Kombinatorik

Citation preview

B-I- HOCHSCHULSKRIPTEN

741 a

KOMBINATORIK VON

PETER DEMBOWSKI o. rnomsson AN DER UNIVERSITÄT TÜBINGEN

BIBLIOGRAPI-IISCHES INSTITUT — MANNHEIM/WIEN/ZÜRICH HOCHSCHULTASCHENBÜCHER-VERLAG

Alle Rechte vorbehalten - Nachdruck, auch umzugeweise‚ verboten 0 Bibliographische! Inltltut AG - Mannheim 1970 Druck: Zechnereche Buchdruokerel, Speyer Bindearbeit: Lechenrnnler. Reutlingen Printed in Gormmy

A

Vorwort

Im Wintersemester 1964/65 hielt ich in Frankfurt a.M. eine vierstündige Vorlesung mit dem Titel "Kombina-

torik",

deren Schwerpunkt auf einer systematischen

Behandlung von endlichen Inzidenzstrukturen lag: Neben der Einführung der Grundbegriffe war die Vorlesung hauptsächlich der kombinatorisch-geometrischen Theorie der Blockpläne gewidmet. Da diese Dinge bis dahin kaum Eingang in die Lehrbuchliteratur gefunden hatten und zum Teil sogar überhaupt unveröffentlicht waren, wurde im März 1965 von der Universität Frankfurt eine Ausarbeitung der Vorlesung hergestellt,

die

aber schon nach etwas über einem Jahr vergriffen war.

Die Nachfrage nach dieser Ausarbeitung ist in den

letzten Jahren nicht abgerissen. Sie hat sich sogar letzthin verstärkt, was damit zusammenhängen mag, daß ich in meinem Buch "Finite Geometries", für vollständige Beweise kein Platz war,

in dem

des öfteren

auf die "Kombinatorik" verweisen mußte, weil ich für mehrere der dort zusammengestellten Resultate keine andere Quelle kannte. Angesichts der Tatsache,

daß

nach wie vor keine moderne Darstellung der Kombina— torik in deutscher Sprache existiert,

scheint eine

Neuauflage der Frankfurter Ausarbeitung von 1965 aber auch unabhängig von diesem Zusammenhang mit den "Finite Geometries" von Interesse zu sein.

Ich bin deshalb dem Bibliographischen Institut sehr dankbar,

daß es sich bereit erklärt hat,

die "Kombi-

natorik" in der Reihe der "B.I.-Hochschulskripten" neu herauszubringen. Das vorliegende Skriptum ent-

hält im wesentlichen denselben Stoff wie die Frank— furter Vorlesung. Der ursprüngliche Text wurde geglättet,

durch motivierende Ergänzungen lesbarer ge-

macht und von Fehlern befreit, und an mehreren Stel— len wurden auch sachliche Zusätze eingefügt, seit

1965

die die

erzielten Fortschritte berücksichtigen.

Aber der Versuchung, weitere Gebiete der Kombinatorik neu hinzuzunehmen, habe ich nach einigem Zögern wider— standen:

Da eine auch nur einigermaßen vollständige

Darstellung des Gesamtgebietes der modernen Kombinatorik den Rahmen eines Hochschulskriptums bei weitem sprengen würde, hätte es sich bei einer Erweiterung des Stoffes ohnehin nur um eine willkürliche Auswahl handeln können.

Den Herren Helmut Bender und Rüdiger Zirpel‚

die beim

Abfassen des Frankfurter Manuskripte von 1965 wertvolle Hilfe geleistet haben, lich gedankt.

sei hier nochmals herz-

Ferner danke ich dem Bibliographischen

Institut für die sorgfältige Herstellung des neuen Skriptums.

Peter Dembowski

INHALTSVERZEICHNIS

Einleitung

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

11

Inklusion und Exklusion

.

.

.

.

.

.

.

19

.

.

.

.

.

.

.

26

1. Anzahlgrobleme

.

.

.

.

.

.

.

.

9

(11 - 33)

1.1. Grundbegriffe 1.2.

.

1.3. Partitionen

.

.

2. Existenzgrobleme

.

.

.

.

(34 - 51)

2.1. Schubfachprinzip

.

.

.

.

.

.

.

.

.

34

2.2. Vertretersysteme

.

.

.

.

.

.

.

.

.

40

.

.

.

44

2.3. Lateinische Rechtecke und Quadrate

3. Inzidenzstrukturen

(52 - 107)

3.1. Klassifikation 3.2.

.

.

.

.

Inzidenztreue Abbildungen

3.3. Inzidenzmatrizen

.

.

.

.

.

.

52

.

.

.

.

.

.

65

.

.

.

.

.

.

.

.

.

77

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

83

3.5. Polyeder

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

97

4. Blockgläne

(108

| ... on 01 w

3.4. Graphen

4.1. Allgemeines

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

108

4.2. Modelle

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

117

4.3. Einbettungen und Erweiterungen .

.

.

.

.

128

.

135

und Cld_l(d,q).

147

4.4.

.

Zentrale Automorphismen und Dilatationen

4.5. Kennzeichnung der

?2d_l(d,q)

4.6. Taktische Zerlegungen .

.

163

4.7. Projektive Blockpläne mit transitiver Gruppe

179

Literaturverzeichnis

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

189

EINLEITUNG

Kombinatorik ist die Theorie der endlichen Mengen.

Ihre

Bedeutung reicht deshalb in alle Gebiete der Mathematik, die von endlichen Strukturen handeln; zum Beispiel werden

weite Bereiche der Zahlentheorie, der endlichen Gruppentheorie, der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik sowie einige Kapitel aus Geometrie und Topologie von kombinatorischen Schlußweisen beherrscht. Die Bedeutung der

Kombinatorik für die Gesamtmathematik kann also kaum über— schätzt werden. Die vorliegende Vorlesung verfolgt zwei Ziele. Einer-

seits soll eine Einführung in die "klassischen" Begriffsbildungen, Resultate und Probleme der Kombinatorik gegeben werden, andererseits wollen wir wenigstens eines der zahlreichen “modernen" Entwicklungsgebiete näher be—

handeln, nämlich die Theorie der Blockpläne.

(Zum ersten

dieser Themen zählen die ersten beiden Kapitel sowie die Paragraphen 3.4 und 3.5 des dritten Kapitels; der Rest der Vorlesung, insbesondere das lange vierte Kapitel, ver— folgt das zweite Thema.) Andere neue Forschungsrichtungen der Kombinatorik müssen ebenso unberücksichtigt bleiben wie die Anwendungen in den verschiedensten Gebieten der reinen und angewandten Mathematik. Für weitergehende Darstellungen wird der Leser auf die Bücher von HALL, ORE, RINGEL und RYSER verwiesen, für Anwendungen außerdem auf die von BERGE,

BERLEKAMP und RIORDAN‘.

Jedes der vier Kapitel zerfällt in mehrere Paragraphen. Die wichtigeren Sätze und sonstigen Aussagen sind in jedem Paragraphen durchnumeriert. Bei Zitaten wird im selben Paragraphen nur die betreffende Nummer, tel— und Paragraphennummer genannt;

sonst auch Kapi-

z.B. heißt der soge-

nannte Fünffarbensatz innerhalb des Paragraphen 3.5 nur (22), sonst

(3.5.22).

1Namen in Großbuchstaben weisen auf das Literaturverzeidhnis auf 3.189 hin.

10

Die Darstellung ist recht elementar gehalten, so daß jeder Student, der die Anfängervorlesungen hinter sich hat, der Vorlesung ohne große Mühe folgen können sollte. Nur wenige Vorkenntnisse sind erforderlich. In 1.3 wird naiv mit unendlichen Reihen und Produkten gerechnet,

ohne

auf Konvergenzfragen einzugehen, in 2.3 und 4.2 kommen endliche Körper

(Galoisfelder) vor,

3.3 und 4.6 enthalten

einige Grundbegriffe der linearen Algebra, und in 3.5 stehen topologische Termini. Außerdem ist eine gewisse Vertrautheit mit den Begriffen der Theorie der Permuta— tionsgruppen wünschenswert (besonders für 3.2, 4.4 und

4.7); an tieferliegenden Hilfsmitteln wird aber nur der Satz

(4.4.13) von Frohenius benutzt.

Literaturhinweise im Text sind absichtlich spärlich gehalten. Bei einigen weniger trivialen Sätzen wird der Entdecker genannt, meistens dann auch eine Jahreszahl, aber genaue Quellen stehen nur da, wo keine Beweise gegeben werden konnten. Das Literaturverzeichnis am Schluß enthält nur Lehrbücher,

keine

Zeitschriftenartikel.

Für

ausführlichere Literaturangaben wird auf die Bibliographien in den Büchern von DEMBOWSKI, ORE, RINGEL, RIORDAN und RYSER hingewiesen.

11

1. ANZAHLPROBLEME

Unter einem Anzahlproblem der Kombinatorik verstehen wir eine Frage des folgenden allgemeinen Typs: Gegeben

eine endliche Menge, wie viele Teilmengen einer vorgeschriebenen Art sind in ihr enthalten? Daß die fraglichen Teilmengen überhaupt existieren, wird in den zu betrachtenden Fällen immer trivial sein.

1.1. Grundbegriffe

Es sei M eine endliche Menge. Mit |M| wird die Anzahl der Elemente von M bezeichnet. Ist [MI = m, so sagen wir, M sei eine m-Menge. Der Sachverhalt, daß al,...‚am die Elemente der m-Menge M sind, wird durch die Schreibweise

(l)

M = {al,...,am}

ausgedrückt. Die leere Menge wird durch #, die der ersten

m natürlichen Zahlen durch ]Vm bezeichnet: (2)

DJm = {I,...‚m}.

Die Menge aller natürlichen Zahlen heißt N', die aller ganzen Zahlen Z . Ferner bedeutet t die Menge aller Unter-

mengen (auch "Teilmengen") der Menge M, und {x SE} bezeichnet die Menge aller x mit der Eigenschaft E. Ein n—tugel aus M ist eine Abbildung 1 + xi von

(i = l,...,n)

lJn in M. Da ein n-tupel durch die xi eindeutig bestimmt

ist, ist die Bezeichnungsweise

(3)

4«= (xl,...,xn)

für n-tupel unmißverständlich. Während die ai in (1) alle verschieden sind, können unter den :;i in

(3) einige mehr-

fach vorkommen. Außerdem ist die Reihenfolge in (3) wesent-

12

lich, während sie in (1) keine Rolle spielt: {a,b} = {b,a), aber

(a‚b) # (b,a). Runde und geschweifte Klammern werden

auch später stets in diesem Sinne verwendet.

(4)

SATZ.

Die Anzahl der n-tupel einer m-Menge ist m".

Denn in (3) können die xi unabhängig voneinander je m Werte annehmen.

'

Ein n-tupel heißt h-Teilordnung, wenn i + xi eine in—

jektive Abbildung ist, d.h. wenn die xi in (3) alle ver-

schieden sind. Jede lM|—Teilordnung von M heißt eine 52; ordnung von M. Die Anzahl der Anordnungen von M hängt

natürlich nur von |MI = m ab; sie wird mit ml bezeichnet. Es gilt

(5) SATZ.

ml

=

7%" i

m = 1,2,...,

1=l

denn in

(3) kann zunächst xl auf m Weisen gewählt werden,

danach x2 noch auf m—l Weisen (da xl # x2 sein muß), und so weiter. Der formale Beweis erfolgt durch Induktion mit Hilfe der für n = 2,3‚... leicht zu beweisenden Rekursionsformel (6)

nl

Um die Gültigkeit von

=

n(n-l)l.

(6)

auf beliebige ganzzahlige n

auszudehnen, wird zusätzlich definiert:

(7)

01 = l,

Durch

(5)

und

(7)

(-n)l = 0

(n = 1,2,...).

ist xl für alle ganzzahligen x erklärt.

Es liegt nahe, nach einer für alle reellen x erklärten Funktion f zu fragen, die für x e 2

die durch (5)

und (7)

gegebenen Werte xl annimmt und sonst stetig und möglichst

oft differenzierbar ist. Da xl nach (7) für unendlich viele x verschwindet, kann keine rationale Funktion diese Anforderungen erfüllen. Nun hat aber die durch

13

&

P(x)

=

! e‘t tx—1 dx 0

erklärte Gammafunktion die Eigenschaften P(x+1) = xP(x) und

r(1) = 1; sie ist überdies unendlich oft differenzierbar. Folglich wird xl durch f(x) = P(x+l)

in befriedigender Weise

interpoliert, und in einem genau präzisierbaren Sinne wird durch diese Funktion f sogar die glatteste Kurve geliefert,

die alle Punkte (x‚xl) der cartesischen Ebene enthält. Da in dieser Vorlesung von der Gammafunktion kein Gebrauch ge-

macht wird, sollen diese Dinge hier nicht näher ausgeführt werden; der interessierte Leser wird auf das Büchlein von E.ARTIN hingewiesen. Eine Permutation von M ist eine bijektive, d.h. umkehrbar eindeutige Abbildung von M auf sich. Das Bild von xe:M unter der Permutation “ wird mit xn bezeichnet. Durch die Vorschrift

(8)

x(1nr') = (x1r)1r'

für alle

xeM

wird unter den Permutationen von M eine Multiplikation erklärt, und bezüglich dieser Multiplikation wird die Menge

F(M) aller Permutationen von M zu einer Gruppe, der gxg: metrischen Gruppe von M. Da die Struktur von

3*(M)

nur von

IMI = m abhängt, wird die symmetrische Gruppe einer m-Menge im allgemeinen durch B*m bezeichnet. Unter einer Permuta-

tionsgruppe von M wird eine beliebige Untergruppe von

'TTM) = 3*m verstanden. Ist « : i + xi eine beliebige An— ordnung von M und durchläuft " alle Permutationen von M, so durchläuft an alle Anordnungen. Außerdem ist die Beziehung zwischen % und an umkehrbar eindeutig; also folgt für die Ordnung der symmetrischen Gruppe:

(9)

|?fml

=

ml.

Die Anzahl der k-Untermengen einer m-Menge M wird mit

(2) bezeichnet. Es gilt natürlich:

14

(10)

(€) = (=) = 1 und

Wir bestimmen (€)

(2) = o für R > m(m= o‚1‚...).

für 1 ; k ; m—l. Da M ebenso viele k-

(m-k)-Untermengen hat {das Komplement M-K einer k-Unter-

wie

menge K ist eine

(m-k)-Untermenge‚ und die Beziehung zwi-

schen K und M-K ist umkehrbar eindeutig}, gilt m

(11)

_

(k)

m

—

(m_k);

also können wir uns auf die Fälle 1 ; k ; % beschränken. Nun gilt die folgende wichtige Rekursionsformel: m+l

_

m

m

(k+l) - (k+1) + (k)'

(12) Beweis:

Ist M' eine die m—Menge M enthaltende

(m+1)-

Menge und M' - M = {a}, so ist die Anzahl der a enthalten— den (k+1)-Mengen in M' gleich der k—Mengen in M, also (i), und die der a nicht enthaltenden gleich der der Mengen in M,

(13)

?ATZ.

(k+l “ ).

also

m (k)

_

(k+1)—

Jetzt folgt:

m! ETTE:ETT

für

0 ; k ; m.

Beweis durch Induktion unter Benutzung von Wir ziehen Folgerungen aus

(10)

-

(12).

(13). Da eine n-Teilordnung

von M nach Definition dasselbe ist wie eine Anordnung einer n-Untermenge von M, folgt zunächst mit (14)

(S):

SATZ. Die Anzahl der n-Teilordnungen einer m-Menge ist m

(n)nl

n-l

=

| | (m-i). i=o

Eine n—Auswahl der m—Menge M ist ein Paar

(A,g), wobei

A e L1M‚ also A eine Untermenge von M, und g : x + g(x) eine Abbildung von M in die Menge DJ aller natürlichen Zahlen ist {g(x)

wird

heißt das Gewicht von x e A}; außerdem

}: g(x) = n verlangt. Wir schreiben Auswahlen mit s

15

geschweiften Klammern; im Gegensatz zu (1) brauchen bei

einer Auswahl {al,...,an} die ai nicht alle verschieden zu sein, vielmehr tritt jedes a genau g(a) mal auf. (15)

SATZ. Die Anzahl der n-Auswahlen einer m-Menge ist m+n-l („_1)

m+n-l (n).

Zum Beweis kann o.B.d.A. angenommen werden, daß die vorgelegte m-Menge gleich ldm ist, vgl.(2). Die n—Auswahlen

von l entsprechen dann umkehrbar eindeutig den n-tupeln (xl,...,xn) mit nach der Größe geordneten xi:

x 1 ; x2 ; ... ; x . Durch die Vorschrift y].. = xi + i —

l

i = l,...‚n

werden diese n—tupel umkehrbar eindeutig auf die n-tupel

(yl,...,yn) von e+n—l mit

yl < y2 < ... < yn abgebildet, und diese entsprechen umkehrbar eindeutig den

n-Teilmengen von DJ m+n- 1' deren Anzahl nach (13) gleich (m+n-l n

)

ist. Wegen

und damit ist

(11)

ist das aber auch gleich

(

m+n-l‚

m-l

'

(15) bewiesen.

(16) BINOMISCHER LEHRSATZ.

m

(a+b)m = 2:

.

.

(€) a1 b“'1

1=0 für m = 0,1,2‚...

m Beweis: Da? (a+b)m = (a+b)

(a+b)...(a+b) von der Form

-2% ci a1 b""1 sein muß, ist klar. Der Koeffizient c].. ist gleich der Anzahl verschiedener Möglichkeiten, beim Ausmultiplizieren der Klammern aus genau 1 Faktoren a+b den Summanden a zu wählen. Diese ist aber gleich der Anzahl der i-Teilmengen der m-Menge alle: Faktoren a+b‚ also

gleich (2) .

16

Wegen

(16) heißen die Zahlen (€) Binomialkoeffizienten.

Von ihren vielen interessanten Eigenschaften stellen wir jetzt einige der wichtigsten zusammen.

(17)

Sind n und k teilerfremd, so ist (2) durch n teilbar.

Denn nach (13) ist für 0 ; k ; n {sonst ist wegen (10) nichts zu beweisen} n

_

(k)

'

nl

_ 2

_

n-l

k! 11-1: | ' k

(};—1)“

Also folgt, da (n‚k) = 1, daß (33) = hk gilt, mit ganzzähligem h, und daher ist Aus

(13)

(2) = nh durch n teilbar.

ergeben sich leicht die beiden folgenden Mono-

tonieeigenschaften:

(18) (kfl) < (Q) 39; 1 ; k < 3 und A(1) xeMi

i=0

= O für i ’< r folgt daraus die Behaup-

(4) werden die F(r)

durch die A(s)

ausgedrückt.

Ungekehrt gilt:

SATZ:

A(s)

=

_ 1:

Beweis:

in

0

n-

.

O

n-

(5)

.

(-1)1 (5:1) F(s+i).

Nach (4) ist

Z (-1) 1 ( SH". s ) F(sfi) = “‘“ (-1) i ( s+i s ) i=o

“

.Z J=s+1'

5 ) AU). ( s+i

21

Nach Vertauschung der Summations-Reihenfolge wird das zu

“ s z 0), wie ein Ver-

daß an(x) - x an_1(x) = xn an(x)

gleich der Koeffizienten der yn zeigt. Also:

x.sn_1(x) an(x)

=

T;-n—_ für n > 0.

Diese Rekursionsformel liefert, da ao(x) = 1, ten:

n

a

"

(x)

=

xn

I l

k=1

Es bleibt an(x) =‘fn(x)

analog dem Beweis von (5): F(x‚y)

=

(1+xy+x2y2+...)

1

1-xk

nach n Schrit-

.

zu zeigen. Das aber ergibt sich

wegen

u

(1+x2y+x y2+...)...(1+xky+xeky2+...)...

ist der Koeffizient von xm ° y" (also der Koeffizient von xm in an(x)) gleich der Anzahl der nePartitionen von m.

29

Die Anzahl der Partitionen (g(1)‚...‚g(m) von m mit g(k) = 0 für k > r bezeichnen wir mit Drm‘ Dann gilt:

SATZ.

