Mathematics 07 [7]

Citation preview

‫د افغانستان اس م جمهوريت‬ ‫د وهن وزارت‬ ‫د تعل م نصاب د راخت ا لو رياست‬

‫‪100‬‬ ‫‪90‬‬

‫‪15‬‬

‫‪80‬‬

‫‪10‬‬

‫‪70‬‬ ‫‪60°C‬‬

‫‪5‬‬

‫‪60‬‬ ‫‪50‬‬

‫‪–4°C‬‬

‫‪40‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪–5‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10°C‬‬

‫‪15‬‬

‫‪10‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪–10°C‬‬

‫‪–10‬‬

‫‪10°C‬‬

‫‪5‬‬

‫‪–20‬‬ ‫‪–30°C‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–30‬‬

‫‪–5‬‬

‫درسي کتابونه د پوهن‪ ３‬په وزارت پورې اړه لري‪ ،‬پيرودل او‬ ‫پلورل ي‪ ３‬منع دي‪.‬‬ ‫‪[email protected]‬‬

‫‪10 11 12 13‬‬ ‫‪1398‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫رﻳاضﻲ‬ ‫‪٧‬‬ ‫！ـﻮلگﻰ‬ ‫(د دﻳﻨﻲ مدارسﻮ لپاره)‬

‫‪1398‬‬ ‫ﻫـ ‪ .‬ش‪.‬‬

‫اﻟﻒ‬

‫مؤلف‪:‬‬ ‫پوهنيار عبيداهلل صافى د ښوون‪ ３‬او روزن‪ ３‬د وزارت د درسي کتابونو د تاليف د پروژې د رياضياتو متخصص‬ ‫مسلکﻲ اډﻳ＂ﻮر‬ ‫حبيب اهلل راحل د پوهن‪ ３‬وزارت مشاور‪ ،‬د تعليمي نصاب د انکشاف او د کتابونو دتاليف په رياست ک‪.３‬‬ ‫سرمؤلف عبدالکبير د رياضياتو د ديپارتمنت علمي غ‪７‬ی‪.‬‬ ‫پوهنيار عبيداهلل صافى د ښوون‪ ３‬او روزن‪ ３‬د وزارت د درسي کتابونو د تاليف د پروژې د رياضياتو متخصص‬ ‫د ژب‪ ３‬اډﻳ＂ﻮران‬ ‫محمد قدوس (زکوخيل) د تعليمي نصاب د پراختيا د رياست علمي غ‪７‬ی‬

‫دﻳﻨﻲ‪ ،‬سﻴاسﻲ او فرﻫﻨ‪／‬ﻲ کﻤﻴ＂ﻪ‪:‬‬ ‫ حبيب اهلل راحل د پوهن‪ ３‬وزارت سالکار د تعليمي نصاب په رياست ک‪３‬‬‫‪ -‬محمد اصف کوچی د اسالمي زده ک‪７‬و د ديپارتمنت متخصص‬

‫‌إﺷراف‬ ‫‪ -‬دکتور شير علي ظريفي د تعليمي نصاب د پراختيا د پروژې رئيس‪.‬‬

‫ب‬

‫ج‬

‫ملﻲ سرود‬

‫د‬

‫دا وطﻦ افغاﻧستـــان دى‬

‫دا عزت د ﻫـــر افغـــان دى‬

‫کﻮر د سﻮل‪ ３‬کﻮر د تﻮرې‬

‫ﻫر بچی ﻳ‪ ３‬قﻬرمـــــان دى‬

‫دا وطﻦ د ！ﻮلﻮ کـﻮر دى‬

‫د بلﻮ＇ــــﻮ د ازبکـــــــــــﻮ‬

‫د پ‪＋‬تــــﻮن او ﻫزاره وو‬

‫د ترکﻤﻨــــﻮ د تاجکــــــــــﻮ‬

‫ورسره عرب‪－ ،‬ﻮجــر دي‬

‫پامﻴــرﻳان‪ ،‬ﻧﻮرستاﻧﻴــــــان‬

‫براﻫﻮي دي‪ ،‬قزلباش دي‬

‫ﻫم اﻳﻤـــاق‪ ،‬ﻫم پشـــﻪ ‪４‬ان‬

‫دا ﻫﻴـــﻮاد بﻪ تل ‪＄‬لﻴ‪８‬ي‬

‫لکــﻪ لﻤــر پر شﻨﻪ آسﻤـــان‬

‫پﻪ سﻴﻨــﻪ ک‪ ３‬د آسﻴـــا بﻪ‬

‫لکـــﻪ زړه وي جــاوﻳــدان‬

‫ﻧﻮم د حق مﻮ دى رﻫبـــر‬

‫واﻳﻮ اهلل اکبر واﻳﻮ اهلل اکبر‬

‫بسم اهلل الرحﻤﻦ الرحﻴم‬

‫د پﻮﻫﻨ‪ ３‬د وزﻳر پﻴغام‬ ‫الحمداهلل رب العالمين والصلوة والسالم علی نبيه و رسوله محمد و علی آله و اصحابه اجمعين‬ ‫اما بعد‪:‬‬ ‫د پوهن‪ ３‬تعليم‪ ３‬نصاب د ښوون‪ ３‬او روزن‪ ３‬د نظام بنسټ جوړوي او د هيواد د اوسنيو او‬ ‫راتلونکو نسلونو په علمي‪ ،‬فکري او سلوکي ودې او پراختيا ک‪ ３‬بنسټيز او ارزښتمن رول‬ ‫لري‪.‬‬ ‫تعليمي نصاب بايد د وخت په ت‪５‬ر‪４‬دو او د ژوندانه په ب‪５‬الب‪５‬لو ډ‪－‬رونو ک‪ ３‬له بدلون او پرمخت‪，‬‬ ‫او د ټولن‪ ３‬له اړتياوو سره سم‪ ،‬هم د مضمون او محتوا او هم د معلوماتو د ورک‪７‬ې د الرو‬ ‫چارو له مخ‪ ،３‬بدلون او پراختيا ومومي‪.‬‬ ‫د تعليمي نصاب په ډ‪－‬ر ک‪ ３‬يو هم د اسالمي زده ک‪７‬و نصاب دی چ‪ ３‬بيا کتن‪ ３‬او ودې ته‬ ‫‪ ３４‬جدي اړتيا ليدل ک‪５‬ده؛ ځکه له يوې خوا بايد د ديني مدرسو فارغان د ټولن‪ ３‬د معنوي‬ ‫مخکښانو په تو‪－‬ه د معارف د هڅو د پوره پام وړ و‪－‬رځي او له بل‪ ３‬خوا د ديني مدرسو په‬ ‫نصاب ک‪ ３‬د اسالم د سپ‪５‬څلي دين عقايد‪ ،‬احکام او الرښوون‪ ３‬راغل‪ ３‬دي چ‪ ３‬د انساني‬ ‫ژوند د ټولو اړخونو بشپ‪ ７‬نظام او قانون او د ن‪７‬ۍ د خالق او پرود‪－‬ار د وروستني پيغام په تو‪－‬ه‬ ‫د قيامت تر ورځ‪ ３‬پورې‪ ،‬د بشريت د الرښوون‪ ３‬دنده سرته رسوي‪.‬‬ ‫د اسالمي امت عالمانو د تاريخ په اوږدو ک‪ ３‬د اسالمي معارف او د اسالمي تعليماتو د‬ ‫سيستم په رامنځته کولو‪ ،‬پراختيا او ب‪６‬اينه‪ ،‬په ت‪５‬ره بيا د اسالمي ن‪７‬ۍ د علمي مرکزونو او‬ ‫مؤسسو د تعليمي نصاب په تدريجي وده ک‪ ،３‬خپله دنده سرته رسول‪ ３‬ده‪.‬‬ ‫د اسالمي علومو تاريخ ته کره کتنه‪ ،‬دا څر‪－‬ندوي چ‪ ３‬د ديني مدرسو او علمي مرکزونو‬ ‫نصاب تل د اسالم د تلپات‪ ３‬او ثابتو احکامو پر بنسټ‪ ،‬د ټولن‪ ３‬له اړتياوو سره سم‪ ،‬هر وخت‬ ‫او هر ځای پراختيا موندل‪ ３‬ده‪.‬‬ ‫زموږ گران هيواد افغانستان د علمي ځالنده تاريخ په درلودلو سره د علم او پوه‪ ３‬زان‪／‬و او‬ ‫د وخت لوی علمي مرکز و چ‪ ３‬د اسالمي ستر تمدن په جوړښت ک‪ ３‬ي‪ ３‬مهم رول درلود‪.‬‬ ‫ﻫـ‬

‫د علم او فرهنگ په مختلفو ډ‪－‬رونو‪ ،‬په ځانگ‪７‬ې توگه د عقايدو‪ ،‬تفسير‪ ،‬حديث‪ ،‬فقه‪ ３‬او د‬ ‫فقه‪ ３‬د اصولو په څ‪５‬ر په شرعي علومو ک‪ ３‬د زر‪－‬ونو پوهانو او عالمانو شتون‪ ،‬زموږ ددې وينا‬ ‫پخلی کوي‪.‬‬ ‫په اوسني عصر ک‪ ３‬د اسالمي ويښتابه له پراختيا سره سم زموږ په ه‪５‬واد ک‪ ３‬اسالمي زده ک‪７‬و د‬ ‫څومره والي او څرن‪／‬والي له مخ‪ ３‬زيات بدلون موندلی او د ه‪５‬واد کوچنيان او ځوانان په ډ‪４‬ره مينه‬ ‫او ليوالتيا د اسالمي زده ک‪７‬و مرکزونو او مدرسو ته مخه کوي‪.‬‬ ‫د افغانستان د اسالمي جمهوريت د پوهن‪ ３‬وزارت د خپل مسؤوليت او دندې له مخ‪ ３‬د ه‪５‬واد‬ ‫له اساسي قانون سره سم د اسالمي زده ک‪７‬و د کيفي او کمي پراختيا او په هغ‪ ３‬ک‪ ３‬د اسالمي زده‬ ‫ک‪７‬و د نصاب په اړه د پام وړ ‪－‬امونه پورته ک‪７‬ي دي‪.‬‬ ‫په دې ل‪ ７‬ک‪ ３‬د پوهن‪ ３‬وزارت‪ ،‬د ه‪５‬واد د ډاډ وړ تجربه لرونکو عالمانو‪ ،‬استادانو او متخصصانوڅخه‬ ‫په بلنه د ديني مدرسو د تعليمي نصاب‪ ،‬د ال ښه کولو لپاره‪ ،‬مروج کتابونه‪ ،‬د متنونو د شرح‪ ３‬او‬ ‫توضيح او د فعاليتونو‪ ،‬ارزونو او تمرينونو په ورزياتولو د درسي کتابونو له نويو معيارونو سره سم‬ ‫چمتو ک‪７‬ل‪.‬‬ ‫هيله من يم‪ ،‬د پوهن‪ ３‬وزارت د عالمانو او متخصصانو د ستاين‪ ３‬وړ دا هڅ‪ ،３‬په افغانستان ک‪ ３‬د‬ ‫اسالمي زده ک‪７‬و د ال پراختيا او ب‪６‬اين‪ ３‬او د لوی خدای جل جالله د رضا د ترالسه کولو المل‬ ‫شي‪.‬‬ ‫وبااهلل توفيق‬ ‫دکتور محمد ميرويس بلخي‬ ‫د پوهن‪ ３‬وزير‬

‫و‬

‫مقدمﻪ‬ ‫قدرمﻨﻮ استاداﻧﻮ او ‪－‬راﻧﻮ زده کﻮوﻧکﻮ‪،‬‬ ‫رياضي چ‪ ３‬د طبيعي علومو ژبه ده‪ ،‬د طبيعت قوانين د فورمولونو په شکل وړاندې کوي او په‬ ‫عددونو او مقدارونو پورې اړوند مسايل د حساب په ژبه بيانوي‪.‬‬ ‫و‪７－‬ي په خپل ورځني ژوند ک‪ ３‬دې علم ته اړتيا لري‪ ،‬د ساينسي علومو لپاره د ِکلِي حيثيت‬ ‫لري‪ ،‬د طبيعت زيات قوانين د رياضي د علم په ژبه بيان‪８５‬ي‪ ،‬د رياضي علم ته د شرعي مسايلو‬ ‫په حل ک‪ ３‬هم اړتيا ده‪ ،‬د ميراث د ويش‪ ،‬د ځمکو د و‪４‬ش په مهال د هغو د مساحت پ‪５‬ژندل‪،‬‬ ‫د شريکانو د حقوقو پ‪５‬ژندل او په داس‪ ３‬نورو ډ‪４‬رو برخو ک‪ ３‬له رياضي څخه کار اخيستل‬ ‫ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫نو د دې لپاره چ‪ ３‬زمون‪ ８‬د شرعي مدارسو فارغان اړين‪ ３‬وړتياوې ولري‪ ،‬د ژوند ورځني مسايل‬ ‫چ‪ ３‬په رياضي پورې اړوند وي حل ک‪７‬اى شي‪ ،‬د ميراث‪ ،‬مشارکت‪ ،‬د مالونو د و‪４‬ش په مسايلو‬ ‫او د ساينسي مضامينو په محتوا وپوه‪８５‬ي‪ ،‬د افغانستان د اسالمي جمهوريت د پوهن‪ ３‬وزارت‬ ‫د تعليمي نصاب د پراختيا عمومي رياست‪ ،‬د رياضي اړين مسايل د شرعي مدارسو په نصاب‬ ‫ک‪ ３‬ځای په ځای ک‪７‬ل‪.‬‬ ‫په دې تو‪－‬ه چ‪ ３‬د دې برخ‪ ３‬د زده کوونکو بنسټيزو اړتياوو‪ ،‬راتلونکي تخصص او په تعليمي‬ ‫پالن ک‪ ３‬د رياضي د مضمون لپاره ټاکل شوي وخت ته په پام ‪ ３４‬د رياضي د علم ضروري‬ ‫مسايل د نصاب ليکن‪ ３‬د معاصر فن په نظر ک‪ ３‬نيولو سره په اسانو او اغيزمنو طريقو تاليف‬ ‫ک‪７‬ل‪ ،‬تر څو د شرعي مدارسو فارغان د ديني علومو تر څن‪ ，‬ځين‪ ３‬اړين دنيوي علوم هم زده‬ ‫ک‪７‬ي‪ ،‬ظرفيتونه ي‪ ３‬لوړ شي او په ټولنه ک‪ ３‬د فعال ‪－‬ټور او اغ‪５‬زمن رول لوبولو لپاره وړتياوې تر‬ ‫السه ک‪７‬ي‪.‬‬ ‫واهلل ولى التوفيق‬

‫ز‬

‫ل‪７‬لﻴک‬

‫مــــخ‬

‫لﻮم‪７‬ى ＇پرکﻰ(س＀)‬ ‫د سټ مفهوم‪3..................................................................................................‬‬ ‫د سټ دليکلو طريق‪7.........................................................................................３‬‬ ‫مساوي او معادل سټونه فرعي سټ‪...........................................................................‬‬ ‫د سټونو تقاطع او اتحاد‪11......................................................................................‬‬ ‫د دوو سټونو تفاضل او د يو سټ مکمله‪13....................................................................‬‬ ‫د لوم‪７‬ي څپرکي لن‪６‬يز او پوښتن‪15............................................................................３‬‬ ‫دوﻳم ＇پرکﻰ (طبﻴعﻲ عددوﻧﻪ)‬ ‫د طبيعي عددونو د عمليو خاصيتونه‪1 ........................................................................‬‬ ‫د طبيعي عددونو تجزيه‪21......................................................................................‬‬ ‫طاقت‪25........................................................................................................‬‬ ‫د طاقت د عمليو خاصيونه‪27..................................................................................‬‬ ‫تر ټولو لوى مشترک قاسم‪ ،‬او د تجزي‪ ３‬په مرسته د تر ټولو لوى مشترک قاسم پيدا کول‪2 ...................‬‬ ‫تر ټولو کوچنى مشترک مضرب‪31.............................................................................‬‬ ‫تجزي‪ ３‬په واسطه د تر ټولو کوچنى مشترک مضرب پيدا کول او د ورځني ژوند د مسايلو په حل ک‪ ３‬د کوچني‬

‫مشترک مضرب د استعمال ځايونه‪33..............................................................................‬‬ ‫د دوو عددونو د تر ټولو لوى مشترک قاسم او کوچني مشترک مضرب تر متځ اړيک‪35.....................３‬‬ ‫د يو طبيعي عدد مربع او د عدد پوره مربع جذر او د عددونو د مربع جذر پيدا کول د تجزي‪ ３‬او عمومي طريق‪ ３‬په‬ ‫مرسته‪37........................................................................................................‬‬ ‫د طبيعي عددونو تام مکعب(دريم) جذر‪3 ....................................................................‬‬ ‫د دويم څپرکي لن‪６‬يز او پوښتن‪41.............................................................................３‬‬ ‫درﻳم ＇پرکﻰ (تام عددوﻧﻪ)‬ ‫تام عددونه او د تامو عددونو ښودنه د عددونو پر محور باندې‪47...............................................‬‬ ‫د يو تام عدد مطلقه قيمت او د تامو عددونو د جمع‪ ،３‬تفريق‪ ،‬ضرب او ويش عملي‪4 .....................３‬‬ ‫د حسابي افادو قيمت پيدا کول‪63..............................................................................‬‬ ‫د دريم څپرکي لن‪６‬يز او پوښتن‪65.............................................................................３‬‬

‫ح‬

‫＇لﻮرم ＇پرکﻰ‪:‬ﻧسبتﻲ عددوﻧﻪ‬ ‫د عدونو پر محور باندې د نسبتي عددونو ښودل‪6 ...................................................‬‬ ‫د نسبتي عددونو پرتله کول‪71.........................................................................‬‬ ‫د نسبتي عددونو د جمع‪ ،３‬تفريق‪ ،‬ضرب او ويش (تقسيم) عملي‪73...............................３‬‬ ‫د نسبتي عددونو بدلول په اعشاري عددونو باندې‪77..................................................‬‬ ‫د څلورم څپرکي لن‪６‬يز او پوښتن‪7 ..................................................................３‬‬ ‫پﻨ‪％‬م ＇پرکﻰ(مثلثﻮﻧﻪ او ＇ﻮ ضلعﻲ(مضلع گاﻧ‪)３‬‬ ‫د ضلعو او زاويو له پلوه د مثلث ډولونه‪3.............................................................‬‬ ‫د مثلث ارتفاع‪ ،‬ميانه‪ ،‬او ناصف الزاويه‪5............................................................‬‬ ‫د مثلث خارجي زاويه او د مثلث د داخلي زاويو مجموعه‪7.........................................‬‬ ‫مضلع گان‪(３‬مضلع‪...............................................................................)３‬‬ ‫د يوې مضلع د داخلي زاويو مجموعه‪1..............................................................‬‬ ‫د يوې مضلع د خارجي زاويو مجموعه‪3............................................................‬‬ ‫انطباق منوونکي شکلونه‪5...........................................................................‬‬ ‫د مثلثونو د انطباق منن‪ ３‬حالتونه‪7....................................................................‬‬ ‫د پنځم څپرکي لن‪６‬يز او پوښتن‪101..................................................................３‬‬ ‫شپ‪８‬م ＇پرکﻰ (مﻮازي او عﻤﻮد خطﻮﻧﻪ)‪107 ...........................................‬‬ ‫داخلي او خارجي متبادل‪ ３‬زاوي‪10 .................................................................３‬‬ ‫د دوو مستقيمو خطونو د موازيتوب څ‪７５‬نه‪ ،‬کله چ‪ ３‬متبادل‪ ３‬زاوي‪ ３‬سره مساوي وي‪111............‬‬ ‫متوافق‪ ３‬زاوي‪113....................................................................................３‬‬ ‫د يوقاطع مستقيم خط يوې خوا ته داخلي متمم‪ ３‬زاوي‪115.........................................３‬‬ ‫څلور ضلعي گان‪(３‬متوازي االضالع‪ ،‬مستطيل‪ ،‬مربع‪ ،‬معين او ذوزنقه)‪117.........................‬‬ ‫د متوازي االضالع مخامخ (مقابل‪ )３‬زاوي‪11 .......................................................３‬‬ ‫د يوې څلور ضلعي باندينی زاوي‪121................................................................３‬‬ ‫د متوازي االضالع د قطرونو خاصيتونه‪123..........................................................‬‬ ‫د مستطيل د قطرونو خاصيتونه‪125...................................................................‬‬ ‫د معين(لوزي) د قطرونو خاصيتونه‪127...............................................................‬‬ ‫د شپ‪８‬م څپرکي لن‪６‬يز او پوښټن‪١٢٩ ................................................................３‬‬

‫ط‬

‫لـومړى څپرکى‬

‫سـټ‬

‫د سټ مفهوم‬ ‫(‪)Concept of a Set‬‬

‫آﻳا کﻮﻻى شئ وواﻳئ چ‪ ３‬وزه د اﻫﻠﻲ حﻴﻮاﻧاتﻮ‬ ‫پﻪ س＀ ک‪ ３‬شاﻣﻠﻪ ده کﻪ ﻧﻪ؟‬

‫د ﻳﻮ شﻤ‪５‬ر ﻣشخﺼﻮ شﻴاﻧﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻲ تﻪ س＀ واﻳﻲ‪＇ ،‬ﻪ شی چ‪ ３‬پﻪ س＀ ک‪ ３‬ﻣﻮجﻮد وي‪ ،‬د س＀ د‬ ‫ﻋﻨا‪請‬رو پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳادﻳ‪８‬ي‪ ،‬د س＀ ﻋﻨا‪請‬ر د { } ﻋﻼﻣ‪ ３‬پﻪ ﻣﻨ‪ ＃‬ک‪ ３‬ﻟﻴکﻞ کﻴ‪８‬ي او د (‪ )،‬ﻋﻼﻣ‪ ３‬پﻪ‬ ‫واسﻄﻪ ﻳﻮ ﻟﻪ بﻠﻪ جﻼ کﻴ‪８‬ي‪ .‬س＂ﻮﻧﻪ د ﻟﻮﻳﻮ تﻮرو او ﻋﻨا‪請‬ر ﻳ‪ ３‬د کﻮچﻨﻴﻮ تﻮرو پﻪ واسﻄﻪ ＊ﻮدل کﻴ‪８‬ي‬ ‫ﻟکﻪ }‪ A = {e, f , g‬او }‪ B = {a , b, c, d‬او داس‪ ３‬ﻧﻮر‪.‬‬ ‫＇رﻧ‪／‬ﻪ چ‪ ３‬د ‪ e‬تﻮرې د ‪ A‬پﻪ س＀ ک‪ ３‬شاﻣﻞ دی‪ ،‬ﻧﻮ داس‪ ３‬ﻟﻴکﻞ کﻴ‪８‬ي ‪ e A‬ﻟﻴکﻦ د ‪ h‬تﻮرې‬ ‫د ‪ A‬پﻪ س＀ ک‪ ３‬شاﻣﻞ ﻧﻪ دی‪ ،‬ﻧﻮ ﻟﻴکﻮ چ‪ h A ３‬ﻫﻐﻪ س＀ چ‪ ３‬ﻋﻨا‪請‬ر ﻳ‪ ３‬د شﻤ‪５‬رﻟﻮ وړ و ي‬ ‫د ﻣﻌﻴﻦ س＀ پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳادﻳ‪８‬ي او کﻪ د ﻳﻮ س＀ ﻋﻨا‪請‬ر د شﻤ‪５‬ر وړ ﻧﻪ وي‪ ،‬ﻧﻮ دې ډول س＀ تﻪ ﻏﻴر ﻣﻌﻴﻦ‬ ‫س＀ وﻳﻞ کﻴ‪８‬ي د ﻣثال پﻪ ډول‪ A = {1,3,5,7,9} :‬ﻳﻮ ﻣﻌﻴﻦ س＀‪ ،‬خﻮ }‪ IN = {1,2,3...‬ﻳﻮ‬ ‫ﻏﻴر ﻣﻌﻴﻦ س＀ دی‪.‬‬ ‫لومړی مثال‪:‬‬ ‫پﻪ ﻻﻧدې راک‪７‬ل شﻮو س＂ﻮﻧﻮ ک‪ ３‬کﻮم ﻳﻮ ﻣﻌﻴﻦ او کﻮم ﻳﻮ ﻏﻴر ﻣﻌﻴﻦ س＀ دى؟‬ ‫{د ‪ 6‬د ﻋدد ﻣﻀربﻮﻧﻪ} = ‪B‬‬

‫‪،‬‬

‫{د اﻧگﻠﻴسﻲ ژب‪ ３‬تﻮري} = ‪A‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫د ‪ A‬س＀ ﻳﻮ ﻣﻌﻴﻦ س＀ دى‪＄ ،‬کﻪ چ‪ 26 ３‬ﻋﻨا‪請‬ر ﻟري‪ ،‬خﻮ د ‪ B‬س＀ ﻳﻮ ﻏﻴر ﻣﻌﻴﻦ س＀ دى‪،‬‬ ‫‪＄‬کﻪ چ‪ ３‬د ‪ 6‬ﻣﻀربﻮﻧﻪ شﻤ‪５‬رﻻى ﻧﻪ شﻮ‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫ﻳا { }ﻋﻼﻣ‪ ３‬پﻪ ﻣرستﻪ‬

‫ﻫﻐﻪ س＀ چ‪ ３‬ﻫﻴ＆ ﻋﻨﺼر و ﻧﻪ ﻟري د تش(خاﻟﻲ) س＀ پﻪ ﻧﻮم ﻳاد‪８４‬ي او د‬ ‫＊ﻮدل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫کﻮﻻى شﻮ س＂ﻮﻧﻪ د ﻣختﻠﻔﻮ شکﻠﻮﻧﻮ پﻪ ﻣرستﻪ و＊ﻴﻮ چ‪ ３‬د وين دياگرام پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳاد‪４‬ـ‪８‬ي‪.‬‬ ‫د ﻣثال پﻪ ډول کﻪ ‪ A‬د اووم ！ﻮﻟ‪／‬ﻲ د زد کﻮوﻧکﻮ س＀‪ B ،‬د اووم ！ﻮﻟ‪／‬ﻲ د ﻫﻐﻪ زده کﻮوﻧکﻮ س＀‬ ‫وي چ‪ ３‬د واﻟﻴبال او ‪ C‬د اووم ！ﻮﻟ‪／‬ﻲ د ﻫﻐﻪ زده کﻮوﻧکﻮ س＀ وي چ‪ ３‬د ﻓﻮ！بال پﻪ تﻴﻢ ک‪ ３‬شاﻣﻞ وي‬ ‫کﻮﻻى شﻮ د ‪ B ،A‬او ‪ C‬س＂ﻮﻧﻪ دوين دياگرام پﻪ ﻣرستﻪ پﻪ ﻻﻧدې ډول و＊اﻳﻮ‪.‬‬ ‫‪A‬د اووم ！ﻮﻟگﻰ د زده کﻮوﻧکﻮ س＀‬

‫‪ B‬د واﻟﻴبال د ！ﻴﻢ س＀‬

‫‪ C‬د ﻓﻮ！بال د ！ﻴﻢ س＀‬

‫احﻤد زﻟﻤﻲ‬ ‫حسﻦ‬ ‫ﻣحﻤﻮد ﻗاسﻢ صﻔت اﷲ‬ ‫ﻧادر‬ ‫دﻳﻦ ﻣحﻤد‬ ‫ﻋزت اﷲ ﻋﻄاء اﷲ‬

‫احﻤد‬ ‫حسﻦ‬ ‫زﻟﻤﻲ‬ ‫ﻣحﻤﻮد ﻗاسﻢ‬

‫ﻗاسﻢ‬ ‫احﻤد‬ ‫صﻔت اﷲ‬ ‫دﻳﻦ ﻣحﻤد ﻧادر‬ ‫ﻋزت اﷲ ﻋﻄاءاﷲ‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫ﻳﻮ داس‪ ３‬س＀ وﻟﻴکئ چ‪ ３‬ﻋﻨا‪請‬ر ﻳ‪ ３‬د ﻫﻨدسﻲ بکس ساﻣان او آﻻت وي‪.‬‬ ‫ﻳﻮ پﻨ‪％‬ﻪ ﻋﻨﺼري س＀ وﻟﻴکئ چ‪ ３‬ﻋﻨا‪請‬ر ﻳ‪ ３‬د اﻫﻠﻲ حﻴﻮاﻧاتﻮ ﻧﻮﻣﻮﻧﻪ وي‪.‬‬ ‫ﻳﻮ شپ‪ ８‬ﻋﻨﺼري س＀ وﻟﻴکئ چ‪ ３‬ﻋﻨا‪請‬ر ﻳ‪ ３‬د تازه ﻣﻴﻮو ﻧﻮﻣﻮﻧﻪ وي‪.‬‬ ‫دويم مثال‪:‬کﻪ د ﻫﻐﻮ تاﻗﻮ ﻋددوﻧﻮ س＀ تﻪ چ‪ ３‬ﻟﻪ ‪＇ 10‬خﻪ کﻮچﻨی وي ‪ O‬او د ﻫﻐﻪ جﻔتﻮ ﻋددوﻧﻮ‬ ‫س＀ تﻪ چ‪ ３‬ﻟﻪ ‪＇ 10‬خﻪ کﻮچﻨی وي ‪ E‬وواﻳﻮ‪ ،‬ﻟرو چ‪:３‬‬ ‫}‪O = {1,3,5,7,9‬‬ ‫}‪E = {2, 4,6,8‬‬ ‫د ﻳﻮ شﻤ‪５‬ر ‪＄‬اﻧگ‪７‬و شﻴاﻧﻮ ﻣجﻤﻮﻋ‪ ３‬تﻪ س＀ او پخپﻠﻪ شﻴاﻧﻮ تﻪ د س＀ ﻋﻨا‪請‬ر(ﻏ‪７‬ي) واﻳﻲ‪.‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫ﻻﻧدې س＂ﻮﻧﻪ پﻪ پام ک‪ ３‬وﻧﻴسئ‪:‬‬ ‫}‪A = {a, b, c, d, e‬‬ ‫}‪B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8‬‬

‫‪4‬‬

‫اﻳا ‪ b‬د ‪ B‬د س＀ ﻋﻨﺼر دى؟ د ‪ d‬پﻪ برخﻪ ک‪＇ ３‬ﻪ وﻳﻼى شئ چ‪ ３‬د ‪ B‬ﻋﻨﺼر دى کﻪ ﻧﻪ؟‬ ‫اﻳا ‪ 5‬د ‪ A‬د س＀ ﻋﻨﺼر دى؟ اﻳا ‪ 5‬د ‪ B‬د س＀ ﻋﻨﺼر دى؟‬ ‫د ‪ A‬س＀ ＇ﻮ ﻋﻨا‪請‬ره ﻟري او د ‪ B‬س＀ ＇ﻮ ﻋﻨا‪請‬ره ﻟري؟‬ ‫دريم مثال‪ :‬د ‪ A‬او ‪ B‬س＂ﻮﻧﻪ داس‪ ３‬پﻪ پام ک‪ ３‬وﻧﻴسئ‪ ،‬چ‪:３‬‬

‫{جﻔت ﻳﻮ رﻗﻤﻲ ﻋددوﻧﻪ}=‪A‬‬ ‫{ﻫﻐﻪ ﻳﻮ رﻗﻤﻲ ﻋددوﻧﻪ چ‪ ３‬پر ‪ 3‬پﻮره د وﻳش وړ وي}=‪B‬‬

‫د ‪ A‬او ‪ B‬د س＂ﻮﻧﻮ ﻋﻨا‪請‬ر وﻟﻴکئ‪.‬‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬س＂ﻮﻧﻪ د وﻳﻦ پﻪ دﻳاگرام ک‪＊ ３‬کاره ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬ﻟﻴدل ک‪８５‬ي چ‪:３‬‬

‫}‪A = {2, 4, 6,8‬‬ ‫‪3 B‬‬

‫‪2 A‬‬

‫‪9 B‬‬ ‫‪6 B‬‬

‫‪4 A‬‬ ‫‪8 A‬‬

‫‪4 B‬‬

‫‪6 A‬‬

‫}‪B = {3, 6,9‬‬

‫‪B‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪8 2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪A‬‬

‫څلورم مثال‪:‬ﻟﻪ ﻻﻧدې اړﻳکﻮ ＇خﻪ کﻮﻣﻪ ﻳﻮه سﻤﻪ او کﻮﻣﻪ ﻳﻮه ﻧاسﻤﻪ ده؟‬ ‫‪(a‬‬

‫{‬

‫}‬

‫‪(b‬‬

‫}‪{a , b , c , d , e‬‬

‫‪f‬‬

‫حل‪ :‬د ‪ a‬اړﻳکﻪ سﻤﻪ او د ‪ b‬اړﻳکﻪ ﻧاسﻤﻪ ده‪.‬‬ ‫پﻪ ﻳﻮ س＀ ک‪ ３‬د ﻳﻮ ﻋﻨﺼر ﻏ‪７‬ﻳتﻮب د ( ) ﻋﻼﻣ‪ ３‬او ﻧﻪ ﻏ‪７‬ﻳتﻮب د( )ﻋﻼﻣ‪ ３‬پﻪ واسﻄﻪ ＊ﻮدل‬ ‫ک‪８５‬ي‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬داس‪ ３‬ﻳﻮ س＀ وﻟﻴکئ چ‪ ３‬ﻋﻨا‪請‬ر ﻳ‪ ３‬د اﻓﻐاﻧستان د وﻻﻳتﻮﻧﻮ ﻧﻮﻣﻮﻧﻪ وي‪.‬‬ ‫‪ -2‬کﻪ د ‪ A‬او ‪ B‬س＂ﻮﻧﻪ پﻪ ﻻﻧدې ډول راک‪７‬ل شﻮي وي‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪1 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪15‬‬

‫ﻻﻧدې تش ‪＄‬اﻳﻮﻧﻪ ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪12‬‬

‫‪7‬‬

‫‪A‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪-3‬کﻪ}‪ A = {2, 4, 6,8‬او}‪ B = {1,3,5, 7 ,9‬وي پﻪ ﻻﻧدې ﻋبارتﻮﻧﻮ ک‪ ３‬کﻮم ﻳﻮ سﻢ او کﻮم‬ ‫ﻳﻮ ﻳ‪ ３‬ﻧاسﻢ دى؟‬ ‫‪5 A , 4 A , 7 A , 9 B , 8 B‬‬ ‫‪10 A , 11 B , 1 A , 2 A , 3 B‬‬ ‫‪ -4‬کﻪ }‪ A = {1, 2, 3, 4‬او }‪ B = {3, 4, 5, 6‬وي پﻪ ﻻﻧدې ﻋبارتﻮﻧﻮ ک‪ ３‬کﻮم ﻳﻮ ﻳ‪ ３‬سﻢ او کﻮم ﻳﻮ‬ ‫ﻧاسﻢ دى؟‬ ‫‪,5 A‬‬ ‫‪,2 A‬‬

‫‪,6 A‬‬ ‫‪,6 A‬‬

‫‪5 B‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪2‬‬

‫‪A,‬‬ ‫‪A ,‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ -5‬پﻪ ﻻﻧدې ﻋبارتﻮﻧﻮ ک‪ ３‬سﻢ او ﻧا سﻢ و＊ﻴئ‪:‬‬ ‫‪8‬‬

‫}‪{2,4,6,8,10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪,‬‬

‫}‪{3,5,7,8,9,11,13‬‬

‫}‪{a,b,c,d,e‬‬

‫‪g‬‬

‫‪,‬‬

‫}‪10 {1,2,3,4,5,6,7,8‬‬

‫‪6‬‬

‫د يو سټ د ليکلو طريقې‬ ‫اﻳا وﻳﻼى شئ چ‪ ３‬ﻳﻮ س＀ پﻪ ＇ﻮ ډوﻟﻪ ＊ﻮدﻻى‬ ‫شﻮو؟‬

‫}‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫{=‪A‬‬

‫{د ﻃﻴﻴب‪ ３‬کﻠﻤﻪ‪ ،‬ﻟﻤﻮﻧ‪ ،＃‬روژه‪ ،‬زکات‪ ،‬حج}=‪B‬‬ ‫{د اسﻼم پﻨ‪％‬ﻪ بﻨاوې}=‪C‬‬

‫پﻪ ﻋﻤﻮﻣﻲ ډول س＀ پﻪ دوو ﻃرﻳﻘﻮ ﻟﻴکﻲ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﻫﻐﻪ ﻃرﻳﻘﻪ ده چ‪ ３‬د س＀ ！ﻮل ﻋﻨﺼروﻧﻪ او ﻳا ﻳ‪ ３‬تﺼﻮﻳروﻧﻪ د س＀ د ﻋﻼﻣ‪ } {３‬پﻪ ﻣﻨ‪ ＃‬ک‪ ３‬وي او‬ ‫د ﻋﻨا‪請‬رو تر ﻣﻨ‪ )،(＃‬ﻋﻼﻣﻪ ﻟﻴکﻞ کﻴ‪８‬ي‪ .‬دې ﻃرﻳﻘ‪ ３‬تﻪ تﻔﺼﻴﻠﻲ ﻃرﻳﻘﻪ او ﻳا د ﻋﻨا‪請‬رو د ﻟست کﻮﻟﻮ‬ ‫ﻃرﻳﻘﻪ(‪ )Tabulation Method‬واﻳﻲ‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪{:‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫}=‪{ ، A‬احﻤد ‪ ,‬حسﻦ ‪ ,‬ﻗاسﻢ ‪ ,‬زﻟﻤﻲ ‪ ,‬ﻣحﻤﻮد} = ‪B‬‬

‫} ‪ D = {a , b , c , d , e} , C = {1, 2, 3, 4,5, 6, 7 ,8‬او }‪E = {1, 2,3, 4,...,500‬‬

‫＇رﻧگﻪ چ‪ ３‬د ‪ E‬د س＀ ﻋﻨا‪請‬ر زﻳات دي‪ ،‬پﻪ ﻫﻤدې اساس درې ！کﻲ ‪ ...‬دا ﻣﻌﻨا ﻟري چ‪ ３‬ﻋددوﻧﻪ‬ ‫تر ‪ 500‬پﻮرې دوام ﻟري‪.‬‬ ‫‪ -2‬د س＀ د ﻋﻨا‪請‬رو د ﻣشترکﻮ خا‪請‬ﻴتﻮﻧﻮ پﻪ اساس س＀ پﻪ ﻳﻮه جﻤﻠﻪ ک‪＄ ３‬اﻧگ‪７‬ې ک‪８５‬ي‪ .‬پﻪ دې‬ ‫ﻃرﻳﻘﻪ ک‪ ３‬د س＀ د ﻋﻼﻣ‪ } {３‬ﻟﻴکﻞ ﺿروري ﻧﻪ دي‪ .‬دا ﻃرﻳﻘﻪ د اجﻤاﻟﻲ ﻳا تشرﻳحﻲ ﻃرﻳﻘ‪３‬‬ ‫(‪ )Description Method‬پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳاد‪８４‬ي‪.‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬د ﻟﻮﻣ‪７‬ي ﻣثال د ‪ B‬او ‪ E‬س＂ﻮﻧﻪ د اجﻤاﻟﻲ ﻃرﻳﻘ‪ ３‬پﻪ ﻣرستﻪ پﻪ ﻻﻧدې ډول ﻟﻴکﻮ‪:‬‬ ‫د اووم ！ﻮﻟگﻲ د زده کﻮوﻧکﻮ د واﻟﻴبال د ！ﻴﻢ دﻧﻮﻣﻮﻧﻮس＀ = ‪B‬‬ ‫ﻟﻪ (‪＇ )1‬خﻪ تر ‪ 500‬پﻮرې د ﻃبﻴﻌﻲ پرﻟﻪ پس‪ ３‬ﻋددوﻧﻮ س＀ = ‪E‬‬ ‫}‪ P = {2,3,5, 7,11,...‬پﻪ ﻻﻧدې ډول ﻟﻴکﻮ‬ ‫د ﻟﻮﻣ‪７‬ﻧﻴﻮ ﻋددوﻧﻮ س＀ = ‪P‬‬ ‫دريم مثال‪ :‬کﻪ {ﻃﻴﻴب‪ ３‬کﻠﻤﻪ‪ ،‬ﻟﻤﻮﻧ‪ ،＃‬روژه‪ ،‬زکات‪ ،‬حج}=‪ K‬وي‪ ،‬د ‪ K‬س＀ د اجﻤاﻟﻲ ﻃرﻳﻘ‪３‬‬ ‫پﻪ شکﻞ پﻪ ﻻﻧدې ډول ﻟﻴکﻮ‪:‬‬ ‫د اسﻼم د پﻨ‪％‬ﻪ بﻨاوو س＀ = ‪K‬‬

‫‪7‬‬

‫فعاليت‬ ‫د اﻧگﻠﻴسﻲ د ژب‪ ３‬د ‪ 8‬ﻟﻮﻣ‪７‬ﻧﻴﻮ تﻮرو س＀ = ‪A‬‬ ‫ﻟﻪ (‪＇ )2‬خﻪ ﻟﻮى او ﻟﻪ (‪＇ )10‬خﻪ د کﻮچﻨﻴﻮ ﻃبﻴﻌﻲ ﻋددوﻧﻮ س＀ = ‪B‬‬ ‫د (‪ )3‬د ﻋدد د ﻣﻀربﻮﻧﻮ س＀ چ‪ ３‬ﻟﻪ ‪＇ 20‬خﻪ کﻮچﻨﻰ وي = ‪C‬‬

‫د ‪ B، A‬او ‪ C‬س＂ﻮﻧﻪ د ﻋﻨا‪請‬رو د ﻟست کﻮﻟﻮ پﻪ ﻃرﻳﻘ‪ ３‬وﻟﻴکئ‪.‬‬

‫څلورم مثال‪ :‬کﻪ }‪ A = {a , e , i , o , u‬او }‪ B = {a , b , c , d , e‬وي‪ .‬دا س＂ﻮﻧﻪ پﻪ اجﻤاﻟﻲ ﻳا‬ ‫تﻮ‪請‬ﻴﻔﻲ ﻃرﻳﻘ‪ ３‬سره وﻟﻴکئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫د اﻧگﻠﻴسﻲ ژب‪ ３‬د ﻏ‪ ８‬ﻟروﻧکﻮ تﻮرو س＀ = ‪ ، A‬د اﻧ‪／‬ﻠﻴسﻲ ژب‪ ３‬د پﻨ‪％‬ﻮ ﻟﻮﻣ‪７‬ﻧﻴﻮ تﻮرو س＀ = ‪B‬‬

