ست ﻫاي ‪ A‬و ‪ B‬را در ﻧﻈر ﻣﻲ ﮔﻴرﻳﻢ ﻃﻮرى ﻛﻪ‪:‬‬

‫{ اﻋداد جﻔت ﻳﻚ رﻗﻤﻲ}=‪A‬‬ ‫{اﻋداد ﻳﻚ رﻗﻤﻲ ﻛﻪ بر ‪ 3‬ﻗابﻠﻴت تﻘسﻴﻢ دارﻧد}=‪B‬‬

‫ﻋﻨاﺻر ست ﻫاي ‪ A‬و ‪ B‬را بﻨﻮﻳسﻴد‪.‬‬ ‫ست ﻫاي ‪ A‬و ‪ B‬را با دﻳاﮔرام وﻳﻦ ﻧﺸان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫حﻞ‪ :‬ﻣﺸاﻫده ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ‪:‬‬

‫}‪A = {2, 4, 6,8‬‬ ‫‪2 A‬‬ ‫‪4 A‬‬

‫‪3 B‬‬ ‫‪9 B‬‬ ‫‪6 B‬‬

‫‪8 A‬‬ ‫‪6 A‬‬

‫‪4 B‬‬

‫}‪B = {3, 6,9‬‬

‫‪B‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪8 2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪A‬‬

‫ﻣثال چﻬارم‪ :‬درستﻲ ﻳا ﻧادرستﻲ رابﻄﻪ ﻫاى زﻳر را تﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪(a‬‬

‫{‬

‫}‬

‫‪(b‬‬

‫}‪{a , b , c , d , e‬‬

‫‪f‬‬

‫حﻞ‪ a :‬درست است؛ اﻣا ‪ b‬درست ﻧﻴست‪.‬‬ ‫ﺷاﻣﻞ بﻮدن ﻳﻚ ﻋﻨﺼردر ﻳﻚ ست با ﻋﻼﻣت ) ( و ﻋﻨﺼر ﻧبﻮدن در ﻳﻚ ست با ﻋﻼﻣتﻲ‬ ‫) ( ﻧﺸان داده ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬ستﻰ را بﻨﻮﻳسﻴد ﻛﻪ ﻋﻨاﺻر آن ﻧام ﻫاي وﻻﻳات اﻓﻐاﻧستان باﺷد‪.‬‬ ‫‪ -2‬اﮔر ست ‪ A‬و ‪ B‬ﻗرار زﻳر داده ﺷده باﺷﻨد‪.‬‬ ‫خاﻧﻪ خاﻟﻲ ﻫاي زﻳر را پر ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪1 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪12‬‬

‫‪A‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ -3‬اﮔر}‪ A = {2, 4, 6,8‬و}‪ B = {1,3,5, 7 ,9‬باﺷﻨد ﻛدام ﻳﻚ از ﻋبارات زﻳر درست‬ ‫و ﻛدام ﻳﻚ ﻧادرست اﻧد؟‬ ‫‪B‬‬

‫‪A ، 9‬‬

‫‪B ، 8‬‬

‫‪، 7‬‬

‫‪A‬‬

‫‪، 4‬‬

‫‪A‬‬

‫‪5‬‬

‫‪10 A ، 11 B ، 1 A ، 2 A ، 3 B‬‬ ‫‪ -4‬اﮔر}‪ A = {1, 2,3, 4‬و}‪ B = {3, 4,5, 6‬باﺷﻨد‪ ،‬ﻛدام ﻳﻚ از ﻋبارات زﻳر درست و ﻛدام‬ ‫ﻳﻚ ﻧادرست اﻧد؟‬ ‫‪A‬‬

‫‪6‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪A‬‬

‫‪5 B‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ -5‬درستﻲ و ﻧادرستﻲ ﻋبارت ﻫاي زﻳر را ﻣﺸخﺺ ﻛﻨﻴد‪:‬‬ ‫}‪{2,4,6,8,10‬‬ ‫}‪{a,b,c,d,e‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪g‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫}‪8 {3,5,7,8,9,11,13‬‬ ‫}‪10 {1,2,3,4,5,6,7,8‬‬

‫‪6‬‬

‫طرق ﻧﻮشتﻦ ﻳﻚ ست‬ ‫آﻳا ﻣﻲ تﻮاﻧﻴد بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ ﻳﻚ ست را بﻪ چﻨد‬ ‫ﻃرﻳﻘﻪ ﻧﺸان داده ﻣﻲ تﻮاﻧﻴﻢ؟‬

‫}‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫{=‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫{پﻨج بﻨاى اسﻼم}=‪C‬‬

‫بﻪ ﻃﻮر ﻋﻤﻮم ست را بﻪ دو ﻃرﻳﻘﻪ ﻣﻰ ﻧﻮﻳسﻨد‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﻃرﻳﻘﻪ ﻳﻲ است ﻛﻪ تﻤام ﻋﻨاﺻر ﻳﻚ ست و ﻳا تﺼاوﻳر ﻋﻨاﺻر در بﻴﻦ ﻋﻼﻣت ست{ }‬ ‫ﻣﻴباﺷد ﻃﻮرى ﻛﻪ در بﻴﻦ ﻋﻨاﺻر ﻋﻼﻣت (‪ ),‬ﻧﻮﺷتﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد‪ .‬اﻳﻦ ﻃرﻳﻘﻪ را بﻨام روش تﻔﺼﻴﻠﻲ ﻳا‬ ‫ﻃرﻳﻘﺔ ﻟست ﻛردن ﻋﻨاﺻر (‪ )Tabulation Method‬ﻣﻲ ﻧاﻣﻨد‪.‬‬ ‫ﻣثال اول‪{ :‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫} ‪{ ، A‬احﻤد ‪ ,‬حسﻦ ‪ ,‬ﻗاسﻢ ‪ ,‬زﻟﻤﻲ ‪ ,‬ﻣحﻤﻮد} = ‪B‬‬

‫=‬

‫} ‪ D = {a , b , c , d , e} , C = {1, 2, 3, 4,5, 6, 7 ,8‬و }‪E = {1, 2,3, 4,...,500‬‬

‫چﻮن ﻋﻨاﺻر ست ‪ E‬زﻳاد ﻣﻲ باﺷد‪ ،‬بدﻳﻦ سبب سﻪ ﻧﻘﻄﻪ (‪ )...‬اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم را دارد ﻛﻪ اﻋداد اﻟﻲ‬ ‫‪ 500‬دوام دارﻧد‪.‬‬ ‫‪ -2‬ست را بﻪ اساس خاﺻﻴت ﻫاي ﻣﺸترك ﻋﻨاﺻر در ﻳﻚ جﻤﻠﻪ ﻣﺸخﺺ ﻣﻰ ﻛﻨﻨد‪ .‬در اﻳﻦ‬ ‫ﻃرﻳﻘﻪ‪ ،‬ﻧﻮﺷتﻦ ﻋﻼﻣت } { ﺿروري ﻧﻴست‪ .‬اﻳﻦ ﻃرﻳﻘﻪ را بﻪ ﻧام روش اجﻤاﻟﻲ ﻳا ﻃرﻳﻘﺔ تﻮﺻﻴﻔﻲ‬ ‫(‪ )Description Method‬ﻳاد ﻣﻲ ﻛﻨﻨد‪.‬‬ ‫ﻣثال دوم‪ :‬ست ‪ B‬و ست ‪ E‬ﻣثال اول را تﻮسﻂ ﻃرﻳﻘﺔ اجﻤاﻟﻰ ﻃﻮر زﻳر ﻣﻲ ﻧﻮﻳسﻴﻢ‪:‬‬ ‫ست ﻧام ﺷاﮔردان تﻴﻢ واﻟﻴبال ﺻﻨﻒ ‪B = 7‬‬ ‫ست ‪ 500‬اﻋداد ﻃبﻴﻌﻲ پﻰ ﻫﻢ ﻛﻪ با ‪ 1‬ﺷروع ﻣﻰ ﺷﻮﻧد = ‪E‬‬ ‫}‪ P = {2,3,5, 7,11,...‬را بﻪ ﺷﻜﻞ زﻳر ﻧﺸان ﻣﻲ دﻫﻴﻢ‬ ‫ست اﻋداد اوﻟﻴﻪ = ‪P‬‬ ‫ﻣثال سﻮم ‪ :‬اﮔر{ﻛﻠﻤﺔ ﻃﻴبﻪ ‪ ,‬ﻧﻤاز ‪ ,‬روزه ‪ ,‬زﻛات ‪ ,‬حج}=‪ K‬باﺷد‪ ،‬ست ‪ K‬را تﻮسﻂ ﻃرﻳﻘﺔ‬ ‫اجﻤاﻟﻰ بﻪ ﺷﻜﻞ زﻳر ﻧﺸان ﻣﻲ دﻫﻴﻢ‪.‬‬ ‫ست پﻨج بﻨاي اسﻼم = ‪K‬‬

‫‪7‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫ست ‪ 8‬حرف اول زبان اﻧﮕﻠﻴسﻲ = ‪A‬‬ ‫ست اﻋداد ﻃبﻴﻌﻰ ﻛﻮچﻜتر از ‪ 10‬و بزرﮔتر از ‪B = 2‬‬ ‫ست ﻣﻀرب ﻫاي ﻋدد ‪ 3‬ﻛﻤتر از ‪C = 20‬‬

‫ست ﻫاي ‪ B ، A‬و ‪ C‬را تﻮسﻂ ﻃرﻳﻘﺔ ﻟست ﻛردن ﻋﻨاﺻر بﻨﻮﻳسﻴد‪.‬‬

‫ﻣثال چﻬارم ‪ :‬اﮔر }‪ A = {a , e , i , o , u‬و }‪ B = {a , b , c , d , e‬باﺷد‪ .‬اﻳﻦ ست ﻫا را بﻪ‬ ‫ﻃرﻳﻘﺔ روش اجﻤاﻟﻲ ﻳا تﻮﺻﻴﻔﻲ بﻨﻮﻳسﻴد‪.‬‬ ‫حﻞ‪ :‬ست حروف ﺻدا دار زبان اﻧﮕﻠﻴسﻲ = ‪ ، A‬ست پﻨج حرف اول زبان اﻧﮕﻠﻴسﻲ = ‪B‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬ست ﻫاي زﻳر را بﻪ ﻃرﻳﻖ ﻟست ﻛردن ﻋﻨاﺻر بﻨﻮﻳسﻴد‪.‬‬

‫ست ﻧام روزﻫاي ﻳﻚ ﻫﻔتﻪ = ‪B‬‬ ‫ست ﻧام ﻣاه ﻫاي ﻳﻚ سال = ‪A‬‬ ‫ست رﻧﮓ ﻫاي بﻴرق اﻓﻐاﻧستان = ‪E‬‬

‫‪ -2‬ست ﻫاي زﻳر را بﻪ ﻃرﻳﻘﺔ تﻮﺻﻴﻔﻲ(تﺸرﻳحﻲ) بﻨﻮﻳسﻴد‪.‬‬

‫}‪A = {a , e , i , o , u‬‬ ‫{سﻴاه‪ ،‬سرخ‪ ،‬سبز} = ‪B‬‬

‫}‪C = {1,3,5,7,9‬‬ ‫}‪D = {2, 4,6,8‬‬

‫}‪E = {1, 2,3, 4,5‬‬ ‫‪ -3‬ست ﻫاي زﻳر را بﻪ ﻃرﻳﻘﺔ ﻟست ﻛردن بﻨﻮﻳسﻴد‪.‬‬ ‫ست اﻋداد ﻃبﻴﻌﻲ جﻔت ﻳﻚ رﻗﻤﻲ = ‪K‬‬ ‫ست اﻋداد ﻃبﻴﻌﻲ ﻃاق ﻳﻚ رﻗﻤﻲ = ‪L‬‬ ‫ست ﻣﻀرب ﻫاي ﻋدد ‪T = 7‬‬ ‫ست ﺷاﮔردان تﻴﻢ ﻓتبال ﺻﻨﻒ ‪C = 7‬‬ ‫ست ﺷاﮔردان تﻴﻢ واﻟﻴبال ﺻﻨﻒ ‪B = 7‬‬ ‫ست ﺷاﮔردان ﺻﻨﻒ ﻫﻔتﻢ = ‪A‬‬

‫‪8‬‬

‫ست ﻫاي ﻣساوي‪ ،‬ست ﻫاي ﻣعادل‬ ‫و ست فرعﻰ‬ ‫آﻳا ﻣﻲ تﻮان ﮔﻔت ﻛﻪ ست ﻫاي ‪ A‬و ‪ C‬در بﻴﻦ‬ ‫خﻮد چﻪ رابﻄﻪ ﻳﻰ دارﻧد و ﻧﻴز در بﻴﻦ ست ﻫاي‬ ‫‪ A‬و ‪ B‬چﻪ رابﻄﻪ ﻳﻰ ﻣﻮجﻮد است؟‬

‫}‬

‫}‬

‫}‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫{=‪A‬‬

‫‪,‬‬

‫{=‪B‬‬

‫‪,‬‬

‫{=‪C‬‬

‫تعرﻳف‪ :‬ست ﻫاي ‪ A‬و ‪ B‬را‪ ،‬ست ﻫاي ﻣساوي ﻣﻲ ﻧاﻣﻨد ﻫر ﮔاه تﻌداد ﻋﻨاﺻر ﻫر دو ست با‬ ‫ﻫﻢ ﻣساوى و ﻳﻜسان باﺷﻨد‪ ،‬بﻪ ﻋبارت دﻳﮕر تﻤام ﻋﻨاﺻر ست ‪ A‬در ست ‪ B‬و تﻤام ﻋﻨاﺻر ست‬ ‫‪ B‬در ست ‪ A‬ﺷاﻣﻞ باﺷﻨد‪ ،‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﻣﻰ ﻧﻮﻳسﻴﻢ ﻛﻪ ‪ A = B‬و ﻳا‪ B = A‬ﻣﻲ باﺷد‪.‬‬ ‫ﻣثال اول‪ :‬اﮔر }‪ A = {1, 2 , 6‬و }‪ B = {1,1, 2 , 2 , 6‬باﺷﻨد ﻣتﻮجﻪ باﺷﻴد ﻛﻪ‪:‬‬ ‫‪ A = B‬ﻣﻲ باﺷد‪.‬‬ ‫و ﻧﻴز ﻣتﻮجﻪ باﻳد بﻮد ﻛﻪ }‪ {2 , 3 , 5 , 7} = {5 , 3 , 2 , 7‬ﻣﻲ باﺷد‪ .‬ست ﻫاى }‪ A = {1, 2‬و‬ ‫}‪ B = {2 , 3‬را در ﻧﻈر بﮕﻴرﻳد‪ .‬اﻳﻦ دو ست باﻫﻢ ﻣساوي ﻧﻴستﻨد؛ زﻳرا ﻛﻪ ‪ 1 A‬وﻟﻰ ‪1 B‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫دو ست ‪ A‬و ‪ B‬را در ﻧﻈر بﮕﻴرﻳد‪:‬‬ ‫تﻌداد ﻋﻨاﺻر ست ‪ A‬و ‪ B‬چﻨد است؟‬ ‫آﻳا ‪ a‬ﻋﻨﺼر ست ‪ B‬است؟‬ ‫آﻳا ست ‪ A‬با ست ‪ B‬ﻣساوي است؟ چرا؟‬

‫}‪ B = {5,4,7,8‬و }‪A = {a,b,c,d‬‬

‫‪ A = { ,‬و }‪ B = {8,10,12‬باﺷﻨد آﻳا دو ست ‪ A‬و ‪ B‬با‬

‫ﻣثال دوم‪ :‬اﮔر } ‪,‬‬ ‫ﻫﻢ ﻣﻌادل اﻧد؟‬ ‫حﻞ‪ :‬چﻮن تﻌداد ﻋﻨاﺻر ست ‪ A‬سﻪ و تﻌداد ﻋﻨاﺻر ست ‪ B‬ﻧﻴز سﻪ ﻣﻲ باﺷﻨد پس ست ﻫاي‬ ‫‪ A‬و ‪ B‬باﻫﻢ ﻣﻌادل اﻧد‪.‬‬ ‫ست ﻫاي ‪ A‬و ‪ B‬ﻛﻪ تﻌداد ﻋﻨاﺻر ﺷان ﻣساوى و ﻋﻨاﺻر ﺷان ﻳﻜسان باﺷﻨد؛ بﻪ ﻧام ست‬ ‫ﻫاى ﻣساوى و اﮔرﺻرف تﻌداد ﻋﻨاﺻر ﺷان با ﻫﻢ ﻣساوي باﺷﻨد بﻪ ﻧام ست ﻫاي ﻣﻌادل ﻳا‬ ‫(‪ )Equivalent Sets‬ﻳاد ﻣﻲ ﺷﻮﻧد‪.‬‬

‫‪9‬‬

‫ست فرعﻰ‪ :‬اﮔر تﻤام ﻋﻨاﺻر ست ‪ B‬در ست ‪ A‬ﺷاﻣﻞ باﺷﻨد ست ‪ B‬ﻳﻚ ست ﻓرﻋﻰ ست‬ ‫‪ A‬ﻣﻲ باﺷد ﻛﻪ اﻳﻦ ﻃﻮر ﻧﺸان داده ﻣﻰ ﺷﻮد‪B A :‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ A‬ست ﺷاﮔردان ﺻﻨﻒ ‪ 7‬و ‪ B‬ست ﺷاﮔردان تﻴﻢ‬ ‫واﻟﻴبال ﺻﻨﻒ ‪ 7‬ﻣﻲ باﺷد‪.‬‬ ‫●با تﻮجﻪ بﻪ ﺷﻜﻞ ﻋﻨاﺻر ست ﻫاى ‪ A‬و ‪B‬‬ ‫را بﻨﻮﻳسﻴد‪.‬‬ ‫● بﻴﻦ ﻋﻨاﺻر ست ‪ A‬و ‪ B‬چﻪ ﻗسﻢ رابﻄﻪ ﻳﻰ‬ ‫وجﻮد دارد؟ تﻮﺿﻴح دﻫﻴد‪.‬‬ ‫دﻳده ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ ﻫر ﻋﻨﺼر ست ‪ B‬ﻋﻨﺼر ست ‪ A‬ﻧﻴز ﻣﻲ باﺷد‪ ،‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﻣﻲ ﮔﻮﻳﻴﻢ ﻛﻪ‬ ‫ست ‪ B‬ﻳﻚ ست ﻓرﻋﻲ ست ‪ A‬بﻮده ﻛﻪ اﻳﻦ ﻃﻮر ﻧﺸان داده ﻣﻲ ﺷﻮد‪B A :‬‬ ‫اﻳﻦ ﻋﻼﻣت ست ﻓرﻋﻰ ﻣﻰ باﺷد‪ .‬از ﻃرف دﻳﮕر چﻮن ﻫر ﻋﻨﺼر ست ‪ A‬در ست ‪ B‬ﻣﻮجﻮد‬ ‫ﻧﻴست؛ پس ست ‪ ، A‬ست ﻓرﻋﻲ ‪ B‬ﻧﻤﻲ باﺷد و اﻳﻦ ﻃﻮر ﻧﺸان داده ﻣﻲ ﺷﻮد‪A B :‬‬ ‫ﻣثال سﻮم‪ :‬ست ﻫاي زﻳر را در ﻧﻈر ﻣﻲ ﮔﻴرﻳﻢ‪:‬‬ ‫{احﻤد ‪ ,‬ﻣحﻤﻮد ‪ ,‬زﻫرا ‪ ,‬ﻣرﻳﻢ} = ‪A‬‬ ‫{داوود ‪ ,‬ﻗاسﻢ ‪ ,‬احﻤد ‪ ,‬ﻣرﻳﻢ} = ‪B‬‬ ‫{ﻣرﻳﻢ ‪ ,‬احﻤد} = ‪C‬‬ ‫پس ﻣﻲ تﻮان ﮔﻔت ﻛﻪ‪:‬‬ ‫‪C A , C B , B A , A B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﻣﻲ باﺷد‪ .‬ﻳﻌﻨﻰ ﻫر ست‪ ،‬ست ﻓرﻋﻲ خﻮدش ﻣﻲ باﺷد‪ .‬ست‬ ‫و ﻧﻴز ﻣﻲ تﻮان ﮔﻔت ﻛﻪ‬ ‫خاﻟﻰ‪ ،‬ست ﻓرﻋﻰ ﻫرست ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫زﻟﻤﻲ احﻤد‬ ‫ﻋزت اﷲ‬ ‫ﻣحﻤﻮد ﻗاسﻢ‬ ‫حسﻦ‬ ‫ﺻﻔت اﷲ‬

‫ﻋﻄاء اﷲ‬ ‫دﻳﻦ ﻣحﻤد‬ ‫ﻧادر‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬ست ﻫاى }‪ A = {1,7,8,9‬و }‪ B = {9,8,1, 7 ,9‬را در ﻧﻈر بﮕﻴرﻳد‪:‬‬ ‫آﻳا ست ‪ A‬با ست ‪ B‬ﻣساوي است؟‬ ‫‪ -2‬ﻛدام ﻳﻚ از ست ﻫاي زﻳر ست ﻓرﻋﻲ ست }‪ C = {1, 2 , 3 , 4 , 5‬ﻣﻲ باﺷد؟‬

‫}‪A = {3,5, 7‬‬

‫}‪B = {1, 2,3, 4,5‬‬ ‫‪ -3‬ﻛدام ﻳﻚ از ست ﻫاي زﻳر با ست }‪ C = {1, 2 , 3 , 4‬ﻣساوي ﻣﻰ باﺷد؟‬ ‫}‪A = {1, 2,3‬‬ ‫}‪B = {4,3, 2,1‬‬

‫‪10‬‬

‫تقاطع و اتحاد ست ﻫا‬

‫اﮔر }‪ A = {3,4,5‬و }‪ B = {1,2,3‬باﺷد‬ ‫آﻳا ‪ A I B‬و ‪ A U B‬را درﻳاﻓت ﻛرده‬ ‫ﻣﻲ تﻮاﻧﻴد؟‬

‫تﻴﻢ ﻓتبال ‪C‬‬ ‫ﻋزت اﷲ‬ ‫حسﻦ‬ ‫ﻧادر‬ ‫احﻤد‬ ‫زﻟﻤﻲ‬ ‫ﺻﻔت اﷲ‬ ‫ﻗاسﻢ‬ ‫ﻣحﻤﻮد‬ ‫دﻳﻦ ﻣحﻤد‬ ‫ﻋﻄاء اﷲ‬

‫تﻴﻢ واﻟﻴبال ‪B‬‬

‫ﻃﻮري ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ ﻓﻮق دﻳده ﻣﻲ ﺷﻮد احﻤد و ﻗاسﻢ در ﻫر دو تﻴﻢ واﻟﻴبال و ﻓتبال اﺷتراك‬ ‫دارﻧد‪ .‬تﻘاﻃﻊ دو ست ‪ B‬و ‪ C‬ﻋبارت از ستﻲ است ﻛﻪ ﻋﻨاﺻر آن احﻤد و ﻗاسﻢ بﻮده ﻃﻮر زﻳر‬ ‫ﻧﺸان داده ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫{احﻤد‪ ،‬ﻗاسﻢ} = ‪B I C‬‬ ‫ﻛﻪ ‪ I‬ﻋﻼﻣت تﻘاﻃﻊ ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫{احﻤد‪,‬ﻗاسﻢ‪,‬ﻋزت اﷲ‪,‬ﻧادر‪,‬ﺻﻔت اﷲ‪,‬دﻳﻦ ﻣحﻤد‪ ,‬ﻋﻄاءاﷲ} ‪{ I‬حسﻦ‪,‬زﻟﻤﻲ‪,‬ﻣحﻤﻮد‪,‬احﻤد‪,‬ﻗاسﻢ} = ‪B I C‬‬

‫{احﻤد‪,‬ﻗاسﻢ} =‬

‫تﻘاﻃﻊ دو ست ‪ A‬و ‪ B‬ﻋبارت از ستﻲ است ﻛﻪ ﻋﻨاﺻر آن ﻫﻢ در ‪ A‬و ﻫﻢ در ‪ B‬ﺷاﻣﻞ باﺷﻨد‪.‬‬ ‫‪AIA = A‬‬ ‫تﻘاﻃﻊ ﻫر ست ‪ A‬با خﻮدش ﻣساوي بﻪ خﻮد ‪ A‬است‪.‬‬ ‫ﻣثال اول‪ :‬ﻫرﮔاه ســت ﻫاى }‪ A = {4 , 5 , 6 , 8,10‬و }‪ B = {3 , 5 , 8 , 1‬داده ﺷده باﺷﻨد‪،‬‬ ‫‪ A I B‬و ‪ B I A‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حﻞ‪A I B = {4 , 5 , 6 , 8,10} I {3 , 5 , 8 ,1} = {5 , 8} :‬‬ ‫‪A‬‬ ‫}‪B B I A = {3 , 5 , 8 ,1} I {4 , 5 , 6 , 8,10} = {5 , 8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫در ﻧتﻴجﻪ ﻣﻲ تﻮان ﮔﻔت ﻛﻪ‪A I B = B I A = {5 , 8} :‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8 3‬‬ ‫ﻃﻮري ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ ﻧﻴز ﻣﺸاﻫده ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻣثال دوم‪ :‬دو ست ‪ A‬و ‪ B‬را ﻗرار زﻳر درﻧﻈر بﮕﻴرﻳد‪.‬‬ ‫}‪B = {2 , 4 , 8‬‬ ‫= }‪A I B = {1, 3 , 5} I {2 , 4 , 8‬‬

‫دﻳده ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ‪:‬‬ ‫اﻳﻦ ﻗســﻢ ســت ﻫاﻳﻰ را ﻛــﻪ ﻫﻴــچ ﻋﻨﺼــر‬ ‫ﻣﺸــترك ﻧدارﻧــد بــﻪ ﻧــام ســت ﻫاي ﻏﻴر ﻣﺸــترك‬ ‫(‪ )Disjoint Sets‬ﻳاد ﻣﻴﻜﻨد‪.‬‬ ‫تﻘاﻃﻊ دو ست ‪ A‬و ‪ B‬در ﺻﻮرتﻰ ﻛﻪ تﻤام ﻋﻨاﺻر ‪ A‬در ‪B‬‬

‫‪11‬‬

‫‪،‬‬

‫}‪A = {1, 3 , 5‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪2 4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫=‪AI B‬‬

‫ﺷاﻣﻞ باﺷﻨد‪ ،‬با ست ‪ A‬برابر است‪.‬‬ ‫ﻣثال سﻮم ‪ :‬اگر }‪ A = {1, 2 , 3‬و‬ ‫}‪ B = {1,2 , 3, 4 , 5, 6‬باشد ‪ A I B‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حﻞ‪ :‬ﻫﻤان ﻃﻮرﻛﻪ در دﻳاﮔرام ﻣﻘابﻞ ﻧﻴز ﻧشان داده‬ ‫شده است‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪AI B‬‬

‫‪5‬‬

‫‪A I B = {1, 2 , 3} I {1,2 , 3, 4 , 5, 6} = {1, 2 , 3} = A‬‬

‫اتحاد ست ﻫا‪ :‬اتحاد دو ست ‪ A‬و ‪ B‬ﻋبارت از ستﻰ است ﻛﻪ ﻋﻨاﺻر آن ﻳا در ‪ A‬و ﻳا در‬ ‫‪ B‬ﺷاﻣﻞ باﺷﻨد‪ .‬و ا ﻳﻦ ‪ U‬ﻋﻼﻣﻪ اتحاد می باشد‪.‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫ﻫرﮔاه ست ﻫاى }‪ A = {1, 2 , 3 , 4‬و }‪ B = {3 , 4 , 5 , 6‬داده ﺷده باﺷﻨد‪ A U B ،‬و‬ ‫‪ B U A‬را بﻪ دست آورده و در دﻳاﮔرام وﻳﻦ ﻧﺸان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫ﻣثال چﻬارم‪ :‬اﮔر ست ﻫاى }‪ A = {1, 2 , 3‬و }‪B = {1, 2 , 3 , 4 , 5‬‬ ‫داده ﺷده باﺷﻨد‪ A U B ،‬و ‪ B U A‬را درﻳاﻓت ﻧﻤﻮده و در ﺷﻜﻞ ‪5‬‬

‫ﻧﺸان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫}‪A U B = {1, 2 , 3} U {1, 2 , 3 , 4 , 5} = {1, 2 , 3 , 4 , 5‬‬ ‫}‪B U A = {1, 2 , 3 , 4 , 5} U {1, 2 , 3} = {1, 2 , 3 , 4 , 5‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬اﮔر }‪ A = {1,3,5,7‬و }‪ B = {2,4,6,8‬باﺷد ‪ A I B‬او ‪ A U B‬را پﻴدا ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪ -2‬اﮔر }‪ C = {5,7,8,9‬و }‪ D = {4,5,8,10‬باﺷد ‪ C I D‬او ‪ C U D‬را پﻴدا ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫تفاضﻞ دو ست و ﻣﻜﻤﻠﻪ ﻳﻚ ست‬

‫اﮔر }‪ A = {5,6,7,8,9‬و }‪B = {5,8,9‬‬ ‫باﺷد آﻳا ‪ A B‬او ‪ B A‬را درﻳاﻓت‬ ‫ﻛرده ﻣﻲ تﻮاﻧﻴد؟‬

‫تﻴﻢ ﻓتبال ‪C‬‬ ‫ﻋزت اﷲ‬ ‫ﻧادر‬ ‫حسﻦ‬ ‫احﻤد‬ ‫ﺻﻔت اﷲ‬ ‫زﻟﻤﻲ‬ ‫ﻗاسﻢ‬ ‫دﻳﻦ ﻣحﻤد‬ ‫ﻣحﻤﻮد‬ ‫ﻋﻄاء اﷲ‬ ‫‪ B C‬تﻴﻢ واﻟﻴبال ‪B‬‬

‫در ﺷﻜﻞ ﻓﻮق دﻳده ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ{ﻣحﻤﻮد‪ ,‬زﻟﻤﻲ‪ ,‬حسﻦ} = ‪B C‬‬

‫تﻌرﻳﻒ‪ :‬تﻔاﺿﻞ دو ست ‪ A-B‬ﻋبارت از ستﻰ است ﻛﻪ ﻋﻨاﺻر آن در ‪ A‬ﺷاﻣﻞ؛ اﻣا در ‪ B‬ﺷاﻣﻞ‬ ‫ﻧباﺷﻨد‪ .‬و ‪ B-A‬ﻋبارت از ستﻰ است ﻛﻪ ﻋﻨاﺻر آن در ‪ B‬ﺷاﻣﻞ اﻣا در ‪ A‬ﺷاﻣﻞ ﻧباﺷﻨد‪.‬‬ ‫ﻣثال اول‪ :‬اﮔر }‪ A = {1,2,3,4,5,6‬و }‪ B = {2,3,4,8‬باﺷد ‪ A B‬و ‪ B A‬را‬ ‫درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬ ‫}‪A B = {1,2,3,4,5,6, } {2,3,4,8} = {1,5,6‬‬ ‫}‪B A = {2,3,4,8} {1,2,3,4,5,6, } = {8‬‬

‫دﻳده ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ ‪B A‬‬

‫‪A B‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫با در ﻧﻈر داﺷت ﺷﻜﻞ‪:‬‬ ‫ﻋﻨاﺻر ست ‪ A‬و ‪ B‬را بﻨﻮﻳسﻴد‪.‬‬ ‫‪ A B‬و ‪ B A‬را بﻪ دست آورده و در ﺷﻜﻞ ﻧﺸان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫ﻣثال دوم‪:‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪5 7 9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪4 3 6 8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2‬‬

‫}‪{a , b} {b} = {a‬‬ ‫}‪{x , y , z} {a , b} = {x , y, z‬‬ ‫= }‪{a , b} {a , b‬‬

‫‪13‬‬

‫ست ﻛﻠﻲ و ﻣﻜﻤﻠﻪ ﻳﻚ ست‪ :‬ﻣﻜﻤﻠﺔ ست ‪ A‬را‬ ‫بﻪ '‪ A‬ﻳا ‪ A‬ﻧﺸان داده و داراي ﻋﻨاﺻرى ﻣﻲ باﺷد ﻛﻪ '‪A‬‬ ‫‪U‬‬ ‫در ست ﻋﻤﻮﻣﻲ ‪ U‬ﺷاﻣﻞ بﻮده؛ اﻣا در ست ‪ A‬ﺷاﻣﻞ‬ ‫ﻧﻤﻰ باﺷﻨد‪ .‬ﻗسﻤتﻲ ﻛﻪ سبز رﻧﮓ است ﻋبارت از ست‬ ‫‪ A‬ﻣﻲ باﺷد‪.‬‬ ‫ﻣثـال سـﻮم ‪ :‬اﮔر }‪ U = {1, 2,3, 4,5, 6, 7 ,8,9,10‬و }‪ A = {2, 4, 6,8,10‬باﺷــد‬ ‫ﻣﻜﻤﻠﺔ ‪ A‬را ﻧﻈر بﻪ ‪ U‬درﻳاﻓت ﻧﻤﻮده و در ﺷﻜﻞ ﻧﺸان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫حﻞ‪ :‬براي بﻪ دست آوردن ‪ A‬ﻋﻨاﺻر ست ‪ A‬را از ست ‪ U‬حذف ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ؛ ﻋﻨاﺻري ﻛﻪ‬ ‫در ست ‪ U‬باﻗﻲ ﻣﻲ ﻣاﻧﻨد ‪ A‬ﻳا ﻣﻜﻤﻠﺔ ‪ A‬ﻧﻈر بﻪ ‪ U‬ﻣﻲ باﺷﻨد‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫}‪A = U A = {1, 2,3, 4,5, 6, 7 ,8,9,10} {2, 4, 6,8,10} = {1,3,5, 7 ,9‬‬

‫‪A‬‬

‫‪4 A‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8 10‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪U‬‬

‫‪9‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬اﮔر ست ﻫاى }‪ B = {1, 3 , 5 , 7} , A = {2 , 4 , 6 ,8‬و }‪ C = {4 , 6 , 8‬داده ﺷده باﺷﻨد‪.‬‬ ‫‪ A C , B B , B A , A B , A A‬و ‪ C A‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ -3‬در ﻛدام ﺷﻜﻞ ﻗسﻤت رﻧﮓ ﺷده ست ‪ A B‬را ﻧﺸان ﻣﻲ دﻫد؟‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪b:‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪a:‬‬

‫‪ -3‬ا‪－‬ر }‪ U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10‬و }‪ B = {1,3,5,7,9‬باشد '‪ B‬را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪14‬‬

‫خﻼصﺔ فصﻞ اول‬ ‫ﻫر دستﺔ ﻣﺸخﺺ ﺷده از اﺷﻴاى ﻣختﻠﻒ را ﻳﻚ ست ﻧاﻣﻴده و اﺷﻴاء آن ﻋبارت از ﻋﻨاﺻر‬ ‫ست ﻣﻰ باﺷﻨد‪ .‬ﻋﻨاﺻر ست را در بﻴﻦ ﻋﻼﻣت ست{ } ﻧﻮﺷتﻪ و تﻮسﻂ ﻋﻼﻣت(‪ ),‬از ﻳﻜدﻳﮕر‬ ‫جدا ﻣﻰ سازﻧد‪.‬‬ ‫ستﻰ ﻛﻪ ﻋﻨاﺻر آن ﻗابﻞ ﺷﻤارش باﺷد ست ﻣتﻨاﻫﻰ و اﮔر ﻋﻨاﺻر ﻳﻚ ست ﻗابﻞ ﺷﻤارش‬ ‫ﻧباﺷد؛ ست ﻧاﻣتﻨاﻫﻰ ﻧاﻣﻴده ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ستﻰ ﻛﻪ ﻫﻴچ ﻋﻨﺼر ﻧدارد بﻪ ﻧام ست خاﻟﻰ ﻳاد ﮔردﻳده ﻛﻪ تﻮسﻂ ﻋﻼﻣت و ﻳا{ } ﻧﺸان‬ ‫داده ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻋﻨﺼر بﻮدن در ﻳﻚ ست با ﻋﻼﻣت و ﻋﻨﺼر ﻧبﻮدن در ﻳﻚ ست با ﻋﻼﻣﺔ ﻧﺸان داده‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ست ﻫا ﻋﻤﻮﻣاً بﻪ دو ﻃرﻳﻖ ارائﻪ ﻣﻰ ﺷﻮﻧد‪ .‬ﻃرﻳﻖ ﻟست ﻛردن(روش تﻔﺼﻴﻠﻰ) ﻛﻪ تﻤام‬ ‫ﻋﻨاﺻر و ﻳا تﺼاوﻳر آﻧﻬا در بﻴﻦ ﻋﻼﻣت{ } ﻧﻮﺷتﻪ ﻣﻰ ﺷﻮﻧد و ﻃرﻳﻖ تﻮﺻﻴﻔﻰ(روش اجﻤاﻟﻰ)‬ ‫ﻛﻪ بر اساس خاﺻﻴت ﻫاى ﻣﺸترك ﻋﻨاﺻر‪ ،‬درﻳﻚ جﻤﻠﻪ ﻧﮕاﺷتﻪ ﻣﻲ ﺷﻮﻧد‪.‬‬ ‫دو ست ﻛﻪ ﻋﻨاﺻر آﻧﻬا ﻳﻜسان باﺷﻨد ست ﻫاى ﻣساوى و اﮔر تﻨﻬا تﻌداد ﻋﻨاﺻرآﻧﻬا با ﻫﻢ‬ ‫ﻣساوى باﺷﻨد؛ آﻧﻬا را بﻪ ﻧام ست ﻫاى ﻣﻌادل ﻳاد ﻣﻰ ﻛﻨﻨد‪.‬‬ ‫اﮔر تﻤام ﻋﻨاﺻر ست ‪ B‬در ست ‪ A‬ﺷاﻣﻞ باﺷﻨد‪ ،‬ست ‪ B‬ست ﻓرﻋﻰ ست ‪ A‬بﻮده و اﻳﻦ‬ ‫ﻃﻮر ﻧﺸان داده ﻣﻰ ﺷﻮد‪B A :‬‬ ‫تﻘاﻃﻊ دو ست ‪ A‬و ‪ B‬ﻋبارت از ستﻰ است ﻛﻪ ﻋﻨاﺻر آن ﻫﻢ در ‪ A‬و ﻫﻢ در ‪ B‬ﺷاﻣﻞ باﺷﻨد‬ ‫و اﻳﻦ ﻃﻮر ﻧﺸان داده ﻣﻰ ﺷﻮد‪A I B :‬‬ ‫اتحاد دو ست ‪ A‬و ‪ B‬ﻋبارت از ستﻰ است ﻛﻪ ﻋﻨاﺻر آن ﻳا در ‪ ، A‬ﻳا در‪ B‬و ﻳا در ﻫر‬ ‫دوى آن ﻫا ﺷاﻣﻞ باﺷﻨد و اﻳﻦ ﻃﻮر ﻧﺸان داده ﻣﻰ ﺷﻮﻧد‪A U B :‬‬ ‫تﻔاﺿﻞ دو ست ‪ A B‬ﻋبارت از ستﻲ است ﻛﻪ ﻋﻨاﺻر آن در ست ‪ A‬ﺷاﻣﻞ بﻮده؛ وﻟﻰ‬ ‫در ست‪ B‬ﺷاﻣﻞ ﻧباﺷﻨد‪.‬‬ ‫ﻣﻜﻤﻠﺔ ﻳﻚ ست ‪ A‬ﻧﻈر بﻪ ﻳﻚ ست ‪ U‬ﻋبارت از ستﻲ است ﻛﻪ ﻋﻨاﺻر آن در ‪ U‬ﺷاﻣﻞ‬ ‫بﻮده؛ وﻟﻰ در ‪ A‬ﺷاﻣﻞ ﻧباﺷد و بﻪ ‪ A‬ﻧﺸان داده ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬

‫‪15‬‬

‫تﻤرﻳﻦ فصﻞ اول‬ ‫‪ -1‬ست اﻋداد ﻃاق را ﻛﻪ بر ‪ 2‬پﻮره ﻗابﻞ تﻘسﻴﻢ باﺷﻨد بﻨﻮﻳسﻴد‪.‬‬ ‫‪ -2‬اﮔر ‪ A‬ست ﻧام ﻣاه ﻫاي سال باﺷد‪ ،‬آن را بﻪ ﻃرﻳﻖ ﻟست ﻛردن ﻋﻨاﺻر ارائﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪ -3‬اﮔر }‪ B = {2 , 4 , 6 , 8} ، A = {1, 2 , 3 , 4‬و }‪ C = {a , e , i , o , u‬باﺷﻨد‪،‬‬ ‫خاﻧﻪ ﻫاى خاﻟﻰ را بﻪ ﻋﻼﻣت و پر ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪3 A , u B , 10 C , i A , 8 B , e C‬‬ ‫‪f C , 2 A , e B , 8 C‬‬ ‫‪8 A , 3 B ,‬‬ ‫‪ -4‬اﮔر ست ﻫاى }‪ B = {1, 2 , 3} ، A = {a , b , c‬و }‪ C = {b , a , c‬داده ﺷده‬ ‫باﺷﻨد‪ ،‬ﻛدام جﻔت از ست ﻫا‪ ،‬ﻣساوى و ﻛدام آﻧﻬا ﻣﻌادل اﻧد؟‬ ‫‪ -5‬اﮔر ست ﺷاﮔردان ﻣﻜتب ﺷﻤا ‪ A‬و ست ﺷاﮔردان ﺻﻨﻒ ﺷﻤا ‪ B‬باﺷد آﻳا ست ‪B‬‬ ‫ﻣﻰ تﻮاﻧد ست ﻓرﻋﻰ ‪ A‬باﺷد؟‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -6‬اﮔر ست ﻫاى }‪ B = {0 , ,1} ، A = {0 ,1, 2‬و }‪ C = {3 , 4‬داده ﺷده باﺷﻨد‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ AUB , CUA , BUC , AIC , AIB , AIA‬و ‪BIC‬‬ ‫را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ -7‬ﻫرﮔاه }‪ B = {2 , 4 , 6 , 8} ، A = {1, 2 , 3 , 4 , 5‬باﺷﻨد ‪ A B‬و ‪ B A‬را‬ ‫درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪-8‬اﮔر }‪A = {30,50,60} ، U = {10,20,30,40,50,60,70,80,90,100‬‬ ‫و }‪ B = {10,20,40,90‬باﺷد‪ A' .‬و '‪ B‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ -9‬ﻛدام ﻳﻚ از اﻳﻦ ست ﻫا ﻣتﻨاﻫﻰ و ﻛدام ﻳﻚ ﻧاﻣتﻨاﻫﻰ ﻣﻰ باﺷد؟‬ ‫}‪A = {x , y , m‬‬ ‫}‪B = {1, 2 , 3 , 4 ....‬‬ ‫}‪C = {1, 2 ...100‬‬ ‫‪ -10‬در ﻛدام ﺷﻜﻞ ﻗسﻤت رﻧﮓ ﺷده تﻘاﻃﻊ دو ست ‪ A‬و ‪ B‬را ﻧﺸان ﻣﻲ دﻫد؟‬

‫□‬ ‫□‬

‫‪B‬‬

‫□‬ ‫□‬

‫□‬ ‫□‬

‫□‬ ‫□‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫(‪b‬‬

‫□‬ ‫□‬

‫□‬ ‫□‬

‫‪A‬‬

‫(‪a‬‬

‫‪ -11‬اﮔر ست ﻫاى }‪ A = {7 ,9,11,13‬و }‪ B = {6,8,10,12‬داده ﺷده باﺷﻨد‪A B ،‬‬ ‫و ‪ B A‬را درﻳابﻴد و در دﻳاﮔرام وﻳﻦ ﻧﺸان دﻫﻴد‪.‬‬

