Maß- und Integrationstheorie (Springer-Lehrbuch) (German Edition) 3540499776, 9783540499770

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Springer-Lehrbuch

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Grundwissen Mathematik

Ebbinghaus et al.: Zahlen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie Hämmerlin†/Hoffmann: Numerische Mathematik Koecher†: Lineare Algebra und analytische Geometrie Lamotke: Riemannsche Flächen Leutbecher: Zahlentheorie Remmert/Schumacher: Funktionentheorie 1 Remmert/Schumacher: Funktionentheorie 2 Walter: Analysis 1 Walter: Analysis 2 Herausgeber der Grundwissen-Bände im Springer-Lehrbuch-Programm sind: F. Hirzebruch, H. Kraft, K. Lamotke, R. Remmert, W. Walter

Jürgen Elstrodt

Maß- und Integrationstheorie Fünfte, korrigierte Auflage

123

Professor Dr. Jürgen Elstrodt Westfälische Wilhelms-Universität Fachbereich Mathematik und Informatik Einsteinstr. 62 48149 Münster

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Mathematics Subject Classification (2000): 28-01, 28-03

ISBN 978-3-540-49977-0 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 978-3-540-21390-1 4. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996, 1999, 2002, 2005, 2007 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Text und Abbildungen wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Verlag und Autor können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Satz: Reproduktionsfertige Vorlage vom Autor Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier

175/3100/YL - 5 4 3 2 1 0

Vorwort zur fu¨nften Auflage Die dritte Auflage unterscheidet sich von der vorangegangenen vor allem durch einen zus¨atzlichen Paragraphen (Kap. VIII, § 4) u¨ber Konvergenz von Maßen und Kompaktheit von Mengen von Maßen. Wesentliche Ergebnisse sind hier z.B. das sog. Portmanteau-Theorem, die klassischen S¨atze von H e l l y und H e l l y – B r a y und der bedeutende Satz von P r o c h o r o v u¨ber die relative Folgenkompaktheit von Mengen endlicher Maße auf einem polnischen Raum. Herrn Prof. Dr. L. Mattner (Lu¨beck) danke ich herzlich fu¨r die Anregung, diesen Stoff in das Buch aufzunehmen. — Fu¨r die fu¨nfte Auflage wurde der Text nochmals durchgesehen und aktualisiert. Mein herzlicher Dank gilt wiederum Frau G. Dierkes (geb. Weckermann) fu¨r die hervorragende Arbeit bei der Erstellung der Druckvorlage. — Herrn Dr. Heinze, Herrn Dr. Heine und den Mitarbeiter(inne)n des Springer-Verlags danke ich fu¨r die aufmerksame und entgegenkommende verlegerische Betreuung.

Mu¨nster, den 01.12.06

Ju¨rgen Elstrodt

Vorwort zur zweiten Auflage Im Text der zweiten Auflage wurden einige kleinere Korrekturen und Erg¨anzungen vorgenommen und die Literaturhinweise aktualisiert. Ich verweise hier insbesondere auf die verbesserte Fassung von Satz I.6.5, die ich einer freundlichen Mitteilung von Herrn Prof. Dr. D. Plachky (Mu¨nster) verdanke, und eine Korrektur im Beweis des Satzes VIII.3.11, die auf einen hilfreichen Hinweis von Herrn Prof. Dr. U. Krengel (G¨ottingen) zuru¨ckgeht. Weitere wertvolle Hinweise verdanke ich den Herren Priv.-Doz. Dr. L. Mattner (Hamburg) und Akad. Dir. Priv.-Doz. Dr. H. Pfister (Mu¨nchen). Neben den Genannten gilt mein herzli-

Vorwort

VI

cher Dank besonders Frau G. Weckermann, die erneut mit grofiter Sorgfalt und hochstem Geschick die Druckvorlage erstellt hat. - Herrn Dr. Heinze und den Mitarbeiter(inne)n des Springer-Verlags danke ich fur ihr aufmerksames Entgegenkommen. Minister, den 30.11.98

Jiirgen Elstrodt

Vorwort zur ersten Auflage Wer kann was Dummes, wer was Kluges denken, das nicht die Vorwelt schon gedacht? (J.W. v.

GOETHE:

Faust II, II. Akt, 1. Szene)

Das vorliegende Buch richtet sich an einen breiten Kreis von moglichen Interessenten. In erster Linie ist es ein Lehrbuch, das im Studium ab Beginn der Vorlesungen fur dritte Semester eingesetzt werden kann. Daneben soil es auch fur das Selbststudium und als Nachschlagewerk fur wohlbekannte und weniger bekannte Dinge dienen. Zusatzlich will es Einblicke in die historische Entwicklung geben und iiber Leben und Werk einiger Mathematiker unterrichten, die zum Gegenstand des Buchs wesentliche Beitrage geliefert haben. Bei der Auswahl des Stoffes habe ich zwei Ziele im Auge: Zum einen soil dem „reinen" Mathematiker, der etwa mit konkreten Integralen zu tun hat, der funktionalanalytische Interessen verfolgt, der Fourier-Analysis oder harmonische Analyse auf Gruppen betreiben will, eine sichere Basis fur seine Aktivitaten geboten werden. Zum anderen soil auch dem „angewandten" Mathematiker oder mathematischen Physiker, der sich z.B. fur Funktionalanalysis oder Wahrscheinlichkeitstheorie interessiert, eine zuverlassige Grundlage vermittelt werden. Diese Ziele lassen sich m.E. am besten verwirklichen mit Hilfe des bewahrten klassischen Aufbaus der MaB- und Integrationstheorie, der den Begriff eines auf einer a-Algebra iiber einer Menge X defmierten Mafies voranstellt und darauf den Integralbegriff griindet. Die Kapitel I-IV realisieren dieses Konzept bis hin zu den klassischen Konvergenzsatzen von B. LEVI, P . FATOU und H. LEBESGUE. Die Reihenfolge der weiteren Kapitel ist mehr durch den personlichen Geschmack des Autors bestimmt als durch interne strukturelle Notwendigkeiten. Bei Bedarf kann der weitere Stoff daher auch in anderer Reihenfolge erarbeitet werden. In dem Bestreben, das Buch auch als mogliche Grundlage fur eine Vorlesung iiber Analysis III zu konzipieren, behandle ich als nachstes Thema in Kapitel V die mehrfache Integration und die Transformationsformel. Die folgenden Kapitel VI, VII widmen sich zwei Gegenstanden, die fur Funktionalanalysis