‫پوښتنې‪:‬‬ ‫‪-1‬ﻻﻧدې س＂ﻮﻧﻪ د ﻋﻨا‪請‬رو د ﻟست کﻮﻟﻮ پﻪ ﻃرﻳﻘ‪ ３‬وﻟﻴکئ‪.‬‬ ‫د اووﻧ‪ ９‬د ور‪＄‬ﻮ د ﻧﻮﻣﻮﻧﻮ س＀ =‪B‬‬ ‫د کال د ﻣﻴاشتﻮ د ﻧﻮﻣﻮﻧﻮ س＀ =‪A‬‬ ‫د اﻓﻐاﻧستان د بﻴرغ د رﻧگﻮﻧﻮ س＀ =‪E‬‬ ‫‪ -2‬ﻻﻧدې س＂ﻮﻧﻪ پﻪ تﻮ‪請‬ﻴﻔﻲ( تشرﻳحﻲ) ﻃرﻳﻘ‪ ３‬سره وﻟﻴکئ‪.‬‬ ‫}‪A = {a , e , i , o , u‬‬ ‫{تﻮر‪ ،‬سﻮر‪ ،‬شﻴﻦ} = ‪B‬‬

‫}‪C = {1,3,5,7,9‬‬ ‫}‪D = {2, 4,6,8‬‬ ‫}‪E = {1, 2,3, 4,5‬‬ ‫‪ -3‬ﻻﻧدې س＂ﻮﻧﻪ د ﻋﻨا‪請‬رو د ﻟست کﻮﻟﻮ پﻪ ﻃرﻳﻘ‪ ３‬وﻟﻴکئ‪.‬‬ ‫د جﻔتﻮ ﻳﻮ رﻗﻤﻲ ﻃبﻴﻌﻲ ﻋددوﻧﻮ س＀ = ‪K‬‬ ‫د تاﻗﻮ ﻳﻮ رﻗﻤﻲ ﻃبﻴﻌﻲ ﻋددوﻧﻮ س＀ = ‪L‬‬ ‫د (‪ )7‬د ﻋدد د ﻣﻀربﻮﻧﻮ س＀ = ‪T‬‬ ‫د اووم ！ﻮﻟگﻲ زده کﻮوﻧکﻮ د ﻓﻮ！بال د！ﻴﻢ س＀ = ‪C‬‬ ‫د اووم ！ﻮﻟگﻲ زده کﻮوﻧکﻮ د واﻟﻴبال د！ﻴﻢ س＀ = ‪B‬‬ ‫د اووم ！ﻮﻟگﻲ د زده کﻮوﻧکﻮ س＀ = ‪A‬‬

‫‪8‬‬

‫مساوي سټونه‪ ،‬معادل سټونه‬ ‫او فرعي سټ‬ ‫آﻳا وﻳﻼى شئ چ‪ ３‬د ‪ A‬او ‪ C‬س＂ﻮﻧﻪ پﻪ خپﻞ ﻣﻨ‪＃‬‬ ‫ک‪＇ ３‬ﻪ اړﻳکﻪ ﻟري ﻫﻤدارﻧگﻪ د ‪ A‬او ‪ B‬د س＂ﻮﻧﻮ‬ ‫پﻪ ﻣﻨ‪ ＃‬ک‪＇ ３‬ﻪ اړﻳکﻪ وجﻮد ﻟري؟‬

‫}‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫{=‪A‬‬

‫}‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫{=‪B‬‬

‫}‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫{=‪C‬‬

‫تعريف‪ :‬د ‪ A‬او ‪ B‬س＂ﻮﻧﻪ ﻫﻐﻪ وخت سره ﻣساوي دي چ‪ ３‬د دواړو س＂ﻮﻧﻮ د ﻋﻨا‪請‬رو شﻤ‪５‬ر سره‬ ‫ﻣساوي او ﻋﻨا‪請‬ر ﻳ‪ ３‬ﻳﻮ شﻰ وي او ﻳا پﻪ بﻞ ﻋبارت د ‪ A‬د س＀ ！ﻮل ﻋﻨا‪請‬رد ‪ B‬پﻪ س＀ ک‪ ３‬او د ‪ B‬د س＀‬ ‫！ﻮل ﻋﻨا‪請‬ر د ‪ A‬پﻪ س＀ ک‪ ３‬شاﻣﻞ وي‪ .‬پﻪ دې حاﻟت ک‪ ３‬ﻟﻴکﻮ چ‪ A = B ３‬او ﻳا ‪ B = A‬دى‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪:‬کﻪ }‪ A = {1, 2 , 6‬او }‪ B = {1,1, 2 , 2 , 6‬وي‪ ،‬ﻣتﻮجﻪ اوسئ چ‪ A=B３‬دى‪.‬‬ ‫او ﻫــﻢ باﻳد پﻪ پــام ک‪ ３‬وﻟرو چ‪ {2, 3, 5, 7} = {5, 3, 2, 7} ３‬دى‪ .‬د }‪ A = {1, 2‬او }‪B = {2, 3‬‬ ‫ســ＂ﻮﻧﻪ پﻪ ﻧﻈر ک‪ ３‬وﻧﻴســئ‪ ،‬دا دواړه ســ＂ﻮﻧﻪ ﻳﻮ ﻟﻪ بﻞ ســره ﻣســاوي ﻧﻪ دي‪＄ ،‬کﻪ چ‪ 1 A ３‬دى‬ ‫ﻟﻴکﻦ ‪. 1 B‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫}‪ B = {5,4,7,8‬او }‪A = {a,b,c,d‬‬

‫د ‪ A‬او ‪ B‬دوه س＂ﻮﻧﻪ پﻪ پام ک‪ ３‬وﻧﻴسئ‪.‬‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬س＀ د ﻋﻨا‪請‬رو شﻤ‪５‬ر ＇ﻮ دى؟‬ ‫اﻳا ‪ a‬د ‪ B‬د س＀ ﻋﻨﺼر دى؟‬ ‫اﻳا د ‪ A‬س＀ د ‪ B‬ﻟﻪ س＀ سره ﻣساوي دى؟ وﻟ‪３‬؟‬

‫‪ A = { ,‬او}‪ B = {8,10,12‬وي‪ ،‬اﻳا د ‪ A‬او ‪ B‬س＂ﻮﻧﻪ‬

‫دويم مثال‪ :‬کﻪ چ‪５‬رې } ‪,‬‬ ‫سره ﻣﻌادل دي؟‬ ‫حل‪＇ :‬رﻧگﻪ چ‪ ３‬د ‪ A‬دس＀ د ﻋﻨا‪請‬رو شﻤ‪５‬ر درې او د ‪ B‬د س＀ د ﻋﻨا‪請‬رو شﻤ‪５‬ر ﻫﻢ درې دى‪،‬‬ ‫ﻧﻮ د ‪ A‬او ‪ B‬س＂ﻮﻧﻪ سره ﻣﻌادل دي‪.‬‬ ‫د ‪ A‬او‪ B‬س＂ﻮﻧﻪ چ‪ ３‬د ﻋﻨا‪請‬رو شﻤﻴر ﻳ‪ ３‬ﻣساوي او ﻋﻨا‪請‬ر ﻳ‪ ３‬ﻳﻮ شﻰ وي‪ ،‬ﻣساوي س＂ﻮﻧﻪ دي‪ ،‬او کﻪ‬ ‫ﻳﻮازې د ﻋﻨا‪請‬رو شﻤ‪５‬ر ﻳ‪ ３‬سره ﻣساوي وي د ﻣﻌادل س＂ﻮﻧﻮ(‪ )Equivalent sets‬پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳاد‪８４‬ي‪.‬‬

‫‪9‬‬

‫فرعي سټ‪:‬‬ ‫کﻪ د ‪ B‬دس＀ ！ﻮل ﻋﻨا‪請‬ر د ‪ A‬پﻪ س＀ ک‪ ３‬شاﻣﻞ وي ‪ B‬د ‪ A‬د س＀ ﻳﻮ ﻓرﻋﻲ س＀ دى او داس‪３‬‬ ‫＊ﻮدل ک‪８５‬ي‪:‬‬ ‫‪B A‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫‪ A‬د اووم ！ﻮﻟگﻲ د زده کﻮوﻧکﻮ س＀ او ‪ B‬د اووم‬ ‫！ﻮﻟ‪／‬ﻲ د زده کﻮوﻧکﻮ د واﻟﻴبال د ！ﻴﻢ س＀ دى‪.‬‬

‫شکﻞ تﻪ پﻪ پام د ‪ A‬او ‪ B‬د س＂ﻮﻧﻮ ﻋﻨا‪請‬ر‬ ‫وﻟﻴکئ‪.‬‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬د س＂ﻮﻧﻮ د ﻋﻨا‪請‬رو پﻪ ﻣﻨ‪ ＃‬ک‪＇ ３‬ﻪ‬ ‫ډول اړﻳکﻪ ﻣﻮجﻮده ده؟ ＇رگﻨده ﻳ‪ ３‬ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫زﻟﻤﻲ احﻤد‬ ‫ﻋزت اﷲ‬ ‫ﻣحﻤﻮد ﻗاسﻢ‬ ‫حسﻦ‬ ‫صﻔت اﷲ‬

‫‪A‬‬

‫ﻋﻄاء اﷲ‬ ‫دﻳﻦ ﻣحﻤد‬ ‫ﻧادر‬

‫ﻟﻴدل ک‪８５‬ي چ‪ ３‬د ‪ B‬د س＀ ﻫر ﻋﻨﺼر د ‪ A‬دس＀ ﻋﻨﺼر ﻫﻢ دى‪ ،‬ﻧﻮ وﻳﻼى شﻮ چ‪ ３‬د ‪ B‬س＀ د ‪A‬‬ ‫د س＀ ﻳﻮ ﻓرﻋﻲ س＀ دى‪ ،‬چ‪ ３‬پﻪ دې ډول ＊ﻮدل ک‪８５‬ي‪ ، B A :‬دا د ﻓرﻋﻲ س＀ ﻋﻼﻣﻪ ده‪.‬‬ ‫ﻟﻪ بﻠ‪ ３‬خﻮا ＇رﻧگﻪ چ‪ ３‬د ‪ A‬د س＀ ﻫر ﻋﻨﺼر د ‪ B‬پﻪ س＀ ک‪ ３‬ﻧشتﻪ‪ ،‬ﻧﻮ ‪ A‬د ‪ B‬د س＀‪ ،‬ﻓرﻋﻲ س＀‬ ‫ﻧﻪ دى‪ ،‬چ‪ ３‬داس‪＊ ３‬ﻮدل ک‪８５‬ي ‪A B :‬‬ ‫دريم مثال‪ :‬ﻻﻧدې س＂ﻮﻧﻪ پﻪ ﻧﻈر ک‪ ３‬ﻧﻴسﻮ‪:‬‬ ‫{احﻤد ‪ ,‬ﻣحﻤﻮد ‪ ,‬زﻫرا ‪ ,‬ﻣرﻳﻢ} = ‪{ , A‬داوود‪ ,‬ﻗاسﻢ‪ ,‬احﻤد‪ ,‬ﻣرﻳﻢ} = ‪{ B‬ﻣرﻳﻢ ‪ ,‬احﻤد} = ‪C‬‬ ‫ﻧﻮ وﻳﻼی شﻮ چ‪C A , C B , B A , A B :３‬‬ ‫او ﻫﻤدارﻧگﻪ وﻳﻼى شﻮ چ‪ A A ３‬دى‪ .‬ﻳا ﻫر س＀ د خپﻞ ‪＄‬ان ﻓرﻋﻲ ست دى‪ .‬خاﻟﻲ س＀ د‬ ‫ﻫر س＀‪ ،‬ﻓرﻋﻲ س＀ دی‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬د }‪ A = {1,7,8,9‬او }‪ B = {9,8,1,7,9‬پﻪ پام ک‪ ３‬وﻧﻴسئ اﻳا د ‪ A‬س＀ د ‪ B‬ﻟﻪ س＀ سره‬ ‫ﻣساوي دی؟‬ ‫‪ -2‬ﻟﻪ ﻻﻧدې س＂ﻮﻧﻮ ＇خﻪ کﻮم ﻳﻮ ﻳ‪ ３‬د }‪ C = {1, 2, 3,4, 5‬د س＀ ﻓرﻋﻲ س＀ دى؟‬ ‫}‪A = {3,5, 7‬‬

‫}‪B = {1, 2,3, 4,5‬‬ ‫‪ -3‬ﻟﻪ ﻻﻧدې س＂ﻮﻧﻮ ＇خﻪ کﻮم ﻳﻮ ﻳ‪ ３‬د }‪ C = {1, 2, 3,4‬ﻟﻪ س＀ سره ﻣساوي دى؟‬ ‫}‪A = {1, 2,3‬‬ ‫}‪B = {4,3, 2,1‬‬

‫‪10‬‬

‫د سټونو تقاطع او اتحاد‬ ‫‪ C‬د ﻓﻮ！بال ！ﻴﻢ‬ ‫ﻋزت اﷲ‬ ‫حسﻦ‬ ‫ﻧادر‬ ‫احﻤد‬ ‫زﻟﻤﻲ‬ ‫صﻔت اﷲ‬ ‫ﻗاسﻢ‬ ‫ﻣحﻤﻮد‬ ‫دﻳﻦ ﻣحﻤد‬ ‫ﻋﻄاء اﷲ‬

‫‪ B‬د واﻟﻴبال ！ﻴﻢ‬

‫کﻪ }‪ A = {3,4,5‬او }‪ B = {1,2,3‬وي آﻳا ‪A I B‬‬ ‫او ‪ A U B‬پﻴدا کﻮﻻی شئ‬

‫ﻟکﻪ ＇رﻧگﻪ چ‪ ３‬پﻪ پﻮرتﻨﻲ شکﻞ ک‪ ３‬ﻟﻴدل ک‪８５‬ي احﻤد او ﻗاسﻢ د واﻟﻴبال او ﻓﻮ！بال پﻪ دواړو ！ﻴﻤﻮﻧﻮ‬ ‫ک‪ ３‬برخﻪ اخﻴست‪ ３‬ده‪.‬‬ ‫د ‪ B‬او ‪ C‬د س＂ﻮﻧﻮ تﻘاﻃﻊ ﻟﻪ ﻫﻐﻪ س＀ ＇خﻪ ﻋبارت ده چ‪ ３‬ﻋﻨا‪請‬ر ﻳ‪ ３‬احﻤد او ﻗاسﻢ دي او پﻪ‬ ‫ﻻﻧدې ډول ＊ﻮدل ک‪８５‬ي‪:‬‬ ‫{احﻤد‪ ،‬ﻗاسﻢ} = ‪ B I C‬چ‪ ３‬د تﻘاﻃﻊ ﻋﻼﻣﻪ ده‪.‬‬ ‫‪U‬‬

‫{احﻤد‪ ,‬ﻗاسﻢ‪ ,‬ﻋزت اهلل‪ ,‬ﻧادر‪請 ,‬ﻔت اهلل‪,‬دﻳﻦ ﻣحﻤد‪ ,‬ﻋﻄاء اهلل} {حسﻦ‪ ,‬زﻟﻤﻲ‪ ,‬ﻣحﻤﻮد‪ ,‬احﻤد‪,‬ﻗاسﻢ} = ‪B I C‬‬ ‫{احﻤد‪,‬ﻗاسﻢ} =‬ ‫‪U‬‬

‫د ‪ A‬او ‪ B‬د دوو س＂ﻮﻧﻮ تﻘاﻃﻊ ﻟﻪ ﻫﻐﻪ س＀ ＇خﻪ ﻋبارت دی چ‪ ３‬ﻋﻨا‪請‬ر ﻳ‪ ３‬ﻫﻢ د ‪ A‬او ﻫﻢ د ‪ B‬پﻪ‬ ‫س＀ ک‪ ３‬شاﻣﻞ وي‪ .‬د ‪ A‬د س＀ تﻘاﻃﻊ ﻟﻪ خپﻞ ‪＄‬ان سره ﻟﻪ ‪ A‬سره برابره ده‪A A = A .‬‬ ‫‪U‬‬

‫لومړى مثال‪ :‬کﻪ د }‪ A = {4, 5, 6, 8,10‬او }‪ B = {3, 5, 8,1‬س＂ﻮﻧﻪ راک‪７‬ل شﻮي وي‪B ،‬‬ ‫او ‪ B A‬پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫حل‪A I B = {4 , 5 , 6 , 8,10} I {3 , 5 , 8 ,1} = {5 , 8} :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫}‪B I A = {3 , 5 , 8 ,1} I {4 , 5 , 6 , 8,10} = {5 , 8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8 3‬‬ ‫پﻪ پاﻳﻠﻪ ک‪ ３‬وﻳﻼى شﻮ چ‪A I B = B I A = {5,8} :３‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪A‬‬

‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫ﻟکﻪ ＇رﻧگﻪ چ‪ ３‬پﻪ شکﻞ ک‪ ３‬ﻫﻢ ﻟﻴدل ک‪８５‬ي‬

‫دويم مثال‪ :‬د ‪ A‬او ‪ B‬س＂ﻮﻧﻪ پﻪ ﻻﻧدې ډول پﻪ پام ک‪ ３‬وﻧﻴسئ‬

‫}‪، B = {2 , 4 , 8‬‬

‫}‪A = {1, 3 , 5‬‬

‫ﻟﻴدل ک‪８５‬ي چ‪:３‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫=‪AI B‬‬

‫= }‪A B = {1, 3, 5} {2, 4, 8‬‬ ‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫‪11‬‬

‫‪A‬‬

‫داس‪ ３‬س＂ﻮﻧﻪ چ‪ ３‬ﻫﻴ＆ ﻣشترک( گ‪ )６‬ﻋﻨﺼر وﻧﻪ ﻟري‪ ،‬د ﻏﻴر ﻣشترکﻮ(سره ب‪５‬ﻠﻮ) س＂ﻮﻧﻮ‬ ‫(‪ )Disjoint Sets‬پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳاد‪８４‬ي‪.‬‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬د داس‪ ３‬دوو س＂ﻮﻧﻮ تﻘاﻃﻊ چ‪ ３‬د ‪！ A‬ﻮل ﻋﻨا‪請‬ر د ‪ B‬پﻪ س＀ ک‪ ３‬شاﻣﻞ وي‪ ،‬د ‪ A‬ﻟﻪ س＀‬ ‫＇خﻪ ﻋبارت ده‪.‬‬ ‫دريم مثال‪ :‬کﻪ }‪ A = {1, 2, 3‬او }‪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6‬وي ‪ A B‬پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬ﻟکﻪ ＇ﻨگﻪ چ‪ ３‬پﻪ ﻣخاﻣخ شکﻞ ک‪ ３‬ﻫﻢ ＊ﻮدل شﻮى‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪4 1 2 6‬‬ ‫دى‪.‬‬ ‫‪AI B‬‬ ‫‪U‬‬

‫‪3‬‬

‫‪U‬‬

‫‪A B = {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3} = A‬‬

‫‪5‬‬

‫‪U‬‬

‫د سټونو اتحاد‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬د دوو س＂ﻮﻧﻮ اتحاد ﻫﻐﻪ س＀ دى چ‪ ３‬ﻋﻨا‪請‬ر ﻳ‪ ３‬ﻳا پﻪ ‪ A‬او ﻳا پﻪ ‪ B‬ک‪ ３‬شاﻣﻞ وي او دا‬ ‫‪ U‬د اتحاد ﻋﻼﻣﻪ ده‪.‬‬

‫فعاليت‬ ‫کﻪ د }‪ A = {1, 2, 3, 4‬او }‪ B = {3, 4, 5, 6‬س＂ﻮﻧﻪ راک‪７‬ل شﻮي وي ‪ A U B‬او ‪ B U A‬پﻴدا‬ ‫او پﻪ وﻳﻦ دﻳاگرام ک‪ ３‬ﻳ‪ ３‬و＊ﻴئ‪.‬‬ ‫څلورم مثال‪ :‬کﻪ }‪ A = {1, 2, 3‬او }‪ B = {1, 2, 3, 4, 5‬س＂ﻮﻧﻪ‬ ‫راک‪７‬ل شﻮي وي‪ A U B ،‬او ‪ B U A‬پﻴدا او پﻪ شکﻞ ک‪ ３‬ﻳ‪３‬‬ ‫و＊ﻴئ‪.‬‬ ‫}‪A U B = {1, 2 , 3} U {1, 2 , 3 , 4 , 5} = {1, 2 , 3 , 4 , 5‬‬ ‫}‪B U A = {1, 2 , 3 , 4 , 5} U {1, 2 , 3} = {1, 2 , 3 , 4 , 5‬‬

‫پوښتنې‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪AUB = BUA‬‬

‫‪ -1‬کﻪ }‪ A = {1,3,5,7‬او }‪ B = {2,4,6,8‬وي ‪ A I B‬او ‪ A U B‬پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬کﻪ }‪ C = {5,7,8,9‬او }‪ D = {4,5,8,10‬وي ‪ C I D‬او ‪ C U D‬پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫د دوو سټونو تفاضل آو د يو سټ‬ ‫مکمله سټ‬ ‫‪ C‬د ﻓﻮ！بال ！ﻴﻢ‬

‫کﻪ }‪ A = {5,6,7,8,9‬او }‪B = {5,8,9‬‬ ‫وي اﻳا ‪ A B‬او ‪ B A‬پﻴدا کﻮﻻی‬ ‫شئ؟‬

‫پﻪ پﻮرتﻨﻲ شکﻞ ک‪ ３‬ﻟﻴدل ک‪ ３‬چ‪３‬‬

‫ﻋزت اﷲ‬ ‫ﻧادر‬ ‫حسﻦ‬ ‫احﻤد‬ ‫صﻔت اﷲ‬ ‫زﻟﻤﻲ‬ ‫ﻗاسﻢ‬ ‫دﻳﻦ ﻣحﻤد‬ ‫ﻣحﻤﻮد‬ ‫ﻋﻄاء اﷲ‬ ‫‪ B B C‬د واﻟﻴبال ！ﻴﻢ‬

‫{ﻣحﻤﻮد‪ ,‬زﻟﻤﻲ‪ ,‬حسﻦ} = ‪B C‬‬

‫تعريف‪:‬‬ ‫‪ A B‬ﻫﻐﻪ س＀ دى چ‪ ３‬ﻋﻨا‪請‬ر ﻳ‪ ３‬د ‪ A‬پﻪ س＀ ک‪ ３‬شاﻣﻞ وي‪ ،‬خﻮ د ‪ B‬پﻪ س＀ ک‪ ３‬شاﻣﻞ ﻧﻪ وي او‬ ‫‪ B A‬ﻫﻐﻪ س＀ دى چ‪ ３‬ﻋﻨا‪請‬ر ﻳ‪ ３‬د ‪ B‬پﻪ س＀ ک‪ ３‬شاﻣﻞ وي‪ ،‬خﻮ د ‪ A‬پﻪ س＀ ک‪ ３‬شاﻣﻞ ﻧﻪ وي‪.‬‬ ‫لومړی مثال‪ :‬کﻪ }‪ A = {1,2,3,4,5,6‬او }‪ B = {2,3,4,8‬وي ‪ A B‬او ‪A‬‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪ B‬پﻴدا‬

‫}‪A B = {1,2,3,4,5,6, } {2,3,4,8} = {1,5,6‬‬ ‫}‪B A = {2,3,4,8} {1,2,3,4,5,6, } = {8‬‬

‫ﻟﻴدل کﻴ‪８‬ي چ‪B A ３‬‬

‫‪A B‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‪:‬‬ ‫‪B‬‬

‫شکﻞ تﻪ پﻪ پام کﻮﻟﻮ سره‪:‬‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬د س＂ﻮﻧﻮ ﻋﻨا‪請‬ر وﻟﻴکئ‪.‬‬ ‫‪ A B‬او ‪ B A‬پﻪ ﻻس راوړئ او پﻪ شکﻞ ک‪ ３‬ﻳ‪ ３‬و＊ﻴئ‪.‬‬ ‫دويم مثال‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪1 5 7 9‬‬ ‫‪3 6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2‬‬

‫}‪{a , b} {b} = {a‬‬ ‫}‪{x , y , z} {a , b} = {x , y, z‬‬ ‫= }‪{a , b} {a , b‬‬

‫کلي سټ او د يو سټ مکمله سټ‬ ‫تر بحث ﻻﻧدې ﻣﻮﺿﻮع پﻪ اړوﻧد ﻳﻮ ！اکﻠﻰ س＀ چ‪ ３‬د ﻣﻮﺿﻮع ！ﻮل اړوﻧد ﻋﻨا‪請‬ر پک‪ ３‬شاﻣﻞ وي د‬ ‫ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻳا کﻠﻲ س＀ پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳاد‪８４‬ي او پﻪ ‪ U‬سره ＊ﻮدل کﻴ‪８‬ي‪.‬‬ ‫د ‪ A‬د س＀ ﻣکﻤﻠﻪ پﻪ '‪ A‬ﻳا ‪ A‬سره ＊کاره کﻮي‪ .‬د ‪ A‬د‬ ‫‪A‬‬ ‫س＀ ﻋﻨا‪請‬ر ﻫﻐﻪ دي چ‪ ３‬پﻪ ﻋﻤﻮﻣﻲ س＀ ‪ U‬ک‪ ３‬شاﻣﻞ او پﻪ‬ ‫'‪A‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪ A‬ک‪ ３‬شاﻣﻞ ﻧﻪ وي‪ .‬پﻪ شکﻞ ک‪ ３‬ﻫﻐﻪ برخﻪ چ‪ ３‬شﻴﻦ رﻧگ‬ ‫ﻟري ﻟﻪ ‪＇ A‬خﻪ ﻋبارت ده‪.‬‬ ‫دريم مثال‪ :‬کﻪ }‪ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10‬او }‪ A = {2, 4,6, 8, 10‬وي‪ ،‬د ‪A‬‬ ‫ﻣکﻤﻠﻪ س＀ ﻧﻈر ‪ U‬تﻪ پﻴدا ک‪７‬ئ او پﻪ شکﻞ ک‪ ３‬ﻳ‪ ３‬و＊ﻴئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د '‪ A‬د پﻴدا کﻮﻟﻮ ﻟپاره د ‪ A‬د س＀ ﻋﻨا‪請‬ر ﻟﻪ ‪＇ U‬خﻪ حذﻓﻮو‪ .‬ﻫﻐﻪ ﻋﻨا‪請‬ر چ‪ ３‬د ‪ U‬پﻪ س＀‬ ‫ک‪ ３‬پات‪ ３‬ک‪８５‬ي ‪ A‬ﻳا د ‪ A‬ﻣکﻤﻠﻪ س＀ ﻧﻈر ‪ U‬تﻪ دی‪.‬‬ ‫}‪A = U A = {1, 2,3, 4,5, 6, 7 ,8,9,10} {2, 4, 6,8,10} = {1,3,5, 7 ,9‬‬

‫‪A‬‬

‫‪4 A‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8 10‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪U‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬کﻪ }‪ B = {1, 3, 5, 7} ، A = {2, 4, 6, 8‬او }‪ C = {4, 6, 8‬س＂ﻮﻧﻪ راک‪７‬ل شﻮي وي‪:‬‬ ‫‪ A C , B B , B A , A B , A A‬او ‪ C A‬پﻪ ﻻس راوړئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬پﻪ کﻮم ﻳﻮ شکﻞ ک‪ ،３‬رﻧگﻪ شﻮې برخﻪ‪＊ A B ،‬کاره کﻮي؟‬ ‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪b:‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪a:‬‬

‫‪ -3‬کﻪ }‪ U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10‬او }‪ B = {1,3,5,7,9‬وي '‪ B‬پﻴدا ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫‪14‬‬

‫د لومړى څپرکى لنډيز‬ ‫ﻳﻮ شﻤ‪５‬ر ！اکﻠﻮ او ﻣختﻠﻔﻮ شﻴاﻧﻮ تﻪ س＀ واﻳﻲ او دا شﻴان د س＀ ﻟﻪ ﻏ‪７‬و ﻳا ﻋﻨا‪請‬رو ＇خﻪ ﻋبارت‬ ‫دي‪ .‬د ﻳﻮ س＀ ﻋﻨا‪請‬ر د { } ﻋﻼﻣ‪ ３‬پﻪ ﻣﻨ‪ ＃‬ک‪ ３‬ﻟﻴکﻞ ک‪８５‬ي چ‪ ３‬د (‪ ),‬ﻋﻼﻣ‪ ３‬پﻪ ﻣرستﻪ ﻳﻮ ﻟﻪ بﻠﻪ‬ ‫جﻼ ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫ﻫﻐﻪ س＀ چ‪ ３‬ﻋﻨا‪請‬ر ﻳ‪ ３‬د شﻤ‪５‬ر وړ وي‪ ،‬ﻣﻌﻴﻦ او کﻪ ﻋﻨا‪請‬ر ﻳ‪ ３‬د شﻤ‪５‬ر وړ ﻧﻪ وي‪ ،‬د ﻏﻴر ﻣﻌﻴﻦ‬ ‫س＀ پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳاد‪８４‬ي‪.‬‬ ‫}‬ ‫ﻫﻐﻪ س＀ چ‪ ３‬ﻫﻴ＆ ﻋﻨﺼر‪ ،‬و ﻧﻪ ﻟري‪ ،‬د تش(خاﻟﻲ) س＀ پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳاد‪８４‬ي چ‪ ３‬د ﻳا {‬ ‫ﻋﻼﻣ‪ ３‬پﻪ ﻣرستﻪ ＊ﻮدل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫پﻪ ﻳﻮ س＀ ک‪ ３‬د ﻋﻨﺼر د شﻤﻮﻟﻴت ﻋﻼﻣﻪ ( ) ده او د ﻳﻮ ﻋﻨﺼر‪ ،‬ﻧﻪ شﻤﻮﻟﻴت پﻪ ﻳﻮ س＀ ک‪ ３‬د ( )‬ ‫ﻋﻼﻣ‪ ３‬پﻪ ﻣرستﻪ ＊ﻮدل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫س＂ﻮﻧﻪ ﻋﻤﻮﻣاً پﻪ دوو ﻃرﻳﻘﻮ ﻟﻴکﻞ ک‪８５‬ي‪ .‬د ﻋﻨا‪請‬رو د ﻟست کﻮﻟﻮ ﻃرﻳﻘﻪ(تﻔﺼﻴﻠﻲ ﻃرﻳﻘﻪ) چ‪ ３‬د ﻳﻮ‬ ‫س＀ ！ﻮل ﻋﻨا‪請‬ر او ﻳا تﺼﻮﻳروﻧﻪ ﻳ‪ ３‬د { } ﻋﻼﻣ‪ ３‬پﻪ ﻣﻨ‪ ＃‬ک‪ ３‬ﻟﻴکﻞ ک‪８５‬ي او بﻠﻪ تﻮ‪請‬ﻴﻔﻲ(اجﻤاﻟﻲ)‬ ‫ﻃرﻳﻘﻪ ده چ‪ ３‬د ﻋﻨا‪請‬رو د ﻣشترکﻮ خا‪請‬ﻴتﻮﻧﻮ پر اساس پﻪ ﻳﻮه جﻤﻠﻪ ک‪ ３‬ﻟﻴکﻞ ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫دوه س＂ﻮﻧﻪ چ‪ ３‬ﻋﻨا‪請‬ر ﻳ‪ ３‬ﻳﻮ شﻰ وي‪ ،‬ﻣساوي س＂ﻮﻧﻪ دي او کﻪ ﻳﻮازې د ﻋﻨا‪請‬ر وشﻤ‪５‬ر ﻳ‪ ３‬ﻣساوي‬ ‫وي‪ ،‬د ﻣﻌادﻟﻮ س＂ﻮﻧﻮ پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳاد‪８４‬ي‪.‬‬ ‫کﻪ د ‪ B‬د س＀ ！ﻮل ﻋﻨا‪請‬ر د ‪ A‬پﻪ س＀ ک‪ ３‬شاﻣﻞ وي‪ ،‬ﻧﻮ ‪ B‬د ‪ A‬ﻓرﻋﻲ س＀ دى او داس‪＊ ３‬ﻮدل‬ ‫‪B A‬‬ ‫ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬د دوو س＂ﻮﻧﻮ تﻘاﻃﻊ ﻫﻐﻪ س＀ دى چ‪ ３‬ﻋﻨا‪請‬ر ﻳ‪ ３‬ﻫﻢ پﻪ ‪ A‬او ﻫﻢ پﻪ ‪ B‬ک‪ ３‬شاﻣﻞ وي او‬ ‫داس‪＊ ３‬ﻮدل ک‪８５‬ي‪A I B .‬‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬د دوو س＂ﻮﻧﻮ اتحاد ﻫﻐﻪ س＀ دى چ‪ ３‬ﻋﻨا‪請‬ر ﻳ‪ ３‬ﻳا پﻪ ‪ A‬ﻳا پﻪ ‪ B‬او ﻳا پﻪ دواړو ک‪ ３‬شاﻣﻞ‬ ‫وي‪ .‬او داس‪＊ ３‬ﻮدل ک‪８５‬ي‪A U B .‬‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬د دوو س＂ﻮﻧﻮ تﻔاﺿﻞ( ‪ ) A B‬ﻟﻪ ﻫﻐﻪ س＀ ＇خﻪ ﻋبارت دى چ‪ ３‬ﻋﻨا‪請‬ر ﻳ‪ ３‬د ‪ A‬پﻪ‬ ‫س＀ ک‪ ３‬شاﻣﻞ وي خﻮ د ‪ B‬پﻪ س＀ ک‪ ３‬شاﻣﻞ ﻧﻪ وي‪.‬‬ ‫د ‪ A‬دس＀ ﻣکﻤﻠﻪ س＀ ﻧﻈر د ‪ U‬س＀ تﻪ ﻟﻪ ﻫﻐﻪ س＀ ＇خﻪ ﻋبارت دى چ‪ ３‬ﻋﻨا‪請‬ر ﻳ‪ ３‬د ‪ U‬پﻪ‬ ‫س＀ ک‪ ３‬شاﻣﻞ وي‪ ،‬خﻮ د ‪ A‬پﻪ س＀ ک‪ ３‬ﻣﻮجﻮد ﻧﻪ وي او پﻪ ‪ A‬سره ＊ﻮدل ک‪８５‬ي‪.‬‬

‫‪15‬‬

‫د لومړى څپرکى پوښتنې‬ ‫‪ -1‬د ﻫﻐﻮ تاﻗﻮ ﻋددوﻧﻮ س＀ وﻟﻴکئ چ‪ ３‬پر ‪ 2‬پﻮره د وﻳش وړ وي‪.‬‬ ‫‪ -2‬کﻪ ‪ A‬د کال د ﻣﻴاشتﻮ د ﻧﻮﻣﻮﻧﻮ س＀ وي‪ ،‬د ﻋﻨا‪請‬رو د ﻟست کﻮﻟﻮ پﻪ ﻃرﻳﻘﻪ ﻳ‪ ３‬وﻟﻴکئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬کﻪ }‪ B = {2 , 4 , 6 , 8} ، A = {1, 2 , 3 , 4‬او }‪ C = {a , e , i , o , u‬وي‪ ،‬خاﻟﻲ‬ ‫‪＄‬اﻳﻮﻧﻪ د او ﻋﻼﻣﻮ پﻪ ﻣرستﻪ ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪3 A , u B , 10 C , i A , 8 B , e C‬‬ ‫‪f C , 2 A , e B , 8 C‬‬ ‫‪8 A , 3 B ,‬‬

‫□‬ ‫□‬

‫□‬ ‫□‬

‫□‬ ‫□‬

‫□‬ ‫□‬

‫□‬ ‫□‬

‫□‬ ‫□‬

‫‪ -4‬کﻪ }‪ B = {1, 2, 3} , A = {a, b, c‬او }‪ C = {b, a, c‬س＂ﻮﻧﻪ راک‪７‬ل شﻮي وي‪ ،‬کﻮﻣﻪ جﻮړه‬ ‫ﻳ‪ ３‬ﻣساوي او کﻮﻣﻪ ﻳﻮه ﻳ‪ ３‬ﻣﻌادل س＂ﻮﻧﻪ دي؟‬ ‫‪ -5‬کﻪ ستاسﻮ د ＊ﻮوﻧ‪％‬ﻲ د زده کﻮوﻧکﻮ س＀ ‪ A‬او ستاسﻮ د ！ﻮﻟگﻲ د زده کﻮوﻧکﻮ س＀ ‪ B‬وي‪ ،‬آﻳا‬ ‫کﻴداى شﻲ چ‪ ３‬د ‪ B‬س＀ د ‪ A‬دس＀ ﻓرﻋﻲ س＀ وي؟‬ ‫‪1‬‬

‫‪-6‬کـــﻪ د }‪ B = {0, ,1} , A = {0,1, 2‬او }‪ C = {3, 4‬ســـــ＂ﻮﻧﻪ راکـــــ‪７‬ل شـــــﻮي وي‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ A U B , C U A , B U C , A I C , A I B , A I A‬او ‪ B I C‬پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪-7‬کﻪ }‪ B = {2, 4, 6, 8} , A = {1, 2, 3, 4, 5‬وي ‪ A B‬او ‪ B A‬پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪-8‬کﻪ }‪ A = {30,50,60} ، U = {10,20,30,40,50,60,70,80,90,100‬او‬ ‫}‪ B = {10,20,40,90‬وي‪ A' .‬او '‪ B‬پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -9‬ﻟﻪ ﻻﻧدې س＂ﻮﻧﻮ ＇خﻪ کﻮم ﻣﻌﻴﻦ او کﻮم ﻳﻮ ﻏﻴر ﻣﻌﻴﻦ س＀ دى؟‬ ‫}‪A = {x , y , m‬‬ ‫}‪B = {1, 2 , 3 , 4 ....‬‬ ‫}‪C = {1, 2 ...100‬‬ ‫‪ -10‬پﻪ کﻮم شکﻞ ک‪ ３‬رﻧگﻪ شﻮى برخﻪ د ‪ A‬او ‪ B‬د دوو س＂ﻮﻧﻮ تﻘاﻃﻊ ＊کاره کﻮي؟‬ ‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪A‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪-11‬کﻪ }‪ A = {7, 9,11,13‬او }‪ B = {6, 8,10,12‬س＂ﻮﻧﻪ راک‪７‬ل شﻮي وي ‪ A B‬او ‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫پﻴدا او پﻪ وﻳﻦ دﻳاگرام ک‪ ３‬ﻳ‪ ３‬و＊ﻴئ؟‬

‫‪16‬‬

‫دوﻳم ＇پر کﻰ‬ ‫طبﻴعﻲ عددونه‬

‫انسانان د تاريخ له لوم‪７‬يو وختونو را هيسې د خپل چاپيريال‬ ‫په طبيعت کې د شيانو له شمارلو سره بلد وو‪.‬‬

‫طبﻴعﻲ عددونه )‪:(Natural Numbers‬‬

‫څه فکــر کوئ‪ ،‬لومــ‪７‬ي عددونــه چې د‬ ‫انسانانو ورسره مخه وه کوم عددونه وو؟‬

‫انسانانو له پخوا زمانى راهيسې د هغو شيانو شميرلوته چې په طبيعت کې به يې ليدل اړتيا درلوده‪.‬‬ ‫د شيانو له همدې شميرنې څخه د طبيعي عددونو مفهوم منځ ته راغلى دى‪ .‬طبيعي عددونو ته د‬ ‫شميرنې عددونه (‪ )Count Numbers‬هم وايي‪.‬‬ ‫دا عددونه له يو څخه پيل او د يوه په زياتولو ســره له مخکني عدده وروســتى عدد الس ته راځي‪ ،‬د‬ ‫‪ 1, 2 , 3 , 4......‬عددونو ته طبيعي عددونه وايي او د طبيعي عددونو سټ په الندې ډول ښودل کي‪８‬ي‬ ‫} ‪IN = {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12,‬‬ ‫کوالى شو چې طبيعي عددونه د اعدادو پر محور (‪ )Line Numbers‬په الندې ډول وښيو‪:‬‬ ‫‪10 11 12 13 14‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫کوم عدد چې د عددونو پر محور د يوه عدد ښى خواته واقع وي‪ ،‬له دې عدده لوى او کوم چې يې‬ ‫کيڼې خواته پروت وي‪ ،‬له دې عدد څخه کوچنى دى‪ .‬د مثال په ډول‪ 7 < 8 :‬او ‪ 6 > 5‬دي‬ ‫د طبﻴعﻲ عددونﻮ د جمع‪ ３‬او ضرب د عملﻴﻮ خاصﻴتﻮنه‪:‬‬

‫‪ -1‬پوهې‪８‬و چې د دوو طبيعي عددونو د جمعې حاصل بيا هم يو طبيعي عدد دى‪ ،‬لکه‪ 3 :‬او ‪5‬‬ ‫دوه طبيعي عددونه دي‪ 3 + 5 = 8 ،‬چې ‪ 8‬بيا هم يو طبيعي عدد دى‪ ،‬نو د طبيعي عددونو سټ د‬ ‫جمعې په عمليه کې يو ت‪７‬لى سټ دى‪.‬‬ ‫‪-2‬د جمع‪ ３‬د عملﻴ‪ ３‬د تبدﻳل‪ ９‬خاصﻴت‪:‬‬ ‫لﻮم‪７‬ى مثال‪ :‬پوهي‪８‬و چې‪ 7 + 6 = 13 :‬او هم ‪ 6 + 7 = 13‬دي‪ ،‬په دې ډول ‪6 + 7 = 7 + 6‬‬