‫‪16‬‬

‫فصل دوم‬ ‫اعداد طبیعﻰ‬

‫بشر با شمارش اشیا در طبیعت اطراف خود از‬ ‫ابتداى تاریخ آشنا بود‪.‬‬

‫اعداد طبﻴعﻰ(‪)Natural numbers‬‬

‫چه فكر مﻰ كنید اولین اعدادي كه‬ ‫بشر به آنها سر و كار داشت كدام‬ ‫اعداد بودند؟‬

‫انسان ها از زمان قدیم به شمارش اشیایﻰ كه در طبیعت مشاهده مﻰ كردند‪ ،‬ضرورت داشتند‪.‬‬ ‫از همین شمار كردن اشیا مفهوم اعداد طبیعي به وجود آمده است‪ .‬اعداد طبیعﻰ را اعداد‬ ‫شمارش(‪ )Count numbers‬نیز مﻰ گویند‪.‬این اعداد از یک شروع و با عﻼوه نمودن یک به‬ ‫عدد قبلﻰ عدد بعدى حاصل مﻰ گردد‪ .‬اعداد ‪ 1,2,3,4...‬را اعداد طبیعي مي گویند‪.‬‬ ‫و ست آن به طور زیر نشان داده مﻰ شود‪:‬‬ ‫} ‪IN = {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12,‬‬ ‫اعداد طبیعي را مﻰ توان روى خط اعداد (‪ )line numbers‬طور زیر نشان داد‪:‬‬ ‫‪10 11 12 13 14‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫هر عدد كه به طرف راست عدد دیگري واقع باشد بزرگتر و اگر به طرف چپ عدد واقع‬ ‫باشد كوچكتر از آن عدد مي باشد‪ .‬طورمثال‪ 7 < 8 :‬و ‪ 6>5‬است‪.‬‬ ‫خاصﻴت عملﻴﻪ ﻫاى جمع و ضرب اعداد طبﻴعﻰ‪:‬‬ ‫‪ -1‬مي دانیم كه حاصل جمع دو عدد طبیعي نیز یک عدد طبیعي است؛ طور مثال‪ 3 :‬و ‪ 5‬دو‬ ‫عدد طبیعي بوده و ‪ ، 3 + 5 = 8‬كه ‪ 8‬نیز یک عدد طبیعي است؛ پس ست اعداد طبیعﻰ در‬ ‫عملیۀ جمع داراى خاصیت بستگﻰ مﻰ باشد‪.‬‬ ‫‪ -2‬خاصﻴت تبدﻳلﻰ عملﻴﻪ جمع‪:‬‬ ‫مثال اول‪ :‬میدانیم كه‪ 7 + 6 = 13‬و نیز ‪ 6 + 7 = 13‬بوده پس ‪ 6 + 7 = 7 + 6‬پس‬ ‫در عملیه جمع اعداد طبیعﻰ خاصیت تبدیلﻰ صدق مﻰ كند‪.‬‬ ‫‪ -3‬خاصﻴت اتحادى عملﻴﻪ جمع‪:‬‬ ‫‪8 + (3 + 2) = (8 + 3) + 2‬‬ ‫مثال دوم‪:‬‬ ‫‪8 + 5 = 11 + 2‬‬ ‫‪13 = 13‬‬

‫‪19‬‬

‫این خاصیت را خاصیت اتحادي اعداد طبیعي در عملیۀجمع مي گویند‪.‬‬ ‫‪ -4‬عﻨصر عﻴﻨﻴت عملﻴﻪ جمع‪:‬‬ ‫صفر با هر عدد طبیعي كه جمع شود‪ ،‬حاصل جمع مساوي به خود عدد مي گردد‪ .‬مث ً‬ ‫ﻼ‪:‬‬ ‫‪ 3+0=0+3=3‬صفر را به نام عنصر عینیت عملیۀ جمع یاد مي كنند‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪،‬‬ ‫آیا خاصیت هاي فوق در عملیۀ ضرب اعداد طبیعي نیز صدق مي كنند؟‬ ‫‪- 5‬خاصﻴت تبدﻳلﻰ درعملﻴﻪ ضرب‪5 × 3 = 3 × 5 = 15 :‬‬ ‫‪- 6‬خاصﻴت اتحادى در عملﻴﻪ ضرب‪3 × (8 × 7) = (3 × 8) × 7 = 168 :‬‬ ‫‪- 7‬عﻨصر عﻴﻨﻴت عملﻴﻪ ضرب‪ :‬حاصل ضرب هر عدد طبیعي با صفر مساوي به صفر و حاصل‬ ‫ضرب هر عدد طبیعي با یک مساوى به خود عدد مي باشد‪ .‬مث ً‬ ‫ﻼ ‪3 × 0 = 0 , 3 ×1 = 3‬‬

‫عدد یک به نام عنصر عنیت عملیه ضرب یاد مﻰ شود‪.‬‬ ‫‪ - 8‬خاصﻴت تﻮزﻳعﻰ ضرب باﻻى جمع‪:‬‬ ‫مثال سﻮم‪3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5) = 27 :‬‬ ‫این خاصیت به نام خاصیت توزیعي ضرب باﻻي جمع یاد مي گردد‪.‬‬ ‫صفر عنصر عینیت در عملیۀ جمع و یک عنصر عینیت در عملیۀ ضرب مﻰ باشدو خاصیت‬ ‫هاى بستگﻰ‪ ،‬تبدیلﻰ و اتحادى در عملیه هاى جمع و ضرب اعداد طبیعﻰ و خاصیت توزیعﻰ‬ ‫ضرب باﻻى جمع صدق مﻰ كنند‪.‬‬

‫تمرﻳﻦ‬ ‫خالیگاهاي زیر را پر كنید‪.‬‬ ‫)‬

‫‪+‬‬

‫( × ‪325 × 88 + 325 × 73 = 325‬‬ ‫× ‪803 × 593 = 593‬‬ ‫‪× 35) × 89‬‬

‫‪211 + 327 = 327 +‬‬ ‫× ‪3935‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫( = )‪79 × (35 × 89‬‬

‫‪20‬‬

‫تجزﻳﻪ(‪)Factoring‬‬ ‫هرگاه در تقسیم دو عدد بر هم‪ ،‬باقﻰ مانده‬ ‫صفر شود‪ ،‬مﻰ گوییم مقسوم بر مقسوم علیه‬ ‫قابلیت تقسیم دارد‪.‬‬ ‫عدد ‪ 20‬را به شكل حاصل ضرب دو عدد‬ ‫طبیعي بنویسید‪.‬‬ ‫زیر اعدادي كه تنها به عدد یک و خودشان‬ ‫قابل تقسیم اند خط بكشید‪:‬‬ ‫‪21, 17, 15, 23, 32‬‬

‫مﻰ دانیم كه ‪ 24 = 4 × 6‬بوده و اعداد ‪ 4‬و ‪ 6‬را به نام اجزاى ضربﻰ(عوامل ضربﻰ) ‪ 24‬یاد‬ ‫مﻰ كنند‪.‬‬ ‫سؤال‪ :‬آیا تنها ‪ 6‬و ‪ 4‬اجزاي ضربي ‪ 24‬مﻰ باشند ؟‬

‫فعالﻴت‬ ‫اعداد ‪ 18‬و ‪ 31‬را به اجزاي ضربي تجزیه نموده بگویید كه تعداد اجزاي ضربي ‪ 18‬زیادتر است‬ ‫یا از ‪ 31‬؟‬ ‫اجزاي ضربي اعداد ‪ 11 ،5‬و ‪ 19‬را بنویسید‪.‬‬ ‫در فعالیت فوق دیدیم كه برخي از اعداد مانند ‪ 18‬بیشتر از دو جز ضربي دارند و برخي از اعداد مانند‬ ‫‪ 31‬و ‪ 11‬تنها دو جز ضربي دارند‪.‬‬ ‫اعـداد اولﻴـﻪ (‪ :)Prime Numbers‬اعدادى انــد كــه بــه جــز از یــک و خودشــان بــر‬ ‫عــدد دیگــرى پــوره قابــل تقســیم نمﻰ باشــند‪ .‬بــه عبــارة دیگــر اعــدادى كــه تنهــا دو قاســم‬ ‫داشــته باشــند‪ ،‬بــه نــام اعــداد اولیــه یــاد مــﻰ شــوند‪ .‬ســت اعــداد اولیــه بــه ‪ P‬نشــان داده‬ ‫} ‪P = {2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23, 29, 31‬‬ ‫مﻰ شودو عبارت اند از‪:‬‬ ‫اعداد مرکب (‪ :)Composite Numbers‬اعدادى كه عﻼوه بر یک و خودشان براعداد دیگرى‬ ‫نیز قابل تقسیم باشند به نام اعداد مركب یاد مﻰ گردند‪ .‬مانند‪:‬‬

‫}‪C = {4,6,8,9,10,12,14,15.....‬‬

‫ﻳاد داشت‪ :‬عدد یک نه اولیه و نه مركب است‪.‬‬ ‫مثال اول‪ :‬كدام یک از عدد هاي ‪ 36, 17, 27‬و‪ 19‬اولیه و كدام یک آن ها مركب اند؟‬

‫‪21‬‬

‫حل‪ :‬ابتدا قاسم هاي هر یک از اعداد را مي نویسیم‪:‬‬ ‫اعداد ‪ ، 1 ,3 ,9 ,27‬قاسم هاي‪ 27‬مﻰ باشند‪ .‬بنابراین ‪ 27‬عدد مركب است‪.‬‬ ‫اعداد ‪ ، 1,17‬قاسم هاي ‪17‬مﻰ باشند‪ .‬بنابراین عدد ‪ 17‬عدد اولیه است‪.‬‬ ‫اعداد‪ 2 ,3 ,4 ,6 ,9 ,12 ,18 ,36‬و ‪ 1‬قاسم هاي عدد ‪ 36‬مﻰ باشند‪ .‬بنابراین ‪ 36‬عدد‬ ‫مركب است‪.‬‬ ‫اعداد ‪ ، 1 ,3 ,9‬قاسم هاي ‪ 9‬مﻰ باشند‪ .‬بنابراین ‪ 9‬عدد مركب است‪.‬‬ ‫اعداد ‪ ، 1,19‬قاسم هاي ‪ 19‬مﻰ باشند‪ .‬بنابراین ‪ 19‬عدد اولیه است زیرا كه تنها دو قاسم‬ ‫دارنند‪.‬‬ ‫تجزﻳﻪ بﻪ اعداد اولﻴﻪ‪ :‬نوشتن یک عدد به صورت حاصل ضرب اجزاي ضربي را‬ ‫تجزیه (‪ )Factoring‬مي گویند‪.‬‬ ‫‪ 12 = 3 × 4‬و ‪12 = 2 × 2 × 3‬‬

‫چه تفاوتي بین اجزاي ضربي ‪ 12‬در ارائه هاى فوق وجود دارد؟‬ ‫نوشتن اجزاى ضربﻰ اولیه یک عدد به شكل ضرب به نام تجزیه به اعداد اولیه یاد مﻰ شود‪.‬‬ ‫مثال دوم‪:‬عدد ‪ 72‬را به اشكال مختلف اجزاى ضربﻰ آن تجزیه نمایید‪:‬‬ ‫‪1) 72 = 2 × 36 = 2 × 4 × 9 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3‬‬ ‫‪2) 72 = 6 × 12= 2 × 3 × 3 × 4 = 2 × 3 × 3 × 2 × 2‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫عدد ‪ 72‬را عﻼوه از دو شكل فوق به چند شكل دیگر تجزیه نموده میتوانید‪ ،‬طرز ارائۀ آن‬ ‫را نیز نشان دهید‪.‬‬ ‫مﻰ توان عملیۀ تجزیه را در یک جدول به شكل زیر خﻼصه كرد‪:‬‬ ‫‪72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3‬‬

‫‪72‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪22‬‬

‫از هر روشي كه براي تجزیه یک عدد به اجزاى اولیه ضربي اش استفاده كنیم درپایان همواره‬ ‫به یک نتیجه مي رسیم‪.‬‬ ‫مثال سﻮم‪ :‬اعداد ‪ 208, 416‬و ‪ 2574‬را به اجزاى ضربﻰ اولیۀ آنها تجزیه كنید‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪2574‬‬ ‫‪1287‬‬ ‫‪429‬‬ ‫‪143‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪416‬‬ ‫‪208‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪416 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 13 2574 = 2 × 3 × 3 × 11× 13‬‬

‫‪208‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪208 = 2 × 2 × 2 × 2 × 13‬‬

‫مﻴداﻧﻴم‪ :‬در تجزیۀ یک عدد تجزیه پذیر(عدد مركب) به اجزاي ضربي اولیه‪ ،‬عدد را به صورت‬ ‫حاصل ضرب دو عدد طبیعي بزرگتر از یک مي توانیم بنویسیم‪ .‬اگر یكي از اجزاي ضربي یا‬ ‫هردوي آنها تجزیه پذیر باشند‪ ،‬آنها را هم به صورت حاصل ضرب اعداد طبیعي بزرگتر از یک‬ ‫مي نویسیم‪ .‬این كار را ادامه مي دهیم تا اینكه همۀ اجزاي ضربي اعداد اولیه باشند‪ ،‬اگر همه اجزاي‬ ‫ضربي یک عدد مركب‪ ،‬اعداد اولیه باشند‪ ،‬اینگونه تجزیه را تجزیه به اعداد اولیه مي نامند‪.‬‬

‫تمرﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬در مقابل اعدادى كه اولیه اند‪ ،‬اولیه و در مقابل اعدادى كه مركب اند‪ ،‬مركب بنویسید‪.‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪847‬‬

‫‪67‬‬ ‫‪1111‬‬

‫‪59‬‬ ‫‪73‬‬

‫‪ -2‬در اعداد زیر كدام یک آنها‪ ،‬عدد مركب نیست؟‬ ‫‪d) 64‬‬

‫‪c) 39‬‬

‫‪b) 67‬‬

‫‪ -3‬اعداد ‪ 48 ، 36‬و ‪ 70‬را به اجزأي ضربي اولیۀ آن تجزیه كنید‪.‬‬ ‫‪ -4‬اعداد ‪ 64، 45 ، 20 ، 12‬و ‪ 80‬را به اجزاي ضربي اولیۀ آن تجزیه كنید‪.‬‬

‫‪23‬‬

‫‪a) 90‬‬

‫‪ -5‬اعداد ‪ 70‬و ‪ 80‬را اوﻻً به اجزأي ضربي مركب و بعد به اجزأي ضربي اولیۀ آن تجزیه كنید‪.‬‬ ‫‪ -6‬كدام یک از تجزیۀ اعداد زیر درست و كدام یک نا درست اند؟‬ ‫‪15 = 53‬‬ ‫‪16 = 2 × 13‬‬

‫‪16 = 24‬‬

‫‪28 = 22 × 9‬‬

‫‪27 = 3 × 9‬‬

‫‪18 = 2 × 32‬‬

‫‪ -7‬تمام اجزاى ضربﻰ اولیۀ اعداد ‪ 24,9,15‬و‪ 29‬را بنویسید‪.‬‬ ‫‪ -8‬اعداد ‪ 144‬و ‪ 121‬را به اجزأى ضربﻰ اولیۀ آن تجزیه كنید‪.‬‬

‫‪24‬‬

‫طاقـت (‪)Power‬‬ ‫ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺳﻮم‬

‫مﻰ دانیم كه هر حجره چگونه به دو حجره‬ ‫تقسیم مﻰ شود‪ .‬در شكل مقابل مراحل‬ ‫انقسام یک حجره مشاهده مﻰ شود‪.‬‬

‫ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺩوم‬ ‫ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺍوﻝ‬

‫فعالﻴت‬ ‫ﭼﻬﺎﺭم‬

‫ﺳﻮم‬

‫ﺩوم‬

‫‪2 2 2 2 2‬‬

‫ﺍوﻝ‬

‫ﺻﻔﺮ‬

‫ﻣﺮﺣﻠﻪ‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫ﺗﻌﺪﺍﺩ ﺣﺠﺮه ﻫﺎ‬

‫مرحلۀ چهارم را بكشید و جدول را كامل كنید‪.‬‬ ‫بین تعداد حجرات و مراحل تقسیم آن ها چه رابطه وجود دارد؟‬ ‫در مرحلۀ دهم چند عدد حجره خواهیم داشت؟‬ ‫آیا مﻰ توانیم تعداد حجرات را در مرحلۀ دهم به شكل خﻼصه بنویسیم؟‬ ‫حاصل جمع مقابل را به كمک عملیۀ ضرب خﻼصه كنید‪:‬‬ ‫‪4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12‬‬ ‫‪3 + 3 + 3 + 3 = 4 × 3 = 12‬‬ ‫آیا حاصل ضرب ‪ 2 × 2 × 2‬را نیز میتوان خﻼصه كرد؟‬ ‫براى آسانﻰ كار مﻰ توان ‪ 2 × 2 × 2‬را به شكل ‪ 23‬نوشته و آنرا این طور مﻰ خوانیم‪ 2 ،‬به‬ ‫توان ‪ ،3‬در عدد ‪ 2 ، 23‬را قاعده(‪ 3 ، )Base‬را توان نما(‪ )Exponent‬و ‪ 23‬را به نام طاقت‬ ‫سوم ‪ 2‬یاد مﻰ كنند‪ .‬توان نما نشان مﻰ دهد كه قاعده چند دفعه در خودش ضرب شده است‪.‬‬ ‫‪ 43‬نشان مﻰ دهد كه ‪ 4‬سه دفعه در خودش ضرب گردیده است‪ .‬یعنﻰ‪43 = 4 × 4 × 4 :‬‬

‫مثال اول‪ :‬قیمت هر یک از طاقت هاى زیر را دریابید‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪، 2‬‬

‫‪42 , 53 , 23 , 54 , 102 , 34‬‬

‫‪، 23 = 2 × 2 × 2 = 8‬‬ ‫‪10 = 10 ×10 = 100‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5 = 5 × 5 × 5 = 125 ، 5 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 ، 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81‬‬

‫‪2‬‬ ‫به همین ترتیب ‪ ( 2 ) 4‬به معناى ‪ 2 × 2 × 2 × 2‬است كه‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3 3 3‬‬

‫‪25‬‬

‫‪42 = 4 × 4 = 16‬‬

‫قاعده و ‪ 4‬توان نما مﻰ باشد‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫قیمت هر یک از طاقت هاي زیر را دریافت كنید‪:‬‬

‫بنویسید‪□ ، 4 = □ ، 10 =□ ،:‬‬ ‫□= ‪1 =□ ، 2 =□ ، 10‬‬ ‫حاصل ضرب هاى زیر را به شكل طاقت‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫=‪8×8×8×8×8×8×8×8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫=‪9×9×9×9‬‬

‫= ‪32‬‬

‫=‪4×4×4‬‬

‫آیا اعداد ‪ 27‬و ‪ 72‬باهم مساوى اند؟ چرا؟‬ ‫‪23‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬آیا اعداد‬ ‫‪3‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫و ‪ ( )3‬برابراند؟‬

‫‪23 2 × 2 × 2 8‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 3 2 2 2 8‬‬ ‫= × × = ) (‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3 3 27‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪23‬‬ ‫و ‪ ( )3‬برابر نیستند‪ .‬در نتیجه ‪ 8 < 8‬مﻰ باشد‪.‬‬ ‫پس‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪37‬‬

‫هرگاه یک عدد چندین مرتبه در خودش ضرب شده باشد در این صورت حاصل ضرب به‬ ‫طور ساده به شكل طاقت ارائه گردیده و یا كوتاه ترین طریقه نشان دادن حاصل ضرب تكرار‬ ‫یک عدد را طاقت (‪ )Power‬مﻰ نامند‪.‬‬

‫تمرﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬حاصل ضرب ‪ 2 × 2 × 2 × 2 × 2‬مساوى است به‪:‬‬ ‫‪a) 2‬‬ ‫‪b) 5‬‬ ‫‪c)25‬‬ ‫‪d) 36‬‬ ‫‪ -2‬حاصل ضرب ‪ 10 × 10 × 10‬مساوى است به‪:‬‬ ‫‪a) 103‬‬ ‫‪b) 310‬‬ ‫‪c)100‬‬ ‫‪d) 1010‬‬ ‫‪ -3‬عدد ‪ 33‬مساوى است به‪:‬‬ ‫‪a) 9‬‬ ‫‪b) 27‬‬ ‫‪c)54‬‬ ‫‪d) 12‬‬ ‫‪ -4‬یک شاگرد عددى را به اجزاى ضربﻰ اولیه تجزیه نموده كه جواب آن ‪2 × 2 × 5 × 2 × 5‬‬ ‫مﻰ باشد‪ .‬این جواب را به شكل طاقت چه گونه میتوانیم بنویسیم؟‬ ‫‪a) 22 × 53‬‬ ‫‪b) 23 × 52‬‬ ‫‪c) 22 × 52‬‬ ‫‪d) 23 × 53‬‬ ‫‪ -5‬اعداد ‪ 36‬و ‪ 24‬را به اجزاى ضربﻰ اولیۀ آن تجزیه نموده به شكل طاقت بنویسید‪.‬‬ ‫‪ -6‬اجزأي ضربي اولیۀ عدد ‪ 208‬به شكل طاقت مساوي است به‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪a) 2 × 13‬‬ ‫‪b) 25 × 13‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪26‬‬

‫خاصﻴت ﻫاي عملﻴﻪ ﻫاي طاقت‬ ‫آیا حاصل ضرب ‪ 53 × 5 × 52‬را به دست‬ ‫آورده مﻰ توانید؟‬

‫?= ‪2 ×2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫?= ‪3 ×4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫خاصﻴت اول‪ :‬در ضرب طاقت هایﻰ كه داراى قاعده هاى مساوى و توان هاى مختلف باشند‬ ‫حاصل ضرب آنها مساوى به قاعده مشترک به توان مجموع توان هاى داده شده مﻰ باشد‪.‬‬ ‫مثال اول‪ :‬حاصل ضرب ‪ 23 × 25‬و ‪ 32 × 33 × 34‬را به دست آورید‪.‬‬ ‫‪23 × 25 = 23+5 = 28‬‬ ‫‪32 × 33 × 34 = 32+3+ 4 = 39‬‬ ‫خاصﻴت دوم‪ :‬در ضرب طاقت هایﻰ كه توان هاى مساوى و قاعده هاى مختلف داشته باشند‪،‬‬ ‫قاعده ها را در هم ضرب نموده و به یكﻰ از توان هاى مساوى مﻰ نویسیم‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫مثال دوم‪2 × 3 = (2 × 3)5 = 65 ، 35 × 45 = (3 × 4)5 = 125 :‬‬ ‫خاصﻴت سﻮم‪:‬در صورتﻰ كه یک عدد توان دار به توان برسد با استفاده از قانون ضرب‬ ‫طاقت ها قاعده را به توان حاصل ضرب هر دو توان مﻰ نویسیم‪.‬‬ ‫مثال سﻮم‪:‬‬ ‫یا‬ ‫‪(34 ) 2 = 34 × 34 = 38‬‬ ‫‪(34 ) 2 = (3) 4× 2 = 38‬‬ ‫خاصﻴت چﻬارم‪ :‬حاصل تقسیم طاقت هایﻰ كه داراى عین قاعده باشند‪ ،‬مساوى است به‬ ‫یكﻰ از قاعده ها به توان عددى كه از تفریق توان هاى صورت و مخرج به دست مﻰ آید‪ ،‬به‬ ‫شرطﻰ آن كه قاعده صفر نباشد‪.‬‬ ‫‪87‬‬ ‫مثال چﻬارم‪:‬حاصل تقسیم‬ ‫‪85‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪27‬‬

‫را به دست آورید‪.‬‬

‫‪8 8 8 8 8 8 8‬‬ ‫‪= 8 8 = 82 = 64‬‬ ‫‪8 8 8 8 8‬‬

‫‪87‬‬ ‫يا ‪= 87 5 = 82 =64‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬

‫خاصﻴت پﻨجم‪ :‬در تقسیم طاقت هایﻰ كه توان هاى مساوى و قاعده هاى مختلف داشته باشند‪،‬‬ ‫قاعده صورت را باﻻى قاعده مخرج تقسیم نموده‪ ،‬نتیجۀ آن را به توان یكﻰ از توان هاى مساوى‬ ‫مﻰ نویسیم‪.‬‬ ‫‪65‬‬ ‫مثال پﻨجم ‪ :‬حاصل تقسیم ‪ 5‬را به دست آورید‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪65 6 × 6 × 6 × 6 × 6 6 6 6 6 6‬‬ ‫‪6 5‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪= × × × × = ( ) = 2 5 =32‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3× 3× 3× 3× 3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫خانه هاي خالي زیر را پر كنید‪:‬‬ ‫)‬

‫(= )‬

‫(=‬

‫‪4‬‬

‫= ‪8‬‬ ‫‪24‬‬

‫=‬

‫تمرﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬حاصل ضربهاى زیر را به شكل عدد توان دار بنویسید‪:‬‬

‫‪7 2 × 73 × 75 , 25 × 35 , 34 × 32‬‬

‫‪ (42 )3 -2‬مساوى است به‪:‬‬

‫‪d) 45‬‬ ‫‪c) 24‬‬ ‫‪ -3‬حاصل تقسیم زیر را به شكل عدد توان دار بنویسید‪.‬‬ ‫‪96‬‬ ‫‪94‬‬ ‫‪24 × 32‬‬ ‫‪ 2‬مساوى است به‪:‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪4 ×9‬‬

‫‪d) 4‬‬

‫‪b) 48‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪c) 3‬‬

‫‪a) 46‬‬

‫‪74‬‬ ‫‪72‬‬

‫‪b) 2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪86‬‬ ‫‪46‬‬

‫‪a) 1‬‬

‫‪28‬‬

‫بزرگترﻳﻦ قاسم مشترک ﻳا بزرگترﻳﻦ فکتﻮر مشترک‬ ‫‪Greatest common divisor)G.C.D( or‬‬ ‫(‪Highest common factor )H.C.F‬‬ ‫طول‪ ،‬عرض و ارتفاع یک اتاق به ترتیب ‪910‬‬ ‫سانتﻰ متر‪ 780 ،‬سانتﻰ متر و ‪ 390‬سانتﻰ متر مﻰ باشد‪.‬‬ ‫طویل ترین طول فیتۀ مترى را دریابید تا ابعاد این اتاق‬ ‫توسط آن پوره اندازه شود‪.‬‬

‫قاسم(‪ : )Divisor‬اگر یک عدد طبیعﻰ باﻻى عدد دیگرى پوره تقسیم شود‪ ،‬عدد دوم را‬ ‫قاسم عدد اولﻰ مﻰ گویند‪ ،‬طور مثال‪ 24 :‬بر ‪ 8‬پوره تقسیم مﻰ شود‪ ،‬یعنﻰ‪ 24 ÷ 8=3‬بوده‪،‬‬ ‫پس عدد ‪ 8‬یک قاسم ‪ 24‬مﻰ باشد‪.‬‬ ‫به همین ترتیب عدد ‪ 5‬یک قاسم ‪ 30‬و عدد ‪ 3‬یک قاسم عدد ‪ 102‬مﻰ باشد‪.‬‬ ‫مثال اول‪ :‬ست قاسم هاى عدد ‪ 12‬عبارت است از‪ ={1,2,3,4,6,12{:‬ست قاسم هاى ‪12‬‬

‫مثال دوم‪ :‬ست قاسم هاى ‪ 16‬و ‪ 40‬را دریابید‪.‬‬ ‫{‪{1,2,4,8,16‬‬ ‫حل‪ :‬ست قاسم هاى ‪ 16‬عبارت است از‪:‬‬ ‫{‪1,2,4,5,8,10,20,40‬‬ ‫و ست قاسم هاى ‪ 40‬عبارت است از‪:‬‬ ‫قاسم مشترک (‪ : )Common divisor‬اگر دو یا چندین عدد‪ ،‬باﻻى یک عدد‪ ،‬پوره‬ ‫قابل تقسیم باشند این عدد را قاسم مشترک اعداد متذكره مﻰ گویند‪.‬‬ ‫مثال سوم ‪ :‬ست قاسم هاى مشترک اعداد ‪ 24، 16‬و ‪ 40‬را دریابید‪.‬‬ ‫}‪ ={1,2,4,8,16‬ست قاسم هاى ‪A = 16‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫}‪ ={1,2,3,4,6,8,12,24‬ست قاسم هاى ‪B = 24‬‬ ‫}‪ ={1,2,4,5,8,10,20,40‬ست قاسم هاى ‪C = 40‬‬ ‫}‪ = {1,2,4,8,16}∩{1,2,3,4,6,8,12,24}∩{1,2,4,5,8,10,20,40‬ست قاسم هاى مشترک ‪ 24 ، 16‬و ‪40‬‬

‫ست قاسم هاى مشترک‬ ‫}‪= {1,2,4,8‬‬ ‫دیده مﻰ شود كه از جملۀ قاسم هاى مشترک‪ ،‬عدد ‪ 8‬از همه قاسم هاى مشترک بزرگتر بوده‬ ‫بنابراین عدد ‪ 8‬بزرگترین قاسم مشترک ‪ 24 ، 16‬و ‪ 40‬مﻰ باشد‪.‬‬ ‫درﻳافت بزرگترﻳﻦ قاسم مشترک تﻮسط تجزﻳﻪ‪:‬‬ ‫براي پیدا كردن بزرگترین قاسم مشترک توسط تجزیه مراحل زیر را انجام دهید‪:‬‬ ‫‪ -1‬اعداد داده شده را به اجزأى ضربﻰ اولیه تجزیه نموده و آنها را به شكل طاقت‬

‫‪29‬‬

‫بنویسید‪.‬‬ ‫‪ -2‬اجزاى ضربﻰ مشترک كه كوچكترین توان را داشته باشند باهم ضرب مﻰ كنیم ‪.‬حاصل‬ ‫ضرب اجزاى انتخاب شده عبارت از بزرگترین قاسم مشترک اعداد داده شده مﻰ باشد‪.‬‬ ‫مثال چﻬارم‪ :‬بزرﮔترﻳﻦ ﻗاسﻢ ﻣشترك اعداد ‪ 208‬و ‪ 390‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪208‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪390‬‬ ‫‪195‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪390 = 2 × 3 × 5 ×13‬‬

‫‪208 = 2 × 2 × 2 × 2 ×13 = 24 × 13‬‬

‫بنابراین بزرگترین قاسم مشترک ‪ 390‬و ‪ 208‬عبارت از ‪ 2 ×13 = 26‬مﻰ باشد‪.‬‬ ‫ویا در جدول زیر بزرگ ترین قاسم مشترک اعداد فوق را مﻰ توانیم چنین دریافت كنیم‪:‬‬

‫فعالﻴت‬

‫‪390‬‬

‫‪208‬‬

‫‪2‬‬

‫‪195‬‬

‫‪104‬‬

‫‪13‬‬

‫‪15‬‬

‫‪8‬‬

‫بزرگترین عددى را دریابید كه اعداد ‪ 144 ، 36‬و ‪ 252‬باﻻى آن پوره تقسیم گردد‪.‬‬

‫تمرﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬قاسم هاي مشترک و بزرگترین قاسم مشترک این اعداد را دریابید‪.‬‬ ‫‪a)24,32‬‬ ‫‪b)25,40‬‬ ‫‪c)50,52‬‬ ‫‪d)7,16‬‬ ‫‪ -2‬بزرگترین قاسم مشترک ‪ 23 × 3 × 7‬و ‪ 25 × 32‬عبارت است از‪:‬‬ ‫‪a) 25 ×32 ×7‬‬ ‫‪b) 23 ×3‬‬ ‫‪c) 25 ×32‬‬ ‫‪d) 2 ×3‬‬ ‫‪ -3‬بزرگترین قاسم مشترک ‪ 45‬و ‪ 56‬مساوي است به‪:‬‬ ‫‪a) 4‬‬ ‫‪b) 6‬‬ ‫هیچكدام)‪c‬‬ ‫‪ -4‬بزرگترین قاسم مشترک اعداد زیر را دریابید‪.‬‬ ‫‪a) 48 , 78‬‬ ‫‪b) 13 , 15‬‬ ‫‪c) 16,17 , 48‬‬ ‫‪d) 18 ,25, 35‬‬ ‫‪ -5‬توسط عمل تجزیه‪ ،‬اول اجزاى ضربﻰ اولیه و بعد از آن‪ ،‬بزرگترین قاسم مشترک اعداد‬ ‫داده شدة زیر را دریابید‪.‬‬ ‫‪a) 40,16‬‬ ‫‪b) 18,42‬‬ ‫‪c) 27,84‬‬ ‫‪d) 36 ,60‬‬

‫‪30‬‬

‫کﻮچکترﻳﻦ مضرب مشترک (‪Least common multiple)L.C.M‬‬ ‫محیط حلقۀ تایر كوچک تراكتور ‪ 360‬سانتﻰ‬ ‫متر و محیط حلقۀ تایر بزرگ آن ‪ 600‬سانتﻰ‬ ‫متر است‪ .‬تراكتور حداقل چقدر فاصله را باید‬ ‫طﻰ كند تا نقاط مشخص شده همزمان روى‬ ‫تایر ها مجددا ً باهم به زمین برسند؟‬

‫فعالﻴت‬ ‫عدد ‪ 4‬را در نظر بگیرید‪ .‬این عدد را به ترتیب در ‪ 1, 2, 3, 4, 5, 6‬ضرب كنید‪.‬‬ ‫خصوصیت مشترک تمام این اعداد چیست؟‬ ‫آیا اعداد دیگري را مي توانید پیدا كنید كه این خصوصیت را داشته باشند؟‬ ‫در فعالیت فوق دیدیم كه اعداد به دست آمده بر عدد ‪ 4‬پوره تقسیم مي شوند‪ .‬این اعداد را‬ ‫}‪ ={4,8,12,16,20,...‬ست مضرب هاي عدد‪4‬‬ ‫به نام مضرب هاي عدد ‪ 4‬مي نامند‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫در جدول زیر مضرب هاى اعداد ‪ 3‬و ‪ 4‬را دریابید ‪ .‬خانه هاى جدول را پر كنید‪.‬‬

‫‪10 11 12 13‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬

‫‪12‬‬

‫‪10 11‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫×‬ ‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫در مضرب هاي ‪ 3‬و ‪ 4‬كدام اعداد مشترک اند؟‬ ‫در مضرب هاي مشترک كوچكترین مضرب مشترک ‪ 3‬و ‪ 4‬كدام عدد است؟‬

‫‪31‬‬

‫‪0‬‬

‫آیا تعداد مضرب هاى یک عدد طبیعﻰ پایان دارند؟‬ ‫مثال‪ :‬كوچكترین مضرب مشترک اعداد ‪ 8 ، 6‬و ‪ 12‬را دریابید‪.‬‬ ‫} ‪ = A = {6,12,18, 24,30,36, 42, 48,‬ست مضرب هاي عدد‪6‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫} ‪ = B = {8,16, 24,32, 40, 48,56,‬ست مضرب هاي عدد‪8‬‬ ‫} ‪ = C = {12, 24,36, 48, 60, 72,‬ست مضرب هاي عدد‪12‬‬ ‫‪( AAI BB) I C‬‬ ‫} ‪C = {24, 48‬‬

‫ست مضرب هاى مشترک ‪ 8، 6‬و ‪ 12‬عبارت از}‪ {24,48,....‬مﻰ باشد‪ .‬كوچكترین عنصر این‬ ‫ست ‪ 24‬است‪ .‬بنابراین كوچكترین مضرب مشترک ‪ 8، 6‬و ‪ 12‬عبارت از ‪ 24‬مﻰ باشد‪.‬‬ ‫مي توانیم كوچكترین مضرب مشترک اعداد ‪ 8 ، 6‬و ‪ 12‬را در یک جدول به طور خﻼصه به شكل‬ ‫زیر دریابیم‪:‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫كوچكترین مضرب مشترک این اعداد عبارت از ‪ 2 ×2 ×3 ×2 = 24‬مي باشد‪.‬‬ ‫آمﻮختﻴـم کﻪ‪ :‬در مضرب هاي مشــترک دو یا چند عدد‪ ،‬كوچكتریــن عدد‪ ،‬كوچكترین‬ ‫مضرب مشترک اعداد داده شده مي باشد‪.‬‬

‫تمرﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬كوچكترین مضرب مشترک اعداد ‪ 20 ، 18‬و‪ 36‬را دریابید‪.‬‬ ‫‪ -2‬كوچكترین عدد چهار رقمﻰ را دریافت نمایید كه باﻻى ‪ 17 ، 10‬و ‪ 85‬پوره تقسیم گردد‪.‬‬ ‫‪-3‬كوچكترین مضرب مشترک ‪ 6‬و ‪ 9‬مساوي است به‪:‬‬ ‫‪a) 18‬‬ ‫‪b) 54‬‬ ‫‪a) 3‬‬ ‫‪b) 27‬‬ ‫‪ -4‬كدام عدد مضرب ‪ 9‬است؟‬ ‫‪ -5‬اگر‪ 187 = 11 × 17‬باشد‪ ،‬كدام یک از بیانات زیر درست است؟‬ ‫‪ 187 (b‬قاسم ‪ 17‬است‪.‬‬ ‫‪ 187 (a‬مضرب ‪ 17‬است‪.‬‬ ‫‪a) 69‬‬ ‫‪b) 72‬‬ ‫‪ -6‬كدام یک از این اعداد مضرب مشترک ‪ 6‬و ‪ 9‬است؟‬ ‫‪ -7‬كوچكترین مضرب مشترک اعداد ‪15,9‬و ‪ 4‬را دریابید‪.‬‬

‫‪32‬‬

‫ﻳافتﻦ کﻮچکترﻳﻦ مضرب مشترک تﻮسط‬ ‫تجزﻳﻪ بﻪ اعداد اولﻴﻪ و مﻮارد استعمال آن‬ ‫صفت اﷲ بعد از هر ‪ 4‬روز و عزت اﷲ‬ ‫بعد از هر ‪ 6‬روز غرض خریداري اجناس‬ ‫مورد ضرورت به مغازة شهر مي روند‪.‬‬ ‫اگر آنها به تاریخ ‪ 31‬ماه سرطان در‬ ‫مغازة شهر با هم ببینند به كدام تاریخ ماه‬ ‫اسد آن ها بار دوم در مغازة شهر یكدیگر‬ ‫را خواهند دید؟‬

‫براي پیدا كردن كوچک ترین مضرب مشترک دو یا چند عدد از طریق تجزیۀ اجزاي ضربي‬ ‫اولیه مراحل زیر را انجام مﻰ دهیم‪:‬‬ ‫‪ -1‬اعــداد داده شــده را به اجــزأى ضربﻰ اولیه تجزیه نموده و بــه شكل طاقت‬ ‫مﻰ نویسیم‪.‬‬ ‫‪ -2‬آن عده اجزاى ضربﻰ مشترک كه بلند ترین توان را دارا باشند با اجزأى غیر مشترک باهم‬ ‫ضرب مﻰ نماییم‪ .‬این حاصل ضرب عبارت از كوچكترین مضرب مشترک اعداد داده شده‬ ‫مﻰ باشد‪.‬‬ ‫مثال اول‪ :‬كوچكترین مضرب مشترک‪ 12‬و‪ 15‬را توسط تجزیه به اعداد اولیه دریابید‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12 = 2 × 2× 3 = 22× 3‬‬ ‫‪15 = 3 × 5‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫كوچكترین مضرب مشترک ‪ 12‬و ‪ 15‬عبارت است از‪ (22 × 3× 5 = 60) :‬مﻰ باشد‪.‬‬ ‫مي توانیم كوچكترین مضرب مشترک اعداد‪ 12‬و ‪ 15‬را در یک جدول نیز دریابیم‪.‬‬ ‫‪3 × 4× 5 = 60‬‬

‫‪15‬‬

‫‪12‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫كوچكترین مضرب مشترک اعداد ‪ 135 ، 108‬و ‪ 162‬را توسط جدول دریابید‪.‬‬

‫‪33‬‬

‫‪3‬‬

‫مﻮارد استعمال کﻮچکترﻳﻦ مضرب مشترک در حل مسائل روزمرة زﻧده گﻲ‪:‬‬ ‫مثال دوم‪:‬اگر زنگ اول هر ‪ 10‬دقیقه بعد‪ ،‬زنگ دوم هر ‪ 15‬دقیقه بعد‪ ،‬زنگ سوم هر ‪25‬‬ ‫دقیقه بعد و زنگ چهارم هر ‪ 30‬دقیقه بعد‪ ،‬به صدا در آید در صورتﻰ كه هر چهار زنگ در‬ ‫هر ده بجه روز هم زمان شروع به زنگ زدن نمایند معلوم نمایید كه بعد از چه مدتﻰ آن ها‬ ‫دوباره هم زمان به زنگ زدن شروع مﻰ نمایند؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪10 = 5 × 2‬‬ ‫‪15 = 5 × 3‬‬ ‫‪25 = 5 × 5‬‬ ‫‪30 = 5 × 3 × 2‬‬ ‫پس‪ :‬كوچكترین مضرب مشترک اعداد ‪ 10,15,25‬و ‪ 30‬عبارت است از‪2 × 3 × 5 × 5 = 150 :‬‬

‫و یا‬ ‫‪2 × 3 × 5 × 5 = 150‬‬

‫‪30‬‬

‫‪25‬‬

‫‪15‬‬

‫‪10‬‬

‫‪2‬‬

‫‪15‬‬

‫‪25‬‬

‫‪15‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪25‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫در نتیجه ‪ 150‬دقیقه(‪ 2‬ساعت و ‪ 30‬دقیقه) بعد هر چهار زنگ بار دوم همزمان به صدا در‬ ‫مي آیند‪.‬‬

‫تمرﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬كوچكترین عددى را دریابید كه بر‪ 96 ،72 ،64‬و ‪ 192‬قابل تقسیم باشند‪.‬‬ ‫‪ -2‬شاروالﻰ در كنار سرک در هر‪ 4‬متر یک درخت را غرس نموده و در حالﻰ كه ادارة برق‬ ‫درهر ‪ 22‬متر پایۀ برق را نصب كرده است‪ .‬اگر در شروع سرک پایۀ برق در كنار درخت‬ ‫قرار گرفته باشد‪ ،‬بعد از چند متر دوباره یک درخت در كنار پایۀ برق قرار مﻰ گیرد؟‬ ‫‪ -3‬نوریه هر سه روز بعد و مﻼلﻰ هر پنج روز بعد به كتابخانه مي رود‪ .‬اگر هر دوي آنها به‬ ‫تاریخ ‪ 10‬ثور به كتابخانه رفته باشند به كدام تاریخ ماه ثور آنها بار دوم در كتابخانه یكجا‬ ‫خواهند شد؟‬ ‫‪ -4‬كوچكترین مضرب مشترک اعداد ‪ 95 ،20 ،19‬و ‪ 190‬را دریابید‪.‬‬

‫‪34‬‬

‫رابطـﻪ بﻴـﻦ کﻮچکترﻳـﻦ مضـرب مشـترک و‬ ‫بزرگترﻳﻦ قاسم مشترک دو عدد‬ ‫اگر بزرگترین قاسم مشترک دو عدد را‬ ‫داشته باشیم‪ ،‬مﻰ توانیم كوچكترین مضرب‬ ‫مشترک آنها را بدون تجزیه یا توسط ست‬ ‫مضرب هایشان به دست آوریم‪.‬‬

‫‪ = G‬بزرگترین قاسم مشترک اعداد ‪ a‬و ‪b‬‬ ‫‪ = L‬بزرگترین قاسم مشترک اعداد ‪ a‬و ‪b‬‬

‫‪a×b‬‬ ‫=‪L‬‬ ‫‪G‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫بزرگترین قاسم مشترک ‪ 25‬و ‪ 15‬را دریابید و آنرا ‪ G‬بنامید‪.‬‬ ‫كوچكترین مضرب مشترک این دو عدد را دریابید و آنرا ‪ L‬بنامید‪.‬‬ ‫حاصل ضرب دو عدد ‪ 25‬و ‪ 15‬را به دست آورده و آنرا با ‪ L × G‬مقاسیه كنید آیا در‬ ‫بین این دو حاصل ضرب رابطه یي وجود دارد؟‬ ‫اگر كوچكترین مضرب مشترک دو عدد ‪ a‬و ‪ b‬را به ‪ L‬و بزرگترین قاسم مشترک این‬ ‫دوعدد را به ‪ G‬نشان دهیم‪ ،‬در این صورت ‪ :‬رابطه بین بزرگترین قاسم مشترک و كوچكترین‬ ‫مضرب مشترک عبارت است از ‪L × G = a × b‬‬ ‫‪L×G‬‬ ‫‪a‬‬

‫=‪b‬‬

‫‪L×G‬‬ ‫‪b‬‬

‫=‪a‬‬

‫‪a×b‬‬ ‫‪L‬‬

‫=‪G‬‬

‫‪a×b‬‬ ‫‪G‬‬

‫=‪L‬‬

‫مثال اول‪ :‬بزرگترین قاسم مشترک اعداد ‪ 225‬و ‪ 300‬عبارت از ‪ 75‬مﻰ باشد‪ ،‬كوچكترین‬ ‫مضرب مشترک ‪ 225‬و ‪ 300‬را دریابید‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪a × b 225 × 300 67500‬‬ ‫‪68500‬‬ ‫=‬ ‫‪= 900‬‬ ‫=‬ ‫‪G‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪75‬‬

