Gruppen, Ringe, Körper: Die grundlegenden Strukturen der Algebra 9783486599022, 9783486249774

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Gruppen, Ringe, Körper Die

grundlegenden Strukturen der Algebra

von

Heinz Lüneburg

R. Oldenbourg Verlag München Wien 1999

Die Deutsche Bibliothek CIP-Einheitsaufnahme -

Lüneburg, Heinz:

Gruppen, Ringe, Körper : die grundlegenden Strukturen der Algebra / München ; Wien : Oldenbourg, 1999 von Heinz Lüneburg. ISBN 3-486-24977-0 -

© 1999 R. Oldenbourg Verlag Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0, Internet: http://www.oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen. Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen.

Lektorat: Andreas Türk Herstellung: Rainer Haiti Satz: Heinz Lüneburg, Kaiserslautern

Umschlagkonzeption: Kraxenberger Kommunikationshaus, München

Papier Oldenbourg Graphische Betriebe GmbH. München

Gedruckt auf säure- und chlorfreiem

Gesamtherstellung:

R.

Vorwort Ohne Internet gäbe es dieses Buch nicht. Die Beschreibung meiner Vorlesung gleichen Namens auf meiner Homepage veranlasste Herrn Andreas Türk, Lektor des Oldenbourg Verlages, mich zu fragen, ob ich diese Vorlesung nicht publizieren wolle. Nach einigem Zögern nahm ich den Vorschlag an. Das Zögern rührte daher, dass ich mit einem sehr umfangreichen Buchprojekt zur Geschichte der Körpertheorie beschäftigt bin. Doch nach einigem Überlegen unterbrach ich die Arbeit an genanntem Projekt und schrieb dieses Buch auf. Dabei kam mir zugute, dass ich meine Vorlesungen schon seit Jahren sorgfältig aufschreibe, so dass ich mit dem Formulieren keine Zeit mehr verlor. Was ist das Besondere an diesem Buch? Sicherlich die ersten Abschnitte über das Auswahlaxiom und die Maximumprinzipien der Mengenlehre. Der Algebraiker benutzt meist das zornsche Lemma, doch an manchen Stellen bieten sich andere Maximumprinzipien als die viel natürlicheren Werkzeuge an. Ich möchte daher auf keines verzichten. Den Abschnitt über Unabhängigkeitsstrukturen finde ich sehr reizvoll. Hinter ihm verbergen sich unter anderem die Mengen linear unabhängiger Teilmengen von Vektorräumen, die Wälder genannten Teilstrukturen von Graphen und die Mengen algebraisch unabhängiger Teilmengen von Körpererweiterungen, welch letztere Gegenstand unserer Untersuchungen im vorletzten Abschnitt sein werden. Die allgemeine Theorie liefert dann Existenz und Gleichmächtigkeit von Basen in all diesen Fällen. Sieht man sich an, was heute alles unter dem Begriff Algebra subsumiert wird, so ist kaum noch zu erkennen, dass die Frage nach der Auflösbarkeit von algebraischen Gleichungen durch Radikale am Anfang der Algebra stand. Lineare Gleichungssysteme wurden von Beginn an mit immer größerer Virtuosität gelöst. Auch Gleichungen zweiten Grades boten nie Schwierigkeiten bei ihrer Lösung. Für Gleichungen dritten und vierten Grades fanden erst Scipione del Ferro, Nicolo Tartaglia, Girolamo Cardano und Ludovico Ferrari im 16. Jahrhundert Lösungsformeln. Doch Gleichungen fünften und höheren Grades boten scheinbar unüberwindliche Schwierigkeiten. Die Untersuchungen von Joseph Louis Lagrange, Paolo Ruffini und insbesondere Niels Henrik Abel und Evariste Galois vom Ende des 18. bzw. Anfang des 19. Jahrhunderts zeigten dann schließlich, dass Gleichungen mit rationalen Koeffizienten nicht immer durch Radikale lösbar sind. Dabei stellte sich heraus, dass es wichtig ist, zu fixieren, woher die Koeffizienten der Gleichungen stammen, so wie gerade geschehen, da wir von rationalen Koeffizienten sprachen. Dass dies wirklich wichtig ist, sieht man daran, dass über dem Körper der reellen Zahlen irreduzible Gleichungen den Grad 1 oder 2 haben, also durch Radikale lösbar sind. Hier beginnt implizit, was wir heute Körpertheorie nennen.

