Lehrbuch der reinen und angewandten Mathematik: Band 3 Welcher die statischen und mechanischen Wissenschaften enthält [Reprint 2021 ed.] 9783112442142, 9783112442135

Citation preview

Lehrbuch der reinen

Und

angewandten Mathematik in

drei Bänden.

Dritter Band, welcher die statischen und mechanischen Wissenschaften enthält.

Bearbeitet von

v. D. L. L. Lehmus, Lehrer der Mathematik an der Artillerie, und Ingenieur, Schule in Berkin.

Mit. vier Figu r en tafeln.

Berlin, 1827. Gedruckt und verlegt bei G. Reimer.

Inhalt des dritten Bandes

Seite Ibis 6 Äl.lA*i»eine Grundbegriffe. S.l.biS13. Erster Abschnitt. Die Statik. §. 14. — 51 Erstes Kapitel. Bedingungen des Gleichge­ wichts, wenn die Richtungen sämmtlicher Kräfte parallel sind und in einer Ebene liegen. §. 15. bis 26. .....

—

7-50

—

7 — 18

Zweites Kapitel. Bedingungen des Gleich­ gewichts für Kräfte, deren Richtungen par­ allel, aber in verschiedenen Ebenen liegen. -18 — 23 §.27.- 28 Drittes Kapitel. Bedingungen des Gleiche gewichts für Kräfte, deren Richtungen nicht parallel sind, aber alle in einer Ebene liegen. §.29.-40...........................................

-24 — 37

Viertes Kapitel. Bedingungen des Gleich­ gewichts, wenn die Richtungen der Kräfte nicht durchaus in einer Ebene liegen, und nicht alle untereinander parallel sind. §. 41. —43. — 58 — 42

Fünftes Kapitel. Dom Prinzip der virtuel­ len Geschwindigkeiten. §. 44. — 51. .

— 42 — 50

IV

Zweiter Abschnitt. Die Geostatik. §. 52. — 192. . . . Seite 51 hi- 169 Erstes Kapitel. bis 83. ♦ •

Vom Schwerpunct. $♦ 52. . # • ♦ —

Irpeiteö Kapitel. §. 84. — 102

Die Guldim'sche Regel.

Drittes Kapitel. $. 103. — 116

Dom materiellen Hebel.

—

72 — 85

—

85 — 94

Viertes Kapitel. Von der Stabilität und der Stärke der Widerlager. $.117. — 123. — Fünftes Kapitel. Von denNebenhindernissen der Reibung und Steifheit der Seile. §. 124. bis 134 — Sechstes Kapitel. Von der schiefen Ebene, dem Keil und der Schraube. §.135. —145. — J. Don der schiefen Ebene. §.135. —139. — II. Vom Keil. §. 140. — 142. . . — III. Don der Schraube. $• 143. — 145. — Siebentes Kapitel. Von den Seil-Maschi­ nen, der festen Rolle, der losen Rolle, den Rollenzügen und den Flaschenzügen. §. 146. bis 159. — I. Don den Seil-Maschinen. §.147.-151. — JI. Don der festen und losen Rolle.' §. 152. bis 156 — III. Don den Rollen- und Flaschenzügen. §.157. bis 159 — Achtes Kapitel. Vom Rad an der Welle, dem ineinander greifenden Räderwerks der Schraube ohne Ende, dem Pferdegöpel, der Tretscheibe und dem Laufpad, der Krastbestimmung bei Aufziehung der Brückenklappen und der Theo­ rie der Fuhrwerke. §. 160. — 177. . —

I.

51 — 71

95 — 106

106 — 119

120 120 123 125

— — — —

128 123 125 128

129 — 138 129 — 133 133 — 135 135 — 138

139 — 155

Dow Rad an der Welle, dem ineinander greifenden Räderwerk und der Schraube ohne Ende. §. 160. - 166. . . —

139 - 147

V II.

Dom Pferdegöpel, der Tretscheibö und dem Laufrad. §. 167. — 169. . . Sette 148 bis 150

III. Kraftbestimmungen bet Aufziehen von Brük, kenklappen. §. 170. — 172. . . —• 150 — 152 IV. Theorie der Fuhrwerke. §. 173. —177. — 152 — 155 Neuntes Kapitel. Von der Festigkeit der Materialien. $. 178. — 192. . . — 155 — 169

I. Don der absoluten Festigkeit. §.180.-181. — 157 — 159 II. Don der relativen Festigkeit. §.182.-189. — 159 — 166 III. Von der rückwirkenden Festigkeit. §. 190. bis 192. . . . . . . — 166 — 169

Dritter Abschnitt. .

