Il suono: dalla fisica, all'uomo, alla musica, alla machina

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JMLA FISKA-ALL'UOMO-ALLA MUSICA h .LA MACCHINA

•’AMBURINI EDITORE

IL SUONO dalla fisica - all’uomo Ila musica - alla macchina

PIETRO RIGHIMI GIUSEPPE UGO RIGHIMI

TAMBURINI EDITORE MILANO 1974

© COPYRIGHT 1974 TAMBURINI EDITORE S.p.A. MILANO Tutti l diritti riservati

Printed in Italy Stampa: Centro Grafico Linate S. Donato Milanese

PREFAZIONE

L'allargamento della conoscenza scientifica e particolarmente il pro­ gresso che in questi ultimi tempi è stato compiuto nelle varie specia­ lizzazioni dell’acustica, ha reso necessario un adeguato aggiornamento delle precedenti cognizioni riguardanti queste discipline. Il punto fo­ cale della questione è l’uomo, nella sua figura di formulatole e rice­ vitore del messaggio sonoro, con preminente considerazione per l’eventò musicale, il quale, sin dall’inizio storico della ricerca in questo campo di studi, raccoglie le maggiori attenzioni. Acustica, infatti, era all’origine sinonimo di musica ed i « tremori dell’aria » di cui parlano i testi antichi, si confondevano con il coevo concetto dei « tremori ar­ monici di più chiara attinenza musicale. Anche oggi la questione si pone nel duplice aspetto oggettivo e soggettivo, mentre la parabola che ad un certo momento dell’evoluzione conoscitiva parve plagiare con l’idolatria dei numeri il fatto musicale, oggi ritorna all’uomo mo­ strando che numeri e misure ad altro non debbono servire che a para­ gonare fra loro, per meglio conoscerli, eventi rispetto ai quali l’uomo è e resta dominatore incontratasto. Fino a che punto è intangibile il rapporto fìsico déll’ottava (2/1), con cui viene definito questo basilare intervallo musicale, quando è dimo­ strato che, salendo nella scala delle frequenze acustiche, l’accettazione melodica dell’intervallo stesso richiede che il rapporto fìsico sia viep­ più allargato? E che dire del timbro quando sappiamo che, pur re­ stando inalterata la composizione spettrale del suono, basta modifi­ care l’andamento dei transistori di attacco e di estinzione per con­ fondere una « nota » emessa da un corno con quella ricavata da un pianoforte? E della mutevolezza della distinzione fra consonanza e dissonanza, o della diversità delle scale musicali tuttora vive nel

mondo, cosa dobbiamo pensare? Questi interrogativi sono solo un'in­ dicazione estremamente ristretta rispetto alla quantità ed alla varietà dei problemi che riguardano l'acustica. La necessità di un'opera che, coerentemente con le acquisizioni della fisica, della fisiologia e della psicologia del suono sia apportatrice di aggiornata conoscenza in que­ sto campo di studio è fuori discussione. D'altra parte il contributo che in tali ricerche è stato dato e che continua ad essere dato da una strumentazione scientifica che solo qualche anno addietro non era nemmeno immaginabile, offre altra materia per la compilazione di un libro destinato tanto al musicista quanto a coloro che sono comun­ que interessati al mondo del suono. Questo è in sintesi lo scopo del­ l'opera, realizzata da due studiosi legati da stretto vincolo famigliare e le cui specializzazioni si integrano reciprocamente, consentendo una visione critica ed aggiornata del panorama scientifico considerato. Le quattro parti in cui il libro è stato diviso riguardano la fisica del suono, l'uomo, la musica e la macchina e costituiscono un insieme omogeneo idoneo a soddisfare l'aspettativa del lettore, offrendogli una ampiezza d'informazione che tocca i vari aspetti di questa tematica. L'opera propone anche indirizzi che possono stimolare la ricerca per quella via, infinita, sulla quale ha sempre camminato la conoscenza umana. L'indice generale degli argomenti è forse il viatico migliore per la let­ tura del libro. GLI AUTORI

Torino, febbraio 1974

INDICE GENERALE

Parte prima

IL SUONO E LA FISICA

Definizione e premessa

pag. 1

Generalità sui fenomeni vibratori Moto armonico semplice, o sinusoidale Vibrazioni periodiche complesse.*Suono e rumore Vibrazioni armoniche smorzate Oscillazioni forzate e risonanza Risonanza

