Lehrbuch der reinen Mathesis zu einem zum Selbstfinden leitenden Vortrage derselben nach Platonischer Weise in Gymnasien, nebst einer Vorrede über die Mathesis der Griechen, gegen die Mathematik unserer Zeit und die Bildungskraft derselben: Erster Theil. Die Arithmetik [Reprint 2018 ed.] 9783111614106, 9783111238210

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Lehrbuch der reinen

R a t h e f i s |u einem

ium Celbstfinden leitenden Vortrage derselben nach Platonischer Weise in

Gymnasien nebst

einer Vorrede über die MathesiS der Griechen gegen die Mathematik unserer Zeit und die DildungSkraft derselben

von

Friedrich Schmetßer, Doctor der Philosophie, Lehrer bet der Sttueraeademie zu Dresden, ttotioricDe der lae-intsaren iseieitseyaft -u Jena.

Erster Theil. Die Arithmetik. Erster Lehrgang. 9R i t ^ K u p f e r X Berlin, 1 8 * 7Slealschulbuchhandlun-.

Lehrbuch der

Arithmetik zu einem zum

Selbstfinde»

leitenden Vortrage Platonischer Weise

derselben

nach

in

Gymnasien

von

Friedrich Schweißer, Doctor tir Philosophie, Lehrer bet der Rttteracademte -u Dresden, Mttglirde der lateinischen Gesellschaft zu Jena.

Erster Mit

Lehrgang. i

Kupfer.

Berlin, 1817. RraischulbuchhandlUng.

B o t e e d e.

Oie günstige Aufnahme der Vorschlage, welche ich vor drei Jahren in jener kleinen Schrift: Orthodidaktik der Mathematik, insbesondere für gelehrte Schulen rc. Dresden »grz.» für eine zweckmäßige Be» treibung der Mathematik in wissenschaftlichen Bildung-» anstalten that, hat mich zur Herausgabe diese- Werkbestimmt.

Mit Freude entledige ich mich hier der Pflichte

den gelehrten Teurtheilern jener Abhandlung,

weicht

nichts, als ein gleichsam anfragender Vorläufer meinet Arbeiten seyn sollte, meine wahre Verehrung und Dank für die nachsichtsvollen Urtheile, die Sie theils in ge« lehrten Zeitschriften »), sprachen haben,

theils in Privatbriefen ausge»

an den Tag zu legen, «nd empfehle nun

diesen ersten Versuch der Ausführung des dort angedeutet len Plan- Ihrer einsichtsvollen und gütigen Prüfung/ — gern gestehend, daß ich diese Arbeit noch weit entfernt von der Vollkommenheit sehe, welche mir vorschwebt und von Andern, welche mit der zur Scheidung dieser W,s» ») Die Aecenfioüen ienet Schrift f. i. d. Ienaischm Eit Feit. 9Ze»- »ti»4. Nr. 216. S. 295 u. f. — Heidelberg. Jahrbuch. Jan. lgiz. Nr. i. E. —79. — Nene Biblioth. für Pä­ dagog. 11. Schulwesen ($. Guirmulhs) Juni >8'5- @.»34 — »43- Wimer Eit. Zeit. Juli >8iz. Nr. 55. ©• 877 f-

a

Vorrede.

smschaft erforderlichen 'Kraft des Scharfsinn- gerüstet find, wohl erreicht werden kann und wird- — Es ent­ halt daher dieses Buch eine Entwickelung der mathema­ tischen Wahrheiten in logischer Ordnung, wobei ich mich durch die Einrichtung desselben, nach Kräften bemüht ha. be, dem Zwecke und der Behandlung-weise der' alten Griechen so nahe zu kommen, als e- die Bedürfnisse und Verhältnisse unserer Bildung-anstalten erfordern und ge« statten. Bevor ich aber dieses Werk übergebe, fühle ich mich verpflichtet, hier sowohl die Veranlassung als die Absicht desselben, welche seine Einrichtung rcchtfertiget, gründlicher )u erörtern. Um vorläufig beide mit wenigen anjudeuten, so hat die erstere ihren Grund in der Ueber­ zeugung, daß der mathematische Unterricht bei den alten Griechen, alS da- kräftigste Bildungsmittel deS Verstau, de- und der Urtheilskraft, höher gewürdiget und zweckmäßiger und eifriger betrieben worden ist, als in unsern Zeiten; und daraus ist die Absicht dieser Arbeit r durch die Behandlungswelft dieser Wissen« schaft die Vortheile, deren stch dir Hltm daraus erfreu­ ten, so viel als möglich ist, wieder zurück zu führen, von selbst klar. Beide Puncte wollen wir jetzt in mehrern Ab­ schnitten einer genauern Betrachtung unterwerfen, wo wir zuvörderst A) die Würdigung der Mathematik im Al­ terthume neben die Ansichten, die in unsern Zeiten davon herrschen, stellen müssen. Jeder, der mit den Schriften der Weisen de- alten

A. Würdigung d. Math, tn alt. geg. neuer. Zeit. 3

Griechenlands bekannt ist, weiß, mit welcher außeror« drntlichen Achtung sie von der Wissenschaft, oder viel, mehr wissenschaftlichen Uebung des Geistes, welche sie n • s y, 91 ( nennen, sprechen. Sie empfehlen sie jedem sich wissenschaftlich bildenden Manne als nothwendig, legen selbst für ihr Zeitalter bedeutende Kenntnisse darinne an den Tag, bemühen sich eifrig, das Gebiet derselben jn erweitern und zu berichtigen, und halten diejenigen in großen Ehren, deren Fleiße und Erfindungskraft es ge« lang, es mit neuen Entdeckungen ju bereichern. Hierzu nur einige wichtige Belege. Thales, der Dater der Philosophie, «warb sich in dem Alterthume durch Verbreitung der mathematischen Kenntnisse, welche er in Egypten gesammelt und nach Jo« Nie« übergebracht zü haben scheint, einen so glänzenden Ruhm, daß er nebst Anacharsis, nach Platons Berichte, deshalb selbst dem Homer vorgezogen würde d). Zu einem weit mächtigern Ansehen erhob sich durch sie Pye thagoraS mit seiner Schule c). Vermochten schon die großen Entdeckungen dieses Weisen in dem Gebiete unserer Wissenschaft feinen-Namen der Unsterblichkeit zu sichern, so war es noch mehr der Umstand, daß er die Mathematik zur Grundlage feiner Philosophie machte, welche fast einzig die Einsicht in die Ordnung deS Welte baues und die Enträthseluttg der Gesetze der Natur zum Gegenstände hatte. Daß der bewundernswürdige Geist b) S- Plattn ». d. SRtpubL B. io. Zweibr. Ausg. Bd. 7. E. 293.

c) S- TcnnemannS Geschichte der Philosophie. Bd. 1. S. SS. 100 «. s.

i (2)

4

Vorrede.

dieses Mannes, der daS ganze Gebiet de- damaligen Wijftns und Forschen- umfaßte, an den Lehren und Un» tersuchungen der Wahrheiten der Mathematik gebildet und so mächtig erstarkt war, wird von Niemand bezweifelt. — M>t solchem Ansehen kam untere Wissenschaft, welche nun durch diesen ehrwürdigen Forscher nicht nur zu ei­ nem interessanten Aggregat« von Wahrheiten erweitert war, sondern auch wissenschaftliche Form erhalten hatte, nach Athen, wohin Anapogoras dir Musen gleich­ sam aus ihren zerstreuten Sitzen sammelte. Auf griechischen Boden verpflanzt, wo wir alle Wis­ senschaften zu einer vorzüglichen Vollkommenheit gedeihen sehen, steigt ihre Achtung desto höher, je mehr ihr wich. tiger Einfluß auf die Erlernung und Ausbildung anderer Wissenschaften und Künste erkannt und anerkannt, mithin ihr wahrer Werth erwogen wird.

Schon vor dem Pr»

koponnestschen Kriege waren gebildete Männer Griechen» landS darinne einverstanden, daß die mathematischen Kenntnisse einem Jeden, der sich entweder einer besondern Wissenschaft, oder den Geschäften des Staatö widmen wollte. Nicht allein ehrenvoll, sondern auch nützlich und nothwendig seyen. Der berühmte Arzt HippocrateS, welcher jener Zeit angehört, empfiehlt feinem Sohne Thesfalos, (nach Galens Zeugnisse ebenfalls als Arzt ausgezeichnet und schon als junger Mann am Hofe des Macedonischen Königs Archelaos d)) in einem seiner Briefe an ihn e) die Arithmetik und die Geome» d) S Sprengel- Geschichte der Medicin. B- i. S 26g. «) Wenn oud> diese Briefe, wie eS scheint, nicht acht seyn solle

ten, so gehiren Ae doch jenem frühen Zeitalter an.

A. Würdigung d. Math, in alt. geg. neuer. Zeit. 5

kr ie; nicht um damit |u glänzen, sondern um sich da­ durch für da- Studium der Heilkuust geschickter tu ma­ chen. Da- Zeitalter ihrer höchsten Würdigung beganu aber erst mit dem Auftritte des göttlichen Platon, welcher heller, als seine Vorgänger, ln die Werkstatt des mrnfchlicheu Geiste- blickte und erkannte, welchen wich­ tigen Einfluß die mathematischen Erkenntnisse auf die Ent­ wickelung und Ausbildung desselben haben, und mit wel­ cher Kraft sie unser Denk- und Erkenntnißvermögen für die Untersuchung der Natur der Dinge und die Erfor­ schung aller Wahrheiten rüsten. Seine Empfehlung ist eben so kräftig und schön, als fit wichtig und wohlthä­ tig für die Veredelung sowohl der damals herrschenden Grundsätze de- Handel-, al- auch der Verhältnisse der bürgerlichen Verfassung war. Platon hatte, «ie fei« großer Lehrer Sokrates, nicht allein die Verdorbenheit der Sitten, welche zu seiner Zeit in Athen eingerissrn war, und die Unordnung ln den Sachen de- Staat-, sondern auch viele der Moralität der Bürger und der allgemeinen Ruhe und Glücke gefährliche Grundsätze wahrgenommen. Die Untersuchung der Ursachen dieser Uebel und die Auf­ findung zweckmäßiger Mittel, ihnen abzuhelfen, ja pe vom Grunde aus zu heilen, war sein eifrigste- Bestreben. Den Grund aller Uebel, welche den Staat tu zerrütten drohten, entdeckte Platon nirgend-ander-, al-in dem Mangel an richtigen Grundsätzen überRecht und Pflicht. Dieser hatte aber wieder seinen Grund in dem Mangel an richtigem Denken, mithin im Mangel an richtiger Philosophie. Er sahe sehr bald ein, daß eine solche Umbildung, wie sie damals der Athenien-

6

Vorrede.

fischt, (auch «ohl stder andere) Staat bedurfte, von der Erziehung ausgehen müßte» wenn fie gründlich «er. den sollte. liches,

Die Jugend an besonnenes, gründ­ vernünftiges Denken zu gewöhnen,

ersähe er als das einzige Mittel, jene gefährlichen Uebel ansjurotten; dieß war ihm der Grundsatz und das Ziel aller Jugendbildung.

Denn nur eine hinlänglich

entwickelte und ausgebildete Vernunft konn­ te er als Grundpfeiler aller Tugend anerkennen. Um aber diesen Zweck zu erreichen, war es unerläßliches Erforderniß, daß die Entwickelung der menschlichen Er­ kenntnißkräfte ganz der Natur desselben folgten, und mit­ hin diejenigen Gegenstände des Unterrichts, welche dazu dienen sollten, nach dem natürlichen Gange derselben ge­ ordnet waren l), Sehen wir nun in Platons Schriften nach,

vor­

nehmlich in denjenigen, in welchen er uns das Vorbild einer vollkommenen Staatsverfastüng aufstellt,

nament­

lich in seinem Werke von der Republik, den Bü­ chern von den Gesetze,» und dem Dialoge, Polin«

kos

genannt; so finden wir, daß Platon, um den Ver­

stand zu vernünftigem Denken vorzubereiten, eben dieje­ nigen Wissenschaften empfiehlt, welche wir jetzt größtentheils zur Mathematik zahlen, nämlich: die Zahlwis, fenschqft, die Geometrie, die Astronomie und die Musik; jehoch nur dann, wenn fie wissenschaft­ lich betrieben werden.

Don

diesen selbst spricht der

Weise m>t einer Achtung, so wie von ihrer Kraft für die

0 120. 218. ». d. ylepudl. B. 7.

A. Würdigung d. Math, in alt. geg. neuer. Zeit. 7 Entwickelung des Denk- und Erkeantnißvermögens mit einer Zuversicht, daß sich eia Jeder, welchem die Dildung drr Jugend — die wichtigste, heiligste Angelegenheit der Staaten» der Völker, ja des Menschengeschlechts — am Herzen liegt, unwiderstehlich angrzogen fühlt, die Sache näher zu schau« und zu beleuchten. Um diejenigen Leser, welche weder Beruf, noch Gele­ genheit in den Stand fetzte, Platons Schriften selbst zu lesen, von dem Gesagten zu überzeugen, so sey es erlaubt, hier einige Aeußerungen desselben über die Kraft der Mathematik für die Bildung deS Verstandes mitzu­ theilen; — um Nachficht diejenigen bittend, welche selbst auS der reinen Quelle deS griechischen Weifen zu schöpfen vermögen, Da Platon ln seinem Werke hon der Republik im siebenten Buche g) auf die Frage kommt: „was für Männer den Staat verwalten sollen? " so untersucht er die Mittel, durch welche sie dessen würdig werden. Für solche verlangt er eine völlige Umwindung der Seele, daß sie von der Finsterniß zum Lichte, und wie aus der Unter­ welt zu den Göttern emporsteigen («5 -r»v ixs.«»). Er sagt: „es ist dieß nicht die Umwindung einer Scherbe (e?f«Kov fo$»)), sondern eine solche Umlenkung der Seele »«pieywy«,), daß sie aus einem nachtähnlichen Tage zu der Höhe der Wahrheit deS Wesentlichen emporsteige, welche wir wahre Philosophie nennen wer­ den. Wir müssen also untersuchen, welcher von den wis­ senschaftlichen Gegenständen Cr< Twv i*v) diese e) Zweib. SuSg. Bd. 7. S. 141.

Vorrede.

8 Kraft besitze? "

Platon nennt hierauf die Gymnastik

und die Musik, welche aber, nebst dm übrigen Künsten, sämmtlich zu unedel (s-E-zu seyn schei­ nen; es werde eine Wissenschaft dazu er­ fordert. Solche Wissenschaften, welche er für die Bil­ dung des Verstandes zweckmäßig findet, And ihm: i) die Wissenschaft von den Zahlen, d. i. theils die Uebung der Denkkraft an Zahlverhältnissen (>«yis.uoi, , theils bit Untersuchung der Narur der Zahlen

h); „ deren Kenntniß " sagt er „ man

bei allen Künsten und bei mathematischen und philosophi» scheu Erkenntnissen bedarf, welche mit jeder Kunst und Wissenschaft in nothwendiger Ve»bindung steht und den Geist zu reiner Dernunfterkenntniß t>,» erhebt. — Diese Wissenschaft inne zu haben (m«-“»), ist dem Krieger nothwendig, um der Schlachtordnungen willen; dem Freunde der Wissenschaft aber, um sich von den sinn« lichrn (wandelbaren) Erscheinungen empor zu heben («*•« Ytvfffiw.- i£«v=4v»«,) und das unwandelbare (wahre) Wesen der Dinge («»«»«) zu erfassen. Ohne sie kann er zum rtchgen Gebrauche feines Verstandes nicht gelangen. — Daher ist es gut, diejenigen, welche einst die wichtigsten Aemter des Staats verwalten wollen, durch Gesetz und Ueberredung zu bewegen, daß sie ihren Verstand an Zahlverhältnissen üben («t» xoyigi^v «>«.) und sie nicht blos ober­ flächlich berühren,

sondern bis sie mit dem Verstände

selbst zur Einsicht in die Natur der Zahlen vorgedrungen sind re." b) ®. v. b. Republ. B 7. *>J irtg( afiZlfJLOV irtc*. **

>48» „

«a,

A. Würdigung d. Math, in alt. geg. neuer. Zeit. 9

c) Die Geometrie, über welche er sich so auSspricht i) j „ sie leitet die Seele zur Erkenntniß der Wahr; heit und werke den philosophischen Geist, um sich über die Betrachtung deS Irdischen z» erhebe«. — Wir müs­ sen daher so viel als möglich dafür sorgen» daß in einem so fijdnen Staate auf keinen Fall die Geometrie vernachsdßiget werde; denn auch ihre Nehenvortheile sind nicht gering; nämlich welche sie für die Kenntniß von dem Kriege und für alle Gegenstände des Unterrichts Ttueaf /xaSqatn') hat, so daß man sie leichter fasten

kann,

Wir wissen wohl, daß überhaupt bei einem Je­

den viel darauf ankommt, yd er die Geometrie getrieben hat, oder nicht," 3) Die Stereometrie, „wenn sich der Staat ihrer annimmt und sie zu Ehren bringt." Diese übergeht aber Platon, weil es, wie er sagt, nur lächerliche Ver­ suche darinnen gäbe («*•« ->> Zw?“ *xf0 k).

4) Die Astronomie: „denn die Ordnung und Harn cnie des Weltbaus vermag das Gemüth zu erhabe­ nen Gedanken zu stimmen und führt zur Idee der höchsten Vernunft'' I). 3) Zu diesen fügt er noch die Musik von welcher er meint, daß, „ wenn die Verhältnisse der Töne wissenschaftlich betrachtet würden, sie nützlich sey zur Untersuchung de- Schönen und Guten " m). — >) S- v. d. Republ. B. 7. S. 153. 151. V) D. d. Rcpubl. B. 7. S. »54 — »56. I) D. d. Rcrubl. B. 7. S. 156 — 15g. V, d. Gesetzen. T. 12.

EpinomiS !»,r (/»>,!„;) «ycw^irf>jr»f ," btweißt. Ueberhaupt hielt er jeden in der Arithmetik Ungeübten für reine Erkenntnisse und besonnenes Denken ganz unfähig (evo>)fOTtifrev xa< «$£qvf£«rov)#

Don gleicher Achtung gegen diese Wissenschaften fr« hen wir seine Schüler erfüllt. Wenn SpeufippoS dieß durch eifrige Untersuchungen über die Natur der Zah­ len , wozu ihn seine riebe zur Pythagoreischen Philosophie hinleitete p), bewieß, so handelte Lenocrates, wel­ chem jener Platons Lehrstuhl überlassen hatte, ganz im Gei­ ste seines großen Lehrers, indem er einen der Mathematik Unkundigen mit der Bedeutung zurück wießr „du befitzest die Handhaben der Philosophie (r«{ x«ß«? nicht." — Aristoteles, welcher die kehren der Ma» thematik „das Licht brr Seele" nennt und fit unter die drei Havptbedingungen der Ausbildung der geistigen Kräfn") D. d. Republ. T. 7. 6.1?r.

,yua da- Erkenntniß (als Gegenstand) c), mithin fxaStutar,Kts, führt.

was

zu biiftr Erkenntniß gehört oder

Um der Mannigfaltigkeit der Gegenstände unse­

rer Erkenntniß willen, weite Bedeutung.

haben diese Wörter

eine sehr

Wie kommt es daher, daß die Grie­

chen die Wissenschaft von den Größen, welche sie mit einem dem Gegenstände derselben angemessenen Worte, j. B. /atytSeAoyia. egiS/icAoyt* etc. d) hätten

c) S- ButtmannS Griechische Grammatik 104. c. 7. Eben so die Wörter; »f «c»», »(«yji«: »«»>». v 6 n ff < (,

vetj/xa,

i v f ia KU t

« u gs ff i $ ,

« v g i, ja «

und dergl. d) ES ist bekannt, daß mehrere Neuere den Namen Mathe, matik mit Größenlehre vertauscht haben. Jn-besonde« re will dieß Ab. Dürga in s. Eprachkundr der-Grö»

24

Vorrede.

bezeichnen können, vorzugsweise daS Erkenne« (m«* s-,»,?) nannten? Entstand dieser Name durch Zufall, wie der der Metaphysik, oder erzeugte ihn das We­ sen der Sache selbst? — Dieß reizt uns zu einer nä. Hera Untersuchung der Begriffe, welche die Alten mit den Wörtern und im« verbanden; und um so mehr, da wir in keinem neuer» Werke hinläng­ liche Belehrung darüber finden e). Der älteste Schriftsteller, welcher nach der Bedeu­ tung dev Worts /*«.£>>,»,* geforscht hat, scheint P r o clus D. zu seyn, in feinem Comment, üb. d. >. B. d. Clem. Euclids, Hier beginnt er den letzten Abschnitt des r. Buchs (nach der lat. Ueber setz. v. Daroccio das 13. Cap.) mit folgenden Worten: ßenlehrr re. Berlin 1799. » Thle. g. Hb dieser tzkame Len Begriff der Marhcmank der Griechen erschöpft, wird diese Untersuchung icigm. — Arnhmologia nannte Athanas Kircher sein Werk üher die verborgenen Eigenschaften der Zahlen. Rom 1665. 4. «) Die, welche darüber geschrieben haben, kaffen die Begriff« gewöhnlich in einer trüben Allgemeinheit schwimmen. Heil« bronner (lüst. mttliee. univ. 5. ». ) sagt: ,, Varias in partes abeitnt auctores, si orig in em Luius vocis (/«*■> Swtui() investigam. — Die Meisten treten der gemeinen

Meinung bei, „daß man die Mathematik deshalb so ge­ nannt habe, weil Ke die erste Wissenschaft gewescn ftp, wei­ che man in den Schulen der Kriechen habe lernen müs­ sen" (Vailiui de tcientiis mathematici«. C. i. ). 4>) ;

gndere meinen auch, „ weil sich die griechischen Philosophen häufig auf iie belogen hätten (KlügclS marhem. Wörtcrb. $h. 3. G, 603.). Wienach «an eine Wissenschaft wegen het B«»iehrnS darauf da- Lernen oder Erkennen pennen konnte, leuchtet nicht ein; wie weit «her dir gewöhnliche Meinung richtig ist, wird die writer« au)$

rt»v b/orvoijiNKwv Xoywv wpc;»)-

75?j « 3 »> «■ 1 f) Wiedererinnerung (av«Mv>i»i)tuiv (sä».av/xar*') in der Einbil­ dungskraft abbilden; auch nicht zufällig eingewandert (tru(cSiw>i){), wie die empirische Erkenntniß (q yv*e.,) tsirb fit genannt um btr letzter» willen (i. Reimer. Ham­ burg 1504. 8- Th, 1. S. 36. Klügelt mathemat, Worterd, Th- 1. S- ist. f) Diese Eintheilung findet sich sowohl in den alten griechischen Mathematikern, git auch beim Proclut, welcher im i.B, Eap, iä. seinen Eommentars f» davon spricht: t>n bioiigtais

tters t>jv

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y^afxfxariH^v

y.at njv twv f t 1 » * b w a naf ryy rwv

aptSjxwv

0v,

Die mathematischen Ausdrücke der Griechen, insbesondere die heim Momachus »»rkommenden, hat 3oaeb.

B. MatheflS der Griechen. ((n

(ctgiSfxovf tirimlovs) f

lest («£)KjjK>) g), — Was aber die ande» rarius in dem Büchlein: De graecis latiiiisqtie nume1569. 12. erläutert, und dessen Er­ läuterungen find von TcnnulliuS seiner AuSg. des Iambli­ ch u s beigefügt. g) Andere Lintheilungen müssen «vir hier übergehen, weil fie l« weit führen würden. — Die Stelle, wo Platon davon spricht, iü im Thkätet (Bd. 2. S. 59.). Die Worte, auf welche sich die letztere bezieht, hcifen dort so: £j: airroyrat4 ov y&q voSovq cdf< anrteSat , akkm yvq* ctovs. "

») D. d. Republ. B. 7. S. *53« «> f.

Vorrede.

48

aber wieder ein, sich erinnernd, daß auf die Betrach« tung der Flächen,

die der Ko'rper (die Stereometrie)

folgen müsse, welche jedoch damals „noch nicht erfun« den." vielmehr noch nicht bearbeitet war. sagt er, „sind zwei Ursachen schuld:

„Daran,"

einmal weil sie

kein Sraat nach Verdienst schätzt, und sie, da sie schwer ist, nicht mit Eifer («c-r-ev«?) betrieben wird (^>tftiraO; jum andern, weil diejenigen, welche sie bearbei« ten, eines Führers bedürfen, ohne welchen sie sie nicht finden würden.

Nun ist eS erstlich schwer, ein solcher

zu werden; zweitens aber, gäbe es auch einen, so tour« den doch diejenigen, chen,

welche solche Untersuchungen ma.

nach der jetzigen Weise,

nung

von ihrem Denken,

lassen.

aus großer Mei­ sich nicht leiten

Aber wenn ein ganzer Staat sie ehr«

te und für sie sorgte, so würden auch sie sich über« reden und sie durch anhaltendes und angestrengtes gor« schcn nach ihren Verhältnissen aufklären.

