Einführung in die Theorie normaler Metalle [Reprint 2022 ed.] 9783112612064, 9783112612057

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A. A. Abrikossow Einführung in die Theorie normaler Metalle

A.A.Abrikossow

Einführung indie Theorie normaler Metalle Autorisierte Übersetzung In deutscher Sprache herausgegeben von Dr. J.Mertsching

Mit 85 Abbildungen

AKADEMIE-VERLAG • B E R L I N • 1976

A. A . AßpHKOCOB BßEAEHHE B Teopmo HopMajihHHX MeTajuioB Erschienen im Verlag Nauka Moskau 1972

Übersetzung aus dem Russischen von Dr. rer. nat. H. Dittmann, Berlin Dipl.-Phys. P. Eisenberg, Berlin Dr. rer. nat. H. Krüger, Berlin

Erschienen im Akademie-Verlag, 108 Berlin, Leipziger Straße 3—4 © der deutschen Ausgabe Akademie-Verlag Berlin 1976 Lizenznummer 202 . 100/439/76 Schutzumschlag und Einband: Rolf Kunze, Leipzig Gesamtherstellung: VEB Druckerei „Thomas Müntzer", 582 Bad Langensalza Bestellnummer: 761737 4 (6035) . LSV 1184 Printed in GDR DDR 5 8 , - M

Vorwort zur deutschen Ausgabe

Das Buch „Einführung in die Theorie normaler Metalle" wurde im J a h r e 1972 gleichzeitig in russischer Sprache in der Sowjetunion und in englischer Sprache in den USA herausgegeben. Obwohl seitdem nur relativ wenig Zeit vergangen ist, stand dennoch die Physik der Metalle inzwischen nicht still, und es erschienen einige sehr wesentliche neue Arbeiten. Zu deren Gegenständen gehören insbesondere die kürzlich entdeckte Zyklotronresonanz an nichtextremalen Bahnen, die Theorie der galvanomagnetischen Eigenschaften von Polykristallen und andere. Deshalb wurden in das Buch entsprechende Ergänzungen eingefügt. Das Buch fand insgesamt eine positive Resonanz, doch wurde in einigen Rezensionen dem Autor vorgeworfen, daß die Darstellung der modernen Methoden zur Berechnung von Elektronenspektren zu unvollständig ist. Dieser Vorwurf ist teilweise berechtigt, und deshalb wurde der Abschnitt 14.2. über die Theorie des Pseudopotentials erweitert. Andererseits gibt das Bestreben, den Schwierigkeitsgrad des Materials in Grenzen zu halten, nicht die Möglichkeit, über eine kurze Darlegung der physikalisch durchsichtigen Ideen hinauszugehen. Außerdem sind alle Methoden zur Berechnung der Bandstruktur numerisch, und ihre Eignung ist in erster Linie durch die Konvergenz von sukzessiven Approximationen bestimmt, die a priori nicht völlig klar ist. Gerade deshalb bilden diese Berechnungen ein besonderes Gebiet der Physik, dem gegenwärtig spezielle Bücher gewidmet werden. Abschließend möchte ich meiner Freude über die Herausgabe meines Buches in deutscher Sprache Ausdruck geben und den Übersetzern H. D I T T M A N N , P. E I S E N B E R G und H. K R Ü G E R sowie dem Herausgeber J . M E R T S C H I N G meinen Dank bekunden. A . A . ABRIKOSSOW

Vorwort

Dieses Buch ist aus Vorlesungen entstanden, die der Autor im J a n u a r und Februar 1966 im Forschungszentrum für Physik und Astrophysik an der Universität Delhi (Indien) als Sachverständiger der UNESCO gehalten hat. Wie aus seinem Titel hervorgeht, befaßt sich das Buch mit normalen Metallen, das heißt, es werden keine ferro- und antiferromagnetischen Metalle sowie keine Supraleiter behandelt. Der Autor hat sich auch nicht zum Ziel gesetzt, die gesamte vorliegende Theorie der normalen Metalle im Detail darzulegen. Das Buch umfaßt folgende Themen: Elektronenspektren der Metalle, elektrische und Wärmeleitung, galvanomagnetische und thermoelektrische Erscheinungen, das Verhalten von Metallen in hochfrequenten Feldern und Schallabsorption. Diese Gebiete sind hauptsächlich deshalb ausgewählt worden, weil sie in jüngster Zeit die stärkste Weiterentwicklung erfahren. Es war das Ziel des Autors, die gegenwärtige Konzeption der Energiespektren der Elektronen in Metallen sowie neue Methoden darzulegen, die für die Untersuchung des Verhaltens von Metallen in statischen und veränderlichen Feldern entwickelt worden sind. Es wird eine Reihe unlängst entdeckter physikalischer Erscheinungen beschrieben und gezeigt, wie diese zum Auffinden der Elektronenspektren verwendet werden können. Zur Vereinfachung der Darstellung sind komplizierte Begründungen stets durch einfache physikalische Argumentationen ersetzt worden. Außerdem hat sich der Autor in den Fällen, in denen eine gesuchte Größe nur f ü r ein vereinfachtes, unrealistisches Modell berechnet werden kann, auf eine Abschätzung dieser Größe beschränkt. Das schließt nicht die Verwendung von Modellen (des isotropen Metalls, der kinetischen Gleichung mit Relaxationszeit) in den Fällen aus, in denen mit ihrer Hilfe die Anwendung einer neuen Berechnungsmethode erläutert oder die Abschätzung von gesuchten Größen vereinfacht werden kann. Das Buch setzt Kenntnisse der Quantenmechanik und Statistik voraus. Spezialkenntnisse über Metalleigenschaften, die über den Rahmen einer allgemeinen Physikausbildung hinausgehen, sind nicht erforderlich. Ich möchte den Professoren D. S . K O T A B I , P. K . MADSHUMDAB und F . K . A U L U K für Gastfreundschaft und Unterstützung während meiner Arbeit in Indien meinen Dank aussprechen. Außerdem bin ich den Herren J . W . S C H A B W I N , E . A. K A N E B , W . F . G A N T MACHEB und M. I . KAGANOW für das Durchlesen des Manuskripts und zahlreiche wertvolle Hinweise sehr dankbar.

Inhaltsverzeichnis

1. Das Elektron im periodischen Kristallgitter 1.1. Allgemeine Eigenschaften 1.2. Näherung für starke Bindung 1.3. Modell schwach gebundener Elektronen 2. Elektronische FEBMi-FIüssigkeit 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

Konzeption der Quasiteilchen Quasiteilchen in einer isotropen FERMi-Flüssigkeit Anisotrope FEBMi-Flüssigkeit Spezifische Wärme der Elektronen

3. Elektrische Leitfähigkeit und Wärmeleitfähigkeit 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

Elektron als Wellenpaket Kinetische Gleichung Elektrische Leitfähigkeit Wärmeleitfähigkeit Konzeption der freien Weglänge Elektrische Leitfähigkeit und Wärmeleitfähigkeit in einem Gas freier Elektronen

4. Streuprozesse 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

Streuung an Störstellen Streuung von Elektronen an Elektronen Streuung an Gitterschwingungen Umklapp-Prozesse „Isotopen"-Streuung

4.6. KONDO-Effekt

5. Galyanomagnetische Eigenschaften der Metalle 5.1. Kinetische Gleichung mit Magnetfeld 5.2. Galvanomagnetische Erscheinungen im schwachen Magnetfeld 5.3. Galvanomagnetische Erscheinungen im hohen Magnetfeld; geschlossene Bahnen 5.4. Galvanomagnetische Erscheinungen im hohen Feld und Topologie offener FEBMi-Flächen 5.5. Magnetowiderstand eines Polykristalls

11 11 17 20 25 25 27 32 36 41 41 43 47 48 51 52 54 54 56 57 63 68 71

78 78 83 86 90 96

8

Inhaltsverzeichnis

6. Thermoelektrische und thermomagnetische Erscheinungen

101

6.1. Thermoelektrische Erscheinungen 6.2. Thermomagnetische Erscheinungen im schwachen Magnetfeld 6.3. Wärmeleitfähigkeit und thermoelektrische Effekte im hohen Magnetfeld

101 107 . 108

7. Das Metall im hochfrequenten elektromagnetischen Feld. Zyklotronresonanz .

.114

7.1. 7.2. 7.3. 7.4.

Normaler Skineffekt Anomaler Skineffekt. Ineffektivitäts-Konzept Anomaler Skineffekt. Lösung der kinetischen Gleichung Zyklotronresonanz

8. Größeneffekte 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7.

Abbruch der Zyklotronresonanzbahnen Innere Hochfrequenzfeldschichten bei Zyklotronresonanz Nichtresonanter Größeneffekt Nichtresonanter Größeneffekt im geneigten Feld SoNDHEiMEB-Effekt Driftfokussierung des Hochfrequenzfeldes Größeneffekt bei offenen Trajektorien

9 . Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im Magnetfeld

114 116 118 128 139 139 142 145 147 148 151 154 156

9.1. Heiikonen in Metallen mit unterschiedlicher Anzahl von Elektronen und Löchern 156 9.2. Magnetoplasmawellen in Metallen mit gleicher Anzahl von Elektronen und Löchern 159 9.3. Experimentelle Untersuchungen 162 10. Magnetische Suszeptibilität und DE-HAAS-VAN-ALPHEN-Effekt 10.1. 10.2. 10.3. 10.4.