2 7 9 11 13 15

L’analisi del suono Analisi armonica di Fourier L’analisi del suono I moderni analizzatori del suono

19 19 22 25

Propagazione di energia per onde Onde elastiche progressive Onde sferiche Velocità del suono

30 34 38 40

Riflessione delle vibrazioni Interferenza Onde stazionarie Vibrazioni armoniche stazionarie Eco Rimbombo Riverberazione

42 43 45 48 51 52 53

Cenni di acusticaambientale Il teatro greco Il teatro romano Il teatro di Wagner a Bayrcut

57 57 59 62

Il tempo di riverberazione L’acustica dell’ambiente e l’esecutore Il caso del Royal Festival Hall, di Londra L’acustica dell’ambiente e l’ascolto Teatri per la prosa, sale per conferenze, dibattiti, ccc. L’acustica delle chiese

Pag. 69 70 72 73 74 80

Parte seconda

IL SUONO E L’UOMO La sensazione sonora - I parametri del suono - Soglie differenziali Sulle qualità del suono

89

Cenni sulla fisiologia dell’udito L’area di udibilità Livello di sensazione d’intensità. I « phon » Bande critiche Le soglie differenziali Soglia differenziale per l’intensità Effetto di mascheramento - Ascolto intenzionale La fatica uditiva Il rumore e l’uomo La sensazione dell’altezza Sensazione di altezza c intensità del suono Soglia differenziale per la sensazione dell’altezza H timbro Effetti dell’altezza sul timbro Soglia differenziale per la sensazione del timbro Transitori d’attacco e di estinzione del suono e loro effetto sul timbro La teoria formantica del timbro Tempo soggettivo d’integrazione per il timbro Cenni sui tempi transitori e la musica

90 98 101 107 108 111 112 117 120 123 126 129 132 136 137 138 151 159 163

Suoni simultanei - Battimenti - Suoni di combinazione Suoni simultanei e battimenti - Dissonanza Suoni di combinazione

166 166 177

La stereofonia L’ascolto binaurale e l’effetto stereofonico

178 178

Parte terza IL SUONO E LA MUSICA Necessità di un ordinamento D ritmo Sulla natura del ritmo La durata psicologia dei suoni, il « tempo » e il metronomo

183 184 187 188

Le scale musicali Sulla genesi delle scale musicali Generalità sulle scale musicali Considerazioni sulla scala universale di 53 gradi La scala greca, o pitagorica La scala naturale, o zarliniana La scala temperata I quarti di tono temperati Quadro sinottico delle scale musicali

pag. 190 190 194 197 199 208 219 221 f.t.

Intervalli musicali Generalità sugli intervalli musicali Tavola riassuntiva degli intervalli nei sistemi greco, naturale e temperato La misurazione degli intervalli Tavole di conversione dei « cents » in rapporti decimali Definizione dei più importanti intervalli musicali, antichi e moderni

224 224 227 231 235 238

Consonanza, dissonanza ed effetto di fusione dei suoni 239 Cosa è la consonanza? 239 Consonanza e effetto di fusione dei suoni 240 Sulla causale fìsica della dissonanza 241 Tavola delle consonanze e dissonanze e dei battimenti nell’ambito dell’ottava 247 Indicazioni riassuntive su consonanza e dissonanza 248 Sul carattere delle tonalità (Verità ed illusione) 249 Premessa 249 Del carattere delle tonalità 250 Quadro delle tonalità « vicine » di DO e loro intervalli nel sistema naturale (zarliniano) 253 Quadro e intervalli delle più usate tonalità nel sistema naturale (zarliniano) > 255 « Qualità » delle tonalità secondo vari autori 264 Gli strumenti musicali Classificazione e tessitura Quadro della classificazione e delle tessiture Strumenti ad arco, e a corda in generale Legge di Young Il caso del pianoforte, la questione del tocco Altre particolarità sull’applicazione pratica della legge di Young Suoni armonici « flautati » Risuonatori e accoppiatori (l’anima) La « catena » (violino e congeneri) Il violino trapezoidale di Savart Gli altri strumenti a corda Strumenti a fiato Determinazione della lunghezza delle canne sonore La correzione di bocca