‫=‪L‬‬

‫‪a = 225‬‬ ‫‪b = 300‬‬ ‫‪G = 75‬‬ ‫?=‪L‬‬

‫مثال دوم‪ :‬كوچكترین مضرب مشترک دو عدد ‪ 900‬و بزرگترین قاسم مشترک آنها ‪75‬‬ ‫است‪ ،‬اگر یک عدد ‪ 300‬باشد عدد دیگرى را دریابید‪.‬‬

‫‪35‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪b = 300‬‬

‫‪L × G 900 × 75‬‬ ‫=‬ ‫‪= 225‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪300‬‬

‫‪L = 900‬‬ ‫‪G = 75‬‬

‫=‪a‬‬

‫?= ‪a‬‬

‫درﻳافت ﻫمزمان کﻮچکترﻳﻦ مضرب مشترک و بزرگترﻳﻦ قاسم مشترک دو‬ ‫عدد‪:‬‬ ‫مثال سـﻮم‪ :‬كوچكترین مضرب مشــترک و بزرگترین قاسم مشترک اعداد ‪ 225‬و ‪100‬‬ ‫را دریابید‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪225‬‬ ‫‪100‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪9‬‬

‫×‬

‫×‬

‫‪20‬‬

‫‪45‬‬

‫‪5‬‬

‫در نتیجه بزرگترین قاسم مشترک این دو عدد مساوى به ‪ 5 × 5 = 25‬و كوچكترین مضرب‬ ‫مشترک آنها مساوى است به ‪5 × 5 × 9 × 4 = 900 :‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫كوچكترین مضرب مشترک و بزرگترین قاسم مشترک اعداد ‪ 27‬و ‪ 9‬را دریابید‪.‬‬ ‫آمﻮختﻴم کﻪ‪ :‬غرض دریافت همزمان بزرگترین قاسم مشترک و كوچكترین مضرب مشترک‬ ‫اعداد داده شده را بر اعداد اولیه تقسیم مﻰ نماییم‪ ،‬حاصل ضرب اعداد اولیۀ ستون طرف چپ عبارت‬ ‫از بزرگترین قاسم مشترک اعداد داده شده مﻰ باشد و اگر این حاصل ضرب را با اعداد سطر آخرى‬ ‫ضرب نماییم حاصل ضرب عبارت از كوچكترین مضرب مشترک اعداد داده شده مﻰباشد‪.‬‬

‫تمرﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬بزرگترین قاسم مشترک و كوچكترین مضرب مشترک اعداد‪ 20،12‬و ‪ 36‬را دریابید‪.‬‬ ‫‪ .2‬اگر كوچكترین مضرب مشترک ‪ 45‬و ‪ 35‬عبارت از ‪ 315‬باشد‪ ،‬بزرگترین قاسم مشترک‬ ‫اعداد ‪ 45‬و ‪ 35‬را دریابید‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﻛﻮچﻜترﻳﻦ ﻣضرب ﻣشترك و بزرﮔترﻳﻦ ﻗاسﻢ ﻣشترك اعداد‪ 16 ،20‬و ‪ 44‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ -4‬كوچكترین مضرب مشترک دو عدد ‪ 900‬و بزرگترین قاسم مشترک آنها ‪ 75‬است‪ ،‬اگر‬ ‫یک عدد ‪ 225‬باشد عدد دیگرى را دریابید‪.‬‬

‫‪36‬‬

‫مربع و جذر مربع تام ﻳک عدد طبﻴعﻲ‬

‫اگر مساحت یک زمین مربعﻰ ‪ 144‬متر مربع‬ ‫باشد یک ضلع این زمین را دریابید‪.‬‬

‫مﻰ دانیم كه اگر یک عدد در خودش ضرب شود حاصل ضرب عبارت از مربع این عدد است‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪20‬‬

‫جدول مقابل را تكمیل كنید‪.‬‬

‫‪15‬‬

‫‪11‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻋﺪﺩ‬

‫‪4‬‬

‫ﻣﺮﺑﻊ ﻋﺪﺩ‬

‫در نتیجه اگر هر یک از اعداد ‪ 15 ، 11، 6 ، 2‬و ‪ 20‬دو مرتبه در خود شان ضرب شوند به‬ ‫ترتیب اعداد ‪ 225 ، 121 ، 36 ، 4‬و ‪ 400‬حاصل مﻰ شود‪ .‬مشاهده مﻰ شود كه هر عدد‬ ‫داراى دو جزء ضربﻰ بوده كه باهم مساوى مﻰ باشند‪.‬‬ ‫‪ 36 = 6 × 6 = 62‬چون ‪ 36‬توان دوم ‪ 6‬است مﻰ گوییم كه ‪ 6‬جذر دوم ‪ 36‬است‪ ،‬و به این‬ ‫شكل نشان مﻰ دهیم ‪ 36 = 6‬كه عدد ‪ 36‬مجذور ‪ 6‬مﻰ باشد‪.‬‬ ‫به یاد داشته باشیدكه‪ :‬به عوض ‪ 2 36‬میتوان ‪ 36‬را نوشت‪.‬‬ ‫یكﻰ از دو جزء ضربﻰ مساوى یک عدد عبارت از جذر دوم و یا جذر مربع عدد مﻰ باشد‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫جدول زﻳر را تﻜﻤﻴﻞ ﻛﻨﻴد‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪64‬‬

‫‪49‬‬

‫‪81‬‬

‫‪16‬‬

‫‪25‬‬

‫ﺟﺬﺭ‬

‫ﺟﺬﺭ‬

‫ﺟﺬﺭ‬

‫ﺟﺬﺭ‬

‫ﺟﺬﺭ‬

‫ﺟﺬﺭ‬

‫‪37‬‬

‫ﻣﺠﺬوﺭ‬

‫ﻣﺠﺬوﺭ‬

‫‪36‬‬

‫‪64‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫ﻣﺠﺬوﺭ‬

‫ﻣﺠﺬوﺭ‬

‫ﻣﺠﺬوﺭ‬

‫ﻣﺠﺬوﺭ‬

‫ﻳادداشت‪ :‬جذر دوم عدد یک خود یک است‪.‬‬ ‫آمﻮختﻴم کﻪ‪ :‬یكي از دو جزء ضربي مساوي یک عدد‪ ،‬جذر دوم عدد است‪ ،‬فكركنید كه‬ ‫مجذور هر عدد توان دوم آن عدد است‪.‬‬ ‫‪3 3969‬‬ ‫‪2‬‬ ‫درﻳافت جذر مربع تام ﻳک عدد طبﻴعﻰ ‪400‬‬ ‫‪3 1323‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪ -1‬به طریق تجزیه‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪441‬‬ ‫‪100‬‬ ‫مثال‪ :‬جذر مربع اعداد ‪ 400‬و ‪ 3969‬را‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪147‬‬ ‫‪50‬‬ ‫توسط تجزیه دریابید‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪25‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪400 = 24 ×52 = 2 2 × 5 = 4 × 5 = 20‬‬ ‫‪32 × 7 = 3 × 3 × 7 = 63‬‬ ‫‪3969 = 3 × 3 × 3 × 3 × 7 × 7 = 3 ×343××772 ==63‬‬ ‫‪ -2‬ﻳافتﻦ جذر مربع ﻳک عدد تﻮسط طرﻳقﺔ عمﻮمﻰ‬ ‫مثال دوم‪ :‬جذر مربع عدد ‪ 53361‬را به طریق عمومﻰ به صورت زیر دریافت مﻰ نماییم‪.‬‬

‫‪53361 = 231‬‬

‫تمرﻳﻦ‬

‫‪231‬‬ ‫‪2 5 33 61‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪43 1 3 3‬‬ ‫‪1 29‬‬ ‫‪461‬‬ ‫‪461‬‬ ‫‪4 61‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪ -1‬جذر مربع اعداد زیر را دریابید‪:‬‬ ‫? = ‪121‬‬

‫‪144 = ? ,‬‬

‫‪64 = ? ,‬‬

‫‪256 = ? ,‬‬

‫‪ -2‬جذر مربع اعداد زیر را به طریقه تجزیه پیدا كنید‪.‬‬

‫‪3136 ، 2025 ، 1024‬‬ ‫‪ -3‬جذرهاى دوم اعداد زیر را اول به طریقۀ تجزیه و بعد به طریقۀ عمومي دریابید‪ ،‬و بگویید‬ ‫كه كدام طریق را ترجیح مي دهید؟‬ ‫‪225‬‬

‫‪,‬‬

‫‪324‬‬ ‫‪3136‬‬

‫‪,‬‬

‫‪5329‬‬ ‫‪2025‬‬

‫‪38‬‬

‫جذر سﻮم(مکعب) ﻳک عدد طبﻴعﻰ‬ ‫حجم یک مكعب‪ 125cm3‬است‪ .‬ابعاد آن‬ ‫چند است؟‬

‫چنانچه جذر مربع یک عدد طبیعﻰ یكﻰ از دو جزء ضربﻰ مساوى عدد بوده بدین اساس جذر‬ ‫مكعب یا جذر سوم یک عدد طبیعﻰ را این طور تعریف مﻰ كنیم‪:‬‬ ‫تعرﻳف‪ :‬یكﻰ از سه جزء ضربﻰ مساوى یک عدد را‪ ،‬جذر سوم عدد مﻰ گویند‪.‬‬

‫عﻼمۀ‬

‫‪3‬‬

‫جذر سوم یک عدد را نشان مﻰ دهد‪.‬‬

‫مثال اول‪ :‬جذر هاي سوم این اعداد را دریابید‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪64‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪27‬‬

‫‪3‬‬

‫‪27 = 3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪27 = 3 × 3 × 3 = 33‬‬

‫‪8=2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8 = 2 × 2 × 2 = 23‬‬

‫‪64 = 4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪64 = 4 × 4 × 4 = 43‬‬

‫درﻳافت جذر سﻮم تام اعداد طبﻴعﻰ تﻮسط تجزﻳﻪ‪:‬‬ ‫عدد را به اجزأى مساوى اولیۀ ضربﻰ تجزیه نموده از هر سه جزء مساوى یک جزء را انتخاب‬ ‫و باهم ضرب مﻰ كنیم در نتیجه حاصل ضرب عبارت از جذر سوم عدد مﻰ باشد‪.‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬جذر هاى سوم اعداد طبیعﻰ ‪ 8 ، 125‬و ‪ 27000‬را توسط تجزیه دریابید‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪27000 = 2 × 3 × 5 = 30‬‬

‫‪39‬‬

‫‪3‬‬

‫‪27000‬‬ ‫‪13500‬‬ ‫‪6750‬‬ ‫‪3375‬‬ ‫‪1125‬‬ ‫‪375‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪125‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪125 = 5‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪8=2‬‬

‫‪3‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫جذر سوم اعداد ‪ 1331‬و ‪ 8000‬را توسط تجزیه دریابید‪.‬‬

‫یكي از سه جزء ضربي مساوي یک عدد را جذر سوم عدد مي گویند‪.‬‬

‫تمرﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬جذرهاى مكعب تام اعداد طبیعﻰ زیر را توسط تجزیه دریابید‪:‬‬ ‫‪125000‬‬

‫‪3‬‬

‫‪216‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1331‬‬

‫‪, 3 2744‬‬ ‫‪ -2‬جذر سوم(جذر مكعب) عدد ‪ 729000‬مساوي است به‪:‬‬ ‫‪b) 150‬‬ ‫‪c) 90‬‬ ‫‪ -3‬جذر سوم عدد ‪ 26 × 33 × 43‬مساوي است به‪:‬‬ ‫‪c) 12‬‬

‫‪b) 24‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪729‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1707‬‬ ‫‪5832 ,‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪a) 100‬‬ ‫‪a) 48‬‬

‫‪ -4‬جذر سوم عدد ‪ 102 ×102 ×102‬مساوى است به‪:‬‬

‫‪c) 1000‬‬ ‫‪d) 103‬‬ ‫‪ -5‬جذر سوم عدد ‪ 343‬مساوى است به‪:‬‬

‫‪b) 100‬‬

‫‪a) 10‬‬

‫‪b) 7‬‬

‫‪a) 8‬‬

‫‪ -6‬جذر سوم عدد ‪ 1728‬مساوى است به‪:‬‬ ‫‪ -7‬جذر سوم عدد ‪ 512‬مساوى است به‪:‬‬

‫‪b) 11‬‬

‫‪a) 12‬‬

‫‪b) 8‬‬

‫‪a) 7‬‬

‫‪40‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1728‬‬

‫‪3‬‬

‫خﻼصﺔ فصل دوم‬ ‫خاصیت‪ ،‬اتحادي و تبدیلي در عملیه هاي جمع و ضرب اعداد طبیعي صدق مي كنند‪ ،‬صفر‬ ‫در عملیۀ جمع اعداد طبیعي و یک در عملیۀ ضرب اعداد طبیعي عنصر عینیت مي باشد‪.‬‬ ‫اعدادى كه تنها بریک و خود شان قابل تقسیم باشند اعداد اولیه اند‪.‬‬ ‫عددي كه عﻼوه از خود و یک بر اعداد دیگري نیز پوره قابل تقسیم باشد عدد‬ ‫مركب(تجزیه پذیر) است‪.‬‬ ‫‪ 2‬تنها عدد جفت اولیه مﻰ باشد‪.‬‬ ‫هر عدد اولیه تنها دو قاسم داردكه عبارت از عدد یک و خودش مﻰ باشد ‪.‬‬ ‫یک عدد مركب كم از كم ‪ 3‬جزء ضربﻰ دارد‪.‬‬ ‫یافتن اجزاى ضربﻰ اولیه یک عدد مركب به نام تجزیه به اعداد اولیه یاد مﻰ شود و این‬ ‫تجزیه یگانه است‪.‬‬ ‫تجزیه به اجزاى ضربﻰ اولیه موارد استعمال زیادى دارد كه بیش از همه در دریافت‬ ‫كوچكترین مضرب مشترک‪ ،‬بزرگترین قاسم مشترک و جذر هاى دوم وسوم اعداد از آن‬ ‫كار گرفته مي شود‪.‬‬ ‫كوتاه ترین طریقۀ نشان دادن حاصل ضرب تكرار یک عدد را طاقت یا عدد توان دار‬ ‫مﻰ نامند‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫در ‪ 53‬عدد ‪ 5‬قاعده ‪ 3‬توان نما و ‪ 5‬عبارت از طاقت مﻰ باشد‪.‬‬ ‫در ضرب طاقت هایﻰ كه داراى قاعده هاى مساوى و توان هاى مختلف باشند حاصل‬ ‫ضرب آنها مساوى به قاعده مشترک به توان حاصل جمع توان هاى داده شده مﻰ باشد‪.‬‬ ‫درضرب طاقت هایﻰ كه توان هاى مساوى و قاعده هاى مختلف داشته باشند‪ ،‬قاعده ها باهم‬ ‫ضرب گردیده و به یكﻰ از توان هاى مساوى نوشته مﻰ شود‪.‬‬ ‫اگر یک عدد توان دار به توان برسد قاعده را به توان حاصل ضربها دو توان مﻰ نویسیم‪.‬‬ ‫حاصل تقسیم طاقت ها كه داراى عین قاعده و توان هاى مختلف باشند مساوى مﻰ باشد‬ ‫به یكﻰ از قاعده ها به توان عددى كه از تفریق توان هاى صورت و مخرج به دست مﻰ آید به‬ ‫شرط آن كه قاعده صفر نباشد‪.‬‬ ‫در تقسیم طاقت هایﻰ كه توان هاى مساوى و قاعده هاى مختلف دارند‪ ،‬قاعدة صورت را‬ ‫باﻻى قاعدة مخرج تقسیم و نتیجه آن را به توان یكﻰ از توان هاى مساوى مﻰ نویسیم‪.‬‬ ‫بزرگترین قاسم مشترک دو یا چندین عدد طبیعﻰ عبارت از بزرگترین اجزأى ضربﻰ‬ ‫مشترک آنها مﻰ باشد‪.‬‬ ‫بزرگترین قاسم مشترک دو یا چندین عدد طبیعﻰ را توسط ست قاسم ها و تجزیه مﻰ توان‬ ‫دریافت كرد‪.‬‬ ‫بزرگترین قاسم مشترک دو عدد طبیعﻰ كوچكتر و یا مساوى به یكﻰ از این دو عدد مﻰ باشد‪.‬‬

‫‪41‬‬

‫كوچكترین مضرب مشترک دو یا چند عدد طبیعﻰ‪ ،‬عبارت از كوچكترین عددى است كه‬ ‫در عین وقت باﻻى دو یا چندین عدد طبیعﻰ قابل تقسیم بوده و یگانه است‪.‬‬ ‫كوچكترین مضرب مشترک اعداد طبیعﻰ را توسط ست مضرب ها و تجزیه دریافت كرده‬ ‫مﻰ توانیم‪.‬‬ ‫بین دو عدد طبیعﻰ ‪ a‬و ‪ b‬وكوچكترین مضرب مشترک (‪ )L.C.M‬و بزرگترین قاسم‬ ‫مشترک (‪ )G.C.D‬رابطه زیر موجود است‪:‬‬ ‫‪a×b‬‬ ‫‪G.C.D‬‬

‫= ‪L.C.M‬‬

‫‪a×b‬‬ ‫‪L.C.M‬‬

‫= ‪ G.C.D‬یا ‪G × L = a × b‬‬

‫كوچكترین مضرب مشترک دو یا چندین عدد اولیه و یا دو عددى كه قاسم مشترک آن ها‬ ‫فقط یک است‪ ،‬عبارت از حاصل ضرب اعداد مﻰ باشد‪.‬‬ ‫كوچكترین مضرب یک عدد طبیعﻰ همیشه بزرگتر و یا مساوى به عدد مﻰ باشد‪.‬‬ ‫مضرب یک عدد طبیعﻰ باﻻى خود عدد پوره تقسیم مﻰ شود‪.‬‬ ‫مضرب هاى یک عدد طبیعﻰ قابل شمارش نمﻰ باشند‪.‬‬ ‫یكﻰ از دو جزء مساوى یک عدد طبیعﻰ عبارت از جذر دوم (جذر مربع) عدد مﻰ باشد‪.‬‬ ‫جذر مربع اعداد طبیعﻰ را توسط تجزیه و طریق عمومﻰ جذرمربع به دست آورده‬ ‫مﻰ توانیم‪.‬‬ ‫یكﻰ از سه جزء ضربﻰ مساوى یک عدد طبیعﻰ‪ ،‬عبارت از جذر سوم یا جذر مكعب عدد‬ ‫مﻰ باشد‪.‬‬

‫‪42‬‬

‫تمرﻳﻦ فصل دوم‬ ‫‪ -1‬اعداد زیر را به اجزاى ضربﻰ اولیه تجزیه نمایید‪:‬‬ ‫‪168 ، 858 ، 1122 ، 1024 ، 1656 ، 8000 ، 3206‬‬ ‫‪30030‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪38 ، 54 ، 116 ، 66‬‬ ‫‪ -2‬حاصل ضرب هاى زیر را به شكل یک طاقت (عدد توان دار) بنویسید‪:‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪5 × 5 2 × 53 × 5 4‬‬ ‫‪2 4 × 34 × 4 4‬‬ ‫‪ -3‬حاصل تقسیم هاى زیر را به شكل یک طاقت (عدد توان دار) بنویسید‪:‬‬ ‫‪911‬‬ ‫‪93‬‬

‫‪،‬‬

‫‪(121)9‬‬ ‫‪(11)9‬‬

‫‪،‬‬

‫‪(36)8‬‬ ‫‪98‬‬

‫‪4 2 × 43 × 4 4‬‬

‫‪،‬‬

‫‪811‬‬ ‫‪211‬‬

‫‪ - 4‬بزرگترین قاسم مشترک و ﻛﻮچﻜترﻳﻦ ﻣضرب ﻣشترك اعداد زیر را توسط تجزیه به‬ ‫اجزاى ضربﻰ اولیه در یک جدول دریابید‪:‬‬ ‫‪36 , 162‬‬ ‫‪، 580 , 1160 ، 405 , 495‬‬ ‫‪ – 5‬بزرﮔترﻳﻦ ﻗاسﻢ ﻣشترك و ﻛﻮچﻜترﻳﻦ ﻣضرب ﻣشترك اعداد طبﻴعﻰ زﻳر را تﻮسط‬ ‫تجزﻳﻪ در یک جدول درﻳابﻴد‪:‬‬ ‫‪24,96,48‬‬ ‫‪175,315‬‬ ‫‪324,225‬‬ ‫‪ -6‬توسط تجزیه به اجزاى ضربﻰ اولیه كوچكترین مضرب مشترک اعداد طبیعﻰ زیر را دریابید‪:‬‬ ‫‪12,32,40,45,72,75 ، 175,200,225,250,300 ، 132,165,198,220‬‬ ‫‪ -7‬كوچكترین مضرب مشترک دو عدد ‪ 2920‬و بزرگترین قاسم مشترک آنها ‪ 4‬است‪.‬‬ ‫اگر یک عدد ‪ 40‬باشد عدد دیگرى را دریابید‪.‬‬ ‫‪ -8‬كوچكترین عدد طبیعﻰ را دریابید كه اگر باﻻى ‪ 16 ، 12‬و ‪ 18‬تقسیم شود در هر‬ ‫صورت ‪ 8‬باقﻰ بماند‪.‬‬ ‫‪ -9‬كوچكترین عدد طبیعﻰ را دریابید كه اگر باﻻى ‪ 28 ، 21 ، 15‬و ‪ 49‬تقسیم شود در هر‬ ‫صورت ‪ 4‬باقﻰ بماند‪.‬‬ ‫‪ -10‬جذر مربع اعداد ‪ 2809‬و ‪ 5329‬را در یابید‪.‬‬ ‫‪ -11‬دریک باغ در هر قطار به تعداد قطار ها درخت غرس شده است‪ .‬اگر تعداد درخت ها در‬ ‫باغ ‪ 1369‬باشد‪ ،‬تعداد درخت ها را در هر قطار و نیز تعداد قطارها را معلوم كنید‪.‬‬ ‫‪ -12‬مساحت یک زمین مربعﻰ شكل ‪ 9216‬متر مربع باشد طول هر ضلع زمین را دریابید‪.‬‬ ‫‪ -13‬اگر مساحت زمین مربعﻰ ‪ 1444‬متر مربع بوده باشد ‪ ،‬طول هر ضلع زمین را دریابید‪.‬‬ ‫‪ -14‬جذر مربع اعداد ‪ 42025 , 10201 , 1002001‬را توسط طریقۀ عمومي دریابید‪.‬‬

‫‪43‬‬

‫‪ -15‬اگر ‪ 6561‬موتر طورى در قطار هاى مستقیم قرار داشته باشند كه تعداد موتر هاى هر قطار‬ ‫مساوى به تعداد قطارها باشند تعداد موترها در هر قطار و نیز تعداد قطارها را معلوم كنید‪.‬‬ ‫‪ -16‬در یک باغ اگر در هر قطار مستقیم تعداد درخت ها مساوى‪ ،‬به تعداد قطارها باشند‪ ،‬اگر در باغ‬ ‫مجموعاً ‪ 1936‬درخت باشند‪ ،‬تعداد درخت ها را در هر قطار ونیز تعداد قطار ها را معلوم كنید‪.‬‬ ‫‪ -17‬جذر مربع اعداد طبیعﻰ زیر را دریابید‪.‬‬ ‫‪1024‬‬

‫‪,‬‬

‫‪996004‬‬

‫‪3364‬‬ ‫‪4761‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1296‬‬

‫‪,‬‬

‫‪324‬‬

‫‪,‬‬

‫‪9025‬‬

‫‪,‬‬

‫‪14161‬‬

‫‪ -18‬جذر مكعب تام اعداد طبیعﻰ زیر را دریابید‪.‬‬ ‫‪2197‬‬

‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪64000000‬‬ ‫‪8000‬‬

‫‪10000000‬‬

‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫بنویسید‪.‬‬ ‫‪ -19‬دور اعداد اولیه یک دایره بكشید‪ .‬در دایرة زیر هر عدد براى آن یک جزء ضربﻰ اولیه را‬ ‫‪640000‬‬

‫‪37‬‬

‫‪12‬‬

‫‪18‬‬

‫‪23‬‬

‫‪25‬‬

‫‪28‬‬

‫‪19‬‬

‫‪20‬‬

‫‪ -20‬جذر مربع ‪ 2 6 × 32‬مساوى است به‪:‬‬ ‫‪b) 64‬‬ ‫‪c) 9‬‬ ‫‪d) 20‬‬ ‫‪ -21‬بزرگترین قاسم مشترک اعداد ‪ 140‬و ‪ 112‬مساوى است به‪:‬‬

‫‪a) 24‬‬

‫‪b) 14‬‬ ‫‪c) 54‬‬ ‫‪d) 7‬‬ ‫‪ -22‬كوچكترین مضرب مشترک اعداد ‪ 5 ,9 ,15‬و ‪ 20‬مساوى است به‪:‬‬ ‫‪b) 180‬‬ ‫‪c) 360‬‬ ‫‪d) 720‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -23‬مجذور عدد ‪ 2 × 3‬مساوى است به‪:‬‬ ‫‪d) 26 × 33‬‬

‫‪c) 26 × 32‬‬

‫‪b) 26 × 3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪a) 28‬‬ ‫‪a) 90‬‬ ‫‪a) 24 × 32‬‬

‫‪ -24‬ﻛﻮچﻜترﻳﻦ ﻣضرب ﻣشترك اعداد ‪ 2 × 32 × 5 ، 23 × 7‬و ‪ 2 × 52 × 7‬ﻣساوى‬ ‫است بﻪ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻫر دو درست اﻧد (‪c‬‬ ‫‪a ) 12600‬‬ ‫‪b) 2 × 5 × 3 × 7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -25‬ﻛﻮچﻜترﻳﻦ ﻣضرب ﻣشترك ‪ 2 × 3 × 7‬و ‪ 2 × 3‬ﻣساوى است بﻪ‪:‬‬ ‫‪b) 2 4 × 3‬‬

‫‪a ) 2 5 × 32 × 7 3‬‬

‫‪44‬‬

‫فصل سوم‬ ‫اعداد تام‬

‫طول رﻳشۀ برخﻰ درختان حتﻰ به‬ ‫اندازۀ طول خود درخت است‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫اعداد تام‬ ‫اعداد مثبت و مﻨفﻰ‬ ‫‪100‬‬

‫?=‪5–7‬‬

‫‪90‬‬ ‫‪80‬‬

‫‪15‬‬

‫ﮔﺮﻣﺘﺮ‬

‫‪10‬‬

‫‪70‬‬ ‫‪60°C‬‬

‫‪5‬‬

‫‪60‬‬ ‫‪50‬‬

‫‪–4°C‬‬

‫‪40‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪–5‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10°C‬‬

‫‪15‬‬

‫‪10‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪–10°C‬‬

‫‪–10‬‬ ‫‪–20‬‬

‫‪–30°C‬‬

‫‪–30‬‬

‫‪10°C‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﺳﺮﺩﺗﺮ‬ ‫‪–5‬‬

‫در بحث هاى قبلﻰ با اعداد طبﻴعﻰ که براى شمارش اشﻴا و همچنان اعداد مکمل که متشکل‬ ‫از اعداد طبﻴعﻰ و صفر است ‪ ،‬آشناﻳﻰ حاصل نموده اﻳد‪.‬‬ ‫سؤال فوق نشان مﻰ دهد که در عمل‪ ،‬اعداد طبﻴعﻰ و مکمل براى حل مسائل کافﻰ نﻴست و‬ ‫بشر در طول تارﻳخ به اﻳن نوع مشکﻼت مواجه گردﻳده اند؛ بنـابر همﻴن نﻴـازمنـدى ها اعـداد‬ ‫تـام به مﻴان آمد‪.‬شما اﻳن اعداد را روى ترمامتر در شکل مﻰ بﻴنﻴد‪ .‬و طورى که مﻰ دانﻴد‪:‬‬ ‫ترمامتر وسﻴله ﻳﻰ است که براى اندازه گﻴرى درجۀ حرارت به کار مﻰ رود‪.‬‬ ‫درترمامتر اعداد باﻻتر از صفر‪ ،‬اعداد مثبت( بزرگتر از صفر) واعداد پاﻳﻴن تر از صفر‪ ،‬اعداد‬ ‫منفﻰ(کوچکتر از صفر) وعدد صفر قرار دارند‪.‬‬ ‫اعداد بزرگتر از صفر را با عﻼمت مثبت(‪)+‬و اعداد کوچکتر از صفر را با عﻼمت منفﻰ(–)نشان‬ ‫مﻲ دهند‪ .‬عددى که عﻼمت ندارد‪ ،‬مثبت است‪.‬آﻳا گاهﻰ فکر کرده اﻳد که عدد هاى مثبت و‬ ‫عدد هاى منفﻰ به روى ترمامتر چه چﻴزى را نشان مﻰ دهند؟‬ ‫اعداد تام و ﻧﻤاﻳش آﻧﻬا روى محﻮر اعداد‪:‬‬ ‫‪,,001 + 1, + 2 , + 3 , + 4 , ...‬‬

‫?‬

‫‪,‬‬

‫?‬

‫‪,‬‬

‫?‬

‫‪... ,‬‬

‫طورى که دﻳده مﻰ شود اعـداد فوق از طرف چپ بـه راست ﻳک‪ ،‬ﻳک واحد زﻳاد و از راست‬ ‫به چپ ﻳک‪ ،‬ﻳک واحد کم مﻰ گردد‪.‬‬ ‫آﻳا خانه هاى خالﻰ فوق را که زﻳر عﻼمت سؤالﻴه قرار دارند‪ ،‬مﻰ توانﻴد به عدد مناسب پر کنﻴد؟‬ ‫اعداد تام ‪) Integers numbers ( :‬‬ ‫‪. . . ,–5 ,–4 ,–3 ,–2 ,–1 ,0 ,+1 ,+2 ,+3 ,+4 ,+5 , . . .‬‬ ‫اعداد باﻻ را به نام اعداد تام ﻳاد مﻰ نماﻳند‪ .‬ست ﻳا مجموعۀ اعداد تام را قرار زﻳر نشان‬ ‫مﻴدهند‪.‬‬

‫‪47‬‬

‫}‪I = {. . . ,–5 ,–4 ,–3 ,–2 ,–1 ,0 ,+1 ,+2 ,+3 ,+4 ,+5 , . . .‬‬ ‫ﻧﻤاﻳش اعداد تام روي محﻮر اعداد‪ :‬براى آسانﻰ کار‪ ،‬ست اعداد تام را باﻻى ﻳک‬ ‫محور نشان مﻴدهند‪ ،‬ابتدأ ﻳک خط را رسم نموده سپس ﻳک نقطـۀ کﻴفﻰ را باﻻى خط به‬ ‫حﻴث مبـدأ در نظـر گرفتـه‪ ،‬با عدد صفـر ( ‪ ) 0‬نشانـﻰ مﻰ کنﻴم‪ .‬اکنون امتداد دو (جهت)‬ ‫خط متذکره را در اختﻴار دارﻳم‪ ،‬ﻳعنﻰ‪ :‬از مبداء به جهت راست و از مبداء به جهت چپ‪.‬‬ ‫اعدادى که به طرف راست مبدأ ( صفر ) روى خط قرار دارند با عﻼمۀ ( ‪ ) +‬و اعدادى که‬ ‫به طرف چپ مبدأ روى خط قرار دارند با عﻼمۀ( – ) مشخص مﻰ کنﻴم‪.‬‬ ‫بنابر اﻳن طرف راست اﻳن خط(طرف راست مبدأ)‪ ،‬اعداد مثبت و طرف چپ اﻳن خط(طرف‬ ‫چپ مبدأ)‪ ،‬اعداد مﻨفﻰ را نشان مﻴدهﻴم‪ .‬مبدأ اﻳن خط صفر بوده نه مثبت و نه منفﻰ است‪.‬‬ ‫اﻳن خط را محﻮر اعداد مﻰ گوﻳند‪.‬‬ ‫ﺟﻬﺖ ﻣﻨﻔﻰ‬

‫ﺟﻬﺖ ﻣﺜﺒﺖ‬

‫‪+‬‬ ‫· · · ‪+1 +2 +3 +4 +5 +6‬‬

‫‪0‬‬

‫–‬

‫‪· · · –6 –5 –4 –3 –2 –1‬‬ ‫اﻋﺪاﺩ ﺗﺎم ﻣﻨﻔﻰ‬

‫اﻋﺪاﺩ ﺗﺎم ﻣﺜﺒﺖ‬ ‫ﺻﻔﺮ ﻧﻪ ﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ و ﻧﻪ ﻣﻨﻔﻰ‬

‫فعالﻴت‬ ‫محور اعداد را به صورت عمودى رسم کنﻴد‪ ،‬نقطه اى روى آن را مبداء فرض نموده‪ ،‬جهت‬ ‫باﻻ را با عﻼمۀ (‪ )+‬و جهت پاﻳﻴن را با عﻼمۀ(– )مشخص نماﻳﻴد و اعداد تام را از ‪ –6‬تا‬ ‫‪ +6‬روي آن نشان دهﻴد‪.‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪ –1‬ﻳک خط عمودى رسم نموده‪ ،‬مانند ترمامتر آن را طورى درجه بندى کنﻴد که در آن‬ ‫اعداد مثبت‪ ،‬صفر و اعداد منفﻰ وجود داشته باشند‪.‬‬ ‫‪ –2‬ﻳک محور را رسم نموده و اعداد تام را از ‪ –5‬تا ‪ +5‬روى آن نشان دهﻴد‪.‬‬ ‫‪ –3‬اعداد تام ‪ –1 ، 0، +5 ، –3 ، +3‬و ‪ +8‬راروى محور اعداد نشان دهﻴد‪.‬‬

‫‪48‬‬

‫قﻴﻤت مطلقﺔ ﻳک عدد‬ ‫آﻳا مﻰ توانﻴد ﻳک نقطه ﻳﻰ را که از مبدأ به‬ ‫اندازۀ ‪ 3‬واحد فاصله دارد‪ .‬روى شکل زﻳر‬ ‫نشان دهﻴد؟‬

‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫سـؤال‪ :‬فکر مﻰ کنﻴد اگر هواى بامﻴان ‪ –5‬درجۀ ســانتﻰ گرﻳد و هواى سالنگ شمالﻰ ‪–8‬‬ ‫درجۀ سانتﻰ گرﻳد باشد‪ ،‬کدام ﻳک بﻴشتر سرد است؟ اگر هواى کابل ‪ +8‬درجۀ سانتﻰ گرﻳد‬ ‫فعالﻴت‬ ‫سانتﻰ گرﻳد باشد‪ ،‬کدام شهر بﻴشتر گرم است؟‬ ‫و هواى قندهار ‪ +16‬درجۀ‬ ‫در دو عدد تام باﻻى محور اعداد‪ ،‬همان عدد بزرگتر است که به طرف راست قرار داشته باشد؛‬ ‫طﻮر مثال‪ :‬عدد ‪ 3‬طرف راست عدد ‪ 2‬قرار دارد‪ ،‬بنابرآن عدد ‪ 3‬بزرگتر از عدد ‪ 2‬است‬ ‫ﻳا به عبارت دﻳگر عدد ‪ 2‬کوچکتر از عدد ‪ 3‬است و اﻳن طور مﻰ نوﻳسﻴم‪:‬‬ ‫‪3>2‬‬

‫ﻳا‬

‫‪2 3‬‬

‫ﻳا ‪3 < 1‬‬

‫اعداد تام مثبت‪ ،‬اعداد تام منفﻰ و صفر را قب ً‬ ‫ﻼ روى ﻳک محور مانند شکل زﻳر نشان داده اﻳم‪:‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫اگر به محور باﻻ نظر اندازﻳم دﻳده مﻰ شود که عدد ‪ +1‬و عدد ‪ –1‬از مبدأ (صفر) به‬ ‫فاصله هاى مساوى قرار دارند‪ ،‬ﻳعنﻰ هر دو عدد از مبدأ (صفر) به اندازۀ ﻳک واحد دورتر‬ ‫واقع گردﻳده اند‪ ،‬اﻳن دو عدد را متضاد(معکﻮس جﻤعﻲ) ﻳکدﻳگرمﻰ نامند‪ .‬به همﻴن ترتﻴب‬ ‫‪ +2‬و ‪ –2‬ﻳا ‪ +3‬و ‪ –3‬و غﻴره با ﻳکدﻳگر متضاداند‪.‬‬ ‫پس هر عدد تام و متضاد آن به روى محور اعداد به فاصله هاى مساوى از صفر قرار داشته و‬ ‫داراى عﻼمت هاى مختلف مﻰ باشند‪ .‬اﻳن فاصله از مبدأ را قﻴﻤت مطلقﻪ نامﻴده اند‪.‬‬

‫‪49‬‬

‫مثﻼ ً ‪ +3:‬و ‪ –3‬از صفر به اندازۀ ‪ 3‬واحد دورتر واقع اند‪ ،‬پس ‪ 3‬قﻴمت مطلقۀ ‪ +3‬و ‪ –3‬است‪.‬‬ ‫قﻴمت مطلقۀ ﻳک عدد با قرار دادن عدد در بﻴن دو خط عمودى ( ) نماﻳش داده مﻰ شود‪،‬‬ ‫ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪| - 3| = 3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪| + 3| = 3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪|0|= 0‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫– متضاد اعداد مقابل را بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫– قﻴمت مطلقۀ اعداد مقابل چند است؟‬

‫‪–6 , –12 , –20 , +13 , –15 , 8‬‬ ‫‪–8 , 3 , 5 , –11 , –1 , –14 , +17 , 19‬‬

‫آمﻮختﻴم کﻪ‪:‬‬ ‫هر عدد که صفر نباشد ( مثبت ﻳا منفﻰ ) قﻴمت مطلقۀ آن ﻳک عدد مثبت است‪ ،‬قﻴمت‬ ‫مطلقۀ صفرمساوى به صفر است‪ ،‬ﻳعنﻰ‪ | 0 | = 0 :‬مﻰ باشد‪.‬‬ ‫قﻴمت مطلقۀ ﻳک عدد و قﻴمت مطلقۀ متضاد آن باهم مساوى اند؛ ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪| –7 | = | +7 | = 7‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪ –1‬اعداد تام زﻳر را از چپ به راست ترتﻴب نموده طورى که کوچکترﻳن عدد به طرف‬ ‫چپ باشد‪.‬‬ ‫‪–5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪+6‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪–8‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪+12‬‬ ‫‪ –2‬از دو عدد ‪ –6‬و ‪ –9‬کدام ﻳک بزرگتر است ؟ و از دوعدد ‪ –7‬و صفرکدام ﻳک‬ ‫کوچکتر است ؟‬ ‫‪ –3‬قﻴمت مطلقۀ اعداد زﻳر را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪+5‬‬ ‫‪, –5‬‬ ‫‪, –3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪, –7‬‬ ‫‪+16‬‬ ‫‪, –10‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪, +12 , –12‬‬ ‫‪+132‬‬ ‫‪, –132‬‬ ‫‪, +200‬‬ ‫‪, a‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪–200‬‬ ‫‪ –4‬ﻳک محور را رسم نموده‪ ،‬عدد هاى ‪ +2 ، –5‬و ‪ –3‬را روى آن مشخص نموده و‬ ‫متضاد هر ﻳک از آن ها را نﻴز روى اﻳن محور نشان دهﻴد‪.‬‬

‫‪50‬‬

‫جﻤع اعداد تام ﻫم عﻼمﻪ‬

‫ﻳک نفر به روى محور اعداد به اندازۀ ‪9‬‬ ‫واحد به طرف چپ و بعد از آن به اندازۀ‬ ‫‪ 3‬واحد دﻳگر به طرف چپ رفته است‪ ،‬نفر‬ ‫مذکور چند واحد را طﻰ کرده است ؟‬

‫)‪(–3‬‬

‫)‪(–9‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–4‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪–6‬‬

‫‪–7‬‬

‫‪–8‬‬

‫‪–11 –10 –9‬‬

‫‪–12‬‬

‫)?(‬

‫عملﻴۀ جمع را در اعداد طبﻴعﻰ مورد مطالعه قرار داده اﻳد؛ به طور مثال‪3 + 4 = 7 :‬‬ ‫در حقﻴقت هر عدد طبﻴعﻰ‪ ،‬ﻳک عدد تام مثبت است؛ بنابر اﻳن عملﻴۀ جمع باﻻ را مﻰ توانﻴم‬ ‫قرار زﻳر بنوﻳسﻴم‪:‬‬ ‫( ‪)+3( + )+4( = )+7‬‬ ‫ﻳکﻰ از روش هاى جمع کردن اعداد تام‪ ،‬استفاده از محﻮر اعداد است‪.‬‬ ‫جﻤع اعداد مثبت‬ ‫براى نماﻳش (‪ )+3( + )+4‬به روى محور زﻳر دقت نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫)‪(+3‬‬

‫)‪(+4‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+7‬‬

‫‪+6‬‬

‫‪+5‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪+4‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫)‪(+7‬‬

‫از روي شکل دﻳده مﻰ شود که‪:‬‬ ‫ﻳا‬

‫( ‪) +3 ( + )+4 ( = )+7‬‬ ‫‪3+4 = 7‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫عدد ‪ +5‬را با عدد ‪ +2‬جمع نموده و به روى محور اعداد نشان دهﻴد‪.‬‬

‫‪51‬‬

‫‪–2‬‬

‫جﻤع اعداد مﻨفﻰ‬ ‫هرگاه به روى محور اعداد از مبدأ به اندازۀ ‪ 5‬واحد به طرف چپ حرکت نماﻳﻴم (‪ )–5‬و‬ ‫سپس به اندازۀ ‪ 3‬واحد دﻳگر به طرف چپ حرکت کنﻴم (‪ ،)–3‬در حقﻴقت به طرف چپ‪،‬‬ ‫به نقطۀ ( ‪ ) –8‬مﻴرسﻴم‪ ،‬شکل زﻳر را مشاهده کنﻴد‪.‬‬ ‫)‪(–3‬‬

‫)‪(–5‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–4‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–6‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪–7‬‬

‫‪–8‬‬

‫)‪(–8‬‬

‫( ‪)–5 ( + ) – 3 ( = ) –8‬‬

‫بنابراﻳن‪:‬‬ ‫مثال‬ ‫ﻳک نفر به اندازۀ ‪ 8‬واحد به طرف چپ حرکت نموده و سپس به اندازۀ ‪ 4‬واحد دﻳگرباز‬ ‫هم به طرف چپ حرکت نموده است‪ ،‬نفر مذکور به کدام نقطه رسﻴده است ؟‬ ‫)‪(–4‬‬ ‫)‪(–8‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫–‬

‫‪+‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–4‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪–6‬‬

‫‪–7‬‬

‫‪–8‬‬

‫‪–9‬‬

‫‪–11 –10‬‬

‫‪–12‬‬

‫)‪(–12‬‬

‫‪)–8 ( + )–4 ( = –12‬‬

‫آمﻮختﻴم کﻪ‪:‬‬ ‫حاصل جمع دو عـدد هم عﻼمت‪ ،‬برابر با مجموع قﻴمت مطلقۀ آن دو عدد و عﻼمت مشترک‬ ‫عﻼمت حاصل جمع مﻰ باشد‪.‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪ –1‬اعداد زﻳر را جمع کنﻴد‪:‬‬ ‫=)‪(–12)+(–3‬‬ ‫=)‪(–7)+(–6‬‬ ‫=‪37+47‬‬ ‫‪ –2‬زﻳنب انگشت خود را به روى ﻳک محور اعداد به اندازۀ ‪ 3‬واحد از مبدأ محور(صفر)‬ ‫به طرف راست حرکت مﻰ دهد و سپس به اندازۀ ‪ 4‬واحد دﻳگر به طرف راست باﻻى ﻳک‬ ‫نقطه انگشت مﻰ گذارد‪ .‬انگشت زﻳنب باﻻى کدام عدد تام قرار دارد؟‬ ‫‪ –3‬ﻳک محور به صورت عمودى رسم نموده و ﻳک مبـدأ به روى آن تعﻴﻴن نماﻳﻴـد‪ .‬بعد‬ ‫حرکت ﻳک مورچه را بـه اندازۀ ‪ 4‬واحد از مبدأ به طرف پاﻳﻴن و سپس به اندازۀ ‪ 6‬واحد‬ ‫دﻳگر به طرف پاﻳﻴن محور در نظر گرفته و محل نهاﻳﻰ مورچه را روى محور نشان دهﻴد‪.‬‬