Wenn

sie

auch jetzt von der Menge für ehrlos und gering geach­ tet ist, so

wird sie doch von denjenigen, welche nach

chr forschen, ohne daß sie einen deutlichen Begriff (>,7c>) davon haben, wozu sie nützt, bei allen diesen Um­ ständen wegen ihres innern Reizes mit Gewalt erwei« tcrt werden;

und es ist kein Wunder, daß sie so

er­

scheint." — Nach dieser Einschaltung (welche uns in man« chen Stellen an die Ansicht erinnert, welche Menge von der Mathematik überhaupt hat),

jetzt die knüpft

er seine Unterhaltung über die Astronomie wieder an, tadelt aber ebenfalls die blos sinnlievc Betrachtung des Himmels, wo man ihn „wie die bunten Verzierungen

B. Machest- der Griechen.

4g

(iror/.i/.j-tara) an bet Decke eines Zimmers anschaut." Er giebt folgende Vorschrift: „Wir müssen zwar diese Erscheinungen (-ro^a.^ara ) am Himmel, in so fern sie sich an dem Sichtbaren unterscheiden lassen, für das Schönste und Regelmäßigste unter den Gegenständen die­ ser Art halten; aber auch, daß sie von ihren wahren Bewegungen, welche ihre wirkliche Geschwindigkeit und Langsamkeit in dem wahren Verhältniß () und allen ihren wahren Kreisen (cxw**1) gegen einander und gegen die dazwischen machen, weit entfernt sind. Dieses kann nur in den Gedanken und mit dem Ver­ stände, nicht aber mit dem Gesichte erkannt werden. Wir müssen uns daher der Erscheinungen am Himmel als Bilder um der Erkenntniß jener willen (->>r »x, ^uxs), aus dem Unnützen das Nützliche gewinnen wollen." Als er endlich von der M u si k spricht, so sagt er, nach einigen Bemerkungen über die Künstler, die wir übergehen wollen, über die Lehrer: „ fit verfah­ ren ebenso, wie jene in der Astronomie. Sie suchen in den Accorden nach dem Eindrücke, den fle aufs Ohr ma­ chen, die Verhältnisse; gehen aber nicht auf die Aufga­ benein, daß sie betrachten, welche Verhältnisse harmo nisch sind, und welche nicht, und warum sie eins von beiden sind; — eine Betrachtung, welche für die Un­ tersuchung dessen, was schön und gut ist, sehr nützlich, wenn sie aber anders behandelt wird, zwecklos ist." — Diese Wissenschaften, welche und insofern sie den Verstand an reines und abstractes Denken gewöhnen, nennt Platon im vorzüglichen Sinne des Worts c). Sie alle aber sind nur eine Vorbereitung 6-/«icv) zur Dialektik, d. i. zu derjenigen Erhöhung der Erkenntnißkrast, durch welche allein wir in den Stand gesetzt werden, ohne sinnliche Anschauung, blos durch e) Dergl. Kant< Kritik d. reinen Vernunft. S. 764.

B. MathesiS der Griechen.

51

Begriffe zur reinen Einsicht in das wahre Wesen der Din« ge zu gelangen und welche uns den Begriff des Guten, des hohem Gesetzes, das uns zu erkennen obliegt, ju enthüllen vermag." Die Dialektik ist ihm aber eben­ dieselbe Wissenschaft, welche Aristoteles Metaphysik nennt, nämlich die der Grundursachen und Grund­ principien d). Er sagt e): „die Dialektik geht al­ lein den Weg strenger Wissenschaft, unabhängig von willkührlichen Sätzen (CroSi?«;) ju dem Grundbegriffe selbst, um Festigkeit ju erhalten O* ßtßaiu^ra,). — Ein Dia­ lektiker wird daher ein solcher genannt, welcher den Grund (Asycv) des Wesens einer jeden Sache erfaßt hat. — Wer ohne Hülfe aller sinnlichen Anschauung allein durch den Verstand nach dem, was ein jedes ist, forscht (5c««), und nicht abläßt, bis er den reinen Begriff des Guten gefaßt hat, der hat in dem Gebiete des Wissens das Ziel erreicht. Zu diesem führt aber allein die Kraft der Dialektik (i rov ii«xi-ytcs«i denjenigen, welcher der Wissenschaften kun­ dig ist, welche wir durchgegangen haben; auf einem andern Wege ist es zu erreichen unmöglich." — Es waren also alle jene Wissen­ schaften blos nothwendige Vordreitungsmittel zu der Philosophie selbst, und ein solcher, wel­ cher jene innehatte, daß er sich an metaphysische Untersuchungen wagen konnte, hieß, nach von Pythago­ ras hergebrachter Gewohnheit, 5). d) Arist. metaphys. I. 1.

«*) V. d. Rcplldl. B. 7. S. 165. U. f. t) Aul. Gellius in noct. Alt. L. I. c.

9.,

wo er die EilMch/

4 (-)

52

Vorrede.

So haben wir nun das Ziel, welches wir uns vor« gesteckt hatten, so weit erreicht, daß uns daS Wesen, Zweck und Geist der Mathematik der Griechen, nach Platons eigener Darstellung, ganz klar ist. Nur noch eins, nicht minder wichtiges ist uns noch ju erörtern übrig, nämlick» die Lehrweise, deren sich jene besonne­ nen Denker bedienten, und welche Platon selbst für sehr wichtig hält g). Viele werden uns hier aufEuclids Elemente verweisen, und für ausgemacht halten, daß die Alten insgesammt naeb der Weise verfahren seyen, welche wir in diesem Meisterwerke des Scharf­ sinns finden- Und wollten wir einwenden: Wir fragen nach der Lehrweise der Platonischen Schule, nicht aber nach derjenigen, deren man sich ein Jahrhundert spater in Alexandrien be­ diente; so könnten jene sich auf die Sage berufen, daß Euclid selbst in Platons Schule gebil­ det sey. Allein diese Sage hat kein einziges Zeug­ niß für sich und beruht auf einer bloßen Muthma­ ßung, welche schon verschwindet, wenn wir nur die sotung btt Schule deS Pythagoras schildert, erzählt nach ei­ nigem anderm von dm Schülern desselben folgendes: „ ->" ubi res dieiderant rcmm omnium diificillimas, taccre audireque atque esse jam coepcrant silcntio cruditi, cui erat nomen : tum veiba facere, et quaerci c, quaeque audissent scriberc et quac ipsi opinai eiitur expromere, potestas erat. Hi dicebantur in eo tempoic pa5t)/iar8

Vorrede.

thrilig, «eil der Schüler, wenn er bis dahin die Mathe» motif noch nicht trocken und lästig befunden hat, ge­ wöhnlich hier anfängt und wenigstens nicht mit Lust, um nicht zu sagen mit Widerwillen, an daS Uebrige geht. — Der nächste Abschnitt handelt von den Polenjen, wel< che ebenfalls vor der Lehre von den Verhältnissen nicht verständlich jinb und mit welchen man fich schon in der Buchstabenrechnung wie mit räthselhaften Wesen einer andern Welt beschäftigen muß. Ihm folgt die AuSzithung der Quadrat- und Cubicwurjeltt. — Nach diesen meistens sch w i e r i g e n Materien schreitet man |u der einfachen und leichten Betrachtung der Verhält, Nisse» welche, obwohl eine der wichligsten der ganzen Mathematik, nur oberflächlich und nochdürftig abgehan­ delt wird r), um die Lehre von den Progressionen und den Logarithmen vorzubereiten- — Von der zusammengesetzten Logarithmentheorie kehrt man nun wie­ der zu den einfachen und leichten Gleichungen zurück, welches freilich nun bei der Anordnung der vorigen Sa­ chen so kommen muß, und steigt von ihnen wieder zu den schwersten. — Nachdem man nun den jungen Geist mit r) Liner der vornehmsten Mathematiker unserer Zeit hat in seinem »Grundrisse der Mathematik" die Lehre »on den Drrhältniffen blöd als einen Anhang beigesügt, und meint, daß sie alt »eine in der Arithmetik völlig überflüssige, ja wegen der Einführung einer gan» neuen und höchst unbequemen Terminologie schädliche Lehre an» gesehen werden müsse und nur der Gewohnheit wegen histo­ risch mitgenommen werden könne." Wiewohl wir dem ge­ ehrten Verfasser in andern Urtheilen mit voller.Urber»eugung beitreten, müssen wir dagegen diese Lehre für eine sehr nothwendige und nützliche erklären.

C. Mathematik unserer Zeit.

69

diesen trocknen, schweren, mitunter geisiertödenben Sa« chm gedrückt hat, dann erst kommt man zu den ein­ fachen und leichten Anschauungen und den ersten kehren der Geometrie «). Daß dieses Verfahren nicht nur nicht systematisch, sondern vielmehr ganz regellos ist, haben denkende Ma­ thematiker erkannt und bisweilen ausgesprochen.

„In

einem strengen Systeme," sagt Thibaut t), „würde die Folge der kehren ganz ander- ausfallen; wesentliche Theile der ersten Principien, wir j. E. die Grundbegriffe und Regeln der Lombinationslrhre würden in ihm gleich tu Anfange eine Stelle fmboi; manche Abschnitte, wie j. D. hie Theorie der Logarithmen rc., würben erst da, «0 sie gehörig abgeleitet werden können, werden."

vorgetragen

Jedoch trifft die Mißbilligung eigentlich nicht

«) 3*m Stiegt stehe hier dir Inhaltsanzeige der Arterien bet Arithmetik auö einem „für hie obern Alassen gelebt-' 11 r © d) u l e n " bestimmten Lehrbuche, bessert Verfasser ein wackerer und verdienter Lehrer einer blühenden Anstalt bet Art ist, und welches wir für das beste der tu diesem Zwe­ cke eotbgnbtnen erkennen müssen, ob wir gleich die Folge der Sachen nicht billigen sinnen, welche so ist; ,) D«n den Zahlen und ibrer Bezeichnungsart; O von den 4 Species; 3) ton den Brüchen; 4) von den entgegen­ gesetzten fflrirtn; 5) von den Einschließungszeichen; 6) von bet Buchstabenrechnung; 7) von den Potenzen; 8) von dem hecadischen Zahlensysteme; 9) von der Ausziehung der Wurtcln; »o) von den Verhältnissen: >») von den Progresstonen; >-) von den Logarithmen; 13) von der Rechnung mit den zusammengesetzten Interessen > »4) von den Gleichungen; »5) von dem bintmucten Lehrsätze. Rach allen diesen Sa­ chen wird erst die Geometrie angefangen. t) Grundriß d. reinen Machern, z. Gebrauche akadem. Serie-fangen. ®5Hing. i8°9. Dorr. E 3.

Vorrede.

70

die Verfasser unserer Lehrbücher, da sie dieselben blo- für den Unterricht -um praktischen Gebrauche der Sachen be­ stimmten, nicht aber zum Zwecke der Verstandesbildung, wo wir freilich die Forderung an die Anordnung der Leh> ren machen müssen, daß sie dem natürlichen Gange der menschlichen Erkenntniß gemäß sey. macht aber jener Zweck auch

Dieselbe Forderung

an die Entwickelung

der einzelnen Wahrheiten, welche wir in den gewöhn­ lichen Lehrbüchern mehr gleichsam aufgezählt und oft ohne Zusammenhang finden, so daß man von dem einen auf daN andere kommt, ohne zu wissen wie; noch wie nach und warum nun gerade dieses und nichts ande­ res folgt.

Wir übergehen dir Erklärungen,

(welche gewöhnlich abgerissen hingegeben werden und in manchen Büchern etwas mehr Klarheit und Bestimmtheit wünschen lassen), nicht weil wir fie für unwichtig halten, — denn die Vorstellungen, welche die Mathematik vor­ aussetzt»

müssen vorzüglich bestimmt und, durch Hülfe

der Anschauung, deutlich und tief in dem jugendli­ chen Gemüthe geweckt und befestigt werden, — sondern weil dieß und fie in ihrer Beziehung zu erörtern, mehr in der Gewalt deS Lehrer- bleibt;

und von den soge­

nannten Grundsätzen wird unten die Rede styn. Was wir aber am wenigsten natürlich finden, ist der Dortrag der Lehrsätze, welche man alt ausgemacht voraufstellt und ihre Wahrheit au- ihren Gründen künstlich hrweißt, mit andern Worten, wo man den Schlußsatz vor­ aussetzt

und

die Prämissen nachfolgen

läßt.

Da nun der natürliche Gang des menschlichen Denkens umgekehrt ist, so leuchtet ein, daß solches Verfahren

C. Mathematik unserer Zeit.

7i

nicht auf «ine naturgemäße Uebung unb Bildung der jugendlichen Denkart berechnet Recht „daS künstliche Resultat

ist;

vielmehr

mit

einer schon vollendeten

Ausbildung" u) genannt (u werden verdient.

Wenn

man es in sofern empfiehlt, daß es nützlich sey, dem Schüler daS Ziel seiner Schlüsse vor Augen zu stellen, welches sehr wahr ist, so bemerken wir nur, daß dieß geschehen kann, ohne dem Schüler das Finden der Wahr­ heit durch Selbstdrnken ju ersparen. —

Und

daß man die Sätze blos hinstellt, und anerkennen läßt, was andere gedacht und gefunden haben, nicht selbst­ denken, selbstfinden läßt, sehen wir auch von andern gemißbilliget.

„Unsere mathematischen Lehrbücher", sagt

ein gelehrter Mathematiker und Schulmann v), „geben dem Schüler vollständig, waS er, von dem Lehrer gelei­ tet, mehr selbst finden

sollte;

veranlassen und

nöthigen ihn also ju wenig für die Entwickelung und Ue­ bung seiner Kräfte,

diese regsam ju äußern und ihrer

mächtig tu werden —.

Daher die Erfahrung, daß nach

einem Lehrbuche von dieser Form unterrichtete Jünglinge zwar gründliche mathematische Kenntnisse an und für sich von großem Werthe allerdings einsammeln, selten aber doch den eigentlichen Geist der Wissenschaft em­ pfangen. " —

Daß ein guter Lehrer nach jeder Me­

thode sehr nützlich seyn kann, ist gewiß; allein daß sein

u) So I. F. Fries in seinem Systeme der Logik. G. 357. v) Herr Schulrath unb Direktor Matthias in Magdeburg

in den Erläuterungen ;u seinem Leitfaden für einen heuristi­ schen Schulunterricht k. Magdeh. «L»4- Dorr- S. 4-

72

Vorrede.

Unterricht für die Bildung der Denktraft des Jünglings ungleich fruchtbarer seyn muß, wenn er jene ihren natür« lichtn Gesetze« gemäß übt und letzteren bst Wahrheiten unserer Wissenschaft selbst finden und wie auf eigenem Boden ertrugen laßt, ist auch rin Satz von unbestrittener Wahrheit, Wie aber eine Sprache die schwerste ist» wel­ che dje wenigste Gesetzlichkeit unh Consequenz in der Bil­ dung und Fügung ihrer Wörter hat, so isteö auch «bei dieser göujlichen Regellosigkeit, welche im Vor­ trage der Mathematik herrscht, und die dem Kenner durch prdgntifche Formen und Kunstgriffe nicht verhüllt bleiben kann" (um nochmals mit Thibauts Worten zu re­ den w)» und bej dem Mangel an logischer Ordnung der kehren leicht begreiflich, daß der Erfolg des Vortrags der Mathematik nicht der erwünschte )u seyn pflegt. — In keiner Wissenschaft röcht flch ein erzwungenes und uns methodisches Verfahren mehr, als in dieser, Wenn wir aber die unnatürliche und unwissenschaft« fiche Folge der Sachen als ein inneres Hinderniß er­ kennen müssen, so kommen dazu noch andere noch nachthsiliger wirkende äußere, welche theil- in der gerin­ gern Würdigung der Wiffnschaft in unserer Zeit» wo­ von oben (S. i7, re.), theils in daraus fließenden Um­ ständen, theils auch an den Lehren selbst liegen, Die gewöhnliche Zurücksetzung der Mathematik von Seiten der Vorsteher uyd Lehrer gn öffentlichen Bildungsanstalten und der Vorzug der alten sprachen, nebst allem, was w) 6. Smnbrik b. oUgtm. Umbaut, «der Analyst- re. Th. >.

Gotting. -8«9- S. iv.

C.

Mathematik unserer.Zeit,

75

darauf Beziehung hat» macht, daß man dem mache««» tischen Unterrichte nur Rehrnstunden, letzte» de- Vormittag- einräumt,

meiste»« die

wo junge Menschen

nach einer drei» bi- vierstündigen Anstrengung fich mehr nach einer Erholung sehnen, alS nach einer ahstractrn Wissenschaft.

Kein Wunder also, wenn ihnen schon da»

durch Abneigung gegen letztere eingeflößt wird und der Lehrer derselben ihnen nicht willkommen ju seyn pflegt. Dazu kömmt aber noch mehr.

Man weiß, wie sehr die

klassischen Schriftsteller der Griechen und Römer fugend» licke Gemüther zu ergreifen und anzuziehen vermögen. Wenn nun mit den Schönheiten der Dicht - und Redekunst de- Alterthums auf einmal trockene und abstrakte Lehren und Buchstabenformeln wechseln; kann Man fich wundern, wenn dann der Lehrer der Mathematik über Mangel an Aufmerksamkeit und Theilnahme an seinem Unterrichte klagt und seine Arbeit unftuchtbar bleibt? — Kann man e- wohl dem besten und eiftigsten Lehrer verdenken, wen» er, oft von Seiten der Direktion nicht einmal in feinem Bemühen unterstützt,

sich blo-

an diejenigen Sch-ler

wendet, welche er theilnehmrnd und lernbegierig findet, pm wenigsten- an ihnen zu brweißen, daß die Schuld der verbleibenden Unkunde nnd die seine Bemühung oft ver­ höhnende Vernachlässigung dieser Wissenschaft nicht ihm zuzuschreiben sey? Darf es endlich befremden, .wenn ein besonnener, durch strenge Wissenschaft seine Schüler an Selbstdenken und gründliche- Forschen zu gewöhnen be­ mühter Mann, Welcher von dem m seichter Schöngeiste­ rei schwelgenden Zeitgeiste, und von der Scheu vor allen gründlichen Uebungen des Verstandes, über welche sich

Vorrede.

74

jener sogleich erhaben dünkt,

feine Kraft überwältiget

und alle Früchte seiner Ardeit vergeblich steht, wohl end. lich ermattet und abläßt? — Indem wir uns aber auf der einen Seite von dem gefchitktm und thätigen Lehrer mit Bedauern, daß leider die Verhältnisse nicht besser find, wenden, so können wir auf der andern auch dir Klagen, um nicht zu sagen De» fchuldigungen, nicht verhehlen, welche hin und wieder Direetoren wissenschaftlicher Anstalten,

einsichts­

volle und gerechte Männer jenen entgegenstellen; — Platon- Klagen über die Behandlung der Mathematik ju seiner Zeit ganz ähnlich (S. >2 ).

Der Hauptpunkt, in

welchem sie gewöhnlich alle zusammen laufen, ist: geist­ lose,

mechanische,

profession-mäßige Be»

«reibung x); und gestützt auf die schon (S. ss.) er­ wähnte Erfahrung versicherten zwei Vorsteher der blü­ hendsten Schulen Deutschland-, daß „wenn es von ih, nen abhinge,

bei ihren Anstalten die Mathematik

al-unnütz ausen würde."

dem Lection-plane

verwie.

Wie vielen Antheil die bisher erwähn­

ten Umstände daran haben mögen, kann man als Frem­ der natürlich nicht überschauen; allein die vielfältige Be« x) Wenn Kau-ler (d. uflackersche Exempelbuch d. Algebra». Dorr. S. »■) das gewöhnliche Betreiben der Llgebia «ein Kinderspiel nennt, dessen man sich bedient, um nach Taschenspieler Art und Weise Resultate hervor m zaubern und die Aufliliungrn wie auS einem magischen To­ pf« |u nehmen" u. s. re. schildert, so können nur wohl sa­ gen, daß diese- Urtheil nicht die Mehrzahl der Lehrer trifft; wenn aber ein witziger Recensent die mathematischen Lehr, bücher den Kochbüchern ähnlich sindet, wenig zu ihrer Vertheidigung einwenden. —

C. Mathematik unserer Zeit.

75

stätiqung diese- Urtheils von Schulmännern an btt» schiede neu Orten Deutschlands, welche zugleich die tiefgefimfene Achtung des mathematischen Unterricht- de» wcißt, und welche die geistreichsten Schriftsteller der ge» billxtsten Nationen der Erde y) unterstützen, muß unS nothwendig überreden, daß die Zurücksetzung desselben, als Bil dungsmittel nicht ganz ungegründet sey. Wenig» stens ist unS aus dieser Lage der Dinge klar» warum ver­ ständige Vorsteher von Gymnasien und Schulen, oder sonst Freunde zweckmäßiger Iugendbildung dem Erler­ nen der alten Sprachen den Vorzug geben und diesen die meiste und schönste Zeit einräumen, die Ma, thematik dagegen nur auf Nebenstunden verlegen. Und y) Wir begnügen uns hier die Urtheile blos im et er, wiewohl sich sehr vieles dagegen sagen (äst, mit|ut6c. — Chateaubriand (Genie du Christianismc. Par. tgos T. III. j>. cg.): ,, II y a une geometrie materielle, qui ave ug 1 e 1 e s y eu x de Tarne. Elle se compose de lignes, de points, d'A *f- B; avec du tetnps et de la perseverance Tesprit le plu« mediocre peut y faire des prediges. Ce n'est plus qu'une Sorte de machine geometrique, qui execute d’elle mejme des operations comme la machine arithmetique de Pascal. Cependant il saut avouer, que les ho mm es «nteles de ces calculs ont quelque fois im niepris riduculc pour les autres Sciences etc. —

?6

Vorrede.

so fihen wir unS auf jtm (S- 22.) aufgestoßene Behaup­ tung zurück geführt, welche wir mit unterschreiben müß­ ten , wenn wir nicht für unsere Wissenschaft eine andere Ehrenrettung Hütten. Wir müssen zu dem Ende P. die Bildungskrqft der Mathfis, wenn sie im Triste und nach der Wetse der Plato­ nischen Schule betrieben wird, mit andern Worten, wenn sie daS ist, was sie urspänglich war, «rwä. gen, um theils zu erkennen, wie sie sich gegen die BildungSkraft der Sprachen verhält, theils mit welchem Rech­ te sie in dem Lehrpläne unserer Gymnasien steht, oder wenn sie sich nicht in demselben befindet, darein aufgenommen zu werden verdient; — «eit entfernt, ihr aus Vorliebe mehr beizulegen, als ihr ihrer Natur nach zukommt. — Kej solcher Betrachtung aber müssen wir uns ganz frei halten von Rücksichten auf besondere Zwecke, welche die meisten Anstalten, und namentlich auch unsere sogenann, ten gelehrten Schulen, alS solche haben. Ohne die wich­ tige Frage zu entscheiden, „ob eingealterte Gewohnheit, oder Convenirnz, oder ob die D e r n u n f t den Zweck der Geistesbildung bestimmen soll", sprechen wir weder von solchen Anstalten, welche Vorbereitung zur Gelehrsamkeit beabsichtigen, wo mithin rinige Geisteskräfte aufUnkosten der andern ge­ übt und ausgebildet und Einseitigkeit gefließentlich er­ zeugt wird, noch von solchen, wo es auf Esn- und Ab­ richten auf gewisse Sachen und Einübung und Fertigkeit gewisser Kunstgriffe abgesehen ist; sondern von denen, welche eine der Natur gemäße Ausbildung al-

D. Bildung-kraft -er Machest-.

77

ler Kräfte de- menschlichen Geiste- durch gleich stark in Thätigkeit setzende Uechung, wie sie die Vernunft gebietet, jum Hauptzwecke haben z). Wo- zuvörderst die Bildung-kraft de- Sprach» studium-, vornehmlich der alten Sprachen anlangt, so kann wohl kein Kenner derselben in Zweiftl seyn, ihnen unter allen Bildung-mitteln dm Vorrang einzuräu­ men , meil kein anderer Gegenstand alle Kräfte der Seele so vereint zu wecken, zu beleben, zu entwickeln und zu erhöhen fähig ist. Denn da die Sprache alle- ausprägt, wa- der Mensch in Geest und Gemüth erfaßt,' so be» schäftiget sie nicht «lat die Kräfte des Verstandes und Ur­ theils, sondern auch die Einbildungskraft, Gedächtniß und Gefühl, und ist mithin nicht blos fit die intellrctuel» Ie Bildung des Menschen ein wirksames Mittel, sondern gehört auch für die ästhetische und Moralische unter die wichtigsten. Ohne den überschwänkliche« Nutzen zu crdr» tern, welchen das Lesen der griechischen unb römischen Klasstker für die Ausbildung des menschlichen Gemüthgewährt, wenn sie zu den reinsten, edelsten Erweckungen in der jugendlichen Seele und um den Geist, der aus ih. nen für die Verschönerung des Leben- weht, — um bic himmlische Kraft, dir das Gemüth stärkend ergreift und erwärmt in dem jüngern Geschlechte zu beleben, behandelt werden; ohne die mannigfaltigen Uebungen zu prrißen, welche die Beschäftigung nicht sowohl mit den Wörtern und deren Zusammensetzung, sondern vielmehr mit den z) Man sehe darüber R. B Jachmann'S gehaltvolle und »vrtreffliche Abhandlung im Archiv deutscher Rakivnalbild. Jahrg. I. 1312.

78

Vorrede.

ton ihnen bezeichneten Begriffen urtb deren Verbindung, durch welche sich daS Urtheil im Tatze» wie in einem Bil­ de gleichsam ausdrückt, welche die Thätigkeit unsere- Gei­ stes vielseitig anregt, ihm Lebendigkeit und Schöpferkraft verleiht und da- Spiel aller Kräfte des Gemüth- frei und in mannigfaltiger Gestalt belebt; hat die Sprachbildung an fich einen eigenthümlichen, durch nicht- anderes zu ersetzenden Vorjug, indem fit dem Geiste des Jüng­ lings nicht blos die Form giebt, nicht blos gestaltet, sondern in ihn viele Keime legt, welche belebt entspros­ sen , fich neu gestalten, bilden und Früchte trogen.

Diese

großen Vortheile de- Studiums der Sprachen, welche seit vielen Jahrhunderten a) anerkannt, oft erwogen und gründlich dargelegt b) sind, können daher von keinem Demünftigen abgeleugnet werden. — Und daß in sofern die griechische Sprache, theils wegen eines größer«, eine größere Fülle von Begriffen bezeichnenden Wortreichthums, theils «egen ihre- gesetzlichen Ganges in der Wortbildung und Wortfügung theils wegen einer eigen­ thümlichen Biegsamkeit und Bildung-fähigkeit durch die mannigfaltige Auszweigung ihrer Wurzeln zu feinerer und zarterer Unterscheidung und Bezeichnung der Begriffe und Gedanken den Vorrang verdient vor ihrer rauhern und ungefälligem Tochter, der lateinischen c), «el, ») Diese Uebrrreu-un- hat schon zu Karl- d. @r. geilen daGtudium btt larrin. u. -riech. Sprache in die Klosterschulen «ingtfubtt. S- AH. LH «ere n's Gesch. d- Studiums b. Ha.'. Lircr. Göttin-. 1797. Tb- 1. S. 105 re. b) Don den vielen Schriften üb. diesen Gegenstand s. »vrtügl. d- AeoisivnSwrrk Bd. VII. u. Bd- XI. e) ES ist oekannt, daß die lateinische Sprache nach Dipvys. ».

