Matematik 8. 2. Kitap

Citation preview

Matematik 8 2. Kitap Yazarlar Tunç Tağmaç Prof. Dr. Osman Cankoy Fuat Ortaş Dr. Ayşen Özerem Evren Gürbüzer Öncü

Editörler Prof. Dr. Osman Cankoy Yrd. Doç. Dr. Tuba Gökmenoğlu

KKTC Milli Eğitim ve Kültür Bakanlığı Bu kitap, Temel Eğitim Program Geliştirme Projesi kapsamında geliştirilmiş ve KKTC Milli Eğitim ve Kültür Bakanlığı, Talim ve Terbiye Dairesi tarafından, ortaokullarda ders kitabı olarak kullanılması uygun bulunmuştur.

©KKTC MİLLİ EĞİTİM VE KÜLTÜR BAKANLIĞI/2018 Matematik 8 2. Kitap Proje Yürütücüsü Prof. Dr. Ahmet Pehl van DAÜ Öğret m Üyes

Dil Uzmanı Prof. Dr. Vügar Sultanzade

Grafik Tasarım Tunç Tağmaç Sayfa Düzeni Tunç Tağmaç Prof. Dr. Osman Cankoy Kapak Tasarımı Prof. Dr. Osman Cankoy Baskı Ağustos 2018

225 42 47

225 31 28

[email protected] Şht. Mustafa Ruso Cad. No. 44 K.Kaymaklı - Lefkoşa

KKTC MİLLİ EĞİTİM VE KÜLTÜR BAKANLIĞI YAYINIDIR. Bu kitap KKTC Milli Eğitim ve Kültür Bakanlığına aittir ve her hakkı saklıdır. Kitabın metin, soru, resim ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayımlanamaz.

İSTİKLAL MARŞI Korkma! Sönmez bu şafaklarda yüzen al sancak, Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak. O benim milletimin yıldızıdır, parlayacak; O benimdir, o benim milletimindir ancak. Çatma, kurban olayım, çehreni ey nazlı hilal! Kahraman ırkıma bir gül; ne bu şiddet, bu celal? Sana olmaz dökülen kanlarımız sonra helal... Hakkıdır, Hakk’a tapan milletimin istiklal.

Mehmet Akif Ersoy

ANDIMIZ Türk’üm, doğruyum, çalışkanım. İlkem, küçüklerimi korumak, büyüklerimi saymak, Yurdumu, milletimi, özümden çok sevmektir. Ülküm, yükselmek, ileri gitmektir. Ey Büyük Atatürk! Açtığın yolda, gösterdiğin hedefe, Durmadan yürüyeceğime ant içerim. Varlığım, Türk varlığına armağan olsun. Ne Mutlu Türk’üm diyene!

Mustafa Kemal ATATÜRK (1881 - 1938)

Dr. Fazıl KÜÇÜK (1906 - 1984)

