Gesammelte Werke: Band 2 [Reprint 2011 ed.] 9783111611716, 9783111236087

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JACOB

STEINER'S

GESAMMELTE WERKE.

JACOB STEINER S

GESAMMELTE WERKE. HERAUSGEGEBEN AUF VERANLASSUNG DER KÖNIGLICH PREUSSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.

ZWEITER BAND. MIT

23

FIGURENTAFELN.

HERAUSGEGEBEN VON

K. W E I E R S T R A S S .

BERLIN. DRUCK UND VERLAG VON G. REIMER. 1 8 8 2.

Vorrede.

Indem ich den zweiten (und letzten) Band der Werke Steiner1 s dem mathematischen Publikum übergebe, habe ich zunächst zu bemerken, dass die in mehreren, an mich gerichteten Zuschriften ausgesprochene und, wie ich höre, von Vielen getheilte Erwartung, es werde dieser Band eine Reihe interessanter/ noch nicht veröffentlichter Mittheilungen aus dem Steiner'sehen Nachlasse bringen, auf einer falschen Vorstellung von dem Inhalte dieses Nachlasses beruht. Nach der Auskunft, die der Besitzer desselben, Herr Professor Geiser in Zürich, mir zu geben die Güte hatte, besteht er hauptsächlich aus den Vorarbeiten und den verschiedenen Redactionsentwürfen zu einer Anzahl der bereits veröffentlichten Abhandlungen, und es würde das in demselben enthaltene Material, wenn es nutzbar gemacht werden sollte, einer durchgreifenden Bearbeitung in derselben Weise bedürfen, wie sie denjenigen Stücken, welche den von den Herren Schröter und Geiser herausgegebenen Vorlesungen Steiner's zum Grunde liegen, zutheil geworden ist. Eine Verwerthung des Nachlasses für die von mir im Auftrage der Akademie besorgte neue Ausgabe der Werke Steiners,, welche nur die von diesem selbst veröffentlichten oder im Wesentlichen druckfertig hinterlassenen Arbeiten enthalten

VI

Vorrede.

sollte, war also ausgeschlossen. (Vergl. die Vorrede zum ersten Bande von Jacobi s gesammelten Werken.) Nur einige Zusätze, die von Steiner mehreren Abhandlungen nach deren Herausgahe handschriftlich beigefügt und von Herrn Geiser mir mitgetheilt worden sind, konnten in die diesem Bande angehängten „Anmerkungen und Zusätze" aufgenommen werden. Ausserdem habe ich mir erlaubt, eine schon früher nach einer mündlichen Mittheilung Steiner's von mir veröffentlichte Notiz über die seitdem so bekannt gewordene „Steiner'sehe Fläche" wieder abdrucken zu lassen, sowie bei dieser Gelegenheit eine nicht uninteressante, auf eine andere Fläche vierten Grades sich beziehende und von Steiner mir vorgelegte Aufgabe mitzutheilen. Zwei der bedeutendsten Abhandlungen Steiner's, in denen er die Ergebnisse seiner langjährigen Untersuchungen „über Maximum und Minimum bei den Figuren in der Ebene, auf der Kugelfläche und im Raum überhaupt", niedergelegt hat, waren bisher nur in französischen Uebersetzungen bekannt. Steiner hatte nämlich diese Arbeiten der Pariser Akademie vorgelegt, und zwar in deutscher Sprache, auf Liouville's, des Berichterstatters, Wunsch aber in dessen Journal die erste Abhandlung in französischer Sprache erscheinen lassen, was zur Folge hatte, dass nicht nur diese, sondern auch die zweite Abhandlung später im Creltäsehen Journal in derselben Sprache veröffentlicht wurde. Glücklicherweise ist aber Steiner's Originalmanuscript erhalten geblieben und mir von Herrn Geiser mit dankenswerthestem Entgegenkommen zur Verfügung gestellt worden. Die Vergleichung desselben mit den genannten Uebersetzungen liess sofort erkennen, dass es vor diesen, in denen an nicht wenigen Stellen der Sinn verfehlt, oder der Ausdruck nicht klar und bestimmt genug ist, hie und da auch Fehler vorkommen, die das Original nicht hat,

Vorrede.