‫دى‪ .‬نو د طبيعي عددونو دجمعې په عمليه کې د تبديلی خاصيت صدق کوي‪.‬‬ ‫‪-3‬د جمع‪ ３‬د عملﻴ‪ ３‬اتحادي خاصﻴت‪:‬‬ ‫دوﻳم مثال‪:‬‬

‫‪8 + (3 + 2) = (8 + 3) + 2‬‬ ‫‪8 + 5 = 11 + 2‬‬ ‫‪13 = 13‬‬

‫‪19‬‬

‫دې خاصيت ته د طبيعي عددونو د جمعې د عمليي اتحادي خاصيت وايي‪.‬‬ ‫‪ - 4‬د جمع‪ ３‬د عملﻴ‪ ３‬د عﻴنﻴت عنصر‪ :‬صفر که له هر طبيعي عدد سره جمع شي‪ ،‬د جمعې‬ ‫ال‪ 0 + 3 = 3 + 0 = 3 :‬صفر د جمعې د عمليې د‬ ‫حاصل خپله له عدد سره مساوي کي‪８‬ي‪ .‬مث ً‬ ‫عينيت د عنصر په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬

‫فعالﻴت‪:‬‬ ‫آيا پورتني خاصيتونه د طبيعي عددونو د ضرب په عمليه کې هم صدق کوي؟‬ ‫‪ - 5‬د ضرب د عملﻴ‪ ３‬تبدﻳلی خاصﻴت‪5 × 3 = 3 × 5 = 15 :‬‬

‫‪ - 6‬د ضرب د عملﻴ‪ ３‬اتحادي خاصﻴت‪3 × (8 × 7) = (3 × 8) × 7 = 168 :‬‬ ‫‪ - 7‬د ضرب د عملﻴ‪ ３‬د عﻴنﻴت عنصر‪ :‬د هر طبيعي عدد ضرب له صفر سره‪ ،‬مساوي په صفر‬

‫او د هر طبيعي عدد د ضرب حاصل له يوه سره په خپله له عدد سره مساوي دى‪.‬‬ ‫‪ 3 × 0 = 0 , 3 ×1 = 3‬د ضرب په عمليه کې د يو عدد د عينت د عنصر په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪ - 8‬پر جمع بآندې د ضرب تﻮزﻳعﻲ خاصﻴت ‪:‬‬ ‫درﻳم مثال‪3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5) = 27 :‬‬

‫دې خاصيت ته پر جمع باندې د ضرب توزيعي خاصيت (قانون) وايي‪.‬‬ ‫صفر د طبيعي عددونو د جمعې او يو د ضرب د عمليې د عينيت عنصر دى‪ ،‬د بستگ‪ ،９‬تبديل‪９‬‬ ‫او اتحادي خاصيتونه د طبيعي عددونو د جمعې او ضرب په عمليو کې صدق کوي او هم د ضرب‬ ‫توزيعي قانون پر جمع باندې صدق کوي‪.‬‬

‫پﻮ＊تن‪:３‬‬ ‫‪ -1‬الندې تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ!‬ ‫)‬

‫‪+‬‬

‫( × ‪325 × 88 + 325 × 73 = 325‬‬ ‫× ‪803 × 593 = 593‬‬ ‫‪× 35) × 89‬‬

‫‪211 + 327 = 327 +‬‬ ‫× ‪3935‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫( = )‪79 × (35 × 89‬‬

‫‪20‬‬

‫تجﺰﻳﻪ )‪(Factoring‬‬ ‫که چيرې يو پر بل باندې د دوو عددونو د ويش‬ ‫په عمليه کې باقي صفر شي‪ ،‬نو وايو چې مقسوم‬ ‫پر مقسوم عليه د ويش وړ دى (د تقسيم قابليت‬ ‫لري)‪.‬‬ ‫د ‪ 20‬عدد د دوو طبيعي عددونو د ضرب د‬ ‫حاصل په شکل وليکئ‪.‬‬ ‫د هغو عددونو الندې چې يوازې پر يو او پر خپل‬ ‫ځان د وېش وړ وي‪ ،‬کرښه وکاږي‪:‬‬ ‫‪21, 17, 15, 23, 32‬‬ ‫پوهي‪８‬و چې ‪ 24 = 4 × 6‬دي‪ 4 ،‬او ‪ 6‬د ‪ 24‬د عدد د ضربي اجزاوو(ضربي عواملو) په نامه‬ ‫يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫پﻮ＊تنه‪ :‬ايا يوازې ‪ 6‬او ‪ 4‬د ‪ 24‬ضربي اجزاوې دي؟‬

‫فعالﻴت‬ ‫د ‪18‬او ‪ 31‬عددونه په ضربي اجزاوو تجزيه ک‪７‬ئ‪ ،‬وواياست چې د ‪ 1 8‬د ضربي اجزاوو شمېر‬ ‫زيات دى که د ‪31‬؟‬ ‫د ‪ 11،5‬او ‪ 19‬ضربي اجزاوې وليکئ‪.‬‬ ‫په پورتني فعاليت کې مو وليدل چې ځينې عددونه لکه ‪ 18‬د دوو څخه زياتې ضربي اجزاوې لري‪،‬‬ ‫او ځينې عددونه لکه ‪ 31‬او ‪ 11‬يوازې دوه ضربي اجزاوې لري‪.‬‬

‫لﻮم‪７‬نﻲ عددونه (‪ :)Prime Numbers‬هغه عددونه دي چې پرته له يو او خپل ځان څخه په بل عدد‪،‬‬ ‫پوره د وېش وړ نه وي يا هغه عددونه چې دوه قاسمونه ولري‪ ،‬د لوم‪７‬نيو عددنو په نامه يادي‪８‬ي د لوم‪７‬نيو عددونو‬ ‫سټ په ‪ P‬سره ښودل کي‪８‬ي او عبارت دي‪ ،‬له‪P = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...} :‬‬

‫مرکب عددونه (‪ :)Composite Numbers‬هغه عددونه دي چې سربېره له يو او خپل ځان‬ ‫څخه په نورو عددونو هم پوره د وېش وړ وي‪ ،‬داسې عددونه د مرکبو عددونو په نوم يادي‪８‬ي لکه‪:‬‬ ‫}‪C = {4,6,8,9,10,12,14,15.....‬‬ ‫په ﻳاد ولرئ چ‪ :３‬د يو(‪ )1‬عدد نه لوم‪７‬نى او نه مرکب عدد دى‪.‬‬

‫لﻮم‪７‬ی مثال‪ :‬له ‪ 36،17،27‬او ‪ 19‬عددونو څخه کوم يو لوم‪７‬نى او کوم يو يې مرکب عدد دى؟‬ ‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى د هر يوه عدد قاسمونه ليکو‪:‬‬

‫‪21‬‬

‫د ‪ 3،9،27‬او ‪ 1‬عددونه د ‪ 27‬د عدد قاسمونه دي‪ ،‬نو ‪ 27‬يو مرکب عدد دى‪.‬‬ ‫د‪ 1‬او ‪ 17‬عددونه د ‪ 17‬قاسمونه دي‪ ،‬نو په دې اساس د ‪ 17‬عدد لوم‪７‬نى عدد دى‪.‬‬ ‫د ‪ 2,3,4,6,9,12,18,36‬او ‪،1‬د ‪ 36‬د عدد قاسمونه دي‪ ،‬نو په دې اساس د ‪ 36‬عدد يو مرکب‬ ‫عدد دى‪.‬‬ ‫د ‪ 3،9‬او ‪ 1‬عددونه د ‪ 9‬د عدد قاسمونه دي‪ ،‬نو ‪ 9‬يو مرکب عدد دى‪.‬‬ ‫د ‪ 19‬او (‪ )1‬عددونه د ‪ 19‬د عدد قاسمونه دي‪ ،‬نو ‪ 19‬يو لوم‪７‬نى عدد دى ځکه چې يوازې دوه‬ ‫قاسمونه لري‪.‬‬ ‫په لﻮم‪７‬نﻴﻮ عددونﻮ تجزﻳه‪:‬‬ ‫د ضرب په شکل د يو عدد د ضربي اجزاو ليکلو ته تجزيه (‪ )Factoring‬وايي‪.‬‬ ‫‪ 12 = 3 × 4‬و ‪12 = 2 × 2 × 3‬‬

‫د ‪ 12‬د ضربي اجزاوو په منځ کې چې په پورته ډول ليکل شويدى‪ ،‬څه توپير شته دى؟‬ ‫د ضرب په شکل د يو عدد د لوم‪７‬نيو ضربي اجزاوو ليکلو ته په لوم‪７‬نيو عددونو تجزيه وايي‪.‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬د ‪ 72‬عدد په بيال بيلو ډولو په ضربي اجزاوو تجزيه ک‪７‬ي‪:‬‬ ‫‪1) 72 = 2 × 36 = 2 × 4 × 9 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3‬‬ ‫‪2) 72 = 6 × 12= 2 × 3 × 3 × 4 = 2 × 3 × 3 × 2 × 2‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫د ‪ 72‬عدد پر دوو پورتنيو ډولونو سربېره په څو نورو ډولونو تجزيه کوالى شئ‪ ،‬د تجزيې ډول يې هم‬ ‫وښاياست‪.‬‬ ‫کوالى شو چې د تجزيې عمليه په يوه جدول کې په الندې ډول لن‪６‬ه ک‪７‬و‪:‬‬ ‫‪72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3‬‬

‫‪72‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫په هر ډول که په لوم‪７‬نيو ضربي اجزاوو د تجزيې عمليه سرته ورسوو‪ ،‬ليدل کي‪８‬ي چې په پای کې يوې‬ ‫نتيجې يا پايلې ته رسي‪８‬و‪:‬‬

‫‪22‬‬

‫په لﻮم‪７‬نﻴﻮ عددونﻮ تجزﻳه‬ ‫)‪(Prime Factoriing‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬د ‪ 208،416‬او ‪ 2574‬عددونه په لوم‪７‬نيو ضربې اجزاوو(لوم‪７‬نيو ضربي عواملو)‬ ‫تجزيه ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪2574‬‬ ‫‪1287‬‬ ‫‪429‬‬ ‫‪143‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪416‬‬ ‫‪208‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪208‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪208 = 2 × 2 × 2 × 2 × 13 ، 416 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 13 ، 2574 = 2 × 3 × 3 × 11× 13‬‬

‫پوهي‪８‬و چې‪ :‬په لوم‪７‬نيو ضربي اجزاوو د يو عدد په تجزيه کولو کې که د تجزيې وړ (مرکب عدد) وي‪،‬‬ ‫کوالى شو عدد د دوو طبيعي عددونو د ضرب د حاصل په ډول چې له يوه څخه لوى وي وليکو‪،‬‬ ‫که له دې ضربي اجزاوو څخه يو او يا دواړه د تجزيې وړ وي‪ ،‬د طبيعي عددونو د ضرب دحاصل‬ ‫په ډول يې ليکو او دې کار ته تر هغو پورې ادامه ورکوو ترڅو ټولې ضربي اجزاوې لوم‪７‬ني عددونه‬ ‫شي‪ ،‬که د يوه مرکب عدد ټولې ضربي اجزاوې لوم‪７‬ني عددونه وي‪ ،‬دې ډول تجزيې ته په لوم‪７‬نيو‬ ‫عددونو تجزيه وايي‪.‬‬

‫پﻮ＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬د هغو عددونو په وړاندې چې لوم‪７‬ني دي‪ ،‬لوم‪７‬نى او د هغه عددونو په وړاندې چې مرکب دي‬ ‫مرکب وليکئ‪:‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪847‬‬

‫‪67‬‬ ‫‪1111‬‬

‫‪59‬‬ ‫‪73‬‬

‫‪ -2‬په الندې عددونو کې کوم يو‪ ،‬مرکب عدد نه دي؟‬ ‫‪d) 64‬‬

‫‪23‬‬

‫‪c) 39‬‬

‫‪b) 67‬‬

‫‪a) 90‬‬

‫‪ -3‬د ‪ 48،36‬او ‪ 70‬عددونه په لوم‪７‬نيو ضربي اجزاوو تجزيه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -4‬د ‪ 64،45،20،12‬او ‪ 80‬عددونه په لوم‪７‬نيو ضربي اجزاوو تجزيه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -5‬د ‪ 70‬او ‪ 80‬عددونه لوم‪７‬ى په مرکبو او بيا يې په لوم‪７‬نيو ضربي اجزاوو تجزيه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -6‬له الندې عددونو څخه د کوم عدد تجزيه سمه او د کوم يو ناسمه ده؟‬ ‫‪15 = 53‬‬ ‫‪16 = 2 × 13‬‬

‫‪16 = 24‬‬

‫‪28 = 22 × 9‬‬

‫‪27 = 3 × 9‬‬

‫‪18 = 2 × 32‬‬

‫‪ -7‬د ‪ 24،9،15‬او ‪ 29‬د عددونو ټولې لوم‪７‬ني ضربي اجزاوې وليکئ؟‬ ‫‪ -8‬د ‪ 144‬او ‪ 121‬عددونه په لوم‪７‬نيو ضربي اجزاوو تجزيه ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪24‬‬

‫طاقت )‪(Power‬‬

‫پوهي‪８‬و چې هره حجره څنګه په دوو حجرو‬ ‫وېشل کي‪８‬ي‪ .‬په مخامخ شکل کې د دې عمل‬ ‫سرته رسيدل ليدل کي‪８‬ي‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫دريمه‬

‫څلورمه‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫دويمه لوم‪７‬نى صفر‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫پ‪７‬اوونه(مرحلې)‬

‫د حجرو شمېر‬

‫څلورم پ‪７‬او رسم او جدول پوره ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د حجرو د شمېر او د وېش د پ‪７‬اوونو ترمنځ څه اړيکه موجوده ده؟‬ ‫په لسم پ‪７‬او کې به څو حجرې ولرو؟‬ ‫ايا کوالى شو چې د لسم پ‪７‬او د حجرو شمېر په لڼد ډول وليکو؟‬ ‫په لن‪ ６‬ډول د ضرب د عمليې په مرسته د جمعې حاصل وليکئ‪:‬‬ ‫‪4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12‬‬ ‫‪3 + 3 + 3 + 3 = 4 × 3 = 12‬‬ ‫ايا د ‪ 2 × 2 × 2‬د ضرب حاصل په لن‪ ６‬ډول ليکالى شو؟‬ ‫د کار د اسانتيا لپاره ‪ 2 × 2 × 2‬د ‪ 23‬په ډول ليکو او داسې وايو چې ‪ 2‬په توان د ‪ ،3‬د ‪ 23‬په عدد‬ ‫توان= ‪16‬‬ ‫کې‪ 2 ،‬ته قاعده (‪13 ،)Base‬ته× ‪2‬‬ ‫ښودونکى (‪ )Exponent‬او ‪ 23‬د ‪ 2‬د دريم طاقت په نامه‬ ‫يادوي‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫توان ښودونکى ښکاره کوي چې قاعده څو ځلې په خپل ځان کې ضرب شوې ده‪ ،‬د ‪ 4‬عدد کې ‪4‬‬ ‫درې ځلې په خپل ځان کې ضرب شوي دي‪ .‬يعنې‪43 = 4 × 4 × 4 :‬‬ ‫لﻮم‪７‬ى مثال‪ :‬د الندې طاقتونو د هر يو قيمت پيدا ک‪７‬ئ‬ ‫‪42 , 53 , 23 , 54 , 102 , 34‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪42 = 4 × 4 = 16 ، 23 = 2 × 2 × 2 = 8 ، 102 = 10 ×10 = 100‬‬ ‫‪53 = 5 × 5 × 5 = 125 ، 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 ، 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81‬‬ ‫په همدې ډول‬

‫‪25‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪( )4‬‬ ‫‪3‬‬

‫د‬

‫‪2 2 2 2‬‬ ‫× × ×‬ ‫‪3 3 3 3‬‬

‫په دې معنا دي چې‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫قاعده او ‪ 4‬توان ښوودونکى دى‪.‬‬

‫ﻓﻌاﻟﻴت‬ ‫د الندې طاقتونو د هر يوه قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫وليکئ‪□ ، 4 = □ ، 10 =□ ، 1:‬‬ ‫□= ‪=□ ، 2 =□ ، 10‬‬ ‫الندې د ضرب حاصلونه د طاقت په ډول‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫=‪8×8×8×8×8×8×8×8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫=‪9×9×9×9‬‬

‫‪2‬‬

‫= ‪3‬‬

‫=‪4×4×4‬‬

‫آيا ‪ 27‬او ‪ 7 2‬عددونه سره برابر دي؟ ولې؟‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬ايا د ‪ 2‬او ‪ ( )3‬عددونه سره برابر دي؟‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2× 2× 2 8‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 3 2 2 2 8‬‬ ‫= × × = ) (‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3 3 27‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪23‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8 8‬‬ ‫په پايله کې ويالى شو چې د‬ ‫او ‪ ( )3‬عددونه سره مساوي نه دي‪.‬په پايله کې 2‬‬

‫‪2 3‬‬

‫‪–3 < –1‬‬

‫مثبت تام عددونه‪ ،‬صفر او منفي تام عددونه مو مخک‪ ３‬د محور پر مخ په دې ډول ښودلي دي‪:‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+3‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫که پورتني محور ته پام وک‪７‬و ليدل کي‪８‬ي چ‪ ３‬د ‪ 1‬او ‪ –1‬عددونه له مبدآ څخه په مساوي‬ ‫فاصلو ک‪ ３‬پراته دي‪ .‬په دې معنا چ‪ ３‬دا دواړه عددونه له مبدآ(صفر) څخه د يوه واحد په‬ ‫اندازه لرې پراته دي دا دواړه عددونه يو د بل جمع‪ ３‬معکوس (متضاد) دي‪ ،‬په همدې ډول‬ ‫‪ +2‬او ‪ -2‬يا ‪ +3‬او ‪ –3‬يو د بل جمع‪ ３‬معکوسونه(متضاد) دي‪.‬‬ ‫نو هر تام عدد او جمع‪ ３‬معکوس ي‪ ３‬د عددونو پر محور له صفر څخه په مساوي فاصلو ک‪ ３‬پراته دي او‬ ‫عالم‪ ３‬ي‪ ３‬مختلف‪ ３‬دي‪ ،‬د يو عدد فاصله له مبد ْا څخه د دې عدد د مطلقه قﻴمت په نوم يادي‪８‬ي‪.‬‬

‫‪49‬‬

‫د مثال په ډول‪ :‬د ‪ +3‬او ‪ –3‬دواړه عددونه له صفر څخه د ‪ 3‬واحدونو په اندازه لرې پراته دي‪ ،‬نو د‬ ‫‪ +3‬او ‪ –3‬عددونو مطلقه قيمت ‪ 3‬دى‪ .‬د يوه عدد مطلقه قيمت د ښودلو لپاره عدد د دوو عمودي‬ ‫خطونو( | | ) تر منځ ليکل کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪| - 3| = 3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪| + 3| = 3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪|0|= 0‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫– د مخامخ عددونو جمع‪ ３‬معکوسونه وليکئ‪:‬‬

‫‪–6 , –12 , –20 , +13 , –15 , 8‬‬

‫– د مخامخ عددونو مطلقه قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪-8, 3 , 5 , –11 , –1 , –14 , +17 , 19 :‬‬ ‫زده مو ک‪７‬ل چ‪:３‬‬ ‫هر عدد چ‪ ３‬صفر نه وي(مثبت يا منفي) مطلقه قيمت ي‪ ３‬يو مثبت عدد دى‪ ،‬د صفر مطلقه قيمت‬ ‫صفر دى يعن‪| 0 | = 0 :３‬‬ ‫د يو عدد او د عدد د جمع‪ ３‬معکوس مطلقه قيمت سره مساوي دي‪:‬‬ ‫‪| –7 | = | +7 | = 7‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ –1‬الندې تام عددونه په داس‪ ３‬ډول له کي‪ ３２‬څخه ښي خوا ته ترتيب ک‪７‬ئ چ‪ ３‬کوچنى عدد کي‪３２‬‬ ‫خواته وي‪:‬‬ ‫‪–5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪+6‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪–8 ,‬‬ ‫‪–3 ,‬‬ ‫‪+12‬‬ ‫‪ –2‬د ‪ –6‬او ‪ –9‬په عددونو ک‪ ３‬کوم يو لوى دى؟ او په ‪ –7‬او صفر ک‪ ３‬کوم عدد کوچنى دى؟‬ ‫‪ –3‬دالندې عددونو مطلقه قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪+5‬‬ ‫‪, –5‬‬ ‫‪, –3‬‬ ‫‪, 3‬‬ ‫‪, –7‬‬ ‫‪+16‬‬ ‫‪, –10‬‬ ‫‪, 10‬‬ ‫‪, +12 , –12‬‬ ‫‪+132‬‬ ‫‪, –132‬‬ ‫‪, +200‬‬ ‫‪, a‬‬ ‫‪, –200‬‬ ‫‪ –4‬يو محور رسم ک‪７‬ئ او د ‪ +2 ،–5‬او ‪ –3‬عددونه د محور پر مخ وټاکئ‪ ،‬ددې عددونو د هر يوه‬ ‫جمع‪ ３‬معکوس(متضاد) هم پر همدې محور وښيئ‪.‬‬

‫‪50‬‬

‫د هم عﻼمه تامو عددونو د‬ ‫جمع‪ ３‬عملﻴه‬ ‫که يو څوک د عددونو پر محور ‪ 9‬واحده کي‪ ３２‬خوا‬ ‫ته او بيا ‪ 3‬واحده نور هم کي‪ ３２‬خواته تللى وي‪ ،‬ده‬ ‫څو واحده فاصله وهل‪ ３‬ده؟‬

‫)‪(–3‬‬

‫)‪(–9‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–4‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪–6‬‬

‫‪–7‬‬

‫‪–8‬‬

‫‪–11 –10 –9‬‬

‫‪–12‬‬

‫)?(‬

‫په طبيعي عددونو ک‪ ３‬د جمع په عمليه پوهي‪８‬ئ د مثال په ډول ‪ 3 + 4 = 7‬هر طبيعي عدد په حقيقت‬ ‫ک‪ ３‬يو تام مثبت عدد دى‪ .‬نو کوالى شو د جمع‪ ３‬پورتنى عمليه په الندې ډول وليکو‪:‬‬ ‫( ‪)+3( + )+4( = )+7‬‬ ‫د تامو عددونو د جمع کولو لپاره يوه طريقه دا هم ده چ‪ ３‬د عددونو له محور څخه گټه واخلو‪.‬‬ ‫د مثبتو عددونو جمع‪:‬‬ ‫پر محور د (‪ )+3( + )+4‬عددونو د ښودلو لپاره الندې محور ته پاملرنه وک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫)‪(+3‬‬

‫)‪(+4‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+7‬‬

‫‪+6‬‬

‫‪+5‬‬

‫‪+4‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪(+7‬‬

‫د شکل له مخ‪ ３‬ليدل کي‪８‬ي چ‪:３‬‬ ‫( ‪) +3 ( + )+4 ( = )+7‬‬ ‫‪3 + 4 = 7‬‬

‫يا‬

‫فعالﻴت‬ ‫د ‪ +5‬عدد د ‪+2‬له عدد سره جمع ک‪７‬ئ او پر محور ي‪ ３‬وښيئ‪.‬‬

‫‪51‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫د منفي عددونو جمع‬ ‫که چيرې د عددو پر محور له مبدآ څخه کي‪ ３２‬خواته ‪ 5‬واحده (‪ )-5‬او بيا ‪ 3‬واحده نور هم کي‪３２‬‬ ‫خواته (‪ )-3‬په اندازه حرکت وک‪７‬و‪ ،‬په حقيقت ک‪ ３‬کي‪ ３２‬خواته د (‪ )-8‬ټک‪ ３‬ته رسي‪８‬و‪ .‬الندې‬ ‫شکل وګورئ‪.‬‬ ‫)‪(–3‬‬ ‫)‪(–5‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪–4‬‬

‫‪–6‬‬

‫‪–7‬‬

‫‪–8‬‬

‫)‪(–8‬‬

‫( ‪)–5 ( + ) – 3 ( = ) –8‬‬

‫نو ‪:‬‬

‫مثال‪ :‬که يو کس د محور پر مخ ‪ 8‬واحده کي‪ ３２‬خواته حرکت وک‪７‬ي او بيا ‪ 4‬واحده نور هم کي‪３２‬‬ ‫خواته الړ شي‪ ،‬نوموړى کوم ټک‪ ３‬ته رسيدلى دى؟‬ ‫حل‪:‬‬

‫)‪(–4‬‬

‫)‪(–8‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–4‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪–6‬‬

‫‪–7‬‬

‫‪–8‬‬

‫‪–9‬‬

‫‪–11 –10‬‬

‫‪–12‬‬

‫)‪(–12‬‬

‫‪(–8 ) + (–4 ) = –12‬‬ ‫زده مو ک‪７‬ل چ‪ :３‬د دوو هم عالمه عددونو د جمع‪ ３‬حاصل ددې دواړو عددونو د مطلقه قيمتونو‬ ‫له جمع‪ ３‬سره برابر دى او شريکه عالمه ي‪ ３‬د جمع‪ ３‬د حاصل عالمه ده‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ –1‬الندې عددونه جمع ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫?=(‪)–12(+)–3‬‬ ‫?=(‪)–7(+)–6‬‬ ‫?=‪37+47‬‬ ‫‪ –2‬زينب خپل‪ ３‬گوت‪ ３‬ته د ‪ 3‬واحدونو په اندازه د عددونو پر محور د محور له مبدآ(صفر) څخه‬ ‫ښ‪ ３‬خواته او بيا ‪ 4‬واحده نور هم ښي خواته حرکت ورکوي او په دې ټکي گوته ږدي‪ ،‬د زينب‬ ‫گوته کوم عدد ته رسيدلي ده؟‬ ‫‪ –3‬په عمودې ډول يو محور رسم او د محور پر مخ د مبدا ټکى و ټاکئ‪ ،‬د يو مي‪８‬ى حرکت ‪4‬‬ ‫واحده له مبدآ ښکته خواته ا و بيا ‪ 6‬واحده نور هم د محور ښکته خوا ته په پام ک‪ ３‬ونيسئ دمي‪８‬ي‬ ‫اخيرنى ځاى دمحور پر مخ وښيئ‪.‬‬

‫‪52‬‬

‫د مختلف العﻼمه تامو عددونو جمع‬ ‫احمد له يوه دوکانداره ‪ 7‬افغان‪ ９‬پوره وړى و (پور‬ ‫په منفي عالمه ښکاره کوو)‪ ،‬څو ورځ‪ ３‬وروسته‬ ‫احمد دوکاندار ته ‪ 5‬افغانى ورک‪７‬ې‪ ،‬اوس احمد‬ ‫څو افغان‪ ９‬پوره وړى دى؟‬

‫که چيرې د محور پر مخ له مبدآ څخه په حرکت شروع وک‪７‬و‪ ،‬لوم‪７‬ى د ‪ 2‬واحدونو په اندازه کي‪３２‬‬ ‫خواته او بيا له همدې ټکى څخه د ‪ 6‬واحدونو په اندازه ښـي خواته حرکت وک‪７‬و‪ ،‬په حقيقت ک‪ ３‬د‬ ‫‪ +4‬ټکي(نقط‪ )３‬ته رسيدلي يو‪ .‬الندې شکل ته وگورئ‪:‬‬ ‫)‪(+6‬‬ ‫)‪(–2‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+5‬‬

‫‪+6‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪+4‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪+1‬‬

‫–‬ ‫‪–1‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–2‬‬

‫)‪(+4‬‬

‫د پورته شکل له مخ‪ ３‬ليدل کي‪８‬ي چ‪ –2 + )+6 ( = )+4 ( :３‬يا ‪–2 + 6 = 4‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د (‪ )–8‬عدد د (‪ )+3‬له عدد سره جمع کوو‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫)‪(–8‬‬ ‫)‪(+3‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–4‬‬

‫–‬ ‫‪–5‬‬

‫‪–6‬‬

‫‪–7‬‬

‫)‪(–5‬‬

‫‪–8‬‬

‫‪(–8) + (+3) = –8+ 3 = –5‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬ددې لوست په پيل ک‪ ３‬چ‪ ３‬کومه پوښتنه راک‪７‬ای شوې وه‪ ،‬د عددونو له محور څخه‬ ‫په گټه اخيستلو ي‪ ３‬حلوو‪:‬‬ ‫)‪(–7‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬ ‫–‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬ ‫)‪(–2‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–4‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪–6‬‬

‫)‪(+5‬‬

‫‪(–7) + (+5) = –2‬‬ ‫پو＊تنه‪ :‬د (–) عالمه د (‪ )–2‬په عدد ک‪ ３‬څه شى ښکاره کوي؟‬

‫‪53‬‬

‫‪–7‬‬

‫فعآلﻴت‬ ‫د الندې شکل له مخ‪ ３‬يوه پوښتنه جوړه او بيا ي‪ ３‬حل ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+6‬‬

‫‪+5‬‬

‫‪+3 +4‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–4‬‬

‫درﻳم مثال‪ :‬د ژم‪ ３‬په يوه ورځ ک‪ ３‬د کابل د تودوخ‪ ３‬درجه له صفر څخه ‪ 5‬درج‪ ３‬د سانتي ګري‪６‬‬ ‫پورته ده‪ ،‬که د شپ‪ ３‬له خوا د کابل د تودوخ‪ ３‬درجه د (‪ )–3‬په اندازه تغير وک‪７‬ي‪ ،‬په شپه ک‪ ３‬د کابل‬ ‫د تودوخ‪ ３‬درجه څومره ده؟‬ ‫)‪(+5‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫–‬

‫)‪(–3‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+6‬‬

‫‪+5‬‬

‫‪+3 +4‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬ ‫)‪(+2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–4‬‬

‫)‪(+5) + (–3) = (+2‬‬ ‫نو د کابل هوا په شپه ک‪ 2 ３‬درج‪ ３‬د سانتي ګري‪ ６‬له صفره پورته يا ‪ +2‬درج‪ ３‬د سانتي ګري‪ ６‬ده‪.‬‬ ‫پاملرنه‪ :‬د ورځ‪ ３‬له خوا دکابل د تودوخ‪ ３‬درجه ‪ 5( +5‬درج‪ ３‬له صفر څخه پورته) او په شپه ک‪ ３‬چ‪３‬‬ ‫هوا س‪７‬ي‪８‬ي‪ ،‬نو د تودوخ‪ ３‬درجه د ‪ - 3‬درجو په اندازه تغيير کوي او د ‪ 3‬درجو په اندازه نسبت ورځ‪３‬‬ ‫ته س‪７‬ي‪８‬ي‪.‬‬ ‫زده مو ک‪７‬ل چ‪ :３‬د دوو تامو مختلف العالمه عددونو د جمع کولو لپاره‪:‬‬ ‫له هغه عدد څخه چ‪ ３‬مطلقه قيمت ي‪ ３‬لوي وي‪ ،‬هغه عدد چ‪ ３‬مطلقه قيمت ي‪ ３‬کوچنى وي‪،‬‬ ‫تفريقوو او د هغه عدد عالمه دتفريق د حاصل عالمه ده چ‪ ３‬مطلقه قيمت ي‪ ３‬لوى وي‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ –1‬الندې راک‪７‬ل شوي تام عددونه سره جمع ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫=)‪(–3)+(+7)+(–4)+(–9‬‬

‫‪,‬‬

‫=)‪(+3)+(–5‬‬

‫‪,‬‬

‫=)‪(–6)+(+5‬‬

‫‪ –2‬د ( ‪ ) 4‬عدد د ( ‪ ) 3‬له تام عدد سره جمع ک‪７‬ئ او د محور پر مخ ي‪ ３‬وښيئ‪.‬‬ ‫‪ –3‬که د هرات د تودوخ‪ ３‬درجه له صفره ښکته ‪ 8‬درج‪ ３‬د سانتي گري‪ ６‬او باميان له هرات څخه ‪3‬‬ ‫درج‪ ３‬سوړ دى‪ ،‬د باميانو د تودوخ‪ ３‬درجه څومره ده؟ پر محور ي‪ ３‬وښيئ‪.‬‬ ‫‪ –4‬د ( ‪ ) + 8 ( ، ) 6‬او ( ‪ ) 10‬درې تام عددونه سره جمع ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪54‬‬

‫د تامو عددونو تفرﻳق‬ ‫څرنگه کوالى شو چ‪ ３‬د ‪ 7‬عدد د ‪ 5‬له عدد‬ ‫څخه تفريق ک‪７‬و؟‬

‫په مخکنيو درسونو ک‪ ３‬مو وليدل چ‪ ３‬د تامو عددونو د جمع‪ ３‬د عملي‪ ３‬د ښه پوه‪５‬دو لپاره د عددونو‬ ‫محور له مون‪ ８‬سره مرسته وک‪７‬ه‪.‬‬ ‫دلته دمحور په مرسته د تامو عددونو د تفريق عمليه څي‪７‬و‪:‬‬

‫فعآلﻴت‬ ‫)‪(+5‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+7‬‬

‫‪+6‬‬

‫‪+5‬‬

‫‪+4‬‬

‫‪+3‬‬ ‫)‪(- 4‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫)‪(+1‬‬

‫ شکل ته په پاملرنه ووياست چ‪ 5 4 ３‬څرنگه پيدا کوو؟‬‫ په همدې ډول ‪ 4 5‬پر محور وښيئ او حاصل ي‪ ３‬په الس راوړئ‪.‬‬‫ د يو محور پر مخ )‪ 4 + ( 5‬وښيئ او حاصل ي‪ ３‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬‫ په پاي ک‪ 4 5 ３‬او )‪ 4 + ( 5‬يو له بله سره پرتله ک‪７‬ئ‪ .‬څه نتيجه السته راځي؟‬‫د پورتني فعاليت پايله موږ ته ښکاره کوي‪ ،‬که چيرې د ‪ 4‬له عدد څخه د ‪ 5‬عدد تفريق ک‪７‬و‪ ،‬په‬ ‫حقيقت ک‪ ３‬د ‪ -5‬عدد له ‪ 4‬سره جمع کوو‪ .‬يا په بل عبارت کوالى شو چ‪ ３‬د تفريق عمليه د جمع‪３‬‬ ‫په عمليه بدله ک‪７‬و‪:‬‬ ‫‪4 – 5 = )+4( + )–5( = –1‬‬ ‫ليدل کي‪８‬ي چ‪ ３‬د تفريق په عمليه ک‪ ３‬د مفروق عالمه بدلون کوي‪ ،‬په دې معنا چ‪ ３‬په حقيقت ک‪３‬‬ ‫د تفريق په عمليه ک‪ ３‬د مفروق جمع‪ ３‬معکوس(‪ )Additive inverse‬له مفروق منه سره جمع‬ ‫کوو‪.‬‬

‫‪55‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د ‪ 5‬عدد د ‪ 7‬له عدد څخه تفريق ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د مفروق جمع‪ ３‬معکوس (متضاد) يا د ‪ 5‬جمع‪ ３‬معکوس چ‪ + 5 ３‬دى‪ ،‬له مفروق منه‬ ‫‪7 – (–5) = 7 + (+5) = 7+5 =12‬‬

‫(‪ )7‬سره جمع کوو‪:‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬د ‪ 9‬عدد د ‪ –3‬له عدد څخه تفريق ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫دلته د ‪ 9‬عدد مفروق دى‪ ،‬نو د ‪ 9‬جمع‪ ３‬معکوس( ‪ ) 9‬له مفروق منه ( ‪ ) 3‬سره جمع کوو‪.‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬د ‪4‬‬

‫عدد د ‪2‬‬

‫‪(–3) – (+9) = (–3) + (–9) = – 12‬‬ ‫له عدد سره جمع ک‪７‬ئ او بيا د جمع‪ ３‬له حاصل څخه د ‪ 9‬عدد‬

‫تفريق ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى د ‪ 4‬او ‪ 2‬عددونه سره جمع کوو‪ ،‬بيا د مفروق ( ‪ ) 9‬د عدد عالمه بدلوو چ‪３‬‬ ‫‪ + 9‬شي په پاى ک‪ ３‬مفروق منه او مفروق سره جمع کوو‪:‬‬ ‫‪(–6) –(–9) =–6 +9 = +3 = 3‬‬

‫‪(–4) + (–2) = –6 ,‬‬

‫زده مو ک‪７‬ل چ‪:３‬‬ ‫د دوو تامو عددونو د تفريق په عمليه ک‪ ３‬لوم‪７‬ى د مفروق عالمه بدلوو او بيا مفروق له مفروق منه سره‬ ‫جمع کوو‪ .‬يا په بل عبارت د مفروق جمع‪ ３‬معکوس له مفروق منه سره جمع کوو‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ –1‬الندې حاصلونه په الس راوړئ‪:‬‬ ‫‪)–12( –)–20( , )–3( – )9( , )–3( – )–9( , )–8( – )–4( , 0 – 5‬‬ ‫‪, 5–0‬‬

‫‪, – 20 – 12‬‬

‫‪)–25( – )–12( , –13 – )–3( , 8 – 12‬‬

‫‪ –2‬که وغواړو د ‪ 6‬له تام عدد څخه چ‪ ３‬مفروق منه دى‪ ،‬د ‪ 4‬تام عدد تفريق ک‪７‬و‪ ،‬څرنگه کوالى‬ ‫شو چ‪ ３‬دا عمليه د عددونو پر محور وښايو؟‬ ‫‪ –3‬د ‪ 6‬عدد له ‪ + 8‬سره جمع ک‪７‬ئ او د جمع‪ ３‬له حاصل څخه د ‪ 14‬عدد تفريق ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪56‬‬

‫د مختلفو العﻼمه عددونو ضرب‬

‫که چيرې دوه مختلف العالمه تام عددونه ســره‬ ‫ضرب شــي‪ ،‬دضرب د حاصــل عالمه به څه‬ ‫وي؟‬

‫فعآلﻴت‬ ‫که چيرې د دوو عددونو د ضرب په حاصل ک‪ ３‬له يوه ضربي عامل څخه يو‪ ،‬يو واحد کم ک‪７‬و‪ ،‬د‬ ‫ضرب په حاصل ک‪ ３‬به څه توپير راشي؟‬ ‫مخامخ ضربونو ته پاملرنه وک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪4 × 4 = 16‬‬ ‫‪3× 2 = 6‬‬

‫د ضرب له پورتنيو حاصلونو څخه منځته راغلي بدلون پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ د دوو مثبتو عددونو د ضرب د حاصل عالمه څه ده؟‬‫ د يو منفي عدد او يو مثبت عدد د ضرب د حاصل عالمه څه ده؟‬‫په الندې ډول هم کوالى شو‪ ،‬چ‪ ３‬همدا نتيجه پر الس راوړو‪.‬‬

‫‪2× 2 = 4‬‬

‫‪3 × 4 = 12‬‬

‫‪1× 2 = 2‬‬ ‫‪0× 2 = 0‬‬

‫‪2× 4 = 8‬‬ ‫‪1× 4 = 4‬‬

‫‪1× 2 = 2‬‬ ‫‪2× 2 = 4‬‬ ‫‪3× 2 = 6‬‬

‫‪0× 4 = 0‬‬ ‫‪1× 4 = 4‬‬ ‫‪2× 4 = 8‬‬

‫‪4× 2 = 8‬‬

‫‪3 × 4 = 12‬‬

‫‪00‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪00‬‬ ‫‪0‬‬

‫که چيرې يو تام مثبت عدد‪ ،‬د مثال په ډول ‪ ، +2‬درې ځل‪ ３‬سره جمع ک‪７‬و‪ ،‬نو ليدل کي‪８‬ي چ‪:３‬‬ ‫‪(+2) + (+2) + (+2) = +6‬‬ ‫په دې ځاى ک‪ ３‬په حقيقت ک‪ ３‬د ‪ +2‬عدد درې چنده شوى دى په طبيعي عددونو ک‪ ３‬مو درلودل‬ ‫‪3× 2 = 6‬‬ ‫چ‪:３‬‬ ‫پورتن‪ ９‬عمليه د محور پر مخ داس‪ ３‬ښکاره کوو‪:‬‬ ‫)‪(+2‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+7‬‬

‫‪+6‬‬

‫‪+5‬‬

‫)‪(+2‬‬ ‫‪+4‬‬

‫‪+3‬‬

‫)‪(+2‬‬ ‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫په همدې ډول په الندې شکل ک‪ ３‬د ‪ –2‬عدد درې ځل‪ ３‬راغلى دى‪:‬‬

‫‪57‬‬

‫–‬ ‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫)‪( –2‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪( –2‬‬ ‫‪–2‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–3‬‬

‫)‪(–2‬‬ ‫‪–4‬‬

‫‪–5‬‬

‫–‬ ‫‪–6‬‬

‫‪–7‬‬

‫‪–8‬‬

‫‪–9‬‬

‫‪(–2) +(–2) +(–2) = 3 ×(–2) = –6‬‬ ‫مثال‪ :‬د ‪ 4‬عدد په ‪ 3‬ک‪ ３‬ضرب ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪3 × (–4) = (–4) + (–4) + (–4) = –12‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫پو＊تنه‪:‬الندې تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫) ( = ‪(–6) × 2‬‬ ‫‪, ( ) × 5 = –25‬‬ ‫‪, (–3)× ( ) = –3‬‬

‫فعآلﻴت‬ ‫له ‪ 7‬څخه تر ‪ –7‬پورې د عددونو د ضرب حاصل له ‪ 2‬سره د دې لوست د لوم‪７‬ني فعاليت په شان‬ ‫وليکئ‪.‬‬

‫زده مو ک‪７‬ه چ‪:３‬‬ ‫ که چيرې دوه مثبت عددونه يوله بله سره ضرب شي‪ ،‬د ضرب د حاصل عالمه مثبت ده‪.‬‬‫ که چيرې يو منفي عدد له مثبت عدد سره او يا يو مثبت عدد له منفي عدد سره ضرب شي‪ ،‬د‬‫ضرب د حاصل عالمه منفي ده‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ –1‬د الندې محور پر مخ څه وينئ؟ د ضرب په شکل ي‪ ３‬وليکئ‪.‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫پورې تام عددونه په ترتيب سره په ‪ 2‬ک‪ ３‬ضرب ک‪７‬ئ او د ضرب حاصلونه دوه په‬