O. Bildung-kraft der Mathests.

79

che nicht vernünftige Prüfung, sondern „ der überwalti» gende Strom eigenmächtig sich gestaltender Weltereigntffe" unverdienterweist jener vorgesetzt hat, ist bereits von ge« lehrten und hochbegabten Kennern des klassischen Alter» thums wahr und kräftig ausgesprochen worden d). So gern wir aber der Sprachbildung die gebührende Gerechtigkeit wiederfahren lassen und den Werth ihrer nicht allein wirklichen, sondern selbst möglichen Wirksam» kcit hochschätzend anerkennen, so ist fle doch nicht ein die geistige Ausbildung vollendender Gegenstand,

sondern

blos eine sehr wichtige und nothwendige Hülfleistung da­ zu, und auch nur unter der Bedingung,

daß ste richtig

in die Entwickelung der Menschennatur eingreift.

Daß

Helikarn. (Archäol. B. >) auS der griechischen nach dem Arolischen Dialekte entstanden ist. d) AuS mehreren nur t»ei. Zurr- Herr Schulrath D. gr. Koch in seiner gediegenen Schrift: Die Schule der Humanität. Line gekrönte PreiSschrist. Stettin iß11S 85* „ Bevor nicht der griechischen Sprache und Literatur in unsern gelehrten Schulen «in ähnlicher CmsuS, also ein gleicher Zeit-und Kraftaufwand geschenkt werd, alS der la­ teinischen bisher so allgemein eingeräumt war, läßt 6d> im, mer noch mit Recht de,Weiseln, ob wir nicht vorsätzlich den Geist lähmen, den wir fr« machen wollen." — Zweitens Herr Prof. Fr. Pass»w in »»« sehr gehaltreichen Abhandlungen im Archiv, f. deutsche Nationalbildung. Jahr­ gang 1. »8>2. 99. ic. u. @. 324. re., nebst einer Nach, schrist auf Herrn Pr. Kövke'S Gegenbemerkungen. G. zog. rc.: — welche sich nicht blos durch gründlich«, rrichg«, stützte Anmahnung, dem Studium der griechischen Sprache als Bildungsmittel auf Schulen den Vorrang «inturäumen, ausjeichnen, sondern auch tuglrich dir Nachtheile, welch« aus dem entweihenden und »erkrüpelnden Vermengen unse­ rer vaterländischen Sprache mit fremden Wörtern stier ßen,

mit gerechtem Unwillen iu dehrrligen

geben.

80

Vorrede.

bk Sprache für die moralische Bildung nur e,n Mittel ist zur Darstellung dessen, was daS Gemüth für das Gu­ te, Edle und Heilige empfänglich machen soll, ist an sich klar. Für dir ästhetische ist sie auch nicht das erste, da die anschaulichen Werkt der Kunst den Sinn für das Schöne kräftiger erwecken und bilden. Und was die intellcctnelle anlangt, deren «tder die Moral noch die Aesthetik entbehren kann, und deren Vorrang vor jenem eben darum klar ist, so können wir das Sprachstudium ebenfalls nicht für das allein heilbringende Mittel er­ kennen. Daß die natürliche Bildung des menschlichen ErkenntnißvermögeNs von sinnlichen Gegenständen ausge­ hen müsse, weil alles Denken und Erkennen von der Sinn­ lichkeit erweckt wird Und davon anhebt, wird kein Der. Nünftiger bestreiten. Diesem Fordernisse entsprechen schon nicht die stachlichen SprachformeN, welche sich an nichts Sinnliches anknüpfen lassen, die man aber dem jugend­ lichen Alter einzuzwingen pflegt. Wenn wir aber so­ gleich juM Hauptvorjuge der Sprachübungen übergehen, welcher in der vielseitigen Anregung aller Geisteskräfte und Bereicherung mit Begriffen besteht, so lehrt doch ei­ ne nur kurze Beobachtung, daß der junge Mensch mit den erlernten Wörtern nur flüchtige Vorstellungen ver­ bindet und sie seine Denkkraft nicht gründlich und tief anregen; im Gegentheil daß die gewohnte Uebersüliung mit einer Wörterwust, das Gedächtniß allein bereichernd, den Verstand ungeübt läßt, so daß jenes mit diesem in ei» abstechendes und überwältigendes Mißverhältnist kommt. Uebrigens ist wohl zu bedenken, daß die große Empfehlung deS Erlernens der alten Sprachen aus einem

D. Bildungskraft der MathesiS.

gi

Zeitalter stammt, wo nicht besonnene Erwägung ihrer Bildung-kraft,

sondern äußere Verhält­

nisse sie zu Lehrgegensiänden in Schulen bestimmten: die lateinische (vormals selbst diplomatische Sprache), ihre Allgemeinheit, die griechische aber, nicht um je­ ne heidnischen Musterwerkt zu lesen, sondern um da- neue Testament ju verstehen. theil Kants e):

Ob jenes Ur­

„ein stumpfer oder eingeschränkter

Kopf, dem es an nichts, als gehörigem Grade des Ver­ standes und eigenen Begriffen desselben mangelt, ist durch Erlernung sehr wohl sogar bis zur Gelehrsamkeit auszurüsten; da es aber gemeiniglich alsdann auch an jenem (der Secuuda Petri) ju fehlen pflegt, so ist es nicht- un­ gewöhnliches, sehr gelehrte Männer anzutreffen, die im Gebrauche ihrer Wissenschaft jenen nie zu bessernden Man­ gel häufig blicken lasten — ", gegründet sey, dieß möge der Erfahrene sich selbst entscheiden. Darauf wird man aber sogleich sagen:

„Zur Ue­

bung des Verstandes und Scharfsinnes tragen wir Lo­ gik vor und halten Disputirübungen."

Die Lo­

gik, welche nicht den Inhalt, sondern die Darstellung der bloßen Form unserer Erkenntniß zum Gegenstän­ de hat, kann den Verstand zwar mit Regeln bekannt ma­ chen , aber nicht bilden; denn die Bildung und Erstarr kung desselben kann nur durch Uebung bewirkt werden. Und daß das dürre Gerippe, welche- man auf Schule« unter den vornehmen Namen Logik jungen Leuten auf­ zutischen pflegt,

selbst den obersten Klassen unserer

O Kritik d. rein. Vernunft. S. »7a,

83

Vorrede.

Gymnasien unverdaulich ist und unfruchibar bleibt, weiß jeder Schulmann; denn das Geb rinreich der Dissen, schäften hat für das junge Gemüth keinen Reiz.

Wich­

tiger für diesen Zweck ist schon die allgemeine Sprachlehre. — Was aber die Disputirübungen betrifft, so verdient gar sehr Locke's f) Ermahnung beherziget |u werden: „Haltet euren Cohn von den in den Schulen gewöhnli­ chen Disputieübungen zurück, und flößt ihm einen Ab­ scheu dagegen ein.

Ihr werdet sonst,

statt eines

tüchtigen Mannes, einen schalenZünker aus ihm bilden, der immer recht behalten will und sich etwadarauf einbildet,

andern stets zu widersprechen, oder,

welches noch arger ist, einen Menschen, der geradezu al­ les in Zweifel zieht, und gar nicht etwa in der Absicht, die Wahrheit zu erforschen,

sondern um seinen

Gegner niederzudisputiren." —

Und nach ei­

ner kurzen Beschreibung derselben fahrt er fort: „Nur durch reifliche und zweckmäßige Betrachtung der Dinge selbst wird die Wahrheit erforscht und begründet, nicht durch logische Kunstwörter und Syllogismen.

Die

letztern geben dem Menschen nicht Anleitung zur Entde­ ckung der Wahrheit, sondern zu dem verfänglichen und betrüglichcn Gebrauch doppelsinniger Wörter — in der That eine ganz verkehrte und ärgerlicheAnwendung der Verstandeskräfte, die eines edcln Mannes und Freundes der Wahrheit ganz unwürdig ist." —

Weit mehr Empfehlung für die

f) JrhnLocke, fiter die Crtiehung der Jugend unter den kö­ dern Doltstlassen rc., a. d. Engl, übers, v. C. S. Luvri-r. Leipz. i?87. S. z6g.

D. Bildungskraft der MathesiS.

83

Bildung der Urtheilskraft und des Scharfsinns verdient die Uebung im Schreiben der alten Sprachen,

welche

Feinheit des Denkens fordert» und in Interpretation der Klassiker, wodurch der Jüngling nicht in die Gefahr je­ ner Nachtheile kommen kann. —

Wenn wir aber die»

scn Mitteln auch alles Gute zugestehen, so fehlen ihnen doch die Kräfte, welche den sich bildenden Geist an ge­ ordnetes, consequentes, bündiges, gründliches Denken gewöhnen kennen, welches jedem Jünglinge unerläßlich nöthig ist, um in der Wissenschaft, welcher er sich wid» met, mit glücklichem Erfolge ein - und vorzudringen. Diese unermeßlich wichtigen Gaben kann keine Wis­ senschaft in so hoher Vollkommenheit gewähren, als eine im Geiste der Platonischen Schule zweckmäßig angestellte Betreibung der M a t h e m a t i k.

Denn die Anschaulich­

keit ihrer kehren, wodurch sie die Regungen einer noch ungeübten Geisteskraft hülfteich fördert,

und woran

sie schon die Erkenntnißkraft des zarten Alter gleichsam emporranken laßt, die Genauigkeit, Gründlichkeit und Feinheit ihrer Bestimmungen, welche ihre Lehren erfor­ dern, die Schärfe und Bündigkeit ihrer Beweiße,

die

Nothwendigkeit des Zusammenhangs ihrer Sätze, wo­ durch sie zu ununterbrochener Aufmerksamkeit, zu Stren­ ge und Consequcnz in allem Denken und Forschen ge­ wohnt, die Besonnenheit und Ruhe ihres Fortschreiteas von Wahrheit zu Wahrheit, welche den Geist stets in den Schranken der Gesetze der gesunden Vernunft bewegt und ihm eine vor Irrthum, vor Schwärmen und Träumen, vor Leichtgläubigkeit und thörigem Dünkel schirmende Kraft verleiht, nährt und begründet, die Tiefe ihres Cr«

6

(-)

84

Vorrede.

fassenS, zu welcher sie leitet, um von der reinen Quelle der Wahrheit selbst schöpfen zu lassen, der ordnungsvol­ le Gang ihrer Entwickelung endlich, welcher dem Jung. finge einen geordneten Gebrauch seines Verstandes aneig» net, — diese und viele andere Vorzüge, deren sich das Sprachstudium wenig oder nicht rühmen kann, geben der Mathematik vor allen andern Bildungsmitteln der Denkund Erkenntnißkraft einen entscheidenden Vorrang, und um so mehr, jemehr. ihre Betreibung eine praktische Logik ist.

Aber noch einen wichtigen, ihr ausschließ­

lich zukommenden Vorzug können wir nicht unberührt lassen, nämlich die Erweckung und Liebe zur Wahr­ heit, einer heiligen Tugend, welche dem menschlichen Gemüthe den höchsten Werth verleiht.

„Der jugendliche

Geist," um mit des geehrten K o ch's Worten zu spre­ chen g), „ läßt sich leicht interessiren für das Schöne, Ed­ le und Angenehme in Form und Materie für alles, wo­ durch die Phantasie in ein leichtes Spiel gesetzt wird. Wurde er aber zu dem Genusse des blos Leiblichen ver­ wöhnt, trieb seine Phantasie lange dieß angenehme Spiel, so verlor sich dabei gar leicht der Sinn für das Ernste, Wichtige und Große, sobald es trocken und einfach war. — In dieser Gefahr schweben wir bei einem unvorsichtigen Gebrauche der Dichterwelt. —

Ein

ununterbrochenes Schwärmen der Einbildungskraft auf den Blüthenauen der Poesie, muß am Ende die Sehnen der Denkkraft abspannen und den Sinn für das W a h r c schwachen.

Ist nicht mancher Jüngling ein Opfer dieser

g) Die Schule der Humanität re. S. 45 — 48-

D. Bildungskraft der Mathesis.

85

stark gereizten und beschäftigten Einbildungskraft gewor« den, und ist es nicht um so mehr Pflicht, die Seele des Jänglings früh durch solide Nahrung kraftvoll i« mache»/ damit sie nicht gar am Ende bei einer über« wiegenden Neigung zum Angenehmern in einem Schmet­ terligsartigen Durchflattern der dichterischen Blumenlesen zu einer Kraftlosigkeit hinabsinke,

welche

gewöhnlich moralische Seichtheit zur Folge zu ha­ ben pflegt. —

Gefühle sollen den Menschen nicht allein

leiten, sie sollen ihn begleiten, ihm freundlich zur Seite siehe», indem der Sinn für das Wahre seinen Wil­ len bestimmt u. s. T o. " —

DaS soll nicht heißen, die

Dichtkunst aus dem Kreise jugendlicher Teistesübungen entfernen zu wollen;

sie verdient dagegen

in richtigen

Schranken um einer eigenen Bildungskraft für Geist und Herz alle Empfehlung; und die Geschichte lehrt, baß die meisten der Menschen,

die sich in irgend einer Wissen­

schaft über die Grenzen des Gewöhnlichen emporgeschwun­ gen haben, wie Platon selbst in denJugcndjahren, Talente zur Dichtkunst zeigten und sie übten.

Rur vor Miß­

brauch warnend will der edle Koch neben ihr eine ernste, das Gleichgewicht haltende Wissenschaft getrieben wissen, „und hier", fahrt er fort, „bietet uns die Königin aller Wissenschaften,

die Mathematik,

von der Elemen­

targeometrie bis zu den Höhen der Analysis, ein weites Feld zur ersten Erweckung Wahrheit,

des Sinnes für

für strenge Beweisführung und

für eine unerschütterliche Gewißheit an.

Hier

erscheint die Würde der Wahrheit in ihrer gan­ zen Größe und in einer ergreifenden und in der

Vorrede.

86

That das Her; erschütternden Bedeutsamkeit für den Geist des Menschen. —

Auf diesem Wege äu­

ßert sich gewiß in dem Jüngling die siegende Gewalt der Wahrheit,

er werd sich seiner selbst bewußt, fühle die

Kraft seines Geistes, ehrt das Göttliche seiner geistigen Natur." — Alles dieses richtig erwogen und gcwürdiget, erken. nen wir die mathematischen Uebungen

für die

ganze Bildung des menschlichen Geistes, als nicht nur nicht überflüssig, sondern vielmehr als eine nothwen­ dige Ergänzung

zu der

durch Sprachen-

Und um nun das Verhältniß der Kräfte beider Gegen« stände zu diesem Zwecke darzustellen, so schließen wir mit dem Urtheile eines geistvollen Gelehrten und gründlich er­ forschenden Kenners dieses Gegenstandes K):

,,Jn der

formellen Bildung der Mat hem atik werden die erken­ nenden Kräfte des Geistes überwiegend und zwar als ein Ganzes organifirend durch gleichförmig einfachen Fort­ schritt tief und gründlich angeregt, die rein auffassende Kraft dagegen, ferner das Gefühl, das Ethische und die Gesinnung theils beiläufig, theils gar nicht erweckend. Bei der formellen Bildung durch Sprache dagegen geht der Fortschritt von der rcinauffassenden Kraft des Gei­ stes , dem Gedächtnisse aus, die höhcrn erkennenden Kräf« tc an einem einzelnen, vielseitig wechselnden Verhältnisse der Tiefe, als rhapsodisch übend, sich aber dafür um­ fassender ausdehnend und auch durch formelle Bildung

'

h) Dr. A.E Bernhardi's, Prof, u-Direct, deck Fricdrichj;u Berlin, in seiner Einladungöschrift zur öffent­ lichen Prüfung den 14. Oct. ig>5. S. 29.

D.

Bildungskraft der MathesiS.

des Gefühl und die Gesinnung ergreifend.

57

Wollen wir

im allgemeinen das Resultat hinstellen, so würde subjec« liv die Mathematik die Starke des Geistes, die Sprache die Geschicklichkeit desselben, jene die Tiefe, diese die Le­ bendigkeit und Vielseitigkeit glücklicher ausbilden, objec­ tiv aber die Mathematik die Auffassung eines Ganzen, als solchen, die Sprache aber die Einzelheit und ihre Be­ ziehung begünstigen."

So wird es wohl keinem Un­

befangenen unentschieden seyn können, ob die Mathe­ matik im alten ursprünglichen Sinne in unsern Schulen geduldet, und wenn sie noch nicht eingeführt ist, zu glrichemRrchte und Ehre wie die Sprachen auf­ genommen werden müsse.

Und wie wohl sie dieß

zu allen Zeiten verdient, so,ist gerade unserm, um mit Jean Paul's Worten i) zu reden „neblichtem, Stü­ tzen« und Bestand-losen, mehr träumendem als dichtendem, mehr phantastischem, als phantasirenden Zeitalter dascharfe Augenmaaß der Mathematik so nöthig, der feste Halt an das Feste." Darinne kann unS aber auch die natürliche und zweckmäßige BildungSwcife der Athenienftr zum Muster dienen, welche frühzeitige Gewöhnung zum Denken zum Hauptzwecke hatte k).

Cie beschäftigten das jüngste Al­

ter auch mit Sprachübungen

rfa««a?,*>,) und

neben diesen mit Auswendiglernen moralischer Aussprüche i) Leoana oder Erzicbungs'ehre. m. lg^?- C. 570. k) C. H 0 chheimer's Syst. d. ) V

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D. Bildungskraft der MathesiS.

91

Zeitalter an, welcher durch die Wichtigkeit seine- 6tm bens edlere Naturen zum Forschen reizte, noch achtungs­ würdige Denker: einen Arcesilaus, Chrysipposrc. erblicken, so war eS der Kampf des Sceplicismus der Akademiker gegen den stoischen Dogmatismus, wodurch die menschliche Denkkraft stark bewegt und rege erhalten, aber kein befriedigendes Ziel erkämpft wurde. —

Wie

sich die Vernachlässigung jener Uebungen gerächt zu ha­ ben scheint, Irrthümer

zeigt uns theils die Schwärmerei und die der

neuplatonischen

Philosophie

durch die nächsten Jahrhunderte; theils, nicht blos die Unfähigkeit, sondern auch das Dorurtheil der Unmög­ lichkeit, das Wahre von dem Falschen zu unterscheiden; denn die Ursachen dieses Rückfalles lagen nick)t allein in äußern Umständen. treffen,

Daß wir jene selbst in Alexandrien

wohin sich die

mathematischen Wissenschaften

gleichsam geflüchtet haben, ist unserer Behauptung nicht entgegen, da das Studium der letztem, wiewohl für die Kultur der Menschheit von unermeßlichem Nutzen, in Ge­ stalt und Zweck von schieden war (S. 55.).

der Mathesis Platons

ver­

Diese heilsame GcisteSgyinnastik

schien von nun an verschwunden.

Auch des A l k i n 0 u S

nachdrückliche Empfehlung derselben q), selbst das ernste Bemühen des Proklus Diad. r), die dürren Zweige der vormals blühenden Wissenschaft wieder zu beleben, konnte in jenem in Schwärmerei versunkenen Zeitalter,

q) In seinem Compendium der Platonischen Philosophie, «■)'»•) >! k,,- t« T5v nxarwvs;, c. 7.; oergl- meine Orlhodidakr- b. Marh. I. S- a. ) Vcrgl. eben S- >5-

1

Vorrede.

92

wo Nüchternheit und Besonnenheit des Denkens für Be­ schränktheit gehalten wurde «), und wo der überwälti­ gende Zwang des Kirchenglaubens nebst militarischem Despotismus bas Gedeihen wissenschaftli­ cher Unternehmungen lähmte, nicht anders als unfrucht­ bar bleiben. — Vier Jahrhunderte müssen wir in der Geschichte vernünftigen Denkens gänzlich übergehen. — Nachdem man aber im achten n. CH. anfing in den zur Bildung der Geistlichen angelegten Klosterschulen auch Dialectik (Logik) zu lehren, um die Lehren der Kirche ge­ gen häufige Angriffe der meistens vermeinten Ketzer ver­ fechten und schützen zu können, sehen wir in den folgen­ den Zeitaltern nach und nach die eingeführte, aristotelisch genannte Schulphilosophie als Geistesgymnastik auftre­ ten. Niemand kann leugnen, daß die Scholastik — ab« gesehen von ihren Fehlern — dadurch, daß fle ihre Ehre in der Kunst suchte» auf das spitzfindigste zu un­ terscheiden und zu streiten, den menschlichen Geist zu der Kraft erhob, durch welche er sich der Tyranney der Hierarchie nicht blos in Kirche und Staat, sondern auch in Glauben und Wissen mit Nachdrucke zu widerse­ tzen und obzusiegen vermochte. Was fit aber zu solchem Ansehen erhob, war die Einheit, Deutlichkeit, Gründ, s) Man erinnere sich nur z. B. deS MarinuS, der sich durch das Studium der Mardemarik vvrtügliche Klarheit und Gründlichkeit tu eigen gemacht und sich een der Schwärme­ rei seiner Zeit frei und nüchtern dielt. Don ihm sagt der dogmatische Schwärmer DamaSciuS: ev ßeSnav avX»x«

tu)v

vc>)/uaTiwv y.a^TOV/xsvo; , £$ uv r« y fxtffyfjL&Qia Au^vcv. Sed hominis studiosi est intelligere, quas utilitates proprie afferat Arith­ metica his, qui solidam et perfectam doctrinam in caeteris philosophiae partibus explicant. Quod enim vulgo dicunt, principium es­ se dimidium totius, id vel maxime in philosophiae partibus conspicitur. Unus est aditus ad praestantissimam philosophiae partem de motibuj coelestibus, cognitio Arithmetices. Et haec tantam vim habet, ut mediocriter exercitatus in Arihmetica facile caetera perspiciat et assequatur. Ita plus quam dimidium totius eius philosophiae tenet is , qui mediocriter cognovit Arithmeticen. Hane tantam utilitatem praediti generosis naturis diligenter considerent, ut et excitent animos ad amorem huius artis et praeparent se ad percipiendas caeteras artes. Quid quod mul tum etiam in phy-

98

Vorrede.

Welchen Einfluß bad Studium der Mathematik auf die vollendete Ausbildung deS Verstandes, auf den fricis, mul tum in historicis utimur hac sublimiori doctrina de numeris. Denique turpe est ho* mini versanti in literis negligere haue artem, quae est et inchoatio ratiocinationis universae, quae primum discernit unum et multa, eaque distribuit, qua luce proprie homines distant a peeudibus. Ideo boni et docti viri summa vi anniti debent, u t in scholas revocent h an c doctrinam, ut, postquam explosa est illa diluta et loquax Sophistice, quae oppresserat Dialacticen et Physicen, nunc veteris etput i o r i s philosophiae studia iterum a c cendantur. Haec diligentia multis m o dis praefutura est Reipublicae. Nam si mplici et pura doctrina adsuefactae mentes rectius iudicent, quaerunt c er t a in doctrinis, non tonen t mordicus incerta. Magnum id hoc bonum est, quod haec ipsa consuetudo assert amorem veritatis, qui bonos viros efficit, et diligentcr adsuefacit animos ad moderationem etiam in reliqua vita. Quid est autem rebus humanis magis salutare, quam eos qui propter doctrinam reipubl. praesiciuntur et veritatis amantes esse et moderatos? Ita bene et praeclare merebuntur Scholae de genere humano, si veram, u t i lern , puram doctrinam proponent iuventuti eamque $imul ad veritatis amorem et ad diligentiam ac moderati­ onem in vi t a instituant. Proinde laudan-

D. Bildungskraft der Mathesss.

99

Scharfsinn, auf die gereifte Nrtheilskraft und die sich nie übereilende Besonnenheit dieses Ehrwürdigen gehabt, durch welche er dem Fortgange und Siege der Reforma­ tion so förderlich war, und wie viel jenes mittelbar zur Ordnung, Bestimmtheit und Klarheit seiner Begriffe, wodurch er als Philosoph und Exeget über alles, «as er behandelte und lehrte, Licht und Anmuth verbreitete, mitgewirkt hat, ist zwar mit der Geschichte seiner Bildung verschwiegen geblieben. Indeß beweißen seine Aeußerun­ gen, daß er auch diese Wissenschaft nicht oberfläch« l i ch berührt hatte. Ohne uns jedoch eine Vermuthung darüber zu erlauben, erinnern wir blos an einige That­ sachen. Als Melanchthon im I. 1513 nach Wittenberg kam, fand er schon mathematische Vorlesungen über En« klid's Elemente, und loh. a Sacro Bosco Sphaera raun* di, eingeführt, und zwar, wie es in einer eigenen Statute von 1514 heißt: „quia inathematica teste Apollonio prima et certissima seientia est, sine qua Aristo­ teles, illud omnium artium robur et fundamendus est conatus multorum, qui hoc tempore aut vetera scripta edunt atque illustränt de his disciplinis, quae Fontes philosophiae continent, aut cudunt nova. Hoc consilio Arithmeticum scri­ ptum Mich. Stifelii studiosae iuventuti commendandum esse duxi, quod cum ad exercitationem proderit, tum vero ad causas perceptionum quaerendas plurimum lucis a f f e r a t. Bene Vale. Vitebergae Calend. Ianuar.

