Las geometrías y otras revoluciones [1 ed.] 8400104110, 9788400104115

Citation preview

José Vicente García Ramos

50. Las células madre. Karel H. M. van Wely 51. Los metales en la Antigüedad. Ignacio Montero 52. El caballito de mar. Miquel Planas Oliver 53. La locura. Rafael Huertas 54. Las proteínas de los alimentos. Rosina López Fandiño 55. Los neutrinos. Sergio Pastor Carpi 56. Cómo funcionan nuestras gafas. Sergio Barbero Briones 57. El grafeno. Rosa Menéndez y Clara Blanco 58. Los agujeros negros. José Luis Fernández Barbón 59. Terapia génica. Blanca Laffon, Vanessa Valdiglesias y Eduardo Pásaro

60. Las hormonas. Ana Aranda 61. La mirada de Medusa. Francisco Pelayo 62. Robots. Elena García Armada 63. El Parkinson. Carmen Gil y Ana Martínez 64. Mecánica cuántica. Salvador Miret Artés 65. Los primeros homininos. Paleontología humana. Antonio Rosas 66. Las matemáticas de los cristales. Manuel de León y Ágata Timón 67. Del electrón al chip. Gloria Huertas, Luisa Huertas y José L. Huertas

68. La enfermedad celíaca. Yolanda Sanz, María del Carmen Cénit y Marta Olivares

69. La criptografía. Luis Hernández Encinas 70. La demencia. Jesús Ávila 71. Las enzimas. Francisco J. Plou 72. Las proteínas dúctiles. Inmaculada Yruela Guerrero 73. Las encuestas de opinión. Joan Font Fàbregas y Sara Pasadas del Amo

74. La alquimia. Joaquín Pérez Pariente 75. La epigenética. Carlos Romá Mateo 76. El chocolate. María Ángeles Martín Arribas 77. La evolución del género ‘Homo’. Antonio Rosas 78. Neuromatemáticas. El lenguaje eléctrico del cerebro. José María Almira y Moisés Aguilar-Domingo

79. La microbiota intestinal. Carmen Peláez y Teresa Requena 80. El olfato. Laura López-Mascaraque y José Ramón Alonso 81. Las algas que comemos. Elena Ibáñez y Miguel Herrero 82. Los riesgos de la nanotecnología. Marta Bermejo Bermejo y Pedro A. Serena Domingo

83. Los desiertos y la desertificación. J. M. Valderrama 84. Matemáticas y ajedrez. Razvan Iagar 85. Los alucinógenos. José Antonio López Sáez 86. Las malas hierbas. César Fernández-Quintanilla y José Luis González Andújar

87. Inteligencia artificial. Ramon López de Mántaras Badia y Pedro Meseguer González

¿QUÉ SABEMOS DE?

Las geometrías y otras revoluciones

El estudio del espacio y las formas que lo habitan se remonta al inicio de las matemáticas conocidas, desde las crecidas del Nilo y el intento de medir las tierras que quedarían cubiertas por sus aguas al portentoso cálculo del radio de la Tierra. Y este estudio del espacio llega a impregnar nuestra forma de entender físicamente el universo. Pero contrariamente a lo que estamos acostumbrados, la geometría no es una, sino muchas, dependiendo tanto de lo que se observa como de las herramientas de las que se sirve para construir su razonamiento. Es más, el hallazgo y desarrollo de estas diversas manifestaciones de la geometría ha impulsado descubrimientos en ciencias como la física. Parafraseando a Poincaré, si “todo saber tiene de ciencia lo que tiene de matemáticas” podríamos decir que toda observación de la naturaleza tiene de teoría lo que tiene de geometría. El hombre distingue formas, y en el estudio de estas descubre la geometría de lo que observa. En este libro iniciaremos un viaje sobre las distintas geometrías que conocemos actualmente, cómo surgen y la revolución en el pensamiento que implican o que les precede.

¿ QUÉ SABEMOS DE? LAS GEOMETRÍAS Y OTRAS REVOLUCIONES

Manuel de León y Ágata Timón

49. Las moléculas: cuando la luz te ayuda a vibrar.

Marina Logares

48. Rompiendo códigos. Vida y legado de Turing.

Marina Logares es doctora en Matemáticas por la Universidad Autónoma de Madrid y profesora en la Universidad de Plymouth. Sus áreas de investigación son la geometría algebraica, la geometría compleja y la física matemática.

88. Las matemáticas de la luz. Manuel de León y Ágata Timón 89. Cultivos transgénicos. José Pío Beltrán 90. El Antropoceno. Valentí Rull 91. La gravedad. Carlos Barceló Serón 92. Cómo se fabrica un medicamento. María del Carmen Fernández

¿de qué sirve la ciencia si no hay entendimiento?

97_Lasgeometrías.indd 1

Las geometrías y otras revoluciones Marina Logares

1. El LHC y la frontera de la física. Alberto Casas 2. El Alzheimer. Ana Martínez 3. Las matemáticas del sistema solar. Manuel de León, Juan Carlos Marrero y David Martín de Diego

4. El jardín de las galaxias. Mariano Moles 5. Las plantas que comemos. Pere Puigdomènech 6. Cómo protegernos de los peligros de Internet. Gonzalo Álvarez Marañón

7. El calamar gigante. Ángel Guerra Sierra y Ángel F. González González 8. Las matemáticas y la física del caos. Manuel de León y Miguel Á. F. Sanjuán

9. Los neandertales. Antonio Rosas 10. Titán. Luisa M. Lara 11. La nanotecnología. Pedro A. Serena Domingo 12. Las migraciones de España a Iberoamérica desde la Independencia. Consuelo Naranjo Orovio 13. El lado oscuro del universo. Alberto Casas 14. Cómo se comunican las neuronas. Juan Lerma 15. Los números. Javier Cilleruelo y Antonio Córdoba 16. Agroecología y producción ecológica. Antonio Bello, Concepción Jordá y Julio César Tello

17. La presunta autoridad de los diccionarios. Javier López Facal 18. El dolor. Pilar Goya Laza y Mª Isabel Martín Fontelles 19. Los microbios que comemos. Alfonso V. Carrascosa 20. El vino. Mª Victoria Moreno-Arribas 21. Plasma: el cuarto estado de la materia. Teresa de los Arcos e Isabel Tanarro

22. Los hongos. M. Teresa Tellería 23. Los volcanes. Joan Martí Molist 24. El cáncer y los cromosomas. Karel H. M. van Wely 25. El síndrome de Down. Salvador Martínez Pérez 26. La química verde. José Manuel López Nieto 27. Princesas, abejas y matemáticas. David Martín de Diego 28. Los avances de la química. Bernardo Herradón García 29. Exoplanetas. Álvaro Giménez 30. La sordera. Isabel Varela Nieto y Luis Lassaletta Atienza 31. Cometas y asteroides. Pedro José Gutiérrez Buenestado 32. Incendios forestales. Juli G. Pausas 33. Paladear con el cerebro. Francisco Javier Cudeiro Mazaira 34. Meteoritos. Josep Maria Trigo Rodríguez 35. Parasitismo. Juan José Soler 36. El bosón de Higgs. Alberto Casas y Teresa Rodrigo 37. Exploración planetaria. Rafael Rodrigo 38. La geometría del universo. Manuel de León 39. La metamorfosis de los insectos. Xavier Bellés 40. La vida al límite. Carlos Pedrós-Alió 41. El significado de innovar. Elena Castro Martínez e Ignacio Fernández de Lucio

42. Los números trascendentes. Javier Fresán y Juanjo Rué 43. Extraterrestres. Javier Gómez-Elvira y Daniel Martín Mayorga 44. La vida en el universo. F. Javier Martín-Torres y Juan Francisco

Alonso y Nuria E. Campillo Martín

93. Los falsos mitos de la alimentación. Miguel Herrero 94. El ruido. Pedro Cobo Parra y María Cuesta Ruiz 95. La locomoción. Adrià Casinos 96. Antimateria. Beatriz Gato Rivera

¿QUÉ SABEMOS DE?

Buenestado

ISBN: 978-84-00-10411-5

97

45. La cultura escrita. José Manuel Prieto 46. Biomateriales. María Vallet Regí 47. La caza como recurso renovable y la conservación de la naturaleza. Jorge Cassinello Roldán

16/10/18 12:19

Las geometrías y otras revoluciones

Marina Logares

F055 las geometrias (7).indd 1

08/11/18 15:44

Colección ¿Qué sabemos de? COMITÉ EDITORIAL

CONSEJO ASESOR

Pilar Tigeras Sánchez, Directora Carmen Guerrero Martínez, Secretaria Ramón Rodríguez Martínez Jose Manuel Prieto Bernabé Arantza Chivite Vázquez Javier Senén García Carmen Viamonte Tortajada Manuel de León Rodríguez Isabel Varela Nieto Alberto Casas González

José Ramón Urquijo Goitia Avelino Corma Canós Ginés Morata Pérez Luis Calvo Calvo Miguel Ferrer Baena Eduardo Pardo de Guevara y Valdés Víctor Manuel Orera Clemente Pilar López Sancho Pilar Goya Laza Elena Castro Martínez

Rosina López-Alonso Fandiño María Victoria Moreno Arribas David Martín de Diego Susana Marcos Celestino Carlos Pedrós Alió Matilde Barón Ayala Pilar Herrero Fernández Miguel Ángel Puig-Samper Mulero Jaime Pérez del Val

Catálogo general de publicaciones oficiales http :// publicacionesoficiales . boe . es Publicación incluida en el programa editorial del suprimido Ministerio de Economía, Industria y Competitividad y editada por el Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades (de acuerdo con la reestructuración ministerial establecida por Real Decreto 355/2018, de 6 de junio).

Diseño gráfico de cubierta: Carlos Del Giudice © © ©

Marina Logares, 2018 CSIC, 2018 Los Libros de la Catarata, 2018 Fuencarral, 70 28004 Madrid Tel. 91 532 20 77 www.catarata.org

isbn (csic):

978-84-00-10411-5 978-84-00-10412-2 isbn (catarata): 978-84-9097-555-8 isbn electrónico (catarata): 978-84-9097-556-5 nipo: 694-18-016-4 nipo electrónico: 694-18-017-X depósito legal: M-33.796-2018 ibic: PDZ/PBM/PBP isbn electrónico (csic):

Reservados todos los derechos por la legislación en materia de Propiedad Intelectual. Ni la totalidad ni parte de este libro, incluido el diseño de la cubierta, puede reproducirse, almacenarse o transmitirse en manera alguna por medio ya sea electrónico, químico, óptico, informático, de grabación o de fotocopia, sin permiso previo por escrito del Consejo Superior de Investigaciones Científicas y Los Libros de la Catarata. Las noticias, los asertos y las opiniones contenidos en esta obra son de la exclusiva responsabilidad del autor o autores.

El Consejo Superior de Investigaciones Científicas y Los Libros de Catarata, por su parte, solo se hacen responsables del interés científico de sus publicaciones. la

F055 las geometrias (7).indd 2

08/11/18 15:44

Dedicado a mi madre, Francisca Jiménez Blanco

F055 las geometrias (7).indd 3

08/11/18 15:44

F055 las geometrias (7).indd 4

08/11/18 15:44

Índice

Midiendo el universo 7 CAPÍTULO 1. La geometría euclídea y las bases del pensamiento científico 17 CAPÍTULO 2. Las geometrías imaginarias y la teoría de la relatividad 37 CAPÍTULO 3. La geometría algebraica y la física moderna 66 CAPÍTULO 4. La geometría fractal y el caos 89 CAPÍTULO 5. La geometría y el arte 104 BIBLIOGRAFÍA 115

F055 las geometrias (7).indd 5

08/11/18 15:44

F055 las geometrias (7).indd 6

08/11/18 15:44

Midiendo el universo

“La geometría es quizá la más elemental de las ciencias que puede estudiar el ser humano, usando procesos puramente intelectuales, para hacer predicciones (basadas en la observación) del mundo físico”. Coxeter (1907-2003)

Es el año 235 a. C. y Eratóstenes logra medir el radio de la Tierra mediante técnicas geométricas. Para ello mide primero el ángulo de elevación del sol en Alejandría y en la antigua Swenet, ahora conocida como la ciudad de Asuán, en Egipto. Las mide a mediodía, y toma como hipótesis que la Tierra tiene forma esférica y que el sol está suficientemente lejos como para que sus rayos sean paralelos sobre la superficie terrestre a la misma hora. A partir de ahí un poco de trigonometría resuelve el problema. A lo largo de la historia, las matemáticas han estado siempre unidas al desarrollo de las demás ciencias. Unas veces las matemáticas han sido simples herramientas para la resolución de problemas numéricos que preocupaban a otras ramas de la ciencia; otras veces los avances teóricos de las matemáticas han arrojado nueva luz y han inducido ideas que han llegado a causar revoluciones en esas otras ciencias. Pero también ha ocurrido lo contrario, en la necesidad de las demás ciencias para estructurar, medir o analizar sus resultados, las matemáticas han ido evolucionando en la medida en que se las necesitaba. Más aún, en muchas ocasiones las matemáticas se han visto revolucionadas por el simple proceso de hacer rigurosos, en lenguaje matemático, los descubrimientos sobre el universo, o incluso del arte. De esta forma, las ciencias y 7

F055 las geometrias (7).indd 7

08/11/18 15:44

las matemáticas se han alimentado mutuamente a lo largo de la historia. Pero hablar de las matemáticas en general se ha convertido actualmente en un proyecto extremadamente ambicioso. Las matemáticas son una ciencia que esconde en su seno diversas y muy fructíferas áreas. Es decir, al igual que hay diferentes formas de observar la realidad, y diferentes propiedades a estudiar en el mundo físico, hay diferentes formas de entender matemáticamente lo que nos rodea. Siendo esto así, podemos dividir las matemáticas en al menos tres bloques constitutivos: el análisis, el álgebra y la geometría, entendiendo de esta forma las matemáticas como el estudio de las cantidades, las estructuras y el espacio. El estudio del espacio y las formas que lo habitan se remonta al inicio de las matemáticas conocidas. Desde las crecidas del Nilo y el intento de medir las tierras que quedarían cubiertas por sus aguas al portentoso cálculo del radio de la Tierra. Y este estudio del espacio llega a impregnar nuestra forma de entender físicamente el universo. Lo veremos, por ejemplo, en Einstein al mostrar la fuerza de la gravedad como una consecuencia de la geometría del universo. Pero contrariamente a lo que estamos acostumbrados, la geometría no es una sino muchas, dependiendo tanto de lo que se observa como de las herramientas de las que se vale para construir su razonamiento. Es más, el descubrimiento y desarrollo de estas diversas manifestaciones de la geometría ha impulsado descubrimientos en ciencias como la física o incluso ha sido inducido por los avances y necesidades de las otras ciencias.

Las mil y una caras de la geometría Se dice que en un principio fueron los egipcios quienes inventaron de alguna forma la geometría. Esta nace como resultado de la necesidad de medir sus tierras anegadas por las crecidas del Nilo. Más adelante, Tales de Mileto (624-546 a. C.) 8

F055 las geometrias (7).indd 8

08/11/18 15:44

trae a Grecia este saber y lo llama γεωμετρία es decir, geometría, donde γεω significa tierra y μετρία quiere decir medir. La geometría empezó así estudiando aquello que nos rodea, las tierras que aramos, las calles que pisamos, es decir, lo que tenemos próximo a nosotros. A esta geometría la llamamos geometría euclídea, y que estudia las formas que observamos a nuestro alrededor, las diferentes figuras geométricas que forman nuestro mundo. La propiedad crucial de esta geometría será que las líneas paralelas nunca se cortan en el entorno de esta geometría. Es la geometría del observador escéptico que observa las vías del tren y dice: ¡son paralelas! Sin embargo, existen otras geometrías, por ejemplo la geometría proyectiva que afirma que aunque las vías del tren que están junto a mí y son paralelas aquí, en el horizonte ¡se cortan! Este segundo observador, “proyectivo”, se preocupa por la representación de lo que se encuentra lejos de su entorno. La geometría proyectiva es la geometría de las perspectivas; la geometría del observador que incluye el infinito como algo tangible, una región más del espacio que le rodea, algo, en cierto modo, alcanzable. El concepto de “rectas paralelas” será estudiado de manera metódica a partir del siglo XVIII y se descubrirán las primeras geometrías no euclídeas, conocidas como las geometrías imaginarias. Estas serán el primer paso para una selva de geometrías, tan rica y complicada como los distintos grupos de transformaciones del espacio conocidas. Es decir, tendremos tantas geometrías como conjuntos de movimientos de los objetos en el espacio. Esos conjuntos de movimientos sa­­ tisfacen una cierta estructura llamada “estructura de grupo” que consiste en una serie de reglas, algebraicas, que nos permiten organizarlos. Uno de los grandes poderes de las matemáticas es el tener como herramientas de trabajo estructuras abstractas como la de grupo. Al distinguir la geometría euclídea de la geometría proyectiva apuntábamos a la posición del observador con respecto al objeto a observar. Pero existen muchas más variables que provocan esta variedad de geometrías. Por ejemplo, cuando hacemos hincapié en las transformaciones admitidas 9

F055 las geometrias (7).indd 9

08/11/18 15:44

por el espacio a estudiar estamos refiriéndonos a la visión de Felix Klein y su “programa de Erlangen”, donde cada grupo de transformaciones del espacio define una geometría. Si en lo que pensamos es en las herramientas matemáticas usadas para estudiar ese espacio, podemos distinguir entre la geometría diferencial, donde el análisis predomina sobre el álgebra, y la geometría algebraica, donde predominan los métodos y conceptos algebraicos. Hace dos mil años los métodos empleados eran la regla y el compás, ahora mismo la geometría se vale del álgebra más avanzada y de un análisis que ha ido desarrollándose de manera sostenida en los últimos trescientos años. Nuestro viaje no será exhaustivo pero recorrerá la mayor parte de las geometrías que conocemos actualmente, cómo surgen, lo revolucionario de su aparición y la revolución que en el pensamiento estas implican o que les precede. En algunos casos, estas revoluciones efectivamente suponen un cambio radical en el modelo de pensamiento de la época e incluso son reacias a aparecer pues resultará difícil reunir el valor para ir contracorriente. Este es, por ejemplo, el caso de las geometrías imaginarias, intuidas por Gauss pero realmente impulsadas por Bolyai y Lobachevski. Esta tendencia de las matemáticas, en este caso de la geometría, a romper con la tradición tanto como sea necesario para profundizar o avanzar en su desarrollo se hará firme a lo largo de la historia. El rigor lógico logrado a través de los siglos resulta una base segura que no depende de la experimentación. Esta es la idea subyacente en el establecimiento de la geometría algebraica moderna. El carácter visual de la geometría induce a una mayor confianza en la intuición. Esto fue quizá la causa de la deriva de la escuela italiana de la geometría algebraica, deriva que impulsó a Zariski a sentar las bases de la geometría algebraica moderna, que se fundamentan en el trabajo de Noether y que usan el poder lógico del álgebra moderna. Este rigor tan ansiado indudablemente tiene sus límites. El teorema de incompletitud de Gödel (1931) nos dice que todo sistema axiomático que contenga como base la 10

F055 las geometrias (7).indd 10

08/11/18 15:44

aritmética tendrá sus limitaciones. Es decir, en el desarrollo de sistema axiomático de tales características se llegará a probar que ciertos enunciados son verdaderos y falsos al mismo tiempo. Pero esa es otra cuestión. Ahora comenzamos un viaje que nos muestra cómo ven y cómo vieron el mundo los geómetras, cómo lo revolucionaron y se dejaron revolucionar por él. Son muchas las caras de la geometría y nosotros no abarcaremos todas. Actualmente cuando un geómetra se presenta a otro geómetra se anuncia como geómetra algebraico o diferencial, diferenciando si en las herramientas que utiliza usa mayoritariamente el análisis o el álgebra. Luego va más allá, puede ser real o complejo, queriendo decir que los coeficientes en las fórmulas que maneja se hallan en el cuerpo de los números reales o en el de los números complejos (aquellos en los que es posible una solución para x2 = –1, es decir, números de la forma z = a + ib donde a y b son nuestros números reales e i es el número imaginario sintetizando la idea de ser i = −1 ). Según la clasificación de la American Mathematical Society del año 2010, ampliamente aceptada por la comunidad matemática, existen al menos 23 apartados relacionados con la geometría. Es decir, en esta clasificación las áreas de las matemáticas se dividen en 97 secciones y de ellas 23 tienen relación con la geometría. Por ejemplo, la sección 14 se corresponde con la geometría algebraica, la sección 51 con la geometría de una manera general, mientras en la sección 52 se trata la geometría convexa y discreta, y la sección 53 a la geometría diferencial, incluyendo esta última las geometrías riemanniana y simpléctica. Es pues entendido entre los matemáticos que no hay una geometría sino muchas. Aunque dicho así, esto es cierto y falso al mismo tiempo. Si la geometría consiste en el estudio del espacio, tenemos una variedad de familias geométricas con diversos apellidos. Al estudio del espacio se dedica la geometría y esta se concreta en las múltiples formas de observarlo y trabajarlo y las llamaremos las geometrías. 11

F055 las geometrias (7).indd 11

08/11/18 15:44

Esa desconocida y fundamental topología La geometría mide el espacio, pero antes de la idea de medir está la idea matemática de espacio en sí mismo. Cuando medimos creamos la noción de espacio medido, rígido. Antes de esa medida, el espacio es deformable. Este concepto de espacio al que le permitimos deformaciones es el objeto de estudio de la topología, del griego topos, τóπoσ, que significa espacio, y logos, λóγoσ, que significa ciencia o estudio. El clásico ejemplo, de obligada mención, para explicar qué es la topología es el de la taza. Imaginemos que estamos empezando nuestro día con un desayuno compuesto por una taza de chocolate y un donut. Para la topología, la taza que contiene el chocolate no se diferencia del donut. Las reglas de la topología permiten deformar objetos, estirarlos o encogerlos, retorcerlos incluso, pero nunca romperlos (ni tampoco pegarlos). Al carecer de una medida, una regla de medir, las deformaciones son simples manifestaciones del mismo objeto. En la figura 1 podemos ver cómo el asa de la taza se estira y “engorda” hasta convertirse en el donut. (Para aquellos preo­­cupados por el chocolate, este simplemente se convierte en el recubrimiento de nuestro nuevo donut). Figura 1 Deformación de la taza al donut.

Fuente: Elaboración propia.

