Elemente der Stereometrie: Band 2 Die Berechnung einfach gestalteter Körper [Reprint 2019 ed.] 9783111422343, 9783111057729

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Kiemente der Stereometrie Von

Prof. Dr. Gustav Holzmüller in Hagen i. W.

Z w e i t e r Teil

Die Berechnung einfach gestalteter Körper

Mit 156 Figuren und zahlreichen Übungsbeispielen

Leipzig G. J. G ö s c h e n s c h e

Verlagshandlung

1900

Alle R e c h t e von der Verlagshandlung vorbehalten.

Vorwort. Der vorliegende zweite Band der Stereometrie beschäftigt sich hauptsächlich mit der Berechnung einfach gestalteter Körper, also der einfacheren Polyeder, C y l i n d e r , K e g e l und der Kugel. Der dritte soll die schwierigeren Gebilde der Raumgeometrie behandeln und dabei die neueren Methoden bevorzugen. Allerdings gestattete das C a v a l i e r i sche Prinzip schon hier (ähnlich wie in Bd. I) Ausblicke auf die allgemeinen Flächen zweiten Grades, die S c h w e r punktsuntersuchungen greifen ebenfalls hier und da in die b a r y c e n t r i s c h e n Methoden über und deuten die ö u l d i n s c h e n Regeln und andere Methoden neuerer Art an, auch die Newton-Simpsonsche R e g e l wird für die Prismatoide mit ebenen und windschiefen (hyperbolischen) S e i t e n f l ä c h e n lind fair die allgemeinen F l ä c h e n zweiten Grades behandelt und sogar auf einen Körper mit transcendentaler Grundfläche (cykloidisches Oval) angewandt; aber dies alles sind nur Vorbereitungen, die noch nicht den ganzen Bereich dieser Berechnungsmethoden erschöpfen. Dagegen ist die sogenannte Summenformel, die wohl besser als Schichtenformel bezeichnet wird, vollständig für den dritten Band aufgespart, weil hier die Berechnung noch nicht auf unendliche Reihen gegründet werden sollte. Unendliche Reihen, und zwar geometrische, treten hier nur in Übungsbeispielen auf, bei denen es sich um Inhaltssummen oder Oberflächensummen unendlich vieler ähnlicher Körper handelt. Die betreffenden Aufgaben eignen sich in ausgezeichneter Weise für Exercitia oder Klassenarbeiten

Vorwort.

IV

grösseren Umfangs, da bei ihnen die verschiedensten Gebiete zur Geltung kommen und die Resultate sehr einfach, sind. Nur bei der Behandlung der M e r c a t o r k a r t e werden gewisse Reihen in einer dem Schüler unmerklichen Weise summiert, was auf einen elementaren Nachweis der Formeln

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i , a l t ßlf yx, ¿j, C1, G1 an Stelle der vorigen Buchstaben treten. Die Horizontalen A C und A C1 schliefsen einen Winkel e — d — (5X ein, UC1 = s' berechnet sich also aus s' 2 = A C* + A Ci — 2A C • A Cx cos s = sin2 ß -)- sin2 /?! — 2 sin ß sin ß1 cos e. Ferner ist GGX — s zu berechnen aus 2 2 s 2 = (C& — CG) + s' = (cos & — cos ßf + s'2 2 2 = cos ß + cos ßt — 2 cos ß cos ßt + sin2 ß + sin2 ßt — 2 sin ß sin ßi cos e oder s 2 = 2 — 2 (cos ß cos ßi + sin ß sin ßx cos e).

Zugleich ist S2

= 12 + 12 _ 2 . 1 . 1 . cosf = 2 — 2 c o s f ,

also folgt aus der Gleichheit der rechten Seiten cos f = cos ß cos ßy + sin ß sin ßt cos s = cos ß cos ßi -f- sin ß sin ßx [cos d cos dt + sin d sin