Höhere Mathematik griffbereit [3. Aufl. Reprint 2021] 9783112526606, 9783112526590

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M. J . W Y G O D S K I Höhere Mathematik griffbereit

M. J. WYGODSKI

Höhere Mathematik griffbereit In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. Ferdinand Cap, Innsbruck 3., bearbeitete und erweiterte Auflage herausgegeben von Wolfgang Hahn, Graz

Mit 486 Abbildungen und 15 Tabellen

AKADEMIE-VERLAG • BERLIN

1976

M. fl. B b i r O f l C K H H CnpaBoiHHK no Bbicuieii McItgmcithkg Erschienen im Verlag N A U K A , Moskau . Deutsche Übersetzung: Dr. Gottfried Tinhofer, Innsbruck

Erschienen im Akademie-Verlag, 108 Berlin, Leipziger Straße 3 — 4 © Akademie-Verlag, Berlin, 1976 Lizenznummer: 202 . 100/423/76 Gesamtherstellung: V E B Druckhaus „Maxim Gorki", 74 Altenburg Bestellnummer: 761 581 1 (5929) • LSV 1037 Printed in GDR E V P 24,80

Vorwort zur zweiten deutschen Auflage Das Buch, dessen deutsche Bearbeitung hiermit in zweiter Auflage erscheint, hat eine zweifache Bestimmung. Im Vorwort zur russischen Ausgabe ist das wie folgt formuliert: „Erstens übermittelt das Buch Auskünfte über sachgemäße Fragen: Was ist ein Vektorprodukt? Wie bestimmt man die Fläche eines Drehkörpers? Wie entwickelt man eine Funktion in eine trigonometrische Reihe? usw. Die entsprechenden Definitionen, Theoreme, Regeln und Formeln, begleitet von Beispielen und Hinweisen, findet man schnell. Zu diesem Zweck dient das detaillierte Inhaltsverzeichnis und der ausführliche alphabetische Index. Zweitens ist das Buch für eine systematische Lektüre bestimmt. Es beansprucht nicht die Rolle eines Lehrbuches. Beweise werden daher nur in Ausnahmefällen vollständig gegeben. Jedoch kann das Buch als Hilfsmittel für eine erste Auseinandersetzung mit dem Gegenstand dienen. Zu diesem Zweck werden ausführliche Erklärungen der Grundbegriffe gebracht und alle Regeln durch zahlreiche Beispiele illustriert, die einen organischen Bestandteil dieses Buches bilden. Sie erklären die Anwendung der Regeln, wann eine Regel ihre Gültigkeit verliert, welche Fehler man zu vermeiden hat usw." Man erkennt aus dieser Darlegung, daß sich das Buch in erster Linie an Benutzer wendet, für die die Mathematik ein Werkzeug darstellt, also vorwiegend an Studierende der Ingenieur- und Naturwissenschaften in den Anfangssemestern. Es dürfte aber auch für Studierende der Mathematik an Universitäten nicht ohne Wert sein, obwohl dort die Zielsetzung derzeit anders ist. Aber gerade weil keine moderne Universitätsvorlesung und kein modernes Lehrbuch einem Gebiet wie z. B. der klassischen Geometrie der Kegelschnitte oder der Integration der rationalen Funktionen viel Platz einräumen kann, ist ein Werk nützlich, in dem man Einzelheiten über diese und ähnliche Gebiete, die ja schließlich auch zur Mathematik gehören, nachschlagen kann. Die freundliche Aufnahme, die das Buch gefunden hat, läßt erkennen, daß seine Zielsetzung im großen und ganzen richtig ist. Für die zweite Auflage wurden einige Abschnitte neugefaßt bzw. eingefügt. Erstens wurde im Abschnitt „analytische Geometrie" durch Umstellungen und Ergänzungen erreicht, daß die Vektorrechnung, ihrer tatsächlichen Bedeutung entsprechend, stärker hervortritt. Zweitens wurde im Zusammenhang damit eine kurze Einführung in die Matrizenrechnung eingefügt. Drittens wurde in dem Abschnitt

6

Vorwort

„Grundbegriffe der Analysis" die Terminologie dem hierzulande üblichen Sprachgebrauch angepaßt. Eine vollständige Ersetzung der im russischen Original verwandten Ausdrücke erschien dabei nicht notwendig. Viertens bringt ein kleiner Anhang einiges über die Grundlagen der mathematischen Statistik (Bearbeiter Dozent Dr. H. S T E T T NEB, Graz). Mit diesen Ergänzungen umfaßt das Buch den weitaus größten Teil des Stoffes, der im Grundkurs an den technischen Fachschulen und Hochschulen vorgetragen zu werden pflegt. W.

HAHN

Inhaltsverzeichnis I . Analytische Geometrie in der Ebene

21

§ 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10. § 11. § 12. § 13. § 14. § 15. § 16. § 17. § 18. § 19. § 20. § 21. § 22. § 23. § 24. § 25.

21 22 22 23 24 25 25 27 27 28 28 30 30 31 33 34 35 36 37 38 39 42 42 43

§ 26. § 27. § 28. § 29. § 30. § 31. § 32. § 33. § 34. § 35.

Grundsätzliches über die analytische Geometrie Koordinaten Rechtwinkliges Koordinatensystem Rechtwinklige Koordinaten Winkelbereiche oder Quadranten Schiefwinkliges Koordinatensystem Die Geradengleichung Gegenseitige Lage von Punkt und Kurve Gegenseitige Lage zweier Kurven Der Abstand zwischen zwei Punkten Teilabschnitte mit gegebenem Verhältnis Die Determinante zweiter Ordnung Der Flächeninhalt eines Dreiecks Die Geradengleichung in der nach y aufgelösten Form . . Achsenparallele Geraden Die allgemeine Geradengleichung Konstruktion einer Geraden aus ihrer Gleichung Parallelitätsbedingungen für Geraden Schnittpunkte von Geraden Bedingung für die Orthogonalität zweier Geraden . . . . Der Winkel zwischen zwei Geraden Bedingung dafür, daß drei Punkte auf einer Geraden liegen Gleichung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte . . Geradenbüschel Die Gleichung einer Geraden, die parallel zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt verläuft Die Gleichung einer Geraden durch einen gegebenen Punkt und orthogonal zu einer gegebenen Geraden Gegenseitige Lage einer Geraden und eines Punktepaares . Der Abstand eines Punktes von einer Geraden Die Polarparameter der Geraden Die Normalform der Geradengleichung Die Bestimmung der Geradengleichung in Normalform . . Achsenabschnitte Die Abschnittsgleichung der Geraden Koordinatentransformation (Erläuterung der Methode) . . Verschiebung des Koordinatenursprungs

46 46 47 47 49 51 52 53 54 54 55

8 § 36. § 37. § 38. § 39. § 40. § 41. § 42. § 43. § 44.

Inhaltsverzeichnis

Die Parallelverschiebüng als Abbildung Grundsätzliches über Vektoren und Skalare Bezeichnungen f ü r Vektoren Kollineare Vektoren Der Nullvektor Entgegengesetzte Vektoren Die Gleichheit von Vektoren Freie u n d gebundene Vektoren Die R ü c k f ü h r u n g von Vektoren auf einen gemeinsamen Anfangspunkt § 45. Vektoraddition § 46. Die Summe mehrerer Vektoren § 47. Die Vektorsubtraktion § 48. Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl § 49. Beziehungen zwischen kollinearen Vektoren § 50. Die Projektion eines P u n k t e s auf eine Achse § 51. Die Projektion eines Vektors auf eine Achse § 52. Grundlegende Theoreme über die Projektionen eines Vektors § 53. Das Skalarprodukt zweier Vektoren § 54. Eigenschaften des Skalarprodukts § 55. Behandlung geometrischer Probleme mit Hilfe von Vektoren § 56. Vektorielle Darstellung einer Geraden § 57. Darstellung eines Vektors in einem rechtwinkligen Koordinatensystem § 58. Achsendrehung § 59. Darstellung einer Drehung durch eine Matrix § 60. Das Rechnen mit Matrizen § 61. Die transponierte u n d die inverse Matrix § 62. Eigenwerte u n d Eigenvektoren § 63. Matrizen höherer Ordnung § 64. Quadratische Formen § 65. Algebraische K u r v e n und ihr Grad §66. Der Kreis § 67. Bestimmung des Mittelpunktes u n d des Radius eines Kreises § 68. Die Ellipse als gestauchter Kreis § 69. Eine zweite Definition der Ellipse § 70. Konstruktion einer Ellipse aus ihren Achsen § 71. Die Hyperbel § 72. Die F o r m einer Hyperbel. Scheitel und Achsen § 73. Konstruktion einer Hyperbel aus ihren Achsen § 74. Die Asymptoten der Hyperbel § 75. Konjugierte Hyperbeln § 76. Die Parabel § 77. Konstruktion einer Parabel bei gegebenem P a r a m e t e r p . § 78. Die Parabel als K u r v e mit der Gleichung y = ax- -f- bx + c § 79. Die Leitlinien einer Ellipse und einer Hyperbel § 80. Allgemeine Definition von Ellipse, Hyperbel u n d Parabel § 81. Kegelschnitte

56 56 57 57 58 58 58 59 60 60 62 63 64 65 66 67 68 70 72 73 75 75 77 78 80 82 83 84 85 86 87 89 90 92 95 96 98 99 100 101 102 103 104 107 109 112

Inhaltsverzeichnis § § § § § § § § § § § § § § § §

82. 83. 84. 85. 86. 87. 88.

Die Durchmesser eines Kegelschnitts Die Durchmesser der Ellipse Die Durchmesser der Hyperbel Die Durchmesser der Parabel K u r v e n zweiten Grades Die Form der allgemeinen Gleichung zweiten Grades . . Vereinfachung der Gleichung zweiten Grades. Allgemeine Bemerkungen 89. Vorläufige Transformation der Gleichung zweiten Grades 90. Endgültige Transformation der Gleichung zweiten Grades 91. Über Verfahren zur Erleichterung der Vereinfachung von Gleichungen zweiten Grades 92. Bestimmung des Typs einer K u r v e zweiten Grades . . . 93. Die Bestimmung der Geraden, aus denen eine zerfallende K u r v e zweiter Ordnung besteht 94. Zentralsymmetrische und nichtzentralsymmetrische K u r ven zweiten Grades 95. Die Bestimmung des Zentrums zentralsymmetrischer K u r ven zweiter Ordnung 96. Die Vereinfachung der Gleichung einer zentralsymmetrischen K u r v e zweiter Ordnung 97. Die gleichseitige Hyperbel als grafische Darstellung der h Gleichung y = —

9 113 114 115 117 119 120 121 121 124 130 131 135 137 139 140 142

§ 98. Die gleichseitige Hyperbel als grafische Darstellung der „, . , mx + n Gleichung w = e px + q § 99. Polarkoordinaten § 100. Die Beziehung zwischen Polarkoordinaten und rechtwinkligen Koordinaten § 101. Die Archimedische Spirale § 102. Die Polargleichung der Geraden § 103. Die Polargleichung eines Kegelschnitts

148 151 153 153

I I . Analytische Geometrie im R a u m

155

§ § § § §

155 156 158 159

104. 105. 106. 107. 108.

Räumliche Vektoren Rechtwinkliges Koordinatensystem im R a u m Die Koordinaten eines P u n k t e s Die Koordinaten eines Vektors Der Winkel zwischen den Koordinatenachsen und einem Vektor § 109. Anwendungen des Skalarprodukts § 110. R e c h t s - u n d Linkssysteme von drei Vektoren §111. Das Vektorprodukt zweier Vektoren § 112. Die Eigenschaften des Vektorprodukts § 113. Die Vektorprodukte der Achsenvektoren § 114. Die Darstellung des Vektorprodukts durch die Koordinat e n der P a k t o r e n § 115. Komplanare Vektoren § 116. Das gemischte P r o d u k t

143 146

161 162 164 166 168 169 170 172 172

10

Inhaltsverzeichnis

§ 117. Die Eigenschaften des gemischten Produktes § 118. Die Determinante dritter Ordnung § 119. Die Darstellung des gemischten Produktes durch die Koordinaten seiner Faktoren § 120. Das doppelte Vektorprodukt § 121. Die Gleichung einer Ebene § 122. Parameterdarstellung einer Ebene § 123. Ermittlung der Parameterdarstellung einer Ebene aus ihrer linearen Gleichung § 124. Spezialfälle der Lage von Ebenen bezüglich des Koordinatensystems § 125. Die Bedingung für die Parallelität von Ebenen § 126. Die Bedingung für die Orthogonalität zweier Ebenen . . § 127. Der Winkel zwischen zwei Ebenen § 128. Die Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen Punkt und parallel zu einer gegebenen Ebene § 129. Bestimmung einer Ebene durch drei Punkte § 130. Achsenabschnitte § 131. Die Abschnittsgleichung einer Ebene § 132. Die Gleichung einer Ebene durch zwei Punkte und orthogonal zu einer gegebenen Ebene § 133. Die Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen Punkt und orthogonal zu zwei Ebenen § 134. Der Schnittpunkt dreier Ebenen § 135. Gegenseitige Lage von Ebene und Punktepaar § 136. Der Abstand zwischen Punkt und Ebene § 137. Die Polarparameter der Ebene § 138. Die Normalform der Ebenengleichung § 139. Die Bestimmung der Ebenengleichung in Normalform . § 140. Die Gleichung einer Geraden im Raum § 141. Bedingung dafür, daß zwei Gleichungen ersten Grades eine Gerade darstellen § 142. Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene § 143. Richtungsvektoren § 144. Der Winkel zwischen einerGeraden und den Koordinatenachsen § 145. Der Winkel zwischen zwei Geraden § 146. Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene . . § 147. Die Bedingungen für die Parallelität und Orthogonalität zwischen Gerade und Ebene § 148. Ebenenbüschel § 149. Die Projektionen einer Geraden auf die Koordinatenebenen § 150. Die symmetrischen Geradengleichungen § 151. Die Bestimmung der Geradengleichungen in symmetrischer Form § 152. Die Parameterdarstellung der Geraden § 153. Der Schnitt einer Ebene mit einer Geraden in Parameterform § 154. Die Gleichung einerGeraden durch zwei gegebene Punkte

174 175 177 178 179 180 180 181 182 183 183 184 184 185 185 186 187 188 189 189 190 192 193 194 196 197 198 200 200 201 201 202 204 206 207 209 209 210

Inhaltsverzeichnis § 155. Die Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen P u n k t senkrecht zu einer gegebenen Geraden § 156. Die Gleichung einerGeraden durcheinen gegebenenPunkt senkrecht zu einer gegebenen Ebene § 157. Die Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen P u n k t und durch eine gegebene Gerade § 158. Die Gleichung einer Ebene durch einen gegebenenPunkt und parallel zu zwei gegebenen Geraden § 159. Die Gleichung einer Ebene durch eine gegebene Gerade und parallel zu einer anderen gegebenen Geraden . . . . § 160. Die Gleichung einer Ebene durch eine gegebene Gerade senkrecht zu einer gegebenen Ebene § 161. Die Gleichung der Senkrechten von einem gegebenen P u n k t auf eine gegebene Gerade § 162. Die Länge der Senkrechten von einem gegebenen P u n k t auf eine gegebene Gerade § 163. Die Bedingungen dafür, daß sich zwei Geraden schneiden oder in einer Ebene liegen § 164. Die Gleichung einer Geraden, die senkrecht zu zwei gegebenen Geraden ist § 165. Der kürzeste Abstand zwischen zwei Geraden § 166. Koordinatentransformation § 167. Die Gleichung einer Fläche § 168. Zylinderflächen, deren Erzeugende parallel zu einer der Koordinatenachsen sind § 169. Die Gleichung einer K u r v e § 170. Die Projektion einer K u r v e auf eine Koordinatenebene . § 171. Algebraische Flächen u n d ihr Grad § 172. Die Kugelfläche § 173. Das Ellipsoid § 174. Daa einschalige Hyperboloid § 175. Das zweischalige Hyperboloid § 176. Der Kegel zweiter Ordnung § 177. Das elliptische Paraboloid § 178. Das hyperbolische Paraboloid § 179. Die Flächen zweiten Grades § 180. Geradlinige Erzeugende der Flächen zweiten Grades. . . § 181. Rotationsflächen § 182. Determinanten zweiter und dritter Ordnung '. § 183. Determinanten höherer Ordnung § 184. Eigenschaften der Determinanten § 185. Ein praktisches Verfahren zur Berechnung von Determinanten § 186. Anwendung der Determinanten auf die Untersuchung und Lösung von Gleichungssystemen § 187. Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten § 188. Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten § 189. Das homogene System von zwei Gleichungen mit drei Unbekannten § 190. Drei Gleichungen mit drei Unbekannten

11 210 211 211 212 213 213 214 215 217 218 220 223 224 224 226 227 230 230 231 234 236 238 240 242 243 246 247 248 251 253 255 257 257 259 260 262

Inhaltsverzeichnis

12 § 191. n Gleichungen

265

I I I . Die Grundbegriffe der mathematischen Analysis

269

§ 192. § 193. § 194. § 195. § 196. § 197. § 198. § 199. § 200. § 201. § 202. § 203. § 204. § 205. § 206. § 207. § 208. § 209. § 210.

269 270 270 271 271 272 273 275 276 278 279 280 281 281 283 285 286 286

§ 211. § 212. § 213. § 214. § 215. § 216. § 217. § 218. § 219. § 220. §221.

Einführende Bemerkungen Die rationalen Zahlen Die reellen Zahlen Die Zahlengerade Variable und konstante Größen Funktionen Methoden zur Angabe einer Funktion Der Definitionsbereich einer Funktion Intervalle Klassifikation der Funktionen Die Bezeichnung von Funktionen Der Wertevorrat einer Funktion Das Rechnen mit Zahlenfolgen Der Grenzwert einer Folge Der Grenzwert von Funktionen Nullfolgen Beschränkte Größen Unbeschränkte und unbegrenzt wachsende Größen . . . Eine Beziehung zwischen unbegrenzt wachsenden und gegen Null strebenden Größen Erweiterung des Grenzwertbegriffs Die Grundtheoreme über Grenzwerte Bemerkungen zu den Sätzen über Grenzwerte Die Zahl e Der Grenzwert sin xjx für x —> 0 Äquivalenz von Nullfolgen Vergleich gegen Null strebender Größen Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt Eigenschaften von Funktionen, die in einem Punkt stetig sind \ Stetigkeit einer Funktion in einem abgeschlossenen Intervall Eigenschaften von Funktionen, die in einem abgeschlossenen Intervall stetig sind

287 287 288 289 290 291 291 292 294 296 297 298

I V . Differentialrechnung

300

§ 222. § 223. § 224. § 225. § 226. § 227. § 228. § 229. § 230. § 231. § 232.

300 300 301 303 304 305 306 307 307 308 310

Einführende Bemerkungen Die Geschwindigkeit Die Definition der Ableitung einer Funktion Die Tangente Die Ableitungen einiger einfacher Funktionen Eigenschaften der Ableitung Das Differential Die mechanische Deutung des Differentials Die geometrische Bedeutung des Differentials Differenzierbare Funktionen Die Differentiale einiger einfacher Funktionen

Inhaltsverzeichnis § 233. § 234. § 235. § 236. § 237. § 238.

Die Eigenschaften des Differentials Die Invarianz des Ausdrucks f'(x) dx Beschreibung der Ableitung durch Differentiale Zusammengesetzte Funktionen Das Differential einer zusammengesetzten Funktion . . Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion („Kettenregel") § 239. Die Differentiation eines Produkts § 240. Die Differentiation eines Quotienten § 241. Die Umkehrfunktion § 242. Der natürliche Logarithmus § 243. Die Differentiation des Logarithmus § 244. Die logarithmische Differentiation § 245. Die Differentiation der Exponentialfunktion § 246. Die Differentiation der trigonometrischen Funktionen . . § 247. Die Differentiation der Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen § 248. Das Differential in der Näherungsrechnung § 249. Anwendung der Differentialrechnung auf die Fehlerabschätzung § 250. Differentiation impliziter Funktionen § 251. Eine in Parameterform gegebene Kurve § 252. In Parameterform gegebene Funktionen § 253. Die Zykloide § 254. Die Gleichung der Tangente an eine ebene Kurve . . . § 255. Die Gleichung der Normalen § 256. Ableitungen höherer Ordnung § 257. Die Bedeutung der zweiten Ableitung in der Mechanik . § 258. Differentiale höherer Ordnung § 259. Darstellung der höheren Ableitungen durch Differentiale . | 260. Höhere Ableitungen von Funktionen, die in Parameterform gegeben sind § 261. Höhere Ableitungen impliziter Funktionen § 262. Die LEiBNizsche Regel § 263. D e r S a t z von ROLLE § 264. D e r Mittelwertsatz von LAGBANGE

§ 265. § 266. §267. § 268.

§ 269. § 270. § 271. § 272. § 273. § 274. § 275.

Die Formel für einen endlichen Zuwachs Die Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes (CAUCHY) . Untersuchungeinesunbestimmten Ausdrucks der Form 0/0 Untersuchung eines unbestimmten Ausdrucks der Form oo/oo Unbestimmte Ausdrücke anderer Form Historische Betrachtungen über die TAYLORsche Formel Die TAYLOB-Formel Anwendung der TAYLOR-Formel auf die Berechnung von Funktionswerten Zunehmende und abnehmende Funktionen Kriterien für die Zunahme oder Abnahme einer Funktion . in einem Punkt Maximum und Minimum

13 311 311 312 313 313 314 314 315 316 318 319 320 321 322 322 323 325 326 328 330 332 333 335 336 337 338 340 340 341 342

343 344

346 348 350

353 353 355 359 361 368 370 371

14

Inhaltsverzeichnis

§ 276. Notwendige Bedingung für ein Maximum oder ein Minimum § 277. Erste hinreichende Bedingung für ein Maximum oder Minimum § 278. Regel für die Bestimmung der Maxima und Minima. . . § 279. Zweite hinreichende Bedingung für Maxima und Minima . § 280. Die Bestimmung des größten und des kleinsten Werts einer Funktion § 281. Die Konvexität ebener Kurven. Wendepunkte § 282. Die konkave Seite § 283. Regel für die Bestimmung eines Wendepunkts § 284. Die Asymptoten § 285. Die Untersuchung von Asymptoten, die parallel zu den Koordinatenachsen sind § 286. Untersuchung der Asymptoten, die nicht zur Ordinatenachse parallel sind § 287. Verfahren zur Konstruktion von grafischen Darstellungen § 288. Lösung von Gleichungen. Allgemeine Bemerkungen . . . § 289. Die Lösung von Gleichungen. Die Sehnenmethode (Regula falsi) § 290. Die Lösung von Gleichungen. Die Tangentenmethode . . § 291. Kombination der Sehnenmethode mit der Tangentenmethode

401

V. Integralrechnung

404

§ 292. § 293. § 294. § 295. § 296.

404 406 407 408

§ 297. § 298. § 299. § 300. § 301. § 302. § 303. § 304. § 305. § 306. § 307. § 308. § 309. § 310. §311. § 312.

Einführende Bemerkungen Die Stammfunktion Das unbestimmte Integral Geometrische Erklärung der Integration Berechnung der Integrationskonstanten aus den Anfangsdaten Eigenschaften des unbestimmten Integrals Integraltafel Unbestimmt^ Integration Die Substitutionsmethode (Integration unter Verwendung einer Hilfsvariablen) Partielle Integration % Integration einiger trigonometrischer Ausdrücke . . . . Trigonometrische Transformation Rationale Funktionen Verfahren zur Integration von gebrochenen rationalen Funktionen Die Integration von Partialbrüchen Die Integration rationaler Funktionen (allgemeine Methode) Die Faktorenzerlegung eines Polynoms Über die Integrierbarkeit der elementaren Funktionen Einige von Radikalen abhängige Integrale Das Integral eines Binomialausdrucks Integrale der Form / B(x, j/ax2 + bx + c) dx

372 373 374 378 380 383 383 385 386 387 389 391 396 397 399

411 412 413 415 415 417 418 422 423 424 425 428 434 435 436 437 439

Inhaltsverzeichnis § 313. § 314. § 315. § 316. §317. § 318. § 319. § 320. § 321. § 322.

Integrale der Form / ü(sin x, cos x) dx Das bestimmte Integral Eigenschaften des bestimmten Integrals Die geometrische Deutung des bestimmten Integrals . . Deutung des bestimmten Integrals in der Mechanik . . . Abschätzung des bestimmten Integrals Der Mittelwertsatz der Integralrechnung Das bestimmte Integral als Funktion seiner oberen Grenze Das Differential eines Integrals Das Integral eines Differentials. Die Formel von NEWTONLEIBNIZ

§ 323. Die Berechnung des bestimmten Integrals mit Hilfe des unbestimmten Integrals . . . § 324. Partielle bestimmte Integration § 325. Substitutionsmethoden bei der bestimmten Integration . § 326. Uneigentliche Integrale § 327. Integrale mit unendlichen Grenzen § 328. Integrale über Funktionen mit Unstetigkeitsstellen . . . § 329. Über die näherungsweise Berechnung eines Integrals . . § 330. Rechtecksformeln § 331. Die Trapezformel § 332. Die SiMPSONsche Formel (Parabolische Trapezformel) . . §'333. Der Flächeninhalt von Figuren, die durch rechtwinklige Koordinaten beschrieben werden § 334. Übersicht über die Anwendung des bestimmten Integrals § 335. Der Flächeninhalt von Figuren, die durch Polarkoordinaten gegeben sind § 336. Das Volumen eines Körpers § 337. Das Volumen eines Rotationskörpers § 338. Die Bogenlänge einer ebenen Kurve § 339. Das Differential der Bogenlänge § 340. Die Bogenlänge und ihr Differential in Polarkoordinaten § 341. Der Flächeninhalt einer Rotationsfläche

15 441 441 446 447 449 450 451 452 454 456

457 458 459 460 461 465 468 470 472 473 475 477 478 480 482 483 484 485 487

VI. Überblick über ebene und räumliche Kurven

489

§ 342. Die Krümmung § 343. Krümmungsmittelpunkt, Krümmungsradius und Krümmungskreis einer ebenen Kurve § 344. Formeln für die Krümmung, den Krümmungsradius und den Krümmungsmittelpunkt einer ebenen Kurve . . . . § 345. Die Evolute einer ebenen Kurve § 346. Eigenschaften der Evolute einer ebenen Kurve § 347. Die Evolvente einer ebenen Kurve § 348. Die Parameterform von Raumkurven § 349. Schraubenlinien § 350. Die Bogenlänge einer Raumkurve § 351. Die Tangente an eine Raumkurve § 352. Die Normalebene § 353. Vektorfunktionen mit skalarem Argument § 354. Grenzwerte von Vektorfunktionen

489 490 492 495 497 498 498 500 502 503 505 506 507

16

Inhaltsverzeichnis

§ 355. Die Ableitung einer Vektorfunktion § 356. Das Differential einer Vektorfunktion § 357. Eigenschaften der Ableitungen und der Differentiale von Vektorfunktionen § 358. Die Schmiegebene § 359. Die Hauptnormale. Das begleitende Dreibein § 360. Gegenseitige Lage von Kurve und Ebene § 361. Die Einheitsvektoren des begleitenden Dreibeins . . . . § 362. Krümmungsmittelpunkt, Krümmungsachse und Krümmungsradius einer Raumkurve § 363. Formeln für die Krümmung, den Krümmungsradius und den Krümmungsmittelpunkt von Raumkurven § 364. Über das Vorzeichen der Krümmung § 365. Die Torsion

507 509 510 512 514 515 515 517 518 520 520

VII. Unendliche Reihen

523

§ 366. Einführende Bemerkungen § 367. Definition der unendlichen Reihe § 368. Konvergente und divergente unendliche Reihen . . . . § 369. Notwendige Bedingung für die Konvergenz einer unendlichen Reihe § 370. Der Rest einer unendlichen Reihe § 371. Einfache Operationen mit unendlichen Reihen § 372. Positive unendliche Reihen § 373. Vergleich von positiven Reihen

523 523 524

§ 374. Das ü'ALEMBERTSche Kriterium für positive Reihen.

525 527 529 530 531

. . 533

§ 375. Das Integralkriterium für die Konvergenz § 376. Alternierende Reihen. Das Kriterium von LEIBNIZ . . . § 377. Absolute und bedingte Konvergenz ij 378. Das D'AiEMBERTSche Kriterium für beliebige Reihen . . § 379. Umordnen der Glieder einer unendlichen Reihe . . . . § 380. Zusammenfassen der Glieder einer unendlichen Reihe . . § 381. Multiplikation von unendlichen Reihen § 382. Die Division von unendlichen Reihen § 383. Reihen mit veränderlichen Gliedern § 384. Der Konvergenzbereich einer Reihe mit veränderlichen Gliedern § 385. Über gleichmäßige und ungleichmäßige Konvergenz . . § 386. Definition der gleichmäßigen und ungleichmäßigen Konvergenz § 387. Geometrische Deutung der gleichmäßigen und ungleichmäßigen Konvergenz § 388. Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz; reguläre Reihen § 389. Die Stetigkeit der Summe einer unendlichen Reihe . . . § 390. Die Integration von unendlichen Reihen § 391. Die Differentiation von unendlichen Reihen § 392. Potenzreihen § 393. Konvergenzintervall und Konvergenzradius einer Potenzreihe

534 536 537 539 539 540 541 543 545

545 548 551 551 552 553 554 557 558 559

Inhaltsverzeichnis § 394. Die Bestimmung des Konvergenzradius § 395. D e r Konvergenzbereich einer Potenzreihe in x—x0 § 396. Das Theorem von ABEL

§ 397. § 398. § 399. § 400. § 401. § 402. § 403. § 404. § 405.

§ 406. § 407. § 408. § 409. § 410. § 411. § 412. § 413.

17 560 . . . 562

Operationen m i t Potenzreihen Differentiation u n d Integration von P o t e n z r e i h e n . . . . Die TAYLOR-Reihe Die Entwicklung einer F u n k t i o n in eine Potenzreihe . . Die Entwicklung der elementaren Funktionen i n P o t e n z reihen Die Anwendung der unendlichen Reihen auf die Berechnung von Integralen Hyperbolische Funktionen Die Umkehrfunktionen für die hyperbolischen F u n k t i o n e n Die Herkunft der Namen für die hyperbolischen F u n k tionen Ü b e r komplexe Zahlen Komplexe F u n k t i o n e n von reellen Argumenten Die Ableitung einer komplexen F u n k t i o n Komplexer E x p o n e n t einer positiven Zahl Die EuiiEKSche F o r m e l Trigonometrische R e i h e n Historische Bemerkungen über die trigonometrischen Reihen Die Orthogonalität des Systems der Funktionen cos nx und sin nx

§ 4 1 4 . D i e F o r m e l n v o n EULER-FOURIER

§ 415. § 416. § 417. § 418.

563

563 565 567 568 569 574 575 578 581 582 583 585 586 587 588 588 589 591

FoußiER-Reihen Die FouRiER-Reihe einer stetigen F u n k t i o n DieFouRiER-Reihen für gerade und ungeradeFunktionen FouRiER-Reihen für unstetige Funktionen

593 594 597 601

V i n . Differential- und Integralrechnung für Funktionen mehrerer Variabler

605

§ 419. § 420. § 421. § 422. § 423. § 424. § 425. § 426. § 427. § 428. § 429. § 430. § 431. § 432. 2

F u n k t i o n e n von zwei Variablen Funktionen von drei und mehr Variablen Verfahren zurAngabe von Funktionen mehrerer Variabler Grenzwerte von Funktionen mehrerer Variabler . . . . Ü b e r die Größenordnung von Funktionen mehrerer Variabler Stetigkeit von F u n k t i o n e n mehrerer Variabler Partielle Ableitungen Geometrische Bedeutung der partiellen Ableitungen für den F a l l von zwei Argumenten Totaler Zuwachs und partieller Zuwachs D a s partielle Differential Darstellung der partiellen Ableitung durch das Differential D a s totale Differential Die geometrische Bedeutung des totalen Differentials . . Die Invarianz des Ausdrucks fxdx + jydy + fzdz für das totale Differential

Wygodski

605 606 607 609 610 612 612 613 614 615 616 616 618 618

18 § 433. § 434. § 435. § 436. § 437. § 438. § 439.

Inhaltsverzeichnis

Die Technik des Differenzierens Differenzierbare Funktionen Die Tangentialebene und die Flächennormale Die Gleichung der Tangentialebene Die Gleichung der Normalen Differentiation zusammengesetzter Funktionen Übergang von rechtwinkligen Koordinaten zu l'olarkoordinaten § 440. Formeln für die partiellen Ableitungen einer zusammengesetzten Funktion § 441. Die totale Ableitung § 442. Differentiation impliziterFunktionen von mehreren Argumenten § 443. Partielle Ableitungen höherer Ordnung § 444. Die totalen Differentiale höherer Ordnung § 445. Die Technik des mehrmaligen Differenzierens § 446. Vereinbarung über die Bezeichnungsweise von Differentialen § 447. Die TAYLOBsche Formel für Funktionen von mehreren Variablen § 448. Extremwerte (Maxima und Minima) von Funktionen mehrerer Argumente § 449. Regel für die Bestimmung von Extremwerten § 450. Hinreichende Bedingung für ein Extremum (für den Fall von zwei Variablen) § 451. Das Doppelintegral § 452. Die geometrische Bedeutung des Doppelintegrals . . . . § 453. Eigenschaften des Doppelintegrals § 454. Abschätzung des Doppelintegrals § 455. Berechnung des Doppelintegrals (einfache Fälle) . . . . § 456. Berechnung des Doppelintegrals (allgemeiner Fall) . . . § 457. Punktfunktionen § 458. Das Doppelintegral in Polarkoordinaten § 459. Der Flächeninhalt eines Flächenstücks § 460. Das dreifache Integral § 461. Berechnung des dreifachen Integrals (einfache Fälle) . . § 462. Die Berechnung eines dreifachen Integrals (allgemeiner Fall) § 463. Zylinderkoordinaten § 464. Das dreifache Integral in Zylinderkoordinaten § 465. Kugelkoordinaten § 466. Das dreifache Integral in Kugelkoordinaten § 467. Leitfaden für die Anwendung von Doppelintegralen und dreifachen Integralen § 468. Das Trägheitsmoment § 469. Einige physikalische und geometrische Größen, die sich durch Doppelintegrale ausdrücken lassen § 470. Einige physikalische und geometrische Größen, die sich durch dreifache Integrale ausdrücken lassen § 471. Das Kurvenintegral § 472. Die Bedeutung des Kurvenintegrals in der Mechanik . .

619 620 621 622 623 624 625 626 626 627 629 631 632 633 634 636 637 638 639 641 641 642 642 646 649 650 653 656 656 657 659 660 660 661 663 664 666 668 669 670

Inhaltsverzeichnis

19

671 § 473. Die Berechnung des Kurvenintegrals § 474. Die GREEirsche Formel 673 § 475. Bedingung für die Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Weg 673 § 476. Eine andere Form für die Bedingung aus dem letzten Paragraphen 675 I X . Differentialgleichungen

678

§ 477. Grundbegriffe § 478. Gleichungen erster Ordnung §479. Die geometrische Bedeutung einer Gleichung erster Ordnung § 480. Isoklinen § 481. Partikuläre Lösung und allgemeine Lösung einerGleichung erster Ordnung § 482. Gleichungen mit separierten Variablen § 483. Separation der Variablen. Singulare Lösung § 484. Gleichungen mit totalen Differentialen § 485. Die homogene Gleichung . § 486. Lineare Gleichung erster Ordnung § 487. Die CLAiRAUTsche Gleichung § 488. Die Enveloppe § 489. Die Integrierbarkeit von Differentialgleichungen . . . . § 490. Näherungsweise Integration einer Gleichung erster Ordnung nach der Methode von EULER § 491. Integration von Differentialgleichungen mit Hilfe von unendlichen Reihen § 492. Über das Aufstellen von Differentialgleichungen . . . . § 493. Gleichungen zweiter Ordnung § 494. Gleichungen m-ter Ordnung § 495. Reduktion der Ordnung § 496. Die lineare Gleichung zweiter Ordnung § 497. Die lineare Gleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten § 498. Die homogene lineare Gleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten § 499. Die inhomogene lineare Gleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten § 500. Die lineare Gleichung beliebiger Ordnung § 501. Die Methode der Variation der Konstanten § 502. Systeme von Differentialgleichungen. Lineare Systeme .

678 680 680 683 684 685 686 688 689 692 694 696 697 697 699 701 705 707 707 709 711 711 715 719 720 721

X . Einige bemerkenswerte Kurven

723

§ 503. § 504. § 505. § 506. § 507. § 508.

723 725 727 729 730 734

2*

Die Strophoide Die Kissoide des DIOKLES Das Kartesische B l a t t Die Versiera der AGNESI Die Konchoide des NIKOMEDES Die PASOALSche Schnecke. Die Kardioide

20 § 509. § 510. §511. § 512. § 513. § 514. § 515. § 516. § 517.

Inhal ts Verzeichnis CASSiNische Linien Die BERNOULLisehe Lemniskate Die ARCHiMEDische Spirale Die Kreisevolvente Die logarithmisohe Spirale Die Zykloide Die Epizykloide und die Hypozykloide Die Traktrix Die Kettenlinie

738 740 741 744 746 749 754 764 . . 768

X I . Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

772

§ 518. § 519. § 520. § 521. § 522. § 523. § 524. § 525. § 526. § 527.

772 774 775 776 776 778 785 787 790 791

Grundlagen. Ereignisse Wahrscheinlichkeiten Beispiele. Berechnung elementarer Wahrscheinlichkeiten Zufallsvariable Verteilungsfunktionen Spezielle Verteilungsfunktionen Stichproben Parameterschätzung. Konfidenzintervalle Das GAUSSsche Fehlerfortpflanzungsgesetz Ausgleichskurven

Tabellen

797

Sachverzeichnis

828

I. Analytische Geometrie in der Ebene § 1. Grundsätzliches über die analytische Geometrie In der elementaren Schulgeometrie untersucht man die Eigenschaften von geradlinigen Figuren und Kreisen. Die Hauptrolle spielen darin die Konstruktionen. Die Berechnungen hingegen haben, obwohl ihre praktische Bedeutung sehr groß ist, nur eine untergeordnete Rolle. Die Wahl dieser oder jener Konstruktion verlangt meist etwas Erfindungskraft. Darin liegt die Hauptschwierigkeit bei der Lösung von Aufgaben mit den Methoden der elementaren Geometrie. Die analytische Geometrie entstand aus dem Bedürfnis nach einheitlichen Mitteln zur Lösung geometrischer Probleme, die man bei der Untersuchung aller für die Praxis wichtigen Kurven verschiedener Form anwenden kann. Dieses Ziel erreichte man durch die Erfindung der Koordinaten (s. §§ 2—4). Bei Verwendung von Koordinaten kommt der Berechnung die tragende Rolle zu, die Konstruktion hingegen hat die Bedeutung eines Hilfsmittels. Aus diesem Grunde erfordert die Lösung von Aufgaben nach der Methode der analytischen Geometrie bei weitem weniger Erfindungskraft. Die Begründung der Koordinatenmethode wurde durch die Arbeiten der altgriechischen Mathematiker vorbereitet, insbesondere durch die Arbeiten von A P O L L O N I O S (3. bis 2. Jahrhundert v. u. Z.). Eine systematische Entwicklung erfuhr die Koordinatenmethode in der ersten Hälfte des 17. Jahrhunderts durch die Arbeiten von F E K M A T 1 ) und D E S C A K T E S 2 ) . Diese Autoren betrachteten jedoch nur ebene Kurven. Zur systematischen Untersuchving von räumlichen Kurven und Flächen wurde die Koordinatenmethode zum ersten Mal von L. ETILER 3 ) herangezogen. ') PIERRE

DE

FERMAT

(1601 — 1655),

bedeutender

französischer

Mathematiker,

war im Ausbau der Differentialrechnung ein Vorgänger von NEWTON und LEIBNIZ. Er lieferte einen beachtlichen Beitrag zur Zahlentheorie. Der Großteil der Arbeiten FERMATS (darunter auch Arbeiten über analytische Geometrie) wurde zu Lebzeiten des Autors nicht veröffentlicht.

!

) R E N É DESCARTES ( 1 5 9 6 — 1 6 5 0 ) , b e d e u t e n d e r f r a n z ö s i s c h e r M a t h e m a t i k e r

und

Philosoph. Die Veröffentlichung seiner „Geometrie" (eine der Anwendungen aus seiner philosophischen Schrift „Abhandlungen über die Methode") im Jahre 1637 erachtet man (mit Einschränkungen) als die Begründung der analytischen Geometrie. S ) LEONHARD EHLER (1707 — 1783) ist in der Schweiz geboren. 1727 kam er nach Rußland. Er arbeitete anfänglich als Adjunkt (wissenschaftlicher Mitarbeiter) an der Petersburger Akademie der Wissenschaften, später (ab 1733) war er Mitglied der Akademie. Er schrieb über 800 Arbeiten. Er machte neue Entdeckungen in allen physikalisch-mathematischen Wissenschatten. Er hat viel zur Entwicklung der russischen Wissenschaften beigetragen.

I. Analytische Geometrie in der Ebene

22

§ 2. Koordinaten Als Koordinaten eines Punktes bezeichnet man jene Größen, welche die Lage dieses Punktes bestimmen (im Raum, in einer Ebene oder auf einer gekrümmten Fläche, auf einer Geraden oder auf einer gekrümmten Kurve). Wenn also zum Beispiel der Punkt M irgendwo auf der M -+— Abb. 1

Geraden XX' (Abb. 1) liegt, so läßt sich seine Lage durch eine einzige Zahl festlegen, z. B. etwa auf die folgende Art: Wir wählen auf XX' einen beliebigen Anfangspunkt 0 und messen den Abschnitt OM, etwa in Zentimetern. Wir erhalten so eine Zahl x, die positiv oder negativ ist, je nachdem, welche Richtung der Abschnitt OM besitzt (nach rechts oder nach links, wenn die Gerade horizontal verläuft). Die Zahl x ist die Koordinate des Punktes M.

§ 3. Rechtwinkliges Koordinatensystem Die Lage eines Punktes in einer Ebene wird durch zwei Koordinaten festgelegt. Dazu führt man zwei zu einander senkrechte Gerade X'X, Y'Y ein (Abb. 2) und bezeichnet sie als Koordinatenachsen. Die eine ty

x'

X

0

y' Abb. 2

x'

X

0

y' Abb. 3

davon X'X (die man gewöhnlich horizontal legt) heißt Abszissenachse, die andere Y'Y Ordinatenachse. Ihr Schnittpunkt 0 heißt Koordinatenursprung oder kurz Ursprung. Zur Messung der Abschnitte auf den Koordinatenachsen wählt man willkürlich irgendeine Maßstabseinheit, jedoch meist für beide Achsen dieselbe. Auf jeder Achse wählt man eine positive Richtung (durch Pfeile angedeutet). In Abb. 2 gibt der Strahl OX die positive Richtung auf

§ 4. Rechtwinklige Koordinaten

23

der Abszissenachse an, der Strahl OY die positive Richtung auf der Ordinatenachse. Gewöhnlich wählt man die positive Richtung so, daß der positive Strahl OX (Abb. 3) durch eine Drehung um 90° im Gegenuhrzeigersinn mit dem positiven Strahl 0 Y zusammenfällt. Die Koordinatenachsen X'X, Y'Y (mit festgelegten positiven Richtungen und fest gewähltem Maßstab) bilden ein rechtwinkliges Koordinatensystem.

§ 4. Rechtwinklige Koordinaten Die Lage eines Punktes M in der Ebene bestimmt man in einem rechtwinkligen Koordinatensystem (§ 3) auf die folgende Art. Man zieht eine Gerade MP parallel zu Y'Y bis zum Schnitt mit der Achse X'X im Punkte P (Abb. 4) und eine Gierade MQ parallel zu X'X bis

zum Schnitt mit der Achse Y'Y im Punkte Q. Die Maßzahlen x und y der Abschnitte OP und OQ im gegebenen Maßstab heißen rechtwinklige Koordinaten (kurz Koordinaten) des Punktes M. Diese Zahlen werden positiv oder negativ je nach der Richtung der Abschnitte OP und OQ. Die Zahl x heißt Abszisse des Punktes M, die Zahl y heißt Ordinate. In Abb. 4 hat der Punkt M die Abszisse x — 2 und die Ordinate y = 3 (bei einer Maßstabseinheit von 0,4 cm). Man bezeichnet dies durch: M(2; 3). Das allgemeine Symbol M(a; b) bedeutet, daß der Punkt M die Abszisse x = a und die Ordinate y — b besitzt. B e i s p i e l e . In Abb. 5 sind die folgenden Punkte eingetragen: •4i(+2; + 4 ) , A2(-2;+4), 2; - 4 ) , , 4 4 ( - 2 ; - 4 ) , B^+5-,0); B 2 (0; - 6 ) , 0(0; 0). B e m e r k u n g . Die Koordinaten eines gegebenen Punktes M sind in einem anderen rechtwinkligen Koordinatensystem verschieden.

