Elektronentheorie der Metalle [Reprint 2021 ed.] 9783112516829, 9783112516812

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LIFSCHITZ • ASBEL • KAGANOW

Elektronentheorie der Metalle

I. M. L I F S C H I T Z M. J A . A S B E L M. I. KAGANOW

Elektronentheorie der Metalle In deutscher Sprache herausgegeben von

Dr. sc. nat. R. Herrmann O. Professor an der Humboldt-Universität zu Berlin

Mit 110 Abbildungen und 1 Tabelle

A K A D E M I E - V E R L A G - B E R L I N 1975

H . M . J1H$IUHU • M . H . A 3 6 e j i b • M . H . K a r a H O B 3JIEKTPOHHAH TEOPHH METAJIJIOB

Erschienen im Verlag N a u k a , Moskau

Übersetzung aus dem Russischen von D r . rer. n a t . H . D i t t m a n n , B e r l i n P r o f . D r . sc. n a t . R . H e r r m a n n , B e r l i n D r . rer. n a t . H . K r ü g e r , B e r l i n

Erschienen im Akademie-Verlag, 108 Berlin, Leipziger Str. 3—4 © der deutschen Ausgabe Akademie-Verlag, Berlin, 1975 Lizenznummer: 202 • 100/436/75 Gesamtherstellung: V E B Druckerei „Thomas Müntzer" 582 B a d Langensalza Bestellnummer: 7617382 (6036) • L S V 1175 Printed in G D R EVP 7 8 , -

Vorwort zur deutschen Ausgabe

Die Festkörperphysik und insbesondere die elektronische Struktur fester Körper haben in der Vergangenheit stets ein großes Interesse gefunden, da die Anwendungsmöglichkeiten festkörperphysikalischer Eigenschaften für die Materialwissenschaften und die Elektronik eine sehr wichtige Rolle spielen. Hieraus ergibt sich auch das Interesse an der mathematisch exakten Formulierung einer einheitlichen Theorie dieser Erscheinungen. Daher sind sowohl die theoretischen Arbeiten als auch die experimentellen Untersuchungen auf diesem Gebiet sehr intensiv. Die theoretischen Untersuchungen stark idealisierter Strukturen sind hierbei besonders weit fortgeschritten, was in dem vorliegenden Buch demonstriert wird. Mit der Monographie „Elektronentheorie der Metalle" wird eine Variante der Theorie elektronischer Eigenschaften von Metallen vorgelegt, die das Dispersionsgesetz der Leitfähigkeitselektronen, das die Individualität der Elektronen in den einzelnen Metallen sehr genau charakterisiert, in den Mittelpunkt stellt. Die quasiklassische und quantenmechanische Darstellung der Bewegung von Teilchen mit kompliziertem Dispersionsgesetz unter dem Einfluß äußerer Felder, d. h. hauptsächlich die Bewegung von Kristallelektronen im Magnetfeld, bilden die Grundlagen der Betrachtungen. Der eingehenden Untersuchung der thermodynamischen und kinetischen Eigenschaften sowie des Resonanzverhaltens der Ladungsträger in Metallen wird eine ausführliche Betrachtung der Topologie der FüBMi-Flächen sowie der Bewegung der Ladungsträger auf diesen Energieflächen vorangestellt. Diese Aussagen bilden zusammen mit den im Anhang ausgewiesenen quantitativen Angaben über die FERMi-Flächen einer Reihe von Metallen eine umfassende Darstellung der Bandstruktureigenschaften der Metalle. Die Beziehungen zwischen den charakteristischen Eigenschaften der einzelnen Metalle und dem Dispersionsgesetz ihrer Leitfähigkeitselektronen werden dargelegt, und es wird formuliert, wie sich die Energiespektren der Elektronen aus den experimentellen Ergebnissen aufstellen lassen, wobei jedoch schon von einem theoretischen Modell ausgegangen werden muß. Der Umfang der Monographie und die in ihr dargestellten Probleme werden wesentlich durch den Beitrag der Autoren und anderer sowjetischer Wissenschaftler zur Theorie der Elektronen in Metallen bestimmt. Diese Arbeiten haben zur Konzeption der Quasiteilchen für die Leitfähigkeitselektronen geführt und