7 (2)

lOO

Vorrede.

tum minime intelligi polest. — Wiewohl selbst der unter dem Namen der aristotelischen, herrschenden Zeit­ philosophie zugethan, welcher er auch, ihrer Gebrechen wohl bewußt, aus Mangel einer bessern in den Prote­ stantismus überpflanzte x), fühlte er die Nothwendigkeit einer Reform derselben, und erkannte, daß vor allen die tiefgescdlagene Wurzel ihres verdorbenen Zustandes: daS Streben nach Sophistik, ausgerottet werden müs­ se, und daß diese Krankheit derselben nur durch Leitung und Gewöhnung der siudirenden Jugend an gründli­ ches, besonnenes und konsequentes Denken geheilt werden könne. Zu diesem Zwecke aber empfiehlt er, wie einst Platon (f. oben C.Z.) nichts dringender, als das Studium der Mathematik, und zwar nicht blos alö Mittel» die leere, in eitles Wortgcprange versteckte scholastische Sophistik zu verdrängen und Liebe und selbst­ ständiges Streben nach Wahrheit und den ächten For­ schungsgeist zu entzünden, sondern auch überhaupt als feste Grundlage für das Studium'aller an­ dern Wissenschaften; und fordertet deshalb Leh­ rer und Vorsteher der Schulen mit edlem (Eifer auf, die mathematischen Wissenschaften in ihre An­ stalten zurück zu führen und sie zu diesem x) Camerarii vita Melanchth. p. 15. etc. Melaitclith. oral. de studiis corrigendis declam. I. p. 506. seqq, — de utilitate philos. decl. I. p. 553. Hier fflqt er: „cruditam philosophiam requiro, non illas cavillationcs, quibus nullae 1 vs subsunt. Ideo dixi, uiuini quoddam philosophiae g0:11s cligenduni esse, quod quam mininiuin liabeat sophistices et iustum methodiun ictineat. Talis est Aristotilis doctrlna, —

D. Bildungskraft der MathestS. Zwecke zu betreiben.

101

Sein, aus weiser Vorsorge,

die im Geiste seines Zeitalters, und aus fester Ueberzeu­ gung, die in der Natur unserer Wissenschaft begründet war,

entsprungenes thatkräftiges Bemühen,

Hatte zu

Wittenberg die Anstellung zweier Professoren, der Astronomie (mathematum superiorum),

eineS des

andern der reinen Mathematik (mathem. inferio-

rum) zur Folge, welche Einrichtung, wenn auch nicht forthin im Geiste ihres großen Stifters,

bis zum Jahre

1784 fortgedauert hat. Jene Reform der Philosophie aber, deren Bedürf­ niß Melanchthon erkannte (welchejedoch während je­ ner heftigen Erschütterung der Kirche nicht rathsam seyn mochte y), sehen wir bald darauf einen Bernhard in Telesius aus Cocenza (1508 — 1588) beginnen, wel­ cher nicht blos die erforderliche Kenntniß der Sprachen und der Philosophie mit lichtvoller Einsicht und Schärfe der Urthcilokraft verband,

sondern auch mit nöthiger

Energie des Geistes gerüstet war, um sich dem gleichsam festgewurzelten Ansehen beS Aristoteles zu widersetzen, die Fessln des eingealterte» Eeisteszwanges kräftig zu zerbre­ chen und neue Wege zu bahnen.

Er siudirte von 1527

an zu Padua unter Hier. Amalthäus und Friedr. Delphinus Philosophie

und vornehmlich Mathe»

malik, worinne er es so weit brachte,

daß er selbst

neue Entdeckungen machte; und „die Klarheit, Ver­ ständlichkeit und Gründlichkeit,"

sagt Ten-

ncmann L), „die er sich durch das Studium

y) Dcrgl. TennemannS Gesch. d. Philvs. LH. 9. S. 118-) Ebendas ©. rgo.

102

Vorrede.

der Mathematik angeeignet hatte, lud ihn zur scharfen Prüfung der aristotelischen Naturlchre ein, de­ ren Resultat das Erstaunen war, wie es möglich gewe­ sen, daß so viele vortreffliche Männer, so viele Native nen, ja beinahe das ganze menschliche Geschlecht von ei­ ner so blinden Verehrung gegen den Aristoteles, der so viele Jrthümer in so wichtigen Gegenständen begangen habe, sich eine so lange Zeit hindurch habe hinreißen las­ sen." — Dieß ist aus seinem eigenen Geständnisse a). Indem wir, gerecht gegen jenes Zeitalter, die Mangel seines Systems entschuldigen, müssen wir in seiner Unter­ nehmung die ersten Regungen eines kräftigen, scharfen, freimüthigen ForschungsgcisteS erkennen und ehren. — Das wichtige Verdienst, welches unsere Wissenschaft durch ihre eigenthümliche Kraft um den Hellen Verstand dieses Reformators der Naturphjlosopbic hatte, erstreckte sich aber auch weiter, indem jene Klarheit, Gründlich­ keit und Besonnenheit, womit er forschte und lehrte, den fruchtbaren Thomas Ca mpanella, den reinschauendcn Franz Bako b) von Verulam, u. and., wel­ che dem Geiste ihres Zeitalters eine bessere Richtung ga­ ben, weckte, entzündete und leitete. Ob C a m p a n e l l a, wenn er, anstatt einen seichten, gebrechlichen Vortrag der Scholastik zu hören, die ihm nicht gnügte, das Glück gehabt hätte, seinen lebendigen, schncllcindringenden, unternehmenden Geist an der strengen Wissenschaft Au6g. 1565. prooemium, welche* in dcn spätern Ausgaben fehlt. t>) Bako'6 Urtheil über die Mathematik, f. de dignitate et

a) Tel cs ins de rerum natura.

augmentis scientiarum. L. III. c. 6.

I). Bildungskraft der MathcsiS.

103

übend, gleichsam zu zügeln und flch mehr Scharfe und Tiefe, mehr Besonnenheit und Ruhe anzueignen, der Philosophie sicherere Fortschritte verschafft und sich man­ ches Trübsal vermieden haben würde, ist eine Vermu­ thung, die sich bei der Betrachtung seiner Lehren und Schicksale leicht darbietet. — Einen vielseitig gebilde­ ten, lichtvollen und freimüthigen, aber auch deshalb heftig verfolgten Denker des >6ten Jahrhunderts können wir hier nicht unberührt lassen: Giordano Bruno (verbrannt 1G00), welcher seiner hellen Einsicht wegen um ein Jahrhundert zu früh geboren zu seyn scheint. Wird es einst noch gelingen, die Jugendgeschichte dieses merkwürdigen Mannes aufzuklären c), so wird sich beweißen, wieviel Antheil daran Me Mathematik hat­ te, welche ihm LicblingSstudium war, die er während feines Aufenthalts in Wittenberg öffentlich lehrte, und deren gründliche Kenntniß allenthalben in seinen Schrif­ ten vorleuchtet. — Was aber die Reform der Philoso­ phie dem Studium der Mathematik verdankt, beweißt sich am ausgezeichnetsten durch Petrus RamuS, welcher sich frühzeitig und gründlich mit dieser Wissenschaft be­ schäftigte 6), welcher die Kunst zu denken aus ihr e)S TcnnemannS d. Philosophie. Th. 9. S. vergl. Buhlc 's ®csd>. d. Philos. Th. 2. S. 704.

374-

d) S- Per. Rami arithmeticae. J.ibb. II. gcometr. I.ibb. XXVII. Basil. 1630. Praet. ,, Adolcscens fuit ingcnio quidtni ad omnes artes percipiendum admii abili, Stu­ dio ante 111 in literis Latinis et Graecis, in pliilosophia pTaecipue et mathcinatica tanto, 11t ai dentius aut flagrantius nihil imquam vidcrim. Quare quuni mathematica piofessio vacaret, et a nobis in exanien productus, aemulatione coiiipetitoruni severius examiiiaiu»

104

Vorrede

zu lernen nachdrücklich empfahl e), und sich um die Der, besserung der Methode nicht blos der Mathematik, son­ dern auch alles Unterrichts ein wichtiges Verdienst er­ warb. Daß die Naturlehre die großen Fortschritte, die sie in diesem Zeitalter durch Kevler, Galilai und des­ sen Schüler rc. gewann, einem eifrigern und gründli­ chern Studium die Mathematik verdankt, ist an sich klar und nicht zu sagen nöthig. Nicht unverdienterwcise beginnt man mit Descar. Ui (1596 — 1650) das lichtvollere Zeitalter der neuern Philosophie. Die Jugendgcsckichte dieses Denkers zeigt uns, daß er sich in der Jesuitenschule zu la Fleche, wo er gebildet wurde, viel tob gründlich mit den mathematifchen Wissenschaften beschäftigte, welche ihn vor allen an­ zogen f). Den Einfluß, welchen die Uebungen in dersel­ ben auf seinen Scharfsinn, auf die Klarheit seiner Ideen, auf die Gründlichkeit und Strenge seiner Untersuchungen hatten, kann s lbst der Befangene nicht wegleugnen, und die Jugendgeschichte seines gelehrten und wißbegierigen Zeitgenossen und Schülers, Gassen di (1592 — 1655), bietet uns dieselbe Wahrnehmung dar g). — Was sol­ len wir von den größten, von Mit- und Nachwelt angesiaunten Geistern dieses Jahrhunderts, Newton und esset, ita mentes omiiium cepit, ut etiam adversarii co loco dignissimum iudicaient. — e) Pet. Raniii scholae in über, artes. Basil. 1573. Schol»e mathcm. L. II. I. A. Eberhard k 's Gesch. d. Phi

lvsephie. Halle 1796. 6. 265.

l) Buhle's Gesch. d. Philos g; Ebendas. S. 88.

Bd. III.

S. 4. 87-

D. Bildungskraft der Mathesis. Lribnitz,

105

sagen? . Die Mit- und Nachwelt hat er­

kannt und anerkannt, wie sich durch sie die mächtige Kraft der Wissenschaft verherrlichet hat, in welcher sie sich un­ sterbliche Denkmähler errichteten. —

Was wir

f)itr

über

Joh. Locke (1632 — 1704) dem scharfsinnigsten Den­ ker der Dritten, der mit dem größten der Deutschen in der Begründung der Philosophie wetteiferte, zu sagen ha­ ben,

läßt sich aus der bekannten, dringenden Empfeh­

lung der Mathematik zur Bildung eines gründlichen Den­ kers leicht abnehmen h). —

Um uns bei einer Reihe

eben so ausgezeichneter Mathematiker,

als gründlicher

Philosophen, einem Marq. de l'Hospital, Tschirnhausen, Hobbes, Christ.Wolf, Lambert und and. nicht weiter aufzuhalten, sey nur erlaubt, den Blick noch auf den, unserm Zeitalter nächsten, großen Denker zu richten: Im in an. Kant (1724 — i8°4)rhm,

Wenn

der die Tiefen des menschlichen Erkcnntnißvermö-

gens erforschte, eine gründliche Kenntniß des Wesens unserer Wissenschaft zu diesem Zwecke nothwendig war, die sich in der Kritik der reinen Vernunft genugsam be­ urkundet, so legt er, der die Werke eines Newton stu» dirte, in seiner Betrachtung des Wcltbaues i) eine umfassende Kenntniß ihrer Lehren

dar.

Ob das

Studium dieser Wissenschaft zur Tiefe und Größe seines Geistes etwas beigetragen habe, überlassen wir eines

Je­

den eigenem Erwägen, so wie wir überhaupt bei allen h) Posthiimous Works. London 1706. of the understanding. §. 7.

011 the Conduit

i) S. Allaern- Naturgeschichte d. Theorie des Himmels rc. 4te Stu^. 1 ^

io6

Vorrede.

diesen Bemerkungen blos die Absicht haben, auf das Zu» fammen treffen des

Studiums der Mathematik mit

den sicheren Fortschritten der Philosophie aufmerksam zu machen, welches einiger Beherzigung nicht ganz unwerth zu seyn scheint. —

Lassen wir nun zwar das

Urtheil Jean Pa ul's K), daß „außer dem überall ge» wältigen L e i b n i y große Mathematiker schwache Philo­ sophen

gewesen seyen,"

auf Euler,

Dalembert,

Newton sich berufend, hier bei sich beruhen, da er blos beweißen will, daß die Mathematik und Philosophie nicht „Schwestern" seyen, so wird dagegen das andere, daß „kräftige,

tiefe Philosophen bei aller An­

strengung

ungelenke Meßkünstler bleiben",

durch die aufgeführten Beispiele völlig entkräftet. wenn er hofft,

Und

daß sich das alte Dorurtheil, daß

die Mathematik den phllosophischen Scharf, und Tief­ sinn übe und fordere, fortgeschlichen habe", so hoffen wir, daß er nichts anderes meine, als jenen geistertödenFormelkram, von welchem als solchem man allerdings für die eigentliche Geistesbildung des Jünglings keinen Gewinn hoffen kann.

ES sey aber nun genug davon

geredet. — Wenn wir unS jetzt, den ganzen Gang unserer Be­ trachtung überschauend, die Hauptergebnisse derselben zusammenstellen, so bestehen sie zuvörderst in der Wahrneh­ mung, daß die hochgeachtete Mathesis der Griechen, wel­ che ihre Propädeutik der Philosophie ausmachte,

eine

Eeistesbiscipltn war, die sich der raumanschaulichen Lch-

b) i) «st, die man nicht kennt, und daö, woraus der Schluß und die Zwischensätze (*« zusammengesetzt find, auch nicht kennt, wer wird behaup­ ten, daß eine solche Zusammenstellung i/AcXc-y.«) je eine philosophische Wissenschaft sey. -- —

Wenn wir daher bei Platon ein

Princip der Mathematik vergeblich suchen, so ist es dockwichtig zu wisse», welcher „Voraussetzungen" er sich bediente? Die vornehmsten haben wir aber bereits

(S. 54.) gesehen, nämlich allgemein: das Gleiche (t»

a

? t ,«,) und das Ungleiche (t» »sfirrs-.); für

die Ge0metrie besonders: Figuren li) Don der Rcpubl. B. 9. S. 261. 51« fxi'j bitv j vi j 1 v 5 ff 5 a /, — X 0 y 0 i

ök

«y «£atgvtsv

( vjp i X o z o -

C 5 u ) 0 p 7 a v 0 v. 0 Don dcr Republ.

und oben C. 54-

D. 7. S. 165,

Dersl. B. 6. S. 225.

E. Zweck, Einrichtung und Gebrauch.

129

und drei Arten von Winkeln (y»v) k).

Wir sehen daher, daß sich die Euklidischen so.

genannten Axiome sämmtlich nicht unter ihnen befinden, finden aber, (die speciellen auf die Geometrie bloS sich be« ziehenden abgesondert), in bratn die allgemeine Größenleh« re angehenden PlatonS:

daß Größen einander

gleich, und daß Größen einander ungleich find, eben diejenigen, welche den Euklidischen zum Grunde liegen 03.123.), mithin daß Platon ei» nen Schritt tiefer eingedrungen war, als der Der» fasser der letztem; — und nach seiner Ueberzeugung bis an die äußerste Grenze; denn er sagt a.a-O.: „man könne nicht höher hinausgehen r-p-Daraus erkennen wir zugleich, warum er im Gorgias 1) die Arithmetik „als die Kennt« niß der Lehren von Ungleichen

dem Gleichen

(t wv

re

f 9

Vorrede.

130

durch: „das, waS sich vermehren und vermin» bern läßt," so nennt man nur eine ihrer allgemeinsten Eigenschaften, gemäß welcher man von jeder Größe be­ haupten kann,

daß sie sich vermehren und ver­

mindern läßt.

Eben so könnte man auch sagen:

Größe ist da-, waS sich in's Unendliche ein­ theilen läßt u. dergl., und ist daher solche Definj» tion ünjulänglich. re,

Aber wie man auch die Größe defini-

so kommen wir durch alle aus ihr geleitete Sähe,

weil ste analytisch sind, mit unserer Erkenntniß nicht um einen Schritt weiter,

wenn wir nicht den Gegen­

stand selbst durch Vergleichung in die Gewalt un­ seres Verstandes bringen.

Die Vergleichung

tweier Subjecte aberfordert ein Prädikat, nach welchem ste geschieht (Dergleichungsbegriff). Ein solches Prädikat

der

aber nichts anderes ftyn,

als wieder Größe (*-c*>,-

t

reinen Größe kann

>j s ni), d. h. daß ste eine gewisse Größe hat oder

groß ist.

(Daher ist auch das Wort Größe in so

fern wir jedes Eigenschaftswort, als Güte, Härterc. nur im Singular gebräuchlich). Größen

Wir können daher

nur nach ihrer Größe (^«,-«)

vergleichen und die Größe der einen durch die Größe der andern bestimmen.

Die Bestimmung eines Gegenstandes

durch sein Prädikat aber ist der Form nach dem Satze des jwischen

zwei widersprechenden Vor.

stellungen ausgeschlossenen dritten unter­ worfen, dessen allgemeine Formel ist: Einem Dinge

m) Die griechischen Namen ftnd von Ariftvtcl ti entlchnt-

E. Zweck, Einrichtung und Gebrauch.

131

A mug paS Prädikat eine- andern B entweder zukommen oder nicht; ein drittes ist ummögsich. Dieser Satz auf Größen angewendet, heißt daher: Eine Größe A muß die Größe einer an­ dern B entweder haben oder nicht, mit andern Worten: A muß B entweder gleich oder un­ gleich seyn. So habe« wir den Satz, welcher aslen obigen Forderungen Gnüge thut, und alS ein wirk­ liches Axiom gleichsam die Spitze unserer Wissenschaft ausmacht. — Wie nahe Platon und wie der Verfasser der Euklidischen Grundsätze dabei war, steht ein Jeder selbst. Wie flch nun von diesem Satze aus die Arichmetik systematisch entfaltet, Irtgt die unten S. 145. beigefügte Uebersicht des Inhalt- derselben, so weit nls dieser Lehr­ gang führt, welcher das System der Wissenschaft einfach bis zur Grenze menschlicher Erkenntniß entwickelt (§. >88.), wozu nichts, als hin und wieder einzelne Bemerkungen nöthig zu seyn scheinen. — Daß in der ersten Abthei­ lung des ersten Abschnitts blos dir Hauptlehrm abgesondert und in voraus entwickelt «erden, mithin jene gleichsam den Grundbau der ganzen Wissenschaft ent­ hält, ist, wiewohl eS vielleicht auf den ersten Blick be­ fremden mag, für die gründliche Einstcht in das Wesen der Wissenschaft, und daher für den Unterricht in dieser für unsern Zweck nützlicher und nöthiger, als in andern, t- D. in der Geschichte, wo man es einstimmig für uner­ läßlich hält, den Schüler mit den Hauplperiodrn, gleich, sam Hauptakten des großen Schauspiels der Weltbegeben« heilen, voraus bekannt zu machen, um daran die an9 (»)

13»

Vorrede.

betn ju reihen. Ist eS erlaubt, den Unterricht in der Geschichte mit der Ausarbeitung eine- Gemäldes zu ver­ gleichen , in welchem man vor allen diejenigen Gegenstä«, de, welche im Vordergründe stehen, an ihrem Orte dar­ zustellen pflegt, und an diese die weniger wichtigen fich anschließen läßt; so gleicht jene einer Ueberschauung der Hauptgegenstände unserer Wissenschaft von einem erhabenen Standpunkte innerhalb ihres Gebiete- aus. Wenn aber solcher Grundbau, wie die Karte eines Lan­ des, dem Bewußtseyn de- Jünglings lichtvoll vorschwebt, so wird er, vertraut mit der Oekonomie der Wissenschaft, bei jedem Schritte, den er in ihrem Gebiete vorwärts thut, stch deutlich bewußt seyn, wo er fich befindet, wieviel zurück gelegt und wieviel noch zu durchwandern ist. — Die Wichtigkeit dieses Vor­ theils scheinen auch bereits frühere Mathematiker erwogen zuhaben, namentlich Hausen, Kästner-Lehrer, dessen Elementen n) fich ebenfalls eine Ueberficht der Haupt« gegenstände vorgesetzt findet. — Unnöthige.Abweichun­ gen von dem gewöhnlichen, habe ich mir nie erlaubt, und über nöthige geben die untergesetzten Roten an ihren Or­ ten Rechenschaft. Wiewohl die C o m b i n a t i o n 6 l e h re nicht eigentlich der Mathematik, sondern einer allge­ meinen Methodik angehört, so ist doch um ihrer An­ wendung willen in der Mathematik, eine systematische Entwickelung ihrer Hauptgefetze nöthig und zwar vor­ der Theorie der systematisch, gedachten Zahlen, weil diese jene schon erfordert. Das Selbstauffinden ihrer Gesetze n) Element! matheeeou «uct. Chr. Aug. Hauten. Lips.

*734. 4 k. I.

E. Zweck, Einrichtung und Gebrauch.

133

gewährt überdieß eine sehr nützliche Uebung der Urtheils» kraft, welche ju den Abstrahirm der Regeln im folgenden Abschnitte vorbereitet. — Daß die Decimalbrüche oder dekadische Zahlen fallender Ordnungen nicht wie gewöhnlich der Lehre von den gebrochenen Zahlen, welche der von den Verhältnissen angehört, folgt, sondern mit den dekadischen Zahlen steigender Ordnungen zugleich abgehandelt sind, weil in ihnen ebendieselben Gesetze wal« ten, wie dieß auch schon von Gegner in seinen Sorte« sungen geschehen ist» desgleichen daß die kehre von den Brüchen hier erst nach dexBetrachtung der Verhält« Nisse kommt, durch welche jene erst Licht erhält und dem Schüler verdaulich wird, — an welchem Ort sie auch der verdiente Methodiker Wolf verwieß, — könnte weiter keine Bemerkung veranlassen, als daß man sich wundern muß, daß spatere Mathematiker von der na» türlichen Anordenung der Sachen, die ihnen Geg­ ner und W 0 l f gegeben hatten, wieder abgewichen find. — Oie Zahlbezeichnung der Griechen (§. 70.) und ihre Rechnungsweisen sind beigefügt, weil sie jedem Studi» rendea interessant seyn müssen, nicht blos dem Mathema» tiker, sondern auch jedem, der sich mit dem klassischen Alterthume beschäftiget. Weil sie jedoch manchem Lehrer nicht wesentlich scheinen möchten, so befinden sie sich bloö in den Noten. Dazu kommt noch ein Geschenk deS ver­ ehrten Herrn Hofrath Böttiger, an dessen unermeßli­ chen Reichthum der Kenntniß des Alterthums ich mich einst wendete, als meine Nachforschungen über die RechnungSweisen der Römer immer vergeblich waren.

154

Vorrede.

Glücklicher alS Benjenberg o) erhielt ich von ihm mit gewohnter Biederkeit diel gelehrte Abhandlung, wel­ che hier am Schlüsse beigefügt ist. — Um aber durch dieses Buch den oben S- m. ange« .deuteten Zweck zu erreichen, daß die Mathematik zugleich dem Verstände eine kräftige Uebung in logischen Denken und Selbstfinden der Wahrheiten derselben gewähre, sind nicht allein Sätze mit Sätzen verbunden und auf natürliche Weise aus diesen die neuen schließend abgeleitet, son­ dern eS ist auch von dem Buche ein zweiter Abdruck ge­ macht, in welchem alle Schlußsätze, so weit sie sich in diesem mit „ — " ausgezeichnet finden, nebst allen No­ ten, > ausgelassen sind und in derselben DerlagShandlung unter dem Titel erschienen: Anleitung zum Selbstfinden der reinen Mathesis nach Platonischer Weise rc. welche, um ganze Classen auf einmal zu beschäftigen, je# der Schüler in die Hände bekommen muß; und indem ich über die heuristische Ilehrweise überhaupt nur auf die vortreffliche Vorrede zu verweisen brauche, welche Herr Schulrath Matthias den Erläuterun­ gen zu seinem Leitfadenrc. vorgesetzt hat, sind 3) über den Gebrauch des gegenwärtigenTheio) Dieser, al6 praktischer Geometer und durch seine Versuch« über die Gesetze beS g«Ue, berühmte Makbcmarlkcr eriählt nämlich tn seinen Briefen über die, S «weit (Tb. 2. S- 367.), daß er einß von dem Homeriden D. auf die Frage nach der Rechnimgsiveise der Allen die Adferugung bekommen habe: „ bei den Dichter kommen keine arithme­ tischen Aufgaben vor."

E.

Zweck, Einrichtung und Gebrauch.

les beim Unterrichte

155

nur noch einigt Bemerkungen nö­

thig. Was in diesem Buche bei dessen Ausarbeitung mir die Deutlichkeit das erste, die Kürze das zweite Gesetz war, dem Schüler selbst zu finden überlassen ist, find theils Wahrheiten, welche als Schlüsse aus den in jedem §. aufgestellten Sätzen folgen, öfter- aber Re­ geln, zu deren Ableitung jeder Zeit ein Schema ti\ Zahlen und Buchstaben vorhergeht, und bisweilen allgemeine Zeichenformcln für Regeln/ damit die Uebung all­ seitig sey.

Die Ueberschriften der §§. dienen nicht

blos zur Erleichterung des Nachschlagen- in dem Buche, sondern haben auch den Nutzen, daß sie dem Schüler in voran- andeuten, was er in jedem §. zu finden hat. Der Gang des Unterrichts aber ist dieser: ein aufgerufe­ ner Schüler liefet einen §., so weit er in seinem Buche sieht, mit Aufmerksamkeit und laut vor.

Ob er den

Sinn desselben deutlich erfaßt habe, kann sich der Lehrer bald durch Fragen darüber überzeugen.

Bisweilen wird

jener sogleich nach dem Durchlesen die sich ergebende Wahrheit so bündig, wie es seyn muß, aussprechen, bis­ weilen aber wird der Lehrer durch zweckmäßige Erinne­ rungen zu Hülfe komyien müssen; denn das zu Findende ist so abgebrochen, daß auch die besten Köpfe Beschäfti­ gung haben.

Ist

der Satz oder Regel nicht richtig oder

nicht bündig genug ausgedrückt, so kann man einen an­ dern Schüler darüber urtheilen lassen und nach Befinden die Bestimmungen beider einem dritten zur Entscheidung vorlegen, wodurch nicht nur die Schüler in beständiger Aufmerksamkeit und die Urtheilskraft derselben in steter

136

Vorrede.