‫‪ –2‬د ‪ + 5‬څخه تر ‪5‬‬ ‫دوه سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ –3‬که چيرې د دووتامو عددونو د ضرب حاصل ‪ +8‬وي‪ ،‬که يو عدد ‪ +4‬وي‪ ،‬بل عدد به څو وي؟‬ ‫‪ –4‬که چيرې د دوو تامو عددونو د ضرب حاصل ‪ _ 8‬دى‪ ،‬که يو عدد ‪ _ 4‬وي‪ ،‬بل عدد به څو وي؟‬

‫‪ –5‬الندې د ضرب عملي‪ ３‬سرته ورسوئ؟‬

‫=‪4×7‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪(–2) × (+3) = ,‬‬ ‫= ‪(–1) × 0‬‬ ‫‪,‬‬

‫= ‪(–4) × 5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= ‪(–5) × 3‬‬ ‫= )‪(–3) × (+1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= )‪(–1) × (+1‬‬ ‫‪(–7) × (+10) = ,‬‬ ‫= )‪(–9) × (100‬‬ ‫‪ –6‬له ‪ +7‬سره کوم عدد ضرب ک‪７‬و‪ ،‬تر څو د ضرب حاصل ي‪ ) 56 ( ３‬شي؟‬

‫‪58‬‬

‫د منفي عدد ضرب په منفي عدد‬ ‫ک‪３‬‬ ‫که چيرې يو اختياري تام عدد لکه (د ‪2‬‬

‫يا ‪5‬‬

‫تام عددونه) په نورو تامو عددونو(مثبت‪ ،‬صفر او‬ ‫منفي تامو عددونو) ک‪ ３‬په پرله پس‪ ３‬ډول په ترتيب‬ ‫سره ضرب ک‪７‬و‪ ،‬د ‪ 2‬او ‪ 5‬د اړوندو د ضرب‬ ‫له حاصلونو څخه به څه نتيجه په الس راړو؟‬

‫‪3 × (–5) = – 15‬‬

‫‪3 × (–2) = – 6‬‬

‫‪2 × (–5) = –10‬‬

‫‪2 × (–2) = –4‬‬

‫‪1 × (–5) = –5‬‬

‫‪1 × (–2) = –2‬‬

‫‪0 × (–5) = 0‬‬

‫‪0 × (–2) = 0‬‬

‫‪–1 × (–5) = 5‬‬

‫‪–1 × (–2) = 2‬‬

‫‪–2 × (–5) = 10‬‬

‫‪–2 × (–2) = 4‬‬

‫‪–3 × (–5) = 15‬‬

‫‪–3 × (–2) = 6‬‬

‫فعآلﻴت‬ ‫له دوو ضربي عواملو څخه د لوم‪７‬ني ضربي عامل په کمولو سره د ضرب په حاصلونو ک‪ ３‬څه توپير‬ ‫وينئ؟ ددې توپير په پام ک‪ ３‬نيولو سره الندې د ضرب حاصلونه پوره ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪5 × (–5) = –25‬‬ ‫‪4 × (–5) = –20‬‬ ‫‪3 × (–5) = –15‬‬ ‫‪2 × (–5) = –10‬‬ ‫‪1 × (–5) = –5‬‬ ‫‪0 × (–5) = 0‬‬ ‫‪–1 × (–5) = +5‬‬ ‫‪–2 × (–5) = +10‬‬ ‫‪–3 × (–5) = +15‬‬ ‫= )‪–4 × (–5‬‬ ‫= )‪–5 × (–5‬‬

‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪5 × (–2) = –10‬‬ ‫‪4 × (–2) = –8‬‬ ‫‪3 × (–2) = –6‬‬ ‫‪2 × (–2) = –4‬‬ ‫‪1 × (–2) = –2‬‬ ‫‪0 × (–2) = 0‬‬ ‫‪–1 × (–2) = +2‬‬ ‫‪–2 × (–2) = +4‬‬ ‫‪–3 × (–2) = +6‬‬ ‫= )‪–4 × (–2‬‬ ‫= )‪–5 × (–2‬‬

‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬

‫د دوو منفي تامو عددونو په ضربولو ک‪ ３‬ددې لوست د پيل په فعاليت ک‪ ３‬مو وليدل چ‪:３‬‬ ‫که چيرې يو منفي عددپه بل منفي عدد ک‪ ３‬ضرب شي لکه‪ ( 4) × ( 5) :‬نو د ضرب حاصل يو‬ ‫مثبت عدد دى‪.‬‬

‫‪59‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د ‪ 6‬عدد د ‪ 2‬په عدد ک‪ ３‬ضرب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬لکه څرنګه چ‪ ３‬ددې لوست د پيل په فعاليت ک‪ ３‬مووليدل‪ ،‬که چيرې دوام ورته ورک‪７‬و الندې‬ ‫نتيجه الس ته راځي‪:‬‬ ‫‪(–6) × (–2) = +12‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬د )‪ ( 2) × (+3) × ( 10‬د ضرب حاصل په الس راوړئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى له کي‪ ３２‬خوا دوه عددونه سره ضربوو‪ ،‬بيا د ضرب حاصل له در‪４‬م عدد سره ضربوو‪:‬‬ ‫‪)–2( × )+3( = –6‬‬ ‫اوس په الس راغلى د ضرب حاصل په ( ‪ ) 10‬ک‪ ３‬ضربوو‪ ،‬نو لرو چ‪:３‬‬ ‫‪(–6) × (–10) = +60‬‬ ‫زده مو ک‪７‬ل چ‪:３‬‬ ‫‪ -1‬د يو مثبت او يو منفي عدد د ضرب حاصل يو منفي عدد دى‪.‬‬ ‫‪ -2‬ددوو منفي عددونو د ضرب حاصل يو مثبت عدد دى‪.‬‬ ‫‪ -3‬په عمومي ډول د دوو هم عالمه عددونو د ضرب حاصل يو مثبت عدد او د دوو مختلف العالمه‬ ‫عددونو د ضرب حاصل يو منفي عدد دى‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ –1‬الندې د ضرب عملي‪ ３‬سرته ورسوي؟‬ ‫= )‪(–1) × (–1‬‬

‫‪,‬‬

‫= )‪(+3) × (–3‬‬

‫‪,‬‬

‫= )‪(–6) × (–1‬‬

‫= )‪(–4) × (–8‬‬

‫‪,‬‬

‫= )‪(–2) × (+5‬‬

‫‪,‬‬

‫= )‪(–12) × (–3‬‬

‫‪ –2‬له ‪ + 2‬څخه تر ‪ 6‬پورې عددونه په ترتيب سره د ‪ 3‬په عدد ک‪ ３‬ضرب ک‪７‬ئ او د ضرب‬ ‫حاصلونه دوه په دوه سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ –3‬په مناسبو عددونو سره الندې تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪(–3) × ( ) = +21‬‬ ‫) ( = )‪(–1) × (–11‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫) ( = )‪(–2) × (–5‬‬ ‫‪(–3) × ( ) = –6‬‬

‫‪ –4‬الندې د ضرب حاصلونه په الس راوړئ‬

‫= )‪(–3) × (+2) × (–5‬‬ ‫= )‪(–6) × (–4) × (–2‬‬ ‫= )‪(–10) × (–2) × (+1‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪(–4) × ( ) = +8 ,‬‬ ‫‪( ) × (–9) = +27 ,‬‬ ‫= )‪(–2) × (+3) × (–4‬‬ ‫= )‪(+7) × (–4) × (–2‬‬ ‫= )‪(–1) × (–1) × (–1‬‬

‫‪60‬‬

‫د تامو عددونو و‪４‬ش‬ ‫? = )‪(+18) ÷(–6‬‬

‫×‬ ‫‪(+18) ÷ ( – 6 ) = – 3‬‬

‫‪? × (+6) = –18‬‬

‫×‬ ‫‪(–18) ÷ ( – 6 ) = + 3‬‬

‫? = )‪(–18) ÷ (–6‬‬

‫لکه څرنگه چ‪ ３‬د طبيعي عددونو له بحث څخه پوهي‪８‬و‪ ،‬د و‪４‬ش عمليه د ضرب له عملي‪ ３‬سره‬ ‫معکوسه اړيکه لري‪ ،‬په دې معنا‪:‬‬ ‫که چيرې د ضرب حاصل په لوم‪７‬ۍ ضربي جزوه وو‪４‬شل شي‪ ،‬دويمه ضربي جزوه په الس راځي‪ ،‬په همدې‬ ‫ډول که د ضرب حاصل په دويمه ضربي جزوه وويشل شي‪ ،‬لوم‪７‬ۍ ضربي جزوه په الس راځي‪.‬‬

‫الندې جدول ته وگورئ!‬

‫د و‪４‬ش عمليه‬

‫د ضرب عمليه‬

‫‪(+18) ÷ (+6) = +3‬‬

‫‪(+6) × (+3) = +18‬‬

‫‪(+18) ÷ (–6) = –3‬‬

‫‪(–6) × (–3) = +18‬‬

‫‪(–18) ÷ (+6) = –3‬‬

‫‪(+6) × (–3) = –18‬‬

‫‪(–18) ÷ (–6) = +3‬‬

‫‪(–6) × (+3) = –18‬‬

‫فعآلﻴت‬ ‫د ضرب له الندې عملي‪ ３‬څخه د پورته جدول په شان يو جدول جوړ ک‪７‬ئ چ‪ ３‬د تامو عددونو د‬ ‫ضرب او ويش تر منځ اړيک‪ ３‬ښکاره ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫واضح ک‪７‬ئ چ‪ ３‬دوه تام عددونه څرنګه يو پر بل و‪４‬شو‪.‬‬

‫‪61‬‬

‫‪1) 6 × 2 = 12‬‬ ‫‪2) (–6) × 2 = –12‬‬ ‫‪3) 6 × (–2) = –12‬‬ ‫‪4) (–6) × (–2) = 12‬‬

‫نتﻴجه‪ :‬د ضرب او و‪４‬ش سرته رسيدلو عمليو ته په پام کولو سره مو وليدل چ‪:３‬‬ ‫_ که يو منفي عدد پر مثبت عدد وو‪４‬شل شي د و‪４‬ش د حاصل عالمه منفي ده‪.‬‬ ‫_ که يو منفي عدد پر بل منفي عدد وو‪４‬شل شي د و‪４‬ش د حاصل عالمه مثبت ده‪.‬‬ ‫_ که يو مثبت عدد پر منفي عدد وو‪４‬شل شي د و‪４‬ش د حاصل عالمه منفي ده‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬لوم‪７‬ى د صورتونو او مخرجونو عالم‪ ３‬وټاکئ او بيا د و‪４‬ش حاصلونه په الس راوړئ‪:‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬

‫)‪(+6) × ( 5‬‬ ‫=‬ ‫‪=? ? , ,‬‬ ‫)‪(+2) × ( 15‬‬

‫)‪(+5) × ( 8‬‬ ‫=‬ ‫)‪( 10) × (+1‬‬

‫? =‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪( 4) × ( 3‬‬ ‫?=‬ ‫)‪( 2 )× ( 1‬‬

‫د تامو عددونو په و‪４‬ش ک‪ ،３‬لکه د تامو عددونو د ضرب په شان لوم‪７‬ى د و‪４‬ش د حاصل عالمه پيدا‬ ‫کوو‪ ،‬بيا د و‪４‬ش عمليه سرته رسوو‪:‬‬ ‫)‪( 4) × ( 3) (+12‬‬ ‫)‪(+6) × ( 5) ( 30‬‬ ‫)‪(+5) × ( 8) ( 40‬‬ ‫=‬ ‫‪=+6 ,‬‬ ‫=‬ ‫‪= +1 ,‬‬ ‫=‬ ‫‪=+ 4‬‬ ‫)‪(+2) × ( 15) ( 30‬‬ ‫)‪( 10) × (+1) ( 10‬‬ ‫)‪( 2 )× ( 1) (+2‬‬

‫په ﻳاد ولرئ چ‪:３‬‬ ‫د و‪４‬ش په عمليه ک‪ ،３‬لوم‪７‬ى د و‪４‬ش دحاصل عالمه ټاکو او بيا د مقسوم مطلقه قيمت د مقسوم عليه‬ ‫په مطلقه قيمت باندې و‪４‬شو‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ –1‬لوم‪７‬ى د کي‪ ３２‬خوا تش ځايونه ډک او بيا د ښ‪ ９‬خوا د و‪４‬ش حاصلونه وليکئ‪:‬‬ ‫= )‪( 138) ÷ (3‬‬ ‫= )‪( 74) ÷ ( 37‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫= )‪( 70) ÷ ( 14‬‬

‫‪,‬‬

‫= )‪(20) ÷ ( 5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪( 5) × ( ) = +20‬‬

‫‪(+7) × ( ) = 56‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= )‪( 56) ÷ (+7‬‬ ‫)‪( ) × (+8‬‬ ‫‪8) == (4040) , , ( 40‬‬ ‫= )‪÷ (+÷8()+=8‬‬ ‫)‪( )40‬‬ ‫‪( ) × ( 5) = 35‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= )‪( 35) ÷ ( 5‬‬

‫‪ –2‬د )‪ (+6) ( 18‬حاصل د )‪ ( 8) + ( 4‬د حاصل په و‪４‬شلو ک‪ ３‬بايد څرنګه عمل وک‪７‬و‪.‬‬

‫‪ –3‬الندې عملي‪ ３‬پوره‪ ،‬د ضرب او و‪４‬ش اړونده جدول ي‪ ３‬جوړ ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫( = )‪(–42) ÷ (+6‬‬ ‫)‬ ‫‪( ) × (–2) = –72‬‬ ‫‪(–100) ÷ ( ) = +100‬‬ ‫)‪(+60) ÷ ( ) = (–20‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫) ( = )‪(–8) × (+4‬‬ ‫‪(+50) × ( ) = –200‬‬ ‫(‬ ‫‪) ÷ ( –4) =+20‬‬ ‫) ( = )‪(–12) × (+3‬‬

‫‪62‬‬

‫د حسابي افادو د قﻴمت پﻴدا کول‬ ‫]})‪-3[2-(4-3)-{-1+1-(-1-1‬‬

‫که په يوه پوښتنه ک‪ ３‬څو عملي‪(３‬جمع‪ ،‬تفريق‪،‬‬ ‫ضرب او و‪４‬ش) وي‪ ،‬څه بايد وک‪７‬و؟‬

‫]}‪-3[2-4+3-{-1+1+1+1‬‬

‫ايا الندې پوښتنه د څلورو اساسي عمليو په مرسته‬ ‫چ‪ ３‬تر اوسه مو زده ک‪７‬ى دي‪ ،‬حلوالى شئ؟‬

‫]‪-3[2-4+3+1-1-1-1‬‬

‫? = }) ‪( 5) – {( –4 ) × ( –7 )} – {( –6 ) ÷ ( +2‬‬

‫‪-3[-1]=3‬‬

‫په ﻳاد ولرئ چ‪:３‬‬ ‫دې( ) قوس ته کوچنى قوس‪ ،‬دې { { قوس ته منځنى او دې [ ] قوس ته لوى قوس وايي‪.‬‬ ‫د قوسونو په رفع کولو ک‪ ３‬لوم‪７‬ى کوچنى قوس‪ ،‬بيا منځنى او په پاى ک‪ ３‬لوى قوس خالصي‪８‬ي‪.‬‬ ‫د ﻳوې حسابي افادې د محاسب‪ ３‬او ﻳا ساده کولو لپاره ﻻندې پ‪７‬اوونه په کاروو‪:‬‬

‫لوم‪７‬ى‪ :‬که په حسابي افادو ک‪ ３‬طاقت او جذر وي‪ ،‬لوم‪７‬ى بايد هغه ساده ک‪７‬و‪.‬‬ ‫دوﻳم‪ :‬که په حسابي افادو ک‪ ３‬قوسونه وي‪ ،‬لوم‪７‬ى قوسونه له منځه وړو‪.‬‬ ‫در‪４‬م‪ :‬د ضرب او و‪４‬ش عملي‪ ３‬له کي‪ ３２‬خوا څخه ښي خواته سر ته رسوو‪.‬‬ ‫＇لورم‪ :‬د جمع او تفريق عملي‪ ３‬له کي‪ ３２‬خوا څخه ښي خواته سرته رسوو‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ی مثال‪ :‬الندې حسابي افاده ساده ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬

‫‪( 6 × 4) × 23 5 + 49 ÷ 7 10‬‬

‫‪ : )–6 × 4( × 8 –5 + 7 ÷ 7 – 10‬لوم‪７‬ى‬ ‫‪ : –24 × 8 –5 +7 ÷ 7 –10‬دويم‬ ‫‪ : –192 – 5 + 7 ÷ 7 –10‬دريم‬ ‫‪ : –192 –5 + 1 – 10‬څلورم‬ ‫‪ : –197 + 1 – 10‬پنځم‬ ‫‪ : –196 – 10‬شپ‪８‬م‬ ‫‪ : –206‬اووم‬

‫‪63‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬ساده ي‪ ３‬ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫]‪23 [ 23 { 23 ( 23 23 + 23) 23} 23‬‬ ‫]‪= 23 [ 23 { 23 ( 23 + 0) 23} 23‬‬ ‫]‪= 23 [ 23 { 23 + 23 23} 23‬‬ ‫]‪= 23 [ { 23} 23] = 23 [ 23 + 23 23] = 23 [ 23 + 0‬‬ ‫‪= 23 + 23 = 46‬‬

‫درﻳم مثال‪ :‬ساده ي‪ ３‬ک‪７‬ئ‬ ‫‪25 42 ÷ 7 × 2 + 45 ÷ 3 × 5 5 × 9 ÷ 3 × 2‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪25 6 × 2 + 15 × 5 5 × 3 × 2‬‬ ‫)‪25 12 + 75 30 = (25 + 75) (12 + 30‬‬ ‫‪= 100 42 = 58‬‬

‫زده مو ک‪７‬ل چ‪:３‬‬ ‫لوم‪７‬ى‪ :‬که په حسابي افادو ک‪ ３‬طاقت او جذر وي‪ ،‬لوم‪７‬ى بايد هغه ساده ک‪７‬و‪.‬‬ ‫دوﻳم‪ :‬که په حسابي افادو ک‪ ３‬قوسونه وي‪ ،‬لوم‪７‬ى قوسونه له منځه وړو‪.‬‬ ‫در‪４‬م‪ :‬د ضرب او و‪４‬ش عملي‪ ３‬له کي‪ ３２‬خوا څخه ښي خواته سر ته رسوو‪.‬‬ ‫＇لورم‪ :‬د جمع او تفريق عملي‪ ３‬له کي‪ ３２‬خوا څخه ښي خواته سرته رسوو‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫الندې افادې ساده ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪319 + 40 ÷ 8‬‬ ‫‪220 64 ÷ 2‬‬

‫‪{(–6 × 4 ) × 2} – {5 × (–5 + 3)} + 20‬‬

‫)‪1‬‬

‫‪[9 ÷ {– (–3) × (5 – 8 )}] +10‬‬

‫)‪2‬‬

‫‪10 × 24 ÷ {– (–4) × (5 – 7 )} –6‬‬

‫)‪3‬‬

‫‪[{5 × (–4)} – {(–5) × (–1)}] – 10‬‬

‫)‪4‬‬

‫‪2×{(–3) + (–2)} + 8 – 2‬‬

‫)‪5‬‬

‫)‪6‬‬ ‫)‪7‬‬

‫‪ -6‬دا حسابي افاده ]‪6) 12 ÷ 3[ 4 + 8{ 3 + 2( 7 + 10) + 3 × (8 2)} 1‬‬ ‫مساوي ده په‪:‬‬ ‫‪265‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪256‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪652‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪64‬‬

‫د درﻳم ＇پرکي لن‪６‬ﻳز‬ ‫دا ‪ ... 5, 4, 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, 4, 5 , ...‬عددونه د تامو عددونو په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫د تامو عددونو سټ (مجموعه) په الندې ډول ښودل کي‪８‬ي‪:‬‬ ‫} ‪I = { . . . , –5, –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4,+5, . . .‬‬ ‫د عددونو محور يو جهت لرونکي خط يا کرښه ده چ‪ ３‬د هغ‪ ３‬پر مخ کوالى شو‪ ،‬مثبت عددونه‪،‬‬ ‫صفر او منفي عددونه وښيو‪.‬‬ ‫هر تام عدد او د هغه جمع‪ ３‬معکوس(متضاد) دمحور پر مخ له صفره څخه مساوي فاصل‪ ３‬لري او‬ ‫عالم‪ ３‬ي‪ ３‬مختلف‪ ３‬وي چ‪ ３‬له مبدآ (صفر) څخه دې فاصل‪ ３‬ته ددې عددونو مطلقه قيمت وايي‪.‬‬ ‫معمو ًال په مثبتو عددونو ک‪ ３‬د عالم‪ ３‬ليکلو ته اړتيا نشته‪.‬‬ ‫د تامو عددونو د تفريق په عمليه ک‪ ،３‬لوم‪７‬ى د مفروق عالمه بدلوو او بيا نور د جمع‪ ３‬د عملي‪ ３‬په‬ ‫شان عمل کوو‪ ،‬يا په بل عبارت د مفروق جمع‪ ３‬معکوس(متضاد) له مفروق منه سره جمع کوو‪.‬‬ ‫د دوو هم عالمه عددونو دضرب حاصل مثبت دى‪.‬‬ ‫د دوو مختلف العالمه عددونو د ضرب حاصل منفي دى‪.‬‬ ‫د تامو عددونو د و‪４‬ش په عمليه ک‪ ３‬لوم‪７‬ى د و‪４‬ش د حاصل عالمه پيدا کوو او بيا د مقسوم مطلقه‬ ‫قيمت د مقسوم عليه پر مطلقه قيمت و‪４‬شو‪.‬‬ ‫دا ( ) کوچنى قوس‪ ،‬دا {‬

‫{ منځنى قوس او [‬

‫] لوى قوس دى‪.‬‬

‫د قوسونو د رفع کولو لپاره‪ ،‬لوم‪７‬ى کوچنى‪ ،‬بيا منځنى‪ ،‬او په پاى ک‪ ３‬لوى قوس له منځه وړل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫که د قوس د باندې عالمه منفي وي د قوس د نني عالم‪ ３‬بدلي‪８‬ي او که د قوس د باندې عالمه مثبت‬ ‫وي‪ ،‬نو د قوس په دننيو عالمو ک‪ ３‬بدلون نه راځي‪.‬‬

‫‪65‬‬

‫د درﻳم ＇پرکي پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ –1‬د ‪ 6, 4,+7, 3‬او ‪ + 10‬تام عددونه او د دوى د هر يوه جمع‪ ３‬معکوس د اعدادو پر‬ ‫محور وښيئ‪.‬‬ ‫‪ –2‬د ‪ 0, 10, + 8, 8‬او ‪12‬‬ ‫‪ –3‬الندې مساواتونه پوره ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫عددونو مطلقه قيمتونه وليکئ‪.‬‬

‫)‪a‬‬

‫= ‪(–6) + 4‬‬ ‫= )‪b) 5 – (–3‬‬ ‫‪c) 8+0‬‬ ‫= ‪d) (–8) + 0‬‬ ‫‪ –4‬د )‪ (+2) , ( 4‬او )‪ ( 1‬در‪４‬و تامو عددونو د جمع‪ ３‬حاصل د يو محور پر مخ وښيئ‪.‬‬ ‫‪ –5‬د عددونو پر محور د الندې شکل په شان حرکت د غش‪ ３‬په مرسته ښودل شوي دي‪ ،‬دا عددونه‬ ‫جمع ک‪７‬ئ او نتيجه ي‪ ３‬په الس راوړئ‪.‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+6‬‬

‫‪+5‬‬

‫‪+3 +4‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–4‬‬

‫‪ –6‬له ‪ ( 7) + 10‬افادې څخه د)‪ – ( –6 +10 – 4‬افاده تفريق ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ –7‬الندې د ضرب حاصلونه په الس راوړئ‪:‬‬ ‫= (‪a( )– 8 + 2 – 4( × ) –5 +2 –1‬‬ ‫= ( ‪b( – )– 4+ 6 –3( × ) –5 + 0‬‬ ‫‪ –8‬الندې د و‪４‬ش حاصلونه په الس راوړئ‪:‬‬

‫= (‪c( )6 – 10 ( × ) –7 + 3 × 2‬‬ ‫= )‪a) – (–10) ÷ ( –2‬‬ ‫= )‪b) (–16 +4 ) ÷ (–2) × (3‬‬

‫‪ –9‬الندې افاده ساده ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫= )‪c) – (+10 +8 ) ÷ (– 6 ÷ 2‬‬

‫= ‪) –6 ( ÷ ) –2 ( – ])10( ÷ {)–2( + )+22×3({[ – 2‬‬ ‫‪ –10‬الندې افاده ساده ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫‪4 [ 5 + { 4 + ( 5 + 4) 5} + 4] 5‬‬

‫‪66‬‬

‫＇ﻠﻮرم ＇پرکﻰ‬

‫ﻧسبتﻲ عددوﻧﻪ‬

‫‪53‬‬

‫پاسﻨﻰ ﻣرﻏ‪ 500 kg ９‬وزن ﻟري‪.‬‬ ‫د دې اﻟﻮتﻮوﻧکﻰ وزن پﻪ ﻳﻮ ﻧسبتﻲ ﻋدد سره ＊ﻮدل ک‪８５‬ي‪.‬‬

‫ﻧسبتﻲ عددوﻧﻪ‬

‫اﻳا کﻠﻪ ﻣﻮ ﻓکر ک‪７‬ى دى‪＇ ،‬رﻧگﻪ کﻮﻻى شﻮ چ‪３‬‬ ‫دوې ﻣ‪ ３２‬پﻪ در‪４‬ﻮ تﻨﻮ پﻪ ﻣساوي ډول ووﻳشﻮ؟‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫‪ -1‬ﻳﻮ سپ‪２‬سﻲ(تار) د ‪ 10cm‬پﻪ اوږدواﻟﻰ راواخﻠئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬سپ‪２‬سﻰ پﻪ در‪４‬ﻮ ﻣساوي برخﻮ ووﻳشئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬د خط کش پﻪ ﻣرستﻪ د درې واړو برخﻮ اوږدواﻟﻰ پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ﻟﻪ پﻮرتﻨﻲ ﻓﻌاﻟﻴت ＇خﻪ ﻣﻌﻠﻮﻣﻴ‪８‬ي چ‪ ３‬پﻪ ﻻس راﻏﻠﻰ اوږدواﻟﻰ ﻟﻪ ‪ 3‬ساﻧتﻲ ﻣترو ＇خﻪ ﻟﻮى او ﻟﻪ‬ ‫‪ 4‬ساﻧتﻲ ﻣترو ＇خﻪ کﻮچﻨﻰ دى‪ ،‬ﻧﻮ‪＄‬کﻪ ﻧشﻮ کﻮﻻى چ‪ ３‬د تار اوږدواﻟﻰ د تام (پﻮره) ﻋدد پﻪ شکﻞ‬ ‫＊کاره ک‪７‬و‪ ،‬ﻧﻮ د ﻋددوﻧﻮ ﻳﻮ بﻞ س＀ تﻪ اړتﻴا ده چ‪ ３‬د ﻫﻐﻮ پﻪ ﻣرستﻪ پﻮرتﻨﻰ ﻋدد و＊ﻴﻮ‪ .‬پﻪ دې ﻓﻌاﻟﻴت‬ ‫ک‪＇ ３‬رﻧ‪／‬ﻪ چ‪ ３‬ﻟس (‪ )10‬پﻪ در‪４‬ﻮ ﻣساوي برخﻮ وﻳشﻞ شﻮي دي‪ ،‬ﻧﻮ کﻮﻻى شﻮ چ‪ ３‬د ‪ 10‬پﻪ شکﻞ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻳ‪ ３‬و＊ﻴﻮ‪ ،‬دا ډول ﻧﻮي ﻋددوﻧﻪ د ﻧسبتﻲ ﻋدددوﻧﻮ پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳاد‪８４‬ي‪.‬‬ ‫اوس ﻏﻮاړو چ‪ ３‬د ﻋددوﻧﻮ د ﻣحﻮر پﻪ واسطﻪ د ‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫—‬

‫ﻋدد و＊ﻴﻮ‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫—–‬

‫‪3‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫–‬

‫‪–4 –3 –2 –1‬‬

‫ﻟکﻪ ＇ﻨ‪／‬ﻪ چ‪ ３‬ﻫر تام ﻋدد جﻤﻌ‪ ３‬ﻣﻌکﻮس ﻟري‪ ،‬ﻧﻮ ﻧسبتﻲ ﻋدد ﻫﻢ جﻤﻌ‪ ３‬ﻣﻌکﻮس ﻟري‪.‬‬ ‫د بﻴﻠگ‪ ３‬پﻪ تﻮ‪－‬ﻪ د ‪ 10‬ﻋدد جﻤﻌ‪ ３‬ﻣﻌکﻮس د ‪ 10‬ﻋدد دى چ‪ ３‬پﻪ پﻮرتﻪ شکﻞ ک‪＊ ３‬ﻮدل شﻮي دى‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪7 3‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬د ‪ 11 ، ،‬ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ او د دوې جﻤﻌ‪ ３‬ﻣﻌکﻮسﻮﻧﻪ(ﻣتضاد) د ﻋددوﻧﻮ پر ﻣحﻮر‬

‫و＊ﻴئ‪.‬‬

‫‪69‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫حﻞ‪:‬‬ ‫جﻤﻌﻲ ﻣﻌکﻮس‬ ‫‪11‬‬ ‫—‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪7‬‬ ‫—‪+‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬ ‫—‪+‬‬

‫‪5‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪3‬‬ ‫—–‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪7‬‬ ‫—–‬

‫‪5‬‬

‫‪11‬‬ ‫—–‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫–‬

‫‪–2‬‬

‫‪–1‬‬

‫ﻳﻮد بﻞ جﻤﻌﻲ ﻣﻌکﻮس دي‬ ‫ﻳﻮد بﻞ جﻤﻌﻲ ﻣﻌکﻮس دي‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫‪ -1‬ﻟﻮﻣ‪７‬ى د ﻋددوﻧﻮ پر ﻣحﻮر درې واحده جﻼ ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬دا درې واحده پﻪ ＇ﻠﻮرو ﻣساوي برخﻮ ووﻳشئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﻫره برخﻪ د کﻮم ﻧسبتﻲ ﻋدد ＊ﻮدوﻧک‪ ３‬ده؟‬ ‫‪3‬‬

‫‪ -4‬ﻳﻮ واحد پﻪ ＇ﻠﻮرو ﻣساوي برخﻮ ووﻳشئ او د ﻋدد و＊ﻴئ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ -5‬د دې ﻋدد جﻤﻌ‪ ３‬ﻣﻌکﻮس کﻮم ﻋدد دي؟ د ﻣحﻮر پر ﻣخ ﻳ‪ ３‬و＊ﻴئ‪.‬‬ ‫کﻪ چﻴرې د‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫کسر د ﻋددوﻧﻮ پر ﻣحﻮر و＊ﻴﻮ او د پﻮرتﻨﻲ ﻓﻌاﻟﻴت ﻧتﻴجﻪ ورسره پرتﻠﻪ ک‪７‬و‪ ،‬ﻟﻴدل کﻴ‪８‬ي‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫چ‪ ３‬د ‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫د ‪ n‬پﻪ شکﻞ وﻟﻴکﻞ شﻲ‪ ،‬د ‪ n‬او ‪ d‬ﻋددوﻧﻪ تام ﻋددوﻧﻪ دي چ‪0 ３‬‬ ‫‪d‬‬

‫ﻧسبتﻲ ﻋدد ﻫﻤدا د‬

‫ﻋام کسر دى‪ ،‬ﻧﻮ ﻳﻮ ﻧسبتﻲ ﻋدد ﻟﻪ ﻫﻐﻪ ﻋدد ＇خﻪ ﻋبارت دى چ‪３‬‬ ‫‪ d‬دى‪ .‬اﻋشاري ختﻤ‪５‬دوﻧکﻲ‬

‫کسروﻧﻪ او ﻣتﻮاﻟی کسروﻧﻪ ﻫﻢ ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ دي‪.‬‬

‫پﻮ＊تﻨ‪３‬‬ ‫‪7 5 2‬‬ ‫‪ -1‬د ﻋددوﻧﻮ پر ﻳﻮه ﻣحﻮر باﻧدې ﻫر واحد پﻪ در‪４‬ﻮ ﻣساوي برخﻮ وو‪４‬شئ او د ‪, ,‬‬ ‫‪3 3 3‬‬

‫ﻋددوﻧﻪ او د ﻫﻐﻮې جﻤﻌ‪ ３‬ﻣﻌکﻮسﻮﻧﻪ د ﻣحﻮر پر ﻣخ و＊ﻴئ‪.‬‬

‫‪ -2‬د ﻣحﻮر پر ﻣخ ﻫر واحد پﻪ ＇ﻠﻮرو ﻣساوي برخﻮ وو‪４‬شئ‪ ،‬ﻫرې برخ‪ ３‬تﻪ ﻳ‪ a ３‬وواﻳئ‪ ،‬بﻴا د‬ ‫ﻧسبتﻲ ﻋدد او جﻤﻌﻲ ﻣﻌکﻮس ﻳ‪ ３‬د ﻣحﻮر پر ﻣخ پﻪ ﻧ‪＋‬ﻪ ک‪７‬ئ‪ ،‬ﻫﻤدارﻧگﻪ وواﻳئ چ‪ ３‬د‬ ‫＇ﻮ ‪ a‬پﻪ اﻧدازه د‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﻟﻪ ﻋدد ＇خﻪ ﻟرې پروت دى‪.‬‬

‫‪4 3‬‬ ‫‪ -3‬ﻳﻮ ﻣحﻮر داس‪ ３‬وو‪４‬شئ چ‪ ３‬د ‪,‬‬ ‫‪5 5‬‬

‫＊ﻮدل شﻮي وي‪.‬‬

‫‪6 7‬‬ ‫‪ ,‬او‬ ‫‪5 5‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﻋدد د‬

‫ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ پﻪ ＊کاره ډول پر ﻣحﻮر‬

‫‪70‬‬

‫د ﻧسبتﻲ عددوﻧﻮ پرتﻠﻪ کﻮل‬

‫پﻪ کﻮم تصﻮﻳر ک‪－ ３‬ﻠﻮﻧﻮ ډ‪４‬ر ‪＄‬اى پﻮ＊ﻠﻰ دى؟‬

‫‬ ‫>‬ ‫‪5 7‬‬ ‫‪35 35‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫پﻪ ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ ک‪ ３‬کﻮم ﻳﻮ ﻟﻮى دى؟‬ ‫دوﻳﻢ ﻣثال‪ :‬د او‬ ‫‪9‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪7 9‬‬ ‫‪63‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3 7 21‬‬ ‫= ×‬ ‫‪5 7 35‬‬

‫‪4 12‬‬ ‫‪48‬‬ ‫= ) (×‬ ‫‪,‬‬ ‫= ) (×‬ ‫حﻞ‪:‬‬ ‫‪9 12 108‬‬ ‫‪12 9‬‬ ‫‪108‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪48‬‬ ‫ﻧﻮ ﻟﻴکﻼى شﻮ چ‪３‬‬ ‫>‬ ‫او ﻟﻪ دې ‪＄‬اﻳﻪ داس‪ ３‬پاﻳﻠﻪ پﻪ ﻻس را‪＄‬ﻲ چ‪ ３‬د ‪> .‬‬ ‫‪108 108‬‬ ‫‪12 9‬‬

‫د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ پﻪ پرتﻠﻪ کﻮﻟﻮ ک‪ ３‬چ‪ ３‬ﻣخرجﻮﻧﻪ ﻳ‪ ３‬سره ﻣساوي وي‪ ،‬ﻫﻐﻪ ﻋدد ﻟﻮى دى چ‪ ３‬صﻮرت‬ ‫ﻳ‪ ３‬ﻟﻮى وي او کﻪ صﻮرتﻮﻧﻪ ﻳ‪ ３‬سره ﻣساوي وي‪ ،‬ﻫﻐﻪ ﻋدد ﻟﻮى دى چ‪ ３‬ﻣخرج ﻳ‪ ３‬کﻮچﻨﻰ وي‪ .‬د دوو‬ ‫او ﻳا زﻳاتﻮ داس‪ ３‬ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ د پرتﻠﻪ کﻮﻟﻮ ﻟپاره چ‪ ３‬صﻮرتﻮﻧﻪ او ﻣخرجﻮﻧﻪ ﻳ‪ ３‬سره ﻣساوي ﻧﻪ وي‪،‬‬ ‫ﻟﻮﻣ‪７‬ى د دې ﻋددوﻧﻮ ﻣشترک ﻣخرج(کﻮچﻨﻰ ﻣشترک ﻣضرب) پﻴدا کﻮو او بﻴاﻳ‪ ３‬سره پرتﻠﻪ کﻮو‪.‬‬

‫پﻮ＊تﻨ‪３‬‬ ‫ﻻﻧدې ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ سره پرتﻠﻪ ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪5 3 1‬‬ ‫‪, ,‬‬ ‫‪9 7 3‬‬

‫)‪e‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪7 11‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪3 4‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5 7‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪72‬‬

‫د ﻧسبتﻲ عددوﻧﻮ د جﻤع‪ ３‬او‬ ‫تفرﻳﻖ عﻤﻠﻴ‪３‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د ﻳﻮه ＇ادر د جﻮړوﻟﻮ ﻟپاره‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫او د ﻏاړې د ＇ادر ﻟپاره ‪ 2‬ﻣتره ﻟﻪ ﻫﻤدې ！ﻮکر پﻪ‬ ‫‪5‬‬ ‫کار دی‪ .‬کﻪ دا د اړتﻴاوړ ！ﻮکر ﻟﻪ ‪ 15 1‬ﻣترو ！ﻮکر ＇خﻪ‬ ‫‪2‬‬ ‫پرﻳک‪７‬و ＇ﻮﻣره ！ﻮکر بﻪ پات‪ ３‬شﻲ؟‬ ‫‪ 5‬ﻣتره ！ﻮکر پﻪ کار دى‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -1‬ﻟﻮﻣ‪７‬ى د‬ ‫‪2‬‬

‫ﻋدد د ﻋددوﻧﻮ پر ﻣحﻮر و＊ﻴئ او د ‪！ A‬کﻰ ورتﻪ وواﻳئ‪.‬‬

‫‪ -2‬د ‪ A‬ﻟﻪ ！کﻲ ＇خﻪ د ‪ 13‬پﻪ اﻧدازه ＊ﻲ خﻮاتﻪ حرکت وک‪７‬ئ او ‪ B‬ورتﻪ وواﻳئ‪.‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪ -3‬د ‪！ B‬کﻰ ﻟﻪ کﻮم ﻧسبتﻲ ﻋدد سره برابر دى؟‬ ‫‪1 13‬‬ ‫‪ -4‬د دې ﻋددوﻧﻮ د ﻣشترک ﻣخرج پﻪ ﻣرستﻪ د ‪+‬‬ ‫‪2 10 5 4‬‬ ‫د تﻔرﻳﻖ حاصﻞ پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -5‬د ‪ 2 + 3‬د جﻤﻌ‪ ３‬حاصﻞ او د‬ ‫‪6 6‬‬ ‫‪6 6‬‬

‫د جﻤﻌ‪ ３‬حاصﻞ پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫ﻟﻮﻣ‪７‬ى ﻣثال‪ :‬ﻻﻧدې ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ د کﻮچﻨﻲ ﻣشترک ﻣخرج او ﻳا د ﻣخرجﻮﻧﻮ د کﻮچﻨﻲ ﻣشترک‬ ‫ﻣضرب د پﻴدا کﻮﻟﻮ پﻪ ﻣرستﻪ جﻤع ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬

‫‪5 7 60 + 126 186 93 31‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪18 12‬‬ ‫‪216‬‬ ‫‪216 108 36‬‬

‫کﻪ اوس پﻪ دې ﻣثال ک‪ ３‬د ﻣخرجﻮﻧﻮ کﻮچﻨﻰ ﻣشترک ﻣضرب پﻴدا ک‪７‬و‪ ،‬کﻮﻻى شﻮ د جﻤﻌ‪ ３‬ﻋﻤﻠﻴﻪ‬ ‫پﻪ ﻻﻧدې ډول سرتﻪ ورسﻮو‪:‬‬ ‫‪18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 32‬‬ ‫‪12 = 3 × 2 × 2 = 3 × 2 2‬‬ ‫ﻟﻴدل ک‪８５‬ي‪ ،‬چ‪ ３‬د ‪ 18‬او ‪ 12‬ﻋددوﻧﻮ کﻮچﻨﻰ ﻣشترک ﻣضرب ﻟﻪ ‪＇ 32 × 22 = 36‬خﻪ ﻋبارت‬

‫دى‪ ،‬ﻧﻮ ﻟرو چ‪:３‬‬ ‫‪5 7 10 + 21 31‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪18 12‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪36‬‬

‫‪73‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ -1‬ﻟﻮﻣ‪７‬ى د‬ ‫‪6‬‬

‫ﻧسبتﻲ ﻋدد د ﻣحﻮر پﻪ ﻣخ و＊ﻴئ او دې ！ک‪ ３‬تﻪ ‪ A‬وواﻳئ‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ -2‬د ‪ A‬ﻟﻪ ！کﻲ ＇خﻪ د‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫د تﻔرﻳﻖ حاصﻞ د کﻮچﻨﻲ ﻣشترک ﻣضرب د پﻴدا کﻮﻟﻮ پﻪ ﻣرستﻪ پﻪ ﻻس راوړئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬د‬ ‫‪6 4‬‬

‫پﻪ اﻧدازه د ﻣحﻮر کﻴ‪ ３２‬خﻮاتﻪ ﻻړ شئ‪ ،‬کﻮم ！کﻲ تﻪ رسﻴ‪８‬ئ؟‬

‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫دوﻳﻢ ﻣثال‪ :‬د ﻟﻪ ﻧسبتﻲ ﻋدد ＇خﻪ د‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﻧسبتﻲ ﻋدد تﻔرﻳﻖ ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫حﻞ‪:‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2 15 8 7‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬

‫د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ د جﻤﻌ‪ ３‬ﻳا تﻔرﻳﻖ پﻪ ﻋﻤﻠﻴﻮ ک‪ ３‬ﻫﻢ دوﻣره بس دى چ‪ ３‬ﻣشترک ﻣخرج ﻳ‪ ３‬پﻴدا ک‪７‬و‬ ‫او صﻮرتﻮﻧﻪ ﻳ‪ ３‬سره جﻤع ﻳا تﻔرﻳﻖ ک‪７‬و‪.‬‬

‫پﻮ＊تﻨ‪３‬‬ ‫‪ -1‬ﻻﻧدې ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ جﻤع ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9 3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪= , b) + = , c‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪= , d‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪5 5‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪16 8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻧسبتﻲ ﻋدد د ﻣحﻮر پر ﻣخ و＊ﻴئ او ﻟﻪ دې ﻋدد ＇خﻪ د‬ ‫‪ -2‬د‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫)‪a‬‬

‫ﻧسبتﻲ ﻋدد تﻔرﻳﻖ ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ -3‬ﻳﻮ زده کﻮوﻧکﻰ پﻪ ﻟﻮﻣ‪７‬ۍ ورځ د ﻳﻮ کتاب برخﻪ او پﻪ دوﻳﻤﻪ ورځ ﻳ‪ ３‬د ﻫﻤدې کتاب‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫برخﻪ‬

‫وﻟﻮستﻠﻪ‪ ،‬د کتاب کﻮﻣﻪ برخﻪ ﻻ ﻟﻮستﻞ شﻮی ﻧﻪ ده؟‬

‫‪74‬‬

‫د ﻧسبتﻲ عددوﻧﻮ ضرب او و‪４‬ش (تﻘسﻴﻢ)‬

‫ﻣخاﻣخ شکﻞ د ﻣستطﻴﻠﻮﻧﻮ پﻪ ﻣﻨ‪ ＃‬ک‪ ３‬د کﻮﻣ‪３‬‬ ‫اړﻳک‪＊ ３‬ﻮدوﻧکﻰ دى؟‬

‫?‬

‫=‬ ‫فعآﻟﻴت‬ ‫‪ -1‬ﻳﻮ سپ‪２‬سﻲ (تار) د ﻳﻮ واحد پﻪ اﻧدازه پﻪ پام ک‪ ３‬وﻧﻴسئ بﻴا ﻳ‪ ３‬ﻧﻴﻢ ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﻫره ﻧﻴﻤاﻳﻲ برخﻪ پﻪ در‪４‬ﻮ ﻣساوي برخﻮ ووﻳشئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬دا ﻫره ﻳﻮه برخﻪ د واحد ＇ﻮوﻣﻪ برخﻪ ده؟‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪ -4‬د ‪ ،‬او ‪ 1‬پﻪ ﻣﻨ‪ ＃‬ک‪＇ ３‬ﻪ اړﻳکﻪ ﻟﻴدﻻى شئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫د دوو ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ د ضرب ﻟپاره صﻮرت پﻪ صﻮرت ک‪ ３‬او ﻣخرج پﻪ ﻣخرج ک‪ ３‬ﻳﻮ ﻟﻪ بﻠﻪ سره‬ ‫ضربﻮو‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ک‪ ３‬ضرب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ﻧسبتﻲ ﻋدد پﻪ (‬ ‫ﻟﻮﻣ‪７‬ى ﻣثال‪ :‬د‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪3 ( 6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬ ‫= ) (×) (‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) پﻪ ﻧسبتﻲ ﻋدد ک‪ ３‬ضرب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫دوﻳﻢ ﻣثال‪ :‬د ( ‪ ) 8‬ﻧسبتﻲ ﻋدد د (‬ ‫‪4‬‬ ‫‪15‬‬ ‫حل ‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3 ( 8) × ( 3) 24 2‬‬ ‫(‬ ‫= ) (×)‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪15 × 4‬‬ ‫‪60 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫درﻳﻢ ﻣثال‪ :‬د ‪ 702‬د ﻋدد برخﻪ ＇ﻮ کﻴ‪８‬ي‪:‬‬ ‫‪9‬‬

‫حﻞ‪:‬‬

‫‪2 1404‬‬ ‫=‬ ‫‪= 156‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪75‬‬

‫× ‪702‬‬

‫اوس د دوو ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ و‪４‬ش پﻪ ﻻﻧدې ﻣثاﻟﻮ ک‪＇ ３‬ﻴ‪７‬و‪.‬‬ ‫‪3 7‬‬ ‫پر‬ ‫＇ﻠﻮرم ﻣثال‪:‬‬ ‫‪5 10‬‬

‫ووﻳشئ‪.‬‬

‫‪7 3 7 5 35 7‬‬ ‫= × = ÷‬ ‫=‬ ‫‪10 5 10 3 30 6‬‬

‫حل ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫پﻨ（ﻢ ﻣثال د ( ‪ ) 3‬ﻧسبتﻲ ﻋدد د (‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪21‬‬ ‫= ) (×) ( = ) ( ÷ ) ( = ) ( ÷ ) ‪( 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫) پر ﻧسبتﻲ ﻋدد و‪４‬شئ‪.‬‬

‫د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ د ضرب پﻪ ﻋﻤﻠﻴﻪ ک‪ ３‬صﻮرت پﻪ صﻮرت او ﻣخرج پﻪ ﻣخرج ک‪ ３‬ضربﻮو‪ ،‬د تﻘسﻴﻢ‬ ‫پﻪ ﻋﻤﻠﻴﻪ ک‪ ３‬دوﻳﻢ ﻧسبتﻲ ﻋدد(ﻣﻘسﻮم ﻋﻠﻴﻪ) سرچپﻪ کﻮو او ﻧﻮر د ضرب پﻪ شان ﻋﻤﻞ کﻮو‪.‬‬ ‫ﻳا د ﻣﻘسﻮم ﻋﻠﻴﻪ ضربﻲ ﻣﻌکﻮس پﻪ ﻣﻘسﻮم ک‪ ３‬ضربﻴ‪８‬ي‪.‬‬

‫پﻮ＊تﻨ‪３‬‬ ‫‪-1‬ﻻﻧدې ﻋددوﻧﻪ ﻳﻮ پﻪ بﻞ ک‪ ３‬ضرب او ‪＄‬ﻮاب ﻳ‪ ３‬پﻪ ساده ډول وﻟﻴکئ‪:‬‬ ‫‪12‬‬ ‫)‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) (×‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪15‬‬ ‫(×‬ ‫‪16‬‬ ‫‪8‬‬ ‫× ) ( )‪f‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪c‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫) ×‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪3‬‬ ‫( )‪e‬‬ ‫×)‬ ‫‪15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫( )‪b‬‬

‫‪41 13‬‬ ‫×‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪13‬‬ ‫( )‪d‬‬ ‫(×)‬ ‫‪) ,‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪9‬‬ ‫)‪a‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ - 2‬د ‪ 111‬د ﻋدد‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-3‬د کﻮم ﻋدد ‪ 3‬برخﻪ ‪ 48‬کﻴ‪８‬ي؟‬ ‫‪5‬‬

‫برخﻪ ＇ﻮ ک‪８５‬ي؟‬

‫‪76‬‬

‫د ﻧسبتﻲ عدد بدﻟﻮل پﻪ اعشاري عدد باﻧدې‬

‫احﻤد او ورو ﻳ‪ ３‬ﻏﻮاړي چ‪ ３‬ﻳﻮ کار پﻪ ＇ﻠﻮرو‬ ‫ور‪＄‬ﻮ ک‪ ３‬سرتﻪ ورسﻮي‪ ،‬د ﻟﻮﻣ‪７‬ۍ ور‪ ３＄‬پﻪ پاى‬ ‫ک‪ ３‬احﻤد ﻟﻪ وروره پﻮ＊تﻪ وک‪７‬ه چ‪ ３‬تر اوسﻪ ＇ﻮ‬ ‫ﻓﻴصده کار سرتﻪ رسﻴدﻟﻰ دى؟‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫پﻪ ﻣخاﻣخ شکﻞ ک‪＇ ３‬ﻮ ﻣربع گاﻧ‪３‬‬ ‫رﻧگﻪ شﻮي دي‪.‬‬ ‫د دې ﻣربع گاﻧﻮ کﻮم کسر ابﻲ رﻧگ ﻟري‬ ‫دا ﻋدد پﻪ اﻋشاري ﻋدد سره و＊ﻴئ‪.‬‬ ‫د دې ﻣربع گاﻧﻮ کﻮم کسر شﻴﻦ رﻧگ‬ ‫ﻟري دا ﻋدد پﻪ اﻋشاري ﻋدد سره و＊ﻴئ‪.‬‬ ‫د دې ﻣربع گاﻧﻮ کﻮم کسر رﻧگﻪ شﻮي‬ ‫دی؟ د ﻳﻮ اﻋشاري ﻋدد پﻪ ﻣرستﻪ ﻳ‪３‬‬ ‫و＊ﻴئ‪.‬‬ ‫ﻟﻮﻣ‪７‬ى ﻣثال‪ :‬د ‪ 257363‬ﻧسبتﻲ (‪－‬ﻮﻳا) ﻋدد‪ ،‬د اﻋشاري ﻋدد پﻪ ډول و＊ﻴئ‪.‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪257363‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪63‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬ ‫‪= 2573‬‬ ‫‪= 2573 +‬‬

‫پﻪ دې حاﻟت ک‪ 2573 ３‬تﻪ د ﻋدد صحﻴح برخﻪ او‬ ‫‪ 0.63‬تﻪ د ﻋدد اﻋشاري برخﻪ واﻳﻲ‪.‬‬

‫‪77‬‬

‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 2573 +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪100 100‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 2573 + +‬‬ ‫‪= 2573.63‬‬ ‫‪10 100‬‬

‫‪100‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫د ‪ 2.3125‬او ‪ 0.412‬اﻋشاري ﻋددوﻧﻪ د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ پﻪ شکﻞ وﻟﻴکئ‪.‬‬ ‫(‬

‫)‬ ‫‪10000‬‬

‫=‬

‫(‬

‫)‬ ‫‪10000‬‬ ‫)‬

‫‪+‬‬ ‫(‬

‫‪1000‬‬

‫(‬

‫)‬ ‫‪1000‬‬

‫=‬

‫)‬

‫‪+‬‬ ‫(‬

‫‪1000‬‬

‫)‬

‫‪+‬‬

‫(‬ ‫‪100‬‬ ‫)‬

‫(‬ ‫‪100‬‬

‫)‬

‫‪+‬‬

‫‪10‬‬

‫‪+‬‬

‫دوﻳﻢ ﻣثال‪ :‬د ‪ 2.32‬ﻋدد د ﻧسبتﻲ ﻋدد پﻪ شکﻞ وﻟﻴکئ‬ ‫حﻞ‪:‬‬ ‫‪200 30‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪232‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪100 100 100 100‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪2.3125 = 2 +‬‬ ‫‪2.3157‬‬

‫(‬ ‫‪10‬‬

‫‪0.412 = 0 +‬‬

‫= ‪2.32 = 2 + 0.3 + 0.02‬‬

‫کﻮﻻى شﻮ ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ د اﻋشاري ﻋددوﻧﻮ پﻪ شکﻞ او اﻋشاري ﻋددوﻧﻪ د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮپﻪ شکﻞ‬ ‫تبدﻳﻞ ک‪７‬و‪.‬‬

‫پﻮ＊تﻨ‪３‬‬ ‫‪ -1‬د ‪ 0.420 ، 0.212‬او ‪ 5.215‬اﻋشاري ﻋددوﻧﻪ د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ پﻪ ډول و＊ﻴئ‪.‬‬ ‫‪235 4250‬‬ ‫او ‪ 2410‬ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ د اﻋشاري ﻋددوﻧﻮ پﻪ شکﻞ وﻟﻴکئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬د‬ ‫‪,‬‬ ‫‪10000 100 1000‬‬ ‫‪ -3‬د ‪ 1.5 , 0.5‬او ‪ 1.25‬اﻋشاري ﻋددوﻧﻪ دﻣحﻮر پر ﻣخ و＊ﻴئ‪.‬‬

‫‪ - 4‬پﻪ ﻻﻧدې جدول ک‪ ３‬د ﻫر ﻋدد صحﻴح او اﻋشاري برخﻪ پﻪ ！اکﻠﻮ ‪＄‬اﻳﻮﻧﻮ ک‪ ３‬وﻟﻴکئ‪.‬‬ ‫اﻋشاري برخﻪ‬

‫صحﻴح برخﻪ‬

‫اﻋشاري ﻋددوﻧﻪ‬

‫‪12.1‬‬ ‫‪13.25‬‬ ‫‪1.7394‬‬ ‫‪0.16‬‬

‫‪78‬‬

‫د ＇ﻠﻮرم ＇پرکﻲ ﻟﻨ‪６‬ﻳز‬ ‫‪n‬‬ ‫" ﻳﻮ ﻧسبتﻲ ﻋدد ﻫﻐﻪ ﻋدد دې چ‪３‬‬ ‫‪d‬‬ ‫( ‪ ) d 0‬دى‪.‬‬

‫پﻪ شکﻞ وﻟﻴکﻞ شﻲ‪ ،‬پﻪ داس‪ ３‬حال ک‪ ３‬چ‪ n ３‬او ‪ d‬تام ﻋددوﻧﻪ او‬

‫ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ د ‪－‬ﻮﻳا ﻳا ﻧاطﻘﻮ ﻋددوﻧﻮ(‪ )Rational numbers‬پﻪ ﻧﻮم ﻫﻢ ﻳادﻳ‪８‬ي‪.‬‬ ‫ﻟکﻪ ＇ﻨ‪／‬ﻪ چ‪ ３‬ﻫر تام ﻋدد (پرتﻪ ﻟﻪ صﻔره) ﻳﻮ جﻤﻌ‪ ３‬ﻣﻌکﻮس ﻟري‪ ،‬ﻫر ﻧسبتﻲ ﻋدد ﻫﻢ ﻳﻮ جﻤﻌﻲ‬ ‫ﻣﻌکﻮس ﻟري‪.‬‬ ‫د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ ساده کﻮل‪ ،‬ﻟکﻪ د ﻋام کسر پﻪ شان‪ ،‬کﻪ صﻮرت او ﻣخرج پر ﻳﻮه ﻋدد د و‪４‬ش وړ‬ ‫وي‪ ،‬ﻧﻮ پر ﻫﻐﻪ ﻋدد ﻳ‪ ３‬و‪４‬شﻮ‪ ،‬تر ﻫﻐ‪ ３‬چ‪ ３‬صﻮرت او ﻣخرج شرﻳک ﻗاسﻢ و ﻧﻪ ﻟري‪.‬‬ ‫پﻪ دوو ﻧسبت‪ ３‬ﻋددوﻧﻮ ک‪ ３‬ﻫﻐﻪ ﻋدد ﻟﻮى دى چ‪ ３‬د ﻋددوﻧﻮ پر ﻣحﻮر ﻧظر بﻞ ﻋدد تﻪ ＊ﻲ خﻮاتﻪ‬ ‫پروت وي‪ ،‬ﻟکﻪ چ‪ ３‬پﻪ تاﻣﻮ ﻋددو ک‪ ３‬ﻣﻮ ﻫﻢ وﻟﻴدل‪.‬‬ ‫د دوو ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ د پرتﻠﻪ کﻮﻟﻮ ﻟپاره چ‪ ３‬صﻮرتﻮﻧﻪ او ﻣخرجﻮﻧﻪ ﻳ‪ ３‬سره ﻣساوي ﻧﻪ وي‪ ،‬ﻟﻮﻣ‪７‬ى‬ ‫دا ﻋددوﻧﻪ باﻳد ﻫﻢ ﻣخرج ک‪７‬و او بﻴا ﻳ‪ ３‬سره پرتﻠﻪ ک‪７‬و‪.‬‬ ‫د دوو ﻳا ＇ﻮ ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ پﻪ جﻤع کﻮﻟﻮ ک‪ ３‬د ﻋام کسر دجﻤﻌ‪ ３‬پﻪ شان تر ！ﻮﻟﻮ کﻮچﻨﻰ ﻣشترک‬ ‫ﻣخرج پﻴدا کﻮو او صﻮرتﻮﻧﻪ ﻳ‪ ３‬د تاﻣﻮ ﻋددوﻧﻮ پﻪ شان جﻤع کﻮو‪.‬‬ ‫د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ د تﻔرﻳﻖ ﻋﻤﻠﻴﻪ دجﻤﻌ‪ ３‬د ﻋﻤﻠﻴ‪ ３‬پﻪ شان ده‪ ،‬ﻳﻮازې دا تﻮپﻴر ﻟري چ‪ ３‬د ﻣﻔروق‬ ‫ﻋﻼﻣﻪ بدﻟﻮن ﻣﻮﻣﻲ او بﻴا ﻧﻮر د جﻤﻌ‪ ３‬پﻪ شان ﻋﻤﻞ کﻮو‪.‬‬ ‫ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ ﻟکﻪ د تاﻣﻮ ﻋددوﻧﻮ پﻪ شان د ﻋددوﻧﻮ د ﻣحﻮر پﻪ ﻣرستﻪ ﻫﻢ جﻤع او ﻳا تﻔرﻳﻖ کﻮﻻى‬ ‫شﻮ‪.‬‬ ‫د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ د ضرب پﻪ ﻋﻤﻠﻴﻪ ک‪ ３‬صﻮرت پﻪ صﻮرت او ﻣخرج پﻪ ﻣخرج ک‪ ３‬ضربﻮو‪ ،‬خﻮ د‬ ‫و‪４‬ش پﻪ ﻋﻤﻠﻴﻪ ک‪ ３‬ﻟﻮﻣ‪７‬ى ﻣﻘسﻮم ﻋﻠﻴﻪ ﻣﻌکﻮس کﻮواو ﻧﻮر د ضرب پﻪ شان ﻋﻤﻞ سرتﻪ رسﻮو‪.‬‬

‫‪79‬‬

‫د ＇ﻠﻮرم ＇پرکﻰ پﻮ＊تﻨ‪３‬‬ ‫‪ -1‬ﻻﻧدې ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ د ﻋددوﻧﻮ پر ﻣحﻮر و＊ﻴئ‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪e‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪ -2‬د ﻋددوﻧﻮ پﻪ ﻻﻧدې ﻣحﻮر باﻧدې ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻪ چ‪ ３‬سره جﻤع شﻮي دي د ﻋددوﻧﻮ پﻪ ﻣرستﻪ‬ ‫ﻳ‪ ３‬وﻟﻴکئ‪.‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫—‪+‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -3‬د ﻟﻪ ﻧسبتﻲ ﻋدد ＇خﻪ د‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬ ‫—–‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬ ‫—–‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻧسبتﻲ ﻋدد تﻔرﻳﻖ او د ﻋددوﻧﻮ پر ﻣحﻮر ﻳ‪ ３‬و＊ﻴئ‪.‬‬

‫‪-4‬ﻻﻧدې ﻋﻤﻠﻴ‪ ３‬سرتﻪ ورسﻮئ‪:‬‬ ‫‪6 4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ -5‬د‬ ‫‪5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪5 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2 3‬‬

‫ﻧسبتﻲ ﻋدد پﻪ اﻋشاري ﻋدد تبدﻳﻞ د ﻣحﻮر پر ﻣخ ﻳ‪ ３‬و＊ﻴئ او ﻫﻢ د دې ﻋدد جﻤﻌ‪３‬‬

‫ﻣﻌکﻮس پﻪ اﻋشاري ډول وﻟﻴکئ‪.‬‬ ‫‪ -6‬ﻻﻧدې اﻋشاري ﻋددوﻧﻪ د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ پﻪ شکﻞ وﻟﻴکئ‪.‬‬ ‫‪1.23412‬‬

‫‪,‬‬

‫‪5.2345‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2.342‬‬

‫‪,‬‬

‫‪0.340‬‬

‫‪ -7‬د ‪ 3.234‬او ‪ 4.543‬دوه اﻋشاري ﻋددوﻧﻪ د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ پﻪ شکﻞ و＊ﻴئ‪.‬‬ ‫‪ -8‬د ‪ 1.25‬او ‪ 2.5‬اﻋشــاري ﻋددوﻧﻪ د ﻧســبتﻲ ﻋددوﻧﻮ پﻪ ډول و＊ﻴئ او ﻫﻢ جﻤﻌ‪ ３‬ﻣﻌکﻮسﻮﻧﻪ ﻳ‪３‬‬ ‫د ﻧسبتﻲ ﻋددوﻧﻮ پﻪ شکﻞ د ﻋددوﻧﻮ پر ﻣحﻮر و＊ﻴئ‪.‬‬

‫‪80‬‬

‫پن‪％‬م ＇پرکﻰ‬ ‫مثلثونه آو ＇و ضلعﻲ گان‪３‬‬ ‫(مضلع گان‪)３‬‬

‫مثلثونه زموږ په چاپيريال کې شته‪.‬‬

‫د ضلعو او زاوﻳو له پلوه د مثلث ډولونه‬ ‫په مخامخ شکل کې کوم هندسي شکلونه وينئ؟‬

‫مثلثونه د ضلعو د اوږدوالي له پلوه کوالى شو په درې ډولو وويشو‪:‬‬ ‫_ هغه مثلث چې درې واړه ضلعې يې سره مساوي وي‪ ،‬متساوي االضالع مثلث نوم‪８５‬ي‪ .‬په هر‬ ‫متساوي االضالع مثلث کې درې واړه زاويې هم سره مساوي دي‪.‬‬ ‫_ هغه مثلث چې دوه ضلعې يې سره مساوي وي‪ ،‬متساوي الساقين مثلث نوم‪８５‬ي‪ ،‬په متساوي‬ ‫الساقين مثلث کې له دواړو مساوي ضلعو څخه هرې يوې ضلعې ته د مثلث ساق او دريمې ضلعې ته‬ ‫يې قاعده وايې‪ ،‬په متساوي الساقين مثلث کې د ساقونو مجاورې زاويې سره مساوي وي‪.‬‬ ‫_ هغه مثلث چې د درې واړو ضلعو اوږدوالى يې سره توپير ولري‪ ،‬مختلف االضالع مثلث ور ته‬ ‫وايې‪.‬‬

‫)‪(a‬‬ ‫متساوي االضالع‬

‫)‪(b‬‬ ‫متساوي الساقين‬

‫)‪(c‬‬

‫مختلف االضالع‬

‫د زاوﻳو له پلوه د مثلث ډولونه‪:‬‬ ‫مثلثونه يې د زاويو له پلوه هم په دريوو ډولو ويشلي دي‪.‬‬ ‫_ هغه مثلث چې يوه زاويه يې قايمه وي‪ ،‬قايم الزاويه مثلث نوم‪８５‬ي‪.‬‬ ‫_ هغه مثلث چې يوه زاويه يې له قايمې زاويې څخه لويه وي‪ ،‬منفرج الزاويه مثلث نوم‪８５‬ي‪.‬‬ ‫_ هغه مثلث چې درې واړه زاويې يې له ‪ 90‬څخه کوچن‪ ９‬وي‪ ،‬حاده الزاويه مثلث نوم‪８５‬ي‪.‬‬

‫‪83‬‬

‫مثال‪ :‬له الندې مثلثونو څخه يې کوم يو حاده الزاويه‪ ،‬قايم الزاويه او منفرج الزاويه مثلث دى؟‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪C F‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪I‬‬

‫‪H‬‬

‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى د مثلثونو زاويې اندازه کوو‪:‬‬ ‫ د ‪ BAC‬مثلث چې يوه زاويه يې ‪ 90‬ده‪ ،‬قايم الزاويه مثلث دى‪.‬‬‫ د ‪ EGF‬مثلث چې يوه زاويه يې له ‪ 90‬څخه لويه ده‪ ،‬منفرج الزاويه مثلث دى‪.‬‬‫ د ‪ DHI‬مثلث چې ټولې زاويې له ‪ 90‬څخه کوچن‪ ９‬دي‪ ،‬حاده الزاويه مثلث دى‪.‬‬‫د زاويو له حيثه(پلوه) د مثلثونو په ډولونو د ويشلو لپاره قايمه زاويه معيار ټاکل ک‪８５‬ي‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬يو متساوي االضالع مثلث رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬چې هره ضلعه يې ‪ 4cm‬وي‪.‬‬ ‫‪ -2‬که د يو مثلث د ضلعو اوږدوالى ‪ 4cm ،5cm‬او ‪ 8cm‬وي‪ ،‬دا مثلث په کوم نوم ياد‪８４‬ي؟‬ ‫‪ -3‬يو مثلث رسم ک‪７‬ئ چې يوه ضلعه يې ‪ 3cm‬او د دې ضلعې هره مجاوره زاويه يې ‪ 60‬وي دا‬ ‫کوم ډول مثلث دى؟‬ ‫‪ -4‬هغه مثلث چې دوه ضلعې يې سره مساوي او ددې ضلعو تر منځ زاويه يې ‪ 90‬وي د ضلعو او‬ ‫زاويو له پلوه کوم ډول مثلث دى؟‬ ‫‪ -5‬يو داسې مثلث رسم ک‪７‬ئ چې يوه زاويه يې ‪ 120‬او د دې زاويې يوه مجاوره ضلعه ‪ 4cm‬وي‬ ‫په دې ډول څو نور مثلثونه رسموالى شئ‪.‬‬ ‫‪ -6‬يو منفرج الزاويه مثلث رسم ک‪７‬ئ چې منفرجه زاويه يې ‪ 100‬وي او د دې زاويې دوه مجاورې‬ ‫ضلعې ‪ 4cm‬او ‪ 6cm‬وي‪.‬‬

‫‪84‬‬

‫د ﻳو مثلث جگوالﻰ(ارتفاع)‪ ،‬مﻴانه‬ ‫او ناصف الزاوﻳﻪ‬ ‫ايا تراوسه مو کوښښ ک‪７‬ئ دى چې پر عمودا ً والړ‬ ‫پنسل کوم مثلث ډوله شى ودروئ؟‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪Δ‬‬

‫د ‪ ABC‬يو کيفي(اختياري) مثلث رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د دې مثلث درې واړه ارتفاع گانې رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ايا داسې نقطه(ټکى) پيدا کوالى شئ چې د مثلث درې واړه ارتفاع گانې په کې قطع شوي وي؟‬ ‫د دې مثلث درې واړه ميانې رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬ايا دا درې واړه ميانې په يوه ټکي کې يوه بله سره قطع‬ ‫کوي؟‬ ‫د دې مثلث درې واړه ناصف الزاويه رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬ايا درې واړه ناصف الزاويه هم په يوه ټکي کې‬ ‫سره قطع کوي؟‬ ‫پورتني فعاليتونه ښکاره کوي چې په يوه مثلث کې درې واړه ارتفاع گانې‪ ،‬درې واړه مياني او درې واړه‬ ‫ناصف الزاويه يو بل په يوه نقطه کې قطع کوي‪.‬‬

‫‪2 1‬‬

‫‪2‬‬

‫ميانه‬

‫‪85‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫ناصف الزاويه‬

‫‪1‬‬

‫ارتفاع‬

‫‪Δ‬‬

‫‪B‬‬

‫‪H‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د ‪ ABC‬منفرج الزاويه مثلث رسم ک‪７‬ئ او‬ ‫هغه ټکى پيدا ک‪７‬ئ چې درې واړه ارتفاع گانې يوه بله سره په کې ‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫قطع کوي‪.‬‬

‫‪D‬‬

‫حل‪ :‬څرنگه چې په يوه منفرج الزاويه مثلث کې ځينې ارتفاع‬

‫‪N‬‬

‫گانې له مثلث څخه د باندې پرتې دي‪ ،‬نو له همدې کبله د ارتفاع‬ ‫گانو د تقاطع ټکى هم له مثلث څخه د باندې پروت دى‪.‬‬

‫‪M‬‬

‫مﻴانه‪ :‬هغه قطعه خط دی چې د مثلث د ضلعې د تنصيف نقطه له مخامخ راس سره نښلوي‪.‬‬ ‫ارتفاع‪ :‬هغه قطعه خط دی چې د مثلث له راس څخه په مقابله ضلع عمود وي‪.‬‬ ‫ناصف الزاوﻳه‪ :‬هغه قطعه خط دی چې د مثلث زاويه نيمايي کوي‪.‬‬ ‫د يو مثلث ميانې‪ ،‬ارتفاعګانې او ناصف الزاويه درې واړه په يوه ټکې کې قطع کوي‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬يو قايم الزاويه مثلث رسم ک‪７‬ئ او د ميانو د تقاطع ټکى په کې وښيئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬د هغه مثلث ارتفاع گانې رسم ک‪７‬ئ چې ضلعې(څن‪６‬ې) يې ‪ 3cm , 5cm‬او ‪ 6cm‬وي‪.‬‬ ‫‪ -3‬يو متساوي الساقين مثلث رسم ک‪７‬ئ چې د هر ساق اوږدوالى يې ‪ 4cm‬او قاعده يې ‪ 6cm‬وي‬ ‫او د زاويو د ناصفونو د تقاطع ټکى يې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -4‬يو متساوي االضالع مثلث رسم ک‪７‬ئ ميانې‪ ،‬ارتفاع گانې او د زاويو ناصفونه يې په شکل کې‬ ‫وښيئ‪ ،‬څه پايله به پرالس راوړئ؟‬

‫‪86‬‬

‫د ﻳو مثلث خارجﻲ زاوﻳه او د‬ ‫مثلث د داخلﻲ زاوﻳو مجموعه‬ ‫ايا د ټولو مثلثونو د داخلي زاويو مجموعه سره‬ ‫مساوي ده؟‬

‫˚‪60‬‬ ‫˚‪60‬‬

‫˚‪60‬‬ ‫˚‪30‬‬

‫˚‪60‬‬

‫˚‪90‬‬

‫˚‪60˚ + 90˚ + 30˚ = 60˚ + 60˚ + 60‬‬

‫د هر مثلث د داخلي زاويو مجموعه ‪ 180o‬ده او د مثلث په ډول پورې اړه نه نلري‪.‬‬ ‫‪Δ‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د ‪ ABC‬د يو متساوي الساقين مثلث دريمه زاويه پيدا ک‪７‬ئ چې که له دوو مساوي‬ ‫زاويو څخه هر يوه يې ‪ 70o‬وي‪.‬‬ ‫حل‪ :‬څرنگه چې مثلث متساوي الساقين دى‪ ،‬د ساقونو مجاورې زاويې يې سره مساوي دي‪،‬‬ ‫نو‪:‬‬

‫‪B = C = 70o‬‬

‫څرنگه چې د مثلث د داخلي زاويو مجموعه ‪ 180o‬ده‪ ،‬نو ليکلى شو چې‪:‬‬ ‫‪, 140 o + A = 180 o‬‬

‫‪, 70 o + 70 o + A = 180 o‬‬

‫‪A + B+ C = 180 o‬‬

‫له دې ځايه معلوم‪８５‬ي چې ‪ A = 40o‬ده‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫يو قايمه زاويه مثلث رسم ک‪７‬ئ چې هره قايمه څن‪６‬ه يې ‪ 5cm‬وي‪ ،‬د دې مثلث دوې نورې زاويې‪،‬‬ ‫څو درجې دي؟ لوم‪７‬ى يې له اندازه کولو څخه پرته پيدا او بيا يې د نقالې په مرسته‪ ،‬اندازه پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د ﻳو مثلث خارجﻲ زاوﻳه‪ :‬يه هر مثلث کې هغې زاويې ته چې د مثلث د يوې ضلعې له امتداد‬ ‫څخه د مثلث د بلې ضلعې سره جوړ‪８４‬ي‪ ،‬د مثلث خارجي زاويه وايې او په يوه مثلث کې د هرې‬ ‫خارجي زاويې اندازه د مثلث د دوو نورو غيرو مجاورو داخلي زاويو له مجموعې سره مساوي ده‪.‬‬

‫‪87‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬په يو قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث کې غواړو چې هغه خارجي زاويه چې د‬ ‫وتر د امتداد له ورکولو څخه جوړ‪８４‬ي‪ ،‬اندازه ک‪７‬و‪ .‬ايا دا به توپير ولري چې وتر ته کومه خوا امتداد‬ ‫ورک‪７‬و؟‬ ‫حل‪ :‬څرنگه چې مثلث قايم الزاويه دى‪ ،‬نو يوه زاويه يې ‪ 90 o‬ده او هم‬ ‫څرنگه چې مثلث متساوي الساقين دى‪ ،‬نو هره يوه حاده الزاويه يې ‪45 o‬‬ ‫ده‪C2 = 90 o + 45 o = 135 o .‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C2 = A + B‬‬

‫څرنگه چې دواړه حاده زاويې سره مساوي دي‪:‬‬ ‫نو خارجي زاويې يې هم سره مساوي دي‪ .‬دا توپير نه لري چې خارجي‬

‫‪C‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪A‬‬

‫زاويه د وتر کومې خواته پرته ده‪.‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬د ‪ ABC‬په يوه مثلث کې که ‪ A = 50 o‬او ‪ B = 70 o‬وي د‪ C 2‬خارجي زاويه به‬ ‫څو درجې وي؟‬ ‫‪C2 = A + B = 50 o + 70 o = 120 o‬‬ ‫‪ -‬د هر مثلث د داخلي زاويو مجموعه ‪ 180o‬ده او د مثلث په ډول پورې اړه نه لري‪.‬‬

‫د يوه مثلث خارجي زاويه د مثلث د دوو داخلي غير مجاورو زاويو له مجموعې سره مساوي ده‪.‬‬ ‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬که په يوه متساوي الساقين مثلث کې د دوو ساقونو تر منځ زاويه ‪ 50 o‬وي‪ ،‬ددې مثلث له دوو نورو‬ ‫زاويو څخه يوه به يې څو درجې وي؟‬ ‫‪ -2‬په يوه متساوي االضالع مثلث کې هره زاويه څو درجې ده؟‬ ‫‪ -3‬د يوه متساوي االضالع مثلث خارجي زاويې په خپل منځ کې څه اړيکه لري؟‬ ‫‪ -4‬يو قايم الزاويه مثلث رسم ک‪７‬ئ چې ضلعې يې ‪ 4cm , 3cm‬او ‪ 5cm‬وي‪ ،‬بيا د دې مثلث د‬ ‫خارجي زاويو مجموعه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -5‬ايا د څو مثالونو په مرسته ښودالى شئ چې د مثلثونو د خارجي زاويو مجموعه ثابته ده؟‬ ‫‪ -6‬د يو مثلث د خارجي زاويو مجموعه د مثلث د داخلي زاويو د مجموعې څو چنده ده؟‬

‫‪88‬‬

‫مضلع گان‪ ３‬ﻳا ＇و ضلع‪３‬‬

‫په مخامخ شکل کې څه ډوله مضلع گانې‬ ‫وينئ؟‬

‫فعالﻴت‬ ‫الندې جدول ته وگورئ او د ستونونو شکلونه سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫منظمې څو ضلعي(مضلعې گانې)‬

‫څو ضلعي دي‬

‫څو ضلعي نه دي‬

‫د لوم‪７‬ي او دويم ستون شکلونه له کيڼې څخه ښي خواته سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫په کوم حالت کې يو شکل مضلع او په کوم حالت کې يو شکل مضلع نه ده؟‬ ‫د يوې منظمې مضلعې زاويې اندازه ک‪７‬ئ او ووايئ چې په خپل منځ کې څه اړيکه لري؟‬ ‫ايا دا خصوصيت په ټولو مضلع گانو کې شته؟‬ ‫له پورتني فعاليت څخه څرگند‪８４‬ي چې مضلع يو ت‪７‬لى منکسر خط دى چې يوازې يوه ت‪７‬لې ناحيه‬ ‫ولري‪.‬‬

‫‪89‬‬

‫که د يوې مضلع زاويې او ضلعې سره مساوي وي‪ ،‬منظمه مضلع ورته وايي‪ ،‬هغه مضلع چې زاويې او‬ ‫ضلعې يې سره مساوي نه وي‪ ،‬د غير منظمې مضلع په نامه ياد‪８４‬ي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬له الندې شکلونو څخه کوم يو‪ ،‬يې څو ضلعي(مضلع) ده؟‬

‫)‪(c‬‬

‫)‪(f‬‬

‫)‪(b‬‬

‫)‪(e‬‬

‫)‪(a‬‬

‫)‪(d‬‬

‫حل‪ :‬د (‪ )a‬شکل يو ت‪７‬لى شکل نه دى‪ ،‬نو يوه مضلع هم نه ده‪.‬‬ ‫د (‪ )b‬يو ت‪７‬لی شکل دی خو منکسر خط نه دى‪ ،‬نو يوه مضلع نه ده‪.‬‬ ‫د (‪ )c‬شکل يو ت‪７‬لى منکسر خط دى‪ ،‬نو يوه مضلع ده‪.‬‬ ‫د (‪ )d‬شکل يو ت‪７‬لى منکسر خط دى‪ ،‬نو يوه مضلع(څو ضلعي) ده‪.‬‬ ‫د (‪ )e‬شکل يو ت‪７‬لى منکسر خط دى‪ ،‬نو يوه مضلع(څو ضلعي) ده‪.‬‬ ‫د (‪ )f‬شکل يو ت‪７‬لى منکسر خط دى اوپه ټولو پورتنيو شکلونو کې يوازينى شکل دى چې ضلعې‬ ‫يې سره مساوي دي‪ ،‬نو يوه منظمه مضلع ده او نورې پورتن‪ ９‬مضلع گانې‪ ،‬د غير منظمو مضلع گانو‬ ‫په نامه ياد‪８４‬ي‪.‬‬ ‫مضلع(څوضلعي) يوه ت‪７‬لې ناحيه ده چې د څو قطعه خطونو له تقاطع څخه جوړ‪８４‬ي‪ ،‬چې هيڅ دوه‬ ‫قطعه خطونه ديو مستقيم خط په امتداد نه وي او د مضلعې هر رآس يوازې او يوازې د دوو قطعه‬ ‫خطونو د تقاطع ټکى وي‪.‬‬ ‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬ټول هغه شکلونه چې تر اوسه يې پيژنئ د څو ضلعي ګانو نومونه يې واخلئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬هغه څو ضلعي گانې چې تر اوسه يې پ‪５‬ژنئ کومې يې منظمې څو ضلعي گانې دي‪ ،‬نومونه يې واخلئ؟‬ ‫‪ -3‬ايا مستطيل‪ ،‬ذوزنقه او معين منظمې مضلعې گانې(څو ضلعي گانې) دي؟ ولې؟‬ ‫‪ -4‬ايا يو قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث يوه منظمه څو ضلعې ده؟ ولې؟‬ ‫‪ -5‬ايا يو متساوي االضالع مثلث يوه منظمه مضلع ده؟ ولې؟‬ ‫‪ -6‬که درې شکلونه يو مستطيل‪ ،‬يوه دايره او يوه مربع په پام کې ونيسو‪ ،‬کوم يو له دې شکلونو څخه‬ ‫مضلع نه ده‪ ،‬کوم يو يې منظمه مضلع او کومه يو يې غير منظمه مضلع ده؟‬

‫‪90‬‬

‫د ﻳوې مضلع د داخلﻲ زاوﻳو مجموعه‬ ‫د مخامخ مضلع گانو د داخلي زاويو مجموعه‬ ‫څو درجې ده؟‬

‫‪90º‬‬

‫‪90º‬‬

‫‪90º‬‬

‫‪90º‬‬

‫? = ‪90º + 90º + 90º + 90º‬‬ ‫‪108º‬‬ ‫‪108º‬‬

‫‪108º‬‬

‫‪108º 108º‬‬

‫? = ‪108º + 108º + 108º + 108º + 108º‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫په الندې شکلونو کې هرې ضلعې ته امتداد ورک‪７‬ئ‪.‬‬

‫)‪(e‬‬

‫)‪(d‬‬

‫)‪(c‬‬

‫)‪(b‬‬

‫)‪(a‬‬

‫د (‪ )e‬او (‪ )a‬شکلونه د (‪ )d( ،)b‬او (‪ )c‬له شکلونو سره څه توپير لري؟‬ ‫له پورته فعاليت څخه نتيجه په الس راځي چې د ځينو مضلع گانو د ځينو ضلعو امتداد د څو ضلعي‬ ‫گانو له منځه تير‪８４‬ي‪ ،‬چې داسې څو ضلعي ته مقعره څو ضلعي وايي‪ .‬هغه مضلع گانې چې د ضلعو‬ ‫امتداد يې د مضلع له منځ څخه نه تيري‪８‬ي محدبه مضلع بلل ک‪８５‬ي‪ ،‬پاتې دې نه وي‪ ،‬که د مضلع له نوم‬ ‫سره د مقعرې او محدبې نوم ونه ويل شي‪ ،‬موخه(هدف) ترې محدبه مضلع ده‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫د ‪ ABCD‬څلور ضلعي په پام کې ونيسئ‪.‬‬ ‫د دې څلور ضلعي داخلي زاويې د نقالې په مرسته اندازه ک‪７‬ئ او د زاويو مجموعه يې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د څلور ضلعي يو قطر رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬دا قطر څلور ضلعي په څو مثلثونو ويشي؟‬ ‫د داخلي زاويو مجموعه د نقالې له مرستې پرته پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪91‬‬

‫که د دې قطر پر ځاى مو د څلور ضلعي بل قطر رسم ک‪７‬ى‬ ‫واى آيا په نتيجه کې به توپير راغلى واى؟‬ ‫يوه پنځه ضلعي رسم ک‪７‬ئ او د دې پنځه ضلعي له يوه‬ ‫رآس نه دوه اختياري(کيفي) قطرونه رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬د پنځه‬ ‫ضلعي د داخلي زاويو مجموعه پيدا ک‪７‬ئ؟‬ ‫يوه شپ‪ ８‬ضلعي رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬فکر وک‪７‬ئ چې له يوه راس‬ ‫څخه څو قطرونه بايد رسم ک‪７‬و‪ ،‬تر څو د شپ‪ ８‬ضلعي د‬ ‫داخلي زاويو مجموعه پيدا ک‪７‬و‪.‬‬ ‫مخامخ جدول په خپلو کتابچو کې وليکئ او ډک يې‬ ‫ک‪７‬ئ‪ ،‬د ضلعو د هر شم‪５‬ر په مقابل کې کوم عدد په ‪180 o‬‬ ‫کې ضربي‪８‬ي‪ ،‬دا عدد د څو ضلعې د ضلعو له شم‪５‬ر سره‬ ‫څه اړيکه لري؟‬