La topología se nos muestra así como una parte de las matemáticas muy intuitiva y flexible, pero sorprendentemente es posible, como siempre en matemáticas, darle un rigor y una formalización. Para explicarlo nos remitimos a sus fundamentos. Mientras que el ladrillo básico de la geometría es 12

F055 las geometrias (7).indd 12

08/11/18 15:44

la distancia entre dos puntos, el concepto en el que se basa la topología es el de la noción de conjunto abierto. Esta noción nos da una idea del camino necesario para la formalización rigurosa de la topología. Más aún nos va a servir para explicar cómo la topología se asienta en la base de la geometría. Un conjunto abierto es una conjunto del espacio en el que para cualquier punto de este siempre podemos encontrar un entorno (que es también un conjunto abierto abiertas) que están contenidos en él. Pero, para definir de una manera más intuitiva lo que significa, empezaremos por la noción contraria, la de conjunto cerrado. Tomando la recta real como el espacio en que habitar. Un ejemplo de conjunto cerrado en la recta real es el interval [0,1], esto es, el conjunto de todos los números reales que existen entre el número 0 y el número 1. Debemos notar que es un conjunto infinito de números y que además no le podemos asignar una numeración (es no numerable). Estudiar este conjunto de números de una forma más visual, como intervalo, nos permite verlo como un solo objeto, así que en este caso lo describimos como el conjunto de todos los puntos situados sobre la recta real que comprenden desde el 0 al 1, incluyendo ambos extremos. A estos extremos los llamaremos también borde de [0,1]. Si queremos hacer del [0,1] un conjunto abierto, quitemos de este exactamente su borde, es decir, los dos extremos, el 0 y el 1. A este nuevo intervalo lo denotamos (0,1) para expresar que hemos quitado estos dos puntos. Ahora bien, ¿es cierto que para cualquier punto dentro del (0,1) podemos encontrar un entorno conteniendo el punto fijado y contenido en (0,1)? Tomemos el 0,99 y ¡sí! es cierto que podemos encontrar un entorno, en este caso un subintervalo, contenido en el (0,1). Por ejemplo, el subintervalo que va del 0,98 al 0,999 es un entorno del 0,99 contenido en el (0,1). Es más, por mucho que nos queramos acercar al 1, que podría ser un punto problemático al estar en el borde, siempre encontraremos, haciendo un zoom matemático, un número entre el que elijamos y el 1 (figura 2) que nos servirá para definir el entorno necesario. 13

F055 las geometrias (7).indd 13

08/11/18 15:44

Pero no todos los intervalos que formemos serán abiertos o cerrados. Por ejemplo, dejamos al lector el acertijo de explicar que el intervalo (0,1] no es ni abierto ni cerrado. Para construir este intervalo hemos tenido que usar una escala, la dada por los números reales. En nuestras consideraciones hemos usado intrínsecamente el orden en los números reales y su valor para definir una medida, una idea de cerca o lejos, de antes o después. Pensemos ahora en la recta, como un mero dibujo, una línea en un papel sin ningún número escrito, y dibujemos en ella segmentos abiertos similares a los que teníamos cuando fijábamos la escala. Esta es la diferencia entre topología y geometría. Una vez que conocemos los pilares de la topología, los conjuntos abiertos, la topología de un espacio se define pues como la colección de conjuntos abiertos que forman el espacio. A esta colección de conjuntos se le llama atlas del espacio, de igual manera que llamamos atlas al conjunto de cartas geográficas que mapean una region de la Tierra, pero siendo más flexibles (estamos trabajando topológicamente) pues aún no hemos decidido la escala. La escala concierne a la geometría. En otras palabras, la topología se construye con los conjuntos abiertos, mientras que la geometría se construye con la medida, y curiosamente la medida nos permite crear conjuntos abiertos, pero no al revés. Figura 2 El intervalo abierto (0,1). 1

0,99 0,9999 0

1

Fuente: Elaboración propia.

14

F055 las geometrias (7).indd 14

08/11/18 15:44

La geometría al servicio de la ciencia Eratóstenes fue el primero en calcular el radio de la Tierra y, como decíamos, lo hizo mediante un cálculo geométrico. En aquel entonces las herramientas de la geometría se reducían principalmente a lo que ahora conocemos como trigonometría, que es la parte de la geometría que mide los triángulos. Eratóstenes sabía que en el día del solsticio de verano, en Asuán, situada en el trópico de Cáncer, a mediodía (hora local) el sol se elevaría haciendo un ángulo recto con la superficie y, por tanto, un palo clavado sobre la Tierra no proyectaría sombra. Empleando el mismo truco en Alejandría, que está situada un poco más al norte que Asuán, pudo medir que el ángulo con que los rayos de sol incidían sobre su ciudad natal era de 83 grados. De esta forma calcula que entre ambas ciudades, Asuán y Alejandría, hay una distancia de 7 grados (figura 3). Figura 3 Cálculos de Eratóstenes para medir el radio de la Tierra.

Fuente: Elaboración propia.

Eratóstenes también conoce que el arco de circunferencia entre ambas ciudades mide unos 5.000 estadios, pues era un trayecto que podía hacerse en caravana, y con ello argumenta una circunferencia de la Tierra de 252.000 estadios. De esta forma, el radio de la Tierra puede ser calculado 15

F055 las geometrias (7).indd 15

08/11/18 15:44

a través de la fórmula para el perímetro de la circunferencia 252.000 = 2πr. El problema está en que no sabemos actualmente a qué correspondía un estadio. Lo que los historiadores de la ciencia opinan es que al menos la medida que dio Eratóstenes del perímetro de la Tierra estaba entre los 39.690 km y los 46.620 km. Recientemente, en 2012, Andreu Mora, repitió los cálculos de Eratóstenes con datos más precisos obteniendo un perímetro para nuestro planeta de 40.074 km. Nos encontramos en el inicio de lo que hoy se conoce como la geografía y por ello Eratóstenes es conocido como el padre de la geografía. Así que este es nuestro primer ejemplo del uso práctico de la geometría en problemas y preguntas que surgen en otras ciencias externas a las matemáticas. También hemos visto que la geometría completa en cierto modo otras ramas de las matemáticas como es la topología. Veremos a lo largo de estas páginas muchas más situaciones en que la geometría ha sido útil para el resto de las ciencias y al arte, así como situaciones en las que el resto de las ciencias y el arte han influido en la geometría. Veremos, además, que este intercambio de ideas entre la geometría y las otras ramas del saber se encuentra en el fondo de varias de las grandes revoluciones del conocimiento. En esta introducción hemos hablado de la geometría como base para otras ciencias, pero también hemos expuesto algo fundamental para la geometría: la topología. Esta es la base sobre la que se construye la geometría, base que deberemos tener en cuenta en las geometrías más modernas como por ejemplo la geometría algebraica.

16

F055 las geometrias (7).indd 16

08/11/18 15:44

CAPÍTULO 1

La geometría euclídea y las bases del pensamiento científico

En las matemáticas de la Antigüedad se concebía el espacio y, como explicaremos ahora, era un espacio sin números. Se hablaba de circunferencias y rectas, e incluso de distancias, de geometría, aunque se medía por comparación, sin un valor absoluto; no era habitual asociar números a los objetos geométricos, más allá que el valor numérico del ángulo entre dos rectas. Tuvimos que esperar al siglo XVII y a Descartes para encontrar, entre los apéndices de su Discurso del método, entre sus trabajos sobre óptica, geometría y meteorología, lo que hoy se conoce como sistema de coordenadas. En el apéndice titulado “La geometría”, Descartes llena el espacio de números, que llama coordenadas, y une de este modo cantidades y formas, es decir, en cierto modo une el análisis a la geometría; es el nacimiento de la geometría analítica. Pero antes de la revolución cartesiana hubo un largo camino de ideas y trabajos que sentarán la base para esta y otras revoluciones posteriores. Estamos pensando en ejemplos como los Elementos de Euclides o el familiar teorema de Pitágoras.

17

F055 las geometrias (7).indd 17

08/11/18 15:44

El teorema de Pitágoras Se cree que antes de los griegos las matemáticas no se enseñaban como una ciencia teórica, sino que se conocían diversos ejemplos en los que ciertas cantidades cumplían las propiedades requeridas. Si eran conscientes o no de la existencia de una ley que gobernara tales cantidades, es decir, de si conocían el teorema detrás de los ejemplos no lo sabremos nunca con seguridad. Los sacerdotes, encargados del saber, supieron guardar bien el secreto de cómo alcanzaban sus conocimientos. Sí sabemos, sin embargo, que el teorema de Pitágoras era conocido en China, Mesopotamia y Egipto antes de que surgiera la escuela pitagórica en el siglo VI a. C. Pero es en la escuela griega donde se produce el cambio fundamental, la re­­volución del pensamiento que no solo revoluciona la geometría, sino todas las ciencias. Esta revolución consiste en un cambio, el paso de los ejemplos concretos a la preocupación por una teoría abstracta que explique su funcionamiento. Los griegos prestan atención al teorema y, aún más, explican su demostración. Muy contrariamente a los sacerdotes egipcios, los griegos sí explican cómo llegar al conocimiento. Incluso podríamos decir que con muy buen marketing venden los teoremas como si se tratara de un discurso político de la época, los enuncian y los demuestran. Efectivamente se piensa que ese salto a la abstracción ocurre en Grecia entre los años 600 y 400 a. C. y que es Tales de Mileto quien lleva a cabo ese salto crítico de ir más allá de lo particular de los ejemplos a la generalización. Es, supuestamente, Tales quien lleva a Grecia los métodos egipcios y los ataca de una forma general, demostrando las propiedades generales que describen los triángulos rectos o los isósceles. En palabras del filósofo Immanuel Kant en el prólogo de la segunda edición de su Crítica de la razón pura, publicado en el año 1787, “el primero que demostró el triángulo isósceles (háyase llamado Tales o como se quiera) percibió una luz nueva”. Esta es la primera y quizá la más profunda 18

F055 las geometrias (7).indd 18

08/11/18 15:44

de las revoluciones que vamos a contar, en cuanto a que en este momento podríamos decir que comienza el pensamiento abstracto y se empieza a trabajar teóricamente. A partir de aquí, una vez encontrada la razón fundamental para el fenómeno a estudiar, se puede profundizar en él y se pueden plantear preguntas como: ¿por qué esta ley?, ¿hay más leyes parecidas?, ¿qué se puede cambiar en sus premisas? De esta manera, las ciencias en general, y la geometría en particular, deben agradecer a los griegos este maravilloso cambio en la historia del pensamiento. Sir Michael F. Atiyah, matemático británico que ostenta la valiosa Medalla Fields, señala en un artículo titulado “Cómo se lleva a cabo la investigación” que “el propósito de la teoría es, mayormente, organizar sistemáticamente la experiencia pasada de tal manera que la siguiente generación, nuestros estudiantes y los estudiantes de nuestros estudiantes, sean capaces de absorber los aspectos esenciales de la forma menos dolorosa posible, y esta es la única forma en la que se puede proceder de manera acumulativa y construir cualquier tipo de actividad científica sin el peligro de toparse eventualmente con un callejón sin salida”. Comenzamos pues con un teorema que se puede defender como el más fundamental de los resultados en matemáticas, con más formas de demostrarlo que probablemente ningún otro teorema conocido. Es tan básico y tan sencillo que es difícil de olvidar, incluso para los menos entusiasmados por la geometría: en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Donde decimos hipotenusa queremos decir el lado del triángulo que se encuentra opuesto al ángulo recto, y entendemos por cateto cada uno de los otros dos lados restantes. La figura 4 expresa que es igual tomar el área del cuadra­­ do de lado c que la suma de las áreas de los restantes cuadrados. El lector que intente intuirlo se dará cuenta de que es realmente difícil adivinar si al sumar al área del cuadrado a el área del cuadrado b, esta suma resulta suficiente o si por el con­­ trario es demasiado grande. 19

F055 las geometrias (7).indd 19

08/11/18 15:44

Figura 4 Representación gráfica del teorema de Pitágoras.

c

b a

Fuente: Elaboración propia.

En el teorema escrito, el lenguaje puede resultar tedioso y los nuevos nombres, como cateto o hipotenusa, pueden hacernos incluso difícil tanto entender como recordar su significado. Ciertamente esta es una de las complejidades de las matemáticas relatadas en palabras, que el dibujo, es decir, la geometría, resuelve. El lenguaje de los números es difícil, dibujar un problema, jugar con su geometría, ayuda a imaginar su solución. Las fórmulas son otra forma de darnos una idea clara de aquello con lo que estamos trabajando. Pero, aun así, un dibujo es extremadamente intuitivo y por tanto poderoso a la hora de agilizar el proceso del pensamiento. La geometría puede proporcionar una gran ventaja. Las matemáticas son un lenguaje sintético, donde cada palabra engloba muchos conceptos, no para hacerla difícil y oscura, como a veces puede parecer, sino para permitir el uso de todos esos conceptos a la vez. Los orígenes del teorema son inciertos. Su enunciado aparece en una tabla babilónica fechada entre los años 1900 y 1600 a. C., en los Sulvasutras tanto de Baudhayana como de Apastamba de entre los años 800 y 600 a. C., y en el más antiguo de los libros de matemáticas chino, el clásico Chou Pei Suan Ching, datado entre el 300 a. C. y el 200 a. C., que además contiene una de las primeras demostraciones conocidas del teorema. Con estos datos podemos considerar el teorema de Pitágoras como una de las joyas de las matemáticas no 20

F055 las geometrias (7).indd 20

08/11/18 15:44

europeas, aunque solo llegara a nosotros a través de los griegos y mucho después de su primera aparición en la historia. Los Sulvasutras (también conocidos como Reglas de cuer­­ da) eran apéndices de los libros sagrados indios conocidos como libros de los Vedas. Fueron manuales de instrucciones para la construcción de formas geométricas. Cualquier inexactitud hacía inútil el ritual, por lo que era de extrema importancia la precisión en la construcción de los altares. Al estudiar los altares construidos en la India, que claramente seguían las indicaciones descritas en los Suvalsutras, se descubre que el teorema de Pitágoras se utiliza continuamente para construir un cuadrado con la misma área que un triángulo dado. Como decíamos, antes de los griegos el teorema se encontraba en ejemplos concretos, como en el papiro de Rhin (o de Ahmes), del año 1650 a. C. aproximadamente, donde aparece el más ubicuo de los triángulos rectángulos, el triángulo de lados de valor 3, 4 y 5 unidades. Los egiptólogos piensan que los contenidos de este papiro, una gran recopilación de cálculos del área de diversos triángulos de lados dados, datan de un milenio anterior. Recopilados por el escriba Ahmes, el próposito de este papiro podría haber sido un documento con intención pedagógica, donde resumía todo el conocimiento hasta entonces, por lo que es muy posible que muchos de los cálculos contenidos en el papiro fueran ya conocidos en la época de la construcción de las pirámides. Fijemos nuestra atención en el triángulo de lados 3, 4 y 5. Efectivamente cumple que 32 + 42 = 52 donde con la expresión 32 queremos decir 3 al cuadrado, es decir, 32 = 3 · 3, y análogamente con 4 y 5 (en general decimos x2 = x · x para x un número real). Es importante observar que no es necesario establecer una unidad como el metro —en aquel momento inexistente— ni tan siquiera necesitamos buscar cuál era la medida utilizada en aquella época. Este es un experimento que podemos hacer 21

F055 las geometrias (7).indd 21

08/11/18 15:44

en el jardín de casa con tres palos y una cuerda. Marquemos una parte de la cuerda con un rotulador y fijemos esa parte como “unidad”, ahora solo tenemos que usar esa medida para marcar toda la cuerda y tenerla dividida en unidades, es decir “escalar” la cuerda. Necesitaremos que la cuerda tenga de largo 3 + 4 + 5 = 12 unidades. Ahora unimos la cuerda en sus extremos, de manera que el tamaño total de la cuerda al hacerlo sea esas 12 unidades. El siguiente paso consiste en fijar en el suelo los dos palos a distancia de 3 unidades, distancia que medimos con nuestra cuerda escalada. El último paso es sencillo, solamente tenemos que ubicar el tercer palo de manera que la distancia a los otros dos sea cuatro y cinco. De esta forma, el ángulo cuyo vértice es precisamente este tercer palo, tiene precisamente 90º, un ángulo recto. Esta podría haber sido una de las formas en que los egipcios fabricaban los ángulos rectos, tan imprescindibles en la edificación.

Demostrando el teorema de Pitágoras El libro del profesor Elisha Scott Loomis, La proposición pita­ górica (1927), donde se recogen unas 367 pruebas diferentes del teorema, consiguió que el teorema de Pitágoras obtuviera en el año 1991 el récord Guinness como el “teorema más probado”. Efectivamente, se conjetura incluso que existe un número ilimitado de pruebas tanto de tipo algebraico como geométrico. Nosotros, sin embargo, nos vamos a concentrar en tres de ellas. La primera demostración es una idea que forma parte de la prueba atribuida al matemático indio del siglo XII d. C. Bhaskara (figura 5). La idea consiste en calcular el área del cuadrado de lado c a partir del área del cuadrado mayor de lado a + b. Fácilmente tenemos que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 22

F055 las geometrias (7).indd 22

08/11/18 15:44

Figura 5 Demostración de Bhaskara del teorema de Pitágoras.

b

c a

Fuente: Elaboración propia.

pero también sabemos que para calcular el área del cuadrado de lado c tendremos que quitarle al cuadrado de lado a + b cuatro triángulos de lados a y b. Si recordamos cómo calcular el área de un triángulo base × altura 2

y al saber que los cuatro triángulos que debemos quitar son triángulos rectángulos, entonces su altura es uno de los lados conocidos mientras que su base es el otro. Obtenemos que al cuadrado de lado a + b debemos quitarle cuatro cuadrados de áreas ab 2

Es decir, (a + b )2 − 4

ab = c2 2

o lo que es lo mismo a2 + 2ab + b2 – 2ab = c2 que nos da a2 + b2 = c2, que es, felizmente, la expresión matemática que buscábamos y así hemos terminado la prueba. Para la siguiente demostración, publicada en el libro de M. Levi, The Mathematical Mechanic, nos serán necesarios 23

F055 las geometrias (7).indd 23

08/11/18 15:44

ciertos conocimientos de física, en particular de la primera ley de Newton, que dice lo siguiente: “Todo cuerpo en reposo permanece en reposo a menos que sobre él actúe alguna fuerza externa”. La prueba que vamos a describir es mucho más moderna que las otras dos, pero es útil incluirla como ejemplo sorprendente de la interacción entre la física y las matemáticas. Tomamos un prisma con base en un triángulo rectángulo como en la figura 6, unido a un eje por la arista correspondiente a uno de los ángulos agudos del triángulo. Como antes, los lados a y b se refieren a los catetos del triángulo rectángulo y c denota la hipotenusa. El eje donde lo hemos suspendido es tal que permite que el prisma rote libremente. Llenaremos el prisma de agua y será por lo tanto libre para rotar. Pero, efectivamente, ¿lo hará? La respuesta es negativa y se debe a la primera ley de Newton, que en este caso nos sirve para demostrar el teorema de Pitágoras. Figura 6 Demostración mecánica del teorema de Pitágoras.

c a b

Fuente: Elaboración propia.

Dejando la fuerza de la gravedad a un lado (ya que en este caso no hay cambios en la dirección vertical, pues podemos suponer el eje lo suficientemente fuerte como para sujetar el prisma), el resto de las fuerzas que intervienen en 24

F055 las geometrias (7).indd 24

08/11/18 15:44

el movimiento de rotación del prisma alrededor del eje son ejercidas por el agua que empuja cada pared del prisma. La fuerza de empuje del agua es pues proporcional al área de tal pared (o cara rectangular del prisma), y como todos los rectángulos tienen igual altura, podemos simplemente pensar que la fuerza ejercida por el agua en cada pared es proporcional al lado del triángulo al cual está asociada esa pared. Esta fuerza de presión del agua genera un momento rotacional de la fuerza en el centro de cada cara, que se escribe como τ=r·F donde r denota la distancia al eje de giro y F la fuerza aplicada y τ es la multiplicación de r y F. Pero si realizamos el experimento veremos que las fuerzas se contrarrestan. De manera que si escribimos la ecuación asociada a este diagrama de fuerzas encontramos lo siguiente: τa + τb = τc

es decir, teniendo en cuenta que contamos con que el vector de fuerza sale del centro de cada una, es decir, a la altura de la mitad del lado, obtenemos a b c a+ b= c 2 2 2

o equivalentemente a2 + b2 = c2 que es, de nuevo, la expresión que buscábamos y con ello hemos terminado la segunda prueba. Por último, vamos a repasar una de las pocas demostraciones puramente trigonométricas del teorema. La podemos encontrar en uno de los 13 libros de Euclides, conocidos como los Elementos, y sobre el cual hablaremos más adelante. Esta prueba es conocida popularmente como la prueba del molino por la forma que presenta al dibujarla. Se trata de 25

F055 las geometrias (7).indd 25

08/11/18 15:44

la proposición 47 del primero de los libro. Para seguirla volvemos a la figura 6, pero esta vez nombraremos los ángulos en lugar de los lados, y le haremos algunos cortes y juegos a la figura del molino, como vemos en la figura 7. Primero hemos de ver que con la nueva notación AB = a, AC = b y BC = c. Además denotamos por BDEC el cuadrado de lado BC, esto es, denotamos cada cuadrado por sus vértices ordenados contrariamente al recorrer de las agujas de un reloj. Luego lo que queremos demostrar es BDEC = FBAG + ACKH Figura 7 Diagrama de la demostración de Euclides del teorema de Pitágoras.

Fuente: Elaboración propia.

Euclides comienza haciendo notar que la línea que une G con C es recta puesto que los ángulos GAB y BAC son ángulos rectos. La razón para ello es que en un momento necesitará considerar la recta GC como recta paralela a la recta FB. El siguiente paso consiste en demostrar que los triángulos FBC y ABD son iguales. Para esto utiliza su proposición 4 del primer libro: “Si dos triángulos tienen dos lados iguales y el ángulo encerrado por esos dos lados también es igual, entonces ambos triángulos son iguales”. Esto es fácil de ver puesto que BC = BD y BA = FB; además, tanto el ángulo FBC como 26

F055 las geometrias (7).indd 26

08/11/18 15:44

el ángulo DBA se consiguen añadiendo el ángulo ABC a un ángulo recto. Por lo que usando la proposición, los triángulos DBA y FBC son iguales, tal y como se muestra en la figura 8. Figura 8 Primer paso de la demostración de Euclides del teorema de Pitágoras.

Fuente: Elaboración propia.

Ahora bien, de acuerdo con la proposición 41 del primer libro de los Elementos: “Si un paralelogramo y un triángulo comparten la misma base y se encierran ambos entre las mismas rectas paralelas, entonces el área del triángulo es la mitad que el área del paralelogramo”. Tenemos que el triángulo FBC que comparte la base FB con el cuadrado FBAG tiene de área la mitad que la del cuadrado. A su vez, este triángulo era igual al triángulo BDA para el cual, y volviendo a usar la proposición 41, podemos decir que tiene de área la mitad que la de paralelogramo BDLJ (figura 9). Si las mitades de FBAG y BDLJ son iguales, quiere decir que el área encerrada en BDLJ es igual al área del cuadrado FBAG, como muestra la figura 10. Finalmente, repitiendo el proceso con el lado derecho del molino, obtenemos que las áreas encerradas en ACKH y JLEC coinciden completando de esta manera la demostración del teorema. 27

F055 las geometrias (7).indd 27

08/11/18 15:44

Figura 9 Uso de la proposición 41 en la demostración de Euclides del teorema de Pitágoras.

Fuente: Elaboración propia.

Figura 10 Demostración de Euclides del teorema de Pitágoras.

Fuente: Elaboración propia.