VI

Vorwort

wesentlich zur Formulierung der modernen Elektronentheorie der Metalle beigetragen. Die Autoren haben die« Monographie aus ihren Originalarbeiten zusammengestellt. In der Übersetzung wird deshalb auf Erläuterungen und Anmerkungen verzichtet. Auftretende Tragen und Probleme können wesentlich besser durch Einsicht in die Originalarbeiten geklärt werden, die ausführlich zitiert sind. Kollektive Erscheinungen wie Supraleitung und Ferromagnetismus werden nicht betrachtet, und die Autoren weisen darauf hin, daß diese Erscheinungen traditionsgemäß gesondert behandelt werden. Das gleiche gilt für die mechanischen Eigenschaften wie Elastizität und Plastizität. Von den Autoren wird die Vermutung ausgesprochen, daß die mechanischen Eigenschaften durch relativ kleine, selbständige Bereiche der FERMI-Flächen, die in den meisten Metallen vorhanden sind, bestimmt werden. Diese Bereiche der FERMi-Flächen, die meist nur 1 0 - 3 bis 10~5 Elektronen pro Atom enthalten, können in den Halbmetallen, in denen nur diese Elektronengruppen vorhanden sind, gut untersucht werden. Die große Aufmerksamkeit, die den Halbmetallen entgegengebracht wird, beruht auch darauf, daß ihre kleinen FERMI-Flächen mit heute schon experimentell erreichbaren äußeren Einwirkungen, wie Magnetfelder und hohe Drucke, stark beeinflußt werden können. Trotz der Geschlossenheit, mit der die Elektronentheorie der Metalle hier vorgestellt wird, weisen die • Autoren abschließend darauf hin, daß mit der Bestimmung des Energiespektrums der Elektronen die Untersuchung der Metalle bei weitem nicht zu Ende geführt ist: „Viel eher muß angenommen werden, daß nur die ersten Schritte getan wurden. E s stehen noch die Aufstellung der Korrelationsfunktionen, die detaillierte Untersuchung der Wechselwirkungsprozesse der Elektronen mit anderen Quasiteilchen und vor allem die Erforschung der Metalleigenschaften aus, die nur durch die Kenntnis des Energiespektrums der Elektronen vorausgesagt und berechnet werden können."

Der Herausgeber

Vorwort

Bei der inhaltlichen Gestaltung unseres Buches „Elektronentheorie der Metalle" waren wir zu allererst bestrebt, die Gedanken darzulegen, die wir bei dem Wort „Metall" assoziieren, ohne die Randbedingungen (wie Umfang des Buches, Vorkenntnisse des Lesers usw.) näher festzulegen. Das Metall wird als eine geladene Flüssigkeit in einem Ionengerüst aufgefaßt, die durch ihre Existenz dem Gerüst Stabilität verleiht. Die Flüssigkeitsteilchen sind die Leitfähigkeitselektronen. Nimmt man sie aus dem Metall heraus, so verhalten sie sich wie gewöhnliche Elektronen mit der Ladung e, dem Spin 1/2 und der Masse ra. Trotzdem unterscheiden sich die Leitfähigkeitselektronen des Kupfers wesentlich von denen des Eisens. Als Maß ihrer Individualität dient das Dispersionsgesetz — die komplizierte Abhängigkeit ihrer Energie vom Impuls. Das Dispersionsgesetz der Leitfähigkeitselektronen offenbart sich in allen Metalleigenschaften. Es bestimmt das unterschiedliche Verhalten der verschiedenen Metalle und spielt eine besondere Rolle in allen Quantenerscheinungen, die zur Zeit in erster Linie untersucht werden. Die genaue Kenntnis der Dispersionsgesetze ist für die Beschreibung eines Metalls genauso wichtig wie z. B . die Kenntnis der Energieniveaus der Atome für die Berechnung der Eigenschaften eines Gases. Für viele Metalle ist das Dispersionsgesetz der Leitfähigkeitselektronen bekannt. Diese Ergebnisse sind am Schluß des Buches im Anhang I I I , der freundlicherweise von Herrn Y u . P . GAIDTTKOW zusammengestellt wurde, nebst kurzen Erläuterungen und einer umfangreichen Bibliographie zusammengefaßt. Die Analyse der experimentellen Daten mit Hilfe mehr oder weniger zuverlässiger Modelle, d. h. das Auffinden quantitativer Beziehungen zwischen den Meßgrößen und den Parametern des Dispersionsgesetzes, ist ohne eine Theorie der strukturempfindlichen Erscheinungen (wie die der magnetischen, galvanomagnetischen usw.) unmöglich. Deshalb wurde in diesem Buch sehr viel Wert darauf gelegt, diese Effekte in einer für die Interpretation der Energiespektren besonders günstigen Form theoretisch darzulegen. Die Aufgabe der Theorie der Metalle erschöpft sich natürlich nicht darin, Entschlüsselungsrezepte für Dispersionsgesetze zu liefern, und die vorliegende Monographie soll auch nicht als Sammlung solcher Rezepte betrachtet werden. Die hier diskutierten Effekte sind für sich allein schon höchst interessant, denn gerade sie stellen das dar, was man heute allgemein als elektronische