‫د داخلي زاويو مجموعه‬

‫د ضلعو شم‪５‬ر‬

‫˚‪1 × 180‬‬

‫‪3‬‬

‫˚‪2 × 180‬‬

‫‪4‬‬

‫˚‪3 × 180‬‬

‫‪5‬‬

‫˚‪4 × 180‬‬

‫‪6‬‬

‫·‬

‫·‬

‫·‬

‫·‬

‫·‬

‫·‬

‫ايا اټکلوالى شئ چې د يوې اته ضلعي د داخلي زاويو مجموعه څو درجې ده؟‬ ‫د ‪ n‬ضلعي د داخلي زاويو مجموعه څومره ده؟‬ ‫له پورتني فعاليت څخه څرگندي‪８‬ي چې ‪ S = (n 2)180 o‬ده چې دلته ‪ S‬د داخلي زاويو مجموعه‬ ‫او ‪ n‬د مضلع د ضلعو شم‪５‬ر ښکاره کوي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د يوې لس ضلعي د داخلي زاويو مجموعه څو درجې ده؟ او هم وښيئ چې د يوې قايمې‬ ‫زاويې څو برابره ک‪８５‬ي؟‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪S = (n 2) ×180 = (10 2) ×180 = 8 ×180 = 1440‬‬ ‫د يوې لس ضلعي د داخلي زاويو مجموعه د يوې قايمې زاويې له (‪)16‬چنده سره برابره ده‪.‬‬ ‫د يوې مضلع د داخلي زاويو مجموعه د مضلع د ضلعو په شم‪５‬ر پورې اړه لري‪.‬‬ ‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬په الندې مضلع گانو کې محدبې او مقعرې مضلع گانې وښيئ؟‬

‫)‪(d‬‬

‫)‪(c‬‬

‫)‪(b‬‬

‫)‪(a‬‬

‫‪ -2‬د يوې دولس ضلعي د داخلي زاويو مجموعه پيدا ک‪７‬ئ؟‬ ‫‪ -3‬د يوې اته ضلعي د داخلي زاويو مجموعه‪ ،‬د يوې قايمې زاويې څو برابره ک‪８５‬ي؟‬ ‫‪ -4‬د يو مثلث‪ ،‬يوې مربع‪ ،‬يو مستطيل او يوې شل ضلعي د داخلي زاويو مجموعه د پورتني فورمول‬ ‫له مخې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪92‬‬

‫د ﻳــوې مضلع(＇و ضلعﻲ) د‬ ‫خارجﻲ زاوﻳو مجموعه‬ ‫‪72º‬‬

‫ايــا کــوالى شــئ چــې ووايــئ د يــوې‬ ‫مضلع(څوضلعــي) د خارجــي زاويو مجموعه‬ ‫څو درجې ده؟‬

‫‪72º‬‬

‫‪72º‬‬ ‫‪72º‬‬ ‫‪72º‬‬ ‫? = ‪72º + 72º + 72º + 72º + 72º‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪Δ‬‬

‫‪A‬‬

‫د ‪ ABC‬يو مثلث په پام کې ونيسئ‪.‬‬ ‫د ‪ AB‬ضلعي ته له ‪ A‬څخه ‪ B‬ته امتداد ورک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د ‪ BC‬ضلعې ته له ‪ B‬څخه ‪ C‬ته امتداد ورک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د ‪ AC‬ضلعې ته له ‪ C‬څخه ‪ A‬ته امتداد ورک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د دې مثلث درې خارجي زاويې وښيئ او نوم پرې ک‪８５‬دئ‪.‬‬ ‫الندې جدول په خپلو کتابچو کې وليکئ او ډک يې ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫‪C‬‬

‫د داخلي زاويو‬ ‫مجموعه‬

‫د خارجي زاويو‬ ‫د داخلي او خارجي‬ ‫مجموعه‬ ‫زاويو مجموعه‬ ‫? = ‪............. × 180o = ? ........................... .......... .........‬‬ ‫? = ‪........................... .......... .........‬‬

‫? = ‪............. × 180o‬‬

‫? = ‪........................... .......... .........‬‬

‫? = ‪............. × 180‬‬

‫? = ‪........................... .......... .........‬‬

‫? = ‪............. × 180‬‬

‫‪...‬‬

‫‪...‬‬

‫‪B‬‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪...‬‬

‫مضلع گانې‬ ‫درې ضلعي‬ ‫څلور ضلعي‬ ‫پنځه ضلعي‬ ‫شپ‪ ８‬ضلعي‬ ‫‪...‬‬

‫يوه څلور ضلعي رسم او خارجي زاويې يې وښيئ‪:‬‬ ‫يوه پنځه ضلعي رسم او خارجي زاويې يې وښيئ‪:‬‬ ‫‪o‬‬ ‫پورتنى فعاليت ښکاره کوي چې د يوې مضلع د خارجي زاويو مجموعه ‪ 360‬ده او د ضلعوپه‬ ‫شم‪５‬ر پورې اړه نلري‪.‬‬

‫‪93‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د يوې مربع د خارجي زاويو مجموعه لوم‪７‬ى د شکل له‬ ‫مخې او بيا يې د فورمول له مخې پيدا او سره پرتله يې ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬څرنگه چې پوه‪８５‬و د يوه مستقيم خط يوې خوا ته د زاويو مجموعه‬ ‫‪ 180 o‬ده‪.‬‬ ‫‪B1 + B 2 = 90 o + 90 o = 180 o‬‬

‫‪A1 + A 2 = 90 o + 90 o = 180 o‬‬

‫‪D1 + D 2 = 90 o + 90 o = 180 o‬‬

‫‪C1 + C 2 = 90 o + 90 o = 180 o‬‬

‫نو د مربع د خارجي زاويو مجموعه مساوي ده په‪:‬‬

‫‪A 2‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2 C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A 2 + B 2 + C 2 + D 2 = 90 o + 90 o + 90 o + 90 o = 360 o‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬د يو قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث د خارجي زاويو مجموعه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪Δ‬‬

‫حل‪ :‬د ‪ ABC‬يو قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬ضلعو ته يې‬ ‫امتداد ورک‪７‬ئ‪ ،‬تر څو خارجي زاويې يې جوړې شي‪ ،‬ليدل ک‪８５‬ي چې‪:‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪45°‬‬

‫‪A 2 =180o 45o = 135o‬‬ ‫‪B2 = 180o 90o = 90o‬‬ ‫‪C2 = 180o 45o = 135o‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪45°‬‬

‫‪90°‬‬ ‫‪2‬‬

‫نو د مثلث خارجي زاويو مجموعه مساوي ده په‪:‬‬ ‫‪A 2 + B2 + C2 =135o + 90o + 135o = 360o‬‬ ‫د يوې مضلع د خارجي زاويو مجموعه ‪ 360 o‬ده او د مضلع د ضلعو په شم‪５‬ر پورې اړه نه لري‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬د يو متساوي االضالع مثلث د خار جي زاويو مجموعه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬که په يوه متساوي الساقين مثلث کې د دوو ساقونو تر منځ زاويه ‪ 80 o‬وي د دې مثلث د خارجي‬ ‫زاويو مجموعه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬د يوې منظمې لس ضلعي د خارجي زاويو مجموعه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -4‬د مستطيل هره خارجي زاويه څو درجې ده؟ د خارجي زاويو مجموعه يې په الس راوړئ‪.‬‬

‫‪94‬‬

‫‪B‬‬

‫انطباق منوونکﻰ شکلونه‬ ‫لکه څنگه چې پوه‪８５‬ئ‪ ،‬زيات قلفونه دوې يا درې‬ ‫کلي گانې لري‪ .‬ولې؟ دا کلي گانې په خپل منځ‬ ‫کې څه اړيکه لري چې قلف پرې خالص‪８５‬ي‪ ،‬ايا‬ ‫په الندې ځوابونو کې سم ځواب شته؟‬ ‫الف) ځکه چې دا کلي گانې يو رنگ لري‪.‬‬ ‫ب) ځکه چې د دې کلي گانو اوږدوالى يو شى‬ ‫دی‪.‬‬ ‫پ) ځکه چې يو شان غاښونه لري‪.‬‬ ‫ت) ځکه چې د دې کلي گانو پن‪６‬والى برابر دى‪.‬‬ ‫ج) د ب‪ ،‬پ او ت ځوابونه سم دي‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫د کاغذ پر مخ يوه داسې مربع رسم ک‪７‬ئ چې هره ضلع يې ‪ 4cm‬وي‪ ،‬الف ورته ووايي‪.‬‬ ‫د کاغذ پر مخ يوه داسې مربع رسم ک‪７‬ئ چې هره ضلع يې ‪ 6cm‬وي‪( ،‬ب) ورته ووايي‪.‬‬ ‫د کاغذ پر مخ يوه داسې مربع رسم ک‪７‬ئ چې هره ضلع يې ‪ 4cm‬وي‪( ،‬پ) ورته ووايي‪.‬‬ ‫دا مربع گانې د قيچي په مرسته جال ک‪７‬ئ او دوې په دوې يې يو پر بل ک‪８５‬دئ اوسره پرتله يې ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د دوې انطباق منوونکو شکلو تر منځ د‬

‫عالمه کارول ک‪８５‬ي‪.‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬په الندې شکلونو کې انطباق منوونکي شکلونه وښيئ(اړونده عددونه په سانتي متر‬ ‫سره د شکلونو د ضلعو اوږدوالى ښکاره کوي)‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫حل‪ :‬د ‪ a‬او ‪ c‬جوړه شکلونه يو له بل‬ ‫سره انطباق منوونکي دي‪ ،‬ليکن د ‪b‬‬ ‫شکلونه يو له بل سره انطباق منوونکي‬ ‫نه دي‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫(‪)a‬‬

‫(‪)b‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫(‪)c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬يو اختياري مستطيل رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬څرنگه کوالى شو‪ ،‬چې يو بل داسې مستطيل رسم‬ ‫ک‪７‬و چې له لوم‪７‬ي مستطيل سره منطبق وي‪ .‬دا کار څنگه سرته رسوالى شئ‪.‬‬

‫‪95‬‬

‫حل‪ :‬په دوه ډوله دا کار سرته رسوو‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ -1‬د ‪ ABCD‬يو مستطيل په تيز رنگ سره رسموو‪ ،‬بيا يو نرۍ‬ ‫کاغذ ددې مستطيل پر مخ ږدو‪ ،‬د کاغذ پر مخ پنسل پرې گرځوو‬

‫اود کاغذ پر مخ بل مستطيل رسموو‪ ،‬اوس نو دا دواړه شکلونه يو ‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪F‬‬

‫‪E‬‬

‫له بله سره منطبق دي‪.‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ -2‬څرنگه چې پوه‪８５‬و‪ ،‬د مستطيل هره زاويه ‪ 90‬ده‪ ،‬نو د شکل‬ ‫مطابق د ‪ E‬قايمه زاويه رسموو او د لوم‪７‬ي مستطيل د دوو مجاورو‬

‫ضلعو لکه د ‪ AB‬او ‪ AD‬پﻪ اﻧﺪازه ﻋﻤﻮدوﻧﻪ جﻼ ﻛﻮو او د ‪G‬‬

‫‪H‬‬

‫‪ EF‬او ‪ EH‬ضلعې په الس راوړو‪ ،‬بيا د پرکار په مرسته د ‪FG‬‬

‫ضلع د ‪ BC‬په اندازه او د ‪ HG‬ضلع د ‪ DC‬په اندازه رسموو‪ ،‬اوس نو د ‪ EFGH‬مستطيل د‬ ‫‪ ABCD‬له مستطيل سره انطباق منوونکي دي‪.‬‬ ‫دوه شکلونه چې پوره يو پر بل منطبق وي‪ ،‬په دې معنا چې يو بل وپوښيي‪ ،‬انطباق منوونکي شکلونه‬ ‫ورته وايې‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬دوې انطباق منوونکي مربع گانې رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬دوې لوزي گانې راک‪７‬ل شوي دي‪ ،‬څرنگه پوه‪５‬داى شو‪ ،‬چې دواړه انطباق منوونکي دي؟‬ ‫‪ -3‬دوې انطباق منوونکي مثلثونه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -4‬يوه دايره چې ‪ 4cm‬شعاع لري رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬يوه بله داسې دايره رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬چې له لوم‪７‬ۍ دايرې‬ ‫سره منطبق وي‪.‬‬

‫‪96‬‬

‫د مثلثونو د انطباق منن‪ ３‬حالتونه‬

‫د دې لپاره چې ووينو ايا په شکل کې دا دواړه‬ ‫باغچې سره انطباق منوونکي دي او که نه؟‬ ‫ايا کوالى شو چې يو شکل راواخلو او پر بل يې‬ ‫ک‪８５‬دو؟‬

‫‪ -1‬که د يوه مثلث دوې ضلعې او د منځ زاويه د بل مثلث له دوې ضلعو او د منځ له زاويې سره مساوي‬ ‫وي‪ ،‬دا مثلثونه انطباق منوونکي دي‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ی مثال‪ :‬په الندې شکل کې ‪ AB = BC‬او ‪ BH‬د ‪ ABC‬د زاويې ناصف الزاويه دى‪،‬‬ ‫ثبوت ک‪７‬ئ چې د ‪ ABH‬او ‪ BCH‬دوه مثلثونه انطباق منوونکي دي( ‪HBC‬‬

‫حل‪ :‬د ‪ ABH‬او ‪ BCH‬په مثلثونو کې‪( B1 = B 2 :‬ځکه چې د ‪B‬‬

‫زاويه نيمايې شوې ده) ‪ BA = BC‬دى چې په مثال کې راک‪７‬ل شوى دى‪.‬‬ ‫او ‪( BH = BH‬مشترکه ضلعه) له دې ځايه څرگند‪８４‬ي چې د ‪ ABH‬او‬ ‫‪ BCH‬په دوو مثلثونو کې دوې ضلعې او د منځ زاويې سره مساوي دى‪C ،‬‬ ‫‪C‬‬

‫نو دا دواړه مثلثونه انطباق منوونکي دي‪.‬‬

‫که د يوه مثلث دوې زاويې او د منځ ضلع يې د بل مثلث‬ ‫له دوو زاويو او د منځ له ضلعې سره مساوي وي‪ ،‬دا دواړه ‪C′‬‬ ‫مثلثونه انطباق منونکي دي‪.‬‬ ‫لکه څنگه چې په مخامخ شکل کې لرو چې‪:‬‬

‫‪Δ‬‬

‫‪Δ‬‬

‫نو د ‪ ABC‬او '‪ A' B' C‬مثلثونه سره انطباق منوونکي دي‪.‬‬

‫‪97‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪H‬‬

‫‪BA‬‬

‫‪A′‬‬

‫‪ -2‬د دوو مثلثونو د انطباق منن‪ ３‬حالت‪ ،‬د دوو‬ ‫زاوﻳو او ددې زاوﻳو د من‪ ＃‬ضلع‪ ３‬له مخ‪３‬‬

‫'‪AB = A' B' , A = A' , B = B‬‬

‫‪) ABH‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ -3‬د مثلثونو انطباق پذﻳري د درو مساوي ضلعو له پلوه‬ ‫که د يوه مثلث درې واړه ضلعې د بل مثلث له درو ضلعو سره مساوي وي‪ ،‬دا مثلثونه انطباق منوونکي‬ ‫دي‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C′‬‬ ‫د مثال په ډول په دې دوو مثلثونو کې لرو‬ ‫چې‪:‬‬ ‫'‪AB = A' B‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪B′‬‬

‫'‪AC = A' C‬‬ ‫'‪BC = B' C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A′‬‬

‫څرنگه چې د دې مثلثونو درې واړه ضلعې يو له بله سره مساوي دي‪ ،‬نو دا دواړه مثلثونه سره انطباق‬ ‫منوونکي دي‪.‬‬ ‫‪ABC‬‬

‫‪ABC‬‬

‫که په دوو مثلثونو کې دوې زاويې او دمنځ ضلعي سره مساوي وي‪ ،‬دا مثلثونه سره انطباق منوونکي‬ ‫دي‪.‬‬ ‫که چيرې د يوه مثلث درې ضلعې د بل مثلث له درو ضلعو سره برابرې وي‪ ،‬دا دواړه مثلثونه سره‬ ‫انطباق منوونکي دي‪.‬‬ ‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪ -1‬په مخامخ شکل کې ‪ AE = BD‬دى او يو بل د تنصيف‬ ‫په ټکى(‪ )C‬کې قطع کوي او هم د ‪ AE‬او ‪ BD‬دوه خطونه‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫يو پر بل عمود دي‪ ،‬ثبوت ک‪７‬ئ‪،‬‬ ‫چې ‪ ABC CDE‬دي؟‬

‫‪E‬‬

‫‪ -2‬دوه قايم الزاويه متساوي الساقين مثلثونه کوم بل شرط ولري‬ ‫تر څو انطباق منوونکي وي‪.‬‬ ‫‪-3‬د مخامخ شکل په شان د ‪ ABC‬يو مثلث راک‪ ７‬شوى دى‪ ،‬بل يو داسې مثلث رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬چې له‬ ‫دې مثلث سره انطباق منوونکي وي‬ ‫‪A‬‬ ‫‪Δ‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪98‬‬

‫د دوو قاﻳــم الزاوﻳــه مثلثونو د انطباق‬ ‫منن‪ ３‬حالتونه‬ ‫لــه دريــو حالتونــو څخــه ســرب‪５‬ره چــې د دوو‬ ‫مســاوي(انطباق منوونکو) مثلثونو په برخه کې مو‬ ‫ولوستل‪ ،‬ايا د قايم الزاويه مثلثونو په برخه کې کوم‬ ‫بل حالت هم شته؟‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A′‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C′‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪AB = A′B′‬‬ ‫^ ^‬ ‫‪B = B′‬‬

‫لوم‪７‬ى ‪ :‬که چيرې د يوه قايم الزاويه مثلث وتر او يوه حاده زاويه د بل مثلث له وتر او حاده زاويې سره‬ ‫مساوي وي‪ ،‬دا دواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي؟‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬دوه قايم الزاويه مثلثونه چې وتر يې ‪ 5cm‬او هره يوه حاده زاويه يې ‪ 60 o‬وي‪ ،‬رسم‬ ‫ک‪７‬ئ‪ ،‬ايا دا دواړه مثلثونه انطباق منوونکي دي؟‬ ‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى‪ ،‬د ‪ 60o‬زاويه رسموو چې يوه ضلع يې‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 5cm‬وي د دې ضلعې له انجام څخه پر بله ضلعه‬ ‫يو عمود رسم ک‪７‬ئ او په همدې ډول دويم مثلث هم‬ ‫‪5cm‬‬ ‫‪5cm‬‬ ‫رسموو‪ ،‬څرنگه چې د دې قايمه الزاويه مثلثونو وتر‬ ‫‪60°‬‬ ‫‪60°‬‬ ‫‪C B‬‬ ‫او يوه حاده زاويه سره مساوي دي‪ ،‬دا مثلثونه انطباق ‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫منوونکي دي‪.‬‬ ‫ليدل ک‪８５‬ي چې په قايم الزاويه مثلثونو کې د انطباق مننې لپاره د يوې حاده زاويې او وتر مساوي کيدل‬ ‫کفايت کوي‪.‬‬ ‫دوﻳم‪ :‬که د يوه قايم الزاويه مثلث وتر او يوه قايمه ضلعه د بل قايم الزاويه مثلث له وتر او يوې قايمې‬ ‫ضلعې سره مساوي وي‪ ،‬دا دواړه مثلثونه انطباق منوونکي دي‪.‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬دوه داسې قايم الزاويه مثلثونه چې د هر يوه وتر ‪ 5cm‬او يوه قايمه ضلع يې ‪ 4cm‬وي‬ ‫څرنگه رسموئ‪ ،‬ايا دا دواړه مثلثونه انطباق منوونکي‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫دي؟‬ ‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى راک‪７‬ل شوې قايمه ضلعه رسموو چې په‬ ‫‪5cm‬‬ ‫‪5cm‬‬ ‫‪4cm‬‬ ‫‪4cm‬‬ ‫يو انجام کې يې قايمه زاويه او د دې قايمې ضلعې بل‬ ‫‪60°‬‬ ‫‪60°‬‬ ‫‪C B‬‬ ‫انجام مرکز نيسو او د وتر د اوږدوالې په شعاع يو قوس ‪C‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪99‬‬

‫وهو په هر ټکي کې چې قوس د قايمې زاويې بله قايمه ضلع قطع ک‪７‬ي‪ ،‬د تقاطع ټکى د راک‪７‬ل شوې‬ ‫قايمې ضلعې سره وصلوو او په همدې ډول يو بل قايم الزاويه مثلث رسموو‪ ،‬چې د يوه مثلث وتر او‬ ‫يوه قايمه ضلع د بل مثلث له وتر او قايمې ضلعې سره مساوي وي‪ ،‬نو دا دواړه مثلثونه سره انطباق‬ ‫منوونکي دي‪.‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬په الندې شکل کې د مستطيل قطر رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬ثبوت ک‪７‬ئ‪ ،‬چې ‪ ABD‬او ‪ CBD‬دوه‬ ‫انطباق منوونکي مثلثونه دي‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د مستطيل د الندې شکل له مخې لرو چې‪ AB = DC :‬او ‪ ، BD = BD‬نو د ‪ ABD‬او‬ ‫‪ CBD‬دواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي‪ ،‬چې وتر او يوه قايمه ضلعه يې سره مساوي ده‪.‬‬ ‫همدارنگه د دې دوو مثلثونو انطباق مننه له دوو ضلعو او ددې ضلعو تر منځ زاويې له حالته هم څي‪７‬لى‬ ‫شو‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫(دوه ضلعې او د منځ زاويې يې سره مساوي دي)‪.‬‬ ‫‪AB = DC‬‬ ‫‪AD = BC‬‬ ‫‪A=C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫نو‬ ‫له دې ځايه نتيجه اخيستل ک‪８５‬ي‪:‬‬ ‫په قايم الزاويه مثلثونو کې د انطباق مننې له دريو حالتونو سرب‪５‬ره لرو چې‪:‬‬ ‫‪ -1‬که د يوه قايم الزاويه مثلث وتر او يوه حاده زاويه د بل قايم الزاويه مثلث له وتر او يوې حاده زاويې‬ ‫سره مساوي وي‪ ،‬دا دواړه مثلثونه انطباق منوونکي دي‪.‬‬ ‫‪ -2‬که د يوه قايم الزاويه مثلث وتر او يوه قايمه ضلعه د بل قايم الزاويه مثلث له وتر او يوې قايمې ضلعې‬ ‫سره مساوي وي‪ ،‬دا دواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي‪.‬‬ ‫‪DBC‬‬

‫‪ABD‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬دوه داسې قايم الزاويه مثلثونه چې د هر يوه وتر ‪ 6cm‬او يوه حاده زاويه يې ‪ 60 o‬وي‪ ،‬په پام کې‬ ‫ونيسئ‪ ،‬څرنگه ثبوتوالى شئ چې دا دواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي‬ ‫‪B‬‬ ‫دي‪.‬‬ ‫‪ -2‬په مخامخ شکل کې ‪ AC‬د دايرې قطر دى که د ‪ ABC‬او‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ ADC‬په قايم الزاويه مثلثونو کې ‪ BC = CD‬وي‪ ،‬ايا دا دواړه مثلثونه‬ ‫سره انطباق منوونکي دي؟ ولې؟‬

‫‪D‬‬

‫‪100‬‬

‫د پن‪％‬م ＇پرکﻰ لن‪６‬ﻳز‬ ‫د اضالعو له پلوه مثلثونه په دريو ډولو ويشل شوي دي‪.‬‬ ‫متساوي االضالع مثلث‪ ،‬متساوي الساقين مثلث او مختلف االضالع مثلث‪.‬‬ ‫د زاويو له حيثه هم مثلثونه په دريو ډولو ويشل شوي دي‪.‬‬ ‫حاده الزاويه مثلث‪ ،‬قايم الزاويه مثلث او منفرجه الزاويه مثلث‪.‬‬ ‫په هر مثلث کې ميانې‪ ،‬ناصف الزاويه او ارتفاع گانې په ترتيب سره په يوه ټکي کې سره قطع‬ ‫کوي‪.‬‬ ‫د هر مثلث د داخلي زاويو مجموعه ‪ 180 o‬ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫د يوه مثلث خارجي زاويه د مثلث د دوو غير مجاورو داخلي زاويو له مجموعې سره مساوي ده‪.‬‬ ‫په متساوي الساقين مثلث کې د مساوي ساقونو مخامخ زاويې سره مساوي دي‪.‬‬ ‫يو څوضلعي له هغه منکسر خط څخه عبارت ده‪ ،‬چې يوازې يوه ت‪７‬لي ناحيه جوړه ک‪７‬ي‪ ،‬هيڅ دوه‬ ‫قطعه خطونه يې د يوه مستقيم خط په امتداد نه وي او د مضلع هر رآس يوازې او يوازې د دوو قطعه‬ ‫خطونو د تقاطع ټکي وي‪.‬‬ ‫په ځينو څو ضلعي گانو کې د يوې يا څو ضلعو امتداد د څو ضلعي له داخل څخه تير‪８４‬ي چې‬ ‫داسې څو ضلعي ته مقعره څو ضلعي وايي او هغه څو ضلعي چې دضلعو امتداد يې د څو ضلعي له‬ ‫داخل څخه نه تير‪８４‬ي‪ ،‬محدبه څو ضلعي نوم‪８５‬ي‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫د هغې مضلعې د داخلي زاويو مجموعه چې(‪ )n‬ضلعې ولري مساوي ده په‪(n 2)180 :‬‬ ‫د هرې څو ضلعي د خارجي زاويو مجموعه ‪ 360 o‬ده او د ضلعو په شم‪５‬ر پورې اړه نه لري‪.‬‬ ‫دوه شکلونه چې په پوره ډول يو پر بل منطبق شي او يو بل وپوښيي‪ ،‬انطباق منوونکي شکلونه ورته‬ ‫وايي‪.‬‬ ‫که د يو مثلث دوې ضلعې او د دې ضلعو د منځ زاويه د بل مثلث له دوو ضلعو او د منځ له زاويې‬ ‫سره مساوي وي‪ ،‬دا دواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي‪.‬‬ ‫که د يوه مثلث دوې زاويې او د دې زاويو تر منځ ضلعه دبل مثلث د دوو زاويو او له منځ ضلعې‬ ‫سره مساوي وي‪ ،‬دا دواړه مثلثونه انطباق منوونکي دي‪.‬‬ ‫که د يوه مثلث درې واړه ضلعې دوه په دوه د بل مثلث د درې واړه ضلعو سره مساوي وي‪ ،‬دا مثلثونه‬ ‫سره مساوي(انطباق منوونکي) دي‪.‬‬ ‫په دوو قايمه الزاويه مثلثونو کې که د يوه مثلث وتر او يوه قايمه ضلعه‪ ،‬د بل مثلث له وتر او يوې‬ ‫قايمې ضلعې سره مساوي وي او يا وتر او يوه حاده زاويه يې د بل قايم الزاويه مثلث له وتر او حاده‬ ‫زاويې سره دوه په دوه مساوي وي‪ ،‬نو دا قايم الزاويه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي‪.‬‬

‫‪101‬‬

‫د پن‪％‬م فصل پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬هرې پوښتنې ته څلور ځوابونه ورک‪７‬ى شوي دي له سم ځواب څخه ک‪７‬ۍ تاو ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫د يوې نهه ضلعي د داخلي زاويو مجموعه مساوي ده په‪:‬‬ ‫‪1260° )b‬‬ ‫‪360° )a‬‬ ‫‪ )d‬هيڅ يو‬ ‫‪180° )c‬‬ ‫د يوې مضلع د داخلي زاويو مجموعه ‪ 1980 o‬ده‪ ،‬د دې څو ضلعي(مضلعې) د ضلعو شم‪５‬ر څو‬ ‫دى؟‬ ‫‪13 )b‬‬ ‫‪18 )a‬‬ ‫‪17 )d‬‬ ‫‪11 )c‬‬ ‫که درې قطعه خطونه په يوه ټکي کې يو بل سره قطع ک‪７‬ي‪ ،‬د هغو زاويو مجموعه چې د تقاطع د‬ ‫ټکي پر شاخوا جوړ‪８４‬ي‪ ،‬څو درجې ده؟‬ ‫(‪180° b‬‬ ‫(‪260° a‬‬ ‫‪ )d‬هيڅ يو‬ ‫(‪360° c‬‬ ‫‪o‬‬ ‫که د يوې مضلع يوه داخلي زاويه ‪ 144‬وي‪ ،‬د دې مضلع د ضلعو شم‪５‬ر مساوي دى په‪:‬‬ ‫‪9 )b‬‬ ‫‪8 )a‬‬ ‫‪12 )d‬‬ ‫‪10 )c‬‬ ‫د مقابل شکل ټولې ضلعې او زاويې سره مساوي دي‪ ،‬دا شکل په کوم نوم ياد‪８４‬ي‪.‬‬

‫‪ )a‬منظمه محدبه لس ضلعي مضلع ده‪.‬‬ ‫‪ )b‬منظمه مقعره لس ضلعي مضلع ده‪.‬‬ ‫که په يوه مثلث کې دوه ضلعې يې سره مساوي وي‪ ،‬نو دا مثلث‪:‬‬ ‫‪ )b‬متساوي االضالع دى‪.‬‬ ‫‪ )a‬متساوي الساقين دى‪.‬‬ ‫‪ )d‬مختلف الزوايه دى‪.‬‬ ‫‪ )c‬مختلف االضالع دى‪.‬‬ ‫که په يوه مثلث کې دوه زاويې سره مساوي وي‪ ،‬نو دا مثلث‪:‬‬ ‫‪ )b‬متساوي الساقين مثلث دى‪.‬‬ ‫‪ )a‬مختلف االضالع مثلث دى‪.‬‬ ‫‪ )d‬هيڅ يو‪.‬‬ ‫‪ )c‬متساوي االضالع مثلث دى‪.‬‬

‫‪102‬‬

‫که په يوه قايم الزاويه مثلث کې يوه حاده زاويه يې ‪ 60 o‬وي‪ ،‬بله حاده زاويه يې مساوي ده په‪:‬‬ ‫‪30° )a‬‬

‫‪50o )b‬‬

‫‪40° )c‬‬

‫‪29° )d‬‬

‫د يوه مثلث خارجي زاويه د مثلث له دوو غير مجاورو داخلي زاويو سره څه اړيکه لري؟‬ ‫‪ )d‬هيڅ يو‬ ‫‪ )c‬کوچنى ده‪.‬‬ ‫‪ )b‬مساوي ده‪.‬‬ ‫‪ )a‬لويه ده‪.‬‬ ‫‪ -2‬د سمې جملې په وړاندې(س) او د ناسمې په وړاندې(ن) وليکئ‪.‬‬ ‫( ) تر ټولو لويه زاويه چې د منظمې مضلعې د يوې ضلعې له امتداد څخه جوړ‪８４‬ي ‪ 120 o‬ده‪.‬‬ ‫) مثلث کيداى شي‪ ،‬يوه مقعره څو ضلعي وي‪.‬‬ ‫(‬ ‫) د يوې درې ضلعي(مثلث) خارجي زاويه هيڅکله د مثلث له يوې داخلي زاويې څخه‬ ‫(‬ ‫کوچن‪ ９‬نه ده‪.‬‬ ‫) د يوې مضلعې دوه غير مجاورې ضلعې د څو ضلعي له رآسونو څخه په يوه رآس کې‬ ‫(‬ ‫متقاطع دي‬ ‫(‬

‫) يوې مضلعې ته هغه وخت متساوي الزاويه وايي‪ ،‬چې ټولې ضلعې يې سره مساوي وي‪.‬‬ ‫) د يوې منظمې مضلعې د خارجي زاويو مجموعه عبارت ده له‪(n 2)180 :‬‬

‫(‬ ‫) که د يوې مضلعې د ضلعو شم‪５‬ر زيات شي‪ ،‬د خارجي زاويو مجموعه يې هم زيات‪８５‬ي‪.‬‬ ‫(‬ ‫) حاده الزاويه مثلث هغه مثلث دى‪ ،‬چې يوازې دوه زاويې يې حاده وي‪.‬‬ ‫(‬ ‫) دوه مثلثونه هغه وخت انطباق منوونکي دي‪ ،‬چې د يوې ضلعې اوږدوالى او د دې ضلعې‬ ‫(‬ ‫د دوو مجاورو زاويو اندازې يې يو په يو سره مساوي وي‪.‬‬ ‫) که په يوه مثلث کې دوه ضلعې سره مساوي وي‪ ،‬د دې ضلعو مقابلې زاويې هم سره‬ ‫(‬ ‫مساوي دي‪.‬‬ ‫) د يوه متساوي االضالع مثلث هره زاويه ‪ 61o‬وي‪.‬‬ ‫(‬ ‫) د يوه مثلث د داخلي زاويو مجموعه له درې قايمو زاويو سره مساوي ده‪.‬‬ ‫(‬ ‫‪ -3‬په مناسبو کلمو سره تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫که د يوې منظمې مضلعې خارجې زاويه د مجاورې داخلي زاويې له دوه چنده سره مساوي وي‪ ،‬دا‬ ‫مضلع د ‪ ...................‬په نوم ياد‪８４‬ي‪.‬‬ ‫د يوې منظمې مضلعې د ضلعو د شم‪５‬ر په زياتوالي سره د مضلعې د داخلي زاويو مجموعه‬ ‫‪ ...................‬او د خارجي زاويو مجموعه يې ‪ ...................‬نه کوي‪.‬‬

‫‪103‬‬

‫د يوې اته ضلعي له يوه رآس څخه ‪ ...................‬قطرونه رسميداى شي‪.‬‬ ‫که د يوې منظمې مضلعې يوه خارجي زاويه ‪ 120 o‬وي نوموړې مضلع‪ ...................‬ضلعې لري‪.‬‬ ‫که د يوې مضلع د داخلي زاويو مجموعه د خارجي زاويو له مجموعې سره مساوي وي‪ ،‬دا‬ ‫مضلع‪ ...................‬ضلعې لري‪.‬‬ ‫هغه مستقيم خط چې د يوې مضلعې دوه غير مجاور رآسونه سره وصلوي‪ ،‬د ‪ ...................‬په نامه‬ ‫ياد‪８４‬ي‪.‬‬ ‫هغه مثلث چې درې واړه ضلعې يې سره مساوي وي ‪ ...................‬نوم‪８５‬ي‪.‬‬ ‫هغه خط چې د مثلث له رآس څخه په مخامخ ضلع عمود وي‪ ،‬د ‪ ...................‬په نامه ياد‪８４‬ي‪.‬‬ ‫که د يوه متساوي الساقين مثلث د رآس زاويه ‪ 50o‬وي‪ ،‬هره يوه له دوو نورو زاويو څخه‬ ‫‪ ..........................‬ده‪.‬‬ ‫‪ -4‬الندې سوالونه حل ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د يوې مضلع د يوې داخلي او يوې خارجې زاويې مجموعه څو درجې ده؟‬ ‫د ‪ ABC‬په متساوي الساقين مثلث کې ‪ AB = AC‬دى‪ ،‬که د ‪ B‬او ‪ C‬زاويې د ‪ OB‬او ‪OC‬‬ ‫په مرسته نيمايي شي‪ ،‬ثبوت ک‪７‬ئ چې‪:‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪OC = OB )a‬‬ ‫‪ OA )b‬د ˆ‪ A‬د زاويې ناصف الزاويه دى‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪O‬‬

‫‪B‬‬

‫ثبوت ک‪７‬ئ‪ ،‬چې د يوه قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث له دوو حاده زاويو څخه هر يوه يې ‪45o‬‬

‫ده‪.‬‬ ‫په دوو قايم الزاويه مثلثونو کې د پنځو حالتونو نومونه واخلئ چې دا دواړه مثلثونه انطباق منوونکي‬ ‫وي‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫د يو معين(لوزي) يو قطر معين په دوو مثلثونو وويشئ‪ ،‬په څو حالتونو ثبوتوالى شئ‪ ،‬چې دا دواړه‬ ‫‪42°‬‬

‫مثلثونه انطباق منوونکي دي‪.‬‬ ‫‪134°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪104‬‬

‫شپ‪８‬م ＇پرکى‬ ‫موازي او عمود‬ ‫خطونه‬

‫طبﻴﻌت ﻟﻪ ﻣﻮازي خطﻮﻧﻮ ＇خﻪ ډک دى‪.‬‬

‫موازي او عمود خطونه‬ ‫‪Parallel and Perpendicular Lines‬‬ ‫پﻪ شکﻞ ک‪＇ ３‬ﻮ خطﻮﻧﻪ وﻳﻨئ د خطﻮﻧﻮ د وضﻌﻴت‬ ‫پﻪ برخﻪ ک‪＇ ３‬ﻪ وﻳﻼى شئ؟‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪H‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪C‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪A‬‬

‫ﻟﻮﻣ‪７‬ى د ‪ d‬ﻣستﻘﻴﻢ خط ﻳا کر＊ﻪ رسﻤﻮو او‪－‬ﻮﻧﻴا د ‪ d‬پر خط ﻟکﻪ چ‪３‬‬ ‫پﻪ شکﻞ ک‪＊ ３‬ﻮدل شﻮې ده ږدو‪ .‬د ‪－‬ﻮﻧﻴا رآس تﻪ ‪ A‬واﻳﻮ د ‪ AH‬او ‪AD‬‬ ‫خطﻮﻧﻪ رسﻤﻮو‪.‬‬ ‫د ‪ A‬ﻟﻪ ﻧﻘط‪＇ ３‬خﻪ د ‪ d‬پر ﻣستﻘﻴﻤﻪ کر＊ﻪ باﻧدې د ‪ AE , AB‬او ‪AC‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪D‬‬ ‫درې ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ چ‪ ３‬ﻳﻮ ﻳ‪ ３‬ﻋﻤﻮد او دوه خطﻮﻧﻪ ﻣاﻳﻞ وي‪ ،‬رسﻢ ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د خط کش پﻪ ﻣرستﻪ ﻳ‪ ３‬اﻧدازه ک‪７‬ئ چ‪ ３‬تر ！ﻮﻟﻮ کﻮچﻨﻰ خط کﻮم دى؟‬ ‫د ‪ AH‬خط د ‪ d‬ﻟﻪ خط سره د ‪ 90 o‬زاوﻳﻪ جﻮړ وي‪ .‬د ‪ AH‬خط د ‪ d‬پر ﻣستﻘﻴﻢ خط ﻋﻤﻮد دى‬ ‫‪AH d‬‬ ‫چ‪ ３‬پﻪ دې ډول ＊ﻮدل کﻴ‪８‬ي‪:‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫خط کش د کاﻏذ پر ﻣخ کﻴ‪８‬دئ او د خط کش ﻟﻪ دواړو ＇ﻨ‪６‬و ＇خﻪ دوه خطﻮﻧﻪ رسﻢ ک‪７‬ئ ‪ d1‬او‬ ‫‪ d 2‬ورتﻪ وواﻳﻲ‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪F‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪E‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪D‬‬

‫‪1‬‬

‫‪d2‬‬

‫د ‪ d1‬پر خط باﻧدې د ‪ B,A‬او ‪ C‬درې ！کﻲ و！اکئ او د ‪－‬ﻮﻧﻴا پﻪ ﻣرستﻪ د ‪ B,A‬او ‪ C‬ﻟﻪ ！کﻮ ＇خﻪ‬ ‫د ‪ d 2‬پر خط ﻋﻤﻮد خطﻮﻧﻪ رسﻢ ک‪７‬ئ‪ ،‬او د شکﻞ ﻟﻪ ﻣخ‪ AD,BE ３‬او ‪ CF‬ورتﻪ وواﻳﻲ‪.‬‬ ‫د ‪ AD,BE‬او ‪ CF‬خطﻮﻧﻮ اوږدواﻟﻰ پﻴدا ک‪７‬ئ د اوږدواﻟﻮ پﻪ برخﻪ ک‪ ３‬ﻳ‪＇ ３‬ﻪ وﻳﻼى شئ‪.‬‬ ‫د ‪ d1‬او ‪ d 2‬دواړو ﻣستﻘﻴﻤﻮ خطﻮﻧﻮ تﻪ چ‪ ３‬ترﻣﻨ‪ ＃‬ﻓاصﻠ‪ ３‬ﻳ‪ ３‬سره ﻣساوي دى‪ ،‬ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ واﻳﻲ او‬ ‫دا ډول ＊ﻮدل کﻴ‪８‬ي‪d1 || d 2 :‬‬