166

Spinparamagnetismus 166 Quantisierung der Niveaus freier Elektronen im Magnetfeld 167 LANDAirscher Diamagnetismus 169 Quasiklassische Quantisierung der Energieniveaus für ein beliebiges Spektrum 171

10.5. DE-HAAS-VAN-ALPHEN-Effekt

174

10.6. Diamagnetische Domänen 10.7. Magnetischer Durchbruch

182 188

11. Quantenerscheinungen in der Hochfrequenz-Oberflächenimpedanz 11.1. „Gewöhnliche" Quantenoszillationen 11.2. Zyklotronresonanz bei „Girlanden"-Bahnen 12. Schallabsorption in Metallen

193 193 198 203

12.1. Absorptionskoeffizient bei fehlendem Magnetfeld; tiefe Frequenzen . . . . 203 12.2. Absorptionskoeffizient bei fehlendem Magnetfeld; hohe Frequenzen . . . 208 12.3. Geometrische Resonanz 210

Inhaltsverzeichnis 12.4. 12.5. 12.6. 12.7.

9

Magnetoakustische Resonanzerscheinungen 211 Quantitative Theorie der geometrischen Resonanz 214 Quantitative Theorie der magnetoakustischen Resonanzen 218 Riesenoszillationen des Absorptionskoeffizienten infolge Quantisierung der Niveaus im Magnetfeld . . 222

13. FEBMI-Flüssigkeits-Effekte

228

13.1. Wechselwirkung der Quasiteilchen 228 13.2. LANDAirsche Funktion / 230 13.3. Einfluß der Wechselwirkung der Quasiteilchen auf die paramagnetische Suszeptibilität 233 13.4. LANDAtr-Quantisierung und Quantenoszillationen 236 13.5. Nullter Schall 238 13.6. Spinwellen 241 14. Methoden zur Berechnung der Elektronenspektren von Metallen 14.1. 14.2. 14.3. 14.4.

Methode der orthogonalisierten ebenen Wellen Pseudopotentialmethode Modell freier Elektronen Approximation eines stark komprimierten Stoffs

249 249 251 257 260

Anhang. Modell eines lerromagnetischen Metalls

265

Literaturverzeichnis

269

Sachverzeichnis

273

Abweichend von der in Unseren Büchern üblichen Verwendung der Zeichen bedeutet in diesem Buch entsprechend dem russischen Original cv> proportional, gleiche Größenordnung . Für „ungefähr gleich" ist das auch bei uns dafür übliche Zeichen «s verwendet worden.

1.

Das Elektron im periodischen Kristallgitter1)

1.1.

Allgemeine Eigenschaften

Metalle sind bekanntlich gute Leiter für den elektrischen Strom. Der Grund d a f ü r ist die Tatsache, daß sich die äußeren Elektronenhüllen der Atome, aus denen das Metall besteht, in erheblichem Maße überlappen. Daher können die Elektronen dieser Hüllen (der sogenannten Valenzhüllen) leicht von einem Atom zum anderen überwechseln, so daß man nicht sagen kann, welchem Atom sie tatsächlich angehören. Ein derartiges kollektives Verhalten der äußeren Elektronen führt zur Entstehung einer großen Bindungsenergie der Metalle und erklärt ihre spezifisch mechanischen Eigenschaften. Was die inneren Elektronenhüllen anbelangt, so kann man sie auf Grund ihrer geringen Überlappung annähernd wie die eines isoHerten Atoms betrachten. Ein Metall stellt somit ein Kristallgitter aus positiven Ionen dar, in das die kollektiven Elektronen der Valenzhüllen „hineingegossen" sind. Man nennt sie daher auch Leitfähigkeitselektronen oder „freie" Elektronen. I n Wirklichkeit wechselwirken diese Elektronen stark untereinander und mit dem Ionengitter, wobei die potentielle Energie dieser Wechselwirkung von der Größenordnung der kinetischen Energie der Elektronen ist. Eine theoretische Beschreibung eines derartigen Systems seheint auf den ersten Blick völlig unmöglich zu sein. Tatsächlich existiert jedoch gegenwärtig eine vollkommen strenge Beschreibung der meisten interessanten Erscheinungen in Metallen. Das hängt mit zwei Umständen zusammen. Zum ersten ist das Verhalten eines Systems von untereinander stark wechselwirkenden Elektronen (oder einer Elektronenflüssigkeit) in vieler Hinsicht analog dem Verhalten eines Systems von nicht wechselwirkenden Teilchen (d. h. eines Gases) in einem gewissen äußeren Feld, das ein gemitteltes Feld der Gitterionen und der übrigen Elektronen darstellt. Zum zweiten folgt schon sehr viel aus der Tatsache, daß das gemittelte Feld die Symmetrieeigenschaften des Kristallgitters, speziell seine Periodizität, besitzt, obwohl dieses Feld nur schwer genau zu berechnen ist. Daher wird zu Beginn das Hilfsproblem des Verhaltens eines Elektrons im periodischen Feld untersucht. l

) Der Stoff dieses Kapitels ist praktisch in allen Büchern über Metalltheorie enthalten, so daß man lediglich auf sie zu verweisen brauchte (s. z. B. [1]). Da diese Begriffe jedoch für die weiteren Abschnitte von grundlegender Bedeutung sind, werden sie hier nochmals dargelegt.

12

1. Das Elektron im periodischen

Kristallgitter

D a s E l e k t r o n bewege sich in einem äußeren F e l d mit der potentiellen Energie U(r). D i e F u n k t i o n U(r) ist periodisch, das heißt U(r + a„) =

U(r),

(1.1)

wobei a„ eine beliebige Gitterperiode ist. B e k a n n t l i c h k a n n der V e k t o r i m m e r als L i n e a r k o m b i n a t i o n von Basisvektoren a< dargestellt w e r d e n : an =

+ n2a2 + nza3,

(1.2)

wobei die nt positive oder negative ganze Zahlen oder Null bedeuten. D i e DINGER-Gleichung für das E l e k t r o n ist -

h2

V W

+

ü(r)

(r)

W

an

= erp(r) .

SCHRÖ-

(1.3)

E s ist leicht zu sehen, daß xp{r + «„) ebenfalls eine Lösung dieser Gleichung mit dem gleichen Eigenwert e ist. W e n n daher das Energieniveau e nicht e n t a r t e t ist, m u ß ip{r + o„) = Cty(r)

(1.4)

gelten, wobei C eine K o n s t a n t e ist. W e n n jedoch das Niveau e e n t a r t e t ist, das heißt, wenn zu ihm mehrere Eigenfunktionen y>v gehören, gilt (r

%

+ an) =

Z C>,(*-)

•

(L5)

V

D a die F u n k t i o n e n y ein orthogonales und normiertes System bilden, das heißt fW*(r)

Vvir) d F = ö^ ,

(1.6)

erhält man durch Verschiebung der Integrationsvariablen r u m an und Anwendung von F o r m e l (1.5) 2 C*v)Ovri = ^iiv • 1

(l-^)

Folglich ist C ^ eine unitäre M a t r i x , das h e i ß t C+ = G - 1 .

(1.8)

E i n e solche M a t r i x kann m a n diagonalisieren. Mit anderen W o r t e n , b e s t i m m t e L i n e a r k o m b i n a t i o n e n der F u n k t i o n ipv haben die Eigenschaft (1.4). D i e Normierungsbedingung liefert dabei S o m i t gilt

|C|« = C =

1.

(1.9)

ei* bzw. ip* und Integration erhält man unter Verwendung der Orthogonalität von und rp2 M^i -

e) + UnA2

= 0 ,

U%A1 + (e2 -

e) A2 = 0 .

Die Eigenwerte ergeben sich aus der Bedingung, daß die Determinante dieses homogenen linearen Gleichungssystems verschwindet, das heißt £2 — (£j + e2) « + £i£2 — I U n \ 2 = 0 . Man erhält zwei Lösungen: +

(1.38)

Die Auswahl der geeigneten Lösung ergibt sich aus der Bedingung, daß weit entfernt vom „gefährlichen" Impulswert e gleich e (0) sein muß. Man sieht leicht, daß in der Umgebung von p = Ttfrn/a das Minuszeichen für \p\ < \jthnja\ und das Pluszeichen für \p\ > \nfin/a\ gelten muß. Das bedeutet, daß bei p = nhnja die Funktion e(p) einen Sprung erfährt, der gleich 2| Un\ ist (Abb. 4).

•2nh/a -rth/a Abb. 4

0

nh/a

2ith/a

p

Energielücken im eindimensionalen Modell schwach gebundener Elektronen

Die bisher verwendete Größe p ist der Teilchenimpuls. I n Wirklichkeit wird aber das sich im Gitter bewegende Elektron durch den Quasiimpuls charakterisiert. Man kann zum Quasiimpuls übergehen, indem man von p jeweils eine geeignete reziproke Gitterperiode (multipliziert mit h) subtrahiert, so daß die Differenz in die BEJXLomN-Zone fällt. Das entspricht dem Übergang von Abbildung 4 zur Abbildung 3, die bereits die Abhängigkeit der Energie vom Quasiimpuls, und nicht vom Impuls, darstellt. Somit entsteht wiederum ein Bild von Energiebändern, die durch verbotene Zonen getrennt sind.