(10)

Drm = Pr m+r für alle r, m.

Beweis. Ähnlich wie im Beweis von Satz (5) „sieht man, °° r m+r_ x kgilt, also folgtE°° Dr Drm xm = '|_|' 5_ daß k-1

m—O

= x

r

“’

Drm x

5

m

m=0

1-xk r

= x r | ['

m=0

=EZQ

k=1

P m xm nach

(9) . Die

1— ::k

Behauptung ergibt sich hieraus durch Koeffizientenvergleich.

Wir betrachten jetzt die Menge M(m)

aller Partitionen

von m mit verschiedenen Komponenten, d.h. der Partitionen

(3) mit g(k) ; 1 für alle k eNm. Wir bezeichnen mit 2)L(m) bzw. @ (m)

die Menge der Partitionen aus ”(m) mit ungerader (d.h. Anzahl der k mit

g(k) = l) und setzen D(m) = |9(m)l

-

bzw. gerader Anzahl von Komponenten

|?ll(m)l. Wir bestimmen

die erzeugende Funktion der D(m) :

(u)

SATZ. Z D(m) ::m = W (1-xk). k=1

m=0

Beweis. Das Produkt (-xkl) (-xkz)

(-xkn) mit 2:1 k.1=rn

hat positives oder negatives Vorzeichen, je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist. Als Koeffizient von xm ergibt

sich also lg (m) | - |7/L(m)l = D(m) . Man kann nun die Zahlen D(m)

auch noch auf. andere Weise

bestimmen, wie wir als nächstes zeigen. {(-1)k‚

(12)

SATZ.

D(m)

falls

m =

(Sk—il}.

= 0

sonst.

Beweis: Für jede Partition y=(g(l) ,...‚g(m)) sind alle g(k) = 0 oder 1; wir definieren:

aus 7.0(m)

30 b(?')

=

min {k ! g(k) = 1}

s(‚)

=

max {k ! g(k) = 1}

d(})

=

s(?) - max {k ! k 1. Beweis: Sei ?

=

(g(1)‚...,g(m))

eine perfekte Partition

von m. Wir bestimmten die Folge b„...‚bs der Komponenten 1 mit g(i) # 0. Da 1 Komponente sein muß, ist zunächst b1 = 1.

Sind b1,...,bj_1

(j 5 5) schon bekannt, so lassen sich alle

Zahlen bis bj_1 g(bj_1)

+ bj_2 g(bj_2)

+ ...+ g(b‚)

in der

°—1

Form %

a(iL 1 mit a(i) 5 g(i)

darstellen, und es folgt

1=1

bj = bj_1 g(bj_1) + bj_2 g(bj_2) + ... + 1 g(a1) + 1, also

bj = bj_‚ 9(bj_1) + bj_1 = bj_1 (q(bj_1) + 1).

33

Hieraus folgt durch Induktion

bj = i=1

(g(bi) +1), für j = 1‚...‚ s.

Man setze nun fi = g(bi) _3_

m = 2__

+ 1

und rechne unter Benutzung von s

bi g(bi) nach, daß

i=1

| V

fi = m + 1 ist. Damit ist

i=1

die gesuchte eineindeutige Beziehung zwischen den geordneten Faktorisierungen von m + 1 und den perfekten Parti— tionen von m hergestellt und

(15)

bewiesen.

Folgerung:

616) Genau dann besitzt m nur eine perfekte Partition, nämlich die triviale (g‚o‚...‚o)‚wenn m+1 Primzahl ist.

34

2. EXISTENZPROBLEME

Ein Existenzproblem ist eine Frage des folgenden Typs: Besitzt eine endliche Menge eine Teilmenge stem von Teilmengen)

(oder ein Sy-

einer vorgeschriebenen Art? Man kann

solche Fragestellungen natürlich als Spezialfälle von Anzahlproblemen auffassen

(Ist die Anzahl von gewissen Teil—

mengensystemen von Null verschieden?)‚ aber die Untersuchungsmethoden unterschieden sich von denen des ersten Ka-

pitels doch oft recht wesentlich. 2.1. Schubfachgrinzig Als Schubfachprinzip wird bekanntlich die folgende triviale Aussage bezeichnet: ein und ist m < n,

“Teilt man n Dinge in m Klassen

so enthält wenigstens eine Klasse mehr

als ein Ding." Das Ziel dieses Paragraphen ist es, eine tiefliegende und weitreichende Verallgemeinerung des Schubfachprinzips zu beweisen, die zuerst von F.P.Ramsey 1930

entdeckt wurde ("On a problem of formal logie", Proc. London Math. Soc., Ser.

II, vol.

30, 338-384). Um sie mög-

lichst allgemein formulieren zu können, definieren wir zunächst einige neue Begriffe.

Eine Partition einer Menge M ist eine Menge {M1,...,Mn) von nichtleeren Teilmengen von M derart, daß gilt: 11

(1) M= \/1 Mi, Min Mj - g für 1 #j (1,31 = l,...‚n). 1-

'

_2_

Da aus (1) natürlich g__|MiI=IMI folgt, liefert jede Parti— i=1

tion von M eine Partition (im Sinne von 1.3) von IM . Aber

ein und dieselbe Partition von |M| kann natürlich von vielen Partitionen von M herrühren. Dies ist ein Grund für die Einführung des folgenden Begriffes: Eine geordnete Partitign von M ist ein n-tupel die Mi den Bedingungen

(M1‚...‚Mn)

(1) genügen. Mit

aus b£M derart, daß eM bezeichnen

wir die Menge aller r-Teilmengen von M; ist |M|=m‚ so

[%e = (23) nach 1.1.

35

(2) SATZ von Ramseyz Zu jedem (n+l)-tupel (r‚s1‚sa,...‚sn) von natürlichen Zahlen mit 1 5 r 5 Si

(1 - l,...‚n)

gibt es eine natürliche Zahl m0 = mo(r; s1,...‚sn) derart, daß für alle m > m0 gilt:

Ist M eine m-Menge und (d1 , .. . , an) eine geordnete Partition von ldrM, so existiert ein k e IVn sowie

eine Unteeenge S _III (ai.‚ bij) von Nn >< Nn in sich eine Permutation von Nn x ‚\in ist, d.h. wenn jedes der

112 Paare (x‚y) mit x‚y e N“ genau je einmal als x = aij' y - bij auftritt, mit denselben i,j e N“. Eine nicht leere Menge (1 von n-reihigen lateinischen Quadraten heißt ortho-

gonal, wenn entweder I&| = l ist oder AJ_B gilt für alle A, B e & mit A + B. Schließlich wird definiert:

(9)

Mm = max “al! 029 LQ(n), CZ orthogcnal}.

47

Diese zahlentheoretische Funktion N ist von großer Wichtigkeit für viele kombinatorische Probleme, sowie für Anwendungen in der Statistik und den Grundlagen der Geometrie. Den genauen Wert von N(n)

kennt man für die meisten n nicht.

Wir geben hier die wichtigsten der bekannten Eigenschaften von N an.

(10)

SATZz

N(n) 5 n-l

für alle

n 5 FG

Beweis. Es 86141 = {A(1),...‚A(t)} eine orthogonale Teilmenge von LQ(n)‚ mit A(k) - (aää))‚ k = l,...‚t. Zu zeigen ist t ; n-1. Sind die A(k) nicht in Normalform‚ so geht man mit Hilfe geeigneter Permutationen "k e rn zu lateinischen Quadraten

B(k) - (bg?) mit b£ä“ = ai?) 1rk in Normalform über.

(Man kann diesen Ubergang als Umbenen-

nung der Elemente der A(k) interpretieren). Dabei )wird die

Orthogonalität nicht zerstörtz Wäre 1.3. B( MIB (i‚j) —-—> (b‘1)‚ b£2)) = (ag!) w1‚ a(ä)

), also

w2) keine Permu-

tation vonNn X Nn ‚ 30 wäre sich (1, j) —-—>( (an) keine solche nPermutation, also auch A(

$“)

)I l\(2

Nun darf man also o.B.d.A. annehmen, daß sämtliche A(k)ta in Normalform sind. Wir betrachten jetzt die t Zahlen aéf)‚

k = l,...,t. Wegen ag?)

verschieden. Da

= 1 sind diese Zahlen alle von 1

01 orthogonal ist und alle A(k k)

e C!

in

Normalform sind, sind alle ag?) auch untereinander ver-

1 die Existenz eines (4‚n)-Schemas s = (sij)' Wir definieren T = (tij) durch tij = sij + 2n

>

l,

1,........‚1‚....‚2n‚

2n‚.....‚2n),

(].)

2,lnooocolslfll

2,

3]...0o0'fl+1'0000'0'

1,»..-o‚fl‘l)‚

0

(2n‚2n-1‚....‚n+1‚ O, Z,......‚n+2‚...‚2n-1‚2n-2‚...‚ n),

U

'

(O, 0,.........‚0‚

W

und setzen ferner

(2n+1,2n12‚...‚3n‚2n+1‚2n+2‚...‚3n‚...‚2n+1‚2n+2‚...‚3n).

Jeder dieser Ausdrücke ist ein n(2n+1)-tupel aus {O}uldan Schließlich bilden wir die (4, (3n+1) 2)-Matrix

s*

=

A 3 c D

'1‘

13 A D c

c n A s

o c B A

o o o o

1 1 1 1

2n 2n 2n Zn

Man verifiziert nun - die Einzelheiten müssen dem Leser über-

lassen bleiben -‚ daß S

ein (4,3n+1)-Schema ist, und also

folgt N(3n+l) > 1 aus (16). Mit (18) ergibt sich nun leicht der angekündigte Spezialfall von (19)

(15), nämlich: N(12k + 10)

Beweis:

nach

> 1

für

k = 0,1‚...

n = 4k + 3 ist ungerade, also gilt N(n)

(14). Wegen (18)

ist dann auch N(3n+l)

ist an + 1 = 12k + 10, also gilt (19).

> 1

> 1. Aber es

52

3.

INZIDENZSTRUKTUREN

Der Begriff der Inzidenzstruktur, der in 3.1 definiert wird, ist für den Rest dieser Vorlesung, und insbesondere für das Kapitel 4, von fundamentaler Bedeutung. Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, daß wir diesen Terminus hier in einem allgemeineren Sinne gebrauchen als es in dem Buch von PICKERT geschieht. Die Paragraphen 3.1 - 3.3 behandeln allgemeine Inzidenzstrukturen: in 3.1 wird eine Klassifikation nach gewissen Inzidenzeigenschaften gegeben, in 3.2 stehen inzidenzerhaltende Abbildungen, und insbesondere Automorphismen, von Inzidenzstrukturen im Vordergrund, und 3.3 gibt einen fundamentalen Zusammenhang zwischen Inzidenzstrukturen und gewissen Matrizen. Die beiden restlichen Paragraphen 3.4 und 3.5 behandeln erste Anwendungen dieser Begriffe und Resultate, und zwar auf Graphen (3.4)

und Polyeder, insbesondere Färbungsprobleme, die mit

dem berühmten Vierfarbenproblem zusammenhängen

(3.5).

Eine Inzidenzstruktur ist ein Tripel von Mengen mit (Pr; @ = ;zi und I 5 03 X8.

heißen Punkte, die von (p‚B)

?

=

(? ‚ß , I)

Die Elemente von 03

Blöcke und die von I Fahnen.

Ist

& I, so heißen p und B inzident; wir schreiben statt—

dessen auch p I B oder B I p. Außerdem benutzen wir die ab-

kürzende Schreibweise 6 IX statt x I x für alle x e 16 und x E: I; hierbei sind »5_C_ @

und X.

53 eine beliebige Punkt-

bzw. Blockmenge.

Mit} @

(07,8, I) ist auch?= (?‚f, I), wobei F=B‚

= P , I = I, eine Inzidenzstruktur; ? heißt die zu

duale Inzidenzstruktur. Natürlich gilt 5“ = 5. Vertauscht man in einer Aussage über Inzidenzstrukturen die Begriffe "Punkt" und "Block", so erhält man eine neue Aussage über Inzidenzstrukturen, die zur ursprünglichen duale. Es gilt das

_é,..._ ),

3 . 1 . Klassifikation

‘ ‚.

53

(l)

DUALITÄTSPRINZIP.

Es sei JC eine Klasse von Inzidenz-

strukturen mit der Eigenschaft 7 836 ===> ? e K. Ist dann A eine für alle ‚7 5.76 gültige Aussage,

auch die zu A duale Aussage A für alle .7

so gilt

€ .76.

Beweis. Ist .? eJC, so ist auch 5 5.76; A ist also eine für 37 wahre Aussage. Dies ist aber mit der Gültigkeit von

Ä für ? äquivalent. Wir beschäftigen uns hier nur mit endlichen Inzidenz— strukturen.

Zu einer Menge & von Blöcken bezeichne

($)

die Menge aller Punkte, die mit allen Blöcken aus 5, inzi-

dieren, und |.ßl deren Anzahl. Für eine Punktmenge ? werden (7) und | 5’| dual erklärt. Es ist also:

(15)

=

{peü7!pIß-}fürßgß

und.

(9)

=

{BeßäßIfl}für ?EP

sowie

[&]

=

|(.8)|

Die Mengen

und

[?] = |(7)

-

(X) mit x € 8 bilden natürlich eine Auswahl

(im Sinne von 1.1) von 2165 und man könnte daher Inzidenz— strukturen auch als Auswahlen von Teilmengen endlicher Mengen definieren. Dabei würde aber die in

(1)

zum Aus-

druck kommende Symmetrie zwischen Punkten und Blöcken nicht so klar hervortreten.

Im allgemeinen braucht für

zwei Blöcke B und C aus

=

(B)

(C)

nicht B = C zu folgen;

wir werden es aber später meist doch nur mit Inzidenzstruk— turen zu tun haben, für welche die Blöcke durch die mit ihnen inzidenten Punkte eindeutig bestimmt sind. Unter den Parametern der endlichen Inzidenzstruktur

f7= (03 ‚8, I) verstehen wir die folgendermaßen definierten rationalen Zahlen bi ...,

(2)

(i = 0,...,

|0’I) und V3

Ißl):

hi = ('f')

-1

Z

557131?

[g],

1 3 0

(j = O,

54

(hierbei ist ldia' wie in Kap.2 die Menge aller i-Teil-

mengen von ? ) und dual:

[BI “1 vj=(j)

(3)

}:

[x];

jgo.

3fe?jß b].. ist also die durchschnittliche Anzahl von Blöcken, die mit irgend 1 Punkten inzident sind, und V3 hat die duale

Bedeutung. Insbesondere ist ho = la! und v0 = |} wir können I auf zwei Arten in Klassen einteilen, nämlich indem entweder Fahnen mit gleichem Punkt oder Fahnen mit gleichem Block als äquivalent erklärt werden. Die

Äquivalenzklassen sind dann entweder die VO Mengen {p}x(p)

mit |{p}x(p)l=[p] für alle p e P, oder dual die b0 Mengen

{B}X(B) mit |{B}> max {[x] ax 96} ist. Eine zweite Folge von Ungleichungen, allerdings weniger wichtig als

SATZ. Für jede Inzidenzstruktur gelten die Ungleichungen V

b.J — b i+l

für

0

v5 3 vj+l

für

0 5 j ; b0 - 1.

IA

(11)

(9), wird geliefert durch folgenden

-i 5 v 0 - 1

und

In der ersten dieser Ungleichungen herrscht genau für die

i Gleichheit, für die kein Block B mit i 5 [B] < v0 existiert. Duales gilt für die zweite Ungleichung.

Beweis. Angenommen b].. 5 b i+1 . Dann ist (VO-i)bi+l+ ibi

3 (vo-i)bi + ibi = vobi‚ also X v {(v0 — 1) bi+l + ibi} [x] _— (1°) 2% ([i])

x 3 vo(‘i'o) = "o x}E:B([i]) 3 XE([1x] )[X]

nach (7) und (e), und weil [x] 5 v 0 für jeden Block x gilt. Also muß überall Gleichheit gelten, und folglich bi = b Weiter ergibt sich

Z ([%]) ' (vo - [x])= 0. X8

i+1'

59

und da hierin alle Summanden nichtnegativ sind, gilt für

jeden Block x entweder ([%]) = O, d.h. [x] < 1, oder [x] = vo. Damit ist (11) bewiesen. Wir betrachten nun endliche Inzidenzstrukturen mit gewissen Regularitätsbedingungen. Wir sind an den folgenden Bedingungen interessiert:

(Pi)

für alle /(‚e'Uli@‚

[Ag] = b].. > 0

und dual dazu

für alle Jeei‚

(Bj) [*] = vj > 0

mit beliebigen natürlichen Zahlen 1,

j. Für 1 > v0 und.

:] > b() sind (Pi) und (B5) allerdings trivialerweise

nicht erfüllt, so daß man sich auf 1 e NVO und j e Nbo beschränken kann.

(Pi)

besagt natürlich, daß b].. nicht

nur die durchschnittliche, sondern die tatsächliche Anzahl von Blöcken durch 1 Punkte ist, und duales gilt für

(Bj) .

Also sind b].. und v. in diesen Fällen natürliche Zahlen. Die Bedingungen

(Pl)

und

(B1), also die Forderungen, daß

jeder Punkt mit gleichvielen Blöcken und jeder Block mit gleichvielen Punkten inzident ist, sind von besonderer Wichtigkeit, wie schon Satz

(9)

zeigt; eine

(Pl)

und

(Bi)

erfüllende Inzidenzstruktur heißt taktische Konfiguration. Der folgende Satz zeigt, daß sich die taktischen Konfigurationen auch noch allgemeiner definieren lassen; er liefert eine wichtige logische Abhängigkeit unter den

(Pi)

und (Bj) .

(12) SATZ. Aus (B1) und (P“), mit 0 < n 5_ VO, folgen (Pl) ‚..., (Pn_l) . Die duale Aussage gilt ebenfalls.

Beweis. Es genügt,

(Pn-l)

herzuleiten. Sei? e?fln_107

(wegen n—l < v 0 ist ”Zn-1” # Q)“nd 772 die Menge der Fahnen (x,x)

e I

mit

X Iy . Da wegen

(Bl)

jeder Block mit genau

vl Punkten inzidiert, ist 1711| = [7] vl. Da es ferner zu je-

60

dem Punkt x 1: ; wegen (Pn) genau bn Blöcke x mit x I {x)v9

gibt und die Anzahl der (x‚x) e mmit x ey gleich (n-1) [7] ist, gilt außerdem [an] = (v() - (n-1))bn + (n-l) [?]' Der Vergleich beider Ausdrücke liefert nun

[;]vl =

[,](n-1) + bn {vo - (n—l)},

und dies ist gleichwertig mit

[,] = bn {vo — (n-1)} {vl — (n—1)}'1‚ denn wegen (Pn) ist v1 3 n, also vl - (n-l) + O. Folglich’

ist [7] eine von Null verschiedene und von der speziellen Wahl von 9

Genügt ?

unabhängige Zahl; 7 genügt also

(Pn_l) .

den Bedingungen (Pl) , .. . , (]Pm) und

(Bl) ,. .., (Bu) , aber weder (Pm+l) noch (Bn+l) , so heißt das Zahlenpaar

(m‚n)

der Typus von 3 . Aus Dualitätsgründen

brauchen wir nur die Inzidenzstrukturen vom Typus

(13)

m

3

(m,n) mit

n

zu betrachten. Die taktischen Konfigurationen sind nach

Definition genau die Inzidenzstrukturen vom Typus (mm) mit m 3 l, n 3 1, und aus

(12)

ergibt sich sofort die folgende

Bedeutung von m,n für taktische Konfigurationen: (14)

Für eine taktische Konfiguration vom Typus

(mm)

gilt kein (Pi) mit i > m und kein (Bj) mit :] > n. Wir kommen nun zur Klassifikation der taktischen Konfigurationen. Wir werden zeigen, daß es keine nichttrivialen (dieser Ausdruck wird unten präzisiert) gurationen vom Typus

taktischen Konfi-

(mm) mit m > 2 und n 3 2 gibt. Wir

beginnen mit folgendem

61

(15) SATZ. Die taktische Konfiguration 17 = (07,8 , I) vom

Tmus (m‚n) besitze eine Punktmenge ? 5 P und eine Blockmenge & g G

mit den Eigenschaften

O

Beweis: Nach (8) ist H E n_1 5 A

HE sAn

HA = A, also ist E n‘1 e A mit

gleichwertig, und daraus folgt sofort

Der Vergleich von (6) mit

(11)

zeigt nun, daß

wesentlichen mit der Inzidenzstruktur ? (P‚H,A) ist. Damit ist

3

(11).