266 266 268 269 270 272 274 274 276 278 279 282 284 285 286

L’imboccatura applicata alle canne sonore Il caso del clarinetto L’esecuzione della scala cromatica negli strumenti a fiato Analisi delle « stecche » Autocontrollo della voce e l’acustica dell’ambiente Empirismo e tecnica nell’educazione vocale Strumenti a percussione Piastre - Verghe - Lamine - Regoli Vibrazioni delle piastre Vibrazione delle membrane L’organo L’organo elettrico La normalizzazione del diapason

Pag. 288 294 299 301 306 308 311 315 318 323 324 328 330

Parte quarta

IL SUONO E LA MACCHINA II compositore automatico di musica è conservatore? Procedimenti stocastici I a marziani » e la musica. La comunicabilità Quando il caso diventa compositore di musica Lo « Studio di Fonologia » (Il Monte delle Tentazioni) La strumentazione dello « Studio » Generatori del suono T filtri Modulatori e distorcitori Variatori di altezza e di velocità Cenni sui sintetizzatori musicali Necessità di una grammatica Ipotesi sul destino della composizione automatica della musica

337 342 347 349 355 357 358 360 360 362 364 369 374

Stereofonia a più canali. Lo spazio come complemento musicale Stereofonia applicata L’effetto virtuale di profondità e l’attesa psicologica Il « ritardo » del segnale nella ricostruzione psicologica della distanza L’effetto direttivo e la composizione del fronte sonoro in stereofonia La zona « isotipica », ossia di buon ascolto stereofonico La « quadrifonia » Lo spazio come complementomusicale nella stereofonia Organizzazione dei segnali, elettrici ed acustici, per effetti spaziali. Un po’ di cibernetica per il suono

376 376 378 381 385 387 391 395

Glossario

403

Indice analitico

413

Indice dei nomi e dei luoghi

419

399

Parte Prima IL SUONO E LA FISICA

DEFINIZIONE E PREMESSA Nel vocabolario elettrotecnico internazionale è riportata la se­ guente definizione di « suono » : a) Sensazione uditiva determinata da una vibrazione acustica. b) Vibrazione acustica capace di determinare una sensazione uditiva. Il termine « suono » significa perciò tanto il fenomeno meccanico che opera come stimolo dei sensi, quanto la reazione psicofisiolo­ gica a questo stimolo, al livello della sensazione e della percezione. Certamente anche il comportamento della psiche, almeno ai livelli più bassi, è regolato da leggi naturali comuni e note, ma queste vi giocano un ruolo tanto complicato da non poter essere descritte nei termini fisici ordinari. Stabilita la natura complessa psicofisica, o, meglio, psicoacustica del fenomeno sonoro, si tratta di esaminare come possano essere caratterizzate sia la eccitazione fisica, sia la reazione psicofisiologica e quali rapporti sussistano tra i diversi parametri. È in questi termini che si pone il problema dell’analisi del suono, vale a dire della via at­ traverso la quale si può acquisire una migliore conoscenza del feno­ meno sonoro. Nelle pagine seguenti, anche allo scopo di introdurre la terminolo­ gia appropriata, si forniranno dapprima alcune nozioni fondamentali sui fenomeni vibratori — indipendentemente dal fatto che essi possano stimolare una sensazione uditiva, — quindi, dopo aver presentato il suono come fenomeno psicoacustico, si esaminerà il problema della sua caratterizzazione sia dal punto di vista psicologico, che da quello fisico. L’interesse così vivo che questo problema incontra sempre presso studiosi di discipline diverse in molti paesi, rivela l’inadeguatezza dei 1

modelli che via via sono stati adottati nel tempo per la descrizione del suono: dai « tremori dell’aria » di cui parlano i testi antichi, alle at­ tuali significazioni, le quali, più si addentrano nei meandri del feno­ meno, più richiedono l’ausilio di una strumentazione tecnica sempre più raffinata e precisa, per poter meglio penetrare nella realtà dei fatti. Questo soggetto, il suono cioè, richiederebbe altresì una pon­ derosa trattazione per ogni suo aspetto, sia fisico che « umano », tante sono le manifestazioni che da esso dipendono, ognuna delle quali potrebbe assumere l’importanza di disciplina particolare. Per questa ragione si è preferito valorizzare la funzione euristica, piuttosto che la funzione propedeutica della trattazione, tanto più che gli ele­ menti essenziali della propedeutica trovano necessariamente colloca­ zione nel corso della trattazione stessa.