Vorwort

vn

und Wahrscheinlichkeitstheorie von grundlegender Bedeutung sind: Kapitel VI behandelt die Vollstandigkeit der Raume IP und zahlreiche Konvergenzsatze, die das Wechselspiel der verschiedenen Konvergenzbegriffe beschreiben. Zentrales Resultat in Kapitel VII ist der Satz von R A D O N - N I K O D Y M , der in der Wahrscheinlichkeitstheorie als Basis fur die Defmitionen der bedingten Wahrscheinlichkeit und des bedingten Erwartungswerts dient. Kapitel VII wird abgerundet durch ein eingehendes Studium der absolut stetigen Funktionen auf K - ein Thema, das in der Vorlesungspraxis oft dem zu knappen Zeitplan zum Opfer fallt. So beweise ich z.B. den beruhmten Satz von LEBESGUE iiber die Differenzierbarkeit fast iiberall der monotonen Funktionen und den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung fur das Lebesgue-Integral. Fur die Lektiire der ersten Kapitel dieses Buchs sollte der Leser lediglich mit dem Begriff des metrischen Raums vertraut sein; es werden keine besonderen Kenntnisse in mengentheoretischer Topologie vorausgesetzt. Da aber viele Sachverhalte unverandert fur beliebige topologische Raume gelten, greife ich gelegentlich zu Formulierungen wie: „Es sei X ein metrischer (oder topologischer) Raum..." Wer nur metrische Raume kennt, betrachte in solchen Fallen X als metrischen Raum; wer topologische Raume kennt, lese das folgende unter der allgemeineren Pramisse. Auf diese Weise hoffe ich, den flexiblen Einsatz des Buchs fur Lehr- und Nachschlagezwecke zu fdrdern. Es liegt in der Natur der Sache, dafi in Kapitel VIII iiber MaBe auf topologischen Raumen beim Leser Kenntnisse iiber mengentheoretische Topologie im Umfang etwa einer einsemestrigen Vorlesung vorausgesetzt werden mussen. Dementsprechend ist dieses Kapitel fur einen spateren Studienabschnitt (etwa ab dem funften Semester) gedacht. In Kapitel VIII behandle ich zunachst die Regularitatseigenschaften von Borel-MaBen auf lokal-kompakten HausdorffRaumen und auf polnischen Raumen. Zentral fiir das folgende ist der Begriff des Radon-Mafies. Der neueren Entwicklung folgend, defmiere ich Radon-MaBe als von innen regulare Borel-MaBe. Diese Festlegung erweist sich als besonders vorteilhaft fiir die Behandlung des Darstellungssatzes von RlESZ, der in zahlreichen Versionen entwickelt wird, und zwar sowohl fiir lokal-kompakte als auch fiir vollstandig regulare Hausdorff-Raume. Als kronenden AbschluB beweise ich (nach A. W E I L ) den Satz von der Existenz und Eindeutigkeit eines Haarschen MaBes auf jeder lokal-kompakten Hausdorffschen topologischen Gruppe und den entsprechenden Satz fiir Restklassenraume. Das vorliegende Buch behandelt zwar vorrangig die Mathematik, enthalt daneben aber viele Originalzitate und Hinweise auf die historische Entwicklung und einschlagige Quellen. Dabei kann es sich naturgemaB nicht um eine erschopfende Darstellung der gesamten Historie handeln, doch hoffe ich beim Leser ein gewisses Verstandnis fiir die historischen Ablaufe zu wecken und ihn zu weitergehendem Studium der Originalarbeiten anzuregen. Damit auch der menschliche Aspekt nicht zu kurz kommt, fiige ich Kurzbiographien einiger Mathematiker bei, die wesentliche Beitrage zum Thema des Buchs geliefert haben.

Vlll

Vorwort

Mit dem Kleingedruckten ist es wie bei Versicherungsvertragen: Man kann es zunachst beiseite lassen, doch konnen Situationen eintreten, in denen es darauf ankommt. Das bezieht sich auch auf die Ubungsaufgaben, von denen einige wenige an spaterer Stelle im Text benutzt werden. Dieses Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen, die ich im Laufe der Jahre an den Universitaten Miinchen, Hamburg und Miinster gehalten habe. Bei der Vorlesungsvorbereitung waren mir die Vorlaufer bzw. ersten Auflagen der Lehrbiicher von BAUER [1], H E W I T T - S T R O M B E R G [1], LOEVE [1] und RUDIN

[1] eine wertvolle Hilfe. Gern ergreife ich hier die Gelegenheit, alien zu danken, die mir wahrend der langen Entstehungszeit des Manuskripts geholfen haben. An erster Stelle danke ich namentlich meinem verehrten Kollegen Prof. Dr. M. KOECHER (f), auf dessen Anregung hin ich mich auf das Abenteuer eingelassen habe, dieses Buch zu schreiben - ohne genau zu wissen, wieviel Arbeit damit verbunden sein wiirde. Wertvolle Hinweise verdanke ich besonders den Kollegen Prof. Dr. V. EBERHARDT (Miinchen), Prof. Dr. D. PLACHKY (Miinster), Prof. Dr. P . RESSEL (Eichstatt) und Prof. Dr. W. ROELCKE (Miinchen). Ganz besonderen Dank aussprechen mochte ich Herrn Akad. Dir. Priv.-Doz. Dr. H. PFISTER (Miinchen). Er hat das ganze Manuskript kritisch gelesen, zahlreiche Verbesserungsvorschlage und Korrekturen eingebracht und mich immer wieder ermahnt, im Interesse der Studenten nicht zu knapp zu schreiben. Von den Herausgebern der Grundwissen-Bande danke ich namentlich den Herren Prof. Dr. Dr. h.c. R. REMMERT (Miinster) und Prof. Dr. W. WALTER (Karlsruhe) fur die Unterstiitzung und die bestandige Ermahnung, nur ja moglichst kompakt zu schreiben, damit das Manuskript nicht zu lang wird. Ein herzliches Dankeschon geht an Frau G. WECKERMANN, die mit groBer Professionalitat die Druckvorlage erstellt und klaglos die vielen Korrekturen und Anderungen durchgefuhrt hat. Meiner Frau BARBEL danke ich fur ihre Unterstiitzung und ihr Verstandnis, ohne die dieses Buch nicht zustandegekommen ware. Last not least gilt mein Dank Herrn Dr. J. HEINZE und den Mitarbeiter(inne)n des Springer-Verlags fur ihre Hilfe und fur ihre nicht enden wollende Geduld. - Den Benutzer(inne)n des Buchs danke ich im voraus fur etwaige Hinweise auf Corrigenda oder Verbesserungsvorschlage. Miinster, den 01.07.96

Jiirgen Elstrodt

Inhaltsverzeichnis Kapitel I a-Algebren und Borelsche Mengen § 1.

Das Inhaltsproblem und das Mafiproblem

§ 2.

Bezeichnungen und mengentheoretische Grundla 1. Bezeichnungen 2. Limes superior und Limes inferior Aufgaben

§ 3.

Ringe, Algebren, a-Ringe und a-Algebren 1. Ringstruktur von *$(X) 2. Ringe und Algebren 3. a-Ringe und a-Algebren Aufgaben

§ 4.

Erzeuger und Borelsche Mengen 1. Erzeuger 2. Borelsche Mengen 3. Verhalten unter Abbildungen Aufgaben

§ 5.

Halbringe 1. Halbringe 2. Der von einem Halbring erzeugte Ring Aufgaben

§ 6.

