Maß- und Integrationstheorie [2. überarb. Aufl. 1992. Reprint 2010] 9783110871739, 9783110136265

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de Gruyter Lehrbuch Bauer · Maß- und Integrationstheorie

Heinz Bauer

Maß- und Integrationstheorie 2., überarbeitete Auflage

W DE G

Walter de Gruyter Berlin · New York 1992

Prof. Dr. Heinz Bauer Mathematisches Institut Universität Erlangen — Nürnberg Bismarckstraße l a D-8520 Erlangen

1980 Mathematics Subject Classification (1985 Revision): Primary 28-01 Erstauflage 1990

Gedruckt auf säurefreiem Papier, das die US-ANSI-Norm über Haltbarkeit erfüllt.

Die Deutsche Bibliothek — CIP-Einheitsaufnahme Bauer, Heinz: Mass- und Integrationstheorie / Heinz Bauer. — 2., überarb. Aufl. - Berlin ; New York : de Gruyter, 1992 (De Gruyter-Lehrbuch) ISBN 3-11-013626-0 Gb. ISBN 3-11-013625-2 brosch.

© Copyright 1992 by Walter de Gruyter & Co., D-1000 Berlin 30 Dieses Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Printed in Germany. Satz und Druck: Tutte Druckerei GmbH, Salzweg — Passau. Buchbinderische Verarbeitung: Lüderitz & Bauer, Berlin.

In memoriam OTTO HAUPT (5.3.1887- 10.11.1988)

ehem. o. Professor der Mathematik an der Universität Erlangen

Vorwort zur ersten Auflage

Die Entstehungsgeschichte dieses Buches ist ungewöhnlich. Vor nunmehr 23 Jahren erschien erstmals mein Lehrbuch „Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie". Es enthält drei einleitende Kapitel über Maße und Integration sowie - in die probabilistischen Entwicklungen eingebettet - ein Kapitel über Maße auf topologischen Räumen. An verschiedenen Universitäten wurden im Lauf der Jahre diese Teile des Buches Vorlesungen über Maß- und Integrationstheorie zugrunde gelegt. Generationen von Studenten benutzten die maßtheoretischen Teile zum Selbststudium und für Prüfungsvorbereitungen, auch wenn ihr Interesse oft gar nicht der Wahrscheinlichkeitstheorie galt. Als ich vor einigen Jahren Kollegen gegenüber die Absicht andeutete, dieses Lehrbuch nach drei Auflagen weitgehend neu zu schreiben, hörte ich zu meiner Überraschung mehrfach den Einwand: „Aber Sie werden doch hoffentlich nichts bei den Kapiteln über Maß- und Integrationstheorie ändern!" Dieses für mich überraschende Kompliment hat zusammen mit dem besonderen (Neben-) Erfolg der maßtheoretischen Teile des Buches die Idee aufkommen lassen, diese der Maß- und Integrationstheorie gewidmeten Kapitel gesondert in Buchform zu veröffentlichen. Das vorliegende Buch realisiert diese Idee. Den fast beschwörenden Rat meiner Kollegen habe ich in den ersten drei Kapiteln trotz vieler Modifikationen und Ergänzungen befolgt. Das vierte und letzte Kapitel über Maße auf topologischen Räumen wurde jedoch völlig neu konzipiert. Die Maß- und Integrationstheorie in voller Breite und mit allen Verzweigungen darzustellen, war nicht meine Absicht. Ich will dem Leser lediglich einen sicheren Einstieg in eine Theorie ermöglichen, die in erneut zunehmendem Umfang nicht nur für viele mathematische Disziplinen, sondern auch für Anwendungen in Physik, Ökonomie bis hin zur Informatik bedeutsam ist. So hoffe ich denn, daß ich mit diesem Buch dem Studenten im Anschluß an die zwei- bis dreisemestrigen Vorlesungen des Grundstudiums einen zuverlässigen Wegführer in die Begriffswelt und Denkweisen der Maß- und Integrationstheorie anbiete. Ohne Hilfe wäre dieses Buch wohl nie mehr fertiggestellt worden. Trotz bester Absichten wäre es ein Opfer der Hektik des heutigen akademischen

