Güte und Empfindlichkeit von optimierten Ellipseneinpassungen am Beispiel des spätbronzezeitlichen Urnengräberfeldes von Unterhaching, Kr. München 3895901008

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Güte und Empfindlichkeit von optimierten Ellipseneinpassungen am Beispiel des spätbronzezeitlichen Urnen­ gräberfeldes von Unterhaching, Kr. München von Wolfgang Schmid

Die Güte der mittels Gauß-Fit durchgeführten Ellipseneinpassungen wird als arithmetisch gemittelter reziproker Abstand der einzelnen Bahngräber von der optimalen Ellipse definiert, für die Unterhachinger Gräberellipsen errechnet und diskutiert. Stabilitätsbetrachtungen für die Ellipsen 3 und 4 im Verein mit einer Angleichung an die einfachen Verhältnisse der Ellipsen 1 und 2 fuhren zu wesentlich vereinfachten und daher überzeugenderen metrologischen Resultaten hinsichtlich des sogenannten Römischen Fußes (pes Romanus).

The quality of best Gaussian fits concerning ellipses is defined by the inverse arithmetical mean of the distance of points used for adjusting to the circumference of the optimal ellipse. This is exemplified and discussed regarding the grave-ellipses of the late Bronze Age urnfield of Unterhaching in the district of Munich in Bavaria. Investigations of stability of the ellipses 3 and 4 in combination with simpler interpretation of the numerical excentricity lead to more convincing metrological results concerning the so-called pes Romanus and its derivations in the late Bronze Age. Es mag erstaunlich anmuten, daß in der scheinbar regellosen Anlage der spätbronzezeitlichen Brandgräber des Unterhachinger Umenfeldes geometrische Strukturen enthalten sein sollen, die sich ellipsenförmig um die Gräber Be­ waffneter anordnen12 *. Damit wären nicht nur mittels Beigabenanalyse der sog. "Bahngräber" Einblicke in die soziale Struktur umenfelderzeitlicher Gemein­ schaften möglich, sondern auch metrologische Aussagen hinsichtlich der damals in Gebrauch befindlichen Längenmaßeinheiten, mit deren Hilfe die Gräber­ ellipsen konstruiert worden sind. Daß das dabei "entdeckte" Maß Teil eines in der Antike weit verbreiteten Maßsystems gewesen ist und von den Römern in viel späterer Zeit als sog. pes monetalis1 übernommen wurde, ist in früheren Untersuchungen herausgestellt worden1. Somit erstaunt es wenig, dasselbe

1 W. Schmid in: D. Ahrens/R. Rottländer (Hrsg.), ORDO ET MENSURA III (St. Katharinen 1995) 64 ff. mit Abb. 3; ders in: D. Ahrens/R. Rottländer (Hrsg.), ORDO ET MENSURA IV/V (St. Katharinen 1998) 125 ff. mit Abb. 1. 2 Besser bekannt unter der heute gebräuchlichen Bezeichnung pes Romanus. 1 s. Anm. 1.