‫‪52‬‬

‫جﻤع اعداد تام مختلف العﻼمت‬ ‫احمد ‪ 7‬افغانﻰ از دکاندار قرض گرفته است ‪،‬‬ ‫( قرض را به عﻼمت منفﻰ نشان مﻰ دهﻴم)‪ .‬بعد‬ ‫از چند روز احمد ‪ 5‬افغانﻰ به دکاندار داد‪.‬‬ ‫اکنون احمد چند افغانﻰ قرضدار است ؟‬

‫هرگاه به روى محور اعداد تام از مبدأ‪ ،‬شروع به حرکت نموده و به اندازۀ ‪ 2‬واحد به طرف‬ ‫چپ و سپس از همان نقطه به اندازۀ ‪ 6‬واحد به طرف راست حرکت نماﻳﻴم‪ ،‬در حقﻴقت به‬ ‫نقطۀ ‪ +4‬رسﻴده اﻳم‪ .‬شکل زﻳر را مشاهده نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫)‪(+6‬‬ ‫)‪(–2‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+5‬‬

‫‪+6‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪+4‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪+2‬‬

‫–‬ ‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–2‬‬

‫)‪(+4‬‬

‫از روى شکل باﻻ دﻳده مﻰ شود که‪ –2 + )+6 ( = )+4 ( :‬ﻳا ‪–2 + 6 = 4‬‬ ‫مثال اول‪:‬عدد (‪ )–8‬و عدد(‪ )+3‬را باهم جمع مﻰ نماﻳﻴم‪.‬‬ ‫)‪(–8‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫)‪(+3‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–4‬‬

‫–‬ ‫‪–5‬‬

‫‪–6‬‬

‫‪–7‬‬

‫)‪(–5‬‬

‫‪–8‬‬

‫‪)–8( + )+3( = –8+ 3 = –5‬‬ ‫مثال دوم‪:‬ســؤالﻰ که در شــروع درس داده شــده اســت‪ ،‬با اســتفاده از محور اعداد حل‬ ‫مﻰ نماﻳﻴم‪.‬‬ ‫)‪(–7‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫–‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬ ‫)‪(–2‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–4‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪–6‬‬

‫)‪(+5‬‬

‫‪)–7( + )+5( = –2‬‬ ‫سؤال‪ :‬عﻼمت( – ) در عدد ‪ –2‬چه چﻴز را نشان مﻰ دهد؟‬

‫‪53‬‬

‫‪–7‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫با استفاده از شکل زﻳر‪ ،‬ﻳک سؤال بسازﻳد و آن را حل نماﻳﻴد‪:‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+6‬‬

‫‪+5‬‬

‫‪+3 +4‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–4‬‬

‫مثال سﻮم‪ :‬در ﻳک روز زمستانﻰ‪ ،‬درجۀ حرارت کابل تا ‪ 5‬درجه سانتﻰ گرﻳد باﻻى صفر‬ ‫مﻰ رســد‪ .‬اگر در شب هواى کابل به اندازۀ ‪ –3‬درجه تغﻴﻴرنماﻳد‪ ،‬هواى کابل در شب چند‬ ‫)‪(+5‬‬ ‫درجه است؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫)‪(–3‬‬ ‫–‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+6‬‬

‫‪+5‬‬

‫‪+3 +4‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬ ‫)‪(+2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–4‬‬

‫(‪)+5( + )–3( = )+2‬‬ ‫پس هواى کابل در شب برابر به ‪ 2‬درجه باﻻى صفر ﻳعنﻰ ‪ +2‬درجه است‪.‬‬ ‫تﻮجﻪ‪ :‬هواى کابل در روز ‪ +5‬درجه باﻻى صفر و در هنگام شب که هوا سردتر مﻰ گردد‪ ،‬به‬ ‫اندازۀ ‪ –3‬درجه تغﻴﻴر نموده و به اندازۀ ‪ 3‬درجه نظر به روز سردتر گردﻳده است‪.‬‬ ‫آمﻮختﻴم کﻪ‪ :‬براى جمع کردن دو عدد تام با عﻼمت هاى مختلف‪:‬‬ ‫ از عددى که قﻴمت مطلقۀ بزرگ دارد‪ ،‬عددى را که داراى قﻴمت مطلقۀ کوچک است تفرﻳق‬‫مﻰ کنﻴم و براي حاصل تفرﻳق‪ ،‬عﻼمت همان عددى را مﻰ گذارﻳم که قﻴمت مطلقۀ آن بزرگ‬ ‫باشد‪.‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪ –1‬اعداد تام داده شده را با هم جمع کنﻴد‪.‬‬ ‫=)‪(–3)+(+7)+(–4)+(–9‬‬

‫‪,‬‬

‫=)‪(+3)+(–5‬‬

‫‪,‬‬

‫=)‪(–6)+(+5‬‬

‫‪ –2‬عدد تام (‪ )–4‬را با عدد تام (‪ )–3‬جمع نموده و به روى محور نشان دهﻴد‪.‬‬ ‫‪ –3‬اگر درجه حرارت هرات ‪ 8‬درجه سانتﻰ گرﻳد زﻳر صفر و بامﻴان از هرات ‪ 3‬درجه‬ ‫سردتر باشد‪ ،‬درجه حرارت بامﻴان چند است؟ روى محور نشان دهﻴد‪.‬‬ ‫‪ –4‬سه عدد تام (‪ )+8( ، )–6‬و (‪ )–10‬را باهم جمع کنﻴد‪.‬‬

‫‪54‬‬

‫تفرﻳق عدد ﻫاى تام‬ ‫چگونه مﻰ توانﻴم عدد ‪ 7‬را از عدد ‪ 5‬تفرﻳق‬ ‫نماﻳﻴم؟‬

‫در درس هاى قبلﻰ دﻳدﻳم که محور اعداد براى ما کمک کرد تا بتوانﻴم جمع اعداد تام را‬ ‫بهتر درک نماﻳﻴم‪.‬‬ ‫دراﻳنجا با استفاده از محور مﻰ توانﻴم تفرﻳق دو عدد تام را بر رسﻰ کنﻴم‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫)‪(+5‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+7‬‬

‫‪+6‬‬

‫‪+5‬‬

‫‪+4‬‬

‫‪+3‬‬ ‫)‪(- 4‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫)‪(+1‬‬

‫– با توجه به شکل توضﻴح دهﻴد که چگونه ‪ 5 – 4‬را پﻴدا مﻰ کنﻴم؟‬ ‫– با همﻴن روش ‪ 4 – 5‬را روى محور نشان دهﻴد و حاصل آن را پﻴدا کنﻴد‪.‬‬ ‫– روى ﻳک محور (‪ 4 + )–5‬را نماﻳش دهﻴد و حاصل آن را پﻴدا کنﻴد‪.‬‬ ‫– سر انجام ‪ 4 – 5‬و (‪ 4 +)–5‬را با هم مقاﻳسه کنﻴد‪ ،‬و از آن چه نتﻴجه به دست مﻰ آﻳد؟‬ ‫نتﻴجۀ فعالﻴت باﻻ نشان مﻴدهد که اگر عدد ‪ 5‬را از عدد ‪ 4‬تفرﻳق نماﻳﻴم‪ ،‬در حقﻴقت عدد‬ ‫‪ –5‬را با عدد ‪ 4‬جمع مﻰ کنﻴم ﻳا به عبارت دﻳگر‪ ،‬مﻰ توانﻴم عمل تفرﻳق را به عمل جمع‬ ‫تبدﻳل نماﻳﻴم‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪4 – 5 = (+4) + (–5) = –1‬‬ ‫دﻳده مﻰ شود که در عملﻴۀ تفرﻳق عﻼمت مفروق تغﻴﻴر مﻰ کند‪ ،‬ﻳعنﻰ در حقﻴقت در عملﻴۀ‬ ‫تفرﻳق‪ ،‬متضاد(معکوس جمعﻰ)(‪)Additive inverse‬مفروق را با مفروق منه جمع‬ ‫مﻰکنﻴم‪.‬‬

‫‪55‬‬

‫مثال اول‪ :‬عدد ‪ –5‬را از عدد ‪ 7‬تفرﻳق نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬متضاد مفروق ﻳعنﻰ متضاد عدد ‪ –5‬را که عدد ‪ +5‬است با مفروق منه (‪)7‬جمع مﻰ کنﻴم‪.‬‬ ‫‪7 – (–5) = 7 + (+5) = 7+5 =12‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬عدد ‪ 9‬را از عدد‪ –3‬تفرﻳق نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫دراﻳنجا عدد ‪ 9‬مفروق است‪ ،‬بنابرآن متضاد آن را که عبارت از عدد‪ –9‬است با عدد مفروق‬ ‫منه ﻳعنﻰ ‪ –3‬جمع مﻰ نماﻳﻴم‪:‬‬ ‫‪)–3( – )+9( = )–3( + )–9( = – 12‬‬ ‫مثال سﻮم ‪:‬عدد ‪ –4‬و عدد ‪ –2‬را باهم جمع نموده و عدد ‪ –9‬را از حاصل جمع آنها تفرﻳق‬ ‫نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫ً‬ ‫حل‪ :‬اوﻻ اعداد ‪ –4‬و ‪ –2‬را باهم جمع نموده و سپس عﻼمت مفروق ﻳعنﻰ ‪ –9‬را به ‪+9‬‬ ‫تغﻴﻴرمﻰ دهﻴم و در اخﻴر‪ ،‬مفروق منه و مفروق را باهم جمع مﻰ کنﻴم‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪)–6( –)–9( =–6 +9 = +3 = 3‬‬

‫‪)–4( + )–2( = –6 ,‬‬

‫آمﻮختﻴم کﻪ‪:‬‬ ‫براى تفرﻳق نمودن دو عدد تام‪ ،‬عﻼمه مفروق را تغﻴﻴر داده و بعد عملﻴۀ جمع را انجام مﻰ دهﻴم‪.‬‬ ‫ﻳا به عبارت دﻳگر‪ :‬متضاد مفروق را با مفروق منه جمع مﻰ کنﻴم‪.‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪ –1‬عملﻴه هاى زﻳر را انجام دهﻴد‪.‬‬ ‫‪, 0–5‬‬ ‫‪, 5–0‬‬

‫(‪, )–3( – )–9( , )–8( – )–4‬‬ ‫‪, – 20 – 12‬‬

‫‪, 8 – 12‬‬

‫(‪)–12( –)–20( , )–3( – )9‬‬ ‫(‪)–25( – )–12( , –13 – )–3‬‬

‫‪ –2‬اگر بخواهﻴم از عدد تام ‪ 6‬که مفروق منه است‪ ،‬عدد تام ‪ 4‬را تفرﻳق نماﻳﻴم‪ ،‬چطور‬ ‫مﻰ توانﻴم اﻳن عملﻴه را به روى محور اعداد نشان دهﻴم؟‬ ‫‪ –3‬حاصل جمع اعداد تام ‪ –6‬و ‪ +8‬را به دست آورده و عدد ‪ –14‬را از آن تفرﻳق‬ ‫نماﻳﻴد‪.‬‬

‫‪56‬‬

‫ضرب اعداد تام مختلف العﻼمت‬

‫اگــر دو عــدد تــام مختلف العﻼمــت در‬ ‫هــم ضرب گردنــد‪ ،‬عﻼمــۀ حاصل ضرب‬ ‫چﻴست؟‬

‫فعالﻴت‬ ‫اگر در حاصل ضرب از ﻳک عامل ضربﻰ آن ﻳک‪ ،‬ﻳک واحد کم گردد‪ ،‬درحاصل ضرب‬ ‫چه تغﻴﻴر به وجود خواهد آمد؟‬ ‫‪4 × 4 = 16‬‬ ‫‪3× 2 = 6‬‬ ‫‪3 × 4 = 12‬‬ ‫‪2× 2 = 4‬‬ ‫به ضرب هاى مقابل توجه کنﻴد‪:‬‬ ‫‪1× 2 = 2‬‬ ‫‪0× 2 = 0‬‬

‫‪2× 4 = 8‬‬ ‫‪1× 4 = 4‬‬

‫‪1× 2 = 2‬‬ ‫‪2× 2 = 4‬‬ ‫‪3× 2 = 6‬‬

‫‪0× 4 = 0‬‬ ‫‪1× 4 = 4‬‬ ‫‪2× 4 = 8‬‬ ‫‪3 × 4 = 12‬‬

‫‪4× 2 = 8‬‬

‫‪00‬‬ ‫‪0‬‬

‫از جواب هاى باﻻ ‪،‬تغﻴﻴر به وجود آمده را پﻴدا کنﻴد‪.‬‬ ‫– عﻼمت حاصل ضرب دو عدد مثبت چﻴست؟‬ ‫– عﻼمت حاصل ضرب عدد منفﻰ در عدد مثبت چﻴست؟‬

‫‪00‬‬ ‫‪0‬‬

‫به طرﻳق زﻳر نﻴز مﻰ توانﻴم عﻴن نتﻴجه را به دست آورﻳم‪:‬‬ ‫هرگاه ﻳک عددتام مثبت ‪ ،‬به طور مثال‪ +2‬را سه دفعه باهم جمع نماﻳﻴم ‪،‬دراﻳن صورت دﻳده‬ ‫مﻰ شودکه‪:‬‬ ‫‪)+2( + )+2( + )+2( = +6‬‬ ‫در اﻳنجا در حقﻴقت عدد ‪ +2‬سه چند شده است‪ ،‬و در اعداد طبﻴعﻰ داشتﻴم که‪:‬‬ ‫‪3× 2 = 6‬‬ ‫عملﻴۀ باﻻ را روى محور اعداد چنﻴن نشان مﻰ دهﻴم ‪:‬‬ ‫)‪(+2‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+7‬‬

‫‪57‬‬

‫‪+6‬‬

‫‪+5‬‬

‫)‪(+2‬‬ ‫‪+4‬‬

‫‪+3‬‬

‫)‪(+2‬‬ ‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫–‬ ‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫به همﻴن ترتﻴب در شکل زﻳر دﻳده مﻰ شود که عدد ‪ –2‬سه دفعه وجود دارد‪:‬‬ ‫)‪( –2‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪( –2‬‬ ‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫)‪(–2‬‬ ‫‪–4‬‬

‫‪–5‬‬

‫–‬ ‫‪–6‬‬

‫‪–7‬‬

‫‪–8‬‬

‫‪–9‬‬

‫‪)–2( +)–2( +)–2( = 3 ×)–2( = –6‬‬ ‫مثال‪ :‬عدد ‪ –4‬را در ‪ 3‬ضرب نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪3 × )–4( = )–4( + )–4( + )–4( = –12‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫سؤال‪ :‬خانه هاى خالﻰ زﻳر را پر کنﻴد‪:‬‬ ‫( ) = ‪)–6( × 2‬‬ ‫‪, ) ( × 5 = –25‬‬ ‫‪, )–3(× ) ( = –3‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫حاصل ضرب اعداد از ‪ 7‬تا به ‪ –7‬را با عدد ‪ 2‬مانند فعالﻴت اول اﻳن درس بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫آمﻮختﻴم کﻪ‪:‬‬ ‫– هرگاه دو عدد مثبت درهم ضرب گردد‪ ،‬حاصل ضرب آنها داراى عﻼمت مثبت است‪.‬‬ ‫– هرگاه ﻳک عدد منفﻰ در ﻳک عدد مثبت ﻳا عدد مثبت در ﻳک عدد منفﻰ ضرب گردد‪،‬‬ ‫حاصل ضرب آنها داراى عﻼمت منفﻰ است‪.‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪ –1‬به روى محور زﻳر چه مﻰ بﻴنﻴد؟ به صورت ضرب بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪ –2‬اعداد تام ‪ +5‬تا ‪ –5‬را به ترتﻴب در ‪ 2‬ضرب نموده و حاصل ضرب ها را دو به دو مقاﻳسه کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ –3‬اگر حاصل ضرب دو عدد تام برابر به ‪ +8‬باشد‪ ،‬درصورتﻰ که ﻳکﻰ از اعداد مساوى به ‪ +4‬باشد‪،‬‬ ‫دﻳگر آن چند است؟‬ ‫‪ –4‬اگر حاصل ضرب دو عدد تام برابر به ‪ –8‬باشد‪ ،‬در صورتﻰ که ﻳکﻰ از اعداد مساوى به‪ –4‬باشد‪،‬‬ ‫دﻳگرش چند است؟‬ ‫‪ –5‬ضرب هاى زﻳر را انجام دهﻴد‪:‬‬ ‫=‪4×7‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= ‪)–4( × 5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= ‪)–5( × 3‬‬ ‫‪)–2( × )+3( = ,‬‬ ‫= (‪)–3( × )+1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= (‪)–1( × )+1‬‬ ‫= ‪)–1( × 0‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪)–7( × )+10( = ,‬‬ ‫= (‪)–9( × )100‬‬ ‫‪ –6‬کدام عدد با (‪ )+7‬ضرب گردد تا حاصل ضرب آنها (‪ )–56‬گردد؟‬

‫‪58‬‬

‫ضرب عدد مﻨفﻰ در عدد مﻨفﻰ‬

‫هـرگاه ﻳک عدد تام منفﻰ کﻴفﻰ طور مثال‬ ‫( عـدد تام ‪ –2‬ﻳا عـدد تام ‪ ) –5‬را به دﻳگـر‬ ‫اعداد تام ( مثبت‪ ،‬صفر و منفﻰ ) به ترتﻴب‬ ‫متوالﻰ ضرب نماﻳﻴم‪ ،‬از مقاﻳسۀ حاصل ضرب‬ ‫‪ –2‬و ‪ –5‬چه نتﻴجۀ به دست خواهﻴم آورد؟‬

‫‪3 × (–5) = – 15‬‬

‫‪3 × (–2) = – 6‬‬

‫‪2 × (–5) = –10‬‬

‫‪2 × (–2) = –4‬‬

‫‪1 × (–5) = –5‬‬

‫‪1 × (–2) = –2‬‬

‫‪0 × (–5) = 0‬‬

‫‪0 × (–2) = 0‬‬

‫‪–1 × (–5) = 5‬‬

‫‪–1 × (–2) = 2‬‬

‫‪–2 × (–5) = 10‬‬

‫‪–2 × (–2) = 4‬‬

‫‪–3 × (–5) = 15‬‬

‫‪–3 × (–2) = 6‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫با کم شدن اولﻴن عامل ضربﻰ‪ ،‬چه تغﻴﻴرى در حاصل ضرب مشاهده مﻰ کنﻴد؟ با توجه به اﻳن‬ ‫تغﻴﻴر حاصل ضرب هاى زﻳر را تکمﻴل کنﻴد‪:‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪5 × (–5) = –25‬‬ ‫‪4 × (–5) = –20‬‬ ‫‪3 × (–5) = –15‬‬ ‫‪2 × (–5) = –10‬‬ ‫‪1 × (–5) = –5‬‬ ‫‪0 × (–5) = 0‬‬ ‫‪–1 × (–5) = +5‬‬ ‫‪–2 × (–5) = +10‬‬ ‫‪–3 × (–5) = +15‬‬ ‫= )‪–4 × (–5‬‬ ‫= )‪–5 × (–5‬‬

‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪5 × (–2) = –10‬‬ ‫‪4 × (–2) = –8‬‬ ‫‪3 × (–2) = –6‬‬ ‫‪2 × (–2) = –4‬‬ ‫‪1 × (–2) = –2‬‬ ‫‪0 × (–2) = 0‬‬ ‫‪–1 × (–2) = +2‬‬ ‫‪–2 × (–2) = +4‬‬ ‫‪–3 × (–2) = +6‬‬ ‫= )‪–4 × (–2‬‬ ‫= )‪–5 × (–2‬‬

‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬

‫در ضرب نمودن ﻳک عدد تام منفﻰ به ﻳک عدد تام منفﻰ دﻳگر در فعالﻴت شروع درس‬ ‫دﻳدﻳم که‪:‬‬ ‫هرگاه ﻳک عدد منفﻰ به ﻳک عدد منفﻰ دﻳگر ضرب گردد؛ مانند‪ )–4( × )–5( :‬نتﻴجۀ آن‬ ‫ﻳک عدد مثبت است‪.‬‬

‫‪59‬‬

‫مثال اول‪ :‬عدد ‪ –6‬را به عدد ‪ –2‬ضرب نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬طورى که در فعالﻴت شروع درس مشاهده کردﻳم‪ ،‬اگر آن را ادامه دهﻴم‪ ،‬نتﻴجۀ زﻳر به‬ ‫دست مﻰ آﻳد‪.‬‬ ‫‪)–6( × )–2( = +12‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬حاصل ضرب (‪ )–2( × )+3(× )–10‬را به دست آورﻳد‪.‬‬ ‫حل‪:‬اول دو عدد را از طرف چپ باهم ضرب نموده و حاصل آن را با عدد سومﻰ ضرب‬ ‫مﻰ نماﻳﻴم‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪)–2( × )+3( = –6‬‬ ‫اکنون حاصل به دست آمده را در عدد بعدى (‪ )–10‬ضرب مﻰ کنﻴم ؛ بنابراﻳن دارﻳم‪:‬‬ ‫‪)–6( × )–10( = +60‬‬ ‫آمﻮختﻴم کﻪ‪:‬‬ ‫‪ –1‬حاصل ضرب ﻳک عدد مثبت در ﻳک عدد منفﻰ‪ ،‬ﻳک عدد منفﻰ است‪.‬‬ ‫‪ –2‬حاصل ضرب دو عدد منفﻰ‪ ،‬ﻳک عدد مثبت استز‬ ‫‪ –3‬به صورت عموم حاصل ضرب دو عدد هم عﻼمت‪ ،‬ﻳک عدد مثبت و حاصل ضرب دو‬ ‫عدد مختلف العﻼمت ﻳک عدد منفﻰ است‪.‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪ –1‬عملﻴه هاي ضرب را انجام دهﻴد‪.‬‬ ‫= )‪(–1) × (–1‬‬

‫‪,‬‬

‫= )‪(+3) × (–3‬‬

‫‪,‬‬

‫= )‪(–6) × (–1‬‬

‫= )‪(–4) × (–8‬‬

‫‪,‬‬

‫= )‪(–2) × (+5‬‬

‫‪,‬‬

‫= )‪(–12) × (–3‬‬

‫‪ –2‬از عدد ‪ + 2‬تا به عدد ‪ –6‬را به ترتﻴب در عدد ‪ –3‬ضرب نموده و حاصل ضرب را دو‬ ‫به دو باهم مقاﻳسه نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪ –3‬جاهاى خالﻰ را با اعداد مناسب پر کنﻴد‪.‬‬ ‫‪(–3) × ( ) = +21‬‬ ‫) ( = )‪(–1) × (–11‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫) ( = )‪(–2) × (–5‬‬ ‫‪(–3) × ( ) = –6‬‬

‫‪(–4) × ( ) = +8 ,‬‬ ‫‪( ) × (–9) = +27 ,‬‬

‫‪ –4‬حاصل ضرب هاى زﻳر را به دست آورﻳد‪.‬‬ ‫= (‪)–3( × )+2( × )–5‬‬ ‫= (‪)–6( × )–4( × )–2‬‬ ‫= (‪)–10( × )–2( × )+1‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫= (‪)–2( × )+3( × )–4‬‬ ‫= (‪)+7( × )–4( × )–2‬‬ ‫= (‪)–1( × )–1( × )–1‬‬

‫‪60‬‬

‫تقسﻴم عددﻫاي تام‬ ‫? = )‪(+18) ÷(–6‬‬

‫×‬ ‫‪(+18) ÷ ( – 6 ) = – 3‬‬

‫‪? × (+6) = –18‬‬

‫×‬ ‫‪(–18) ÷ ( – 6 ) = + 3‬‬

‫? = )‪(–18) ÷ (–6‬‬

‫طورى که از مبحث اعداد طبﻴعﻰ مﻴدانﻴم‪ ،‬عملﻴۀ تقسﻴم با عملﻴۀ ضرب رابطه معکوس دارد‪،‬‬ ‫ﻳعنﻰ‪:‬هرگاه ﻳک حاصل ضرب بر جزء اول ضربﻰ تقسﻴم گردد‪ ،‬جزء دوم ضربﻰ به دست‬ ‫مﻰ آﻳد‪ .‬به همﻴن ترتﻴب اگر حاصل ضرب بر جزء دوم ضربﻰ تقسﻴم گردد‪ ،‬جزء اول ضربﻰ‬ ‫به دست مﻰ آﻳد‪ ،‬جدول زﻳر را مشاهده کنﻴد‪.‬‬

‫عملﻴۀ تقسﻴم‬

‫عملﻴۀ ضرب‬

‫‪)+18( ÷ )+6( = +3‬‬

‫‪)+6( × )+3( = +18‬‬

‫‪)+18( ÷ )–6( = –3‬‬

‫‪)–6( × )–3( = +18‬‬

‫‪)–18( ÷ )+6( = –3‬‬

‫‪)+6( × )–3( = –18‬‬

‫‪)–18( ÷ )–6( = +3‬‬

‫‪)–6( × )+3( = –18‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫از عملﻴۀ ضرب زﻳر ﻳک جدول مانند جدول باﻻ طورى ترتﻴب دهﻴد که رابطه بﻴن ضرب و‬ ‫تقسﻴم اعداد تام را نشان دهد‪:‬‬ ‫‪1( 6 × 2 = 12‬‬

‫توضﻴح دهﻴد چگونه دو عدد تام را بر هم تقسﻴم مﻰ کنﻴم؟‬

‫‪61‬‬

‫‪2( )–6( × 2 = –12‬‬ ‫‪3( 6 × )–2( = –12‬‬ ‫‪4( )–6( × )–2( = 12‬‬

‫ﻧتﻴجﻪ‪ :‬با توجه به ضرب و تقسﻴم هاى انجام شده دﻳدﻳم که‪:‬‬ ‫عﻼمت خارج قسمت ﻳک عدد منفﻰ بر ﻳک عدد مثبت ‪ ،‬منفﻰ است‪.‬‬ ‫عﻼمت خارج قسمت ﻳک عدد منفﻰ بر ﻳک عدد منفﻰ ‪،‬مثبت است‪.‬‬ ‫عﻼمت خارج قسمت ﻳک عدد مثبت بر ﻳک عدد منفﻰ ‪،‬منفﻰ است‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬اول عﻼمت هاى صورت و مخرج را تعﻴﻴن کنﻴد‪ ،‬بعد از آن خارج قسمت ها را به دست‬ ‫آرﻳد‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫)‪( 4) × ( 3‬‬ ‫)‪(+6) × ( 5‬‬ ‫)‪(+5) × ( 8‬‬ ‫=‬ ‫?=‬ ‫? =‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫=‬ ‫‪=? ? , ,‬‬ ‫)‪(+2) × ( 15‬‬

‫)‪( 10) × (+1‬‬

‫)‪( 2 )× ( 1‬‬

‫در عملﻴۀ تقسﻴم نﻴز مانند عملﻴۀ ضرب عدد هاى تام‪ ،‬ابتدأ عﻼمۀ حاصل تقسﻴم را تعﻴﻴن نموده‬ ‫سپس عمل تقسﻴم را انجام مﻰ دهﻴم‪.‬‬ ‫)‪( 4) × ( 3) (+12‬‬ ‫)‪(+6) × ( 5) ( 30‬‬ ‫)‪(+5) × ( 8) ( 40‬‬ ‫=‬ ‫‪=+6 ,‬‬ ‫=‬ ‫‪= +1 ,‬‬ ‫=‬ ‫‪=+ 4‬‬ ‫)‪(+2) × ( 15) ( 30‬‬ ‫)‪( 10) × (+1) ( 10‬‬ ‫)‪( 2 )× ( 1) (+2‬‬

‫بﻪ ﻳاد داشتﻪ باشﻴد کﻪ‪:‬‬ ‫در عملﻴۀ تقسﻴم ابتداء عﻼمت حاصل تقسﻴم را تعﻴﻴن نموده و سپس قﻴمت مطلقۀ مقسوم را بر‬ ‫قﻴمت مطلقۀ مقسوم علﻴه تقسﻴم مﻰ نماﻳﻴم‪.‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪ –1‬ابتدأ تساوى سمت چپ را تکمﻴل کنﻴد و سپس حاصل تقسﻴم سمت راست را بنوﻳسﻴد‪:‬‬ ‫= )‪, ( 138) ÷ (3‬‬ ‫)‪(20‬‬ ‫× )‪5) ( ( 5‬‬ ‫÷ )‪) ( )20= +20, , , (20‬‬ ‫)‪( 5) (= 5‬‬ ‫× )‪7) (+(7‬‬ ‫)‪) ( )56= 56, , , ( 56)( ÷56‬‬ ‫= )‪(+7) (= 7) , ( 74) ÷ ( 37‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪)(÷÷40‬‬ ‫)‪((++88‬‬ ‫= )‪)÷=(=+8) = , ( 70) ÷ ( 14‬‬ ‫= )(‪8‬‬ ‫)‪= (4040‬‬ ‫)‪) ×( (+)8)× (=+8‬‬ ‫)‪40‬‬ ‫‪,, , (( 40‬‬ ‫)‪40‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪) (( 5‬‬ ‫‪) × ( 5)35= 35,‬‬ ‫)‪,( 35)(÷ (35)5) =( 5‬‬ ‫‪ –2‬براى تقسﻴم کردن حاصل افاده (‪ )+6( – )–18‬بر حاصل افاده (‪ )–8( + )–4‬چگونه باﻳد‬ ‫عمل کرد؟‬ ‫‪ –3‬عملﻴه هاى زﻳر را تکمﻴل و جدول مربوطۀ عملﻴۀ ضرب و تقسﻴم را تشکﻴل دهﻴد‪.‬‬ ‫( = )‪(–42) ÷ (+6‬‬ ‫)‬ ‫‪( ) × (–2) = –72‬‬ ‫‪(–100) ÷ ( ) = +100‬‬ ‫)‪(+60) ÷ ( ) = (–20‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫) ( = )‪(–8) × (+4‬‬ ‫‪(+50) × ( ) = –200‬‬ ‫(‬ ‫‪) ÷ ( –4) =+20‬‬ ‫) ( = )‪(–12) × (+3‬‬

‫‪62‬‬

‫(‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫(‬

‫درﻳافت قﻴﻤت ﻫاى افاده ﻫاى حسابﻰ‬ ‫اگر عملﻴه هاى چهارگانۀ (جمع‪ ،‬تفرﻳق‪ ،‬ضرب‬ ‫و تقسﻴم) در ﻳک سؤال با هم آورده شوند‪،‬‬ ‫چه باﻳد کرد؟‬ ‫آﻳا سؤال زﻳر را با استفاده از عملﻴه هاى اساسﻰ‬ ‫چهارگانۀ که تا به حال آموخته اﻳد‪ ،‬حل کرده‬ ‫مﻰ توانﻴد؟‬

‫]})‪( 1 1‬‬

‫‪{ 1+1‬‬

‫]}‪{ 1 + 1 + 1 + 1‬‬

‫)‪3[2 (4 3‬‬ ‫‪3[2 4 + 3‬‬

‫]‪3[2 4 + 3 + 1 1 1 1‬‬ ‫‪3[ 1]= 3‬‬

‫? = }( ‪) 5( – {) –4 ( × ) –7 (} – {) –6 ( ÷ ) +2‬‬

‫بﻪ ﻳاد داشتﻪ باشﻴدکﻪ‪:‬‬ ‫) را به نام قﻮس کﻮچک ‪ ،‬عﻼمت { } را به نام قﻮس متﻮسط و‬ ‫عﻼمت (‬ ‫عﻼمت [ ] را به نام قوس کﻼن ﻳاد مﻰ نماﻳند‪.‬‬ ‫براى رفع قوس ها‪ ،‬اوﻻً قوس کوچک‪ ،‬بعد قوس متوسط و سپس قوس کﻼن رفع مﻰ گردد‪.‬‬ ‫براى محاسبﻪ ﻳا ساده ساختﻦ افادة حسابﻰ مراحل زﻳر را بﻪ کار مﻰ برﻳم‪:‬‬

‫اول– اگر در افاده هاى حسابﻰ طاقت وجذر وجود داشته باشد‪ ،‬اوﻻً آن را ساده مﻰ سازﻳم‪.‬‬ ‫دوم– در صورتﻰ که در افاده هاى حسابﻰ‪ ،‬قوس ها وجود داشته باشد‪ ،‬اول قوس را رفع‬ ‫مﻰ نماﻳﻴم‪.‬‬ ‫سوم– عملﻴه هاى ضرب و تقسﻴم را از طرف چپ به راست انجام مﻰ دهﻴم‪.‬‬ ‫چهارم– عملﻴه هاى جمع و تفرﻳق را از چپ به راست انجام مﻴدهﻴم‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬اول‬ ‫افادۀ زﻳر را که ﻳک افادۀ حسابﻰ است‪ ،‬محاسبه نماﻳﻴد‪:‬‬ ‫‪5 + 49 ÷ 7 10‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪63‬‬

‫‪( 6 × 4) × 23‬‬

‫‪)–6 × 4( × 8 –5 + 7 ÷ 7 – 10‬‬ ‫‪–24 × 8 –5 +7 ÷ 7 –10‬‬ ‫‪–192 – 5 + 7 ÷ 7 –10‬‬ ‫‪–192 –5 + 1 – 10‬‬ ‫‪–197 + 1 – 10‬‬ ‫‪–196 – 10‬‬ ‫‪–206‬‬

‫‪ :‬اول‬ ‫‪ :‬دوم‬ ‫‪ :‬سوم‬ ‫‪ :‬چهارم‬ ‫‪ :‬پنجم‬ ‫‪ :‬ششم‬ ‫‪ :‬هفتم‬

‫مثال دوم‪ :‬افاده هاي ساده کنﻴد‪:‬‬ ‫]‪23 [ 23 { 23 ( 23 23 + 23) 23} 23‬‬ ‫]‪= 23 [ 23 { 23 ( 23 + 0) 23} 23‬‬ ‫]‪= 23 [ 23 { 23 + 23 23} 23‬‬ ‫]‪= 23 [ { 23} 23] = 23 [ 23 + 23 23] = 23 [ 23 + 0‬‬ ‫‪= 23 + 23 = 46‬‬

‫مثال سﻮم‪ :‬ساده کنﻴد‪:‬‬ ‫‪25 42 ÷ 7 × 2 + 45 ÷ 3 × 5 5 × 9 ÷ 3 × 2‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪25 6 × 2 + 15 × 5 5 × 3 × 2‬‬ ‫)‪25 12 + 75 30 = (25 + 75) (12 + 30‬‬ ‫‪= 100 42 = 58‬‬

‫آمﻮختﻴم کﻪ‪:‬‬ ‫اول– اگر در افاده هاى حسابﻰ طاقت وجذر وجود داشته باشد‪ ،‬اوﻻً آن را ساده مﻰ سازﻳم‪.‬‬ ‫دوم– در صورتﻰ که در افاده هاى حسابﻰ‪ ،‬قوس ها وجود داشته باشد‪ ،‬اول قوس را رفع‬ ‫مﻰ نماﻳﻴم‪.‬‬ ‫سوم– عملﻴه هاى ضرب و تقسﻴم را از طرف چپ به راست انجام مﻰ دهﻴم‪.‬‬ ‫چهارم– عملﻴه هاى جمع و تفرﻳق را از چپ به راست انجام مﻴدهﻴم‪.‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫افاده هاى زﻳر را ساده بسازﻳد‪{(–6 × 4 ) × 2} – {5 × (–5 + 3)} + 20 .‬‬

‫)‪1‬‬

‫‪[9 ÷ {– (–3) × (5 – 8 )}] +10‬‬

‫)‪2‬‬

‫‪10 × 24 ÷ {– (–4) × (5 – 7 )} –6‬‬

‫)‪3‬‬

‫‪[{5 × (–4)} – {(–5) × (–1)}] – 10‬‬

‫)‪4‬‬

‫‪2×{(–3) + (–2)} + 8 – 2‬‬

‫)‪5‬‬

‫‪319 + 40 ÷ 8‬‬ ‫‪220 64 ÷ 2‬‬

‫)‪6‬‬ ‫)‪7‬‬

‫مساوى است به‪:‬‬ ‫‪ -6‬افاده حسابﻰ ]‪6) 12 ÷ 3[ 4 + 8{ 3 + 2( 7 + 10) + 3 × (8 2)} 1‬‬ ‫‪265‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪256‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪652‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪64‬‬

‫خﻼصﺔ فصل سﻮم‬

‫اعداد ‪ . . . , –5, –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, . . .‬را به نام‬ ‫اعداد تام ﻳاد مﻰ نماﻳند‪.‬‬ ‫ست ﻳا مجموعۀ اعداد تام را قرار زﻳر نشان مﻴدهند‪.‬‬ ‫} ‪I = { . . . , –5, –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4,+5, . . .‬‬

‫محور اعداد عبارت از خط جهت دارى است که به روى آن مﻰ توانﻴم اعداد مثبت‪،‬‬ ‫اعداد منفﻰ وصفر را نشان دهﻴم‪.‬‬ ‫هر عدد تام و متضاد آن به روى محور اعداد به فاصله هاى مساوى از صفر قرار‬ ‫داشته و داراى عﻼمت هاى مختلف مﻰ باشند و اﻳن فاصله را از مبداء قﻴﻤت مطلقﻪ‬ ‫مﻰ نامند‪.‬‬ ‫طبق معمول در اعداد مثبت به نوشتن عﻼمت ضرورت نﻴست‪.‬‬ ‫براى تفرﻳق نمودن دو عدد تام‪ ،‬اوﻻًعﻼمه مفروق را تغﻴﻴر داده و سپس عملﻴۀ جمع را‬ ‫انجام مﻰ دهﻴم‪ .‬ﻳا به عبارت دﻳگر‪ :‬متضاد مفروق را با مفروق منه جمع مﻰ کنﻴم‪.‬‬ ‫حاصل ضرب دو عدد هم عﻼمت مثبت مﻰ باشد‪.‬‬ ‫حاصل ضرب دو عدد مختلف العﻼمت منفﻰ مﻰ باشد‪.‬‬ ‫در عملﻴۀ تقسﻴم ابتداء عﻼمت حاصل تقسﻴم را تعﻴﻴن نموده؛ سپس قﻴمت مطلقۀ‬ ‫مقسوم را به قﻴمت مطلقۀ مقسوم علﻴه تقسﻴم مﻰ نماﻳﻴم‪.‬‬ ‫عﻼمه ( ) را به نام قﻮس کﻮ چک ‪ ،‬عﻼمت{ } را به نام قﻮس متﻮسط و‬ ‫عﻼمه [ ] را به نام قﻮس بزرگ ﻳاد مﻰ نماﻳند‪.‬‬ ‫براى رفع قوس ها ‪ ،‬اوﻻً قوس کوچک‪ ،‬بعد قوس متوسط و سپس قوس کﻼن رفع‬ ‫مﻰ گرد د‪ .‬هرگاه عﻼمت منفﻰ خارج قوس قرار داشته باشد‪ .‬عﻼمت هاى داخل قوس‬ ‫تغﻴﻴر مﻰ ﻳابد و اگر عﻼمۀ خارج قوس‪ ،‬مثبت باشد‪ ،‬عﻼمت هاى داخل قوس تغﻴﻴر‬ ‫نمﻰ نماﻳند‪.‬‬

‫‪65‬‬

‫تﻤرﻳﻦ فصل سﻮم‬ ‫‪ –1‬اعداد تام ‪ 6 ، –4 ، +7 ، –3‬و ‪ +10‬و متضاد آنها را روي محور اعداد نشان دهﻴد‪.‬‬

‫‪ –2‬قﻴمت هاى مطلقۀ اعداد ‪ 0 ، –10 ، +8 ، –8‬و ‪ –12‬را بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫‪ –3‬تساوي هاى زﻳر را تکمﻴل نماﻳﻴد‪:‬‬ ‫= )‪5 – (–3‬‬ ‫= ‪(–8) + 0‬‬

‫)‪b‬‬ ‫)‪d‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪c‬‬

‫= ‪(–6) + 4‬‬ ‫= ‪8+0‬‬

‫‪ –4‬حاصل جمع سه عدد تام (‪ )+2( ، )–4‬و (‪ )–1‬را روى ﻳک محور نشان دهﻴد‪.‬‬ ‫‪ –5‬حرکت روى محور اعداد توسط تﻴر قرار شکل زﻳر نشان داده شده است‪ .‬اﻳن‬ ‫اعداد را جمع نموده و نتﻴجه را حاصل نماﻳﻴد‪.‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+6‬‬

‫‪+5‬‬

‫‪+3 +4‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–4‬‬

‫‪ –6‬از افادۀ ‪ – )–7( +10‬افادۀ (‪ – ) –6 +10 – 4‬را تفرﻳق کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ –7‬حاصل ضرب هاى زﻳر را به دست آورﻳد‪:‬‬ ‫= (‪)– 8 + 2 – 4( × ) –5 +2 –1‬‬

‫)‪a‬‬

‫= ( ‪– )– 4+ 6 –3( × ) –5 + 0‬‬

‫)‪b‬‬

‫= (‪)6 – 10 ( × ) –7 + 3 × 2‬‬

‫)‪c‬‬

‫= )‪– (–10) ÷ ( –2‬‬

‫)‪a‬‬

‫= )‪(–16 +4 ) ÷ (–2) × (3‬‬

‫)‪b‬‬

‫= )‪– (+10 +8 ) ÷ ( – 6 ÷ 2‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪ –8‬حاصل تقسﻴم هاى زﻳر را به دست آورﻳد‪:‬‬

‫‪ –9‬افادۀ زﻳر را ساده سازﻳد‪:‬‬ ‫= ‪) –6 ( ÷ ) –2 ( – ])10( ÷ {)–2( + )+22×3(}[ – 2‬‬ ‫‪ – 10‬افادۀ زﻳر را ساده سازﻳد‬ ‫‪4 [ 5 + { 4 + ( 5 + 4) 5} + 4] 5‬‬

‫‪66‬‬

‫ﻓﺼﻞچﻬارم‬ ‫اﻋدادﻧسبتﻰ‬

‫‪53‬‬ ‫اﻳﻦ پرﻧده ‪kg‬‬ ‫‪ 500‬وزن دارد‪.‬‬ ‫وزن اﻳﻦ پرﻧده با ﻳﻚ ﻋدد ﻧسبتﻰ ﻧﺸان داده ﺷده است‪.‬‬

‫اعداد ﻧسبتﻰ‬ ‫آﻳا ﻓﻜر ﻛرده اﻳد‪ ،‬چﮕﻮﻧﻪ ﻣﻰ تﻮان دو سﻴب را بﻪ‬ ‫ﺻﻮرت ﻣساوى بﻴﻦ سﻪ ﻧﻔر تﻘسﻴﻢ ﻧﻤﻮد؟‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫‪ -1‬ﻳک تار را بﻪ طﻮل ‪ 10cm‬در ﻧظر بگﻴرﻳد‪.‬‬ ‫‪ -2‬تار را بﻪ سﻪ قسمت مساوى تقسﻴم ﻧماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪ -3‬بﻪ کمک خط کش درجﻪ دار ﻫرسﻪ قسمت را اﻧدازه کﻨﻴد‪.‬‬ ‫از ﻓﻌاﻟﻴت باﻻ ﻣﻌﻠﻮم ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ ﻃﻮل بﻪ دست آﻣده از ‪ 3‬ساﻧتﻰ ﻣتر بزرﮔتر و از ‪ 4‬ساﻧتﻰ ﻣترﻛﻮچﻜتر‬ ‫است‪.‬‬ ‫بﻨابر اﻳﻦ ﻧمﻰ تﻮان آن را بﻪ صﻮرت ﻳک عدد تام ﻧشان داد لذا بﻪ ست اعداد دﻳگرى ﻧﻴاز است کﻪ بﻪ‬ ‫کمک آن بتﻮان عدد باﻻ را ﻧشان داد‪ .‬در اﻳﻦ فعالﻴت‪ ،‬چﻮن ‪ 10‬بر ‪ 3‬حصﺔ مساوى تقسﻴم شده است‪،‬‬ ‫بﻨابر اﻳﻦ مﻰ تﻮاﻧﻴم بـﻪ شکل ‪ 10‬ﻧشان دﻫﻴم و اﻳﻦ ﻧﻮع اعـداد جـدﻳد را بـﻪ ﻧام اﻋداد‬ ‫‪3‬‬