νπ

bedeutende Vorzüge besitze. Ich habe es deshalb für geboten erachtet, bei der neuen Ausgabe der in Rede stehenden Abhandlungen den ursprünglichen Stfemer'schen Text wieder herzustellen, um so mehr, als das gedachte Manuscript so sorgfältig ausgearbeitet ist, dass es mit Ausahme sehr weniger Stellen ganz unverändert abgedruckt werden konnte. Sämmtliche Abhandlungen dieses Bandes sind — in ähnlicher Weise, wie es bei denen des ersten Bandes geschehen ist — vor dem Abdrucke theils von Herrn Professor Kiepert (Bogen 1 - 2 0 ) , theils von Herrn Dr. Schur (Bogen 2 1 - 4 2 ) , und dann bei der Correctur noch einmal von dem ersteren sorgfältig revidirt worden. Indem ich beiden Herren für die Hülfe, die sie mir geleistet, meinen aufrichtigsten Dank ausspreche, habe ich noch hinzuzufügen, dass von Herrn Kiepert — ohne dessen eifrige Mitwirkung es mir überhaupt unmöglich gewesen wäre, mit der übernommenen Aufgabe in verhältnissmässig kurzer Zeit fertig zu werden — auch sämmtliche zu diesem Bande gehörigen Figuren neu gezeichnet worden sind. B e r l i n , 6. März 1882. Weiers trass.

Inhaltsverzeichniss des zweiten Bandes. Seite

1. Demonstration geometrique d'un theoreme relatif k l'attraction d'une couche ellipsoidique sur un point exterieur. Avec 1 figuie (Tabl I) .

1—

2.

Ein neuer Satz über die Primzahlen

7— 12

3.

Aufgaben und Lehrsätze.

4.

Einfache Construction der Tangente an die allgemeine Lemnisbate.

Hierzu Taf. I, Fig. 2

5

13— 18

Hierzu Tafll, Fig. 1

19— 23

5.

Aufgaben und Lehrsätze.

Hierzu Taf. Π, Fig. 2 und 3

25— 32

6.

Aufgaben und Lehrsätze.

Hierzu Taf. ΠΙ, Fig. 1 und 2

33— 40

7. 8.

Aufgaben und Lehrsätze 41— 50 Maximum und Minimum des Bogens einer beliebigen Curve im Verhält- . niss zur zugehörigen Abscisse oder Ordinate. Hierzu Taf. HI und IV, Fig. 3—6 51— 61

9.

Aufgaben und Lehrsätze.

Hierzu Taf. V, Fig. 1—5

10. Einfache Beweise der isoperimetrischen Hauptsätze.

63— 74 Hierzu Taf. VI,

Fig. 1—5 11.

Ueber den Punct der kleinsten Entfernung

12. Von dem Krümmungs-Schwerpuncte ebener Curven. und VIII, Fig. 1—11 13.

75-91 93— 95 Hierzu Taf. VII

Ueber einige allgemeine Eigenschaften der Curven von doppelter Krümmung

97-159 161—165

14. Ueber ein einfaches Princip zum Quadriren verschiedener Curven . .

167—170

15. Ueber parallele Flachen

171—176

16. Ueber Maximum und Minimum bei den· Figuren in der Eb^ne, auf der Kugelfläche und im Räume überhaupt. Erste Abhandlung. Hierzu Taf. IX—XI, Fig. 1—19

177—240

IX

Inhaltsverzeichnis^ des zweiten Bandes.

Seite

17.

Ueber Maximum und Minimum u. s. w. Taf. X I I — X I V , Fig. 1—17

Zweite Abhandlung.

18.

Ueber einige stereometrische Sätze

19.

Elementare Lösung einer Aufgabe über das Dreieck. Hierzu Taf. X V , Fig. 1—5

20.

Hierzu 241—308 309—320

ebene und

sphärische 321—326

Teoremi relativi alle coniche inscritte e circoscritte. Α ciö aggiunta la tav. X I V , Fig. 1—3

327-337

21.

Ueber eine Eigenschaft des Krümmungshalbmessers der Kegelschnitte

339—342

22.

Lehrsätze und Aufgaben

343—348

23.