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Ergebnis im Zuge metrologischer Analysen repräsentativer Objekte bronzezeitlicher Sachkultur erhalten zu haben4. Obwohl die Ellipseneinpassungen mittels eines Computerprogrammes unter Anwendung der gaußschen Methode der minimalen Fehlerquadratsumme optimiert und damit objektiviert wurden, bleiben Zweifel hinsichtlich der Richtigkeit der grundsätzlichen Interpretation bestehen angesichts der astro­ nomisch hohen Anzahl möglicher Ellipseneinpassungen in eine Gesamtmenge von 125 Punkten (= Gräberanzahl des Unterhachinger Umenfeldes), die trotz des Verweises auf die exakte Einhaltung von Proportionen der linearen Ellipsen­ grundgrößen5 und des daraus resultierenden sinnvollen Ergebnisses gemäß geläufiger metrologischer Vorstellungen der antiken Welt bislang nicht voll­ ständig ausgeräumt werden konnten. Hier soll deshalb eine Aussage Uber die Qualität der Einpassung getroffen werden. Stabilitätsuntersuchungen runden das bisher gewonnene Bild der Verhältnisse auf dem Unterhachinger Umenfeld ab. Zur Gflte von Ellipseneinpassungen in eine definierte Punktemenge Das oben erwähnte Programm bestimmt die hinsichtlich vorgegebener Punkte (= Gräber) optimal eingepaßte Ellipse und berechnet zwar deren Daten (Achslängen, Brennpunktabstand, Koordinaten des Mittelpunktes, der Scheitel­ und Brennpunkte sowie die numerische Exzentrizität e), macht jedoch keine Angaben zu den Abständen der Gräber von der Bahn der optimalen Ellipse. Im folgenden sollen diese errechnet und daraufhin arithmetisch gemittelt werden. Die Güte Q der Einpassung ist umso höher, je kleiner der mittlere minimale Abstand ist; sie ist diesem also umgekehrt proportional. Um einfache mathematische Verhältnisse zu schaffen, wird zuerst eine Koordinatentransformation derart durchgeführt, daß die Ellipsenachsen mit den Koordinatenachsen zur Deckung gebracht werden, wobei die großen Scheitel­ punkte auf der x-Achse zu liegen kommen6. Dann läßt sich die Mittelpunkt­ gleichung der Ellipse in Parameterform verwenden7. Gefragt wird nun, wie groß 4 Gemeint sind die sog. "Goldblechkegel". W. Schmid in: H. Witthöft (Hrsg.), Acta Metrologiae Historicae V. 7. Internationaler Kongress des Internationalen Komitees für Historische Metrologie (CIMH) 25.-27. September 1997 in Siegen (St. Katharinen 1999) 459 ff. 5 Dies kommt in den einfachen Brüchen der sog. numerischen Exzentrizität e zum Ausdruck. Ausführlich erklärt bei Schmid 1995 (Anm. 1) 58 ff. bes. 65 Anm. 16. 6 Der Koordinatenursprung wurde in das linke untere Eck des Gräberfeldplanes gelegt (Schmid 1998 (Anm. 1) 126 Abb. 1), um stets positive Gräberkoordinaten zu gewährleisten. 7 Sie lautet:

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der Abstand A eines Punktes P mit den Koordinaten xp und yp - er entspricht einem Bahngrab -^von der Ellipsenbahn ist. Dieser wird dann minimal, wenn der Abstandsvektor a mit der an die Ellipse angelegten Tangente einen rechten Winkel einschließt (Abb. 1). Somit sind die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunktes L zu bestimmen. A läßt sich als Funktion von 0 angeben:

1 A 2() = pi(4>) I2 = (a’coss = Als Startwerte |i und werden die Begrenzungen des Quadranten im Bogenmass angegeben, in denen der Punkt P liegt. Eine einfache Überlegung zeigt, dass es sich hierbei stets um ein Minimum handeln muss. Das Maximum liegt jeweils im am Koordinatenursprung gespiegelten Quadranten von P. In den übrigen Fällen konvergiert der Algorithmus nicht. 9 s. Anm. 7.

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l^(min)l= ^Xp-XL>2+(yp-yL)2

3

Der beschriebene Ablauf ist für alle n Punkte (= Bahngräber) vorzunehmen, die für die jeweilige Anpassung ausgewählt worden sind. Der gemittelte minimale Abstand stellt das arithmetische Mittel der so gewonnenen Einzelabstände dar:

t

4

---------------------------

j

n Die Güte Q ist diesem Ausdruck umgekehrt proportional. Um eine gut handhabbare, dimensionslose Größe für Q zu erhalten, wird mit dem Faktor 100 Längeneinheiten (hier: cm) normiert:

■^min

Für die Güte der Unterhachinger Gräberellipsen Ei bis E4 errechnen sich die in Tab. 1 zusammengestellten Werte10. Ellipse

max. Abstand [cm]

^min [dB]

Q

(bei Grab) E)

-39,71 (70)

15,24

6,56

e2

-35,97 (60)

14,91

6,71

17,20

5,82

23,75

4,21

e3 e4

38,76(121)

-38,33 (95)

Tab. 1: Die Güte Q der Unterhachinger Gräberellipsen. In Spalte 2 ist der größte minimale Abstand in cm sowie in Klammem das zugehörige Bahngrab angegeben. Ein Minuszeichen besagt, daß das Grab innerhalb der Ellipsenbahn liegt. Andernfalls liegt es außerhalb.10 10 Der mathematische Lösungsansatz für die Güteberechnung geht auf Dr. Karl Fabian zurück. Dessen Ausarbeitung erfolgte durch den Autor, die computergerechte Umsetzung durch Dipl.-Inf. Klaus-Peter Bracht/München. Sowohl Karl Fabian als auch Klaus-Peter Bracht sei an dieser Stelle herzlichst gedankt.