VIII

Vorwort

Eigenschaften der Metalle bezeichnet. Es sollen hier nicht alle in die Monographie aufgenommenen Fragestellungen aufgezählt werden, da der Inhalt des Buches anhand der Kapitelüberschriften eingesehen werden kann. Wir möchten aber an dieser Stelle auf die Probleme hinweisen, die nicht in das Buch aufgenommen wurden bzw. denen geringere Aufmerksamkeit geschenkt wurde. Stil und Aufgaben des Buches, die in der Einleitung erläutert werden, zwingen uns zu Kürzungen. Darunter fällt vor allem die Temperaturabhängigkeit der Transportkoeffizienten (elektrische Leitfähigkeit, Wärmeleitvermögen usw.). Des weiteren werden keine Näherungsmethoden von Elektronenstrukturberechnungen für Metalle behandelt, da bereits einige Bücher zu dieser speziellen Thematik erschienen sind. Schließlich fehlt die Theorie von Elektronenensembles (wie Ferro- und Antiferromagnetismus, Supraleitung usw.), da das traditionsgemäß ein besonderes Stoffgebiet ist. Selbstverständlich dachten wir beim Schreiben des Buches auch an diejenigen, die es lesen werden, und teilten unsere Leser in zwei Gruppen ein: in „Experimentatoren" und „Theoretiker". Während sich die ersteren für den physikalischen Gehalt eines Effektes und dessen Zusammenhang mit den Eigenschaften der Leitfähigkeitselektronen interessieren, müssen die letzteren auch wissen, wie die Formeln abgeleitet werden. Deshalb sollte der Theoretiker wenigstens die Kapitel vollständig lesen, in denen die ihn interessierenden Fragen behandelt werden. Der Experimentator findet, nachdem er das Buch aufmerksam durchgesehen hat, in der Regel am Anfang jedes Paragraphen die ihn interessierenden Angaben. Es ist uns eine angenehme Pflicht, allen Kollegen, die an dieseih Buch mitgearbeitet haben, unseren Dank auszusprechen, besonders denken wir hierbei an I . N . ADAMENKO und A . A. SHAPIRO, die an der Fertigstellung des Manuskriptes wesentlichen Anteil hatten. Die Autoren

Inhaltsverzeichnis

Vorworte

V

Einleitung

1

§1

1

Ein einfaches Modell

TEIL I

Klassische und quantenmechanische Beschreibung der Bewegung der Leitfähigkeitselektronen § 2 § 3 § 4 § § § §

5 6 7 8

§ 9 § 10

Die Geometrie der Isoenergieflächen Die Zustandsdichte pro Energieeinheit Die Bewegung von Teilchen mit einem willkürlichen Dispersionsgesetz im klassischen Grenzfall Die Bewegung von Leitfähigkeitselektronen in inhomogenen Feldern . . . Stoßprozesse von Quasiteilchen, Streuung Quasiklassische Energieniveaus Die Quantenmechanik von Elektronen mit einem beliebigen Dispersionsgesetz Die Quantentheorie der Streuung von Elektronen mit einem beliebigen Dispersionsgesetz Der magnetische Durchbruch

21 21 33 39 52 60 67 80 87 92

TEIL II

Statistische Mechanik der Leitfähigkeitselektronen § 11

103

§ 14 § 15

Kriterien für Metalle und Dielektrika. FEBMI-Energie. FERMI-Fläche. Elektronenzahl 103 Thermodynamik der Leitfähigkeitselektronen 112 Die anomalen elektronischen Eigenschaften eines Metalls im Gebiet hoher Drücke 118 Para- und Diamagnetismus (schwache Magnetfelder) 125 DE HAAS-VAN ALPHEX-Effekt (starke Magnetfelder) 129

§ 16

D E HAAS-VAN ALPHEN-Effekt und Theorie der FERMI-Flüssigkeit

§12 § 13

140

X § 17

Inhaltsverzeichnis Die Bestimmung des Elektronenenergiespektrums mit Hilfe des

DE HAAS-

VAN ALPHBN-Effektes

§ 18 § 19 § 20 § 21 § 22

144

Allgemeine Theorie der Oszillationserscheinungen 147 Starker Magnetismus der Leitfähigkeitselektronen. Anomalien thermodynamischer Größen in starken Magnetfeldern 151 Domänen- und periodische Strukturen im Magnetfeld 157 Theorie der diamagnetischen Phasenübergänge 168 Bemerkungen über Emissionseigenschaften der Metalle 178 T E I L III

Kinetische Eigenschaften der Elektronen im Metall

181

§ 23

D i e BOLTZMANN-Gleichung

182

§ 24 § 25

Die spezifische elektrische Leitfähigkeit. Das Ohmsche Gesetz Wärmeleitfähigkeit. Das WiEDEMANN-FRANZsche Gesetz. Thermoelektrische Erscheinungen Einführung in die galvanomagnetischen Erscheinungen ". . Galvanomagnetische Eigenschaften in starken Feldern. Geschlossene Trajektorien Galvanomagnetische Eigenschaften in starken Feldern. Offene Trajektorien Die Theorie des statischen Skineffektes Wärmeleitung und thermoelektrische Erscheinungen in starken Magnetfeldern Quantenoszillationen des Widerstandes vonMetallen, S C H U B N I K O W - D E H A A S Effekt