1.3. Modell schwach gebundener Elektronen

23

Im dreidimensionalen Fall kann das Potential U(r) in eine dreidimensionale FouBEER-Reihe entwickelt werden:

U{r) = E ÜK e iKr , K

(1.39)

wobei K die Perioden des reziproken Gitters sind. Die Störungstheorie kann wiederum für diejenigen Werte von p nicht angewendet werden, für die c

(0)(p) =

e (o)(p

_ HK)

(1.40)

gilt. Durch Einsetzen von e ( 0 ) = p 2 /2m ergibt sich oder

hKplm

=

h2K2j2m

p cos G = hK/2

,

(1.41)

wobei 0 der Winkel zwischen p und K ist. Dies ist die Gleichung einer Ebene im Impulsraum, die senkrecht zum Vektor K steht und ihn im Abstand hK/2 vom Koordinatenursprung schneidet. Wie schon im eindimensionalen Fall, erfährt die Energie an dieser Ebene einen Sprung. Wenn K die kleinste Periode in der entsprechenden Richtung ist, ist diese Ebene einfach die Grenze der BEILLOUTN-Zone. Dieser Energiesprung ist einer der Gründe, weshalb die BKILLOUIN-Zone der günstigste Bereich zur Definition des Quasiimpulses ist. Wenn die Gleichung (1.40) nur für eine Periode K und nicht für zwei oder drei Perioden gleichzeitig erfüllt ist, das heißt, wenn man nicht die Überschneidung von zwei oder drei Ebenen (1.41) zu betrachten braucht, dann ergibt sich die Energie analog zum eindimensionalen Fall (1.38):

e(P) =

e (0> (p) +

-

5

1 [e w(p) i ]/^

-

hK)

e m{p-hK)f ~+\ÜK\*-

(1-42)

Die pz -Achse wird in Richtung von hK gewählt und eine neue Variable pzl — pz — Ä-R72 eingeführt. Setzt man e ( 0 ) = £>2/2m in (1.42) ein, so findet man unter Verwendung der neuen Variablen

Ferner werden die Flächen konstanter Energie im p-Raum betrachtet und = 0 ist ihr Schnitt mit der Ebene pzl = 0 untersucht. Am Punkt pzl = 0, die Energie (hKI 2) 2

24

1. Das Elektron im periodischen Kristallgitter

Das sind die Energiewerte, bei denen die Fläche s{p) — const durch den P u n k t pzl = 0, = 0 geht. Hieraus k a n n m a n schließen, daß bei e
0( )

)

räum der Impulse, Koordinaten und Spins, dividiert durch (2nfo)3, muß gleich der Teilchenzahl sein. Das Volumen im Impulsraum ist das Volumen der FERMIKugel. Die Möglichkeit zweier Werte für die Projektion des Spins liefert den F a k t o r 2 hinzu. Damit ergibt sich für die Teilchenzahl N

=

2(4?t/3) p\V (2^)3

oder

=

(

NV'3 .

(2.5)

F ü r den Fall T =|= 0 ist die Verteilungsfunktion durch die gestrichelte Linie in Abbildung 6 gegeben. Die Breite der ,,Verschmierung" liegt in der Größenordnung von T. Das hängt damit zusammen, daß einige Teilchen, die eine zusätzliche Energie der Größe T erhalten, die Grenze der FERMI-Kugel überschreiten. Der Gleichgewichtszustand bei T =j= 0 und jeder andere beliebige angeregte Zustand kann aus dem Zustand bei T = 0 durch Übergang von Teilchen aus dem Innern der FERMI-Kugel in den Außenraum erhalten werden. Bei jedem derartigen Übergang entstehen ein Teilchen außerhalb der FERMI-Kugel und ein freier Platz oder „Antiteilchen" im Innern. Diese Teilchen und Antiteilchen sind dabei die Quasiteilchen des angeregten Zustandes. 1 ) Ihre Energie muß vom FERMi-Niveau /i(0) aus gezählt werden. Die Impulse von QuasiteilDie „Antiteilchen" stellen ein vollständiges Analogon zu den Antiteilchen in der Theorie » der Elementarteilchen (z. B. dem Positron) dar. Der häufig verwendete Begriff „Löcher" ist ungeeignet, da er gewöhnlich gänzlich andere Objekte bezeichnet, nämlich freie Plätze im nicht aufgefüllten Band (s. Abschn. 2.3.).

2.2. Quasiteilchen in einer isotropen YHRMI-Flüssigkeit

29

chen mit Teilchencharakter sind größer als p0, und ihre Energie ist £ / \ Wenn p — p0

P2

Vi

p0, dann ist

£,(p) fv v(p - Po) , p0 wobei v = — die Geschwindigkeit auf der FERMI-Kugel ist. Andererseits sind die Impulse der Antiteilchen kleiner als p0, und ihre Energie muß in umgekehrter Richtung gezählt werden: p\

p2

oder fa(Z>) « v(Po - P) , wenn p0 — p p0- Diese Energiezählung erklärt sich daher, daß die Entstehung von Antiteilchen in der Tiefe der FEKMI-Verteilung einen größeren Energieaufwand als an der FERMI-Fläche erfordert. Nach der Hypothese von L A N D A U ist das Spektrum von Quasiteilchen in einer isotropen FERMi-Flüssigkeit mit starker gegenseitiger Wechselwirkung von gleichem Typ wie in einem idealen Gas. Das bedeutet, daß es einen gewissen Wert Po gibt, der nach der Theorie von L A N D A U mit der Teilchendichte in gleichem Zusammenhang steht wie beim idealen Gas (Formel (2.5)). E s gibt zwei Arten von Quasiteilchen: „Teilchen" mit p > pa und , , Antiteilchen" mit p < p0. Ihre Energien sind für den Fall |p — p0| p0 gleich |£ « v(p — Po) ,

£a » v{p 0— p).

(2.6)

Hierbei ist v jedoch einfach irgendein unbekannter Koeffizient, der die Dimension einer Geschwindigkeit besitzt. Statt v kann ein anderer Koeffizient mit Hilfe der Beziehung v = Po/m*

(2.7)

eingeführt werden. Die Konstante w * mit der Dimension einer Masse nennt man „effektive Masse". 1 ) Diese Annahmen über das Spektrum sind, wie bereits gesagt, gegenwärtig streng bewiesen, allerdings auf recht komplizierte Weise. Man kann jedoch eine einfachere Begründung heranziehen. Wenn ein Zustand mit einem Quasiteilchen nicht ein wirklich stationärer Zustand der FERMi-Flüssigkeit- ist, muß er infolge von Übergängen zu anderen Zuständen mit der Zeit abklingen. Die entsprechende Wellenfunktion hat demnach folgendes Aussehen: e-iHp)t/n-y(p)tin _ ^2.8) *) Der Begriff „effektive Masse" bezeichnet in verschiedenen Büchern und Artikeln recht unterschiedliche Größen mit der Dimension einer Masse. Hier wird dieser Terminus nur für ein isotropes Spektrum verwendet.

2. Elektronische Fwui-Flüssigkeit

30

Von Quasiteilchen k a n n m a n n u r dann reden, wenn y f ist. Daher m u ß y abgeschätzt werden, y ist offenbar proportional zur Übergangswahrscheinlichkeit des betreffenden Zustandes in andere Zustände.

Abb. 7

Streuung eines Teilchens 1 außerhalb der FERMi-Kugel an einem Teilchen 2 innerhalb derselben. Die Endzustände 1' und 2' liegen notwendig außerhalb der FERMi-Kugel

Diese Wahrscheinlichkeit soll zunächst f ü r ein schwach wechselwirkendes Gas bestimmt werden. W e n n sich ein Teilchen 1 außerhalb der FEEMI-Verteilung befindet, wird sich in erster Ordnung in der Wechselwirkung folgender Vorgang abspielen (Abb. 7). D a s Teilchen 1 wechselwirkt mit einem Teilchen 2 innerhalb der FEBMI-Kugel, so daß beide in die Zustände 1' u n d 2' außerhalb der F E B M I Kugel übergehen. Nach dem PAULI-Prinzip ist dies die einzige Möglichkeit. Der Impulserhaltungssatz fordert Pl + Pl = Pl + 1»2 , wobei nach dem oben Gesagten Pi> Po > P2 Pi>Po> Pz> Po ist. Die E r h a l t u n g des Impulses ist in Abbildung 8 graphisch dargestellt. Die Ebenen (pv p2) u n d (p[, p'2) fallen im allgemeinen nicht zusammen, wurden jedoch in Abbildung 8 durch eine Drehung zur Deckung gebracht.

Abb. 8

Quasiimpulserhaltung beim Streuprozeß der Abb. 7

Die Streuwahrscheinlichkeit ist bis auf K o n s t a n t e n W co f

-f e2 — e[ — e'2) d3p2 dap[ .

Die Integration erstreckt sich n u r über p2 u n d p[, weil p'2 bereits durch den

2.2. Quasiteilchen in einer isotropen FERMi-Flüssigkeit

31

Impulserhaltungssatz bestimmt ist. Der Winkel zwischen den Vektoren p[ u n d p'2 ist praktisch durch den Energieerhaltungssatz gegeben. Die ¿-Funktion verschwindet durch Integration über diesen Winkel, so d a ß lediglich die Integration über die absoluten Beträge der Vektoren verbleibt. W e n n p1 in der Nähe von p0 liegt, so befinden sich alle übrigen Impulse ihrem B e t r a g nach ebenfalls in der Umgebung von p0 u n d schließen folglich in Abbildung 8 fast gleiche Winkel mit der Horizontalen (der Summe p1 + p2) ein. Man findet daher aus den Projektionen auf diese Achse folgende Relationen zwischen den Absolutwerten: p[ m p1 + pt — p'2. D a p'2 > p0, gilt p\ < px + P2 — p0. Gleichzeitig aber ist p\ > p0. Hieraus folgt px + p2 — p0 > p0 oder Pt > %p0 — pv Da p0 die obere Grenze f ü r p2 ist, gilt 0 > Pt ~ Po > Po ~ Pi,

0 < Pi ~ Po < iPi - Po) + (Pz ~ Po) •

Die Integration ergibt A • = J CAdp2 d yi

&

~

^

.

Folglich ist y

~ w ~ ( f t - Po)4 .