‫ﻧﺴبتﻰ ﻳاد مﻰ کﻨﻨد‪.‬‬

‫‪10‬‬ ‫را ﻧشان دﻫﻴم‪.‬‬ ‫حاﻻ مﻰ خﻮاﻫﻴم بﻪ کمک محﻮر اعداد‪ ،‬عدد ﻧسبتﻰ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫—‬ ‫‪3‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10‬‬

‫‪10‬‬ ‫—–‬ ‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫–‬

‫‪–4 –3 –2 –1‬‬

‫ﻫﻤان ﻃﻮرى ﻛﻪ ﻫر ﻋدد تام‪ ،‬داراى ﻋدد ﻣتﻀاد(ﻣﻌﻜﻮس جﻤﻌﻰ) است‪ ،‬ﻋدد ﻧسبتﻰ ﻧﻴز داراى‬ ‫ﻋدد ﻣتﻀاد ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫ﻃﻮر ﻣثال ﻣتﻀاد‬

‫‪69‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻋدد‬

‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬

‫است ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ باﻻ ﻧﺸان داده ﺷده است‪.‬‬

‫ﻣثال‪ :‬اعداد ﻧسبتﻰ ‪ 7 ، 3‬و‬ ‫‪5 5‬‬ ‫ﻧﻴز ﻧشان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫—‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪5‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪7‬‬ ‫—‪+‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪5‬‬

‫را روى محﻮر اعداد مشخص ﻧمﻮده و متضاد آﻧﻬا را‬ ‫ﻣﺘﻀﺎﺩ‬ ‫‪3‬‬ ‫—–‬

‫‪3‬‬ ‫—‪+‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪7‬‬ ‫—–‬

‫‪5‬‬

‫‪11‬‬ ‫—–‬

‫‪5‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪5‬‬

‫–‬

‫‪–2‬‬

‫ﻣﻌﻜﻮس جﻤﻌﻰ(ﻣﺘﻀﺎﺩ )ﻳﻜدﻳﮕر اﻧد‪.‬‬ ‫ﻣﻌﻜﻮس جﻤﻌﻰ( ﻣﺘﻀﺎﺩ)ﻳﻜدﻳﮕر اﻧد‪.‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫‪ -1‬ابتدأ سﻪ واحد را روى محﻮر اعداد جدا کﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪ -2‬اﻳﻦ سﻪ واحد را بﻪ چﻬار قسمت مساوى تقسﻴم ﻧماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﻫر قسمت ﻧشان دﻫﻨدة کدام عدد ﻧسبتﻰ است؟‬ ‫‪ -4‬ﻳک واحد را بﻪ چﻬار قسمت مساوى تقسﻴم کﻨﻴد و ‪ 3‬را روى آن ﻧشان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ -5‬متضاد اﻳﻦ اعداد کدام است؟ روى محﻮر ﻧشان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اﮔر ﻛسر‬ ‫‪4‬‬

‫را روى ﻣحﻮر ﻧﺸان دﻫﻴﻢ و ﻧتﻴجﺔ ﻓﻌاﻟﻴت باﻻ را با آن ﻣﻘاﻳسﻪ ﻧﻤاﻳﻴﻢ‪ ،‬دﻳده‬

‫‪3‬‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ ﻋدد ﻧسبتﻰ ‪ 3‬با ﻛسر ﻋام‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﻳﻜﻰ ﻣﻰ باﺷد‪ ،‬بﻨابرآن‪:‬‬

‫‪n‬‬ ‫ﻳﻚ ﻋدد ﻧسبتﻰ ﻋبارت از ﻋددى است ﻛﻪ بﻪ ﺷﻜﻞ‬ ‫‪d‬‬ ‫اﻋداد تام بﻮده و ‪ d 0‬ﻣﻰ باﺷد‪ .‬ﻛسﻮر اﻋﺸارى ختﻢ ﺷدﻧﻰ و ﻣتﻮاﻟﻰ ﻧﻴز اﻋداد ﻧسبتﻰ اﻧد‪.‬‬

‫ﻧﺸان داده ﻣﻰ ﺷﻮد‪ ،‬ﻋدد ﻫاى ‪ n‬و ‪d‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪5 2‬‬ ‫‪ -1‬در ﻳﻚ ﻣحﻮر اﻋداد ﻫر واحد را بﻪ ‪ 3‬حﺼﺔ ﻣساوى تﻘسﻴﻢ ﻧﻤﻮده و اﻋداد ﻧسبتﻰ ‪،‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪7‬‬

‫و ﻣتﻀاد آن ﻫا را روى ﻣحﻮر اﻋداد ﻧﺸان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫و‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -2‬ﻫر واحد را روى ﻣحﻮر بﻪ ‪ 4‬حﺼﺔ ﻣساوى تﻘسﻴﻢ ﻛﻨﻴد و ﻫر حﺼﻪ را ‪ a‬بﻨاﻣﻴد؛ سپس‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻋدد ﻧسبتﻰ ‪ 5‬و ﻣتﻀاد آن را روى ﻣحﻮر ﻧﺸان داده و در ﺿﻤﻦ ﻧﻮﺷتﻪ ﻛﻨﻴد ﻛﻪ ﻋدد‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫چﻨد ‪ a‬از ﻋدد ‪ 5‬دور است؟‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ -3‬ﻳﻚ ﻣحﻮر را ﻃﻮرى تﻘسﻴﻢ بﻨدى ﻛﻨﻴد ﻛﻪ اﻋداد ﻧسبتﻰ ‪ 7 ، 4 ، 3‬و ‪ 6‬بﻪ ﺷﻜﻞ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫واﺿح روى ﻣحﻮر ﻧﺸان داده ﺷده باﺷد‪.‬‬

‫‪70‬‬

‫ﻣﻘاﻳسﺔ اعداد ﻧسبتﻰ‬ ‫در ﻛدام تﺼﻮﻳر‪ ،‬ساحﺔ بﻴﺸترى با ﮔﻞ پﻮﺷﻴده‬ ‫ﺷده است؟‬

‫ 20 :‬است‪،‬بﻨابرآن ‪ 3 > 4 :‬ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫‪35‬‬

‫‪35‬‬

‫ﻣثال دوم‪ :‬در دو ﻋدد ﻧسبتﻰ‬

‫‪7‬‬

‫‪ 4‬و ‪7‬‬ ‫‪12 9‬‬

‫‪ ،‬ﻛدام ﻋدد ﻧسبتﻰ بزرﮔتر است؟‬

‫حﻞ‪:‬‬ ‫ﻟذا ﻧﻮﺷتﻪ ﻣﻰ تﻮاﻧﻴﻢ ﻛﻪ‪:‬‬

‫‪63‬‬ ‫‪48‬‬ ‫>‬ ‫‪108 108‬‬

‫‪5‬‬

‫‪7 9‬‬ ‫‪63‬‬ ‫= ) (×‬ ‫‪12 9‬‬ ‫‪108‬‬

‫و از اﻳﻨجا ﻧتﻴجﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫‪4 12‬‬ ‫‪48‬‬ ‫= ) (×‬ ‫‪9 12 108‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫>‬ ‫‪12 9‬‬

‫در ﻣﻘاﻳسﺔ اﻋداد ﻧسبتﻰ ﻛﻪ ﻣخرج ﻫاﻳﺸان باﻫﻢ ﻣساوى باﺷﻨد ﻋددﻳﻜﻪ ﺻﻮرت آن بزرگ‬ ‫است بزرﮔتر ﻣﻰ باﺷد و اﮔر ﺻﻮر تﻬاى ﺷان باﻫﻢ ﻣساوى باﺷﻨد ﻋددى ﻛﻪ ﻣخرج آن بزرﮔتر‬ ‫است ﻛﻮچﻜتر ﻣﻰ باﺷد و براى دو ﻳا چﻨدﻳﻦ اﻋداد ﻛﻪ اﮔر‪ ،‬ﻧﻪ ﺻﻮرتﻬا و ﻧﻪ ﻣخرجﻬاى ﺷان‬ ‫باﻫﻢ ﻣساوى باﺷﻨد در اﻳﻦ ﺻﻮرت اﻋداد ﻧسبتﻰ را ﻫﻢ ﻣخرج ﻣﻰ ﻧﻤاﻳﻴﻢ ﻳا بﻪ ﻋبارة دﻳﮕر‬ ‫ﻛﻮچﻜترﻳﻦ ﻣﻀرب ﻣﺸترك را در ﻣﻰ ﻳابﻴﻢ و بﻌد با ﻫﻢ ﻣﻘاﻳسﻪ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫اﻋداد ﻧسبتﻰ زﻳر را باﻫﻢ ﻣﻘاﻳسﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪5 3 1‬‬ ‫‪, ,‬‬ ‫‪9 7 3‬‬

‫)‪e‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪7 11‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪3 4‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5 7‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪72‬‬

‫عﻤﻠﻴﻪ ﻫاى جﻤع و تفرﻳﻖ اعداد‬ ‫ﻧسبتﻰ‬ ‫‪1‬‬ ‫براى ساختﻦ ﻳﻚ چادر‪ 5 ،‬ﻣتر تﻜﻪ ﻻزم است‪ ،‬و‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫براى ساختﻦ ﻳﻚ دستﻤال ﮔردن بﻪ ‪ 2‬ﻣتر دﻳﮕر‬ ‫‪5‬‬ ‫از ﻫﻤان تﻜﻪ ﺿرورت دارﻳﻢ‪ .‬اﮔر تﻤام تﻜـﺔ ﻣﻮرد‬ ‫ﺿرورت از تﻜﻪ ﻳﻰ ﻛﻪ ﻃﻮل آن ‪ 15 1‬ﻣتر باﺷد‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻗﻄﻊ ﮔردد‪ ،‬چﻘدر تﻜﺔ دﻳﮕر باﻗﻰ ﻣﻰ ﻣاﻧد؟‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -1‬ابتدأ‬ ‫‪2‬‬

‫را روى ﻣحﻮر اﻋداد ﻧﺸان دﻫﻴد و آﻧرا ﻧﻘﻄﺔ ‪ A‬بﻨاﻣﻴد‪.‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪ -2‬از ﻧﻘﻄﺔ ‪ A‬بﻪ اﻧدازة‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ -3‬ﻧﻘﻄﺔ ‪ B‬ﻣﻌادل ﻛدام ﻋدد ﻧسبتﻰ است؟‬

‫بﻪ سﻤت راست حرﻛت ﻛﻨﻴد و آﻧرا ‪ B‬بﻨاﻣﻴد‪.‬‬

‫‪1 13‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ -4‬با استفاده از مخرج مشترک‪ ،‬حاصل جمع‬ ‫‪2 10‬‬

‫‪ -5‬حاﺻﻞ جﻤﻊ‬

‫‪2 3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6 6‬‬

‫و حاﺻﻞ تﻔرﻳﻖ‬

‫‪5 4‬‬ ‫‪6 6‬‬

‫را پﻴدا ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫ﻣثال اول ‪:‬اﻋداد ﻧسبتﻰ زﻳر را از ﻃرﻳﻖ ﻳاﻓتﻦ ﻣخرج ﻣﺸترك و ﻳا ﻛﻮچﻜترﻳﻦ ﻣﻀرب ﻣﺸترك‬ ‫ﻣخرج ﻫا‪ ،‬جﻤﻊ ﻛﻨﻴد‪:‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬

‫‪5 7 60 + 126 186 93 31‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪18 12‬‬ ‫‪216‬‬ ‫‪216 108 36‬‬

‫حاﻻ اﮔر در اﻳﻦ ﻣثال ﻛﻮچﻜترﻳﻦ ﻣﻀرب ﻣﺸترك ﻣخرج ﻫا را پﻴدا ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬ﻣﻰ تﻮاﻧﻴﻢ ﻋﻤﻠﻴﺔ‬ ‫جﻤﻊ را ﻗرار زﻳر اﻧجام دﻫﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 32‬‬ ‫‪12 = 3 × 2 × 2 = 3 × 2 2‬‬ ‫دﻳده ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ ﻛﻮچﻜترﻳﻦ ﻣﻀرب ﻣﺸترك ‪ 18‬و‪ 12‬ﻋبارت از ‪ 32 × 22 = 36‬است‪ ،‬بﻨابرآن‬

‫دارﻳﻢ ﻛﻪ‪:‬‬

‫‪73‬‬

‫‪5 7 10 + 21 31‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪18 12‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪36‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ -1‬ابتدأ ﻋدد ﻧسبتﻰ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -2‬از ﻧﻘﻄﺔ ‪ A‬بﻪ اﻧدازة بﻪ ﻃرف چپ ﻣحﻮر بروﻳد‪ ،‬بﻪ ﻛدام ﻧﻘﻄﻪ ﻣﻰ رسﻴد؟‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫را با استﻔاده از درﻳاﻓت ﻛﻮچﻜترﻳﻦ ﻣﻀرب ﻣﺸترك بﻪ دست آورﻳد‪.‬‬ ‫‪ -3‬حاﺻﻞ تﻔرﻳﻖ‬ ‫‪6 4‬‬

‫را روى ﻣحﻮر ﻧﺸان دﻫﻴد و آﻧرا ‪ A‬بﻨاﻣﻴد‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻣثال دوم ‪ :‬از ﻋدد ﻧسبتﻰ ﻋدد ﻧسبتﻰ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫را تﻔرﻳﻖ ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫حﻞ ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪15 8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫= ) (‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫چﻪ در جﻤﻊ و چﻪ در تﻔرﻳﻖ اﻋداد ﻧسبتﻰ‪ ،‬ﻛاﻓﻰ است ابتدأ ﻣخرج ﻣﺸترك را درﻳابﻴﻢ و سپس‬ ‫ﺻﻮرت ﻫا را جﻤﻊ ﻳا تﻔرﻳﻖ ﻧﻤاﻳﻴﻢ‪.‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬حاﺻﻞ جﻤﻊ اﻋداد ﻧسبتﻰ زﻳر را بﻪ دست آورﻳد‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9 3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪= , b) + = , c‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪= , d‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪5 5‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪16 8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫را روى ﻣحﻮر اﻋداد ﻧﺸان داده و از آن‪ ،‬ﻋدد ﻧسبتﻰ را تﻔرﻳﻖ ﻧﻤاﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﻋدد ﻧسبتﻰ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪a‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -3‬ﻳﻚ ﺷاﮔرد در روز اول‪ ،‬حﺼﺔ ﻳﻚ ﻛتاب را و در روز دوم‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫حﺼﺔ ﻫﻤان ﻛتاب را‬

‫ﻣﻄاﻟﻌﻪ ﻛرد‪ .‬چﻨد حﺼﺔ ﻛتاب ﻣذﻛﻮر با ﻗﻰ ﻣاﻧده است؟‬

‫‪74‬‬

‫ضرب و تﻘسﻴﻢ اعداد ﻧسبتﻰ‬ ‫ﺷﻜﻞ ﻣﻘابﻞ ﻧﺸان دﻫﻨدة چﻪ رابﻄﻪ ﻳﻰ بﻴﻦ‬ ‫ﻣستﻄﻴﻞ ﻫا است؟‬

‫?‬

‫=‬ ‫فعاﻟﻴت‬ ‫‪ -1‬ﻳﻚ ﻧخ را بﻪ ﻃﻮل ﻳﻚ واحد در ﻧﻈر ﮔرﻓتﻪ آﻧرا ﻧﺼﻒ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪ -2‬اﻳﻦ ﻧﺼﻒ ﻫا را بﻪ سﻪ حﺼﻪ ﻣساوى تﻘسﻴﻢ ﻧﻤاﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﻃﻮل ﻫر حﺼﺔ بﻪ دست آﻣده‪ ،‬ﻛدام ﻗسﻤت واحد است؟‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪ -4‬چﻪ رابﻄﻪ ﻳﻰ را بﻴﻦ ‪ ،‬و‬ ‫‪6 3 2‬‬

‫ﻣﻲ تﻮاﻧﻴد ﻣﺸاﻫده ﻛﻨﻴد؟‬

‫براي ﺿرب دو ﻋدد ﻧسبتﻲ‪ ،‬ﺻﻮرت را در ﺻﻮرت و ﻣخرج را در ﻣخرج ﺿرب ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣثال اول ‪ :‬را در )‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬

‫حﻞ‪:‬‬

‫( ﺿرب ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪2 ( 3) ( 6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫× = ) (×) (‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪28 14‬‬ ‫‪14 14‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫( را در ﻋدد ﻧسبتﻰ )‬ ‫ﻣثال دوم ‪ :‬ﻋدد ﻧسبتﻰ )‬ ‫‪4‬‬ ‫‪15‬‬

‫حﻞ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣثال سﻮم‪:‬‬ ‫‪9‬‬

‫حﻞ‪:‬‬

‫‪75‬‬

‫( ﺿرب ﻧﻤاﻳﻴد‪:‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8 3 ( 8) × ( 3) 24 2‬‬ ‫=) × (=) ( )‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪15 4‬‬ ‫‪15 × 4‬‬ ‫‪60 5‬‬ ‫حﺼﻪ ﻋدد ‪ 702‬چﻨد ﻣﻰ ﺷﻮد؟‬

‫(‬

‫‪2 1404‬‬ ‫=‬ ‫‪= 156‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬

‫× ‪702‬‬

‫حاﻻ تﻘسﻴﻢ دو ﻋدد ﻧسبتﻲ را در ﻣثال ﻫاى زﻳر بررسﻲ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫را بر تﻘسﻴﻢ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫ﻣثال چﻬارم ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7 3 7 5 35 7‬‬ ‫= × = ÷‬ ‫=‬ ‫‪10 5 10 3 30 6‬‬

‫حﻞ ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣثال پﻨجﻢ‪ :‬ﻋدد ﻧسبتﻰ ) ‪ ( 3‬را بر ﻋدد ﻧسبتﻰ )‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪21‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬ ‫= ) (×) ( = ) ( ÷ ) ( = ) ( ÷ ) ‪( 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫( تﻘسﻴﻢ ﻧﻤاﻳﻴد‪.‬‬

‫در ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺿرب اﻋداد ﻧسبتﻰ ﺻﻮرت را در ﺻﻮرت و ﻣخرج را در ﻣخرج ﺿرب ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫و در ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ ﻋدد دوم ﻧسبتﻰ(ﻣﻘسﻮم ﻋﻠﻴﻪ) ﻣﻌﻜﻮس ﻣﻰ ﺷﻮد و بﻌد از آن ﻣاﻧﻨد ﻋﻤﻠﻴﺔ‬ ‫ﺿرب ﻋﻤﻞ ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬اﻋداد زﻳر را در ﻫﻢ ﺿرب ﻧﻤﻮده جﻮاب آﻧﻬا را بﻪ ساده ترﻳﻦ ﺷﻜﻞ بﻨﻮﻳسﻴد‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫)‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) (×‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪15‬‬ ‫(×‬ ‫‪16‬‬ ‫‪8‬‬ ‫× ) ( )‪f‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪c‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫) ×‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪3‬‬ ‫( )‪e‬‬ ‫×)‬ ‫‪15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫( )‪b‬‬

‫‪41 13‬‬ ‫×‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪13‬‬ ‫( )‪d‬‬ ‫(×)‬ ‫‪) ,‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪9‬‬ ‫)‪a‬‬

‫حﺼﺔ ﻋدد ‪ 111‬چﻨد ﻣﻰ ﺷﻮد؟‬

‫‪ 3 -3‬حﺼﻪ ﻛدام ﻋدد ‪ 48‬ﻣﻰ ﺷﻮد؟‬ ‫‪5‬‬

‫‪76‬‬

‫تبدﻳﻞ عدد ﻧسبتﻲ بﻪ عدد اعشاري‬ ‫احﻤد و برادرش ﻗـرار است ﻛﻪ ﻛاري را در‬ ‫چﻬـار روز اﻧجام دﻫﻨـد‪ .‬در اﻧتﻬاي روز اول‬ ‫احﻤد از برادرش پرسﻴد تا حاﻻ چﻨد ﻓﻴﺼد‬ ‫ﻛار را اﻧجام داده اﻳﻢ؟‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫چﻨد خاﻧﺔ ﻣربﻊ در ﺷﻜﻞ ﻣﻘابﻞ رﻧﮕﻪ‬ ‫است؟‬ ‫چﻪ ﻛسري از ﻣربﻊ ﻫا‪ ،‬رﻧﮓ آبﻲ‬ ‫دارﻧد؟ اﻳﻦ ﻣﻘدار را با ﻋدد اﻋﺸاري‬ ‫ﻧﺸان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫چﻪ ﻛسري از ﻣربﻊ ﻫا‪ ،‬رﻧﮓ سبز‬ ‫دارﻧد؟ اﻳﻦ ﻣﻘدار را با ﻳﻚ ﻋدد‬ ‫اﻋﺸاري ﻧﺸان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫چﻪ ﻛسري از ﻣربﻊ ﻫا رﻧﮕﻪ ﺷده اﻧد؟‬ ‫اﻳﻦ ﻣﻘدار را با ﻳﻚ ﻋدد اﻋﺸاري ﻧﺸان‬ ‫دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪257363‬‬ ‫ﻣثال اول ‪ :‬ﻋدد ﻧسبتﻰ‬ ‫‪100‬‬

‫حﻞ‪:‬‬

‫‪77‬‬

‫را بﻪ ﺻﻮرت ﻋدد اﻋﺸـاري ﻧﻤـاﻳﺶ دﻫﻴـد‪.‬‬ ‫‪257363‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪= 2573‬‬ ‫‪= 2573 +‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 2573 +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪100 100‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 2573 + +‬‬ ‫‪= 2573.63‬‬ ‫‪10 100‬‬

‫در اﻳﻦ حاﻟت ‪ 2573‬را جزء ﺻحﻴح ﻋدد و ‪ 0.63‬را جزء اﻋﺸاري ﻋدد ﻣذﻛﻮر ﻣﻲ ﻧاﻣﻨد‪.‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫اﻋداد ‪ 2.3125‬و ‪ 0.412‬را بﻪ ﺻﻮرت اﻋداد ﻧسبتﻲ بﻨﻮﻳسﻴد‪.‬‬ ‫(‬

‫)‬ ‫‪10000‬‬

‫=‬

‫(‬

‫)‬ ‫‪10000‬‬ ‫)‬

‫‪+‬‬ ‫(‬

‫‪1000‬‬

‫(‬

‫)‬ ‫‪1000‬‬

‫=‬

‫)‬

‫‪+‬‬ ‫(‬

‫‪1000‬‬

‫(‬

‫)‬ ‫‪100‬‬

‫‪+‬‬

‫)‬

‫‪+‬‬ ‫(‬

‫‪100‬‬

‫)‬ ‫‪10‬‬

‫‪+‬‬

‫ﻣثال دوم ‪ :‬ﻋدد ‪ 2,32‬را بﻪ ﺻﻮرت ﻋدد ﻧسبتﻲ بﻨﻮﻳسﻴد‪.‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬ ‫‪200 30‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪232‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪100 100 100 100‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪2.3157‬‬ ‫‪2.3125 = 2 +‬‬ ‫(‬

‫‪10‬‬

‫‪0.412 = 0 +‬‬

‫= ‪2.32 = 2 + 0.3 + 0.02‬‬

‫ﻣﻰ تﻮاﻧﻴﻢ اﻋداد ﻧستبﻰ را بﻪ ﺷﻜﻞ اﻋداد اﻋﺸارى و اﻋداد اﻋﺸارى را بﻪ ﺷﻜﻞ اﻋداد ﻧسبتﻰ‬ ‫تبدﻳﻞ ﻧﻤاﻳﻴﻢ‪.‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬اﻋداد اﻋﺸارى ‪ 0.420 ، 0.212‬و ‪ 5.215‬را بﻪ ﺷﻜﻞ اﻋداد ﻧسبتﻰ ﻧﺸان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪2410‬‬ ‫‪235‬‬ ‫‪4250‬‬ ‫و‬ ‫‪،‬‬ ‫‪ -2‬اﻋداد ﻧسبتﻰ‬ ‫‪10000 100‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪ -3‬اﻋداد اﻋﺸارى ‪ 1.5 ، 0.5‬و ‪ 1.25‬را روى ﻣحﻮر اﻋداد ﻧﺸان دﻫﻴد‪.‬‬

‫را بﻪ ﺷﻜﻞ اﻋداد اﻋﺸارى بﻨﻮﻳسﻴد‪.‬‬

‫‪ - 4‬در جدول زﻳر‪ ،‬جزء ﺻحﻴح و جزء اﻋﺸاري ﻫر ﻋدد را در ﻣحﻞ ﻫاي ﻣﺸخﺺ ﺷده وارد‬ ‫ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫ﺟﺰء اﻋﺸﺎرى‬

‫ﺟﺰء ﺻﺤﻴﺢ‬

‫ﻋﺪﺩ اﻋﺸﺎرى‬

‫‪12.1‬‬ ‫‪13.25‬‬ ‫‪1.7394‬‬ ‫‪0.16‬‬

‫‪78‬‬

‫خﻼصﺔ فصﻞ چﻬارم‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻳﻚ ﻋدد ﻧسبتﻰ ﻋبارت از ﻋـددى است ﻛﻪ ﻣﻌﻤﻮﻻً بﻪ ﺷﻜﻞ‬ ‫‪d‬‬ ‫ﺻﻮرتﻴﻜﻪ ‪ n‬و ‪ d‬اﻋداد تام بﻮده و ‪ d 0‬ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬

‫ﻧﺸان داده ﻣﻰ ﺷﻮد‪ ،‬در‬

‫اﻋـداد ﻧـسبتـﻰ بـﻪ ﻧـام اﻋـداد ﮔـﻮﻳـا‪ ،‬اﻋـداد ﻧــاﻃــﻖ« ‪ » Rational Numbers‬ﻳـاد ﻣـﻰﺷﻮﻧد‪.‬‬

‫ﻫﻤاﻧﻄﻮرى ﻛﻪ ﻫر ﻋدد تام بدون ﺻﻔر داراى ﻋدد ﻣتﻀاد است‪ ،‬ﻫر ﻋدد ﻧسبتﻰ ﻧﻴز داراى‬ ‫ﻋدد ﻣتﻀاد ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫ساده ساختﻦ اﻋداد ﻧسبتﻰ ﻣاﻧﻨد ساده ساختﻦ ﻛسرﻋام بﻮده و در ﺻﻮرتﻰ ﻛﻪ ﺻﻮرت و‬ ‫ﻣخرج بﻪ ﻳﻚ ﻋدد ﻗابﻞ تﻘسﻴﻢ باﺷﻨد‪ ،‬آن را تﻘسﻴﻢ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ تا بﻪ اﻋدادى برسﻴﻢ ﻛﻪ دﻳﮕر‬ ‫ﻗابﻞ تﻘسﻴﻢ ﻧباﺷﻨد‪.‬‬ ‫در دو ﻋدد ﻧسبتﻲ ﻫﻤان ﻋدد بزرﮔتر است ﻛﻪ در روى ﻣحﻮر اﻋداد ﻧﻈر بﻪ ﻋدد دﻳﮕرى‪،‬‬ ‫ﻃرف راست ﻗرار دارد؛ چﻨاﻧچﻪ در ﻣﻮرد اﻋداد تام ﻧﻴز ﻣﺸاﻫده ﻛرده اﻳد‪.‬‬ ‫در ﻣﻘاﻳسﺔ دو ﻋدد ﻧسبتﻰ ﻛﻪ ﺻﻮرت ﻫا و ﻣخرج ﻫاى ﺷان با ﻫﻢ ﻣساوى ﻧباﺷﻨد‪ ،‬در اول‬ ‫باﻳد اﻳﻦ دو ﻋدد را ﻫﻢ ﻣخرج ﻧﻤﻮده و سپس با ﻫﻢ ﻣﻘاﻳسﻪ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫جﻤﻊ دو ﻋدد ﻧسبتﻰ ﻣاﻧﻨد جﻤﻊ اﻋداد ﻛسرﻋام است‪ ،‬ﻃﻮرﻳﻜﻪ اول ﻛﻮچﻜترﻳﻦ ﻣخرج‬ ‫ﻣﺸترك را پﻴدا ﻧﻤﻮده و سپس ﺻﻮرت ﻫا را ﻣاﻧﻨد اﻋداد تام باﻫﻢ جﻤﻊ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻔرﻳﻖ در اﻋداد ﻧسبﻰ ﻣاﻧﻨد ﻋﻤﻠﻴﺔ جﻤﻊ است‪ ،‬با اﻳﻦ تﻔاوت ﻛﻪ در ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻔرﻳﻖ ﻓﻘﻂ‬ ‫ﻋﻼﻣت ﻣﻔروق تﻐﻴﻴر ﻣﻰ ﻛﻨد و سپس ﻋﻤﻠﻴﺔ جﻤﻊ باﻻى آن تﻄبﻴﻖ ﻣﻰ ﮔردد‪.‬‬ ‫در جﻤﻊ و تﻔرﻳﻖ اﻋداد ﻧسبتﻰ ﻣﻰ تﻮاﻧﻴﻢ از ﻣحﻮر اﻋداد ﻧﻴز استﻔاده ﻧﻤاﻳﻴﻢ؛ چﻨاﻧچﻪ در ﻣﻮرد‬ ‫اﻋداد تام ﻧﻴز از آن استﻔاده ﻛردﻳﻢ‪.‬‬ ‫در ﻋﻤﻠﻴـﺔ ﺿـرب اﻋداد ﻧسبتﻰ‪ ،‬ﺻﻮرت ﻫـا در ﻫﻤدﻳﮕر و ﻣخرج ﻫا در ﻫﻤدﻳﮕر ﺿرب‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮﻧد؛ اﻣا در ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ‪ ،‬اول ﻣﻘسﻮم ﻋﻠﻴﻪ ﻣﻌﻜﻮس ﻣﻰ ﮔردد و سپس ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺿرب را‬ ‫اﻧجام ﻣﻰ دﻫﻴﻢ‪.‬‬

‫‪79‬‬

‫تﻤرﻳﻦ فصﻞ چﻬارم‬ ‫‪ -1‬اﻋداد ﻧسبتﻰ زﻳر را روى ﻣحﻮر اﻋداد ﻧﺸان دﻫﻴد‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪e‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪ -2‬در ﻣحﻮر اﻋداد زﻳر‪ ،‬اﻋداد ﻧسبتﻰ را ﻛﻪ باﻫﻢ جﻤﻊ ﺷده است تﻮسﻂ اﻋداد بﻨﻮﻳسﻴد‪.‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫—‪+‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬ ‫—–‬ ‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ -3‬از ﻋدد ﻧسبتﻰ ﻋدد ﻧسبتﻰ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫—–‬

‫‪–1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪–2‬‬

‫را تﻔرﻳﻖ ﻧﻤاﻳﻴد و بﻪ روى ﻣحﻮر اﻋداد ﻧﺸان دﻫﻴد‪.‬‬

‫‪ -4‬ﻋﻤﻠﻴﻪ ﻫاى زﻳر را اﻧجام دﻫﻴد‪:‬‬ ‫‪6 4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪5 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2 3‬‬

‫را بﻪ ﻋدد اﻋﺸارى تبدﻳﻞ ﻧﻤﻮده و بﻪ روى ﻣحﻮر اﻋداد ﻧﺸان دﻫﻴد و‬ ‫‪ -5‬ﻋدد ﻧسبتﻰ‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻫﻤچﻨﻴﻦ ﻣتﻀاد آن را بﻪ ﺷﻜﻞ اﻋﺸارى ﻧﻮﺷتﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪ -6‬اﻋداد اﻋﺸارى زﻳر را بﻪ ﺷﻜﻞ اﻋداد ﻧسبتﻰ بﻨﻮﻳسﻴد‪.‬‬ ‫‪1.23412‬‬

‫‪,‬‬

‫‪5.2345‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2.342‬‬

‫‪,‬‬

‫‪0.340‬‬

‫‪ -7‬دو ﻋدد اﻋﺸارى ‪ 3.234‬و ‪ 4.543‬را بﻪ اﻋداد ﻧسبتﻰ ﻧﺸان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪ -8‬اﻋداد اﻋﺸارى ‪ 1.25‬و ‪ 2.5‬را بﻪ اﻋداد ﻧسبتﻰ ﻧﺸان داده و ﻫﻢ ﻣتﻀاد آﻧﻬا را بﻪ ﺷﻜﻞ‬ ‫اﻋداد ﻧسبتﻰ بﻪ روى ﻣحﻮر اﻋداد ﻧﺸان دﻫﻴد‪.‬‬

‫‪80‬‬

‫فصل پنجم‬ ‫مثلث هاو چندضلعﻰ ها‬

‫مثلث ها در اطراف ما هستند!‬

‫اقسام مثلث از حﻴث اضﻼع‬ ‫در شكل مقابل کدام اشكال هندسﻰ را مشاهده‬ ‫مﻰ کنید؟‬

‫مثلث ها را مﻰ توانیم از نظر طول اضﻼع به سه دسته تقسیم بندي کنیم‪:‬‬ ‫ مثلثي که سه ضلع آن با هم مساوي باشند‪ ،‬مثلث متساوي اﻻضﻼع نامیده مﻰ شود‪ .‬در هر‬‫مثلث متساوي اﻻضﻼع سه زاوية آن نیز با هم برابراند‪.‬‬ ‫ مثلثﻰ که دو ضلع آن با هم مساوي باشند‪ ،‬مثلث متساوي الساقین نامیده مي شود‪ ،‬هر يک از‬‫ضلع هاى مساوي در مثلث متساوي الساقین را ساق مثلث و ضلع سوم را قاعدۀ مثلث مي نامند‪.‬‬ ‫و در مثلث متساوي الساقین دو زاوية کنار ساق ها با هم مساوي اند‪.‬‬ ‫ مثلثﻰ که طول هیچ جوره از اضﻼع آن با هم مساوي نیستند ‪ ،‬مثلث مختلف اﻻضﻼع نامیده‬‫مي شود‪.‬‬

‫)‪(a‬‬

‫متساوي اﻻضﻼع‬

‫)‪(b‬‬ ‫متساوي الساقﻴن‬

‫)‪(c‬‬

‫مختلف اﻻضﻼع‬

‫اقسام مثلث نظر به زاوﻳه ها‪:‬‬ ‫مثلث ها را از حیث زاويه نیز به سه دسته تقسیم کرده اند‪:‬‬ ‫ مثلثي که در آن يک زاوية قايمه وجود دارد‪ ،‬مثلث قايم الزاويه نامیده مي شود‪.‬‬‫ مثلثـي کـه در آن يک زاوية بزرگتر از ‪ 90 o‬وجود دارد‪ ،‬مثلث منفرجه الزاويه نامیده‬‫مي شود‪.‬‬

‫‪83‬‬

‫ مثلثي راکه در آن تـمام زاويـه هاي آن کوچكتر از ‪ 90 o‬است‪ ،‬مثلث حاده الزاويه مي نامند‪.‬‬‫مثال‪ :‬کدام يک از مثلث هاي زير حاده الزاويه‪ ،‬قايم الزاويه و منفرج الزاويه است؟‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪CF‬‬

‫‪I A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪H‬‬

‫حل‪ :‬ابتدأ زاويه هاي مثلث ها را اندازه مي گیريم‪:‬‬ ‫ مثلث ‪BAC‬که يک زاوية آن ( ‪ ) 90 o‬مﻰ باشد‪ ،‬مثلث قايم الزاويه است‪.‬‬‫ مثلث ‪ EGF‬که يک زاوية آن بزرگتر از ‪ 90 o‬است‪ ،‬مثلث منفرج الزاويه مي باشد‪.‬‬‫ مثلث ‪ DHI‬که تمام زاويه هاي آن کوچكتر از ‪ 90 o‬است‪ ،‬مثلث حاده الزاويه مي باشد‪.‬‬‫در تقسیم مثلث از حیث زاويه ها‪ ،‬زاوية قايمه را معیار قرار مﻰ دهند‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ -1‬يک مثلث متساوى اﻻضﻼع را رسم کنید که هر ضلع آن ‪ 4cm‬باشد‪.‬‬ ‫‪ -2‬در يک مثلث که طول اضﻼع آن ‪ 4cm ،5cm‬و ‪ 8cm‬باشد اين مثلث به کدام نام ياد‬ ‫مﻰ شود؟‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ -3‬مثلثﻰ را رسم نمايید که يک ضلع آن ‪ 3cm‬بوده و دو زاوية مجاور آن هريک ‪60‬‬ ‫باشد‪ ،‬نوعیت اين مثلث را معرفﻰ نمايید‪.‬‬ ‫‪ -4‬مثلثﻰ که دو ضلع آن با هم مساوى و زاويه بین آنها ‪ 90‬باشد چه نوع مثلثﻰ بوده‪ ،‬از‬ ‫حیث اضﻼع و زوايا ‪ ،‬کدام نوع مثلث مﻰ باشد؟‬ ‫‪ -5‬مثلثﻰ رسم کنید که يک زاوية آن ‪ 120o‬بوده و يک ضلع مجاور اين زاويه ‪ 4cm‬باشد‪،‬‬ ‫چند تا از اين مثلث رسم کرده مﻰ توانید؟‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ -6‬يک مثلث منفرج الزاويه رسم کنید که زاوية منفرجة آن ‪ 100‬بوده و طول دو ضلع‬ ‫مجاور اين زاويه ‪ 4cm‬و ‪ 6cm‬باشند‪.‬‬

‫‪84‬‬

‫مﻴانه‪ ،‬ارتفاع و ناصف الزاوﻳﺔ مثلث‬ ‫تا به حال سعﻰ کرده ايد‪ ،‬يک پنسل را عمود‬ ‫بگذاريد و يک شﻰ مثلثﻰ شكل را روى آن‬ ‫قرار دهید؟‬

‫فعالﻴت‬ ‫∆‬

‫يک مثلث کیفﻰ ‪ ABC‬رسم کنید‪.‬‬ ‫سه ارتفاع اين مثلث را ترسیم کنید‪.‬‬ ‫آيا نقطه يﻰ را پیدا کرده مﻰ توانید که هر سه ارتفاع مثلث در آن نقطه همديگر را قطع‬ ‫کرده باشند؟‬ ‫سه میانة اين مثلث را رسم نموده‪ ،‬آيا هرسه میانه در يک نقطه همديگر راقطع مﻰ کنند؟‬ ‫سه ناصف الزاوية اين مثلث را رسم کنید‪ .‬آيا سه ناصف الزاويه هم‪ ،‬يكديگر را در يک‬ ‫نقطه قطع مﻰ نمايند؟‬

‫فعالیت باﻻ نشان مﻰ دهد که در يک مثلث‪ ،‬سه ارتفاع ‪ ،‬سه میانه و سه ناصف الزاويه يكديگر‬ ‫را در يک نقطه قطع مﻰ نمايد‪.‬‬ ‫‪2 1‬‬

‫‪2‬‬

‫ميانه‬

‫‪85‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫ناصف الزاويه‬

‫‪1‬‬

‫ارتفاع‬

‫∆‬

‫مثال اول‪ :‬يک مثلث منفرج الزاوية ‪ ABC‬را رسم کنید‪ .‬نقطه يي را پیدا کنید که در آن‬ ‫سه ارتفاع همديگر را قطع مﻰ نمايند‪.‬‬ ‫حل‪ :‬در يک مثلث منفرج الزاويه‪ ،‬چون بعضﻰ ارتفاع ها در خارج مثلث واقع اند‪ ،‬بنابرآن‬ ‫نقطة تقاطع آن ها نیز خارج مثلث قرار دارد‪.‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪M‬‬

‫مﻴانه‪ :‬قطعه خطﻰ است که نقطه تنصیف ضلع مثلث را با راس مقابل وصل مﻰ نمايد‪.‬‬ ‫ارتفاع‪ :‬قطعه خطﻰ است که از راس مثلث به ضلع مقابل عمود باشد‪.‬‬ ‫ناصف الزاوﻳه‪ :‬قطعه خطﻰ است که زاويه مثلث را تنصیف مﻰ سازد‪.‬‬ ‫میانه ها ‪ ،‬ارتفاع ها و ناصف الزاويه هاى يک مثلث در يک نقطه همديگر را قطع مﻰ کنند‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ -1‬يک مثلث قايم الزاويه رسم کنید و نقطة تقاطع میانه ها را در آن نشان دهید‪.‬‬ ‫‪ -2‬ارتفاع هاى مثلثﻰ را رسم کنید که اضﻼع آن ‪ 3cm ، 5cm‬و ‪ 6cm‬باشد‪.‬‬ ‫‪ -3‬يک مثلث متساوى الساقین که طول هر ساق آن ‪ 4cm‬و قاعدۀ آن ‪ 6cm‬است‪ ،‬رسم‬ ‫کنید‪ ،‬نقطة تقاطع ناصف الزواياى آن را پیدا کنید‪.‬‬ ‫‪ -4‬يک مثلث متساوى اﻻضﻼع ترسیم نموده میانه ها‪ ،‬ارتفاع ها و ناصف الزاويه هاى آن را‬ ‫نشان دهید‪ .‬چه نتیجه يﻰ در آن مشاهده مﻰ کنید؟‬

‫‪86‬‬

‫زاوﻳه خارجﻰ ﻳک مثلث و‬ ‫مجموع زاوﻳه هاى داخلﻰ مثلث‬ ‫آيا مجموع زاويه هاى داخلﻰ تمام مثلث ها‬ ‫باهم مساوى اند؟‬

‫˚‪60‬‬ ‫˚‪60‬‬

‫˚‪60‬‬

‫˚‪60‬‬ ‫˚‪30‬‬

‫˚‪90‬‬

‫˚‪60˚ + 90˚ + 30˚ = 60˚ + 60˚ + 60‬‬

‫مجموع زاويه هاى داخلﻰ در تمام مثلث ها ‪ 180o‬بوده و به نوعیت مثلث ارتباط ندارد‪.‬‬ ‫∆‬ ‫مثال اول‪ :‬در مثلث متساوى الساقین ‪ ، ABC‬اندازه يكﻰ از زاويه هاى مساوى آن برابر به‬ ‫‪ 70 o‬است‪ ،‬اندازۀ زاوية سومﻰ ديگر مثلث را پیدا کنید‪.‬‬ ‫حل‪ :‬چون مثلث‪ ،‬متساوى الساقین است؛ بنا بر اين دو زاوية مجاور دو ساق با هم برابرند‪.‬‬ ‫پس‪:‬‬ ‫‪B = C = 70o‬‬ ‫چون مجموع زاويه هاى داخلﻰ يک مثلث ‪ 180 o‬است‪ ،‬بنابرآن مﻰ توان نوشت که‪:‬‬ ‫‪, 140 o + A = 180 o‬‬

‫‪, 70 o + 70 o + A = 180 o‬‬

‫‪A + B+ C = 180 o‬‬

‫از اين جا معلوم مي شود که ‪ A = 40 o‬است‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫يک مثلث قايم الزاويه رسم کنید که هر ضلع قايم آن ‪ 5cm‬باشد‪ ،‬دو زاوية ديگر اين مثلث‬ ‫چند درجه است؟ اول بدون اندازه گیرى پیدا کنید و بعد توسط اندازه گیرى دريابید‪.‬‬ ‫زاوﻳه خارجﻰ ﻳک مثلث‪:‬‬ ‫در هر مثلث زاويه يﻰ که از امتداد يكي از اضﻼع با ضلع ديگر مثلث تشكیل مي شود زاوية‬ ‫خارجي نام دارد‪ .‬اندازۀ هر زاوية خارجي در يک مثلث مساوي به مجموعة دو زاوية داخلي‬ ‫غیر مجاور آن است‪.‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬در يک مثلث قايم الزاوية متساوي الساقین مﻰ خواهیم اندازۀ زاوية خارجي را‬

‫‪87‬‬

‫که از امتداد وتر آن به دست مي آيد‪ ،‬اندازه بگیريم‪ .‬آيا در اين وضعیت فرق مي کند که وتر‬ ‫را به کدام جهت امتداد دهیم؟‬ ‫‪o‬‬ ‫حل‪ :‬چون مثلث قايم الزاويه است؛ پس يک زاوية ‪ 90‬دارد‪ .‬چون متساوي الساقین است‪،‬‬ ‫پس هر يک از زاويه هاى حادۀ آن ‪ 45 o‬است‪.‬‬ ‫‪C2 = 90 o + 45 o = 135 o‬‬

‫چون دو زاوية حاده با هم مساوي اند‪ ،‬لذا‪:‬‬ ‫زاويه هاي خارجي آن ها نیز با هم مساوي اند و فرقي نمي کند که‬ ‫زاوية خارجﻰ به کدام طرف وتر قرار داشته باشد‪.‬‬ ‫∆‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫مثال سوم‪ :‬در مثلث ‪ A = 50 ، ABC‬و ‪ B = 70‬است‪.‬‬ ‫زاوية خارجي ‪ C‬چند درجه است؟‬ ‫‪C2 = A + B = 50 o + 70 o = 120 o‬‬