191

§ 26 § 27 § 28 § 29 § 30 § 31

200 207 214 224 238 248 251

T E I L IV

Hochfrequenzeigenschaften der Metalle § 32 § 33 § 34 § 35 § 36 § 37 § 38 § 39 § 40 § 41 § 42 § 43 § 44 § 45 § 46 §47 § 48

Allgemeine Gesetzmäßigkeiten des Verhaltens von Metallen in Hochfrequenzfeldern Anomaler Skineffekt ohne konstantes Magnetfeld Anomaler Skineffekt im konstanten Magnetfeld Physikalisches Bild der Zyklotronresonanz Theorie der Zyklotronresonanz Untersuchung der Oberflächenimpedanz in der Nähe der Zyklotronresonanz Die Dämpfung der Hochfrequenzfelder im Metall Eigenschwingungen und schwach gedämpfte Wellen im Metall FERMI-Flüssigkeitseffekte in den Hochfrequenzerscheinungen von Metallen . Oberflächenskineffekt und Resonanzen bei sehr niedrigen Frequenzen . . . Quantentheorie der Hochfrequenzerscheinungen Quantenzyklotronresonanz Paramagnetische Resonanz in Metallen Kombinierte Resonanz Impedanzoszillationen in schwachen Magnetfeldern Infrarotoptik Bestimmung des Energiespektrums der Metalle

257 258 267 272 275 282 290 296 304 312 315 319 326 331 340 342 345 350

Inhaltsverzeichnis

XI

ANHANG I

Quantenoszillationen des Widerstandes von Metallen bei tiefen Frequenzen

355

ANHANG II

Die Rolle der Elektronen bei Ausbreitung und Absorption von Schall in Metallen . . 359 ANHANG III

Die Topologie der FEKMi-Flächen von Metallen in tabellarischer Form

369

Literatur

385

Sachverzeichnis

403

Einleitung

Der wesentlichste Fortschritt im Verständnis der Physik des metallischen Zustands wurde zu dem Zeitpunkt erreicht, als klar wurde, daß es im Metall freie Elektronen gibt und (als nachfolgende Etappe) daß sich diese freien Elektronen wie ein hochentartetes Quantengas verhalten. In der weiteren Entwicklung wurde von dieser Vorstellung nicht mehr abgegangen, sondern sie wurde vervollständigt und vertieft.

§ 1

Ein einfaches Modell

Ausgehend von der Voraussetzung, daß im Metall freie Elektronen existieren, kann man eine strenge Theorie des metallischen Zustands aufbauen. Der Unterschied eines Metalls gegenüber einem anderen ist nach dieser Theorie durch die Zahl der freien Elektronen und die Unterschiede der Kristallgitter bestimmt. Wenn man auch den rein historischen Wert dieser primitiven Vorstellungen über die Metallelektronen in Betracht ziehen muß, ist es dennoch aufschlußreich, einige charakteristische Merkmale eines solchen hypothetischen Metalls aufzuzählen. Diese Aufzählung gestattet, eine Reihe wichtiger Abschätzungen und Überlegungen zu machen, die für das Weitere sehr nützlich sind. Gewöhnlich betrachtet man die Valenzelektronen als frei. Das bedeutet, daß für die Elemente der ersten Gruppe des MENDELEJEWschen Systems die Zahl der freien Elektronen pro Atom eins beträgt. Für die Atome der 2. Gruppe zwei usw. Dadurch wird die Dichte n der Elektronen in einem solchen Modell nur wenige Elektronen pro Elementarzelle betragen, d. h. n « 1 ¡a3 (a ist der Abstand zwischen den Atomen). Die FERMi-Energie sF eines solchen Gases ist von der Größenordnung 1011 erg oder 10® K, wodurch die hochgradige Entartung des Elektronengases bei allen vorkommenden Temperaturen T (T (p) = s in verschiedenen Gebieten des Impulsraumes befinden. Ein wichtiges und sehr interessantes Problem ist die Bandentartung, wenn sich mehrere Isoenergieflächen in ein und demselben Punkt des Impulsraumes schneiden. Die Gleichung es(p) = B hat für dieses p für verschiedene Bandindizes s eine Lösung. Im weiteren wird nur dieser Fall als Bandentartung bezeichnet. E r wird später noch ausführlich behandelt. Im folgenden soll die Struktur der Isoenergieflächen innerhalb einer Zone untersucht werden. Für bestimmte Werte des Quasiimpulses nimmt die Energie ihren Maximal- bzw. Minimalwert an und kann in der Nähe der Extrema nach Potenzen der Differenz zwischen dem Impuls und dem Impulswert, bei dem das Extremum angenommen wird, entwickelt werden. Liegt keine Bandentartung vor, erhält man

p0 ein Minimum der Energie, so sind die Hauptwerte des Tensors positiv, im Falle des Maximums negativ. Die Komponenten des Tensors haben die Dimension einer inversen Masse, weshalb der Tensor als Tensor der inversen effektiven Massen bezeichnet wird. Man bezeichnet seine Elemente durch

§ 2

Die Geometrie der

23

Isoenergieflächen

TOjj;1. Somit erhält man

e(p)

=

e{p0)

+

- pi0) (pk - pi0) .

