Gesammelte Werke: Band 2 [Reprint 2020 ed.] 9783112384305, 9783112384299

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JACOB S T E I N E R ' S

GESAMMELTE WERKE.

JACOB STEINER'S

GESAMMELTE WERKE. HERAUSGEGEBEN AUF VERANLASSUNG DER KÖNIGLICH PREUSSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.

ZWEITER BAND. MIT

23

F I G U R E N T A F E L N .

HERAUSGEGEBEN VON

K. WEIERSTRASS.

BERLIN. DRUCK UND VERLAG VON G. REIMER. 1 882.

V o r r e d e .

Indem ich den zweiten (und letzten) Band der Werke Steiner'& dem mathematischen Publikum übergebe, habe ich zunächst zu bemerken, dass die in mehreren, an mich gerichteten Zuschriften ausgesprochene und, wie ich höre, von Vielen getheilte Erwartung, es werde dieser Band eine Reihe interessanter, noch nicht veröffentlichter Mittheilungen aus dem Steiwer'schen Nachlasse bringen, auf einer falschen Vorstellung von dem Inhalte dieses Nachlasses beruht. Nach der Auskunft, die der Besitzer desselben, Herr Professor Geiser in Zürich, mir zu geben die Güte hatte, besteht er hauptsächlich aus den Vorarbeiten und den verschiedenen Redactionsentwürfen zu einer Anzahl der bereits veröffentlichten Abhandlungen, und es würde das in demselben enthaltene Material, wenn es nutzbar gemacht werden sollte, einer durchgreifenden Bearbeitung in derselben Weise bedürfen, wie sie denjenigen Stücken, welche den von den Herren Schröter und Geiser herausgegebenen Vorlesungen Steiner's zum Grunde liegen, zutheil geworden ist. Eine Verwerthung des Nachlasses für die von mir im Auftrage der Akademie besorgte neue Ausgabe der Werke Steiner s, welche nur die von diesem selbst veröffentlichten oder im Wesentlichen druckfertig hinterlassenen Arbeiten enthalten

VI

Vorrede.

sollte, war also ausgeschlossen. (Vergl. die Vorrede zum ersten Bande von Jacobi s gesammelten Werken.) Nur einige Zusätze, die von Steiner mehreren Abhandlungen nach deren Herausgabe handschriftlich beigefügt und von Herrn Geiser mir mitgetheilt worden sind, konnten in die diesem Bande angehängten „Anmerkungen und Zusätze" aufgenommen werden. Ausserdem habe ich mir erlaubt, eine schon früher nach einer mündlichen Mittheilung Steiner1 s von mir veröffentlichte Notiz über die seitdem so bekannt gewordene „Steiner1 sehe Fläche" wieder abdrucken zu lassen, sowie bei dieser Gelegenheit eine nicht uninteressante, auf eine andere Fläche vierten Grades sich beziehende und von Steiner mir vorgelegte Aufgabe mitzutheilen. Zwei der bedeutendsten Abhandlungen Steiner's, in denen er die Ergebnisse seiner langjährigen Untersuchungen „über Maximum und Minimum bei den Figuren in der Ebene, auf der Kugelfläche und im Raum überhaupt", niedergelegt hat, waren bisher nur in französischen Uebersetzungen bekannt. Steiner hatte nämlich diese Arbeiten der Pariser Akademie vorgelegt, und zwar in deutscher Sprache, auf Idouville's, des Berichterstatters, Wunsch aber in dessen Journal die erste Abhandlung in französischer Sprache erscheinen lassen, was zur Folge hatte, dass nicht nur diese, sondern auch die zweite Abhandlung später im Crelle'sehen Journal in derselben Sprache veröffentlicht wurde. Glücklicherweise ist aber Steiner'% Originalmanuscript erhalten geblieben und mir von Herrn Geiser mit dankenswertestem Entgegenkommen zur Verfügung gestellt worden. Die Vergleichung desselben mit den genannten Uebersetzungen liess sofort erkennen, dass es vor diesen, in denen an nicht wenigen Stellen der Sinn verfehlt, oder der Ausdruck nicht klar und bestimmt genug ist, hie und da auch Fehler vorkommen, die das Original nicht hat,

Vorrede.

vn

bedeutende Vorzüge besitze. Ich habe es deshalb für geboten erachtet, bei der neuen Ausgabe der in Rede stehenden Abhandlungen den ursprünglichen Sfeiwer'schen Text wieder herzustellen, um so mehr, als das gedachte Manuscript so sorgfaltig ausgearbeitet ist, dass es mit Ausahme sehr weniger Stellen ganz unverändert abgedruckt werden konnte. Sämmtliche Abhandlungen dieses Bandes sind — in ähnlicher Weise, wie es bei denen des ersten Bandes geschehen ist — vor dem Abdrucke theils von Herrn Professor Kieperl (Bogen 1 - 2 0 ) , theils von Herrn Dr. Schur (Bogen 2 1 - 4 2 ) , und dann bei der Correctur noch einmal von dem ersteren sorgfaltig revidirt worden. Indem ich beiden Herren für die Hülfe, die sie mir geleistet, meinen aufrichtigsten Dank ausspreche, habe ich noch hinzuzufügen, dass von Herrn Kiepert — ohne dessen eifrige Mitwirkung es mir überhaupt unmöglich gewesen wäre, mit der übernommenen Aufgabe in verhältnissmässig kurzer Zeit fertig zu werden — auch sämmtliche zu diesem Bande gehörigen Figuren neu gezeichnet worden sind. B e r l i n , 6. März 1882. Weierstrass.

Inhaltsverzeichniss des zweiten Bandes. 1.

Demonstration géométrique d'un théorème relatif à l'attraction d'une

2.

Ein neuer Satz über die Primzahlen

3.

Aufgaben und Lehrsätze.

4.

Einfache Construction der Tangente an die allgemeine Lemniskate.

couche ellipsoidique sur un point extérieur.

Avec 1 figure (Tabl I) .

1—

Hierzu Taf. I, Fig. 2

13— 18

Hierzu T a i n , Fig. 1 5.

Aufgaben und Lehrsätze.

C. Aufgaben und Lehrsätze. 7. 8.

9. 10.

19—23 Hierzu Taf. II, Fig. 2 und 3

25— 32

Hierzu Taf. III, Fig. 1 und 2

33— 40

Aufgaben und Lehrsätze Maximum und Minimum des Bogens einer beliebigen Curve im Verhältniss zur zugehörigen Abscisse oder Ordinate. .Hierzu Taf. III und IV, Fig. 3—6 Aufgaben und Lehrsätze. Hierzu Taf. V, Fig. 1—5 Einfache Beweise der isoperimetrischen Hauptsätze.

41— 50 . 51— 61 63— 74

Hierzu Taf. VI,

Fig. 1—5 11.

5

7— 12

75-91

Ueber den Punct der kleinsten Entfernung

93— 95

12. Von dem Krümmungs-Schwerpuncte ebener Curven. und VIII, Fig. 1—11 Eigenschaften der

Hierzu Taf. VII

Curven von

97-159

13.

Ueber einige allgemeine Krümmung

doppelter

14.

Ueber ein einfaches Princip zum Quadriren verschiedener Curven

15.

Ueber parallele Flächen

171—176

16.

Ueber Maximum und Minimum bei den- Figuren in der Ebçne, auf der Kugelfläche und im Räume überhaupt. Erste Abhandlung. Hierzu Taf. IX—XI, Fig. 1—19

177—240

161—165 . .

167—170

Inhaltsverzeichnis;; des zweiten Bandes.

IX Seite

17.

Ueber Maximum und Minimum u. s. w. Taf. XII—XIV, Fig. 1 - 1 7

Zweite Abhandlung.

18.

Ueber einige stereometrische Sätze

19.

Elementare Lösung einer Aufgabe über das ebene und Dreieck. Hierzu Taf. XV, Fig. 1—5

20.

Hierzu 241-308 309-320

sphärische 321—326

Teoremi relativi alle coniche inscritte e circoscritte. A cio aggiunta la tav. XIV, Fig. 1—3

327—337

Ueber eine Eigenschaft des Krümmungshalbmessers der' Kegelschnitte

339-342

22.

Lehrsätze und Aufgaben

343-348

23.

Ueber eine Eigenschaft der Leitstrahlen der Kegelschnitte

349—354

24.

Geometrische Lehrsätze und Aufgaben

355—360

25.

Ueber Lehrsätze, von welchen die bekannten Sätze über paiallele Curven besondere Fälle sind

361-367

26.

Geometrische Lehrsätze

3 6 9 - 373

27.

Sätze über Curven zweiter und dritter Ordnung

375-380

28.

Ueber das dem Kreise umschriebene Viereck. Hierzu Taf. XVII—XIX, Fig. 1—4

381—388

21.

29. Elementare Lösung einer geometrischen Aufgabe, und über einige damit • in Verbindung stehende Eigenschaften der Kegelschnitte. Hierzu Taf. 389—420

XX, Fig. 1—4 Ueber das grösste Product der Theile oder Summanden jeder Zahl

31.

Lehrsätze

32.

Combinatorische Aufgabe

33.

Aufgaben und Lehrsätze

34.

Ueber einige neue Bestimmungsarten der Curven zweiter Ordnung, nebst daraus folgenden neuen Eigenschaften derselben Curven. Hierzu Taf. XXI und XXII, Fig. 1 - 3

445-468

35.

Allgemeine Betrachtungen über einander doppelt berührende Kegelschnitte •

469—483

36.

Aufgaben und Lehrsätze

485—492

37.

Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Curven

493—509

38.

Ueber solche algebraische Curven, welche einen Mittelpunct haben, und über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Curven, sowie über geradlinige Transversalen der letzteren

511-596

39.