‫‪C2 = A + B‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪A‬‬

‫مجموع زاويه هاى داخلﻰ يک مثلث ‪ 180o‬مﻰ باشد و به نوعیت‬ ‫مثلث ارتباط ندارد‪.‬‬ ‫زاوية خارجﻰ يک مثلث مساوى به مجموع دو زاوية داخلﻰ غیرمجاور اين مثلث مﻰ باشد‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ -1‬اگر در يک مثلث متساوى الساقین ‪ ،‬زاويه بین دو ساق برابر به ‪ 50 o‬باشد‪ ،‬هر يک از‬ ‫زاويه هاى ديگر آن چند درجه است؟‬ ‫‪ -2‬در يک مثلث متساوى اﻻضﻼع‪ ،‬هر زاوية آن چند درجه است ؟‬ ‫‪ -3‬اندازۀ زاويه هاي خارجي در مثلث متساوي اﻻضﻼع چه رابطه يﻰ با هم دارند؟‬ ‫‪ -4‬يک مثلث قايم الزاويه رسم کنید که اضﻼع آن ‪ 4cm ، 3cm‬و ‪ 5cm‬باشد؛ سپس‬ ‫مجموع زاويه هاى خارجﻰ آن را پیدا نمايید‪.‬‬ ‫‪ -5‬آيا مﻰ توانید با چند مثال نشان دهید که مجموع زاويه هاى خارجﻰ مثلث ها داراى مقدار‬ ‫ثابت است؟‬ ‫‪ -6‬مجموع زاويـه هاى خارجﻰ در يک مثلث‪ ،‬چنـد برابر مجموع زاويـه هاى داخلﻰ آن‬ ‫مﻰ باشد؟‬

‫‪88‬‬

‫چند ضلعﻲ ها (مضلع ها)‬ ‫در تصوير مقابل کدام چند ضلعي ها را‬ ‫مشاهده مي کنید؟‬

‫فعالﻴت‬ ‫به جدول زير نگاه کنید‪ .‬شكل هاي ستون ها را با هم مقايسه کنید‪.‬‬ ‫ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻰ ﻣﻨﻈﻢ‬

‫ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻰ ﺍﺳﺖ‬

‫ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻰ ﻧﻴﺴﺖ‬

‫شكل هاي ستون اول و دوم را از چپ به راست با هم مقايسه کنید‪.‬‬ ‫در چه صورت يک شكل را چند ضلعي مي نامیم و در چه صورتي يک شكل‪،‬‬ ‫چند ضلعي نیست؟‬ ‫زاويه هاي يک چند ضلعي منظم را اندازه بگیريد و بگويید که باهم چه رابطه يي دارند؟‬ ‫آيا اين خصوصیات در تمام چند ضلعي ها وجود دارند؟‬

‫‪89‬‬

‫از فعالیت فوق ديده مي شود که يک چند ضلعي عبارت از خط منكسر بسته يي است که‬ ‫فقط يک ناحیه بسته را در بر داشته باشند‪.‬‬ ‫اگــر انــدازۀ زاويه هــا و اضــﻼع يــک چند ضلعــي بــا هــم مســاوي باشــند‪ ،‬چند ضلعــي منظــم نامیــده‬ ‫مي شود و چند ضلعي يي که اضﻼع و زواياي آن مساوي نباشند‪ ،‬به نام چند ضلعي غیر منظم ياد مي گردد‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬کدام يک از شكل هاى زير يک چند ضلعﻰ است؟‬

‫)‪(b‬‬

‫)‪(c‬‬

‫)‪(f‬‬

‫)‪(e‬‬

‫)‪(a‬‬

‫)‪(d‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫شكل ( ‪ ) a‬يک شكل بسته نیست؛ پس يک چند ضلعﻰ نیست‪.‬‬ ‫شكل ( ‪ ) b‬خط منكسر بسته نیست؛ پس يک چند ضلعﻰ نیست‪.‬‬ ‫شكل ( ‪ ) c‬خط منكسر بسته است؛ پس يک چند ضلعﻰ است‪.‬‬ ‫شكل ( ‪ ) d‬خط منكسر بسته است؛ پس يک چند ضلعﻰ مﻰ باشد‪.‬‬ ‫شكل ( ‪ ) e‬خط منكسر بسته است؛ پس چند ضلعﻰ است‪.‬‬ ‫شكل ( ‪ ) f‬خط منكسر بسته است و در بین تمام اشكال فوق يگانه شكلﻰ است که اضﻼع‬ ‫آن باهم مساوى است‪ ،‬بنابرآن يک چند ضلعﻰ منظم است و ساير چند ضلعﻰ هاى فوق به نام‬ ‫چند ضلعﻰ غیر منظم نامیده مﻰ شوند که از تقاطع چند خط تشكیل مﻰ شود‪.‬‬ ‫چند ضلعﻰ ها ‪ ،‬ناحیه هاى بسته يﻰ هستند‪ ،‬طوريكه از تقاطع چند قطع خط تشكیل مﻰ شود‬ ‫و هیچ دو خط آن به امتداد يک خط مستقیم نباشدو هر رأس مضلع فقط و فقط نقطة تقاطع‬ ‫دو قطعه خط باشد‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ -1‬از تمام اشكالﻰ که تا به حال مﻰ شناسید‪ ،‬چند ضلعﻰ ها را نام ببريد‪.‬‬ ‫‪ -2‬در چند ضلعﻰ هايﻰ که تا حال مﻰ شناسید کدام هايشان چند ضلعﻰ هاى منظم را تشكیل‬ ‫میدهند؟‪.‬‬ ‫‪ -3‬آيا مستطیل‪ ،‬ذوزنقه و معین چند ضلعي هاى منظم هستند؟ چرا؟‬ ‫‪ -4‬آيا يک مثلث قايم الزاوية متساوى الساقین يک چند ضلعﻰ منظم است؟ چرا ؟‬ ‫‪ -5‬آيا يک مثلث متساوى اﻻضﻼع ‪ ،‬يک چند ضلعﻰ منظم است؟ چرا؟‬ ‫‪ -6‬اگر سه شكل يعنﻰ‪ :‬مستطیل‪ ،‬يک دايره و يک مربع را در نظر بگیريم‪ ،‬کدام يک آنها‪ ،‬چند‬ ‫ضلعﻰ نیست و کدام يک چند ضلعﻰ منظم و کدام يک چند ضلعﻰ غیر منظم است؟‬

‫‪90‬‬

‫مجموع زاوﻳه هاي داخلﻲ ﻳک مضلع‬ ‫در هر يک از مضلع هاى مقابل مجموع‬ ‫زواياي داخلﻰ آن چند درجه است؟‬

‫‪90º‬‬

‫‪90º‬‬

‫‪90º‬‬

‫‪90º‬‬

‫? = ‪90º + 90º + 90º + 90º‬‬ ‫‪108º‬‬ ‫‪108º‬‬

‫‪108º‬‬

‫‪108º 108º‬‬

‫? = ‪108º + 108º + 108º + 108º + 108º‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫در اشكال زير هر ضلع را امتداد دهید‪.‬‬

‫)‪(e‬‬

‫)‪(d‬‬

‫)‪(c‬‬

‫)‪(b‬‬

‫)‪(a‬‬

‫شكل هاى ( ‪ ) e‬و ( ‪ ) a‬چه فرقﻰ با شكل هاى ( ‪ ) d ( ، ) b‬و ( ‪ ) c‬دارند؟‬ ‫از فعالیت باﻻ نتیجه مﻰ گیريم که در بعضﻰ از چند ضلعﻰ ها‪ ،‬امتداد برخﻰ اضﻼع آن ها از داخل‬ ‫چند ضلعﻰ عبور نموده که آنها را چند ضلعﻰ مقعر مﻰ گويند و چند ضلعﻰ يي که امتداد اضﻼع‬ ‫آن از بین چند ضلعﻰ عبور نكند‪ ،‬آن را چند ضلعﻰ محدب مﻰ نامند‪ .‬ناگفته نماند که در چند‬ ‫ضلعﻰ ها هرگاه نام مقعر يا محدب ذکر نگردد‪ ،‬منظور آن چند ضلعﻰ محدب است‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫چهار ضلعي ‪ ABCD‬را در نظر بگیريد‪.‬‬ ‫زاويه هاي داخلي اين چهار ضلعي را با نقاله اندازه گرفته با هم جمع کنید‪.‬‬ ‫يک قطر چهار ضلعي را رسم کنید‪ .‬اين قطر‪ ،‬چهار ضلعي را به چند مثلث تقسیم مي کند؟‬ ‫مجموع زاويه هاي داخلي را بدون استفاده از نقاله پیدا کنید‪.‬‬ ‫اگر عوض آن قطر‪ ،‬يک قطر ديگري از اين چهار ضلعي را رسم مي کرديد آيا نتیجه‬ ‫متفاوت مﻰ بود؟‬

‫‪91‬‬

‫يک پنج ضلعي رسم کنید‪ .‬دو قطر کیفي اين پنج ضلعي را از يک رأس رسم کنید‪،‬‬ ‫مجموع زاويه هاي داخلي پنج ضلعي را پیدا کنید‪.‬‬ ‫تعداد اضﻼع‬ ‫مجموع زواياى داخلﻰ‬ ‫يک شش ضلعي رسم کنید‪ .‬فكر کنید که چند قطر بايد‬ ‫‪o‬‬ ‫رسم شود تا مجموع زاويه هاي داخلي شش ضلعي را پیدا‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1×180‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪2 × 180‬‬ ‫کنیم‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪5‬‬ ‫جدول مقابل را در کتابچه هاى خود نوشته و پُر کنید‪ .‬در‬ ‫‪3× 180‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4 × 180‬‬ ‫هر رديف چه عددي در ‪ 180‬ضرب مي شود‪ ،‬اين عدد چه‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫رابطه يﻰ با تعداد اضﻼع چند ضلعي دارد؟‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫آيا حدس زده مﻰ توانید که مجموع زواياي داخلي‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫هشت ضلعي چند درجه است؟‬ ‫مجموع زواياى داخلي ‪ n‬ضلعي چقدر است؟‬ ‫از فعالیت فوق معلوم گرديد که ‪ S = (n 2) ×180 o‬مﻰ باشد در اينجا ‪ S‬مجموع زواياى‬ ‫داخلي و ‪ n‬تعداد اضﻼع چند ضلعي را نشان مي دهد‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬مجموع زاويه هاي داخلي يک ‪ 10‬ضلعي چند درجه است؟ نیز معلوم کنید که چند‬ ‫برابر يک زاوية قايمه مي شود؟‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪S = (n 2) ×180 = (10 2) ×180 = 8 ×180 = 1440 o‬‬ ‫که ‪ 16‬چند يک زاوية قايمه مﻰ باشد‪.‬‬ ‫مجموع زاويه هاى داخلﻰ يک چند ضلعﻰ مربوط به تعداد اضﻼع آن است‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ -1‬در اشكال زير‪ ،‬چند ضلعﻰ محدب و چند ضلعﻰ مقعر را نشان دهید‪.‬‬

‫)‪d‬‬

‫)‪c‬‬

‫)‪b‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪ -2‬مجموع زواياى داخلﻰ يک ‪ 12‬ضلعﻰ را دريابید‪.‬‬ ‫‪ -3‬مجموع زواياى داخلﻰ يک ‪ 8‬ضلعﻰ چند برابر يک زاوية قايمه مﻰ شود؟‬ ‫‪ -4‬مجموع زواياى داخلﻰ يک مثلث‪ ،‬يک مربع‪ ،‬يک مستطیل و يک ‪ 20‬ضلعﻰ را از روى‬ ‫فورمول فوق دريابید‪.‬‬

‫‪92‬‬

‫مجموع زاوﻳه هاي خارجﻲ ﻳک مضلع‬ ‫‪72º‬‬

‫آيا مﻰ توانید بگويید کــه مجموع زواياى‬ ‫خارجــي يــک چنــد ضلعﻰ چنــد درجه‬ ‫است؟‬

‫‪72º‬‬

‫‪72º‬‬ ‫‪72º‬‬ ‫‪72º‬‬ ‫? = ‪72º + 72º + 72º + 72º + 72º‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫∆‬

‫يک مثلث ‪ ABC‬را در نظر بگیريد‪.‬‬ ‫ضلع ‪ AB‬را از ‪ A‬به ‪ B‬امتداد دهید‪.‬‬ ‫ضلع ‪ BC‬را از ‪ B‬به ‪ C‬امتداد دهید‪.‬‬ ‫ضلع ‪ AC‬را از ‪ C‬به ‪ A‬امتداد دهید‪.‬‬ ‫سه زاوية خارجي اين مثلث را مشخص و نامگذاري کنید‪.‬‬ ‫جدول زير را در کتابچه هاى خود نوشته و پر کنید‪.‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫چند ضلعﻰ ها‬

‫مجموع زاويه هاى‬ ‫مجموع زاويه هاى‬ ‫مجموع زاويه هاى‬ ‫داخلﻰ‬ ‫خارجﻰ‬ ‫داخلﻰ و خارجﻰ‬ ‫‪o‬‬ ‫? = ‪ ........ × 180 = ? ........................... ........ + .......‬سه ضلعﻰ‬ ‫‪o‬‬ ‫? = ‪........................... ........ + .......‬‬ ‫? = ‪ ........ × 180‬چهار ضلعﻰ‬ ‫‪o‬‬ ‫? = ‪ ........ × 180 = ? ........................... ........ + .......‬پنج ضلعﻰ‬ ‫‪o‬‬ ‫? = ‪........................... ........ + .......‬‬ ‫? = ‪ ........ × 180‬شش ضلعﻰ‬

‫‪...‬‬

‫‪...‬‬

‫‪...‬‬

‫‪...‬‬

‫يک چهار ضلعي را رسم نموده و زاويه هاي خارجي آن را نشان دهید‪.‬‬ ‫يک پنج ضلعي را رسم نموده و زاويه هاي خارجي آن را نشان دهید‪.‬‬ ‫فعالیت فوق نشان مي دهد که‪ :‬مجموع زاويه هاي خارجي در يک چند ضلعي‪ 360°‬بوده و‬ ‫به تعداد اضﻼع ارتباط ندارد‪.‬‬

‫‪93‬‬

‫‪A 2‬‬

‫‪D‬‬

‫مثال اول‪ :‬مجموع زواياى خارجﻰ يک مربع را نخست از روى‬ ‫رسم پیدا نموده و سپس آن را از روى فورمول دريافت کرده با هم‬ ‫مقايسه کنید‪.‬‬ ‫حل‪ :‬طورى که مﻰ دانیم مجموع زوايا به يک طرف خط مستقیم‬ ‫‪ 180o‬است‪ ،‬پس‪:‬‬

‫‪B1 + B 2 = 90 o + 90 o = 180 o‬‬

‫‪A1 + A 2 = 90 o + 90 o = 180 o‬‬

‫‪D1 + D 2 = 90 o + 90 o = 180 o‬‬

‫‪C1 + C 2 = 90 o + 90 o = 180 o‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2 C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫پس مجموعة زواياى خارجﻰ مربع مساوى است به‪A 2 + B 2 + C 2 + D 2 = 90 o + 90 o + 90 o + 90 o = 360 o :‬‬

‫مثلث قايم الزاوية متساوى الساقین را دريابید‪.‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬مجموع زاويه هاى خارجﻰ يک‬ ‫∆‬ ‫حل‪ :‬يک مثلث قايم الزاوية متساوى الساقین ‪ ABC‬را رسم نموده اضﻼع‬ ‫‪A‬‬ ‫آن را امتداد داده تا زاويه هاى خارجﻰ آن تشكیل گردد‪ ،‬ديده مﻰ شود‬ ‫‪45°‬‬ ‫که‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪A 2 =180o 45o = 135o‬‬ ‫‪B2 = 180o 90o = 90o‬‬

‫‪C2 = 180o 45o = 135o‬‬

‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪45°‬‬

‫‪90°‬‬ ‫‪2‬‬

‫بنابرآن مجموع زاويه هاى خارجﻰ مثلث برابر است به‪:‬‬ ‫‪A 2 + B2 + C2 =135o + 90o + 135o = 360o‬‬

‫مجموع زاويه هاى خارجﻰ هر چند ضلعﻰ ‪ 360o‬بوده و به تعداد اضﻼع آن ارتباط ندارد‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ -1‬مجموع زاويه هاى خارجﻰ يک مثلث متساوى اﻻضﻼع را دريابید‪.‬‬ ‫‪ -2‬اگر در يک مثلث متساوى الساقین ‪ ،‬زاويه بین دو ساق آن ‪ 80o‬باشد‪ ،‬مجموع زاويه هاى‬ ‫خارجﻰ آن را پیدا کنید‪.‬‬ ‫‪ -3‬مجموع زاويه هاى خارجﻰ يک ‪ 10‬ضلعي منظم را پیدا کنید‪.‬‬ ‫‪ -4‬هر يک از زاويه هاى خارجﻰ يک مستطیل چند درجه است؟ مجموع آنها را به دست‬ ‫آوريد‪.‬‬

‫‪94‬‬

‫‪B‬‬

‫اشکال انطباق پذﻳر‬ ‫طورى که مﻰ دانید اکثر قفل ها داراى دو يا‬ ‫سه کلید است‪ .‬چرا؟ اين کلید ها با همديگر‬ ‫چه رابطه دارند که قفل را باز مﻰ کنند‪،‬‬ ‫آيا در جواب هاى زير‪ ،‬جواب صحیح وجود‬ ‫دارد؟‬ ‫الف) اين کلید ها داراى عین رنگ اند‪.‬‬ ‫ب) داراى عین درازى اند‪.‬‬ ‫پ) داراى عین دندانه ها اند‪.‬‬ ‫ت) داراى عین ضخامت اند‪.‬‬ ‫ج) ب‪ ،‬پ و ت درست اند‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫يک مربع روى کاغذ رسم نموده که هر ضلع آن ‪ 4cm‬باشد‪ .‬نام آن را (الف) بگذاريد‪.‬‬ ‫يک مربع ديگرى روى کاغد رسم نموده که هر ضلع آن ‪ 6cm‬باشد‪ .‬نام آن را (ب) بگذاريد‪.‬‬ ‫يک مربع سومﻰ روى کاغذ رسم نموده که هر ضلع آن ‪ 4cm‬باشد‪ .‬نام آن را (پ) بگذاريد‪.‬‬ ‫اين مربع ها را قیچﻰ نموده و دو به دو باﻻى همديگر گذاشته باهم مقايسه کنید‪.‬‬ ‫براى نمايش انطباق پذيرى دو شكل از عﻼمت ( ) استفاده مﻰ شود‪.‬‬ ‫مثال اول‪ :‬دراشكال زير اشكالﻰ را که با هم انطباق پذير اند‪ ،‬مشخص کنید‪ (.‬اعداد مربوطه‪،‬‬ ‫اندازۀ طول را به سانتﻰ متر نشان مﻰ دهد‪).‬‬ ‫حل‪ :‬جوره هاى اشكال(‪ )a‬و (‪ )c‬با هم انطباق پذير اند؛ اما اشكال (‪ )b‬با هم انطباق پذير‬ ‫نیستند‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪4‬‬

‫)‪a‬‬

‫مثال دوم‪ :‬يک مســتطیل کیفﻰ رســم نموده؛ ســپس بگويید چگونه مي توان يک مستطیل‬ ‫ديگــرى را که با مســتطیل اولﻰ انطباق پذير باشــد رســم کرد‪ ،‬اين عمــل را چگونه انجام‬ ‫مﻰ دهید؟‬

‫‪95‬‬

‫حل‪ :‬به دو طريق اين عمل را انجام مﻰ دهیم‪.‬‬ ‫‪ -1‬مستطیل کیفﻰ ‪ ABCD‬را به رنگ روشن رسم نموده ‪،‬‬ ‫بعد يک ورق کاغذ شفاف را باﻻى شكل اولﻰ قرار مﻰ دهیم‪.‬‬ ‫از روى آن‪ ،‬شكل مستطیل را رسم مﻰ کنیم‪ .‬حاﻻ اين دو‬ ‫‪C‬‬ ‫شكل باهم انطباق پذير اند‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ -2‬چون میدانیم که زاويه هاى مستطیل هر کدام ‪ 90‬است‪F ،‬‬ ‫بنابر اين يک زاوية قايمة ‪ E‬رسم نموده و به اندازۀ دو ضلع‬ ‫مجاور مستطیل اولﻰ به طور مثال‪ :‬از اضﻼع ‪ AB‬و ‪AD‬‬ ‫عمود هاى جديد جدا نموده و اضﻼع ‪ EF‬و ‪ EH‬را به‬ ‫‪G‬‬ ‫دست مﻰ آوريم‪ .‬بعدا ً از نقاط ‪ F‬و ‪ H‬توسط پرکار به اندازۀ‬ ‫اضﻼع اولﻰ ‪ BC‬و ‪ DC‬اضﻼع ‪ FG‬و ‪ HG‬را رسم مﻰ کنیم‪.‬‬ ‫اکنون مستطیل دومﻰ ‪ EFGH‬با مستطیل ‪ ABCD‬انطباق پذير است‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪H‬‬

‫دو شكلﻰ که کام ً‬ ‫ﻼ بر هم منطبق مﻰ شوند‪ ،‬يعنﻰ يكديگر را مﻰ پوشانند‪ ،‬اشكال انطباق پذير‬ ‫نامیده مﻰ شوند‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ -1‬دو مربع که با هم انطباق پذير باشند رسم کنید‪.‬‬ ‫‪ -2‬دو لوزى داده شده است‪ ،‬چطور بدانیم که هر دو انطباق پذيراند؟‬ ‫‪ -3‬دو مثلث انطباق پذير را رسم کنید‪.‬‬ ‫‪ -4‬يک دايره به شعاع ‪ 4cm‬رسم نموده؛ سپس يک دايرۀ ديگرى ترسیم کنید که انطباق پذير‬ ‫با دايرۀ اولﻰ باشد‪.‬‬

‫‪96‬‬

‫حاﻻت انطباق پذﻳرى مثلث ها‬ ‫براي آن که ببینیم آيا دو باغچه در شكل‬ ‫انطباق پذير هستند يا خیر‪ ،‬آيا مي توانیم يكي‬ ‫از آن شكل ها را بلند کنیم روي ديگري قرار‬ ‫دهیم؟‬

‫‪ -1‬اگر دو ضلع و زاوية بین آن ها از يک مثلث با دو ضلع و زاوية بین آن ها از مثلث ديگر‬ ‫مساوي باشند اين دو مثلث باهم انطباق پذير اند‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫∆‬ ‫در شكل زير ‪ AB = BC‬و ‪ BH‬ناصف الزاوية ‪ ABC‬است‪،‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ثابت کنید که دو مثلث‬ ‫‪HBC‬‬

‫‪ABH‬‬

‫‪12‬‬

‫حل‪ :‬در مثلث هاي ‪ ABH‬و ‪ B1 = B2 : BCH‬زيرا زاوية ‪B‬‬

‫نصف گرديده است‪.‬‬ ‫اضﻼع ‪ BA = BC‬که در مثال داده شده است و‬ ‫‪( BH = BH‬ضلع مشترک)‬ ‫∆‬ ‫از اينجا معلوم مي شود که در دو مثلث ‪ ABH‬و‬ ‫∆‬ ‫‪ BCH‬که دو ضلع و زاوية بین آنها باهم مساوي‬ ‫است باهم انطباق پذير مي باشند‪.‬‬ ‫‪ -2‬انطباق پذﻳري دو مثلث از حﻴث دو زاوﻳه‬ ‫‪C′‬‬ ‫و ضلع بﻴن شان‪ :‬اگر دو زاويه و ضلع بین آن ها‬ ‫درمثلثي با دو زاويه و ضلع بین آن ها در مثلث ديگر‬ ‫مساوي باشند دو مثلث انطباق پذير اند؛ چنانچه در‬ ‫شكل مقابل‪ ،‬داريم که‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪AB = A B , A = A , B = B‬‬

‫‪97‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪H‬‬

‫‪BA‬‬

‫‪A′‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪B‬‬

‫بنابرآن دو مثلث ‪ ABC‬و ‪ A B C‬انطباق پذير اند‪.‬‬ ‫‪-3‬اانطباق پذﻳري دو مثلث از نگاه سه ضلع مساوي‪ :‬هر گاه سه ضلع از مثلثي با سه‬ ‫ضلع مثلث ديگر برابر باشند‪ ،‬اين دو مثلث با هم انطباق پذيراند‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫به طور مثال در دو مثلث زير داريم که‪C′ :‬‬ ‫' ‪AB = A' B‬‬

‫' ‪AC = A' C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B′‬‬

‫' ‪BC = B ' C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A′‬‬

‫چون سه ضلع اين دو مثلث باهم مساوى هستند‪ ،‬لذا اين دو مثلث باهم انطباق پذيراند‪ ،‬يعنﻰ‪:‬‬ ‫‪ABC‬‬

‫‪ABC‬‬

‫اگر در دو مثلث‪ ،‬دو زاويه و ضلع بین آنها با هم مســاوي باشــند‪ ،‬اين دو مثلث با هم انطباق‬ ‫پذير اند‪.‬‬ ‫اگر سه ضلع يک مثلث با سه ضلع مثلث ديگرى مساوى باشند اين دو مثلث با هم انطباق‬ ‫پذير اند‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪A‬‬

‫‪ -1‬درشــكل مقابل ‪ AE = BD‬اســت و همديگــر را در‬ ‫نقــطة تنصیف( ‪ ) C‬قطع مي کنند و نیز دو خط ‪ AE‬و ‪BD‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بر همديگر عمود اند‪ .‬ثابت کنید که ‪. ABC CDE‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪ -2‬دو مثلث متساوي الساقین قايم الزاويه کدام شرط ديگر را داشته باشند تا باهم انطباق پذير‬ ‫باشند؟‬ ‫‪ -3‬يک مثلث ‪ ABC‬قرار شكل زير داده شده است‪ ،‬يک مثلث ديگر که با مثلث داده شده‬ ‫انطباق پذير باشد رسم کنید‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪98‬‬

‫حالت انطباق پذﻳري دو مثلث‬ ‫قاﻳم الزاوﻳه‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫عﻼوه بر سه حالت که در مورد انطباق پذيرى‬ ‫دو مثلث مطالعه نموديد‪ ،‬آيا در مورد مثلث‬ ‫قايم الزاويه کدام حالت ديگري وجود دارد؟‬

‫‪A′‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C′‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪AB = A′B′‬‬ ‫^ ^‬ ‫‪B = B′‬‬

‫اول‪ :‬هر گاه وتر و يک زاوية حادۀ يک مثلث قايم الزاويه‪ ،‬با وتر و يک زاوية حادۀ مثلث‬ ‫قايم الزاوية ديگر برابر باشند‪ ،‬اين دو مثلث با هم انطباق پذير اند‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫مثال اول‪ :‬دو مثلث قايم الزاويه که وتر آنها ‪ 5cm‬و يک زاوية حادۀ آن ها ‪ 60‬باشد رسم‬ ‫کنید‪.‬‬ ‫آيا اين دو مثلث انطباق پذيراند؟‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫حل‪ :‬اول زاوية ‪ 60 o‬را رسم مﻰ کنیم‪ ،‬بعد‬ ‫‪5cm‬‬ ‫‪5cm‬‬ ‫يک ضلع آن را به اندازۀ ‪ 5cm‬جدا نموده‬ ‫از انجام اين ضلع يک عمود باﻻي ضلع ديگر‬ ‫‪60°‬‬ ‫‪60°‬‬ ‫‪C B‬‬ ‫رسم مي کنیم‪ .‬به همین ترتیب مثلث دوم را رسم ‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫مﻰ نمايیم‪.‬‬ ‫چون وتر و يک زاوية حادۀ اين دو مثلث قايم الزاويه باهم مساوي اند‪،‬‬ ‫لذا‪ :‬اين دو مثلث با هم انطباق پذير مي باشند‪.‬‬ ‫ديده مي شود که براى انطباق پذيرى مثلث هاى قايم الزاويه‪ ،‬مساوى بودن يک زاوية حاده‬ ‫و وتر کفايت مﻰ کند‪.‬‬ ‫دوم‪ :‬اگر وتر و يک ضلع مثلث قايم الزاويه با وتر ويک ضلع از مثلث قايم الزاوية ديگرى‬ ‫مساوي باشند‪ ،‬مثلث ها با هم انطباق پذيراند‪.‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬دو مثلث قايم الزاويه که وتر هر يک آنها ‪ 5cm‬و يک ضلع قايم آنها‪4cm‬‬ ‫باشد‪ .‬چگونه رسم مي کنید؟ آيا اين دو مثلث باهم‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫انطباق پذير هستند؟‬ ‫حل‪ :‬اول ضلع قايم معلوم را رسم نموده؛ سپس در‬ ‫‪5cm‬‬ ‫‪5cm‬‬ ‫‪4cm‬‬ ‫‪4cm‬‬ ‫يـک انــجام آن زاويــة قايــمه و از انــجام ديــگر‬ ‫‪60°‬‬ ‫‪60°‬‬ ‫‪C B‬‬ ‫آن ضلع قايم معلوم يک دايره يﻰ که شعاع آن به‪C‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪99‬‬

‫اندازۀ وتر باشد‪ ،‬رسم مي نمايیم‪ .‬در هر قسمتي که دايره ضلع ديگر قايم را قطع نمايد‪ .‬نقطة‬ ‫تقاطع را به انجام ضلع قايم معلوم وصل مي نمايیم‪.‬‬ ‫بــه همیــن ترتیــب يک مثلــث قايــم الزاويــة ديگــرى رســم نمــوده‪ ،‬در ايــن دو مثلث‬ ‫قايــم الزاويـه وتر ويک ضلع قايم آن ها با هم مســاوي بوده‪ ،‬لذا‪ :‬ايــن دو مثلث قايم الزاويه‬ ‫باهم انطباق پذيراند‪.‬‬ ‫مثال سوم‪ :‬در شكل زير قطر مستطیل را رسم نموده ثابت کنید که دو مثلث ‪ ABD‬و ‪CBD‬‬ ‫انطباق پذيراند ؟‬ ‫حل‪ :‬قرار شكل زير مستطیل داريم که‪:‬‬ ‫‪ AB = DC‬و ‪ BD=BD‬مﻰ باشد‪.‬‬ ‫لــذا در دو مثلــث قايــم الزاوية ‪ ABD‬و ‪ DBC‬وتر و يــک ضلع قايم با هم مســاوي اند؛‬ ‫همچنیــن مﻰ توان انطباق پذيرى دو مثلــث را به حالت دو ضلع و‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫زاوية بین آن ها بررسﻰ کرد‪:‬‬ ‫‪AB = DC‬‬ ‫(دو ضلع و زاوية بین آنها مساوى اند)‬ ‫‪AD = BC‬‬ ‫لذا‪:‬‬ ‫‪ABD DBC‬‬ ‫‪A=C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫از اينجا نتیجه گرفته مي شود که‪ :‬در مثلث هاى قايم الزاويه عﻼوه از سه حالت انطباق پذيرى‬ ‫داريم که‪:‬‬ ‫‪ -1‬اگــر وتــر و يــک زاوية حادۀ يک مثلــث قايم الزاويه بــا وتر و يک زاويــة حادۀ مثلث‬ ‫قايم الزاوية ديگر مساوي باشند‪ ،‬اين دو مثلث با هم انطباق پذيراند‪.‬‬ ‫‪ -2‬اگر وتر و يک ضلع قايم يک مثلث قايم الزاويه با وتر و يک ضلع قايم مثلث قايم الزاوية‬ ‫ديگرى مساوي باشند‪ ،‬اين دو مثلث انطباق پذيراند‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ -1‬دو مثلث قايم الزاويه که وتر آن ها ‪ 6cm‬و يک زاوية حادۀ آن ها برابر به ‪ 60 o‬باشد‪،‬‬ ‫درنظر بگیريد‪ .‬چگونه مي توانید ثابت نمايید که اين دو مثلث با هم‬ ‫‪B‬‬ ‫انطباق پذيراند؟‬ ‫‪ -2‬در شكل مقابل ‪ AC‬قطر دايره است‪ ،‬اگر در دو مثلث قايم ‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫الزاوية ‪ ABC‬و ‪ ، ADC‬ضلع ‪ BC = CD‬باشد‪ ،‬آيا اين دو مثلث‬ ‫با هم انطباق پذيراند‪ .‬چرا؟‬

‫‪D‬‬

‫‪100‬‬

‫خﻼصﺔ فصل پنجم‬ ‫مثلث ها از نظر طول اضﻼع به سه دسته تقسیم شده اند‪:‬‬ ‫مثلث متساوي اﻻضﻼع ‪ ،‬مثلث متساوي الساقین و مثلث مختلف اﻻضﻼع‬ ‫مثلث ها را از حیث زاويه نیز به سه دسته تقسیم کرده اند‪:‬‬ ‫مثلث حاده الزاويه‪ ،‬مثلث قايم الزاويه و مثلث منفرج الزاويه‬ ‫در هر مثلث‪ ،‬ارتفاع ها‪ ،‬میانه ها و ناصف الزاويه ها به ترتیب همديگر را در يک نقطه قطع‬ ‫مي کنند‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫در هر مثلث مجموع زاويه هاي داخلي آن ‪ 180‬است‪.‬‬ ‫زاويــة خارجــي يک مثلث مســاوي به مجمــوع دو زاويــة داخلي غیر مجــاور اين مثلث‬ ‫مﻰ باشد‪.‬‬ ‫در مثلث متساوى الساقین مقابل ساق هاى مساوى‪ ،‬زاويه هاى مساوى قرار دارند‪.‬‬ ‫يک چند ضلعي(مضلع) عبارت از خط منكسر بسته يي است که فقط يک ناحیه بسته را‬ ‫تشكیل مي دهد‪ ،‬که هیچ دو قطعه خط آن به امتداد يک خط مستقیم قرار نداشته باشند و هر‬ ‫رأس مضلع فقط و فقط نقطة تقاطع دو قطعه خط باشد‪.‬‬ ‫در بعضي از چند ضلعي ها امتداد يک يا برخي اضﻼع آنها از داخل چند ضلعي عبور نموده‬ ‫که آنها را چند ضلعي مقعر مي نامند و چند ضلعي يﻰ که امتداد اضﻼع آن از داخل چند‬ ‫ضلعﻰ عبور نمي کنند‪ ،‬آن را چند ضلعي محدب مي گويند‪.‬‬ ‫مجموع زاويه هاي داخلي يک ‪ n‬ضلعي برابر است به‪(n 2) × 180 o :‬‬ ‫مجموع زاويه هاي خارجي هر چند ضلعي برابر به ‪ 360 o‬بوده و به تعداد اضﻼع آنها ارتباط‬ ‫ندارد‪.‬‬ ‫دو شكلي که کام ً‬ ‫ﻼ با هم منطبق شوند‪ ،‬يعني يكديگر را بپوشانند‪ ،‬اشكال انطباق پذير‬ ‫نامیده مي شوند‪.‬‬ ‫اگر دو ضلع و زاوية بین آنها از يک مثلث با دو ضلع و زاوية بین آنها از مثلث ديگر باهم‬ ‫مساوي باشند‪ ،‬آن دو مثلث انطباق پذيراند‪.‬‬ ‫اگر دو زاويه و يک ضلع بین اين دو زاويه از يک مثلث با دو زاويه و ضلع بین اين دو زاويه‬ ‫مثلث ديگر مساوي باشند‪ ،‬اين دو مثلث باهم انطباق پذيراند‪.‬‬ ‫اگر سه ضلع يک مثلث با سه ضلع مثلث ديگر دو به دو مساوي باشند آن دو مثلث باهم‬ ‫مساوى(انطباق پذير) اند‪.‬‬ ‫در دو مثلث قايم الزاويه‪ ،‬اگر وتر ويک ضلع قايم يک مثلث‪ ،‬با وتر و يک ضلع مثلث‬ ‫قايم الزاويه ديگر مساوى باشند يا وتر ويک زاوية حادۀ آن ها دو به دو با هم مساوى باشند‪،‬‬ ‫آن دو مثلث انطباق پذيراند‪.‬‬

‫‪101‬‬

‫تمرﻳنات فصل پنجم‬ ‫‪ -1‬در مقابل هر سؤال چهار جواب داده شده اند جواب صحیح را حلقه نمايید‪.‬‬ ‫مجموع زواياي داخلي يک ‪ 9‬ضلعي مساوى است به‪:‬‬ ‫‪1260° )b‬‬ ‫‪360° )a‬‬ ‫‪ )d‬هیچكدام‬ ‫‪180° )c‬‬ ‫مجموع زواياي داخلي يک مضلع‪ 1980°‬مﻰ باشد مضلع مذکور داراي چند ضلع است؟‬ ‫‪13 )b‬‬ ‫‪18 )a‬‬ ‫‪17 )d‬‬ ‫‪11 )c‬‬ ‫اگر سه قطعه خط در يک نقطه يكديگر را قطع کنند مجموع زوايايﻰ که به دور نقطة‬ ‫تقاطع تشكیل مﻰ شود چند درجه است؟‬ ‫‪180° )b‬‬ ‫‪260° )a‬‬ ‫‪ )d‬هیچكدام‪.‬‬ ‫‪360° )c‬‬ ‫اگر اندازۀ يک زاوية داخلي يک مضلع منظم‪ 144°‬باشد تعداد اضﻼع آن مساوى است به‪:‬‬ ‫‪9 )b‬‬ ‫‪8 )a‬‬ ‫‪12 )d‬‬ ‫‪10 )c‬‬ ‫شكل زير که همة اضﻼع و زواياى آن با هم مساوى بوده به کدام نام ياد مﻰ شود؟‬

‫‪ )a‬مضلع منظم محدب ‪ 10‬ضلعي است‪.‬‬

‫‪ )b‬مضلع منظم مقعر ‪ 10‬ضلعي است‪.‬‬

‫اگر در يک مثلث دو ضلع آن با هم مساوى باشند؛ پس مثلث مذکور‪:‬‬ ‫‪ )a‬متساوي الساقین است‪.‬‬ ‫‪ )b‬متساوي اﻻضﻼع است‪.‬‬ ‫‪ )c‬مختلف اﻻضﻼع است‪.‬‬ ‫‪ )d‬مختلف الزاويه است‪.‬‬ ‫اگر در يک مثلث دو زاوية آن با هم مساوى باشند‪ ،‬پس‪:‬‬ ‫‪ )a‬مثلث مختلف اﻻضﻼع است‪.‬‬

‫‪102‬‬

‫‪ )b‬مثلث متساوى الساقین است‪.‬‬ ‫‪ )c‬مثلث متساوى اﻻضﻼع است‪.‬‬ ‫‪ )d‬هیچكدام‬ ‫اگر در يک مثلث قايم الزاويه اندازۀ يكي از زواياى حادۀ آن ‪ 60°‬باشد وسعت زاوية‬ ‫حادۀ ديگر آن مساوى است به‪:‬‬ ‫‪50°)b‬‬ ‫‪29° )d‬‬ ‫‪40° )c‬‬ ‫‪30° )a‬‬ ‫زاوية خارجﻰ يک مثلث با مجموع زواياى غیر مجاور داخلﻰ آن چه رابطه دارد؟‬ ‫‪ )b‬مساوي است ‪ )c‬کوچكتر است ‪ )d‬هیچكدام‬ ‫‪ )a‬بزرگتر است‬ ‫‪ -2‬در مقابل جملة صحیح (ص) و در مقابل جملة غلط (غ) بگذاريد‪.‬‬ ‫( )بزرگترين زاوية خارجي که از امتداد يک ضلع يک چندضلعﻰ منظم ساخته میشود‪ 120°‬است‪.‬‬ ‫( )مثلث مي تواند يک مضلع مقعر باشد‪.‬‬ ‫( )اندازۀ يک زاوية خارجي يک سه ضلعي هیچگاه کمتر از يک زاوية داخلي آن‬ ‫نمي باشد‪.‬‬ ‫( )دو ضلع غیر مجاور يک مضلع در يكي از رأس هاي مضلع مذکور با هم متقاطع اند‪.‬‬ ‫( )يک مضلع را وقتي متساوي الزوايا گويند که تمام اضﻼع آن با هم مساوي باشند‪.‬‬ ‫( )مجموع زواياي خارجي يک مضلع منظم عبارت از‪ )n-2( 180°:‬است‪.‬‬ ‫( )اگر تعداد اضﻼع يک مضلع تزايد نمايد‪ ،‬مجموع زواياي خارجي آن تزايد مي نمايد‪.‬‬ ‫( )مثلث حادالزاويه ‪ ،‬مثلثﻰ است که صرف دو زاوية آن حاده باشد‪.‬‬ ‫( )دو مثلث وقتﻰ انطباق پذير اند که طول يک ضلع و اندازۀ دو زاوية مجاور آن ها‬ ‫يک به يک مساوى باشند‪.‬‬ ‫( )اگر دو ضلع يک مثلث با هم مساوى باشند‪ ،‬زواياى مقابل اين دو ضلع نیز با هم‬ ‫مساوي اند‪.‬‬ ‫( )اندازۀ هر يک از زواياى مثلث متساوى اﻻضﻼع ‪ 61°‬است‪.‬‬ ‫( )اندازۀ زاوية خارجي يک مثلث مساوى به مجموع زواياى غیر مجاور داخلي آن مﻰ باشد‪.‬‬ ‫( )مجموع وسعت زواياى داخلي يک مثلث سه قايمه است‪.‬‬ ‫‪ -3‬جا هاي خالي را با کلمات مناسب پر نمايید‪.‬‬ ‫اگر اندازۀ يک زاوية خارجي يک مضلع منظم دو چند اندازۀ زاوية داخلي همجوار آن‬ ‫باشد مضلع مذکور ‪ .......................‬نامیده مي شود‪.‬‬ ‫با تزايد اضﻼع يک مضلع منظم‪ ،‬مجموع زواياى داخلي مضلع ‪ ................‬و مجموع‬

‫‪103‬‬

‫زواياى خارجي آن ‪ ..............‬نمي کند‪.‬‬ ‫از يک رأس هشت ضلعي ‪ ......‬قطر رسم شده مي تواند‪.‬‬ ‫اگر اندازۀ يک زاوية خارجي يک مضلع منظم ‪ 120‬درجه باشد مضلع مذکور‬ ‫داراي‪ .................‬ضلع میباشد‪.‬‬ ‫اگر مجموع اندازۀ زواياي داخلي يک مضلع مساوي به مجموع اندازۀ زواياي خارجي‬ ‫همان مضلع باشد‪ ،‬مضلع مذکور داراي ‪ ............‬ضلع است‪.‬‬ ‫يک مثلث متساوي اﻻضﻼع و يک مربع به نام ‪ ...................‬منظم ياد مي شود‪.‬‬ ‫مستقیمﻰ که دو رأس غیر مجاور يک مضلع را با هم وصل کند‪ .......،‬نامیده مي شود‪.‬‬ ‫مثلثي که هر سه ضلع آن مساوي باشند مثلث‪..........................‬نامیده مﻰ شود‪.‬‬ ‫خطي که از رأس مثلث به ضلع مقابل آن عمود باشد به نام ‪........................‬ياد مي شود‪.‬‬ ‫اگر اندازۀ زاوية رأس مثلث متساوى الساقین‪ 50°‬باشد اندازۀ هر يک از دو زاوية ديگر‬ ‫آن ‪ .................................‬است‪.‬‬ ‫‪ -4‬سؤالهاى زير را حل نمايید‪:‬‬ ‫مجموع يكي از زواياي داخلي و زاوية خارجي مجاور آن در يک مضلع چند درجه است؟‬ ‫‪A‬‬

‫در مثلث متساوى الساقین ‪ AB = AC ، A BC‬است‪ .‬اگر ‪ B‬و‬ ‫‪ C‬توسط ‪ OB‬و ‪ OC‬تنصیف گردد ثبوت کنید که‪:‬‬ ‫‪OC = OB )a‬‬

‫‪ OA )b‬ناصف الزاويه ˆ‪ A‬است‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪O‬‬

‫‪B‬‬

‫ثبوت نمايید که اندازۀ هر يک از زواياى حادۀ يک مثلث متساوي‬ ‫الساقین قايم الزاويه ‪ 45°‬است‪.‬‬ ‫در دو مثلث قايم الزاويه‪ 5 ،‬حالت را نام بگیريد که در آن دو مثلث باهم انطباق پذير‬ ‫باشند‪.‬‬ ‫قطر يک معین‪ ،‬معین را به دو مثلث تقسیم مي کند‪ ،‬با چند حالت ثابت کرده مي‪A‬توانید که‬ ‫اين دو مثلث باهم انطباق پذير اند؟‬ ‫‪42°‬‬