(2.1a)

In der Nähe der Extremalpunkte sind die Isoenergieflächen im Impulsraum geschlossen, und in der unmittelbaren Umgebung sind sie nach Formel (2.1) Ellipsoide. Festzustellen ist, daß jede geschlossene Isoenergiefläche, die ein Minimum umgibt, ein Gebiet des Impulsraumes umschließt, in dem die Energie geringer ist als auf der Oberfläche. In der Nähe eines Maximums umfaßt jede geschlossene Fläche einen Bereich, in dem die Energie höher ist als auf der Oberfläche. 8e Das bedeutet, daß im Falle des Minimums der Geschwindigkeitsvektor v = — dp

in Richtung der nach außen zeigenden Normalen gerichtet ist und im Falle des Maximums in Richtung der nach innen zeigenden. In einiger Entfernung vom Extremalpunkt deformieren sich die Isoenergieflächen etwas. Ist die Differenz |e — emin| bzw. |emax — e| klein genug, so bleiben sie geschlossen. Man darf jedoch nicht vergessen, daß infolge der Periodizität der Funktion e(p) diese Oberflächen sich im gesamten Impulsraum periodisch wiederholen. Es ist offensichtlich, daß außer diesen im topologischen Sinne einfachen Flächen noch andere, kompliziertere existieren müssen, da sonst kein stetiger Übergang von Flächen, die ein Minimum umgeben, und anderen, die ein Maximum einschließen, innerhalb einer Zone möglich wäre. Diese Flächen durchdringen sich entweder gegenseitig oder sind offen, d. h., sie gehen durch das gesamte inverse Gitter. In Abb. 1 sind als Beispiel die Isoenergieflächen für ein Dispersionsgesetz der Form

dargestellt. (Im Zweidimensionalen entarten natürlich die Flächen zu Kurven.) Wenn A1 = A2 gesetzt wird, ist eine offene „Fläche" möglich. Sie bildet das aus den dick ausgezogenen Geraden bestehende Gitter in Abb. l a . Ist aber Aj 4= A2, so hat man es mit Schichten offener Isoenergieflächen zu tun (Abb. l b ) . Im dreidimensionalen Fall müssen derartige offene Isoenergieflächen sehr häufig auftreten. Z. B . führt ein „einfaches" Dispersionsgesetz wie (2.2) schon zu Schichten offener Flächen, die etwa ein Drittel des Volumens des gesamten reziproken Gitters einnehmen (Abb. 2). 3»

24

I.

Bewegung der

Leitfähigkeitselektronen

Pula fi

a)

b)

Abb. 1. Linien gleicher Energie

Abb. 2. Typische offene Isoenergieflächen (räumliches Netz) Die Abhängigkeit der Energie vom Quasiimpuls wird durch Gleichung (2.2) bestimmt

Das Dispersionsgesetz der Form (2.2) kann man als erste Glieder einer FouRiEB-Zerlegung eines allgemeinen Dispersionsgesetzes s = s(p) ansehen. F ü r BLOCH-Elektronen in der Approximation starker Bindung spiegelt dieses Gesetz die Berücksichtigung der Wechselwirkung der Elektronen eines gegebenen Atoms mit den nächsten Nachbarn in einem einfach kubischen Gitter wider (vergleiche z. B . [1]). Wie in den Arbeiten [5, 6] gezeigt wurde, führt die Hinzunahme der nächsten FouRiER-Komponenten zu komplizierteren Isoenergieflächen. Physikalisch bedeutet das, daß auch die Wechselwirkung mit den etwas weiter angeordneten Atomen in der BLOCHschen Theorie berück-

§ 2

Die Geometrie der

25

Isoenergieflächen

/

/

/

fHT

/

® / / /

/

c)

b)

Abb. 3. Isoenergieflächen bei unterschiedlichen Werten der Paraneter Aj und der Energie e I n Abb. 3 c ist der Spezialfall dargestellt, wenn ein Teil der Isoenergiefläche in der anderen enthalten ist. Zur Verdeutlichung wurde ein Teil der Süßeren Fläche herausgeschnitten

sichtigt wird. Insbesondere treten sehr häufig die in Abb. 3 dargestellten kompliziert zusammenhängenden Isoenergieflächen auf. Sie werden durch ein Dispersionsgesetz der Form e =

