Fondamenti Di Controlli Automatici, 1P [2 ed.] 8838660999

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Paolo Bolzern Riccardo Scattolini N ico l a Sch i avoni

Fondamenti di controlli automatici Se co n da e dizion e

IV!cGraw-Hill

web ~r'? site ~

Dal catalogo Mt:Graw-Hill: Cbfacchio, Tecnologie infommrf~-he per l'aufoma..•ione Chiavmni, Caccavak, Villa.a.i, Sciavicco, Frm,dame/1!Ì di sisremi dinam;ci Di Febbraro, Giua, Sistemi ad evend discreti Fimi, Pimv:mo, Voli!!, Gestione della qualitll dell'aria. Modelli d; sfmr,/a!;i,me eprevrs,one Ma,,nao.i, Tecnologia di!i sistemi di contrr;,/lo Sciavicco.Siciliano,Roboticaindus1riale:

Al/errore

In q1 in11nello1perto.

Problemi e sistemi di controllo

...,.,, Slslt!madicontrollo !n;inl!llochi!JSO.

bo I!: miSU1;&bilc e la variabile di controllo, in anelloapettOo chiuso, ne dipende, si usa~ che~ ~ o r e effettua ~~pnuazione del dlsm~. ~ com-

generaradal~_sia~dipei,dea,bwecechedalla~IXlltIOll.alll. da 11n'altta~~!!e misunlbilJ,del piocoso, a sua volta infl=zata dalla variabile di connollo (Figura 1..5). Per esempio. nell'ambitO dell"industtia chimica le varl!lbili controllate sono spesso le concem:nizioni.dei prodOtti. che sono mlsunbili solo con apparecchiarure complesu- e costose. Si usa perciò dl'ettuare un contrOilo in uello chiuso retteazi.onando temperattm:. che si possono misurare in maniera piil. sem.plìcè cd economica. e pommo con st! infomiazioni utili pc:J" il

conuollodelleconcentrazi.Oni. Siosservi.cbeèpiuttostonlt'Sl'eventualitàchc tutte le compoomti del disturbo siano dfenhameote misUiale. Analogamente, non si considera qui l'ipotesi di misurabililidei parametri. inqoamo di solito

irrealistica. Flgur,,1.5

Slstamad!contrQl!oln 1nellodl!u1o(onvarlabili contn:>llataemlsurata

...... Una situazione tipica di controllo in rerroazione con compensaziooe si ha qumdo la variabile di contIOlloè costituita dalla somma di due addendi; uno di essi dipende salo dal dism.tbo od è generato da un compensatorl! (pertantO è in anello aperto);l'aitto.piuttostochedipendereseparatamentedalstgnalediiiferimnro e dalla variabile controllata, è una funzio~ à:ll'errore {1.21 che viene generata da llll conrrollom inrerxoazione. Come momat0 nellt Figura.1.6, l'interocontrollOie ! dunque costltui10 da due elementidiri:golatione e due nodi sommatori. Tutte.via, con lieve sbuso di linguaggio, il termine contt'Ollore sarà spesso riferito alsolocompenwon:oalsolocontrolloreinrettoaziOI1e,.dandoperSCOlltatale. plHElllZ8dcinodi!ilDIDIIlatOri.

7

8 C&pitolo1 Agurau 51rtenad1rontrollo sulJ'91TOreton comjJel'ISBllone. di~+

Emn

Esernpi01., (Sc,gwlodogliBiem.pil.2cl.8)Rwinareinmellaapenoil---dilXlllll'llllo dellalleJllllClaltlldii,nedifi.cio&igamça.-pan,lapoltallld'ariadaJdcbllrflincgniillwdedi 1empoinfumioacddbtempmJnradelidemtaedevenlUabnmitodi.qmlla_,..(compcnllZiaoe). Neil"arclbdlideverit'erireallppOmlllelpD1eli9.llpmmettlcidisturbi-misutalci prusleoiJ:illDIIUIIDllellecheessillÌa:40tlt;tipulailoro'-'lllorloaadamealiD0miDlli. Sodw:anlB i

l ~ queste ipotesi. DOII.~ verificate, efio~'tÌ deleonbOllo 11110 tan:bJil!lO

ragahlmi. Lo51eNalllslemadico®Ollo,nallzmofu.llllellochiuso,fadjpendmlo.ponatad':m:ia111che dalla rempeo1m1. conrrcllat8. Il conlroll.;cita(disturbo). Quesnua>duJ..

