Geometria Dual Involutiva En Espacios Multdimensionales

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GEOMETRÍA DUAL INVOLUTIVA EN ESPACIOS MULTIDIMENSIONALES

Pablo Rubio Pérez

Cubierta Miguel Ángel Rodríguez Roselló Diseño de Portada con aplicación de un programa de su creación para la generación de mandalas Composición y Edición María Rubio Arévalo

ÍNDICE

Pág INTRODUCCIÓN

1

CAPÍTULO I: GEOMETRÍA DUAL INVOLUTIVA MULTIDIMENSIONAL I.1.- ELEMENTOS Y CONSTRUCCIONES BÁSICAS I.2.- LA TRANSFORMACIÓN POLAR GENERALIZADA I.3.- DEFINICIÓN DEL HAZ CP , P ′

8 11 15

I.4.- SINGULARIDADES EN CP , P ′

17

I.5.- PROPIEDADES POLARES EN CP , P ′

23

I.6.- CASOS DEGENERADOS EN CP , P ′ I.7.- EL ESPACIO UNIDIMENSIONAL I.8.- PROPIEDADES DE LA RAZÓN DOBLE EN CP , P ′ I.9.- APLICACIONES DE LA RAZÓN DOBLE

29 31 35 38

CAPÍTULO II: GEOMETRÍA DUAL INVOLUTIVA DEL TRIÁNGULO II.1.- DEFINICIONES Y ELEMENTOS FUNDAMENTALES II.2.- EL HAZ DE CÓNICAS CP , P ′

42 44

II.3.- EL TRIÁNGULO AUTOCONJUGADO EN CP , P ′

46

II.4.- LA TRANSFORMACIÓN CUADRÁTICA INVOLUTIVA TP , P ′ II.5.- SINGULARIDADES EN CASOS DEGENERADOS II.6.- PROPIEDADES HOMOGRÁFICAS Y REFERENCIAS EXTENSIONALES

48 51 53

CAPÍTULO III: TRIPLE GEOMETRÍA DUAL INVOLUTIVA DEL TRIÁNGULO III.1.- CONSIDERACIONES GENERALES III.2.- BASES DE LA GEOMETRÍA TRIPLE INVOLUTIVA III.3.- TERNA DE PARES DE PUNTOS BÁSICOS SIMÉTRICAMENTE ASOCIADOS III.4.- CASOS DUALES DEGENERADOS DE C P , P′

55 56 59 67

III.5.- EL CASO k = 1 III.6.- APLICACIÓN A LA GEOMETRÍA CLÁSICA DEL TRIÁNGULO

70 74

CAPÍTULO IV: GEOMETRÍA DUAL INVOLUTIVA MULTIDIMENSIONAL EN ESPACIOS ORTONORMALES IV.1.- EL ESQUEMA MULTIDIMENSIONAL ORTOCÉNTRICO IV.2.- GENERALIDADES SOBRE EL SISTEMA BASE DE COORDENADAS IV.3.- DEFINICIÓN DEL SISTEMA BASE ORTONORMAL IV.4.- PROPIEDADES MÉTRICAS EN EL SISTEMA ORTONORMAL

90 91 93 95

IV.5.- LA PROPIEDAD AUTOPOLAR IV.6.- SINGULARIDAD CON ARISTAS ORTOGONALES IV.7.- LA INVOLUCIÓN UNIDIMENSIONAL IV.8.- LOS HACES DE HIPERESFERAS ΓP , P ′ Y C P , P′

98 101 103 105

IV.9.- ELEMENTOS SINGULARES EN ΓP , P ′ Y C P , P′ 112 IV.10.- CONSTRUCCIONES ASOCIADAS AL PUNTO DE BRIANCHON 114 IV.11.- CONSTRUCCIONES PARTICULARIZADAS EN EL CASO ORTOCÉNTRICO 119

CAPÍTULO V: GEOMETRÍA CORRELATIVA DUAL V.I.- GEOMETRÍA CORRELATIVA DUAL PLANA V.I.1.- DEFINICIONES Y ELEMENTOS BÁSICOS V.I.2.- EL HAZ TANGENCIAL Γr ,r ′

125 126

V.I.3.- EL TRIÁNGULO AUTOCONJUGADO DEL HAZ Γr ,r ′ V.I.4.- CASOS ESPECIALES V.I.5.- TRIPLE GEOMETRÍA CORRELATIVA DUAL DEL TRIÁNGULO V.I.6.- EL HAZ TANGENCIAL CORRELATIVO DE CGH

131 133 136 139

V.II.- GEOMETRÍA CORRELATIVA DUAL MULTIDIMENSIONAL V.II.1.- GENERALIDADES Y DEFINICIONES BÁSICAS V.II.2.- EL HAZ TANGENCIAL GENERALIZADO Γr ,r ′

142 143

V.II.3.- SINGULARIDADES Y CASOS DEGENERADOS EN Γr ,r ′

144

V.II.4.- LAS RELACIONES Γφ ⇔ Cϕ Y Γφ ⇔ Cϕ ′ V.II.5.- EL HAZ TANGENCIAL DEL N-SIMPLEX ORTOCÉNTRICO V.II.6.- APLICACIONES AL TETRAEDRO ORTOCÉNTRICO

147 151 154

APÉNDICE: CUÁDRICAS ASOCIADAS A UN TETRAEDRO A.0.- INTRODUCCIÓN

159

A.I .- LA CUÁDRICA DE LAS ALTURAS DE UN TETRAEDRO A.I.1.- LA CUÁDRICA DE STEINER A.I.2.- EL PUNTO DE MONGE A.I.3.- CASOS DEGENERADOS

160 165 168

A.II .- CUÁDRICAS ASOCIADAS A UN TETRAEDRO Y A UNA CUÁDRICA CIRCUNSCRITA/INSCRITA A.II.1.- CUÁDRICA DE LOS EJES POLARES A.II.2.- CUÁDRICA DE LOS EJES DE BRIANCHON A.II.3.- CUÁDRICAS CORRELATIVAS DUALES

170 171 173

REFERENCIAS

175

INTRODUCCIÓN

En la Ref.[1] se presentó la noción de la geometría dual involutiva, referida a dos puntos básicos y un triángulo de referencia, en el espacio bidimensional. El concepto de esta geometría estaba basado en la idea de hacer que dos puntos cualesquiera del plano, P y P′ , con determinadas restricciones, representen un papel similar al del centroide y el ortocentro en relación con propiedades clásicas del triángulo muy conocidas, como son la recta de Euler y el círculo de los nueve puntos de Euler/Feuerbach. El comportamiento proyectivo simétrico de uno y otro punto se puso de manifiesto a partir de la denominada operación de duplicación, esto es, la consideración simultánea de dos construcciones paralelas basadas en la sustitución mutua recíproca de los puntos P y P′ , y, en particular, en su caso, en la identificación de ambas construcciones resultantes finales, que llamamos autoduplicadas. La contribución principal obtenida fue la construcción de un haz especial de cónicas asociadas con el triángulo de referencia y el par ( P, P ′) . Mediante el análisis del haz, se generalizaron algunas construcciones usuales de la geometría métrica ordinaria tradicional y se obtuvieron diversos resultados adicionales. El presente texto es la extensión de aquel mismo enfoque en espacios proyectivos N-dimensionales, para cualquier dimensión N ≥ 2 . El mismo concepto se aplica, inclusive, en el espacio unidimensional, siendo así consistente con propiedades homográficas elementales y, en particular, de la involución, relativas a una serie rectilínea de puntos, lo que ha constituído realmente el germen del desarrollo bastante más generalizado que aquí se formula. A partir de las ideas fundamentales citadas y su, en cierta medida, obvia simplicidad de partida, el libro se estructura en cinco Capítulos, con adición de un Apéndice relacionado, que no corresponde ya, sin embargo, al contexto de la geometría dual, que es el objeto principal de este texto. En base a la publicación antecedente citada, el autor se ha planteado algunas dudas sobre la ordenación más adecuada de estos Capítulos: si empezar con una recopilación simplificada de [1], que pudiera considerarse como la metodología de introducción al estudio multidimensional más didáctica, o bien, dada la disponibilidad editorial de dicha publicación, su limitación, en principio, a la referencia que hacemos aquí, para abordar ya en el Capítulo I, sin otra demora, la generalización multidimensional. El criterio finalmente adoptado ha sido el segundo, reservando el tratamiento bidimensional para el Capítulo II, como aplicación particularizada del estudio más general llevado a cabo directamente en el Capítulo I. La elección ha estado motivada en la extensión novedosa que se hace aquí, a continuación, en el siguiente Capítulo III, de los resultados presentados en [1] y de los que se hace una síntesis en el Capítulo II, extensión que supone ahora la noción y el desarrollo de una triple simetría específica de la geometría dual anterior en el plano, que no es ya transferible a espacios de dimensión N ≠ 2 . En el siguiente Capítulo IV retomamos el planteamiento generalizado del Capítulo I, con su desarrollo, en especial, en espacios cartesianos ortonormales multidimensionales, y partiendo de una elección determinada de los dos puntos básicos, que serán aquí el centro de gravedad y el ortocentro del hiperpoliedro de referencia, análogo del triángulo en [1], con una condición adicional impuesta, que es su propiedad ortocéntrica. Esta generalización multidimensional particularizada es sólo completa, por ello, en espacios de dimensiones 1 y/o 2, pues implica, como decimos, una restricción exigida para dimensiones superiores a dos. El Capítulo V se refiere a la consideración de una geometría correlativa paralela, basada en la sustitución mutatis mutandis de los términos punto/recta en el espacio bidimensional, y la sustitución paralela equivalente punto/ ( N − 1) -hiperplano en el espacio N-dimensional. Se añade, finalmente, un Apéndice relativo a propiedades de un tetraedro cualquiera en el espacio tridimensional que, aunque fuera del planteamiento dual en el texto principal, complementan el análisis restringido a la clase particular de un politopo ortocéntrico, efectuado en el Capítulo IV, aplicable, así pues, específicamente, a un tetraedro ortocéntrico.

-1-

Con el enfoque y la consideración de las líneas base indicadas los contenidos respectivos de cada Capítulo comprenden: En primer lugar, en el Capítulo I se generaliza el estudio realizado anteriormente en el espacio bidimensional, para dimensiones N ≥ 2 , referido ahora a un politopo cualquiera de dimensión N con n = N + 1 vértices, o también N-simplex, que es el elemento geométrico multidimensional equivalente al triángulo básico que fue objeto principal del estudio en la Ref.[1]. El Capítulo I se ha dividido en nueve secciones: La Sección I.1 define los elementos básicos necesarios, o sea, un espacio proyectivo N-dimensional, ℘N , el par de puntos ordenado ( P, P´) y el sistema de referencia que utilizaremos para definición de cualquier punto en ℘N , que será un sistema de coordenadas homogéneo multilineal referido al N-politopo base. En particular, se generaliza en esta sección la transformación cuadrática correlativa en el plano, denominada recta armónica asociada de un punto con relación a un triángulo, y también como su polar trilinear. Por último, definimos transformaciones multidimensionales análogas a la habitual transformación cuadrática involutiva puntual TP ,P´ en el plano, de nuevo con relación a un triángulo, así como la función escalar multidimensional f ( P, P ′) , análoga al invariante k, ambos profusamente empleados en la Ref.[1], cuyas extensiones homólogas serán nuevamente muy útiles, para describir las propiedades geométricas generalizadas en el espacio ℘N . La Sección I.2 se refiere a la generalización en ℘N de la transformación correlativa polar más común o polaridad, aplicada a puntos o lineas con relación a una cónica en el espacio ℘2 , que puede considerarse igualmente, a su vez, otra extensión de la transformación involutiva lineal (unidimensional) referida a sus dos puntos dobles, seguida de un análisis detallado de una polaridad particular, que llamamos Π ∞ , que constituye también un elemento principal del estudio. En la Sección I.3 construímos en el espacio ℘N un haz de hipersuperficies de segundo grado, referidas al par ( P, P´) , que generaliza el haz de cónicas CP , P´ en el plano en la Ref.[1],p.138, y para el que conservamos esta misma notación, y consideramos, en particular, nuevamente, algunos miembros relevantes del haz. De manera análoga a la denominación usual de una cuádrica en el espacio ℘3 , aplicaremos el término genérico de N-cuádrica a elementos del espacio ℘N que se expresan mediante una ecuación de segundo grado en el sistema de coordenadas homogéneas de referencia. Adelantamos que en adelante preferiremos utilizar con mayor frecuencia en las exposiciones el número n, como ya se ha indicado con N + 1 = n , en lugar del número N. Nos referiremos, específicamente a un conjunto de n N-cuádricas del haz CP , P´ , individualizadas inicialmente por Cϕ , para enteros 1 ≤ ϕ ≤ n , las cuales son, todas ellas, generalizaciones idóneas de la construcción usual del círculo de los nueve puntos del plano. La Sección I.4 muestra otras particularizaciones distintas de N-cuádricas en CP , P´ , mediante consideración de las N-cuádricas singulares del haz. La misma sección finaliza con una extensión del teorema clásico de Desargues relativo a un haz de cónicas, aplicado, análogamente, a un haz cualquiera de N-cuádricas en el espacio ℘N para N > 2 . Mostraremos una aplicación inmediata de este teorema generalizado al haz CP , P´ en esta sección, y otras derivaciones del mismo a lo largo de distintas partes del estudio en las secciones siguientes. En la Sección I.5 se deducen algunas propiedades particulares de polaridades asociadas a Ncuádricas del haz CP , P´ , a partir de las cuales deducimos una relación homográfica triple que se aplica en la siguiente Sección I.6 en el análisis de diferentes casos de CP , P´ , considerados degenerados. -2-

En la Sección I.7 se realiza, como se ha adelantado, el estudio individualizado del caso de un espacio unidimensional. Algunos resultados obtenidos se formulan como propiedades generalizadas de transformaciones involutivas puntuales. En la Sección I.8 se deducen propiedades de razones dobles asociadas a las n N-cuádricas en CP , P´ , representadas por la notación Cϕ ( 1 ≤ ϕ ≤ n ) , que generalizan propiedades análogas conocidas de la geometría elemental del triángulo. Finalmente la Sección I.9 comprende una aplicación de las razones dobles resultantes en la Sección I.8, para la obtención de fórmulas que dan números globales de puntos significativos, esto es, cuya posición geométrica está bien determinada, pertenecientes, de nuevo, a cada N-cuádrica Cϕ ( 1 ≤ ϕ ≤ n ) . Mientras, como venimos comentando, dichas n N-cuádricas son generalizaciones del círculo de los nueve puntos, las nuevas fórmulas obtenidas en esta sección dan como resultado números de puntos que son, a su vez, extensiones del propio número tradicional de puntos, nueve, utilizado en la denominación usual de este círculo. El Capítulo II, a continuación, es, como se ha adelantado también, un resumen sucinto de los desarrollos y resultados obtenidos en [1], limitado en este texto a seis secciones, cinco de ellas, las II.1, II.2, II.3, II.5 y II.6, con denominaciones y contenidos paralelos a sus homólogas en el estudio multidimensional del Capítulo I, y la II.4, relativa a la definición y propiedades generales de la transformación cuadrática involutiva TP , P ′ en el plano, cuya extensión multidimensional constituye un elemento principal del estudio generalizado. En cuanto a las demostraciones específicas de detalle, no reproducidas aquí, que no sean simple transferencia de los resultados obtenidos ya en el Capítulo I, nos remitimos a la publicación anterior, por lo que no se precisan mayores aclaraciones. En la última Sección II.6 se apuntan también referencias adicionales de nuevas extensiones específicas del planteamiento bidimensional que, como hemos anticipado, constituyen el objeto del siguiente Capítulo III, y de otras posteriores en el Subcapítulo V.I, cuyos desarrollos serán complementarios del análisis llevado a cabo en este Capítulo II. Así, en principio, el mencionado estudio anterior en el plano en [1], del que se hace una síntesis en el Capítulo II, pudiera considerarse ahora, en efecto, como una aplicación particular de la extensión generalizada desarrollada aquí en el Capítulo I, en el caso N = 2 . Sin embargo, haremos observar que existen otras particularidades especiales restringidas al espacio bidimensional, como es la omisión de la restricción anteriormente indicada en la mención del Capítulo IV, referida a espacios ortonormales, que explicaremos más adelante, y que se desarrollará en detalle en el Capítulo IV citado. Precisaremos también algo más esta cuestión al final de la Introducción. Existen además otras particularidades que abren caminos de investigación limitados igualmente al espacio ℘2 y que no son extensivas a espacios de mayor dimensión. Estas últimas peculiaridades del espacio bidimensional son tratadas en el Capítulo III, dividido en seis secciones, que constituyen, por ello, una ampliación concreta de los desarrollos y resultados anteriormente obtenidos en [1], ampliación ésta específica, como venimos señalando, del espacio bidimensional. Se trata, en particular, de la existencia de una triple simetría de tres pares de puntos básicos relacionados en el propio contexto de la geometría dual. En las Secciones III.1, III.2 y III.3 se precisan estas definiciones y en las Secciones III.4 y III.5 se consideran, respectivamente, casos degenerados y casos singulares de aquellas. La Sección III.6 incluye aplicaciones de esta propiedad bidimensional singular a la geometría clásica del triángulo. El Capítulo IV considera la aplicación del estudio generalizado anterior en un espacio multidimensional cartesiano ortogonal, referido, además, a un politopo especial que tiene la condición ortocéntrica, restricción ésta, a la que nos hemos referido más arriba y que resulta superflua, como veremos, en el caso bidimensional del triángulo. La construcción y propiedades esenciales -3-

de un tal politopo las hemos presentado en nuestra publicación anterior en bubok (Ref.[2]), y nos son ahora de utilidad para nuevas formulaciones que representan adecuadas generalizaciones de otras múltiples propiedades posicionales y métricas de la geometría clásica del triángulo. Es importante destacar que el espacio ortonormal de referencia utilizado, ℘n , tiene una dimensión adicional a las dimensiones del politopo objeto principal del análisis. Esta operación en espacios cartesianos ortonormales multidimensionales nos permite además una mayor aproximación a la geometría tradicional. La denominación n-cuádricas corresponde, de nuevo, a elementos geométricos en el espacio ℘n que se expresan mediante ecuaciones cuadráticas en el sistema de coordenadas ortonormales, y aquí debemos advertir que las correspondientes N-cuádricas, intersección de las anteriores con el subespacio, ¡no coordenado!, ℘N , que es el de posición del politopo base, estarán expresadas, por ello, mediante la unión de dos ecuaciones, respectivamente lineal y cuadrática. Este Capítulo IV comprende 11 secciones, las IV.1 a IV.6 se refieren al desarrollo en detalle de las características y propiedades del politopo ortocéntrico y a la definición del sistema coordenado ortonormal de referencia conexo en el espacio superior indicado ℘n . En las Secciones IV.7 a IV.9, a partir nuevamente de la selección del centro de gravedad G y del ortocentro generalizado Z, se hace una trasposición del haz de circunferencias CG , H en ℘2 , cuyo homólogo en

℘N es un haz de N-esferas CG , Z , como hemos indicado anteriormente, asociado a un haz de nesferas ζ G , Z , situado este segundo en el espacio global superior. La relación entre ambos haces de hiperesferas, de dimensiones respectivas N y N + 1 , permite una generación más simplificada del haz CG , Z y de los miembros relevantes del mismo en la sección IV.8, así como de sus singularidades en la Sección IV.9. La misma relación facilita una demostración más expresiva de las propiedades involutivas del haz que se vinculan directamente con otros análisis previos en la Sección IV.7, en el espacio unidimensional. En la Sección IV.10 se formulan dos generalizaciones multidimensionales del llamado punto de Brianchon en el plano, relativo a un hexágono y, por reducción, a un triángulo circunscrito a una cónica, que se aplican después, en la Sección IV.11, al politopo ortocéntrico multidimensional, objetivo central del Capítulo. En la Sección A.II del Apéndice se continúa el análisis efectuado en la Sección IV.10, considerando la generación de diferentes cuádricas asociadas a un tetraedro genérico. El Capítulo V, dividido en dos subcapítulos, se refiere al tratamiento paralelo correlativo de las propiedades geométricas incluídas en el Capítulo II, en el Subcapítulo primero V.I, en el espacio bidimensional, y su generalización multidimensional, en el segundo V.II. En el Subcapítulo V.I se incluye, en concreto: la definición de los elementos básicos en la Sección V.I.1; la construcción del haz tangencial de cónicas Γr , r ′ , correlativo del haz puntual CP , P ′ , en la Sección V.I.2; la identificación de los triángulos autoconjugados de los dos haces Γr , r ′ y

CP , P ′ , en la Sección V.I.3, y la consideración de varios casos singulares, en la Sección V.I.4. La exposición se reduce al enunciado de las propiedades geométricas paralelas desde el punto de vista tangencial, por tratarse de simple trasposición de las propiedades justificadas en el planteamiento primero puntual. Las siguientes Secciones V.I.5 y V.I.6, corresponden, respectivamente, a la versión correlativa en el plano de la triple geometría dual definida en el Capítulo III, y al análisis del haz tangencial correlativo de CG , H . El Subcapítulo V.II comprende los mismos aspectos generalizados de las Secciones V.I.1,V.I.2 y V.I.4 en las respectivas Secciones V.II.1, V.II.2 y V.II.3, ya que la Sección V.I.3 es específica del espacio bidimensional y no tiene correspondencia en espacios de dimensiones superiores a dos. Se añaden además, la Sección V.II.4 dedicada al análisis de una relación biunívoca entre dos miembros pertenecientes respectivamente a cada uno de los haces tangencial y puntual que -4-

son bitangentes, y la Sección V.II.5, que considera las propiedades del haz tangencial relativo a un N-simplex ortocéntrico, como complemento del estudio detallado anterior de esta clase de politopo en el Capítulo IV. Los resultados obtenidos en las Secciones V.II.4 y V.II.5 son, naturalmente, aplicables a la geometría correlativa plana del triángulo, cuyo análisis específico en el Subcapítulo V.I ha sido omitido para evitar redundancias. Se añade, sin embargo, la Sección V.II.6 que incluye la aplicación de estos resultados a un tetraedro ortocéntrico en el espacio tridimensional. Siguiendo, también, la continuación apuntada en la síntesis del Capítulo IV, el concepto correlativo se aplica posteriormente, en la sección A.II del Apéndice, a la generación de otras dos cuádricas relativas a un tetraedro circunscrito a una cuádrica dada. Finalmente, el Apéndice adicional se refiere, como hemos adelantado, a la generación y propiedades de cinco cuádricas asociadas a un tetraedro cualquiera en el espacio tridimensional, cuatro de ellas relativas, además, a sendas cuádricas circunscrita e inscrita. Estas cinco cuádricas se corresponden con otras tantas denominadas cuaternas de rectas hiperboloídicas en [3],p.651: la primera, bien conocida en la geometría tradicional (Refs. [3],p.664 y [4]), es la llamada cuádrica de las alturas de un tetraedro; las cuatro restantes, están relacionadas con la construcción simplificada de Brianchon en el plano, que nos ha servido de base en el desarrollo de las Secciones IV.10 y IV.11 y suponen tratamientos generalizados, que son coherentes con los seguidos en la deducción de diversas cuádricas particulares en [3],pp.652-659. La inclusión de estas cinco cuestiones, objeto aquí la primera, de un tratamiento algébrico elemental, en la Sección A.I, dividida en tres subsecciones, en las que se resumen propiedades conocidas de interés de esta cuádrica, sic su relación con el punto de Monge de un tetraedro cualquiera, con mención de diversas referencias bibliográficas anteriores, y las otras cuatro, conjuntamente en la Sección A.II, dividida, a su vez, en tres subsecciones, complementa los análisis restringidos a la clase particular de un N-simplex ortocéntrico y, eventualmente, de un tetraedro ortocéntrico, llevados a cabo en el Capítulo IV y en la Sección V.II.5. Como destacábamos en la Ref.[1], la doble invariancia involutiva satisfecha por casi todos los elementos geométricos mencionados y/o referenciados, está nuevamente asociada al concepto de duplicación, considerado ahora en el espacio ℘N . Así, la duplicación en ℘N es una generalización obvia de la construcción efectuada, bajo esta denominación, en el espacio bidimensional. El planteamiento formal y características principales de esta operación se formularon en detalle en la Introducción en la Ref.[1], a la que remitimos su revisión si fuera precisa. En la exposición abreviada del contenido del libro presentada hasta aquí, hemos tratado de mantener, en lo posible, las mismas notaciones empleadas en [1], como han sido, en particular, CP , P´ y TP , P´ . Mantendremos también las mismas notaciones del invariante principal k y de los otros dos invariantes asociados, k1 y k 2 , que serán generalizaciones adecuadas de las expresiones así denominadas en [1],p.142. Sin embargo, en cuanto a las n N-cuádricas particulares mencionadas en el resumen del contenido de la Sección I.3, hemos modificado la notación inicial individualizada Ci aplicada a sus análogas en el plano, simplemente indiciaria, y utilizaremos la notación normalizada Cϕ , para 1 ≤ ϕ ≤ n , cuyo subíndice ϕ tiene ya, además de la individualizada anterior, una significación paramétrica formal. Asimismo, la mayoría de las notaciones formales de otros elementos geométricos o construcciones con utilización de los mismos, son análogas a las notaciones anteriormente empleadas, mientras algunas de ellas son notaciones standard. Como ejemplo, dados dos elementos geométricos, e1 y e2 , cuyas ecuaciones son f 1 = 0 y f 2 = 0 , representaremos por e1e2 y e1 + e2 los elementos de ecuaciones respectivas f 1 f 2 = 0 y f 1 + f 2 . En la primera notación el elemento -5-

resultante se descompone, naturalmente, en el conjunto de los dos iniciales. En el empleo de la segunda, los elementos/argumentos primeros y el elemento resultante final tienen la misma naturaleza. Una extensión de esta segunda notación, de la que haremos aplicación reiterada, es la expresión e1 + λ e2 , siendo λ un parámetro escalar, para formalizar expresiones algebraicas de sendos haces puntuales y/o tangenciales de elementos análogos, según las coordenadas utilizadas. Emplearemos también, con frecuencia, la representación e1 . e2 para designar al divisor común o intersección de ambos elementos e1 y e2 . Esta última notación es particularmente significativa para definir elementos del subespacio ℘N , referidos al sistema ortonormal de coordinadas en el espacio superior ℘n , utilizado en el Capítulo IV, en el que emplearemos también la notación alternativa f1 = 0 ∪ f 2 = 0 , como expresión algébrica conjunta del elemento intersección e1 . e2 , es decir, la cumplimentación simultánea de las dos ecuaciones representativas de cada elemento. Se aplicarán, en particular, las notaciones ( P1, P2 ; P3 , P4 ) y V ( P1 , P2 ; P3 , P4 ) en representación de las razones dobles respectivas de la cuaterna de puntos alineados ( P1, P2 , P3 , P4 ) y de la cuaterna del haz de rectas proyección de la anterior desde el vértice V , exterior a la recta, las dos razones dobles con el valor común PP P P ρ= 1 3 × 2 4, P2 P3 P1P4 donde Pi Pj representa la distancia signada. Son notaciones correlativas, con los mismos significados en orden inverso, ( r1 , r2 ; r3 , r4 ) y r ( r1 , r2 ; r3 , r4 ) , para designar las dos razones dobles, iguales, de una cuaterna formada por un haz de rectas, y la cuaterna de puntos que son las intersecciones de la anterior con una recta no incidente en el vértice. Ocasionalmente, y para mayor precisión de las anteriores expresiones ( P1, P2 ; P3 , P4 ) y ( r1 , r2 ; r3 , r4 ) , se utilizarán, como otras alternativas, las dos notaciones complementarias, la primera, ρ r = ( P1, P2 ; P3 , P4 ) ( r ) , para designar que la anterior razón doble, ρ , se refiere a cuatro puntos alineados sobre la recta r , y la segunda, ρ P = ( r1 , r2 ; r3 , r4 ) ( P ) , a cuatro rectas concurrentes en el punto P . Queremos destacar especialmente, también, el empleo de la notación ( AB )(CD ) para designar la involución en el espacio unidimensional, así como la notación ( ABC )( Pp ) de una polaridad en el espacio bidimensional, ambas tomadas de la Ref.[5],pp.45,63. La primera notación, ( AB )(CD ) , de una correspondencia involutiva entre dos puntos, M y M ′ , de la recta-espacio ABCD , supone la siguiente razón doble armónica, ( D1 , D2 ; M , M ′) = ( D1 , D2 ; M ′, M ) = −1, donde los puntos D1 , D2 son los dos puntos invariantes en la transformación involutiva, que verifican ( D1 , D2 ; A, B ) = ( D1 , D2 ; C , D ) = −1. La segunda notación, ( ABC )( Pp ) , representa una transformación correlativa que relaciona los tres vértices del triángulo ABC con los lados opuestos respectivos, y el punto P dado, no situado en un lado, con la recta p , también dada, no incidente con un vértice. La polaridad así definida tiene como elemento invariante una cónica directriz definida, cuyos puntos y tangentes correspondientes son elementos homólogos. Además, las notaciones anteriores admiten extensiones adecuadas en el espacio multidimensional, si las notaciones r y/o p se aplican a hiperplanos de dimensión N − 1 , cuya pertenencia a -6-

un mismo haz debe interpretarse como su intersección común en un mismo subespacio de dimensión N − 2 . Por otro lado, todos los elementos geométricos y/o algébricos, anteriormente citados, tienen denominaciones y notaciones paralelas en el planteamiento correlativo en el plano y su extensión multidimensional, que no requieren mayores aclaraciones, de lo que haremos una utilización intensiva en el Capítulo V. Un ejemplo simplista son las dos notaciones alternativas de las razones dobles de cuaternas de puntos alineados y/o cuaternas de rectas de un haz, o, con mayor generalidad, de hiperplanos también pertenecientes a un haz. Finalizamos esta Introducción observando, de nuevo, que no existen correspondencias, por el contrario, en espacios ℘N para N ≠ 2 , para diversos elementos y/o resultados obtenidos en [1], en el espacio bidimensional, como ocurre, por ejemplo, con la cónica Κ P , P ′ , la segunda caracterización de la cónica C4 , o el punto K , en su acepción como imagen triangular inversa, y las dos cónicas C6 y C7 asociadas con K . Ello está intrínsecamente unido al hecho de que el número 3 es el único entero positivo que cumple la relación β [n,2] = n , donde β [n, m] es el número combinatorio de argumentos n y m . En esta observación simplista encontramos un signo de la condición cabalística, mítica y literaria, atribuída al número 3, por ejemplo, en la Ref.[6]. Así se nos ha revelado, en efecto, más fructífera la investigación en el espacio bidimensional, esto es, para n = 3 , que en los espacios con n ≠ 3 , lo que ha sido, por ejemplo, el objeto de los nuevos desarrollos específicos, relativos al triángulo base, en el Capítulo III.

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CAPÍTULO I: GEOMETRÍA DUAL INVOLUTIVA MULTIDIMENSIONAL

I.1.- ELEMENTOS Y CONSTRUCCIONES BÁSICAS Como se indica en la Introducción los elementos básicos del estudio son un espacio proyectivo N-dimensional, ℘N , el par de puntos ordenados ( P, P ′) y un sistema de referencia utilizado para definición de un punto cualquiera en el espacio ℘N . El sistema de referencia, que, como hemos apuntado ya, permitirá establecer un sistema de coordenadas homogéneas, estará basado en la elección de un conjunto de n = N + 1 puntos que es el número mínimo de puntos necesario para definir el espacio ℘N . Ello requiere, además, que los N + 1 puntos seleccionados no estén situados en un subespacio de dimensión inferior a N . Esto significa también que el conjunto de vectores de coordenadas correspondientes a tales N + 1 puntos, en el sistema homogéneo citado, constituye realmente una base en ℘N . En la matemática actual se denomina a dicho conjunto de puntos y, por extensión, al N-poliedro, envolvente del mismo conjunto, un N-simplex y, con mayor generalidad un politopo Ndimensional . El modo más fácil para esta definición del sistema homogéneo es considerar cada uno de los n vectores como un vector unidad para cada coordenada, esto es, el valor de la coordenada asociada es la unidad y todas las n − 1 coordenadas restantes son nulas, refiriendo al mismo convenio el significado geométrico específico de las coordenadas. Aunque pueda resultar superfluo, para precisar la analogía con nuestro estudio anterior en el plano, comentamos aquí el siguiente ejemplo ilustrativo: en el espacio tridimensional ℘3 se define un punto cualquiera por las coordenadas homogéneas (relativas) normales, referidas a un tetraedro arbitrario. Conforme a las aplicaciones analizadas en la Ref.[1] en la geometría métrica plana a partir de la elección del centro de gravedad y del ortocentro del triángulo de referencia como los dos puntos básicos, el empleo de coordenadas tetracéntricas normales sería de idéntica utilidad en el análisis del caso particular de un N-simplex ortocéntrico, que será, más adelante, objeto de estudio detallado en el Capítulo IV, aunque allí encontraremos más expresivo, y, por supuesto, más simple, en el estudio multidimensional, el empleo de un sistema cartesiano ortonormal de N coordenadas, con la adición sobreentendida de una coordenada impropia, preservando la homogeneidad, que es el más usual en la geometría analítica. Con la restricción que destacamos a continuación, un punto cualquiera, E , del espacio ℘N , está definido por un conjunto (vector) de n números (elementos) que representan sus n coordenadas homogéneas. El vector así definido está referido al conjunto (base) de los n vectores uniT

dad anteriores. Escribiremos, pues, E ≡ a = ( a1 , a2 ,..., an ) , donde todas las componentes ai no son simultáneamente nulas, y dos puntos cualesquiera coinciden si y sólo si sus respectivas T

coordenadas se mantienen mutuamente proporcionales ( a representa el vector traspuesto de a ). Siguiendo de nuevo la exposición en [1], además del sistema de referencia debemos considerar el par de puntos ordenados ( P, P ′) . Sean, pues, P ≡ x T = ( x1, x2 ,..., xn ) y P′ ≡ x′T = ( x1′, x2′ ,..., xn′ ) , donde asumiremos en principio las restricciones de que no se anula ninguna coordenada de P o P′ y de que P ≠ P′ . Relajaremos estas restricciones más adelante, en las Secciones I.4 y I.6. Además del sistema de referencia y el par ( P, P ′) , precisamos definir algunos otros elementos geométricos y/o algebraicos, como se indica:

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En primer término, adelantamos que trataremos con elementos representados por ecuaciones de primer grado en las n coordenadas homogéneas genéricas, es decir, elementos lineales, o también hiperplanos o ( N − 1) -planos, dado que cada uno de ellos define un subespacio de dimensión N − 1 ; y con elementos dados por ecuaciones de segundo grado, esto es, elementos cuadráticos, o también hipercuádricas, o, más abreviadamente, N-cuádricas, que son elementos de dimensión N y, por tanto, también definitorios del espacio de referencia global. Sea Vi = (0,...,0,1,0,...,0) , donde la i -ésima coordenada es la unidad y todas las demás son cero, y designemos por SV el hiperpoliedro (o N-simplex) con n vértices Vi (1 ≤ i ≤ n ) , o N-simplex de referencia, y por vi el ( N − 1) -plano opuesto a Vi en SV , que es el hiperplano correspondiente a la anulación de la i-ésima coordenada. Una elección arbitraria de (h + 1) vértices Vi en S v , dada por un conjunto σ de (h + 1) índi-

ces, todos distintos, así σ = { i1 , i2 ,..., ih +1 }, i1 < i2 < ... < ih +1 , con 1 ≤ h ≤ N , define un subespacio

coordenado de dimensión h, que designaremos por ℘h (σ ) , cumpliéndose, pues, ℘h (σ ) ⊇ ℘N . Cuando no sea necesaria la mención explícita de σ , emplearemos simplemente la notación abreviada ℘h . Si fijamos el número h + 1 de vértices y varía el conjunto σ , el número de posibles subespacios ℘h en ℘N está dado por el número combinatorio de argumentos ( n, h + 1) , para el que usamos la notación β [n, h + 1] . Consideraremos también las extensiones para el valor h = 0 , es decir, las n elecciones posibles de sólo un vértice, que se harán corresponder a los n subespacios de dimensión cero, con la notación ℘o (i ) ,1 ≤ i ≤ n , siendo así ℘o (i ) ≡ Vi . Dado el punto P = ( x1 , x2 ,..., xn ) , se define la proyección de P sobre un subespacio ℘h (σ ) , por el punto Ph ,σ que tiene las coordenadas resultantes de la anulación de las ( N − h ) coordenadas cuyos índices no están incluídos en σ , en el vector coordenado de P. Si h = N − 1 , podemos suponer que la coordenada i-ésima se anula para la intersección Vi P.vi mientras las restantes coordenadas permanecen inalteradas. Si 1 ≤ h < N − 1, se aplicará sucesivamente la misma construcción, que supone proyecciones reiteradas de la última proyección resultante, desde los vértices aún no utilizados, los cuales van siendo sucesivamente excluídos, sobre cada subespacio residual existente. El número de posibles proyecciones de P sobre todos los subespacios ℘h es, de nuevo, β [n, h + 1] , y el número total de proyecciones de P sobre todos los subespacios coordenados cuando h varía, es decir, sobre todos los subespacios ℘h para dimensiones h que varían de 0 a N, resulta h= N  n   = 2 n − 1.  ∑ + 1 h h=0   Este número incluye los n vértices Vi (1 ≤ i ≤ n ) que son las proyecciones de P sobre los n subespacios ℘o (i ) , y el propio punto P, que es la proyección sobre el único subespacio de dimensión N, ℘N . En segundo término, definimos el hiperplano o (N-1)-plano armónico asociado de P respecto de SV , denominado también polar n-linear de P en ℘N , con relación al N-politopo base, en paralelismo con la denominación habitual de la polar trilinear de P en ℘2 , por la siguiente ecuación lineal (se utilizará desde ahora la mayúscula indexada X para expresar las coordenadas puntuales genéricas) n X ∑1 x i = 0. (I.1.1) i -9-

Análogamente a la conocida generación de la polar trilinear de un punto en la geometría bidimensional, el (N-1)-plano armónico asociado de P con relación a SV , de ecuación (I.1.1), que llamaremos nuevamente r, siguiendo la notación en la Ref.[1],p.135, satisface la siguiente propiedad básica: Proposición I.1.1: Sea (Vi ,V j ) una elección cualquiera de dos vértices en SV y Pij la proyección de P sobre la recta ViV j (espacio unidimensional), mediante proyecciones reiteradas desde los restantes vértices sobre los subespacios de dimensiones sucesivamente reducidas en una unidad por exclusión de los vértices aplicados, y Qij = r.ViV j : la razón doble (Vi ,V j ; Pij , Qij ) es armónica. Recordamos aquí la propiedad fundamental de la razón doble de cuatro puntos alineados, expresada en las coordenadas homogéneas, como: Lema I.1.1a: Sean P1 , P2 , P3 , P4 cuatro puntos situados en la recta PP′ , con Pi ≡ P + α i P ′ . Esta expresión vectorial, que en el sistema cartesiano ordinario tiene la forma equivalente Pi = (1 − β i ) P + β i P′ , es válida en las coordenadas homogéneas utilizadas, pues representa igualmente la relación de tres puntos alineados. La razón doble de los cuatro puntos P1 , P2 , P3 , P4 es igual a la razón doble de los cuatro parámetros α 1 , α 2 , α 3 , α 4 . La demostración se deriva de la propiedad correlativa similar de un haz de líneas incluída en la prueba del Lema 3.1c en [1],pp.145. Aplicando el Lema I.1.1a basta observar que Pij ≡ xiVi + x jV j y Qij ≡ xiVi − x jV j , siendo así

x x   (Vi ,V j ; Pij , Qij ) =  0, ∞; j ,− j  = −1. xi xi   Puesto que el número de proyecciones Qij , esto es β [n,2] , no es inferior a n, r es el único ( N − 1) -plano que satisface la propiedad mencionada unívocamente. Definiremos igualmente la siguiente propiedad generalizada relativa a la razón doble de cuatro (N-1)-planos pertenecientes a un haz, es decir, tales que los cuatro son incidentes en un hiperplano común de dimensión N-2. Lema I.1.1b: La razón doble de cuatro (N-1)-planos pertenecientes a un haz es igual a la razón doble de la cuaterna de puntos intersecciones con una recta cualquiera no incidente con el subespacio común de todos los miembros del haz. La expresión de un hiperplano del haz tiene la forma paramétrica p j = p + λ j p ′ , siendo p y p ′ dos miembros cualesquiera, como decimos de dimensión N − 1 . Asimismo un punto de una recta se escribe Pi ≡ P + α i P ′ , estando definida la recta por dos puntos cualesquiera P y P ′ . La intersección de esta recta con el hiperplano correspondiente al valor particular del parámetro λ j resulta de la ecuación p( P ) + p (α j P ′) + λ j p ′( P ) + λ j p ′(α j P ′) = 0 , identificando los subíndices i, j del punto y del hiperplano correspondientes a cada intersección, y, puesto que p y p ′ son formas lineales y homogéneas en las coordenadas puntuales, esta relación homográfica entre los parámetros α j , λ j es justificativa de I.1.1b, teniendo ya en cuenta los valores conocidos de los parámetros λ j , j = 1,...,4 , y el enunciado del lema I.1.1a. Corolario I.1.2: Dados cuatro puntos alineados y un subespacio exterior de cualquier dimensión, la razón doble de los cuatro hiperplanos de dimensión superior en una unidad al segundo, definidos por el propio subespacio y respectivamente incidentes con cada uno de los puntos, es igual a la razón doble de la cuaterna de puntos. - 10 -

Es el resultado inverso del anterior, aplicando la misma relación holográfica, siendo conocidos ahora los valores de los parámetros puntuales α j , j = 1,..,4 . Remitiéndonos a la definición del ( N − 1) -plano armónico asociado de un punto, que tiene la ecuación (I.1.1), resulta también, Corolario I.1.3: Si ViV j es una arista del N-simplex que define el espacio ℘N , y P y r, son un punto y el ( N − 1) -plano armónico asociado, la cuaterna formada por los hiperplanos de dimensión N − 1 , que contienen al subespacio coordenado de dimensión N − 2 , excluídos los vértices Vi , V j , y respectivamente incidentes con los puntos Vi , V j , P y ViV j . r , es armónica. En tercer lugar definimos la transformación cuadrática involutiva, con la misma denominación TP , P ′ empleada también en [1],p.148, que transforma recíprocamente P y P′ , dada por X 1 X 1′ X 2 X 2′ X X′ = = ... = n n . (I.1.2) x1 x1′ x2 x2′ xn xn′ Teniendo en cuenta las restricciones anteriormente apuntadas sobre la no anulación de ninguna coordenada de P o P′ (en tales restricciones no excluímos, sin embargo, la condición P ≡ P′ ), TP , P ′ representa una transformación puntual, unívocamente definida para cualquier punto en

℘N , excepto para los excluídos con alguna/s coordenada/s nula/s. En realidad, la transformada (imagen) de Vi en TP , P ′ es el ( N − 1) -plano opuesto a Vi en SV , esto es, vi ( xi = 0) , mientras la imagen de cualquier punto situado en vi es Vi . La precisión similar en el caso de anulación de un número de coordenadas distinto de 1 o n resulta superflua. Finalmente, como en la Ref.[1],p.142 definimos los tres invariantes k1 , k 2 y k en el espacio ℘N , por las siguientes funciones racionales de las coordenadas de P y P′ : n x k1 = ∑ i 1 xi′

xi′ 1 xi k = k1 × k 2 . (I.1.3) Como en la Ref.[1] estará justificada la utilidad del empleo de estos invariantes en la descripción de casos diferentes en la geometría involutiva multidimensional generalizada. Nos puede interesar, a veces, explicitar los puntos P y P′ como argumentos de estas funciones racionales. En tales ocasiones se empleará la notación alternativa k ( P, P′) de k, y sus análogas de k1 y k 2 . Observamos que k ( P, P′) = k ( P′, P ) , pues el invariante k es autoduplicado, mientras k1 ( P, P′) = k 2 ( P′, P ) y k 2 ( P, P′) = k1 ( P′, P ) , pues k1 y k 2 se corresponden recíprocamente en la misma transformación dupla. n

k2 = ∑

Para seguir el estudio, debemos completar los elementos descritos con la siguiente generalización de la transformación polar correlativa (polaridad) en el espacio ℘N .

I.2.- LA TRANSFORMACIÓN POLAR GENERALIZADA La transformación polar o polaridad común del espacio bidimensional ([5],pp.60-70), se aplica, de forma similar, en espacios multidimensionales ℘N para valores N > 2 . Debemos señalar - 11 -

también, al efecto, que tales polaridades en espacios de dimensiones mayores que uno, pueden considerarse generalizaciones de la transformación involutiva en el espacio unidimensional. Designamos una polaridad genérica por Π . En cualquier espacio ℘N , con N ≥ 2 , Π es una correlación proyectiva definida por cualquier ecuación de la forma u = Mx , donde x es un vector de orden n × 1 , cuyos elementos son las ( n ) coordenadas homogéneas de un punto P , u es también un vector de orden n × 1 , de elementos las ( n ) coordenadas pluckerianas de la imagen de P , y M es la matriz de la polaridad que es una matriz regular simétrica de orden n × n . La transformada o imagen de P , o, de otro modo la ( N − 1) -polar de P , que llamaremos p , es un ( N − 1) -plano, y, recíprocamente, la imagen o el polo de un ( N − 1) -plano es el punto dado por la ecuación x = M −1u . Todas las propiedades fundamentales de la polaridad en ℘2 , por ejemplo en la Ref.[5] antes mencionada, se transfieren igualmente a espacios de dimensiones superiores a dos, por lo que resulta innecesario insistir en esta cuestión. La única propiedad básica que destacamos aquí es la circunstancia de que la polaridad conserva las incidencias de elementos duales, esto es, si P está en p′ , la ( N − 1) -polar p de P contiene el polo P′ de p′ . Ello es consecuencia directa de la simetría de M , puesto que la forma bilinear x T Mx′ , que representa un escalar, es invariante en la operación de trasposición. En este supuesto diremos que P y P′ son puntos conjugados, y, también, que p y p′ son dos ( N − 1) -planos conjugados. Extenderemos además esta definición a subespacios de cualesquiera dimensiones en ℘N y diremos que los dos subespacios

lh ( ⊃ ℘N ) y lh ′ ( ⊃ ℘N ) son conjugados si lh′ (resp. lh ) y la ( N − 1) -polar de un punto cualquiera de lh (resp. lh′ ) son incidentes, lo cual significará que el subespacio de menor dimensión pertenece al segundo. Desde ahora utilizaremos la notación genérica l para designar subespacios distintos de los subespacios coordenados, y la notación ℘ para estos últimos. Por otro lado, la correlativa o imagen de una N-cuádrica, que llamamos C, considerada como un conjunto de puntos, es otra N-cuádrica, Γ ≡ Π(C ) , que es la envolvente de los ( N − 1) -planos imágenes de puntos de C. Hay una única N-cuádrica invariante, Γn ≡ Cn , de ecuación

x T Mx = 0 , tal que la imagen polar de cualquier punto de Cn , es el ( N − 1) -plano tangente a C en ese punto. Designamos por Φ a la forma cuadrática asociada Cn , dada por Φ = x T Mx , con x T = ( X 1 , X 2 ,..., X n ) . La ecuación de la ( N − 1) -polar de E ≡ a T = ( a1 , a2 ,..., an ) está dada por a T Mx = 0 si aplicamos directamente la ecuación matricial, o, alternativamente, por la anulación de la forma linear ai (∂Φ / ∂X i ) , usando la convención sumatoria de Einstein, donde ∂Φ / ∂X i es la derivada parcial de Φ respecto de X i . En este punto relajaremos la exigencia de matriz regular de M y aplicaremos las expresiones anteriores para obtener la imagen polar de E con relación a una N-cuádrica cualquiera, siéndonos indiferente que pueda estar asociada a una matriz singular, con tal de que E no sea un punto singular de esta N-cuádrica. Manteniéndonos de nuevo en el caso de matriz regular, puesto que la matriz M es simétrica y utilizamos coordenadas homogéneas, el número de condiciones necesarias y suficientes para definición unívoca de Π es igual al número de posibles elementos diferentes de la matriz M reducido en una unidad, es decir  n + 1 ( n − 1)( n + 2)  − 1 =  . 2  2 

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Por otro lado, cualquier par ( P, p ) de un punto y su (N-1)-polar supone (n − 1) condiciones. En resumen, el número de pares distintos que pueden elegirse independientemente tiene el límite superior n+2 Λ( n ) = . 2 Los siguientes teoremas I.2.1, I.2.2 y I.2.3 proporcionan elecciones particulares de pares de homólogos de polaridades, no independientes entre sí, que permiten superar el límite Λ .

Teorema I.2.1: Sea (V1,V2 ,...,Vn ) el conjunto-base de n puntos que definen SV en ℘N . Existen infinitas polaridades en ℘N tales que SV es autopolar con relación a cada una de ellas, esto es, tales que en todas las polaridades la ( N − 1) -polar de Vi es vi para cualquier entero 1 ≤ i ≤ n . La propiedad establecida se cumple efectivamente para todas las polaridades de ecuaciones u = Dx , si D es una matriz diagonal (comprobar la formulación análoga de este teorema en el espacio ℘2 en la Ref.[5],p.62). Además, en espacios ℘N , para N > 2 , se cumple una forma más general del teorema I.2.1, que tiene la siguiente expresión: Teorema I.2.2: Si (℘h (σ ),℘h ′ (σ ′)) , 0 ≤ h, h′ ≤ N − 1,1 ≤ h + h′ ≤ N − 1 , representan un par de subespacios coordenados, que llamaremos complementarios en ℘h + h ′ +1 (σ ∪ σ ′) , tales que

σ ∩ σ ′ = φ : ℘h (σ ) y ℘h ′ (σ ′) son conjugados en todas las polaridades que satisfacen el teorema I.2.1. En efecto, en virtud del teorema I.2.1, las polares de los h (resp. h′ ) vértices que definen ℘h (resp. ℘h′ ) contienen a ℘h ′ (σ ′) (resp. ℘h (σ ) ). Debemos observar aquí que el subespacio ℘h + h ′ +1 (σ ∪ σ ′) , definido por ( h + 1) + ( h′ + 1) = = h + h′ + 2 vértices, tiene dimensión h + h′ + 1 , que es la suma de las dimensiones de los que hemos llamado subespacios complementarios en ℘h + h ′ +1 (σ ∪ σ ′) , ¡aumentada en la unidad!. En el Capítulo IV haremos una observación algo diferente sobre esta cuestión, operando allí en un espacio cartesiano de dimensión n. Se individualizan, además, las polaridades que satisfacen I.2.1, con la adición de un nuevo par, cuya elección es cuasi arbitraria, como se indica: Teorema I.2.3: Si ( P, r′) es el par arbitrario de un punto P ≡ ( x1, x2 ,..., xn ) y un ( N − 1) -plano r′ ≡ (u1′, u2′ ,..., un′ ) , tales que ninguna de las coordenadas de P y/o r ′ se anula: a) Existe una polaridad única, que llamamos Π ∞ (más adelante precisaremos esta notación), que cumple la propiedad I.2.1 y transforma recíprocamente P y r ′ . b) Sea r (resp. P′ ) el armónico asociado de P (resp. r ′ ) respecto de SV . Si P y r ′ no son armónicamente asociados respecto de SV , esto es, si r ≠ r ′ ↔ P ′ ≠ P , r es la transformada de P′ en

Π∞ . El número de parámetros libres de cualquier polaridad que satisface I.2.1 es (n − 1) . Por otro lado éste es también el número de condiciones necesarias y suficientes adicionales requeridas por cualquier otro par de homólogos ( P, p ) , si no se anula ninguna coordenada de P y/o p, lo que implica que el nuevo par ( P, p ) es realmente independiente de los n pares anteriores (Vi , vi ) ,1 ≤ i ≤ n . Por ello, la polaridad particularizada Π ∞ , que cumple la condición suplementaria p = r ′ está únivocamente determinada y es la polaridad enunciada. Se obtiene, en efecto, que d i = ui′ / xi es el i-ésimo elemento diagonal de la matriz diagonal D. Remitimos de nuevo al lector al análogo de este teorema en el espacio ℘2 en la Ref.[5],p.63.

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Siguiendo esta referencia, aplicaremos la notación generalizada (V1 ,V2 ,...,Vn )( P r′) como expresión explícita de la polaridad Π ∞ . Designando por P′( x1′, x2′ ,..., xn′ ) el armónico asociado de r ′ respecto de SV , se cumplen las relaciones xi′ ui = 1,1 ≤ i ≤ n , y la polaridad (V1 ,V2 ,...,Vn )( P r′) está definida por la matriz D con d i = ( xi xi′ )−1 . Estas expresiones de los elementos diagonales de D no excluyen que P′ ≡ P , en 2 cuyo caso di = ( xi ) −1 . Además, si P′ ≠ P , puesto que cualquier d i ,1 ≤ i ≤ n , así como la matriz D, son autoduplicados, queda demostrado I.2.3.

Escribimos a continuación la ecuación completa de la N-cuádrica invariante en la polaridad (V1 ,V2 ,...,Vn )( P r′) , que llamaremos C∞ , que tendrá una participación relevante en los próximos desarrollos n X i2 ∑1 x x′ = 0 . (I.2.1) i i Destacamos, inmediatamente, aquí, otras dos propiedades de C∞ :

Proposición I.2.4: a) Si M es un punto cualquiera de C∞ , C∞ es incidente con todos los puntos resultantes de cualesquiera cambios de signo de alguna/s coordenadas de M (el cambio de signo de todas las coordenadas deja a M obviamente invariable. b) Si E ≡ ( e1, e2 ,..., en ) es un punto en ℘N tal que ninguna coordenada ei (i = 1,..., n ) se anula, la polar de E respecto de C∞ es también la armónica asociada o polar ( N − 1) -linear del punto imagen de E respecto de TP , P ′ . En primer lugar, I.2.4(a) es la consecuencia inmediata de la forma cuadrática de la ecuación de C∞ en cualquier cordenada X i , y I.2.4(b) se identifica con la formación de la ecuación de la polar de E, anteriormente explicada, puesta en la forma n X ∑1 xi xi i′ = 0 . ei Corolario I.2.5: Partiendo de cualquier punto M incidente con C∞ , manteniendo la restricción de que no se anula ninguna coordenada de M, y haciendo todos los cambios de signo posibles de las coordenadas de M, de manera que M y todos los puntos así definidos sean distintos, obtenemos un conjunto completo de 2 N puntos, M incluído, incidentes con C∞ . Debe observarse que en la operativa indicada en el sistema de referencia homogéneo, cada dos puntos en los que todas sus coordenadas tienen valores opuestos, son coincidentes. Por analogía con la denominación usual en el caso bidimensional ( 2 2 = 4) , llamaremos a este conjunto de 2 N puntos, un conjunto de puntos armónicamente asociados respecto de SV . Así, por ejemplo, el conjunto de puntos invariantes en TP , P ′ es también un conjunto de puntos armónicamente asociados respecto de SV , que se obtienen haciendo X i = X i′ , i = 1,.., n en las ecuaciones (I.1.2). Recíprocamente, cualquier conjunto de puntos armónicamente asociados en ℘N define una transformación cuadrática involutiva con relación a SV , análoga a TP , P ′ , cuyos puntos invariantes son precisamente los 2 N puntos de este conjunto. Los siguientes teoremas son dos derivaciones más de los teoremas I.2.1 y I.2.3:

Teorema I.2.6: Si r y r ′ son los ( N − 1) -planos armónicos asociados de P y P′ respecto de - 14 -

SV , y M i′ = PVi . r′ (resp. M i = P′Vi . r ) y mi′ = vi . r′ (resp. mi = vi . r ), 1 ≤ i ≤ n , n > 2 : a) Los n pares ( M i′ , mi′) (resp. ( M i , mi ) ), 1 ≤ i ≤ n , son pares de homólogos en una polaridad en r ′ (resp. r ), cuya ( N − 2) -cuádrica invariante es C∞ . r′ (resp. C∞ . r ). b) Si P′ ≠ P , y Q ′ = PP ′. r ′ y Q = PP ′. r : (Q ′, r. r′) (resp. (Q , r ′. r ) ) es también un par de homólogos en la polaridad en I.2.6a. Puesto que r ′ (resp.r) y vi son las polares respectivas de P (resp. P′ ) y Vi en Π ∞ , PVi (resp. P′Vi ) y mi′ (resp. mi ) son también conjugadas en Π ∞ , y, como consecuencia M i′

(resp. M i ) y mi′ (resp. mi ) son igualmente conjugadas en la polaridad definida en r ′ (resp. r ) por C∞ . r′ (resp. C∞ . r ). Idéntica prueba es aplicable a I.2.6b, dado que PP′ y r . r ′ son conjugados en Π ∞ . Si P ≠ P′ , los dos teoremas I.2.1 y I.2.3, conjuntamente, de un lado, y, de otro, el teorema I.2.6, proporcionan conjuntos de ( n + 2) pares de elementos homólogos no independientes (que se reducen a (n + 1) pares si P = P′ ), para polaridades en espacios ℘N , que exceden, en uno y otro caso, el límite superior Λ , antes determinado para el número de pares arbitrarios independientes. Debemos aquí observar, sin embargo, que el conjunto de ( n + 2) , o, excepcionalmente (n + 1) , pares, obtenido mediante aplicación del teorema I.2.6, no se genera directamente en ℘N , como el conjunto obtenido mediante la aplicación conjunta de ambos teoremas I.2.1 y I.2.3, sino por intermedio de construcciones efectuadas en un espacio superior ℘N +1 ⊂ ℘N . Teorema I.2.7: Formamos p (λ ) = λr + r ′ , tal que p (λ ) representa el haz de ( N − 1) -planos incidentes con r . r ′ , y sea p (λi ) el ( N − 1) -plano particular en p (λ ) incidente con Vi . Designamos por Si = p(λi ) . PP ′ y por Ti = vi . PP ′ , i = 1,..., n : ( Si , Ti ) , i = 1,..., n , son n pares de puntos homólogos en la involución ( PQ ′) ( P ′Q ) subordinada sobre la recta PP′ . Puesto que ( P, r′) y ( P′, r ) son pares de homólogos en la polaridad Π ∞ , reconocemos en ( PQ ′) ( P ′Q ) la involución inducida por C∞ en PP′ , cuyos puntos dobles son las dos intersecciones C∞ . PP′ . Como p (λi ) es incidente con Vi y Vi es el polo de vi en Π ∞ , P (λi ) y vi son conjugados en Π ∞ , luego vi es incidente con el polo de p (λi ) . Además, PP′ y r . r ′ son conjugados también, luego el polo de p (λi ) es precisamente Ti = vi . PP ′ , lo que prueba el teorema. Más adelante ofreceremos distintos ejemplos de la aplicación de los teoremas I.2.6 y I.2.7 a través de las Proposiciones I.5.11 a I.5.18. Partiendo de los elementos y construcciones descritos, estamos en disposición de llevar adelante el desarrollo del estudio generalizado N-dimensional.

I.3.- DEFINICIÓN DEL HAZ CP , P ′ Seguimos el análisis con la construcción de un haz de N-cuádricas, que llamamos CP , P ′ , que es una generalización adecuada del haz de cónicas, con la misma denominación, anteriormente analizado en [1],p.138. Se precisan únicamente dos miembros del haz para definir CP , P ′ . Designamos de nuevo por r y r ′ los ( N − 1) -planos armónicamente asociados, o también, las polares n-lineares respectivas de P y P′ , y llamamos Q = PP ′. r y Q ′ = PP ′. r ′ . Consideraremos el producto C0 = rr ′ como primer miembro básico, utilizando la misma notación de esta N-cuadrica, C0 , aplicada al producto - 15 -

de las dos rectas homónimas en [1],p.159. El segundo miembro básico, que llamaremos ahora C∞ , por la razón que justificamos después, es la N-cuádrica invariante en la polaridad (V1 ,V2 ,...,Vn )( P r′) , dada por la ecuación (I.2.1). En suma, escribiremos las N-cuádricas del haz por la expresión común C0 − ϕ C∞ , para valores cualesquiera del parámetro ϕ . La conveniencia formal de escribir el signo (− ) será mostrada después. Emplearemos igualmente la notación Cϕ = C0 − ϕ C∞ de cada N-cuádrica particular asociada con ϕ . Así la primera N-cuádrica designada C0 , corresponde, en efecto, a ϕ = 0 . Análogamente, el segundo miembro básico, dado por la ecuación (I.2.1), corresponde a ϕ = ∞ , por cuyo motivo esta N-cuádrica ha sido designada C∞ , y aquí hemos modificado la notación, meramente indicativa, C5 , aplicada en principio a su cónica análoga en [1],p.138. Por otro lado, en base a la propiedad I.2.3a, se llamará desde ahora a C∞ , como en [1],p.138, la N-cuádrica conjugada del haz. Continuamos el estudio del haz CP , P ′ destacando dos corolarios significativos, que aparecen justificados con la simple inspección de la expresión C0 − ϕ C∞ . Puesto que nos referiremos con alguna frecuencia a los mismos, se identificarán desde ahora como las propiedades I.3.1 y I.3.2 de CP , P ′ :

Corolario I.3.1: Puesto que C0 y C∞ son autoduplicados, esta misma propiedad es compartida también por cualquier otro miembro del haz CP , P ′ asociado con un valor particular del parámetro ϕ que debe ser también autoduplicado. Este requerimiento para la autoduplicación de cualquier N-cuádrica en CP , P ′ fue explicado adecuadamente, referido al haz de cónicas en el plano , en la Ref.[1],p.134, y nos referiremos nuevamente al mismo, con mayor extensión en la Sección III.2 al tratar de forma similar, la cuestión, algo más sofisticada, de la invariancia de una cónica del haz en una triple simetría dual. Adelantamos que todos los miembros Cϕ del haz que serán objeto de estudio satisfacen esta propiedad I.3.1. Corolario I.3.2: La intersección C P , P ′ ∩℘h (σ ) , 0 ≤ h ≤ n − 1 , es el haz generado en ℘h (σ ) por las proyecciones de P y P′ sobre ℘h (σ ) . Para una consideración apropiada de la propiedad I.3.2, observamos que la misma es compartida también por todos los elementos definidos en la generación del estudio, sic, por r y r ′ , y por las dos N-cuádricas básicas C0 y C∞ . Para evidenciar mejor esta cuestión basta eliminar las coordenadas que no intervienen en ℘h (σ ) en las ecuaciones respectivas y formar la unión de la ecuación resultante del haz con las ecuaciones que anulan las coordenadas eliminadas. La propiedad I.3.2 se aplica también a transformaciones como TP , P ′ o la polaridad (V1 ,V2 ,...,Vn )( P r′) , cuya consideración la dejamos a la atención del lector si fuera precisa. Siguiendo nuevamente la exposición en la Ref.[1], haremos el análisis de nuevas N-cuádricas particulares en CP , P ′ . La siguiente proposición, en la que se utiliza la definición general de la proyección de un punto P sobre cualquier subespacio ℘h en la sección I.1, nos será de utilidad en la definición de otras n N-cuádricas significativas: Proposición I.3.3: Si Ph ,σ es la proyección de P en ℘h (σ ) , es decir, sobre el subespacio coordenado h-dimensional definido por σ , que es un subconjunto de (h + 1) índices de coordenadas, donde excluímos, sólo provisionalmente, los casos h = 0 , que corresponde a los vértices - 16 -

como subespacios de dimensión cero, y h = N , que corresponde al espacio ℘N : a) Las proyecciones de P sobre todos los subespacios asociados con cualquier elección posible de σ están en una misma N-cuádrica del haz CP , P ′ . b) Esta N-cuádrica es autoduplicada, luego es igualmente incidente con todas las proyecciones análogas de P′ sobre los mismos subespacios ℘h . La ordenación de las coordenadas elegidas en σ es ciertamente irrelevante, por lo que para simplificación de la exposición consideramos el punto proyección Ph ,σ ≡ ( x1 , x2 ,..., xh +1,0,...,0) asociado al conjunto de índices correlativos σ = (1,2,..., h + 1) . Con la restricción que comentamos a continuación, sustituyendo las coordenadas de Ph ,σ en la ecuación de Cϕ , C0 − ϕ C∞ = 0 , se obtiene

ϕ = h + 1. Destacamos aquí que la anterior elección formal convencional del signo (− ) en la ecuación general de CP , P ′ , fue precisamente debida a la obtención ahora de un valor positivo de ϕ . Puesto que este valor no depende de σ , la N-cuádrica Ch +1 satisface I.3.3a. Asimismo, puesto que el valor obtenido de ϕ es independiente de las coordenadas de los dos puntos básicos, P y P′ , y como tal autoduplicado, Ch +1 verifica también I.3.3b. La restricción apuntada relativa a la obtención del valor ϕ = h + 1 , implica que k1 ( Ph*,σ , Ph′,*σ ) es un factor común en la ecuación resolvente de ϕ , donde los asteriscos significan que esta expresión se computa en el espacio ℘h (σ ) suprimiendo las coordenadas de Ph ,σ y Ph′,σ correspondientes a los índices que no están incluídos en σ . Sin embargo, este inconveniente no es significativo pues, en este caso, la ecuación de Ch +1 , particularizada para Ph ,σ , se anula idénticamente. En resumen, la proposición I.3.3 mantiene su validez general sin ninguna reserva. Corolario I.3.4: Si k1 ( Ph*,σ , Ph′,*σ ) = 0 (resp. k 2 ( Ph*,σ , Ph′,*σ ) = 0 ), Ph ,σ (resp. Ph′,σ ) es incidente con cualquier Cϕ . Además, cualquier Cϕ autoduplicada, esto es, asociada a un valor autoduplicado del parámetro ϕ , es incidente con Ph ,σ y Ph′,σ .

