Matematik 8. 1. Kitap

Citation preview

Matematik 8 1. Kitap Yazarlar Tunç Tağmaç Prof. Dr. Osman Cankoy Fuat Ortaş Dr. Ayşen Özerem Evren Gürbüzer Öncü

Editörler Prof. Dr. Osman Cankoy Yrd. Doç. Dr. Tuba Gökmenoğlu

KKTC Milli Eğitim ve Kültür Bakanlığı Bu kitap, Temel Eğitim Program Geliştirme Projesi kapsamında geliştirilmiş ve KKTC Milli Eğitim ve Kültür Bakanlığı, Talim ve Terbiye Dairesi tarafından, ortaokullarda ders kitabı olarak kullanılması uygun bulunmuştur.

ÜNİTE 1 DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER, GEOMETRİ 1 ve ÖLÇME 1 ©KKTC MİLLİ EĞİTİM VE KÜLTÜR BAKANLIĞI/2018 Matematik 8 1. Kitap Proje Yürütücüsü Prof. Dr. Ahmet Pehl van DAÜ Öğret m Üyes

Dil Uzmanı Prof. Dr. Vügar Sultanzade

Grafik Tasarım Tunç Tağmaç Sayfa Düzeni Tunç Tağmaç Prof. Dr. Osman Cankoy Kapak Tasarımı Prof. Dr. Osman Cankoy Baskı Ağustos 2018

225 42 47

225 31 28

[email protected] Şht. Mustafa Ruso Cad. No. 44 K.Kaymaklı - Lefkoşa

KKTC MİLLİ EĞİTİM VE KÜLTÜR BAKANLIĞI YAYINIDIR. Bu kitap KKTC Milli Eğitim ve Kültür Bakanlığına aittir ve her hakkı saklıdır. Kitabın metin, soru, resim ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayımlanamaz.

İSTİKLAL MARŞI Korkma! Sönmez bu şafaklarda yüzen al sancak, Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak. O benim milletimin yıldızıdır, parlayacak; O benimdir, o benim milletimindir ancak. Çatma, kurban olayım, çehreni ey nazlı hilal! Kahraman ırkıma bir gül; ne bu şiddet, bu celal? Sana olmaz dökülen kanlarımız sonra helal... Hakkıdır, Hakk’a tapan milletimin istiklal.

Mehmet Akif Ersoy

ÜNİTE 1 DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER, GEOMETRİ 1 ve ÖLÇME 1 ANDIMIZ Türk’üm, doğruyum, çalışkanım. İlkem, küçüklerimi korumak, büyüklerimi saymak, Yurdumu, milletimi, özümden çok sevmektir. Ülküm, yükselmek, ileri gitmektir. Ey Büyük Atatürk! Açtığın yolda, gösterdiğin hedefe, Durmadan yürüyeceğime ant içerim. Varlığım, Türk varlığına armağan olsun. Ne Mutlu Türk’üm diyene!

Mustafa Kemal ATATÜRK (1881 - 1938)

ÜNİTE 1 DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER, GEOMETRİ 1 ve ÖLÇME 1

Dr. Fazıl KÜÇÜK (1906 - 1984)

Rauf R. DENKTAŞ 1924-2012

İŞLEMLER, GEOMETRİ 1 ve ÖLÇME 1 ÜNİTE 1 DOĞAL SAYILARLAİçindekiler ÜNİTE 1: SAYILAR..............................................................................................................................1 BÖLÜM 1 – Çarpanlar ve Katlar................................................................................................................2 1.1 Çarpanlar ve Katlar...............................................................................................................................2 1.1.1 Pozi f bir tamsayının çarpanları.....................................................................................................2 1.1.2 İki doğal sayının en büyük ortak böleni (EBOB)..................................................................................5 1.1.3 İki doğal sayının en küçük ortak ka (EKOK)...............................................................................10 BÖLÜM DEĞERLENDİRME TESTİ 1....................................................................................................15 BÖLÜM 2 – Üslü İfadeler...................................................................................................16 1.2 Üslü İfadeler........................................................................................................................16 1.2.1 Tamsayı kuvvetleri...................................................................................................................16 1.2.2 Üslü ifadelerle ilgili temel kurallar ve işlemler....................................................................20 BÖLÜM DEĞERLENDİRME TESTİ 2....................................................................................................25 BÖLÜM 3 - Kareköklü İfadeler ............................................................................................26 1.3 Kareköklü İfadeler......................................................................................................26 1.3.1 Tam kare doğal sayılar ve karekökleri .............................................................................................26 1.3.2 Tam kare olmayan doğal sayıların karekökleri...............................................................................28 1.3.3 Gerçek sayılar ......................................................................................................................30 1.3.4 Kareköklü sayılarla çarpma ve bölme işlemleri.......................................................................32 1.3.5 Tam kare olmayan sayıların karekökünü ifade etme biçimleri................................................34 1.3.6 Kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri.................................................................37 BÖLÜM DEĞERLENDİRME TESTİ 3....................................................................................................41 ÜNİTE DEĞERLENDİRME TESTİ 1...........................................................................................42 ÜNİTE 2: CEBİR 1...............................................................................................................................47 BÖLÜM 1 - Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler..............................................................................................48 2.1 Cebirsel İfadeler..............................................................................................................48 2.1.1 Cebirsel ifadelerle çarpma işlemi.........................................................................................49 2.1.2 Özdeşlikler...................................................................................................................................52 2.1.2.1 Tam kare özdeşliği.................................................................................................53 2.1.2.2 İki kare farkı özdeşliği.............................................................................................54 2.1.3 Cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırma.....................................................................................56 2.1.3.1. Ortak çarpan parantezine alma.................................................................................56 2.1.3.2 Tam karenin çarpanlarına ayrılması.................................................................................58 2.1.3.3 İki kare farkının çarpanlarına ayrılması...........................................................................59 BÖLÜM DEĞERLENDİRME TESTİ 1...........................................................................................................62 BÖLÜM 2 - Doğrusal Denklemler..............................................................................................63 2.2 Doğrusal denklemler..............................................................................................................63 2.2.1 Doğrusal ilişkiler ve günlük yaşam.........................................................................................63 2.2.2 Doğru grafikleri.........................................................................................................................65 2.2.3 Eğim.......................................................................................................................70 2.2.3.1 Doğrusal denklemlerin eğimi.............................................................................................72 2.2.4 Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler.........................................................................77 BÖLÜM DEĞERLENDİRME TESTİ 2...........................................................................................................83 ÜNİTE DEĞERLENDİRME TESTİ 2...........................................................................................................84 TARAMA TESTİ 1......................................................................................................................................89 ÜNİTE 3: CEBİR 2...................................................................................................................................91 BÖLÜM 1 - Denklem Sistemleri...............................................................................................92 3.1 Denklem sistemleri......................................................................................................92 3.1.1 Denklem sistemlerinin yok etme yöntemi ile çözümü..............................................................92

3.1.2 Denklem sistemlerinin yerine koyma yöntemiyle çözümü......................................................94 3.1.3 Doğrusal denklem sistemlerinin grafik yöntemiyle çözümü.......................................................98 BÖLÜM DEĞERLENDİRME TESTİ 1....................................................................................................101 BÖLÜM 2 – Eşitsizlikler...................................................................................................102 3.2 Eşitsizlikler........................................................................................................................102 3.2.1 Eşitsizlikleri sayı doğrusunda gösterme....................................................................................105 3.2.2 Eşitsizliklerin çözümü..............................................................................................................106 BÖLÜM DEĞERLENDİRME TESTİ 2....................................................................................................109 ÜNİTE DEĞERLENDİRME TESTİ 3............................................................................................110 TARAMA TESTİ 2..............................................................................................................................112 ÜNİTE DEĞERLENDİRME TESTİ CEVAP ANAHTARI...................................................................................115 KAYNAKÇA.............................................................................................................................................116

ÜNİTE 1 SAYILAR

1

ÜNİTE 1 SAYILAR ÇARPANLAR VE KATLAR

1.1 1.1.1

POZİTİF BİR TAM SAYININ ÇARPANLARI Pozitif bir tam sayı bazı doğal sayılara kalansız bölünebiliyorsa o doğal sayılar, pozitif tam sayının birer çarpanı idi. Bu durumu 18 sayısının bölenlerini (çarpanlarını) bularak hatırlayalım. 18 sayısının bölenleri 18 : 1 18 : 2 18 : 3 18 : 6 18 : 9 18 : 18

= 18 =9 =6 =3 =2 =1

18 sayısının çarpanları 18 x 1 = 18 9 x 2 = 18 6 x 3 = 18 18 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 6, 9 ve 18'dir.

Her tam sayı kendisinin çarpanıdır. Sıfırdan farklı her tam sayı kendisine ve 1'e tam bölünür.