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agiranno,uduem0loriequindisuduevalvole(a11natori),cosidadel'l0ll:runareloportatediingresso deidueliqnidi

Problemi e sistemi di controllo

I

-~ITT~-

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Trasdnttare

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••I

C.n,o

dootrilli 10, m corrispondenza di ogni tema costituita da un istante iniziale tg, una funzione di .mgresso u (t), t .è'. to, e una condizione ini:ziale x (to) = x"'. La fun:zi.one x (r), t .è'. to, si dice movimento dello staio del sistema. L'Equazione (2.4) pmnetre invece di determinare l'evoluzione dell'uscila y (t) per t :::: to, m conispondenzadella funzione di ingresso u (t) e dell'andamento dello statox (t) pe. r .è'. to. La funzione y (t),t::: lo, vasottoilnomedimovimenrodeU-usciro.. fsemplo2.4 (Segr,i1odegùEsempi2.2e2.3}Persemphdell'interai:ioneconilcircuitodieocitaziooo.d.ispostosullo statore.Seque,rultimocirculioèalimentatodaunateosiol!Cditccit:a:i:ionecostaore.;lpuòntenere che la forza elettromotrice sia p,-oponiona!e alla veloci~ di rotazioae w_. ovvero , _; = kw. k > Oè un·opporrnna costane... D"altra port,; in ,....,,,,adi perdite OJJ.Ugetichl:loel moti:m:, lacowia gen,,rata risolta Cm = ki. Questa coppia motrice, insieme alla coppia resistenle C, doqna al corico mecca.llicocaWeveatual.ecoppiadiatt.ritoC,,cbcsia.,swoerli.propWOoaloalla":loci!lt(ovvero Ca =hw.doveh ~ OèJlcod'ficlen.tedialttito),souorcspon,abilidellarotaiioncdetl·a1b«o motOll;. di momento di inenia J. renle

dove

Uti\izz:ando k convenaioni di seg,;,,o mostrnte nella Figura 2.6. la ''pffle eletrrica.. Ml motor~ quindide.scrittadall~eqmrzioni i;(1)-e1(1)

=

~

Ri{r)+Li(r)

e1(t) ""kw(t) mentrela''partemeccanica••èaiorldisparidiièorientatoversol'alto.

Per chiudere, si osservi che il concetto di uscita di equilibrio si può estendere anche al dr.ardo di tempo (2.30), ove si conclude che risulta

Nel caso dell'Esempio 2.10 il concetto di equilibrio implica che la den~i1!l. di materiale lungo il nastro ("stato·• del sistema) sia costante nel tempo. Ragionando in termini. Ultuitivi, si può poi comprendere come essa risulti identica in ogni punto del nastro e coerente con le portate afferente ed efferente, costanti e uguali tra loro.

Sistemi dinamici a tempo continuo 41

2.6 Stabilità In questo paragrafo si introduce la nozione di stabilitll, proposta alla fine del XIX secolo dal matematico russo A.M. Liapull.OY, che considera le com:eguenze sul movimento di un sistema di un'incert=a sul valore iniziale del suo stato, nell'i-potesi che gli ingressi siano fissi e noti. In particolare. essa sostanzialmente rid.ù.ede che ~piccole" perturbazioni dello stato iniziale rispetto a un valore di riferimento provochino solo "piccole" perturbazioni del nw.inlento dello stato, eventualmente destinate ad annullarsi su tempi lungbi La stabilità risulta proprietà di grande interesse, perché lo stato itllziale di un sistema di solito non è né noto, né misurabile. Inoltre, può accadere clw sul sistema intervengano perturbazioni di breve durata, anche se di intensità elevata, e quando ciò accade è molto difficile studiare il componamcnto del sistema durante l'azione delle pc:rturbazioni stesse, mentre è relativamente facile farlo a partire dall'istante in cui esse scompaiono se si sanno trattare incertezze sullo stato, che, in quell'istante, sitrà ignoto. Per quanto affermato, è chiaro che la ti:asfonnazione d'uscita del sistema non svolge alcwt ruolo in questo contesto e quindi non sarà considerata, bmlrre, la trattazione che segue è riferita ai soli sistemi stazionari di equazione di staro {2.26) conistanteinizialeto=O

