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German Pages 316 [346] Year 1978
HEINZ-RICHARD HALDER • WERNER HEISE
EINFÜHRUNG IN DIE KOMBINATORIK
EINFÜHRUNG IN DIE KOMBINATORIK MIT EINEM ANHANG ÜBER FORMALE POTENZEN
HEINZ-RICHARD HALDER WERNER HEISE
INSTITUT FÜR MATHEMATIK DER TECHNISCHEN UNIVERSITÄT MÜNCHEN
AKADEMIE-VERLAG • BERLIN 1977
Erschienen im Akademie-Verlag, 108 Berlin, Leipziger Straße 3-4 © CARL HANSER VERLAG MÜNCHEN WIEN 1977 Lizenznummer: 202 • 100/556/77 Bestellnummer: 762 435 5 (6422) • LSV 1025 Druck: Georg Wagner, Nördlingen Buchbinderische Verarbeitung: VEB Druckhaus „Maxim Gorki", DDR-74 Altenburg DDR 32,- M
V
Und dlti ein ¿iL*. allemal Ven wichtig¿ten von allen Spn.iic.hzn: Ei liegt di.fi kein Geheimnis In de.fi Zahl, Allein ein gfioßei In den Brücken. (J. W. v. GOETHE, Faust I, Paralipomena 32)
VORWORT Welche Stellung nimmt die Kombinatorik im Gebäude der Mathematik ein,und wie ist sie von anderen mathematischen Teilgebieten abzugrenzen? Zu dieser Frage gibt es eine Reihe kompetenter Aussagen. Wenn wir MEPHISTOPHELES folgen, gehört die Kombinatorik ebenso wie die Zahlentheorie nicht zu den geheimnisvollen mathematischen Disziplinen. P. A. MACMAHON siedelt die Kombinatorik auf dem Grenzgebiet zwischen Algebra und Zahlentheorie an. Nach E. NETTO bestehen ihre Grundlagen in den Operationen des Kombinierens und Permutierens. J. RIORDAN erweitert die Begriffsbestimmung von A. DE MORGAN, Kombinatorik beschäftige sich mit Reihen, deren Koeffizienten Werte von Anzahlfunktionen sind, durch die Bemerkung, daß auch das Lösen von Abzählproblemen durch erzeugende Funktionen zur Kombinatorik gehöre. Vorsichtig sagt J. RIORDAN schließlich "... anything enumerative is combinatorial". Für H. J. RYSER gibt es zwei Hauptprobleme in der Kombinatorik, die Frage nach der Existenz gewisser Konfigurationen und Anzahlprobleme. Nach W. OBERSCHELP befaßt sich die Kombinatorik mit der Aufgabe, einen Überblick über den Gesamtverlauf zahlentheoretischer Funktionen zu gewinnen. Die kombinatorisch interessanten Funktionen schränkt er durch die Bedingung ein, daß ein Berechnungsverfahren für sie bekannt sein müsse. G. C. ROTA sieht im Zentrum der Kombinatorik die Inversions-
VI
Vorwort
formein. Für ihn bilden die MOEBIUS-Funktionen das vereinheitlichende Prinzip der abzählenden Kombinatorik. Nach C. BERGE hat die Kombinatorik folgende Aspekte: Untersuchen bekannter und unbekannter Konfigurationen, Abzählen von Konfigurationen, Auflisten von Konfigurationen, Optimierungsprobleme. Den Gebrauch erzeugender Funktionen will C. BERGE auf ein Mindest^ maß beschränkt wissen. L. COMTET, dessen Meisterschaft in der kombinatorischen Interpretation von Zahlenfolgen M. P. SCHÜTZENBERGER zur Prägung des Begriffs der COMTETisierung von Potenzreihen veranlasste, gibt eine sehr weite Definition: Außer der Abzählung von Anordnungsmöglichkeiten verschiedener Objekte unter bestimmten Bedingungen gehören auch Existenz-, Abschätzungs- und Strukturierungsprobleme endlicher Mengen zur Kombinatorik. Eine ähnliche Auffassung vertritt P. DEMBOWSKI: "Kombinatorik ist die Theorie der endlichen Mengen." Für H. LÜNEBURG sind die vielen Beschreibungsversuche ein Beweis dafür, daß niemand so recht zu sagen wisse, was Kombinatorik sei. Wir gehen pragmatisch vor und erklären: Kombinatorik ist, was Kombinatoriker machen. Damit geben wir allen erwähnten Autoren recht
1
>. Dieser Begriffsbestimmung entsprechend
unternehmen wir nicht den Versuch, die Kombinatorik als Theorie im Sinne eines einheitlichen Kalküls darzustellen. Wir sehen die Begriffe und Sätze der Kombinatorik nicht als Teilaspekte eines integralen Prinzips. Ohne möglichen Entwicklungen vorzugreifen, erscheint es uns wenig sinnvoll, einen Zusammenhang etwa zwischen dem Satz von R. H. BRUCK und H. J. RYSER über die Existenz endlicher projektiver Ebenen und der Lösung der Rekursion für die FIBONACCI-Zahlen herzustellen. Bei der Organisation und Gliederung dieses Buches haben wir uns vielmehr von den verschiedenen kombinatorischen Problemen und Methoden leiten lassen. In der Einleitung stellen wir die grundlegenden Begriffe der Inzidenzstruktur und der erzeugenden Funktion vor. Für den rechnerischen Umgang mit den erzeugenden Funktionen findet 1>
insbesondere in den Punkten, in denen sie gegensätzlicher Auffassung sind.
VI I
Vorwort
sich im Anhang ein Abriß des Kalküls der formalen Potenzreihen. Die beiden ersten Kapitel behandeln die elementare Kombinatorik der Kombinationen und Permutationen. In Kapitel 3 wenden wir das Prinzip von Inklusion und Exklusion auf Permutationsprobleme an. Wir ziehen dabei diese einfache und natürliche Abzählmethode dem moderneren, in Kapitel 1 beschriebenen MOEBIUSschen Inversionskalkül vor. Die Anzahlbestimmung der Partitionen einer Menge in eine vorgeschriebene Anzahl von Klassen führt in Kapitel 4 zu den STIRLING-Zahlen 2. Art. Die Beträge der dazu inversen Zahlenfolge, die vorzeichenlosen STIRLING-Zahlen 1. Art werden in Kapitel 5 kombinatorisch als Anzahl gewisser Permutationen interpretiert. In diesem Zusammenhang führen wir zur späteren Verwendung für die PÖLYAsche Abzählungstheorie den Begriff des Zyklenzeigers einer Permutationsgruppe ein. Kapitel 6 beschäftigt sich mit den Partitionen natürlicher Zahlen. Hier zeigen wir, wie man mit kombinatorischen Methoden Identitäten zwischen formalen Potenzreihen einfacher als durch direkte Berechnung erhält. Unterwirft man zwei endliche Mengen
P
und
F
jeweils der P Wirkung einer Permutationsgruppe, so wird auf der Menge F aller Abbildungen von F nach P auf natürliche Weise eine Äquivalenzrelation induziert. Mit der von N. G. DE BRUIJN weiterentwickelten PÖLYAschen Abzählmethode bestimmen wir in Kapitel 7 die Anzahl der Äquivalenzklassen. Kapitel 8 behandelt endliche Graphen. In einer einführenden Auswahl von Problemen zählen wir unter anderem mit Hilfe der Ergebnisse aus Kapitel 7 die Wurzelbäume einer vorgeschriebenen Eckenanzahl. Kapitel 9 bringt mit den Sätzen von P. TURAN und F. P. RAMSEY die Lösung zweier graphentheoretischer Extremalproblerne. Kapitel lo hat die von P. HALL vor Ho Jahren begründete Theorie der Vertretersysteme zum Inhalt. Viele kombinatorische Probleme,
VIII
Vorwort
etwa über (0,1)-Matrizen, Graphen und lateinische Rechtecke lassen sich damit lösen. Das GALE-RYSER-Kriterium für die Existenz von Inzidenzstrukturen mit vorgegebenen Parametern wird mit einem Ergebnis von P. J. HIGGINS über disjunkte Teilvertretersysteme bewiesen. In Kapitel 11 stellen wir einige Fakten über lateinische Quadrate zusammen. Die Orthogonalitätsrelation lateinischer Quadrate ersetzen wir weitgehend durch den leicht modifizierten Begriff "paarweise verflochten sein". Für die Obersetzung von Ergebnissen über lateinische Quadrate in die Sprache der Permutationen oder der Gewebe ist diese Relation anschaulicher. In Kapitel 12 beschränken wir uns in der Stoffauswahl auf einige wesentliche Themen aus dem umfangreichen Gebiet der endlichen Geometrie, wie Existenzprobleme für projektive Ebenen, BENZ-Ebenen und STEINERsche Systeme. Kapitel 13 bringt eine einführende Auswahl kombinatorischer Probleme der Codierungstheorie. Auf die Theorie der zyklischen Codes, die mehr von algebraischen als von kombinatorischen Methoden bestimmt ist, gehen wir nicht ein. Dieses Buch ist aus einer zweisemestrigen Vorlesung des älteren der beiden Autoren an der Technischen Universität München 19741975 hervorgegangen. Der Hörerkreis bestand aus Mathematik- und Informatik-Studenten mittlerer und höherer Semester. Die Kombinatorik eignet sich hervorragend für die Behandlung in der Kollegstufe, da die meisten kombinatorischen Probleme entweder anwendungsorientiert und damit eo ipso interessant sind oder einen spielerischen, leicht verständlichen Charakter besitzen. Die Methoden zur Lösung der Probleme sind hingegen vielfältig und ihr Studium läßt in besonderem Maße die Querverbindungen zwischen den mathematischen Disziplinen Analysis, Zahlentheorie, lineare Algebra, Algebra und Geometrie erkennen. Mit einer Auswahl aus diesem Buch, die der Lehrer vor allem in Hinblick auf die Vorkenntnisse der Schüler treffen sollte, läßt sich ein Kurs in der Kollegstufe durchführen.
Vorwort
IX
Der Leser wird beim Durchblättern dieses Buches vielleicht Übungsaufgaben vermissen. Einige nicht weiter benutze Sätze und Formeln werden nicht bewiesen; dies nachzuholen sei dem Leser anempfohlen. Ansonsten legen wir ihm nahe, zur Kontrolle seines Verständnisses und zur Übung kürzere Beweise selbst durchzuführen. Mathematik kann nicht konsumiert, sie muß produziert werden; außerdem ist es häufig einfacher, selbst einen Beweis zu finden, als fremde Gedankengänge nachzuvollziehen. Wir danken dem Herausgeber der Reihe Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure, Herrn Professor Dr. J. HEINHOLD, sowie dem CARL HANSER Verlag für die gute Zusammenarbeit bei der Vorbereitung dieses Buches. Beim Korrekturlesen haben uns Frau U. HEISE, Fräulein C. FRANZ, B. KIRCHMEYER, 0. LORENZ sowie Herr G. ANDERER, R. DÜRRE, U. GSCHREI, Dr. H.iT. KROLL und H. KUNDE geholfen. Sie, verehrter Leser, bitten wir, uns von Ihnen entdeckte Fehler mitzuteilen. Last not least danken wir unseren Frauen Ulrike und Angelika für ihr Verständnis und ihre Hilfe, ohne die dieses Buch nie hätte enstehen können. Freising und Bichl, im Frühjahr 1976 Werner Richard Heise Heinz - Richard Halder
X
INHALTSVERZEICHNIS EINLEITUNG
DIRICHLETsches Taubenschlagprinzip Inzidenzstrukturen Erzeugende Funktionen
1 1 4
Rekursionen
5
ERSTER TEIL. ABZÄHLENDE KOMBINATORIK KAPITEL 1. KOMBINATIONEN
1.1
Binomialkoeffizienten
1.2 1.3 1.4
Multinomialkoeffizienten Auswahlen Inversionsformeln
KAPITEL 2. PERMUTATIONEN UND
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
13 14 18
PERMUTATIONSMENGEN
Permutationen und Anordnungen Permutationsdarstellungen abstrakter Gruppen . . . Gruppen gebrochener semilinearer Abbildungen . . . Die symmetrische und die alternierende Gruppe . . Permutationscharaktere
KAPITEL 3. DAS PRINZIP VON
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
8
24 27 28 29 32
INKLUSION UND EXKLUSION
Siebformeln Die EULERsche ip-Funktion Le problême des rencontres Le problème des ménages Turmpolynome Permanenten
35 37 37 45 47 50
KAPITEL 4. PARTITIONEN VON MENGEN
4.1
Die STIRLING-Zahlen 2. Art
56
4.2
Die BELLschen Exponentialzahlen
59
KAPITEL 5. ZYKLEN VON
5.1 5.2
PERMUTATIONEN
Die STIRLING-Zahlen 1. Art Zyklenzeiger von Permutationsgruppen
63 66
Inhaltsverzeichnis
XI
K A P I T E L 6. P A R T I T I O N E N N A T Ü R L I C H E R
ZAHLEN
6.1
Erzeugende Funktionen von Partitionen
73
6.2
FERRERS-Diagramme
75
6.3
Perfekte Partitionen
83
K A P I T E L 7. DIE P O L Y A S C H E
ABZÄHLUNGSMETHODE
7.1
Belegungen von Schachteln
87
7.2
Gewichtsfunktionen
90
7.3
D i e H a u p t s ä t z e der P O L Y A - T h e o r i e
7.4
Isomere des A l k o h o l s
K A P I T E L 8. ENDLICHE
9»+ 104
GRAPHEN
8.1
Bäume u n d W ä l d e r
110
8.2
Die CATALANschen Zahlen
115
8.3
Das K ö n i g s b e r g e r B r ü c k e n p r o b l e m
118
8.4
Planare Graphen
123
8.5
Inzidenzgraphen
130
ZWEITER TEIL,
EXISTENZPROBLEME
KAPITEL 9. ZWEI G R A P H E N T H E O R E T I S C H E
EXTREMALPROBLEME
9.1
E i n Satz v o n P. T U R A N
9.2
E i n Satz v o n F. P. RAMSEY
9.3
E i n k o m b i n a t o r i s c h e s P r o b l e m in d e r G e o m e t r i e
9.4
E i n e z a h l e n t h e o r e t i s c h e A n w e n d u n g des Satzes F. P. R A M S E Y
K A P I T E L 10.
133 135 . . 140 von 141
VERTRETERSYSTEME
10.1
Das H e i r a t s p r o b l e m
144
10.2
Gemeinsame Vertretersysteme
151
10.3
(0 ,1)-Matrizen
153
10.4
Disjunkte Teilvertretersysteme
158
10.5 D a s G A L E - R Y S E R - K r i t e r i u m K A P I T E L 11. L A T E I N I S C H E QUADRATE
160
11.1
Lateinische Rechtecke
166
11.2
Gewebe
170
11.3
O r t h o g o n a l e lateinische Q u a d r a t e
186
Inhaltsverzeiehnis
XII KAPITEL 12. ENDLICHE
GEOMETRIEN
12.1
Projektive Geometrie
194
12.2
Quadratische Mengen
212
12.3
BENZ-Ebenen
228
12.1+
Endliche hyperbolische Ebenen
235
12.5
STEINERsche Systeme
237
KAPITEL 13. CODES 13.1
Systematische Codes
250
13.2
HAMMING-Codes
260
13.3
Optimale C o d e s
266
ANHANG. Formale P o t e n z r e i h e n
271
Literatur
27 9
Symbolverzeichnis
283
Namenverzeichnis
289
Stichwortverzeichnis
292
1 EINLEITUNG
Wir stellen hier einige Grundbegriffe und Hilfsmittel bereit.
DIRICHLETSCHES TAUBENSCHLAGPRINZIP Dieses Buch gliedert sich in zwei Teile. Der erste Teil befaßt sich hauptsächlich mit Abzahlungen, der zweite mit Existenzproblemen, wobei inhaltlich die Grenze zwischen diesen beiden Problemkreisen fließend ist. Wir veranschaulichen diese Einteilung mit Hilfe des DIRICHLETsehen (oder
Taubenschlagprinzips
Schubfachprinzips):
Halten sich
v+1
Tauben in
v
Taubenschlägen auf, so gibt
es mindestens einen Taubenschlag, in dem sich wenigstens zwei Tauben befinden. Nach diesem Prinzip gibt es in diesem Buch mindestens zwei Seiten mit gleichvielen Druckfehlern. Dabei ist die Voraussetzung, daß dieses Buch mindestens zwei Seiten mehr enthält als maximal eine Seite an Druckfehlern aufweist, durch Abzählen nachzuprüfen. Das Taubenschlagprinzip garantiert nun die Existenz von zwei Seiten mit gleichvielen Druckfehlern ohne auf die betreffenden Seitenzahlen hinzuweisen.
INZIDENZSTRUKTUREN Es seien
P
und
8
zwei disjunkte Mengen und
binäre Relation. Die Elemente aus 8
Blöcke, Geraden,
Tripel
J=(P,B,I)
(p ,B)61 "p
J=(P,B,I)
heißen Punkte,
Kreise o.ä. und die aus
I
B",
pIB "B
eine die aus
Fahnen.
nennen wir eine Inzidenzstruktur.
schreiben wir
inzidiert mit
P
IcPxß
Das
Für
und sagen
"p
liegt auf
geht durch
p"
o.ä. . Ist
B" ,
eine endliche Inzidenzstruktur mit
P-iP-L >P2 > • • • »P v }
und
B={B 1 ,B2 ,. . . ,B b } ,
so heißt jede
1 EINLEITUNG
Wir stellen hier einige Grundbegriffe und Hilfsmittel bereit.
DIRICHLETSCHES TAUBENSCHLAGPRINZIP Dieses Buch gliedert sich in zwei Teile. Der erste Teil befaßt sich hauptsächlich mit Abzahlungen, der zweite mit Existenzproblemen, wobei inhaltlich die Grenze zwischen diesen beiden Problemkreisen fließend ist. Wir veranschaulichen diese Einteilung mit Hilfe des DIRICHLETsehen (oder
Taubenschlagprinzips
Schubfachprinzips):
Halten sich
v+1
Tauben in
v
Taubenschlägen auf, so gibt
es mindestens einen Taubenschlag, in dem sich wenigstens zwei Tauben befinden. Nach diesem Prinzip gibt es in diesem Buch mindestens zwei Seiten mit gleichvielen Druckfehlern. Dabei ist die Voraussetzung, daß dieses Buch mindestens zwei Seiten mehr enthält als maximal eine Seite an Druckfehlern aufweist, durch Abzählen nachzuprüfen. Das Taubenschlagprinzip garantiert nun die Existenz von zwei Seiten mit gleichvielen Druckfehlern ohne auf die betreffenden Seitenzahlen hinzuweisen.
INZIDENZSTRUKTUREN Es seien
P
und
8
zwei disjunkte Mengen und
binäre Relation. Die Elemente aus 8
Blöcke, Geraden,
Tripel
J=(P,B,I)
(p ,B)61 "p
J=(P,B,I)
heißen Punkte,
Kreise o.ä. und die aus
I
B",
pIB "B
eine die aus
Fahnen.
nennen wir eine Inzidenzstruktur.
schreiben wir
inzidiert mit
P
IcPxß
Das
Für
und sagen
"p
liegt auf
geht durch
p"
o.ä. . Ist
B" ,
eine endliche Inzidenzstruktur mit
P-iP-L >P2 > • • • »P v }
und
B={B 1 ,B2 ,. . . ,B b } ,
so heißt jede
Einleitung
2
bxv-Matrix
(a. .) 1 »3 >3
mit
.. . = i1 für
^
Lo
eine Inzidenzmatrix
p.IB. 3 i
sonst
von
J.
Die Inzidenzmatrix einer
endlichen Inzidenzstruktur ist bis auf Zeilen- und Spaltenvertauschungen, die sich durch Umindizieren der Blöcke bzw. Punkte ergeben, eindeutig bestimmt. Umgekehrt ist jede (0,1)-Matrix, Werte
0
d.i. eine Matrix, deren Koeffizienten nur die
und
1
annehmen, eine Inzidenzmatrix einer
eindeutig bestimmten Inzidenzstruktur. Zu jeder Inzidenzstruktur J:=(B,P,I),
J=(P,B,I)
wobei die Relation
ist das Tripel
IcBxP
durch
BIp ::
|B| =: b
|B| =: k ß
^ r p£P
J=(P,B,I)
1
sind folgende Buchstaben gebräuchlich
= |I|
J=(P,B,I)
gilt
=21*3 M
Im Fall einer taktischen Konfiguration
J=(P,B,I),
das ist
eine endliche Inzidenzstruktur mit verschiedene Punkte
p
und
q
r =r =:r für je zwei P q und kg=k^=:k für je zwei
verschiedene Blöcke
B
und
C
ergibt sich aus der oben
angeführten Gleichung die Parametergleichung
für taktische
Konfigurationen: vr = bk
1 > Diese Buchstaben stammen von den Begriffen der Statistik: Varietät, Block, Replikation
4
Einleitung
ERZEUGENDE
FUNKTIONEN
Es sei
(a.)-, eine Folge Zahlen und ( f. ) . , kl 1 ltN o tkomplexer x o o eine summierbare Folge von Polynomen aus C[z] mit grad(f^)=i für alle
i€N . o i=o
Wir nennen die formale Potenzreihe a i f i ( z ) £ C[[z]]
eine erzeugende Funktion für die Zahlen sprechen wir auch von der gewöhnliehen, von der HURWITZschen
a^. für
oder exponentiellen
Für
f^(z)=z 1
zi f^(z)=-ry
auch
erzeugenden Funktion.
In der Kombinatorik wird der im Anhang dargestellte Kalkül der formalen Potenzreihen zur Untersuchung von Zahlenfolgen ^ a i^i€N
benutzt. Im allgemeinen wird dabei vom Koeffizieno tenvergleich Gebrauch gemacht, d.h. von dem Umstand, daß zwei formale Potenzreihen
^ a.f.(z) und ]> b.f.(z) genau i€N~ 1 1 ieFT 1 1 o o dann identisch sind, wenn a.=b. für alle i€N gilt. Da ' 1 1 o ö wir im wesentlichen Folgen ganzer Zahlen betrachten, könnten wir statt etwa
Q
C
jeden anderen Körper der Charakteristik
oder
R
wi
wählen.
In entsprechender Weise benutzen wir für (a
0,
n-fach-Folgen
i 1 ,i 2 ,...,i n ) i 1 ,i 2 ,...,i n £N o
komplexer Zahlen den Begriff der erzeugenden Funktion, das sind in diesem Zusammenhang formale Potenzreihen 00
> —• . xt,±2,...,in=o aus
a. . . f. (Z,)f. (z )...f. (z ) . i„,i„,...,i i„ 1 i„ 20 i n 1' 2' n 1 2 n
C [ [ 7.. , z n , . . . , z ]],
(f. ). ... von Polynomen 1 k 1k€No mierbar ist.
wobei für alle
f- €C[z, ] x k k
mit
k€Z
die Folge
grad(f. ) = i v 1 K k
sum-
Einleitung
5
REKURSIONEN
Die in der abzählenden Kombinatorik auftretenden Zahlenfolgen ergeben sich häufig durch Rekursions formein, das sind solche Beziehungen zwischen den Folgengliedern, die aus gegebenen Anfangsbedingungen die Berechnung jedes Folgenwerts ermöglichen. Präzise wird der Begriff der Rekursion in der logischen Theorie der berechenbaren Funktionen definiert. Wir begnügen uns hier mit zwei charakteristischen Beispielen: Wir wollen die Anzahl mit
a(v)
der Teilmengen einer Menge
P
v£N
Elementen berechnen. Zuerst stellen wir a(0)=l o fest. Ist nun v>l und p€P gegeben, so ordnen wir jeder der
T
a(v-l) und
Teilmengen
TU{p}
von
P
T
von
P\{p}
die beiden Teilmengen
zu. Damit erhält man
a(v) = 2•a(v-1). Mit Hilfe dieser Rekursionsformel berechnen wir von der Anfangsbedingung
a(0)=l
ausgehend die ersten Werte der
Folge (a(v)) v € N
= (1,2,4,8,16,32,64,128,...). o
Die Funktion
{° r N
> N -> N v) = 2 v
L v > a( liefert uns, wie man mit vollständiger Induktion sieht, rekursionsfrei die Mächtigkeit von
P(P).
Nicht immer erhält man die Lösung einer Rekursion,
d.i. eine
rekursionsfreie Darstellung einer zunächst rekursiv definierten Folge, so einfach. So wird beispielsweise die Rekursion F(n+2) = F(n+1) + F(n) mit der Anfangsbedingung F (
„,
=
F(0)=F(1)=1
_L((L±^)N+1
•5
2
-
durch
(L^I)N+1) 2
gelöst. Diese Rekursion geht auf LEONARDO DI PISA, genannt
Einleitung
6
FIBONACCI, zurück, der anno 12o2 in seinem Buch LIBER ABACI folgende Aufgabe stellte: Das Weibchen eines jeden Kaninchenpaares gebiert von Vollendung des zweiten Lebensmonats an allmonatlich ein neues Kaninchenpaar. Man berechne die Anzahl F(n) der Kaninchenpaare im Monat n, wenn im Monat 0 ein neugeborenes Kaninchenpaar vorhanden ist. Offensichtlich genügen die Zahlen F(n) der oben angegebenen Rekursion. Zur Ermittlung ihrer Lösung bedienen wir uns der erzeugenden Funktion 00
®(z) = X I F(n)zn
n=o für die Zahlen F(n). Wegen der Rekursionsformel und der Anfangsbedingung gilt CO $(z) = 1 + z + F(n+2)z n+2 n=o OO QO = 1 + z + X I F(n+l)z n+2 + X I F(n)z n+2 n=o n=o oo oo = 1 + z(l + X " F(n)zn) + z2-T~ F(n)zn n=l n=o 2 = 1 + z$(z) + z $(z). Damit erhält man 2 -1 $(z) = (1-z-z ) . Für diesen Ausdruck führen wir die Partialbruchzerlegung durch und es ergibt sich $(Z)
mit a^ =
=
1
1 + /5 y~
a
l
und
a
" ,
2
a
2
^
=
1-/5 —2~~ -
Die formale Reihenentwicklung ergibt nun .. — 1, n+1 •
Satz.
Für
1X^+2X2+...+vAv = v . > Z^
induziert auf
P
die
Offensichtlich gilt:
v=k 1 +k 2 +...+k b
mit
k 1 ,k 2 ,...,k b €N Q
ist
*, 1 ) := jkj j . . . k ^ ! k j ! .•. k^! =
die Anzahl aller Abbildungen Die Zahlen Für
b=2
(
v v-k1 v-k^-k-, k^ k 1) ( k 2) ( k 3 ) - " < k >b f:Z y
> Zb
mit
|f
(i)|=ki-
, v , ) heißen Multinomialkoeffizienten. 1' 2 '" " " b erhalten wir die Binomialkoeffizienten (,
(
v v v_k v k^,k 2 ) = ( k^ ) ( k 2l ) = (k^ ).
Die Multinomialkoeffizienten lassen sich als die Anzahlen der Wörter der Länge
v
deuten, die genau
k^-mal den Buchstaben
1.2
13
Multinomialkoeffizienten
Damit folgt Y(z) = X(z)'exp(-z) ^ x k.(-l) v " k z v v=o t-— k=o k! (v-k)! oo y t-— 1 ^ — , „ .v-k,v. v=o
v
k=o
Durch Koeffizientenvergleich zwischen dieser Darstellung von Y(z)
mit der ursprünglichen folgt die Behauptung.
1.2
MULTINOMIALKOEFFIZIENTEN
Es sei
P
eine
v-Menge und
B
die Menge der Äquivalenz-
klassen einer Äquivalenzrelation auf
P.
Wir nennen
Partition von
P
und
eine
b-Partition, falls
enthält dabei
B
für
i£ z v
jeweils
zeichne das Symbol B.
•
A^
(1X^+2^2+...+vXv)
B
|B|=b
eine gilt;
i-Mengen, so kenn-
den "Typ" der Partition
Demnach gilt \ 1 +X 2 +...+X v = b
Jede surjektive Abbildung
f: P
-1
b-Partition • (1.16)
und
{f (i); i€Zb>•
Satz.
Für
1X^+2X2+...+vAv = v . > Z^
induziert auf
P
die
Offensichtlich gilt:
v=k 1 +k 2 +...+k b
mit
k 1 ,k 2 ,...,k b €N Q
ist
*, 1 ) := jkj j . . . k ^ ! k j ! .•. k^! =
die Anzahl aller Abbildungen Die Zahlen Für
b=2
(
v v-k1 v-k^-k-, k^ k 1) ( k 2) ( k 3 ) - " < k >b f:Z y
> Zb
mit
|f
(i)|=ki-
, v , ) heißen Multinomialkoeffizienten. 1' 2 '" " " b erhalten wir die Binomialkoeffizienten (,
(
v v v_k v k^,k 2 ) = ( k^ ) ( k 2l ) = (k^ ).
Die Multinomialkoeffizienten lassen sich als die Anzahlen der Wörter der Länge
v
deuten, die genau
k^-mal den Buchstaben
1. Kombinationen cu
enthalten, wobei
cu
sich beispielsweise die "OUAGADOUGOU" zu Setzen wir
b=v
Satz.
auf sich.
v=ll
277.2oo und
Buchstaben des Wortes
verschiedenen Wörtern umstellen
k.=l i
ergibt sich: • (1.17)
ein Alphabet durchläuft. So lassen
für alle
Es gibt genau
v!
i€Z, D
2)
.
in (1.16), so '
Bijektionen einer v-Menge
•
Aus (1.16) folgt ebenso: • (1.18)
Satz.
Für jede v-Menge
l! X l 2! X 2 ...v! X v .\ 1 !X 2 !...X v ! (lXi+2X 2 +...+vX v ).
P
gibt es genau
Partitionen vom Typ
•
Als Verallgemeinerung von (1.5) gilt der • (1.19)
Multinomialsatz.
Für je
eines kommutativen Rings und
V
€
N
b
x 1 ,x 2 ,...,x b
gilt
0
< i *i> V = > aTl 1 k,+k„ + .. .+k. =v 1 2 b
Elemente
((
kK
kK
1»
V
kK > l^i" x i 1i ) b i=l
2'""'
Beweis.
Wir indizieren zunächst die v Faktoren f. des 3 b v v Produkts ( x^) . Bei der Ausmultiplikation von I I f. • 1 =1 k, k, 5=1 : erhalten wir den Term x^ "Xj •...•x^ so oft, wie es möglich ist, die Menge
{f^,fg,...,f }
vermöge einer Abbildung
OUAGADOUGOU ist die Hauptstadt von Obervolta.
1. Kombinationen cu
enthalten, wobei
cu
sich beispielsweise die "OUAGADOUGOU" zu Setzen wir
b=v
Satz.
auf sich.
v=ll
277.2oo und
Buchstaben des Wortes
verschiedenen Wörtern umstellen
k.=l i
ergibt sich: • (1.17)
ein Alphabet durchläuft. So lassen
für alle
Es gibt genau
v!
i€Z, D
2)
.
in (1.16), so '
Bijektionen einer v-Menge
•
Aus (1.16) folgt ebenso: • (1.18)
Satz.
Für jede v-Menge
l! X l 2! X 2 ...v! X v .\ 1 !X 2 !...X v ! (lXi+2X 2 +...+vX v ).
P
gibt es genau
Partitionen vom Typ
•
Als Verallgemeinerung von (1.5) gilt der • (1.19)
Multinomialsatz.
Für je
eines kommutativen Rings und
V
€
N
b
x 1 ,x 2 ,...,x b
gilt
0
< i *i> V = > aTl 1 k,+k„ + .. .+k. =v 1 2 b
Elemente
((
kK
kK
1»
V
kK > l^i" x i 1i ) b i=l
2'""'
Beweis.
Wir indizieren zunächst die v Faktoren f. des 3 b v v Produkts ( x^) . Bei der Ausmultiplikation von I I f. • 1 =1 k, k, 5=1 : erhalten wir den Term x^ "Xj •...•x^ so oft, wie es möglich ist, die Menge
{f^,fg,...,f }
vermöge einer Abbildung
OUAGADOUGOU ist die Hauptstadt von Obervolta.
1. 3
15
Auswahlen
Den Ziehungen von
k
Objekten mit Zurücklegen entsprechen die
"k-Auswahlen"oder (veraltet) die "k-Kombinationen mit Wiederholungen" . Formal definieren wir eine k-Auswahl einer Menge als eine Abbildung
w
von
P
nach
N
mit
> w(p) = k. P€P
° w(p)
gibt also an, wie oft
p
P
in der Auswahl
w
vorkommt.
Die Anzahl der k-Auswahlen einer v-Menge werden wir aus dem nachfolgenden Satz als Spezialfall erhalten. (1.20)
Satz.
Es seien
aller k-Tupel i..-i.>n J + -L D
v,k€N
(i^,i2
für alle
i^)
und
mit Komponenten
Es sei
K
Die Anzahl
aus
für
die Menge aller k-Tupel
(i^,i 2 ,...ji^)
ZV und i. für alle I] .-i.>n 1 bilden wir vermöge der Zuordnung
K
(i 1 5 i 2 ,...,i k )
>
Mit (1.1) folgt die Behauptung.
der k-Tupel
(1.21)
Zlassen
Satz.
Für
v,k€N
c r i i _!(v>k) =
die Anzahl aller n€N Q
keiten an,
sich bijektiv auf die Menge d.h. mit
abbilden. Aus (1.2o) folgt daher für
f
Für
^ v -(k-l)n
•
(i^ ,i2 , . . . m i t
ij +1 ~ij>-l
j£Z,K— .. ±
{i 1 ,i 2 -n,...,ij-(j-l)n,...,i k -(k-l)n
bijektiv auf die Menge aller k-Teilmengen von
Die k-Auswahlen von
gibt k
und
v >(k-l)n.
mit Komponenten aus Die Menge
Zv
j£Z, . ist K-i
f (v,k) := ( v - ( k - 1 ) n ) n K Beweis.
n6NU{0,-l}.
(
n=-l:
ist
,v+k-ls > k
k-Auswahlen einer f n (v,k)
v-Menge.
o
die Anzahl der verschiedenen Möglich
Pfähle eines Zauns mit insgesamt
v
Pfählen so
auszuwählen und durch neue zu ersetzen, daß zwischen zwei erneuerten Pfählen mindestens
n
alte Pfähle stehen. (1.22)
behandelt diesen Fall. (1.23) gibt die entsprechende Anzahl im Falle eines "kreisförmigen" Zauns an.
16
1.
• (1.22) der
Satz.
Es seien
k-Teilmengen
K
schiedene Zahlen
v,k,n€N
von
r,s€K
mit
o Z m i t
Kombinationen
v>(k-l)n.
|r-s|>n
Die Anzahl
für je zwei ver-
ist
V
f n (v,k) = ( " * " 1 ) n ) . Beweis.