Corolario I.3.5: Hay n N-cuádricas en CP , P ′ , respectivamente incidentes con las proyecciones de P y P′ sobre todos los subespacios ℘h (σ ) ⊇ ℘N , para dimensiones ( h ) variables de 0 a N, donde se incluyen ya, también, las dos dimensiones extremas. Son, en efecto, las n N-cuádricas Cϕ ≡ Ch +1 correspondientes a los enteros 1 ≤ ϕ ≤ n . Las dos conclusiones se especifican con mayor claridad mediante consideración de algunos ejemplos particulares: Haciendo ϕ = 1 en C0 − ϕ C∞ = 0 se obtiene la ecuación de C1 , que, como hemos descrito, es la N-cuádrica asociada con subespacios de dimensión h = 0 , esto es i, j = n  1 1  + = 0. X i X j  ∑  ′ ′ x x x x i , j =1 i j i j   i≠ j

Como se había enunciado, es una N-cuádrica incidente con todos los vértices Vi , cuyo número es n , es decir, con las proyecciones de P y P′ sobre subespacios ℘o . Hacemos notar que esta C1 es la análoga de la cónica denominada C2 en [1],p.138, de nuevo, allí, sin otro significado que indicativo, circunscrita al triángulo de referencia. Análogamente, para ϕ = 2 , obtenemos la siguiente ecuación de una N-cuádrica asociada con subespacios de dimensión h = 1 , que llamamos C2 , que contiene las proyecciones de P y P′ - 17 -

sobre las aristas, o espacios unidimensionales, de SV , siendo, pues, la análoga de la cónica que llamamos C1 en [1],p.136, i, j = n

∑XX i

i , j =1 i≠ j

j

 1 1  k = n X k2  + = 0.  x x ′ x ′x  − ∑ k =1 xk xk′ i j   i j

En fin, para φ = n resulta la N-cuádrica incidente con los dos puntos básicos P y P′ , con la denominación Cn , cuya ecuación omitimos, que es la análoga de la cónica denominada C3 en [1],p.138. Algunas otras precisiones sobre puntos con posiciones bien determinadas sobre cada Cϕ ,1 ≤ ϕ ≤ n − 1 , las diferimos a la sección I.9. En la sección I.4 seguiremos el análisis de N-cuádricas relevantes en CP , P ′ , a través de la consideración de las singularidades del haz, que nos llevan a la determinación de otros dos miembros del haz, que son significativos.

I.4.- SINGULARIDADES EN CP , P ′ Designamos por Φ (ϕ ) la forma cuadrática asociada a Cϕ , cuya expresión algébrica es

Φ (ϕ ) = rr′ − ϕ C∞ . La referencia a singularidades en CP , P ′ corresponde a las N-cuádricas del haz con puntos singulares, al menos uno, cuyo ( N − 1) -plano tangente es indeterminado. Serán también asociadas a todos los valores particulares de ϕ que son ceros del polinomio discriminante de Φ (ϕ ) . La forma determinante del discriminante da la siguiente ecuación

2(1 − ϕ )( x1 x1′ )−1 ( x1 x2′ )−1 + ( x1′x2 )−1...( x1 xn′ ) −1 + ( xn x1′ ) −1 2(1 − ϕ )( x2 x2′ ) −1 ...( x2 x2′ ) −1 + ( x2′ x2 )−1 = 0 . (I.4.1)

. . 2(1 − ϕ )( xn xn′ )−1

Todos los elementos subdiagonales respecto de la diagonal principal se han omitido por razón de la simetría. Puesto que resulta una ecuación de grado (n ) , habría, en principio n N-cuádricas singulares en CP , P ′ . Sin embargo este número se reduce a causa de multiplicidades, como se precisa en el siguiente teorema: Teorema I.4.1: a) El número teórico n de miembros singulares en CP , P ′ se reduce realmente, como máximo, a tres o dos N-cuádricas distintas: una de ellas, contada ( n − 2) veces, o, excepcionalmente, (n − 1) veces, es C0 , que es la unión de r y r ′ . Las otras dos N-cuádricas singulares (eventualmente coincidentes) son, con algunas excepciones particulares que analizaremos después, hiperconos de segundo grado, o, más abreviado, N-conos, cuyos vértices están en la recta PP′ . b) En el caso general, los vértices de los dos N-conos son los dos puntos dobles de la involución subordinada por el haz CP , P ′ en PP′ , que separan armónicamente las dos intersecciones Cφ . PP′ , y, en particular, a los pares ( P, P′) y (Q, Q′) .

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En primer lugar, si consideramos la expresión Φ = rr′ − ϕ C∞ , se comprueba que ϕ = 0 es una raíz de (I.4.1), puesto que Φ (ϕ = 0) = rr ′ , que es una forma descompuesta, y, por tanto, su discriminante se anula. Además, limitándonos a valores n > 3 , si se obtienen las sucesivas derivadas, de la primera a la ( n − 3) -ésima, del primer miembro de (I.4.1), y se particularizan para ϕ = 0 , se obtienen sumas de términos que, como consecuencia de la propiedad I.3.2 de CP , P ′ , son todos ellos múltiplos de determinantes análogos al determinante particularizado inicial, igualmente nulos. En resumen, para ϕ = 0 , el discriminante y sus ( n − 3) primeras derivadas se anulan, luego cero es raíz múltiple de orden ( n − 2) de la ecuación (I.4.1). En consecuencia, C0 ( ≡ rr ′) es una N-cuádrica singular de CP , P ′ , contada ( n − 2) veces. A continuación, haremos el cambio θ = 1 − ϕ en (I.4.1), de manera que la ecuación resultante tiene la raíz θ = 1 con multiplicidad ( n − 2) . Para obtener las otras dos raíces, θ 1 y θ 2 , calculamos los respectivos coeficientes de θ n , θ n −1 y θ n − 2 en el polinomio discriminante. Los dos primeros coeficientes, cn y cn −1 , son inmediatos a partir del desarrollo del determinante por elementos diagonales (Ref.[7],p.91), obteniendo 2n cn = ; Πxi = x1 x2 ... xn , Πxi′ = x1′x2′ ... xn′ Πxi Πxi′ cn −1 = 0 . El mismo desarrollo se aplica a la determinación del tercer coeficiente, cn − 2 , lo que requiere alguna manipulación de la suma de determinantes de segundo orden, como abajo se indica. A través de esta operativa resulta 0 ( xi x′j ) −1 + ( xi′x j )−1 2n − 2 i, j = n xi xi′x j x′j = cn − 2 = ∑ Πxi Πxi′ i , j =1 ( xi x′j )−1 + ( xi′x j ) −1 0 i≠ j

n−2

=−

2 Πxi Πx j

  xi′x j xi x′j 2n − 2   + + 2 ( k + n 2 − 2n ) . = − ∑   xi′x j Πxi Πxi′ i , j =1  xi x ′j  i≠ j

i, j =n

Aplicando las relaciones de Cardano y teniendo en cuenta que la raíz θ = 1 , correspondiente a ϕ = 0 , tiene multiplicidad ( n − 2) , se obtienen respectivamente c θ1 + θ 2 = − n −1 − (n − 2) = −( n − 2) cn 1 c θ1 θ 2 = n − 2 − ( n − 2)(θ1 + θ 2 ) − ( n − 2)( n − 3) = 2 cn

1 1 = − ( k + n 2 − 2n ) + ( n − 2)2 − ( n − 2)( n − 3) = 4 2 1 = [( n − 2)2 − k ]. 4 En definitiva, θ1 y θ 2 son las raíces de la ecuación 1 θ 2 + ( n − 2)θ + [( n − 2)2 − k ] = 0 , 4 cuyas dos soluciones se escriben 1 1 θ1, 2 = ( − n + 2 ± k 2 ) , (I.4.2) 2 - 19 -

y los correspondientes valores de ϕ1 y ϕ 2 (recordamos ϕ = 1 − θ ), 1

1 ϕ1, 2 = ( n m k 2 ) . 2 Aquí nos será también de utilidad el siguiente cambio de parámetros que generaliza el parámetro δ , aplicado anteriormente en [1],p.138 n −δ ϕ= , (I.4.3) 2 siendo, por tanto, también δ − ( n − 2) θ= . 2 Resultan así los valores δ 1 y δ 2 respectivamente asociados a las otras dos N-cuádricas singulares en CP , P ′ 1 2

δ 1 = −δ 2 = k . (I.4.4) Siguiendo nuevamente la Ref.[1], introducimos las nuevas notaciones C(θ ) y C (δ ) , como alternativas de la notación Cϕ empleada hasta el momento de las N-cuádricas del haz CP , P ′ . Así, CP , P ′ es también el haz definido por C(θ ) ≡ C2 + θ C∞ y/o C (δ ) = (δ − n )C∞ + 2C0 , mientras C ( n ) ≡ C(1) ≡ C0 , C (∞) ≡ C( ∞ ) ≡ C− ∞ y Ch ≡ C(1− h ) ≡ C (n − 2h ) , h = 1,2,..., n son tres expresiones alternativas de las ( n + 2) respectivas N-cuádricas más relevantes del haz consideradas hasta el momento. De igual modo, los dos miembros singulares del haz, distintos de C ( n ) ≡ rr′ , se expresarán por C (δ1 ) y C (δ 2 ) . Más adelante veremos que C (δ1 ) y C (δ 2 ) son, en general, dos N-conos, esto es, no descompuestos en el producto de dos hiperplanos. Este caso común admite, no obstante, las dos excepciones siguientes: la primera correspondiente al caso k1 = k 2 = 0 , y la segunda al caso δ 1 = n , lo que implica k = n 2 . Estas excepciones son consecuencia directa del siguiente Lema I.4.2: Si k1 y k 2 no son nulos los dos, el rango del determinante primer miembro de la ecuación (I.4.1), particularizado para ϕ 2 , que es el valor asociado a δ 2 en (I.4.3), es ( n − 2) . El mismo valor del rango ocurre para el valor ϕ1 , asociado a δ 1 , si δ 1 ≠ n . Seleccionemos dos menores principales arbitrarios del determinante, por ejemplo, eliminando las línea y columna i-ésimas, y las línea y columna j-ésimas, e igualemos cada dos valores de ϕ que anulan respectivamente a cada menor. Teniendo en cuenta la propiedad I.3.2 de CP , P ′ , los dos valores de ϕ , para cada menor están dados por relaciones similares a las anteriores obtenidas para ϕ1 o ϕ 2 , considerando solamente las (n − 1) coordenadas restantes no eliminadas, en uno y otro caso. Igualando los valores respectivos así obtenidos, resulta la siguiente condición necesaria para la anulación simultánea de ambos menores x′  x   x  x′    k1 − i   k 2 − i  =  k1 − j   k 2 − j  ,    x j  xi′   x′j   xi    y también, después de algunas manipulaciones elementales, que obviamos x x′ k1 i = k 2 j ∨ xi x′j − x j xi′ = 0 . xi x′j La condición para que el rango sea menor que (n − 1) , requiere que se cumpla una, al menos, de las dos relaciones anteriores, para cualquier elección del par de índices (i , j ) en {1,2,..., n} .

- 20 -

Escribiendo todas estas relaciones posibles, cuyo número es β [n,2] , se concluye que el rango será menor que (n − 1) si y sólo si x1 x2 x = = ... = n , x1′ x2′ xn′ es decir, si P ≡ P′ , que es también un subcaso del caso δ 1 = n , la que ha sido nuestra segunda exclusión. Excluiremos, por el momento, las dos excepciones citadas, que analizaremos de forma detallada más adelante. Puesto que existe una única solución bien determinada del sistema homogéneo resultante de anular las n derivadas de Φ(ϕ 2 ) (resp. Φ(ϕ1 ) ), con ϕ 2 = 1 2 ( n − δ 2 ) (resp. ϕ1 = 1 2 ( n − δ 1 ) ), con respecto a cada coordenada X i , existe también un único punto singular en C (δ 2 ) (resp. C (δ1 ) ). También, como Φ(ϕ 2 ) y Φ(ϕ1 ) no se descomponen en el producto de dos formas lineales, son ambas dos N-conos, lo que prueba la aserción I.4.1a. En la sección I.6 estudiaremos, como decimos, en detalle los dos casos excepcionales, esto es, el caso k1 = k 2 = 0 , que es un subcaso de δ 1 = δ 2 , y el caso δ 1 = n . Las restantes aserciones de este teorema son propiamente aplicables a todas las situaciones en que δ 1 = δ 2 . La condición δ 1 = δ 2 se analizará también en la sección I.6, junto con los otros dos subcaso y caso excepcionales antedichos.

Proposición I.4.3: Si δ 1 ≠ n , el vértice (punto singular) de C (δ1 ) y el vértice de C (δ 2 ) están en la recta PP′ . Son, además, los puntos dobles de la involución subordinada por el haz CP , P ′ en PP′ , es decir, separan armónicamente a los pares PP′. C (δ ) . Sea U 1 (resp. U 2 ) el punto singular de C (δ1 ) (resp. C (δ 2 ) ), y U u = P + uP′ un punto cualquiera sobre PP′ , definido por u. Llamamos u1 = −u2 = ( k1 / k 2 ) 2 . En la sección siguiente (ver Corolario I.5.5) se incluye la deducción adecuada de la justificación de U 1 = P + u1P′ y U 2 = P + u2 P′ . En cualquier caso, se prueba aquí de forma directa, por la simple observación de que la expresión anterior de U 1 (resp. U 2 ) satisface las condiciones de singularidad en C (δ 2 ) (resp. C (δ1 ) ), pues, en efecto, sustituyendo las coordenadas de U 1 (resp. U 2 ), se anulan Φ(ϕ 2 ) (resp. Φ(ϕ1 ) ), así como todas sus primeras derivadas respecto de cada coordenada X i . Por otro lado, escribiendo la ecuación de las dos intersecciones C (δ ) . PP′ , mediante la introducción de las coordenadas de U u en Φ(ϕ ) y haciendo el cambio (I.4.3), resulta después de algunas manipulaciones que obviamos (n + δ )k 2u 2 + 2( nδ + k )u + ( n + δ )k1 = 0 ,(I.4.5) y de esta ecuación se deriva la siguiente expresión de la involución inducida por C (δ ) en PP′ k uu′ = 1 , (I.4.6) k2 cuyos puntos dobles son efectivamente U 1 y U 2 . Se puede comprobar, además, que los dos valores de δ ,deducidos de (I.4.5) y correspondientes a cada valor doble de u en (I.4.6), coinciden, precisamente, con los valores (I.4.4), asociados a las dos N-cuádricas singulares del haz, cuyos vértices respectivos son U 1 y U 2 . Corolario I.4.4: Si P y P′ son reales y excluímos k = 0 , que se considera un caso degenerado de CP , P ′ , que será objeto de análisis en la sección I.6, la realidad de U 1 y U 2 requiere k > 0 . 1

Corolario I.4.5: Puesto que ( P, P′) ≡ PP′. Cn , U 1 y U 2 separan armónicamente a P y P′ . Este es también un resultado deducido obviamente de las expresiones que hemos asumido y probado de U 1 y U 2 . - 21 -

Corolario I.4.6: Puesto que (Q, Q′) ≡ PP′. C0 , U 1 y U 2 separan armónicamente a Q y Q′ . De los corolarios I.4.5 y I.4.6 se deriva que U 1 y U 2 se determinan geométricamente como los dos puntos dobles de la involución ( PP ′)(QQ′) . Los casos excepcionales hasta ahora excluídos, o sea δ 1 = n y k1 = k 2 = 0 , así como δ 1 = δ 2 , se consideran degenerados. Su estudio se difiere a la sección I.6, después del análisis de algunas otras propiedades polares de CP , P ′ en la siguiente sección I.5. Antes de finalizar esta sección, queremos destacar que la anterior involución subordinada por CP , P ′ en PP′ , es realmente una consecuencia, o mejor aún, un caso particular del siguiente teorema generalizado de Desargues en espacios N-dimensionales, del que extraemos esta referencia particular en el contexto de nuestro estudio: Teorema I.4.7: Designemos por Φ a = x T M a x y Φ b = x T M b x dos formas cuadráticas, respectivamente asociadas a dos N-cuádricas Ca y Cb , donde M a y M b son matrices simétricas de órdenes n × n , y por C ( µ ) = Ca + µ Cb el haz generado por Ca y Cb , y sea l una recta en ℘N , con las restricciones que indicamos: excluímos que l pertenezca a Ca y/o Cb , y definimos, pues, ( P1, P1′) = Ca . l y ( P2 , P2′) = Cb . l . Suponemos, además, que estos dos pares no tienen ningún punto común. Sin embargo, no excluíremos P1 ≡ P1′ ni P2 ≡ P2′ . Cuando µ varía, las interseciones C ( µ ) . l son pares de una involución inducida por el haz C ( µ ) sobre l . Hacemos notar, en primer término, que el caso excluído de ser l incidente con Ca (resp. Cb ) lleva a un resultado trivial, puesto que, en este supuesto Cb . l ≡ C ( µ ) . l . En consecuencia, esta segunda intersección (dos puntos, un punto duplicado o la recta l completa) es común en todas las N-cuádricas miembros de C ( µ ) y no existe ninguna involución inducida sobre l . Con esta situación excluída, sea P un punto cualquiera de l , y C ( µ P ) la N-cuádrica en C ( µ ) incidente con P, donde µ P = −Φ a ( P ) / Φ b ( p ) . Puesto que Φ a (P ) y Φ b (P ) no se anulan simultáneamente, C ( µ P ) tiene entidad geométrica. Sea también P′ el segundo punto de intersección de C ( µ P ) y l , distinto de P, aunque no excluiremos la hipótesis P′ ≡ P . Hay una correspondencia unívoca entre P y P′ . Además, si se inicia la misma operación con P′ , la N-cuádrica del haz incidente con P′ es la misma anterior, y su segunda intersección es P, de manera que la correspondencia entre P y P′ es involutiva. Esto puede expresarse, en resumen, por la involución ( P1P1′)( P2 P2′) . Los dos puntos dobles de la involución son los puntos de contacto de las dos N-cuádricas de C ( µ ) tangentes a l (eventualmente uno o ambos puntos invariantes pueden ser, además, puntos singulares en su N-cuádrica correspondiente). Así, por ejemplo, esta última situación de los dos puntos dobles se presenta en el caso particular de la segunda aserción del teorema I.4.1b, en la cual Ca ( ≡ rr′) se descompone en dos factores lineales, y l es la línea de los polos de r y r ′ con relación a Cb ( ≡ C∞ ) . En cualquier caso, debemos señalar también que la anterior extensión del teorema no implica realmente ninguna diferencia sustancial con la formulación habitual del mismo teorema de Desargues en el plano. Sea p un 2-plano cualquiera en ℘N , incidente con P y P′ , que es propiamente un plano, de manera que Ca . p y Cb . p son dos cónicas. Asimismo, la intersección C ( µ ) . p ≡ Ca . p + µCb . p

es

igualmente

una

cónica

en

el

plano

p.

Puesto

que

C ( µ ) . PP′ ≡ (C ( µ ). p ).PP′ el enunciado I.4.7 relativo a ℘ , es ciertamente la formulación uN

sual bidimensional del teorema en ℘2 ≡ p . - 22 -

La misma prueba anterior en ℘N puede desarrollarse por la vía análitica como se indica a continuación: Sean x y x′ vectores cordenados de dos puntos L1 y L2 en l , así que cualquier punto de la recta l se escribe x + ux′ . Si hacemos Φ a ( x + ux′) = 0 , resulta la siguiente ecuación que da las dos intersecciones Ca .l Φ a ( x ) + 2uxT M a x′ + u 2Φ a ( x′) = 0 ,(I.4.7) y la ecuación análoga para las dos intersecciones Ca .l . Distinguiremos los dos casos siguientes: a) El primer caso ocurre si las dos raíces de la ecuación (I.4.7) son diferentes. Eligiendo, en este primer supuesto, L1 = P1 y L2 = P1′ , de modo que Φ a ( x ) = Φ a ( x′) = 0 , la ecuación que da las dos intersecciones C ( µ ) . l se escribe µ Φ b ( x ) + 2uµ ( x T M b x′) + u 2Φ b ( x′) = 0 , luego C ( µ ) induce en l una involución definida por uu′ = Φ b ( P1 ) / Φ b ( P2 ) . Puesto que u( P1 ) = 0 y u( P1′) = ∞ , ( P1 , P1′) es un par de puntos homólogos en la involución. Para µ = ∞ se obtiene igualmente el par ( P2 , P2′) . b) El segundo caso supone que las dos raíces de la ecuación (I.4.7) son iguales, esto es, P1 = P1′ . Elegimos ahora L1 = P1 y L2 = P2 , cumpliéndose, pues, Φ a ( x ) = x T M a x′ = 0 y Φ b ( x′) = 0 . La ecuación asociada a los puntos intersección C ( µ ) . l resulta µΦ b ( x ) + 2uµ ( x T M b x′) + u 2Φ a ( x′) = 0 , luego C ( µ ) induce en l una involución definida por uu′ = (u + u′)uo , donde uo es el valor del parámetro u de P2′ . Los dos puntos dobles son aquí P1 y el conjugado de P1 respecto de P2 y P2′ , cuyo valor del parámetro correspondiente es 2uo . En la Sección I.5, a continuación, presentaremos otras identificaciones particulares del anterior teorema de Desargues en ℘N , referidas a su aplicación en el espacio bidimensional (ver las propiedades derivadas de las proposiciones I.5.11 a I.5.15).

I.5.- PROPIEDADES POLARES DE CP , P ′ En esta sección se mostrará que la mayoría de las propiedades de un haz de cónicas, estudiadas en la Ref.[1], son, en realidad, consecuencias del siguiente teorema generalizado: Teorema I.5.1: Sea ℘N − 2 ≡ r . r ′ , que determina un subespacio ( N − 2) -dimensional y ℘1 la recta PP′ , que determina un subespacio unidimensional. Excluyendo algunas situaciones particulares, que se precisarán también en la demostración, se cumple: a) ℘N − 2 y ℘1 son conjugados con relación a todos los miembros de CP , P ′ , es decir, ℘1 y la ( N − 1) -polar de un punto cualquiera de ℘N − 2 , digamos R, respecto de cualquier Cϕ , ϕ ≠ 0 , son incidentes; y, recíprocamente, ℘N − 2 y la ( N − 1) -polar de un punto cualquiera de ℘1 , M , respecto, de nuevo, de cualquier Cϕ , ϕ ≠ 0 , son también incidentes. Además: b.1) La ( N − 1) -polar de R respecto de cualquier Cϕ , ϕ ≠ 0 , es invariante, es decir, existe una única ( N − 1) -polar, que no depende de ϕ (o δ ).

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b.2) Las ( N − 1) -polares de M respecto de todos los miembros Cϕ mantienen una relación homográfica con ϕ (o δ ). Para formar la ecuación de la ( N − 1) -polar de un punto E = α T ≡ (α1 ,α 2 ,...,α n ) en ℘N , respecto de Cϕ (¡en principio no excluíremos ninguna singularidad en CP , P ′! ), debemos computar las primeras derivadas de Φ (ϕ ) respecto de cualquier coordenada X i , obteniendo

X δ Φ 1 n Xh 1 n Xh = ∑ + ∑ − 2ϕ i . xi xi′ δ X i xi 1 xh′ xi′ 1 xh En definitiva, la polar de E con relación a Cϕ se escribe

 n αi   n X i   n αi   n X i  X  ∑   ∑  +  ∑   ∑  − 2ϕ i = 0 , (I.5.1) xi xi′  1 xi   1 xi′   1 xi′   1 xi  donde las coordenadas α i se han considerado de manera genérica, es decir, referidas, en principio, a un punto cualquiera del espacio ℘N . En primer lugar, sea R ≡ (α1 ,α 2 ,...,α n ) un punto cualquiera en ℘N − 2 , y, por ello, simultáneamente incidente con r y r ′ . Así pues, las coordenadas de R satisfacen las dos relaciones  n αi ∑ x = 0 1 i (I.5.2) n α i  = 0, ∑ 1 xi′ luego sustituyendo las dos relaciones (I.5.2) en (I.5.1), y excluyendo el caso ϕ = 0 (o, alternativamente, δ = n ), en el cual la prueba es trivial, obtenemos la siguiente ecuación simplificada de la ( N − 1) -polar de R n αX ∑1 xi x′i = 0 . (I.5.3) i i La ecuación (I.5.3) es, efectivamente, independiente de ϕ . Hacemos notar que hemos excluído en la proposición únicamente el caso ϕ = 0 , o su equivalente δ = n , en el que esta polar no tiene significado. Además, como en la demostración de la proposición I.4.2.3, sea U u = P + uP′ un punto en ℘1 ≡ PP′ definido por el parámetro u. Sustituyendo las coordenadas de U u en el primer miembro de la ecuación (I.5.3), esto es, haciendo X i = xi + uxi′ y teniendo de nuevo en cuenta (I.5.2), probamos que ℘1 y (I.5.3) son incidentes. Se deduce también de la simple inspección de la ecuación (I.5.3): Corolario I.5.2: La N-polar de un punto R en ℘N − 2 respecto de cualquier N-cuádrica en CP , P ′ , exceptuando Co es la imagen transformada de R en la polaridad (V1V2 ...Vn )( P r′) , por ello coincidente (ver proposición I.2.4(b)) con el hiperplano armónico asociado, o n-polar en SV , del punto transformado de R en TP , P ′ . En segundo término, aplicando la ecuación (I.5.1) a la obtención de la polar de U u = P + uP′ (en ℘1 ), respecto de Cφ , después de hacer el cambio de parámetros (I.4.3), lleva a la ecuación

 n X   n X  ( k1 + u δ )  ∑ i  + (u k 2 + δ ) ∑ i  = 0 . (I.5.4)  1 xi   1 xi′  - 24 -

Si δ varía, excluyendo algunos casos excepcionales que discutiremos después, la expresión (I.5.4) representa, efectivamente la ecuación de un haz de ( N − 1) -planos incidentes en ℘N − 2 . Esta identificación la justificaremos después nuevamente, de forma aún más expresiva, con base en la proposición I.5.11. La correspondencia homográfica entre las polares de un punto en ℘1 y ϕ , o δ , es inmediata puesto que la ecuación (I.5.4) del haz, se expresa también por la forma lineal p (λ ) = λr + r′ , con k +δ u λ= 1 . (I.5.5) u k2 + δ Corolario I.5.3: La expresión (I.5.5) implica una relación trilineal entre los tres parámetros u , δ y λ. Una primera consecuencia de este corolario es la existencia de tres correspondencias homográficas diferentes. Cada una de ellas relaciona cada dos parámetros elegidos entre λ , δ (o ϕ ) y u , si se fija el tercer parámetro, excluído en la selección del par inicial. Sin embargo, debemos excluír de este corolario diversos casos excepcionales en que se produce la anulación del módulo respectivo de cada homografía, que corresponden a aquellas situaciones especiales en las que no se mantiene la relación homográfica de referencia. En estas situaciones concretas no existe, en efecto, ninguna relación funcional entre los parámetros integrantes del par inicial elegido. A continuación escribimos las expresiones particulares de los parámetros asociados a casos excepcionales, considerando, sucesivamente, las dos homografías, la primera entre λ y u , formulada como λ = f1 (u ) , con δ fijado, y la segunda entre λ y δ , formulada como λ = f 2 (δ ) , con u también fijado. En los resultados obtenidos, comprobamos también que la consideración de una tercera homografía, es decir, la relación (I.5.5), λ = f 3 (u, δ ) , con λ fijado, es ya superflua, por estar su estudio ímplicitamente incluído en el análisis de las dos anteriores. Así pues, escribiremos primero cada una de las dos expresiones del parámetro fijado que deben ser excluídas, pues, para cada una de ellas se anula el módulo correspondiente de la homografía que relaciona los otros dos parámetros variables. En segundo lugar se indican las dos expresiones respectivamente asociadas con cada una de las dos precedentes, del parámetro considerado como función, cuando la relación homográfica resulta degenerada. En tercer lugar se escriben también las dos expresiones del parámetro tomado como variable, nuevamente asociadas con cada uno de los dos pares anteriores de los dos primeros parámetros mencionados, que deben excluírse en cada ocasión, puesto que la expresión del parámetro considerado como función, resulta indeterminada. Se tienen, en suma, las exclusiones siguientes: 1 1    1  k1  2   k1  2  δ = k 2 , ∀u − −    λ1 =   ,  1 k2     k2      λ = f1 ( u )  1 1   1   k1  2  k1  2   2 δ 2 = − k , λ2 = −  , ∀u −     k      2   k2      1 1  2 2  12      k k 1 u =  1  ,   , λ δ = ∀ − − k  1 k   1  k 2   2   λ = f 2 (δ )  1 1   1  k 2  k 2 u2 = − 1  , λ2 = − 1  , ∀δ −  k 2  .   k2   k2    - 25 -

La discusión sobre las excepciones indicadas, permite deducir sucesivamente

Corolario I.5.4: p (λ1 ) (resp. p (λ2 ) ) es la ( N − 1) -polar común de todos los puntos en PP′ , excepto U 2 (resp. U 1 ), respecto de C (δ1 ) (resp. C (δ 2 ) ). Corolario I.5.5: p (λ1 ) (resp. p (λ2 ) ) es la ( N − 1) -polar de U 1 (resp. U 2 ) con relación a cualquier C (δ ) , con excepción de C (δ 2 ) (resp. C (δ1 ) ). Corolario I.5.6: La ( N − 1) -polar de U 2 (resp. U 1 , si u1 ≠ n ) con relación a C (δ1 ) (resp. C (δ 2 ) ), es indeterminada. Además, puesto que U 2 (resp. U 1 ) está en C (δ1 ) (resp. C (δ 2 ) ), este corolario I.5.6, y la observación de que ni C (δ1 ) ni C (δ 2 ) se descomponen, prueba que U 1 y U 2 son los respectivos puntos singulares, o sea los respectivos vértices de C (δ1 ) y C (δ 2 ) (nos referimos aquí de nuevo a la proposición I.4.2). Aplicando la ecuación (I.5.5) a los dos ( N − 1) -planos, r = P(∞) y r′ = P(0) en p (λ ) , sus polos respecto de cualquier C (δ ) están en PP′ . Completamos esta propiedad con Proposición I.5.7: Sean π ( r, δ ) y π ( r′,δ ) los polos de r y r ′ respecto de C (δ ) .El par de puntos (π ( r, δ ),π ( r′, δ )) separa armónicamente al par (U 1 ,U 2 ) , de forma que π ( r, δ ) y π ( r′,δ ) son transformados recíprocos en la involución inducida por CP , P ′ en PP′ . Haciendo λ = ∞ y λ = 0 en la ecuación (I.5.5), se obtienen u(π ( r, δ )) = −δ k 2−1 y u(π ( r ′, δ )) = −δ −1 k1 , que cumplen, efectivamente, la involución (I.4.6). Los pares (Q, Q′) y ( P, P′) son los dos casos particulares de π ( r, δ ) y π ( r′,δ ) , asociados respectivamente a C (n ) y C (∞) . Corolario I.5.8: La N-cuádrica C (0) , o también Cn 2 , verifica que P y P′ son los polos de r y r ′ respecto de C (0) . Corolario I.5.9: Hay una N-cuádrica en CP , P ′ incidente con π ( r, δ ) y π ( r′,δ ) . Sea C (η ) la N-cuádrica de referencia en el corolario I.5.9. Sustituyendo uno cualquiera de π ( r,δ ) o π ( r′,δ ) en la ecuación de C (η ) , se obtiene la siguiente relación entre los parámetros δ yη (η + n )δ 2 − 2(ηn + k )δ + (η + n )k = 0 . (I.5.6) Se comprueba en esta relación que C (η ) ≡ C (δ ) si C (δ ) es singular, esto es para los tres valores δ = n y δ 2 = k , y también que la N-cuádrica asociada con C (0) y/o C (∞) es C ( − n ) ≡ Cn , es decir la N-cuádrica de CP , P ′ incidente con P y P′ . Por otro lado, esta ecuación (I.5.6) es lineal en η y cuadrática en δ . Ello significa que, dada cualquier C (δ ) en CP , P ′ , existe otra C (δ ′) asociada con C (δ ) , tal que C (δ ) y C (δ ′) intercambian los polos de r y r ′ . De la misma se deduce que δ y δ ′ están ligadas por la relación involutiva δδ ′ = k . (I.5.7) Siguiendo la exposición en [1](Proposición 2.10,p.143), designaremos como homólogas a cada par de N-cuádricas en CP , P ′ que satisfacen la relación anterior, y como consecuencia de este resultado, se cumple también el siguiente

Corolario I.5.10: Puesto que los valores dobles de la involución (I.5.7) coinciden con (I.4.4), y existe la homografía (I.5.5) para cualquier valor arbitrario de λ , con las dos excepciones seña-

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ladas, los polos comunes intercambiados de dos cónicas homólogas cualesquiera son intersecciones de una misma N-cuádrica del haz CP , P ′ con la recta PP′ . Un ejemplo significativo de tales dos N-cuádricas homólogas es el par formado por C (∞ ) y C (0) , o, de otro modo, C∞ y Cn 2 , cuyos polos intercambiados son los puntos P y P′ , que son, a su vez, las intersecciones de la N-cuádrica Cn con PP′ . La segunda N-cuádrica, Cn / 2 , es, de hecho, otro miembro relevante en CP , P ′ , pues es la análoga a la cuádrica denominada C4 en

[1],p.139. Si n es un número par, C (0) no representa realmente un nuevo miembro adicional en CP , P ′ , ya que en este caso coincide con la N-cuádrica incidente con las proyecciones de P y n − 1. 2 Hacemos notar, sin embargo, que en espacios de dimensión N > 2 , no es posible establecer una segunda caracterización de C (0) , análoga a la definida para la cónica C4 en [1],p.139, la cual, para la elección particular de P y P′ , como el centroide y el ortocentro del triángulo de referencia, identificaba esta cónica con el círculo de Monge de la segunda elipse de Steiner. Pues, en efecto, esta caracterización alternativa de C (0) , se refiere específicamente al caso bidimensional, o, de otro modo, a la índole especial del número 3, apuntada en la Introducción. P′ sobre los subespacios coordenados de dimensión

Proposición I.5.11: Si C (δ ) y C (δ ′) designan dos N-cuádricas homólogas en CP , P ′ , las dos intersecciones PP′. C (δ ) separan armónicamente a las dos intersecciones PP′. C (δ ′) . Consideremos las dos ecuaciones de las respectivas intersecciones C (δ ). PP′ y C (δ ′). PP′ . La primera es la ecuación (I.4.5), y la segunda es la ecuación resultante de hacer el cambio δ ′ = k / δ en la ecuación (I.4.5), particularizada para δ ′ , así pues ( nδ + k )k 2u 2 + 2( n + δ )ku + ( nδ + k )k1 = 0 . (I.5.8) Designando por u1 y u2 las dos raíces de la ecuación (I.4.5) y por u1′ y u2′ las dos raíces de la ecuación (I.5.8), se deduce inmediatamente que se anula la siguiente condición armónica (u1 + u2 ) (u1′ + u2′ ) − 2(u1u2 + u1′u2′ ) = 0 , pues basta sustituír en esta expresión las correspondientes funciones simétricas deducidas de las dos ecuaciones. Debemos volver ahora a una explicación, algo más precisa, de la anterior expresión (I.5.4). Por simplicidad expresiva utilizaremos el término genérico polar con el significado matemático de ( N − 1) -polar. En efecto, sea C µ = C ′ + µC ′′ el haz de N-cuádricas definido por C ′ y C ′′ , y, de nuevo, U u = P + uP′ . Debido a la condición lineal de ambas expresiones de C µ y de U u , la polar de U u respecto de C µ es una combinación lineal de las cuatro polares de P y P′ respecto de C ′ y C ′′ . Definimos ahora C P , P ′ = C (δ ) a partir de C ′ ≡ C (0) y C ′′ ≡ C (∞) , de modo que C µ ≡ C (δ ) . Puesto que r y r ′ son las polares comunes, intercambiadas, de P y P′ respecto de C ′ y C ′′ , la polar de U u es una combinación lineal de r y r ′ , y, por ello, para valores variables de u , esta polar define un haz dado por la expresión (I.5.4). Asimismo, con mayor generalidad, refiramos U u a cualquier otro par de dos puntos homólogos en la involución inducida por CP , P ′ en PP′ , por ejemplo, el par ( M ′, M ′′) , y elijamos C ′ = C (δ ′) y C ′′ = C (δ ′′) tales que M ′ = π ( r, δ ′) , M ′′ = π ( r, δ ′′) , donde (δ ′, δ ′′) satisfacen la relación (I.5.7). Las siguientes aserciones son aplicaciones particulares de los teoremas generalizados (I.2.6) y (I.2.7) al haz CP , P ′ . - 27 -

Proposición I.5.12: Sean M i′ = PVi . r′ (resp. M i = P′Vi . r ) y mi′ = vi . r′ (resp. mi = vi . r ). Los (n ) pares ( M i′, mi′ ) (resp ( M i′, mi′ ) ), 1 ≤ i ≤ n , son pares de elementos homólogos en una polaridad en r ′ (resp. r ), cuya ( N − 1) -cuádrica invariante es CP , P ′ . r ′ (resp. CP , P ′ . r ). En primer término C PP ′ . r′ ≡ C∞ . r ′ . A continuación aplicamos I.2.6a. El mismo resultado se obtiene también analíticamente. Sea M i′ = P + ρ i′Vi y determinemos ρi′ haciendo incidentes M i′ y r ′ , obteniendo ρ i′ = − k1. xi′ . Deducimos que r′ − n( X i / xi ) = 0 es la ecuación de la polar de M i′ respecto de la N-cuádrica conjugada C∞ , luego mi′ y las polares de M i′ con relación a cualquier otra Cφ son incidentes.

Proposición I.5.13: De nuevo en el subespacio r ′ , consideramos Q′ = PP′. r ′ y ℘N − 2 = r . r ′ : (Q′,℘N − 2 ) es también un par de elementos homólogos en la polaridad del enunciado de la proposición I.5.12. Se aplicará I.2.6b. En efecto, las polares de Q′ , situado en PP′ , con respecto a todas las N-cuádricas Cφ son incidentes en r. r ′ . En particular, puesto que Q′ = P − ( k1 / n ) P′ , se deduce que r′ − ( k1 / n ) r es la polar de Q′ respecto de C∞ . El ejemplo más simple que podemos dar de la aplicación de la proposición I.5.12, o alternativamente de I.2.6a, es la siguiente construcción en el espacio ℘2 , que nos permite definir involuciones sobre líneas (espacios unidimensionales), como se muestra también en la Ref.[5],p.64: Dado el triángulo ABC y un punto P no incidente con ningún lado y una recta r ′ no incidente con ningún vértice, los pares formados por las intersecciones respectivas de PA y BC , PB y CA , PC y AB , con la recta r ′ , son pares de una involución en la recta r ′ . Vemos también que esta propiedad en el espacio bidimensional, puede considerarse como una aplicación particular del teorema de Desargues, relativo a pares de intersecciones de r ′ y las cónicas del haz que pasan por A, B, C y P , si se eligen, en concreto, las tres cónicas descompuestas del haz, esto es, los pares ( PA, BC ) , ( PB, CA) y ( PC , AB ) . Esta identificación de la proposición I.5.12 como un simple corolario del teorema I.4.6 en el espacio bidimensional, está vinculado de nuevo, al resultado β (3,2) = 3 . Además, aplicando I.5.13 o I.2.6b, y teniendo de nuevo en cuenta que Q = PP′. r y Q′ = PP′. r ′ , se obtiene también en ℘2 : Corolario I.5.14: Sea U = r. r ′ . Existe una cónica que pasa por A, B, C , P, Q′ y U (resp. A, B, C , P′, Q y U ), y considerando conjuntamente estos dos resultados duplicados, Corolario I.5.15: ( P, Q′) y ( P′, Q ) son pares de la involución inducida por el haz de cónicas incidentes con A, B, C y U en PP′ . Seleccionando de nuevo las tres cónicas degeneradas del haz, esto es, los pares ( AU , BC ) , ( BU , CA) , (CU , AB ) , se deduce Proposición I.5.16: Sean A1 , B1 , C1 las intersecciones respectivas de PP′ y AU , BU , CU , y A2 , B2 , C2 las intersecciones de PP′ y BC , CA, AB , Los tres pares ( A1 , A2 ), ( B1 , B2 ), (C1 , C2 ) son pares de puntos homólogos en la involución ( PQ′) ( P′Q ) . Observemos que ( PQ′) ( P′Q ) es la involución subordinada por la cónica C∞ en PP′ . Hemos llegado así a una nueva aplicación, distinta, del teorema I.2.7 que se reduce así a un simple corolario del teorema de Desargues en el espacio bidimensional. - 28 -

Los desarrollos finales que incluímos en esta sección están generalizados de nuevo en el espacio ℘N . Haciendo δ = ∞ en (I.5.5), deducimos que λ = u relaciona un punto cualquiera de PP′ con su ( N − 1) -polar respecto de C∞ , que pertenece al haz p (λ ) . En particular, aplicando lo establecido en I.2.7 a las intersecciones Ti = vi . PP′ = x + ui x′ , obtenemos, en efecto, ui = λi = − xi / xi′ . Además, mediante sustitución de x + ux′ en ur + r′ , se deriva la siguiente ecuación de la involución ( PQ′) ( P′Q ) k 2uu′ + n(u + u′) + k1 = 0 . (I.5.9) De la comparación de esta ecuación y la ecuación (I.4.6) de la involución inducida por CPP ′ en PP′ , deducimos Corolario I.5.17: Los puntos dobles de la involución ( PP′)(QQ′) , es decir, U 1 y U 2 , forman un par de homólogos en la involución ( PQ′)( P′Q ) , y, recíprocamente, los puntos dobles de la involución ( PQ′)( P′Q ) , que llamamos D1 y D2 , constituyen un par de homólogos en la involución ( PP′)(QQ′) . Hacemos notar también que ( D1 , D2 ) = C∞ .PP′ . Se obtienen D1 y D2 haciendo u = u′ en la ecuación (I.5.9), o, alternativamente, haciendo δ = ∞ en la ecuación (I.4.5), que dan la ecuación resolvente k 2u 2 + 2nu + k1 = 0 . Proposición I.5.18: Existe un único par perteneciente a las dos involuciones ( PP′)(QQ′) y ( PQ′)( P′Q ) . Es el par de puntos, que llamamos ( D1′, D2′ ) , que separan armónicamente a (U 1 ,U 2 ) y ( D1 , D2 ) . Según la proposición I.5.11, este par es también C (0) . PP′ , donde C (0) es la N-cuádrica homóloga de C (∞ ) en CP , P ′ . Se obtienen D1′ y D2′ haciendo δ = 0 en la ecuación (I.4.5), así pues, para valores nk 2u 2 + 2ku + nk1 = 0 . Corolario I.5.19: Los tres pares (U 1 ,U 2 ) , ( D1 , D2 ) y ( D1′, D2′ ) están mutuamente separados armónicamente. Nos remitimos desde aquí al teorema I.7.4 para establecer una propiedad más general de las involuciones, relacionada con el anterior corolario I.5.19.

I.6.- CASOS DEGENERADOS EN CP , P ′ En la sección anterior I.5 hemos probado que, en el caso general, hay tres N-cuádricas singulares distintas en CP , P ′ , representadas por C (n ) , C (δ1 ) y C (δ 2 ) . Consideraremos casos degenerados del haz CP , P ′ aquellos en los que dos cualesquiera entre los tres miembros singulares mencionados del haz son coincidentes. Veremos aquí que esto ocurre únicamente para los tres valores particulares, 0 , ∞ y n 2 , de k . A continuación estudiamos estos tres casos degenerados individualizados. Caso k = 0 (δ 1 = δ 2 = 0) : Este supuesto requiere que k1 = 0 , o bien, k 2 = 0 . Excluíremos, de momento, la hipótesis k1 = k 2 = 0 . Supondremos, por ejemplo, que k1 = 0 y k 2 ≠ 0 . Proposición I.6.1: Todas las N-cuádricas Cϕ son tangentes a r ′ en P . - 29 -

En primer lugar, puesto que k1 = 0 implica que r ′ es incidente con P , lo es también Co . Además, sustituyendo las coordenadas de P en la ecuación (I.2.1), se prueba que C∞ es incidente con P , luego lo es también cualquier Cϕ . Obsérvese, igualmente, que Co ≡ C (n ) es una N-cuádrica singular en CP , P ′ , con multiplicidad ( n − 2) . El segundo miembro singular , con multiplicidad doble, es Cn / 2 ≡ C (0) , que es un Ncono de segundo grado de vértice P y el homólogo de C (∞ ) . Corolario I.6.2: El subcaso k1 = k 2 = 0 implica que P y P′ son, ambos, puntos singulares de C (0) . Esto supone que todos los puntos de la recta PP′ serán también puntos singulares de C (0) . En consecuencia, C (0) , contado dos veces, es la unión de dos ( N − 1) -planos, como también lo es el otro miembro singular C ( n ) ≡ rr ′ , este último con multiplicidad ( n − 2) . Más precisamente, C (0) se descompone en la unión de dos ( N − 1) -planos incidentes con PP′ (si n = 3 , esto es, en el espacio ℘2 , C (0) se descompone en el producto de la línea duplicada PP′ , aunque debemos señalar que los dos puntos P y P′ serían imaginarios en este caso concreto). Caso k = ∞ (δ 1 = δ 2 = ∞) : Este supuesto requiere que k1 o k 2 tiendan a ∞ . Resulta, por ejemplo, k1 = ∞ , si la coordenada x1′ crece indefinidamente sin límite, mientras todas las restantes coordenadas de P′ mantienen relaciones constantes. Bajo estas condiciones, P′ tiende al vértice V1 a lo largo de una línea que puede ser arbitrariamente elegida, fuera de cualquier ( N − 1) -plano coordenado, mientras r ′ tiende también a un ( N − 1) -plano límite incidente con V1 . De esta manera se relaja la restricción inicial de no anulación de cualquier coordenada de P′ (resp. P ). En este caso las expresiones respectivas de r ′ y C∞ serían n

Xi

2

i

∑ x′

=0

X i2 ∑2 x x′ = 0 . i i Deben reconsiderarse adecuadamente, asimismo, la proposición I.1.1 y el teorema I.2.3, teniendo en cuenta las expresiones anteriores, cuya formulación explícita la estimamos ya innecesaria. Proposición I.6.3: Todas las N-cuádricas no singulares en CP , P ′ son tangentes a r ′ en P′ . n

En primer lugar, puesto que P′ ≡ (∞, x2′ ,..., xn′ ) ≡ (1,0,...,0) , se comprueba que r ′ y C∞ son ambas incidentes con P′ . Además, escribiendo la ecuación de la polar de P′ respecto de C (δ ) , y aquí debemos excluír δ = n y δ = ∞ , se obtiene r′ . Corolario I.6.4: C∞ es la segunda N-cuádrica singular en CP , P ′ , además de rr ′ . C∞ es aquí un N-cono de vértice P′ contado dos veces.

Caso k = n 2 (δ 1 = −δ 2 = n ) Proposición I.6.5: a) Si k = n 2 , PP′ , r y r ′ son mutuamente incidentes, de forma que Q ( ≡ PP′. r ) ≡ Q′ ( ≡ PP′. r′) . b) Cualquier N-cuádrica en CP , P ′ es incidente con Q (resp. Q′ ), y

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todas ellas comparten un ( N − 1) -plano tangente común en Q (resp. Q′ ), que es el ( N − 1) -plano que contiene a r. r ′ y PP′ . Las intersecciones de los hiperplanos r y r ′ con la recta PP′ , definida, de nuevo, por la forma paramétrica U u ≡ P + uP′ , son respectivamente n Q ≡ r. P P ′ ≡ P − P ′ k2 k1 P′ , n que son coincidentes si se cumple la igualdad de ambos parámetros n k − = − 1 → k = n 2 , (I.6.1) k2 n cuya expresión en función explícita de las coordenadas de P y P′ , se escribe ( xi x′j − x j xi′) 2 = 0 . (I.6.2) ∑ xi xi′x j x′j i , j ∀i , j∈(1,.., n ) ; i ≠ j Si los puntos P y P′ son reales, como estamos considerando, debemos distinguir aquí dos situaciones posibles. En primer lugar, si P y P′ comparten signaturas comunes de las n coordenadas, es decir, si están ambos situados en un mismo recinto n-dimensional definido por los n hiperplanos coordenados, los n productos xi xi′ son positivos y la condición (I.6.2) requiere que n(n − 1) se cumplan necesariamente las condiciones 2 xi x′j − xi′x j = 0 , ∀i , j ∈ (1,.., n ) ; i ≠ j , que suponen la coincidencia P ≡ P′ . Esta posibilidad se considerará posteriormente como un subcaso particular simplista del caso k = 0 . Con mayor generalidad, si los puntos P y P′ están situados en dos recintos distintos, uno al menos, y el número máximo n − 1 , de los n productos xi xi′ será negativo, y coinciden los puntos Q ≡ Q′ para el valor común del parámetro en (I.6.1). Además, sustituyendo este valor en (I.5.4), resulta la siguiente ecuación de la polar de la intersección común Q respecto de la N-cuádrica C (δ ) k1 r − r′ = 0 , n que no depende de δ y es, precisamente, la ecuación de la recta PP′ . Ello supone que todas las N-cuádricas del haz CP , P ′ son tangentes a PP′ en Q , y, también que Q coincide con uno de Q′ ≡ r ′. PP′ ≡ P −

los puntos dobles de la involución (U 1U 2 ) ( PP′) sobre la recta PP′ , que suponemos U 2 , aunque esta involución, que tiene definición real, sea ciertamente inoperante en este caso, en relación con las intersecciones C (δ ).PP′ . El segundo punto doble, U 1 , definidos ambos por los valores parámetricos (I.4.6), sigue teniendo sentido, y aquí hacemos referencia a diversas propiedades deducidas en el caso bidimensional en [1], pp.149-153, representadas también gráficamente en [1],(FIG.2), p.152. Refiriéndonos al enfoque multidimensional, los dos miembros singulares de CP , P ′ son, en este supuesto, C ( n ) = Co , contado (n − 1) veces, y C ( − n ) = Cn , que es un N-cono de vértice P − uQ P′ , contado dos veces.

Corolario I.6.6: La N-cuádrica C ( − n ) ≡ Cn , incidente con P y P′ , contiene a PP′ . Corolario I.6.7: El vértice de Cn es el conjugado de Q ( ≡ U 2 ) con relación a P y P′ .

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Subcaso P ≡ P′ Este subcaso especial de k = n 2 ocurre cuando P y P′ son coincidentes. En este supuesto tienen significado Co ≡ r 2 y C∞ , así como el haz CP , P ′ . Sin embargo no tienen significación ni PP′ ni la involución definida anteriormente sobre PP′ . Además, Proposición I.6.8: a) Si P ≡ P′ todas las N-cuádricas en CP , P ′ son bitangentes en su intersección común con r . b) P es el polo común de r con relación a cualquier Cφ . Para comprobación de I.6.8-a) basta considerar la ecuación r 2 − φ C∞ . Para la comprobación de I.6.8-b) se aplica la ecuación general de la ( N − 1) -polar (I.5.1). Las dos N-cuádricas singulares son el doble ( N − 1) -plano r , contado (n − 1) veces, y Cn que es un N-cono de vértice P, circunscrito a todas las Cϕ no degeneradas a lo largo de C∞ . r .

I.7.- EL ESPACIO UNIDIMENSIONAL A lo largo de las secciones I.3 a I.6 hemos analizado el haz CP , P ′ en espacios de dimensiones N > 1 . En esta sección haremos el estudio paralelo en el espacio unidimensional, que presenta algunas particularidades especiales. Sean V1 ≡ (1,0) y V2 ≡ (0,1) los dos puntos que definen el sistema de referencia, en este caso lineal, en el espacio ℘1 , y P ≡ ( x1, x2 ) y P′ ≡ ( x1′, x2′ ) los otros dos puntos básicos. Para precisar una definición más concreta de la significación de las coordenadas proyectivas homogéneas de cualquier punto genérico Q ≡ ( q1 , q2 ) sobre la recta V1V2 ≡ PP′ , estas coordenadas podrían representar, por ejemplo, valores relativos de las distancias signadas de Q a los dos puntos referentes V1 ,V2 , o cualesquiera otras funciones homográficas igualmente representativas de la posición del punto correspondiente de manera unívoca. Si las coordenadas q1 ,q2 se eligen, más específicamente, como los valores, nuevamente signados, de estas distancias, lo que correspondería a la elección de coordenadas normales multilineales en el espacio N-dimensional, ello supone además la formulación de la condición suplementaria q1 + q2 = d , siendo d la distancia V1V2 , expresión que pertenece ya al área de la geometría métrica unidimensional. La condición analóga en dos dimensiones sería una expresión trilineal de la formulación del área del triángulo base, esto es, la ecuación ax + by + cz = 2 S , donde x, y, z representan las coordenadas trilineales normales de un punto en el triángulo de referencia, y a, b, c son las longitudes de los lados y S el área de este triángulo. Asimismo, la análoga en el espacio multimensional sería una expresión multilineal similar del hipervolumen del politopo de referencia de la forma i=n

∑xV

i i

N −1

= V N , donde V N es el hipervolumen del N-simplex referente total y Vi N −1 el

i =1

hipervolumen de cada (N-1)-simplex residual una vez suprimido el vértice Vi . Anticipamos aquí estas ideas como introducción a las dos últimas Secciones I.8 y I.9 de este Capítulo I, con las que completaremos el estudio más general en el espacio N-dimensional, si bien estableceremos más adelante mayores aclaraciones sobre esta cuestión en el Capítulo IV, operando ya en un sistema de coordenadas cartesianas ortonormales multidimensional. Volviendo al espacio ℘1 , es decir, con n = 2 , una ecuación lineal homogénea en las dos coordenadas homogéneas genéricas es la ecuación de un punto, mientras una ecuación de segundo grado en las mismas se descompone en dos factores lineales y por ello es la ecuación de un par

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de puntos que, eventualmente, podrían ser coincidentes. En la nomenclatura empleada en espacios de dimensiones superiores cabría decir que todas las formas de segundo grado en ℘1 son degeneradas o singulares. Siguiendo el paralelismo en espacios superiores, el elemento análogo en ℘1 del ( N − 1) -plano armónico asociado de un punto P con relación al sistema de referencia, como se ha definido en un espacio ℘N , es ahora otro punto Q, que es el armónico conjugado de P con relación al par (V1 ,V2 ) . En particular, los respectivos armónicos conjugados de P ≡ ( x1, x2 ) y P′ ≡ ( x1′, x2′ ) son Q ≡ ( x1 ,− x2 ) y Q′ ≡ ( x1′,− x2′ ) , de modo que el par (Q, Q′) sería el elemento análogo en ℘1 de la N-cuádrica Co en ℘N . El invariante k en el espacio unidimensional tiene la forma  x1 x2   x1′ x2′  ( x1 x2′ + x2 x1′ ) 2 k =  +   +  = , x1 x2 x1′x2′  x1′ x2′   x1 x2  luego k = 0 si, y sólo si, P ≡ Q′ ↔ P′ ≡ Q , es decir, si V1 y V2 separan armónicamente a P y P′ . El elemento análogo de la transformación involutiva de segundo grado TP , P ′ que transforma recíprocamente P y P′ , que hemos definido en ℘N , será ahora la involución (V1V2 ) ( PP′) . En adelante se designará más abreviadamente esta involución por I P , P ′ y el par formado por los puntos dobles de I P , P ′ , por (U 1 ,U 2 ) . De manera análoga, la polaridad (V1V2 ...Vn ) ( P r ′) definida en espacios ℘N para dimensiones N > 1 , puede ser considerada como una generalización de la involución (V1V2 ) ( PQ′) en el espacio ℘1 , donde ( P, Q′) es el segundo par de puntos elegidos para formar esta involución, además del par (V1 ,V2 ) . El análogo de la N-cuádrica invariante en (V1V2 ...Vn ) ( P r ′) , que hemos denominado Co , es ahora el par de puntos que separan armónicamente los dos pares (V1 ,V2 ) y ( P, Q′) , o sea el par de los dos puntos dobles de la involución (V1V2 ) ( PQ′) . Además, el análogo en I P , P ′ de la N-cuádrica conjugada de Co , que hemos llamado C∞ en ℘N , es el par formado por los dos puntos dobles, ( D1 , D2 ) , de la proyectividad (V1V2 ) ( PQ′) ( P′Q ) , que es realmente una involución. Supondremos primero que ninguna coordenada de P y/o P′ se anula y, también, que P ≠ P′ y P ≠ Q′ . Estos tres casos particulares serán considerados más adelante. Es obvio que se cumple la equivalencia P ≠ Q′ ↔ Co ≠ C∞ , y que tiene entonces significado la ecuación Co − ϕ C∞ del haz CP , P ′ en el espacio ℘1 , y representa pares de puntos homólogos en la involución I P , P ′ . Además de los dos pares particulares (Q, Q′) y ( D1 , D2 ) que, como hemos comentado con anterioridad, se obtienen respectivamente para ϕ = 0 y ϕ = ∞ , nos son ya conocidos otros dos pares diferentes de esta involución. En primer lugar, el par (V1 ,V2 ) , que se obtiene para ϕ = 1 , es el análogo de la N-cuádrica C1 , y, en segundo lugar, el par ( P, P′) , que se obtiene para ϕ = 2 , es el análogo de la N-cuádrica Cn ( C2 en el espacio ℘1 ). Para mayor brevedad forzaremos la terminología en algunas situaciones siguientes, identificando cada par de la involución I P , P ′ con la denominación de su asociada Cϕ . 1 ( 2 − δ ) , y las dos expresiones de C (δ1 ) y 2 C (δ 2 ) de los dos miembros singulares del haz (y aquí hacemos notar que Co no es efectiva-

El cambio (I.4.2) se escribe en el espacio ℘1 , ϕ =

mente un miembro singular en el espacio ℘1 , puesto que el discriminante de la forma de según- 33 -

do grado de CP , P ′ no se anula para ϕ = 0 ), corresponden a los dos pares (U 1 ,U 1 ) y (U 2 ,U 2 ) , Si

k ≠ 0 y k ≠ 1 , resultan u1 = −u2 = ( x1 x2 / x1′x2′ )1 / 2 . La condición δδ ′ = k , anteriormente deducida en la sección I.5, de un par de N-cuádricas homólogas en ℘N , se refiere en el espacio ℘1 a cada dos pares de puntos en I P , P ′ que intercambian los conjugados armónicos de Q y Q′ respecto a cada uno de ellos, a los que aplicaremos así la misma denominación de homólogos. Además, dos pares homólogos cualesquiera mantienen entre sí la misma relación armónica, es decir, los dos puntos de un par separan armónicamente a los del otro. El homólogo de cada par es también el par que separa armónicamente al par original y a (U 1 ,U 2 ) . Encontramos así ternas de pares en I P , P ′ separados mutuamente armónicamente. Puesto que ϕ = 1 ↔ δ = 0 , (V1 ,V2 ) es también el par análogo a C (0) , o bien (V1 ,V2 ) ≡ ( D1′, D2′ ) , que es el homólogo del par ( D1 , D2 ) ≡ C∞ . En resumen, una terna particular asociada de la forma indicada en ℘1 , correspondiente a la definida en el corolario I.5.19 en ℘N , está integrada por (V1 ,V2 ) , (U 1 ,U 2 ) y ( D1 , D2 ) .

En principio, los casos degenerados del haz CP , P ′ , que analizamos en la sección I.6, serían los correspondientes a los tres valores 0 , ∞ y 4 de k. Como en la citada sección I.6, analizaremos a continuación cada uno de estos tres casos por separado.

Caso k = 0 Hacemos notar, en primer término, que el caso k = 0 no es propiamente degenerado en el espacio ℘1 , al menos en el mismo sentido considerado en espacios ℘N ( N > 1) , como explicamos a continuación. Observamos también que existe realmente una diferencia básica si k = 0 en el espacio ℘1 en relación con este mismo caso en espacios para N > 1 . Esta particularidad determina que no se mantenga la validez de la expresión Co − ϕ C∞ del haz que constituye un elemento fundamental del estudio, en ℘1 . En efecto, la condición k = 0 significa aquí que P ≡ Q′ y P′ ≡ Q , luego el par (V1 ,V2 ) separa armónicamente al par ( P, P′) . En consecuencia, el elemento análogo de Co coincide con el par ( P, P′) , para mayor precisión, aunque ello es irrelevante, con el par ( P′, P ) . De igual modo, el elemento análogo de C∞ , y también de C2 , es el par ( P, P′) . Por ello, no podemos tomar Co y

C∞ , que son coincidentes, como los dos pares básicos que son necesarios para formar la ecuación del haz-involución lineal. Debemos, pues, modificar nuestra formación previa del haz, eligiendo, por ejemplo, Co ≡ ( P, P′) y C1 ≡ (V1 ,V2 ) como los dos pares básicos. A partir de esta nueva elección tiene sentido, de nuevo, la definición del haz CP , P ′ , asociado a la involución (V1V2 ) ( PP′) , aunque ni

ϕ (o, bien, δ ) ni la expresión (I.4.3) relativa a los miembros singulares del haz tengan significado. Existen ahora realmente dos pares singulares distintos, cada uno de ellos integrado por un punto doble de la involución, por duplicado, de forma que ambos puntos dobles separan armónicamente a los dos pares ( P, P′) y (V1 ,V2 ) . Se concluye, en definitiva, que este caso k = 0 no debe considerarse realmente degenerado.