2.6.1 Stabilità dell'equilibrio Per un sistema dinar,rico inwriante nel tempo_ si considerino un ingresso costante ii, t 2: O,euncorrispondente stato di equilibrio.i:. dcnonominale. Si consideri auche un movimento dello stato x (t), detto penurbaro. generato a partire ancora da ii., ma da uno stato ioici.a\e -Xo (in generale dh·erso da i), Si può allora dare la seguente definizione.

u (t)

=

Definizione 2.1 Uno stato di equilibrio X si dice srabile se, per ogni & > O, esiste li > O tale che per t\llti gli stati iniz.lali xo che soddisfano la relazione

risulti

llx(t)-ill .:'.::t: pertuttiit 2: O. figura2.14 Equilibrlo$1:abll~. -Eqrnlibcionorninale

42 Cap]tolo2

La proprietà di su,.bilità dell'equilibrio richiede quindi clle il movimento perturbato rimanga "vicino" all'equilibrio nominale, come illustrato ~ Figura 2.14 per un sistema di ordine 2. Pill prec:isame11te, scelta ubitrariamente piccola la massima distanza accettabile in un quzlunque istante di tempo tra il movi=to perttnb!UO e l'equilibrio nomina.le, quest'ultimo è stahilc se la condizione su tale dis1anza ~ rispettata, pur di pmi.dere k, Bta10 udzia1c del movbncilto perturbato sufficientemente prossimo all'equilibrio nominale. Se cib oon accade l'equilibdo sì dice instabile come specifu:ato qui di aeguito e illustrato nella Figura2.15.

Definìzìcne 2,2 Uno stato di equilibrio .i si dice instabile se non~ stabile.

■

Flgural.15 Equillbriolnstablle.

-Equilibric>ll0flliDale

L'instabilità di uno stato di equilibrio implica percib che esistono perturbazioni arbitrariamente piccole dello stato iniziale che provocano l'allontanamento dello statodclsistemadall'cquilibriostesso. La proprieti di S!abilità pub essere raffona1a richiedendo ancb~ che il rnovinwnlo perturbato tenda ali' equilibrio nominale per t ➔ oo. CiO è specificato dalla seguente definizione di stabilità asintotica, che cos.tituisee la proprietà di maggi=

im:portam:a,C1.1ncetrualeenellapratica(Figura2.16). figura2.16 Equlllb~oislntotlCllmente stabile.

Sistemi dinamici a tempo continuo 43

Oefinìzìone 2-3 U110 stato di equilibrio iC si dice asimotìcamerite stabile se, perognis > O, esiste~> O tale che per tutti gli stati inizialixo che soddisfano la relazione

llxo -Xli :'e S ri3ulti llx(t)-XII

:s s

pertuttiir,! O,einoltre ~Jlx(r)-i'II =0

Esempio 2, 17

(Seguito degli Esempi 2.2.2.3è2.l2) Comegiàdetto,peru (l) = U a.Jr equilibrio si deduce che il movimento pertu,batorelatiH.l allo stato

•i hai= U. Dalrequazionedi .s!ato (2.5) Jni-.Jalex(O}=xo~

.T(l)-i

= .-•!RC (xo - i )

equindi,si:sidelòiderad,erisulti

fx(l)-il::;:e bostapremkreS=e.vistocheper12::0

Lusta1 O. l"unico statodiequihbriodellacentrifugaèi'=h.Pt0rdoten:ru.tlarelepropdetàdi•tabilitàdigues1ostato diequihbrio.iuvecodiswdioreilmo,.imento(2..24), (2.25),C Otalechcpertntti. gli statiin.izialixo çhe soddisfano la ·

relazione

U.xa-ioW :SII rlsuld

llx(t)-i(tlll::ss pertuttiit~O.einoltre ,~W.:c(t)-Z(t)U=O

:~:!

as!ototic,i,ment,~Cr-•>, •.• ,e'•(l-•J}rDBU (t)dr 1

y1 1r,

(3.36)

= cr;;' fo' diag{e'1Cr-•>,e"'i(l-•1, ••• ,r-(l-•lJTDBM(t)dr+Du(t) (3.37)

ovvia la generalizzazione al casoiD cui A non sia diagonalizzabile, besw. mila sua furma di Jordan Ai. met1ttt, è

EsempioU (Segui1'-y))l ;,"sill.(111.1)

Y;{i)

= ""iiif. (1+-;rtia(Cdl-y))