Rauf R. DENKTAŞ 1924-2012

İçindekiler ÜNİTE 4: GEOMETRİ 1............................................................................................................1 BÖLÜM 1 – Üçgenler.................................................................................................................2 4 . 1 Ü ç g e n l e r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4.1.1 Üçgende Yardımcı Elemanlar.............................................................................................2 4.1.2 Bir Üçgenin Alanı..............................................................................................................8 4.1.3 Üçgenin Kenarları Arasındaki Bağın lar.........................................................................12 4.1.4 Üçgende Açı-Kenar İlişkisi.............................................................................................14 4.1.5 Üçgen Çizimleri...............................................................................................................18 4.1.6 Dik Üçgende Pisagor Bağın sı......................................................................................21 BÖLÜM DEĞERLENDİRME TESTİ 1.........................................................................................................27 ÜNİTE DEĞERLENDİRME TESTİ 4............................................................................................................29 TARAMA TESTİ 3.....................................................................................................................................32 ÜNİTE 5: GEOMETRİ 2.........................................................................................................................35 BÖLÜM 1 – EŞLİK ve BENZERLİK...............................................................................................36 5.1 Eşlik ve Benzerlik...................................................................................................................36 5.1.1 Eşlik ve Benzerlik Arasındaki İlişki...........................................................................................36 5.1.2 Eş veya Benzer Çokgenlerde Kenar-Açı ve Oran...................................................................38 BÖLÜM DEĞERLENDİRME TESTİ 1...........................................................................................................48 BÖLÜM 2 – TRİGONOMETRİ...............................................................................................................49 5.2 Trigonometri.........................................................................................................................49 5.2.1 Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları................................................................49 5.2.2 Trigonometrik Oranları Kullanarak Problem Çözme.............................................................53 BÖLÜM DEĞERLENDİRME TESTİ 2...................................................................................................56 ÜNİTE DEĞERLENDİRME TESTİ 5..........................................................................................................57 TARAMA TESTİ 4.............................................................................................................................60 ÜNİTE 6: GEOMETRİK CİSİMLER..........................................................................................................63 BÖLÜM 1 – Geometrik Cisimler.............................................................................................................64 6.1 Dik Prizmalar ve Temel Özellikleri..................................................................................................64 6.1.1 Dikdörtgenler Prizması ve Özellikleri...........................................................................................65 6.1.1.1 Dikdörtgenler Prizmasının Yüzey Alanı.................................................................................66 6.1.1.2 Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi..........................................................................................67 6.1.2 Küp......................................................................................................................................70 6.1.2.1 Küpün Yüzey Alanı...............................................................................................................71 6.1.2.2 Küpün Hacmi........................................................................................................................72 6.1.3 Kare Dik Prizma ..........................................................................................................................75 6.1.3.1 Kare Dik Prizmanın Yüzey Alanı.......................................................................................76 6.1.3.2 Kare Dik Prizmanın Hacmi.................................................................................................77 6.1.4 Dik Üçgen Dik Prizma.....................................................................................................79 6.1.4.1 Dik Üçgen Dik Prizmanın Yüzey Alanı.................................................................................80 6.1.4.2 Dik Üçgen Dik Prizmanın Hacmi..........................................................................................81 6.1.5 Dik Dairesel Silindir.......................................................................................................83 6.1.5.1 Dik Dairesel Silindirin Yüzey Alanı.................................................................................84 6.1.5.2 Dik Dairesel Silindirin Hacmi..........................................................................................86

6.1.6 Piramit.....................................................................................................................90 6.1.7 Koni.........................................................................................................................92 BÖLÜM DEĞERLENDİRME TESTİ..........................................................................................................94 ÜNİTE DEĞERLENDİRME TESTİ 6..............................................................................................96 TARAMA TESTİ 5....................................................................................................................................100 ÜNİTE 7: OLASILIK.................................................................................................................................105 BÖLÜM 1 - OLASILIK....................................................................................................................106 7.1 Olasılık............................................................................................................................106 7.1.1 Bir Olaya Ait Olası Durumlar..........................................................................................106 7.1.2 Daha Az, Eşit, Daha Fazla Olasılıklı Olaylar...........................................................................108 7.1.3 Eş Olasılıklı Olaylar..................................................................................................................110 7.1.4 Kesin Olay - İmkansız Olay......................................................................................................111 7.1.5 Bir Olayın Olma Olasılığı.......................................................................................................112 BÖLÜM DEĞERLENDİRME TESTİ..........................................................................................................116 ÜNİTE DEĞERLENDİRME TESTİ 7...........................................................................................................117 TARAMA TESTİ 6.....................................................................................................................................119 YERLEŞTİRME SINAVI SORULARI (2011-2018)..................................................................................122 ÜNİTE DEĞERLENDİRME TESTLERİ CEVAP ANAHTARI.............................................................................137 YERLEŞTİRME SINAVI SORULARI CEVAP ANAHTARI.................................................................137 KAYNAKÇA ............................................................................................................................................ 138

ÜNİTE 4 GEOMETRİ 1

1

ÜNİTE 4 GEOMETRİ 1 ÜÇGENLER

4.1

ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR

4.1.1

1 ÜÇGENDE KENARORTAY

Orta nokta

Üçgen şeklindeki bir kağıt taban köşeleri çakışacak şekilde katlanıp açılarak tabanın orta noktası bulunur.

Bulunan orta nokta karşı köşesi ile katlanır.

Katlanan kağıdı aç ğımızda oluşan katlama çizgisi üçgenin tabanına ait kenarortay olur.

Örnek A

Yanda, kareli zemin üzerinde verilen ABC üçgeninde cetvel yardımıyla [AB]’nın ve kareler yardımıyla ise [BC]’nın kenarına ait kenarortayları çizelim. B

C

Çözüm: 0 1

A

A

2 3 4 5 6 7

E

8 9 10

E

11 12

B

2

C D Elde edilen [AB] ve [BC] kenarlarına ait orta noktalara sırasıyla D ve E diyelim.