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Caso k = ∞ La condición de que no sea nula ninguna coordenada de P o P′ , se elimina haciendo que P tienda a V1 , manteniéndose x1′, x2′ ≠ 0 . Este es ciertamente un caso degenerado, puesto que la involución I P,P′ no tiene significado. En este supuesto, C o ≡ ( P , Q ′) y

C∞ ≡ (U 1 ,U 2 ) ≡ ( D1 , D2 ) ≡ ( P, P ) , de manera que el punto P podría aparearse con cualquier otro punto en PP′ . Caso k = 4 La condición k = 4 equivale al conjunto de ambas identidades P ≡ P′ ∪ Q ≡ Q′ . Por ello, Co ≡ (Q, Q ) ; C∞ ≡ ( D1 , D2 ) , es decir, el par de los dos puntos dobles de la involución

(V1 ,V2 ) ( P, Q ) , y C2 ≡ ( P, P ) . En resumen, I P , P ′ , también I P , P , es la involución de puntos dobles P y Q . Existe, pues, una diferencia con los casos N > 1 , puesto la involución I P , P ′ ≡ I P , P tiene aquí significado ya que la línea base PP′ tiene su equivalente bien definida. Como en el caso k = 0 , no debemos considerar este caso particular como degenerado en el espacio ℘1 . Análogamente a las consecuencias generales extraídas del contexto de referencia en las aserciones I.5.16 a I.5.18, algunos resultados formulados en esta sección en el caso más general, no degenerado, pueden expresarse también como propiedades genérales de involuciones. Se derivan así, excluyendo la condición armónica de los pares ( A, B ) y (C , D ) , es decir con exclusión de la propiedad que designamos H ( AB )(CD ) : Proposición I.7.1: Si se consideran los dos pares ( A, B ) y (C , D ) , y se designan por A′ y B′ (resp. C ′ y D′ ) los respectivos armónicos conjugados de A y B (resp. C y D ) respecto de C y D (resp. A y B ), se cumplen a) ( A′, B′) (resp. (C ′, D′) ) es un par de la involución ( AB ) (CD ) (ver a este respecto la Ref.[5], exercise 3, p.48). b) La proyectividad (CD ) ( AB′) ( BA′) (resp. ( AB ) (CD′) ( DC ′) ) es una involución. c) Si ( D1 , D2 ) (resp. ( D1′, D2′ ) ) representa el par de los dos puntos dobles de la involución definida en b), ( D1 , D2 ) (resp. ( D1′, D2′ ) ) es otro par de la involución ( AB ) (CD ) . Hagamos que cada par ( A, B ) y (C , D ) (resp. (C , D ) y ( A, B ) ) desempeñe el papel respectivo de cada par ( P, P′) y (V1 ,V2 ) en el estudio anterior en el caso bidimensional. En el par ( A′, B′) reconocemos la formación de un análogo del par (Q, Q′) , mientras el par ( D1 , D2 ) (resp. ( D1′, D2′ ) ) es una analogía de la cónica C∞ . Proposición I.7.2: Los puntos A, B, C , D y los pares ( A′, B′) y ( D1 , D2 ) son los mismos que en la proposición I.7.1. El par ( D1 , D2 ) separa armónicamente al par (C , D ) . El par ( D1 , D2 ) es una analogía de C∞ y el par (C , D ) es una analogía de C1 ≡ C (0) , en consecuencia, son dos pares homólogos. Proposición I.7.3: Sea ( A1 , B1 ) un par arbitrario de la involución ( AB ) (CD ) , distinto de ( A, B ) y (C , D ) , y utilicemos ( A1 , B1 ) para obtener el par ( M , N ) aplicando la msima construcción empleada en la proposición I.7.1 para obtener el par ( D1 , D2 ) partiendo de ( A, B ) . Los dos pares ( M , N ) y ( D1 , D2 ) coinciden.

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( M , N ) o ( D1 , D2 ) es el único par que separa a los dos pares (U 1 ,U 2 ) , es decir, el par de los dos puntos dobles de la involución ( AB ) (CD ) , y (C , D ) armónicamente, y, por ello, es el homólogo del par (C , D ) en la involución anterior. Teorema I.7.4: Sean A,B,C y D cuatro puntos alineados, y designemos por ( N1, N 2 ) , ( N 3 , N 4 ) y ( N 5 , N 6 ) los pares de los dos puntos dobles de las respectivas involuciones ( AB ) (CD ) , ( AC ) ( BD ) y ( AD ) ( BC ) . Cada dos pares en ( N1, N 2 ) , ( N 3 , N 4 ) y ( N 5 , N 6 ) se separan mutuamente entre sí armónicamente. Elegiremos ( P, P′) ≡ ( A, B ) y (Q, Q′) ≡ (C , D ) , de manera que ( N1 , N 2 ) ≡ (U 1 ,U 2 ) haga el papel del par de los dos puntos dobles de la involución ( PP′) (QQ′) , mientras ( N 3 , N 4 ) ≡ (V1,V2 ) ≡ C1 ≡ C (0) y ( N 5 , N 6 ) ≡ ( D1 , D2 ) ≡ C∞ . Se aplicará entonces el resultado de la proposición I.5.18. Suponemos que A,B,C y D son los cuatro reales y se escriben A ≡ (1,0), B ≡ (0,1), C ≡ (1,1) y D ≡ ( x,1) , lo cual no supone ninguna pérdida de generalidad, pues podemos obtener estas expresiones mediante una homografía adecuada. Si se determinan los puntos dobles de las tres involuciones anteriores, lo que omitimos por brevedad, se deduce que dos de los pares entre ( N1, N 2 ) , ( N 3 , N 4 ) y ( N 5 , N 6 ) , son reales, mientras el tercer par es imaginario.

I.8.- PROPIEDADES DE LA RAZÓN DOBLE EN CP , P ′ Volvemos, de nuevo, a los espacios ℘N de dimensiones N > 2 . Conforme a la notación π ( r,δ ) (resp. π ( r′,δ ) ), aplicada en la proposición I.5.6 al polo de r (resp. r′ ) respecto de C (δ ) , sea π ( p (λ ),δ ) el polo del ( N − 1) -plano p (λ ) respecto de C (δ ) . Teniendo ahora en cuenta los resultados dados por las expresiones (I.5.4) y (I.5.5) se tiene Proposición I.8.1.- Sean P1 , P2 , P3 , P4 cuatro puntos alineados en PP′ , y δ 1 , δ 2 , δ 3 , δ 4 los valores particulares del parámetro δ tales que Pi ≡ π ( p (λ ),δ i ) ,1 ≤ i ≤ 4 , con λ ≠ ±( k1 / k 2 )1 / 2 y

δ i ≠ ± k 1 / 2 . La razón doble de P1 , P2 , P3 , P4 es igual a la razón doble de δ 1 ,δ 2 ,δ 3 ,δ 4 , consideradas ambas cuaternas en órdenes concordantes. Esta propiedad es consecuencia directa del lema I.1.1a y de la correspondencia homográfica establecida por (I.5.5) entre los parámetros u y δ con λ fijado. Si P1 ≡ P , P2 ≡ P′ y λ = 0 (recordamos que Π(0) ≡ r ), se tiene ( P, P′; P3 , P4 ) = (0, ∞; δ 3 , δ 4 ) =

δ3 . δ4

Un segundo caso particularizado del anterior, correspondiente al establecido en el espacio ℘2 en [1],(2.11.1),p.144, es la razón doble siguiente k  n2  ( P, P′; Q, Q′) =  0, ∞; n,  = . (I.8.1) n k  Sean P1 ≡ ( x1, x2 ,..., xh ,.,...,0) y P2 ≡ (0,...,0, xh +1 ,..., xn ) con 1 ≤ h ≤ n − 1 , es decir las proyecciones respectivas de P sobre dos subespacios coordenados de dimensiones respectivas (h − 1) y ( N − h ) , ℘h −1 y ℘N − h , cuya intersección ℘h −1 ∩℘N − h = Φ . Como se ha adelantado en la exposición del teorema I.2.2, refiriéndonos allí al subespacio global ℘h + h ′ +1 ≡ ℘h ∪ ℘h ′ de cualquier dimensión, diremos, pues, que ℘h −1 y ℘N − h son un par de dos subespacios complementarios en ℘N , como lo son cualesquiera pares de dos subespacios obtenidos por cada selección arbitraria

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de dos conjuntos complementarios de h y ( n − h ) coordenadas, pues se cumple, efectivamente, ℘h −1 ∪℘N − h ≡ ℘N . Proposición I.8.2: La línea P1P2 es incidente con P . En efecto, P = P1 + P2 .

Proposición I.8.3: Los dos subespacios ℘h −1 y ℘N − h son conjugados en la polaridad Π ∞ . Es, simplemente, una aplicación particular del Teorema I.2.2 a fortiori, para h + h′ = N − 1 , o, de otro modo, si σ ∪ σ ′ = {1,2,..., n}. h Proposición I.8.4: Sea Z = P1P2 . r . La razón doble ( P2 , P1; P, Z ) es igual a − . n−h Un punto cualquiera en P1P2 se escribe P1 + ρP2 . Aplicando el lema I.1.1a, la razón doble de cuatro puntos en P1P2 es igual a la razón doble de sus cuatro parámetros δ asociados. Los valores 0, ∞ y 1 corresponden respectivamente a P1 , P2 y P . Sustituyendo las coordenadas de Z en la ecuación de r se obtiene para el parámetro ρ Z h ρZ = − , n−h luego finalmente resulta h ( P2 , P1; P, Z ) = (∞,0;1, ρ Z ) = ρ Z = − . (I.8.2) n−h Puesto que el orden de las coordenadas es irrelevante en esta comprobación, esta propiedad, así como las que enunciamos a continuación, pueden referirse también a cualquier otro par de dos ( N − 1) -subespacios coordenados complementarios definidos como hemos descrito. Corolario I.8.5: Si n = 2h se obtiene la razón doble armónica ( P2 , P1; P, Z ) = −1 . Teorema I.8.6: Sean V = P1P2 . r ′ y W la segunda intersección, distinta de P2 , de P1P2 con la N -cuádrica Cn − h incidente con P2 (para una definición más completa de Cn − h , volver a la Proh . posición I.3.3). La razón doble (W , P1; P,V ) tiene el valor n−h Sean P1′ ≡ ( x1′, x2′ ,..., xh′ ,.,...,0) y P2′ ≡ (0,...,0, xh′ +1 ,..., xn′ ) , y k h = k1 ( P1∗ , P1′∗ ) , k n − h = k1 ( P2∗ , P2′∗ ) (el superíndice ∗ significa que se calculan estas dos expresiones respectivamente restringidas en los subespacios ℘h −1 y ℘N − h ). En primer lugar, mediante sustitución de las coordenadas de V en la ecuación de r ′ , resulta k ρV = − h . kn − h A continuación, sustituyendo análogamente las coordenadas de W en la ecuación de Cn − h , obtenemos también ( n − 2h ) k h ρW = . ( n − h )k h + hk n − h La prueba termina calculando la razón doble (W , P1; P,V ) = ( ρW ,0;1, ρV ) . Sustituyendo los valores antes calculados de ρV y ρW , se cumple efectivamente h (WP1PV ) = . (I.8.3) n−h Nos referiremos aquí a dos ejemplos ilustrativos, que son propiedades bien conocidas de la geometría elemental del triángulo. Permanecemos en el espacio ℘2 , con n = 3 , y se eligen P y P′ como el ortocentro y el centroide del triángulo de referencia ABC . Haciendo h = 1 y h = 2 en los dos resultados (I.8.2) y (I.8.3), resultan sucesivamente: - 37 -

a) El segundo punto de intersección de la altura, ej. AP , y la circunferencia circunscrita es el simétrico del ortocentro P respecto del lado BC opuesto al vértice A . b) La segunda intersección de la altura AP y el círculo de los nueve puntos, distinta del pie de la altura en BC , es el punto medio del segmento AP . Enunciaremos también, más adelante, la duplicada de esta propiedad, considerando las intersecciones del círculo de los nueve puntos con una mediana cualquiera. Como ejemplos adicionales, obtendremos, además, otras relaciones similares mediante el estudio de un tetraedro ortocéntrico en el espacio ℘3 .

Corolario I.8.7: Si tenemos en cuenta los dos resultados (I.8.2) y (I.8.3) simultáneos, obtenemos una relación universal válida para cualesquiera valores n ≥ 2 ,1 ≤ h ≤ n − 1 , ( P2 , P1; P, Z ) + (W , P1; P,V ) = 0 , que se escribe también P2 P . P1Z .WV = WP . P1V . P2 Z . En esta última expresión figuramos distancias generalizadas signadas en la recta P1P2 . Si M 1 = P1 + u1P2 , M 2 = P1 + u2 P2 , llamamos distancia generalizada de M 1 a M 2 , con la notación M 1M 2 , a la expresión M 1M 2 = u2 − u1 .

Corolario I.8.8.- Las dos N-cuádricas C h +1 y C N − h , respectivamente incidentes con las proyecciones de P y P′ sobre subespacios ℘h y ℘N − h −1 , se corresponden en cuatro homologías distintas, que corresponden a las cuatro combinaciones posibles de centros P y/o P′ , y ( N − 1) planos-ejes r y/o r ′ , para las que utilizamos, como ejemplo individualizado, la notación H h, N −h−1 ( P, r ) . Las razones dobles o características de estas homologías, en notación genérica

ρ , teniendo en cuenta las ordenaciones paralelas de las dos cuaternas de puntos en I.8.4 y I.8.6, son el siguiente par de valores comunes en cada dos transformaciones representadas h ρ [H h , N −h−1 ( P, r )] = ρ [H h ,N −h −1 ( P ′, r ′)] = − n−h h ρ [H h , N −h−1 ( P, r ′)] = ρ [H h , N −h −1 ( P ′, r )] = , n−h correspondiendo la primera a las dos homologías de centro/eje P / r y P ′ / r ′ , y la segunda a las de P / r ′ y P ′ / r . Estos resultados son la simple aplicación de (I.8.2) y (I.8.3), teniendo, además, en cuenta la simetría en las operaciones de duplicación.

El rango de variación del índice dimensional h , de la primera N-cuádrica, C h +1 , que suponemos asociada al subespacio ℘h de dimensión inferior, esto es, h < N − h − 1 , es 0 ≤ h < ( N − 1) / 2 , de manera que el número de posibles pares de las mencionadas N-cuádricas pertenecientes a la familia Ch +1 , h ∈ (0,2,..., N ) , es E (N / 2 ) , estando naturalmente excluída la participación de C N +1 por carencia de subespacio complementario del espacio completo asignado a la misma, ℘N . Si n es un número par, la N-cuádrica C n / 2 tiene representación duplicada y en esta duplicidad, no incluída ya en el número E (N / 2 ) , las cuatro homologías anteriores se resumen en dos identidades triviales, para el valor de la razón ρ1 = 1 , y en las dos relaciones polares ( P, r ) y ( P ′, r ′) , para la característica ρ 2 = −1 , que definen, efectivamente, a la propia N-cuádrica C n / 2 . En los Capítulos II (II.6) y IV (IV.8) se establecerán precisiones sobre estas homologías relativas a los respectivos espacios bi y tridimensional. - 38 -

Destacamos también, como se comentó en el corolario I.3.2, que las propiedades en esta Sección pueden particularizarse igualmente en subespacios coordenados de dimensiones inferiores, considerando las respectivas intersecciones de los elementos intervinientes y aplicando en las expresiones escalares la dimensión efectiva o el número de coordenadas involucradas, del subespacio de referencia.

I.9.- APLICACIONES DE LA RAZÓN DOBLE En el espacio ℘N , para N ≥ 2 , volvemos a considerar el miembro de CP , P ′ , Ch , incidente con las proyecciones de P sobre cualquier subespacio ℘h −1 para 1 ≤ h < N . De nuevo, la consideración conjunta de las razones dobles (I.8.2) y (I.8.3) y de las propiedades I.3.1 y I.3.2 de CP , P ′ facilita la obtención de otros nuevos puntos en Ch , igualmente bien determinados geométricamente. En efecto, designaremos por Ph −1 (resp. Ph′−1 ) la proyección de P (resp. P′ ) sobre un subespacio ℘h −1 , y por Pj −1 (resp. Pj′−1 ) la proyección de P (resp. P′ ) sobre otro subespacio ℘ j −1 tal que ℘ j −1 ⊂ ℘h −1 y ℘ j −1 ≠ ℘h −1 (ello implica h < j ≤ n ). Sean Phj = Pj −1 − Ph −1 (que es también la proyección de P sobre un subespacio ℘ j − h −1 ), y V = Ph −1Pj −1 . r′ . Finalmente W es la segúnda intersección de Ch y Ph −1Pj −1 , distinta de Pj −1 . Haciendo las asignaciones adecuadas de todos estos puntos en la prueba del teorema I.8.7, que resultan superfluas, se tiene el resultado siguiente j−h (W , Phj ; Pj −1,V ) = , (I.9.1) h luego se obtienen así razones dobles elementales o fórmulas racionales en las coordenadas de P y P′ , que son aplicables a la construcción sencilla del punto W en Ch . Esta observación general la aplicamos a continuación a la determinación de fórmulas que dan un número, para el que se aplica la notación ν ( n, h ) , de puntos geométricamente bien definidos, situados en cada Ch . Para la formulación de ν ( n, h ) , tendremos en primer lugar en cuenta únicamente los puntos asociados a proyecciones de P (resp. P′ ), que se duplicarán inmeditamente después. Esta operativa es válida para cualquier valor de h , excepto h = 1 , pues en este caso cada dos proyecciones de P y P′ coinciden en un mismo vértice del sistema de referencia, y, por ello, no deben ser duplicadas. También hacemos notar que el número de posibles subespacios ℘h −1 es β [n, h] , mientras el número de todos los posibles subespacios ℘ j −1 que contienen un determinado subespacio ℘h −1 es β [n − h , j − h ] , con h < j ≤ n . Se utilizarán estas observaciones después. Además, para una deducción adecuada de las siguientes fórmulas, debemos considerar tres casos distintos. En primer lugar, si n / 2 < h ≤ n , todas las intersecciones Ch . Ph −1Pj −1 (resp. Ch . Ph′−1Pj′−1 ) distintas de Ph −1 (resp. Ph′−1 ), asociadas con todos los Pj −1 (resp. Pj′−1 ) posibles, para valores h < j ≤ n , serán puntos nuevos adicionales. En segundo término, si 1 < h ≤ n / 2 , las intersecciones obtenidas de las proyecciones Pj −1 (resp. Pj′−1 ), para j = 2h , no son nuevos puntos, pues cada uno de ellos coincide con la proyección de P (resp. P′ ) sobre otro (h − 1) -dimensional subespacio diferente del correspondiente a la proyección Ph −1 inicial. Obsérvese, en efecto, que (I.9.1) da, en este supuesto, W ≡ Q . Así pues, - 39 -

todos estos puntos deberán descontarse para este valor particular de j en las expresiones más generales del supuesto primero. En tercer lugar, si h = 1 , coinciden cada dos proyecciones de P y P′ , luego deberán descontarse otros (n ) puntos en la fórmula obtenida en el caso anterior, después de particularizada para h = 1. A continuación se hace una deducción completa de la fórmula correspondiente a la primera hipótesis, razonando, al efecto, que el número de puntos Ph −1 es β [n, h] , mientras cada uno de ellos está asociado con β [n − h , j − h ] puntos Pj −1 ,. Por consiguiente, cada punto Ph −1 genera otros tantos β [n − h , j − h ] puntos situados también en Ch . El resultado así obtenido debe multiplicarse por 2, por la simetría de la operación de duplicación. Un razonamiento alternativo es considerar que existen β [n, j ] proyecciones Pj −1 , cada una asociada con β [ j , h ] proyecciones Ph −1 , que son aquellos puntos cuyas (h ) coordenadas no unlas son también coordenadas no nulas de Pj −1 . La identificación de ambos procedimientos resulta, en efecto, de la identidad β [ n, h ] . β [ n − h, j − h ] = β [ n , j ] . β [ j , h ] . En resumen, se obtiene la siguiente expresión general en la hipótesis n / 2 < h < n :  n n − h  n  j = n  n − h   n  n − h +1 n  = 2   ∑   =   2 ν ( n, h ) = 2∑    , < h < n. 2 j=h  h j − h   h  j=h  j − h   h  j=n

Partiendo de la expresión anterior del primer caso, se deducen las correspondientes a los otros dos casos, el segundo por exclusión de los términos para j = 2h , y el tercero mediante la substración adicional de (n ) , del anterior. Se obtienen, en suma, las siguientes expresiones de ν ( n, h ) , válidas para cualquier valor n > 2 . La primera expresión mantiene también la coherencia para h = n , pues da el resultado trivial ν ( n, n ) = 2 (este número se refiere, obviamente, a los dos puntos P y P′ ), por ello, incluyendo también este valor del índice resultan

  n  n − h +1 n , 0 , siendo β (n,2) el número combinatorio de índices n y 2. Insistimos en el concepto de geometría dual relativa a un triángulo dado ABC , basada en la elección de un par ordenado de puntos ABC , elegido casi arbitrariamente en el plano y en la que hemos llamado operación de duplicación, que se aplica a la consideración conjunta de ambos resultados obtenidos sucesivamente a través de construcciones simétricas referidas al triángulo ABC y a los dos puntos dados, cuando se utilizan alternativamente el par ( P, P′) o bien el par ( P′, P ). En la Ref.[1],p.134 se incluyó una explicación formal más detallada de la operación de duplicación. Como en el Capítulo II se utilizará en el plano un sistema de coordenadas trilineales homogéneas referido al triángulo ABC , en el cual P ≡ ( x, y, z ) , P ≡ ( x′, y ′, z′) . Otros tres elementos geométricos básicos principales utilizados en el Capítulo II, además del triángulo ABC y el par ABC , han sido: - las líneas armónicas asociadas de P y P′ con relación al triángulo ABC , denominadas r y r′ . - la transformación cuadrática involutiva referida al triángulo ABC que transforma mutuamente P y P′ , denominada TP , P ′ . - la transformación polar, o polaridad, definida por la cónica con las denominaciones alternativas (C5 ) ≡ C∞ , que es una transformación cuadrática correlativa, que verifica las correspondencias ( A, B, C ⇔ BC , CA, AB ; P ⇔ r ′; P ′ ⇔ r ) , y, por tanto, invariante por dualidad. Se emplearán también los tres elementos algebraicos, ya conocidos, siguientes: - los invariantes k1 , k 2 , k , expresados como funciones racionales de las coordenadas de P y P′ de la forma  x y z   x′ y ′ z′  k = k1 . k 2 =  + +  .  + +  .  x′ y ′ z′   x y z  En relación con los elementos mencionados, recordamos que TP , P ′ , C∞ y k son invariantes en la duplicación, mientras r y r ′ , y k1 y k 2 , son respectivamente duplicados cada uno del otro. Partiendo del triángulo ABC y del par ( P, P ′) , y utilizando únicamente las dos cónicas, la cónica autoconjugada (C5 ) y la cónica degenerada rr ′ , el principal resultado obtenido ha sido la construcción de un haz de cónicas, denominado CP , P ′ , que se ha analizado extensivamente, considerando sus miembros más significativos y diversos casos especiales particulares.

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En este punto debemos destacar que la noción dual involutiva abre nuevas vías para una prospección en dirección algo distinta a la de la geometría tradicional del triángulo que se nos ha revelado fructífera en cierta medida. El contenido del presente Capítulo, relativo a tales desarrollos, comprende: La sección III.2 define el nuevo concepto de la triple geometría dual involutiva referida al triángulo ABC , que implica la existencia de otros dos pares de puntos asociados al par ( P, P ′) , que llamamos (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) , tales que los tres pares de puntos, ( P, P ′) , (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) , comparten un comportamiento simétrico con relación a una generación del haz CP , P ′ , cuyo resultado es común para los tres, aunque de tres modos diferentes. La posible naturaleza, real o imaginaria, de cada par de puntos (Ρ1 , Ρ1′) y/o (Ρ2 , Ρ2′ ) , que será considerada en detalle, admitida, en todo caso, la realidad del par inicial ( P, P ′) , es, naturalmente, indiferente, desde el punto de vista geométrico-proyectivo. La sección III.3 define completamente los dos pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) y deduce algunas propiedades proyectivas de interés entre ( P, P ′) , (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) , analizando, además, como hemos anticipado, determinadas condiciones relativas a la naturaleza real/imaginaria de los dos últimos pares. Las secciones III.4 y III.5 aplican estas propiedades al estudio de tres casos degenerados y de dos situaciones particulares del haz CP , P ′ , correspondientes al valor k = 1 , que presentan peculiaridades especiales. Finalmente, en la sección III.6, se hace una aplicación particular de esta triple geometría dual involutiva a la selección concreta del baricentro y el ortocentro como el primer par ( P, P ′) de los dos puntos básicos, y se deriva la construcción de, si se nos permiten estas denominaciones, tres rectas de Euler y tres círculos de los nueve puntos del triángulo asociadas/os, lo que ofrece un nuevo punto de vista de propiedades tan conocidas de la geometría clásica. Como hemos indicado anteriormente, empleamos de nuevo un sistema de coordenadas trilineales homogéneas referido al triángulo ABC , y conservamos las notaciones de los puntos y líneas significativos en [1]. En particular CP , P ′ representa el haz de cónicas obtenido a partir del par ( P, P ′) conforme a la construcción descrita de este haz en [1] y reproducida en el anterior Capítulo II.

III.2.- BASES DE LA GEOMETRÍA TRIPLE INVOLUTIVA Nos referimos de nuevo al haz CP , P ′ de cónicas incidentes con los cuatro puntos R1 , R2 , R1′, R2′ de los cuales R1 , R2 están en r y R1′, R2′ están en r ′ . Señalamos desde ahora que el conjunto de cuatro puntos { R1 , R2 , R1′, R2′ } puede separarse por parejas de otras dos maneras distintas, además de la selección anterior en los pares ( R1 , R2 ) y ( R1′, R2′ ) , esto es, por un lado, en los pares ( R1 , R2′ ) y ( R2 , R1′) , y, por otro, en los pares ( R1 , R1′) y ( R2 , R2′ ) . Asimismo, una propiedad bien conocida de los haces de cónicas es que el triángulo diagonal del cuadrángulo R1R2 R1′R2′ , esto es, el triángulo UU 1U 2 en [1],p.141, siendo U ≡ R1R2 .R1′R2′ , mientras U 1 ≡ R1R1′.R2 R2′ y U 2 ≡ R1R2′ .R2 R1′ , es autoconjugado con relación a todas las cónicas en CP , P ′ (ver, por ejemplo [3],p.436). Además, los tres lados y los tres vértices de este triángulo son invariantes bajo duplicación (esto se comprueba mediante simple inspección de las coordenadas de U ,U 1 ,U 2 , obtenidas en [1],p.142, que hemos reescrito en (II.3.2)), y aquí corregi- 56 -

mos un error inadvertido introducido en [1],p.142, donde se escribió equivocadamente que U 1 y U 2 eran dos puntos mutuamente duplicados. Nuestro principal objetivo es, ahora, destacar la simetría proyectiva de cada uno de los tres lados U 1U 2 , UU 1 , UU 2 o de cada uno de los tres vértices U , U 1 , U 2 , en relación con la construcción del haz CP , P ′ . Esta sencilla consideración nos permite establecer una extensión triple de la, hasta el momento, simplemente geometría involutiva dual, cuando nuestro enfoque se sitúa en la terna de puntos U ,U 1 ,U 2 , junto con la terna de rectas U 1U 2 , UU 1 , UU 2 , en lugar de centrarlo únicamente en el par P, P ′ y en la recta PP′ . De ahí que la corrección antes indicada la consideremos importante en este nuevo contexto. Todo ello se clarifica a continuación mediante una consideración explícita de algunos ejemplos particulares de propiedades geométricas concretas muy conocidas. En primer término, como hemos mencionado por adelantado, U 1U 2 coincide con PP′ y podemos considerar a esta línea como una línea de Euler generalizada del triángulo ABC . En segundo lugar, la cónica denominada (C1 ) en [1],p.135 es el miembro del haz CP , P ′ que contiene las seis proyecciones de P y P′ desde los vértices A, B, C sobre los lados BC , CA, AB , de manera que esta cónica (C1 ) es análoga del, como es denominado habitualmente, círculo de los nueve puntos del triángulo ABC . Nos planteamos ahora la cuestión de encontrar otros dos pares de puntos, que hemos denominado (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) , tales que, considerados alternativamente como el par inicial de los dos puntos básicos, los dos haces de cónicas CΡ1 ,Ρ′1 y CΡ2 ,Ρ′2 coincidan con CP , P ′ . Por supuesto esta identificación no debe considerarse individualizada para todos los miembros de CP , P ′ (resp.

CΡ1 ,Ρ′1 , resp. CΡ2 ,Ρ′2 ), esto es, una cónica específica en CP , P ′ , asociada a determinadas construcciones con la participación simétrica de los dos puntos básicos P y P′ , no se identifica, de forma generalizada, con la misma cónica específica en CΡ1 ,Ρ′1 (resp. CΡ2 ,Ρ′2 ), asociada a las construcciones análogas a partir de los puntos Ρ1 y Ρ1′ (resp. Ρ2 y Ρ2′ ), sino más bien en un sentido global, o dicho de otro modo, a través de la coincidencia de los cuatro puntos comunes a todas las cónicas en CP , P ′ (resp. CΡ1 ,Ρ′1 , resp. CΡ2 ,Ρ′2 ), o sea R1 , R2 , R1′, R2′ . En cualquier caso, una cónica del haz, cuya condición definitoria final, ¡la quinta, además de su incidencia con los puntos R1 , R2 , R1′, R2′ !, no esté directamente vinculada a ningún par de los puntos básicos mencionados, por ejemplo, la cónica incidente con un punto arbitrario del plano, cuyas coordenadas sean escalares no dependientes de las coordenadas de los básicos, es naturalmente invariante en las tres generaciones distintas del haz, aunque la consideración de miembros del haz así condicionados, no suponga mayor interés en nuestro contexto, con la excepción singular de la elección de un vértice cualquiera del triángulo base, que da como resultado una cónica del haz incidente, también, con los otros dos vértices. Con mayor generalidad, la misma invariancia se obtiene para cualesquiera cónicas del haz, finalmente definidas mediante construcciones que no requieran la intervención individualizada adicional de los dos puntos básicos, aunque sí podría ser la de otros elementos, anteriormente deducidos, que resulten comunes en las tres generaciones alternativas. Precisamos esta cuestión, con la referencia a algunos elementos geométricos significativos que participan de esta condición invariante. En primer lugar, existen, en efecto, en particular, dos cónicas relevantes que cumplen ambas condiciones, la de su independencia final de los dos puntos básicos individualizados, y la de invariancia en las tres generaciones distintas, a las que nos referimos a lo largo del Capítulo de - 57 -

forma intensiva, pues desempeñan, como veremos, un papel esencial en esta triple generación y unicidad del haz que está siendo el elemento medular de la geometría dual involutiva que venimos analizando. Son éstas, la cónica (C2 ) ≡ C1 , circunscrita al triángulo ABC , anteriormente mencionada, y la cónica autoconjugada (C5 ) ≡ C∞ . Como hemos destacado en el Capítulo I y repetimos aquí, una y otra admiten su correspondiente generalización en el espacio multidimensional, en el que siguen desempeñando asimismo un papel relevante, en su condición de Ncuádricas consideradas como eventuales generatrices del haz. Otros tres elementos invariantes de interés, asociados a la cónica (C2 ) ≡ C1 y específicos ya del espacio bidimensional, son el punto K y las dos cónicas, asociadas al mismo, (C6 ) , incidente con los puntos K1, K 2 , K 3 , que son los puntos armónicos asociados de K en el triángulo base, y la cónica (C7 ) , incidente con K. La definición concreta de los puntos K , K1 , K 2 , K 3 y propiedades de las cónicas relacionadas, (C6 ) y (C7 ) , consideradas en detalle en la Ref.[1], pp.148-149, se han resumido en la proposición II.4.7. La simple inspección de las expresiones algébricas de las coordenadas del punto K y de los parámetros δ 6 y δ 7 que definen la pertenencia al haz de las cónicas (C6 ) y (C7 ) , en la anterior referencia indicada, teniendo además en cuenta la formulación de los coeficientes de las ecuaciones de las cónicas (C2 ) ≡ C1 y (C5 ) ≡ C∞ , cuya invariancia damos por conocida, son justificativas de esta misma invariancia de los cuatro puntos K , K1 , K 2 y K 3 en las tres modalidades distintas del haz. Esta afirmación aparecerá todavía más manifiesta en las expresiones (III.3.1) y (III.3.2) en la siguiente sección III.3. Finalizamos estas consideraciones previas, insistiendo en que para cualquier otro miembro del haz que no participe de esta condición invariante, existen realmente tres miembros asociados distintos resultantes de generaciones análogas para cada par inicial ( P, P ′) , (Ρ1 , Ρ1′) o (Ρ2 , Ρ2′ ) , y estas tres cónicas comparten comportamientos proyectivos igualmente paralelos. En la Sección III.3 se determinarán las tres relaciones formales entre cada par de miembros así definidos, expresadas en función de sus respectivos parámetros definitorios en una forma algebraica seleccionada, preferentemente la correspondiente al par inicial ( P, P ′) , entre las tres formas alternativas posibles del haz. En la siguiente sección III.3 mostraremos asimismo que es, en efecto, posible, la obtención de los dos pares alternativos, (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) , situados respectivamente en cada una de las líneas UU 1 ,UU 2 , y los definiremos de forma precisa. Probaremos también que cada dos puntos de un par se corresponden mutuamente en la transformación TP , P ′ , justamente como los puntos del par ( P, P ′) . Por ello esta transformación podría llamarse igualmente TΡ1 ,Ρ′1 o TΡ2 ,Ρ′2 . En este sentido, las dos líneas Ρ1Ρ1′ y Ρ2Ρ2′ , o también UU 1 y UU 2 , participan de propiedades proyectivas similares a las de PP′ , o bien U 1U 2 , de modo que pueden llamarse propiamente la segunda y la tercera líneas generalizadas de Euler del triángulo ABC , lo que representa una asociación simétrica de las mismas con la línea principal anterior PP′ . Ello supone, por ejemplo, que los dos puntos de intersección de las cónicas del haz común C P , P ′ ≡ CΡ1 , Ρ′1 ≡ CΡ , Ρ′2 , con las rectas UU 1 y/o UU 2 , definen sendas involuciones sobre estas 2

mismas rectas, cuyos puntos dobles respectivos son U ,U 1 y/o U ,U 2 , y, recíprocamente, existe una cónica del haz, incidente con un par cualquiera de dos puntos homólogos en una de las involuciones anteriores. En particular, existen dos cónicas del haz respectivamente incidentes con cada uno de los pares Ρ1 , Ρ1′ y/o Ρ2 , Ρ2′ . Otra conclusión adicional es que las intersecciones de - 58 -

las rectas armónicas asociadas a Ρ1 , Ρ1′ (resp. Ρ2 , Ρ2′ ) con la recta UU 1 (resp. UU 2 ) definen un par de la involución subordinada sobre esta misma recta, que es el análogo al par (Q , Q ′) en la recta U 1U 2 . En la siguiente sección III.3, precisaremos mejor estos dos pares de rectas, que son respectivamente incidentes con U 2 y U 1 , y que representan, con el par r, r ′ , las tres cónicas descompuestas del haz. Además, las seis proyecciones de Ρ1 , Ρ1′ (resp. Ρ2 , Ρ2′ ) desde los vértices A, B, C sobre los lados BC , CA, AB , están en una cónica del haz CP , P ′ , que comparte propiedades proyectivas análogas a las de (C1 ) ≡ C2 . Si se eligen el centroide y el ortocentro del triángulo de referencia como los dos puntos básicos, lo que se analiza extensivamente en [1], el círculo (C1 ) ≡ C2 y los otros dos círculos análogos resultantes de la elección de los pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) pueden considerarse igualmente como los tres círculos de los nueve puntos asociados del triángulo. Estos dos últimos serán bien determinados geométricamente más adelante, en la Sección III.6.

III.3.- TERNA DE PARES DE PUNTOS BÁSICOS SIMÉTRICAMENTE ASOCIADOS El concepto triple involutivo se expresa básicamente por la siguiente aserción:

Teorema III.3.1: Dado el par de puntos ( P, P ′) que suponemos real a lo largo de nuestra exposición, aunque ello no supone ninguna pérdida de generalidad desde el punto de vista puramente algebraico y/o proyectivo, existen otros dos pares, reales o imaginarios, asociados con P, P ′ , que llamamos (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) , tales que los tres pares ( P, P′), ( Ρ1 , Ρ1′), ( Ρ2 , Ρ2′ ) determinan un único haz de cónicas, de manera que, y sólo en un sentido global y/o para determinados miembros concretos del haz, puede considerarse la triple coincidencia CΡ1 , Ρ′1 ≡ CΡ2 , Ρ′2 ≡ C P , P ′ . Sean P ≡ ( x, y, z ) y P′ ≡ ( x′, y ′, z′) y determinemos, si existen, los puntos Ρ ≡ (α , β , γ ) y Ρ′ ≡ (α ′, β ′, γ ′) tales que CΡ, Ρ′ y CP , P ′ coincidan en el sentido indicado global. Como se ha comentado ya, ello significa que este haz común se considera como entidad unitaria, aunque la identificación mutua de cada cónica específica, perteneciente a este haz, una a una, pueda verificarse únicamente para cónicas especiales. En particular, como hemos anticipado en la sección III.2, así debe ocurrir para las dos cónicas denominadas en [1], (C2 ) ≡ C1 y (C5 ) ≡ C∞ , que son respectivamente la cónica incidente con los vértices A, B, C y la cónica conjugada, puesto que ambas cónicas dependen sólo del cuadrángulo R1R2 R1′R2′ y del triángulo ABC , pero no tienen ninguna otra dependencia final directa de P y/o P′ . De manera similar, lo mismo ocurre con el punto K y sus armónicos asociados K1, K 2 , K 3 ([1],pp.148,149), que son, los tres últimos, los respectivos polos de BC , CA, AB respecto de (C2 ) ≡ C1 , y el primero, K, el punto común de intersección de AK1 , BK 2 y CK 3 , y con la cónica (C6 ) , incidente con K1, K 2 , K 3 , y la cónica (C7 ) , incidente con K ([1],p.149). Suponemos, en principio, que ninguno de los puntos P, P ′ y K están situados en un lado del triángulo ABC . Estos casos particulares, que probaremos que corresponden a los respectivos valores k = ∞ y k = 1 , se estudiarán de forma independiente en la Sección 4 siguiente. Con estas únicas restricciones, todas las coincidencias anteriormente apuntadas se expresan por los dos conjuntos de relaciones

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αα ′

=

ββ ′

=

γγ ′

, (III.3.1) y y ′ zz ′ βγ ′ + γβ ′ γα ′ + αγ ′ αβ ′ + βα ′ = = . (III.3.2) y z ′ + zy ′ zx′ + xz ′ xy ′ + yx ′ Sustituyendo en las segundas igualdades los valores proporcionales de α ′, β ′, γ ′ obtenidos de las tres primeras igualdades, resultan α 2 y y ′ + β 2 x x ′ β 2 zz ′ + γ 2 y y ′ γ 2 x x ′ + α 2 zz ′ . (III.3.3) = = αβ ( xy ′ + yx′) βγ ( xy ′ + yx′) γα ( zx′ + xz′) Igualando ahora cada dos miembros de los tres anteriores, se deducen tres cúbicas distintas expresadas en las coordenadas genéricas α , β , γ , tales que las tres cúbicas son invariantes en la transformación cuadrática TP , P ′ , y que se cortan dos a dos en nueve puntos comunes. Estas nue-

xx′

ve intersecciones comunes son, efectivamente, por un lado, los tres vértices A, B, C del triángulo base, y, por otro, otros seis puntos, que pueden repartirse en tres pares de cada dos puntos homólogos en TP , P ′ , esto es, el par ( P, P ′) y los pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) . Estos dos últimos pares son obviamente los dos pares de puntos buscados. Así pues, los tres pares ( P, P′), ( Ρ1 , Ρ1′) , (Ρ2 , Ρ2′ ) determinan, uno cualquiera de ellos, los cuatro puntos R1 , R2 , R1′, R2′ comunes a todas las cónicas del haz. La asignación apropiada de los puntos de ambos pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) , esto es, la selección de los tres apareamientos entre las seis intersecciones comunes restantes, debe tener en cuenta el comportamiento simétrico de cada uno de ellos con el par ( P, P ′) , como se indica en las conclusiones siguientes. Otras varias derivaciones interesantes del Teorema III.3.1 son también inmediatas, puesto que todas las relaciones proyectivas deducidas en [1], entre el par ( P, P ′) y el haz CP , P ′ , se transfieren simétricamente a relaciones proyectivas análogas entre CΡ, Ρ′ y uno cualquiera de los pares (Ρ1 , Ρ1′) y/o (Ρ2 , Ρ2′ ) . Particularmente, Corolario III.3.2: Cada uno de los pares (Ρ1 , Ρ1′) y/o (Ρ2 , Ρ2′ ) está situado en cada una de las líneas UU 1 y/o UU 2 . Designaremos convencionalmente como (Ρ1 , Ρ1′) el par situado en UU 1 y como (Ρ2 , Ρ2′ ) el par situado en UU 2 . Por otro lado, con relación a los cuatro puntos R1 , R2 , R1′, R2′ comunes a todas las cónicas, se cumple Corolario III.3.3: Ρ1 y Ρ1′ son los puntos armónicos asociados de las líneas R1R2′ y R2 R1′ que se cortan en U 2 , con relación al triángulo de referencia ABC , mientras Ρ2 y Ρ2′ son los puntos armónicos asociados de las líneas R1R1′ y R2 R2′ que se cortan en U 1 . Podemos obtener también coordenadas explícitas de los cuatro puntos Ρ1 , Ρ1′, Ρ2 , Ρ2′ resolviendo el sistema (III.3.3), aunque esto se realizará más adelante por un método más simple. Sin embargo, las ecuaciones (III.3.3) serán después útiles en la deducción de una nueva relación proyectiva, inclusive más sútil, entre los pares ( P, P′), ( Ρ1 , Ρ1′), ( Ρ2 , Ρ2′ ) . Continuando el desarrollo de este concepto, establecemos una triple identificación de una cónica cualquiera del haz, según que la misma haya sido generada a partir del par ( P, P ′) o de uno cualquiera de los pares (Ρ1 , Ρ1′) y/o (Ρ2 , Ρ2′ ) . Escribimos primero, al efecto, la ecuación general del haz CP , P ′ , generado a partir del par ( P, P ′) ([1],p.138), eligiendo la forma asociada al parámetro θ en la sección II.2,

 X 2 Y 2 Z2   1  1 1  1  1   1  +  YZ +   XY = 0 . (III.3.4) + + + + +  XZ +   zx′ xz ′   xy ′ yx ′   x x ′ y y ′ z z ′   y z ′ zy ′  - 60 -

θ 

A continuación consideramos la ecuación alternativa del haz engendrado partiendo de un par cualquiera (Ρ1 , Ρ1′) o (Ρ2 , Ρ2′ ) , que llamamos CΡ, Ρ′ , utilizando de nuevo la notación común del par (Ρ, Ρ′) ,

 X 2 Y 2 Z2   1 1  +  + + +  αα ′ β β ′ γγ ′   β γ ′ γ ′β

ϑ 

  1  1 1  1  YZ +   ZX +  + +  XY = 0 , (III.3.5)  αβ ′ βα ′   γα ′ αγ ′  

en la cual las coordenadas α , β , γ ,α ′, β ′, γ ′ y el parámetro ϑ pueden particularizarse de dos modos distintos, esto es, considerando las dos formas CΡ1 , Ρ′1 y CΡ2 , Ρ′2 del haz incluídas en la denominación común CΡ, Ρ′ , y también los dos valores ϑ1 y ϑ2 implicados en la notación común

ϑ. Para el mismo valor de los parámetros θ = ϑ1 = ϑ2 y con las dos excepciones significativas invariantes (C2 ) ≡ C1 y (C5 ) ≡ C∞ , antes mencionadas, para valores θ ( = ϑ1 = ϑ2 ) = 0, ∞ , las ecuaciones anteriores se refieren a tres cónicas distintas del haz, que mantienen propiedades proyectivas paralelas comunes en relación con sus respectivos pares de puntos básicos asociados. Los ejemplos más ilustrativos son las cónicas (C1 ) ≡ C2 , incidente con las proyecciones lineales, desde los vértices, de los dos puntos básicos sobre los lados, y (C3 ) ≡ C3 , incidente con los dos puntos básicos, que corresponden a los dos valores respectivos comunes para los tres parámetros θ ( = ϑ1 = ϑ2 ) = −1 y θ ( = ϑ1 = ϑ2 ) = −2 . Por el contrario, una cónica individualizada del haz se puede expresar, en principio, de tres formas distintas para valores diferentes de las coordenadas de los dos puntos básicos y los tres respectivos parámetros θ ,ϑ1,ϑ2 , aunque las tres expresiones serán finalmente coincidentes como resultado de las operaciones algebraicas. A diferencia de nuestro comentario en el párrafo anterior, este segundo aspecto es mucho menos relevante geométricamente, aunque lo aplicaremos, a continuación, a la obtención de las coordenadas explícitas de los pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) . Nuestro interés será, pues, ahora, encontrar una relación genérica entre los tres valores θ ,ϑ1,ϑ2 que corresponden a la misma cónica particular asociada. Consideremos de nuevo los dos conjuntos de relaciones exigidas para esta identificación, (III.3.1) y (III.3.2), en los que podemos asumir sin pérdida de generalidad que el valor común en las tres últimas igualdades (III.3.2) es la unidad. Mediante identificación de las dos ecuaciones anteriores del haz (III.3.4) y (III.3.5), esto es, de las formas alternativas CP , P ′ y CΡ, Ρ′ del haz, deducimos que el valor común en las tres igualdades primeras es θ / ϑ1 (resp. θ / ϑ2 ), que debe ser un valor constante cualquiera que sea la cónica seleccionada para esta identificación. Observemos que este tipo de relación deja ciertamente invariantes los dos valores 0 e ∞ relativos a las cónicas (C2 ) ≡ C1 y (C5 ) ≡ C∞ . Además, para precisar los dos valores θ / ϑ1 y θ / ϑ2 , o, en otras palabras, para deducir estos valores en función de las coordenadas de P y P′ , tendremos en cuenta los tres casos particulares de descomposición en CP , P ′ , es decir las tres cónicas asociadas a los tres valores 1,θ1 ,θ 2 del parámetro θ , o sea, las respectivas uniones de R1R2 y R1′R2′ (las rectas r y r ′ ), de R1R1′ y R2′ R2′ , y de R1R2′ y R2 R1′ . Los parámetros θ1 y θ 2 , particularizando las expresiones (I.4.3), obtenidas en el estudio generalizado, para n = 3 , tienen valores 1 θ1, 2 = ( −1 ± k 1 / 2 ) . (III.3.6) 2 Los mismos resultados particularizados, en el caso bidimensional, se obtuvieron anteriormente en [1],p.142, por intermedio de la variable δ 2 = k , con θ = (δ − 1) / 2 . - 61 -

Por otro lado, la segunda forma del haz, C℘,℘′ , se descompone para ϑ1 = 1 y/o ϑ2 = 1 , en cada unión de dos rectas respectivas, R1R1′ ∪ R2 R2′ y/o R1R2′ ∪ R2 R1′ , de manera que las relaciones de compatibilidad buscadas resultan ser finalmente, θ = θ1ϑ1 = θ 2ϑ2 . (III.3.7) A continuación aplicaremos estas relaciones a la obtención de las coordenadas de los cuatro puntos Ρ1 , Ρ1 , Ρ2 , Ρ2′ por el procedimiento más simple que el sugerido anteriormente, es decir, eludiendo así la solución directa del sistema (III.3.3), como habíamos indicado. Consideremos, al efecto, la cónica asociada con el valor ϑ1 = −1 (resp. ϑ2 = −1 ) en la forma CΡ1 , Ρ′1 (resp. CΡ2 , Ρ′2 ) del haz, que es la cónica que pasa por las proyecciones de Ρ1 ,Ρ1′ (resp.

Ρ2 ,Ρ2′ ) desde A, B, C sobre BC , CA, AB . Podemos escribir una forma alternativa de la ecuación de esta cónica para el valor θ = −θ1 (resp. θ = −θ 2 ), en la ecuación de la forma CP , P ′ . Las intersecciones con los lados BC , CA, AB se obtienen anulando sucesivamente cada coordenada X , Y , Z , resultando tres ecuaciones de segundo grado homogéneas que relacionan cada dos coordenadas, de las que, por brevedad y a titulo ilustrativo, recogemos aquí únicamente la siguiente ecuación explícita, θ1 xx′β 2 − ( xy ′ + x′y )αβ + θ1 yy ′α 2 = 0 . Resolviendo este sistema, que ha resultado más simple que el sistema inicial (III.3.3), se obtienen finalmente, adoptando las precauciones necesarias en la elección de los signos debidos, que se facilita teniendo simplemente en cuenta la correspondencia de cada par de puntos homólogos Ρ1 ,Ρ1′ y Ρ2 ,Ρ2′ en la transformación TP , P ′ ,

Ρ1 ≡ ( 2 xx′θ1 , xy ′ + yx′ + ( xy ′ + yx′)2 − 4 xx′yy ′θ12 , xz ′ + zx′ − ( xz′ + zx′)2 − 4 xx′zz′θ12 ) Ρ1′ ≡ ( 2 xx′θ1 , xy ′ + yx′ − ( xy ′ + yx′)2 − 4 xx′yy ′θ12 , xz ′ + zx′ + ( xz′ + zx′)2 − 4 xx′zz′θ12 ) , (III.3.8) ′ y las coordenadas análogas de Ρ2 ,Ρ2 mediante el cambio de θ1 por θ 2 . Puesto que la realidad de ambos θ1 y θ 2 requiere k ≥ 0 , se deriva una primera conclusión relativa a la naturaleza, real o imaginaria, de los pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) . Corolario III.3.4: Si k < 0 , los dos pares ( Ρ1 , Ρ1′), ( Ρ2 , Ρ2′ ) son imaginarios. En el caso k > 0 resulta todavía posible establecer algunas precisiones sobre la realidad de los pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) , estudiando el signo de los escalares subradicales en las expresiones (III.3.8) y sus análogas particularizadas para el segundo valor del parámetro, θ 2 . Se facilita este análisis considerando la siguiente forma cuadrática homogénea, que es una formulación algébrica general de las cuatro expresiones subradicales, sustituyendo las variables a y b por los respectivos valores xy ′ e yx′ y/o xz ′ y zx′ , y, a su vez, la variable c por cada uno de los valores θ1 y/o θ 2 : f = a 2 − 2 ( 2c 2 − 1)ab + b 2 . (III.3.9) La función discriminante de la anterior forma cuadrática se escribe ∆ f = ( 2c 2 − 1)2 − 1 = 4c 2 (c 2 − 1) = 4c 2 (c + 1) (c − 1) , y aplicando la relación θ = (δ − 1) / 2 , haciendo el cambio genérico c = ( d − 1) / 2 correspondiente a la equivalencia de la variable d con cada valor δ 1 y/o δ 2 , se tiene 1 ∆ f = ( d − 1)2 ( d + 1) ( d − 3) , 4

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y, teniendo en cuenta el intervalo − 1 < d < 3 que determina valores negativos de ∆ f , y su consideración particular para ambos valores d = ± k , con k > 0 , resultan

Corolario III.3.5: a) Si 0 < k < 1 , los dos pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) son reales. b) Si 1 < k < 9 , un par, al menos, entre (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) , y, más precisamente, el par (Ρ1 , Ρ1′) es real. Por otro lado, en este supuesto b), no puede asegurarse la condición, real o imaginaria, del segundo par (Ρ2 , Ρ2′ ) , así como en el caso k > 9 , la condición de ambos pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) , que dependerán del signo positivo o negativo de la forma cuadrática (III.3.9) particularizada, al no estar garantizado su valor positivo, por ser, en estos casos positivo el valor del discriminante. Se han excluído de consideración los valores k = 0 y k = 9 , correspondientes a dos casos degenerados singulares, entre los que existe una dualidad especial, que fueron objeto de análisis detallado en [1],4,pp.149-158, como hemos comentado ya en la sección II.5 y a cuya referencia nos remitimos de nuevo. Centrándonos en el objeto concreto de esta Sección, para el valor k = 0 resultan δ 1 = δ 2 = 0 , y, 1 también θ1 = θ 2 = − , siendo, por ello, coincidentes los dos pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) , lo que es 2 coherente con la coincidencia de los puntos U 1 ≡ U 2 ≡ P′ en [1],4.9,p.153. Sustituyendo en las expresiones (III.3.8) el valor común anterior del parámetro θ1 ≡ θ 2 , se comprueba la realidad del único par (Ρ1 , Ρ1′) ≡ ( Ρ2 , Ρ2′ ) , situado en la recta UP′ . Asimismo, para el valor k = 9 resultan δ 1 = 3 , δ 2 = −3 , y, también, θ1 = 1 , θ 2 = −2 . El primer valor, θ1 = 1 , repite el par ( Ρ1 , Ρ1′) ≡ ( P, P′) , y el segundo valor θ 2 = −2 , da el único par diferente, (Ρ2 , Ρ2′ ) , cuya condición real o imaginaria queda inespecífica, pendiente del signo de ambos radicales en (III.3.8), por no estar asegurado el signo positivo global de la forma cuadrática (III.3.9). En todo caso, la existencia de sólo dos pares de puntos básicos es, de nuevo, coherente con la dualidad establecida en [1] entre los dos casos analizados. Una consideración más profunda de esta dualidad, desde el nuevo enfoque de la geometría triple dual que tratamos aquí, que complementará el estudio anterior en la Ref.[1] citada, la diferimos a la sección siguiente III.4. Se ha excluído también el valor k = 1 , que no corresponde, como los anteriores, a un caso degenerado del haz, aunque reviste peculiaridades interesantes. Recordamos, al efecto, que las expresiones anteriores son sólo válidas si el punto K no está situado en un lado del triángulo ABC . Como veremos más adelante la condición de incidencia de K con un lado equivale, precisamente a la igualdad k = 1 . Así, esta situación será también objeto de un análisis particularizado detallado en la sección III.5, por lo que no insistimos en ella. Como hemos indicado, la obtención de las coordenadas (III.3.8) por el procedimiento anterior ha planteado inconvenientes para una identificación adecuada del signo de cada raíz. Estas dificultades pueden ser evitadas, como sigue, utilizando el siguiente método alternativo, basado en la aplicación de la triple simetría involutiva dual:

Proposición III.3.5: UU 1 y UU 2 son las rectas armónicas asociadas de los transformados de U 1 y U 2 en TP , P ′ .

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Son las propiedades análogas a la de U 1U 2 ≡ PP′ , que es armónica asociada del punto transformado de U en TP , P ′ . Se demuestra directamente, mediante la consideración conjunta de las expresiones (2.8.1) y (2.8.2) de las coordenadas de U y la ecuación de PP′ en [1],p.141. Proposición III.3.6: La transformada de UU 1 (resp. UU 2 ) en TP , P ′ es la cónica incidente con

A, B, C , Ρ1 , Ρ1′ (resp. A, B, C , Ρ2 , Ρ2′ ). Recordemos que Ρ1 y Ρ1′ (resp. Ρ2 y Ρ2′ ), situados en UU 1 (resp. UU 2 ), son homólogos en TP , P ′ . Aplicando las dos proposiciones III.3.5 y III.3.6, los pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) se obtienen simplemente como intersecciones de una recta y una cónica, en este procedimiento, de manera inequívoca. En las aserciones siguientes se establecen nuevas precisiones de interés concernientes a la disposición relativa de los tres pares ( P, P′), ( Ρ1 , Ρ1′), ( Ρ2 , Ρ2′ ) . En primer lugar, recordando la disposición similar de P, P′ con relación al par (U 1 ,U 2 ) , ([1],p.143), Corolario III.3.7: Ρ1 y Ρ1′ (resp. Ρ2 y Ρ2′ ) separan armónicamente a U y U 1 (resp. U y U 2 ). Las tres disposiciones armónicas descritas se explican con mayor precisión por el siguiente teorema: Teorema III.3.8: a) Los puntos P, P′, Ρ1, Ρ1′, Ρ2 , Ρ2′ son los seis vértices de un cuadrilátero completo cuyo triángulo diagonal es UU 1U 2 . b) Cada uno de sus cuatro lados, es decir, cada una de las líneas PΡ1Ρ2 , PΡ1′Ρ2′ , P′Ρ1′Ρ2 , P′Ρ1Ρ2′ pasa por cada uno de los cuatro puntos R1′, R2′ , R1 , R2 . La demostración algébrica de estas propiedades, aunque elemental, requiere algunas computaciones engorrosas. Aplicaremos a este objeto, de nuevo, las ecuaciones de las tres cúbicas derivadas de las relaciones formuladas en la subsección 3.1, aunque el detalle del proceso analítico completo será omitido por brevedad. Se utiliza el siguiente procedimiento: Investigamos la condición de que una recta corte a cada una de las tres cúbicas en tres puntos comunes. Si expresamos la ecuación de esta línea ux + vy + wz = 0 , se obtendrán después de algún álgebra sin mayores complicaciones, las dos únicas relaciones siguientes xx′u 2 + yy ′v 2 + zz′w 2 = 0 yz ′ + zy ′ zx′ + xz′ xy ′ + yx′ + + = 0, u v w que representan las ecuaciones tangenciales de dos cónicas, en las que debemos suponer u, v , w ≠ 0 . Sabemos ya que los vértices A, B, C junto con P, P′, Ρ1, Ρ1′, Ρ2 , Ρ2′ son los nueve puntos comunes de las cúbicas. Así pues, las dos relaciones anteriores, teniendo además en cuenta la simetría del comportamiento de los seis últimos puntos, confirman la aserción III.3.8.a). Los lados del cuadrilátero completo de vértices P, P′, Ρ1, Ρ1′, Ρ2 , Ρ2′ , son las cuatro tangentes comunes a las dos cónicas, cumpliéndose efectivamente, además, la condición indicada, puesto que, en la disposición más general, ninguno de estos seis puntos está situado en un lado del triángulo ABC ni es coincidente con un vértice. Con relación a estas posibles incidencias, que constituyen singularidades del caso general, destacamos una construcción particular objeto de una primera representación gráfica en la (FIG.3), más adelante, en esta misma sección y analizada después en detalle en la sección III.5. - 64 -

Observemos también que ambas cónicas son también invariantes en ambos contextos dual y triple considerados. En las consideraciones a continuación prestaremos atención a una identificación de las cónicas, aún más precisa, mediante las siguientes observaciones adicionales: En primer lugar, la primera cónica es la cónica conjugada, designada como (C5 ) ≡ C∞ en [1],p.138. En segundo lugar, la segunda cónica es la cónica inscrita en el triángulo ABC cuyos puntos de contacto con los lados son las proyecciones de la imagen de K en TP , P ′ desde A, B y C respectivamente sobre BC, CA y AB . En la Proposición V.I.2.1 del Capítulo V se hará una definición más concreta de esta cónica a partir de la formulación del haz tangencial definido por las dos cónicas anteriores, como correlativo del haz C P ,P′ . La misma cónica tiene significado especial si se eligen el centroide y el ortocentro como los dos puntos básicos, en cuyo caso los puntos de contacto son las proyecciones desde los vértices del transformado en TP , P ′ del punto de Lemoine del triángulo, que es, a su vez, el inverso del centro de gravedad del triángulo. Por último, la aserción III.3.8.b) se prueba recordando que las tangentes desde P (resp. P′ ) a la cónica (C5 ) , son también PR1′ y PR2′ (resp. P′R1 y P′R2 ), siendo R1′ y R2′ (resp. R1 y R2 ), ambos situados en r (resp. r ′ ), los puntos de contacto, puesto que P y P′ son efectivamente los polos respectivos de r′ ≡ R1′R2′ y r ≡ R1R2 con respecto a (C5 ) ≡ C∞ .

(FIG.2) Todas las conclusiones anteriores se han representado gráficamente en la (FIG.2). De la inspección de esta (FIG.2) resulta:

Proposición III.3.9: Las razones dobles de cada cuatro puntos que, según se ha probado, están alineados en cada lado del cuadrilátero de vértices P, P′, Ρ1, Ρ1′, Ρ2 , Ρ2′ , son iguales, cumpliéndose así ρ = ( P, Ρ2 ; Ρ1 , R1′ ) = ( P, Ρ2′ ; Ρ1′, R2′ ) = ( P ′, Ρ2 ; Ρ1′; R1 ) = ( P ′, Ρ2′ ; Ρ1 , R2 ) . (III.3.10) - 65 -

Se prueba haciendo tres proyecciones sucesivas, iniciadas con ( P, Ρ2 ; Ρ1 , R1′) , desde U , U 2 y, nuevamente desde U , en ΡR2′ , Ρ1′R1 y Ρ′R2 . Una configuración peculiar, a la que hemos hecho mención anterior, corresponde a la condición armónica de las cuatro cuaternas, esto es, a la razón doble ρ = −1 , en la cual uno solo de los tres pares simétricamente asociados, ( P, P′) , (Ρ1 , Ρ1′) o (Ρ2 , Ρ2′ ) , estaría formado por dos puntos incidentes con sus respectivas rectas armónicas asociadas, y, por tanto, situados ambos en lados del triángulo base, coincidentes o no coincidentes. En la siguiente (FIG.3) y con la misma ordenación de puntos aplicada a la anterior definición (III.3.10) del valor de la razón doble ρ , esta circunstancia afecta al par (Ρ1 , Ρ1′) , que se identifica, en efecto, con el par (Q2 , Q2′ ) , que es diferente del (Ρ1 , Ρ1′) en el caso general de la (FIG.2). Debemos señalar, al respecto, que la generación del haz CP , P ′ , a partir del par (Ρ1 , Ρ1′) , individualmente considerado, no sería propiamente aplicable, aunque esta generación sí que adquiere significado en el contexto, más amplio, de la geometría triple que analizamos.

(FIG.3) Estas situaciones especiales se pondrán mejor de manifiesto, en detalle, después, en la Sección III.5, relativa al análisis del caso k = 1 , incluídas dos representaciones gráficas distintas correspondientes a este caso particular y a un subcaso del mismo. Queremos también precisar que no obstante la mención singular que hemos hecho de la identificación de los dos pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Q2 , Q2′ ) en la explicación de la (FIG.3), en las FIGs. 2 y 3 - 66 -

anteriores no se han representado explícitamente ninguno de los pares (Q, Q′), (Q1 , Q1′), (Q2 , Q2′ ) , que son las respectivas intersecciones de las rectas PP′, Ρ1Ρ1′, Ρ2 Ρ2′ con las rectas armónicas asociadas de los dos puntos que definen la recta; y ello, a efecto de resaltar, principalmente, las propiedades de los enunciados III.3.8 y III.3.9, sin otras interferencias. Estos tres pares sí se han representado, en cambio, en la (FIG.13) en la sección V.I.5, que es una reproducción más ilustrada, y, por el motivo indicado, algo ampliada, de la misma (FIG.2), en la que se destacará su ambivalencia correlativa, la cual será analizada en detalle en el Capítulo V. Asimismo, anticipándonos aquí a la consideración paralela correlativa, que, como decimos, será objeto de desarrollo en el Capítulo V, y teniendo en cuenta la imagen correlativa de la cónica Κ , incidente con los cinco puntos A, B, C , P, P′ , a que se ha referido la Proposición II.2.3, daremos, finalmente, la siguiente caracterización distinta de los pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) , Proposición III.3.10: Ρ1 , Ρ1′ (resp. Ρ2 , Ρ2′ ) son los respectivos armónicos asociados de las tangentes desde U 1 (resp. U 2 ) a una cónica inscrita en el triángulo ABC cuyos puntos de contacto con los lados son las proyecciones de la imagen de U 1 (resp. U 2 ) en TP , P ′ desde A, B, C sobre BC , CA, AB . Ambas cónicas, respectivamente asociadas a U 1 y U 2 , son las análogas en la triple simetría estudiada, a la cónica inscrita en el triángulo ABC y tangente a las dos rectas r y r ′ , que se cortan en U y son armónicas asociadas de P y P′ . Por otro lado, las correspondientes líneas armónicas asociadas de Ρ1 , Ρ1′, Ρ2 , Ρ2′ se han identificado en el corolario III.3.3 como lados del cuadrilátero completo definido por los cuatro vértices R1′, R2′ , R1 , R2 , esto es, son, respectivamente, las rectas R1R1′, R2 R2′ , R1R2′ , R1′R2 . Si se eligen de nuevo los dos puntos básicos P ≡ G y P′ ≡ H , la cónica Κ es la hipérbola de Kiepert del triángulo ABC , y su imagen correlativa, como arriba citada, es una parábola tangente al eje órtico y a los lados BC , CA, AB , mientras que sus análogas mencionadas, también inscritas en el triángulo ABC , tienen respectivamente a cada punto U 1 , U 2 como un punto focal, dado que por ser U 1 y U 2 los dos puntos límites del haz CP , P ′ , las circunferencias correspondientes, de centros U 1 y U 2 , se descomponen en el producto de sus respectivas rectas isótropas. Por ello los dos pares simétricamente asociados a ( P, P′) , esto es, los pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) , integrados por los puntos armónicos asociados a estas rectas, son imaginarios en este caso, como lo son las dos rectas isótropas. Esta circunstancia es independiente de la naturaleza del par (U 1 ,U 2 ) , que puede ser, o bien real, si los tres ángulos del triángulo ABC son agudos, o bien imaginario, si tiene un ángulo obtuso. En el Capítulo V se harán otras precisiones sobre las tres cónicas indicadas como miembros de un haz tangencial directamente relacionado con el haz puntual CP , P ′ , en la representación cuadrática correlativa de referencia, cuyo análisis detallado será, como decimos, el objetivo fundamental de dicho Capítulo.