Euclides Euclides fue un matemático griego del año 300 a. C. que vivió en Alejandría en tiempos de Ptolomeo I. Su colección de libros titulada los Elementos es uno de los tratados más importantes en la historia de las matemáticas y es, después de 28

F055 las geometrias (7).indd 28

08/11/18 15:44

la Biblia, la obra con más ediciones. Se sabe poco de la vida de este gran matemático, y es Proclo quien afirma que vivió en tiempos de Ptolomeo I dado que lo encuentra citado por Arquímedes. Ciertamente se cree que los escritos de Euclides son anteriores a Arquímedes. El proyecto de Euclides en los Elementos consistía en escribir un sistema axiomático para las matemáticas. Es decir, Euclides construye un vocabulario para los objetos de los que va a tratar y señala un conjunto de principios básicos que los gobiernan. A partir de estos objetos y de sus principios elementales, que llamaremos axiomas, Euclides desarrolla toda la matemática conocida hasta ese momento. En otras palabras, el valor del trabajo de Euclides consiste en que a partir de nociones elementales como punto, recta y círculo, y solo cinco axiomas (o principios elementales) que describiremos en profundidad y que en algunos casos nos parecen obvios, se consigue construir, teorema a teorema, la totalidad de la geometría que conocía la humanidad hasta no hace mucho tiempo y que personajes como Kant o Descartes creían la única posible. Esta es la geometría que nos rodea día a día, la que usan los arquitectos. Más adelante veremos que hay más. Pero ahora nos centraremos en la increíble revolución que supuso esta forma de trabajar. Seguimos en la línea de la revolución que ya nombramos antes, pero si previamente hablábamos de la creación de la ciencia teórica, ahora hablamos de sus bases, de la lógica que fundamenta su desarrollo. El trabajo de Euclides inspiró definitivamente al matemático y filósofo Bertrand Russell, padre de la lógica matemática tal y como la conocemos y aplicamos en nuestros días. El mismo Russell (1967) llega a escribir en su autobiografía que “la lectura de Euclides a los 11 años fue uno de los grandes acontecimientos de mi vida, tan deslumbrante como el primer amor”. Los Elementos se divide en trece libros que tratan los siguientes temas: 29

F055 las geometrias (7).indd 29

08/11/18 15:44

• Teoremas relativos a triángulos, rectas paralelas y perpendiculares, congruencias, etc. • Aritmética de la escuela pitagórica. • Círculos, cuerdas, tangencias, etc. • Construcciones con regla y compás de polígonos regulares. • Teoría de la proporción según Eudoxo de Cnido. • Estudio de las figuras semejantes. Además contiene una generalización del teorema de Pitágoras. • Teoría de números. • Teoría de números. • Teoría de números. • Es un análisis detallado de varias longitudes irracionales. • Geometría de sólidos y la esfera. En este libro se utiliza el método de exhaución de Eudoxo, filósofo, astrónomo y matemático del siglo IV a. C. Este método consiste en un proceso geométrico para la aproximación de resultados, exhibe un profundo conocimiento de los números, no solo los naturales o enteros, que solo es mejorado mucho más adelante por Descartes. • Geometría de sólidos y esfera. • Geometría de sólidos, sólidos platónicos, etc. En el libro primero, Euclides expone más de veinte definiciones y diversas “nociones comunes” además de axiomas y proposiciones. Entre las definiciones se encuentran las siguientes: • • • •

Un punto es aquello que no tiene partes. Una línea es la longitud sin anchura. Los extremos de una línea son puntos. Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano y prolongadas al infinito, no se encuentran.

Las nociones comunes se dedican al reconocimiento de la noción de igualdad, desigualdad, suma, resta, duplicación y división en dos partes de iguales magnitudes, entre otras. 30

F055 las geometrias (7).indd 30

08/11/18 15:44

Los axiomas son los siguientes: • Dados dos puntos podemos trazar la recta que los une. • Esa recta puede prolongarse indefinidamente. • Se puede describir un círculo simplemente dando su centro y una distancia. • Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. • Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos de las mismas menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. Estos postulados o axiomas, que en algunos casos parecen casi obvios, y que discutiremos en el siguiente capítulo, sientan las bases de lo que son ahora las matemáticas. A partir de estos axiomas, Euclides prueba diversas proposiciones y teoremas. La prueba del teorema de Pitágoras dada por Euclides en su libro primero nos muestra cómo es el proceso de razonamiento lógico-matemático hasta llegar a la demostración del teorema. La forma en que se desarrolla la prueba busca no dejar nada a la especulación. Más adelante, Russell llega mucho más lejos, haciendo uso de la lógica más pura, en su tratado Principios de las Matemáticas. Parte de una única noción que no se discute ni cuestiona que es la base de todas las demás nociones. Esta es la noción de pertenencia, es decir, en la noción de que un elemento de un conjunto pertenece a ese conjunto. Esta noción es el pilar de la lógica.

Las coordenadas cartesianas Descartes, considerado el padre de la geometría analítica, construye el puente entre álgebra y geometría, que más tarde será utilizado para la creación del cálculo infinite­­ simal. 31

F055 las geometrias (7).indd 31

08/11/18 15:44

Pero Descartes no solo revoluciona con su nueva forma de pensar la filosofía, sino también la geometría. Buscando encontrar una forma más sencilla de demostrar los teoremas ya conocidos, Descartes introduce el álgebra en la geometría. De esta manera, considera que en muchos casos un mismo problema puede ser atacado con las reglas del álgebra o bien con regla y compás. La Geometría es uno de los tres ensayos incluidos como apéndices en su famoso Discurso del Método, donde pretende dar un método para entender cualquier ciencia. La Geometría está a su vez formada por tres libros: • Sobre los problemas que pueden construirse solamente empleando círculos y líneas rectas. • Sobre la naturaleza de las curvas. • Sobre la construcción de problemas sólidos y supersólidos. Veamos un ejemplo: “encontrar dos números tales que su suma sea 17, y la suma de sus cuadrados sea 169”. Este problema escrito de manera algebraica, consiste en encontrar las soluciones x e y del siguiente sistema: x + y = 17 x2 + y2 = 169 Es decir, queremos encontrar x e y tales que sean soluciones de ambas ecuaciones a la vez. Para resolverlo, despejamos y en la primera ecuación y usamos su expresión en la segunda ecuación. Así tenemos que la segunda ecuación es x2 + (17 – x)2 = 169 es decir x2 + 172 – 2 · 17x + x2 = 169

32

F055 las geometrias (7).indd 32

08/11/18 15:44

luego, simplemente nos queda resolver esa última ecuación que reducida queda como x2 – 17x + 60 =0 Resolver esta ecuación es un problema conocido y solucionado ya en la Antigüedad. Se trata de una ecuación de segundo grado, es decir, una ecuación del tipo ax2 + bx + c = 0 De la cual sabemos que tiene dos soluciones que satisfacen la siguiente fórmula: x=

−b ± b 2 − 4ac 2a

Así que nuestra ecuación nos da que x=

17 ± 172 − 4 ⋅ 60 17 ± 7 = 2 2

y por tanto x tiene dos soluciones o bien x = 5 o bien x = 12. Si tenemos en cuenta la otra ecuación del sistema, x + y = 17, obtenemos los valores de y, que son y = 12 o y = 5. Es decir, que los dos números cuya suma es 17 y la suma de sus cuadrados es 169 son 5 y 12. Recordando lo aprendido sobre el teorema de Pitágoras, cuando nos encontramos con la segunda ecuación debemos entender que x2 + y2 = 169 que quiere decir geométricamente: “encontrar dos catetos de un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a 13”, puesto que 132 = 169. Descartes plantea que el problema algebraico puede tratarse como el siguiente problema geométrico: “encontrar dos catetos de un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a 13, de tal forma que la 33

F055 las geometrias (7).indd 33

08/11/18 15:44

suma de los catetos sea 17”. Para hacer una interpretación gráfica de este problema primero debemos recordar que todo triángulo inscrito en una circunferencia, de manera que uno de sus lados es precisamente el diámetro de la circunferencia, es un triángulo rectángulo, como vemos en la figura 11. Figura 11 Triangulo rectángulo inscrito en un círculo.

90º

Fuente: Elaboración propia.

Esto es debido a que el valor de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del arco comprendido entre los segmentos que lo encierran. De esta forma, como el arco en este caso es la mitad de la circunferencia, es decir, 180º, el ángulo inscrito es de 90º. Existe también otra figura geométrica que puede ayudarnos a interpretar la suma x + y, la elipse. Esta se define como el lugar de los puntos tal que la suma de sus distancias a dos puntos, llamados focos, es siempre constante. Si entendemos x e y como tales distancias y llamamos a A y B focos, los extremos de la hipotenusa, obtenemos que los lugares donde la elipse corta la circunferencia son las posibles soluciones al problema. Estas vienen determinadas una vez que escalamos, que le damos una medida, a la figura 12. La forma de darle una escala, o medida, consiste en da un eje de coordenadas o eje cartesiano como vemos en la figura 13. Este eje es pues lo que conecta el mundo del álgebra con la geometría, el gráfico con la cantidad numérica. 34

F055 las geometrias (7).indd 34

08/11/18 15:44

Figura 12 Solución genérica sin coordenadas.

Fuente: Elaboración propia.

Figura 13 Solución con coordenadas.

Fuente: Elaboración propia.

De esta forma, en este capítulo hemos visto que en el esfuerzo por fundamentar la geometría se sientan a la vez las bases del pensamiento abstracto. Es el inicio de una nueva era en la que se pasa de conocer unas reglas concretas, como las de construcción de un triángulo rectángulo, a demostrarlas en toda su generalidad e implicaciones. Euclides inspira el nacimiento de la ciencia teórica. 35

F055 las geometrias (7).indd 35

08/11/18 15:44

Además, hemos visto que otras disciplinas, como en este caso la mecánica, sirven a la geometría incluso en sus tareas más fundamentales: demostrar el teorema de Pitágoras. Finalmente, hemos recordado la introducción por parte de Descartes de la noción de “coordenadas”, hoy en día cotidiana y disponible en los navegadores de nuestros coches o nuestros teléfonos móviles.

36

F055 las geometrias (7).indd 36

08/11/18 15:44

CAPÍTULO 2

Las geometrías imaginarias y la teoría de la relatividad

En el capítulo anterior hemos señalado los cinco axiomas de Euclides como los pilares de la geometría. Desde su escritura, el quinto postulado destacó sobre el resto. Veremos, en este capítulo, que su estudio da lugar a lo que en un tiempo se conoció como las geometrías imaginarias, que introdujeron un concepto nuevo, una revolución, que desembocó en aceptar que el espacio puede estar curvado. Y esta noción es precisamente la noción fundamental en la teoría de la relatividad de Einstein. Para llegar a las geometrías imaginarias tendremos que resolver el problema del quinto postulado, que es equivalente a considerar cuántas rectas paralelas a una dada pueden trazarse que pasen por un punto fijo externo a ella. El quinto postulado de Euclides equivale a la existencia de una única recta, la geometría introducida por Lobachevski nos dará un número infinito de rectas, mientras que Riemann creará una geometría donde no es posible encontrar ninguna recta.

El quinto postulado, la pesadilla de Euclides Resulta indudable la magnitud del logro científico de Euclides en sus Elementos, pero ello no excluye la posibilidad de que 37

F055 las geometrias (7).indd 37

08/11/18 15:44

existan errores en su trabajo, pues puede argumentarse, por ejemplo, que su definición de recta (“es aquella línea que se halla igualmente dispuesta con respecto a todos sus puntos”) valdría igualmente para cualquier otra figura. También resulta discutible el rigor lógico de su trabajo, pues en muchos casos se basa en la intuición adquirida por el hábito de nuestra percepción del espacio. Por ello, Arquímedes decide acometer la tarea de perfeccionar el trabajo de Euclides. En particular, intenta mejorar sus postulados añadiendo uno más, el de continuidad, es decir, relacionado con la propiedad de ser continuo1. Este postulado, conocido como el axioma de Arquímedes, dice: “De dos líneas desiguales, de dos superficies desiguales o dos cuerpos desiguales, la mayor resultará ser menor que la magnitud que se obtiene si se repite la menor un número adecuado de veces”. Más adelante, Hilbert propondrá otra axiomatización de la geometría euclídea en su libro Fundamentos de Geometría. Su propuesta será más convincente que otras como la del geómetra polaco Moritz Pasch, o la del lógico matemático de origen italiano Peano. Esto es debido a que sus predecesores hacen uso de un lenguaje simbólico y en exceso abstracto, mientras que Hilbert consigue expresarse de una manera menos simbólica y, por lo tanto, más sencilla, haciendo sus ideas accesibles a todo aquel con interés en la geometría. Más allá de las posibles imperfecciones del trabajo de Euclides, existe un problema que interesó a los matemáticos durante siglos, algo que hace de Euclides un auténtico visionario. En el conjunto de los cinco axiomas del primer libro, los axiomas de la geometría en el plano, hay uno que destaca por su complicación. No parece obvio y a la vez resulta natural. Desde el primer momento la pregunta que se hicieron los matemáticos fue ¿es posible deducir este quinto axioma de los cuatro anteriores y eliminarlo? Curiosamente la solución a 1.  La continuidad es una propiedad topológica de los objetos geométricos. Desde un punto de vista no experto, efectivamente, coincide con la idea de continuo que tenemos en nuestra mente, en oposición a algo discontinuo, como las líneas discontinuas de la carretera.

38

F055 las geometrias (7).indd 38

08/11/18 15:44

esta pregunta tardó siglos. Y todavía más, su solución supuso una idea extremadamente atrevida y revolucionaria que incluso Gauss, “el príncipe de las matemáticas”, tremendamente respetado, teniendo ya una intuición sobre ella y ciertos escritos al respecto, no se atrevió ni a publicarlos ni a mostrar su conformidad con la idea. Para resolver el problema del quinto postulado hará falta decir que hay más geometrías que la euclídea. Euclides parece haber abordado este axioma en un principio como una proposición, pues en su primer libro hay mucho esfuerzo y un claro proceso de proposiciones que llevan a la demostración de la proposición recíproca: “Si dos rectas en un mismo plano son cortadas por una tercera formando ángulos iguales entonces estas dos rectas son paralelas”. Esta es la genialidad de Euclides, el darse cuenta de que no era posible demostrar esta proposición a partir de los cuatro axiomas anteriores. Su solución, darle la entidad de axioma. Con el paso de los siglos los matemáticos descubrirán que la exclusión de este axioma nos llevará a la geometría abstracta, y que sustituyéndolo por otras posibilidades similares, se descubrirán las geometrías no-euclídeas. Esta es la gran importancia del quinto postulado de Euclides. Los intentos, sin embargo, por deducir el quinto postulado a partir de los cuatro anteriores son diversos. Durante dos mil años, de la India hasta Europa, matemáticos de todo el mundo se enfrascaron en encontrar una demostración del quinto postulado. Legendre, entre otros, llegó a publicar varias pruebas que resultaron erróneas, pero con estos intentos consiguió asentar la validez de otro enunciado equivalente al quinto axioma, y de gran utilidad. Este es el nuevo enunciado del quinto axioma según Legendre: “En un triángulo la suma de sus ángulos internos es igual a dos ángulos rectos”. En la figura 14 se muestran de manera gráfica los cinco postulados. El primer y segundo postulado describen la idea de recta pasando por dos puntos, es decir, dos puntos en el plano nos dan una única e interminable recta. El tercero nos 39

F055 las geometrias (7).indd 39

08/11/18 15:44

da los datos que determinan una circunferencia, su centro y un radio. El cuarto postulado engaña, parece muy simple pero es realmente profundo y tendrá su momento revolucionario con Riemann. El cuarto postulado nos dice que independientemente de donde coloquemos un ángulo recto en el plano, este seguirá siendo siempre un ángulo recto. El quinto postulado, como ya hemos comentado, es totalmente revolucionario, y su estudio además de dar origen a nuevas geometrías antes inimaginables, de enseñarnos a hacer un uso cuidadoso de la visión espacial a la que estamos acostumbrados, de forzar el rigor lógico en geometría, supone también la base para las matemáticas que Albert Einstein necesitará para expresar su revolucionaria teoría de la relatividad. Figura 14 Los cinco postulados de Euclides.

Fuente: Elaboración propia.

Existen varias formulaciones equivalentes al postulado de las paralelas, es decir, existen enunciados tales que asumiendo ciertos los cuatro postulados anteriores y el enunciado propuesto, es posible probar el quinto postulado a partir de ellos. Antes mencionábamos el enunciado de Legendre. Pero incluso algunos de estos posibles enunciados equivalentes ya eran conocidos por Euclides, llegando a estar recogidos por este en sus Elementos. Este es el caso, por ejemplo, de la proposición 30 del Libro I que dice lo siguiente: “Rectas paralelas a una misma recta han de ser también 40

F055 las geometrias (7).indd 40

08/11/18 15:44

paralelas entre ellas”. Para probar la proposición 30 supongamos que tenemos dos rectas AB y CD que son paralelas a la recta EF. Si tomamos una recta cortando a AB y EF, cortará en los puntos G con la recta AB y K con la recta EF, pero entonces el ángulo AGK es igual al ángulo GKF. A su vez, la recta GK ha de cortar a la recta CD y, como CD es paralela por hipótesis a EF, el ángulo GHD ha de ser igual al ángulo GKF. De esta forma obtenemos que los ángulos AGK y GHD son iguales, lo cual implica que AB y CD son rectas paralelas entre sí (figura 15). Figura 15 Proposición 30 del Libro I de los Elementos.

Fuente: Elaboración propia.

La demostración, como se puede ver, descansa en la proposición 29 del mismo libro que dice: “Una recta que cruza dos rectas paralelas hace los ángulos alternos iguales, el ángulo exterior igual al ángulo interior opuesto, y la suma de los ángulos interiores del mismo lado iguales a dos ángulos rectos”. En la notación de la figura 14 quiere decir que α = η y χ = ϕ, que α = ε, y, finalmente, χ + ε = 180º. Entre las posibles formulaciones equivalentes del quinto postulado destaca el enunciado conocido como axioma de Playfair, llamado así en honor a este matemático escocés y profesor de filosofía natural de la Universidad de Edimburgo. Playfair escribió los Elementos de Geometría publicados por primera vez en 1795. 41

F055 las geometrias (7).indd 41

08/11/18 15:44

En su trabajo recoge el siguiente enunciado atribuyéndolo a otros matemáticos anteriores a él: “En el plano, dados un punto y una recta, existe una única recta paralela a la dada que pase por ese punto”. Esta forma de ver el quinto postulado no solo lo hace útil para la geometría euclídea, sino que resulta crucial para la geometría afín, la cual se deduce de la geometría euclídea eliminando las nociones métricas de distancia y medida de los ángulos. El axioma de Playfair claramente no precisa de ninguna métrica y se mantiene en la geometría afín. En este contexto es conocido como axioma de las paralelas.

Las geometrías imaginarias Lobachevski fue un matemático ruso nacido en la época de Gauss y muy poco después de la muerte de Euler, dos grandes genios de las matemáticas. Como estudiante de la Universidad de Kazán, fue calificado de alborotador por su participación en las revueltas estudiantiles de la época, y solo sus excelentes cualidades como científico y un humillante proceso por el que se le obligó a admitir su “mala conducta” le redimirían y permitirían ser aceptado al grado de maestro en la misma universidad. Realmente tenía que ser una personalidad de estas características la que podría atreverse a lo que ni el mismo Gauss se atrevió: publicar la existencia de las geometrías imaginarias. Antes de explicar el trabajo de Lobachevski, es importante entender por qué Gauss, a pesar de intuir la existencia de esta geometría e incluso escribir algunas notas sobre ella, no hace públicos sus resultados. En aquella época el sistema filosófico predominante era el desarrollado por Kant. Este profesor de filosofía de Gotinga, que empezó enseñando física y matemáticas y después casi todas las ramas de la filosofía, se contrapone a la doctrina de Hume y construye un sistema que le permite defender las matemáticas y la física como verdadera ciencia. Es 42

F055 las geometrias (7).indd 42

08/11/18 15:44

decir, Kant principalmente da una nueva teoría sobre la que se fundamente la forma en que conocemos el universo. La doctrina de Hume acerca del proceso del conocimiento había llevado al extremo el empirismo inglés. Hume opina que conocemos únicamente a través de los sentidos, y es importante fijarse únicamente en estos, pues de hecho para Hume resulta injustificable la existencia y verdad de las ideas en sí mismas. Sin embargo, Kant introduce un concepto nuevo, el juicio sintético a priori. Si bien el juicio analítico es aquel que no amplía el conocimiento puesto que el predicado está contenido en el sujeto, es decir, se trata prácticamente de una tautología, el juicio sintético sí amplía el conocimiento, esto es, el predicado no está comprendido en el sujeto. El juicio sintético a priori nos amplía nuestro conocimiento pero para ello no tiene por qué basarse en una experiencia, pues se encuentra en contraposición a un juicio a posteriori que se produciría cuando después de una observación, de una experiencia, emitimos un juicio. Para entender estas diferencias de tipos de juicios pueden ponerse unos ejemplos: • Juicio analítico: el todo es mayor que las partes. Es analítico y a priori, y por lo tanto este tipo de juicios son además universales y necesarios para el conocimiento. • Juicio sintético: la distancia entre dos puntos es 5 cm. Además de sintético a posteriori, depende de la experiencia de medir. Por lo tanto, este tipo de juicios nunca puede ser universal y no tiene por qué ser necesario. Kant, en el libro segundo de la Crítica de la razón pura, entre los axiomas de la intuición, asevera: “La proposición: 5 + 7 = 12 no es analítica, pues ni en la representación de 7, ni en la de 5, ni en la representación de la composición de ambas pienso yo en el número 12; […] Pero aunque sintético, es sin embargo una proposición particular. Por cuanto se atiende aquí solo a la síntesis de lo semejante (las unidades), no puede 43

F055 las geometrias (7).indd 43

08/11/18 15:44

la síntesis ocurrir más que de una única manera, aunque el uso de esos números es luego universal. […] Este principio trascendental de la matemática de los fenómenos da a nuestro conocimiento a priori una gran ampliación”. La existencia de juicios sintéticos a priori es pues absolutamente contraria a todo empirismo. Además, Kant afirma, al contrario que Hume, que no podemos conocer la realidad directamente, que de nuestros sentidos obtenemos una serie de experiencias que somos nosotros quienes clasificamos y ordenamos. En otras palabras, el tiempo y el espacio están en nosotros y de esta forma ordenamos la experiencia: “El espacio no es un concepto empírico de experiencias externas. […] es una representación necesaria a priori que está en la base de todas las intuiciones externas. […] El espacio no es un concepto discursivo o, según se dice universal, de las relaciones de las cosas en general, sino una intuición pura. Pues primeramente no se puede representar más que un único espacio, y cuando se habla de muchos espacios, se entiende por esto solo una parte del mismo espacio único. La geometría es una ciencia que determina las propiedades del espacio sintéticamente y, sin embargo, a priori. ¿Qué tiene que ser pues la representación del espacio para que sea posible semejante conocimiento de él? Tiene que ser originariamente intuición, porque de un mero concepto no se pueden sacar proposiciones que vayan más allá del concepto. Esto es sin embargo lo que ocurre en la geometría. Pero esa intuición debe de hallarse en nosotros a priori, es decir, antes de toda percepción de un objeto y ser, por tanto, intuición pura, no empírica. […] Por lo tanto, solo nuestra explicación hace concebible la posibilidad de la geometría como conocimiento sintético a priori”. Todas estas afirmaciones hacen pensar que Kant entiende la geometría euclídea como la única geometría que todos compartimos en nuestra idea de espacio. Parece que en su sistema solo es posible una única geometría. Quizá este fuera el impedimento para Gauss a la hora de hacer públicas sus consideraciones sobre otras geometrías posibles. Probablemente 44

F055 las geometrias (7).indd 44

08/11/18 15:44

el propio Kant, si hubiera conocido las geometrías imaginarias, las habría aceptado plenamente. En cualquier caso, será Riemann quien nos explicará estas geometrías como curvaturas del espacio, de esta forma serán parte de una única geometría, igual que, en el fondo, todas las geometrías de las que hablaremos son una sola, encarnando distintas propiedades o formas de estudiar el mismo objeto: el espacio. Lobachevski fue profundamente criticado por sus ideas innovadoras. Su carácter innovador y emprendedor no le favoreció en la vida política de la universidad, sino que fue despreciado en varias ocasiones. Ya en 1823, cuando presenta un curso de Geometría a las autoridades académicas de su universidad, este manuscrito es rechazado y fuertemente criticado. Lobachevski continúa sus investigaciones, siempre inspirado por la repercusión de las ideas de D’Alembert sobre la enseñanza de la geometría. En aquella época muchos libros habían surgido siguiendo las indicaciones de este en el tomo VII de la Enciclopedia (1757). Estas ideas generaron al menos tres aclamados libros de Bezout, Lacroix y Legendre, respectivamente, de los cuales el del último es quizá el más interesante pues en él prueba (erróneamente) el quinto postulado. En la proposición XXX del libro primero de Éléments de géometrie, Legendre prueba que la suma de los ángulos internos de un triángulo ha de medir dos ángulos rectos. Pero en su prueba comete un error inadmisible, y es que utiliza implícitamente el quinto postulado. La Geometría de Lobachevski no es comprendida por sus contemporáneos. Su libro, dividido en trece capítulos, comienza con cinco donde no se utiliza el quinto postulado. Estos capítulos sugieren una geometría abstracta, válida de por sí sin el quinto postulado. Lobachevski incluso estructura su libro en tres partes de acuerdo con las enseñanzas de D’Alembert e intenta probar el quinto postulado siguiendo el enunciado de Playfair. Comienza intentando una demostración por reducción al absurdo, esto es, una demostración en la que se comienza suponiendo lo contrario de lo que se quiere demostrar y si se llega a alguna contradicción entonces 45