(2.9)

Die vollständige Formel f ü r y k a n n aus Dimensionsbetrachtungen gewonnen werden, y m u ß proportional zum Quadrat der Wechselwirkungskonstanten u n d auf Grund obiger Rechnung zur Größe (p — p0)2 sein. Man m u ß daher noch einen F a k t o r einfügen, der sich aus p0, m, u n d H derart zusammensetzt, daß das Resultat die Dimension einer Energie h a t . E s soll jetzt ein stark wechselwirkendes System betrachtet werden. Mit zunehmender Wechselwirkungskonstanten können im Prinzip auch andere Prozesse mit einer großen Anzahl von Teilchen wesentlich werden, jedoch k a n n m a n zeigen, d a ß die Wahrscheinlichkeiten dieser Prozesse höhere Potenzen von (p — pQ) enthalten. Daher wird f ü r |p — pQ\ p0 trotzdem der betrachtete Prozeß dominieren, das heißt, es gilt nach wie vor y (p — p0)2. Was die anderen F a k t o r e n anbelangt, so m u ß m a n berücksichtigen, d a ß in einem stark wechselwirkenden System die Dichte stets so ist, d a ß die mittlere kinetische Energie der Teilchen u n d die potentielle Energie ihrer Wechselwirkung ungefähr gleich sind. D a s bedeutet, daß es n u r eine Bezugsenergie gibt: die FEBMI-Energie [i(0). Hieraus folgt, d a ß die Größe mit der Dimension einer Energie, die proportional (p — p0)2 ist, gleich y=

(2.10)

sein muß, wobei (/x)

(2.27)

ist. Die physikalische Bedeutung dieser Formel ist einfach. Nur die Elektronen in der Nähe des FERMi-Niveaus tragen zur thermischen Anregung des Systems bei. Die Zahl dieser Elektronen ist größenordnungsmäßig durch das Produkt von T mit der Zustandsdichte v(ji) gegeben. Jedes Elektron liefert zur spezifischen Wärme einen Beitrag der Größenordnung Eins (oder der BOLTZMANNKonstanten k in gewöhnlichen Einheiten). Hiermit erhält man einen Ausdruck, der größenordnungsmäßig mit (2.27) übereinstimmt. Bei der Herleitung von (2.27) brauchten wir keine konkreten Angaben über die FERMI-Fläche zu machen. Folglich ist für alle Metalle die elektronische spezifische Wärme proportional zur absoluten Temperatur.

Abb. 11

Trennung des Elektronenanteils AT und des Gitteranteils BT3 der spezifischen Wärme c durch eine Darstellung von c/ T als Funktion des Quadrats der Temperatur T

Eine quantitative Abschätzung der Größe c kann am Beispiel des isotropen Metallmodells durchgeführt werden. I n diesem Fall ist l

nw

(2nhf J

v

=

(271h)3 p0lm*

«»»»

'

(2 oe\ ( ' '

wobei TO* die effektive Masse ist. Somit ist (2.29) Die effektive Masse m * kann sich stark von Metall zu Metall ändern, wogegen p0 für alle Metalle (mit Ausnahme der Halbmetalle) die gleiche Größenordnung hat, nämlich Äjr/a. (wobei a die Gitterperiode ist, die sich bekanntlich für die verschiedenen Substanzen wenig unterscheidet). Bei den üblichen Metallen ist m * von der Größenordnung der freien Elektronenmasse, bei den Übergangsmetallen jedoch, wo die inneren Hüllen nicht vollständig besetzt sind, weicht m * davon ab. Ihr Wert kann aus der Beziehung pjm* = ds/dp ~ AsjAp ermittelt werden, wobei Ae die Bandbreite und Ap größenordnungsmäßig eine

40

2. Elektronische

¥ERMi-Flüssigkeit

Periode des reziproken Gitters fcrr/a ist. Die inneren Hüllen überlappen sich schwach, so daß Ae klein (s. Gl. (1-28)) und m* groß ist. Diese Tatsache ist der Grund dafür, daß die spezifische Wärme der Übergangsmetalle erheblich größer (manchmal mehr als das Zwanzigfache) als die der Nichtübergangsmetalle ist. Experimentell wird nicht die elektronische, sondern die gesamte spezifische Wärme gemessen. Bekanntlich hängt jedoch bei niedrigen Temperaturen der von den Gitterschwingungen abhängige Anteil der spezifischen Wärme von der Temperatur nach einem kubischen Gesetz ab (s. z. B. [1]). Daher kann die gesamte spezifische Wärme in der Form c =

AT

+

BT3

dargestellt werden. Wenn man c/T = f(T2) aufträgt (s. Abb. 11), ergibt sich bei niedrigen Temperaturen die ausgezogene Gerade, aus der beide Koeffizienten A und B ermittelt werden können.

3.

Elektrische Leitfähigkeit und Wärmeleitfähigkeit

3.1.

Elektron als Wellenpaket

Bisher wurden die Elektronen durch die stationären BLOCH-Lösungen der ScHBÖDiNGER-Gleichung tp = e lVT,ri u(r) beschrieben. Diese Funktionen sind jedoch ungeeignet zur Untersuchung der Transporteigenschaften, weil sie einem bestimmten Wert des Quasiimpulses p entsprechen, während die Koordinate vollständig unbestimmt bleibt. Dieser Mangel kann abgestellt werden, wenn aus den BLOCH-Zuständen ein Wellenpaket gebildet wird. Dabei soll der Quasiimpuls p dennoch möglichst genau bestimmt sein. Deshalb bildet man die Summe der BLOCH-Wellen über ein kleines Intervall Ap (dessen Ausdehnung durch die Genauigkeit der Bestimmtheit der Koordinaten begrenzt ist). Die Unbestimmtheitsrelation besagt Ap Ar ~ h .

Da die Elektronen gestreut werden und folglich eine endliche freie Weglänge l haben, muß die Unbestimmtheit der Koordinaten kleiner als l sein. Die obere zulässige Grenze von Ap ist offenbar der Teilchenimpuls selbst. Somit muß folgende Bedingung erfüllt sein: p

Ap ~ hlAr

hfl .

(3.1)

Nur unter dieser Bedingung ist die Darstellung mit Hilfe eines Wellenpaketes sinnvoll. Im vorliegenden Fall ist p ~ p0 , und p0 hat die Größenordnung fija, wobei a ein interatomarer Abstand ist. Die Bedingung (3.1) ist demnach erfüllt, wenn a. Schwierigkeiten entstehen lediglich, wenn l in der Größenordnung von a liegt. Eine weitere bereits erwähnte Bedingung hängt mit der Dämpfung der Quasiteilchen zusammen. Sie hat die Form wobei y der Dämpfungskoeffizient1) ist, der in die Wellenfunktion des Quasiteilchens eingeht: e

lfi/Ä-yi/S _

*) Der Ausdruck (2.10) beschreibt nur die Wechselwirkung der Quasiteilchen untereinander, während jedoch noch weitere Prozesse existieren, die die Lebensdauer der Quasiteilchen begrenzen. Die hier auftretende Größe y ist dann die Gesamtdämpfung, die infolge aller im folgenden Kapitel untersuchten Mechanismen zustandekommt.

42

3. Elektrische Leitfähigkeit und

Wärmeleitfähigkeit

Der Koeffizient y hängt mit der mittleren Flugzeit zusammen: y ~ h/t. Daher lautet die zweite Bedingung £ > »/t . Gewöhnlich ist | immer von der Größenordnung der Temperatur T. Daher muß T > h/r (3.2) gelten. Um die Geschwindigkeit des durch das Wellenpaket beschriebenen Elektrons zu finden, wird folgendes Integral betrachtet: J =

/

iprin-ii(p)tin

e

3

d p

;

j»+Ap das sich über die Umgebung eines bestimmten Quasiimpulses p ( 0 ) mit dem Radius Ap erstreckt. Für Ap p ( 0 ) ist dieses Integral angenähert (0) l _ M p ( 0 ) (r) e»P W®-»f(P(0))i/S y iäp(r-(8elSp)t)ln e

Ap

{dg/dp — dejdp, weil £ = e — /z). Im letztgenannten Ausdruck hat das Integral die Größenordnung ( J p ) 3 für (Zip)2 h

für

\r - (de/dp)t\

n dp

h

dp

>Äp-

JL

d

Für genügend kleine Ap ist daher de r na — t. dp Folglich bewegt sich das Wellenpaket mit einer Geschwindigkeit de » = - .

(3.3)

Das ist die sogenannte Gruppengeschwindigkeit des Wellenpaketes. Das Elektron bewege sich unter der Wirkung eines äußeren elektrischen Feldes E. Die pro Zeiteinheit vom äußeren Feld geleistete Arbeit ist veE. Diese muß gleich der Energieänderung des Elektrons sein: de

de dp

dt ~~ dp cü ~

dp V

~df '

Hieraus folgt d» £ = e E .

(3.4)

Auf den ersten Blick erinnert diese Beziehung an die NEWTONsche Bewegungsgleichung eines freien Teilchens, p ist jedoch nicht der Impuls, sondern ein

3.2. Kinetische Oleichung

43

Quasiimpuls. Eine Zunahme von p bedeutet nicht unbedingt eine Beschleunigung des Elektrons. In Abbildung 12 erkennt man, daß die Geschwindigkeit de/dp nur im Gebiet A zunimmt, so daß nur in diesem Gebiet das Elektron beschleunigt wird, während im Bereich B das Elektron verzögert wird und seine Geschwindigkeit an den Grenzen der BßiLLOUiN-Zone hK/2 verschwindet. Das entspricht der Reflexion des Elektrons beim Erreichen der maximal möglichen Energie.