Ueber eine Eigenschaft der Leitstrahlen der Kegelschnitte

.

. . .

349—354

24.

Geometrische Lehrsätze und Aufgaben

.

. . .

355—360

25.

Ueber Lehrsätze, von welchen die bekannten Sätze über parallele Curven besondere Fälle sind .

361—367

26.

Geometrische Lehrsätze

369—373

27.

Sätze über Curven zweiter und dritter Ordnung

28.

Uebei das dem Kreise umschriebene Viereck. Hierzu Taf. X V I I — X I X ,

. .

.

. . .

. .

. . .

. . .

375—380

Fig. 1—4

381—388

29. Elementare Lösung einer geometrischen Aufgabe, und über einige damit • in Verbindung stehende Eigenschaften der Kegelschnitte. Hierzu Taf. X X , Fig. 1—4

389—420

30.

Ueber das gTÖsste Product der Theile oder Summanden jeder Zahl

31.

Lehrsätze

32.

Combinatorische Aufgabe

33.

Aufgaben und Lehrsatze

439—443

34.

Ueber einige neue Bestimmungsarten der Curven zweiter Ordnung, nebst daraus folgenden neuen Eigenschaften derselben Curven. Hierzu Taf. X X I und Χ Χ Π , Fig. 1—3 _

445-468

Allgemeine Betrachtungen über einander doppelt berührende Kegelschnitte ·

469—483

36.

Aufgaben und Lehrsatze

485—492

37.

Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Curven

493—509

38

Uebei solche algebraische Curven, welche einen Mittelpunct haben, und über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Curven, sowie über geradlinige Transversalen der letzteren

511—596

39.

Aufgaben und Sätze, bezuglich auf die vorstehende Abhandlung . . .

597—601

40.

Eigenschaften der Curven vierten Grades rucksichtlich ihrer Doppeltangenten

603-612

41.

Aufgaben und Lehrsatze

613—620

42.

Uebei algebraische Curven und Flachen

621—637

35.

" S t e i n e r ' s Werke

.

421—424 425—434

II»

.

.

.

.

435—438

X

Inhaltsverzeichnis des zweiten Bandes. Seite

43.

Ueber eine besondere Curve dritter Classe (und vierten Grades) .

.

639—647

44. Ueber die Flächen dritten Grades

649—659

45. Vermischte Sätze und Aufgaben

661—684

Nachlass. 46.

Geometrische Betrachtungen und Lehrsätze

47.

Construction der durch neun gegebene Puncte gehenden Fläche zweiten Grades

717—720

Zwei specielle Flächen vierter Ordnung

721—724

48.

49. Anmerkungen und Zusätze.

.

.

.

Hierzu Taf. XXIII, Fig. 1—5

.

687—716

725—743

Demonstration geometrique (Tun theoreme relatif ä l'attraction. d'une couche ellipsoidique sur nn point exterieur. C r e l l e ' s Journal Band XII. S. 141—143.

Avec 1 figure (Table I).

S t e i n e r ' s Werke.

II

1

Demonstration geometrique d'un theoreme relatif ä l'attraction d'une conche ellipsoidique sur un point exterieur. Le numero du 12. Oct. 1833 du Journal „VInstitut" contient l'extrait d'un memoire sur l'attraction d'un ellipsoide homogene que Μ. Poisson a lu ä l'Academie des sciences de Paris. On y trouve l'enonce d'un theoreme remarquable par sa simplicite* et qui consiste en ce „qu'une couche infiniment mince et comprise entre deux ellipsoides concentriques, semblables et semblablement places exerce sur un point exterieur une attraction, dirigee suivant l'axe du cone circonscrit ä la couche et ayant pour sommet le point attire". C'est ce theoreme que nous allons demontrer par des considerations geometriques fort simples.