(
Wir ordnen die Elemente einer
Größe nach und betrachten nun die Behauptung. • (1.23)
Satz.
k-Teilmengen
als
k-Teilmenge
K
der
k-Tupel. Mit (1.2o) folgt
•
Es seien K
K
von
Zv
v,k,n€N mit v>kn. Die Anzahl der o mit v-n>|r-s|>n für je zwei ver-
schiedene Zahlen r,s£K ist i i\ v ,v-knN := ®n ' ^kH( k } • Beweis. mit
Es sei
K
n
)
1. 3
17
Auswahlen
(1.24)
Satz.
Es sei
^v+k-1^ k k£No
v€N
gegeben. Für die Folge
der Auswahlzahlen ist
¿ Z C v + ^ - 1 ) z k = (l-z)"v k=o die gewöhnliche erzeugende Funktion. Beweis.
Es ist (l-z)"V = ( ¿ 1 z V i=o
.
Beim Ausmultiplizieren der rechten Seite dieser Identität zk
erhält man den Term möglich ist, aus den z
w(1)
,zw(2),...,zw(v)
00
Faktoren mit
(v+£
nach (1.21) aber > w(i)=k. i=o
so oft, wie es auf verschiedene Weisen
v
)
>
z
¿ 1 w(i)=k I n Abbildungen
Summanden auszuwählen. Es gibt
w: Z y
> Nq
mit
•
Definieren wir für
v€N
und
k€N Q
( V>V ( 7k' ) := v( " l') k ( Vk+ ^ 1 ) ~ ' = k!
so gelten (1.6), (1.10) und (1.24) für alle • (1.25)
Satz.
Es seien
m,n,v€N o
k £ k=o < - i > < i > 0
Beweis.
mit
v€Z.
n-
Es gilt
( n " Y + i ) z i = (l-z) v " n _ 1 i n
1
nach (1.24)
= (l-z)- - (l-z)
]=o i=o
^n+j-, j , ( J . J )z J (
k+3=i
v
k=o
, k. ( - D < k )z >
-1
¿ ( ¿ z (-i)k(^)(ni^k))zi • x=o k=o
nach (1.24) und (1.5)
18
1.
Kombinationen
Durch Koeffizientenvergleich erhält man ( n + i-v, =
(.D^^nn-k^ k
kT5
Mit
1,4
F
m:=n+i
folgt die Behauptung.
•
INVERSIONSFORMELN
sei die Menge aller Doppelfolgen
f=(f , ) , c komplexer V *K V «KtN_O Jede Folge f£F läßt sich als &
Zahlen mit
f , =0 für v k := 0 für g ' f -1 g k,k • k,k
v]c£N
Paar. Satz.
= > k=o
Inversions-
k
, < (-l) " (J) ) y f]c€N
ist
ein
Mit ¿ ~ iTk
( - l ) i _ k ( Y ) (f) = 6 1
k
v
erhalten wir eine Bestätigung von
. 'k
(1.11).
Der Nutzen der allgemeinen Inversionsformel
(1.27) l i e g t
i h r e r B e d e u t u n g f ü r das A u f f i n d e n k o m b i n a t o r i s c h e r
in
Identitäten.
So k a n n d u r c h e i n e e i n f a c h e S u b s t i t u t i o n e i n e m i n v e r s e n
Paar
e i n e neue G e s t a l t g e g e b e n w e r d e n . E r s e t z e n w i r
beispielsweise
m
((-1) y k ) k e N
(1.27) d i e F o l g e n
(yk)k€N
k
jeweils durch
o so e r h a l t e n w i r a u s d e m i n v e r s e n P a a r ^v.k^.kEN ' ' o das inverse Paar ((
v ,k£N
-1)kfv,k}v,k6N '
'
A n g e w a n d t auf das inverse
o
>
o
• ^-1>VSv,k)v,k€N o
* o
Paar
((7)) . v - k ,(v k. ). ) V j k £ N o k v , ,k € N o , ,, ((-1) ergibt dies das inverse Paar ((
-1)1C(i))v,k6N0
•
«""^»v.kCN,,
i n v o l u t o r i s c h e r D o p p e l f o l g e n aus S e t z e n w i r i n (1.27) y J
speziell
= (m-k) k n
so e r g i b t s i c h v e r m ö g e Paar mit
F.
mit
0 < n < m
(1.27) u n d
für alle
k£N
(1.25) aus d i e s e m
, o'
inversen
1. Kombinationen
22 (1.30)
(m v) = n f-— k=o
Satz.
K
für
m-n
0 ip(a,x)i|j(x,b) cpijj (a, b) := > a .
2,1
PERMUTATIONEN
UND ANORDNUNGEN
Die Bijektionen einer v-Menge von
P
2)
. Die Menge
Sp
P
auf sich heißen
aller Permutationen von
bezüglich der Hintereinanderausführung Gruppe, die symmetrische auch mit
Gruppe von
P.
Permutationen P
bildet
tpijj(x): =(p(i(i(x)) Für
eine
wird diese
S
bezeichnet. Wir kennzeichnen Permutationen durch v ihre Wertetabelle: X
M. Es gilt also |S-|=1=0! . Auf die trivialen Ausnahmefälle, die sich aus der Einbeziehung der leeren Menge ergeben, gehen wir meist nicht ein.
k
2.1
Permutationen
und Anordnungen
heißt dabei Länge des Zyklus
25 Jede Permutation
y€Sp
läßt
sich bis auf die Reihenfolge eindeutig als Produkt von solchen Zyklen schreiben, deren mindestens 2-elementige Bahnen paarweise disjunkt sind. Wir sagen, eine Permutation zerfalle
in
b
tion von
P
Zyklen, wenn die Bahnen von
bilden. Unter dem Zykeltyp
k>l
y
y€Sp eine b-Parti-
einer Permutation
verstehen wir den Typ der Partition von Bahnen von
y
P,
y€Sp
die durch die
gegeben ist. Für einen Zyklus
£6Sp
der Länge
verwenden wir auch die gegenüber der Wertetabelle kürzere
Schreibweise ? = (x ?(x) ? 2 ( x ) ... ? k _ 1 ( x ) ) , wobei
x
aus der k-elementigen Bahn von
wählt man für
x
5
sei. Für
P=zv
i.a. die kleinste Ziffer der k-elementigen
Bahn. Die Identität ist der einzige Zyklus der Länge 1; sie kann durch das Symbol Zyklenschreibweise
()
gekennzeichnet werden. Unter der
verstehen wir die Darstellung einer Permu-
tation als Produkt von solchen Zyklen, deren mindestens 2-elementige Bahnen paarweise disjunkt sind. Beispielsweise stellt sich die Permutation . 1 2 3 4 S 6 7 8 4 2 7 8 6 3 9
9. 5;
in der Zyklenschreibweise als (2i+ 7 3) ( 5 8 9) dar. Zyklen der Länge • (2.1)
Satz.
2
heißen
Jeder Zyklus
Transpositionen. P2 ••• P-^)
d e r Länge
k
läßt sich als Produkt 5 = < P 2 P s ^ - ' ^ k - l von
k-1
Da für
Transpositionen darstellen. v>l
p
k) •
die Identität das Quadrat einer Transposition ist
und sich jede Transposition
(i j)£S v
mit
iP2 > • • • >PV) und
und
Gruppe
(»6 die Gruppe isomorph. Für k=5 ist T isomorph.
1 2
Für
k=H
ist
r
T zu zu zu M^
und isomorph. Dabei werden mit 11 Ordnung M 12 die von E. MATHIEU 1 861 entdeckten Gruppen der 792o bzw. 95o4o bezeichnet. Diese Permutationsgruppen haben Sg,
Ag
oder
M
den Grad
11
bzw.
12.
2,5
•
PERMUTATIONSCHARAKTERE
Im folgenden sei
P
eine Menge,
symmetrischen Gruppe von von
P
und
B
eine Untergruppe der
die Menge der Bahnen
r.
• (2.13)
Satz.
Für je zwei Elemente
sind die Stabilisatoren Beweis. ein
T x(
2
44
3.
Tabelle 4.
Das Prinzip von Inklusion und
Die Anzahlen
D(v,k)
Exklusion
der fixpunktfreien Permuta-
tionen in einer unitären scharf k-fach transitiven Permutationsmenge vom Grad 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 0 0 0 0 0 0 0 0
• (3.17)
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 2 2 2 0 0 0 0 0
5
6
7
8
v. 9
lo
12
11
0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 5 6 7 8 9 lo 11 3 4 5 6 7 8 9 lo 11 9 24 5o 9o 147 224 324 6o5 4 5o 9 44 13o 3oo 595 lo6 4 2 7 6o 4125 1764 0 44 265 9 3o 2485 56oo 11214 2o58o 3531o 0 0 265 1854 7413 22232 55566 12 2 2 2o 244398 0 0 0 1854 14833 66752 222516 61194o 1468698 0 0 0 0 14833 133496 667476 24474oo 734217o
Satz.
Es sei
P
eine
v-Menge. Für
n r,z , T(z,S\F) = > s.z C JC , JC co k=o k=o k und T(z,S) = > t, z . Wir plazieren k>l sich gegenseitig k=o nicht angreifende Türme auf S. Dies kann auf Weisen unter Benutzung des Feldes Benutzung des Feldes
F
F
und damit die Behauptung. • (3.23) länge
Satz. v
und auf
s^
Weisen ohne
geschehen. Folglich gilt
"t]
3.6
Permanenten
Im Fall • (3.3o)
k=v
53
ergibt sich damit:
Satz.
Für eine v-reihige quadratische Matrix
per(A) =
Es sei nun
R:=Z
v-1
und
für alle
(-l) 1 S(i).
A
gilt
•
A=(a. .) die kxv-Matrix mit i,: Wegen (2.3) gilt dann
a. .=1 i,:
per (A) = > 1 = (JJ)k! = 1 die Permanente von A zählt nun die Permutationen cp6S mit v a. /-s=l für alle i€Z . Deuten wir A als verallgemeiner& i,3£Z
v
nach der
untersten Zeile, so erhalten wir per(D v ) = (v-l)per(E v _ 1 ). Aus diesen beiden Ausdrücken folgen die Rekursionsformeln p e r ( D v + 1 ) = v(per(D v _ 1 ) + per(D v )) p e r ( E v + 1 ) = v-per(E v ) + (v-1)•per(E w - 1 )
3.6
55
Permanenten
und damit wiederum (3.13): D(v+1) = v(D(v-l) + D(v)). Wir beschließen dieses Kapitel mit einer wahrscheinlichkeitstheoretischen Interpretation der Permanentenfunktion: Im Saloon von Cheyenne in Wyoming stehen
v
Cowboys, die alle
auf ein Signal hin einen der anwesenden Cowboys (sich selbst nicht ausgenommen) erschießen. Dabei soll nicht ausgeschlossen sein, daß einige Cowboys durchsiebt, d.h. mehrfach erschossen werden. Bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit, daß der Cowboy i
den Cowboy
j
erledigt, mit
a. .,
so gibt
per((a. .))
die Wahrscheinlichkeit an, daß kein Cowboy die Ballerei überlebt. In dieser Western-Geschichte ist Matrix, d.h. für alle
i€Z
gilt
(a. .) 1 )3
eine
stoahastiaohe
v
(denn jeder Cowboy erschießt genau einen Cowboy) und a. . > 0 1,3
für alle
i,j€Z . v
Stochastische Matrizen spielen in der Wahrscheinlichkeitstheorie im Zusammenhang mit MARKOFFschen Ketten eine bedeutende Rolle.
56 KAPITEL
4.1
PARTITIONEN VON MENGEN
DIE STIRLING-ZAHLEN 2, ART
Es sei und
P
eine v-Menge. Mit
S(v,k)
bezeichnen wir für
k£N
die Anzahl aller k-Partitionen von P, o < Anzahl der Äquivalenzrelationen auf P mit genau valenzklassen. Wir setzen Die Zahlen
S(v,k) kV =
(4.1) Beweis.
Für
S(0,0):=1
und
, k (.)i!S(v,i) = 3~~ (k).S(v,i) 4 l 4 i 1=0 1=0 kv
ist
k
Äquifür
k>l
2. Art.
k
v>l
also die
S(0,k):=0
heißen STIRLING-Zahlen
vEN
für
die Anzahl aller Abbildungen
v,k£N
O
tp
von
P nach Z, . Es sei 0 X^ »X2 j...j Setzen wir • (5.16)
z^:=l
h(S r ;X 1 ,X 2 ,...,X v ) = v! . i-n (5.15), so folgt also
für alle
ZCSpjl ,1,. . . ,1) = 1 .
•
Wir berechnen nun für weitere Permutationsgruppen den Zyklenzeiger . • (5.17)
Satz.
Ist
sowie
e£{0,l},
P
eine v-Menge mit
v=m+e
und
m€2Z
so ist
Z(A p ) = Z(A p }z 1 ,z 2 > ...,z v ) = > X 1 +2X 2 +...+vX v =v
(!+(-!)
X 0 +X h +...+X 2
4
m
v X. _1 X. ) -1 T (X. ! - i 1 ) -Z. 1 1 1 i=l
der Zyklenzeiger der alternierenden Gruppe Beweis.
Die Gruppe
tionen von
Sp.
(1X^+2X2+...+vX v ) X2+X^+...+X m
Ap
besteht aus den
Eine Permutation
y£Sp
Ap. 7p-
ist genau dann ungerade, wenn die Anzahl
ihrer Zyklen gerader Länge ungerade ist, wenn
alSO
l+(-l)
2W
" "
+
\ mn
= 0
gilt. Aus (5.15) folgt daher die Behauptung. Nun sei
G
der Ordnung
v
und
F \ i = TTw(fU (x))) x€P x€P
wegen der Kommutativivon R
t ät
w((p(f(TT_1(x))))
nach (7.14)
= I | w(ipfTT_1(x)) x€P = ~ wCtpflT-1 ) . Nicht jede Gewichtsfunktion
• W: F
P
> R
gemäß (7.15) von einer Gewichtsfunktion $
w: F
induziert sein. Operiert beispielsweise
tiv, so ist jede Gewichtsfunktion
$
> R auf
muß
bezüglich F
transi-
bezüglich $ und damit auch jede induzierte Gewichtsfunktion ~ w: F P > R bezüglich $ P W: F > R,
w: F
II $
bezüglich
> R
konstant. Dahingegen ist die Abbildung die mjektiven Funktionen den Wert
injektiven den Wert
0
1
und nicht-
zuordnet, im Falle v>k>2 eine nichtP . II konstante Gewichtsfunktion von F bezüglich $ .
92
Die PÖLYAsehe
7.
Abzahlungsmethode
Auf der Menge der Schemata ist für jede Gewichtsfunktion P . n W: F > R bezüglich i> durch (7.16)
W([f]) := W(f)
eine Abbildung mit Werten aus W([f]) stabens
R
das Gewicht des Sahemas W
wohldefiniert. Wir nennen [f].
(Die Benutzung des Buch
in den beiden Bedeutungen
W(f)
und
W([f])
gibt
zu keinen Mißverständnissen Anlaß.) (7.17)
Satz.
lich
Ist
w: F
> R
eine Gewichtsfunktion bezüg-
so gilt w(f) = ( 2 Z f€F p
Beweis.
w(y)) v .
y£F
Definitionsgemäß gilt w(f) = ^ T T w(f(x)). ^ f€F P f£F P x € P
v
Dies aber ist gerade die Summe über die Produkte wobei
(y 1 ,y 2 ,... ,yv)
I I w(y.), 1 i=l alle v-Tupel von Figuren aus F durch-
läuft, also die ausmultiplizierte rechte Seite der zu beweisen den Identität. (7.18) und
Satz.
• Es sei
{P 1 ,? 2 ,...,P r }
P
T:={f€F ; |f(Pi)|=l
für alle
figurationen, die auf den Mengen für jede Gewichtsfunktion
eine r-Partition von
i€Zr> P^
w: F
P
die Menge aller Kon
konstant sind. Dann gilt
> R
bezüglich
$
w(f) = T T w(y) l ? i l • f€T i=l y£F Beweis.
Wählen wir aus jeder Menge
P^
ein Element
erhält man 2 Z w(f) = 2 Z T T w(f(x)) f€T f£T x£P r = 2 Z 1 I 1 1 w(f(x)) f6T i=l xeP i =
r IP.I T T w(f(x.))1 11 f£T i=l
x^,
so
7.2
Gewichtsfunktionen
93 _SL IP | I w(y.)' 1 i=l alle r-Tupel von Figuren aus F durch-
Dies aber ist gerade die Summe über alle Produkte wobei
(y 1 ,y 2 J•••>y r )
läuft, also die ausmultiplizierte rechte Seite der zu beweisen den Identität.
• P
(7.19)
Satz.
Es sei
bezüglich
W: F
> R
eine Gewichtsfunktion
Dann berechnet sich die Summe der Gewichte
aller Schemata als 2 ~ w ( [ f ] ) = |nl"1l$r1 tTT .en ipf=flr
die Menge aller Konfigura
haben.
Nach der Definition (7.14) einer Gewichtsfunktion ist für jede Permutation
(7r,cp)£i>
die auf
T
restringierte Abbildung
res^ir ,cp) - 1eine Permutation von T, denn mit f€T gilt -1 W(f)=W(tpfir ) und somit (pfir = (ir ,(p) (f) £T . Diese Restriktions abbildung
res„:
ist ihr Bild Kern
> S„ ist ein Homomorphismus und daher n T:=res T ($ ) eine Untergruppe von S T und ihr
K: ={ (ir ,; 1 + z ,1,1, . . . ,1) z =n 0 nur aus der Identität, so ergibt die Substi-
im Polynom
7.3
99
Die Hauptsätze der PÖLYA-Theorie ,v dz
Z($;l+z,l,l,...,1) =
v dz
v
(l+z)K
der die Anzahl v-Anordnungen von wiederum das Ergebnis (2.3) bestätigt.
Beispiel.
F.
Damit haben wir
Auf wieviele verschiedene, d.h. durch die Oktaeder-
gruppe nicht ineinander überführbare Weisen lassen sich die sechs Seitenflächen eines Würfels mit sechs Farben so färben, daß verschiedene Seiten auch verschiedene Farben tragen? Es sei
P
die Menge der Seitenflächen eines Würfels und
F
die Menge der Farben. Nach (5.23), (5.1H) und (7.26) erhält man die gesuchte Anzahl als Wert des (in diesem Fall konstanten) Polynoms flTTT dz an der Stelle
(7.27)
(1+z)6
z=0.
s
3
°
Die gesuchte Anzahl ist also
Satz. (DE BRUIJN)
3o.
Die Anzahl der Schemata surjektiver
Konfigurationen, also der subjektiven Schemata, ergibt sich als
z 1 =. . .=2^ = 0 wobei
s . : = z.+z 0 . + ...+z : 2: ^ :
gesetzt ist.
Beweis. (R. DÜRRE, W. HEISE) Es seien mutationen vom Zykeltyp (ly1 + 2y2 + . . .+kyk) .
(1X 1 +2X 2 +...+vX y )
ip zerlegt
'^2 ' * * ''Fy "
ir€II und
F
in
cp£i>
zwei Per-
bzw.
y : =u 1 +U 2 + * • • +lik
Bahnen
n e n n e n w;
i-r die Menge
B^ := {f£FP; f" 1 (F i )=0, «pf=fir} die "i-te Eigenschaft"; eine Konfiguration f€F P mit l,
P
die Menge dieser drei Stellen und
F
die Menge der
106
7.
Die PÖLYAsohe
Abzählungsmethode
Alkylradikale eines gesättigten einwertigen Alkohols mit höchstens
n-1
Kohlenstoffatomen. Weiter sei
ü=Sp
und
3> = {idp}.
Den Konfigurationen entsprechen nun die dabei möglichen Alkohole und den Schemata die verschiedenen Strukturisomere, die mindestens ein, aber höchstens
3n-2
Kohlenstoffatome haben
und für die keines der an den Stellen von radikale mehr als
n-1
P
Wir ordnen nun jedem Alkylradikal mit genau z 1 €Q[z]
atomen das Gewicht der Schemata vom
zu. Weiter sei z1.
Gewicht
. n-1 . n-1 nCiiz 1 = z(n-, Riz1, V i=o i=o x=o Eine Konfiguration vom Gewicht l n(i)z + > i+iz i=o i=n oo oo = l + z' nCiiz 1 + z - > (R i + 1 -n(i) )z 1 , i=o i=n damit erhalten wir: • (7.30)
Satz.
Es sei
R(z) = 1 + z-Z(H; wobei
rn€Q[[z]]
ist.
•
n€N.
n-1
Dann ist
. n-1 ,. n-1 izl» ^ Z Riz >^ Z R i i=o 1=0 i=o R
z
q•
'
eine Potenzreihe vom Untergrad
+ r
n
'
u(r n )>n+l
Nach (5.15) gilt • (7.31)
Satz.
1 3 Z (II ;z1 ,z2 ,z 3 ) = •g(z1 + 3z 1 z 2 + 2z 3 ) .
Hit (7.30) und (7.31) berechnen wir die Zahlen
R^
a rekursiv:
7.S
Isomere
(7.32)
des
Satz.
Die Anzahl
Polynom
i
107
Alkohols
R^
n-1
+
.
f« ji=o z
3
zn
ist der Koeffizient von . + 3( n-1 R zl)(
ti=o z i
n-1
iz: v i=o
0.
>
n-1
+
Für die konkrete Berechnung von
Rn
2
°o durchführen und wir erhalten aus (7.30)
und (7.31): (7.33)
Satz.
Anzahlen
R^
Die gewöhnliche erzeugende Funktion
R(z)
der
genügt der Funktionalgleichung
R(z) = 1 + |(R(z) 3 + 3R(z)-R(z 2 ) + 2R(z3)).
•
Die Anzahl
S der Stereoisomere von C H„ ...OH ergibt sich n n zn+l durch entsprechende Überlegungen, wobei II jedoch die zyklische Gruppe der Ordnung (7.34) Anzahlen
Satz. S^
3
sei. Mit (5.19) folgt dabei:
Die gewöhnliche erzeugende Funktion
S(z)
der
genügt der Funktionalgleichung
S(z) = 1 + f(S(z) 3 + 2S(z3)). Wie oben erhält man, daß die Berechnung von
• Sn
rekursiv mög-
lich ist gemäß dem folgenden Satz: (7.35)
Satz.
Die Anzahl
Sn
ist der Koeffizient von
z11
im
Polynom i=o
i=o
Die hier durchgeführten Anzahlbestimmungen lassen verschiedene praktische Nebenbedingungen unberücksichtigt. So können beispielsweise mögliche räumliche Behinderungen von Alkylradikalen
108
7.
Die PÖLYAsahe
Abzahlungsmethode
die Ursache dafür sein, daß die tatsächliche Anzahl der Isomere kleiner als die hier ermittelte Anzahl ist. Trotzdem wird in der theoretischen Chemie die Methode von G. PÖLYA zum Abzählen chemischer Verbindungen benutzt, denn beim systematischen Ausprobieren unterlaufen erklärlicherweise zu viele Fehler. Tabelle 13.
Anzahlen
R und S der Struktur- bzw. Stereon n isomere gesättigter einwertiger Alkohole ohne
Berücksichtigung sterischer Behinderungen n
0 1 2 3 4
5
R
1 1 1 2 4
8 17 39
n
S n
6
7
8
9
89 211
11
12
13
14
5o7 1238
3o57
7639
19241
lo
1 1 1 2 5 11 28 74 199 551 1553 4436 12832 37496 lloöoo
109
KAPITEL 8,
ENDLICHE GRAPHEN
Ein (endlicher, ungerichteter, (.ohne Mehrfachkanten) P
sehlingenlos er) Graph
ist ein Paar, bestehend aus einer v-Menge
von Ecken und einer b-Teilmenge
Kanten.
1
'
G
KcP^(P),
der Menge der
ist demnach eine Inzidenzstruktur, aber im all-
gemeinen keine taktische Konfiguration, denn: |K|=2
für alle
die Anzahl
G=(P,K)
K6K,
Es gilt zwar
aber der Grad einer Ecke
rp=|{K€K; p£K}|
p£P,
aller Kanten durch
p,
d.i. kann von
Ecke zu Ecke verschieden sein. Triviale Folgerungen sind: • (8.1)
Satz.
In
G=(P,K)
gilt •
• (8.2)
Satz.
In jedem endlichen Graphen ist die Anzahl der
Ecken ungeraden Grades gerade. Eine Ecke vom Grad Grad
n>2
Länge
n
0
oder
G=(P,K)
». • • »K 6K
sowie
zug heißt einfach, im Falle
heißt Endecke , eine Ecke vom
Unter einem Kantenzug
verstehen wir ein
(P0»K1,p1,K2,p2,...,Kn,pn) K^
1
heißt Knotenpunkt. in
•
mit
Pi-i'Pi
falls
(2n+l)-Tupel
P Q ,P 1 ,...,P n €P eK
^^Kj
i
für
der
alle i|j
und i
£Z
n'
gilt, und
Kantengeschlossen
p =p .
Abweichend von der sonst in der Literatur gebräuchlichen Terminologie
2)
Kantenzugs für
i^j
nennen wir die Menge der Kanten eines geschlossenen (p
Q
,K
2
,...,K
n
,p
Q
)
einen Kreis,
gilt. Ein Graph heißt zusammenhängend,
falls
P-^Pj
falls je zwei
Ecken durch einen Kantenzug verbunden werden können. Als Teilgraphen
eines Graphen
G=(P,K)
bezeichnen wir jeden Graphen
1>
Über die schwierige Frage, ob der Null-Graph (0,0) ein Graph ist, informiere sich der Leser in F. HARARY and R. C. READ, Is the Null-Graph a Pointless Concept in Graphs and Combinatoricsj Lecture Notes in Math. M-o6, ed. R. A. BARI and F. HARARY, Springer 1974. 2)
Oft wird ein solcher Kantenzug selbst als Kreis bezeichnet.
110
8.
(P' ,K' )
mit
P'cP
und
K'czKnP^CP') .
Endliche Graphen
Jeder Graph
G
zerfällt
in paarweise disjunkte maximale zusammenhängende Teilgraphen, seine Zusammenhangskomponenten;
ihre Anzahl wird mit
bezeichnet. Unter der zyklomatischen
Zsh(G)
Zahl eines Graphen
G=(P,K)
verstehen wir die Zahl K - P +Zsh(G) = b-v+Zsh(G).
C(G)
Definieren wir in einem zusammenhängenden Graphen Abstand
d(p,q)
zweier Ecken
ten Kantenzugs, der
p
und
p q
und
q
G=(P,K)
den
als Länge des kürzes-
verbindet, so prägen wir
P
damit die Struktur eines metrischen Raumes auf. Im Falle d(p,q)=l
nennen wir
Der Graph auf
v
p
K =(P,P 2 (P))
einen Nachbarn von mit
|P|=v
q.
heißt vollständiger
Ecken.
Veranschaulichung der sechs vollständigen Graphen
v=2
v=l
v=0 3>
8,1
Graph
v=3
v=U
K
mit
v0.
ein Wald ist.
ist die Aussage trivial. Wir nehmen nun an,
die Behauptung sei für alle Graphen mit weniger als 3)
Dabei ist
b>l
Kanten
Diese Abbildung des Null-Graphen entnehmen wir mit Herrn HARARY's freundlicher und ausdrücklicher Genehmigung aus der umseitig zitierten Arbeit von F. HARARY und R. C. READ.
110
8.
(P' ,K' )
mit
P'cP
und
K'czKnP^CP') .
Endliche Graphen
Jeder Graph
G
zerfällt
in paarweise disjunkte maximale zusammenhängende Teilgraphen, seine Zusammenhangskomponenten;
ihre Anzahl wird mit
bezeichnet. Unter der zyklomatischen
Zsh(G)
Zahl eines Graphen
G=(P,K)
verstehen wir die Zahl K - P +Zsh(G) = b-v+Zsh(G).
C(G)
Definieren wir in einem zusammenhängenden Graphen Abstand
d(p,q)
zweier Ecken
ten Kantenzugs, der
p
und
p q
und
q
G=(P,K)
den
als Länge des kürzes-
verbindet, so prägen wir
P
damit die Struktur eines metrischen Raumes auf. Im Falle d(p,q)=l
nennen wir
Der Graph auf
v
p
K =(P,P 2 (P))
einen Nachbarn von mit
|P|=v
q.
heißt vollständiger
Ecken.
Veranschaulichung der sechs vollständigen Graphen
v=2
v=l
v=0 3>
8,1
Graph
v=3
v=U
K
mit
v0.
ein Wald ist.
ist die Aussage trivial. Wir nehmen nun an,
die Behauptung sei für alle Graphen mit weniger als 3)
Dabei ist
b>l
Kanten
Diese Abbildung des Null-Graphen entnehmen wir mit Herrn HARARY's freundlicher und ausdrücklicher Genehmigung aus der umseitig zitierten Arbeit von F. HARARY und R. C. READ.
8.1
111
Bäume und Wälder
bewiesen. Ist
G
ein Wald mit
destens eine Endecke vom Grad ecke vom Grad
1
Kanten, so enthält
G
min-
Wir entfernen nun eine End-
und die einzige mit ihr inzidente Kante und
erhalten so einen Wald Eckenanzahl
b 1.
v'=v-l
G*
und
mit der Kantenanzahl Zsh(G')=Zsh(G).
b'=b-l,
der
Nach Induktionsan-
nahme gilt damit 5(G) = b-v+Zsh(G) = ( b ' + D - C v ' + D + ZshCG 1 ) = b ' - v ' + Z s M G 1 ) = C(G 1 ) = 0. Ist
G
hingegen kein Wald, so enthält
G
einen geschlossenen
Kantenzug, aus dem wir eine Kante entfernen können, ohne die Zusammenhangsverhältnisse zu ändern. Der dabei entstehende Teilgraph
G'
hat die Parameter
Zsh(G')=Zsh(G).
v'=v,
b'=b-l
und
Nach Induktionsannahme folgt daher
?(G) = b-v+Zsh(G) = (b 1 +1)-v'+Zsh(G 1 ) = £(G')+l > 1 .
•
Einen zusammenhängenden Wald, also einen zusammenhängenden Graphen ohne (nichtleere) Kreise, nennen wir Baum. Aus (8.3) ergibt sich somit: (8. U)
Satz.
Jeder Baum mit
v
Ecken besitzt
v-1
Kanten. •
Als Teilbaum eines Graphen graphen von G
G,
G=(P,K)
bezeichnen wir jeden Teil-
der ein Baum ist. Ein Teilbaum eines Graphen
heißt Gerüst von
G,
wenn er alle Ecken von
G
enthält.
Entfernen wir in einem zusammenhängenden Graphen, der kein Baum ist, eine Kante eines Kreises, so erhalten wir wieder einen zusammenhängenden Graphen. Es folgt: (8.5)
Satz.
Jeder zusammenhängende Graph enthält ein Gerüst. •
*•> Für den Null-Graphen K 0 ist v=b = Zsh(K 0 ) = 5 (K0 ) =0 . In Ober einstimmung mit (8.3) ist K 0 ein Wald und daher auch ein Baum denn Ko ist zusammenhängend; nach (8.MO ist K 0 jedoch kein Baum. - Wir warnen den Leser, den Null-Graphen wegen dieses widersprüchlichen Verhaltens moralisch abzuwerten. Ein gerechte Urteil über K 0 setzt die Lektüre des zitierten Artikels voraus, in dem die Autoren auch dessen gute Seiten würdigen.
112
8.
Endliche
Graphen
Ein Baum, in dem eine Ecke, die Wurzel ausgezeichnet ist, heißt Wurzelbaum.
Die Strukturformeln des gesättigten einwertigen
Alkohols gruppe
sind Wurzelbäume, wenn man die HydroxylOH
als Wurzel, die Kohlenstoffatome als Knotenpunkte
vom Grad
die Wasserstoffatome als Endecken und die Valenz-
striche als Kanten deutet. Wegen ihrer Bedeutung wollen wir als weitere Anwendung der PÖLYAschen Theorie die Anzahl der Wurzelbäume mit
v
Ecken
berechnen. Außer den Wurzelbäumen ist noch eine Reihe weiterer Gattungen von Bäumen abgezählt worden. Für diese oft sehr scharfsinnigen und trickreichen Abzahlungen verweisen wir auf An Introduation
J. RIORDAN,
to Combinator-ial Analysis , J. Wiley, New York
1958, und die dort angegebene Literatur. Für
v,n€N Q
mit
v
sei
T(0,0)=0.
Mit
bäume mit
v
• (8.6)
T(v,n)
die Anzahl derjenigen Wurzelbäume
Ecken, deren Wurzel vom Grad T(v)
n
ist; dabei setzen wir
bezeichnen wir die Anzahl der Wurzel-
Ecken. Offensichtlich folgt:
Satz.
Es gilt oo v-1 T(v) = ^ Z T(v,n) = T(v,n). n=o n=o
•
Mit Hilfe des folgenden Satzes lassen sich die Anzahlen
T(v)
rekursiv berechnen. • (8.7)
Satz.
Die gewöhnliche erzeugende Funktion 00 F(z) = 3=0
der Zahlenfolge
(T(j)) "eK| -1 o
F(z) = z • exp( " ¿ 2 i=l Beweis.
Es sei
Wurzel den Grad
n£N n
g e n ü g t der Gleichung F(
?1} 1
gegeben und hat. Weiter sei
) • G
ein Wurzelbaum, dessen m£N
und
F
die Menge
aller Wurzelbäume mit mindestens einer und höchstens F
m
Ecken;
werden wir als Menge der Figuren betrachten. Der Koeffizient
8.1
Bäume
von
zV
und
Wälder
113
im P o l y n o m m • m „. Z(Sn; T(j)z:, J Z T(j)z2:,..., 3=0 :=o
m :=o
g i b t n a c h (7.29) die A n z a h l der S c h e m a t a , d.h. (P,K)
Wurzelbäume n
mit
|P|=v+l
T(j)zn:)
derjenigen
an, deren Wurzel
w
den Grad
h a t u n d für die gilt: J e d e Z u s a m m e n h a n g s k o m p o n e n t e
graphen
(P\{w},KnP2(P\{w}))
hat höchstens
m
des
Z e i c h n e n w i r n u n in d i e s e n Z u s a m m e n h a n g s k o m p o n e n t e n d i e ligen) N a c h b a r n v o n
w
aus
ist d i e s e r K o e f f i z i e n t g l e i c h
F.
Für
v d u r c h , so e r h a l t e n w i r 00 T(v+l,n)zv = v=o 00 . 0 0 . 00 = Z(Sn; T (j ) z-' , T ( j ) z 2 : ,. . . , 3=0 :=o :=o oder v=l
Q
T(j)zn:)
00
T(v,n)zV
= ^ Z v=o
T(v+l,n)zV+1
z-Z(Sn;F(z),F(z2),...,F(zn)).
N a c h (8.6), (5.15) u n d den R e c h e n r e g e l n für f o r m a l e r e i h e n (vgl. A n h a n g )
(ehema-
als W u r z e l n a u s , so e r h a l t e n w i r
Q[[z]]
Teil-
Ecken.