‫‪107‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪C‬‬

‫د ‪ AC‬او ‪ DG‬دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ چ‪ ３‬د دوى ترﻣﻨ‪ ＃‬ﻓاصﻠﻪ ﻣساوي‬ ‫ﻧﻪ ده‪ ،‬ﻟکﻪ چ‪ ３‬پﻪ شکﻞ ک‪ ３‬ﻫﻢ ﻟﻴدل ک‪８５‬ي‪ ،‬ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ ﻧﻪ دي‪،‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪＄‬کﻪ چ‪ ３‬اﻣتداد ﻳ‪ ３‬ﻳﻮ بﻞ پﻪ ﻳﻮه ﻧﻘطﻪ ک‪ ３‬ﻗطﻊ کﻮي او دا ډول ＊ﻮدل‬ ‫کﻴ‪８‬ي‪. AC || DG :‬‬ ‫کﻮﻻى شﻮ چ‪ ３‬د ‪－‬ﻮﻧﻴا ﻳا خط کش پﻪ واسطﻪ و＊ﻴﻮ چ‪ ３‬پﻪ ﻣختﻔﻠﻮ ！کﻮ ک‪ ３‬د دې دواړو ﻣستﻘﻴﻤﻮ‬ ‫خطﻮﻧﻮ تر ﻣﻨ‪ ＃‬ﻓاصﻠ‪ ３‬ﻣساوي ﻧﻪ دي‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫کﻪ د ‪ AB‬او ‪ CD‬دوه ﻗطﻌﻪ خطﻮﻧﻪ ﻳا کر＊‪ ３‬د ‪ EF‬پر کر＊‪ ３‬ﻋﻤﻮد‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫رسﻢ ک‪７‬و ) ‪ ( AB EF‬او ) ‪ (CD EF‬ﻧﻮ د ‪ AB‬او ‪ CD‬ﻗطﻌﻪ‬ ‫خطﻮﻧﻪ پﻪ خپﻞ ﻣﻨ‪ ＃‬ک‪ ３‬سره ﻣﻮازې دي‪＄ ،‬کﻪ چ‪ ３‬کﻪ ﻣﻮازي ﻧﻪ وي‪ ،‬ﻳﻮ‬ ‫ﻟﻪ بﻠﻪ سره ﻗطﻊ کﻮي او د تﻘاطﻊ ﻟﻪ ﻧﻘط‪＇ ３‬خﻪ د ‪ FE‬پر خط دوه ﻋﻤﻮد‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫خطﻮﻧﻪ رسﻢ شﻮي دي او دا اﻣکان ﻧﻪ ﻟري‪.‬‬ ‫‪D‬‬

‫مثال‪ :‬پﻪ ﻻﻧدې خطﻮﻧﻮ ک‪ ３‬ﻣﻮازي‪ ،‬ﻋﻤﻮد او ﻣتﻘاطﻊ خطﻮﻧﻪ و＊ﻴئ‪.‬‬ ‫´‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫´‪d‬‬

‫‪d‬‬ ‫‪a‬‬

‫´‪b‬‬

‫حل‪a ، d || d ، e || e :‬‬

‫‪e‬‬ ‫´‪e‬‬

‫' ‪ a‬او د ‪ b‬او ‪ b‬خطﻮﻧﻪ سره ﻣتﻘاطﻊ دي‪.‬‬

‫دوو خطﻮﻧﻮ تﻪ ﻫﻐﻪ وخت ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ واﻳﻮ چ‪ ３‬خپﻠﻪ خطﻮﻧﻪ او ﻳا اﻣتداد ﻳ‪ ３‬شرﻳک ！کﻲ و ﻧﻪ ﻟري‬ ‫او پﻪ ！ﻮﻟﻮ ﻧﻘطﻮ ک‪ ３‬د دې دواړو خطﻮﻧﻮ ترﻣﻨ‪ ＃‬ﻓاصﻠﻪ ﻣساوي وي‪ ،‬دوه خطﻮﻧﻪ ﻫﻐﻪ وخت ﻳﻮ پر بﻞ‬ ‫ﻋﻤﻮد دي‪ ،‬چ‪ ３‬د دواړو ترﻣﻨ‪ ＃‬زاوﻳﻪ ﻳﻮه ﻗاﻳﻤﻪ زاوﻳﻪ ( ‪ ) 90o‬وي‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫پﻪ شکﻞ ک‪ ３‬کﻮم خطﻮﻧﻪ ﻣﻮازي دي؟‬ ‫کﻮم ﻗطﻌﻪ خطﻮﻧﻪ ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد دي؟‬ ‫کﻮم ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ ﻣتﻘاطﻊ دي؟‬ ‫کﻮﻣ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬ﻗاﻳﻤ‪ ３‬دي؟‬ ‫اﻳا ！ﻮل ﻣتﻘاطﻊ خطﻮﻧﻪ ﻫر وخت ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد وي؟‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪G‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪108‬‬

‫داخلي او خارجي متبادل‪ ３‬زاوي‪３‬‬ ‫‪(Alternate interior and‬‬ ‫)‪alternate exterior angles‬‬

‫خارجﻲ ﻣتبادﻟ‪ ３‬زاوﻳ‪３‬‬

‫ﻣخاﻣخ شکﻞ تﻪ و‪－‬ﻮرئ د جﻮړوشﻮو زاوﻳﻮ پﻪ برخﻪ‬ ‫ک‪ ３‬خپﻞ ﻧﻈر ＇ر‪－‬ﻨد ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫داخﻠﻲ ﻣتبادﻟ‪ ３‬زاوﻳ‪３‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫د ‪ d1‬او ‪ d 2‬دوه ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ او د ‪ d 3‬او ‪ d 4‬دوه ﻏﻴر ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ رسﻢ ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫دوه ﻗاطﻊ خطﻮﻧﻪ چ‪ ３‬ﻳﻮ ﻳ‪ ３‬د ‪ d1‬او ‪ d 2‬خطﻮﻧﻪ او بﻞ ﻳ‪ ３‬د ‪ d 3‬او ‪ d 4‬خطﻮﻧﻪ ﻗطﻊ ک‪７‬ي‪ ،‬رسﻢ ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د ﻧﻘاﻟ‪ ３‬پﻪ ﻣرستﻪ ﻫﻐﻪ زاوﻳ‪ ３‬چ‪ ３‬ﻗاطﻊ خط ﻳ‪ ３‬ﻟﻪ ﻣﻮازي خطﻮﻧﻮ سره او ﻫﻐﻪ زاوﻳ‪ ３‬چ‪ ３‬ﻗاطﻊ خط‬ ‫ﻳ‪ ３‬ﻟﻪ ﻏﻴر ﻣﻮازي خطﻮﻧﻮ سره جﻮړ وي‪ ،‬اﻧدازه ک‪７‬ئ‪＇ ،‬ﻪ ﻧتﻴجﻪ بﻪ پﻪ ﻻس راشﻲ؟‬ ‫د ‪ AB‬او ‪ CD‬دوه خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي او د ‪ EF‬خط پﻪ واسطﻪ‬ ‫ﻗطﻊ شﻮي دي‪ ،‬ﻟکﻪ ＇ﻨ‪／‬ﻪ چ‪ ３‬پﻪ شکﻞ ک‪ ３‬ﻟﻴدل کﻴ‪８‬ي‪.‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬

‫ﺧﺎﺭﺟﻰ ﺧﺎﺭﺟﻰ‬

‫د دوو خطﻮﻧﻮ تر ﻣﻨ‪ ＃‬ﻧاحﻴ‪ ３‬تﻪ داخﻠﻲ او د خطﻮﻧﻮ د باﻧدې ﻧاحﻴ‪３‬‬ ‫تﻪ باﻧدﻳﻨ‪( ３‬خارجﻲ) ﻧاحﻴﻪ واﻳﻲ‪.‬‬

‫ﺩﺍﺧﻠﻰ ﺩﺍﺧﻠﻰ‬ ‫‪D‬‬

‫‪ AB || CD‬دي او د ‪ LK‬خط دا دواړه ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ ﻗطﻊ ک‪７‬ي‬ ‫دي ددې ﻟپاره چ‪ ３‬و＊ﻴﻮ چ‪ 3 = 6 ３‬ده‪ ،‬د ‪ LK‬پر خط د ‪！ O‬کﻲ‬

‫‪K‬‬ ‫‪B‬‬

‫ﻣتﻘابﻞ برآس ‪MOE = NOF ................‬‬

‫او ‪ OME = ONF = 90o‬ده‪ ،‬ﻧﻮ ددې ﻣثﻠثﻮﻧﻮ درﻳﻤ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬ﻫﻢ‬ ‫سره ﻣساوي دي‪ ،‬پﻪ ﻧتﻴجﻪ ک‪ 3 = 6 ３‬ده چ‪ ３‬د ‪ 6‬او ‪ 3‬زاوﻳ‪ ３‬د‬

‫‪M E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬

‫داخﻠﻲ ﻣتبادﻟﻮ زاوﻳﻮ پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳادﻳ‪８‬ي‪.‬‬ ‫پﻪ ﻫﻤدې ډول ‪ 4 = 5‬دي چ‪ 5 ３‬او ‪ 4‬ﻫﻢ داخﻠﻲ ﻣتبادﻟ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬دي‪.‬‬

‫‪109‬‬

‫ﺧﺎﺭﺟﻰ ﺧﺎﺭﺟﻰ‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫！اکﻮ‪ ،‬د ‪ O‬ﻟﻪ ！کﻲ ＇خﻪ د ‪ AB‬او ‪ CD‬پر خطﻮﻧﻮ ﻋﻤﻮد خط رسﻤﻮو‪.‬‬ ‫د ‪ OME‬او ‪ OFN‬پﻪ دوه ﻣثﻠثﻮﻧﻮ ک‪＇ ،３‬رﻧ‪／‬ﻪ چ‪３‬‬

‫‪A‬‬

‫‪5 6‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F N‬‬

‫‪L‬‬

‫ﻫﻤدارﻧ‪／‬ﻪ پﻪ شکﻞ ک‪ ３‬د ‪ 2 , 7 , 1‬او ‪ 8‬زاوﻳ‪ ３‬باﻧدﻳﻨی (خارجﻲ)‬ ‫ﻣتبادﻟ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬دي‪.‬د داخﻠﻲ ﻣتبادﻟﻮ زاوﻳﻮ پﻪ ﻣرستﻪ ﻟرو چ‪:３‬‬ ‫‪1=7 , 8=2‬‬ ‫‪E‬‬

‫مثال‪ :‬پﻪ ﻣخاﻣخ شکﻞ ک‪ ３‬د ‪ 60o‬او ‪ 120o‬دوه زاوﻳ‪ ３‬راک‪７‬ل شﻮي‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪60 3‬‬

‫‪B‬‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪8 120‬‬

‫‪D‬‬

‫دي د ‪ 6 ، 5 ، 3 ، 2 ، 1‬او ‪ 8‬زاوﻳ‪＇ ３‬ﻮ درج‪ ３‬دي؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪( 6 = 60o‬داخﻠﻲ ﻣتبادﻟ‪)３‬‬ ‫‪( 5 = 120o‬ﻣتﻘابﻞ برآس)‬ ‫‪( 5 = 3‬داخﻠﻲ ﻣتبادﻟ‪)３‬‬ ‫پﻪ ﻧتﻴجﻪ ک‪ 3 = 120 o ３‬ده‪.‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪ ..........‬ﻣتبادﻟ‪)３‬‬ ‫‪( 1 = 120o ،‬خارجﻲ‬ ‫‪( 8 = 6 = 60o ،‬ﻣتﻘابﻞ برآس)‬ ‫‪........ 2 = 8‬‬ ‫(خارجﻲ ﻣتبادﻟ‪)３‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫پﻪ ﻧتﻴجﻪ ک‪ 2 = 60o ３‬ده‪.‬‬

‫کﻪ د ‪ AB‬او ‪ CD‬دوه ﻣﻮازي ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ د ‪ EF‬د ﻗاطﻊ خط پﻪ واسطﻪ ﻗطﻊ شﻲ‪ ،‬دوه جﻮړې‬ ‫داخﻠﻲ ﻣتبادﻟﻲ او دوه جﻮړې خارجﻲ ﻣتبادﻟ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬جﻮړ وي چ‪:３‬‬ ‫‪E‬‬ ‫داخﻠﻲ ﻣتبادﻟ‪３‬‬ ‫خارجﻲ ﻣتبادﻟ‪３‬‬

‫‪4=6‬‬ ‫‪2=8‬‬

‫‪,‬او‬ ‫‪ ,‬او‬

‫‪3=5‬‬ ‫‪1=7‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪ -1‬کﻪ ‪ AB || CD‬وي‪ ،‬پﻪ شکﻞ ک‪ 6 , 7 , 8 , 3 , 1 ３‬او ‪2‬‬

‫زاوﻳ‪＇ ３‬ﻮ درج‪ ３‬دي؟‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪30 3‬‬

‫‪B‬‬

‫‪150 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ -2‬پﻪ شکﻞ ک‪ ３‬کﻪ ‪ 7 = 120 o‬وي د ‪2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8‬‬ ‫او ‪ 1‬زاوﻳﻮ اﻧدازه پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪A‬‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪8 120‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪110‬‬

‫د دوو مستقﻴمو کر＊و د موازيتوب ＇ﻴ‪７‬نه‬ ‫کله چ‪ ３‬متبادل‪ ３‬زاوي‪ ３‬سره مساوي وي‬ ‫‪K‬‬

‫پﻪ شکﻞ ک‪ 3 = 6 ３‬ده چ‪ ３‬دوه داخﻠﻲ ﻣتبادﻟ‪３‬‬ ‫زاوﻳ‪ ３‬دي‪ ،‬اﻳا کﻴداى شﻲ ‪ AB || CD‬وي؟‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪L‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪ 3‬او ‪ 6‬زاوﻳ‪ ３‬سره ﻣساوي دي‪.‬‬

‫‪K‬‬

‫پﻪ ﻣخاﻣخ شکﻞ ک‪ ３‬د ‪ EF‬ﻟﻪ ﻧﻴﻤاﻳﻲ د(‪ )O‬ﻟﻪ ﻧﻘط‪＇ ３‬خﻪ د‬ ‫‪ AB‬پر کر＊ﻪ باﻧدې ﻋﻤﻮد رسﻢ ک‪７‬ئ چ‪ ３‬د ‪ AB‬خط د ‪ M‬پﻪ‬ ‫ﻧﻘطﻪ ک‪ ３‬ﻗطﻊ ک‪７‬ئ او ﻋﻤﻮد خط تﻪ اﻣتداد ورک‪７‬ئ چ‪ ３‬د ‪CD‬‬ ‫خط د ‪ N‬پﻪ ﻧﻘطﻪ ک‪ ３‬ﻗطﻊ ک‪７‬ي‪.‬‬ ‫و＊ﻴئ چ‪ ３‬د ‪ MOE‬او ‪ FON‬ﻣثﻠثﻮﻧﻪ سره ﻣساوي دي؟‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪L‬‬

‫آﻳا د ‪ MN‬ﻣستﻘﻴﻢ خط د ‪ CD‬پر ﻣستﻘﻴﻢ خط ﻫﻢ ﻋﻤﻮد دى؟‬

‫وﻟ‪ ３‬د ‪ AB‬خط د ‪ CD‬ﻟﻪ خط سره ﻣﻮازي دى؟‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬پﻪ ﻻﻧدې شکﻠﻮﻧﻮ ک‪ ３‬د ‪ AB‬او ‪ CD‬کﻮم دوه خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي؟‬ ‫‪A‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪110°‬‬ ‫‪120°‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫حل‪70o = 70o :‬‬

‫‪111‬‬

‫‪E‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪110°‬‬ ‫‪F‬‬

‫(خارجﻲ ﻣتبادﻟ‪)３‬‬

‫‪K‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫ﻧﻮ ‪ AB || CD‬دى‪.‬‬

‫‪70°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪70°‬‬ ‫‪L‬‬

‫‪C‬‬

‫‪( 110o = 110o‬داخﻠﻲ ﻣتبادﻟ‪)３‬‬ ‫‪ ، 120o 110o‬ﻧﻮ ‪AB || CD‬‬

‫ﻧﻮ ‪ AB || CD‬دى‪.‬‬

‫دويم مثال‪ :‬کﻪ ‪ 2 = 3 ، 1 = 2‬او ‪ 3 = 4‬وي‪ ،‬کﻮﻣﻪ جﻮړه خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي؟‬ ‫حل‪＇ :‬رﻧگﻪ چ‪:３‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪1= 2‬‬

‫ده‪ ،‬ﻧﻮ‬

‫‪2=3‬‬ ‫‪3=4‬‬

‫ده‪ ،‬ﻧﻮ‬

‫‪ FG || BC‬دى‪.‬‬ ‫‪ AB || CH‬دى‪.‬‬

‫‪G‬‬

‫ده‪ ،‬ﻧﻮ‬

‫‪ BC || DE‬دى‪.‬‬

‫‪E‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3 C‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪H‬‬

‫‪F‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫کﻪ دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ د ﻳﻮه خط پﻪ واسطﻪ داس‪ ３‬ﻗطﻊ شﻲ چ‪ ３‬دوه ﻣساوي ﻣتبادﻟ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬جﻮړي‬ ‫ک‪７‬ي‪ .‬ﻧﻮ دا دواړه خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي؟‬ ‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬پﻪ ﻻﻧدې شکﻞ ک‪ B1 = D 2 ３‬او ‪ B2 = D1‬ده اﻳا ‪ AB || CD‬دي؟ وﻟ‪３‬؟‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ -2‬پﻪ ﻻﻧدې شکﻞ ک‪ ３‬کﻪ چﻴرې ‪ A1 = D 2‬او ‪ A 2 = D1‬وي‪ ،‬کﻮم ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ سره‬ ‫‪A‬‬ ‫ﻣﻮازي دي؟‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -3‬پﻪ ﻻﻧدې شکﻠﻮﻧﻮ ک‪ ３‬د ‪ AB‬او ‪ CD‬کﻮم دوه خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي؟‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪120°‬‬ ‫‪130°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪150°‬‬

‫‪150°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪60°‬‬ ‫‪60°‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪112‬‬

‫متوافق‪ ３‬زاوي‪３‬‬ ‫)‪(Corresponding angles‬‬ ‫پﻪ شکﻞ ک‪ AB || CD ３‬دي او د ‪ FE‬خط دا‬ ‫دواړه خطﻮﻧﻪ ﻗطﻊ ک‪７‬ي دي‪.‬‬ ‫پﻪ شکﻞ ک‪ 4 ( ３‬او ‪ 2 ( ،) 8‬او ‪ 7 ( ،) 6‬او ‪ ) 3‬او‬ ‫( ‪ 1‬او ‪ ) 5‬زاوﻳﻮ تﻪ ﻣتﻮاﻓﻘ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬واﻳﻲ‪ ،‬اﻳا دا‬

‫‪B‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫زاوﻳ‪ ３‬ﻳﻮه ﻟﻪ بﻠ‪ ３‬سره ﻣساوي دي؟‬

‫فعالﻴت‬

‫‪E‬‬

‫ﻣخاﻣخ شکﻞ پﻪ پام ک‪ ３‬وﻧﻴسئ‪.‬‬ ‫د شکﻞ ＇ﻠﻮر خﻮاوي د ﻗﻴچﻲ پﻪ واسطﻪ پرې ک‪７‬ئ‬ ‫بﻴا د ！کﻲ ！کﻰ(‪ )....‬ﻟﻪ ‪＄‬اﻳﻪ ﻳ‪ ３‬سره جﻼک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫اوس د ‪ CD‬خط د ‪ AB‬پر خط کﻴ‪８‬دئ چ‪ M ３‬د ‪ N‬د پاسﻪ واﻗﻊ شﻲ‪.‬‬ ‫د ‪ 8, 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1‬د زاوﻳﻮ پﻪ برخﻪ ک‪＇ ３‬ﻪ وﻳﻼى شئ؟‬

‫=‪4‬‬

‫‪A‬‬

‫‪,‬‬

‫‪=7‬‬

‫‪,‬‬

‫‪B‬‬

‫‪M‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪D‬‬

‫‪N‬‬

‫=‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪1=5‬‬

‫د ﻧﻘاﻟ‪ ３‬پﻪ واسطﻪ ﻟﻪ ‪＇ 1‬خﻪ تر ‪ 8‬زاوﻳ‪ ３‬پﻮرې اﻧدازه ک‪７‬ئ‪ ،‬د پﻮرتﻪ ﻣساواتﻮ سﻤﻮاﻟﻰ اوﻧاسﻤﻮاﻟﻰ‬ ‫و＇ﻴ‪７‬ئ‪.‬‬

‫ﻫﻤدارﻧ‪／‬ﻪ کﻪ دوه ﻣستﻘﻴﻤﻲ کر＊‪ ３‬د ﻳﻮه ﻗاطﻊ خط پﻪ واسطﻪ داس‪ ３‬ﻗطﻊ شﻲ چ‪ ３‬ﻣساوي ﻣتﻮاﻓﻘ‪３‬‬ ‫زاوﻳ‪ ３‬جﻮړې ک‪７‬ئ‪ ،‬دا دواړه خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫د ‪ AB‬او ‪ CD‬دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ د ‪ FE‬د ﻣستﻘﻴﻢ خط پﻪ واسطﻪ‬ ‫ﻗطﻊ شﻮي دي‪ ،‬کﻪ ‪ 2 = 6‬وي‪ ،‬ﻏﻮاړو و＊اﻳﻮ چ‪ AB || CD ３‬دي‪.‬‬ ‫＇رﻧ‪／‬ﻪ چ‪:３‬‬

‫ﻣتﻘابﻞ برآس ‪2 = 4‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫ﻣﻔروض ﻟﻪ ﻣخ‪2 = 6 :３‬‬

‫پﻪ ﻧتﻴجﻪ ک‪ 4 = 6 :３‬ده‪.‬‬

‫ﻟﻪ بﻠ‪ ３‬خﻮا ＇رﻧ‪／‬ﻪ چ‪ 4 ３‬او ‪ 6‬زاوﻳ‪ ３‬ﻣتبادﻟ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬دي‪ ،‬ﻧﻮ ‪ AB || CD‬دى‪.‬‬

‫‪113‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬پﻪ شکﻞ ک‪ m = o , b = j , h = p :３‬او ‪ n = p‬دي‪.‬‬ ‫اﻳا ‪ AB || CD‬او ‪ d1 || d 2‬دي؟‬

‫‪B‬‬

‫حل‪＇:‬رﻧگــﻪ چ‪ h = p ３‬او ‪ b = j‬دى چــ‪ ３‬ﻣتﻮاﻓﻘ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬دي او ســره‬

‫‪D‬‬

‫‪a b‬‬ ‫‪e f‬‬

‫‪c d‬‬ ‫‪g h‬‬ ‫‪k q‬‬ ‫‪o p‬‬

‫ﻣساوي ﻫﻢ دي‪ ،‬ﻧﻮ ‪ AB || CD‬دى او ＇رﻧگﻪ چ‪ n = p ３‬او ‪ m = o‬دي‬

‫‪A‬‬

‫‪i j‬‬ ‫‪m n‬‬

‫‪C‬‬

‫‪d1‬‬

‫‪d2‬‬

‫چ‪ ３‬ﻣتﻮاﻓﻘ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬او سره ﻣساوي ﻫﻢ دي‪ ،‬ﻧﻮ ‪ d1 || d 2‬دى‪.‬‬

‫دويم مثال‪ :‬د(‪ )a‬پﻪ شکﻞ ک‪ ３‬د ‪ ABC‬او ‪ DEF‬دوه زاوﻳ‪ ３‬چ‪３‬‬ ‫‪ AB‬او ‪ ED‬ضﻠﻌ‪ ３‬سره ﻣﻮازي او ﻫﻢ جﻬت او د ‪ BC‬ضﻠﻌﻪ د ‪EF‬‬ ‫د ضﻠﻌ‪ ３‬سره ﻣﻮازي او ﻫﻢ جﻬت ﻫﻢ ده‪ ،‬اﻳا کﻮﻻى شئ چ‪ ３‬و＊ﻴئ‬

‫‪A‬‬ ‫‪G 2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪C D‬‬

‫‪ 1 = 3‬ده‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫‪F‬‬

‫حل‪ :‬ﻟﻮﻣ‪７‬ي د (‪ )a‬او (‪ )b‬پﻪ شکﻠﻮﻧﻮ ک‪ ３‬د ‪ BC‬او ‪ ED‬ضﻠﻌﻮ تﻪ اﻣتداد‬ ‫ورکﻮو تر ＇ﻮ د ‪ G‬پﻪ ﻧﻘطﻪ ک‪ ３‬ﻗطﻊ ک‪７‬ي‪.‬‬ ‫د (‪ )a‬پﻪ شکﻞ ک‪:３‬‬ ‫ﻣتﻮاﻓﻘ‪1 = 2 ３‬‬ ‫ﻣتﻮاﻓﻘ‪3 = 2 ３‬‬ ‫پﻪ ﻧتﻴجﻪ ک‪ 1 = 3 ３‬ده‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪1‬‬

‫‪C‬‬

‫ﻫﻤدارﻧ‪／‬ﻪ د (‪ )b‬پﻪ شکﻞ ک‪ ３‬د ‪ AB‬ضﻠﻌﻪ ﻣﻮازي او ﻣختﻠﻒ‬

‫‪2‬‬

‫‪G‬‬

‫اﻟجﻬت د ‪ ED‬د ضﻠﻌ‪ ３‬او ‪ BC‬ﻣﻮازي او ﻣختﻠﻒ اﻟجﻬت د ‪ EF‬د‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫(‪a‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪F‬‬

‫‪3‬‬

‫‪D‬‬

‫(‪b‬‬

‫ضﻠﻌ‪ ３‬ده ﻧﻮ ‪ 1‬او ‪ 3‬زاوﻳ‪ ３‬ﻫﻢ سره ﻣساوي دي‪＄ ،‬کﻪ چ‪:３‬‬ ‫(ﻣتبادﻟ‪ 1 = 2 )３‬او (ﻣتﻮاﻓﻘ‪ 3 = 2 )３‬پﻪ ﻧتﻴجﻪ ک‪ 1 = 3 ３‬ده‪.‬‬ ‫کﻪ دوه ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ د ﻳﻮه ﻗاطﻊ خط پﻪ واسطﻪ ﻗطﻊ شﻲ ﻣساوي ﻣتﻮاﻓﻘ‪３‬‬ ‫زاوﻳ‪ ３‬جﻮړوي او کﻪ دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ د ﻳﻮه ﻗاطﻊ خط پﻪ واسطﻪ داس‪３‬‬ ‫ﻗطﻊ شﻲ چ‪ ３‬ﻣساوي ﻣتﻮاﻓﻘ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬جﻮړې ک‪７‬ي‪ ،‬دا دواړه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ‬ ‫سره ﻣﻮازي دي‪.‬‬ ‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪ -1‬ﻟﻪ دې ﻣستﻘﻴﻤﻮ خطﻮﻧﻮ ＇خﻪ کﻮﻣﻪ‬ ‫جﻮړه خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي؟‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪120°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫‪ -2‬د ‪ AB‬او ‪ CD‬دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي‪ ،‬کﻮﻣ‪３‬‬ ‫زاوﻳ‪ ３‬سره ﻣساوي دي؟‬

‫‪F‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪c d‬‬ ‫‪g h‬‬ ‫‪k q‬‬ ‫‪o p‬‬

‫‪a b‬‬ ‫‪e f‬‬ ‫‪i j‬‬ ‫‪m n‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪114‬‬

‫د يوه قاطع خط يوې خواته داخلي متمم‪ ３‬زاوي‪:３‬‬

‫)‪(Supplementary Angles‬‬ ‫‪ AB || CD‬دى او د ‪ EF‬ﻣســتﻘﻢ خــط ﻟکــﻪ‬ ‫＇ﻨ‪／‬ــﻪ چ‪ ３‬پﻪ شــکﻞ کــ‪ ３‬ﻟﻴدل کﻴــ‪８‬ي دا دواړه‬ ‫ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ ﻳ‪ ３‬ﻗطﻊ ک‪７‬ي دي‪.‬‬ ‫اﻳا کﻮﻻى شــﻲ چــ‪ ３‬وواﻳــ‪＇ 2+ 3 ３‬ﻮ درج‪３‬‬ ‫کﻴ‪８‬ي؟‬

‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫د ‪ AB‬او ‪ CD‬دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي او د ‪ EF‬ﻣستﻘﻴﻢ خط ﻟکﻪ ＇ﻨ‪／‬ﻪ چ‪ ３‬پﻪ شکﻞ‬ ‫ک‪ ３‬ﻟﻴدل کﻴ‪８‬ي‪ ،‬ﻗطﻊ ک‪７‬ي دي‪.‬‬ ‫= ‪3+ 4‬‬

‫‪E‬‬

‫ﻟﻪ بﻠ‪ ３‬خﻮا ‪ 4 = 6‬ده‪ ،‬وﻟ‪３‬؟‬ ‫د پﻮرتﻨﻴﻮ دوو ﻣساواتﻮ ﻟﻪ ﻣخ‪ ３‬ﻻﻧدې تش ‪＄‬اى ډک ک‪７‬ئ؟‬

‫‪B‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪D‬‬

‫= ‪3+ 6‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫دﻧﻘاﻟ‪ ３‬پﻪ ﻣرستﻪ ‪ 3‬او ‪ 6‬اﻧدازه ک‪７‬ئ او د ‪ 3+ 6‬پﻪ ﻻس راوړئ‪.‬‬ ‫ﻻﻧدې تش ‪＄‬اي ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫= ‪4+ 5‬‬

‫مثال‪ :‬کﻪ پﻪ شکﻞ ک‪ ３‬د ‪ AB‬خط د ‪ CD‬ﻟﻪ خط سره ﻣﻮازي وي د ‪ 1‬او ‪ 2‬زاوﻳﻮ اﻧدازه پﻴدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪o‬‬

‫حل‪＇ :‬رﻧ‪／‬ﻪ چ‪ ３‬د ‪ 75‬درجﻮ زاوﻳﻪ او ‪ 1‬زاوﻳﻪ داخﻠﻲ ﻣتﻤﻤ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬دي‪:‬‬ ‫‪1+ 75o = 180o‬‬

‫‪115‬‬

‫‪BC‬‬ ‫‪1 75°‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻧﻮ‪1 = 180o 75o = 105o :‬‬ ‫＇رﻧ‪／‬ﻪ چ‪ 75o ３‬زاوﻳﻪ او ‪ 2‬ﻣتبادﻟ‪ ３‬دي‪ ،‬ﻧﻮ ‪ 2 = 75o‬ده‪.‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪BC‬‬

‫کﻪ چﻴرې د ‪ AB‬خط د ‪ CD‬ﻟﻪ خط سره ﻣﻮازي وي او د ‪ FE‬خط ﻟکﻪ ＇ﻨ‪／‬ﻪ چ‪ ３‬پﻪ شکﻞ‬ ‫ک‪ ３‬ﻟﻴدل کﻴ‪８‬ي دا دواړه خطﻮﻧﻪ ﻗطﻊ ک‪７‬ي وي‪ .‬د ﻗاطﻊ خط ﻳﻮې خﻮاتﻪ دوه داخﻠﻲ زاوﻳ‪ ３‬د ﻣتﻤﻤﻮ‬ ‫زاﻳﻮ پﻪ ﻧاﻣﻪ ﻳادﻳ‪８‬ي چ‪ ３‬د دواړو زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ ‪ 180o‬کﻴ‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ 2+ 3 = 180‬او ‪1+ 4 = 180o‬‬

‫‪B‬‬

‫کﻪ ﻳﻮ ﻗاطﻊ خط چ‪ ３‬دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ ﻳ‪ ３‬داس‪ ３‬ﻗطﻊ ک‪７‬ې وي‬ ‫چ‪ ３‬د ﻗاطﻊ خط ﻳﻮې خﻮاتﻪ ﻳ‪ ３‬دوه داخﻠﻲ ﻣتﻤﻤ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬جﻮړې‬ ‫ک‪７‬ې وي‪،‬دا دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪ -1‬پﻪ شکﻞ ک‪ ３‬د ‪ ABC‬او ‪ DEF‬دوه زاوﻳ‪ ３‬ﻟرو چ‪ ３‬د ‪AB‬‬

‫ضﻠﻊ د ‪ DE‬ﻟﻪ ضﻠﻌ‪ ３‬سره ﻣﻮازي او ﻫﻢ جﻬت او د ‪ BC‬ضﻠﻊ‬ ‫د ‪ EF‬ﻟﻪ ضﻠﻌ‪ ３‬سره ﻣﻮازي او ﻣختﻠﻒ اﻟجﻬت ده‪＊ ،‬کاره ک‪７‬ئ‬ ‫چ‪ ABC+ DEF = 180 o ３‬کﻴ‪８‬ي‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪E‬‬

‫‪ -2‬ﻟﻪ ﻻﻧدې خطﻮﻧﻮ ＇خﻪ کﻮﻣﻪ جﻮړه خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي‪.‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪F‬‬

‫‪F B‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪F‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪99°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫‪81°‬‬

‫‪140°‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪60°‬‬ ‫‪120°‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪118°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪61°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪80°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪116‬‬

‫＇لور ضلعي ‪－‬ان‪(Quadrilaterals)３‬‬ ‫پﻪ شکﻞ ک‪＇ ３‬ﻮﻣره ＇ﻠﻮر ضﻠﻌ‪－ ３‬اﻧ‪ ３‬د شﻤ‪５‬ر وړ‬ ‫دي؟‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪A‬‬

‫‪ ABCD‬ﻳﻮه ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ده‪ ،‬د ＇ﻠﻮرو ضﻠﻌﻮ‪＇ ،‬ﻠﻮرو رآسﻮﻧﻮ‪＇ ،‬ﻠﻮرو زاوﻳﻮ او‬ ‫دوو ﻗطروﻧﻮ ﻧﻮﻣﻮﻧﻪ ﻳ‪ ３‬واخﻠﻲ‪.‬‬ ‫د ﻻﻧدې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ گاﻧﻮ ﻧﻮﻣﻮﻧﻪ وواﻳئ‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫ﺷﻜﻞ(‪)1‬‬

‫‪C‬‬

‫ﺷﻜﻞ(‪)3‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫ﺷﻜﻞ(‪)2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫ﺷﻜﻞ(‪)5‬‬

‫‪D‬‬

‫ﺷﻜﻞ(‪)4‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬

‫ﻟکﻪ ＇ﻨ‪／‬ﻪ چ‪ ３‬پﻮﻫﻴ‪８‬ى‪ ،‬پﻪ پﻮرتﻨﻴﻮ ！ﻮﻟﻮ ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ‪－‬اﻧﻮ ک‪ ３‬پرتﻪ ﻟﻪ ذوزﻧﻘ‪＇ ３‬خﻪ د ﻧﻮرو ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ‬ ‫گاﻧﻮ ﻣخاﻣخ ضﻠﻌ‪ ３‬دوه پﻪ دوه سره ﻣﻮازي دي ‪ ،‬پﻪ ذوزﻧﻘﻪ ک‪ ３‬ﻳﻮازې دوه ﻣخاﻣخ ضﻠﻌ‪ ３‬سره ﻣﻮازي‬ ‫دي‪.‬‬ ‫پﻪ (‪ )1‬شکﻞ ک‪ ３‬ﻣتﻮازي اﻻضﻼع (‪ )Parallelogram‬داس‪ ３‬ﻳﻮه ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ده چ‪ ３‬ﻣخاﻣخ‬ ‫ضﻠﻌ‪ ３‬ﻳ‪ ３‬دوه پﻪ دوه سره ﻣﻮازي او ﻣساوي دي‪.‬‬ ‫پﻪ (‪ )2‬شکﻞ ک‪ ３‬ﻳﻮ ﻣستطﻴﻞ (‪ )Rectangle‬ﻫﻐﻪ ＇ﻠﻮر ضﻠﻌ‪ ３‬ده چ‪ ３‬ﻣخاﻣخ ضﻠﻌﻲ ﻳ‪ ３‬دوه پﻪ دوه‬ ‫سره ﻣﻮازي او ﻣساوي دي او ＇ﻠﻮر واړه زاوﻳ‪ ３‬ﻳ‪ ３‬ﻗاﻳﻤ‪ ３‬دي‪.‬‬ ‫پﻪ (‪ )3‬شکﻞ ک‪ ３‬ﻣربﻊ (‪ )Square‬ﻫﻐﻪ ＇ﻠﻮر ضﻠﻌ‪ ３‬ده چ‪＇ ３‬ﻠﻮر واړه ضﻠﻌ‪ ３‬ﻳ‪ ３‬سره ﻣساوي دي او‬

‫‪117‬‬

‫＇ﻠﻮر واړه زاوﻳ‪ ３‬ﻳ‪ ３‬ﻗاﻳﻤ‪ ３‬دي‪.‬‬ ‫پﻪ (‪ )4‬شکﻞ ک‪ ３‬ﻳﻮ ﻣﻌﻴﻦ ﻳا ﻟﻮزي (‪ )Rhombus‬ﻫﻐﻪ ＇ﻠﻮر ضﻠﻌ‪ ３‬ده چ‪ ３‬ﻣخاﻣخ ضﻠﻌ‪ ３‬ﻳ‪ ３‬دوه پﻪ‬ ‫دوه ﻣﻮازي‪＇ ،‬ﻠﻮر واړه ضﻠﻌ‪ ３‬ﻳ‪ ３‬سره ﻣساوي او ﻣخاﻣخ زاوﻳ‪ ３‬ﻫﻢ ﻳﻮ بﻠﻪ سره ﻣساوي وي‪.‬‬ ‫پﻪ (‪ )5‬شکﻞ ک‪ ３‬ذوزﻧﻘﻪ ﻳا ﻣﻨحرف (‪ )Trapezoid‬ﻫﻐﻪ ＇ﻠﻮر ضﻠﻌ‪ ３‬ده چ‪ ３‬ﻳﻮازې دوه ﻣخاﻣخ‬ ‫ضﻠﻌ‪ ３‬ﻳ‪ ３‬سره ﻣﻮازي دي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬پﻪ ﻻﻧدې شکﻠﻮﻧﻮ ک‪ ３‬ﻣربﻊ‪ ،‬ﻣستطﻴﻞ‪ ،‬ﻣتﻮازي اﻻضﻼع‪ ،‬ﻣﻌﻴﻦ ﻳا ﻟﻮزي او ذوزﻧﻘﻪ و＊ﻴئ‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬

‫(‪)a‬‬

‫‪G‬‬

‫‪D‬‬

‫(‪)b‬‬

‫‪E‬‬

‫‪H‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪F‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫(‪)c‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫(‪)d‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪F‬‬

‫د (‪ )a‬پﻪ شکﻞ ک‪ ABDC ３‬ﻣربﻊ او ‪ FEHG‬ﻣﻌﻴﻦ دى‪.‬‬ ‫د (‪ )b‬پﻪ شکﻞ ک‪ ABDC ３‬ﻳﻮه ذوزﻧﻘﻪ ده‪.‬‬ ‫د (‪ )c‬پﻪ شکﻞ ک‪ ABDC ３‬او ‪ EFDC‬ذوزﻧﻘ‪ ３‬دي‪.‬‬ ‫د (‪ )d‬پﻪ شکﻞ ک‪ ABCD ３‬ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ده او ‪ AFCE‬ﻳﻮ ﻣستطﻴﻞ دى‪.‬‬ ‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪-1‬پﻪ ﻣخاﻣخ شکﻞ ک‪ ３‬کﻮم ﻳﻮ ﻣستطﻴﻞ او کﻮﻣﻪ ﻳﻮه ذوزﻧﻘﻪ ده او‬ ‫ﻫﻢ پﻪ دې شکﻞ ک‪＇ ３‬ﻮ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ ﻣﻮجﻮد دي‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ -2‬کﻮﻣ‪ ３‬جﻤﻠ‪ ３‬سﻤ‪ ３‬او کﻮﻣ‪ ３‬ﻧاسﻤ‪ ３‬دي؟‬ ‫ﻫﻴ（کﻠﻪ ﻳﻮه ذوزﻧﻘﻪ ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻧﻪ شﻲ کﻴداى‪.‬‬ ‫د ﻣستطﻴﻞ ﻣخاﻣخ ضﻠﻌ‪ ３‬دوه پﻪ دوه سره ﻣﻮازي او ﻣساوي دي‪.‬‬ ‫د ذوزﻧﻘ‪ ３‬ﻣخاﻣخ ضﻠﻌ‪ ３‬دوه پﻪ دوه سره ﻣﻮازي او ﻣساوي دي‪.‬‬ ‫ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ده‪.‬‬ ‫ﻣربﻊ ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ده‪.‬‬ ‫ﻣﻌﻴﻦ(ﻟﻮزي) ﻳﻮه ﻣربﻊ ده‪.‬‬ ‫‪ -3‬پﻪ ﻣخاﻣخ شکﻞ ک‪ ３‬درې ذوزﻧﻘ‪ ،３‬ﻳﻮ ﻣستطﻴﻞ او ﻳﻮه ﻣتﻮازي‬ ‫اﻻضﻼع و＊ﻴئ‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪F‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪F‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪118‬‬

‫د متوازي اﻻضﻼع مخامخ(مقابل‪ )３‬زاوي‪３‬‬

‫اﻳا د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻣخاﻣخ زاوﻳ‪ ３‬سره‬ ‫ﻣساوي دي؟‬

‫فعالﻴت‬ ‫د ‪ ABDC‬ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع راک‪７‬ى شﻮې ده‪:‬‬ ‫＇رﻧ‪／‬ﻪ چ‪ AB || CD ３‬دى‪ ،‬ﻧﻮ‬ ‫=‪A+C‬‬ ‫＇رﻧ‪／‬ﻪ چ‪ AC || BD ３‬دى‪ ،‬ﻧﻮ‬ ‫=‪C+D‬‬ ‫‪D‬‬ ‫د پﻮرتﻨ‪ ９‬رابط‪＇ ３‬خﻪ ﻟرو چ‪３‬‬ ‫‪A+C=C+‬‬ ‫کﻪ ‪ C‬ﻟﻪ دواړوخﻮا ＇خﻪ تﻔرﻳﻖ ک‪７‬و‪ ،‬کﻮﻣﻪ رابطﻪ پﻪ ﻻس را‪＄‬ﻲ‪.‬‬ ‫=‬ ‫ﻟﻪ ‪ A‬او ‪ D‬د زاوﻳﻮ پﻪ برخﻪ ک‪＇ ３‬ﻪ وﻳﻼى شئ؟ پﻪ ﻫﻤدې ډول و＊ﻴئ چ‪ B = C ３‬ده‪.‬‬ ‫پﻪ ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ک‪ ３‬ﻣﻘابﻠ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬سره ﻣساوي دي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د ‪ ABDC‬شکﻞ ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ده‪ ،‬د ‪ B‬او ‪B D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪110°‬‬ ‫د زاوﻳﻮ اﻧدازه پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪＇ :‬رﻧ‪／‬ﻪ چ‪ ３‬د ﻳﻮې ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻣﻘابﻠ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬سره‬ ‫‪D‬‬ ‫‪o‬‬ ‫ﻣساوي دي‪ D = A = 110 .‬او ‪B = C = 70o‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪70°‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫د ‪ ABDC‬ﻳﻮه ＇ﻠﻮر ضﻠﻌ‪ ３‬پﻪ ﻧﻈر ک‪ ３‬ﻧﻴسﻮ‪:‬‬ ‫= ‪)I(........ A + B+ C+ D‬‬