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Vorwort

Alltags geworden. Herzlich danke ich der Stiftung Volks wagen werk, die mir im akademischen Jahr 1986/87 durch ein Akademie-Stipendium die Freistellung von Vorlesungspflichten ermöglichte. Ich danke meinen Kollegen und Mitarbeitern, den Professoren Bernd Anger und Jörn Lembcke für wichtige Hinweise und Kritik, Privatdozent Niels Jacob für die kritische Durchsicht einer ersten Niederschrift und Dipl.-Math. Rainer Höhnle für die Durchsicht der Korrekturfahnen. Zu besonderem Dank bin ich meinem amerikanischen Kollegen und Freund Professor Robert B. Burckel verpflichtet. Sein Interesse an der Sache, sein bewundernswertes Literaturwissen und seine Beharrlichkeit in der Forderung größter Klarheit hat dieses Buchprojekt, wie auch schon seine Vorläufer, über viele Jahre hinweg begleitet. Unermüdlich hat er mich bei den Korrekturarbeiten unterstützt. Mein Dank gilt meiner Familie für manchen Verzicht sowie für verständnisvolle Hilfe und Ermunterung. Schließlich danke ich Lesern aus dem Inund Ausland für Verbesserungsvorschläge und dem Verlag Walter de Gruyter & Co. für die stets vertrauensvolle Zusammenarbeit. Erlangen, im Juli 1990

Heinz Bauer

Vorwort zur zweiten Auflage

Wenn für ein mathematisches Lehrbuch schon kurz nach seinem Erscheinen eine Neuauflage erforderlich wird, so bedeutet dies für den Autor Bestätigung und Verpflichtung zugleich. Es liegt nahe, daß ich in dieser Situation den bisherigen Text zwar kritisch überprüft, aber weitgehend unverändert übernommen habe. Größere Veränderungen gibt es lediglich in § 6, wo jetzt nicht nur die Beschreibung endlicher Maße auf der Zahlengeraden (R mittels Verteilungsfunktionen, sondern gleich die entsprechende Beschreibung beliebiger Borel-Maße auf [R mit Hilfe maßerzeugender Funktionen behandelt wird. Dies erlaubt es sodann, auf die historisch begründete Bezeichnung Lebesgue-Stieltjessches Integral für das zu einem Borel-Maß auf [R gehörige Integral in § 12 kurz einzugehen. In § 29 findet sich ein vereinfachter Beweis des Rieszschen Darstellungssatzes. Kleinere Einfügungen ergänzen die Paragraphen 30 und 31. Neue Übungsaufgaben sind in mehreren Paragraphen hinzugekommen. Auf die Ziele dieses Buches geht das Vorwort zur ersten Auflage ausführlich ein; an diesen hat sich nichts geändert. Hauptziel des Buches ist es nach wie vor, den Studierenden ab etwa dem dritten Semester ein Lehrbuch anzubieten, welches einen bewährten und sicheren Einstieg in die Maß- und Integrationstheorie aufzeigt. Dieser soll zugleich auch den Zugang zur Wahrscheinlichkeitstheorie ermöglichen. Mein herzlicher Dank gilt allen, die mir Zuspruch, Rat und Kritik haben zukommen lassen. Er gilt insbesondere allen Lesern, die mich auf Druckfehler in der ersten Auflage aufmerksam gemacht haben. Besonders dankbar bin ich Professor Jörn Lembcke (Erlangen) für seine Hilfe bei den Korrekturen und Professor Robert B. Burckel (Manhattan, Kansas) für sein fortdauerndes Interesse an diesem Buch. Dem Verlag danke ich für sein bereitwilliges Eingehen auf alle meine Wünsche bei der Gestaltung dieser Neuauflage. Erlangen, im Juni 1992