Potenz-
folgt
00
F(z) = y v=o
T(v)zV
00
00
v = o n=o 00
00
n=o v=o -¿3 n=o
T(v,n)zv
T(v,n)zV
Z(Sn;F(z) ,F(z2) , . . . ,F(zn))
°° = z• 2 = > n = o IX.+ 2 X 0 +...+nX = z - l i m H I I n-**> X. =0 X„=o 1 2
n , r , i, T T A ( ^ ) =n i=l i'
... H M ^ X =0 i = l n
^ i"
)
L 1
X .
8.
114 Wir führen nun einen Induktionsschluß Es
Endliche
Graphen
durch:
ist !
= exp( ¿ ü ^ l 1 2J1
Wir nehmen an, daß für X I 2 X X1=o X2=o
n>l
... xT
n
n-1
= exp(
die R i c h t i g k e i t
_!=°
ÜS-L
i,
1
T=1
b e r e i t s b e w i e s e n sei. D a n n 00
).
T T
i = 1
X I X - = 0 X„=o 1 z
1
A - ( ^ ) i'
)
gilt
00
°°
von
n ••• ^ T - T X =0 i=l n
1 ,F(z"KXn " " = X I x ^ r ^ ) X I X I X =0 n' X . = 0 X„=o n 1 2
„ -, x M ^ i"
... ? X
X. 1
)
= 1 /F(zi)>Xi x ^ ( ^ P ) i'
"
T T „=o i=l n-1
,F(zn), , F( z 1 ) , = e x p ( — - — ) *exp( > . ) n 1 fh: = exp(
2T1
F(z1) — 1
) .
Insgesamt folgern wir
nun T(v)zv
F(z) =
, . , , F( z 1 ) , . , F( z 1 ) , = z*lim(exp( ^ ; ) = z'exp( > = ). 1 1 n-«° i=l i=l Tabelle m . v T(v)
Anzahlen
T(v)
der
Wurzelbäume 14
15
0 1 1 2 4 9 2o 48 115 286 719 14-8 2 4766 124-86 32973
87811
0 1 2 3 4 5
6
7
8
9
lo
Ein Wurzelbaum, dessen Wurzel den Grad Setzbaum
12
11
1
13
besitzt, heißt
u n d die v o n d e r W u r z e l a u s g e h e n d e K a n t e h e i ß t
Es sei n u n
p
e i n e E c k e in e i n e m freien
Baum
G,
Baum ohne ausgezeichnete Ecke. Jeden Teilbaum von
d.i. G,
Stamm. ein der
s e l b s t e i n S e t z b a u m m i t der W u r z e l
p
i s t , n e n n e n w i r Ast.
überlegt sich leicht, daß ein Baum
G
mit
o d e r g e n a u z w e i Maasensentren
v
Man
Ecken genau ein
b e s i t z t , das s i n d E c k e n ,
von
8.2
Die CATALANsahen
115
Zahlen
denen aus kein Ast mit mehr als Fall, daß
G
^
Kanten entspringt. In dem
zwei Massenzentren besitzt, sind diese durch eine
Kante, die Maasenaahae,
verbunden und die Zahl
v
ist gerade.
Jeder freie Baum, der eine Massenachse besitzt, kann als Konfiguration zweier an der Wurzel durch eine Kante verbundener Wurzelbäume betrachtet werden. Jeder freie Baum mit genau einem Massenzentrum kann als (spezieller) Purzelbaum aufgefaßt werden. Mit diesen Begriffsbildungen erhält man durch langwierige Berechnungen, wie sie etwa R. OTTER
B)
in dieser Form zum ersten
Mal durchführte, folgende Aussage: • (8.8)
Satz.
Für die Anzahlen
t(v)
der freien Bäume mit
v
Ecken ist 00
2 Z
t(v)zv
= F(z) + |(F(Z2)-F(Z)2)
v=o die gewöhnliche erzeugende Funktion;
F(z)
bezeichnet dabei
die in (8.7) untersuchte erzeugende Funktion der Zahlen
T(v). •
Tabelle 15.
0 1 2 3 4 5 6
V
t(v) 7
8
der freien Bäume 9
lo
11
12
13
14
15
16
0 1 1 1 2 3 6 11 23 47 lo6 235 551 13ol 3159 7741 19 3 2o
t (V )
8.2
Anzahlen
D I E CATALANSCHEN ZAHLEN
Es sei den Grad
G
ein Wurzelbaum mit 2
n>2
Endecken, dessen Wurzel
und dessen andere Knotenpunkte den Grad
Wir versehen alle Knotenpunkte vom Grad
3
3
haben.
mit der Markierung
"links" oder "rechts" so, daß zwei Knotenpunkte, die voneinander den Abstand
2
haben und deren Abstände zur Wurzel überein-
stimmen, verschiedene Markierungen erhalten. Einen solchen, so markierten Graphen nennen wir CATALAN8chen
Baum.
Wir können einen CATALANschen Baum somit als einen auf ein 5
>
The Number- of Trees, Ann. Math. 49 (1948) 583-599 .
8.2
Die CATALANsahen
115
Zahlen
denen aus kein Ast mit mehr als Fall, daß
G
^
Kanten entspringt. In dem
zwei Massenzentren besitzt, sind diese durch eine
Kante, die Maasenaahae,
verbunden und die Zahl
v
ist gerade.
Jeder freie Baum, der eine Massenachse besitzt, kann als Konfiguration zweier an der Wurzel durch eine Kante verbundener Wurzelbäume betrachtet werden. Jeder freie Baum mit genau einem Massenzentrum kann als (spezieller) Purzelbaum aufgefaßt werden. Mit diesen Begriffsbildungen erhält man durch langwierige Berechnungen, wie sie etwa R. OTTER
B)
in dieser Form zum ersten
Mal durchführte, folgende Aussage: • (8.8)
Satz.
Für die Anzahlen
t(v)
der freien Bäume mit
v
Ecken ist 00
2 Z
t(v)zv
= F(z) + |(F(Z2)-F(Z)2)
v=o die gewöhnliche erzeugende Funktion;
F(z)
bezeichnet dabei
die in (8.7) untersuchte erzeugende Funktion der Zahlen
T(v). •
Tabelle 15.
0 1 2 3 4 5 6
V
t(v) 7
8
der freien Bäume 9
lo
11
12
13
14
15
16
0 1 1 1 2 3 6 11 23 47 lo6 235 551 13ol 3159 7741 19 3 2o
t (V )
8.2
Anzahlen
D I E CATALANSCHEN ZAHLEN
Es sei den Grad
G
ein Wurzelbaum mit 2
n>2
Endecken, dessen Wurzel
und dessen andere Knotenpunkte den Grad
Wir versehen alle Knotenpunkte vom Grad
3
3
haben.
mit der Markierung
"links" oder "rechts" so, daß zwei Knotenpunkte, die voneinander den Abstand
2
haben und deren Abstände zur Wurzel überein-
stimmen, verschiedene Markierungen erhalten. Einen solchen, so markierten Graphen nennen wir CATALAN8chen
Baum.
Wir können einen CATALANschen Baum somit als einen auf ein 5
>
The Number- of Trees, Ann. Math. 49 (1948) 583-599 .
8.
116
Endliche
Graphen
Blatt Papier gezeichneten Wurzelbaum, dessen Wurzel den Grad 2
und dessen andere Knotenpunkte den Grad
pretieren, wobei ein Knotenpunkt
p
3
haben, inter-
genau dann mit "links"
markiert ist, wenn er links-oberhalb des Knotenpunkts, der zu p als
benachbart ist und zur Wurzel einen kleineren Abstand hat p,
angebracht ist.
Entfernen wir aus einem CATALANschen Baum die Wurzel und die mit der Wurzel inzidenten Kanten, so bilden die beiden sich ergebenden Zusammenhangskomponenten jeweils wieder einen CATALANschen Baum, wobei die Wurzeln dieser Zusammenhangskomponenten die Nachbarn der ehemaligen Wurzel sind. Umgekehrt können wir auch zwei CATALANsche Bäume durch Hinzufügen eines neuen Punkts und zweier neuer Kanten zu einem CATALANschen Baum zusammensetzen. Die Anzahl der CATALANschen Bäume mit gleich der Anzahl Produkt von
n
C(n)
n
Endecken ist nun
der verschiedenen Möglichkeiten, ein
Faktoren zu beklammern. Dem oben gezeichneten
CATALANschen Baum mit
9
Beklammerung der Faktoren
Endecken entspricht dabei folgende x^,...,Xg:
(X1(X2X3))(x^(X£(2
8.2
Die CATALANsahen
• (8.lo)
Satz.
Zahlen
117
Die gewöhnliche erzeugende Funktion CO
00
F(z) = y ~ C(n)z n = C(n)z n n=o n=l der CATALANschen Zahlen genügt der Funktionalgleichung F(z) = z + F(z) 2 . Beweis.
Es gilt
00
F(z) =
n=o
C(n)z n = z +
CO
C(n)z n
n=2
n-1 = Z + 2 Z 2 Z C(k)C(n-k)z n n= 2 k=o 00
00
nach (8.9)
.
= z + ^ C(i)C(j)z 1 + 3 i=l 3=1 00
= z + ]>Z i=l
00
c(i)z 1 c(j)z :) 2=1
00
.
0
0
.
= z + 2 Z C(i)z 1 C(j)z 3 = z + F(z) 2 . i=l 3=~i
•
Die Funktionalgleichung aus (8.1o) ist eine quadratische \ Gleichung; nur die Lösung F(z)=-^(l-/l-1+z) dieser Gleichung genügt der Anfangsbedingung > (8.11)
Satz.
C(0)=0.
Damit folgt:
Für die CATALANschen Zahlen
C(n)
ist
F(z) = ^(1-/1=41) die gewöhnliche erzeugende Funktion. Entwickeln wir nun
1-/1-Hz)
o
in eine Potenzreihe, so erhal-
ten wir: (8.12)
Satz.
Für
n£N
gilt
C(n) = -( ) = ( ). n n-1 2n-l n-1
o
118
8.
Tabelle 16.
C(n)
Graphen
CATALANsche Zahlen
0 1 2 3
n
Endliche
5
6
7
8
9
lo
11
12
13
0 1 1 2 5 14 42 132 429 14 3o 4862 16796 58786 2o8ol2
Wir geben hier noch zwei weitere kombinatorische Deutungen der CATALANschen Zahlen: a)
C(n)
konvexen
ist die Anzahl der möglichen Triangulationen eines (n+l)-Ecks. So sind beispielsweise die gezeichneten
Triangulationen sämtliche Triangulationen eines konvexen 5-Ecks. b)
Zwei Kandidaten
zählung je
n-1
A
und
B
erhalten bei einer Stimmaus-
Stimmen. Dann gibt es genau
C(n)
verschie-
dene Reihenfolgen der Stimmauszählung derart, daß der Kandidat A
während der Auszählung nie weniger Stimmen hat als der Kan-
didat
8,3
B.
DAS K Ö N I G S B E R G E R
BRÜCKENPROBLEM
In Königsberg i. Pr. gabelt sich der Pregel und umfließt eine Insel, die Kneiphof
heißt. In den dreißiger Jahren des acht-
zehnten Jahrhunderts wurde das Problem gestellt, ob es wohl möglich wäre, in einem Spaziergang jede der sieben Königsberger Brücken genau einmal zu überschreiten. Daß ein solcher Spaziergang unmöglich ist, war für L. EULER der Anlaß, mit seiner anno 17 3 5 der Akademie der Wissenschaften in
118
8.
Tabelle 16.
C(n)
Graphen
CATALANsche Zahlen
0 1 2 3
n
Endliche
5
6
7
8
9
lo
11
12
13
0 1 1 2 5 14 42 132 429 14 3o 4862 16796 58786 2o8ol2
Wir geben hier noch zwei weitere kombinatorische Deutungen der CATALANschen Zahlen: a)
C(n)
konvexen
ist die Anzahl der möglichen Triangulationen eines (n+l)-Ecks. So sind beispielsweise die gezeichneten
Triangulationen sämtliche Triangulationen eines konvexen 5-Ecks. b)
Zwei Kandidaten
zählung je
n-1
A
und
B
erhalten bei einer Stimmaus-
Stimmen. Dann gibt es genau
C(n)
verschie-
dene Reihenfolgen der Stimmauszählung derart, daß der Kandidat A
während der Auszählung nie weniger Stimmen hat als der Kan-
didat
8,3
B.
DAS K Ö N I G S B E R G E R
BRÜCKENPROBLEM
In Königsberg i. Pr. gabelt sich der Pregel und umfließt eine Insel, die Kneiphof
heißt. In den dreißiger Jahren des acht-
zehnten Jahrhunderts wurde das Problem gestellt, ob es wohl möglich wäre, in einem Spaziergang jede der sieben Königsberger Brücken genau einmal zu überschreiten. Daß ein solcher Spaziergang unmöglich ist, war für L. EULER der Anlaß, mit seiner anno 17 3 5 der Akademie der Wissenschaften in
8.3
Das Königsberger
v
Brückenproblem
119
KÖNIGSBERG
tt-ALrei'pfeceir--
in PREVSSEN
in St. Petersburg vorgelegten Abhandlung Solutio ad geometriam
situs pertinentis
problematis
(Commentarii Academiae Petro-
politanae £ (1711) 128-140) einen der ersten Beiträge zur Topologie zu liefern. Das Problem besteht darin, im nachfolgend gezeichneten Graphen einen einfachen Kantenzug zu finden, der alle Kanten enthält. Dabei repräsentiert die Ecke vom Grad beiden Ecken vom Grad
2
5
den Kneiphof und die
die Krämerbrücke sowie die Grüne
Endliche
8.
120
Ein einfacher Kantenzug Graphen
G=(P,K)
gilt; im Fall EULERschen • (8.13)
( p
Q
, K
2
heißt EULERsahe
PQ =Pn
, p
2
, . . . , p
n
>
Linie, wenn
sprechen wir von einer
Graphen
in einem ,K2 ,, . . ,K } =K
geschlossenen
Linie.
Satz.
Ein Graph
G=(P,K)
ohne Ecken vom Grad
0
gestattet genau dann eine geschlossene EULERsche Linie, wenn er zusammenhängend ist und nur Ecken von geradem Grad besitzt. Beweis.
Wir setzen voraus,
EULERsche Linie tritt ist
p€P G
G
enthalte eine geschlossene
L=(p Q jK^»p^ , K
, . . . , p
2
Q
) .
Wegen
L
mindestens einmal als Komponente von
auf. Somit
definitionsgemäß zusammenhängend. Tritt nun
der Reihe
pQ
,p2 ,...jp^.^
sichtlich j-i>3.
p=p^::pj
Gilt jedoch un
Daher sind
gung zeigt: Tritt t-mal auf, so gilt
p£P
p£P
in
nur einmal auf, so folgt offen-
d
K^
mit
iP n )
Weg, falls |P|=n+l
P={p o ,p 1
oder und |P|=n, P^ÌP-L 5 P 2 : 'Pn> 'Pn> gilt. HAMILTONsche Wege sind also Kantenzüge, in denen
Po=Pn jede Ecke des Graphen genau einmal passiert wird. Jeder vollständige Graph
gestattet offensichtlich HAMILTONsche
Wege :
Die Charakterisierung der Graphen, die HAMILTONsche Wege besitzen, ist allgemein noch nicht gelungen. 6) Die hier gegebene Abbildung eines HAMILTONschen Weges im Kg wird auch als Drudenfußj Pentagramma oder Salomonis Schlüssel bezeichnet ; vgl. J. W. VON GOETHE, Faust I, Verse 1258 , 1395 1396.
8.4
Planare
8,4
PLANARE GRAPHEN
123
Graphen
Ein Graph
G=(P,K)
Abbildung
ip: P
heißt planar, wenn es eine injektive 9 > R gibt, so daß jeder Kante {p,q}€K
eine rektifizierbare Kurve mit den Endpunkten
, daß ein Graph genau dann planar
ist, wenn er keinen zu einem KURATOWSKIschen Graphen isomorphen Teilgraphen enthält. Als KURATOWSKI8che
Graphen werden
dabei die beiden nachfolgend gezeichneten Graphen bezeichnet,
sowie die Graphen, die man erhält, wenn man die Kanten der hier abgebildeten beiden Graphen durch "kantendisjunkte" Kantenzüge ersetzt. Daß der Graph, der durch die rechts abgebildete Figur dargestellt wird, nicht planar ist, besagt, daß drei untereinander verfeindete Nachbarn ihre Zugangswege zur Dorfkirche, zum Wirtshaus und zum Rathaus nicht kreuzungsfrei wählen können. Wir übergehen den KURATOWSKIschen Beweis, da er 7)
Sur le problème des courbes gauches en topologie, Fund. Math. 15 (193o) 271-283; vgl. auch C. BERGE, Theorie des graphes et ses applications, Dunod, Paris 1963, S. 2o5.
124
8.
Endliche
Graphen
topologischer und nicht kombinatorischer Natur ist. In (8.2o) aber zeigen wir, daß die KURATOWSKIschen Graphen nicht planar sind. Die Menge
l/cP(K)
der Vereinigungen beliebig vieler, aber
jeweils paarweise disjunkter Kreise eines (nicht notwendig planaren) Graphen retischen)
G=(P,K)
symmetrischen
bildet bezüglich der
(mengentheo-
Differenz
VAW := (vuwncvnw) als Verknüpfung (Summe) eine abelsche Gruppe, in der bis auf das neutrale Element Daher läßt sich
Satz.
alle Elemente die Ordnung
2
GF(2)
Beweis.
G=(P,K)
die Dimension
K\K'
hat der Vektorraum
G
B(S)
andere Sehne enthält, nämlich K^,K 2 »...»K
V
b-v+1. ein Gerüst
T=(P,K').
nennen wir Sehnen. Zu jeder Sehne
gibt es genau einen Kreis sind
GF(2)
In einem nicht-leeren zusammenhängenden (nicht
Nach (8.5) gibt es in
Kanten aus
haben.
auffassen. Hierbei gilt:
notwendig planaren) Graphen über
2
1/ als Vektorraum über dem Primkörper
der Charakteristik • (8.15)
0
in
G,
Die
S={p,q}
der diese, aber keine
{S,K2,...,Kn}=B(S);
dabei
die sämtlichen Kanten des einzigen einfa-
chen Kantenzugs im Gerüst verbindet. Es sei nun
T,
der
p
und
B:={B(S); S€K\K'}
Kreise. Nach (8.4) gilt
q
miteinander
die Menge dieser
|B|=|K\K'|=b-v+l.
Es ist nun noch zu zeigen, daß
B
eine Basis von
V
ist:
Einerseits ist nämlich jede Summe paarweise verschiedener Kreise aus
B
von der leeren Menge, also vom Nullvektor ver-
schieden; somit ist steht jeder Vektor aus Sehnen. Ist nun den Sehnen und
W
zugleich aus Kanten des Gerüsts sowie aus
so folgt
V
die Summe der
zugeordneten Kreise
VAWciK' ,
da
VAW£l/
B(S^),
gilt und
dieselben Sehnen enthalten. Da die leere Menge der
einzige Kreis ist, den ist, folgt
linear unabhängig. Andererseits be-
W:=B(S 1 )AB(S 2 )A...AB(S r )
S^,S 2 ,...,S r
B(S 2 ) ,. . . ,B(S ) , V
B VEl/
VAW=0,
also
T=(P,K') V=W.
gestattet und Somit wird
VAW
1/ von
ein Kreis B
erzeugt.
8.4
Planare
125
Graphen
Nach dem JORDANschen Kurvensatz (aus der Topologie) zerlegt die Vereinigung der Kreise eines planaren Graphen 2 die Ebene
R
in Flächen genannte, einfach zusammenhängende
Gebiete, von denen genau eines, das wir mit nicht beschränkt ist; mit Flächen von
G=(P,K)
G.
F
Weiter sei
Kreis, der die Fläche
F
bezeichnen,
bezeichnen wir die Menge der f:=|F|.
Für
F€F
berandet. Die Menge
bildet eine Basis des Vektorraumes
1/
sei
p(F)
der
ip(F); FEFXiF^}}
(vgl. die Erläuterungen
auf Seite 121). Mit diesen Bezeichnungen folgt nach (8.15):
(8.16) 'EULERa che Polyeder forme l.
In einem nicht-leeren
zusammenhängenden planaren Graphen v-b+f = 2. (8.17)
Satz.
G
gilt
•
In einem planaren Graphen
v-b+f = Zsh(G)+l > 2 .
G
gilt
•
Da jeder (nicht-leere) Kreis mindestens
3
Kanten enthält und
da jede Kante eines planaren Graphen im Rand von maximal Flächen liegt, folgt (8.18)
Satz.
2b > > |p(F)| > 3f Fe?
Hat der planare Graph
2
und somit
G
mindestens
2
Kanten,
G
mindestens
2
Kanten,
so gilt 2b > 3f.
•
Nach (8.17) und (8.18) ergibt sich v > b-f+2 > b-|b+2 = |b+2. Damit erhält man: (8.19)
Satz.
Hat der planare Graph
so gilt 3v > b+6.
a
Mit Hilfe dieser Ungleichungen beweisen wir:
126
8.
• (8.2o) Beweis.
Satz.
Endliche
Graphen
Die KURATOWSKIsehen Graphen sind nicht planar.
Es genügt, aus den beiden Klassen KURATOWSKIscher
Graphen jeweils den Graphen mit der geringsten Eckenanzahl zu betrachten, also die beiden auf Seite 123 abgebildeten Graphen. Der Vertreter der zweiten Klasse hat die Parameter b=9;
v=6
er enthält keinen geschlossenen Kantenzug der Länge
Wäre dieser planar, so würde jede Fläche von mindestens Kanten berandet und somit folgte f=5.
und
2b>4f.
3. 4
Nach (8.16) gilt
Aus der Planarität erhielte man also das merkwürdige
Ergebnis
18>2o.
Für die erste Klasse KURATOWSKI scher Graphen - ¿ÜA. ¿otc.hi kalbt HöZZe.nbtiut lit Salomon.Li Se.hZiiae.1 gut wir den Vertreter die Ungleichung
• (8.21)
Satz.
K^. 15>16
Beweis.
- betrachten
Dessen Planarität würde nach (8.19) implizieren.
Jeder planare Graph
deren Grad kleiner als
8)
6
•
G=(P,K)
besitzt eine Ecke,
ist.
Wäre die Behauptung falsch, so folgte nach (8.1) 2b = > ^P
r
P
> 6v.
Mit (8.19) erhielte man nun die falsche Ungleichung 2b > 6v > 2b+12. Ein planarer Graph
a
G=(P,K),
dessen Flächen von geschlossenen
JORDAN-Kurven berandet werden, heißt PLATONisoher es zwei natürliche Zahlen
n>3
und
m
rp = n
für alle
p€P,
|p(F)| = m
für alle
F€F
Körper, wenn
gibt, so daß
und |p(E)np(F)| < 1 für je zwei verschiedene Flächen e
E
und
> J. W. v. GOETHE, Fauet I, Vers 1257f.
F
gilt.
8.4
Planare
Graphen
127
Da jede Kante eines PLATONischen Körpers
G
im Rand von genau
zwei Flächen auftritt, folgt nach (8.1): (8.22)
Satz.
In einem PLATONischen Körper
2b = vn = fm. Mit der Bezeichnung (8.23)
Satz.
Da
m
erhält man aus (8.16) nun:
In einem PLATONischen Körper b =
gilt
•
s:=2(n+m)-nm
f = ^s ' ,
G
2nm
G
gilt
4m
als Anzahl der Kanten eines Kreises größer als
und wegen (8.23)
s>0
gilt, erhalten wir nun für
2
n£{3,i+,5}
die folgenden fünf (und damit alle) PLATONischen Körper:
n=3,
n=3,
m=3
Würfel
Tetraeder
n=3,
m=5
Dodekaeder
m=4
n=4,
m=3
Oktaeder
n=5,
m=3
Ikosaeder
ist
128
8.
Es sei nun
G=(P,K)
Endliche Graphen
ein nicht notwendig planarer Graph und
C
eine Menge, deren Elemente wir Farben nennen. Eine Abbildung ip: P
> C
heißt zulässige Färbung von
für jede Kante zahlen
|C| ,
{p,q}€K
G,
wenn
sowie J. E. GRAVER und J. YACKEL gefunden.
9,3
EIN KOMBINATORISCHES PROBLEM IN DER GEOMETRIE
P. ERDÖS und G. SZEKERES 5> lösten mit dem folgenden Satz ein von Fräulein E. KLEIN gestelltes Problem: • (9.lo) K(m),
Satz.
Zu jeder Zahl
so daß für alle
v€N
m€N mit
gibt es eine kleinste Zahl v>4
und bezeichnen die Menge aller 3-Teilmengen
kollinearer Punkte aus 3
> Ramsey 2o4-224.
voraussetzen. Nun wählen wir P
egy Gr&felmel&ti
mit
M.
Dann ist
T&t&teröl,
A combinatorial (1935) 463-47o.
problem
die
Mat. Lapok _15 (1964)
Some Graph Theoretic Results Associated rem, J. Comb. Theory 4 (1968) 125-175. 5)
N:=P 3 (P)\M
with Ramsey's
Theo-
in geometry , Compositio Math. 2
9.4
Eine zahlentheoretisohe
Menge aller Dreiecke von m-Teilmenge menge
N m
Menge
m
P
P
mit
P.
141
Nach (9.4) gibt es nun eine
mit
Pg(M)cM
PG(N)cN.
oder eine
p(4,m,5)-Teil-
Im ersten Fall ist
kollinearen Punkten;
P
M
eine
enthält also in diesem
kollineare Punkte. Im zweiten Fall bilden wir die M'
setzen mit
von
von
Menge von Fall
M
Anwendung
aller konvexen Vierecke mit Eckpunkten aus
W' : =PL+ (N)\M'.
P h (M' )CM'
Nach (9.4) gibt es in
oder ein 5-Eck
N'
mit
N
N
P^N'JcN'.
der zweiten Alternative liegt ein 5-Eck
und
ein m-Eck
M'
Im Fall
N ' » e g » e ^ e ^ »e^}
vor, das kein konvexes 4-Eck enthält. Die konvexe Hülle von wird also von
3
Punkten aus
N',
zeugt. Die Verbindungsgerade von Seiten des von
e^jejje^
und
{e^ejjeg}
e^
er-
schneidet zwei
gebildeten Dreiecks; keiner dieser
beiden Schnittpunkte fällt wegen ^el,e2'e3^
etwa von e^
N'
N'cN
mit einem Punkt aus
zusammen. Die beiden Eckpunkte der Seite, die von und
e^
nicht geschnitten
wird, bilden dann aber zusammen mit
der Verbindungsgeraden von
e^
e^
und
e^
ein konvexes
4-Eck, das im Widerspruch zur Definition von
N'
nicht in
N'
liegt. Daher muß der erste Fall eintreten, d.h. es gibt ein M 1 ={d.,d„,...,d }, 1 2 m Die konvexe Hülle von M'
m-Eck
Wäre nun
n
m
von
p=p(r,m 1 ,m„,...,m
M^UMgU...UM n =P r (P) P )
mit
n
P.
)
RAMSEY
natür-
gibt es eine kleinste Zahl
so daß für jede v-Menge
und jede disjunkte Vereinigung und eine m.-Teilmenge B 3
n=m
•
F,
• (9.11)
gebil-
d2,dg,dl+€M'
ein nicht konvexes 4-Eck in
im Widerspruch zur Definition von damit die Behauptung.
läge. Wegen
np
ein
existiert. RAMSEY-Zahlen.
9.4
Eine zahlentheoretisohe
Menge aller Dreiecke von m-Teilmenge menge
N m
Menge
m
P
P
mit
P.
141
Nach (9.4) gibt es nun eine
mit
Pg(M)cM
PG(N)cN.
oder eine
p(4,m,5)-Teil-
Im ersten Fall ist
kollinearen Punkten;
P
M
eine
enthält also in diesem
kollineare Punkte. Im zweiten Fall bilden wir die M'
setzen mit
von
von
Menge von Fall
M
Anwendung
aller konvexen Vierecke mit Eckpunkten aus
W' : =PL+ (N)\M'.
P h (M' )CM'
Nach (9.4) gibt es in
oder ein 5-Eck
N'
mit
N
N
P^N'JcN'.
der zweiten Alternative liegt ein 5-Eck
und
ein m-Eck
M'
Im Fall
N ' » e g » e ^ e ^ »e^}
vor, das kein konvexes 4-Eck enthält. Die konvexe Hülle von wird also von
3
Punkten aus
N',
zeugt. Die Verbindungsgerade von Seiten des von
e^jejje^
und
{e^ejjeg}
e^
er-
schneidet zwei
gebildeten Dreiecks; keiner dieser
beiden Schnittpunkte fällt wegen ^el,e2'e3^
etwa von e^
N'
N'cN
mit einem Punkt aus
zusammen. Die beiden Eckpunkte der Seite, die von und
e^
nicht geschnitten
wird, bilden dann aber zusammen mit
der Verbindungsgeraden von
e^
e^
und
e^
ein konvexes
4-Eck, das im Widerspruch zur Definition von
N'
nicht in
N'
liegt. Daher muß der erste Fall eintreten, d.h. es gibt ein M 1 ={d.,d„,...,d }, 1 2 m Die konvexe Hülle von M'
m-Eck
Wäre nun
n
m
von
p=p(r,m 1 ,m„,...,m
M^UMgU...UM n =P r (P) P )
mit
n
P.
)
RAMSEY
natür-
gibt es eine kleinste Zahl
so daß für jede v-Menge
und jede disjunkte Vereinigung und eine m.-Teilmenge B 3
n=m
•
F,
• (9.11)
gebil-
d2,dg,dl+€M'
ein nicht konvexes 4-Eck in
im Widerspruch zur Definition von damit die Behauptung.
läge. Wegen
np
ein
existiert. RAMSEY-Zahlen.
142
Zwei graphentheoretische
9.
Beweis.
Für
n=l
ist (9.11) mit
Induktionsbeweis über Induktionsanfang Es seien also sei
n
n=2.
n>2,
Extremalprobleme
p(r,m 1 )=m 1
richtig. Der
"greift" allerdings erst mit dem Dieser Fall wurde in (9.4) bewiesen.
r€N
und
r^m^,m 2 ,...,m n
v>p(rjm^,m2,...,mn_2,p(r,mn));
gegeben. Weiter
dabei benützen wir
die Induktionsannahme, daß die Behauptung für bewiesen sei, daß also
p(r ,m.. ,m„ ,. . . ,m 1 2 ' n-2
existiert. Fürderhin sei M^UMjU...UM n =P r (P)
P
n-1
bereits
.. ,m )) 0 ,p(r,m n-1 n
eine v-Menge und
eine disjunkte Vereinigung. Nach Induktions-
annahme gibt es ein 3 e z n _ 2 unc ^ e i n e m^-Teilmenge M von P mit ? (M) (v)
und
nun
(ix)
m I I maxil,|M.|—i+1} 1 i=a(n)+l
gilt
M
bzw.
bzw.
L[N],
(y^,y2,...>ym_n)
so f o l g t
wegen
{x1,x2,...xn}n{y1,y2,...,ym_n)=0. M
2
,...,x und
n
,y
2
(W,L)
,...>y sich
scheiden,
folgt
folgt
Behauptung.
die
nach ( v i ) , , und ( v i i )
also
(x^,x2,...,xn)
system von (x^,x
erhalten
.
m 1 l/(N) | • | (/( L [ N ] ) | > I I m a x i l , |M. | - i + 1 } i =l
(x)
Da
dis-
m-n | l/( L [ N ] ) | > I I m a x i l , | L . [ N ] | - i + l } i =l
(ix)
also
N
> k.
W i r wenden nun a u f
Ist
Da n u n
|uN|=|N|=n
|UK| Damit
von
folgt |UW|+|UK|
Nach
Es
m
_
n
nur
)
ein
die
Daher
}=N
ist
Permutation
von a
| l / ( M ) | = | l / ( ( N , L ) ) | > | l / ( N ) | • | l/( i. [ N ] ) | . •
Vertreter-
{x^,x2,...,x
ein Vertretersystem durch
.
(N,L). unterMit
(x)
10.1
Das
149
Heiratsproblem
J. H. VAN LINT 5» hat darauf hingewiesen, daß es für die Anzahl der Vertretersysteme einer Familie nur die Kardinalzahlen
|
(M^»Mg,...,M ),
von der
bekannt sind, keine bessere Ab-
schätzung gibt. Der folgende Satz zeigt dies: • (lo.4)
(m„,m„,.. . ,m ) mit m.€N für m i 1 c i£Z und m„
The Marriage
Problem, Amer. J. of Math. 72. (195o) 214-215.
Vertretersysteme
10.
150
folgers des Gesandten Allahs, des Kalifen al-'Mutadid ibn al-Muwaffaq ibn al-Mutawakkil 7> will sich aus dem Kreise der ihm bekannten Frauen einen Harem vorgegebener Größe einrichten. Wann ist dies möglich? Eine hinreichende und notwendige Bedingung, daß jeder Sohn
s
sich einen Harem mit
richten kann, ist, daß für jede Teilmenge Gesamtanzahl der Frauen, die Söhnen aus destens gleich
>
n(s)
n(s)
S S
Frauen ein-
von Söhnen die
bekannt sind, min-
ist. Der Beweis beruht auf der Mög-
s£S lichkeit, jeden Sohn
s
durch
n(s)
Ebenbilder zu ersetzen
und diese Ebenbilder zu verheiraten. Dabei soll jedes Ebenbild von
s
seine Frau aus der Menge der dem Sohn
s
bekannten
Frauen wählen. Die angegebene Bedingung ist dann äquivalent zur P. HALL-Bedingung. Eine Anwendung von (lo.l) und anschliessende Identifizierung der Ebenbilder verhilft den Söhnen des Kalifen zu ihren (disjunkten) Harems. In der zitierten Arbeit weisen P. HALMOS und H. VAUGHAN darauf hin, daß mit dieser Verallgemeinerung auch das berühmte Mönchsproblem von H. BALZAC e> gelöst wird. Mit Hilfe dieser Überlegungen erhält man unmittelbar: • (lo.6)
Satz.
Ist
den Parametern eine v-Partition i€Z v
J=(P,B,I)
v,b,r,k
k
{B 1 ,B 2 ,...,B v }
und eine Bijektion
Kalif al-'Mutadid regierte 892-9o2 n. Chr. in Baghdad. Er ist der Ururenkel des uns allen aus den Erzählungen aus 1001 Nacht wohlbekannten Abblsidenkalifen Härün ar Ralid ibn al Mahdi; dieser Zeitgenosse Karls des Großen und Nachfahre des al-'Abbas ibn 'Aldulmuttalib ibn Häsim, eines Onkels des Propheten und Schatten Allahs auf Erden war von 7 86 bis 8o9 der amlr al-mu 1 minin, d.h. der Gebieter der Gläubigen. B) Die hundert tolldreisten Geschichten, den Novizinnen von Poissy, Wien 1869.