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Aus Tab. 1 ist ersichtlich, daß die maximalen Abstände der Bahngräber von der Bahn der jeweils optimal eingepaßten Ellipse die 40-Zentimeter-Marke nicht überschreiten und somit etwas größer ausfallen als eine palmipes-Einheit zum pes Romanus. Im Rahmen der Plangenauigkeit" ist dieses Ergebnis tolerabel11 12. Zur Empfindlichkeit von Ellipseneinpassungen in eine definierte Punktemenge Bei der Untersuchung megalithischer Steinkreise in Großbritannien mit dem gaußschen Optimierungsverfahren wurde die Erfahrung gemacht, daß das Ergebnis hauptsächlich von der Bahnbelegung der Strukturen abhängig ist. Überdecken die zur Anpassung verwendeten Punkte nicht wesentliche Bahnabschnitte, beeinflussen bzw. "verfälschen” die unvermeidbaren Planungenauigkeiten die Parameter der unterstellten geometrischen Strukturen erheblich13. Als befriedigend können die Verhältnisse bei den Ellipsen Ei und E2 gewertet werden, da ein Großteil der Bahn abgedeckt und die große Ellipsenachse durch die Anpassungspunkte gut umschlossen ist14. Auch liefert die Gütebetrachtung in diesen Fällen die besten Werte (Tab. 1). Da die genannten Kriterien für Ej und E4 nicht erfüllt sind, ist eine diesbezügliche Neubewertung angebracht. Bislang wurden die durch das Anpassungsprogramm gewonnenen numerischen Exzentrizitäten ohne großen Spielraum als vergleichsweise komplizierte Brüche interpretiert und metrologisch ausgewertet15.

11 Unter Annahme einer statistischen Verteilung der Gräber auf dem Originalplan (M = 1:100) dürfte nur jedes hundertste Grab (= 1%) auf den Schnittpunkt zweier Zentimeterlinien auf dem Millimeterpapier des Planes fallen. Die tatsächliche Anzahl derart "idealisiert" eingetragener Gräber ist mit 10 Stück (= 8%) erheblich höher. 12 Im Rahmen von Testuntersuchungen wurden auch andere Varianten der Anpassung durchgespielt wie etwa die Zuordnung der Gräber 67 und/oder 33 zu E, oder von Grab 51 zu E2, die jedoch durchwegs schlechtere Ergebnisse lieferten. So erhöhen sich die maximalen Abstände (Tab. 1, Spalte 2) bzw. weichen die numerischen Exzentrizitäten zunehmend von den idealisierten Werten ab. Eine Ausnahme stellt die Zuordnung von Grab 53 zu E2 dar; trotz hervorragender Bahnlage wird aus chronologischen Gründen auf eine Einbindung in E2 verzichtet (Schmid 1998 (Anm. 1) 130 Anm. 12). 13 Schmid 1998 (Anm. 1) 127 Anm. 7; 1. Angell/J. Barber, Science and Archaeology 20, 1977, 15. 14 Schmid 1998 (Anm. 1) 126 Abb. 1. 15 Bei Ej wurde der e-Wert 0,5207 geringfügig auf 0,5200 abgerundet und dies als Verhältnis von 13:25 aufgefasst, bei E4 beträgt £ = 0,6847, was auf 0,6800 gerundet und als 17:25 interpretiert wurde. Der Divisionsalgorithmus lieferte unter diesen Voraussetzungen mögliche Lösungen zwischen 37 und 38 cm, die um 1,25% (im Falle von E3) bzw. 2,16% (im Falle von E4) vom aus Ei gewonnenen Idealwert abweichen (Schmid 1995 (Anm. 1) 67 Tab. 2 Spalte 2 und 3).

