Höhere Mathematik griffbereit [Zweite Auflage, Reprint 2021] 9783112525722, 9783112525715

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M. J . W Y G O D S K I Höhere Mathematik griffbereit

M. J. W Y G O D S K I

Höhere Mathematik griffbereit In deutscher Sprache herausgegeben von

Prof. Dr. Ferdinand Cap, Innsbruck

Mit 483 Abbildungen und 15 Tabellen

Zweite

Auflage

AKADEMIE-VERLAG • BERLIN 1973

M. H. BbirOACKHß CnpaBoiHHK no BHCIDCÜ MaTeMaTHKe Erschienen im Verlag N A U K A , Moskau Deutsche Übersetzung: Dr. Gottfried Tinhofer, Innsbruck

Erschienen im Akademie -Verlag, 108 Berlin, Leipziger Straße 3 — 4 Copyright 1972 by Akademie-Verlag GmbH Lizenznummer: 202 • 100/594/73 Gesazntherstellung: VEB Druckhaus „Maxim Gorki", 74 Altenburg Bestellnummer: 7615811 (5929) • ES 19 B 4 Printed in German Democratic Republic

Vorwort Dieses Buch stellt die Fortsetzung des Buches „Elementarmathematik — griffbereit" desselben Autors dar. Es umfaßt den gesamten Stoff, der im Grundkurs der höheren Mathematik an den technischen Hochschulen sowie Universitäten gelehrt wird. Das Buch hat eine zweifache Bestimmung. Erstens übermittelt es Auskünfte über sachgemäße Fragen: Was ist ein Vektorprodukt? Wie bestimmt man die Fläche eines Drehkörpers? Wie entwickelt man eine Funktion in eine trigonometrische Reihe? usw. Die entsprechenden Definitionen, Theoreme, Regeln und Formeln, begleitet von Beispielen und Hinweisen, findet man schnell. Zu diesem Zweck dient das detaillierte Inhaltsverzeichnis und der ausführliche alphabetische Index. Zweitens ist das Buch für eine systematische Lektüre bestimmt. Es beansprucht nicht die Rolle eines Lehrbuches. Beweise werden daher nur in Ausnahmefällen vollständig gegeben. Jedoch kann das Buch als Hilfsmittel für eine erste Auseinandersetzung mit dem (gegenständ dienen. Zu diesem Zweck werden ausführliche Erklärungen der Grundbegriffe gebracht, so etwa: der Begriff des Skalarprodukts (§ 104), des Grenzwerts (§ 203—206), des Differentials (§ 228—235), der unendlichen Reihe (§270, 366—370). Zum selben Zweck werden alle Regeln durch zahlreiche Beispiele illustriert, die einen organischen Bestandteil dieses Buches bilden (s. die Paragraphen 50—62, 134, 149, 264—266, 369, 422, 418, 498, usw.). Sie erklären die Anwendung der Regeln, wann eine Regel ihre Gültigkeit verliert, welche Fehler man zu vermeiden hat (§ 290, 339, 340, 379, u. a.). Die Theoreme und Regeln sind von Erklärungen verschiedener Art begleitet. Manchmal haben sie die Form einer anschaulichen Darlegung des Inhalts des Theorems. Ein anderes Mal begleitet die Erklärung ein spezielles Beispiel und enthält so viel an Argumentation, daß es zur Darlegung des Beweises des Theorems ausreicht, wenn man zum allgemeinen Fall übergeht (s. § 148, 149, 369, 374). Manch-

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Vorwort

mal beschränkt sioh die Erklärung auch nur auf Hinweise auf jene Paragraphen, auf deren Inhalt der Beweis beruht. Klein gedruokte Absätze enthalten jenen Stoff, den man bei einer ersten Lektüre übergehen kann, was nicht immer bedeutet, daß dieser Stoff weniger wichtig wäre. Die bewußte Aneignung mathematischer Ideen wird außerordentlich erleichtert, wenn man sioh mit den Umständen ihrer Entstehung und Entwicklung vertraut macht. Aus diesem Grund wurden an manchen Stellen historische Betrachtungen eingeschoben. So dienen die Paragraphen 270, 366 zusammen mit den Paragraphen 271, 383, 399, 400 besser zur Erklärung der Theorie der TAYLOB-Reihen als die übliche formale Darlegung. Verbunden mit historischen Betrachtungen sind auch biographische Einzelheiten über Wissenschaftler einbezogen worden, deren Namen mit dem zu erklärenden Stoff in Beziehung stehen. Den übrigen methodischen Besonderheiten kommt keine Bedeutung zu: der Studierende wird darüber nach dem Grad des Erfolges urteilen, der Lehrer hingegen erhält genug Hinweise in einer Reihe von charakteristischen Paragraphen: 28, 60—62, 92, 184—190, 203—206, 228-234, 237, 258-260, 271, 343-347, 430-438, 459. Die vorliegende Ausgabe wurde erst nach dem Tode des Autors M. J . W Y G O D S K I vorbereitet.

Inhaltsverzeichnis Analytische Geometrie in der Ebene

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§ 1. Grundsätzliches über die analytische Geometrie § 2. Koordinaten § 3. Rechtwinkliges Koordinatensystem § 4. Rechtwinklige Koordinaten § 5. Winkelbereiche oder Quadranten § 6. Schiefwinkliges Koordinatensystem § 7. Die Geradengleichung § 8. Gegenseitige Lage von Punkt und Kurve § 9. Gegenseitige Lage zweier Kurven § 10. Der Abstand zwischen zwei Punkten § 11. Teilabschnitte mit gegebenem Verhältnis § 12. Die Determinante zweiter Ordnung § 13. Der Flächeninhalt eines Dreiecks § 14. Die Geradengleichung in der nach y aufgelösten Form . . § 15. Achsenparallele Geraden § 16. Die allgemeine Gieradengleichung § 17. Konstruktion einer Geraden aus ihrer Gleichung . . . . § 18. Parallelitätsbedingung für Geraden . . § 19. Schnittpunkte von Geraden § 20. Bedingung für die Orthogonalität zweier Geraden . . . . § 21. Der Winkel zwischen zwei Geraden § 22. Bedingung dafür, daß drei Punkte auf einer Gieraden liegen § 23. Gleichung einer Gieraden durch zwei gegebene Punkte . . § 24. Geradenbüschel § 25. Die Gleichung einer Geraden, die parallel zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt verläuft § 26. Die Gleichung einer Gieraden durch einen gegebenen Punkt und orthogonal zu einer gegebenen Geraden § 27. Gegenseitige Lage einer Gieraden und eines Punktepaares . § 28. Der Abstand eines Punktes von einer Geraden § 29. Die Polarparameter der Geraden § 30. Die Normalform der Geradengleichung § 31. Die Bestimmung der Gieradengleichung in Kormalform . . § 32. Achsenabsohnitte § 33. Die Abschnittsgleichung der Gieraden § 34. Koordinatentransformation (Erläuterung der Methode) . . § 35. Verschiebung des Koordinatenursprungs

21 22 22 23 24 25 25 27 27 28 28 30 30 31 33 34 35 36 37 38 39 42 42 43 46 46 47 47 49 51 52 53 54 54 55,

8

Inhaltsverzeichnis

§ 36. Achsendrehang § 37. Algebraische Kurven und ihr Grad §38. Der Kreis § 39. Bestimmung des Mittelpunktes und des Radius eines Kreises § 40. Die Ellipse als gestauchter Kreis § 41. Eine zweite Definition der Ellipse § 42. Konstruktion einer Ellipse aus ihren Achsen § 43. Die Hyperbel § 44. Die Form einer Hyperbel. Soheitel und Achsen § 45. Konstruktion einer Hyperbel aus ihren Achsen § 46. Die Asymptoten der Hyperbel § 47. Konjugierte Hyperbeln § 48. Die Parabel § 49. Konstruktion einer Parabel bei gegebenem Parameter p . § 50. Die Parabel als Kurve mit der Gleichung y — ax2 + bx c § 51. Die Leitlinien einer Ellipse und einer Hyperbel § 52. Allgemeine Definition von Ellipse, Hyperbel und Parabel § 53. Kegelschnitte | 54. Die Durchmesser eines Kegelschnitts § 55. Die Durchmesser der Ellipse § 56. Die Durchmesser der Hyperbel § 57. Die Durchmesser der Parabel § 58. Kurven zweiten Grades § 59. Die Form der allgemeinen Gleichung zweiten Grades . . . § 60. Vereinfachung der Gleichung zweiten Grades. Allgemeine Bemerkungen § 61. Vorläufige Transformation der Gleichung zweiten Grades . § 62. Endgültige Transformation der Gleichung zweiten Grades § 63. Über Verfahren zur Erleichterung der Vereinfachung von Gleichungen zweiten Grades § 64. Kriterium für den Zerfall einer Kurve zweiten Grades . . § 65. Die Bestimmung der Geraden, aus denen eine zerfallende Kurve zweiter Ordnung besteht § 66. Die Invarianten einer Gleichung zweiten Grades § 67. Die drei Typen von Kurven zweiten Grades § 68. Zentralsymmetrische und nichtzentralsymmetrische Kurven zweiten Grades § 69. Die Bestimmung des Zentrums zentralsymmetrischer Kurven zweiter Ordnung § 70. Die Vereinfachung der Gleichung einer zentralsymmetrischen Kurve zweiter Ordnung § 71. Die gleichseitige Hyperbel als grafische Darstellung der k Gleichung y = —

56 68 59 60 62 64 66 67 69 71 71 73 73 75 75 79 80 83 84 85 87 89 90 91 92 92 95 101 102 103 106 108 111 112 114 116

§ 72. Die gleichseitige Hyperbel als grafische Darstellung der . , mz + n ..„ Gleichunge y = — 117 " px + q § 73. Polarkoordinaten 119

Inhaltsverzeichnis

9

§ 74. Die Beziehung zwischen Polarkoordinaten und rechtwinkligen Koordinaten 122 § 75. Die Archimedische Spirale 124 § 76. Die Polargleichung der Geraden 126 § 77. Die Polargleichung eines Kegelschnitts 126 Analytische Geometrie im Raum

128

§ 78. Grundsätzliches über Vektoren und Skalare § 79. Der Vektor in der Geometrie § 80. Vektoralgebra § 81. Kollineare Vektoren § 82. Der Nullvektor § 83. Die Gleichheit von Vektoren § 84. Die Rückführung von Vektoren auf einen gemeinsamen Anfangspunkt § 85. Entgegengesetzte Vektoren § 86. Vektoraddition § 87. Die Summe mehrerer Vektoren § 88. Die Vektorsubtraktion § 89. Die Multiplikation und Division eines Vektors mit einer Zahl § 90. Beziehungen zwischen kollinearen Vektoren (Division eines Vektors durch einen anderen) § 91. Die Projektion eines Punktes auf eine Achse § 92. Die Projektion eines Vektors auf eine Achse § 93. Grundlegende Theoreme über die Projektionen eines Vektors § 94. Rechtwinkliges Koordinatensystem im Raum § 95. Die Koordinaten eines Punktes § 96. Die Koordinaten eines Vektors § 97. Die Darstellung eines Vektors durch Komponenten und durch Koordinaten § 98. Operationen mit Vektoren, die durch ihre Koordinaten gegeben sind § 99. Die Darstellung eines Vektors durch die Radiusvektoren seines Anfangs-und Endpunktes § 100. Die Länge eines Vektors. Der Abstand zwischen zwei Punkten § 101. Der Winkel zwischen den Koordinatenachsen und einem Vektor § 102. Ein Kriterium für die Kollinearität (Parallelität) von Vektoren § 103. Die Teilung einer Strecke in gegebenem Verhältnis . . . § 104. Das Skalarprodukt zweier Vektoren § 105. Eigenschaften des Skalarprodukts § 106. Die Skalarprodukte der Achsenvektoren § 107. Die Darstellung des Skalarprodukts durch die Koordinaten der Faktoren § 108. Die Bedingung für die Orthogonalität von Vektoren . . § 109. Der Winkel zwischen Vektoren .