—

170 — 198

Erstes Kapitel. Dom Normaldruck tropf­ bar flüssiger Materien auf begrenzende feste Wände. §. 193. —399. . —

170 — 181

Dle Hydrostatik.

§. 193. — 207. .

Zweites Kapitel. Dom Gleichgewicht deWaffers mit festen Körpern. §.200.-207. — 181 — 198 Vierter Abschnitt.

Die Mechanik.

§. 208. — 221.

.

.

—

199 — 206

Erstes Kapitel. Don der gleichförmigen Be­ wegung. §. 208. — 210. . . . — 199 — 200 Zweites Kapitel. Von der gleichförmig be­ schleunigten Bewegung. §. 211. — 217. — 200 — 205 Dr ittes Kapitel. Von der gleichförmig ver, zögerten Bewegung. §. 218,- 221. . — 205 — 206 Fünfter

Die Geomechanik.

Abschnitt.

§. 222. — 254. .

Erstes Kapitel. Vom freien Fall. bis 226

.

—207 — 233

§. 222.

—

207 — 210

Zweites Kapitel. Von den geworfenen Kör­ pern. §. 227. — 230, . . — 211 — 213

VI Drittes Kapitel. Bestimmung der Beschkum'gung. §. 231. — 242. . • . Seite 214 bis 227 Viertes Kapitel. Vom Stoß. §. 243. —248. — 227 — 230 Fünftes Kapitel. Von der Fliehkraft. §.249. bis 251 — 230 — 232 Sechstes Kapitel. bis 254

Dom Pendel

§. 252. —

232 — 233

—

234 — 253

Erstes Kapitel. Waffermengen»Bestimmun­ gen. §. 255. — 272 —

234 — 244

Sechster Abschnitt.

Die Hydrodynamik.

§. 255. — 299.

.

Zweites Kapitel. Von der Verengung des QuerprosilS eines Fluges und vom Rückstau. §. 273. — 274 — 245 — 247 Drittes Kapitel. Von der Zeitbestimmung -ei Ausleerung und Füllung prismatischer Körper. §. 275. — 278. ♦ — 247 - 249 Viertes KapiLel. Von der Kraft des be­ wegten Wassers, dem Stromquadranten und den ober- und unterschlächtigen Rädern. §.279. —

249 — 254

Fünftes Kapitel. Dom Heber und den Pumpen. §. 289. — 299. . . . —

254 — 258

bis 288

Allgemeine

§. 1.

Verklärungen.

Grundbegriffe.

Aendert ein Punct seinen Ort,

so ist er in Bewegung; ändert er ihn nicht, geht er nicht aus einem Ort in einen andern, so ist er in Ruhe.

Bewegung eines Punctes in Beziehung auf einen andern

ruhenden, heißt abfoluteBewegung; in Beziehung auf einen andern ebenfalls bewegten, heißt sie relativ.

Jede Bewegung heißt gleichförmig, wenn der bewegte Punct in gleichen aufeinander folgenden Zeiten gleich große Wege durchläuft; ungleichförmig, wenn dieß nicht der

Fall ist; beschleunigt, wenn die Wege in den folgen­ den Zeit-Einheiten immer größer, verzögert, wenn sie

immer kleiner werden.

Die Vergleichung gleichzeitiger Wege

zweier gleichförmig bewegten Puncte heißt Geschwindig-

keit; die Secunde ist die üblichste Zeit - Einheit, und wenn

also gesagt wird: ein Punct der sich gleichförmig bewegt, hat die Geschwindigkeit c, so heißt dies: er durchläuft in jeder Secunde einen Weg — c.

Bei ungleichförmiger Be­

wegung verstehe man unter Geschwindigkeit in irgend einen Punct a der Bahn des bewegten Punktes, den Weg,

welchen derselbe in der folgenden Secunde durchlaufen

würde, wenn er seine im Ort a statt findende Bewegung Lehmur Lehrbuch. III. Bd,

A

2 eine Secunde lang gleichförmig fortsetzte.

Absolute und

relative Geschwindigkeit unterscheiden sich eben so

wie absolute unb relative Bewegung. §. 2.

Erklärungen.

Unter Beharrungsver­

mögen (auch Trägheit genannt) versteht man das jedem

Körper inne wohnende Bestreben, in dem Zustand zu ver­

bleiben, in welchem er sich befindet, es sei Zustand der Ruhe oder der Bewegung.

Jedes Vermögen, einen Be-

harrungszustand zu ändern, heißt Kraft.