F055 las geometrias (7).indd 45

08/11/18 15:44

quiere decir que el enunciado contrario al que queríamos demostrar era falso y por tanto el que queríamos demostrar verdadero. Pero en este caso Lobachevski no llega a una contradicción. Tras suponer que dada una recta y un punto externo a ella puede dar dos rectas que no cortan a la recta dada, Lobachevski construye un bello edificio geométrico que llama geometría imaginaria. Claramente Lobachevski intentaba demostrar el quinto postulado a partir de los cuatro anteriores, sin embargo sus investigaciones le llevan, en 1826, a redactar un informe donde anuncia su descubrimiento de una nueva geometría. Sin embargo, este informe presentado en la Universidad de Kazán es rechazado y nunca llega a publicarse. Conocemos los resultados simplemente gracias a que años más tarde el propio Lobachevski los publica en una revista educativa de la universidad. Este tipo de publicación le permite más espacio y explicar mejor sus ideas. Aun así, de nuevo lo critican. Lobachevski ha de esperar a que su trabajo llegue a manos de Gauss para recibir la merecida recompensa de aceptación. En 1842 Gauss propone a Lobachevski como miembro de honor de la Sociedad Científica de Gotinga, considerándolo un matemático excelente del Estado ruso. El otro gran aventurero de la geometría no-euclídea es un matemático húngaro llamado János Bolyai. János era hijo de uno de los grandes matemáticos de Hungría. Su padre, Farkas Bolyai, ocupó un puesto en la Academia de Ciencias Húngara a partir de 1832, después de la publicación de su libro Elementos de Aritmética. Fue un niño prodigio que dominaba la matemática superior a los 14 años, el cálculo diferencial y la mecánica, además de dominar nueve idiomas, entre ellos el chino y el tibetano. Su padre intentó que estudiara con Gauss en Gotinga, pero finalmente seguiría un programa en la Imperial y Real Academia de Ingenieros Militares. Licenciado en el año 1820, estuvo obsesionado con la cuestión de las paralelas, dando testimonio de ello las cartas a su padre. En 1823 le anuncia el descubrimiento de una nueva geometría, pero no es hasta 1831 cuando Farkas Bolyai por 46

F055 las geometrias (7).indd 46

08/11/18 15:44

fin entiende y aprecia el trabajo de János y le propone publicarlo como apéndice de su obra el Tentamen, con el título “Apéndice, la ciencia absoluta del espacio independiente de la verdad o falsedad del axioma V de Euclides (que nunca se podrá establecer a priori) seguido de la cuadratura geométrica del círculo, en el caso de falsedad del axioma V”. En él construye una geometría abstracta independiente del quinto postulado de Euclides. Es considerado por muchos como el Copérnico de la matemática húngara. Su apéndice fue publicado varias veces en húngaro y traducido a varios idiomas, incluido al inglés en 1891. Aun así, no fue considerado en su época ni, especialmente, en su patria. De la correspondencia de Gauss con otros matemáticos se deduce que el príncipe de las matemáticas ya había llegado a la conclusión de que era posible que la geometría euclídea no fuera suficiente para explicar el mundo físico. Podría ser que hubiera sido el primero en descubrir su existencia. Resulta paradójico que no publicara sus razonamientos pero que sin embargo una de sus obras culmen, Investigaciones ge­ nerales sobre las superficies curvas, fuera la inspiración necesaria para el posterior trabajo de Riemann, que aunaría todas estas geometrías bajo lo que luego se llamaría geometría riemanniana, donde se asume como idea de fondo que el espacio puede tener diferentes curvaturas. Gauss, en sus Investigaciones, sienta las bases de la geometría diferencial tal y como hoy la entendemos. En esta obra estudia sistemáticamente las superficies como objetos parametrizados por dos variables y define lo que hoy conocemos como curvatura de Gauss, que muestra cómo se curva un objeto en el espacio euclídeo en función de la forma de medir que tengamos, es decir, de la métrica. El teorema más importante de este trabajo es el de egregium de Gauss, que dice que “la curvatura [de Gauss] permanece constante si doblamos la superficie sin estirarla”. Esto quiere decir que la curvatura es un invariante intrínseco de la superficie que depende únicamente de la métrica que tenemos en la superficie (es decir, de la forma de medir distancias sobre la superficie), pero no 47

F055 las geometrias (7).indd 47

08/11/18 15:44

de la forma en que la superficie está embebida en el espacio tridimensional. Por ejemplo, la curvatura de la esfera de radio R es 1/R2 y la del plano es 0. Este cálculo tiene una implicación en cartografía, ya que nos dice que cualquier forma de representar en el plano la superficie terrestre distorsionará alguna medida.

Modelos de la geometría de Bolyai-Lobachevski Una vez construida la base de la geometría de Bolyai-Loba­­ chevski el siguiente paso consistió en construir un modelo que demostrase la ausencia de contradicciones de la teoría. Por lo menos, existen cuatro modelos de esta geometría no-euclídea: • • • •

La pseudo-esfera. El disco de Poincaré. El semiplano de Poincaré. El hiperboloide.

Beltrami, en 1868, usando el trabajo del matemático polaco Ferdinand Minding sobre superficies de curvatura constante, construye una superficie de revolución que tiene como curva generatriz la tractriz. Esta se define como la curva que describe un objeto al ser arrastrado por otro que avanza en línea recta a una distancia determinada y constante. Un ejemplo de tractriz nos lo proporciona el esquí acuático: la curva que describe el esquiador arrastrado por la lancha desde una posición de reposo hasta que la lancha al pasar junto a él tira del esquiador y este comienza a esquiar es precisamente una tractriz. La cuerda que une el esquiador a la lancha no ha de ser elástica para mantener la distancia constante. Matemáticamente, la tractriz se puede describir como aquella curva que mantiene en todos sus puntos la propiedad de que la tangente a la curva por ese punto mide la misma distancia al eje de la curva. Su ecuación paramétrica es la si­­ guiente: 48

F055 las geometrias (7).indd 48

08/11/18 15:44

x = d(logtan(θ/2) + cos(θ)) y = dsin(θ) donde d es el valor de la distancia que se mantiene constante (figura 16). Figura 16 La tractriz.

Fuente: Elaboración propia.

El hallazgo de Beltrami consiste en que la geometría intrínseca de la pseudoesfera efectivamente coincide con la geometría del plano de Lobachevski. Es decir, que a cada proposición de la geometría de Lobachevski le corresponde otra proposición en la geometría intrínseca de la pseudoesfera (figura 17). La geometría de Lobachevski es, pues, una descripción abstracta de la geometría intrínseca de la pseudoesfera. De esta forma Beltrami hace que la geometría imaginaria se haga realidad. Figura 17 La pseudoesfera.

Fuente: Elaboración propia.

49

F055 las geometrias (7).indd 49

08/11/18 15:44

Siguiendo los posteriores hallazgos de Riemann, también se llamó a este modelo do pseudoesfera por ser una superficie de curvatura constante, tal y como lo es la esfera, aunque en este caso su curvatura tiene valor negativo. Al modelo de Beltrami le siguió el modelo del disco de Poincaré, que consiste en un círculo donde se consideran todos los puntos del interior del círculo excepto los puntos de la circunferencia que lo delimita, es decir, su borde. Las rectas de la geometría hiperbólica son arcos de circunferencia que cortan la circunferencia del borde perpendicularmente. Diremos que dos rectas son paralelas en el modelo hiperbólico de Poincaré si coinciden en uno de los puntos de corte con la circunferencia del borde. En la figura 18 observamos que dos rectas paralelas a la recta l por el punto P son las rectas r y s (observamos que contrario a lo que ocurre en la geometría euclídea r y s a pesar de ser paralelas a l, no son paralelas entre sí). Esto contrasta drásticamente con la geometría euclídea, pues en el modelo de Poincaré, en le geometría hiperbólica, por un punto exterior a una recta dada podemos trazar más de una recta paralela a la recta inicial, mientras que en la geometría euclídea solo se puede trazar una. Figura 18 El disco de Poincaré.

l s r

P

90º

Fuente: Elaboración propia.

50

F055 las geometrias (7).indd 50

08/11/18 15:44

Otro modelo es el del semiplano de Poincaré, que consiste en la siguiente construcción. Tomamos el semiplano positivo. Los puntos de nuestro espacio son aquellos puntos de coordenadas (x,y) donde y es estrictamente positiva. Las rectas hiperbólicas en este caso son las semicircunferencias con centro en el eje de las x y además también las semirectas perpendiculares a él (figura 19). Figura 19 El semiplano de Poincaré. m

n P

s

r l

Fuente: Elaboración propia.

El hiperboloide de revolución embebido en el denominado espacio de Minkowski de tres dimensiones se aplicará a la teoría especial de la relatividad, ya que el espacio de Minkowski es el modelo para el espacio-tiempo relativista. Todos estos modelos se relacionan unos con otros por ser modelos de la misma geometría, la hiperbólica. Pero ¿por qué se ven tan diferentes? La respuesta es sencilla y se debe a la noción de curvatura de Gauss y a la clasificación de las superficies según su curvatura. Todas las superficies de las que hemos hablado han de tener curvatura constante negativa, mientras que el espacio euclídeo donde las hemos metido para visualizarlas (el papel donde hemos dibujado estos modelos) tiene curvatura constante nula (por ser euclídeo). Esto quiere decir que la función que implícitamente usamos al representar tales modelos, y que los matemáticos llamamos embebimiento por embeber una superficie dentro de un espacio, no mantiene constante la curvatura, no obliga a la superficie 51

F055 las geometrias (7).indd 51

08/11/18 15:44

a heredar la curvatura del espacio ambiente donde habita. Por lo tanto, estos embebimientos no son funciones isométricas, es decir, no mantienen la forma en que se mide, no preservan la métrica. Figura 20 El hiperboloide.

Fuente: Elaboración propia.

Esta es la importancia de la métrica. Y esto nos plantea otra pregunta: si bien en la geometría euclídea el camino más corto entre dos puntos es la línea recta, ¿cuál será en la geometría hiperbólica? Como dependemos del embebimiento que usemos para visualizarlo, la respuesta depende del modelo que usamos. Esta línea que minimiza la distancia entre dos puntos es la geodésica. En el modelo del disco de Poincaré las geodésicas son ahora arcos (rectas) que cruzan el disco de tal manera que sus extremos cortan al borde del disco perpendicularmente.

La revolución de Riemann y la geometría esférica Una vez aceptada la posibilidad de un mundo diferente al imaginado por Euclides, los científicos estuvieron preparados para la llegada de Riemann. Hay que recordar que Riemann llega en un momento histórico marcado por el cambio. La 52

F055 las geometrias (7).indd 52

08/11/18 15:44

Revolución francesa ha extendido por Europa la democratización de todos los estamentos incluido el científico. Los estudios universitarios pasan de ser un privilegio a una necesidad nacional; al mismo tiempo se asienta la evidencia de que un país será tan fuerte como lo sea su ciencia. Dentro de ese clima, las matemáticas se sitúan como la reina de las ciencias. París es la capital de las ideas revolucionarias y se hace con la posición de ser la capital de las ciencias en Europa, todo ello concentrado en dos instituciones l’École Normale y l’École Politecnique, fundadas en 1794 en plena Revolución. Después de las Investigaciones generales sobre las superfi­ cies curvas de Gauss, la cuestión del rigor lógico se desplaza al cálculo diferencial y aparece una nueva noción denominada infinitesimal, que, aunque no sea completamente rigurosa, es adoptada por los matemáticos de esta época gracias al poder de sus resultados. Por ejemplo, para entender esta noción calculemos la derivada de la función y = x2 usando infinitesimales. Para ello tomamos un incremento pequeño de y que llamamos dy y a la vez un incremento pequeño de x denominado dx. De esta forma: y + dy = (x + dx)2 = x2 + 2xdx + (dx)2 es decir, y + dy = y + 2xdx + (dx)2 por lo que finalmente, como dx es un incremento muy pequeño pero distinto de cero, obtenemos: dy = 2x + dx dx

El problema de rigor aparece ahora. La idea es despreciar dx en el lado derecho de la ecuación, quedándonos con el conocido valor de la derivada de la función y respecto a x, es decir: dy = 2x dx

53

F055 las geometrias (7).indd 53

08/11/18 15:44

Pero despreciar una cantidad que hemos asumido distinta de cero no resulta especialmente riguroso y nos presenta un problema. La solución a este problema de rigor matemático viene de la mano de Cauchy, que introduce la idea de límite. Gracias a esta idea se consigue expresar de manera rigurosa la cuestión de despreciar dx llevando, este incremento, en el límite al valor cero. El matemático francés Fourier publica su Teoría analítica del calor donde usa series de potencias cuyos coeficientes se calculan con integrales que resuelve usando una variable compleja. Por aquel entonces Gauss ya había aceptado abiertamente el uso de los números complejos y había introducido la de plano complejo. Antes de continuar debemos introducir un nuevo concepto, el de número complejo. Estos surgen al intentar resolver la ecuación x2 = -1 Como bien sabemos, no existe ningún número real tal que su cuadrado sea negativo. Dado que para cualquier valor real α positivo el álgebra nos permite decir que −a = −1 ⋅ α , una solución de la ecuación x2 – 1 = 0 nos solucionaría el problema para la raíz de cualquier –α y no solo para la raíz de –1. La forma de resolver el problema es inventar un nuevo número, el número imaginario i. Simplemente definimos i :=

−1,

o equivalentemente definimos i como el número que cumple que i2 = –1. Los reales junto con todas las operaciones que podemos hacer con este nuevo número (por ejemplo, la suma 2 + i, o la multiplicación 3i) componen el cuerpo de los números complejos. El plano complejo es la forma geométrica de representar todos los números complejos. Es decir, si z es un número complejo, este puede expresarse como z = a + bi donde a y b son números reales o, a través de la fórmula de Moivre, de la siguiente manera: z = r(cosθ + isinθ) = rexp(iθ) 54

F055 las geometrias (7).indd 54

08/11/18 15:44

como se representa en la figura 21. En cualquier caso z cumple las propiedades de pertenecer a un cuerpo (un conjunto de números satisfaciendo ciertas propiedades respecto a dos operaciones, como por ejemplo los reales con la suma y la multiplicación) tal que la ecuación x2 – 1 = –1 tiene como solución i. Figura 21 El plano complejo. i lR z r

b θ

a

lR

Fuente: Elaboración propia.

Cauchy es también quien formaliza el estudio de las funciones de variable compleja, es decir, aquellas que toman sus valores del plano complejo y los transforman en otros valores del plano complejo. Por aquella época, Lagrange encuentra que la ley de Newton de atracción de dos cuerpos, F =G

mM d2

donde F es la fuerza con que se atraen dos cuerpos de masas m y M, d representa la distancia entre ellos y G es la constante gravitacional universal, puede interpretarse como la diferencial de una función V (x,y,z) llamada potencial, esto es: ∂V∂V∂V ∂V∂V∂V ∂V∂V∂V FxF=xF= x = FyF= yF= y = F2F= 2F= 2 = ∂x∂x∂x ∂ y∂ y∂ y ∂ z∂ z∂ z

En realidad, de lo que dio cuenta Lagrange es que el campo F es un campo conservativo, es decir, (Fx,Fy,Fz) = (0,0,0), 55

F055 las geometrias (7).indd 55

08/11/18 15:44

equivalentemente dF = 0. Recuperando la idea de derivada como variación infinitesimal, también podemos decir que un campo conservativo es aquel para el que su variación es nula (que gracias a Cauchy es lo mismo que decir dF = 0). Al ser nula, una cierta regla, dada por las llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann, nos asegura que se puede deducir que debe de existir una función que lo integre, es decir, una función f tal que F = df, ya que en este caso dF = d2f = 0 (la segunda igualdad d2f = 0 es la que utiliza las ecuaciones de Cauchy-Riemann, y da condiciones en f para que ocurra siempre). Una función f cumpliendo estas condiciones para otra función F se llama potencial de F. En nuestro caso, el potencial de F es, precisamente, por tal y como hemos construido F, la función V. Esta corriente de ideas, que formalizan nociones físicas, es en la que se embarca Riemann en su llegada a la Universidad de Gotinga a principios de 1845. No es de extrañar que Riemann se viera atraído por la efervescencia de este momento tan productivo en matemáticas, aunque la idea de Riemann a su llegada a la universidad fuera la de estudiar teología, según los deseos de su padre, que era pastor luterano. Riemann se interesa por el estudio de la fuerza gravitacional y la electrodinámica, que en aquel momento ya se intuían como dos caras de la misma moneda. Experimentalmente se conoce que ambas fuerzas son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia que separa los objetos estudiados. La manera de hacer matemáticas de Riemann pertenecía a una nueva corriente donde predominan las ideas antes que los cálculos. En el caso de Riemann esto se concreta en dar un punto de vista geométrico a su trabajo. Por ejemplo, tomó la teoría de funciones de variable compleja de Cauchy y le dio un enfoque totalmente geométrico creando las superficies de Riemann. Esta manera de estudiar las funciones de variable compleja desde un punto de vista geométrico lleva a Riemann a introducir la idea de representación conforme. Una aplicación f:V → W que transforma el plano V en el plano W, se 56

F055 las geometrias (7).indd 56

08/11/18 15:44

dice conforme si preserva ángulos entre vectores. Esto quiere decir que si nos dan dos vectores u y v del plano V y llamamos θ = (u , v ) al angulo que forman, entonces las imágenes de estos, f(u) y f(v), forman un ángulo ( f (u ), f (v )) que resulta ser también igual a θ, como describe la figura 22. Figura 22 La función f es conforme.

Fuente: Elaboración propia.

Riemann consideró el plano, escrito matemáticamente,ℝ2 desde el punto de vista de los números complejos, de la manera que hemos visto en la figura 21 y probó que la función es conforme si y solo si cumple una propiedad específica de las funciones f(z) con variable compleja z conocida como analiticidad. Este resultado es el llamado teorema de Riemann. Los trabajos de Riemann son amplios. Comienzan con el estudio de lo que ahora conocemos por topología, construye una clasificación de las superficies (compactas), formaliza la teoría de integrales y, aún más, su estudio de las funciones de variable compleja le lleva a descubrir la función zeta de Riemann: 1 1 1 1 = s + s + s + ... s 1 2 3 n =1 n ∞

ς ( s) = ∑

sobre la cual conjetura que solamente se anula para valores enteros negativos pares, es decir, z = -2, -4…, o aquellos números complejos cuya parte real sea igual a 1/2, por ejemplo números complejos de la forma: z=

1 + it 2 57

F055 las geometrias (7).indd 57

08/11/18 15:44

Esta conjetura tiene la particularidad de estar relacionada con la forma en que se distribuyen los números primos a lo largo de la recta real. Tan importante resulta esta conjetura que en el año 2000 el Instituto Clay de Matemáticas la propuso entre los problemas que consideran fundamentales para el futuro desarrollo de las matemáticas. El premio por resolver cada uno de estos problemas es de un millón de dólares. La hipótesis de Riemann, que es como se denomina a la conjetura, es uno de esos siete problemas de los cuales solo está demostrado uno: la conjetura de Poincaré, y que pertenece al mundo geométrico (la hipótesis de Riemann es considerada un problema del reino de la teoría de números). Figura 23 Clasificación de superficies.

Fuente: Elaboración propia.

El estudio de las integrales lleva a Riemann al mundo de la topología y de ahí a dar una clasificación de superficies dependiendo de cómo sean las curvas cerradas que se puedan dibujar sobre ella, si es posible deformarlas continuamente a un punto o no (figura 23). La posible deformación a punto de la curvas sobre una superficie está intrínsecamente relacionada con el género de la superficie. La clasificación de Riemann muestra que es el género de una superficie lo que realmente distingue, salvo transformaciones conformes, una superficie de otra. Este es un gran logro, pero la intención de Riemann parece ser la de modelar todas las fuerzas de la 58

F055 las geometrias (7).indd 58

08/11/18 15:44

naturaleza. Es en esta búsqueda como Riemann encuentra que la geometría de Euclides no es suficiente para modelar todas las fuerzas físicas. En 1854 Riemann propone un nuevo marco de estudio, que ahora conocemos como geometría riemanniana, y será el marco en el que posteriormente Einstein consiga alcanzar el sueño de Riemann. De hecho, Einstein afirmaría que Riemann fue un revolucionario en su concepción geométrica del universo. Las influencias de Riemann, cuyo director de tesis había sido Gauss, son en ese momento el físico Weber, los matemáticos Listing y Dirichlet y el filósofo Herbart. De este modo, cuando Riemann se presenta a su puesto de Privatdozent, los tres temas requeridos para su habilitación, de los cuales el tribunal elegiría uno, fueron: la representabilidad de una función mediante series trigonométricas, la resolución de dos ecuaciones de segundo grado con dos cantidades indeterminadas y sobre las hipótesis en las que se funda la geometría. Este último tema será recogido y publicado, 14 años más tarde (dos años después de la muerte de Riemann), por Dedekind. El director del tribunal para tal habilitación era nada menos que Gauss, así pues no es ninguna sorpresa para nosotros que el tema elegido por Gauss, para que el candidato lo expusiera, fuera precisamente el tercero. La geometría elíptica resulta aún más desconcertante que la hiperbólica. Riemann se pregunta por espacios que tengan siempre la misma curvatura en cada punto, es decir, espacios de curvatura constante. Estos se dividen en tres categorías según si la curvatura es negativa, positiva o nula: • Espacios de curvatura negativa: aquellos que obedecen las reglas de la geometría hiperbólica. • Espacios de curvatura nula, su geometría es la euclídea también conocida como parabólica. • Espacios de curvatura positiva, donde se trabaja la geometría elíptica o también llamada geometría esférica. 59

F055 las geometrias (7).indd 59

08/11/18 15:44

Einstein y la relatividad En 1879 nació uno de los científicos más conocidos en la his­ ­toria de la ciencia. Su estilo desgreñado, su personalidad bohe­ ­­­mia y, sobre todo, la sencillez con la que se puede abordar su teoría hicieron de él una estrella con la misma repercusión social que disfrutan los personajes del mundo del arte o de la política. Einstein es y será siempre el paradigma del científico, aquel con quien compararemos futuras mentes brillantes. Sin embargo, desde el punto de vista de la geometría, no podría haber existido un Einstein con éxito sin un Riemann o un Hilbert. La teoría de la relatividad de Einstein llegó en el momento perfecto, cuando eran posibles los cálculos que la validaran. Y a la vez impulsó el desarrollo de una geometría y un renacimiento para la interacción entre física y matemáticas. Todo movimiento es relativo y además, siguiendo a Newton, es posible calcular la velocidad relativa de los objetos móviles. El clásico ejemplo es el del pasajero del tren moviéndose dentro del vagón, el tren en movimiento y un observador esperando en la estación. Por lo tanto, si el tren se mueve a 60 km/h alejándose de la estación, y el pasajero a 5 km/h también alejándose de la estación, la velocidad relativa de este pasajero con respecto a la estación es de 65 km/h. Pero la luz también viaja y sin embargo los experimentos nos dicen que su velocidad relativa a cualquier observador es siempre la misma. De esta manera, la velocidad de la luz de una linterna en posesión del pasajero dentro del vagón será la misma con respecto a este pasajero, con respecto al tren y con respecto al observador en la estación. Este misterio lo resolvió Einstein en 1905 con la que denominó como la teoría especial de la relatividad. Las leyes de Newton no se aplican pues en el caso de la luz. Pero son las leyes descritas en la teoría de la relatividad especial las que explican que la velocidad relativa de la luz sea siempre la misma. Lo que no quiere decir que las leyes de Newton estén equivocadas, sino que no explican lo que 60