128 128 129 129 130 130 131 131 132 133 134 135 137 137 138 140 141 143 144 145 145 146 147 147 148 149 149 151 153 153 154 154

10

Inhaltsverzeichnis

§ 110. Hechts- und Linkssysteme von drei Vektoren §111. Das Vektorprodukt zweier Vektoren § 112. Die Eigenschaften des Vektorprodukts § 113. Die Vektorprodukte der Achsenvektoren § 114. Die Darstellung des Vektorprodukts durch die Koordinaten der Faktoren § 115. Komplanare Vektoren § 116. Das gemisohte Produkt § 117. Die Eigenschaften des gemischten Produktes § 118. Die Determinante dritter Ordnung § 119. Die Darstellung des gemischten Produktes durch die Koordinaten seiner Faktoren § 120. Kriterium für die Komplanarität in Koordinatenform . . § 121. Das Volumen eines Parallelepipeds § 122. Das doppelte Vektorprodukt § 123. Die Gleichung einer Ebene § 124. Spezialfälle der Lage von Ebenen bezüglich des Koordinatensystems § 125. Die Bedingung für die Parallelität von Ebenen § 126. Die Bedingung für die Orthogonalität zweier Ebenen . . § 127. Der Winkel zwischen zwei Ebenen § 128. Die Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen Punkt und parallel zu einer gegebenen Ebene § 129. Bestimmung einer Ebene durch drei Punkte § 130. Achsenabschnitte § 131. Die Abschnittsgleichung einer Ebene § 132. Die Gleichung einer Ebene durch zwei Punkte und orthogonal zu einer gegebenen Ebene § 133. Die Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen Punkt und orthogonal zu zwei Ebenen § 134. Der Schnittpunkt dreier Ebenen § 135. Gegenseitige Lage von Ebene und Punktepaar § 136. Der Abstand zwischen Punkt und Ebene 1137. Die Polarparameter der Ebene § 138. Die Normalform der Ebenengleichung § 139. Die Bestimmung der Ebenengleichung in Normalform . § 140. Die Gleichung einer Geraden im Raum § 141. Bedingung dafür, daß zwei Gleichungen ersten Grades eine Gerade darstellen § 142. Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene § 143. Richtungsvektoren § 144. Der Winkel zwischen einer Geraden und den Koordinatenachsen § 145. Der Winkel zwischen zwei Geraden § 146. Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene . . § 147. Die Bedingungen für die Parallelität u n d Orthogonalität zwischen Geralde und Ebene § 148. Ebenenbüschel § 149. Die Projektionen einer Geraden auf die Koordinatenebenen § 150. Die symmetrischen Geradengleichungen

155 157 159 160 161 163 163 164 165 167 168 168 169 169 170 171 172 173 173 174 174 175 175 176 177 178 179 179 181 182 183 185 186 187 188 189 189 190 190 192 194

Inhaltsverzeichnis

11

§ 151. Die Bestimmung der Gieradengleichungen in symmetrischer Form 196 § 152. Die Parameterdarstellung der Gieraden 197 § 153. Der Schnitt einer Ebene mit einer Gieraden in Parameterform 197 § 154. Die Gleichung einer Gieraden durch zwei gegebene Punkte 198 § 155. Die Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einer gegebenen Geraden 198 § 156. Die Gleichung einer Geraden durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einer gegebenen Ebene 199 § 157. Die Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen Punkt und durch eine gegebene Gerade 199 § 158. Die Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen Punkt und parallel zu zwei gegebenen Geraden 200 § 159. Die Gleichung einer Ebene durch eine gegebene Gerade und parallel zu einer anderen gegebenen Geraden . . . . 2 0 1 § 160. Die Gleichung einer Ebene durch eine gegebene Gerade senkrecht zu einer gegebenen Ebene 201 § 161. Die Gleichung der Senkrechten von einem gegebenen Punkt auf eine gegebene Gerade 202 § 162. Die Länge der Senkrechten von einem gegebenen Punkt auf eine gegebene Gierade 203 § 163. Die Bedingungen dafür, daß sich zwei Gerade schneiden oder in einer Ebene liegen 204 § 164. Die Gleichung einer Geraden, die senkrecht zu zwei gegebenen Gieraden ist 206 § 165. Der kürzeste Abstand zwischen zwei Gieraden. Richtung von Geraden 208 § 166. Koordinatentransformation 210 § 167. Die Gleichung einer Fläche 211 § 168. Zylinderflächen, deren Erzeugende parallel zu einer der Koordinatenachsen sind 212 § 169. Die Gleichung einer Kurve 213 § 170. Die Projektion einer Kurve auf die Koordinatenachse . . 214 § 171. Algebraische Flächen und ihr Grad 217 § 172. Die Kugelfläche 217 § 173. Das Ellipsoid . 218 § 174. Das einschalige Hyperboloid . 221 § 175. Das zweischalige Hyperboloid 223 § 176. Der Kegel zweiter Ordnung 225 § 177. Das elliptische Paraboloid 227 § 178. Das hyperbolische Paraboloid 229 § 179. Die Flächen zweiten Grades 230 § 180. Gieradlinige Erzeugende der Flächen zweiten Grades. . . 233 § 181. Rotationsflächen 234 § 182. Determinanten zweiter und dritter Ordnung 235 § 183. Determinanten höherer Ordnung 238 §184. Eigenschaften der Determinanten 240 § 185. Ein praktisches Verfahren zur Berechnung von Determinanten 242 § 186. Anwendung der Determinanten auf die Untersuchung und Lösung von Gleichungssystemen 244

Inhaltsverzeichnis

12

§ 187. Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten § 188. Zwei Gleichungen und drei Unbekannte § 189. Das homogene System von zwei Gleichungen mit drei Unbekannten § 190. Drei Gleichungen mit drei Unbekannten, n Gleichungen .

244 246 247 249

Die Grundbegriffe der mathematischen Analysis

255

§ 191. § 192. § 193. § 194. § 195. § 196. § 197. § 198. § 199. § 200. § 201. § 202. § 203. § 204. § 205. § 206. § 207. § 208. § 209.

255 256 256 257 257 258 259 261 262 264 264 265 266 268 270 270 270 271

Einführende Bemerkungen Die rationalen Zahlen Die reellen Zahlen Die Zahlengerade Variable und konstante Größen Funktionen Methoden zur Angabe einer Funktion Der Definitionsbereich einer Funktion Intervalle Klassifikation der Funktionen Die wichtigsten elementaren Funktionen Die Bezeichnung von Funktionen Der Grenzwert einer Folge Der Grenzwert von Funktionen Die Definition des Grenzwerts einer Funktion Der Grenzwert einer konstanten Größe Unendlich kleine Größen Unendlich große Größen Die Beziehung zwischen unendlich großen und unendlich kleinen Größen § 210. Beschränkte Größen § 211. Erweiterung des Grenzwertbegriffs § 212. Die Grundeigenschaften von unendlich kleinen Größen . § 213. Die Grundtheoreme über Grenzwerte § 214. Die Zahl e

271 272 272 273 274 275

§ 215. Der Grenzwert

276

§ 216. § 217. § 218. § 219.

..

x

für a;

0

Äquivalente unendlich kleine Größen Vergleich von unendlich kleinen Größen Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt Eigenschaften von Funktionen, die in einem Punkt stetig sind § 220. Stetigkeit einer Funktion in einem geschlossenen Intervall § 221. Eigenschaften von Funktionen, die in einem abgeschlossenen Intervall stetig sind

277 278 280 281 282 283

Differentialrechnung

285

§ 222. Einführende Bemerkungen § 223. Die Geschwindigkeit § 224. Die Definition der Ableitung einer Funktion . . . . . .

285 285 286

Inhaltsverzeichnis § 225. § 226. § 227. § 228. § 229. § 230. § 231. § 232. § 233. § 234. § 235. § 236. § 237. § 238. § 239. § 240. § 241. § 242. § 243. § 244. § 245. § 246. § 247. § 248. § 249. § 250. § 251. § 252. § 253. § 254. § 255. § 256. § 257. § 258. § 259. § 260. § 261. § 262. § 263. § 264. § 265. § 266. § 267.

13

Die Tangente Die Ableitungen einiger einfacher Funktionen Eigenschaften der Ableitung Das Differential Die mechanische Deutung des Differentials Die geometrische Bedeutung des Differentials Differenzierbare Funktionen Die Differentiale einiger einfacher Funktionen Die Eigenschaften des Differentials Die Invarianz des Ausdrucks f'(x)dx Beschreibung der Ableitung durch Differentiale Zusammengesetzte Funktionen Das Differential einer zusammengesetzten Funktion . . Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion („Kettenregel") Die Differentiation eines Produkts Die Differentiation eines Quotienten Die Umkehrfunktion Der natürliche Logarithmus Die Differentiation des Logarithmus Die logarithmische Differentiation Die Differentiation der Exponentialfunktion Die Differentiation der trigonometrischen Funktionen . . Die Differentiation der Umkehrfunktionen Das Differential in der Näherungsrechnung Anwendung der Differentialrechnimg auf die Fehlerabschätzung Differentiation impliziter Funktionen Eine in Parameterform gegebene Kurve I n Parameterform gegebene Funktionen Die Zykloide Die Gleichung der Tangente an eine ebene Kurve . . . Die Gleichung der Normalen Ableitungen höherer Ordnung Die Bedeutung der zweiten Ableitung in der Mechanik . Differentiale höherer Ordnung Darstellung der höheren Ableitungen durch Differentiale . Höhere Ableitungen von Funktionen, die in Parameterform gegeben sind Höhere Ableitungen impliziter Funktionen Die LEiBNizsche Regel Der Satz von ROLLE Der Mittelwertsatz von LAGRANGE Die Formel für einen endlichen Zuwachs Die Verallgemeinerung des Mittelwertsatzea (CAUCHY) . . Untersuchung eines unbestimmten Ausdrucks der Form

1

288 289 290 291 292 292 293 295 296 296 297 298 298 299 299 300 301 303 304 305 306 307 307 308 310 311 313 315 317 318 320 321 322 323 325 325 326 327 328 329 331 333

OO

§ 268. Untersuchung eines unbestimmten Ausdrucks der Form — 338 § 269. Unbestimmte Ausdrücke anderer Form

338

Inhaltsverzeichnis

14

§ 270. Historische Betrachtungen über die TAYLORsche Formel . 340 § 271. Die TAYLOR-Formel

§ 272. Anwendung der TAYLOR-Formel auf die Berechnung von Funktionswerten § 273. Zunehmende und abnehmende Funktionen § 274. Kriterien für die Zunahme oder Abnahme einer Funktion in einem Punkt § 275. Maximum und Minimum § 276. Notwendige Bedingung für ein Maximum oder ein Minimum § 277. Erste hinreichende Bedingung für ein Maximum oder Minimum

344

346 353 355 356 357 358

§ 278. Regel für die Bestimmung der Maxima und Minima . . § 279. Zweite hinreichende Bedingung für Maxima und Minima. § 280. Die Bestimmung des größten und des kleinsten Werts einer Funktion § 281. Die Konvexität ebener Kurven. Wendepunkte § 282. Die konkave Seite § 283. Regel für die Bestimmung eines Wendepunkts § 284. Die Asymptoten § 285. Die Untersuchung von Asymptoten, die parallel zu den Koordinatenachsen sind § 286. Untersuchung der Asymptoten, die nicht zur Ordinatenachse parallel sind § 287. Verfahren zur Konstruktion von grafischen Darstellungen § 288. Lösung von Gleichungen. Allgemeine Bemerkungen . . . § 289. Die Lösung von Gleichungen. Die Sehnenmethode . . . § 290. Die Lösung von Gleichungen. Die Tangentenmethode . . § 291. Kombination der Sehnenmethode mit der Tangentenmethode

386

Integralrechnung

389

§ 292. § 293. § 294. § 295. § 296.

389 391 392 393

§ 297. § 298. § 299. § 300. § 301. § 302. § 303. § 304. § 305. § 306.

Einführende Bemerkungen Die Stammfunktion Das unbestimmte Integral Geometrische Erklärung der Integration Berechnung der Integrationskonstanten aus den Anfangsdaten Eigenschaften des unbestimmten Integrals Integraltafel Unbestimmte Integration Die Substitutionsmethode (Integration unter Verwendung einer Hilfsvariablen) Partielle Integration Integration einiger trigonometrischer Ausdrücke . . . . Trigonometrische Transformationen Rationale Funktionen Verfahren zur Integration von gebrochenen rationalen Funktionen Die Integration von Partialbrüchen

359 363 365 368 368 370 371 372 374 375 381 382 384

396 397 398 400 400 402 403 407 408 409 410

Inhaltsverzeichnis §307. § 308. § 309. § 310. § 311. § 312. § 313. § 314. § 315. § 316. § 317. § 318. § 319. § 320.