IV19.
die Mönche
bei
151
10.2
Gemeinsame
10.2
GEMEINSAME VERTRETERSYSTEME
Es sei
P
Vertretersysteme
eine endliche Menge,
m,m'€N
mit
m>m'
und
M= C M . , M 0 , . . . ,M ) s o w i e M' = ( M ! , M i , . . . , M ' , ) jeweils Familien 1 Z m 1 2 m von nicht-leeren Teilmengen von P. Ein Vertretersystem (x^,...,x M Z
)
von
M
h e i ß t gemeinsames
Vertretersystem
von
und M ' , w e n n es e i n e m ' - A n o r d n u n g ,) von g i b t , so d a ß (x. ,x. ,...,x. ) ein Vertretersystem von m i1 i2 im,
M'
ist. I s t
B={B^jBg,...,B
}
eine m-Partition einer Menge
P,
so b e z e i c h n e n w i r die m - F a m i l i e
( B „ , B „ , . . . , B ) als geordnete 1 t m Partition. Folgender Satz über geordnete Partitionen geht auf d i e i n F u ß n o t e 1 , S e i t e 144 z i t i e r t e A r b e i t v o n P. H A L L z u r ü c k : (lo.7) und
Satz.
Zwei geordnete Partitionen
M'=(M^jMg».••jM^,)
von
P
mit
m>m'
M=(M^,M2,...,Mm) besitzen genau
e i n g e m e i n s a m e s V e r t r e t e r s y s t e m , w e n n f ü r je z w e i NcM
und
Beweis.
N'cM1
mit
UN'cUW
|N(|
stammt eine weiter Folgerung:
9> A propositione di un teorema del Chapman} Boll. d. Unione Mat. Ital. 6 (19 27) 1-6. Für V=W stammt der Satz von G. A. Miller, On a method due to Galois, Quart. J. Math. (191o) 382-384.
Ein Satz über Klasseneinteilungen von endlichen Mengen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg _5 (1927) 185-188. Einen kurzen Beweis bringt E. SPERNER, Note zu der Arbeit von Herrn B. L. van der Waerden: "Ein Satz Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg _5 (1927) 232.
10.3 • (lo.9) m>m'; von
Satz.
Es sei
weiter sei P
in m -Mengen
und
P
und
eine geordnete m-Partition
M'=(M^,M2,...)
eine geordnete
M
und
M'.
Wir prüfen die Bedingung von (lo.7): Es seien
N'czM'
zwei Teilfamilien mit
|W *|"m=|UN'|Pa(2)''"''Pa(b)^
({x€P; xIB 1 },{x£P; xIB 2 } eines Vertretersystems von
läßt sich dann
eine b-Anordnung von
(alja(1),a2ja(2),...,abja(b))
system von
A
10.3 • (lo.9) m>m'; von
Satz.
Es sei
weiter sei P
in m -Mengen
und
P
und
eine geordnete m-Partition
M'=(M^,M2,...)
eine geordnete
M
und
M'.
Wir prüfen die Bedingung von (lo.7): Es seien
N'czM'
zwei Teilfamilien mit
|W *|"m=|UN'|Pa(2)''"''Pa(b)^
({x€P; xIB 1 },{x£P; xIB 2 } eines Vertretersystems von
läßt sich dann
eine b-Anordnung von
(alja(1),a2ja(2),...,abja(b))
system von
A
10.
154 • (lo.ll)
Satz.
Es sei
A
Vertretersysteme
eine b*v-(0,D-Matrix, deren Zeilen
nach der Größe ihrer Zeilensummen angeordnet sind. Dann gilt per(A) = 0 oder
, b per(A) > I I max{1,z.-i+1} , 1 i=l z^ die Zeilensumme der i-ten Zeile bezeichnet sei.
wobei mit
•
Unter dem Termrang
p(A)
einer (0,1)-Matrix
die maximale Anzahl von Einsen aus
A,
A
verstehen wir
von denen keine zwei
in einer Zeile oder Spalte stehen. Äquivalent dazu kann man p(A)
als die Zeilenanzahl der größten quadratischen Unter-
matrix von
A
bezeichnen, deren Permanente nicht verschwindet,
die nach (lo.lo) also ein Vertretersystem besitzt. D. KÖNIG und E. EGERVARY
12
11
'
> haben den Termrang folgendermaßen charak-
terisiert : • (lo.12)
Satz.
Es sei
A
eine (0,1)-Matrix und
p'(A)
Minimalanzahl der Zeilen und Spalten, die jede Eins von enthalten. Dann ist
p'(A)
gleich dem Termrang
Beweis. Da keine Spalte und keine Zeile von
A
p(A). zwei der
Einsen enthält, die zur Ermittlung des Termrangs von gezogen werden, folgt p
und
p'
die A
A
p(A) heran-
p(A)
A^
und
A
dxe-Matrix,
(b-d)xe-Matrix
und
Graphok és matrixok3
0
e
A=(a.1 .) durch die >3 Spalten realisiert wird.
hat die Gestalt
A^
eine dx(v-e)-Matrix,
A^
eine entsprechende Nullmatrix ist.
Mat. Fiz. Lapok 3J3 (1931) 116-119.
Matrixok kombinatorius (1931) 16-28.
tulajdonsàgairól,
Mat. Fiz. Lapok 3_8
10.3
(0,1)-Matrizen
155
Wir zeigen nun, daß A 2 ein Vertretersystem besitzt: Für un< definieren wir D^:={j€Zv; a^ j =1 » 3 weisen für die Familie V:=(D1,D2,...,Dd) die P. HALL-Bedingung nach; Gäbe es nämlich eine Teilfamilie (D. ,D. ,...,D. ) von V mit x x i V k D. UD. U...UD. ={j1,j9,...,j } und m. Wir ordnen dem Paar (P,M) die b*v-(0,1)-Matrix zu, die zu durch a^ PjEM^ " HALL-Bedingung für M besagt nun, daß jede Familie von n Zeilen mit n a. . = vk i=l j=l Nach (lo.12) gibt es d Zeilen und e die alle Einsen aus Der Termrang folgt
A
p(A)
und damit
v
p(A)=v.
folgt
Spalten mit
überdecken. Somit gilt
d+e=p(A),
vkl
dieser
b
Dozenten. Das
Lehrgebiet eines jeden Professors umfasse jeweils genau v
ein
Vorlesungen angeboten werden. Jede dieser Vorlesungen
gehöre zum Lehrgebiet von genau dieser
b=v.
o
An einer Universität gibt es sollen
k>l
kann aber nicht größer als
vkäp(A)kl
matrix, die ein Vertretersystem von
A,
deren Spalten-
sind, eine PermutationsA
beschreibt, so erhalten
wir eine v*v-(0,1)-Matrix, deren Zeilen- und Spaltensummen jeweils gleich
k-1
aus (lo.13) einen
sind. Durch Induktion erhalten wir damit - laut G. FROBENIUS
13)
-
ganz speziellen
Satz von geringem Wert: 13)
Uber zerlegbare Determinanten, Sitzungsbericht Preuß. Akad. Wiss. (1917) 274-277. D. KÖNIG, der Satz (lo.l4) in Uber Graphen und -ihre Anwendungen auf Determinanten und Mengenlehre, Math. Ann. 77 (1916) 453-465, bewies, beantwortet auf Seite 24of seines Buches Theorie der endlichen und unendlichen Graphen, Akad. Verlagsges. Leipzig 1936, diese Kritik.
10.3
157
(0,1)-Matrizen
• (lo-1t)
Satz.
Zu jeder v*v-(0,1)-Matrix
und Zeilensummen jeweils gleich Permutationsmatrizen
k
P^,P 2 ,...»P^
A,
deren Spalten-
sind, gibt es mit
k
v-reihige
A=P 1 +P 2 +...+P k
, J:={j1,j2 , . . . , , s:=|l| und t:=|j|. Damit gilt st>n und |D . I UM' 1 = i W D i U ^ M j l = ^Z ± | + KJH.\ 1 iei jej TeT j€J 3 Für die Teilfamilie (M.).,_T von M gilt nun nach Voraus-
1 1
Setzung
fc"
b * I I max{0 ,t-d.1 } . i=l
I W M i Jl j €J Damit folgt
b
| UN 1 | > ^ ^ i€I >
*
Ter
TZ i€I
= st > M'
d. + 1
i=l
d. + ^ ^ 1 Tel
max{0,t-d. } 1
(t-d.) + > 1 iezb\i
max{0,t-d.} 1
t n
= |N *| .
erfüllt also die P. HALL-Bedingung und besitzt damit nach
(lo.l) ein Vertretersystem -i 9 > • • • 1 »^t »• • • w^ • 1,1 -L»^ >D D ,V D a die Komponenten eines Vertretersystems untereinander alle verschieden sind, gibt es zu jedem
wegen
mindestens
v-d. Elemente x. -6D.UM. mit x. .¿D. in die1 1,3 1 : 1 sein Vertretersystem. Diese Elemente x^ ^ liegen damit also jeweils in
M^
tretersystems 18)
und sind daher die Komponenten eines TeilverT^
von
M
vom Defekt
Diajoint tranaveraala of aubaeta}
28o-285.
dl^d^.
D a die Elemente
Canad. J. Math. 11 (1959)
160
10.
X-, -1 >xi 1,1 1,1 auch die
x, D,V
1,J b
paarweise verschieden sind, sind
Teilvertretersysteme
Satz (lo.17) wurde für den Fall 10.5
DAS
Vertretersysteme
T^
paarweise disjunkt.
b=l
von 0. ORE
19
>
•
bewiesen.
GALE-RYSER-Kriterium
In diesem Abschnitt beweisen wir mit Hilfe von (lo.l7) in der Sprache der (0,1)-Matrizen ein Kriterium für die Existenz von Inzidenzstrukturen. Die Existenzbedingung stellt Forderungen an die Parameter der Inzidenzstruktur. A=(a.1 .) sei eine bxv-(0,1)-Matrix mit dem Zeilensummenvektor 5D Z = ( z ^ , . . . JZ^) und dem Spaltensummenvektor S=(s^,...»sv>, d.h. es gelte
z.=a. ,,+a. „+...+a. und s.=a- -+a„ . + ...+a, • i 1,2 i,v : 2,: b,: bzw. Ausgehend von A konstruieren wir
für alle
die bxv-(0,1)-Matrix
Ä,
indem wir in jeder Zeile die Einsen
nach links und die Nullen nach rechts versetzen, d.h. die i-te Zeile von
Ä
die ersten
hat die Gestalt z^
(1,1 ,...,1,0 ,0 , ... ,0) ,
Komponenten dieser Zeile gleich
übrigen Komponenten gleich
0
sind.
gleichen Zeilensummenvektor
Z
tor von
, • • •> s v )
A
lich gilt
sei mit
S=(s^
wie
A A.
1
wobei
und die
besitzt also den Der Spaltensummenvekbezeichnet. Offensicht-
s j = | { i £ Z b ; z ± > j >| .
Wir nennen einen Vektor absteigend,
wenn seine Komponenten
eine (schwach) monoton fallende Folge bilden. Wir sagen von zwei v-Tupeln Komponenten aus
X=(x^,x 2 ,...,x ) Nq,
daß
es zwei Permutationen (X
X
X
(p(l)' s. > > S. 3 =v-n+l J 3 =v-n+l J
Es sei nun
N=(M. ,M. ,...,M. ) : 3 1 32 n
gilt
|UN| =
Vertretersysteme ^ 3=1
für alle
s. = J
n£Z
V.
3=1
J
.
eine Teilfamilie von
M.
Dann
lUMjl 1=1
J1
n 1=1
v * (ii)
>
: v-n+l = V
> à >>
v-n+l
Sj
weil
S
Sj
nach (i)
absteigend ist
V
=
>
U e z , ; z,>j} -b' i
v-n+l
b
V
=
= (iii)
e. • 3 =v-n+l i = l 1,3
mit
>
b
e. .:= ( j 1,3 \0
fal1
* sonst
v
e. i=l j=v-n+l 'J z b i = > > 1 wegen i7T j=v-n+l
z. max{0,n-v+z^} i=l =
b i=l
max{0 , | W | - (v-z •) } .
Nach (lo.l7) besitzt tretersysteme Defekten
v-z^.
M
also
b
paarweise disjunkte Teilver-
T. = (x. 1 ,x. „,...,x. ) 1 1,1 1 , Z l.Zi
Wir definieren nun eine bxv-(0,1)-Matrix a. . i»: Offenbar ist
Z
0
falls
1
sonst
{x.
19X.
mit den jeweiligen A=(a.1 .) durch >D x. .}0M. = 0
der Zeilensummenvektor von
A.
Die Spalten-
10.5
Das
summen
163
GALE-RYSER-Kriterium
s^JS^S.'-JS^
von
A
genügen wegen
|M^|= s^
der Un-
gleichnung (iv)
s! < s. für alle Jj£Z . 3 3 v Durch zweifaches Abzählen der Einsen in b
(v)
m V
Mit
H pl "3 s
=
n: =v, z
b
sj = 3
s^+s2+•..+s v =s V T I s'. = 3=1 3
(vii)
erhält man
V
z. 1
Setzen wir in (iii) (vi)
A
i
1 = ^
j=1
sowie (v) und (vi) folgt
l+ s 2 + ... + s v v
&
s
.
1
i =1
j '
Induktiv folgt aus (iv) und (v Wir spezialisieren (lo. 18) auf Konfigurationen, d.h. wir setzen s
z^=zj=..•=z^:=k
und
l=s2=""'=sv:=r"
• (lo.19)
Satz.
Es seien
v,b,r,k€N.
tion
(P,B,I)
alle
Bۧ
und
wenn
k^v
und die Parametergleichung für taktische Konfigura-
tionen Beweis.
vr=bk
mit den Parametern
Eine taktische Konfigura-
|B(p)|=r
für alle
|P|=v, p€P
|B|=b,
|B|=k
für
existiert genau dann,
gilt.
Wir führen den Beweis über die Inzidenzmatrizen. Da
keine Zeilensumme einer (0,D-Matrix größer als ihre Spaltenanzahl ist, gilt von
vr=bk
kl:
Hier besagt (T 2), daß die
L(V ( 1 ) ),L(r ( 2 ) ),...,L(V ( m ) )
lateinischen Quadrate
paarweise
verflochten sind; wir nennen dabei zwei lateinische Quadrate A=(a. .) und 1 s3 Bedingung e> (PW)
B=(b. .) 1 J3
verflochten, wenn sie der PAIGE-WEXLERunc
Für je zwei verschiedene Spaltenindizes
^
je zwei (nicht notwendig verschiedene) Zeilenindizes i
l1' i 2 £ Z nn -
gilt:
(a
i
i 'ai i } * ( b i i 'bi i ) l'-'l l'-'2 2 1 2 2
genügen. Umgekehrt liefert jede Menge von flochtenen lateinischen Quadraten d
eine Permutationsmenge
i
m
paarweise ver-
A^,...,Am
e der
der Ordnung
n
(n,m)-Transitivitäts-
bedingung genügt. Bei entsprechender Numerierung der regulären Teilmengen
r
von
( 1 } ( 2 5
A.
,...
( m )
von
T
gilt dabei, daß sich
höchstens um eine Zeilenpermutation unter-
scheidet . Gehen wir von einer Menge drate der Ordnung
n
A={A^,...,Am)
zu einer Menge
A
1
lateinischer Qua-
= { A ^ , . . . v o n
lateinischen Quadraten über, indem wir (i)
auf alle Komponenten von
A^,...,Am
zugleich dieselbe
Permutation oder (ii)
auf
A^,A 2 ,...,A
zugleich dieselbe Spaltenpermutation
A^JAJ,...,A m
jeweils eine beliebige Zeilenpermuta-
oder (iii)
auf
tion anwenden, 8 > Nach L. J. PAIGE und G. WEXLER, A canonical form for incidence matrices of finite projective planes and their associated latin squares, Portugaliae Math. 12 (1953) lo5-112.
174
11.
so sind die Quadrate aus
A
A
A1
dies sind.
zugeordnete Permutationsmenge
T
bedeutet die
Operation (i) den Übergang zur Linksnebenklasse
aT
Operation (ii) den Übergang zur Rechtsnebenklasse sei
Quadrate
genau dann paarweise miteinander
verflochten, wenn die Quadrate aus Für die
Lateinische
ro
und die -1 ; dabei
die in (i) bzw. (ii) angewandte Permutation. Die
Operation (iii) schließlich läßt Jede m-Menge
A={A^,A 2 ,...,A m >
T
unverändert.
lateinischer Quadrate läßt sich
mit Hilfe der Operationen (i) und (iii) oder mit (ii) und (iii) standardisieren
wie folgt: Wir wählen eine beliebige Zeile 2 n ) und setzen a: = (; a,. a 1 2 n -1 wenden entweder die Permutation ö auf alle Komponenten der (a„
Quadrate
zugleich oder die Permutation
die Spalten der Quadrate A. ,A„,... ,A ,a ) Fällen geht die Zeile (a.,a 2'' ' n
CT
auf
zugleich an. In beiden in die Zeile (l,2,...,n)
über. Durch anschließende Zeilenpermutationen in den einzelnen lateinischen Quadraten erreichen wir, daß A^,Ag,...,A
A^
reduziert und
normiert sind. Die einer standardisierten Menge
lateinischer Quadrate zugeordnete Permutationsmenge ist unitär. Als Beispiel bringen wir
paarweise verflochtene
lateinische Quadrate der Ordnung
in standardisierter
Form 9> : 123456789 261538917 349682571 456217398 538179426 682794135 795341862 817923654 971865243
178592364 219367485 397258146 431786952 562843791 643915827 786429513 854671239 925134678
145827936 273649158 358964712 489153267 516732849 621378594 734295681 892516473 967481325
152389647 237814569 374126895 415698723 583261974 698437251 761952438 829745316 946573182
136948275 248751693 312475968 427569831 591624387 675283419 759836124 863197542 984312756
194763528 285976341 326891457 468325179 579418632 657142983 713584296 841239765 932657814
187635492 251493876 365719284 493872615 524987163 639521748 742168359 876354921 918246537
169274853 296185734 381547629 472931586 547396218 614859372 728613945 835462197 953728461
9
> Diese Quadrate wurden mit Hilfe der Figur 8.4.3 aus J. DENES und A. KEEDWELL, Latin squares and their applioations, English
11.2
175
Gewebe
• (11.12) rcS„
Satz.
Es sei
K
eine n-Menge. Eine Permutationsmenge
operiert genau dann scharf 2-fach transitiv auf
K,
wenn
sie der (n,n-l)-Transitivitätsbedingung genügt. Beweis.
Es sei
V
scharf 2-fach transitiv. Für y€T defi-1 —1 nieren wir N(y):={y€r; wy =id oder iry ist fixpunktfrei}. -1 . . . Nach (2.5) ist A: = Ty eine scharf 2-fach transitive unitäre Permutationsmenge. Wir zeigen, daß die Menge
N(y)-y,
die aus
der Identität und allen fixpunktfreien Permutationen aus besteht, regulär auf x=y y
ist
id
K
operiert. Es seien
die einzige Permutation aus
überführt.
Wenn
x*y
n-1
Permutationen
ein
6€N(y)-y
y
Nun seien
mit
Stabilisators
A
6£A
y'
T
von mit
6(x)=y.
und
Im Fall
N(y)'y,
die
ist, so liegt in jedem der
(regulären) Stabilisatoren der
x,y€K.
A
mit
S(x)=y.
A
z*x,y
x
in
n-2
genau eine
Es gibt also genau
Nach (2.5) ist
N(y)
regulär.
zwei verschiedene Permutationen eines
von
T,
dann gilt
N(y)nN(y' )-Y n _i» nun aus
die
x 1
y^(x') =y^ (x )
T
die (n,n-l)-Transitivi-
und
(y,y')
mit
y(x)=y
und
zwei 2-Anordnungen
nach (T 1) genau
nach für
y
ijjez^^
y(x')=y'.
n-1
Permutationen
abbilden. Nach (T 2) folgt
{y^^Cx') ,y2(x') ,. . . ,y n _ 1 (x') }=K\{y} . y€r
operiert,
im Widerspruch zur Voraussetzung
Nun erfülle umgekehrt die Menge von
K
T durchlaufen, so erhalP paarweise disjunkte, auf K regulär operierende
N(y)
y
Da aber
stets
i=j
und somit
Es gibt also genau ein
•
In den folgenden Sätzen zeigen wir, daß jedes r-Gewebe der Ordnung
n
eine Menge von
r-2
paarweise verflochtenen lateini-
Universities Press Ltd. London 197t, S.285 gewonnen. Sie koordinatisieren gemäß (11.14) die sogenannte HUGHES-Ebene der Ordnung 9.
11.
176 sehen Quadraten der Ordnung r-2
n
Lateinische
definiert und daß umgekehrt
paarweise verflochtene lateinische Quadrate der Ordnung
ein r-Gewebe der Ordnung
n
den Mengen
K
bzw.
K'
K(y(x))=g(Y)(K(x))
r-Gewebe
Satz.
> K1
k: K
für alle
Es seien
(P,G)
T
und
r',
die auf
operieren, genau dann isomorph genannt
werden, wenn es Bijektionen
• (11.13)
n
"koordinatisieren".
Wir beachten, daß zwei Permutationsmengen
mit
Quadrate
n,r€N
der Ordnung
y£T
g: T
und alle
mit
n
und
n>2
und
> I"
x£K r>3.
gibt. In jedem
enthält die Gruppe der Paral-
lelpro jektivitäten einer jeden Geraden
K£G
auf sich eine
unitäre Permutationsmenge, die der (n,r-2)-Transitivitätsbedingung genügt. Beweis.
Es sei
p€P
dene Geraden durch nun jeder Geraden
und p.
GeS E,K,L
zu und setzen
F
E,L,K€G(p)
Wir setzen
G,E,K
r:={&€Sw.; G€&} .
K,G,L Hierbei ist
eine unitäre Permutationsmenge vom Grad
Für je zwei parallele Geraden für alle
z€K.
Parallelbüschels
und ordnen
die Parallelprojektivität
die Axiome (T 1) und (T 2) für
T
drei paarweise verschie-
'S:=G\([K]U[L])
T
E"= id v
n.
und somit
Wir weisen nun
nach:
G,H€$
mit
G^H
gilt
G(z)^H(z)
Damit bilden nach (11.11) die den Geraden eines [G]
mit
GeS
eine reguläre Teilmenge von
büschel zerfällt, folgt
(Tl).
zugeordneten Permutationen aus T.
Da
?
in
r-2
Parallel-
11.2
177
Gewebe
Es s e i e n n u n und
S,Rer
liegen
mit
und
(y,y*)
S(x)=H(x)=:y
q: ={x||L}n{{y||L}nE||K}
beide in G=H,
(x,x')
GflH.
also
Aus
q=t=q'
zwei 2 - A n o r d n u n g e n v o n 1
sowie
£(x')=H(x')=:y .
K
Dann
q 1 : = {x'|| L } n { { y L } n E | | K }
und
u n d (G 2) f o l g t
G=H
und damit
(T 2).
Die Konstruktion von
i m B e w e i s z u (11.13) h ä n g t w e s e n t -
FcS^
l i c h v o n der W a h l der H i l f s e l e m e n t e
E
und
L
ab. A l s
Umkeh-
r u n g v o n (11.13) b e w e i s e n w i r : • (11.14) TcS^
Satz.
Es s e i e n
n,r€N
mit
n>2
eine P e r m u t a t i o n s m e n g e , d i e der
bedingung genügt.
G ( D : = (P,G)
und
r>3,
weiterhin
(n,r-2)-Transitivitäts-
sei die I n z i d e n z s t r u k t u r ,
die
aus der P u n k t m e n g e
P:-2 x-Z und den Geraden K :={(x,c): x € Z } n n c n L :={(c,y); y€Z } für alle c€Z , sowie d e n G e r a d e n c n n Y : = { ( x , y ( x ) ) ; x£Zn> f ü r alle y£T besteht. D a n n ist G(D und
ein r - G e w e b e der O r d n u n g
n
und
T
ist i s o m o r p h zu e i n e r M e n g e
v o n P a r a l l e l p r o j e k t i v i t ä t e n der G e r a d e n Beweis.
W i r w e i s e n die A x i o m e
K^
auf
sich.
(G 1), (G 2) u n d (G 3) f ü r
G(D
nach. Zu (G 1): Für die G e r a d e n tulat
(G 1)
(x,y)€P
Kc
und
mit
(x,y)$Y>
d.h. m i t
regulär operierende Teilmenge von alle
ip€$
Permutation
Lc
ist das
Parallelenpos-
t r i v i a l e r w e i s e e r f ü l l t . Es sei also
und £6r
i|j€r\4> mit
Y(x)^y. r,
Ist n u n
so gilt
und
y^F $
eine
|!pniji|=l
für
(wegen (T 2)). A l s o g i b t es g e n a u eine £(x)=y
und
¡¡(z)fY(z)
u n d z w a r in der r e g u l ä r e n T e i l m e n g e v o n
r,
für a l l e die
y
Z
^zn>
enthält.
11.
178
Lateinische Quadrate
Zu (G 2): Wegen (T 2) und der Bijektivität von Permutationen schneiden sich zwei verschiedene Geraden der Inzidenzstruktur G(D in höchstens einem Punkt. Zu (G 3): Dieses Reichhaltigkeitsaxiom folgt aus den Voraussetzungen
n>2
und
r>3.
Es sei nun K:=K^, L:=L^, e€T und E:=e. Die Abbildung von Z n nach K, die x nach (x,l) überführt, ist bijektiv. Somit können wir jeder Permutation y€T eineindeutig (bezüglich der Geraden E) die Parallelprojektivität
zuordnen; dabei gilt
__ .4
y*((x,1))=(e~ y(x),l).
•
In Satz (11.1H) ist die Konstruktion des r-Gewebes G ( D nicht von einer willkürlichen Auswahl von Hilfselementen abhängig. Wir sagen daher: T koordinatisiert G ( D . • (11.15) Satz. Es seien n,r€N mit n>2 und r>3 und TcSn eine Permutationsmenge, die der (n,r-2)-Transitivitätsbedingung genügt. Dann sind G ( D , G ( a D , G(Tct) und G ( r _ 1 ) für alle a£S n isomorph. Beweis.
Mit
T
erfüllt jede Nebenklasse von
r
wie auch
die (n,r-2)-Transitivitätsbedingung. Die Abbildung a von Zn *Zn auf sich, die (x,y) nach (x,a(y)) überführt, ist
wegen
a( y) = { (x ,ay(x)) ; x€Z } = cfy
für alle
ct6S
r -1
ein Isomor-
11.2
179
Geweb
phismus von GCD auf G(ctD. Entsprechend liefert die Abbildung i von Z xZ auf sich, die (x,y) nach (y,x) n n „—t. überführt, wegen i(f;={(y(x),x); x€Z }={(x,y (x)); x£Z }=y n ^^ n einen Isomorphismus von G ( D auf das Gewebe G(T ). Wegen -1 -1 -1 (a T ) =Ta folgt mit dem bisher gezeigten auch die Isomorphie von Ist nun
G(D A
und
G(Ta).
eine Menge von
• r-2
paarweise verflochtenen
lateinischen Quadraten und T die durch A beschriebene Permutationsmenge, so setzen wir G(A):=G(r) und sagen auch: A
koordinatisiert
Es sei
n€N,
Weiter sei
G(A).
n>2. TcS^
Wir wenden uns nun dem Spezialfall
r=3
zu.
eine unitäre reguläre Permutationsmenge und
L ( D = (a. .) das zugehörige reduzierte lateinische Quadrat. 1 5J Wir definieren auf Z n eine binäre Verknüpfung r Zn XZn
H:{
> Zn
^(i,j)
Das Paar
> inj := a.1 . -- j J ist eine Loop 1 0 ) , d.h. es gibt in
(Z ,H) Z ben n züglich der Verknüpfung H ein neutrales Element und für alle a,b€Zn sind die Gleichungen a=bHx und a=xHb eindeutig nach
x auflösbar. Eine Loop ist also genau dann assoziativ, wenn sie eine Gruppe ist. Das reduzierte lateinische Quadrat L(D ist also die CAYLEYsche "Gruppen"-tafel der Loop (Z ,n). Zwei Loops (Z n ,H) und (.2^,0) heißen isotop, wenn es Bijektionen (p,4>,a von Z^ mit ^d +d +d
Wenn
der Ordnung
n
Gel.
Jede Gerade
GcL. n
L6L\G
•
und
p,q€L
die Menge derjenigen Punkte bestimmt, die weder mit q
durch Geraden aus
daß
(P, L)
durch
(P,G)
G
(P,G)
ist dann durch
je zwei verschiedene und mit ihr inzidente Punkte mit
ein
ist, so gibt es
mit
eine affine Ebene der Ordnung
ein (n-l)-Gewebe mit
(P,G)
p
als noch
verbindbar sind. Dies bedeutet,
eindeutig bestimmt ist. R. H. BRUCK
(loc. cit.) zeigt allgemeiner: • (11.17)
Satz.
Es seien
r-Gewebe der Ordnung eine affine Ebene Für jeden Körper x mit K,
a,b£K
und
n.
(P,L) K
n,r€N, Wenn mit
d:=n-r 2
n>d GcL.
und
(P,G)
ein
ist, so gibt es höchstens •
operiert die Gruppe
r
aller Abbildungen
•> ax+b a^O,
der sogenannten affinen Abbildungen
scharf 2-fach transitiv. Da es zu jeder Primzahlpotenz
genau einen Körper mit • (11.18)
Satz.
n
n^2
Elementen gibt, folgt:
Zu jeder Primzahlpotenz
affine Ebene der Ordnung
von
n.
n>2
gibt es eine
•
Beim systematischen Probieren, vier paarweise verflochtene lateinische Quadrate der Ordnung
5
herzustellen, erkennt man,
daß es bis auf Isomorphie genau eine affine Ebene der Ordnung 15)
5
Finite nets, II. Uniqueness and imbedding, Pacif. J. Math. 13 •421—457 .
11.
182
Lateinische Quadrate
gibt. Im Rahmen des Satzes (12.lo) werden wir unter anderem beweisen, daß es keine affine Ebene der Ordnung Eindeutigkeit der affinen Ebene der Ordnung geometrischer Überlegungen von M. HALL
161
7
6
gibt. Die
ist mittels
bewiesen worden.
Allerdings hatten R. C. BOSE und K. R. NAIR
17)
bereits zwölf
Jahre früher durch Auswerten der Tabellen lateinischer Quadrate der Ordnung
7
von H. W. NORTON
18
> dieses Ergebnis erhalten.
Die Eindeutigkeit der affinen Ebene der Ordnung von M. HALL, J. D. SWIFT und R. J. WALKER
19
8
wurde 1956
> unter Benutzung
von H. W. NORTON's Tabellen und elektronischen Rechenanlagen festgestellt. Die Quadrate von
3
A2
und
Ag
der folgenden standardisierten Menge
paarweise verflochtenen lateinischen Quadraten der
Ordnung
4
1231+ 13 4 2 2 1 4 3 2 4 3 1 « _ A 3 4 1 2 2 " 3 1 2 4 3 " 4 3 2 1 4 2 1 3 gehen durch die Spaltenpermutation (2 3 4)65^ . 1"
aus
A^
1 4 2 3 2 3 14 3 2 4 1 4 1 3 2 bzw. (2 4 3)€SL
hervor. In Satz (11.2o) geben wir eine geometrische
Bedingung für dieses Phänomen
an. Um diese Bedingung zu for-
mulieren , benötigen wir die nachfolgende Definition. • (11.19) (P,G).
Definition. Wir sagen,
in Richtung
R,
Es sei (P,G)
R
eine Gerade eines Gewebes
genügt dem kleinen Axiom von DESAFGUES
wenn zu je drei verschiedenen, zu
R
paralle-
16)
Uniqueness of the •projective plane with 57 points3 Proc. Amer. Math. Soc. 4. (1953) 912-916; Correction to "Uniqueness of the projective plane with 57 pointsProc. Amer. Math. Soc. J5 (1954) 994-997. Vgl. auch G. PICKERT, op. cit. 17>
On complete sets of Latin squares, Sankhya .5 (1941) 361-382.
18
> The 7*7 squares, Ann. Eugenics 9 (1939) 269-3o7. Dabei ist zu bemerken, daß die von A. SADE (.An omission in Norton's list of 7*7 squares> Ann. Math. Satist. T2 (1951) 3o6-3o7 und Omission dans les listes de Norton pour les carrées 7*7, J. reine angew. Math. 189 (1951) 19o-191) festgestellte Unvollständigkeit NORTONschen Tabellen die Untersuchungen von R. C. BOSE und K. R. NAIR nicht berühren. 19) Uniqueness of the projective plane of order eight3 Math. Tables Aids Comput. lo (1956) 186-194.
11.2
183
Geweb
len Geraden P2,q2£R2
R^jR^Rg
und
F,F' ,G,G" ,H,H' P1,P3€H,
q 1 €H»
und je sechs Punkten
p3,q3€R3 mit und
aus der Existenz von sechs Geraden
p^p^F, FllF1,
q1,q26F', GllG1,
p2,p3€G,
h||h'
stets
q^q^G',
q 3 €H'
folgt.
•
Affine Ebenen, in denen das kleine Axiom von DESARGUES für eine Richtung erfüllt ist, werden durch sogenannte Cartesische pen
20
>
Grup-
koordinatisiert. Gilt das kleine Axiom von DESARGUES
für zwei verschiedene Richtungen einer affinen Ebene, so gilt es für alle Richtungen; die Translationen, freien Automorphismen
T
mit
T(G)||G
d.h. die fixpunkt-
für alle Geraden
G,
bilden dann einen auf den Punkten der Ebene regulär operierenden kommutativen Normalteiler in der vollen Automorphismengruppe dieser affinen Ebene. Solche Ebenen heißen und werden durch sogenannte Quasikörper
20
>
Translationsebenen koordinatisiert.
Die affinen Ebenen, die durch die scharf 2-fach transitiv auf pers
K
operierende Gruppe der affinen Abbildungen eines KörK
bestimmt sind, genügen, wie wir in Abschnitt 12.1
sehen, noch stärkeren Bedingungen als dem kleinen Axiom von DESARGUES. • (11.2o)
Satz.
Es seien
eine standardisierte
scher Quadrate der Ordnung Satz (11.14)) das von 20
>
n,r6N,
n>2,
r>3
und
k={A±>...,Ar_?]
(r-2)-Menge paarweise verflochtener lateiniA
n.
Wenn (mit den Bezeichnungen aus
koordinatisierte Gewebe
Vgl. G. PICKERT, op. cit.
G(A)=:(P,G)
184
11.
Lateinische
da-s kleine Axiom von DESARGUES in Richtung A
gehen die lateinischen Quadrate aus
L^
Quadrate
erfüllt, so
durch Spaltenpermuta-
tionen paarweise auseinander hervor. Beweis.
A=(a.1 .) und B=(b. .) zwei lateinische 1 »3 >J Quadrate aus A . Da A standardisiert ist, gilt a. 1 =b. l, 1 I , 1 £z E s se für alle i n * i nun ^it 1 ei-n Spaltenindex. Wir zeigen, aus daß ein Spaltenindex j^ existiert, so daß die Spalte A
Es seien
mit der Spalte
j2
aus
B
übereinstimmt. Es sei de
der Spaltenindex, für den
a. . =b. . 1 1 >J± >^2 also zeigen, daß für jeden Zeilenindex gilt: Zunächst erhält man j.^j .