1 ve kendisinden başka böleni olmayan birden büyük 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ... gibi sayıların asal sayı olduğunu biliyoruz.

Örnek 23 sayısının çarpanlarını bulalım. Çözüm: 23 x 1 = 23 1 x 23 = 23

23 sayısının çarpanları 1 ve 23'tür. Ayrıca 23 asal sayıdır.

En küçük asal sayı 2'dir. 2 dışındaki diğer asal sayılar tek sayıdır.

2

BÖLÜM 1: ÇARPANLAR VE KATLAR

Örnek 24 sayısının çarpanlarını ve asal çarpanlarını bulalım. Çözüm: 24 sayısının çarpanları

24 sayısının asal çarpanları 24 12 6 3 1

1 x 24 = 24 2 x 12 = 24 3 x 8 = 24 4 x 6 = 24 24 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24'tür.

2 2 2 3

24 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür.

Örnek 60 sayısını çarpanlarını, asal çarpanlarını bulalım ve asal çarpanlarınının çarpımı şeklinde yazalım. Çözüm: 60 30 15 5 1

2 2 3 5

60 sayısının çarpanları; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60'dır. Asal çarpanları; 2, 3 ve 5'tir. Asal çarpanlarının çarpımı; 60 = 2 x 2 x 3 x 5 üslü ifade olarak;

ve

2

60 = 2 x 3 x 5 şeklinde yazılır.

Örnek Aşağıda verilen sayıları asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazalım. A) 45

B) 64

C) 100

D) 126

Çözüm: A) 45 3 15 3 5 5 1 2

45 = 3 x 5

B) 64 32 16 8 4 2 1

C) 100 50 25 5 1

2 2 2 2 2 2

D) 126 63 21 7 1

2 2 5 5 2

2

100 = 2 x 5

2 3 3 7 2

126 = 2 x 3 x 7

6

64 = 2

3

ÜNİTE 1 SAYILAR Alış rmalar 1) Aşağıda verilen sayıların çarpanlarını ve asal çarpanlarını bulunuz. A) 12

B) 42

C) 76

D) 90

E) 144

F) 216

E) 81

F) 140

2) Aşağıda verilen sayıların asal çarpanlarını bulunuz. A) 15

B) 26

C) 36

D) 48

3) Aşağıda verilen sayıları asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazınız. A) 33

B) 52

C) 74

D) 96

E) 135

F) 170

4) Aşağıda üslü ifadelerin çarpımı olarak verilen sayıları bulunuz. 4

2

A) 2 x 3

2

B) 3 x 5 x 7

2

3

2

C) 2 x 3 x 5

a b c

5) 180 = 2 . 3 . 5 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaça eşittir?

6) 210 = 2 . 3 . x . 7 olduğuna göre, “x” değeri kaça eşittir?

7) Aşağıda asal çarpan algoritması işlemlerinde boş bırakılan yerlere uygun sayıları yazınız. A)

2 18 9 3

B)

2 49 7 1

C) 117 39 13 1

1

8) Yandaki kişiler yaşıt olduğuna göre, yaşları en az kaç r?

4

Yaşımın çarpanlarından biri 4'tür.

Yaşımın çarpanlarından biri 3'tür.

BÖLÜM 1: ÇARPANLAR VE KATLAR 1.1.2

İKİ DOĞAL SAYININ EN BÜYÜK ORTAK BÖLENİ (EBOB) Tahtaya 18 ve 27 sayılarının bölenlerini yazarak soruyu cevaplayabilirim.

18 ve 27 sayılarını kalansız bölen en büyük doğal sayı kaç r?

18'nın bölenleri; 1, 2, 3, 6, 9, 18 27'nin bölenleri; 1, 3, 9, 27

18 ve 27 sayılarının ortak bölenleri 1, 3 ve 9 dur. 18 ve 27 sayılarını bölen en büyük doğal sayı ...... dur.

Örnek 12 ve 18 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım. Çözüm:

ol 1. y Asal çarpanlar algoritmasınından 12 6 3 1

2. y

18 9 9 3 1

2* 2 3* 3

her iki sayıyı da bölen asal çarpanlar işaretlenir. İşaretlenen asal çarpanların çarpımı bize bu iki sayının en büyük ortak bölenini verir. EBOB(12,18) = 2 x 3 = 6 dır.

ol Sayıları, ayrı ayrı asal çarpanlarına ayırıp, asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazalım. 12 2 6 2 3 3 1

18 2 9 3 3 3 1

2

12 = 2 x 3 2

18 = 2 x 3

ortak olan asal çarpanlardan üssü küçük olan çarpanların çarpımı en büyük ortak böleni verir. EBOB(12,18) = 2 x 3 = 6

İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne, en büyük ortak bölen (EBOB) denir.

5

ÜNİTE 1 SAYILAR Örnek 40 ve 48 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım. Çözüm: ol 1. y 40 20 10 5 5 5 1

48 24 12 6 3 1

2* 2* 2* 2 3 5

ol 2. y 40 20 10 5 1

2 2 2 5

48 24 12 6 3 1

3

2 2 2 2 3

40 = 2 x 5 4

48 = 2 x 3 3

EBOB(40,48) = 2 = 8

EBOB(40,48) = 2 x 2 x 2 = 8 dir.

Örnek 20 ve 40 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım. Çözüm: ol 1. y 20 10 5 5 1

40 20 10 5 1

2* 2* 2 5*

ol 2. y 20 2 10 2 5 5 1

40 20 10 5 1

2 2 2 5

2

20 = 2 x 5 3

40 = 2 x 5 2

EBOB(20,40) = 2 x 2 x 5 = 20

EBOB(40,48) = 2 x 5 = 20

Biri diğerinin ka olan iki veya daha fazla sayma sayısının EBOB’u bu sayılardan en küçük olanıdır.

Örnek A ve B farklı iki doğal sayı olsun. EBOB(A,B) = 10 ise, A + B en az kaçtır? Çözüm: Farklı iki doğal sayının EBOB’u 10 ise, bu sayıların alabileceği en küçük değerler 10 ve 10 x 2 = 20'dir. Bu durumda, A = 10 ve B = 20 ise, A + B en az 10 + 20 = 30 olur.

6

BÖLÜM 1: ÇARPANLAR VE KATLAR

Örnek A, B ve C birer doğal sayı olup A x B = 40 ve B x C = 60 ise A + C toplamının en küçük değerini bulalım. Çözüm: B doğal sayısı her iki çarpma işleminin ortak çarpanıdır. A + C toplamının en küçük değeri için B doğal sayısının 40 ve 60'ı bölen en büyük doğal sayı olmalıdır. Bu durumda 40 20 10 5 5 1

60 30 15 15 5 1

2* 2* 2 3 5*

EBOB(40,60) = 2 x 2 x 5 = 20 dir. B = 20 ise A = 2, C = 3 olur. Bu durumda A + C = 2 + 3 = 5'dir.

Örnek 12 m ve 18 m uzunluğundaki iki tahta, eşit uzunlukta ve en büyük parçalara bölünecektir. Kesilen tahta parçalarının her birinin uzunluğunun en fazla kaç metre olduğunu bulalım.

18 m 12 m

Çözüm: Tahtalar en büyük ve eşit uzunlukta parçalara ayrılmak istendiğine göre 12 ve 18 sayılarının EBOB’ini bulmalıyız. 12 6 3 1

18 9 9 3 1

2* 2 3* 3

EBOB(12,18) = 2 x 3 = 6 dır. Buna göre en büyük ve eşit uzunluktaki tahta parçalarının her biri 6 m uzunluğundadır.

Örnek 33 ve 27 doğal sayıları en büyük hangi doğal sayıya bölünürse her iki sayıda da kalan 3 olur? Çözüm: 33 ve 27 sayılarına bölündüğünde kalan 3 olduğuna göre, bu sayı 33 - 3 = 30 27 - 3 = 24

30 ve 24 sayılarını kalansız bölmektedir. 30 ve 24 sayılarını bölen en büyük doğal sayı ise EBOB(30,24) = 6 dır. 33 ve 27 sayıları 6'ya bölündüğünde her iki bölme işleminin kalanı 3 olur.

7

ÜNİTE 1 SAYILAR Örnek 36 portakal ve 45 mandalin ayrı ayrı poşetlere, eşit sayıda ve artmayacak şekilde paylaştırılmak isteniyor. Buna göre, en az kaç poşete ihtiyaç vardır? Çözüm: Meyveleri en az sayıdaki poşetlere, eşit sayıda ve artmayacak şekilde paylaş rmak için 36 ve 45 sayılarının EBOB’ini bulmalıyız. 36 18 9 3 1

45 45 45 15 5 1

2 2 3* 3* 5

EBOB(36,45) = 3 x 3 = 9 olur. Her bir poşete 9'ar adet meyve konulacak r. O halde 36 portakal için 36 : 9 = 4 poşete 45 mandalin için 45 : 9 = 5 poşete toplamda ise 4 + 5 = 9 poşete ih yaç vardır.