Eine Kraft heißt

absolut, wenn ihre Einwirkung auf einen Körper unab­

hängig davon ist, ob derselbe sich in Ruhe oder in Bewe­

gung befindet; relativ, wenn sie davon abhängig ist; unveränderlich absolut, wenn sie in jedem Ort des Raums

dieselbe Wirkung

hervorbringt;

veränderlich

absolut, wenn dieß nicht der Fall ist.

§. 3,

Erklärung.

Die Wirkung ruhender Körper

auf einander, von welchen der eine den andern verhindert Bewegung a nz u fa n g e n, heißt D pu ck.

Verhindert aber

der eine den andern seine schon begonnene Bewe­ gung mit derselben Geschwindigkeit fortzusetzen, so wird die Einwirkung Stoß genannt.

Die Vergleichung

eines Drucks mit einem andern nach einer angenommenen Einheit heißt Gewicht; die Vergleichung eines Stoßes

mit einem andern nach einer angenommenen Einheit heißt

Bewegungsvermögen.

Das Bestreben jedes Körpers,

sich dem Mittelpunct unserer Erde zu nähern, rührt von

einer veränderlichen absoluten Kraft her, welche die Schwere

heiHt; die Richtung, nach welcher sie wirkt, heißt lo threcht oder Lertical.

§. 4.

Erklärung.

Unter Masse eines Körpers

verstehe man die Menge seiner Materie (nicht den Cubic-

3 Inhalt oder das Volumen); unter Dichtigkeit das Ver­ hältniß der Massen zweier Körper von gleichem Volumen; unter specifischem oder eigenthümlichem Gewicht

das Verhältniß der Gewichte zweier Körper von gleichem Volumen, die Schwere als die Ursache betrachtet. Das Gewicht des deftillirten Regenwasser- ist die ge­ wählte Einheit; wird daher das specifische Gewicht der Ma­ terie eines Körpers durch ß ausgedrückt, so heißt dies r der

Körper wiegt Mal so viel als ein gleiches Volumen destillirten Regenwassers.

Hat daher dieser Körper das Vo­

lumen V m Cubicfußen, und wiegt ein Cubkcfuß destillkrten Regenwaffers y Pfund (im Mittel ist y = 66), so ist

das Gewicht des Körpers =; Vßy Pfunde.

Haben zweiKörper, bei gleichem Volumen, verschiedene

Massen, so müssen in dem, der mehr Masse hat, die Theile dichter aneinander liegen, und also ist das Verhältniß

derMassen zugleich das der Dichtigkeiten; zu­ gleich setzt aber auch der, der mehr Materie hat, auch mehr ma­ terielle Theile den Einwirkungen der Schwere aus, und folglich ist das Verhältniß der Massen bei gleichemVo-

lumen zugleich das Verhältniß der specifischen

Gewi-chte.

Sind daher ß,

8 die specifischen Gewichte

von zwei Körpern, so verhalten sich auch ihre Massen und ihre Dichtigkeiten — ß: 8.

§. 5.

Erklärung.

Unter einem festen System

von Puncten verstehe man eine Verbindung von Punc­ ten so untereinander zusammenhängend, daß ihre gegensei­

tige Lage durchaus unverrückbar ist, wenn auch die ganze

Verbindung ihren Ort ändert.

Zn diesem Sinne sind die

Ausdrücke: feste Linie, feste Ebene, fester Körper

zu nehmen. A 2

4

§. 6.

Erklärung.

Jede Kraft, welche auf ein fe­

stes System von Puncten wirkt, äußert das Bestreben, dieses System in ihrer Nichtungslinie fortzubewegen, also dem in unendlicher Entfernung liegenden Endpunkt dieser

Richtungslinie näher zu bringen, und dieser Endpunkt soll das Ziel der Kraft heißen.

So ist z. B. für die

Schwere der Mittelpunct unserer Erde das Ziel.

Bon

Kräften, deren Richtungen untereinander parallel sind, kann

man also

sagen:

sie

streben

alle zu demselben

Ziel; oder, im Fall sie theilweise einander entgegcnwir-

ken: sie streben zu entgegengesetzten Zielen. §. 7.

Grundsatz.

Wenn eine Kraft oder mehrere

Kräfte ein festes System von Puncten zu irgend einem Ziele zu bringen streben, und irgend ein Umstand verhin­ dert diese Bewegung, aber nicht jede, so erfolgt unter

allen möglichen Bewegungen diejenige, bei welcher das Sy­ stem in einem und demselben Zeitraum sich dem Ziel der

thätigen Kräfte am meisten nähert. §. 8.

Erklärung.