Aufgaben und Sätze, bezüglich auf die vorstehende Abhandlung . . .

597—601

40.

Eigenschaften der Curven vierten Grades rücksichtlich ihrer Doppeltangenten

603-612

Aufgaben und Lehrsätze

613—620

41. 42.

.

421-424

30.

425-434 435-438 439-443

621—637

Ueber algebraische Curven und Flächen S t e i n e r ' s Werke.

II.

*

X

Inhaltsverzeichniss des zweiten Bandes. Seite

43.

Ueber eine besondere Curve dritter Classe (und vierten Grades) . . .

639—647

44.

Ueber die Flächen dritten Grades

649—659

45.

Vermischte Sätze und Aufgaben

661—684

N a c h 1 a s s. 46.

Geometrische Betrachtungen und Lehrsätze

687—716

47.

Construction der durch neun gegebene Puncto gehenden Fläche zweiten Grades

717—720

48.

Zwei specielle Flächen vierter Ordnung

721—724

49.

Anmerkungen und Zusätze.

725—743

Hierzu Taf. XXIII, Fig. 1—5

Démonstration géométrique d'un théorème relatif à l'attraction, d'une couche ellipsoïdique sur un point extérieur. C r e l l e ' s J o u r n a l B a n d X I I . S. 141 — 143.

A v e c 1 figure (Table I).

S t e i n e r ' s Werke.

II.

1

Démonstration géométrique d'un théorème relatif à l'attraction d'une couche ellipsoïdique sur un point extérieur. Le numéro du 12. Oct. 1833 du Journal „l'Institut" contient l'extrait d'un mémoire sur l'attraction d'un ellipsoïde homogène que M. Poisson a lu à l'Académie des sciences de Paris. On y trouve l'énoncé d'un théorème remarquable par sa simplicité' et qui consiste en ce „qu'une couche i n f i n i m e n t mince et comprise entre deux e l l i p s o ï d e s c o n c e n t r i q u e s , s e m b l a b l e s et semblablement placés exerce sur un point e x t é r i e u r une attraction, dirigée s u i v a n t l ' a x e du cône circonscrit à la couche et ayant pour sommet le point attiré".' C'est ce théorème que nous allons démontrer par des considérations géométriques fort simples.

Lemme. „L'ellipse ABCD (Tab. I, fig. 1) étant touchée par l e s côtés PA, PB de l ' a n g l e APB, si l'on divise cet angle en deux part i e s égales par la droite PQ qui coupe en Q la corde de contact AB, polaire du point P, je dis que PQ formera des angles égaux avec les droites PC, PD qui j o i g n e n t le point P aux deux e x t r é m i t é s d'une corde quelconque passant par le point Q." Démonstration. Si l'on mène PR perpendiculairement à PQ, on sait que PR, PA, PQ, PB seront quatre droites harmoniques. Par conséquent les quatre points R, A, Q, B de même que les suivants P, G, Q, F sont harmoniques, et PR est la polaire du point Q; il suit de là que D, Q, C, JE sont quatre points harmoniques et par conséquent PD, PQ, PC, PE quatre droites harmoniques, et comme les droites conjuguées PE et PQ sont perpendiculaires entre elles, on en conclut qu'elles doivent 1*

4

Sur l'attraction d'une couche ellipsoïdique.

partager en deux parties égales l'angle formé par les droites conjuguées PD, PC de sorte que DPQ = CPQ c. q. f. d. *). Théorème. „L'attraction, exercée par une couche homogène infiniment mince et comprise entre deux ellipsoïdes concentriques, semblables et semblablement placés sur un point extérieur P, est dirigée suivant l'axe du cône qui a son centre au point attiré et qui enveloppe la couche attirante." Démonstration. Concevons sur la surface extérieure de la couche un élément infiniment petit, et soit C un point de cet élément. Le plan déterminé par ce point et par l'axe du cône circonscrit à la surface extérieure coupera cette surface en une ellipse ACBD qui sera touchée par les deux arêtes PA, PB du cône comprises dans ce plan. Il est évident en même temps que la droite AB est l'intersection du plan en question et de celui qui contient la courbe de contact du cône et de la surface extérieure, et que Q est le point de rencontre de ce dernier plan et de l'axe du cône. Comme l'axe PQ divise en deux parties égales l'angle A PB formé par les deux arêtes, comprises dans un même plan avec lui, on conclura en vertu du lemme précédent que les angles CPQ, DPQ sont égaux. Si l'on conçoit maintenant une droite mobile autour du point Q et parcourant le contour de l'élément de surface précédemment nommé, cette droite déterminera dans la couche ellipsoïdique deux éléments de volume situés de part et d'autre du point Q et dont nous allons considérer l'attraction d'abord sur le point intérieur Q et ensuite sur le point extérieur P. Quant à l'attraction exercée par ces éléments sur le point Q, on sait qu'elles sont égales et opposées, et c'est sur la destruction mutuelle des attractions exercées par deux éléments ainsi opposés qu'est fondé l'équilibre d'un point quelconque dans l'intérieur de la couche ellipsoïdique, comme Mac-Laurin l'a fait voir par la simple géométrie, et comme Lagrange l'a confirmé depuis par l'analyse. En supposant ce résultat, on en conclut que les deux éléments de volume que nous désignons pour un instant par (C) et (D) vérifient la proportion (C):(D) = (QCy:(QD)\ *) On trouve les démonstrations des propriétés sur lesquelles nous nous appuyons ici dans les ouvrages suivants: La Perspective de Lambert; les Mémoires de M. Brianchon; le traité des propriétés projectives par M. Poncelet; ou mes deux ouvrages intitulés: „Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander" (Cf. Bd. I. S. 229 dieser Ausgabe) et „Die geometrischen Constructionen, ausgeführt mittelst der geraden Linie und Eines festen Kreises" (Cf. Bd. I. S. 461 dieser Ausgabe).

Sur l'attraction d'une touche ellipsoïdique.

Il suit d'un autre côté de l'égalité des angles CPQ et DPQ, demment établie, qu'on a QC: QD =

5 précé-

PC-. PD

et par conséquent, en comparant: (Q-.(D) = (Pcy-.(Pi>y, proportion qui prouve que les deux éléments attirent également le point P, et partant que la résultante de ces deux actions est dirigée suivant l'axe PQ. Ce résultat étant applicable a tous les éléments de la couche qui se correspondent deux à deux, le théorème énoncé se trouve rigoureusement établi. La démonstration précédente fournit en outre le corollaire suivant: „ U n p l a n q u e l c o n q u e p a s s a n t p a r le p o i n t Q p a r t a g e l a Gouche e l l i p s o ï d i q u e e n deux p a r t i e s qui e x e r c e n t des attract i o n s é g a l e s s u r le p o i n t P." On peut également tirer des considérations précédentes plusieurs vérités géométriques, dont je me contenterai d'énoncer une seule: „ S i p a r l ' e l l i p s e , i n t e r s e c t i o n de l ' e l l i p s o ï d e et d ' u n p l a n q u e l c o n q u e p a s s a n t p a r le p o i n t Q, l ' o n c o n ç o i t u n cône a y a n t son s o m m e t a u p o i n t P, l ' a x e de ce cône c o ï n c i d e r a a v e c l a d r o i t e PQ." Berlin, au mois de Janvier 1834.

Ein neuer Satz über die Primzahlen. C r e l i e ' s Journal Band XIII. S. 356—360.

Ein neuer Satz über die Primzahlen, 1. Der Satz, welcher hier bewiesen werden soll, lautet, wie folgt: „Hat man irgend eine Primzahl p und p—1 beliebige andere Zahlen, welche durch p nicht t h e i l b a r sind, sondern nach irgend einer Ordnung die verschiedenen Reste 1, 2, 3 , . . . p — 1 geben, oder auch, was im Grunde auf dasselbe hinauskommt, nach irgend einer Ordnung genommen, diese ReSte selbst sind, combinirt man von diesen Zahlen irgend eine Anzahl n zur (p—w)ten Classe mit Wiederholung aber ohne Versetzung und multiplicirt die Zahlen jeder Complexion in einander, so ist die Summe aller dieser Producte immer durch p t h e i l b a r , die Zahl n mag sein, von 2 bis 1 inclusive, welche man will." Beweis. Wird jeder Theil der identischen Gleichung x = (x—«,)-t-»i mit x multiplicirt, nämlich der Theil links mit x, das erste Glied rechts mit (x—« 2 )+a 2 und das zweite mit {¿c—aJ)-1rai, so erhält man nach gehöriger Ordnung x3 = (x—«,)(«——«O-l-a?. Werden die Glieder der letzten Gleichung ähnlicher Weise beziehlich- mit x --- (x—a3)+a3 = (x—a2)+aa = (x—äj-j-^ multiplicirt, so kommt x3 - (x—at)(x—a2)(x—a3)+(a1-ha2-ha3)(x—aJQv—a2) -h(a'l-\-a1a2-hal)(x—aj+asj. Gleicherweise gelangt man zu der Gleichung x4 = (x—aj)(x—a2)(x—a3)(x—a4) + (a, -H a a + a 3 + a 4 ) ( x — a j a 2 ) (x—a3) •+• (a\-+- «j «a+Ö! «3 -t-a\-\-a% a3-\-a23) (x—aj (x—a2) -\-(a\-[-a\a3+ala\^-al)(x— aj-j-aj, und durch Wiederholung desselben Verfahrens zu der allgemeinen Gleichung xv~x — {so—aj (x—a2) ... (x—£tp_i) -(- («j +aaH \-a,p—i) (x—«J (¿c—a2).. . (x—ap_2) -+- (a*+Oj ,