Örnek 150 cm Kenarları 90 cm ve 150 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir zemin, kare şeklindeki eşit büyüklükteki fayanslarla döşenecektir. Bunun için en az kaç fayans gereklidir? 90 cm

Çözüm: Fayansları zemine tam yerleş rebilmek için fayansın kenar uzunluğu, zeminin kenar uzunluklarını tam bölmelidir. En az sayıda fayans kullanmak için fayansın kenar uzunluğu zeminin kenar uzunluklarını tam olarak bölebilen en büyük sayı olmalıdır. Buna göre zeminin kenar uzunluklarının EBOB’u bulunmalıdır. 90 45 15 5 1

8

150 75 25 25 5 1

2* 3* 3 5* 5

EBOB(90,150) = 2 x 3 x 5 = 30 cm kare şeklinde her bir fayansın bir kenar uzunluğu olur. Yandaki şekilde görüldüğü gibi

30

yatay olarak 150 : 30 = 5 fayans

30

dikey olarak ise 90 : 30 = 3 fayans,

30

Zeminin tamamı için 5 x 3 = 15 fayans gereklidir.

30

30

30

30

30

BÖLÜM 1: ÇARPANLAR VE KATLAR Alış rmalar 1) Aşağıda verilen sayıların en büyük ortak bölenlerini bulunuz. A) 16 , 80

B) 21 , 49

C) 24 , 100

D) 35 , 110

E) 56 , 21

F) 40 , 120

2) 18 m ve 24 m uzunluğundaki iki ayrı kumaş, eşit uzunlukta ve en büyük parçalara bölünecek r. Her bir parça kumaşın uzunluğunun en fazla kaç metre olacağını bulalım.

3) 120 kg şeker ve 180 kg tuz hiç artmayacak ve birbirine karışmayacak şekilde poşetlere doldurulacaktır. Bu iş için en az kaç poşet gereklidir?

4) Kısa kenarı 24 m ve uzun kenarı 90 m olan dikdörtgen şeklindeki bir okul salonu kare şeklinde ve eş büyüklükteki fayanslarla kaplanacaktır. Bu iş için en az kaç fayansa ihtiyaç vardır?

5) Aşağıdaki kesirleri en sade şekilde yazmak için hangi sayılarla sadeleştirmemiz gerekir? A) 8 24 2

B) 6 45 3

6) A = 2 . 3 . 5

2 3

7) A = 2 . 3

ve

ve

3 2

B = 2.3.5

3

2

B = 2.3.7

D) 36 60

E) 42 70

ise EBOB (A, B) kaç r?

ise EBOB (A, B) kaç r?

8) A ve B iki farklı doğal sayıdır. EBOB(A,B) = 8 ise A + B toplamı en az kaçtır?

9) 48 ve 83 sayıları en büyük hangi doğal sayıya bölünürse her iki sayıda da kalan 3 olur?

10) Kenar uzunlukları 36 m ve 48 m olan dikdörtgen

en az kaç fidan gerekir?

.

dikilmek şartıyla fidanlar dikilecektir. Bu iş için

.

şeklindeki bir bahçenin etrafına, köşelerine de

48 m

36 m

9

ÜNİTE 1 SAYILAR 1.1.3

İKİ DOĞAL SAYININ EN KÜÇÜK ORTAK KATI (EKOK) Evet! 6 ve 8 sayılarının katlarını yazarak bulabilirim.

Torbadaki bilyeleri 6'şar veya 8'er saydığımızda bilye artmamaktadır. Torbada en az kaç bilye olabileceğini bulabilir misin?

6'nın katları; 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72 ... 8'in katları; 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80 ...

6 ve 8 sayılarının ortak katları 24, 48, 72 ... gibi 24'ün katlarıdır. 6 ve 8 sayılarının ortak katları içinde en küçüğü 24 olduğuna göre torbada en az ..... bilye vardır.

Örnek 10 ve 12 sayılarının en küçük ortak katını bulalım. Çözüm:

ol 1. y Asal çarpanlar algoritmasınından 10 5 5 5 1

12 6 3 1

2 2 3 5

her iki sayıyı da bölen asal çarpanların çarpımı bize bu iki sayının en küçük ortak katını verir. EKOK(10,12) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

ol Sayıları, ayrı ayrı asal çarpanlarına ayırıp, asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazalım.

2. y

10 2 5 5 1

12 2 6 2 3 3 1

10 = 2 x 5 2

12 = 2 x 3

ortak olan asal çarpanlardan üssü büyük olan ile ortak olmayan asal çarpanların çarpımı en küçük ortak ka verir. 2

EKOK(10,12) = 2 x 3 x 5 = 60

İki veya daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne, bu sayıların en küçük ortak katı (EKOK) denir.

10

BÖLÜM 1: ÇARPANLAR VE KATLAR

Örnek 6 ve 18 sayılarının en küçük ortak katını bulalım. Çözüm: Asal çarpanlar algoritmasınından 18 2 9 3 3 3 1

6 3 1

EKOK(6,18) = 2 x 3 x 3 = 18

Biri diğerinin ka olan iki veya daha fazla sayma sayısının EKOK’u bu sayılardan büyük olanıdır.

Örnek 15 ve 24 sayılarının 200'den büyük olan en küçük ortak katını bulalım. Çözüm: 15 ve 24'ün EKOK’nı bulalım. 15 15 15 15 5 1

24 12 6 3 1

2 2 2 3 5

EKOK(15,24) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 dir. 120'nin katları 15 ve 24'ün de katlarıdır. Bu durumda 120'nin katları; 120, 240, 360, 480 ... şeklinde olduğuna göre, 15 ve 24'ün 200'den büyük en küçük ortak katı 240 olur.

Örnek Ali, bilyelerini 8'erli ve 10'arlı saydığında her seferinde 3 bilyesi artmaktadır. Ali’nin 150'den fazla bilyesi olduğuna göre, en az kaç bilyesi vardır? Çözüm: 8 ve 10'ün EKOK’nı bulalım. 8 4 2 1

10 5 5 5 1

2 2 2 5

EKOK(8,10) = 2 x 2 x 2 x 5 = 40 40'ın katları; 40, 80, 120, 160 ... şeklinde olduğuna göre, 8 ve 10'un 150'den büyük en küçük ortak katı 160'dır. Her seferinde 3 bilye arttığına göre, Ali’nin en az 160 + 3 = 163 bilyesi vardır.

11

ÜNİTE 1 SAYILAR Örnek İki otobüsten birincisi 30 dakikada, ikincisi 40 dakikada bir sefer yapmaktadır. Saat 09.00'da ilk seferleri için aynı anda hareket eden bu iki otobüs gün içinde hangi saatlerde yine aynı anda sefer yaparlar, bulalım. Çözüm: 30 ve 40 sayılarının EKOK’nı bulalım. 30 15 15 15 5 1

40 20 10 5 5 1

2 2 2 3 5

3

EKOK(30,40) = 2 x 3 x 5 = 120 dir. Otobüsler 120 dakikada bir aynı anda hareket etmektedirler. 120 dakika = 2 saat olduğuna göre gün içinde aynı anda hareket saatleri aşağıda verilen tablodaki gibi olur. Saat 09.00 11.00 13.00 15.00

...

23.00

Örnek Eni 15 mm ve boyu 18 mm olan dikdörtgen şeklindeki kartonlardan, boşluk kalmayacak şekilde yan yana dizilerek kare şeklinde bir bölge oluşturmak isteniyor. Oluşturulacak en küçük kare şeklindeki bölge için kaç tane karton gereklidir? Çözüm:

90mm

18mm 18mm 18mm 15mm

15mm

15mm

2 3 3 5

18mm

15mm

12

18 9 3 1

18mm

15mm

15 15 5 5 1

90mm

15mm

Dikdörtgen şeklindeki kartonların kenar uzunlukları küçük olduğu için problemin sonucunu yandaki gibi çizerek gösterebiliriz. Şekilde görüldüğü gibi, kartonlar kenarları birbirine değecek şekilde dizilerek bir kenarı 90 mm olan en küçük kare elde edildi. Bu iş için ise 30 tane karton kullanıldı. Küçük parçaları birleştirerek bir bütün oluşturacağımız için EKOK bulma işleminden yararlanabiliriz.

EKOK(15,18) = 2 x 3 x 3 x 5 = 90 mm oluşacak karenin bir kenar uzunluğudur.