GENERALITÀ SUI FENOMENI VIBRATORI Per il momento si ammette che il concetto di vibrazione sia stato originariamente acquisito attraverso l’esperienza soggettiva, allo stesso modo di altri concetti, come: temperatura, tempo, forza, velocità, ecc., di cui correntemente si parla sènza averli necessariamente defi­ niti in termini appropriati dal punto di vista fisico-matematico. Del resto, a poco gioverebbe tentarne una definizione precisa come, ad esempio, la seguente: «movimento delle particelle di un mezzo ela­ stico da una parte c dall’altra di una posizione di equilibrio ». Le oscil­ lazioni di un pendolo semplice, esemplificato da una pallina pesante appesa ad un filo sottile non elastico, presentano qualche analogia con le vibrazioni. Per questa ragione parte della terminologia impie­ gata per la descrizione del moto pendolare, come, ad esempio : elonga­ zione, ampiezza, periodo, fase, è stata adottata anche per l’analisi del moto vibratorio, il cui significato generale riguarda anche il campo delle vibrazioni sonore. Consideriamo dunque il moto del pendolo (Fig. 1). In condizioni di riposo la forza di gravità che agisce sulla pallina è equilibrata dalla reazione del vincolo, cioè del filo che la trattiene. Se si sposta lateralmente la pallina, tenendo il filo sotto tensione, il sistema, ossia il pendolo, acquisisce energia di posizione, o potenziale in misura equivalente al lavoro che è stato eseguito per spostare la pallina stessa dalla sua posizione di riposo, lavoro la cui entità è proporzionale alla ampiezza dello spostamento, detto anche « elon2

gazione ». Se, a questo punto, si lascia andare la pallina, la reazione del vincolo non compensa più la forza di gravità, una componente della quale agisce sul sistema, nel senso di riportarlo nella posizione di equilibrio, verso cui la pallina si muoverà con velocità crescente, transitandovi col massimo valore della medesima. Ma nella « discesa » la pallina acquisisce via via energia di movimento, o cinetica, consu­ mando contemporaneamente l’energia potenziale accumulata con lo

en. potenziale

en cinetica

^ =-Forza-peso, equilibrata dalla reazione del vincolo; 6 — Reazione del vincolo; C e C = Elongazione massima: energia potenziale massima; d = Componente della forza-peso, non equilibrata dalla reazione del vincolo. Sotto: dinamica della energia potenziale e cinetica.

spostamento iniziale operato dalla forza esterna. Detta energia cine­ tica, durante il movimento del pendolo si trasformerà però in nuova energia potenziale, che compenserà parzialmente quella dianzi spesa e quando la pallina, « risalendo » dalla parte opposta a quella iniziale, avrà raggiunto la massima ampiezza della nuova elongazione, il ciclo si ripeterà nel verso opposto, sulla stessa traiettoria, con velocità decrescente e con elongazioni proporzionalmente meno ampie, ma di durata sempre uguale. Perciò si dice che il pendolo compie delle « oscillazioni isocrone libere ». L’attributo « libere » sta ad indicare che al sistema non viene fornita energia dall’esterno se non nella forma e nella quantità che è stata necessaria per spostare la pallina nel mo­ mento iniziale. Se si fa l’ipotesi che tutti gli attriti siano trascurabili, le oscillazioni si ripetono indefinitivamente e la legge del moto è quella 3

detta « moto armonico semplice », che verrà considerata più avanti. La forza che tende a riportare il pendolo nella posizione di equi­ librio è evidentemente conseguenza del campo gravitazionale della terra. La forza che tende a riportare nella posizione di riposo una corda di violino quando sia stata « pizzicata » in un suo punto, ri­ siede invece nella elasticità della corda stessa e si crea nel medesimo momento in cui la corda viene deformata. Forze siffatte si manifestano in qualsiasi corpo elastico in seguito ad una sua « deformazione ». Esse, che per la loro natura si dicono di tipo « elastico », variano di entità col variare della sostanza del corpo (elastico) in cui vengono eccitate e risultano proporzionali alla deformazione impressa al corpo stesso ed indipendenti dalla sua massa e da quella del punto su cui agiscono (1). Matematicamente tale proprietà si esprime con l’equazione:

F=_kx

(1)

dove A: è la costante di rigidezza ed x c la distanza del punto de­ formato rispetto alla sua posizione di riposo. Il segno — sta ad indi­ care che la forza elastica si oppone alla deformazione. È opportuno rilevare che tale relazione non è soddisfatta solo dalle forze di tipo elastico, ma anche, ad esempio, dalla forza (2) che agisce sul pendolo, la quale, come già è stato detto, è una componente della forza di gravità. Per quanto i sistemi vibranti che si considerano in pratica siano piuttosto complicati, conviene comunque considerare dapprima il modello più semplice, costituito da un unico punto materiale, cioè pesante, trattenuto in una posizione di equilibrio da forze di tipo ela­ stico. Dal punto di vista fisico la vibrazione è completamente caratte­ rizzata dallo spostamento, istante per istante, del « punto » rispetto alla sua posizione di riposo, ossia dalla legge che governa il moto della vibrazione stessa. Se si rileva (3) la distanza del punto dalla sua posiC) Tali forze, che decrescono col decrescere della deformazione, si annullano quando la deformazione stessa è nulla. Si tenga poi conto che in genere il campo di forza elastica è superiore a quello della forza di gravità, per cui qucst’ultima, pur essendo sempre presente, verrà normalmente trascurata nello studio delle vibrazioni, dato che la sua incidenza sulle medesime è, appunto, trascurabile. ?) In prima approssimazione tale forza risulta proporzionale alla distanza della pallina dalla verticale che passa per il punto di riposo. Inoltre .risòlta proporzionale anche alla massa della pallina stessa ed in ciò consiste la differenza sostanziale con le forze elastiche, che sono indipendenti dalla massa del punto, o del corpo, su cui agiscono. (3) Con la cinematografia rapida o con i metodi stroboscopici ciò è effettivamente possibile.

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zione di riposo in istanti diversi, indicabili con ti, tz, ts, ... e si riportano le coppie di punti (4 , ji), (tz , sì), (tg, 53), ..., dove s è lo spostamento, in un diagramma bidimensionale, si trova, in questo caso un andamento del tipo di quello indicato in Fig. 2. Tale rappre­ sentazione grafica del moto di vibrazione vien detta « oscillogramma ». Le differenze di tempo tra gli istanti Ti c Tz, oppure Ty e Tzsono tutte uguali, come uguali sono anche le successive differenze, analogamente rilevabili considerando lo stesso sistema di vibrazioni in una ampia manifestazione di ripetizioni. È evidente che queste dif­ ferenze altro non sono che la durata di ciascuna vibrazione, il cui tempo effettivo T si dice « periodo » della vibrazione stessa. Si dice

anche che la vibrazione è « periodica » (con periodo T) per indicare il fatto che il moto vibratorio si ripete allo stesso modo ad intervalli uguali di tempo. Nel caso delle vibrazioni acustiche, l’unità di misura del tempo T è il minuto secondo (see), ma siccome detto tempo (ossia la durata di ogni singola vibrazione) è generalmente molto più pic­ colo del secondo stesso, ne viene che il rapporto sec/T (ossia: 1/T) assume valori più grandi di 1. L’inverso di Tprende il nome di «fre­ quenza », che si indica con f e che significa che in un secondo il corpo elastico compie tante vibrazioni quante ne esprime il rapporto fra l’unità di tempo e la durata di una vibrazione (1/T = f). Durante ciascuna vibrazione vi è un momento in cui il « punto » (che rappresenta l’andamento della vibrazione stessa) passa per la posizione di riposo muovendosi in un determinato senso, e vi è un altro, che succede al primo, in cui ci ripassa muovendosi nel verso opposto (4). Sono le « fasi » della vibrazione, che si alternano nel (4)

Si pensi, a titolo di esempio, a! moto del pendolo.