Wenn Kräfte auf ein festes

System wirken, und dasselbe bleibt demohnerachtet in eben

demselben Zustand der Ruhe oder Bewegung, in welchem

es sich befand, ehe diese Kräfte einwirkten, so sagt man f diese Kräfte stehen untereinander gewicht.

im Gleich­

Ist das System in Ruhe und bleibt in Ruhe,

so hat man ein Gleichgewicht für den Ruhestand; ist es in Bewegung und bleibt in derselben Bewegung, so hat man ein Gleichgewicht während der Be­

wegung. §. 9. Erklärung.

Wirken Kräfte auf ein festes

System so, daß dasselbe ihrem Bestreben gemäß eine dre­

hende Bewegung annimmt oder annehmen kann, so heißt

5 die gerade Linie, um welche das System sich dreht, oder

drehen könnte, die Drehachse; für jede Kraft, deren Rich­

tungslinie nicht mit der Drehachse parallel läuft, heißt fer­ ner die gerade Linie, welche zugleich auf ihrer Richtung

und auf der Drehachse normal ist, der Hebelsarm die­ ser Kraft (§. 136. II. Bd.), und das Product aus der ab­

soluten Zahl, welche die Größe dieser Kraft ausdrückt, in die absolute Zahl, welche die Länge ihres Hebelarms an-

giebt, heißt das statische Moment oder auch schlecht­

hin

das Moment dieser Kraft.

Jedes System

aber, welches Kräfte drehend zu bewegen streben oder auch wirklich drehend bewegen, wird ein Hebel genannt.

§.10.

Erklärung.

Wirken Kräfte auf ein festes

System, und man denkt sich dieses System nach irgend einer Richtung fortgehend, oder um irgend eine Achse dre­

hend bewegt, die Angriffspuncte der Kräfte, so wie das

Ziel jeder einzelnen aber unveränderlich, so wird für jede

Kraft das Product aus der abstrakten Zahl, welche ihre Größe angiebt, in die abstracte Zahl, welche die Annähe­

rung ihres Angriffspunkts an ihr Ziel ausdrückt,

das

mechanische Moment dieser Kraft in Beziehung auf

die gedachte Bewegung genannt. §.11.

Erklärung.

Wirken zwei oder mehre Kräfte

auf einen festen Punct oder auf ein festes System, ohne

untereinander im Gleichgewicht zu sein, so heißt diejenige Kraft, welche, wenn sie allein auf diesen Punct oder auf

dieses System wirkte und ganz dasselbe leistete, die mittlere Kraft jener Kräfte,

und diese werden die

Seitenkräfte gcnannt.

§.12. Erklärung.

Unterciner tropfbar-flüs­

sigen Materie verstehe man eine solche, deren Theile

6 einen so geringen Zusammenhang untereinander haben, daß

die Materie, ohne von festen Wänden begrenzt zu sein, keine bestimmte Form annimmt, und welche zugleich die Eigenschaft hat, daß keine angebrachte Kraft eine Zusam­

menpressung oder Ausdehnung derselben bewirken kann.

§. 13.

Erklärung.

Die Statik ist die Lehre

von den Bedingungen, welche statt finden müssen, wenn

zwei oder mehre auf ein festes System von Puncten wir­

kende Kräfte untereinander Gleichgewicht erhalten sollen. Die -Anwendung der Gesetze der Statik auf das Gleich­

gewicht fester Körper untereinander heißt Geostatik, und

auf das Gleichgewicht

tropfbar-flüsstger Materien unter

fich und mit festen Körpern Hydrostatik.

Die Mechanik lehrt die Größe der Aenderungen des Zustandes der Ruhe oder der Bewegung, so wie die aus

diesen Aenderungen entspringenden Wirkungen, bestimmen, welche entstehen, wenn ein Punct oder ein System von

Puncten von Kräften ergriffen wird, welche nicht im Gleichgewicht find.

Ihre Anwendung

auf feste Körper

heißt Geomechanik, auf tropfbar-flüssige: dynamik oder Hydraulik.

Hydro­

Erster

D i e §. 14.

Abschnitt.

Statik.

«vöenn Kräfte auf ein festes System von Punc­

ten wirken, so sind in Hinsicht der Lage ihrer Richtungs­ linien nur vier Fälle zu unterscheiden.

1)

Die Richtungslinien

aller

thätigen Kräfte sind

parallel, und liegen in einer und derselben Ebene.

2)

Die Richtungslinien asier

thätigen Kräfte sind

parallel, liegen aber in verschiedenen Ebenen. 3) Die Richtungen der thätigen Kräfte sind nicht alle

unter einander parallel, liegen aber alle in einer Ebene.

4) Die Richtungslinien liegen in verschiedenen Ebe­ nen, und sind nicht alle unter einander parallel.