Parça sayısı =

Büyük şeklin alanı 90 . 90 = = 30 tane karton gereklidir. Bir kartonun alanı 15 . 18

BÖLÜM 1: ÇARPANLAR VE KATLAR

EBOB ve EKOK ile ilgili problemlerin çözümünde; küçük parçalar birleştirilip bir bütün elde ediliyorsa EKOK, bir bütün eş parçalara bölünüyorsa EBOB bulunur.

Örnek 20 ve 25 sayılarının EBOB ve EKOK’nı bulalım. Çözüm: 20 10 5 1

25 25 25 5 1

2 2 5* 5

EKOK(20,25) = 2 x 2 x 5 x 5 = 100 ve EBOB(20,25) = 5

İki sayının EBOB ve EKOK’larının çarpımı bu iki sayının çarpımına eşittir. 20 . 25 = 5 . 100 500 = 500 olur.

Örnek Aşağıdaki sayı çi lerinin EBOB ve EKOK’nı bulalım A) 4,9

B) 12,19

C) 21,25

Çözüm: A) 4 2 1

9 9 9 3 1

B) 12 6 3 1

2 2 3 3 2

2

19 19 19 19 1

C) 21 7 7 7 1

2 2 3 19 2

25 25 5 1

3 5 5 7 2

EKOK(4,9) = 2 x 3 = 36

EKOK(12,19) = 2 x 3 x 19 = 228

EKOK(21,25) = 3 x 5 x 7 = 525

EBOB(4,9) = 1

EBOB(12,19) = 1

EBOB(21,25) = 1

1’den başka ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir. EBOB(A,B) = 1 ise A ve B sayıları aralarında asaldır. Aralarında asal olan sayılar, asal sayı olmak zorunda değildir.

13

ÜNİTE 1 SAYILAR Alış rmalar 1) Aşağıda verilen sayıların en küçük ortak katlarını bulunuz. A) 6 , 11

B) 4 , 30

C) 12 , 20

D) 24 , 36

E) 8 , 80

F) 40 , 70

2) 14 ve 24 sayılarına bölündüğünde 6 kalanını veren en küçük doğal sayı kaç r? 3) Kenar uzunlukları 18 ve 30 cm olan dikdörtgen şeklindeki kartonlardan en az kaç tanesi yan yana ge rilerek bir kare elde edilir? 4) Osman, bilyelerini 3'er 3'er ve 4'er 4'er saydığında her seferinde 2 bilyesi ar yor. Osman’ın bilyelerinin sayısı 50'den az olduğuna göre, Osman’ın en çok kaç bilyesi vardır? 5) 61 kişilik bir topluluğa en az kaç kişi daha ka lırsa, 4'erli ve 7'şerli gruplar oluşturulabilir? 6) Ali, bir torbadaki ndıkları 6'şar ve 10'ar sayınca her seferinde 4 ndık ar yor. Buna göre, A) torbadaki ndık sayısı en az kaç r? B) torbadaki ndık sayısı üç basamaklı bir sayı ise, en az kaç r? C) Fındık sayısı 500'den çok olduğuna göre, en az kaç r? 7) İki otoma k zil 24 ve 32 dakika aralıklarla çalıyorlar. İkisi aynı anda çaldıktan en az kaç dakika sonra yine birlikte çalarlar? 8) Seferlerini 20 ve 30 günde tamamlayan iki gemi, bir limandan aynı anda ayrıldıktan en az kaç gün sonra yine birlikte aynı limana dönerler? 9) Bir iş yerinde Ali 8 günde bir, Ayşe 12 günde bir ta l yapmaktadır. Çarşamba günü ikisi de ta l yap ğına göre, bir daha birlikte hangi gün ta l yaparlar? 10) EBOB(36,48) + EKOK(20,30) işleminin sonucu kaça eşi r? 11) Aşağıda verilen sayı çi lerinden hangileri aralarında asaldır? A) 8 , 15

14

B) 10 , 27

C) 12 , 21

D) 14 , 35

E) 24 , 39

F) 36 , 47

BÖLÜM 1: ÇARPANLAR VE KATLAR Bölüm Değerlendirme Tes 1 1) Aşağıdaki sayı çiftlerinin EBOB ve EKOK’unu bulunuz. A) 21 , 18

B) 36 , 27

C) 23 , 16

D) 12 , 54

E) 45 , 55

F) 90 , 120

2) Boyutları 4 br ve 18 br olan dikdörtgen şeklindeki parkeler kullanılarak kare şeklinde bir zemin oluşturulacaktır. Bu iş için en az kaç parke kullanılmalıdır? 3) 120 ve 180 lt’lik iki farklı meyve suyu eşit hacimli bidonlara, meyve suları birbirine karışmayacak ve hiç artmayacak şekilde doldurulacaktır. Buna göre, en az kaç bidona ihtiyaç vardır? 4) 725 sayısından en küçük hangi doğal sayı çıkarılmalıdır ki, elde edilen sonuç 10 ve 12 ile tam bölünebilsin?

3

2

2

şeklinde asal çarpanlarına ayrılan tam sayıyı bulunuz.

5) 2 x 3 x 5

6) Bir okuldaki öğrencilerin sayısı 20 ve 24 sayılarıyla tam bölünebiliyor. Bu okulun öğrencileri 15 kişilik en az kaç gruba ayrılabilir?

7) A ve B gibi iki ilaç sırasıyla 4 ve 7 saat arayla bir hastaya veriliyor. İki ilaç hastaya birlikte verildikten en az kaç saat sonra yine bu ilaçlar birlikte verilir? 8) Kemal kalemlerini 4'er 4'er ve 5'er 5'er saydığında her seferinde 3 kalemi ar yor. Kemal’ın kalem sayısı 70'den çok olduğuna göre, en az kaç kalemi vardır? 9) 94 ve 139 sayıları en büyük hangi doğal sayıya bölünürse her iki sayıda da kalan 4 olur? 3

2

10) A = 2 . 3 . 7

2 2 3

ve B = 2 . 3 . 5

ise EBOB (A, B) kaç r?

11) A ve B iki farklı doğal sayıdır. EBOB(A,B) = 12 ise A + B toplamı en az kaçtır? 12) Yanda kenar uzunlukları verilen A4 kağıdını, eşit büyüklükte en büyük ölçüdeki karelere, hiç kağıt artmayacak şekilde bölersek bu kağıdı kaç parçaya ayırmış oluruz?

20 cm 30 cm

15

ÜNİTE 1 SAYILAR ÜSLÜ İFADELER

1.2

Bunu üç farklı ayrı aki küçük küp sayısını hesaplayarak kısa yoldan bulabiliriz.

Elimdeki küpü oluşturan küçük küpler kaç tanedir?

3

3 x 3 x 3 = 3 = 27 tane küp vardır.

3 tane

3 ta

ne

3 tane

Bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımına o sayının kuvveti ve bu tekrarlı çarpımın sonucunu bulmaya kuvvet alma işlemi denir.

Taban

4

2 = 2.2.2.2 = 16

}

Kuvvet(üs)

4 tane

TAM SAYILARIN TAM SAYI KUVVETLERİ

1.2.1

Aşağıdaki tabloda bir tam sayının kuvvetlerine ve bunlara ait yorumlara yer verilmiş r, inceleyiniz. Üslü Gösterim

İşlem

Yorum

3

2x2x2=8

4

3 x 3 x 3 x 3 = 81

Pozi f tam sayıların bütün kuvvetleri pozi f bir tam sayıdır.

2 3

2

(-2)

3

(-2)

4

(-3)

3

(-2) x (-2) x (-2) = -8 (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 81

(-4)

(-4) x (-4) x (-4) = -64

4

-(2 x 2 x 2 x 2) = -16

-2

16

(-2) x (-2) = 4 Nega f tam sayıların çi kuvvetleri pozi f, tek kuvvetleri ise nega f bir tam sayıdır.

Taban parantez içinde olmadığından, kuvvet işare etkilemez.

Sıfırdan farklı bir tam sayının sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir. 0

5=1 0

(-3) = 1

BÖLÜM 2: ÜSLÜ İFADELER

Bir tam sayının pozi f kuvvetlerine göre değerini bulmayı öğrendik. -1 -2 -5 Peki, 2 , 3 , 4 gibi kuvve nega f olan sayıların değerini bulurken ne yapmalıyız? Gerçekten kolaymış. 0 özellikle 2 ın niye 1'e eşit olduğunu şimdi daha iyi anladım.

Çok kolay. Bunu sana tahtada 23 ten 2-3 e kadar alacağım sayılarla anlatabilirim.