Thätigkeit erhalten wird, sondern auch unter ihnen ein Wetteifer entsteht, welcher den übrigen selbst ein Leben einhaucht, das man mehr ju bejügeln, als anzuregen nöthig hat; wiewohl man sich deshalb dennoch ande­ rer, die Nacheiferung fördernder, in wöchentlichen Censu­ ren, Auszeichnungen und Belohnungen re. bestehenden Mitteln, wenn fit nöthig find, bedienen kann- — Ist eine Wahrheit richtig gefunden und bündig in Worte ge­ faßt, so ist nöthig» daß sie alle Schüler vollständig nie­ derschreiben, entweder sogleich in Gegenwart des Leh­ rers, oder-, wenn die Schüler keiner Nachhülfe mehr be­ dürfen, außer der Stunde, als Privatarbeit. Welche Don beiden Weisen zweckmäßiger sey, hängt von mehrern Umständen ab. Dazu muß sich aber jeder Schüler entwe­ der sein Buch mit Echreibepapier durchschießen las­ sen, oder ein Heft dazu halten, worin er die gefundenen Wahrheiten, oder wenn der Lehrer auch aus den Noten noch etwas mitzutheilen für gut befindet, einschreibt. Diese Hefte aber müssen alle Wochen von dem Lehrer durchgesehen und das Unrichtige, Unbestimmte und Man­ gelhafte nicht corrigirt, sondern angestrichcn und auf diejenigen §§. zurückgewiesen «erden, aus welchen es der Schüler selbst berichtigen kann. Ein solches Heft wird dann eine ordnungsvolle Sammlung von Wahr­ heiten, Regeln und Formeln, welche mithin das Wesent­ lichste in compendiöser Kürze enthält, und welches insbe­ sondere der angehende Praktiker bei allen Wanderungen wie einen begleitenden Rathgeber in der Tasche bei sich fähren kann. Ob die Grundbegriffe, welche die Einlei-

E. Zweck, Einrichtung und Gebrauch,

tuug (§. » — so.) enthält,

vyj

fokratifch entwickelt

werden können» oder ob ein akro amatischer Dortrag derselben in der Ordnung, welche der natürliche Gang der Untersuchung giebt, oder auch eine jweckmößige Ver­ bindung beider Lehrarten anwendbar und nützlicher sey, muß nach den Umständen entschieden werden. Die erstere scheint beim Privatunterrichte, beim öffentli­ chen aber die letztere den Vorzug zu verdienen. Bei bei­ den ist zur vollkommensten Deutlichkeit Erläuterung durch schematische Beispiele nöthig, wovon die beigefügte Xw pfertafel die vornehmsten enthält. Sollte es Lehrer ge­ ben, welche eine so tiefe Erörterung der Grundbegriffe für unnöthig oder für daS Jünglingsalter noch zu schwer halten, so steht es ihnen stets frei, fie anfangs nur oben­ hin zu berühren und dann gelegentlich gründlicher darauf einzugehen.

Wenn §• iß. einer größer» Ausführung wür­

dig ist» um das junge Gemüth den unermeßlichen Nutzen beherzigen zu lassen, welchen die Mathematik auf die Kul­ tur des Menschengeschlrchts in aller Hinsicht gehabt hat, und um die möglichst größte Achtung in ihm zu erwecken, so kann dagegen der Entwurf der Geschichte derselben (§. 19 — so.) hier vielleicht ganz überschlagen oder bloS durchgelesen, und am Ende deS Lehrganges nach Maaßgabe der noch übrigen Zeit erörtert werden. Der erste Abschnitt macht gewissermaaßcn schon für fich einen Lehrgang auS. In Anstalten, wo in 4 Classen die Mathematik getrieben wirb, kann man mit ihm schon in der dritten von oben beginnen.

So wie die allgemei­

ne Größenlchre durchaus mit Raumanschauungen zu begleiten ist, so ist es nützlicher, die Natur der Kubic-

Vorrede.

i38

zahl anstatt durch bloße Zeichnung, wie in Srgners Vor« s-sungen, an einem auS Holz gebildeten und aus 8, oder

27,

ober 6+ kleinen Kubis bestehenden Kubus darzulegen.

Die §§. 41 — 44. haben bloS die Absicht, den Lernenden mit dem Wesen der Potenzen rc. in einfachster Gestalt be­ kannt zu machen, um dann die Bildung eines Zahlensy­ stems gründlich zu verstehen. — Die Combinations­ lehre, deren sich schon die Griechen bedient haben p), nöthiget bei der Findung ihrer Gesetze sich schon der in der Größenlehre entwickelten Operationen zu bedienen, indem die Combination der Addition, die Permutation der Mul­ tiplikation, bedient.

die Variation endlich der Potenzirung sich

Die S. 97 rc. angefügten Tafeln sind in dem

Auszüge für den Schüler weggelassen, weil er sie, jede an ihrem Orte, selbst entwerfen soll, wozu H. 43. und Z z. Schemata gegeben sinp.

Zu §. 56. kann man mehr Bei«

spiele sinnreicher Versetzungen lesen,

besonders iit Leib-

nitii Comment, de Complexionibue.

Opp. ed. Da-

teils. Vol. II. P. II. Der zweite und dritte Abschnitt fordern die Abstrak­ tion der Regeln von einfachern und leichtern zu zusammengesetztern, wie es die Materie giebt, fortschreitend zu ihrer Erleichterung sind Beispiele mit Ziffern und Buch. stabengerippe als allgememe Schemata hingestellt.

Daß

erstere vorausgehen, gründet sich auf die vielfältige Er­ fahrung, daß junge Leute ihre Einsicht in die Sache durch die schon gewohnten Ziffern weit leichter gefördert finden, als durch die Buchstabenbezeichnung; letztere aber, welche

p) Anacharsis gleisen een Barlheleniy, übers, ton Bic.stcr. Th. 2. 2».

E. Zweck, Einrichtung und Gebrauch.

159

an diesem Orte keineswegs von dem Schüler gerechnet werden sollen, können unten §. 160 — 163., wo diese Duchstabenfei emata in hellerem Lichte erscheinen. noch­ mals verglichen werden.

Die §. 73. k. in den Noten

erwähnten Deutungen mancher Zahlen Schüler historisch bekannt machen,

kann man dem

mehr warnend als

lehrend, damit wir nicht mehr „mathematisch? Philosophien" bekommen. —

Von der Rechnung

mit benannten Zahlen, so wie von der Regel de tri, steht für jeden Fall nur ein Beispiel, indem auf dir rmpfohlnen Exempclbücher verwießen ist; dazu aber ein Der« jeichniß der vornehmsten Maaße und Gewichte, aus Nel­ ken b reche rs Taschenbuche, utt Ausl. Berl. igrz., geschöpft, am Schluffe beigefügt, weil ein solches in je­ nen meistens fehlt.

Da junge Leute immer in Beispielen,

wie fit im praktischen Leben vorkomme«, geübt werden müssen»so scheint eS am zweckmäßigsten, von einer Stun­ de ;ur andern eine gewisse Anzahl derselben aus jenen Bü­ chern zur Privatübung aufzugeben.

Ueberdieß ist es nütz­

lich, nicht nur nach Beendigung jeder Stunde über die durch­ gegangenen §§. Fragen zu diktiren, welche jeder Schüler schriftlich und wo möglich im Zusammenhange beantwor­ ten must, sondern auch nach Vollendung eines Abschnitts, oder nur eines Theils desselben, nach Ableitung der vor­ gesetzten Jnhaltsanzeige, eine gedrängte aber zusammenhängende Darstellung der Sachen machen zulassen, wodurch der Schüler deS Stoffes Herr und Meister wird und welche ihm das weitere Vordringe» erleichtert und dazu anreizt.

Um recht verstanden zu werden nur ein kur­

zes Beispiel.

Es diene dazu der Anfangs des zweiten

i4o Vorrede. E. Zweck/ Einrichtung u. Gebrauch. Abschnitts: „Dir Zahlen (H. 6z.), welche man mit gewissen Zeichen (Ziffern, §. 66.) zu bezeichnen pflegt, muß der menschliche Verstand nach Ordnungen den­ ken (§. 67.), welchen so geordneten Zahlenbau man ein Zahlensystem (§.6g.) nennt.

Die Ordnungen

aber können nach zweierlei Richtungen gehen, d. i. stei­ gend und fallend seyn (§. 69.), und werden nach der Grundzahl des Systems genannt;

die Zahlen der erster»

Art ganze» die der letztem Brücher als im dekadischen jene ganze Decimalzahlen, diese Derimalbrüche (§ 70.).

Zwischen den Ordnungszahlen be-

finden sich daher eine gewisse Anzahl Zahlen (Zwischenzahlen, §. 7».), welche durch ihre Stelle ihre Bedeu­ tung bekommen.

DaS Einordnen der Zahlen nennt man

Numeriren (§.72.).

Betrachtet man nun einen sol­

chen Zahlenbau (System) nach seiner Fügung, so erkennt man sie wie auS gewissen Stammzahlen (§. 72.) oder Primzahlen (§. 74) gleichsam entsprossen, unter welchen 5 (§- 75 ) dir merkwürdigste ist. " — Indem ich noch um gütige Nachficht gegen die wenigen Druckfehler, welche sich aller Sorgfalt ungeachtet einge­ schlichen haben, so wie gegen etwaige Mängel zu bitten habe, schließe ich mit dem Wunsche, bald eine gründliche Beurtheilung meines Unternehmens zu sehen, alS Freund der Wahrheit zugleich versichernd, daß ich gerechten und freundlichen Tadel als Belehrung und mit Dan­ ke empfangen werde, ungerechtem und inhumanem aber be­ gegnen zn müssen nicht fürchtend.

Geschrieben zu Dres­

den im Octobrr,gi6.

Der Verfasser.

Ueber die Abbildung einer alten Rechentafel. Zu Z. 7-.

Um die Rechentafeln der Griechen und Römer genauer kennen zu lernen und zu ersehen, was sie eigentlich unter calculoe ponere, ducere etc.

»erstehen, mästen bildliche Vorstellungen zu Rathe gezogen werden. Der Obrrtheil eines marmornen Sarkophags im Capitolinischen Museum bietet unS die deutlichste Ab^ bildung a). Die ganze Vorstellung giebt unS eine der Familicnfcrnrn, die so oft auf römischen Sarkophagendeckeln vorkommen. Der Hausvater wird beim Eastmale an der Tafel liegend gedacht. Denn das Bett, auf wel­ chem er ausgestreckt da liegt, muß als ein Tischbett, le. ctus tricliniaria, angenommen werden. Daher auch die leichte, in jedem andern Falle unrömischr Bekleidung, da ihm das Gewand nur den Unterleib und die Füße be») Muiei Capitolini Tom, IV. continens marmora an*glj-pha, Tab. XX.

142 Ueber die Abbildung einer alten Rechentafel. deckt b). Er trägt also back leichte Gewand, das man um sich warf, um in der twanglosesten Bequemlichkeit sich den Tafelfreuden ju überlassen, und von dem ernster» Römer, welcher diese Sitte wohl erst von den lebenslusti­ gern und weichlichem Griechen angenommen hatte, mit ei­ nem griechischen Worte aynthesis genannt wurde. Der römische Hausherr ist also hier, um den eigentlichen Aus­ druck |u brauchen, eyitthesinatus. Ihm zur Sei­ te sitzt die Hausfrau nach alter römischer Ehrbarkeit-sitte, wo aus leichtbcgreiflichtn Ursachen die Accubation mit den Männern für ehrbare Frauen als unanständig galt e). Der Kopfputz dieser sitzenden Matrone erin­ nert an die Mode, wie sie unter den Flaviern und deren nächsten Nachfolgern bei Kaiserinuen und vornehmen Rö­ merinnen in Düsten und Münzen oft vorkommt und in Juvenalö berüchtigtem Misogyn, der sechsten Satire, so scharf gejüchliget wird d). Wir können dargus auf daS Zeitalter schließen, in welches dieser Sarkophag gesetzt werden kann e). Es ist übrigens sehr gewöhnlich, daß auf Sarkophagm Hausfrauen neben dem Hausherrn so sitzend gefunden werden. Die Römer scheinen diese Vor­ stellung von den Bcgräbnißmarmorn der Griechen ent, lehnt und oft nachgeahmt zu haben f). Am Ende dieses Tischblattes, ju den Füßen des liegenden Hausherrn, steht eine kleine männliche Figur (ist es ein Sohn dieseb) S.Zorga tu den Bassi Rilievi. T. I. p. 4a. c) Feminae cum viril cubantibus sedentes coenitabant. Valerius Maximus II. l. 2. vergl. zu Sueton Aug. c. 65.

d) Juvenal VI. 502. StatiuS nennt cd suggestum comae. Sylv. I. r. 114., ein dvchaufgelhürmteS Loupcc. e) S. (Sdbel doctriiia Num. Vet. Vol. VI. p. 521. f) Marmor. Oxoniens. n. 142. gocgö Baasi Rilievi n. Xi. 11. xxxvi. mit Dem in Den Anmerkungen mitten Mar­ mor. T. I. p. 43. not. 5.

Ueber die Abbildung einer alten Rechentafel. 145

Ehepaars, ist ti ein Sclave, dieß mag, ohne bett Mar­ mor und die Hagre des Jünglings genau -untersucht zu haben, schwerlich bestimmt werden), der in der Linken ei­ ne länglichtviereckte Tafel, die lange schmale Seite nach der Brust zugekehrt, hält, und mit der Siechten auf die darauf reihenweise gelegten Rechenstnne (calculos, * calculus) zur Gnüge beweißt. Es leidet aber keinen Zweifel, daß man sich später auch andere Surrogate statt der unbequemen Kieselsteinchen bediente und ganz eigentliche Rechenpfenni­ ge (aera, jettons) hatte, der berüchtigten Lupinen gar nicht zu gedenken, die wohl eben so gut zum Rechnen, als zu Theatermünzen sich bequemten. Diese Asse oder q) S. Wyttenbach Animadversiones in Plut. Apophtli. Reg. p. 174. B. T. II. p. 1047. der OctavauSgabe.

O Man nennt dieß im Allgemeinen die Formen ponere ) disponere,

calculorum ratio. Nun ducere calculos , ducere

(subtrSdiken) , calculos, obseiVatt. II, 10. pag. 221. etc.

rationein , subduccre , deducere Tationein,

s.

GrvNVV

Ruhnken |U Ztxeni Adelph. V, 4. 1. Dader riStva, und für suwmiren, ansetzen. S. HemsterhuyS ru Lucion T. I. p.340. Dalkenaer zuThcokritSAdoniaz. p. 241. Zu bemerken ist, daß putare mit seinen compositis, com« putare, exputare u- s w. eigentlich von der Fingerrechnung, ducere, 0011 der Rechnung mit Rechcnsteinen zu verstehen ist, obgleich der verstümmelte DonatuS zu Terenz, Adelph. V. 4. daS Gegentheil sagt, ponere

Ueber die Abbildung einer alten Rechentafel, 147 Kupfermünzen nun (denn hier beim Rechnen bloße Mar­ ken ober jettona anzunehmen, berechtiget uns keine Stel­ le des Alterthums a), trugen die Knaben, die vor allen genaue Rechner zu werden sich bestreben mußten, in eige­ nen Kästchen mit Fachwerke, wie andere Münzen, und das find die loculi. die man doch nie mitBeutel über­ setzen sollte. Daher die bei Horaz zweimal gelesene Stel, le von der damaligen ächt-arithmetischen Pädagogik der Schulknaben in Rom und in den Provinzialsiadten, rech che Horaz schildert, wie sie zum Rechenmeister gehen: Links am Arme die Beutel gehängt und die ziffernden Täflein t). Es würde, wenn man hier auf die Dilderjagd ge­ hen und alte Denkmähler in Menge vergleichen wollte, so schwer nicht seyn, noch mehrere Abbildungen dieser und ähnlicher Rechentafeln aufzufinden. Wir erinnern uns, auf den Abbildungen eines geschnittenen Steins, den Millin in Kupfer stechen ließ, einen Mathematiker in der spätem Alexandnnisch - römischen Bedeutung, das heißt einen Sterndeuter, Astrologen, gesehen zu haben, der eine solche Rechentafel, um seine Ephemeriden zu be­ richtigen und den Heroscop zu stellen, in der Hand hält. Ja, es dürfte nicht so ungereimt seyn, als es aussieht, m dem bekannten Relief in der Villa Albani, welches das Magazin eines Fleischhändlers vorstellt, mitten unk) Daß e< dergleichen gegeben habe, wird niemand bezweifeln, wer die Abhandlung »on Sperling u. andern, die Eckhcl in den prolegomenis p. xui. anführt, genau prüft. Scheu die goldenen Denare in TrimalchioS Brerspiel, Petron. c. 33- p- 129, Burm., führen dahin. l) La ovo suspensi loculos. tabulamque lacerto Satir. l 6. 7g. nach Deß Uebersetzung. Herndorf (S. 15») hat die loculor richtig gegen Ge ßner von Kapseln erklärt, cb gleich die Rechentafeln gewiß auch Einschnitte halten» wie et­ wa unsere Münttadlettcn.

i48 Ueber dke Abbildung einer alten Rechentafel. tkk den Fleisch« und MundvorrZthen, die da hängen, auch daS Rechenbret zu erblicken, mit den zum Setzen der Rechensteine ringefchnittenen Vertiefungen u). n) ©. Zoega's Bassi Rilievi n. 2g. Ivega, der hier nur den Mvrelli abschrieb CT. I. p. >32.), hat dieß ,u «berfitchlich abgefertigt.

Dresden, den 1. Oktober ig,6. Böttiger.,

Inhalt Einleitung. Begriffe, welche die Mathefis voraussetzt§. 1 — SO.

Von den Dingen der Natur. §. 1. Qualität und Quantität. §. 2. a) Qualität. §. 3. Homogen und hetrogen. §. 4. b) Quantität. §. 5. Positiv und negativ. §. 6. Größe. §.7. Gleich und ungleich. §. g. Stetig u. unstetig, tz. 9. Endlich und unendlich. §. 10. Zeit und Raum. §. 11. Mathematik. §. iz.

Reine Größe. Z. is. reine. Z. »4.

angewandte

§- i5.

Evidenz. §. 16.

Heuristik. §. 17.

Nutzen derselb. §. >g.

Geschichte der Mathematik. §. 19 — so.

Erster Theil.

Die Arithmetik.

Don dem Denken der Größen, Zahlen und VerhältnisseErster Abschnitt. Von den Größen. §. 21 — 63. Einleitung. §.21.

i5o

Inhalt.

A. Größenlehre§.--—45.

Don dem Denken der Größen.

i) Vergleichung zweier und mehrerer Größen. §. Ganzes und Theil. §. 23. durch einander bedingt. §. 24. Addition und Subtraktion. §. 25. §. 26.

Differenzbeziehung.

Gleiche- mit Gleichem addirt und fubtrahirt. §! 27. ») Griße als Maaß und Vielfache derselben (Zah« l e n). §. 2ß. Gemeinschaftliches Maaß. §. 29. Commensurabel und inkommensurabel. §. 3a. Multiplikation und Division. §. 31. Regeln. §. 32. Gleiches mit Gleichem multiplikirt und dividirt. §. 33. Summen und Differenzen multiplikirt u. dividirt. §. 34. Coeffirienten. §. 35. Ganze Zahl und Bruch. §. 36. Verhältniß. §. 37. Rational und irrational. §. 3g. Name oder Exponent. §. 39.

Proportion. §. 40.

3) Verhältniß als Maaß und Vielfache dessel» ben (Potenzen). §. 41 — 44. Pdtenzem §. 4». Wurzeln. §. 43. Derhältnißzahlen oder Logarithmen. §. 44. Schluß, (Uebersicht der ganzen Betrachtung). §. 45. B. Combination-lehre. Syntaktik. §.46—63. Einleitung. §. 46. Verbindungsarten. §. 47. 1) Verbindung (Combinatio). §. 4g. Ihre Gesetze. -. 49 — 54.

a) ohne Wiederholungen. §.49 — 51. b) mit Wiederholungen. §. 52 — 54.

e) Versitzung (petmutaiio). §. 55. Zhr« Gesetze. §.56 — 57. a) ohne Wiederholungen. §. 56. b) mit Wiederholungen. §. 57. 3) Versetzung eilte Verbindungen (Varia­ tion Ihre Gesetze. §. 58 — 61* a) ohne Wiederholungen. Z. Zg. b) mit Wiederholungen. §. 59 — 61« Geschichte der Combinativnslehre. §. 62 — 6z.

Zweiter Abschnitt. Äon den Vielfachen der Grö­ ßen oder von den Zahlen. §. 64— 136. Einleitung. Z. 64. A. Don den Zahlen in Beziehung ans ihre Einheit. §. 65 — 97. 1) Don den Zahlen an sich. §.65 — 76. Denken der Zahlen. §. 65, fern). §. 66.

Ihr« Bezeichnung (Zif­

Zahlenordnung, §. 67. Zahlensystem. §. 6g. Steigende und fallende Ordnungen. §. 69. Decima^ahlen steigender und fallender Ordnun­ gen (Deeimalbrüche). §. 70. Numeriren. §. 71. Stammzahlen. §. 73. Primzahlen. §.74. Fünf. §. 75. Neun. §. 76. 2) Rechnung mit Decimalzahlen. §.77 — 97. a) Addition der Decimalzahlen. §. 77. b) Subtraktion der Decimalzahlen. §. 7g. Allgemeine Formen der Addition und Subtrak­ tion §. 7g.

Inhalt.

158

Allgemein« Formen benannter Zahlen. §. go. c) Multiplication der Decimalzahlen. §. gr — 87. >) der Haupt» ahlen- §. 8>. 2) zusammengesetzter. §.32. 3) der Ordnungszahlen- Z. 33. 4) nach Ordnungen zusammengesetzter Zahlen. §. 84«) ganzer Decimalrahlen mit ganzen. §. 85.

ß) der Decimalbrüche mit Decimalbrüchen. §. 36. 7) der Decimalbrüche mit ganzen und umgekehrt. § 87.

d) Division der Decimaljahlen. §.86 — 94. 1) der Hauptzahlea. §. 33. 2) zusammengesetzter überhaupt- §-89. 3) der Ordnungszahlen, j. 90. 4) nach Ordnungen zusammengesetzter §.91. «) ganzer durch ganze. §. 92. ß) Decimalbrüche durch Decimalbrüche. §. 93.

7) Decimalbrüche durch ganze u. umgekehrt. §. 94. Fortgesetzte Division (inkommensu­ rabel) §.95. Multiplication und Division mit benannten Zahlen.

§.96. Rechnungsvortheiie mit einigen Zahlen. §. 97.

B. Don den Zahlen in Bejiehvng auf andere oder ihrem Verhältnisse. §. 98 — »36. Einleitung. §. 98. 1) Don

den Gliedern

der Verhältnisse.

§. 99. a) Ein Verhältniß. §. 100 — 103. Größe des Verhältnisses durch die Glieder. §. 100. Veränderung der Glieder durch die Rechenopera­ tionen. §. 101 — 102.

Inhalt.

153

Bedingung des Gleichbleibet der Verhältnisse.

§. >oz. b) Verhältnisse. §. 104— 113. Vergleichung zweier Verhältnisse nach dem Grund­ sätze der Grißenlehre. §. 104. Gleiche Verhältnisse oder Proportion. §. 105. Versetzung der Glieder derselben. §. 106 —107. Vierte Proportionalgr-ße. §. 10g. Regel de tri. §. 109. §. 110

Fälle ihrer Anwendung.

m.

Anwendung der Rechnungsoperationen auf die Gliederder Proportionen. §.112—115. c) Proportionen. 1) gleiche. §. 116 — ug.

») mit ebendenselben Vorder - und Hintergliedern $. >6. ß) mit wechselnd ebendenselben Vorder - und Hintrrgliedern. (. »>77) mit einerlei äußern und innern Gliedern. §.>>8. 2) ungleiche. §. 119 — iao.

«0 mit andern verbundene und ß) getrennte. §. 119. Verbindung der Proportionen mit sich selbst. §. 120. Stetige Proportion. §. isi. Fortsetzung dersel­ ben (Derhältnißreihe).

») Lin Glied derselben |u bestimmen- §. 12g. b) Summe derselben. Z. 124. 2) Don den Werthen der Verhältnisse oder Brüchen, tz. 125 — 136. Einleitung. §. 125.

«) Don de» Faktoren der Brüche. §. 126 — 154. 1) Vergrößerung und Verkleinerung derselben. §. 126. «) «ineS Faktors. $. 127.

Inhalt.

154

p) beider Faktoren. §. 123. 1) Brüche auf andere Renner. Z. 129. 2) Brüche aufgehoben (reducirt). §. 130. 3) Brüche |u einerlei Benennung gebracht. Z. iz». Brüche in Decimalbrüche verwandelt- §.132. Pe­ rioden der Decimalbrüche. Z. >zz. Decimalbrüche in gewöhnliche verwandelt. §■ 13* b) Rechnung mit Brüchen. §. 135. 1) Addition und Subtraktion. Z- »55. 2) Rlultiplicalivn und Division. Z. 136.

Dritter Abschnitt. Don den Vielfachen der Ver­ hältnisse. §.139—159. Einleitung. §. 137A. Don den Potenzen und Wurzeln. §. 1Z6 — >7>. 1) Von den Potenzen und Wurzeln an sich,

§. 150 — 159. a) Betrachtung der Potenzen. §. >39 — 149. 1) der ersten Porenl- §. 1592) der »weiten Potenz (Quebtatl«bD- §. 140. ->) einfacher Zahlen. p) zweilheiligcr Zahlen. 7) dreitheiliger Zahlen. §. 14». L) vierlheiliger Zahlen. §. 142. 5) der dritten Potenz (Kubiczahl). Z. i-w «) einfacher Zahlen, p) zweirheiliger Zahlen. 7) dreitheiliger Zahlen. Binomium. §. 144. 4) der nten Potenz »weitheiliger Zahlen. §.

145.

Binominalcoefstcieoten. §. >46. ben. 147.

Abkünung dersel­

Inhalt.

155

Bestimmung jedes Bestandtheils außer der Reihe. §.