10

Ein neuer Satz über die Primzahlen.

oder in einfachen Zeichen (1) a f i — Xp—i-+-A1 Xp—2 -+- A2 Xp—3-+-A3 Xp—i+•••-)- Ap—2 Ap—i. Das Gesetz, wonach die Glieder dieser Gleichung gebildet werden, fällt in die Augen. Nämlich der Coefficient A1 des zweiten Gliedes rechts ist die Summe der Zahlen a l t a 2 , a 3 ,...Op_i; der Coefficient A2 des dritten Gliedes ist die Summe der Producte, die entstehen, wenn man die p—2 Zahlen a n a 2 , a 3 ,...Op_2 mit Wiederholung aber ohne Versetzung zu zweien combinirt und in eihander multiplicirt; u. s. w. Wird nun angenommen, p sei irgend eine Primzahl, und die Zahlen a,, a 2 , a 3 , . . . a p _ i seien nicht durchs theilbar und lassen, durch p dividirt, verschiedene Reste, also, nach irgend einer Ordnung genommen, die Reste 1, 2, 3 , . . . p—1; und wird ferner auch die willkürliche Zahl x als nicht durch p theilbar vorausgesetzt, so ist, wenn man das letzte Glied rechts auf die linke Seite bringt, die Differenz zP-i — oP-i vermöge des Fermatfsehen Satzes durch p theilbar. Giebt man nun dem x für einen Augenblick einen solchen Werth, dass x—a2 durch p theilbar wird, so sind alle Glieder rechts, welche x—a 2 zum Factor haben, durch p theilbar; daher muss auch das nunmehrige letzte Glied A^X^ = (af-M-ar8«»-H,r*«iH h a f 2 ) (*—2, . . . u. s. w. kein. x enthalten, sondern, vom Zeichen abgesehen, nur bestimmte Combinationen der Zahlen fit2, ... a,p—2; ßj, a2, ... T c

A s, a

ff,

Y, w,

c

Y

11

A

7

u

a =

b.

« =

ß.

c

a —

b.

a-\-b.

« = ß. a = b, oder a = ß. a =

Y

c,

U

A

s

c

A, y A, u ' A

a

s—c, y ff—Y, c

CS, u,

c,

u,

c.

Y= a+ß. c+it = a-\-b. — b und Y = a + ß -

OL = ß und c-f-ir =

u

A,

ff,

a — b =

u

a u,

a = b, oder a = ß.

c u

A

b.

a — b — c. u,

T

b

a,

Bedingung.

A, Y A .

c u

A, A

Minimum.

b.

« = ß. a = b, oder a = ß. 7 - 2ß. c + 1 t = 2b.

u

a =

b.

A

« =

ß.

Viele von diesen Sätzen sind allgemein bekannt, namentlich in Beziehung auf das ebene Dreieck. Man wird sie leicht in Worten aussprechen können, z. B. der Satz No. 17 lautet, wie folgt:

Aufgaben und Lehrsätze.

45

„ W e n n ein W i n k e l (a) e i n e s e b e n e n o d e r s p h ä r i s c h e n D r e i ecks und die S u m m e s zweier Seiten (a,b), wovon die eine dem W i n k e l g e g e n ü b e r l i e g t , g e g e b e n s i n d , so i s t s e i n F l ä c h e n i n h a l t ( A ) d a n n a m g r ö s s t e n , w e n n d e r W i n k e l (7), w e l c h e r d e r d r i t t e n S e i t e g e g e n ü b e r s t e h t , d o p p e l t so g r o s s i s t , a l s d e r a n d e r e n i c h t g e g e b e n e W i n k e l (ß)." 6. I. „ D i e u n b e g r e n z t e n S c h e n k e l e i n e s g e g e b e n e n W i n k e l s m i t e i n e r b e l i e b i g e n k r u m m e n L i n i e so z u v e r b i n d e n , tlass d i e d a d u r c h e n t s t e h e n d e F i g u r bei g e g e b e n e m U m f a n g e den g r ö s s t e n I n h a l t , oder bei g e g e b e n e m I n h a l t e den k l e i n s t e n Umf a n g h a b e . W e l c h e F o r m m u s s die g e n a n n t e L i n i e h a b e n , u n d w e l c h e L a g e g e g e h d i e S c h e n k e l des W i n k e l s ? " II. Die analoge sphärische Aufgabe. III. Die analoge Aufgabe im Räume, wenn z. B. (statt jenes Winkels) ein gerader Kegel gegeben ist, von welchem ein Stück (dem Scheitel anliegend) abgeschnitten werden soll, das bei gegebener Oberfläche den grössten Körperinhalt hat. 7. Unter allen sphärischen Dreiecken, welche irgend einem gegebenen sphärischen Dreiecke eingeschrieben sind, hat dasjenige den kleinsten Umfang, dessen Ecken in den Fusspuncten der (sphärischen) Perpendikel liegen, welche aus den Spitzen des gegebenen Dreiecks auf die gegenüberstehenden Seiten herabgelassen werden. (Beim ebenen Dreieck findet bekanntlich ein gleichlautender Satz statt.) 8. Unter allen sphärischen Dreiecken, welche irgend einem gegebenen sphärischen Dreiecke umschrieben sind, hat dasjenige den grössten Inhalt, dessen Seiten auf die Quadranten fallen, welche zwischen den Seiten des gegebenen Dreiecks und den ihnen gegenüberliegenden Ecken sich ziehen lassen. 9. Unter allen sphärischen Vierecken, welche einem gegebenen sphärischen Vierecke um- oder eingeschrieben sind, die besondere Eigenschaft desjenigen anzugeben, dessen Inhalt ein Maximum, oder dessen Umfang ein Minimum ist. 10. Unter allen dreiseitigen Pyramiden, welche einer gegebenen dreiseitigen Pyramide eingeschrieben sind, diejenige zu bestimmen, deren Oberfläche ein Minimum ist. (Desgleichen bei anderen Polyedern.) 11. I. Unter allen Kreissectoren (verschiedener Kreise aber) von gleichem Umfange, denjenigen zu finden, der so beschaffen ist, dass der ihm eingeschriebene Kreis (der die beiden Radien und den Bogen berührt) ein M a x i m u m , oder der ihm umschriebene Kreis ein M i n i m u m i s t . 11. Desgleichen die analoge sphärische Aufgabe. 12. Unter allen Kugelsectoren (d. i. ein gerader Kegel, dessen Grundfläche ein Theil der aus seinem Scheitel beschriebenen Kugelfläche ist")

Aufgaben und Lehrsätze.

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von gleicher Oberfläche denjenigen anzugeben, in welchen sich die g r ö s s t e , oder um welchen sich die k l e i n s t e Kugel beschreiben lässt. 13. I. Unter allen sphärischen Kreissectoren auf der nämlichen Kugelfläche und von gegebenem Umfange hat derjenige den grössten Flächeninhalt, dessen Centriwinkel (den die zwei sphärischen Radien am Pol des 4 Kreises bilden) gleich — Rechte, und zwar ist dieser grösste Inhalt dem TT

Quadrat der Sehne gleich, welche einem der beiden sphärischen Radien, die den Sector bilden, zugehört (d. i. diejenige Gerade, welche die Endpuncte eines der genannten Radien innerhalb der Kugel mit einander verbindet). II. Wenn der Umfang des Sectors gegeben ist, die Kugel aber nicht, so soll diese so bestimmt werden, dass der Inhalt des Sectors ein Maximum .Maximcrrum wird. 14. I. Unter den verschiedenen Geraden, welche die Fläche eines gegebenen Dreiecks in zwei gleiche Theile theilen, die k l e i n s t e oder g r ö s s t e anzugeben. Desgleichen, wenn sich die Theile verhalten wie n:m. II. Desgleichen, wenn statt des Dreiecks irgend ein Vieleck, oder irgend eine ebene geschlossene Curve gegeben ist. III. Desgleichen bei den Figuren auf der Kugelfläche. 15. I. Unter allen Ebenen, welche den Körperraum einer gegebenen dreiseitigen Pyramide in zwei gleiche Theile theilen (oder im Verhältniss n-.m) diejenige anzugeben, bei welcher die Durchschnittsfigur den k l e i n sten oder g r ö s s t e n Inhalt oder Umfang hat. II. Desgleichen, wenn statt der genannten Pyramide irgend ein anderer Körper, von ebenen oder krummen Flächen begrenzt, gegeben ist. 16. I. Wird eine unbegrenzte prismatische (oder cylindrische) Säule von beliebigen Ebenen, die nicht mit den Kanten derselben parallel sind, geschnitten, so liegen die Schwerpuncte der Flächen der Durchschnittsfiguren alle in einer bestimmten Geraden A, welche den Kanten der Säule parallel ist. Diese Gerade soll die „ b a r y c e n t r i s c h e A x e " der Säule heissen. II. „ N i m m t m a n in der b a r y c e n t r i s c h e n Axe A einer p r i s m a t i s c h e n S ä u l e i r g e n d zwei P u ñ e t e b, c an, l e g t d u r c h j e d e n eine E b e n e B, C, w e l c h e die S ä u l e und i h r e K a n t e n s c h n e i d e t , so d a s s ein schief oder p a r a l l e l a b g e s c h n i t t e n e s P r i s m a (oder C y l i n d e r ) e n t s t e h t , so h a t d i e s e s P r i s m a i m m e r d e n n ä m l i c h e n I n h a l t , w e l c h e Lage m a n a u c h den s c h n e i d e n d e n E b e n e n oder G r u n d f l ä c h e n B, C g e b e n m a g , wenn d i e s e l b e n n u r s t e t s d u r c h die f e s t e n P u ñ e t e b, c gehen." Oder: III. „Der K ö r p e r i n h a l t j e d e s b e l i e b i g e n , schief oder par a l l e l a b g e s c h n i t t e n e n P r i s m a s ( o d e r C y l i n d e r s ) i s t gleich dem

Aufgaben und Lehrsätze.