III.4.- CASOS DUALES DEGENERADOS DE CP , P ′ Definimos como degenerados aquellos casos del haz CP , P ′ en los que coinciden dos cualesquiera entre los tres miembros singulares de CP , P ′ , que son las cónicas que se descomponen en producto de rectas, lo que hemos visto que ocurre, en efecto, para los tres valores k = 0,9, ∞ . - 67 -

Estos tres casos especiales de CP , P ′ han sido ya analizados en [1],p.149-158, donde se hicieron algunas observaciones adicionales relativas a la existencia de una cierta dualidad entre los casos k = 0 y k = 9 . Precisaremos ahora el por qué de esta dualidad y completaremos todas las situaciones de dualidades posibles mediante la obtención de una nueva relación, también dual, entre los valores k = 1 y k = ∞ , aunque debemos destacar igualmente que el caso k = 1 ¡no es un caso degenerado! en el sentido indicado de la coincidencia de dos miembros singulares del haz. Comenzamos calculando los valores k ′ = k ( Ρ1, Ρ1′) y k ′′ = k ( Ρ2 , Ρ2′ ) , a partir de k = k ( P, P′) . Por comodidad de las expresiones siguientes utilizamos, en principio, la notación común κ para ambos valores k ′ y k ′′ . Su obtención la llevamos a cabo mediante aplicación de la relación (III.3.2) a la cónica incidente con el punto K , esto es, la cónica denominada ( C7 ) en [1],p.149, la cual, con la cónica (C2 ) ≡ C1 , son dos cónicas unitarias en las tres generaciones posibles estudiadas del haz CP , P ′ . Empleando, al efecto, el valor de δ 7 resultante en [1],p.149, y teniendo en cuenta las relaciones δ 1, 2 = 2θ1, 2 + 1 , se escribe 3 − 3k 3 − 3κ = θ1, 2 , 3+ k 3+κ siendo, además ([1],p.138,142)

k = ( 2θ1, 2 + 1) 2 . Sustituyendo el valor de θ1, 2 obtenido en la segunda expresión, en la expresión anterior, resulta la siguiente relación simétrica, lo que cabía esperar, entre k y κ

k 2κ 2 − 2kκ ( k + κ ) + k 2 + κ 2 − 44kκ − 18( k + κ ) + 81 = 0 . (III.4.1) La ecuación anterior es una cuártica que se ha representado gráficamente en la (FIG.4). Es simétrica respecto de la bisectriz principal, y se compone de dos ramas reales situadas en el primer cuadrante, con la única excepción del punto singular aislado k = κ = −3 ; tiene dos asíntotas dobles, k = 1 y κ = 1 , ambas asintóticas a cada una de las ramas; la rama exterior es del tipo hiperbólico, sin inflexiones, y la rama interior es tangente a los ejes en cada punto (9,0) y (0,9) , pasa por el punto (1,1) y tiene dos inflexiones. Teniendo en cuenta que P, P′ se suponen reales, el valor k ( P , P′) es siempre real. También se comentó en [1],p.161 que, en la asunción indicada, la variación posible de k se extiende efectivamente al rango completo ( +∞,−∞) . Teniendo esto en cuenta, de la inspección directa de la curva se derivan:

Corolario III.4.1: Si k < 0 y k ≠ −3 (¡el punto S ≡ ( −3,−3) es un punto singular aislado de la curva!), los dos valores k ′ = k ( Ρ1, Ρ1′) y k ′′ = k ( Ρ2 , Ρ2′ ) son imaginarios, así como los dos pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) , como se ha destacado ya en el Corolario III.3.4 a este respecto. Corolario III.4.2: Si k = −3 , también k ( Ρ1, Ρ1′) = k ( Ρ2 , Ρ2′ ) = −3 . Sin embargo los dos pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) siguen siendo imaginarios según el mismo resultado general anterior, apuntado en el Corolario III.3.4, para cualquier valor k < 0 . Este caso singular, k = k ′ = k ′′ = −3 , será objeto de consideración especial, más adelante, en la Sección III.6, incluída una representación particular, concreta, del mismo en la FIG.9. Corolario III.4.3: Si k > 0 y k ≠ 1,9 y/o ∞ , los dos valores k ( Ρ1 , Ρ1′) y k ( Ρ2 , Ρ2′ ) son reales y cada uno de los tres valores k ( P, P′) , k ( Ρ1 , Ρ1′) , k ( Ρ2 , Ρ2′ ) se sitúa en cada uno de los tres intervalos (0,1), (1,9), (9, ∞) , no necesariamente en este mismo orden correlativo. - 68 -

Esta última conclusión no implica ninguna otra paralela con relación a la realidad de ambos pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) en los casos k > 0 , ya que su análisis requeriría la consideración adicional sobre la realidad de los radicales que figuran en las coordenadas (III.3.8), a la que nos hemos referido con extensión en la Sección III.3.

(FIG.4) Además, la misma (FIG.4) evidencia dos dualidades distintas en el sentido de existencia simultánea, que están precisamente asociados a los tres casos degenerados del haz CP , P ′ , junto con el caso no degenerado k = 1 . Basta para ello contemplar las situaciones en las que son iguales dos valores cualesquiera de la terna k ( P, P′) , k ( Ρ1 , Ρ1′) , k ( Ρ2 , Ρ2′ ) . La primera de estas dos situaciones duales se expresa,

Proposición III.4.5: a) Si k ( P, P′) = 0 , se cumple k ( Ρ1, Ρ1′) = k ( Ρ2 , Ρ2′ ) = 9 y, más precisamente, (Ρ1 , Ρ1′) = ( Ρ2 , Ρ2′ ) . b) Si k ( P, P′) = 9 , ( Ρ2 , Ρ2′ ) ≡ ( P, P′) , mientras k ( Ρ1 , Ρ1′) = 0 . Aparte de la consideración de la (FIG.4) con relación a la repetición de un valor común de k en la terna k ( P, P′) , k ( Ρ1 , Ρ1′) , k ( Ρ2 , Ρ2′ ) , nos remitimos al estudio detallado de los casos k = 0 y k = 9 en [1],pp.149-156. - 69 -

No nos entretenemos tampoco en una identificación detallada de los puntos y líneas considerados en esta referencia, observando, únicamente, que, con la formulación y la representación de la cuártica, hemos encontrado aquí una explicación adecuada más amplia de las propiedades geométricas descubiertas en el análisis primero anterior de estos dos casos en [1]. La segunda situación dual se expresa,

Corolario III.4.6: a) Si k ( P, P′) = 1 , k ( Ρ1, Ρ1′) = 1 y k ( Ρ2 , Ρ2′ ) = ∞ . b) Si k ( P, P′) = ∞ , k ( Ρ1, Ρ1′) = k (Ρ2 , Ρ2′ ) = 1 . Enlazando aquí con el comentario adicional ya expresado en la Proposición III.3.9, hacemos notar que en la aserción III.4.6,a), la dualidad reside sólo en la obtención de los dos valores asociados de k , pero no podemos asociar propiamente a ( P, P′) otro par distinto de dos puntos básicos que diera el valor k = ∞ y que generase de nuevo el haz CP , P ′ en la forma descrita en el Capítulo II. Asimismo el resultado III.4.6.b) tiene únicamente valor algebraico sin ninguna correspondencia gráfica real entre haces individualmente considerados. Estas observaciones se clarifican adecuadamente mediante la consideración detallada del caso k = 1 en la Sección 5 siguiente. III.5.- EL CASO k = 1 En el análisis relativo a valores particulares de k realizado en [1],p.159, se establecieron las siguientes conclusiones básicas correspondientes al caso k = 1 : Ambas cónicas (C1 ) ≡ C2 y (C2 ) ≡ C1 coinciden con su cónica homóloga, y ello implica que C0 , (C1 ) ≡ C2 y (C2 ) ≡ C1 son las tres cónicas del haz CP , P ′ que se descomponen en el producto de dos líneas rectas; además, (C2 ) ≡ C1 pasa por K , K1 , K 2 y K 3 . Esto se completa con las propiedades resultantes del nuevo punto de vista que venimos considerando. Teniendo en cuenta la siguiente identidad formal, anticipada en ([1],p.142)  x y z   x′ y ′ z ′  xx′yy ′zz ′ + ( xy ′ + yx′) ( yz ′ + zy ′) ( zx′ + xz′) = xx′yy ′zz′ + +   + +  ,  x′ y ′ z ′   x y z  la condición k = 1 implica la anulación del siguiente producto ( yz′ + zy ′)( zx′ + xz′)( xy ′ + yx′) = 0 . (III.5.1) En cualquiera de las tres situaciones resultantes de esta expresión, el punto K se sitúa en un lado del triángulo ABC , lo que habíamos excluído hasta ahora, de manera que el nuevo análisis que hacemos de esta posibilidad es un complemento de los desarrollos anteriores en [1]. Supongamos, por ejemplo que se anula el primer factor. Ello significa que las líneas AP y AP′ son armónicas conjugadas con relación a AB y AC . Aunque las relaciones especiales entre puntos y líneas en esta hipótesis, manteniendo la nomenclatura en la (FIG.1), son bien expresivas en la siguiente (FIG.5), nos referimos, a continuación, a su justificación más detallada: En primer lugar, de la relación anterior existente entre las rectas AP y AP′ se derivan las dos coincidencias puntuales Pa ≡ Qa′ y Pa′ ≡ Qa , y también las dos alineaciones, con el mismo significado geométrico que las anteriores identidades, Pa Pb′Pc′ , Pa′Pb Pc . Una consecuencia añadida es que las rectas armónicas asociadas de P y P′ , o sea r y r ′ , son respectivamente incidentes con Pa′ y Pa . - 70 -

En segundo lugar, como consecuencia directa de estas alineaciones la cónica (C1 ) ≡ C2 es la unión de las rectas Pb Pc y Pb′Pc′ , cuya intersección, es el primer punto singular del haz CP , P ′ , situado en la recta PP′ , que denominamos U 2 . Además, las dos intersecciones Pb Pc . r ≡ Qa y Pb′Pc′. r ′ ≡ Qa′ , son, pues, dos de los cuatro puntos comunes que definen el haz CP , P ′ , que en la

(FIG.5) son, respectivamente, los puntos R2 ≡ Qa y R2′ ≡ Qa′ . Los otros dos puntos comunes son, obviamente las intersecciones Pb Pc . r′ ≡ R1′ y Pb′Pc′. r ≡ R1 .

(FIG.5) Puesto que los cuatro puntos B, C y R2 , R2′ están alineados, la cónica (C2 ) ≡ C1 es otro miembro descompuesto del haz CP , P ′ , siendo, por tanto, la unión del lado BC y la línea R1R1′ , que es

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incidente con el tercer vértice A ; las dos líneas se cortan en U 1 , que es el segundo punto singular de CP , P ′ en la recta PP′ . La intersección r.r ′ ≡ U es, como en el caso general, el tercer vértice del triángulo autoconjugado del haz, UU 1U 2 . En relación con los otros dos pares de puntos simétricamente asociados al par ( P, P′) , el par (Ρ2 , Ρ2′ ) , en la recta UU 2 , lo integran el punto de intersección Ρ2 ≡ UU 2 . BC y Ρ2′ ≡ A , confirmándose así el resultado anteriormente deducido en la explicación relativa al caso ρ = −1 de la Proposición III.3.9 y en la FIG.3. Se cumple, por tanto k ( Ρ2 , Ρ2′ ) = k ( Ρ2 , A) = ∞ , aunque este valor se refiere a una situación algo distinta de la estudiada en [1],p.157, también para k = ∞ , pues realmente no se corresponde aquí ya, realmente, con un haz de cónicas. El par (Ρ1 , Ρ1′) , individualmente considerado, no se asocia, en efecto, en este caso a una generación alternativa del haz ( P, P′) , representando, más bien, un papel instrumental en la coherencia de las formulaciones y desarrollos algébricos en el esquema integrado de la terna de pares asociados. El segundo par, (Ρ1 , Ρ1′) , en la recta UU 1 , que se define por las intersecciones Ρ1 ≡ BQb′ .CQc′ y Ρ1′ ≡ BQb .CQc , está formado por los respectivos armónicos asociados de P′ y P situados en

AP y AP′ , así pues Ρ1 ≡ P1′ ≡ ( − x′, y ′, z′) y Ρ1′ ≡ P1 ≡ ( − x, y, z ) , que cumplen igualmente la relación (5.1) y también el valor k = 1 . El significado geométrico de este par es, por el contrario, completo, y sustitutivo del par ( P, P′) en la generación alternativa del haz ( P, P′) . Como hemos adelantado, una propiedad específica del caso k = 1 , es la condición armónica de las cuaternas (III.3.10), puesto que de las definiciones anteriores de ambos puntos R2′ y P2′ , proyectando la cuaterna armónica ( AB ) ( PcQc ) desde C , sobre la recta AP , o bien, teniendo simplemente en cuenta que P y Ρ1′ ≡ P1 son dos puntos armónicos asociados, se cumple, en efecto, en la representación gráfica de la (FIG.5) ( P, Ρ1′; Ρ2′ , R2′ ) = −1, y, por tanto, también ( P, Ρ1; Ρ2 , R1′) = ( P′, Ρ1′; Ρ2 , R1 ) = ( P′, Ρ1; Ρ2′ , R2 ) = −1. En la (FIG.5) se han representado también las cuaternas armónicas anteriores, asociadas a ambos puntos P y P′ , incluída la ampliación de una ventana del triángulo UU 1U 2 , para mayor facilidad interpretativa, debido a la resultante, a primera vista, excesiva complejidad del dibujo. Estas adiciones suponen diversas alineaciones puntuales y concurrencias lineales, expresivas gráficamente y cuya justificación formal individualizada, la entendemos innecesaria, volviendo a destacar, únicamente, en relación con los puntos integrantes de estas cuaternas, las dos identificaciones arriba indicadas, P1′ ≡ Ρ1 y P1 ≡ Ρ1′ . Esta situación corresponde, efectivamente, en definitiva, a la configuración anteriormente comentada en la sección III.3, y a su representación gráfica en la (FIG.3), reproducida aquí en la (FIG.5), de forma más completa, en una configuración equivalente, con la inclusión adicional del triángulo base. Se confirma, por tanto, la observación allí deducida sobre las posiciones de los dos puntos de uno de los tres pares generadores del haz CP , P ′ , en los lados del triángulo de referencia, con la precisión adicional de que uno de los dos puntos coincide con un vértice del triángulo, y el segundo está situado en el lado opuesto a este vértice.

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Una situación particular, todavía más simple, del caso k = 1 se produce si se anulan dos factores del producto en el primer miembro de la ecuación (III.5.1), como es, por ejemplo, el subcaso del anterior zx′ + xz′ = 0 ∪ xy ′ + yx′ = 0 , representado en la (FIG.6), en el cual Pc ≡ Pc′ , los puntos A, P y P′ están alineados y (CPc ) ( PP′) = −1 . Una primera conclusión es la doble descomposición de la cónica (C1 ) ≡ C2 en el producto de las rectas CA × CB , que corresponde a la identificación del punto K con el vértice C . Asimismo, la cónica (C2 ) ≡ C1 se descompone en el producto de las rectas Pc Pa × Pc Pb , o también Pc′Pb′ × Pc Pa′ , puesto que Pc ≡ Pc′ y Pa Pc Pb′ y Pb Pc Pa′ son ternas de puntos alineados. En consecuencia, se tienen, también, las siguientes identificaciones de los puntos característicos en el esquema triple dual: U ≡ Qc ≡ Qc′ ,U 1 ≡ C ,U 2 ≡ Pc ≡ Pc′

R1 ≡ Qb ≡ Pb′ , R2 ≡ Qa ≡ Pa′ , R′1 ≡ Qb′ ≡ Pb , R′2 ≡ Qa′ Pa , y los pares simétricamente asociados al par P, P′ , resultan Ρ1 ≡ UU 1 . AP′ , Ρ1′ ≡ UU 1 . AP Ρ2 ≡ B , Ρ2′ ≡ C . En cuanto a las cuaternas de puntos armónicamente asociados a ambos puntos P y P′ , y su relación con los tres pares asociados ( P, P′) , ( Ρ1 , Ρ1′) , ( Ρ2 , Ρ2′ ) , existen en este caso las siguientes identificaciones adicionales, que se han representado también: P1 ≡ P2′ ≡ Ρ1′ , P2 ≡ P1′ ≡ Ρ1 , P3 ≡ P ′ , P3′ ≡ P .

(FIG.6) Mediante la simple inspección de la (FIG.6), se comprueban, igualmente las propiedades relativas a alineaciones y cuaternas armónicas anteriormente deducidas en el caso primero k = 1 , más general, sobre las que cualquier nueva insistencia es igualmente superflua; y aquí cabe se- 73 -

ñalar también, que este subcaso del anterior corresponde precisamente a la representación más particular de la condición ρ = −1 en la (FIG.3), en la cual ambos puntos Ρ2 y Ρ2′ coinciden con los dos vértices B y A del triángulo base.

III.6.- APLICACIÓN A LA GEOMETRÍA CLÁSICA DEL TRIÁNGULO Si se eligen el centroide y el ortocentro del triángulo ABC como los dos puntos básicos, sobre lo que hemos hecho ya algunas precisiones en la sección III.5, nos situamos en el campo de la geometría clásica del triángulo. Las cónicas del haz CG , H son círculos que tienen el eje órtico como eje radical común. Los centros están en la línea GH , que es la recta de Euler del triángulo ABC . En particular, se situan en esta recta el circuncentro O , que es el centro de la circunferencia circunscrita, correspondiente a la cónica denominada (C2 ) ≡ C1 ; el centro de la circunferencia C3 , de diámetro GH , que hemos denominado J , que es el punto medio del segmento

GH , y el centro del círculo de los nueve puntos del triángulo ABC , que llamamos F , recordando el descubrimiento paralelo de este círculo por Euler-Feuerbach, que es el círculo del haz, correspondiente a la cónica denominada (C1 ) ≡ C2 . Es también bien sabido que la cuaterna (GH ) (OF ) es armónica. Llamamos R al simétrico de H respecto de O , que es otro punto significativo en la geometría del triángulo, al que dimos esta denominación en la Ref.[8], (3,p.159). El punto h ≡ Q′ es el pié del eje órtico rH , y Q el punto impropio de la recta GH , esto es, el “centro” (considerado como el polo de la recta impropia y no como el punto singular del producto rG rH ), de la “circunferencia” del haz de radio ∞ , a la que corresponde el valor del parámetro δ = 3 , que asignamos también al punto Q , a los efectos de aplicación de la propiedad enunciada en la Proposición I.8.1, dato éste, que será de utilidad posterior. Además, el par R1 , R2 de puntos comunes de las circunferencias del haz, en la recta impropia rG , lo forman los puntos cíclicos del plano, imaginarios por tanto, mientras los otros dos puntos comunes R1′, R2′ en rH , son respectivamente imaginarios o reales según que el triángulo ABC sea acutángulo u obtusángulo. Se deriva, en cualquier caso, que los dos pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) son imaginarios por ser respectivamente los pares de puntos armónicamente asociados a los dos pares de rectas isótropas de vértices R1′ y R2′ , como hemos justificado en el caso general como Corolario III.3.3, rectas que son, obviamente, imaginarias. Esta misma observación sobre la naturaleza imaginaria de ambos pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) , la hemos formulado ya, anteriormente, en la Proposición III.3.10. En base a la triple simetría enunciada, los dos círculos del haz construídos análogamente a (C1 ) ≡ C2 , a partir de los pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) , que denominamos C2′ y C2′′ , podemos considerarlos también como otros dos “círculos de los nueve puntos” alternativos, puesto que los tres círculos asociados comparten propiedades proyectivas simétricas en el triángulo ABC . Conviene destacar que la indicada condición imaginaria de ambos pares, (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) , no implica la misma naturaleza de los círculos C2′ y C2′′ , a cuyo análisis y concreción detalladas nos referiremos en las consideraciones sucesivas. A continuación precisaremos, en efecto, ambos círculos C2′ y C2′′ con la determinación de sus centros, que llamamos F ′ y F ′′ , y de sus radios, R2′ y R2′′ . El radio de (C1 ) ≡ C2 es R2 = R / 2 , siendo R el radio del círculo circunscrito, puesto que los círculos (C1 ) ≡ C2 y (C2 ) ≡ C1 son homotéticos de centro G y razón − 1 / 2 . - 74 -

Nos referimos, en primer término, a los tres puntos U ,U 1 ,U 2 , y, a continuación, a las tres “líneas de Euler asociadas” del triángulo ABC , que son U 1U 2 ,UU 1 ,UU 2 . En particular, U es el punto del infinito del eje órtico, mientras que U 1 ,U 2 son los puntos límites del haz de círculos CG , H . Si los tres ángulos del triángulo son agudos, U 1 y U 2 son ambos reales, y son los dos imaginarios si existe un ángulo obtuso. Si el triángulo ABC es rectángulo en el vértice A , coinciden los puntos A ≡ H ≡ U 1 ≡ U 2 , aunque este sea un caso ciertamente trivial. A los efectos mencionados del cálculo de distintas razones dobles de cuaternas de puntos sobre la recta GH , que nos van a ser de utilidad, referimos el centro de cada círculo del haz expresado como C (δ ) , al valor correspondiente del parámetro δ (recordamos que nuestro interés se centra únicamente en círculos invariantes en la operación de duplicación), como fue justificado en la proposición I.8.1. De este modo, los puntos Q, O, G, F , J , H y h (éste último representa la intersección de GH y el eje órtico, es decir, el punto medio de U 1U 2 ), están referidos, respectivamente, a cada valor 3,1, 0,−1,−3, ∞ y k / 3 ; U 1 y U 2 a los valores + k 1

1

2

1

y − k 2 , y, finalmen-

1

te F ′ y F ′′ a los valores 2 − k 2 y 2 + k 2 , que resultan de aplicar las dos relaciones (III.3.7) al valor común ϑ1 = ϑ2 = −1 , teniendo en cuenta los valores de θ1 y θ 2 en (III.3.6) y haciendo a continuación el cambio de parámetros δ 1, 2 = 2θ1, 2 + 1 . La condición real o imaginaria de los centros F ′, F ′′ es, por tanto, paralela a la de U 1 ,U 2 , esto es, los cuatro puntos son reales si k > 0 , y son imaginarios si k < 0 . La asignación resultante de signos del radical k 1 / 2 , a cada notación F ′ y F ′′ , se pondrá también de manifiesto más adelante en la (FIG.7) y en una Tabla resumen final. Para precisar aún más esta cuestión relativa a la condición real o imaginaria de los puntos F ′, F ′′ , en la elección particular de los dos puntos básicos G y H que tratamos en esta sección, traemos también aquí las siguientes relaciones deducidas en [1],p.164, 1+ p k= , (III.6.1) p con p = cos A cos B cos C , (III.6.2) así como el siguiente valor de la potencia común de h con relación a cualquier círculo del haz ([1],p.165), siendo h1 y h2 las dos intersecciones comunes de estos círculos con su eje radical, que es, a su vez, el eje órtico del triángulo. 2

hh1 . hh2 = − hh1 = 4 R 2

p(1 + p ) k . (III.6.3) = 4R2 1− 8p ( k − 1)( k − 9)

Las relaciones (III.6.1) y (III.6.2) determinan la posible variación de los dos parámetros k y p. En primer lugar, la variación posible de p en un triángulo real está dada por la unión de intervalos 1 1 − 1 < p ≤ 0 ∪ 0 ≤ p ≤ ∪ ≥ p > 0. 8 8 Merece alguna atención la explicación más detallada de la anterior división de intervalos, que haremos corresponder a la variación paralela, también como unión de intervalos, de un ángulo determinado del triángulo, por ejemplo el ángulo en el vértice A, que es definitoria, además, de la forma genérica del triángulo,

π >Â≥

π 2

∪

π 2

≥Â≥

π

- 75 -

3

∪

π 3

≥ Â>0

Los respectivos intervalos extremos, primero y tercero, son semiabiertos, por corresponder sus extremos inaccesibles inferiores, esto es, p = −1 ≈ Â = π y p = 0 ≈ Â = 0 , los primeros, a la posición de tres vértices alineados distintos, y los segundos, a la coincidencia de dos vértices, lo que anula el triángulo en uno y otro caso. A su vez, los extremos accesibles comunes de los respectivos intervalos, primero y segundo, esto es, p = 0 ≈ Â =

π

, corresponden a un triángulo 2 rectángulo, y marcan la división del cambio de signo del parámetro p. Finalmente, los extremos comunes de los respectivos intervalos, segundo y tercero, también accesibles, esto es, 1 π p = ≈ Â = , corresponden al valor máximo de la función (III.6.2), que tiene lugar en un 8 3 triángulo equilátero (en este caso intervienen los tres ángulos del triángulo que tienen el mismo valor).

La representación de la hipérbola (III.6.1) facilita la definición subsiguiente de la variación de k, como unión de los intervalos 0 > k ≥ −∞ ∪ +∞ ≥ k ≥ 9 ∪ 9 ≤ k < +∞ , que se reducen a solo dos intervalos 0 > k ≥ −∞ ∪ +∞ ≥ k ≥ 9 , (III.6.4) pues la única diferencia entre el segundo y tercero radica en la accesibilidad/no accesibilidad del extremo + ∞ , respectivamente correspondiente a un triángulo rectángulo o al “triángulo” degenerado con dos vértices coincidentes. Además, en esta elección particular del centroide y el ortocentro como los dos puntos básicos, resultan naturalmente excluídos los dos valores k = 0 y k = 1 , considerados en los casos, más generales, analizados en las secciones III.3, III.4 y III.5. Las posiciones relativas de los puntos anteriormente citados sobre la recta GH , se muestran gráficamente, más adelante, en las (FIG.7) y (FIG.8) en cada supuesto k > 0 y k < 0 (repetimos que si k > 0 , se cumplirá realmente k ≥ 9 ). En el caso k < 0 figurarán naturalmente únicamente los puntos reales, aunque los dos pares de puntos imaginarios, U 1 y U 2 , y F ′ y F ′′ , estarán bien representados, como justificaremos, como puntos dobles de sendas involuciones elípticas definidas por dos pares de puntos homólogos reales. Se incluye, sin embargo, una imagen virtual, no real, de estos pares imaginarios, como intersecciones de la recta real GH con circunferencias imaginarias de centros respectivos reales, h ≡ Q′ y Fm , y radios imaginarios, del módulo real efectivo, representadas en trazos discontinuos. Las notaciones de los puntos imaginarios individualizados se figuran, asimismo, entre paréntesis. Al efecto, las posiciones de F ′ y F ′′ , reales si k > 0 , y/o la definición virtual apuntada de estos puntos imaginarios si k < 0 , sobre la recta GH , se precisan por el siguiente teorema:

Teorema III.6.1: Se verifican la relación armónica H ( HR)( F ′F ′′) , así como la razón simple Fm R / Fm H = k , donde Fm es el punto medio del segmento F ′F ′′ , que es un punto real, y R el simétrico de H respecto de G. Esta coincidencia de nuestra designación del punto R con la utilizada también, del radio del círculo circunscrito, la consideramos irrelevante, obviamente. Aplicando la Proposición I.8.1 (anteriormente Proposición 2.11 en [1],p.144), junto con los valores anteriores particularizados de δ , y teniendo en cuenta la relación conocida GH = −2. GO , se obtienen - 76 -

(O, G; F ′, H ) = (1,0;2 − k , ∞) =

1− k 2− k

(O, G; F ′′, H ) = (1,0;2 + k , ∞) =

1+ k . 2+ k

y de aquí

OF ′ = OH

k −1 k +1

k +1 . k −1 Multiplicando los dos valores anteriores de OF ′ y OF ′′ , resulta OF ′′ = OH

2

OF ′. OF ′′ = OH , expresión que justifica la relación armónica ( H , R; F ′, F ′′) = −1. Aplicando de nuevo la Proposición I.8.1 se deducen, primero el valor δ R y, a continuación, el valor δ m , correspondientes a ambos puntos R y Fm , a partir de las siguientes razones dobles armónicas ( R, H ; O, Q ) = (δ R , ∞;1,3) = −1 → δ R = 2

( Fm , Q; F ′, F ′′) = (δ m ,3;2 − k ,2 + k ) = −1 → δ m = 2 + k . El valor obtenido real de δ m justifica también la naturaleza real del punto Fm . Recordamos que el significado de cada valor δ asignado a un punto cualquiera de la recta GH , es el valor del parámetro correspondiente al círculo del haz CGH cuyo centro es dicho punto, esto es, el polo de la recta impropia, armónica asociada de G. Nuestro interés no se centra, sin embargo, aquí, como hemos anticipado en la circunferencia del haz de centro Fm , sino en la circunferencia del mismo centro, real o imaginaria, incidente con F ′ y F ′′ , que no pertenece a CGH . Se obtiene, finalmente, procediendo análogamente

Fm R = k . (III.6.5) Fm H Las dos aserciones del teorema las aplicaremos posteriormente a una representación gráfica adecuada de los centros F ′ y F ′′ , en particular, de manera especial, en el caso de un triángulo obtusángulo, aunque esta representación gráfica no es en este caso, naturalmente directa, por tratarse de puntos imaginarios. Se facilitará esta representación, considerando, además, como veremos, el valor de la razón doble (II.3.3), obtenido en la Sección II.3, como expresión particularizada de la razón doble (I.8.1), anterior, en el estudio generalizado. Puesto que Q es un punto impropio en la selección particular del centro de gravedad y el ortocentro, y teniendo en cuenta la denominación alternativa de Q ′ ≡ h , la razón doble de referencia ( P, P ′; Q, Q′) , se reduce en este caso, a la razón simple hH 9 = , (III.6.6) hG k que será la utilizada en la construcción previa del punto medio de F ′ y F ′′ , real, Fm , seguida de la construcción y/o definición de los centros F ′, F ′′ , según sea la condición de los mismos, real, en un triángulo acutángulo, o imaginaria, en un triángulo obtusángulo. ( Fm , Q; R, H ) = ( 2 + k ,3;2, ∞) →

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El segundo teorema, a continuación, completa la definición precisa de los círculos C2′ y C2′′ : Teorema III.6.2: a) Los dos radios R′ y R′′ de C2′ y C2′′ , respectivamente real e imaginario, en un triángulo acutángulo, al que nos referimos preferentemente en este enunciado a efectos únicamente de las signaturas indicadas, aunque las expresiones obtenidas tienen validez general, e imaginarios los dos en un triángulo obtusángulo, están dados por 16 R 2 R2′2 = > 0 (III.6.7) (1 + k )3 16 R 2 < 0 . (III.6.8) (1 − k )3 b) Los radios de las tres circunferencias C2 , C2′ y C2′′ , que comparten propiedades análogas, verifican la relación simétrica siguiente R22 .R2′2 .R2′′2 = ( R∞2 )3 , (III.6.9) donde R∞ es el radio de la circunferencia autoconjugada C∞ . R2′′2 =

La comprobación de estas tres expresiones es un ejercicio simple de cálculo, utilizando las posiciones de F ′ y F ′′ en la recta GH , y en particular, las distancias F ′h , F ′′h , y el valor (III.6.3), anteriormente obtenido, de la potencia común de h respecto de C2′ y/o C2′′ , además de los valores ya conocidos R2 = R / 2 y R∞2 = −4 pR 2 . Se tiene, en efecto, calculando en primer lugar la distancia hO , aplicando las expresiones (6.10.1) de hH y hG obtenidas en ([1],p.165) 3 6p 3 2(1 − 8 p ) 1− 2p k −3 hO = hH + HG = R +R × =R =R . 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 2 (1 − 8 p ) 2 3(1 − 8 p ) (1 − 8 p ) (k − 1) ( k − 9)1 / 2 y, aplicando, a continuación, la expresión de OF ′ , anteriormente deducida k −3 ( k − 9)1 / 2 ( k 1 / 2 − 1) hF ′ = hO − F ′O = R R − = ( k − 1)1 / 2 ( k − 9)1 / 2 ( k − 1)1 / 2 ( k 1 / 2 + 1)

( k − 3)( k 1 / 2 + 1) − ( k − 9)( k 1 / 2 − 1) 6k 1 / 2 + 2k − 12 R = , ( k − 1)1 / 2 ( k − 9)1 / 2 ( k 1 / 2 + 1) ( k − 1)1 / 2 ( k − 9)1 / 2 ( k 1 / 2 + 1) y, aplicando el valor (III.6.3) de la potencia de h respecto de C2′ y/o C2′′ , se tiene, efectivamente, =R

2

2

R2′2 = hF ′ − ( − hh1 ) = 1/ 2  ( k + 3k 1 / 2 − 6) 2  1 − 6)( 2k 1 / 2 − 6) 2 ( 2k + 4k 4 k R − = =  ( k − 1)( k − 9)  ( k 1 / 2 + 1)2 ( k − 1)( k − 9)( k 1 / 2 + 1)2  ( k 1 / 2 − 1)( k 1 / 2 + 3)( k 1 / 2 − 3) 1 = 16 R 2 = 16 R 2 1 / 2 . 1/ 2 2 ( k − 1)( k − 9)( k + 1) ( k + 1)3 El valor de R2′′2 resulta, simplemente, del cambio de signo del radical k 1 / 2 .

= 4R 2

Se deduce asimismo, 1 1 = 16 2 R 4 ( − )3 , 3 (1 − k ) p 2 y, teniendo en cuenta los valores de R2 y R∞ arriba apuntados, mediante eliminación del parámetro p , se obtiene la expresión (III.6.9), simétrica en los tres radios R2 , R2′ , R2′′ , como era previsible, dada la generación, igualmente simétrica, de los círculos C2 , C2′ y C2′′ . R2′2 R2′′2 = 16 2 R 4

- 78 -

Las relaciones que se han derivado de las posiciones y/o propiedades de F ′ y F ′′ y las expresiones de los valores R2′2 y R2′′2 , que son únicamente reales si k > 0 , se aplican a continuación complementando las conclusiones en los Corolarios III.4.1 a III.4.4 del estudio general, en la geometría clásica que consideramos ahora, obteniéndose así, Corolario 6.3: Si los tres ángulos del triángulo ABC , por supuesto real, son agudos, en cuyo caso es k > 9 , los dos centros F ′, F ′′ son reales, mientras el círculo C2′ es real y el círculo C2′′ es imaginario. Ello supone que el par (Ρ2 , Ρ2′ ) es imaginario, como habíamos justificado anteriormente. La naturaleza del par (Ρ1 , Ρ1′) es asimismo imaginaria, por ser igualmente Ρ1 y Ρ1′ los puntos armónicos asociados de un par de rectas isótropas, lo que supone que el círculo real C2′ no corta a los lados del triángulo en puntos reales. Si un ángulo es obtuso, en cuyo caso es k < 0 , los dos centros F ′, F ′′ y los dos radios R′, R′′ son imaginarios. Asimismo, si el triángulo básico es acutángulo, los radios R2 y R2′ de los círculos reales C2 y C2′ son también reales y naturalmente positivos, mientras los círculos C∞ y C2′′ son imaginarios ya que los cuadrados R∞2 y R2′′2 son valores reales y negativos. Si el triángulo es obtusángulo, los círculos C2 y C∞ son reales, y los dos círculos C2′ y C2′′ son imaginarios, aunque el producto R2′2 R2′′2 de dos números imaginarios conjugados es real y positivo, lo que mantiene nuevamente la coherencia de la expresión (III.6.9). Hemos descartado el valor singular k = 9 , que corresponde a un triángulo equilátero en el que se identifican los dos puntos G ≡ H y la consideración de la geometría dual es superflua. Las propiedades deducidas en los teoremas III.6.1 y III.6.2, las aplicaremos después a una construcción geométrica sencilla del punto Fm , seguido de los centros F ′, F ′′ , y, consecuentemente de los círculos C2′ y C2′′ , con validez unificada en ambos casos de un triángulo acutángulo y/o obtusángulo. Por el momento, si el triángulo ABC tiene los tres ángulos agudos, o, de otro modo, si k > 9 , podemos dibujar el círculo real C2′ y, asimismo, el centro del círculo C2′′ , que es también real, mediante otra construcción geométrica distinta, aunque algo más complicada, que se ilustra igualmente en la (FIG.7), como indicamos: Sabemos que las intersecciones de cada círculo C2 , C2′ , C2′′ con un lado del triángulo ABC son las proyecciones sobre el lado de sus respectivos pares de puntos básicos desde el vértice opuesto a este lado. Sabemos también que cada una de las dos proyecciones son conjugadas de las intersecciones del lado con el par de líneas que integran cada una de las tres cónicas singulares del haz, con respecto a los dos vértices situados en ese mismo lado. Las tres cónicas singulares en la geometría clásica son, una de ellas la unión de la recta impropia y el eje órtico, y, las otras dos, las líneas isótropas de U 1 y/o U 2 . Además de esta caracterización especial de las respectivas intersecciones de los círculos C2 , C2′ , C2′′ con los lados, tendremos también en cuenta el siguiente Lema general,

Lema III.6.4: Consideremos una involución cualquiera sobre la recta MM ′ , definida por ( PP′) (QQ′) . a) Los conjugados de cada dos puntos de los pares de la involución ( PP′) (QQ′) con relación a M y M ′ , son, a su vez, integrantes de pares de una involución. b) Los dos puntos invariantes de esta segunda involución son los conjugados de los dos puntos invariantes de la primera involución, con relación a M y M ′ . - 79 -

(FIG.7)

- 80 -

En la demostración utilizamos coordenadas proyectivas lineales de los puntos sobre la recta MM ′ suponiendo x( M ) = 0 y x(M ′) = ∞ . Si la involución dada tiene la expresión Axx′ + B( x + x′) + C = 0 , la segunda involución estará dada por la expresión Axx′ − B( x + x′) + C = 0 . La comparación de las ecuaciones de los puntos invariantes de ambas involuciones, resultantes de hacer x = x′ en las dos expresiones anteriores, prueba la propiedad 6.4b). Aplicando este Lema, procederemos del modo siguiente: Proyectamos sobre un lado cualquiera del triángulo ABC , en la (FIG.7) el lado BC , la involución rectangular de vértice U 1 (resp. U 2 ), definida por dos pares arbitrarios de esta involución. Puesto que ni C2′ ni C2′′ cortan al lado BC en puntos reales, sabemos que la segunda involución resultante del procedimiento indicado es una involución elíptica en uno y otro caso. Si dibujamos dos círculos de diámetros los dos pares de cada involución, los círculos de un mismo par son secantes y sus respectivos ejes radicales cortan a la recta GH en los centros buscados, F ′ y F ′′ . Observamos también que resulta superflua la construcción de los dos círculos anteriores, encontrando directamente la posición del eje radical común a todos los círculos de diámetro un par de puntos homólogos en la segunda involución mencionada. El eje radical es, en efecto, el miembro del haz cuyo radio es ∞ . Así, eligiendo simplemente el par de rectas ortogonales de vértice U 1 , la recta que une U 1 con el punto medio, M , del lado BC, y la perpendicular en U 1 , U 1M 1 , el par ( M , M 1 ) de la primera involución genera el par (∞, N1 ) de la segunda, siendo N1 el conjugado armónico de M 1 respecto de B y C. En consecuencia, la perpendicular a BC en N1 corta a U 1U 2 ≡ GH en el primer centro F ′ buscado. La construcción análoga iniciada en el punto U 2 da el segundo centro F ′′ . Es interesante la comprobación de las posiciones relativas de ambos centros sobre la recta U 1U 2 ≡ GH en la (FIG.7), que son respectivamente exterior e interior al segmento U 1U 2 , y que resultan así directamente justificativas de la condición real del círculo C2′ , e imaginaria del círculo C2′′ . Aunque superflua, y solamente para mayor claridad interpretativa de la (FIG.7) referenciada, justificamos también la previa determinación de los puntos N1 y N 2 , mediante las intersecciones del lado BC con las polares respectivas de M 1 y M 2 respecto del ángulo ∀BAC ; los puntos Sb y Sc (resp. Tb ≡ S b y Tc ) son las intersecciones de los lados AB y AC con una recta arbitraria por M 1 (resp. M 2 ): la polar de M 1 (resp. M 2 ) es la recta AS (resp. AT ), con S ≡ BS c .CS b (resp. T ≡ BTc .CTb ). Por último, el radio R2′ , real, y el radio R2′′ , imaginario, se obtienen por la condición de pertenencia de C2′ y C2′′ al haz CGH , como tercer lado de un triángulo rectángulo de hipotenusa F ′h (resp. F ′′h ) y cateto de longitud la tangente de h a cualquier otro círculo del haz, por ejemplo al círculo circunscrito. El cuadrado de esta longitud es, nuevamente, el valor (III.6.3) de la potencia común de h respecto de cualquier círcunferencia de CGH . En la (FIG.7) se determina

R2′ mediante la intersección de la circunferencia de diámetro F ′h y la circunferencia de diámetro U 1U 2 , que es igualmente la circunferencia de centro h y radio la longitud indicada de la 2

2

tangente de h al círculo circunscrito. Observamos también que F ′h > hh1 , dado que, como 2

sabemos, C2′ es real, y F ′′h < hh1

2

por lo cual C2′′ es imaginario. Se ha representado, así - 81 -

pues, el círculo C2′ y se comprueba que las intersecciones con los tres lados del triángulo base son imaginarias, que es, obviamente, la misma condición de los puntos Ρ1 y Ρ1′ . Finalmente, en el caso de un triángulo obtusángulo, son imaginarios, como sabemos, los puntos U 1 y U 2 , y, también, los centros F ′ y F ′′ , y los círculos C2′ y C2′′ , de manera que algunas construcciones gráficas anteriores, en particular, las relativas a la obtención directa de los puntos F ′ y F ′′ no son aplicables. Como hemos adelantado, la representación gráfica de los dos pares U 1 y U 2 , y F ′ y F ′′ , la haremos aquí por intermedio de dos pares de puntos reales homólogos de involuciones cuyos puntos dobles respectivos son los pares citados, tal como aparecen en la siguiente (FIG.8).

(FIG.8) - 82 -

En primer lugar, el par (U 1 ,U 2 ) se ha representado por el par de puntos interseccion de la circunferencia circunscrita con la recta GH , en la figura el par ( D1 , D2 ) , y por el par (h, Q∞ ) , siendo también significativos los puntos reales h1 , h2 , que son las intersecciones comunes de las circunferencias del haz sobre la recta rH . La circunferencia de diámetro h1h2 , real, corta igualmente a GH en otro par de puntos homólogos. Se ha representado en línea de trazos virtual la circunferencia imaginaria del mismo centro real h y radio imaginario de módulo hh1 , cuyas intersecciones (imaginarias) con la recta GH son los puntos U 1 y U 2 , con la notación entre paréntesis. En segundo lugar, la representación del par ( F ′, F ′′) se facilita mediante determinación de la posición previa del punto medio Fm del segmento F ′F ′′ . Se consigue, en efecto, una construcción geométrica sencilla de este punto a partir de las dos razones simples, (III.6.5) y (III.6.6), anteriormente obtenidas, que repetimos aquí Fm R =k Fm H hH 9 = , hG k y el producto de estas dos razones simples permite obtener la siguiente relación independiente de k, Fm R hG = 9× , Fm H hH que facilita una determinación gráfica simple de Fm por una media proporcional. En la (FIG.8) se hace esta construcción llevando las distancias Hh′ = Hh y h′h′′ = 9Gh sobre una semirrecta cualquiera de origen H , en la figura HC , y trazando por h′ la paralela a h′′R , cuya intersección con HG es el punto Fm buscado. La definición completa final de F ′ y F ′′ la da la circunferencia de diámetro RH y sus intersecciones reales con la perpendicular a la recta GH en Fm , que llamamos v1 y v2 . Se ha dibujado en línea de trazos la circunferencia imaginaria de centro Fm y cuyo cuadrado del radio está determinado por la expresión negativa 2

2

Rm2 = − Fm v1 = − Fm v2 . Las intersecciones, igualmente imaginarias, de esta circunferencia con la recta GH , son F ′ y F ′′ . Como hemos indicado con anterioridad, los puntos F ′ y F ′′ son los puntos dobles de la involución subordinada sobre la recta GH por el haz cuyo eje radical es la recta v1v2 y que tiene como miembro a la circunferencia de diámetro RH . La involución está así definida, por ejemplo, por el par ( R, H ) y el par (u1 , u2 ) , integrado por las dos interseccio-

nes de la recta GH con la circunferencia, ahora real, de diámetro v1v2 , no representada en la (FIG.8) por coincidir su trazado con el perímetro virtual de la circunferencia de diámetro F ′F ′′ . La misma construcción del punto Fm es, también, naturalmente aplicable, como alternativa a la anterior justificada en la (FIG.7), en el caso k > 0 , habiéndose representado igualmente la obtención de Fm , en este caso con valores proporcionales a las distancias Hh′ y hH , por la disponibilidad limitada de espacio, y con la precaución de llevar la distancia proporcional a h′h′′ = 9.Gh en sentido contrario a la distancia proporcional a Hh′ = hH , consecuentemente con las distintas posiciones relativas de los puntos h, H y G sobre la recta HG . Los dos puntos reales, F ′ y F ′′ , son ahora las intersecciones de la recta HG con la circunferencia de centro Fm y - 83 -

radio la longitud de la tangente de Fm a la circunferencia de diámetro RH . Esta segunda construcción se ha superpuesto a la primera, anteriormente explicada, en la mencionada (FIG.7), relativa a un triángulo acutángulo. Un caso muy peculiar del triángulo de referencia obtusángulo, en el que se simplifican, en gran medida, las construcciones anteriores, es el correspondiente al punto singular de la curva f ( k , κ ) = 0 , dada por la ecuación (III.4.1) y representada en la (FIG.4), que es el único caso en el cual para valores negativos de k resultan valores reales de los parámetros κ 1 y κ 2 , y los tres parámetros tienen el valor común k = κ 1 = κ 2 = −3 , aunque los otros dos pares alternativos, además del par real ( P, P ′) , que son los pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) son naturalmente imaginarios, como ha sido la conclusión general en la selección del centro de gravedad y el ortocentro como el par ( P, P ′) básico, y, más manifiesta en este caso, por ser k < 0 .

(FIG.9) La relación (III.6.1), para k = −3 da el siguiente valor del parámetro p que utilizaremos seguidamente en la representación de un ejemplo concreto, - 84 -

1 1 = − , (III.6.10) k −1 4 y las dos razones simples (III.6.5) y (III.6.6) resultan hH 9 = = −3 hG − 3 Fm R = k = −3 , Fm H valores ambos que implican las siguientes propiedades específicas de todos los triángulos obtusángulos que verifican la condición (III.6.10): p=

Proposición III.6.5: a) Los círculos reales C1 y C∞ , de centros respectivos O y H , tienen el mismo radio R. b) El círculo imaginario de centro el punto h, incidente con U 1 y U 2 , tiene radio imaginario, cuyo cuadrado está dado por la expresión negativa Rh2 = −( R / 2) 2 . c) Los tres puntos h, F y Fm son coincidentes, así como las rectas h1h2 y v1v2 . d) Los cuadrados de los radios, esto es, R2′2 y R2′′2 , tienen en este caso el mismo valor real negativo, cumpliéndose las igualdades R′2 = R′′2 = −2 R 2 . Como muestra concreta ilustrativa de estas propiedades adicionales en este supuesto k = −3 , se ha reproducido el caso más general de la FIG.8, referida allí a un valor arbitrario k < 0 , en una segunda figura de la misma familia, (FIG.9), correspondiente al valor particular k = −3 , eligiendo un triángulo obtusángulo de referencia, de ángulos

π

+

π π ,

y

π

, que satisfacen la re2 8 8 4 lación (III.6.10) y presentan evidente facilidad del dibujo representativo. La construcción geométrica del punto Fm por una media proporcional, en las FIGs. 7 y 8, ha sido, ahora, naturalmente innecesaria. Las propiedades anteriormente indicadas tienen las siguientes demostraciones:

a) Introduciendo el valor (III.6.10) de p en la expresión (6.10.3), obtenida en [1],p.165, R∞2 = −4 pR 2 , que se deducirá posteriormente también en la sección IV.8, como aplicación particularizada de la expresión análoga multidimensional, (IV.8.11), se obtiene el resultado R 2 . b) Introduciendo el mismo valor (III.6.10) de p en la expresión (III.6.7) que representa el cuadrado del radio del primer círculo descrito, se obtiene el resultado − R 2 / 4 . En esta FIG.9, debido a la identificación de los centros y los módulos de los diámetros de la circunferencia imaginaria de centro h ≡ F , incidente con U 1 ,U 2 y la circunferencia real C2 , que son ambos iguales a h1h2 , los puntos U 1 ,U 2 imaginarios, intersecciones de la primera circunferencia con la recta GH , ¡y no de la circunferencia C2 !, se han figurado entre paréntesis, en una representación necesariamente virtual, aunque, a diferencia de la FIG.8, no se haya representado también, en trazos discontinuos, la circunferencia C∞ , por coincidir su trazado aparente con el de la circunferencia real C2 de diámetro h1h2 . c) Los puntos h, F y Fm corresponden a los parámetros δ respectivos k / 3,−1 y 2 + k , que para k = −3 tienen el valor común − 1 . La identificación de ambos puntos h y Fm , supone también la de las rectas rH y v1v2 . Puesto que Fm ≡ h , la involución sobre la recta GH , cuyos puntos dobles imaginarios son F ′ y F ′′ , la definimos, en este subcaso, por los pares reales ( R, H ) y (u1 , u2 ) , integrado el segundo - 85 -

par por las intersecciones de la recta GH con la circunferencia de diámetro las intersecciones, v1 y v2 , del eje órtico rH y la circunferencia de diámetro RH . La primera circunferencia no se ha representado tampoco en ninguna de las FIGS.8,9 por la coincidencia con el perímetro virtual de la circunferencia imaginaria, en línea de trazos, incidente con los puntos F ′ y F ′′ . La notación entre paréntesis de estos últimos puntos, ya comentada, marca la diferenciación entre los puntos imaginarios F ′, F ′′ y los puntos reales u1 , u2 . d) Asimismo, puesto que los centros F ′ y F ′′ son dos puntos imaginarios simétricos respecto del eje radical común, h1h2 , los cuadrados de los radios de los dos círculos imaginarios simétricos C2′ y C2′′ son iguales. Sustituyendo el valor k = −3 en las expresiones (III.6.7) y (III.6.8) resultan las dos igualdades correspondientes al valor negativo común de R2′2 y R2′′2 , que es − 2 R 2 . Con mayor precisión, y refiriéndonos ya, exclusivamente, al caso concreto del triángulo seleccionado en la representación de la (FIG.9), esto es, al triángulo de ángulos

π

+

π π ,

y

π

, las 2 8 8 4 siguientes FIGs.10A y 10B ponen de manifiesto algunas otras propiedades adicionales, específicas de este triángulo particular, que podrían resultar de algún interés, o, al menos, servir de cierta curiosidad al lector.

(FIG.10A) En la primera (FIG.10A), nos referiremos, simplemente, a una definición adicional más detallada de la posición común de los puntos h, F y Fm , que son elementos importantes en la triple geometría simétrica dual del triángulo que analizamos en este Capítulo. - 86 -

En primer lugar, puesto que ∀H bCB = ∀H b BC =

π

, el triángulo CH b B es isósceles y rectán4 gulo en H b y el pié de la altura, H b , está situado en la mediatriz MO del lado BC . En segundo lugar, se precisa, aún más, la posición singular de los tres puntos coincidentes h, F y Fm , como intersección del lado AB del triángulo con el lado H a H b del triángulo órtico. Se comprueba esta propiedad, considerando que el punto F es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo rectángulo H a MH b , y, por tanto, el punto medio del segmento H a H b . Además, puesto que ambos puntos H a y H b están situados en la circunferencia de diámetro AB , representada también en la (FIG.10A), se obtiene ∀H b H a B = ∀H b AB = π − (

π 2

+

π 8

)=

π 2

−

π 8

,

y de aquí, finalmente ∀( H b H a , AB ) =

π

, 2 que justifica la pertenencia del punto medio de la cuerda H a H b , o sea F , al diámetro perpendicular AB . Una conclusión derivada de la anterior es la condición paralela del lado H a H b y la altura CH c . En la segunda (FIG.10B) se complementan las construcciones en las FIGs.9 y 10A anteriores, lo que ofrece, en la figura final resultante, multiplicidad de alineaciones, concurrencias, ortogonalidades, paralelismos y tangencias, así como diversas simetrías y semejanzas, no buscadas/os ni esperadas/os en nuestro planteamiento inicial, cuyo descubrimiento y demostraciones correspondientes preferimos dejar al posible interés del lector. Una tal conjunción de propiedades geométricas confieren un carácter ciertamente notable al triángulo de ángulos

π

+

π π ,

y

π

, 2 8 8 4 cuya primera razón, ésta compartida con todos los triángulos que verifican el valor (III.6.10), podemos situarla en la existencia del punto singular S ( −3,−3) de la curva (III.4.4). Entre esta pléyade de propiedades geométricas de comprobación inmediata visual, destacamos aquí, únicamente, la aparición, no buscada tampoco, de diversos triángulos iguales o semejantes a nuestro triángulo básico ABC , como son, en concreto, los triángulos iguales AHB , ACB ′ , HCB ′ , AH ′C , AC ′′H ′ , AB ′A′ , H ′′C ′B , A′C ′B y A′BC , y, asimismo, los triángulos semejantes HH b H a , Hb BHc , H a H c B , H a CH b , OBH a , T1 H b A , T1 AH a , T1 H a C , T1 AH ′ , T1BC, T1 BO , T1OH ′ , A′C ′′C , T2 H bC ′ y T2 BH b todos los cuales subrayan, como decimos, las especiales características de este triángulo tan singular. Mencionaremos igualmente las dos propiedades métricas siguientes, que no son ya aparentes en la figura, aunque su deducción por la vía algebraica no presenta mayores dificultades: 1ª) La distancia común OH = OR , que es el radio de la circunferencia de diámetro HR , concéntrica con la circunscrita, ambas representadas en la FIG.10B, es igual a la longitud del lado del triángulo equilátero inscrito en la circunferencia circunscrita, y 2ª) El mismo radio OH es también igual a la longitud del lado del cuadrado inscrito en la circunferencia de centro O incidente con la intersección H d del lado H a H c del triángulo órtico, con la recta de Euler OH .

- 87 -

Mediante deducciones geométrico-analíticas elementales, se comprueban, en efecto, las dos igualdades siguientes, 2

2

2

2

OH = OR = 3 OA = 2 OH d .

(FIG.10B) Como resumen ilustrativo final de este Capítulo III, se incluye la siguiente Tabla III.1 relativa a los puntos significativos alineados en la recta GH en el caso general en un triángulo acutángulo, esto es, con k > 0 , y ordenados según la disposición resultante en la FIG.7, con indicación de los valores asociados de ambos parámetros ϕ y δ , definitorios del círculo Cϕ ≡ C (δ ) perteneciente al haz CGH , cuyo centro es el punto correspondiente. En las notas al pié se indican también las variaciones que supondría la consideración paralela de un triángulo obtusángulo.

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TABLA III.1 (FIG.7)

Punto ∞←Q

U1 + U 2 2

F ′′∗ Fm ≡

F ′ + F ′′ 2

H U2

H +G 2

F ′∗ F≡

H +O 2

G O≡

0

3

3+ k 2

∗

J≡

δ

3− k 2 9−k 6 1− k 2 1− k 2 −∞+ ∞

∗

U1

Q′ ≡ h ≡

ϕ

H +R 2

Q→∞

k 3 2+ k 2+k + ∞− ∞ − k

3

−3

1+ k 2

2− k

2

−1

3 2

0

1

1

1 2 0

R

+ k

2 3

Notas: A+ B representa el punto medio del segmento AB . 2 - Los puntos marcados con asterisco, así como las circunferencias asociadas son imaginarios/as para valores negativos de k (triángulos obtusángulos). - Para valores positivos de k (triángulos acutángulos), todos los puntos que figuran en la Tabla, son puntos reales. Sin embargo, las circunferencias asociadas a puntos (centros) interiores al segmento U 1U 2 son imaginarias. - Para valores negativos de k (triángulos obtusángulos), los puntos marcados con asterisco, así como las circunferencias asociadas son imaginarios/as. Sin embargo, todas las circunferencias asociadas a puntos reales de la recta GH , son también reales. - Para dichos valores negativos de k se modifican las posiciones relativas de los puntos reales cuyos respectivos parámetros ϕ y/o δ dependen de k, esto es, los puntos h y Fm , debido al cambio de signo resultante de dichos parámetros. Las disposiciones diferentes de ambos puntos sobre la recta GH , para cada triángulo dibujado, son las representadas en las FIGs. 8 y 9, cuya reproducción secuencial ordenada, análoga a la de la Tabla anterior, la consideramos superflua. - La notación

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CAPÍTULO IV: GEOMETRÍA DUAL INVOLUTIVA MULTIDIMENSIONAL EN ESPACIOS ORTONORMALES

IV.1.- EL ESQUEMA MULTIDIMENSIONAL ORTOCÉNTRICO La geometría dual generalizada en espacios multidimensionales, estudiada en el Capítulo I, cuyo planteamiento y resultados se formulan a partir de un enfoque básicamente proyectivo, se ha aplicado, en particular, en el Capítulo II a la geometría del triángulo en el espacio bidimensional, resumiendo los principales resultados anteriormente presentados en [1], que incluían, además, diversas propiedades, pertenecientes ya al campo de la geometría métrica, y derivadas de una elección particular de los dos puntos básicos. En concreto, los resultados de este tipo figuraban en la última Sección 6,pp.161-173 de la Ref.[1] citada, recogidas en las aserciones 6.1 a 6.10 y en las representaciones de diversos casos particulares ([1],FIGS. 4 a 13). El procedimiento seguido, como decimos, ya apuntado en la Introducción, que se ha revelado más fructífero, ha consistido en la elección del centro de gravedad y el ortocentro del triángulo como los dos puntos básicos, además de la utilización de un sistema trilinear de coordenadas homogéneas normales referido al triángulo base. La conclusión más significativa obtenida es la identificación del haz de cónicas genérico CP , P ′ como un haz de circunferencias cuyo eje radical común es la recta armónica asociada del ortocentro, con relación al mismo triángulo. Esta aplicación particularizada en el plano, podemos referirla también a la extensión de la geometría métrica habitual del triángulo en espacios multidimensionales para cualesquiera valores N ≥ 2 , a un N-simplex, e inclusive su adaptación, como tratamos después, en la sección IV.7, en el espacio lineal unidimensional. En cuanto al paso que señalamos, llevado a cabo en el espacio bidimensional, desde el ámbito proyectivo más general al de la geometría métrica común, para su generalización en espacios de dimensiones superiores a 2, existen dos aspectos importantes, aunque de índole restrictiva para ambos y también metodológica para el segundo, como explicamos a continuación, que deben ser tenidos en cuenta. En primer lugar, esta nueva extensión que comentamos, estará basada, como en el espacio bidimensional, en la elección de dos puntos concretos, el centro de gravedad y el ortocentro del politopo de referencia como los dos puntos básicos, que son el fundamento de las dos operaciones duales. Sin embargo, si bien el primero de estos dos puntos tiene un carácter universal, es decir, que su abstracción puede aplicarse a un ente geométrico ideal de cualquier dimensión, lo que pudiera asociarse quizá al significado posicional del punto en el mundo material de tres dimensiones, la noción geométrica del ortocentro en espacios de dimensión N > 2 , resulta cumplida únicamente en una clase particular de N-simplexes, que llamaremos por ello ortocéntricos. Esta exigencia, que no resulta precisa en los espacios de dimensiones 1 y 2, se verifica inclusive, como es bien sabido, en el caso de menor dimensión entre los indicados de dimensiones mayores que 2, que es el más próximo y comprensible para nosotros, es decir, el espacio de tres dimensiones, pues, en efecto, las alturas de un tetraedro son concurrentes únicamente en el caso de un tetraedro ortocéntrico. Esta cuestión, que supone un requerimiento esencial en el nuevo planteamiento que hacemos aquí, ha sido tratada en profundidad en nuestra anterior publicación (Ref.[2]) y será reproducida en parte de nuevo, por ello, en la Sección IV.2 a continuación. En el Apéndice, y como complemento exclusivo de la geometría tridimensional, y fuera ya del enfoque dual, que constituye el tema central de la publicación y, en concreto, de este Capítulo IV, se incluye el análisis de una propiedad general de las alturas de un tetraedro cualquiera y de otros cuatro conjuntos hiperboloídicos de cuatro rectas asociadas al mismo.

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En segundo lugar y supuesta cumplida esta necesaria condición ortocéntrica, la metodología de desarrollo más adecuada es el cambio del sistema trilineal de coordenadas homogéneas normales referido al triángulo base, que ha sido el utilizado en las aplicaciones arriba citadas en [1].6, pp.161-173 en el espacio bidimensional, y/o del sistema multilineal homogéneo aplicado también en el estudio generalizado multidimensional referido a un N-simplex, en el Capítulo I y en su versión particularizada en el Capítulo II, por el sistema coordenado más simple, y por otro lado más habitual en los desarrollos de la geometría analítica, que es el correspondiente a un espacio cartesiano ortonormal. Ello supone, sin embargo, como veremos a continuación, la operación en un espacio de dimensión N + 1 , superior a la dimensión N del politopo considerado, que es el definido por el sistema global de N + 1 coordenadas ortonormales de referencia, con inclusión, por ello, del origen de coordenadas, que es un punto añadido no perteneciente al espacio del N-simplex. El politopo base queda así situado en un subespacio de dimensión N del espacio total. Aunque pudiera operarse en este subespacio propio con base en un sistema de sólo N coordenadas ortonormales, en la selección de los dos puntos indicada, resultará, como veremos, sumamente práctica, la referencia ( N + 1) -dimensional en el espacio superior, como lo ha sido, por el contrario, el empleo del sistema ( N + 1) -lineal homogéneo en el espacio propio N-dimensional, en el estudio general en los Capítulos I, II y III anteriores. La determinación del espacio superior citado y del sistema ortonormal que lo define, es, por tanto, una condición previa esencial que debemos precisar en primer término.

Por supuesto este nuevo planteamiento es aplicable también al espacio bidimensional, aquí sin ninguna restricción previa, como alternativa al ya desarrollado anteriormente en [1] y en los Capítulos II y III, con utilización de las coordenadas trilineales normales, operando alternativamente, al efecto, en un espacio tridimensional, e inclusive al unidimensional, operando en dos dimensiones, como trataremos, con carácter preliminar introductorio, en este segundo caso, en la Sección IV.7. Todo ello se clarifica con las demostraciones obligadas correspondientes en las siguientes secciones IV.2 a IV.6.