Lemme. „L'ellipse ABCD (Tab. I, fig. 1) etant touchee par les cotes PA, PB de l'angle APB, si l'on divise cet angle en deux parties egales par la droite PQ qui coupe en Q la corde de contact AB, polaire du point Ρ, je dis que PQ formera des angles egaux avec les droites PC, PD qui joignent le point Ρ aux deux extremites d'une corde quelconque passant par le point Q.u Demonstration. Si l'on mene PR perpendiculairement a PQ, on sait que PR, PA, PQ, PB seront quatre droites harmoniques. Par consequent les quatre points R, A, Q, Β de meme que les suivants P, G, Q, F sont harmoniques, et PR est la polaire du point Q; il suit de la que D, Q, C, Ε sont quatre points harmoniques et par consequent PD, PQ, PC, PE quatre droites harmoniques, et comme les droites conjuguees PE et PQ sont perpendiculaires entre elles, on en conclut qu'elles doivent

r

4

Sur l'attraction d'une couche ellipso'idique

partager en deux parties egales l'angle forme par les droites conjuguees PD, PC de sorte que DPQ = CPQ c. q. f. d. *). Theoreme. „L'attraction, exercee par une couche homogene infiniment mince et comprise entre deux ellipsoides concentriques, semblables et semblablement places sur un point exterieur P, est dirigee suivant l'axe du cone qui a son centre au point a t t i r e et qui enveloppe la couche attirante." Demonstration. Concevons sur la surface exterieure de la couche un element infiniment petit, et soit C un point de cet element. Le plan determine par ce point et par l'axe du cone circonscrit a la surface exterieure coupera cette surface en une ellipse ACBD qui sera touchee par les deux aretes PA, PB du cone comprises dans ce plan. H est evident en meme temps que la droite AB est l'intersection du plan en question et de celui qui contient la courbe de contact du cone et de la surface exterieure, et que Q est le point de rencontre de ce dernier plan et de l'axe du cone. Comme l'axe PQ divise en deux parties egales l'angle A P B forme par les deux aretes, comprises dans un meme plan avec lui, on conclura en vertu du lemme precedent que les angles CPQ, DPQ sont egaux. Si l'on con^oit maintenant une droite mobile autour du point Q et parcourant le contour de 1'element de surface precedemment nomme, cette droite determinera dans la couche ellipso'idique deux elements de volume situes de part et d'autre du point Q et dont nous allons considerer l'attraction d'abord sur le point interieur Q et ensuite sur le point exterieur P. Quant a l'attraction exercee par ces elements sur le point Q, on sait qu'elles sont egales et opposees, et c'est sur la destruction mutuelle des attractions exercees par deux elements ainsi opposes qu'est fonde l'equilibre d'un point quelconque dans l'interieur de la couche ellipsoidique, comme Mac-Laurin l'a fait voir par la simple geometrie, et comme Lagrange l'a confirme depuis par l'analyse. En supposant ce resultat, on en conclut que les deux elements de volume que nous designons pour un instant par (C) et (D) verifient la proportion (Q: (D) = (QC)*: (QD)\ *) On trouye les demonstrations des proprietes sur lesquelles nous nous appuyons ici dans les ouvrages suivants: La Perspective

le traits des proprtäis

projectives

de Lambert',

par M. Poncelet;

les Mimoires

de Μ.

Brianchon·,

ou mes deux ouvrages intitules:

»Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander" (Cf. Bd. I. S. 229 dieser Ausgabe) et „Die geometrischen Constructionen, ausgeführt mittelst der geraden Linie und Eines festen Kreises" (Cf. Bd. I. S. 461 dieser Ausgabe).

Sur 1'atti action d'une touche ellipsoidique.

5

II suit d'un autre cöte de l'egalite des angles CPQ et DPQ, precedemment etablie, qu'on a

QC: QD = PC: PD et par consequent, en comparant: ( 0 ) : φ ) = (PC) 2 :(PZ>) 2 , proportion qui prouve que les deux elements attirent egalement le point Py et partant que la resultante de ces deux actions est dirigee suivant l'axe PQ. Ce resultat etant applicable a tous les elements de la couche qui se correspondent deux ä deux, le theoreme enonce se trouve rigoureusement etabli. La demonstration precedente fournit en outre le corollaire suivant: „Un plan quelconque passant par le point Q partage la couche ellipsoidique en deux p a r t i e s qui exercent des attractions egales sur le point P.u On peut egalement tirer des considerations precedentes plusieurs verites geometriques, dont je me contenterai d'enoncer une seule: „Si par l ' e l l i p s e , intersection de Tellipsoide et d ' u n plan quelconque p a s s a n t par le point Q, l'on con^oit un cone ayant son sommet au point Ρ, l'axe de ce cone coi'ncidera avec la droite PQ.« Berlin, au mois de Janvier 1834.