Monotone Klassen und Dynkin-Systeme 1. Monotone Klassen 2. Dynkin-Systeme Aufgaben

Kapitel II Inhalte und Mafie § 1. Inhalte, Pramafie und Mafie 1. Definitionen und erste Folgerungen 2. Ein erster Fortsetzungssatz 3. Eigenschaften von Inhalten 4. Charakterisierung der cr-Additivitat 5. Historische Anmerkungen Aufgaben § 2. Inhalte und Pramafie auf R 1. Endliche Inhalte auf 3 2. Endliche Pramafie auf 3 3.

Kurzbiographie von E. BOREL

Aufgaben

Inhaltsverzeichnis 3.

Inhalte und PramaBe auf MP 1. Das Lebesguesche PramaB auf 3P 2. Differenzenoperatoren 3. Inhalte auf 3P 4. PramaBe auf 3P 5.

4.

Kurzbiographie von J. RADON

48

Aufgaben

49

Fortsetzung von PramaBen zu MaBen 1. AuBere MaBe 2. Der Fortsetzungssatz 3. Die Lebesgue-meBbaren Teilmengen des Rp 4.

43 43 44 46 47

50 50 53 55

Kurzbiographie von C. CARATHEODORY

57

Aufgaben

58

5.

Eindeutigkeit der Fortsetzung 1. a-endliche Inhalte 2. Der Eindeutigkeitssatz 3. WahrscheinlichkeitsmaBe und Verteilungsfunktionen auf R Aufgaben

59 59 60 61 62

6.

Vollstandige MaBraume Aufgaben

63 65

7.

Das Lebesguesche MaB 1. Approximationssatze 2. Charakterisierung der Lebesgue-MeBbarkeit 3. Der Satz von H. STEINHAUS 4. MeBbarkeit konvexer Mengen Aufgaben

66 66 67 68 68 69

8.

Das Cantorsche Diskontinuum 1. Konstruktion von C 2. Triadische Entwicklung 3. Machtigkeiten von 03^ und SP 4. Die Cantorsche Funktion Aufgaben

70 70 71 73 73 74

9.

Metrische auBere MaBe und Hausdorff-MaBe 1. Metrische auBere MaBe 2. Hausdorff-MaBe 3. Rektiflzierbare Kurven 4. Kurzbiographie von F. HAUSDORFF Aufgaben

76 76 78 78 80 82

Inhaltsverzeichnis

XI

Kapitel III. Mefibare Funktionen

83

§ 1.

Mefibare Abbildungen und Bildmafie 1. Mefibare Abbildungen 2. Bildmafie Aufgaben

85 85 87 88

§ 2.

Bewegungsinvarianz des Lebesgue-Mafies 1. Translationsinvarianz des Lebesgue-Mafies 2. Das Bildmafi des Lebesgue-Mafies unter bijektiven affinen Abbildungen 3. Bewegungsinvarianz des Lebesgue-Mafies 4. Das p-dimensionale aufiere Hausdorff-Mafi Aufgaben

89 89

§ 3.

Existenz nicht mefibarer Mengen 1. Nicht Lebesgue-mefibare Mengen und Unlosbarkeit des Mafiproblems

91 92 94 95 96 96

2.

Kurzbiographie von G. VITALI

99

3. 4.

Weitere Beispiele nicht Lebesgue-mefibarer Mengen Existenz nicht mefibarer Mengen fur Lebesgue-Stieltjessche Mafie Aufgaben

99 100 102

§ 4.

Mefibare numerische Funktionen 1. Rechnen in R, Topologie von R 2. Mefibare numerische Funktionen 3. Approximation durch Treppenfunktionen 4. Abzahlbar erzeugte Mefiraume 5. Ein minimaler Erzeuger von 931 Aufgaben

103 104 105 108 109 109 110

§5.

Produkt-a-Algebren 1. Initial-a-Algebren und Produkt-a-Algebren 2. Borel-Mengen topologischer Produkte 3. Mefibarkeit der Diagonalen Aufgaben

112 112 114 115 116

Kapitel IV. Das Lebesgue-Integral

119

§1.

Integration von Treppenfunktionen Aufgaben

120 121

§ 2.

Integration nicht-negativer mefibarer Funktionen 1. Definition des Integrals 2. Der Satz von der monotonen Konvergenz

122 122 125

3.

Kurzbiographie von B. LEVI

126

4.

Mafie mit Dichten Aufgaben

127 127

Inhaltsverzeichnis

Xll

§ 3.

Integrierbare Funktionen 1. Integrierbare Funktionen 2. Linearitat und Monotonie des Integrals 3. Der Raum Cl 4. Stetige Funktionen mit kompaktem Trager 5. Integration iiber meBbare Teilmengen 6. Historische Anmerkungen 7.

§ 4. § 5.

§ 6.

128 128 131 132 133 135 136

Kurzbiographie von W.H. YOUNG

137

Aufgaben

138

Fast tiberall bestehende Eigenschaften Aufgaben

140 142

Konvergenzsatze

144

1. 2.

Das Lemma von FATOU Kurzbiographie von P . FATOU

144 145

3. 4. 5.

Der Satz von der majorisierten Konvergenz Von einem Parameter abhangige Integrale Der Satz von SCHEFFE Aufgaben

145 147 149 150

Riemann-Integral und Lebesgue-Integral 1. Eigentliches Riemann-Integral und Lebesgue-Integral 2. Uneigentliches Riemann-Integral und Lebesgue-Integral 3. Mittelwertsatze der Integralrechnung 4. Kurzbiographie von H. LEBESGUE Aufgaben

Kapitel V. Produktmafie, Satz von

FUBINI

und Transformationsformel

151 151 153 156 157 160 163

§1.

ProduktmaBe 1. Produkt-a-Algebren 2. ProduktmaBe 3. Das Cavalierische Prinzip 4. Produkte endlich vieler MaBraume 5. Das p-dimensionale auBere Hausdorff-MaB Aufgaben

163 164 164 169 170 171 173

§ 2.

Der Satz von FUBINI 1. Der Satz von FUBINI 2. Historische Anmerkungen 3. Beispiele fur Anwendungen des Satzes von FUBINI 4. Der GauBsche Integralsatz fur die Ebene

175 175 180 181 184

5.

Kurzbiographien von G. FUBINI und L. TONELLI

187

Aufgaben

188

Inhaltsverzeichnis

xm

§ 3.

Faltung und Fourier-Transformation 1. Integration in bezug auf BildmaBe 2. Transformation von MaBen mit Dichten 3. Die Faltung auf C1 (W, » P , (3P) 4. Die Fourier-Transformation Aufgaben

191 191 192 193 195 200

§4.

Die Transformationsformel 1. Die Transformationsformel 2. Der Satz von SARD 3. Verallgemeinerte Transformationsformel 4. Transformation von MaBen mit Dichten bez. Xp 5. Der Brouwersche Fixpunktsatz Aufgaben

201 202 209 211 211 213 215

Kapitel VI. Konvergenzbegriffe der Mafiund Integrationstheorie

219

§ 1.

Die 1. 2. 3. 4.

Ungleichungen von JENSEN, HOLDER und MINKOWSKI Die Jensensche Ungleichung Die Holdersche Ungleichung Die Minkowskische Ungleichung Historische Anmerkungen Aufgaben

220 220 223 224 225 226

§ 2.