IV.2.- GENERALIDADES SOBRE EL SISTEMA BASE DE COORDENADAS La definición precisa del sistema ortogonal de coordenadas que propugnamos, en el espacio de dimensión n = N + 1 , ℘n , la asociamos intrínsecamente al N-simplex, objeto principal del análisis, de manera que cada uno de sus n vértices esté situado en un eje coordenado distinto, con la exclusión, en principio, de la coincidencia del origen de coordenadas con un vértice en cuyo caso permaneceremos en el espacio ℘N . Ello supone, obviamente, la existencia en ℘n , de un punto que proyecte los n vértices del politopo, éste situado, como decimos, en el subespacio ℘N de dimensión inferior en una unidad, según el sistema de n ejes que son mutuamente ortogonales. El centro de proyección y origen del sistema ortonormal de coordenadas no pertenece, pues, al subespacio ℘N . Existe una diferencia significativa a destacar en la disposición geométrica indicada, entre los espacios globales de 2 y 3 dimensiones por un lado, y de dimensiones superiores a 3, por otro, en los que las figuras respectivas de referencia, son el segmento (2 vértices) , el triángulo (3 vértices), y el N-simplex ( N + 1 vértices). La denominación 3-simplex (4 vértices), que es el politopo más simple que forma parte de este segundo grupo, al que se aplicará ya la condición restrictiva, se identifica con la denominación habitual del tetraedro en la geometría tradicional. - 91 -

En efecto, y para precisar esta diferencia importante, en primer lugar, en el plano, esto es, para las dimensiones respectivas N = 1 y n = 2 de los dos espacios asociados, inferior y superior, son elegibles como orígenes del sistema ortonormal proyectante, todos los puntos de la circunferencia de diámetro el segmento base, con la exclusión anticipada de los propios extremos, que son todos ellos puntos reales, es decir, existe la posibilidad de infinitas soluciones en orden a la elección del sistema coordenado rectangular de referencia asociado. En el espacio de tres dimensiones existen siempre, con la exclusión apuntada de un triángulo rectángulo base, dos únicos puntos que cumplen la condición ortogonal exigida, situados en la normal al plano del triángulo base por el ortocentro del triángulo y en las tres esferas de diámetros los tres lados del mismo. Ello es posible por la propiedad elemental conocida de la concurrencia de las tres alturas del triángulo en un único punto, que corresponde a la definición de ortocentro. Los dos puntos solución definen, uno u otro, junto con los tres vértices del triángulo, un tetraedro ortocéntrico, en el cual cada par de aristas opuestas son perpendiculares, además con un triedro trirrectángulo en este cuarto vértice. Señalemos que esta última cualidad del tetraedro así resultante, no comporta una condición necesaria, aunque sí suficiente para el cumplimiento de la condición ortocéntrica. Los dos puntos solución son puntos reales si el triángulo base es acutángulo. Sin embargo, si el triángulo base es obtusángulo, los dos puntos solución son imaginarios. Ello no supondrá inconveniente en la exposición sucesiva, en base a la validez de la extensión analítica de los resultados algébricos en el campo complejo. En la Ref.[3], pp.432-434, se contempla la justificación de esta extensión, por otro lado totalmente aceptada como una aportación fructífera del Análisis Algebraico a la Geometría, de la que se hace también una utilización intensiva a lo largo de dicho texto. Por el contrario, para dimensiones superiores a 3, el esquema inicial básico del sistema de coordenadas propuesto, supone ya una restricción sustancial para una generalización completa, debido a que el N-politopo de referencia, con cada uno de los n vértices situado en cada uno de los n ejes ortonormales y no siendo ninguno de los vértices coincidente con el origen de coordenadas, tiene siempre también la propiedad característica de un tetraedro ortocéntrico, que es la figura de referencia en el espacio de 4 dimensiones, es decir, un par de aristas cualesquiera, que no tengan un vértice común, son normales. Con mayor generalidad, en cuanto a la verificación de la propiedad ortocéntrica, para dimensiones del politopo base superiores a 3, dos subespacios cualesquiera, en el subespacio propio ℘N , respectivamente asociados a dos subconjuntos disjuntos del conjunto total de vértices, serán igualmente ortogonales. Además, cumplida esta condición necesaria, la situación es la misma que en el caso tridimensional en relación con un triángulo no rectángulo cualquiera, es decir, que existen siempre dos puntos que proyectan los tres vértices según un triedro trirrectángulo, y, por ello, de elección conveniente como origen de coordenadas, que son reales si todos los elementos frontera de tres vértices (triángulos) son acutángulos, y son imaginarios en caso contrario. En la siguiente sección 3 se verifica una demostración rigurosa de esta propiedad. La disposición apuntada elude también la posibilidad de triángulos rectángulos frontera. En definitiva, a diferencia del caso bidimensional, y con la reserva señalada en el caso tridimensional sobre la realidad del punto tomado como origen de coordenadas, que se produce también para dimensiones superiores a 3, reserva que, como hemos señalado, queda obviada mediante el recurso a la validez de la extensión analítica en el campo complejo, en todos los espacios de dimensiones n > 3 , la generalización está limitada, a una clase restringida de N-politopos, que llamaremos N-politopos ortocéntricos (tetraedros ortocéntricos para la dimensión n = 4 ), situados además en la posición comentada en el sistema base, y no estará justificada para cualquier otro politopo genérico, no ortocéntrico, de la dimensión considerada. - 92 -

IV.3.- DEFINICIÓN DEL SISTEMA BASE ORTONORMAL Nos referimos ya a la siguiente propiedad n-dimensional, relativa a un N-politopo ortocéntrico, que permite centrar, con mayor precisión, las diversas observaciones planteadas en las secciones 1 y 2 anteriores:

Proposición IV.3.1: Se dan n puntos en un espacio de n dimensiones, ℘n ( n ≥ 4) , que son vértices de un politopo convexo de dimensión n − 1 , H n −1 , es decir, situado en un subespacio, ℘n −1 , de ℘n de la misma dimensión que H n −1 , o sea n − 1 . Se cumple por ello, también, la propiedad de convexidad de todos los elementos frontera de dimensiones inferiores, es decir, se cumplen todas las condiciones siguientes tres vértices cualesquiera no están alineados; cuatro vértices cualesquiera no están en un plano,…; los n vértices no están en un subespacio de dimensión n − 2 . Obviamente, el incumplimiento de cualquiera de estas condiciones determina el mismo incumplimiento de todas las sucesivas. Se supone también, en principio, que no existen aristas concurrentes ortogonales. Una condición necesaria y suficiente para que existan puntos (cuyo número es dos, reales o imaginarios) en ℘n , que proyecten los n vértices de Hn-1, según un sistema ortonormal, es que Hn-1 sea ortocéntrico. La construcción de un tal (n-1)-simplex es posible de infinitas maneras. En primer lugar, la demostración de condición necesaria es inmediata: Si existe un punto, O, en ℘n , distinto de los n vértices, que proyecta los n vértices según un sistema ortonormal, dos aristas cualesquiera, no concurrentes, están situadas en subespacios de dimensión 2 (planos) que pasan por O, mutuamente ortogonales, propiedad que se aplica a cualquier par de rectas, una en cada plano, no concurrentes. Es obvio, también que O no pertenece al subespacio ℘n −1 , pues basta considerar la ecuación de ℘n −1 , como el hiperplano, i =n Xi = 1, (IV.3.1) ∑ i =1 ai en el sistema de coordenadas ortonormal de origen O, siendo ai la única coordenada no nula del vértice de índice i. La comprobación analítica de ortogonalidad de dos aristas no concurrentes, que omitimos, es trivial. La demostración de condición suficiente la efectuamos mediante la construcción, paso a paso, del politopo y del punto o puntos que proyectan los n vértices según un sistema ortonormal: Sea S n el conjunto de puntos en el espacio ℘n , referidos ahora a un sistema de coordenadas ortonormal arbitrario, cuyo origen no pertenece al subespacio ℘n −1 , estando definido el punto Pi por el vector pi . Con la notación usual del producto escalar, se cumple la condición ortocéntrica si para cualquier par de aristas no concurrentes, Pi Pj , Pk Pl , resulta

( pi − p j ).( pk − pl ) = 0 .(IV.3.2) Los dos vectores factores pertenecen al subespacio ℘n −1 . Para mayor comprensión, la construcción del punto O, la haremos paso a paso, aumentando sucesivamente en 1 la dimensión del espacio superior inmediato, según hemos indicado: Se parte del conjunto S3 de tres puntos, P1 , P2 , P3 , situados en un subespacio ℘2 (plano), que no forman un triángulo rectángulo, según la definición anterior de Sn . Un vértice cualquiera, e- 93 -

legido entre los n − 3 restantes, define, con los 3 anteriores, el conjunto S4 , en un subespacio de dimensión 3, ℘3 , en ℘n −1 . Sea P4 el cuarto vértice seleccionado, Q (definido por el vector q), el punto proyección de P4 en ℘2 , y ε el versor de la normal por P4 al plano del triángulo inicial, eligiendo el sentido positivo hacia el semiespacio que contiene el punto P4 . La distancia signada de P4 al plano P1P2 P3 , es H. Por la condición ortocéntrica del tetraedro así formado, se cumplen (q + Hε − pi ).( p j − pk ) = 0 , siendo (ijk) una permutación cualquiera de los elementos del conjunto (1,2,3), y, puesto que ε ( p j − pk ) = 0 , y las dos expresiones análogas, en una permutación circular de los índices, se cumplen también, con esta misma variación de índices (q − pi ).( p j − pk ) = 0 .(IV.3.3) La expresión (IV.3.3) anterior, con sus tres formulaciones distintas, identifica al punto Q (vector q), con el ortocentro del triángulo P1P2 P3 . El cuarto vértice seleccionado, P4 , podría ser, así,

ya en el subespacio ℘3 , cualquier punto situado en la normal en el punto Q a ℘2 . Observamos, además, que, puesto que se cumplen, de nuevo, para la cuaterna q, pi , p j , pk , tres relaciones (IV.3.2) análogas, mediante permutación circular de los índices, cada punto es el ortocentro del triángulo definido por los otros tres, que es una propiedad elemental conocida del triángulo en la geometría plana. Análogamente, en el subespacio ℘3 , podemos encontrar un punto situado en la altura P4Q , que llamaremos R, definido por la altura signada h, que tenga la propiedad ortocéntrica con los cuatro anteriores,. Eligiendo cualquier par (i , j ) en (1,2,3) se cumple ( q + hε − pi ).( q + Hε − p j ) = 0 , o también Hh = −( q − pi ).( q − p j ) .(IV.3.4) La propiedad específica del ortocentro Q en ℘2 , (IV.3.2), puede escribirse también (q − pi ).[( q − pk ) − ( q − p j )] = 0 , o bien ( q − pi ).( q − pk ) = ( q − pi ).( q − p j ) .(IV.3.5) Luego el segundo miembro de (IV.3.4) es constante para cualquier par (i , j ) seleccionado en el conjunto (1,2,3) . Ello supone que el punto R es un punto común a las cuatro alturas del tetraedro y puede llamarse el ortocentro del conjunto S4 . La ecuación (IV.3.4) representa, también, una involución, de centro Q, sobre la altura P4Q , que relaciona cada posible vértice de un tetraedro ortocéntrico, de base el triángulo P1P2 P3 , en la recta P4Q , con el ortocentro del tetraedro, R, siendo además intercambiables ambos puntos, P4 y R. Para H = h = z , resultan los puntos dobles de la involución z 2 = −( q − pi ).( q − p j ) . (IV.3.6) Los dos puntos dobles O1 y O2 son simétricos con relación al subespacio ℘2 y mantienen la propiedad ortocéntrica conjunta de los puntos P4 y R, y de cualquier par de puntos homólogos

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en (IV.3.3). Son, pues, los dos puntos del subespacio ℘3 que proyectan los tres puntos P1P2 P3 según un sistema ortonormal. Los correspondientes vectores se denominan ω1 y ω 2 . El mismo proceso apuntado puede seguirse de forma iterativa, con adición de un vértice adicional en cada paso, situado en una dimensión superior, incluida la aplicación de las formulaciones empleadas, (IV.3.1) a (IV.3.6), que resultan igualmente válidas en cada subespacio sucesivo, como decimos, de dimensión superior en una unidad. Debemos señalar también que la naturaleza hiperbólica o elíptica de la involución (IV.3.4) determina la condición real/imaginaria de ambos puntos O1 y O2 , resultando reales, como hemos anticipado en la sección IV.2, si el punto Q, que es el ortocentro del triángulo P1P2 P3 , es interior al triángulo, e imaginarios si es exterior. En definitiva, y con carácter más general, los dos puntos O1 y O2 serán reales si todos los elementos frontera de tres vértices (triángulos) son acutángulos, y son imaginarios en caso contrario. El supuesto de existencia de triángulos frontera rectángulos implica la coincidencia de ambos puntos O1 y O2 con un único vértice del Nsimplex y será analizado después en detalle en la sección IV.6. En definitiva, en ℘n , manteniendo la misma nomenclatura, existen dos puntos simétricos respecto del subespacio (hiperplano) ℘n −1 , situados en la normal por el ortocentro del politopo S n a ℘n −1 , en ℘n , y definidos, además, por su distancia, z, a ℘n −1 , que verifican (ω1, 2 − pi ).(ω1, 2 − p j ) = 0, ∀(i , j ) ∈ (1,2,.., n ), i ≠ j , siendo ω1, 2 la denominación genérica de cualquiera de ambos vectores ω1 ,ω 2 . Se deduce también la existencia de un ortocentro generalizado, que llamamos Z, de S n , en el hiperplano ℘n −1 , de filiación los puntos que hemos denominado Q , R,... , tal que, añadido al conjunto de vértices de S n , define un conjunto ampliado de n + 1 puntos que comparten la siguiente propiedad simétrica: uno cualquiera de ellos es el ortocentro del politopo de dimensión n − 1 que definen los n puntos restantes. De las construcciones seguidas se deriva, obviamente, que si el n-simplex S n es real, esto es, si los n vértices Pi (i = 1,.., n ) son reales, el ortocentro Z es también un punto real, independientemente de la posible condición, real o imaginaria, de los centros del sistema ortogonal O1 y O2 .

IV.4.- PROPIEDADES MÉTRICAS EN EL SISTEMA ORTONORMAL En la Sección anterior IV.3 hemos visto que la definición concreta de los centros de proyección O1 y O2 , situados ya en ℘n y no pertenecientes a ℘N , depende únicamente del politopo H n −1 y por ello la posición de estos puntos en el espacio ℘n quedará determinada por las distancias a cada uno de los vértices, que son las coordenadas no nulas, y que podemos elegir positivas, que hemos denominado ai . Las hiperesferas de centro cada vértice Vi y radio ai , serán, en efecto, todas ellas incidentes con los dos puntos O1 y O2 , que son simétricos respecto del hiperplano ℘N en el espacio superior ℘n . A su vez, los valores ai son funciones de elementos métricos del politopo H n −1 y, en particular, como más convenientes en nuestro estudio multidimensional, de las longitudes de las aristas, que llamamos lij .

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El planteamiento anterior supone que los centros O1 y O2 son reales, esto es, que no existen triángulos frontera obtusángulos, si bien las consideraciones geométricas proyectivas y las formulaciones analíticas mantienen todas ellas su validez, si esta condición no se cumple, como hemos destacado anteriormente en la sección IV.2, mediante la operación en el campo complejo. El número de coordenadas ai , que son las distancias ViO1, 2 , es n y el número de longitudes de n n aristas, lij , es   , cumpliéndose las   relaciones siguientes 2 2 2 2 lij = ai + a 2j , ∀i , j ⊂ (1,2,..., n ) , j ≠ i . Puesto que en cada vértice concurren n − 1 aristas, la suma de todas las relaciones anteriores da la relación más general ∑ lij2 = (n − 1)∑ ai2 , ∀i, j ⊂ (1,2,..., n) , j ≠ i . (IV.4.1) i, j

i

Efectuando las sumas análogas únicamente para todas las aristas que tienen el vértice común Vi , se deduce también

∑l

2 ij

h=n

= ( n − 2) ai2 + ∑ ah2 , ∀j ⊂ {(1,2,..., n ) − (i )}, h =1

j

y teniendo en cuenta la expresión (IV.4.1), se obtiene para cada distancia ai buscada 1 1 ai2 = lij2 − ∑ ∑ lh2,k , ∀j ⊂ {(1,2,..., n) − (i )}; ∀h, k ⊂ (1,2,..., n) , k ≠ h , n−2 j ( n − 1) ( n − 2) h , k que puede escribirse asimismo en la forma alternativa 1 1 ai2 = lij2 − ∑ ∑ lhk2 ; ∀j, h, k ⊂ {(1,2,..., n) − (i )}; h ≠ k , n −1 j ( n − 1) ( n − 2) h, k y/o, también 1 1 2 ai2 = l pq − lhk2 ; ∀p, q ⊂ (1,2,..., n) , p ≠ q; ∀h, k ⊂ {(1,2,..., n ) − (i )}, h ≠ k . (IV.4.2) ∑ ∑ n − 1 i, j n − 2 i, j Como el ejemplo ilustrativo más simple, las anteriores expresiones (IV.4.1) y (IV.4.2), referidas al triángulo base ABC , de lados a, b, c , son respectivamente a 2 + b 2 + c 2 = 2( a12 + a22 + a32 ) 1 1 1 a12 = (b 2 + c 2 ) − a 2 = (b 2 + c 2 − a 2 ) = bc cos A , 2 2 2 comprobándose nuevamente que la realidad del centro O, así como la realidad simultánea de los valores algébricos de las tres coordenadas a1 , a2 , a3 , requiere que los tres ángulos del triángulo ABC sean agudos. En la sección V.II.6 se hará una aplicación concreta de las igualdades (IV.4.1) y (IV.4.2) en el caso particular de un tetraedro ortocéntrico.

Si la dimensión n del espacio ℘n es un número par, la expresión (IV.4.1) ofrece diferentes variantes, que se expresan por las siguientes expresiones equivalentes j=n / 2

∑ j =1

i=n

lh2j k j = ∑ ai2 , (IV.4.3) i =1

donde los subíndices h j , k j se han extraído por pares del conjunto {1,2,..., n} , de manera que todos los subíndices h j , k j deben ser diferentes y, además, cada índice del conjunto {1,2,..., n} debe estar representado una única vez en los n / 2 sumandos distintos. - 96 -

Procediendo de forma secuencial en la elección de los pares de índices, y teniendo en cuenta que cada agrupación final puede presentarse (n / 2)! veces distintas, el número de posibles expresiones equivalentes (IV.4.3) en el politopo H n −1 es, pues 1  n n − 2 n − 4  2   ...  = ( n − 1)( n − 3)...3.1 = ( n − 1)!!.   ( n / 2)!  2   2   2   2  Volviendo a los ejemplos ilustrativos más simples, en el caso n = 2 se obtiene una única expresión de (IV.4.3), que corresponde al teorema clásico de Pitágoras en el espacio bidimensional. En el caso n = 4 resultan 3 expresiones distintas de (IV.4.3), que explican la conocida propiedad de la igualdad de la suma de cuadrados de las longitudes de cada dos aristas opuestas en un tetraedro ortocéntrico, con la identificación adicional de esta suma común con el cuadrado de la longitud del vector cuyas coordenadas en el sistema ortonormal son los valores ai . Este resultado final es, obviamente, también válido, con carácter general, en el espacio multidimensional, pues representa la aplicación del teorema generalizado de Pitágoras en el caso más simple en que se proyecta el vector sobre subespacios coordenados de dimensión unidad. Si la dimensión del espacio superior ℘n es un número impar, la expresión (IV.4.3) admite una variante, que da n × ( n − 2)!! = n !! relaciones equivalentes, eligiendo sucesivamente cada uno de los vértices y aplicando la expresión (IV.4.3), con la selección de subíndices indicada, al politopo, igualmente ortogonal, definido por los n − 1 vértices restantes, es decir, eligiendo los distintos pares de subíndices h j , k j en el conjunto restringido {1,2,..., n} − (i ) , ai2 +

j = ( n −1) / 2 2 h jk j j =1

i=n

∑l

= ∑ ai2 (IV.4.4) i =1

Las coordenadas del ortocentro Z de H n −1 , que se obtienen mediante intersección del hiperplano (IV.3.1) con la normal desde el origen, que tiene, a su vez, la ecuación X1 X X = 2 = ... = n , 1 / a1 1 / a2 1 / an resultan así 1 / ai X i (Z ) = , ∑1/ ai2 i

y el módulo del vector OZ 2

OZ =

1 , ∑1/ ai2 i

que puede expresarse en función de las longitudes de las aristas de H n −1 sustituyendo los valores de cada ai , anteriormente obtenidos en (IV.4.2). Se utilizarán en adelante, también, las dos notaciones abreviadas i=n

s = ∑ ai2 i =1

i=n

1 , i = 1,..., n , 2 i =1 ai

σ =∑ escribiéndose así 2

OZ =

1

σ

, (IV.4.5)

y las coordenadas del ortocentro Z, zi ≡ X i ( Z ) =

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1 . aiσ

Puesto que el ortocentro Z es la proyección normal del centro O sobre el subespacio ℘N , y el punto Z y los vértices Vi están en ℘N , se cumplen las n relaciones 2

2

Vi Z = ai2 − OZ , ∀i ∈ {1,2,..., n}, y efectuando la suma para los n vértices Vi

∑V Z i

i

2

=s−

n

σ

, (IV.4.6)

que puede formularse limitada al subespacio ℘N , es decir en función exclusiva de las propias características métricas del N-simplex, sustituyendo los valores (IV.4.2). En la Sección V.II.6 del siguiente Capítulo V se incluirán dos aplicaciones distintas de las dos expresiones anteriores. Finalmente, el resultado (IV.4.4) permite formular el hipervolumen del politopo H n −1 en función de las longitudes de las aristas, escribiendo el hipervolumen de la n -pirámide de vértice O y (n − 1) -base H n −1 , cuya altura es OZ, mediante las dos expresiones alternativas VT =

1 1 i=n OZ .V ( H n −1 ) = ∏ ai , n n! i =1

luego resulta la expresión 1/ 2

 i=n 1  V ( H n −1 ) =  ∑1 / ai2  ∏ ai . ( n − 1)!  i  i =1 Como aplicación más sencilla de esta expresión deducimos el hipervolumen de un N-simplex regular de filiación el triángulo, en función de la longitud común l de la arista, 1 N +1 N l , V (H N ) = N! 2 N que se aplica obviamente a la superficie de un triángulo equilátero en el plano, o al volumen de un tetraedro regular en tres dimensiones.

IV.5.- LA PROPIEDAD AUTOPOLAR La naturaleza y posición de ambos puntos O1 y O2 en ℘n , pueden precisarse aún más, mediante demostración de las siguientes propiedades complementarias:

Lema IV.5.1: El ortocentro Z del conjunto S n en ℘n −1 es también el centro de una hiperesfera en el mismo subespacio ℘n −1 , con respecto a la cual S n tiene la propiedad autopolar, esto es, el subespacio polar de un punto cualquiera, Vi , de S n , es el subespacio ℘n − 2 , definido por el subconjunto ( S n − Vi ) . Se facilita la exposición considerando nuevamente, de forma sucesiva, los subespacios ℘2 y ℘3 . En primer lugar, en ℘2 , los puntos P1′, P2′ y P3′ son las respectivas proyecciones de P1, P2 y P3 sobre cada lado opuesto, en el triángulo P1P2 P3 . Demostrado el valor constante del segundo miembro de (IV.3.4), para cualquier seleción de dos índices en el conjunto (ijk), se cumplen las relaciones siguientes

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Hh = −( q − pi )( q − p j ) = −QP1 .QP´1 = −QP2 .QP´ 2 = −QP3 .QP´ 3 , resultando, además, los tres últimos miembros, con el signo final que corresponde a la posición relativa común de Q en cualquiera de los segmentos Pi Pi′ , esto es, signo positivo si el triángulo P1P2 P3 es acutángulo y negativo si tiene un ángulo obtuso. Las relaciones anteriores prueban la propiedad enunciada, y cada miembro de la igualdad representa el opuesto del cuadrado del radio de la circunferencia de centro Q, en el plano ℘2 , con respecto a la cual es autopolar el triángulo P1P2 P3 . Las intersecciones de la altura del tetraedro,

P4Q , con la esfera de centro Q y el mismo radio, en ℘3 , son los puntos Z1 y Z 2 reales o imaginarios, que proyectan los tres puntos P1, P2 y P3 según un triedro ortonormal. Debe observarse que la naturaleza real/ imaginaria de los puntos Z1 , Z 2 en ℘3 , se corresponde, recíprocamente, con la naturaleza imaginaria/real de la circunferencia de centro Q, que define la polaridad en ℘2 . El mismo argumento y formulaciones son válidos en el subespacio ℘3 , sustituyendo el punto Q por el punto R, y la altura P4Q del tetraedro por la normal al subespacio ℘3 , es decir, al propio tetraedro en R, normal que coincide con la recta P5 R . Los sucesivos conjuntos Si se amplían así, en un proceso iterativo, en un punto adicional, Ri , situado en el propio subespacio, ℘i −1 , que conserva la propiedad ortocéntrica del conjunto ampliado, Si + Ri , y que llamamos ortocentro de Si . La polaridad en Si queda también definida, así como la hiperesfera de centro este punto, cuyas intersecciones con la normal a Si en Ri , hiperesfera y normal situadas ya en el subespacio superior, ℘i , y, con mayor generalidad, en ℘n , son los dos puntos que proyectan Si según el sistema ortonormal. Las respectivas potencias de la involución sobre la normal y de la polaridad en ℘i −1 son opuestas. En consecuencia, se mantienen, igualmente, las condiciones recíprocas, de realidad/no realidad, de las dos hiperesferas, ambas de centro común Ri , ortocentro del politopo de vértices los puntos de Si : la primera, de dimensión i − 1 , que es invariante en la polaridad que define en ℘i −1 , y la segunda, de dimensión i, situada, ya, en ℘i , cuyas intersecciones con la normal a ℘i −1 , en Ri , son los centros de los dos sistemas proyectantes ortonormales. La realidad/no realidad de estos centros se corresponderá también, recíprocamente, con la no realidad/realidad de la hiperesfera primera. En la etapa final del proceso, la/s posición/es del ortocentro Rn , definida por la altura h, y de los dos centros del sistema ortonormal, definidas por las alturas ± z , puede/n obtenerse también, en función de la altura H, y de la longitud de las aristas del (n − 1) -politopo teniendo en cuenta la expresión del producto escalar en el segundo miembro de la ecuación (IV.3.4) 2 2 1 2 ( q − pi )( q − p j ) = q − pi q − p j cos α = q − pi + q − p j − pi − p j , 2 y teniendo en cuenta también

(

2

2

2

)

2

q − p = p4 − p − p4 − q = p 4 − p − H 2 , haciendo la suma múltiple de la primera expresión, que es un invariante para cualquier pareja de índices en el segundo miembro de la ecuación (IV.3.4) generalizada, resulta s   s Hh = z 2 = H 2 −  n − n −1  . (IV.5.1)  n −1 n − 2 con 2

2 sn = Σli2, j , ∀(i, j ) ∈ (1,2,.., n ) , li , j = pi − p j ,

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mientras sn +1 representa la misma expresión aplicada al conjunto S n + On . Las alturas ± z de O1 ,O2 no dependen realmente del nuevo vértice a agregar al conjunto de referencia, y para su determinación bastaría la aplicación de la formula (IV.3.6) en la que intervienen solamente elementos del espacio ℘i −1 . En particular, esta última determinación sí que es obligada para la determinación del centro del sistema ortonormal aplicable al conjunto superior S n , que no tiene ya ningún nuevo elemento (punto) a agregar no situado en ℘n −1 ≡ ℘N . Si el espacio final del proceso, ℘n , fuera, a su vez un subespacio de un espacio total ℘ν , con ν > n = N + 1 , el centro ortogonal podría así elegirse en cualquier otro subespacio de la misma dimensión n, ℘′n , que contenga a S n . Los distintos pares de centros posibles estarían situados, cada par, en una normal distinta a S n en Z n , ortocentro del (n − 1) -simplex, y, además, todos ellos en la hiperesfera de dimensión ν , de centro Z n , y radio, el valor positivo de z en (IV.3.6), o, más precisamente, en la hiperesfera del mismo centro y radio, de dimensión ν − N , que es la intersección de la hiperesfera anterior, situada en el espacio de dimensión superior, ℘ν , con el subespacio ℘ν − N , de dimensión ν − N , que contiene a Z n , y es ortogonal y complementario a/de ℘N en ℘ν . Naturalmente, si ν = n , esta segunda hiperesfera, de dimensión 1, degenera, como evidenciaremos en la sección IV.7, en el producto de los dos únicos centros posibles, situados, como venimos diciendo, en la normal a ℘N en Z n . El valor anteriormente indicado del radio, común en las dos hiperesferas, resulta también en la fórmula (IV.5.1), para H = 0 , e identificando el punto Z que se agregaría al subconjunto S n , precisamente con Z n . Se obtiene, así, el resultado [z( S n )]2 = sn − sn +1 . (IV.5.2) n −1 n donde sn tiene el mismo significado anterior, y sn +1 es, ahora, la suma de cuadrados de las distancias entre cada dos vértices de S n y entre cada uno de estos vértices y el ortocentro. Observaremos también que la realidad de los puntos buscados requiere que el ángulo de dos aristas concurrentes cualesquiera sea agudo, aunque subyace la validez analítica algébrica si esta condición no se cumple, siendo imaginarios ambos puntos en el subespacio inicial en que se produzca, y en todos los sucesivos. Asimismo, la simetría justificada de los i + 1 puntos del conjunto Si + Ri , permite una selección cualquiera de i puntos, elegidos entre los i + 1 anteriores, con exclusión de un punto cualquiera del conjunto Si , sustituido por Ri , que definen un nuevo politopo ortocéntrico, cuyo ortocentro será, precisamente, el punto excluido. Las dos siguientes propiedades complementarias que enunciamos, son una consecuencia directa de la anterior, y están relacionadas, también, con la anterior determinación de los centros Z1 , Z 2 , referidos al punto Ri , y sus análogos en cualquier otra selección del punto restante.

Lema IV.5.2: Sea ε i la hiperesfera de centro un vértice Pi del politopo, que define la autopolaridad del politopo cuyos vértices son los i + 1 puntos del conjunto ( Si − Pi ) + Ri : 1º) El ortocentro Ri es el centro radical de las i hiperesferas ε i en el espacio℘i . 2º) El radio de ε i es la distancia común Pi Z1, 2 en el espacio ℘i +1 . 1º) En el espacio ℘i la potencia de Ri con relación a la hiperesfera ε i , de radio ρi , se escribe - 100 -

π ( Ri , ε i ) = Ri Pi 2 − ρ i 2 , y, por la propiedad autopolar

ρ i 2 = Pi Ri .Pi R´ i , luego

π ( Ri , ε i ) = Ri Pi 2 − Pi Ri .Pi R´i = Pi Ri .( Pi Ri − Pi R´i ) = Pi Ri .Ri R´i = − Ri Pi .Ri P´ , que, según hemos demostrado en el Lema anterior ( Ri ≡ Q, R´ i ≡ P´ i ) , es, precisamente, la potencia de la polaridad de centro Ri , y, por ello, un valor constante común para cualesquiera Pi , ε i . Del examen de las dos expresiones anteriores, se deduce, también, que las potencias de ambas polaridades de centros Ri y Pi , tienen signos asociados a los signos respectivos de cada segúndo factor Pi Ri′ , Ri Ri′ , es decir, a las posiciones relativas de los tres puntos alineados Pi , Ri , Ri′ . Ello determina también, como hemos justificado anteriormente, la realidad/no realidad de los dos centros de proyección de sistemas ortonormales, asociados al punto seleccionado. Esta condición se cumple asimismo en relación con la no existencia/existencia, en el politopo asociado a cada punto del conjunto Si + Ri , de pares de aristas concurrentes que formen un ángulo obtuso. Se precisan estas observaciones, considerando, nuevamente el caso más simple, bidimensional. Si el triángulo base es acutángulo, la potencia de la polaridad de centro el ortocentro Q, es negativa y la circunferencia invariante, imaginaria, mientras son reales los dos centros proyectantes del sistema ortonormal, Z1 y Z 2 . Por el contrario, las tres circunferencias invariantes asociadas a cada vértice del triángulo, en relación con los triángulos cuyos vértices son el ortocentro y los dos vértices del triángulo base restantes, son reales, mientras los tres pares de centros proyectantes de cada triángulo, son imaginarios. La naturaleza real/imaginaria de circunferencias y centros es antitética de la anterior para un triángulo obtusángulo. Estas consideraciones, que son ya de índole topológica, resultan más complicadas para dimensiones superiores, limitándonos a la primera conclusión, arriba apuntada, de que la realidad de los centros de proyección de un politopo ortocéntrico, requiere que el ángulo de dos aristas concurrentes cualesquiera sea agudo. 2º) En el triángulo rectángulo Pi ZRi′ , puesto que Ri es el pié de la altura de Z, se cumple Pi Z 2 = Pi Ri . Pi R´ i

,

que coincide con el valor anterior de ρ . En consecuencia, los puntos Z1 y Z 2 son interseccio2 i

nes comunes de las i hiperesferas ε i , y la recta Ri Z1, 2 es un eje radical de las mismas en el espacio ℘i +1 . Además, estas dos propiedades se aplican, como decimos, análoga y alternativamente, a cualquier punto del conjunto Si + Ri , en relación con el conjunto de los i puntos restantes.

IV.6.- SINGULARIDAD CON ARISTAS ORTOGONALES En el enunciado del primer Lema, hemos obviado el supuesto de dos aristas concurrentes ortogonales. La consideración de esta situación se basa en la siguiente propiedad:

- 101 -

Lema IV.6.1: En un n-politopo ortocéntrico, si existen dos aristas concurrentes ortogonales, el vértice común es el punto Pi , que proyecta el conjunto ( S n +1 − Pi ) según un sistema ortonormal. Pi es, además, el único punto que cumple esta propiedad, en el espacio ℘n . Basta efectuar la demostración para un subconjunto cualquiera formado por cuatro puntos de S n +1 , que incluya al punto Pi y otros tres arbitrarios. La condición establecida, se escribe ( pi − p j )( pi − pk ) = 0 , y también (( pi − pl ) − ( p j − pl ))( pi − pk ) = 0 , que, teniendo en cuenta la condición ortogonal del politopo, definida en (IV.3.2), se reduce a ( pi − pl )( pi − pk ) = 0 , es decir, se cumple igualmente la propiedad ortogonal para cualquier par de aristas que concurren en Pi . En este caso el conjunto Si en el que aparece, por primera vez, el vértice común del ángulo recto, no es ampliable en el propio subespacio ℘i −1 , definiendo esta ampliación en el sentido indicado de existencia de un punto adicional, en ℘i −1 , que conserva la propiedad ortonormal del nuevo conjunto ampliado, ya que el último punto incorporado, aquí perteneciente a S n +1 , resulta ser, ya, el ortocentro del conjunto Si y de todos los sucesivos. El centro del sistema ortonormal es único, pues coincide con su simétrico respecto del subespacio ℘i −1 , y, también, respecto al subespacio superior, ℘n . La adición de vértices sucesivos, elementos de S n +1 , deberá realizarse con puntos situados en distintas normales, en el mismo punto anterior, al propio subespacio de dimensión i − 1 , que contiene a Si . El mismo punto resulta, así, también, el centro del sistema ortonormal proyectante final, ¡centro y sistema pertenecientes, aquí, al subespacio ℘n !, y, el centro, más precisamente, en principio, al subespacio ℘i −1 . Con esta disposición no puede producirse obviamente, tampoco, la existencia de ningún otro vértice, distinto del origen, en el conjunto S n +1 , con un par de aristas concurrentes ortogonales. En este caso singular, las propiedades analizadas en la sección 5 resultan igualmente inoperantes, ya que se anula el radio de la hiperesfera de centro el vértice origen del sistema ortonormal y definitoria de la polaridad, Los dos miembros de la igualdad (IV.5.2), son también nulos, comprobándose fácilmente la anulación del segundo de manera directa. Esta comprobación, en el caso n = 2 , deriva además, lógicamente, en la fórmula pitagórica tradicional. Por otro lado, la aplicación de la fórmula (I) en la Ref.[2],p.13, en este caso, a S n +1 ( ≡ S n + O ) , en el sistema de coordenadas ortonormal, siendo el origen un punto del propio conjunto S n +1 , y cada punto restante del conjunto, situado en un eje coordenado, por ejemplo, en un tetraedro con un triedro trirrectángulo, supone una relación algébrica trivial y no justificativa de la fórmula generalizada pitagórica clásica para la dimensión igual a n del propio politopo base. Se produce, en efecto, la anulación del hipervolumen para todas las proyecciones sobre subespacios distintos del propio subespacio de posición de S n + O , y la proyección sobre éste último es el propio elemento que se proyecta. Sin embargo, la segunda fórmula (II), comentada, de la misma Ref.[2],p.13, mantiene su validez general aplicada a todos los politopos frontera de H n , de dimensiones inferiores a n. - 102 -

En este sentido, de la aplicación de la misma formulación anterior, Ref.[2],(II), puesto que el ortocentro está situado en el propio subespacio de S n +1 , siendo z ( S N ) = 0 , la expresión (IV.5.2) se reduce a la relación simple sn s − n +1 = 0 , n −1 n y también, puesto que sn +1 = sn + so , donde so es la suma de cuadrados de longitudes de las aristas-ejes coordenados sn = ( n − 1) sO . Aunque ciertamente elemental, esta última expresión, relativa a los elementos frontera lineales de un n-politopo, con un vértice en el que concurren n aristas ortonormales puede considerarse igualmente la generalización n-dimensional, más sencilla, de la fórmula clásica de Pitágoras (n = 2) , obtenida mediante un procedimiento geométrico-algebraico algo diferente al de las generalizaciones anteriores, más complejas. Tal generalización, a la que hemos llegado, en nuestra deducción, por vía indirecta, es, precisamente, equivalente al resultado, todavía más general, de la Ref.[2],(II), más arriba citada, particularizado para la dimensión m = 1 , como se destaca al final de la misma. El enunciado del Teorema, para este resultado particular, parafraseando el lenguaje tradicional de la enseñanza matemática básica, se expresaría: En un n-politopo en el espacio ℘n ( n ≥ 3) , con un vértice en el que concurren n aristas ortonormales, la suma de los cuadrados de las hipotenusas (las Cn , 2 aristas no concurrentes en O), es igual a n − 1 veces la suma de los cuadrados de los catetos (las n aristas concurrentes en O), o bien, como aplicación de la fórmula (IX), [2],p.20, para m = 1 , en la siguiente forma alternativa, En un sistema n-dimensional ortonormal, la suma de los cuadrados de las longitudes de las proyecciones de un vector sobre los planos coordenados, es igual a n − 1 veces la suma de los cuadrados de los catetos (módulos de las n proyecciones sobre los ejes). La identificación o equivalencia de ambos enunciados, resulta obvia, dado que la longitud de la proyección del vector sobre cualquier plano coordenado, en el segúndo enunciado, es igual a la longitud de la arista del n-politopo, situada en ese mismo plano y no concurrente en O, en el primer enunciado. Además, según la fórmula (X), [2],p.20, se obtiene, también, esta misma suma, que representa n − 1 veces el cuadrado del módulo del vector, para las proyecciones del vector sobre los n subespacios de dimensión n − 1 , aunque esta última propiedad no sea, ya, de visualización tan inmediata, en espacios de dimensión n < 3 .

IV.7.- LA INVOLUCIÓN UNIDIMENSIONAL El método propuesto, de consideración de un sistema ortonormal de referencia en un espacio de dimensión superior en 1 a la dimensión del n − simplex base, lo planteamos primero en el espacio bidimensional, referido aquí a una base lineal unidimensional, como introducción más elemental y expresiva. Nos referimos primero a la particularización del caso general considerado en el Capítulo I, en el espacio unidimensional. Los elementos fundamentales son la recta soporte del espacio ℘1 , - 103 -

definida por dos puntos, A y B , que constituyen, además, el sistema de referencia, y otros dos puntos P y P′ en la recta AB , que son la base del concepto dual. En el contexto unidimensional, correspondiente al planteamiento inicial del Capítulo I, todos los elementos que se manejan son puntos. Los elementos análogos en ℘1 a las, denominadas en ℘n , n-polares de P y P′ son ahora los puntos conjugados armónicos de P y P′ con relación a los puntos A y B , para los que mantendremos la notación Q , Q′ , advirtiendo del significado totalmente diferente del punto auxiliar utilizado con la misma notación Q en las deducciones de las anteriores secciones IV.3 y IV.5. El último elemento principal, esto es, la transformación cuadrática TP , P ′ , representa aquí, obviamente, una transformación homográfica involutiva, que hemos definido por la notación ( AB ) ( PP′) , de manera que el análisis particularizado del planteamiento más general, si permanecemos en el espacio propio unidimensional, no necesita precisiones mayores ya que se limita al conocimiento más usual de la involución. En definitiva dos puntos homólogos en la transformación TP , P ′ constituyen un par de homólogos en la involución indicada. Finalmente, el equivalente del haz CP , P ′ está integrado por los pares de puntos pertenecientes a la misma involución, mientras los elementos de segundo grado invariantes en la operación de duplicidad estarán constituídos, todos ellos, por pares de puntos homólogos en la involución. Así, por ejemplo, son correspondencias particulares concretas el par ( P, P′) ≡ C1 y ( A, B ) ≡ C2 . Los elementos singulares son precisamente los dos puntos dobles de esta involución. Pasando a la consideración del sistema de referencia bidimensional, el elemento auxiliar que utilizamos es un plano que contiene la recta. En la aproximación de la misma cuestión en el plano, el origen O del sistema de referencia ortonormal puede elegirse como un punto cualquiera de la circunferencia de diámetro AB , distinto de A y de B . La selección que queremos hacer de los dos puntos básicos es equivalente a la efectuada del centro de gravedad y el ortocentro del triángulo en [1].

(FIG.11) En primer lugar, el centro de gravedad G es aquí el punto el punto medio del segmento AB , mientras el análogo del ortocentro generalizado, con la misma denominación Z, es la proyección del centro O en ℘1 , es decir, el pié de la altura desde O en el triángulo rectángulo OAB . Los dos puntos Q, Q′ , que constituyen también un par de homólogos en la involución son, res- 104 -

pectivamente, el punto del infinito de AB y el conjugado armónico de Z respecto del par ( A, B ) , que es la intersección de la recta AB con la tangente en O a la circunferencia anteriormente indicada. La (FIG.11) es ilustrativa para la construcción de los distintos elementos que comentamos y su interés primordial es la expresividad de su generalización al análisis en el espacio multidimensional. El punto Q′ , cuyo homólogo Q es, como decimos, el punto impropio de la recta AB , es también el centro de la involución, y se obtiene como intersección de AB con la perpendicular en O a la recta OG . Los puntos dobles de la involución, U 1 y U 2 , que representan los miembros singulares de CP , P ′ , considerados individualmente duplicados, se obtienen como intersecciones de la recta AB y la circunferencia de centro Q′ y radio Q′O . Una construcción geométrica sencilla para la obtención de miembros, esto es, de pares de puntos homólogos, de C P , P ′ ≡ CGZ , es la consideración del haz de circunferencias de centros situados en la recta OG y tangentes a la recta OQ ′ en O. Puesto que la potencia de Q′ respecto de 2

cualquier circunferencia tiene el valor constante Q′O , las dos intersecciones de las mismas con la recta AB definen los pares buscados. En particular, la circunferencia de centro G define el par ( A, B ) , correspondiente a C1 (obviamente GO = GA = GB ), y la circunferencia de centro el punto medio M de OG define el par (G, Z ) , correspondiente a C2 (también, obviamente,

MO = MG = MZ ). Aunque trivial, y únicamente como anticipo de la consideración posterior con la que finalizamos este análisis en el espacio bidimensional superior, señalamos que la proyección F del punto M en AB , es, naturalmente el punto medio de GZ , que es el equivalente al centro de la circunferencia C2 . Nos referimos, además, a la circunferencia de centro O y radio nulo, que define el par de puntos imaginarios correspondiente a la que hemos llamado N-cuádrica conjugada, C7 , de centro Z, que desempeña un papel primordial en esta geometría dual. En la (FIG.11) se ha representado en línea de puntos la circunferencia de centro Z y radio imaginario de módulo ZO , que define igualmente los dos puntos imaginarios, I1 e I 2 , como intersecciones con la recta AB . La propiedad característica del par ( I1 , I 2 ) , correspondiente a la definición del miembro autoconjugado C7 , es la condición armónica de ambos pares ( I1 , I 2 ) y ( A, B ) , y también de los pares ( I1 , I 2 )(G, Q′) y ( I1 , I 2 )( Z , Q∞ ) , lo que implica, a su vez, que I1 , I 2 son los dos puntos dobles de la involución elíptica ( A, B )(G, Q′) . En resumen, si se desea determinar el par que cumple una condición que permite la determinación previa de su punto medio (centro para elementos de dimensión superior) sobre la recta AB ≡ GZ , por ejemplo, el punto E en la (FIG.11), basta elevar la perpendicular en ese punto y su intersección L con la recta GO , da el centro de la circunferencia solución, que es tangente a OQ ′ en O. Las dos intersecciones de la circunferencia con la recta GZ integran el par ( E1 , E2 ) de los dos puntos homólogos buscados. En la siguiente sección IV.8 se generaliza el procedimiento en cualquier espacio multidimensional. IV.8.- LOS HACES DE HIPERESFERAS ζ G , Z Y CG , Z La construcción del haz involutivo lineal en la sección IV.7 operando en el plano, es aplicable, como decimos, mediante trasposición en espacios de cualquier dimensión operando de nuevo - 105 -

en el plano definido por la recta generalizada de Euler, GZ , y por la recta GO . La primera recta GZ está situada en el subespacio ℘n −1 que define nuestro politopo de referencia H n −1 , y es el lugar de los centros de hiperesferas de dimensión n − 1 , pertenecientes al haz CG , Z , también en ℘n −1 . La segunda recta GO está ya situada en el espacio superior ℘n y es el lugar de los centros de hiperesferas de dimensión n situadas en el espacio superior ℘n , pertenecientes al haz auxiliar que llamamos ζ G , Z en ℘n , y que se define a continuación. En primer lugar el politopo H n −1 , del que subrayamos su condición ortocéntrica, representa un hiperplano de dimensión N = n − 1 , en el sistema base ortonormal de coordenadas que hemos justificado en la Sección 2, cuya ecuación (IV.3.1) reproducimos aquí i =n Xi = 1. (IV.8.1) ∑ i =1 ai Las coordenadas, gi y zi , de los dos puntos básicos seleccionados, el centro de gravedad, G, y el ortocentro Z de H n −1 , son respectivamente a g i ≡ i , i = 1,..., n n 1 1 zi = i = n = , i = 1,..., n . 1 aiσ ai ∑ 2 i =1 ai

Consideremos en primer término la n-esfera en ℘n que contiene los n puntos Vi , i = 1,...n y el origen O del sistema ortonormal, de ecuación i=n

i=n

i =1

i =1

∑ X i2 − ∑ ai X i = 0 . (IV.8.2) El conjunto de las dos ecuaciones (IV.8.1) y (IV.8.2) es la hiperesfera intersección en ℘N que contiene los n puntos Vi , i = 1,...n y por ello se identifica con el miembro de CG , Z que hemos llamado C1 en I.3.5. En segundo lugar, la ecuación de la hiperesfera de diámetro GZ , perteneciente al espacio ℘n , se escribe i=n  1 i=n 1  i=n X i 2  ∑ − − − 1 = 0 , (IV.8.3) X a X ∑ ∑ i i i n i =1 σ  i =1 ai i =1  cuya intersección con (IV.8.1) se identifica igualmente con el miembro de CG , Z , denominado Cn en I.3.5. Las hiperesferas (IV.8.2) y (IV.8.3) definen un haz en el espacio ℘n cuya intersección con el hiperplano (IV.8.1), éste representativo del subespacio ℘N , es el haz de hiperesferas CG , Z . Además, teniendo en cuenta la ecuación (IV.8.1), podemos reemplazar (IV.8.3) por la ecuación de la hiperesfera de diámetro OG , cuya intersección con ℘N es la misma, y encontramos así en el espacio ℘n el haz alternativo de hiperesferas, que llamamos ζ G, Z , de ecuación y definición geométrica más simples, pues corresponde a hiperesferas tangentes en O, y que mantiene la propiedad apuntada en cuanto a las intersecciones de cada uno de sus miembros en el subespacio ℘N . En definitiva, el haz ζ G, Z tiene la ecuación i=n

i=n

i =1

i =1

∑ ai X i − λ ∑ X i2 = 0 , (IV.8.4) - 106 -

mientras el haz CG , Z estará representado por el conjunto de las dos ecuaciones (IV.8.1) y (IV.8.4), esto es, i=n i=n i =n X CG , Z ≡ ∑ ai X i − λ ∑ X i2 = 0 ∪ ∑ i = 1. (IV.8.5) i =1 i =1 i =1 ai De la inspección de la ecuación (IV.8.4) se deduce un primer resultado,

Corolario IV.8.1: El hiperplano armónico asociado o N-polar del ortocentro Z, respecto del Nsimplex base en ℘N , que hemos llamado r′ ≡ rZ , es la intersección con ℘N del hiperplano normal en O a la recta OG , estos últimos, es decir, hiperplano y recta OG , situados y definitorios, conjuntamente, del espacio superior ℘n . La ecuación de este segundo hiperplano superior, de dimensión N, en el espacio ℘n , que contiene al mencionado en primer término, que tiene dimensión N − 1 y está situado en el espacio ℘N , es así i =n

∑a X i

i

= 0 . (IV.8.6)

i =1

Esta conclusión se corresponde, en efecto, con la forma lineal de la ecuación (IV.8.4) para el valor particular del parámetro λ = 0 , y su intersección con (IV.8.1) es precisamente el equivalente en ℘N del miembro de C P , P ′ ≡ CG , Z que hemos designado C0 ≡ rG ∪ rZ , en el espacio ℘N en el Capítulo I, pues rG representa el ( N − 1) -plano impropio en ℘N . La expresión (IV.8.4) del haz ζ G , H representa n-esferas de centros situados en la recta OG , de coordenadas xi (Cλ ) = ai / 2λ , tangentes todas ellas en O al hiperplano (IV.8.6). El elemento correspondiente a cada miembro del haz ζ G , H en CG , H es otra hiperesfera de dimensión reducida en una unidad, cuyo centro es el pié de la perpendicular desde el centro de la hiperesfera principal que la contiene, sobre la recta GZ . De este modo el esquema de las dos rectas concurrentes GO y GZ , y todas las propiedades que hemos analizado en detalle en el caso unidimensional en la Sección IV.7, se mantienen igualmente en el espacio multidimensional. Refiriéndonos, como ejemplos, a miembros particulares ya conocidos del haz CG , H , la ecuación de la hiperesfera principal (IV.8.2), asociada a C1 , ζ 1 , corresponde al valor λ = 1 , mientras la de la N-esfera conjugada C∞ , ζ ∞ , corresponde al valor λ = ∞ . Los centros respectivos de las hiperesferas principales, ζ 1 y ζ ∞ , son el punto de coordenadas xi (ζ 1 ) = ai / 2 y el origen de coordenadas O, y los centros de C1 y C∞ , son la proyección del primero sobre la recta GZ y el ortocentro Z. En particular, la ecuación de la hiperesfera principal generatriz de C∞ , de radio nulo, a la que nos referimos con mayor detalle en la siguiente sección IV.9, se escribe i =n

ζ ∞ ≡ ∑ X i2 = 0 , (IV.8.7) i =1

que representa realmente un n-cono cíclico de vértice O, situado, como decimos, en el espacio superior ℘n . En la elección del parámetro λ en la formulación de la expresión (IV.8.4) del haz ζ P , P ′ hemos previsto la identificación de los valores del parámetro λ con los valores del parámetro ϕ para una misma N-cuádrica que en la formulación paralela aplicada en la operación en el sistema multilineal homogéneo en la sección I.3, que tiene la expresión Cλ ≡ Cϕ , con ϕ = λ . Esta identificación es inmediata, e inclusive superflua, teniendo en cuenta que la correspondencia es biunívoca, y, por tanto, la relación entre ambos parámetros debe ser lineal. Las igualdades de - 107 -

los tres valores particulares λ = ϕ = 0 , λ = ϕ = ∞ y λ = ϕ = 1 determinan, efectivamente, la condición general de esta identificación, λ = ϕ . Podemos comprobar, en efecto, el valor del parámetro λh +1 para la N-cuádrica Ch +1 , incidente con las proyecciones de ambos G y Z , sobre subespacios ℘h , en la forma definida en la sección I.1, es decir, mediante proyecciones sucesivas desde los vértices Vi . Eligiendo para esta comprobación las proyecciones del ortocentro Z, son, simplemente las proyecciones normales del origen de coordenadas, O, sobre los mismos subespacios ℘h , siendo así, para las h + 1 coordenadas no nulas, j = h +1 1 1 ,σ h +1 = ∑ 2 , X i (Zh ) = aiσ h +1 j =1 a j donde la suma σ h +1 se aplica a los índices correspondientes a las coordenadas seleccionadas

que definen cada subespacio ℘h , que hemos supuesto, como ejemplo, {1,2,...h, h + 1}, sin pérdida de generalidad de la demostración. El mismo resultado se obtiene para las proyecciones del centro de gravedad, que tienen coordenadas no nulas, con el mismo criterio selectivo anterior, X i (Gh ) = ai / h + 1 . Sustituyendo las anteriores coordenadas en las ecuaciones (IV.8.5), teniendo en cuenta la anulación de las n − h − 1 coordenadas restantes, la segunda ecuación se verifica obviamente, y la primera da el valor deseado del parámetro λ = h + 1 , comprobación igualmente trivial. Este valor numérico común del parámetro λ en ambos sistemas de referencia, tiene una significación proyectiva, y, por ello, igualmente representativa, también, en ambos sistemas. En el sistema ortonormal, el centro de la n-esfera (IV.8.4), que representa la primera ecuación en (IV.8.5), sia tuado en la recta OG , tiene coordenadas xi (ζ λ ) = i , luego, llamando Cς λ a este centro y 2λ C C a su proyección normal sobre la recta ZG , que es el centro de la N-esfera Cλ , se cumplen λ

las relaciones, siendo indiferente la coordenada elegida, OCς λ ZCC λ ai / 2λ n = = = . (IV.8.8) ai / n 2λ OG ZG Corolario IV.8.2 .- En particular, los centros de las n hiperesferas Ch +1 , 0 ≤ h ≤ n − 1 están sin tuados a distancias de Z, inversamente proporcionales a h + 1 , sobre el segmento × ZG . 2 Aplicando la relación (IV.8.8), se deduce la longitud del radio, Rλ , de la esfera Cλ , calculando primero la distancia d λ del centro ζ c , λ a la recta GZ ,

dλ n = , OZ 2λ − n y, teniendo además en cuenta i=n

ai2 s = 2 2 4λ i = 1 4λ

OCς λ = ∑ 2

i=n

OZ = ∑ 2

i =1

1 aσ 2 i

2

=

1

σ

,

se obtiene también 2

Rλ2 = OCς λ − d λ2 =

1  ( 2λ − n )2   . (IV.8.9)  − s σ 4λ2   - 108 -

La consideración conjunta de las dos relaciones (IV.8.8) y (IV.8.9), permite la obtención de diversas consecuencias interesantes: En primer lugar, para el valor λ = ∞ , resulta la siguiente expresión general, aplicable a cualquier dimensión del espacio ℘n , del radio de la hiperesfera autoconjugada, C∞ , que, como venimos poniendo de manifiesto, es un elemento principal de nuestro desarrollo 1 R∞2 = − , (IV.8.10)

σ

y destacaremos igualmente la expresión del radio de la hiperesfera de centro G , Cn / 2 , para el n valor del parámetro λ = , 2 s RG2 = 2 . (IV.8.11) n Así, por ejemplo, la expresión (IV.8.10), referida a un triángulo cualquiera, de lados a, b, c y radio R, en el espacio bidimensional, después de cálculos trigonométricos simples, resulta 1 1 1 R∞2 = − i = n =− =− = −4 R 2 cos A cos B cos C = −4 R 2 p . (IV.8.11) 2 1 1 ∑ b2 + c 2 − a 2 ∑ bc cos A ∑ 2 i =1 ai Esta expresión que figuraba ya, también, en el estudio en el plano, [1],(6.10.3),p.165, ha tenido ya una aplicación anterior en la sección III.6. La combinación de ambas expresiones, (IV.8.10) y (IV.8.11), da la relación R2 n 2 × G2 = sσ , R∞ y aquí serán, además, oportunas algunas referencias a la naturaleza de los dos escalares s y σ , cuyo producto lo vincularemos después con el valor del escalar básico k , utilizado en el anterior planteamiento coordenado multilineal. i=n

i=n

i =1

i =1

Sabemos ya que los escalares s = ∑ ai2 y σ = ∑ ai− 2 , y las longitudes de los radios Rλ , pueden expresarse, con independencia del sistema de referencia ortonormal, en función de las longitudes de las aristas del tetraedro, aplicando las expresiones, anteriormente deducidas, (IV.4.1) y (IV.4.2). La primera conclusión, derivada de ambas expresiones, es que para cualquier politopo H n −1 real, los escalares s y σ son números reales, por ser reales, y también positivos, los cuadrados de las longitudes de todas las aristas, esto es, los valores lij2 . Sin embargo, puede existir una diferencia importante en las signaturas respectivas de s y de σ , dependiendo de la condición imaginaria o real del centro del sistema ortogonal O . En la sección IV.3 se ha justificado que este punto es real si todos los elementos frontera de tres vértices (triángulos) son acutángulos, y es imaginario en caso contrario. En el primer caso, los valores ai2 son todos positivos por representar los cuadrados de distancias entre dos puntos reales, y está también garantizada la definición positiva de los dos escalares s y σ . En el segundo caso, son positivos los valores ai2 correspondientes a vértices en los que todos los triángulos frontera concurrentes son acutángulos, pero son negativos si alguno de los triangulos es obtusángulo en ese mismo vértice, lo que se demuestra aplicando la expresión (IV.4.2) al tetraedro de vértice O y base el triángulo referenciado, resultando así dudosas, en principio las signaturas de ambos s y σ , que precisamos a continuación. - 109 -

En este último supuesto, de la relación (IV.4.1), se deduce, en primer término, que el signo de s es siempre positivo. Por el contrario, teniendo en cuenta la relación (IV.4.5) y las consideraciones en la sección IV.3 sobre la definición de los posibles centros, O1 y O2 , como los dos puntos dobles de la involución (IV.3.6), el signo de σ es también, siempre, negativo. La propia expresión (IV.8.11) es una comprobación sencilla de esta conclusión, pues se obtiene σ = ( 4 R 2 p )−1 , con p = cos A cos B cos C < 0 si existe un ángulo superior a π / 2 . Fijándonos ahora en la expresión general del cuadrado del radio Rλ , (IV.8.9), teniendo en cuenta la identificación prevista de los valores del parámetro λ con los valores del parámetro ϕ para una misma N-cuádrica que en la formulación paralela aplicada en la operación en el sistema multilineal homogéneo en la sección I.3, la misma formulación se traslada al estudio en el Capítulo I, mediante la simple sustitución λ → ϕ , y haciendo además el cambio de parámetros (I.4.3) se escribe  1 δ2  . (IV.8.12)  − Rδ2 = s σ  ( n − δ ) 2  Según la expresión (IV.8,12) anterior el valor de Rδ2 se anula para valores del parámetro δ

δ 2 = sσ , (IV.8.13) y, teniendo en cuenta la condición análoga (I.4.4), obtenida en el Capítulo I, se verifica, con carácter general para cualquier dimensión del espacio E N , la siguiente igualdad a la que hemos hecho referencia anterior sσ = k , que tiene comprobación algebraica directa sencilla en el espacio bidimensional, pero que sería sumamente dificultosa en espacios de dimensiones superiores. Por otro lado, la relación (IV.8.12) se escribe (σRδ2 + 1)δ 2 − 2nσRδ2 δ + n 2σRδ2 − sσ = 0 , (IV.8.13) que da los valores de los parámetros asociados a cada dos hiperesferas del mismo radio del haz CG , H , por tanto simétricas respecto del hiperplano armónico asociado de Z , de las que la relación (IV.8.13), que da los puntos singulares del haz, es un caso particular. Formando las dos funciones simétricas, d1 + d 2 y d1d 2 , de las raíces de la ecuación (IV.8.13) y eliminando Rδ2 , resulta la ecuación de la siguiente involución sobre la recta GZ , definida por pares de centros de hiperesferas del mismo radio, (n 2 + sσ )( d1 + d 2 ) − 2nd1d 2 − 2nsσ = 0 , cuyos puntos dobles, para d1 = d 2 , son el punto impropio de la recta GZ y su intersección con el hiperplano armónico asociado de Z , h ≡ Q′, que corresponden a los valores respectivos de los parámetros dobles, ∆1 = n y ∆ 2 = sσ / n = k / n . El par ( n, k / n ) verifica, como sabemos, la involución (I.5.7) de puntos dobles U 1 y U 2 . El primer valor del parámetro ∆1 = n corresponde, efectivamente, al valor infinito de la expresión (IV.8.12) del radio. El radio de la N-esfera de centro Q′ , sustituyendo en (IV.8.12) ∆ 2 = k / n , resulta s . (IV.8.14) Rk2 = 2 n −k n Por ser el centro Q′ el punto medio del segmento U 1U 2 , la expresión (IV.8.14) puede escribirse también en la forma alternativa - 110 -

2

2

Rk2 = Q′U 1 × Q′U 2 = − Q′U 1 = − Q′U 2 , n 2 k/n

luego el valor de R

, que representa también la potencia del punto Q′ respecto de cualquier

miembro del haz CG , Z es negativo si los puntos U 1 ,U 2 son reales, esto es, para k > 0 , y positivo si son imaginarios, para k < 0 . La naturaleza, real o imaginaria, del centro de proyección ortogonal, O , y la configuración geométrica global del politopo ortocéntrico, en uno y otro caso, las hemos precisado ya en la sección IV.3. En el primer supuesto, los puntos O,U 1 ,U 2 son reales, y la hiperesfera Ck / n , que tiene dimensión N , y la hiperesfera intersección común de los miembros del haz, que tiene dimensión N − 1 , son imaginarias, y viceversa en el segundo supuesto. En el caso primero, k > 0 , se deduce también la siguiente desigualdad a fortiori k > n2 , cuya demostración directa la hemos efectuado anteriormente en el espacio bidimensional con n = 3 ( k > 9 ) en (IV.6.4), aunque representaría otras dificultades algébraicas y/o geométricas significativas para valores superiores de n . Por último, volviendo a las relaciones proyectivas (IV.8.8), que representan, por tanto, razones simples sobre las rectas OG y/o ZG , tienen sus correspondientes duales, que refiriéndonos a la recta ZG , por ser la situada en el espacio ℘N , se expresan, Corolario IV.8.3 .- Sean E el punto intersección del ( N − 1) -plano armónico asociado de Z en SV con la recta ZG , y F el punto intersección del ( N − 1) -plano polar de E respecto de la Ncuádrica Ch . Se verifica la razón doble siguiente, n . 2λ Se verifican igualmente las homologías comentadas en el Corolario I.8.8 entre cada dos N-esferas, Ch +1 y Cn − h −1 asociadas a subespacios coordenados complementarios, que en este caso suh +1 ponen dos homotecias de centros G y Z y razones (simples) respectivas m , y dos hon − h −1 mologías definidas por los centros respectivos Z y G y el ( N − 1) -plano órtico común y razones (dobles) las anteriores en ese mismo orden. Son, asimismo, aplicables, las fórmulas deducidas en la sección I.9, relativas a números de puntos bien definidos geométricamente, situados en las N-cuádricas particulares Cλ , λ = 1,.., n . (G, E; F , Z ) =

Las razones simples y dobles anteriores son igualmente aplicables en el esquema correlativo, que analizamos en el Capítulo V, referidas al haz de ( N − 1) -planos que son combinación lineal de los hiperplanos armónicos asociados, rG , impropio, de G ,y rZ′ , de Z. Otras consecuencias de la expresión (IV.8.9) referidas aquí, en concreto, a las N-esferas del haz Cλ para valores enteros 1 ≤ λ ≤ n , se expresan,

Corolario IV.8.3 .- Para valores naturales de m en el intervalo 1 ≤ m < n , que comparten la misma paridad con n , se cumplen las E (N / 2) relaciones R n−m 2

R n+m

=

• n−m , 1 ≤ m < n , n ± m ≡ 2 . (IV.8.15) n+m

2

- 111 -

Se verifican así, por ejemplo, en el espacio bidimensional, n = 3 , la relación bien conocida entre los radios de la circunferencia de Euler y la circunferencia circunscrita, R2 / R1 = 1 / 2 ; o, en el espacio tridimensional, la relación entre los radios de la esfera incidente con los pies de las alturas y los centros de gravedad de las caras, y la esfera circunscrita, R3 / R1 = 1 / 3 . Hacemos la observación de que estas relaciones (IV.8.15) son en realidad coincidentes con resultados derivados de las relaciones homológicas antes mencionadas, y, en particular de la homotecia inversa de centro G , entre los miembros Ch +1 y Cn − h −1 , asociados a dos subespacios que hemos denominado complementarios, teniendo en cuenta una u otra relación entre parámetros, 2h = n ± m − 2 . Sin embargo, las mismas relaciones (IV.8.15) pueden tener un carácter más general si se aplican a un valor arbitrario del parámetro m , sin las dos limitaciones particulares impuestas al mismo, número natural en un intervalo acotado y paridad definida. Más concretamente, en el espacio tridimensional, para un tetraedro cualquiera y elección discrecional de los dos puntos básicos P y P ′ , existen cuatro únicas homologías que relacionan la cuádrica circunscrita C1 y la cuádrica C3 incidente con las proyecciones desde los vértices de P y P ′ sobre las caras. Los valores duplicados de las características, teniendo en cuenta la asignación de los mismos explicada en el citado Corolario I.8.8, son ± 1 / 3 . En el caso particular de un tetraedro ortocéntrico, que corresponde al contenido específico más general de este Capítulo IV, C1 y C3 son, respectivamente, la esfera circunscrita y la esfera incidente con los centros de gravedad de las caras. Las dos homologías G / rG y H / rG son homotecias de razones respectivas − 1 / 3 y + 1 / 3 , y los dos puntos G y H son, pues, los centros de semejanza inversa y directa de estas esferas. IV.9.- ELEMENTOS SINGULARES EN ζ P , P ′ Y CP , P ′ Siguiendo el análisis realizado en el estudio general en la Sección I.6 de los miembros degenerados de CP , P ′ , resulta interesante la comprobación simultánea de los miembros singulares de ambos haces ζ P , P ′ y CP , P ′ , ahora en el espacio ortonormal ℘n , entre los que no se produce, sin embargo, una correspondencia estrictamente biunívoca. En efecto la anulación del determinante de la forma cuadrática primer miembro de (IV.8.4), que es un determinante simétrico de orden n + 1 , da la ecuación 2λ − a1

2λ

− a2 .