? im identisch

innerhalb der Automorphismengruppe re-

konstruiert.

Wir benutzen diese Darstellung für folgenden

(12) SATZ.

Es sei ? eine taktische Konfiguration mit

vo = bo. Besitzt

? eine punkt- und blocktransitive

abelsche Automorphismengruppe P, so existiert eine Polarität von 3 . Für den Fall, daß v0 = bo ungerade ist, hat diese Polarität genau v1 = bl absolute Punkte.

Beweis: Als abelsche Gruppe ist F sogar scharf transitiv, d.h. nur die identische Abbildung von P hat einen Fixpunkt. (Ist nämlich py = p und x ein beliebiger Punkt, so existiert & e P

mit

pa = x, folglich

XY

=

P°Y

=

PY°

=

P“

=

x,

d.h. Y läßt alle Punkte fest, also y=l.) Daher ist in diesem Falle H = A = 1, und in der Darstellung von halb P werden die Punkte von

}

inner-

3 einfach durch die Elemente

von P repräsentiert. Wir definieren A wieder durch

(7)

und

erklären eine Permutation o von 0’u B durch die Festsetzung

5° = Ari,

mm“ = n'l.

69

Es ist klar, daß 0 involutorisch ist und Punkte mit Blöcken vertauscht. Ferner ist € 9 An wegen der Kommutativität

von P gleichbedeutend mit n_:L e A 5-1, also ist a eine Polarität. Die absoluten Punkte von 0 sind genau die E e P

mit 52 e A; ist aber b0 = v0 = IT| ungerade, so ist E + 52 ein Automorphismus von F, und es gibt genau b1 = |A| verschiedene E mit 52 e A, q.e.d. Wir benutzen jetzt die Darstellung von

7

durch eine

Quotientenmenge A der punkt- und blocktransitiven Gruppe F,

um den Normalisator A] = H Auti”“ von F in der vollen Automorphismengruppe Aut 7

zu bestimmen.

(13) SATZ. Es sei 3 eine taktische Konfiguration und P eine punkt- und blocktransitive Automorphismengruppe

292 3 . Ferner sei 7

in der Form ? (F‚H‚A) dargestellt,

mit einer Quotientenmenge A = A(p‚ B) wie in gilt: Genau dann gehört die Permutation

225 3'

\p

(7). Dann

der Punkte

zum Normalisator N 325 F in Aut ?, wenn es

einen Automorghismus « 292 F und zwei Elemente 7,6 s P gibt derart, daß gilt:

(a)

A“

=

y'lA 6

und

(b) (n E)? = M“. (An)? = A6n°‘ für alle im e r. Beweis: ist ?

Zuerst seien

(a)

und

(b) vorausgesetzt. Dann

zunächst ein Automorphismus von 3 , denn HE I An

ist mit H 5 n_1 i A, also wegen (8) mit E n_1 e A gleich— bedeutend; nach

(a)

ist das zu

({ n_l)u 5 Y_1 A 6 äquiva-

1ent, d.h. mit y 5° 5 A 6 n“ oder wegen (H E) ?

I

(A n)? . Außerdem liegt ?

(b) mit

auch in N : Seien

E,n e r beliebig; dann liefert (b):

{(n €)n} \? = (n ; n)‘—P = n v b2' vgl. (3.1.11). Damit haben wir einen Widerspruch, der b0 1 v0 beweist. Ist nun

}

vom Typus

(2,2),

so gilt bo = vo, vgl.

(3.1.16). Es bleibt also zu zeigen, daß umgekehrt aus b0 = v0 Typus

(2,2)

folgt. Nach (3.1.12)

genügt es dazu,

noch den folgenden Satz zu beweisen:

(7) SATZ (Ryser):

Hat die (P1) und (P2) genügende In-

zidenzstruktur ‚}

gleichviel Punkte und Blöcke, so

genügt sie auch (B 1) @ (B2). Beweis.

Im Fall bl = b2 ist nichts zu zeigen; wir kön-

nen also gleich b1 > b2 voraussetzen. Wegen vo = bo ist jede Inzidenzmatrix A von ? quadratisch, und für ihre Determinante gilt nach

(5)

und wegen b1 > be:

80

(det A)2 - det A det AT = det B # 0. Also ist A nichtsingulär, und es existiert A_l. Nun ist (Pl) offenbar mit =

AJ

(8)

bl J

gleichwertig, wobei J wieder die

(ho, bO)-Matrix aus

lauter Einsen bedeutet. Also folgt A J

=

A

-1

(b1 J)

= b1 A

-1

J

oder

A

(9) Weiter gilt nach

AAT J

(4):

= BJ

- {(bl - b2)E + be J}J

= (b1 - b2)J + b2 bo J und daraus folgt mit A

T

J

_ —

{bl + b2

= { bl + b2 (vo-l)}J‚

(9)

_ —1 _ —l _ (v0 1)} A J — b1 {bl + b2(v0 I)} J,

oder, da es sich offenbar um eine symmetrische Matrix handelt,

JA - (A T J) T = bl—1 {bl+ b2 (vo-l)} J. Aber dual zu

(8)

ist J A = k J

(für irgendeine natürliche

Zahl k) zu (B1) mit v1 = k äquivalent. Da J A natürlich

eine ganzzahlige Matrix sein muß, ist k = b;l{bl+b2(vo-l)} eine natürliche Zahl, und wir haben gefunden, daß 3

ein

Blockplan ist. Aus b0 = v0 folgt nun auch b1 = vl {vgl.

(3.1.9)}‚ und die letzte Gleichung geht über in J A

=

bl J.

Hieraus schließlich ergibt sich wegen

(4)

und

(9):

ATA = A"1 (AAT)A = A'1{(bl - b2)E + b2 J} A =

(b

1

- b2)E + b2

(A

—l

_ b1 J) —

(b

_

l

_ - T b2)E + b2J — AA .

81

Nach

(4')

ist das aber mit der Gültigkeit von

(181)

und

(Be) gleichbedeutend. Damit ist Satz (7) und folglich auch Satz

(6)

bewiesen.

Zum Abschluß dieses Paragraphen diskutieren wir noch Darstellungen von Automorphismen und Anti-Automorphismen durch Inzidenzmatrizen. Für beliebige Inzidenzstrukturen gilt: (10)

Die Automorphismen von 3 entsprechen umkehrbar eindeu-

tig den Paaren (PIO) von (vo,vo)- Egg. (bo‚bo)—Permutationsmatrizen P.Ql für die mit einer festen Inzidenz-

matrix A von 3'giltz PA

=

AO.

Beweis: Statt dieser Gleichung kann man auch PM)“l = A schreiben

(Permutationsmatrizen sind nichtsingulär), und

das bedeutet: die durch P bewirkte Zeilenpermutation V wird von der durch Q"1 bewirkten Spaltenpermutation w_l wieder rückgängig gemacht. Das bedeutet aber nichts ande— als daß das Permutationspaar

res,

mus von 3

.? eine Punktpermutation ?

von

(?r

w)

ein Automorphis—

ist. Umgekehrt bewirkt jeder Automorphismus und eine Blockpermutation w,

und die zugehörigen Permutationsmatrizen P, Q genügen der Gleichung PA = AG. Folgerung: (ll)

Besitzt 7 matrix

=

(P,!B,

I)

eine nichtsinguläre Inzidenz-

(natürlich muß dann v

0

= b0 sein)

und ist ?

ein Automorphismus von ?, so induziert @

auf ?

und (B ähnliche Permutationen. Beweis. Unter unseren Voraussetzungen kann man die Gleichung

PA = AQ

aus

(10)

auch

0 = A'1 PA schreiben, d.h. die Permutaticnsmatrizen P, Q sind ähnlich und haben daher dasselbe charakteristische Polynom und insbesondere dieselbe Spur:

sp P

=

sp Q-

82

Die Spur einer Permutationsmatrix ist aber die Anzahl der Fixelemente der zugehörigen Permutation; der zu P, Q gehörige Automorphismus von 5

hat also gleichviele Fixpunkte

und Fixblöcke. Damit ist für k = 1 gezeigt, daß die durch P und Q definierten Permutationen gleichviele Zyklen der Länge k besitzen. Um diese Behauptung auch für k = 2,3,... zu beweisen, gehen wir induktiv vor: Ist n > 1 und die Richtigkeit der Behauptung für alle k < n schon bewiesen, so betrachten wir die Matrizen P“ und On, deren Spuren ebenfalls übereinstimmen. Wir nennen 5 die Summe aller Zyklenlängen von P“, die echte Teiler von n sind; nach Induktionsvoraussetzung hat s dieselbe Bedeutung für 0“. Wir erhalten sp Pn

=

sp Qn

= r—n + s,

und r ist die Anzahl der n—Zyklen sowohl für p als auch für Q. Damit ist

(10)

bewiesen.

(12) Die Anti-Automorphismen von eindeutig den Paaren

? entsprechen umkehrbar

(R‚S) von Permutationsmatrizen,

für die mit einer festen Inzidenzmatrix A von

3

gilt:

AR = SAT. Beweis. Dem Anti-Automorphismus a entsprechen zwei Permutationen 0 und

9 mit piu = Bio

sowie Bja = pjp.

Aus

pi I Bj pia I Bja ergibt sich sodann die behauptete Matrixgleichung, wobei 0 durch S und p

durch R dargestellt

ist. Zu gegebenem & kann die Numerierung der Blöcke so gewählt werden,

daß Bi

= pic;

sodann ist also S = E und AR = AT.

Folgerungen: (13)

Genau dann besitzt

3

eine Polarität,

metrische Inzidenzmatrix von ?

wenn eine sym—

existiert.

Für eine Polarität & folgt nämlich aus Bi = piu auch pi = Big, d.h. wir haben außer 8 = E auch R = E. (14)

Jede selbstduale Inzidenzstruktur besitzt eine normale Inzidenzmatrix.

83

(Eine Matrix M heißt normal, wenn sie mit ihrer Transpo-

nierten kommutiert, d.h. MMT = KTM.)

Beweis: Aus der Exi-

stenz von A mit AR = I-\T folgt

A = A

(AR)T = RT AT = R -1

=

AT

(Pemutationsmatrizen sind orthogonal); folglich

(15)

RA

=

A

=

AR,

und hieraus ergibt sich AAT = ARA = ATA. Aus noch wegen

(10)

folgendes Analogon zu

(16) Ist der Automorghismus «(

(15)

folgt

(11)=

von 5 = (0’‚@‚ I) gleich

dem Quadrat eines Anti-Automorghismus von 5 , so induziert \p

ähnliche Permutationen auf P

und 63 .

Hier wird nämlich sowohl die Permutation der Punkte wie die der Blöcke von R repräsentiert.

3 . 4 . Graghen Ein

(endlicher, ungerichteter) Gragh ist eine Inzidenz-

strukturq = (0°,ß, I) mit den Eigenschaften

(1)

[p] > 0

für alle

p 5 0°,

und

(2)

0 < [3] 5 2

B 96.

für alle

Die Elemente von J" "Punkte") , die von 43

heißen bei einem Graphen Ecken heißen Kanten

(nicht

(nicht "Blöcke") . Eine

Kante K mit [K] = 1 heißt Schlinge, und die Anzahl der mit der Ecke e inzidenten Schlingen wird mit s(e)

bezeichnet.

Ferner wird der _c_;;_ag der Ecke e durch

(3)

y(e)

=

[e]

+

s(e)

definiert; hier bedeutet [e] wie in 3.1. die Anzahl der mit e inzidenten Kanten.

84

Wir bezeichnen wie früher die Eckenanzahl IP] mit vo, die Kantenzahl |(8l mit ho. Dann gilt y(x)

Z

(4)

=

2%.

xEP Beweis: Wir nennen 5 die Gesamtzahl der Schlingen. Dann gilt nach

(3) und wegen

Z Y(X)= Z xeP

.

(3.1.4.)=

[*]+ Z s(X)=Z

xed’

xeß’

[x]+s-

Xe6

= (2 (ho—s) + s) + 5, denn [x] = 2 für die bo-s Nicht-Schlingen x, und [x] = 1 für die s Schlingen x. Daraus folgt sofort (4) . Folgerung: (5) Die Anzahl der: Ecken ungeraden Grades ist gerade.

Denn bezeichnet 'UL die Menge der Ecken x mit ungeradem y(x) , so gilt nach

I'UZI

=

(4)

215 xslfi

Zy(x)=2bo‘='0modz. xSP

Unter einer inzidenten Folge des Graphen q = (P, ß, I) wird eine Folge

1ß=(e0 I “1 1 verstanden, mit ei ed’‚ (6)

ei

#

Ki 543

ei+1’ außer wenn

1 Rn 1 en) und Ki+l

Schlinge ist.

Die Kantenzahl n der inzidenten Folge } heißt ihre Länge, ferner ist e

ihre Anfangs- und en'ihre Endecke.

Ist e() = en, so neigt ; geschlossen. Eine Kette ist eine inzidente Folge, deren Kanten alle verschieden sind, und ein @_g_ ist eine Kette mit lauter verschiedenen Ecken, außer evtl. e0 = en. Ein; geschlossener Weg heißt Kreis; die Schlingen sind also gerade die Kreise der Länge 1.

85

Der Graph g'

heißt zusammenhängend, wenn es zu je zwei

Ecken a,e von g

eine inzidente Folge mit a als Anfangs-

und e als Endecke gibt. Für zusammenhängende Graphen wird der Abstand ö(x‚y)

der Ecken x‚y definiert als die klein—

ste der Längen aller inzidenten Folgen mit Anfangsecke x und Endecke y. Hierdurch wird P

zu einem metrischen Raum,

d.h. es gilt

5 (KA!)

>

0;

Gleichheit gilt genau dann, wenn x = y;

“LW

5(l)

5(X:Y)

ö(y‚z) ; “Km).

+

(7)

Der Beweis von

(7) wird dem Leser überlassen.

Eine Kette & = (e0 I ... I en) heiße fortsetzbar, wenn eine Kante K und eine Ecke en+l derart existieren, daß e0 I ...

I en I K I en+l ebenfalls eine Kette ist; dabei

ist en+l = en, falls K Schlinge ist, sonst en+l # en.

Natürlich ist ab genau dann fortsetzbar, wenn es eine noch

nicht in lk vorkommende Kante durch en gibt.

(8)

Es gilt:

Ist e0 # en und Y(en) gerade, so ist jede Kette (e

0

I

...

I en)

fortsetzbar.

Mit Y(en) ist nämlich auch die Anzahl der Nicht-Schlingen unter den mit e“ inzidenten Kanten gerade, nach

(3). Die

Anzahl der in.kr= (e0 I ... I en) auftretenden NichtSchlingen durch en ist aber ungerade, denn wegen e0 # en treten die von der letzten verschiedenen Nicht—Schlingen von«k durch en in Paaren

(Ki'Kj)

auf derart, daß entweder

j = i+l oder ei = ei+l = ... = ej_1 # ej gilt (j < m), d.h. alle zwischen Ki und Kj liegenden Kanten von Ja sind Schlin-

gen. Folglich muß eine mit en inzidente Nicht-Schlinge K

existieren, die in & nicht vorkommt, und k ist fortsetz— bar. Folgerung:

(9)

Hat jede Ecke geraden Grad, so ist jede Ecke in einer geschlossenen Kette enthalten.

Nach

(8)

kann nämlich jede mit e() beginnende Kette so

lange fortgesetzt werden, bis der Anfangspunkt eo wieder erreicht wird. Eine Euler'sche Linie von g

ist eine Kette von g , in

der jede Kante von ? vorkommt. Der folgende Satz von Euler ist eine der Grundlagen der Graphentheorié, aus ihm folgt u.a. die Unlösbarkeit des bekannten Problems der sieben

„L.:;WM—„e.

86

Königsberger Brücken . (10)

SATZ.

Ein endlicher Graph

? besitzt genau dann

eine Euler'sche Linie, wenn er zusammenhängend ist und höchstens zwei Ecken ungeraden Grades hat. Daß aus der Existenz einer Euler'schen Linie der Zusammenhang von 9

folgt, ist klar. Ist diese Euler'sche Linie

geschlossen, so hat jede Ecke geraden Grad, und ist sie nicht geschlossen, so sind ihr Anfangs— und Endpunkt die einzigen Ecken ungeraden Grades. Das wird ähnlich wie

(8)

bewiesen; die Einzelheiten bleiben dem Leser überlassen. Sei also umgekehrt angenommen, daß 9

zusammenhängend

und die Anzahl der Ecken ungeraden Grades j_ 2 ist; nach (5)

ist sie dann 0 oder 2. Wir behandeln zuerst den Fall,

daß alle Ecken geraden Grad haben. Nach

(9)

liegt dann

jede Ecke in einer geschlossenen Kette. Wir betrachten eine maximale Kette *. mit Anfangs— und Endecke e0 und wollen zeigen, daß & alle Kanten von 9 Euler'sche Linie von

enthält, also

g; ist. Angenommen die Menge der nicht

in & liegenden Kanten wäre nicht leer, dann bilden diese Kanten zusammen mit den mit ihnen inzidenten Ecken einen Untergraphen ‘}

von g , und die Ecken von ‘ß« haben eben-

falls alle geraden Grad. Da

zusammenhängend ist, exi-

stiert eine sowohl zu 1/6 als auch zu diese liegt nach

(e I Kl' I

(9)

#. gehörige Ecke e,

in einer geschlossenen Kette

I Kr' I e) von‘é». Ist nun

/e=(e011< 1 I...IKmIeIKM+ 1

I

I eo),

. ‘

87

so wird (eoI...IKmIeIK » 1

I...IKr »

IeIKm+I...IeO) 1

eine geschlossene Kette mit größerer Länge als & , im Widerspruch zur Maximalität von 16. Also ist Ä. Euler'sche Linie. Es bleibt der Fall, das genau zwei Ecken a‚e ungeraden Grades in q existieren. Dann betrachten wir eine maximale Kette le mit Anfang a und Ende e; es ergibt sich wie oben, daß # Euler'sche Linie von ?

sein muß. Damit ist Satz

(10)

bewiesen. Jeder Graph ?

zerfällt in paarweise disjunkte zusam-

menhängende Teilgraphen; diese heißen die Zusammenhangs-

komponenten von 9 , und ihre Anzahl wird mit z(g) bezeichnet. Also ist 9

genau im Fall z( 7) = 1 zusammenhängend.

Ein E1_m_ ist ein zusammenhängender Graph, der keine ge-

schlossene Kette enthält, und ein _W£d_ ist ein Graph, des— sen Zusammenhangskomponenten sämtlich Bäume sind. Schließ— lich definieren wir noch die zxklomatische Zahl des Graphen 9x=

(f,!ß,

I)

als

; = c(7) = |ß| - |P| + zu?) = bo - v° + z(9V). Sodann gilt folgender für viele Anwendungen wichtige

(ll) SATZ (Kirchhoff 1847): C($)

Für alle Graphen (? ist 3_

°;

und Gleichheit herrscht genau dann, wenn ? @ Wald ist.

Ist 0 < ; < ho, so existiert eine Menge

}m ?; Kanten derart, daß der Untergraph

@ - 3,

ein Wald ist, und keine Menge von weniger als ;

Kanten hat diese Eigenschaft. Der Beweis erfolgt durch Induktion nach der Kantenzahl

ho . Im Fall bo = 1 ist (; = 1 oder 0, je nachdem ob die einzige Kante Schlinge ist oder nicht. Damit sind alle Behauptungen für b0 = 1 bewiesen.

Nun sei b0 > 1 und der Satz für alle Graphen init weniger als bo Kanten bewiesen.

Ist dann ; ein Graph mit ho

Kanten, so sind zwei Fälle zu unterscheiden:

88

5_._ g ist ein Wald. Dann enthält 9 eine Ecke vom Grad 1.