3

2=8 :2 2 2=4 :2 1 2=2 :2 0 2=1 :2 -1 2= 1 :2 2 -2 1 2 = 12 = 2 4 :2 -3 1 1 2= 3= 8 2

Bir sayının nega f kuvve alınırken, sayının çarpma işlemine göre tersi yazılır ve üs pozi f yapılır. Daha sonra kuvvet alma işlemi yapılır.

a sıfırdan farklı bir tam sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere, -n a = 1n a

Örnek Aşağıda verilen üslü ifadelere ait işlemleri inceleyiniz. -1 1 6 = 11 = 1 6 6

-1 2 (-3) = 1 1 = - 1 3 (-3)

-2 3 3 = 12 = 1. = 1 3 33 9

-3 4 4 = 13 = 1. . = 1 4 4 4 4 64

-5 1 5 10 = 1 5 = 10 100000

-10 6 1 = 110 = 1 1

-5 1 7 (-2) = 1 5 = =- 1 . . . . 32 (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) (-2)

-2 1 9 (-9) = 1 2= = 1 . (-9) (-9) (-9) 81

-3 1 8 (-5) = 1 3 = =- 1 . . 125 (-5) (-5) (-5) (-5)

-7 10 (-1) = 1 7 = 1 = - 1 (-1) (-1)

17

ÜNİTE 1 SAYILAR Örnek Aşağıda verilen rasyonel sayılara karşılık gelen üslü ifadeler verilmiş r, inceleyiniz. 1 1 = 2-1 2

-1 2 - 1 = (-3) 3

4

1 = 1 = 3-3 27 33

7

1 = 1 = 9-2 Bazı sayıların birden fazla üslü sayı karşılığı olabilir. 81 92

3

1 = 1 = 5-2 25 52

5

6

8

1 = 1 = 2-3 8 sayısını 23şeklinde 8 23 yazmak için asal çarpanlar algoritmasından yararlanabiliriz. 8 2 4 2 3 tane 2 2 1

}

1 = 1 = 3-4 81 34

-5 - 1 = 1 5 = (-2) 32 (-2)

9

-3 - 1 = 1 3 = (-6) 216 (-6)

Örnek Aşağıdaki eşitliklerde, 3

= - 27

1

89

=-1

4

yerine gelmesi gereken sayıları yazınız. 2 (- 5) = 1

1 3 (- 2) = 8

5 (- 4) = - 64

6

2)

3) -

3 =

1 243

Çözüm: 1) 27 3

}

9 3 3 tane 3 3 1

= 0'dır.

-3 1 - 1 = 3 = (-2) 8 2

= -3'tür.

3

(-3) = -27 ise = -3 olmalıdır. 4)

= -1'dir.

5) 64 2 x 4 32 2 16 8 4 2 1

6) 243 3

}

2x 2 4 3 tane 4 elde edilidi. 2x 4 2 3

(-4) = -64 ve = 3 olmalıdır.

18

81 27 9 3 1

3 3 3 3

-5 1 1 = 5 = 3 ise 243 3

= -5' r.

BÖLÜM 2: ÜSLÜ İFADELER

Alış rmalar 1) Aşağıda verilen üslü ifadelerin değerlerini bulunuz. 3

5

A) 4 =

B) (-3) =

D) 5 =

-1

E) (-3) =

2

H) (-5) =

4

C) (-4) =

-3

-2

F) (-7) =

0

G) -6 =

0

I) -4 =

-1

3

J) -10 =

-1

K) (-9) =

L) -8 =

2) Aşağıdaki rasyonel sayıları üslü sayı olarak yazınız. A) 1 = 36

B) 1 = 27

C) - 1 = 16

D) 1 = 32

E) - 1 = 243

F) - 1 = 1000

3) Aşağıdaki üslü ifadelerde boş kutulara yazılması gerekenleri bulunuz. A) 4 = 64

D) - 1 = 8

G)

-3

3

= -27

B) (-2) = 64

C) 1 = 3 81

E) (-5) = - 1 125

F)

H) (-6) = 1 36

I)

125

= -1

11

=1

4) Aşağıda verilen ifadelerin doğru olanların yanına “D”, yanlış olanların ise “Y” yazınız. A) (-3) = 81 ........

4

-2 B) (-4) = 1 8

-5 D) - 1 = -2 ........ 32

E) 7 = -49 ........

-2

........

-46

C) (-1) = 1 ........ -4 F) (-5) = - 1 ........ 625

19

ÜNİTE 1 SAYILAR ÜSLÜ İFADELERLE İLGİLİ TEMEL KURALLAR VE İŞLEMLER

1.2.2

1

ÜSLÜ SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ

1) Aşağıdaki tabloyu inceleyiniz. Çarpma

Çarpım

Üslü Gösterim

2 3 2 .2

2.2.2.2.2

2

4 3 3 .3

3.3.3.3.3.3.3

3

Yandaki tabloda verilenlere dikkat edilirse 1. sütundaki sayıların üslerinin toplamı ile 3. sütundaki üsler eşi r.

5

2

3

2+3

2 .2 = 2

7

5

=2

Tabanları aynı olan üslü iki sayı çarpılırken sayıların üsleri toplanır; elde edilen toplam, ortak tabana üs olarak yazılır.

Örnek Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. 3

6

3

3+6

A 5.5 =5

9

-4

4

3 + (-4)

5 + (-2)

-4

0

=2 =8 4+1-3

-3

F 6 . 6.6 = 6

= (-3) =1

2-7+3 2 -7 3 G (-10) . (-10) . (-10) = (-10)

2

-1

-2

=6 = 36

= (-8) 1 =- 8

-4 + 4

4

D (-3) . (-3) = (-3)

3

=4

E (-8) . (-8) = (-8)

-2

C 2.2 =2

4

=5

3

5

3+1

B 4.4=4

= (-10) 1 = 100

2) Aşağıdaki tabloyu inceleyiniz. Çarpma 2 2 3 .4 3 3 2 .5

Çarpım

3.3.4.4 = (3.4).(3.4) = 12.12 2.2 .2.5.5.5 = (2.5).(2.5).(2.5)= 10 .10.10

Üslü Gösterim 2

12

3

10

Yandaki tabloda 1. sütundaki sayıların tabanları çarpımı ile 3. sütunda tabanlar eşi r. 2

2 2 2 3 . 4 = (3.4) = 12

Tabanları farklı, üsleri aynı olan üslü iki sayı çarpılırken tabanlar çarpılır ve üs olarak ortak üs alınır.

20

BÖLÜM 2: ÜSLÜ İFADELER

Örnek Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. 2 2 2 A 5 . 2 = (5.2)

3 3 3 B (-4) . 7 = (-4.7)

2

-2

3

= 10 = 100

2

-2

C (-3) . (-8) = (-3 . -8)-2 -2

= (-28)

= 24

ÜSLÜ SAYILARLA BÖLME İŞLEMİ

1) Aşağıdaki tabloyu inceleyiniz. Bölme

25 23 32 33

Bölüm

Üslü Gösterim

2.2.2.2.2 . =22 2 .2.2 3.3 = 1 3 .3.3 3

Tabloda, 1. sütundaki sayıların üslerinin farkı 3. sütundaki üsler ile eşi r.

22

5

3

5-3

2 :2 = 2

2

= 2 veya

25 = 25 - 3 = 22 23

3-1

Tabanları aynı olan üslü sayıların bölümünde, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır ve ortak tabana üs olarak yazılır.

Örnek Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. A

43 43 - 2 4 = = 42

B

D

2-3 2-3 - 2 2-5 = = 22

E

58 58 - 2 56 = = 52 88 88 - (-3) 88 + 3 = = 8-3 11 =8

C

74 74 - 6 7-2 = = 76

F

6-4 6-4 - (-4) 6-4 + 4 60 = = = 6-4 =1

Örnek 3 4 10 . 10 22 . 52

İşleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Buraya kadar öğrenmiş olduğumuz temel özellikleri kullanarak işlemin sonucunu bulalım. 3 4 3+4 7 7-2 5 10 . 10 = 10 10 = = 10 = 10 2. 2 2 2 2 5 (2 . 5) 10

21

ÜNİTE 1 SAYILAR 2) Aşağıdaki tabloyu inceleyiniz. Bölme

Bölüm

Üslü Gösterim

23 33 62 22

2.2.2 2 . 2 . 2 = 3.3.3 3 3 3 6.6 6 . 6 = 2.2 2 2

( ) ( 62 ) = 3 2 3

Tabloda, 1. sütundaki sayıların üsleri aynı olduğundan 3. sütunda ortak üs olarak yazıldı.

3

2

62 = 22

2

2

( )

6 = 32 veya 62: 22 = (6 : 2)2 = 32 2

Üsleri aynı, tabanları farklı üslü sayılarda bölme işlemi yapılırken tabanlar bölünür ve ortak üs, üs olarak alınır.