B

C D A noktasını D noktası ile C noktasını da F noktası ile birleş rirsek, [AB] ve [BC] kenarlarına ait kenarortayları çizmiş oluruz.

BÖLÜM 1: ÜÇGENLER

Üçgenin bir köşesini karşı kenarının orta noktası ile birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. A Kenarortaylar “V” harfi ile gösterilir ve üçgenin iç bölgesinde bir noktada kesişirler.

M

Va : BC kenarına ait kenarortay Vb : AC kenarına ait kenarortay Vc : AB kenarına ait kenarortay

Va

Vb

B

L Vc

C

K

A

Bir üçgende üç köşeden çizilen kenarortayların kesim noktasına o üçgenin ağırlık merkezi denir. Ağırlık merkezi “G” ile gösterilir. Siz de çizeceğiniz bir ABC üçgenindeki kenarortaylar ile elde edeceğiniz “G” ağırlık merkezine göre |AG| |GK|, |AK|’nın birbirleriyle olan oranlarını yaklaşık olarak hesaplayınız. Bunun için cetvel ve pergel kullanmayı unutmayınız.

M

L G

B

C

K

2 ÜÇGENDE AÇIORTAY

Üçgen şeklindeki bir kağıdın bir kenarı, komşu kenarı ile çakışacak şekilde katlayalım.

Katlanan kağıdı aç ğımızda katlama çizgisi üçgenin bir açıortayı olur.

Örnek A

Yanda, kareli zemin üzerinde verilen

o

70

ABC üçgeninin iletki yardımıyla açıortaylarını çizelim.

o

60

B

50 o C

3

ÜNİTE 4 GEOMETRİ 1 Çözüm:

O

A

130 120 110 10 140 60 70 8 0 150 40 50 0 9 0 0 0 80 16 0 3 10 2 0

18 0 1 7 0 10 0

A o

o

35 35

40 30 20 10 50 0 150 160 1 60 130 14 70 0 18 0 0 12 70 0 11

o

o

60

o

50

C

B o

ABC üçgeninde A açısı 70 dir. o İletki yardımıyla A açısını 35 lik iki eş açıya ayıralım.

B

25 o 25o

30 o 30

C

Aynı şekilde B ve C açılarını da iletki yardımıyla iki eş açıya ayırdığımız zaman ABC üçgeninin açıortaylarını çizmiş oluruz.

Bir üçgenin bir iç açısının açıortayı, açıortay ışınının, üçgenin kenarını kestiği nokta ile uç noktası arasındaki doğru parçasıdır. Açıortaylar “n” harfi ile gösterilir ve üçgenin iç bölgesinde bir noktada kesişirler. Bir iç açının açıortayı, bu açıyı iki eş açıya ayırır. A

na : BC kenarına ait açıortay nb : AC kenarına ait açıortay nc : AB kenarına ait açıortay

na nb B

Bir üçgenin, iç açılarının, açıortaylarının kesim noktası, üçgenin kenarlarına, yandaki şekilde görüldüğü gibi, içten teğet olan çemberin merkezi olur mu?

4

nc C

BÖLÜM 1: ÜÇGENLER 3 ÜÇGENDE YÜKSEKLİK

A

A

C

B

B

.

C C B A B Kağıt açılıp bu sefer B köşesi, işaretli nokta etra nda C köşesine doğru katlanıyor. Kağıt tekrar açıldığında oluşan katlama çizgisi BC kenarına ait yükseklik olur.

C

A

Üçgen şeklindeki bir kağıdın A köşesi BC kenarı ile çakışacak şekilde katlanarak kesiş kleri nokta işaretlenir.

Üçgenin bir köşesinden, o köşenin karşı kenarına dik çizilen doğru parçasına o kenara ait yükseklik denir. Yükseklik “h” harfi ile gösterilir. Dar açılı üçgenlerde yükseklikler üçgenin iç bölgesinde kesişirler.

Geniş açılı üçgenlerde yükseklikler üçgenin dış bölgesinde kesişirler.

ha

ha .

D.

hc B

hb

A

A

A

.

Dik üçgende dik kenarlar aynı zamanda yüksekliktir.

.

hb B

.

C E

C

Dik kenar

F

.

Hi po . ten üs hb

.