{Ist nämlich & = (e0 1 K, I ... I xn 1 en) eine nicht fortsetzbare Kette in

q

(eine solche existiert

wegen der Endlichkeit) , so muß y(en)

1 sein, da sonst

I ... 1 Rn I en

eine geschlossene Kette in

II

e.IK 1 i+l

(B

e“ = ei mit i < n und folglich

(] wäre.} Wir entfernen diese

Ecke und die einzige mit ihr inzidente Kante aus erhalten einen neuen Wald Ecken sowie z( q') = z(

9 und

Q' mit bo-l Kanten und vo-1 ). Nach Induktionsvoraussetzung ist

C( 0«') = O, und nun folgt, mit z((?) = z: ;(g) = bo-v0 + z =

_1L_ 9'

ist kein Wald.

(ho—1)-(vo-l)

+ z = ;(7') = O.

Sodann enthält 7 eine geschlossene

Kette. Aus dieser wird eine Kante entfernt, es entsteht ein Graph ? ' mit bo-l Kanten, vo Ecken und z( g')

= z( ?) .

Wir setzen ;( 0") = l;' und erhalten

:(9) = bo-vo + z = (ho-1)-v0 + z + 1 = t;' + 1 3 1. Damit sind alle Behauptungen über die Ungleichung ;( ?) _>_ 0

‘

bewiesen. Ist nun 0 < !; < ho, so können wir im Fall B_. fortfahren:

Ist

q ' ein Wald, so ;' = 0 und ;(I?) = 1, und. wir

haben gezeigt, daß

9 durch Entfernung einer Kante zu einem

Wald wird.

aber kein Wald,

Ist ? '

so existieren nach In-

duktionsvoraussetzung ;' Kanten in 7 ', durch deren Entfer— nung q '

zu einem Wald wird, also wird

9 durch Entfernung

von ;' + 1 = ; Kanten zu einem Wald. Ist schließlich

W

eine beliebige Menge von m Kanten in 7 , mit m < ;, so ist

(;(7 -W) 3_ ; - m > 0, also alles bewiesen.

9-3} kein Wald. Damit ist

‘

89 / Unter einer n-Färbung eines Graphen

g wird eine Ein-

teilung der Ecken von Q' in n disjunkte Klassen ("Farben") derart verstanden, daß für zwei verschiedene Ecken x,y

derselben Farbe stets

[x, y] = 0 gilt, d.h. verschiedene Ecken gleicher Farbe haben keine Verbindungskante. Die chromatische Zahl von

7 ist dann folgendermaßen

definiert:

x(g)

=

min

{n

!

9 hat n-Färbung}.

Der Begriff der chromatischen Zahl ist für viele graphen-

theoretische und flächentopologische Probleme von Bedeutung; vgl. hierzu den folgenden Paragraphen 3.5.

Der vollständige Graph mit n Ecken, bezeichnet durch %0n, ist durch die Eigenschaften

[P] = n, [K] = 2 für alle Keß, [p,q] = 1 für alle p‚q EP definiert; er ist natürlich isomorph dem System der Ele— mente und der zwei-elementigen Teilmengen einer beliebigen

n-Menge. Es gilt X(Mn)

=

nl

und folglich gibt es Graphen mit beliebig hoher chromati-

scher Zahl. Trivialerweise gilt: (12)

Genau dann ist x( q) = 1, wenn alle Kanten von ?

Schlingen sind. Wir gehen jetzt eine Kennzeichnung der Graphen mit chro-

matischer Zahl 2 an:

(13)

SATZ

(D.König 1916): Genau dann ist x( 7) = 2, wenn

alle Kreise von 9 , die nicht Schlingen sind, gerade Länge haben.

90

Ein Kreis ist ein geschlossener Weg, d.h. eine geschlos-

sene Kette

(eo I ...

I en = eo), in der el‚...,en alle ver-

schieden sind; hier wird nur der Fall n > 1 betrachtet. Da ein Baum überhaupt keine Kreise enthält, gilt insbesondere

)( = 2 für Bäume und Wälder. Beweis von (13) .

Zuerst sei x(?)

= 2 und eine feste

2-Färbung gegeben; deren Klassen nennen wir "rot" und "blau".

Ist dann & = (e()

I

I en = eo)

ein beliebiger Kreis in

} und o.B.d.A. eo rot, so müssen alle e 21 rot und alle e 2i+l blau sein. Wegen en = e 0 ist also n = 2k gerade. Haben umgekehrt alle Kreise gerade Länge, so liefert die folgende Konstruktion eine 2-Färbung: Eine beliebige Ecke e wird ausgewählt und sodann alle Ecken x mit geradem ö(e‚x) rot und alle übrigen Ecken blau gefärbt. Hätten zwei Ecken y,z gleicher Farbe eine Verbindungskante K, so enthielte eine kürzeste geschlossene Kette (el...IyIKIzI„.Ie) einen Kreis ungerader Länge. Ähnlich einfache Kennzeichnungen wie

(13)

sind für Graphen

mit höherer chromatischer Zahl nicht bekannt. Das tiefste Resultat in dieser Richtung stammt von G.Hajos. Um es formulieren zu können,

sind noch zwei Begriffsbildungen erfor—

derlich. Der Graph (7 ' = (P‘,ß ', I) entsteht aus ? = (P,ß‚ I) durch Identifikation zweier Ecken e1 und e2,

wenn|0"l=ld’l-1undlß'l=lßlistundeind’ auf d’ ' und @ auf & ' abbildender Epimorphismus von ? auf %' existiert derart, daß e]. und e2 denselben Bildpunkt in 91' haben.

(Sodann gibt es kein zweites Eckenpaar mit dieser

Eigenschaft in g.) Durch Q',el,e2 ist Q' eindeutig bestimmt; die Verbindungskanten von e

Schlingen von g ' .

1

und e

2

in

9 sind

91

Es seien % =

(01,31, Ii)' i = 1,2, zwei Graphen und

pi gi zwei Ecken mit [pi‚ qi]

> 0 in (71. Dann wird der

verknüpfte Graph %0( 71' 72, pl, p2, ql, q2) folgendermaßen definiert: pl und p2 werden identifiziert, alle Verbindungskanten von pi und qi werden entfernt

(i=1‚2), und q1

wird q2 werden durch eine neue Kante verbunden. Ein beliebiger Graph

g'heiße nun n-konstruierbar, wenn er aus end-

lich vielen Exemplaren des vollständigen Graphen won durch endlich viele Identifikationen nichtbenachbarter Ecken und endlich viele Verknüpfungen hergestellt werden kann. Der Satz von Hajos lautet nun:

(14) SATZ: Jeder Graph mit chromatischer Zahl 3 n enthält einen n-konstruierbaren Teilgraphen. Der Beweis ist zu langwierig‚ um hier aufgenommen werden zu können; man vergleiche das im Lit.—Verzeichnis genannte Buch von G.RINGEL‚ 5 3. Ein Graph heißt kritisch, wenn durch Weglassen einer beliebigen Kante

Grad 1)

(und evtl. der mit ihr inzidenten Ecken vom

ein Graph mit kleinerer chromatischer Zahl entsteht.

Zum Beispiel sind alle 30“ kritisch. Jeder kritische Graph ist zusammenhängend und frei von Schlingen und Zweiecken

(d.h. Kantenpaaren K, K' mit K # K' und [K, R'] = 2). Außerdem ist klar, daß jeder Graph einen kritischen Teilgraphen mit gleicher chromatischer Zahl besitzt.

(15)

Jede Ecke eines kritischen Graphen

Q'mit chromati—

scher Zahl x hat einen Grad 3 x - l, und es gilt

(X-l)vo_ 1. Ange—

nommen q

enthielte eine Ecke e mit y(e) 5 x — 2. Durch

Entfernung von e und allen mit e inzidenten Kanten erhält

man einen Graphen

7' mit chromatischer Zahl x' 3 x - 1.

Sei eine x'-Färbung von

9 ' vorgegeben, dann haben die

92

y(e)

Ecken von g‘, die in

bunden sind, höchstens

41 mit e durch eine Kante ver-

)( - 2 verschiedene Farben. Färbt

man nun e mit einer (x-l)ten Farbe, so entsteht eine nFärbung von gl mit n 5x- 1, im Widerspruch zu x( 7) = x. Also gilt v(e) ; x - 1 für alle Ecken e von af. Die Richtigkeit der behaupteten Ungleichung ergibt sich nun sofort

aus (4) =

(x- 1) Vo£ Zv(x)

=

2%.

xeq Ein Graph heißt regulär vom Grad 9 oder g-regulär. wenn alle seine Ecken den Grad g haben. losigkeit bedeutet das, daß

Im Falle der Schlingen-

9 eine taktische Konfiguration

ist. Außerdem wird (4) zu (16)

g vo = 2 b()

für g-reguläre Graphen.

Ein r-Faktor eines g—regulären Graphen

@ ist ein r-regu-

lärer Untergraph von q , der alle Ecken von

# enthält. Die

Existenz von Faktoren ist für viele graphentheoretische (und auch topologische,

s.u. 3.5)

Probleme von Wichtigkeit.

Wir geben hierzu einige Beiträge. Ein

l-Faktor besteht aus lauter unzusammenhängenden

Kanten, die nicht Schlingen sind; natürlich ist das nur bei geradem v0 möglich. Das beweist die erste Hälfte der folgen— den Aussage: (17) mn besitzt bei ungeradem n keinen 1-Faktor. Ist n

gerade! so zerfällt 70n _:l£ n-1 Faktoren des Grades 1. Zum Beweis muß noch eine Zerlegung des Man in 1-Fakto— ren angegeben werden. Dazu denke man sich 7.0 an durch die Ecken und Verbindungsstrecken von 2m Punkten des R3 dargestellt, von denen 2m-l ein reguläres

(2m-l)-Eck ? bil-

den und deren letzter, s, nicht in der Ebene von

;? liegt.

Ist e eine Ecke und K die e gegenüberliegende Seite von ? , so bilden K, die zu K parallelen Diagonalen von ?

und die

Kante s_e offenbar einen l—Faktor von wem, und alle diese

l-Faktoren zusammen ergeben w2m'

93

Wir interessieren uns nun für 2-Faktoren; diese bestehen offenbar aus disjunkten Kreisen. Wir werden zeigen, daß jeder g-reguläre Graph mit geradem g in lauter 2—Faktoren zerfällt. Wir beweisen etwas allgemeiner: (18)

SATZ.

Es sei

m > 0

und

7 ein Gragh mit

Y(e) _ m und für Graphen mit y(e) i 2 m

und

Kantenzahl < bo alles bewiesen. - Sind alle Kanten von 7»

Schlingen, so [e] 5 m für alle Ecken e, und eine Einteilung der gesuchten Art ist möglich. Also können wir noch

94

voraussetzen, daß

7 eine Kante K enthält, die mit zwei ver-

schiedenen Ecken p‚q inzidiert. Dann betrachten wir den

Graphen q-{K} = g'. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt ? ' eine Kanteneinteilung £ 1""' éfn der gesuchten Art. Da p mit höchstens 2m -1 Kanten von Q'

inzidiert, existiert

ein 1 derart, daß höchstens eine Kante von E 1 durch p geht, und analog existiert j mit höchstens einer Kante von iij durch q. Ist i = j, so wird K zur Klasse éfi = Äij geschla— gen, und wir haben eine Einteilung der gesuchten Art. Ist

aber 1 74 j, so wird der aus K und den Kanten von 5 i U 05 . (sowie den zugehörigen Ecken)

bestehende Teilgraph Q'" be-

trachtet; offenbar erfüllt }” die Voraussetzungen des Sat— zes mit m = 2. Folglich gestatten die Kanten von q"eine Klasseneinteilung ÄE(1), £:(2) der fraglichen Art, und ersetzt man nun IE i und

äj durch £ (1) und £(2) und behält

die übrigen Klassen 5 1 , . . . , 05

m

bei,

so ergibt sich wieder

eine Zerlegung der gesuchten Art. Damit ist Yi(e)

= 2

(19) SATZ.

(18)

bewiesen. Da natürlich aus y(e)

(i=l,...,m)

= 2m auch

folgen muß, ergibt sich als Folgerung:

Jeder 2m-reguläre Graph zerfällt in m Faktoren

vom Grad 2. Nennt man einen Graphen irreduzibel, wenn er keinen Faktor enthält, so kann man

(19)

auch so aussprechen: Kein re-

gulärer Graph geraden Grades > 2 ist irreduzibel. Dagegen existieren irreduzible Graphen beliebigen ungeraden Grades,

vgl. RINGEL, 3.35. Aber in gewissen Spezialfällen läßt sich auch bei ungeradem Grad die Reduzibilität beweisen,

wie der nächste Satz zeigt. Eine Kante K des zusammenhän— genden Graphen

? heißt Brücke, wenn K keine Schlinge ist,

beide Ecken von K einen Grad > 1 haben, und wenn

? - {K}

nicht mehr zusammenhängend ist. (J.?etersen 1891).

Jeder 3-reguläre zusammen«&&-

SATZ

hängende Graph ohne Brücken besitzt einen l-Faktor.

‚L'—is

(20)

95

Auch dieser Satz ist zu tiefliegend, als daß sein Be-

weis hier dargestellt werden könnte; vgl. RINGEL, 5 5.

Als nächstes beweisen wir den folgenden wichtigen

(21)

SATZ

(D.König 1916) . Haben alle Kreise des regulären

Graphen

% gerade Länge, so besitzt

# einen l-Faktor.

Beweis. Da Schlingen Kreise der Länge 1 sind, hat }

keine Schlingen. Wir betrachten den p_gpalgr_aghgg 2 }, der dieselben Ecken und zweimal so viele Kanten wie } hat; alle

die Zahlen [p,q] verdoppeln sich. Ist 7 vom Grad 9, so 2} vom Grad 2g. Nach

(13)

jede 2-Färbung von }

hat

@ die chromatische Zahl 2. Da

auch eine 2—Färbung von 2 q» ist, ist

auch x(2 ?) = 2, und nochmalige Anwendung von (13)

zeigt,

daß jeder Kreis von 2 } gerade Länge hat. Andererseits besitzt der 29-reguläre Graph 2 ? nach

(19)

einen 2-Faktor;

dieser besteht aus disjunkten Kreisen ki(i=l,...,t) , die nach dem soeben bemerkten sämtlich gerade Länge haben:

ki = (eo(i)1 Kl(i)I Nun sei ,"

1 K£;i

1 eé“).

die Menge aller K?) mit geradem j. Man über-

zeugt sich, daß

von 2 ? zu

07 ein l-Faktor von 2 g ist. Man kann nun

% zurückkehren, indem man aus 2 ? lauter nicht

zu 9” gehörige Kanten entfernt. Also ist F auch 1-Faktor

von g, und (21) ist bewiesen. Der Satz

(21)

ist: mit folgender Aussage gleichwertig,

die häufig ebenfalls als "Satz von König" bezeichnet wird: (22)

Der Graph

(} sei k-regulär und schlingenlos.

Ist

x( q) = 2, so zerfällt ? in k Faktoren vom Grad 1.

Beweis: Aus der Schlingenlosigkeit und x( 7) = 2 folgen nach

(13)

die Voraussetzungen von (21); es gibt also jeden-

falls einen 1-Faktor F von 7. Im Fall k = 1 ist man damit

fertig.

Ist k > 1, so werden alle Kanten von ‚C aus

fernt, wonach ein

7 ent-

(k-1)-regulärer Graph % ' übrigbleibt,

96

der ebenfalls schlingenlos und 2-chromatisch ist. Sodann folgt

(22)

durch einen auf der Hand liegenden Induktions-

schluß. Wir schließen mit zwei Anwendungen des Satzes von König. Die erste ist: (23)

'

& [ eine taktische Konfiguration mit gleichvielen Punkten und Blöcken. Dann gilt: Jede Inzidenzmatrix

@ & läßt sich als Summe von Permutationsmatrizen schreiben. Beweis: Für die Parameter von Vo = bo' also nach (3.1.5) und v

= k. Es sei A =

[ gilt nach Voraussetzung

auch V1 = bl; wir setzen v

(315) eine Inzidenzmatrix von

wir bitrachten den folgendermaßen erklärten Graphen

= n 0 5 ;

€?

:

Ecken sind die Zeilen und die Spalten von A, Kanten sind die Elemente an. = l in A, und die Kante aij = 1 inzidiert mit der i-ten Zeile und der j-ten Spalte. Da £ taktische Konfiguration ist, stehen in jeder Zeile und jeder Spalte von A genau je k Einsen; das bedeutet die k-Regularität von

0/ . Ferner ist

? offenbar schlingenlos, und es gilt

x( q) = 23 eine 2-Färbung erhält man z.B. dann, wenn die Zeilen rot und die Spalten blau gefärbt werden. Nach zerfällt

(22)

? nun in 1-Faktoren fl""’ Fk. Zu jedem fi

gehören genau 11 Kanten, und in jeder Zeile sowie in jeder Spalte von A kommt genau je eine der zu diesen n Kanten gehörigen Einsen in A vor. Diese zu fi gehörigen Einsen

bilden also eine Permutationsmatrix Pi

offenbar ist

A

(i=l‚...‚k) , und

1; Pi'

Die zweite Anwendung ist ein Beweis des Satzes

(2.2.4)

von van der Waerden, allerdings nur für den Spezialfall n = m: Sind az =(Al,...‚An)

und 55“ =

(Bl‚...‚Bn)

zwei

Partitionen einer nk-Menge M in k—Mengen Ai' Bi' so betrachte man die Ai' Bi

als die Ecken, die Elemente von M

als die Kanten eines Graphen, und definiere Ai I x für s

97

durch x e Ai' analog Bi I x. Dieser Graph ist k-regulär

und besitzt eine 2-Färbung (2.3. können die Ai rot und die Bi blau gefärbt werden); aus

(13) und

(21)

folgt also die

Existenz eines l-Faktors. Aber ein 1—Faktor ist nichts anderes als ein gemeinsames Vertretersystem von d und {Y.

3.5. Polyeder In diesem Paragraphen geben wir einige Anwendungen, besonders graphentheoretischer Art, auf flächentopologische Probleme. Unter einem

(zweidimensionalen, endlichen)

Polxeder wollen wir eine Inzidenzstruktur P

=

(P, @ ,

I)

verstehen, die folgenden Bedingungen genügt:

(l)

[x]

(2)

[x,y]

(3)

3

3 £

2

Zu jedem

für alle

x e @

für alle

x‚y elP, x 74 y

p e P existieren genau [p] verschiedene

x 74 p mit [p,x] = 2. (4)

Die mit

p e ?

inzidenten Blöcke besitzen eine An—

ordnung (Bl, . . . ‚Bm) , mit m = [p] , derart! daß

[Ei, Bi+l] = [Bm‚ Bl] = 2, 1 = 1,...‚ m-1. Außerdem fordern wir die zu (1')—(4') .

(l)-(4)

dualen Eigenschaften

(Einige von diesen lassen sich beweisen, aber

darauf gehen wir nicht ein.) Der Grund der Bezeichnung "Polyeder" für eine Inzidenzstruktur mit

(l)-(4)

ist folgender. Es sei „" eine kompakte

zweidimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit, kurz eine Fläche, und Z eine endliche Zellzerlegung von f', d.h. eine endliche Menge abgeschlossener Teilmengen von f mit den Eigenschaften:

98

Ux

(S)

%"

XEZ

(6)

Jedes

x e 2

ist homöomorph zur Kreisscheibe.

(7)

Jedes

x e 2

hat mit wenigstens drei anderen

nichtleeren Durchschnitt.