Die Integration rationaler Funktionen (allgemeine Methode) Die Faktorenzerlegung eines Polynoms Über die Integrierbarkeit der elementaren Funktionen Einige von Radikalen abhängige Integrale Das Integral eines Binomialausdrucks Integrale der Form J R(x, Vax* + bx + c) ix Integrale der Form / ü(sin x, cos x) dx Das bestimmte Integral Eigenschaften des bestimmten Integrals Die geometrische Deutung des bestimmten Integrals . . Deutung des bestimmten Integrals in der Mechanik . . . Abschätzung des bestimmten Integrals Der Mittelwertsatz der Integralrechnung Das bestimmte Integral als Funktion seiner oberen Grenze § 321. Das Differential eines Integrals § 322. Das Integral eines Differentials. Die Formel von NEWTONLEIBNIZ

15 413 419 420 421 422 424 426 426 431 432 434 435 436 438 439 441

§ 323. Die Berechnung des bestimmten Integrals mit Hilfe des unbestimmten Integrals § 324. Partielle bestimmte Integration § 325. Substitutionsmethoden bei der bestimmten Integration . § 326. Uneigentliche Integrale § 327. Integrale mit unendlichen Grenzen § 328. Integrale über Funktionen mit Unstetigkeitsstellen . . . § 329. Über die näherungsweise Berechnung eines Integrals . . § 330. Rechtecksformeln § 331. Die Trapezformel § 332. Die SmpsoNsche Formel (Parabolische Trapezformel) . . § 333. Der Flächeninhalt von Figuren, die durch rechtwinklige Koordinaten beschrieben werden § 334. Übersicht über die Anwendung des bestimmten Integrals § 335. Der Flächeninhalt von Figuren, die durch Polarkoordinaten gegeben sind § 336. Das Volumen eines Körpers § 337. Das Volumen eines Rotationskörpers § 338. Die Bogenlänge einer ebenen Kurve § 339. Das Differential der Bogenlänge § 340. Die Bogenlänge und ihr Differential in Polarkoordinaten § 341. Der Flächeninhalt einer Rotationsfläche

463 465 467 468 469 470 472

Überblick über ebene und räumliche Kurven

474

§ 342. Die Krümmung § 343. Krümmungsmittelpunkt, Krümmungsradius und Krümmungskreis einer ebenen Kurve § 344. Formeln für die Krümmung, den Krümmungsradius und den Krümmungsmittelpunkt einer ebenen Kurve . . . . § 345. Die Evolute einer ebenen Kurve § 346. Eigenschaften der Evolute einer ebenen Kurve

474

442 443 444 445 446 450 453 455 457 458 460 462

475 477 480 482

16 § 347. § 348. § 349. § 350. § 351. § 352. § 353. § 354. § 355. § 356. § 357. § 358. § 359. § 360. § 361. § 362. § 363. § 364. § 365.

Inhaltsverzeichnis Die Evolvente einer ebenen Kurve Die Parameterform von Raumkurven Schraubenlinien Die Bogenlänge einer Raumkurve Die Tangente an eine Raumkurve Die Normalebene Vektorfunktionen mit akalarem Argument Grenzwerte von Vektorfunktionen Die Ableitung einer Vektorfunktion Das Differential einer Vektorfunktion Eigenschaften der Ableitungen und der Differentiale von Vektorfunktionen Die Schmiegebene Die Hauptnormale. Das begleitende Dreibein Gegenseitige Lage von Kurve und Ebene Die Einheitsvektoren des begleitenden Dreibeins . . . . Krümmungsmittelpunkt, Krümmungsachse und Krümmungsradius einer Raumkurve Formeln für die Krümmung, den Krümmungsradius und den Krümmungsmittelpunkt von Raumkurven Über das Vorzeichen der Krümmung Die Torsion

483 483 485 487 488 490 491 492 492 494 495 497 499 500 500 502 503 505 505

Unendliche Reihen

508

§ 366. § 367. § 368. § 369.

508 508 509

Einführende Bemerkungen Definition der unendlichen Reihe Konvergente und divergente unendliche Reihen . . . . Notwendige Bedingung für die Konvergenz einer unendlichen Reihe § 370. Der Rest einer unendlichen Reihe § 371. Einfache Operationen mit unendlichen Reihen § 372. Positive unendliche Reihen § 373. Vergleich von positiven Reihen § 374. Das D'Ai,EMBBBTsche Kriterium für positive Reihen . . . § 375. Das Integralkriterium für die Konvergenz § 376. Alternierende Reihen. Das Kriterium von Leibnitz . . . § 377. Absolute und bedingte Konvergenz § 378. Das D ' A L E M B E R T s c h e Kriterium für beliebige Reihen . . § 379. Umordnen der Glieder einer unendlichen Reihe . . . . § 380. Zusammenfassen der Glieder einer unendlichen Reihe . . § 381. Multiplikation von unendlichen Reihen § 382. Die Division von unendlichen Reihen § 383. Reihen mit veränderlichen Gliedern § 384. Der Konvergenzbereich einer Reihe mit veränderlichen Gliedern § 385. Über gleichmäßige und ungleichmäßige Konvergenz . . § 386. Definition der gleichmäßigen und ungleichmäßigen Konvergenz § 387. Geometrische Deutung der gleichmäßigen und ungleichmäßigen Konvergenz

510 512 514 515 516 518 519 521 522 524 524 525 526 528 530 530 533 536 536

Inhaltsverzeichnis

17

§ 388. Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz; reguläre Reihen § 389. Die Stetigkeit der Summe einer unendlichen Reihe . . . | 390. Die Integration von unendlichen Reihen § 391. Die Differentiation von unendlichen Reihen § 392. Potenzreihen § 393. Konvergen^jptervall und Konvergenzradius einer Potenzreihe § 394. Die Bestimmung des Konvergenzradius § 395. Der Konvergenzbereich einer Potenzreihe in x—x0 . . . § 396. Das Theorem von ABEL

§ 397. Operationen mit Potenzreihen § 398. Differentiation und Integration von Potenzreihen

§ 399. Die TAYLOB-Reihe

544 545 547 548

548 . . . 550

§ 400. Die Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe . . § 401. Die Entwicklung der elementaren Funktionen in Potenzreihen § 402. Die Anwendung der unendlichen Reihen auf die Berechnung von Integralen § 403. Hyperbolische Funktionen § 404. Die Umkehrfunktionen für die hyperbolischen Funktionen jj 405. Die Herkunft der Namen für die hyperbolischen Funktionen § 406. Über komplexe Zahlen 1407. Komplexe Funktionen von reellen Argumenten . . . . § 408. Die Ableitung einer komplexen Funktion § 409. Komplexer Exponent einer positiven Zahl § 410. Die EuLEBsche Formel § 411. Trigonometrische Reihen § 412. Historische Bemerkungen über die trigonometrischen Reihen § 413. Die Orthogonalität des Systems der Funktionen cos rix und sinng § 414. Die Formeln von ETJLER-FOURIER

§ 415. § 416. § 417. § 418.

537 538 539 542 543

FouBiEE-Reihen Die FouBiEB-Reihe einer stetigen Funktion Die FouBiEB-Reihen für gerade und ungerade Funktionen FoualEB-Reihen für unstetige Funktionen

552

553 554 559 560 563 566 567 568 570 571 572 573 573 574

576

578 579 582 586

Differential- und Integralrechnung für Funktionen mehrerer Variabler 590 § 419. § 420. § 421. § 422. § 423.

Funktionen von zwei Variablen Funktionen von drei und mehr Variablen Verfahren zur Angabe von Funktionen mehrerer Variabler Grenzwerte von Funktionen mehrerer Variabler . . . . Über die Größenordnung von Funktionen mehrerer Variabler § 424. Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler § 425. Partielle Ableitungen 2

Wygodski I I

590 591 592 594 595 597 597

18

Inhaltsverzeichnis

§ 426. Geometrische Bedeutung der partiellen Ableitungen für den Fall von zwei Argumenten § 427. Totaler Zuwachs und partieller Zuwachs § 428. Das partielle Differential § 429. Darstellung der partiellen Ableitung durch das Differential § 430. Das totale Differential § 431. Die geometrische Bedeutung des totalen Differentials . . § 432. Die Invarianz des Ausdrucks fxdx + f„dy + fzdz für das totale Differential § 433. Die Technik des Differenzierens § 434. Differenzierbare Funktionen § 435. Die Tangentialebene und die Flächennorinale § 436. Die Gleichung der Tagentialebene § 437. Die Gleichung der Normalen § 438. Differentiation zusammengesetzter Funktionen § 439. Übergang von rechtwinkligen Koordinaten zu Polarkoordinaten § 440. Formeln für die partiellen Ableitungen einer zusammengesetzten Funktion § 441. Die totale Ableitung § 442. Differentiation impliziter Funktionen von mehreren Argumenten § 443. Partielle Ableitungen höherer Ordnung § 444. Die totalen Differentiale höherer Ordnung § 445. Die Technik des mehrmaligen Differenzierens § 446. Vereinbarung über die Bezeichnungsweise von Differentialen § 447. Die TaylokscLlö Formel für Funktionen von mehreren Variablen § 448. Extremwerte (Maxima und Minima) von Funktionen mehrerer Argumente § 449. Regel für die Bestimmung von Extremwerten § 450. Hinreichende Bedingung für ein Extremum (für den Fall von zwei Variablen) § 451. Das Doppelintegral § 452. Die geometrische Bedeutung des Doppelintegrals . . . . § 453. Eigenschaften des Doppelintegrals § 454. Abschätzung des Doppelintegrals § 455. Berechnung des Doppelintegrals (einfache Fälle) . . . . § 456. Berechnimg des Doppelintegrals (allgemeiner Fall) . . . § 457. Punktfunktionen § 458. Das Doppelintegral in Polarkoordinaten § 459. Der Flächeninhalt eines Flächenstücks § 460. Das dreifache Integral § 461. Berechnung des dreifachen Integrals (einfache Fälle) . . | 462. Die Berechnung eines dreifachen Integrals (allgemeiner Fall) § 463. Zylinderkoordinaten § 464. Das dreifache Integral in Zylinderkoordinaten § 465. Kugelkoordinaten § 466. Das dreifache Integral in Kugelkoordinaten

598 599 600 601 601 603 603 604 605 606 607 608 609 610 611 611 612 614 616 617 618 619 621 622 623 624 626 626 627 627 631 634 635 638 641 641 642 644 645 645 646

Inhaltsverzeichnis § 467. Leitfaden für die Anwendung von Doppelintegralen und dreifachen Integralen § 468. Das Trägheitsmoment § 469. Einige physikalische und geometrische Größen, die sich durch Doppelintegrale ausdrücken lassen § 470. Einige physikalische und geometrische Größen, die sich durch dreifache Integrale ausdrücken lassen § 471. Das Kurvenintegral § 472. Die Bedeutung des Kurvenintegrals in der Mechanik . . § 473. Die Berechnung des Kurvenintegrals § 474. Die GREENsche Formel § 475. Bedingung für die Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Weg § 476. Eine andere Form für die Bedingung aus dem letzten Paragraphen

19 648 649 651 653 654 655 656 658 658 660

Differentialgleichungen

663

§ 477. Grundbegriffe § 478. Gleichungen erster Ordnung § 479. Die geometrische Bedeutung einer Gleichung erster Ordnung § 480. Isoklinen § 481. Partikuläre Lösung und allgemeine Lösung einer Gleichung erster Ordnung § 482. Gleichungen mit separierten Variablen § 483. Separation der Variablen. Singuläre Lösung § 484. Gleichungen mit totalen Differentialen § 485. Die homogene Gleichung § 486. Lineare Gleichung erster Ordnung § 487. Die ÜLAiRAUTsche Gleichung §488. Die Enveloppe § 489. Die Integrierbarkeit von Differentialgleichungen . . . . | 490. Näherungsweise Integration einer Gleichung erster Ordnung nach der Methode von EULER § 491. Integration von Differentialgleichungen mit Hilfe von unendlichen Reihen § 492. Über das Aufstellen von Differentialgleichungen . . . . § 493. Gleichungen zweiter Ordnung § 494. Gleichungen ra-ter Ordnung § 495. Reduktion der Ordnung § 496. Die lineare Gleichung zweiter Ordnung § 497. Die lineare Gleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten § 498. Die homogene lineare Gleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten § 499. Die inhomogene lineare Gleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten § 500. Lineare Gleichung beliebiger Ordnung § 501. Die Methode der Variation der Konstanten § 502. Systeme von Differentialgleichungen. Lineare Systeme .

663 665

2»

665 668 669 670 671 673 674 677 679 681 682 682 684 686 690 692 692 694 696 696 700 704 705 706

20

Inhaltsverzeichnis

Einige bemerkenswerte Kurven

708

§ 503. § 504. § 505. § 506. § 507. § 508. § 509. § 510. § 511. § 512. § 513. § 514. § 515. § 516. § 517.