24

I. Analytische Geometrie in der Ebene

4

h

B1

0 Ai B? V' Abb. 5

§ 5. Winkelbereiche oder Quadranten Die vier Winkelbereiche, die durch die Koordinatenachsen gebildet werden, heißen Quadranten. Man numeriert sie so, wie es in Abb. 6 y

E

i 0

x'

X

HL

W V Abb. 6

angegeben wurde. Die folgende Tabelle zeigt, welches Vorzeichen die Koordinaten der Punkte in den einzelnen Quadranten besitzen:

Koordinaten Abszisse Ordinate

Qua drant I

++

II

+

III -

IV

+

§ 7. Die Geradcngleichung

25

In Abb. 5 liegt der P u n k t A1 im ersten Quadranten, der P u n k t A2 im zweiten, der P u n k t A4 im dritten u n d P u n k t A3 im vierten. Wenn ein P u n k t auf der Abszissenachse liegt (z. B. der P u n k t B1 in Abb. 5), so ist seine Ordinate y gleich 0. Wenn der P u n k t auf der Ordinatenachse liegt (z. B. der P u n k t B„ in Abb. 5), so ist seine Abszisse gleich 0.

§ 6. Schiefwinkliges Koordinatensystem Neben rechtwinkligen Koordinatensystemen verwendet man auch andere Systeme. Ein schiefwinkliges System (dem rechtwinkligen am ähnlichsten) konstruiert man so: Man zieht (Abb. 7) zwei Geraden

Abb. 7

X'X und Y'Y (die Koordinatenachsen) unter spitzem Winkel zu einander und verfährt dann genauso wie bei der Konstruktion eines rechtwinkligen Systems (§ 3). Die Koordinaten x = OP (Abszisse) und y = PM (Ordinate) bestimmt man genauso, wie es in § 4 dargelegt wurde. Die rechtwinkligen und schiefwinkligen Systeme faßt man unter dem gemeinsamen Namen kartesisehe Koordinatensysteme zusammen. Neben den kartesischen Systemen verwendet man auch andere Koordinatensysteme (sehr oft werden Polarkoordinaten verwendet, S. § 73).

§ 7. Die Geradengleichung Wir betrachten die Gleichung a; y = 3, die die Abszisse x mit der Ordinate y in Beziehung setzt. Sie wird von einer Menge von Wertepaaren x, y erfüllt, z. B. von x = 1 und y = 2, x = 2 und y = 1, x = 3 und y — 0, x = 4 u n d y = — 1 u.a.m. Jedes Koordinatenpaar entspricht (in einem gegebenen Koordinatensystem) einem P u n k t (§4). I n Abb. 8a wurden die Punkte A1 (1; 2), A2 (2; 1), Ä3 (3; 0), At (4; —1) aufgetragen. Sie liegen auf einer einzigen Geraden UV. Auf derselben Geraden liegen alle anderen Punkte, deren Koordinaten der Gleichung x + y = 3 genügen. Wenn umgekehrt ein P u n k t auf der Geraden UV liegt, so erfüllen seine Koordinaten x, y die Gleichung x -f y = 3.

26

I. Analytische Geometrie in der Ebene

I n diesem Sinne k a n n m a n sagen: die Gleichung x + y = 3 ist die Gleichung der Geraden UV. Man sagt auch: die Gleichung x + y — 3 stellt die Gerade UV dar. I n diesem Sinne ist auch der Ausdruck zu verstehen: „Die Gleichung der Geraden ST (Abb. 8b) ist y = 2 x".

y' Abb. 9

Die Gleichung z 2 + y 2 = 49 stellt einen Kreis d a r (Abb. 9), dessen Radius sieben Maßstabseinheiten u m f a ß t u n d dessen Mittelpunkt m i t dem Koordinatenursprung zusammenfällt (s. § 38). I m allgemeinen heißt eine Gleichung zwischen den Koordinaten x und y die Gleichung der Kurve L, wenn die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind: 1. die Koordinaten x, y jedes Punktes M der Kurve L genügen dieser Gleichung, 2. die Koordinaten x, y jedes Punktes, der nicht auf der Kurve L liegt, genügen dieser Gleichung nicht.

§ 9. Gegenseitige Lage zweier Kurven

27

Die Koordinaten eines Punktes M auf einer Kurve L beliebiger Gestalt heißen laufende Koordinaten, da man sich die Kurve L durch Verschiebung des Punktes M („Ablaufen") gebildet denken kann. Es seien Mlf M2, Ms,... (Abb. 10) die aufeinanderfolgenden Lagen des Punktes M auf der Kurve L. Wir konstruieren eine Reihe von senkrechten Abschnitten MtPu MsP2, MJP3,... auf die Achse OX. Auf der Achse OX schneiden wir dadurch die Abschnitte OPi, OP2, OP... ab. Bei diesen handelt es sich um die Abszissen.

Damit verbunden ist die Herkunft der Termini „Abszisse" und „Ordinate". Das lateinische Wort „abscissa" bedeutet übersetzt „das Abgeschnittene", das Wort „ordinata" ist die Abkürzung für „ordinatim dueta", was bedeutet „der Beihe nach angeordnet". Indem wir jeden Punkt der Ebene durch seine Koordinaten und jede Kurve durch ihre Gleichung darstellen, die eine Beziehung zwischen ihren laufenden Koordinaten liefert, führen wir eine geometrische auf eine „analytische" Aufgabe zurück. Daher rührt der Name „analytische Geometrie".

§ 8. Gegenseitige Lage von Punkt und Kurve Zur Beantwortung der Frage, ob ein Punkt M auf einer gewissen Kurve L liegt oder nicht, genügt es, daß man die Koordinaten des Punktes M und die Gleichung der Kurve L kennt. Wenn die Koordinaten des Punktes M der Gleichung der Kurve L genügen, so liegt M auf L, sonst nicht. B e i s p i e l . Liegt der Punkt M (5; 5) auf dem Kreis x* + y2 = 49? (§7)L ö s u n g . Wir setzen die Werte x = 5, y = 5 in die Gleichung yt — 49 ein. Dj e Gleichung ist nicht erfüllt, daher liegt der x2 Punkt M nicht auf dem betrachteten Kreis.

§ 9. Gegenseitige Lage zweier Kurven Zur Beantwortung der Präge, ob zwei Kurven einen gemeinsamen Punkt besitzen und wenn ja, wieviele, genügt es, daß man die Gleichungen dieser Kurven kennt. Wenn die Gleichungen verträglich

28

I. Analytische Geometrie in der Ebene

sind, so existiert ein gemeinsamer P u n k t , im anderen Falle nicht. Die Anzahl der gemeinsamen P u n k t e ist gleich der Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems. B e i s p i e l 1. Die Gerade x + y — 3 (§ 7) und der Kreis x2 + y2 — 49 haben zwei gemeinsame P u n k t e , da das System x + y = 3,

x2 + y2 = 49

zwei Lösungen h a t :

und

B e i s p i e l 2. Die Gerade x + y = 3 und der Kreis x2 + y2 = 4 haben keinen gemeinsamen P u n k t , da das System x + y = 3,

x2 + y"- = 4

keine (reellen) Lösungen besitzt.

§ 10. Der Abstand zwischen zwei Punkten Der Abstand d zwischen zwei P u n k t e n Ai ergibt sich durch die Formel

J/J) u n d A2 (%2; y2)

d = l/(x2 - x,)2 + (y2 - y,)2.

(1)

B e i s p i e l . Der Abstand zwischen den P u n k t e n M (—2,3; 4,0) u n d N (8,5; 0,7) lautet d = i(8,5 + 2,3) 2 + (0,7 - 4) 2 = |/l0,8 2 + 3,3 2 «k 11,3 (Maßstabseinheiten). B e m e r k u n g 1. Die Reihenfolge der P u n k t e M u n d N spielt keine Rolle. Man darf auch N als ersten P u n k t u n d M als zweiten nehmen. B e m e r k u n g 2. Den Abstand d f a ß t m a n als positive Größe auf. Man n i m m t daher die Wurzel in Formel (1) stets positiv.

§ 11. Teilabschnitte mit gegebenem Verhältnis Gegeben seien die P u n k t e A1 (xL; y^), A2 (x2 \ y2) (Abb. 11). Gesucht sind die Koordinaten x, y eines P u n k t e s K, der die Verbindung A1AZ im Verhältnis AJi-.KA* = m^.nin

§11. Teilabschnitte m i t gegebenem Verhältnis

29

teilt. Als Lösung erhält m a n die F o r m e l n rn^Xy + m-fX^

m 1 + m2 y = •

'

m2yl 4- m.jy2 m 1 -)- m2

Bezeichnet m a n das Verhältnis rn^.m^ m i t X, so erhalten die F o r m e l n (1) die u n s y m m e t r i s c h e F o r m _

-1- Xx2 1 -\-X '

J

_ y, + ' 1 -!- X '

W

B e i s p i e l 1. Gegeben seien der P u n k t B ((>; —4) u n d der m i t d e m K o o r d i n a t e n u r s p r u n g zusammenfallende P u n k t O. M a n b e s t i m m e einen P u n k t K, der die Strecke BO im Verhältnis 2 : 3 teilt. L ö s u n g . I n den Formeln (1) h a t m a n zu setzen: m1 = 2 ,

m2 = 3 ,

= 6,

y1 = —4,

x2 — 0,

y — ---g-—

—2,4.

y2 = 0.

W i r erhalten . , - ^

= 3,0,

Dies sind die K o o r d i n a t e n des gesuchten P u n k t e s K. B e m e r k u n g 1. Der A u s d r u c k „ d e r P u n k t K teilt d e n A b s c h n i t t AlA2 im Verhältnis m1:m2" b e d e u t e t , d a ß d a s Verhältnis m^:m2 gleich d e m Verhältnis der A b s c h n i t t e A1K:KA2 ist, g e n o m m e n in dieser (und n i c h t in entgegengesetzter) Reihenfolge. I m Beispiel 1 teilt der P u n k t K (3,6; —2,4) d e n A b s c h n i t t BO im V e r h ä l t n i s 2 : 3 , d e n A b s c h n i t t OB jedoch im Verhältnis 3 : 2 . B e m e r k u n g 2. Der P u n k t K möge d e n A b s c h n i t t AXA2 v o n a u ß e n teilen, d. h., er liege auf der Verlängerung von A1A2. Auch in diesem Falle gelten noch die F o r m e l n (1) u n d (2), wenn m a n der Größe X = m1: m2 ein negatives Vorzeichen erteilt.

I . Analytische Geometrie in der Ebene

30

B e i s p i e l 2. Gegeben seien die Punkte Ar (1; 2) und Ä2 (3; 3). Man bestimme auf der Verlängerung von A1A2 einen Punkt, der von Al doppelt so weit entfernt ist wie von A2. L ö s u n g . Wir haben X = TO1:TO2 = —2 (so daß wir m 1 = —2, OT2 = 1 oder m 1 = 2 , m2 = —1 setzen dürfen). Mit Hilfe der Formel (1) erhalten wir: 1 • 1 + (—2) • 3 - 2

+

1

l-2+(-2)-3 y

~

- 2

+

1

Die Koordinaten des Mittelpunktes der Verbindung zwischen A1 und A2 sind gleich der Hälfte der Summen der entsprechenden Koordinaten der Endprodukte: X]

y =

Vi

+ Vi

Diese Formel erhält man aus den Formeln (1) und (2), wenn man m 1 = m2 = 1 oder X = 1 setzt.

§ 12. Die Determinante zweiter Ordnung1) Das Symbol Beispiel.

a b bedeutet dasselbe wie ad — 6c. c d

2 7 = 2 • 5 3 5 3

-4

6

2

Der Ausdruck

3 • 7 =

-11;

= 3 . 2 - 6 - (—4) = 30.

a b heißt Determinante zweiter Ordnung. c d

§ 13. Der Flächeninhalt eines Dreiecks Die Punkte A1 (x1; y^), A2 (x2; y2), As (x3; y3) sollen die Ecken eines Dreiecks bilden. Dann bestimmt man dessen Flächeninhalt mit Hilfe der Formel Vi - Vi 8 = ± T (1) 2/a — Vs Auf der rechten Seite steht hier eine Determinante zweiter Ordnung (§ 12). Den Flächeninhalt des Dreiecks betrachten wir als positive Größe. Daher setzen wir also vor die Determinante das Pluszeichen, wenn ihr Wert positiv ist, das Minuszeichen, wenn dieser negativ ist. ') Mehr über Determinanten findet man in § 182 — 185.

§ 14. Die Geradengleichung

31

B e i s p i e l . Man bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Ecken A (1; 3), B (2; - 5 ) und C ( - 8 ; 4). Lösung. Nimmt man A als ersten, B als zweiten und C als dritten Punkt, so erhält man Vi — Vi — ®s ?/2 -

y3

1+8

3—4

2 + 8 9

- 5 - 4

-1

-81 + 10= -71.

10 - 9

In Formel (1) ist also das Minuszeichen zu nehmen. Wir erhalten: S = - - . ( - 7 1 ) = 35,5. Nimmt man A als ersten, 0 als zweiten und B als dritten Punkt, so ergibt sich 1

X

3

Vi

2/3

1 - 2 3 + 5

3

Vi

Vi

- 8 - 2 4 + 5

X ~

X

-

1

8

-10

9

= 71.

In Formel (1) ist jetzt das Pluszeichen zu nehmen. Wir erhalten wieder 8 = 35,5. B e m e r k u n g . Wenn die Ecke A3 mit dem Koordinatenursprung zusammenfällt, gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks die Formel Ä = ±

T

2

X

Vi 2/2

(2)

(Spezialfall von Formel (1) für x3 = y3 = 0).

§ 14. Die Geradengleichung in der nach y aufgelösten Form Alle Geraden, die nicht parallel zur Ordinatenachse verlaufen, lassen sich durch eine Gleichung der Gestalt y = ax + b

(1)

darstellen. Hier bedeutet a den Tangens des Winkels a, (Abb. 12) den die Gerade mit der positiven Richtung der Abszissenachse1) bildet, (a = tan 0, so liegt die Gerade „rechts" von der Ordinatenachse (s. Abb. 16). Ist / < 0, so liegt sie „links" davon. Die Ordinatenachse selbst besitzt die Gleichung £ = 0. (2a) ') Eine Gleichung der Form x = a'y + b' (nach der Abszisse aufgelöst) stellt ebenfalls eine Gerade dar (die nicht parallel zur Abszissenachse ist). Da die Koordinaten % und y gleichberechtigt sind, könnte man mit demselben Eecht auch die Zahl a' als Steigung bezeichnen. ') Gleichung (1) ist ein Spezialfall der Gleichung y = ax + b, aufgelöst bezüglich der Ordinate (§ 14). Die Steigung ist a = 0. s ) Gleichung (2) ist ein Spezialfall der Gleichung x = a'y + 6', aufgelöst nach der Abszisse (s. § 14, Fußnote). Die Steigung ist a' — 0.

3 Wygodski

34

I. Analytische Geometrie in der Ebene

B e i s p i e l . Man gebe die Gleichung der Geraden an, die eine Anfangsordinate 6 = 3 besitzt und parallel zu Achse OX verläuft (Abb. 17). A n t w o r t , y = 3. B e i s p i e l 2. Welche Kurve wird durch die Gleichung 3z + 5 = 0 dargestellt? '

y

y

1 II «

y = 3

1

i 0

0

X

Abb. 17

X

Abb. 18

L ö s u n gg. Löst man die gegebene Gleichung nach x auf, so erhält man x — — — . Die Gleichung stellt eine Gerade dar, die parallel zur Achse 3 g OY verläuft. Sie liegt links von dieser Achse im A b s t a n d - ^ (Abb. 18). Die Größe / = — 5k a n n man als „Anfangsabszisse" bezeichnen.

§ 16. Die allgemeine Geradengleichung Die Gleichung

Ax + By + C = 0

(1)

(worin A, B, C beliebige Werte haben können, wenn nur nicht die Koeffizienten.4 und B beide gleichzeitig Null sind 1 )) stellt eine Gerade dar (s. §§ 14, 15). Jede Gerade läßt sich durch eine Gleichung dieser Form beschreiben. Man nennt diese Gleichung daher die allgemeine Oeradengleichung. Wenn A = 0, d. h., wenn die Gleichung (1) x nicht enthält, so stellt sie eine Gerade dar, die parallel 2 ) zur Achse OY (§ 15) verläuft. Wenn B = 0, d. h., wenn die Gleichung (1) y nicht enthält, so stellt sie eine Gerade dar, die parallel 2 ) zur Achse OX verläuft. Wenn B ungleich 0 ist, so kann man die Gleichung (1) nach y auflösen. Sie erhält dann die Form y = aa; + i | w o i = - | ,

6

=

(

2

)

') Für A — B = 0 erhält man entweder die Identität 0 = 0 (wenn C = 0) oder etwas Sinnloses der Art 6 = 0 (wenn C + 0). ) Zu den Geraden, die parallel zur Achse OX verlaufen, zählt man auch diese Achse selbst. Ebenso zählt man die Achse OY zu den Geraden, die zu 07 parallel verlaufen.

!

§ 17. Konstruktion einer Geraden aus ihrer Gleichung So ergibt sich zum Beispiel aus der Gleichung 2x — (A = 2, B = - 4 , C = 5) die Gleichung

35

+ 5= 0

y = 0,5a; + 1,25 a =

2

5 \ = 0,5, b = — - = 1,251, die bezüglich der Ordinate y

aufgelöst ist (die Anfangsordinate ist b = 1,25, die Steigung ist a = 0,5, so daß « j» 16°34'. S. dazu § 14). Analog dazu kann man bei A #= 0 die Gleichung (1) nach x auflösen. Wenn C = 0, d. h., wenn die Gleichung (1) kein freies Glied enthält, so stellt sie eine Gerade dar, die durch den Ursprung verläuft (§ 8).

§ 17. Konstruktion einer Geraden aus ihrer Gleichung Zur Konstruktion einer Geraden genügt die Angabe von zwei Punkten. Zum Beispiel kann man ihre Schnittpunkte mit den Achsen verwenden (wenn die Gerade nicht parallel zu einer Achse oder durch den

/

V i \

u

\ \

3

-

2

-

A i 1 1 1 \ ' -3 -2 -1 0 \ 1 -1

-2

-

-3 -4

'

2

1

»

3 x

\

v -

Abb. 19

Ursprung verläuft, in welchem Falle man nur einen Schnittpunkt erhält). Zur Erhöhung der Genauigkeit bestimmt man am besten noch einige Kontrollpunkte. B e i s p i e l . Man konstruiere die Gerade 4» + 3 ? / = l . Nullsetzen von y (Abb. 19) liefert den Schnittpunkt mit der Abszissenachse: AA^T--, 0). Nullsetzen von x ergibt den Schnittpunkt mit derOrdi/ / 1\ natenachse: A 2 [0; —]. Diese Punkte liegen zu nahe beieinander. 3*

36

I. Analytische Geometrie in der Ebene

Daher wählen wir noch zwei Abszissenwerte, z. B. x — —3, Wir erhalten die Punkte A3{—3;^), A> nun die Gerade A4A1A2A3. \

Ai(s;— \

6

'

2=3.

und ziehen

§ IS. Parallelitätsbedingung für Geraden Die Bedingung dafür, daß zwei Geraden parallel sind, besteht bei gegebenen Gleichungen y = Ojx + &1( (1) y = a2x + b2

(2)

in der Gleichheit der Steigungen ax = a 2 .

(3)

Die Geraden (1) und (2) sind also parallel, wenn ihre Steigungen gleich sind, sie sind nicht parallel, wenn ihre Steigungen verschieden sind 1 ). B e i s p i e l 1. Die Geraden y = 3x — 5 und y = Sx + 4 sind parallel, da ihre Steigungen gleich sind {ax = ct2 = 3). B e i s p i e l 2. Die Geraden y = 3a; — 5 und y = 6a; — 8 sind nicht parallel, da ihre Steigungen nicht gleich sind (ax = 3, a 2 = 6). B e i s p i e l 3. Die Geraden 2y = 3x — 5 und iy = 6x — 8 sind parallel, da ihre Steigungen gleich sind: ax — —, a 2 =

=

B e m e r k u n g 1. Wenn die Gleichung einer der zwei Geraden die Ordinate nicht enthält (d. h., wenn die Gerade parallel zur Achse OY ist), so ist diese Gierade zur anderen parallel nur unter der Bedingung, daß auch die Gleichung der zweiten Geraden y nicht enthält. Zum Beispiel sind die Gieraden 2x + 3 = 0 und x — 5 parallel, aber die Geraden x — 3 = 0 und x — y = 0 sind nicht parallel. Wenn zwei Geraden durch die Gleichungen A„x + B^y

- C2 =

(4)

dargestellt werden, so lautet die Bedingung für die Parallelität A&

- A2B1 = 0

(5)

oder in anderer Form (§ 12) A1

Bt

A«

B,

: 0.

') Zwei zusammenfallende Geraden betrachten wir hier wie im folgenden stets als parallel.

§ 19. Schnittpunkte von Geraden

37

B e i s p i e l 4. Die Geraden + 12 = 0

Zx — 1y

und

a; — 3,5 y + 10 = 0

sind parallel, da 2 Ä2

-7

2 • (—3,5) — 1 • (—7) = 0 .

1 -3,5

b2

B e m e r k u n g 3. Gleichung (5) kann man in der Form AX

nt

(6)

schreiben, d. h., die Bedingung der Parallelität zweier Geraden liegt in der Proportionalität der Koeffizienten ihrer laufenden Koordinaten 1 ). Man betrachte Beispiel 4. Wenn zudem noch die freien Glieder proportional sind, d. h., wenn

A

A2

=

=

B2

G2

,

(7

)

so sind die Geraden (4) nicht nur parallel, sondern fallen sogar zusammen. So stellen die Gleichungen 3x +

und dieselbe Gerade dar.

6x +

2y — 6 = iy —

0

12 = 0

§ 19. Schnittpunkte von Geraden Zur Bestimmung des Schnittpunktes der beiden Geraden und

Arx

+

Aspe +

BlV

+

B^~+Os

C1! = 0

(1)

=

(2)

0

muß man das System der Gleichungen (1) und (2) lösen. Dieses System liefert in der Regel eine einzige Lösung, und wir erhalten den gesuchten Punkt (§9). Eine Ausnahme tritt nur bei Gleichheit der Verhältnisse AJA2 und BJB2 ein. In diesem Fall sind die beiden Geraden parallel (s. § 18, Bemerkung 2 und 3). B e m e r k u n g . Wenn die gegebenen Geraden parallel sind, aber nicht zusammenfallen, so besitzt das System (1) — (2) keine Lösung. Wenn sie zusammenfallen, so gibt es unendlich viele Lösungen. *) Man kann zulassen, daß eine der beiden Größen Ä , oder (aber nicht beide zugleich, b. § 16) Null sind. Das Verhältnis in (6) ist dann so zu verstehen, daß der entsprechende Zähler auch Null sein muß. Dieselbe Bedeutung soll auch das Verhältnis in (7) bei C, = 0 haben.

I. Analytische Geometrie in der Ebene

38

B e i s p i e l 1. Man bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden y = 2x — 3 und y = — 3x + 2. Die Lösung des Gleichungssystems ist x = 1, y = — 1. Die Geraden schneiden sich im Punkt (1; —1). B e i s p i e l 2. Die Geraden 2x - 1y + 12 = 0,

x - 3,5y + 10 = 0

sind parallel, sie fallen aber nicht zusammen, da zwar die Verhältnisse 2:1 und (—7): (—3,5) untereinander gleich sind, das Verhältnis 12:10 aber davon verschieden ist (s. Beispiel 4, § 18). Das gegebene System von Gleichungen besitzt keine Lösung. B e i s p i e l 3. Die Geraden 3z + 2«/— 6 = 0; 6x + Ay — 12 = 0 fallen zusammen, da die Verhältnisse 3:6, 2:4 und (—6):( —12) untereinander gleich sind. Die zweite Gleichung erhält man aus der ersten durch Multiplikation mit 2. Das gegebene System besitzt unendlich viele Lösungen. § 20. Bedingung für die Orthogonalität zweier Geraden Die Bedingung dafür, daß zwei Geraden mit den Gleichungen y = a±x +

(1)

y = a2x + b2

(2)

orthogonal sind, d. h. aufeinander senkrecht stehen, liegt in der Beziehung o f t = — 1. (3) Zwei Geraden sind also orthogonal, wenn das Produkt ihrer Steigungen gleich —1 ist. Sie sind nicht orthogonal, wenn dieses Produkt von —1 verschieden ist. B e i s p i e l 1. Die Geraden y = 3x und y = — — a; sind orthogonal, da a x a 2 = 3

= —1.

B e i s p i e l 2. Die Geraden y — 3x und y = -i- sind nicht orthogonal, d 1 da a 1 a 2 = 3 • = 1. o B e m e r k u n g 1. Wenn die Gleichung einer der zwei Geraden die Ordinate nicht enthält (d. h., wenn die Gerade parallel zur Achse OY ist), so ist die erste Gerade zur zweiten nur unter der Bedingung orthogonal, daß die Gleichung der zweiten Geraden die Abszisse nicht enthält (also parallel zur Achse OX ist). Zum Beispiel sind die Geraden x = 5 und 3y + 2 = 0 orthogonal, aber die Geraden x = 5 und y = 2x sind nicht orthogonal. B e m e r k u n g 2. Wenn zwei Gerade durch die Gleichungen Axx + BlV + C1 = 0,

A2X +

BM +

C2 =

0

(4)

dargestellt werden, so lautet die Orthogonalitätsbedingung AxA2 +

= 0.

(5)

§ 21. Der Winkel zwischen zwei Geraden

39

§ 21. Der Winkel zwischen zwei Geraden Zwei nicht orthogonale Geraden LL, L2 (in dieser Reihenfolge genommen) mögen durch die Gleichungen y = a±x + &!,

(1)

y = a%c + h

(2)

dargestellt werden. Dann liefert die Formel1) a„ — a. 1 + tt^a

tan 0

(3)

den Winkel, um den man die erste Gerade drehen muß, damit sie zur zweiten parallel wird. B

y

x

\ 1

9

Ti/2

-1 0

rj/\

3 1

»

M)& A A /

-1 -2

/ 1

-

J

/

\c Abb. 20

B e i s p i e l 1. Man bestimme den Winkel zwischen den Geraden y = 2x — 3 und y = —3a; + 2 (Abb. 20). Hier ist a1 = 2, a 2 = —3. Aus Formel (3) erhalten wir tan 0 =

- 3 - 2 = 1, 1 + 2. (-3)

und somit 0 = + 4 5 ° . Das bedeutet, daß die Gerade y — 2x — 3 (AB in Abb. 20) mit der Geraden y = -3x + 2 (CD in Abb. 20) zusammenfällt, wenn man sie um +45° um den gemeinsamen Schnittpunkt M (1; —1) (Beispiel 1, § 19) dreht. Man kann auch 0 = 180° *) Über die Anwendbarkeit dieser Formel in den Fällen, in denen Li und L t orthogonal sind, s. Bemerkung 1.

40

I. Analytische Geometrie in der Ebene

+ 45° = 225°, Ö = - 1 8 0 ° + 45° = - 1 3 5 ° usw. nehmen. (Diese Winkel tragen in Abb. 20 die Bezeichnungen 6X und 02.) B e i s p i e l 2. Man bestimme den Winkel zwischen den Geraden y = —3x + 2 und y = 2x — 3. Es handelt sich hier um dieselben Geraden wie in Beispiel 1, aber hier ist die Gerade CD (s. Abb. 20) die erste und die Gerade AB die zweite. Formel (3) liefert tan 0 = — 1, d. h. 0 = - 4 5 ° (oder 0 = 135°, oder 0 = —225° usw.). Um diesen Winkel muß man die Gerade CD bis zur Überdeckung mit AB drehen.

Beispiel 3. Man bestimme die Gerade, die durch den Ursprung verläuft und die Gerade y = 2x — 3 unter dem Winkel 45° schneidet (Abb. 21). L ö s u n g . Die gesuchte Gerade besitzt die Gleichung y = ax (§ 14). Die Steigung a läßt sich aus (3) bestimmen, wenn man dort für a1 die Steigung der gegebenen Geraden (d. h. at = 2), für a2 die unbekannte Steigung a der gesuchten Geraden und für 0 den Winkel 4-45° oder —45° setzt. Wir erhalten so

Die Aufgabe hat zwei Lösungen: y = — 3x (Gerade AB in Abb. 21) und y = — • x (Gerade CD). o B e m e r k u n g . Wenn die Geraden (1) und (2) orthogonal sind (0 = ±90°), so wird der im Nenner von (3) stehende Ausdruck 1 + gleich Null (§ 20) und der Bruch

2

~

1

verliert seinen Sinn1).

1 + Ctjilj

Gleichzeitig verliert auch tan 0 seinen Sinn („wird unendlich"). Wörtlich aufgefaßt verliert auch Formel (3) ihren Sinn. Wir vereinbaren jedoch, daß der Winkel 0 gleich ±90° sein soll, sofern der Nenner von ') Der Zähler at — ar Ist ungleich Null, da nur bei parallelen Geraden die Steigungen iti und gleich aind (§ 18).

§ 21. Der Winkel zwischen zwei Geraden

41

(3) Null ist (da sowohl eine Drehung um +90° als auch eine Drehung um —90° die beiden orthogonalen Geraden ineinander überführt). B e i s p i e l 4. Man bestimme den Winkel zwischen den Geraden y = 2a; — 3 und y = ——x

+ 7^a1 = 2, a 2 = — — j . Fragen wir

uns vorerst, ob diese Geraden orthogonal sind, so erhalten wir laut Merkmal (3) von § 20 eine bejahende Antwort, so daß wir auch ohne Formel (3) 0 = ±90° erhalten. Dasselbe liefert auch die Formel (3). Wir erhalten tan 0 = •

- 1 - 2 2 1 +

(4)'

-

2

2

i

o

In Übereinstimmung mit Bemerkung 1 ist diese Gleichung so aufzufassen, daß 0 = ±90°. B e m e r k u n g 2. Wenn jedoch eine der Geraden Lv L2 (oder beide) parallel zur Achse OY wird, so ist Formel (3) völlig unanwendbar, aber in diesem Falle läßt sich eine der Geraden (oder beide) nicht durch eine Gleichung der Form (1) darstellen (§ 15). I n diesem Falle bestimmt man den Winkel 0 auf die folgende Art: (a) Wenn die Gerade Z 2 parallel zur Achse OY ist, wenn L1 aber nicht parallel ist, so verwenden wir die Formel tan 0 = — . «i b) Wenn die Geraden Lx parallel zur Achse OY ist, Lz aber nicht, so verwenden wir die Formel tan 0 = — — . c) Wenn beide Geraden parallel zur Achse OY sind, so sind sie auch untereinander parallel, so daß tan 0 = 0. B e m e r k u n g 3. Den Winkel zwischen den Geraden mit den Gleichungen A,x + BlV + CL = 0 (4) und A s x + Biy + C2 = 0

(5)

erhält man durch die Formel

Wenn A1A2 + BXB2 = 0, so ist Formel (6) so zu verstehen (s. Bemerkung (1)), daß 0 = ±90°. Siehe § 20, Formel (5).

42

I. Analytische Geometrie in der Ebene

§ 22. Bedingung dafür, daß drei Punkte auf einer Geraden liegen Drei Punkte A^x^ yx), A2[x2; > dann und nur dann, wenn1)

-4 3 ( x 3 ; y3) liegen auf einer Gieraden Vi Vi

= 0.

(1)

Diese Formel drückt aus (§13), daß der Flächeninhalt des „Dreiecks" A2A3A1 gleich 0 ist. B e i s p i e l 1. Die Punkte A1 (—2; 5), A2 (4; 3), A3 (16; —1) liegen auf einer Geraden, weil 2 ' ~~ X1

X

3

1

X

Vi 2/3

X

—

1

X

4 + 2

3 - 5

16 + 2

- 1 - 5

6

- 2

18

- 6

6 - (—6) -

( - 2 ) • 18 =

0.

B e i s p i e l 2. Die Punkte At ( - 2 ; 6), A2 (2; 5), A3 (5; 3) liegen nicht auf einer Geraden, weil i

x

3

X

x

X

i 1

Vi Vi

Vi

2

5 - 6

4

-1

Vi

2

3 - 6

7

-3

§ 23. Gleichung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte Eine Gerade durch zwei gegebene Punkte Ax (x^ yL) und A2 (x2; y2) besitzt die Gleichung2) Vi

0.

y

(1)

Sie drückt aus, daß die gegebenen Punkte AyA2 und der „laufende" Punkt A (x; y) auf einer Gieraden liegen (§ 22). Gleichung (1) läßt sich auf die Form y— Vi Vi - y\

(2)

bringen (s. untenstehende Bemerkung). Diese Gleichung beschreibt die Proportionalität der Katheten in den rechtwinkligen Dreiecken A-JtA und A1SA2 in Abb. 22, wobei gilt Xj = OPlt OP2, x = OP, y1 = P1A1, 2

y2 = P2A2,

y = PA,

y-y

i

= RA,

y! =

8A2

Die linke Gleichungsseite von (1) hat die Form einer Determinante (s. § 12). ) Die linke Seite von Gleichung (1) hat die Form einer Determinante (s. § 12).

43

§ 24. Geradenbüschel

Beispiel 1. Man. stelle die Gleichung der Geraden auf, die durch die Punkte (1; 5) und (3; 9) verläuft. Lösung. Formel (1) liefert 3 - 1

9 - 5

x— i

y — 5

d. h. 2(y - 5) - 4(x - i)

= 0, d. h.

2- 4 x —1 y —5

= 0,

0 oder 2x — y -f 3 = 0

x - 1 Formel (2) liefert Somit erhalten wir aufs neue 2a; — y + 3 = 0. B e m e r k u n g . Für den Fall, daß x2 — x1 (oder y2 — y±), wird einer der Nenner in Gleichung (2) gleich 0. Gleichung (2) ist dann so zu verstehen, daß der entsprechende Zähler ebenfalls 0 ist. S. hierzu Beispiel 2 weiter unten (sowie die Fußnote auf S. 37). Beispiel 2. Man stelle die Gleichung der Geraden auf, die durch die Punkte Ax (4; —2) und A2 (4; 5) verläuft. Gleichung (1) liefert 0 7 = 0, - 4 2/ + 2 d. h. 0(j/ + 2) - 1(x - 4) = 0, d. h. x — 4 = 0. Gleichung (2) erhält die Form z - 4 y+ 2 0 7 "

(3)

(4)

Hier ist der Nenner der linken Gleichungsseite gleich 0. Im oben angegebenen Sinne ist daher in Gleichung (4) auch die linke Seite Null zu setzen. Wir erhalten das frühere Resultat « — 4 = 0. § 24. Geradenbüschel Durch den Punkt A-^x^y^ (Abb. 23) verläuft eine Menge von Geraden, die man zentrales Büschel nennt (oder einfaches Büschel). Der Punkt A1 heißt Zentrum des Büschels. Alle Büschelgeraden (mit

44

I. Analytische Geometrie in der Ebene

Ausnahme derjenigen, die parallel zur y-Achse verlaufen, s. Bemerkung 1, besitzen eine Gleichung der Form V — Vi =

x

— i)-

(1)

Hier bedeutet k die Steigung der betrachteten Geraden (k = t a n a). Gleichung (1) heißt Büachelgleichung. Die Größe k (der Büschelparameter) bestimmt die Richtung der Geraden, er ändert sich von der einen zur anderen.

Der Wert des Parameters k läßt sich bestimmen, wenn eine weitere beliebige Bedingung gegeben ist, die (zusammen mit der Zugehörigkeitsbedingung zum gegebenen Geradenbüschel) die Lage der Geraden festlegt (s. Beispiel 2). B e i s p i e l 1. Man stelle die Gleichung des Büschels mit dem Zentrum in A t (—4; —8) auf. L ö s u n g . Gemäß (1) haben wir y + 8 = k(x + 1 , so l i e g t jeder H y p e r b e l p u n k t n ä h e r a n der L e i t l i n i e als a m e n t s p r e c h e n d e n B r e n n p u n k t .

§ 80. Allgemeine Definition von Ellipse, Hyperbel und Parabel Alle Ellipsen1), Hyperbeln und, Parabeln besitzen die folgende Eigenschaft: Für alle diese Kurven ist das Verhältnis (Abb. 100) FM-.MK

(1)

eine Konstante, wobei FM den Abstand eines beliebigen Kurvenpunkts zu einem gegebenen Punkt F (Brennpunkt) und MK der Abstand von einer gegebenen Geraden PQ (der Leitlinie) ist.

Für eine Ellipse ist dieses Verhältnis kleiner als 1 (Abb. 101) (sein Wert ist gleich der c Exzentrizität der Ellipse —, vgl. § 09 u. 79). Für eine Hyperbel (Abb. 102) ist es " c größer als 1 (ebenfalls gleich der Exzentrizität —, vgl. § 71 u. 79). Für eine Parabel (Abb. 103) ist das Verhältnis gleich 1 (§ 76). " Umgekehrt ist jede Linie, die diese Eigenschaft aufweist, entweder eine Ellipse (wenn FM:MK < . l ) oder eine Hyperbel (wenn FM:MK > 1) oder eine Parabel (wenn FM:MK = 1). Die erwähnte Eigenschaft kann daher als allgemeine Definition von Ellipse, Hyperbel und Parabel dienen und das konstante Verhältnis FM:MK = s als Exzentrizität bezeichnet werden. Die Exzentrizität einer Parabel ist gleich 1, die einer Ellipse e < 1 und die einer Hyperbel e > 1. ') Außer den Kreisen.

110

I. Analytische Geometrie in der Ebene

Bei gegebener Exzentrizität und bei gegebenem Abstand FC = d zwischen Brennpunkt und Leitlinie ist die Größe und Form der Ellipse, Hyperbel oder Parabel vollkommen bestimmt. Ändert man bei festem e den Wert von d, so erhält man alle untereinander ähnlichen Kurven. Die Sehne RR' einer Ellipse, Hyperbel oder Parabel (Abb. 101,102,103) durch den Brennpunkt F und senkrecht zur Achse FC heißt Fokalsehne, und man bezeichnet

sie mit 2p: RR' = 2p.

(2)

Die Größe p = FR = FR' (d.h. die Länge der Fokalhalbsehne) heißt Parameter der Ellipse, Hyperbel oder Parabel. Sie steht mit d in der Beziehung p = de,

(3)

p = d.

(3 a)

so daß für eine Parabel gilt (e = 1)

Der Scheitel der Ellipse, Hyperbel oder Parabel (Ä in Abb. 101, 102, 103) teilt die Strecke FC im Verhältnis P . 4 : C = e. Der zweite Scheitel der Ellipse oder Hyperbel (A' in Abb. 101, 102) teilt FC im selben Verhältnis von außen (§ 11).

§ 80. Allgemeine Definition von Ellipse, Hyperbel und Parabel

111

In Übereinstimmung mit der neuen Definition yon Ellipse, Hyperbel und Parabel werden diese Kurven auch durch eine einheitliche Gleichung dargestellt. Nimmt man als Ursprung den Scheitel A (Abb. 104) und richtet die Achse längs AF, so lautet diese Gleichung y2 = 2px -

(1 - e*)x*.

(4)

Hier bedeuten p den Parameter und e die Exzentrizität.

Abb. 104

Abb. 105

In der Nähe des Scheitels unterscheidet sich die Parabel sehr wenig von einer Ellipse oder Hyperbel, deren Exzentrizitäten nahe bei 1 liegen. In Abb. 105 sind eine Ellipse mit der Exzentrizität e = 0,9, eine Hyperbel 1 ) mit der Exzentrizität e = 1,1 und eine Parabel (e = 1) dargestellt, alle mit dem Brennpunkt F und dem Scheitel A. Die Halbachsen a und b und die Brennweite c einer Ellipse oder Hyperbel stehen mit e in der Beziehung: Ellipse

a —

Hyperbel

a =

P

1 -

6

t'

P

c = ae — p

yi -

P

e' - 1

p2

-

1

c = ae = p

£

1 - ea e e

2

- 1

Der Abstand S = AF zwischen Brennpunkt und Scheitel A ergibt sich in allen drei Fällen durch die Formel ö=

de 1 + e

=

p 1 + e

.

(5)

*) Der zweite Scheitel der Ellipse oder Hyperbel (und gleichzeitig auch der zweite Hyperbelast) ist um so weiter vom ersten Scheitel entfernt, je näher e bei 1 liegt.

112

I. Analytische Geometrie in der Ebene

§ 81. Kegelschnitte Eine Ellipse, eine Hyperbel und eine Parabel bezeichnet man als Kegelschnitte, da man sie als Schnitt der Fläche eines Kreiskegels mit einer Ebene P erhält 1 ), die nicht durch die Spitze des Kogels verläuft. K'

*) Oder auch als Schnitt mit der Fläche eines allgemeinen Kegels.

§ 82. Die Durchmesser eines Kegelschnitts

113

Wenn die Ebene P nicht parallel zu einer der Erzeugenden desKegels ist (Abb. 106), so ist der Kegelschnitt eine Ellipse1). Wenn die Ebene P nur zu einer der Erzeugenden des Kegels (KK' in Abb. 107) parallel ist, so ist der Kegelschnitt eine Parabel. Wenn die Ebene P parallel zu zwei Erzeugenden des Kegels verläuft ( K K ' und LL' in Abb. 108), so ist der Kegelschnitt eine Hyperbel. Wenn die Ebene P durch die Kegelspitze geht, so erhalten wir statt einer Ellipse einen Punkt, statt einer Hyperbel ein Paar von sich schneidenden Geraden (Abb. 109) und statt einer Parabel eine Gerade, in der die Ebene P den Kegel berührt (Abb. 110). Diese Gerade kann man auch als zwei zusammenfallende Geraden auffassen.

§ 82. Die Durchmesser eines Kegelschnitts Die Mittelpunkte paralleler Sehnen liegen bei allen Kegelschnitten auf einer Geraden. Diese Gerade bezeichnet man als Durchmesser des Kegelschnitts. Zu jeder Richtung paralleler Sehnen gehört ein Durchmesser (der zur gegebenen Richtung „konjugierte" Durchmesser). In Abb. 111 ist einer der Durchmesser U'U einer Ellipse dargestellt.

Abb. 111

Mf \ M j

\yMi /Mi

Abb. 112 *) Die Ellipse kann insbesondere zu einem Kreis entarten. Bei einem Kreiskegel liefern nur die Schnittebenen parallel zur Grundfläche einen Kreis. Ein allgemeiner Kegel hingegen kann mehr als eine Familie von kreisförmigen Schnitten besitzen. 8

Wygodski

114

I. Analytische Geometrie in der Ebene

Auf ihm liegen die Mittelpunkte K i , K 2 , der parallelen Sehnen -l/,-!/,'. M 2 M 2 ) . . . Der geometrische Ort dieser Mittelpunkte ist der Abschnitt L'L des Durchmessers U'U. I n Abb. 112 ist der Durchmesser U'U einer Hyperbel dargestellt, der den parallelen Sehnen M x M i , M 2 M 2 ' usw. entspricht. Auf ihm liegen die Mittelpunkte K i } K 2 , . . . dieser Sehnen. Der geometrische Ort der Punkte K u K 2 , . . . ist das Strahlenpaar L' V und £ U . B e m e r k u n g . I n der elementaren Geometrie versteht man unter dem Durchmesser eines Kreises eine Strecke (größte Sehne). I n der analytischen Geometrie verwendet man das Wort „Durchmesser" manchmal ebenfalls zur Bezeichnung der Strecken LL' (Abb. 111, 112). Meist aber versteht man darunter die Gerade L'L.

§ 8 3 . Die D u r c h m e s s e r der Ellipse Alle Durchmesser einer Ellipse gehen durch ihren Mittelpunkt. Der Durchmesser, der den zur kleinen Achse parallelen Sehnen entspricht, ist die große Achse (Abb. 113). Der Durchmesser, der den zur großen Achse parallelen Sehnen entspricht, ist die kleine Achse.

Zu den Sehnen m i t der Steigung k(k # 0) gehört der Durchmesser y = ktx, sich /.", aus der Beziehung Mb, = e' -

wobei

1

(1)

.

(la)

ergibt, d. h. aus b'

H-,

a"

B e i s p i e l 1. Der Durchmesser U'U der Ellipse

*9

+ '

IL == 4

i

(Abb. 114) gehört zu den Sehnen m i t der Steigung k

8

und besitzt eine 8 4 Gleichung y = kx%. Der W e r t von ergibt sich aus der Beziehung kx= — — , 9 9 so daß die Gleichung des Durchmessers U ' U lautet 9

§ 84. Die Durchmesser der Hyperbel

115

B e i s p i e l 2. Der Durchmesser V'V (Abb. 1 ^„derselben Ellipse, der den Sehnen mit 1 8 der Steigung k = — entspricht, besitzt die Gleichung y = x. 2 9 Wenn der Durchmesser V ü der Ellipse die Sehnen halbiert, die parallel zum Durchmesser V'V verlaufen, so halbiert der Durchmesser V'V die Sehnen, die parallel zum. Durchmesser V U sind.

8

B e i s p i e l 3. Der Durchmesser y

9

x der Ellipse

x* 9

[

y*

= 1 (vgl. Beispiel 1 4 ^

und 2) halbiert die Sehnen, die parallel zum Durchmesser y = — o sind. Andererseits X

halbiert der Durchmesser y — — die Sehnen, welche parallel zum Durchmesser 2 8 x sind. Durchmesser, von denen jeder die zum anderen parallelen Sehnen y 9 halbiert, heißen zueinander konjugiert. Zwei zueinander konjugierte Durchmesser, die gleichzeitig senkrecht aufeinander stehen, heißen Hauptdurchmesser. Bei einem Kreis ist jeder Durchmesser ein Hauptdurchmesser. Bei einer Ellipse gibt es zum Unterschied vom Kreis nur ein Paar von Hauptdurchmessern, nämlich die große und die kleine Achse. Die Steigungen konjugierter Eichtungen, die nicht zu Hauptdurchmessern gehören, haben gemäß ( l a ) entgegengesetztes Vorzeichen, d. h. zwei konjugierte Durchmesser der Ellipse gehören stets zwei verschiedenen Paaren von Winkelbereichen an, die von den Achsen gebildet werden (in Abb. 114 liegt der Durchmesser V'V im zweiten und vierten Quadranten, und Ü ' U im ersten und dritten Quadranten). Bei einer Drehung des Durchmessers VTJ dreht sich der Durchmesser V'V in dieselbe Kichtung wie VT.