A , A ( Vxa pva pza \ A0 + A1 I cos —— + cos —— + cos — I \ n fi n I

(

Px +

\

n

, cos i

( cos

\ l

Pv

,

Px

2px

Py

«

, Px + Pl , Pv + Pz \ a 4- cos a + cos ai h n I Pz

,

a+cos 2py

Px-Pv

+ Pz n 2p,

,

a+cos

Px-Pv-Pt n

\

aI }

\

+ A4 I(cos cos —— ——aa ++ cos cos—— ——aa ++ cos cos—— —— a J \ n, n n / beschrieben, wobei die Größe der Parameter A} und e das Aussehen der Isoenergiefläche bestimmen. In Abb. 3 c ist der Spezialfall dargestellt, wenn ein Teil der Isoenergiefläche in einer anderen enthalten ist. Zur besseren Verdeutlichung ist ein Stück der äußeren Fläche herausgenommen worden. Einige Beispiele für offene Flächen sind in den Abbn. 2 und 4 dargestellt. Man unterscheidet dabei einfach und mehrfach zusammenhängende Strukturen. Die Topologie der Isoenergieflächen, genauer der Charakter der Kurven, die sich beim Schnitt der Isoenergieflächen mit einer Ebene ergeben, bestimmen das dynamische Verhalten der Elektronen im Magnetfeld. Es ist daher zweckmäßig, die Isoenergieflächen nicht nur danach zu klassifizieren, ob sie offen oder geschlossen sind, sondern auch nach dem Verhalten der ebenen Kurven auf ihnen.

26

I.

Bewegung der

Leitfähigkeitselektronen

Abb. 4. Unterschiedliche Typen von Isoenergieflächen

Man erhält somit folgende Fälle: 1. Geschlossene sich nicht schneidende Isoenergieflächen a) Geschlossene Kurven (Bahnen) b) Geschlossene lassen (siehe Abb.

Flächen, auf denen es keine sich schneidenden ebenen gibt (einfachstes Modell: Kugel). Flächen, die sich schneidende ebene Kurven (Bahnen) zu4a).

2. Geschlossene sich selbst durchdringende Isoenergieflächen (Unter Vorwegnahme eines späteren Ergebnisses folgt, daß im allgemeinen Fall eine Selbstdurchdringung nur in einem P u n k t möglich ist.) 3. Offene Isoenergieflächen a) Offene Isoenergieflächen, die keine offenen Querschnitte enthalten 1 ) (siehe z. B. Abb. 4b). b) Offene Bahnen werden nur bei fixierten Richtungen der Normalen auf die schneidende Fläche erhalten (siehe Abb. 4c). c) Es existiert eine eindimensionale Mannigfaltigkeit (ebener Winkel) von Richtungen der Normalen auf die schneidenden Flächen, die zu offenen Bahnen führen (Abb. 4 d — „gewellter" Zylinder; der Winkel ist gleich 2jt). In Analogie zu den offenen Flächen durchsetzen offene Schnitte das gesamte reziproke Gitter.

§ 2

Die Geometrie der

Isoenergieflächen

27

Schnittflächen, die zu offenen Schnitten in der Isoenergiefläche führen, die in Abb. 2 dargestellt ist. Die Richtungen liegen in den schraffierten Bereichen und auf den Linien a und b

d) Für eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit (Raumwinkel) von normalen Richtungen liefern die zugehörigen Schnittebenen offene Bahnen (Abb. 4e — „gewellte" Fläche; der Winkel ist gleich in. Für das „räumliche Netz" in Abb. 2 ist der Raumwinkel kleiner als 4jr.) Im Falle komplizierter Isoenergieflächen kann man die Normalenrichtungen, die zu offenen Schnitten führen, am besten in Form eines Stereogrammes darstellen 1 ) (Abb. 5). Punkte im p-Raum, in denen die Energie ihr Minimum e min und ihr Maximum £ m a x annimmt, sind die einfachsten ausgezeichneten Punkte. In einer Zone des p-Raumes bzw. in einem Energieband existiert immer eine Reihe ausgezeichneter Energiewerte. Man bezeichnet sie als kritische Energiewerte ek.

Abb. 6.

a) b) Entstehen einer neuen Schar von Isoenergieflächen (a) und Abreißen der Verbindung einer Isoenergiefläche (b) Die Flächen I und I I entsprechen der kritischen Energie (>. Die Fläche I I enthält einen konischen Punkt

Die auf und X=

stereografische Projektion ist die Abbildung einer Halbkugel mit Einheitsradius den Einheitskreis, auf dem die Lage der Punkte durch die Polarkoordinaten Q x angegeben wird. Die Umrechnung erfolgt vermittels der Gleichungen q = 2©/jr,

wobei © und

= iw

V>f = wr«V>IT

'

(5 7)

und die gemittelte Gleichung (5.4) hat dann schließlich die Form H

S

8§

Bei der Mittelung der Gleichung (5.5) kann das elektrische Feld E(r) näherungsweise gleich E(R) + {qSJ) E gesetzt werden. Berücksichtigt man nun, daß vx = v t = 0 ist, so erhält man eE(r)

_ v = eEsvs

_ 8 Et + eviQk — • öxk

Da Vi = Qi ist, kann durch eine partielle Integration leicht gezeigt werden, daß Vigk ein antisymmetrischer Tensor sein muß. Nutzt man das aus, so gelangt _— dE(

5.