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P r o d u c t a u s d e r e i n e n ( o d e r a n d e r e n ) G r u n d f l ä c h e B o d e r C in d a s a u s d e m S c h w e r p u n c t e (c o d e r b) d e r a n d e r e n auf s i e gef ä l l t e P e r p e n d i k e l . " (Daher folgt auch, dass der Inhalt jeder Grundfläche oder jeder ebenen Durchschnitts-Figur um so kleiner ist, je mehr der Neigungswinkel, den sie mit der baryceutrischen Axe bildet, sich dem Rechten nähert; dass also jener ein Minimum wird, wenn letzterer diese Grenze erreicht.) IV,. „ S i n d von e i n e m b e l i e b i g e n P r i s m a ( o d e r C y l i n d e r ) die e i n e G r u n d f l ä c h e (B), d i e Lage d e r S e i t e n f l ä c h e n , o d e r d i e R i c h t u n g d e r L ä n g e n - K a n t e n u n d d e r K ö r p e r i n h a l t g e g e b e n , so i s t d i e G r ö s s e u n d L a g e d e r a n d e r e n G r u n d f l ä c h e (C) z w a r u n b e s t i m m t , a b e r in a l l e n ihren unzähligen v e r s c h i e d e n e n Lagen g e h t s i e s t e t s d u r c h e i n e n u n d d e n s e l b e n b e s t i m m t e n P u n c t (c), w e l c h e r z u g l e i c h i h r S c h w e r p u n c t i s t u n d in d e r b a r y c e n t r i s c h e n A x e des £ r i s m a s liegt." In den besseren Lehrbüchern der .Stereometrie wird ein Satz bewiesen, welcher der einfachste Fall des vorstehenden Satzes (III) ist; nur wird er unter einem anderen Gesichtspuncte aufgefasst, nämlich es wird gezeigt: „dass der Inhalt des schief abgeschnittenen dreiseitigen Prism a s g l e i c h sei d e m P r o d u c t e a u s der e i n e n G r u n d f l ä c h e in e i n D r i t t h e i l der S u m m e der drei P e r p e n d i k e l , w e l c h e aus den E c k e n d e r a n d e r e n G r u n d f l ä c h e auf jene h e r a b g e l a s s e n w e r d e n . " Durch den obigen Satz wird der eigentliche Grund dieses Ausdrucks aufgeklärt, nämlich er ist durch die besondere Eigenschaft des Dreiecks bedingt, d a s s d e r S c h w e r p u n c t s e i n e r l ^ l ä c h e m i t d e m S c h w e r p u n c t s e i n e r d r e i E c k p u n c t e z u s a m m e n f ä l l t , denn diese Eigenschaft hat zur Folge, dass die Summe der vorgenannten drei Perpendikel gerade dreimal so gross ist, als das aus dem Schwerpuncte der zweiten Grundfläche auf die erste gefällte Perpendikel. 17. I. Wenn der Körperwinkel an der Spitze einer beliebigen Pyramide (oder eines Kegels) nebst dem Körperinhalte derselben gegeben ist, so kann zwar ihre Grundfläche der Grösse und Lage nach sich unendlichfach verändern, aber sie ist dabei dem Gesetz unterworfen: „ d a s s s i e i n allen i h r e n v e r s c h i e d e n e n Lagen eine b e s t i m m t e k r u m m e F l ä c h e b e r ü h r t , und dass der Berührungspunct zugleich ihr Schwerp u n c t i s t . " Der Körperwinkel (oder Kegel) ist ein „ A s y m p t o t e n K ö r p e r w i n k e l " der krummen Fläche. II. Es sollen die Gleichung und die Eigenschaften der genannten krummen Fläche gefunden werden*). *) Ist der gegebene Körperwinkel insbesondere dreikantig, und werden seine Kanten zu Coordinaten-Axen angenommen, so hat die Gleichung der in Frage stehenden Fläche

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Aufgaben und Lehrsätze.

Aus der angegebenen Eigenschaft (I) folgt weiter: III. „ D a s s u n t e r a l l e n P y r a m i d e n ( o d e r K e g e l n ) von g l e i c h e m I n h a l t u n d g e m e i n s c h a f t l i c h e m K ö r p e r w i n k e l an d e r S p i t z e , d i e j e n i g e die k l e i n s t e G r u n d f l ä c h e h a t , bei welcher das P e r p e n d i k e l a u s d e r S p i t z e auf d i e G r u n d f l ä c h e d e n S c h w e r p u n c t der letzteren trifft." IV. „ U n d d a s s u n t e r a l l e n P y r a m i d e n ( o d e r K e g e l n ) v o n gleich grossen G r u n d f l ä c h e n und g e m e i n s c h a f t l i c h e m Körperw i n k e l an d e r S p i t z e d i e j e n i g e d e n g r ö s s t e n K ö r p e r i n h a l t h a t , w e l c h e d i e n ä m l i c h e E i g e n s c h a f t (III) b e s i t z t . " 18. I. Wenn ein beliebiger Körper der Form und Grösse nach gegeben ist: von welcher krummen Fläche werden dann die gesammten Ebenen, die von demselben gleich grosse Segmente abschneiden, berührt? und in welchem Puncte wird jede Ebene, als Grundfläche des Segments betrachtet, von derselben berührt? (Ist z. B. die Oberfläche des gegebenen Körpers vom zweiten Grade, so ist die gesuchte Fläche ihr ähnlich, mit ihr concentrisch, und die Grundfläche des Segments wird in ihrem Schwerpuncte berührt.) II. Dieselben Fragen, wenn nicht das Segment, sondern die Grundfläche constanten Inhalt haben soll. 19. Es giebt drei Polyeder, wovon jedes entweder fünf Seitenflächen oder fünf Ecken hat, nämlich 1) die vierseitige Pyramide (hat fünf Ecken und fünf Flächen), 2) die abgestumpfte dreiseitige Pyramide (oder das Prisma) und 3) die sechsflächige Doppelpyramide (diese ist von sechs Dreiecken begrenzt und hat fünf Ecken). Angenommen diese drei Körper haben gleich grosse Oberflächen, und jeder sei so construirt, dass sein Inhalt ein Maximum ist, so wird, wenn man die Inhalte nach der Reihe durch a, b, c bezeichnet, a:b = b:c, oder b'i = ac, wobei cz>bz>a; und umgekehrt: haben die Körper gleichen Inhalt, und ist jeder so beschaffen, dass seine Oberfläche ein Minimum ist, so hat man, wenn diese Oberflächen durch a, ß, y bezeichnet werden, a :ß =

ß : 7,

wobei

a > ß > -¡.

(wie aus I leicht folgt) die einfache Form xyz = A, woraus man sieht, dass die Fläche drei Systeme yon Kegelschnitten enthält, nämlich dass sie von jeder Ebene, welche mit einer der drei Coordinaten-Ebenen (Seitenflächen des Körperwinkels) parallel ist, in einem Kegelschnitt, und zwar in einer Hyperbel geschnitten wird. Ist ferner statt des Körperwinkels ein Kegel zweiten Grades gegeben, so ist die zugehörige krumme Fläche ebenfalls nur von diesem Grade, nämlich sie ist das zweitheilige Hyperboloid.

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Aufgaben und Lehrsätze.

20. Welche Relationen finden nach Analogie des vorigen Satzes (19) bei den verschiedenen Körpern statt, welche sechs Ecken oder sechs Flächen haben? — Oder wenn die 7 verschiedenen sechsflächigen Körper gleich grosse Oberflächen haben, und wenn jeder so beschaffen ist, dass er den grössten Inhalt hat: in welcher Ordnung folgen dann diese Maxima ihrer Grösse nach auf einander? welches ist z. B. das kleinste? Und welches Verhältniss haben unter diesen Umständen die Inhalte der einzelnen Seitenflächen jedes Körpers, für sich betrachtet, zu einander? 21. „ W e n n die N e t z f o r m eines P o l y e d e r s (d. h. die Anzahl, Gattung und Aufeinanderfolge seiner Seitenflächen) so wie s e i n e O b e r f l ä c h e (Summe aller Seitenflächen) gegeben i s t : u n t e r w e l c h e n Bed i n g u n g e n i s t d a n n sein K ö r p e r i n h a l t ein M a x i m u m ? " 22. „ W e n n die G r u n d f l ä c h e einer v i e r s e i t i g e n P y r a m i d e d e r F o r m u n d Grösse n a c h , und wenn die S u m m e der S e i t e n f l ä c h e n g e g e b e n i s t , so soll die B e d i n g u n g g e f u n d e n w e r d e n , u n t e r w e l c h e r der I n h a l t der P y r a m i d e ein M a x i m u m wird." Dieselbe Aufgabe in Rücksicht auf Pyramiden von beliebig vielen Seitenflächen. Die Lösung dieser Aufgabe ist meines Wissens nur für den besonderen Fall bekannt, wo die Grundfläche der Pyramide einem Kreise umschrieben ist. Für den gegenwärtigen allgemeinen Fall ist die Lösung weniger leicht und einfach. 23. Wenn die Grundfläche einer beliebigen Pyramide der Form und Grösse nach nebst dem Körperinhalte derselben gegeben ist, so soll die Bedingung gefunden werden, unter welcher entweder 1) der Inhalt des Körperwinkels an der Spitze (d. i. die Summe seiner Flächenwinkel), oder 2) die Summe der Kantenwinkel an der Spitze, oder 3) die Summe der Körperwinkel an der Grundfläche ein M a x i m u m wird. 24. Wenn von einer beliebigen Pyramide der Körperwinkel an der Spitze (der Form und Grösse nach) nebst dem Körperinhalte gegeben ist, so soll die Bedingung angegeben werden, unter welcher entweder 1) der Umfang der Grundfläche, oder 2) die Summe der Seitenflächen, oder 3) die ganze Oberfläche, oder 4) die Summe der Kanten, etc. ein Minimum wird. 25. Wenn die Grundfläche einer beliebigen Pyramide (oder eines Kegels) der Form und Art nach (d. h. sie ist einer gegebenen Figur ähnlich) und wenn die Oberfläche derselben gegeben ist: unter welchen Bedingungen ist dann ihr Körperinhalt ein Maximum? Wenn insbesondere die Grundfläche ein Kreis, oder ein dem Kreise umgeschriebenes Yieleck ist, so ist bekanntlich der Inhalt der Pyramide ein Maximum, wenn die Summe der Seitenflächen dreimal so gross als die Grundfläche ist. S t e i n e r ' s Werke. II.