Abb. 12

Ein elektrisches Feld beschleunigt die Elektronen im Gebiet A und verzögert die Elektronen im Gebiet B des Energiebandes

Praktisch tritt jedoch diese Situation niemals ein. Infolge der Streuung kann sich unter der Einwirkung des Feldes der Elektronenimpuls nicht um einen großen Betrag ändern. Die Elektronen werden nur auf der mittleren freien Weglänge beschleunigt. Das in Metallen mögliche elektrische Feld ist jedoch niemals so stark, daß es den Quasiimpuls des Elektrons während des freien Fluges wesentlich ändern kann. Daher verbleiben die Elektronen tatsächlich im Bereich d e r FEBMi-Fläche.

3.2.

Kinetische Gleichung

Die Beschreibung mit Hilfe eines Wellenpaketes unter den Bedingungen (3.1) und (3.2) gestattet die Behandlung der Elektronen als klassische Teilchen, die gleichzeitig Koordinate und Quasiimpuls besitzen. Es wird die Nichtgleichgewichtsverteilungsfunktion / im Phasenraum p, r eingeführt. Die gesamte zeitliche Änderung von / wird durch die Ableitung d//d< ausgedrückt. Diese Änderung wird infolge von Zusammenstößen des Elektrons mit anderen Elektronen und Phononen, aber auch durch Streuung an Kristalldefekten (Störstellenatome, Struktur defekte) verursacht. Daher kann man (3.5) schreiben, wobei /(/) das sogenannte Stoßintegral ist.

44

3. Elektrische Leitfähigkeit und Wärmeleitfähigkeit

Die Beziehung (3.5) heißt kinetische Gleichung 1 ). Sie wird im folgenden für die Untersuchung der Transporteigenschaften von Metallen verwendet. Die linke Seite von (3.5) kann in folgender Form geschrieben werden: d/

df

df

dr

df

dp

d~t='dtJr'dr^tJrdp~Ät'

, ,*

Wenn drjdt durch v und dp/dt durch (3.4) ersetzt wird, ist df df -dt — — dt +

df

df K(3.6) '

dr^ \-eE-.dp

Das Stoßintegral hängt von den konkreten Streuprozessen ab. Zunächst soll die Streuung an Störstellen (bzw. anderen Defekten) untersucht werden. Unter der unrealistischen Annahme, daß die Wechselwirkung mit den Störstellen schwach ist, wird die BoRNsche Näherung verwendet. Jedoch läßt sich zeigen, daß im Falle^starker Wechselwirkung der einzige Unterschied darin besteht, daß die BoENsche Streuamplitude durch die Gesamtamplitude ersetzt werden muß, die ebenfalls eine Konstante ist. 2 ) Die Streuwahrscheinlichkeit eines Elektrons an den Störzentren ist in der BoKNschen Näherung gleich 2n ,r J I V T I I V
D ~ sk und sp0 ~ hcoD verwendet. Die Zeit zt ~ 1 ¡W kann im Ausdruck für die Wärmeleitfähigkeit verwendet werden. Als nächstes wird die elektrische Leitfähigkeit diskutiert. Bei der Herleitung des Stoßintegrals in der Form (3.12) wurde praktisch nur die Tatsache verwendet, daß sich der Elektronenimpuls bei Stößen seinem Betrag nach nur wenig ändert. Das gilt auch im vorliegenden Fall, desgleichen auch die Gleichung (3.11). Der Streuwinkel 0 ist im Mittel etwa gleich dem Verhältnis des Phononenimpulses zum Elektronenimpuls: 0 ~

hklp0

~

shk/sp0

~

Tjhojß

1.

Wenn man in (3.11) 1 — cos 0 nach 0 entwickelt, erhält man für den in die elektrische Leitfähigkeit eingehenden Wert t e :

4.4. UmMapp-Prozesse

63

Daher ist die elektrische Leitfähigkeit ne^

nfH iha^Y

m

rnT \ T j

rf

* h m mT\ 2

fhjoA*

T )

/M

iha^V

\T)\

T )

(4.21)

Die Leitfähigkeit ändert sich also bei niedrigen Temperaturen nach dem Gesetz 1/T 5 (BLOCHsches Gesetz). Für die Wärmeleitfähigkeit wird die Zeit rt = l/W verwendet. Dabei ergibt sich ,

2

PomT (PoV k fkcoDy iAa/roy erg —TZT ~ 108 — . v(4.22) h \mj T\ T ) \T) c m s K '

x ~ clv ~ cv2t, £ ~ ——— — 3

Hierin wird Tß = hojD in den gleichen Einheiten wie T gemessen. Durch Vergleich der Ausdrücke für die elektrische und die Wärmeleitfähigkeit folgt x

T l T

a

e \ha>D

.

2

(4.23)

Das WiEDEMANN-FßANZsche Gesetz ist also nicht erfüllt.

4.4.

Umklapp-Prozesse

Bisher sind die hauptsächlichsten Streuprozesse untersucht und daraus die elektrische und Wärmeleitfähigkeit bestimmt worden. Insbesondere ist der durch die Elektron-Elektron-Streuung verursachte Widerstand betrachtet worden. In Wirklichkeit ist jedoch nicht vollkommen offensichtlich, wie Elektron-ElektronStöße zum Auftreten eines Widerstandes führen können. Wenn ein Strom von Elektronen gebremst wird, so bedeutet das eine Änderung des Gesamtimpulses der Elektronen. Wenn jedoch bei Streuprozessen der Gesamtimpuls erhalten bleibt, dann können diese Stöße keine Stromdissipation bewirken. Es muß aber daran erinnert werden, daß der hier betrachtete Quasiimpuls nicht der wahre Impuls ist. Insbesondere ist der Quasiimpuls nur bis auf hK bestimmt, wobei K eine beliebige Periode des reziproken Gitters ist. Infolgedessen sind ElektronElektronen-Stöße möglich, bei denen der Gesamtimpuls nicht erhalten bleibt. Im folgenden soll das Stoßintegral für Elektron-Elektron-Streuung genauer untersucht werden. Die Streuwahrscheinlichkeit zweier Elektronen sei W(p1p2, p'ip'z). Das Stoßintegral enthält dann zwei Terme, von denen der eine den Austritt eines Elektrons aus dem betrachteten Volumenelement des Impulsraumes und der andere dessen Eintritt beschreibt. In jedem Term müssen Faktoren enthalten sein, die das Vorhandensein von Elektronen in den Ausgangszuständen und das Fehlen von Elektronen in den Endzuständen berücksichtigen.

64

4.

Streuprozesse

Damit folgt /(/) =

_

f W(Plpt,p[p-2)

- f(pi) ftä)

{f(Pl)f(p2)

[1 -

f(p[)]

[1 -

f(p2)]

[1 - /(Pi)] [1 - /(P,)]}

X 8(e1 + e2 — £j — e2)

dap2

dsp[

(2nhf

(27tUf

Hierbei wird über den Impuls des zweiten Elektrons p2 und über den Impuls eines der Elektronennach dem Streuprozeß p[ integriert. Der Impuls p'2 dagegen bestimmt sich bis auf hK aus dem Erhaltungssatz Pi + p 2 = p 'i + P2 +

hK.

Der Vektor hK ist beliebig, und das Stoßintegral umfaßt eine Summation über hK unter der Bedingung, daß alle Vektoren Pl, p2, p[, p'2 nicht über die B r i l LOUiN-Zonengrenze hinausreichen. Die Verteilungsfunktion wird in der Form ,

9/o

dargestellt. Dabei kann die Ableitung 3/0/3e als 9/0 _

£

e («-rt/r

1

^

+ l) 2

~T

=

~ T

/ o ( 1 " " fo)

geschrieben werden. Im Gleichgewicht ändert sich / nicht. Daher ist d/0/di = I(fQ) = 0. Das bedeutet, daß die Kombination von Verteilungsfunktionen, die in den geschweiften Klammern im Stoßintegral steht, verschwindet, wenn statt / die Funktion /0 eingesetzt wird. Im folgenden wird der Term erster Ordnung in ip in /(/) bestimmt. Es gibt vier derartige Glieder: eines mit ij){Pl), ein weiteres mit tp(p2) usw. Das Glied mit f[Pl) hat die Form - f

{A(i - /i) /2(i - f'x) (i -

+ /i/2/1 (l - A) ( 1 - /2)} ,

wobei die Funktionen / in den Klammern Gleichgewichtsfunktionen sind. Da die Kombination im ursprünglichen Stoßintegral für / = /0 verschwindet, kann man den letzteren Ausdruck in folgender Form schreiben: - ^V1/1/2 (1 - fi) (1 - f'2) • In ähnlicher Weise können die Glieder mit ip{p2), viPi) und ipip'z) umgeformt werden. Dabei zeigt sich, daß in allen diesen Gliedern ein einheitlicher Koeffizient aus Funktionen /„ auftritt, so daß die Kombination in geschweiften Klammern im Stoßintegral -

1

y /1/2 (1 -

,

/1) (1 -

fz) (Vi +W2-Vi

,

— V2)

4.4.