Wegen
j^l
lieh gilt wegen
und
j.H 1
(l,a1 l^a
auch
i
stets
. )f(l,b. . )
. =b1
.
2
gilt. Nun müssen wir a. . =b. . i»: 1 i.]; nach (PW), also
folgt
j„*l.
Schließ-
i*a. . . Damit erfüllen die Punkte 1 5J^
P 2 : = (j i' a i,j
a. . ;
sowie
q 1 : = (l,i) , q 2 = = jC a i' i,j Geraden R^ :=L 15 R 2 : , L j
a. . )
zusammen mit den
p 1 :=(l,l),
F: = { (:,a l 5 . ); jez n>>
F
G:=K
R,:=L. 3 3,
,
S':=K
'
und
H':={(j,b. .); j€Z } die Voraussetzungen des kleinen n Axioms von DESARGUES in Richtung L 1' L, = Ri G' r2
V '
/
/
0,0,;) F /
P2
r3
G
Ps
H,
K,
Pl aus
(j2.1)
Die der Zeile
i
mit dem Punkt
v q~=(j„,a. io" J?'Qi1 . i. ). 0 ' )Jj
B
zugeordnete Gerade DDamit amit
folgt folgt
H'
inzidiert also
a1_. . ^ =b. =b_. .. . a. j3 i>3
über Gewebe wird dieser Um-
stand verschiedentlich hinter unnatürlichen Definitionen versteckt . Für affine Ebenen läßt sich (11.2o) umkehren; den Beweis überlassen wir dem Leser: • (11.21)
Satz.
Es sei
A
eine (n-l)-Menge von paarweise
verflochtenen lateinischen Quadraten der Ordnung
n,
die paar-
weise durch Spaltenpermutationen auseinander hervorgehen. Dann genügt die affine Ebene DESARGUES in Richtung
G(A)=(P,G) L^.
(11.14) bzw. (11.20) .)
dem kleinen Axiom von
(Bezüglich der Bezeichnungen vgl.
o
Wir bemerken, daß (11.2o) eine Möglichkeit aufzeigt, affine Ebenen zu finden, die von cartesischen Gruppen koordinatisiert werden: Dazu sei Ordnung
n
Ordnung
n-1.
und
A C
ein reduziertes lateinisches Quadrat der ein reduziertes lateinisches Quadrat der
Nun wendet man die Zeilen von
tionen auf die Spalten schließlich
n-1
man
C
A
und
2,3,...,n
von
A
C
als
an und man erhält
lateinische Quadrate der Ordnung geeignet, so sind diese
Permuta-
n-1
n.
Wählt
Quadrate paarweise
verflochten.
21
' Eine ausführliche Bibliographie findet der Leser in J. ACZEL, Quasi g roup s, nets and nomograms, Advances in Math. 1 (1965) 38345o, sowie in J. DENES und A. KEEDWELL, Latin squares and their applications, English Universities Press Ltd., London 1974.
11.
186 11,3
ORTHOGONALE LATEINISCHE
Zwei l a t e i n i s c h e
Quadrate
Lateinische
Quadrate
QUADRATE
.) und B = ( b . . ) d e r Ordnung 1 > D >D n heißen orthogonal (in Zeichen: A±B) , wenn i n d e r n * n Matrix C: = ( ( a - . , b . . ) ) . jedes Zahlenpaar ( k , l ) £ Z xz i»:' i>: ^ " n * n n e i n m a l (und d a m i t a u c h g e n a u e i n m a l ) a u f t r i t t . M i t E . PARKER 2 2 ) sagen wir dafür auch, (engl.:
orthogonal
Um zu p r ü f e n , es a l s o
B
A=(a.
1
ist
zu p r ü f e n ,
ob zu j e
B
zu
A
orthogonal
zwei v e r s c h i e d e n e n
zwei S p a l t e n i n d i z e s
lo. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 o
L. EULER
3i>32^ n
23
>
2 3 4 6 7 1 8 9 o 5
3 4 5 1 2 8 9 o 6 7
Wir s c h r e i b e n d a b e i 4 5 6 3 8 9 o 7 1 2
5 6 7 8 9 o l 2 3 4
stellte
6 7 1 9 o 2 3 4 5 8
7 1 2 o 3 4 5 6 8 9
8 o 9 & 4 3 2 1 7 6
9 8 o 7 6 5 4 3 2 1
ist,
s
genügt
"te"ts
o 9 8 2 1 7 6 5 4 3
1 3 5 o 9 8 6 4 2 7
lateinische "o"
2 4 6 9 8 7 5 3 1 o
3 5 7 8 1 6 4 2 o 9
statt 4 6 1 2 7 5 3 o 9 8
anno 1 7 7 9 d a s P r o b l e m ,
R e g i m e n t e r n und j e w e i l s
einem Quadrat a u f z u s t e l l e n ,
6
5 7 2 1 6 4 o 9 8 3
6 1 3 7 5 o 9 8 4 2
7 2 4 6 o 9 8 5 3 1
36
Quadrate "lo".
8 9 o 3 2 1 7 6 5 4
9 o 8 4 3 2 1 7 6 5
o 8 9 5 4 3 2 1 7 6
Offiziere
v e r s c h i e d e n e n Chargen so
daß k e i n e Z e i l e und k e i n e
Spalte
zwei O f f i z i e r e
d e r s e l b e n Charge o d e r d e s s e l b e n Regiments 2i
G. TARRY
»>
bewies die U n l ö s b a r k e i t
z e i g t e durch s y s t e m a t i s c h e s 22)
ten,
Ausprobieren,
dieses
Recherches sur une nouvelle n a r d i E u l e r i Opera Omnia, S é r i e
ent-
Problems.
daß e s k e i n e
Computer investigations of orthogonal latin P r o c . Symp. A p p l . M a t h . 15 ( 1 9 6 3 ) 7 3 - 8 1 .
aus
in
hält.
23)
A
i
d e r Ordnung
6
von
Zeilenindizes
Z
i 'bi i }*(ai i >bi i > 1' ^ 1 l'^l 2 2 2' 9 A l s B e i s p i e l g e b e n w i r zwei o r t h o g o n a l e ( a
Genosse
mate).
ob das Q u a d r a t
und j e
e i n orthogonaler
squares
Er
zwei of
order
espèce de quarrês magiques, 1 , 1_ ( 1 9 2 3 ) 2 9 1 - 3 9 2 .
Leo-
24) Le problème des 36 officiers, Compte Rendu de l ' A s s o c i a t i o n F r a n ç a i s e pour l ' A v a n c e m e n t des S c i e n c e s N a t u r e l l e s 1 ( 1 9 0 0 ) 1 2 2 - 1 2 3 ; 2 ( 1 9 0 1 ) 1 7 0 - 2 0 3 . Der A s t r o n o m H. C. SCHUMACHER s c h r i e b am 1 0 . A u g u s t 1 8 4 2 i n e i n e m B r i e f an C. F . GAUSS, d a ß s e i n A s s i s t e n t TH. CLAUSEN d i e U n l ö s b a r k e i t d e s 3 6 - 0 f f i z i e r e - P r o b l e m s b e w i e s e n h a b e ; v g l . C. S . PETERS, Briefwechsel zwischen C.F.Gauß und H.C.Schumacher, Bd. 4 , A l t o n a 1 8 6 2 , S . 8 1 ; N a c h d r u c k b e i G. Olms, H i l d e s h e i m - N e w Y o r k 197 5 .
11.3
187
Orthogonale lateinische Quadrate
orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung
6
gibt. L. EULER
vermutete darüber hinaus, daß für keine Zahl
n=2 (mod 4)
orthogonales Paar lateinischer Quadrate der Ordnung
n
ein
exi-
stiert. Diese Vermutung blieb sehr lange unentschieden und wurde erst 1959 von R. C. BOSE und
S. S. SHRIKANDE
25
> durch die
Angabe eines Paares orthogonaler lateinischer Quadrate der Ordnung
22
negativ gelöst. Gleichzeitig gelang E. T. PARKER
26
>
die Konstruktion einer Reihe von Paaren orthogonaler lateinischer Quadrate, darunter auch der Ordnung
lo.
Kurze Zeit
später veröffentlichten R. C. BOSE, S. S. SHRIKANDE und E. T. 27)
PARKER Zahl
n>2,
gemeinsam einen Beweis, der zu jeder natürlichen n^6
die Existenz eines Paares orthogonaler lateini-
scher Quadrate der Ordnung
n
sichert. Wir verzichten auf die
Wiedergabe des komplizierten Beweises
28)
.
Neben ihrer Anwendbarkeit in der statistischen Versuchsplanung
29
> ist das Interesse an paarweise orthogonalen lateini-
schen Quadraten vorwiegend in der Herausforderung begründet, die diese so einfach formulierte Vermutung L. EULERs darstellte. In Satz (11.22) zeigen wir den engen Zusammenhang zwischen den Relationen des Verflochtenseins und der Orthogonalität lateinischer Quadrate. Uns scheint die der eleganten WITTschen Koordinatisierung der endlichen affinen Ebenen durch scharf 2-fach transitive Permutationsmengen angepaßte Definition des Verflochtenseins für geometrische Fragestellungen natürlicher als die der Orthogonalität. 25) On the falsity of Euler's conjecture about the non-existence of two orthogonal latin squares of order 4t 2, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 45. (1959) 734-737. 26)
Orthogonal latin squares, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 4_5 (1959 ) 859-862.
27) Further results on the construction of mutually orthogonal latin squares and the falsity of Euler's conjecture, Can. J. Math. 12 (19 6o) 39o-394. 2B)
vgl. J. DENES und A. D. KEEDWELL, op. cit., chap. 11. »> vgl. H. B. MANN, Analysis and design of experiments, Dover Publications, New York 1949. 2
11.
188
• (11.22)
Satz.
A=(a.1 .) »3
Es sei
der Ordnung b, .=j k,i J
n€N. n
:«=»
Lateinische
Quadrate
Für jedes lateinische Quadrat
wird durch a. . =k 1,3
für alle
i,j,k€Z 'J ' n
ein lateinisches Quadrat
iHA): = (b, .) definiert. ß ist eine x, i Permutation der Menge der lateinischen Quadrate der Ordnung n 3 mit Si =id. Zwei lateinische Quadrate A und B der Ordnung n
sind genau dann orthogonal, wenn
fi(A)
und
i2(B)
verfloch-
ten sind. Beweis.
Da in jeder Zeile
jede Zahl aus
Zn
(a. .,,a. „,...,a.
genau einmal auftritt, ist
)
von
iKA)
A wohldefi-
niert. Ebenso folgt: Da in jeder Zeile (bzw. Spalte) von jede Zahl aus
Zn
A
genau einmal auftritt, gilt dies auch für
die Spalten (bzw. Zeilen) von ft(A) ;
es ist also
lateinisches Quadrat der Ordnung
Wenngleich die Anzahl
n.
der lateinischen Quadrate der Ordnung Zahlen n£N
n
n
iHA)
ein
schon für kleine
unvorstellbar groß ist, so ist sie doch für alle
endlich. Somit folgt aus der Injektivität von
J2,
die
offensichtlich ist, die Bijektivität. 2 Es sei fi(A) = (b, K ,1.), £2 (A) = (c. ])K ,) und alle i,j,k€Z n gilt definitionsgemäß
also
a. . =k «-» b, .=j 1,: k,i J 0 (A)=A. _
fi3(A)=(d. 1,J .).
Für
• c. , =i «=» d. .=k, 3 ,k 1,3
Es seien nun
A=(a. .) und A'=(a'. .) zwei orthogonale 1 15 3 >3 i^,,k2€Z lateinische Quadrate der Ordnung n. Es seien 32:=bkifi2,,13i:=b'2>ii
(b^.): = i i (A'), 39:=bV i • Dann i 2' 2 Weiter setzen wir
ist
implizieren nun
(k.. ,k')^(ki ,k„) , -L i -L^
n
und
und k =a 4 =an- 4 O i -51 = a 5 V l'-'l 2'^2 l'-'l 2'^2 k!:=a. ., und kl:=a! • • Wenn nun 1 1 2'^2 1 1 (j1»j2)H3i>32) erfüllt ist, so sind fi(A) und iKA1 ) verflochten. Setzen wir 3i = 3^ voraus, so folgt ki = a'. . =a'. ., =k 0 . Die Voraussetzungen AJLA' und
und damit
jj^j^-
=a
,-
Also sind
fi(A)
also und
a. . =k.^k'=a. 2' 2 2* 2 ß(A*)
verflochten.
11.3
189
Orthogonale lateinische Quadrate
Es seien nun umgekehrt fi(A) = (b, .) und í2(Al) = (b¿ .) ver— Kjl Kjl flochtene lateinische Quadrate. Weiter seien i^,i2>j2ezn mit
und
J. £
k!:=a.
Wir setzen
k.:=a. .I 1 , k„:=al 2 2, -L 1 •. . Dann ist j.,=bv =b?, . und 1' 1 1' 1 2' 1 Weiter setzen wir . und
X L k':=a'.
und 2' 2 j'=b,t . =b' . . K 2 '1 2 l j„:=bv . . Wenn nun (k. ,k')*(k',k„) erfüllt ist, so sind £ 5 J*2 ± L 1 Z 4 A und A1 orthogonale lateinische Quadrate. Setzen wir k 2 ~ k 2 voraus, so folgt j.=b1*, 2' 1.! = b,*2'1.1 =ji. Die Voraussetzung i^ij
und die Verflochtenheit von
zieren nun damit
( j 1 ,j 2 )|( j^jjj) »
k^k^.
Quadrate.
Also sind
A
ß(A)
also
und
bk
A'
und = 5i2
ß(A' )
32^2
=b
impliund
k ^ ,i
orthogonale lateinische
o
Nach (11.22) und den Ausführungen in Abschnitt 11.2 gibt es zu jeder Primzahlpotenz
n
eine (n-l)-Menge paarweise orthogonaler
lateinischer Quadrate der Ordnung MACNEISH
30
• (11.23) von
Schon 1922 zeigte H. F.
> :
Satz.
n€N.
n.
Es sei
a a l a2 m n=p^ p 2 •••Pm
die Primzahlzerlegung a
a l 2 min{p^ ~1>P2
Dann gibt es zumindest
a
paarweise orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung Den Beweis • (11. 2>t)
31)
Satz. m,
n.
Es seien
n,m€N.
so gibt es auch
sche Quadrate der Ordnung Wir bezeichnen mit
Gibt es
N(n)
nm.
t
t
paarweise orthon
wie auch der
paarweise orthogonale lateini•
die maximale Anzahl paarweise ortho-
gonaler lateinischer Quadrate der Ordnung
n.
Für
n Euler squares, Ann. Math. 23. (1922) 221-227.
31)
•
der folgenden Verallgemeinerung übergehen wir.
gonale lateinische Quadrate sowohl der Ordnung Ordnung
m
vgl. etwa H. J. RYSER, Combinatorial Mathematias, Wiley, New York 196 3, p. 83.
11.
190
Lateinische Quadrate
gibt J. H. VAN LINT 32» in einer Tabelle untere Schranken für die Anzahlen N(n). R. M. WILSON 3 3 ) verbessert diese Schranken für die Ordnungen 3o, 36, 46 und 5o jeweils auf die Werte 3, 4, 4 bzw. 6. hinreichend große Zahlen
R. M. WILSON 3*> zeigt auch, daß für n£N die Abschätzung N(n)2:-/r?-2
gilt. Es sei an dieser Stelle auch darauf hingewiesen, daß die Sätze (11.16) und (11.17) in die Sprache der lateinischen Quadrate übersetzt werden können; (11.16) besagt dann etwa: Gilt N(n)>r-2 und n>|d H +d 3 +d 2 +|d mit d:=n-r, so folgt N(n)=n-1. Es seien
A
nung
Wenden wir nun
i) ii)
n.
und
B
auf A und tion oder
orthogonale lateinische Quadrate der OrdB
eine Permutation oder B an,
die gleiche Spalten- oder Zeilenpermutaaus
S^
auf die Komponenten von
A
so erhalten wir wiederum ein Paar orthogonaler lateinischer Quadrate. Die (11.19) vorausgehenden paarweise verflochtenen lateinischen Quadrate A^ , A^ und Ag sind auch paarweise orthogonal. Für dieses Phänomen geben wir eine geometrische Begründung: • (11.25)
Satz.
Es seien
n,r£N,
n>2,
r>3
und
A = { A ^ , . . • , A r _ 2 } eine standardisierte (r-2)-Menge paarweise verflochtener lateinischer Quadrate der Ordnung n. Wenn das durch A koordinatisierte Gewebe G(A)=(P,G) (unter Verwendung der Bezeichnungen aus (11.14)) das kleine Axiom von DESARGUES in Richtung K 1 erfüllt, so sind die Quadrate aus A auch paarweise orthogonal. 32)
Combinatorial Theory Seminar} Eindhoven Univ. of Technology, Lecture Notes in Math. 3 82, Springer, Berlin/Heidelberg 19 74, p. 117. 33) A few more squares, Proc. 5th S-E Conf. Combinatorics, Graph Theory and Computing (1974) 675-68o. 3I4) Concerning the number of mutually orthogonal latin squares3 Discrete Math. 9 (1974) 181-198.
11. 3
Orthogonale
Beweis.
lateinische
W i r nehmen a n ,
191
Quadrate
es gebe i n
A
zwei l a t e i n i s c h e
A=(a. .) und B=(b. . ) , die nicht orthogonal i>J i>J e z m i t i l T i 2 ' es I n d i z e s 2. ± , i 2 »:2 n (k,l):=(a.
. 1 1
sind.
,b.
>;
tezn},
H:={(t,a.
G':={(t,bi
t£Z
Es i s t
); 2' R^fR2,
},
denn s o n s t w ä r e
Pg=GnH
wäre m i t
p^
Es
ist
also
Nun s e i
denn s o n s t
Ebenso f o l g t
q^
t€Z
l i = c l2 =
Nach dem k l e i n e n Axiom von DESARGUES i n R i c h t u n g q3
mit
H' .
p^jq^ERg i1=i„
und
Aus
q3,q^eG'nH'
PgjqgEL^
im W i d e r s p r u c h
und
K^
inzidiert
und
G* |=H'
folgt
q g ^ -
Rg^L^
folgt
qg=Pg
und d a m i t
zur Voraussetzung.
•
Aus
11.
192
Lateinische Quadrate
Auf A. DÜRER's Kupferstich Melencolia aus dem Jahre 151t, der nach W. AHRENS
35
> d.iz allzgotii&zhz TX.guK dzK mathzmatXichzn
Foi-ie.ku.ng, umgzbzn von &tzKzomztn.lichzn Kön.pz>in.,allz>ilzl Werkzeugen zum Meißen, ZzXchnzn, Wägen uiu)., Xn zXnzx augznbLLckIXc.hzn Anwandlung dumpfen mztanc.holX& chzn HXnbfiützni und GfiUbzini dan.ite.Ztt, befindet sich eine 4-reihige quadratische Matrix mit Komponenten aus
die so angeordnet sind, daß
die Zeilen-, Spalten- und Diagonalsummen jeweils den Wert
34
ergeben. (Wir verzichten auf eine Wiedergabe dieses Stiches, da dessen Feinheiten bei einer Verkleinerung stark leiden 36)
müssten
. ) Dieses pandiagonale magische Quadrat versinnbild-
licht dabei dXz AfiXthmztXk, ebenso uiXz Kugel und Volye.de.Ji dz>izn gzomztuXhzhz Schwzitzt veikoApzin 3 5 >. Das berühmte Saturn4 9 2 Quadrat 3 5 7 soll auf dem Panzer einer göttlichen Schild8 16 kröte, die im dritten Jahrtausend v. Chr. dem Lo-Fluß in China entstieg, eingraviert gewesen sein. Die Araber waren es, cjlie die Theorie der magischen Quadrate zu ihren abergläubischen Zwecken entwickelt haben. Im 17. Jahrhundert wurden im Abendland die magischen Quadrate zu astrologischen und mystischen Beschwörungen übersinnlicher Mächte benutzt. Als Angebot für Okkultisten stellen wir nun ein Verfahren von L. EULER bereit, sich magische Quadrate, das sind 2
nxn-Matnzen, die alle Zahlen von
1
bis
n
enthalten, und
deren Zeilen- und Spaltensummen alle den gleichen Wert besitzen, herzustellen. • (11.26)
Satz.
Es seien
n€N
und
A=(a. .),
orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung durch Quadrat
m. .:=n(a. .-l)+b. . für alle i,: i,: i,] M:=(m. .) definiert.
i,j€Z 'J n
B=(b. .) n.
zwei
Dann wird
ein magisches 6
35) Mathematische Unterhaltungen und Spiele II, Teubner, Leipzig 1918.
36) wollen hiermit keineswegs den Kunstsinn unseres Bundespostministers schmähen, der es so gscheidlich versteht, eine Auswahl bedeutender Werke in hundertfacher Verkleinerung auf Briefmarkenformat dem Volke zugänglich zu machen.
11. Z
Orthogonale
Beweis.
Für alle
i , jJ , r , s € Z ' ' n n(a
lateinische
mit
i,j£Z
m. .=jn „ x,: r,s
und
i,j"1)+bi,j=n(ar,s-1)+br,s' n(a
Wegen
0 erzeugten Teilraum.
In diesem Abschnitt bringen wir einige Ergebnisse der projektiven Geometrie ohne Beweise. Die meisten Sätze gelten auch für projektive Räume über unendlichen Koordinatenkörpern, haben also keinen spezifisch kombinatorischen Charakter. Es wird aber oft wesentlicher Gebrauch von der Kommutativität der Körper gemacht.
12.1 Ist
Projektive T
ein Teilraum von
von
(P,G)
und
p£P\T,
aus g e n a u d e n P u n k t e n , die a u f d e n
p
m i t P u n k t e n aus
u n d je zwei P u n k t e
Eine Teilmenge T =
T
BczT
eines Teilraums
T* < ii' r i eG i\t z } f ü r i e z 2 Sen P-L »P2 »^i die Schnittpunkte s 1 :=
n , s 2 :=
n
und
s-:=n
auf einer Geraden.
Ein affiner Raum heißt PAPPUSsah, Abschluß PAPPUSsch ist.
•
wenn sein projektiver
12.1 Ist
Projektive V
199
Geometrie
ein Rechtsvektorraum über einem Körper
wie man leicht nachrechnet, der projektive Raum DESARGUESsch.
PG(V,K)
K,
so ist,
PG(V,K)
ist genau dann PAPPUSsch, wenn
kommutativer Körper ist. G. HESSENBERG
K
ein
zeigte, daß jeder
PAPPUSsche projektive Raum DESARGUESsch ist. In den Grundlagen der Geometrie zeigt man: • (12.2) Satz.
Jeder projektive Raum
(P,G)
einer Dimension *2
ist DESARGUESsch. Zu jedem mindestens zwei-dimensionalen DESARGUESschen projektiven Raum K
und einen Rechtsvektorraum
PG(V,K)
isomorph ist.
(P,G) V
gibt es einen Körper
über
K,
so daß
(P ,6)
zu
•
Nach Satz (12.2) ist auch jeder nicht zwei-dimensionale affine Raum
(L,L)
DESARGUESsch, und zu jedem mindestens zwei-dimen-
sionalen DESARGUESschen affinen Raum gibt es einen Körper und einen Rechtsvektorraum Raum zu
AG(L,K)
WEDDERBURN
L
über
K,
K
so daß dieser affine
isomorph ist. Nach einem Satz von J. H. M.
aus dem Jahre 1905 ist jeder endliche Körper
kommutativ und damit zu einem GALOISfeld
GF(n)
isomorph.
5)
Damit ist insbesondere jeder endliche DESARGUESsche projektive oder affine Raum PAPPUSsch. Ein geometrischer Beweis ist dafür nicht bekannt. Der zu einem DESARGUESschen (PAPPUSschen) projektiven Raum PG(V,K)
duale projektive Raum
ist selbst wieder DESARGUESsch
(PAPPUSsch). Er wird durch den zu V*
beschrieben. Es sei
ein Repräsentant des Punktes ebene von
PG (V ,K)
V
dualen Linksvektorraum
d+l = dimV
und
gibt genau eine lineare Transformation V; x
|PrL(d,n) |= j j ^ i r U d . n ) I
Der Kern der Restriktion von
und
—
a = 1.
SL(d,n) > V; x
a€K
xd=l,
a^" = l •»
Es gelte umgekehrt
Zahlen
r,s
mit
wenn
a^=l
t=dr+(n-l)s.
Weil die multiplikative Gruppe ist
a
n_1
=l,
t
also
r
s
a =l l =l.
der Lösungen der Gleichung aus über
K
x
K
Polynom
I PGL(d ,n) I =
V
Nun ist ein Element
der Gleichung
x
a^=l.
in
n-1
> xa
mit
a€K*
t|d
gilt
Es gibt zwei ganze at=(ad)r(an_1)s.
die Ordnung
n-1
hat,
Wir bestimmen jetzt die Anzahl Jedes der
ist eine Nullstelle des Polynoms x"t-l
GL(d ,n) I .
genau dann eine Lösung
Damit ist K
Es
besteht aus
gilt: Wegen
x
a€K x .
mit
auf
allen linearen Transformationen und
> xa
x
n-1 n-1
Elemente
-l,
das daher
verschiedene Linearfaktoren zerfällt. Das xn
teilt
und zerfällt deswegen in
schiedene Linearfaktoren. Lösungen der Gleichung
Es gibt damit genau t
x =l. Es folgt
t
t
ver-
verschiedene
|PSL(d,n)l= ^ISL(d,n)|. •
Die projektiven Räume einer Dimension 9
(Für den Fall, daß
eine Primzahlpotenz mit
m>2
ist,
kennt man sogar immer mehrere nicht-isomorphe projektive Ebenen n 7> .) Die bislang einzige
der Ordnung
Nicht-Existenz-Aussage 8
stammt von R. H. BRUCK und H. J. RYSER > : (12.10) Satz. nQ
Es sei
n€N,
n»l
sei der quadratfreie Faktor von
ps3(mod 4) gibt, die Ebene der Ordnung Beweis.
v:=n +n+l
Wenn es eine Primzahl
, so gibt es keine projektive
der Ordnung
n
zum Widerspruch. Wir setzen
und benennen die Punkte und Geraden von
a
wird die
teilt
n.
n®2(mod 4).
n.
iP-L.Pj»-• • »Pv>
=
nQ
9)
oder
Wir führen die Annahme der Existenz einer projektiven
Ebene (P,G) 2 p
n>2,
i,j
:=
und
G
= t6 1 ,G 2
0
falls
PjCG i
{l
falls
Pj£G^
Gv) .
(P,G):
Durch
(a. .) von (P,G) definiert. 1 »3 v+1 Die Menge der linearen Polynome > a.z. mit Koeffizienten 2=1 3 3 a^,...,av+^€Q bildet einen (v+l)-dimensionalen Untervektorraum den
vxv-Inzidenzmatrix
V
in der Algebra
v+1
Unbestimmten
Qtz^ ,z2 ,...,z v+ j] z^
,...
der Polynome in
über dem Körper
Q
der
rationalen Zahlen. Für i£Z v definieren wir Jjeweils das v Polynom L.:= > a. .z. aus V, wobei wir anmerken, daß L. 1 1 j = l 1' J J jeweils eine Linearkombination der in V linear unabhängigen Vektoren ist. Wir rechnen in Q[z^ ,z2 ,... ,z v + ^] (i)
7)
V
L-2 = ^ i=i 1 in
^^ Z af2 -zf 2 + 2-21 1,3 3 3=T i=i k i,k i,: k 3 i%frr
jjj-
n+1
a- , a. . z, z. = > k : ^ k
:
z, z. .
Aus (i) folgt damit v
, v Li = X I 1 fk V
(ü)
9
(n+l)zT + 3
„ kij
v+1 , 9 L? - n - g : z 2
g
k
:
n
Zahlen
, v zf + ( 1 irr
fk v
+ nz2+i
Nach einem Satz von J. L. LAGRANGE Zahl
v
z,z. =
. ( ^ 10)
, z.)
1
oder
„ z
i
=
0
•
läßt sich die natürliche
als Summe der Quadrate vierer nicht-negativer ganzer a,b,c,d schreiben: 9 9 9 9 n = a z +b +c z +d .
Wir definieren die Hxit-Matrix / a -b -c -d b a -d c A := c d a -b \ d -c b a, Es ist
detA = n 2 * 0.
Die Bedingung ist, d.h. die
nsl
v+1
oder
n*2(mod 4) besagt, daß
ist durch die Zahl
4
teilbar.
vs3
(mod 4)
Wir definieren
(v+1)*(v+1)-Block-Diagonalmatrix
T :=
v+1 Es ist
detT = n
2
* 0.
10 > Vgl. etwa G. H. HARDY und E. M. WRIGHT, Einführung in die Zahlentheorie, Oldenbourg, München 1958, S. 343, Satz 369.
210
12.
Geometrien
/z 1
/yl y 2
Durch
Endliche
:=
T-
lyv+l
Z
2
z
v+l/
definieren wir
v+1
Polynome
y-L > • • • > y v+i eV " D i e s e linearen Polynome bilden, weil T nicht-singulär ist und weil {z^zj,.. . ,zv+l^ e i n e Basis von V ist, auch eine Basis von V. Es sei nun i e z v > modH. Dann ist (a2+b2+c2+d2).(z?+z?+1+z?+2+zJ+3)
n.(z? + z? + 1 + z? + 2 + z? + 3 ) =
= (az i -bz i + 1 -cz i + 2 -dz i + 3 ) 2 + ( b z i + a z i + 1 - d z i + 2 + c z i + 3 ) 2 + (cz.+dz., a.y. 1 lTl 1 1
ist, so sei
gesetzt; im Fall _ y l
i}
läßt sich als Linearkombination
schreiben. Wenn _
z
a. a^l
setzen wir
v+1 -a. Z I ~ T y i1 i= 2
In beiden Fällen gilt
L 2 | y ^ : __ = y 2 .
In (iii) setzen wir
12.1
Projektive
21
Geometrie
in die Variable
y^
ein und erhalten die Polynomidentität
v , v+1 „ , v ( T " Lf - T " yf + nz , - ( 1 V+1 £2 1 tk m In diese Gleichung setzen wir für gewählte Linearkombination mit
=
L
y2 ^ 2ly •-y ^
e
y2
y2
, z-) )| 1 iyi := yi =
0
n
•
eine entsprechend
der Polynome
y^»y^ ,...»y v+1
n
i - Dieses Verfahren setzen wir fort,
bis wir schließlich zu einer Polynomidentität hat den Begriff der quadratischen Menge in
einem projektiven Raum als Verallgemeinerung des Quadrik-Begriffs geprägt: Eine Gerade
G€G
Es sei
(P,G)
Passante von und 11)
ein projektiver Raum und
QCRP.
heißt Q.,
falls
GflQ.= 0,
Tangente von
falls |GnQ.I=l
Sekante
falls I GnQ.1 = 2.
von
Ensembles quadratiques (1969) 3o6-318.
oder
des espaaes projeatifs,
G
oder (viii)
f
2
•
o
2
g
2
• 0 (mod p ). r
o
Nach (vi) folgt n
Da
nQ
2 oeo
s
0
9
(mod
}
P
•
quadratfrei ist, folgt e
(ix)
o
s
0 (mod
P2)•
Die Kongruenzen (viii) und (ix) sind ein Widerspruch zur 2
Teilerfremdheit von
2
e ,f o' o
2
und
g . °o
•
Wir ziehen eine Folgerung aus (12.10): • (12.11) Satz.
Es gibt keine projektive Ebene einer Ordnung
n=6 (mod 8). Beweis.
Es ist
n®2 (mod 4). Es sei
tor von
n
n=n m 2 .
etwa
und
—
m=2m+l,
|(n o m 2 + 2)€N,
also also
m
2
Es ist —2
—
QUADRATISCHE
F. BUEKENHOUT
11
der quadratfreie Fakm«l(mod 2),
°
.
= 4m +4m+l • 1 (mod 4). Weiterhin ist
j n Q m 2 s 3 (mod 4). Damit folgt
aus (12.10) folgt damit (12.11). 12,2
nQ
n =0(mod 2) und
|-n o =3(mod 4),
•
MENGEN
> hat den Begriff der quadratischen Menge in
einem projektiven Raum als Verallgemeinerung des Quadrik-Begriffs geprägt: Eine Gerade
G€G
Es sei
(P,G)
Passante von und 11)
ein projektiver Raum und
QCRP.
heißt Q.,
falls
GflQ.= 0,
Tangente von
falls |GnQ.I=l
Sekante
falls I GnQ.1 = 2.
von
Ensembles quadratiques (1969) 3o6-318.
oder
des espaaes projeatifs,
G2
und
Q. ein Ovoid in
d-dimensionalen projektiven Raum
Dann ist
d=2
Beweis.
oder
Interesse
(P,G)
vor.
der Ordnung
n.
d=3.
Wir führen die Annahme der Existenz eines Ovoids in
einem d-dimensionalen projektiven Raum Widerspruch; dabei dürfen wir
d=4
(P,G)
selbst ein Ovoid ist. der Punktmenge (P,G),
die
Blöcken.
d>i+
zum
voraussetzen, weil in jedem
vier-dimensionalen projektiven Teilraum mindestens zwei Punkte mit
mit
(P,G),
der
Q. gemeinsam hat, die Menge
TflQ.
Es sei
(Q.,B)
T
von
die Inzidenzstruktur mit
Q. und den drei-dimensionalen Teilräumen von
Q. in mindestens zwei Punkten schneiden, als
Es sei
Geraden aus
G
p€£.
Von den
P(0,3,n)
mit
schneidet jede, - außer den
unter ihnen, die in
p
inzidenten
P(0,2,n)
Geraden
liegen, - das Ovoid in genau einem
weiteren Punkt. Damit ist 141
=
Jeder Block schneidet aus 2 genau
n +1
jeder der
mit
l .
Q. ein Ovoid aus, inzidiert also mit
Punkten aus P(2,3,n)
+
Von p
abgesehen schneidet
inzidenten drei-dimensionalen pro-
jektiven Teilräume von (P,G) das Ovoid Punkt; damit gehen durch jeden Punkt von 12
> W. HEISE, Bericht (1971) 197-22M-.
über
K-affine
Q. in mehr als einem 2. genau n 3 +n 2 +n
Geometrien,
J. Geometry 1
12.2
Quadratische
Blöcke.
215
Mengen
Aus der Parametergleichung
vr = bk für taktische 2 Konfigurationen schließen wir, daß k:=n +1 die Zahl vr = (n 3+l)(n 3+n 2+n) teilt. Nun ist aber (n 3 +l)(n 3 +n 2 +n) « n-1 (mod(n2 + l))} damit ist aber zahlig.
^
auch bei wohlwollender Prüfung nicht ganz-
a
Wir untersuchen zunächst die Ovoide in zwei-dimensionalen proQfP
jektiven Räumen, die Ovale. Eine k-Teilmenge jektiven Ebene von
(P,G)
einer pro-
heißt k-Kurve, wenn keine drei Punkte
Q. kollinear sind. Im DESARGUESschen Fall besagt diese
Bedingung, daß für je drei in homogenen Koordinaten geschriebene Punkte
xK x ,yK*,zK x
aus
Q. die Vektoren
x,y
und
z
linear unabhängig sind. • (12.1t) Satz. n
In jeder projektiven Ebene
Beweis. Ist
Q. eine (n+l)-Kurve in
Verbindungsgeraden von
q
(P,G),
Q..