148-

Geschichte der Binvminalcoesficienten. §. 149.

b) Betrachtung der Wurzeln. Z. 150 — 154. O Grundzahl. 2) Quadratwurzel. §. 150 — 154. «) einfacher Zahlen. §. 150. fi) zweitheiliger Zahlen. Ihre Kennzeichen. §.151Ausziehung. §. 152. 7) dreiteiliger Zahlen. §. 153. Annäherung. §• 154. 3) Kubikwurzel. §. 155. a) einfacher Zahlen. §. 155. ß) zweiteiliger Zahlen. AuSziehung derf. §• 156. 7) dreitheiliger Zahlen. §. 157. Annäherung. §. 158. 4) Allgemeines Gesetz. §. 159.

c) Rechnung mit Potenzen und Wurzeln. §. 160 — 171.

a) mit Potenzen. §. 160 — 165. O Addition. §. 161. O Subtraktion. 5) Multiplicarion. §. 162. 4) Division. §. i6ß. 5) Porenziren. j. 164. 6) Depotcnziren. §. 165.

b) mit Wurzeln. §. 166 — 171 1) Addition. 167. 2) Subrracrion. 5) Multiplikation. §. 163. 4") Division. §. 169. 5") Porenziren. §. 171. 6) Dtpvtenjiren. §. 171-

356

B.

Inhalt.

Don

den

Verhältnißjahlea

oder

Logarithmen.

§. 172 — 187. 1) Don den Logarithmen arjv

it

l s

/u >) ,

-ravrwv

XX

>)

X

UV V

av &)Xv5azuev fx j

icri's

K c ( V Ji

,) getheilt wird. Qualität und Quantität. §. 2. Solche Betrachtung der Dinge der Natur läßt uns bald wahrnehmen, daß sie in einer zweifachen Hin­ sicht geschehen kann. Wir können a) entweder blos erkennen, von welcher Art (qua-

lis) ein Gegenstand sey, d. i. seine Eigenschaften an

l) ®. Vorrede Abschn. E, i

(2)

.i

Einleitung.

sich; z. E. bei tiittm Steine, daß er au- einem har« tot, spröden Stoffe besteht, daß er Schwere, Dichlig» feit u. f. w. hat. Diese Beschaffenheit nennt man sei­ ne Qualität (qualitative Eigenschaften); b) oder wir untersuchen, wieviel (quantum) er von einer Beschaffenheit, die er besitzt, enthält; j. E. wieviel er Schwere, oder Härte rc. hat, wieviel er Raum einnimmt rc. Dieses heißt dir Quantität desselben. Merkwürdig ist, daß nicht- Qualitatives gedacht werden kann ohne Quantität, mithin die Quantität eine nothwendige Bedingung der qualitativen Eigenschaften ist, um sie wahrzunehmen. a) Qualität. §. Z. Um dir qualitative Beschaffenheit der Dinge

wahrzunehmen, hat unS die Natur fünf Werkzeuge ver­ liehen , die wir Sinne nennen. Jeder derselben be­ herrscht gleichsam sein eigenthümliches Reich so, daß sich keiner in das deS andern mischen kann: daS Auge daS Reich der Farben, daS Ohr daS der Töne, der Geruch daS der Düfte u. f. w. Diese Werkzeuge, von den äu» ßern Eindrücken zur Thätigkeit bestimmt, setzen unser Ge­ müth in einen solchen Zustand, daß eS daS wahrgenom­ mene Aeußere gleichsam in sich findet, d.i. empfin­ det. D>e dadurch erlangte Kenntniß von den Eigen» schäften der Dinge nennt man dir Erfahrung oder empirische Erkenntniß (von welche die Physik durch künstliche Versuche noch bereichert. Homogen und heterogen. §.4. Wenn mehrere Dinge Eigenschaften mit ein an» der gemein haben, so heißen sic in so fern gleich, artig oder homogen z. B. Eisen und Kiesel, insofern beide Mineralien sind. Insofern

Begriffe, welche die Mathcsis voraussetzt.

5

sie aber von einander verschiedene Eigenschaften best« tzen, werden fit ungleichartig oder heterogen (tft?oytv«) genannt; als Eisen und Kiesel, in so fern je* nes Metall, dieser Stein ist. Merkwürdig ist, daß Din* ge, nur in so fern sie gleichartig sind, vergli­ chen, d. i. gleichgesetzt «erden können (j. E. daS Gold mit dem Eisen, in so fern beide Metalle, die Linde mit der Eiche, in so fern beide Bäume sind rc.); in so fern sie dagegen ungleichartig sind, lassen sie sich nicht vergleichen, sondern unterscheiden.

b)

Quantität.

§. 5. Alle Eigenschaften aber müssen quantitativ seyn, wenn sie erkannt «erden sollen *). Denn wenn wir sehen, daß ein Stein hart ist, so muß er ein gewisses Quantum Härte, wenn wir fühlen, daß er schwer ist. so muß er ein gewisses Quantum Schwere rc. haben. CS ist daher die Quantität eine allgemein noth­ wendige? Eigenschaft der Dinge. Hierbei ist merkwürdig, a) daß wir uns jedes Quantum als ausgedehnt vor­ stellen müssen; b) daß wir daS Quantum jeder Art größer und ge­ ringer denken können, ohne die Borstellung des Gegenfiandes selbst auftuheben; j. B- wenn wir den Stein schwerer und leichter denken, so bleibt doch die Vor­ stellung des S t e i n s als solchen unverändert. Daraus erkennen wir, daß daö Denken der Quanti­ tät einem freien Vermögen unseres Geistes angehört, welches der Verstand ist. Positiv und negativ. §. 6. Wenn wir nun für jedes Quantum die Ausdeh3) Kants Kritik der feinen Vernunft. 5te Aufl. 1799. wel«

3) Das Wort - x, welches rpn , fügen, anpas­ sen abgeleitet wird (_ Vossius de seien«, matliein. c. VI. H. >.), heißt bei den Pythagvraern sowohl Größe, als Zahl (TcnnenianS Gcsch. d. Phil. Th. ». 6.103.), und so kommt cS auch bei Platon vor. Spater unterschied man die Zahl durch einen Zusatz, als: opiS/uof ptyi^of «xu.v. Aristot, metaphys. XIII, c. 6,

Begriffe, welche die MathesiS voraussetzt«

7

Ae, wenn sie von dem positiven Quantum genommen ist, wie ab, positive» und von dem negativen Quantum, nt« gative Größe genannt wird. To ist ein zwischen s Grenzen gedachter Raum (z. E. ein Fuß,) eine Raum« große, eine zwischen s Grenzen gedachte Zeit (als eine Stunde), eine Z e i t g r ö ß e, ein Ton (c, d, rc.) eine T 0 ngröße u. s. w. Da nun im allgemeinen jede quan. titative Vorstellung eine Ausdehnung ist (§.5. a.), so ist überhaupt eine Größe eine zwischen Gren­ zen gedachte Ausdehnung. Homers. Hier muß man einen nothwendigen Unter­ schied machen zwischen den Begriffen: eine Größe seyn und Größe haben ober groß seyn. Je­ nes Worr bedeutet eine bestimmte begrenzte Ausdeh­ nung und hat einen Plural, die Grüßen; dieses, blos im Singular gebräuchlich, heißt unbestimmt blos quantitativ seyn.

Gleich und ungleich. §. g. Wenn nun Größen, wie (Fig. 3) abunb cd eine und ebendieselbe Ausdehnung oder Größe haben, so nmnt man sie gleich (aequalia, ,--) und bezeichnet sie mit — («W ab — cd), wo mithin in so fern die eine anstatt der andern gesetzt werden kann. Es heißt daher diese Beschaffenheit ihre Gleichheit (aequalitas) und die gleichgesetzten Größen eine Gleichung (aequatio). Haben aber Größen, als ab und ce ver­ schiedene Ausdehnung oder Größe, so heißen sie un« gleich (inaequalia, »»,»»), und diese Beschaffenheit die Ungleichheit'(inaequalitar), welche mit Z be­ zeichnet wird (als ab z ce). Diese Größen geben na­ türlich keine Gleichung, sondern lassen blos eine Ver« g leichung (comparatio){u, in so fern sie gleich­ artig sind (§. 4.)

a

Einleitung»

Stetig und unstetig. $. 9. Zwei Dinge kann der menschliche Verstand nicht zugleich denken, sondern er denkt sie nach einander; so auch die Grenzen einer Größe a und b. Er muß daher in den Gedanken von a za b übergehen und bei diesem Uebergangt alle Theilchen durchlaufen, welche zwischen den Grenzen a und b ununterbrochen an einander gedacht werden können. In so fern nun eine Größe in­ nerhalb ihrer Grenzen ununterbrochen zu« fammenhangend gedacht wird, nennt man sie ste­ tig (quaotum continuum); in so fern man sie aber durch die Grenzen von hem, was über diese hinaus liegt, abgeschieden denkt, unstetig oder discret (quantum discretum). So sind j. B- Raum, Zeit rc. stetig; aber ein Fuß, eine Stunde rc. diskrete Größen 4X Endlich und unendlich. §. 10. Alles was Grenzen hat, nennt man endlich (fmitum), und in so fern ist jede Größe als ein 6t« grenjtes Quantum endlich. Aber bas Denken der Grenzen (die Begrenzung) setzt voraus, daß noch et­ was Gleichartiges über denGrenzen hinaus liegt; denn wäre dieß nicht, so wäre keine Begrenzung nöthig. ,, mathcmatica) nennt. Wenn aber die Sayr einer Wissenschaft in ihre natürliche und nothwen-

Begriffe, welche die Mathests voraussetzt, si dige Ordnung gestellt systematisch und stem. Va nün dieß so ist sie in so fern schaft. An merk.

sind oder werden, so nennt man ste den Inbegriff derselben ein Sy­ bei der Mathematik geschehen kann, eine systematische Wissen­

Der griechische Name Mathematik (von

/tatSavw, ich erkenne, lerne durch Erkennen,) be­

deutet eigentlich die Hin lei tun'g zu reinen, d. i. nicht ans der Erfahrung geschöpften Erkenntnis­ sen. Da sich nun die Griechen dazu der Wissen­ schaft der Größen bedienten, fp bekam diese jenen Namen vorzugsweise. Sie brauchen dafür vier Wör­ ter: i) a s >) a c?, das Erkennen reiner Wahrhei­ ten durch eigene Selbstthätigkeit des Geistes; s)/.«Syi/x* 7 i y. sc. t«xv>) , die Kunst, die reinen Er­ kenntnisse in sich selbst zu finden, oder in andern zu erwecken; 3) r« /oiiujn, reine Wissenschaften, als Arithmetik, Geometrie ic.; 4) r« /xar,««, einzelne Lehren oder Wahrheiten derselben 7).

Reine Mathematik. §. 14. Da aber dir Größen nur mittelst jener reinen Grundvorstcllungen, der Zeit und des Raumes, oder beider zugleich, betrachtet werden können (§. 11.),, so zerfällt unsere Wissenschaft in drei Haupttheile, von welchen I. der erste von den reinen Größen an sich han­ delt und Arithmetik heißt;

II. der zweite von den Größen des Raums, Geo­ metrie

Tpi*) genannt;

III. der dritte von den Größen der Zeit und des Raums in ihrer Beziehung, oder von den Gesetzen der Bewegung, welche man Phoro« nomie (£0pcv0i*) nennt. Da nun die Vorstellungen Zeit und Raum ur-

7) S Vorrede ©. 23. u. f.

la

Einleitung.

sprüaglich in unserm Gemüthe, mithin reine Vorstellun­ gen sind (§. 12.)f so ist auch jeder dieser Haupttheile eine reine Wissenschaft, und man nennt fie jusammen reine Mathematik (math. pura)# Jeder derseben enthalt allgemeine Wahrheiten seiner Art; jedoch ist der erste in Rücksicht der andern allgemeinerer Natur, und kann in so fern allgemeine Mathe­ matik genannt werden. A n w e r k. l) k^iSfjL^riv.y\ sc. T*yvv) (von ctQiBfAC>nes um sie. S. §. 19. Mannertö Geoaläphlc. Busch Geschichte d. Erfindungen, Bd. 5. Schriften m Ersch Liter, d. Maih. C. 142. rc. 15) *H 0TT/tn) (von ©*tw, ict sehe,) handelt von den

Begriffe, welche die MathesiS voraussetzt. 15 ve "), bie Gnömonik *7), die Sta tik (fester und Strahlen des Lichts und deren Brechung. Sie theilt fich in die Katvptrik (von dem Zurückstrahlen des Lichts, Spiegeln,) und Dioptrik (von dem Durchstrahlen de6 Lichts, Fernrohren, Mikroskopen re.). Luch die Lehre von den Farben gehört darti. — Ihre ersten Grundsätze waren schon in PlatvnS Schule bekannt. (Vossius de sciemr. math. p. 10g.). Luclids vpt. Schriften können wegen ihrer Fehler nicht acht seyn. Für ein hohes Alter der Brennglaser spricht eine Stelle kn AristophaneS Wolken (Act. 2. D 764.), und im PliniuS (H. N. B. 37. f 2 ). Lrchimeds Brenn, spiegel, womit er die römische Flotte angetündet haben soll, scheint Erdichtung (Boffüiö Gesch d. Math. S. 26g. re.); jedoch wußten die Alten, daß die Sonnenstrahlen durch eine mit Wasser gefüllte Kugel entiünden (Hlin. H. N. B. 36. C. 26. B. 37- C. 6. Lactantius de iia Dei c. 10.), und daß dadurch die Schrift vergrößert wird, (Seneca quaest. nat. I. 6.). S. Busch Gesch. d Erfind. B. 2. Ss, 214. — Ob sie Brillen hatten ist ungewiß. In neuerer "Zeit haben sich vor­ züglich B. la Porta, Keppler u. and. um die Optik verdient gemacht. — Erfindung d. Zernrihre durch die Kinder eineBrillenmacherS (vermuthlich Jach. Jansen in Middelburg. S. Boffürs Gesch. d. Math. Th 2. H. 123 ); und die Spiegel, teleseope von Newton u. Gregory. Newtons Verdienste um die Farbenlehre: E. BoffütS Gesch. d. M. Th. 2. S- 404. rc. Göthe's Farbenl. — TfchirnhausenS Brennspicgcl. Entde­ ckung des Flintglases (Philos. TranSaet. 1754). Busch Ge, schichte d. Erfind. Th. 4- S. 37o. Derql KästncrS Gesch. d. Marh. Th. II. 253, IV. 53. Schriften in Ersch Literat, d. Math. S. no. 16) Diese (von perspicere, in die Ferne schauen,) handelt von der Erscheinung entfernter Gegenstände und gehört theils der Geometrie, theils der Optik an. Zu jener rechnete sie schon Aristoteles (praedicam. post. 20.). KästnerS Anfangsgr. Th. I. 5yi. D ffcn Gesch. d. Math. II. 1. rc. Für Anfänger wor, zigl. Dalencienne'S prakt. Anleit. |. P. Hof 1303. — Ersch Liter. D. Math. S. 107. 17) II JUUOVIH)) (von yvw/uuuy , ein Stift, an welchem man die Wendung der Sonne elkannte,) ist sehr hohen Al­ ters. Nach Herod0t(H. 109.) scheinen die Babylonier die Erfinder gewesen zu seyn. Die Sonnenwenden bei Homer

i6

Einleitung.

flüssiger Körper oder Hydrostatik) "), Mechanik '*), (Odyff. XV. 402.) »erden verschieden gedeutet. — Den er­ sten Sonnenzeiger ( ^xuy-Atov ) errichtete der Laldaer Berosus (Ditruv. XV. 9.); den Gnomon, d. i. einen Zeiger, den man richten konnte, erfand (nach Diogenes v. Laerte) Anaximander v. Milet (6009. Ch.). WniuS (H.N. II. 76.) läßt ebendenselben dm ersten in Sparta aufstellen. Verbesserer der Sonnenuhren und verschiedene Formen dersel­ ben nennt Ditruv. a. a. £>. — Ueber die berühmte Sonnen­ uhr, welche unter August ManliuS auf d. Campus Mart, setzen ließ, dessen Zeiger ein Obelisk war, f. PliniuS Naturgesch. B- 35. E. 10., vergl. OftettagS Abhandl. darüb. RegenSb. i?85» Martini über die Sonnenuhren d. Alten durch Denkmähler d. Alterth. erläutert. Leipz 1777. Montucl. hi•toir. d. Math. T. I, p. 715. Neue Schriften in Ersch Lit. d. math. Wiffmsch. S. 141. lß) Die Statik (4 crarmii SC. StwQia f von iVr>jjUi, ich stehe,) von dem Gleichgewichte der Körper. Wenn diese flüssig sind, so heißt sic H yd rostatik (). Schon Aristoteles (de coelo. IV. 6.) ist ihrer Erfindung nahe gewesen. Nach Ditruv (IX. 3.) ist ArchimedeS durch die Untersuchung der Krone deS Hiero darauf gekommen, wel­ ches Plutarch, Proclus u. a. bestätigen. Don Archim. selbst ist eine Schrift de humido insidemibus arabisch auf uns gekommen. S. Montucla hist, de Math. T. I. p. 237. etc. Bossütö Gefch. d. Math. Th. 1. S. 158* Kästners Gesch. d. Math. IV. 41. Schritten in Ersch Liter, d. Math. S. 95. re. — Dar» zählt man auch die Hydrodynamik (von Cb^ und Svvjf/x^-) von der Kraft deS WasserS (bti Mühlen und and. Maschinen), und die Hydraulik , von r# üiwf, das Wasser, und atXs>-, eine Röhre) Als Erfin­ der werden KtesibiuS (berühmt durch die Wafferorgcln, Ditruv. X. 10.) und Hero, sein Schüler (Ditruv X. ia.> genannt. *9) Diese, ttn , eine Maschine, so genannt, ist we, gen ihres Bedürfnisses eine der ältesten Wissenschaften und früh gebildet. Dieß deweißt schon der Tempel zu EphesuS (Vitruv. Archit. X. 6. Plinius H. N. B. 36. C. 21. ). Als Wissenschaft ehrt sie den ArchimedeS als Darcr, wel­ cher allein ein Schiff in6 Meer bewegte, vergl. §. 19. h. — Montucla hist. d. Math. T» I. p. 6ßß. Kästners Gesch.

B.'griffe, welche die Mathests voraussetzt.

17

die Bankunst 2C) (bürgerliche, Schiffs-, Mühlen-, Wasser.» Brücken-, € tragen,, Festungsbaukunst [gor» tificdtion] 2*), Artillerie2 2), Astronomie ") und d. Math. II. $8- re. IV. 1 re. Schriften in Erfch. Liter, d. Ma-H. G> 94. 20) Architectura (riy^vv) c'1£X,r$KroWK>7 >

apx* Müb rnu-

Xw , ich führe etwas auf;. Sic gehört jU den ältesten Kün, sten. (Mauern zu Babylon, Piramyden (nicht Pyramiden^, Tempel EphesuS re.). Das älteste, aber verlorene Werk üb. d. Baukunst war von Eratosthencs, das ausführlichste der ab ten Welt von Ditruv in 10 Büchern. S. §.20. N. 45. Stieg­ litz Encyclcpädie d. Baut. u. dcff. Gesch. d. Baut. d. Ulten. Lpzg. 1792. Ersch Liter, d. Math. S. 621. Die Schiffs­ bau k. (aichucct. havalis) ist eine Erfindung der Phönicier. I. 2f. BerghauS Gesch. o. EchifffahrrSkunde b. d. vornehm­ sten Völkern deS Alterth. Lp;. 1792. Erfch Liter, d. Math. S. 555- Don dem Mühlenbaue spricht Ditruv (X. 10 ; nicht als von einer damals neuen Erfindung, wofür man sie nach dem Epigramme des Antipater v. Tbessaloiiich (Ciceros Zeitgenossen), in ber Amhologiagr. (Au6g. v. Jacobs. Th II. S. 105.) hat halten wollen. S. Beckmanns Beitr. zur Ge, schichte der Erfindungen. B. 2. St. 1. Schriften in Ersch Liter, d. Mark. S. 522. Ueber die Wasser-Brücken- und Straßenbaukunst s. K. F. Wiebeking'S Beitrage re. Darfst. 1808- Schriften in Erfch Liter, d Math. S. 548- — 21) Die BefestigungSkunst kannten schon die Alten (Jul. Casar u. PolvbiuS); in Deutschland sind querst Festungen am scheine V. DrusllS angelegt (Florus ep. rer. R. IV. 12.) S. Busch Handb. der Erfindungen. Th. 4. S. i83- Werke in Ersch Lircr. d. Math. S. 620. 22) Die Artillerie (von artus, ein Glied, ein Stück,) handelt von dem Gebrauche und der Wirkung des Geschützes. Don der Belagerungskunst der Alten erzählt Ditruv B. 10. und DegctiuS (epit, rei milit.). Durch die Erfindung des Hul, verö hat sie eine andere Form erhalten. Die Geschichte dieser Wissensch. s. in Busch Gesch. d. Erfindungen. Th. 1. S. 201. Schriften in Srsch Lit. d. Math. S. 617. re. 23) Die Astronomie (von der Stern, und vo/xog> das Gesetz,) handelt von den Verhältnissen und den Gesetzen der Bewegung der Weltkörper. Alle alten Völker haben sich früh, Cehtb. d. r. Math. Etnleit. 2

>3

Einleitung.

andere; ja alle Handwerke gehören mehr oder weniger dazu 24X Die hier genannten kann man, jede für sich, als eigene Wissenschaften ansehen, welche zusammen, in so fern sieb ihre Lehren auf die Mathematik gründen, an­ gewandte Mathematik (math. applicata), ober auch gemischte (math. mixta) genannt werden, aber t\r gentlich Theile der Physik (§. 1.) sind. Auch theilt man die Mathematik in die niedere und höhere 2 5), wel­ ches aber nicht anders heißt, als in die leichtere und schwerere; endlich auch in die wissenschaftliche und praktische (technische) 2C>).

Evidenz. §. 16. Da wir nun aus dieser Betrachtung erkannt haben, daß die Mathematik eine systematische Wis­ senschaft allgemeiner Wahrheiten ist, wel­ che die Vergleichung und Verbindung rei­ ner Größen darbietet, so sind zeitig mit Beobachtung der Sterne abgegeben, aus Bedürf­ niß für Handball und Schifffahrt. Seit der Erfindung der Fernrohre ist fie mit vielen und großen Entdeckungen berei­ chert. S. BossütS Geschichte d. Math. Th. 2. S. i~S re. Busch Gcsch. v. Erfind. Th. 1. KästnerS Gesch. d. Math. II, 300. :c. I V. 84 re. Bode'S Anteil. t- Kenntn. d. gesternt. Him­ mels. — Erfch l'ircr. d. Math. S. 125. rc. 24) Schriften über alle Gewerbe und Handwerke f. in Ersch Lit. d. mach. Wlffensch. Abschn. III. S. 529. rc. 25) Zur niedern Mathematik rechnet man die Elemen te der Arithmetik und Geometrie (worüber d. Schriften in Ersch Vit. d. Math. S. 1 —30.); zur höhern die kehren v. d. entgegengesetzten Größen, den Reihen, Kettenbrüchcn, die Analvfiö des Endlichen und Unendlichen (Differenzialrech­ nung), die krummen Linien (vorzügl. Kegelschnitte,) u. mehr. Ersch. Lit. d. Math. S. 30 — 43. s6) Unter der prafrrfd)cn versteht man alle Rechen- und Meßkunst, Gebrauch der Instrumente und math. Zeichenkunst.

Ersch Liter. d. Math. S. 44 — 58-

Begriffe, welche die Mathesis vorausseht.

19

a) diese Wahrheiten, «eil sie rein (von der Erfah­ rung unabhängig) sind, Erjeugnisse unseres freien selbstthätigen Denkvermögens, und ihre Gewißheit be­ ruht nicht auf äußern Thatsachen, sondern liegt in ih. neu selbst (§. E. amal Z —6). Da aber alle Größen im Raume, d. i. als Linien dem Auge dargelegt wer« den können, so vereinigt sich mit jenem Vorzüge auch der, daß dir Wahrheiten der Mathematik demon, sirirt werden können. Dieses nennt man Evidenj (von evidere) 2?) und daher die Wahrheiten selbst evident. Heuristik de< Mathematiktz. 17. b) Wegen deS systematischen Zusammenhangader müssen die Wahrheiten der Mathematik so unter sich verbunden seyn» daß eine aus der andern folgt, und daß dir Gewißheit deS folgenden auf der Gewißheit feines Vordersatzes beruhe. Wenn wir nun mathema­ tische Wahrheiten bis auf ihren Grund verfolgen, wel­ ches Verfahren man regressiv (analytisch) nennt, so müssen sie auf einem allgemeinen Satze beruhen, rot!» chen man deshalb den Grundsatz oder Axiom (£), Data (sehr wichtig) und phaenomena, hinterlassen, und ihm wer­ den, wohl mit Unrecht, elcm. optica et catopur. (voller Feh­ ler) lugeschrieben. — Die Ausgabe, welche alle Werke um-

Geschichte der Mathematik.

«7

rakus (aoo v. LH.), sowohl durch seine schönen und wich, «gen Erfindungen, als auch durch die merkwürdige Ver­ theidigung seiner Vaterstadt unsere Aufmerksamkeit eben so sehr, alS die Bewunderung seiner Zeitgenossen auf sich 40); aber mit chm scheint der Geist für unsere Wis« saßt, t# een David Gregory griech. u. latein. tu Oxford 1703. in Fol. — 13 Bücher Elrm. griech. u. latein. v. Fr. CommandinuS «u Lond. 1620, Fol.; tu Glasgow ,756. in 4. (sehr schön)r ». Is. Barrvw. Cambridge 1615. in 8* Sämmtliche 15 Bücher v. G. Fr. Bärmann. Lpzg. 1741. u, 1769. g. - Urbersetzt in- Deutsche von I. Fr, Lorenz. Halle 178*. 8-i 3te Aufl. von Mvllweide. Halle 1309. 3.; in« Englische 1 — 6. und u. u. ,2. Buch v. Roh. Simson, daraus ins Deutsche v. M. Meder. Paderborn 1306; inS Arabische durch Nasiridin Tu sin. Nom. 1594. (sehr sel­ ten). Dergl. Moutucl. hist, des math. T. I, p. 204. Rach Euclid teichnete ft* tu Alexandrien Eratosthenest yon Cyrene (geb. 275 ». Ch.) als Mathematiker am meisten «uS. Ihn ließ der L. PtolomäuS EvergeteS als Bibliothekar nach Alexandrien kommen. — Verdienste um die Astronomie und Geographie. — Fabricii bibl. gr. e)it. Harles. 1304. T. IV. p. 123.