708 710 712 714 715 719 723 725 726 729 731 734 739 749 753

Die Strophoide Die Kissoide des Diokles Das Kartesische Blatt Die Versiera der Agnesi Die Konchoide des Nikomedes Die PASCAiaohe Schnecke. Die Kardioide CASsraische Linien Die BERNOULLische Lemniskate Die Archimedische Spirale Die Kreisevolvente Die logarithmische Spirale Die Zykloide Die Epizykloide und die Hypozykloide Die Traktrix Die Kettenlinie

Tabellen

757

Sachverzeichnis

776

Analytische Geometrìe in der Ebene § 1. Grundsätzliches über die analytische Geometrie In der dementaren Schulgeometrie untersucht man die Eigenschaften von geradlinigen Figuren und Kreisen. Die Hauptrolle spielen darin die Konstruktionen. Die Berechnungen hingegen haben, obwohl ihre praktische Bedeutung sehr groß ist, nur eine untergeordnete Rolle. Die Wahl dieser oder jener Konstruktion verlangt meist etwas Erfindungskraft. Darin liegt die Hauptschwierigkeit bei der Lösung von Aufgaben mit den Methoden der elementaren Geometrie. Die analytische Geometrie entstand aus dem Bedürfnis nach einheitlichen Mitteln zur Lösung geometrischer Probleme, die man bei der Untersuchung aller für die Praxis wichtigen Kurven verschiedener Form anwenden kann. Dieses Ziel erreichte man durch die Erfindung der Koordinaten (s. §§2—4). Bei Verwendung von Koordinaten kommt der Berechnung die tragende Bolle zu, die Konstruktion hingegen hat die Bedeutung eines Hilfsmittels. Aus diesem Grunde erfordert die Lösung von Aufgaben nach der Methode der analytischen Geometrie bei weitem weniger Erfindungskraft. Die Begründung der Koordinatenmethode wurde durch die Arbeiten der altgriechischen Mathematiker vorbereitet, insbesondere durch die Arbeiten von A P O L L O N I O S (3. bis 2. Jahrhundert v. u. Z.). Eine systematische Entwicklung erfuhr die Koordinatenmethode in der ersten Hälfte des 1 7 . Jahrhunderts durch die Arbeiten von F E B M A T 1 ) und D E S C A S T E S 2 ) . Diese Autoren betrachteten jedoch nur ebene Kurven. Zur systematischen Untersuchung von räumlichen Kurven und Flächen wurde die Koordinatenmethode zum ersten Mal von L . EULER3) herangezogen.

*) PIERRE DE FERMAT (1601 —1655), bedeutender französischer Mathematiker, war im Ausbau der Differentialrechnung ein Vorgänger von NEWTON und LEIB-

NIZ. Er lieferte einen beachtlichen Beitrag zur Zahlentheorie. Der Großteil der Arbeiten FERMATS (darunter auch Arbelten über analytische Geometrie) wurde zu Lebzeiten des Autors nicht veröffentlicht.

') RENÉ DESCASTES (1596-1650), bedeutender französischer Mathematiker u n d

Philosoph. Die Veröffentlichung seiner „Geometrie" (eine der Anwendungen aus seiner philosophischen Schrift „Abhandlungen über die Methode") im Jahre 1637 erachtet man (mit Einschränkungen) als die Begründung der analytischen Geometrie. *) LEONHARD EITLER (1707—1783) ist in der Schweiz geboren. 1727 kam er nach Rußland. Er arbeitete anfänglich als Adjunkt (wissenschaftlicher Mitarbeiter) an der Petersburger Akademie der Wissenschaften, später (ab 1783) war er Mitglied der Akademie. Er schrieb über 800 Arbeiten. Er pachte neue Entdeckungen in allen physikalisch-mathematischen Wissenschaften. Er hat viel zur Entwicklung der russischen Wissenschaften beigetragen.

22

I. Analytische Geometrie in der Ebene

§ 2. Koordinaten Als Koordinaten eines Punktes bezeichnet man jene Größen, welche die Lage dieses Punktes bestimmen (im Baum, in einer Ebene oder auf einer gekrümmten Fläche, auf einer Geraden oder auf einer gekrümmten Kurve). Wenn also zum Beispiel der Punkt M irgendwo auf der 0 —H-

M

Abb. 1

Geraden XX' (Abb. 1) liegt, so läßt sich seine Lage durch eine einzige Zahl festlegen, z. B. etwa auf die folgende Art: Wir wählen auf XX' einen beliebigen Anfangspunkt 0 und messen den Abschnitt OM, etwa in Zentimetern. Wir erhalten so eine Zahl x, die positiv oder negativ ist, je nachdem, welche Biohtung der Absohnitt OM besitzt (nach rechts oder nach links, wenn die Gerade horizontal verläuft). Die Zahl x ist die Koordinate des Punktes M.

§ 3. Rechtwinkliges Koordinatensystem Die Lage eines Punktes in einer Ebene wird durch zwei Koordinaten festgelegt. Dazu führt man zwei zu einander senkrechte Gerade X'X, Y' Y ein (Abb. 2) und bezeichnet sie als Koordinatenachsen. Die eine

X'

0

y Abb. 2

0

y Abb. 3

davon X'X (die man gewöhnlich horizontal legt) heißt Abszissenochse, die andere Y'Y Ordinatenachse. Ihr Schnittpunkt 0 heißt Koordinatenursprung oder kurz Ursprung. Zur Messung der Abschnitte auf den Koordinatenachsen wählt man willkürlich irgendeine Maßstabseinheit, jedoch meist für beide Achsen dieselbe. Auf jeder Aohse wählt man eine positive Biohtung (durch Pfeile angedeutet). In Abb. 2 gibt der Strahl OX die positive Bichtung auf

§ 4. Rechtwinklige Koordinaten

23

der Abszissenaohse an, der Strahl 0 Y die positive Richtung auf der Ordinatenachse. Gewöhnlich wählt man die positive Richtung so, daß der positive Strahl OX (Abb. 3) durch eine Drehung um 90° im Gegenuhrzeigersinn mit dem positiven Strahl O Y zusammenfällt. Die Koordinatenachsen X'X, Y'Y (mit festgelegten positiven Richtungen und fest gewähltem Maßstab) bilden ein rechtwinkliges Koordinatensystem.

§ 4. Rechtwinklige Koordinaten Die Lage eines Punktes M in der Ebene bestimmt man in einem rechtwinkligen Koordinatensystem (§ 3) auf die folgende Art. Man zieht eine Gerade MP parallel zu Y' Y bis zum Schnitt mit der Achse X'X im Punkte P (Abb. 4) und eine Gerade MQ parallel zu X'X bis

tM

Q

-t

1 P

1— x

r Abb. 4 zum Schnitt mit der Achse Y' Y im Punkte Q. Die Maßzahlen x und y der Absohnitte OP und OQ im gegebenen Maßstab heißen rechtwinklige Koordinaten (kurz Koordinaten) des Punktes M. Diese Zahlen werden positiv oder negativ je nach der Richtung der Abschnitte OP und OQ. Die Zahl x heißt Abszisse des Punktes M, die Zahl y heißt Ordinate. In Abb. 4 hat der Punkt M die Abszisse x = 2 und die Ordinate y = 3 (bei einer Maßstabseinheit von 0,4 cm). Man bezeichnet dies durch: M(2; 3). Das allgemeine Symbol M(a;b) bedeutet, daß der Punkt M die Abszisse x = a und die Ordinate y = b besitzt. Beispiele. In Abb. 5 sind die folgenden Punkte eingetragen: Ax ( + 2 ; +4), At ( - 2 ; +4), A„ ( + 2 ; - 4 ) , At ( - 2 ; - 4 ) , ( + 5 ; 0); -B> (0; - 6 ) , O (0; 0). B e m e r k u n g . Die Koordinaten eines gegebenen Punktes M sind in einem anderen rechtwinkligen Koordinatensystem verschieden.

24

I. Analytische Geometrie in der Ebene

4

h

B

1

0

h

?? r Abb. 5

§ 5. Winkelbereiche oder Quadranten Die vier Winkelbereiche, die durch die Koordinatenachsen gebildet werden, heißen Quadranten. Man nummeriert sie so, wie e3 in Abb. 6 y

0

*

m

M

r Abb. 6 angegeben wurde. Die folgende Tabelle zeigt, welches Vorzeichen die Koordinaten der Punkte in den einzelnen Quadranten besitzen:

Koordinaten Abszisse Ordinate

'

^

I

+ +

II

III

IV

—

—

+

+

—

—

§ 7. Die Geradengleichung

25

In Abb. 5 liegt der Funkt Ax im ersten Quadranten, der Punkt A2 im zweiten, der Punkt At im dritten und Punkt Aa im vierten. Wenn ein Punkt auf der Abszissenachse liegt (z. B. der Punkt B1 in Abb. 5), so ist seine Ordinate y gleich 0. Wenn der Punkt auf der Ordinatenaohse liegt (z. B. der Punkt 5 a in Abb. 5), so ist seine Abszisse gleich 0.

§ 6. Schiefwinkliges Koordinatensystem Neben rechtwinkligen Koordinatensystemen verwendet man auch andere Systeme. Ein schiefwinkliges System (dem rechtwinkligen am ähnlichsten) konstruiert man so: Man zieht (Abb. 7 ¡zwei Geraden

Abb. 7

X'X und Y' Y (die Koordinatenachsen) unter spitzen Winkel zu einander und verfährt dann genauso wie bei der Konstruktion eines rechtwinkligen Sj stems (§ 3). Die Koordinaten x = OP (Abszisse) und y = PM (Ordinate) bestimmt man genauso, wie es in § 4 dargelegt wurde. Die rechtwinkligen und schiefwinkligen Systeme faßt man unter dem gemeinsamen Namen kartesische Koordinatensysteme zusammen. Neben den kartesischen Systemen verwendet man auch andere Koordinatensysteme (sehr oft werden Polarkoordinaten verwendet, S. §73).

§ 7. Die Geradengleichung Wir betrachten die Gleichung x + y — 3, die die Abszisse x mit der Ordinate y in Beziehung setzt. Sie wird von einer Menge von Wertepaaren x, y erfüllt, z. B. von x = 1 und y = 2, x = 2 und y = 1 , x — 3 und y = 0, x = 4 und y — — 1 u.a.m. Jedes Koordinatenpaar entspricht (in einem gegebenen Koordinatensystem) einem Punkt (§ 4). In Abb. 8 a wurden die Punkte Ax (1; 2), A„ (2; 1), A3 (3; 0), A t (4; —1) aufgetragen. Sie liegen auf einer einzigen Geraden UV. Auf derselben Geraden liegen alle anderen Punkte, deren Koordinaten der Gleichung x -f- y — 3 genügen. Wenn umgekehrt ein Punkt auf der Geraden U V liegt, so erfüllen seine Koordinaten x, y die Gleichung x + y =• 3.

26

I. Analytische Geometrie in der Ebene

In diesem Sinne kann man sagen: die Gleichung x -f- y = 3 ist die Gleichung der Geraden UV. Man sagt auch: die Gleichung x + y = 3 stellt die Gerade U V dar. In diesem Sinne ist auch der Ausdruck zu verstehen: „Die Gleichung der Geraden ST (Abb. 8b) ist y = 2x",

y' Abb. 9

die Gleichung n? + y2 = 49 stellt einen Kreis dar (Abb. 9), dessen Radius sieben MaBstabseinheiten umfaßt und dessen Mittelpunkt mit dem Koordinatenursprung zusammenfällt (s. § 38). Im allgemeinen heiBt eine Gleichung zwischen den Koordinaten x und y die Gleichung der Kurve L, wenn die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind: 1) die Koordinaten x, y jedes Punktes M der Kurve L genügen dieser Gleichung, 2) die Koordinaten x, y jedes Punktes, der nicht auf der Kurve L liegt, genügen dieser Gleichung nicht.

§ 9. Gegenseitige Lage zweier Kurven

27

Die Koordinaten eines Punktes M auf einer Kurve L beliebiger Gestalt heißen laufende Koordinaten, da man sich die Kurve L durch Verschiebung des Punktes M („Ablaufen") gebildet denken kann. Es seien J ! „ M„ auf der Kurve L. M,P„ M,P„ ... Abschnitte OP,,

M (Abb. 10) die aufeinanderfolgenden Lagen des Punktes M Wir konstruieren eine Reihe von senkrechten Abschnitten M1P1, auf die Achse OX. Aul der Achse OX schneiden wir dadurch die OPt, OP ab. Bei diesen handelt es sich um die Abszissen

0

1 2 3% r5 Abb. 10

Damit verbunden ist die Herkunft der Termina „Abszisse" und „Ordinate". Das lateinische Wort „abscissa" bedeutet übersetzt „das Abgeschnittene", das Wort „ordinata" ist die Abkürzung für „ordinatlm ducta", was bedeutet „der Reihe nach angeordnet". Indem wir jeden Funkt der Ebene durch seine Koordinaten und jede Kurve durch ihre Gleichung darstellen, die eine Beziehung zwischen ihren laufenden Koordinaten liefert, führen wir eine geometrische auf eine „analytische" Aufgabe zurück. Daher rührt der Name „analytische Geometrie".