65

Umklapp-Prozesse

wird. Nimmt man an, daß ip die Form y> = cpx j

c = const,

hat, so verschwindet das Stoßintegral für Prozesse mit Impulserhaltung, weil dabei Px 1 + Px 2 — Px 1 — Px2 = 0 . Wenn kein elektrisches Feld anliegt, hat die Funktion / = /„ — (df0/de) rp die Eigenschaft d//di = 0. Wenn man daher nur Prozesse mit Impulserhaltung berücksichtigt, ist diese Funktion die Lösung der kinetischen Gleichung ohne elektrisches Feld. Gleichzeitig ergibt diese Funktion einen endlichen elektrischen Strom 3

*=

r

dp

Das bedeutet die Existenz eines Stromes bei Fehlen eines elektrischen Feldes oder, anders ausgedrückt, unendliche Leitfähigkeit. Tatsächlich müssen auch die Prozesse berücksichtigt werden, bei denen Pi + Pi -

Pi -

P 'z =

#=0 •

Diese Prozesse heißen PEiEELSsche Umklapp-Prozesse. Gerade diese Prozesse führen zu einem endlichen Widerstand. Wie bereits gesagt, müssen alle Vektoren pt innerhalb der BßrLLOTTiN-Zone liegen. Wenn sich der Impuls P l in der Nähe der FEBMI-Fläche befindet, dann liegen nach Abschnitt 2.2. auch alle übrigen Impulse in der Nähe der FERMi-Fläche. Um daher einen endlichen Widerstand zu erhalten, muß max (Pl + p2 - p[ - p'2) = 4 max \p\ > h |K m i n |

(4.24)

gelten. Offensichtlich ist diese Bedingung für den Fall erfüllt, daß die F E R M I Fläche bis zu den Grenzen der BRILLOUIN-Zonen reicht (Abb. 5 b und c). Bei den Alkalimetallen erreicht jedoch die FERMi-Fläche nirgends die BsULOUiN-Zonengrenzen. Dennoch ist sogar in diesen Fällen die Bedingung (4.24) erfüllt. I n der T a t ist die FEBMi-Fläche eines beliebigen Alkalimetalls einer Kugel sehr ähnlich. Da diese Metalle ein Valenzelektron pro Atom haben, ist das Volumen der FEBMI-Kugel gleich der Hälfte des Volumens der BßrLLOUiN-Zone (s. Abb. 13a). Daher ist der Radius der FEBMi-Kugel sicher größer als 1 / i der kleinsten Periode des reziproken Gitters, was zur Erfüllung der Bedingung (4.24) hinreichend ist. I n Halbmetallen, wie z. B. Wismut, besteht die FEBMi-Fläche aus mehreren kleinen geschlossenen Gebieten (Tälern), deren Mittelpunkte einen Abstand hKI2 haben (Abb. 13b), was zur Erfüllung der Bedingung (4.24) (für Zwischentalübergänge) hinreichend ist. Daraus folgt, daß für die Elektron-ElektronStöße alles günstig aussieht. Anders jedoch stellt sich die Situation für Elektron-Phonon-Stöße dar. I m Abschnitt 4.3. wurde die Gleichgewichtsverteilungsfunktion für Phononen verwendet. Das ist zulässig, wenn ein unabhängiger Mechanismus existiert, der ein 5

Abrikossow

66

4. Streuprozesse

Gleichgewicht im Phononengas herstellt, z. B . Stöße von Phononen an Störatomen oder Phonon-Phonon-Streuung. Ist jedoch die Störstellenkonzentration klein, ist der erstgenannte Prozeß uneffektiv. Der andere Prozeß kann, wie bei der gegenseitigen Streuung von Elektronen, nur über Umklapp-Prozesse ein Gleichgewicht herstellen. Bei niedrigen Temperaturen sind die Impulse der Phononen klein, so daß die Bedingung (4.24) für Phonon-Phonon-Stöße sicher nicht erfüllt ist. Daher sind in einem reinen Metall die Stöße mit Elektronen der einzige wesentliche Relaxationsmechanismus für Phononen bei tiefen Temperaturen. Dabei weicht die Verteilungsfunktion der Phononen vom Gleichgewicht ab und muß aus der kinetischen Gleichung gefunden werden.

Abb. 13

Schematische FERMi-Fläche von (a) Alkalimetallen und (b) Halbmetallen

Bei Elektron-Phonon-Wechselwirkung ist das Stoßintegral für Phononen I = J

TOI

-

/,) (1 + nk) -

(1 - A) f2nk] ö(£l -

e2 -

hco)

d3p ^)3.

( 2

Das erste Glied beschreibt die Emission, das zweite die Absorption eines Phonons. Die Integration erfolgt über alle Elektronenimpulse. Gesucht wird eine Verteilungsfunktion für Phononen in der Form 1 «fc = nko + y w fc0 (l + "fco) 9 • F ü r Elektronen jedoch sei die bisherige Form vorausgesetzt: / = / o + ^ / o ( l - / o ) VIn erster Näherung in y> und

\2

fhcOn^2

x [e(i>) — e(p — hkj) — X [e(l>) — e(P — hkj

ttioikj)]-1 k)]-1

— ha)(k1 —

X [s{p) — s{p — hk2) — 7ko(fc2)]_1 X [e(f») — e{p — hk2)

— hco{k2 —

fe)]_1

d 3 fc t d3fe2 d3fe Einer der im Nenner auftretenden Faktoren ist zum Beispiel e{p)

— e{p — hk,) — hm (fex) =

hpkt

h?k\

m

Zm

hm

(kx).

Die wesentlichen Werte von hk sind von der Größenordnung p0. Daher variiert dieser Nenner in den Grenzen von hcoD bis ¡1 ~ 2?o/m- Kleine Werte des Nenners

71

4.6. K O N D O - E f f e k t

treten nur in einem kleinen Bereich von Winkeln zwischen p und kx auf, wodurch das Integrationsgebiet über den Winkel eingeschränkt wird und einen Faktor der Größenordnung Äojd//x ergibt. Jede Differenz e(p) — e(p — fikj) tritt im Nenner zweimal auf, so daß der erwähnte kleine Winkelbereich dennoch den Hauptbeitrag zum Integral liefert. Mit dieser Bemerkung folgt h(o y fh(ti \ 2 pl 1 (ha> 2

W~-n{M-Mf

D

I—

h

\Mn)

4

pt

D

D

H9 p \

\ m n )

(ÄwB)4

/x /

(der Faktor pl/h 9 entstellt durch drei d3fc/(2jtfe)3, 1/fi aus der Energie-ö-Funktion und (hcoolfi)2 aus den Winkelintegrationen). Der erhaltene Ausdruck kann wie folgt umgeformt werden: w

~

(M

-

M f ( n m 2

M

\

D

\

¡x )

pl mU

Da U(oD ~ sp0 und ¡x ~ vp0 ,ist hcoDlfj, ~ s/v ~ ymjM. Daraus folgt W ~

(M

— M f 2

M

m M

u

—.

(4.36)

K

h

'

Die mittlere freie Weglänge ergibt sich damit zu l ~ vt ~

vh ^

M* (M

-

M

_

m

M f

M2

~ 10~8 (M

-

== M)2

M

cm .

(4.37)

m

Für Zinn ist l ~ 10- 8 • 103 • 105 « 1 cm . Die Leitfähigkeit hat die Größenordnung a ~

ne2t

M2

M

~ 1016 —

m

m

(M

-

s"1.

_

(4.38)

2

M)

Dieser Wert der freien Weglänge wurde für Zinn experimentell bestätigt [8]. Das Ergebnis zeigt also, daß man in einem Metall nicht einen endlichen Restwiderstand vermeiden kann, sofern es kein reines Isotop ist. 4.6.

Kondo-Effekt

Die bisher untersuchten Streumechanismen führen zu dem Ergebnis, daß der Widerstand bei Erniedrigung der Temperatur fällt bzw. (bei niedrigen Temperaturen) konstant bleibt. I m Experiment wurde jedoch wiederholt gefunden, daß der Widerstand von sehr reinem Gold, Silber und Kupfer mit abnehmender Temperatur manchmal durch ein Minimum geht und anschließend wieder zunimmt. Diese Erscheinung war sehr lange ungeklärt und wurde unlängst durch RONDO (1964) [9] interpretiert und nach ihm benannt. Die Ursache dieser Erscheinung

72

4.

Streuprozesse

ist das Vorhandensein von Störstellenatomen im Metall mit nicht aufgefüllten inneren Hüllen, die einen von Null verschiedenen Spin besitzen. Derartige magnetische Störatome können Mn, Fe, Cr, Co u n d andere Übergangsmetalle sein. Die Wechselwirkungsenergie des Elektrons mit diesen Atomen enthält außer dem üblichen Glied 2 v i r ~~ R«) auch einen vom Elektronenspin o und dem i

Spin S der Verunreinigung abhängigen Term, den m a n folgendermaßen schreiben kann: V

s

= - - 2 oStd(r n

i

- Rt).

(4.39)

Hierbei ist aS = ax8x + AVSY + aZSZ, und ak sind die PAULi-Matrizen. D a der Spin S durch die inneren Atomhüllen hervorgerufen wird, k a n n m a n die Wechselwirkung als punktförmig ansehen. 1 ) Der Ausdruck (4.39) beschreibt physikalisch Streuprozesse, bei denen der Elektronenspin bei gleichzeitiger Orientierungsänderung des Spins des Störatoms umklappt. Bei Streuung eines Elektrons an gewöhnlichen Atomen bleibt seine Spinorientierung erhalten. Der Koeffizient J h a t die Dimension einer Energie (n = N/V wurde zur Normierung eingeführt). J ist in der Regel u m einige Male kleiner als die Elektronenenergien (d. h. ¡x), während die übliche, nicht vom Spin abhängige Wechselwirkung des Elektrons mit dem Störatom die Größenordnung fi h a t . Weil jedoch beide Wechselwirkungen nicht in der Streuwahrscheinlichkeit interferieren, k a n n man sie einzeln untersuchen. Die Streuamplitude bei der Wechselwirkung (4.39) ist proportional zu

wobei«' die End- u n d « die Anfangsorientierung des Elektronenspins bezeichnet. Da f ü r die Leitfähigkeit n u r der Elektronenimpuls u n d nicht sein Spin maßgeblich ist, muß die Streuwahrscheinlichkeit über alle Endorientierungen des Spins summiert und über die Anfangsorientierungen gemittelt werden. Das ergibt J

2

i 2

a'a

(öS)««' (aS),.„

=

2

oc

(ÖS • oS)xx

= J*S(S

+ 1) .