Heilbronner hist. math. yuiv. c. X. p.

349. — Er war der erste, welcher die Schiefe der Ekliptik entdeckte und dir Größe der Erde tu bestimmen suchte, worinn« er sehr irrte. S. Id«ler 'S Abhandl. üb. d. Gradmeff, d. Alten in JaebS monatl. Correspond, iß11- Bd. >3. G. 453. (wichtiger alS gant« Bibliotheken). Merkwürdig ist sein Sieb (*offmvav), S. -. 74- A.», — Don sein. Schriften find nur die xarairrt^^ci (Beschreibung und Fabeln der Stern­ bilder,) auf und gekommen, welche griech. Ioh. Fell. Ox­ ford 1672. s, und Schaubach. Götting. ,795. (»vrtügljch) herausgegeben haben, und die in Th. Gale opusc. mythol. • gr. et lat, Amstelctd. 1633. 8' und in Dion. Petavii Ura, nolog, Paris. 1630. Fol. sich befinden. S. SchubachS Ge­ schichte der griech. Astronom. biS auf EratosthrneS. Götting. 1302. 8, — MannertS Gevgr. Th. 1. H. 91. Bvugine'S Handb. d. Literärgrsch. Th. 1. S. »93. 40) Archimehrs (geb. tu SyrakuS um 237 v. Ch.), ein Mann von göttlicher Erfindungskraft, womit er die Mathe, Watts und Physik bereicherte, Urheber der Mechanik, Lnt-

Einleitung.

28

stnfchaft dDrrohlifl erloschen, so daß wir in den folgenden Jahrhunderten nur noch einzelne Schatte^ von ihr übrig sehen "). tecker der Derhältniffc de- Durchmesser- tont Kreise, des So fldi und der Kugel zum Cylinder rc. Letzteres ließ er auf fein Grabmahl setzen, welches Cicero (s. Tmcul. quaest. L. V. c. 2Z.) wiederfand. Don seinen Erfindd. s Mclot men. de VAcadcni, de iuscii]>t. XIV. 22g. etc.

PapPUs

B 8 zahlt deren 40. Er soll allein ein schiff ins Meer ge­ bracht und zum K. Hiero gesagt haben: da mihi, ubi con»istani, et terram inovebo.

Plutarch in Marcello. I. p,

305., nach Äthenauö (deipnosoph. V. 10.) mit einer Schrau, be ohne Ende (Pappus VIII. 10.) Man nannte ihn daher: , £z«Toyxe,?e — Ueber die merkwürdige Ver­ theidigung seiner Vaterstadt s. Polybius L. VIII. Livius Pat hist, R. XXIV. c. 34. Unerkannt von einem rom Sol­ daten ermordet im I. 212 v. CH.. (Noli turbare circulos). Dcrgl llcilbronner hist. math. univers. I c. 10 p, 25g. Moimicl. hist, de math. T. I. p.221. — Ausgaben: Ope­ ra gi

et lat. c Comment. Eutocii Basil. 1544. fol. 5

V0N

Barrow. l.ond, 1676. 4. De sphaer. et cylindro. Libb. II. de quadilit. parab. Arenanius etc. ed. Claud. Richard.

— S Kästners Geschichte d. Math. Bd. 2. S. 64. Bvffütö Tesch d. Math, übers, v. Reimer LH. 1. S. 146. U. 371. — Aienarius et dimensio circuli c. Eu­ tocii in haue Comment, ed. I. Wallis. Lond. 1676. vid. Wallisü opp. T. III Oxon. 1699. fol — Sämmtliche Werke ms Franz übers, v. Payrard m 2 Theilen. nebst einer Abhandl. über Oie Arithmetik der Griechen von Delambre. Dergl. Montucl. hist, de math. T, I. p. 221. etc. — Bougme's Handb. d LiterLrgesch. Th. I. S ig840 Die merkwürdigsten nach Archim. find: ApolloniuS v. Perga in Pamphilien (um 200 v. CH ), merkwürdig durch g Bücher von den Kegelschnitten, meistens aus deS AristäuS Werke von den Kegelschnitten ( s Pavpus in praefau Lib. VII. coli, math.) entlehnt, wurde von seinen Zeitgenossen der große Geometer genannt. Die ersten 4 Bücher find noch griechisch, die 3 nächsten lateinisch, daS gtc gar nicht mehr vorhanden, jedoch von Halley in sein. Ausg. Oxford 1710 wieder hergestellt. Montucla histoire de» matli. T. I. Par. 1646 fol.

Geschichte der Mathematik. p. 245.

ag

Heilbronner hietor. Math. univ. I. §. 157. — Boffüts Gesch. d. Math. übers, v. Reimer. Bd. 1. S. 90. Eliurd. Ptolemäus auö Pclufium in Egypten lebte unter d. K. Mark Aurel (um 140 n. CH ) tu Alexandrien. Be­ rühmt durch fein S vnnensystem CvaX>J aerrpevdyuuac. Lib XIII.), f. Geographie ( yEjuy^a^tio) Lib. VII. ) u. Mehrere Schritten Das erstere Werk ist evracmi^lid) unter dem arabischen Xitel: Almagest Besannt. @ctne Derdrenste um die Astronomie schildert Bailly in sein GcscH. d. Astronomie d- Alten, n d. Franj. Lpzg. 1777. Th. 2. S 156 U f., und in d. hLtoire de l’Astrom. moderne etc. Paris 1779, Vol II. ; die um die Geographie Raidcl ( Comment, critico -liter de CI. Ptolomaei geographia. Norinb. 1737 ) und Männert in sein Geogra­ phie der Griechen u Römer. Th. I. S. 129 rc II. S. 1. U, nnd. Uebcrhaupt vergl. Montucla hist, des Mathem. T. I. 6. 236. u. f. Heilbronner hist. math. univ. p. 343. sqq. LuSg. aller Werke mit TheonS Comm. griech z Basel 1533. Fol., öfters griech. u. lat. S. Heilbronner 1. c. Boffüts Gesch. d. Math. Th. 1, S. 385 DiophantuS (zu Alexandrien htt 4ten Jahrhund n. CH. unter Julian,) war, wenn auch nicht Erfinder der Algebra, »ie Regiomontan gemeint hat, doch der erste Schriftsteller darinne. Er schrieb 13Bücher üb. die Arithmetik, wovon nur noch 6 übrig find, welche Bacher Meciriac. Paris 1621. Fol. griech. u Iah herausgegeben hat, aber schon frü­ her zu Basel 1575 von Lylander ins Latem, übersetzt er­ schienen waren. S Boffüts Gesch. h. Math Th 1. S. 26 II. 54. te. 387* Mbntucla hist, des math. Vol. I. p. 520. •tc. Kästners Gesch d Math Th. 3. S. 152. PappuS v. Alexandrien, ein eifriger Beförderer der Ma­ thematik nnd Philosophie, lebte unter TheodofiuS d. Gr. (ge­ gen 400 n. CH.). Don seinen 8 Büchern mathemat. Sammlungen (^«^^/xätzkwv 0**v«V‘wY*wv)/ welche uns die Art der Untersuchungen der Alten zeigen, find nur die 6 letztem voll­ ständig vorhanden, welche Commandinus 1533 in lotein. Uebersetz. herausgegeben hat, und die letzten Satze des iten BuckS übrig. Letzteres findet sich griech. und latein. in Wal­ lis opp. 0xo». 1633. Tom. III. p. 395. Man schreib: ihm noch mehr Schriften zu. S. Heilbronner histor. math. univ. p. 372. Boffüts Gesch. übers, v. Reimer. Th. 1 S.

30

Einleitung.

§. 20. Aber der Name Mathematik wird nach und nach auch auf andere Disciplinen übergetragen 4a) und weicht von seiner ursprünglichen Bedeutung so weit 38g. — Sein Zeitgenosse und Landsmann Thron cortü tncntirte die Werke des Euclid und deS PtolemäuS welcher Comment. tu Basel 1538- Fol. gr. ge, drucke worden ist. Merkwürdig ist seine Tochter Hypatia, welche selbst die Philosophie und Mathematik iu Alexandrien tmt Beifall lehrte und den Apollonius und DiophantuS ccm, mcnrirre, aber 4*5 n. CH. ein Opfer deS Fanatismus der Christen wurde. S« Socmes hist, ccclcs. L. VII. c. 15. BoffütS Gesch. d. Math. Th. 1. S. LZ. Gesch. d. Philos. f. Liebhaber. Th. II. S- 136. 397. Proclus DiadochuS, ein Platoniker (4ßo n. CH.), hat unter mehrern Schriften einen etwas weitschweifigen, aber mit vortrefflichen Ansichten und vielen historischen Notizen er, füllten Cvmmentar über das iste Buch der Elemente des Eu, tlid hinterlassen, welcher sich griech. an der Baseler AuSg. der Werke EucUdö v. 1553 befindet. Dollständiger ist er in der latein. Uebersetz. v. BarvcciuS 1560. F., u. in der englischen. LvNd. 1788« 4«

Fabricii biblioth. gr. edit. Harles. 1504.

Vol. IX. p. 416. S. Dorr. S. n. Meine Orthvdid. i.Ab, theil. S. 88- Rote. u. 50. — Line bessere Ausgabe wäre sehr zu wünschen. 42) Die Etymologie des Wortes fta^uatä lieft ui, daß man alle Gegenstände deS wissenschaftlichen Unterrichts darunter begriff. Zu Pythagoras Zeit zahlte man blos die Zahlenwis, senschaft, Geometrie, Musik und Astronomie dazu; Platon fügte ihnen die Stereometrie bei; unter Aristoteles sehen wir die Zahl der Gegenstände derselben noch durch die mechani, schon und optischen Wissenschaften bereichert. Da aber die ftaSv){j.0LTa im Alterthume blos DorbereituttgSwiffcnschafrm waren, so kann eS uns weniger wundern, wenn man später auch die Grammatik, Rhetorik u. dgl. dazu rechnete — Wie vieldeutig der Name Mathematik im zweiten Jahrh. n. CH. war, bewcißt unö hinlänglich das gelehrte Werk, welches der eben so scharfsinnige, alS witzige Arzt, Sextus Empiri, kus gegen die Mathematiker schrieb (*^05 rovg /xaS^anavr 5-7.5=5o-35='5 = 3-5 allgem. (a —*)Xc~(a—b)c = ac — bc. Sollen also Summen oder Differenzen von Größen oder Zahlen mit cmtr Zahl moltiplicirt werden, so muß man „alte Bestandtheile damit multiplieiren." b) Division.

1) (6 + 4 + 3)53 =

(6 + 4+?)

allgem. (a + b):c =

(a-t-b)

=* + f+4=y a. , b

c c‘"öl 8) (10—4)53='cr4 = —1=5 — 8 = 3* xt z äs (a — b) a b allgem. (a-b):c= —— = --Sollen daher Summen oder Differenzen mit ei« nrr Zahl dividirt werden, so muß man „alle Be« standtheilr derselben damit dividiren." Anmerk. Eine und dieselbe Zahl, welche für mehre« re Größen ober Zahlen Multiplicator oder Divisor ist, nennt man einen gemeinschaftlichen Fac­ tor (f, communis). Haben mehrere Größen

A.

Gr-ßenlehre.

55

»der Zahl» ein» solchen, f» kann man ihn auch durch da< Einschließen jener wieder absondern,

»e.

(i5+9)=3.5+$.3=3.et) kennen, das Beiwort geometrisch wieder wegzulassen und blos Verhälmiß zu sagen IT). Rational «nd irrational. $. zg.

Aber aus §. 30. ist bekannt/ daß wenn wir

zwei Größen mittelst eines gemeinschaftlichen Maaßes ver»

gleichen,

diesemtweder commen^surabtl und in Zah» len völlig aussprechbar («?. oder incom«

mensurabel und in Zahlen nicht vollkommen aussprechbar (*?.

find.

Da

nun das Verhält«

niß in nichts ander«/ als in einer Vergleichung der Glie« der, m Hinsicht einerlei GrundMaaßet besteht, so muß dieser Umstand derselbe» in so fern eine doppelte Art der Verhältnisse geben: a) Wenn die Größen commensurabel find «nd bei, de in Zahlen vollkommen ausgesprochen werden kö«. nen, wie a —5, d—3, c —3 ic>, f» muß auch ihr Verhältniß in Zahlen genau erkannt und ausgesprochen werden können.

Ein solches

nennt man rin endliches Verhältniß (Xe>e$

Mret),

wie

3..3/ 5..», L..Z K,

Die Glieder

»7) Nleomachvs macht noch hm Unterschied, da- ) wenn die Größen inkommensurabel find und nicht beide in Zahlen vollkommen ausgesprochen werden können, so kann auch ihr Verhältniß nicht in Zahlen erkannt und ausgespro­ chen werden. Cs wird daher ein unendlicheVerhältniß (XoYo{ t#{) genannt und .00. bejeichnrt (». 95. a .00 • x heißt: a steht zu x in einem unendlichen Verhältnisse). Die Glieder eines solchen heißen Jrrationalgrößen (numeri simli). Name oder Exponent. §. 39. Wenn wir nun nach §. 37. durch das Verhalt« niß »weier Größen den Werth erkennen,* welchen fit gegen einander haben, jeder Werth aber nur als Za hl bestimmt erkannt werben kann (§. ag.), so uiuß auch der Werth eine- Verhältnisses in einer Zahl (aanjrn oder grbroche« nen) ju unftrer Erkenntniß kommen, welche entsteht, wenn man da- erste Glied durch das »weile dividirt: als 4..1 —f =:4« 5. 3—F, 3-.2 —z, 3.-5—1« 2..3=r|, x..3r=i, flDgtm. a..b —b..a=: Die Zahl, durch welche der Werth eines Verhältnisses erkannt wird, heißt der Name des Verhältnisses oder der Exponent (n. rationem exponens). Da aber die Glieder de- Verhältnisses, mithin die Fac« kören deS Exponenten rational oder irrational, und daher das Verhältniß endlich oder unend« lich seyn kann 38), so muß auch der Exponent darnach verschieben seyn, nämlich a) bei endlichen Verhältnisse« „rational" d) bei unendlichen « » * „irrational" Ueberhaupt wird jedes Verhältniß, es sey das einer Zahl ju ihrer Einheit, oder das einer Zahl »u einer an«

A. Gr-ss«nlehre.

6i

Atm, als ei» Größenwerth erkannt; onb da jeder Größenwerth Äle» Rechnung-operationen unterworfen werden kann, so Müssen auch auf dir Verhältnisse „alle Operationen anwendbar sepn, d. i. man muß sie addiren, subtrahiren, multiplici» ren und dividiren können." Proportion. §. 40. Vergleicht man daher die Größenwerthe zweier Verhältnisse, so muß von ihnen gelten, was im allgemeinen von zwei verglichenen Größen gilt (§. 22. b.), d. i. sie müssen entweder einänder gleich oder ungleich seyn. (E. 2..4—3..6; ß.*4^> 2.. 6. Sind sie einander gleich, so nennt man die Gleichung derselben eine Proportion (proport i O , aveAoyov, eveAeyia), UNd bl't GkößtU, totl«

che sie bilden, proportional oder analog (m*?«-9» cvaAcya), als » . • b ZZ C .. tl 1 e).

3Verhältniß als Maaß, und Vielfache derselben oder Progression.

Z. 40. Wie nyn durch mehrmalige Zusammensetzung oder Vervielfachung einer Größe die Reihe der Zah­ len entsteht (§. 2g.), eben so kann auch durch die mehr« malige Zusammensetzung eines gewissen Verhältnisse-, wenn es als Einheit angenommen wird, eine Reihe ig) Euelid. Sle«. B IV. ©eff. 6. g. — Die Bezeichnung der Proportion in den altern Zeiten war a. b:: c. d und ist noch außer Deutschland üblich, da die von Leibnitz vorgeschlagene: *:b=c:d, und blos von den Deutschen angenommene, roe, gen ihrer Uebereinkunft mit dem Zeichen der Division «nie# quem ist CS- 27 ).

6a

Arithmetik.

Erster Abschnitt»

von Vielfachen desselben gebildet «erden, welche man eine Progression (proxre«,io) nennt. JstzE. 3..1, oder f..i das Verhältniß, bcfiht Größenwerth man alS Einheit annimmt und welches in so fern daS Grvndverhältniß heißt, so ist a) im ersten Falle (3.3)..3—9.. 3=1=3; flgl.9-. 3=3-i (3.3.3)- (3.3) = »7- 9 = V=3; ' »7- 9=3-1 (3.5.3.3)..(33.30=8»..87=i!=3i ' 8i-87=3..i

u. f. «. Wenn dah. z.. 1 d. einfach« Verhältniß ist, bezeichnet 3* so ist 9.1 das zweifache; • » 3* » 07.. r daS dreifache * * 3* • 8»..»das vierfache » » 3« » C43.. 1 das fünffache * . 3* n. s. w. Auf diese Welse erzeugt fich eine Reihe von Zahlen, in welcher immer das nächst höhere Glied so viel» mal größer, als die Zahl des Grundvrr» hältnisseS ist. Man nennt fie daher eine zuneh« wende ober steigende Progression i(»erie« s. progreseio divergens),

als i*. 3• • 9.• 07♦ • 8»♦ *043♦ *729♦.*.• bez» 3.3.3.. 33.«34..3’.. 36•.... allg. 1.. a.. aa.. aaa.. aaaa.. aaaaa........ bez. a°.. a*..a2,. a}.. a4.. a5........

b) im zweiten Falle i 1 — t "31 ♦♦ i

i_ t

.

i ___

■,

7 = V ♦♦ T — 7* *1

i

____

i

1

T'3-T ** 7 7 — ~zT' V — 74*1 i 1 _____ 1 i ____ i 4 T7.77“ 7 3 T—71“ 77— 7" ^

«. s. w.

A.

Hrößenlehre.

63

Denn daher tz..i) d-einfach«Verhält.» bezeichnet 3~‘ so ist (§..i)« zweifache • » 3“* * Cit ..>)» dreifach« • , 3-» • (/. .») - vierfache * , 3^' -

(izt-.i) • fünffach« .

.

3—

a. s. w. und es emstrht dadurch «in« Reihe, in welcher jedes nächste Glied so »irlmal kleiner wird, als die Zahl des Grnndverhältalfses ist, weshalb sie eine abnehmende, »der fallende Reihe »der Progressiva (series . progres.io con. vergen») heißtr als r 1 ♦ 1

i

i

1

1

i

i

1

1»*3* ♦ *3* * *3 .. 34 .. 3 .* 3 *** bez« 3°-3“,~3 a**3 »3 *• ♦ 3"'$ ♦ • 3 6 •• -

OU9* 1 •• a •*

j_

_1_

aa” aaa * * aaaa' * aaaaa

r i » 11 • •• .•♦ » * ", ♦ a a4 »•* a4 a5 bez, a° ..a 1 ♦.a 2 a ^ • a 4.. a *... - 1 ••

*

•

'

"*T

'

♦ •

Potenzen. §. 4«. Die G l i e d e r einer solchen Reihe lassen sich nun in zweierlei Hinsicht betrachten: theils nämlich als Vielfache des Grundverhältnisfes, auf welches sie sich beziehen; theils alS Einfache dieser Vielfachen. a) Als Vielfaches des Grundverhältnisses heißt ein

Glied eine Potenz oder Dignität (potentia, dignitas, "). 19) Den Namen Potenten haben die Zahlen tefiEig erhal, tm. Di« Srieedrn sagten: „ Eine Linie mit sich multipleritt macht ««)» »»» Huadrat (i*» ■ /*.« n c - 0 l > .> n, $, Sie sti t wa p o kV ßo{, die 6tc *«s».Kui cDlopha»>luö bezeichn net die Einheit , Die Grundzayl c, die zweite Prien»

A. GrLßenlehre.

65

Wurzeln. Z. 4Z. b) DaS Grundverhtltai- aber, alS daS Einfache der Potenzen, wird die Wurzel (ra dix, 1 attii, a) genrnnt, und zwar gegen die Quadratzahl, die Quadratwurzel, bez. V ai) 3

*

• Cubireahl,

• Cubicwurjel, bezeichn. V

i

* Diquadratzahl t Diquadratwurzel, »

4

V'

u. f. w» CS ist also Y9

3

~V3*-3\ offg. V'aa 3

V 27 — V"33 :=3J

4

•*

4 = |Z34 "3; 5 ,

V*t\3 — V3* —31 u. s. w.

0

« F

r= V'a3 —* 3 3 V^aaa n iZa3 rr a 4 4 >Zaaaa rr $Za4 zra 5 tZaaaaa zz Kas ~a

Die Zahl, welche übet dem Wurzelzeichen steht (V, v', V) heißt der Wurzrlexp VNtNt (»um. r adicem ex(lonens), DaS Verfahrt«, auS einer Potenz die diezt« k°, die 4te ilu, di« Str 8**' u. f. mithin «ine Reihe a° . .a* .. a* ,.»* • .** .. a* .. a6 ..., ^

9

, f

< « d

• • N

# • ü

•• 4X

, • KM

• • • •

Demqemäj» wären die Jeickm der alten Algebristen, welche lateinisch schrieben! R. Q« C* QQ, S (Suriolidum). QC* bS. QQQ, CC. ctd« Ouqhlrcd schrieb: A. Aq. Ac . Aqq. Aqc . Acc....... Hartlot / a . aa . aaa. aaaa. aaaaa. aaaaaa..,. von DeScarteSin a' , a2 . a3 .a4 . a' . a V..« verändert. 8« Heilbronueri hist, rnatb. univ, L. I. c, 27. p. 521.

21) Das Wurzelzeichen tff ünstreiti- aus einett r entständen. Bei olren Alqeb.kften findet sich dafür diese- Zeichen L'. 8. Heilbronueri hist, matli, univ, 1. C. tebcb. d. r. Mach. 1. Ad«'chtt.

66

Arithmetik.

Erster Abschnitt.

Wurzel zu gewinnen, nennt man daS Ausziehen der Wurzel (extractio radic.) oder auch de» Potenz irrn, welches dadurch geschiehet, daß man dir» jenigeZahl sucht, welche „durch mehrmali« ges Multipliciern mit sich selbst die Potenz «i e d e r g i e b t. Logarithmen. § 4i- Die Werthe endlich, r eiche die Vielfa­ chen eines Grundverhaltnt sses (die Poten­ zen) gegen das Grundvrrhaltniß selbst ha» den, sprechen die Zahlen 1,2,3 4-5.-. auS. Man nennt sie in so fern die Vrrhältnißzahlen oder Lo­ garithmen (xe7«e,sMe.) aa). Ist z. Beisp. daS Grundverhältniß —3..» — 3't so ist der Logarithm. v. 3ob.z', (bez. x3, oder log.3 )m ' 9 5 31, ( * xg, , log.9 )rs » 87 • 33, ( # X 27, , log. 27)— 3 ' 81 ' 34/ ( X8V ' log.ßi) —4 u. s. w. Allgemein:wenn das Grundverhältniß a.. 1 —a*, so ist der Logarithm. v. a odcra', (bez. x a,oder log. a) —1 * aa / aa, ( « Xaa, » $ aa) ~2 •

aaa , a3, ( # Xaaa,

«

*

aaa) ~ 3

U. s. w. 22) Diese ist die einzig richtige Bestimmung der Logarithmen, welche auch Klügel (Math. Worterb. Th. 3- S. 4L'-) giebt. Durch die gewöhnliche Erklärung, wo man eine (geome­ trische) Progression mit einer arithmetischen (wie man sie unschicklich nennt) verbindet, kann kein Mensch einen richti­ gen Begriff von dem Wesm der Logarithmen erhalten. — Auch kann nicht unbedingt gebilliget werden, daß man sagt: die Exponenten heißen auch die Logarithmen der Zahlen der Potenzen (f. H. W. Brandes Lehrb. d. Arithmetik, Geo­ metrie re. Oldenb. 1808.), da sie nur in so fern Loga­ rithmen Helsen, als sie die Werthe der Zahlen

A. Stfi

Größenlehre.

67

..3 *»9 • • #7♦ • 8* • • ®43• *7^9• ♦ • ♦ •

Dez. 3° .S'. S2 -33. 34.-3$ ..3°........ tojor# o # 1 « ä • 3 * 4 * 5 • 6 • • • • • Allgemein Reihe 1 ..a ..aa .. aaa..aaaa..aaaaa.... a°.. a1 . .aa • • a^ • • a^ ««a*.»«« dogg. o*i *8*3 • 4 • 5** •• Denn daher ein gewisses Grundverhältniß angenommen und von ihm eine Progression gebildet ist, so sprechen di« Logarithmen die Werthe aus, welche „die Glieder der Progression in Beziehung auf da- Grundverhäleaiß haben" al). Schluß. §. 45. Werfen wir nun auf diese Betrachtung noch «inen Rückblick und stellen uns die Hauptgegenstände nochmals vor Augen, so ordnen fit sich von selbst unter drei Klassen: I. durch die Vergleichung der Größen er­ kennen wir weiter nichts, als daß sie „als Ganze und als Theile gedacht werden können." II. Ihre Werthe aber erkennen wir mittelst einer Grö­ ße als gemeinschaftlichem Maaße, welches wir als Einheit annehmen, alc Zahlen, welche sich A. entweder in Beziehung „auf ihre Einheit, als ganze Zahlen;" der Potenten zur Zahl ihre- Grund,erhältNisse6 ausdrücken. 33) Mil den Logarithmen schließt sich die Wissenschaft. Denn wenn wir nun eine Potenz zur Grundeinheit anneh­ men, die Potenz roktn;iren und Wurzel aaS Wurzel ziehen, wellt., Falle oft in Rectnungen vorkommen, so denkt und thut man dock nichts anderes, als polenjirt und zieht Wurlein auS. S. meine Srihodid. 1. Ädih. S. 61. re.