§ 84. Die Durchmesser der Hyperbel Alle Durchmesser einer Hyperbel gehen durch ihren Mittelpunkt. Der Durchmesser, der den zur imaginären Achse parallelen Sehnen entspricht (Abb. 115), ist die reelle Achse (der geometrische Ort der Mittelpunkte der Sehnen ist das Strahlenpaar A'X' und AX). Der Durchmesser, der den zur reellen Achse parallelen Sehnen entspricht (Abb. 116), ist die imaginäre Achse (die Mittelpunkte der Sehnen erfüllen die gesamte Achse Y'Y). Bei einer Hyperbel stehen wie bei der Ellipse die Steigung k paralleler Sehnen (k + 0) und (die Steigung des entsprechenden Durchmessers)

8*

116

I. Analytische Geometrie in der Ebene

in der Beziehung (1)

ö , = e' -

1,

aber die Beziehung ( l a ) § 83 besitzt jetzt die Gestalt Uy

=

+

b2

— .

>

y

\

\

\

\

\

lA'

/

0

y

/

\

/

/

/

0—

JA'-

A{

y'

Abb. 115

Abb. 116

B e i s p i e l 1. Der Durchmesser U'U der Hyperbel — 1 (Abb. 117), der 10 9 4 den Sehnen mit der Steigung k = —entspricht, besitzt die Gleichung y = ktf. 9 4 Den Wert von fci bestimmt man aus der Beziehung kk1 = —, so daß die Gleichung

2

9

des Durchmessers TJ'U lautet y — — x. 5 B e i s p i e l 2. Der Durchmesser V'V (Abb. 117) derselben Hyperbel, der den Sehnen 2 10 mit der Steigung k = — entspricht, besitzt die Gleichung y = — x. 5 9

§ 85. Die Durchmesser der Parabel

117

Wenn ein Durchmesser U'U die zum Durchmesser V'V parallelen Sehnen halbiert, so halbiert der Durchmesser V'V stets die zum Durchmesser VU parallelen Sehnen. Zwei derartige Durchmesser heißen zueinander konjugiert. Bei jeder Hyperbel gibt es nur ein P a a r von Hauptdurchmesscrn (d. h. von konjugierten Durchmessern, die aufeinander senkrecht stehen). Es sind dies die reelle u n d die imaginäre Achse. "Wenn die Steigung der parallelen Sehnen dem absoluten Betrag nach größer ist als die Steigung der Asymptoten, d. h., wenn b Iii > — a b 2 (s. Beispiel 1, bei dem — = —), so ist der geometrische Ort der Mittelpunkte der a 3 Sehnen das Strahlenpaar L'V u n d LIJ. Wenn hingegen b Ifcl < — a (s. Beispiel 2), so bilden die Mittelpunkte der Sehnen eine durchlaufende Gerade (V'V in Abb. 117). Von zwei konjugierten Durchmessern gehört einer immer zum ersten Typ, der andere zum zweiten. b B e m e r k u n g 1. Die Steigung paralleler Sehnen k a n n absolut genommen nicht —a b sein, da die Gerade y = ± — x (Asymptote) die Hyperbel nicht schneidet und da a die zur Asymptoten parallelen Geraden die Hyperbel nur in einem P u n k t schneiden. Die Steigungen von konjugierten Richtungen, die nicht zu Hauptduxchmessern gehören, besitzen gemäß ( l b ) dasselbe Vorzeichen, d . h . , zwei konjugierte Durchmesser der Hyperbel liegen stets im selben von den Achsen gebildeten Quadrantenpaar. Bezüglich der Asymptoten liegen zwei konjugierte Durchmesser jedoch stets in verschiedenen Winkelbereichen. B e m e r k u n g 2. Bei einer Drehung des Durchmessers U'U der Hyperbel dreht sich der konjugierte Durchmesser V' V in die entgegengesetzte Richtung. Wenn sich dabei U'U der Asymptote unbegrenzt nähert, so nähert sich auch V'V unbegrenzt derselben Asymptote. Man f a ß t daher auch die Asymptoten als Durchmesser auf, die zu sich selbst konjugiert sind. Dies ist eine Vereinbarung, da eine Asymptote in Wirklichkeit keinen Durchmesser darstellt (vgl. Bemerkung 1). Außer den Asymptoten bildet jede andere Gerade, die durch den Mittelpunkt .der Hyperbel verläuft, einen ihrer Durchmesser.

§ 85. Die Durchmesser der Parabel Alle Durchmesser einer Parabel sind parallel zu ihrer Achse, s. Abb. 118 u n d 119 (der geometrische Ort der Mittelpunkte paralleler Sehnen der Parabel ist der Strahl LU). Der Durchmesser, der den zur Achse parallelen Sehnen entspricht, ist die Achse selbst (Abb. 120).

118

I. Analytische Geometrie in der Ebene

Der Durchmesser der Parabel yl = 2px, der den Sehnen m i t der Steigung k(k # 0) entspricht, besitzt die Gleichung P

(je größer die Neigung der Sehne zur Achsc ist, um so weiter ist der Durchmesser von der Achse entfernt 1 )). B e i s p i e l . Der Durchmesser der Parabel y" •- Zpx, der den unter 45° zur Achse geneigten Sehnen entspricht (k — 1), besitzt die Gleichung y — p, d . h . , sein Abstand von der Achse AX (Abb. 121) ist gleich der Fokallialbsehne FR (§ 80). Das

bedeutet, daß der Durchmesser die Parabel im P u n k t R schneidet, der über dem Brennpunkt F liegt. Alle Geraden, die parallel zu einem beliebigen Parabeldurchmesser sind, schneiden die Parabel nur in einem P u n k t . Die Parabel besitzt daher keine konjugierten Durchmesser. *) Die Steigung aller Durchmesser der Parabel ist gleich Null, d. h., sie genügt der Gleichung kki = s 2 — 1, die sich im Falle der Ellipse u n d der Hyperbel (§ 83, 84) ergab (für die Parabel ist e — 1).

§ 86. Kurven zweiten Grades

119

§ 86. Kurven zweiten Grades Eine Ellipse (und insbesondere ein Kreis), eine Hyperbel und eine Parabel bilden K u r v e n zweiten Grades, d. h., in jedem kartesischen Koordinatensystem ist ihre Gleichung vom zweiten Grade. Jedoch nicht jede Gleichung zweiten Grades stellt eine der erwähnten K u r v e n dar. Es k a n n zum Beispiel vorkommen, daß eine Gleichung zweiten Grades ein Geradenpaar beschreibt. B e i s p i e l 1. Die Gleichung 4a;2 - 9y 2 = 0

(1)

zerfällt in zwei Gleichungen 2x — Zy — 0 und 2x + '.iy — 0, die ein Geradenpaar darstellen, das sich im Ursprung schneidet. B e i s p i e l 2. Die Gleichung x2 -2xy

+ y2 - 9 = 0

zerfällt in die Gleichungen x — ^ + 3 = 0 u n d y — x handelt sich um ein P a a r paralleler Geraden. B e i s p i e l 3. Die Gleichung x2 — 2xy + i/s = 0, d. h. (x — y)2 = 0, stellt eine Gerade y — x = 0 dar. auf der linken Gleichungsseite von (3) das Binom x — y F a k t o r a u f t r i t t , spricht m a n in diesem Fall von zwei fallenden Geraden. E s k a n n auch vorkommen, daß eine Gleichung zweiten einen einzigen P u n k t darstellt. B e i s p i e l 4. Die Gleichung x2 + ±-y2

= 0

(2) 3 = 0. Es

(3) Da jedoch zweimal als zusammenGrades n u r

(4)

besitzt n u r eine einzige reelle Lösung, nämlich x = y = 0 . Sie stellt daher den P u n k t (0; 0) dar. I m übrigen zerfällt (4) in die beiden nnj

ay

Gleichungen x + = 0 und x — —- 0 mit imaginären Koeffizienten. Man spricht daher in diesem Fall von einem „ P a a r imaginärer Geraden, die sich in einem reellen P u n k t schneiden". Schließlich k a n n es vorkommen, daß eine Gleichung zweiten Grades überhaupt keine reelle Lösung besitzt und daher keinen geometrischen Ort darstellt. B e i s p i e l 5. Die Gleichung

120

I. Analytische Geometrie in der Ebene

stellt keine Kurve dar und auch keinen Punkt, da die Größe

-\—rr^ •—9 t—lb keine positiven Werte annehmen kann. Wegen der äußerlichen Ähnlichkeit der Gleichung (5) mit der Ellipsengleichung spricht man in diesem Fall von einer „imaginären Ellipse". B e i s p i e l 6. Die Gleichung x2 -2xy + y2 + 9 = 0 (6) stellt ebenso weder eine Kurve noch einen Punkt dar. Da sie jedoch in die beiden Gleichungen x — y + 3i = 0 und x — y — 3i = 0 zerfällt, spricht man in diesem Fall (vgl. Beispiel 2) von einem Paar „imaginärer paralleler Geraden". Die Kegelschnitte und die Geradenpaare erschöpfen alle Kurven, die man in, einem kartesischen Koordinatensystem durch eine Gleichung zweiten Grades darstellen kann. Mit anderen Worten, wir haben das folgende T h e o r e m . Jede Kurve zweiten Grades ist entweder eine Ellipse oder ein Hyperbel oder eine Parabel oder ein Paar von Oeraden (die sich schneiden, zu einander parallel sind oder zusammenfallen). S k i z z e des Beweises. Mit Hilfe einer Koordinatentransformation bringen wir die gegebene Gleichung zweiten Grades auf die einfachste Form. Dadurch erhalten wir eine der drei kanonischen Gleichungen x^

v2 + -p- = ± 1 (Ellipse, reell oder imaginär),

^ -

= 1 (Hyperbel), ?y2 = 2px (Parabel)

oder wir stellen fest, daß die Gleichung zweiten Grades in zwei Gleichungen ersten Grades zerfällt. Gleichzeitig finden wir auch die Abmessungen der Kurve zweiter Ordnung und ihre Lage bezüglich des ursprünglichen Koordinatensystems (für eine Ellipse z. B. die Länge ihrer Achsen, ihre Gleichung, die Lage ihres Mittelpunktes usw.). In den §§ 89—90 werden wir die erwähnten Transformationen durchführen.

§ 87. Die Form der allgemeinen Gleichung zweiten Grades Die allgemeine Gleichung zweiten Grades schreibt man im allgemeinen in der Form Ax2 + 2Bxy + C y + 2Dx + 2Ey + F = 0.

(1)

Die Bezeichnungen 2B, 2D, 2E (und nicht B, D,E) wurden gewählt, weil in vielen Formeln die Hälfte der Koeffizienten von xy, x und y auftritt. Bei Verwendung der Bezeichnungen 2B, 2C, 2D vermeidet man daher Brüche.

§ 89. Vorläufige Transformation der Gleichung zweiten Giades

121

B e i s p i e l . Für die Gleichung haben wir

z 2 + xy — 2y2 + 2x + 4y + 4 = 0

A = 1, B = 12, C = - 2 , D = 1, E = 2, i 1 = 4. B e i s p i e l 2. Für die Gleichung 2xy + £ + 5 = 0 haben wir ¿ = 0, 5 = 1 ,

C = 0, D = y , # = 0, F = 5.

B e m e r k u n g . Die Größen A, B, G, D, E, F dürfen beliebige Werte annehmen, nur sollen die Größen A, B und C nicht gleichzeitig 0 sein, da sonst (1) eine Gleichung ersten Grades wird. § 88. Vereinfachung der Gleichung zweiten Grades. Allgemeine Bemerkungen Die Transformation der Gleichung zweiten Grades Ax2 + 2 Bxy + Oy- + 2Dx + 2 Ey + F = 0

(1)

auf ihre einfachste Form (s. § 86) führen wir nach dem folgenden Schema durch 1 ): 1. V o r l ä u f i g e T r a n s f o r m a t i o n . Mit ihrer Hilfe entfernen wir Glieder, die zu einem Produkt von verschiedenen Koordinaten gehören (dies erreicht man durch eine Drehung der Achsen, s. § 89). 2. E n d g ü l t i g e T r a n s f o r m a t i o n . Mit ihrer Hilfe entfernen wir dann die Glieder, die Ausdrücke ersten Grades bilden (dies erreicht man durch eine Verschiebung des Ursprungs, s. § 90). § 89. Vorläufige Transformation der Gleichung zweiten Grades (Wenn B = 0, so wird diese Transformation überflüssig.) Wir drehen das Koordinatensystem um den Winkel a, der der Bedingung2) tan 2a =

.2 B „ A —C

(2)

genügt. Die Transformationsformeln lauten (§ 58) x = x' cos a — y' sin a.,

y = x' sin 0,d>0, A>0, so sind alle Zahlen / 0, 0, A > 0, so stellt die Gleichung (1) kein reelles geometrisches Gebilde dar. B e m e r k u n g . Die Transformationsmatrix 'cos « —sin a 0, q > 0) dargestellt wird, heißt elliptisches Paraboloid (Abb.195). Die Schnitte mit den Ebenen XOZ und YOZ (Hauptschnitte) sind die Parabeln ( A O A B O B ' ) x2 = 2pz, (2) y2 = 2qz.

(3)

Beide sind konkav nach derselben Seite („nach oben"). Die Ebene z = 0 berührt das Paraboloid im Punkt 0. Bei h > 0 schneiden die Ebenen z — h das Paraboloid in den untereinander ähnlichen Ellipsen

if + f H

W

mit den Halbachsen ]/2qh. Bei h < 0 schneiden diese Ebene die Fläche nicht. Das elliptische Paraboloid besitzt kein Symmetriezentrum. Es ist symmetrisch bezüglich der Ebene XOZ und YOZ, sowie bezüglich *) Bei einem Kreiskegel gibt es ein System von parallelen kreisförmigen Schnitten, bei einem anderen Kegel gibt es zwei solche Systeme.

§ 177. Das elliptische Paraboloid

241

der Achse OZ. Die Gerade OZ heißt Achse des elliptischen Paraboloids, der Punkt 0 wird als sein Scheitel bezeichnet, die Größen p und q nennt man seine Parameter. Bei q = p werden die beiden Parabeln (2) und (3) gleich, und die Ellipsen (4) werden zu Kreisen. Das Paraboloid (1) geht in eine Fläche über, die sich durch Rotation einer Parabel um ihre Achse erzeugen läßt (Rotationsparaboloid)1).

B e i s p i e l . Die Fläche z = x2 + y2 ist ein Rotationsparaboloid, das durch Rotation der Parabel z = x 2 um ihre Achse gebildet wird (um die Achse OZ). Die Fläche x = y% + z2 ist dasselbe Paraboloid, dieses liegt hier nur anders (die Rotationsachse fällt mit OX zusammen). B e m e r k u n g . Als Schnitt des elliptischen Paraboloids mit der Ebene y = f erhalten wir die Kurve z = * '

x2

/a

1(CDC). 2p ^ 2q K '

Das

ist dieselbe Parabel (§ 50) wie die Parabel AOA' = . Auch ihre Achse ist „nach oben" gerichtet, aber ihr Scheitel liegt im Punkt D /; L^. Die Koordinaten des Punkts D genügen den Gleichungen x = 0 , y2 — 2qz, d. h., D liegt auf der Parabel BOB'. Das elliptische Paraboloid ist also eine Fläche, die man durch Parallelverschiebung der Parabel (AOA') erhalten kann, wobei sich deren Scheitel auf der anderen Parabel (BOB') bewegt. Dabei bleiben die Ebenen der bewegten und der unbewegten Parabel zueinander orthogonal, ihre Achsen bleiben gleichgerichtet. ') Die Form eines Rotationsparaboloids findet man bei Spiegelreflektoren (diese richten ein von einem Brennpunkt ausgehendes Strahlenbündel zu einem Parallelenbilndel). 16

Wygodski

242

II. Analytische Geometrie im Raum

§ 178. Das hyperbolische Paraboloid Eine Fläche, welche durch eine Gleichung der Form

(p > 0, q > 0) dargestellt wird, heißt hyperbolisches (Abb. 196).

Paraboloid

Die Schnitte mit den Ebenen XOZ und YOZ (Hauptschnitte) die Parabeln ( A O A ' , BOB')

sind

x2 = 2pz,

(2)

y2 =

(3)

I m Gegensatz zu den Hauptschnitten des elliptischen Paraboloids (§ 177) sind die Parabeln (2) und (3) nach entgegengesetzten Seiten konkav (die Parabel AOA' „nach oben", die Parabel BOB' „nach unten"). Die Fläche, (1) h a t das Aussehen eines Sattels. Der Schnitt des hyperbolischen Paraboloids (1) mit der Ebene XOY (z = 0) wird durch die Gleichung

|;-fb0

beschrieben. Dabei handelt es sich um das Geradenpaar OD, OC (§ 86, Beispiel 1). Die Ebene z = h parallel zu XOY schneidet das hyperbolische Paraboloid in der Hyperbel


§ 179. Die Flächen zweiten Grades

243

Bei h > 0 ist die reelle Achse dieser Hyperbel (z. B. die Hyperbel UVV'U') parallel zur Achse OX, bei h< 0 (Hyperbel LNN'L') ist die reelle Achse parallel zu OY. Alle Hyperbeln (5), die auf einer Seite der Ebene XOY liegen, sind untereinander ähnlich. Sie sind paarweise konjugiert mit den Hyperbeln (5), die auf der anderen Seite von XOY liegen. Das hyperbolische Paraboloid besitzt kein Symmetriezentrum. Es ist symmetrisch bezüglich der Ebenen XOZ und YOZ und bezüglich der Achse OZ. Die Gerade OZ heißt Achse des hyperbolischen Paraboloids, der P u n k t 0 heißt Scheitel, die Größen p und q heißen seine Parameter. B e m e r k u n g 1. Für beliebige Werte von p und q erweist sich das hyperbolische Paraboloid (im Gegensatz zu den weiter oben betrachteten Flächen zweiten Grades) niemals als Rotationsfläche. B e m e r k u n g 2. Das hyperbolische Paraboloid kann wie das elliptische durch Parallelverschiebung eines seiner Hauptschnitte (z. B. durch Verschiebung von BOB') längs des anderen Hauptschnitts (AOA') erzeugt werden. Aber hier sind die bewegte u n d die unbewegte Parabel nach verschiedenen Seiten konkav. B e i s p i e l . Die Fläche z = x% — y2 ist ein hyperbolisches Paraboloid. Beide Hauptschnitte sind Parabeln, die untereinander gleich sind, sie weisen jedoch in entgegengesetzte Richtungen. Die Fläche k a n n man durch Parallelverschiebung einer dieser Parabeln längs der anderen erzeugen. Der Schnitt mit der Ebene z = h (h dp 0) ist eine gleichseitige Hyperbel mit den Halbachsen a — y|Äj, 6 = . Bei h = 0 wird daraus ein Geradenpaar (x - y = 0, x — y = 0). Nimmt man diese Geraden als Koordinatenachsen OX', OY', so wird das betrachtete hyperbolische Paraboloid durch die Gleichung z = 2x'y' dargestellt. I m allgemeinen stellt die Gleichung

z

~ ~~ dasselbe hyperbolische X^

Paraboloid dar wie die Gleichung z = -r , aber nur im 2a 2a ersten Fall fallen die Achsen OX und 0 Y mit zwei geradlinigen Erzeugenden zusammen, die durch den Scheitel gehen (§ 180).

§ 179. Die Flächen zweiten Grades Jede Gleichung zweiten Grades Ax- + By- + Cz2 + Dxy + Eyz + Fzx + Gx + Hy + Kz + L = 0 kann man mit Hilfe der Formeln f ü r die Koordinatentransformation (§ 166) auf eine der in der Tabelle (S. 244/245) angeführten 17 Gleichungen zurückführen, die man als kanonische Gleichungen bezeichnet. Dabei stellt die Gleichung A r 4- -tj- = 0 (Nr. 14) keine Fläche dar, a* b' sondern eine Gerade (x = 0, y = 0). Man sagt jedoch in diesem Fall, die Gleichung stellt ein Paar von imaginären Flächen dar, die sich in 16*

244

I I . Analytische Geometrie im Raum Kanonische Gleichung

Nr.

1

x2 "S2" +

2

z2 a2

3

x1 "ö2"

4

3:2 2

7

8

+

, 2/a 62

z2 c2

yi "fe2

z2 c2"=

4.y1 62

~

o

22 2

c

a;2 2p

Z

1

+

1

y2 2q

Sit

6

z2 "c2

+

M II

5

a

t/2

Schematische Darstellung

a2

, 2/a 62

a2

62




(3)

, Di — —

B e i s p i e l 1. Man berechne die Determinante 6 3 0 3 4 4 2 1 0 4 4 2 7 7 8 5 Lösung. 4 2 1

Ay = 4 4 2

4 2 1

Bi

=

7 8 5

-

0 4 2 7 8 5

4 4 2

Di -

- 0 4 4 7 7 8

-72

—16,

252

II. Analytische Geometrie im Raum

(da Ci = 0, braucht man C, nicht zu berechnen): A = 6 • 8 + 3 ( - 1 6 ) + 3( — 72) =

-216.

Auch für Determinanten vierter Ordnung gelten die Theoreme 1 und 2 aus § 182. Sie vereinigen sich beide zu dem ¡olgenden Theorem. T h e o r e m . Die Determinante ist gleich der Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile (oder einer beliebigen Spalte) mit ihren algebraischen Komplementen, d. h. A = aLAl + b^Bi + ciC1 +

d1Dl,

A = atAa 4- btBt + CiCi +

d2D2,

(4)

A = a t A, 4- aaAz + «3*4a +

Cj Aj, c2

(4)

ist nicht null, d. h., die Koeffizienten der Unbekannten sind proportional, die freien Glieder stehen aber nicht im selben Verhältnis. In diesem Fall hat das System keine Lösung (die Ebenen (1) und (2) sind parallel, fallen aber nicht zusammen). F a l l 3. Alle Determinanten (3) und (4) sind Null, d. h., die Koeffizienten der Unbekannten und die freien Glieder sind zueinander proportional. Dann reduziert sich das System auf eine Gleichung und besitzt unendlich viele Lösungen, wobei man nun zwei Unbekannten beliebige Werte erteilen darf. Wenn zum Beispiel c x =(= 0, so darf man x und y beliebige Werte geben (die Ebenen (1) und (2) fallen zusammen). B e i s p i e l 1. Man löse das System 2y — z = 15, 17*

2x —4t/ + 2z = 2.

260

II. Analytische Geometrie im Raum

Hier gilt 1 -2 2 -4

«1 hl a% b2

&! Cj

= o,

&2 C2 - l l 2 2

-2 -1 -4 2

=

- 8 ,

1 H

f

a

l n

x

n

)

(3) a

n

x

l

+

• "

"T a

T

=

(«r+r.l^r+l ~r •'" +

a

r n

x

n ) •

Dieses Gleichungssystem läßt sich als inhomogenes System der Ordnung r auffassen und nach Satz 1 auflösen. Die Unbekannten xx, ..., xr hängen dabei von den Größen xr+1, ..., x„ ab, die beliebige Werte annehmen können. Man sagt, daß die Lösung von n — r P a r a m e t e r n abhängt. Ist n = m, A = 0 und das System inhomogen, so sind wie im eben betrachteten Fall die linken Seiten der Gleichungen (1) voneinander abhängig. Das System ist nur d a n n lösbar, d. h. widerspruchsfrei ( k o n s i s t e n t ) , wenn die rechten Seiten die gleiche Abhängigkeit zeigen. Man p r ü f t das, indem man neben der Matrix («¿fc) = A die (rechteckige) Matrix H betrachtet, die aus A entsteht, indem m a n die Zahlen h l y . . . , h n als (n + 1)-Spalte hinzufügt. Die Unterdeterminanten re-ter Ordnung von H sind (abgesehen vom Vorzeichen) die oben mit Ai bezeichneten Determinanten. S a t z 3. Das inhomogene System ist genau dann lösbar, wenn der Rang von A gleich dem vom H ist. Bei der Lösung verfährt man wie im Fall des Satzes 2. Der Fall m > n läßt sich dadurch auf den Fall n — m zurückführen daß m a n m—re-Gleichungen mit den Koeffizienten Null hinzufügt. Der R a n g der Matrix des entstehenden Systems von n Gleichungen mit n Unbekannten ist natürlich höchstens gleich m.

§ 191. n Gleichungen

267

B e i s p i e l 1. Man löse das System Zx + 7y - 2z + 4m =

3,

-3.c - '¿y + 6z - 4u = 11, 5.r + 5y — 3z + 2m — 6, •ix +

- 5z + Zu ^

0.

Die Determinante des Systems J (s. § 185, Beispiel 3) ist gleich — 303. Durch das in § 185 erklärte Verfahren erhalten wir dx = - 3 0 3 ,

Ay = - 6 0 6 ,

-303,

Gemäß den Formeln (3) haben wir x = 1,

y

=

M = -3.

2,

B e i s p i e l 2. Man löse das System x — y + 2z - H = 1, x + y -I

z -r M ^ 4,

2s + 3 y

- 5« = 0,

5z + 2 ¡/ -! 5z - 6m = 0. Hier gilt 1

-1

2

1

1 1

2

3 0

5

2 5

= 0

1 -1 2 -1

1 -1

4

1 1

0

5 -7

0

3 0 -5

0

3

0 -5

0

2 5 -6

0

2

5 -6

1

2 -1 5

= 144 + 0,

also Rang Ax = 4 > Rang 1. Das System besitzt daher keine Lösung (wenn man die erste Gleichung mit 2 multipliziert und zur zweiten Gleichung addiert, erhält man 5x + 2y + 5z — 6« = 6, was im Widerspruch zur vierten Gleichung steht). B e i s p i e l 3. Man löse das System x — y + 2z — m = 1, x + y -f- z + 2x + 3 y

w = 4,

— 5m = 0,

5z + 2y + 5z - 6m = 6. Hier gilt = Ax =

= *z

ä , t = 0.

268

II. Analytische Geometrie im Raum

Durch Streichen der vierten Zeile und vierten Spalte erhält man die Unterdeterminante 1 - 1 2 1

11

2

3 0

= - 3 * 0,

d. h. Bang A = 3. Das System reduziert sich auf die drei Gleichungen y + 2zx + y + \y 2% + 32/

«=1,1

2+

w = 4, >

- 5m = 0 .

(4)

J

Die vierte Gleichung folgt daraus (vgl. Beispiel 2). Der Unbekannten u darf man beliebige Werte erteilen. Aus (2) erhalten wir -24m + 21 —3

11M - 14

16m - 19

III. Die Grundbegriffe der mathematischen Analysis § 192. Einführende Bemerkungen Unter der mathematischen Analysis versteht man ein System von Disziplinen, die die folgenden charakteristischen Merkmale gemeinsam haben. Den Gegenstand der Untersuchung bildet die Gesamtheit der quantitativen Beziehungen der realen Welt (im Gegensatz zu den geometrischen Disziplinen, wo man sich mit deren räumlichen Eigenschaften befaßt). Diese Beziehungen beschreibt man wie in der Arithmetik durch Zahlengrößen. Aber in der Arithmetik (und in der Algebra) betrachtet man vorwiegend konstante Größen (die einen Zustand beschreiben), in der Analysis dagegen betrachtet man variable Größen (die einen Prozeß beschreiben, § 196). Aus dem Studium der Abhängigkeit zwischen variablen Größen entwickelten sich die Begriffe der Funktion (§ 197) und des Grenzwerts (§§ 204—206). In diesem Buche betrachten wir die folgenden Teilgebiete der Analysis: die Differentialrechnung, die Integralrechnung, die Theorie der Reihen und die Theorie der Differentialgleichungen. Über den Gegenstand der einzelnen Teilgebiete wird an entsprechender Stelle gesprochen werden. Die Anfänge der Methoden der mathematischen Analysis finden sich schon bei den altgriechischen Mathematikern (AECHEMEDES). Eine systematische Entwicklung erfuhren diese Methoden im 17. Jahrhundert. Im 17. und 18. Jahrhundert vollendeten NEWTON1) und LEIBNIZ2) die Differential- und Integralrechnung und stellten grundlegende Untersuchungen über unendliche Reihen und über Differentialgleichungen an. Im 18. Jahrhundert arbeitete E T I L E R die letzten beiden Teilgebiete aus und legte den Grundstein für die übrigen Disziplinen der mathematischen Analysis. Gegen Ende des 18. Jahrhunderts wurde eine große Menge von Material angehäuft, das jedoch in logischer Beziehung ungenügend durchdacht war. Dieser Mangel wurde durch die verstärkten Bemühungen der Gelehrten des 19. Jahrhunderts behoben. Zu nennen sind dabei vor allem CAUCHY in Prankreich, N. I. L O B A T S C H E W S K I in Rußland, A B E L in Norwegen, R I E M A N N in Deutschland u. a. m. ') ISAAK NEWTON ( 1 6 4 2 — 1 7 2 7 ) w a r d e r b e d e u t e n d s t e e n g l i s c h e M a t h e m a t i k e r u n d

Physiker. Er fand das Trägheitsgesetz, formulierte die Grundgesetze der Mechanik und wandte sie auf die Bewegung irdischer und nichtirdischer Körper an. Außerdem erforschte er experimentell und theoretisch die Gesetze der Optik.

2

) GOTTFRIED

WILHELM

LEIBNIZ

Philosoph und Mathematiker.

(1646-1716)

war

ein

bedeutender

deutschei

270

I I I . Die Grundbegriffe der mathematischen Analysis

§ 193. Die rationalen Zahlen Die erste Vorstellung von den Zahlen entstand beim Abzählen von Gegenständen. Als Ergebnis des Zählens ergaben sich die Zahlen 1 , 2 , 3 usw. Man n e n n t diese jetzt natürliche Zahlen. Als nächstes entstand der Begriff des Bruches, er entstand beim Messen von kontinuierlichen Größen (Länge, Gewicht u. a.). Die negativen Zahlen und die Null entstanden in der Mathematik im Laufe der Entwicklung der Algebra 1 ). Die ganzen Zahlen (d. h. die natürlichen Zahlen, die negativen Zahlen und die Null) und die Brüche bezeichnet man als rationale Zahlen (im Gegensatz zu den irrationalen Zahlen, § 194). Alle rationalen V Zahlen lassen sich in der Form — angeben (wobei p und q ganze Zahlen sind). ' i

. § 194. Die reellen Zahlen Eine Messung f ü h r t man in der Praxis mit Hilfe irgendeines Instruments aus. Als Meßergebnis ergibt sich eine gewisse rationale Zahl (z. B. erhält man f ü r die in Mikrometern gemessene Dicke einer Metallfaser in Millimetern_ausgedrückt die Zahl 0,023). Jedes Instrument besitzt eine begrenzte Genauigkeit. Daher ist f ü r praktische Zwecke der Vorrat an rationalen Zahlen mehr als hinreichend. I n der mathematischen Theorie jedoch, bei der m a n Messungen mit absoluter Genauigkeit annimmt, k o m m t m a n mit den rationalen Zahlen allein nicht aus. So k a n n m a n etwa die Länge der Diagonale eines Quadrates mit der Seitenlänge 1 nicht durch eine rationale Zahl ausdrücken. Durch rationale Zahlen k a n n m a n auch nicht den Sinus des Winkels von 60°, den Kosinus des Winkels von 22°, den Tangens des Winkels von 17°, das Verhältnis des Kreisumfangs zu seinem Durchmesser ausdrücken usw. Strecken, d e r e n Verhältnis nicht durch eine rationale Zahl ausgedrückt werden k a n n (z. B. Seite u n d Diagonale eines Quadrates) heißen inkommensurabel'1). Wenn m a n mit den Verhältnissen inkommensurabler Strecken rechnen will, m u ß m a n neue Zahlen, die irrationalen Zahlen, einführen. Man k a n n exakt begründen, daß m a n mit irrationalen Zahlen ebenso rechnen k a n n wie mit rationalenZahlen. (Vgl. § 213.) Die rationalen und irrationalen Zahlen in ihrer Gesamtheit heißen reelle Zahlen (im Gegensatz zu den imaginären Zahlen, s. Bemerkung 2 weiter unten). Mit Hilfe der reellen Zahlen k a n n man die Längen aller Strecken genau beschreiben. Zu jeder irrationalen Zahl kann man rationale Zahlen finden (insbesondere Dezimalbrüche), die sich von ihr n u r wenig unterscheiden (nur wenig größer oder kleiner sind), wobei m a n den Fehler beliebig klein machen kann. ') In China vor 2000 Jahren, in Indien vor 1500 Jahren. In Europa erhielten die negativen Zahlen ihr „Bürgerrecht" erst im 17. Jahrhundert. ) Dieses aus dem Lateinischen stammende Wort bedeutet „ohne gemeinsames Maß".

!

§ 196. Variable und konstante Größen

271

B e m e r k u n g 1. Auch f ü r rationale Zahlen k a n n man Näherungswerte angeben. So n i m m t man zum Beispiel oft f ü r den Bruch — die etwas zu kleinen Werte 0,33; 0,333 usw. (je nachdem, welche Genauigkeit gefordert ist) oder die etwas zu großen Werte 0,34; 0,334 usw. B e m e r k u n g 2. Eine imaginäre Zahl h a t die Form bi, wobei b eine reelle Zahl und i die „imaginäre Einheit" bedeuten, definiert durch die Gleichung 'i 2 = —1 (diese Gleichung wird durch keine reelle Zahl erfüllt). Einen Ausdruck der Form a + bi nennt m a n eine komplexe Zahl. Die komplexen, Zahlen wurden im 16. J a h r h u n d e r t in die Algebra eingeführt, und zwar im Zusammenhang m i t der Lösung der kubischen Gleichung. Seit Beginn des 17. J a h r h u n d e r t s verwendet m a n sie auch in der Analysis. I n diesem Buche werden, sofern nicht ausdrücklich etwas anderes vereinbart ist, alle Zahlen stets als reell vorausgesetzt.

§ 195. Die Zahlengerade Wir wählen auf der Geraden X'X (Abb. 204) einen Ursprung 0 , eine Maßeinheit OA und eine positive Richtung (etwa von X' nach X). D a n n entspricht jede reelle Zahl x einem bestimmten P u n k t M, dessen Abszisse gleich x ist. i

i

i

_

0

A

M

x

Abb. 204

I n der Analysis bildet m a n (zur größeren Anschaulichkeit) die Zahlen auf die angegebene Art in P u n k t e ab. Die Gerade X'X, auf der m a n die P u n k t e wählt, heißt Zahlengerade.

§ 196. Variable und konstante Größen Eine variable Größe ist eine Größe, die unter den gerade vorliegenden Bedingungen des speziellen Problems verschiedene Werte annehmen kann. I m Gegensatz dazu h a t eine konstante Größe bei gegebenen Bedingungen stets n u r einen Wert. Eine Größe k a n n bei den einen Bedingungen konstant und bei anderen Bedingungen variabel sein. B e i s p i e l 1. Die Temperatur T des siedenden Wassers ist bei den meisten physikalischen Fragestellungen eine konstante Größe. W e n n jedoch eine Änderung des Atmosphärendrucks zu berücksichtigen ist, so ist T eine variable Größe. B e i s p i e l 2. I n der Gleichung der Parabel y2 = 2 p x sind x u n d y variable Größen. Der Parameter p ist eine Konstante, falls m a n nur eine Parabel betrachtet. Betrachtet m a n dagegen eine Menge von Parabeln mit der gemeinsamen Achse OX und dem gemeinsamen Scheitel O, so wird der Parameter p zu einer variablen Größe.

272

I I I . Die Grundbegriffe der mathematischen Analysis

Variable Größen bezeichnet man meist durch die letzten Buchstaben des Alphabets (x, y, z, u, v, w), konstante Größen dagegen durch die ersten Buchstaben a.b.c,. ...

§ 197. Funktionen D e f i n i t i o n 1. Die Größe y heißt Funktion der Variablen x, wenn jedem Wert, den x annehmen kann, ein oder mehrere Werte von y entsprechen. Dabei bezeichnet m a n die Variable x als Argument. Man sagt auch: die Größe y hängt von der Größe x ab. I n Übereinstimmung d a m i t bezeichnet m a n das Argument x als unabhängige Größe, die Funktion hingegen als abhängige Größe. B e i s p i e l 1. E s sei T die Temperatur des siedenden Wassers und p der Atmosphärendruck. Durch Beobachtung findet m a n , daß jedem Wert, den p annehmen k a n n , immer genau ein Wert von T entspricht. T ist also eine Funktion des Arguments p. Die Abhängigkeit der Temperatur T von p gestattet die Bestimmung des Drucks ohne Verwendung eines Barometers durch Beobachtung der Temperatur des siedenden Wassers gemäß der Tabelle (in Kurzform): T°C pmm

I

70 I

75 I

80 I

85 I

90 I

95 I 100

| 234 | 289 | 355 | 434 | 526' | 634 | 760

Andererseits ist auch p eine Funktion der Temperatur T. Die Abhängigkeit des Drucks p von T gestattet die Bestimmung der Temper a t u r des siedenden Wassers ohne Verwendung eines Thermometers durch Beobachtung des Druckes ebenfalls gemäß der Tabelle. Geeigneter ist in diesem Fall jedoch eine Tabelle der F o r m : p mm

| 300 | 350 | 400 | 450 | 500 | 550 | 600 | 650 | 700

T °C

| 75,8 | 79,6 | 83,0 | 85,9 | 88,7 | 91,2 | 93,5 | 95,7 | 97,7

Hier bleibt der Zuwachs im Argument p stets gleich (wie in Tab. 4 der Zuwachs von T). B e m e r k u n g 1. Diese Tabelle k a n n man durch andere Werte des Arguments T ergänzen, etwa durch die Werte 65°, 73°, 104° usw. Es gibt jedoch Werte, die siedendes Wasser nie annehmen k a n n . Die Temperatur k a n n nicht unter den „absoluten N u l l p u n k t " absinken (—273°). Dem unmöglichen Wert —300° entspricht also kein Wert f ü r p. Deshalb also die Ausdrucksweise in der Definition 1: „jedem Wert, den x annehmen k a n n . . . " (und nicht „jedem Wert von x..."). (Vgl. §199.) B e i s p i e l 2. E i n Körper werde nach oben geworfen, s sei seine Höhe über dem Erdboden, t die Zeit, die seit dem Wurf verstrichen ist. Die Größe s ist eine Funktion des Arguments t, denn zu jedem Zeitp u n k t besitzt der fliegende Körper eine definierte Höhe. Andererseits

§ 198. Methoden zur Angabe einer Funktion

273

ist auch t eine Funktion von s, aber jeder Höhe, die der Körper erreicht, entsprochen zwei Werte von t (einer beim Hochwerfen und einer beim Herunterfallen). D e f i n i t i o n 2. Wenn jedem Wert des Arguments s eine einziger Wert der Funktion entspricht, so heißt die Funktion eindeutig, wenn zu jedem Wert des Arguments zwei oder mehrere Funktionswerte gehören, so heißt die Funktion zwei- oder mehrdeutig. I m zweiten Beispiel ist s eine eindeutige Funktion des Arguments t, die Größe t ist hingegen eine zweideutige Funktion. Wenn nicht ausdrücklich festgestellt wird, daß es sich um eine mehrdeutige Funktion handelt, so soll vorausgesetzt sein, daß die Funktion eindeutig ist. B e i s p i e l 3. Die Summe s der Winkel eines Vielecks ist eine Funktion der Anzahl n der Seiten. Das Argument n kann nur ganzzahlige Werte annehmen, die nicht kleiner als 3 sind, s steht mit n in der Beziehung s = n (n — 2). Als Maßeinheit für den Winkel dient ein Radian.) Andererseits ist n eine Funktion des Arguments s. n ergibt sich in Abhängigkeit von s durch die Formel » = — + 2. n Das Argument s kann nur Werte annehmen, die ein ganzzahliges Vielfaches von n sind (n, 2n, 3JI U S W . ) . B e m e r k u n g 2. Das Argument ist stets eine variable Größe. I n der Regel gilt das auch f ü r die Funktion. Es ist jedoch auch der Fall möglich, daß diese eine konstante Größe ist. Betrachtet man etwa den Abstand eines bewegten Punktes von einem ruhenden P u n k t als Funktion der Zeit, die seit Beginn der Bewegung verstrichen ist, so ändert sich dieser Abstand in der Regel. Bei der Bewegung des Punktes längs eines Kreises bleibt jedoch der Abstand vom Mittelpunkt konstant. Wenn sich die Funktion als konstante Größe erweist, so kann m a n die Rollen von Funktion und Argument nicht vertauschen (im obigen Beispiel ist die Bewegungsdauer keine Funktion des Abstands vom Kreismittelpunkt).

§ 198. Methoden zur Angabe einer Funktion Eine Funktion betrachtet man als gegeben (bekannt), wenn man zu jedem Wert des Arguments (aus der Menge der möglichen Werte) den entsprechenden Wert der Funktion angeben kann. Die gebräuchlichsten Arten, eine Funktion anzugeben, sind: 1. Tabellierung, 2. graphische Darstellung, 3. analytische Formulierung. 18 Wygodski

274

I I I . Die Grundbegriffe der mathematischen Analysis

1. Die Methode der Tabellierung ist allgemein bekannt (Logarithmentafeln, Tafeln der Quadratwurzeln usw. Siehe auch Beispiel 1, § 197). Bei Angabe in Tabellenform erscheint zugleich der Funktionswert numerisch. Dies ist der Vorteil gegenüber anderen Methoden. N a c h t e i l e : a) Eine Tabelle ist nur schwer in ihrer Gesamtheit zu überblicken, b) die Tabelle enthält oft nicht alle benötigten Argumentwerte. 2. Die grafische Methode besteht in der Konstruktion einer Linie (Grafik der Funktion), deren Abszissen die Argumentwerte und deren Ordinaten die entsprechenden Funktionswerte wiedergeben. Zum Zwecke einer bequemen Darstellung wird meist der Maßstab auf den beiden Koordinatenachsen verschieden gewählt.

Abb. 205

B e i s p i e l 1. I n Abb. 205 ist die Abhängigkeit des Elastizitätsmodul E von Schmiedeeisen (in t/cm 2 ) von der Temperatur t des Eisens grafisch dargestellt. Die Maßstäbe auf der Abszissenachse (i) u n d der Ordinatenachse (E) entsprechen den Zahlenangaben. Aus der Darstellung läßt sich zum Beispiel ablesen, daß bei t — 170° der Elastizitätsmodul E fn 20,75 t/cm 2 . Die Vorteile der grafischen Darstellung liegen in der leichten Überblickbarkeit im Großen und in der Kontinuität des Arguments. Nachteile sind: die beschränkte Genauigkeit und die Umständlichkeit bei der Ablesung der Funktionswerte mit hinreichender Genauigkeit. 3. Die analytische Methode besteht in der Angabe der Funktion eine oder mehrere Formeln.

durch

B e i s p i e l 2. Die funktionale Abhängigkeit zwischen dem Volumen V (cm 3 ) und dem Druck p (p/m 2 ) von 1 kg L u f t bei der Temperatur 0°

§ 199. Der Definitionsbereich einer Funktion

275

ist durch die Formel

pV = 8,000 (1) gegeben. Wenn die Abhängigkeit zwischen x und y durch eine Gleichung dargestellt wird, die nach y aufgelöst ist, so nennt man y eine explizite Funktion von x, im anderen Fall eine implizite Funktion von x. In Beispiel 2 ist sowohl der Druck p eine implizite Funktion des Arguments V als auch V eine implizite Funktion vom Argument p. Schreibt man die Gleichung (1) jedoch in der Form 8,000 ¡5-»

(2)

so wird p eine explizite Funktion von V.

B e i s p i e l 3. Die in Abb. 206 durch die geknickte Gerade ABC gegebene Funktion läßt sich durch zwei Formeln angeben. Für x > 2 (d. h. für den Teil AB) nehmen wir die Formel 1

T

y=

x

und für x > 2 (d. h. für den Teil BG) die Formel y =

1 , 1

Y

+

T

x .