Der Spinanteil der Wechselwirkung liefert daher in erster Näherung zum Widerstand einen Beitrag von der Größenordnung J 2 S 2 j(j? relativ zur normalen Wechselwirkung mit den gleichen Störatomen. E s scheint so, als sei dies ein kleiner Effekt, den m a n nicht zu berücksichtigen braucht. I m Abschnitt 3.2. ist bereits gezeigt worden, daß die übliche Wechselwirkung nicht gering ist und streng genommen die BoKNsche Näherung f ü r sie nicht zutrifft. Die genaue Rechnung zeigt jedoch, daß es genügt, die BoENsche Streuamplitude durch die exakte Amplitude zu ersetzen. Da beide nicht von der Elektronenenergie abhängen, die gleiche Größenordnung haben und im realen Metall nicht genau beDies trifft offensichtlich für reale Übergangsmetalle mit entarteten d- oder /-Niveaus nicht zu. Die Berücksichtigung der Winkelabhängigkeit der Streuung hat jedoch keinen wesentlichen Einfluß auf das Ergebnis.

4.6.

73

Komo-Effekt

rechnet werden können, ist es klar, daß eine Verbesserung der BoRNschen Näherung für die normale Wechselwirkung ohne Bedeutung ist. Anders ist die Situation für den Spinanteil der Wechselwirkung. Obgleich er kleiner als der spinfreie Anteil ist und daher die Verwendung der BoBNschen Näherung in diesem Fall anscheinend gerechtfertigt ist, besteht dennoch ein wesentlicher Unterschied. Dieser liegt darin, daß sich die Korrektur zur B o r n schen Näherung als von der Elektronenenergie (genauer von £ = e — /£) abhängig erweist, was schließlich zu einer Temperaturabhängigkeit des Störatomanteils des Widerstands führt. Bei der Betrachtung der Streuung eines Elektrons an einem bestimmten Atom im Metall in der zweiten BoBNschen Näherung ist die Berücksichtigung der anderen, durch die Fermi-Verteilungsfunktion beschriebenen Elektronen sehr wesentlich. Es sind zwei Prozesse möglich: 1. Ein sich im Anfangszustand poc befindliches Elektron geht zunächst in den Zustand p^ und schließlich in den Endzustand p'tx über. Die Summierung erfolgt über die Zwischenzustände, wobei gewährleistet sein muß, daß diese Zustände nicht besetzt sind. Daher wird in die Summe der Faktor 1 — /(p a ) eingefügt. Damit ergibt sich für diese Variante JY nj

f (öS)..„ ZJ

(aSU,

(1 -

f(Pl))

e(p)-s(Pl)

d'Pl (2nhf

{

'

U)

2. Ein Elektron aus einem besetzten Zustand, z. B. geht in den Zustand p'S).1.(gS),'.1/(ft) i J

d^

e(Pi)-e(P')

( W

}

ergibt. Das Minuszeichen hängt mit der Antisymmetrie der Wellenfunktionen der Elektronen bezüglich der Teilchenpermutation zusammen (s. § 3 in [4]). Da die Prozesse elastisch sind, ist e{p') — e{p). Daher unterscheiden sich die Nenner in den Formeln (4.40) und (4.41) nur durch das Vorzeichen. In den Zählern beider Ausdrücke stehen Spinfaktoren, die man als

(.aS) (öS), Z a ia kS kS i

i, k

schreiben kann. Eine Vertauschung von 8 h und 8 i ist nicht möglich, da es sich um Operatoren handelt. Deswegen sind die Spinfaktoren für die beiden Varianten unterschiedlich. Mit den Eigenschaften der PAULi-Matrizen folgt

(aS) ( a S ) = S(S + 1) - aS , j 2" a ia h8 kS i = 8{S + 1) + aS . f

i,k

)

( 4- 42)

74

4.

Streuprozesse

Wenn man diese Ausdrücke in (4.40) und (4.41) einsetzt, ergibt sich die Summe j y

n

r\s(8

+

) J \ «(P)

2/(ft)~ i «(P) -

~ e(Pi)

] '"'"J

d*Pl ( W "

Da f { P l ) von £(p x ) = e(i>i) — ¿t abhängt, werden statt e(p) und eip^ die Veränderlichen | und eingeführt. Beim Übergang zum Energieintegral erhält man J Y f [S[8

»/./

l

+ 1) «... f - f i

, 2/fo) -

1

f - f i

1 (=/[2/(f',"11 0

= j [2 m o

i r r h

~1

(die Integrationsgrenzen haben die Größenordnung +/x, jedoch ist ihr genauer Wert unwesentlich, wie man sogleich erkennen wird). Wenn ^ kann | 2 im Nenner des Ausdrucks unter dem Integral vernachlässigt werden. Wenn T, dann ist 2/(fj) — 1 ^ — 1 . Damit wird das Integral logarithmisch. Im logarithmischen Integral jedoch genügt es, die Grenzen nur größenordnungsmäßig zu kennen. Die Präzisierung der Grenzen ergibt zu dem großen Wert des Logarithmus eine Korrektur der Größenordnung 1. Unter Vernachlässigung dieser Korrekturen kann man für das letzte Integral 2 In^ max {Hl, T} schreiben. Somit ist die zweite BoENsche Näherung der Streuamplitude infolge Spinwechselwirkung gleich

75

4.6. KONDO-JEffekt

Die erste Näherung ist J

— — (öS)„t) I n ; n ^ max

- ( a S ) ^ n

¡i

(4.44)

{|£|, T}

schreiben. Da größenordnungsmäßig v(ß) n

p0mH3 ~

H3pl

1 ~

fi

ist, hat die Korrektur die relative Größenordnung J

— In M

u

^ max {Hl,

T)

Es wird jetzt der Widerstand betrachtet. Da die Elektronen mit |£| ~ T die wesentlichste Rolle spielen, kann im Rahmen der berücksichtigten Genauigkeit In (jii/i7) geschrieben werden. Da jedoch in den Widerstand das Quadrat der Streuamplitude eingeht, kann man Q = e . + eS0) ( l - ^

In

(4.45)

'schreiben. Das erste Glied ist durch die gewöhnliche Wechselwirkung und das zweite durch die Spinwechselwirkung bedingt, wobei das Ergebnis der ersten BoENschen Näherung ist. Aus dieser Formel ist ersichtlich, daß bei J < 0 der Widerstand mit abnehmender Temperatur logarithmisch zunimmt. Das wurde im Experiment gefunden ( A L E X E J E W S K I , G A I D U K O W 1956 [10]). Das Verhältnis des temperaturabhängigen Anteils zum Hauptanteil des Restwiderstandes hat die Größenordnung (J//0» In {p/T}

.

Außer diesem (bei J < 0) mit abnehmender Temperatur wachsendem Anteil existiert der früher betrachtete Anteil, der mit abnehmender Temperatur abfällt. Das führt zum Auftreten eines Minimums im Gesamtwiderstand. Der wesentlichste abnehmende Teil des Widerstandes ist gewöhnlich durch Phononen bedingt, so daß man insgesamt q = qv + cta In {/z/T} + 6 T 5

(4.46)

schreiben kann, wobei die Abhängigkeit von der Konzentration der magnetischen Störungen berücksichtigt worden ist. Durch Differentiation findet man die Lage des Minimums: Tmin

=

fea/56)1'5,

(4.47)

das heißt, die Minimumtemperatur ist proportional zu cV . In Richtung zu niedri5

76

4.

Streuprozesse

gen Temperaturen bricht die Zunahme des Widerstandes normalerweise dort ab, wo infolge der Wechselwirkung der Spins der Störatome das sogenannte Spinglas entsteht. Dabei wird die Spinorientierung fixiert, so daß keine Streuung mit Spindrehung mehr stattfinden kann. Der Logarithmus in (4.45) wächst nicht mehr weiter an, nachdem er den Wert In {fijO) erreicht h a t , wobei 0 die Temperatur ist, bei der sich das Spinglas bildet (CURIE-Temperatur). Der Abbruch der Streuprozesse mit Spindrehung f ü h r t zur Verkleinerung des Koeffizienten p(f } in Formel (4.45), so daß bei T 0 die K u r v e q{T) nicht einfach in ein Plateau übergeht, sondern ein schwaches Maximum aufweist. Die Temperatur des Einfrierens der Spins ist gemäß experimenteller D a t e n u n d theoretischer Vorstellungen proportional zur Störstellenkonzentration. Wenn daher die Konzentration verringert wird, kann 0 beliebig klein gemacht werden, sogar kleiner als die Temperatur, bei der das logarithmische Glied in Formel (4.45) groß wird. Letzteres trifft bei der Temperatur (4.48) (der KONDO-Temperatur) zu. F ü r den Fall T ^ TK ist die bei der Herleitung der Formel (4.45) gemachte Näherung schon nicht mehr hinreichend, so daß ein genauerer Ausdruck gefunden werden muß. E s sollen hier lediglich einige Result a t e angeführt werden. Die Summation der hauptsächlichsten Korrekturterme, die In { f i / T ) u n d J in gleicher Potenz enthalten, f ü h r t zu dem Ergebnis e = Qv +

2

(4.49)

(ABRIKOSSOW 1 9 6 5 ; SUHL 1 9 6 5 [ 1 1 , 12]).