‫‪134°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪104‬‬

‫ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ‬

‫خﻄﻮط ﻣﻮازى و ﻋﻤﻮد‬

‫ﻃبﻴﻌت پر از خﻄﻮط ﻣﻮازى است!‬

‫خطوط موازي و عمود(‪)Parallel and Perpendicular Lines‬‬ ‫در ﺷﻜﻞ چﻨد خﻂ ﻣﺸاﻫده ﻣﻲ ﺷﻮد‪ .‬راجﻊ بﻪ‬ ‫وﺿﻌﻴت خﻄﻮط چﻪ ﮔﻔتﻪ ﻣﻲ تﻮاﻧﻴد؟‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪H‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪C‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫ابتدا خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ‪ d‬را رسﻢ ﻧﻤﻮده ﮔﻮﻧﻴا را روي خﻂ ‪ d‬ﻃﻮري‬ ‫ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ ﻧﺸان داده ﺷده است ﻣﻲ ﮔذارﻳﻢ‪ .‬رأس ﮔﻮﻧﻴا را ‪A‬‬ ‫ﻣﻲ ﻧاﻣﻴﻢ‪ ،‬خﻄﻮط ‪ AH‬و ‪ AD‬را رسﻢ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪d‬‬ ‫باﻻي خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ‪ d‬از ﻧﻘﻄﻪ ‪ A‬سﻪ خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ‪ AB ، AE‬و‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ AC‬را ﻛﻪ ﻳﻜﻲ ﻋﻤﻮد و دو خﻂ دﻳﮕر ﻣاﻳﻞ باﺷﻨد‪ ،‬رسﻢ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫تﻮسﻂ خﻂ ﻛﺶ اﻧدازه ﻛﻨﻴد ﻛﻪ ﻃﻮل ﻛدام خﻂ از ﻫﻤﻪ خﻄﻮط ﻛﻮچﻜتر است‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫‪H‬‬

‫خﻂ ‪ AH‬با خﻂ ‪ d‬زاوﻳﻪ ‪ 90o‬ﻣﻲ سازد‪ .‬ﻗﻄﻌﻪ خﻂ ‪ AH‬ﻋﻤﻮد بر خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ‪ d‬بﻮده ﻛﻪ‬ ‫اﻳﻦ ﻃﻮر ﻧﺸان داده ﻣﻲ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫‪AH d‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫خﻂ ﻛﺶ را روي ﻛاﻏذ بﮕذارﻳد‪ .‬از ﻫر دو ﻛﻨار خﻂ ﻛﺶ دو خﻂ رسﻢ ﻛﻨﻴد و اﻳﻦ خﻄﻮط‬ ‫را ‪ d1‬و ‪ d 2‬بﻨاﻣﻴد‪.‬‬ ‫باﻻي خﻂ ‪ d1‬سﻪ ﻧﻘﻄﻪ ‪ B ، A‬و ‪ C‬را اﻧتخاب و بﻪ ﻛﻤﻚ ﮔﻮﻧﻴا از ﻧﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ‪ B‬و ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫‪ C‬بر خﻂ ‪ d 2‬ﻋﻤﻮد رسﻢ ﻛﻨﻴد و ﻧﻈر بﻪ ﺷﻜﻞ ﻋﻤﻮد ﻫا را ‪ BE , AD‬و ‪ CF‬بﻨاﻣﻴد‪.‬‬ ‫ﻃﻮل ﻗﻄﻌﻪ خﻂ ﻫاى ﻣستﻘﻴﻢ ‪ ، BE ، AD‬و ‪ CF‬را اﻧدازه ﻛﻨﻴد‪ .‬در ﻣﻮرد ﻃﻮل آﻧﻬا چﻪ ﮔﻔتﻪ‬ ‫ﻣﻲ تﻮاﻧﻴد؟‬

‫‪107‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪C‬‬

‫دو خﻂ ‪ d1‬و ‪ d 2‬را ﻛﻪ ﻓاﺻﻠﻪ بﻴﻦ ﺷان ﻣساوي است‪ ،‬خﻄﻮط‬ ‫ﻣﻮازي ﻣﻲ ﻧاﻣﻨد و اﻳﻦ ﻃﻮر ﻧﺸان داده ﻣﻲ ﺷﻮد‪. d1 || d 2 :‬‬ ‫‪A‬‬ ‫دو خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ‪ AC‬و ‪ DG‬ﻛﻪ ﻓاﺻﻠﻪ بﻴﻦ آﻧﻬا ﻣساوي ﻧﻴست‬ ‫ﻃﻮرﻳﻜﻪ در ﺷﻜﻞ ﻧﻴز ﻣﺸاﻫده ﻣﻲ ﺷﻮد ﻣﻮازي ﻧﻴستﻨد؛ زﻳرا ﻛﻪ اﻣتداد ﻳاﻓتﺔ آﻧﻬا ﻳﻜدﻳﮕر را در‬ ‫ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﻣﻰ ﻛﻨﻨد و اﻳﻦ ﻃﻮر ﻧﻤاﻳﺶ داده ﻣﻲ ﺷﻮد‪AC || DG .‬‬ ‫ﻣﻰ تﻮان بﻪ ﻛﻤﻚ ﮔﻮﻧﻴا ﻳا خﻂ ﻛﺶ ﻧﺸان داد ﻛﻪ ﻓاﺻﻠﺔ بﻴﻦ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫اﻳﻦ دو ﻗﻄﻌﻪ خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ در ﻧﻘاط ﻣختﻠﻒ ﻣساوى ﻧﻴست‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ﻋﻤﻮد رســﻢ ‪F‬‬ ‫اﮔــر دو ﻗﻄﻌــﻪ خﻂ ‪ AB‬و ‪ CD‬را باﻻي ‪EF‬‬ ‫ﻛﻨﻴــﻢ ( ‪ AB EF‬و ‪ ) CD EF‬خﻄــﻮط ‪ DC‬و ‪AB‬‬ ‫ﻣﻮازى ﻣﻲ باﺷــﻨد؛ زﻳــرا اﮔر ﻣﻮازي ﻧباﺷــﻨد ﻫﻤدﻳﮕر را ﻗﻄﻊ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ﻧﻤﻮده ﻛﻪ از ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ تﻘاﻃﻊ دو ﻋﻤﻮد بر خﻂ ‪ EF‬رسﻢ ﺷده‬ ‫است و اﻳﻦ اﻣﻜان ﻧدارد‪.‬‬ ‫‪D‬‬

‫مثال‪ :‬در خﻄﻮط زﻳر خﻄﻮط ﻣﻮازي‪ ،‬ﻋﻤﻮد و ﻣتﻘاﻃﻊ راﻣﺸخﺺ ﻛﻨﻴد‪:‬‬ ‫´‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫´‪d‬‬

‫‪d‬‬ ‫‪e‬‬

‫‪a‬‬

‫´‪b‬‬

‫´‪e‬‬

‫حل‪ a ' a ، d || d ، e || e :‬و خﻄﻮط ‪ b‬و ‪ b‬با ﻫﻢ ﻣتﻘاﻃﻊ اﻧد‪.‬‬ ‫دو خﻂ ﻣســتﻘﻴﻢ را وﻗتﻲ ﻣﻮازي ﻣﻲ ﮔﻮﻳﻴﻢ ﻛﻪ خﻮد خﻄﻮط و ﻳا اﻣتداد ﺷــان ﻧﻘﻄﻪ ﻣﺸــترك‬ ‫ﻧداﺷــتﻪ باﺷــﻨد‪ .‬ﻓاﺻﻠﻪ بﻴﻦ اﻳﻦ دو خﻂ در تﻤام ﻧﻘاط ﻣســاوي ﻣﻰ باﺷــد‪ .‬دو خﻂ وﻗتﻲ با ﻫﻢ‬

‫ﻋﻤﻮداﻧد ﻛﻪ زاوﻳﻪ بﻴﻦ آن ﻫا ﻳﻚ زاوﻳﺔ ﻗاﻳﻤﻪ ( ‪ ) 90o‬باﺷد‪.‬‬ ‫تمرﻳن‬ ‫در ﺷﻜﻞ ﻛدام خﻄﻮط ﻣﻮازي اﻧد؟‬ ‫ﻛدام ﻗﻄﻌﻪ خﻂ ﻫا بر ﻫﻢ ﻋﻤﻮد اﻧد؟‬ ‫ﻛدام ﻗﻄﻌﻪ خﻂ ﻫاى ﻣستﻘﻴﻢ ﻣتﻘاﻃﻊ اﻧد؟‬ ‫ﻛدام زاوﻳﻪ ﻫا ﻗاﻳﻤﻪ اﻧد؟‬ ‫آﻳا ﻫﻤﺔ خﻄﻮط ﻣتﻘاﻃﻊ با ﻫﻢ ﻋﻤﻮد ﻣﻲ باﺷﻨد؟‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪G‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪108‬‬

‫زواﻳاي متبادلۀ داخلي و خارجﻰ‬ ‫(‪)Alternate interior and exterior angles‬‬ ‫زواﻳاى ﻣتبادﻟﺔ خارجﻰ‬

‫ﺷﻜﻞ ﻣﻘابﻞ را ﻣﺸاﻫده و در ﻣﻮرد زواﻳاي‬ ‫تﺸﻜﻴﻞ ﺷدة آن اﻇﻬار ﻧﻈر ﻧﻤاﻳﻴد‪.‬‬

‫زواﻳاى ﻣتبادﻟﺔ داخﻠﻰ‬

‫فعالﻴت‬ ‫دو خﻂ ﻣﻮازي ‪ d1‬و ‪ d 2‬و دو خﻂ ﻏﻴر ﻣﻮازي ‪ d3‬و ‪ d 4‬را رسﻢ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫دو خﻂ ﻗاﻃﻊ را ﻛﻪ ﻳﻜﻲ از آن خﻄﻮط ‪ d1‬و ‪ d 2‬و دﻳﮕر آن خﻄﻮط ‪ d 3‬و ‪ d 4‬را ﻗﻄﻊ‬ ‫ﻛﻨد رسﻢ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫زواﻳاﻳﻲ را ﻛﻪ ﻗاﻃﻊ با خﻄﻮط ﻣﻮازي ﻣﻲ سازﻧد و زواﻳاﻳﻲ را ﻛﻪ ﻗاﻃﻊ با خﻄﻮط ﻏﻴر ﻣﻮازي‬ ‫ﻣﻲ سازﻧد تﻮسﻂ ﻧﻘاﻟﻪ اﻧدازه ﻧﻤاﻳﻴد چﻪ ﻧتﻴجﻪ ﻳﻰ بﻪ دست ﻣﻲ آﻳد؟‬ ‫دو ﻗﻄﻌﻪ خﻂ ‪ AB‬و ‪ CD‬با ﻫﻢ ﻣﻮازي اﻧد و تﻮسﻂ ‪ EF‬ﻗﻄﻊ‬ ‫ﺷده اﻧد‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻃﻮري ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ ﻣﺸاﻫده ﻣﻲ ﺷﻮد ﻧاحﻴﻪ بﻴﻦ دو خﻂ را‬ ‫ﻧاحﻴﺔ داخﻠﻲ و ﻧاحﻴﺔ خارج دو ﻃرف دو خﻂ را ﻧاحﻴﺔ خارجﻲ ‪D‬‬ ‫ﻣﻲ ﮔﻮﻳﻨد‪.‬‬ ‫‪ AB || CD‬است وخﻂ ‪ LK‬اﻳﻦ دو خﻂ را ﻗﻄﻊ ﻧﻤﻮده است‪.‬‬ ‫براي ﻧﺸان دادن اﻳﻦ ﻛﻪ ‪ 3 = 6‬است‪ ،‬ﻧﻘﻄﻪ ‪ O‬را روي خﻂ‬ ‫‪ LK‬اﻧتخاب ﻧﻤﻮده از ﻧﻘﻄﺔ ‪ O‬خﻂ ﻋﻤﻮد بر ‪ AB‬و ‪ CD‬رسﻢ‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬دو ﻣثﻠث ‪ OME‬و ‪ OFN‬تﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫چــﻮن ‪ MOE = FON‬ﻣــتﻘــابــﻞ بﻪ رأس و‬ ‫‪ OME = ONF = 90o‬است؛ پس زاوﻳﻪ ﻫاي سﻮﻣﻲ اﻳﻦ‬

‫‪109‬‬

‫‪D‬‬

‫‪E‬‬ ‫ﺧﺎﺭﺟﻰ ﺧﺎﺭﺟﻰ‬

‫‪A‬‬

‫ﺩﺍﺧﻠﻰ ﺩﺍﺧﻠﻰ‬ ‫ﺧﺎﺭﺟﻰ ﺧﺎﺭﺟﻰ‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪M E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪5 6‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F N‬‬

‫‪L‬‬

‫ﻣثﻠث ﻫا ﻧﻴز با ﻫﻢ ﻣساوي ﻣﻲ باﺷﻨد‪ .‬در ﻧتﻴجﻪ ‪ 6 = 3‬ﻣﻲ ﺷﻮد‪ .‬ﻛﻪ زواﻳاى ‪ 3‬و ‪ 6‬را بﻪ ﻧام زواﻳاي‬ ‫ﻣتبادﻟﺔ داخﻠﻲ ﻳاد ﻣﻲ ﻛﻨﻨد‪ .‬بﻪ ﻫﻤﻴﻦ ترتﻴب ‪ 4 = 5‬است ﻛﻪ ‪ 5‬و=‪ 44‬ﻧﻴز زواﻳاي ﻣتبادﻟﺔ داخﻠﻲ‬ ‫ﻣﻲ باﺷﻨد‪.‬‬ ‫ﻫﻤچﻨﻴــﻦ در ﺷــﻜﻞ زواﻳــاي ‪ 2 , 7 , 1‬و ‪ 8‬زواﻳــاي ﻣتبادﻟــﺔ‬ ‫خارجﻲ ﻣﻲ باﺷــﻨد‪ ،‬پس بﻪ ﻛﻤﻚ زواﻳاي ﻣتبادﻟﺔ داخﻠﻲ دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪8=2‬‬

‫‪1=7 ,‬‬

‫مثال ‪ :‬در ﺷﻜﻞ ﻣﻘابﻞ دو زاوﻳﺔ ‪ 60o‬و ‪ 120o‬داده ﺷده اﻧد‪،‬‬ ‫زواﻳاي ‪ 6 , 5 , 3 , 2 , 1‬و ‪ 8‬چﻨد درجﻪ ﻣﻲ باﺷﻨد؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫خارجﻲ‬ ‫‪ 1 = 120o‬ﻣتبادﻟﺔ‬ ‫‪..........‬‬

‫‪ 6 = 60o‬ﻣتبادﻟﺔ داخﻠﻲ ‪،‬‬ ‫‪ 5 = 120o‬ﻣتﻘابﻞ بﻪ رأس ‪،‬‬

‫‪ 8 = 6 = 60 o‬ﻣتﻘابﻞ بﻪ رأس‬

‫‪ 5 = 3‬ﻣتبادﻟﺔ داخﻠﻲ ‪،‬‬

‫خارجﻲ‬ ‫‪........‬‬ ‫‪ 2 = 8‬ﻣتبادﻟﺔ‬

‫‪E‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪60 3‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪8 120‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫در ﻧتﻴجﻪ ‪ 3 = 120o‬است ‪ ،‬از ﻣﻘاﻳسﺔ ﻣساوات ﻓﻮق ‪ 2 = 60o‬است‪.‬‬ ‫اﮔر دو خﻂ ﻣﻮازي ‪ AB‬و ‪ CD‬تﻮسﻂ خﻂ ﻗاﻃﻊ ‪ EF‬ﻗﻄﻊ ﺷﻮد دو جﻮره زواﻳاى ﻣتبادﻟﺔ‬ ‫داخﻠﻲ و دو جﻮره زواﻳاى ﻣتبادﻟﺔ خارجﻲ را ﻣﻲ سازﻧد ﻛﻪ‪:‬‬ ‫ﻣتبادﻟﺔ داخﻠﻲ‪4 = 6 :‬‬ ‫ﻣتبادﻟﺔ خارجﻲ‪2 = 8 :‬‬

‫‪,‬و‬ ‫‪,‬و‬

‫‪3=5‬‬ ‫‪1=7‬‬

‫‪E‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫تمرﻳن‬

‫‪E‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪30 3‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ -1‬اﮔر ‪ AB || CD‬باﺷد در ﺷﻜﻞ زواﻳاي ‪2 ,6,7,8, 3, 1‬‬

‫‪150 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ 2 ,6,7,8,‬چﻨد درجﻪ ﻣﻰ باﺷﻨد؟‬ ‫و‬ ‫‪3, 1‬‬

‫‪E‬‬

‫‪ -2‬در ﺷــﻜـﻞ اﮔــر ‪ 7 = 120o‬بــاﺷـد‪ ،‬ﻣﻘـــدار زواﻳـــاي‬

‫‪B‬‬

‫‪ 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 8‬را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪A‬‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪8 120‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪110‬‬

‫موازى بودن دو خط در صورتﻰ که زواﻳاى متبادله با هم مساوى باشند‬ ‫‪K‬‬

‫در ﺷﻜﻞ ‪ 3 = 6‬است‪ ،‬ﻛﻪ دو زاوﻳﺔ ﻣتبادﻟﺔ‬ ‫داخﻠﻲ ﻣﻲ باﺷﻨد‪ ،‬آﻳا ‪ AB || CD‬ﺷده‬ ‫ﻣﻰ تﻮاﻧد؟‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪L‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫زواﻳاي ‪ 3‬و ‪ 6‬با ﻫﻢ ﻣساوي اﻧد‪.‬‬ ‫درﺷﻜﻞ ﻣﻘابﻞ از ﻧﻘﻄﺔ ‪ O‬وسﻂ خﻂ ‪ EF‬باﻻى ‪AB‬‬ ‫‪K‬‬ ‫ﻋﻤﻮد رسﻢ ﻛﻨﻴد‪ .‬ﻧﻘﻄﺔ تﻘاﻃﻊ با ‪ AB‬را ‪ M‬بﻨاﻣﻴد آن را‬ ‫‪B‬‬ ‫اﻣتداد دﻫﻴد ﻛﻪ خﻂ ‪ CD‬را در ‪ N‬ﻗﻄﻊ ﻛﻨد‪.‬‬ ‫ﻧﺸان دﻫﻴد ﻛﻪ دو ﻣثﻠث ‪ MOE‬و ‪ FON‬با ﻫﻢ ﻣساوي اﻧد‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫آﻳا خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ‪ MN‬بر خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ‪ CD‬ﻧﻴز ﻋﻤﻮد است؟‬ ‫چرا ‪ AB‬ﻣﻮازى با ‪ CD‬است؟‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪L‬‬

‫مثال اول‪ :‬در اﺷﻜال زﻳر ﻛدام دو خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ‪ AB‬و ‪ CD‬با ﻫﻢ ﻣﻮازي اﻧد ؟‬ ‫‪A‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪110°‬‬ ‫‪120°‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪E‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪110°‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫حل‪ 70o = 70o :‬ﻣتبادﻟﺔ خارجﻲ‪ ،‬پس ‪ AB || CD‬است‪.‬‬ ‫‪ 110o = 110o‬ﻣتبادﻟﺔ داخﻠﻲ‪ ،‬پس ‪ AB || CD‬است‪.‬‬ ‫‪ ،120o 110o‬پس ‪ AB || CD‬است‪.‬‬

‫‪111‬‬

‫‪K‬‬ ‫‪70°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪70°‬‬ ‫‪L‬‬

‫‪C‬‬

‫مثال دوم‪ :‬اﮔر ‪ 2 = 3 ، 1 = 2‬و ‪ 3 = 4‬باﺷﻨد ﻛدام جﻮره از خﻄﻮط ﻣﻮازي اﻧد؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫چﻮن ‪ 1 = 2‬است‪ ،‬پس ‪FG || BC‬‬

‫‪G‬‬

‫‪ 2 = 3‬است‪ ،‬پس ‪AB || CH‬‬ ‫‪ ، 3 = 4‬پس ‪ BC || DE‬ﻣﻲ باﺷد‪.‬‬

‫‪E‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3 C‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪H‬‬

‫‪F‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫اﮔر دو خﻂ تﻮسﻂ ﻳﻚ خﻂ ﻃﻮرى ﻗﻄﻊ ﺷﻮﻧد ﻛﻪ دو زاوﻳﺔ ﻣساوى ﻣتبادﻟﻪ را بسازﻧد‪ ،‬اﻳﻦ‬ ‫دوخﻂ با ﻫﻢ ﻣﻮازى اﻧد‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ -1‬در ﺷﻜﻞ زﻳر ‪ B1 = D 2‬و ‪ B2 = D1‬بﻮده‪ ،‬آﻳا ‪ AB || CD‬است؟ چرا؟‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -2‬در ﺷﻜﻞ زﻳر اﮔر‪:‬‬

‫‪ A1 = D 2‬و ‪ A 2 = D1‬باﺷﻨد‪ ،‬ﻛدام خﻄﻮط ﻣستﻘﻴﻢ با ﻫﻢ ﻣﻮازي اﻧد؟‬

‫‪A‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ -3‬در ﻫر ﻳﻚ از ﺷﻜﻞ ﻫاي زﻳر ﻛدام دو خﻂ ‪ AB‬و ‪ CD‬باﻫﻢ ﻣﻮازي اﻧد؟‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪120°‬‬ ‫‪130°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪150°‬‬

‫‪150°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪60°‬‬ ‫‪60°‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪112‬‬

‫زواﻳاي متوافقه(‪)Corresponding angles‬‬ ‫در ﺷﻜﻞ ‪ AB || CD‬است و خﻂ ‪ EF‬اﻳﻦ‬ ‫دو خﻂ را ﻗﻄﻊ ﻛرده است‪.‬‬ ‫زواﻳــاي( ‪ 4‬و ‪ 2 ( ، )8‬و ‪ 7 ( ،) 6‬و ‪ ) 3‬و‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫( ‪ 1‬و ‪ ) 5‬را بﻪ ﻧام زواﻳاي ﻣتﻮاﻓﻘﻪ ﻳاد ﻣﻲ ﻛﻨﻨد‪.‬‬ ‫آﻳا اﻳﻦ زواﻳا با ﻫﻢ ﻣساوي اﻧد؟‬

‫فعالﻴت‬

‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫ﺷﻜﻞ ﻣﻘابﻞ را در ﻧﻈر بﮕﻴرﻳد‪.‬‬ ‫چﻬار ﻃرف ﺷﻜﻞ را تﻮسﻂ ﻗﻴچﻲ ببرﻳد‪.‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪8 7‬‬ ‫سپس ﻣحﻞ ﻧﻘﻄﻪ چﻴﻦ را جدا ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪N‬‬ ‫حال ﻗﻄﻌﻪ خﻂ ‪ CD‬را بﻪ روي ﻗﻄﻌﻪ خﻂ ‪ AB‬ﻗرار دﻫﻴد ﻛﻪ ‪ M‬روى ‪ N‬ﻗرار ﮔﻴرد‪F .‬‬ ‫راجﻊ بﻪ زواﻳاي ‪ 1‬تا ‪ 8‬چﻪ ﻣﻲ تﻮان ﮔﻔت؟‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪1=5 ,‬‬ ‫=‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪=7‬‬ ‫=‪, 4‬‬ ‫بﻪ ﻛﻤﻚ ﻧﻘاﻟﻪ زواﻳاي ‪ 1‬تا ‪ 8‬را بﻪ دست آورده‪ ،‬درستﻲ برابري ﻫاي ﻓﻮق را بررسﻲ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫ﻫﻤچﻨﻴﻦ اﮔر دو خﻂ تﻮسﻂ ﻳﻚ ﻗاﻃﻊ ﻃﻮرى ﻗﻄﻊ ﺷﻮﻧد ﻛﻪ زواﻳاي ﻣساوي ﻣتﻮاﻓﻘﻪ را بسازﻧد‬ ‫اﻳﻦ دو خﻂ با ﻫﻢ ﻣﻮازي اﻧد‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫اﻧد‪.‬‬ ‫دو ﻗﻄﻌﻪ خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ‪ AB‬و ‪ CD‬تﻮسﻂ خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ‪ EF‬ﻗﻄﻊ ﺷده ‪B‬‬ ‫اﮔر ‪ 2 = 6‬باﺷد ﻣﻲ خﻮاﻫﻴﻢ ﻧﺸان دﻫﻴﻢ ﻛﻪ ‪ AB || CD‬ﻣﻲ باﺷد‪.‬‬ ‫چﻮن‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪D‬‬

‫ﻗرارﻣتﻘابﻞ بﻪ رأس ‪2 = 4‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫ﻗرار ﻣﻔروض ‪2 = 6‬‬ ‫در ﻧتﻴجﻪ ‪ 4 = 6‬است‪ .‬از ﻃرف دﻳﮕر چﻮن ‪ 4‬و ‪ 6‬زواﻳاي ﻣتبادﻟﻪ ﻣﻲ باﺷﻨد در ﻧتﻴجﻪ‬ ‫‪ AB || CD‬ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪c d‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﻣﻲ باﺷﻨد‪B .‬‬ ‫‪e f‬‬ ‫‪g h‬‬ ‫مثال اول‪ :‬در ﺷﻜﻞ‪ m = o ، b = j ، h = p :‬و ‪n = p‬‬ ‫آﻳا ﻗﻄﻌﻪ خﻂ ‪ AB‬ﻣﻮازى با ﻗﻄﻌﻪ خﻂ ‪ CD‬و ‪ d1 || d 2‬ﻣﻰ باﺷد؟‬ ‫‪i j‬‬ ‫‪k q‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪o p‬‬

‫‪113‬‬

‫‪d2‬‬

‫‪m n‬‬

‫‪d1‬‬

‫حل‪:‬‬

‫چﻮن ‪ h = p‬و ‪b = j‬‬

‫ﻣﻰ باﺷد ﻛﻪ زواﻳاى ﻣتﻮاﻓﻘﻪ اﻧد و باﻫﻢ ﻣساوى ﻣﻰ باﺷﻨد؛ پس‬

‫‪ AB || CD‬است‪.‬‬ ‫و چﻮن ‪ n = p‬و ‪ m = o‬ﻣﻰ باﺷدﻛﻪ زواﻳاى ﻣتﻮاﻓﻘﻪ اﻧد و باﻫﻢ ﻣساوى ﻣﻰ باﺷﻨد؛ پس ‪d1 || d 2‬‬

‫است‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫مثال دوم‪ :‬در ﺷﻜﻞ(‪ )a‬دو زاوﻳﺔ ‪ ABC‬و ‪ DEF‬ﻛﻪ ﺿﻠﻊ ‪ AB‬ﻣﻮازى‬ ‫و ﻫﻤجﻬت با ‪ ED‬و ﺿﻠﻊ ‪ BC‬ﻣﻮازى و ﻫﻤجﻬت با ‪ EF‬ﻣﻰ باﺷد‪ .‬آﻳا‬

‫‪G 2‬‬

‫در ﻧتﻴجﻪ‪ 1 = 3 :‬ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬

‫‪)a( B‬‬

‫‪CD‬‬

‫ﻣﻰ تﻮاﻧﻴد ﻧﺸـان دﻫﻴـد ﻛﻪ ‪ 1 = 3‬ﻣﻰ باﺷد؟‬ ‫حل‪ :‬ابتدا ﻣﻄابﻖ ﺷﻜﻞ ﻫاى(‪ )a‬و (‪ )b‬اﺿﻼع ‪ BC‬و ‪ ED‬را اﻣتداد‬ ‫ﻣﻲ دﻫﻴﻢ تا در ﻧﻘﻄﺔ ‪ G‬ﻫﻤدﻳﮕر را ﻗﻄﻊ ﻛﻨﻨد‪.‬‬ ‫در ﺷﻜﻞ ‪: a‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪E‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪1‬‬

‫ﻣتﻮاﻓﻘﻪ ‪1 = 2‬‬ ‫ﻣتﻮاﻓﻘﻪ ‪3 = 2‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪2‬‬

‫‪E‬‬

‫‪F‬‬

‫‪3‬‬

‫‪D‬‬

‫(‪)b‬‬

‫ﻫﻤچﻨﻴــﻦ در ﺷــﻜﻞ(‪ )b‬ﺿﻠــﻊ ‪ AB‬ﻣــﻮازى و ﻣختﻠــﻒ اﻟجﻬــت ‪ ED‬و ‪ BC‬ﻣــﻮازى و‬ ‫ﻣختﻠــﻒ اﻟجﻬــت ‪ EF‬ﻣﻰ باﺷــﻨد‪ .‬زواﻳاى ‪ 1‬و ‪ 3‬ﻧﻴز با ﻫﻢ ﻣســاوى ﻣﻰ باﺷــﻨد‪ .‬زﻳرا‪1 = 2 :‬‬ ‫(ﻗرارﻣتبادﻟﻪ)‪ ،‬ﻗرار(ﻣتﻮاﻓﻘﻪ) ‪3 = 2‬‬ ‫در ﻧتﻴجﻪ‪ :‬زاوﻳﻪ ﻫاى ‪ 1 = 3‬ﻣﻲ باﺷد‪.‬‬ ‫اﮔر دو خﻂ ﻣﻮازي تﻮسﻂ ﻳﻚ خﻂ ﻗاﻃﻊ ﻗﻄﻊ ﺷﻮﻧد زواﻳاي‬ ‫ﻣساوي ﻣتﻮاﻓﻘﻪ را ﻣﻲ سازﻧد و اﮔر دو خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ تﻮسﻂ خﻂ ﻗاﻃﻊ‬ ‫ﻃﻮري ﻗﻄﻊ ﺷﻮﻧد ﻛﻪ زواﻳاي ﻣساوي ﻣتﻮاﻓﻘﻪ را بسازﻧد اﻳﻦ دو خﻂ‬ ‫با ﻫﻢ ﻣﻮازي اﻧد‪.‬‬

‫ﺳﺒﺰ آﺑﻰ‬ ‫ﻗﺮﻣﺰ زﺭﺩ‬ ‫ﺳﺒﺰ آﺑﻰ‬ ‫ﻗﺮﻣﺰ زﺭﺩ‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ -1‬ﻛدام جﻮره از خﻄﻮط ﻣستﻘﻴﻢ‬ ‫با ﻫﻢ ﻣﻮازي اﻧد؟‬

‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪120°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪F‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪ -2‬دو خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ‪ AB‬و ‪ CD‬با ﻫﻢ ﻣﻮازى اﻧد‪ ،‬ﻛدام زاوﻳﻪ ﻫا‬ ‫‪B‬‬ ‫با ﻫﻢ ﻣساوي اﻧد؟‬ ‫‪D‬‬

‫‪c d‬‬ ‫‪g h‬‬ ‫‪k q‬‬ ‫‪o p‬‬

‫‪a b‬‬ ‫‪e f‬‬ ‫‪i j‬‬ ‫‪m n‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪114‬‬

‫زواﻳاي متممۀ داخلي ﻳك طرف خط قاطع(‪)Supplementary Angles‬‬ ‫اﮔر ‪ AB || CD‬و خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ‪ EF‬دو‬ ‫خﻂ ﻣﻮازي را ﻃﻮري ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ ﻣﺸاﻫده‬ ‫ﻣﻲ ﺷﻮد ﻗﻄﻊ ﻛرده باﺷد‪ .‬آﻳا ﻣﻲ تﻮاﻧﻴد بﮕﻮﻳﻴد‬ ‫ﻛﻪ ‪ 2+ 3‬چﻨد درجﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد؟‬

‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫دو خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ‪ AB‬و ‪ CD‬ﻣﻮازي اﻧد و خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ‪ EF‬آﻧﻬا را ﻣﻄابﻖ ﺷﻜﻞ ﻗﻄﻊ ﻛرده‬ ‫است‪.‬‬ ‫‪E‬‬

‫= ‪3+ 4‬‬

‫‪B‬‬

‫از ﻃرف دﻳﮕر ‪ 4 = 6‬است‪ .‬چرا؟‬ ‫از دو تساوى ﻓﻮق خاﻧﺔ خاﻟﻰ زﻳر را پر ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫= ‪3+ 6‬‬

‫بﻪ ﻛﻤﻚ ﻧﻘاﻟﻪ زاوﻳﻪ ﻫاى ‪ 3‬و ‪ 6‬را اﻧدازه ﻧﻤﻮده ﻣﻘدار زاوﻳﺔ ‪ 3+ 6‬را بﻪ دست آورﻳد‪.‬‬ ‫خاﻧﻪ خاﻟﻲ زﻳر را پر ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫= ‪4+ 5‬‬

‫مثال‪ :‬در ﺷﻜﻞ اﮔر خﻄﻮط ﻣستﻘﻴﻢ ‪ AB‬و ‪ CD‬با ﻫﻢ ﻣﻮازى باﺷﻨد اﻧدازة ‪1‬و ‪ 2‬را‬ ‫درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫و زاوﻳﺔ ‪o‬‬ ‫حل‪ :‬چﻮن ‪1‬‬ ‫‪ 75‬ﻣتﻤﻤﻪ داخﻠﻰ ﻫستﻨد و ﻣجﻤﻮع آن ﻫا ‪ 180‬است‪BC ،‬‬

‫‪1+ 75o = 180o‬‬

‫پس‪1 = 180o 75o = 105o :‬‬ ‫چﻮن زاوﻳﺔ ‪ 75o‬و ‪ 2‬ﻣتبادﻟﻪ ﻫستﻨد‪ ،‬پس‪:‬‬

‫‪115‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪1 75°‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2 = 75o‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪BC‬‬

‫ﻫرﮔاه دو خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ‪ AB‬و ‪ CD‬ﻣﻮازى باﺷﻨد و خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ‪ EF‬اﻳﻦ دو خﻂ را ﻃﻮري‬ ‫‪F‬‬ ‫ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ ﻣﺸاﻫده ﻣﻲ ﺷﻮد ﻗﻄﻊ ﻛرده باﺷد دو زاوﻳﺔ داخﻠﻲ‬ ‫ﻳﻚ ﻃرف ﻗاﻃﻊ بﻪ ﻧام زواﻳاي ﻣتﻤﻤﺔ داخﻠﻰ ﻳﻚ ﻃرف خﻂ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫ﻗاﻃﻊ ﻳاد ﮔردﻳده ﻛﻪ ﻣجﻤﻮع آن ﻣساوى بﻪ ‪ 180o‬ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬

‫‪4 3‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ 2+ 3 = 180o‬و ‪.1+ 4 = 180o‬‬ ‫و اﮔر ﻳﻚ خﻂ ﻗاﻃﻊ با دو خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ‪ ،‬دو زاوﻳﺔ ﻣتﻤﻤﺔ داخﻠﻲ‬ ‫ﻳﻚ ﻃرف خﻂ ﻗاﻃﻊ بسازد‪ ،‬اﻳﻦ دو خﻂ با ﻫﻢ ﻣﻮازي اﻧد‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪A‬‬

‫‪ -1‬در ﺷﻜﻞ دو زاوﻳﺔ ‪ ABC‬و ‪ DEF‬دارﻳﻢ ﻛﻪ‬ ‫‪ AB‬ﻣﻮازي و ﻫﻢ جﻬت ‪ ED‬و ﺿﻠﻊ ‪ BC‬ﻣﻮازي و‬ ‫ﻣـختـﻠﻒ اﻟــجﻬت ‪ EF‬ﻣﻲ بــاﺷد ﻧﺸــان دﻫــﻴد ﻛــﻪ‬ ‫‪ ABC+ DEF = 180o‬ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﻛدام جﻮره از خﻄﻮط ﻣستﻘﻴﻢ زﻳر با ﻫﻢ ﻣﻮازي اﻧد؟‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪F‬‬

‫‪G‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪99‬‬

‫‪B‬‬

‫‪o‬‬

‫‪120‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪118o‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪D‬‬

‫‪60‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪E‬‬

‫‪F‬‬

‫‪F‬‬

‫‪81‬‬

‫‪140o‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪30o‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪61‬‬

‫‪o‬‬

‫‪D‬‬

‫‪80‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪116‬‬

‫چهار ضلعﻰ ها(‪)Quadrilaterals‬‬ ‫چﻪ تﻌداد چﻬار ﺿﻠﻌﻰ ﻫا در ﺷﻜﻞ ﻗابﻞ ﺷﻤارش‬ ‫اﻧد؟‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪A‬‬

‫‪ ABCD‬ﻳﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻰ است‪ .‬چﻬار ﺿﻠﻊ‪ ،‬چﻬار رأس‪ ،‬چﻬار زاوﻳﻪ و دو‬ ‫ﻗﻄر آن را ﻧام ببرﻳد‪.‬‬ ‫ﻫرﻳﻚ از چﻬار ﺿﻠﻌﻰ ﻫاى زﻳر را ﻧام ببرﻳد‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫ﺷﻜﻞ(‪)3‬‬ ‫‪C‬‬

‫ﺷﻜﻞ(‪)1‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫ﺷﻜﻞ(‪)2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫ﺷﻜﻞ(‪)5‬‬

‫‪D‬‬

‫ﺷﻜﻞ(‪)4‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬

‫ﻃﻮرى ﻛﻪ ﻣﻰ داﻧﻴد در تﻤام چﻬار ﺿﻠﻌﻰ ﻫاى باﻻ ‪،‬بﻪ جز ذوزﻧﻘﻪ‪ ،‬اﺿﻼع ﻣﻘابﻞ آﻧﻬا دو بﻪ دو‬ ‫باﻫﻢ ﻣﻮازى اﻧد و در ذوزﻧﻘﻪ ﻓﻘﻂ دو ﺿﻠﻊ ﻣﻘابﻞ آن با ﻫﻢ ﻣﻮازى ﻫستﻨد‪.‬‬ ‫ﺷﻜﻞ ﺷﻤاره(‪ )1‬ﻣتﻮازى اﻻﺿﻼع(‪ :)Parallelogram‬ﻳﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ است ﻛﻪ اﺿﻼع‬ ‫ﻣﻘابﻞ آن دو بﻪ دو با ﻫﻢ ﻣﻮازى و ﻣساوى ﻣﻰ باﺷﻨد‪.‬‬ ‫ﺷﻜﻞ (‪ )2‬ﻣستﻄﻴﻞ(‪ :)Rectangle‬ﻳﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ است ﻛﻪ اﺿﻼع ﻣﻘابﻞ آن دو بﻪ دو‬ ‫ﻣﻮازى و ﻣساوى است و ﻫر چﻬار زاوﻳﻪ آن ﻗاﻳﻤﻪ ﻣﻰ باﺷﻨد‪.‬‬ ‫ﺷﻜﻞ (‪ )3‬ﻣربﻊ(‪ :)Square‬ﻳﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ است ﻛﻪ ﻫر چﻬار ﺿﻠﻊ آن با ﻫﻢ ﻣساوى و ﻫر‬

‫‪117‬‬

‫چﻬار زاوﻳﺔ آن ﻗاﻳﻤﻪ ﻣﻰ باﺷﻨد‪.‬‬ ‫ﺷــﻜﻞ(‪ )4‬ﻣﻌﻴﻦ ﻳا ﻟــﻮزى(‪ :)Rhombus‬ﻳــﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ اســت ﻛﻪ اﺿــﻼع ﻣﻘابﻞ آن‬ ‫دوبﻪ دوﻣــﻮازى و ﻫــر چﻬــار ﺿﻠﻊ آن با ﻫﻢ ﻣســاوى و زواﻳــاى ﻣﻘابﻞ آن ﻧﻴز با ﻫﻢ ﻣســاوى‬ ‫ﻣﻲ باﺷﻨد‪.‬‬ ‫ﺷﻜﻞ (‪ )5‬ذوزﻧﻘﻪ ﻳا ﻣﻨحرف (‪ :)Trapezoid‬چﻬار ﺿﻠﻌﻲ است ﻛﻪ ﻓﻘﻂ دو ﺿﻠﻊ ﻣﻘابﻞ آن‬ ‫با ﻫﻢ ﻣﻮازى باﺷد‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬در اﺷﻜال زﻳر ﻣربﻊ‪ ،‬ﻣستﻄﻴﻞ‪ ،‬ﻣتﻮازى اﻻﺿﻼع‪ ،‬ﻣﻌﻴﻦ ﻳا ﻟﻮزى و ذوزﻧﻘﻪ را ﻧﺸان‬ ‫دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫(‪)a‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬

‫(‪)c‬‬

‫‪B‬‬

‫(‪)b‬‬

‫‪E‬‬

‫‪G‬‬

‫‪H‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫(‪)d‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫‪D‬‬

‫حل‪ :‬در ﺷﻜﻞ (‪ABDC )a‬ﻣربﻊ و ﺷﻜﻞ ‪ FEHG‬ﻣﻌﻴﻦ ﻣﻰ باﺷد در ﺷﻜﻞ(‪ ABDC )b‬ﻳﻚ‬ ‫ذوزﻧﻘﻪ است در ﺷﻜﻞ (‪ )c‬اﺷﻜال ‪ EFDC ،ABDC‬و ‪ABFE‬ذوزﻧﻘﻪ ﻫا ﻣﻰ باﺷﻨد و در‬ ‫ﺷﻜﻞ(‪ ABDC ، )d‬ﻳﻚ ﻣتﻮازى اﻻﺿﻼع و ‪ AFCE‬ﻳﻚ ﻣستﻄﻴﻞ است‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ -1‬در ﺷﻜﻞ ﻣﻘابﻞ ﻛدام ﻳﻚ ﻣستﻄﻴﻞ و ﻛدام ﻳﻚ ذوزﻧﻘﻪ است و‬ ‫ﻧﻴز بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ در اﻳﻦ ﺷﻜﻞ چﻨد ﻣثﻠث ﻣﻮجﻮد است؟‬ ‫‪ -2‬ﻛدام جﻤﻼت درست و ﻛدام ﻧادرست اﻧد؟‬ ‫‪D‬‬ ‫ﻫﻴچﮕاه ﻳﻚ ذوزﻧﻘﻪ ﻣتﻮازى اﻻﺿﻼع ﺷده ﻧﻤﻰ تﻮاﻧد‪.‬‬ ‫اﺿﻼع ﻣﻘابﻞ ﻣستﻄﻴﻞ دو بﻪ دو ﻣﻮازي و ﻣساوي اﻧد‪.‬‬ ‫اﺿﻼع ﻣﻘابﻞ ذوزﻧﻘﻪ دو بﻪ دو ﻣﻮازي و ﻣساوي ﻣﻲ باﺷﻨد‪.‬‬ ‫ﻟﻮزى ﻳﻚ ﻣتﻮازى اﻻﺿﻼع است‪.‬‬ ‫ﻣربﻊ ﻳﻚ ﻣتﻮازى اﻻﺿﻼع است‪.‬‬ ‫ﻟﻮزى ﻳﻚ ﻣربﻊ است‪.‬‬ ‫‪ -3‬در ﺷﻜﻞ ﻣﻘابﻞ سﻪ ذوزﻧﻘﻪ‪ ،‬ﻳﻚ ﻣستﻄﻴﻞ و ﻳﻚ‬ ‫‪D‬‬ ‫ﻣتﻮازى اﻻﺿﻼع را ﻧﺸان دﻫﻴد‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫‪A‬‬

‫‪F‬‬

‫‪C‬‬

‫‪118‬‬

‫زواﻳاى مقابل متوازى اﻻضﻼع‬ ‫آﻳا زواﻳاى ﻣﻘابﻞ ﻣتﻮازى اﻻﺿﻼع با ﻫﻢ‬ ‫ﻣساوى اﻧد؟‬

‫فعالﻴت‬ ‫ﻣتﻮازى اﻻﺿﻼع ‪ ABDC‬داده ﺷده است‪.‬‬ ‫چﻮن ‪ ، AB || CD‬پس‬ ‫چﻮن ‪ ، AC || BD‬پس‬ ‫از رابﻄﺔ باﻻ دارﻳﻢ‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫=‪A+C‬‬ ‫=‪C+D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A+C=C+‬‬ ‫=‬

‫از تﻔرﻳﻖ ﻛردن ‪ C‬از ﻫر دو ﻃرف چﻪ رابﻄﻪ ﻳﻰ بﻪ دست ﻣﻲ آﻳد؟‬ ‫راجﻊ بﻪ زواﻳاى ‪ A‬و ‪ D‬چﻪ ﻣﻰ تﻮان ﮔﻔت؟ بﻪ ﻫﻤﻴﻦ ترتﻴب ﻧﺸان دﻫﻴد ‪B = C‬‬ ‫ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫در ﻳﻚ ﻣتﻮازى اﻻﺿﻼع زواﻳاى ﻣﻘابﻞ آن با ﻫﻢ ﻣساوى اﻧد‪.‬‬ ‫مثال ‪ :‬ﺷﻜﻞ ‪ABDC‬ﻳﻚ ﻣتﻮازى اﺿﻼع است‪ ،‬اﻧدازه‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪110°‬‬