Heinz Bauer

Einleitung

Maßtheorie und Integrationstheorie sind - sowohl inhaltlich als auch von der historischen Entwicklung her gesehen - eng ineinander verwobene Theorien. Sie bilden eine Einheit. Die Entwicklung der Analysis im 19. Jahrhundert - man denke an die Entwicklung der Theorie der FourierReihen und der Funktionentheorie - erzwang die Bereitstellung eines hinreichend allgemeinen Integralbegriffs, um auch unstetige Funktionen integrieren zu können. Die von P. G. LEJEUNE DIRICHLET angegebene Sprungfunktion muß im Lichte dieser Entwicklung gesehen werden. Damals war nur eine auf A. L. CAUCHY zurückgehende Vorstufe des Riemannschen Integrals für stetige Integranden bekannt. Erst die Habilitationsschrift von B. RIEMANN aus dem Jahre 1854 (posthum 1867 publiziert) präzisiert die Cauchyschen Ideen und läßt unstetige Integranden zu. Erstmals entsteht die Notwendigkeit der Angabe von Integrabilitätskriterien. Parallel dazu entsteht - vornehmlich durch G. PEANO und C. JORDAN - eine „Inhaltslehre", um die Fläche ebener und das Volumen räumlicher „Figuren" zu messen. Der entscheidene Durchbruch gelingt jedoch erst den französischen Mathematikern EMILE BOREL und HENRI LEBESGUE um die Jahrhundertwende. Borel - eigentlich von der Funktionentheorie herkommend - beschreibt 1898 die heute nach ihm benannte „ -Algebra" der Boreischen Mengen und deutet die Konstruktion eines „Maßes" auf dieser -Algebra an, welches die Probleme der Inhaltsmessung befriedigend löst. Insbesondere erkennt er die Bedeutung der „ -Additivität" des Maßes. Lebesgue präsentiert in seiner These (1902) den für die Entwicklung der Integrationstheorie entscheidenden, nach ihm benannten Integralbegriff. Er liefert zugleich die Werkzeuge zur Präzisierung der Ideen Borels. Von nun an steht das Lebesgue-Borelsche Maß auf der -Algebra der Boreischen Mengen und das Lebesguesche Maß auf einer etwas größeren -Algebra - sie besteht aus den im Sinne von Lebesgue „meßbaren" Mengen - als fundamentales Hilfsmittel der Analysis zur Verfügung. Das Neue am Lebesgueschen Intergralbegriff ist sowohl der Zugang zu diesem als auch - und dies begründet den Ruhm dieses Begriffs - seine große Schmiegsamkeit, die sich im Verhalten des Integrals gegenüber Grenzübergängen äußert. Die Konvergenzsätze der Theorie stehen daher

Einleitung

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im Zentrum der von Lebesgue und seinen geistigen Nachfahren entwickelten Integrationstheorie. Die weitere Entwicklung kann dadurch charakterisiert werden, daß man in zunehmendem Maße die Flexibilität der Begriffsbildungen der Lebesgueschen Theorie gegenüber neuen Anforderungen der Mathematik und ihrer Anwendungen erkennt. Im Lauf der Jahre (bis etwa 1930) entsteht der allgemeine (abstrakte) Maßbegriff und die sich auf ihn - nach dem Vorbild von Lebesgue - aufbauende Integrationstheorie. Es ist diese Theorie, welche in diesem Buch in einführender Form soweit entwickelt werden soll, daß der Leser von der dann erreichten Plattform aus leicht zu vertieften Fragestellungen und zu den mannigfachen Anwendungen vordringen kann. Gebiete, für welche die Maß- und Integrationstheorie eine Schlüsselrolle darstellt, sind beispielsweise Ergodentheorie, Spektraltheorie, harmonische Analyse auf lokal-kompakten Gruppen und mathematische Ökonomie. Hinzu kommt vor allem die Wahrscheinlichkeitstheorie, die die Maß- und Integrationstheorie als unentbehrliches Werkzeug benützt und dieses aufgrund der Eigenständigkeit probabilistischer Fragestellungen und Methoden umgekehrt auch selbst geformt hat. Auch heute ist die Entwicklung der Maß- und Integrationstheorie noch keineswegs abgeschlossen. Das Buch gliedert sich in vier Kapitel. Das erste ist dabei dem Maßbegriff und insbesondere dem Lebesgue-Borelschen Maß und seinem Zusammenspiel mit der Geometrie gewidmet. Im zweiten Kapitel wird das zu einem Maß gehörige Integral, insbesondere also das zum Lebesgue-Borelschen Maß gehörige Lebesguesche Integral eingeführt und untersucht. Das kurze dritte Kapitel behandelt Produkte von Maßen und die zugehörige Integration. Eine fur die Fourier-Analyse wichtige Anwendung betrifft die Faltung von Maßen. Im vierten und letzten Kapitel wird der abstrakte Maßbegriff durch einen konkreten, nämlich dem des Radon-Maßes ersetzt. Wie schon beim Lebesgue-Borelschen Maß rückt dabei der Bezug des Maßes zu einer vorgegebenen Topologie in den Vordergrund. Im wesentlichen werden zwei Raumtypen zugelassen: polnische und lokal-kompakte Räume. Die hierfür notwendigen Hilfsmittel werden im Text weitgehend entwickelt oder durch geeignete Hinweise auf Lehrbuchliteratur dem Leser nahegebracht. Die die Darstellung eines Themas begleitenden Beispiele haben eine wichtige Funktion. Sie sollen Begriffe erhellen und gegenüber anderen Gegebenheiten abgrenzen. Der Leser sollte diese Beispiele daher sehr genau