Örnek Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. A

46 = 56

6

( ) 4 5

B

3

3

( )

12 12 = 43 = 64 3 = 3 3

C

24 = 34

4

( )

2 = 2 . 2 . 2 . 2 16 3 3 3 3 = 81 3

3) Bir sayının nega f kuvve alınırken, sayının çarpma işlemine göre tersi yazıldığını ve üssünün pozi f yapıldığını öğrenmiş k. Bu durumla ilgili olarak aşağıda verilmiş olan örnekleri inceleyiniz. -2

2

A

( ) ( )

3

ÜSSÜN ÜSSÜ

2 = 3

3 = 3.3 = 9 2 2 4 2

-3

B

3

( ) ( ) 4 = 5

5 = 5 . 5 . 5 = 125 4 4 4 64 4

-5

C

5

( ) ( ) 4 = 8

8 = 25 = 32 4

Aşağıdaki tabloyu inceleyiniz. Üslü İfade 3

4

Çarpım

4.4.4 = (2.2).(2.2).(2.2) 2 2 2 = 2 . 2 . 2 23

Üslü Gösterim 6

2

= (2 ) 2

9

9.9 = (3.3). (3.3) 2 2 = 3 . 3 2 2 = (3 )

4

3

Yandaki tabloda 1. sütundaki üslü sayıların değeri ile 3. sütundaki üslü sayıların değeri eşi r. 3 2.3 6 23 4 = (2 ) = 2 = 2 ve 2 2.2 4 22 9 = (3 ) = 3 = 3 olur.

Bir sayının birden fazla kuvveti varsa taban aynı kalır, kuvvetler çarpılır.

22

BÖLÜM 2: ÜSLÜ İFADELER

Örnek Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. 34

3.4

A (2 ) = 2

14 27 2.7 B (-3 ) = -3 = -3

12

=2

3 -2

3.(-2)

C (10 ) = 10

-6

= 10

Örnek Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapalım. A 34 . 252

5

B 163.22

27 93

C

4

D

8 2 64

Çözüm: 2

3

A 34 . 252 = 34.(52) = 34. 54 4 = (3.5) 4 = 15 5

4

15

3 5 27 = (3 ) = 3 = 315 - 6 93 (32)3 36 9 =3

C

2

B 163.22 = (24) . 2 = 212. 22 12 + 2 =2 14 =2

D

12

3 4 8 = (2 ) = 2 = 1 12 2 2 2 64 (26)

Örnek 10

8 sayısının yarısı kaça eşittir? Çözüm: Bir sayının yarısını bulmak için sayıyı 2'ye bölmeliyiz. Bu durumda 10

30

3 10 8 = (2 ) = 2 = 230 - 1 = 229 olur. 2 2 2

Örnek 3 81 . 27 32 . 94

İşleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: 3

3 4 12 3 15 3 81 . 27 = (3 ) . 3 = 3 . 3 = 3 = 35 24 8 32 . 94 32 . (3 ) 32 . 3 310

23

ÜNİTE 1 SAYILAR Alış rmalar 1) Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını üslü biçimde ifade ediniz. 3

9

-3 2

5

4

A) 3 . 3 = -4

E) (-8) . (-8) =

B) 5 . 5 =

C) 2 . 2 =

F) 3-6. 38=

G) 6 . 6 . 6 =

-4 7

-5

-2

-1

-7

D) (-4) . (-4) = 6

3

H) (-9) . (-9) . (-9) =

-3

-4 -4 D) 10 . (-10) =

2) Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını üslü biçimde ifade ediniz. 5

5

A) 3 . 5 =

6

6

-3

B) (-2) . 4 =

C) (-6) . (-8) =

3) Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını üslü biçimde ifade ediniz. 38 = 33

A)

-1 C) 43 = 4

2 B) 57 = 5

7 D) 2-7 = 2

4) Aşağıdaki çarpma işlemlerini üslü sayı olarak yazınız. A) 2 . 2 . 2 = 3 3 3

( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

B) - 1 . - 1 . - 1 . - 1 = 4 4 4 4

C) - 3 . - 3 . - 3 . - 3 . - 3 = 5 5 5 5 5

5) Aşağıdaki üslü sayıların değerlerini hesaplayınız. -1

A)

( )

1 = 4

-2

-3

B)

( )

( )

C) - 1 = 5

2 = 3

-4

( )

D) - 3 = 4

6) Aşağıda üslü sayılarla ilgili işlemleri yapınız. 32

A) (3 ) =

57

-3 -3

B) (-2 ) =

C) (-6 ) =

2 -6

D) (12 ) =

7) Aşağıdaki işlemleri yapınız. 4 A) 8 . 16 2

5

C) 9 2 81

B) 9-5. 36

14

D) 6 7 12

8) Aşağıdaki işlemleri yapınız. 5 . 5 A) 2 43 6

4

9) 16 sayısının yarısı kaça eşi r?

24

4

. B) 3 27 3 . 35

5 . . -3 C) 2 8 4-2 16 . 2

BÖLÜM 2: ÜSLÜ İFADELER Bölüm Değerlendirme Tes 2 12

9

x

1) (-7) . 7 = 7

2

ise, x kaç r?

3

2

3

işleminin sonucu kaça eşi r?

2) (-1) + (-2) + (-3) + 4

-2

-1

0

( ) ( ) ( )

3) - 1 2

+ -1 2

3

4)

+ -1 2

işleminin sonucu kaça eşi r?

2

-(-3) + (-3) + (-3) -3

işleminin sonucu kaça eşi r?

x 5) 1-1 + 1-1 = 2 ise, x kaç r? 5 3

-3 5 x 6) 1-8 . 2 . 2 = 4 ise, x kaç r? 2

7) Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. 3

2

3

15 . 15 . 3 A) 3 4 5. 3. 9 2

4

4.3.8 B) 4 27 . 2 2

3

8) x = (-3) , y = (-6) ve z = (-1) ise aşağıdaki işlemleri yapınız. A)

x.y z

B) x + y . z

9) Hangi sayının 5 ka

y C) x - z

D) 9.x - y + z2

5-20 dir?

5

10) 66 sayısı, 3 sayısının kaç ka dır?

25

ÜNİTE 1 SAYILAR KAREKÖKLÜ İFADELER

1.3

TAM KARE DOĞAL SAYILAR VE KAREKÖKLERi

1.3.1

2

Kareli zemin üzerindeki şekillerin alanını hesaplayabilir misin?

1x1=1 2x2=4 2 12=1 2 =4

2

Sırasıyla 1 br, 4 br, 2 2 9 br, 16 br ve 2 25 br dir.

3x3=9 2 3 =9

4x4=16 2 4 =16

5x5=25 2 5 =25

Bir doğal sayının karesi olarak yazılabilen 1, 4, 9, 16, 25, 36 ... gibi sayılara tam kare sayılar denir. Bir doğal sayının tam kare sayı olup olmadığını asal çarpanlarına ayırarak anlayabiliriz. Örneğin 25 ve 81 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. 25 5 5 5 1 25 = 52 Şeklinde yazılabildiğinden 25 sayısı tam kare sayıdır.

81 27 9 3 1

3 3 3 3

3.3 = 9 3.3 = 9 81 = 92 ise 81 tam kare sayıdır.

Örnek Aşağıda verilen doğal sayıların tam kare olup olmadığıyla ilgili yapılan işlemleri inceleyiniz. A

B

49 7 7 7 1 49 = 72 49 tam kare sayıdır.

D

100 50 25 5 1

2 2 5 5

2. 2

E

2

100 = 2 5 = 10 100 tam kare sayıdır.

26

16 2 2. 2 = 4 8 2 4 2 2. 2 = 4 2 2 1 16 = 42 16 tam kare sayıdır. 140 2 70 2 35 5 7 7 1 2. . 140 = 2 5 7 140 tam kare sayı değildir.

C

60 2 30 2 15 3 5 5 1 2. . 60 = 2 3 5 60 tam kare sayı değildir. F 144 72 36 18 9 3 1

2 2 2 2 3 3

2

2

2

2

32 2 2 2 2 144 = 2 . 2 . 3 = 12 144 tam kare sayıdır.

BÖLÜM 3: KAREKÖKLÜ İFADELER

Kareli zemin üzerinde alanı 36 br2 olan karenin bir kenar uzunluğu kaç birimdir?

Aslında bunu“Hangi sayının kendisiyle çarpımı 36 olur?” veya “Hangi sayının karesi 36'ya eşi r?” şeklinde düşünebiliriz.

a a 2

36 = 6 = 6.6 a = 6 br dir.

Bir sayının, hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemine karekök alma işlemi denir. Karekök sembolü “

” ile gösterilir.

2

4 = 16 2

8 = 64 2

16 =

42 = 4

64 =

82 = 8

Tam kare doğal sayıların karekökleri doğal sayıdır.

121 = 112 = 11

11 = 121

Alış rmalar 1) Aşağıda verilen eşitliklerden doğru olanların yanına “D”, yanlış olanların ise “Y” yazınız. A) 0 = 0 ......

B) 10 = 5 ......