Die 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Raume Lp und der Satz von R I E S Z - F I S C H E R Die Raume C? und LP Der Satz von R I E S Z - F I S C H E R Die Banach-Algebra L1 (Rn, Q3n, (5n) Der Hilbert-Raum L2(//) Der Banach-Verband L^, Dichte Unterraume von IP Der Satz von PLANCHEREL Der Satz von FATOU iiber Potenzreihen Historische Anmerkungen

229 229 231 234 235 240 242 243 244 245

10.

§ 3.

Kurzbiographien von F. RIESZ und E. FISCHER

246

Aufgaben

247

Der Satz von JEGOROW 1. Konvergenz //-fast uberall 2. Fast gleichmaBige Konvergenz 3.

250 250 251

Kurzbiographie von D.F. JEGOROW

252

Aufgaben

253

Inhaltsverzeichnis

XIV

§ 4.

§ 5.

Konvergenz nach Mafi 1. Konvergenz nach Mafi und lokal nach Mafi 2. Cauchy-Folgen fur die Konvergenz nach Mafi 3. Vergleich der Konvergenzbegriffe 4. Charakterisierung der Konvergenz n.M. und der Konvergenz lokal n.M. Aufgaben

253 254 255 256

Konvergenz in Cp

259

257 258

1.

Der Satz von P R A T T

260

2.

Konvergenz in Cp

261

3.

Der Konvergenzsatz von V I T A L I

262

4.

Schwache Konvergenz in CP Aufgaben

263 267

Kapitel VII Absolute Stetigkeit

269

§1.

Signierte Mafie; Hahnscher und Jordanscher Zerlegungssatz 1. Signierte Mafie 2. Der Hahnsche Zerlegungssatz 3. Positive Variation, negative Variation und Variation 4. Jordanscher Zerlegungssatz 5. Der Banach-Verband der endlichen signierten Mafie 6. Kurzbiographie von H. HAHN Aufgaben

269 269 271 272 273 274 275 277

§ 2.

Der Satz von R A D O N - N I K O D Y M und der Lebesguesche Zerlegungssatz 1. Absolute Stetigkeit

279 279

2. 3.

Der Satz von R A D O N - N I K O D Y M Kurzbiographie von O . N I K O D Y M

280 284

4.

Der Lebesguesche Zerlegungssatz Aufgaben

285 287

§ 3.

§ 4.

Der Dualraum von Lp (1 < p < oo) 1. Der Dualraum von Lp(fi) (1 < p < oo) 2. Die multiplikativen Linearformen auf der Banach-Algebra L\iim) Aufgaben

288 288

Absolut stetige Funktionen auf R

296

293 295

1.

Der Uberdeckungssatz von V I T A L I

296

2. 3. 4. 5. 6.

Differenzierbarkeit monotoner Funktionen A-f.ii. Der Dichtesatz Absolut stetige Funktionen auf R Lebesguesche Zerlegung Lebesgue-Stieltjesscher Mafie Rektifizierbare Kurven Aufgaben

298 301 302 306 308 309

Inhaltsverzeichnis

xv

Kapitel VIII. Mafie auf topologischen Rdumen

312

§1.

313 313 317 318 318 320 323

Borel-Mafie, Radon-Mafie, Regularitat 1. Grundbegriffe 2. Regularitatssatze 3. Moderate Borel-Mafie 4. Regularitat von Borel-Mafien 5. Regularitat von Borel-Mafien auf polnischen Raumen 6. Der Satz von LUSIN 7.

§2.

Kurzbiographie von N.N. LUSIN

324

Aufgaben

327

Der Darstellungssatz von F. RIESZ

328

1. 2.

328 329

3.

Problemstellung Fortsetzungssatz Der Darstellungssatz von F. RIESZ fur

lokal-kompakte Raume 4.

§3.

vollstandig regulare Raume 5. Trager von Mafien 6. Der Darstellungssatz von F. RIESZ fur stetige Linearformen auf C0(X) Aufgaben

345 350

Das Haarsche Mafi 1. Topologische Gruppen 2. Linksinvariante Linearformen und Mafie 3. Existenz und Eindeutigkeit des Haarschen Mafies 4. Anwendungen des Haar-Mafies 5. Invariante und relativ invariante Mafie auf Restklassenraumen

351 352 354 356 366 368

6.

§ 4.

335

Der Darstellungssatz von F. RIESZ fur

339 343

Kurzbiographie von A. HAAR

375

Aufgaben

376

Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit 378 1. Eine Regularitatseigenschaft endlicher Mafie auf metrischen Raumen 379 2. Schwache und vage Konvergenz von Folgen von Mafien 380 3. Das Portmanteau-Theorem 384 4. Schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen und die Satze von HELLY-BRAY und HELLY 386 5. Der Satz von PROCHOROV 392 6. Die Laplace-Transformation 398 7. Die Prochorov-Metrik 401 Aufgaben 408

^vi

Inhaltsverzeichnis

Anhang A. Topologische Rdume

410

Anhang B. Trans finite Induktion

414

Literaturverzeichnis

416

Namenverzeichnis

423

Symbolverzeichnis

428

Sachverzeichnis

429

Kapitel I cr-Algebren und Borelsche Mengen In diesem ersten Kapitel beschaftigen wir uns mit Systemen von Mengen, die als Definitionsbereiche fur die in Kapitel II einzufuhrenden Inhalts- und MaBfunktionen in Betracht kommen. DaB hier der Wahl angemessener Definitionsbereiche eine erhebliche Bedeutung zukommt, ergibt sich aus den Paradoxien1, die sich im Zusammenhang mit dem sog. Inhaltsproblem ergeben haben. Wir stellen einige dieser Paradoxien im ersten Paragraphen dar. Fur das Verstandnis der folgenden Abschnitte ist die Kenntnis des Stoffes von § 1 nicht notig.

§ 1.

Das Inhaltsproblem und das Mafiproblem «La notion de mesure des grandeurs est fondamentale, aussi bien dans la vie de tous les jours (longueur, surface, volume, poids) que dans la science experimentale (charge electrique, masse magnetique, etc.).» 2 (N. BOURBAKI [1], S. 1)

Der Begriff des Flacheninhalts einer ebenen oder gekrummten Flache, des Volumens eines Korpers oder der auf einem Korper befindlichen Ladung erscheint zunachst selbstverstandlich. Daher ist es nicht verwunderlich, daB erst relativ spat die diesen Begriffen innewohnenden grundsatzlichen mathematischen Probleme klar erkannt und gelost werden. Fur die Mathematiker friiherer Jahrhunderte stellt sich namlich durchaus nicht vordringlich die Frage, was unter dem Flacheninhalt einer „beliebigen" Flache oder dem Volumen eines „beliebigen" Korpers zu verstehen ist. Sie sehen sich eher vor die Aufgabe gestellt, diese x Paradoxa heifien in der stoischen Philosophic solche Satze, die zunachst widersprlichlich oder absurd erscheinen, bei naherer Untersuchung sich aber als wahr und wohlbegrundet erweisen. 2 Der Begriff des Mafies von Grofien ist fundamental, sowohl im taglichen Leben (Lange, Oberflache, Volumen, Gewicht) als auch in der Naturwissenschaft (elektrische Ladung, magnetische Polstarke usw.).