Ein neuer Satz über die Primzahlen. C r e l l e ' s Journal Band XIII. S. 356—360.

Ein neuer Satz über die Primzahlen. 1. Der Satz, welcher hier bewiesen werden soll, lautet, wie folgt: „Hat man irgend eine Primzahl ρ und ρ — 1 beliebige andere Z a h l e n , welche durch ρ nicht t h e i l b a r sind, sondern nach irgend einer Ordnung die verschiedenen Reste 1, 2, 3 , . . . p — 1 geben, oder auch, was im Grunde auf dasselbe hinauskommt, nach irgend einer Ordnung genommen, diese ReSte selbst sind, combinirt man von diesen Zahlen irgend eine Anzahl η zur (p—w)teI1 Classe mit Wiederholung aber ohne Versetzung und m u l t i p l i c i r t die Zahlen jeder Complexion in einander, so ist die Summe aller dieser Producte immer durch ρ t h e i l b a r , die Zahl η mag sein, von 2 bis ρ — 1 inclusive, welche man will." Beweis. Wird jeder Theil der identischen Gleichung χ — (x—ajH-aj mit χ multiplicirt, nämlich der Theil links mit x, das erste Glied rechts mit ( χ — α 3 ) + α 2 und das zweite mit (x—aj+c^, so erhält man nach gehöriger Ordnung x2 = (x——aJ-K«! + « 2 ) (x—ajH-«!· Werden die Glieder der letzten Gleichung ähnlicher Weise beziehlich· mit x = (x-a3)-\-a3 — (x-a2)-ha2 — (x-djmultiplicirt, so kommt m3 = ( χ — — a 3 ) - h ( a 1 - h a 2 - i - a 3 ) ( x — a j ( x — a 2 ) 4-«4-α1 a2+a\) (x—«O+aJ. Gleicherweise gelangt man zu der Gleichung χ·i = (as—a1)(x—a2)(x—— 4- C^ + ^+^+aJ (x—aj (x—a2) (x—a3) -h + at^-h^^-hal-ha^-i-al) (x—aj (x—a2) -h (α\+α\α,-ha, a22-{-a32) (x— aj+a*, und durch Wiederholung desselben Verfahrens zu der allgemeinen Gleichung χρ-1 - (χ—«J (χ—α2) . . . (χ—αρ-ι) 4 - («j-l·^Η ι) ö j (x—a 2 ) . . . (χ—αρ_2) Ηα24 haxa^-\-a\-^-a2a3-\ —»J (x—α3) · · · Ο®—ap-s) 44 - (αΡ~ 2 4-α?Γ 3 4~α?Γ* α Ι4 h α 1 ) 4 - α ? _ ϊ ,

10

Ein neuer Satz über die Primzahlen.

oder in einfachen Zeichen (1) op-i = XI^1-hA1Xp-2-hA2XP-3-hA3Xp-i-l

hA-s^+Vi·

Das Gesetz, "wonach die Glieder dieser Gleichung gebildet werden, fallt in die Augen. Nämlich der Coefficient A1 des zweiten Gliedes rechts ist die Summe der Zahlen a 1} a2, a 3 , . . . ap—i; der Coefficient A 2 des dritten Gliedes ist die Summe der Producte, die entstehen, wenn man die ρ — 2 Zahlen a2, α2, α 3 , . . . mit Wiederholung aber ohne Versetzung zu zweien combinirt und in eihander multiplicirt; u. s. w. Wird nun angenommen, ρ sei irgend eine Primzahl, und die Zahlen a\i a%i a 3 i • • · ap—i seien nicht durch ρ theilbar und lassen, durch ρ dividirt, verschiedene Reste, also, nach irgend einer Ordnung genommen, die Reste 1, 2, 3 . p — 1 ; und wird ferner auch die willkürliche Zahl χ als nicht durch ρ theilbar vorausgesetzt, so ist, wenn man das letzte Glied rechts auf die linke Seite bringt, die Differenz xP-^—a^-1 vermöge des -Fm/iai'schen Satzes durch ρ theilbar. Giebt man nun dem χ für einen Augenblick einen solchen Werth, dass χ—α2 durch ρ theilbar wird, so sind alle Glieder rechts, welche χ—α2 zum Factor haben, durch ρ theilbar; daher muss auch das nunmehrige letzte Glied Ap-sX,