= 0,

. 2λ − a1 − a2

− an

− an

0

cuyo desarrollo por las (n + 1) - ésimas últimas fila y columna, es la ecuación 0.2 n λn + 2 n −1 λ

n −1

i=n

∑a

2 i

= 0.

i =1

En definitiva, para el valor λ = 0 existe la forma descompuesta en el producto de dos formas lineales, la primera dada por la ecuación (IV.8.5) y la segunda, simplemente, por la anulación de la coordenada impropia, con pluralidad n − 1 ; y, además, para el valor λ = ∞ , la forma cuadrática singular (IV.8.6), con pluralidad única. Esta última representa el N-cono cíclico de vértice O en el espacio ℘n . - 112 -

El primer resultado, es decir, la pluralidad de orden la dimensión del espacio ℘n , reducida en una unidad, del producto de las dos formas lineales, es consistente con el análisis de los elementos singulares del haz general CP , P ′ en la Sección I.6. Sin embargo, el segundo elemento singular en el espacio ℘n , esto es el N-cono cíclico de vértice O, genera en ℘N , como hemos anticipado ya, una N-esfera no degenerada, de centro el ortocentro Z, que hemos denominado la N-esfera conjugada C∞ . Existe, además, una correspondencia inversa entre la naturaleza real/imaginaria del punto O y la ( N − 1) -esfera C∞ . Siguiendo con la relación existente entre las dos líneas de centros GO y GZ , los otros dos elementos singulares de CP , P ′ estarán generados por las intersecciones de los dos miembros de

ζ P , P ′ , N-esferas de centro en GO , que son tangentes a ℘N , cuyas intersecciones son, pues, ( N − 1) -esferas de radio nulo. Los centros correspondientes en GO , V1 y V2 , son las intersecciones de esta recta con la parábola de foco O y directriz GZ , situada en el plano GOZ , o, como construcción más sencilla con las dos bisectrices del ángulo GQ′O , que son también las tangentes a la parábola desde el punto Q′ , perteneciente a la directriz, construcciones representadas en la (FIG.12).

(FIG.12) Los puntos de tangencia correspondientes a cada hiperesfera, U 1 y U 2 , situados en la recta GZ , son naturalmente los puntos dobles de la involución subordinada por el haz de hiperesferas y/o por el haz CP , P ′ en la recta GZ , y se obtienen igualmente como in- 113 -

tersecciones de la recta GZ con la N-esfera de centro Q′ y radio Q′O , o, más simplemente, con la circunferencia del mismo centro y radio, operando en el plano OGZ . La misma construcción alternativa es la descrita en la sección IV.7, referida al espacio unidimensional, y representada allí, en la (FIG.11), en el espacio superior bidimensional. Los dos miembros correspondientes en CP , P ′ a los dos puntos dobles de la involución definida sobre la recta AB ,

U 1 y U 2 , son ahora dos ( N − 1) -conos cíclicos de vértices los dos puntos citados. Teniendo en cuenta las conclusiones deducidas de la expresión (IV.8.13), resulta la siguiente propiedad elemental de la geometría plana, asociada a la (FIG.12), independientemente del contexto de la geometría dual que venimos tratando: sean c1 y c2 dos puntos en la recta GZ , simétricos respecto del punto Q′ , y o1 y o2 las intersecciones de las perpendiculares respectivas en c1 y c2 a GZ con la recta GO . Las circunferencias de centros o1 y o2 , exteriores al segmento U 1U 2 , y radios o1O y o2O definen segmentos, mm′ y nn′ , de igual longitud, en la recta GZ . Nos referimos finalmente al supuesto de un N-politopo N-rectángulo en el cual los dos centros O1 y O2 coinciden en un vértice del politopo y el espacio ℘N es ya, directamente, un espacio cartesiano ortonormal. El ortocentro coincide también con el vértice-centro de proyección, esto es Z ≡ O , así como las rectas GZ ≡ GO . La consideración del espacio superior ℘n y del haz ΓGZ es superflua y la generación del haz CGZ es inmediata. Las N-esferas del haz tienen centros en la recta GZ y son todas ellas tangentes en el vértice-ortocentro Z, y tangentes al ( N − 1) -plano normal en Z a la recta GZ . La involución sobre GZ degenera también, con un único punto singular Z. En particular, los miembros del haz que hemos denominado Cλ , λ = 1,.., N + 1 , son incidentes con las respectivas proyecciones de G desde los vértices sobre subespacios de dimensión λ , puesto que las proyecciones análogas de Z en el caso general, son ahora todas ellas coincidentes en Z.

IV.10.- CONSTRUCCIONES ASOCIADAS AL PUNTO DE BRIANCHON En la sección II.4 y en el lema II.4.1, se ha hecho referencia especial a propiedades de un punto significativo en la geometría del triángulo, con la denominación de punto de Lemoine, en nuestra notación el punto K, que es la intersección común de las tres simedianas, o sea, el transformado del centro de gravedad en la inversión triangular referida al triángulo básico. En esta transformación la imagen inversa de un punto cualquiera es la intersección común de las rectas conjugadas armónicas de cada recta que une dicho punto a un vértice, respecto de los dos lados que concurren en ese mismo vértice. Una segunda construcción alternativa, también general, del inverso de un punto se basa en el lema siguiente, cuyo interés principal va a ser su aplicación N-dimensional en un N-politopo ortocéntrico. El sistema coordenado de referencia utilizado en esta sección será, de nuevo, un sistema multilineal homogéneo referido al triángulo/politopo básico.

Lema IV.10.1.- Sea r la recta armónica asociada de P, y ∆(r ) la imagen de r en la inversión referida al triángulo ABC , que es una cónica circunscrita al triángulo ABC . Sea A1B1C1 el triángulo circunscrito a la cónica ∆(r ) , cuyos lados son las tangentes t A , t B , tC en A, B y C , y A1 ≡ t B . tC , B1 ≡ tC . t A , C1 ≡ t A . t B . Las rectas AA1, BB1 , CC1 son concurrentes en el punto inverso de P, ∆(P ) . Si P ≡ ( x, y, z ) , las ecuaciones respectivas de r y ∆( r ) se escriben - 114 -

X Y Z + + =0 x y z xYZ + yZX + zXY = 0 . Las ecuaciones de las tangentes t A , t B , tC resultan t A ≡ yZ + zY = 0 t B ≡ xZ + zX = 0 tC ≡ xY + yX = 0 , y las coordenadas de los vértices A1 , B1 , C1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A1 ≡ ( − , , ) , B1 ≡ ( ,− , ) , C1 ≡ ( , ,− ) . x y z x y z x y z La concurrencia de AA1, BB1 , CC1 , que está asegurada como una aplicación simplificada del teorema de Brianchon al exágono circunscrito AC1BA1CB1 A , considerando cada semitangente t A , t B , tC como un lado del polígono, da el punto 1 1 1 ∆( P ) ≡ ( , , ) , x y z Si el punto P es el centro de gravedad del triángulo, y BC = a, CA = b, AB = c , esto es 1 1 1 P ≡ ( , , ) , ∆( P ) ≡ ( a, b, c ) coincide con el punto de Lemoine del triángulo. a b c La construcción simplificada de Brianchon anterior, aunque no referida ya a la relación armónica asociada punto-hiperplano, ni tampoco a la transformación inversa multilineal, tiene dos generalizaciones posibles, por ello, no completas, en el espacio N-dimensional, cuyas respectivas formulaciones, y sus limitaciones implicadas, se expresan en las siguientes proposiciones IV.10.2 y IV.10.3.

Proposición IV.10.2.- Sea C N una N-cuádrica circunscrita al N-simplex de referencia SV , definido por los vértices Vi (1 ≤ i ≤ n ) . Sean Vi′(1 ≤ i ≤ n ) los puntos intersección de cada N ( N − 1) -planos tangentes a SV en N vértices Ai , que son, a su vez, los vértices de un segundo N-simplex, asociado a SV y C N , que llamamos SV ′( C N ) . Las n rectas ViVi′ que unen cada vértice excluído con la intersección común de los N planos tangentes en los vértices considerados, para condiciones de C N a determinar, son concurrentes. En el sistema n-lineal homogéneo de referencia, que representa SV , la ecuación de la N-cuádrica C N se escribe

∑a

ij

X i X j = 0 , ∀i , j ∈ (1,..., n ) , i ≠ j , (IV.10.1)

i, j

Observemos que para dimensiones N > 2 no se cumple ya, en efecto, la identificación de C N con la inversa generalizada de un ( N − 1) -plano, como en el espacio bidimensional, pues la imagen de tal hiperplano en esta inversión, es ahora un hiperelemento de dimensión N y grado β ( n,2) − 2 , donde β (n,2) es, nuevamente, la notación empleada del número combinatorio de argumentos n,2 . La matriz de la forma cuadrática, que es una matriz simétrica, que suponemos no degenerada, es decir, con determinante no nulo, se escribe,

- 115 -

 0 a12 . . a1n  a 0 . . a  2n  . M =  12 . . . .    a1n . . 0  Los elementos de cada fila de M son los coeficientes de la ecuación del hiperplano tangente en el vértice Vi correspondiente al coeficiente nulo. La selección de (n − 1) filas determinadas, excluída la fila i, equivale a un sistema de (n − 1) ecuaciones homogéneas, cuya solución es el punto Vi′ , intersección de los (n − 1) planos tangentes seleccionados. Las coordenadas correspondientes de los n puntos intersección son los elementos de la matriz adjM , esto es, cada fila de la matriz adjunta representa un punto Vi′ . El conjunto de los puntos Vi′ está, pues, representado por la matriz adjunta, que tiene también la propiedad simétrica,  A11 A12 . . A1n    A12 A22 . . A2 n   adjM =  . (IV.10.2) . . . . .     A1n A1n . . Ann  Observamos, además, que el punto Vi′ es el polo del ( N − 1) -hiperplano incidente con los n − 1 vértices de SV , con exclusión de Vi , por cuya razón denominamos a las rectas ViVi′ , ejes polares de SV , con relación a C N . Los elementos de la fila i en la matriz adjM , que son los adjuntos en M de cada elemento correspondiente, son las coordenadas homogéneas del punto Vi′ La notación que se hace de los elementos de la diagonal principal, con el añadido de un guión superior, tiene el significado que explicamos a continuación. Las filas de esta matriz son igualmente representativas de las rectas ViVi′ , así X X X X ViVi′ ≡ 1 = . . = i −1 = i +1 = . . = n , (IV.10.3) Ai1 Ai ( i −1) Ai ( i +1) Ain donde figura excluída precisamente la razón correspondiente al elemento diagonal de la fila. La condición de intersección de dos rectas ViVi′ y V jV j′ requiere el cumplimiento de las β (n,2) relaciones siguientes, Aih A = ik , j , k ∈ (1,..., n ) , h, k ≠ i , j , A jh A jk es decir, la anulación de todos los menores de orden 2, formados por los elementos de las filas i y j, excluyendo los menores en que intervienen uno o los dos elementos Aii y/o A jj . Las condiciones anteriores son extensivas a cualquier otra selección de dos filas, esto es, extensivas a la matriz adjM completa, pudiendo enunciarse, en definitiva, como condición necesaria y suficiente para la existencia de una intersección común de las n rectas ViVi′ , la anulación de todos los menores de segundo orden de la matriz adjM en los que no intervenga algún elemento de la diagonal principal. Se deduce el número total teórico de condiciones y/o de menores de orden 2 nulos, teniendo en cuenta que la elección del par de filas (i , j ) puede hacerse de β (n,2) maneras distintas y que el número de pares ( h, k ) de columnas es β ( n − 2,2) , habiéndose descontado las dos columnas i, j , correspondientes a los elementos diagonales de las filas i, j . Además, por tratarse de una matriz simétrica, cada menor coincide con su traspuesto, obteniendo en definitiva - 116 -

n 1  n  n − 2  = 3 ×   . ×   ×  2 2  2  4 Para n = 3 , N ( m2 ) = 0 , pues no existen, en efecto menores con la condición indicada, estando asegurada en el plano la concurrencia de las rectas AA1, BB1 , CC1 , en la notación del lema IV.10.1, como justifica el teorema de Brianchon. Para valores n ≥ 4 , haremos una demostración alternativa del número N ( m2 ) , que, tomando de nuevo en consideración la simetría de la matriz M y/o adjM , nos permite todavía una reducción del número de condiciones precisas. La condición deducida del menor elegido, se expresa Aih A jk − Aik A jh = 0 , ∀i , j , h, k ∈ {1,..., n}, j ≠ i , h ≠ i , j , k ≠ i , j , k . Aunque su interés sea aquí simplemente teórico, no dejamos de mencionar que la anulación que supone el primer miembro de esta ecuación, del desarrollo de un menor de orden dos de la matriz adjunta, supone igualmente, mediante aplicación del teorema de Jacobi, la anulación del menor complementario signado, de orden ( n − 2) × ( n − 2) , de su menor homólogo posicional en la matriz M inicial, que es una matriz simétrica, por lo que no es necesaria su previa trasposición (Ref.[7],p.103). Volviendo a la deducción que tratamos, en primer lugar es obvio que la definición de un menor se basa en la selección de los cuatro números distintos i, j , h, k en el conjunto {1,2,..., n} . Por otro lado, cada elemento de la matriz tiene dos posiciones traspuestas iguales. Un producto cualquiera Aij Ahk de los dos elementos diagonales de um menor puede formarse, por ello, de cuatro formas distintas, que se reducen a dos por la identidad de cada dos menores traspuestos. En resumen, la selección de los cuatro números i, j , h, k determina la anulación de los tres menores siguientes, en los que cada producto diagonal aparece por duplicado Aih A jk − Aik A jh = 0 N ( m2 ) =

Aij Ahk − Aik Ahj = 0 Aih Akj − Aij Akh = 0 , deducción ésta que se aplica directamente a la demostración más directa del resultado arriba obtenido del número N ( m2 ) . Las tres condiciones anteriores relacionadas, se reducen a dos solamente, que pueden expresarse en forma más sintética Aij Ahk = Aih A jk = Aik Ahj . Puesto que esta reducción, de tres a dos condiciones, se aplica a cualquier selección de los números i, j , h, k , el número reducido de condiciones necesarias resulta finalmente n n 2 N r ( m2 ) = × 3 ×   = 2 ×   . 3 4 4 El número de variables es igual al número de coeficientes homogéneos de la ecuación (IV.10.1) reducido en una unidad, esto es n  N v =   − 1,  2 y, puesto que se cumple N v < N r ( m2 ) si n > 4 y, más aún, n > 4 → N v >> N r ( m2 ) , además de su cumplimiento integral en el plano, es predecible la dificultad de la compatibilidad de las N r ( m2 ) condiciones requeridas, prescindiendo del caso obvio particular de un N-simplex regular de cualquier dimensión. En el espacio de tres dimensiones, con n = 4 y N v = 5 , la figura de referencia es un tetraedro y el número de condiciones necesarias, es N r = 2 , que son las anteriormente obtenidas particularizadas para n = 4 , - 117 -

A12 A34 = A13 A24 = A14 A23 . En la sección IV.11 siguiente, volviendo a operar, de nuevo, en el sistema de referencia ortonormal, se analiza el cumplimiento de esta propiedad en el politopo ortocéntrico, objeto de este Capítulo, con N ≥ 3 , para el cual las N r condiciones exigidas se reducen, por un lado, a n − 2 condiciones simples, correspondientes a una solución excepcional casi regular, aunque para N = 3 se cumpla para esta solución N r = n − 2 = 2 , que no supone reducción de N r , y, por otro, a una condición única en el caso más general, si bien este segundo no corresponde, como veremos, a un N-politopo real. En el Apéndice se harán también otras deducciones relacionadas, relativas a un tetraedro cualquiera en el espacio tridimensional.

Proposición IV.10.3.- Sea C N una N-cuádrica circunscrita al N-simplex de referencia SV , definido por los vértices Ai (1 ≤ i ≤ n ) . Sea Aijk el punto de Brianchon correspondiente al triángulo ViV jVk inscrito en la cónica intersección de C N con el plano ViV jVk , según la construcción descrita en el Lema IV.10.1. Se considera el ( N − 2) -plano incidente con Aijk y con los N − 2 vértices que no pertenecen al plano ViV jVk . Los β (n,3) hiperplanos correspondientes a las distintas selecciones posibles de una terna (i , j , k ) , para condiciones de C N a determinar, son concurrentes en un punto. Refiriéndonos, por ejemplo, a la cara V1V2V3 , la tangente a la cónica intersección de la N-cuádrica con el plano V1V2V3 , por ejemplo, en el vértice V1 , tiene ecuaciones

 X h = 0 , ∀h ≠ 1,2,3  a12 X 2 + a13 X 3 = 0 , y siguiendo, de nuevo, el razonamiento en el lema IV.10.1, el punto de Brianchon, que está asegurado en el plano, tiene coordenadas V123 ≡ ( a23 , a13 , a12 ) , habiéndose figurado únicamente las coordenadas relativas a los índices 1,2,3 , mientras las N − 2 coordenadas restantes son nulas. Las ecuaciones del ( N − 2) -plano incidente con V123 y con los N − 2 vértices que no pertenecen al plano ViV jVk , se escriben X1 X 2 X 3 = = , a23 a13 a12 Luego, análogamente a la argumentación en la proposición IV.10.2, los β (n,3) hiperplanos concurren en un punto si son nulos todos los menores de orden dos de M, y son igualmentes aplicables las conclusiones relativas al número deducido inicialmente de condiciones necesarias y al número reducido final. Si el N-simplex de referencia es un tetraedro, esto es, para N = 3 , los respectivos ( N − 2) -planos incidentes con cada punto de Brianchon de una cara, son, simplemente, las rectas que unen este último punto con el vértice opuesto a su cara de posición. Daremos, por ello, a estas rectas, la denominación de ejes asociados a la construcción de Brianchon, relativos a la cuádrica circunscrita C N y, por razón de brevedad, ejes de Brianchon del tetraedro. Las condiciones necesarias para su concurrencia son, de nuevo, dos en el caso excepcional, y/o una en un caso más general, que no corresponde a un tetraedro real.

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IV.11.- CONSTRUCCIONES PARTICULARIZADAS EN EL CASO ORTOCÉNTRICO La aplicación de las dos propiedades formuladas en las proposiciones IV.10.2 y IV.10.3, referidas en esta sección a un N-simplex ortocéntrico, se expresan, respectivamente, en las siguientes proposiciones IV.11.1 y IV.11.2:

Proposición IV.11.1.- En el espacio ℘N ( N ≥ 3) el N-simplex S N (C1 ) , circunscrito a la N-esfera circunscrita a un N-simplex ortocéntrico S N , Z , verifica la propiedad estudiada en la proposición IV.10.2, relativa a la construcción simplificada del Brianchon multidimensional, solamente en los dos casos siguientes: a) Si S N , Z tiene N vértices de un ( N − 1) -simplex regular. b) Si se cumple una única condición algébrica, la cual implica, sin embargo, la naturaleza imaginaria y no real, de S N , Z . En la demostración, resulta, de nuevo, más práctica, la utilización del sistema de referencia cartesiano ortonormal que define el espacio superior ℘n , como ha sido descrito en la sección IV.3. La N-esfera C1 que contiene a los vértices Vi (i = 1,..., n ) es la intersección de la n-esfera (IV.8.2), situada en ℘n , con el hiperplano de posición del N-simplex inicial, por tanto, de ecuaciones i=n 2 i=n ∑ X i − ∑ ai X i = 0  i =1 i =1 C1 ≡  i = n (IV.11.1) X i  =1 ∑ a i =1 i Los coeficientes de los N-planos tangentes a la hiperesfera superior ζ 1 en el espacio ℘n , en cada vértice Vi ≡ (0,..., ai ,...,0) , son los elementos de las filas de la siguiente matriz, de orden n × ( n + 1) ,  a1 − a2 . . − an − a12   2 − a1 a2 . . − an − a2  .  . . . . . .    an − an2  − a1 − a2 . . Las intersecciones de estos hiperplanos con el N-plano de posición del N-simplex son también los ( N − 1) -planos tangentes a la hiperesfera C1 en los vértices Vi . El N-plano tangente en el origen a ζ 1 tiene la ecuación i=n

∑a X i

i

= 0,

i =1

y, empleando la notación ω de la siguiente función de las coordenadas genéricas i=n

ω = ∑ ai X i , (IV.11.2) i =1

la ecuación del N-plano tangente a ζ 1 en Vi , se escribe 2ai X i − ω = ai2 , o, también, Xi =

1 (ω + ai2 ) . (IV.11.3) 2 ai - 119 -

El conjunto de cada n − 1 ecuaciones de la forma anterior, representa las ecuaciones paramétricas de la recta intersección común de cada n − 1 hiperplanos tangentes a ζ 1 . Suponiendo excluído el ( N − 1) -plano tangente en Vi , la intersección de esta recta con el hiperplano de posición de C1 es el vértice Vi′ del N-simplex S N (C1 ) , correspondiente a la denominada construcción simplificada de Brianchon, en ℘N . Utilizamos en adelante, de nuevo, las dos notaciones sumatorias, i=n

σ = ∑ ai2 i =1

i=n

1 . 2 i =1 ai Por simple comodidad expresiva, que no supone pérdida de generalidad, excluímos el hiperplano tangente en el vértice V1 , para obtención de V1′ como intersección de la segunda ecuación (IV.11.1) con las n − 1 ecuaciones restantes (IV.11.3), obteniendo para la primera coordenada no explícita la siguiente expresión, en función del parámetro ω , 3 − n ω  1  −  s − 2  , (IV.11.4) X 1′,1 = a1  2  a1   2 y sustituyendo las coordenadas (IV.11.3) de Vi′,1 < i ≤ n y la coordenada (IV.11.4) de V1′ , en s=∑

(IV.11.2), resulta el siguiente valor particularizado de ω1 ( 2 − n )a12 + σ , (IV.11.5) s a12 + ( 2 − n ) habiéndose efectuado previamente la sustitución en (IV.11.4), calculada primero, de

ω1 =

ω=

σ

. 2−n Excluyendo sucesivamente cualquiera de los hiperplanos restantes, se obtienen expresiones similares relativas a los restantes vértices. Así, pues, procediendo análogamente para el vértice V2′ , podemos escribir las ecuaciones de las dos rectas V1V1′ y V2V2′ , esto es,

X1 − a1 X2 Xi Xn  ... ... = = = = = 2 2  3− n ω  1  ω + a ω1 + ai ω1 + an2 1 2 1 a1 −  s − 2  2a2 2ai 2an 2  a1    2  X2 − a2 Xi Xn (IV.11.6)  X1 = = ...= = ...= . 2 2 ω2 + a1 ω2 + ai ω2 + an2 3− n ω2  1  a2  − s − 2   2a 2ai 2an 2 2  a2   1  Para la concurrencia de las rectas V1V1′ y V2V2′ , el sistema anterior, e inclusive el formado por las n filas de ecuaciones análogas, debe ser compatible. Aquí debemos establecer una diferencia esencial en el tratamiento del sistema completo, en primer lugar, para el valor particular n = 3 , para el cual sabemos ya, por adelantado, la existencia de una solución única, y, en segundo lugar, para valores n > 3 . a) Caso n=3: Sustituyendo el valor n = 3 en (IV.11.5), se obtiene

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− a12 + σ = s a12 − 1

a22 + a32 a 2a 2 = 2 23 , a1  1 1 a12  2 + 3   a2 a2  y, sustituyendo este valor en (IV.11.3) y (IV.11.4) a 2 + a32 X 2 (V1′) = 1 2 a2

ω1 =

 ω  1  1 a 2a 2  1 a 2 + a32 X 1 (V1′) = a1 − 1  s − 2  = − a1 2 23  2 + 2  = − 2 . a1  2a1  a2 a3  2a1  2 Se obtienen, por simetría los valores de ω 2 y ω3 , análogos a ω1 a32a12 a12 a22 = , ω , 3 a22 a32 y resolviendo el sistema en las variables X 1 , X 2 , formado por las primeras igualdades de ambos grupos en (IV.11.6), en este caso de sólo dos igualdades, resultan las siguientes coordenadas X 1 y X 2 del punto de intersección de las rectas, que llamamos VB

ω2 =

a1 ( a22 + a32 ) a2 ( a12 + a32 ) , ( ) . X V = B 2 2( a12 + a22 + a32 ) 2( a12 + a22 + a32 ) La simetría de las dos coordenadas se aplica también a la expresión de la tercera coordenada X 3 , y prueba la concurrencia efectiva de las tres rectas V1V1′,V2V2′,V3V3′. X 1 (VB ) =

b) Caso n>3: En este supuesto y prescindiendo de las dos primeras igualdades en ambos grupos del sistema (IV.11.6), resulta siempre posible la selección de una igualdad en cada uno de ellos de la forma Xj  Xi  ω + a2 = ω + a2 i 1 j  1 2a j  2ai   X i = X j , i , j ≠ 1,2 , i ≠ j ,  ω 2 + ai2 ω 2 + a 2j  2a j  2ai que da la relación 2 ω 2 + ai2 ω 2 + a j , = ω1 + ai2 ω1 + a 2j

y también

(ω1 − ω 2 ) ( ai2 − a 2j ) = 0 . (IV.11.7) Suponiendo, en primer término, ai ≠ a j , debe cumplirse ω1 = ω 2 , y sustituyendo las dos expresiones análogas (IV.11.5) ( 2 − n )a12 + σ ( 2 − n )a22 + σ , = ω1 = ω 2 → 2 s a1 + ( 2 − n ) s a22 + ( 2 − n ) o bien [( 2 − n )2 − σ s ] ( a12 − a22 ) = 0 . (IV.11.8) Suponiendo de nuevo a1 ≠ a2 , resulta como condición necesaria

σ s = ( n − 2)2 . (IV.11.9) - 121 -

Introduciendo esta relación en la expresión (IV.11.5), ahora generalizada en Vi , obtenemos

(2 − n)2 2−n s ωi = , (IV.11.10) = 2 s Σai + ( 2 − n ) que representa un valor constante para todos los vértices. Es así que la existencia de cuatro elementos ai , a j , ah , ak , que puedan separarse en los dos pares ( 2 − n )ai2 +

disjuntos,

{a , a } i

j

y

{ah , ak } ,

tales que ai ≠ a j ∪ ah ≠ ak , determina el cumplimiento de

(IV.11.9) y también de (IV.11.10), que implica la igualdad de los n valores ωi . Ello no impide que pueda existir una igualdad ai = ah , e inclusive las dos igualdades ai = ah ∪ a j = ak , en cuyos casos la condición (IV.11.9) es aún necesaria. La única posibilidad excluyente de (IV.11.9), y, por ello, también de (IV.11.10), es, por tanto, a2 = ... = ai = ... = an , donde se ha figurado a1 como la única coordenada distinta posible, lo que no supone ninguna pérdida de generalidad. Como posibilidad extrema, queda aquí incluída también la igualdad de a1 con las n − 1 coordenadas restantes. En definitiva, existen los dos subcasos siguientes para n > 3 : b.1) Subcaso ai ≠ a j ∪ ah ≠ ak En primer lugar, en virtud de la condición necesaria (IV.11.9), se cumplen las n igualdades (IV.11.9), que representan un mismo valor de los n parámetros ωi , i = 1,..., n . Resolviendo el sistema completo (IV.11.6), mediante la aplicación de la expresión (IV.11.4) y teniendo de nuevo en cuenta la simetría de comportamiento de los índices , se obtienen las siguientes coordenadas del punto de intersección común de las n rectas a n−2 X i (VB ) = i − , 2 2ai s luego se tiene la relación vectorial n−2 VB = C − Z, 2 donde VB es el que hemos denominado, punto de Brianchon generalizado, C el centro de la nesfera circunscrita que pasa además por el origen de coordenadas en el espacio ℘n y Z el ortocentro del N-simplex ortocéntrico. En el caso de un tetraedro ortocéntrico que cumpla la condición (IV.11.9), esto es, con n = 4 , el vector solución es la suma del vector del circuncentro de la hiperesfera de dimensión n y del simétrico del ortocentro del tetraedro respecto del origen de coordenadas en el espacio ℘n . Observamos que ninguno de estos dos puntos pertenece al espacio ℘N , aunque sí pertenezca a ℘N el punto resultante de esta suma vectorial. Se infiere también que se cumplirán las N r ( m2 ) condiciones necesarias formuladas en la sección IV.10, si el proceso algebraico anterior se llevara a cabo en coordenadas homogéneas n-lineales, para cualquier n-simplex ortocéntrico. Debemos advertir, sin embargo, que la condición (IV.11.9) supone también la naturaleza imaginaria, esto es, no real, del N-simplex S N (C1 ) , dado que el mínimo de la función Φ = σ s en las n variables ai , tiene, obviamente, el valor Φ mín = n 2 > ( n − 2) 2 , n > 3 , para coordenadas rea-

les ai = a j , ∀i , j ∈ {1,..., n}. La interpretación geométrica equivale a la existencia de, al menos, un vértice Vi , igualmente imaginario en el eje coordenado correspondiente, para el cual en - 122 -

cualquier triángulo frontera ViV jVk , con V j y Vk reales, no se cumple la relación obligada

VhVk < ViVh + ViVk . b.2) Subcaso ai = a , ∀i ∈ {2,..., n} Aplicando la expresión (IV.11.4), se obtienen los siguientes valores de las dos coordenadas X 1,1 y X 2, 2 (3 − n )a1 ( n − 1)ω1a1 − 2 2a 2 ( 3 − n )a  1 n − 2  ω a = −  2 + 2  , 2 a  2  a1

X 1,1 = X 2,2

y, resolviendo ya directamente el sistema (IV.11.6), se obtienen las siguientes coordenadas del punto común de intersección, VB , X1 =

(ω + a12 )a1a 2 ω a 2 + na12 a 2 + ( n − 1)ω a12

(ω + a 2 )a12a . Xi = ω a 2 + na12 a 2 + ( n − 1)ω a12 Sustituyendo estas coordenadas en (IV.11.2), resulta el valor del parámetro ω

ω 2 = a12a 2

a12 + ( n − 1) a 2 . (IV.11.11) a 2 + ( n − 1) a12

En este segundo subcaso S N (C1 ) es real, si las coordenadas a1 y a son reales, correspondiendo al que llamamos un N-simplex N-isósceles por analogía con la denominación de un triángulo similar en el plano. Las aristas se dividen en dos grupos de longitudes iguales, el formado por las n − 1 aristas con vértice común V1 , y las Cn2−1 restantes, que definen un ( N − 1) -simplex re1 gular. El caso extremo es el de un N-simplex regular, con a1 = a , en el cual X i = , ∀i , y n 2 ω = a . La consideración de este caso trivial, nos permite asegurar la selección del signo positivo en la interpretación más adecuada de la forma cuadrática de la expresión (IV.11.11).

Proposición IV.11.2.- En el espacio E N ( N ≥ 3) el N-simplex S N (C1 ) , circunscrito a la N-esfera circunscrita a un N-simplex ortocéntrico S N , Z ,verifica la propiedad estudiada en la proposición IV.10.3, relativa a la construcción simplificada del Brianchon de origen el punto de Brianchon bidimensional, solamente si S N , Z tiene N vértices de un ( N − 1) -simplex regular. Para la selección de los tres vértices V1,V2 ,V3 , el punto de Brianchon VB , asociado al triángulo V1V2V3 y a la cónica intersección de la esfera circunscrita a S N , Z con el plano V1V2V3 , tiene las coordenadas resultantes del estudio del caso n = 3 en la proposición IV.11.1, X1 =

a1 ( a22 + a32 ) a2 ( a12 + a32 ) a3 ( a12 + a22 ) , X = , X = ; X h = 0 (3 < h ≤ n ) . 2 3 2( a12 + a22 + a32 ) 2( a12 + a22 + a32 ) 2( a12 + a22 + a32 )

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Las ecuaciones del ( N − 2) -plano incidente con VB y con los N − 2 vértices exteriores al triángulo V1V2V3 , resultan, X1 X X X X X = 2 = 3 = 1 + 2 + 3, X 1B X 2 B X 3B a1 a2 a3 cuyo número de ecuaciones independientes es tres, recordando que operamos en el espacio superior de dimensión n. Escribiendo las ecuaciones análogas, por ejemplo, para el triángulo V1V2V4 , es fácil comprobar que la compatibilidad de las seis ecuaciones requiere la siguiente condición necesaria (a12 − a22 ) ( a32 − a42 ) = 0 , luego nos encontramos en la misma situación del subcaso b.2) en IV.11.1, y existe un punto de intersección común únicamente si el N-simplex es nuevamente isósceles. Las coordenadas de este punto son ahora X1 =

2a1a 2 a ( a12 + a 2 ) X ; = , ∀h ≠ 1. h ( n − 1)a12 + ( n + 1)a 2 ( n − 1)a12 + ( n + 1)a 2

El caso extremo es el de un N-simplex regular, con a1 = a , en el cual este punto coincide igualmente con el centro del N-simplex. Nos remitimos desde aquí al Apéndice donde consideraremos otras aplicaciones de las dos construcciones asociadas al punto de Brianchon, en el espacio tridimensional, relativas a la generación de cuatro cuádricas regladas distintas, asociadas a un tetraedro genérico.

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CAPÍTULO V: GEOMETRÍA CORRELATIVA DUAL

V.I.- GEOMETRÍA CORRELATIVA DUAL PLANA V.I.1.- DEFINICIONES Y ELEMENTOS BÁSICOS La geometría dual involutiva del triángulo, referida a dos puntos básicos, estudiada en los Capítulos II y III anteriores, admite una variante correlativa intercambiando las denominaciones punto/recta que tienen propiedades proyectivas simétricas. Se trata de la existencia de una dualidad geométrica clásica, aunque, para evitar redundancias terminológicas, en general reservamos preferentemente la calificación dual a la duplicidad referida a las dos operaciones simétricas realizadas a partir de los dos puntos básicos, y llamaremos correlativa dual a la duplicidad paralela llevada a cabo a partir de dos rectas básicas, refiriéndonos, de nuevo, en principio, en este Subcapítulo V.I, a su análisis en el espacio bidimensional, como alternativa del anteriormente efectuado en los Capítulos II y III, que estuvo basado allí en los dos puntos básicos. En efecto, casi todas las expresiones algebraicas en los Capítulos II y III, pueden transformarse directamente mediante el cambio recíproco de las coordenadas puntuales por coordenadas tangenciales o pluckerianas. Se derivan así las propiedades paralelas análogas, cuya demostración es ya superflua, limitándonos, por ello, a su simple enunciado. Este segundo enfoque, que llamamos correlativo, se generaliza igualmente también en espacios de dimensión superior a dos, lo que será el objeto del segundo Subcapítulo IV.2, como extensión de este primero IV.1, que será el desarrollado en primer término, en interés de la mayor claridad y comprensión de las exposiciones. Debemos señalar, sin embargo, que esta extensión multidimensional no es completa, puesto que existen propiedades específicas en el espacio bidimensional, vinculadas a la solución única de la condición combinatoria, ya comentada en la Introducción, n   = n → n = 3 . 2 Sea el triángulo de referencia ABC , que es la base de un sistema de coordenadas tangenciales, denominadas tambien coordenadas pluckerianas, (U ,V ,W ) , y r ≡ (u, v, w) y r′ ≡ (u′, v′, w′) dos rectas no incidentes con un vértice del triángulo ABC . Los puntos P y P′ son los armónicos asociados de r y r ′ en el triángulo ABC , existiendo la relación que se expresa por la transformación cuadrática involutiva, que es una forma particular de la transformación de Poncelet UX = VY = WZ . (V.I.1.1) La denominación de las coordenadas tangenciales genéricas, U ,V ,W , no debe confundirse obviamente, con las notaciones similares de puntos concretos, utilizados en las anteriores y siguientes secciones, cuyo sentido resulta inequívoco en el contexto que se trata/e. Las expresiones numéricas κ 1 ,κ 2 ,κ , que son las análogas correlativas, correspondientes de k1 , k 2 , k , se escriben u v w κ1 = + + u ′ v′ w′ u′ v′ w′ κ2 = + + u v w κ = κ1 × κ 2 , luego, aplicando las ecuaciones (V.I.1.1) de la relación punto ↔ recta armónica asociada, arriba indicadas, se cumplen - 125 -

κ1 = k2 κ 2 = k1 κ = k. Así pues, κ 1 y κ 2 son mutuamente duales mientras κ es invariante por duplicación y un valor común en los dos planteamientos, tangencial y puntual. Debemos señalar que este símbolo κ tiene aquí una significación conceptual diferente, aunque algebraicamente relacionada con la misma notación aplicada en la Sección III.4 a la función escalar correlativa puntual, utilizada allí como notación alternativa de k . Conservamos las notaciones de los puntos Pa , Pb , Pc (resp. Pa′, Pb′, Pc′ ), que son las respectivas intersecciones de AP, BP , CP (resp. AP ′, BP′, CP ′ ) con los lados BC , CA, AB . Los puntos Qa , Qb , Qc (resp. Qa′ , Qb′ , Qc′ ) son, respectivamente, los conjugados armónicos de los puntos Pa , Pb , Pc (resp. Pa′, Pb′, Pc′ ) respecto de B y C, C y A, A y B, y, también, las intersecciones de r (resp. r ′ ) con BC, CA, AB. En fin, las dos cuaternas P, P1 , P2 , P3 y P′, P1′, P2′, P3′ constituyen sendos conjuntos de puntos armónicamente asociados con relación al triángulo ABC . Se utilizarán asimismo notaciones paralelas de los elementos correlativos, intentando la mayor similitud posible a sus correspondientes empleadas en el estudio puntual. Debemos señalar, al efecto, que la representación de los elementos geométricos básicos en la (FIG.1), en la Sección II.1, en el estudio bidimensional, puede considerarse ciertamente ambivalente, por ser igualmente significativa en uno y otro planteamiento; así, por poner diversos ejemplos concretos, en la siguiente TABLA V.I.1, referida a la indicada (FIG.1), definimos las distintas correspondencias correlativas, relativas a los elementos anteriormente referenciados,

TABLA V.I.1 (FIG.1)

A, B, C ⇔ BA, CA, AB P, P ′ ⇔ r , r ′ PP ′ ⇔ r . r ′ ≡ U Q ≡ PP ′. r , Q ′ ≡ PP ′. r ′ ⇔ UP, UP ′ AP ≡ APa , BP ≡ BPb , CP ≡ CPc ⇔ BC . r ≡ Qa , CA. r ≡ Qb , AB. r ≡ Qc Pa ≡ BC. AP, Pb ≡ CA. BP, Pc ≡ AB. CP ⇔ AQa , BQb , CQc ( B, C ; Pa , Qa ) = −1 ⇔ A (C , B; Qa , Pa ) = −1 P, P1 , P2 , P3 ⇔ r , Pb Pc , Pa Pb , Pc Pa ; P ′, P1′, P2′, P3 ⇔ r ′, Pb′Pc′, Pc′Pa′, Pa′Pb′ ( A, Pa ; P, P1 ) = −1 ⇔ Qa ( Pa , A; Qb , Pb ) = Qa ( Pa , A; Qc , Pc ) = −1 En la Sección V.I.5 seguiremos estas identificaciones extendidas a los sucesivos elementos más relevantes en ambos esquemas, tangencial y puntual, y, en particular, a los puntos y líneas asociados a la noción de la triple geometría dual desarrollada en el Capítulo III, y a su representación en la (FIG.2) en la Sección III.1, la cual mantiene, como veremos, la misma ambivalencia indicada de la (FIG.1). V.I.2.- EL HAZ TANGENCIAL Γr , r ′ La propiedad principal deducida a partir de la consideración de los dos puntos básicos P y P′ , que es la definición del haz puntual de cónicas CP , P ′ , tiene su versión correlativa paralela a partir de un par de rectas cualquiera, y, más concretamente, para establecer una vinculación com- 126 -

pletamente directa entre ambas versiones, a partir de las rectas r y r ′ que corresponden a la transformación armónica asociada en el triángulo de referencia. Deducimos así un haz tangencial de cónicas, Γr , r ′ , correlativo del haz puntual CP , P ′ , que tiene la propiedad fundamental de que las tangentes trazadas desde los puntos P y P′ a una cónica cualquiera del haz son tangentes comunes a cualquier cónica del haz. La definición completa del haz requiere, pues, la determinación de sólo una cónica particular, preferiblemente no degenerada, aunque ello no sea estrictamente necesario, además de la cónica degenerada integrada por el par de puntos ( P, P ′) ; éstos definidos, a su vez, por el par de rectas ( r, r ′) , de coordenadas respectivas r (u, v, w) y r ′ (u ′, v ′, w′) , que representan ahora el dato inicial. Las ecuaciones correspondientes de los puntos P y P′ son, así, U V W P≡ + + =0   u v w  (V.I.2.1) U V W = 0 ,  P′ ≡ + + u ′ v ′ w′ y aquí puede ser de ínterés señalar que estas ecuaciones no son, naturalmente, las resultantes de aplicar la transformación (V.I.1.1) a las ecuaciones (II.1.1) de las rectas r y r ′ , que son los elementos respectivamente correlativos de P y P ′ . La analogía correlativa no implica, en efecto, ninguna relación funcional algébrica directa, como sí la supone, por el contrario, la transformación armónica asociada (V.I.1.1). La coincidencia, en nuestro planteamiento, de elementos básicos y/o imágenes en la Tabla (V.I.1) es, simplemente, un resultado consecuencia de la libre elección efectuada de los pares básicos iniciales de elementos correspondientes, P ⇔ r y P ′ ⇔ r ′ , en los respectivos esquemas tangencial y puntual. La trasposición correlativa C P ,P′ ⇔ Γr ,r′ , que no llamaremos, por ello, transformación, se sustancia, en efecto, mediante la simple mutua sustitución de las coordenadas puntuales y tangenciales, genéricas y particulares, siguientes: X , Y , Z ↔ U ,V ,W

x, y , z ↔ u, v, w x ′, y ′, z ′ ↔ u ′, v ′, w′ . Con esta convención, el producto, miembro a miembro, de las dos ecuaciones (V.I.2.1) constituye ya una primera cónica descompuesta del haz tangencial Γr , r ′ , que designamos ( Γ0 ) , por ser correlativa de la cónica (C0 ) , a su vez producto-unión de las rectas r ∪ r ′ , en el haz CP , P ′ . Nos referiremos, a continuación, a otras cónicas significativas de Γr , r ′ , paralelas a las ya consideradas en CP , P ′ , que serán invariantes, como aquellas, en la operación de duplicación. Se obtienen, en resumen, siguiendo la exposición paralela a la anterior formulada en el Capítulo II y utilizando la notación también paralela, los siguientes resultados análogos, cuya demostración explícita resulta superflua, bastando la simple sustitución mutua de los términos punto ↔ recta : Proposición V.I.2.1: Existe una cónica (Γ1 ) tangente a las seis rectas AQa , BQb , CQc , AQa′ , BQb′ , CQc′ , es decir, a los 3 + 3 = 6 lados de los triángulos cuyos vértices, P1 , P2 , P3 y P1′, P2′, P3′ , son los armónicos asociados de P y P′ en el triángulo ABC , que tiene la ecuación tangencial U2 V2 W2 1  1  1   1  1  1 + + − VW  + + +  − WU   − UV   = 0, uu ′ vv ′ ww′  vw′ wv ′   wu ′ uw′   uv ′ vu ′  - 127 -

La cónica (Γ1 ) , que es la correlativa de la cónica (C1 ) , tiene una segunda caracterización que se expresa, Proposición V.I.2.2: ( Γ1 ) es tangente a las polares de P respecto de las cónicas tangentes a BC , CA, AB y r ′ , y también tangente a las polares de P′ respecto de las cónicas tangentes a BC , CA, AB y r . Un ejemplo al que esta propiedad es aplicable es la cónica particular Κ r , r ′ , inscrita en el triángulo ABC y tangente además a las rectas r y r ′ , por tanto, correlativa de la cónica Κ en el Corolario II.2.3, que es también autoduplicada, pero no perteneciente al haz Γr , r ′ . En particular, Corolario V.I.2.3: Las polares de P y P′ respecto de Κ r , r ′ son tangentes a (Γ1 ) . Las siguientes definiciones corresponden a otras cónicas significativas autoduplicadas de Γr , r ′ .

Proposición V.I.2.4: a) Existe una cónica ( Γ2 ) en Γr , r ′ tangente a los lados BC , CA, AB , de ecuación 1  1  1   1  1  1 VW  + + +  + WU   + UV   = 0.  vw′ wv′   wu′ uw′   uv ′ v u ′  Debemos hacer la observación de que esta cónica ( Γ2 ) , correlativa de la cónica circunscrita (C 2 ) , es, precisamente, la segunda cónica utilizada en la demostración de la primera aserción a) del Teorema III.3.8, donde se estableció ya, en efecto, además de su definición específica, la condición de su pertenecencia al haz Γr , r ′ , esto es, las tangencias con cuatro rectas determinadas, que son las comunes a todas las cónicas miembros de Γr , r ′ . b) Existe una cónica ( Γ3 ) en Γr , r ′ tangente a r y r ′ , de ecuación

U 2 V 2 W 2  1  1  1   1  1  1  + VW  + + + − 2  + +  = 0,  + UV   + WU   uv′ vu′   wu′ uw′   vw′ wv′   uu′ vv′ ww′  Proposición V.I.2.5: Existe una cónica ( Γ5 ) en Γr , r ′ autoconjugada con relación al triángulo ABC , es decir, que los vértices A, B y C son respectivamente los polos de BC, CA y AB , de ecuación U2 V2 W2 + + = 0 . (V.I.2.2) uu′ vv′ ww′ La propiedad anterior, por su propio enunciado, supone la identificación de ambas cónicas ( Γ5 ) y (C5 ) , lo que equivale, a su vez, a la siguiente definición alternativa: los puntos P y P′ son los polos respectivos de r ′ y r con relación a la cónica autoconjugada, (C5 ) ≡ ( Γ5 ) , perteneciente simultáneamente a los dos haces CP , P ′ y Γr , r ′ . Aunque pudiera parecer trivial, queremos repetir aquí nuestra observación anterior relativa a las expresiones (V.I.2.1), destacando que la ecuación tangencial (V.I.2.2) de la cónica ( Γ5 ) ≡ C5 , no resulta tampoco de aplicar la transformación (V.I.1) a la ecuación puntual (II.2.1) de esta misma cónica, obtenida en el Capítulo II, y sí es la formulación adecuada de los comportamientos geométricos paralelos establecidos en uno y otro sistema, siendo ambas fórmulas (II.2.1) y (V.I.2.2) las dos expresiones alternativas de un mismo elemento. Análogamente a la expresión C0 − ϕ C5 del haz puntual de cónicas CP , P ′ , formamos la ecuación del haz tangencial Γr , r ′ , en la forma Γφ ≡ Γ0 − φ Γ5 , o bien, de forma paralela también, a partir de las ecuaciones de las cónicas ( Γ2 ) y ( Γ5 ) , mediante la combinación lineal Γ(ϑ ) ≡ Γ2 + ϑ Γ5 ,

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con φ = 1 − ϑ , y, también, haciendo el cambio Γ(γ ) = (γ − 1)Γ5 + 2Γ2 , que tiene la forma explícita

ϑ = (γ − 1) / 2 , por la expresión

 U 2 V 2 W 2   1  1  1  1   1  1  + 2 + + + + + (γ − 1)  WU  = 0 . VW +  UV +   wu′ uw′   vw′ wv′    uu′ vv′ ww′   uv′ vu′  Posteriormente y para evitar la repetición de demostraciones, en la extensión multidimensional en el Subcapítulo V.II se analizarán más detenidamente las características de la relación entre dos cónicas correlativas cualesquiera, y, en algunos casos concretos podremos establecer una relación formal entre los parámetros φ y ϕ , y, naturalmente, también, entre los parámetros ϑ y θ , y/o δ y γ , respectivamente asociados a las mismas. Designando por p ( P, γ ) y p ( P ′, γ ) las polares de P y P′ con relación a la cónica Γ(γ ) , se obtienen las coordenadas p( P, γ ) ≡ (γu′ − k1u , γv′ − k1v , γw′ − k1w ) p( P′, γ ) ≡ (γu − k 2u′ , γv − k 2 v′ , γw − k 2 w′). Las expresiones anteriores, que justifican la identificación de la cónica autoconjugada expresada como ( Γ5 ) ≡ Γ(∞) , las aplicamos a la deducción de la siguiente cónica ( Γ4 ) ≡ Γ(0), Proposición V.I.2.6: Existe una cónica ( Γ4 ) en Γr , r ′ , tal que los puntos P y P′ son los polos respectivos de r y r ′ respecto de ( Γ4 ) , de ecuación

U 2 V 2 W 2   1  1  1  1   1  1  − 2   + + + + + WU  = 0 . UV +  VW +   v w′ wv ′   wu′ uw′   uv′ vu′    uu′ vv′ ww′  Es, en efecto, la cónica ( Γ4 ) ≡ Γ(0) . Se derivan otras propiedades de ( Γ4 ) a partir de la consideración de la cónica Ε′ , circunscrita al triángulo ABC , con tangentes en los vértices AQa , BQb , CQc , que es la correlativa de la cónica que hemos llamado ε ′ en el estudio puntual. Proposición V.1.2.7: a) Si m es una recta tangente a ( Γ4 ) , las rectas que unen P a los dos puntos intersección de m y Ε′ son conjugadas con relación a cualquier cónica del haz Γr , r ′ . b) Sean m1 y m2 las tangentes a ( Γ4 ) por un punto T en la cónica Ε′ , y T1 y T2 los segundos puntos de intersección de m1 y m2 con Ε′ , distintos de T . La recta M 1 M 2 pasa por P y es conjugada de la recta PT con relación a cualquier cónica del haz Γr , r ′ . c) ( Γ4 ) satisface las propiedades duplicadas de a) y b) referidas a r ′ y P′ . En particular b) y su duplicada se aplican a los casos particulares en que T coincide con uno cualquiera de los vértices A, B o C. Como en Capítulos anteriores, y como alternativas a las notaciones individuales iniciales, simplemente indiciarias, que se indican entre paréntesis, resultan más expresivas las tres notaciones paramétricas más generales ( Γi ) ≡ Γφ ≡ Γ(ϑ ) ≡ Γ(γ ) , que suponen las siguientes equivalencias de las cónicas anteriores, TABLA V.I.2 PP ′ ≡ Γ0 ≡ Γ(1) ≡ Γ(3)

( Γ1 ) ≡ Γ2 ≡ Γ( −1) ≡ Γ( −1) ( Γ2 ) ≡ Γ1 ≡ Γ( 0) ≡ Γ(1) ( Γ3 ) ≡ Γ3 ≡ Γ( −2 ) ≡ Γ( −3) ( Γ4 ) ≡ Γ3 / 2 ≡ Γ( −1 / 2 ) ≡ Γ(0) ( Γ5 ) ≡ Γ−∞ ≡ Γ( ∞ ) ≡ Γ( ∞) . - 129 -

Finalizamos esta sección destacando que la consideración conjunta de las tres cónicas (C5 ) ≡ ( Γ5 ) , (C 4 ) y ( Γ4 ) permite la formulación paralela del siguiente teorema general, extraído, aunque independizado, del contexto de la geometría particular del triángulo ABC que venimos tratando. Las denominaciones de las cónicas C , C1, C2 en este enunciado, son ahora genéricas, y no guardan ninguna relación con sus homónimas de cónicas particulares en el estudio anterior del haz CP , P ′ . Además, puesto que se prescinde del triángulo base, y, por ello, también de la relación punto ↔ recta armónica asociada con relación a este triángulo, para mayor simplicidad de los cálculos, se utiliza un sistema de coordenadas de referencia, específico del propio enunciado, sin ninguna relación con el empleado en el estudio general en el texto. Teorema V.I.2.8: Se dan dos puntos P y P′ , y una cónica C no incidente con P y/o P′ . Las polares respectivas de P y P′ son r y r ′ . Se denominan los pares de puntos intersección de la cónica con las respectivas polares, ( R1 , R2 ) ≡ C . r y ( R1′ , R2′ ) ≡ C . r′ . Se denominan, asimismo, los pares de puntos intersección de cada par de tangentes desde P y P′ respectivamente con r ′ y r , ( S1′, S 2′ ) ≡ ( PR1 . r′ , PR2 . r′) y ( S1 , S2 ) ≡ ( P′R1′ . r , P′R2′ . r ) , y el punto intersección U ≡ r . r ′ . Se cumplen: a) Existe una segunda cónica C1 incidente con R1 , R2 , R1′, R2′ , tal que las polares respectivas de P y P′ son r ′ y r , es decir, que PR1′ y PR2′ son las tangentes por P , y P′R1 y P′R2 son las tangentes por P′ , a la cónica C1 . b) Existe una tercera cónica C2 incidente con S1 , S 2 , S1′, S 2′ , tal que las polares respectivas de P y P′ son r y r ′ , es decir, que P1S1′ y PS 2′ son las tangentes por P , y P′S1 y P′S 2 son las tangentes por P′ , a la cónica C2 . c) La recta PP′ es la polar común del punto U respecto de C , C1 y C2 . PP′ y U son un lado y el vértice opuesto en ambos triángulos diagonales de los cuadriláteros definidos por las intersecciones C .C1 y C.C2 . d) Los lados opuestos que se cortan en U , de los dos cuadriláteros definidos por las intersecciones C .C1 , esto es, C ∩ ( r ∪ r′) ≡ ( R1 , R2 ) ∪ ( R1′, R2′ ) , y por las intersecciones C.C2 , forman una cuaterna armónica. e) Las cónicas C1 y C2 son polares recíprocas respecto de la cónica C . Utilizamos un sistema de coordenadas triangulares homogéneas, cuyos lados del triángulo de referencia son las rectas r, r ′ y PP′ , de ecuaciones PP′ ≡ X = 0

r ≡Y =0 r′ ≡ Z = 0 . Los dos puntos P y P′ se definen por las respectivas intersecciones P ≡ {X = 0 ∩ Z − m1Y = 0} P′ ≡ {X = 0 ∩ Y − m2 Z = 0}, y la ecuación de la cónica C , cumpliéndose las condiciones indicadas C ≡ X 2 − λ ( m1Y 2 + m2 Z 2 − 2YZ ) = 0 . Las ecuaciones de las cónicas C1 y C2 resultan igualmente

C1 ≡ X 2 − λ ( m1Y 2 + m2 Z 2 − 2m1m2YZ ) = 0 C2 ≡ X 2 − λ ( m2−1Y 2 + m1−1Z 2 − 2YZ ) = 0 , y la comprobación de las propiedades enunciadas, a partir de estas ecuaciones, no presenta ninguna dificultad. - 130 -

Una característica singular de este teorema es su condición unificadora de ambos planteamientos tangencial y puntual, esto es, el cumplimiento simultáneo de las dos alternativas correlativas duales, como lo son también, por ejemplo, las propiedades de la cónica (Γ5 ) ≡ (C5 ) y/o del triángulo autopolar común UU 1U 2 ≡ ρρ1ρ 2 , a las que nos referimos en la sección V.I.3, a continuación. Se anticipan aquí las notaciones, ρ , ρ1, ρ 2 , de los tres lados de este triángulo, a reserva de su definición geométrica concreta, señalando que se ha tenido en cuenta el mismo sentido dextrorsum en las dos denominaciones alternativas anteriores del triángulo, puntual y lineal. V.I.3.- EL TRIÁNGULO AUTOCONJUGADO DEL HAZ Γr , r ′ Establecemos, en primer término, una propiedad característica de la cónica ( Γ5 ) ≡ Γ(∞) , cuya designación sucesiva se hará utilizando ya la notación paramétrica Γ(∞ ) . Considerando, al efecto, la forma cuadrática de la ecuación de Γ(∞ ) en las tres coordenadas tangenciales U ,V ,W , Γ(∞) es también tangente a las tres rectas armónicas asociadas de una tangente cualquiera, esto es, a las tres rectas de ecuaciones resultantes del cambio de signo del coeficiente numérico de una de las tres coordenadas en la ecuación de Γ(∞ ) . Nos referimos, a continuación, a un triángulo particular que es autoconjugado con relación a todas las cónicas del haz Γr , r ′ , que denominamos triángulo autoconjugado de Γr , r ′ .

Proposición V.I.3.1: Designando por ρ la recta PP′ y U el punto de intersección de r y r ′ (es obvia la no confusión de esta denominación puntual con la denominación análoga U de la primera coordenada genérica tangencial) : 1) La recta ρ es un lado del triángulo autoconjugado en Γr , r ′ , esto es, los polos de ρ con relación a todas las cónicas del haz Γr , r ′ son coincidentes. 2) U es el vértice opuesto a ρ en el triángulo autoconjugado, es decir, el polo de ρ respecto de cualquier cónica del haz Γr , r ′ . 3) U es el punto común de intersección de las polares de P y/o P′ con relación a las cónicas de Γr , r ′ . La recta ρ ≡ PP′ tiene coordenadas 1 1 1 1 1 1 , , ) , (V.I.3.1) − − − vw′ v′w wu′ w′u uv′ vu′ y la ecuación del polo común de la recta ρ en el haz Γr , r ′ , que llamamos U * en esta expresión para mayor claridad expositiva, eludiendo así cualquier posible confusión con la misma representación de la primera coordenada genérica tangencial

ρ ≡(

U * ≡ ( vw′ − wv′)U + ( wu′ − uw′)V + (uv′ − vu′)W = 0 . (V.1.3.2) Si t1 , t 2 (resp. t1′, t 2′ ) son las tangentes comunes por P (resp. P′ ) a las cónicas del haz Γr , r ′ ,

ρ ≡ (t1.t2 )(t1′.t2′ ) es una diagonal del cuadrilátero de lados t1 , t2 , t1′, t2′ y U es el vértice opuesto a ρ en el triángulo diagonal del mismo. Consideremos la involución en el haz de rectas de vértice U , inducida por el haz de cónicas Γr , r ′ , que es correlativa de la involución puntual definida en PP′ por el haz de cónicas CP , P ′ . La condición involutiva del primero implica que las dos tangentes por U a las cónicas del haz Γr , r ′ son rectas homólogas en la involución definida por dos pares así determinados, por ejem-

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plo, en concreto, por el par ( r, r ′) y el par (UP,UP ′) . Las rectas dobles de esta involución son las dos diagonales del cuadrilátero de lados t1 , t 2 , t1′, t 2′ distintas de ρ , es decir, ρ1 ≡ (t1.t1′ )(t 2 .t 2′ ) , ρ 2 ≡ (t1.t2′ )(t2 .t1′ ) , que son obviamente coincidentes con las rectas que proyectan desde U los puntos dobles de la involucion puntual subordinada sobre la recta ρ ≡ PP′ por CP , P ′ . El triángulo de lados ρ , ρ1 , ρ 2 es así coincidente con el triángulo de vértices U ,U 1 ,U 2 en el estudio puntual, y es, por tanto, el triángulo autopolar común de los dos haces tangencial, Γr , r ′ , y puntual, CP , P ′ .