Bei x = 2 geben beide Formeln y = 1 (Punkt B). § 199. Der Definitionsbereich einer Funktion 1. Die Gesamtheit der Werte, die (bei der vorliegenden Fragestellung) das Argument x einer Funktion fix) annehmen kann, heißt Definitionsbereich der Funktion. B e m e r k u n g . Einem Wert x, der nicht zu der erwähnten Gesamtheit gehört, entspricht kein Funktionswert. 18*

276

I I I . Die Grundbegriffe der mathematischen Analysis

B e i s p i e l 1. Die Summe der Glieder einer arithmetischen Folge s = 1+ 3 + 5 H

!- (2n - 1)

ist eine Funktion der Anzahl n der Glieder. Man drückt sie aus durch die Formel s = n?. F ü r sich betrachtet h a t diese Formel natürlich f ü r beliebige n einen Sinn. Bei dem angegebenen Problem k a n n n jedoch nur die Werte 1 , 2 , 3 , . . . annehmen. Der Definitionsbereich ist die Gesamtheit aller natürlichen Zahlen (den Werten n = —, » = — 5, n — }'3 usw. entspricht kein Funktionswert). 2. Oft wird eine Funktion durch Formeln gegeben, ohne daß m a n den Definitionsbereich erwähnt. I n solchen Fällen setzt m a n voraus, daß der Definitionsbereich aus allen Argumentwerten besteht, f ü r die die Formeln einen Sinn ergeben. B e i s p i e l 2. Die Funktion wurde durch die Formel s = n2 gegeben (ohne Angabe des Definitionsbereiches). E s wird angenommen, daß der Definitionsbereich aus der Menge aller reellen Zahlen besteht (vgl. Beispiel 1). 3. Wenn der Definitionsbereich einer Funktion die Menge der natürlichen Zahlen ist, so heißt die Funktion ganzzahlig. Die Wertgesamtheit einer ganzzahligen Funktion nennt m a n eine Folge, oder eine Zahlenfolge. B e i s p i e l 3. Die Funktion tn = 1 • 2 • 3 . . . n ist ganzzahlig. Die Werte tx = 1 , t2 = 1 • 2, t3 = 1 • 2 • 3 = 6, . . . bilden eine Folge. Das P r o d u k t 1 • 2 • 3 . . . n bezeichnet m a n durch n! (gelesen: »-Fakult ä t oder m-Faktorielle). Die betrachtete Funktion läßt sich also durch die Formel t„ = re! angeben. B e i s p i e l 4. Die Funktion u = — , wobei n die Werte 1, 2, 3, . . . 2» 1 1 annimmt, ist ebenfalls ganzzahlig. Die Werte % = — , — —, 1 2 4 w3 = — , . . . bilden eine (geometrische) Folge.

§ 200. Intervalle Der Definitionsbereich der in der Analysis betrachteten Funktionen besteht oft aus einem oder mehreren „Intervallen". Als Intervall (a, b) bezeichnet m a n die Gesamtheit der Zahlen x, die zwischen den Zahlen a u n d b liegen. I n dem Symbol (a, b) bedeutet der erste Buchstabe gewöhnlich die kleinere Zahl, der zweite Buchstabe die größere, und somit ist a < x

oon D a s Zeichen n - > oo weist darauf hin, d a ß der I n d e x n unbegrenzt anwächst (gegen Unendlich geht). M a n sagt a u c h : die Folge {y n } konvergiert gegen 6. B e i s p i e l 1. W i r b e t r a c h t e n die Folge 2/i = 0,3,

y2 = 0,33, y3 = 0,333, —

(1)

D a s Glied yn n ä h e r t sich unbegrenzt dem W e r t

(die Dezimald \ 1 \ b r ü c h e 0,3, 0,33, . . . liefern immer genauere W e r t e f ü r den B r u c h — ) . s 1 f — ist d a h e r der Grenzwert der Folge (1) o lim yn =

y .

B e m e r k u n g . Die Differenz yn — — ist der Reihe n a c h o 2/1

3

30'

2/2

3

300'

Va

3

3000 '

(

'

d. h. Vn

_ 1 _ 3 ~

Die unbegrenzte Annäherung v o n yn

1 3-10»'

.„. ( 1

l

a n — äußert sich darin, daß der absolute 3 Betrag der Differenz (3) v o n einem gewissen Index N an kleiner als eine beliebige (vorgegebene) p o s i t i v e Zahl e wird. Setzt m a n z. B . e = 0,01, so findet m a n Ar = 2, d. h., ab d e m zweiten I n d e x ist der Absolutbetrag Gibt m a n e = 0,005 =

Vn

~T

1

kleiner als 0,01.

1 vor,, iso hat man wie früher N = 2. Bei e = 0,001

\200 J

f i n d e t m a n N = 3, hei « = 0 , 0 0 0 1 N = 5 usw. 1

) D i e Bezeichnung l i m ist eine Abkürzung für das lateinische W o r t limes.

§ 206. Der Grenzwert von Funktionen

283

Wir formulieren nun den a m Anfang des Paragraphen eingeführten Begriff exakt. D e f i n i t i o n . Die Zahl b heißt Grenzwert der Folge yx, yt, ...,yn, wenn der Absolutbetrag der Differenz yn — b von einem gewissen Index JV an kleiner als eine beliebig vorgegebene positive Zahl wird: \yn — 61 < e

für

» Äii

(die Zahl JV hängt von e ab).

( — 1)« / 1 B e i s p i e l 2. I n der Folge yn = 2 + - d. h. yx = 1, y2 = 2 — , n 2 2 1 \ \ y 3 = l-g-, y4 = 2—, ...I nähert sich das Glied yn mit wachsendem n dem Wert 2. 2 ist daher der Grenzwert dieser Folge. Wir haben hier \yn — 21 = — . Die Größe — wird aber ab einer n

n

gewissen Zahl N kleiner als eine beliebige vorgegebene positive Zahl e (wenn e = 2, so trifft dies schon ab dem ersten Index zu, wenn e = 0,02, so ab N = öl usw.). B e i s p i e l 2 zeigt, daß die Glieder der Folge sowohl größer als auch kleiner als der Grenzwert sein können (vgl. Beispiel 3). B e i s p i e l 3. Die Folge 2/i = 0,

2/2 = 1,

2/3 = 0,

2/4 = 2 " '

2/5 = 0,

y6=y,...,

1 (—1)» die durch die Formel yn — j gegeben ist, hat den Grenzwert 6 = 0. » " t (_1)B Tatsächlich ist die Größe \yn — 0| = j —— ab einem gewissen Index kleiner als eine beliebige vorgegebene positive Zahl (wenn s= — o , so ab dem Index 7, bei e = 0,01 ab dem Index 201 usw.). B e i s p i e l 4. Die Folge yn = (—1)™ hat keinen Grenzwert. Die Glieder 1/1 = —1, 2/2 = 1> 2/3 = —1> 2/4 = 1 usw. streben nicht gegen eine konstante Zahl.

§ 206. Der Grenzwert von Funktionen Die Zahl 6 heißt Grenzwert der Funktion /(x) für x ^ a (gelesen: „für x gegen a"), wenn bei Annäherung von links oder rechts an a der Wert /(x) sich dem Wert b unbegrenzt nähert („gegen 6") strebt, genauer gesagt: wenn die Folge /(£„), die entsteht, wenn das Argument x eine beliebige gegen a konvergierende Folge xn durchläuft, den Grenzwert b (im Sinne von § 205) hat). Es läßt sich dann zu jedem vorgegebenen e > 0 ein (i. a. von e abhängiges) 0 so finden, daß

|/(x) - 6| < 6 gilt, sofern \x — a\ < a

B e m e r k u n g 1. Es wird vorausgesetzt, daß die Punktion j(x) im Inneren eines gewissen Intervalls, • das den Punkt x = a enthält, definiert ist (in allen Punkten rechts und links von a). I m Punkt x = a selbst kann die Funktion f(x) definiert sein oder nicht (der zweite Fall ist nicht weniger wichtig als der erste). 4^2 _ i / B e i s p i e l 1. Wir betrachten die Funktion f{x) = — — (sie ist 1 \ 2a: — 1 \ mit Ausnahme von x = — überall definiert!. Wir wählen x = 6. 4 • 62 — 1 Dort gilt f(x) = —— — = 13. Wenn sich x (von links oder rechts) dem Wert 6 nähert, so strebt 4x2 — 1 gegen 143 und der Nenner 143 gegen 11. Also strebt der Bruch gegen -yy = 13. Die Zahl 13 (die gleich dem Wert der Funktion bei x = 6 ist) ist zugleich damit der Grenzwert der Funktion für x -> 6: lim = 13. x - 6 2a: — 1 4x 2 — 1 B e i s p i e l 2. Wir betrachten dieselbe Funktion f(x) = — —, J ¿iX — l wählen aber nun x = — . Die Funktion ist hier nicht definiert 2 0 ^die Formel liefert den unbestimmten Ausdruck — J . Aber der Grenzwert der Funktion für x

— existiert. E r ist gleich 2.

4a;2 — 1 1 In der T a t ist der Ausdruck — —, der nur für x = — nicht defi2a; — 1 2 niert ist, ist in der Umgebung von x = — gleich 2x -1 - 1. Dieser Ausdruck ¿1 strebt aber gegen die Zahl 2. Also gilt .. 4x 2 - 1 hm -t — = 2. 4a:2 — 1 B e m e r k u n g 2. Die grafische Darstellung der Funktion y — — — /1 \ ¿x — l ist die Gerade UV (Abb. 210) ohne den Punkt A I y , 21. Die Darstellung der Funktion 2a; + 1 ist die gesamte Gerade

UV.

B e i s p i e l 3. Die Funktion f(x) = cos — (die mit Ausnahme von x = 0 überall definiert ist) besitzt für x -> 0 keinen Grenzwert.

285

§ 207. Nullfolgen

Dies ist aus ihrer Darstellung in Abb. 211 ersichtlich. Bei Annäherung der Abszisse an den Wert 0 strebt die Ordinate nicht gegen einen festen Wert (die Kurve zeigt unendliche viele Schwingungen mit konstanter Amplitude).

§ 207. Nullfolgen Eine Zahlenfolge {nn}, deren Grenzwert Null ist, heißt Nullfolge. Beispiele. Die Folgen j - ^ - j ,

>

—s'

n t

* Nullfolgen.

Summe, Differenz und Produkt zweier Nullfolgen sind wieder Nullfolgen. Mehrfache Anwendung des Satzes führt zur Aussage: Summe und Produkt endlich vieler Nullfolgen ergeben wieder Nullfolgen. Die Übertragung der Divisionsregel ist dagegen nicht allgemein

286

III. Die Grundbegriffe der mathematischen Analysis

richtig. Der Quotient der Nullfolgen § 204, (4) die konstante Folge j i - :

| und =

ist gemäß

jyj.

Wenn die Folge f(xn) der Funktionswerte bei Annäherung des Arguments x gegen einen Wert a eine Nullfolge bildet, so sagt man, daß die Funktion gegen Null strebt. B e i s p i e l 1. Die Funktion x2 — 4 strebt für x -> 2 und x -> —2 gegen Null. Für x -> 1 strebt sie nicht gegen Null. B e i s p i e l 2. Die Funktion 1 — cos a strebt für a 0 gegen Null. Anstelle von „die Funktion strebt gegen Null" ist auch die Ausdrucksweise „die Funktion wird unendlich hlein" im Gebrauch. § 208. Beschränkte Größen D e f i n i t i o n . Eine Punktmenge oder Zahlenmenge heißt beschränkt, wenn sie in ein Intervall endlicher Länge eingeschlossen werden kann. Eine Funktion heißt beschränkt, wenn ihr Wertevorrat beschränkt ist, anders ausgedrückt, wenn ihr Absolutbetrag eine positive Konstante M nicht überschreitet: \f(x)\ < M

für x im Definitionsbereich.

B e i s p i e l 1. Die Funktion sin x ist beschränkt auf der gesamten Zahlenachse, da |sin x\ ^ 1.

B e i s p i e l 2. Die Funktion

ist im Intervall (3, 5) beschränkt,

im Intervall (2, 5) jedoch nicht, da in diesem Intervall das Argument gegen 2 streben kann und dort die Funktion unendlich groß wird (Abb. 212).

§ 211. Erweiterung des Grenzwertbegriffs

287

§ 209. Unbeschränkte und unbegrenzt wachsende Größen Eine Zahlenmenge ist unbeschränkt, wenn sie nicht beschränkt ist. Der Wertevorrat einer Funktion f(x) ist also unbeschränkt, wenn es zu jeder beliebig großen Zahl M (mindestens) ein xm derart gibt, daß Iiixm)\ > M ausfällt. B e i s p i e l 1. Die Zahlenfolge yn = n\ ist unbeschränkt. B e i s p i e l 2. Die Zahlenfolge {n + (—1 )"n] ist unbeschränkt. B e i s p i e l 3. Die Funktion tan x ist unbeschränkt. Eine Zahlenfolge {«„} wächst unbegrenzt an, wenn alle Glieder mit hinreichend großer Nummer dem Betrage nach beliebig groß werden; genauer wenn sich jeder beliebig großen Zahl M ein (von M abhängendes N so angeben läßt, daß |a„| > M für n > N ist. Die Folge des Beispiels 1 wächst unbegrenzt an, die des Beispiels 2 dagegen nicht, da die Glieder mit ungerader Nummer alle gleich Null sind. Anstelle von „wächst unbegrenzt an" sagt man auch „wird unendlich groß". B e i s p i e l 4. Die Funktion tan x wird bei Annäherung von x gegen unendlich groß. § 210. Eine Beziehung zwischen unbegrenzt wachsenden und gegen Null strebenden Größen Wenn {an} eine Nullfolge bildet, wächst die Folge 1—]• unbegrenzt 1 ) lanJ

{

•g— J- eine Nullfolge. Die entsprechende gilt für Funktionen. B e i s p i e l 1.Aussage Die Funktion wächst für x -> 2 unbegrenzt an. Die reziproke Funktion x — 2 strebt mit x -> 2 gegen Null. B e i s p i e l 2. Die Funktion tan x strebt mit x -> 0 gegen Null. Die Funktion cot .r — j—— wächst unbegrenzt an.

§ 211. Erweiterung des Grenzwertbegriffs Wenn eine variable Größe unendlich groß wird, so sagt man (vereinbarungsgemäß), s „strebt gegen Unendlich" oder ,,s hat Unendlich als Grenzwert". Symbol: s - » oo oder lim s = oo. (1)

288

I I I . Die Grundbegriffe der mathematischen Analysis

Wenn eine unbegrenzt wachsende Größe j(x) = s von einer gewissen Stelle xQ1) an positiv bleibt, so sagt man, diese Größe ,,strebt gegen plus Unendlich" und schreibt s -» + 0 0

oder

lims=+°°-

(2)

Wenn eine unbegrenzt wachsende Größe von einer gewissen Stelle an immer negativ bleibt, so sagt man, diese Größe „strebt gegen minus Unendlich" und schreibt s ->• — 00

oder

lim s = — 00.

(3)

B e i s p i e l 1. Der Absolutbetrag der Funktion cot x h a t f ü r £ -> 0 Unendlich als Grenzwert: lim ]cot x\ = 00. >0 Um auszudrücken, daß die Funktion cot x f ü r x 0 sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, schreibt m a n lim cot x — ± 0 0 . B e i s p i e l 2. Das Symbol lim — = 0 bedeutet, daß bei unbegrenztem Anwachsen des Absolutbetrages von x die Funktion — gegen 0 x geht. B e m e r k u n g . Unendlich große Größen haben keinen Grenzwert im früher angegebenen Sinne (§§203—205), da m a n z. B. nicht sagen k a n n , daß der „Unterschied zwischen f(x) und 00 kleiner als eine vorgegebene positive Zahl wird". I n diesem Sinne ist die Einführung des unendlichen Grenzwerts eine Erweiterung des Grenzwertbegriffs. Zum Unterschied von unendlichen Grenzwerten nennt m a n die übrigen Grenzwerte endlich.

§ 212. Die Grundtheoreme über Grenzwerte Wir setzen voraus, daß alle gegebenen Größen (Summanden, Faktoren, Dividenden u n d Divisoren) vom selben Argument x abhängen und endliche Grenzwerte besitzen (für x -> a oder x —> 00). T h e o r e m I. Der Grenzwert der Summe von zwei, drei, oder im allgemeinen, von einer beliebigen festen Zahl von Summanden ist gleich der Summe der Grenzwerte der einzelnen Summanden (vgl. § 27). Kürzer: Der Grenzwert einer Summe ist gleich der Summe der Grenzwerte,. lim (iij + u2 + ••• + uk) — lim %

lim « 2 + ••• -(- lim uk.

Hier ist bei allen lim-Zeichen das Zeichen x -> a (oder x darunter zu setzen. T h e o r e m I a . (Sonderfall von Theorem I ) : lim (% — w2) = lim u x — lim « 2 . ') (1. Ii. für alle x 8 xa.

(1) 00)

(2)

§ 213. Bemerkungen zu den Sätzen über Grenzwerte

289

T h e o r e m II. Der Grenzwert eines Produkts von zwei, drei oder allgemein von einer beliebigen festen Zahl von Faktoren ist gleich dem Produkt der Grenzwerte: lim (UjU^ • • • uk) = lim w1 • lim u2 • • • lim uk.

(3)

T h e o r e m I I a . Einen konstanten Faktor darf man vor das limZeiehen ziehen: lim cu = c lim u. (4) T h e o r e m I I I . Der Grenzwert eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte, wenn der Grenzwert des Divisors ungleich Null ist: u lim u lim — -- (hm v #= 0). (5) v hm v B e i s p i e l 1. lim

= lim (x + 4) : lim (x - 2) = 9 : 3 = 3.

Wenn der Grenzwert des Divisors denden jedoch nicht, so besitzt Grenzwert. B e i s p i e l 2. x + hm

(6)

Null ist, der Grenzwert des Divider Quotient einen unendlichen 4 - = 00.

Hier gilt lim (x — 2) = 0,

aber

lim (x + 4) = 6 4= 0.

§ 218. Bemerkungen zu den Sätzen über Grenzwerte 1. Die Sätze I und II, § 212, gelten nicht für unendlich viele Summanden bzw. Faktoren. 2. Das Theorem I I I behält für lim v = 0, lim w =j= 0 seine Gültigkeit, wenn man es im erweiterten Sinn versteht. Man muß dazu das Symbol lim f(x) = -g- (c eine von 0 verschiedene Zahl) im selben Sinn verstehen wie lim f(x) = 00. 3. Wenn lim v = 0 und lim u = 0, so ist Theorem I I I nicht anwendbar, da der Ausdruck nicht definiert ist. Es kann sein, daß der Quotient einem endlichen oder unendlichen Grenzwert zustrebt; es kann aber auch sein, daß kein Grenzwert existiert. 4. Jede irrationale Zahl (§ 194) läßt sich als Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen darstellen. Da das Rechnen mit rationalen Zahlenfolgen gemäß § 204 erklärt ist, liefern die Sätze von § 212 eine Begründung für das Rechnen mit Irrationalzahlen. 19 Wygodski

290

I I I . Die Grundbegriffe der mathematischen Analysis

§ 214. Die Zahl e / 1 \n Die Folge u„ = 11 + —1 wächst monoton f ü r n - > oo, bleibt aber beschränkt 1 ). Jede wachsende und beschränkte Größe hat einen n / -| 1 \ (endlichen) Grenzwert. Der Grenzwert, dem sich (1 1 , mit n ii -5- oo nähert, wird durch e bezeichnet: ' >

Die (irrationale) Zahl e lautet mit einer Genauigkeit von sechs signifikanten Stellen e = 2,71828. Diese Zahl nimmt man in vielen Fällen als Basis für den Logarithmus (vgl. § 242). / 1 \« Die Funktion (1 —( 1 hat e nicht nur bei ganzzahligen Werten für n zum Grenzwert, sondern auch dann, wenn n die Zahlengerade stetig durchläuft. Darüber hinaus darf n sowohl positive als auch negative Werte annehmen, wenn n nur dem Betrag nach unbegrenzt wächst. Um dies auszudrücken, ersetzen wir den Buchstaben n durch x und schreiben lim ( l + — T = e x x-*±oo \ J

(2)

lim ( l + - i ) * = e. Z-+CQ \ /

(3)

(vgl. § 211) oder kürzer

*) Es könnte scheinen, daß mit unbegrenzt wachsendem Exponenten auch die Funktion ( l 4- — u n b e g r e n z t

\

wächst. Aber der Zuwachs im Exponenten wird

nj

dadurch kompensiert, daß die Basis 1 H ( l + -L)° .

2,48, ( l + l )

Die Beschränktheit von

1 0

1 n

gegen 1 strebt:

= 2,59, ( l + ± ) " = 2,69, ( l +

= 2,71.

1 \n

Kann man man mit mit Hilfe mite der aer Kinomia + -i-j" kann Binomialentwick-

lung zeigen. Das erste Glied ist 1, das zweite ebenfalls, das dritte gleich

n(n — 1) ~2

x i - , also für alle n kleiner als — , das vierte Glied ist immer kleiner als »' 1 2 2' das fünfte kleiner als —3 usw. Daher sind alle Ausdrücke u„ kleiner als 2

1 + 1+ d. h. kleiner als 3.

(—

—

—

\

§216. Äquivalenz von Nullfolgen S1U «JP

§ 215. Der Grenzwert

x

für x

291

0

Wenn x das Bogenmaß bedeutet, so gilt lim X = 1 und ar-,0 sin x

lim S m x = 1. x->-0 x

(1)

Erklärung. Wir nehmen den Radius OA (Abb. 213) ala Längeneinheit. Dann haben wir x = AB, sin x = BD

und x:ain x = AB.BD = B'AB.B'B. Der Bogen

B'AB ist größer als die Sehne B'B. Daher ist 2: sin x > 1. Andererseits ist der Bogen B'AB kleiner als BG + B'G = 2BC, d.h. AB < BG. Somit ist zrsin:«; < BG-.BD = sc x (aus dem Dreieck DBC). Der Bruch

sin x auch £:sinz.

liegt also zwischen 1 und sc x. Für x •- 0 strebt sc x gegen 1, also

Abb. 213

§ 216. Äquivalenz von Nullfolgen D e f i n i t i o n . Zwei Nullfolgen {«„} und {&„} heißen äquivalent1), Bezeichnung K ) «< > wenn der Grenzwert des Quotienten an/bn gleich eins ist. Entsprechend heißen zwei gegen Null strebende Punktionen f(x) und g(x) äquivalent, f(x) sa g(x), fix) wenn lim —— = 1 ist. Der Wert, gegen den die unabhängige Ver9\x)

änderliche x strebt, ist dabei selbstverständlich festgelegt. B e i s p i e l 1. Die Nullfolgen — und U n + ifc die Folge '— strebt gegen 1.

n

+

—— sind äquivalent, denn fn

') Das lateinische Wort,,äquivalent" bedeutet „gleichwertig".

19*

292

III. Die Grundbegriffe der mathematischen Analysis

B e i s p i e l 2. Die Punktionen x und sina; sind für x -> 0 gem. § 215 äquivalent. B e i s p i e l 3. Die Funktionen a 3 + 3«2 und a 2 — 4a 3 sind bei Annäherung von a hat die Funktion einen Grenzwert, der ebenfalls gleich. 6 ist. Wenn eine dieser Bedingungen nicht erfüllt ist, so heißt die Funktion unstetig im Punkt x = a. B e i s p i e l 1. Die Funktion f(x) =

ist stetig im Punkt x = 5 X — o

^

(Jf in Abb. 214), da 1. in x = 5 der Funktion /(5) = — definiert ist z 1 besitzt. und 2. für x -> 5 die Funktion den Grenzwert — Die Funk¿1

tion ist unstetig im Punkt x = 3. Hier ist die erste Bedingung nicht erfüllt (die Funktion hat keinen definierten Wert). Die zweite Bedingung ist ebenfalls nicht erfüllt. 1

1 1 1

y

N1

IS 1 s

0

M

p

X

\!

v

1

Abb. 214

B e i s p i e l 2. Die Funktion (p{x) sei durch die folgenden Formeln gegeben: 9>(®) = cp(x)

=

_ 2

3

für b 4= 3, für x = 3.

Diese Funktion (deren grafische Darstellung man aus Beispiel 1 erhält, wenn man dort den Punkt N in Abb. 214 hinzunimmt) ist ebenfalls unstetig im Punkt x = 3. Die erste Bedingung ist jetzt erfüllt, aber die zweite nicht. Für x ->• 3 hat die Funktion cp(x) keinen endlichen Grenzwert. B e i s p i e l 3. Die Wärmemenge Q eines Körpers ist eine Funktion der Temperatur T des Körpers. I n Abb. 215 ist diese Funktion dargestellt. Die Gerade BB entspricht dem festen Zustand (Anfangstemperatur T, und Schmelztemperatur T2), die Gerade CE dem flüssigen Zustand (Verdampfungstemperatur Ta), die Gerade FS dem gasförmigen Zustand. Die Funktion Q ist bei T = T2 und T = T3 unstetig. In diesen Punkten hat sie keinen definierten Wert. Der Schmelztemperatur entsprechen alle möglichen Werte der Wärmemenge des Körpers von Q = AB bis Q = AG.

296

I I I . Die Grundbegriffe der mathematischen Analysis

i lD

i JA. '2

'3

Abb. 215

§ 219. Eigenschatten von Funktionen, die in einem Punkt stetig sind E i g e n s c h a f t 1. Die Summe, die Differenz u n d das P r o d u k t zweier Funktionen, die im P u n k t x = a stetig sind, sind dort ebenfalls stetig. Der Quotient

zweier in x = a stetiger Funktionen ist stetig, wenn

der Divisor v in x = a ungleich Null ist. E i g e n s c h a f t 2 1 ). Wenn die Funktion f(x) f ü r einen gewissen W e r t von x stetig ist, so strebt der Zuwachs der Funktion gegen Null, wenn der Zuwachs im Argument gegen Null strebt. B e i s p i e l . Die Funktion f(x) —

*

ist in x = 5 stetig, wobei

/(5) = 4 - (§ 218, Beispiel 1). Bei x = 5 + Ax erhält die F u n k t i o n den W e r t

Der Zuwachs der Funktion ist gleich /(5

+

Ax) - /(5) =

Ax 2(2 + Ax)

und strebt f ü r Ax -> 0 gegen Null. Einseitiger Grenzwert und Sprung einer Funktion. Wenn die Funktionswerte f(z) gegen bx stieben, wenn x von der Seite kleinerer Werte her gegen a strebt, so heißt die Zahl linksseitiger Grenzwert der Funktion t(z) im Punkt x = et, und man schreibt lim f(x) = 6,.

x—0

(!)

*) Die Eigenschaft 2 kann man als Definition für die Stetigkeit verwenden {äquivalent zur Definition in § 218).

§ 220. Stetigkeit einer Funktion.

297

Wenn f(x) gegen i>, strebt, sobald x von der Seite größerer Werte her gegen a strebt, so heißt bt rechtsseitiger Grenzwert der Funktion fix) für x -*• a, und man schreibt lim m x-^-a+0

= &..

(2)

Die Größe |6S — W heißt Sprung der Funktion. Linksseitige und rechtsseitige Grenzwerte bezeichnet man als einseitige Grenzwerte. Die zwei einseitigen Grenzwerte einer Funktion Hx) können im Punkt x = a gleich sein. Wenn dabei die Funktion im Funkt x = a definiert ist, so ist sie in diesem Funkt stetig.

§ 220. Stetigkeit einer Funktion in einem abgeschlossenen Intervall D e f i n i t i o n . Eine Punktion heißt stetig in einem abgeschlossenen Intervall, wenn sie in jedem Punkt dieses Intervalls, die Grenzen eingeschlossen, stetig ist. I n den Endpunkten ist die Funktion einseitig stetig (§ 219). Analog dazu definiert man die Stetigkeit einer Funktion in einem offenen Intervall.

B e i s p i e l . Wir betrachten die Funktion —

(

4x(x

— (Abb. 216). Sie 1)

1 —, 2 j stetig, im abgeschlossenen Intervall (0, 1) jedoch nicht, da die Enden 0 und 1 Unstetigkeitspunkte sind. Die Funktion ist auch im abgeschlossenen Intervall (1,2) nicht stetig, ebenso nicht im abgeschlossenen Intervall , 2^ , da im Inneren dieses Intervalls der Unstetigkeitspunkt x = 1 liegt.

298

III. Die Grundbegriffe der mathematischen Analysis

§ 221. Eigenschaften von Funktionen, die in einem abgeschlossenen Intervall stetig sind Die Funktion f(x) sei im abgeschlossenen Intervall (a, b) stetig. Dann besitzt sie die folgenden Eigenschaften. 1. Unter den Funktionswerten, die f(x) in den Punkten des gegebenen Intervalls annehmen kann, ist ein größter und ein kleinster Wert. B e m e r k u n g 1. Für eine in einem offenen Intervall (a, b) stetige Funktion f(x) braucht dies nicht richtig zu sein. Die Funktion 2x nimmt im offenen Intervall (1, 3) nicht einen größten und einen kleinsten Wert an (die Funktionswerte an den Intervallenden x = 1 und x = 3 sind aus der Betrachtung ausgeschlossen).

2. Wenn m der Wert der Funktion in x = a und n der Wert in x = b ist, so nimmt die Funktion f(x) im Inneren des Intervalls jeden zwischen m und n liegenden Wert wenigstens einmal an. G e o m e t r i s c h e B e d e u t u n g : Jede Gerade parallel zur Abszissenachse oberhalb vom Punkt A und unterhalb vom Punkt B (Abb. 217) schneidet wenigstens einmal die Kurve AB (in Abb. 217 dreimal). B e m e r k u n g 2. Unstetige Funktionen brauchen diese Eigenschaft nicht zu haben. 2 a. Wenn die Funktion insbesondere an einem Intervallende positiv und am anderen Ende negativ ist, so wird sie im Inneren des Intervalls mindestens einmal null. G e o m e t r i s c h e B e d e u t u n g . Wenn einer der beiden Punkte A und B oberhalb und der andere unterhalb der Achse OX liegt (Abb. 218), so schneidet die Kurve AB mindestens einmal die Achse OX (in Abb. 218 zweimal). 3. Wenn sich die Variablen x und x' so ändern, daß die Differenz x — x' gegenNull strebt, so gilt das auch für die Differenz f(x)—f(x'). B e m e r k u n g 3. Wenn x' eine konstante Größe c ist, so gilt gemäß Eigenschaft 2, § 219, f{x) — /(c) -> 0. Auf Grund von Eigenschaft 3

§ 221. Eigenschaften von Funktionen

299

dieses Paragraphen gilt dies bei x->x' nicht nur dann, wenn x' eine Konstante ist, sondern auch dann, wenn x' variabel ist. B e m e r k u n g 4. Für in einem offenen Intervall stetige Funktionen braucht die Eigenschaft 3 nicht zu gelten. Die Funktion — z. B. ist x

stetig im offenen Intervall (0, 1). Wir setzen x' = 2x und lassen x gegen 0 gehen. Dann strebt die Differenz x — x' gegen Null, aber die Differenz f(x) — f(x') — — = — wird unendlich groß.

IV. Differentialrechnung § 222. Einführende Bemerkungen Den Ausgangspunkt für die Differentialrechnung bildeten zwei Probleme: 1. Die Bestimmung der Tangente an eine beliebige Kurve (§225). 2. Die Bestimmung der Geschwindigkeit bei beliebigen Bewegungen (§223). Beide Probleme führten zur gleichen mathematischen Aufgabe und begründeten die Differentialrechnung. Die Aufgabe besteht darin, zu einer gegebenen Funktion /(£) eine andere Punktion f'{t) zu finden, die den Namen Ableitung erhält und die Geschwindigkeit darstellt, mit der sich die Funktion f(t) bei einer Änderung des Arguments ändert (exakte Definition der Ableitung s. § 224). In dieser allgemeinen Form wurde die Aufgabe von N E W T O N und in ähnlicher Form von L E I B N I Z in den 70er und 80er Jahren des 17. Jahrhunderts gestellt. Aber schon in der früheren Hälfte des Jahrhunderts haben F E R M A T , P A S C A L und andere Gelehrte Regeln für die Bestimmung der Ableitungen von vielen Funktionen angegeben. N E W T O N und L E I B N I Z schlössen diese Entwicklung ab. Sie führten die allgemeinen Begriffe der Ableitung 1 ) und des Differentials 8 ) ein sowie eine Bezeichnungsweise, die die Durchführung der Rechnung sehr erleichterte. Sie führten den Apparat der Differentialrechnung bis an seine Grenzen und wandten ihn auf viele Probleme der Geometrie und der Mechanik an. Der unzureichende logische Aufbau wurde erst im 19. Jahrhundert vervollständigt (s. § 192).

§ 223. Die Geschwindigkeit3) Zur Bestimmung der Geschwindigkeit eines Zuges beobachten wir, wieviel Kilometer der Zug nach der Zeit t = tt und wieviel er nach der Zeit t = i2 zurückgelegt hat. Es seien dies die Strecken s — und s = s2. Den Zuwachs (§ 217) des Weges As = s2 — divi') Bei NEWTON als „ F l u ß " bezeichnet. Der Ausdruck „Ableitung" wurde im 18. Jahrhundert (von ARBOGAST) eingeführt. *) Der Ausdruck „Differential" (vom lateinischen differentia) wurde v o n LEIBNIZ eingeführt. s ) Dieser Paragraph dient der Einführung für § 224.

§ 224. Die Definition der Ableitung einer Funktion

301

dieren wir durch den Zuwachs an Zeit At = t2 — tx. Der Bruch t stellt die mittlere Geschwindigkeit des Zuges im Zeitintervall (i1( t2) dar. Bei einer ungleichförmigen Bewegung charakterisiert die mittlere Geschwindigkeit die Geschwindigkeit im Zeitpunkt t = t1 n u r unzureichend. Daher bezeichnet m a n als Geschwindigkeit zum Zeiths p u n k t t = t1 den Grenzwert, dem das Verhältnis —¡— f ü r At —> 0 zustrebt: As V ~ At->0~Ät W A*' B e i s p i e l . D e r f r e i e F a l l e i n e s K ö r p e r s . Wir haben

(3) Wegen

— tx + At gilt Aa = s t - s

= - j g(h + Atf

1

- -I g t f .

Also haben wir i . g(h v = lim ; Jf->0

+

,)> _ i . gt2

A

—

(4)

At

Nach Durchführung des Grenzübergangs erhalten wir v = gt1. (5) Die Bezeichnung t1 haben wir gewählt, um hinzuweisen, d a ß t während des Grenzübergangs konstant bleibt. D a tx ein willkürlicher W e r t ist, lassen wir den Index 1 besser weg. D a n n ersieht man aus der Formel v = gt, (5a) daß die Geschwindigkeit v ebenso wie der Weg s eine F u n k t i o n der Zeit ist. Die Form der Funktion v h ä n g t völlig von der F u n k t i o n s ab, so daß sich v aus s „ableiten" läßt. Daher k o m m t der N a m e „Ableitung einer F u n k t i o n " .

§ 224. Die Definition der Ableitung einer Funktion1) E s sei y = f(x) eine stetige F u n k t i o n vom Argument x, die im Intervall (a, b) definiert ist, und es sei x ein beliebiger P u n k t dieses Intervalls. Wir erteilen dem Argument x einen Zuwachs Ax (positiv oder negativ). Die F u n k t i o n y = f(x) erfährt dann einen Zuwachs Ay = f(x + A x ) - f ( x ) . l

) Es wird geraten, vorher § 223 durchzulesen.

(1)

302

IV. Differentialrechnung

Für Ax - > 0 strebt auch der Zuwachs Ay gegen Null (§ 219). Ay Der Grenzwert, gegen den das Verhältnis für Ax -> 0 strebt, d. h. lim nx +

A ^ - m

ist selbst eine Funktion des Arguments x (vgl. § 223). Diese neue Funktion heißt Ableitung der Funktion f(x) und wird durch f'(x) oder y' bezeichnet. Kürzer: Die Ableitung einer Funktion ist der Grenzwert1), gegen den das Verhältnis aus einem, gegen Null strebenden Zuwachs der Funktion und dem entsprechenden Zuwachs im Argument strebt. B e m e r k u n g . Beim Grenzübergang in (2) wird x als Konstante betrachtet. B e i s p i e l 1. Man bestimme den Wert der Ableitung der Funktion y = x2 bei x = 7 . L ö s u n g . Bei x = 1 haben wir y = 7 2 = 49. Wir erteilen dem Argument x den Zuwachs Ax. Das Argument ist hierauf gleich 7 + Ax, die Funktion erhält den Wert (7 + Ax)2. Der Zuwachs Ay der Funktion ist Ay = (1 + Ax)2 - 7 2 = i4zla; +

Ax2.

Das Verhältnis dieses Zuwachses zum Zuwachs Ax ist Ay Ax~

HAx + Ax2 Ax

_

i

'

Ay Wir bestimmen den Grenzwert, dem sich

für Ax - > 0 nähert:

lim ^ = lim (14 + Ax) = 14. Ax->0 ist 14. Der gesuchte WertAx->0 der AX Ableitung B e i s p i e l 2. Man bestimme die Ableitung der Funktion y = x2 (bei beliebigem Wert von x). Wir erteilen dem Argument den Zuwachs Ax, wodurch es den Wert x + Ax erhält. Der Zuwachs Ay der Ay Funktion ist {x + Ax)2 — x2 = 2x Ax + Ax2. Das Verhältnis ~ ist 2 gleich (x + Ax) 2 p — 7? = 2x + Ax. Die Ableitung der Funktion ist der Grenzwert dieses Ausdrucks für Ax -»- 0: y' = lim ^

Ax-*0 Ax

= lim (2a; - f Ax) = Ax->0

2x.

Die gesuchte Ableitung ist y' = 2x. Bei x = 7 erhalten wir y' = 14 (vgl. Beispiel 1). ') Über Fälle, in denen dieser Grenzwert nicht existiert, s. § 231.

§ 225. Die Tangente

303

B e i s p i e l 3. Man bestimme die Ableitung der Punktion y = sin x (Argument im Winkelmaß ausgedrückt). Lösung. Wir erteilen dem Argument den Zuwachs Ax. Der Zuwachs der Funktion ist Ay = sin (x

Ax)

sin x — 2 cos {x +

• sin

^ .

Ay Das Verhältnis - j - ist gleich „ Ay Ax

/ °OS

, Ax\ . Ax 2~) 'Sm ~2~ Ax

I \

, Ax\ 2 j

Ax 2 Ax

S m

Der Grenzwert dieses Verhältnisses für Ax -> 0 (§§ 213, 215) ist gleich Ax 2sin"2" Ay / , Ax\ = cos x. lim -7— = hm cos (x -\—— 1 lim Ax /ix^-o \ 2 / ¿x^o Ax Es gilt also y' = cos x.

§ 225. Die Tangente Unter der Tangente zur Kurve L im Punkt M (Abb. 219) versteht man die Gerade T'MT, mit der die Sekante MM' zur Deckung kommt, wenn der Punkt M' längs der Kurve L gegen M strebt, sei es von links oder von rechts.

Wenn die Kurve L die grafische Darstellung der Punktion y = f(x) angibt, so ist die Steigung der Tangente gleich dem Wert der Ableitung dieser Funktion im entsprechenden Punkt 1 ). *) Wenn die Kurve keine Tangente besitzt, so hat die Funktion keine Ableitung und umgekehrt.

304

IV. Differentialrechnung

Dieser Sachverhalt ist in Abb. 220 dargestellt. Die Steigung k der Sekante ist k = - ^ t t t = -r-- Wenn M' 6gegen M strebt, so h a t k als 6 MQ

Ax

A

Grenzwert die Steigung m der Tangente. Also gilt m = lim , Ax d. h. (§ 224) m = / (x). B e i s p i e l 1. Man bestimme die Steigung und die Gleichung der Tangente zur Parabel y = x% im P u n k t M (1; 1) (Abb. 221).

'

f /

r

//

.i

0

\

/I

0

y

M

1

\

X

X

Abb. 221

Abb. 222

L ö s u n g . Wir haben y' = 2x (§ 224, Beispiel 2). F ü r x = 1 erhalten wir y' = 2 . Die gesuchte Steigung der Tangente ist m = 2. Die Gleichung der Tangente ist y — 1 = mix — 1), d. h. y = 2x — 1 . B e i s p i e l 2. Man bestimme die Gleichung der Tangente an die K u r v e y = sin x (Abb. 222) im P u n k t 0 (0, 0). L ö s u n g . Wir haben y' = cos x (§224, Beispiel 3). Bei x = 0 erhalten wir y' = 1. Die Gleichung der Tangente ist y = x.

§ 226. Die Ableitungen einiger einlacher Funktionen 1. Die

Ableitung

einer

konstanten

Größe

(a)'

Physikalische Bedeutung ruhenden P u n k t s ist Null.

ist Null:

= 0. (1) (§223): die Geschwindigkeit eines y

u

1 i o 1 0

V

X

Abb. 223

G e o m e t r i s c h e B e d e u t u n g : die Steigung der Geraden y = a(UV in Abb. 223) ist Null. B e m e r k u n g . Eine Funktion k a n n bei gewissen Werten die Ableitung Null haben, ohne daß sie k o n s t a n t ist. Zum Beispiel ist die

§ 227. Eigenschaften der Ableitung Ableitung (sin x)' = cos x (§ 224, Beispiel 3) gleich Null für x =

305 71 —,

x = —— usw. Ist aber die Ableitung f(x) einer Funktion identisch £ Null, so ist die Funktion /(x) eine Konstante (§ 265, Theorem 1). 2. Die Ableitung der unabhängigen Variablen ist eins: (*)' = !• (2) G e o m e t r i s c h e B e d e u t u n g : Die Steigung der Geraden y = x ist eins. P h y s i k a l i s c h e B e d e u t u n g : Wenn der Weg, den ein bewegter Körper zurücklegt, dem Betrag nach gleich der Bewegungsdauer ist, so ist seine Geschwindigkeit gleich eins. 3. Die Ableitung der linearen Funktion y = ax + b ist die konstante Größe a: (ax + b)' = a. (3) 4. Die Ableitung einer Potenzfunktion ist gleich dem Produkt des Exponenten mit einer Potenzfunktion, deren Exponent um eine Einheit kleiner ist: (xn)' = nx"-1. (4) Beispiele. 2 1) (a; )' = Ix. 2) (z3)' = 3K2.

3)

=

=

§ 227. Eigenschaften der Ableitung 1. Einen konstanten Faktor darf man vor das Ableitungszeichen vorziehen : [af(x)Y = af'(x). Beispiele. 1) (3z2) = 3(a;2)' = 3 • 2x = Qx. » ( $ - - > ( - $ —

2. Die Ableitung der algebraischen Summe von mehreren Funktionen (mit fester Anzahl von Summanden) ist gleich der algebraischen Summe der einzelnen Ableitungen Üi(*) + /.(*) - /»(*)]' = / i » + /»'(») - /»'(*) • 20 Wygodski

306

IV. Differentialrechnung

Beispiele. 4) (0,3z 2 - 2z + 0,8)' = (0,3z 2 )' - (2a;)' + (0,8)' = 0,6z - 2 Ableitung des letzten Summanden ist Null, § 226, P k t . 1).

(die

§ 228. Das Differential D e f i n i t i o n . Der Zuwachs (§ 217) einer Funktion y = f(x) werde in die Summe zweier Glieder zerlegt: Ay = A Ax + a.

(1)

Dabei hängt A nicht von Ax ab (d. h. ist bei gegebenem Argumentwert x konstant), a sei klein von höherer Ordnung relativ zu Ax (bei Ax->Q). I n diesem Fall ist das erste Glied (das „Hauptglied") proportional zu Ax und heißt Differential der Funktion f(x). Es wird durch dy oder df(x) bezeichnet (gelesen de-ypsilon oder de-ef-von x). B e i s p i e l 1. Wir wählen die Funktion y = x3. Dann gilt 1 ) Ay = 3z 2 Ax + (3z Ax2 + zlz 3 ).

(2)

Hier h ä n g t der Koeffizient A — 3z 2 nicht von Ax ab. Das erste Glied ist daher proportional zu Zlz, das zweite Glied

• 1+' 2x)3' '/ ' "vW ' = (1 (i+xY

Es gilt also /(0) = 0, IV

/'(0) = 1,

/ (0) = — 3!,

...,

/"(0) = - l ,

f(")(0) = ( - 1 ) »

/'"(0) = 2!, +1

(» - 1)!

§ 257. Die Bedeutung der zweiten Ableitung in der Mechanik Ein Punkt bewege sich geradlinig. Er lege in der Zeit t den Weg s zurück und erhalte die Geschwindigkeit v. Im Zeitintervall (t, t + At) ändere sich diese Geschwindigkeit und erhalte den Zuwachs Av. Das Av Verhältnis —j— gibt dann die (mittlere) Geschwindigkeitsänderung ZI t bezogen auf die Zeiteinheit wieder. Es wird als mittlere Beschleunigung bezeichnet. Dieses Verhältnis charakterisiert die Schnelligkeit der Änderung der Geschwindigkeit v zum Zeitpunkt t umso genauer, je kleiner At ist. Als Beschleunigung (im Zeitpunkt i) bezeichnet man daher den Grenzwert dieses Verhältnisses für At -> 0, d. h. die Ableitung — A b e r die Geschwindigkeit ist selbst eine Ableitung —-. dt dt Die Beschleunigung ist daher die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit. B e i s p i e l . Die ungedämpfte Schwingung einer Membran wird durch die Gleichung s — a sin - y -

(1)

beschrieben (T — Schwingungsperiode, a — Schwingungsamplitude, s — Abweichung der Membranpunkte von der Ruhelage). 22 "VVygodski

338

IV. Differentialrechnung

Die Geschwindigkeit der Bewegung ist 2na 2nt v = s = — cos — .

(2)

Die Beschleunigung ist v

=

=

s

—4712a ya

. ,2nt "jT •

(3)

s m

§ 258. Differentiale höherer Ordnung Wir betrachten die Reihe der äquidistanten Argumentwerte x, x + ¿Ix,

x + 2Ax,

x + 3zla;,

...

und die entsprechenden Funktionswerte y = f(x),

y-L = f(x + Ax),

y2 = f(x +

y3 = f(x + 3Ax),

2Ax),

....