X,! 5 2,

Aus

(8)

weder

und

X # Y

|x n Y| = 1

oder

X A Y # 5 folgt ent-

x r\Y

ist homöomorgh

zur Einheitsstrecke. Definiert man nun als Ecken diejenigen Punkte von f*, die in wenigstens drei verschiedenen Mengen von z liegen, als Seiten die Elemente von Z und Inzidenz durch mengen-

theoretisches Enthaltensein,

so ergibt sich eine Inzidenz-

struktur (deren Punkte "Ecken“ und deren Blöcke "Seiten“ heißen), von der man leicht nachweist, daß sie ein Poly— eder im Sinne von

(l)—(4)

ist. Umgekehrt läßt sich jedes

Polyeder auf diese Weise interpretieren; das soll hier nicht bewiesen werden. Um den Anschluß an die üblichen topologischen Bezeichnungen zu erhalten, nennen wir die Anzahl der Ecken te)

eines Polyeders ao statt vo, die der Seiten

(Punk-

(Blöcke)

a2 statt bo' Außerdem definieren wir eine Grenze als ein

Seitenpaar (A‚B) mit EA‚B] = 2 oder (S)-(8) -

- in der Sprache

als ein Paar (A,B) e z x z mit A n B homöomorph

zur Einheitsstrecke. Die Anzahl der Grenzen wird mit “1 bezeichnet.

Außerdem sei ei die Anzahl der Ecken p mit [p] = i und si die der Seiten B mit [B] = 1. Dann gilt:

(9) sowie

(10)

“2

Z ei = i=3

und

ao

“2

“o

Z

1 ei = Z

jsj

“o

Z si j=3 =

2 cl.

=

«2

99

Für (9) ist nichts zu beweisen. Zum Beweis von (10) wird zunächst bemerkt, daß die Ecken und Grenzen (mit natürlicher Inzidenz)

einen schlingen- und zweiecklosen Graphen € mit

(Grenzen)

“0 Ecken und al Kanten

bilden, in dem jede Ecke

einen Grad 3 3 hat. Weiter bilden auch die Seiten und Grenzen

(mit natürlicher Inzidenz einen schlingen— und zweieck-

losen Graphen 3° mit de Ecken zen). Die Gleichungen

(10)

(Seiten)

und al Kanten

(Gren-

sind nun nichts anderes als

(3.4.4) für die Graphen € und Ü“. 2 a 1 3 3 max {me, °2}'

und 3 a 2

_
R die Ungleichung b ; v + r - l, die wir an sich nicht mehr zu beweisen brauchen. Außerdem aber haben

wir jetzt: Genau dann gilt b = v + r — 1, wenn [B,x] = u für alle xlfB gilt. Da B ein beliebiger Block war, ist das gleichbedeutend mit dem Axiom (D), d.h. damit, daß der betrachtete Blockplan affin ist. Damit ist (7) bewiesen, und darüber hinaus haben wir die erste Behauptung

des folgenden Satzes:

SATZ. Für die Parameter eines affinen Blockplanes gilt u

und,wenn

A

-

1 kennt man außerdem nichtisomorphe Ebenen derselben Ordnung pe > 9. Andererseits gibt es unendlich viele natürliche Zahlen n, die nicht Ordnung einer Ebene sein können; vgl. Satz

(4.6.33) unten.

Zum Abschluß decken wir noch einen interessanten Zusam-

menhang zwischen endlichen affinen Ebenen und lateinischen Quadraten auf; vgl. hierzu die Ergebnisse von 2.3, ins—

besondere (2.3.9)-(2.3.11). (ll)

SATZ.

Eine affine Ebene der Ordnung n existiert

genau dann, wenn N(n)

= n - 1 ist.

116

Beweis. Zuerst sei ac eine affine Ebene der Ordnung n. Nach (5)

und (10)

ist n + 1 die Anzahl der Parallelen-

scharen von a„ wir numerieren diese in willkürlicher Weise

91'“ ., %+1° Ferner enthält ? 1 genau n Geraden; diese werden ebenfalls willkürlich numeriert:

qi={eil‚„.‚ein}

1=1,...,n+1.

Jeder Punkt liegt auf genau einer Geraden jeder Schar Qi. Zu vorgegebenen i eNn_

1 und

x,yeNn existiert also genau

ein a = als) e N n derart, daß Gia durch den stimmten)

Schnittpunkt von GM und G

n+l,y

(eindeutig be-

geht. Dadurch

werden n-l Matrizen

mit Elementen aus N n erklärt, und man verifiziert nun aus den Eigenschaften affiner Ebenen, daß die Ah) eine orthogonale Teilmenge von LQ(n) bilden. Wegen (2.3.10) N(n)

ist also

= n - 1.

Ist umgekehrt {A(l),...‚A(n—l)} eine orthogonale Teilmenge von LQ(n) , so definiert man Punkte als die 2-tupel (my)

8Nn X N“, Geraden als die Punktmengen

G..

151

sowie GM

(i) =)“), {(x‚y) .. axy {(a,y)

! y e Nu} und

ieNn_l‚ j eNn‚ G n+l

‚b

= {(x,b)ä x a}

für a, b e Nn' und Inzidenz durch Enthaltensein. Die entstehende Inzidenzstruktur ist nun eine affine Ebene der

Ordnung n: die Anzahl der Punkte ist nz, die der Geraden n(n+l), jede Gerade trägt n Punkte, und jeder Punkt liegt auf n + 1 Geraden. Außerdem haben je zwei Punkte höchstens

eine Verbindungsgerade, denn hätten

(x‚y) und

(s‚t), o.B.d.A.

mit x # s und y # t, zwei verschiedene Verbindungsgeraden

Gij und t‚ so

“g)'°ii)) - (M) = (ag), agg>>‚

117

im Widerspruch zur Orthogonalität von A(i) und A(h). Dann müssen zwei Punkte aber stets genau eine Verbindungsgerade haben: Auf den n + 1 Geraden durch einen festen Punkt p liegen insgesamt 1 + (n-1)(n+l) = n2 Punkte, d.h. jeder

Punkt besitzt eine Verbindungsgerade mit p. Also ist die konstruierte Inzidenzstruktur ein Blockplan mit den Parametern

(10)

und damit eine affine Ebene.

4.2. Modelle wir diskutieren jetzt ein allgemeines Konstruktionsprinzip für Blockpläne und wenden dieses dann in mehreren Spezialfällen an. Es sei @

eine aus v Elementen bestehende endliche Menge

und B eine Teilmenge mit

(1)

2_ 1

sein.

Hier sind die Parameter

(5) V(B)=k, b(B)=b-1,r(ß)=r-1,k“”=A‚ A(B)=Ä-1, (6) V(B)=v-k, b(B)=b—l‚ r(B)=r, k(B)=k—Ä,Ä(B)=Ä.

Es entsteht nun umgekehrt die Frage, unter welchen Bedingungen ein beliebig vorgegebener Blockplan 5 zu 7 p , 3 p' .? B Blockplan

& = fr'

oder 3 B

isomorph ist, für einen geeigneten

. Diese Frage soll hier nur für?) =5P und

untersucht werden. (Für die Fälle !) =7

und

17 = 3 B vgl. DEMBOWSKI, pp.69, 75-77; man beachte dabei, daß dort die Bezeichnungen anders gewählt sind.) Der Blockplan ß heiße einbettbar, wenn ein projektiver Blockplan }? mit ”* = F B existiert, für einen geeigneten Block B

von? . Wir zeigen:

(7) Z? ist höchstens dann einbettbar, wenn r = k + ). undb=v+r-l

gilt.

Beweis. Ist .}.’r = PE für einen projektiven Blockplan }?

mit Parametern v* = b", k“ = r* und A*‚ so gilt nach (6) für die Parameter von ”' :

r=r*=k*‚k=k*-A,Ä=A*;

130

r = k + A, und hieraus ergibt sich, nur mit

also folgt Hilfe von

(4.1.1), daß

v(k + )()

b=

=

v + A(v-1)+A

):

k

= v +

(k+Ä)(k-l)+k 1:

= v+r-1.

Beispiele für Einbettbarkeit werden durch die im vorigen Paragraphen konstruierten Blockpläne geliefert, es gilt

0Ld_l(d‚q) % (7ßza_l(ci.cm15 für beliebigen Block B von fld_l(d,q) . Allgemeiner ist die

notwendige Einbettbarkeitsbedingung von (7) für beliebige affine Blockpläne erfüllt, wie in

(4.1.8)

gezeigt wurde.

Im allgemeinen ist die Bedingung von (7)

nicht hinrei-

chend. Es gibt nämlich Blockpläne mit l = 3 und r = k + 3, in denen zwei Blöcke mit mehr als drei gemeinsamen Punkten existieren

[K.N.Bhattacharya, Bull. Calcutta Math. Soc. 36

(1944) 91-96]; ein solcher kann offenbar nicht einbettbar sein. Aber es gilt folgender Satz: r = k + X und 1 < 3 ist einbettbar.

Jeder Blockglan mit Für X = 1 ist das leicht

zu sehen; der Beweis hierfür kann dem Leser überlassen blei-

ben {vgl.

(4.1.10) oben}. Der Fall A = 2 dagegen ist viel

schwieriger; hierfür wird verwiesen auf M.Hall und W.S.Connor,

Canad. J. Math. 6 (1954) p. 35 -41. Wir wenden uns jetzt dem Fall den Blockplan &

& =’ 7? zu. Wir nennen

erweiterbar, wenn ein Blockplan

(? vom

Typus (t‚1) mit t 3 3 existiert derart, daß !; "=' .'7 p ist, für einen geeigneten Punkt p von .7 . Wir zeigen:

(8)

» ist höchstens dann erweiterbar, wenn k + 1 ein

Teller von b(v+l) ist. Beweis.

Ist &

= f? p und hat 7

die Parameter v*,

b'‚...‚ so gilt nach (2): v=v*-1,b=r*,k=k*-l.

131

Die Gleichung

(4.1.1), angewandt auf 3 , liefert also

b* =

r*v*

_

b(v + l)

k;

k + 1 '

und da b* ganzzahlig sein muß, ist

Die einfache Bedingung

(8)

(8)

bewiesen.

leistet erstaunlich viel

bei der Entscheidung der Frage, ob ein vorgelegter Blockplan erweiterbar ist oder nicht. (9)

SATZ.

Jeder erweiterbare affine Blockplan ist eine

affine Ebene. Beweis. Nach

'

(4.1.8)

sind die Parameter v,b,k eines

affinen Blockplanes Öl von der Form v = m2((m-l)s+l) = mk und b = m(mzs+m+l),

A = ms+1

mit s = A - u 3 0 und m 3 2. Ist GC erweiterbar, so muß

also k + 1 = mes — ms + m + 1 = M ein Teiler von (m3s+m2+m)(mss—m2s+mz+l) sein

= Mm2(ms+M—l)

+ m(m+U

(die Gültigkeit des letzten Gleichheitszeichens sieht

man nach elementaren Rechnungen ein). Folglich teilt M auch m(m+1), so daß M ; m(m+1)

sein muß. Das ist mit

sm(m—1) 5 m2-1 gleichwertig oder, da m > 1, mit sm 1 m + 1.

Also

m(s - 1) und folglich

s = 1

oder

5

9 = 0.

1, Im Fall s = 1 wäre

M = m2 + 1 ein Teller von m(m+1), was nur bei m = 1 möglich ist. Wegen m > 1 folgt also 5 = 0. Dann aber er-

gibt sich A = 1 aus (4.1.8), und C! ist eine affine Ebene. Die Umkehrung von Satz

(9)

ist falsch; es gibt nicht—

erweiterbare affine Ebenen. Die in 4.2 konstruierten affinen Ebenen 0l l(‚2,q)

dagegen sind sämtlich erweiterbar: der

Leser möge sich selbst

davon überzeugen, daß

132

(mm))? = al(z‚q) gilt für: jeden Punkt 9 von 7?Z(q) . Dabei bedeutet 772 (q) wie in 4.2 die bei

(4.2.12)

erklärte Möbiusebene.

Ein ähnlich abgerundetes Resultat wie

(9)

gibt es für

die projektiven Blockpläne nicht. Die Bedingung

(8)

lie-

fert nur: (10)

Ein projektiver Blockplan ist höchstens dann erwei— terbar, wenn k + 1 ein Teiler von 2

Denn nach

(A + 1)(). + 2)

(8) muß k + 1 ein Teiler von V(v+1)

ist.

sein (b = v

für projektive Blockpläne) . Aus (4.1.1) folgt nun

).2v(v+1) = {A+k(k-1H {2Ä+k(k-l) }, und wegen k(k—1) = gruent

(k+1) (k-2)

+ 2 ist die rechte Seite kon-

(A+ 2) (2). +2) mod k+1. Da die linke Seite durch k+1

teilbar ist, folgt die Behauptung. Folgerung: (11)

Eine erweiterbare projektive Ebene hat die Ordnung 2,4 oder 10.

Die einzigen projektiven Ebenen der Ordnungen 2,4 sind fil(2‚2)

und fll(2‚4)1 diese sind erweiterbar. Für fil(2‚2)

folgt dies aus (4.2.16) , denn # l(2,2) ist ein HadamardBlockplan % , und für den zugehörigen affinen Blockplan “ß‘

gilt, wie man leicht verifiziert, # = (‘Ö*)°°. {Übrigens ist hier 'fi” 9-' (12(3,2) .} Der Fall Pl(2‚4) hängt mit der Mathieuschen Gruppe M22 zusammen, worauf hier nicht näher eingegangen werden kann; vgl. hierzu E.Witt‚ Abb. Hamburg 12 (1938)

265-275.

Ob eine projektive Ebene der Ordnung 10

existiert, ist unbekannt, vgl. hierzu (12) Der Blockglan Pd_l(d,q)

(4.6.33).

ist höchstens dann erweiter-

bar, wenn entweder q = 2 oder q = 4 und d - 2 ist.

133

Beweis. Nach

(4.2.10)

sind die Parameter v,b,k von

fi d-l (dv‘I): d+l

b = v =

q—l

Die notwendige Bedingung

d. 1 und k = q-l gi .

(8)

liefert also, daß

6.

k + 1 = 932%33 im Fall der Erweiterbarkeit ein Teiler von a+1

L.ts:£

d+l

.

q-l

a.;1 =

q—l

d+l

&

s__m:_2_

.

Z @

q-l

i=o

sein muß. Das ist gleichwertig mit

(qd+l+q-2)

d

.

}__‘ q1 ; Omod (qd+q-2). i=l

Die linke Seite dieser Kongruenz ist nun, wie eine etwas komplizierte, aber elementare Rechnung zeigt, gleich (1

.

(q-1)2(q—2) + (q°+q—2> (qd*l-q2+2q+ Z ql); i=l

also bleibt, wenn man noch

d d'1 1 q +q-2 = (q-l)(l+ 2: q ) i=0

benutzt,

d-l

_

(q-l) (q-2) 5 0 mod (l+ 1Z-o q‘) übrig. Für q = 2 ist das natürlich stets richtig. Im Fall q > 2 muß der Modul

_

1 +

q1 5 (q-l) (q-2) i=0

sein; wäre aber d > 2, d-l

so

.

“ Z q1 3 2+ q2-3q+2 = (q-1) (q-2) . i=0 Also folgt d = 2, d.h. f?d_l(d‚q)

ist eine projektive Ebene

von Primzahlpotenzordnung q, und außer dem schon erledigten

Fall q = 2 bleibt nach (11) nur noch q = 4.

Die Resultate

(9)

und

(12)

besitzen eine interessante

Anwendung in der Theorie der endlichen Gruppen; man kann mit ihrer Hilfe zeigen, daß die affinen und projektiven Gruppen über endlichen Körpern nur in Ausnahmefällen eine "transitive Erweiterung" besitzen, d.h. als Stabilisator eines Elementes einer umfassenderen Permutationsgruppe (mit um 1 erhöhtem Grad und Transitivitätsgrad)

aufgefaßt

werden können. Es würde aber zu weit führen, die Einzelheiten dieser Anwendungen hier auseinanderzusetzen; vgl. D.R.Hughes‚ Math.Z.89

(1965)

199-205.

Zum Abschluß geben wir noch ein zu

tat für den Fall (13)

(8)

analoges Resul-

ir = 3 ? an.

Zu einem Blockplan 13 existiert höchstens dann ein

‚

Bloc;plan ? vom Typus (t‚1) mit t > 3, derart, daß

Ö'= 7

ist, wenn für die Parameter von 3 gilt:

v+1—k teilt Ä(k—2). Beweis.

*

Ist !? =.7 P und sind v , b*‚....die Parameter

von .7 , so gilt nach (3): v=v*-1‚

b

b*—r*‚k=k*;

folglich liefert (4.1.1), angewandt auf ? , daß

b*k oder b*(v+1—k)

b*k*= v*r'= (v+l) (b‘-b)‚ = b(v-l)

sein muß. Also ergibt sich nach

weiteren Anwendungen von (4.1.1):

b

*

_

b(v+l)

=

b + r + A + %éä5él,

' v-k+l

_

r v

_

‘ Ä(v-l)

' b + v+l-k ' b "' r + v+l-k

und mit b* ist auch

Äi£:£l v+l-k

ganzzahlig.

«AA—u» ’:6"J"LJC"-

,

134

135

F0 lgerung : (14)

Keine projektive oder affine Ebene ist isomorbh C}p‚

für 7 vom Typus (t‚1) mit t z 3. Denn sonst müßte im projektiven Fall v+1-k = n2+l ein Teiler von A(k-2)

= n-1 sein, und im affinen Fall

n2+l—n ein Teiler von n-2. Beides ist natürlich nicht der Fall.

4.4. Zentrale Automorphismen und Diletationen

Es sei er. ein Automorphismus des Blockplans £° = (43,8 , I) . Der Punkt p e @ heißt Zentrum von a, wenn XG = x für alle mit p inzidenten Blöcke x gilt. Ein Automorphismus, der ein Zentrum besitzt, heißt zentral. Natürlich ist die identische Abbildung ein zentraler Automorphismus. Weniger triviale Beispiele sind die durch x + kx,

x e Vd(q)‚ 0,1 # k e K

erklärte Abbildung von Ött(d‚q) {diese hat Zentrum 0 e vd(q)} und die durch eine Matrix der Form

10...0k o1...oo ' k"°'°der o...01

10...o o\... 10 o...0k

'k7‘°'1

vermittelte Abbildung von P 1: (da); vgl. 4.2. Wir wollen zentrale Automorphismen von Blockplänen untersuchen, die außer den zu Beginn von 4.1 formulierten noch der Bedingung

(1)

[B,C] ; k-2 für 3 ‚« c;

3,c aß

136

genügen. Diese nicht sehr einschneidende Voraussetzung wird im folgenden stets gemacht werden.

(2)

‚

Ein nichttrivialer Automorphismus hat höchstens ein

Zentrum. Beweis. Angenommen, @ hat zwei verschiedene Zentren c,c‘; zu zeigen a = 1. Nach c 1 B 1 c'.

(4.1.2)

existiert ein B e B

mit

Höchstens ein Punkt von B liegt auf allen A

Verbindungsblöcken von c und c': gäbe es zwei solche Punkte, so hätten diese A + 1 Verbindungsblöcke, im Widerspruch zu

(1°2). Also enthält B wenigstens k - 1 Punkte x mit

|(x‚C)LJ (x,c')| > Ä. Da alle Blöcke von (x‚c) \! (x‚c') bei a festbleiben, müssen diese Punkte x I B Fixpunkte von u sein: wäre xa # x, so hätten x und xa wieder mehr als A Verbindungsblöcke. Also enthält B wenigstens k—l Fixpunkte, und nun folgt aus (1), daß B ein Fixblock sein muß. Damit ist bewiesen, daß alle weder durch c noch durch c' gehenden Blöcke bei « festbleiben. Für die durch c oder c' gehenden Blöcke gilt das nach Definition ebenfalls, also bleibt jeder Block bei a fest. Dann muß aber auch jeder Punkt bei & festbleiben, und c = 1. Für das weitere ist folgende Begriffsbildung zweckmäßig: Die Verbindungsgerade der Punkte p und q ist die Punktmenge

(3)

E = ((p‚q)) = {x e P

! xIX für alle x mit pIXIq}.

Aus x‚y e 55 folgt 25 = 53, da (x‚y) aus denselben A Blöcken besteht wie

(p‚q). Folglich haben zwei verschiedene Geraden

höchstens einen gemeinsamen Punkt,

und die Punkte und Ge-

raden bilden eine Inzidenzstruktur, die der Bedingung

(1’2)

nit b2 = 1 gehorcht. Diese braucht i.a. keine taktische Konfiguration zu sein, also auch kein Blockplan. Ähnlich

wie 25 = 55 zeigt man:

(4) Ist }} nicht in B e 43 enthalten, so haben 273 und B höchstens einen Punkt gemeinsam.