F055 las geometrias (7).indd 60

08/11/18 15:44

sucede para objetos que viajan a una velocidad parecida a la de la luz. Sin embargo, la teoría de Einstein sí lo hace. Y mejor, la teoría de Einstein, cuando la velocidad es pequeña, coincide con la de Newton. ¿Qué ocurre? Sencillamente que la forma de calcular la velocidad relativa en una y otra teoría es diferente. De hecho, la fórmula para calcular las velocidades relativas desde el punto de vista de la relatividad especial es, en lugar de la mera adición, la siguiente: νr =

νb + ν ν ν1 1+ v 2

donde νr es la velocidad de un cuerpo dentro del tren con respecto a la estación, νb es la velocidad de ese cuerpo con res­­ pecto al tren, ν la velocidad del tren y c la velocidad de la luz. Que la velocidad de la luz sea la misma en todas las referencias tiene consecuencias curiosas. Por ejemplo, esto implica que el espacio y el tiempo son relativos y tiene efectos a la hora de definir el momento de una partícula y, como tal, su energía. De hecho, la fórmula de la energía de un objeto en movimiento es, en esta teoría, E=

mc 2 1−

v2 c2

Donde m es la masa del cuerpo en cuestión y ν su velocidad. Y cuando el objeto está en reposo se convierte en una de las ecuaciones más famosas de la historia de la ciencia: E = mc2 En 1912 Einstein se traslada a Zúrich como catedrático de la Escuela Politécnica Federal de esta ciudad (conocida como ETH), y pide ayuda a Marcel Grossmann, matemático de la ETH y geómetra diferencial, para atacar matemáticamente su teoría general de la relatividad. 61

F055 las geometrias (7).indd 61

08/11/18 15:44

La geometría diferencial es toda aquella geometría que trata de objetos definidos por funciones derivables. De esta manera, las geometrías anteriores, en especial la de Riemann, están consideradas dentro de la geometría diferencial. Apelando al enfoque de la geometría introducida por Riemann, Einstein considera la acción de la gravedad en términos de la propia geometría del espacio-tiempo. De esta forma, el potencial newtoniano será sustituido por el tensor métrico (gµv donde 1 ≤ µ ≤ ν ≤ 4). Entre 1912 y 1915 Einstein se dedica a buscar la versión correcta a esas ecuaciones de campo. Realiza un famoso trabajo con Grossmann, llamado el Entwurf o Boceto, donde se proponen unas ecuaciones de campo que sin embargo no cumplen ni predicen todos los requisitos para ser consideradas la teoría final. En julio de 1915 Hilbert invita a Einstein a dar un ciclo de conferencias en Gotinga y es entonces cuando la interacción con Hilbert inspira en Einstein las ecuaciones de campo correctas. A su vez, Hilbert ya había estado trabajando en unos fundamentos unificados para la física. Y en noviembre de 1915 ambos presentan, en la Academia de Ciencias de Berlín uno y en la Academia de Ciencias de Götingen el otro, sus resultados. Cuatro notas, que descartan el Boceto en el caso de Einstein, y un trabajo titulado Los fundamentos de la física por parte de Hilbert. En este momento revolucionario de la historia es la geometría de Riemann la que provee a la física de las herramientas necesarias para formular sus teorías. Las ecuaciones de campo de la teoría general de la relatividad son: Rµν −

1 8π G g µν K + Λg µν = 4 Tµν 2 c

donde Rµv es el tensor de Ricci asociado a la métrica, K es la curvatura de Riemann,  la constante universal y Tµv es el tensor energía de tensión. A pesar de que toda analogía contiene engaños, existe un experimento que suele utilizarse para explicar lo que significa la teoría de la relatividad general. Este consiste en imaginar 62

F055 las geometrias (7).indd 62

08/11/18 15:44

una sábana extendida y lanzar una canica sobre ella. Si la sábana no está completamente en tensión podremos ver que el peso de la canica define unos surcos en la sábana a medida que avanza sobre ella. A pesar de que lancemos la canica una y otra vez sobre la sábana de la misma forma, será la tensión de la sábana o incluso la presencia de otra canica en ella, su peso, la que obligue a nuestra canica a definir unos surcos más o menos pronunciados y diferentes trayectorias en su recorrido. Si retiramos la sábana y observamos la trayectoria descrita por nuestra canica en presencia de otra, apreciamos que el peso de la otra canica ejerce una fuerza de atracción sobre nuestra canica. En palabras del físico John Wheeler: “El espacio le dice a la materia cómo debe moverse y la materia le dice al espacio cómo debe curvarse”. Es así como Einstein geometriza el concepto de gravedad.

Sistema axiomático de Hilbert Dentro de la discusión que mantiene la historia de la filosofía entre la razón (alimentada por el pensamiento de la Ilustración) y la intuición, las matemáticas se han mantenido siempre al margen ya que conceptos como verdad o certeza forman parte del desarrollo e historia de estas. En el caso del siglo XIX, el ansia por el rigor es la que posibilita el nacimiento de las geometrías imaginarias. Sin embargo, este rigor no está unido al uso de sistemas axiomáticos. Quizá influido por la axiomatización de la aritmética realizada por Peano, Hilbert escribe sus fundamentos de la geometría. En 1899 Hilbert publica una axiomatización de la geometría que difiere fundamentalmente de la axiomatización de Euclides. Mientras que Euclides ve los axiomas como verdades irrefutables, Hilbert los trata como hipótesis que construyen una teoría pero que pueden ser reemplazadas. Claramente esta es una visión influenciada por el nacimiento de las recientes nuevas geometrías. 63

F055 las geometrias (7).indd 63

08/11/18 15:44

Podríamos intentar ver la geometría de Hilbert con la geometría absoluta de Bolyai, aquella cuyos axiomas son comunes a las geometrías euclídeas y no euclídeas. Sin embargo, la diferencia está en el enfoque de los propios axiomas. En la geometría absoluta de Bolyai, este se basa en los axiomas ideados por Euclides, y por tanto nociones como la de orden son verificadas a simple vista, es decir, basta con decir que un punto C está situado sobre la recta entre los puntos A y B, con observarlo empíricamente. Se incluyen esos axiomas como verdades irrefutables que percibimos de manera experimental o intuitiva y por tanto han de pertenecer al sistema. De esta manera, el sistema axiomático de Hilbert incluye el orden como uno de sus axiomas y por tanto como algo que puede tomarse o no como hipótesis. Los axiomas de Hilbert se agrupan en: • • • •

Incidencia, que coinciden con los de Euclides. Orden, no encontrados entre los de Euclides. Congruencia, sí encontrados entre los de Euclides. Paralelismo, que es uno solo y coincide con el quinto postulado. • Continuidad, que consiste en dos enunciados que se encuentran entre los de Euclides. Con este sistema de axiomas, Hilbert abandona el uso de la percepción visual del espacio como método de comprobación en busca de esa certeza siempre esperada del pensamiento matemático. De este modo cualquier prueba se lleva a cabo con un auténtico rigor lógico. La axiomatización de Hilbert de algo tan visual como la geometría, algo que había partido hasta entonces de la intuición, lleva al formalismo de los filósofos y lógicos más representativos de finales del siglo XIX, el alemán Frege y el inglés Russell. En una carta a Frege, fechada el 7 de noviembre de 1903, Hilbert sienta las bases de cómo debe realizarse cualquier formalización lógica, basándose en su exitosa axiomatización de 64

F055 las geometrias (7).indd 64

08/11/18 15:44

la geometría: “Lo que es decisivo es el reconocimiento de que los axiomas que definen el concepto estén libres de contradicciones”. Esta es pues una revolución en la historia de la filosofía que propicia el desarrollo del logicismo. Su máximo exponente es Russell con su trabajo Los principios de las mate­ máticas, publicado en 1903. En este capítulo hemos visto que el estudio del quinto postulado llevó al nacimiento de las primeras geometrías no euclídeas, revolucionando el pensamiento filosófico del momento. Más aún, la aparición de las geometrías no euclídeas inspira a Riemann, que a su vez abre la puerta a la formulación matemática de la teoría de la relatividad de Einstein. Un axioma, el quinto, lleva a revoluciones tanto en la filosofía como en la física. Finalmente, las nuevas geometrías desembocan también en una revolución en la misma matemática al inspirar en Hil­­ bert y en Russell la idea de la necesidad de una formulación rigurosa de esta.

65

F055 las geometrias (7).indd 65

08/11/18 15:44

CAPÍTULO 3

La geometría algebraica y la física moderna

Hasta ahora hemos visto la geometría como el estudio de las formas en el espacio. Estas formas del espacio, que pueden ser por ejemplo curvas o superficies, se describen a través de ecuaciones de muy diversa índole. Son ecuaciones que pueden contener funciones tan complicadas como las exponenciales y los logaritmos, que, a pesar de su dificultad, sabemos estudiar. Pero un teorema de otra rama de las matemáticas, el teorema de aproximación de Weierstrass, afirma que podemos aproximar estas funciones por polinomios. Nace así la geometría algebraica, que es aquella cuyos objetos son descritos como ceros de polinomios, por ejemplo, la parábola (figura 24) El éxito de esta geometría viene de la revolución que supone la poderosa presencia del álgebra. Una mujer, Emmy Noether, utilizará primero su portentosa capacidad de abstracción, muy admirada por Einstein, para llegar a explicar la física bajo la luz de las simetrías y luego para sentar las bases del álgebra que revolucionará la geometría. Con Zariski, la geometría algebraica establece sus fundamentos y se define una topología adaptada a sus necesidades (en la introducción vimos que en cierto modo la topología es la base sobre la que se sustenta la geometría). Justo esta topología indica las diferencias entre el uso de funciones 66

F055 las geometrias (7).indd 66

08/11/18 15:44

polinómicas y cualquier función continua. Grothendieck nos enseña a ver el espacio lo más generalmente posible y también lo más algebraicamente posible. De hecho, ya no estudiaremos los objetos geométricos en sí mismos, sino por las funciones que pueden concebirse sobre ellos. De forma natural surge la conjetura de Hodge que es, a su vez, un ansiado teorema del tipo del de Weierstrass para el reino de la geometría algebraica. Figura 24 La parábola son los ceros de la ecuación y – x2 = 0.

Fuente: Elaboración propia.

Felix Klein y el programa de Erlangen Felix Klein llegó a Erlangen en 1872. Solamente permane­­ cería en esta universidad tres años, pero su impacto en ella comenzó con su lección inaugural como catedrático, titulada “Consideraciones comparadas sobre las recientes investigaciones geométricas”. En su discurso, Klein mostraba las geometrías imaginarias que tanto habían revolucionado la ciencia de los centros de investigación alemanes en los años anteriores, como distintas realizaciones de una geometría que las contenía a todas. Es decir, para Klein la geometría era el estudio de algo un poco más general: del espacio y a la vez de las transformaciones que admite ese espacio. Los teoremas de 67

F055 las geometrias (7).indd 67

08/11/18 15:44

cada geometría serán aquellas propiedades que permanezcan invariantes bajo el grupo de transformaciones elegidas; los teoremas de cada geometría estudiada serán invariantes para esa geometría, se cumplirán siempre a pesar de las transformaciones que admita ese espacio. Pongamos algunos ejemplos. El plano euclídeo del que hablamos en el capítulo 1 se definiría en este contexto como el plano cartesiano,ℝ2,, junto con el grupo de transformaciones euclídeas que consisten en rotaciones, reflexiones y traslaciones en el plano. De esta forma se cumplen los axiomas de la geometría euclidiana, por ejemplo cuarto: “todos los ángulos rectos son iguales entre sí”, y como es de esperar el teorema de Pitágoras (figura 25) sigue siendo cierto para un triángulo rectángulo y para sus correspondientes trasladados, reflejados y/o rotados. Y en cierta forma esta propiedad recupera el cuarto axioma de Euclides. Figura 25 Triángulos rectángulos trasladados y rotados.

Fuente: Elaboración propia.

Las geometrías imaginarias también caben en esta definición. Por ejemplo, el plano hiperbólico se puede describir en estos términos. En lugar del plano cartesiano hemos de considerar solamente el semiplano superior, es decir, los pares de coordenadas (x,y) donde la coordenada y es estrictamente positiva; y como grupo de transformaciones las llamadas transformaciones de Möbius, también conocidas como grupo de transformaciones especiales lineales SL(2,ℝ). 68

F055 las geometrias (7).indd 68

08/11/18 15:44

Las ideas de Klein no fueron una simple generalización del concepto de geometría. Además de dar cabida a otras muchas geometrías como la de Lorentz, la afín, la proyectiva y muchas otras, enfatiza la idea del estudio de las propiedades invariantes de cada geometría. De esta forma se inicia el estudio de invariantes, que será crucial para la física.

Emmy Noether: álgebra, geometría y física Emmy Noether, hija del también matemático Max Noether, fue la segunda mujer en Alemania, después de Sonia Kovalevskaya, en doctorarse. Realizó su tesis doctoral en la Universidad de Erlangen bajo la dirección de Paul Gordan, también conocido como “el rey de la teoría de invariantes”. La teoría de los invariantes algebraicos surgió en el ámbito de la teoría de números y fue revolucionada por las ideas de Klein. Veamos un ejemplo: tomemos la forma cuadrática siguiente: f(x,y) = x2 + 2xy + y2 El estudio de sus soluciones enteras pertenece al ámbito de la llamada teoría de números. Esta parte de las matemáticas se interesa por saber qué números enteros pueden formarse a partir de otros dos números enteros siguiendo esta fórmula. Por ejemplo, tenemos que el 0 se obtiene con x = 0 e y = 0, o que el 9 se obtiene con x = 2 e y = 1, o también tomando x = 1 e y = 2. Sin embargo, 2 nunca puede ser solución de esta fórmula para x e y enteros (figura 26). Legendre se percató de que estas soluciones seguían siendo soluciones de la forma cuadrática transformada. Es decir, que si tomamos x = αx’+βy’ y = γx’+βy’ 69

F055 las geometrias (7).indd 69

08/11/18 15:44

Figura 26 Soluciones enteras de la forma cuadrática x2 + 2xy + y2.

Fuente: Elaboración propia.

y hacemos la sustitución en la función f(x,y) de arriba, obtenemos una nueva función f ’(x’,y’) = (α+γ)2 x’2(α+γ) = (β+δ)x’y’ + (β+δ)2y’2 que recorre las mismas soluciones que recorría f(x,y). Esto significa que con la ayuda de la transformación inversa x’=

βy −δx γβ − δα

y’=

γ x − α y’ γβ − δα

podemos recuperar las soluciones de la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que tomamos los siguientes valores para la transformación: α=1

β=2

γ=1

δ=3

En este caso: f’(x’,y’) = 4x’2 + 20x’y’ + 25y’2

70

F055 las geometrias (7).indd 70

08/11/18 15:44

Si queremos volver atrás desde esta nueva forma cuadrática basta con encontrar la transformación inversa a la que hemos hecho, es decir en nuestro caso particular, despejando x’ e y’ en las ecuaciones x = x’ + 2y’ y = x’ + 3y’ obtenemos x’ = 3x – 2y y’ = –x + y De esta forma el 9 que obtuvimos como f(2,1) = 9 ahora se obtiene como solución de la nueva forma cuadratica para los valores x’ = 4 e y’ = –1. Es decir, f ’ (4,–1) = 4 · (4)2 + 20 · 4 · (–1)+ 25 · (–1)2 = 9 Y así podemos hacer con todo el conjunto de soluciones de la primera forma cuadrática. Pero, claramente, la primera forma cuadrática tenía una expresión más sencilla, más manejable. La pregunta es: ¿cuándo dos formas cuadráticas representan el mismo conjunto de puntos? ¿Existe alguna propiedad de las formas cuadráticas que se mantenga invariante después de haberlas transformado como hemos hecho arriba? La respuesta es sí y en este caso la propiedad se llama discriminante, que se define de la siguiente manera. Para una forma cuadrática q(x,y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 el discriminante es el valor B2 – AC Fijémonos cuáles son los correspondientes valores del discriminante para las formas f(x,y) y f’(x’,y’). En el primer caso el discriminante de 71

F055 las geometrias (7).indd 71

08/11/18 15:44

f(x,y) = x2 + 2xy + y2 es 1 – 1 = 0 , y en el segundo caso f’(x’,y’) = 4x’2 + 20x’y’ + 25y’2 el discriminante es 100 – 100 = 0. Es decir, el valor del discriminante se mantiene invariante a pesar de la transformación aplicada. Hemos de notar que la transformación en particular que hemos tomado es tal que pertenece a un grupo de transformaciones muy específico, al grupo de transformaciones especiales lineales SL(2,ℤ). Esto es porque al estar interesados en soluciones enteras para nuestras formas cuadráticas le pedimos a nuestra transformación que cumpla

αδ – βγ = 1 Acabamos de ver que si dos formas cuadráticas están relacionadas mediante una transformación como la de arriba entonces sus discriminantes son iguales. La pregunta que se hacían entonces era si siempre que dos formas cuadráticas tuvieran el mismo discriminante debía existir una transformación que las relacionase, y Gauss demostró que al menos existe un número limitado de formas cuadráticas asociadas a un mismo determinante y que sin embargo no están relacionadas por una transformación. Hasta aquí estamos hablando de formas cuadráticas y soluciones enteras, formadas por números enteros –3,4,5,0,…, que nos permiten estudiar formas de construir nuevos números también enteros. Este tipo de estudios son los que se hacen en la teoría de números. Pero estos objetos también los podemos considerar como objetos de la geometría. Para convertir esta idea en un objeto geométrico conocido necesitamos considerar, en lugar de solamente los números enteros, todos los números reales. De esta forma 72

F055 las geometrias (7).indd 72

08/11/18 15:44

la ecuación de la cuádrica f(x,y) describe la siguiente figura geométrica en el espacio tridimensional (figura 27). Figura 27 Cuádrica y soluciones enteras.

Fuente: Elaboración propia.

O, visto de otra forma, la cuádrica define un conjunto de parábolas con distintos vértices y aberturas que se pueden comparar si las proyectamos todas en el plano (figura 28). Figura 28 Conjunto de parábolas formando la cuádrica.

Fuente: Elaboración propia.

La siguiente pregunta que nos hacemos es: ¿geométricamente, qué quiere decir la noción de discriminante? En este caso la respuesta no habla de un valor del discriminante fijo, pero sí de si este toma valores negativos, positivos o nulos. Es 73

F055 las geometrias (7).indd 73

08/11/18 15:44

decir, la familia de curvas correspondiente a la forma cuadrática será una familia de hipérbolas, elipses o parábolas, dependiendo de si el discriminante es negativo, positivo o nulo. El discriminante se convierte de esta manera en un invariante geométrico que nos determina el tipo de curvas asociadas a una forma cuadrática. Entre 1840 y 1870 muchos matemáticos estuvieron inmersos en la búsqueda de invariantes para formas cúbicas, cuárticas, etc., siendo Gordon uno de los expertos mundiales en este ámbito y con una visión muy algebraica de este problema. Hubiera sido lo natural para una estudiante como Emmy que después de doctorarse trabajara en la universidad hasta conseguir su habilitación, pero ser mujer la relegó al papel de sustituta de su padre en algunas de sus clases cuando él estaba enfermo. Sin embargo, su curiosidad matemática la llevó a continuar sus propias investigaciones, cambiando del tipo de investigación de Gordon hacia los métodos más abstractos de Hilbert. Una vez publicados sus primeros artículos, Emmy atrajo la atención de Hilbert, que la invitó a la Universidad de Gotinga en 1915 cuando las nuevas ideas relativistas hervían en el pensamiento de físicos y matemáticos. Su trabajo en la teoría de invariantes la hacía perfecta para abordar uno de los problemas que la teoría de la relatividad había dejado abierto: toda teoría física tiene sus correspondientes principios de conservación pero el gran problema por resolver en 1915 era el de encontrar un principio de conservación para la teoría de la relatividad. En aquella época no era común que una mujer impartiera clases en la universidad, así que aunque Hilbert la invitara a Gotinga en la primavera de 1915 con la intención de contratarla, no tuvo éxito en su lucha por convertirla en docente reconocida. Sin embargo, en su intento, dejó una muy valorada anécdota para la historia con la siguiente frase, pronunciada por Hilbert, en su exposición ante el claustro de la facultad: “No veo que el sexo de la candidata sea un argumento contra su admisión como Privatdozent. Después de todo somos una universidad y no una casa de baños”. No 74

F055 las geometrias (7).indd 74

08/11/18 15:44

solo su género jugaba en su contra; su religión, en uno de los momentos clave de la historia de la humanidad, también fue una poderosa carga. No podemos olvidar que los nazis no querían que hubiera lo que ellos llamaban “ciencia judía” en las universidades. Todo esto no impidió que el prestigio de Noether creciera, aunque buena parte de su carrera consistió en un amor por la ciencia apoyado económicamente por su familia. Noether es pues conocida por sus contribuciones al álgebra moderna y a la física matemática. Hermann Weyl decía de Emmy que “ella originó sobre todo un estilo nuevo de pensar en álgebra que marcó una época”. Es la primera en abordar los problemas físicos de forma abstracta, y en palabras del propio Einstein en una carta a Hilbert: “Estoy impresionado de que alguien pueda comprender estos asuntos desde un punto de vista tan general. No le haría ningún daño a la vieja guardia de Göttingen si aprendiese de ella un par de cosas”. Asombraba a todos con su manera de pensar y, aún más, la influencia de Noether no se reduce a sus propios trabajos sino en que sus ideas fueron fuente de inspiración para colaboradores y estudiantes. Sus primeros trabajos se centraron en la teoría de invariantes y sus conexiones con la teoría de la relatividad de Einstein. De hecho, en el artículo que ella presentó para su habilitación como Privatdozent, Emmy Noether probaba el hoy conocido como teorema de Noether, considerado como una de las piedras angulares de la teoría de la relatividad. El teorema de Noether revolucionó la física al señalar que era precisamente la simetría la que da lugar a las leyes de conservación. Cuando el sistema físico está regido por leyes que provienen de un criterio variacional, es decir, aquel cuyas soluciones son aquellas para las que el funcional de acción es extremal, podemos asociar una ley de conservación debida a la invariancia del correspondiente hamiltoniano o lagrangiano bajo un subgrupo uniparamétrico de transformaciones de simetría. Este teorema sumado al principio de Curie, según el cual la simetría del efecto no puede ser menor que la causa 75

F055 las geometrias (7).indd 75

08/11/18 15:44

que lo produce, es decir, que una simetría en los resultados experimentales de una teoría indica una simetría en las leyes, se convierte en crucial a la hora de establecer modelos para un problema físico. La influencia del teorema de Noether no se restringe a la relatividad sino que retrospectivamente ilumina principios conocidos anteriormente ya por Leibniz en su fundación de la mecánica. Más aún, la mera idea de poder hacer ciencia empírica se fundamenta en los principios de simetrías espaciotemporales. Es la propiedad de simetría en el espacio la que nos asegura que un experimento ha de llegar a las mismas conclusiones sea realizado en Madrid o en París, y es la simetría en el tiempo la que nos asegura que un experimento tiene que llegar al mismo resultado sea realizado tanto hoy como mañana.