§ 8. Gegenseitige Lage von Punkt und Kurve Zur Beantwortung der Frage, ob ein P u n k t M auf einer gewissen Kurve L liegt oder nicht, genügt es, wenn man die Koordinaten des Punktes M und die Gleichung der Kurve L kennt. Wenn die Koordinaten des Punktes M der Gleichung der Kurve L genügen, so liegt M auf L, sonst nicht. B e i s p i e l . Liegt der P u n k t M (5; 5) auf dem Kreis x2 + y2 = 49?

(§7)-

L ö s u n g . Wir setzen die Werte x = 5, y = 5 in die Gleichung x2 + y2 = 49 ein. Die Gleichung ist nicht erfüllt, daher liegt der Punkt M nicht auf dem betrachteten Kreis.

§ 9. Gegenseitige Lage zweier Kurven Zur Beantwortung der Frage, ob zwei Kurven einen gemeinsamen Punkt besitzen und wenn ja, wieviele, genügt es, wenn man die Gleichungen dieser Kurve kennt. Wenn die Gleichungen verträglich

28

I. Analytische Geometrie in der Ebene

sind, so existiert ein gemeinsamer Funkt, im anderen Falle nicht. Die Anzahl der gemeinsamen Punkte ist gleioh der Anzahl der Lösungen des Gleiohungssystems. Beispiel 1. Die Gerade x + y = 3 (§7) und der Kreis x2 + y2 = 49 haben zwei gemeinsame Punkte, da das System x + y = 3,

x2 + y2 = 49

zwei Lösungen hat: ^

=

=

3 + yS9_aoo y « 6,22,

„_3-Vl9 = ^ — = -3,22

Vl

und

Beispiel 2. Die Gerade x + y = 3 und der Kreis x2 + y2 — 4 haben keinen gemeinsamen Punkt, da das System a; + y = 3,

s 2 + y2 = 4

keine (reellen) Lösungen besitzt. § 10. Der Abstand zwischen zwei Punkten Der Abstand d zwischen zwei Punkten A1(x1; y±) und A^x^; y2) ergibt sich durch die Formel d = ftx, - *t)2 + (ft -Vt?

(1)

Beispiel. Der Abstand zwischen den Punkten M (—2, 3; 4,0) und N (8,5; 0,7) lautet d = V(8,5 + 2,3)2 + (0,7 - 4)s = yi0,8 2 + 3,32 M 11,3 (Maßstabseinheiten). Bemerkung 1. Die Reihenfolge der Punkte M und N spielt keine Rolle. Man darf auch N als ersten Punkt und M als zweiten nehmen. Bemerkung 2. Den Abstand d faßt man als positive Größe auf. Man nimmt daher die Wurzel in Formel (1) stets positiv. § 11. Teilabschnitte mit gegebenem Verhältnis Gegeben seien die Punkte 4 1 (a; 1 ; yt), A2(x2; y2) (Abb. 11). Gesucht sind die Koordinaten x, y eines Punktes K, der die Verbindung A1A2 im Verhältnis A1K:KA2 — m1:mi

§ 11. Teilabschnitte mit gegebenem Verhältnis

29

teilt. Als Lösung erhält man die Formeln _ m2xl -f TOjx2 ~ m2 + mx ' =

(1)

m,2y1 + Wiya m 1 + m2

Bezeichnet man das Verhältnis m,1: m2 mit A, so erhalten die Formeln (1) die unsymmetrische Form x

i + 1+A

3/:

'

Vi + ¿Vi 1+A •

(2)

Beispiel 1. Gegeben seien der Punkt B (6; —4) und der mit dem Koordinatenursprung zusammenfallende Punkt 0. Man bestimme einen Punkt K, der die Strecke BO im Verhältnis 2:3 teilt. L ö s u n g . In Formeln (1) hat man zu setzen: 2, ma = 3, Wir erhalten

= 6, j/i = —4,

18 x = ^ = 3,6, o

V'

5

==0, 1/2 = 0.

-

Dies sind die Koordinaten des gesuchten Punktes K. B e m e r k u n g 1. Der Ausdruck „der Punkt K teilt den Abschnitt A1A2 im Verhältnis m^.m^' bedeutet, daß das Verhältnis m1-.m2 gleich dem Verhältnis der Abschnitte A1K:KA1 ist, genommen in dieser (und nicht in entgegengesetzter) Reihenfolge. Im Beispiel 1 teilt der Punkt K (3,6; —2,4) den Abschnitt BO im Verhältnis 2:3, den Abschnitt OB jedoch im Verhältnis 3:2. B e m e r k u n g 2. Der Punkt K möge den Abschnitt AtAe von außen teilen, d. h., er liege auf der Verlängerung von AXA2. Auch in diesem Falle gelten noch die Formeln (1) und (2), wenn man der Größe X = m1:7?i2 ein negatives Vorzeichen erteilt.

30

I. Analytische Geometrie in der Ebene

Beispiel 2. Gegeben seien die Punkte (1; 2) und A2 (3; 3). Man bestimme auf der Verlängerung von A t A 2 einen Punkt, der von doppelt so weit entfernt ist, wie von A2. Lösung. Wir haben X = m,1-.m2 = —2 (so daß wir ml — —2, m2 = 1 oder m l = 2, m2 = — 1 setzen dürfen). Mit Hilfe der Formel (1) erhalten wir: x =

i-i+J-2)-S

= 5 t

-2 + 1

y =

l - 2 + (-2)-3

= 4

-2 + 1

Die Koordinaten des Mittelpunktes der Verbindung zwischen Ax und A 2 sind gleich der Hälfte der Summen der entsprechenden Koordinaten der Endpunkte: Xl+Jh

y =

Vi

+ Vi

Diese Formel erhält man aus den Formeln (1) und (2), wenn man m1 — m2 — l oder A = 1 setzt. § 12. Die Determinante zweiter Ordnung1) Das Symbol Beispiel.

a 6 bedeutet dasselbe wie ad — 6 c. c d

2 7 = 2 - 5 - 3 - 7 = -11; 3 5 3 -4 = 3 - 2 - 6 - ( - 4 ) =30. 6 2 a b Der Ausdruck heißt Determinante zweiter Ordnung. c d § 13. Der Flächeninhalt eines Dreiecks

Die Punkte A1(x1; yj, A2(x2; y2), A3(x3; y3) sollen die Ecken eines Dreiecks bilden. Dann bestimmt man dessen Flächeninhalt mit Hilfe der Formel Vi — y3 S = ± T (i) Vi - Vi Auf der rechten Seite steht hier eine Determinante zweiter Ordnung (§ 12). Den Flächeninhalt des Dreiecks betrachten wir als positive Größe. Daher setzen wir also vor die Determinante das Pluszeichen, wenn ihr Wert positiv ist, das Minuszeichen, wenn dieser negativ ist. ') Mehr über Determinanten findet man in § 182 - 1 8 5 .

§ 14. Die Gieradengleichung

31

B e i s p i e l . Man bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Ecken A (1; 3), B (2; —5) und G ( - 8 ; 4). L ö s u n g . Nimmt man A als ersten, B als zweiten und C als dritten Punkt, so erhält man *2 -

Vi —Vi Vi- y3

1+8 3 - 4 2 + 8 - 5 - 4 9 -1 = - 8 1 + 10 = - 7 1 . 10 - 9

In Formel (1) ist also das Minuszeichen zu nehmen. Wir erhalten: S = _ — . ( - 7 1 ) = 35,6. Nimmt man A als ersten, C als zweiten und B als dritten Punkt, so ergibt sich X

x

X

X

1 2

3 Vi - Vt 3 Vi -Vi

1 - 2 3 + 5 - 8 - 2 4 + 5

-

1

8

-10

9

= 71.

In Formel (1) ist jetzt das Pluszeichen zu nehmen. Wir erhalten wieder S = 35,5. B e m e r k u n g . Wenn die Ecke As mit dem Koordinatenursprung zusammenfällt, gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks die Formel Vi Vt

(2)

(Spezialfall von Formel (1) für x3 = y3 = 0).

§ 14. Die Gcradengleichung in der nach y aufgelösten Form Alle Geraden, die nicht parallel zur Ordinatenachse verlaufen, lassen sich durch eine Gleichung der Gestalt y = ax + b

(1)

darstellen. Hier bedeutet a den Tangens des Winkels a , (Abb. 12) den die Gerade mit der positiven Richtung der Abszissenachse1) bildet, (a = t g a = tg < XLS), der Absolutbetrag von b bedeutet die Länge der Strecke OK, welche die Gerade auf der Ordinatenachse ') Als ersten Schenkel für den Winkel x nimmt man den Strahl OX. Auf der Geraden SS' kann man einen beliebigen der beiden Strahlen LS, LS' verwenden. Der Winkel OT ist positiv, wenn eine Drehung von O y Iii OY in derselben Bichtung erfolgt wie eine Drehung von OX um 90° nach OT (d. h. bei der üblichen Anordnung Im Gegenuhrzeigersilm).

32

I. Analytische Geometrie in der Ebene

abschneidet. 6 ist positiv oder negativ, je nach der Richtung von OK. Wenn die Gierade durch den Ursprung verläuft, so ist 6 = 0. Die Größe a heißt Steigung, die Größe 6 heißt Anfangsordinate.

Beispiel 1. Man schreibe die Gleichung der Gieraden (Abb. 13), die mit der Achse OX den Winkel 26). Der Punkt 0 heißt Mittelpunkt der Ellipse. Die Punkte A, A', B, B' heißen Scheitel der Ellipse. Das Verhältnis k = b-.a heißt Stauchkoeffizient der Ellipse. Die Größe 1 — k = ^ ~ ^ (d.h. das Verhältnis BD .OD) heißt a Stauchung der Ellipse. Man bezeichnet sie mit den Buchstaben ot. *) Eine andere Definition der Ellipse findet man in § 41.

§ 40. Die Ellipse als gestauchter Kreis

63

Die Ellipse ist symmetrisch bezüglich der großen und kleinen Achsen und somit auch bezüglich des Mittelpunktes. Ein Kreis läßt sich als Ellipse mit dem Stauchkoeffizienten k — 1 auffassen. Die kanonische Gleichung der Ellipse. Nimmt man die Achsen der Ellipse als Koordinatenachsen, so genügt diese der Gleichung1)

5+

die als kanonische2) Gleichung (NormcUform) der Ellipse bezeichnet wird. Beispiel 1. Ein Kreis mit dem Radius a = 10 cm werde gleichmäßig mit dem Stauchkoeffizienten 3:5 gestaucht. Nach der Abbildung erhält man eine Ellipse mit einer großen Achse 2 a = 20 cm und einer kleinen Achse 2b = 12 cm (Halbachsen a = 10 cm und 6 = 6 cm). JQ g Die Stauchung dieser Ellipse ist 1 — k = a = ——— = 0,4. Ihre kanonische Gleichung lautet s 2 , y2 100 ^ 36

4

Beispiel 2. Durch Projektion eines Kreises auf eine beliebige Ebene P parallel zum Durchmesser A1'A1 (Abb. 36) bleibt dieser Durchmesser in natürlicher Größe erhalten, aber alle Strecken senkrecht dazu verkürzen sich im Verhältnis cos a.

(3)

Wenn M näher beim Brennpunkt F' als beim Brennpunkt F liegt, d. h., wenn F'M < FM (Abb. 43), so kann man anstelle von (1) schreiben: FM - F'M = 2 a . (la) Wenn jedoch M näher bei F liegt als bei F', wenn also F'M > FM (Abb. 42), so haben wir F'M - FM = 2 a.

(lb)

Die Punkte, für die F'M — FM = 2a gilt, bilden einen Ast der Hyperbel (bei der üblichen Darstellung, den „rechten" Ast). Die Punkte, für die FM — F'M = 2a, bilden den zweiten Ast (den „linken"). D i e k a n o n i s c h e G l e i c h u n g d e r H y p e r b e l . Wir wählen als Achse OX (Abb. 44) die Gerade F'F und als Koordinatenursprung den Mittelpunkt 0 auf der Strecke F'F. Gemäß (2) haben wir F{e; 0),

§ 44. Die Form einer Hyperbel

69

F'(—c; 0). Der rechte Ast wird gemäß (lb) und §10 durch die Gleichung V'(z + C)2 + y1 - V(» - c) 2 + y2 = 2a (4a) dargestellt. Für den linken Ast hingegen haben wir gemäß (1 a) und § 10 die Gleichung V(a - c)2 + y2 - V(» + c)2 + y2 = 2a. Entfernt man die Wurzeln, so erhält man in beiden Fällen (a2 - c2)a;2 + a2y2 = a2(a2 - c2) oder , V2 1

(4b) (5) fm

Diese Gleichung ist gleichwertig zu dem Gleichungspaar (4 a) und (4b). Sie gilt für beide Hyperbeläste zugleich1). Gleichung (6) hat dieselbe äußere Form wie die Ellipsengleichung (s. (6) § 41), aber diese Ähnlichkeit ist irreführend. Hier ist nämlich auf Grund von (3) die Größe o2 — c2 negativ, so daß ]/aa — c2 eine imaginäre Größe wird. Daher bezeichnen wir hier die Größe + yc2 —a* durch b, so daß2) 62 = c2 - a2. Aus (6) erhalten wir sodann die

kanonische3)

(7) Gleichung der Hyperbel

Beispiel. Wenn die Abstandsdifferenz F'M — f M dem Absolutbetrag nach gleich 2a = 20 cm ist und die doppelte Brennweite 15 2c = 25 cm, so gilt 6 = ]/c2 — a2 = — (cm). Die kanonische Gleiifi " chung der Hyperbel ist — - ^ = 1.