Damit gibt es genau eine mit
von
Q.;
es ist
G=
Es sei umgekehrt
Q. ein Oval in q
Geraden aus
Sekanten von
Q,.
Q. eine
Ebene
(P,G)
p€P\Q.
inzidenten Tangenten von
Q..
der Ordnung
h
q
(P,G)
sind alle anderen
• (12.15) Satz. Es sei
Beweis. Es sei
genau die {q}
n
Sekanten
inzidente Tangente
G
Q.q-
Tangente durch G
so sind von den
q£
Endliche
Geometrien
entdeckte 1952 eine Eigen-
schaft von Ovalen, die in der endlichen Geometrie von zentraler Bedeutung ist: (12.16) Satz. (P,G)
Es sei
der Ordnung
kein Punkt aus
P
Q. ein Oval in einer projektiven Ebene
n.
Wenn
n
ungerade ist, so inzidiert
mit drei Tangenten von
ist, so schneiden sich alle Tangenten von dem Knoten Beweis. q
Wenn
n
gerade
von Q_.
Es sei
q€£
T:=
und
inzidente Tangente von
von
Q..
2. in einem Punkt,
Q. schneidet
T
£q
Q,.
die eindeutig bestimmte, mit
Jede der anderen
in einem der von
q
n
Tangenten
verschiedenen Punk-
te. Wenn diese Schnittpunkte nicht alle verschieden sind, so gibt es einen Punkt ist. Wenn
n
p£T,
durch den
T
die einzige Tangente
ungerade ist, liefert dieser Umstand einen Wider-
spruch zu (12.15) und damit die erste Aussage des Satzes. Es sei nun
n
eine gerade Zahl,
Wir nehmen an, nicht alle
n+1
p€Q\{q}, mit
seien Tangenten von
Q..
Sekante
Zu jedem Punkt
S
von
l£)\SI=n-lsl Da
Q
£).
mod2
genau
n+1
t
T' : = Q^
t:=Tf1T'.
inzidenten Geraden
Dann gibt es eine mit s€S
mindestens eine mit
und t
inzidente
gibt es wegen s
inzidente Tangente.
Tangenten besitzt, ist diese mit
s
inzi-
dente Tangente eindeutig bestimmt. Das ist ein Widerspruch zu T*T 1 Ist t
und ^
Tf1T'=t€S.
•
ein Oval in einer projektiven Ebene gerader Ordnung,
sein Knoten und
qE£,
SO ist
(Q\{q})U{t}
wieder ein Oval.
Das geht aus Satz (12.14) hervor. In einer PAPPUSschen projektiven Ebene einer geraden Ordnung
n>8
gibt es deswegen und
weil jeder nicht-ausgeartete Kegelschnitt durch fünf seiner Punkte festgelegt ist, Ovale, die keine Kegelschnitte sind. Es sei
(P,G)
ein Oval. Wenn
eine projektive Ebene der Ordnung n
n
und Q) Passanten. Durch jeden äusseren Punkt von Q. gehen nach (12.16) zwei Tangenten, also 1 1 1 •j-(n-l) Sekanten und (n+l)-2-j(n-l) = Passanten. Durch jeden inneren Punkt von Q. gehen insgesamt -^(n+l) 1 1 kanten und damit (n+l)-^(n+l) = -jin+l) Passanten. Durch
Se-
Dualisierung erhalten wir auch die restlichen Aussagen des Satzes.
•
Eine k-Kurve
Q_ in einer projektiven Ebene heißt vollständig ,
wenn es in dieser Ebene keine (k + l)-Kurve
2.'
mit
Os^O.'
gibt
Fragen der Vollständigkeit von k-Kurven haben hauptsächlich italienische Mathematiker wie A. BARLOTTI, L. LOMBARDO-RADICE, B. SEGRE und G. TALLINI behandelt. Wir beschränken uns in diesem Zusammenhang auf einen Satz von R. C. BOSE 1 zeigten, daß in einem drei-dimen-
sionalen projektiven Raum der Ordnung
n
keine (n+2)-Kurven
existieren: • (12.20) £
Satz.
Es sei
eine k-Kurve in
p
eine Primzahl, ; m£N,
PG(3,n).
Dann ist
k2
ist ein Ovoid. Es
(P,G).
2 Beweis. Es sei m€N und Q. eine (n +m)-Kalotte in (P,G), die in keiner (n2+m+l)-Kalotte aus (P,G) enthalten ist. Wir wählen einen beliebigen Punkt p€£. Wenn m=l ist (dies o ist das Ergebnis von BOSE und QVIST) , so inzidieren genau n Sekanten von Q. mit p. Damit gibt es dann genau (n 2 +n+l)-n 2 = n+1 mit p inzidente Tangenten T ',T1 ,T ,. . . ,Tn von Q.. Wenn nun neben der Voraussetzung m=l für jede Ebene B aus (P,G) mit TcB und |BnQ.I>2 stets die Bedingung IBnQ.I=n+l gilt, so verteilen sich die n von p verschiedenen Punkte aus Q. zu je n Stück auf genau n der n+1 Ebenen durch T. Es gibt also genau eine Ebene A in (P,G) mit A(1 Q.= {p} . A enthält genau n+1 mit p inzidente Geraden; die sind alle Tangenten von Q.. Es folgt Axiom (QM 2) : n A =
ßp.
Q. ist also unter den angegebenen Bedin-
gungen, die wir jetzt nachweisen, ein Ovoid. Wir unterscheiden zwei Fälle: 1 ) n ist_ungerade. Es sei und
q
inzidenten Ebenen aus
(12.18) außer in Punkten. Es folgt mit
m=l.
p
und
q
(P,G)
Jede der
Gäbe es nun eine Ebene p
und
n+1
schneidet
noch in maximal B q,
mit
p
Q. nach
n-1
weiteren
2
Aus
m>l
folgt da-
aus
(P,G),
die
Q.
I Q.I .
Die Definition einer BENZ-Ebene können wir als den ersten Schritt einer Definition durch Rekursion ansehen: Es sei Eine Inzidenzstruktur a«) Minkowski-Ebenen
(B,K) gerader
m£N.
heißt MÖBIUS-m-Struktur , Ordnung, J. Geometry S (1974) 83.
35)
Symmetrische Minkowski-Ebenen, J. Geometry _3 (1973) 5-20. Vollkommen fanosche Minkowski-Ebenen, J. Geometry _3 (1973) 21-29.
361
A Pasaal theorem applied 3 (1973) 93-102, 103-105.
37
to Minkowski
geometry,
J. Geometry
> M. PERCSY. A characterization of classical Minkowski planes over a perfect field of characteristic two, J. Geometry 5_ (197H) 191-2o4.
12.4
Endliche
hyperbolische
b z w . MINKOWSKI-m-Struktur,
LAGUERRE-m-Struktur, p£B
235
Ebenen
die Ableitung
(B,K)p
im Punkte
p
wenn für
j e w e i l s eine
(m-1)-Struktur, eine LAGUERRE-(m-1)-Struktur bzw. MINKOWSKI-(m-1)-Struktur
eine
ist. D a b e i sei eine M Ö B I U S - ,
bzw. MINKOWSKI-O-Struktur
als a f f i n e , d u a l - a f f i n e
MINKOWSKI-affine Ebene definiert
38)
alle
MÖBIUSLAGUERRE-
bzw.
. D i e Ordnung
einer
solchen
Geometrie definieren wir invariant gegenüber dem Ableitungsp r o z e s s . Die e n d l i c h e n M Ö B I U S - m - S t r u k t u r e n d e r O r d n u n g d e n w i r im A b s c h n i t t 12.5 als S T E I N E R s c h e
n
wer-
Systeme vom Typ
o SCm+2,m+n,m+n Ordnung
n
)
mitbehandeln. Die LAGUERRE-m-Strukturen
s i n d g e r a d e die o p t i m a l e n
der
(m+n,m+2)-Geometrien,
ü b e r die i n A b s c h n i t t 13.3 zu b e r i c h t e n s e i n w i r d .
Den
MINKOWSKI-m-Strukturen der Ordnung
entsprechend
d e n S ä t z e n (11.13) u n d (11.14) Permutationsmengen vom Grad
n
lassen sich
scharf
m+n
(m+2)-fach
zuordnen. Für weitere
h e i t e n v e r w e i s e n w i r auf die L i t e r a t u r
12,4
ENDLICHE
E s sei
n
HYPERBOLISCHE
P u n k t . Es sei von
Q..
H
(12.27) ist
H
die Menge der mit
Q.
in mindestens
denzstruktur metrie
der
p
n.
Einzel-
.
ein Ovoid im
der Ordnung p
n
drei-dimensio-
und
inzidenten
p€P\Q.
i n z i d e n t e n E b e n e n aus das Ovoid-Modell
der
ein
Sekanten
|HI =-|( I £1 - ( n + 1 ) ) = | ( n 2 - n ) . (P,G),
sei
Inzi-
hyperbolischen
Ihre S t r u k t u r w e i s t A n a l o g i e n
Es
die
z w e i P u n k t e n s c h n e i d e n . W i r n e n n e n die
(H,W,c)
Ordnung
(P,G)
Q.
die Menge der mit
Nach Satz
39)
EBENEN
eine P r i m z a h l p o t e h z ,
nalen projektiven Raum
transitive
Geo-
zum
38 > R. P E R M U T T I d e f i n i e r t e als e r s t e r d e n B e g r i f f d e r M Ö B I U S m - S t r u k t u r : Una generalizzazione dei piani di Möbius, Le M a t e m a t i c h e 22 (1967) 3 6 0 - 3 7 4 . D i e L A G U E R R E - u n d M I N K O W S K I - m - S t r u k t u r e n wurcTen v o n W. H E I S E u n d H. K A R Z E L e i n g e f ü h r t : Laguerreund Minkowski-m-Strukturen, R e n d . Ist. di M a t e m . U n i v . T r i e s t e 4 (1972) 1 3 9 - 1 4 7 . 39 > v g l . die B i b l i o g r a p h i e in W. H E I S E u n d H. S E Y B O L D , Das Existenzproblem der Möbius-, Laguerreund Minkowski-Erweiterungen endlicher affiner Ebenen, S i t z . - B e r . B a y r . A k a d . d. W i s s . M a t h . - N a t . Kl. 1 9 7 5 , 43-58.
12.4
Endliche
hyperbolische
b z w . MINKOWSKI-m-Struktur,
LAGUERRE-m-Struktur, p£B
235
Ebenen
die Ableitung
(B,K)p
im Punkte
p
wenn für
j e w e i l s eine
(m-1)-Struktur, eine LAGUERRE-(m-1)-Struktur bzw. MINKOWSKI-(m-1)-Struktur
eine
ist. D a b e i sei eine M Ö B I U S - ,
bzw. MINKOWSKI-O-Struktur
als a f f i n e , d u a l - a f f i n e
MINKOWSKI-affine Ebene definiert
38)
alle
MÖBIUSLAGUERRE-
bzw.
. D i e Ordnung
einer
solchen
Geometrie definieren wir invariant gegenüber dem Ableitungsp r o z e s s . Die e n d l i c h e n M Ö B I U S - m - S t r u k t u r e n d e r O r d n u n g d e n w i r im A b s c h n i t t 12.5 als S T E I N E R s c h e
n
wer-
Systeme vom Typ
o SCm+2,m+n,m+n Ordnung
n
)
mitbehandeln. Die LAGUERRE-m-Strukturen
s i n d g e r a d e die o p t i m a l e n
der
(m+n,m+2)-Geometrien,
ü b e r die i n A b s c h n i t t 13.3 zu b e r i c h t e n s e i n w i r d .
Den
MINKOWSKI-m-Strukturen der Ordnung
entsprechend
d e n S ä t z e n (11.13) u n d (11.14) Permutationsmengen vom Grad
n
lassen sich
scharf
m+n
(m+2)-fach
zuordnen. Für weitere
h e i t e n v e r w e i s e n w i r auf die L i t e r a t u r
12,4
ENDLICHE
E s sei
n
HYPERBOLISCHE
P u n k t . Es sei von
Q..
H
(12.27) ist
H
die Menge der mit
Q.
in mindestens
denzstruktur metrie
der
p
n.
Einzel-
.
ein Ovoid im
der Ordnung p
n
drei-dimensio-
und
inzidenten
p€P\Q.
i n z i d e n t e n E b e n e n aus das Ovoid-Modell
der
ein
Sekanten
|HI =-|( I £1 - ( n + 1 ) ) = | ( n 2 - n ) . (P,G),
sei
Inzi-
hyperbolischen
Ihre S t r u k t u r w e i s t A n a l o g i e n
Es
die
z w e i P u n k t e n s c h n e i d e n . W i r n e n n e n die
(H,W,c)
Ordnung
(P,G)
Q.
die Menge der mit
Nach Satz
39)
EBENEN
eine P r i m z a h l p o t e h z ,
nalen projektiven Raum
transitive
Geo-
zum
38 > R. P E R M U T T I d e f i n i e r t e als e r s t e r d e n B e g r i f f d e r M Ö B I U S m - S t r u k t u r : Una generalizzazione dei piani di Möbius, Le M a t e m a t i c h e 22 (1967) 3 6 0 - 3 7 4 . D i e L A G U E R R E - u n d M I N K O W S K I - m - S t r u k t u r e n wurcTen v o n W. H E I S E u n d H. K A R Z E L e i n g e f ü h r t : Laguerreund Minkowski-m-Strukturen, R e n d . Ist. di M a t e m . U n i v . T r i e s t e 4 (1972) 1 3 9 - 1 4 7 . 39 > v g l . die B i b l i o g r a p h i e in W. H E I S E u n d H. S E Y B O L D , Das Existenzproblem der Möbius-, Laguerreund Minkowski-Erweiterungen endlicher affiner Ebenen, S i t z . - B e r . B a y r . A k a d . d. W i s s . M a t h . - N a t . Kl. 1 9 7 5 , 43-58.
236
12.
Endliche
Geometrien 40
POINCARfi-Modell der klassischen hyperbolischen Geometrie auf. Zu je zwei verschiedenen 'Punkten' aus eine mit ihnen inzidente 'Gerade' aus so inzidiert jede Gerade aus
H.
H Wenn
>
gibt es genau n
gerade ist,
mit genau 2. Punkten aus H. 1 2 Wenn n ungerade ist, so inzidieren ^-(n +n) Geraden mit je 1 1 2 1 •j(n-l) Punkten und -n) Geraden inzidieren mit je -jCn+l) Punkten; in diesem Fall ist
H
(H,H,e)
nämlich zur Inzidenz-
struktur, die aus den inneren Punkten eines nicht-ausgearteten Kegelschnitts in
PG(2,n) und den Spuren der Sekanten und Pas-
santen dieses Kegelschnitts besteht, isomorph. Die Anzahlaussage ergibt sich aus (12.17). Allgemeiner kann man, ausgehend von den inneren Punkten, den Sekanten und den Passanten eines Ovals in einer projektiven Ebene ungerader Ordnung eine Inzidenzstruktur bilden, die dem KLEINschen Modell der klassischen hyperbolischen Geometrie
nachempfunden ist.
Entsprechend dem Ovoid-Modell der der hyperbolischen Geometrie können wir mit einer ringartigen Quadrik an Stelle des Ovoids eine hyperbolische Ebene konstruieren, die im Fall
n®l
mod2
zur Geometrie der äußeren Punkte eines Kegelschnitts in PG(2,n)
isomorph ist. Die Einzelheiten überlassen wir dem
Leser und verweisen auf die Literatur
1,1
> .
*»°> vgl. etwa H. KARZEL, K. SÖRENSEN und D. WINDELBERG, Einführung in die Geometrie. Vandenhoeck & Ruprecht. Göttingen 1973. 41 > R. J. BUMCROT, Finite hyperbolic spaces, Atti del Convegno di Geometria Combinatoria e sue Applicazioni, Perugia 1971, 113-130. Pn D. W. CROWE, The trigonometry of GF(2 ) and finite hyperbolic planes, Mathematika (1964) 83-88. D. W. CROWE, The construction of finite regular hyperbolic planes from inversive planes of even order, Colloq. Math. 1_3 (1965) 247-25o.
D. W. CROWE, Projective and inversive models for finite bolic planes, Mich. Math. J. 13 (1966) 251-255.
hyper-
L. J. DICKEY, Construction of absolute and hyperbolic planes from ruled surfaces and ovoids in three dimensional projective geometries, PhD Thesis, University of Wisconsin 1970. T. G. OSTROM, Ovals and finite Bolyai-Lobachevsky Math. Monthly £9 (1962) 899-901.
planes,
Amer.
12.5
STEINEEsohe
12,5
STEINERSCHE
237
Systeme SYSTEME
In diesem A b s c h n i t t untersuchen wir eine gemeinsame
Verallge-
meinerung der affinen und projektiven R ä u m e , der M ö b i u s - m Strukturen und der Ovoidmodelle der h y p e r b o l i s c h e n G e o m e t r i e gerader Ordnung. Es seien
t,k,v€N
mit
t dieses Problem bereits 1847 gelöst. Für den ziemlich tüfteligen Beweis verweisen wir auf das Lehrbuch von M. HALL •»»> . H. HANANI *«> zeigte 1960, daß
Quadrupel-
systeme, das sind STEINERsche Systeme vom Typ
S(3,4,v)
dann existieren, wenn
gilt.
42>
Combinatorisahe
v=2
Aufgabe,
oder
va4 (mod 6)
genau
J. reine angew. Math. 4_5 (1853) 181-182.
*3) Uber eine Steinersohe Aufgabe, welehe im 45sten Bande dieses Journals, Seite 181 gestellt worden ist, J. reine angew. Math. (1859) 326-344. 1844 stellte W.S.B. W00LH0USE im "Lady's and gentleman's" diary" die Preisaufgabe, die Anzahl der k-Teilmengen einer v-Menge zu bestimmen, die sich unter der Beschränkung angeben lassen, daß je t Elemente in nie mehr als einer dieser k-Teilmengen liegen. Die einzige Lösung kam von Reverend T.P. KIRKMAN,
12.5
STEINERsahe
239
Systeme
Wenn die Nichtexistenz eines STEINERschen Systems vom Typ S(t,k,v)
nachgewiesen ist, so existiert trivialerweise auch
kein STEINERsches System vom Typ
S(t+1,k+l,v+l)
für alle
(Fortsetzung) On a problem in combinations, Cambridge and Dublin Math. J. 2 (1847) 191-204, eben für den Fall t=2 und k=3. Die Beschäftigung mit dieser Preisaufgabe regte Reverend T.P. KIRKMAN " " O l an, "die Ehre zu erhalten, als erster die berühmten fünfzehn jungen Damen auf unserem Planeten vorzustellen" (vgl. T.P. KIRKMAN, Educ. Times Reprints 11 (1869) 99). In A note on an unanswered prize question, Cambridge and Dublin Math. J. 5 (1850) 260,stellte KIRKMAN diese Aufgabe: Fünfzehn Schulmädchen gehen jeden Tag miteinander spazieren, je drei in einer Reihe; wie sind die Anordnungen für die einzelnen Tage zu treffen, wenn im Laufe einer Woche jedes Mädchen gerade einmal mit jedem anderen in einer Reihe gehen soll? Dieses KIRKMANsche Schulmädchenproblem geht wegen seiner Nebenbedingung über die Angabe eines STEINERschen Systems vom Typ S(2,3,15) hinaus: Die 35 Blöcke eines solchen Tripelsystems sollen sich ja in sieben Partitionen der 15-Menge der Pensionatsdamen einteilen lassen. Die ersten Lösungen gaben A. CAYLEY, On the triadio arrangements of seven and fifteen things, Philos. Magaz. 3_7 (1850) 50, und T.P. KIRKMAN, On the triads made with fifteen things, Philos. Magaz. 3_7 (1850) 169. Wir geben hier die CAYLEYsche Lösung: Den jungen Damen geben wir die Namen a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,1,m,n ,o und stellen die folgenden Anordnungen zum Spaziergang auf: So. afk bgl chm din ej o
>2' Mo.
Di.
Mi.
Do.
Fr.
abe cno dfl ghk ijm
aim bcf deh gio jkn
ado bik cjl egm fhn
agn bdj cek fmo hil
ah j bmn cdg efi klo
Sa.
aci bho dkm ein fgj J.J. SYLVESTER behauptet in Note on the historical origin of the un8ymmetriaal six-valued function of six letters, Philos. Magaz. 21 (1861) 369-377, er sei mit dem Schulmädchenproblem, "which flattered so many a gentle bosom", schon Jahre vor seiner Veröffentlichung '•'•»D befaßt gewesen. Möglicherweise, so schreibt SYLVESTER, habe er Studenten in Cambridge von diesem Problem erzählt und dieses sei dann über Kanäle, die nicht mehr zu rekonstruieren seien, weitergegeben. Dagegen steht die Feststellung W.S.B. WOOLHOUSEs die Priorität gebühre T.P. KIRKMAN. Query. Lady's and Gentleman's Diary 1850 , 48. 2)
*"*» Wir ignorieren die jüngste staatliche Anordnung, die Woche habe mit dem Montag zu beginnen. «4,3) Philos. Magaz. 22 (1861) 511. Combinatorial
*6)
On quadruple
theory, systems,
Blaisdell. Waltham/Mass. 1967 , 239ff. Canad. J. Math. 12 (1960) 145-157.
240
12.
< 1€N q .
E. WITT
Endliche
Geometrien
gab ein einfaches Nichtexistenz-Kriterium
für STEINERsche Systeme mit
t=2,
das die nach (12.33) noch
mögliche Existenz von STEINERschen Systemen der Typen S ( 2 ,6 ,16) ,
S(2 ,6 ,21)
und
S(3,7,22)
verneint:
(12.3t) Satz.
Für jedes STEINERsche System
S(2,k,v)
k Taotical Memoranda, Amer. J. Math. 18 (1896) 264-303.
12.
244 • (12.41)
Satz.
Es sei
aller 4-Teilmengen (P,B)
P:=GF(2 d )
d>2 ,
{a,b,c,e}cP
mit
Es seien
a,b,c£P
e:=a+b+c. Dann ist (12.42)
Satz. bzw.
die Menge
S(3,4,2 d ).
e*a,b,c
Es seien
und es gilt
v,v'£N
mit
(P,B)
S(3,4,v')
a+b+c+d=0.
v,v'>4.
bzw.
•
Ausgehend von
(P'jB'), vom Typ
läßt sich ein STEINERsches System
vom Typ
S(3,4,vv')
Beweis.
herstellen.
Die Punktmenge unseres zu konstruierenden
Systems bestehe aus allen Paaren Blöcke
B
Dann ist
drei verschiedene Elemente und
zwei STEINERschen Systemen S(3,4,v)
Geometrien
und
a+b+c+e=0.
ein STEINERsches System vom Typ
Beweis.
•
d£N,
Endliche
{a,b,c,d}£B
und
(p ,tr) £PxP' . ,6} €B 1
{a , ß
STEINERschen
Für je zwei
erklären wir die Punkt-
mengen {(a,a) ,(b,a) ,(c,a) ,(d ,a)} ,
{(a,a) ,(b,a) ,(c,ß) ,(d,ß)} ,
{(a,a),(a ,ß) ,(b,a) , (b,ß)} ,
{(a ,oü , (a,ß) , (a ,y) , (a ,6)} ,
{(a,a),(a,ß),(b,r) ,(b,6)} ,
{(a,a),(b,ß),(c ,r) , (d, 6)}
zu Blöcken des neuen STEINERschen Systems. • (12.43)
Satz.
Es sei
STEINERschen System
v€N
(P,B)
Ausgehend von einem
S(3,i+,v)
S(3,4,2v)
läßt sich ein
herstellen.
Die Punktmenge unseres zu konstruierenden
Systems bestehe aus allen Paaren Block
v>H.
vom Typ
STEINERsches System vom Typ Beweis.
mit
n
{a,b,c,d}£B
Für jeden
erklären wir die Punktmengen
{(a,0),(b,0) ,(c,0) ,(d,0)} , {(a,0) ,(a,l),(b,0),(b,l)} Systems.
(p,i)£Px{0,1}.
STEINERschen
{(a ,0) , (b ,0) , (c ,1) , (d ,1)}
•
Außer den trivialen STEINERschen Systemen vom Typ und
und
zu Blöcken des neuen STEINERschen
S(t,k,k)
kennt man außerordentlich wenige
Systeme vom Typ
S(t,k,v)
mit
t>3.
S(t,t,v)
STEINERsche
Die STEINERschen Systeme
2
vom Typ
S(2+m,n+m,n +m)
der Ordnung
n.
sind gerade die MOBIUS-m-Strukturen
Nach (12.33) kommen nur die Zahlen
n = 2,3,4,8,10,13,18,28,58
als Ordnung einer MÖBIUS-2-Struktur
12.S
STEINERsche
in Frage. Für
n=2
existiert für jedes
STEINERsche System vom Typ wir die Zahlen
245
Systeme das triviale
S(2+m,2+m,4+m).
n = 10,18,28,58
Nach (12.31) können
als mögliche Ordnungen einer
MÖBIUS-Ebene ausschließen; damit existiert für diese Zahlen
n
2
auch kein STEINERsches System vom Typ
S(H,n+2,n +2).
Existenz eines STEINERschen Systems vom Typ SC+,10,66)
Die
SC+,6,18)
und
haben wir bereits ausgeschlossen; es gibt also
auch keine MÖBIUS-2-Strukturen der Ordnung
und
n=8. Ob
es eine MÖBIUS-2-Struktur der Ordnung 13, d.h. ein STEINERsches System vom Typ
S(4,15,171)
gibt, ist fraglich; die Ableitungen
einer solchen Geometrie wären in jedem Punkt des Systems nichtMIQUELsche MÖBIUS-Ebenen der Ordnung 13, aber schon deren Existenz erscheint uns unwahrscheinlich. Nach (12.33) existiert keine MÖBIUS-3-Struktur der Ordnung
13.
Ebenfalls nach
ist die Existenz eines STEINERschen Systems vom Typ
(12.33)
S(6,7,13)
ausgeschlossen. Das Existenzproblem für MÖBIUS-m-Strukturen mit m>2
erledigen wir (abgesehen vom Fall der Ordnung
n=13)
ab-
schließend mit dem folgenden Satz:
•
( 1 2 . S a t z .
Es gibt ein STEINERsches System vom Typ
S(5 ,6 ,12) . Beweis.
Es sei
eine zu
E
E
eine Ebene in
a,b,c,d
gegeben, von denen keine drei kollinear sind. Wir be-
windschiefe Gerade. In
PG(4,3) E
und
G = {e,f,g}
seien vier Punkte
246
12. 1: =n ,
zeichnen
2 : =n
Auf den Verbindungsgeraden
,
liegen noch jeweils zwei Punkte die weder in
E
noch auf
vier Punkte aus aus
P'
von
PG(4,3)
P'
Endliche
G
,
4,5,
und
sind komplanar.
3 : =f).
6,7,
8,9
liegen. Es sei
Geometrien
und und
10,11 ,
P':=Z^.
Keine
Der von je vier Punkten
aufgespannte drei-dimensionale projektive Teilraum enthält noch einen fünften Punkt aus
haben wir ein STEINERsches System konstruiert. Es sei nun
P:=Z^
B: = {BU {12} ; BeB'}U{P'\B; B6B'} . 1
(P ,B')
(P',B') un
55
>
Damit
S(4,5,ll)
d
(P,B)
ein STEINERsches System vom Typ
W. OBERSCHELP
vom Typ
P'.
ist als Erweiterung von S(5,6,12).
•
hat eine Anwendungsmöglichkeit für die in
(12.44) konstruierte MÖBIUS-3-Struktur der Ordnung 3 gegeben. Durch eine - mehr oder weniger kriminelle - Eingebung sind wir gewiß, daß in der nächsten Ziehung der "6 aus 49"-Lotterie die sechs richtigen Zahlen aus 12 uns bekannten Zahlen a^
,. . . ja^^Z^g
gezogen werden. Um mit Sicherheit den ersten
Rang zu gewinnen, d.h. in einem Lottoschein die sechs richtigen 12 Zahlen anzukreuzen, müssen wir (g )=924 Tips abgeben. Wenn wir uns aber mit dem zweiten Rang zufrieden geben, d.h. mit Sicherheit auf einem Lottoschein mindestens fünf richtige Zahlen ankreuzen wollen, so brauchen wir nur 132 Tips abzugeben: Wir deuten die einzelnen Tips als Blöcke eines auf der Punktmenge {a^,a 2 ,...,a 12 )
realisierten STEINERschen Systems vom Typ
SC 5 ,6 ,12). E. WITT
56
S(4,5,ll)
>
hat gezeigt, daß die STEINERschen Systeme vom Typ und
S(5,6,12)
bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt
sind. Auf ihnen operieren die MATHIEUschen Gruppen M^
a
M^
bzw.
l s Automorphismengruppen. Lange Zeit waren die ebenfalls
von E. WITT mit Hilfe der MATHIEUschen Gruppen
M23
und
konstruierten (und als durch ihren Typ eindeutig bestimmten) STEINERschen Systeme vom Typ
S(4,7,23)
und
S(5,8,24)
die
einzigen bekannten nicht-trivialen STEINERschen Systeme vom Typ 55)
Lotto-Garantiesysteme, 682-684. 58
>
Math.-Phys. Sem.-Ber. 1J9 (1972)
Vgl. Fußnoten 5o und 52.
12.5
STEINERsche
S(t,k,v)
mit
247
Systeme t>3.
57)
Ausgehend von einer Primzahlpotenz n suchte R.H.F.DENNISTON STEINERsche
Systeme vom Typ
S(t,k,n+1):
legte er den um das Element grunde. Die
PSL(2,n)
Als Punktmenge
erweiterten Körper
operiert auf der Punktmenge
Gruppe der gebrochen linearen Transformationen mit
a,b,c,d£GF(n)
die Darstellung der
und
ad-bc=l.
PSL(2,n)
Bei einer geschickten Auswahl sentativen (P,B(R)) Typ
k-Mengen mit
S(t,k,n+1)
RcP^CP)
x
zu-
als >
^ ^
betrachtete
Permutationen
von sogenannten
k a n n es v o r k o m m e n , d a ß die
B ( R ) : = { y ( R ) ; R£R}
P
R.H.F.DENNISTON
als G r u p p e d e r
P
GF(n)
reprä-
Inzidenzstruktur
ein STEINERsches
System
vom
bildet.
Wir adjungieren an den Primkörper GF(3) eine Wurzel e des 3 irreduziblen Polynoms x +2x+l€GF(3)[x] und erhalten den Körper GF(27 ) . und
{0 ,1 , p r i v a t e M i t t e i l u n g v o m 10. O k t o b e r 1975. D i e E r g e b n i s s e w e r d e n v o n R . H . F . D E N N I S T O N u n t e r d e m T i t e l Some neu 5-designs i n B u l l . L o n d o n M a t h . Soc. v e r ö f f e n t l i c h t . Z u r V e r i f i k a t i o n der Angaben ist in dieser Arbeit ein ALGOL-Programm enthalten; die meisten Rechnungen hat R.H.F.DENNISTON aber original mit der Hand durchgeführt!
248
12. Endliche
Geometrien
Mit derselben Methode hat R.H.F. DENNISTON mit der Hand etwa 100 STEINERsche Systeme vom Typ
SC5,6,48)
errechnet, die
sich auf einem Computer als nicht isomorph herausstellten. Mit einer Auswahl von 43 repräsentativen 6-Mengen fand DENNISTON auch ein STEINERsches System vom Typ
S(5,6,84).
Die DENNISTONsche Methode versagt für die Typen S(5 ,8,44) ,
S(6,8,44),
S(6,12,68) , p
S(6,7,65),
S ( 9 ,10 , 26 )
prim, p=l(mod 4).
und
S(6,8,65),
S(t,t+l,p + l)
S(7 ,9 ,30)
S(6,9,65), mit t s K m o d
2) und
Computer-Suchen haben gezeigt, daß die
Methode auch nicht für die fraglichen Typen S(5,6,28) ,
S(4,5,17),
S(7,8,20) ,
S(7,8,24), S(7,8,26),
5(4,5,65), S(7,8,44)
und
weiterhilft. Möglicherweise existieren STEINERsche
Systeme dieser Typen; sie sind dann aber nicht unter der entsprechenden
PSL
invariant.
N. S. MENDELSOHN und S. H. Y. HUNG
haben auf einem Computer
ausgerechnet, daß kein STEINERsches System vom Typ existiert. Für die Typen
S(4,5,15)
t=4 sind die kleinsten noch ungeklärten Fälle
S(4,5,17),
S(4,5,21)
E. WITT =9> erwähnte Typ
und
S(2,4,25)
S(4 , 5 , 27). Der von existiert so).
Zur weiteren Information über STEINERsche Systeme verweisen 61
wir auf die Bibliographie von J. DOYEN und A. ROSA 58)
On the Steiner systems S(3,4,14) math. 1 (1972) 5-95.
and 3(4,5,15),
>. Utilitas
59)
siehe Fußnote 52. H. HANANI, On the existence and construction of balanced incomplete block designs, Ann. Math. Statist. 3_2 (1961) 361368. HANANI zeigte, daß ein STEINERsches System vom Typ S(2,4,v) bzw. S(2,5,v) genau dann existiert, wenn vsl oder vs4(mod 12) bzw. vsl oder vs5(mod 20) gilt. Zu jeder Primzahlpotenz n erhält man mit den Unitalen, das sind die Geometrien der absoluten Punkte und nicht-absoluten Geraden einer unitären Polarität in PG(2,n 2 ), ein STEINERsches System vom Typ S(2,n+l,n 3 +1); vgl. P. DEMBOWSKI, Finite geometries, Springer, Berlin-Heidelberg-New York 1968. Wir erwähnen in diesem Zusammenhang, daß es zu jeder Zahl k€N, k>2 und jeder hinreichend großen Zahl v€N mit v=k(mod k(k-l)) ein STEINERsches System vom Typ S(2,k,v) existiert; vgl. R. M. WILSON, An existence theory for pairwise balanced designs, III: Proof of the existence conjectures , J. Comb. Theory (A) 1^8 (1975) 71-79. 60)
61) A bibliography and survey of Steiner systems, Mat. Ital. 7 (1973) 392-419.
Boll. Unione
249
KAPITEL 13.