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durcharbeiten. Übungsaufgaben begleiten zusätzlich die Darstellung. Diese sind zum Verständnis der weiteren Entwicklungen nicht notwendig; insbesondere werden Beweise nicht dadurch optisch verkürzt, daß man Teile dieser in Übungsaufgaben abschiebt. Die Aufgaben vertiefen aber das Verständnis des behandelten Stoffes. Ihre Bearbeitung wird dem Leser nachdrücklich empfohlen.

Bezeichnungen

Im folgenden stellen wir eine Reihe von Bezeichnungen und Sprechweisen zusammen, die im laufenden Text ohne weitere Erklärungen verwendet werden und die - von wenigen Ausnahmen abgesehen - weitgehend üblich sind. Mit fNl, Z, 0 einschließlich a = + oo sowie a - ( ± o o ) = +oo für reelle a < 0 und a = — oo. Nicht generell üblich und für die Maßtheorie typisch ist die zusätzliche Vereinbarung 0·(±

) = (±

) · 0 = 0,

so daß das Produkt a · b für beliebige a, b e (R definiert ist. Die in [R erklärte Relation < (bzw. (R eine geordnete (d.h. teilweise geordnete) Menge A ist. Folgt also für x, y e A aus x < y stets f(x) < f(y) bzw. stets f(x) > f(y), so heißt f isoton bzw. antiton. Folgt aus < y stets f (x) < f (y) bzw. stets f (x) > f (y), so heißt f streng isoton bzw. streng antiton. Für Folgen (an) in (R drücken wir durch die Schreibweise an t a bzw. an | a

aus, daß die Folge isoton bzw. antiton und daß a e (R deren Supremum bzw. Infimum (in [R) ist. Die Notation — bedeutet eine definitorische Gleichheit. Das Zeichen D signalisiert das Ende eines Beweises. Hinweise der Form „Radon [1913]" beziehen sich auf das Literaturverzeichnis am Ende des Buches. Der mit * gekennzeichnete Paragraph 18 kann bei der ersten Lektüre übergangen werden.

Inhaltsverzeichnis

Vorwort zur ersten Auflage Vorwort zur zweiten Auflage Einleitung Bezeichnungen Kapitel I Maßtheorie § l. -Algebren und ihre Erzeuger § 2. Dynkin-Systeme § 3. Inhalte, Prämaße, Maße § 4. Lebesguesches Prämaß § 5. Fortsetzung eines Prämaßes zu einem Maß § 6. Lebesgue-Borelsches Maß und Maße auf der Zahlengeraden § 7. Meßbare Abbildungen und Bildmaße § 8. Abbildungseigenschaften des Lebesgue-Borelschen Maßes

VII IX X XIII l 2 7 9 17 22 32 40 45

Kapitel II Integrationstheorie § 9. Meßbare numerische Funktionen § 10. Elementarfunktionen und ihr Integral §11. Das Integral nichtnegativer meßbarer Funktionen § 12. Integrierbarkeit § 13. Fast überall bestehende Eigenschaften §14. Die Räume &* ( ) §15. Konvergenzsätze §16. Anwendungen der Konvergenzsätze § 17. Maße mit Dichten - Satz von Radon-Nikodym §18* Signierte Maße § 19. Integration bezüglich eines Bildmaßes §20. Stochastische Konvergenz §21. Gleichgradige Integrierbarkeit

56 56 61 65 73 80 85 90 101 109 122 125 128 138

Kapitel III Produktmaße § 22. Produkte von -Algebren und Maßen §23. Produktmaße und Satz von Fubini §24. Faltung endlicher Borel-Maße