2

I. a-Algebren und Borelsche Mengen

Grofien in interessanten Beispielen wirklich auszurechnen. So ist zum Beispiel die Bestimmung der Oberflache und des Volumens der Kugel durch ARCHIMEDES (287 (?)-212 v.Chr.) eine Glanzleistung hellenischer Mathematik. Zu Recht beriihmt sind auch die Abhandlungen des ARCHIMEDES uber die Kreismessung sowie seine Berechnungen des Flacheninhalts der Parabel, der Ellipse und der sog. Archimedischen Spirale. Jahrhundertelang wird den schon den Griechen bekannten Resultaten nur wenig Neues hinzugefugt. Erst etwa ab dem 17. Jahrhundert ergeben sich im Zuge der Entwicklung und Vervollkommnung der Infinitesimalrechung allgemeine Formeln zur Berechnung von Flacheninhalten, Volumina, Bogenlangen, Schwerpunkten, Tragheitsmomenten, Gravitationsfeldern usw. Die neuen Methoden gestatten die Behandlung einer gewaltigen Fiille konkreter Probleme. Die Mathematiker des 18. Jahrhunderts, an ihrer Spitze der geniale und unglaublich produktive L. EULER (1707-1783) und der groBe Analytiker J.L. LAGRANGE (1736-1813), widmen sich mit auBerordentlichem Elan dem weiteren Ausbau und der Anwendung der Analysis. Hierbei spielen namentlich Anwendungen auf Probleme aus der Mechanik eine bedeutende Rolle. Diese Entwicklung reicht fiber das 19. Jahrhundert hinaus bis in die Gegenwart. Daneben aber stellt sich im 19. Jahrhundert die Frage nach klarer begrifflicher Fassung der Grundlagen der Analysis immer drangender. Wir konnen im Rahmen dieses Buches nicht auf die Einzelheiten der historischen Entwicklung eingehen und verweisen diesbeziiglich auf die Grundwissen-Bande Analysis I, II von W. WALTER, insbesondere auf die Einleitung zu § 9 von Analysis II. Ein Beispiel fur die damals neuen Bemiihungen um begriffliche Strenge bietet der Integralbegriff. Die Mathematiker des 18. Jahrhunderts fafiten die Integration primar als die zur Differentation inverse Operation auf, obgleich die Bedeutung des Integrals als Limes einer Folge von Zerlegungssummen auch bekannt war. Die Aufgabe, eine Funktion zu integrieren, war daher gleichbedeutend mit dem Problem der Bestimmung einer Stammfunktion. Fur die allgemeine Frage nach der Existenz einer Stammfunktion einer beliebigen Funktion war die Zeit noch nicht reif. Das anderte sich mit der Einfuhrung des modernen Funktionsbegriffs und des Stetigkeitsbegriffs. In seinem Resume des lecons donnees a V Ecole Royale Polytechnique sur le calcul infinitesimal definiert A.L. CAUCHY (1789-1857) 1823 das bestimmte Integral einer stetigen Funktion / : [a,6] -» R als Limes von speziellen Zerlegungssummen. Das eroffnet ihm die Moglichkeit, vermoge F(x) := fx f(t)dt (a < x < b) die Existenz einer Stammfunktion fur jede stetige Funktion / nachzuweisen und damit den sog. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung streng zu beweisen. Den gleichen Weg beschreitet P.G. LEJEUNE DIRICHLET (1805-1859) bei seinen Untersuchungen liber Fouriersche Reihen (s. Werke 7, S. 136), und diese Einfuhrung des Integralbegriffs ist in der etwas allgemeineren Version von B. RIEMANN (1826-1866; s. Werke, S. 239) fester Bestandteil der mathematischen Grundausbildung geworden. Ein eminent wichtiger Baustein fur den exakten Aufbau der Analysis im 19. Jahrhundert ist die strenge Begriindung der Lehre von den reellen Zahlen durch

1. Das Inhaltsproblem und das MaBproblem

3

R. D E D E K I N D (1831-1916) und G. C A N T O R (1845-1918). Die von C A N T O R ge-

schaffene Mengenlehre endlich bildet den passenden Rahmen zur Formulierung der Frage nach dem angemessenen Begriff des Volumens einer Teilmenge des W. Diese Frage wird seit den Anfangen der Mengenlehre diskutiert, und es werden gegen Ende des 19. Jahrhunderts eine ganze Reihe von z.T. voneinander abweichenden Antworten vorgeschlagen. Hier sind namentlich die Beit rage von A. H A R N A C K (1851-1888), G. C A N T O R , G. P E A N O (1858-1932) und C. J O R D A N

(1838-1922) zu nennen. Eine genauere Darstellung der historischen Entwicklung findet man bei H A W K I N S [1]; einen kurzen informativen Uberblick mit vielen Quellenangaben gibt A. R O S E N T H A L [1]. Diesen ersten Versuchen ist allerdings kein wirklich durchschlagender Erfolg beschieden. Die Frage nach einem angemessenen Begriff des Volumens einer Teilmenge des W hat erst durch E. B O R E L (1871-1956) und H. L E B E S G U E (1875-1941)

eine befriedigende Antwort erhalten. Die Problemstellung wird erstmals allgemein von H. L E B E S G U E ([1], S. 208) in seiner Pariser These (1902) formuliert. Im wesentlichen die gleiche Formulierung des Problems wahlt L E B E S G U E in seinen Lecons sur ('integration et la recherche des fonctions primitives (Paris 1904); dort heifit es auf S. 103 ([2], S. 119) 3 : Nous nous proposons d'attacher a chaque ensemble E borne, forme de points de ox, un nombre positif ou nul, m(E), que nous appelons la mesure de E et qui satisfait aux conditions suivantes: V. Deux ensembles egaux ont meme mesure; 2'. L'ensemble somme d'un nombre fini ou dJune infinite denombrable d'ensembles sans point commun deux a deux, a pour mesure la somme des mesures; 3'. La mesure de Vensemble de tous les points de (0,1) est 1. L E B E S G U E nennt dieses Problem das Mafiproblem. In seiner These weist er ausdriicklich darauf hin, daB er dieses Problem nicht in voller Allgemeinheit lost, sondern nur fur eine gewisse Klasse von Mengen, die er mefibare Mengen nennt. Diese Einschrankung ist zwingend notwendig, denn wir werden sehen, daB eine Losung des MaBproblems gar nicht existiert. Auffallig ist an Bedingung 2', daB L E B E S G U E endliche oder abzahlbar unendliche Vereinigungen von Mengen zulaBt. Der Gedanke, die Additivitat des MaBes auch fur abzahlbare Vereinigungen disjunkter Mengen zu fordern, geht zuriick auf E. B O R E L (1898). Diese Idee spielt fur den weiteren Aufbau der MaB- und Integrationstheorie eine Schliisselrolle. In der alteren Inhaltstheorie von P E A N O und J O R D A N wird die Additivitat des Inhalts nur fur endliche Vereinigungen disjunkter Mengen betrachtet. Der Ubergang vom Endlichen zum Abzahlbaren hat zur Folge, daB die Lebesguesche MaB- und Integrationstheorie der alteren 3 Wir wollen jeder beschrankten Teilmenge E der reellen Achse eine nicht-negative reelle Zahl m(E) zuordnen, die wir das MaB von E nennen, so daB folgende Bedingungen erftillt sind: 1'. Je zwei kongruente Mengen haben gleiches MaB. 2'. Die Vereinigung von endlich oder abzahlbar unendlich vielen Mengen, von denen keine zwei einen gemeinsamen Punkt enthalten, hat als MaB die Summe der Mafie. 3'. Das Mafi des Einheitsintervalls [0,1] ist 1.