^

1 -— ¡dEt

= 2

dEk\

~ to)

1 =

2

(r0t

E ) i

'

56

I.

Bewegung der

Leitfähigkeitselektronen

Entsprechend den MAXWELLschen Gleichungen gilt

und ~

2c

[f>, v] =

M

ist, wie schon gezeigt wurde, das mittlere magnetische Moment des Umlaufs bezüglich des „Umlaufbahnzentrums" R. Damit wird S =

_

eEtVt -

M

ifi

(5.9)

Die Gleichung (5.6) mittelt sich automatisch zu (5.10) Die Gleichungen (5.8) bis (5.10) stellen ein vollständiges System von gemittelten Bewegungsgleichungen eines Elektrons dar. Auf den rechten Seiten stehen Funktionen, die nur von Pe, SS und R abhängen. Will man ihre explizite Form bestimmen, so muß man in einigen Fällen die Formeln benutzen, die im vorigen Paragraphen abgeleitet wurden. Aus dem Gleichungssystem (5.8) bis (5.10) kann mit Hilfe der Beziehungen

(die Integration erfolgt entlang einer mittleren Bahn) leicht abgeleitet werden, daß das Verhältnis S(Pi; 'S, §)/H(R, t) ein Bewegungsintegral ist. Insbesondere bedeutet das, daß im inhomogenen Magnetfeld das Aussehen der adiabatischen Invarianten dasselbe wie im konstanten Feld ist (vgl. Formel (4.18)). Eine andere wichtige Eigenschaft der Bewegung in einem sich langsam in Zeit und Raum verändernden elektromagnetischen Feld besteht darin, daß die Geschwindigkeit des Umlaufbahnzentrums parallel zur Richtung des Magnetfeldes liegt (vgl. Formel (5.10)). Die Kenntnis der gemittelten Gleichungen gestattet es, den Charakter der Bewegung und die Deformation der Umlaufbahn in sich langsam verändernden Feldern vollständig zu untersuchen. Besonders anschaulich ist der Bewegungsablauf in dem einfachen Spezialfall, in dem die Stärke des konstanten Magnetfeldes nur wenig vom Ort abhängt. Das Elektron bewegt sich auf der Isoenergiefläche so, daß das Verhältnis S/H konstant bleibt. Der Bahnmittelpunkt (Zentrum) bewegt sich entlang einer Kraftlinie. Insbesondere können interessante Oszillationen auftreten, die analog zu den Schwingungen von Teilchen in einer magnetischen Flasche sind. I m Metall kann jedoch die periodische Bewegung nicht nur durch die spezielle Form des Magnetfeldes, sondern auch durch Besonderheiten des Dispersionsgesetzes verursacht werden, wenn S dadurch eine periodische Funktion wird [14] (s. Abb. 18).

§ 5

Bewegung von Leitfähigkeitselektronen

in inhomogenen

57

Feldern

H Abb. 18. Trajektorien von Elektronen in einem inhomogenen Magnetfeld

Wenn die Gleichungen = const, s = const eine offene Bahnkurve beschreiben, so muß man zwei Fälle unterscheiden: 1. Die Bahnkurve ist eine periodische Kurve; die Öffnungsrichtung ist einem beliebigen Gittervektor des reziproken Gitters parallel. Der Hauptunterschied zum Fall eines geschlossenen Querschnitts besteht darin, daß der Geschwindigkeitsvektor nicht entlang einer magnetischen Kraftlinie liegt, wodurch S/H keine adiabatische Invariante mehr bleibt. Der generelle Charakter der Bewegung ist jedoch einer Bewegung auf einer geschlossenen Bahnkurve sehr ähnlich. Die Periodendauer wird durch die Zeit bestimmt, in der das Elektron durch eine Elementarzelle des inversen Gitters hindurchtritt. 2. Die Bahnkurve ist keine periodische Funktion; die Öffnungsrichtung fällt demzufolge mit keinem Vektor des reziproken Gitters zusammen. Für einen aperiodischen Bahnverlauf kann bei der Mittelung die Integration entlang einer offenen Bahn, die durch eine unendliche Menge von Elementarzellen führt, 1 ) durch eine Summe von Integralen auf den äquivalenten Teilstücken innerhalb nur einer Zelle ersetzt werden (Abb. 19). I m Falle einer aperiodischen Bahn bedecken diese Teilstücke die Elementarzelle vollständig. Hieraus ist ersichtlich, daß die Mittelwerte, die die langsame Bewegung charakterisieren, nicht von pH, der Projektion des Impulses auf das Magnetfeld, abhängen können. Es ist verständlich, daß man auch für periodische Bahnverläufe die Abhängigkeit der Mittelwerte von pH vernachlässigen kann, wenn ihre Periode bedeutend größer als h/a ist (a — mittlerer Atomabstand). Dieser Umstand (die Unabhängigkeit der Mittelwerte von pH) verändert den Charakter der langsamen Bewegung wesentlich (vgl. [15]). Tatsächlich ist die Ableitung der Gleichungen, die eine langsame Bewegung (Drift usw.) beschreiben, mit. der Mittelung über das Zeitintervall T verbunden, das der Ungleichung T^ T T genügt, wobei T0 die Zeit ist, die das Teilchen benötigt, um durch eine Elementarzelle hindurchzufliegen, und r die freie Flugzeit ist. Bei der Mittelung endlicher Größen kann man jedoch die Integration über die gesamte Bahn erstrecken, da die Differenz T'

t+ T

T

-T t eine schnell oszillierende Funktion der Ordnung fT0/T

ist.