Wir führen die folgenden Bezeichnungen ein: Ay = f(x +

Ax)-f(x),

Ay1 = f(x + 2 Ax) — j(x +

Ax),

Ayi = f(x - f 3 Ax) — f{x + 2 Ax) usw. Die Größen Ay, Ayx, Ay2 heißen erste Differenzen der Funktion f(x). Als zweite Differenzen bezeichnet man die Größen Ay1 — Ayz, ... usw. Man schreibt dafür auch A2y (gelesen: „Delta zwei Ypsilon"), A2yx, usw.: A2y = Ayr — Ay, A2y1

=

Ay2-

Ayx.

Analog dazu definiert man dritte Differenzen A3y = Aiy1 — A2y usw. B e i s p i e l 1. E s sei f(x) = x 3 und x = 2 . Die ersten Differenzen lauten: Ay = (2 + Ax)3 -

2 3 = 12Ax + 6Ax2 +

Ax3,

Ayx = (2 + 2Ax) 3 -

(2 + Ax)3 = 12Ax + 18Ax2 +

Ay2 = (2 + 3zlx) 3 -

(2 + 2Ax)3 = 12Ax + SOAx2 + 19 0 .

Hier streben /'(x) u n d (*)

B e m e r k u n g 2. Es kann vorkommen, daß der Quotient x

Grenzwert haben oder auch nicht. Für 1(x) = x + sin x und ip(x) = x z. B. hat /'(«) = 1 + cos x für x -* oo keinen Grenzwert. Jedoch strebt der Quotient q>'(x)

für x - > oo gegen 1.

i(x)

x + sin x

sin x

rp(x)

x

x

§ 268. Untersuchung eines unbestimmten Ausdrucks OO

der Form — oo

Die Regel von DE L'HOSPITAL gilt auch für den Quotienten

f(x)

zweier Funktionen, die für a:-*-a (oder x —> oo) unendlich groß sind (§267). l n x B e i s p i e l 1. Man bestimme lim ——. X-+00

X

Die Funktionen f(x) — In x und oo unendlich groß. Der Quotient ^

strebt für x -»• oo gegen den

=

0 und oo. Diesen Ausdruck kann man auf die Form f{x) 0

= 0,

§ 270.

Historisohe Betrachtungen über die TAYLOESCIIO Formel

355

l B e i s p i e l 5. Man bestimme lim (1 + 2x)x oo°). l

(unbestimmter Ausdruck

Wir setzen y = (1 + 2x)x und erhalten In y = — In (1 + x Außerdem gilt ,. , ,• In (1 + 2x) .. 2 lim In y = hm — - — hm — — 0.

2x).

Das heißt, lim y = 1 . B e i s p i e l 6. Man bestimme lim (tan xjtanaz (unbestimmter Ausdruck der Form 1°°). x-*— 4

Wir haben

lim In y = lim tan 2x In tan x = lim

a

X

cot 2x

T

'lim „ \sin x cos x x—>— 4

Es gilt also

lim (tan r)tan2z n

=

» ) = sin 2 2xj

_l.

e-i.

§ 270. Historisehe Betrachtungen über die Taylorsehe Formel1) 1. U n e n d l i c h e R e i h e n b e i NEWTON. Zur Bestimmung der Ableitung einer gegebenen Funktion und hauptsächlich zur Lösung der umgekehrten Aufgabe ersetzte NEWTON die gegebene Funktion durch eine Potenzreihe, d. h. durch einen Ausdruck der Gestalt a0 + ayx + a^x1 + a2z3 + • • • + an xn + • • •

(1)

mit einer unbegrenzten Zahl von Gliedern. Die Koeffizienten a 0 , a 1 ; a 2 , . . . wählte er so, daß der Ausdruck (1) mit wachsender Zahl der Glieder die Funktion immer genauer darstellt. So ersetzte NEWTON die Funktion

durch den Ausdruck 1 — x + x1 — x 3 + • • • 1+ x + (—l)»x" + ••• und schrieb 2 ) 1

1

= 1 - x + x2 - x H

.

(2)

Der vorliegende Paragraph dient zur Einführung für § 271 und § 272. ' ) Die Entwicklung (2) erhält man, wenn man auf den Bruch

1+ x

die Regel für

die Division eines Polynoms anwendet, das nach wachsenden Potenzen geordnet

23*

356

IV. Differentialrechnung

Wenn \x\ < 1, so bilden die Glieder 1, —x, x2,...

eine abnehmende

unendliche geometrische Folge, und ihre Summe ist gleich -—•—. 1 -{- x Wenn hingegen \x\ 1, so strebt die Summe 1 — x + x2 — x? + • • • + (— l)nxn für ?j —> oo nicht gegen j-q-—. Dieses Verhalten berücksichtigend beschränkte sich N E W T O N stets auf hinreichend kleine Werte von x. Zur Entwicklung einer Funktion in eine unendliche Reihe verwendete N E W T O N stets dasselbe Verfahren. Die Formel

(3)

die früher bereits von PASCAL1) für ganze positive Zahlen m aufgestellt wurde, erweiterte N E W T O N auf Brüche und negative Werte für in. Dann ließ er die Anzahl der Glieder unbeschränkt wachsen. Bei m = —1 erhält man die Formel (2), bei m = —2 ergibt sich2) (l +

*Y

= 1 — 2x + 3z2 — 4x3 H

.

(4)

Zur Bestimmung der Ableitung von -—|— differenzierte N E W T O N 1+ x den Ausdruck (2) gliederweise3). Durch Vergleich mit (4) bewies er, daß

2. D i e TAYLOB-Reihe. Im Jahre 1715 fand TAYLOR4) durch ein kompliziertes und äußerst unstrenges Verfahren die allgemeine Form des Ausdrucks (1) für eine gegebene Funktion j(x). In der heutigen Bezeichnungsweise hat das Ergebnis die Form ZW

(6)

+

ist. Vor NEWTOX wurde die Formel (2) von NIKOLAUS MEROATOR (1665) bei der Berechnung von Logarithmen verwendet (die Ableitung von In (1 + x) ist — - — ^ .

V

.

1 + x)

Bei MERCATOR blieb die Entwicklung in unendliche Reihen aui den einen Fall beschränkt. Bei NEWTON wurde daraus eine allgemeine Methode. *) BLAISE PASCAL (1623 — 1662), bedeutender französischer Philosoph, Mathematiker und Physiker. ! ) I n der Erkenntnis, daß diese Herleitung nicht streng genug ist, erprobte NEWTON das Ergebnis an Beispielen. So multiplizierte er zum Beweis von Formel (4) die Ausdrücke (1 — x 3+ x* — %- + •••) • (1 — x + x* — x3 + •••) und erhielt

1 - Zx + 3x* - 4x + • • •.

") NEWTON wußte nicht, daß die Regel für die Ableitung einer Summe bei unbeschränkter Zahl von Summanden ihre Gültigkeit verlieren kann. Für die Reihe (1) bleibt diese Regel (bei hinreichend kleinen Werten von x) jedoch gültig, weshalb sich kein Fehler ergab. ') BROOK TAYLOR (1685 — 1731) war ein englischer Mathematiker. Er war Schüler von NEWTON.

§ 270. Historische Betrachtungen über die TAYLORSche Formel 357 1

Mit fix) = — — erhält man /C)te) = 1 -f- x

(—nnn\

, \

(1 +

x)n+L

. Also ist /(0) = 1

/(«)(0) und -——- = (—1)", Formel (6) liefert daher den Ausdruck (2). n[

j

Wenn f(x) = ——-——, so erhalten wir die Entwicklung (4). (1 -)- x)

3. D i e H e r l e i t u n g d u r c h M A C L A U B I N . Dreißig J a h r e später gab M A C L A U B I N 1 ) die folgende einfache Herleitung f ü r die T A Y L O B Formel. Er betrachtete die Gleichung f(x) = a 0 + axx +

=

' 2 !

=

+ 1 >

'

'

.

3!

i

(l+l)4'

Formel (4) erhält die Form

Hier liegt f zwischen 0 und a;. Man erkennt, daß die Formel offensichtlich nur für x > —1 gelten kann. In diesem Fall sind die Voraussetzungen des Theorems erfüllt: Die Funktion ——— besitzt im abgeschlossenen Intervall (0, x) alle Ableitungen. ' x Löst man (5) nach f auf, so erhält man £

=

2

= - y r r £ - i .

(6)

Man überzeugt sich leicht, daß für x > — 1 die erste Wurzel reell ist und zwischen 0 und x liegt. Für x rg —1 sind hingegen die Voraussetzungen des Theorems nicht erfüllt, da die Funktion -—•— im Punkt — 1 keine Ableitungen 1 -f~ x besitzt und dieser Punkt im Inneren Jedes Tntervalls (0, x) (für x < — 1) liegt oder einen seiner Endpunkte darstellt (für x — —1). Formel (5) wird ungültig: Für x = — 1 verliert die linke Seite ihren Sinn, für x < — 1 hat Gleichung (5) imaginäre Wurzeln. B e m e r k u n g . Für n = 0 liefert die TAYiOR-Formel (wenn man f(a) für /(°)(71828183-

Berücksichtigung von 15 Gliedern ergibt nur eine Genauigkeit von 0,5 • 10~10 (und nicht 0,5 • 10~16 wie bei der Berechnung von Ve). Wir setzen nun x = — 1. Dann erhält das Polynom (5) die Gestalt 1!

2!

3!

'

n\

und liefert einen Näherungswert für die Zahl e - 1 id. h. —\. Der Fehler e ' R n ist gemäß (7) gleich \ ll n = ( - l ) « + i

(» + 1 ) ! '

Die Zahl | liegt zwischen —1 und 0. Also gilt e- < e°, d. h. ei < 1. Infolgedessen ist |ÄäI


0 . Wenn hingegen die erste nicht verschwindende Ableitung die ungerade Ordnung 2h + 1 besitzt, so hat die Funktion f(x) in x = a kein Extremum. Sie ist zunehmend, wenn / ( 2 t + 1 ) ( « ) > 0 und abnehmend, wenn f{2k+1\a) < 0. B e i s p i e l 2. Man bestimme die Maxima und Minima der Funktion l(x) = sin 3a; — 3 sin x. L ö s u n g . Wir haben

fix)

= 3 cos 3x — 3 cos x.

Als Lösung der Gleichung 3 cos 3x — 3 cos x = 0

erhalten wir

x = k —,

2

wobei h eine beliebige ganze Zahl ist. Da die gegebene Funktion die Periode I n hat, genügt es, wenn man die vier Wurzeln Xi = 0,

n x,-— —,

x2 = n,

2

x,

Zn

2

untersucht. Als zweite Ableitung erhalten wir f"(x) = — 9 s i n 3 : t + S s i n z . Durch Einsetzen der kritischen Werte findet man /"(0) = 0,

f"

= 12,

f w = o,

r

= -12.

Im Punkt x a = — hat die erste nicht verschwindende Ableitung die (gerade) Ord2 ¡n\ n nung zwei, wobei / " I — ] > 0 . Bei x — — haben wir also ein Minimum. Analog 2 W 3* / /3«\ \ schließen wir, daß bei x = ein Maximum vorliegt I da f" I 1 0) ändert. Links von oben, rechts davon konkav nach unten.

j Es sei vorausgesetzt, daß diese in einer Umgebung vom Punkt a existiert.

§ 283. Regel für die Bestimmung eines Wendepunktes

385

i

B e i s p i e l 2. Die Kurve y = x (Abb. 280) ist im Punkt 0 (0;0), in dem y" = 0 gilt, nach oben konkav, da bei Durchgang durch den Punkt x — 0 die Punktion y" = 12a:2 ihr Vorzeichen beibehält.

y

- 2

-1

0 -1

0 Abb. 280

i

i

1

2

.

x

-

Abb. 281

B e i s p i e l 3. Die Kurve y = — z1/» (Abb. 281) hat im Punkt 0 (0; 0), in dem die zweite Ableitung unendlich ist, einen Wendepunkt, da 2 - beim Durchgang durch x = 0 die zweite Ableitung y" = + — x 3 y ihr Vorzeichen von Minus nach Plus ändert. Links von O ist die Kurve konkav nach unten, rechts davon ist sie konkav nach oben.

§ 283. Regel für die Bestimmung eines Wendepunkts Zur Bestimmung aller Wendepunkte einer Kurve y = f(x) muß man alle jene z-Werte untersuchen, für die die zweite Ableitung f"(x) gleich Null oder unendlich wird oder überhaupt nicht existiert (nur in solchen Punkten ist ein Wendepunkt möglich, § 282). Wenn sich beim Durchgang durch einen derartigen Argumentwert das Vorzeichen der zweiten Ableitung ändert, so besitzt die Kurve in diesem Punkt einen Wendepunkt. Wenn sich das Vorzeichen hingegen nicht ändert, so handelt es sich nicht um einen Wendepunkt (§ 282, Pkt. 2). B e i s p i e l 1. Man bestimme die Wendepunkte der Kurve y = 3x4 — 4z 3 . L ö s u n g . Wir haben y" = 36z2 - 24z = 12z(3z - 2). Die zweite Ableitung existiert überall und ist überall endlich. Sie 2 wird Null in den zwei Punkten x = — und x = 0. Wir betrachten d 2 2 / den Punkt a; = — . Wenn x etwas kleiner ist als — [nämlich wenn 3 3

2\

V

0 < x < -g-1, so gilt y"= 25

Wygodski

12 ( + ) ( - ) =

-.

386

IV. Differentialrechnung

Wenn x größer ist als — (im gegebenen Fall kann x Werte anJ \ 2 \ nehmen, die beliebig größer als — sindl, so gilt y " = 12 ( + ) ( + ) = + • 2 Beim Durchgang durch den Punkt x = — ändert die zweite Ab*>

leitung ihr Vorzeichen. Wir haben also in dem entsprechenden Punkt der Kurve (Punkt G in Abb. 279) einen Wendepunkt. Auch für x = 0 ergibt sich ein Wendepunkt (§ 282, Beispiel 1). B e i s p i e l 2. Man bestimme die Wendepunkte der Kurve y = x + 2x4.

Lösung. Wir haben y" = 24x 2 . Die zweite Ableitung ist überall endlich und wird Null nur für x = 0. Beim Durchgang durch x = 0 ändert sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung nicht, es ist überall Plus. Weder hier noch in anderen Punkten gibt es also einen Wendepunkt. Die Kurve ist nach oben konkav (Abb. 282). § 284. Die Asymptoten Der Punkt M bewege sich ausgehend von der Position M0 längs einer Kurve L in einer festgelegten Richtung. Wenn dabei der Abstand MMa (längs einer Geraden gemessen) unbegrenzt zunimmt, so sagt man der Punkt M erdferne sich ins Unendliche. D e f i n i t i o n . Die Gerade AB heißt Asymptote der Kurve L, wenn der Abstand MK (Abb. 283) vom Punkt M der Kurve L zur Geraden AB gegen Null strebt, wenn der Punkt M sich ins Unendliche entfernt.

§ 285. Die Untersuchung von Asymptoten

387

B e m e r k u n g 1. Der Abstand von M zu AB braucht nicht längs der Senkrechten zu AB gemessen zu werden, man kann dazu eine beliebige feste Richtung MK' wählen, da mit MK - » 0 auch MK' gegen 0 geht und umgekehrt.

Abb. 283

Abb. 284

B e m e r k u n g 2. Die in § 74 gegebene Definition für die Asymptoten einer Hyperbel (UTJ' und VV' in Abb. 284) ordnet sich der hier gegebenen allgemeinen Definition unter. B e m e r k u n g 3. Nicht alle Kurven, längs denen sich ein Punkt ins Unendliche entfernen kann, besitzen eine Asymptote. Eine Parabel z. B. oder eine Archimedische Spirale besitzt keine.

§ 285. Die Untersuchung yon Asymptoten, die parallel zu den Koordinatenachsen sind 1. Zur A b s z i s s e n a c h s e p a r a l l e l e A s y m p t o t e n . Zur Untersuchung horizontaler Asymptoten der Kurve y = f(x) bilden wir den Grenzwert von f(x) für x - > + o o oder x —> — oo. y

y

\ 0 Abb. 285

X

0

X

Abb. 286

Wenn lim f(x) — b, so ist die Gerade y = b eine Asymptote (bei X—>oo

Entfernung ins Unendliche nach rechts, Abb. 285). Wenn lim f{x) = 6', so ist die Gerade y = V eine Asymptote (bei — oo Entfernung ins Unendliche nach links, Abb. 286). 25*

388

IV. Differentialrechnung

Wenn f(x) für x -> + 0 0 oder x —> — 00 keinen endlichen Grenzwert besitzt, so besitzt die" Kurve y = fix) auch keine Asymptote, die parallel zur Achse OX verläuft. B e i s p i e l 1. Man bestimme die Asymptoten der Kurve y — 1 + ex, die parallel zur Achse OX verlaufen. Lösung. Für X-9- + 00 hat die Funktion i e x keinen endlichen Grenzwert / lim (1 + ex) = + oo\, für x -»• — 00 strebt sie gegen 1. Die Gierade y = 1 bildet bei Entfernung ins Unendliche nach links daher eine Asymptote (Abb. 287).

B e i s p i e l 2. Man bestimme die horizontalen Asymptoten der Kurve y = arctan x . Lösung. Wir haben lim arctan x =

lim arctan x = — 7t

7t

¿1

¿1

Die Asymptoten sind die Geraden y — — und y =

— (Abb. 288).

2. Zur O r d i n a t e n a c h s e p a r a l l e l e A s y m p t o t e n . Zur Bestimmung der vertikalen Asymptoten einer Kurve y = /(x) muß man jene Werte xlt x2, x 3 , . . . des Arguments aufsuchen, bei denen f(x) einen unendlichen Grenzwert besitzt (einseitig oder zweiseitig). Die Geraden x = x,, CC — 5 »C — ? • • • bilden dann die gesuchten Asymptoten. Wenn j(x) für keinen Wert von x einen unendlichen Grenzwert besitzt, so gibt es keine vertikalen Asymptoten. B e i s p i e l 3. Wir betrachten die Kurve y = \nx (Abb. 289). Die Funktion hat einen rechtsseitigen unendlichen Grenzwert für x-> 0 lim Ina; = —oo\. Die Gerade x = 0 (Ordinatenachse) dient daher x->o

)

bei unendlicher Entfernung nach unten als Asymptote. B e i s p i e l 4. Man bestimme die vertikalen Asymptoten der Kurve 2x

§ 286. Untersuchung der Asymptoten Lösung. Die Funktion

389

— hat für x -*• 2 und x -> —2 jeweils

einen unendlichen Grenzwert. Die Geraden x — 2 und x = — 2 (AB und A'B' in Abb. 290) sind also Asymptoten. Die Gerade AB dient als Asymptote für die beiden Zweige UV und KL. Längs des einen Zweigs erfolgt die Entfernung ins Unendliche nach oben, längs des zweiten nach unten

(

da lim

A

= + oo und

lim

- — oo\.

Analoges gilt für die Gerade A'B'. Wir bemerken, daß die Gerade x = 0 als horizontale Asymptote dient (für die Zweige UV und U' V') (vgl. Pkt. 1).

§ 286. Untersuchung der Asymptoten, die nicht zur Ordinatenachse parallel sind1) Zur Bestimmung der Asymptoten einer Kurve y = f(x), die nicht zur Achse OY parallel sind, muß man vorerst die Grenzwerte von ftx\ lim - für x -> + oo und x -> — oo untersuchen. Wenn in beiden x Fällen kein endlicher Grenzwert vorliegt, so existieren keine derartigen Asymptoten. f(x) Wenn hingegen lim —— = c, so ist anschließend der Grenzwert lim [f(x) — cx] zu prüfen. Ist dieser Grenzwert gleich d, so bildet x-^+oo 1

J Das folgende Verfahren dient insbesondere auch zur Bestimmung von horizontalen Asymptoten, falls solche existieren. Interessieren uns jedoch ausschließlich die horizontalen Asymptoten, so ist das Verfahren aus § 285 einfacher (Pkt. 1). Die vertikalen Asymptoten erhält man durch das folgende Verfahren nicht.

390

IV. Differentialrechnung

die Gerade y — cx + d bei Entfernung ins Unendliche nach rechts eine Asymptote. Analog dazu gilt: Wenn lim f(x) = c' und x-*~oo X lim [f(z) — c'x] = d', so bildet die Gerade y = c'x + d' bei Entfernung ins Unendliche nach links eine Asymptote. Wenn die Größe f(x) — cx oder f(x) — c'x für x -»• + oo bzw. x - > — oo keinen endlichen Grenzwert besitzt, so existieren die entsprechenden Asymptoten nicht. B e i s p i e l 1. Man bestimme die Asymptoten der Hyperbel 9

4

= 1

(1)

L ö s u n g . Gleichung (1) entspricht zwei eindeutigen Funktionen y = y V»» - 9

(2)

und y =

_

y^TTg.

(3)

Abb. 291

Wir betrachten die erste (sie gehört zu den unendlich ausgedehnten Zweigen AN und A'K' in Abb. 291). Wir haben ,• h m

y

¡r-^+oo V *c

=

2

h m

y»2 — 9

" ar-*+oo

2 , , = -«>3 - ( = c ) -

Ferner gilt lim (y - cx) = lim ( A ^

£-»-+oo

a ^ + oo \ "

- 9-

|i)=0(=ii).

"

/

2x Die Gerade y = — ist also die Asymptote des Zweiges AN. o Außerdem haben wir lim -f- = - y

( = C),

lim (y - c'x) = lim (-|- Va:2 - 9 + -f- z) = 0 ( = d')-

§ 287. Konstruktion von grafischen Darstellungen Die Gerade y =

391

2x — ist daher die Asymptote des Zweiges

Auf dieselbe Weise untersucht man die Funktion y =

A'K'.

/ 2

—\x —9 o (sie gehört zu den Zweigen AK und A'N'). Wir finden als Asymptote 25X und als Asymptote für den für den Zweig AK die Gerade y = 2x Zweig A'N' die Gerade y = —. o B e i s p i e l 2. Man bestimme alle Asymptoten der Kurve y= x

ex — e~x ex

ex •

besitzt für keinen Wert von x einen e'-j-e 1 unendlichen Grenzwert. Es gibt also keine zur Achse OY parallelen Asymptoten. Zur Bestimmung der Asymptoten, die nicht parallel zu OY verlaufen, bilden wir vorerst (X e-x 1 — = lim -— j- = 1 ( = c) lim ™ = lim x e + e~x 1 + JP-+ + 00 ^ Die Funktion f(x) = x

und dann lim [f(x) — ex]

2x —2xe-x = — lim lim x = 0(= H-oo ^ + 1 r-*+00 e + — 00, so erhalten wir c' = — 1, d' = 0, d. h., der linke unendliche Zweig hat die Gerade y = —x als Asymptote (Abb. 292).

§ 287. Verfahren zur Konstruktion von grafischen Darstellungen Die grafische Darstellung einer Funktion, die durch die Formel y = f(x) gegeben ist, konstruiert man mit Hilfe von einigen Punkten, die man durch eine glatte Kurve verbindet. Wenn man jedoch diese

IV. Differentialrechnung

392

Punkte nur zufällig auswählt, so kann man dabei grobe Fehler machen. Um die grafische Darstellung mit Hilfe weniger Punkte mit großer Genauigkeit zeichnen zu können, ist es nützlich, wenn man sich vorerst über ihre Besonderheiten Klarheit verschafft. Dazu ist nötig: 1. Man stelle fest, in welchem Bereich die Punktion definiert ist und wo sie Unstetigkeiten besitzt. Bei jeder Unstetigkeitsstelle mit unendlich großem Sprung bestimme man das Vorzeichen von f(x) links und rechts davon. Man erhält dadurch eine vertikale Asymptote für die Darstellung (§ 285). 2. Man bestimme die erste und die zweite Ableitung f'(x) und f"(x) und untersuche, ob es Punkte gibt, in denen f'(x) oder f"(x) nicht existiert. 3. Man bestimme alle Extrema der Punktion f(x) (§ 278 und 279). Man erhält dadurch den höchsten Punkt eines Buckels und den tiefsten Punkt einer Senke. 4. Man bestimme alle Wendepunkte (§ 283) und die Steigung der Tangenten in diesen Punkten. 5. Wenn der zu betrachtende Bereich des Arguments unendlich ist, so stelle man fest, ob horizontale oder geneigte Asymptoten existieren (§ 286). Für die erhaltenen Ergebnisse legt man am besten eine Tabelle an (s. unten). Überträgt man sie in ein Koordinatennetz, so erhält man ein allgemeines Bild vom Verlauf der Funktion. Durch Hinzufügen einiger Zwischenpunkte läßt sich der Verlauf mit hinreichender Genauigkeit anlegen. B e i s p i e l 1. Man zeichne die grafische Darstellung der Funktion 1 ) /(») = y

(* +

> (* -

2 2

1. Die Funktion ist überall definiert und stetig, vertikale Asymptoten existieren nicht. 2. Wir erhalten /'(*) = f"(x)

=

(x -

+ 2) (x -

l)2 ( f a +

1) ( l ( t e 2 +

16a; +

4),

1).

Beide Ableitungen existieren überall und sind endlich. 3. Zur Bestimmung der Extrema lösen wir die Gleichung f'(x) = 0. Wir erhalten die kritischen Werte x1 — — 2 , 1

xz =

—0,8,

x3 =

1.

) Bs wird empfohlen, sich beim Lesen der Beispiele eine Tabelle anzulegen.

§ 287. Konstruktion von grafischen Darstellungen

393

Wir merken uns in der Tabelle diese kritischen Werte u n d die dazu gehörenden Funktionswerte f{Xl) = 0,

fix,) w - 4 , 2 0 ,

f(xa) = 0

vor. I n der Spalte f ü r y' setzen wir eine 0. Zur Untersuchung der E x t r e m a ist es hier bequemer, wenn m a n die zweite Ableitung heranzieht. Wir verschieben diese Untersuchung daher auf P k t . 4. 4. Zur Bestimmung der Wendepunkte lösen wir die Gleichung f"(x) — 0 . Wir finden den schon früher erhaltenen W e r t x3 = 1 und außerdem z 4 = —1,5, z 5 = —0,07. Wir merken uns in der Tabelle diese Werte u n d tragen dort auch die dazu gehörenden Werte der Funktion und der ersten Ableitung ein: f{»t)

= -2,0,

f'(xi)

= - 5,5,

f(xb)

= -2,3,

/'(**,) = 4 , 0 .

F ü r y" merken wir jeweils eine Null. J e t z t bestimmen wir das Vorzeichen von f"(x) vor und nach jedem der Werte X

Nummer des Punktes

X

1 2 3 4 5 6 7 8

-2 -0,8 1 -1,5 -0,07 -2,5 0 1,5

Xg y

y

X

y'

9

y"

0 0 -4,2 0 + 0 0 -0+ -2,0 -5,5 - 0 + -2,3 4,0 + 0 5,4 26 -2 4 5 0,8

X

1

Xg

Extremum Wendepunkt

Bezeichnung des P u n k t e s

Maximum Minimum Wendepunkt Wendepunkt Wendepunkt

A B G D E F L K

und tragen in die entsprechende Spalte der Tabelle das dazu gehörende Zeichen ein. So bedeutet zum Beispiel das Zeichen —0 + in der dritten Zeile der Spalte f ü r y", daß f"(x) beim Durchgang durch x — x3 das Vorzeichen von Minus nach Plus ändert, wenn der Durchgang von links nach rechts erfolgt. Da sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung in jedem der P u n k t e x3, x4, x5 ändert, haben wir in allen drei P u n k t e n einen Wendepunkt. Wir bestimmen n u n das Vorzeichen von f"(x) in den kritischen P u n k t e n xL = —2 u n d x2 = —0,8: / " ( - 2 ) < 0,

/ " ( - 0 , 8 ) > 0.

394

IV. Differentialrechnung

In der ersten Zeile der Spalte für y" setzen wir ein Minuszeichen, in der zweiten ein Pluszeichen. Bei x = xt haben wir ein Maximum, bei x = x2 ein Minimum. V 5. Es gibt weder horizontale noch geneigte Asymptoten, da lim-^- oo. Wir tragen nun die erhaltenen Punkte (A, B, G, D, E in Abb. 293) in ein Koordinatennetz ein und zeichnen die Richtung der Tangenten. Wir fügen noch die drei Punkte x6 = —2,5, r , = 0, xs = 1,5 (F, L, K) hinzu und erhalten eine hinlänglich genaue Darstellung der Funktion. 1 A

y JK i / 2 C

-1 0 -1

x

L

Dl

E|

B F Abb. 293

B e i s p i e l 2. Man konstruiere den Verlauf der Funktion 1 (x y = 2 {x +

l)3 l)2

1. Die Funktion ist überall definiert und stetig außer im Punkt x — —1, in dem sie eine Unendlichkeitsstelle hat. Sowohl links als auch rechts vom Unstetigkeitspunkt ist die Funktion negativ (—oo in der Spalte für y). Wir erhalten die Asymptote x — —1. Beide unendlichen Zweige sind nach unten gerichtet (Abb. 294). 2. Wir erhalten (z + l) 3

'

w

(z+1)4'

Beide Ableitungen existieren überall außer im Unstetigkeitspunkt. 3. Die Gleichung f'(x) = 0 hat die zwei Wurzeln Xi • —5,

Xi¿ = 1 •

§ 287. Konstruktion von grafischen Darstellungen

395

Die entsprechenden Werte für y sind Vi = - 6 , 7 5 ,

= 0.

Aus dem Vorzeichen von f'(x) in der Nähe der kritischen Punkte (s. folgende Tabelle) erkennen wir, daß im Punkt x = —5 ein Maximum vorliegt, während es sich im Punkt x — 1 um kein Extremum handelt.

Q -u

-2

L ,

y

2

B

K

V'

X

-u

T*

c

E

Abb. 294

4. Die Gleichung y"(x) = 0 hat die einzige Wurzel x2= 1. Aus dem Vorzeichen der zweiten Ableitung (s. Tabelle) kann man ersehen, daß hier ein Wendepunkt vorliegt. 5. Wir bestimmen die Neigung der Asymptoten. Sowohl für x - s - + oo als auch für x — oo haben wir

IT = Y' 1 Die Gerade y = — x Nummer des Punktes

X

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -5 1 -9 -3 -0,5 0 3 9

(*-Tx)

laa

=

-T-

5 —- dient also als Asymptote für beide Zweige.

y

y'

— oo -6,75 + 0 0 +0+ -7,81 -8,00 -6,75 —0,50 0,25 2,56

y"

-o+

Extremum Wendepunkt Bezeichnung Unstetigkeit der Punkte Unstetigkeit Maximum Minimum

A> B

G D E F K L

396

IV. Differentialrechnung § 288. Lösung von Gleichungen. Allgemeine Bemerkungen

Algebraische Gleichungen ersten und zweiten Grades löst man mit Hilfe von Formeln, die in der Algebra gefunden wurden. Für Gleichungen dritten und vierten Grades gibt es noch sehr komplizierte Formeln. Die allgemeine Gleichung fünften oder höheren Grades läßt sich dagegen nicht mehr mit Hilfe von Wurzeln lösen. Sowohl algebraische als auch nicht-algebraische Gleichungen kann man jedoch mit der erforderlichen Genauigkeit lösen, wenn man vorerst eine grobe Näherung für die Lösung bestimmt. Diese Näherung verbessert man dann schrittweise. Eine grobe Näherung findet man grafisch nach einer der folgenden Methoden. E r s t e Methode. Zur Lösung der Gleichung f(x) = 0 zeichen wir die Kurve y = f(x) (s. § 287) und bestimmen die Abszissen aller Punkte, in denen die Kurve die Achse OX schneidet.

B e i s p i e l 1. Man löse die Gleichung xi — 9x2 + 24z — 18 = 0. Wir zeichnen (Abb. 295) den Verlauf von y = 3? — 9x2 4- 24a; — 18 und finden die Abszissen x1 = 1,3, x2 = 3, x3 = 4,7. Durch Einsetzen zeigt sich, daß die zweite Wurzel genau ist, die erste und dritte sind Näherungswerte. Zweite Methode. Die Gleichung f(x) = 0 kann man in der Form f^x) = f2(x) darstellen, wobei eine der Funktionen fx(x) oder /2(x) willkürlich gewählt werden kann. Man trifft die Wahl so, daß die Kurven der Funktionen y = ft(x) und y = f2(x) leicht zu zeichnen sind. Wir suchen die Schnittpunkte der beiden Kurven. Durch Ablesen der Abszissen in diesen Schnittpunkten erhalten wir Näherungswerte für die Wurzeln der Gleichung f(x) = 0 . B e i s p i e l 2. Man löse die Gleichung 3a; — cos x — 1 = 0. Wir stellen die gegebene Gleichung in der Form 3a; — 1 = cos x

§ 289. Die Lösung von Gleichungen. Die Sehnenmethode

397

dar und zeichnen die Kurven (Abb. 296) der Punktionen y = 3x — 1 und y = cos x. Sie schneiden sich in einem Punkt. Wir lesen dessen Abszisse ab und finden als Näherungswert für die Wurzel xx — 0,6. In § 289—291 werden drei verschiedene Verfahren zur Verbesserung von Näherungswerten angegeben. Sie erfordern, daß die gesuchte Wurzel x isoliert liegt, d. h., daß ein gewisses Intervall (et, b) existiert, das außer x keine weitere Wurzel enthält. Die Enden a und b sind selbst Näherungswerte für die Wurzel. Man findet sie grafisch nach einer der vorangehenden Methoden. Je kleiner das Intervall (a, b) ist, um so besser.

§ 289. Die Lösung von Gleichungen. Die Sehnenmethode (Regula falsi) Die Funktion f(x) habe an den Enden des Intervalls (a, b) entgegengesetztes Vorzeichen (Abb. 297). Wenn dabei f'(x) im Intervall (a, b) das Vorzeichen beibehält 1 ), so liegt im Inneren des Intervalls eine einzige Wurzel x der Gleichung f(x) = 0 (wenn f'{x) das Vorzeichen wechselt, so gibt es ebenfalls Wurzeln, gegebenenfalls jedoch mehrere). Als erste Näherung für die Wurzel x nehmen wir den Punkt x = xlt in dem die Sehne AB (Abb. 298) die Achse OX schneidet:

oder was dasselbe ist2), (6-«)/(6) (2) ^ /(fe) - /(«) • Wir berechnen nun f(xj) und nehmen jenes Intervall (a, xx) oder («!, &), an dessen Enden f(x) entgegengesetztes Vorzeichen hat (Inter-

') Dann verläuft im Bereich AS die Kurve entweder überall nach oben oder überall nach unten. 0 y(j\ _ In symmetrischer Form erhält man x1 = - f i - i . Die Formeln (1) oder (2) 7(0) - /(«) sind jedoch für die Auswertung bequemer.

398

IV. Differentialrechnung

vall (xv 6) in Abb. 298). Die gesuchte Wurzel liegt in diesem Intervall. Durch Anwendung einer zu (1) analogen Formel erhalten wir einen zweiten Näherungswert x2. Setzt man das Verfahren auf diese Weise fort, so findet man eine Folge xx, x2,..., x„,..., deren Grenzwert die gesuchte Wurzel x ist. Den Grad der Näherung kann man in der Praxis auf die folgende Weise erkennen. Es sei eine Genauigkeit von 0,01 gefordert. Dann brechen wir bei jener Näherung xn ab, die sich von der vorhergehenden um weniger als 0,01 unterscheidet. Übrigens ist nicht ausgeschlossen (obwohl die Wahrscheinlichkeit dafür gering ist), daß sich die Genauigkeit als nicht hinreichend erweist. Die Garantie ist jedoch vollständig, wenn das Vorzeichen von f(xn) und f(x„ ± 0.01) entgegengesetzt sind. B e i s p i e l . Die Funktion f(x) — x3 — 2x2 — 4x — 7 hat an den Enden des Intervalls (3, 4) entgegengesetztes Vorzeichen: /(3) = - 1 0 < 0,

/(4) = 9 > 0.

Die Ableitung f'(x) = 3x2 — 4a; — 4 ist im Intervall (3, 4) stets positiv. Im Inneren dieses Intervalls liegt also genau eine Wurzel der Gleichung 3? — 2x2 — Ax — 7 = 0. Wir bestimmen diese mit einer Genauigkeit von 0,01. Formel (1) liefert 1 • (-10) o ,.10-353 -3+-19 ~ 9 - ( - 1 0 ) Jetzt berechnen wir /(3,53) —2,05. Unter den Intervallen (3; 3,53) und (3,53; 4) wählen wir das zweite, da an seinen Enden die Vorzeichen von f(x) verschieden sind. Wir erhalten die zweite Näherung 0,47-/(3,63) _ , Q g o , 0,47-2,05 = = 3 ' 5 3 - /(4)-/(3,53) ~ 3 ' 5 3 + 11,05 Der Wert /(3,62) = - 0 , 2 4

3 62

'

"

ist negativ, wir wählen daher das Intervall (3,62; 4) und erhalten ,3 und

=

3,62

+

M|_^i

=

3,63

/(3,63) = - 0 , 0 4 .

Dem Verlauf der Rechnung entsprechend muß man erwarten, daß sich xi von xs um weniger als 0,01 unterscheiden wird und daher x3 den gesuchten Näherungswert liefert. Zur Sicherheit berechnen wir noch /(3,64) und erhalten /(3,64) = 0,17.

§ 290. Lösung von Gleichungen. Tangentenmethode

399

Die Vorzeichen von /(3,63) und /(3,64) sind entgegengesetzt, xa ist also der gesuchte Näherungswert. B e m e r k u n g . Das Sehnenverfahren ist wie die folgenden Näherungsverfahren fehlerbehaftet. Der Fehler wird jedoch bei der Berechnung des Intervalls für den folgenden Schritt automatisch verbessert. Man muß jedoch dabei mit der entsprechenden Sorgfalt vorgehen. Zur Vermeidung von Rundungsfehlern behält man am besten die letzte Stelle bei.

§ 290. Die Lösung von Gleichungen. Die Tangentenmethode Die Funktion f(x) habe an den Enden des Intervalls (a, b) entgegengesetztes Vorzeichen (Abb. 299 und 300). Das Vorzeichen der Ableitungen f'(x) und f"(x) ändere sich nicht in (a, 6)1). Wir wollen die im Intervall (a, b) liegende Wurzel x bestimmen (§ 289).

An dem Ende des Intervalls, in dem die Vorzeichen von f(x) und f"(x) gleich sind 2 ), ziehen wir die Tangente (BK in Abb. 299 und AL in Abb. 300). Als erste Näherung für die gesuchte Wurzel nehmen wir den Punkt x = x / 3 ) , in dem die Tangente die Achse OX schneidet. Nimmt man die Tangente im Punkt 6, so gilt 0) nimmt man sie im Punkt a, so gilt

') Das heißt, im Bereich AB verläuft die Kurve stets nach oben oder stets nach unten, und die Kurve ist entweder überall nach oben oder überall nach unten konkav. ') Das heißt oben, wenn AB nach oben konkav ist, und unten, wenn AB nach unten konkav ist. *) Die Bezeichnungen z / , x,',... unterscheiden die Näherungswerte von den Näherungswerten bei der Sehnenmethode.

400

IV. Differentialrechnung

In beiden Fällen berechnet man die zweite Näherung nach der Formel

_,

_,

f M ' f ' M '

(3)

Durch Fortsetzen des Verfahrens erhalten wir eine Folge x{, x2', x3', . . . (Abb. 301), die die gesuchte Wurzel x als Grenzwert besitzt. Den Grad der Näherung bestimmt man genau so wie bei der Sehnenmethode. y

4 i\ b

v X

1 * 1 X

xj s.

\

B Abb. 301

B e m e r k u n g 1. Würde man die Tangente in einem Endpunkt des Intervalls ziehen, in dem f(x) und f"(x) verschiedenes Vorzeichen haben, so könnte xt' außerhalb von (a, b) zu liegen kommen, und man würde die Näherung verschlechtern (Abb. 302 a). B e m e r k u n g 2. Wenn das Vorzeichen von f"(x) im Intervall (a, b) nicht gleich bleibt, so kann die Tangente in beiden Endpunkten die Achse OX außerhalb von (a, b) schneiden (Abb. 302b).

B e i s p i e l . Man bestimme eine Wurzel der Gleichung f(x) = x3 -

2a;2 - 4x - 7 = 0

mit einer Genauigkeit von 0,01. Die Wurzel soll im Intervall (3; 4) liegen (s. Beispiel in § 289). L ö s u n g . Wir haben A3) = - 1 0 ; f(4) = 9; f'(x) = 3x2 -

ix -

4;

f"(x)

= 6x — 4 .

§ 291. Kombination der Sehnen- mit der Tangentenmethode

401

Beide Ableitungen bleiben im Intervall (3; 4) positiv. Wir nehmen daher jenes Ende des Intervalls, in dem f(x) > 0 ist, d. h., wir wählen das Ende 6 = 4. Nach Formel (1) erhalten wir als erste Näherung Ferner gilt /(3,68) = 1,03,

/'(3,68) = 21,9,

und nach Formel (3) erhalten wir als zweite Näherung (etwas zu groß) x2' = 3,68 - ^ I H

= 3,68 - 0,047 = 3,633.

Die folgenden Näherungen werden immer kleiner und kleiner, wobei man aus dem Verlauf der Rechnung ersehen kann, daß eine weitere Verbesserung der Wurzel die zweite Stelle nach dem Komma nicht mehr beeinflußt. Wir berechnen daher nur /(3,633) und /(3,630): /(3,633) = 0,020,

/(3,630) = - 0 , 0 4 2 ,

Also gilt (mit einer Genauigkeit, die zweimal so groß wie die geforderte ist) x = 3,63. B e m e r k u n g . Die Tangentenmethode wird auch Näherungsverfahren von N E W T O N genannt.

§ 291. Kombination der Sehnenmethode mit der Tangentenmethode Wenn die Bedingungen aus § 290 erfüllt sind, so streben die Näherungen xn (nach der Sehnenmethode) und die Näherungen xn (nach der Tangentenmethode) von verschiedenen Seiten gegen die Wurzel x,

die ersten von der konkaven Seite her, die zweiten von der konvexen Seite her, s. Abb. 303. Eine gleichzeitige Anwendung beider Methoden liefert eine etwas zu große und eine etwas zu kleine Näherung, wodurch sich der Genauigkeitsgrad unmittelbar abschätzen läßt. 26 Wygodski

402

IV. Differentialrechnung

Es sei a jenes Intervallende, in dem die Vorzeichen von f(x) und f"(x) gleich sind. Dann erhalten wir nach Formel (1) aus § 289 und nach Formel (2) aus § 290 1 ): 1

m - m , '

/»"

1

( )

Die gesuchte Wurzel liegt zwischen x1 und x{. Dabei hat ) dasselbe Vorzeichen wie / " ( » / ) (s. Abb. 303). Infolgedessen können wir nochmals Formel (1) des vorliegenden Paragraphen anwenden, in dem wir a durch xt' und 6 durch xx ersetzen. Wir erhalten die zweite Näherung {*! ~ Zl') K*i)-fM

—

> —-

xo X

>_

xXt

fW) '

f M f'M'

^ __ len wir t tauschen dabei nur x1 und x/ mit x2 und x2'- Durch Fortsetzung des Verfahrens erhalten wir x mit der gewünschten Genauigkeit.

Abb. 304

B e i s p i e l . Man löse die Gleichung 2X = 4x. Dem zweiten Verfahren aus § 288 folgend zeichnen wir die grafischen Darstellungen der Funktionen y = 2X und y — 4a; (Abb. 304). Neben dem P u n k t A, der die exakte Wurzel x = 4 liefert, erhalten wir nur einen Schnittpunkt B. Seine Abszisse x liegt zwischen a = 0 und 6 = 0,5. *) Wenn j(x) und t"{x) in b dasselbe Vorzeichen haben, so verwende man die Formel

Hb)

§ 291. Kombination der Sehnen- mit der Tangentenmethode

403

Wir wollen x mit einer Genauigkeit von 0,0001 berechnen. Es gilt f{x) = 2® -

4x,

f'(x) = 2* In 2 -

/(0) = 1,

4,

f"{x)

= 2* In 2 ,

/(0,5) = - 0 , 5 8 6 .

Die erste Ableitung ist im Intervall (0; 0,5) stets negativ 1 ), die zweite Ableitung ist stets positiv. Zur Berechnung von xt' muß man a — 0 wählen, da dort die Vorzeichen von f(x) und f"(x) gleich sind. Wir finden (etwas ZU groß), 1 1 s - - a _ M - _ - _ „ o 302 ~ ° f'(a) ~ In 2 - 4 ~ 0,69315 - 4 ~ Xl

(etwas zu klein). Mit Hilfe einer fünfstelligen Logarithmentafel erhalten wir /(0.302) = 0,0249, /(0,316) =

/'(0,302) =

-3,14544,

-0,0191.

Dies gibt die zweite Näherung

**=°>302 - m;Z'-KoS>2} = °'302 +°'°°79=°'30"

(etwas zu groß),

* , ' = 0,302 - ¡ ^ l l l ^ = 0,302 + 0,0079 = 0,3099 (etwas zu klein). Die gesuchte Wurzel x liegt im Intervall (x2', x2). Daher gilt x = 0,3099, wobei die Genauigkeit mindestens 0,5 • 10 - 4 beträgt. In Wirklichkeit ist die Genauigkeit noch größer (bei Verwendung von siebenstelligen Logarithmentafeln erhält man als Grenzen für x für xt und xL' die Werte 0,30990 und 0,30991). ') Aus Abb. 304 ist ersichtlich, daß im Intervall (0; 0,5) die Steigung von y = 2» stets kleiner ist als die Steigung von y = ix.