I. cr-Algebren und Borelsche Mengen

4

Theorie von P E A N O und JORDAN ganz wesentlich iiberlegen ist. SchlieBlich ist die Theorie von P E A N O und JORDAN nicht einmal in der Lage, jeder offenen Teilmenge von R in befriedigender Weise einen Inhalt zuzuordnen. Dagegen ist die Definition des MaBes fur offene Teilmengen von R denkbar naheliegend: Jede offene Teilmenge M C R ist auf genau eine Weise darstellbar als endliche oder abzdhlbare Vereinigung offener disjunkter Intervalle; als MaB von M definiere man die Summe der Langen dieser Intervalle. Dieser Ansatz geht zuriick auf E. BOREL.

Im AnschluB an LEBESGUE schrankt F. HAUSDORFF (1868-1942) die Forderung der abzahlbaren Additivitat des MaBes ein zur endlichen Additivitat und formuliert das Inhaltsproblem. Inhaltsproblem. Gesucht ist eine auf der Potenzmenge y$(BP) des W erklarte „Inhaltsfunhtion" m : *P(RP) —> [0, oo] mit folgenden Eigenschaften: (a) E n d I i c h e Additivitat: Fur alle A,B CW mit AnB = 0 gilt m(A U B) = m(A) + m(B). (b) Bewegungsinvarianz: Fur jede Bewegung j3 : W —> W und fur alle AcW gilt m(0(A)) = m(A). (c)Normiertheit: ra([0, l] p ) = 1. Die Theorie von P E A N O und JORDAN ordnet nur gewissen beschrankten Teilmengen des Rp, den sog. Jordan-meBbaren Mengen, einen Inhalt zu, der den Bedingungen (a)-(c) geniigt. Es sind aber durchaus nicht alle beschrankten Teilmengen des W Jordan-meBbar. Die Frage nach der Losbarkeit des Inhaltsproblems hat zu hochst merkwiirdigen, zunachst paradox anmutenden Ergebnissen gefiihrt. In seinem beruhmten Buch Grundzilge der Mengenlehre beweist HAUSDORFF ([1], S. 469-472) folgendes Resultat: Satz von Hausdorff (1914). Das Inhaltsproblem ist unlosbar filr den W, falls P> 3. S.

DaB hier die Dimensionsbeschrankung p > 3 wirklich notwendig ist, erkennt (1892-1945) im Jahre 1923 (s. BANACH [1], S. 66-89):

BANACH

Satz von Banach (1923). Das Inhaltsproblem ist losbar filr den R1 und den R2? aber es ist nicht eindeutig losbar. Einen Beweis dieses Satzes findet man z.B. bei ZAANEN [1], S. 114-116, [2], S. 194-198. Nach J. VON NEUMANN (1903-1957) liegt der Grund fur die Dimensionsabhangigkeit der Antwort auf das Inhaltsproblem in wesentlichen strukturellen Unterschieden der Bewegungsgruppen des W fur p = 1,2 und fur p > 3: Fur p = 1,2 sind die Bewegungsgruppen des W auflosbar, fur p > 3 aber nicht, denn die spezielle orthogonale Gruppe SO (3) enthalt eine freie Untergruppe vom Rang 2 (s. WAGON [2]). Die Unlosbarkeit des Inhaltsproblems fur p > 3 wird auf geradezu dramatische Weise deutlich in folgendem Paradoxon von S. BANACH und A. TARSKI (1902-1983); s. BANACH [1], S. 118-148.

§ 1. Das Inhaltsproblem und das MaBproblem

5

Satz v o n B a n a c h u n d Tarski (1924). Es sei p>3, und A,BcRp seien beschrdnkte Mengen mit nicht-leerem Inneren. Dann gibt es Mengen C\,..., Cn C W und Bewegungen / ? 1 ? . . . , (3n, so dafi A die disjunkte Vereinigung der Mengen C i , . . . , Cn ist und B die disjunkte Vereinigung der Mengen / ? i ( C i ) , . . . , fin{Cn). Dieses Ergebnis erscheint absurd, „denn wollten wir die Korper teilen in eine endliche Anzahl von Teilen, so ist es unzweifelhaft, dafi wir sie nicht zusammensetzen konnten zu Korpern, die mehr Raum einnehmen als friiher . . . " wie es G. G A L I L E I (1564-1642) in Unterredungen und mathematische Demonstrationen ..., Erster und zweiter Tag, Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft 1917 auf S. 25 formuliert. Der Satz von B A N A C H und T A R S K I behauptet jedoch das krasse Gegenteil; z.B. besagt der Satz, daB es moglich sei, eine Vollkugel vom Radius 1 im R 3 derart disjunkt in endlich viele Teilmengen zu zerlegen und die Teilstiicke durch geeignete Bewegungen des M3 derart disjunkt wieder zusammenzusetzen, daB dabei zwei disjunkte Vollkugeln vom Radius 1 (oder gar 1000 Vollkugeln vom Radius 106) herauskommen. Der Grund fur dieses paradoxe Ergebnis ist, daB die Mengen C i , . . . , C „ im Satz von B A N A C H und T A R S K I im allgemeinen unvorstellbar kompliziert sind. Diese Mengen werden mit Hilfe des Auswahlaxioms der Mengenlehre konstruiert, und das hat zur Folge, daB diese Mengen ganz unvorstellbar viel komplizierter sind als die Mengen, mit denen man es in der Analysis sonst zu tun hat, so daB etwa der Begriff des Volumens fur C i , . . . , Cn von vornherein durchaus nicht sinnvoll ist. Einen ubersichtlichen und kurzen Beweis des Satzes von B A N A C H und T A R S K I gibt L.E. D U B I N S : he

paradoxe de Hausdorff-Banach-Tarski, Gazette des Mathematiciens, Soc. Math. France No. 12, Aout 1979, S. 71-76; s. auch K. S T R O M B E R G : The BanachTarski paradox, Amer. Math. Monthly 86, 151-161 (1979) und W . D E U B E R : „Paradoxeu Zerlegung Euklidischer Raume, Elem. Math. 48, 61-75 (1993). Wir verscharfen nun mit BOREL und LEBESGUE die Forderung der endlichen Additivitat im Inhaltsproblem zur Forderung der abzahlbaren Additivitat (aAdditivitat). Mafiproblem. Gesucht ist eine „Mafifunktion" /i : ^3(R P ) —> [0, oo] mit folgenden Eigenschaften: (a) a - A d d i t i v i t a t : Filr jede Folge (An)n>i disjunkter Teilmengen des W gilt n ( U ~ ! K) = £ ~ = i fx(An). (b) B e w e g u n g s i n v a r i a n z : Fiir jede Bewegung f3 : W —> W und alle A c f f gilt n((3(A)) - fi(A). (c) N o r mi e rth e it : /x([0,1}P) = 1. DaB dieses Problem unlosbar ist, hat erstmals G. V I T A L I (1875-1932) im Falle p = 1 erkannt. Satz v o n V i t a l i (1905). Das Mafiproblem ist unlosbar. Wir werden dieses Ergebnis als Satz III.3.3 formulieren und beweisen. B A NACH und T A R S K I verscharfen den Vitalischen Satz ganz erheblich durch folgendes Resultat ( B A N A C H [1], S. 118-148):