Hienach theilt sich das Lehrgebäude der Statik in vier

Kapitel. Des ersten Abschnitts

Kapitel.

erstes

Bedingungen

Richtungen

Gleichgewichts,

wenn

sämmtlicher Kräfte parallel

und §.15.

des

die

sind,

in einer Ebene liegen.

Grundsatz.

Wird eine feste gerade Linie

von 2 gleichen, nach der Richtung dieser Linie aber entge-

8 gesetzt, thätigen Kräften angegriffen, so sind diese Kräfte

unter einander im Gleichgewicht.

§.16.

Lehrsatz.

Wirkt eine Kraft nach der Rich­

tung einer geraden festen Linie, so ist es gleichgültig, wel­ cher Punct derselben als Angriffspunct angesehen wird.

Beweis.

Für jeden Angriffspunct in der geraden

Nichtungslinie ist nach §. 15. dieselbe Gegenkraft erfor­ derlich, um das Gleichgewicht herzuftellen, und daher ist

es einerlei, in welchem Punct ihrer Richtung die Kraft als angreifend betrachtet wird. §. 17.

Lehrsatz.

Bilden 3 Puncte a, b, c ein

festes System, und liegen diese Puncte in einer geraden

Linke so, daß ab = bc ist, so findet Gleichgewicht statt, wenn in a und c gleiche Kräfte P, P zu einerlei Ziel (also nach parallelen Richtungen), etwa nach Richtungslinien,

die auf ac normal-sind, in b aber zum entgegengesetzten

Ziel eine Kraft =2.P wirkt. Beweis.

1) Das System kann sich keinem der bei­

den entgegengesetzten Zielen nähern, weil zu jedem dasselbe Bestreben statt findet, es, kann also keine fortgehende oder

geradlinigte Bewegung erfolgen. 2) Drehende Bewegung um jede Achse, die nicht durch

b geht, würde zugleich daS System einem der Ziele nä­

hern, woraus nach 1. hervorgeht, daß eine solche Drehung

nicht erfolgen kann. 3) Drehende Bewegung um eine Achse durch b wird

deshalb nicht statt finden, weil derselbe Grund sowohl für

drehende Bewegung nach der einen als nach der ihr ent­

gegengesetzten Richtung vorhanden ist. §. 18. Z u sa tz.

Aus dem vorigen §. und §. 15. folgt,

daß (ine Kraft 2P in b zu demselben Ziel thätig, zu wel-

9 chem P in a und P in c wirken, die mittlere Kraft zu

diesen beiden ist, so daß also unter allen Umständen diese Kraft 2P in b dasselbe leisten wird, was die beiden P, P in a und c zu demselben Ziel thätig leisten würden.

19.

Zusatz.

Denkt man sich n gleiche Kräfte

in gleichweit von einander abstehenden Puncten einer festen

geraden Linie, zu einerlei Ziel thätig angebracht, so ist ihre

mittlere Kraft, gleich der Summe dieser Kräfte, zu dem­ selben Ziel thätig gedacht, und die Richtung derselben geht durch die Mitte der ergriffenen festen Linie.

§. 20. Aufgabe.

Eine feste gerade Linie ab, wird

in ihren Endpunkten a, b von den Kräften P, Q zu ei­ nerlei Ziel thätig, etwa nach den Richtungslinien normal

auf ab, ergriffen.

Man soll die Größe M und den Ort

der mittleren Kraft angeben. Auflösung.

Man wähle die Kraft-Einheit in Ge­

danken so, daß jede der beiden Kräfte, in dieser Kraft - Ein­ heit ausgedrückt, als eine ganze und zwar gerade Zahl er­

scheint.

Es sei w die Kraft-Einheit (etwa 1 Pfund oder

Pfd., oder | Loth u. s. w.), n und m positive ganze Zahlen, und P=2n.w; Q=2m.w; nun denke man sich

ab in n4-m gleiche Theile getheilt;

es sei ac (Fig. 1.)

=n, cb=m solcher Theile, von welchen jeder die Länge

e haben mag, verlängere ab zu beiden Seiten, und denke

sich ad = ac und bf = bc gemacht, so daß also da = ac —LS und bo —bk— WS; also dc=2ne und cf=2me

wird.

Stellt man sich nun in der Mitte jedes Theils der

Linie dc eine Kraft w zum Ziel von P thätig vor, so ist

(nach §. 19.) P = 2nw die mittlere Kraft zu diesen 2n gleichen parallelen Kräften, von welchen jede =w ist, und

man kann sich also P aus « weggenommen, und dafür

10 diese 2n gleichen Kräfte in sämmtlichen Mittelpuncten von dc »ertheilt angebracht denken, ohne baß dadurch eine Aen­ derung in der stattflndenden Wirkung erfolgen wird. Eben

so kann man sich Q aus b weggenommen und dafür in der Mitte jedes der 2 m gleichen Theile von c bis f eine

Kraft w zu dem Ziel von Q angebracht vorstellen.