=

(αΡ-2Η-αΓ3α2+«ΓΧΗ

h a f 2 ) («—'»,)

durch ρ theilbar sein; und zwar muss es nothwendig der erste Factor dieses Gliedes sein, da vermöge der Voraussetzung der andere, χ—α,, es nicht sein kann. Bringt man nun ferner auch dieses letzte Glied Ap—^X^ auf die linke Seite der Gleichung, so ist der erste Theil derselben durch ρ theilbar; und'giebt man sodann dem χ einen solchen besondern Werth, dass der Factor χ—a 3 durch ρ theilbar wird, so folgt ähnlicherweise wie vorhin, dass nun auch das gegenwärtige letzte Glied rechts, Ap—3X2 durch ρ theilbar sein muss, und zwar, da von den zwei Factoren χ—α15 χ—α2 jetzt keiner durch ρ theilbar sein kann, dass sein Coefficient, nämlich Ap—3 =

aP-3 -h α?-*· α 2 +α?- 4 α3 4- α?-5 α\ Η

h^^+oT

3

,

durch ρ theilbar ist. Gleicherweise folgert man, dass jeder der übrigen Coefficienten Ap—i, Ap—5, .,. A2, Ai durch ρ theilbar ist, wodurch die Richtigkeit des oben stehenden Satzes dargethan wird. Um den Satz durch ein Beispiel anschaulich zu machen, sei also

p = 7, η = 3 und ax — 5, a2 = 4, a3 = 3,

p—n = 7—3 = 4, so sind die Zahlen 5, 4, 3 zur 4ten Classe mit Wiederholung aber ohne Versetzung zu combiniren, sodann in einander zu multipliciren und die

11

Ein neuer Satz über die Primzahlen.

Producte zu addiren. Dies giebt 54+53.4+53.3+52.42+52.4.3+52.32+5.43+5.43.3+5.4.32+5.33+44 +43.3+42.33+4.33+34 = 625+500+375+400+300+225+320+240+180+135+256 + 1 9 2 + 1 4 4 + 1 0 8 + 8 1 = 4081 = 583.7, ein Resultat, welches, wie man sieht, dem obigen Satze genügt. 2. Aus dem ersten Gliede rechts in der Gleichung (1), nämlich aus dem Gliede Xp-i

=

( x — « j ) ([χ—a2) ( x — a 3 ) . . . ( x — « p - i ) ,

lassen sich, mit Rücksicht auf den vorstehenden Beweis, leicht zwei andere bekannte Sätze ableiten. Wird nämlich dieses Glied entwickelt, so hat man Xp-i

=

a?-1—(aj+a2+a3H +(«!

h«p-0 α

a

ι 3Η

a

f~ p—2

^ —· · ·+α,

a3...

αρ—χ,

oder = «^i—^ wo, wie man sieht, die Coefficienten Si 3 ,... 2ϊρ-ι die einfachen Combinationen ohne Wiederholung und ohne Versetzung der Zahlen α,, α2, ... «ρ—! zur ersten, zweiten, dritten, . . . (p—l) ten Classe vorstellen. Hierdurch lässt sich die Gleichung (1), wie folgt, umändern: f ^ — Sl, h Stp-2^) 1— = Stp-l+^l. Wird nun angenommen, # sei durch ρ theilbar, oder, was dasselbe bewirkt, es sei χ gleich 0, so ist der erste Theil der gegenwärtigen Gleichung durch ρ theilbar, (weil jedes Glied in der ersten Klammer den Factors enthält, und die Coefficienten der Glieder in der zweiten Klammer zufolge des obigen Beweises einzeln durch ρ theilbar sind); daher muss auch der zweite Theil derselben, d. i. 2tp_i oder aj ^ ^ . . . Ο ρ - ι + α Ρ - 1 , durch ρ theilbar sein; und da nach dem i^rwai'schen Satze das eine Glied α? -1 , durch ρ dividirt, den Rest + 1 giebt, so muss das andere durch ρ dividirt, den Rest ρ—1 oder —1 geben, oder, in der einfachsten Form, es muss 1.2.3.4...0—1)+1 durch ρ theilbar sein, d. h. „wird dem Product aus allen Zahlen 1, 2, 3, . . . (p—1), welche kleiner als eine gegebene Primzahl ρ sind, 1 zugezählt, so ist die Summe allemal durch ρ t h e i l b a r " ; welches der bekannte Wilson*sehe, Satz ist. Werden ferner alle Glieder, welche in der Gleichung (2) auf der linken Seite in der zweiten Klammer stehen, nämlich die Glieder Ai X p — 2 + A 2 X p — 3 + A 3 Xp—i Η