§ 44. Die Form einer Hyperbel. Scheitel und Achsen Eine Hyperbel ist symmetrisch bezüglich des Mittelpunktes 0 der Strecke F'F (Abb. 45). Sie ist symmetrisch bezüglich der Geraden F'F und bezüglich der Geraden Y' Y, die senkrecht zu F'F durch den Punkt O verläuft. Der Punkt 0 heißt Mittelpunkt der Hyperbel. Die Gerade F'F schneidet die Hyperbel in zwei Punkten a; 0) und ') Man könnte auch annehmen, daß die beiden Äste nicht eine einzige Kurve, sondern deren zwei bilden. Doch dann wird keine der beiden Kurven für sich allein durch eine algebraische Gleichung zweiten Grades dargestellt. •) Über die geometrische Bedeutung der Größe b s. § 46. ») Siehe Fußnote 2 auf S. 63.

70

I. Analytische Geometrie in der Ebene

A'(—a\ 0). Diese Punkte heißen die Scheitel der Hyperbel. Die Strecke A'A = 2a (und oft auoh die Gerade A'A selbst) nennt man

reelle Achse der Hyperbel.

Die Gerade Y' Y schneidet die Hyperbel nicht. Trotzdem trägt man auf ihr die Strecken B'O = OB = 6 auf und bezeichnet den Abschnitt B'B = 26 (und oft auch die Gerade Y' Y selbst) als imagi-

näre Achse der Hyperbel.

S

\

V

s

'Y

y

•B.

•B \

A' 0 R

A\F • B/'

X

x

x'

F* J A' 0

/

A •B' y'

V p

ff Abb. 46

/ Q

Abb. 47

Wegen AB2 = OA2 + OB" = a2 + b2 folgt aus (7) §43, daß AB = c, d. h., der Abstand zwischen dem Scheitel der Hyperbel und dem Ende der imaginären Achse ist gleich der Brennweite. Die imaginäre Achse kann größer (Abb. 45), kleiner (Abb. 46) oder gleich groß (Abb. 47) wie die reelle Achse sein. Wenn beide Achsen gleich lang sind (a = b), so spricht man von einer gleichseitigen Hyperbel.

§ 46. Die Asymptoten der Hyperbel

71

MF c .. . - — von Brennweite zur reellen Achse heißt A'A a Exzentrizität der Hyperbel und wird mit e bezeichnet (vgl. (9) § 41). Wegen (3) § 43 ist die Exzentrizität der Hyperbel größer als eins. Die Exzentrizität einer gleichseitigen Hyperbel ist ]/2. Die Hyperbel liegt ganz außerhalb des Bereiches, der von den Geraden PQ und BS parallel zu Y' Y begrenzt wird. Diese Geraden haben vom Ursprung 0 den Abstand AO — A'O = a (Abb. 45, 46, 47). Rechts und links von diesem Bereich erstreckt sich die Hyperbel bis ins Unendliche. Das Verhältnis

§ 45. Konstruktion einer Hyperbel aus ihren Achsen Auf den zueinander senkrechten Geraden X'X und Y' Y (Abb. 48) tragen wir die Strecken OA - OA' = a und OB = OB' = b (reelle und imaginäre Halbachsen) auf. Hierauf tragen wir die Strecken OF und OF' auf, die gleich AB sind. Die Punkte F' und F \M

-B

r

A

A' o -B' y'

jF K x

M

Abb. 48

sind gemäß (7) § 43 die Brennpunkte. Auf der Verlängerung von A'A wählen wir hinter A einen beliebigen Punkt K und schlagen von F aus mit dem Radius AK = r einen Kreis. Aus F' schlagen wir mit dem Radius A' K = r' = 2a + r einen weiteren Kreis. Diese Kreise schneiden sich in zwei Punkten M und M', wobei gemäß Konstruktion F'M — FM = 2a und F'M' — FM' = 2a. Nach Definition (§ 43) liegen die Punkte M und M' auf der Hyperbel. Durch Änderung von r erhalten wir neue Punkte der Hyperbel auf dem rechten Ast. Eine analoge Konstruktion liefert auch den „linken" Ast.

§ 46. Die Asymptoten der Hyperbel Die Gierade y = lex (durch den Mittelpunkt der Hyperbel 0) schneidet bei \k\ < — die Hyperbel in zwei Punkten D' und D ( Abb. 49), a Jy die bezüglich 0 symmetrisch liegen. Wenn hingegen > —, so

72

I. Analytische Geometrie in der Ebene

hat die Gerade y = kx (E'E in Abb. 50) mit der Hyperbel keinen Funkt gemeinsam. Die Geraden y = — • x und y — a

a

x (U'U und V V in Abb. 51),

für die | k \ = — besitzen die folgenden (nur ihnen eigenen) Eigenschaften: bei unbegrenzter Verlängerung nähern sie sich der Hyperbel unbegrenzt.

Exakt ausgedrückt heißt das: Wenn man die Oerade Q'Q, die parallel zur Ordinatenachse verläuft, unbegrenzt vom Mittelpunkt O (nach rechts oder nach links) entfernt, so werden die Längen der Strecken QS, Q'S' zwischen der Hyperbel und den beiden Geraden U'U und V'V unbegrenzt klein.

Die Geraden y x und y x nennt man Asymptoten a der Hyperbel 1 ). a Die Asymptoten einer gleichseitigen Hyperbel stehen senkrecht aufeinander. G e o m e t r i s c h e B e d e u t u n g d e r i m a g i n ä r e n Achse. Durch den Scheitel A der Hyperbel (Abb. 51) ziehen wir eine Gerade L'L, senk') „asymptota" ist ein griechisches Wort. Es bedeutet „sich nicht berührend".

§ 48. Die Parabel

73

recht zur reellen Achse. Dann ist der Abschnitt dieser Geraden zwischen den beiden Asymptoten der Hyperbel genauso lang wie die imaginäre Achse der Hyperbel B'B = 2b.

§ 47. Konjugierte Hyperbeln Zwei Hyperbeln heißen konjugiert (Abb. 52), wenn sie einen gemeinsamen Mittelpunkt 0 und gemeinsame Achsen besitzen, wobei die reelle Achse der einen die imaginäre Achse der anderen Hyperbel bildet.

In Abb. 52 ist A'A die reelle Achse der Hyperbel I und die imaginäre Achse der Hyperbel II, während B'B die reelle Achse der Hyperbel II und die imaginäre Achse der Hyperbel I darstellt. Wenn i i - l L - i a? 6* die Gleichung der einen Hyperbel ist, so besitzt die zweite der konjugierten Hyperbeln die Gleichung a?

b* ~

,

Konjugierte Hyperbeln besitzen gemeinsame Asymptoten (U'U und V'V in Abb. 52).

§ 48. Die Parabel D e f i n i t i o n . Die Parabel (Abb. 53) ist der geometrische Ort aller Punkte (M), die von einem gegebenen Punkt F und einer gegebenen Geraden PQ gleichen Abstand besitzen: FM

' KM.

(1)

74

I. Analytische Geometrie in der Ebene

Der Punkt F heißt Brennpunkt, die Gerade PQ heißt Leitlinie der Parabel. Der Abstand FC = p zwischen Brennpunkt und Leitlinie heißt Parameter der Parabel.

Wir nehmen als Koordinatenursprung den Mittelpunkt 0 der Strecke FC, so daß CO = OF —

(2)

Als Abszissenachse wählen wir die Gerade CF. Als positive Richtung zählen wir die Richtung von 0 nach F. Wir haben sodann: F (§ 10) FM =

0 j , KM = KD + DM =

+ x und

— x j + y2. Auf Grund von (1) haben wir

Durch Quadrieren erhält man die gleichwertige Gleichung = 2 px. (4) x Dies ist die kanonische ) Gleichung (Normalform) der Parabel. Die Gleichung der Leitlinie PQ (im selben Koordinatensystem) ist s

+

f

= 0.

Die Parabel ist symmetrisch bezüglich der Geraden F C (Abszissenachse bei unserer Wahl des Koordinatensystems). Diese Gerade bezeichnet man als Achse der Parabel. Die Parabel verläuft durch den Mittelpunkt 0 der Strecke FC. Der Punkt 0 heißt Scheitel der Parabel (er dient uns auoh als Koordinatenursprung). *) Siehe Fußnote 2 auf S. 63.

§ 50. Die Parabel als Kurve

76

Die Parabel liegt vollkommen auf einer Seite der Geraden Y' T (Tangente zum Scheitel). Sie erstreckt sich auf dieser Seite bis ins Unendliche.

§ 49. Konstruktion einer Parabel bei gegebenem Parameter p Wir ziehen (Abb. 54) eine Gerade PQ (Leitlinie der Parabel) und wählen in gegebenem Abstand p — CF davon einen Punkt F (Brennpunkt). Der Mittelpunkt O der Strecke CF bildet den Scheitel, die Gerade C F die Achse der Parabel. Auf dem Strahl O F wählen wir

S

Q K

M

C 0 F

R

J

M'

P Abb. 64

einen beliebigen Punkt R und ziehen durch ihn senkrecht zur Achse eine Gerade RS. Um den Brennpunkt F als Mittelpunkt sohlagen wir je einen Kreis mit dem Radius CR. Dieser schneidet RS in zwei Punkten M und M'. Die Punkte M und M' gehören zur gesuchten Parabel, da gemäß Konstruktion FM = CR = KM (s. Definition § 48). Durch Änderung der Lage des Punktes R erhalten wir neue Punkte der Parabel.

§ 50. Die Parabel als Kurve mit der Gleichung y = ax2 + bx + c Die Gleichung

= 2 py

(1) 2

stellt dieselbe Parabel dar wie die Gleichung y = 2p x (vgl. § 48), jedoch fällt hier die Achse der Parabel mit der Ordinatenaohse zusammen. Der Koordinatenursprung liegt wie früher im Scheitel der Parabel (Abb. 55). Der Brennpunkt liegt im Punkt F ^0; Leitlinie PQ besitzt die Gleichung y -f

— 0.

. Die

76

I. Analytische Geometrie in der Ebene

Nimmt man als positive Richtung für die Ordinatenachse nicht OF, sondern die Richtung FO (Abb. 56), so wird die Gleichung der Parabel -z2 = 2p y (2)

§ 60. Die Parabel als Kurve

77

(s. in Abb. 56, in der die Koordinatenachsen die übliche Richtung haben). Dementsprechend sind die grafischen Darstellungen der Funktionen y = ax* (3) Parabeln, und zwar mit der Öffnung nach oben, wenn a > 0, und mit der Öffnung nach unten, wenn a < 0 . J e kleiner der Absolutbetrag von a ist^in Abb. 57 gilt a = 2, a = ± 1 » a = ±-g-> o um so näher liegt der Brennpunkt beim Scheitel, und um so „offener" sind die Parabeln. Jede der Gleichungen y = ax 2 + bx + c (4) hat als grafische Darstellung dieselbe Parabel wie die Gleichung

y — ax 2 (für beide Parabeln ist der Abstand vom Soheitel bis \ 1 \ * zum Brennpunkt gleich ——: J. Beide sind konkav nach derselben |4a| /

'F Abb. 69

Richtung. Jedoch liegt der Scheitel der Parabel (4) nicht im Ursprung, sondern im Punkt A (Abb. 58) mit den Koordinaten =

(5)

B e i s p i e l . Die Gleichung 1

{a — —i-,

b—

.

3

1

(4a)

c = — i - j stellt dieselbe Parabel dar (Abb. 69)

wie die Gleichung y = —

x 2 . Der Scheitel liegt im Punkt A

73

I. Analytische Geometrie in der Ebene

mit den Koordinaten Xä~

2a

Va =

~2'

4 ac — 6 2 4a

J_

16"

(5a)

Der Brennpunkt liegt unterhalb des Scheitels im Abstand * = _ L 2

=

i.