4

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Aufgaben und Lehrsätze.

26. Wenn die Grundfläche einer Pyramide der Form uud Grösse nach, und wenn die Summe der an der Spitze liegenden Kanten gegeben ist, so ist ihr Inhalt dann ein Maximum, wenn jede durch die Spitze der Grundfläche parallel gezogene Gerade mit jenen Kanten solche Winkel a, ß, -y, . . . bildet, für welche stets die Gleichung cosa-Hcosß-(-cos7H 0 stattfindet. 27. „ W e n n die G r u n d f l ä c h e einer a b g e s t u m p f t e n d r e i s e i t i g e n P y r a m i d e der F o r m u n d Grösse n a c h , und wenn die S u m m e der v i e r ü b r i g e n F l ä c h e n gegeben i s t : u n t e r w e l c h e r B e d i n g u n g i s t d a n n i h r I n h a l t ein M a x i m u m ? " Dieselbe Aufgabe für andere Pyramiden, oder für den abgestumpften Kegel, dessen gegebene Grundfläche ein Kreis ist. 28. „ B e s t e h t die O b e r f l ä c h e eines K ö r p e r s a u s zwei T h e i l e n : a u s e i n e r der F o r m u n d Grösse n a c h g e g e b e n e n e b e n e n F i g u r A ( a l s G r u n d f l ä c h e a n g e s e h e n ) u n d aus e i n e r n u r der Grösse n a c h g e g e b e n e n F l ä c h e B, so soll m a n die F o r m der l e t z t e r e n f ü r den F a l l f i n d e n , wo der I n h a l t des K ö r p e r s ein M a x i m u m wird." Dieselbe Aufgabe für irgend einen besonderen Fall, z. B. wenn die gegebene Grundfläche A ein Dreieck, Viereck, etc. oder ein regelmässiges Vieleck, oder ein Kreissegment, oder eine Ellipse ist. (Ist A ein Kreis, so ist B ein Segment der Kugelfläche.) Oder dieselbe Aufgabe allgemeiner, wo A eine beliebige (nicht ebene) gegebene Fläche, und wo ihre Grenze, die sie mit B gemein hat, irgend ein (gegebenes) schiefes Vieleck, oder irgend eine Curve von doppelter Krümmung ist. 29. Wenn die Grundlinie eines Dreiecks, so wie ihre Lage gegen eine in derselben Ebene liegende Gerade A, nebst der Summe der Schenkel desselben gegeben ist, so sollen die Schenkel so bestimmt werden, dass sie, wenn man das Dreieck um jene Gerade A (als feste Axe) herumbewegt, zusammen die k l e i n s t e oder g r ö s s t e Fläche beschreiben. 30. Wenn der Radius einer Kugel un,d der Abstand ihres Mittelpunctes von einer festen Axe A gegeben sind, so wird, wenn man die Kugel um die feste Axe herumbewegt, jeder Durchmesser derselben irgend eine bestimmte Fläche beschreiben; dabei werden alle Durchmesser, welche mit der Axe in einer Ebene liegen, gleich grosse, und zwar unter allen die g r ö s s t e , derjenige Durchmesser dagegen, welcher auf jener Ebene senkrecht steht, wird unter allen die k l e i n s t e Fläche beschreiben. Es ist nun die Frage, welchem Gesetze von den übrigen Durchmessern diejenigen unterworfen sind, welche gleich grosse Flächen beschreiben (d. h, in was für einer Kegelfläche sie liegen).

Maximum und Minimum des Bogens einer beliebigen Curve im Yerhältniss zur zugehörigen Abscisse oder Ordinate, C r e l l e ' s Journal Band X V I I . S . 8 3 — 9 1 . (Auszug aus einer am 23. Januar 1837 in der Akademie der Wissenschaften zu Berlin gehaltenen Vorlesung.)

Hierzu Taf. III und IV Fig. 3 — 6.

4*

Maximum und Minimum des Bogens einer beliebigen Curve im Verhältniss zur zugehörigen Abscisse oder Ordinate. 1. Die nachstehenden Resultate gründen sich auf den folgenden F u n d a m e n t als atz. „Wenn die Ordinate y in irgend einem P u ñ e t e C einer beliebigen algebraischen oder t r a n s c e n d e n t e n Curve BGCH(Taf. III Fig. 3) auf der zugehörigen Tangente ECF nicht normal steht, sondern auf der concaven Seite der Curve einerseits einen stumpfen Winkel (¿réj gleich a, und andererseits einen spitzen Winkel (yt 2 ) gleich ß mit derselben bildet, so schneidet die im stumpfen Winkel zunächst folgende Ordinate yx von der Curve ein kleineres Element CG gleich bl ab als von der Tangente CE gleich i,, dagegen i s t bei der im spitzen Winkel zunächst folgenden Ordinate y2 das Curven-Element CH gleich b2 grösser als das der Tangente CF gleich i2, also ist und ¿ 2 > í 2 . " * ) Die Richtigkeit des einen Theiles dieses Satzes, nämlich dass der Bogen CH im spitzen Winkel ß grösser ist als die Tangente CF, oder ¿ 3 > í 2 , liegt klar vor Augen. Denn zieht man die Sehne CH, so ist sie, weil ct1 gleich a ein stumpfer Winkel ist, die grösste Seite im Dreieck CHF, also CH> CF, und da offenbar Bogen b2 > Sehne CH, so ist folglich um so mehr b2 > CF oder b2 > i2. *) Man vergleiche unter anderen die kleine Schrift von Crelle „ Ueber die. der Rechnung

mit veränderlichen

Grössen

auf Geometrie und Mechanik,

Anwendung

Berlin, bei Maurer

1816", wo ein Satz, der mit dem gegenwärtigen nahe übereinkommt, ausführlich erörtert und begründet wird.

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Maximum und Minimum von Curven-Bogen.

Was den anderen Theil des Satzes betrifft, so ist zunächst zu bemerken, dass, wenn die Curve in der Nähe des Puñetes C nach G hin keinen singulären Punct hat, dann die Tangente von C bis G ihre Richtung in gleichem Sinne und zwar stetig ändert, so dass der anfänglich stumpfe Winkel a, welchen die Tangente CE mit der Ordinate y bildet, stetig abnimmt; da aber diese Abnahme nur allmälig geschieht, so muss es nothwendig immer nahe bei C solche Puñete G geben, wo die zugehörige Tangente GL und Ordinate yl nach derselben Seite einen Winkel Y einschliessen, welcher kleiner als a und grösser (oder nicht kleiner) als ß ist; dann aber ist in dem Dreiecke GKE Winkel Ti > ßi, weil Yi gleich y und ß, gleich ß, daher weiter Seite EK> GK, und da zufolge des Archimedischen Grundsatzes CK+GK> b„ so ist folglich um so mehr CK+KE^b^ das ist was im Satze behauptet wird. 2. Der vorstehende Satz verliert unter anderen namentlich in folgenden drei Fällen seine Gültigkeit: 1) wenn y die Normale im Puñete C ist; 2) wenn C ein W e n d u n g s p u n c t , oder 3) ein R ü c k k e h r p u n c t der Curve ist, oder einem solchen Puñete unendlich nahe liegt. 3. Durch Hülfe des obigen Satzes (1) ist die folgende Aufgabe leicht zu lösen: „Die besondere E i g e n s c h a f t desjenigen Puñetes C einer beliebigen, auf irgend ein ( g e r a d l i n i g e s ) Coordinaten-System bezogenen Curve anzugeben, dessen Abscisse x im V e r h ä l t n i s s zu dem zugehörigen Bogen s, der von irgend einem gegebenen P u ñ e t e B der Curve bis zu jenem P u ñ e t e C genommen wird, ein Maximum oder Minimum ist." Es sei BCC, (Taf. IV Fig. 4) die vorgelegte Curve, B der in ihr gegebene Punct, von welchem der Bogen s anfangen und sich nach der Richtung C, C\, . . . erstrecken soll; ferner seien X, Y die CoordinatenAxen, A der Anfangspunct, und die Abscisse werde nach Umständen durch x oder z bezeichnet. Man denke sich in der Curve einen Punct C von der Beschaffenheit, dass, wenn man von der Tangente CD in demselben die Länge des entsprechenden Bogens BC abschneidet, und zwar nach der Seite dieses

Maximum und Minimum von Curven-Bogen.