150 150 153 166

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Inhaltsverzeichnis

Kapitel IV Maße auf topologischen Räumen §25. Boreische Mengen, Borel- und Radon-Maße §26. Radon-Maße auf polnischen Räumen § 27. Eigenschaften lokal-kompakter Räume § 28. Konstruktion von Radon-Maßen auf lokal-kompakten Räumen § 29. Rieszscher Darstellungssatz §30. Konvergenz von Radon-Maßen §31. Vage Kompaktheit und Metrisierbarkeitsfragen

172 173 178 191 196 204 217 234

Literaturverzeichnis Symbol-Verzeichnis Sach- und Namenverzeichnis

249 252 255

Kapitel I Maßtheorie

Geometrisch einfachen Teilmengen der Zahlengeraden, der Ebene und des dreidimensionalen Raumes ordnet man in der Elementargeometrie Länge, Fläche und Volumen genannte „Maßzahlen" zu. Von der Anschauung her ist dabei zunächst nur klar, wie man die Länge einer Strecke, die Fläche eines Rechtecks und das Volumen eines Quaders zu definieren hat. Hiervon ausgehend kann man mit elementargeometrischen Methoden Länge, Fläche bzw. Volumen komplizierterer Mengen bestimmen, indem man gewisse Rechenregeln für den Umgang mit solchen Maßzahlen akzeptiert. Denkt man etwa an die elementargeometrische Bestimmung der Fläche eines offenen Dreiecks, so zerlegt man dieses durch eine seiner Höhen in zwei rechtwinklige, offene Dreiecke und in die Höhenstrecke. Ferner beachtet man, daß jedes rechtwinklige Dreieck durch Ziehen der Diagonale in einem geeigneten Rechteck entsteht. Jeder Strecke wird die Maßzahl 0 als Fläche zugeordnet. Folgende zwei Rechenregeln führen daher zur Bestimmung der Fläche von Dreiecken: (A) Besitzt eine Menge A die Maßzahl und ist B eine zu A kongruente Menge, so besitzt auch B die Maßzahl a. (B) Sind A und B fremde Mengen mit den Maßzahlen bzw. ß, so besitzt die Menge A u B die Maßzahl + . Die Grenzen der elementargeometrischen Betrachtungsweise werden bereits bei der Definition der Fläche einer offenen Kreisscheibe K erreicht. Man geht etwa so vor: K wird eine Folge (En) offener regelmäßiger 3 · 2" ~ l Ecke En einbeschrieben (n e N). Dabei ist E! ein offenes gleichseitiges Dreieck; E n + 1 entsteht aus En durch Halbierung der Winkel, welche die Verbindungsstrecken zweier aufeinander folgender Ecken von En mit dem Kreismittelpunkt aufspannen. Dann aber entsteht En+l aus En auch durch Aufsetzen von 3 · 2 n ~* gleichschenkligen Dreiecken auf die Kanten von En. Da K die Vereinigung aller En ist, erscheint damit K als ein „DreiecksMosaik", d.h. als Vereinigung einer Folge paarweise fremder offener Dreiecke und Strecken (nämlich gemeinsamer Dreiecksseiten). Folgende erweiterte Fassung von (B) führt daher zu einer Definition der Fläche der

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Maßtheorie

Kreisscheibe K: (C) Ist (An) eine Folge paarweise fremder Mengen An mit der Maßzahl a„ 00