Als man mit der Frage nach der Auflösbarkeit von algebraischen Gleichungen durch Radikale nicht weiter kam, stellte man andere Fragen, zum Beispiel die, ob Gleichungen überhaupt Lösungen haben und wo man sie zu suchen habe. Die Antwort hierauf ist der Fundamentalsatz der Algebra, der besagt, dass jede algebraische Gleichung über dem

Gruppen, Ringe, Körper

vi

Körper der komplexen Zahlen

eine

in diesem

Körper hat. Alle Beweise dieses Satzes erste Beweisversuche unterschiedlicher Qualität stammen von Jean-Baptiste le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange, Pierre Simon Laplace und Carl Friedrich Gauß aus dem 18. Jahrhundert, erste Beweise von Jean Robert Argand & Augustin-Louis Cauchy und Gauß aus dem 19. Jahrhundert sind Existenzbeweise und geben bestenfalls Hinweise, wie man die Lösungen approximieren kann. Sie liefern keinen Beitrag zur ersten Frage. Einen sehr eleganten Beweis dieses Satzes, der von Emil Artin und Otto Schreier stammt, findet der Leser hier wiedergegeben. Er macht vom Hauptsatz der Galoistheorie Gebrauch, der einen Zusammenhang herstellt zwischen der Menge der Lösungen einer algebraischen Gleichung und ihrer Galoisgruppe. Die Gruppen, die zu Gleichungen gehören, die durch Radikale lösbar sind, lassen sich rein gruppentheoretisch beschreiben. Diese Gruppen heißen naturgemäß auflösbare Gruppen und sind schon seit langem Gegenstand eigenständiger gruppentheoretischer UnLösung

—

—

tersuchungen. Die Abschnitte des vorliegenden Buches über Gruppen dienen nun dazu, die galoissche Theorie, die, wie schon gesagt, jeder algebraischen Gleichung eine Gruppe zuordnet, mit Leben zu erfüllen. Die Einfachheit der alternierenden Gruppen vom Grade größer als vier zeigen die Nichtauflösbarkeit der symmetrischen Gruppen entsprechenden Grades, so dass man sehr rasch zu Gleichungen kommt, die nicht durch Radikale lösbar sind. Um diese Beispiele zu konstruieren, bedient man sich der Polynomringe in n Unbestimmten über einem Körper und ihrer Quotientenkörper sowie der Ringe der symmetrischen Polynome und deren Quotientenkörper, so dass auch diese Gegenstand unserer Untersuchungen sein werden. Diese Beispiele lösen aber nicht das alte Problem, ob nicht vielleicht doch algebraische Gleichungen über dem Körper der rationalen Zahlen immer durch Radikale lösbar sind. Sie sind es nicht, wie an Hand von irreduziblen Gleichungen von Primzahlgrad gezeigt wird. Polynomringe werden sorgfältig definiert und ihre grundlegenden Eigenschaften bewiesen. Kommt man dann zu den Mengen algebraisch unabhängiger Mengen, so stellt sich heraus, dass man auch etwas über die feinere Struktur der Polynomringe wissen muss, dass sie nämlich Integritätsbereiche sind, in denen der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung gilt. Dieses Wissen wird in dem Abschnitt über ggT-Bereiche bereitgestellt. In den letzten beiden Abschnitten schließlich wird dann auf die mengentheoretischen Methoden zurückgegriffen, über die zu Anfang berichtet wurde. Insbesondere wird im letzten Abschnitt gezeigt, dass jeder Körper einen algebraischen Abschluss hat. In den Aufgaben wird manches dargestellt, was in anderen Texten integriert erscheint. Der Leser nehme die Aufgaben daher zumindest zur Kenntnis. Bei ihrer Auswahl war Frau Dr. Petra Meyer eine große Hilfe. Sie betreute die Übungen zur Vorlesung und reagierte sehr sensibel auf die Lücken und Schwierigkeiten der Teilnehmer, so dass die Aufgaben zum Teil gezielt auf deren Probleme eingingen in der Hoffnung, sie zu beseitigen. So erklärt sich insbesondere auch die Vielzahl von Aufgaben, die Methoden der linearen Algebra zu ihrer Lösung erfordern. Ich nehme an, dass der Leser sie begrüßen und zur Festigung seiner Kenntnisse in linearer Algebra nutzen wird. Frau Meyer las und kritisierte auch den Text dieses Buches, woraus viele Verbesserungen des Textes sowie des Indexes resultierten. Ihr sei auch an dieser Stelle recht herzlich

vii

Vorwort

für ihre Unterstützung gedankt Die grobe Skizze, die ich oben machte, um ein wenig den Hintergrund dieses Buches zu erhellen, kommt aus der Unternehmung, die ich unterbrochen habe, um dieses Buch zu schreiben. Wer mehr über jene Unternehmung wissen möchte, schaue sich meine Homepage auf dem Netz an. Die Adresse ist .

www.mathematik.uni-kl.de/~luene Bücher, die ich geschrieben habe und noch schreiben

und dann weiter zu: Es bleibt mir nur noch, dem Buch viele Leser dass Sie an diesem Buch Gefallen finden.