5 (-)

6g

Arithmetik. Erster Abschnitt.

B. oder kn Beziehung „auf einander (alS Verhältnisse, Brüche) betrachten lassen." III. Und wie sich von einer Einheit Vielfache (Zahlen) denken lassen, so lassen sich von einem Verhältnisse Vielfache denken, welche A. entweder an sich (Potenzen, Wurzeln), B. oder mittelst ihrer Derhältnißzahlen (Loga­ rithmen) betrachtet werden können. So haben wir die Haupttheile des Gebietes über­ schaut, welches wir hier zu durchwandern haben. Allein, da die Betrachtung der Gegenstände desselben ohne Ver­ bindung der Größen nicht geschehen kann, so müssen wir zuvor noch die allgemeinen Gesetze der Verbindung der­ selben untirsuchrn.

B. Von den Gesetzen der Verbindung der Größen (CombinationSlehre oder Syntaktik). Einleitung. §. 46. Aus §. 13. wissen wir, daß das Denken der Größen nicht bloß in der Vergleichung, sondern auch in der Verbindung derselben besteht. Letztere hat ihre Gesetze (§. si). Nach der Entwicke­ lung der Wahrheiten, welche aus der Vergleichung der Größen hervorgehen, und der Untersuchung, wie wir die Werthe derselben erkennen, gehen wir daher zu der andern Untersuchung über, nach welcherlei Wei­ se und Gesetz fle sich verbinden lassen. Wiewohl aber daraus» daß Körper und andere Dinge auf ebenso vielerlei Art in Verbindung gebracht werden könne«, als die Größen an sich, einleuchtet, daß sich die Gesetze der Verbindung nicht allein auf rei­ ne Größen erstrecken, sondern Dinge aller Art; so ist doch hier nur von der Verbindung reiner Grö­ ßen die Rede. Man nennt sie in so fern Elemente, und bettichnet fle mit », b, c, d, e re. in alphabetischer Ordnung» 1 Element ■ heißt ein« Union (unio) s Elemente ab heißen * Ambe (binio) 3 » abc » * Terne (temio) 4 • abcd • « Aua terne (quatemio) 5 • abcde * » Ouinterne (quinio) u. f. w. Ueberhaupt wird jede Zusammensetzung einer gewisfen Anzahl Elemente eine Complexion (complexio) geaeant.

?o

Arithmetik.

Erster Abschnitt.

Derbindungsarten. §. 4*T. Bei solcher Zusammenstellung mehrerer Ele« mente kann aber eine d r e i fa ch r Untersuchung statt fin­ den: nämlich i) entweder, wieviel Unionen, Bln'onen. Ternionen u. f. w. eine «trofft Anzahl Elemente gewahren; alab c, oder 1.2.3. geben 3 Unionen, a . b . c; 1.0.3 3 Bi»«onen, ab . ac . bc; 12 . 13 . 23 1 Te n en, abc; 123. Diese Operation ne»nt man die Verbindung (Combinatio) in der engern Bedeutung; 9) oder wievielmal sich mehrere Elemente verse­ tzen lafstn, j. E. abc in acb, bac, bca, cab, cba, welches man Versetzung (permutatio) nenntr 3) oder, wenn man beide Operationen vere niget, wie­ viel bei den möglichen Verbindungen einer gewissen Anzahl Elemente Versetzungen statt finden können. Dieses nennt man D a r i i r e n (Variatio). Wievielmal sich eine gewisse Anzahl Elemente verbinden oder versetzen läßt, kann natüilich nur durch Zahlen bestimmt werden; daher die Gesetze, welche die Comb nationslehre entwickelt, nur in Zahlen ausgespro­ chen werden können (§. 2g). Wir haben daher erst von der Combination, dann von der Permutarion, end­ lich von der Variation ju handeln. Anmerk. Bei dem Worte Verbindung (combi­ natio) har man eine doppelte Bedeutung zu unter­ scheiden. Zn der weitern bezeichnet es das Ver­ binden gewisser Dinge, Vorstellungen oder Zeichen aller Art überhaupt, daher Eo mbinatio» eieh­ re; in ber engern eigentlichen Bedeutung aber, wie hier, heißt es die Zusammenstellung ge-

B.

Combinationslehre.

71

wisset Elemente nach einer Regel (lex icogr aphifch, ohne Versetzung) a4;. 1

.

Verbindung (combinatio). § 48- Die Verbindung oder Combination hat die Untersuchung jum Gegenstände, wieviel 1, s, Z, 4/ 5 k. überhaupt eine gewisse Anzahl Elemente, wel« che Zahl wir allgemein mit n bezeichnen wollen, Unionen, Millionen, Xernionen, Qualernionen u. f. w. gewähren. Man schreibt sie daher lexicographisch neben ein« ander so lange, bis alle Fälle erschöpft sind, als ab, ac, ad... bc, bd... ES kann aber da­ bei zwei Weisen geben: a) entweder man verbindet bloS jedes einzelne Element lexicographisch mit einem andern, als ab, ac, ad,... bc, bd, bc, ...

b) oder man verbindet auch jedes einzelne Element m i t sich selbst, als aa, ab, ac, ad. . bb, bc, bd, cc, cd rc. Dieses Verbinden mit sich selbst nennt man Wiederholung (repetitio); daher die erstere Art Verbindung ohne Wiederholungen (combinatiw omissis repe.itionibus), hie letztere Verbindung mit Wiederholungen (comb, admissis repetitionibus) hcißl.

Ein Beispiel wird dieß deutlich zeigen. Sollen die Verbindungen von 3 Elementen abc untersucht wer­ den; so sind sie 24) S. Dictionnaire de VAcademie franq. art, Combinai Ion.

7»

Arlthmettk. Erster Abschnitt. ») Ohn« Wiederholungen.

I. Unionen

aO

11. Bmivnrn

ab.

b.

c. ac. bc.

b) Mit Wiederholuagen.

3 3

b.

c.

3

aa. ab. ac. 6 bb. bc.

1

cc.

III. Ternivnen

abc.

1

aaa. aab. aac.

IO

abb« abc. acc. bbb. bbc. bcc, ccc.

Gesetze der Derbindung. §. 49. Nach den angegebenen Regeln lassen sich nun die Gesetze der Combination entwickeln: a) ohne Wiederhylna-en. I. Unionen, E- ist an sich klar, daß bei jeder Anzahl Ele» menten soviel Unionen möglich sind, als Elemente vorhanden, als a.b.c, a.b.c.d.ic. II. Dinionen. 1 Element kann keine Binion geben; denn 8 Elemente ab gewähren erst » Binion ab. 3 Elemente abc messen nicht nur die vorige Binion ab, sondern auch, weil sich daS dritte Element c sowohl mit a, als auch mit b verbinden läßt (ac, bc), noch „s Binionen» mithin 1 -s-a —z Binionen gestatten." 4 Elemente ab cd müssen erstens dir von 3 Elementen,

B. Combination-lehre»

73

mithin 3 Billionen enthalten; dann aber, da steh jene 3 Elemente auch mit dem 4ten d verbinden lassen (näm­ lich ad, bd, cd), mithin noch r dazu kommen, so ist dir Zahl ihrer Binionea „3+3=6." 5 Elemente abcde haben daher nicht nur diese 6Binionen, sondern wegen der Verbindung der übrigen 4 mir dem Ztea, „6+4—10 Unionen." 6 Elemente abcdef müssen daher au- gleichem Grunde „>0 + 5=15 Binionea gestatten." 7 Elemente abcdefg „15+6 = 21 Binionea julaf« sen; u. s. w." Da wir nun hieran- sehe», da- „ Elemente 1 . . . . = i‘ . . . =3 3 ' • 1+9 , . 1+9 + 3 . = 6 4 = 10 5 ' ' » + 9 + 3+4 . ___15Binionea -e« 6 . . 1 + 9 + 3 + 4+6 = »+2+3+4+5+6=91 ^ währen," 7

n »

, 1 + 2+ 3 + 4+5—. (n—OJ so können wir die allgemeine Wahrheit abaehmea, d a die Zahl der Binionen von einer gewissea Anzahl Elementen gleich ist „der Summe der Zahlen von 1 bi- |u derjenigen Zahl, welche um 1 kleiner ist, als die Zahl der Elemente (n—i)," Um sich aber das Zusammenjöhlen einer solchen Rei­ he von Zahlen zu ersparen, känn man fich eines leichte» Kunstgriffes bedienen. Man bemerkt nämlich, daß die Summe des ersten und letzten Gliedes stets gleich der Summe des 2ten und vorletzten, und so immer die Sums me je zweier vom ersten und letzten gleichweit entfernter

74

Arithmetik.

Erster Abschnitt.

Glieder der des ersten und letzten gleich ist; j. D. bei mithin bei n Elementen die Summe jedes solchen Gliederpaares — n — 1-j-r — n. Die Anzahl solcher Glirdcrpaare kann aber nur halb so groß seyn, als die Zahl der 7 Elementen 1+6 — e + 5 = 3 + 4t

Glieder, folglich rr

g—Da man also» um die

Summe der Reihe ju erhalten, die Summe des ersten und letzten Gliedes — n so viclmal nehmen muß, als die halbe Zahl der Glieder betragt ~ ^ so ist für jene die allgemeine Formel

^n-~n

1 (§. 34.».)"

Es rrgiebt sich daher für die Zahl der Billionen die Re­ gel: „Man mulriplicirt die Zahl der Elemen­ te mit sich selbst, zieht die Zahl derselben ab und dividirt die Differenz mit 2, z. E." io. »0—10 100^10- 90 _ 45 4 El.meute ab cd gestatten daher „154-00 (auS §. 53. 4.) ^ 35 Quaternionen." 5 Elemente „35 4-35 — 1° Quaternionen." 6 Elemente „-o 4- 5'in 126 Quaternionen." Ltdrd. d.

t.

Maih. 1. Aoschn.

6

82

Arithmetik.

Erster Abschnitt.

7 Elemente «126+04=210 Quatrrnionen." u. s. w. Daher allgemein: n Elemente liefern zusammen so viele Quatrrnionen, als ,,(n—1) Elemen­ te Quatrrnionen und n Elemente Ternivnen geben." Anmerk. Die DergleichuNg der Quatrrnionen ohne und m i t Wiederholung»» zeigt, daß die von n Elemen­ ten ohne Wiederholungen denen von ,, (n — 3) Ele­ menten m it Wiederholungen gleich sind. Weiß man daher die erster», so weiß man auch die letztem." Auf ebendieselbe Weise werden nun auch die Zah­ len der Quinionen, Senionen u. s. w. gewonnen 27)-

2. Versetzung (permutatio). Z. 54. Um zu sehen, wievielmal sich eine gewisse Anzahl Elemente anders setzen läßt, oder wieviel Ver­ setzungen eine Eomplexion gestattet, muß man flch ei­ nes bestimmten regelmäßigen Verfahrens bedienen. Die­ ses ist: Man bezeichnet die Elemente mit Buch­ staben nach alphabetisch er Reihenfolge und versetzt sie nach lexicographifcher Ordnung. bcd Z. B. b (1 c 1) Zuerst verseht man blos die beiden letz« cbd ten Elemente cd, indem man die ersten c db ab unverändert läßt; dbc d cb 2) dann vertauscht man das dritte c mit bacd dem zweiten b und versetzt wieder die bade beide» letzten bd. bcad bc da 3) Nun setzt man auch das vierte d in die b (1 a c -weite Stelle, rückt das zweite b in b d c a 27) S. Tafel I. b.

B,

Eomblnationslehre.

gj

bis dritte und versetzt wieder die letzten u. f. fort, dis |um ersten, wenn mehr als 4 Elemente find.

cabd ca db cb ad

4) Sind dann anster dem ersten alle Elemente an der zweiten Stelle gewesen, so stellt man das zweite b in die erste und ver« fahrt wie vorher.

eda b cdb a labe j cb d t»ac b ca die Tb dje b a

ebda

5) Sind auch hier alle Ordnungen erschöpft, so tritt auch das Zte c und dag 4tt d u. f. w. in die erste Stelle, f« daß die übrigen immer in alphabetischer Ordnung fortrücken. DaS übri ge Dekfahren bleibt das vorige. Anmerk. Das Einschalten der Elemente, um daraus zu sehen, wie sie verseht worden sind, nennt man Involution, und solche Darstellung, wodurch man zugleich die Permurationen einer geringen An­ zahl von Elementen bekommt, tnvolurorisch.

Gefetzt der Versetzung. $. 56. Da die Combinationen zweierlei Art sind, ohne und mit Wiederholungen, so find es auch die Versetzungen der Complez-ionen, welche flch daher so» wohl in solche theilen. Worinn# kein Element» als auch in solche, wo ein oder mehrere Elemente wieder« holt find. a)

Ohne Wiederholungen.

1 Clement a (Union) kann nur 1 Stellung, aber keine Veränderung zulassen (a, b, c rt.) 2 Elemente a b (fßinion), wo jedes sowohl am Ende, als am Anfange stehn kann (ab, ba) gewährt daher „i.c — 2 Stellungen."

84

Arithmetik.

Erster Abschnitt.

z Elemente abc (Ternion) müssen die vorigen 2 Ver­ setzungen liefern, und weil das dritte Element c bei jeder derselben 3 Stellen einnehmen kann (abc, acb, cab, und bac, bca, cba), „1.2.3—6 Versetzun­ gen. " 4 Elemente abcd (Quaternion) geben daher nicht allein die vorigen 6, sondern weil daS 4te Element d sich bei jeder an 4 verschiedenen Stellen (j. E. abcd, abdc, adbc, dabc u. s. f.) befinden kann, 1.2.3.4 — 24 Versetzungen." Elemente abc de (Ouinion) müssen aus gleichem Grunde sowohl 1.2.3.4—24 und wegen der 5 ver­ schiedenen Stellen bei jeder Versetzung, „1.2.3.4.5 — 120 Versetzungen haben." 6 Elemente abcdef (Senion) enthalten daher //1.2. 5.4.5.6—720 Versetzungen." u. s. w. Wenn also eine gewisse Anzahl von Elementen allge­ mein u heißt, so werden n Elemente „1.2.3.4.5....n Versetzungen, oder umgekehrt n. 11—1.11—2.11—3... 2.1. Versetzungen gewähren " 2 8), An merk. Diese Gesetze finden unzählbare Anwendungen bei der Zusammenstellung verschiedener Dinge, Per­ sonen, Stoffe, Blumen, Farben, bei Verzierungen, in der Baukunst, in der Chemie u. dergl. 2’), so auch bei dem Zusammentreffen der Karten in Spielen und Kunststüche» Jc), Auch giebt die Versetzung der Duckstaben mancher Wörter (welche Anagrammata heißen), oder der Wörter mancher Verse sinnreich» Veränderungen und angenehme Unterhaltung 3l). Lg) ©. Lasel II. a. 29) ©.Torbern B er gm anni Oputc. phys. et ehern. Holm. 1779 — 83- Vol. IV. p 251. etc. C- L- Semlers Vers- üb 6. foobmater. Methode ic. Dresden ign. 30) Klü qels mach. Wörrerb. Lvig- 1803. Tb. 1. S. 445.

31) So wird aus Sache- Asche, Achse, auS Dame, Ma-

B.

Combinationslehre.

85

b) M i t Wiederholungen. § 57- bind aber in einer Complexion 1 oder meh­ rere Elemente mehrmal enthalten (als aabz aaabb rc.), so

de. (S. Dolr prakt. Anleitung tu schriftl. Aufsätzen. Lcipz. 1807. @. 30 — 51)

Die 24 Versetzungen der Buchstaben von Roma enthal­ ten die Wörter: amor, anno, Maro, tn o 1 a, Omar, or*m, ramo. Dergleichen Wörter enthalten mehrere Epigramata Owens, als: ar cc t mala Schismata, non cst Sicut creta fides fictilis; arte caret. Rec ta sides cer t a cst,

So lassen sich die Wörter in ganzen Versen auS classischen Schriftstellern versetzen; z B. Dirg. Ecl. 1.1. Tityre tu patulae recubans sub tegmine fagi Tu putulae recubans sub tegmine, Tilyre, fagi. Tegmine sub putulae recubans tu, Tityre, fagi. etc, Virgil. Aen. I. 2Z2. Perfide sperasti divos te fallere, Proteu. Fallere sperasti te divos, perfide Proteu. etc.

Der Jesuit Bernhardt BauhusiuS wachte auf die Jungfrau Maria folgenden Vers: Tot tibi sunt dotes, Virgo, quot sideia coelo,

dessen

40520 Versetzungen nach Püteanus und G. 1. Vos sius (de scieut. niath. c. VII.) 1022, nach I. WalliS 3096, und wenn man die Spondaicos dazu zählt, 3312

Hexameter geben. Alö i. I. 1617 der Kaiser Matthias, der König Ferdinand von Böhmen und der Erzherzog Maximilian in Dresden zu­ sammen kamen, machte ein sächsischer Dichter, Georg Kl epp iS, folgenden VerS darauf: Dant tria jam Drcsdae, ccu sol dat, lumina luccin ;

dessen 362^80 Permutationen 45370 Hexameter gestatten, wenn man die Spondaicos zuläßt. Eins der interessantesten Kunststücke dieser Art ist das Ana­ gram, welches Iablonsky, Rector in Lissa, machte, als Stanislaus, der Stammerbe der Lisezinskyschen Familie, von

Arithmetik.

66

Erster Abschnitt.

können soviel Versetzungen,

alS diese Ele­

mente nach vorigen § gegeben haben mir« den, nicht statt finden; oder welches ebensoviel ist: e6 müssen, um soviel Versetzungen aus der ganjen Zahl. welche die Anzahl derElementegiebt. wieder herausfallen. I. Da bei einer Union keine Versetzung möglich ist» so ist hier nicht von ihr die Rede. II. Ist bei einer Bini on ein Element wiederholt (aa), so muß di« Zahl ihrer Versetzungen jwrimal geringer seyn, alS wenn jene verschieden nMrtn (§. 56. 2.), nämlich

n~~

— 1 Anordnung zulassen."

III. Wenn bei einer Trrnion ») ein Element zweimal wjedecholt ist (aah), so muß die Zahl der Versetzungen 2mal geiinqer seyn, alS bei 3 verschiedenen ($. 56. 3 ), mithm

'l ’3 — 3 Anordnungen;" seinen Reisen zurückkehrte. Er veranstaltete einen Schulactu#, «0 »z Schüler, et# Ritter ««kleidet, rin Baller tant= ren. Zeder trug auf seinem Schilde einen goldenen Buchslgstaben, nämlich:

10 15 2h 10 20 35 1 5s) 84 J5 35 To 126 210 i?6 252| 462 21 ~*8 84 210 ! 4^ !_2il 36 120 33o 792 jl7i6 45 165 495 >12Z7tZOO) 3

8 8 3t 120

9,

fau

9 45 165

J53o

495 ■_792 .1237 i7i( 33 . . . 3i32 t435 6435 12570

u. s. f.

IL der Permutationen s) ohne Wiederholungen, §. 56. Elem. I 1! -! 3,415,6. 7 1 6 I 9 I fq.___ Dersetzi l^H"L,^,24, r 20,720,5040,40520,3623801 . . . .

b) mit Wiederholung eines Clements, §. 57-mal

0

1

3 lß

60 360 2520 20160 i8i44

zmal

O

0

1

20 iCu

840

6720

4mal

O

0

0

1

5

30

210

1680

5mol

0

0

0

0

1

6

4"

336

6ma.

0

0

u

0

0

1

7

56

u. s. f.

.... 6o4ßo .... 15120 ...» 3024 . . . . 504 . .. .

III. der Variationen a) ohne Wirderholunge«, §. sg. Elemente. 1 2 3 L! S 6 Binionen. O 2 6 12 20 30 Trrnivn. O O 6 24 60 120 Quäkern. 0 O 0 84 120 360 Quinion. 0 0 0 0 120 ,720

8 5

7

4-

f-.

? 72

210

336

504

84o

1630

20i6

• # 4 # ....

2520 6720 15120

u. s. f. b) mit Wiederholungen, §. 59 — 61. Elem. 1

2

Bin.

4

1

4

3

9

ib

511

6

251r 36

7 49 343

8 64

9

81

fü.

. .

1 8 2~ 64 125 21b 512 729 1 16 81 250 625 1296 2401 4096 6561 Quin, 1 3- 243 1024 31251 7776 16307 32768 59049 . «

Lern.

Quak.

*. s- f-

Zweiter Abschnitt. Don den Vielfachen der Größen, ober von den Zahlen.

Einleitung. Z.64. Äus der Betrachtung des Denken- der Grö. ßrn im Allgemeinen (der allgemeinen Arithmetik, §.2i. ic.) haben wir gesehen, daß die Werthe dersel­ ben nur in Zahlen bestimmt erkannt werden (§. 2g.), die Zahlen aber in einer zweifachen Hinsicht in Be» trachtung kommen können: a) in Beziehung auf ihre Einheit, von welcher sie Vielfache sind, mithin alS Zahlen an sich; z. D. 3 —5.. 1, 4—4.. r tc.; t>) inBez lehung auf andere Zahlen, welche mit ihnen einerlei Einheit haben, b. i. alS Verhältnis­ se; z. B. 5..4, 7..12 re. (§. 37.). Es zerfällt daher die Betrachtung der Zahle« in zwei Abtheilungen, von welchen A. die e rste „von den Zahlen an sich, d.h. in Beziehung auf ihre Einheit, B. die zweite „von den Verhältnissen, d.h. den Zahlen in Bezie hung auf andere Zahlen^ handeln muß.

A.

Von den Zahlen an sich.

Von dem Denken der Zahlen. §. 65. Daß eine Zahl eine Zusammensetzung aus ei­ ner gewissen mrhrmal gedachten Größe ist, haben wir aus §. Lg. erkannt. Die Einheit, als solche keine Zahl, sonder« eine Größe, ist daS Element, aus welchem durch Zusammensetzung jede Zahl erjeugt wird. Setzen wir die Einheit |ur Einheit, so entsteht die Zwei (1+1 = 2), und fügen wir die Einheit noch einmal dazu, die 2) r t i (1 +1 +1 —3) u. f. fort. Da aber der mensch« liche Verstand nur z w e i D inge, mithin auch nur j w e i Zahlen auf einmal verbinden kann(§. 9.), so muß er, um größere Zahlen (u denken, die vorhergrbildeten klei­ nern , als Elemente derselben betrachten und sie au- die­ sen zusammensetzen. Diese Zusammensetzung kann nun auf verschiedene Weise geschehen; als 1

cm-fi 3—«-fim-fa 4=z3-fi=2+2=:i+3 5=4+i=3+2=2+3=i+4

6=5+i=4+2=3+3=9+4=!+5 7=6+1=5+2=4+5=3+4=2+5=i+6 8=7+i=6+2=5+3=4+4=3+5=2+6=i+7 9=8+i=7+2=ö+3=5+4=4+5=3+6=2+71C. io=9+i=8+2=7+3=6+4=5+5=4+6=3+7«. u. s. w.

ki2

Arithmetik.

Zweiter Abschnitt,

oder kürzer (§. -g.).

cl

II

to

s — i. e. 3 = i. 34— l . 4 — 3.2. 5 — i • 5 ' 6 — i. 6 — 2.3 ~5.2 7 - t • 8 —i • 8 — 2.4— $ — 4.2 t 6 — i. 9— ' -3-3 10 — 1. io —c.5 * t 11 — 1.11 « # 12— 1.12 — 2.6 —Z.4 — 4.3

r

' —6.2.

und so ins Unendliche fort. Das Denken der Zahlen ist an sich eine kunstreiche Operation des menschlichen Verstandes,

welche diesem

urspünglich einwohnt und die wir uns nicht weiter zu erklären vermögen *). Zahlzeichen. §. 66.

Ziffern.

Diese Zahlen haben die Völker des Alter»

thums mi» ihren Buchstaben bezeichnet, die Nationen der neuern Zeiten aber bequemer mit den zehn sogenann­ ten arabischen Ziffern 3),

welche aber entweder

1) DaS Denken der Zahlen und ihre unendliche gertbilbung ist eine solche Operation deS menschlichen Verstandes, welch« Kant ,/Schematismus deck reinen Verstandes" nennt (.Kritik d. r. Dcrn. S. i7g}. Die Zahlen find daher Schemata der Größe als e,neS DcrfiandeSbegriffS,(S. *8*)- „ Dieser Schematismus unseres Verstandes, in An­ sehung der Erscheinungen und ihrer bloßen Form, ist eine verborgene Kunst in den Tiefen der menschlichen Seele, deren wahre Handgriffe wir der Natur schwerlich jemals abrathen und fie unverdeckt vor Augen legen werden." (S. i8°). 2)

Das

WortZisfer wird von dem Arabischen tenphar»,

A. Von den Zahlen.

113

indischen Ursprungs oder aus den alten Formen der griechischen Buchstaben entstanden find. Hier folgen die Zeichen für die ersten zrha Zahlen der Hebräer, Griechen, Römer, Araber -), 8 D a ■t n 1

t n tD 1

A. B. r. A. E. 5z. H. I.

l II III IV V VI VII VIII IX X

-

i 2

t»

S 4 5 6

£Z 4

V A 4

1°

7 8 9 10

Die Zeichen der übrigen Zahlen können in den Sprach­ lehren nachgesehen werden; von den letzten aber werden wir bald weiter reden. Anmerk. Woher unsere Zahlzeichen oder Zif­ fern stammen und welche Nation sie zuerst ge­ braucht hat, ist nicht zur völligen Gewißheit getacuura e«se, abgeleitet. Es bedeutet dähtk soviel als Null. ©. G. I. Vossius de scicntiis matlicm, c. g. — Wallis opp. T. II. Algebra c. 3. — Aehnltch lautet auch das he, bräische Wort (saphar)/ welches tählerl bedeutet.

3) Diese Arabischerl Ziffern find auS dent Cottmtentäre deS Ma­ ximus Planudes (eines griechischen Mönchs im 14tcrt Jahrhunderte) über ein Gcdlcht von Tograi genommen. Er selbst schreibt fie den Indiern zu: ot *