60 capitofo3 Soinveces1'F•~conk .. 0.ail0ia.rinllis1""0elli.rlca'la

3.3 Equilibrio Si vogliano ora 8Daliz1.ere le caratteristiche del sistmna (3.1), (3.2) per quanto rl.,auarda le condizioni di equilibrio. Assumendo costante e pari a ii l'ingresso del sistmia, sullabasc:deirlsultatidelPara&rafo2.55ipuÌlaffemJ.are:1=~

(3A(l)

(3.-11)

Questeesp=ioTiirappresenttmodunq"aivaloridiequihbrioilll"'tmamentcdellaoorrento di armataraedena velocilàdiro!UiO!l~

Quando invecedet (A)

= O. l'Equazione (3.38) può ammettere infinite soluzìoni o

anche non ammetterne alcuna. aoche in dipendenza dal valore di U, a seconda che il vettore BU sia era quelli generabili moltiplicando a destra A per un opportllllo vettore X oppure r:o. Vi sono allora infiniti stati di equilibrio, oppure nessuno, e la

nozione di guadagno sratico perde comunque senso. Esempio3.9

.i:rrl = [~ ~],:(l)+[!!]u(t) ym= [56}:r(t) Seii.italecheii.1 ,f-?ii1.non,·isonosratidiequ.ilibrioperché.i:;!,-O. Seioveceii1

alloravisonoinfiniristalieusciaadieqoihbnodescrittida

= -:,:i:.

3.4 Stabilità Per un sistema lineare stazionario la determinazione delle proprietà di stabiliià sì può effetruare in modo semplice, perché esse di fatto sono relative all'intero sistema e dipendono dal solo movimento libero. Per di piiì anche il calcolo del movimento libero può essere evirato. Infatti, è possibile dare condizioni necessarie e sufficienti di stabilità asintotica e condizioni solo sufficienti di instabilità riferite esclusivamente agli autovalori del sistema. In terrnini di soli autovalori noa si possono quindi individuare le caratteristiche di stabilità proprio in tutti i casì, ma i risultati disponibili sono comunque 11tilissimi, sopratrutto in vista del fatto che la proprietà di stabilità asintotica è quella di gr11.11 lunga più inr.cressante nelle applicaiio!l.\. Nel seguito del paragrafo si vedrà anche come perfino il calcolo degli autovalori sìa sostituibile con procedure più semplici.

62

Capitolo3

3.4.1

Stabilità del sistema

Si supponga di voler sru'diare la stabilità del movimento X (t) prodotto nel sistema line11n: di equazione di stato (3.1) dai.i (r), t ~ O, ei (O)= i 1: inparticolareque~to movimento può essere anche uno stato dJ. equilibrio. Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti (feorema 3.1) con 1/ (t) = u" (1) = il (t), xQ io, = Xo+Bxo,a = -1 e{J l,si trovacheladifferenza&x(t) =x(t)-i (t) tra movimento perturbato e movimento nominale è retta dall'equazione

x;

=

=

8.i(r)=AOx(t)

8x{0)=8X-O

(3.42)

Pertanto, per le Definizioni 2.4-2.6 (o 2.1-2.3 se ci si riferisce a un equilibrio}, il movimento .i è stabile se. per ogni e > O, esiste O > O tale che per tutti i 8xo per

cui

IIOxoll.:'élì

(3.43)

risulti (3.44)

Il movimento (o l'eouilibrio) X è instabile se ciò non accade, ed è invece asintoticamente stabile se, Oltre a essere stabrle, venlka pure la condizione

,~IIOX(r)ll=D

(3.45)

Si osservi subito che nella rifonnulazione appena data delle Definizioni 2.4-2.6 (o 2.1-2.3) concernenti la stabilità, i non appare più in modo esplicito, o in altri terminil'analisidcliastabilitàdiunqualunquemovfmentoi,einparticol&re anche di un qualunque stato di equilibrio, porta comunque allo studio delle soluzioni dell'Equazione (3.--1-2) ai variare dello stato iniziale come specificato dalla condizione (3.43). Si può quindi enunciare il seguente fondamentale risultato

Teorema 3.2 Un movimento (o u□o stato di equilibrio) di un sistema lineare stazionario è stabile, asimoàcamente stabile o instabile se e solo se tutti i movimenti (o gli stati di equilibrio) del sistema sono rispettivamente stabili, asintoticamente stabili o instabili. ■ Comeconseguenzadiquestoteorema.perisistemiconsfderatihasensoparlare di stabilità, swbilitàasinroticaoinstabilitàdelsistema.invecechedisingoli movimenti (o stati di equilibrio), intendendo con questo il sussistere delle proprietà di stabilità, stabilici. .t5intotica o instabilità di umi i movimenti (o- gli stati di equilibrio) del sistema stesso secondo le Definizioni2.4-2.6(o2.1-2.3).