C) 36 = 6 ......

D) 144 = 12 ......

2) Aşağıda verilen sayılardan tam kare olanlarını bulunuz. 72 , 81 , 130 , 240 , 400 , 625 , 1000 3) Aşağıda verilen köklü sayıların değerini bulunuz. A) 1

B) 9

C) 25

D) 49

E) 100

F) 121

G) 169

H) 196

I)

J) 256

K) 324

L) 576

225

4) Alanı 64 m2 olan kare şeklindeki bir bahçenin bir kenarının uzunluğu kaç metredir?

27

ÜNİTE 1 SAYILAR 1.3.2

TAM KARE OLMAYAN DOĞAL SAYILARIN KAREKÖKLERİ Hesap makinesiyle tam kare olan ve tam kare olmayan iki sayının karekökünü bu tuş ile hesaplayabiliriz.

Üzerinde “ ” tuşu olan bir hesap makinesi hiç gördünüz mü? Ne işe yaradığını ve nasıl kullanıldığını biliyor musunuz?

Ancak 7 » 2.6457 dir. Peki tam kare olmayan bir sayının karekökünü hesap makinesi kullanmadan nasıl tahmin edebiliriz?

Hesap makinesinde önce 4, sonra tuşuna basarsak cevabın 2 olduğunu görürüz.

7 ’nin yaklaşık değerini hesaplamak için 7'yi, 7'den önce ve sonra gelen tam kare sayılar arasına yazalım. Daha sonra da kareköklerini alalım.

Şimdi 7’nin 4 ve 9 sayılarına olan uzaklığına bakalım.

4 < 7 < 9 olduğundan Buradan 7 ’nin 2 ile 3 arasında 4 < 7 < 9 ve bir sayı olduğunu anlarız. 2 < 7 < 3 olur.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

7 - 4 = 3 birim 9 - 7 = 2 birim

7 sayısı 9'a daha yakındır. O halde 7 , 3 daha yakındır. 7 » 2.6 olarak tahmin edilebilir.

Örnek Aşağıdaki sayıların en yakın oldukları doğal sayılar ve yaklaşık değerleri verilmiştir, inceleyiniz. 10 » ? 9 < 10 < 16 olduğundan 9 < 10 < 16 ve 3 < 10 < 4 olur.

28

76 » ? 64 < 76 < 81 olduğundan 64 < 76 < 81 ve 8 < 76 < 9 olur.

10 , 3 ile 4 arasındadır.

76 , 8 ile 9 arasındadır.

10 - 9 = 1 birim 16 - 10 = 6 birim 10, 9'a yakındır. Bu nedenle 10 » 3.2 olarak tahmin edilebilir.

76 - 64 = 12 birim 81 - 76 = 5 birim 76, 81'e yakındır. 76 » 8.7 olarak tahmin edilebilir.

BÖLÜM 3: KAREKÖKLÜ İFADELER

Örnek Aşağıdaki kareköklü ifadeleri verilen sayı doğrusunda uygun aralıklara yerleştiriniz. 18

33

4

48

4.5

5

5.5

6

6.5

7

Çözüm: 18 » 4.2 yerleş rirsek

33 » 5.7 18

4

olarak tahmin edilebilir. Bu sayıları sayı doğrusuna

48 » 6.9 33

4.5

5

5.5

48

6

6.5

7

şeklinde olur.

Örnek 3< b3

x kg

Terazi dengede değildir. Sol kefedeki kütle daha hafiftir. x -3 - 9 -2x > -12 Eşitsizliğin her iki yanı -2x -12 < -2'ye bölündüğü için -2 -2 eşitsizlik yön değiş rdi. x 5x + 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane doğal sayı olduğunu bulalım. Çözüm: 3x + 10 > 5x + 2 3x - 5x > 2 - 10 -2x > -8 -2x < -8 -2 -2 x < 4 ise, 4'e eşit ve 4'ten küçük doğal sayılar; 0, 1, 2, 3 ve 4 olmak üzere 5 tanedir.

Alış rmalar 1) Aşağıda verilen eşitsizliklerin tanımlı oldukları bölgeyi sayı doğrusunda gösteriniz. A) x < 5

2 3 4 5 6 7 8 9 C) a < 8

2 3 4 5 6 7 8 9

B) y > -3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 D) b > 1

-2 -1 0 1 2 3 4 5

E) -6 < k < 4

F) -2 < m < 5

G) -1 < k < 6

H) -4 > m > -10

107

ÜNİTE 3 CEBİR 2 2) Aşağıdaki sayı doğruları üzerinde tanımlı bölgeleri kırmızı renkte verilen çizimlere ait eşitsizlikleri yazınız. A)

B)

-1 0 1 2 3 4 5 6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

C)

D)

-1 0 1 2 3 4 5 6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

3) Aşağıda verilen eşitsizliklerin çözümünü yapınız ve sayı doğrusunda gösteriniz. A) x - 4 > 7

B) -2x - 3 > 13

C) 2(x - 1) < 4

D) 4x - 5 > x + 1

E) 3(x - 2) > 4(x + 3)

F) x + 1 < -1 4

4) 3x - 2 < -x + 6 eşitsizliğini sağlayan doğal sayılar kaç tanedir?

5) -2x + 4 < 3(x - 7) eşitsizliğini sağlayan en küçük doğal sayı kaçtır?

6) “2 katının 5 eksiği en az 61 olan gerçek sayılar” sözel ifadesine karşılık gelen eşitsizliği yazıp, çözümünü yaptıktan sonra sayı doğrusunda gösteriniz.

108

BÖLÜM 2: EŞİTSİZLİKLER

Bölüm Değerlendirme Tes 2 1) “Ali’nin 40 TL’si vardır. Ahmet’in parası, Ali’nin parasından daha azdır.” ifadesine uygun eşitsizliği yazınız.

2) Can, matematik öğretmenine sınavda almış olduğu notu soruyor. Öğretmeni ise Can’a, “Hatırladığım kadarıyla sınavda almış olduğun not, 65 ile 70 arasındadır.” diyor. Öğretmenin ifadesine uygun eşitsizliği yazınız.

3) -12 < x < 5 eşitsizliğini sağlayan tam sayılar kaç tanedir?

4) x + 2 < 7 eşitsizliğinin çözümünü yapınız ve sayı doğrusunda gösteriniz.

5) 3x - 1 < 5x - 13 eşitsizliğini sağlayan en küçük doğal sayı kaçtır?

6) “4 katının 2 eksiğinin yarısı, en az 6 olan gerçek sayılar” ifadesine ait eşitsizliği yazınız. Eşitsizliği sağlayan gerçek sayıları sayı doğrusunda gösteriniz.

7) Aşağıda, tanımlı bölgeleri sayı doğrusu üzerinde kırmızı renkte verilen çizimlere karşılık gelen eşitsizlikleri yazınız. A)

B)

-9 -8 -7 -6 -5 -3 -2 -1 8) Şekildeki terazinin sağ kefesi daha ağır gelmiştir. her bir sarı kutunun kütlesi x kg ve x bir doğal sayı ise, sol kefede en az kaç kg ağırlık vardır?

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x kg x 9 kg kg

3 4 kg kg x kg

x kg x kg

109

ÜNİTE 3 CEBİR 2 Ünite Değerlendirme Tes 3 1) 2x - 4y = 6 denkleminde x = 5 ise, y değeri kaç r? A) 1 2) x - 3y = 4 4x - y = 5 A) (-1,-1) 3) x = 4y 2x - 5y = 15 A) 20

B) 0

C) -1

D) -2

denklem sistemini sağlayan (x,y) ikilisi hangisidir? B) (-1,1)

C) (1,-1)

D) (1,1)

denklem sistemine göre, x + y kaça eşi r? B) 25

C) 30

D) 35

4) 35 kişilik bir sını a erkek öğrencilerin 3'er, kız öğrencilerin 8'er tane hikaye kitabı vardır. Sını aki tüm öğrencilerin toplam 180 tane hikaye kitabı olduğuna göre, bu sını a kaç erkek öğrenci vardır? A) 12

B) 15

C) 18

D) 20

5) İki sayının toplamı 36 dır. Büyük sayının 4 ka ile küçük sayının 2 ka nın toplamı 128 olduğuna göre bu sayılar arasındaki fark aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 36

B) 20

C) 18

D) 15

6) Özlem, Efe’ye 10 TL verirse, paraları eşit oluyor. Efe, Özlem’e 10 TL verirse, Özlem’in parası Efe’nin parasının 2 ka oluyor. Başlangıçta Özlem’in kaç TL’si vardır? A) 50

B) 60

C) 70

D) 80

7) Aşağıdakilerden hangisi x + y + 3 = 0 doğrusuyla 2x - y = 0 doğrusunun kesiş ği noktanın apsisidir?