(- Ap—2 -X,

12

Ein neuer Satz über die Primzahlen.

nach Potenzen von χ entwickelt, so erhält man ein Aggregat von der Form A ^ + C A A + A ^ ' + C A ^ + A C i + A ) ^

- 4

H-

-h(A

Cp-i-MjDp-sH

h

s,

wo die Grössen Blt B2, . . . Bp—2; C2, · . ·; -D2, · · · u. s. w. kein χ enthalten, sondern, vom Zeichen abgesehen, nur bestimmte Combinationen der Zahlen a„ a2, ... o^—3; alt ec2, ... «p—3; Werden diese Werthe in die Gleichung (2) f äp- 2 — St, -+- St3 ^ hSip-2^ l— hA-2^) = ^-ι+Λ-ι· substituirt, und wird bemerkt, dass diese Gleichung für jeden Werth, welchen man dem χ beilegen mag, stattfinden muss, so folgt, dass die Coefficienten gleich hoher Potenzen von χ einander gleich sein müssen, dass also, absolut genommen, a, = A ; - a , = A A + A ; \ = A ^ + A C i + A ; · · · sein muss. Da nun vermöge des obigen Beweises von den Grössen A1, A2, A3, . . . Ap—2 jede, einzeln genommen, durch ρ theilbar ist, so folgt aus den letzten Gleichungen, dass auch jede der Grössena » a , , st3, · ... durch ρ theilbar sein muss. Das heisst: „Hat man eine P r i m z a h l ρ und ρ — 1 beliebige a n d e r e Zahlen a1, α 2 , a 3 , . . . a p _ 1, welche n i c h t d u r c h ρ t h e i l b a r sind u n d auch n i c h t gleiche Reste geben, oder welche, in e i n f a c h s t e r F o r m , die Zahlen 1, 2, 3, 4, . . . ρ—1 selbst sind, so i s t sowohl die S u m m e dieser Z a h l e n St15 als die S u m m e i h r e r P r o d u c t e , w e n n sie zu 2, oder 3, oder 4, . . . oder ρ—2 ohne W i e d e r h o l u n g und ohne V e r s e t z u n g combinirt w e r d e n , d. i. St2, 5ta, Sl4, . . . St^—2 durch ρ theilbar." Diesen Satz hat bekanntlich Lagrange zuerst bewiesen. Ich will noch bemerken, dass die Grösse St3, d . i . die Summe der Producte zu dreien, nicht nur durch p , sondern auch allemal durch ρ 2 theilbar ist, was leicht zu beweisen ist. Ferner lässt sich beweisen, dass die Summe der Producte aus den Zahlen av α2, a 3 , . . . ctp_ 1 zu 2, oder 3, oder 4, . . . , mit Wiederholung aber ohne Versetzung combinirt, stets durch ρ theilbar ist; und dass dasselbe stattfindet, wenn man die zweitön, oder dritten, oder vierten, . . . Potenzen derselben Zahlen auf gleiche Weise, oder nach einer der oben angegebenen Arten combinirt. Berlin, im December 1834.

ufgaben

und

Lehrsätze.

C r e l l e ' s Journal Band ΧΙΠ. S. 361—364.

Hierzu Taf. I Fig. 2.