3.4.2 Stabilità e movimento libero Al di là dei simboli utilizzati,Je soluz.iooidell'Equazione (3.42)non sono altro che i movimenti liberi dello srato del sistema di eqmrrione di stato (3.1). La stabilità allora sussiste quando, fissata arbitrariamente unan=massimae porqu.esti movimenti,. la condizione (3.44) è verificata almeno per stati iniziali dì norma abbastanza piccola, come specificato dalla condizioue (3.43). Pero, visto che, moltiplicando per un qualunque coefficiente lo stato iniziale, il movìmento libero rimane moltiplicato per lo stesso coefficiente, ciò che conta è esclusivamente che il movimento libero sia limitato, cioè non vada ;lll'infinito, per tutti i t ~ O e per tutti. gli stati iniziali. In questo caso, e solo in questo caso,infani,purdi prendere O abbastanza piccolo, la condizione (3.44) è veri:lìC11ta. Se questo non accade ìnvece il sistema è irutabile. Infine, perché il sistema sia asintoticamente

Si!itemi lineari e stazionari a tempo continuo

Stabile la condizione (3.45) impooe che. sempre per linearità, tutti i movimenti liberi si annullino asintoticamente; essi devono anche essere liruitati, ma, vista la strottu...-a dei modi costituenti il monmemo hbero (Paragrafo 3.2.5), quest'nlti.ma condizione è implicata da quella concernente l'azzeramento asintotico. Quanto qui osservato costituisce la dimostraZione del seguente imjXlrtantissimo risultaro.

Un sistema linea::e stazionario è stabile se e sol.o se tutti i roo,;,imenti liberi dello stato sono li.mill!.ti; è asintoticamente stabile se e solo se tutti i movimenti liberi dello stato tendono a zero per r --+ o::i; è instabile se e solo se almeno un movimento libero dello smto non è 11mìtato ■

Teorema 3.:1

Le proprietà di stabilità dipendono dunque esclusivamente dalle caratteristiche della matrice della dinamica A. Inolire. per i sistemi che qui si stanno considerando la proprietà di stabilità 11Sintorica implica quella di siabil.i.tà globale di tutti i movimenti, perché, indipendentemente dal valore delia norma di fao, sotto l'ipotesi di asintotica stabilità tutti i mo,'1.n:J.enti liberi t.endono a zero e quindi tu.ni i movimenti perlurbau tendono al filO\'imento nominale, qualunque esso sia Esempio 3,10

(Seguito ~gli EsMl])i 12-,'.A • 2.!7) Dall EqllllZ1one (1..7) si ricavo cll< i}l)lOv:i-

mento lfbemddlo stoto è

che, qualu:lque siax (O),~ limitato per,~ O~ ;i annulla per,-+ oc. Il Teorema 33 ronfmnacosi

irisultotiottenu1inell'Esempio2.17.

Si prenda ancora in esame il ritardo di tempo {2.30). Poiché guesto sistema non è descritto dalle Equazioni (3.l) e t3.2J. in senso sn:etto non sono applicabili a esso né le De fini rioni 2.4--2.6, né i Teoremi 3.2 e 3.3. Sì è già affermato però nel Paragrafo 2.4 cb.e esso è lineare, e perrnnto gli si possono applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e i concetti di movimento libero e forzato. Generalizzando i risultati dell'Esempio 2.10 e sulla base dei commenti a esso successivi. si può concludere che il movimenlù libero dello stato del ritardo è limitalo per t :> O e nullo per t ~ r qual.ungut: sia la condizione iniziale, in quanto è chiaro cb.e la densità di materiale sul na:,7:ro trasportatore per t ~ z non dipende dalla densità irùziale. Perciò, assumendo di poter applicare comunque il Teorema 3.3, si può ben dire che il ritardo di tempo (2.30) è a;;intoticamenti:: stabile, sia pure in un senso allargato.

3.4.3 Stabilità e autovalori L'analisi del movimento libero condoni nel para..,o-rafo precedente ha mostra!Oche esso è costituito da una combinazione lineare