A) 2

110

B) 1

C) -1

D) -2

y

8) Yandaki koordinat düzleminde verilen iki doğru ve kesim noktası aşağıdaki denklem sistemlerinden hangisine ai r? A) -2y = 3x 3x + 2y = 12

6 5 4 3 2 1

B) -3x + 2y = 12 3x + y = 0

C) 3x + 2y = 0 -3x + 2y = 12

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3

D) 2y = -3x 3x + 2y = -12

1 2 3 4

x

9) “Vazodaki çiçek sayısı 20'den çok değildir” ifadesine uygun eşitsizlik hangisidir? A) x > 20

B) x < 20

C) x < 20

D) x > 19

10) Yandaki sayı doğrusunda çözümü belir len eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

A) -4 < x < 3

B) -4 > x > 3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

C) -4 < x < 3

D) -4 < x < 3

11) Aşağıdakilerden hangisi 3(x + 7) < 36 eşitsizliğine uygun bir ifadedir? A) Bir sayının 3 ka nın 7 fazlası en az 36'dır. B) Ayşe’nin tokalarının sayısının 7 fazlasının 3 ka 36'dan fazladır. C) Ali’nin yaşının 3 ka nın 7 fazlası 36'dan küçüktür. D) Bir karpuzun kütlesinin 7 fazlasının 3 ka en çok 36 kg’dır. 12) 3(x - 9) < 2x + 72 eşitsizliğini sağlayan en küçük doğal sayı kaç r? A) 98

B) 99

C) 100

D) 101

13) Bir fazlasının -4 ka , 3 ka nın 24 fazlasından küçük olan en küçük ve en büyük nega f tam sayıların toplamı kaç r? A) -5

B) -4

C) -3

D) -2

14) Ali’nin yaşı 10'dan büyük, 15'ten küçüktür. Ayşe’nin yaşı ise Ali’nin yaşının 3 ka ndan 5 eksik r. Buna göre, Ayşe’nin yaşı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 37

B) 34

C) 28

D) 25

111

ÜNİTE 3 CEBİR 2 Tarama Tes 2 1) Bir sitede 2 odalı ya da 4 odalı daireler vardır. 56 daire olan bu sitede toplam 154 oda bulunduğuna göre, 2 odalı dairelerin sayısı kaç r? 2) 4x - 5y = 0 4x = 80 - 5y denklem sistemine göre x - y kaça eşi r? 2

2

3) 225 - 220 = 5p ise “p” kaça eşi r? 2. -6. 3 4) 2 2 2 işleminin sonucu kaça eşi r? -3 2

5)

44 - 99 + 11

6)

0.9 . 2.5

işleminin sonucu kaça eşi r?

işleminin sonucu kaça eşi r?

7) Aşağıda verilen cebirsel ifadelere ait işlemleri yapınız. A) (x - 2).(x + 4)

8) Aşağıdaki verilen özdeşliklerde

B) 3x.(x - 2) + x.(x - 1)

yerine yazılması gerekenleri bulunuz.

) = 4x 2 - 36x

A) 4x.(x 2

C) (x + 11) = x 2+ 22x +

B) (3x - 8).(3x + 8) = 2

2

D) (2x - 1) = 4x +

- 64 x+1

9) Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. A) 25x2 - 9y2

B) 12xy + 3x2

C) 5y + xa + 5a + xy

D) 4x - 4xm + 2ym - 2y

10) 16x2 -

112

x + 4 ifadesi tam kare olması için

yerine yazılması gerekeni bulunuz.

11) Aşağıda denklemleri çözünüz. A) 7(2a + 1) = 12a + 1

B) 8(x + 3) - 6x = 3(6 - 2x) + 6

C) x - 3 = 10 8 4 16

D) x - 3 - 2x - 5 = 1 6 9

12) İki sayının toplamı 105' r. Büyük sayı, küçük sayının 2 ka nın 15 fazlasıdır. Buna göre bu iki sayıyı bulunuz.

13) 12y - 2ax + 1 = 0 doğrusunun eğiminin -3 olması için “a” kaç olmalıdır?

14) Şekildeki koordinat düzleminde verilen d doğrusunun eğimi % kaç r?

y 3

d

2 -3 -2 -1 0 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3

15) Eğimi 4 olan y = mx + n doğrusu A(-1,4) noktasından geç ğine göre “n” kaç r?

y 16) x + y = 6 doğrusunun; A) grafiğini çiziniz. B) eğimini hesaplayınız.

x

C) A(-2,a) noktasından geçmesi için “a” kaç olmalıdır?

113

ÜNİTE 3 CEBİR 2 17) 150 kg bulgur ve 180 kg pirinci hiç artmayacak biçimde aynı ağırlıkta ve mümkün olan en büyük torbalara bulgur ve pirinç birbirleriyle karış rılmadan doldurulmak isteniyor. Bu iş için kaç torbaya ih yaç vardır?

18) Bir sepe eki güller 12'şerli ve 8'erli demet yapıldığında her seferinde 3 gül artmaktadır. Güllerin sayısının üç basamaklı bir sayı olduğu bilindiğine göre, sepe e en az kaç gül vardır?

19) Aşağıdaki ifadeleri eşitsizlik sembollerini kullanarak yazınız. A) Sını a en az 21 öğrenci vardır.

B) Boyu 180 cm’den fazla değildir.

C) Vazodaki çiçek sayısı en az 8, en çok 12'dir.

D) Torbadaki ndık sayısı 50'den fazla, fakat en çok 90'dır.

20) “Bir kolideki yumurtaların sayısı “x” r. Koliye, kolideki yumurta sayısının 2 ka ndan 10 fazla yumurta eklendiğinde kolideki yumurta sayısı 70'ten fazla oluyor.” Buna göre, A) verilen ifadeye karşılık gelen eşitsizliği yazınız.

B) yazmış olduğunuz eşitsizliği çözünüz.

C) çözüm aralığını sayı doğrusunda gösteriniz.

D) Kolide en az kaç yumurta olduğunu belir niz.

21) 4(2 - 3x) > 2 - 6x eşitsizliğini sağlayan kaç doğal sayı vardır?

22) Şekildeki terazinin sol kefesindeki kütle daha ağırdır. Her bir sarı kutunun kütlesi x kg ve x bir doğal sayı ise, bir sarı kutunun kütlesi en az kaç kg’dır?

114

x kg x 4 kg kg

3 kg x 6 kg kg

ÜNİTE DEĞERLENDİRME TESTİ CEVAP ANAHTARI ÜNİTE 1 (Sayfa 42) 1-C 2-B 3-A 4-D 5-B 6-D 7-C 8-D 9-A 10 - B

11 - B 12 - D 13 - C 14 - A 15 - D 16 - C 17 - B 18 - A 19 - C 20 - B

ÜNİTE 2 (Sayfa 84) 21 - C 22 - D 23 - B 24 - D 25 - C 26 - D 27 - B 28 - D 29 - C 30 - A 31 - D

1-B 2-C 3-A 4-D 5-B 6-C 7-D 8-A 9-C 10 - B

11 - A 12 - A 13 - D 14 - D 15 - D 16 - D 17 - A 18 - C 19 - C 20 - B

21 - A 22 - A 23 - B 24 - C 25 - A 26 - C 27 - D 28 - B 29 - C 30 - C

ÜNİTE 3 (Sayfa 110) 31 - D 32 - A 33 - B

1-A 2-C 3-B 4-D 5-B 6-C 7-C 8-C 9-B 10 - C

11 - D 12 - B 13 - B 14 - D

115

ÜNİTE 3 CEBİR 2 KAYNAKÇA Ball, D. L. and Bass, H. (2000). Interweaving content an pedagogy in teaching and learning to teach: Knowing and using mathematics. In J. Boaler (ed.), Multiple Perspectives on the Teaching and Learning of Mathematics (pp.83-104). Westport: Ablex. Boyer, C. B. (1968). A History of Mathematics. New York: John Wiley & Sons. Garderen, D. V. (2006). Spatial visualization, visual imagery, and mathematical problem solving of students with varying abilities. Journal of Learning Disabilities, 39(6), 496-506. Geiger, V. and Galbraith, P. (1998). Developing a diagnostic framework for evaluating student approaches to applied mathematics problems. International Journal of Mathematics, Education, Science and Technology, 29, 533–559. Lowrie, T., & Kay, R. (2001). Relationship between visual and nonvisual solution methods and difficulty in elementary mathematics. The Journal of Educational Research, 94(4), 248-255. Ore, O. (1988). Number Theory and Its History. New York: Dover Publications. Walle, Van De, Karp, K. S & Williams, J. M. B. (2011). Elementary and Middle School Mathematics – Teaching Developmentally (8th edition), Pearson Education. Wells, D. (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, rev. Ed. London: Penguin Books.

116