Aufgaben und Lehrsätze, 1. Die Summe aller Brüche von der Form 1 (2-h*) -H/—1 ' 2

wo sowohl für χ als für y jede ganze positive Zahl von Ο an gesetzt werden muss, ist gleich 1, jedoch mit der Bedingung, dass jeder Bruch, welcher mehrmals durch diese Form erhalten wird, wie ζ. Β. welcher dreimal sich unter dieser Form darstellen lässt, nämlich als 1 2 —1 ' 6

1 4 —1 ' 3

1 8 —1' 2

nur einmal gerechnet wird, was auch durch die Einschränkung erreicht werden kann, dass 2-\-x keine höhere Potenz (d. i. zweite, dritte, vierte u. s. w.) von irgend einer Zahl sein darf, woraus hervorgeht, dass χ nicht 6, 7, 14, 2B, 25, 30,, 84, 47, 62, 79 u. s. w. sein darf. In Zeichen heisst dies also: 1

= Σ

(2+4^-1

:

i + ^ + ^ + ^ + ^ + ^ + ^ + ^ + A + Ä in iflfin.

2. Die Summe aller negativen Potenzen, von der zweiten an, aller ganzen positiven Zahlen, von 2 an, ist gleich 1, oder in Zeichen: 1 — 2 ( 2 - | _ a ; ) - 2 4 - 2 ( 2 4 - ^ ) - 3 + 2 ( 2 + « ) - 4 4 - 2 ( 2 + ^ ) - 5 4 - · · in infin., wo unter jedes Summenzeichen für χ alle ganzen positiven Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, . . . zu setzen sind. Hieraus folgt insbesondere der bekannte Satz: „Dass die negativen zweiten Potenzen aller ganzen positiven Zahlen eine convergirende Reihe bilden."

Aufgaben und Lehrsätze.

16

Ferner folgt daraus, dass, da man bekanntlich die Werthe der einzelnen Summen 2(2-h*)- 2 ,

Σ(2+λ)-4,

Σ(24-Λ;) -6 ,

. . .

Σ(2-^)-2*

angeben kann, man auch, wenn gleich nicht die Werthe der einzelnen Summen 2(2-h#) - 3 , Σ(2+λ:)- 5 , . . . 2(2 so doch den Werth der Summe dieser Summen darstellen kann, indem zufolge des vorstehenden Satzes Σ (2 Η-#)—3 Η- Σ ( 2 + χ ) ~ 5 Η- Σ (2 Η- λ;)-7 Η — = 1—[Σ (2-f-λ;) -2 Η-Σ ( 2

·

· ·].

3. Durch Verbindung der beiden vorstehenden Sätze 1 und 2 gelangt man zu dem folgenden Satze: -Die Summe aller Brüche von der Form

ist gleich der Summe aller Brüche (oder negativen Potenzen) von der Form (2 -hz)-(2+?), wo für y jede ganze positive Zahl, von Ο an, gesetzt werden muss, für χ aber nur diejenigen ganzen positiven Zahlen, für welche die Summe 2-hx keine (höhere) Potenz von irgend einer Zahl wird (wie oben Lehrsatz 1), für ζ dagegen alle diejenigen ganzen positiven Zahlen, welche für χ ausgeschlossen sind, so dass also die Summe 2 -Hz allemal irgend eine höhere Potenz sein muss. Unter diesen Bedingungen ist also (2-x-xf+y—1

—

oder ι

i

n

infin. in

= infin·" Die vorstehenden drei Sätze lassen sich durch eine ganz elementare Betrachtung beweisen. 4. Bezeichnet man die Geraden, welche drei feste Puncte A, B, C mit irgend einem vierten Puncte Ρ in ihrer Ebene verbinden, durch a, b, c, und die Winkel, die sie mit einander bilden, durch (ab), (bc), (m), so müssen, wenn der Punct Ρ die Eigenschaft haben soll, dass die Summe der Potenzen der Geraden a, b, c ein Minimum, also ax-\-bx-\-cx — minim.

Aufgaben und Lebi sitze.

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sei, iui Allgemeinen die folgenden zwei Bedingungen stattfinden: (et)

a T _ 1 sin(ca) =

J-T_1sin(6c)

a a; - 1 sin(a&) =