283 Führt man hingegen einen Stabilitätstest von Ei durch, indem man vier der Bahngräber wegläßt und somit eine der Ellipse E4 vergleichbare Struktur unterstellt16, verändert sich der e-Wert von 0,6645 auf 0,6725 und weicht damit vom Idealwert 0,6667 = 2:3 deutlich ab. Die metrologische Analyse läßt den ursprünglich sehr genau getroffenen palmipes bzw. pes Romanus (Abweichung: 0,19%) nunmehr weniger gut hervortreten (Abweichung: 0,32%), so daß man bei strenger Bewertung der durch den Divisionsalgorithmus gebildeten Maßreihe zu einer falschen metrologischen Aussage käme, da diese den sog. ''Kompromißfuß" von 29,77 cm Länge ohne jeglichen Fehler enthält17, für den bronzezeitliche Nachweise allerdings bislang ausstehen. Die große Ähnlichkeit von E4 mit Ei (die Verteilung der Rasiermessergräber auf den Bahnen ist nahezu identisch; die Formverwandtschaft kommt in nahe beisammen liegenden e-Werten zum Ausdruck) läßt an einen Zusammenhang zwischen beiden Strukturen denken: Trotz der eben dargelegten Schwierigkeiten wird nunmehr davon ausgegangen, beide Ellipsen seien zwar unterschiedlich groß ausgelegt worden, hätten jedoch dieselbe Form erhalten, da man jeweils das gleiche Verhältnis von Brennpunktabstand zu Seillänge (e = 2:3) gewählt habe18. Wendet man unter diesen Voraussetzungen den Divisionsalgorithmus an, erhält man die in Tab. 2, rechte Spalte dargestellte Maßreihe für E4. Die im 4. Divisionsschritt auftretende hohe Übereinstimmung mit dem pes Romanus, der sich in noch höherer Genauigkeit im 5. Schritt der Maßreihe von Ei wiederfindet, mag angesichts der eingangs geschilderten Problematik auf Zufall beruhen19, erbrächte aber dennoch, wie später zu zeigen sein wird, ein in hohem Maße sinnvolles Ergebnis (Tab. 3). Die Verhältnisse hinsichtlich Ellipse Ej liegen ähnlich. Sie hat zwar eine von Ei deutlich abweichende Gestalt, ist aber zu letzterer exakt parallel ausgerichtet2021 , wenn man anstelle des Grabes 13, das als Zentralgrab von Ei deren große Achse in guter Näherung drittelt, ein idealisiertes Grab 13 (13ideai) als Bahnpunkt von E3 wählt, der genau mit dem erwähnten Drittelungspunkt übereinstimmt2' (Abb. 2). Rundet man den Wert der numerischen Exzentrizität von 0,5207 großzügiger als 16 Die Gräber 24, 16, 35 und 70 wurden für die Anpassung weggelassen. 17 R. Rottländer, Jahresh. österr. Arch. Inst. 61, 1991, Tab. S. 66 (Code F2). 18 Auf die dereinst möglicherweise als bedeutsam erachteten Bezüge dieser Konstruktion zu pythagoreischen Dreiecken und deren Näherungen wurde bereits hingewiesen (Schmid 1998 (Anm. 1) 127 ff.). 19 Das Berechnungsverfahren entspricht dem bei Schmid 1995 (Anm. I) 63 ff. beschriebenen. 20 Die Winkelabweichung beträgt lediglich 0,33°. 21 Grab 13 gehört zu den in Anm. 11 erwähnten vermutlich idealisiert auf dem Plan eingetragenen Gräbern. Der Abstand der Punkte 13reaj und 13ideai beträgt 67,49 cm bzw. 2,28 pes Romanus oder 1,82 palmipes Romanus.