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Bogeos hin, also etwa CD = BC= 8 macht, dann der Endpunct D der Tangente gerade in die Ordinaten-Axe Y fällt, so wird der Punct C im Allgemeinen der Aufgabe genügen. Denn unter diesen Umständen hat man, vermöge der Parallelität der Ordinaten y, y1, und ihrer Axe Y x: DC = xx: DE, oder x:s = : s—£j, und ist nun z. B. der Winkel (;/,), das ist yCD, spitz und yl nahe an y, wo dann £t b2 (1), x : s Vsd 0 : s > z 3 : s3;

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Maximum und Minimum von Curven-Bogen.

dass also in diesem Falle das Verhältniss der Abscisse zum zugehörigen Bogen, das ist z:s, ein Maximum (oder umgekehrt s:z ein Minimum) ist. Dass unter ganz ähnlichen Umständen die Ordinate y im Yerhältniss zum zugehörigen Bogen s ein Minimum oder Maximum wird, ist einleuchtend und zwar durch den vorstehenden Beweis zugleich dargethan, wofern man nämlich die Namen der Coordinaten-Axen X, Y vertauscht. 4. Aus der vorstehenden Betrachtimg (3) schliesst man zunächst folgende allgemeine Sätze: a. „ W i r d irgend eine Curve BCC1C2... auf beliebige Coordin a t e n - A x e n X, Y bezogen, und b e t r a c h t e t man einen v e r ä n d e r lichen B o g e n BC gleich s derselben, der von irgend einem festen P u ñ e t e B a n f ä n g t , so ist dieser Bogen im Y e r h ä l t n i s s zu der A b s c i s s e x ( o d e r O r d i n a t e y) seines beweglichen E n d p u n c t e s C unter a n d e r e n im Allgemeinen ein M a x i m u m oder Minimum, wenn die T a n g e n t e in dem l e t z t e r e n Puñete C, nach der S e i t e des Bogens hin und bis an die A x e Y (oder X) genommen, gerade dem z u g e h ö r i g e n Bogen gleich i s t ; und zwar findet ein Maximum oder Minimum s t a t t , j e nachdem der W i n k e l , welchen die Ordinate y ( o d e r A b s c i s s e x) in dem genannten Endpunete m i t der T a n g e n t e ( n a c h derselben Seite h i n ) bildet, beziehlic"h s p i t z oder stumpf ist." Oder mit anderen Worten und anschaulicher: b. „ W i r d die gegebene Curve von dem P u ñ e t e B an, von welchem der Bogen a n f ä n g t , abgewickelt, so e n t s p r i c h t j e d e m Puñete D, Dt, D 2 , . . . ( o d e r d, di, d2, . . . ) , in w e l c h e m die E v o l v e n t e BDDj die A x e Y ( o d e r X) schneidet, auf der gegebenen Curve ein s o l c h e r P u n c t C, C1? C2, . . . (oder c, c,, c„ . . . ) , dessen A b s c i s s e (oder O r d i n a t e ) im Y e r h ä l t n i s s zum zugehörigen Bogen ein M a x i m u m oder Minimum ist. Ist die gegebene Curve insbesondere endlich und geschlossen oder in sich z u r ü c k k e h r e n d , wo dann der Bogen g r ö s s e r als ihr Umfang öder als ein beliebiges Y i e l f a c h e d e s s e l b e n genommen werden kann, o d e r i s t sie s p i r a l f ö r m i g , so kann die E v o l v e n t e die A x e Y (oder X) une n d l i c h oft s c h n e i d e n , und alsdann giebt es in der g e g e b e n e n C u r v e auch u n z ä h l i g e P u ñ e t e C, C2, . . . ( o d e r c, c15 c 2 , . . . ) , denen die a n g e g e b e n e E i g e n s c h a f t z u k o m m t . " Es folgt ferner: c. „Wenn die E v o l v e n t e die A x e Y (oder X) in i r g e n d einem P u ñ e t e b e r ü h r t , so fallen in demselben zwei a u f e i n a n d e r folgende D u r c h s c h n i t t s p u n c t e , etwa D in D1, z u s a m m e n , und dann vereinigen s i c h auch die ihnen e n t s p r e c h e n d e n P u ñ e t e C, Cx auf der gegebenen Curve, wovon dem einen ein Minimum und dem a n d e r e n ein Maximum e n t s p r i c h t ; diese verschiedenen

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Maximum und Minimum von Curven-Bogen.

E i g e n s c h a f t e n heben aber einander auf, so dass dem v e r e i n i g t e n P u ñ e t e (CCJ keine von beiden zukommen k a n n , v i e l m e h r bes i t z t er die E i g e n s c h a f t , dass die zugehörige Ordinate y zugleich die Normale ist. Wenn dagegen die gegebene Curve JBCCj die Axe Y (oder X ) b e r ü h r t , so ist der B e r ü h r u n g s p u n c t zugleich einer der genannten P u ñ e t e C, Cx, ... (oder c, ciy ...), u n d zwar ein solcher, f ü r welchen x:s ein M i n i m u m w i r d , u n d im F a l l e die gegebene Curve endlich und g e s c h l o s s e n ist (b), f a l l e n u n e n d l i c h viele solche P u ñ e t e m i t j e n e m B e r ü h r u n g s p u n e t e zusammen." Sieht man die Curve BDD1... als gegeben an, so folgt durch Umkehrung: , d. „Wird eine beliebige Curve BDD¡... auf i r g e n d ein Coord i n a t e n - S y s t e m YX bezogen, so sind d i e j e n i g e n P u ñ e t e in i h r (D, Z>], D 2 , . . . oder d, . . . ) , deren z u g e h ö r i g e r K r ü m m u n g s h a l b m e s s e r (DC, D f i i i D 3 C 31 . . . ) im Y e r h ä l t n i s s zu der Abscisse x oder Ordinate y des K r ü m m u n g s m i t t e l p u n c t e s ([C, Clf C„ . . . oder c, c„ . . . ) ein Maximum oder Minimum sind, unm i t t e l b a r gegeben, nämlich sie sind die P u ñ e t e , in welchen die Curve beziehlich von der Ordinaten-Axe ( Y ) oder A b s c i s s e n Axe ( X ) g e s c h n i t t e n wird." 5. Aus den vorstehenden Sätzen (4) lassen sich nun weiter unter anderen nachstehende besondere Sätze folgern: Wird angenommen, die Coordinaten-Axen Y, X seien zu einander rechtwinklig, und irgend eine endliche, geschlossene, überall convexe Curve AQÍBCA (Taf. IV Fig. 5) sei in Bezug auf die Axe Y symmetrisch und werde von ihr in den Puncten A, B geschnitten, so dass also jede Sehne 6'G, 6 ' ^ , . . . , welche der Axe X parallel ist, von der Axe Y gehälftet wird, und dass die Tangenten in A, B der Axe X parallel sind, so wird, wenn man den Bogen s von A anfangen lässt, der Punct C in dem Falle, wo die Tangente CD dem Bogen A&C gleich ist, der erste sein, dessen Abscisse CE gleich x im Yerhältniss zum zugehörigen Bogen A(&C gleich s, ein Maximum wird (4). Dann ist aber auch zugleich vermöge der Symmetrie die Abscisse im Verhältniss zum Bogen ACQi ein Maximum, und folglich ist sofort die Sehne ÖS im Yerhältniss zur Summe beider Bogen A(EC'+AC(E =

«+Cß(5,

wo u den Umfang der Curve bezeichnet, ein Maximum. folgt, dass, wenn bei der Sehne Cjd, die Tangenten

Gleicherweise

C Í A + G I A = Bog. A & C A C ^ A C & A ^ = 2 u + C i A & 1 dann das Yerhältniss C ^ : s2 ein Maximum ist.

- s2,

Ebenso wird das Ver-

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Maximum und Minimum von Curven-Bogen.

hältniss C(i:s2„-i oder C 1 (5 1 :s 2 „ ein Maximum, wenn die Sehne C($ oder CJGJ so beschaffen ist, dass CZ>+6D

=

(2n—1)m -t- CM

,_. ¡Stt_1,

oder C ^ + g . Z ) , — 2 nu+C.A^

= s2n,

wo « irgend eine ganze positive Zahl (1, 2, 3, . . . ) bezeichnet. Aehnliche Resultate erhält man, wenn die Theile des Bogens s von B, statt von A, anfangen. Also: a. W e n n eine g e s c h l o s s e n e c o n v e x e Curve AQiBCA in B e z u g auf i r g e n d eine A x e Y s e n k r e c h t s y m m e t r i s c h i s t , so ist j e d e zur A x e senkrechte Sehne CS, C i m Y e r h ä l t n i s s zum z u g e h ö r i g e n B o g e n s ein M a x i m u m , w e n n d i e s e r B o g e n der S u m m e der T a n g e n t e n in seinen Endpuncten, von da bis zu i h r e m g e g e n s e i t i g e n D u r c h s c h n i t t e D, g e n o m m e n ( C D + ß Z ) , C^-Dj-t-S,!),), g l e i c h i s t ; und z w a r i s t d a b e i der B o g e n j e d e s m a l grösser als der U m f a n g u der C u r v e , n ä m l i c h er b e s t e h t aus dem e i n f a c h e n Bogenstück ( C B S , C ^ S , ) , w e l c h e s nach der Seite hin, wo die T a n g e n t e n sich t r e f f e n , über der Sehne l i e g t , und ausserdem aus ra-mal dem U m f a n g e u, wo n i r g e n d eine g a n z e p o s i t i v e Zahl (die mindestens gleich 1 i s t ) bezeichnet." Fügt man zu den obigen Annahmen noch die hinzu, dass die Axe X die Curve in A berühren soll, und denkt sich sofort den Punct C so beschaffen, dass Tangente Cd gleich Bogen A(J, so ist die Ordinate y gleich AE dieses Punctes im Yerhältniss zum Bogen AC ein Maximum (4), imd weil vermöge der Symmetrie

A(S = AC und

(Sb=Cd,

so ist zugleich auch AE:AQ ein Maximum und folglich auch AE:AC-hA(E oder AE: CA(S ein Maximum, d. h. „sodann ist die Höhe AE gleich y des Curven-Segments CA&C im Yerhältniss zum Bogen CAQi ein Maximum." Dasselbe trifft offenbar ein, wenn Tangente

Cd == Bogen AC£AC =

u+AC,

oder allgemein

Cd = nu-\-AC, wo dann zugleich Sb =

nu-t-AQ,

und mithin

Cd+Qb - 2nu-hCA® ist.