26*

V. Integralrechnung § 292. Einführende Bemerkungen 1. H i s t o r i s c h e B e t r a c h t u n g e n . Die Integralrechnung entstand aus dem Bestreben, eine allgemeine Methode zur Bestimmung von Flächeninhalten, Volumina und Schwerpunkten zu gewinnen. I n ihrer ursprünglichsten Form wurde diese Methode bereits von A R C H I M E D E S angewandt. Eine systematische Entwicklung erfuhr sie im 17. J a h r h u n d e r t durch die Arbeiten von C A V A L I E R I 1 ) , T O R R I C E L L I 1 ) , F E R M A T , P A S C A L u n d anderen Gelehrten. 1659 f a n d B A R R O W 2 ) die Beziehung zwischen dem Problem der Bestimmung eines Flächeninhalts und dem Problem der Bestimmung einer Tangente. I n den 70er J a h r e n des 17. J a h r h u n d e r t s gaben N E W T O N und L E I B N I Z dieser Beziehung eine abstrakte Form ohne Bezugnahme auf ein geometrisches Problem. Sie fanden dadurch die Beziehung zwischen der Differentialrechnung u n d der Integralrechnung (s. weiter unten P k t . 3). Diese Beziehung wurde von N E W T O N , L E I B N I Z und ihren Schülern zur Entwicklung der Technik der Integralrechnung verwendet. Ihre heutige Form verdanken die Integrationsmethoden vor allem d e n A r b e i t e n v o n L . ETILER. D i e A r b e i t e n v o n M . W . OSTROGRADSKI3),

P . L . TSCHEBYSCHEFF4) u n d B . RIEMANN 5 ) v o l l e n d e t e n d i e E n t w i c k -

lung dieser Methoden. 2. D e r I n t e g r a l b e g r i f f . Eine K u r v e MN (Abb. 305) sei durch die Gleichung V = /te)

gegeben, und es sei der Flächeninhalt des „krummlinigen Trapezes" aABz zu bestimmen. Wir unterteilen die Strecke ab in n Teile b (die gleich lang sein können oder nicht) und konstruieren die Treppenfigur, die in Abb. 305 strichliert wurde. I h r Flächeninhalt ist gleich Fn = Stotel - «) + 2/itea —

H

h Vn-i(b ~ xn-1)-

(!)

') BONAVENTURA CAVALIERI (1591 — 1647) und. EVANGELISTA TORRICELLI (1608 bis 1647) waren italienische Gelehrte, Schüler von GALILEI. ) ISAAK BARROW (1630 —1677) war ein englischer Mathematiker, ein Lehrer von NEWTON. 3 ) MICHAIL WASSILJEWITSCH OSTROGRADSKI ( 1 8 0 1 - 1 8 6 1 ) war ein russischer Mathematiker. *) PAFNUTI LEVOWITSCH TSCHEBYSCHEFF (1821 — 1894) war ein bedeutender russischer Mathematiker, der in vielen wissenschaftlichen Bereichen neue Wege gewiesen hat. 6 ) BERNHARD RIEMANN (1826—1866) war ein deutscher Mathematiker. 2

§ 292. Einführende Bemerkungen

405

Mit den Bezeichnungen xx — a = dxQ,

x.l — xl =

...

6 — xn_1

=

(2)

erhält Formel (1) die Form •i'« = 2/o (z)] ! ) .; ^

= A In |x - a\ + G.

(1)w

(2)

2. Minfache Brüche vom zweiten Typ integriert man im Falle n = 1 »reii Hilfe der Transformation z

die den Nenner x2+px

+ z* +

auf die Form

q = k>

= *+f-> (

x + 2

\2 l - J +q-

[* =

?

[JLj

- ( f ) ] \2

bringt. B e i s p i e l 1.

¡rHr** [»—•.—..•-(fr-•]• Wir setzen

a; — 4 = « und bringen das Integral auf die Form

J

r 3z + 7 , F + Ï *

= V ?+» + 7J „Tz

dz

r

dz «2 + 9

= i - In (z* + 9) + y arctan t - + G. Nach Übergang zum Argument x erhalten wir

/

Qr 2

K

x — 8x + 25

=

Q

7 „ 4. In (x3 - 8x +1 25) + 4" arctan + C. 2 ^ • ' 3 3

§ 306. Die Integration von Partialbrüchen

427

3. Einen einfachen Bruch vom zweiten Typ integriert man im Falle n > 1 mit Hilfe derselben Transformation

. „ ,' —— dx über in (x2 + px + q)« f

MZ+L

J -p + W

Mz dz Den ersten Summanden J ^ fLZ Hilfsfunkt'ionT+"UT"" J ^ +

/

Mzdz (z2 + fc2)»

M 2 (n -

{

)

integriert man direkt mit der 1 1) (z2 + i 2 )T R +

(4)

dz

/

tz—.—integriert man mit Hilfe 6 (z2 + fc2)n einer trigonometrischen Transformation (§ 303, Beispiel 2) oder mit Hilfe der dz Rekursionsformel 1 ) 2 (z + ic2)n

f

1 2(n -

(5)

1) P L(22 + ¿2)'

(man beweist diese durch Differentiation). Die Formel führt das dz e ' n I n t e g r a l vom selben Typ zurück. Der / (2 Exponent n im Nenner ist jedoch um 1 kleiner geworden. Setzt man dieses Verfahren fort, so gelangt man schließlich zum Integral 1 z i i n

/* + ¥ = T

tj

.

f

10

arctan

T

+

(Sx-2)dx

Mit a; — 1 = z erhält das Integral die Form f 3z + 1 J W+W

j

_ o f J

zdz

, C

3 1 z 3 z 3 4(z2 + 2)2 ' 8 (z2 + 2)2 ' 32z 2 + 2 ' 32

3z3 + 10z - 24 , 3 ^ = 32(z2 + 2)2 + sTW ^

z W

z V2

, _ +

Nach Rückkehr zur Variablen x ergibt sich

I

(3z - 2) dx 3 (x2 - 2 x + 3) 3a;3 — 9a;2 + 19a; — 37 3 32(a;2 — 2a; + 3)2 + ¡ ^ f

arcUn

® —1 , „ + '

§ 307. Die Integration rationaler Funktionen (allgemeine Methode) Rationale Funktionen integriert man nach einer allgemeinen Methode auf die folgende Art: 1. Von der gegebenen Funktion spaltet man den ganzen rationalen Teil ab. Dieser kann unmittelbar integriert werden (§ 305, Beispiel 1). 2. Den Nenner des verbleibenden echten Bruchs zerlegt man in reelle Faktoren vom Typ x — a und x2 + px + q, wobei die Faktoren

429

§ 307. Die Integration rationaler Funktionen

vom zweiten Typ nicht mehr in reelle Faktoren ersten Grades zerfallen sollen1). Die Zerlegung hat die Form aax» + a^n-1 -j 1- an = a0(x — a) (x — b) • • • (x2 + px + q) (x2 + rx + s) ... (1) Eine derartige Zerlegung existiert immer 2 ). Sie ist sogar eindeutig. 3. Den Zähler des echten Bruchs versuchen wir der Reihe nach durch jeden einzelnen Faktor des Nenners zu dividieren. Wenn eine Division ohne Rest möglich ist, kürzen wir den Bruch durch den entsprechenden Faktor (§ 305, Beispiel 4). 4. Den erhaltenen Bruch zerlegen wir in eine Summe einfacher Brüche und integrieren die einzelnen Summanden getrennt (§ 306). B e m e r k u n g 1. Jeder echte Bruch läßt sich auf genau eine Art in eine Summe von einfachen Brüchen zerlegen. Das entsprechende Verfahren wird unten erklärt. Zum besseren Verständnis betrachten wir vier Fälle, die alle Möglichkeiten ausschöpfen. Fall 1. In der Zerlegung des Nenners erscheinen nur Faktoren ersten Grades und keiner davon zweimal. In diesem Fall zerlegt man den Bruch in einfache Brüche gemäß der Formel

m

a0(x — a) (x — b) ... (x — l)

=

x —a

,

x —b

+

... +

x — l'

(2 )

Die Konstanten A, B,..., L findet man (nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten) auf die folgende Weise. a) Wir multiplizieren die Gleichung (2) mit dem Nenner der linken Seite. b) Wir setzen die Koeffizienten der einzelnen Potenzen von x auf der linken und rechten Gleiehungsseite gleich (es kann vorkommen, daß auf der linken Seite kein entsprechendes Glied auftritt, dann fügen wir dieses mit dem Koeffizienten 0 hinzu). Wir erhalten zur Bestimmung der Koeffizienten A, B, ..., L ein lineares Gleichungssystem. c) Wir lösen dieses System (es besitzt stets eine eindeutige Lösung). 1X g

/

—£ — dx. 3 CC "j" X — UtD L ö s u n g . Der gegebene Bruch ist echt. Wir zerlegen den Nenner in die Faktoren (3) x 3 + x2 - 6x = x(x — 2) (x + 3). Der Zähler enthält keinen dieser Faktoren. Der Bruch läßt sich daher nicht kürzen. Alle Faktoren sind vom ersten Grad, keiner davon kommt zweimal vor. J

) Wenn man einen Faktor z* + px + q erhält, der in zwei reelle Faktoren x — m und x — n zertällt, so nimmt man an seiner Stelle diese beiden Faktoren. ) In einfachen Fällen gewinnt man sie durch eine Umgruppierung der Glieder oder durch andere in der Algebra bekannte Methoden. Über den allgemeinen Fall ' s. §308. a

430

V. Integralrechnung

Gemäß Formel (2) haben wir Ix - 5 x(x-2)(x + 3)

=

A x

_B_ « —2

_C_ a; + 3"

(>

Zur Bestimmung der Konstanten A, B, G befreien wir die Gleichung von Brüchen. Wir erhalten oder

Ix - 5 = A(x - 2) (x + 3) + B(x + 3) a; + C (x - 2) a; (5) 7a; - 5 = (A + B + G) x* + (A + 3B - 2C) x - 6A.

Wir setzen die Koeffizienten gleicher linken Seite fügen wir das Glied 0 System A + B + C A + 3B-2C - 6A

Potenzen von x gleich. (Auf der • 'J? hinzu.) Es ergibt sich das = = =

Seine Lösung lautet Ä

(6)

1:1 C

= T>

7, J-

(7)

= -S'

und aus (4) erhalten wir die folgende Zerlegung des gegebenen Bruchs: 9 1 Ix-5 _ JL + x(x — 2) {x + 3) 6 a; ' 10 a; — 2

26 1 15 x + 3'

Durch gliedweise Integration ergibt sich das gesuchte Integral 7~ K K Q Oß ; dx = £ In 1\»\ +1 ^ In I« - 2| - ^ In \x + 3 | + C. 2 a? + x — 6a; 6 ' 10 ' ' 15

/

B e m e r k u n g 2. Die Konstanten A, B, G kann man auch so bestimmen: Wir nehmen drei beliebige Werte von x und setzen sie in (5) ein. Wir erhalten dadurch ein System von drei Gleichungen, aus dem sich neuerlich die Werte (8) berechnen lassen. Diese Bemerkung gilt auch für die Fälle 2, 3 und 4. Aber die unter Fall 1 angegebene Methode kann man noch vereinfachen, wenn man jene Werte von x nimmt, für die die Nenner der einfachen Brüche Null werden. Im gegebenen Beispiel sind die Werte x = 0, x = 2, x = — 3. Wir erhalten so das System — 5 = —6A, 9 = 10B, —26 = 15(7, aus dem man wieder A, B und C bestimmt. Fall 2. In der Zerlegung des Nenners treten nur Faktoren ersten Grades auf, aber einige davon kommen mehrmals vor. Der Faktor x — a trete ¿-mal auf. Die k gleichartigen Glieder in (2) muß man dann ersetzen durch eine Summe von einfachen Brüchen der Gestalt A « (x - af

T

|

-1 (x - a)"-1

T

|

l Äi ^ x-a

/o\ K)

§ 307. Die Integration rationaler Funktionen

431

Analoges gilt für die übrigen mehrmals auftretenden Faktoren. Die einfachen Brüche, die zu den nur einmal auftretenden Faktoren gehören, bleiben unverändert. Die in die Zerlegung eingehenden Konstanten bestimmt man wie unter Fall 1. B e i s p i e l 2. Man bestimme

(x3 + 1) dx 3z3 + Sx2 — x

j

L ö s u n g . Die Zerlegung des Nenners lautet z4 — 3z3 + 3x2 — x = x(x — l)3. Alle Faktoren sind vom ersten Grad. Der Faktor x tritt nur einmal auf, der Faktor x — 1 jedoch dreimal. Dem einmaligen Faktor entspricht wie unter Fall 1 ein einfacher Bruch der Form — , dem dreifachen Faktor x — 1 entspricht die Summe aus drei einfachen Brüchen B C D 2 TZ— l)7TS (x — l)3 +1 (x '+ X- 1' Die Zerlegung des gegebenen Bruchs lautet daher s3 + 1 x(x - l)3

= —

A x

+

B (x - l)3

G (x - l)2

+

+

D x - 1"

Wir multiplizieren beide Seiten mit x(x — l) 3 und erhalten oder

s 3 + 1 = A(x - l) 3 + Bx + Cx(x - 1) + Dx{x - l) 2 3

3

z + 1 = (A + D) x + (-3A + (3A+B-G

(10)

2

+ G - 2D) z

+ D)x-A.

(11)

Durch Vergleich der Koeffizienten der Potenzen von x erhalten wir A + D= -3A + C - 2D = 3A+B-G + D = -A =

1, 0, 0, 1.

(12)

Die Lösung dieses Systems lautet A = -l,

B = 2,

C = 1,

D = 2.

Der gegebene Bruch besitzt somit die Zerlegung x3 + 1 x(x — l)3

x

2 ' (x - l)3

1

1 (x — l)2

_2_

432

V. Integralrechnung

Durch gliedweise Integration finden wir (x3 + 1) dx 1 x — 3a;3 + 3a;2 — x

I

= -ln'*l

- JZTI + 2 1 n

(x -1Y Andere V a r i a n t e . Setzt man in (10) zuerst x = 0 und dann x = 1 (s. Bemerkung 2), so erhält man sogleich A = — 1, B = 2. Wählt man in (10) noch etwa zwei Werte, etwa x = 2 und x = — 1, und berücksichtigt man die gefundenen Werte für A und B, so ergibt sich das System 20 + 22) = 6, 2C — 4D = — 6, aus dem man ( 7 = 1 und D = 2 findet. Dieses Verfahren ist meist dann bequem, wenn in der Zerlegung des Nenners viele einfache Faktoren auftreten und die Vielfachheit der mehrfachen Faktoren klein ist. Fall 3. In der Zerlegung des Nenners treten Faktoren zweiten Grades auf (die nicht die reelle Faktoren ersten Grades zerfallen), aber keiner davon tritt mehrfach auf. In der Zerlegung des Bruches entspricht dann jedem Faktor x2 + px Mx -4- N + q ein einfacher Bruch — vom Typ II. Den Faktoren Jr x2 + px + q ersten Grades (falls solche vorhanden sind) entsprechen einfache Brüche vom Typ I. 9 dx ) •Beispiel D • • i 3. o T IT x. xC7:*2 +—2 6 a ; - —^—-. Man bestimme /C — 3 J % + 4a: + 4a;2 — 9 Lösung. Wir zerlegen den Nenner in die Faktoren _ 9 = (3.2 _ 2a;)2 + 32 = (3.2 + 2x + 3) (a;2 + 2x — 3). xi _)_ 4xa + Es ergeben sich zwei Faktoren der Form x2 px + q, aber nur der erste zerfällt nicht in zwei reelle Faktoren ersten Grades: [?-(f-)2=3-l

2

= 2>0].

2

= - 4 < 0 ]

Der zweite hingegen [ ? - ( f )

2

= - 3 - l

zerfällt in a;2 + 2a; — 3 = (x — 1) (x + 3). Die Zerlegung des Bruches hat daher die Gestalt . 7a;2 + 26z - 9 (x2 + 2a; + 3) (x - 1) {x + 3)

A +'D Z B+I 53 +' a;2Cx x - 1 +' a: + 2a; + 3' (13)

§ 307. Die Integration rationaler Funktionen

433

Wir befreien die Gleichung von Brüchen und erhalten 7x2 + 26z - 9 = (a;2 + 2x + 3) \_A(x + 3) + B{x - 1)] + (Cx + D){x-l)(x

+ 3).

(14)

Durch Vergleich der Koeffizienten der einzelnen Potenzen von x ergibt sich A + B + C= 0/ 5A + B + 2C + D = 7, (15) 9A + B - 30 + 2D = 26, 9A-3B-3D= -9.. Die Lösung des Systems (15) lautet A = 1, B = 1, 0 = —2, Z> = 5, und somit gilt 7a:2 + 26a; — 9 _ 1 , 1 —2a; + 5 (a;2 + 2x + 3) (x - 1) (x + 3) a; — 1 1 x + 3 ' a;2 + 2a; + 3' Durch Integration (s. § 306, Fall 2) findet man

I

' (7a;2 + 26a; - 9) dx = ln|x — 1| + In \x + 3| x i + 4a? + 4a;2 — 9 - In (a;2 + 2a; + 3) + 4= arctan ^ J - + Ì2 V2 : In

c

s 2 + 2a; - 3 ,7 x + 1 H—— arctan — = —|- C. a;2 + 2a; + 3 fä V2

A n d e r e V a r i a n t e . Zur Bestimmung von A und B setzen wir in (14) zuerst x — 1 und dann x = —3 (s. Bemerkung 2). Wir erhalten die einfachen Gleichungen 24 = 24.4 —24 = —24S und somit A = 1,

5 = 1.

Mit x = 0 ergibt sich aus (14) — 9 = 9A — 3B — 3D also D = 5. Setzt man x = — 1, so ergibt sich 0 = —2. Fall 4. In der Zerlegung des Nenners treten Faktoren zweiten Grades auf (die nicht in reelle Faktoren ersten Grades zerfallen), und einige davon kommen mehrfach vor. In der Zerlegung des Bruches entspricht dann einem fc-fachen Faktor a;2 + px + q eine Summe von einfachen Brüchen der Form Mtx + Nt

(x2 + px + q)*

Mk _lX

+ Nu-!

(x2 + px + q)*- 1

(3a; + 5) dx B e i s p i e l 4. Man bestimme J" 5 x + 2x3 + x' 28 Wygodski

M,x + N±

a;2 + px + q

K

'

434

V. Integralrechnung

Lösung. Wir zerlegen den Nenner in die Paktoren x5 + 2x3 + x = x(xi + 2a;2 + 1) = x(x2 + l) 2 . Der Faktor x2 -f 1 zerfällt nicht in reelle Faktoren ersten Grades. Er tritt zweifach auf. Die Zerlegung des Bruchs hat daher die Gestalt 3x + 5 x{x2

+

A , Bx + C

l)2

(x2 +

X

Dx + E

l)2

X2 +

1 '

Wir befreien die Gleichung von Brüchen und erhalten 3x + 5 = A(x2 + l) 2 + (Bx + C) x + (Dx + E) x{x2 + 1). Durch Vergleich der Koeffizienten der Potenzen von x findet man = 0,

A+D

E = 0,

2A+B

C + E = 3,

+ D = 0,

A + E = 5.

Die Lösung des Systems lautet A = 5,

B = - 5,

D — —5,

C = 3,

E = 0.

Damit gilt r (3a; (3x + 5) dx _ J X

2

+

2X3

+

X

~

rf ((—5x - 5 a ++ 3) 3) dx dx _ f r

rdxdx C J

5

X

+

J

(X*

+

1)2

5

J

xdx x2 + 1

Das mittlere Integral berechnen wir auf die in § 306 erklärte Weise (Fall 2) und finden 5 3a; r (3a: + 5) dx _ . , . , , [ " r 11 ^ [2(x2 + 1) ^ 2(x2 + 1) J xi + 2x3 + x +

J5 arctan x j 2

5 In

M , + ^x2 + 1

2

y In (x2 + 1) + C 3x + 5 , 3 , , _ , + -— arctan x + C. 2 + !)

(x

§ 308. Die Faktorenzerlegung eines Polynoms Die Zerlegung eines Polynoms a, b führt man auf Grund von § 315, Pkt. 1 auf den hier betrachteten zurück.

448

V. Integralrechnung

ist (Abb. 318), so ist das Integral (§ 314) gleich dem Inhalt der Fläche, die von den Ordinaten der Kurve y = f(x) überstrichen wird (aADEBb in Abb. 318). Wenn die Funktion im Inneren von (a, b) negativ ist (Abb. 319), so ist das Integra] über ihren Absolutwert gleich dem Inhalt der Fläche, die von den Ordinaten überstrichen wird, hat aber negatives Vorzeichen.

Die Funktion /(x) möge nun ein- oder mehrere Male innerhalb von (a, b) ihr Vorzeichen wechseln (Abb. 320). Dann ist das Integral gleich der Differenz aus zwei Zahlen, von denen die eine den Inhalt der Fläche angibt, die von den positiven Ordinaten überstrichen wird, während die andere den Inhalt der Fläche angibt, die von den negativen Ordinaten überstrichen wird (s. § 315, Pkt. 2 a). Für den in Abb. 320 dargestellten Fall gilt / f(x) dx = {S1 + S3 + S5) - (S2 + a

8t).

B e i s p i e l . Das Integral / 2x dx ist gleich (§ 314, Beispiel) l 2 — (—2) 2 - 2

= —3. Diese Zahl ist gleich der Differenz der Flächeninhalte (Abb. 321) 4 ObB = 4 - 06 • bB = 1 , Zi OaA = -i- aO • Aa — 4.

§ 317. Deutung des bestimmten Integrals in der Mechanik 449

§ 317. Deutung des bestimmten Integrals in der Mechanik 1. D e r W e g e i n e s M a s s e n p u n k t e s . Ein Massenpunkt bewege sich in einer Richtung mit der Geschwindigkeit v = f(t) (i-Bewegungsdauer). Man möchte den Weg s bestimmen, den der Punkt zwischen dem Zeitpunkt t = T1 und dem Zeitpunkt t = T 2 zurückgelegt hat. Wenn die Geschwindigkeit konstant ist, so gilt s = v ( T

s

- T

1

) .

Wenn sich dagegen die Geschwindigkeit ändert, so muß man zur Bestimmung des Wegs s das Zeitintervall in Teilintervalle zerlegen: ( T1 , t1 ) , { tl , t J , . . . , ( tn -l , tn), ( tn , Ts ) .

Es sei z1 ein beliebiger Zeitpunkt im Intervall (Tj, tj), r 2 ein beliebiger Zeitpunkt im Intervall (ils t2 ) usw. Die Größe /(Tt) ist die Geschwindigkeit im Zeitpunkt xx. Das Produkt /(fj) — T J ist ein Näherungsausdruck für den Weg im ersten Zeitintervall, ebenso ist /(r 2 ) (i2 — ein Näherungsausdruck für den Weg im zweiten Zeitintervall usw. Die Summe

= /fa) («i -

+ /(*») («• - h) + • •• + /(*,+1) ( n - tn )

drückt den tatsächlichen Weg umso genauer aus, je kleiner die Zeitintervalle sind. Der Grenzwert der Summe sn , d. h., das Integral T j f i t ) dt Ti

ist der exakte Wert des Wegs s. B e i s p i e l . Die Geschwindigkeit eines Massenpunkts wachse proportional der Zeit, die seit Beginn der Bewegung verflossen ist: f = mt. Man bestimme den Weg, den der Punkt vom Ausgangszeitpunkt bis zum Zeitpunkt T zurücklegt. L ö s u n g . Der gesuchte Weg wird durch das Integral über die Funktion mt ausgedrückt. Die untere Grenze ist 0, die obere Grenze ist T: T s

= J 0

T mt dt = m J t dt

0

b

(§ 315, Pkt. 4). Wir wissen (§ 314, Beispiel), daß / a Für a = 0, 6 = T haben wir

2tdt

= b* —

a 2.

T s — m J

t dt =

w!T !.

—

o 2. D i e A r b e i t e i n e r K r a f t . Wenn eine konstante Kraft P auf einen materiellen Punkt wirkt, der sich in der Richtung der Kraft bewegt, so erhält man die Arbeit A längs des Weges (slt s2 ) aus der Formel A

29 Wygodski

= P ( t

t

- s

1

) .

450

V. Integralrechnung

Wenn die Kraft P zwar dieselbe Richtung besitzt wie die Bewegung, sich aber in Abhängigkeit vom Weg ändert, wenn also P = f(s), so erhält man die Arbeit aus der Formel s, A = / f(s)ds. Si

§ 318. Abschätzung des bestimmten Integrals T h e o r e m 1. Wenn M der größte und m Funktion f(x) im Intervall (a, 6) ist, so liegt b f f(x) zwischen m(b — a) und M{b — a). Für a b m(b - a) g / f(x) dx g M(b a

der kleinste Wert der der Wert des Integrals a < b haben wir — a).

(1)

Für a > b sind die Vorzeichen in der Ungleichung entgegengesetzt.

G e o m e t r i s c h e D e u t u n g : Die in Abb. 322 strichlierte Figur hat einen Flächeninhalt, der größer als der Inhalt von ablk und kleiner als der Inhalt von abLK ist. 6

B e i s p i e l . Man schätze das Integral J 2x dx ab. 4

Lösung. Der größte Wert der Funktion 2x im Intervall (4, 6) ist M = 2 • 6 = 12, der kleinste Wert ist m = 2 - 4 = 8. Also liegt das Integral zwischen 8 • 2 = 16 und 12 • 2 = 24: 6

16 < j 2xdx < 24. a

§ 319. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung

451

Der exakte Wert ist 20 (§ 314, Beispiel). Theorem 2. Wenn in jedem Punkt des Intervalls (o, b) die Ungleichung gilt, so ist

y(x) S fix) ä fix) b f y>(x) it r a

b a

(2) b

f f(x) Ar £ / ) S ~El(aEFb). Theorem 1 ist ein Sonderfall von Theorem 2 mit y(x) = m und (z) beschrieben wird, wobei die Funktion fp(z) im Intervall (z,, z2) eine stetige Ableitung besitze; 2. die Funktion /(ar) für alle Werte von x stetig ist, die bei einer Variation von z im Intervall (z u z2) auftreten.

460

V. Integralrechnung

+a B e i s p i e l 2. Man bestimme f i/o2 — x2 dx. L ö s u n g . Die Substitution —» x = a sin t

(4)

führt (§ 303, Beispiel 1) den Integranden über in a? il — sin 2 1 cos t dt = ± a? cos21 dt.

(5)

Das obere Vorzeichen gilt, wenn t im ersten oder vierten Quadranten liegt, das untere gilt für den zweiten und dritten Quadranten. Die neuen Grenzen t1 und t2 nimmt man so, daß —a = a sin t1,

a = a sin i 2 .

Dies ist auf zwei Arten möglich. Man kann wählen th -- -— ' 2

t2 ~- 2—"

t ändert sich daher innerhalb des vierten und ersten Quadranten. In (5) nehmen wir daher das obere Vorzeichen und erhalten so +a / ]'a2 — x2 dx

= a? J cos21 dt = y n ~

(t + y

sin

2l

j

na' ~~2~

2

Nimmt man dagegen _ in h - y.

_ il h = y>

so ist in (5) das untere Vorzeichen zu wählen: jr _ +o 2 2 2 J y oo einen unendlichen Grenzwert 1 ) besitzt oder wenn kein solcher Grenzwert existiert, so sagt m a n , das uneigentliche Integral (2) konvergiere nicht. I m Falle eines endlichen Grenzwerts f ü r das Integral (2) sagt man, das uneigentliche Integral (2) konvergiere. + °o B e i s p i e l 1. Man bestimme das Integral f 2~x dx. L ö s u n g . Wir haben o x'

/0 ^ - ¿ s i - ^ f - E M 1 - ^ ) F ü r x' ->• oo h a t dieser Ausdruck den Grenzwert + oo

:—-. In ¿i

x'

f 2~x dx = lim [2~xdx J i'-^+oo J 0 0

Also gilt

= - ! - : m 1,4. In 2

*) Wenn das Integral f f(x) dx für x'

oo einen unendlichen Grenzwert hat, so +oo sagt man vereinbarungsgemäß, das uneigentliche Integral / f(z) dx habe einen

a

+ oo

unendlichen Wert, und schreibt J f(x) dx = oo.

a

462

V. Integralrechnung x'

G e o m e t r i s c h e Deutung. Das Integral J 2~xdx stellt den Inhalt der o Fläche OBB'D (Abb. 327) unter der Kurve y = 2 " * dar. Je weiter die Ordinate BB' nach rechts wandert, um so größer wird die Fläche OBB'D. Aber sie wird nicht unendlich, sondern strebt gegen

.

Man sagt daher, daß der Inhalt des unendlichen Gebietes unter der Kurve y = 2~x gleich

ist.

E r k l ä r u n g . Wir betrachten die Stufenfigur in Abb. 327. Ihre erste Stufe OACD hat den Inhalt OD • OA = 1 - 1 = 1, die zweite hat

Abb. 327

Abb. 328

den Inhalt AK • AN = —!-r = die dritte den Inhalt -i- usw. 2 - 1 2 4 Mit wachsender Stufenzahl strebt ihr Gesamtinhalt gegen 2 (Summe der unendlichen geometrischen Reihe). Die Zahl 2 ist der exakte Inhalt der unendlichen Stufenzone. Die Fläche der unendlichen krummlinigen Zone ist noch kleiner. B e i s p i e l 2. Man bestimme l x'

/l

dx — = In x' hat für x' -»- oo einen unend-

liehen Grenzwert. Das gesuchte uneigentliche Integral konvergiert nicht. G e o m e t r i s c h e D e u t u n g . Der Inhalt der Fläche AA'B'B (Abb. 328) unter der Hyperbel y = — wächst unbegrenzt an (die unendliche krummlinige Zone hat einen unendlichen Flächeninhalt). B e i s p i e l 3. Auf einer Ebene befinden sich zwei elektrisch geladene Kugeln mit positiven Ladungen et und e2 (in elektrostatischen Einheiten). Der Abstand zwischen ihren Zentren sei B cm. Die Kugel mit der Ladung e2 sei frei beweglich und entferne sich von e1 unter

§ 327. Integrale mit unendlichen Grenzen

463

dem Einfluß der abstoßenden Kraft F = (r = variabler Abstand zwischen den Zentren in cm, F — Größe der Kraft in dyn.) Die Arbeit, welche die Kraft F längs des Weges (R, r') leistet, ist gegeben (in erg) durch das Integral (§ 317)

R

Das uneigentliche Integral + oo

h(i-F)] = ! f

R

beschreibt die Gesamtenergie des betrachteten Systems. In der Physik nennt man diese Größe Potential. D e f i n i t i o n 2. Das Integral der Funktion f(x) von — oo bis c ist a

der Grenzwert des Integrals f f(x) dx für x"

— oo:

x" a f f{x) dx

— oo

=

a

lim

/ f(x) dx.

(4) a

Die Konvergenz oder Divergenz des uneigentlichen Integrals J f(x) dx versteht man wie unter Definition 1. D e f i n i t i o n 3. Unter dem Integral der Funktion /(x) von — oo bis + oo / /(*) dx — OO

«

(5)

versteht man die Summe a -f oo f f ( x ) d x + f f(x) dx.

— oo

(6)

a

Sie ist von der Wahl von a unabhängig. Es ist vorausgesetzt, daß beide uneigentlichen Integrale konvergieren. Das Integral (5) liefert einen Ausdruck für den Inhalt der Fläche unter der Kurve y = f(x), die sich nach beiden Richtungen bis ins Unendliche erstreckt (Kurve VAU in Abb. 329). B e i s p i e l 4. Man bestimme den Flächeninhalt der unendlichen Zone a3 unter der Kurve y = -j——- (Abb. 329, vgl. auch § 506).

464

V. Integralrechnung

Lösung. Der gesuchte Flächeninhalt wird durch das Integral + 00 r a3dx J

0 _

a2 +

x2

~

r

a2 +

J

+ oo f ja3 dx

a3dx x2

+

J ä>

(7)

= a 2 arctan — gilt T

Ii

a3

dx +

X

x2

= as2 lim arctan — = a T'—* 4- DO

Jia"

—. 4

Analog dazu berechnet man den ersten Summanden und erhält + 00

a3

dx +

(8)

x2

B e m e r k u n g 1. Die Gruüdiormel b / Kx) dx = F(b) -

F(a),

+ oo

aui das konvergente Integral J fix) dx angewandt, h a t die Gestalt

f t(x)dx

= F(co) -

F(a).

Dabei bedeutet das Symbol F( oo) dasselbe wie lim F(x'). «'—>•00 I n analoger Weise wendet man die Formel für die partielle Integration an. Zur Beoo

rechnung des uneigentlichen Integrals J f(x) dx darf man auch die Substitutionsa methode verwenden, jedoch nur unter der Bedingung, daß die Punktion x = x 'h> x!, h


f(x i) = 2/i.

/(*'/.) = 2/'/„»

/(«»/>) = 2/»/,.

/(%) = 2/2. /(*s/a) = y»/*> ••••

—

0 o

0 y = 7 + f, a=-3-' zwischen den Binormalen MB und M'B' und dem Bogen MM' zustrebt, wenn der Punkt M' längs der Kurve L gegen den Punkt M strebt. Das Vorzeichen der Torsion wie das Vorzeichen des Winkels a>' zählt man positiv, wenn MB und M'B' ein Rechtspaar (s. § 165) bilden. Andernfalls zählt man die Torsion negativ. Die Torsion bezeichnet man durch er: ,. Ol' a — lim _ , . MM' B e m e r k u n g . Die Binormale einer ebenen Kurve besitzt eine konstante Richtung. Die Torsion einer ebenen Kurve ist daher Null. Wenn umgekehrt die Torsion einer Kurve überall verschwindet, so liegt die Kurve in einer Ebene. Bei nicht ebenen Kurven kann die Torsion nur in isolierten Punkten verschwinden. T o r s i o n s r a d i u s . Die Größe x — — , den Reziprokwert der Torsion, a 1 bezeichnet man in Analogie zum Krümmungsradius q = — als A Torsionsradius. Aber diese Analogie ist unvollständig: Das zur Konstruktion der Krümmungsmittelpunkte analoge Verfahren liefert keinen „Torsionsmittelpunkt". Die Torsion erhält man aus der Formel

(r' x

(1)

t"Y

oder in Koordinatenform

(y'z" - z'y"Y + (z'x" - x'z")2 + {x'y" -

y'x"f

(2)

Nimmt man die Bogenlänge als Parameter, so lauten die Formeln (1) und (2) etwas einfacher: dr cPr d3r ds ds2 ds3 _ {dÎ 2rWV ~ U v oder in Koordinatenform dx dy dz ds ds ds d*x d2y d2z Up ds*ds* d3x d3y dsz

2 6

¡dr d2r d3r \ dè* ds3}

da)

(2 a)

522

VI. Überblick über ebene und räumliche Kurven

B e i s p i e l . Man bestimme die Torsion der Schraubenlinie a; = a cos u,

y = as\nu,

z = bu.

L ö s u n g . Wir haben VY Y

=

—a sin u a cos u b —a cos u —a sin u 0 = o 2 6, a sin u —a cos u 0

( r ' x r " ) 2 = ct2(a2 + 6 2 ). Gemäß Formel (1) erhalten wir a 2 + 62 Daraus ersieht man, daß die Torsion einer rechtsgewundenen Schraubenlinie (b > 0) positiv, die einer linksgewundenen Schraubenlinie negativ ist.

VII. Unendliche Reihen § 366. Einführende Bemerkungen Zur Überwindung der Schwierigkeiten, die bei manchen Integrationen auftraten, drückten NEWTON und LEIBNIZ den Integranden durch ein Polynom mit unendlich vielen Gliedern aus (s. § 270). Durch Anwendung der üblichen algebraischen Regeln auf derartige Ausdrücke machten die Mathematiker des 18. Jahrhunderts bemerkenswerte Entdeckungen. Jedoch zeigte es sich, daß man bei der vorbehaltslosen Anwendung der Regeln der Algebra auf unendliche Summen Irrtümer unterlaufen kann. Es ergab sich die Notwendigkeit, die Grundbegriffe exakt zu formulieren und Beweise für die Eigenschaften unendlicher Reihen zu konstruieren. Diese Aufgabe wurde von den Mathematikern im 19. Jahrhundert gelöst.

§ 367. Definition der unendlichen Reihe Es sei eine Folge

Mj, u2, u3, ..., un, ...

(1)

von Zahlen gegeben. Wir summieren diese Zahlen der Reihe nach und erhalten eine neue Folge s 1( s2, ...,«„, ... mit s1 = ux ~ ~b ^2 > s 3 — U1 4" u2 ~b w3' , (0\ s

n = «1 +

+ u3 + • • • + ui

Den Prozeß der Zusammensetzung bezeichnet man durch den Ausdruck % + y-2 + % + • • • + % + • • •» (3) den man kurz unendliche Reihe nennt. Die Zahlen uv M2, wa, ... heißen die Glieder der unendlichen Reihe. Die Summe s

n = % + «2 + b heißt Partialsumme der Reihe = % ist die erste Partialsumme, s2 = « j + it2 die zweite, «3 = ux + u2 + % die dritte usw.).

524

VII. Unendliche Reihen

B e i s p i e l 1. Der Ausdruck 1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 ) + ••• + ( - 1 ) " + 1 + •••

(4)

oder, wie man gewöhnlich schreibt, 1 - 1 + 1 - 1 + ...

(4a)

ist eine unendliche Reihe. Die Bedeutung des Ausdrucks (4) besteht darin, daß sich aus den Gliedern 1 , - 1 , + 1 , - 1 , ...,

( - 1 ) » + 1 , ...

die Partialsummen $1=1,

S2=l —1=0,

= 1-

1+ -

«3=1 — 1 + 1 =

+ (~l)»+i =

1 +

1

/ 1 x»- 1

(

1,...,

~ 1 ) W + 1 , ...

(5)

ergeben. B e i s p i e l 2. Der Ausdruck 1 +

t

1

1

+ T + T + - + ( T )

+ -

(6

>

stellt eine unendliche Reihe dar. Aus den Gliedern i

i

i

2'

4'

ergeben sich die Partialsummen 1 3 s 1 = l , s 2 = 1 — , s3 = l — , . . . ,

( i r \2/

1

'

1 1 \»-1 = 2 — 1 — 1 , ....

(7)

§ 368. Konvergente und divergente unendliche Reihen D e f i n i t i o n . Eine unendliche Reihe heißt konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen einen endlichen Grenzwert besitzt. Diesen Grenzwert bezeichnet man als Summe der unendlichen Reihe. Wenn die Folge der Partialsummen keinen endlichen Grenzwert besitzt, so heißt die unendliche Reihe divergent. Eine divergente unendliche Reihe besitzt keine Summe. Das Wort „Summe" ist in der durch die Definition gegebenen Bedeutung zu verstehen. Der Begriff der Summe einer unendlichen Reihe läßt sich erweitern, so daß auch gewisse divergente Reihen eine Summe (im weiteren Sinn) besitzen.

B e i s p i e l 1. Die unendliche Reihe 1 + 2 + 3 + 4 + .-. + » + .

(1)

§ 369. Notwendige Bedingung für die Konvergenz

525

ist divergent, da die Folge ihrer Partialsummen 5l

= l,

, , = 3,

«3 = 6,

...,

«„ = ' ^ ± 1 1 , . . .

(2)

keinen endlichen Grenzwert hat. B e i s p i e l 2. Die unendliche Reihe 1 - 1 + 1 - 1 + . . . + ( - 1 J - + 1 + '•••

(3)

ist divergent, da die Folge ihrer Partialsummen «1 = 1»

«2 =

1» • • •, «„ =

«3 =

0,

1 + (—1) B + 1

, ...

(4)

(vgl. § 367, Beispiel 1) keinen Grenzwert hat. B e m e r k u n g 1. Wenn die Folge s 1( .s2, s 3 , ... keinen endlichen oder unendlichen Grenzwert hat, so heißt die unendliche Reihe unbestimmt divergent. B e i s p i e l 3. Die unendliche Reihe 1 +

t

1

1 1 + T + T + -

/ I X»"1 + (Y) + -

-

ist konvergent, da die Folge Sl

= l,

1 «2 = 1 - 2 »

den Grenzwert 2 hat:

«

3

= 1

3 ,

t

=

/ I X"-1

,...

(6)

lim sn = 2 . n—»po

Die Zahl 2 ist die Summe der unendlichen Reihe (5). B e m e r k u n g 2. Das Symbol «i

+ «2 + ••• + un + ••• = S

(7)

bedeutet, daß die unendliche Reihe u t + u 2 + • • • + un -f- • • • konvergiert und ihre Summe gleich 8 ist, d. h., das Symbol (7) ist gleichwertig mit lim (itx + u2 + - - - + un) = S. n—>oa § 369. Notwendige Bedingung für die Konvergenz einer unendlichen Reihe Die unendliche Reihe % + »H b u„ 4 (1) kann nur dann konvergieren, wenn das Glied un (das allgemeine Glied der Reihe) gegen Null strebt: lim m„ = 0. n—>oo

(2)

526

VII. Unendliche Reihen

Mit anderen Worten: Wenn das allgemeine Glied u n nicht gegen Null strebt, so ist die unendliche Reihe divergent. B e i s p i e l 1. Die unendliche Reihe 0,4 +. 0,44 + 0,444 + 0,4444 + • • •

(3)

4 ist offensichtlich divergent, da das allgemeine Glied (ungefähr—) nicht gegen Null strebt. Auch die Reihe 1 - 1 + 1-1... (4) divergiert. W a r n u n g . Die Bedingung (2) ist für die Konvergenz der unendlichen Reihe notwendig: Unendliche Reihen, deren allgemeine Glieder gegen Null streben, können konvergieren oder divergieren (s. Beispiel 2 und 3). B e i s p i e l 2. Die harmonischel) Reihe 1

+

Y + T + T + -

^

divergiert, obwohl ihr allgemeines Glied gegen Null strebt. Zum Beweis dieser Behauptung betrachten wir die Partialsummen -,= 1 + 4 = s

* =

s

3 4 ,

* + ( t + T )

> 3

4 + ( T + T H 4 '

«. = '« + (-g- + T + T + T) , 1 / 1

1

1

S16 = *8+ (4 + ^ + - +

1\

„

>64

1

USW

"

Wir sehen, daß die Partialsummen unbegrenzt zunehmen, d. h., die Reihe (5) ist divergent. B e i s p i e l 3. Die unendliche Reihe ^ T

+ T - S - + T - - '

(6)

die man aus der harmonischen Reihe durch einen Wechsel des Vorzeichens bei den Gliedern mit ungeradem Index erhält, ist konvergent. Um uns davon zu überzeugen, merken wir uns auf der Zahlen*) Die Bezeichnung kommt daher, daß eine Saite, wenn man sie in 2, 3, 4 , . . . gleiche Teile teilt, Töne liefert, die mit dem Grundton harmonieren.

§ 370. Der Rest einer unendlichen Reihe

527

achae (Abb. 379) die Punkte an, die den Partialsummen ^

l

^

f

^

^

g

,

= £

= 1,

entspreche, Jeder

der „ungeraden" Punkte alt s3, s5, ... liegt links vom vorhergehenden. Jeder der „geraden" Punkte liegt rechts vom vorhergehenden. Die ungeraden und geraden Punkte nähern sich also gegenseitig. Man kann zeigen, daß eine gleichartige Regel auch allgemein gilt und daß sich die Punkte s.in, «2n+i unbegrenzt nähern1). Also streben sowohl die geraden als auch die ungeraden Punkte gegen einen geJ,

S2

—I

1

0

1

0,1

1

0,2

1 '—T

0,3

0,U

S6

T*

0,5

0,6

5,

S

S;

1

T"«

0,7

J,

1

Oß

1,9

r—

1,0

Abb. 379

wissen Punkt 8 (die geraden von links, die ungeraden von rechts). Die Folge der Partialsummen der unendlichen Reihe (6) hat also den Grenzwert S, d. h., die Reihe (6) konvergiert und hat 8 als Summe. Die Partialsummen sJ( s3, s5, ... liefern eine etwas zu große Näherung für 8, die Partialsummen s2, s4, se,... eine etwas zu kleine Näherung. Mit Sg = 0,745 und s10 = 0,645 erhalten wir für 8 = 0,7. Mit sge9 und s1000 erhalten wir S = 0,693 auf drei Stellen genau. Der exakte Wert von 8 ist In 2: 1

- T + T - T

+ -

=

ln2-

j Wjv+2 < 0,9itjv+1 < 0 , 9 ^ , J uN+3 < 0,9u N+2 < 0,93ttjv j

(2)

usw. Ein Vergleich der Reihe uN+1 + + uN+s + ••• mit der Reihe 0,9i% + 0,92uN + 0,93mä + • • • (abnehmende geometrische Reihe) zeigt (§ 373), daß die gegebene Reihe konvergiert. Statt 0,9 kann man eine beliebige Zahl nehmen, die zwischen 0,8 und 1 liegt (für eine Zahl, die größer oder gleich 1 ist, gilt die Überlegung nicht). Auf dieselbe Weise führt man den allgemeinen Beweis für das Theorem im Falle q < 1.