00

(ne fNl), so besitzt die Menge (J An die Maßzahl n=l

. n=l

Ersetzen wir K und jedes En durch die entsprechenden abgeschlossenen Gebilde, so würde diese Methode nicht zu einer plausiblen Definition der Fläche einer abgeschlossenen Kreisscheibe K' führen, da K' nicht die Vereinigung der nach obigem Gedanken konstruierten, aber abgeschlossenen 3 · 2 n ~ 1 -Ecke En ist. Ein Merkmal und Nachteil der elementargeometrischen Betrachtungsweise ist gerade die Notwendigkeit der Wahl einer speziellen, auf die betrachtete Menge K zugeschnittenen Methode, um zu einer brauchbaren Definition der Maßzahl für K zu gelangen. Die Frage nach einer allgemeinen Methode, mit deren Hilfe „möglichst vielen" Teilmengen des d-dimensionalen Raumes IRd für beliebige d e INI in natürlicher Weise ein d-dimensionales Volumen als Maßzahl zugeordnet werden kann, hat letzten Endes die Entwicklung der Maßtheorie genannten mathematischen Disziplin in Gang gebracht. Die Antwort der Maßtheorie auf die genannte Frage stellt den Hauptinhalt dieses Kapitels dar. Es wird sich zeigen, daß der Schlüssel zu der Antwort in der Rechenregel (C) liegt und daß dieselbe Rechenregel für wesentlich allgemeinere „Maßzahlen" erfüllt ist, welche in anderen, von der geometrischen Anschauung weitgehend losgelösten Situationen auftreten. Gerade hierdurch erklären sich die mannigfachen Anwendungsmöglichkeiten der Maßtheorie in Analysis, Geometrie und Stochastik.

§ 1. - Algebren und ihre Erzeuger Es sei eine beliebige Menge und ^*( ) deren Potenzmenge, d.h. das System aller Teilmengen von . Dann liegen mit jeder Familie (Ai)iel von Mengen aus 0>( ) auch deren Vereinigung [J A; und deren Durchiel

schnitt P) Aj in ^( ). Ferner enthält ^( ) mit jeder Menge A deren Komiel

plement CA. Im folgenden interessieren uns Mengensysteme j/ die entsprechende Eigenschaften wenigstens für abzählbare Indexmengen I

§ l. σ-Algebren und ihre Erzeuger

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besitzen. Gem der einleitend verabredeten Bezeichnungen sind dies Mengen, die endlich oder abz hlbar unendlich sind. 1.1 Definition. Ein System stf von Teilmengen einer Menge Ω hei t eine σAlgebra (in Ω), wenn es folgende Eigenschaften besitzt: (1.1)

Qejtf;

(1.2)

Aestf => CAej/; OO

(1.3)

f r jede Folge (Αη)η6(Ν] von Mengen aus s/ liegt (J An in stf. n=l

Beispiele. 1. Stets ist ^*(Ω) eine σ-Algebra. 2. F r jede Menge Ω ist das System aller Mengen A c Ω, f r welche A oder CA abz hlbar ist, eine σ-Algebra. Die Eigenschaft (1.3)ergibt 00

sich dabei wie folgt: Sind alle Mengen An abz hlbar, so ist auch |J An n=l

abz hlbar; ist ein A„0 nicht abz hlbar, so ist das Komplement der VerOD

OO

einigung aller An wegen C (J An = Q CA n c CA no abz hlbar. n=l

n=l

3. Ist stf eine σ-Algebra in einer Menge Ω und Ω' eine Teilmenge von Ω, so ist (1.4)

Ω'η^:={Ω'ηΑ:Αε,5/}

eine σ-Algebra in Ω'. Sie hei t die Spur von stf in Ω'. Liegt Ω' in stf, so besteht Ω'η^ aus allen zu stf geh rigen Teilmengen von Ω'. 4. Seien Ω und Ω' Mengen, s/' eine σ-Algebra in Ω' und T: Ω -> Ω' eine Abbildung von Ω in Ω'. Dann ist das Mengensystem (1.5) T-iW)t={T~i(W''A-'e>s*t} eine σ-Algebra in Ω. Dies folgt aus dem bekannten Verhalten der mengentheoretischen Operationen bei inversen Abbildungen (wie hier T"1). Jede σ-Algebra stf besitzt folgende zu (1.1) und (1.3) „duale" Eigenschaften: (1.6)

0e^;

(1.7)

f r jede Folge (An) von Mengen aus $# liegt (~] An in stf.

OO

n=l

4

Ma theorie

Wegen 0 = ΟΩ und f) A„ = C((J A;) mit A;== CA n folgt dies aus (1.1)(1.3). Ferner gilt A! u ... u An = A! u ... u An u 0 u 0 u ...

und

A! n ... n An = A1 n ... n An n Ω η Ω η ... .

Daher enth lt stf auch mit je endlich vielen Mengen deren Vereinigung und Durchschnitt. Hieraus und aus (1.2) folgt noch: (1.8)

A,Bej/ =

F r die Konstruktion von σ-Algebren ist der folgende Satz wichtig: 1.2 Satz. Jeder Durchschnitt (°| j/t einer jeden Familie (