58

I.

Bewegung der

Leitfähigkeitselektronen

Abb. 19. Schnitt der Fläche p g = const mit einer der kristallographischen Ebenen des inversen Gitters (die äquivalenten Punkte sind gleich beziffert)

Eine besonders interessante Situation entsteht, wenn bei der Bewegung im Feld, das sich zeitlich und räumlich nur schwach ändert, ein Übergang von einem Bahntyp zu einem anderen erfolgt. Wie schon gezeigt wurde, treten hierbei Erscheinungen auf, die einer Streuung an einem Streuzentrum ähnlich sind [15, 16]. Gebiete im p - R a u m mit unterschiedlichen Bahntypen sind voneinander durch Bereiche mit sich selbst durchdringenden Bahnen getrennt, die durch den Schnitt einer Isoenergiefläche e = const mit einer Ebene gebildet werden, die einen hyperbolischen P u n k t der Isoenergiefläche tangiert. Diese Punkte sind Haltepunkte bei der Bewegung im homogenen und konstanten Magnetfeld. Die Periode eines Teilchenumlaufs divergiert logarithmisch für pH -»• p^, wobei p\ der den ausgezeichneten P u n k t beschreibende Quasiimpuls ist (vgl. Formel (4.15) und (4.15a)). Die Existenz dieser Streuung ist am einfachsten im schwach inhomogenen und zeitlich konstanten Magnetfeld mit geraden Feldlinien zu erklären. F sei ein Sattelpunkt der Isoenergiefläche e = s0 im Impulsraum, dessen Normale in diesem P u n k t parallel zu H ist. Der Schnitt e = e0, pa = bildet eine „Acht", deren Kreuzimgspunkt mit F zusammenfällt. Wenn die umlaufene Fläche bei der Bewegung im p - R a u m die Isoenergiefläche im Sattelpunkt berührt, so wird sie im weiteren in zwei Teilflächen, die Gebiete I und II, aufspalten, die durch einen ausgezeichneten P u n k t getrennt sind (s. Abb. 20). I n diesen Gebieten unterscheiden sich die Bahntypen wesentlich. J e nach seinen genauen „mikroskopischen" Anfangsbedingungen gelangt ein Teilchen entweder in das Gebiet I oder II. Die mikroskopischen Anfangsbedingungen liegen dabei so, daß auf jedem makroskopischen Element der Isoenergiefläche sich Punkte befinden, von denen die Teilchen sowohl in das I. als auch in das II. Gebiet gelangen können. Das makroskopische Element wird durch gemittelte Werte der „Ko-

§ 5

Bewegung von Leitfähigkeitselektronen in inhomogenen Feldern

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Abb. 20. Bewegung eines Elektrons in einem inhomogenen Magnetfeld in der Nähe eines Sattelpunktes der Isoenergiefläche (Aufspalten der umlaufenen Fläche)

ordinaten" bestimmt. Es ist daher gerechtfertigt, das Erscheinen der Teilchen in jedem dieser Gebiete als Zufallsprozeß zu betrachten und von einer Streuung am ausgezeichneten Punkt zu sprechen. Hierbei hat die „Einfalls"-Wahrscheinlichkeit (Wx bzw. Wu) völlig bestimmte Werte. Zur Bestimmung dieser Wahrscheinlichkeit soll ein klassisches Ensemble von Teilchen betrachtet werden, das nach irgendeinem Streuparameter sortiert sein soll, der im folgenden noch spezifiziert wird. Jedes Teilchen schneidet auf seinem letzten Umlauf, bevor es entweder in Gebiet I oder in Gebiet II gelangt, die Hauptkrümmungslinie, die durch den Punkt F geht, bei irgendeinem Wert pH(0). Nachdem es einen Umlauf um eine Schleife der „Acht" vollführt hat, befindet sich das Teilchen erneut in der Nähe des Kreuzungspunktes. In Abhängigkeit vom Vorzeichen der Differenz pn{t) — P s i n diesem Augenblick gelangt das Teilchen entweder in das Gebiet I oder in das Gebiet II. Die Differenz pn{t) — p% wird jedoch eindeutig durch den Wert Pn{®) am Anfang des Umlaufs bestimmt, der sich damit ausgezeichnet als Streuparameter eignet. Den Gebieten I und I I entsprechen die Intervalle