14a |

Die Koordinaten des Brennpunkts sind daher xp =

3

VF

1 16

1 =

15 16'

B e m e r k u n g 1. Die Formeln (S) braucht man sich nicht zu merken. Zur Berechnung von xA, yA kann man das folgende Verfahren anwenden. Gleichung (4a) schreibt man in der Form y + Y

= —

—

Sas).

(6)

Wir vervollständigen den Klammerausdruck zu einem Quadrat, 9 1 9 9 indem wir — addieren. Zum Ausgleich addieren wir —= — — 4 4 4 16 zur linken Seite und erhalten 1 1 / 3\ 2 (7) = x - Ü - T \ - T )

Abb. 60

Gleichung (7) erhält die Form '

=

t-x't

(8)

wenn man die folgende Achsentransformation (Abb. 60) ausführt (§35): 1 . 3 x = x ~ t 0) y = y - i g »

§ 51. Dio Leitlinien einer Ellipse und einer Hyperbel

79

Der Scheitel der Parabel (d. h. der Punkt x' = 0, y' = 0) hat die Koordinaten x = —, y = —. £t lu B e m e r k u n g 2. S i e allgemeine Formel (5) kann man aus (4) durch dasselbe Verfahren herleiten, das wir in Bemerkung 1 auf Gleichung (4a) angewandt haben. B e m e r k u n g 3. Die Gleichung

x = «!/» + by + c

(10)

(

4at - b' ;

b\ 1

4a 2a/ liegt. Die Achse ist parallel zur Abszissenachse. Die Parabel ist konkav nach „rechts", wenn a > 0, und nach „links", wenn a < 0 .

§ 51. Die Leitlinien einer Ellipse nnd einer Hyperbel 1. Die Leitlinien einer Ellipse. Gegeben sei eine Ellipse (Abb. 61) mit der großen Achse A'A = 2a und der Exzentrizität (§ 41) Qjp g -r-j = — = e. Es sei e =)= 0 (d. h., die Ellipse soll nicht in einen

Kreis entarten). Wir tragen vom Mittelpunkt der Ellipse 0 auf ihrer großen Achse die Strecken OD = OD' auf, deren Längen gleich — seien (d. h., OD-.OA = OA-.OF). Die Geraden PQ, P'Q' durch die entsprechenden Punkte D, D' parallel zur kleinen Achse heißen Leitlinien der Ellipse. Jeder der Leitlinien ordnen wir jenen Brennpunkt der Ellipse zu, der auf derselben Seite vom Mittelpunkt liegt, d. h. der Leitlinie PQ den Brennpunkt F und der Leitlinie P'Q' den Brennpunkt F'. Dann ist für einen beliebigen Punkt M der Ellipse das Verhältnis seines Abstands vom Brennpunkt zw seinem, Abstand von der entsprechenden Leitlinie gleich der Exzentrizität e, d. h. MF-.MK = MF'-.MK' = e.

(1)

Da für eine Ellipse e < 1, so liegt jeder Ellipsenpunkt näher am Brennpunkt als an der entsprechenden Leitlinie.

80

1. Analytische Geometrie in der Ebene

Läßt man die große Achse der Ellipse konstant und läßt man die Exzentrizität gegen Null streben (d. h., die Ellipse nähert sich immer mehr einem Kreis), so entfernt sich die Leitlinie vom Mittelpunkt weg bis ins Unendliche. Ein Kreis besitzt keine Leitlinie.

2. Die Leitlinie einer Hyperbel. Die Strecke A'A (Abb. 62) sei 0F c die reelle Achse einer Hyperbel und e = = — ihre Exzentrizität (§ 44). Wir tragen die Strecken OD = OD1 = — auf (d. h., OD-.OA = OA-.OF). Die Geraden PQ und P'Q' durch die Punkte D und D' und parallel zur imaginären Achse heißen Leitlinien der Hyperbel. Für einen beliebigen Punkt M auf der Hyperbel ist das Verhältnis seines Abstanda vom Brennpunkt zum, Abstand von der entsprechenden Leitlinie (s. Pkt. 1.) gleich der Exzentrizität e, d. h. MF-.MK = MF'-.MK' = e. (2) Da für eine Hyperbel s > 1, so liegt jeder Hyperbelpunkt näher an der Leitlinie als am entsprechenden Brennpunkt. § 52. Allgemeine Definition von Ellipse, Hyperbel nnd Parabel Alle Ellipsen1), Hyperbeln und Parabeln besitzen die folgende Eigenschaft: Für alle diese Kurven ist das Verhältnis (Abb. 63)

FM-.ME,

*) Außer den Kreisen.

(1)

§ 52. Definition von Ellipse, Hyperbel und Parabel

81

eine Eonstante, wobei F M den Abstand eines beliebigen Kurvenpunkts zu einem gegebenen Funkt F (Brennpunkt) und M K der Abstand von einer gegebenen Oeraden PQ (der Leitlinie) ist.

Für eine Ellipse ist dieses Verhältnis kleiner als 1 (Abb. 64) (sein Wert ist gleich der e Exzentrizität der Ellipse —, vgl. § 41 u. 51). Für eine Hyperbel (Abb. 65) ist es e größer als 1 (ebenfalls gleich der Exzentrizität —, vgl. § 43 u. 51). Für eine Parabel a (Abb. 66) Ist das Verhältnis gleich 1 (§ 48).

Umgekehrt ist Jede Linie, die diese Eigenschaft aufweist, entweder eine Ellipse (wenn FM-.MK < 1) oder eine Hyperbel (wenn FM-.MIL > 1) oder eine Parabel (wenn FM-.MK = 1). Die erwähnte Eigenschaft kann daher als allgemeine Definition von Ellipse, Hyperbel und Parabel dienen und das konstante Verhältnis FM-.MK = e als Exzentrizität bezeichnen. Die Exzentrizität einer Parabel ist gleich 1, die einer Ellipse e < 1 und die einer Hyperbel e > 1. Bei gegebener Exzentrizität und bei gegebenem Abstand FC = d zwischen Brennpunkt und Leitlinie ist die Größe und Form der Ellipse, Hyperbel oder Parabel vollkommen bestimmt. Ändert man bei feBtem e den Wert von d, so erhält man alle untereinander ähnlichen Kurven. 6

Wygodski I I

82

I. Analytische Geometrie in der Ebene

Die Sehne RR' einer Ellipse, Hyperbel oder Parabel (Abb. 64, 65, 66) durch den Brennpunkt F und senkrecht zur Achse FC heißt Fokaltehne, und man bezeichnet sie mit 2 p : RR' •= 2p. (2) Die Größe p = FR =• FR' (d. h. die Länge der Fokalhalbsehne) heißt Parameter der Ellipse, Hyperbel oder Parabel. Sie steht mit d in der Beziehung P - de,

(3)

p = d.

(Sa)

so daß für eine Parabel gilt (« = 1)

Der Scheitel der Ellipse, Hyperbel oder Parabel (.A in Abb. 64,65,66) teilt die Strecke FC im Verhältnis FA: AC =• e. Der zweite Scheitel der Ellipse oder Hyperbel (A' in den Bildern 64, 65) teilt FC Im selben Verhältnis von außen (§ 11).

Abb. 67

Abb. 68

In Übereinstimmung mit der neuen Definition von Ellipse, Hyperbel und Parabel werden diese Kurven auch durch gleichgeformte Gleichungen dargestellt. Nimmt man als Ursprung den Scheitel A (Abb. 67) und richtet man die Achse längs A F, so lautet diese Gleichung: V' = 2jix - (1 - ««) x'.

(4)

Hier bedeuten p den Parameter und e die Exzentrizität. In der Nähe des Seheiteis unterscheidet sich die Parabel sehr wenig von einer Ellipse oder Hyperbel, deren Exzentrizitäten nahe bei 1 liegen. In Abb. 68 sind eine Ellipse mit der Exzentrizität e = 0,9, eine Hyperbel1) mit der Exzentrizität e = 1,1 und eine Parabel (< = 1) dargestellt, alle mit dem Brennpunkt F und dem Scheitel A. *) Der zweite Scheitel der Ellipse oder Hyperbel (und gleichzeitig auch der zweite Hyperbelast)istumsoweiter vom ersten Scheitel entfernt, je näher e bei 1 liegt.

§ 53. Kegelschnitte

83

Die Halbachsen a und 6 und die Brennweite c einer Ellipse oder Hyperbel stehen m i t « I n der Beziehung:

Ellipse

Hyperbel

1 — e*

e1 — 1

b =

yi - «•

]/e'~

1

c

ae = p

c = ae = p

1 —e"

-

1

Der Abstand

b -

a

l 6 2\ I s. Beispiel 1, bei dem — = — I , so Ist der geometrische Ort der Mittelpunkte der \ « 3 / Sehnen das Strahlenpaar L' U und L U. Wenn hingegen b

Iii < —

(s. Beispiel 2), so bilden die Mittelpunkte der Sehnen eine durchlaufende Gerade (V V in Abb. 80). Von zwei konjugierten Durchmessern gehört einer Immer zum ersten Typ, der andere zum zweiten. b B e m e r k u n g 1. Die Steigung paralleler Sehnen kann absolut genommen nicht — a b sein, da die Gerade y = ± — x (Asymptote) die Hyperbel nicht schneidet und da a

die zur Asymptoten parallelen Geraden die Hyperbel nur in einem Punkt schneiden. Die Steigungen von konjugierten Bichtungen, die nicht zu Hauptdurchmessern gehören, besitzen gemäß (lb) dasselbe Vorzeichen, d. h., zwei konjugierte Durchmesser der Hyperbel liegen stets im selben von den Achsen gebildeten Quadrantenpaar. Bezüglich der Asymptoten liegen zwei konjugierte Durchmesser jedoch stets in verschiedenen Winkelbereichen. B e m e r k u n g 2. Bei einer Drehung des Durchmessers U' U der Hyperbel dreht sich der konjugierte Durchmesser V' V in die entgegengesetzte Richtung. Wenn sich dabei TJ' XJ der Asymptote unbegrenzt nähert, so nähert sich auch V V unbegrenzt derselben Asymptote. Man faßt daher auch die Asymptoten als Durchmesser auf, die zu sich selbst konjugiert sind. Dies ist eine Vereinbarung, da eine Asymptote in Wirklichkeit keinen Durchmesser darstellt (vgl. Bemerkung 1). Außer den Asymptoten bildet jede andere Gerade, die durch den Mittelpunkt der Hyperbel verläuft, einen ihrer Durchmesser.

§ 57. Die Durohmesser der Parabel

89

§ 57. Die Durchmesser der Parabel Alle Durchmesser einer Parabel sind parallel zu ihrer Achse, s. Abb. 81 und 82 (der geometrische Ort der Mittelpunkte paralleler Sehnen der Parabel ist der Strahl L U). Der Durchmesser, der den zur Achse parallelen Sehnen entspricht, ist die Achse selbst (Abb. 83).

Der Durchmesser der Parabel y' — 2px, der den Sehnen mit der Steigung lc(k + 0 ) entspricht, besitzt die Gleichung

(Je größer die Neigung der Sehne zur Achse ist, um so weiter ist der Durchmesser von der Achse entfernt1). Beispiel. Der Durchmesser der Parabel y' = 2pz, der den unter 45° zur Achse geneigten Sehnen entspricht (Je = 1), besitzt die Gleichung y = p, d. h„ sein Abstand von der Achse AX (Abb. 84) ist gleich der Fokalhaltaehne FR (§ 52). Das i) Die Steigung aller Durchmesser der Parabel ist gleich Kuli, d. h., sie genügt der Gleichung t t i = «• - 1, die sich im Falle der Ellipse und der Hyperbel (§ 55, 58) ergab (für die Parabel ist e = 1).

90

I. Analytische Geometrie in der Ebene

bedeutet, daß der Durchmesser die Parabel Im Funkt R schneidet, der Ober dem Brennpunkt F liegt. Alle Oerade, die parallel zu einem beliebigen Parabeldurchmesser sind, schneiden die Parabel nur in einem Punkt. Die Parabel besitzt daher keine konjugierten Durchmesser.