‫‪D‬‬

‫دې تﻪ پﻪ پام کﻮﻟﻮ سره چ‪ ３‬د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻣﻘابﻠ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬سره ﻣساوي دي‪ ،‬ﻧﻮ ﻟرو چﻲ‪:‬‬

‫‪119‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B =, C , A =,‬‬

‫‪B C‬‬

‫اوس پﻪ ﻟﻮﻣ‪７‬ﻧ‪ ９‬رابطﻪ ک‪ ３‬د ‪ A‬او ‪ B‬پر‪＄‬اى ‪ C‬او ‪ D‬ږدو‪.‬‬ ‫=‪D+C+C+D‬‬

‫ﻟﻪ پﻮرتﻨ‪ ９‬رابط‪＇ ３‬خﻪ ﻟرو چ‪:３‬‬

‫= ‪2C + 2D‬‬ ‫=‪C+D‬‬

‫د ‪ AB‬او ‪ CD‬خطﻮﻧﻪ پﻪ خپﻞ ﻣﻨ‪ ＃‬ک‪＇ ３‬ﻪ اړﻳکﻪ ﻟري؟‬ ‫پﻪ ﻫﻤدې ډول د ‪ AC‬او ‪ BD‬خطﻮﻧﻪ پﻪ خپﻞ ﻣﻨ‪ ＃‬ک‪＇ ３‬ﻪ اړﻳکﻪ ﻟري؟‬

‫کﻪ پﻪ ﻳﻮ ＇ﻠﻮر ضﻠﻌ‪ ３‬ک‪ ３‬ﻣﻘابﻠ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬سره ﻣساوي وي‪ ،‬دا ＇ﻠﻮر ضﻠﻌ‪ ３‬ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ده‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬کﻪ د ﻻﻧدې شکﻞ پﻪ ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ک‪ ３‬د ‪ D = 110 o‬وي‪ ،‬د ‪ A , B‬او ‪ C‬زاوﻳﻮ اﻧدازه‬ ‫‪A‬‬ ‫پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪110o‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -2‬کﻪ چﻴرې د ﻳﻮې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ﻗطر‪＇ ،‬ﻠﻮر ضﻠﻌ‪ ３‬پﻪ دوو اﻧطباق ﻣﻨﻮوﻧکﻮ ﻣثﻠثﻮﻧﻮ ووﻳشئ‪ ،‬اﻳا دا‬ ‫＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ده؟‬

‫‪120‬‬

‫د يوې ＇لور ضلع‪ ３‬باندنى زاوي‪３‬‬ ‫اﻳا کﻮﻻى شئ چ‪ ３‬وواﻳئ چ‪ ３‬د ﻳﻮې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د‬

‫‪5‬‬

‫‪B‬‬

‫خارجﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ ＇ﻮ درج‪ ３‬ده؟‬

‫‪6‬‬

‫‪D‬‬

‫‪2‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪C‬‬

‫‪7‬‬

‫د ‪ BD , AB , AC‬او ‪ CD‬ضﻠﻌﻮ تﻪ ﻟﻪ پﻮرتﻪ شکﻞ سره ﻣطابﻖ اﻣتداد ورکﻮو‪ 7 , 6, 5 ،‬او ‪8‬‬

‫زاوﻳ‪ ３‬ددې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌ‪ ３‬باﻧدﻧ‪ ９‬زاوﻳ‪ ３‬دي‪.‬‬

‫‪1 + 5 = 180°‬‬

‫ﻏﻮاړو چ‪ ３‬و＊ﻴﻮ ‪ 5+ 6+ 7+ 8 = 360o‬ده‪.‬‬ ‫کﻪ دواړه خﻮاوې سره جﻤﻊ ک‪７‬و ﻟرو چ‪:３‬‬

‫‪2 + 6 = 180°‬‬ ‫‪4 + 7 = 180°‬‬ ‫‪3 + 8 = 180°‬‬

‫‪1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 180° + 180° + 180° + 180°‬‬

‫دا چ‪ ３‬د ﻳﻮې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ‬ ‫د داخﻠﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ‬ ‫‪ 360o‬ده‪ ،‬ﻧﻮ‪:‬‬ ‫پﻪ ﻧتﻴجﻪ ک‪ 5+ 6+ 7+ 8 = 360o ３‬کﻴ‪８‬ي‪ ،‬ﻧﻮ د ﻳﻮې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د باﻧدﻳﻨﻴﻮ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ‬ ‫‪ 360o‬ده‪.‬‬ ‫‪360° + 360°‬‬

‫= ‪360° + 5+ 6+ 7 + 8‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫پﻪ شکﻞ ک‪ ３‬د ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ دوه خارجﻲ زاوﻳ‪ ３‬ﻣﻌﻠﻮﻣ‪３‬‬ ‫ﻧﻪ دى‪ ،‬پﻴدا ﻳ‪ ３‬ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪121‬‬

‫‪80°‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1 D‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A 2‬‬ ‫‪140°‬‬ ‫‪140°‬‬ ‫‪2 40°‬‬

‫‪C‬‬

‫مثال‪ :‬د دې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ درې خارجﻲ زاوﻳ‪ ３‬راک‪７‬ل‬

‫‪85°‬‬

‫شﻮي دي‪＇ ،‬ﻠﻮرﻣﻪ خارجﻲ زاوﻳﻪ ﻳ‪ ３‬پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪30°‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫‪150 + 30 + 85 = 265‬‬ ‫＇رﻧ‪／‬ﻪ چ‪ ３‬د ﻳﻮې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د خارجﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ‬ ‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪150°‬‬

‫‪o‬‬ ‫‪ 360‬ده‪ ،‬ﻧﻮ د دې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ＇ﻠﻮرﻣﻪ زاوﻳﻪ ﻣساوي ده پﻪ‪265 o = 95 o :‬‬ ‫د ﻳﻮې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د خارجﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ ‪ 360o‬ده‪.‬‬

‫‪360 o‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬د ﻳﻮې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د درﻳﻮ خارجﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ ‪ 301o‬ده‪ ،‬د دې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ＇ﻠﻮرﻣﻪ‬ ‫خارجﻲ زاوﻳﻪ ＇ﻮ درجﻲ ده؟‬ ‫‪ -2‬پﻪ ﻣخاﻣخ شکﻞ ک‪ ３‬د ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ﻳﻮه خارجﻲ زاوﻳﻪ‬ ‫راک‪７‬ل شﻮې ده‪ ،‬ددې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ درې خارجﻲ زاوﻳ‪ ３‬پﻴدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪2C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪ -3‬اﻳا د ﻳﻮې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌ‪ ３‬د داخﻠﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ او د‬ ‫خارجﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ سره ﻣساوي ده؟ وﻟ‪３‬؟‬ ‫‪ -4‬د ﻳﻮې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د داخﻠﻲ او خارجﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ ﻣساوي ده پﻪ‪:‬‬ ‫‪b) 720o‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A 110°‬‬

‫‪a) 360o‬‬

‫‪ -5‬کﻪ چﻴرې د ﻳﻮې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د در‪４‬ﻮ داخﻠﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ ‪ 315o‬وي‪ ،‬ددې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ‬ ‫＇ﻠﻮرﻣﻪ داخﻠﻲ زاوﻳﻪ ﻣساوي ده پﻪ‪:‬‬ ‫‪c) 25o‬‬

‫‪b) 45o‬‬

‫‪a) 50o‬‬

‫‪122‬‬

‫د ＇لور ضلعي د قطرونو خاصﻴتونه‬ ‫د متوازي اﻻضﻼع د قطرونو خاصﻴتونه‪:‬‬ ‫د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع د ﻗطروﻧﻮ پﻪ برخﻪ ک‪＇ ３‬ﻪ وﻳﻼى‬ ‫شئ؟‬

‫‪B‬‬

‫‪2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪3‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ BC‬او ‪ AD‬د ‪ ABDC‬د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع دوه ﻗطروﻧﻪ دي‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫ﻟﻮﻣ‪７‬ى د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع د ﻗطروﻧﻮ اوږدواﻟﻰ پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫وﻳﻼى شﻰ چ‪ ３‬ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ ﻟﻪ بﻠﻪ سره ＇ﻪ اړﻳک‪ ３‬ﻟري؟‬ ‫ﻻﻧدې تش ‪＄‬اﻳﻮﻧﻪ ډک ک‪７‬ئ؟‬ ‫‪B‬‬ ‫وﻟ‪３‬؟‬ ‫=‪1‬‬ ‫وﻟ‪３‬؟‬

‫=‪3‬‬

‫وﻟ‪３‬؟‬

‫= ‪AB‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪C‬‬

‫وﻟ‪３‬؟‬ ‫اﻳا د ‪ ABE‬او ‪ CED‬د دوو ﻣثﻠثﻮﻧﻮ ﻟﻪ برابرواﻟﻲ ＇خﻪ وﻳﻼى شﻲ چ‪ ３‬د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻗطروﻧﻪ‬ ‫ﻳﻮ بﻞ سره ﻧﻴﻤاﻳ‪ ３‬کﻮي؟‬ ‫د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ بﻞ سره ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د ‪ ABDC‬پﻪ ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ک‪ ３‬د ‪ BC‬ﻗطر‬ ‫‪ 8cm‬او د ‪ AD‬ﻗطر ‪ 6cm‬دى‪ ،‬د ‪ AE‬او ‪EC‬‬ ‫اوږدواﻟﻰ پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪123‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫حل‪＇ :‬رﻧ‪／‬ﻪ چ‪ ３‬د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ ﻟﻪ بﻞ سره ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮې‪ ،‬ﻧﻮ‪:‬‬ ‫‪BC 8cm‬‬ ‫=‬ ‫‪= 4cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪EC‬‬

‫‪AD 6cm‬‬ ‫=‬ ‫‪= 3cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪AE‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬پﻪ دې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ک‪ ３‬ﻧاﻣﻌﻠﻮم ﻗطﻌﻪ خطﻮﻧﻪ پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪2.5cm‬‬

‫‪D‬‬

‫‪2cm‬‬ ‫‪3cm‬‬

‫‪R‬‬

‫‪4.5cm‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -2‬پﻮره سﻢ ‪＄‬ﻮاب پﻪ ﻧ‪＋‬ﻪ ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫پﻪ ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ک‪ ３‬ﻗطروﻧﻪ‪:‬‬ ‫‪ )a‬ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد وي‬ ‫‪ )b‬ﻳﻮ بﻞ ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي‬ ‫‪ )c‬دواړه سﻢ دي‬ ‫‪ -3‬پﻪ ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ک‪:３‬‬ ‫‪ )a‬ﻣخاﻣخ زاوﻳ‪ ３‬دوه پﻪ دوه سره ﻣساوي دي‬ ‫‪ )b‬ﻣخاﻣخ ضﻠﻌ‪ ３‬دوه پﻪ دوه سره ﻣساوي دي‬ ‫‪ )c‬دواړه سﻢ دي‬ ‫‪ -4‬د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع د ﻗطروﻧﻮ ﻟﻪ تﻘاطﻊ ＇خﻪ‪:‬‬ ‫‪ )a‬دوه جﻮړې اﻧطباق ﻣﻨﻮوﻧکﻲ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ جﻮړﻳ‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪＇)b‬ﻠﻮر اﻧطباق ﻣﻨﻮوﻧکﻲ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ جﻮړﻳ‪８‬ي‬

‫‪124‬‬

‫د مستطﻴل قطرونه‬ ‫پﻪ ﻣخاﻣخ شکﻞ ک‪ ３‬د ﻣﻴز د ﻣخ سطحﻪ کﻮم‬ ‫ﻫﻨدس‪ ３‬شکﻞ ﻟري او د خاصﻴتﻮﻧﻮ پﻪ برخﻪ‬ ‫ک‪ ３‬ﻳ‪＇ ３‬ﻪ پﻮﻫﻴ‪８‬ئ؟‬

‫فعالﻴت‬ ‫د ‪ ABDC‬ﻣستطﻴﻞ پﻪ ﻧﻈر ک‪ ３‬وﻧﻴسئ‪.‬‬ ‫د ﻣستطﻴﻞ ﻗطروﻧﻪ رسﻢ ک‪７‬ئ او د تﻘاطﻊ ﻧﻘط‪ ３‬تﻪ ﻳ‪ )E( ３‬وواﻳئ‪.‬‬ ‫د خط کش پﻪ واسطﻪ ﻳ‪ ３‬اﻧدازه ک‪７‬ئ او وواﻳئ چ‪ ３‬اﻳا د ﻣستطﻴﻞ ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ ﻟﻪ بﻠﻪ سره ﻣساوي دي؟‬ ‫پﻪ ﻻﻧدې شکﻞ ک‪ ３‬د ‪ ACD‬او ‪ BCD‬ﻣثﻠثﻮﻧﻮ پﻪ ﻧﻈر ک‪ ３‬ﻧﻴﻮﻟﻮ سره ﻻﻧدې تش ‪＄‬اﻳﻮﻧﻪ ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫= ‪DB‬‬ ‫=‪C‬‬

‫ﻣﺸتﺮﻛﻪ ﺿﻠﻌﻪ‬

‫‪E‬‬

‫=‬

‫د ‪ ACD‬او ‪ BCD‬د دوو ﻣثﻠثﻮﻧﻮ‬ ‫پﻪ برخﻪ ک‪＇ ３‬ﻪ وﻳﻼى شئ؟‬ ‫کﻮﻻى شئ چ‪ ３‬وواﻳئ ‪ BC = AD‬دى؟‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫پﻪ ﻫر ﻣستطتﻴﻞ ک‪ ３‬ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ ﻟﻪ بﻞ سره ﻣساوي او ﻳﻮ بﻞ ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬پﻪ شکﻞ ک‪ AD ３‬او ‪ BC‬د ‪ABDC‬‬

‫‪B‬‬

‫د ﻣستطﻴﻞ ﻗطروﻧﻪ دي‪ ،‬کﻪ چﻴرې ‪ ED = 4cm‬وي‪ ،‬د ‪BC‬‬

‫‪E‬‬

‫اوږدواﻟﻰ پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪125‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫حل‪＇ :‬رﻧ‪／‬ﻪ چ‪ ３‬د ﻣستطﻴﻞ ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ بﻞ سره ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي‪ ،‬ﻧﻮ ‪ AE = 4cm‬او ‪AD = 8cm‬‬ ‫ﻟﻪ بﻠ‪ ３‬خﻮا ＇رﻧ‪／‬ﻪ چ‪ ３‬د ﻣستطﻴﻞ ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ ﻟﻪ بﻞ سره ﻣساوي دي ‪ BC = AD‬ﻧﻮ ‪BC = 8cm‬‬

‫دى‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪ -1‬پﻪ ﻻﻧدې ﻣستطﻴﻞ ک‪ ３‬ﻧاﻣﻌﻠﻮم اوږدواﻟﻲ پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫‪8cm‬‬ ‫‪5cm‬‬

‫‪6cm‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ -2‬کﻪ چﻴرې ‪ BC = 6cm‬وي‪ ،‬د ‪ EB , ED , AE , AD‬او ‪ EC‬اوږدواﻟﻰ پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ -3‬کﻪ چﻴرې د ﻳﻮه ﻣستطﻴﻞ ﻳﻮ ﻗطر ‪ 18cm‬وي‪ ،‬ددې ﻣستطﻴﻞ بﻞ ﻗطر ﻣساوي دى پﻪ‪:‬‬ ‫‪a) 9cm‬‬ ‫‪b) 18cm‬‬ ‫‪c) 4.5cm‬‬ ‫‪ -4‬کﻪ د ﻳﻮه ﻣستطﻴﻞ د ﻳﻮه ﻗطر ﻧﻴﻤاﻳ‪ 6cm ３‬وي‪ ،‬ددې ﻣستطﻴﻞ د ﻫر ﻗطر اوږدواﻟﻰ ﻣساوي دى‬ ‫پﻪ‪:‬‬ ‫‪c) 24cm‬‬

‫‪a) 12cm‬‬

‫‪b) 6cm‬‬

‫‪ -5‬د ﻳﻮه ﻣستطﻴﻞ د ﻗطروﻧﻮ ﻟﻪ تﻘاطﻊ ＇خﻪ ＇ﻮ اﻧطباق ﻣﻨﻮوﻧکﻰ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ جﻮړﻳ‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪b( 4‬‬ ‫دواړه سﻢ ﻧﻪ دي (‪c‬‬

‫‪a( 2‬‬

‫‪ -6‬پﻮره سﻢ ‪＄‬ﻮاب پﻪ ﻧ‪＋‬ﻪ ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫پﻪ ﻣستطﻴﻞ ک‪ ３‬ﻗطروﻧﻪ‪:‬‬ ‫‪ )a‬ﻳﻮ ﻟﻪ بﻠﻪ سره ﻣساوي دي‪:‬‬

‫‪ )b‬ﻳﻮ بﻞ ﻧﻴﻤاﻳ‪ ３‬کﻮي‪.‬‬

‫‪ )c‬دواړه سﻢ دى‪.‬‬

‫‪ -7‬ﻫﻐﻪ ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ‪－‬اﻧ‪ ３‬چ‪ ３‬د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ！ﻮل خاصﻴتﻮﻧﻪ ﻟري‪ ،‬ﻋبارت دي ﻟﻪ‪:‬‬ ‫‪ )a‬ﻣربﻊ‬

‫‪ )b‬ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزی)‬

‫‪ )c‬ﻣستطﻴﻞ‬

‫‪ )d‬د رې واړه سﻢ دي‬

‫‪126‬‬

‫د معﻴن (لوزي) قطرونه‬ ‫پﻪ ﻣخاﻣخ شکﻞ ک‪ ３‬د ﻫﻨدسﻲ شکﻠﻮﻧﻮ ﻧﻮﻣﻮﻧﻪ‬ ‫وواﻳئ‪:‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫ﻳﻮ داس‪ ３‬ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) رسﻢ ک‪７‬ئ چ‪ ３‬ﻳﻮه ضﻠﻌﻪ ﻳ‪ 4cm ３‬او ﻳﻮه زاوﻳﻪ ﻳ‪ 50o ３‬وي‪.‬‬ ‫د دې ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ﻗطروﻧﻪ رسﻢ ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د ﻗطروﻧﻮ ترﻣﻨ‪ ＃‬زاوﻳﻪ ﻳ‪ ３‬پﻴدا ک‪７‬ئ د دوی پﻪ برخﻪ ک‪＇ ３‬ﻪ وﻳﻼى شئ؟‬ ‫‪ AC‬او ‪ BD‬د ‪ ABCD‬د ﻣﻌﻴﻦ دوه ﻗطروﻧﻪ دي‪.‬‬ ‫ﻏﻮاړو ثبﻮت ک‪７‬و چ‪ ３‬د ﻳﻮ ﻣﻌﻴﻦ ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد دي‪.‬‬ ‫د ‪ ABCD‬پﻪ ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ک‪ ３‬ﻟرو چ‪:３‬‬ ‫(د ﻣﻌﻴﻦ ضﻠﻌ‪ ３‬سره ﻣساوي دي) ‪AB = BC = CD = AD‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﻟﻪ بﻠ‪ ３‬خﻮا د ‪ AC‬او ‪ BD‬دوه ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ بﻞ سره ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي‬ ‫(ﻟﻮزي ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ده‪).‬‬ ‫ﻧﻮ‪:‬‬ ‫‪EB = ED‬‬ ‫‪AE = EC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ ABC‬او ‪ ACD‬دوه ﻣتساوي اﻟساﻗﻴﻦ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ دي(د ﻟﻮزي ضﻠﻌ‪ ３‬سره ﻣساوي دي‪).‬‬ ‫د ‪ ABC‬پﻪ ﻣتساوي اﻟساﻗﻴﻦ ﻣثﻠث ک‪ ３‬د ‪ AC‬ضﻠﻌﻪ پﻪ دوو ﻣساوي برخﻮ و‪４‬شﻞ شﻮي ده‪ .‬پﻪ دې ﻣﻌﻨا‬ ‫چ‪ ３‬د ‪ BE‬ﻣستﻘﻴﻢ خط د ‪ ABC‬د ﻣثﻠث ﻣﻴاﻧﻪ او ارتﻔاع ﻫﻢ ده‪.‬‬ ‫＇رﻧ‪／‬ﻪ چ‪ ３‬د ‪ BE‬ﻣستﻘﻴﻢ خط د ‪ E‬پﻪ ﻧﻘطﻪ ک‪ ３‬د ‪ AC‬پر ضﻠﻌﻪ ﻋﻤﻮد دى‪ ،‬ﻫﻤدارﻧ‪／‬ﻪ د ‪ED‬‬ ‫ﻣستﻘﻴﻢ خط د ‪ E‬پﻪ ﻧﻘطﻪ ک‪ ３‬ﻫﻢ پر ‪ AC‬ﻋﻤﻮد دى‪.‬‬ ‫پﻪ ﻧتﻴجﻪ ک‪BC AC ３‬‬ ‫‪ BD‬دى‪.‬‬

‫‪127‬‬

‫مثال‪ :‬پﻪ ﻣخاﻣخ شکﻞ ک‪ ３‬د ‪ AC‬او ‪ BD‬د ‪ ABCD‬د ﻟﻮزي ﻗطروﻧﻪ‬

‫‪B‬‬

‫دي کﻪ‪ A1 = A 2 = C5 = C6 = 60o :‬وي‪.‬‬

‫‪34‬‬

‫د ‪ D7 , B 4 , B3‬او ‪ D8‬زاوﻳ‪ ３‬پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫حل‪＇ :‬رﻧ‪／‬ﻪ چ‪ CDE ،BCE ،ABE ３‬او ‪ ADE‬ﻣثﻠثﻮﻧﻪ ﻗاﻳﻢ ‪C‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫اﻟزاوﻳﻪ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ دي ‪D7 = 90o 60o = 30o‬‬ ‫پﻪ ﻧتﻴجﻪ ک‪ B3 = B4 = D7 = D8 = 30o :３‬دى‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪87‬‬

‫‪D‬‬ ‫د ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد او ﻳﻮ بﻞ ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬آﻳا د ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ﻗطروﻧﻪ‪ ،‬د رآسﻮﻧﻮ زاوﻳ‪ ３‬ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي؟‬ ‫‪ -2‬آﻳا د ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد او ﻳﻮ ﻟﻪ بﻞ سره ﻣساوي دي؟‬ ‫‪ -3‬آﻳا د ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ بﻞ ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي؟‬ ‫‪ -4‬آﻳا ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ده؟‬ ‫‪A‬‬

‫‪ -5‬د ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) پﻪ دې شکﻞ ک‪ 4 , 3 , 2 , 1 ３‬او ‪ 5‬زاوﻳ‪ ３‬پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫‪35o‬‬

‫‪2 C‬‬

‫‪B 5‬‬

‫‪43‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪128‬‬

‫د شپ‪８‬م فصل لن‪６‬يز‬ ‫دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ چ‪ ３‬پﻪ ﻳﻮه ﻣستﻮي ک‪ ３‬واﻗﻊ وي‪ ،‬خپﻠﻪ خطﻮﻧﻪ او ﻳا اﻣتداد ﻳ‪ ３‬شرﻳکﻪ ﻧﻘطﻪ وﻧﻪ‬ ‫ﻟري سره ﻣﻮازي دي‪ .‬د دوو ﻣﻮازي خطﻮﻧﻮ ترﻣﻨ‪ ＃‬ﻓاصﻠﻪ ﻣساوي ده‪.‬‬ ‫دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ چ‪ ３‬پر ﻳﻮه خط باﻧدې ﻋﻤﻮد وي‪ ،‬پﻪ خپﻞ ﻣﻨ‪ ＃‬ک‪ ３‬ﻣﻮازي دي‪.‬‬ ‫دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ ﻫﻐﻪ وخت ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد دي چ‪ ３‬تر ﻣﻨ‪ ＃‬زاوﻳﻪ ﻳ‪ 90o ３‬وي‪.‬‬ ‫کﻪ چﻴرې دوه ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ د ﻳﻮ ﻗاطﻊ خط پﻪ واسطﻪ ﻗطﻊ شﻲ‪＇ ،‬ﻠﻮر داخﻠﻲ ﻣتبادﻟ‪ ３‬او ＇ﻠﻮر‬ ‫‪E‬‬

‫خارجﻲ ﻣتبادﻟ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬جﻮړ وي چ‪ ３‬دوه پﻪ دوه سره ﻣساوي دي‪.‬‬ ‫‪B‬‬

‫خارجﻲ ﻣتبادﻟ‪ ３‬زاوﻳ‪３‬‬

‫‪2=8‬‬

‫داخﻠﻲ ﻣتبادﻟ‪ ３‬زاوﻳ‪３‬‬

‫‪3=5‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪D‬‬

‫‪4=6‬‬

‫‪1=7‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫کﻪ چﻴرې دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ‪ ،‬د ﻳﻮه ﻣستﻘﻴﻢ خط پﻪ واسطﻪ داس‪ ３‬ﻗطﻊ شﻲ چ‪ ３‬ﻣساوي ﻣتبادﻟ‪３‬‬ ‫زاوﻳ‪ ３‬جﻮړې ک‪７‬ي دا دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي‪.‬‬ ‫کﻪ چﻴري دوه ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ ﻳﻮ ﻣستﻘﻴﻢ خط ﻗطﻊ ک‪７‬ي ‪ 8‬ﻣتﻮاﻓﻘﻲ زاوﻳ‪ ３‬جﻮړ وي چ‪ ３‬دوه پﻪ دوه‬ ‫سره ﻣساوي دي‪.‬‬

‫‪، 1=5‬‬

‫‪2=6‬‬

‫‪، 4=8‬‬

‫‪3=7‬‬

‫کﻪ چﻴرې دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ‪ ،‬د ﻳﻮه ﻣستﻘﻴﻢ خط پﻪ واسطﻪ داس‪ ３‬ﻗطﻊ شﻲ چ‪ ３‬ﻣساوي ﻣتﻮاﻓﻘ‪３‬‬ ‫زاوﻳ‪ ３‬جﻮړې ک‪７‬ي‪ ،‬دا دوه خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي‪.‬‬ ‫کﻪ دوه ﻣﻮازي خطﻮﻧﻪ د ﻳﻮ خط پﻪ واسطﻪ ﻗطﻊ شﻲ‪ ،‬د ﻗاطﻊ ﻳﻮې خﻮاتﻪ د داخﻠﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ‬ ‫‪ 180o‬کﻴ‪８‬ي‪.‬‬ ‫کﻪ چﻴرې دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ د ﻳﻮه ﻗاطﻊ خط پﻪ واسطﻪ داس‪ ３‬ﻗطﻊ شﻲ چ‪ ３‬د ﻗاطﻊ خط د ﻳﻮې‬ ‫خﻮا د داخﻠﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ ‪ 180o‬شﻲ‪ ،‬دا دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي‪.‬‬

‫‪129‬‬

‫پﻪ ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ک‪ ３‬ﻣﻘابﻠ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬دوه پﻪ دوه سره ﻣساوي دي‪.‬‬ ‫د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ بﻞ سره ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي او د ﻗطروﻧﻮ ﻟﻪ تﻘاطﻊ ＇خﻪ دوه جﻮړې اﻧطباق ﻣﻨﻨﻮکﻲ‬ ‫ﻣثﻠثﻮﻧﻪ جﻮړﻳ‪８‬ي‪.‬‬ ‫پﻪ ﻣستطﻴﻞ ک‪ ３‬ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ ﻟﻪ بﻞ سره ﻣساوي ﻳﻮ بﻞ ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي‪ ،‬او د ﻗطروﻧﻮ ﻟﻪ تﻘاطﻊ ＇خﻪ دوه جﻮړې‬ ‫اﻧطباق ﻣﻨﻨﻮﻧکﻲ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ جﻮړﻳ‪８‬ي‪.‬او د ﻣستطﻴﻞ ＇ﻠﻮر واړه زاوﻳ‪ ３‬ﻗاﻳﻤﻲ دي‪.‬‬ ‫د ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ＇ﻠﻮر ضﻠﻌ‪ ３‬سره ﻣساوي دي‪ ،‬ﻗطروﻧﻪ ﻳ‪ ３‬ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد دي او ﻳﻮ بﻞ ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي‪ .‬د‬ ‫ﻗطروﻧﻮ ﻟﻪ تﻘاطﻊ ＇خﻪ ＇ﻠﻮر اﻧطباق ﻣﻨﻮوﻧکﻲ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ جﻮړﻳ‪８‬ي او ﻫﻢ ﻗطروﻧﻪ د راسﻮﻧﻮ زاوﻳ‪ ３‬ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي‪.‬‬

‫د ﻣربﻊ ﻗطروﻧﻪ سره ﻣساوي‪ ،‬ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد او ﻳﻮ بﻞ سره ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي‪ .‬د ﻣربﻊ ﻗطروﻧﻪ د رآس‬ ‫زاوﻳ‪ ３‬ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي او د ﻗطروﻧﻮ ﻟﻪ تﻘاطﻊ ＇خﻪ ＇ﻠﻮر اﻧطباق ﻣﻨﻮﻧکﻲ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ جﻮړ‪８４‬ي‪.‬‬ ‫د ﻳﻮې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د داخﻠﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ ‪ 360o‬ده‪ ،‬ﻫﻤدارﻧ‪／‬ﻪ د ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د خارجﻲ زاوﻳﻮ‬ ‫ﻣجﻤﻮﻋﻪ ﻫﻢ ‪ 360o‬ده‪.‬‬ ‫د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع‪ ،‬ﻣستطﻴﻞ‪ ،‬ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) او ﻣربﻊ د خاصﻴتﻮﻧﻮ شرﻳکﻮاﻟﻰ د س＂ﻮﻧﻮ د تﻘاطﻊ پﻪ ډول پﻪ وﻳﻦ‬ ‫دﻳا‪－‬رام ک‪＊ ３‬ﻮدل شﻮي دي‪.‬‬

‫ﻣﺘﻮﺍزى ﺍﻻﺿﻼع‬

‫ﻣﻌﻴﻦ ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ‬

‫‪130‬‬

‫د شپ‪８‬م ＇پرکى پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬پﻪ ﻻﻧدې شکﻠﻮﻧﻮ ک‪ ３‬د ‪ AB‬او ‪ CD‬کﻮم دوه ﻗطﻌﻪ خطﻮﻧﻪ سره ﻣﻮازي دي؟‬ ‫‪B‬‬ ‫‪50°‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪40°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪80°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪70°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪110°‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪80°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -2‬کﻪ د (‪ )a‬پﻪ شکﻞ ک‪ ３‬د ‪ AB || CD‬او د (‪ )b‬بﻪ شکﻞ ک‪ ３‬او ‪ CD || EF‬وي‪ ،‬پﻪ دې شکﻠﻮﻧﻮ ک‪３‬‬ ‫‪ 1‬او ‪ 2‬ﻫره ﻳﻮه زاوﻳﻪ ＇ﻮ درج‪ ３‬ده؟‬ ‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪110°‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪95°‬‬

‫‪2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫(‪)a‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪ -3‬پﻪ ﻻﻧدې شکﻞ ک‪ ３‬کﻪ ‪ AB || ED‬او ‪ EF || CD‬وي‪ 1 ،‬او ‪ 2‬پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪131‬‬

‫‪A‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬

‫(‪)b‬‬

‫‪ -4‬ﻫره ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ چ‪ ３‬کﻮم خاصﻴت ﻟري ﻣخاﻣخ ورتﻪ د √ ﻋﻼﻣﻪ وﻟﻴکئ‪.‬‬ ‫ﻣربﻊ‬

‫ﻣستطﻴﻞ‬

‫ﻣﻌﻴﻦ(ﻟﻮزي)‬

‫خاصﻴتﻮﻧﻪ‬

‫ﻣتﻮازي اﻻضﻼع‬

‫ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ بﻞ سره ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي‬ ‫ﻗطروﻧﻪ سره ﻣساوي دي‬ ‫ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد دي‬ ‫ﻗطروﻧﻪ د راس زاوﻳ‪ ３‬ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي‬ ‫د ﻗطروﻧﻮ ﻟﻪ تﻘاطﻊ ＇خﻪ دوه جﻮړى اﻧطباق ﻣﻨﻮوﻧکﻲ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ‬ ‫جﻮړﻳ‪８‬ي‬ ‫د ﻗطروﻧﻮ ﻟﻪ تﻘاطﻊ ＇خﻪ ＇ﻠﻮر اﻧطباق ﻣﻨﻮوﻧکﻲ ﻣثﻠثﻮﻧﻮﻧﻪ جﻮړﻳ‪８‬ي‪.‬‬

‫ﻣﻘابﻠ‪ ３‬ضﻠﻌ‪ ３‬ﻳ‪ ３‬سره ﻣﻮازي او ﻣساوي دي‬ ‫！ﻮﻟ‪ ３‬ضﻠﻌ‪ ３‬ﻳ‪ ３‬سره ﻣساوي دي‬ ‫ﻣﻘابﻠ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬ﻳ‪ ３‬سره ﻣساوي دي‬ ‫＇ﻠﻮر واړه زاوﻳ‪ ３‬ﻳ‪ ３‬سره ﻣساوي دي‬

‫‪ -5‬سﻢ ‪＄‬ﻮابﻮﻧﻪ پﻪ ﻧ‪＋‬ﻪ ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ﻫﻐﻪ وخت چ‪ ３‬دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ(کر＊‪ )３‬د ﻳﻮه ﻗاطﻊ پﻪ واسطﻪ ﻗطﻊ شﻲ او ﻣساوي ﻣتبادﻟ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬جﻮړې‬ ‫ک‪７‬ي‪ ،‬دا کر＊‪ ３‬سره‪:‬‬ ‫‪ )c‬ﻣتﻘاطﻊ دي‬ ‫‪ )b‬ﻣﻮازي دي‬ ‫‪ )a‬ﻋﻤﻮدي دي‬ ‫‪ -6‬دوه زاوﻳ‪ ３‬چ‪ ３‬ضﻠﻌ‪ ３‬ﻳ‪ ３‬سره ﻣﻮازي او ﻫﻢ جﻬت ﻳا ﻣﻮازي او ﻣختﻠﻒ اﻟجﻬت وي‪ ،‬دا زاوﻳ‪ ３‬سره‬ ‫‪ )c‬د دواړو زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ ‪ 90o‬ده‪.‬‬ ‫‪ )b‬ﻳﻮ د بﻞ ﻣتﻤﻤ‪ ３‬دي‬ ‫‪ )a‬ﻣساوي دي‬

‫‪-7‬دوې زاوﻳ‪ ３‬چ‪ ３‬دوې ضﻠﻌ‪ ３‬ﻳ‪ ３‬ﻣﻮازي او ﻫﻢ جﻬت او دوې ضﻠﻌ‪ ３‬ﻳ‪ ３‬ﻣﻮازي او ﻣختﻠﻒ اﻟجﻬت‬ ‫وي‪:‬‬

‫‪ )a‬ﻣجﻤﻮﻋﻪ ﻳ‪ 180 ３‬ک‪８５‬ي‬ ‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪ )b‬ﻣجﻤﻮﻋﻪ ﻳ‪ 90 ３‬ک‪８５‬ي‪.‬‬

‫‪ )c‬سره ﻣساوي دى‪.‬‬

‫‪132‬‬

‫‪ -8‬دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ چ‪ ３‬پر ﻳﻮه خط باﻧدې ﻋﻤﻮد وي ﻳﻮ ﻟﻪ بﻠﻪ سره‪:‬‬ ‫‪ )c‬ﻣتﻘاطﻊ دي‬ ‫‪ )b‬ﻋﻤﻮد دي‬ ‫‪ )a‬ﻣﻮازي دي‬ ‫‪ -9‬کﻪ چﻴرې دوه ﻣستﻘﻴﻢ خطﻮﻧﻪ دﻳﻮ ﻣستﻘﻴﻢ خط پﻪ واسطﻪ داس‪ ３‬ﻗطﻊ شﻲ چ‪ ３‬د ﻗاطﻊ د ﻳﻮې خﻮا‬ ‫د دوو داخﻠﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ ﻳ‪ 180o ３‬شﻲ‪ ،‬دا دوه خطﻮﻧﻪ سره‪:‬‬ ‫‪ )a‬ﻣﻮازي دي‬

‫‪ )c‬ﻣتﻘاطﻊ دي‬

‫‪ )b‬ﻋﻤﻮد دي‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪ -10‬پﻪ ﻻﻧدې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ‪－‬اﻧﻮ ک‪ ３‬د ﻧاﻣﻌﻠﻮﻣﻮ ضﻠﻌﻮ اوږدواﻟﻰ پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2.5‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ -11‬د ﻻﻧدې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ‪－‬اﻧﻮ د ﻫر ﻳﻮې درې ﻧاﻣﻌﻠﻮﻣ‪ ３‬زاوﻳ‪ ３‬پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪90°‬‬

‫‪130°‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪90°‬‬

‫‪130°‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪90°‬‬

‫‪130°‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪ -12‬پﻪ شکﻞ ک‪ p || q ３‬او ‪ m || n‬دى‪ ،‬کﻪ ‪ 2 = 40o‬وي‪ ،‬د ﻧﻮرو پات‪ ３‬زاوﻳﻮ اﻧدازه پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪n‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪9 10‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪12 11‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9 10‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪12 11‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪13 14‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪9 10‬‬ ‫‪p 8 7‬‬ ‫‪16 15‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪12 11‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪13 14‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪8 7‬‬ ‫‪16 15‬‬ ‫‪p‬‬

‫‪13 14‬‬ ‫‪16 15‬‬

‫‪133‬‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪q‬‬

‫‪ -13‬ﻟﻪ ﻻﻧدې جﻤﻠﻮ ＇خﻪ کﻮﻣﻪ ﻳﻮه ﻳ‪ ３‬سﻤﻪ او کﻮﻣﻪ ﻳﻮه ﻳ‪ ３‬ﻧاسﻤﻪ ده؟‬ ‫د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻗطروﻧﻪ سره ﻣساوي دي‪.‬‬ ‫د ﻣربﻊ ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد دي‪.‬‬ ‫دﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ بﻞ سره ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي‪.‬‬ ‫د ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ＇ﻠﻮرواړه زاوﻳ‪ ３‬ﻗاﻳﻤ‪ ３‬دي‪.‬‬ ‫د ﻣتﻮازي اﻻضﻠﻊ ﻣﻘابﻠ‪ ３‬ضﻠﻌ‪ ３‬دوه پﻪ دوه ﻣساوي او ﻣﻮازي دي‪.‬‬ ‫د ذوزﻧﻘ‪ ３‬ﻣﻘابﻠ‪ ３‬ضﻠﻌ‪ ３‬دوه پﻪ دوه سره ﻣﻮازي دي‪.‬‬ ‫ﻫﻴ（کﻠﻪ ﻳﻮه ذوذﻧﻘﻪ ﻣتﻮازي اﻻضﻼع کﻴداى ﻧﻪ شﻲ‪.‬‬ ‫ﻫر ﻣستطﻴﻞ ﻳﻮه ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ده‪.‬‬ ‫ﻣﻌﻴﻦ (ﻟﻮزي) ﻳﻮه ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ده‪.‬‬ ‫ﻳﻮازې ﻣربﻊ ﻳﻮه داس‪＇ ３‬ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ ده چ‪＇ ３‬ﻠﻮر واړه زاوﻳ‪ ３‬ﻳ‪ ３‬ﻗاﻳﻤ‪ ３‬دي‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫کﻪ د ﻳﻮې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د در‪４‬ﻮ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ ‪ 300o‬وي‪＇ ،‬ﻠﻮرﻣﻪ زاوﻳﻪ ﻳ‪ 60 ３‬ده‪.‬‬ ‫د ﻳﻮې ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د خارجﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ ‪ 360o‬ده‪.‬‬ ‫د ﻳﻮي ＇ﻠﻮر ضﻠﻌﻲ د داخﻠﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮﻋﻪ ‪ 360o‬ده‪.‬‬ ‫د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد دي‪.‬‬ ‫د ﻣستطﻴﻞ د ﻗطروﻧﻮ ﻟﻪ تﻘاطﻊ ＇خﻪ ＇ﻠﻮر اﻧطباق ﻣﻨﻮوﻧکﻲ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ جﻮړﻳ‪８‬ي‪.‬‬ ‫د ﻣﻌﻴﻦ(ﻟﻮزي) د ﻗطروﻧﻮ ﻟﻪ تﻘاطﻊ ＇خﻪ ＇ﻠﻮر اﻧطباق ﻣﻨﻮوﻧکﻲ ﻣثﻠثﻮﻧﻪ جﻮړ‪８４‬ي‪.‬‬ ‫د ﻣستطﻴﻞ ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ بﻞ سره ﻧﻴﻤاﻳﻲ کﻮي‪.‬‬ ‫د ﻣﻌﻴﻦ ﻗطروﻧﻪ ﻳﻮ پر بﻞ ﻋﻤﻮد دي‪.‬‬ ‫‪ -14‬کﻪ د ﻳﻮې ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻳﻮه زاوﻳﻪ ﻗاﻳﻤﻪ وي‪＊ ،‬کاره ک‪７‬ئ چ‪ ３‬درې ﻧﻮرې زاوﻳ‪ ３‬ﻳ‪ ３‬ﻫﻢ‬ ‫ﻗاﻳﻤ‪ ３‬دي‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ -15‬کﻪ د ﻳﻮې ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻳﻮه زاوﻳﻪ ‪ 55‬وي‪ ،‬درې ﻧﻮرې زاوﻳ‪ ３‬ﻳ‪ ３‬پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -16‬پﻪ شکﻞ ک‪ AB || CD ３‬دى‪ 2 , 1 ،‬او ‪ 3‬پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪90°‬‬

‫‪90°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3 2‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪70° 1 50°‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪134‬‬