Fangen dagegen die Theile des Bogens von B

Tangente

Cd

gleich Bogen

B&AC und

an, und ist z. B.

Tangente 6b gleich Bogen

mithin der ganze Bogen gleich w - f - C 4 6 ,

BCAQ,

so ist ebenfalls das genannte

Maximum und Minimum von Curven-Bogen.

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Yerhältniss ein Maximum, so wie, wenn allgemein Ctf+ßb = ist.

b.

„Ist

eine

geschlossene

auf i r g e n d e i n e A x e e i n e zur A x e H ö h e AE Curve

c o n v e x e C u r v e ACBQIA

symmetrisch,

Y

s e n k r e c h t e Sehne CS

gleich y

Allgemeinen der

(2n—l>-t-C4" Dieser Satz gestattet zahlreiche Folgerungen. Ist der eigentümliche Punct p gefunden, so können sofort z. B. auch unter allen Puncten, welche in der rollenden Curve selbst liegen, diejenigen bestimmt werden, deren entsprechende Vierecke ein (relatives) Maximum oder Minimum sind; denn dieselben müssen offenbar in den Fusspuncten der aus p auf die Curve gefällten Normalen liegen. Die vorhergehenden Sätze sind theilweise besondere Fälle dieses Satzes; und ein sehr specieller Fall desselben führt zur Quadratur der verschiedenen Cykloiden. „Welche charakteristische Eigenschaft hat aber der merkw ü r d i g e P u n c t p in B e z i e h u n g auf die g e g e b e n e n Curven AB, 2133? wie wird er d u r c h diese b e s t i m m t ? " 10. „ I s t AB (Taf. V Fig. 2) ein b e l i e b i g e r Bogen irgend einer e b e n e n C u r v e , der j e d o c h k e i n e n s i n g u l ä r e n P u n c t e n t h ä l t , und b e w e g t sich die v e r ä n d e r l i c h e T a n g e n t e AC o d e r AD l ä n g s dess e l b e n u n t e r d e r B e d i n g u n g , d a s s sie s t e t s dem L e i t s t r a h l e AP gleich i s t , w e l c h e r den j e d e s m a l i g e n B e r ü h r u n g s p u n c t m i t irgend einem f e s t e n Pole P in der E b e n e der Curve v e r b i n d e t , so b e s c h r e i b t die T a n g e n t e ein g e m i s c h t l i n i g e s V i e r e c k ACC^BA oder ADDlBA, dessen I n h a l t F g r ö s s e r oder k l e i n e r i s t , j e nachdem d e r Pol P g e w ä h l t w i r d ; j e d o c h h a b e n j e d e s m a l die beiden V i e r e c k e ACC^B, ADD^B u n t e r s i c h g l e i c h e n I n h a l t . Es g i e b t a l l e m a l einen b e s t i m m t e n Pol p, w e l c h e m das k l e i n s t e V i e r e c k Acc^B gleich f e n t s p r i c h t . A u c h f i n d e t die G l e i c h u n g s t a t t F =

f + ^ a ,

wo r den A b s t a n d des Poles P von p u n d a d e n W i n k e l z w i s c h e n den N o r m a l e n in den E n d p u n c t e n A, B des g e g e b e n e n Bogens AB b e z e i c h n e t . " Der Satz findet auf gleiche Weise statt, wenn die Tangente (AC) zu dem entsprechenden Leitstrahle (AP) ein gegebenes oder constantes Verhältniss haben soll, und zwar bleibt der eigenthümliche Pol p der nämliche. Von dem vorstehenden Satze mögen folgende specielle Fälle hier erwähnt werden: a) Es sei die gegebene Curve eine Ellipse; ihre halben Axen seien ,

F, = f

1

+r\=

(a2-f-ß2+r2)u;

das heisst: „ d e r I n h a l t (/„) der d e m M i t t e l p u n c t e p d e r E l l i p s e e n t s p r e c h e n d e n C u r v e cct i s t g l e i c h der S u m m e d e r z w e i K r e i s f l ä c h e n , w e l c h e die A x e n d e r E l l i p s e zu D u r c h m e s s e r n h a b e n ; " und „ d e r I n h a l t F1 d e r einem b e l i e b i g e n P u ñ e t e P e n t s p r e c h e n den C u r v e (CQ) i s t so 'gross als d r e i K r e i s f l ä c h e n , w e l c h e bez i e h l i c h die h a l b e n A x e n der E l l i p s e und d e n A b s t a n d i h r e s M i t t e l p u n c t e s von j e n e m P u ñ e t e zu R a d i e n h a b e n . " Liegt der Pol P insbesondere in der Kreislinie, welche mit der Ellipse concentrisch ist und durch die Brennpuncte derselben geht, so ist F1 = 2, c, . . . , die sie m i t i r g e n d e i n e r durch S g e h e n d e n G e r a d e n X b i l d e n , und m i t den zugehörigen Coefficienten a. ß, y, . . . m u l t i p l i c i r t , die Summe aller dieser P r o d u c t e b e s t ä n d i g gleich 0 ist." Der Satz gilt auch, wenn statt der Sinus der Winkel a, b, c, . . . die Cosinus derselben genommen werden; was aus der Betrachtung zweier unter sich senkrechten Geraden X klar hervorgeht! Man hat also auch (12) aitjCOsa-l-ßSiCosb+YöjCOscH 0. Dieser Satz hat bekanntlich auch eine statische Bedeutung. Wenn in den Richtungen von «,, bn c„ . . . Kräfte auf den Punct S wirken, die den Producten a a n ß6,, *¡cl, . . . proportional sind, so herrscht Gleichgewicht. §7Zieht man ferner aus irgend einem Puñete P der durch S gehenden Geraden X Strahlen a, b, c, . . . nach den Puncten A, B, C\ ... (die oben durch a,b,c,... bezeichneten Perpendikel kommen hier nicht in Betracht), so hat man, wenn PS gleich s gesetzt wird, ' a* — a®+s 2 —2ajScosa, ¥ = c2 =

(13)

2ÓJSCOS6, c j + s — 2CJSC0SC, 2

woraus durch Multiplication mit den respectiven Coefficienten a, ß, y, . . . und nachherige Addition entsteht fa a l

2

+ ß &

2

+ V = aal-hßb'-hyc'-i h(«+ß+T+"-)s2 —2s(aa 1 cosaH-ß6 1 c o s b + ^ c o s c H ),

und mithin zufolge der Gleichung (12) (15) a « 2 + ß & 2 - f - T C 2 + . . . = a h ( a + ß + T + . . . ) s ' , oder in abkürzenden Zeichen geschrieben, (16) 2(l),

wo flíj, bif clf ... s die Strahlen sind, welche einen in Rücksicht des Vielecks 35 bestimmten eigenthümlichen Punct S mit den Ecken A, B, C, ... desselben und mit dem Puñete P verbinden.

Vom Kiümimmgs-Schwerpuncte ebenei Curven.

129

Bemerkt man, dass nach § 17, Gl. (32) (65)

Z04) = ¿ - H B + C 4 — - = 2ir,

so folgt aus Gl. (64)

(66)

W

=

und daher für den Inhalt w der von dem Puñete S beschriebenen Figur, für welchen s gleich 0 ist, (67)

w

=

woraus in Verbindung mit (66) endlich folgt: (68)

W =

w+Tts2.

Aus allen diesen Formeln zusammen ergeben sich folgende Sätze: a) „ R o l l t ein b e l i e b i g e s c o n v e x e s Vieleck 33 in e i n e r E b e n e auf e i n e r f e s t e n G e r a d e n G, bis es sich ganz u m g e d r e h t h a t , so g i e b t es e i n e n e i g e n t ü m l i c h e n P u n c t S, d e r u n t e r a l l e n m i t d e m V i e l e c k f e s t v e r b u n d e n e n P u n c t e n P die dem I n h a l t e n a c h k l e i n s t e F i g u r w b e s c h r e i b t . D i e s e r a u s g e z e i c h n e t e P u n c t S ist der S c h w e r p u n c t der E c k e n des g e g e b e n e n V i e l e c k s SS, wenn d e n s e l b e n die r e s p e c t i v e n N e b e n w i n k e l des V i e l e c k s als Coeffic i e n t e n z u g e o r d n e t werden." b) „ J e d e r a n d e r e P u n c t P b e s c h r e i b t e i n e F i g u r , d e r e n Inh a l t W g e r a d e um d i e j e n i g e K r e i s f l ä c h e , w e l c h e den A b s t a n d s des P u ñ e t e s P von S z u m R a d i u s h a t , g r ö s s e r ist als d e r I n h a l t j e n e r k l e i n s t e n F i g u r w f so dass also: c) „ A l l e P u ñ e t e P, w e l c h e in einer K r e i s l i n i e l i e g e n , die

d. h. „den nämlichen I n h a l t , wie die dem Puñete P entsprechende Cykloide W, h a t diejenige Curve SB, welche der Ort des Endpunetes 21 aller Tangenten A$H des Erzeugungskreises 33 ist, wenn auf jeder derselben der aus ihrem Berührungspuncte A nach dem festen Pole P gehende S t r a h l PA gleich a abgetragen wird." Die Curve tt) ist hier ein mit dem gegebenen Kreise 23 concentrischer Kreis, dessen Radius gleich r]¡2 wird, was leicht zu sehen ist. Auch der Inhalt der Ringe, die zwischen der Curve 2B und dem Kreise 23 liegen, lässt sich hier genau angeben, nämlich er ist (85)

SB1—23 = 2w 3 ;

SB—23 =

w—23 =

1

Im zweiten Falle 2B —23, findet kein eigentlicher Ring statt, sondern ein sichelförmiger Raum (Mond), dessen Spitzen jedoch im Puñete P an einander stossen. Anmerkung. Bei der verkürzten Cykloide entsteht, wenn z. B. der Punct P in dem durch den anfänglichen Berührungspunct A gehenden Durchmesser des Kreises 23 und oberhalb dieses letzteren und der Basis G liegt, wie in Fig. 8 auf Taf. VIII, eine Schleife QQ1, indem die Cykloide im Puñete Q sich selbst schneidet. Alsdann besteht ihr Inhalt, d. i. W, aus den zwei Räumen

APQPiAiA+QRQ1TQ, oder aus den drei Stücken

APRA+Al

TPtA1+RQ1 TR.