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bislang auf 0,5000 = 1:2 ab - dies entspräche dem idealisierten E-Wert von E2 und setzt den Divisionsalgorithmus analog E2 an22, erhält man die in der 3. Spalte von Tab. 2 aufgelistete Lösungsmenge. Im 8. Divisionsschritt erscheint ein hochpräziser Bezug zum pes Romanus (Abweichung: 0,07%), dessen Genauigkeit einerseits wiederum nicht überbewertet werden sollte; andererseits werden hier, wie schon im Falle von E4, sinnvolle Zusammenhänge erkennbar. Immerhin fällt auf, daß sowohl für E3 als auch für E4 keinerlei Übereinstimmungen mit dem palmipes Romanus sichtbar werden, wie dies hinsichtlich E2 der Fall ist, wo wiederum der zugehörige pes nicht auftritt23 (2. Spalte in Tab. 2). Tab. 3 zeigt eine Zusammenfassung der Ergebnisse. Hier sind die absoluten Längenangaben der linearen Ellipsengrößen, wie sie vom Computerprogramm geliefert werden, in Vielfachen des pes (pR) bzw. des palmipes Romanus (ppR) ausgedrückt. Die wichtigsten Zusammenhänge sind im folgenden stichpunktartig aufgelistet: - Ei und E4 sind von gleicher Form (e.dwi jeweils 2:3) - E2 und Ej sind von gleicher Form (Eideal jeweils 1:2) - Die großen Ellipsenachsen von Ei und E2 sind gleich lang (jeweils 120 pR). - Die Brennpunktabstände von Ej und E4 sind gleich lang (jeweils 64 pR). - Die Zahlenwerte der in palmipes Romanus (ppR) ausgedrückten Längen der linearen Ellipsengrundgrößen von Ei stimmen mit den in pes Romanus (pR) angegebenen Längen von E4 überein, weshalb sich Ei:E4 wie 5:4 verhält. - Alle linearen Ellipsengrößen von E2 lassen sich auch - dies geht aus Tab. 2 nicht hervor - in z.T. sehr guter Näherung als Vielfache des pes Romanus (pR) ausdrücken24. Da überdurchschnittlich viele der in Tab. 3 auftretenden Zahlenwerte Vielfache von Zwölf sind, wird man an ein duodezimales Zahlenverständnis in der süddeutschen Umenfelderzeit denken müssen, das sich bereits bei den bronzezeitlichen Goldblechkegeln Mitteleuropas abzeichnete25. Zusammen­ fassend ist zu konstatieren, daß die hier dargebotene Erweiterung alle vier 22 Die Vorgehensweise entspricht der bei Schmid 1998 (Anm. 1) 130 ff. beschriebenen. 23 s. Anm. 24. 24 Die Lösungsmenge wurde unter Zuhilfenahme des annähernd pythagoreischen Dreieckes 4:6,938:8 mittels Divisionsalgorithmus erstellt (Schmid 1998 (Anm. 1) 130 ff.) und enthält eben nicht alle Lösungen, die sich bei konsequenterer Division der Achsen bzw. des Brennpunktabstandes durch Vielfache von 1 (für 2e2), ^3 (für 2b2) und 2 (für 2a2) ergeben würden (tideai = 1:2). Da diese Menge den 8-fachen Umfang der über die pythagoreische Näherung 4:6,938:8 des Basisdreieckes gewonnenen hat, ist sie unüberschaubar hoch und verunmöglicht eine eindeutige Entscheidung zugunsten einer bestimmten Lösung bei der Gegenüberstellung mit anderen Reihen. 25 Schmid 1999 (Anm. 4).

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Ellipsen des Unterhachinger Gräberfeldes konsequent in die metrologische Analyse einbezieht, so daß sich in der Summe ein geschlosseneres und daher überzeugenderes Bild hinsichtlich des bronzezeitlichen "pes Romanus" bietet. Es wäre von Bedeutung, wenn sich die dadurch gewonnenen und bei der kleinen, repräsentativen Gruppe der bronzezeitlichen Goldblechkegel bestätigten metrologischen Vorstellungen auch in den Überresten zeitgleicher Siedlungen auffinden ließen.

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El (6 = 2:3)

E2 (E = 1:2)

E3 (6 = 1:2)

E4 (6 = 2:3)

236,78

219,37

200 148,37 118,39

116,27

109,69

100

90

80

76,93 74,18

73,12

70

60 59,20

59,13

54,84

50 49,45

47,36

43,87 40 39,46

|

37,09

36,56 31,34

39,42

| 33,83

30

|

20

29,67 24,73

27,42 24,37

21,20

21,93

29,60 26,31

29,57

23,66 21,52

23,65

Tab. 2: Korrelation der möglichen Maße der Gräberellipsen des Unterhachinger Umenfeldes. Die e-Werte für Ej und E4 werden als einfache Brüche (1:2 und 2:3) interpretiert und analog der Vorgehensweise für E2 und Ei metrologisch ausgewertet. Die Koinzidenzstellen zwischen den Reihen sind durch Balken markiert.

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