534

VII. Unendliche Reihen

B e i s p i e l 2. Wir betrachten die positive Reihe II2

II3

1 1»

Ihre Glieder nehmen anfangs ab. Die Reihe divergiert aber trotzdem, da der Grenzwert des Verhältnisses 1,1M+2

1,1»

gleich 1,1 ist, also größer als 1. E r k l ä r u n g . Wegen lim (w n + 1 :u n ) = 1,1, ist von einem gewissen Index N an das Verhältnis un+1:un größer als 1,09. Vergleichen wir die Reihe u N + 1 + u N + 2 u N + 3 + ••• mit der divergenten Reihe 1,09 mjv + 1,092 u N + 1,093 Uy + •••> s o sehen wir auf Grund derselben Überlegungen wie in der vorhergehenden Erklärung, daß die gegebene Reihe divergiert. An Stelle von 1,09 kann m a n eine beliebige Zahl zwischen 1 u n d 1,1 nehmen (aber nicht die 1 selbst). Auf dieselbe Weise f ü h r t m a n den allgemeinen Beweis f ü r das Theorem im Fall q> 1. B e i s p i e l 3. Wir betrachten die unendlichen Reihen

1+T + T + t-

I

i

+ T + -'

(4)

l

F ü r beide haben wir q = lim ( u n H : u „ ) = 1. n—>oo Aber die Reihe (4) divergiert (§ 369), und die Reihe (5) konvergiert (§ 373). B e m e r k u n g . I m Falle 1 (q < 1) ist die Konvergenz um so schneller, je kleiner q ist. I m Fall 2 (q > 1) ist die Divergenz um so schneller, je größer q ist I m Fall 3 (q = 1) konvergiert die Reihe, wenn überh a u p t , sehr langsam und ist daher f ü r eine Berechnung der Summe wenig geeignet.

§ 375. Das Integralkritcrium für die Konvergenz Wenn jedes Glied der positiven Reihe «1 + «2 + 1- «» H (1) kleiner als das vorhergehende ist, so k a n n man zur Untersuchung der Konvergenz das uneigentliche Integral oo / f(n)dn, (2)

§ 375. Das Integralkriterium für die Konvergenz

535

betrachten, worin /(«,) eine monoton abnehmende Funktion von n bedeutet, die f ü r n = 1 , 2 , 3 , . . . die Werte uv u2, u3, ... a n n i m m t . Die Reihe konvergiert oder divergiert je nachdem, ob das uneigentliche Integral (2) konvergiert oder divergiert. I m Fall der Konvergenz genügt der liest Rn der Reihe (1) den Ungleichungen / f(n) dn < Bn < / f(n) dn. n+1 n

(3)

B e m e r k u n g . Das Integralkriterium ist in solchen Fällen günstig, in denen u„ durch einen Ausdruck gegeben ist, der nicht n u r f ü r ganzzahlige Werte von n einen Sinn h a t , sondern f ü r alle Werte von n größer als 1. B e i s p i e l 1. Wir untersuchen die Konvergenz der harmonischen Reihe 1 + V + 4 -

+

-

+

- 5 - + - -

w

Diese Reihe h a t nur positive Glieder, jedes davon ist kleiner als das vorhergehende. Das allgemeine Glied ist durch den Ausdruck — gegeben, der f ü r alle Werte von n (0 ausgenommen) einen Sinn h a t . Die Funktion f(n) = — ist im Intervall (1, oo) stetig und abnehmend. n oo Wir betrachten das uneigentliche Integral I —. da der Grenzwert unendlich wird: y 71 lim x—*oo J

E s divergiert,

== lim In x = oo. n X-+DO

Es divergiert daher auch die Reihe (4) (vgl. § 369, Beispiel 2).

536

V I I . Unendliche Reihen

B e i s p i e l 2. Wir untersuchen die Konvergenz der Reihe über die „Reziprokwerte der Quadrate" 1 + 1 + 1 + 22 32

...

(ß)

Hier gilt f(n) = — . Das entsprechende uneigentliche Integra] n

lim r ^ - i *->ooJ w2

—

konvergiert. Also konvergiert auch die Reihe (5). Mit 10 Gliedern erhält man S,, 1,5498. Der Rest K l() genügt der Ungleichung OU

Ol

/ S

< * . . < /

, , d.h.

du

1

n

oo

§ 379. Umordnen der Glieder einer unendlichen Reihe Bei einer absolut konvergenten Reihe darf m a n die Glieder beliebig umordnen. Die absolute Konvergenz bleibt dabei bestehen, u n d auch der Wert der Summe ändert sich nicht (insbesondere h ä n g t bei einer absolut konvergenten Reihe der Wert der Summe nicht von der Reihenfolge der Glieder ab). I m Gegensatz dazu ist bei einer nur bedingt konvergenten Reihe nicht jede Umordnung der Glieder erlaubt, da sich dabei der Summenwert und das Konvergenzverhalten ändern k a n n . B e i s p i e l 1. Die unendliche Reihe (1)

540

VII. Unendliche Reihen

e r h ä l t m a n d u r c h U m o r d n e n der Glieder der a b s o l u t k o n v e r g e n t e n Reihe

Sie k o n v e r g i e r t e b e n f a l l s u n d h a t dieselbe S u m m e S w i e die geom e t r i s c h e R e i h e (2). A l s o g i l t

B e i s p i e l 2. D i e u n e n d l i c h e R e i h e

k o n v e r g i e r t n u r b e d i n g t (§ 377). D i e u n e n d l i c h e R e i h e

1 +

T-Y +4 +T - T +4 +n - i +-'

(5

>

die m a n d u r c h U m o r d n e n der Glieder der R e i h e (4) erhält, konvergiert, aber ihre S u m m e i s t n u r h a l b so g r o ß w i e die S u m m e der geg e b e n e n R e i h e (§ 371, W a r n u n g ) .

§ 380. Zusammenfassen der Glieder einer unendlichen Reihe Im Gegensatz zur Umordnungseigenschaft (die nur den absolut konvergenten Reihen zukommt, vgl. § 379) besitzt jede konvergente unendliche lleihe die Eigenschaft der Assoziativität. Bei jeder konvergenten unendlichen Reihe darf man ohne Veränderung der Reihenfolge die Glieder in beliebiger Wahl zu Gruppen zusammenfassen. Addiert man die Glieder innerhalb der einzelnen Gruppen, so entsteht eine neue unendliche Reihe, die ebenfalls konvergiert und dieselbe Summe wie die ursprüngliche Reihe besitzt. B e i s p i e l . In der (nach dem Kriterium von LEIBNIZ) konvergenten unendlichen Reihe 1 1 1 1 1

darf man die Glieder auf die folgende Art zusammenfassen:

KMt-

+••••

(2)

Durch Addieren der Glieder innerhalb einer Gruppe erhalten wir 2 2 2 • + 2 1 a + 2* - 1 6 - 1 10 - 1

(3)

§ 381. Multiplikation von unendlichen Reihen

541

Diese alternierende Reihe hat dieselbe Summe wie die alternierende Reihe (1) (S = — , s. § 398, Beispiel 3). 4 B e m e r k u n g . Die umgekehrte Operation (Weglassen der Klammern) ist nur in jenen Fällen zugelassen, in denen nach dem Weglassen der Klammern eine konvergente Reihe entsteht (dann ist die gegebene Reihe offensichtlich konvergent). Es gibt jedoch Fälle, in denen die gegebene Reihe konvergiert, die nach Weglassen der Klammern entstandene Reihe aber nicht.

§ 381. Multiplikation von unendlichen Reihen T h e o r e m . Zwei absolut konvergente unendliche Reihen % + «2 + «3 + ••• = U, +

»s + - - =

Vz+

(1) (2)

V

darf man wie Polynome miteinander multiplizieren. Jedes Glied der Reihe (1) wird mit jedem Glied der Reihe (2) multipliziert, und die Produkte werden in beliebiger Reihenfolge addiert. Man erhält eine absolut konvergente Reihe, deren Summe gleich UV ist: + «1»2 +

U2V1

+

W1V3

«2»2

+

+

U3V1

+

•••=

(3)

UV.

B e m e r k u n g 1. Damit bei der Reihe (3) nieht irrtümlicherweise Glieder doppelt oder mehrfach addiert werden, empfiehlt es sich, daß man die Glieder mit fester Indexsumme i + k zu einer Gruppe zusammenfaßt. Die Reihe erhält dann die Form + w2 + ica H

wobei wi

= «i»i>

W2

=

U2V±

+

W3 =

U3V1

+ «2®2 + «1»3>

Wn

V i

+

=

,

(4)

UjV 2 ,

un-lV2

+

(5)

Mj!-2W3

+

•" ' +

•

Dieser Zusammenfassung entspricht eine Multiplikation nach dem folgenden Schema: u1 v

i

+u

2

+ +

+ u3 +

u2v1

+

v3

u3v1

+

+ •••

+

Vi

H

+

utvx

+

•• •

«1«2 + «2»2 + «3»2 + • • • «1»3

u>i +

+

+

w3 +

U2°3

H

UjUj

+

w4

-\

•• •

(6)

542

V I I . Unendliche Reihen

B e i s p i e l i. Wir betrachten die beiden absolut konvergenten unendlichen Reihen (7)

2"-1

r

(_!)«-

i - i + l - l 2 ' 4 8

2n~1

'

(8)

Durch Multiplikation nach dem Schema (6) erhalten wir 1

1 1 , - T + T

l + 8

l 16

l " 2 ~

l 4

1 1 ~ 8 ~~ 16

1 T

1 + 1 + 8 16 1 "8

+ o+ |

(9)

1 Ì6

+

Das Bildungsgesetz für die Glieder der neuen Reihe lautet daher W2B-1 =

22^2'

2n

W

=

0.

Nach Weglassen der Nullen erhalten wir die absolut konvergente Reihe 4«Ihre Summe ist das Produkt aus den Summen der Reihen (7) und (8). Man überzeugt sich leicht davon, da die Summe der Reihe (7) gleich 2 2 und die Summe der Reihe (8) gleich — ist. Die Summe von (10) ist aber — . B e i s p i e l 2. Die unendliche Reihe i + 2 + i. + 7 72

l . 73

n 7»-i

(11)

ist absolut konvergent (gemäß dem Kriterium von D'ALEMBERT). Man bestimme ihre Summe.

§ 382. Die Division von unendlichen Reihen

543

L ö s u n g . Die gesuchte Summe ist das Produkt aus den Summen der beiden gleichen absolut konvergenten Reihen 1

+

+

JL

+ - = T '

1+4 + 1 + -

(12)

(13)

+

Tatsächlich erhalten wir nach Schema (6) l

1 +

~J2

!+

+ 7»1

1 72

+ 71 + •••

1 72

+

3

i 73 1 73

i

1 _[_+

2 T

+

3 72

+

+ ••• + •••

4 73

Also ist die Summe der Reihe ( I i ) gleich —

6 ' 6 ""36' B e m e r k u n g 2. Wenn eine der Reihen (1) oder (2) absolut konvergiert, die andere aber nur bedingt, so konvergiert die Reihe (4), die m a n nach Schema (6) erhält ebenfalls noch, u n d ihre Summe ist gleich dem Produkt UV. Die Konvergenz ist aber im allgemeinen n u r mehr bedingt, d. h., m a n darf die Glieder nicht mehr beliebig umordnen (§ 379). Wenn beide Reihen (1) und (2) n u r bedingt konvergieren, so k a n n die Reihe (4) divergieren. Falls sie dennoch konvergiert, ist ihre Summe gleich UV.

§ 382. Die Division von unendlichen Reihen T h e o r e m . Gegeben seien zwei konvergente unendliche Reihen u1 + u2 + ---+un

+ --- = U,

(1)

«i+ + ••• + «„ + • • • = F . (2) Wir wenden auf diese das Divisionsschema f ü r die Division eines Polynoms ut + u2 + • • • + un durch ein Polynom v1 + v2 + • • • vn an und erhalten die Reihe u>i + w 2 4

+ wn H

.

(3)

544

VII. Unendliche Reihen

Wenn die Reihe (3) konvergiert1), so ist ihre Summe gleich U: V. B e i s p i e l . Wendet man auf die konvergenten Reihen 1 + 1 + 1 + 22

2 ~

1_

1 ~

2

22

••

23

J_ _

(— - 1 Ii»)

2"

23

+

1

=

(la)

U,

+

(2 a)

das Schema für die Division eines Polynoms durch ein Polynom an, so erhält man 1

1 1 1 22 ^' 23 + 2 4

1 l 2 ~ 22

1

i 21

1 22

1 23

+

1 25 T •••

1 2

+

1 25

1 -M

1 24

1 22

1 1 23 — 2 1

1 25

+ ± + 12 + . . 2 2

1

f 0 H-

22 + i 22

.1 23 i

i 24 + ° +

i

23

1 25

+

iJ>

i_ ~ 24 + 25 ' 21+0 +

Im gegebenen Beispiel lautet das Bildungsgesetz für die Glieder der Reihe (3) , 1 1 w1 = 1, '»2 = 2Ö. w3 = • 21' «4=

25.-,

Die Reihe kann auch divergieren, wenn die sind. Teilt man gemäß dem Schema z. Glieder außer dem ersten sind 0) durch Glieder außer den ersten zweien sind 0),

1 - 1 + 1 - 1 ± ••••

1 Reihen (1) und B . die Reihe die Reihe 1 + so erhält man

(n >

2)

(2) absolut konvergent 1 + 0 + 0 + ••• (alle 1 + 0 + 0 + - " (alle die divergente Reihe

§ 384. Der Konvergenzbereich einer Reihe

545

I n der T a t erhält m a n den zweiten Rest durch gliedweise Multiplikation des ersten Rests mit — . Das dritte Glied der Reihe (3) erhält 2 1 m a n daher aus dem zweiten Glied durch Multiplikation m i t — . Bei 2' der dritten Subtraktion sind sowohl im Diminuenden als auch im Subtrahenden alle Glieder nur halb so groß. Den dritten Rest erhält m a n daher wieder aus dem zweiten durch Multiplikation mit — . Das heißt also, daß sich auch das vierte Reihenglied aus dem dritten durch Multiplikation mit — ergibt usw. Die Glieder der Reihe (3) bilden also ab dem zweiten Glied eine geometrische Reihe. Die Reihe (3) konvergiert also. Ihre Summe W ist gleich U: V. Wir haben nämlich 17=1, und somit gilt

P = -l.

W = 1+ _ 1 _

= 3,

' " T U: V =

W.

§ 383. Reihen mit veränderlichen Gliedern Unter einer Reihe mit veränderlichen Gliedern versteht m a n einen Ausdruck u^x) + u2[x) H + un(x) -| , (1) worin u ^ x ) , u . J x ) , . . . (die Glieder der Reihe) Funktionen eines gemeinsamen Arguments x sind, die in einem gewissen Intervall (a, b) definiert sind. Die Bedeutung des Ausdrucks (1) wurde in § 367 erklärt. N u r sind hier die Glieder der Reihe Punktionen, während wir in § 367 eine Reihe betrachtet haben, deren Glieder Zahlen waren. Derartige Reihen n e n n t m a n auch Reihen mit konstanten Gliedern. Die Partialsummen der Reihen mit veränderlichen Gliedern bestimmt m a n genau so wie früher. Wenn m a n in der Reihe (1) dem Argument x einen beliebigen festen Wert (aus dem Intervall (a, &)) erteilt, so entsteht eine Reihe m i t konstanten Gliedern.

§ 384. Der Konvergenzbereich einer Reihe mit veränderlichen Gliedern Es k a n n vorkommen, daß eine Reihe mit veränderlichen Gliedern f ü r jeden beliebigen Wert von x aus dem Intervall (a, b) konvergiert. Es k a n n jedoch auch sein, daß die Reihe f ü r jeden beliebigen W e r t von x divergiert. Üblicherweise konvergiert aber die Reihe f ü r ge35 Wygodski

546

V I I . Unendliche Reihen

wisse W e r t e von x aus (a, b) u n d divergiert f ü r die anderen. Die Gesamtheit der x-Werte, f ü r welche die Reihe konvergiert, n e n n t m a n Konvergenzbereich der unendlichen Reihe m i t veränderlichen Gliedern. I m Konvergenzbereich entspricht jedem W e r t von x ein b e s t i m m t e r W e r t der S u m m e der Reihe. Die S u m m e ist also eine im Konvergenzbereich definierte F u n k t i o n von x. Außerhalb dieses Bereiches besitzt die Reihe keine S u m m e . B e i s p i e l 1. W i r b e t r a c h t e n die unendliche Reihe m i t veränderlichen Gliedern 1 • a; + 1 • 2a;2 + 1 + 1 • 2 • 3x 3 -|

b 1 • 2 • • -nx« + •••.

(1)

I h r e Glieder sind die F u n k t i o n e n u^x) = x,

u2(x) = 2x 2 ,

u3(x) = 6x 3 , . . . ,

(2)

die im Intervall (—oo, oo) definiert sind. Die Reihe konvergiert jedoch n u r f ü r x = 0 , f ü r alle a n d e r e n x-Werte divergiert sie. Geben wir nämlich dem A r g u m e n t x einen beliebigen von Null verschiedenen W e r t , so erhalten wir die Zahlenreihe 1 -x0 + 1 - 2 V + ••• + 1 - 2 ••• nx0« + •••.

(3)

Das Verhältnis K + i : m»| = |(» + 1)! V

+ 1

= « ' - V I = (n + i) \xt\

hat für n oo einen unendlichen Grenzwert. F ü r x 4= 0 divergiert die Reihe also (§ 378). Der Konvergenzbereich besteht aus d e m einzigen P u n k t x = 0. B e i s p i e l 2. Die Reihe 1 +

-n + f i

+

-

+

(4)

Sr + -

(mit F u n k t i o n e n als Glieder, die im Intervall ( —oo, oo) definiert sind) konvergiert f ü r beliebige x-Werte. I n der T a t s t r e b t das Verhältnis K + i : M»I

n + 1

f ü r n -»• oo n a c h Null (§ 378). Der Konvergenzbereich u m f a ß t das gesamte I n t e r v a l l (—oo, oo). Die S u m m e der Reihe (4) ist eine über diesem I n t e r v a l l definierte F u n k t i o n (nämlich die F u n k t i o n ex, vgl. Beispiel 1). B e i s p i e l 3. M a n bestimme d e n Definitionsbereich u n d einen Ausd r u c k f ü r die S u m m e der unendlichen Reihe

+ - +

+

(5)

§ 384. Der Konvergenzbereich einer Reihe

547

Lösung. Wir schreiben die Partialsummen der Reihe (5) in der Form ®»= 2 + Y

x

~ Y

x

2

+

T

y

x 2

1

""

1

+

Yx"~1

= 2+ i-a:-i-x»

(6)

Wenn \x\> 1, so hat sn für n —> oo keinen endlichen Grenzwert (der xn

Summand

— wird unendlich groß), d. h., die Reihe (5) divergiert.

-1

0

Abb. 382

Für x = — 1 divergiert die Reihe ebenfalls, da 1

1 ,

„v

3

(-1)"+1

Man sieht daraus, daß sn abwechselnd die Werte 2 und 1 annimmt. Für die übrigen Werte von x (d.h. für — 1 < x 1) konvergiert die Reihe (5). In der Tat werden für x = 1 alle Glieder der Reihe außer dem ersten gleich Null, und wir haben -8(1) = 2. 35*

(7)

548

VII. Unendliche Reihen

Wenn hingegen |x| < 1, so strebt der Summand

— in der

Formel (6) bei festem x für n -> oo nach Null, und es gilt S(x) = Jim |2 + | j : - | x » J = 2

i - x.

(8)

Der Konvergenzbereich für die Reihe (5) ist also das Intervall (— 1, 1), aus dem der Wert x = — 1 ausgeschlossen ist (in Abb. 382 die Strecke ah ohne den Punkt a). In diesem Bereich ist die Summe 8 der Reihe (5) eine Funktion von x, die durch die folgenden Gleichungen definiert wird S(x) = 2 + — x - S(x) = 2

für

—1 < x < 1,

für

« = 1.

Die Funktion S(x) ist in x — 1 unstetig, während sie in den übrigen Punkten des Konvergenzbereiches stetig ist. Außerhalb von — 1 < x < 1 ist die Funktion S(x) überhaupt nicht definiert. Ihre grafische Darstellung ist die Strecke AB in Abb. 382 ohne die Endpunkte A und B, ergänzt durch den Punkt C. § 385. Über gleichmäßige und ungleichmäßige Konvergenz 1 ) Die unendliche Reihe mit veränderlichen Gliedern %(«) + u2{x) + b Un(x) + ••• (1) möge in jedem Punkt eines (offenen oder abgeschlossenen) Intervalls (a, 6)2) konvergieren, und es sei gefordert, die Summe S der Reihe (1) mit einer Genauigkeit s zu bestimmen (d. h., der Rest Sn darf dem Betrag nach die positive Zahl e nicht übertreffen). Für jeden bestimmten Wert von x läßt sich diese Forderung ab einer gewissen Zahl n = N erfüllen. Die Zahl N hängt in der Regel von x ab, und es kann vorkommen, daß bei keinem n die geforderte Genauigkeit für alle Werte von x zugleich sichergestellt ist. In solchen Fällen sagt man, die Reihe (1) konvergiere im Intervall (a, b) ungleichmäßig. Wenn hingegen der geforderte Genauigkeitsgrad ab einer gewissen Zahl N stets für alle Werte von x erreicht werden kann, so sagt man, die Reihe (1) konvergiere im Intervall (a, b) gleichmäßig. B e i s p i e l 1. Die Reihe 2 + y i ( l - x) + y X 2 ( 1 - x) + • • • + -i-

1 - x) + •••

(s. § 384, Beispiel 3) konvergiert in jedem Punkt des abgeschlossenen Intervalls (0,1). Wir zeigen, daß sie in diesem Intervall ungleichmäßig konvergiert. 2)

Definition 8. § 386. Die Reihe darf auch in den Punkten außerhalb von (a, b) konvergieren, solche Punkte schließen wir jedoch aus der Betrachtung aus.

(2)

§ 385. Über gleichmäßige und ungleichmäßige Konvergenz

549

Wir fordern, daß die Partialsumme sn = 2 + Y

x

~ Y

x

n

(3)

die Summe der Reihe (2) mit einer Genauigkeit von 0,05 liefere. F ü r x — 0 und' x = 1 ist die Forderung bei allen Partialsummen erfüllt (man erhält den exakten Wert S = 2). F ü r die übrigen x-Werte ist die Summe gleich

8 = 2 + - 1 x,

(4)

Abb. 383

und der Rest der Reihe ist

Bn = S~sn

= i - x«.

(5)

F ü r x = 0,1 oder x = 0,2 oder x = 0,3 ist die geforderte Genauigkeit bereits bei N = 2 gesichert. Zum Beispiel haben wir f ü r x = 0,3

F ü r x — 0,4 sind jedoch zwei Glieder zu wenig. Man m u ß mindestens drei nehmen. D a n n gilt 121,1 = y • 0 , 4 ? « i - • 0,06

) -

(z2 -

x')]

+ ••• = 0

' ) Die Formel (7) erhält man durch gliedweise Multiplikation der Reihe 1 + x + x> + •••

= ( o 1 — x

mit sich selbst (vgl. § 381, Beispiel 2).

i i V

s

i

) 2/

(10)

§ 391. Die Differentiation von unendlichen Reihen (s. § 389, Beispiel 3) darf man in den Grenzen von 0 bis 1 gliedweise 1

1

557

integrieren:

1

J (x - xs) dx + J 0

[(x 2

- x') - {x - x"-)] ix

+ ••• =

0

f

0 •

dx

= ü.

,

(11)

0

I n der T a t sind die Partialsummen der Reihe (11) gleich 1

r

s « =

I

(x» -

rf*

n

= (»

J o

.

i)(2»i +

(12)

i)

Sie streben für m —> oo gegen Null. B e i s p i e l 3. Die unendliche Reihe

(x - x') + [2(x1 + %) - 2(x2 - x')] +

(13)

m i t dem allgemeinen Glied

un(x) --- n(xn - x*") - (n - 1) (x"-1 - x"•-') konvergiert im Intervall (0, 1) und hat die stetige Summe S(x) bei der Reihe (10)). Daher gilt 1

(14) = 0 (Beweis wie

fS(x)dx = 0.

(15)

0 1 Die Integration zwischen den Grenzen 0 und 1 liefert jedoch nicht 0, sondern — . W i r erhalten nämlich die Reihe

a

1

1

j (x - x')dx I-

1

f (xl - x') dx - j {x - x") dx

2

0

0

1

1

>i j (*" - x'")dx - (n - l)f 0

(x"~l - x-n'')dx

(10)

0

m i t den Partialsummen

s'n

— n

j "

n) = • (x" — x"-dx

( » + 1 ) ( 2 n + 1)

(17)

D i e Summe S' ist daher

S' —

lim

s'n =

— .

(18)

Die Divergenz zwischen (15) und (18) beruht auf der ungleichmäßigen K o n v e r g e n z der Reihe (12) (die ungleichmäßige K o n v e r g e n z wurde in Beispiel 3 v o n

§ 389

bewiesen).

§ 391. Die Differentiation von unendlichen Keihen Auch bei gleichmäßiger Konvergenz darf man eine unendliche Reihe nicht immer gliedweise differenzieren. Das nachfolgende Theorem gibt ein Kriterium dafür, wann man gliedweise differenzieren darf.

558

VII. Unendliche Reihen

T h e o r e m . Wenn die unendliche Reihe u^x) + u2(x) + • • • + un(x) + • • •

(1)

im Intervall (a, 6) konvergiert u n d wenn die Ableitungen ihrer Glieder in diesem Intervall stetig sind, so darf man die Reihe gliedweise differenzieren unter der Bedingung, daß die dadurch entstehende Reihe %'(») + u2'(x) + • • • + uu'{x) (2) gleichmäßig konvergiert (im gegebenen Intervall). Die Summe der Reihe (2) ist in diesem Fall die Ableitung der Summe der Reihe (1). Der Beweis beruht auf der Wechselbeziehung zwischen Differentiation und Integration und stützt sich auf das Theorem in § 390. B e i s p i e l . Die Reihe X + X* + b Z" H (3) konvergiert im Intervall (0, q), wenn q ein echter Bruch ist. Es gilt dabei x + x2 -I

xn -\

—:— 1 —x

(Oälg}).

(4)

Die Ableitungen der Glieder sind stetig im Intervall (0, q). Sie ergeben die Reihe l+2x-\ 1-nx"'1-I , (5) die in diesem Intervall gleichmäßig konvergent ist (§ 390, Beispiel 1). x DieSummeder Reihe (5) ist daher die Ableitung der Summe der 1 Reihe (3): ~ x

l

+

2x + -

+ nxn-i + ••• = ^

( j - ^ ) = (TZ-^ä-

W

B e m e r k u n g . In dem Theorem wird nicht gefordert, daß die Reihe (1) gleichmäßig konvergiert. Bei den Bedingungen des Theorems ist diese Forderung von selbst erfüllt (auf Grund des Theorems in § 390).

§ 392. Potenzreihen

Tür die Praxis am wichtigsten sind unter den Reihen mit veränderlichen Gliedern die Potenzreihen (über ihre H e r k u n f t s. § 270). U n t e r einer Potenzreihe versteht m a n eine Reihe der Form a0 + ajpc + a2x2 + • • • + < V > + • • •

(i)

sowie eine Reihe der allgemeineren Form a0 + ax{x — x0) + a2(x — x0)2 H

\- a„(x — x0)n -|

,

(2)

wobei x0 eine konstante Größe ist. Von der Reihe (1) sagt man, sie sei eine Potenzreihe in x. Die Reihe (2) ist eine Potenzreihe in x — x0. Die Konstanten a0, av a2, ..., an,... heißen Koeffizienten der Potenzreihe.

§ 393. Konvergenzintervall und Konvergenzradius

559

Drückt m a n x — x0 durch z aus, so geht (2) über in eine Potenzreihe in z, d. h., sie erhält die Gestalt (1). Wir werden daher im folgenden, wenn nichts anderes vorausgesetzt wird, unter einer Potenzreihe immer eine Reihe der Gestalt (1) verstehen. Eine Potenzreihe konvergiert immer f ü r x — 0. Bezüglich ihrer Konvergenz in den anderen P u n k t e n unterscheidet m a n drei Fälle, die in § 393 betrachtet werden.

§ 393. Konvergenzintervall und Konvergenzradius einer Potenzreihe 1. Es k a n n vorkommen, daß eine Potenzreihe in allen P u n k t e n außer in x = 0 divergiert. So wird z. B. bei der Reihe l*x + 2V

+ 33x3 +

h n"x« H

das allgemeine Glied nnxn = (nx)n dem Betrag nach unbegrenzt groß, sobald nx größer als 1 wird. Eine derartige Potenzreihe h a t keine praktische Bedeutung. 2. Eine Potenzreihe k a n n in allen P u n k t e n konvergieren. Dies t r i f f t zum Beispiel f ü r die Reihe x2

+- +

x3

x

fy]

+ -

zu, deren Summe f ü r jeden Wprt von x gleich e« ist (§ 272, Beispiel 1). 3. I n den meisten Fällen konvergiert eine Potenzreihe in gewissen P u n k t e n und divergiert in den restlichen Punkten. B e i s p i e l 1. Die geometrische Reihe 1 + x + x2 -{

(1)

konvergiert f ü r \x\ < 1 und divergiert f ü r \x\ > 1. Hier fällt der Konvergenzbereich mit dem Intervall (—1, + 1 ) zusammen (§384), von dem beide Enden ausgenommen sind. Die Summe der Reihe (1) ist (innerhalb des Konvergenzbereiches) 1 - z" B e i s p i e l 2. Die Potenzreihe X

X2

1+15+25 + -

xn

+ -

(2)

konvergiert f ü r \x\ < 1 und divergiert f ü r |x| > 1 (vgl. § 374, Beispiel 2). Der Konvergenzbereich ist das Intervall (—1, + 1 ) , die beiden Enden —1 und + 1 eingeschlossen. Die Summe der Reihe (2) läßt sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken.

560

V I I . Unendliche Reihen

B e i s p i e l 3. Die Potenzreihe 7-2

ry 3

n*n

+

(3)

konvergiert für |x| < 1 und divergiert für \x\ > 1. Für x = — 1 divergiert sie ebenfalls (§ 369, Beispiel 2), für x 1 konvergiert sie (§ 369, Beispiel 3). Der Konvergenzbereich ist das Intervall ( — 1, + 1 ) ohne den Punkt —1 und mit dem Punkt -f-1. Die Summe der Reihe (3) ist (innerhalb des Konvergenzbereiches) In (1 + x) (§ 272, Beispiel 2). Die Reihe (3) erhält man durch gliedweise Integration der Reihe 1 — x 4- x 2 — x3 4- • • • =

.

1 + x T h e o r e m . Der Konvergenzbereich einer Potenzreihe a0 + axx + a.2x2 -f • • • + V n + •'' (4) ist ein gewisses Intervall (-B, B), das symmetrisch bezüglich x = 0 liegt. Bei manchen Potenzreihen gehören beide Enden — B und B zum Konvergenzbereich, bei manchen nur ein Ende, und bei manchen sind beide Enden ausgeschlossen. Das Intervall (—B, B) heißt Konvergenzintervall, die positive Zahl B heißt Konvergenzradius der Potenzreihe. Wena die Potenzreihe nur im Punkt x = 0 konvergiert, so ist B = 0 . In den Beispielen 1 — 3 war der Konvergenzradius 1. Wenn die Potenzreihe in allen Punkten konvergiert, so spricht man von einem unendlichen Konvergenzradius (B = oo). § 3 9 4 . Die B e s t i m m u n g des Konvergenzradius T h e o r e m . Der Konvergenzradius B einer Potenzreihe a0 + ctjX + a2x2 + • • • + a„xn + • • •

(1)

ist gleich dem Grenzwert des Verhältnisses \an\ : [aB+1| unter der Bedingung, daß dieser Grenzwert existiert (endlich oder unendlich): B = Hm |a n : an+11. n—>oo

(2)

B e i s p i e l 1. Man bestimme den Konvergenzradius und das Konvergenzintervall der Reihe 0,1a;

0,01x 2 2

L ö s u n g . Hier ist an = i1an\ Bl

0,001a;3 3 (_0,1)»»

0,1« '•1 ®»+i = n

+

(-0,1)"!«» »

+

(3)

. Wir haben 0,1" + 1 - = n—r + r1

:

10

B = lim \an : an+1\ = 10.

n + 1 > n (4)

§ 394. Die Bestimmung des Konvergenzradius

561

Der Konvergenzradius ist gleich 10, das Konvergenzintervall ist (—10, 10). I m Inneren dieses Intervalls konvergiert die Reihe (3), außerhalb davon divergiert sie. F ü r x = 10 geht die Reihe (3) über in 1 1 1 (—1)" -4- -— 1- - — — -| . (5) K 1 2 3 ^ n ^ ' Diese Reihe konvergiert (§369, Beispiel 3). F ü r x — —10 erhalten wir die divergente Reihe (§ 369, Beispiel 2) _ t

1 2

1

_ 4

•

Der Konvergenzbereich ist also das Intervall (—10, 10), das eine Ende x = 10 ist eingeschlossen, das andere Ende nicht. Erklärung:. Wir können x als gegebene Zahl betrachten und auf die lleilie (3) das Kriterium von d'Alembeiit anwenden (§ 378). Wir erhalten

Un

(-0, l ) V =

,

lim |«tn.,:«»| = lim |(1*1 M - 0-0,1 ,1 —— —7 ) ) ^ 1*1-0,1. J-» oo, \ » + 1/

J! oo

Nach dem Kriterium von d ' A l e m b e r t konvergiert die Ilcihe (3), wenn \x\ • 0,1 < 1, d. h., wenn xl < 10. Sie divergiert, wenn [x\ • 0,1 > 1, d. h., wenn }x\ > 10. Durch dieselbe Überlegung, angewandt auf die Reihe (1), erhält man die Formel (2).

B e m e r k u n g 1. Die Summe der Reihe (3) ist (inj Konvergenzbereich) gleich In (1 + 0,1®) (vgl. § 393, Beispiel 3). B e i s p i e l 2. Man bestimme den Konvergenzradius der Reihe ry Jtj F

-v2 Ju ITI

/y»3 fcC'

,

"3!

,,

k/yB C

*

»!

"''

(6)

L ö s u n g . Hier gilt an = - — j — . Nach Formel (2) haben wir R = lim [ j r : * „ , 1 = lim (» + 1) = oo. (7) „^00 n^oo In', {n + 1)!J Die Reihe (6) konvergiert in allen Punkten. Ihre Summe ist gleich e~x (vgl. § 272, Beispiel 1). B e m e r k u n g 2. Wenn in der Reihe (1) unendlich viele Koeffizienten gleich Null sind, so h a t das Verhältnis \a n \: |a B+1 | keinen Grenzwert. Die Formel (2) läßt sich in diesem Fall nicht anwenden, auch wenn m a n die Nullkoeffizienten wegläßt und die übrigen Koeffizienten der Reihe nach nimmt. B e i s p i e l 3. Man bestimme den Konvergenzradius der Reihe 0,1z 2 —

0,01z* 2

0,001z 6 3

/q\

'

die man aus (3) durch die Substitution x — z- erhält. 36

Wygodski

(8)

562

V I I . Unendliche Reihen

Lösung. Da die Reihe (3) für \x\ < 10 konvergiert und für \x\ > 10 divergiert, konvergiert die Reihe (8) für |z| < /lf) und divergiert für |z| > VTÖ. Der Konvergenzradius der Reihe (8) ist also /lÖ. Die Formel (2) ist nicht anwendbar: Faßt man die Koeffizienten ungerader Potenzen von z als Null auf, so hat das Verhältnis |an| : \an+1 \ nur für ungerade n einen Sinn. Läßt man hingegen die Nullkoeffizienten weg und numeriert die übrigen der Reihe nach durch, so ist der Grenzwert von \an \ : |a„+1[ gleich 10 und liefert nicht den Konvergenzradius. Die Summe der Reihe (8) (im Konvergenzbereich) ist In (1 + 0,1 z 2 ).

§ 395. Der Konvergenzbereich einer Potenzreihe in x — x0 Der Konvergenzbereich der Potenzreihe

a0 + a^x — x„) + a2 {x — x0 ) 2 + • • • + an ( x ~ xo) n + • • •

(*)

ist ein gewisses Intervall (x0 — B, x0 + B), das symmetrisch bezüglich XQ liegt. In gewissen Fällen gehören beide Intervallenden dazu, in gewissen Fällen nur eines der Enden, in anderen Fällen gehören die Enden nicht dazu. Das Intervall ( x 0 — B, x0 + B) heißt Konvergenzintervall, die positive Zahl B heißt Konvergenzradius der Reihe (1). Wenn die Reihe in allen Punkten konvergiert, so ist der Konvergenzradius unendlich (.B = oo). Wenn das Verhältnis \an \: |aM+1] einen (endlichen oder unendlichen) Grenzwert hat, so bestimmt man den Konvergenzradius aus der Formel B = lim |an : an+1 ]. (2) «—>•00 Beispiel. Man bestimme den Konvergenzradius und den Konvergenzbereich der Reihe j

0,2 , (s + 0 , 2 ) 2 (x + 0,2)" , • I s r ••• H !-••••

W)

Hier gilt x0 = —0,2, an — — . Nach Formel (2) erhalten wir

B = lim •

OD

n 'n +1

= 1.

Der Konvergenzbereich ist das Intervall ( — 1,2; 0,8), das eine Ende 0,8 ausgeschlossen. Die Summe der Reihe (3) ist (im Konvergenzbereich) - I n n - (x + 0,2)] = In — . 0,8 — x

§ 397. Operationen mit Potenzreihen

563

§ 396. Das Theorem von Abel1) T h e o r e m . W e n n die Potenzreihe «o + a i x + ®2x2 + • • • + i n x n + • • • (1) konvergiert (absolut oder bedingt) in einem beliebigen P u n k t x0, so konvergiert sie absolut und gleichmäßig in jedem abgeschlossenen Intervall (a, b), das im Inneren des Intervalls (—\x 0 \, |x 0 |) liegt. B e m e r k u n g i. Das Wort „im I n n e r e n " ist im strengen Sinn zu verstehen, d. h., unter den Bedingungen des Theorems darf weder das eine noch das andere Ende des Intervalls (a, b) mit dem P u n k t \xa\ oder mit dem P u n k t — [as01 zusammenfallen. B e i s p i e l . Die unendliche Reihe

konvergiert (bedingt) im P u n k t x = — 1, da sie dort in die Reihe _ J_

i

L _L _L _

übergeht (§ 369, Beispiel 3). Nach dem Theorem von A B E L konvergiert die Reihe (2) absolut in jedem abgeschlossenen Intervall, das ganz im Inneren des Intervalls (—1, 1) liegt, z. B. in dem abgeschlossenen Intervall (—0,99; 0,99). N i m m t man als linkes Ende des Intervalls (a, b) den P u n k t —1, so geht die absolute Konvergenz verloren (im P u n k t —i nämlich). N i m m t man als rechtes Ende f ü r (a, 6) den P u n k t x0 = 1, so konvergiert dort die Reihe nicht mehr. B e m e r k u n g 2. Die Konvergenz bleibt gleichmäßig, wenn m a n als einen E n d p u n k t des abgeschlossenen Intervalls den P u n k t x0 n i m m t . Dasselbe gilt f ü r den P u n k t — x0, wenn dort die Reihe konvergiert.

§ 397. Operationen mit Potenzreihen Gegeben seien zwei Potenzreihen a0 + cijX + a2x2 4- • • • + anx" + • • • = S^x), b0 -f, bjX + 6 2 z 2 + ••• + bnx» + ••• = S2(x).

(1) (2)

E s sei A der Konvergenzradius der Reihe (1) und B der Konvergenzradius der Reihe (2). Den kleineren von beiden bezeichnen wir mit r (wenn beide gleich sind, so bezeichnet r den gemeinsamen Wert). X. H . ABEL (1802 — 1829) war ein norwegischer Mathematiker. Obwohl er bereits mit 27 Jahren starb, schuf er Arbeiten von überragender Wichtigkeit. Die Aussage über die gleichmäßige Konvergenz stellt eine spätere Ergänzung dar (der Unterschied zwischen der gleichmäßigen und der ungleichmäßigen Konvergenz wurde gegen Ende des 19. Jahrhunderts von WEIEBSTRASS eingeführt).

36*

564

VII. Unendliche Reihen

Wenn man die Reihen (i) und (2) addiert, subtrahiert oder miteinander multipliziert (nach dem Schema für die Multiplikation von zwei Polynomen, vgl. § 381), so erhält man eine neue Potenzreihe. Ihr Konvergenzradius ist mindestens gleich r, er kann auch größer als r sein. Ferner gilt für ihre Summen S^x) + S2(x), S^x) — S2(x), S ^ S ^ x ) je nach der Art der Operation (vgl. §371, §381, §396). Die gliedweise I^ivision der Reihe (1) durch die Reihe (2) vollführt man gemäß dem Schema in § 382 unter der Bedingung, daß b0 4= 0 . Wenn r =(= 0, so ist der Konvergenzradius r1 der erhaltenen Reihe von Null verschieden, jedoch nicht größer als A. Es kann auch vorkommen, daß r1 kleiner als jede der Größen A und B ist (s. Beispiel 4 und Bemerkung zur Formel (4), §401). Die Summe der neuen Reihe ist (im Konvergenzbereich) gleich S-^x): S2(x). Beispiel 1. Im Intervall (—1, 1) haben wir 1 + x + tf + x3 + ••• = 1 — X + x2 - X3

(3)

—j-g.

(4)

Durch gliedweise Addition erhalten wir (5)

2 + 2x* + 2X* + --- = 1-?—2. 1 — x* Zieht man (4) gliedweise von (3) ab, so ergibt sich 2x + 2x3 + 2xb

^

H

.

(6)

Gliedweise Multiplikation (vgl. § 381, Beispiel 1) liefert 1

+

*

2

+

x

4

+

. . .

=

_

L

_

( 7 )

Teilt man die Reihe (3) durch die Reihe (4) (vgl. § 382, Beispiel), so erhält man 1 + 2x + 2x2 + 2x3 + • • • = I i i . 1— x

(8)

Die Reihen (5) —(8) haben gemäß dem Theorem aus § 394 den Konvergenzradius B, = 1 wie die Reihen (3) und (4). Die Formeln (5) bis (8) verifiziert man leicht: Ihre linken Seiten sind geometrische Reihen (in (8) mit dem zweiten Glied beginnend). B e i s p i e l 2. Im Intervall (—oo, oo) haben wir (§272, Beispiel 1) ,

.

/y» »V

US

/y«3 »V

/v7l

fcV

yvv\

Setzt man — x für x, so entsteht 1

- f i + f r - f r + --- + ( - D - ^ r +

= —•

§ 398. Differentiation und Integration von Potenzreihen

565

Wegen c» • er* = 1 müssen sich bei der gliedweisen Multiplikation alle Glieder außer dem ersten wegheben, was auch tatsächlich zutrifft. B e i s p i e l 3. Bei gliedweiser Division der Reihe (9) durch die Reihe (10) erhalten wir die Reihe 1 + 2 z + 2*2 +

+

+

(11)

Das Bildungsgesetz für die Koeffizienten ist nicht unmittelbar zu erkennen, man weiß aber, daß die Reihe (11) in einem gewissen Intervall konvergiert und dort als Summe e*: = e 2 * besitzt, die sich in der Form 2

22

23

24

2"

darstellen läßt. Die Reihe (12) hat gemäß dem Theorem aus § 394 wie die Reihen (9) und (10) einen unendlichen Konvergenzradius.

§ 398. Differentiation und Integration von Potenzreihen

T h e o r e m 1. Wenn die Potenzreihe den Konvergenzradius R und die Summe S(x) besitzt: a0 + axx + a2x2 + • • • + a„x" + • • • = 8{x),

(1)

so hat die Reihe, die man daraus durch gliedweise Differentiation erhält, denselben Konvergenzradius R, und ihre Summe ist die Ableitung der Summe S(x): + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + • • • + rae^x»-1 + • • • = S'(x).

(2)

Die Summe einer Potenzreihe ist also eine differenzierbare Funktion, die beliebig hohe Ableitungen besitzt (da für die Potenzreihe (2) wieder die Aussage von Theorem 1 gilt).

B e m e r k u n g 1. Wenn die Reihe (1) an einem Ende des Intervalls (—R, R) divergiert, so divergiert an diesem Ende auch die Reihe (2). Die Konvergenz der Reihe (1) in einem der beiden Intervallenden kann sich hingegen auf die Reihe (2) übertragen oder nicht. B e m e r k u n g 2. Die Konvergenz der Reihe (2) ist etwas langsamer als die der Reihe (1) (da rtan dem Betrag nach größer ist als a n ) # B e i s p i e l 1. Durch mehrmalige Differentiation der Reihe 1 + x + x M

h x" H

—i— ( - 1 < X < +1),

(3)

566

V I I . Unendliche Reihen

mit dem Konvergenzradius R = 1 erhalten wir Reihen mit demselben Konvergenzradius. Ihre Summen sind die entsprechenden Ableitungen von

:

1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + ••• + n x ^ + . . . = 2 + 6x + 12x 2 +

1- n(n -

( 1

1) x«" 2 ^

^

2 ) 2

1 - 2

,

(i 1-2-3 6 + 24x + • • • + n(n — 1) (n — 2) x™"3 + • • • = T t (1 - x)*

W ,

(5) .