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I. cr-Algebren und Borelsche Mengen

Satz von Banach und Tarski liber das Mafiproblem (1924). Es seip > 1, und A, B C W seien beliebige (mdglicherweise auch unbeschrdnkte) Mengen mit nicht-leerem Inneren. Dann gibt es abzdhlbar viele Mengen Ck C f f (k > 1) und Bewegungen fik : W —> W (k > 1), so daft A die disjunkte Vereinigung der Ck (k > 1) ist und B die disjunkte Vereinigung der /3k(Ck) (k > 1). Die Paradoxien, die sich im Zusammenhang mit dem Inhalts- und dem MaBproblem ergeben haben, zeigen deutlich, daB es nicht sinnvoll ist, von Inhaltsund MaBfunktionen von vornherein zu verlangen, daB sie auf ganz ^3(MP) definiert sind. Als solche Definitionsbereiche kommen nur geeignete Teilmengen von ^3(MP) in Betracht. Dabei hat sich herausgestellt, daB man sich beim Aufbau einer axiomatischen Theorie nicht auf den Raum W zu beschranken braucht, sondern mit im wesentlichen gleichem Aufwand eine beliebige Grundmenge X als Raum zugrundelegen kann. Der Mehraufwand bei diesem abstrakten Aufbau ist gering, der Gewinn an Allgemeinheit dagegen fur die Zwecke der Funktionalanalysis und Wahrscheinlichkeitstheorie ganz erheblich. Es gibt eine ganze Reihe von Varianten der in diesem Abschnitt betrachteten Probleme und Paradoxien. WAGON [1] gibt hier einen interessanten kurzen Uberblick. Eine ausfiihrliche Darstellung enthalt das Buch von WAGON [2].

§ 2.

Bezeichnungen und mengentheoretische Grundlagen „D e d e k i n d aufierte, hinsichtlich des Begriffes der Menge: er stelle sich eine Menge vor wie einen geschlossenen Sack, der ganz bestimmte Dinge enthalte, die man aber nicht sahe, und von denen man nichts wisse, aufier daB sie vorhanden und bestimmt seien. Einige Zeit spater gab C a n t o r seine Vorstellung einer Menge zu erkennen: Er richtete seine kolossale Figur hoch auf, beschrieb mit erhobenem Arm eine grofiartige Geste und sagte mit einem ins Unbestimmte gerichteten Blick: ,Eine Menge stelle ich mir vor wie einen Abgrund.' " (Mitteilung von F. BERNSTEIN; s. R. DEDEKIND: Gesammelte mathematische Werke, Bd. Ill, S. 449. Braunschweig: Vieweg 1932)

1. Bezeichnungen. Wir verwenden durchweg die ublichen mengentheoretischen Bezeichnungen £,0,C,$£,U,n. Die Menge aller Teilmengen der Menge X heifit die Potenzmenge von X und wird mit ty(X) bezeichnet, also ^P(X) := {A : A C X}. Hier und im folgenden bedeutet der Doppelpunkt bei einem Gleichheitszeichen, daB die betr. Gleichung eine Definition ist. Der Doppelpunkt steht dabei auf der Seite des zu definierenden Ausdrucks. Insbesondere ist die leere Menge 0 Teilmenge jeder Menge X, also 0 G *$(X). Alle im folgenden betrachteten Mengen sind Teilmengen einer festen Menge X bzw. von ^P(X), soweit aus dem Zusammenhang nichts anderes ersichtlich ist. Speziell bezeichnen wir mit N := {1,2,3,.. .},Z,Q,R,C die Mengen der

§2. Bezeichnungen

7

naturlichen bzw. ganzen bzw. rationalen bzw. reellen bzw. komplexen Zahlen und mit i die imaginare Einheit. Bei der Notation fur die verschiedenen Typen reeller Intervalle folgen wir N. BOURBAKI und bezeichnen fur a, b G R, a < b mit [a, b] := {x G R : a < x < 6} das abgeschlossene Intervail, mit ]a,6[:= {x G R : a < x < 6} das offene Intervall und mit [a, b[ := {x G R : a < x < 6} , ]a, 6] := {x G R : a < x < b} das entsprechende nach rechts bzw. nach links halboffene Intervall von a nach b. Fur a — b ist [a, a] — {a}, wahrend die tibrigen Intervalle leer sind. Wir verwenden diese Intervallschreibweise sinngemaB auch fur a, b G R, wobei R := R U {—oo, + O O } die um die Elemente + o c , —oo erweiterte Menge der reellen Zahlen ist. Fur i d bedeutet Ac := {x G X : x £ A} das Komplement von A in X. Die Menge A\ B := {x £ A : x £ B} = A f) Bc heifit die mengentheoretische Differenz und A A B := (A \ B) U (B \ A) = (A U B) \ (A D 5 ) die symmetrische Differenz von A und B; A A B enthalt genau diejenigen Elemente von X , die in genau einer der Mengen A und B liegen. Eine Familie (AL)ieI von Teilmengen von X ist eine Abbildung der Indexmenge / in ^3(X), die jedem t e I eine Menge AL G ^P(X) als Bild zuordnet. Im Falle / = N ist ( A n ) n € ^ gleich der Folge der Mengen A i , A 2 , . . . , und fur i" = { 1 , 2 , . . . , n) (n G N) ist (Ai)ieI gleich dem geordneten n-Tupel (^4i,..., An). Eine (endliche oder unendliche) Familie (AL)teI von Mengen heiBe disjunkt, wenn die Mengen AL (L G i") paarweise disjunkt sind, d.h. wenn fur alle i ^ K gilt: ALC)AK = 0. Fur das Rechnen mit Komplement en gilt das Dualitatsprinzip: Fur jede Familie (AL)Lei von Teilmengen der Menge X gilt

(2.D

(ik) Vel

=PK
y eine Abbildung, so bezeichnen wir fur i C I (2.3)

mit f(A)

:= {f(x)

:xeA}

das Bild von A unter der Abbildung / und mit (2.4)

f-\B)

:={x€X:

f(x)

€ B}

das Urbild von B CY bez. / . Dann konnen wir f~l als Abbildung von *#(Y) in ty(X) auffassen. Das Bild einer Teilmenge *B C ?P(Y) unter dieser Abbildung ist

(2.5)

r1(9S) = {/-1(B):B€35}.