El nacimiento de la geometría algebraica moderna En el prólogo a dedicado a los no matemáticos en David Mumford, medallista Fields, escribe: “La geometría algebraica de la escuela italiana fue creada a finales del siglo XIX por media docena de genios increíblemente dotados que llevaron a cabo un pensamiento profundo y casi siempre correcto en su campo. […] Pero encontraron las ideas geométricas mucho más seductoras que la formalidad de las demostraciones detalladas […] Por tanto, en los años veinte y treinta [del siglo XX], sus descubrimientos empezaron a desviarse de la verdad. Así que fue Zariski, al mismo tiempo que Weil quienes decidieron controlar la intuición en favor de un pensamiento más formal, para así fundar los principios y las técnicas que pudieran expresar verdaderamente la geometría y abrazaran el rigor sin el cual las matemáticas pueden finalmente degenerar en fantasía”. En 1921 Oscar Zariski reinicia sus estudios universitarios en Roma, que ya había empezado anteriormente en Kiev, Ucrania, su país de nacimiento, de donde traía un fuerte interés por el álgebra y la teoría de números. 76

F055 las geometrias (7).indd 76

08/11/18 15:44

En la Universidad de Roma enseñaban tres matemáticos que eran el ejemplo y guía de la escuela italiana de la geometría algebraica: Guido Castelnuovo, Federico Enriques y Francesco Severi. De entre estos, Castelnuovo se conviertió en el director de tesis de Zariski. La escuela italiana admite así a Zariski, pero a la vez son bien conscientes de que este, en palabras cariñosas de Castelnuovo, no es uno de ellos. Este adjetivo sobre Zariski se debe quizá a su pasión por el álgebra, que más tarde influenciaría fuertemente su geometría. Zariski, en su monografía Superficies algebraicas, revisa el estado de la geometría algebraica hasta entonces y encuentra un número significante de errores en las demostraciones. Para él esta fue una enorme oportunidad para utilizar las herramientas del álgebra moderna en la geometría y para fundamentar la base de la geometría algebraica moderna. Su interés por el álgebra le dirige hacia las charlas de Emmy Noether en el Instituto de Estudios Avanzados de Prin­ ­ceton (único lugar donde es realmente bienvenida y apreciada). Noether sufrió siempre, a pesar de su buena fama como matemática y de la calidad de trabajos, la carga de ser mujer. Como ella misma escribió: “En la universidad de los hombres nada femenino es admitido”. Zariski aprendió ávidamente de las charlas de Noether. En su monografía, Zariski escribe sobre aquellos seminarios de Emmy: “Ella habló del uso de la teoría de ideales en la teoría de números algebraica. Hablaba de marcas (Oh marcas!) y una buena parte de lo que decía era chino para mí. Pero ella era muy en­­tusiasta y yo estaba intentando entender la teoría de ideales, así que la seguí con fe incluso si no la entendía completamente. Solo verla era divertido y, por supuesto, sentí que si hay una persona que se muestra tan entusiasta acerca del álgebra, entonces es probablemente una buena idea ser también un entusiasta”. Uno de los conceptos primordiales que Zariski introduce es la que será considerada como la topología de las variedades algebraicas, hoy llamada topología de Zariski. 77

F055 las geometrias (7).indd 77

08/11/18 15:44

En el primer capítulo decíamos que la topología de un espacio estaba formada por conjuntos abiertos. En el caso de la geometría euclídea esto es muy sencillo de ver y resulta totalmente intuitivo. Es decir, podemos imaginarnos el intervalo abierto (0,1) como el intervalo [0,1] al que le hemos quitado el borde, y coincidirá exactamente con el intervalo abierto que definamos matemáticamente con la idea de entornos contenidos en él para cada punto de su interior. Al hacer esto, hemos utilizado una ayuda importante de la geometría euclídea. Sabemos que [0,1] es cerrado porque tiene su borde; de hecho, lo podemos medir, y es esta medida la que traza una frontera en el espacio tal que para los puntos del borde no podemos encontrar un entorno contenido en el conjunto inicial. Por ejemplo, no hay entorno alrededor del punto 1 que esté completamente contenido en el intervalo [0,1]. En el ejemplo del intervalo ha sido crucial la medida. Sin embargo, la geometría algebraica no se basa en la medida, al menos no directamente, sino en el álgebra, en las ecuaciones. La idea de medida está de alguna manera escondida en su álgebra y es la razón última de la conjetura de Hodge, también premiada con un millón de dólares por el Instituto Clay. Sin ánimo de explicar la conjetura, baste con decir que en el fondo consiste en descubrir la relación última entre la topología de Zariski y la que describimos antes, la topología clásica. La topología de Zariski es absolutamente contraintuitiva, pero cumple los axiomas de una topología como la de la introducción. Para dar un ejemplo, su construcción es similar a la que usamos para definir la topología usual en la recta afín donde el intervalo (0,1) era un ejemplo de conjunto abierto. Pero ahora este intervalo no es un abierto de la topología de Zariski, es demasiado pequeño. Para construir la topología de Za­­riski en la recta afín buscamos primero los conjuntos cerrados más sencillos, los puntos. Un punto es una solución para una ecuación lineal. Por ejemplo, el punto 1 es la solución de la ecuación x - 1 = 0. Por otro lado, la recta al completo es la solución a la ecuación 0 = 0 (todos los puntos la cumplen), luego toda la recta al completo puede considerarse como un cerrado. 78

F055 las geometrias (7).indd 78

08/11/18 15:44

Zariski define los conjuntos cerrados como aquellos objetos que son solución a una ecuación dada por polinomios. Hemos de recordar que un conjunto abierto es el conjunto complementario a un cerrado o, dicho de otra forma, un conjunto abierto es lo mismo que un conjunto cerrado sin su borde. Entonces, los conjuntos abiertos de la topología de Zariski pueden definirse como aquellos formados por la recta menos los puntos que son soluciones de una ecuación polinómica. Por ejemplo, la recta afín menos el punto 1, (–∞,1)∪(1,+∞), es un conjunto abierto en la topología de Zariski. Por eso decíamos que el (0,1) resulta en cierto modo pequeño para esta topología y que además resultaba una topología muy poco intuitiva. En 1958 Grothendieck revoluciona la geometría algebraica introduciendo los conceptos de esquema, haces y coho­­ mología. La idea de esquema “es infantilmente simple”, dice el propio Grothendieck, “tan simple, tan humilde que nadie antes que yo soñó con algo tan básico… creció por sí misma desde las únicas demandas de la simplicidad y la coherencia interna”. Grothendieck se ha convertido en medio siglo en un dios griego para la geometría algebraica. Convirtió las ideas más complicadas en algo sencillo. Por ejemplo, simplifica la idea de espacio, intuida en el álgebra de Noether, con la noción de esquema. Exploraremos un poco esta noción. Al principio del capítulo explicábamos que la geometría algebraica se concentra únicamente en estudiar los ceros de funciones que son polinomios y vimos algunos ejemplos como la parábola. Recordemos que la ecuación de la parábola era: p(x,y) = y – x2 = 0 Desde el punto de vista de la geometría algebraica no es lo mismo pensar en el dibujo de la curva en el espacio afín que en su equivalente algebraico, el anillo de coordenadas, [ x , y ] / ( y − x 2 ) . Este último objeto es un concepto puramente algebraico que está compuesto por el conjunto (anillo) de 79

F055 las geometrias (7).indd 79

08/11/18 15:44

todos los polinomios en dos variables (con coeficientes com2 − xideal, ) como los que estudiaba Noether, plejos), [ x , y ],/ (yyun esto es, un subconjunto, denotado como (y – x2), de nuestro anillo de polinomios, que funciona de manera que todos los múltiplos del polinomio y – x2 están contenidos en él. La expresión [ x , y ] / ( y − x 2 ) es un cociente y significa que consideramos todos los polinomios posibles de ser definidos sobre la parábola, es decir, todos los polinomios en dos variables menos los que se anulan sobre la parábola. De esta manera, nuestra variedad queda definida como si del negativo de una foto se tratara. En resumen, el anillo de coordenadas nos describe el conjunto de los polinomios que podemos aplicar sobre nuestra parábola, por lo que hemos quitado los que son nulos sobre ella. Este es el primer paso hacia la definición de esquema. Un esquema es un concepto un poco más elaborado que el de anillo de coordenadas pero se basa en el mismo. En el caso más sencillo, un esquema es tan simple como una colección de anillos de coordenadas y tan poderoso como para definir una topología para nuestro espacio. Podemos pensar que un esquema es una forma de definir un espacio a través de las funciones que pueden ejecutarse sobre tal espacio. Cuando vemos así el espacio nos convertimos en los detectives privados de la geometría algebraica que descubren los espacios a través de las propiedades (funciones) que sabemos de ellos. Muy al estilo de la descripción de un sospechoso.

Las geometrías de Cartan y las teorías gauge Las geometrías de Klein fueron generalizadas posteriormente por el matemático francés Élie Cartan. A la idea de Klein de definir cada geometría como un par, formado por un espacio y un grupo de transformaciones de ese espacio, Cartan añade un espacio un poco más general llamado fibrado principal y considera la acción del grupo de transformaciones sobre este nuevo espacio. 80

F055 las geometrias (7).indd 80

08/11/18 15:44

Un fibrado principal se construye a partir de una base, o espacio de partida, a la que se le añade sobre cada punto otro espacio, con estructura de grupo (es decir, un conjunto de objetos que obedecen unas reglas entre ellos), y que se llama fibra. El conjunto de los puntos de la base y sus fibras forman el fibrado principal. Un ejemplo sencillo es el del cilindro (figura 29). Tomamos la recta real y sobre cada punto de ella consideramos una circunferencia. La circunferencia, S1, es un espacio con infinitas simetrías que se pueden pensar como las reglas que cumplen sus puntos y le dan la estructura de grupo. Para cada ángulo que podamos imaginar, si giramos la circunferencia, tanto como el valor de ese ángulo nos indique, la circunferencia permanece igual a nuestra vista, indistinguible antes y después del giro. No ocurriría así con un cuadrado, que tiene simetrías para las que se comporta de este modo, pero no infinitas. Todos los posibles ángulos con los que podemos girar nuestras fibras están representados también por una circunferencia, auxiliar, que es pues nuestro grupo de transformaciones. Figura 29 Un cilindro infinito es un fibrado principal sobreℝ.

Fuente: Elaboración propia.

La geometría de Cartan consiste pues en el estudio de pares compuestos por este fibrado principal, donde la fibra es parte de la información inicial así como el grupo de transformaciones actuando sobre cada fibra del fibrado. De este 81

F055 las geometrias (7).indd 81

08/11/18 15:44

modo, una geometría de Cartan es una colección de geometrías de Klein parametrizadas o, dicho de otra manera, reunidas por el fibrado principal. En el desarrollo de su geometría, Cartan aporta algo realmente decisivo para la interacción entre la geometría y la física, su aportación es un objeto llamado conexión. Una conexión generaliza la idea de derivada. De una manera geométrica, una conexión nos explica cómo se mueve un vector sobre la superficie del fibrado. Este objeto es el que nos permite hablar de ecuaciones diferenciales sobre el fibrado principal. La importancia de estos objetos es clara, puede entreverse recordando que la mayor parte de las ecuaciones que vienen de la física son ecuaciones diferenciales. Hay que recordar, por ejemplo, que la velocidad de un objeto se calcula como la derivada de su posición con respecto al tiempo. La velocidad es la variación de la posición del objeto en el tiempo. Por lo tanto, que las conexiones nos traigan al mundo de la geometría de Cartan la posibilidad de hablar de diferenciales equivale a que podamos calcular variaciones. Gracias a las conexiones podremos expresar modelos físicos modernos en términos geométricos. La geometría de Cartan provee de lenguaje matemático a lo que se conoce en física como teorías de campo gauge (o teorías gauge). Curiosamente, el desarrollo de la geometría de Cartan fue totalmente paralelo al desarrollo de las teorías gauge en la física. El premio Nobel de Física, Chen-Ning Yang, comenta: “Que los campos gauge no abelianos sean conceptualmente idénticos a las ideas de la maravillosa teoría de fibrados principales, desarrollados por los matemáticos sin referencia al mundo físico, es un gran prodigio para mí. […] Esto es a la vez emocionante y misterioso puesto que los matemáticos soñaron esos conceptos a partir de ningún lugar”. Una teoría gauge consiste en una teoría física de campos que satisface algún tipo de invarianza, local, bajo la acción de un grupo. Por ejemplo, la primera teoría de la que se conocía que tenía una simetría gauge es la electrodinámica de Maxwell, con grupo de simetrías U(1), otra forma de llamar a S1 que hace hincapié en su estructura como grupo. Pero 82

F055 las geometrias (7).indd 82

08/11/18 15:44

en tiempos de Maxwell no se prestó mucha atención a las simetrías de la teoría. No es hasta Hermann Weyl, al intentar unificar la teoría general de la relatividad con el electromagnetismo, que se entiende que las simetrías juegan un papel importante en la teoría física. Weyl conjetura que la invarianza bajo cambio de escala (gauge) puede ser una simetría local para la teoría de la relatividad. El término teoría gauge no abeliana surge del trabajo de Chen-Ning Yang y Robert Mills que generaliza las ecuaciones de Maxwell y aúna el electromagnetismo con las fuerzas fuerte y débil. En este punto tenemos la física de partículas y a la geometría hablando el mismo lenguaje, lo que produce una época dorada para ambas. Desde el punto de vista de la geometría, son las teorías gauge las que inspiran los trabajos de Michael Atiyah, medallista Fields, y su estudiante, también medallista Fields, Simon Donaldson, así como el trabajo de Nigel Hitchin, que además será de profunda relevancia en el programa geométrico de Langlands.

La teoría de cuerdas y el programa de Langlands En 1919, el matemático alemán Theodor Franz Eduard Ka­­ luza, a la luz de las ideas de Albert Einstein, se propuso la si­­ guiente cuestión: si es posible describir la gravedad como la curvatura que afecta a las curvas que describen las trayectorias de objetos en el espacio, ¿por qué no describir el electromagnetismo de la misma forma? Para esto la idea revolucionaria, que está en el corazón de la teoría de cuerdas, consistió en considerar no solo tres dimensiones espaciales más la dimensión temporal, sino cuatro dimensiones espaciales más el tiempo. Haciendo esto, Kaluza se encontró que al generalizar las ecuaciones de Einstein a estás cinco dimensiones, surgía una ecuación más y esta era la del electromagnetismo. De esta forma, Kaluza consiguió unificar las ecuaciones de campo de Einstein y el electromagnetismo. 83

F055 las geometrias (7).indd 83

08/11/18 15:44

Pero el trabajo de Kaluza condujo a dos preguntas: ¿dónde se encontraba esa dimensión extra? Y ¿es esta teoría consistente, da buenas predicciones? La respuesta a la primera pregunta vino dada por el trabajo de Oskar Klein en 1926. Klein da a esa quinta dimensión una interpretación cuántica. Si pensamos en los cables de la luz que a menudo vemos desde nuestras ventanas, descritos desde la distancia podemos pensarlos como objetos de una sola dimensión. Pero si nos acercamos, podremos ver que tienen una dimensión más, es decir, para un insecto que camine sobre ellos estos cables son realmente superficies, objetos de dos dimensiones. Sin embargo, no hay respuesta para la segunda pregunta. Es más, Einstein y muchos otros trabajaron en detalle en la teoría de Kaluza y Klein sin éxito en esta cuestión. Por ejemplo, esta teoría no da una predicción adecuada para el valor de la masa del electrón, lo cual la descarta como teoría unificadora. Esta ambición por encontrar una gran teoría, que dé una explicación unificada a todas las fuerzas físicas, continúa en la teoría de cuerdas. Esta es un modelo fundamental de la física teórica que puede considerarse como generalización de la teoría de Kaluza y Klein. Consiste en explotar una idea que se remonta al final del siglo XIX, cuando lord Kelvin quiso explicar los átomos a partir de nudos. Las investigaciones de este consistían en clasificar los nudos de tal forma que cada átomo de la tabla periódica pudiera representarse por un nudo diferente. La idea de lord Kelvin dio lugar a una teoría matemática a caballo entre la geometría y la topología conocida como la teoría de nudos. Para aplicar esta idea a la teoría de cuerdas pensamos igualmente en los constituyentes de la materia, pero vamos más allá de los átomos y tomamos como constituyentes últimos simples cuerdas. Estas cuerdas vibran en frecuencias diferentes de tal manera que cada frecuencia nos da las distintas partículas elementales: quarks, leptones, etc. Estas cuerdas vibrantes son la base de nuestra teoría unificadora. Pero la geometría de la teoría de cuerdas necesita más dimensiones para funcionar. Mientras que la teoría de Kaluza y 84

F055 las geometrias (7).indd 84

08/11/18 15:44

Klein funcionaba con cinco dimensiones, la teoría de cuerdas precisa de diez dimensiones espaciales y una temporal, once en total. De nuevo nos encontramos con dimensiones que no vemos en la vida cotidiana. En esta ocasión la solución está en la recién nacida geometría algebraica. Según Phillip Griffiths, matemático norteamericano que fuera presidente del Institute of Advanced Studies (IAS) en Princeton, Einstein2 deriva su teoría de la relatividad casi como una rama de la geometría: “Este punto de vista está bien extendido entre los físicos teóricos modernos, especialmente aquí en el IAS, gente trabajando tanto en la teoría de cuerdas como en ámbitos cercanos a ella”. Sin embargo, la teoría de cuerdas busca su fundamento en la geometría algebraica. Más aún recurre a un programa extremadamente ambicioso que tiene como ánimo unificar la teoría de números, la geometría algebraica y la teoría de formas automorfas (funciones que parten desde un grupo topológico con valores en los números complejos, satisfaciendo ciertas propiedades que generalizan la noción de periodicidad). En un congreso donde Edward Witten, líder mundial en la teoría de cuerdas, explica las interacciones entre las teorías gauge y el programa geométrico de Langlands. Uno de los privilegiados asistentes comenta lo siguiente para el informe que publica el IAS en su web: “En los últimos años la geometría algebraica y la física matemática han empezado a interactuar profundamente, por causa, fundamentalmente, de la teoría de cuerdas y la simetría especular. Los problemas que sugiere la física matemática empiezan a tener respuestas que parecen ciertas y probablemente por razones explicables mediante la geometría algebraica”. Pero ¿qué es el programa de Langlands? En 1967, Ro­­bert Langlands, matemático canadiense, durante su estancia en el IAS escribe una carta al matemático francés y también miembro del IAS, André Weil, a sugerencia del propio Weil, donde explica ciertos cálculos que involucran unas funciones, que 2.  Einstein fue miembro del Instituto desde el año 1933 hasta su muerte, en 1955.

85

F055 las geometrias (7).indd 85

08/11/18 15:44

surgen en la teoría de números, conocidas como L-funciones. Weil hace circular una copia de esta carta entre un amplio rango de matemáticos, y ya desde los años setenta matemáticos de todo el mundo trabajan en las conjeturas propuestas en este escrito. ¿Qué había en esa carta que revolucionó las matemáticas de finales de los años sesenta en adelante? Langlands propone una gran teoría unificadora que relaciona conceptos matemáticos que parecen no tener relación ninguna. De hecho, el propio Langlands confiesa en una entrevista publicada en la web del IAS: “Había allí algunos puntos delicados que eran correctos y aún me sorprende que lo fueran”. Realmente la intuición de Langlands ha provisto de trabajo a generaciones de matemáticos; este programa tiene implicaciones muy profundas en muchas ramas de las matemáticas. Pero la parte que nos interesa en cuanto a la teoría de cuerdas es la parte geo­­ métrica conocida como el programa de Langlands geométrico, desarrollado en los años noventa por Vladimir Drinfeld, medallista Fields, y sus colaboradores. La primera pista para relacionar el programa de Lan­­ glands geométrico con la teoría de cuerdas se encuentra en el trabajo de Goddard, Nuyts y Olive. Estos tres físicos mostraron en 1976 que desde el punto de vista de las teorías gauge la dualidad entre la carga eléctrica y la magnética se representa como una dualidad entre los correspondientes grupos gauge. Este análisis motivó la conjetura de Montonen-Olive según la cual dado un grupo y su teoría gauge correspondiente, esta es equivalente a una teoría gauge similar donde el grupo gauge es reemplazado por su dual, y cierta constante asociada a la teoría llamada constante de acoplamiento se invierte. Viendo que, dado un grupo, el grupo dual que resulta en los cálculos de Goddard, Nuyts y Olive coincide con el grupo dual de Langlands, que surge dentro de los cálculos del programa de Langlands geométrico, Atiyah sugiere a Witten que el programa de Langlands geométrico debe estar relacionado con la teoría cuántica de campos (aquella que estudia los constituyentes de las partículas elementales). De 86

F055 las geometrias (7).indd 86

08/11/18 15:44

esta forma, Anton Kapustin y Edward Witten, en un artículo del año 2007 titulado “La dualidad electromagnética y el programa de Langlands geométrico”, relacionan el programa de Langlands geométrico con la teoría de cuerdas, y en particular con la dualidad conjeturada por Montonen y Olive, también conocida como S-dualidad. Estos resultados abren la puerta de la interacción entre la física y la geometría algebraica para producir resultados profundos y revolucionarios tanto en la relación entre las dos áreas como en cada una de ellas por separado. Sin embargo, durante un congreso sobre el futuro de la física en el Perimeter Institute, en Canadá, Witten hace un comentario sobre su artículo con Kapustin, que puede leerse en la página web del IAS: “Fue realmente difícil escribir un ar­­ tículo sobre este tema. Nos llevó alrededor de un año. Durante un año me sentí como alguien que había descubierto el sentido de la vida pero no podía explicárselo a nadie más. Y, en cierto sentido, todavía me siento de esta manera por la siguiente razón. Los físicos con formación en la teoría de cuer­­das o en las dualidades de las teorías gauge pueden entender mi artículo con Kapustin sobre el programa de Langlands geométrico, pero para la mayoría de los físicos este artículo está demasiado detallado como para parecer realmente excitante. Por otro lado, es un tema excitante para los matemáticos pero difícil de entender para ellos porque buena parte de los requisitos previos sobre la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas no les es familiar (y es difícil de formular rigurosamente). Mi artículo con Kapustin puede que continúe siendo misterioso para los matemáticos durante bastante tiempo”. Otra forma de aproximarse a la relación entre el programa geométrico de Langlands y la teoría cuántica de campos viene de las ideas de Beilinson y Drinfeld, que aseguran que este programa se basa en la cuantización del espacio de moduli de fibrados de Higgs. Los fibrados de Higgs son unos objetos geométricos creados por Nigel Hitchin, discípulo de Atiyah, que son soluciones de las ecuaciones de Yang-Mills. 87

F055 las geometrias (7).indd 87

08/11/18 15:44

El espacio de moduli es aquel que parametriza, o aúna, el conjunto de todas estas soluciones. Una de las características de este espacio de moduli es que puede verse como una fibración cuyas fibras son variedades abelianas, es decir, algo parecido a un grupo pero un poco más sofisticado. Viéndolo de esta forma, este espacio se sitúa perfectamente en el discurso de las teorías gauge y la geometría de Cartan que tratábamos en la sección anterior. Más aún, la construcción de estos espacios depende de un grupo que podemos elegir al escoger con qué tipo de fibrados de Higgs queremos trabajar. Llamaremos G-Higgs al Higgs asociado a un grupo G. De esta manera, dependiendo del grupo que escojamos tendremos un espacio de moduli de fibrados G-Higgs diferente. La propiedad realmente excitante del espacio de moduli de fibrados de G-Higgs es que existe una cierta dualidad entre los espacios de moduli de fibrados G-Higgs y los espacios de moduli de fibrados LG-Higgs, donde LG es un grupo dual al grupo inicial G. Es decir, los espacios de moduli de fibrados G-Higgs parecen ser (aún hay mucho camino por recorrer) precisamente la representación matemática de la S-dualidad de Montonen y Olive. Este punto de vista les es mucho más asequible a los matemáticos y constituye un magnífico puente hacia las ideas de Kapustin y Witten. En este capítulo hemos visto que el álgebra simplifica el trabajo de la geometría. Primero introduciendo los polinomios como únicos elementos necesarios para definir nuestros objetos en el espacio y después gracias a la estructura de grupo. Hemos recordado el trabajo inspirador de Klein y el trabajo revolucionario de Noether que, con su teorema de conservación o teorema de Noether, fundamenta la teoría de relatividad y explica la mecánica clásica. Más aún, la geometría algebraica se fundamenta en una topología muy diferente a la que explicábamos en la introducción y la revolución que esta crea llega hasta las teorías gauge y al trabajo de una física moderna que interacciona, inspira y a su vez revoluciona la geometría algebraica.