§ 58. Karren zweiten Grades Eine Ellipse (und insbesondere ein Kreis), eine Hyperbel und eine Parabel bilden Kurven zweiten Grades, d. h., in jedem kartesischen Koordinatensystem ist ihre Gleichung vom zweiten Grade. Jedoch nicht jede Gleiohung zweiten Grades stellt eine der erwähnten Kurven dar. Es kann zum Beispiel vorkommen, daß eine Gleichung zweiten Grades ein Geradenpaar beschreibt. B e i s p i e l 1. Die Gleichung 4z 2 - 9y 2 = 0

(1)

zerfällt in zwei Gleichungen 2x — 3y = 0 und 2x + Sy = 0, die ein Geradenpaar darstellen, das sich im Ursprung schneidet. B e i s p i e l 2. Die Gleichung 3? - 2xy + y* - 9 = 0

(2)

zerfällt in die Gleiohungen x — y + 3 = 0 und y — x + 3 = 0. Es handelt sich um ein Paar paralleler Geraden. B e i s p i e l 3. Die Gleichung x*-2

xy + y» = 0,

(3)

2

d. h. (x — y) = 0, stellt eine Gerade y — x = 0 dar. Da jedoch auf der linken Gleichungsseite von (3) das Binom x — y zweimal als Paktor auftritt, spricht man in diesem Fall von zwei zusammenfallenden Geraden. Es kann auch vorkommen, daß eine Gleichung zweiten Grades nur einen einzigen Punkt darstellt. B e i s p i e l 4. Die Gleichung + -j-y» = 0

(4)

besitzt nur eine einzige reelle Lösung, nämlich x = y — 0. Sie stellt daher den Punkt (0; 0) dar. Im übrigen zerfällt (4) in die beiden Gleichungen x -f-

= 0 und x —

= 0 mit imaginären Koeffi-

zienten. Man spricht daher in diesem Fall von einem „Paar imaginärer Geraden, die sich in einem reellen Punkt schneiden". Schließlich kann es vorkommen, daß eine Gleichung zweiten Grades überhaupt keine reelle Lösung besitzt und daher keinen geometrischen Ort darstellt.

§ 59. Die Form der allgemeinen Gleichung zweiten Grades

91

B e i s p i e l 5. Die Gleiohung =

'

x^

stellt keine Kurve dar und auch keinen Punkt, da die Größe —— - | — —y —I b keine positiven Werte annehmen kann. Wegen der äußerlichen Ähnlichkeit der Gleichung (5) mit der Ellipsengleichung spricht man in diesem Fall von einer „imaginären Ellipse". B e i s p i e l 6. Die Gleichung x2 - 2xy + y* + 9 = 0 (6) stellt ebenso weder eine Kurve noch einen Punkt dar. Da sie jedoch in die beiden Gleichungen x — y -j- 3» = 0 und x — y — 3» = 0 zerfällt, spricht man in diesem Fall (vgl. Beipsiel 2) von einem Paar „imaginärer paralleler Geraden". Die Kegelschnitte und die Geradenpaare erschöpfen alle Kurven, die man in einem kartesischen Koordinatensystem durch eine Gleichung zweiten Grades darstellen kann. Mit anderen Worten, wir haben das folgende T h e o r e m . Jede Kurve zweiten Grades ist entweder eine Ellipse oder ein Hyperbel oder eine Parabel oder ein Oeradenpaar (das sich schneidet, zu einander parallel oder zusammenfallend ist). S k i z z e d e s Beweises. Mit Hilfe einer Koordinatentransformation bringen wir die gegebene Gleichung zweiten Grades auf die einfachste Form. Dadurch erhalten wir eine der drei kanonischen Gleichungen -^j- + —

= ± 1 (Ellipse, reell oder imaginär),

^ - ^ = 1 (Hyperbel), y* = 2px ar o*

(Parabel)

oder wir stellen fest, daß die Gleichung zweiten Grades in zwei Gleichungen ersten Grades zerfällt. Gleichzeitig finden wir auch die Abmessungen der Kurve zweiter Ordnung und ihre Lage bezüglich des ursprünglichen Koordinatensystems (für eine Ellipse z. B. die Länge ihrer Achsen, ihre Gleichung, die Lage ihres Mittelpunktes usw.). In den §§ 61—62 werden wir die erwähnten Transformationen durchführen.

§ 59. Die Form der allgemeinen Gleichung zweiten Grades Die allgemeine Gleichung zweiten Grades schreibt man im allgemeinen in der Form As? + 2Bxy + Cy2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0.

(1)

Die Bezeichnungen 2B, 2 D, 2 E (und nioht B, D, E) wurden gewählt, weil in vielen Formeln die H&lfte der Koeffizienten von xy, x und y

92

I. Analytische Geometrie in der Ebene

auftritt. Bei Verwendung der Bezeichnungen 2 B, 2(7, 2 D vermeidet man daher Brüche. Beispiel. Für die Gleichung haben wir A = 1,

3? + xy — 2y2 + 2x + 5=4-,

+ 4= 0

O = —2, D = 1, £ = 2,

# = 4.

Beispiel 2. Für die Gleichung 2xy + x + 5 = 0 haben wir A = 0,

.B = 1,

C = 0,

¿ > = 4 2' -,

^ = 0,

F = 5.

Bemerkung. Die Größen .4, 2?, C, D, E, F dürfen beliebige Werte annehmen, nur sollen die Größen A, B und G nicht gleichzeitig 0 sein, da sonst (1) eine Gleichung ersten Grades wird. § 60. Vereinfachung der Gleichung zweiten Grades. Allgemeine Bemerkungen Die Transformation der Gleichung zweiten Grades Ax? + 2 Bxy + Cy2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0

(1)

auf ihre einfachste Form (s. § 58) führen wir nach dem folgenden Schema durch1): 1. Vorläufige Transformation. Mit ihrer Hilfe entfernen wir Glieder, die zu einem Produkt von verschiedenen Koordinaten gehören (dies erreicht man durch eine Drehung der Achsen, s. § 61). 2. Endgültige Transformation. Mit ihrer Hilfe entfernen wir dann die Glieder, die Ausdrücke ersten Grades bilden (dies erreicht man durch eine Verschiebung des Ursprungs, s. § 62). § 61. Vorläufige Transformation der Gleichung zweiten Grades (Wenn B — 0, so wird diese Transformation überflüssig.) Wir drehen das Koordinatensystem um den Winkel a, der der Bedingung2) QD

genügt. ') Wir erklären da» Verfahren hier etwas umständlich, benötigen dafür aber keine Hilfssätze. Ein anderes Verfahren, daB schneller zum Ziel führt, wird in den § 69, 70 angegeben. *) Wenn A =» C |die Qröfie A

_

gelten 2« = ± 9 0 ° , d . h . , a =

c

w

' r d „unendlich" j, so (§ 21, Bemerkung) Boll

±45°.

§ 61. Vorläufige Transformation der Gleichung

03

Die Transformationsformeln lauten (§ 36) x = x' cos L -1* 7« + 54 ± (13s + 6) Eine der Geraden besitzt Daher gilt y = ' 30 —x + 8 2« + 6 die Gleiohung y •• , die andere die Gleichung y 22\ Diese Geraden schneiden sich im Punkt \ 13' 13/' Beispiel 3. Die Kurve 2

zerfällt, da

10«y — 14a; + 15y

21 = 0

(4)

0 5 A =

5

•

T = 0.

In Gleichung (4) kommt sowohl x als auch y nur in erster Potenz vor. Daher zerlegen wir die linke Gleichungsseite von (4) in Faktoren, indem wir die einzelnen Glieder entsprechend zusammenfassen. Wir erhalten XQxy — 14« + 15y - 21 = 2«(5y - 7) + 3(5y - 7) = (2« + 3) (5y — 7). Die Gleichung (4) zerfällt in die Geraden 2« + 3 = 0 und 5y — 7 = 0 . Bemerkung 1. Auch im Falle ^4 = 0 = 0 kann man die gegebene Gleichung nach x oder y auflösen. In Beispiel 3 erhalten wir auf diese Weise (10« + 15)y = 14a; + 21. Jedoch darf man nun beide Gleichungsseiten nur dann durch 10« + 15 dividieren, wenn dieser 14« 4- 21 Ausdruck ungleich Null ist. Für diesen Fall erhalten wir y = —— 11/« 10 =

"j" = -3-, und die Gleichung der einen Geraden ist y = , 5(2« + « ) 5 5

d. h. 5y — 7 = 0. Für den Fall, daß 10« + 15 = 0 gilt, d. h. « = —

«

ist die Gleichling (10« + 15) y = 14« + 21 für beliebige Wert« von y 3 erfüllt. Wir erhalten somit die zweite Gerade x = ——, d. h. 2 2« + 3 = 0. Bemerkung 2. Die in den Beispielen 2 und 3 durchgeführten Rechnungen kann man auch für die allgemeine Form der Gleichung (1) ausführen, wenn C 0 ist. Man erhält dabei als Radikand den quadratischen Ausdruck (B*-AC)x2

+ 2(BE-CD)x

+ E*-CF.

(5)

Dieser bildet ein vollständiges Quadrat dann und nur dann, wenn (BE - CD)2 - (B 2 - AC) (E- - CF) = 0.

(6)

106

I. Analytische Geometrie in der Ebene

Nach einer einfachen Umformung erkennt man, daß die linke Seite von Gleichung (6) gleich CA ist, -wobei A die große Diskriminante bedeutet. Wegen der Voraussetzung G # 0, ist daher das Kriterium für den Zerfall A = 0. Wenn (7 = 0, aber A ^ 0 gilt, erhalten wir dasselbe Ergebnis, wenn wir die Rollen von x und y vertauschen. So beweist man das Kriterium aus § 64 für den allgemeinen Fall. Eine Ausnahme bildet der Fall A = C = 0 (wobei dann B ^ 0). Hier hat die linke Seite von Gleichung (1) die Form 2Bxy + 2 Dx + 2 Ey + F. Wir stellen dieses Polynom in der Form 2 x ( B y + D) + (2Ey + F) dar. Dieser Ausdruck zerfällt in zwei Faktoren ersten Grades dann und nur dann, wenn die den Gliedern By + D und 2Ey -f- F entsprechenden Koeffizienten gleich oder zueinander proportional sind (s. Beispiel 3), d. h., wenn 2 D E — BF = 0. Aber in dem betrach0 BD teten Fall lautet die große Diskriminante A = B 0 E DEF folgt, daß 21)E — BF — Somit ist das Kriterium in § 64 auch z> für diesen Ausnahmefall bewiesen.

§ 66. Die Invarianten einer Gleichung zweiten Grades Bei einem Übergang von einem rechtwinkligen Koordinatensystem zu einem anderen ändern wir die Gleichung Ax2 + 2 Bxy + Cy2 + 2Dx + 2 Ey + F = 0

(1)

einer Kurve zweiten Grades ab in die Gleichung Ä'x'2 + 2B'x'y'

+ C y 2 + 2 D'x' + 2E'y' + F' = 0,

(2)

wobei man (2) aus (1) mit Hilfe der Transformationsformeln für die Koordinaten erhält (s. die Beispiele in § 61 u. 62). Dabei unterscheiden sich die Werte von A', B', C', D', E', F' (alle oder einige) von den Werten der gleichnamigen Größen A, B, G, D, E, F. Drei aus den Größen A', B', C', D', E', F' zusammengesetzte Ausdrücke hingegen erweisen sich stets als gleich eleu gleichnamigen, aus A, B, G, D, E, F zusammengesetzten Ausdrücken. Diese Ausdrücke nennt man die Invarianten1) der Gleichung zweiten Grades. a) Die erste Invariante ist A + G. b) Die zweite Invariante ist c) Die dritte Invariante ist

ö =

B G A B D A = B G E DEF

(kleine Diskriminante). (große Diskriminante).

') Invariant kommt aus dem Lateinischen. Es bedeutet unveränderlich.

§ 66. Die Invarianten einer Gleichung zweiten Grades

107

Beispiel 1. Die Gleichung 5y — 4 = 0

2x2 — 4 x y + 5y2 — x

( a = 2,

£ = - 2,

0

charakterisiert. Dazu gehört neben der reellen Ellipse auch die imaginäre Ellipse (§ 58, Beispiel 5) und das Paar von imaginären Gieraden, das sich in einem reellen Punkt schneidet (§ 58, Beispiel 4). b) Der hyperbolische Typ wird durch die Bedingung Ö = AC-B2
0, so bildet sie den Winkel - 4 5 ° (Abb. 96). Beispiel 1. Die Gleichung 4x - 9 / I hier ist m = 4, n = —9, p = 2, q = —6, D =

\

4 -9

2 -6

\ = —61

/

stellt eine gleichseitige Hyperbel mit dem Zentrum C(3; 2) und den 12. ß Halbachsen a — b — V - ^ » - — 1.73 dar. Die Achse A'A bildet mit OX den Winkel 45°, da D < 0. Die Koordinaten des Scheitels A sind: = xc + « cos 45° = 3 + i W ^Ai - sa 4,2, Va = Vc + a sin 45° = 2 +

* 3,2.

Wir haben also xÄ- = 3 -

1,8,

Beispiel 2. Die Gleichung

yA' = 2 -