137

Als nächstes zeigen wir:

(5)

Ist a zentral und Bd 55 B e ß , so ist jeder Punkt von (B‚Bd)

Fixpunkt von a.

Beweis. Aus B # Es folgt, daß B und Bd nicht durch das Zentrum c von a gehen.

Ist x &:

die Fixgerade & also weder in Aus

(4)

(3,800 (B)

=

(B)n (Ba) , so ist

noch in

(Bd)

enthalten.

folgt daher

xa = {tTcn(B)}a == än(Ba) = x, und

(5)

ist bewiesen.

Wir nennen nun einen Automorphismus a von £" guasizentral, wenn jeder Punkt von 257 auf einer Fixgeraden (nicht Fixblock)

liegt.

Ist a zentral mit Zentrum c, so

ist &, wie soeben erwähnt, für jeden Punkt x eine Fixgerade, am ist also auch quasizentral. Eine Dilatation ist ein Automorphismus & mit der Eigen— schaft

pIBIp5

(6)

==>

B=Bö,

für alle p e P, B e 03 , d.h. jeder Punkt ist mit seinem Bildpunkt nur durch Fixblöcke verbunden. Es folgt unmittel-

bar, daß jede Dilatation quasizentral ist; die Fixgerade x xö heißt die Sgur von x bzgl.ö. Außerdem ergibt sich aus(6)z (7)

Jeder Fixpunkt einer Dilatation ist Zentrum.

Nach

(2)

haben nichttriviale Dilatationen also nicht

mehr als einen Fixpunkt. Die Abbildung x

->x+a

x,aevd(q),

ist für jedes aft(d,q)

a*o

eine Dilatation ohne Fixpunkte.

Wegen dieses Beispiels. nennen wir bilatetionen, die ent— weder = l oder fixpunktfrei sind, Translationen.

138

Das Produkt zweier Dilatationen braucht nicht wieder eine Diletation zu sein; die Menge aller Dilatationen eines Blockplans ist also i.a. keine Gruppe. Beispiele, die diese Behauptung belegen, können hier nicht gebracht werden; der Leser wird auf DEMBOWSKI, p.104 verwiesen. Die folgende Untersuchung betrifft also eine spezielle Situation: && sei wie bisher ein

(1)

genügender,

sonst beliebiger

Blockplan, und A sei eine Gruppe von Diletationen von ff. Wir nennen ?,

die Menge aller Punkte von 23, die Zentrum

nichttrivialer Dilatationen aus A sind, d.h. nach

(2)

und (7):

}=(xeP£Axaé1}. Ist ?

leer, so besteht A nur aus Translationen; dieser

Fall wird später unter spezielleren Voraussetzungen betrachtet.

(8)

SATZ.

Ist ?

nicht leer, so ist

? eine A—Bahn

(Transitivitätsgebiet von A). Das heißt: ? x,ye

?

folgende

wird von A invariant gelassen, und zu

existiert GEA mit y = xö.

Permutationsgruppen gültige) (9)

&

Aus

(9)

Zum Beweis wird die

(leicht zu verifizierende und für beliebige

-1

Ax a

_

—

Beziehung benötigt:

AX“.

folgt unmittelbar, daß

?

invariant unter A ist,

also in volle A—Bahnen zerfällt. Außerdem ergibt sich: (10)

Jede Ax # 1 ist ihr eigener Normalisator in A.

Denn aus Ax = Y_1 A" Y = Ax (7), also Y 5 Ax' Ebenfalls aus (11)

Aus x

fol t

folgt x = xy nach (2) und (2)

und

Ax/\ Ay = 1.

(7)

folgt:

139

Mit Hilfe von

(10)

und

(11)

zeigen wir nun:

(12) Die Ax # 1 sind in A zueinander konjugiert; wegen (8)

(9)

bedeutet das, daß

behauptet. Beweis von

?

eine A-Bahn ist, wie in

(12): Die Anzahl der zu Ax # 1

konjugierten Untergruppen ist nach j =

IA :

(10)

gleich dem Index

Ax ; andererseits hat Ax mit jeder Konjugierten

# Ax nach (11) trivialen Durchschnitt. Die Anzahl der von der Identität verschiedenen Elemente von A, die in einer zu Ax konjugierten Untergruppe liegen, ist also, wegen

|Ax| _>_ 2, gleich -

-

j(|Ax| - 1) — [Alu |A„I -l )3 IAI(1 -;2) --;2 IA!Gäbe es nun zwei verschiedene Klassen konjugierter Ax # 1,

so würde [A|-1 ; 2 —%IAI = |A| folgen, ein Widerspruch. Also ist

(12)

und damit auch

Man kann den Satz

(8)

(8)

bewiesen.

noch erheblich verschärfen,

wenn

man das folgende tiefliegende gruppentheoretische Resultat benutzt: (13)

SATZ

(G.Frobenius 1901):

Ist P eine transitive Permu-

tationsgruppe einer endlichen Menge M derart, daß nur die Identität von P mehr als ein Element von M festläßt, so bilden die fixelementfreien Permutationen aus P, zusammen mit der Identität, einen auf M tran— sitiven Normalteiler von P.

Für den Fall, daß F scharf transitiv ist, also nur die Identität ein Fixelement hat,

ist nichts zu beweisen. Der

Fall der Existenz von nichttrivialen Permutationen mit Fixelementen ist dagegen recht schwierig, hier muß für den Beweis auf die Lehrbücher der Gruppentheorie verwiesen

werden (etwa HUPPERT‚ 8.492-495). In der uns hier interessierenden Situation liefert

(13):

140

(14)

Die Translationen aus A bilden einen Normalteiler

von A, der im Fall ’; # a

scharf transitiv auf

operiert. Von diesem Normalteiler werden wir später zeigen - vgl. (23)

-, daß er in einem wichtigen Spezialfall elementar

abelsch ist. Wir wollen nun für verschiedene spezielle Typen von Blockplänen zeigen, daß die Dilatationen eine Gruppe bil— den. Wir beginnen mit einem allgemein gültigen Hilfssatz:

(15) Ist & eine Dilatation und (3155)

B6 # Be:ß‚ so gilt

= 9-

Ist 6 Translation, so folgt das sofort aus

(5) . Ist 6

aber zentral, so gehen 36 und B nicht durch das Zentrum von 6, und die Behauptung folgt aus

(5)

und

(7). Mit

(15)

zeigen wir nun: (16)

SATZ. Ein Automorphismus eines affinen Blockplans ist genau dann eine Dilatation, wenn er alle

Parallelenscharen invariant läßt.

.

Daraus folgt natürlich sofort, daß die Dilatationen eines affinen Blockplans eine Gruppe bilden. Beweis von

(16):

Zunächst sei angenommen, daß der Auto-

- morphismus « alle Parallelenscharen festläßt. Ist p ein beliebiger Punkt und B ein Verbindungsblock von p und pa, so ist Bu der eindeutige zu B parallele Block durch pa, also B = Bo und a eine Dilatation. {Für diesen Teil des Beweises

braucht man also nur (E), nicht (I)), vgl. 4.1.} Nun sei umgekehrt « eine Dilatation und B ein beliebiger

Block. Ist Ba = B, so folgt natürlich Ba ||B. Ist aber Bu # B, so (B,Ba) = 9 nach (15), und nun folgt BallB nach

(ID). Also bleiben alle Parallelenscharen bei a in-

variant, und

(16)

ist bewiesen.

«

In projektiven Blockplänen ist der Begriff der Dilatation ohne Bedeutung: (17)

Projektive Blockpläne haben keine nichttrivialen Dilatationen.

Denn nach

(2),

(6),

(7)

hat eine Dilatation # 1 höch—

stens einen Fixpunkt, aber mehr als einen Fixblock. Automorphismen projektiver Blockpläne haben aber gleichviele Fixpunkte und -Blöcke‚ vgl.(3.3.5) und

Ein Block A eines Blockplans

(3.3.10).

!? heißt Achse des Auto-

morphismus & von !?, wenn jeder Punkt von A Fixpunkt von a ist.

Jeder Automorphismus,

der eine Achse besitzt,

heißt

axial. Dieser Begriff ist natürlich dem des zentralen Automorphismus dual. Da aber die Blockpläne nicht durch ein selbstduales Axiomensystem erklärt sind, kann man die oben für zentrale Automorphismen bewiesenen Sätze nicht ohne weiteres auf axiale Automorphismen dualisieren. Jedoch ist

das für projektive Blockpläne zulässig, deren Axiome (1°1)‚

(Bl) ‚ (P2)' (B2) ein selbstduales System bilden und für die

(1)

und die dazu duale Bedingung stets erfüllt sind.

Also:

(2')

Ein nichttrivialer Automorphismus eines projektiven Blockplans hat höchstens eine Achse.

(5') Ist 25 projektiv, 6 axial und 96 # p, gg x = XG für alle Xe(p‚pö).

Mit anderen Worten: Für axiale 6 gilt

(6)

für den Fall

9 # pö. Wir beweisen als nächstes: (18)

Ist ZF projektiv und 6 axial mit Achse A, so ist jeder nicht auf A liegende Fixpunkt c von 6 ein Zentrum.

Beweis: Auf jedem Block B durch c liegen A + 1 Fixpunkte,

nämlich c und die A Punkte von (A‚B). Wäre also B # BG, so

142

hätten B und 136 mehr als 1 Schnittpunkte , im Widerspruch

zu (Be) , mit v2 = X. Also B = BG für alle BIc, und c ist Zentrum. . Wir betrachten jetzt den Fall, daß der Blockplan 25 im Sinne von 4.3 einbettbar ist, d.h. es existiert ein projektiver Blockplan 72

zu

und ein Block A von ? derart, daß Y)’

der Inzidenzstruktur ? A der Punkte 1 A und der Blöcke

# A von P

isomorph ist. Jeder Automorphismus & von

%

läßt sich sodann zu einem A festlassenden Automorphismus

& von P erweitern. Wir zeigen: (19)

Genau dann ist « Dilatation von $, wenn A Achse von

5 ist.

Beweis. Zunächst sei A Achse von 5. Ist dann p ein Punkt von #, so gilt entweder pa 74 p; in diesem Fall ist die Dilatationsbedingung dann folgt

(6)

aus

(6)

nach

(5')

erfüllt. 9_d_e_z_r_ pa = p,

(18); also ist u Diletation von ‘f?.

Wird umgekehrt vorausgesetzt,

daß oz Diletation ist,

hat a entweder einen Fixpunkt p 1 A. Dieser ist nach

so

(7)

Zentrum; also sind insbesondere die 1 Verbindungsblöcke von p mit einem beliebigen Punkt x I A Fixblöcke, und wäre

x # xä, so hätten x und xä mehr als >.

Verbindungsblöcke

in F . Also ist jeder Punkt von A Fixpunkt von E, und A ist in diesem Fall Achse von &. _Qde_r_ a ist eine Translation von & , also fixpunktfrei. Jeder Punkt x von # liegt sodann auf wenigstens Ä Fixblöcken, nämlich seinen Verbindungsblöcken mit xu. Nennt man also f die Anzahl der Fixblöcke von a in &, so liefert eine zweifache Abzählung (XIx) mit Xa = x von ** die Ungleichung

f(k - Ä) aus der mit Hilfe von

i > Ä(v—l)—Ä(k-l)

—

k-Ä

IV

der Fahnen

A (v - k) ,

(4.1.1)

=

folgt:

k(k-l)-Ä(k-l)

k-Ä

= k'1°

143

Die Anzahl der Fixblöcke von 5 in 72 ist also f + 1 3 k. Nach (3.3.5) und (3.3.11) ist f + 1 aber auch die Anzahl der Fixpunkte von 5. Diese liegen nach Voraussetzung alle

auf A, und [A] = k. Also folgt f + 1 = k, d.h. A ist Achse von 5. Damit ist (19) bewiesen. Folgerung: (20) Die Dilatationen eines einbettbaren Blockplans bilden eine Gruppe. Für den Rest dieses Paragraphen sei A eine Untergruppe dieser Gruppe, also eine beliebige Gruppe von Dilatationen

des einbettbaren Blockplans £*. Wir setzen weiter voraus, daß alle Automorphismen von A in dem einbettenden projek— tiven Blockplan fi (mit flA =:fr) in (19)

nicht nur axial sind, wie

bewiesen, sondern auch zentral.

{Daß diese Zusatzbedingung eine echte Einschränkung be— deutet und nicht etwa von selbst erfüllt ist, kann man z.B. folgendermaßen einsehen: Die Anzahl der Parallelenscharen von Blöcken des ein—

bettbaren affinen Blockplans & = ÜCd(d+l,q) , wo d > 1,

ist gleich der der Blöcke des projektiven Blockplans

fi = ‚@ c1_l(d,q) , nämlich gleich (qd+l-l)/(q-l) . Also existiert eine bijektive Abbildung der Blöcke von ? auf die

Parallelenscharen von Öl . Zu einer beliebigen solchen Abbildung w konstruieren wir einen neuen Blockplan 0/ = q(w) : Punkte sind die von

(% und die von fl , Blöcke sind die von

02 sowie ein neues Symbol A, und Inzidenz ist folgendermaßen erklärt: Mit A inzidieren genau die Punkte von ‚Q , und mit einem Block B + A inzidieren einerseits die zu B gehörigen Punkte von 06 , andererseits die Punkte desjeni— gen Blockes X von 72 , für den x“’ die B enthaltende Parallelenschar von OL ist. Für diese Inzidenzstruktur (? gilt nun 0[A = ”Z, also ist 0/ nach

(4.3.4)

ein projektiver Block-

plan, unabhängig von der Auswahl der Abbildung zu. Durch passende Auswahl von (» kann man insbesondere erreichen, daß

0/ '! Pd(d+l‚q) wird.

144

Nun sei w so gewählt, daß diejenigen Blöcke X voa, deren zugehörige Parallelenscharen xw Blöcke enthalten, in denen eine feste Gerade von 42

45

von CK liegt, keinen Punkt

gemeinsam haben; das ist möglich wegen der Voraus-

setzung d > 1. Eine

€} festlassende Translation T + 1 von

01 kann sodann nach

(19)

als axialer Automorphismus ? von

C1aufgefaßt werden; aber ? kann nicht zentral sein, denn ein Zentrum von ? müßte auf allen Blöcken x von F3 liegen, für die x“ einen 41 enthaltenden Block besitzt, und nach der Auswahl von m gibt es keinen solchen Punkt.} wir nennen nun T die Menge der Translationen von A; nach (14)

ist T ein Normalteiler, der auf der Menge der

nicht auf A liegenden Zentren scharf transitiv operiert. Nach Voraussetzung ist jede dieser Translationen in F zentral, mit dem Zentrum auf A. Wir nennen T(x) die Unter— gruppe derjenigen Translationen T s T, für welche der zugehörige axiale Automorphismus ? das Zentrum x I A hat.

Aus (9) folgt sofort, da A Achse jedes 5 mit 6 e A ist: (21)

Alle T(x)

sind Normalteiler von A,

und ferner liefert (2): (22)

Aus x # y folgt T(x)

T(y) = 1.

Wir definieren nun

q={x1A

!

T(x)#l},

ähnlich wie die oben betrachtete Menge }},

und zeigen:

(23) SATZ. 355 h“ > 1, so ist T elementar abelsch. Vgl. hierzu die Bemerkung nach (14). Beweis: Es sei q ein fester Punkt von 17

und 0 eine Translation der Prim-

zahlordnung p in T(q). Nach Voraussetzung enthält 17 einen

Punkt y # q; sei 1 # T e T(y). Dann folgt aus (21) und

(22): a

'r

01 = o

-l

1

-l

a -

T s T(q)r\ T(y)

= 1,

145

also 01 = ra. Weiter sei u ein beliebiger Punkt von 25,

der also nicht auf A liegt. Die Gerade 5—5? bleibt bei T, und 5—53? bei 01 fest, und diese Geraden sind verschieden, da sonst 0 und or, also auch a und T dasselbe Zentrum auf A hätten. Nun gilt

TP = ap tp

=

(or)p‚

also hat TP die beiden verschiedenen Fixgeraden 5—3? und E‘EE?. Dann aber ist u ein Fixpunkt der Translation TP, und es folgt TP = l. Vertauschung der Rollen von c und 1 zeigt nun,

daß alle Translationen # 1 von T dieselbe Prim-

zahlordnung p baben, und zum Beweis von

(23)

bleibt zu

zeigen, daß je zwei Translationen derselben Gruppe T(q) vertauschbar sind. Seien also a, o'

s T(q)

und wieder

T e T(y) mit q 74 y su]. Fortgesetzte Benutzung der schon bewiesenen Tatsache, daß Translationen aus verschiedenen T(x)

vertauschbar

sind,

liefert sodann

UO"T = o'o'r = a'r-o = o'-ro = o'-or = o'c-1, also 00' = o'o. Damit ist

(23)

bewiesen.

Zum Abschluß zeigen wir noch:

(24) smz (H.Lüneburg 1961). Ist |T(x)| = h > 1 für alle x I A, so ist T transitiv auf den Punkten von ;6—=2A‚ also gleich der Gruppe aller Translationen von 13. Beweis. Die v - k Punkte von 13 mögen von T in t Bahnen zerlegt werden. Da T aus fixpunktfreien Automorphismen be-

steht, hat jede dieser Bahnen genau IT| Punkte, also

Andererseits liegt jede nichttriviale Translation von T in genau einer der Untergruppen T(x), und da diese alle dieselbe Ordnung h haben, folgt:

|T|=l+k(h-l).

146

Kombination dieser Gleichungen mit der aus

sofort folgenden Beziehung (v -k)l = (k - 1)

(4.1.1)

(k - )) lie—

fert

(k - 1)

(k - l) = lt {k(h - 1) + 11

oder, wenn der größte gemeinsame Teiler von R und 1 mit d bezeichnet wird:

t=1+kd“l{d(k-1)x’ 1 -d-td (h-1H. Da A ein Teiler von A(v - 1) = k(k - 1) und Äd_l zu k 1; folglich

(k-l)(k-A) _ —————;————t(k + 1) 5 [k(h - 1) + 1} t —


I‘frl=(ßy)lä}l.

164

Insbesondere gilt

(?3)

= 0 genau dann, wenn

(3?) = 0.

Wir wollen hier nur taktische Zerlegungen von Blockplänen betrachten. Es sei also '3'

ein Blockplan mit den Para-

metern v‚b‚k‚r und ).. Sodann gelten außer

(4)

noch folgen—

de Beziehungen:

(5)

ZIBCI=b‚ Zl4el=v‚ ae “@

wobei über alle Blockklassen 36

bzw. über alle Punktklassen

"6 zu summieren ist, ferner

(s)

% (BE?) = r, %(«g‘ffl = k

für beliebige ? , .£r‚ und

(7)2( P 3006 ‘4 ) = A! IP l x

+

(r-A) 6( ? ‚q)

für beliebige Punktklassen ? , (1; hier bedeutet 6(?‚ q)=1 oder 0, je nachdem ob von

(5)

und

(6)

P= 07

oder?,

sind trivial, und

(7)

# C4

ist. Die Beweise

folgt durch zweifache

Abzählung der inzidenten Punkt—Blockpaare

(p,X) mit

x I q # p e?‚ für festes q so,: diese Abzählung liefert

x{|?l - ö(?fi1))=32£fl3030 - ö(?„v,fl (Xup, und daraus folgt

(7)

durch triviale Umformungen mittels

Bei diesem Beweis wird natürlich (TP 2) benutzt; die zu

(6) . (7)

duale Aussage gilt also nicht in jedem Blockplan. Statt-

‚

dessen haben wir nur

Z

[x.c]

+ kö(fnlih

C+xa£

;'

für alle Paare von Blockklassen fr , E , und mit: beliebiger

Auswahl von C e.E . Dies wird durch einen zum Beweis von (7) dualen Schluß gezeigt, und hier ist .)t. *m Nach

(4.1.5)

und

(4.1.8)

ist b = mr, k = r - A = um,

v = um2 und r = Am + 1. Setzt man dies in die letzte Gleichung ein, so ergibt sich um(r-s+t')

=

um(r-l+t)‚

und das liefert wegen um + 0 die Behauptung.