‫زواﻳاى ‪ B‬و ‪ D‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬چﻮن زواﻳاى ﻣﻘابﻞ ﻳﻚ ﻣتﻮازى اﻻﺿﻼع باﻫﻢ‬ ‫ﻣساوى اﻧد‪،‬پس ‪ D = A = 110o‬و ‪B = C = 70o‬‬

‫‪119‬‬

‫‪D‬‬

‫‪70°‬‬

‫‪C‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪B‬‬

‫چﻬارﺿﻠﻌﻰ‪ ABDC‬را درﻧﻈر ﻣﻰ ﮔﻴرﻳﻢ‪.‬‬ ‫= ‪)I(........ A + B+ C+ D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B =, C , A =,‬‬ ‫با تﻮجﻪ بﻪ تساوي زواﻳاي ﻣﻘابﻞ ﻣتﻮازى اﻻﺿﻼع دارﻳﻢ‪A:‬‬ ‫اﻛﻨﻮن در رابﻄﻪ (‪ )I‬بﻪ ﻋﻮض ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﻘدار ﻫاى ‪ C‬و ‪ D‬را ﻣﻰ ﮔذارﻳﻢ‪.‬‬

‫‪B C‬‬

‫=‪D+C+C+D‬‬

‫از رابﻄﺔ ﻓﻮق‬

‫= ‪2C + 2D‬‬ ‫=‪C+D‬‬

‫ﻗﻄﻌﻪ خﻂ ﻫاى‪ AB‬و ‪ CD‬چﻪ رابﻄﻪ اى با ﻫﻢ دارﻧد؟‬ ‫بﻪ ﻃﻮر ﻣﺸابﻪ چﻪ رابﻄﻪ ﻳﻲ بﻴﻦ ‪ AC‬و ‪ BD‬وجﻮد دارد؟‬ ‫اﮔر در ﻳﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻰ زواﻳاى ﻣﻘابﻞ آن با ﻫﻢ ﻣساوى باﺷﻨد ‪ ،‬اﻳﻦ چﻬار ﺿﻠﻌﻰ ﻣتﻮازى اﻻﺿﻼع‬ ‫است‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ -1‬اﮔر در ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع زﻳر ‪ D = 110o‬باﺷد‪ ،‬زواﻳاى ‪ A , B‬و ‪ C‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪110o‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -2‬ﻫرﮔاه ﻗﻄر ﻳﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ‪ ،‬چﻬار ﺿﻠﻌﻰ را بﻪ دو ﻣثﻠث اﻧﻄباق پذﻳر تﻘسﻴﻢ ﻛﻨد‪ ،‬آﻳا اﻳﻦ‬ ‫چﻬار ﺿﻠﻌﻲ ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع است؟‬

‫‪120‬‬

‫زواﻳاي خارجي ﻳك چهار ضلعي‬ ‫آﻳــا ﻣﻲ تﻮاﻧﻴــد بﮕﻮﻳﻴد ﻛــﻪ ﻣجﻤــﻮع زواﻳاي‬ ‫خارجﻲ ﻳﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ چﻨد درجﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد؟‬

‫‪5‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪D‬‬

‫‪2‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪C‬‬

‫‪7‬‬

‫اﺿﻼع ‪ BD ، AB ، AC‬و ‪ CD‬را ﻣﻄابﻖ ﺷﻜﻞ باﻻ اﻣتداد ﻣﻲ دﻫﻴﻢ‪ .‬زواﻳاي ‪، 6 ، 5‬‬ ‫‪ 7‬و ‪ 8‬زواﻳاي خارجﻲ اﻳﻦ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ ﻣﻲ باﺷﻨد‪.‬‬ ‫ﻣﻲ خﻮاﻫﻴﻢ ﻧﺸان دﻫﻴﻢ ﻛﻪ ‪ 5+ 6+ 7 + 8 = 360o‬ﻣﻲ باﺷد‪.‬‬

‫‪1 + 5 = 180°‬‬ ‫‪2 + 6 = 180°‬‬ ‫‪4 + 7 = 180°‬‬

‫اﮔر ﻫر دو ﻃرف را جﻤﻊ ﻛﻨﻴﻢ دارﻳﻢ ﻛﻪ‪:‬‬

‫‪3 + 8 = 180°‬‬

‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪1+ 2+ 3+ 4 + 5+ 6+ 7 + 8 = 180 + 180 + 180 + 180‬‬

‫با تﻮجﻪ بﻪ اﻳﻦ ﻛﻪ ﻣجﻤﻮع‬ ‫زواﻳاى داخﻠﻰ چﻬارﺿﻠﻌﻰ ‪360°‬‬ ‫‪ 360°‬است دارﻳﻢ‪:‬‬

‫‪+‬‬

‫‪360°‬‬

‫= ‪5+ 6 + 7 + 8‬‬

‫‪360° +‬‬

‫در ﻧتﻴجﻪ ‪ 5+ 6+ 7+ 8 = 360o‬پس ﻣجﻤﻮع زواﻳاى خارجﻰ ﻳﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻰ ‪ 360o‬ﻣﻴباﺷد‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫در ﺷﻜﻞ دو زاوﻳﺔ خارجﻲ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ ﻧاﻣﻌﻠﻮم‬ ‫ﻣﻲ باﺷد‪ .‬زاوﻳﻪ ﻫاي ﻧاﻣﻌﻠﻮم را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪121‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪80°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪70°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪140°‬‬

‫‪C‬‬

‫مثال‪ :‬سﻪ زاوﻳﺔ خارجﻲ اﻳﻦ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ داده‬ ‫ﺷده اﻧد‪ .‬زاوﻳﺔ چﻬارﻣﻲ آن چﻨد درجﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪150 + 30 + 85 = 265o‬‬ ‫چﻮن ﻣجﻤﻮﻋﺔ ﻫـــر چﻬار زاوﻳﺔ خــارجﻲ ﻳﻚ‬ ‫چﻬار ﺿﻠﻌﻲ ‪ 360o‬ﻣﻲ باﺷد‪.‬‬ ‫زاوﻳﺔ چﻬارﻣﻲ ﻣساوي است بﻪ‪360o 265o = 95o :‬‬

‫‪85°‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪150°‬‬

‫ﻣجﻤﻮﻋﺔ زواﻳاي خارجﻲ ﻳﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ ‪ 360o‬ﻣﻲ باﺷد‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ -1‬ﻣجﻤﻮع سﻪ زاوﻳﺔ خارجﻲ ﻳﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ ‪ 301o‬ﻣﻲ باﺷد‪ .‬زاوﻳﺔ چﻬارﻣﻰ اﻳﻦ‬ ‫چﻬار ﺿﻠﻌﻲ چﻨد درجﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد؟‬ ‫‪ -2‬در ﺷﻜﻞ ﻣﻘابﻞ ﻳﻚ زاوﻳﺔ خارجﻲ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ داده‬ ‫ﺷده است سﻪ زاوﻳﺔ خارجﻲ دﻳﮕري اﻳﻦ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ را‬ ‫درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪D‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪A 1110°‬‬

‫‪ -3‬آﻳا ﻣجﻤﻮع چﻬار زاوﻳﺔ داخﻠﻲ ﻳﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ با‬ ‫ﻣجﻤﻮع چﻬار زاوﻳﺔ خارجﻲ ﻳﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ ﻣساوي‬ ‫است؟ چرا؟‬ ‫‪ -4‬ﻣجﻤﻮع زواﻳاى داخﻠﻲ و خارجﻲ ﻳﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ ﻣساوي است بﻪ‪:‬‬ ‫‪a) 360o‬‬ ‫‪b) 720o‬‬ ‫‪ -5‬ﻫرﮔاه ﻣجﻤﻮع سﻪ زاوﻳﺔ داخﻠﻲ ﻳﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ ‪ 315o‬باﺷد‪ .‬زاوﻳﺔ چﻬارم داخﻠﻰ اﻳﻦ‬ ‫چﻬارﺿﻠﻌﻲ ﻣساوى است بﻪ‪:‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪a) 50‬‬ ‫‪b) 45‬‬ ‫‪c) 25o‬‬

‫‪122‬‬

‫خاصﻴت هاي قطرهاي چهار ضلعي‬ ‫خاصﻴت هاى قطر هاي متوازي اﻻضﻼع‬ ‫در ﻣﻮرد ﻗﻄرﻫاي ﻳﻚ ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع چﻪ‬ ‫ﻣﻰ تﻮان ﮔﻔت؟‬

‫‪B‬‬

‫‪2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪3‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ BC‬و ‪ AD‬دو ﻗﻄر ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع ‪ ABDC‬ﻣﻲ باﺷد‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫ابتدأ ﻃﻮل ﻗﻄر ﻫاي ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫ﮔﻔتﻪ ﻣﻲ تﻮاﻧﻴد ﻛﻪ ﻗﻄر ﻫا با ﻫﻤدﻳﮕر چﻪ رابﻄﻪ ﻳﻰ دارﻧد؟‬ ‫خاﻧﻪ ﻫاي خاﻟﻲ زﻳر را پر ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫چرا؟‬ ‫=‪1‬‬ ‫چرا؟‬

‫=‪3‬‬

‫چرا؟‬

‫= ‪AB‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪C‬‬

‫چرا؟‬ ‫آﻳا ﻣﻲ تﻮاﻧﻴد از تساوي دو ﻣثﻠث ‪ ABE‬و ‪ CED‬بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ ﻗﻄرﻫاي ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع‬ ‫ﻳﻜدﻳﮕر را ﻧﺼﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﻨد؟‬ ‫ﻗﻄرﻫاي ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع ﻳﻜدﻳﮕر را ﻧﺼﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﻨد‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬در ﻣتــﻮازي اﻻﺿﻼع ‪ ABDC‬ﻗــﻄر ‪ BC = 8cm‬و ﻗﻄر ‪ AD = 6cm‬ﻣﻲ باﺷــد‬ ‫ﻃﻮل ‪ AE‬و‪ EC‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪123‬‬

‫‪C‬‬

‫حل‪ :‬چﻮن ﻗﻄر ﻫاي ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع ﻳﻜدﻳﮕر را تﻨﺼﻴﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﻨد‪ .‬بﻨابراﻳﻦ‪:‬‬ ‫‪BC 8cm‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫=‬ ‫‪= 4cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪AD‬‬ ‫= ‪EC‬‬

‫‪،‬‬

‫‪AD‬‬ ‫‪AD 6cm‬‬ ‫=‬ ‫‪= 3cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪AD‬‬ ‫‪AE‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ -1‬در چﻬار ﺿﻠﻌﻲ زﻳر ﻗﻄﻌﻪ خﻂ ﻫاي ﻧاﻣﻌﻠﻮم را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪2.5cm‬‬

‫‪D‬‬

‫‪2cm‬‬ ‫‪3cm‬‬ ‫‪4.5cm‬‬

‫‪R‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪-2‬ﻛاﻣﻞ ترﻳﻦ جﻮاب را ﻧﺸاﻧﻰ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫در ﻳﻚ ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع ﻗﻄرﻫا‪:‬‬ ‫‪ )a‬بر ﻫﻢ ﻋﻤﻮداﻧد‪.‬‬ ‫‪ )b‬ﻳﻜدﻳﮕر را تﻨﺼﻴﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﻨد‪.‬‬ ‫‪ )c‬ﻫر دو درست است‪.‬‬ ‫‪ -3‬در ﻳﻚ ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع‪:‬‬ ‫‪ )a‬زواﻳاي ﻣﻘابﻞ آن دو بﻪ دو با ﻫﻢ ﻣساوي اﻧد‪.‬‬ ‫‪ )b‬اﺿﻼع ﻣﻘابﻞ آن دو بﻪ دو باﻫﻢ ﻣساوي اﻧد‪.‬‬ ‫‪ )c‬ﻫر دو درست است‪.‬‬ ‫‪ -4‬از تﻘاﻃﻊ ﻗﻄر ﻫاي ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع‪:‬‬ ‫‪ )a‬دو جﻮره ﻣثﻠث ﻫاي اﻧﻄباق پذﻳر تﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲ ﺷﻮﻧد‪.‬‬ ‫‪ )b‬چﻬار ﻣثﻠث اﻧﻄباق پذﻳر تﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲ ﺷﻮﻧد‪.‬‬

‫‪124‬‬

‫قطر هاي مستطﻴل‬ ‫در ﺷــﻜﻞ ﻣﻘابــﻞ ســﻄح روي ﻣﻴز ﻛدام‬ ‫ﺷﻜﻞ ﻫﻨدســﻲ را دارد‪ .‬در ﻣﻮرد خﻮاص‬ ‫آن چﻪ ﻣﻲ داﻧﻴد؟‬

‫فعالﻴت‬ ‫ﻣستﻄﻴﻞ ‪ ABDC‬را در ﻧﻈر بﮕﻴرﻳد‪:‬‬ ‫ﻗﻄر ﻫاي ﻣستﻄﻴﻞ را رسﻢ ﻧﻤﻮده ﻧﻘﻄﺔ تﻘاﻃﻊ را ‪ E‬بﻨاﻣﻴد‪.‬‬ ‫تﻮسﻂ خﻂ ﻛﺶ اﻧدازه ﻛﻨﻴد ﻛﻪ آﻳا ﻗﻄر ﻫاي ﻣستﻄﻴﻞ با ﻫﻢ ﻣساوي اﻧد؟‬ ‫با در ﻧﻈر داﺷت ﺷﻜﻞ زﻳر دو ﻣثﻠث ‪ ACD‬و ‪ ، BCD‬خاﻧﻪ ﻫاي خاﻟﻲ زﻳر را پر ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫= ‪DB‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫=‪C‬‬

‫ﺿﻠﻊ ﻣﺸترك‬

‫‪E‬‬

‫=‬ ‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫راجﻊ بﻪ دو ﻣثﻠث ‪ ACD‬و ‪ BCD‬چﻪ ﻣﻲ تﻮان ﮔﻔت؟‬ ‫ﻣﻲ تﻮاﻧﻴد بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ ‪ BC = AD‬ﻣﻲ باﺷد؟‬ ‫در ﻫر ﻣستﻄﻴﻞ ﻗﻄرﻫا با ﻫﻢ ﻣساوي و ﻳﻜدﻳﮕر را تﻨﺼﻴﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﻨد‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬در ﺷﻜﻞ ﻣﻘابﻞ ‪ AD‬و ‪ BC‬ﻗﻄر ﻫاي ﻣستﻄﻴﻞ‬ ‫‪ AD‬باﺷد ﻃﻮل‬ ‫‪ ABDC‬ﻣﻲ باﺷﻨد‪ ،‬اﮔر ‪ED = 4cm‬‬ ‫‪ BC‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪125‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫حـل‪ :‬چــﻮن ﻗﻄرﻫــاي ﻣســتﻄﻴﻞ ﻳﻜدﻳﮕــر را تﻨﺼﻴــﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﻨد؛ پــس‪ AE = 4cm :‬و‬ ‫‪ AD = 8cm‬ﻣﻲ باﺷﻨد‪.‬‬ ‫از ﻃــرف دﻳﮕــر چــﻮن ﻗﻄر ﻫاي ﻣســتﻄﻴﻞ بــا ﻫﻢ دﻳﮕر ﻣســاوي اﻧــد‪ ، BC = AD .‬پس‬ ‫‪ BC = 8cm‬ﻣﻲ باﺷد‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ -1‬در ﻣستﻄﻴﻞ زﻳر ﻃﻮل ﻫاي ﻧا ﻣﻌﻠﻮم را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪8cm‬‬ ‫‪5cm‬‬

‫‪6cm‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ -2‬اﮔر ‪ BC = 6cm‬باﺷد‪ ،‬ﻃﻮل ‪ EB ، ED ، AE ، AD‬و ‪ EC‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -3‬اﮔر ﻳﻚ ﻗﻄر ﻣستﻄﻴﻞ ‪ 18cm‬باﺷد اﻧدازة ﻗﻄر دﻳﮕر اﻳﻦ ﻣستﻄﻴﻞ ﻣساوي است بﻪ‪:‬‬ ‫‪a) 9cm‬‬ ‫‪b) 18cm‬‬ ‫‪c) 4.5cm‬‬ ‫‪ -4‬اﮔر ﻧﺼﻒ ﻳﻚ ﻗﻄر ﻳﻚ ﻣستﻄﻴﻞ ‪ 6cm‬باﺷد‪ ،‬ﻫر ﻗﻄر اﻳﻦ ﻣستﻄﻴﻞ ﻣساوي است بﻪ‪:‬‬ ‫‪a) 12cm‬‬ ‫‪b) 6cm‬‬ ‫‪c) 24cm‬‬ ‫‪ -5‬از تﻘاﻃﻊ ﻗﻄرﻫاي ﻳﻚ ﻣستﻄﻴﻞ چﻨد ﻣثﻠث اﻧﻄباق پذﻳر تﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲ ﺷﻮﻧد؟‬ ‫‪b( 4‬‬ ‫ﻫر دو ﻏﻠﻂ اﻧد (‪c‬‬

‫‪a( 2‬‬

‫‪ -6‬ﻛاﻣﻞ ترﻳﻦ جﻮاب را ﻧﺸاﻧﻰ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫در ﻣستﻄﻴﻞ ﻗﻄر ﻫا‪:‬‬ ‫‪ )a‬با ﻫﻢ ﻣساوي اﻧد‪.‬‬ ‫‪ )b‬ﻳﻜدﻳﮕر را تﻨﺼﻴﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﻨد‪.‬‬ ‫‪ )c‬ﻫر دو درست است‪.‬‬ ‫‪ -7‬چﻬار ﺿﻠﻌﻲ ﻫاﻳﻲ ﻛﻪ تﻤام خﻮاص ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع را دارﻧد‪ ،‬ﻋبارت اﻧد از‪:‬‬ ‫‪ )d‬ﻫر سﻪ درست اﻧد‬ ‫‪ )c‬ﻣستﻄﻴﻞ‬ ‫‪ )b‬ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي)‬ ‫‪ )a‬ﻣربﻊ‬

‫‪126‬‬

‫قطرهاي لوزي(معﻴن)‬ ‫در ﺷﻜﻞ ﻣﻘابﻞ اﺷﻜال ﻫﻨدسﻲ را ﻧام ببرﻳد‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫ﻳﻚ ﻟﻮزي را ترسﻴﻢ ﻧﻤاﻳﻴد ﻛﻪ ﻳﻚ ﺿﻠﻊ آن ‪ 4cm‬و ﻳﻚ زاوﻳﺔ آن ‪ 50o‬باﺷد‪.‬‬ ‫ﻗﻄر ﻫاي اﻳﻦ ﻟﻮزي را رسﻢ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫زاوﻳﻪ بﻴﻦ ﻗﻄر ﻫاي اﻳﻦ ﻟﻮزي را اﻧدازه ﻛﻨﻴد‪ .‬در ﻣﻮرد آن چﻪ ﻣﻲ تﻮان ﮔﻔت؟‬ ‫‪ AC‬و ‪ BD‬دو ﻗﻄر ﻟﻮزي ‪ ABCD‬ﻣﻲ باﺷﻨد‪.‬‬ ‫ﻣﻲ خﻮاﻫﻴﻢ ثبﻮت ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﻗﻄرﻫاي ﻳﻚ ﻟﻮزي باﻻي ﻳﻜدﻳﮕر ﻋﻤﻮد‬ ‫اﻧد‪.‬‬ ‫در ﻟﻮزي ‪ ABCD‬دارﻳﻢ ﻛﻪ‪:‬‬ ‫اﺿﻼع ﻟﻮزي با ﻫﻢ ﻣساوى اﻧد ‪AB = BC = CD = AD ....‬‬ ‫‪C‬‬ ‫از ﻃرف دﻳﮕر دو ﻗﻄر ‪ AC‬و ‪ BD‬ﻳﻜدﻳﮕر را تﻨﺼﻴﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﻨد‪.‬‬ ‫(ﻟﻮزي ﻳﻚ ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع است‪).‬‬ ‫پس‪:‬‬ ‫‪EB = ED‬‬

‫‪AE = EC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫دو ﻣثﻠث ‪ ABC‬و ‪ ACD‬ﻣتساوي اﻟساﻗﻴﻦ ﻣﻲ باﺷﻨد‪(.‬اﺿﻼع ﻟﻮزي با ﻳﻜدﻳﮕر ﻣساوي اﻧد)‪.‬‬ ‫در ﻣثﻠث ﻣتساوي اﻟساﻗﻴﻦ ‪ ABC‬ﺿﻠﻊ ‪ AC‬بﻪ دو ﻗسﻤت ﻣساوي تﻘسﻴﻢ ﺷده است‪.‬‬ ‫بدﻳﻦ ﻣﻌﻨﻲ ﻛﻪ خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ‪ BE‬ﻣﻴاﻧﻪ و ارتﻔاع ﻣثﻠث ‪ ABC‬ﻧﻴز ﻣﻲ باﺷد‪.‬‬ ‫چﻮن در ﻧﻘﻄﺔ ‪ E‬خﻂ ﻣسﻘتﻴﻢ ‪ BE‬ﻋﻤﻮد بر ‪ AC‬و ﻫﻤچﻨﻴﻦ در ﻧﻘﻄﺔ ‪ E‬خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ‪ED‬‬

‫‪127‬‬

‫ﻋﻤﻮد بر ‪ AC‬ﻣﻲ باﺷد‪.‬‬ ‫در نتﻴجه‪ BD AC :‬ﻣﻲ باﺷد‪.‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪34‬‬

‫مثال ‪ :‬در ﺷﻜﻞ ﻣﻘابﻞ ‪ AC‬و ‪ BD‬ﻗﻄر ﻫاي ﻟﻮزي ‪ABCD‬‬ ‫ﻣﻲ باﺷﻨد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪A 2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫اﮔر ‪ A1 = A 2 = C5 = C6 = 60o‬باﺷﻨد‪.‬‬ ‫‪E 6‬‬ ‫اﻧدازة زواﻳاي ‪ D7 ، B4 ، B3‬و ‪ D8‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪87‬‬ ‫حل‪ :‬چﻮن ﻣثﻠث ﻫاي ‪ CDE ، BCE ، ABE‬و ‪ADE‬‬ ‫ﻗاﻳﻢ اﻟزاوﻳﻪ ﻣﻲ باﺷﻨد‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D7 = 90o 60o = 30o‬‬ ‫در ﻧتﻴجﻪ‪ B3 = B4 = D7 = D8 = 30o :‬ﻣﻲ باﺷﻨد‪.‬‬

‫ﻗﻄرﻫاي ﻟﻮزي بر ﻫﻤدﻳﮕر ﻋﻤﻮد و ﻳﻜدﻳﮕر را تﻨﺼﻴﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﻨد‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ -1‬آﻳا ﻗﻄرﻫاي ﻟﻮزي زاوﻳﻪ ﻫاي رأس را تﻨﺼﻴﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﻨد؟‬ ‫‪ -2‬آﻳا در ﻟﻮزي ﻗﻄرﻫا با ﻫﻢ ﻣساوي و باﻻى ﻳﻜدﻳﮕر ﻋﻤﻮد اﻧد؟‬ ‫‪ -3‬آﻳا ﻗﻄر ﻫاى ﻣﻌﻴﻦ ﻳﻜدﻳﮕر را تﻨﺼﻴﻒ ﻣﻰ ﻛﻨﻨد؟‬

‫‪A‬‬

‫‪ -4‬آﻳا ﻣﻌﻴﻦ(ﻟﻮزي) ﻳﻚ ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع است؟‬

‫‪1‬‬

‫‪ -5‬در اﻳﻦ ﺷﻜﻞ ﻣﻌﻴﻦ(ﻟﻮزي) در ﺻﻮرتﻴﻜﻪ ﻳﻚ زاوﻳﻪ آن ‪35o‬‬

‫باﺷد‪ ،‬ﻣﻘدار زواﻳاي ‪ 4 , 3 , 2 , 1‬و ‪ 5‬را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪35o‬‬

‫‪D5‬‬

‫‪2 B‬‬ ‫‪43‬‬

‫‪C‬‬

‫‪128‬‬

‫خﻼصۀ فصل ششم‬ ‫دو خﻂ ﻣستﻘﻴﻤﻰ ﻛﻪ در ﻳﻚ ﻣستﻮي واﻗﻊ بﻮده خﻮد ﻳا اﻣتداد ﺷان ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺸترﻛﻰ ﻧداﺷتﻪ‬ ‫باﺷﻨد‪ ،‬باﻫﻢ ﻣﻮازى اﻧد ﻓاﺻﻠﻪ بﻴﻦ دو خﻂ ﻣﻮازى ﻣساوى است‪.‬‬ ‫دو خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮد بر ﻳﻚ خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ با ﻫﻢ ﻣﻮازى اﻧد‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫دو خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ وﻗتﻲ بر ﻫﻤدﻳﮕر ﻋﻤﻮد ﻣﻲ باﺷﻨد ﻛﻪ زاوﻳﻪ بﻴﻦ آﻧﻬا ‪ 90‬باﺷد‪.‬‬ ‫اﮔر دو خﻂ ﻣﻮازي تﻮسﻂ خﻂ ﻗاﻃﻊ ﻗﻄﻊ ﺷﻮﻧد‪ ،‬چﻬار زاوﻳﺔ ﻣتبادﻟﺔ داخﻠﻲ و چﻬار زاوﻳﺔ‬ ‫‪E‬‬ ‫ﻣتبادﻟﺔ خارجﻲ را ﻣﻲ سازﻧد ﻛﻪ دو بﻪ دو با ﻫﻢ ﻣساوي اﻧد‪.‬‬ ‫زواﻳاي متبادلة خارجﻲ‬

‫‪2=8‬‬

‫زواﻳاي متبادلة داخلﻲ‬

‫‪3=5‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4=6‬‬ ‫‪1=7‬‬ ‫اﮔر دو خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ تﻮسﻂ ﻳﻚ خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ﻃﻮري ﻗﻄﻊ ﺷﻮﻧد‬ ‫‪F‬‬ ‫ﻛﻪ زاوﻳﻪ ﻫاي ﻣساوي ﻣتبادﻟﻪ را بسازﻧد اﻳﻦ دو خﻂ با ﻫﻢ ﻣﻮازي اﻧد‪.‬‬ ‫اﮔر دو خﻂ ﻣﻮازي تﻮسﻂ ﻳﻚ خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ﻗﻄﻊ ﺷﻮد ‪ 8‬زاوﻳﺔ ﻣتﻮاﻓﻘﺔ ﻣساوي را ﻣﻲ سازﻧد‬ ‫ﻛﻪ دو بﻪ دو باﻫﻢ ﻣساوى اﻧد‪.‬‬ ‫‪، 1=5‬‬

‫‪2=6‬‬

‫‪3=7 ، 4=8‬‬ ‫اﮔر دو خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ تﻮسﻂ ﻳﻚ خﻂ ﻃﻮري ﻗﻄﻊ ﺷﻮﻧد ﻛﻪ زاوﻳﻪ ﻫاي ﻣساوي ﻣتﻮاﻓﻘﻪ را‬ ‫بسازﻧد‪ ،‬اﻳﻦ دو خﻂ با ﻫﻢ ﻣﻮازي اﻧد‪.‬‬ ‫اﮔر دو خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ﻣﻮازي تﻮسﻂ ﻳﻚ خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ﻗﻄﻊ ﺷﻮد‪ ،‬ﻣجﻤﻮع زواﻳاي داخﻠﻲ ﻳﻚ‬ ‫ﻃرف خﻂ ﻗاﻃﻊ ﻣساوى بﻪ ‪ 180o‬ﻣﻲ باﺷد‪.‬‬ ‫اﮔر دو خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ تﻮسﻂ ﻳﻚ خﻂ ﻃﻮري ﻗﻄﻊ ﺷﻮﻧد ﻛﻪ ﻣجﻤﻮع زواﻳاي داخﻠﻲ ﻳﻚ‬ ‫ﻃرف خﻂ ﻗاﻃﻊ ‪ 180o‬باﺷد‪ ،‬اﻳﻦ دو خﻂ با ﻫﻢ ﻣﻮازي اﻧد‪.‬‬ ‫در ﻳﻚ ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع زواﻳاي ﻣﻘابﻞ آن‪ ،‬دو بﻪ دو باﻫﻢ ﻣساوي ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫ﻗﻄرﻫاي ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع ﻳﻜدﻳﮕر را تﻨﺼﻴﻒ ﻧﻤﻮده از تﻘاﻃﻊ ﻗﻄرﻫا دو جﻮره ﻣثﻠث ﻫاي‬ ‫اﻧﻄباق پذﻳر تﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲ ﺷﻮﻧد‪.‬‬ ‫در ﻣستﻄﻴﻞ ﻗﻄرﻫا با ﻫﻢ ﻣساوي و ﻳﻜدﻳﮕر را تﻨﺼﻴﻒ ﻧﻤﻮده و از تﻘاﻃﻊ ﻗﻄرﻫا دو جﻮره‬ ‫ﻣثﻠث اﻧﻄباق پذﻳر تﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲ ﺷﻮﻧد و ﻫر چﻬار زاوﻳﺔ ﻣستﻄﻴﻞ ﻗاﻳﻤﻪ ﻣﻲ باﺷﻨد‪.‬‬ ‫چﻬار ﺿﻠﻊ ﻣﻌﻴﻦ(ﻟﻮزي) با ﻫﻢ ﻣساوي اﻧد‪ ،‬ﻗﻄرﻫا بر ﻫﻢ ﻋﻤﻮد و ﻳﻜدﻳﮕر را تﻨﺼﻴﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﻨد‬ ‫و از تﻘاﻃﻊ ﻗﻄرﻫا چﻬار ﻣثﻠث اﻧﻄباق پذﻳر تﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲ ﺷﻮﻧد‪ .‬و ﻧﻴز ﻗﻄرﻫا زاوﻳﺔ رأس را تﻨﺼﻴﻒ‬ ‫ﻣﻲ ﻛﻨﻨد‪.‬‬

‫‪129‬‬

‫ﻗﻄرﻫاي ﻣربﻊ باﻫﻢ ﻣساوي اﻧد‪ ،‬بر ﻳﻜدﻳﮕر ﻋﻤﻮد بﻮده و ﻳﻜدﻳﮕر را تﻨﺼﻴﻒ ﻣﻰ ﻛﻨﻨد‪.‬‬ ‫ﻗﻄرﻫاي ﻣربﻊ زاوﻳﺔ رأس را تﻨﺼﻴﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﻨد‪ .‬از تﻘاﻃﻊ ﻗﻄرﻫا چﻬار ﻣثﻠث اﻧﻄباق پذﻳر تﺸﻜﻴﻞ‬ ‫ﻣﻲ ﺷﻮﻧد‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫ﻣجﻤﻮع چﻬار زاوﻳﺔ داخﻠﻲ ﻳﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ ‪ 360‬ﻣﻲ باﺷد و ﻣجﻤﻮع چﻬار زاوﻳﺔ خارجﻲ‬ ‫ﻳﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ ﻧﻴز ‪ 360o‬است‪.‬‬ ‫تﻘاﻃﻊ خاﺻﻴت ﻫاي ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع‪ ،‬ﻣستﻄﻴﻞ‪ ،‬ﻣﻌﻴﻦ(ﻟﻮزي) و ﻣربﻊ در دﻳاﮔرام وﻳﻦ تﻮسﻂ‬ ‫تﻘاﻃﻊ ست ﻫا ﻧﺸان داده ﺷده است‪.‬‬

‫ﻣﺘﻮﺍزى ﺍﻻﺿﻼع‬

‫ﻣﻌﻴﻦ ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ‬

‫‪130‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪50°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪40°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬ ‫تمرﻳنات فصل ششم‬

‫‪60°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪50°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ -1‬در ﻛدام‪D‬ﻳﻚ از‬ ‫اﺷﻜال زﻳر‪ ،‬دو ﻗﻄﻌﻪ خﻂ ‪ AB‬و ‪CD‬‬ ‫‪B 40°‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪70°50° B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪40°‬‬ ‫‪110°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪70°‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪60°‬‬ ‫ﻣﻮازي اﻧد؟‬

‫‪B‬‬

‫‪80°‬‬ ‫‪60°‬‬

‫‪80°D D B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪60°‬‬ ‫‪80°‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪CC A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪110° D‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪80°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪80°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪70°‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪110°‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪80°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫چﻨد درجﻪ‬ ‫‪ AB || CD‬و ‪ CD || EF‬باﺷد‪ ،‬زواﻳاي ‪ 1‬و ‪2‬‬ ‫‪ -2‬در اﺷﻜال ‪1‬زﻳر اﮔر ‪110°‬‬ ‫‪30°‬‬ ‫‪1E‬‬ ‫ﻣﻲ باﺷﻨد؟‬ ‫‪95°‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C 1‬‬

‫‪D‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪F‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫‪1‬‬

‫‪95°‬‬

‫‪ED‬‬

‫‪D A‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪A2‬‬

‫‪F‬‬

‫‪1D‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪CB‬‬

‫‪B95°‬‬

‫‪2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫زواﻳاى ‪ 1‬و ‪ 2‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ -3‬در ﺷﻜﻞ زﻳر اﮔر ‪ AB || ED‬و ‪ FE || CD‬باﺷﻨد‪F ،‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪131‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪F‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪1F‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪110°‬‬

‫‪E‬‬

‫‪2‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪ -4‬ﻫر خاﺻﻴتﻰ ﻛﻪ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ ﻫا دارﻧد در ﻣﻘابﻞ آن ﻋﻼﻣﺔ‬ ‫مربع‬

‫معﻴن(لوزي)‬

‫مستطﻴل‬

‫را بﮕذارﻳد‪.‬‬ ‫خاصﻴت ها‬

‫متوازي اﻻضﻼع‬

‫ﻗﻄرﻫا ﻳﻜدﻳﮕر را تﻨﺼﻴﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﻨد‪.‬‬ ‫ﻗﻄرﻫا باﻫﻢ ﻣساوي اﻧد‪.‬‬ ‫ﻗﻄرﻫا بر ﻫﻢ ﻋﻤﻮد اﻧد‪.‬‬ ‫ﻗﻄرﻫا زواﻳاي رأس را تﻨﺼﻴﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﻨد‪.‬‬ ‫از تﻘاﻃﻊ ﻗﻄرﻫا دو جﻮره ﻣثﻠث ﻫاي اﻧﻄباق پذﻳر تﺸﻜﻴﻞ‬ ‫ﻣﻲ ﺷﻮﻧد‪.‬‬ ‫از تﻘاﻃﻊ ﻗﻄرﻫا‪ ،‬چﻬار ﻣثﻠث اﻧﻄباق پذﻳر تﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲ ﺷﻮﻧد‪.‬‬ ‫اﺿﻼع ﻣﻘابﻞ ﻣساوي و ﻣﻮازي اﻧد‪.‬‬ ‫تﻤام اﺿﻼع ﻣساوي اﻧد‪.‬‬ ‫زواﻳاي ﻣﻘابﻞ ﻣساوي اﻧد‪.‬‬ ‫ﻫر چﻬار زاوﻳﻪ باﻫﻢ ﻣساوي اﻧد‪.‬‬

‫‪ -5‬جﻮاب درست را اﻧتخاب ﻛﻨﻴد‪:‬‬ ‫وﻗتﻲ ﻛﻪ از تﻘاﻃﻊ دو خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ با ﻳﻚ ﻗاﻃﻊ زاوﻳﻪ ﻫاي ﻣساوي ﻣتبادﻟﻪ تﺸﻜﻴﻞ ﺷﻮد اﻳﻦ دو‬ ‫خﻂ با ﻫﻢ‪:‬‬ ‫‪ )c‬ﻣتﻘاﻃﻊ اﻧد‪.‬‬ ‫‪ )b‬ﻣﻮازي اﻧد‪.‬‬ ‫‪ )a‬ﻋﻤﻮد اﻧد‪.‬‬ ‫‪ -6‬دو زاوﻳﻪ ﻛﻪ اﺿﻼع ﺷان ﻣﻮازي و ﻫﻢ جﻬت ﻳا ﻣﻮازي و ﻣختﻠﻒ اﻟجﻬت باﺷﻨد اﻳﻦ دو زاوﻳﻪ‪:‬‬ ‫‪ )b‬ﻣتﻤﻢ ﻳﻜدﻳﮕراﻧد‪ )c .‬ﻣجﻤﻮع اﻳﻦ دو زاوﻳﻪ ‪ 90o‬ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪ )a‬ﻣساوي اﻧد‪.‬‬ ‫‪ -7‬دو زاوﻳﻪ ﻳﻰ ﻛﻪ دو ﺿﻠﻊ آﻧﻬا ﻣﻮازي و ﻫﻢجﻬت و دو ﺿﻠﻊ آﻧﻬا ﻣﻮازي و ﻣختﻠﻒاﻟجﻬت باﺷﻨد‪:‬‬ ‫‪ )c‬با ﻫﻢ ﻣساوي اﻧد‪.‬‬ ‫‪ )b‬ﻣجﻤﻮع آﻧﻬا ‪ 90o‬ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪ )a‬ﻣجﻤﻮع آﻧﻬا ‪ 180o‬ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬

‫‪132‬‬

‫‪ -8‬دو خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮد بر ﻳﻚ خﻂ‪ ،‬با ﻫﻢ‪:‬‬ ‫‪ )c‬ﻣتﻘاﻃﻊ اﻧد‬ ‫‪ )b‬ﻋﻤﻮد اﻧد‬ ‫‪ )a‬ﻣﻮازي اﻧد‬ ‫‪ -9‬اﮔر دو خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ تﻮسﻂ ﻳﻚ خﻂ ﻃﻮري ﻗﻄﻊ ﺷﻮد ﻛﻪ ﻣجﻤﻮع دو زاوﻳﺔ داخﻠﻲ ﻳﻚ‬ ‫ﻃرف خﻂ ﻗاﻃﻊ ‪ 180o‬ﺷﻮد‪ ،‬اﻳﻦ دو خﻂ با ﻫﻢ‪:‬‬ ‫‪ )b‬ﻋﻤﻮد اﻧد‬ ‫‪ )a‬ﻣﻮازي اﻧد‬

‫‪ )c‬ﻣتﻘاﻃﻊ اﻧد‬

‫‪2.5‬‬ ‫ﺿﻠﻌﻲ ﻫاي زﻳر ﻃﻮل اﺿﻼﻋﻰ‪ 5‬ﻛﻪ ﻣﻌﻠﻮم ﻧﻴستﻨد‪ ،‬درﻳابﻴد‪:‬‬ ‫‪ -10‬در چﻬار‬ ‫‪2.5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2.5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ -11‬در چﻬار ﺿﻠﻌﻲ ﻫاي زﻳر‪ ،‬ﻫر سﻪ زاوﻳﺔ دﻳﮕر آن ﻫا چﻨد درجﻪ ﻣﻲ باﺷد؟‬ ‫‪90°‬‬

‫‪130°‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪130°‬‬

‫‪90°‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪130°‬‬

‫‪90°‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪ -12‬در ﺷﻜﻞ ‪ Pp || q‬و ‪ m || n‬است‪ ،‬اﮔر زاوﻳﻪ ‪ 2 = 40o‬باﺷد‪ ،‬اﻧدازة زاوﻳﻪ ﻫاي ﻣتباﻗﻲ‬ ‫چﻨد درجﻪ ﻣﻲ باﺷﻨد؟‬ ‫‪n‬‬

‫‪m‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪9 10‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪12 11‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪9 10‬‬ ‫‪4 13 2‬‬ ‫‪129 1110‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪13 14‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪12 11‬‬ ‫‪8 7‬‬ ‫‪16 15‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪13 14‬‬ ‫‪8 7‬‬ ‫‪16 15‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪13 14‬‬ ‫‪8 7‬‬ ‫‪16 15‬‬

‫‪133‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪q‬‬

‫‪ -13‬ﻛدام ﻳﻚ ازجﻤﻼت زﻳر درست و ﻛدام ﻧا درست اﻧد؟‬ ‫ﻗﻄرﻫاي ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع با ﻫﻢ ﻣساوي اﻧد‪.‬‬ ‫ﻗﻄرﻫاي ﻣربﻊ بر ﻳﻜدﻳﮕر ﻋﻤﻮد اﻧد‪.‬‬ ‫ﻗﻄرﻫاي ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ﻳﻜدﻳﮕر را تﻨﺼﻴﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﻨد‪.‬‬ ‫ﻫر چﻬار زاوﻳﺔ ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ﻗاﻳﻤﻪ ﻣﻲ باﺷﻨد‪.‬‬ ‫اﺿﻼع ﻣﻘابﻞ ﻳﻚ ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع دو بﻪ دو با ﻫﻢ ﻣساوي و ﻣﻮازي اﻧد‪.‬‬ ‫اﺿﻼع ﻣﻘابﻞ ﻳﻚ ذوزﻧﻘﻪ دو بﻪ دو ﻣﻮازي ﻣﻲ باﺷﻨد‪.‬‬ ‫ﻫﻴچ ﮔاه ﻳﻚ ذوزﻧﻘﻪ ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع ﺷده ﻧﻤﻲ تﻮاﻧد‪.‬‬ ‫ﻫر ﻣستﻄﻴﻞ ﻳﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ است‪.‬‬ ‫ﻣﻌﻴﻦ(ﻟﻮزي) ﻳﻚ ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع ﻣﻲ باﺷد‪.‬‬ ‫تﻨﻬا ﻣربﻊ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ است ﻛﻪ ﻫر چﻬار زاوﻳﺔ آن ﻗاﻳﻤﻪ ﻣﻲ باﺷد‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫اﮔر ﻣجﻤﻮع سﻪ زاوﻳﺔ ﻳﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ‪ 300°‬باﺷد زاوﻳﺔ چﻬارم آن ‪ 60‬است‪.‬‬ ‫ﻣجﻤﻮع زواﻳاي خارجﻲ ﻳﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ ‪ 360o‬ﻣﻲ باﺷد‪.‬‬ ‫ﻣجﻤﻮع زواﻳاي داخﻠﻲ ﻳﻚ چﻬار ﺿﻠﻌﻲ ‪ 360o‬ﻣﻲ باﺷد‪.‬‬ ‫ﻗﻄرﻫاي ﻳﻚ ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع بر ﻫﻢ ﻋﻤﻮداﻧد‪.‬‬ ‫از تﻘاﻃﻊ ﻗﻄر ﻫاي ﻣستﻄﻴﻞ چﻬار ﻣثﻠث اﻧﻄباق پذﻳر تﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫از تﻘاﻃﻊ ﻗﻄرﻫاي ﻣﻌﻴﻦ(ﻟﻮزي) چﻬار ﻣثﻠث اﻧﻄباق پذﻳر تﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻗﻄر ﻫاي ﻣستﻄﻴﻞ ﻳﻜدﻳﮕر را تﻨﺼﻴﻒ ﻣﻰ ﻛﻨﻨد‪.‬‬ ‫ﻗﻄر ﻫاي ﻣﻌﻴﻦ با ﻫﻤدﻳﮕر ﻋﻤﻮد اﻧد‪.‬‬ ‫‪ -14‬اﮔر ﻳﻚ زاوﻳﺔ ﻳﻚ ﻣتﻮازى اﻻﺿﻼع ﻗاﻳﻤﻪ باﺷد‪ ،‬ﻧﺸان دﻫﻴد ﻛﻪ سﻪ زاوﻳﺔ دﻳﮕر آن ﻧﻴز‬ ‫ﻗاﻳﻤﻪ ﻣﻲ باﺷﻨد‪.‬‬ ‫‪ -15‬اﮔر ﻳﻚ زاوﻳﺔ ﻳﻚ ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع ‪ 55o‬باﺷد‪ ،‬سﻪ زاوﻳﺔ دﻳﮕر اﻳﻦ ﻣتﻮازي اﻻﺿﻼع‬ ‫را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ -16‬در ﺷﻜﻞ زﻳر ‪ AB || CD‬ﻣﻲ باﺷد ‪ 2 ،1‬و ‪ 3‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪90°‬‬

‫‪90°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3 2‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪70° 1 50°‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪134‬‬