88

F055 las geometrias (7).indd 88

08/11/18 15:44

CAPÍTULO 4

La geometría fractal y el caos

La crisis de la intuición geométrica de la que hablábamos en el capítulo 3 no solo afectó a la geometría algebraica. En 1872 el matemático alemán Karl Weierstrass publica un teorema sobre la existencia de funciones continuas que no tienen derivada en ningún punto, y las consecuencias de este teorema son extremadamente profundas. Weierstrass es el padre del análisis moderno por contribuciones tan impresionantes como la que supone este teorema. Intuitivamente, una curva es continua si podemos dibujarla sin levantar el lápiz del papel. Una vez que nos encontramos con una curva de estas características, o que cumple esta propiedad en un pedazo de ella, podemos buscar cuál es la recta tangente en cada punto donde es continua. Si esta recta tangente existe y es única, incluyendo el caso patológico en que la propia curva sea una recta, se dice que es derivable en dicho punto. El teorema de Weierstrass resulta pues absolutamente sorprendente, y de hecho las curvas de las que trata no las podemos dibujar. Al menos no de manera tradicional. El ejemplo más conocido de tales curvas es la llamada copo de nieve o curva de Koch en honor al matemático sueco Helge von Koch, su descubridor. Se trata de una curva cerrada de perímetro infinito y se construye mediante un proceso 89

F055 las geometrias (7).indd 89

08/11/18 15:44

iterativo. Tomamos un segmento y lo dividimos en tres partes o subsegmentos, eliminamos el pedazo interior y construimos en su lugar un triángulo, sin base, de lados la longitud de los subsegmentos como en la figura 30. Figura 30 Cuatro primeros pasos de la construcción.

Fuente: Wikimedia Commons, en https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KochFlake.svg

Esta nueva curva tiene varios vértices, a los cuales les corresponden infinitas rectas tangentes a la curva en lugar de una única recta tangente. Los puntos que cumplen esta propiedad se llaman singulares, o no derivables, de la curva. El siguiente paso consiste en hacer exactamente lo mismo con cada uno de los segmentos que forman la nueva curva, y así sucesivamente. El proceso continúa hasta el infinito, y nuestra curva es la resultante de llevar el proceso hasta su límite (figura 31). Este es un ejemplo de curva que es continua pero no derivable en ninguno de sus puntos. A esta forma de concebir un objeto se denomina algoritmo y es una de las características cruciales de lo que llamaremos objetos fractales. La construcción de un objeto fractal suele seguir un proceso algorítmico en contraposición a otras figuras geométricas 90

F055 las geometrias (7).indd 90

08/11/18 15:44

como, por ejemplo, la parábola cuya construcción respondía a la simple búsqueda de los ceros de un polinomio. Figura 31 Zoom del paso 7 de la construcción.

Fuente: Elaboración propia.

De Koch a Mandelbrot En su libro La geometría fractal de la naturaleza, Benoît Mandelbrot se hace la siguiente pregunta: ¿cuánto mide la costa de Inglaterra? El perímetro de un país es realmente un tema político importante que puede influir en la toma de decisiones en la política exterior de una nación y sus circundantes. Saber cuán larga es su frontera puede llegar a ser un tema crucial. La pregunta de Mandelbrot tiene truco pues, para poder medir tal frontera debemos establecer una regla: ¿cuál será la unidad de medida? Mandelbrot explica en su libro que si suponemos que tenemos un gran mapa, bastante detallado, de Inglaterra y también suponemos que disponemos de una regla cuyas unidades mínimas son el metro, al medir la costa, utilizando ese metro de la forma más aproximada, obtenemos una cantidad para la longitud de la costa de Inglaterra. Pero si en lugar de la regla con unidad del metro hemos de utilizar otra regla que tenga como unidad el centímetro, en este caso podríamos afinar más nuestra medición y tener en cuenta lo tortuoso del terreno en algunos puntos. Esta nueva medición 91

F055 las geometrias (7).indd 91

08/11/18 15:44

será, por supuesto, más precisa que la anterior y, lo que es más preocupante para un dirigente político, ciertamente dará un valor mucho mayor que la medida anterior. La curva de Koch descrita con el método algorítmico anterior describe a la perfección el problema en que nos encontramos. Se trata de una curva cerrada de perímetro infinito, al igual que el caso del perímetro de Inglaterra. Una curva cerrada es tal cuyo principio y fin están unidos en un punto, por ejemplo un círculo es una curva cerrada. Para entender matemáticamente lo que Mandelbrot explica en su libro, supongamos que cada iteración de la construcción de la curva de Koch es un zoom diferente, es decir, en cada iteración usamos una regla de medición distinta y que cada vez es más refinada. Como vemos en la figura 30 primero empezamos con la aproximación más burda, un triángulo. Si cada lado del triángulo mide una unidad s, al ser un triángulo equilátero, el perímetro del primer triángulo es 3s. Pero como conocemos el algoritmo, podemos estudiarlo y dar una fórmula general para todos y cada uno de los pasos del algoritmo. En cada iteración del proceso el número de caras tiene una fórmula recursiva: Cn= Cn-1· 4 = 3 · 4n que podemos comprobar que se cumple simplemente estudiando los primeros pasos con ayuda de la figura 30. Brevemente, vemos que si C0 = 3 entonces C1= 3 · 4 = 12, C2 = 3 · 42 = 48 y C3 = 3 · 43 = 192. Usando esta fórmula, calculemos el perímetro de la curva de Koch. Supongamos que la longitud de un lado del triángulo inicial es un valor s, en cada iteración esta longitud queda dividida por tres, luego tras n iteraciones la longitud es: Ln =

Ln −1 s = n 3 3

Esto finalmente nos da el perímetro en cada iteración: 92

F055 las geometrias (7).indd 92

08/11/18 15:44

Pn = Cn ⋅ Ln = 3 ⋅ s ⋅

4 3

n

que recupera P0 = 3s como el perímetro inicial. Si dejamos que n crezca se convierte en un valor cada vez mayor que siempre crece, que, en lenguaje matemático: lim Pn = lim3 ⋅ s ⋅

n →∞

n →∞

4 3

n

=∞

que nos dice que al crecer n el valor del perímetro tiende a infinito. Y esto ocurre para cualquier valor de s, dado que lim

n →∞

4 3

n

=∞

Y así hemos probado que nuestra curva cerrada tiene una longitud infinita, a pesar de que intuitivamente ocupa un espacio finito del plano. De esta forma, un problema del mundo real como es medir el perímetro de un país engarza con la matemática más fundamental, con el problema analítico y geométrico que consiste en entender las curvas. Empezamos con un objeto geométrico que nos importaba por su condición de ser continuo pero no diferenciable. Este objeto también se diferencia de los anteriores objetos geométricos tratados en que no se puede describir ni con un polinomio ni con un conjunto de polinomios (luego no pertenece a la geometría algebraica), sino con un algoritmo de construcción. Este es pues, el nacimiento de la geometría fractal.

El caos y la geometría fractal Edward Norton Lorentz fue un matemático estadounidense que se obsesionó con la meteorología después de haber trabajado como meteorólogo para el cuerpo aéreo del ejército durante la Segunda Guerra Mundial. Posteriormente, estando en el Massachusetts Institute of Technology (MIT), insiste en 93

F055 las geometrias (7).indd 93

08/11/18 15:44

su idea de poder predecir los cambios meteorológicos hora a hora. Algo que ahora podemos saber simplemente consultando una aplicación en nuestros teléfonos móviles, entonces era un sueño. En aquel entonces, únicamente se podía aspirar a conocer la media de litros de lluvia que podían caer durante el mes de febrero en una región. Nuestro conocimiento meteorológico se trataba pues de simples observaciones estadísticas. Lorentz persigue el sueño determinista, newtoniano, de desmontar cada universo, biológico, financiero, y en este caso meteorológico, en sus piezas constituyentes y encontrar reglas sencillas que rijan su movimiento. En su método, y al igual que en la astronomía, Lorentz prevé que cambios pequeños en los datos recogidos, pequeñas inexactitudes, tengan poca repercusión en las predicciones. Es una hipótesis muy explotada especialmente en las ciencias que dependen de la recogida de datos. Así, Lorentz asume que se puede esperar que un error en la recogida de datos sobre las condiciones atmosféricas, o incluso en el uso de los datos durante los cálculos, no tendría importancia. La suposición de Lorentz no era de ninguna manera descabellada ni falta de razón. En aquellos años ya se habían experimentado los efectos que pequeños errores en la recogida de datos pueden acarrear a largo plazo. El ejemplo más significativo es el de la trayectoria del cometa Halley. Ya se había comprobado entonces que un pequeño error en los datos de la posición del cometa en el año 1910 había causado un insignificante error en los cálculos de su llegada en 1986. Incluso ya se sabía que este error continuaría siendo insignificante en sucesivas predicciones a lo largo de los siglos. Buena parte de la ciencia moderna continúa persiguiendo el mismo sueño newtoniano de Lorentz y se alimenta con la creencia de John von Neumann, que asegura que con la suficiente potencia de cálculo podemos predecir el comportamiento de cualquier sistema, por complejo que sea, una vez que conozcamos su modelo de ecuaciones. La idea básica de la ciencia newtoniana consiste en que puede prescindirse de las influencias mínimas en el sistema pues estas no influirán, al menos no demasiado, en el resultado final. 94

F055 las geometrias (7).indd 94

08/11/18 15:44

Lorentz encontró un desorden ordenado al predecir pautas en el viento y la lluvia. Construyó un modelo matemático de cómo se mueve el aire en la atmósfera y para dar los resultados utilizó técnicas que vienen del análisis numérico. Este estudia la resolución de sistemas de ecuaciones que no pueden resolverse con los métodos usuales. No siempre una ecuación o un sistema de ecuaciones puede resolverse mediante una fórmula como en el caso de ax2 + bx + c =0 cuyas soluciones son x=

−b + b 2 − 4ac 2a

x=

− b − b 2 − 4ac 2a

Si tenemos más variables y el grado es mayor, resolver la ecuación puede llegar a ser extremadamente complicado. Ni que decir si se trata de un sistema de ecuaciones (varias ecuaciones que han de ser satisfechas por las variables simultáneamente) o si además hemos de considerar restricciones al espacio de soluciones. Encontrar soluciones a complicados sistemas de ecuaciones es el trabajo del análisis numérico y sus técnicas consisten en encontrar ya no la propia solución directamente, sino una sucesión de valores, adecuada y bien definida que, a medida que avance, se acerque a la solución buscada. Un conocido método para encontrar esta sucesión es el método de Newton, en el que para hallar las soluciones de una ecuación f(x) = 0 la sucesión se construye escogiendo un punto inicial x0 cualquiera y calculando el resto’ de los puntos mediante la siguiente fórmula: xn = xn −1 −

f ( xn −1 ) f ( xn −1 )

95

F055 las geometrias (7).indd 95

08/11/18 15:44

donde cada punto xn es un paso de la sucesión indexado por los números naturales n = 0,1,2,… Al punto x0 se lo conoce como condición inicial. Lo que Lorentz descubrió en una fría mañana de invierno de 1961 fue que tomando un atajo en el cálculo de las soluciones, las cosas se comportaban de modo caótico. En aquel entonces la potencia de cálculo era mucho menor que la actual, y el cálculo de todos y cada uno de los pasos, xn, de la sucesión podía llevar días. Lorentz, enfrascado en sus pruebas, intentó acelerar sus comprobaciones comenzando en un paso intermedio de una sucesión que había calculado anteriormente. Era lógico en su trabajo continuar una sucesión ya empezada pues eso ahorraría el tiempo de empezar desde cero.Y ahí es donde encontró un hecho sorprendente: la solución que obtuvo era completamente distinta a las soluciones que había obtenido antes y no un refinamiento de estas, como esperaba. Este hecho era totalmente desconcertante. El caso es que, después de muchas comprobaciones, Lorentz descubrió que al copiar los números que había obtenido de la sucesión anterior no había contado con que, al hacer esto, estaba truncando la información con la que la computadora trabajaba. Esto es, el número que tenía impreso era solo un truncamiento, o aproximación, de lo que la computadora tenía en la memoria mientras hacía los cálculos. Luego, al parar los cálculos y perder esa información, no era suficiente con darle a la computadora lo que tenía en los datos impresos. Es decir, no estaba dándole exactamente el dato del paso xn, sino uno aproximado. Además, accidentalmente acababa de comprobar que el sistema no funcionaba de la manera determinista que esperaba. Había introducido un pequeño error en el inicio de unos cálculos y esto le había llevado a una gran diferencia en la solución final. Acababa de descubrir lo que hoy conocemos por caos. Lorentz es conocido desde entonces por el llamado efecto mariposa, que es una metáfora que explica el significado de la noción de caos, es decir, resume la idea de que pequeños cambios en las condiciones iniciales pueden tener repercusiones enormes en el resultado final. En 96

F055 las geometrias (7).indd 96

08/11/18 15:44

palabras del propio Lorentz: “Un meteorólogo remarcó que si mi teoría es correcta, el aleteo de una gaviota podría alterar el curso del tiempo meteorológico para siempre. La controversia aún no está resuelta pero parece ser que hasta ahora la gaviota va ganando”. Poco después Lorentz encontró más poético sustituir gaviota por mariposa. La pregunta que nos hacemos nosotros ahora es: ¿cuál es la geometría que se adapta a este tipo de problemas? La respuesta, sorprendente, viene de la mano de Mandelbrot y es la geometría fractal. Veremos que el dibujo del caos es precisamente un objeto fractal. Para ello, imaginemos que tenemos que resolver la ecuación Z3 – 1 = 0, donde z es un número complejo, es decir, un punto del plano. Como esta es una ecuación de tercer grado, y además estamos dentro del reino de los números complejos, sabemos que la ecuación tiene tres soluciones porque hay tres puntos en el plano que la satisfacen. Para dibujar el caos lo que haremos será dibujar sobre el plano las soluciones de esta ecuación. En realidad dibujaremos algo más: las sucesiones que nos da el análisis numérico y cuyo límite nos lleva a cada solución. Para este dibujo, elijamos tres colores distintos: blanco, gris y negro, que son con los que pintaremos cada una de las tres soluciones. Lo siguiente que haremos será elegir un punto aleatorio del plano para convertirse en el punto inicial de la sucesión que nos va a llevar a la solución. La sucesión en este caso es (siguiendo el método de Newton): xn = xn −1 −

( xn−1 )3 2 3 ( xn −1 )

Finalmente, pintemos cada x0 del plano del color de la solución a la que llega la sucesión empezando en x0. Es decir, si empezar en un punto nos lleva a la solución gris, lo pintaremos de gris, si nos lleva a la solución blanca lo 97

F055 las geometrias (7).indd 97

08/11/18 15:44

pintaremos de blanco y si nos lleva a la solución negra lo pintaremos de negro (figura 32). El resultado de pintar de distintos tonos los puntos del plano según donde nos lleven las sucesiones que les tengan por origen se llama cuencas de atracción, enfatizando que las soluciones finales atraen estos puntos hacia ellas. Figura 32 Cuencas de atracción para el método de Newton aplicado a la función compleja z3 – 1.

Fuente: Elaboración propia.

La naturaleza está escrita en lenguaje matemático “Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las líneas costeras no son círculos, la corteza de un árbol no es lisa ni el rayo viaja en línea recta”. Estas son las palabras de Benoit Mandelbrot en su libro sobre el carácter fractal de la geometría al describir la naturaleza. Entre las revoluciones de la geometría, este es el ejemplo más espectacular de interacción interdisciplinar entre la geometría, las ciencias naturales y el arte. Descubierta por Mandelbrot 98

F055 las geometrias (7).indd 98

08/11/18 15:44

en los años setenta, la geometría fractal se diferencia esencialmente del resto de las geometrías en que sus elementos no se obtienen por intuición o cálculos directos, como las curvas o las superficies, sino que la geometría fractal se expresa por medio de algoritmos como el expuesto antes para la curva de Koch. La idea fundamental de Mandelbrot se deriva de este tratamiento algorítmico. Esta consiste en que muchas de las estructuras de la naturaleza, que aparentan tener una complejidad inalcanzable de representar por el mundo de las matemáticas, obedecen ciertas simetrías. Conectamos así de nuevo con una de las nociones geométricas de antaño, la simetría. Si en la geometría de Cartan decíamos que bastaba dar el grupo de transformaciones que obedecía (y su fibrado) para definir cada espacio, y en él nos dedicábamos a explorar sus invariantes, en el caso de la geometría fractal la simetría que obedecen sus objetos es la simetría a escala o invariancia bajo escala (o zoom). Para entender el alcance del trabajo de Mandelbrot hemos de retroceder al conjunto de Julia. Este, llamado así en honor al matemático francés Gaston Julia, consiste en el conjunto de puntos del plano complejo tales que permanecen invariantes bajo la acción de una función compleja racional. Es decir, si tomamos una función f (z) =

p (z) q (z)

donde p(z) y q(z) son polinomios con coeficientes complejos sin soluciones comunes, y consideramos los conjuntos que esta función deja invariantes, que además, para ciertas condiciones de f, contienen un punto crítico de f, es decir, tales que para algún punto z en ellos se da que f’(z) = 0 o f’(z) = ∞, a estos conjuntos los denotamos por F (conjuntos de Fatou), entonces, el conjunto complementario a F, en el plano complejo, es el conjunto de Julia. Por ejemplo, el conjunto de Julia para la función f(z) = z2 es la circunferencia unidad y tiene dos conjuntos de Fatou: el interior de la circunferencia y el exterior de la circunferencia (figura 33). 99

F055 las geometrias (7).indd 99

08/11/18 15:44

Figura 33 Conjunto de Julia para el valor c = 0.

Fuente: Elaboración propia.

Si c = (2 + φ) + (1 – φ), donde φ es la llamada sección áurea, obtenemos un conjunto de Julia más exótico como el de la figura 34. Figura 34 Conjunto de Julia para el valor c = (2+φ) + (1–φ)i.

Fuente: Elaboración propia.

Un ejemplo interesante es el de la figura 35 que es el conjunto de Julia para la función f(z) = (2z3 – 1)/(3z2) y nos recuerda al conjunto definido por el método de Newton. 100

F055 las geometrias (7).indd 100

08/11/18 15:44

Figura 35 2z 3 − 1 Conjunto de Julia para la función f ( z ) = . 2

3z

Fuente: Elaboración propia.

Efectivamente este es el caso, puesto que la función que hemos empleado es la función asociada al método de Newton aplicado a z3 - 1. Es más, sabemos gracias a los matemáticos Bracher, Drexler y Sobey en un informe para el Mathematical Institute de Oxford titulado Características fractales del método de Newton sobre los polinomios, se descubre que el método de Newton siempre nos llevará a un objeto fractal. Si este resultado nos indica la unión íntima entre el caos y la geometría fractal, Mandelbrot nos lleva aún más lejos. En la figura 36 se representa el conjunto de Mandelbrot, que se define de la siguiente forma: tomamos la función f(z) = z2 + c Donde c es un punto del plano complejo que esta vez irá variando pues, para cada c primero comprobamos si su conjunto de Julia es conexo y luego coloreamos c de manera pertinente. Ser conexo significa que es un conjunto que no está dividido en distintas componentes. 101

F055 las geometrias (7).indd 101

08/11/18 15:44

Figura 36 Conjunto de Mandelbrot.

Fuente: Elaboración propia.

De esta forma, el conjunto de Mandelbrot parametriza conjuntos de Julia, pero la maravilla de este conjunto va más allá. Aunque no resulta tan evidente como con la curva de Koch, su invarianza a escala, esta invarianza sí que está presente haciendo suficiente zoom (figura 37). Figura 37 Zoom del conjunto de Mandelbrot.

Fuente: Elaboración propia.

102

F055 las geometrias (7).indd 102

08/11/18 15:44

Se sabe además que el conjunto de Mandelbrot, además de parametrizar conjuntos de Julia, es un almacén de infinidad de conjuntos de Julia. En cierto modo, este conjunto es la clave de la relación entre la geometría fractal, el caos, y cualquier aplicación en la naturaleza que estas teorías puedan tener. La curva de Koch es la base geométrica para las revolucionarias ideas de Mandelbrot. Más aún, la geometría fractal de Mandelbrot aparece naturalmente al estudiar el comportamiento caótico de la naturaleza. El caos diario, por ejemplo el inherente a los modelos meteorológicos, nos proporciona una nueva geometría revolucionaria. En este capítulo hemos visto una de las geometrías más inusuales y a la vez más artísticas. Desde su descubrimiento, los artistas se han mostrado interesados, hasta el punto de que en nuestros días una rama del arte digital es la llamada arte fractal. Pero sobre la interacción entre la geometría y el arte ha­­ blaremos en el próximo capítulo.

103

F055 las geometrias (7).indd 103

08/11/18 15:44

CAPÍTULO 5

La geometría y el arte

Qué es el arte y qué es la geometría son dos preguntas llenas de contenido y con diferente significado a lo largo de la historia del pensamiento. Siguiendo a Platón, el arte es una mímesis de la naturaleza, mientras que la geometría es la ciencia que estudia ese mundo de las ideas que contiene todas las formas que conocemos y por tanto contiene las formas de la naturaleza. Hasta ahora nos hemos centrado fundamentalmente en describir las distintas interacciones de la geometría con la física y en algunos casos con la filosofía. Pero la interacción más evidente es la de la geometría y el arte. Existen numerosos textos que hablan del riquísimo intercambio de ideas entre arte y matemáticas y, en particular, entre arte y geometría. La influencia de la geometría euclídea en el arte es abrumadora cuando hablamos de la conocida proporción áurea. Esta es la proporción en la que se encuentran dos números a y b tales que a+b a = a b

Es más, si llamamos φ = a/b y resolvemos la ecuación de arriba tenemos que 104

F055 las geometrias (7).indd 104

08/11/18 15:44

1+

1 = φ, φ

φ=

1+ 5 2

lo que nos da un valor

que es conocido como el número áureo. Este número es llamado áureo, o de oro, por dar una proporción adecuada estéticamente entre objetos. Por ejemplo, un rectángulo se dice que está en proporción áurea si su lado mayor es a + b y su lado menor es b precisamente cumpliendo esta proporción. Un ejemplo actual que llevamos habitualmente con nosotros es la tarjeta de crédito. Para comprobarlo podemos compararla con la figura 38, donde se construye un rectángulo áureo, que se construye en los siguientes pasos: • Primero trazamos un cuadrado de lado unidad que denotamos ABCD (recordar que la unidad que tomemos puede bien mismo ser a). • Desde la mitad de uno de sus lados trazamos una recta hasta el vértice opuesto y nos damos cuenta de que la longitud de esta recta es √5/2 sin más que utilizar el teorema de Pitágoras (si la unidad era a el valor de esta recta será a · √5/2). • Utilizamos esta medida para encontrar el lado φ que como sabíamos valía 1/2 + √5/2 con lo que lo que hacemos es simplemente añadir a partir del punto G y en la dirección de ese lado la longitud √5/2. Esto termina nuestra construcción. Esta es la proporción, ya conocida por Euclides, que gobierna desde los templos griegos hasta la escala antropométrica conocida como el Modulor inventada por el arquitecto francosuizo Le Corbusier. Más adelante, la geometría hiperbólica inspira los diseños soñadores de Maurits C. Escher. Sabemos que en el 105

F055 las geometrias (7).indd 105

08/11/18 15:44

modelo del disco de Poincaré un hombre que camina hacia el borde nunca llega a él; recordamos que el borde no estaba en el modelo, y además aunque al caminar varíe su tamaño debido a la especial naturaleza de la geometría hiperbólica, en realidad es el mismo hombre aunque el cambio de tamaño le haga parecer diferente. La geometría hiperbólica resulta extrañamente contraria a la intuición, aunque posible, y sirve de modelo para describir mundos físicos que sin ella serían inexplicables. Figura 38 Construcción del rectángulo áureo.