Die Reihe (3) divergiert an beiden Enden des Konvergenzintervalls, die Reihen (4) —(6) ebenfalls. B e i s p i e l 2. Die Reihe (3) erhält man durch Differentiation der Reihe x2 xnt1 *

+

¥

+

-

+

+

—

l

n

(

1

-

x

-

)

( 7 )

Die Reihe (7) divergiert für x = 1 und konvergiert für x — — 1 , aber nach der Differentiation liegt in x = — 1 keine Konvergenz mehr vor. T h e o r e m 2. Die Reihe, die man durch gliedweise Integration der Reihe (1) zwischen den Grenzen 0 und x erhält, hat denselben Konx vergenzradius, und ihre Summe ist J 8(x) dx: o X

+

+

+

f

S{x)dx-

(8)

0 B e m e r k u n g 3. Wenn die Reihe (1) in einem der Enden des Intervalls ( — B , R) konvergiert, so konvergiert in diesem Endpunkt auch die Reihe (8), und es gilt dort die Formel (9). Divergiert hingegen die Reihe (1) in einem Endpunkt des Intervalls (— R, R), so kann die Reihe (8) dort divergieren oder konvergieren. Die Konvergenz der Reihe (8) ist etwas besser als die der Reihe (1). B e i s p i e l 3. Der Konvergenzradius der geometrischen Reihe 1 -

X2 + xl -

x6 H

1- ( - 1 ) « - 1 x 2 " -)

—ji-^

(9)

ist gleich 1. Durch gliedweise Integration erhalten wir (für \x\ < 1) /y.7 X3 iv , , , • />«27i+l tl/ a B

- T + T - T

+

-

+

(

-

1 )

*"15r+T

+

-

iL

-I-:

= arctan x .

(10)

(6)

§ 399. Die TAYLOR-Reihe

567

Der Konvergenzradius der Reihe (10) ist ebenfalls gleich 1. Im Endpunkt x = 1 divergiert die Reihe (9), aber die Reihe (10) konvergiert dort (nach dem Kriterium von LEIBNIZ), und wir haben1)

1

-y + i - y

+ -

2^VT

+

-=

+

= f•

Im Endpunkt x = — 1 divergieren beide Reihen (nach dem Integralkriterium). B e i s p i e l 4. Durch gliedweise Integration der Reihe x

~

^y>3

/y7

Jj

3 ! + 5 ! " 7! + " - =

.

(")

sma:

(§ 272, Beispiel 2), für die R = oo, erhalten wir X

2! ~ 4 !

+

6! ~ " 8 ! + " '

/

=

sin

*

=

1

~

cos

wobei x eine beliebige Zahl ist. Daraus ergibt sich die Entwicklung der Funktion cos x: cosx=l-|

i

f

+

j

- |

i

+

- .

(12)

Auch hier gilt B = oo. § 399. Die Taylor-Reihe 2 ) D e f i n i t i o n . Als TAYLOR-Reihe (Entwicklung nach Potenzen von x — xa) der Funktion f(x) bezeichnet man die Potenzreihe /'(*«) /W + -2T

f

(* )•

(1) da)

Beide Entwicklungen erhält man durch Abschätzung des Restglieds (§272, Beispiel 1). Die Formel ( l a ) ergibt sich aus (1) durch Vertauschen von x mit —x. Die trigonometrischen Funktionen sin:c

cosx=

= TT - Ä + Ä ~ TT H — y4 /y*Q 1 -

—

+

_

-

= oo),

— + . . . (ii = oo).

(2) (3)

Beide Entwicklungen kann man durch Abschätzung des Restglieds erhalten (§ 272, Beispiel 2). Eine der Reihen ergibt sich aus der anderen durch gliedweise Differentiation (oder Integration). Durch gliedweise Division von (2) durch (3) erhält man tanz = x + I x ' + A s * +

+ J L * - + ... ( ä = (4)

§ 401. Die Entwicklung der elementaren Funktionen

571

Das Bildungsgesetz f ü r die Koeffizienten läßt sich nicht durch elementare Formeln ausdrücken. Eine Bestimmung des Konvergenzradius gemäß dem Theorem aus § 394 ist daher schwierig. Man weiß jedoch, daß R nicht größer sein k a n n als — . Denn schon f ü r x = ¿i divergiert die Reihe (4), da t a n ±

JL

Die Funktion cot x besitzt keine Potenzreihenentwicklung in x, da cot 0 = oo.

Die hyperbolischen Funktionen 1 ) X X" Xo 1! ' 3! ' 5!

2

1

X' 7!

•••(.R = oo)

(2a)

(hyperbolischer Sinus; Bezeichnung: sinh x), x2

ex + e-x

xi

x6

2!+4!+ (hyperbolischer Kosinus; ex — e~x ex '-)- e~x

6!

+

""

(B =

OC)

(3a)

Bezeichnung: cosha:),

=

(4a)

(hyperbolischer Tangens-, Bezeichnung: t a n h x). Die Entwicklung (2 a) und (3 a) erhält m a n durch Subtraktion und Addition von (1) und ( l a ) , die Entwicklung (4 a) durch gliedweise Division von (2a) durch (3a). Vgl. die Bemerkung zu Formel (4). Die Entwicklungen der hyperbolischen Funktionen unterscheiden sich von den Entwicklungen der entsprechenden trigonometrischen Funktionen nur durch die Vorzeichen.

Die Logarithmusfunktionen 3

X X2 X X1 T - T + ~3 "~~ 4 X

X2

X3

•

X4

••

~ T ~~ 2 ~ ~3~ — T

( 5 = 1), ( B = 1).

(5) (6)

Die Formeln (5) und (6) erhält m a n durch gliedweise Integration der Entwicklungen ^-g-— = l + x - \ - x Über die hyperbolischen Funktionen s. § 403.

2

± x

3

D u r c h

gliedweise

572

VII. Unendliche Reihen

Subtraktion ergibt sich

Mit Hilfe der Reihe (7) berechnet man gewöhnlich den Logarithmus von ganzen Zahlen. Mit x = -5- erhalten wir z. B. eine schnell konvergente Reihe für In 2. "

Die Binom inalreihen < , , "»(»» — 1) %„ . (1 + x)m = 1 + mx H ——5—-x 1 * Li

Bei ganzzahligem positivem m bricht die Reihe nach dem Glied m-ten Grades ab (die weiteren Koeffizienten sind Null). Die erhaltene Formel heißt NEWTOiMcÄei Binom. Die Entwicklung (8) gilt für beliebiges reelles m. Als Spezialfälle von (8) erweisen sich die folgenden Entwicklungen: (1 + x)" 1 = (1 +

x)" 2

=

= 1 - x + x 2 - x 3 + ..., * = 1 - 2x + (1 + X)

3x2

-

4x 3

+

(i + x*)- 1 = j-qr^ä = i - x 2 + x i - & + x*

(9) öx4

- •••,

,

(10)

(12)

(l + x ) 2 = i T + l c

(1 + x)~

2

= • n

1

•X

, 1 •3 , 1 • 3 - 5 , , 1•3•5•7 . + äTi*2- 27476^+ 2 7 4 ^ 7 * * - - > 1 1 (1 - x 2 ) " T = J/1 — X3 ,, , 1 1-3 1-3-5 K1 l - 3 - 5 7 _ , = 1 + T * + 2 ^ 4 * + 27176 2 7 X 7 6 7 8 *° +•••• 1

^ - T ^

{ U )

§ 401. Die Entwicklung der elementaren Funktionen

573

Die Umkehrfunktionen für die trigonometrischen Funktionen a r a

" =

i

+

1 a:3 1 • 3 x5 i l + 2 l

1 • 3 • 5 x> , 27476 y +

arctana; = x - y + — - y +

(16>

^»9

(R = 1).

(17)

Die Entwicklung (16) und (17) erhält man aus (15) und (12) durch gliedweise Integration zwischen den Grenzen 0 und x. Die Entwicklungen für arccos x =

aresin x und arccot x ~ —— aretan x

erhält man aus (16) und (17).

Die Umkehrfunktionen für die hyperbolischen Funktionen1)

{hyperbolischer Areasinus; Bezeichnung arsinh x). 1 v 1 I 0C - 2 l n T ^ - x

CC = x +

T + -5+T

, —,

%C +

-

(Ä =

., 1)

,. _ . (17a)

(hyperbolischer Areatangens; Bezeichnung artanh x). Die Funktionen In (x -f- j/x2 — l) = arcosh x (hyperbolischer Arealcosinus; Bezeichnung: arcosh k) und 1 i x + 1 = arcoth x — In 2 x —1

{hyperbolischer Arealcotangens; Bezeichnung: arcoth x) besitzen keine Potenzreihenentwicklung in x (sie sind im Punkt 0 nicht definiert). Die Entwicklungen (16a) und (17a) unterscheiden sich von den Entwicklungen (16) und (17) nur durch die Vorzeichen. *) Über diese Umkehrfunktionen s. § 404.

574

VII. Unendliche Reihen § 402. Die Anwendung der unendlichen Reihen auf die Berechnung von Integralen

Viele Integrale, die sich in endlicher Form nicht durch elementare Funktionen ausdrücken lassen, kann man durch schnell konvergente unendliche Reihen darstellen. Eine Bedeutung besitzt die Reihenentwicklung ferner auch für solche Integrale, die sich durch endliche Ausdrücke darstellen lassen, wenn diese Ausdrücke kompliziert sind. x

Beispiel 1. Das Integral f e~x* dx kann man in endlicher Form o nicht durch elementare Funktionen ausdrücken. Unter Verwendung der im Intervall (— oo, oo) konvergenten Reihe

erhalten wir X 1

f'

X3

1

X5

,

„

1

x2**1

, (2)

o

Das Konvergenzintervall ist hier ebenfalls (— oo, oo) (§ 398). i Beispiel 2. Man berechne f e~*2 dx mit einer Genauigkeit von 0,5 x • 10-". o Lösung. Setzt man in (2) für x den Wert 1, so erhält man l / er*'

dx

~~

1 T

o

+

J TÖ ~ 42

+

_t 2l6

—

1320

+

1 1 9360 ~~ 75600 ^

'

( )

Das Glied — ^ q q q und alle folgenden dürfen wir weglassen, da der dabei entstehende Fehler kleiner als 0,5 • 10~4 ist (die Reihe (3) ist alternierend, und ihre Glieder nehmen ab, § 376). Wir führen die Rechnungen auf fünf bis sechs Stellen durch und erhalten l / dx = 0,7468. o n

B e i s p i e l 3. Man berechne das Integral I nauigkeit bis zu 0,5 • 10~3. ' J

2

8ln x x

dx mit einer Ge-

*) Die unendlichen Reihen sind historisch aus dem Zusammenhang mit Integrationsaufgaben hervorgegangen (vgl. § 270).

§ 403. Hyperbolische Funktionen L ö s u n g . Das u n b e s t i m m t e I n t e g r a l j "

s m x

575

¿ x erhält m a n nicht

in endlicher F o r m . Entwickelt m a n sin x in eine Reihe u n d dividiert durch x, so erhält m a n die Reihe sinx —

=

1

x2 x4 x6 , 3!+5!-7! + - '

-

(4)

die f ü r beliebige x-Werte konvergiert (gemäß Theorem in § 394). Die I n t e g r a t i o n liefert j / sin x dx, = x — x' 7-7! 3 • 3! ' 5 • 5!

f sin x

J

x

1 (7i\3 18 \ 2 /

_ n X

2

1 600 \ 2 /

1 /tcV 35280 \ 2 /

(5)

1 / n \9 Das erste weggelassene Glied -—— I —1 ist (bei roher Abschätzung) viel kleiner als 0,5 • 10~3. Wir finden also

+¿

t

/T

• ( f )

"2

=1 5708

¿(f)3=°'2152

5

= 0,0159

+ 35^80 - ( | - ) 7 = 0,0007

'

1,5867

'

0,2160

2

J

d

x

= 1,5867 - 0,2160 s» 1,371.

§ 403. Hyperbolische Funktionen Die Potenzreihen X3

,

x5

in ~ 5!+ 2

X X 2 ^ ~ 4! 1

x>

7! x

6

+

+ 6! +

,

9! + "

•• (B = oo),

(1)

8

X • • 8I + -

(R

=

oo)

(2)

sind ähnlich d e n Potenzreihen f ü r sina: u n d c o s x u n d h a b e n die x (ex — e~ ) (tx -4- e~x) Summen - und - . Die erste F u n k t i o n heißl

576

VII. Unendliche Reihen

hyperbolischer Sinus (sinh)1), die zweite hyperbolischer Kosinus (cosh): sinh x = cosh x —

ex — e~x

(3)

'

2 ex -f

erx

(4)

Abb. 388

Als hyperbolischen Tangens und hyperbolischen Kotangens bezeichnet man die Funktionen , sinh x ex — e~x tanh x • (5) cosh x coth x --

cosh x

x

e

erx

(6)

Abb. 390

Die Funktionen sinh x, cosh x, tanh x, coth x heißen hyperbolische, Funktionen2). Ihre Kurven sind in den Abb. 388—391 dargestellt. Die Bezeichnung sinh ist eine Abkürzung für die lateinischen Wörter sinus hyperbolicus, cosh ist die Abkürzung für cosinus hyperboiicus. -) Der Zusammeniiang mit einer Hyperbel wird in § 405 erklärt.

577

§ 403. Hyperbolische Funktionen

Die hyperbolischen Funktionen sind für alle Werte von x definiert (ausgenommen die Funktion cotha; für x — 0 , wo sie unendlich wird). Die Funktion sinha; kann alle möglichen reellen Werte annehmen. Die Funktion cosha: ist nicht kleiner als 1 (coshO = 1), die Werte

-U

-3

-2

-1

0

4 *

der Funktion tanh x liegen zwischen — 1 und + 1 , die Werte von coth x sind größer als 1 für x > 0 und kleiner als — 1 für x < 0. Die Geraden y = + l u n d y = — 1 dienen als Asymptoten für die Kurven y— cotha: und y = tanh x. Die hyperbolischen Funktionen stehen untereinander in den Beziehungen cosh2 x — sinh 2 x — 1, (7) tanh x • coth x = 1, tanh x —

sinh x cosh x'

coth x

(8)

cosh x sinh x'

(9)

Es gelten die zu den trigonometrischen Formeln analogen Formeln sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y,

(10)

cosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y,

(11)

, , , tanhx + tanh« tanh ix + y) = — — — r ^ — - — ^ - . v r 1 + tanh x tanh y Alle diese Beziehungen folgen aus den Formeln (3) —(6). 37 Wygodski

v

(12) '

578

VII. Unendliche Reihen

Allgemein entspricht jeder trigonometrischen Formel, in der keine konstanten Größen unter dem Funktionszeichen vorkommen, eine analoge Beziehung zwischen den hyperbolischen Funktionen. Man erhält diese, indem man cos a. durch cosh a und sin 4- cos

2q>

+ cos 3

oo i—>oo

§ 408. Die Ableitung einer komplexen Funktion D e f i n i t i o n . Die Ableitung F'(i) einer komplexen Funktion F{t) = fit) + MO

(1)

des reellen Arguments t ist der Grenzwert des Verhältnisses

AF(t)

für At gegen 0.

At

Die Koordinaten der Ableitung sind die Ableitungen der Koordinaten fit) und (x) heißen orthogonal im Intervall (a, b), wenn das Integral über das Produkt (0, 0) = 0, 9

r

2

i

w

2

gegeben ist, ist im P u n k t M0(0; 0) unstetig. Die erste Bedingung der Definition 1 ist zwar erfüllt, aber die zweite nicht: Die Funktion (p(x, y) h a t f ü r M M0 keinen Grenzwert (s. Beispiel 1, § 423).

§ 425. Partielle Ableitungen D e f i n i t i o n . Unter der partiellen Ableitung einer Funktion u = /(x, y, z) nach dem Argument x versteht man den Grenzwert des Verhältnisses t(x + Ax,y,z)-f(x,y,Z) Ax

^

^

^

Bezeichnungs weisen: (i) Über die Bedeutung der Symbole du, ëx s. § 429.

§ 426. Geometrische Bedeutung der partiellen Ableitungen 613 B e m e r k u n g 1. Die Argumente x, y und z betrachtet man bei der Grenzwertbildung als Konstanten. Der erhaltene Grenzwert ist eine Funktion von x, y und z (vgl. § 224). Die partiellen Ableitungen nach den Argumenten y und z definiert und bezeichnet man analog, z. B. gilt u

» = % = fv{x< y>z) =

lim

/(*, y

+

Ay, z) - f(x, y, z) A

¿r+o

v

B e m e r k u n g 2. Zur Bestimmung der partiellen Ableitung u x genügt es, wenn man die gewöhnliche Ableitung der Veränderlichen u bildet, indem man diese als Funktion des einen Arguments x auffaßt. Wenn man alle drei partiellen Ableitungen benötigt, so wendet man in der Praxis das Verfahren aus § 438 an. Beispiel. Man bestimme die partiellen Ableitungen der Funktion u = f(x, y, z) = 2x2 + i,2 - 3z2 - 3xy - 2xz

(3)

im Punkt M„{0; 0; 1). Lösung. Wir betrachten w als Funktion des einen Arguments x und finden für die Ableitung

^

den Ausdruck 4a; — 3y — 2z. Im

Punkt (0; 0; 1) ist der Wert dieser Ableitung —2. Schreibweisen: /,(0; 0; 1) = 4* - 3y - 2*|,_ 0 > /,(0; 0; 1) = 2» - Ste | , _ 0 ,

„

= 0

= -2, = 0 ,

/I(0;0;l)= - 6 .

§ 426. Geometrische Bedeutung der partiellen Ableitungen für den Fall von zwei Argumenten Zum Punkt M0(x0;y0) (Abb. 411) gehöre der Punkt N0 der Fläche z = f(x, y) (§ 421). Wir legen durch N0 die Ebene N0M0U parallel zur Ebene XOZ. Als Schnitt erhalten wir die Kurve L1N0, längs der y konstant ist (y = y0). Die Kote z der Kurve LxNa ist eine Funktion des einen Arguments x. Die partielle Ableitung fx(x0, y0) ist gleich der Steigung der Tangente UN0, d . h . gleich dem Tangens des Winkels M0UN0, der von der Tangente US mit der Koordinatenebene XOY gebildet wird. Wir ziehen nun die Ebene N0M0V parallel zu YOZ und erhalten den Schnitt L0N0. Die partielle Ableitung fy(xa, y0) ist gleich dem

614

VIII. Differential- und Integralrechnung für Funktionen

Tangens des Winkels M0VN0, Ebene XOY gebildet wird.

der von der Tangente VT mit der

§ 427. Totaler Zuwachs und partieller Zuwachs Wir wählen beliebige Werte xa, y0, z0 für die Argumente x, y, z und geben diesen den Zuwachs Ax, Ay, Az. Die Punktion w = f(x, y, z) erhält dabei den totalen Zuwachs Au = Af(x, y, z) = f(x0 + Ax, «/„ + Ay, z0 + Az) — f(x0, y0, z0). Es kann vorkommen, daß der Zuwachs Ay und der Zuwachs Az Null sind, d. h., y und z bleibt unverändert. Dann erhält die Funktion f(x, y, z) den partiellen Zuwachs Axu = AJ(x, y, z) = f(x0 + Ax, y„, z0) — f(x0, y0, z0). Analog erhält man den partiellen Zuwachs Ayu = Avf{x, y, z) = f(x0, y0 + Ay, z0) — f(x0, y0, z0), Azu = Azf(x, y, z) = f(x0, y0, z0 + Az) — f(x0, y0, z0). Bemerkung. Im Falle von zwei Argumenten bedeutet der totale Zuwachs einer Funktion geometrisch den Zuwachs der Kote M^NQ

615

§ 428. Das partielle Differential

(Abb. 411) bei einer beliebigen Verschiebung des Punktes N0 auf der Fläche z = f(x, y). Den partiellen Zuwachs AJ(x, y) erhält man bei einer Verschiebung längs des Schnittes LXN„, den partiellen Zuwachs Avf(x, y) bei einer Verschiebung längs L.ZN„. Beispiel. Der totale Zuwachs der Funktion w = 2x- — y2 — z

ist gleich Au = A(2x2 — y2 — z)

= 2(x + Ax)2 - (y + Ay)2 - (z + Az) - 2x2 — y2 + z = 4a; Ax — 2y Ay — Az + 2zlx2 — Ay%. Der partielle Zuwachs beträgt Axu = 4x Ax + 2,da;2,

Ayu = —2y Ay — Ay2,

Azu = —Az.

§ 428. Das partielle Differential D e f i n i t i o n . Wenn sich der partielle Zuwachs Axu (§427) einer Funktion u = fix, y, z) als Summe aus zwei Gliedern Axm = A Ax +

B e m e r k u n g 1. In der Regel 1 wird vorausgesetzt, daß die Funktion F(x,y,z) in einem gewissen Punkt M0(x0; y„; z0), der Gleichung (1) erfüllt und in einer gewissen Umgebung dieses Punktes (d. h. in allen Punkten einer gewissen Kugel mit dem Mittelpunkt in M 0 ) differenzierbar ist. Darüber hinaus wird vorausgesetzt, daß die Gleichung, die man durch Differenzieren erhält, bezüglich dz auflösbar ist (d. h., der Koeffizient von dz muß von 0 verschieden sein). Unter diesen Bedingungen gilt: 1. Gleichung (1) liefert tatsächlich z als implizite Funktion der Argumente x und y. Sie ist innerhalb eines gewissen Kreises mit dem Mittelpunkt in (a;0; y0) definiert und nimmt für x = xj, y = y„ den Wert z„ an. 2. Die Funktion z ist innerhalb des erwähnten Kreises und insbesondere im Punkt («,; y,) differenzierbar.

R e g e l 2. Das System der beiden Funktionen J^a;, y, z,

u) = 0,

F2(x, y, z, u, v) = 0

(6)

liefert unter den in Bemerkung 2 angeführten Bedingungen die zwei Variablen u und v als implizite Funktionen der Argumente x, y, z. Zur Bestimmung der totalen Differentiale dieser Funktionen differenziert m a n die Gleichungen (6). Löst m a n das erhaltene Gleichungssystem nach du und dv auf, so erhält m a n die totalen Differentiale der Funktion u u n d v. Die Koeffizienten von dx, dy und dz liefern die entsprechenden partiellen Ableitungen. Genauso verfährt m a n , wenn die Zahl der Gleichungen (bei beliebiger Anzahl von Argumenten) größer als zwei ist. B e i s p i e l 2. Man bestimme die totalen Differentiale u n d die partiellen Ableitungen der impliziten Funktionen u und v, die durch das Gleichungssystem x-\-y-\-u-\-v

= a,

x 2 + y2 +

+ u2 = 62

(7)

gegeben sind. L ö s u n g . Durch Differenzieren erhalten wir dx + dy + du + dv = 0, x dx + y dy

u du + v dv = 0 .

(8)

§ 443. Partielle Ableitungen höherer Ordnung

629

Löst man das System (8) nach du und dv auf, so erhält man die totalen Differentiale der Funktionen u und v : d u

=

(v

~

x)

dx

+

(v

—

V

U

-

y)

dy

^

(u

=

-

x)

dx

'

+

(u

V —

-

y)

dy

U

Die Koeffizienten bei dx und dy liefern die partiellen Ableitungen du dx

v — x u — v

du dy

v — u —

y v

dv dx

u

—

x

dv

u

—

(10)

y

B e m e r k u n g 2. I n der Itegel 2 wird vorausgesetzt, daß die Funktionen F J x , y, z, u,v) = 0 und F y , z, u,v) = 0 in einem gewissen P u n k t M0(a;0; y a ; z„; u a ; v„), und in einer gewissen Umgebung davon differenzierbar sind. Außerdem ist vorausgesetzt, daß das durch Differenzieren gebildete Gleichungssystem nach du und dv aufgelöst werden kann (d. h. ( daß die aus den Koeffizienten Villidu uml ¿ ^ g e b i l d e t e Determinante von Null verschieden ist). Unter diesen Bedingungen g i l t : 1. Das System (6) definiert wirklich w und v als implizite Funktionen der Argumente x, y, z. Diese Funktionen sind innerhalb einer gewissen Kugel m i t dem Mittelpunkt (,rn; j/d; z0 ) definiert und nehmen für x — íc 0> y = y„, z = zfl die W e r t e m„ und r 0 an. 2. Die Funktionen u und v sind innerhalb der erwähnten Kugel differenzierbar, insbesondere im P u n k t (xa \ y 0 ; z 0 ).

§ 443. Partielle Ableitungen höherer Ordnung D e f i n i t i o n 1. Die partiellen Ableitungen der Funktionen t

heißen

= f

*

( X

'

y )

>

%

=

( 1 )

zweiter Ordnung (oder zweite partielle der Funktion z — f ( x , y ) . Es gibt vier verschiedene partielle Ableitungen zweiter Ordnung von p a r t i e l l e , Ableitungen

Ableitungen)

dz

z = f i x , y). Die partielle Ableitung von —- nach dem Argument x ö2z bezeichnet man durch —2 ; , dx

dx

ö2 f i x — " 2'

durch

y)

oder durch

dx

f

T

J x ,

y).

Analoge Bezeichnungsweise gelten für die übrigen Ableitungen, und wir haben also a

(dz\

d*z

d

(dz\

dH

__ 8*f(x,

_

d*f(x,

d y \ d x ) ~ d x d y ~ a dx ix

ldz

\ _

\ d y ) ~

d_ dy

\ d y j

2

dz

_

d y d x ~

= Sdy- =

y)

dx d

s

_

y) dy

f ( x , y)

dy

dx

_

.

~'*v [x'

y U

_ ~~ '

y x [ X

' '

w

(4) (5)

630

VIII. Differential- und Integralrechnung für Funktionen

Die zweiten Ableitungen (2) und (5) nennt man reine Ableitungen, die Ableitungen (3) und (4) nennt man gemischt. T h e o r e m 1. Die gemischten Ableitungen zweiter Ordnung (die sich durch die Reihenfolge der Differentiation nach x und y unterscheiden) sind untereinander gleich, falls sie im betrachteten Punkt stetig sind. B e i s p i e l 1. Man bestimme die zweiten partiellen Ableitungen der Funktion z = x3y2 -f- 2x 2 y — 6. Wir haben = 3x2y2 + 4xy, 8z 2

w

^

= 2 x3y +

2x\

8z —

= 6x2y +

4x,

2

= 6xy2 + 4y,

8z = 6x2y + 4a;, 8x 8y

8z = 8y2

2

2

2x3.

82z d2z Die gemischten Ableitungen -—— und -—— sind gleich. 8y 8x 8x 8y B e m e r k u n g 1. Auf Grund von Theorem 1 gibt es insgesamt nur drei verschiedene partielle Ableitungen zweiter Ordnung. D e f i n i t i o n 2. Die partiellen Ableitungen der partiellen Ableitungen zweiter Ordnung heißen partielle Ableitungen dritter Ordnung (oder dritte partielle Ableitungen). Man bezeichnet sie durch fxxx, fyyy (reine Ableitungen), fxxy, fxyx, fxvv u s w - (gemischte Ableitungen), dH oder durch —3 —3 ^ usw 8x ' 8y ' 8x2 8y' 8x 8y 8x T h e o r e m 2. Die gemischten Ableitungen dritter Ordnung, die sich nur durch die Reihenfolge der Differentiationen nach den Argumenten x und y unterscheiden, sind untereinander gleich (vorausgesetzt, daß sie im betrachteten Punkt stetig sind). 83z 83z Zum Beispiel gilt — ; — = 8x* 8y 8x Sy 8x B e i s p i e l 2. Die partiellen Ableitungen dritter Ordnung der Funktion z = v?y2 + 2x 2 y — 6 (vgl. Beispiel 1) sind

8x3 ~ 8x \8x2 j ~

V

'

\8y2 j ~~ '

83z 8x2 dy

8 I82z\ 8 I 82z 8y ( £ ) = ¿ ( ¿ y

8x dy2

dy (¿te \8x 8y) 8y:

8x

=

12x2/+4.

(öi/2)

B e m e r k u n g 2. Auf Grund von Theorem 2 gibt es nur vier verschiedene partielle Ableitungen dritter Ordnung: 3®z 83z 8H 8H_ 8x3' 8x2 8y' 8x8y2' 8y3'

§ 444. Die totale Differentiale höherer Ordnung

631

B e m e r k u n g 3. Auf analoge Weise definiert und bezeichnet man die partiellen Ableitungen von vierter u n d höherer Ordnung der Funktion f(x, y), sowie von Funktionen mit drei und mehr Argumenten. I n allen Fällen gelten Theoreme, die analog den Theoremen 1 und 2 sind.

§ 444. Die totalen Differentiale höherer Ordnung Wir bilden den totalen Zuwachs (§ 427) Az der Funktion z = f(x, y). Mit denselben Größen Ax und Ay bilden wir danach den totalen Zuwachs A(Az) der Größe Az (als Funktion von x und y betrachtet). So erhalten wir die zweite Differenz A"z der Funktion z. Wenn man A2z in eine Summe von zwei Gliedern zerlegen kann, A2z = (r Ax2 + 2s Ax Ay + tA y2) -f «,

(1)

wobei r, s und t nicht von Ax und Ay abhängen und wobei

(vgl. (7), §444). B e m e r k u n g . Für drei, vier und mehr Argumente gilt dieselbe Vereinbarung. Zum Beispiel bedeutet das Symbol d2u

— ( S - dx 4d y \8x dy

4- -rdz

2

dz\ U ]

dasselbe wie Q^u

cftu

d^u

ô^u

§ 447. Die Taylorsche Formel für Funktionen von mehreren Variablen Für eine Funktion von einer Variablen kann man Formel (§ 271) in der Form f(x

+ Ax) = f ( x ) + -L f ' ( x ) Ax-V^

+ ^y /(»)(») Ax« +

^

d i e TAYLOKsche

f " ( x ) Ax* +

•••

/(»+1)(k + 0 Zl«) Zla;'^1

(i)

schreiben, wobei 0 eine gewisse positive Zahl kleiner als 1 ist 1 ): 0 < 0 < 1.

(2) Ax2,...

Hier bedeuten die Ausdrücke f'(x) Ax, f"(x) die Differentiale der ersten, zweiten, usw. Ordnung. Die TAYLORsche Formel für Funktionen von mehreren Variablen konstruiert man analog dazu unter Verwendung der totalen Differen*) Die in (1) aus § 271 eingeführte Zahl I liegt zwischen x und x + Ax. Daher hat die Differenz S — x dasselbe Vorzeichen wie Ax. Also ist der Quotient (i — x): Ax eine gewisse positive Zahl 0, die kleiner als 1 ist. Mit (I — x): Ax ~ 0 erhalten wir f = x + 6Ax.

§ 4 4 7 . D i e TAYLORsche F o r m e l

635

tiale. Für zwei Variable haben wir daher bei n = 2 i(x + Ax,y + Ay) = f(x, y) + -j- [fx{x, y) Ax + fy(x, y) Ay] + ^

[/«(». V) J*2

+ ^

[/«„(*

+

y) Ax Ay + fy(x, y)Ay«]

+ 6Ax,y

+

+ 0

+ 3fxvv(x

+ 0Ax,y

+ /1OTf(» +

+ 0 Ay) Ax»

y + 0 zly) zl* 2 Zly + 6 Ay) Ax Ay2

fl

+

(3)

wobei 0 der Ungleichung (2) genügt. Die Ausdrücke in den eckigen Klammern bedeuten (§ 444) die totalen Differentiale. Im letzten Glied wurden die partiellen Ableitungen bei einem mittleren Argumentwert genommen1). Die TAYLORsche Formel für beliebig viele Glieder ist (auch bei zwei Variablen) nur bei Verwendung der verkürzten Schreibweise aus § 446 übersichtlich. In diesem Fall lautet sie

' = h(i

Af{x y)

+

oder Af(*. y)

Ax +

^Ay)

'

f{x y)

1 / 8

8

\2

118

d

\n

2l(ö-xAx+0-yAV

+

ö n h ü

=

tt

+

( s V) +

{n

^

+

&

/(*.»> + "•

*T

k A /(*.

y)

+

i [ x +

eAx

••• +

>y

dn

+

/(*.

0

y)

+ i)| dk+1 Kx + 0 Ax, y + 0 Ay),

A y )

(4)

(5)

und ein analoger Ausdruck gilt für Funktionen von mehr als zwei Argumenten. B e m e r k u n g . Die TAYLORsche Formel gilt nur unter der Bedingung, daß die Funktion f(x, y) in allen Punkten der Verbindungsstrecke zwischen M(x; y) und Mx(x + Ax;y + Ay) die totalen Differentiale bis zur (n -j- l)-ten Ordnung besitzt. ') M(x + 6Ax, y + 6Ay) liegt auf der Verbindungsstrecke von Miß; y) und (x + Ax;y + Ay). Die Zahl 0 liefert das Verhältnis M l i M M , .

636

V I I I . Differential- und Integralrechnung für Funktionen

B e i s p i e l . Wir erproben Formel (3) am Beispiel der Funktion f(x, y) = xy2 für x — y — 1,

Zlx = 0,1 und Ay = 0 , 2 . Wir haben

(x + Ax) (y + AyY = xy* + [y* Ax + 2xy Ay] + y

^y

+

6

y +

A x A

- +

2{ x

0

Ax

)

y

A

Durch Einsetzen der gegebenen Werte erhalten wir die Gleichung 0,004 = 0,012 0. Daraus folgt ö = 4 " . zwischen 0 und 1.

d.h.

0

liegt

tatsächlich

§ 448. Extremwerte (Maxima und Minima) von Funktionen mehrerer Argumente D e f i n i t i o n . Eine Funktion f(x, y) hat ein Maximum (Minimum) im Punkt P0{a, b), wenn der Wert von f(x, y) in allen Punkten einer hinreichend kleinen Umgebung von P 0 kleiner (größer) ist als der Wert f(a, b) (vgl. § 275).

G e o m e t r i s c h e B e d e u t u n g : Über dem Punkt P0 (Abb. 413) liegt der Punkt M0 der Fläche z = f(x, y) höher (tiefer) als alle Nachbarpunkte. N o t w e n d i g e B e d i n g u n g f ü r e i n E x t r e m u m . Wenn die Funktion f(x, y) im Punkt P 0 (a, 6) ein Extremum hat, so ist in diesem Punkt entweder das totale Differential identisch gleich Null, oder es existiert nicht. B e m e r k u n g 1. Die Bedingung df(x,y) = 0 ist gleichwertig mit dem System aus zwei Gleichungen: fx(x,y)

= 0,

fv(x,y)

= 0.

§ 449. Regel für die Bestimmung von Extremwerten

637

G e o m e t r i s c h e B e d e u t u n g : Wenn der Punkt M0 höher (tiefer) als alle Nachbarpunkte liegt, so hat die Fläche z = f(x, y) dort eine horizontale Tangentialebene (wie in Abb. 413), oder ihre Tangentialebene existiert dort nicht (wie in Abb. 414). B e m e r k u n g 2. Die Definition der Extrema und die notwendige Bedingung gelten auch für Funktionen von beliebig vielen Argumenten.

§ 449. Regel für die Bestimmung von Extremwerten Die Funktion /(x, y) sei in einem gewissen Bereich differenzierbar. Zur Bestimmung aller ihrer Extreme in diesem Bereich muß man: 1. Das Gleichungssystem fx(x, y) = 0,

/,(*, y) = 0

(1)

lösen. Die Lösung liefert die kritischen Punkte. 2. In jedem kritischen Punkt P0(a, b) untersuchen, ob die Differenz i(x,y)-f(a,b)

(2)

das Vorzeichen wechselt oder nicht, und zwar in einem hinreichend kleinen Bereich um P 0 . Wenn das Vorzeichen der Differenz (2) positiv bleibt, so haben wir in P 0 ein Minimum, wenn es negativ bleibt, ein Maximum. Wenn sich das Vorzeichen von (2) ändert, so liegt in P 0 kein Extremum vor. Auf analoge Weise erhalten wir die Extremwerte von Funktionen mehrerer Argumente. B e m e r k u n g . Bei zwei Argumenten wird die Untersuchung manchmal durch Anwendung der hinreichenden Bedingung aus § 450 erleichtert. Bei mehr Argumenten ist diese Bedingung zu kompliziert. Daher bemüht man sich in der Praxis, die speziellen Eigenschaften der gegebenen Funktionen heranzuziehen. B e i s p i e l . Man bestimme die Extremwerte der Funktion f{x, y) = x3 + y3 — Zxy + 1. L ö s u n g 1. Wir setzen die partiellen Ableitungen fx = 3x2 — 3y, j v = 3y1 — 3x Null und erhalten das Gleichungssystem x*-y=

0,

y*+x

= 0.

(3)

Es besitzt die beiden Lösungen »i = 2/i= 0,

x2 = y2=l.

(4)

Wir untersuchen nun das Vorzeichen der Differenz (2) in beiden kritischen Punkten P,(0; 0) und P 2 (1; 1). 2 a) In Pj(0; 0) haben wir f{x, y) - f(0, 0) = ir> + y* - 3xy.

(5)

638

V I I I . Differential- u n d Integralrechnung f ü r F u n k t i o n e n

D a s Vorzeichen v o n (5) bleibt nicht erhalten, d. h., in beliebiger N ä h e von P1 g i b t es zweierlei A r t e n v o n P u n k t e n : Solche, f ü r die die Diverenz (5) positiv ist, u n d solche, f ü r die sie n e g a t i v ist. N i m m t m a n z. B. die P u n k t e der Geraden y — x, so l a u t e t die Differenz (5)

3

2x' — 3x 2 = x 2(2x — 3). F ü r x < — ist diese Differenz negativ. N i m m t m a n hingegen P(x; y) auf der Geraden y = —x, so ist die Differenz (5) gleich 3z 2 , u n d dieser A u s d r u c k ist immer positiv. D a das Vorzeichen von (5) n i c h t gleich bleibt, h a b e n wir in I'± kein E x t r e m u m . Die Fläche x = x? + y 3 — 3 xy + 1 h a t im P u n k t (0; 0; 1) die F o r m eines Sattels (ähnlich einem hyperbolischen Paraboloid). 2b) F ü r den P u n k t P a ( 1; 1) h a b e n wir

f(x, y) - f( 1; 1) = z» + y* - 3xy + 1.

(6)

Wir wollen zeigen, d a ß diese Differenz in einer hinreichend kleinen U m g e b u n g von (1; 1) immer positiv ist. Wir setzen

x = l+ac,

y = l+ß.

(7)

Die Differenz (6) h a t n u n die F o r m 3((x, y) da. D

D

D

E i g e n s c h a f t 3. E i n e n k o n s t a n t e n F a k t o r darf m a n vor das Integralzeichen ziehen (vgl. § 315, P k t 4): j j mf(x, y) da = m Jf f(x, y) da D

(m K o n s t a n t e ) .

D

§ 454. Abschätzung des Doppelintcgrals E s sei m der kleinste u n d M der g r ö ß t e W e r t der F u n k t i o n f(x, y) im Bereich D, u n d es sei 8 der F l ä c h e n i n h a l t des Bereiches D. D a n n gilt mS g // f(x, y) da ^

MS.

D

G e o m e t r i s c h e B e d e u t u n g : D a s Volumen des zylindrischen K ö r p e r s liegt zwischen d e m Volumen v o n zwei Zylindern m i t derselben Grundfläche. Die H ö h e des ersten ist gleich d e m kleinsten W e r t , die H ö h e des zweiten gleich d e m größten W e r t der Applikate vgl. § 318, Theorem 1).

§ 455. Berechnung des Doppelintegrals (einfache Fälle) Der Bereich D sei d u r c h die Ungleichungen a ^ x ^ b ,

c ^ y ^ d

(1)

gegeben, d. h., es h a n d l e sich u m d a s R e c h t e c k KLMN (Abb. 419). D a n n erhält m a n d a s Doppelintegral m i t Hilfe der F o r m e l n // f(x,y)dxdy D

d b = / dy j f(x,y)dx, c b

/ / f{x,y)dxdy D

i

= / dx f f(x,y)dy. a

(2)

a

(3)

c

Die Ausdrücke auf der r e c h t e n Seite n e n n t m a n iterierte Integrale.

§ 455. Berechnung des Doppel integrals (einfache Fälle)

643

B e m e r k u n g . I n der Formel (2) berechnet m a n zuerst das bestimmte b Integral f f(x, y) dx. Bei diesem Integrationsprozeß ist y als Kona stante aufzufassen. Das Ergebnis der Integration ist eine Funktion von y. Die zweite Integration (von c bis d) wird nach dem Argument y ausgeführt. I n der Formel (3) ist die Reihenfolge der Integration umgekehrt. E r k l ä r u n g . Das Doppclintegral f f f(x,y)dxdy drückt das Vo(KLMN)

lumen des prismatischen Körpers KM' (Abb. 420) mit der Grundfläche KLMN aus: V = / / f(x,y)dxdy. (4) D

Abb. 419

Abb. 420

Dasselbe Volumen erhält man auch aus der variablen Fläche F des Längsschnitts PQRS (die von der Ordinate y = Ou abhängt) nach der Formel (§ 336) V = fF(y)dy.

(5)

Die Fläche PQRS erhält m a n aus der Formel b b F(y) = f zdx = f f{x, y) dx.

(6)

(4), (5) u n d (6) ergeben zusammen Formel (2). Analog ergibt sich (3). B e z e i c h n u n g s w e i s e . Das Doppelintegral über ein Rechteck, dessen Seiten parallel zu den Achsen OX und OY sind, bezeichnet m a n durch db f f f(x> V) dx dy oder

c a

/ b/ ii/(*, V) dy dx 41*

(7)

644

VIII. Differential- und Integralrechnung für Funktionen

(das äußere Integralzeichen entspricht dem äußeren Differential). dx dy

B e i s p i e l 1. Man berechne das Doppelintegral J j (x + yY ' 13 Lösung. Der Integrationsbereich ist durch die Ungleichungen 3 s=5 x 4, 1^2/^2 bestimmt. Er stellt ein Rechteck dar, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen sind. Wir berechnen zuerst das bestimmte 4 dx

/

-, + y)tt , worin yy als konstante Größe zu betrachten ist:

Abb. 421

Nach Formel (2) erhalten wir jetzt 2

(x + yY

1 3 1 B e i s p i e l 2. Man berechne das Doppelintegral 35 2 3

I = f J (5x y — 2y ) dx dy

§ 455. Berechnung des Doppelintegrals (einfache Fälle)

645

Lösung. Nach Formel (3) erhalten wir 3

5

3

I = f dy J (5x*y - 2y 3 ) dx = / (195 y - 6t/3) dy = 660. 1 2 1 B e i s p i e l 3. Das rechtwinklige Parallelepiped werde von oben mit einem Rotationsparaboloid mit dem Parameter p geschnitten (Abb. 421). Der Scheitel des Paraboloids falle mit dem Mittelpunkt C der Deckfläche zusammen, die Achse sei vertikal. Man bestimme das Volumen V des so entstehenden Körpers, wenn die Seiten der Grundfläche KL = a, KN = b sind und für die Höhe 00 = h gilt. Lösung. Wir wählen das Koordinatensystem OXYZ wie in Abb. 419. Die Gleichung des Paraboloids lautet

Das gesuchte Volumen ist gleich dem Doppelintegral f f z dx dy über den rechtwinkligen Bereich KLMN, d. h. (KLMN)

•f

f

h

W

*

dx.

(9)

An Stelle dieses Integrals kann man das Vierfache des Integrals über den Bereich OAMB nehmen (infolge der Symmetrie des Körpers bezüglich der Ebenen XOZ, YOZ), d. h.

ab

2 2

0 0 Wir finden so

a

2

F = 4

2pV

o = abh -

^

®p\o

(o2 + 6 2 ).

J \2

4p 48p)dX

646

VIII. Differential- und Integralrechnung f ü r Funktionen

§ 456. Berechnung des Doppelintegrals (allgemeiner Fall) 1. Wenn jode den Bereich D schneidende vertikale Gerade den R a n d von D nur in zwei P u n k t e n (Mt und M2 in Abb. 422) schneidet, so läßt sich D durch die Ungleichungen

angeben. Dabei sind a u n d b die Grenzen der Abszissen in D, und cp^x) und B e m e r k u n g . Wenn der Bereich D weder zum ersten noch zum zweiten Fall gehört, so zerlegt m a n D in Teilbereiche (Dv D 2 , D3 in Abb. 424), f ü r die die Formeln (2) oder (3) anwendbar sind. B e i s p i e l 1. Man bestimme das Integral I = f f (y2 + x) dx dy, D wenn der Bereich D durch die Parabeln y — x2 u n d y2 = x (Abb. 425) begrenzt wird. E s liegt hier sowohl Fall 1 als auch Fall 2 vor. E r s t e L ö s u n g . Wir nehmen Formel (2) u n d setzen a = 0, 6 = 1, (p^x) = x2, 2{y) = Wir erhalten der Reihe nach i / = Jdy 0

i

fv J (y2 + x)dx=fdy v'

-JV+f-i.")

+ y]*"

J

0 dy =

33 140'

B e i s p i e l 2. Man bestimme das Volumen V eines „zylindrischen Hufes", d. h. des Körpers AGDB (Abb. 426), der aus einem Halbzylinder durch die Ebene ABC herausgeschnitten wird, die durch den Durchmesser AG der Grundfläche geht. Der Radius der Grundfläche sei B = OA, die Höhe des Hufes sei DB = h. L ö s u n g . Wir wählen das Koordinatensystem wie in Abb. 426 (der Rand des Integrationsbereiches entspricht dann sowohl Fall 1 als

648

V I I I . Differential- und Integralrechnung für Funktionen

auch Fall 2). Die Gleichung der Ebene ABC haben: V = J J

y

ist z =

y. Wir

dxdy.

(ADC)

Erstes Verfahren. In Formel (2) setzen wir (Abb. 426) a = - R ,

b = R,

) r Ar d