In allen analogen Fällen, die Curve 23 mag sein, welche man will, ist der Inhalt der Figur W auf gleiche Weise zu bestimmen. Zieht man die Gerade PP,, welche die Cykloide in den Puncten P und P, berührt, so entsteht der Arbelos PQPtP, dessen Inhalt mit dem der Schleife QRQt TQ immer einen leicht angeblichen Unterschied macht. Nämlich dieser Unterschied ist stets demjenigen zwischen dem Rechtecke

136

Vom Krúmmungs-Schwerpuncte ebener Curven.

APP1AÍA

und der Figur W gleich. Oder wird BP = x, also s = r-\-x gesetzt, so ist Arbelos (PQP¡ P) — Schleife ( QR Q, TQ) = APP^A—W = it(2rs—s2) = r^r'—x2), d. h. „der Unterschied zwischen dem I n h a l t des Arbelos PQP, und dem der Schleife ist auch gleich dem Unterschiede zwischen der Fläche des rollenden Kreises und der Fläche desj e n i g e n Kreises, dessen Radius x gleich s—r ist." Ist also x gleich r, d. h. s gleich 2r, so ist auch PQl\ = QRQt TQ, oder: der Arbelos hat gerade gleichen Inhalt mit der Schleife. ß.

W e n n die gegebene Curve 33 eine Ellipse ist.

Aus § 28, Gl. (78) und § 24, Gl. (55) folgt (86) W = u(a2+6a+s2); d. h. „rollt eine Ellipse in ihrer Ebene auf der festen Geraden G, bis sie sich ganz umgedreht hat, so beschreibt jeder mit ihr fest v e r b u n d e n e Punct P eine Figur W, deren I n h a l t gleich ist der Summe dreier Kreisflächen, welche beziehlich die halben Axen a und b der Ellipse und den Abstand s des Puñetes P von ihrem Mittelpuncte S zu Radien haben." Liegt insbesondere der beschreibende Punct P 1 in der mit der Ellipse concentrischen und durch ihre Brennpuncte gehenden Kreislinie, ist also s2 gleich a 2 —b'\ so ist W1 = 2TT«2; . (87) d.h. „ d e r I n h a l t der von dem Puñete P1 beschriebenen Figur W1 ist gerade doppelt so gross als die K r e i s f l ä c h e , welche die grosse A x e 2a der Ellipse 33 zum Durchmesser hat." Dem Mittelpuncte S der Ellipse entspricht (88) w = ^(a2+62) = 2 ^ 2 ; d.h. „die von dem M i t t e l p u n c t e S der Ellipse b e s c h r i e b e n e Figur hat einen I n h a l t w, der so gross ist als die Summe zweier K r e i s f l ä c h e n , welche die Axen der Ellipse SB zu Durchmessern haben; oder doppelt so gross als die K r e i s f l ä c h e , welche einen der gleichen conjugirten Durchmesser der Ellipse zum D u r c h messer h a t (§ 24, B). Die vorstehenden drei Formeln (86), (87) und (88) stellen zugleich auch die Inhalte der respective entsprechenden Curven SB, SB1, to dar, ebenso wie oben beim Kreise (a). Für die zwischen diesen Curven und

Vom Krüimiiungs-Schwerpunete ebener Curven.

137

der Ellipse 33 liegenden Räume oder Ringe hat man ab-hs2),

[25 — 33 = 1

(89)

B.

• SB —SS = to _ 3 3 =

an(2a — b), Tt^+i'—oi).

W e n n e i n e F i g u r iß a u f e i n e r a n d e r e n f e s t e n F i g u r U r o l l t .

§30. Wenn in einer Ebene ein beliebiges convexes Vieleck 33, z. B. ABCD (Tai. VIII Fig. 9) auf der Außenseite eines anderen festen convexen Vielecks 11 gleich ¡Dj 2133(55521, (welches auch bloss eine aus Geraden zusammengesetzte gebrochene Linie sein kann), mit welchem es nach der Reihe gleiche Seiten hat, so lange rollt (wobei je ein Paar gleiche Seiten auf einander zu liegen kommen), bis es wieder mit der nämlichen Seite (DA), wie anfangs, auf der Basis 11 aufliegt, z. B. bis es in die Lage von A1BlC1D1 (gleich ABCD) gelangt, so beschreibt jeder mit dem rollenden Vielecke 33 fest verbundene Puiict P irgend eine Figur

w = ri\ i\pjwmmp,

welche (wie oben in § 26) aus so vielen Dreiecken und aus so vielen Kreissectoren zusammengesetzt ist, als das rollende Vieleck 33 Ecken hat. Die Dreiecke sind beziehlich denen gleich, in welche das Vieleck 33 durch die aus seinen Ecken A, B, C, D nach dem Puñete P gezogenen Strahlen a, b, c, d zerlegt wird; also ist ihre Summe gleich dem Inhalte dieses Videcks 33. Die Kreissectoren haben beziehlich die nämlichen Strahlen a, b, c, d zu Radien, die Ecken 21, 33, 6, SD des Vielecks II zu Mittelpuneten, und zu Centriwinkeln die Summen der entsprechenden Nebenwinkel beider Vielecke 33 und U. Werden also, wie früher, die Nebenwinkel des Vielecks 33 durch A, B, C, . diejenigen des Vielecks U durch 21, 33, 6 , * . . . bezeichnet, so ist zufolge des Gesagten ^

1

=

SB+p|y(^+2l)].

Aus der Uebereinstimmung dieser Gleichung mit jener obigen in § 26, Gl. (63) erkennt man sogleich, dass auch für die gegenwärtige Betrachtung analoge Gesetze stattfinden, wie dort. Nämlich: wird der Schwerpunct der Ecken A, B, C, ... des Vielecks 33, wenn denselben die Coefficienten (vi+21), ( £ + 3 3 ) , ( C + 6 ) , . . . zugeordnet sind, durch und werden seine Abstände von den Ecken A, B, C, . . . des Vielecks 33 und von dem Puñete P beziehlich durch «,, ¿>n cn . . . und § bezeichnet, so lässt sich die vorstehende Gleichung (90) in folgende verwandeln (§ 7 und § 26): (91) W=

138

Vom Krúinmungs-Suñwerpuncte ebener Curven.

oder, da nach § 26, Gl. (65) 2(4) =

2«

ist, so hat man, wenn Í I + S + 6 + - -

=

q

gesetzt wird, (92)

W =

wobei q in der Figur 9 dem Winkel 90ÍÍQJI gleich ist, unter welchem die auf die erste und die letzte Seite (S^Sl und S S t J von II errichteten Perpendikel 3RSQ und 91Ö sich schneiden. Für die von dem Schwerpuncte a b s t e h e n , b e s c h r e i b e n F i g u r e n W von g l e i c h e m I n h a l t e " , und auch umgekehrt; „ u n d z w a r i s t für j e d e n P u n c t P der I n h a l t W g e r a d e um d e n j e n i g e n K r e i s s e c t o r , d e r den A b s t a n d § z w i s c h e n P und @ zum R a d i u s und die S u m m e ( 2 i t + q ) a l l e r j e n e r N e b e n w i n k e l zum C e n t r i w i n k e l h a t , g r ö s s e r a l s j e n e s g e n a n n t e M i n i m u m w. u §31. Vornehmlich zum Behufe späterer Betrachtungen mag über das Vorstehende noch Folgendes bemerkt werden: Es ist klar, dass der Schwerpunct i s t , so n i m m t die S u m m e um einen S e c t o r d i e s e s K r e i s e s zu, d e s s e n C e n t r i w i n k e l i m m e r g l e i c h 3-+-q i s t (120)." A n m e r k u n g 1. Die Tangente oder kann vom Berührungspunete aus nach zwei entgegengesetzten Richtungen genommen werden, wodurch zugleich zwei verschiedene Figuren T und 71,, oder % und entstehen, aber jedesmal haben beide unter sich gleichen Inhalt, so dass immer T gleich T,, oder % gleich St, (vergl. § 28). 2. Der letzte Satz (b, 3) findet ähnlicherweise statt, wenn ausser dem Bogen 2158® noch mehrere andere Bogen 31,33,, 2t2332, . . . unter denselben Bedingungen gegeben sind, denen dann ebenfalls Schwerpuncte S 2 , S3, . . . , so wie Winkel q,, q 2 , . . . und Figuren St2, . . . entsprechen. Nämlich ebenso wird alsdann die Summe T - H Í Í - I - ^ + Í Í J H ein Minimum gleich m, wenn der Pol P in den Schwerpunct