CODES
In der Informationstheorie werden Nachrichtensysteme betrachtet, in denen ausgehend von einer Nachrichtenquelle
Informationen
über einen Kanal (Telefonleitung, Magnetband bei Rechenanlagen) an den Empfänger gesandt werden. Durch ein sogenanntes Kanalrauschen (etwa Blitzschläge in die Telefonleitung oder fehlerhafte Stellen im Magnetband) wird die Information durch Übertragungsfehler überlagert. Damit der Empfänger diesen Widrigkeiten zum Trotz die ausgesandte Information richtig erkennen kann, bedient man sich bei der Nachrichtenübertragung
einer
Redundanz, d.h. die Wörter der benutzten Sprache enthalten zu Kontrollzwecken mehr Buchstaben als zur reinen Information nötig wäre, in vlztzn Woltem
itnd d-te Vokale. zntbeh>ittc.h:
Mn-ic/i ¿¿e.it gew-tß jzde.ima.nn Mensch, ¿¿6t gwß j'dimn Un6ch.1> Die Codierungstheorie beschäftigt sich mit dem Studium der systematischen Redundanz. Ihr Ziel ist es, Codes genannte Informationssprachen zu entwickeln, die zwei Bedingungen erfüllen: Die Codes sollen im Hinblick auf die Kanalkapazität - die Geschwindigkeit mit der auf dem Kanal Informationen übertragen werden können ist begrenzt - ökonomisch angelegt sein, d.h. trotz guter Fehler-Erkennungs und Korrekturmöglichkeiten soll die Redundanz niedrig sein. Zum anderen soll die Decodierung (Fehler-Erkennung und Korrektur eingeschlossen) einfach zu instrumentieren sein; der Code soll also 'systematisch' im Sinne von 'mathematisch' sein. Dabei genießt die zweite Forderung den Vorzug vor der ersten. Ein zu komplexes, mathematisch undurchsichtiges Decodierverfahren verursacht in der Praxis oft höhere Kosten für die Apparatur als eine Kapazitätserhöhung.
G. CHR. LICHTENBERG, Aphorismen, S.228.
Manesse, Zürich 1958,
13.
250
13.1
SYSTEMATISCHE
Es sei
n>2
CODES
eine natürliche Zahl und
g e n a n n t e n - M e n g e v o n Symbolen,
K
eine
w i r das 1 - f a c h e c a r t e s i s c h e P r o d u k t Der Vektor i€Z^
o d e r Vektoren
o:=(0,0,...,0)
sei
it^: V
Projektion a
V
auf
V:=K
V
K 1
als über
die K.
bezeichnet. > x^
Durch die
0
definieren
von
Bloaklänge
w i r d als Nullwort K.
. / V xV 1 (x,t/)
wird der Menge
der
1€N
> K; x= (x^ ,x 2 ,. . .
von
Alphabet
i n d e r e i n S y m b o l Null
a u s g e z e i c h n e t ist. F ü r eine n a t ü r l i c h e Z a h l M e n g e d e r Wörter
Codes
Für
die i-te
HAMMING-Abstandsfunktion
> R > I { i £ Z 1 ; TTi(x)*niCi/)} I d i e S t r u k t u r e i n e s metrischen
Raumes
aufge-
p r ä g t , d . h . es g i l t : (i) (ii) (iii)
Vx , t/EV:
a(x ,y)=0
Vx,t/£V:
a(.x.,y)-a(y ,x)>0
Vx ,(/, z€V:
a(x,i/)+a(i/,z)>a(x,z) .
Die HAMMING-Abstandsfunktion an. D i e v o n i h r a u f
V
S£(a)
h e i ß e n offene Radius
c
und
und
:=
{x€V; a(a,x)=e}
=
Sphäre
dem
Mittelpunkt
h e i ß t HAMMING-Norm
a£V.
Die
diskret
Mengen
b z w . abgeschlossene a.
Die
Kugel
mit
dem
Abbildung
R
>
I {i€Z1; ni(x)*0} I
o d e r HAMMING-Gewiahtsfunktion. V
Werte
a(a,x)Se}
Kugel,
L x
läßt s i c h
s£R
{x6V; a ( a , x ) < e } ,
r:fv~:>
ein Körper und
nimmt nur ganzzahlige
:= :
bzw.
a
i n d u z i e r t e T o p o l o g i e ist d a h e r
u n d u n i n t e r e s s a n t . E s sei K£(a)
«-» x-y
der Vektorraum der 1-Tupel über
die HAMMING-Metrik
durch die HAMMING-Norm
r
a
vermöge
definieren.
Ist K,
a (x , (/) : =r (
K=GF(n) so
13.1
Systematisohe
Es sei
V
251
Codes
die Menge aller Wörter der Blocklänge
einem beliebigen Alphabet
K
CcV ,
enthält, wird Code der
1
die das Nullwort
o
genannt. Die Bedingung
aus
o£C
n
1
über
Symbolen. Eine Teilmenge Bloaklänge
schränkt in unseren Unter-
suchungen die Allgemeinheit nicht ein; sie dient nur der mathematischen Bequemlichkeit. Die Zahl mationsrate von
von
C,
die Zahl
log n IC| 2> heißt
1
1-1 "'"log^CI
heißt
Infor-
Redundanz
C.
In der Praxis, etwa in der Datenverarbeitung,,ist es besonders einfach, nur zwei physikalisch unterscheidbare Zustände, etwa 0
und
1,
darzustellen. Aus diesem Grunde benutzt man tat-
sächlich vor allem binäre Codes, das sind Codes über dem Alphabet
K=GF(2)={0,1}.
Bei der technischen Realisierung der
binären Codes (so z.B. beim STIBITZ-Code und dem weiter unten) wird die Bedingung
o€C
(^-Code
manchmal verletzt. Das
Nullwort kann leicht mit einer Spannungsunterbrechung verwechselt werden; ebenso wie das Wort
(1,1,...,1)
von einer
Dauerspannung herrühren kann. Für die an das Dezimalsystem gewöhnten Benutzer von Rechenanlagen werden die Dezimalzahlen meist direkt in das Dualsystem übersetzt. Es sind aber auch binäre Codes gebräuchlich, die jeder Ziffer zwischen 9
eine Tetrade,
GF(2),
das ist ein Quadrupel mit Komponenten aus
0 = 0000
und der
5 = 1011
1 = 0001
6 = 1100
2 = 0010
7 = 1101
3 = 0011
8 = 1110
4 = 0100
9 = 1111
STIBITZ-Code 0 = 0011
lo
und
zuordnet. Die wichtigsten Codes dieser Art sind der
AIKEN-Code
2)
0
Snx
i-st
5 = 1000
1 = 0100
6 = 1001
2 = 0101
7 = 1010
3 = 0110
8 = 1011
4 = Olli
9 = 1100 ,
Lösung
y
der Gleichung
x=n- y
13.
252
Codes
die sich durch ihre Symmetrie auszeichnen.Beide Codes haben die Informationsrate
0,83.
Ein weiterer, häufig zur Über-
setzung von Dezimalziffern in das Dualsystem verwendeter Code ist der (,^)-Code, der aus allen über dem Alphabet
GF(2)
10
Wörtern der Blocklänge
besteht, die das HAMMING-Gewicht
5
2
haben: 0 :: 11000 1 == 00011
5 :: 01010 6 :: 01100
2 :: 00101
7 :: 10001
3 =: 00110
8 :: 10010
4 =: 01001
9 =: 10100
Dieser (2)-Code hat den Vorteil, daß wenn bei der Übersetzung die Ziffer
7
in das Wort
10101
übersetzt wird, die Maschine
diesen Fehler entdecken kann, weil das Quintupel
10101
kein
Codewort ist. Allerdings kann dieser Fehler ohne Rückfrage nicht korrigiert werden. Unter der Annahme, daß kein allzu grober Fehler vorliegt, kann der Rechenautomat nur den Hinweis geben, daß vermutlich eine
2,
7
oder
9
falsch übersetzt
wurde. Es sei
V
die Menge aller Wörter der Blocklänge
einem Alphabet
K
aus
n
Symbolen
und
CcV
gehen davon aus, daß ein ausgesandtes Codewort
1
über
ein Code. Wir c
beim Pas-
sieren des Kanals durch Überlagerung eines Fehlervektors verfälscht wird und als Wort
x
empfangen wird. Die Wahr-
scheinlichkeit, daß die i-te Komponente tt.(c) iEZ^
verschiedenes Symbol und alle
xeK\{ii^(c)}
x€K
zu dem Wort Es sei
x
e
tt^(c)
in ein von
verändert wird, sei für alle
gleich groß, aber kleiner als
Nach der maximum-likelihood-Methode dierung annehmen, daß
^
-j.
werden wir bei der Deco-
eines derjenigen Codewörter ist, die
einen minimalen HAMMING-Abstand haben. Ein Code
C
heißt c-prüfbar bzw. t-korrigier-
bar, wenn die offenen bzw. abgeschlossenen Kugeln mit dem Radius
e
und den Codewörtern als Mittelpunkten paarweise dis-
junkt sind. Offenbar ist für
e>l
jeder e-prüfbare Code auch
(e-1)-korrigierbar. Der (^)-Code ist beispielsweise 1-prüfbar.
13.1
Systematisahe
253
Codes
Unter dem Minimal ab stand eines Codes kürzesten Abstand
C
verstehen wir den
d:=min{a(c,d); c,d€C, c*d}
den zwei Code-
wörter haben können. C ist dann [^r^-]-korrigierbar und cl d [>2 ] -prüfbar. Ein Codewort, das bei der Übertragung in t^ Komponenten gestört wurde, ist richtig decodierbar. Wird das Codewort in
y
Komponenten verändert, so ist das ausgesandte
Codewort beim Decodieren unter den Codewörtern zu suchen, die vom empfangenen Wort den HAMMING-Abstand der Kanalfehler schließlich mehr als
4
haben. Betrifft
Komponenten, so führt
die maximum-likelihood-Decodierung zu falschen Ergebnissen. • (13.1) Satz. 1 a€V
Es sei
und alle
die Menge der Wörter der Blocklänge
V
über einem Alphabet
K
aus
n
Symbolen. Dann gilt für alle
e€R
IK Ca) I = > i€N ,i l X
c >
(f1(x),f2(x)..,f1(x))
gegeben. Dabei sind die Abbildungen
f^: W
> K
Linearformen,
13.
256 d.h. Elemente aus dem Dualraum und alle
x£W
gilt
W*
von
it^(F(x)) =f ^(x) .
für jedes Erzeugendensystem
W.
Für alle
Umgekehrt ist natürlich
{f^,fg,...,fvon
{(f ^(x) ,f (x) ,. . . ,f -j^C x)) ; x€W}
Codes
W*
die Menge
ein linearer (l,k)-Code. Diese
Darstellung linearer Codes ist für Redundanz-Untersuchungen (vgl. Abschnitt 13.3) besonders geeignet. Unter einer Generatormatrix K=GF(n)
eines linearen (l,k)-Codes
über
verstehen wir eine kxl-Matrix mit Komponenten aus
deren Zeilenvektoren eine Basis des Vektorraumes, C V=K n
Auf dem Vektorraum K
C
K,
darstellen.
aller Wörter der Blocklänge
1
über
wird durch r vxv
— >
\(x.,y)
K
1
> xt/ := > In
tt. (x)n. (i/) 1
1
ein Skalarprodukt definiert. Der zum Untervektorraum orthogonale Dimension
Untervektorraum r:=l-k.
c S ^ i x C V ; Vc€C:xc=0}
Es ist
(CT)
=C.
Der lineare Code
damit eindeutig beschrieben, wenn wir eine Matrix deren Zeilenvektoren eine Basis von
C^
solche rxl-Matrix wird Kontrollmatrix jedes Wort
x6V
Transponieren aus Syndrom von aus
C,
x.
1
Ein Vektor
Code und
Es sei
V
H
C
ist
kennen,
darstellen. Eine C
genannt. Für
( xT
ist der durch
e.£V
ist genau dann ein Codewort o£K
ist.
K=GF(n),
CcV
eine Kontrollmatrix von
ein linearer (l,k)-
C. Dann gilt für alle
x ,(/£V : x+C = t/+C «-=> HxT=Hi/T. Beweis. Wenn die Nebenklassen
x+C
und
y+C
übereinstimmen,
so gibt es ein Codewort C.6C mit x=£/+c. Damit folgt T T T T T T Hx =H(.y+c.) =Hi/ +Hc =Hy +o=Hy . Wenn umgekehrt die Syndrome ip m T T T Hx und Hy übereinstimmen, so folgt o = Hx -Ht/ =H(x-i/) , damit ist
x-yeC,
also
Unter dem Minimalgewicht Zahl
V
der Vektorraum aller Wörter der Block-
über dem Körper H
von
hervorgegangene Spaltenvektor) das
wenn sein Syndrom der Nullvektor
• (13.t) Satz. länge
x
von
Hx T 6K r
heißt der Vektor
C
hat die
x+C = i/+C. eines Codes
g:=min(Y(c); c€C\{o}}.
• C
verstehen wir die
13.1 •
Systematisahe
(1-3.5) S a t z . g
257
Codes
In jedem linearen Code
und Minimalabstand
d
c£C
x,y,z
Minimalgewicht
ist t r a n s l a t i o n s i n v a r i a n t ,
gilt
a (x ,y) = a (x + z ,r(i)
1
ein Wort. Ein
sei
(J
gilt
Y(X-C)>Y((P •
ein Anführer der Nebenklasse
A(x,c)=A(x-c,o)=Y(x-c).
Ist umgekehrt
folgt für jedes
t/€x+C,
A(x,c)>Y(I)
etwa
y-x-c,
x+C.
Wegen
für alle
stets
Für
x-c£x+C
folgt
c.€C,
so
Y(Y((5) • •
•
(13.7)
Satz. Es
sei
C
ein linearer
beliebiges Wort der Blocklänge
1.
(l,k)-Code und Ein Vektor
genau dann der einzige Anführer der Nebenklasse in der abgeschlossenen Kugel m i t Radius x
genau ein Codewort
Beweis. Codewort
Es sei c£C
ein weiteres ot(x,cO=Y(i$) • also mit
d-x~i=c.
¡{ mit
Aus
¿ = x-c,
also
a(x,d) Y-Z"1 u n d e r h a l t e n n a c h (1.6) : 3=0
formale lineare Differentialgleichung
1.
die
Ordnung
(l+(n-2)z-(n-l)z2)^-G(z)+(l+(n-l)lz)G(z) dz
= (lt(n-l)z)1 .
13.
264 Wir
Codes
setzen AKZ)
.
l+(n-l)lz
l + (n-2)
l(l+(n-l)l
" n\
z-(ri-l)z*
1+ ( n - 1 ) l - n ' \
1-z
l + ( n - l ) z ,/
und s Damit
(lt(n-l)z)1 l+(n-2)z-(n-l)z
"
B ( , z ;
nimmt
die
(l+tn-llz) 1-z
"
z
Differentialgleichung d -5—G(z) + A ( z ) G ( z ) dz
die
=
1
"
1
Gestalt
B(z)
oder d_ ( G ( z ) e x p ( | A ( z ) d z )) = dz an.
Wir
setzen M :=
und
B(z)exp(|A(z)dz)
—(1+(n-1)1) n
berechnen e x p ( p| A ( z ) d z )
= (1-z)
(l+(n-l)z)
und B(z)exp([A(z)dz) J Es
= d + Cn-Dz)»" (l-z)M+1
1
ist f(l+(n-l)z) J
Damit
M
"
1 d
_
+ J 1
(1-z)
.
1 /l+(n-l)zY
"
1 - 2
1_
/
'jn
ist 1-1 G ( z )
Da das
=
Nullwort
können w i r
die
( l
K
(
1 +
o€C
^
1 ) z
das
)
U
+c
)(l-z)^(l
einzige
(n-l)z)
+
Codewort
n
vom G e w i c h t
0
ist,
Konstante „ C
aus
der
Anfangsbedingung
Für
die
binären
der
Gewichtszeiger
. "
l(n-l) l+l(n-l)
G(0)
=
= 1
berechnen.
(2r-l,2r-r-l)-HAMMING-Codes
2"r((l+z)
vereinfacht
zu
2 r _ 1
+(2r-l)(l+z)
2 r
1 _ 1
•
( l - z ) ^
1
).
sich
13.2 •
265
HAMMING-Codes
(13.12) Satz.
Es sei
dem Minimalabstand
C
ein perfekter binärer (l,k)-Code mit
d=2t+l
sowie
I: = {(j ,c) ez^xB; Tij(c) = l}. (Z 1 5 B,I) Beweis. und C
8:={c£C; y(c)=d}
ein STEINERsches System vom Typ Es sei
V
S(t+l,d,l).
der Vektorraum aller 1-Tupel über
i 1 , i ,... ,it+ 1 £ Z 1 j
x£V
mit
n^ (x) = l
für alle
a(x,e.)2. Dann gilt
(P,C) = Inz(C):
Die Punkteparallelität (vgl. Abschnitt 12.3) ist eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklassen heißen Erzeugende.
(OG 2)
Jeder Block aus
C
schneidet jede Erzeugende in genau
einem Punkt. (OG 3)
Zu je
k
paarweise nicht parallelen Punkten gibt es
genau einen mit ihnen inzidenten Block. (OG 4)
Es gibt eine Erzeugende, die mit genau
n
Punkten in-
zidiert. Es gibt einen Block, der mit genau
1
Punkten
inzidiert. Allgemein nennen wir eine Inzidenzstruktur Axiome n>2
(OG 1)
bis
(OG 4)
erfüllt, eine optimale
(P,C),
mit den Parametern
die die
l>k>2
und
(1 ,k)-Geometrie der Ordnung
n.
Man sieht leicht ein, daß sich aus jeder optimalen (l,k)"Geometrie der Ordnung
n
kanonisch ein optimaler (l,k)-Code über
einem Alphabet aus
n
Symbolen konstruieren läßt:
• (13.17) Satz.
Es seien
l>k>2
Die Klasse der optimalen
und
n>2
(1,k)-Geometrien der Ordnung
stimmt mit der Klasse aller zu optimalen Alphabeten aus Inz(C)
überein.
Die optimalen und
l=n
Ordnung
n
natürliche Zahlen. (l,k)-Codes
n C
über
Symbolen gehörigen Inzidenzstrukturen •
(1,k)-Geometrien der Ordnung
n
sind für
k=2
gerade die n-Gewebe (oder dual-affinen Ebenen) der n;
für
k=3
und
LAGUERRE-Ebenen der Ordnung
l=n+l n.
sind sie gerade die Allgemein stimmt für
die Klasse der optimalen (m+n,m+2)-Geometrien der Ordnung mit der Klasse der LAGUERRE-m-Strukturen der Ordnung n Es sei jetzt und
W*
W=K n
der Vektorraum der k-Tupel über
sein Dualraum. Wählen wir
f.,f„,...,f n £W*,
von denen je
k
l>k
n
überein.
K=GF(n)
Linearformen
linear unabhängig sind, so
13.3 ist
Optimale
269
Codes
{(f1 (x) ,f 2 (x) ,. . . jf-^x)) ; x£W}
über
GF(n).
ein optimaler
(l,k)-Code
Jeder lineare optimale (l,k)-Code läßt sich auf
diese Weise beschreiben. Aus (12.18) und (12.20) können wir damit obere Schranken für die Blocklänge
1
eines linearen
optimalen (l,k)-Codes gewinnen. So ist beispielsweise für
k=3
und
ist
nsO(mod 2)
stets
l
aufgefasste Nullwort
zahl der Blöcke, die mit haben.
d=l-k+l.
o
o£C.
genau
r^=0.
Weil
ist damit die An-
t:=l-i t>k
das als Block
mit
Punkte gemeinsam i a.b. = > 1 Jn •— i+j=n i=o
a.b i n-i
wird diesem Vektorraum die Struktur einer (kommutativen und assoziativen) K-Algebra (mit Einselement
(1,0,0,...) ) den
aufgeprägt. Es ist üblich, für die Folge Ausdruck
° CO
^ 3 a z fr— n n=o
=
! 2 a z0 +a„ z +a„z +... o 1 2
zu schreiben, den wir als formale
Potenzreihe
über
K
zeichnen. (Dabei sei vereinbart, daß Glieder '
a zn n
mit zn
nicht aufgeführt werden müssen. Wir schreiben 11
lz
bea =0 n
statt
u.s.w.) Mit dieser Bezeichnungsweise lassen sich die
Addition (i)
— n=o
a zn + b z n = ¿ " (a +b )z n n ^ — n — n n n=o n=o
und die Multiplikation (ii)
( f z anzn)( ¿ 1 bnzn) = ± : ± : a i b n _ i 2 n n=o n=o n=o i=o
leicht merken. Mit
K[[z]]
bezeichnen wir die K-Algebra aller
formaler Potenzreihen, den Ring der formalen dem Körper
K.
Potenzreihen
über
Anhang
272 U n t e r d e m Untergrad aus
K[[z]]\{0}
(iii)
einer formalen Potenzreihe
(iv)
u>(0):=~.
K[[z]]. Reihe
So ist b e i s p i e l s w e i s e
> z11 n=o
inverse formale
n
f,g£K[[z]]
ist
, co(fg) =u(f)+co(g) .
{f€K[ [z] ]\{0} ;co(f) = 0}
oo
°
a z n
.
F ü r je z w e i P o t e n z r e i h e n
u ( f +g)>min{co(f) ,co(g)}
Die Menge
n=
v e r s t e h e n w i r die Z a h l
cj(f) := m i n { n £ Z ; a n * 0 }
Wir setzen
f=
ist d i e E i n h e i t e n g r u p p e
1-z
d i e zur
von
geometrischen
Potenzreihe.
oo
Die formalen Potenzreihen eine ganze Zahl
m
U n t e r d e m Grad
aus
a
existiert mit
b i l d e n eine U n t e r a l g e b r a K.
> a zn n=o n
= 0
K[z]cK[[z]],
eines Polynoms
grad(f)
Wir setzen
für
für alle
die
n>m,
d e n Polynomring
über
oo
a
f= > n
verstehen wir die Zahl (v)
K[[z]],
n
z n
a u s
K[z]\{0}
"°
:= m a x {n£Z ;an=t=0} .
g r a d ( 0 ) : = -°°.
Für je zwei P o l y n o m e
(vi) g r a d ( f + g ) < m a x { g r a d C f ) , g r a d ( g ) }
f,g€K[z]
ist
, grad(fg)=grad(f)+grad(g). oo
E s sei
I
eine Indexmenge und
eine P o t e n z r e i h e aus summierbar,
K[[z]].
w e n n für alle
n
ENQ
> a. z 11 f ü r n=o ' Die Familie ^i^igj f.=
und fast alle
a. =0, d . h . , w e n n es zu Jj e d e m n£N l ,n o mit w(f^)(f. ) 1 i-H*>
Wir ordnen der summierbaren Familie (viii)
3 f. := 3 a _ zn • r-r i n i£I n =—o
d a b e i sei
a
n Potenzreihen verschieden
der Koeffizient von f^,
sind.
i h r e Summe
zn
deren Koeffizienten
in der Summe a^
n
zu:
derjenigen
von Null
Formale
273
Potenzreihen
Allgemeiner als (iv)
gilt für jede summierbare Familie (f^)^gj
00
(ix)
f
co(
fei
-> ^ min{w(f. ) ;i€I} . 1
1
Definition (viii) zeigt, daß die Verwendung der Summenzeichen und
+
in
der Schreibweise für formale Potenzreihen mit
der Ringaddition konsistent ist: Zum einen ist jede endliche Familie aus
K[[z]]
summierbar, und (i) ist ein Spezialfall von
(viii) ; zum anderen ist für jede Folge (a z ) n
aus K[z]
3 a zn. — n n=o
ntN
o Potenzreihe
Familie o summierbar, ihre Summe ist gerade die
Jede Teilfamilie einer summierbaren Familie ist summierbar. Die Familie der Summen einer Partition einer summierbaren Familie ist selbst wieder summierbar. Ihre Summe ist in Verallgemeinerung des Assoziativ- und Kommutativgesetzes der Addition mit der Summe der ursprünglichen Familie identisch. Sind und
(g.)._T zwei summierbare Familien, so ist die Familie 1 D tu (f.g.),. . A c x T summierbar und es gilt in Verallgemeinerung
des Distributivgesetzes f ,. igj = < (i,j)ei*j 1 : Tel
f
xi
)(
jej
g.) • 3 CO
Eine Familie
(f.).,.T l i€I
multiplizierbar,
wenn die Familie
d.h., wenn für alle und
a^
n
=0
-
von Potenzreihen
n€N
f.= 3 a. z11 heißt i — i ,n n=o ' summierbar ist,
und für fast alle
i€I
gilt
Wir ordnen der multiplizierbaren Familie
a. =1 l ,o ^¿^igj
ihr Produkt zu: (x)
T T f.. := - z -n a • ct i — n i£I n=o
der Koeffizient von z n in dem Produkt derjeniJ n gen Potenzreihen f^ für die co(f^-l) zn entwickelt. 2 z z " n=-2 Die Definition (iii) des Untergrades läßt sich bei entsprechenden Bezeichnungen wörtlich auf
K((z))
(iv) gelten; damit ist
ein bewerteter Körper mit dem
Bewertungsring Einheitengruppe liegt
f
oder
K((z))
K[[z]].
Der Kern dieser Bewertung ist die
{f6K[[z]]; w(f)=0} . f
in
K[[z]].
als lokal erkannten Ringes z.
Jedes Ideal von
ist
zn
fortsetzen. Die Regeln
K[[z]]
K[[z]]
das vom Monom
z11
Für
f€K((z))\{0}
Die Nichteinheiten des damit bilden das Bewertungsideal
ist eine Potenz von
z.
Für
n€N
erzeugte Hauptideal. Die Idealkette
U(0) := {zn;n€N} ist eine Filterbasis. Wir prägen dem Ring
K[[z]]
die Struktur
eines topologischen Raumes auf, indem wir für jedes Element f€K[[z]]
das System U(f) :=
als Umgebungsbasis von
{{g€K[[z]];g-f€V};V€U(0>} f
betrachten. Damit ist
K[[z]]
vollständiger topologischer Ring. Die Topologie von
ein
K[[z]]
wird durch die Metrik ot(f ,g) := wobei
r>l
eine beliebige reelle Zahl ist, induziert.
Der Übergang zum Grenzwert ist bei Cauchy-Folgen mit der Addition und der Multiplikation vertauschbar. Die Bedingung (vii)
besagt, daß eine Folge
(f ) n g N
aus o
K[[z]]
genau
dann summierbar ist, wenn sie gegen 0 konvergiert. Die k Partialsummenfolge ( > f ), ist dann ebenfalls eine Zrrz n=o n k€N o c° Cauchy-Folge und konvergiert gegen > fn> Entsprechendes n=o °° gilt für Produkte. Da jede formale Potenzreihe > aRz als n=o
Formale
275
Potenzreihen
k lim > a z n geschrieben werden kann, liegt der Polynomring k-« n= o n K[z] dicht im Potenzreihenring K[[z]]. Jedes Element eines Oberringes voll in die Variable
z
R
von
K[z]
läßt sich sinn-
ednes jeden Polynoms aus
K[z] ein-
setzen. Das Ergebnis ist in jedem Fall ein wohlbestimmtes Element aus
R.
Das gilt aber nicht mehr für Potenzreihen,
weil unendliche Summen nicht generell definiert sind. Ist aber g= > b. z eine formale Potenzreihe mit u(g)£l, so ist die k=o Potenzreihenfamilie (a^g > n g N für jede Folge (^ngM o o summierbar. Die Substitution K[[z] ]
> K[[z ] ]
¿ < v K[ [z] ]
n
- >
'!...=• OD f= 2 Z
> K[ [z] ] ;
CO
anzn
a
> f(g)= X I
n=o
n
gR
n=o
ist ein stetiger Endomorphismus des topologischen Ringes K[[z]], im Fall
cü(g)=1
sogar ein Automorphismus. Es läßt sich
zeigen, daß jeder stetige Endomorphismus von
K[[z]]
eine
Substitution ist. Als Satz über implizite formale Potenzreihen gilt: Zu einer Potenzreihe
f£K[[z]]
eine Umkehrreihe
mit
g€K[[z]]
existiert genau dann
o>(g)>l
und
f(g)=z,
wenn
u(f)=l
ist. In diesem Fall ist ü)(g) = l. So hat z.B. die o° n formale Reihe f= > aus C[[z]] die Umkehrreihe - (_l)n-l z n n=l n > g= > . Es ist e := 1+f die komplexe formale n n= 1 Exponentialreihe und log(l+z) := g der komplexe formale z lo£(l+z) Logarithmus. Es ist log(e ) = z und e B = 1+z. Die formale .
K[[z]]
Derivation >
K[[z]]
.
n
f=
> d|. =
(n+1)an+iZ
n=o ist (bezüglich der Bewertungstopologie von stetiger Vektorraum-Endomorphismus von gleichung
= J^S^nf
Die k-fache Iteration von
K[[z]] ) ein
K[[z]]. Die Funktional-
wird als Produktregel d -r— dz
n
n=o
schreiben wir
bezeichnet. k
d -r-k . dz
Anhang
276 Es sei
K
ein Körper der Charakteristik
0,
etwa
K=C.
Das
formale Integral rc[ [z] ] — > J
v
= ± n=o
c[ [z] ]
V * - >1 i « » - ± s W n=o
ordnet jeder Potenzreihe /f(z)dz
zu.
Es ist
f(z)€C[[z]]
r
t
eine Stammfunktion
1.
Die Integration kehrt die Derivation um: Für je zwei Potenzreihen
f (z),g(z)€C[[z] ]
es eine Konstante
c€C
gilt
mit
¿jS^ 2 )
=
f(z)
g(z) = /f(z)dz+c
genau dann, wenn gibt.
Der Potenzreihenkalkül gestattet es uns, ohne auf Hilfsmittel der reellen oder komplexen Analysis zurückgreifen zu müssen, gewisse Differentialgleichungen zu lösen. Es sei beispielsweise die formale lineare Differentialgleichung 1. Ordnung ^g(z)+g(z)a(z) = b(z) mit
a(z),b(z),g(z)€C[[z]]
gegeben. Dann gilt
^ C g ( z ) e / a ( z ) d z ) = (| I g( z ))e^ a ( z ) d z +g(z)e- i a ( z ) d z a(z) = b(z)e'a(z)dz. • / Jfa(z)dzx)=0, n J • j. eJfa(z)dz Nun ist ü)(e deswegen ist eine Einheit. Wir erhalten
. in
„ r [z] r ii C[ ]
r-w r \J fa(z)dz NJ (b(z)e )dz+c TaTzTdz wobei die Konstante c€C als c=a bestimmt ist.
durch eine Anfangsbedingung
g(0)=a
Formale
277
Potenzreihen
Wir wenden uns jetzt dem Spezialfall K=R oder K=C zu. Jede oo formale Potenzreihe f= 3 a z n besitzt dann einen ^— n n=o Konvergenzradius R>0, der sich nach der HADAMARD sahen Formel R = (Um V r r r r n
1
1)
berechnet. Wir wollen nun für die Unbestimmte z in einer oo formalen Potenzreihe f= > a z n reelle bzw. komplexe Zahlen n=o n einsetzen, wir wollen f also als reelle bzw. komplexe Funktion
f(z)
auffassen. Dabei ergibt sich eine Schwierig-
keit : Ausdrücke, wie «z) =
=
±L n=o
zn
sind zunächst äquivok;in diese Gleichung dürfen wir offenbar z=2
nicht einsetzen. Bei einer geeigneten Einschränkung des
Definitionsbereichs der als Funktion aufgefassten Potenzreihe f(z)
verschwinden diese Unstimmigkeiten: Ist nämlich
Konvergenzradius der Potenzreihe in der Kreisscheibe scheibe f(z).
lzl n.a z„ z„ ...z. ...z„ ^ i n„,n„,..,n 1 2 i r n 1 5 n 2 ,...,n r =o 1' 2' r
=
a
ist ein Endomorphismus des K-Vektorraumes Ist
K=R
oder K=C,
f(z^,z 2 ,...,z )
K[ [z^ ,Zj »• • • »z ] ]..
so konvergieren die als Funktionen
aufgefaßten
formalen Potenzreihen in
mehreren Variablen
in Polyzylindern r i(z ,z?,.. . ,z ) € X K;| z t k SL(d,n) Z
(P)
Menge der k-Anordnungen
unimodulare Gruppe, 201 zyklische Gruppe, 6 9
286
Symbolverzeichnis
IIx$
direktes Produkt, 27
n®$
direkte Summe, 2 8
r(p)
Exponentiationsgruppe, 2 8 Bahn von p, 24
r , r„ Stabilisator, 26 p' M ' Z(r ,z2 ,... ,zv) Zyklenzeiger, 66 h(T;X1,X2,... ,Xv) Koeffizienten im Zyklenzeiger, 66
von y erzeugte Untergruppe F(p Menge der Fehlstände von ip, 29 sign(y) Signum von y, 30 X(y) Permutationscharakter von y, 33 aab(mod c) a|b (P
a ist kongruent zu b modulo a teilt b EULERsche (p-Funtion, 37
c
y
zahlentheoretische p-Funktion, 23
V* K* Vx tt^ a
der zu V duale Vektorraum K\{0} V\{o} i-te Projektion, 2 50 HAMMING-Abstandsfunktion, 2 50
y
HAMMING-Gewichtsfunktion, 250 T
A det(A) per(A) p(A)
die zu A transponierte Matrix Determinante von A Permanente von A, 50 Termrang von A, 15 4
(1X1+2X2+...+vXv) Partitionstyp, Zykeltyp, 13, 25 (v=1X1+2X2+...+vXv) Partition, 72 Cv=ß1+e2+.•-+ek> Partition, 72 (v=ß1+ß2+...+ßk)* f(M) Kv
die zu (v=B1+ß2+...+ßk) Partition, 76
Menge der Vertretersysteme von vollständiger Graph, 110
konjugierte M,
145
Symbolverzeiehnis
K£U) K^(a) S £ (a)
offene Kugel, 2 50 abgeschlossene Kugel, 250 Sphäre, 250
PG(d,n) AG(d,n) II {p||G}
T B(M) G(D G(A) Q^ RadQ. S(t,k,v)
DESARGUESscher projektiver Raum, 197 DESARGUESscher affiner Raum, 196 Parallelität, Punkteparallelität, 170 , 196 , 228 die zu G parallele Gerade durch p, 170 der von M erzeugte Teilraum, 194 Menge der t-dimensionalen Teilräume, 200 {B€B; McB} das von T koordinatisierte Gewebe, 178 das von A koordinatisierte Gewebe, 179 Tangentialraum einer quadratischen Menge, 213 Radikal einer quadratischen Menge, 213 Typ eines STEINERschen Systems, 237
B(v) X(G) C(n) 6Vw ,K,
BELL-Zahlen, 59 chromatische Zahl, 128 CATALANsche Zahlen, 116 KRONECKER-Symbol, 10
D(v) D(v,k) D(v,k,n) f fn (v,k) '
Rencontre-Zahlen, 39 Anzahl fixpunktfreier Permutationen, 37 Anzahl fixpunktfreier Permutationen, 44 Anzahl der Flächen eines planaren Graphen, 125 Anzahl von Auswahlen, ' 15
F(n) y(v,k) gn(v,k) K(r,n) l(n) L(r,n) M(v) M(v,n) N(n)
FIBONACCI-Zahlen, 6 Anzahl von Partitionen, 73 Anzahl von Auswahlen, 16 Anzahl normierter lateinischer Rechtecke, 166 Anzahl reduzierter lateinischer Quadrate, 168 Anzahl lateinischer Rechtecke, 166 Menage-Zahlen, 45 TURAN-Zahlen, 133 Anzahl orthogonaler lateinischer Quadrate, 189
287
288
Symbolverzeiohnia
p(v,k)
A n z a h l v o n P a r t i t i o n e n , 72
P(v)
Anzahl von Partitionen,
72
P(v,k)
Anzahl von Partitionen,
72
P(t,d,n)
Anzahl projektiver Teilräume,
p(r,m1,m2,...,m
)
204
R A M S E Y - Z a h l e n , 1 3 5 , 141
R
A n z a h l d e r S t r u k t u r i s o m e r e d e s A l k o h o l s , 105 n ' R ( 1 X 1 + 2 X 2 + . . . + v X v ,ly 1 + 2vi2 + . . . + k y k ) A n z a h l v o n B e l e g u n g e n , 87 R s u r ( l X 1 + 2X2 + ...+vXv,ly1 + 2y2+...+kyk)
Anzahl von
Belegungen,87
s(v,k)
S T I R L I N G - Z a h l e n 1. A r t , 64
S
A n z a h l d e r S t e r e o i s o m e r e des A l k o h o l s , 107
¿(v,k)
vorzeichenlose
t(v)
Anzahl freier Bäume,
T(v)
Anzahl von Wurzelbäumen,
112
T(v,n)
Anzahl von Wurzelbäumen,
112
U(v)
vgl. M e n a g e - Z a h l e n ,
C(G)
zyklomatische Zahl eines Graphen,
n S(v,k)
S T I R L I N G - Z a h l e n 2. A r t , 56 S T I R L I N G - Z a h l e n 1. A r t , 63 115
45 110
289 NAMENVERZEICHNIS
ACZEL, J. 185
DICKEY, L. J. 236
AHRENS, W. 192,193
DOBINSKI, G. 6o
ARTIN, E. 199
DOYEN, J. 248
ARTZY, R. 2 34
DÜRER, A. 19 2 DURFEE, W. P. 7 9
BAER, R. 179 ,18o
DÜRRE, R. 9 9
BALL, W. W. ROUSE 193 BALSAC, H. 15o
EGERVARY, E. 154
BAMMEL, S. E. 16 8
ERDÖS, P. 14o
BARLOTTI, A.