Man

hat somit jetzt auf der ganzen Linie df lauter gleiche Kräfte

unter gleichen Abständen zu einerlei Ziel, also parallel thä­

tig, und die mittlere Kraft derselben, welche also zugleich auch die mittlere Kraft M der ursprünglichen Kräfte P, Q

ist, ist folglich =2nw + 2mw=P+Q, und ihr Ort liegt

in der Mitte von df in g (§.19.).

Da nun aber dg

ssr^ — 2ne— °=ne4-me; und dass ne ist, fo bleibt

ags=dg—da — me, und also bg = ne; folglich ag:bg =m:n.

Aus Q—2mw und P=2nw folgt aber auch

Q:Ps= m:n; und somit aus beiden Proportionen Q:P = ag: bg, woraus auch [Q + P ober] M: P — ab : bg

und M: Q ss ab : ag folgt, so daß also bgssp^j agssQ^ ist, wodurch

sich der Ort g der mittleren Kraft M = P + Q bequem

bestimmt.

tz. 21. Lehrsatz.

Wirken in einer festen Ebene zwei

parallel thätige Kräfte P, Q, deren Richtungen ab, cd, in dieser Ebene liegen, so ist in Beziehung auf jede, diese

Ebene normal durchschneidende Achse, um welche diese Ebene,

den Bestrebungen beider Kräfte gemäß, sich drehen könnte, das statische Moment der mittleren Kraft M zu P und Q,

gleich der algebraischen Summe der Momente der SeitenKräfte P und Q.

11 Beweis.

Ist k der Punct, in welchen die gedachte

Drehachse die feste Ebene durchschneidet, und man fällt

aus k die Normale krt auf die parallelen Richtungen ab, cd (Fig. 2.), so ist (nach §. 20.) die durch g mit ab

und cd parallele Linie hn, die Richtung der mittleren Kraft M zu P und Q, wenn

oder, daP-f-y

= M ist (§. 20.), wenn rg = 2^p ist.

Es ist aber rg

— kg — kr und rt = kt — kr;

und substituirt man

diese Werthe in rg — -5^1, so entsteht kg — kr —

'pk^.~Qk; und hieraus

kg.P4-kgQ — kr.P—kr.Qsskt.Q—kr.Q; oder

kg.(P + Q) ss kr.P + kt.Qj oder auch, M für P -s- y geschrieben, M.kg — P.kr + Q.kt;

woraus nach §. 9. die Wahrheit der Behauptung erhellet. §. 22. Zusatz.

Denkt man sich in g nach der Rich­

tung nh eine Kraft =MI==P + Q angebracht, so ist diese

mit der in g nach der Richtung hn thätigen eben so gro­ ßen Kraft M=P+ Q im Gleichgewicht (§. 15.).

Letztere

ist aber die mittlere der Heiden P und Q nach den Rich­

tungen ab und cd wirkenden Kräfte,

wenn für jeden

Punct k in dieser Ebene ül.kg—P.kr-f-H.ki ist, d.h. M = P + Q nach der Richtung h n thätig, bringt unter

allen Umständen dieselbe Wirkung hervor, welche P und Q, nach ab und cd thätig, hervorbringen würden.

ES

muß also, da M1 nach nh mit M nach hn Gleichgewicht erhalten würde, und M nach hn so viel leistet, wie P nach ab und Q nach cd, auch nothwendig M1 nach nh

12 thätig, mit P nach ab und Q nach cd wirkend, Gleichge­ wicht erhalten, wenn M1 = P + Q und MT.kg = P.kr + Q.kt ist. Stellt man sich nun die Kraft P weggenom­

men vor, und bringt dafür, um sie zu ersetzen, in irgend

einen Punct ihrer Richtung, etwa in r, eine feste Drehachse an, die nur drehende Bewegung der festen Ebene um diese Achse gestattet, so erfolgt diese Drehung nicht.

Es geht

aber die Gleichung DP.kg = P.kr + Q.kt, wenn man sich die Drehachse statt durch k, jetzt durch r denkt, in die Mr.rgs=Q.rt über, und folglich äußern also zwei

Kräfte, M1 und Q, welche eine feste Ebene nach

entgegengesetzten Richtungen zu drehen stre,

ben, gleiches Bestreben zur Drehung, d. h. sie bringen keine Drehung hervor, wenn ihre Mo­

mente in Beziehung auf diese Drehachse ein­ Das Moment einer Kraft

ander gleich sind.

ist also die Vergleichungszahl der Größe ih­ res Bestrebens, daö feste System, auf welches

sie wirkt, um die Achse zu drehen, auf welche

sich das Moment bezieht.