Aus (14) und (15) folgt natürlich 0 ; t' - t ; r - 1; insbesondere haben wir also für affine Blockpläne die Ungleichung

(12) bewiesen. Beispiele zeigen, daß die Grenz-

fälle t = t' und t' = r + t - 1 tatsächlich auftreten können. Für den Rest dieses Paragraphen sei 79

ein projektiver

Blockplan mit den Parametern v = h, k = r und 1. Unter der

Ordnung von 19 wird die Zahl

n = k - A = r - A verstanden;

dabei handelt es sich um eine natürliche Verallgemeinerung des Begriffes der Ordnung einer endlichen projektiven Ebene, vgl. (17)

k

5 4.1. =

Man rechnet nach, daß

n + A

und

k2

=

(4.1.1)

sodann

n + ÄV

sowie

(18)

v =

2n + >. + n(n-1) >.“l

liefert.

(18)

zeigt natürlich:

(19)

n(n - l)

5

0 mod Ä.

Also sind n und A nicht voneinander unabhängig. Wir werden bald sehen, daß zwischen n und 1 noch andere weniger tri-

169

viele Beziehungen bestehen müssen, wenn ein projektiver Blockplan der Ordnung n mit dem Parameter A existieren soll.

Es sei eine taktische Zerlegung des projektiven Blockplans }? gegeben. Wir numerieren die Punktklassen:

?l'?2""' ? t {hier wird fij

=

(9)

(?i £3);

fit

und die Blockklassen 31,13—2,...,

benutzt}, 915

=

setzen für i,j = l,...‚t:

(fi'i Pj)l

pij

=

|?ilöij’

bij

=

|f"ilöij

und definieren die Matrizen der taktischen Zerlegung durch

F = (f„)‚ a= (qm.), 1>= (p“), a= (bij). Bei der trivialen Zerlegung in lauter einelementige Klassen wird F zu einer der in 3.3 erklärten Inzidenzmatrizen A von P ,

ferner G zu AT,

Einheitsmatrix Ev.

In jedem Fall sind P und B Diagonal-

und P und B zur

(v,v)-

matrizen. Die Matrizen F, G, P, B genügen den Gleichungen

(20)

GP

und, mit Jt gleich der

(21)

=

EFT,

(t,t)-Matrix aus lauter Einsen:

FG

=

).PJt

+ nEt.

Diese Beziehungen sind nämlich nichts weiter als (7)

in Matrix-Schreibweise. Aus

wie

(3.3.5)

(22)

(21)

(4)

bzw.

rechnet man ähnlich

nach: det FG = n

hierbei wird auch (17)

t-l

2 k ;

benutzt. Folglich sind F und G

nichtsinguläre Matrizen. Die Voraussetzung, daß ?? projektiv ist, spielt für (20)

-

(22)

keine wesentliche Rolle.

Im allgemeinen Fall

sind F und G nicht mehr quadratische, sondern rechteckige

170

(t‚t')- bzw. und B eine und

(21)

(t',t)-Matrizen; ferner ist P eine (t,t)-

(t',t')-Diagonalmatrix. Die Gleichungen

(20)

gelten unverändert auch in diesem Fall, und

(22)

bleibt ebenfalls richtig, wenn nur der Faktor k2 durch rk ersetzt wird. Auf die Beweise dieser Behauptungen kann hier nicht eingegangen werden; wir merken nur an, daß man mit Hilfe der modifizierten Gleichung Beweis von

(3.3.6)

(22) durch ein dem

entsprechendes Argument einen kurzen

Beweis der oben erwähnten Ungleichung

(12)

erhalten kann.

Wir kehren zum projektiven Fall zurück und zeigen als nächstes: (23)

SATZ: Eine taktische Zerlegung eines projektiven Blockplans der Ordnung n besitze t Punktklassen 19 und

ebensoviele Blockklassen BE. .

Dann ist

111; l'l'l'lflfl'l BEI

eine Quadratzahl.

Beweis. Aus

(20)

folgt

(GP)2 = BFTGP, also liefert (22):

(detGP)2 = detB det? detFG = 1T |3€| - Tl' |f| — nt_l k2. aa 1; Daraus folgt (23). Eine taktische Zerlegung heißt symmetrisch, wenn die Klassen so numieriert werden können, daß

|;„|

=

|fii|

gilt. Da indiesemFall selbst ein Quadrat ist,

(24)

Besitzt }?

i=l‚...,t

TF|3€ITT lg!

x

??

liefert

" 2 = TFI30-l i=1

1

(23):

eine symmetrische taktische Zerlegung mit

gerader Klassenzahl t, so ist n eine Quadratzahl. Nach von 12

(3.3.5) =

(63,03,

und I)

(3.3.10) auf 53

induziert ein Automorphismus

und G3 ähnliche Permutationen.

Das bedeutet nichts anderes, als daß die von diesem Automorphismus erzeugte zyklische Gruppe eine symmetrische

171

Bahnenzerlegung hat

(für nichtzyklische Gruppen braucht (24):

das nicht der Fall zu sein). Also liefert

(25)

Zerfallen die Punkte Blockplans ;)

(oder die Blöcke)

des projektiven

unter einer zyklischen Automorphismen-

gruppe von 12 in eine gerade Anzahl von Bahnen, so ist die Ordnung von 12 eine Quadratzahl.

Die taktische Zerlegung in lauter einelementige Klassen ist natürlich immer symmetrisch. Für diesen Fall liefert

(24): (26)

Ist die Punkteanzahl v eines projektiven Blockplans gerade, so ist seine Ordnung n eine Quadratzahl.

Im Hinblick auf

(18)

liefert

(26)

die folgende nicht-

triviale Beziehung zwischen der Ordnung n eines projektiven Blockplans und seinem Parameter X: Die höchsten in A

933; n(n—l) aufgehenden Potenzen von 2 seien Zi bzw. 23. Ist dann

0 < 1 < j,

so ist n ein Quadrat.

Wir wollen nun noch eine weitere Beziehung zwischen n und l beweisen, die im Gegensatz zu jektive Ebenen

(A = 1)

(26)

auch für pro-

etwas leistet. Wir beginnen mit

dem folgenden Hilfssatz aus der linearen Algebra: (27)

Es sei

H =

(hij)

(i,j = O,...,m)

eine nichtsinguläre

(m+l‚ m+l)—Matrix. Dann existieren

el,...‚eme{l, -1}

derart, daß das Gleichungssystem

e.x. J.]

=

m x.h.. lJ

J' = 1 ; ... ! m

i=0 eine Lösung mit beliebigem xo # 0 besitzt.

Beweis. Wir wählen x0 = a # 0. Dann wird das System zu

m g;l

x.(h.. 1 13

- e. G..) 1 13

= -h

.aDJ '

172

dieses neue System ist inhomogen‚ da nicht alle hOj ver— schwinden. Nun sei Hk der k-te Hauptminor der Koeffizientenmatrix Hm des inhomogenen Systems, also

Hk = (hij - ei 5ij),

i,j = l,...,k‚ für ksl.

Offenbar existiert el 6 {l, -1} so, daß h11 — el# 0 ist, also kann man jedenfalls H1 nichtsingulär machen. Sind el,...‚ek schon so bestimmt, daß Hl,...,Hk nichtsingulär werden, so folgt aus detHk # 0 und detH

k+l

= -ek+l detHk + D

k

(wobei Dk von ek+l unabhängig ist), daß durch passende

Wahl von ek+l e {l, -1} auch Hk+1 nichtsingulär gemacht werden kann. Durch Induktion ergibt sich, daß auch die Koeffizientenmatrix Hm des inhomogenen Systems nichtsingu— lär gemacht werden kann. Dann aber wird das System lösbar,

und

(27)

ist bewiesen.

Das wesentliche Hilfsmittel beim Beweis der angekündigten nichttrivialen Beziehungen zwischen den Parametern eines projektiven Blockplans ist der folgende

(28)

SATZ

(S.Chowla und H.J. Ryser 1950): Es seien a,b,t

natürliche Zahlenifaußerdem t ungerade 3 3. Ferner sei c eine rationale CC T

(t, t)—Matrix derart[ daß gilt: _ —

aEt

+

t.

Dann besitzt die diophantische Gleichung

ax2 + (—1)(t'_l)/2 by2 = 22 eine ganzzahlige Lösung

(x, y, z)

Wie in 3.3 bedeuten dabei Et die Jt die

#

(O; O; 0).

(t‚t)—Einheitsmatrix und

(t,t)-Matrix aus lauter Einsen.

173

Beweis. Nach einem bekannten Satz von Lagrange, für des-

sen Beweis auf die Lehrbüchef der Zahlentheorie verwiesen werden muß, ist jede natürliche Zahl Summe von vier Quadraten. Wir setzen a = u2 + V2 + w2 + 22 und

Man rechnet nach, daß dann AAT

aEh gilt. Nun sind zwei

Fälle zu unterscheiden. I.

t E 1 mod 4.

Dann ist m

(t-l)/4 ganzzahlig: wir

betrachten m Exemplare Ai von A und bilden daraus die

(t‚t)—Matrix

\lä 0

o...o Al 0

s=

' .

. '

o

o

OA an

Aus AAT = aEh folgt dann

(a)

BBT = aEt.

Also ist B nichtsingulär, und dasselbe gilt für die vor—

gegebene Matrix C. Also ist auch 36-1 = H = (hij),i‚j=o‚..,t-l nichtsingulär, und alle hij mit i 3 1 sind rational, während die ho' von der Form roj V“äT mit rationalem rOj

sind. Nach

(27) existieren nun el‚...‚et_le {l,-1} derart, daß das System t—l

(b)

ejxj

=

E: xihij’ i=0

j = l,...‚t-1

174

Lösungen mit beliebigem x0 besitzt. Wir betrachten einen (xo‚...,x t_l) mit x0 =

Lösungsvektor X =

V::. Nach der

obigen Bemerkung über die Rationalität der hij folgt sodann, -1

XB

daß xj

= Y =

rational ist für j

(yo,...‚yt_l)

=

1,...,t—1.

und KK = z =

Wir setzen

(zo,...‚zt_l). Dann

folgt

(c).

ve

und wegen

(d) zj

=

YBB'1c

=

xn

=

z

(b): t-l

2 __

—

(%;0 xihij)

2 _

— (ejxj)

2 _

2

=

_

- xj , j l,...‚t 1.

Außerdem ist zo rational, denn 15—1

20

=

11-1

x h.. 1=0 1 15

=

ar0

+ J

xlh1 i=1

. J

Da die übrigen zj wegen (d) ebenfalls rational sind, ist z, und wegen

(c)

Nun folgt aus

auch Y, ein Vektor aus rationalen Zahlen.

(c)

und

(a),

sowie aus der Voraussetzung

über C: tl

zo 2 +

zJ-2 = zzT = YCCT Y __ Y(aEt + t)Y T

a=l

-

T T YaEtY T +YtY T =YBBY

=

XXT + b( 2: Yi)2 = xo2 +

d'

13-1

"1

c.; ||

i=O

t'1 t'1 (lz=oyib)(;oyj)

+

t-l

x.2 + b( 2: yi)2.

1 J

1=0

a

+

b

(+

Wegen xo2 = a und (d) ergibt sich hieraus -l

1

0

(

Yi)2

=

202,

und da 20 und die yi alle rational sind, erhält man durch Multiplikation mit dem Hauptnenner die gesuchte Lösung der

im Satz (28) genannten diophantischen Gleichung.

175

II. t E -1 mod 4.

In diesem Fall führen ähnliche Über-

legungen zum Ziel: Man betrachtet m -

(t+l)/4 Exemplare Ai

von A und bildet

1 0 B

=

.

.

,

.

'

°

0

0

A

so daß BBT = aEt+l folgt. Weiter werden die (t+1, t+l)— Matrizen

1

0

.

.

.

0

a

0 D =

0

.

.

.

0

0

-

C

.

,

K =

0

'

E

.

t

, und

0

0 . L =

. . . . 0

'

.

t

0 betrachtet; aus der Voraussetzung CCT = aEt + t folgt dann DKDT = aEt+l + L. Nun existiert zu der nichtsingulären Matrix DB“1 = H = x =

(hij)' i,j = O,...‚t ein Vektor

(xo,...,xt) mit rationalen x0 # 0 derart, daß

ejxj

=

%;6 xihij

j = l,...‚t

gilt. Setzt man xn'l = 2 = (yo,...,yt) und xn - xna'1= = z =

(zo,...‚zt)‚ so folgt YB = z und 252 = x.2 für

3 = l,...‚t

J

wie im Fall I,

und

176

t ax 2 + €; =

x

TT =Y(aEt+l +L)Y T__ . 2: xxx T =YDKDY

J

TT +b(Zyi) " 2 =zo 2 +}: YBBY

t 2, z& 2 +b(Zyi)

1-

axo

1:1 t

2

-

b( g=l Yi)

2 _

2

— zo .

Daraus gewinnt man wieder eine nichttriviale ganzzahlige Lösung. Damit ist

(28)

bewiesen.

Wir wenden nun

(28)

an, um einen Satz über vollszgfietri-

sche taktische Zerlegungen von projektiven Blockplänen zu beweisen; d.h. alle Punkt- und Blockklassen haben dieselbe Elementezahl.

(29)

SATZ: Ein projektiver Blockplan der Ordnung n besitze eine vollsymmetrische taktische Zerlegung ungerader Klassenzahl t, mit 5 Elementen in jeder Klasse. Dann gilt für ungerade Primzahlen p:

(i)

p ]

(Äs)*

——->

n E 0 mod p

oder

(%) = 1.

(ii) p | n* -=—> As E 0 mod p oder (€?)

(-1)(t_l)(P_l)/R

Dabei bedeutet, wie in der Zahlentheorie üblich, m* den größten quadratfreien Faktor von m und

(%) das Legendresche

Symbol. Beweis. Für die Matrizen der vollsymmetrischen Zerlegung gilt P = B = sEt und folglich wegen

Daher wird aus

(21):

(20):

177

Also liefert (28) die Existenz ganzer Zahlen x, y, 2

mit nx2 + (-l)(t"l)/2 Äsy2 = 22, und daraus erhält man

(30)

n* 52 + /u

Das sind die Aussagen

(1)

bzw.

(ii)

von

(29)

für den

Spezialfall der trivialen Zerlegung, die natürlich vollsymmetrisch ist.

(31)

und

(32)

zeigen die Nichtexistenz

projektiver Blockpläne für unendlich viele Paare

(n,Ä).

Die letzte Folgerung betrifft den Spezialfall A = 1

von (32). (33) SATZ (R.H.Bruck und H.J.Ryser 1949). Ist n E 1 oder 2 mod 4 und hat n”‘einen Primteiler der Form p = 4j-1, so existiert keine projektive Ebene der Ordnung n.

Beweis. Angenommen eine solche projektive Ebene existierte doch. Dann wäre ihre Punkteanzahl 2 v = n

1 + 1 + 1 + n + 1

E

5

—1 mod 4,

4 + 2 + 1 je nachdem ob n = 1 oder 2 mod 4 ist. Also wäre ungerade. Außerdem ist lich wäre auch

(p—1)/2

(v—1)/2

2j-1 ungerade, und folg-

(p—l) (v-1)/4 ungerade. Da X = 1 quadrati-

scher Rest jeder Primzahl ist, liefert

(32)

A = ( _ 1) (p-l)(v—l)/h „l. = (P) 1 = (p)

=—]_,

also einen Widerspruch. Folglich kann keine Ebene der Ordnung n existieren,

und

(33)

ist bewiesen.

179

4.7. Projektive Blockpläne mit transitiver Gruppe.

Es sei P eine endliche Gruppe, H eine Untergruppe von F und A eine aus vollen Restklassen HE bestehende Teilmenge von ?.

Dann wird die

Inzidenzstruktur 3'(P,H,A)

wie

in 3.2 folgendermaßen definiert: Punkte sind die Restklassen HE, Blöcke die Mengen An, und Inzidenz ist Enthaltensein. Die Gruppe F operiert sodann treu)

(nicht notwendig

als punkt- und blocktransitive Automorphismengruppe

auf 3'(F,H‚A); und wie in 3.2 gezeigt, ist jede Inzidenzstruktur mit punkt- und blocktransitiver Automorphismengruppe P in der Form T}(F‚H‚A)

darstellbar. H ist dabei

der Stabilisator eines Punktes. Wir wollen hier den Spezialfall betrachten, daß H = 1, also F scharf punkttransitiv, und 3 UHI,A) ver Blockplan ist. Nach

(4.6.11)

ein projekti—

ist F dann auch scharf

blocktransitiv.

(1)

Es sei P eine endliche Gruppe und A eine Teilmenge von P. Genau dann ist 3%P,1,A)

ein Blockplan, wenn es zu

jedem Y # 1 in P gleichviele Paare

€ AXA gibt

(E‚n)

derart‘ daß En“l = y. Ist das der Fall, so ist 34T,1,A) sogar projektiv und hat die Parameter

v=b=m. k=r=w‚ .: Beweis. Nach Definition ist 3'(F,H,A)

A

Aé-1 “-

stets eine takti-

sche Konfiguration. Für Blockpläne gilt b 3 v nach während die Anzahl der Blöcke An von

?(P,1,A)

(4.1.3),

höchstens

IT| = v ist. Wenn } (F,1,A) also überhaupt ein Blockplan ist, dann einer mit b = v, also ein projektiver; außerdem folgt dann n =

; aus An = A5.

Die Verbindungsblöcke der Punkte 1 und y # 1 in C}(T‚1‚A) sind genau die Aa mit 1 e Au und y s Aa. Ist I}(P‚1,A) ein Blockplan, so entsprechen diese umkehrbar eindeutig den Elementen a e P, für die 5 = E(a)

s A

und n = n(a)

e A mit

180

y

=

6a

und

existieren. Elimination von

a

1

=

na

aus diesen Gleichungen lie-

fert Y = € n_1 für eine von y unabhängige Anzahl von Paaren (E‚n)

in AXA, wie behauptet. Gibt es umgekehrt zu jedem

Y # 1 von r gleichviele

(g‚n)

e AXA mit g n_1 = y, so setze

man für jedes solche Paar n = a'l; sodann ist Aa Verbin-

dungsblock von 1 und y # 1. Die Anzahl dieser Verbindungsblöcke ist also von y unabhängig, und da r punkttransitiv

auf ? U31,A) operiert, folgt (132) für 3'ÜUI‚A). Also ist 3-(P‚1,A)

ein Blockplan, und

(l)

ist bewiesen.

Wie in 3.2 gezeigt wurde, erhält man den Normalisator von r in der vollen Automorphismengruppe von f?(r‚n‚A) durch Bestimmung aller Multiglikatoren von A, d.h. aller H festlassenden Automorphismen von r, für die gilt.

(3.2.14)

In unserem Spezialfall n = 1 sind das genau die Auto-

morphismen u

von P mit

(2)

A“

=

Aa

für passende & e I‘. Wir wollen hier einige hinreichende Bedingungen für die Existenz von Multiplikatoren für projek-

tive Blockpläne angeben. Dazu wird die Gruggenalgebra Ji(r) von T über den rationalen Zahlen betrachtet. Die Elemente

von.fil(P) sind die Ausdrücke

Z

r(Y)'Y

yeF mit rationalen r(y); Addition und Multiplikation in.}3(r) sind durch folgende Festsetzungen erklärt:

Zr(v)v +Zr'(v)v yeP

ve?

= [um + r'(Y)}Y‚ yeF

(3)

(Zr(v)v)(Zr‘“ — AZY GEA

öeA

yeP

von09 (P) nichtnegativ sind, ein Multiplikator von A. Beweis. Wir setzen 2: 6 = d

und

2: Y = 9; dann wird

ösA

(7)

a

yeP

=

d* d“

-

Ag.