ERLEBACH, J. 19 3
217-219,222,224
BELL, E. T. 5 9
EULER, L. 41,81,118,186,187,192
BENZ, W. 22 8 BERGE, C. 12 3
FELLEGARA, G. 223,234
BINOMI, G. 9
FERRERS, N. M. 7 6
BIRKHOFF, G. 157
FIBONACCI 6
BLASCHKE, W. 17o
FISHER, R. A. 241
BOL, G. 17o
FITZ-PATRICK, J. 193
BOSE, R. C. 18o,182,187,217,
FOULKES, H. 0. 61
BRUCK, R. H. 18o ,181,2o8
FRANKLIN, F. 8 3
BRUIJN, N. G. DE 86,96,97,99
FROBENIUS, G. 33,156
BUEKENHOUT, F. 212,213 BUMCROT, R. J. 236 BURNSIDE, W. 3 3
GALE, D. 161 GAUSS, C. F. 186 GILBERT, E. N. 254 ,26o
CASSE, L. 219
GLEASON, A. M. 142
CAYLEY, A. 239
GOETHE, J. W. VON 122,126
CHEN, Y. 233
GOLAY, M. J. E. 262,265
CLAUSEN, T. 186
GRAVER, J. E. 14o
COMTET, L. 4 3
GREENWOOD, R. E. 142
CROWE, D. W. 236
GROSSE, W. 193
DEMBOWSKI, P. 233,248
HALDER, H.-R. 219
DENES, J. 174,185,187,193
HALL, M.
32,145,167,182,2o8,238
DENNISTON, R. H. F. 233,247,248 HALL, P. 144,145,155
flamenverzeiehnis
290 HALMOS, P. 119,15o
LUCAS, E. 45,193
HAMILTON, SIR W. R. 121
LÜNEBURG, H. 3 2
HAMMING, R. W. 253,262 HANANI, H. 238,248
MACNEISH, H. F. 189
HARARY, F. lo9,llo
MANN, H. B. 187
HARDY, G. H. 2o8,2o9
MARCUS, M. 157
HEAWOOD, P. J. 128
MATHIEU, E. 3 2
HEISE, W. 42 ,99 ,214,223 ,233 ,26 9 MENDELSOHN, N. S. 248 HESSENBERG, G. 19 9
MERRIS, R. 61
HIGGINS, P. J. 158
MEYBERG, K. 24,28
HUGHES, D. R. 218,233
MILLER, G. Ä. 152
HUNG, S. H. Y. 248
MINC, W. 157 MIRSKY, L. 158
JÄRNEFELT, G. 218
MONTMORT, P. R. 3 9
JORDAN, C. 3 2
MOORE, E. H. 243
JÒSHI, D. D. 266 NAIR, K. R. 182 KAERLEIN, G. 233
NETTO, E. 81,243
KARZEL, H. 223,234,235,236
NORTON, H. W. 182
KEEDWELL, A. 174,185,187,193 KERY, G. 14o
OBERSCHELP, W. 246
KIRKMAN, T. 238,239
ORE, 0. 16o
KLEIN, E. 14o
OSTRAND, P. A. 145,146
KNESER, H. 2oo
OSTROM, T. G. 236
KÖNIG, D. 13o,154,156,164
OTTER, R. 115
KOWALEWSKI, G. 19 3 KROLL, H.-J. 29o
PAIGE, L. J. 173,18o
KUNDE, H. 42
PARKER, E. T. 186 ,187
KURATOWSKI, G. 123
PERCSY, M. 234
KUSTAANHEIMO, P. 218
PERMUTTI, R. 235 PETERS, C. S. 186
LAGRANGE, J. L. 2o9
PICKERT, G. 179,182,183
LEONARDO DI PISA 5
PIERCE, S. 61
LICHTENBERG, G. C. 249
PIPER, F. C. 218
LINT, J. H. VAN 149,19o,262
POLYA, G. 86 ,96 ,lol ,lo3,lo5,lo8
LIU, C. L. 34 LOMBARDO-RADICE, L. 217
QVIST, B. 216,219
291
Namenverzeichnis
RADO, R. 145
SYLVESTER, J. J. 75,239
RAMSEY, F. P. 132,135,138
SZEKERES, G. 14o
READ, R. C. lo9,llo REDFIELD, J. H. 86
TALLINI, G. 217
REISS, M. 238
TARRY, G. 186
RIORDAN, J. 22,11.2,167
THAS, J. A. 219
ROSA, A. 2i+8
TIETÄVÄINEN, A. 26 5
ROTA, G. C. 22
TITS, J. 223,24o
ROTHSTEIN, J. 16 8
TURAN, P. 132,134
RYSER, R. J. 158,161,164,169, 189,2o8
VARSAMOV, R. R. 2 6o
SADE, A. 182
VASIL'YEV, Y. L. 265
SCHUBERT, H. 19 3
VAUGHAN, H. 149,15o
SCHUMACHER, H. C. 186 SCHUR, I. 142
WAERDEN, B. L. VAN DER 152,157
SCORZA, G. 152
WALKER, R. J. 182
SEGRE, B. 217,218,219,223
WEDDERBURN, J. H. M. 199
SEYBOLD, H. 2 35
WEXLER, G. 173,18o
SHANNON, C. E. 262
WILSON, R. M. 19o ,248
SHRIKANDE, S. S. 187
WINDELBERG, D. 236
SKOLEM, T. 242
WITT, E. 18o,199,233,24o-242,246,
SLEPIAN, D. 258
WOOLHOUSE, W. S. B. 238,239
SÖRENSEN, K. 236
WRIGHT, E. M. 2o8,2o9
SPERNER, E. 152 STEINER, J. 238
YACKEL, J. 14o
SWIFT, J. D. 182
YATES, F. 248
292
Stichwortverzeichnis
STICHWORTVERZEICHNIS
Abbildung Auswahlzahlen 17 affine 181 erzeugende Funktion 17 gebrochene lineare 29 gebrochene semilineare 2 8 Axiom von semilineare 2oo - DESARGUES 19 7 - , kleines 182,19o abgeschlossene Kugel 25o - MIQUEL 231 Ableitung - PAPPUS 19 8 - einer BENZ-Ebene 228 - eines STEINERschen Systems -, partielle 278 [237 - (vgl. Derivation) (B 1) - (B 4) 229 Bahn - einer Permutation 24 - eines Punktes unter einer Permutationsgruppe 24 Länge einer 24
Abschluß, projektiver 196 Abschrägung 81 absolute STIRLING-Zahlen 6 3 Abstand (in Graphen) llo Abstandsfunktion (in Codes) l25°
absteigender Vektor 16o
Baum 111 CATALANscher 115 freier 114 Belegung 87 surjektive 87
affine - Abbildung 181 - Ebene 172,196 - Gruppe 29,181 -r Raum 196 -r Teilraum 19 6 AIKEN-Code 251
BELLsche Exponentialzahlen 59 -, erzeugende Funktion 59 -, Rekursionsformel 59 BELL-Zahlen 59 - (vgl. BELLsche Exponentialzahlen)
Alkohol lo5
alternierende Gruppe 3o,42 -, Zyklenzeiger der 68
BENZ-Ebene 228 -, Ableitung einer 228 MIQUELsche 2 3o Ordnung einer 2 31 quadratische 2 3o
Anführer 2 57
Bilinearform, symmetrische 2o2
k-Anordnung 2 6,99
binärer Code 2 51
Anordnungsmatrix 164
Binomialkoeffizienten 8 -, erzeugende Funktion lo,12 -, Rekursionsformel 8
allgemeine Inversionsformel Alphabet 25o
L
19
>
Äquivalenz von Quadriken 2o2 Ast i m aufsteigende Familie 145 Ausnahmediagramm 82 äußerer Punkt 217 (k-)Auswahl 15,89
21
binomische - Inversionsformel 12,2o,21, -r Lehrsatz 9 [44,9o Block 1 Blocklänge eines - Codes 251 - Worts 251
Stichwortverzeichnis
293
Blockplan 194 Brückenproblem, Königsberger [Iii
Diagramm -, FERRERS- 7 5 konjugiertes 76 -, selbstkonjugiertes 8o
Cartesische Gruppe 183
Diedergruppe 69,7o -, Zyklenzeiger der 69,7o
CATALANscher Baum 115
Differenz, symmetrische 124
CATALANsche Zahlen 116 erzeugende Funktion 117 -, Rekursionsformel 116 CAYLEYsche Gruppentafel einer Loop 179
Dimension 195,196
Cheyenne/Wyo. SS chromatische Zahl 12 8 Code 2 51 (!)- 252 (1,k)- 255 AIKEN- 251 binärer 2 51 GOLAY- 265 HAMMING- 2 61 e - k o r r i g i e r b a r e r 252 linearer 255 optimaler 266 Paritätskontroll- 259 perfekter 254 e-prüfbarer 2 52 STIBITZ- 251 systematischer 255 Wiederholungs- 2 59
Dimensionsformel 196 direktes Produkt von Permutationsgruppen 27 direkte Summe von Permutationsgruppen 28,87 -, Zyklenzeiger der 71 DIRICHLETsches Taubenschlagprinzip 1,132,135,142 disjunkte Teilvertretersysteme Dodekaeder 127
¡-158
doppeltstochastische Matrix 157 Dreieck, PASCALsches 9 Drudenfuß 122 dualaffine Ebene 228 duale - Aussage 2 - Inzidenzstruktur 2 -r projektiver Raum 195 Dualitätsprinzip 2
Darstellung (einer Gruppe als Permutationsgruppe) 2 7 - der Oktaedergruppe 7o,71 -, linksreguläre 27,69 -, treue 27 Defekt 15 8 dérangement 39 Derivation, formale 275 DESARGUES -, Axiom von 19 7 -, kleines Axiom von 182,19o DESARGUESscher - affiner Raum 19 8 - projektiver Raum 19 7 Determinante 51,2ol
DURFEE-Quadrat 79
Ebene 197 -, affine 172 -, BENZ- 228 -, dualaffine 228 -, EUKLIDische 14o -, LAGUERRE- 22 8 -, MINKOWSKI- 228 -, MINKOWSKIäffine 228 -, MÖBIUS- 228 -, projektive 195,237 Ecke lo9 Eierkocher, elektrischer 34 Eigenschaft 35 einbettbares Gewebe 18o,181
294
Stichwortverzeichnis
einfacher Kantenzug lo9
(m-)Familie 144 - , aufsteigende 145 - , multiplizierbare 273 - , summierbare 272
Endecke lo9 Erzeugende 229,268 erzeugende Funktion 4,58 - , exponentielle 4 - , gewöhnliche 4 - , HURWITZsche 4
Farbe 12 8
erzeugende Funktion für die - Anzahlen R n 1O6,1O7 - Anzahlen S n lo7 - Anzahlen T(v) 112 - Anzahlen der selbstkonjugierten und anderer Partitionen 74,75,8o - Auswahlzahlen 17 - BELLschen Exponentialzahlen 59 [12 - Binomialkoeffizienten lo, - CATALANschen Zahlen 117 - FIBONACCI-Zahlen - Partitionszahlen P(v) 74 - Partitionszahlen p(v,k) 78 - Partitionszahlen P(v,k) - Rencontre-Zahlen 4o [73,76 - STIRLING-Zahlen 1. Art 64 - STIRLING-Zahlen 2. Art 5 8
FERRERS-Diagramm 7 5 - , konjugiertes 76 - , selbstkonjugiertes 79
EUKLIDische - Ebene 14o -s Parallelenpostulat
Färbung, zulässige 128 Fehistand einer Permutation 29
17o
EULERsche - (p-Funktion 37 - Linie 12o --, geschlossene 12o - Polyederformel 125 -s Offiziersproblem 186 - Vermutung 187 Exponentialreihe, formale 275 Exponentialzahlen, BELLsche 59 - , erzeugende Funktion 59 - , Rekursionsformel 59 Exponentiationsgruppe
2 8,86,9 5
exponentielle erzeugende Funktion 4
FIBONACCI-Zahlen 7 - , erzeugende Funktion 6 - , Rekursionsformel 5 Figur 86 Fixpunkt 2 4 fixpunktfreie Permutation 38, Fläche 125 L39,42,166 Form, quadratische 2o2 formale - Derivation 275 - Exponentialreihe 275 - Laurentreihe 27 3 - Potenzreihe 271 - Reihenentwicklung 274 -r Logarithmus 27 5 -s Integral 276 freier Baum 114 Fundamentalsätze der projektiven Geometrie 2oo,2ol Fünf-Farben-Satz 128 Funktion, erzeugende - (vgl. erzeugende Funktion)
(G 1) - (G 3) 17o GALE-RYSER-Kriterium
161
gebrochene - lineare Abbildung 29 - semilineare Abbildung (m,n)-gefärbt 132 ,138
28, t242
Fahne 1
gemeinsames Vertretersystem 151
Faktorisierung, geordnete 83,
Generatormatrix 2 56
Faktorraum 200
Geometrie, hyperbolische 235
Stichwortverzeichnis
Geometrie optimale 2 35,268 -, projektive 194 geometrische Reihe, formale ^ + LI272 geordnete - Faktorisierung 83,9o - Partition 151 Gerade l,17o gerade Permutation 3o Gerüst eines Graphen 111 geschlossene - EULERsche Linie 12o -r Kantenzug lo9 (r-)Gewebe 17o,171 einbettbares 18o,181 Ordnung eines 171 Gewicht 3 5 - einer Figur lo3 - eines Schemas 9 2 Gewichtsfunktion 91 -, HAMMING- 25o -, induzierte 91 Gewichtszeiger 262 - eines optimalen Codes 269 - eines perfekten Codes 262 gewöhnliche erzeugende Funktion 4 GILBERT-VARSAMOV-Schranke 261 GOLAY-Code 26 5 Grad - einer Ecke lo9 - einer Permutationsmenge 26 - eines Polynoms 272 Graph (endlicher, ungerichteter, schlingenloser, ohne Mehrfachkanten) lo9 -, Inzidenz- 13o -, komplementärer 132 -, KURATOWSKIscher 12 3 -, paarer 13o -, planarer 12 3 -, vollständiger llo -, zusammenhängender lo9 Gruppe -, affine 29 alternierende 3o,42,68 -, cartesische 183
295
Gruppe -, Darstellung einer 27 - der gebrochenen semilinearen Abbildungen 2 8 -, Dieder- 69 -, Exponentiations- 28,86,95 -, linksreguläre Darstellung einer 27 -, MATHIEUsche 32 -, Oktaeder- 7o -, symmetrische 24,39,67 -, treue Darstellung einer 2 7
HADAMARDsche Formel 277 Haken 79 HALL-Bedingung, P. 14t HAMILTONscher Weg 121 HAMMING-Abstandsfunktion 2 5o -Code 261 -Gewichtsfunktion 2 5o -Metrik 25o -Norm 2 5o -Schranke 2 54 Heiratsproblem 144 homogene Koordinaten 19 7 HUGHES-Ebene 17 5 HURWITZsche erzeugende Funktion I4 hyperbolische Geometrxe 23 5 L -, KLEINsches Modell 235 -, Ovoid-Modell 235 -, POINCARE-Modell 236 Hyperebene 19 5 Hypergerade 19 5
Ikosaeder 127 induzierte Gewichtsfunktion 91 Informationsrate 251 Informationsstelle 2 55 inhomogene Koordinaten 19 7 injektives Schema 97
296
Stichwortverzeichnis
Inklusion und Exklusion, Prinzip v o n 35 - (vgl. P r i n z i p v o n I n k l u sion u n d E x k l u s i o n )
K o d i m e n s i o n 19 5
innerer Punkt 217
Kollineation
I n t e r g r a l , f o r m a l e s 27 6
(k-)Kombination 8
inverses P a a r
Koeffizientenvergleich 4 k o l l i n e a r 19 5 2oo
- mit W i e d e r h o l u n g e n 15
18,66
Inversionsformel a l l e g e m e i n e 19,21 b i n o m i s c h e 12,2o,21,44 M Ö B I U S s c h e 22 - , STIRLINGsche 6 6 Inzidenz- g r a p h 13o -matrix 2 -struktur 1
k o m p l a n a r 19 5 komplementärer - G r a p h 13 2 - T e i l r a u m 19 5 K o n f i g u r a t i o n 86 konjugierte - Partition 7 6 - s D i a g r a m m 76 - U n t e r g r u p p e 24 2
Isomerie lo4 - , o p t i s c h e lo5 S t e r e o - lo5 - , S t r u k t u r - lo4 Isomorphie von Permutationsm e n g e n 17 6 Isotopie 179
K o n t r o l l m a t r i x 2 56 K o n t r o l l s t e l l e 255 Konvolution, VANDERMONDEsche Koordinaten 1.11,2 - , h o m o g e n e 197 - , i n h o m o g e n e 19 7 koordinatisieren
(k-)Kalotte
178,179
K ö r p e r , P L A T O N i s c h e r 126,12 7
219
e - k o r r i g i e r b a r e r Code 2 52
Kaninchen 6
Kreis - (in B E N Z - E b e n e n )
Kante lo9
-
(in G r a p h e n )
K a n t e n z u g lo9 - , einfacher - , geschlossener - , Länge eines lo9
Kreisverwandtschaft
Kegel 2o3 ,223
KRONECKER-Symbol
- , L A G U E R R E - 2 23 Kegelschnitt
2o3
KIRKMANsches S c h u l m ä d c h e n p r o b l e m 239 fl82,19o kleines A x i o m v o n D E S A R G U E S K L E I N s c h e s M o d e l l der h y p e r b o l i s c h e n G e o m e t r i e 2 36 Kneiphof
118
K n o t e n eines O v a l s Knotenpunkt
lo9
216
1,228
lo9 2 32
kritische Teilfamilie
146
lo,22
Kugel - , a b g e s c h l o s s e n e 25o o f f e n e 25o K U R A T O W S K I s c h e r G r a p h 12 3,126 k - K u r v e 215,219 - , vollständige
LAGUERRE- E b e n e 228 - K e g e l 223 -m-Struktur
235
217
297
Stichwortverzeichnis Länge - einer B a h n 2 4,94 - eines K a n t e n z u g s lo9 - eines Zyklus 2 5
(v-)Menge 8 lokal e n d l i c h e 2 2 - , q u a d r a t i s c h e 213 r e p r ä s e n t a t i v e 247
lateinisches Q u a d r a t 166 - , Ordnung eines 166 - , o r t h o g o n a l e s 186 - , p a r t i e l l e s 168 - , r e d u z i e r t e s 166
metrischer Raum
lateinisches rxs-Rechteck - , n o r m i e r t e s 166
Minimal- a b s t a n d 253 - g e w i c h t 2 56 166
L a u r e n t r e i h e , f o r m a l e 2 73 Lehrsatz, binomischer 9 linearer Code 2 55
k - M i t r a 2 24
2ol
linksreguläre Darstellung L o g a r i t h m u s , f o r m a l e r 275
27, I 6 L
lokal endliche M e n g e 2 2
majorisieren
Multinomialsatz
192,193
Nachbar
114
MATHIEUsche Gruppe
Nikolaus 32,246
Matrix - , (0,1)- 2,153,161 - , A n o r d n u n g s - 164 - , d o p p e l t s t o c h a s t i s c h e 157 - , G e n e r a t o r - 256 - , Inzidenz- 2 - , K o n t r o l l - 2 56 - , P e r m a n e n t e e i n e r 5o,153 - , P e r m u t a t i o n s - 47,157 - , s t o c h a s t i s c h e 55 maximum-likelihood-Methode M e n a g e - Z a h l e n 45,46,167
25 2, L258
273
llo
nicht-ausgeartete - quadratische Menge - Q u a d r i k 2o2
115
13
14
multiplizierbare Familie
16o
Massenzentrum
15o
Multinomialkoeffizienten
MARKOFFsche Kette 5 5 Massenachse
MÖBIUS- E b e n e 22 8 - F u n k t i o n 2 2,23,36 -sehe Inversionsformel 22, - m - S t r u k t u r 2 34,2 37,244 Mönchsproblem
Loop 179 - CAYLEYsche Gruppentafel einer 17 9 Lösung einer R e k u s i o n 5
magisches Quadrat
MINKOWSKI- a f f i n e E b e n e 22 8 - E b e n e 228 - m - S t r u k t u r 2 35 MIQUEL - , A x i o m v o n 2 31 - s e h e B E N Z - E b e n e 2 3o
L e m m a v o n B U R N S I D E 3 3,93,95 lineare T r a n s f o r m a t i o n
llo,25o
213
121
normiertes lateinisches eck 166 Null, Nullwort Null-Graph
Recht
25o
lo9,llo,lll
O b j e k t 86 offene Kugel
25o
Offiziersproblem,
EULERsches
(0G 1) - (0G 4) 268 Oktaeder
127
L1
298
Oktaedergruppe 7o,9 9 -, Zyklenzeiger der 7o,71 optimale - Geometrie 2 35,268 -r Code 266 optische Isomerie lo5 Ordnung - einer BENZ-Ebene 2 31 - eines affinen Raums 2o4 - eines Gewebes 171 - eines lateinischen Quadrats 166 - eines projektiven Raums Ordnungen der linearen und^ ot+ projektiven Gruppen 2o5 orthogonale - lateinische Quadrate 186 - Polarität 218 -r Untervektorraum 2 56 OUAGADOUGOU 14 Oval 213 ovale Quadrik 2o3 Ovoid 213 Ovoid-Modell der hyperbolischen Geometrie 2 35
Paar, inverses 18,66 paarer Graph 13o PAIGE-WEXLER-Bedingung 17 3 PAPPUS, Axiom von 19 8 PAPPUSsch 19 8 Parabelmodell 2 31 Parallelbüschel 171 Parallelenpostulat, EUKLIDisches 17o Parallelität von - Geraden 17o - Punkten 22 8 - Teilräumen 196 Parallelperspektivität 171 Parallelprojektivität 171,176 Parametergleichung für taktische Konfigurationen 3
Stichwortverzeichnis
Paritätskontrollcode 259 partielle Ableitung 278 j-168 partielles lateinisches Quadrat Partition einer Menge 13,56,88 -, Typ einer 13 Partition einer natürlichen Zahl 72 -, geordnete 151 konjugierte 76 perfekte 83,9o selbstkonjugierte 7 8 -, Teil einer 72 -, vollkommene 8 3 Partitionszahlen P(v),p(v,k), P(v,k) 72,77 [76,78 -, erzeugende Funktion 7 3,74, -, Rekursionsformel 7 7,78 PASCALsches Dreieck 9 Passante 212 Pentagramma 122 perfekte Partition 83,9o Permanente 5o, 153,15t Permanentenfunktion 51 Permutation 24 Bahn einer 24 -, Fehlstand einer 29 fixpunktfreie 38,39,42,166 -, gerade 3o -, Signum einer 3o -, ungerade 3o -, Zykeltyp einer 2 5 Permutationscharakter 33,61 Permutationsmatrix 47,157 Permutationsmenge -, k-fach transitive 26,61 -, Grad einer 26 -, isomorphe 176 -, reguläre 26 scharf k-fach transitive -, unitäre 2 7 [ 26 » 38 (PG 1) - (PG 5) 194 Pileolus 223 planarer Graph 12 3 PLATONischer Körper 126,127 POINCARE-Modell 2 36
299
Stichwortverzeichnis
Polarität -, orthogonale 218 -, unitäre 24 8 Polyederformel, EULERsche 12 5 Polynomring 2 72 Potenzreihe, formale 2 71 Prinzip von Inklusion und Exklusion 3 5 -, Anwendungen 37,38,46,52, I9 Probleme des ménages 4 5
L
problème des rencontres 37 Produkt 27 3 -, direktes 27 Produktregel 275 Projektion 25o -, stereographische 232 projektive - Ebene 19 5 - Geometrie 194 -r Abschluß 19 6 -r Raum 194 -r Teilraum 194 e-prüfbarer Code 2 52 Punkt 1 -, äußerer 217 -, eigentlicher 213 -, innerer 217 -, paralleler 228 (PW) 173
(QM 1), (QM 2) 213 Quadrat -, lateinisches 166 — , partielles 168 -, magisches 192,193 quadratische - BENZ-Ebene 2 3o - Form 2o2 quadratische Menge 213 nicht-ausgeartete 213 -, Radikal einer 213 -, triviale 213 quadratisches Schachbrett 49
Quadrik 2o2 -, äquivalente 2o2 -, Index einer 2o2 -, nicht-ausgeartete 2o2 -, ovale 2o3 -, ringartige 2o3 Quadrupelsystem 2 38 Quasikörper 183
Radikal einer quadratischen Menge 213 RAMSEY-Zahlen 135,141 Raum -, affiner 19 6 -, metrischer 25o -,.projektiver 194 r*s-Rechteck -, lateinisches 166 -, normiertes lateinisches Redundanz 251 L166 reduziertes lateinisches Rechteck 166 Regelschar 2o3 reguläre Permutationsmenge 2 6 Regulus 2o3 Reihe, geometrische 272 Reihenentwicklung, formale 274 Rekursion 5 -, Lösung einer 5 Rekursionsformel für die - absoluten STIRLING-Zahlen 1. Art 6 3 - BELLschen Exponentialzah len 59 - Binomialkoeffizienten 8 - CATALANschen Zahlen 116 - Partitions zahlen 77 ,78 [43 - Rencontre-Zahlen 39,4o,42, - STIRLING-Zahlen 1. Art 64 - STIRLING-Zahlen 2. Art 57 Rekursionsformel zur Berechnung von Permanenten 54 rencontre 39,5o
Stichwortverzeichnis
300 R e n c o n t r e - Z a h l e n 39,4o,54,167 - , e r z e u g e n d e F u n k t i o n 4o R e k u r s i o n s f o r m e l 39,4o,42 r e p r ä s e n t a t i v e k - H e n g e 247 ringartige Quadrik Ring der f o r m a l e n
2o3 Potenzreihen [271
S t a b i l i s a t o r 26 S t a m m f u n k t i o n 2 76 standardisieren
STEINERsches System
122,126
235,237,265
s t e r e o g r a p h i s c h e P r o j e k t i o n 2 32 Stereoisomerie
Salomonis S c h l ü s s e l
174
S t a n d a r d s c h e m a 25 8
STIBITZ-Code
lo5
251
STIRLINGsche - Formel 5 6 Satz v o n N . N . (siehe u n t e r N.N. - I n v e r s i o n s f o r m e l 66 im N a m e n v e r z e i c h n i s ) S T I R L I N G - Z a h l e n 1. A r t 64 Schachbrett - , e r z e u g e n d e F u n k t i o n 64 - , q u a d r a t i s c h e s 49 - , R e k u r s i o n s f o r m e l 64 - , v e r a l l g e m e i n e r t e s 4-7,5 3 S a t u r n - Q u a d r a t 19 2
Schachtel 87 scharf k - f a c h t r a n s i t i v e P e r m u t a t i o n s m e n g e 26,38,175 S c h e m a 86,9 6 - , Gewicht eines 9 2 - , i n j e k t i v e s 97,98 - , s u r j e k t i v e s 87,99 261
DIRICHLET-
Schulmädchenproblem, sches 239
KIRKMAN-
212
lo4
S u b s t i t u t i o n 275 Summe 2 72 - , direkte 2 8 s u m m i e r b a r e F a m i l i e 2 72
S y m b o l 2 5o
selbstdual 2 selbstkonjugiert
78
semilineare A b b i l d u n g - , gebrochene 2 8
2oo
seperater T e i l 47
s y s t e m a t i s c h e r Code 255
Siebformel 36 Signum e i n e r P e r m u t a t i o n 3o 118
Sphäre 2 5o Spitze eines K e g e l s
symmetrische - B i l i n e a r f o r m 2o2 - D i f f e r e n z 124 - G r u p p e 24,39 - - , Z y k l e n z e i g e r der 67 S y n d r o m 2 56
Setzbaum 114
Spaziergang
Strukturisomerie
55
surjektive - B e l e g u n g 87 - s Schema 8 7
Sehne 124 Sekante
S T I R L I N G - Z a h l e n 2. A r t 56,88 - , e r z e u g e n d e F u n k t i o n 58 - , R e k u r s i o n s f o r m e l 57 stochastische Matrix - , d o p p e l t - 157
Schranke - , GILBERT-VARSAMOV- , H A M M I N G - 2 54 Schubfachprinzip, sches 1
S T I R L I N G - Z a h l e n 1. A r t , a b s o lute 6 3 - , Rekursionsformel 6 3
223
Stichwortverzeichnis (Tl),
301
(T 2) 172
T r a n s l a t i o n 183
T a b e l l e der - A n z a h l e n l(v) 168 (lateinische Q u a d r a t e - A n z a h l e n R n u n d S n lo8 (Alkohole) - A n z a h l e n t(v) 115 (freie Bäume) - A n z a h l e n T(v) 114 (Wurzelbäume) [6o - BELLsche Exponentialzahlen - Binomialkpeffizienten 9 - C A T A L A N s c h e n Z a h l e n 118 - D e r a n g e m e n t - Z a h l e n u.ä. - E U L E R s c h e 53
V e r t r e t e r s y s t e m 144 d i s j u n k t e 158 - einer (0,1)-Matrix - , g e m e i n s a m e s 151 - , T e i l - 158
194
Teilvertretersysteme d i s j u n k t e 158 Termrang
132
Schachbrett
v e r f l o c h t e n 173 ,175 ,188
2ol
transitiv - , k - f a c h 26,61 - , scharf k - f a c h 2 6,38 (n,m)-Transitivitätsbedingung [172
Vier-Farben-Vermutung
12 8
vollkommene Partition 8 3 v o l l s t ä n d i g e k - K u r v e 217 v o l l s t ä n d i g e r G r a p h llo vorzeichenlose
STIRLING-Zahlen [63
Stichwortverzeichnis
302 Wald llo
Zeta-Abbildung 2 2
Weg, HAMILTONscher 212
zulässige Färbung 128
Wiederholungscode 259
zusammenhängender Graph lo9
windschief 19 5
Zusammenhangskomponente llo
Wort 25o
Zykel 24,63
Würfel 12 7
Länge eines 2 5
Würfelgruppe 7o
Zykeltyp einer Permutation 2 5
Wurzel 112
Zyklenschreibweise 2 5 Zyklenzeiger 6 6 - der alternierenden Gruppe - der Diedergruppe 6 9,7o [63 - der direkten Summe von Permutationsgruppen 71 - der Identität 67 - der Oktaedergruppe 7o,71 - der symmetrischen Gruppe 6 7 - der zyklischen Gruppe 69 - einer abstrakten Gruppe in ihrer linksregulären Darstellung 69
Wurzelbaum 112
Zahl -, chromatische 12 8 zyklomatische llo Zerfallen - einer Permutation in Zyklen 2 5,63 - eines Schachbretts in separate Teile 47 Zerlegung einer natürlichen Zahl 72
zyklomatische Zahl llo Zyklus 24
Dr. rer. nat. WERNER RICHARD HEISE wurde am 12. Mai 1944 in Lodz geboren. Er studierte von 1963 bis 1968 an der Universität Hamburg die Fächer Mathematik, Geographie und Philosophie. 1968 legte er die wissenschaftliche Prüfung für das Lehramt an Gymnasien in Hamburg ab. 1969 wurde er Assistent am Institut für Mathematik der Technischen Universität Hannover und promovierte bei seinem Doktorvater Professor Dr. Helmut Karzel mit einer Dissertation über 'Topologische Möbiusräume'. 1971 erwarb er an der Technischen Universität Hannover die venia legendi für das Fach Mathematik mit einer Habilitationsschrift über 'K-affine Räume'. 1972 wurde Dr. Heise zunächst zum Universitätsdozenten und dann zum Abteilungsvorsteher und Professor an der Technischen Universität Hannover ernannt. Seit April 1973 ist er am Institut für Mathematik der Technischen Universität München tätig. Er arbeitet hauptsächlich auf den Gebieten Grundlagen der Geometrie und Kombinatorik. Dr. Heise ist Mitherausgeber des Journal of Geometry. Dr. rer. nat. HEINZ-RICHARD HALDER wurde am 19. Dezember 1945 in Rosenheim/Inn geboren. Er studierte von 1967 bis 1971 an der Universität Tübingen die Fächer Mathematik, Physik und Volkswirtschaftslehre.
1971
legte er in Tübingen die Diplom-Prüfung ab. Von 1971 bis 1972 war er Stipendiat der Universität Trier/Kaiserslautern.
1972
wurde er Assistent am Institut für Mathematik der Technischen Universität Hannover. Seit Oktober 1972 ist er Assistent am Institut für Mathematik der Technischen Universität München, wo er 1973 mit einer Dissertation über 'Eine Verallgemeinerung der klassischen Großkreisgeometrie' promovierte.
Referenten
waren die Professoren Dr. Helmut Karzel, Dr. Karl Strambach und Dr. Werner Heise. Dr. Halder hat Arbeiten über topologische Transformationsgruppen, Grundlagen der Geometrie und Kombinatorik veröffentlicht.