Kaiserslautern,

im Oktober 1998

zu

möchte.

wünschen, und Ihnen, lieber Leser, Heinz

Lüneburg

1. Relationen und

Abbildungen

Wir gehen mit dem Begriff der Menge und der Relation „ist Element von" ganz naiv um, dh., wir machen keine Axiomatik der Mengenlehre. Dennoch wollen wir ein wenig mehr über die Begriffe „Relation" und „Abbildung" reflektieren als dies in Anfängervorlesungen und einführenden Algebravorlesungen und den einschlägigen Büchern gemeinhin üblich ist. Zunächst wollen wir mit Kuratowski zeigen, dass man den Begriff des geordneten Paares auf mengentheoretische Begriffe zurückführen kann. Es seien A und B Mengen. Ist a € A und b G B, so definieren wir das geordnete Paar (a, b) durch

(a,6)

{{a},{a,b}}.

:=

Es ist also (a,b) die Menge aus den beiden sie nicht verschieden. Es gilt der wichtige

Mengen {a}

und

{a,b}.

Ist

a

=

b,

so

sind

Satz von der eindeutigen Lesbarkeit. Es seien A und B Mengen. Sind a, o! G A und b, b' G B, so gilt genau dann [a,b) = (a',b'), wenn a a' und b b' ist. Beweis. Ist a a' und b = b1, so ist natürlich (a,b) = {a',b'). Es sei also (a,b) = (a1, b'). Dann ist =

=

=

{a} Also ist

a

=

=

{a}n{a,b}

=

{a}Ll{a,b}

Es folgt b' G {a,b}. Ist b' dann b' = a' und somit

=

x

f)

=

x

=

{a1} n {a', b'}

=

{a1}.

xe(a',b')

a

und

Sind A und B

folglich

Mengen,

=

b,

[j x(z(a,b) so

x

=

{J x£(a',br)

sind wir

fertig.

x

=

{a1} U {a\ b'}

Es sei also b'

=

a.

{o', 6'}.

Wegen

a

=

a' ist

—

{a',b'}

=

{a',a'}

auch hier b'

=

b. Damit ist alles bewiesen.

{a,b} =

f] xe(a,b)

a'. Ferner ist

{a,b}

Also ist b

=

so

=

=

{a'}

=

{a}.

setzen wir

Ax B

:=

{{a,b) |

a

G

A,b

G

B).

Die Menge A x B heißt cartesisches Produkt der Mengen A und B. Ist A 0 oder B = 0, so ist auch A x B 0. Sind A und B Mengen und ist R C ,4 x B, so nennen wir R binäre Relation zwischen A und B. Da wir meist nur binäre Relationen betrachten, lassen wir das Adjektiv „binär" fast immer weg. =

=

Gruppen, Ringe, Körper

2

Ist A eine

Menge,

so

setzen wir

1A

:=

{(a,a) |

£

a

.4}.

Dann nennt man 1^ C .4 x A je nach Kontext die Diagonale von A oder die Identität auf -4. Offenbar ist 1^ die Gleichheitsrelation auf A. Ist nämlich (a,b) £ 1,4, so gibt es ein c G A mit (a, 6) = (c,c). Mit dem Satz von der eindeutigen Lesbarkeit folgt daher a = c = b. Sind .A, 73, C drei Mengen, ist R C .4 x 7? und 5 C 73 x C, so definieren wir die Relation 7? o 5 zwischen A und C durch

RoS

:=

{x |

es

gibt

o

5,c6 C

£

mit

(a, b) G R, {b, c)

RoS heißt Produkt der Relationen 7? und 5. Die von Relationen.

G S und

£

=

(a, c)}.

Operation o heißt auch Multiplikation

Satz 1. Es seien A und B zwei Mengen. Ist R C A x B, so ist lA ° R = R = R ° Iß Beweis. Es sei x G 7?, also £ = (a, 6) mit a £ A und 6 G 73. Wegen (a,a) G 1,4 ist dann (a, b) G l/i o 7?. Also ist R C lA o 7?. Es sei y G 1^ o 7?. Wegen 1,4 o R C ^4 x 73 gibt es ein a G A und ein 6 G 73 mit y (a, b). Es gibt aber dann ein a' G A mit (a, a') G l..i a' und damit und (a',b) G 7?. Mit dem Satz von der eindeutigen Lesbarkeit folgt a (a, b) G R. Die zweite Aussage beweist sich analog. =

=

Satz 2. Es seien A, 73, C, D ist

Mengen.

Ist R C .4

{R°S)oT

=

x

73, S

C 73

x

C imd T

C

C

x

D,

so

Ro(S°T).

Verknüpfung von Relationen ist also assoziativ. Beweis. Es sei x G 7? o (5 o T). Es gibt dann a G 4, b G 73 und d £ D mit x = (a, d) und (a, b) £ R und (&, d) G SoT\ Es gibt weiter ein c £ C mit (6, c) £ S und (c, d) £ T. Es folgt (a,c) G RoS und damit (a,d) G (7?o5) oT. Also ist 7?o(5oT) C (7?o5) oT. Es sei y G (7? o 5) o T. Es gibt dann a £ A, 7 G C und 8 £ D mit ?/ (a,6) und und o S und 73 T. Es ein mit 7? R weiter £ £ G £ ß (/3,7) G 5. (a, ß) (7,6) (q, 7) gibt Es folgt (/3,