Wir setzen a = an. Nach

(8)

(3)

2: r(y)y und nehmen r(y) 3 0 für alle v e F yeF und (5) ist dann

a* a

=

Z: Y€P

( Z: E“n=v

r(€)r(n)) Y:

182

und hier sind ebenfalls alle Koeffizienten }: r(€)r(n)3p. Edn=Y

Andererseits gilt

dd* =

hierbei

ist n-1

jedes Y #

1

aus

d*d

=

n+Ag;

mit n identifiziert. F nach

(1)

.‚_€

(9)

Beweis von

(9):

Da

auf genau X Weisen in der Form

€n‘l mit E, n € A darstellbar ist, gilt

d d* =

k-1

+

A 2: Y

=

n + kg,

v+l und die zweite Gleichung

(9)

f.‘

ergibt sich daraus, daß jedes

Element # 1 von F natürlich auch auf genau Ä Weisen in der

Form E_ln mit E, n e A darstellbar ist. {Das folgert man analog (1) aus (E52).} Aus (9) folgt erstens, daß dd* eben—

_

so wie n und Ag im Zentrum vonqfl(F)

&

anderen Elementen von JÄ(F) Nun liefert

liegt, d.h. mit allen

kommutiert, zweitens

(dd*)u = dd*.|

(9) weiter:

a* a = (d“ d - Ag) (d* d“ — Xg> = d“*-dd*-d“ + >.292 - A(gd*d“ + d“*dg) dd* (dd*)“ + Ä2vg - Ak(gd“ + d“*g) (n + Äg)2 + Ä(Avg - k°2kg) n2 + 2A(n + XV - k2)g

n2. Hierbei wird noch die Vertauschbarkeit von u mit * sowie

die Beziehung k2 = n + XV benutzt, vgl.(4.6.17).

Also a* a = n2. Vergleicht man das mit sich, daß für die Koeffizienten r(£)

(8), so ergibt

von a das Gleichungs—

system (10)

Z

r(g)r(gY)

ESP

_

"

n

{O

2

„

fur

für

y = 1 'Y

#

1

'

erfüllt sein muß. Gäbe es zwei verschiedene Elemente a‚ßsF derart, daß r(a) und folglich

> 0 und r(ß)

> 0, so wäre auch r(a)r(ß)

> 0

183

Zr(5)r(€ a'16) ; r(a)r(ß) > 0. ESP

obwohl a_lß # 1. Das ist ein Widerspruch zu

aber r(a)2 = n2 oder r(a) (11)

(10), und folg-

> 0. Dann liefert

lich existiert nur ein der mit r(a)

(10)

= n, und es ist gezeigt:

a

=

na.

Nun ist natürlich gu_l= g. Folglich liefern (7),

(9)

und

(11):

(12)

d*d“a'l = (a + Ag)a'l = n + Ag = d*d.

(nk2)_l(k2-Ag)dd*

Il

Außerdem gilt, wieder wegen (n

—1

(9) und

(4.6.17):

- Ag/nk2)(n + Ag)

1 + Äg/n — Äg/k2 - Ä292/nk2 = 1

+

k2

—

= 1. Also hat d* in J$(F)

n

-

XV g

“'k2

ein Inverses.

Multipliziert man

von links mit (d*)_l‚ so folgt due—l = d

d“

=

da.

Das ist offenbar gleichbedeutend mit Multiplikator und Satz Wir folgern aus

(6)

(6)

(12)

oder

(2); also ist u ein

bewiesen.

den sogenannten

(13) MULTIPLIKATORSATZ. Es sei 79 ein projektiver Blockplan mit Parametern v,k‚l und Ordnung n, und 12 besitze eine transitive abelsche Automorphismengruppe F, in der Form ? (F,1‚A)

so daß P

darstellbar ist, mit einer

geeigneten Quotientenmenge A. Sind dann pl‚...,pr gg£; schiedene Primteiler von n derart, daß

(a)

(pi,v) = 1

i = l,...‚r,

und

184

r

(b)

TI" pi

>

i=1

A,

und ist m eine ganze Zahl mit e.

(c) m 5 91 1 mod v, für geeignete ei > 0, i = 1,...,r‚ so ist die Abbildung

u : y + ym von F ein Multigli-

kator von A.

Die Bedingung

(b)

ist möglicherweise überflüssig; bei

allen bekannten Beweisen spielt sie aber eine wichtige Rolle. Beweis von

(13). Aus

(a)

und

(c)

folgt

(m‚v)

= 1; hieraus

und aus der Kommutativität von P ergibt sich, daß u jedenfalls ein Automorphismus von P ist. Wegen Satz

(6) genügt

es also noch nachzuweisen, daß die Koeffizienten r(y) des durch

(7)

erklärten Elementes

a = Z: r(y)y alle nichtnega—

tiv sind.

ver

Zwei Elemente

ZIr(y)y

und

E: r'(y)y

kongruent mod p, wenn die r(y)‚ r'(y)

ganzzahlig sind und

mod p

r'(y)

E

r(y)

von.ji(P) heißen

gilt für alle yeP. Es sei nun p ein beliebiger der gegebenen Primteiler pi(i = 1,...,r) und e der gemäß gehörige Exponent ei. Außerdem sei

(?

(c)

dazu-

der Automorphismus

€ + EP von P; aus (c) folgt dann offenbar u = ® e. Ferner gilt: dP

(;G)P

=

%s?

aA Das folgt aus

+

2

_=_;öp=

sA

eA

?G'V=d‘fmod p.

EA

(1.1.17): die Summe 2 der übrigen beim Aus-

multiplizieren von ( Z: 6)p auftretenden Glieder ist durch 9 teilbar. Setzt man nun pe = q, so folgt nach e-maliger Wiederholung des letzten Schlussesz

d“

=

d?

e

6“

mod p.

185

Wir benutzen nun wieder

a + Ag - d* d“ Aber

(7)

und

(9) und erhalten

d* dq - d* ddq_l - (n+>.g)d°'l 5 Agdq_lmod p.

gdq_l = kq'lg nach Definition von 9. Also folgt weiter:

a + Ag ; Akq'lg = A(n+l)q—lg ; lqg Schließlich ist

Aq E A

mod p

mod p.

nach dem kleinen Fermat-

schen Satz der Zahlentheorie. Damit ergibt sich a + Ag 5 lg mod p

oder, de p ein beliebiger der Primteiler pl,.„,pr

von n war: a

5

0

mod pi,

1 = l,...‚r.

Folglich existiert ein Element

c = Z: 1(Y)Y eJ3(P) mit

ganzzahligen Koeffizienten i(y)

derart, daß mit s =

7 er

r TT

pi

i=1 gilt:

a

=

s - c.

Daraus ergibt sich

a

+

*?

Andererseits ist

=

}:

{8'1(Y) + A} v.

yeP

a + kg = d*du nach (7), und

d*d“ = ; gl.; &“ EA

aA

hat nichtnegative Koeffizienten. Daraus folgt 5 i(y)

Wäre nun ein i(y) setzung alle

+ A 3 0

für alle

< 0, so auch si(y)

(b), und da i(v)

Y 5 P.

+ A < 0 wegen Voraus-

ganzzahlig ist. Also i(y) 3 0 für

Y 5 P, und nach Definition der i(y)

bedeutet das,

daß alle Koeffizienten von a nichtnegativ sind. Aus folgt also, daß u ein Multiplikator ist, und Satz bewiesen.

(16)

(13)

ist

186

Dieser Satz gestattet die Konstruktion von Multiplika— toren in vielen speziellen Fällen, auf die hier nicht einzeln eingegangen werden kann. Wir geben hier nur eine Fol-

gerung: (14)

Ist die volle Automorphismengruppe einer endlichen

projektiven Ebene transitiv, so ist sie nicht abelsch. Beweis. Angenommen, die volle Automorphismengruppe P der_projektiven Ebene ??

der Ordnung n wäre transitiv und

abelsch.{Dann ist F sogar scharf transitiv, wie im Beweis von

(3.2.12) gezeigt wurde; d.h. nur die Identität von P

läßt einen Punkt fest.}

Ipläßt sich also in der Form ?(P,1,A)

darstellen, mit geeigneter Quotientenmenge A. Ist nun p ein Primteiler von n, so v = n2+n+l E 1 mod p und p > A

Nach (13) , mit r = 1, ist also die Abbildung

= 1.

11 = € + 5?

ein Multiplikator von A. Nach 3.2 liefert u nun einen nichttrivialen Automorphismus von

?> = :?(P,1,A), der den

Punkt 1 festläßt, also nicht in P liegen kann. Das ist ein Widerspruch gegen die Voraussetzung, daß P die volle Automorphismengruppe von 1? sein sollte, und damit ist

(14)

bewiesen. Es wird vermutet, daß eine den Voraussetzungen von genügende projektive Ebene sogar isomorph ?’1(2‚q)

(14)

sein

muß, also insbesondere n = q für eine geeignete Primzahlpotenz q. Dagegen gibt es projektive Blockpläne mit X > 1, die eine transitive Automorphismengruppe besitzen, aber zu

keinenl?? d_l(d‚q) isomorph sind, z.B. die in 4.2 konstruierten i?(q) mit q 5 —1 mod 4. Hier ist die Gruppe F der Automorphismen

x + x+a transitiv und abelsch, nämlich iso-

morph der additiven Gruppe des zugrunde liegenden Galoisfeldes K. Eine Quotientenmenge

(bei additiv geschriebenen

Gruppen ist es auch üblich, statt dessen Differenzmenge zu sagen)

ist die Menge 0 der nichtverschwindenden Quadrate

von K. Man rechnet nach, daß hier A = n-1 gilt; wegen der Bedingung

(b) von

(13)

leistet der Multiplikatorsatz hier

187

also nur dann etwas, wenn n quadratfrei ist. Der Leser möge sich selbst überzeugen, daß die Multiplikatoren außer den schon in 4.2 angegebenen Abbildungen

x + xt

mit

t s Q

noch genau die Körperautomorphismen von K sind. Außerdem stellt man fest, daß die Bedingung

(b)

von

(13)

hier über-

flüssig ist: auch bei nicht quadratfreiem n sind alle die erwähnten Abbildungen Multiplikatoren. Die einfache Transitivität der Automorphismengruppe reicht also nicht aus, die F>d_l(d,q) unter den projektiven Blockplänen zu kennzeichnen. Auch die zweifache Transitivität leistet das nicht: Definiert man den zu E’

=

(ÜD‚Ü3‚ I)

komglementären Blockplan P ' = (P ' ‚ß ' , I') durch Ü3 ' = CD,

a3' = Ü3 und I' = ÜD x 43 - I (d.h. Inzidenz in FQ' ist gleichwertig mit Nichtinzidenz in F ), so ist klar, daß 19 und 12 ' dieselbe Automprphismengruppe haben; andererseits verifiziert man, daß12 d_l(d‚q)' zwar ein projektiver

Blockplan, aber nicht von der Forul}2 d‚_l(d',q') ist. Zum Abschluß geben wir nun noch zwei Transitivitätseigenschaften an, die zur Kennzeichnung der'P d_l(d‚q) doch hinreichen: (15)

SATZ. Die folgenden Eigenschaften eines projektiven Blockplanes ]? sind äquivalent:

(i) ‘ 'Q ist isomorgh einem 'P d_J_(d,q) . (ii)

12 besitzt eine auf den Dreiecken (nichtkollinearen Punkte-Tripeln)

transitive Automorphismen-

grugge. (iii)l2 besitzt eine auf den nichtinzidenten PunktGeradenpaaren transitive Automorphismengruppe.

Im Gegensatz zu

(4.5.12) braucht man hier nicht 1 > 1

für 12 vorauszusetzen. Der Fall A = 1 erfordert aber zusätzliche Überlegungen, die hier nicht auseinandergesetzt werden können; vgl. hierzu die Arbeiten von T.G.Ostrom und

188

A.Wagner in Math.2eitschr.ll (1959) 113-123 und 186-199 sowie Proc.Amer.Math.$oc.g (1958)

55-56. Wir beweisen

(15)

also nur für A > 1.

Daß

(11)

aus

(1)

folgt, wird hier nicht bewiesen; der

Leser möge das aus der Definition von p d_l(d,q) verifizieren. Außerdem ist klar, daß Wir müssen also noch

(1) aus

der Voraussetzung A > 1

(iii)

in 4.2

(11)

folgt.

(iii) herleiten, und wegen

(die übrigens für die beiden ande—

ren Implikationen nicht benötigt wird) (4.5.11)

aus

genügt es nach Satz

noch zu zeigen, daß jede Gerade von

;? jeden Block

trifft. Sei also

eine beliebige Gerade. Wir betrachten

die Gruppe F der

festlassenden Automorphismen von 12

und nennen t die Anzahl der F-Punktbahnen; nach

(4.6.11)

ist t sodann auch die Anzahl der F-Blockbahnen. Natürlich zerfällt €? unter P in volle Punktbahnen, deren Anzahl wir s nennen wollen. Aus

(iii) t

=

folgt sodann s + 1.

Sind nun B und C zwei Blöcke, die lg nicht enthalten, aber treffen, so sind die Schnittpunkte p =17J1(B) q = €}f\(c)

nach (4.5.2)

und

eindeutig. Liegen also p und g

in verschiedenen P—Punktbahnen, so liegen B und C in verschiedenen P-Blockbahnen. Folglich ist die Anzahl der

P—Bahnen von €} nicht enthaltenden, aber €} schneidenden Blöcken wenigstens gleich 5. Außerdem bilden die op ent— haltenden Blöcke wenigstens eine weitere P-Bahn. Damit haben wir mindestens s+1 verschiedene Bahnen von

tref-

fenden Blöcken gefunden, und wegen t = s+l kann es keine weiteren Blockbahnen geben. Also trifft

.

und da %} willkürlich war, folgt nun aus

(4.5.11), daß

jeden Block,

p = P d-1(d'q) ist, für geeignete d > 2, q. Damit ist Satz (15) bewiesen.

LITERATURVERZEICHN‘S

Es werden nur die gebräuchlichsten Lehrbücher aufgeführt. Die meisten von ihnen enthalten ausführliche Bibliographien; für weitere Literaturangaben wird auf diese verwiesen. Hinter den im folgenden aufgeführten Büchern wird in Klammern angegeben, mit welchem Teil der Vorlesung Zusammenhänge bestehen.

E. ARTIN: Einführung in die Theorie der Gammafunktion. Hamburger mathematische Einzelschriften, Heft 1. Teubner, Leipzig 1931. Englische Übersetzung 1964 bei Holt, Rinehart and Winston, New York. (1.1) C. BERGE: Théorie des graphes et ses applications. Paris 1958. Englische Übersetzung London 1962. (3.4 und 3.5)

E.R. BERLEKAMP: Algebraic Coding Theory, New York 1968.

P. DEMBOWSKI: Finite Geometries. Berlin, Heidelberg, New York 1968. (3.1 — 3.3, 4) M. BALL, Jr.: The Theory of Groups. New York 1959, letztes

Kapitel.

(4.4, 4.6, 4.7)

M. BALL, Jr.: Combinatorial Theory. Waltham, Mass. 1967. (1, 2, 3.3, 4.1, 4.2, 4.7) G.H. HARDY and E.M. WRIGHT: An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford 1938,...,1962 (1.2,1.3,4.6,4.7) B. HUPPERT= Endliche Gruppen I. Berlin, Heidelberg, New York 1967 (4.4, insbesondere Beweis von (4.4.13)

auf S. 492-495) F.W. LEVI: Finite Geometrical Systems. Calcutta 1942

(Kap.4)

P.A. MacMAHON: Combinatory Analysis. 2 Bände, London 1915/16. Neudruck New York 1960 bei Dover. (Kap. 1, 2) E.

NBTTO:

Lehrbuch der Combinatorik.

Leipzig 1901,

1927.

(Kap. 1, 2) O. ORE= Theory of Graphs. Providence, R.I.

1962.

(2.1, 2.2, 3.4, 3.5) 0. ORE: The four-color Problem. New York, London 1967. (3.4, 3.5) G. PICKERT: Projektive Ebenen. Berlin 1955, letztes Kapitel. (Kap. 4)

190

G. RINGEL: Färbungsprobleme auf Flächen und'Graphen. Berlin 1959. (3.4, 3.5) J. RIORDAN: An Introduction to Combinatorial Analysis. London, New York 1958. (Kap.l, insb. 1.3, Kap.2‚ 3.4)

H.J. RYSER: Combinatorial Mathematics. New York 1963. (1.1, 1.2, 2, 3.3, 4.2, 4.7) 0. VEBLEN and J.W. YOUNG: Projective Geometry, vol.

Boston 1910, 1938.

I.

(4.5)

B.L. van der WAERDEN: Algebra, Band I. 4.Aufl. Berlin 1955. (2.3, 4.2) H. WIELANDT: Finite Permutation Groups. New York, London 1964 (3.2, 4.4, 4.7)

1

B-l - Hochschultoschenbücher Die Taschenbücher der reinen Wissenschaft Anzug an: den: Geeamverzex'ebni:

MATHEMATIK Allgemeine Mathematik (293 *)

Determinanten und Matrizen

von A. C. Arrxlm M. A., D. .S'e., F. R. .S'. Prof. of Matbenvatie: in lbe Univereii_'y of Edinburgh 142 Seite».

Höhere Mathematik für Elektrotechniker |, ||

(111/117a, 118/118a)

von Dr. GEORG AUMANN, o. Prof. an der Tab». Hoebnbule München. I Etwa 160 Seiler: nn“! Abb. — II Etwa 180 Seiten rnit Abb.

Elementare Theorie der analytischen Funktionen einer oder mehrerer komplexen Verönderlichen

(HZ/11h)

von Dr. Hmm CARTAN, Profeumr & 14 FM!!! m'enm o'e Partie. 236 Seite» mil Abb.

Kombinatorik

(141 a)

von Dr. PETER Deunowsn, o. Prof. an der Univ. Tübingen

Einführung in die. Cauchy-Weierstraßsche Funktionentheorie

(“*)

von Dr. ALBXANDER Dmas, o. Prof. an der Freien Univ. Berlin. 114 Seiten.

Differentialrechnung ! und Abriß der linearen Algebra

'

(143/143a)

von Dr. PETER Dounnowsxu, o. Prof. in Köln, 271 Seite»

Gewöhnliche Diflerentialgleichungen

(19)

von Dr. FRIBDHELM Enwn‚ o.Praf. an der Te:bn. Hotbnbltle Aachen. 2., wrbe.mrle Anflug. 152 Seiten mit 11 Abb.

Differential- und Integralrechnung I. II

(SO/30a, 31/3111)

von Dr. anneue Enwe, o. Prof. an der Tab». Hoebnbnle Aoebon. I Elemente der Infinitcsimalrcchnung ' Diifcrcntialtcchnung. 364 Seiten mit 29 Abb. II Intcgralrechnung. 197 Seiten nn“! 50 Abb.

Matrizenrechnung

(103/103a)

von Dr. WOLFGANG GRÖBNBR, 0. Hof. an der Univ. Inn.rbruek. 276 Seiten.

Linea re Algebra

(132/132a )

von Dr. K. P. Gnommsven, o. Pro/Z ander Univ. Bielefeld, mgmrbeiiet von LOTHAR TSCHAMPBL, Freie Univ. Berlin. 238 Seiten.

Topologie

(836/836a)

von Dr. K. P. Gnommn, o. Prof. an der Freien Univ. Berlin, „gearbeitet von EBBRHARD Lama, Akad. Rat an der Freien Univ. Berlin, und RUDOLF Runen-mm, Sindünra! an der FriIz-Karxen-Sebule‚ Berlin. 187 Seiten.

Einführung in die mathematische Statistik und ihre Anwendung (42/42e) von MARTIN times-:, 4. o.— Prof. an der Pädagogireben Hotbnbule Berlin. 258 Seite».

Lineare und multilineare Algebra

(113/173a')

von Dr. HARALD Homm, o. Prof. an: Maibein. In.rlilut der Univ. Fribourg. Etwa 240 Seite».

Die Integration gewöhnlicher Diflerentiolgleichungen

(“*)

von E. L. INCB, D. St., Leaurer in Tetbnieal Mathematie: in tb: Uniwm't_y of Edülburgb. 130 him.

Tensorrechnung für Ingenieure

(""/"“)

von Dr. Hamann KLINGBBIL, Inm'tut ftir Praktinbe Motbmatik dor Techn. Hubnbule Dornniadl. 197 Seiten rnit Abb.