B

hc

ha : BC kenarına ait yükseklik

ha : BC kenarına ait yükseklik

hb : AC kenarına ait yükseklik

hb : AC kenarına ait yükseklik

hc : AB kenarına ait yükseklik

hc : AB kenarına ait yükseklik

C

Dik kenar

Dik üçgende dik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir.

hb : AC kenarına ait yükseklik

4 EŞKENAR ÜÇGENDE, Kenarortay, Açıortay ve Yükseklik Bir eşkenar üçgenin herhangi bir köşesinden

D

karşı kenara çizilen yükseklik aynı zamanda o

hem açıortay hem de kenarortaydır. 10 cm

Yandaki DEF eşkenar üçgeninde yükseklik, kenarortay ve açıortay uzunlukları birbirine eşi r. h =V = n d

d

d

o

30 30

10 cm

o

o

60 E

5 cm

H

60 5 cm

F

5

ÜNİTE 4 GEOMETRİ 1 5 İKİZKENAR ÜÇGENDE, Kenarortay, Açıortay ve Yükseklik Bir ikizkenar üçgende uzunluğu farklı olan kenara çizilen yükseklik hem açıortay hem de kenarortaydır.

A 8 cm

Yandaki ABC ikizkenar üçgeninde [AH] hem yükseklik, hem kenarortay hem de açıortaydır.

B

8 cm

C

H 5 cm

5 cm

ha = Va = na

Eşkenar üçgenden farklı olarak ikizkenar üçgende, ikiz kenarlara çizilen kenarortaylar aynı zamanda açıortay ve yükseklik değildir. A

Yandaki ABC ikizkenar üçgeninde |AB|=|AC| ise, ikiz kenarlara çizilen yüksekliklerin uzunlukları eşittir. hb = hc Aynı şekilde; ikiz kenarlara çizilen açıortay uzunlukları ve yine ikiz kenarlara çizilen kenarortay uzunlukları kendi aralarında eşittir.

.

.

hb

hc

B

Alış rmalar 1) Aşağıdaki KLM üçgeninden yararlanarak; A) L açısının açıortayını çiziniz.

B) [KL]’na ait kenar ortayı çiziniz.

K

L M

6

C

BÖLÜM 1: ÜÇGENLER 2) Bir PRS üçgeninin RS kenarına ait yüksekliği iletki ve cetvel yardımıyla çiziniz.

3) Aşağıdaki üçgeni kullanarak NP kenarına ait yüksekliği çiziniz. M

P

N

4) Aşağıdaki PRS üçgeninin S açısına ait açıortayı çiziniz. P

S

R

5) Aşağıdaki VYZ üçgeninin ZY kenarına ait kenarortayı çiziniz. V

Y

Z

7

ÜNİTE 4 GEOMETRİ 1 4.1.2

BİR ÜÇGENİN ALANI

4 br 4 br Kareli formda verilen mavi karenin alanı 4.4 = 16 br 2dir.

Mavi kareyi iki eş dik üçgene ayırdığımızda her bir üçgenin alanı karenin alanının yarısı kadar olur.

Dik üçgende dik kenarların aynı zamanda yükseklik olduğunu biliyoruz. O halde dik kenarlardan birini taban olarak alırsak, diğeri bu tabana ait yükseklik olur. . Dik üçgenin alanı: 4 4 = 8 br 2 2

Örnek Yanda kareli form üzerinde verilen üçgenin alanını hesaplayalım.

Çözüm: Üçgenin seçilen tabanı 8 br ve bu tabana ait yüksekliği ise 4 br dir. Üçgenin alanı ise, 4 br

8 . 4 = 16 br2 olur. 2

.

8 br

Bir üçgenin alanı, üçgenin herhangi bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir. A c .

ha . b

hb B

8

A(ABC) =

hc .

a

C

a . ha 2

=

b . hb 2

=

c . hc 2

BÖLÜM 1: ÜÇGENLER

Örnek Aşağıda verilen üçgenlerin alanları hesaplanmıştır, inceleyiniz. 1

K

2

10 cm

A

B

12 cm L

C

H 24 cm

. A(KLM) = 16 12 = 96 cm2

. A(ABC) = 24 10 = 120 cm2

2

2

A

3

m

c 18

M

16 cm

D

4

H

8

cm

B

8 cm C E

. A(ABC) = 18 8 = 72 cm 2 2

Örnek

H

F

7 cm

. A(DEF) = 7 8 = 28 cm2 2

A

Yandaki üçgenin alanı 54 cm2 dir.

x

|BC|= 9 cm ise |AH| kaç cm dir? H

Çözüm:

B

9 cm

C

ABC üçgeninin alanından, . A(ABC) = 9 x = 54 br2 2

9x = 108 x = 12 cm olur. |AH|= 12 cm dir.