Corolario V.I.3.2.- La recta PP′ es la polar común de U respecto de una cónica de CP , P ′ y una cónica de Γr , r ′ , que son bitangentes en los dos puntos comunes de intersección con PP′ . Las dos tangentes comunes desde U y las dos intersecciones comunes con la recta PP′ son pares homólogos y coincidentes en las respectivas involuciones lineal, inducida en el vértice U por el haz Γr , r ′ , y puntual, inducida sobre la recta PP′ por el haz CP , P ′ . Esta correspondencia biunívoca entre ambas cónicas de cada haz, tangencial y puntual, será definida más adelante con mayor precisión, estableciendo una relación formal entre los respectivos parámetros, que, en este caso, tiene validez general para cualquier par de cónicas bitangentes asociadas, a diferencia de la relación entre pares concretos de dos cónicas correlativas mencionada en la sección V.I.2. Como indicábamos en las conclusiones de la Proposición V.I.2.5, esta segunda relación la precisaremos en el Subcapítulo V.II, únicamente, en algunos casos determinados. Son, también, propiedades paralelas:

Proposición V.I.3.2: Si τ 1 ,τ 2 son rectas por U , separadas armónicamente por ρ1 y ρ 2 , existe una cónica Γ(τ 1 ,τ 2 ) en Γr , r ′ , Γr , r ′ ,tangente a τ 1 y τ 2 . Proposición V.I.3.3: Si τ 1 y τ 2 son homólogas en la involución de vértice U y rectas dobles ρ1 y ρ 2 , existe una cónica en Γr , r ′ tal que τ 1 es la polar de P y τ 2 es la polar de P′ . Proposición V.I.3.4: Dos cónicas autoduplicadas Γ(γ ) y Γ(γ ′) en Γr , r ′ , tales que intercambian las polares de P y P′ , están relacionadas por la condición involutiva γγ ′ = κ . Existe además una tercera cónica del haz, Γ(ε ) , tangente a dichas polares. Las dos primeras cónicas, que satisfacen la relación indicada, las denominaremos homólogas. La relación entre los parámetros ε y γ o γ ′ , indistintamente, tiene la siguiente expresión análoga al caso puntual, − 3γ 2 + 2κγ − 3κ . ε= γ 2 − 6γ + κ Proposición V.I.3.5: Si r1 , r2 , r3 , r4 son cuatro rectas concurrentes en U , y γ 1 , γ 2 , γ 3 , γ 4 parámetros tales que ri es la polar de P (resp. P′ ) con relación a la cónica Γ(δ i ) , la razón doble de r1 , r2 , r3 , r4 es igual a la razón doble de γ 1 , γ 2 , γ 3 , γ 4 . Proposición V.I.3.6: Las cuatro tangentes por el punto U a dos cónicas homólogas, forman una cuaterna armónica. Consideramos, a continuación, la transformación cuadrática involutiva Τr , r ′ , que transforma mutuamente las rectas r y r ′ , que tiene ecuaciones UU ′ VV ′ WW ′ = = , uu ′ vv ′ ww′ - 132 -

correlativa de la transformación cuadrática puntual TP , P ′ , y aquí sí que las respectivas ecuaciones de TP , P ′ y Τr , r ′ se pueden hacer corresponder en la transformación (V.I.1). Las rectas dobles de Τr , r ′ , que llamamos d1, d 2 , d 3 , d 4 , cumplen las relaciones U2 V2 W2 = = . uu ′ v v ′ w w ′ Las propiedades generales de TP , P ′ , analizadas in extenso en [1],3,pp.145-148, resultan aplicables a Τr , r ′ , nuevamente, mediante la conversión mutatis mutandis de los términos punto/recta. Refiriéndonos de nuevo al haz tangencial Γr , r ′ , y considerando, en particular, la cónica conjugada Γ5 , se obtienen,

Proposición V.I.3.7: El polo de una recta m respecto de Γ5 es el punto armónico asociado de Τr , r ′ ( m) en el triángulo ABC . En particular, el polo de cualquier recta d1, d 2 , d 3 , d 4 , con relación a Γ(∞) es el punto armónico asociado de la misma en el triángulo ABC . Asimismo, puesto que Τr , r ′ intercambia las rectas r y r ′ ,

Proposición V.I.3.8: La imagen de U en Τr , r ′ es la cónica Γk tangente a las rectas BC,CA,AB,r y r ′ , considerada en V.I.2.2 y V.I.2.3. Resulta oportuno destacar, al respecto, que la transformada de la ecuación lineal representativa de un punto en las coordenadas tangenciales, es una ecuación de segundo grado que representa una cónica. Proposición V.I.3.9: Sean k1,k2,k3 las polares de los vértices A, B, C respecto de la cónica Γ(1) , en V.I.2.4a). a) Los tres puntos BC.k1, CA.k2, AB.k3 están alineados en una recta k, tal que k,k1,k2,k3 forman un cuadrilátero de rectas armónicamente asociadas respecto al triángulo ABC , esto es, A, B y C son los puntos diagonales del cuadrilátero. b) Existe una cónica ( Γ6 ) en Γr , r ′ tangente a k1, k2 y k3. Las rectas k,k1,k2,k3 son invariantes en la duplicación. La recta k es la correlativa del punto K, que representa un elemento importante en la geometría del triángulo, en cuanto a generalización del punto de Lemoine. Un ejemplo concreto de una propiedad de k, correlativa a la propiedad de K en [1],3.8,p.149, se expresa, Corolario V.I.3.10: La cónica Γ(1) , tangente a BC , CA, AB , es la envolvente de las rectas armónicas asociadas de los puntos de k en el triángulo ABC .

V.I.4.- CASOS ESPECIALES Se analizan aquí los casos asociados a cónicas descompuestas del haz tangencial Γr , r ′ , que pueden considerarse degenerados, que corresponden a los análogos del haz CP , P ′ en el esquema puntual, estudiados en [1].4,pp.149-158, del haz CP , P ′ , y consideramos finalmente, también, el caso no degenerado, r ≡ r′ . - 133 -

Caso 1: κ = 9 Proposición V.I.4.1: Si el punto U y la línea PP′ son incidentes, esto es, si las tres rectas r, r ′ y PP′ son concurrentes, todas las cónicas en Γr , r ′ pasan por U y tienen a PP′ como tangente común en U . El caso se identifica, pues, con el correspondiente al estudio puntual, que fue representado en [1], FIG.2,p.152, y exige el cumplimiento de la misma condición necesaria allí determinada, k = 9 . Se tiene, en efecto, sustituyendo las coordenadas (V.I.3.1) de ρ en la ecuación (V.I.3.2) de U uu′( vw′ − wv′)2 + vv′( wu′ − uw′) 2 + ww′(uv′ − vu′) 2 = 0 , o bien, la expresión equivalente  u v w   u′ v′ w′   uu′vv′ww′ + +   + +  − 9 = 0 ,  u′ v′ w′   u v w   que es la condición indicada k = 9 . Este mismo valor se cumple, como sabemos, con r ≡ r ′ , que puede considerarse, en sentido lato, un subcaso del aquí analizado. Las cónicas del haz Γr , r ′ están inscritas en el triángulo cuyos lados son PP′ , con el que tienen el punto de contacto común U , y las segundas tangentes desde cada punto P y P′ a una cualquiera de ellas. Suponiendo ρ ≡ t1 ≡ t1′ , el cuadrilátero circunscrito a las cónicas en Γr , r ′ se reduce al triángulo de lados ρ , t 2 , t 2′ , y el triángulo de lados las diagonales del cuadrilátero, ρ , ρ1 , ρ 2 , tiene lados ρ ≡ ρ 2 y ρ1 . Se cumplen también las propiedades correlativas de las deducidas del haz CP , P ′ , en concreto: La cónica Γ( −3) ≡ ( Γ3 ) , que es tangente a las rectas r y r ′ , se descompone en el producto de los puntos U y t2 .t 2′ , que son los dos vértices distintos del triángulo autoconjugado, situados en la recta ρ1 . Y los siguientes pares de puntos y rectas armónicamente asociados en el triángulo ABC : - El vértice t2 .t 2′ y la recta PP ′ ≡ ρ . - El punto U y la recta imagen de PP′ en Τr , r ′ , que llamamos ρ ′ . - El polo de ρ1 respecto de cualquier cónica en Γr , r ′ y la recta v , homóloga de V . - El punto ρ . k y la recta w , homóloga de W . Proposición V.I.4.2: Son ternas de rectas/puntos concurrentes/ alineados: - La recta k y las dos tangentes comunes a las cónicas en Γr , r ′ , t 2 y t 2′ . - Las rectas ρ , ρ ′ y w en el polo de ρ1 respecto de cualquier cónica en Γr , r ′ . - Las rectas ρ ′, k y w . - Las rectas ρ1 , v y w . - Los puntos r.t 2 , r′.t 2′ y w . Proposición V.1.4.3: La cónica Γk , tangente a BC , CA, AB y a r, r ′ , es tangente también a las rectas ρ ′, v y w . El cuadrilátero circunscrito, de lados r, r ′, ρ ′, v es armónico. Γk es la imagen de la recta PP ′ ≡ ρ en la transformación cuadrática correlativa de Poncelet T ′ , que transforma mutuamente la recta y el punto armónicamente asociados en el triángulo ABC . Proposición V.I.4.4: La recta w es tangente a la cónica Γ2 , de modo que BC , CA, AB y w son las cuatro tangentes comunes a las cónicas Γ(1) y Γk . El punto de contacto de w con Γ(1) es su intersección con la recta ρ1 .

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Caso 2: κ 2 = κ = 0 Como se indicaba en [1],p.153, existe una relación intrínseca entre el caso anterior, al que corresponde el valor k = 9 , sin embargo, no unívocamente, y el caso relativo al valor k = 0 . Esta relación, en el análisis correlativo que hacemos aquí, estaría asociada a la sustitución del par de rectas básicas r, r ′ , por las rectas ρ , ρ ′ . Las rectas k, relativas a uno u otro par, son coincidentes, y lo son también las cónicas respectivas que hemos denominado Γ(1) en las dos generaciones distintas. Limitándonos a la selección natural de las rectas r, r ′ , es decir de rectas no coincidentes, se cumplen las propiedades siguientes: Proposición V.I.4.5: Si una de las rectas básicas, ej. r ′ , pasa por el punto armónico asociado de la segunda r , o sea P , todas las cónicas en Γr , r ′ son tangentes a r ′ en P , y, por ello,

t1 ≡ t 2 ≡ r′ . La condición impuesta se expresa u ′ v ′ w′ + + = 0, u v w cumpliéndose, por tanto, κ 2 = 0 , y también κ = k = 0 . Este caso dual, se identifica, así pues, de nuevo, con el correspondiente al estudio puntual, como fue representado en [1], FIG.3,p.153. Proposición V.I.4.6: Las dos diagonales ρ1 y ρ 2 coinciden con r ′ , mientras la tercera diagonal, ρ , es, como en el caso general, la polar de U respecto de una cónica cualquiera de Γr , r ′ .

Proposición V.I.4.7: Designamos por h1 y h2 a las rectas armónicas asociadas de las respectivas intersecciones de r ′ con las tangentes comunes desde P′ , t1′ y t 2′ : h1 y h2 son incidentes con P , y, por ello, h1 , h2 , r′ y π son concurrentes. Proposición V.I.4.8: Las rectas h1 y h2 son homólogas en la transformación Τr , r ′ , y la transformada del haz de vértice P en Τr , r ′ es una cónica, ∆ k , tangente a BC , CA, AB , r y h1 y h2 , que es la análoga a la cónica Γk , si se cambia el par de rectas básicas inicial r, r ′ , por el par ρ , ρ ′ . Además, Proposición V.I.4.9: La cónica ∆ k es la imagen de r ′ en la transformación cuadrática de Poncelet, considerada en el Lema II.4.3, que tiene como homólogos cada punto y recta armónicos asociados en el triángulo ABC . Corolario V.I.4.10: Son también otras consecuencias paralelas a las resultantes en el caso κ = 9, a) La recta armónica asociada de U , que es la homóloga de v en 3.1, es la imagen de PP′ en Τr , r ′ . b) La recta k es invariante en el cambio del par de rectas básicas r, r ′ por el par h1 , h2 , y es incidente con P′ . Corolario V.I.4.11: Sea s la recta armónica asociada de la intersección k.r´, esto es la homóloga de la recta w en 3.1. Los tres puntos U , h1.t1′ y h2 .t 2′ pertenecen a s . La recta s es tangente a la cónica ∆ k , y su punto de contacto es s.PP ′ . Corolario V.I.4.12: Las cónicas Γ(1) correspondientes a cada elección de las dos rectas básicas, r, r ′ y/o h1 , h2 , coinciden, y las dos cónicas Γ(1) y ∆ k tienen las cuatro tangentes comunes BC , CA, AB y s . Corolario V.I.4.13: Las rectas ρ , t , s , así como las rectas ρ , r , k, son ternas de rectas concurrentes. - 135 -

Caso 3: κ = ∞ La condición inicial impuesta de que las rectas r, r ′ no son incidentes con un vértice del triángulo ABC , no se cumple en el caso especial en que una de las dos rectas básicas, por ejemplo r ′ , coincide con el lado BC , que puede considerarse una situación límite con u′ → ∞ , siendo también su punto armónico asociado, P′ , un punto límite, de ecuación V W + = 0. v ′ w′ En este supuesto r ′ ≡ BC , se cumple también κ 2 = κ = ∞ . Proposición V.I.4.14: Si r′ ≡ BC , todas las cónicas del haz Γr , r ′ son tangentes a r ′ en P′ . Una situación aún más degenerada, sería, Proposición V.I.4.15: Si r′ ≡ BC y r pasa por P′ , todas las cónicas en Γr , r ′ se descomponen en el producto de P′ y un punto situado en la recta AP .

Caso 4: r=r´ Consideramos, finalmente, el caso en que coinciden las rectas r y r ′ , lo que supone también la identificación de los puntos P y P′ . Se verifica, de nuevo, la relación κ = 9 , por lo que se trata, realmente, de un subcaso del caso primero más general. Proposición V.I.4.16: Si r ≡ r′ , la cónica Γ( −1) es tangente a AQa , BQb , CQc en A, B y C respectivamente. La recta r es la polar de P respecto de cualquier cónica en Γr , r ′ . Si r es real, las tangentes comunes desde el punto P , t1 y t 2 , son, necesariamente, imaginarias. La cónica ( Γ3 ) ≡ Γ( −3) , que tendría una tangente doble r , se descompone en el producto de los dos puntos imaginarios que son las intersecciones comunes de las cónicas en Γr , r ′ , con r . Todas las cónicas en Γr , r ′ son bitangentes en los puntos de contacto con la polar r de P . Ello supone que los dos haces CP , P ′ y Γr , r ′ son coincidentes, es decir, cualquier cónica de uno de ellos es asimismo una cónica del otro. Las rectas ρ , ρ1 , ρ 2 , que son los lados del triángulo diagonal, no tienen ahora sentido. Sin embargo puede establecerse una analogía, identificando ρ1 con r y ρ con t1 o t 2 , con lo cual nos situamos en la situación equivalente a la del caso 1 anterior. Las observaciones anteriores son especialmente significativas en operaciones correlativas, que transforman un elemento del primero en un elemento del segundo, como es, en particular, la transformación polar estudiada en I.3. La recta ρ1 sería la recta armónica asociada del punto de intersección de la tangente elegida con r . Corolario V.I.4.17: La cónica imaginaria tangente a BC , CA, AB y r , cuyo punto de contacto con r es el armónico asociado de ρ1 , es tangente a ρ1 en P .

V.I.5.- TRIPLE GEOMETRÍA CORRELATIVA DUAL DEL TRIÁNGULO Las propiedades de la triple geometría dual estudiadas en el Capítulo III, tienen sus correspondientes correlativas, que resumimos de forma no exhaustiva:

Proposición V.I.5.1: a) Existen otros dos pares de rectas, ( r1 , r1′) y ( r2 , r2′) , respectivamente incidentes con los vértices U 1 ,U 2 del triángulo autopolar común, que generan el mismo haz tan-

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gencial Γr , r ′ asociado al primer par básico ( r, r ′) , éste formado las dos rectas concurrentes en U. b) Las dos rectas generatrices incidentes con U 1 (resp. U 2 ) son r1 ≡ R1R1′ y r1′ ≡ R2 R2′ (resp. r2 ≡ R1R2′ y r2′ ≡ R2 R1′ ). c) Las rectas r2 , r2′, r1′, r1 son las respectivas armónicas asociadas de los puntos Ρ1 , Ρ1′, Ρ2 , Ρ2′ con relación al triángulo ABC . Las correspondencias establecidas en las aserciones b) y c) se comprueban directamente en la (FIG.2) en la Sección III.3, sin más que contrastar las correspondencias análogas de los dos puntos básicos P y P′ con las rectas r y r ′ , y como consecuencia del comportamiento simétrico de los pares ( P, P′), ( Ρ1 , Ρ1′), ( Ρ2 , Ρ2′ ) con relación a las cuatro intersecciones comunes de las cónicas del haz CP , P ′ en las tres generaciones alternativas, esto es, los puntos R1 , R2 , R1′, R2′ . Se deduce, asimismo, que las rectas armónicas asociadas a cada punto Ρ1 , Ρ1′, Ρ2 , Ρ2′ , ya definidas, representan también, además, sus respectivos elementos correlativos. Como hemos anticipado en la Sección V.1, esta (FIG.2) es así igualmente representativa en el contexto correlativo objeto de este Capítulo, y tiene, por tanto, una doble significación paralela en los dos planteamientos tangencial y puntual y participa, en consecuencia, como la anterior (FIG.1) en la Sección II.1, de la misma significación dupla en las dos posibles interpretaciones correlativas. Nos interesa ahora definir las cuatro rectas correlativas de los puntos R1 , R2 , R1′, R2′ , que, como veremos, a continuación, se integran igualmente en la misma figura. En primer lugar, como indicábamos en el Capítulo III, la identificación de los haces de cónicas en las tres generaciones distintas debe considerarse de forma global, aunque podemos destacar miembros individuales que son invariantes, cuya condición definitoria en el haz no está directamente relacionada con cada uno de los pares de rectas generatrices, entre los que mencionamos en concreto,

Proposición V.I.5.2: La cónica autoconjugada Γ∞ es común en las tres definiciones del haz tangencial C P , P ′ , C℘1 ,℘′1 , C℘2 ,℘′2 . Es consecuencia de la correspondencia de cada par de rectas homólogas en la transformación Tr , r ′ . Proposición V.I.5.3: Las cónicas Γ1 , inscrita en el triángulo de referencia, y las cónicas ( Γ6 ) tangente a las rectas k1,k2,k3 y ( Γ7 ) , tangente a la recta armónica asociada del punto K, son invariantes en las tres generaciones alternativas del haz Γr , r ′ . Son las propiedades correlativas de la invariancia de las cónicas C1 , (C6 ) y (C7 ) en el esquema puntual, comentadas en la sección III.3. La Proposición V.I.5.2, teniendo en cuenta la definición inicial de la cónica C∞ ≡ Γ∞ en II.2.5(b, como la cónica de CP , P ′ tal que las respectivas polares de P y P′ son r ′ y r , identifica a las rectas PR1′, PR2′ y P′R1 , P′R2 como las cuatro tangentes comunes a todas las cónicas del haz tangencial Γ∞ . Además, puesto que existen otras dos generaciones alternativas del mismo haz, a partir de los pares (Ρ1 , Ρ1′) y (Ρ2 , Ρ2′ ) , cada una de las cuatro tangentes anteriores comunes es incidente con uno de los puntos básicos de cada uno de estos pares, que son las in- 137 -

tersecciones de la tangente con los otros dos lados del triángulo autopolar común UU 1U 2 no incidentes con el primer punto básico, P o P′ , incidente con dicha tangente. Se confirma así, nuevamente, la disposición de la (FIG.2), y, en particular, las alineaciones justificadas en el teorema III.8.2(b, en una demostración inversa de la allí efectuada. Se obtienen, en definitiva, las siguientes definiciones de las cuatro tangentes comunes,

TABLA V.I.3 (FIGS.2 y 13) t1 ≡ PR1′ ≡ Ρ1R1′ ≡ Ρ2 R1′ t 2 ≡ PR2′ ≡ Ρ1′R2′ ≡ Ρ2′R2′

t1′ ≡ P′R1 ≡ Ρ1′R1 ≡ Ρ2 R1 t 2′ ≡ P′R2 ≡ Ρ1R2 ≡ Ρ2′R2 , y las correspondencias correlativas entre las dos cuaternas de puntos R1 , R2 , R1′, R2′ y de rectas t1 , t 2 , t1′, t 2′ , son ya inmediatas, pues, por ejemplo, la recta correlativa de R1 es incidente con el punto correlativo de P′Ρ1′ , esto es, R1′R2′ ∩ R2 R1′ ≡ R1′ , y con el punto correlativo de r , o sea P . En suma, la recta PR1′ ≡ t1 . La deducción aplicada sería análoga para los otros tres pares.

(FIG.13) En la (FIG.13) se reproduce y complementa la misma (FIG.2) en III.1, que, como dijimos, puede ser contemplada, indistintamente, desde ambos puntos de vista tangencial o puntual, con inclusión de las nuevas notaciones aplicadas a los anteriores elementos correlativos y con la representación adicional de los tres pares de puntos (Q, Q′), (Q1 , Q1′), (Q2 , Q2′ ) , que son las respectivas intersecciones de los tres pares de rectas armónicas asociadas ( r, r′), ( r1 , r1′), ( r2 , r2′) con el lado correspondiente del triángulo autopolar, U 1U 2 ,U 2U ,UU 1 , o también ρ , ρ1, ρ 2 . Asimismo, la TABLA V.I.4 que figura más adelante en esta Sección es una recopilación integral de las distintas correspondencias correlativas en la (FIG.13), complementaria de la TABLA - 138 -

V.I.1 incluída anteriormente en la Sección V.1, referida allí a la (FIG.1), quedando completadas así todas las relaciones fundamentales del esquema duplo correlativo que hemos venido analizando en este Capítulo. La identificación del valor común ρ de las razones dobles de las cuaternas puntuales y lineales en las dos últimas filas, que tienen correspondencia correlativa, se prueba directamente, también, proyectando, por ejemplo, la cuaterna de puntos ( P, P1 , P2 , R2′ ) desde U 2 sobre la recta UU 1 , que da la cuaterna (U 1 , P1 , U , Q2′ ) ; y, a continuación, haciendo la intersección del hazcuaterna de rectas ( r1′, t 2 , r ′, r2 ) de vértice R2′ , con la misma recta UU 1 , obteniéndose la cuaterna (U 1 , P1′, U , Q2 ) . La siguiente igualdad de las dos razones dobles (U 1 , U ; P1 , Q2′ ) = (U 1 , U ; P1′, Q2 ) , es inmediata, teniendo además en cuenta que se cumplen las dos razones armónicas (U 1 , U ; P1 , P1′) = (U 1 , U ; Q2′ , Q2 ) = −1 , y considerando, además, la igualdad ( r1′, r ′; t 2 , r2 ) R2′ = ( r ′, r1′; r2 , t 2 ) R2′ . .

TABLA V.I.4 (FIG.13) U , U1 , U 2 ⇔ U1U 2 , U 2U , UU 1 P, P ′ ⇔ r, r ′ ; Ρ1 , Ρ1′ ⇔ r2 , r2′ ; Ρ2 , Ρ2′ ⇔ r1 , r1′

PP ′ ≡ ρ ⇔ r . r ′ ≡ U ; Ρ1Ρ1′ ≡ ρ1 ⇔ r2 . r2′ ≡ U 2 ; Ρ2 Ρ2′ ≡ ρ 2 ⇔ r1 . r1′ ≡ U 1 Q ≡ PP ′. r , Q ′ ≡ PP′. r ′ ⇔ UP, UP ′ Q1 ≡ Ρ2 Ρ2′ . r1 , Q1′ ≡ Ρ2 Ρ2′ . r1′ ⇔ U1Ρ2 , U1Ρ2′ Q2 ≡ Ρ1Ρ1′. r2 , Q2′ ≡ Ρ1Ρ1′. r2′ ⇔ U 2 Ρ1 , U 2 Ρ1′ ( P, P′;U1 , U 2 ) = −1 ⇔ U (Q, Q ′;U 2 , U1 ) = −1 ( Ρ1 , Ρ1′;U , U1 ) = −1 ⇔ U 2 (Q2 , Q2′ ;U 1 , U ) = −1 ( Ρ2 , Ρ2′ ;U 2 , U ) = −1 ⇔ U 1 (Q1 , Q1′;U , U 2 ) = −1 (Q, Q ′;U1 , U 2 ) = −1 ⇔ U ( P, P ′;U 2 , U1 ) = −1 (Q1 , Q1′;U 2 , U ) = −1 ⇔ U1 ( Ρ2 , Ρ2′ ;U , U 2 ) = −1 (Q2 , Q2′ );U , U 1 ) = −1 ⇔ U 2 ( Ρ1 , Ρ1′;U1 , U ) = −1 R1 ⇔ t1 ; R2 ⇔ t2 ; R1′ ⇔ t1′ : R2′ ⇔ t 2′

ρ = ( P, Ρ2 ; Ρ1 , R1′ ) t1 = ( P, P2′; P1′, R2 ) = ( P′, P2 ; P1′, R1 ) = ( P ′, P2′; P1 , R2 ) ⇔ ⇔ ρ = ( r, r1 ; r2 , t1′ ) R1 = ( r, r1′; r2′, t2′ ) R2 = ( r ′, r1 ; r2′, t1 ) R1′ = ( r ′, r1′; r2 , t 2 ) R2′ Hacemos observar finalmente que las propiedades analizadas en el caso y subcaso correspondientes al valor particular k = 1 en la sección III.3, al que corresponde el valor ρ = −1 , tienen sus correlativas paralelas en el plano tangencial, como evidencia, simplemente, la inspección directa de las FIGS. 4 y 5, que, de manera análoga a lo indicado en relación con la (FIG.1) y (FIG.2), son igualmente expresivas en los dos planteamientos tangencial y puntual.

V.I.6.- EL HAZ TANGENCIAL CORRELATIVO DE CGH La elección particular del centroide y el ortocentro del triángulo de referencia como los dos puntos básicos en la Ref.[1], y a la que se ha dedicado el Capítulo IV, relativo al estudio de un n-simplex multidimensional ortocéntrico, centra el estudio dual en el campo de la geometría clásica del triángulo, pues supone la identificación de elementos genéricos del estudio generali- 139 -

zado en las secciones V.I.1 a V.I.4, con puntos y líneas que participan de propiedades conocidas de la geometría tradicional. Así la línea GH es la recta de Euler, el haz CGH es un haz de circunferencias cuyo eje radical común es la recta armónica asociada del ortocentro que se denomina eje órtico. Las principales circunferencias de la geometría triangular, como son la circunferencia circunscrita y la circunferencia de Euler son miembros del haz CGH . Son también miembros de CGH la circunferencia de diámetro GH , y la circunferencia de centro G, con respecto a la cual existe la correspondencia polar entre ortocentro y eje órtico, y que se identifica también con el círculo de Monge de la segunda elipse de Steiner del triángulo ([1],p.139). Es también interesante la consideración de los elementos análogos en el contexto correlativo dual. Las dos rectas básicas son la recta impropia, para la que empleamos cualquiera de las notaciones rG ≡ r∞ , y el eje órtico, con la notación rH . El haz ΓrG , rH es un haz de cónicas que comparten las tangentes comunes incidentes con los puntos G y H, y tienen el eje común GH . Una cónica singular es la que hemos llamado cónica conjugada, C∞ ≡ Γ∞ , que es el único miembro común de ambos haces CGH y ΓrG , rH , que, en ambas elecciones particulares, es la circunferencia de centro H , definida, además, por ser el triángulo ABC , un triángulo autopolar con relación a la misma. Las tangentes comunes del haz son las tangentes desde G y H al círculo C∞ . En particular, tienen una significación especial en el contexto métrico más clásico, aunque obviamente su significación proyectiva sea indiferente, las tangentes desde el ortocentro H, que son las rectas cíclicas del plano incidentes con H. Ello supone la propiedad compartida por las cónicas del haz ΓrG , rH , de que el punto H es un foco común y abre camino para la identificación más precisa de la correspondencia entre diversos pares de cónicas bitangentes y, en este caso, concéntricas, pertenecientes cada una a un haz, CG , H y ΓrG , rH , como ha sido descrita en el corolario V.I.3.2, y para la determinación de otras propiedades más específicas. Podemos citar, por ejemplo, sin propósito de enumeración exhaustiva, representando las cónicas de ambos haces en la misma notación paramétrica Γφ , Cϕ :

Proposición V.I.6.1.- Refiriéndonos a la cónica ( Γ1 ) ≡ Γ2 y teniendo en cuenta las dos proposiciones V.I.2.1 y V.I.2.2, los seis piés de las perpendiculares desde el ortocentro H sobre las rectas AQa , BQb , CQc , AQa′ , BQb′ , CQc′ están en una circunferencia. El centro de Γ2 es el centro de esta circunferencia y su radio es el semieje principal de Γ2 . La misma circunferencia es el lugar de los piés de las perpendiculares desde H sobre las polares de P respecto de las cónicas tangentes a BC , CA, AB y rH , y también el lugar de los piés de las perpendiculares desde H a las polares de P′ respecto de las cónicas tangentes a BC , CA, AB y r∞ , constituyendo estas últimas, un haz tangencial de parábolas. Por otro lado, esta circunferencia tiene una definición más concreta. En efecto, las rectas AQa , BQb , CQc son ahora las respectivas paralelas por los vértices A, B y C a los lados opuestos BC , CA y AB , lo que la identifica con la circunferencia circunscrita, que es, simultáneamente, la circunferencia principal de la cónica Γ2 y la circunferencia C1 en CG , H . El segundo foco en el eje principal es el simétrico R de H respecto del circuncentro O (Ref.[8],3,p.159).

Proposición V.I.6.2.- Refiriéndonos a la cónica ( Γ2 ) ≡ Γ1 y teniendo en cuenta la proposición V.I.2.4a), el centro de Γ1 es el centro del círculo de Euler del triángulo ABC , el semieje princi- 140 -

pal de Γ1 es el radio de este círculo, es decir la mitad del radio del círculo circunscrito, y el segundo foco es el simétrico de H respecto del centro del círculo de Euler, que coincide con el circuncentro del triángulo ABC . En este caso, la circunferencia principal de la cónica Γ1 coincide con la circunferencia C2 en CG , H . Las cónicas Γ2 y Γ1 , mantienen entre sí la misma relación homotética inversa que las circunferencias C1 y C 2 , de centro de homotecia G y razón − 1 / 2 , en el orden alternado, que se indica, de los respectivos subíndices.

Proposición V.I.6.3.- Refiriéndonos a la cónica ( Γ3 ) ≡ Γ3 y teniendo en cuenta la proposición V.I.2.4b), Γ3 es una parábola de foco H y tangente en el vértice, el eje órtico, lo que supone la determinación completa de la cónica. Los piés de las normales de H sobre las tangentes a Γ3 están en el eje órtico, cuya unión con la recta impropia, se identifica con el miembro C0 de CG , H . Proposición V.I.6.4.- Refiriéndonos a la cónica ( Γ4 ) ≡ Γ3 / 2 y teniendo en cuenta la proposición V.I.2.6, Γ3 / 2 es una cónica de centro G, y focos los puntos H y el simétrico de H respecto de G, que llamamos L . Asimismo, el eje órtico y la recta simétrica del eje órtico respecto de G son las respectivas directrices correspondientes a cada foco H y L. Con carácter general, existe, igualmente, una correspondencia doble biunívoca que relaciona cada cónica miembro en Γr∞ , rH , con un foco en H, con dos circunferencias miembros de ΓrG , rH : por un lado, la circunferencia correlativa dual, y, por otro, la circunferencia bitangente en los puntos de intersección con el eje común GH , que representa el círculo principal de la cónica. Para evitar redundancias, en las Secciones V.II.4 y V.II.5 del Subcapítulo V.II, a continuación, analizaremos la generalización de esta última propiedad en el espacio multidimensional, y concretaremos esta correspondencia formal mediante su oportuna definición parámetrica.

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V.II.- GEOMETRÍA CORRELATIVA DUAL MULTIDIMENSIONAL

V.II.1.- GENERALIDADES Y DEFINICIONES BÁSICAS La geometría dual correlativa plana definida en el subcapítulo anterior V.I, tiene también una generalización no completa en espacios de dimensiones superiores a dos, que supone la versión tangencial de la geometría multidimensional basada en el par de puntos básicos ( P, P ′) , estudiada en el Capítulo I. El sistema de referencia es el mismo N-simplex, aquí con la denominación Sr , que constituye la base de un sistema de coordenadas tangenciales homogéneas, y sus dos elementos fundamentales son los ( N − 1) -hiperplanos, r y r ′ , armónicos asociados de P y P′ , respecto de Sr , deducidos en el Capítulo I. En el sistema de coordenadas definido por Sr , los hiperplanos r, r ′ y los puntos P, P ′ tienen las expresiones algébricas r ≡ { u1 , u 2 ,..., u n } r ′ ≡ { u1′ , u2′ ,..., un′ }

P≡

U U1 U 2 + + ... + n = 0 u1 u2 un

U1 U 2 U + + ... + n = 0 , u1′ u2′ u n′ cumpliéndose, como sabemos, las relaciones ui xi = ui′xi′ = 1. Las propiedades paralelas se derivan ahora de la sustitución recíproca de los términos punto ↔ ( N − 1) -plano, aunque este aspecto fundamental requiera aquí una consideración multidimensional más detenida. Nos referimos con ello al establecimiento adecuado de la correspondencia de los elementos geométricos en uno y otro planteamiento, tangencial y puntual. En el plano, de dimensión 2, existe la relación única entre los elementos punto (dimensión 0) y recta (dimensión 1). En el espacio N-dimensional existen N − 1 correspondencias distintas entre cada elemento de dimensión h , en el sistema de referencia puntual, y el elemento correlativo, de dimensión N − 1 − h , en el sistema de referencia tangencial, para valores 0 ≤ h < N − 1 . Los elementos correlativos mencionados en segundo término son, pues, hiperplanos de dimensiones N − 1 − h , definidos por los N − h vértices no incluídos en el elemento puntual correspondiente, éste definido por h + 1 vértices, siendo ambos también elementos frontera de S P ≡ S r . Definimos asimismo la transformación cuadrática involutiva paralela Τr , r ′ , expresada en las P′ ≡

coordenadas tangenciales, que transforma r en r ′ , como correlativa de la transformación TP , P ′ , U 1U 1′ U 2U 2′ U U′ = = ... = n n , u1u1′ u2u2′ unun′ y los tres invariantes generalizados i =n u κ1 = ∑ i , i =1 ui′

ui′ , i =1 ui

i =n

κ2 = ∑

κ = κ 1 .κ 2 , - 142 -

cumpliéndose nuevamente las relaciones

κ 1 = k 2 ;κ 2 = k1 ;κ = k . V.II.2.- EL HAZ TANGENCIAL GENERALIZADO Γr , r ′ El resultado principal obtenido es ahora la existencia de un haz de N-cuádricas inscritas en dos N-conos de vértices P y P′ . Para la definición completa del haz basta la determinación de una N-cuádrica particular, además del par de puntos ( P, P′) . Se define, pues, el haz tangencial de N-cuádricas Γr , r ′ , como en el estudio anterior en el plano, por la expresión Γφ = Γ0 − φ Γ∞ , donde Γ0 ≡ P ∪ P′ , es decir, el miembro correlativo equivalente del producto C0 ≡ r ∪ r ′ en CP , P ′ , y Γ∞ es la N-cuádrica autoconjugada, que coincide con la N-cuádrica C∞ del haz puntual CP , P ′ , cuya ecuación tangencial tiene la forma i=n

U i2 Γ∞ ≡ ∑ = 0. i =1 ui ui′ La expresión en forma explícita de Γr , r ′ se escribe, por tanto,

 i =n Ui   i =n Ui   i = n U i2   = 0 .  ∑  .  ∑  − φ  ∑  i =1 ui   i =1 ui′   i =1 ui ui′  Los enunciados siguientes son propiedades paralelas de las establecidas en el Capítulo I, deducidas mediante simple trasposición de aquellas: Corolario V.2.2.1: Puesto que Γ0 y Γ∞ son autoduplicadas, lo es también cualquier miembro de Γr , r ′ asociado a un valor autoduplicado de φ .

Corolario V.II.2.2: La intersección Γr , r ′ ∩℘h es el haz tangencial de h-cuádricas generado por r ∩℘h y r′ ∩℘h en ℘h , que son (h − 1) -planos, con 1 ≤ h ≤ n − 1 . Las intersecciones con espacios ℘1 son involuciones puntuales, cuyos pares de puntos homólogos son las respectivas intersecciones de cada N-cuádrica en Γr , r ′ con la arista ℘1 . Naturalmente, para h = n − 1 , resulta el propio haz Γr , r ′ . La expresión del haz intersección resulta simplemente de la anulación de las coordenadas que no forman parte del espacio ℘h en la anterior expresión general.

Proposición V.II.2.3: Si rh ,σ ≡ r ∩℘h (σ ) , donde σ es un subconjunto de (h + 1) coordenadas tangenciales que definen un subespacio de dimensión N − h − 1 , ℘N − h −1 (σ ) , con 0 ≤ h ≤ n − 1 , los ( N − 1) -planos que son unión de las intersecciones de r (resp. r ′ ) con el subespacio complementario de dimensión h , ℘h , definido por las N − h coordenadas tangenciales restantes, asociados con todas las selecciones posibles de σ , son tangentes a una N-cuádrica en Γr , r ′ , correspondiente al valor φ = h + 1 , por tanto autoduplicada. Corolario V.II.2.4: Existen n N-cuádricas en Γr , r ′ , con la definición anterior indicada, que corresponden a los valores enteros del parámetro 1 ≤ φ ≤ n . Son, por ejemplo, otros miembros concretos de Γr , r ′ , además de Γ0 y Γ∞ , utilizadas en la formulación de la expresión general del haz Γφ : - 143 -

Haciendo φ = 1 ↔ h = 0 , se obtiene la ecuación de una N-cuádrica, Γ1 , tangente a los n (N-1)planos coordenados, que puede considerarse inscrita en Sr , dada por la ecuación i, j = n

∑UU i

i , j =1 i≠ j

j

 1 1   + = 0. uu  ′ ′ u u i j   i j

Esta N-cuádrica Γ1 en Γr , r ′ es, pues, la correlativa equivalente de C1 en CP , P ′ . Para φ = 2 ↔ h = 1 , resulta la N-cuádrica Γ2 , equivalente de C2 , que es tangente a los hiperplanos definidos por cada conjunto de n − 2 vértices y las intersecciones de r (resp. r ′ ) con la arista definida por los 2 vértices excluídos. Análogamente, para φ = n − 1 ↔ h = n − 2 se obtiene una N-cuádrica, Γn −1 , tangente a los hiperplanos definidos por cada conjunto de un vértice y las intersecciones de r (resp. r ′ ) con el ( N − 1) -plano definido por los otros n − 1 vértices, correlativa equivalente de Cn −1 . Además, hay un último miembro de la sucesión Γφ ,0 ≤ φ ≤ n , que corresponde a φ = n , que es una N-cuádrica tangente a los hiperplanos r y r ′ , correlativa equivalente de la N-cuádrica incidente con P y P′ en el esquema puntual. En este punto destacamos la correspondencia entre cada dos miembros de los haces Γr , r ′ y CP , P ′ , pertenecientes a las respectivas familias definidas por valores enteros iguales de los parámetros φ = ϕ = h + 1 , en el intervalo 1 ≤ ϕ ≤ n , considerados en esta sección. Debemos precisar que la N-cuádrica Ch +1 es incidente con las proyecciones de los puntos P y P′ sobre subespacios ℘h , y está directamente relacionada, por tanto, con la previa selección de todos los subespacios coordenados de dimensión h , en tanto que la cuádrica Γh +1 es tangente a ( N − 1) -planos definidos y relacionados, igualmente, con la previa selección de todos los subespacios de dimensión N − h − 1 , complementarios de los anteriores. ¡La igualdad de valores de los parámetros φ ,ϕ no implica, por supuesto, que las ecuaciones respectivas constituyan las dos formulaciones, tangencial y puntual, de una misma representación algébrica, pues se refieren, en efecto, a dos elementos distintos! En la Sección V.II.4 se incluirán nuevas consideraciones sobre la relación más general entre dos N-cuádricas equivalentes Cϕ y Γφ . Por otro lado, una N-cuádrica genérica Γφ , del haz Γr , r ′ , está relacionada, además, con una Ncuádrica Cϕ ′ del haz C p , p ′ , que es bitangente en los puntos comunes de intersección con la recta PP′ . En las secciones V.II.4 y V.II.5 se precisará la relación mutua Γφ ↔ Cϕ ′ , con carácter general primero, y prestando, además, atención especial a los casos particulares considerados φ = ϕ = h + 1,1 ≤ ϕ ≤ n .

V.II.3.-SINGULARIDADES Y CASOS DEGENERADOS EN Γr , r ′ Se consideran singulares las N-cuádricas con (N-1)-planos tangentes con puntos de contacto múltiples, que corresponden a la anulación de la forma cuadrática. Las raíces de esta ecuación son, como en el contexto puntual φ = 0 , con multiplicidad n − 2 y excepcionalmente n − 1 , y 1 las dos raíces simples φ 1, 2 = (n m κ ) . 2

- 144 -

Corolario V.II.3.1:La raíz φ = 0 corresponde a la unión de los dos puntos P ∪ P′ , contada n − 2 veces. A su vez, las raíces φ1, 2 corresponden a sendas (N-2)-cuádricas situadas respectivamente en dos ( N − 1) -planos l1 , l 2 que tienen las propiedades siguientes, Corolario V.II.3.2: Los ( N − 1) -planos l1 , l 2 pertenecen al haz l ≡ r + µ r ′ , es decir, son incidentes con el ( N − 2) -plano r . r ′ , y, respectivamente, con un punto doble U1 , U 2 , de la involución subordinada sobre la recta PP′ . Son, pues, los ( N − 1) -planos invariantes de la involución subordinada por Γr , r ′ en l , es decir, separan armónicamente a cada par de ( N − 1) planos en l tangentes a Γφ . En particular, l1 , l 2 separan armónicamente al par r, r ′ y al par ( r.r ′) ∪ P , ( r.r ′) ∪ P′ . Sustituyendo las coordenadas de l en Γφ = 0 , se obtiene la siguiente ecuación de la involución, análoga a la obtenida en el planteamiento puntual, k κ µµ ′ = 1 = 2 , κ 2 k1 que permite obtener las expresiones de las coordenadas de l1 y l 2 , correspondientes a los valores del parámetro 1/ 2

µ1, 2

κ  = ±  1  κ2 

.

Nos referimos también a los tres casos degenerados del haz tangencial Γr , r ′ , en los que coinciden dos entre los tres miembros singulares descritos. Son, pues, los correspondientes a los tres valores particulares κ = 0 , κ = n 2 y κ = ∞ , correlativos de los analizados para los mismos valores de k en la Sección I.6, y ello atendiendo a que, como veremos a continuación, la propia definición de estas condiciones, conlleva implícitamente su propia duplicidad correlativa. La consideración de estos casos degenerados representa la generalización multidimensional de la revisión anteriormente efectuada en la Sección V.I.4, para valores 0,9, ∞ de κ , en el espacio bidimensional.

Caso 1: κ = 0 En correspondencia con la hipótesis k1 = 0 , supondremos aquí, en primer término, κ 2 = 0 y κ1 ≠ 0 . Proposición V.II.3.3: Todas las N-cuádricas Γφ en Γr ,r′ son tangentes a r ′ en P . La condición κ 2 = 0 , esto es i =n

ui′

i =1

i

∑u

= 0,

implica que r ′ verifica la ecuación tangencial de P , y r ′ y P se corresponden, además, en la polaridad definida por la N-cuádrica autoconjugada Γ∞ . Los miembros singulares de Γr ,r′ son Γ0 ≡ PP ′ , contado n − 2 veces, y Γn contado dos veces, 2

que es una (N-2)-cuádrica situada en el (N-1)-plano r ′ .

- 145 -

Corolario V.II.3.4: El subcaso κ 1 = κ 2 = 0 significa que el segundo miembro singular anterior, Γn , se descompone en el producto de dos (N-2)-planos situados, de nuevo, en r ′ . En el es2

pacio bidimensional, con n = 3 , Γ3 es el producto doble del punto intersección U ≡ r. r ′ . 2

Caso 2: κ = n

2

Los índices de las N-cuádricas singulares son, en primer lugar φ = 0 , contado n − 2 veces, y, además, los valores individualizados φ 1 = 0 , φ 2 = n . En consecuencia: Proposición V.II.3.5: PP ′ , r y r ′ son incidentes, y, por tanto, son coincidentes los dos puntos Q ≡ PP ′. r y Q ′ ≡ PP ′. r ′ , y también los dos (N-1)-planos r. r ′ ∪ P y r. r ′ ∪ P ′ que son miembros del haz r + λr ′ . Basta comprobar la unicidad del parámetro λ correspondiente a estos dos ( N − 1) -planos, pues los respectivos parámetros asociados tienen valores

λP = − λ P′ = −

κ2 n n

κ1

,

y se cumple, en efecto,

λ P = λ P′ ⇔ κ 1 . κ 2 = κ = n 2 . Corolario V.II.3.6: Existe un (N-1)-plano, s , que contiene al (N-2)-plano r. r ′ y a la recta PP ′ . Es, precisamente, el (N-1)-plano correspondiente al valor común λ P = λ P′ en la Proposición V.II.3.5. Corolario V.II.3.7: Las N-cuádricas en Γr ,r′ son, todas ellas, tangentes a s en Q ≡ Q ′ . Las dos N-cuádricas singulares en Γr ,r′ son Γ0 ≡ PP ′ contada n − 1 veces y Γn ≡ Γ( n ) que es una (N-2)-cuádrica situada en el (N-1)-plano conjugado de s en el haz r + λr ′ . La identificación r ≡ r ′ es un subcaso singular de κ = n 2 , aunque como hemos indicado en el análisis particularizado en el espacio P 2 , no puede considerarse propiamente degenerado. Siguen teniendo significado las dos N-cuádricas generatrices Γ0 ≡ r 2 y Γ∞ , y, por tanto, el propio haz Γr ,r′ , pero no están definidos ahora el haz r + λr ′ ni la involución asociada.

Corolario V.II.3.8: Todas las N-cuádricas en Γr ,r son tangentes en todos los puntos que son intersecciones comunes con r . Las dos N-cuádricas singulares diferentes en Γr ,r son ahora Γ0 ≡ P 2 contada n − 1 veces y la (N-2)-cuádrica intersección común de todos los miembros del haz con el hiperplano polar común de P , o sea r , con carácter individualizado. Caso 3: κ = ∞ Si n − 1 coordenadas de r tienden a cero en valores proporcionales, esto es U i ( r ) = ui . ε , ε → 0 , ∀i ∈ (1,..., n ) − (1) , el (N-1)-plano r → v1 , que es el hiperplano coordenado X = 0 , y el punto P se sitúa en v1 .

- 146 -

Los dos miembros singulares de Γr ,r′ son Γ0 ≡ PP ′ , contado n − 2 veces y una (N-2)-cuádrica situada en v1 contada dos veces.

Proposición V.II.3.9: Todas las N-cuádricas no singulares en Γr ,r son incidentes con P y tangentes al hiperplano coordenado v1 . Es la propiedad correlativa directa de I.6.3 en el esquema puntual. V.II.4.- LAS RELACIONES Γφ ⇔ Cϕ y Γφ ⇔ Cϕ ′ En las secciones V.II.1 y V.II.2, y para valores iguales determinados de los parámetros respectivos, φ = ϕ ∀ϕ ∈ (0,1,2,..., n ) hemos establecido una correspondencia biunívoca entre cada Ncuádrica, Γφ , del haz tangencial Γr , r ′ con dos N-cuádricas diferentes, Cϕ y Cϕ ′ , del haz CP , P ′ , que son, respectivamente, la N-cuádrica correlativa equivalente y la N-cuádrica bitangente en los puntos comunes de intersección con la recta PP′ . Existe, sin embargo, una diferencia esencial entre ambas correspondencias. Así, la primera de estas correspondencias, a semejanza de la transformación mediante duplicación, tiene carácter operacional conceptual y no expresable, en general, como una relación formal algebraica única para cualquier par de dos N-cuádricas que venimos llamando correlativas equivalentes, Γφ , Cϕ . La correspondencia es, en efecto, meramente individual y requiere una definición geométrica precisa de una u otra N-cuádrica que permita efectuar la trasposición adecuada, mediante la definición, también geométrica, paralela. El significado profundo de esta correspondencia, como hemos indicado anteriormente en la Sección V.I.2 es, simplemente, la identificación de dos comportamientos proyectivos correlativos. La segunda correspondencia, por el contrario, se formula como una función algebraica, que relaciona los parámetros φ y ϕ ′ , igualmente válida para cualquier par Γφ , Cϕ ′ . Pudiera ser interesante para el lector la aclaración de la primera de estas observaciones con algunos ejemplos concretos. En la sección V.II.2 hemos comprobado la existencia de n correspondencias Γφ ⇔ Cϕ , para las cuales se cumple la igualdad φ = ϕ , ∀ϕ ∈ (1,.., n ) . Sin embargo, es fácil ver la no generalidad de esta igualdad, considerando simplemente la correspondencia de dos N-cuádricas para las cuales existe una pareja de un punto y un ( N − 1) -plano polares arbitrarios dados. Ambos datos permiten la identificación inequívoca de los parámetros φ y ϕ , mediante la sustitución respectiva de las coordenadas del ( N − 1) -plano y del punto en cada ecuación general de los haces Γr , r ′ y CP , P ′ . Los resultados de los valores de los parámetros no guardarán, en general, obviamente, ninguna relación entre sí, puesto que el valor del parámetro ϕ es función exclusiva de las coordenadas puntuales y el valor del parámetro φ es, igualmente, función exclusiva de las coordenadas tangenciales, unas y otras elegidas de forma independiente. No obstante, podemos aún reconducir a fortiori esta situación y obligar a la igualdad de los dos valores de nuevo, estableciendo una dependencia previa entre las mismas, como se indica en la siguiente aserción, Proposición V.II.4.1.- Si se establece la polaridad entre un punto y el ( N − 1) -plano armónico asociado, con relación al sistema base coordenado, de la imagen del punto en la transformación cuadrática TP , P ′ , los parámetros de la N-cuádrica definitoria de esta polaridad en C P ,P′ y la Ncuádrica correlativa en Γr , r ′ , cumplen la relación φ = ϕ .

- 147 -

La correspondencia polar establecida se expresa por las siguientes condiciones correlativas, donde la omisión de un factor de proporcionalidad no supone pérdida de generalidad en el sistema de coordenadas homogéneas, −1

 x x′   u u′  U i =  i i  ↔ X i =  i i  , ∀i ∈ (1,..., n ) ,  Xi   Ui  cumpliéndose, por ello, también X i Ui  =  xi ui′  X i U i  = ⇒φ =ϕ. xi′ ui  X i2 U i2  =  xi xi′ ui ui′  La correspondencia establecida puede definirse también como polaridad entre un ( N − 1) -plano y el punto armónico asociado de su imagen en la transformación cuadrática tangencial Τr , r ′ .

Nos referimos ya a la segunda correspondencia apuntada entre las dos N-cuádricas Γφ y Cϕ ′ que comparten la polaridad común del punto U y la recta PP′ , que es una propiedad común de cualquier miembro de ambos haces, siendo además bitangentes en los puntos de intersección común con la recta PP′ . La correspondencia Γφ ⇔ Cϕ ′ es una simple consecuencia de la identificación de las dos involuciones subordinadas por uno y otro haz sobre la recta PP′ . En la Sección V.I.5, en el espacio bidimensional y con relación a la elección particular de los haces ΓrG , rH y CG , H se ha comprobado que existe esta correspondencia, por un lado entre las cónicas Γ2 y C1 , y, por otro, entre las cónicas Γ1 y C2 , y, obviamente, tambien, entre las cónicas Γ0 ≡ P ∪ P′ y C3 , y entre las cónicas Γ3 y C0 ≡ rG ∪ rH . Estos resultados se prestan a la conjetura de que para las n N-cuádricas correlativas duales particulares, Γφ y Cϕ , que según hemos visto en V.II.2 tienen valores de los parámetros iguales, esto es φ = ϕ , concretamente, para los n valores enteros 1 ≤ φ = ϕ ≤ n , la correspondiente segunda N-cuádrica Cϕ ′ , también asociada a Γφ , pudiera ser un miembro de la misma familia en CP , P ′ , es decir, siendo el valor del parámetro ϕ ′ un número entero en el intervalo 1 ≤ ϕ ′ ≤ n . En cualquier caso tiene interés el análisis de la relación entre los valores de los parámetros φ y ϕ ′ que permita precisar la relación mutua algébraica, Γφ ⇔ Cϕ ′ , de estas dos N-cuádricas bitangentes en los puntos de intersección común con la recta PP′ . Podemos encontrar esta relación por dos procedimientos alternativos: o bien por las intersecciones comunes de Cϕ y Cϕ ′ con la recta PP′ , o bien, por el ( N − 1) -plano polar común de un punto arbitrario situado en la recta PP′ . La utilización que hacemos de ambos métodos puede ser ilustrativa de otros aspectos relevantes de la correspondencia que analizamos. La aplicación del primer procedimiento resulta: En el sistema de referencia de coordenadas homogéneas N-lineales, las coordenadas genéricas de un punto de la recta PP′ se escriben X i = xi + α xi′ ,1 ≤ i ≤ n . (V.II.4.1) - 148 -

Teniendo en cuenta la forma Cϕ ≡ C0 − ϕ C∞ del haz CP , P ′ , los dos puntos intersección de Cϕ ′ con la recta PP′ se obtienen por medio de la ecuación i=n  i = n xi + αxi′   i = n xi + αxi′  ( x + αxi′) 2   ∑  − ϕ ′∑ i  ∑ = 0, xi xi′ i =1  i =1 xi   i =1 xi′ 

y, también, ( n + αk 2 ) ( k1 + αn ) − ϕ ′( k1 + 2αn + α 2 k 2 ) = 0 , luego la ecuación en α , coincidente con la anterior formulada (I.4.5) en función del parámetro δ , se escribe finalmente k 2 ( n − ϕ ′)α 2 + ( k + n 2 − 2nϕ ′)α + k1 ( n − ϕ ′) = 0 . (V.II.4.2) Operando, de manera análoga, con la forma Γφ ≡ Γ0 − φ Γ∞ de la ecuación tangencial, se consideran las rectas ρ1 , ρ 2 que son las tangentes comunes a Cϕ ′ y Γϕ en las intersecciones comunes con PP′ , ρ1, 2 ≡ r + β r′ , cuyas coordenadas se expresan U i = ui + β ui′ ,1 ≤ i ≤ n . (V.II.4.3) Se obtiene, en resumen, la siguiente ecuación simétrica en β , para las coordenadas de las rectas κ 2 ( n − φ ) β 2 + (κ + n 2 − 2nφ ) β + κ 1 ( n − φ ) = 0 . (V.II.4.4) y aquí debemos recordar las igualdades κ 1 = k 2 ,κ 2 = k1 ,κ = k . La relación entre las incógnitas α y β se define mediante la incidencia de (V.II.4.1) y (V.II.4.3), o sea i=n

∑ (u

i

+ β ui′) . ( xi + αxi′ ) = 0 ,

i =1

y, también, teniendo en cuenta que la correspondencia armónica asociada entre los pares ( P, r ) y ( P′, r′) supone las relaciones ui xi = ui′xi′ = 1 ,

β ( k1 + nα ) = −( n + k 2α ) . Sustituyendo la anterior expresión de β en (V.II.4.4), se obtiene la siguiente forma alternativa de la ecuación (V.II.4.2) k1 ( n − φ ) ( n + k 2α )2 − ( k + n 2 − 2nφ ) ( n + k 2α ) ( k1 + nα ) + k 2 ( n − φ ) ( k1 + nα )2 = 0 (V.II.4.5) y, también, k 2 ( n 2 − k )φα 2 + ( n 2 − k )( 2nφ − n 2 + k ) + k1 ( n 2 − k )φ = 0 Identificando ambas ecuaciones (V.II.4.2) y (V.II.4.5) se tiene la relación buscada entre los parámetros φ y ϕ ′ ( n − ϕ ′)k 2 k + n 2 − 2nϕ ′ ( n − ϕ ′)k1 = = φk 2 k − n 2 + 2 nφ k1φ y, operando con estas dos igualdades, resulta la expresión única φϕ ′( −2n + 2n ) + φ ( n 2 − k ) + ϕ ′( − k + n 2 ) + nk − n 3 = 0 o sea, finalmente φ + ϕ ′ = n , (V.II.4.6) habiéndose eliminado el factor común n 2 − k , cuya anulación corresponde a un caso singular en el cual coinciden los haces Γr , r ′ ≡ CP , P ′ y, por tanto la correspondencia que estudiamos, Γφ ↔ Cϕ ′ , se reduce realmente a una identidad.

- 149 -

La aplicación del segundo procedimiento alternativo, se formula igualmente: La ecuación del hiperplano polar de X = P + αP′ (en ℘1 ), respecto de Cφ , después de hacer el cambio de parámetros (I.4.3), se escribe  n X   n X  ( k1 + α δ )  ∑ i  + (α k 2 + δ ) ∑ i  = 0 . (V.II.4.7)  1 xi   1 xi′  y en el sistema de coordenadas tangenciales 1 1 U i = ( k1 + αδ ) + (αk 2 + δ ) . xi xi′ A continuación, el polo de ρ = r + β r′ respecto de Γφ es, análogamente n

n Ui U (κ 1 + βγ )∑ + ( βκ 2 + γ )∑ i = 0 , 1 ui 1 ui′ y en el sistema de coordenadas puntuales 1 1 X i = (κ 1 + βγ ) + ( βκ 2 + γ ) . ui ui′ Las respectivas identificaciones dan las relaciones, en valores proporcionales, (k1 + αδ )ui + (αk 2 + δ )ui′ = λ (ui + βui′ ) ( k 2 + βγ ) xi + ( β k1 + γ ) xi′ = µ ( xi + αxi′ ) , debiendo cumplirse para ∀i ,1 ≤ i ≤ n αk 2 + δ  k + αδ = β  1   βk1 + γ = α  k 2 + βγ luego , eliminando la variable β , αk + δ αk + δ αk 2 + α 2 γ = k1 2 +γ , k1 + αδ k1 + αδ o sea, (u 2 k 2 − k1 ) (δ + γ ) = 0 , y para que se verifique esta relación para cualquier valor del parámetro u, se tiene finalmente δ + γ = 0, que coincide, efectivamente, con el resultado anteriormente obtenido φ + ϕ ′ = n , teniendo en cuenta las respectivas relaciones de los parámetros δ = n − 2ϕ ′ y γ = n − 2φ .

La anulación del primer factor u 2 k 2 − k1 representa, en este procedimiento la obtención de los puntos dobles de la involución común inducida por los haces Γr , r ′ y CP , P ′ , que es un resultado adicional coherente, aunque colateral a la correspondencia buscada. En los casos particulares descritos en que se cumple para la primera correspondencia la igualdad φ = ϕ , referida a dos N-cuádricas correlativas, se verifica igualmente ϕ + ϕ ′ = n . Esta relación simétrica en los parámetros ϕ y ϕ ′ , aunque no general, tiene la propiedad involutiva, es decir, que la relación entre los mismos, y, por tanto, entre las cónicas Cϕ y Cϕ ′ del haz CP , P ′ , es intercambiable en estos casos concretos. Así lo hemos demostrado para las circunferencias C1 y C2 del haz CG , H en el plano, en la Sección V.I.5. Se confirma, también, la conjetura allí apuntada sobre la pertenencia simultánea de ambas N-cuádricas Cϕ y Cϕ ′ a la familia - 150 -

Ch ,1 ≤ h ≤ n en espacios de dimensión N > 2 , así como la identificación de Cϕ y Cϕ ′ con dos miembros de la familia, correspondientes a dos subespacios complementarios. Se comprueban así los anteriores resultados obtenidos mediante consideraciones gráficas en V.I.5.1 y V.I.5.2 en el caso n = 3 . Además, aplicando el principio mutatis mutandis, la doble relación de las N-cuádricas correspondientes a los parámetros ϕ y ϕ ′ con la N-cuádrica del haz tangencial correspondiente al parámetro φ ( = ϕ ) , implica otra doble relación de aquellas con una segunda N-cuádrica del haz tangencial, dada por el parámetro φ ′ , que cumple las relaciones paralelas ϕ + φ′ = n ϕ ′ = φ′, y, puesto que en el haz puntual se cumple la relación ϕ + ϕ ′ = n , se verifica la siguiente relación homóloga en el haz tangencial φ +φ ′ = n , cuya interpretación geométrica paralela resulta es inmediata, teniendo en cuenta que se refiere, igualmente, a dos N- cuádricas asociadas a subespacios complementarios. No insistiremos, finalmente, en la trasposición de las propiedades relativas a las razones dobles de cuaternas de puntos alineados, por ejemplo, la relación armónica (U 1 ,U 2 ; P, P′) = −1 , y a fórmulas del número de puntos incidentes con miembros de la familia Ch , h = 1,.., n , definidas en la sección I.9. Las propiedades correlativas se refieren a razones dobles de cuaternas de ( N − 1) -planos de un haz, sic la relación armónica (U N − 2 ∪ U 2 ,U N − 2 ∪ U 1; r N −1 , r ′ N −1 ) = −1 , donde los superíndices en esta expresión son indicativos de la dimensión del elemento correspondiente, que es la equivalente la anterior mencionada en el plano, y a números de ( N − 1) planos tangentes a miembros de la familia Γφ ,φ = 1,.., n . Debemos destacar, también, al respecto, que las cuatro homologías de centros P y P′ y ( N − 1) -planos eje r y r ′ , que relacionan cada dos miembros de la familia Ch , h = 1,.., n , se aplican igualmente a los miembros correlativos respectivos de la familia Γφ ,φ = 1,.., n . Las cuatro homologías, sin modificación de sus elementos definitorios, centro, ( N − 1) -plano eje y razón − 1, son, en efecto, transformaciones invariantes en la operación de correlación.

V.II.5.- EL HAZ TANGENCIAL DEL N-SIMPLEX ORTOCÉNTRICO De forma análoga al caso bidimensional, tiene interés especial la consideración del haz Γr , r ′ correspondiente al N-simplex de referencia ortocéntrico, eligiendo como ( N − 1) -planos básicos el hiperplano impropio, rG ≡ r∞ , que es armónico asociado del centro de gravedad, y el ( N − 1) plano armónico asociado del ortocentro, rZ , cuya realidad conceptual está asegurada por el cumplimiento de la condición ortocéntrica. Los miembros del haz ΓrG , rZ son N-cuádricas tangentes a los dos N-hiperconos regulares de vértices los puntos G y Z , circunscritos a la N-esfera conjugada de centro Z y definida además por la correspondencia polar (G, rZ ) . La simetría, que llamamos de revolución axial, de los dos N-conos con relación al eje GZ, propiedad equivalente a la de revolución tridimensional, y la condición normal del eje común respecto de los ( N − 1) - planos rZ y el impropio rG , determina - 151 -

la conservación de la misma hipersimetría de revolución con relación a GZ , para cualquier Ncuádrica del haz ΓrG , rZ . Ello significa que la intersección de una N-cuádrica del haz ΓrG , rZ con un ( N − 1) -plano normal a la recta GZ es una ( N − 1) -esfera de centro el punto de intersección del ( N − 1) -plano con GZ . Además, el segundo hipercono es, pues, un hipercono isotrópico, y el ortocentro Z puede considerarse por ello un punto focal generalizado de cualquier N-cuádrica en Γr , r ′ , representada por

Γφ . Los puntos proyección de Z sobre los ( N − 1) -planos tangentes a Γφ , están en la hiperesfera Cϕ ′ , que es un miembro de CG , Z . Las dos N-cuádricas Γφ y Cϕ ′ son concéntricas y bitangentes en los puntos intersección con GZ y los planos tangentes comunes son normales al eje GZ , estando relacionados los parámetros φ y ϕ ′ , en el sistema multilineal homogéneo, por la expresión (V.II.4.6). A continuación vamos a tratar de encontrar las relaciones similares a φ = ϕ = n − ϕ ′ , obtenidas en el sistema coordenado multilineal homogéneo en ℘N , para dos familias particulares de Ncuádricas correlativas, cuando se opera en el sistema ortonormal en el espacio superior ℘n . El tratamiento del esquema tangencial en el sistema coordenado de dimensión superior n requiere alguna atención especial. Consideramos, al efecto, la ecuación de un haz tangencial en ℘n , combinación lineal del producto de las ecuaciones de los puntos G y Z, que es una n-cuádrica descompuesta en ℘n , y de la n-esfera de centro Z y radio igual al de la N-esfera autoconjugada en ℘N . Las intersecciones de este haz con la recta GZ son coincidentes con las intersecciones del haz ΓGZ , éste último, en el espacio de dimensión inferior, ℘N . Con el criterio indicado, y recordando las expresiones de las dos notaciones σ y s en la sección IV.8 i=n

σ = ∑ ai2 i =1

i=n

1 , 2 i =1 ai en primer lugar la ecuación tangencial de la n-esfera que contiene a la N-esfera conjugada se escribe, s=∑

2

 1 i=n 2  1   + ∑U i = 0 , + U 1 ∑ i  i =1  ai s  s i =1 y la ecuación del haz n-dimensional, en el espacio superior ℘n , con la definición indicada, i=n

2  i = n 1   1 i =n 2    i =n 1  i = n ai  ∑ U i + 1 .  ∑ U i + 1 − µ  ∑ U i + 1 + ∑U i  = 0 . (V.II.5.1)  i =1 n  i =1 ai s   i =1 ai s   s i =1 

Para un miembro cualquiera de Γr∞ , rZ en ℘N , intersección de (V.II.5.1) con ℘N , el valor del parámetro µ es ahora, naturalmente diferente, del valor del parámetro φ que representa el mismo elemento en el sistema de referencia n-lineal homogéneo. Los puntos de intersección del haz (V.II.5.1) con el eje GZ se obtienen a partir de los ( N − 1) planos normales a GZ , que verifican la ecuación tangencial, esto es, verificando esta propiedad para un hiperplano de coordenadas a 1 Ui = i − , i = 1,..., n ;U n +1 = η , (V.II.5.2) n ai s y haciendo esta sustitución en (V.II.5.1), - 152 -

 2 1  σ 1   σ 1  2 − + η  .η − µ η +  2 −  = 0 , s sn s  n   o sea, 1 σ 1  σ 1 − η − µ  2 −  = 0 , (V.II.5.3) 2 s sn s n a 1 , situado en la La incidencia de (V.II.5.2) con el punto de coordenadas X i = (1 − u ) i + u n ai s recta GZ , da la relación  σ 1 η = (u − 1)  2 −  , s n luego, sustituyendo esta expresión en (V.II.5.3) resulta la ecuación que da los parámetros de los puntos de intersección en GZ , σ  σ 1  σ 1 u 2  2 −  (1 − µ ) + u  2 −  ( 2 µ − 1) − 2 µ = 0 , (V.II.5.4) s s n n n además de la anulación del factor escalar común, que supone la igualdad σ . s = n 2 .