§.23.

Zusatz.

Ist also eine feste Ebene um ir­

gend eine sie normal durchschneidende Achse drehbar, so

kann man, statt einer am HebelSarm a auf diese Drehung wirkenden Kraft A, eine andere Kraft am HebelSarm b anaA bringen, und sie wird dasselbe leisten, wenn sie — -j- ge­ nommen wird.

Dieß Geschäft heißt das Rcduci-

ren einer Kraft auf einen andern Hebelsarm.

§.24. Aufgabe.

Für mehre nach parallelen Rich­

tungen in einer festen Ebene thätige Kräfte A, B, X, D u. s. w. die Größe M und den Ort ihrer mittleren Kraft zu bestimmen.

13 Auflösung.

AuS einem willkührlichen Punct der

festen Ebene denke man sich eine Normale durch die Rich­

tungen sämmtlicher Kräfte, und verstehe unter a, b, c, d u. s. w. m; die Hebelsarme der Kräfte A, B, C, D u. s. w. M in Beziehung auf die, die Ebene in dem willkühr, lichen Punct normal durchschneidende Achse. Bezeichnet nun

A1 die mittlere Kraft zu A und B und a* ihren Hebels­ arm, so ist nach §. 20. und 21.

1)

Ax

= A + B und

2) Axax --- AafBb.

Ferner, wenn Bx die mittlere Kraft zu A1 und C und bx ihren Hebelsarm ausdrückt, 3)

Bx

=AI+Cunb

4) Bxbx = AIax + Cc; dann, unter Cx die mittlere Kraft zu Bx und D und un­

ter c1 ihren Hebelsarm verstanden,

5)

Cx

= Bx + D,

6) Cl.cx= Bxbx+Dd;

U. s. w. Substituirt man nun die Werthe immer aus den vor­

hergehenden Gleichungen in die folgenden beiden, so er­ hält man:

Bx = A4-B + C unb Bxbxc=Aa + Bb+Cc; denn C1 = A4-B4-C und Cxcx = Aa + Bb + Cc-frDd;

u. s. f.; endlich, die Richtung von M parallel mit allen

übrigen gedacht, M = A+B+C4-D u. s. w. und Mm = Aa+Bb+Cc-f-....

Aus der Gleichung M = A4-B + C4-D u. f. w.

bestimmt sich aber die Größe, und aus dem Quotienten

beider m —

" ergiebt sich der Ort der

verlangten mittleren Kraft; und es ist also

14 1)

die

mittlere Kraft gleich

schen Summe

der algebrai­

der gegebenen Kräfte und

ihre Richtung parallel mit ihnen;

2)

ihr Hebelsarm

gleich

der algebraischen

Summe der Momente dieser Kräfte, divi-

dirt

durch

die

algebraische

Summe der

Kräfte selbst. Ergiebt sich in besondern Fällen, die Summe A4-B

+ C + -... gleich Null, so ist auch M = 0; erhält man aber Aa + Bb + .... gleich Null, so ist auch m = 0, d. h. die Richtung der mittleren Kraft geht durch den willkührlich angenommenen Punct.

§.25. Aufgabe.

Mehrere Kräfte A, B, C u. s. w.

wirken nach parallelen Richtungslinicn, welche alle in einer

Ebene liegen; man soll die Bedingungen des Gleichgewichts dieser Kräfte untereinander durch Gleichungen ausdrücken. Auflösung.

Man denke sich in dieser Ebene einen

willkührlich gewählten Punct, durch diesen normal auf die Ebene eine Achse und verstehe unter a, b, c u. s. w. die

HebelSärme der Kräfte A, B, C u. s. w. in Beziehung auf

diese Achse; bezeichne die mittlere Kraft dieser thätigen Kräfte durch M und ihren Hebelsarm, in Beziehung auf

die gewählte Achse durch m, so ist nach §. 24. A + B + C 4-.... --- LI und

Aa + Bb + Cc+....... ............ A 4. B + C +........ ~ m’ welche letzte Gleichung auch durch Aa 4- Bb + Cc + .... — M m

auözudrücken ist.