9

ÜNİTE 4 GEOMETRİ 1 Örnek A .

6c

m

5c

m

Yanda çizmiş olduğum üçgenin bir bölümünü boyadım. Boyamış olduğum bölgenin alanını hesaplayabilir misiniz?

E

D

6c

3c

m

m C

B

Çözüm: . . Boyalı alan = A(ABC) - A(DAE) = 12 8 - 6 5 2

2

= 48 - 15 cm = 33 cm2 A

Örnek Yandaki üçgende |AC|= 16 cm, |BF|= 6 cm |AD|= 8 cm ise, |BC|’nu bulalım.

8

Çözüm:

. D

.F 6 C

B

Üçgenin alanından yararlanarak |BC|’nu bulalım. A(ABC) =

|AC|.|BF|

=

2

16 . 6

=

2

|BC|.|AD| 2

|BC|. 8 2

16 . 6 = |BC|. 8

ise |BC| = 12 cm olur.

Alış rmalar 1) Aşağıda verilen dik üçgenlerin alanlarını hesaplayınız. A

A

B P

3 cm

S

4 cm 6 cm B

7 cm

C

P 5 cm

C L R

10

8 cm

R

BÖLÜM 1: ÜÇGENLER 2) Aşağıda verilen üçgenlerin alanlarını hesaplayınız. A)

A

B)

A

12 6 cm B

H 10 cm

A

C)

H

cm

8 cm

4 cm C

B

C

B

A

3) Yandaki üçgende [AH]^[BC] ve [BT]^[AC] dir.

.

C

5cm

D

T

|AH|= 9 cm, |BC|= 12 cm ve |AC|= 10 cm olduğuna göre, |BT| kaç cm’dir? B

C

H

A

4) Yandaki üçgende [BC]^[AH] ve |BC|= 14 cm’dir. A(ABC) = 21 cm2 olduğuna göre, |AH| kaç cm’dir? B

C

H

A

5) Yandaki üçgende [AH]^[BC] ve [BA]^[AC] dir. |AB|= 6 cm, |AC|= 8 cm ve |BC|= 10 cm

8 cm

6 cm

olduğuna göre, |AH| kaç cm’dir? B

6) Yanda verilen ABCD bir karedir.

C

H

D

[AC]^[DB], |DE|=|EB|=|CE|=|EA|= 8 cm

C

. E

olduğuna göre karenin bir kenar uzunluğu kaç cm’dir? A

B

11

ÜNİTE 4 GEOMETRİ 1 4.1.3

ÜÇGENİN KENARLARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR (ÜÇGENİN ÇİZİLEBİLME KURALI)

Kürdan, kibrit çöpü, kurşun kalem gibi nesnelerden farklı ya da eşit uzunluklara sahip olanlardan herhangi üçü ile üçgen inşasının gerçekleşmesi için bu üç nesnenin uzunlukları arasında nasıl bir ilişki olacağını aşağıdaki etkinliklerle keşfetmeye çalışalım. Nesnelerden birinin uzunluğunun, diğer iki nesnenin uç uca eklenmesiyle oluşan uzunluktan büyük veya küçük olduğu durum: 5 cm 2 cm

3 cm 2 cm

2 cm

2 cm

2 cm 2

2 cm

2

cm

cm

3 cm 5 cm

Birinin uzunluğu diğer iki nesnenin uç uca eklenmesiyle oluşan uzunluktan büyük ise bir üçgen oluşturulamaz.

Birinin uzunluğu, uç uca eklenen diğer iki nesnenin uzunluğundan küçük ise bir üçgen oluşturulabilir.

Nesnelerden birinin uzunluğunun, diğer iki nesnenin uzunluğunun farkından büyük veya küçük olduğu durum: 4 cm

6 cm 3 cm

3 cm

1 cm

2 cm

1c

m

cm

3c

m

m 2c

3

6 cm

4 cm

Birinin uzunluğu diğer iki nesnenin uzunluğu farkından küçük ise üçgen inşa edilemez.

Birinin uzunluğu diğer iki nesnenin uzunluğunun farkından büyük ise üçgen inşa edilebilir.

Bir üçgenin iki kenar uzunluğunun toplamı üçüncü kenardan büyük, farkının mutlak değeri ise küçüktür. A

|a-b|