5/2

1/2

5/2

Fuente: Elaboración propia.

Figura 39 Circle Limit III.

Fuente: M. C. Escher, Wood engraving, 1959. Wikipedia Commons.

106

F055 las geometrias (7).indd 106

08/11/18 15:44

Esta es la idea expresada en las obras Circle Limit I, II, III, IV, de Escher (1958) (figura 39), dándonos una muestra gráfica de cómo sería un universo gobernado por la geometría hiperbólica. Esta revolucionó la imaginación de Escher y, de hecho, algunos consideran que toda la obra de Escher es en cierto modo una explicación de la idea de infinito usando esta geometría. Pero estos son conocidos ejemplos en que la geometría ha inspirado el arte, aunque veremos también cómo el arte inspira y causa revoluciones en la geometría.

La geometría proyectiva y Brunelleschi El arquitecto florentino Filippo Brunelleschi inventó la llamada perspectiva lineal como herramienta que le permitía dibujar edificios sobre un papel, es decir, representar objetos de tres dimensiones sobre un espacio de dos dimensiones y a la vez mantener la información sobre la distorsión que produce esta representación. Para mantener la información de la distancia, Brunelleschi desarrolló un método que permitía mantener las proporciones adecuadas entre los objetos y con respecto a la distancia entre ellos en el espacio tridimensional donde vivían. El método de Brunelleschi consiste en considerar las líneas que emanan desde el observador y su intersección con el plano de la pintura (figura 40). En la figura 40 vemos al pintor a la izquierda frente a un lienzo, desde su punto de vista emanan líneas que intersecan con el lienzo y apuntan a distintas distancias en el espacio donde vive el pintor. Las intersecciones con el lienzo son las líneas que describen la posición en el lienzo de esas distintas distancias. En la parte derecha de la figura vemos el lienzo con los trazos de las líneas que marcan las respectivas distancias. En la figura 41 hemos añadido algunos objetos, un árbol y una pelota, para aclarar estas distancias y ver cómo influyen en la posición relativa del árbol y la pelota. 107

F055 las geometrias (7).indd 107

08/11/18 15:44

Figura 40 Método para representar las distancias de los objetos de tres dimensiones en un plano.

Fuente: Elaboración propia.

Es el también arquitecto (y humanista) Leon Battista Alberti quien en su tratado De Pictura (1435) codifica la técnica de Brunelleschi y es de este modo conocida y utilizada ampliamente durante el Renacimiento. Esto supuso una gran novedad en las representaciones pictóricas de la época, no más personajes alejados y desproporcionados en espacios completamente distintos del cuadro, sino un acercamiento al realismo. Las pinturas se vuelven más cercanas al mundo real al posibilitar una posición proporcional entre los objetos del cuadro, tanto entre ellos como con respecto al observador (figura 41). Figura 41 Variación del tamaño de los objetos al proyectar sobre el plano.

Fuente: Elaboración propia.

108

F055 las geometrias (7).indd 108

08/11/18 15:44

Geometría y arte se conjugan armoniosamente en la figura de Piero de la Francesca, pintor y matemático florentino, y amigo del también matemático Luca Pacioli. Gracias al florentino, los trabajos artísticos sobre la perspectiva de Brunelleschi se convierten en geometría. De hecho, el tratado de Piero es el primero sobre todos aquellos trucos que el pintor debe conocer para plasmar el espacio. Más tarde, posiblemente la amistad entre Piero y Luca es la que impulsa a Pacioli a escribir La divina proporción, que recoge el tratado de De la Francesca e incluye un estudio de los cuerpos sólidos ilustrados por el mismísimo Leonardo da Vinci. Esta obra es la utilizada entre los artistas del siglo XVI. De esta forma las composiciones artísticas de Brunelleschi inspiran otra geometría: la proyectiva. Esta es la que dice que todas las líneas coplanares se encuentran, siempre, en el horizonte (el horizonte del artista es la recta del infinito para el geómetra). Pero recuerden que no se tiene, hasta después de Gauss en el siglo XVIII, el conocimiento necesario para explicar rigurosamente qué es este espacio que los pintores trabajan con maestría. El arte realmente revolucionó e inspiró la geometría con siglos de antelación.

La simetría y el arte Mientras que el concepto de simetría imperaba en el desarrollo de la geometría y la física del siglo XIX, dos personajes llevaron estas ideas al mundo del arte: el matemático y filósofo de las ciencias Andreas Speiser y el matemático y físico teórico Hermann Weyl. Ambos dedicaron gran parte de su trabajo geométrico a la teoría de grupos, que es la que se dedica a estudiar las simetrías de los objetos geométricos. Dicho de otra forma, la teoría de grupos estudia el concepto de invariante como un objeto en sí mismo. En particular, ambos emplearon buena parte de su trabajo en la interacción de la geometría con el arte. Por ejemplo, de Speiser es conocido su 109

F055 las geometrias (7).indd 109

08/11/18 15:44

libro Música y matemáticas, donde estudia el empleo de simetrías en la música de Bach y Mozart. Speiser se nutre de las ideas de Erns Cassirer, impulsor una descripción del mundo natural basada en las ideas relativistas, hasta el punto de que entiende que igual que la teoría de la relatividad aspira a unificar la física, para Cassirer debe haber una teoría similar que una lo estético, lo ético, lo religioso y las formas simbólicas. Está además influido por la visión abstracta de Hilbert y llama a su geometría axiomática formas simbólicas de la ciencia. De este modo, Speiser estudia la simetría en todo tipo de representaciones artísticas desde los textiles y decoraciones en las tumbas egipcias, pasando por los mosaicos de Pompeya, hasta las figuras ornamentales de la Alhambra en Granada, donde viaja en compañía del también matemático Wolfram Greiser. Este le anima a estudiar la simetría en las partituras de Bach y Mozart, donde descubre que, efectivamente, después de crear una melodía aplica transformaciones como rotaciones y reflexiones, que resultan en una simetría bilateral. Simetría bilateral es un término acuñado por H. Weyl en su libro Symmetry. Heinrich Wölfflin, historiador del arte y fiel seguidor de las ideas de su maestro Jacob Burchardt de encuadrar el arte en un marco más amplio, llegó en 1924 a la Universidad de Zúrich, donde Speiser era profesor. De hecho, Wölfflin estudió también psicología para con ella abordar el estudio del arte renacentista y barroco. Su tesis doctoral, Prolegómenos a una psicología de la arquitectura (1886), explora la idea de que siendo el cuerpo del ser humano simétrico, la contemplación de la simetría en los edificios ha de producir deleite en la persona que lo observa debido a una proyección empática de sí mismo. Más adelante abandona esta explicación psicológica de la influencia de la simetría en la arquitectura, pero en este momento ya ha introducido oficialmente y de una manera explícita la simetría en el arte. El trabajo más importante de Wölfflin, Kunstgeschichtiche (1915), traducido en 2011 como Conceptos fundamentales de la historia del arte, se aparta, finalmente, del análisis subjetivo 110

F055 las geometrias (7).indd 110

08/11/18 15:44

basado en el sentir del observador para dejar paso a un análisis objetivo de los patrones y las formas. Wölfflin además busca explicar el porqué de la interacción entre geometría y arte, y llega a decir que es la geometría la que está siempre en el fondo de nuestro razonamiento. En su libro La ma­­nera mate­ mática de pensar, explica: “Los ejemplos más antiguos de superficies decoradas son egipcias. No sabemos si ya tenían conocimientos de teoría de grupos en aquel entonces, pero sus figuras claramente son un logro geométrico. Hoy en día, nuestras teorías matemáticas están escritas en la forma de teoremas y pruebas pero esa es la influencia de las matemáticas griegas. De cualquier modo las imágenes geométricas son la esencia real de todo razonamiento lógico”. Las formas geométricas decorativas en las superficies egipcias, o los mosaicos pompeyos a los que se refiere Speiser, son precisamente las ahora conocidas como teselaciones. Una teselación consiste en una forma de recubrir o decorar el plano mediante figuras que cumplan dos requisitos: que no queden espacios sin recubrir y que las figuras no se superpongan (figura 42). Figura 42 Mosaico egipcio.

Fuente: Owen Jones, From The Grammar of Ornament, 1856. Wikipedia Commons.

111

F055 las geometrias (7).indd 111

08/11/18 15:44

La geometría nos permite clasificar estas figuras según las reglas que las delimiten: podemos repetir las composiciones de las figuras o no y podemos usar polígonos o no. Por ejemplo, se sabe que existen 17 formas de teselar el plano si las reglas que se cumplen permiten observar una invarianza por traslaciones, esto es, si encontramos que cada cierta traslación, la figura decorativa que forman es la misma (figura 42). Speiser animó a una de sus estudiantes, Edith Müller, a investigar la aparición de estos 17 patrones en la Alhambra que fue el resultado de una tesis doctoral en 1944: Teoría de grupos y estructuras analíticas en el examen de los ornamentos moriscos en la Alhambra de Granada. Figura 43 Teselación de Penrose.

Fuente: Marina Logares.

En el caso contrario, las teselaciones que no se repiten por traslaciones se llaman teselaciones aperiódicas, pero pueden cumplir otras simetrías. Este es el caso de la teselación de Penrose, que es aperiódica pero autosemejante (como un fractal), es decir, el mismo diseño se repite a escala. Esta teselación fue descubierta por el matemático y divulgador 112

F055 las geometrias (7).indd 112

08/11/18 15:44

científico sir Roger Penrose y recubre la entrada del Instituto de Matemáticas de la Universidad de Oxford (figura 43). Durante este capítulo, hemos visto algunos ejemplos de interacciones entre la geometría y el arte, empezando por la influencia de la geometría en el arte y del arte en la geometría. Además nos hacemos algunas preguntas realmente importantes: ¿por qué?, ¿cuál es la razón para que esta relación se dé? Estas son quizá preguntas mucho más difíciles de responder e incluso pueden antojarse imposibles. Sea cual sea la razón, parece claro que las revoluciones en la geometría, por ejemplo la aparición de la geometría hiperbólica, condujeron a nuevas formas de crear arte, al igual que una nueva forma de pintar como la de Brunelleschi lleva a una nueva geometría, la proyectiva, y todo ello es revolucionario tanto para ambos.

113

F055 las geometrias (7).indd 113

08/11/18 15:44

F055 las geometrias (7).indd 114

08/11/18 15:44

Bibliografía

Atiyah, S. M. F. (1974): “How research is carried out”, Bull. IMA, 10, pp. 232-234. Blass, P. (2012): The influence of Oscar Zariski on algebraic geometry, EMS Series of Congress Reports, Contributions to Algebraic Geometry, Impanga Lecture Notes. Fernández, S. F. (2004): Lobachevski, un espíritu indomable, Madrid, Nivola Libros y Ediciones. Fourier, J. (1822): Théorie analytique de la chaleur, París, Firmin Didot Père et Fils. Frege, G. (1980): Philosophical and Mathematical correspon­ dence, Oxford, Blackwell. Gamwell, L. (2016): Mathematics and Art, a cultural history, Nueva Jersey, Princeton University Press. Grothendieck, A.: Recoltes et semailles, réflexions et témoignage sur un passé de Mathématicien, Laboratoire d’informatique de Paris Nord [texto inédito]. Disponible en https://jmrlivres.files.wordpress.com/2009/11/recoltes-et-semailles.pdf Health, T. A. (1921): History of greek mathematics, Oxford, The Clarendon Press. Hilbert, D. (1903): Grundlagen der Geometrie, Leipzig, B.G. Teubner.

115

F055 las geometrias (7).indd 115

08/11/18 15:44

— (1924): “Die grundlagen der physik”, Mathematische Anna­­len, 92, nº 1-2, pp. 1-32. Joseph, G. G. (1991): The crest of the peacock: non-European roots of mathematics, Madrid, Ediciones Pirámide. Kant, I. (1787): Kritik der Reinem Vernunft, Centaur Edi­­ tions. Kapustin, A. y Witten, E. (2007): “Electric-magnetic duality and the geometric langlands program”, Communications in Number Theory and Physics, 1-236. Klein, F. (1872): Vergleichende betrachtungen über neuere geome­ trische forschungen. Erlangen, Verlag von Andreas Deichert. Laserna, D. B. (2011): Emmy Noether, una matemática ideal, Madrid, Nivola Libros y Ediciones. Loomis, E. S. (1968): The pythagorean proposition: its demons­ tration analyzed and classified and bibliography of sources for data of the four kinds of proofs, Washington D. C., National Council of Teachers of Mathematics. Lorentz, E. N. (1963): “The predictability of hydrodynamic flow”, Transactions of the New York Academy of Sciences, 25 (4), pp. 409-432. Mandelbrot, B. B. (1982): The Fractal Geometry of Nature, San Francisco, W. H. Freeman and Co. Merayo, F. G. (2009): János Bolyai, el geómetra revolucionario, Madrid, Nivola Libros y Ediciones. Muñoz, J. L. (2006) Riemann, una visión nueva de la geome­ tría, Madrid, Nivola Libros y Ediciones. Noether, E. (1918): “Invarianten varaitionsprobleme”, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen Math.-phys. Klasse, II, pp. 235-257. Parikh, C. (2009): The Unreal Life of Oscar Zariski, Nueva York, Springer-Verlag. Russell, B. A. W. (1903): The principles of Mathematics, Cambridge, Reino Unido, Cambridge University Press. — (1967): The autobiography of Bertrand Russell: 1872-1914, Londres, George Allen & Unwin. Speiser, A. (1945): The mathematical way of thinking, Basilea, Birkhausser. 116

F055 las geometrias (7).indd 116

08/11/18 15:44

Wheeler, J. A. y Ford, K.W. (2000): Geons, Black Holes, and Quantum Foam: A Life in Physics, Nueva York, W. W. Norton and Company. Zariski, O. (1935): “Algebraic surfaces”, Ergebnisse der Mathematischen Wissenschaften, vol. 3, Berlín. Fuentes electrónicas

Vivimos en la era de la información y es increíblemente abundante la información que podemos encontrar en las redes. Era consciente de ello al empezar la investigación para el libro. Pero no ha dejado de ser una sorpresa el fácil acceso que tenemos a las obras de tan grandes pensadores. En muchos casos es posible leer el texto original, en otros existen reediciones de tales textos. Algunos ejemplos son: • La obra de Riemann puede encontrarse en: http:// www.emis.de/classics/Riemann/ • Los escritos de matemáticos franceses como Legendre pueden descargarse gratuitamente de la biblioteca nacional francesa virtual Gallica: http://gallica.bnf.fr • Una buena cantidad de pruebas del teorema de Pitá­­ goras, junto con aplicaciones java que las muestran en movimiento, se puede encontrar en la siguiente web: http:/www.cut-the-knot.org • La Universidad de Míchigan contiene un repositorio de historia de las matemáticas donde se pueden encontrar, entre otros, los trabajos originales de Felix Klein digitalizados: http://quod.lib.umich.edu/u/um histmath/

117

F055 las geometrias (7).indd 117

08/11/18 15:44

José Vicente García Ramos

50. Las células madre. Karel H. M. van Wely 51. Los metales en la Antigüedad. Ignacio Montero 52. El caballito de mar. Miquel Planas Oliver 53. La locura. Rafael Huertas 54. Las proteínas de los alimentos. Rosina López Fandiño 55. Los neutrinos. Sergio Pastor Carpi 56. Cómo funcionan nuestras gafas. Sergio Barbero Briones 57. El grafeno. Rosa Menéndez y Clara Blanco 58. Los agujeros negros. José Luis Fernández Barbón 59. Terapia génica. Blanca Laffon, Vanessa Valdiglesias y Eduardo Pásaro

60. Las hormonas. Ana Aranda 61. La mirada de Medusa. Francisco Pelayo 62. Robots. Elena García Armada 63. El Parkinson. Carmen Gil y Ana Martínez 64. Mecánica cuántica. Salvador Miret Artés 65. Los primeros homininos. Paleontología humana. Antonio Rosas 66. Las matemáticas de los cristales. Manuel de León y Ágata Timón 67. Del electrón al chip. Gloria Huertas, Luisa Huertas y José L. Huertas

68. La enfermedad celíaca. Yolanda Sanz, María del Carmen Cénit y Marta Olivares

69. La criptografía. Luis Hernández Encinas 70. La demencia. Jesús Ávila 71. Las enzimas. Francisco J. Plou 72. Las proteínas dúctiles. Inmaculada Yruela Guerrero 73. Las encuestas de opinión. Joan Font Fàbregas y Sara Pasadas del Amo

74. La alquimia. Joaquín Pérez Pariente 75. La epigenética. Carlos Romá Mateo 76. El chocolate. María Ángeles Martín Arribas 77. La evolución del género ‘Homo’. Antonio Rosas 78. Neuromatemáticas. El lenguaje eléctrico del cerebro. José María Almira y Moisés Aguilar-Domingo

79. La microbiota intestinal. Carmen Peláez y Teresa Requena 80. El olfato. Laura López-Mascaraque y José Ramón Alonso 81. Las algas que comemos. Elena Ibáñez y Miguel Herrero 82. Los riesgos de la nanotecnología. Marta Bermejo Bermejo y Pedro A. Serena Domingo

83. Los desiertos y la desertificación. J. M. Valderrama 84. Matemáticas y ajedrez. Razvan Iagar 85. Los alucinógenos. José Antonio López Sáez 86. Las malas hierbas. César Fernández-Quintanilla y José Luis González Andújar

87. Inteligencia artificial. Ramon López de Mántaras Badia y Pedro Meseguer González

¿QUÉ SABEMOS DE?

Las geometrías y otras revoluciones

El estudio del espacio y las formas que lo habitan se remonta al inicio de las matemáticas conocidas, desde las crecidas del Nilo y el intento de medir las tierras que quedarían cubiertas por sus aguas al portentoso cálculo del radio de la Tierra. Y este estudio del espacio llega a impregnar nuestra forma de entender físicamente el universo. Pero contrariamente a lo que estamos acostumbrados, la geometría no es una, sino muchas, dependiendo tanto de lo que se observa como de las herramientas de las que se sirve para construir su razonamiento. Es más, el hallazgo y desarrollo de estas diversas manifestaciones de la geometría ha impulsado descubrimientos en ciencias como la física. Parafraseando a Poincaré, si “todo saber tiene de ciencia lo que tiene de matemáticas” podríamos decir que toda observación de la naturaleza tiene de teoría lo que tiene de geometría. El hombre distingue formas, y en el estudio de estas descubre la geometría de lo que observa. En este libro iniciaremos un viaje sobre las distintas geometrías que conocemos actualmente, cómo surgen y la revolución en el pensamiento que implican o que les precede.

¿ QUÉ SABEMOS DE? LAS GEOMETRÍAS Y OTRAS REVOLUCIONES

Manuel de León y Ágata Timón

49. Las moléculas: cuando la luz te ayuda a vibrar.

Marina Logares

48. Rompiendo códigos. Vida y legado de Turing.

Marina Logares es doctora en Matemáticas por la Universidad Autónoma de Madrid y profesora en la Universidad de Plymouth. Sus áreas de investigación son la geometría algebraica, la geometría compleja y la física matemática.

88. Las matemáticas de la luz. Manuel de León y Ágata Timón 89. Cultivos transgénicos. José Pío Beltrán 90. El Antropoceno. Valentí Rull 91. La gravedad. Carlos Barceló Serón 92. Cómo se fabrica un medicamento. María del Carmen Fernández

¿de qué sirve la ciencia si no hay entendimiento?

97_Lasgeometrías.indd 1

Las geometrías y otras revoluciones Marina Logares

1. El LHC y la frontera de la física. Alberto Casas 2. El Alzheimer. Ana Martínez 3. Las matemáticas del sistema solar. Manuel de León, Juan Carlos Marrero y David Martín de Diego

4. El jardín de las galaxias. Mariano Moles 5. Las plantas que comemos. Pere Puigdomènech 6. Cómo protegernos de los peligros de Internet. Gonzalo Álvarez Marañón

7. El calamar gigante. Ángel Guerra Sierra y Ángel F. González González 8. Las matemáticas y la física del caos. Manuel de León y Miguel Á. F. Sanjuán

9. Los neandertales. Antonio Rosas 10. Titán. Luisa M. Lara 11. La nanotecnología. Pedro A. Serena Domingo 12. Las migraciones de España a Iberoamérica desde la Independencia. Consuelo Naranjo Orovio 13. El lado oscuro del universo. Alberto Casas 14. Cómo se comunican las neuronas. Juan Lerma 15. Los números. Javier Cilleruelo y Antonio Córdoba 16. Agroecología y producción ecológica. Antonio Bello, Concepción Jordá y Julio César Tello

17. La presunta autoridad de los diccionarios. Javier López Facal 18. El dolor. Pilar Goya Laza y Mª Isabel Martín Fontelles 19. Los microbios que comemos. Alfonso V. Carrascosa 20. El vino. Mª Victoria Moreno-Arribas 21. Plasma: el cuarto estado de la materia. Teresa de los Arcos e Isabel Tanarro

22. Los hongos. M. Teresa Tellería 23. Los volcanes. Joan Martí Molist 24. El cáncer y los cromosomas. Karel H. M. van Wely 25. El síndrome de Down. Salvador Martínez Pérez 26. La química verde. José Manuel López Nieto 27. Princesas, abejas y matemáticas. David Martín de Diego 28. Los avances de la química. Bernardo Herradón García 29. Exoplanetas. Álvaro Giménez 30. La sordera. Isabel Varela Nieto y Luis Lassaletta Atienza 31. Cometas y asteroides. Pedro José Gutiérrez Buenestado 32. Incendios forestales. Juli G. Pausas 33. Paladear con el cerebro. Francisco Javier Cudeiro Mazaira 34. Meteoritos. Josep Maria Trigo Rodríguez 35. Parasitismo. Juan José Soler 36. El bosón de Higgs. Alberto Casas y Teresa Rodrigo 37. Exploración planetaria. Rafael Rodrigo 38. La geometría del universo. Manuel de León 39. La metamorfosis de los insectos. Xavier Bellés 40. La vida al límite. Carlos Pedrós-Alió 41. El significado de innovar. Elena Castro Martínez e Ignacio Fernández de Lucio

42. Los números trascendentes. Javier Fresán y Juanjo Rué 43. Extraterrestres. Javier Gómez-Elvira y Daniel Martín Mayorga 44. La vida en el universo. F. Javier Martín-Torres y Juan Francisco

Alonso y Nuria E. Campillo Martín

93. Los falsos mitos de la alimentación. Miguel Herrero 94. El ruido. Pedro Cobo Parra y María Cuesta Ruiz 95. La locomoción. Adrià Casinos 96. Antimateria. Beatriz Gato Rivera

¿QUÉ SABEMOS DE?

Buenestado

ISBN: 978-84-00-10411-5

97

45. La cultura escrita. José Manuel Prieto 46. Biomateriales. María Vallet Regí 47. La caza como recurso renovable y la conservación de la naturaleza. Jorge Cassinello Roldán

16/10/18 12:19