8

I. a-Algebren und Borelsche Mengen

Eine Verwirrung mit der fur bijektives / vorhandenen Umkehrabbildung f~l : Y —)• X ist wohl nicht zu befiirchten. Fur bijektives / ist f~l(B) — {/ _ 1 (x) : 1 x G B] (B c Y). - Die Abbildung / - : 0) ist die offene Kugel um a mit dem Radius r. Ist allgemeiner (X, d) ein metrischer Raum, so bedeutet Kr(a) := {x G X : d(x,a) < r} die offene Kugel um a G X mit dem Radius r > 0. 2. Limes superior u n d Limes inferior. Fiir die Zwecke der MaBtheorie ist folgende Begriffsbildung nutzlich, die schon von E. B O R E L ([2], S. 18) eingefiihrt wurde: Ist (A n ) n >i eine Folge von Teilmengen von X , so heiBen (2.9)

lim An : = {x G X : x e An fiir unendlich viele n G N } n—>oo

der Limes superior und (2.10)

lim An : = {x G X : Es gibt ein n 0 (x) G N, n-+oo so daB x e An fiir alle n > rio(x)}

2. Bezeichnungen

9

der Limes inferior der Folge (An)n>i. Diese Benennung ist im Hinblick auf Aufgabe 2.3 naheliegend. Offenbar gilt (2.11)

lim

An=f)\jAk, n=lk=n oo

(2.12)

oo

lim An = | J f| Ak , n=lk=n

(2.13)

lim An C lim A„,. n

n^oo

^°°

Die Folge (An)„>i heifit konvergent, falls (2.14)

lim A„ = lim An

ist. In diesem Falle nennt man (2.15)

lim An := lim An = lim An n-^oc

n^OQ

rwoo

den Limes der Folge (A n ) n >i und sagt, die Folge (An)n>i konvergiere gegen lim An (vgl. Aufgabe 2.3). n—>oo

Wir nennen eine Folge (A n ) n >i von Teilmengen von X monoton wachsend oder kurz wachsend, falls An C An+i fur alle n £ N, und monoton fallend oder kurz fallend, falls An D A n + 1 fiir alle n G N. Eine Folge heifit monoton, wenn sie wachsend oder fallend ist. Entsprechende Bezeichnungen verwenden wir fiir Folgen reeller Zahlen und fiir Folgen von Funktionen /„ : X —> K. 2.1 Lemma. Jerfe monotone Folge (An)n>i von Mengen konvergiert, und zwar ist oo

(2.16)

-lim An = I I An , /a/fa (A>) n >i wachsend und v *-^ n=l

n—>oo

—

oo

(2.17)

lim i n = M i n , JaZ/s (A n ) n >i fallend ist.

n—>oo

' ' n=l

Beweis. Ist (A n ) n >i wachsend, so gilt nach (2.11)-(2.13) oo

oo

oo

lim An = (J p| Ak = (J A n n—»oo

, n=lfc=n 1

., n—\

D

ErT A n

n—>-oo

D

lim An.

n—>oo

Fiir jede fallende Folge (A n ) n >i gilt entsprechend oo

oo

oo

]m An = \\r)Ak n—>oo

.. , n=l

oo

oo

= r)Ak = r)\\Ak=m fc=n

. , k—l

- . n—1 k=n

An. n—»co

D

10

I. cr-Algebren und Borelsche Mengen Konvergiert (An)n>i

wachsend bzw. fallend gegen A, so schreiben wir kurz

„An t A" bzw. „An I A". Entsprechend verwenden wir die Schreibweisen „a n t a

" ? »fn t / " 5 » a n -l a" ? „/« I / " a u d i fur wachsende bzw. fallende Konvergenz

einer Folge ( a n ) n > i aus R gegen a G l bzw. einer Folge (fn)n>i

v o n

Funktionen

fn : X —» K gegen / : X -> R (punktweise Konvergenz in R ) . Fiiv A c X heiBt die Funktion XA : X -» R, /o i o \ (2-18)

/ \ / 1 X ^ ) : = ( 0 Funktion4

die charakteristische

fur

a? G ^4,

f{ir

s

e

^

X

oder Indikatorfunktion

von A. Fur

A , B c X

gilt A C 5 genau dann, wenn XA < Xs ist. Daher ist eine Folge (An)n>i

von

Teilmengen von X genau dann wachsend bzw. fallend, wenn die Folge (xA n )n>i wachsend bzw. fallend ist. Ferner gilt fur alle A, B C X: XADB

=

XA • XB , XA + XB = XAUB + XADB , XAC = 1 — XA ,

XA\B

=

X A ( 1 ~ X B ) , XAAB = \XA

~XB\>

Aufgaben. 2 . 1 . Limes superior und Limes inferior einer Folge von Mengen andern sich nicht, wenn man in der Folge nur endlich viele Glieder abandert, weglafit oder hinzufugt. 2.2. Eine Folge (An)n>i von Teilmengen von X konvergiert genau dann gegen die leere Menge, wenn zu jedem x e X nur endlich viele n G N existieren mit x € An. Insbesondere konvergiert jede Folge disjunkter Mengen gegen die leere Menge. 2 . 3 . Es seien An , Bn C X (n e N) , A := lim An , B := lim An , C C X. Dann gilt: = lim Acn.

lim An n—>oo

/

n_>OQ

b) XA = lim x.4n »

XB

n—>-oo

= Hm XAn • n—>-oo

c) (^4n)n>i konvergiert genau dann gegen C, wenn (xAn)n>i d) lim An n lim £ n C i i m ( i n n B n ) . n->oo

n->oo

gegen x c konvergiert.

n->oo

e) ( lim An) \ ( lim A n ) = lim (A n A A n + 1 ) . n—»oo

n_!,00

n—>oo

f) Die in der additiven abelschen Gruppe (^3(X), A) gebildete Reihe J]^Li An konvergiert (im Sinne der Konvergenz der Folge der Teilsummen Ai A A2 A . . . A An) genau dann, wenn lim An = 0 ist. 2.4. Es seien (An)n>i , (Bn)n>± konvergente Folgen von Teilmengen von X. Zeigen Sie, dafi die Folgen (A£) n >i , (An n £ n ) n > i , (An U £ n ) n > i , (A n \ £ n ) n > i , (A n A £ n ) n > i konvergieren, und bestimmen Sie die jeweiligen Limites. 2.5. Ist (^4n)n>i e i n e konvergente Folge von Teilmengen von X mit Limes A und (Bn)n>i eine konvergente Folge von Teilmengen von Y mit Limes B, so konvergiert (An x Bn)n>i gegen Ax B. 2.6. Fur Au...,An

C X gilt U L i ^

= ( T = i AJ U U ^ I ^

A 4fc+1.

2.7. Es seien J4I, . . . , An C X und tf* :=

|J l}. Dann ist Q(D) ein Dynkin-System, denn fur alle M £ Q(D) ist auch Mc £ £(£>), da Mc n D = D \ (M n D) e 2) (s. Satz 6.5). Fur jedes E £