η 2 (1 − µ ) + 

La anulación de la expresión σ . s − n 2 = k − n 2 ( = 0) es poco significativa, pues supone la identificación de la intersección del hiperplano órtico, rZ , con la recta GZ , con el punto impropio de esta recta, esto es, la identificación rG ≡ rZ , y, también, la de los dos puntos básicos, G y Z, que se produce, únicamente, en el caso simplista de un n-simplex regular. La recta GZ no tiene entonces significado, y los dos haces, puntual y tangencial, son coincidentes, y están integrados por hiperesferas de centro común G ≡ Z . Naturalmente esta coincidencia es sólo global y no individual, miembro a miembro. Procediendo, a continuación, análogamente con la siguiente ecuación (IV.8.4) del haz ζ GH en coordenadas puntuales, donde utilizamos la notación λ ′ del parámetro, como veremos después, por razón de homogeneidad, i=n

i =n

i =1

i =1

∑ ai X i − λ ′∑ X i2 = 0 , se obtiene (1 − u )

σ n

+u

σ n 1 1  − λ ′ (1 − u )2 2 + 2(1 − u )u + u 2  = 0 , s n s s 

resultando la ecuación σ  σ 1  σ 1 u 2  2 −  λ ′ + u  2 −  ( n − 2λ ′) + 2 (λ ′ − n ) = 0 (V.II.5.5) s s n n n Identificando las dos ecuaciones (V.II.5.4) y (V.II.5.5), y prescindiendo, de nuevo, de la anulación del coeficiente σ . s − n 2 , resulta la doble igualdad 1 − µ 2µ − 1 µ =− = , λ′ n − 2λ ′ λ′ − n que da la relación única buscada λ ′ = n(1 − µ ) . Además, puesto que la familia de N-cuádricas que hemos denominado Cϕ , ϕ ∈ {1,..., n} en el sis-

tema coordenado multilineal, corresponde aquí a los mismos valores del parámetro λ ∈ {1,.., n}, y existe la relación ϕ + ϕ ′ = n entre los dos parámetros del par de N-cuádricas del haz puntual, - 153 -

asociadas a una N-cuádrica del haz tangencial, la relación entre los parámetros, λ y µ , de los dos elementos que tienen la relación correlativa, se escribe n − λ = n(1 − µ ) , luego λ = nµ . Aplicando, de nuevo, el principio mutatis mutandis, la doble relación de las N-cuádricas correspondientes a los parámetros λ y λ ′ con la N-cuádrica del haz tangencial correspondiente al parámetro µ , implica otra doble relación de aquellas con una segunda N-cuádrica del haz tangencial, dada por el parámetro µ ′ , que cumple las relaciones paralelas λ = n (1 − µ ′) λ ′ = nµ ′ , y, puesto que en el haz puntual se cumple la relación λ + λ ′ = n , se verifica la siguiente relación homóloga en el haz tangencial µ + µ ′ = 1, cuya interpretación geométrica paralela es inmediata, teniendo en cuenta que se refiere, igualmente, a dos n-cuádricas asociadas a subespacios complementarios en el espacio superior ℘n .

V.II.6.- APLICACIÓN AL TETRAEDRO ORTOCÉNTRICO En el caso concreto de un tetraedro ortocéntrico, existen cuatro esferas significativas pertenecientes al haz CGZ , que son miembros de la familia Ch ,1 ≤ h ≤ 4 : C1 es la esfera circunscrita;

C2 es una esfera que contiene los puntos medios de las aristas y los piés de las alturas de las caras, y, también, las circunferencias de los nueve puntos de las caras; C3 es incidente con los centros de gravedad de las caras y los piés de las alturas del tetraedro, que son los ortocentros de las caras; y C4 es la esfera de diámetro GZ . En la Tabla siguiente se resumen las posiciones de los centros (ci ) de estas cuatro esferas Ci , situados en la recta GZ , y los valores Ri2 , aplicando los resultados anteriormente deducidos en la Sección IV.8, y recogemos nuevamente, además, la expresión común (IV.8.10) del cuadrado del radio de la esfera autoconjugada, ésta última aplicable en espacios de cualquier dimensión:

TABLA V.II.1 ci Z Ri2 ciG C1

+2

C2

∞

C3

−2

C4

−1

C∞

0

sσ − 4 4σ s 16 sσ − 4 36σ s σ − 16 64σ 1 −

σ

- 154 -

Mediante aplicación de las fórmulas (IV.4.2) deducidas en la Sección IV.4, las expresiones anteriores de los valores Ri2 , obtenidas en función de las coordenadas ai , pueden formularse finalmente, también, en función de las longitudes de las aristas, quedando así desglosadas del sistema de referencia ortonormal superior. Teniendo en cuenta los valores de las razones simples que definen la posición de los centros, se deducen también: Corolario V.II.6.1 .- a) El centro de la esfera circunscrita es simétrico del ortocentro respecto del centro de gravedad. b) La cuaterna armónica (G, Z ; c1 , c3 ) = −1 . c) El centro de gravedad del tetraedro, G, es el centro de la esfera C2 . d) El centro de la esfera C4 es el punto medio del segmento GZ y los tres puntos coinciden en el caso singular sσ = 4 2 = 16 . Como hemos indicado en la explicación de la expresión (V.II.5.4) esta última condición es poco significativa pues corresponde al caso simplista de un tetraedro regular. Las correspondientes cuádricas de revolución en el planteamiento correlativo son, respectivamente:

Γ1 es una cuádrica inscrita, tangente a las cuatro caras del tetraedro. Γ2 es una cuádrica tangente a los seis planos, dos a dos paralelos, que contienen a cada arista y son paralelos a la arista opuesta. Cada par de planos son perpendiculares a las respectivas perpendiculares comunes a las dos aristas opuestas. La cuádrica es tangente también a los seis planos definidos por una arista y el punto de intersección de la arista opuesta con el plano órtico. Los dos últimos planos correspondientes a aristas opuestas se cortan en la recta que une los dos puntos de intersección de las mismas con el plano órtico, es decir, los dos planos tangentes y el órtico son miembros de un mismo haz de planos. Γ3 es una cuádrica tangente a los cuatro planos paralelos por cada vértice a la cara opuesta, y, por tanto, inscritos en un tetraedro homotético del básico, con centro G y razón − 3 , resultando la cuádrica homotética de Γ1 , en esa misma transformación. Γ3 es tangente también a los cuatro planos incidentes con un vértice y con la recta intersección del plano órtico con la cara opuesta a ese vértice. Γ4 es un paraboloide de revolución de eje GZ y plano tangente en el vértice, el plano órtico. La propiedad del ortocentro, que es un foco común de todas las cuádricas del haz ΓrG rH , es decir, un foco de sus secciones cónicas planas axiales incidentes con GZ , facilita una definición más completa de las cuádricas antes citadas. Se aplica, al efecto, la conocida propiedad de la circunferencia principal de una cónica, esto es, la circunferencia concéntrica bitangente a la cónica en los vértices del eje principal, que es incidente con las proyecciones de sus focos sobre las tangentes a la cónica. Las proyecciones de Z sobre los planos tangentes a Γ1 están en la esfera C3 que pasa por los piés de las alturas, que son ortocentros de las caras, y por los centros de gravedad de las caras. La esfera C3 es la homotética de C1 con centro de homotecia G y razón − 1 / 3 , de manera que su centro, que es el centro de Γ1 , es el homólogo del centro de la esfera circunscrita en esta homotecia, y su radio, que es el semieje principal de Γ1 , es también R / 3 , siendo R ≡ R1 el radio de la esfera circunscrita, como se comprueba en la Tabla anterior. Las proyecciones de Z sobre planos tangentes a Γ2 están en la esfera C2 que contiene los círculos de Euler de las caras del tetraedro. El centro común de C2 y Γ2 es el centro de gravedad del

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tetraedro, G. El radio R2 , cuyo valor se ha recogido igualmente en la Tabla V.II.2, es el semieje principal de Γ2 . Las proyecciones de Z sobre planos tangentes a Γ3 están en la esfera circunscrita C1 , que es concéntrica con Γ1 , luego el semieje principal de Γ3 es R y su segundo foco es el simétrico del ortocentro con relación al circuncentro. Por último, las proyecciones de Z sobre los planos tangentes a Γ4 están en el plano órtico, definido por la distancia (semiparámetro de la parábola sección plana axial) 2

d

2 Z , rZ

 1  16  . = =  σ ( s σ − 16)  2σ R4 

Como hemos comentado al final de la sección V.II.4, en el esquema correlativo se aplican igualmente las razones simples y dobles, deducidas en la sección IV.8, referidas al haz de ( N − 1) -planos que son combinación lineal de los hiperplanos armónicos asociados, rG , impropio, de G ,y rZ′ , de Z, así como las fórmulas análogas a las relativas a números de puntos incidentes con cuádricas particulares del haz CG , Z , en la sección IV.8, referidas ahora a números iguales de planos tangentes a las cuádricas homólogas en ΓrG , rZ . En concreto sobre esta segunda cuestión, como final del Capítulo I, hemos anticipado en la sección I.8, mediante aplicación de la deducción de las fórmulas (I.9.2), los siguientes números de puntos/planos, geométricamente bien definidos, situados/tangentes en/a las cuádricas referenciadas, Cλ / Γµ , λ = µ = 1,...,4 ,

TABLA V.II.2 C1 / Γ1 36 C2 / Γ2

36

C3 / Γ3

16

C4 / Γ4

2

Como comentario ilustrativo de estos resultados, nos referiremos únicamente a los 8 puntos adicionales a los anteriormente descritos, situados en la esfera C3 , que son las segundas intersecciones con las medianas y las alturas del tetraedro. Aplicando la relación (I.8.3), el punto Zi , correspondiente a la altura Vi Z cumple la razón simple ZZi / ZVi = 1 / 3 , y el correspondiente a la mediana, M i , satisface la razón doble ( M i ,Vi ; G, N i ) = 1 / 3 , siendo N i el punto intersección de la mediana Vi G con el plano órtico. Como última conclusión, consideramos la siguiente aplicación de la propiedad relativa a la igualdad de la suma de cuadrados de cada par de aristas opuestas en un tetraedro ortocéntrico, conforme a la deducción de la expresión más general (IV.4.3). Sea VABC un tetraedro ortocéntrico, cumpliéndose, pues, 2

2

2

2

2

2

VA + BC = VB + CA = VC + AB . (V.II.6.1) Si el tetraedro degenera, de manera que el vértice V se sitúa en la cara ABC , conservando la condición ortocéntrica, el punto V es el ortocentro del triángulo ABC , y las igualdades anteriores representan propiedades de la geometría plana, con validez general en un triángulo cualquiera. La comprobación más simple del valor común de los tres términos de estas igualdades, que resulta ser igual al cuadrado del diámetro del círculo circunscrito, es un ejercicio elemental de cálculo, aplicando propiedades trigonométricas del triángulo, que obviamos. En la extensión - 156 -

multidimensional posterior que hacemos se incluye una demostración más general de este resultado concreto. Si suponemos que el cuadrángulo plano VABC degenera de nuevo, de manera que el vértice V se confunde, por ejemplo, con el vértice A, el triángulo VBC ≡ ABC es rectángulo en V, y las igualdades anteriores se escriben, 2

2

2

2

2

BC = VB + CV = VC + VB = 4 R 2 , (V.II.6.2) luego las expresiones (V.II.6.1), completadas con el valor común 4R 2 de las sumas, pueden ser consideradas como una generalización del teorema de Pitágoras bidimensional, aplicable, como decimos, a cualquier triángulo plano. El razonamiento anterior y las expresiones (V.II.6.1) y (V.II.6.2) admiten igualmente, la siguiente generalización multidimensional. En primer lugar, considerando el N-simplex en el espacio ortonormal ℘n , se cumple,

 1 ZVi =  ai − ai σ  2

2

  + 

∑

j ∈(1,.., n ) j ≠i

1 aj σ

= ai2 −

1

σ

. (V.II.6.3)

y, también, aplicando la expresión (IV.4.1) al ( N − 1) -simplex definido por los n − 1 vértices, excluído Vi , 2 1 a 2j = VkVl , ∑ ∑ n − 2 k , l∈(1,..., n ) j ∈(1,..., n ) j ≠i

k ,l ≠i

luego, en un N-simplex ortocéntrico cualquiera, se cumplen las n relaciones equivalentes siguientes, para cualquier selección del vértice diferenciado Vi , 2

ZVi +

i=n 2 1 1 1 VkVl = ∑ ai2 − = s − , ∀i ∈ (1,.., n ). ∑ n − 2 k , l∈(1,.., n ) σ σ i =1 k ,l ≠i

Aplicando además las relaciones (IV.4.2), el valor constante de estas igualdades, que figura en el último miembro en función de las coordenadas de los vértices, se expresa como función de las longitudes de las aristas, y, por ello, referido únicamente a la configuración del politopo, quedando así desglosado del espacio ℘n . Se obtiene una expresión más simple de esta forma desglosada, introduciendo la siguiente longitud del radio de la hiperesfera circunscrita, para el valor del parámetro λ = 1 en (IV.8.9) s ( n − 2) 2 2 R = − , (V.II.6.4) 4 4σ y eliminando la función σ de las longitudes ai , lo que da el resultado 2

ZVi +

 2 2 2 1 1 VkVl = 4 R ( n 3 ) V V + −   ; ∀i ∈ (1,.., n ). (V.II.6.5) ∑ ∑ p q n − 2 k , l∈(1,.., n ) ( n − 2) 2  p , q∈(1,.., n )  k ,l ≠i

Las expresiones (V.II.6.1) son, pues, la aplicación de (V.II.6.5) para el valor particular n = 3 . Además, si el ortocentro Z se identifica, por ejemplo, con el vértice Vi , se trata de un politopo (n − 1) -rectángulo en Vi , y las n expresiones anteriores tienen la forma unificada

∑V V

i j ∈(1,.., n ) j ≠i

2 j

+

∑V V

k l k , l ∈(1,.., n ) k ,l ≠i

2

=

2 1  2 4 R + ( n − 3) ∑V pVq  . (V.II.6.6) n−2 p , q∈(1,.., n ) 

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Las fórmulas (V.II.6.5) y (V.II.6.6) particularizadas para un tetraedro ortocéntrico la primera, y para un tetraedro con un ángulo poliedro trirrectángulo la segunda, resultan respectivamente, 2 2 2 1 1 ZVi + VkVl = 4 R 2 + ∑V pVq  ∀i ∈ (1,..,4) ∑ 2 k , l∈(1,.., 4 ) 4 p , q∈(1,.., 4 )  k ,l ≠i

∑V V

i j ∈(1,.., 4 ) j ≠i

2 j

+

∑V V

k l k , l ∈(1,.., 4 ) k ,l ≠i

2

=

2 1 2 4 R + ∑V pVq  . (V.II.6.7) 2 p , q∈(1,.., 4 ) 

siendo esta segunda expresión equivalente a las igualdades (V.II.6.5), bien que referida, como decimos, a un tetraedro ortocéntrico específico, y, por tanto, no general. Las relaciones (V.II.6.7) se resumen en la forma unificada 2 2 1 ViV j = VkVl = 4 R 2 , ∑ ∑ 2 k , l∈(1,.., 4 ) j ∈(1,.., 4 ) j ≠i

k ,l ≠ i

que representa efectivamente la extensión tridimensional de la fórmula pitagórica, referida a un tetraedro con un triedro trirrectángulo. Aplicando (V.II.6.3), una observación curiosa final se refiere a la obtención del mismo resultado final anterior en cualquier tetraedro ortocéntrico, para la suma, i=n i=n 2 n  2 1 ZV =  ai −  = s − , ∑ ∑ i σ σ i =1  i =1 ya calculada con anterioridad en la Sección IV.2, (IV.4.6), que, para n = 4 da el valor indicado, 4R 2 , teniendo en cuenta (V.II.6.4). Este mismo resultado final coincidente es, naturalmente, obligado, para un tetraedro trirrectangular.

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APÉNDICE: CUÁDRICAS ASOCIADAS A UN TETRAEDRO

A.0.- INTRODUCCIÓN En los anteriores Capítulos I y II del texto principal, se ha considerado una geometría dual generalizada, a partir de dos puntos básicos y un N-simplex de referencia, aplicable a espacios de cualquier dimensión, mientras el Capítulo III contempla propiedades incursas en esta geometría dual que son específicas únicamente del espacio bidimensional, esto es, referida a dos puntos y un triángulo. El Capítulo IV se refiere a una particularización del análisis general multidimensional, correspondiente a una selección concreta de los dos puntos básicos, el centro de gravedad y el ortocentro del elemento de referencia, lo que implica una determinada restricción en espacios de dimensiones superiores a 2, no exigible, sin embargo, en los espacios uni y bidimensional. Esta restricción supone la exigencia de que el N-politopo de referencia cumpla la propiedad ortocéntrica. En otra línea limitativa, referida específicamente a espacios tridimensionales, y, en concreto, a la figura de un tetraedro cualquiera, estudiamos en este Apéndice propiedades aplicables a este poliedro, que no corresponden ya al concepto de geometría dual involutiva, ni son trasladables a espacios de dimensión superior, por lo cual se han segregado del texto principal, pero cuyo planteamiento podemos considerarlo como ampliación de algunos desarrollos del Capítulo IV, particularizados aquí en el espacio físico habitual de tres dimensiones y prescindiendo de nuevo, como en los restantes Capítulos del texto, excepto en el mencionado Capítulo IV, de la restricción ortocéntrica. Se trata en este Apéndice, en concreto, de la definición de cinco cuádricas regladas asociadas a un tetraedro, cuyas generatrices son, en la primera cuádrica, las cuatro alturas del tetraedro, y en las otras cuatro, que requieren la contribución de una cuádrica circunscrita o inscrita genérica, sendos conjuntos de otras cuatro rectas, diferentes aunque relacionados, obtenidos, en uno y otro caso, por medio de dos construcciones geométricas tridimensionales distintas, inspiradas, ambas, en el teorema de Brianchon en el plano. Destacamos que estas dos construcciones han sido ya definidas, en el ámbito más general del tratamiento multidimensional, en la sección IV.10, como una introducción preliminar a la sección IV.11. Debemos establecer también una diferencia metodológica práctica en el planteamiento y desarrollo de las demostraciones correspondientes a la primera cuádrica, de un lado, y a la segunda y tercera conjuntas, por otro. En el primer caso, por la mayor facilidad de formulación de las condiciones de ortogonalidad recta/plano espaciales, se ha utilizado el sistema de referencia más usual, que es el sistema cartesiano ortonormal tridimensional, que ha sido también el aplicado en las secciones IV.1 a IV.9 y IV.11 del Capítulo IV, aunque allí definido en un espacio de dimensión superior en una unidad al del propio elemento estudiado. En los otros dos casos resulta preferible el empleo de un sistema tetralineal de coordenadas homogéneas, referido al propio tetraedro base, utilizado, en general, en los restantes Capítulos del texto, y, en especial, como decimos, en la sección IV.10, que, como hemos anticipado, es un antecedente ilustrativo adecuado, de la formulación relativa a las cuádricas segunda y tercera. A su vez, estas últimas cuádricas tienen otras dos paralelas correspondientes, que son las consideradas en cuarto y quinto lugar, cuyas definiciones son inmediatas, a partir de las dos anteriores, sin más que aplicar la propiedad correlativa dual considerada en el Capítulo V. El desarrollo, a continuación, del Apéndice, se ha dividido, por ello, en las dos secciones independientes, A.I y A.II, dedicadas, respectivamente, a la primera cuádrica y a las cuatro restantes, siendo tratadas, a su vez, las dos últimas, de manera conjunta.

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A.I.- LA CUÁDRICA DE LAS ALTURAS DE UN TETRAEDRO

A.I.1.- LA CUÁDRICA DE STEINER El teorema siguiente fue descubierto por J. Steiner en 1827 y ha sido objeto de múltiples publicaciones posteriores, como son, por ejemplo, las Ref.[3],p.664, en el ámbito de la geometría clásica tradicional que supone la excelente publicación de Rouché-Comberousse, y/o la Ref.[4], más moderna, en la que se hace una revisión bibliográfica extensa de aquellas y se incluye, en particular, una demostración actualizada utilizando recursos del algébra moderna lineal. Algunas de las publicaciones referenciadas en [4], se refieren, además, a propiedades generales de las alturas de un n-simplex multidimensional. Teorema A.I.1.1- Las cuatro alturas de un tetraedro son generatrices de una cuádrica reglada, que se descompone en el producto de dos formas lineales si se trata de un tetraedro ortocéntrico. La cuádrica es un hiperboloide de una hoja equilátero que tiene la propiedad de que un plano normal a una generatriz corta a la cuádrica según una hipérbola equilátera. Si el plano normal a la generatriz considerada es un plano tangente, su intersección con la cuádrica se descompone en dos generatrices perpendiculares del sistema distinto de aquella. A continuación se incluye una demostración analítica elemental del teorema mencionado, operando en el espacio cartesiano tridimensional, referido el tetraedro base a un sistema ortogonal de coordenadas, y se deducen de la misma algunas otras conclusiones adicionales, como es, en particular, la determinación de otros dos conjuntos de cuatro generatrices pertenecientes al segundo sistema, y por tanto, incidentes con las alturas del tetraedro. El sistema elegido de coordenadas, para una representación analítica simple de los elementos del tetraedro ABCD , se define de la forma siguiente: la cara ABC del tetraedro se sitúa en el plano Oxy; el origen es el vértice A, esto es O ≡ A ,y el eje Ox es la arista AB. Con este convenio, las coordenadas de los vértices se escriben, A (0,0,0) B ( a,0,0) C (b, c,0) D ( d , e, h ) . Las ecuaciones de las tres caras concurrentes en el vértice D resultan x y z1 d h1 d e1 d e h1 DAB ≡ = 0 → − y 0 0 1 + z 0 0 1 = 0 → − ahy + aez = 0 0 00 1 a 01 a 01 a0 01 x y z1 e h1 d h1 d e1 d e h d e h1 DBC ≡ = 0 → x0 0 1 − y a 01 + z a 01 − a 0 0 = 0 → a 0 01 c0 1 b 01 b c1 b c 0 b c 01 → chx + h( a − b) y + ( ac + be − ae − cd ) z − ach = 0 x y z1 DCA ≡

d e h1 b c01

e h1

d h1

d e1

d eh

= 0 → x c 0 1 − y b 0 1 + z b c 1 − b c 0 = 0 → − chx + bhy + (cd − be) z = 0 , 0 01 0 01 0 01 0 0 0

0 00 1 y las ecuaciones de las cuatro alturas del tetraedro

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( a − b) x − cy = 0 x y z = = → ch h( a − b) ac + be − ae − cd ( ac + be − ae − cd ) y − h( a − b) z = 0 bx + cy − ab = 0 x−a y z = = → BB1 ≡ − ch bh cd − be (cd − be) y − bhz = 0 AA1 ≡

x − b = 0 x−b y−c z = = → −e 0 h ey + hz − ce = 0 x = d DD1 ≡   y = e. La ecuación general de las cuádricas incidentes con las dos alturas BB1 y CC1 se escribe α [(cd − be) y − bhz ] ( x − b) + β (bx + cy − ab) ( ey + hz − ce ) + + γ (bx + cy − ab) ( x − b) + δ [( cd − be) y − bhz ] ( ey + hz − ce ) = 0 . Haciendo que la altura DD1 sea también generatriz de la cuádrica, se tiene CC1 ≡

α [( cd − be)e − bhz ] ( d − b) + β (bd + ce − ab) (e 2 + hz − ce) + + γ (bd + ce − ab) ( d − b) + δ [(cd − be)e − bhz ] ( e 2 + hz − ce) = 0 . El primer miembro de la igualdad, que es un polinomio de segundo grado en la coordenada z restante, debe anularse idénticamente, o sea δ =0 α ( d − b)( − bh ) + β (bd + ce − ab)h = 0

α e (cd − be) ( d − b) + β (bd + ce − ab) ( e 2 − ce) + γ (bd + ce − ab) ( d − b) = 0 , Se obtienen los siguientes valores proporcionales de los parámetros α = bd + ce − ab   β = − b (b − d ) γ = − e (cd − be) − b ( e 2 − ce) = e (be − cd + bc − be) = ce (b − d )  Sustituyendo los valores anteriores, resulta finalmente la siguiente ecuación de la cuádrica K, incidente con BB1 , CC1 y DD1 (bd + ce − ab) [(cd − be) y − bhz ] ( x − b) − b (b − d ) (bx + cy − ab) ( ey + hz − ce) + + ce (b − d ) (bx + cy − ab) ( x − b) = 0 , y también, ordenando los términos polinómicos

x 2 → bce(b − d ) y 2 → − bce(b − d ) z2 → 0 xy → (bd + ce − ab)( cd − be) − b 2 e(b − d ) + c 2 e(b − d ) = b(cd 2 − acd − ce 2 + abe − b 2 e + c 2 e) yz → − bch(b − d ) zx → − bh(bd + ce − ab) − b 2 h(b − d ) = − bh(ce − ab + b 2 ) x → − abce(b − d ) y → − b(cd − be)(bd + ce − ab) + bc 2 e(b − d ) + ab 2 e(b − d ) − bc 2 e(b − d ) = = b( − bcd 2 − c 2 de + abcd + b 2 de + bce 2 − abde) z → b 2 h(bd + ce − ab) + ab 2 h(b − d ) = b(b 2 dh + bceh − abdh ) luego se tiene la ecuación en la forma polinómica ordenada

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ce (b − d ) x 2 − ce (b − d ) y 2 + (cd 2 − ce 2 + abe − acd + c 2 e − b2 e) xy − ch (b − d ) yz − − h (ce − ab + b2 ) zx − ace (b − d ) x + ( abcd − abde + b2 de − c 2 de + bce 2 − bcd 2 ) y + + bh (bd + ce − ad ) z = 0 . Sustituyendo los valores proporcionales de las coordenadas para la altura AA1 , por separado, para los términos de segundo y primer grado, se tiene a) Suma de términos de grado 2 particularizada en AA1 : S 2 = ce(b − d )c 2 h 2 − ce(b − d )h 2 (a − b) 2 + ( cd 2 − ce 2 + abe − acd + c 2 e − b 2 e)ch 2 ( a − b) − − ch (b − d )h( a − b)( ac + be − ae − cd ) − h( ce − ab + b 2 )ch( ac + be − ae − cd ) = ch 2 × [bc 2 e − c 2 de − a 2 be + 2ab 2 e − b 3e + a 2 de − 2abde + b 2 de + acd 2 − ace 2 + a 2 be − a 2 cd + + ac 2 e − ab 2 e − bcd 2 + bce 2 − ab 2 e + abcd − bc 2 e + b 3e − a 2 bc − ab 2 e + a 2 be + abcd + a 2 cd + + abde − a 2 de − acd 2 + ab 2 c + b 3e − ab 2 e − b 2 cd − abcd − b 2 de + abde + bcd 2 − ac 2 e − bce 2 + + ace 2 + c 2 de + a 2 bc + ab 2 e − a 2 be − abcd − ab 2 c − b 3e + ab 2 e + b 2 cd ] ≡ 0 La anulación, como resultado final, de S2 , significa que el punto impropio de la altura AA1 pertenece a la cuádrica. b) Suma de términos de grado 1 particularizada en AA1 : S1 = − ace(b − d )ch + ( abcd − abde + b 2 de − c 2 de + bce 2 − bcd 2 )h ( a − b) + + bh (bd + ce − ad )( ac + be − ae − cd ) = h × ( − abc 2 e + ac 2 de + a 2 bcd − a 2 bde + ab 2 de − − ac 2 de + abce 2 − abcd 2 − ab 2 cd + ab 2 de − b 3de + bc 2 de − b 2 ce 2 + b 2 cd 2 + ab 2 cd + b 3de − − ab 2 de − b 2 cd 2 + abc 2 e + b 2 ce 2 − abce 2 − bc 2 de − a 2 bcd − ab 2 de + a 2 bde − abcd 2 ) ≡ 0 Asimismo, la anulación resultante de S1 significa que la altura AA1 está situada en el plano tangente a la cuádrica en el punto A. La intersección del plano y la cuádrica se descompone en el producto de las dos generatrices, una de cada sistema, que pasan por A. La anulación simultánea de S2 y S1 identifica la altura AA1 como una de estas generatrices, perteneciente al mismo sistema que las tres alturas utilizadas en la deducción de la ecuación de la cuádrica. De la simple inspección de la ecuación de la cuádrica se deducen también,

Corolario A.I.1.2: Las intersecciones de la cuádrica con las caras del tetraedro son hipérbolas equiláteras. Basta comprobar la intersección con el plano z = 0 , puesto que los coeficientes de x 2 e y 2 son opuestos. Corolario A.I.1.3: El corolario anterior identifica la naturaleza de la cuádrica como un hiperboloide de una hoja equilátero. En realidad el Corolario A.I.1.2 es una aplicación particular de la propiedad más general del hiperboloide equilátero (Ref.[4]), que establece que su intersección con un plano ortogonal a una generatriz cualquiera es una hipérbola equilátera si el plano no es tangente a la cuádrica, descomponiéndose en este segundo caso en producto de dos generatrices ortogonales. La demostración en el planteamiento analítico seguido anterior, es igualmente obvia, pues basta comprobar la intersección con un plano cualquiera z = k . Por otro lado, la determinación de las generatrices del segundo sistema incidentes con cada uno de los vértices facilita una segunda caracterización de la cuádrica como alternativa de la ya de- 162 -

ducida. Consideraremos en primer lugar, al efecto, la siguiente propiedad general de cualquier triedro,

Proposición A.I.1.4: En un triedro, los planos que pasan por cada arista, perpendiculares a la cara opuesta a la misma, contienen una recta común. La siguiente demostración alternativa vectorial es expresiva. Si a1 , a2 , a3 son los versores de las tres aristas, el versor v de una recta intersección común de los planos descritos, debe cumplir la relación (v ∧ a1 ).( a2 .a3 ) = 0 , y las otras dos resultantes de la permutación circular de los índices, y aplicando la siguiente expresión equivalente del desarrollo del producto escalar de dos productos vectoriales (Ref.[9],p.16) ( v ∧ a1 ).( a2 .a3 ) = ( v.a2 ).( a1.a3 ) − ( v.a3 ).( a1.a2 ) , la compatibilidad de las tres ecuaciones análogas resulta inmediata. Asimismo, y para mantener la relación en el contexto y notaciones de nuestra exposición, justificamos esta propiedad referida al triedro A, BCD . Formando las ecuaciones de los haces respectivos de planos incidentes con cada arista y, a continuación, el plano del haz que cumple la condición ortogonal indicada, se obtienen:

 AB ≡ y = z = 0 ; H AB ≡ y + λz = 0  x y z1   0 0 01 = 0 → cfx − bfy + (be − cd ) z = 0  ACD ≡ b c 01   de f1  π 1 ⊃ H AB ⊥ ACD ≡ − bf + λ (be − cd ) = 0  π 1 ≡ (be − cd ) y + bfz = 0  AC ≡ cx − by = z = 0 ; H AC ≡ cx − by + λz = 0  x y z1   0 0 01 = 0 → − afy + aez = 0  ABD ≡ a 0 01   de f1  π 2 ( ⊃ H AC ) ⊥ ABD ≡ abf + aeλ = 0  π 2 ≡ ecx − bey − bfz = 0  AD ≡ ex − dy = eh − dz = 0 ; H AD ≡ ex − dy + λ ( eh − dz ) = 0  x y z1   0 0 01 =0→ z=0  ABC ≡ a 0 01   b c 01  π 3 ( ⊃ H AD ) ⊥ ABC ≡ λ = 0  π 3 ≡ ex − dy = 0 La condición de incidencia de π 1 ,π 2 y π 3 con una recta común supone, en efecto, la anulación del determinante - 163 -

0

be − cd

ce e

− be −d

bf

ce − cd

0

− bf = ce − be − bf = 0 . 0 e −d 0

Teorema A.I.1.5: Las generatrices del segundo sistema incidentes con cada vértice dependen únicamente del triedro correspondiente a este vértice y son independientes de las caras opuestas correspondientes. Estas generatrices son precisamente las rectas de incidencia común en el enunciado de la proposición A.I.1.4. Cada generatriz es el lugar de los ortocentros de los tetraedros ortocéntricos que tienen el mismo triedro común. Las dos generatrices incidentes en el vértice A, AA1 y AA2 , son la intersección de la cuádrica, o bien de su cono asintótico, con el plano tangente en A, es decir, son soluciones del sistema ce(b − d ) x 2 − ce(b − d ) y 2 + (cd 2 − ce 2 + abe − acd + c 2 e − b2 e) xy − ch(b − d ) yz −  2 − h(ce − ab + b ) zx = 0 − ace(b − d ) x + ( abcd − abde + b2 de − c 2 de + bce 2 − bcd 2 ) y + bh(bd + ce − ad ) = 0 .  La ecuación de la proyección de esta intersección sobre el plano z = 0 se escribe bh(bd + ce − ad )ce(b − d ) x 2 − bh(bd + ce − ad )ce(b − d ) y 2 + + bh(bd + ce − ad )(cd 2 − ce 2 + abe − acd + c 2 e − b 2 e) xy − [ch(b − d ) y + h(ce − ab + b 2 ) x ][ace(b − d ) x − ( abcd − abde + b 2 de − c 2 de + bce 2 − bcd 2 ) y ] = 0 , y seleccionando los coeficientes de los términos x 2 , y 2

x 2 → bceh(bd + ce − ad )(b − d ) − aceh(ce − ab + b 2 )(b − d ) = = ceh(b − d )(b2 d + bce − abd − ace + a 2b − ab2 ) = ceh(b − d )(b − a )( bd + ce − ab) y 2 → − bceh(b − d )(bd + ce − ad ) + ch(b − d )( abcd − abde + b 2de − c 2 de + bce 2 − bcd 2 ) = = ch(b − d )( −b 2 de − bce 2 + abde + abcd − abde + b 2 de − c 2 de + bce 2 − bcd 2 ) = = ch(b − d )( abcd − c 2 de − bcd 2 ) = c 2dh(b − d )( ab − ce − bd ) , El producto de los coeficientes angulares, m1 y m2 , de las rectas proyección de las dos generatrices, resulta ceh(b − d )(b − a )(bd + ce − ab) e( b − a ) =− , m1m2 = 2 c dh(b − d )( ab − ce − bd ) cd y sustituyendo el valor m1 de la pendiente de la proyección de la altura AA1 , se obtiene para m2 e(b − a ) 1 e(b − a ) a − b e m2 = − = , × =− × cd m1 cd c d que es, en efecto, la pendiente de la proyección de la arista AD sobre la cara ABC . Teniendo en cuenta la independencia de esta generatriz de la posición de cada vértice B, C , D en su arista correspondiente, se deduce una construcción alternativa de la generatriz mediante la construcción de un tetraedro ortocéntrico a partir del triedro A, BCD . Basta trazar por el vértice B , por ejemplo, el plano perpendicular a la arista AC , cuya intersección con el plano ABD , BD′ , sustituye a la arista AD , y el plano perpendicular a la arista AD , cuya intersección con el plano ABC , BC ′ , sustituye a la arista BC . La arista CD es así sustituída por la arista C ′D′ . El tetraedro resultante ABC ′D′ tiene la propiedad ortocéntrica y la generatriz buscada, AA2 , coincide con la altura del vértice A sobre la cara BC ′D′ . El pié de la altura coincide con el ortocentro de BC ′D′ . Todos los tetraedros ortocéntricos que tienen común el triedro - 164 -

A, BCD tienen las caras opuestas al vértice A homotéticas y paralelas a BC ′D′ , y la generatiz AA2 es, simultáneamente, el lugar de los ortocentros de estos tetraedros y de los ortocentros de las caras opuestas al vértice A. La intersección de la cuádrica con un plano ortogonal a la generatriz AA2 , que podemos suponer el plano BC ′D′ , pasa por los vértices y el ortocentro del triángulo BC ′D′ , luego es también, como sabemos, una hipérbola equilátera Además, en estos tetraedros particulares las rectas AA1 y AA2 son, obviamente coincidentes, lo que supone la descomposición de la cuádrica asociada a los mismos en el producto de dos formas lineales. Los casos de descomposición se considerarán, con mayor generalidad, en la sección A.I.4.

Cabe, todavía una tercera caracterización de la cuádrica con la determinación de un tercer conjunto de generatrices pertenecientes al mismo segundo sistema, es decir, que son incidentes con las generatrices AA1 mientras son rectas que se cruzan con las generatrices AA2 :

Proposición A.I.1.6: Las normales a las caras del tetraedro ABCD en el ortocentro de las mismas, que tienen la denominación de alturas ortocéntricas, son generatrices de la cuádrica. Sean BB1 la altura del tetraedro desde el vértice B y BB2 la altura del triángulo BCD , de manera que BB1B2 es el plano por B perpendicular a la arista CD , que no contiene al vértice A, si las dos aristas opuestas AB y CD no son ortogonales. La recta BB2 pasa por el ortocentro del triángulo BCD y no contiene al vértice A, y la perpendicular al plano BCD en este punto, que estará situada en el plano BB1B2 , corta a la altura BB1 . En consecuencia, si no existen pares de aristas opuestas ortogonales, la altura ortocéntrica relativa a la cara BCD encuentra a las alturas BB1 , CC1 y DD1 en tres puntos distintos, y por supuesto a la altura AA1 , por ser paralelas, y es, por tanto, una generatriz perteneciente al segundo sistema. Obviamente, esta recta encuentra también a la cuarta generatriz del primer sistema, la altura de A, por ser rectas paralelas. Se obtiene una comprobación paralela escribiendo la ecuación de la normal, que utilizaremos en la siguiente sección A.I.3. Las coordenadas del ortocentro de BCD resultan, b−a AH ≡ y = − x∪z=0 c BH ≡ x − b = 0 ∪ z = 0 b(b − a ) H ≡ (b,− ,0) , c luego las ecuaciones de la normal por H al plano ABC x = b   b(b − a ) ,  y = − c que satisfacen, en efecto, la ecuación de la cuádrica. Basta para ello comprobar la anulación del coeficiente de z, puesto que los términos que no dependen de z forman la ecuación de una hipérbola equilátera que pasa por los vértices A, B y C, y también por el ortocentro al que corresponden las coordenadas que definen la recta.

A.I.2.- EL PUNTO DE MONGE Otro descubrimiento relacionado de interés es la definición de un punto singular por G. Monge, que se ha denominado el punto de Monge de un tetraedro cualquiera, en el caso más general en

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el que no se cumple la propiedad ortocéntrica, y que se ha considerado como análogo del ortocentro. Es el punto común de los planos mediatrices de la distancia perpendicular común de cada par de aristas opuestas, que en el tetraedro ortocéntrico coincide con la definición de ortocentro. El punto de Monge, M, desempeña un papel en cierta medida similar al del ortocentro del triángulo plano, siendo ambos coincidentes en un tetraedro ortocéntrico, y la recta GM se ha considerado como una generalización de la recta de Euler del mismo, por ser incidente también con el centro Γ de la esfera circunscrita al tetraedro y con el centro de la esfera que pasa por los centros de gravedad de las caras, que es la homotética inversa de la anterior de centro G y razón − 1 / 3 . La definición del punto M y la alineación de los tres puntos G, M y Γ se generalizan también para dimensiones superiores a 3. Sin embargo la analogía señalada con la recta de Euler del triángulo se limita a esta única propiedad y no se corresponde con la multiplicidad de propiedades derivadas del concepto de geometría dual, que se presentan como objeto principal de este texto, si no es con la condición adicional ortocéntrica analizada en el Capítulo IV. Se define, también, el punto de Monge de un tetraedro cualquiera, como el punto de intersección común de los seis planos que pasan por el punto medio de cada aristas y son normales a la arista opuesta. En el sistema coordenado utilizado las ecuaciones respectivas de cada plano se escriben: A+ D d e h d ce π( ) ⊥ BC → ( x − )(b − a ) + ( y − )c + ( z − )0 = 0 → (b − a ) x + cy = (b − a ) + 2 2 2 2 2 2 B+D a+d e h a+d ce π( ) ⊥ AC → ( x − )b + ( y − )c + ( z − )0 = 0 → bx + cy = b+ 2 2 2 2 2 2 C+D b+d c+e h b+d π( ) ⊥ AB → ( x − )a + ( y − )0 + ( z − )0 = 0 → x = 2 2 2 2 2 A+ B a a π( ) ⊥ CD → ( x − )(b − d ) + y (c − e) + z ( − h ) = 0 → (b − d ) x + (c − e) y − hz = (b − d ) 2 2 2 A+C b c b ce π( ) ⊥ BD → ( x − )( d − a ) + ( y − )e + zh = 0 → ( d − a ) x + ey + hz = ( d − a ) − 2 2 2 2 2 B+C a+b c ( a + b)d ce π( ) ⊥ AD → ( x − )d + ( y − )e + zh = 0 → dx + ey + hz = + , 2 2 2 2 2 que tienen el punto común

b+d  x = 2  1  M ≡  y = ( ab − b 2 + ce) 2c  1  2 2 2 2  z = 2ch ( acd − abe + b e − d c + c e − e c ) Proposición A.I.2.1: El centro de la cuádrica K es el punto de Monge del tetraedro. El centro de K es el punto solución del sistema  f x′ = 0 → 2ce(b − d ) x + (cd 2 − ce 2 + abe − acd + c 2 e − b 2 e) y − h(ce − ab + b 2 ) z = ace(b − d ) ( I )  2 2 2 2  f y′ = 0 → (cd − ce + abe − acd + c e − b e) x − 2ce(b − d ) y − ch(b − d ) z =  2 2 2 2 = abcd − abde + b de − c de + bce − bcd ( II )  f ′ = 0 → (ce − ab + b 2 ) x + c(b − d ) y = b(bd + ce − ad ) ( III )  z que es verificado por las coordenadas calculadas de M. - 166 -

La expresión de las coordenadas x e y de M, prueba, además, la siguiente tercera construcción alternativa de M,

Corolario A.I.2.2: El punto M es intersección común de las cuatro paralelas medias de cada par de generatrices perpendiculares a las caras del tetraedro, esto es, cada altura y la perpendicular a la cara correspondiente en el ortocentro, que tiene la denominación de altura ortocéntrica. La siguiente propiedad del punto de Monge ha determinado una cierta analogía con el ortocentro con el que coincide en el caso particular de un tetraedro ortocéntrico que es la condición necesaria de existencia del segundo.

Proposición A.I.2.3: El centro de gravedad, el circuncentro y el punto de Monge del tetraedro están alineados. El circuncentro verifica el sistema:  x 2 + y 2 + z 2 = R2  2 2 2 2 ( x − a ) + y + z = R  2 2 2 2 ( x − b) + ( y − c ) + z = R ( x − d )2 + ( y − e)2 + ( z − h) 2 = R 2 ,  que da el punto Γ a  x = 2  b 2 + c 2 − ab  Γ ≡ y = 2c  2  cd − acd + ce 2 + ch 2 − b 2 e − c 2 e + abe = , z  2ch  cumpliéndose, por tanto, la relación 2G = M + Γ . Corolario A.I.2.4: El centro de gravedad G es el punto medio del segmento MΓ . Corolario A.I.2.5: El centro de la esfera que pasa por los cuatro centros de gravedad de las caras está en la recta GM . Esta segunda esfera es la homotética inversa de la esfera circunscrita, con centro de homotecia G y razón − 3 . Los resultados anteriores han determinado en la literatura matemática tradicional, como explicamos en la sección A.I.1, una cierta analogía de la recta GM en un tetraedro cualquiera con la recta de Euler del triángulo en el espacio bidimensional. Debemos destacar, sin embargo, que esta asociación no es completa en el caso general, pues la recta GM , en el espacio tridimensional no satisface las propiedades mucho más amplias que corresponden a la geometría dual si queremos referirla expresamente a un haz de esferas definido por las dos esferas descritas. Basta comprobar que no existe una esfera incidente con los seis puntos medios de las aristas, que pueden agruparse en dos conjuntos de tres vértices de dos triángulos homotéticos inversos de razón − 1 , situados en planos paralelos: el triángulo mediano de una cara cualquiera, y el triángulo de vértices los puntos medios de las aristas concurrentes en el vértice opuesto a esta cara. Los circuncentros de ambos triángulos son homotéticos de razón − 1 respecto del centro de homotecia de los triángulos, que es el centro de gravedad del tetraedro, y la recta que definen no es perpendicular a los planos paralelos en un tetraedro cualquiera, de manera que no existe - 167 -

un punto (centro de esfera) común, ni existe, por tanto, la esfera análoga del círculo de los nueve puntos del plano. A la misma conclusión se llega considerando que una tal esfera debe pasar por los piés de las alturas de las caras, que no son coincidentes para una arista cualquiera con relación a las dos alturas que inciden sobre la misma. Estas limitaciones desaparecen si el tetraedro es ortocéntrico en cuyo caso hay una identificación completa del punto M con el ortocentro, y también de las rectas de Euler en el plano y la recta generalizada GM .

A.I.3.- CASOS DEGENERADOS Se consideran casos degenerados los correspondientes a propiedades específicas del tetraedro que determinan la descomposición de la cuádrica K en el producto de dos formas lineales.

Proposición A.I.3.1: Si existe sólo un par de aristas opuestas ortogonales, en cuyo caso el tetraedro se denomina semi-ortocéntrico, la cuádrica K se descompone en el producto de dos planos ortogonales secantes, respectivamente incidentes con cada una de las aristas, cuya intersección es la perpendicular común de aquellas. En el sistema de coordenadas elegido, la forma más simple propuesta es la ortogonalidad de las aristas AB y CD , que supone la condición AB ⊥ CD → d = b . La ecuación de la cuádrica resulta (b 2 + ce − ab) [( cb − be) y − bhz ] ( x − b) = 0 , descompuesta en los planos x − b = 0  (c − e) y − hz = 0 . La comprobación de las propiedades enunciadas es obvia. Las alturas del tetraedro correspondientes a cada dos vértices en una misma arista AB y/o CD , que son coplanarias, se cortan, respectivamente, en dos puntos situados en la perpendicular común, intersección de los dos planos normales, así  x = b ( a − b) x − cy = 0  b( a − b)   AA1.BB1 ≡ (c − e) y − hz = 0 ≡  y = c bx + cy − ab = 0   b( a − b)(c − e)   z = ch  x = b x − b = 0   CC1.DD1 ≡ ey + hz − ce = 0 ≡  y = e  y = e e( c − e )  z = h  Proposición A.I.3.2: Si existen dos pares de aristas opuestas ortogonales, las dos aristas restantes son también ortogonales, lo que corresponde a la definición del tetraedro ortocéntrico. Los tres pares de puntos resultantes de la Proposición A.I.4.1 son todos ellos coincidentes en un punto común que denominamos ortocentro del tetraedro, que es intersección de las cuatro alturas y de las tres perpendiculares comunes de cada par de aristas opuestas. Las otras dos condiciones de ortogonalidad de pares de aristas opuestas se escriben

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AC ⊥ BD → b( a − d ) − ce = 0 AD ⊥ BC → d ( a − b) − ce = 0 , que se identifican entre sí, si se cumple la primera condición establecida en la Proposición A.I.4.1 anterior, d = b . Se comprueba igualmente la identificación, en este caso, de los dos puntos resultantes, intersecciones de cada par de alturas con la perpendicular común al par de aristas opuestas ortogonales. El único punto común coincide con el ortocentro, que es también el punto de Monge. La ecuación de una cuádrica incidente con las cuatro alturas de un tetraedro ortocéntrico, descompuesta como producto de dos planos ortogonales, puede tener ahora tres formas distintas, respectivamente asociadas a cada uno de los pares de aristas opuestas ortogonales. Las tres rectas intersección de cada par son las perpendiculares comunes del par elegido de aristas y forman un triedro trirrectángulo. Otras propiedades geométricas del tetraedro ortocéntrico y su generalización multidimensional han sido analizadas in extenso en el Capítulo IV.

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A.II.- CUÁDRICAS ASOCIADAS A UN TETRAEDRO Y A UNA CUÁDRICA CIRCUNSCRITA/INSCRITA

A.II.1.- CUÁDRICA DE LOS EJES POLARES En la sección IV.10 se ha analizado la construcción del que denominamos punto de Brianchon generalizado mediante una construcción análoga a la construcción simplificada del punto de Brianchon en el plano, esto es relativo a la cónica circunscrita a un triángulo, y, en nuestra extensión multidimensional. con relación a un N-simplex y una N-cuádrica circunscrita, determinando las condiciones de posibilidad de dicha construcción. Si tales condiciones no se cumplen, y limitándonos, como en la sección A.I al espacio de tres dimensiones, nos referimos aquí a la existencia de una segunda cuádrica asociada a cualquier tetraedro inscrito en una cuádrica, que expresa el siguiente teorema: Teorema A.II.1.1.- Las cuatro rectas que unen un vértice con el punto de intersección común de los planos tangentes a la cuádrica circunscrita al tetraedro en los tres vértices restantes, que hemos denominado en IV.10.2, ejes polares del tetraedro, son generatrices del mismo sistema de una cuádrica reglada. En el sistema tetralineal referido al tetraedro inscrito, la matriz de la forma cuadrática se escribe M = [aij ] , i , j ∈ {1,...,4}, aii = 0 , aij = a ji . Las coordenadas del punto intersección de los planos tangentes en los vértices de la cara opuesta al vértice Vi , son los respectivos elementos de la fila i de la matriz adjM , según hemos justificado en (IV.10.2), X j (Vi′) = Aij , j = 1,...,4 . Las ecuaciones de las rectas ViVi′, i = 1,...,4 son, por tanto, de nuevo según (IV.10.3), X X X V1V1′ ≡ 2 = 3 = 4 , (A.II.1) A12 A13 A14 y las otras tres resultantes de la permutación circular de los índices. La ecuación general de las cuádricas incidentes con V1V1′ y V2V2′ se escribe α ( A13 X 2 − A12 X 3 )( A23 X 1 − A12 X 3 ) + β ( A13 X 2 − A12 X 3 )( A24 X 1 − A12 X 4 ) + (A.II.2) + γ ( A14 X 2 − A12 X 4 )( A23 X 1 − A12 X 3 ) + δ ( A14 X 2 − A12 X 4 )( A24 X 1 − A12 X 4 ) = 0 . Las ecuaciones (A.II.1) particularizadas de la recta V3V3′ resultan X X X V3V3′ ≡ 4 = 1 = 2 , A34 A13 A23 y sustituyendo en la ecuación (A.II.2) las coordenadas X 1 y X 2 deducidas en V3V3′

α ( A13 A23 X 4 − A12 A34 X 3 )( A13 A23 X 4 − A12 A34 X 3 ) + β ( A13 A23 X 4 − A12 A34 X 3 )( A13 A24 X 4 − A12 A34 X 4 ) + + γ ( A14 A23 X 4 − A12 A34 X 4 )( A13 A23 X 4 − A12 A34 X 3 ) + δ ( A14 A23 X 4 − A12 A34 X 4 )( A13 A24 X 4 − A12 A34 X 4 ) = 0 ,

(A.II.3) expresión que debe anularse idénticamente para cualquier valor de la relación X 3 / X 4 , como condición de incidencia de la cuádrica con V3V3′ , esto es

α = 0   β (− A13 A24 + A12 A34 ) + γ (− A14 A23 + A12 A34 ) = 0  β A A ( A A − A A ) + γA A ( A A − A A ) + δ ( A A − A A )( A A − A A ) = 0 , 12 34 13 23 14 23 12 34 14 23 12 34 13 24 12 34  13 23 13 24 luego, en valores proporcionales - 170 -

α = δ = 0   β = A12 A34 − A14 A23 γ = A A − A A , 13 24 12 34  y se obtiene la siguiente ecuación de la cuádrica ( A13 A24 − A14 A23 )( A34 X 1 X 2 + A12 X 3 X 4 ) +

+ ( A12 A34 − A13 A24 )( A14 X 2 X 3 + A23 X 1 X 4 ) +

(A.II.4)

+ ( A14 A23 − A12 A34 )( A13 X 2 X 4 + A24 X 1 X 3 ) = 0 . Podemos determinar las ecuaciones de la segunda generatriz incidente con cada uno de los vértices, además de las rectas (A.II.1), que son generatrices del segundo sistema, es decir, pertenecientes al mismo sistema que las alturas ortocéntricas, o sea, las segundas rectas intersección con la cuádrica de cada plano tangente en un vértice. Consideraremos, al efecto, las intersecciones de la cuádrica y del plano tangente en V1 con el plano X 1 = 0 , que tienen las ecuaciones respectivas A12 ( A13 A24 − A14 A23 )X 3 X 4 + A13 ( A14 A23 − A12 A34 ) X 4 X 2 + A14 ( A12 A34 − A13 A24 ) X 2 X 3 = 0

A34 ( A13 A24 − A14 A23 ) X 2 + A24 ( A14 A23 − A12 A34 ) X 3 + A23 ( A12 A34 − A13 A24 ) X 4 = 0 . Eliminando la coordenada X 4 da la ecuación de la forma A13 A34 ( A13 A24 − A14 A23 )( A14 A23 − A12 A34 )( A13 A34 X 22 + A12 A24 X 32 ) + Λ X 2 X 3 = 0 , donde la determinación del coeficiente Λ sería superabundante, y no la precisaremos por ello. El producto de los dos valores de la relación X 2 / X 3 , correspondientes a las dos generatrices concurrentes con V1 , es así

 X2   X2  A A  ×   = 12 24 ,   X 3 1  X 3  2 A13 A34 y, puesto que conocemos ya el primer valor, en la ecuación de la generatriz-altura (A.II.1), se obtiene también  X2  A  = 24 ,   X 3  2 A34 luego, teniendo en cuenta el comportamiento simétrico de las variables, las ecuaciones de la segúnda generatriz por V1 , resultan finalmente A34 X 2 = A24 X 3 = A23 X 4 . (A.II.5) Si se considera el tetraedro de vértices los puntos Vi′ , resulta la siguiente expresión alternativa de A.II.1.1: Las cuatro rectas que unen cada vértice de un tetraedro con el punto de contacto de la cara opuesta con una cuádrica inscrita, son generatrices de una cuádrica reglada. El tetraedro definido por los puntos de tangencia de las caras, es, ahora, en efecto, el tetraedro de partida en el primer enunciado, de vértices Vi . En la Ref.[3],p.659, figura una demostración, si bien particularizada, de esta propiedad general, que es la correspondiente a las esferas inscrita y/o exinscritas de un tetraedro.

A.II.2.- CUÁDRICA DE LOS EJES DE BRIANCHON Existe una segunda cuádrica asociada a un tetraedro inscrito en una cuádrica, considerando ahora la aplicación del teorema simplificado de Brianchon en el plano, con relación a cada una de las caras triangulares. - 171 -

Teorema A.II.2.1.- Las cuatro rectas que unen un vértice con el punto simplificado de Brianchon asociado a la cónica intersección de la cuádrica con la cara opuesta y al triángulo inscrito formado por los tres vértices restantes, situados en esta cara, que hemos denominado en IV.10.3 ejes de Brianchon del tetraedro, son generatrices del mismo sistema de una cuádrica reglada inscrita. En el sistema tetralineal referido al tetraedro inscrito, la matriz de la forma cuadrática se escribe M = [aij ] , i , j ∈ {1,...,4}, aii = 0 , aij = a ji . Los elementos de la fila i de la matriz M , son los coeficientes del plano tangente a la cuádrica en el vértice Vi . La intersección de este plano tangente con el plano coordenado X i = 0 es la tangente en Vi a la cónica intersección de la cuádrica circunscrita con el mismo plano X i = 0 . Por consiguiente, los elementos de cada fila son también los coeficientes de una de las dos ecuaciones representativas de la tangente citada, además de la ecuación correspondiente a la anulación de la coordenada no situada en el plano, esto es, las ecuaciones de las tres tangentes en la cara opuesta a V1 , se escriben a12 X 1 + a23 X 3 + a24 X 4 = 0 ∪ X 1 = 0  a13 X 1 + a23 X 2 + a34 X 4 = 0 ∪ X 1 = 0 a X + a X + a X = 0 ∪ X = 0 24 2 34 3 1  14 1 Resolviendo el sistema formado por el primer y el segundo grupos de ecuaciones, y el formado por el primero y tercero, se obtienen las siguientes coordenadas de los vértices V1, 4 y V1,3 del triángulo circunscrito a la cónica intersección en el plano V1, 4 ≡ (0, a34 , a24 ,− a23 )

V1,3 ≡ (0, a34 ,− a24 , a23 ) , y las ecuaciones de las rectas V4V1, 4 y V3V1,3 en el plano (¡referidas a las coordenadas tetralineales, no a coordenadas trilineales!) X2 X3 = a34 a24 X2 X4 , = a34 a23 que se cortan en el que hemos denominado punto de Brianchon simplificado V1, B ≡ (0, a34 , a24 , a23 ) . En resumen, las coordenadas de cada punto Vi , B son los elementos de la fila i de la matriz simétrica 0 a34 a24 a23  a 0 a a  34 14 13  , M (VB ) =  a24 a14 0 a12    a23 a13 a12 0  y las ecuaciones de la recta V1V1, B , por ejemplo, se escriben

X2 X3 X4 . (A.II.6) = = a34 a 24 a 23 La propiedad que enunciamos es, de nuevo, una consecuencia directa de la forma simétrica de la matriz M (VB ) , análoga a la de la matriz adjM , (IV.10.2). La demostración llevada a cabo del teorema A.II.1.1 puede seguirse igualmente, paso a paso, sin más que sustituír la notación Aij por la notación ahk , donde los dobles subíndices ij , hk son - 172 -

complementarios en el conjunto {1,2,3.4)}. Resulta así, en este enunciado, la ecuación de la cuádrica (a13a24 − a14a23 )(a12 X 1 X 2 + a34 X 3 X 4 ) +

+ (a12 a34 − a13a24 )(a23 X 2 X 3 + a14 X 1 X 4 ) +

(A.II.7)

+ (a23a14 − a34 a12 )(a24 X 2 X 4 + a13 X 1 X 3 ) = 0 . Un ejemplo particularmente expresivo de esta propiedad se deduce a partir de la esfera circunscrita a un tetraedro cualquiera. Puesto que el que hemos llamado punto de Brianchon simplificado de una cara, coincide con el punto de Lemoine del triángulo, las cuatro rectas que unen cada vértice con el punto de Lemoine del triángulo definido por los otros tres vértices, son generatrices de una cuádrica reglada, que podría llamarse la cuádrica de los ejes simedianos del tetraedro. Una demostración alternativa de esta cuádrica particular figura en [3],p.652. Encontramos todavía una curiosa análogía mayor en las ecuaciones de ambas cuádricas (A.II.4) y (A.II.7), teniendo en cuenta que la aplicación del teorema de Jacobi, mencionado anteriormente en IV.10.2 ([7],p.103), considerando además el carácter complementario de los índices dobles, establece la proporcionalidad respectiva de los tres coeficientes numéricos que afectan a cada binomio cuadrático en una y otra fórmula, esto es, por ejemplo, para los dos coeficientes primeros

A13 A24 − A14 A23 = sg M ( a13a24 − a14 a23 ) . (A.II.8) La anulación de los tres coeficientes anula también las ecuaciones de ambas cuádricas y según se demostró en la sección IV.10, son las condiciones necesarias y suficientes para la concurrencia de las cuatro generatrices en la deducción de (A.II.4). En virtud de (A.II.8), las mismas condiciones supondrán igualmente la concurrencia de las cuatro rectas consideradas en la deducción de (A.II.7). La misma analogía permite la deducción directa de la segunda generatriz incidente con un vértice del tetraedro, así, la segunda generatriz por V1 , además de (A.II.6), teniendo en cuenta (A.II.5), tiene ecuaciones a12 X 2 = a13 X 3 = a14 X 4 . (A.II.9)

A.II.3.- CUÁDRICAS CORRELATIVAS DUALES La propiedad correlativa dual considerada en el Capítulo V, permite las siguientes definiciones de otras dos cuádricas asociadas a un tetraedro cualquiera, circunscrito, en este caso, a una cuádrica dada, que son respectivamente paralelas a las cuádricas anteriormente definidas en las Secciones A.II.1 y A.II.2. Nos limitamos aquí a descripciones y explicaciones sucintas, pues las formulaciones análogas resultan superfluas.

Teorema A.II.3.1.- Las cuatro rectas intersección de cada plano definido por los tres puntos de contacto de tres caras del tetraedro con la cuádrica inscrita, con el plano de posición de la cuarta cara excluída, son generatrices del mismo sistema de una cuádrica reglada inscrita. El plano definido por cada tres puntos de contacto de las caras es el plano polar del vértice Vi respecto de la cuádrica inscrita, y, también, el homólogo correlativo del punto denominado Vi′ en A.II.1.1. Su intersección con el plano vi es correlativa del eje polar ViVi′. Si B es la matriz que define la forma cuadrática tangencial de la cuádrica inscrita dada, las ecuaciones tangenciales de la segunda generatriz situada, por ejemplo, en la cara v1 , cuya intersección con la generatriz definida anterior, es el punto de tangencia de la cuádrica con v1 , son, análogamente a (A.II.5), B34U 2 = B24U 3 = B23U 4 , - 173 -

y teniendo en cuenta que las respectivas matrices de las dos formas cuadráticas tangencial y puntual de la cuádrica son matrices adjuntas, si A = adjB es la matriz de la forma puntual, como es la definición más habitual, las ecuaciones anteriores se escriben a34U 2 = a24U 3 = a23U 4 , y las correspondientes ecuaciones puntuales X2 X3 X4 + + = 0 ∪ X 1 = 0. a34 a24 a23

Teorema A.II.3.2.- a) Si se selecciona un triedro cualquiera, las tres rectas intersección de cada una de sus caras con el plano definido por el vértice común y los puntos de contacto de las otras dos caras con la cuádrica inscrita, son coplanarias. b) Las cuatro rectas intersección de cada plano resultante en la construcción anterior, que es incidente con uno de los vértices del tetraedro, con el plano de los tres vértices restantes, son generatrices del mismo sistema de una cuádrica reglada inscrita. El plano definido en a), incidente con Vi , es el homólogo correlativo del punto de Brianchon simplificado, Vi , B , correspondiente a la cara vi . La intersección de este plano con vi , en b), es correlativa del que hemos llamado eje de Brianchon, ViVi , B . Análogamente al resultado en (A.II.9), y teniendo en cuenta las consideraciones en A.II.3.1, la segunda generatriz situada en el plano tangente v1 , tiene ecuaciones tangenciales b12U 2 = b13U 3 = b14U 4 , y las correspondientes ecuaciones puntuales X2 X3 X4 + + = 0 ∪ X1 = 0. A12 A13 A14 Las anteriores deducciones efectuadas de generatrices individuales se hacen extensivas a las otras tres generatrices análogas mediante tres sucesivas permutaciones circulares de los índices. Señalaremos, finalmente, que las condiciones de concurrencia de las generatrices para las cuádricas en A.II.1 y A.II.2, que suponen la anulación de las cuádricas, a las que se refiere la expresión (A.II.8), se aplican igualmente en la formulación de condiciones de concurrencia de generatrices y anulación de las cuádricas en A.II.3.

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REFERENCIAS

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