Wenn nun die Kräfte A, B, C u. s. w.

untereinander Gleichgewicht erhalten, also Nichts leisten, so ist ihre mittlere Kraft M gleich Null, und schreibt man

15 daher 0 fürM in obige beiden Gleichungen, so erhält man die verlangten Bedingungsgleichungen

I. A + B + C + ----- 0, II. Aa + Bb + Cc+....... ----- 0. §. 26.

Zusatz.

Die Bedingungsgleichungen deS

.Gleichgewichts für Kräfte, deren Richtungslinie parallel und

in einer Ebene liegen, sind also:

I. Die algebraische Summe sämmtlicher Kräfte muß =0 sein, damit keine fortgehende Bewegung erfolgt.

II.

Die algebraische Summe

ihrer Mo­

mente in Beziehung auf jede die Ebene nor­ mal durchschneidende Achse

muß gleich Null

sein, damit keine drehende Bewegung erfol­ gen kann (§. 22.).

Diese beiden Gesetze drücken den ganzen Inhalt dieses Kapitels aus. Beispiele.

1) In einer festen Ebene (Fig.3.) wir­

ken nach den parallelen Richtungslinien ab, cd, «k die Kräfte A----6; B — 5; C = 9; die Entfernung der Rich­

tungslinien von A und B sei ---2; die zwischen B und C — 4; die Größe x der noch anzubringenden parallel in

derselben Ebene zu demselben Ziel thätigen Kraft und ihren Ort der Bedingung gcm lß zu bestimmen, daß Gleichge­

wicht erfolgt.

Ist p ein beliebiger Punct in dieser Ebene; die gerade Linie pgrt normal aus p durch die Richtungen der Kräfte

gelegt, also gr = 2 und rt==4, und ist p so gewählt,

daß pq=3 ist, so wird, wenn y die gesuchte Entfernung

von p bis zur Richtung von x (von der linken zur rech­ ten Hand gemessen) bezeichnet,'Gleichgewicht statt finden.

16 wtnn A + B|C + i = O und auch

A.pq + B.pr + C.pt-J-x.y -- 0 ist. Substituirt man die Zahlenwerthe, so erhält man r

6 + 5 + 9 + x=:0unb 6.34-5.54-9.9 4-x.y — 0;

und aus diesen beiden Gleichungen folgt:

x — — 20 und y — 6|. Macht man daher pw=6f; zieht durch w mit den Rich­

tungen der 3 gegebenen Kräfte die Parallele gh, und läßt nach der Richtung hg (nicht gh) die Kraft 20 wirken, so

erhält sie mit denen 6, 5, 9, nach der ihr entgegengesetzten Richtung

thätig,

Gleichgewicht.

Hätte man nicht den

Punct p, sondern den q als Punct der Momente gewählt,

so wäre die 2te Gleichung 6.04-6.24-9.6—20.qw == 0 und hieraus qw = 3|;

welches denselben Punct w giebt. Hätte man den Punct r gewählt,

so wäre in Be­

ziehung auf ihn das Bestreben zur Drehung von A um ihn, dem Bestreben von C zur Drehung um ihn entgegen­ gesetzt, also die 2te Gleichung —6.2 4- 9.4—20.rw=0,

und hieraus rw=lf) wodurch sich ebenfalls derselbe Punct w «giebt, u. f. w.

2) Zn einer festen Ebene wirken nach parallelen Rich­

tungslinien die Kräfte A = 5;

B = —6;

6 — 3;

D=—4; der Abstand zwischen den Richtungen von A

und B sei =2; von B zu C = 7; von C ju D = l.

Wie groß muß noch eine anzubringende Kraft x zum Ziel

von A und C thätig sein, und in welcher Entfernung y von der Richtung der Kraft A muß sie wirken, damit

Gleichgewicht statt findet?

Die

17 Dke Bedingungö - Gleichungen sind:

5 —64-3 —4 + x = 0 unb

5.0—6.24-3.9—4.104-x.y = 0. Auö ihnen erhält man x = 2 und y = 12 f. so erhielte man x=—10 und y= 9f.

Wärev— 8,

Wärev--—12, so erhielte man x--10

und

y=10f.

Wärev--—so erhielte man x——und y=—3

u.

s.

w.

3) Parallel thätige gleiche Kräfte A wirken in einer

Ebene zu demselben Ziel, unter denen nach einer arithme­ tischen-Progression wachsenden Abständen a, a4-d; a4-2d

u. s. w.; ihre Anzahl ist =n; man soll Größe und Ort

der mittleren Kraft DI bestimmen. Es ist M = n. A und ihre Entfernung m vom An­ fangspunct

_ A.0 + A.a + A(a+d) + A(a+2d)+ .... +A[a+(n—2)d] _ m ' > oder m --- ^(n ~1)+ad