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tempo, sia da una parte che dall’altra della posizione di equilibrio. Ciascuna fase inizia nell’istante in cui il punto si allontana dalla po­ sizione di riposo per raggiungere in un verso la sua massima elonga­ zione e termina col ritorno del punto nella posizione stessa, dove però il moto non si arresta e dóve, con la ripetizione del fatto in senso in­ verso, inizia la fase successiva. Ogni vibrazione, ogni periodo cioè, comprende due fasi, che si usa distinguere con l’attributo di « positiva » e di « negativa ». In ciascuna delle due fasi vi sono momenti in cui la velocità di spostamento del punto è massima, quando cioè avviene il suo passaggio per la posizione di riposo e ve ne sono altri in cui la velocità è nulla, ossia quando il punto raggiunge, in un verso e nel­ l’altro, l’ampiezza massima della elongazione. Tta il massimo ed il minimo della velocità intercorrono, con una norma particolare, tutti i valori intermedi. L’immagine del punto materiale che compie delle elongazioni at­ traversando in un senso e nell’altro la sua posizione di riposo richiama, per analogia, il moto vibratorio di vari corpi elastici considerati sor­ genti sonore. Abbiamo or ora visto che la velocità del punto durante il periodo non è costante, in quanto è caratterizzata da accelerazioni e da rallentamenti la cui norma verrà considerata analiticamente poco più avanti. D’altra parte risulta sin d’ora evidente l’opposizione, nel tempo, fra il massimo della velocità ed il massimo di ampiezza della elongazione, o della vibrazione. Poiché nella generazione del suono l’ampiezza della vibrazione ha il suo equivalente acustico nella in­ tensità del suono stesso, ne viene che il valore massimo di essa inten­ sità coincide necessariamente col valore minimo della velocità di spo­ stamento del punto, o dell’insieme di punti animati dal moto vibra­ torio. Per contro l’intensità sarà nulla nel momento in cui la velocità raggiungerà il massimo valore, vale a dire quando il moto vibratorio passerà per la posizione di riposo- del corpo elastico. Vi è dunque una opposizione tra la fase della velocità della vibrazione e quella dell’am­ piezza della elongazione, ossia della intensità del suono. Prima di passare all’esame analitico del moto vibratorio è utile considerare discorsivamente un altro aspetto del moto stesso, ossia il suo isocronismo, di cui un cenno è già stato dianzi fatto. In un dato sistema vibratorio la durata di ogni singola vibrazione è costante, pur non essendo uniforme nel periodo la velocità della vibrazione stessa. Saltando a piè pari nel dominio dell’estetica e della psicologia musicale, si può dire che, prendendo lo spunto dal moto pendolare, 6

con cui può essere esemplificato il moto vibratorio, si è creduto rav­ visare in esso un’analogia col « fondamento fìsico del ritmo ». A parte la forte discutibilità di tale significazione (il ritmo appartiene essenzialmente alla psicologia), bisogna dire che l’analogia è tutt’altro che priva di logica dialettica. Accettando la terminologia con cui i greci distinguevano i momenti della metrica del « piede », che op­ poneva, col nome di «arsi» la metà debole del medesimo a quella di forte accentuazione, che veniva detta « tesi » (5), si può tracciare un parallelo con l’andamento delle elongazioni pendolari, tra il minimo ed il massimo della loro ampiezza, oppure, se si vuole, con l’andamento della velocità, con le sue accelerazioni ed i suoi rallentamenti.

Moto armonico semplice, o sinusoidale Analiticamente il moto vibratorio (sinusoidale) è esprimibile me­ diante l’equazione:

s(t) — A cos ( cot + ??

(2)

dove s (?) è lo spostamento (o elongazione) del punto dalla posizione di equilibrio in funzione del tempo; dove A è il valore massimo (o ampiezza), positivo o negativo, dell’elongazione stessa; mentre co è una quantità legata alla frequenza e precisamente co = 2nf, detta «pulsazione»; ed cp è il rapporto r/71, espresso in gradi, ossia: cp = t/!T360, essendo r la differenza di tempo indicata nella Fig. 3. La (2) viene detta « Legge del moto armonico semplice, o sinu­ soidale ». L’energia del punto in vibrazione, somma dell’energia cinetica e di quella potenziale, è costante e risulta proporzionale al quadrato dell’ampiezza A. Se si introduce la « ampiezza efficace », definita come radice quadrata del valore medio del quadrato dello spostamento istantaneo del punto nel periodo di vibrazione, che, nel caso del moto

(°) In epoca romana, in funzione dello sviluppo dell’accento intensivo il significato di « arsi » e di «tesi » venne invertito. (Enciclopedia storica UTET, Il voi,). Il signi­ ficato greco è però il più accreditato.

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armonico semplice risulta essere Aott — A/\/'2, l’energia è proporzù> naie ad y42efr. Se la (2) si ottiene come soluzione dell’equazione del moto, che si può scrivere partendo da principi del tutto generali della dinamica del punto, come il teorema di conservazione della energia, si trova che A e

dove n è un numero intero, ossià: n = 1, 2, 3, ..mentre Ai e