Diese Formel ist völlig hinreichend, wenn J > 0 ist. Wenn jedoch J < 0 ist, geht q bei einer bestimmten Temperatur gegen unendlich. Eine genauere Analyse zeigt, daß der durch den Spin bedingte Anteil des Widerstandes bei Erreichen eines Wertes von der Größenordnung o„ nicht mehr weiter zunimmt u n d gegen einen konstanten Wert bei T —> 0 strebt. Obgleich dieses Ergebnis durch das Experiment bestätigt wird, k a n n die Theorie, die dieses Ergebnis liefert, noch nicht als endgültig angesehen werden 1 ). *) Kürzlich hat WILSON [83] streng gezeigt, daß für T —>• 0 der Spin eines Störatoms vollständig durch die Elektronen abgeschirmt wird. Er berechnete die Beiträge zu den thermodynamischen Koeffizienten für T TK, nämlich zur spezifischen Wärme dG = riifjzTßTund die zur paramagnetischen Suszeptibilität 8% = 2ni(ß2l7iTKo), wo % die Störatomdichte und ß das Bomtsche Magneton sind und ein isotropes Modell benutzt war. Tk> = a/i \v(p.) \J\ exp [— (v(p) | J | ) _ 1 ] ist die echte KONDO-Temperatur, und a ~ 1. Auf Grund dieser Ideen berechnete NOZIERES [89] den durch Spinwechselwirkung bedingten elektrischen Widerstand für T Ko p(T)

= ;p(0) [1 2

(7iT/TKt)*] 2

wobei p(0) = (iii/ne) (nh lp0e )

gilt.

,

77

4.6. KONDO-Effekt

Eine weitere Besonderheit des Widerstandes, die mit den magnetischen Störstellen in Zusammenhang steht, ist die Möglichkeit der Widerstandsabnahme bei Einschalten eines Magnetfeldes. In Abwesenheit magnetischer Störstellen beeinflußt ein magnetisches Feld den Widerstand durch Drehung der Elektronenbahnen. Dieser Effekt wird im einzelnen in Kapitel 6 untersucht. Er führt stets zu einer Erhöhung des Widerstandes, wobei in schwachen Feldern AG1 ~

Q(ÜT)'|2

gilt. Hierin ist Q ~ eH/mc die LAKMOB-Frequenz und r die Stoßzeit. Bei Vorhandensein magnetischer Störstellen bewirkt das Magnetfeld außer der Drehung der Elektronen eine Spin-Polarisation der magnetischen Störstellen. Dabei wird die Richtung dieser Spins festgelegt, so daß, wie auch beim Einfrieren der Spins, die Möglichkeit der Elektronenstreuung mit Spindrehung verschwindet. Die Gesamtstreuwahrscheinlichkeit verringert sich dabei und somit auch der Widerstand. Für SßH

~

-QAgSßHjT?

.

(4.50)

T, so ist AQ2 ~

— Qj .

Die Abschätzung von AG1 und AQ2 zeigt, daß die gesamte Widerstandsänderung sowohl positiv, als auch negativ sein kann, je nach den konkreten Werten der Probe. Insbesondere kann sich AQ1 verkleinern, wenn nichtmagnetische Störstellen zusätzlich eingeführt werden. Dabei verringert sich t und damit auch AP1} während gewöhnliche Störstellen auf AO2 keinen Einfluß haben.

5.

Galvanomagnetische Eigenschaften der Metalle

5.1.

Kinetische Gleichung mit Magnetfeld

Die Dynamik der Elektronen hängt bei Anwesenheit elektrischer und magnetischer Felder in erheblichem Maße von der Topologie der FERMi-Fläche ab. Bisher wurde stets nur die BiiiLLOUiN-Zone allein untersucht. Jetzt ist es dagegen günstiger, das gesamte reziproke Gitter zu betrachten. Die Energie der Elektronen ist in diesem Fall eine periodische Funktion des Quasiimpulses. Das gleiche trifft auch für eine beliebige Fläche e(p) = const und insbesondere für die FERMi-Fläche selbst zu. Alle FERMi-Flächen können in zwei Gruppen eingeteilt werden. 1. Geschlossene Flächen. I m reziproken Gitterraum existiert eine sich periodisch wiederholende geschlossene Fläche. Innerhalb einer BRILLOUIN-Zone heißt das, daß die FERMi-Fläche nirgends die Zonengrenzen berührt.

a) Abb. 15

b)

Zweidimensionale (a) geschlossene und (b) offene FERMi-Fläche

a) Abb. 16

ooo ooo ooo

c

b)

c)

Dreidimensionale offene FERMi-Flächen: (a) gewellter Zylinder, (b) durch Röhren verbundene Ebenen, (c) Röhrengitter

5.1. Kinetische Gleichung mit Magnetfeld

79

2. Offene Flächen. Dies sind Flächen, die sich ununterbrochen im gesamten reziproken Gitter fortsetzen. Bezüglich einer BKiLLouiN-Zone heißt das, daß die Fläche offensichtlich die Zonengrenzen schneidet. Beispiele für den zweidimensionalen Fall zeigt Abbildung 15a und b. Einige Typen offener Flächen im Dreidimensionalen zeigt Abbildung 16 a, b und c (vergleiche experimentelle Daten für Au (Abb. 9) und P b (Abb. 10)). I m folgenden wird ein Elektron behandelt, das sich in einem Magnetfeld bewegt. Unter Vernachlässigung von Quanteneffekten 1 ) lautet seine Bewegungsgleichung d» e f t = - [

v H ]

= F.

(5.1)

Die Änderung seiner Energie pro Zeiteinheit ist de

de

dp

dt

dp dt

— = — ^

= vF = 0 .

Folglich ist e = const .

(5-2)

Aus (5.1) folgt ebenfalls, daß pz = c o n s t ,

(5-3)

wenn das Magnetfeld in Richtung der z-Achse liegt. Demnach bewegt sich das Elektron so, daß s und pz Erhaltungsgrößen sind. Im Impulsraum ist das eine Bahn, die sich durch Schneiden der Fläche e{p) = const mit der Ebene pz = const ergibt. Bekanntlich spielen nur die Elektronen in der Umgebung der FERMi-Fläche, das heißt mit e » [i eine entscheidende Rolle. Daher sind im Impulsraum die Schnitte der FERMi-Fläche mit den Ebenen pz = const mögliche Elektronenbahnen. Ist die FERMi-Fläche geschlossen, so sind alle diese Schnitte geschlossene Konturen, ist sie offen, dann können die Schnitte geschlossen oder auch offen sein, das heißt sich im gesamten reziproken Gitter fortsetzen. Formel (5.1) lautet in Komponenten dpx dt ])

=

e c

dp,. e J £ = - - V dt c

t

a .

(5.4)

In Kapitel 10 wird gezeigt, daß das Magnetfeld eine Quantisierung der Elektronenenergieniveaus hervorruft (LANDAU-Quantisierung). Daher ist die Gleichung (5.1) im Gegensatz zu dem Ausdruck p = eE im elektrischen Feld nicht korrekt. Da jedoch für die üblichen Metalle in den experimentell erreichbaren Magnetfeldern ßH ¡J. (ß BoHEsches Magneton) ist, führt die Quantisierung der Niveaus außer in Sonderfällen, die in den Kapiteln 10 bis 12 untersucht werden, nur zu kleinen Korrekturen, die in erster Näherung vernachlässigt werden können.

80

5. Galvanomagnetische Eigenschaften der Metalle

Quadrieren und Addition beider Gleichungen ergibt dpi + dpi

e2

ydp\ + dpi = dl ist aber das Längenelement der Elektronenbahn im Impulsraum. Somit ist dl

di

e

= - h v c

l

.

,

» x = y»2 + »;

i

=

bzw. auch dl

c

-

eH' -

di = —

eHJ

v±

(5.5)

Ist die Elektronenbahn geschlossen, erstreckt sich das Integral über die gesamte Umrandung, und es folgt für die Bewegungsperiode längs der Umrandung

In der Ebene pz — const wird die Fläche durch das Integral S = / dpx

dpy

dargestellt. Anstatt dieses Integral zu nehmen, kann man in der Ebene p z = const die Kurven s = const eintragen und längs dieser Konturen und senkrecht zu ihnen integrieren. Der aus den zwei Umrandungen mit e und de gebildete Ring hat im vorliegenden Fall die Breite de/|3e/3pj_| =

dejvj_

.

Die Ringfläche ist gleich de / dl/v± (das Integral erstreckt sich über die Umrandung), und die ganze Fläche in der Ebene pz — const ist durch das Integral 8

-Mi

dl

gegeben. Durch Vergleich mit (5.6) findet man c

t

dS

(5 " 7)

=

Unter Einführung der sogenannten „Zyklotronmasse"1) m * = (1/2tt) 9S/ds

(5.8)

ergibt sich für die Periode T =

2ncm*leH

.

(5.9)

Die Zyklotronmasse fällt auf der FERMi-Fläche im isotropen Modell mit der „effektiven Masse" zusammen (s. Gl. (2.7)). U m Mißverständnisse zu vermeiden, sei daran erinnert, daß der Begriff „effektive Masse" hier nur für das isotrope Modell angewendet wird. I m anisotropen Fall bezeichnet m* stets die Zyklotronmasse.

5.1.

Kinetische

Gleichung mit

Magnetfeld

81

Die Zyklotronmasse kann nur für geschlossene Bahnen definiert werden. Wenn die Bahn e = const ein Gebiet geringerer Energie umschließt, ist m* positiv. Das ist der Fall, wenn die Ladungsträger „Elektronen" sind. Das trifft insbesondere für den Fall einer kleinen Anzahl von Elektronen im Band zu, die in der Nähe der Bandkante konzentriert sind. Wenn im Gegensatz dazu die Bahn ein Gebiet höherer Energie umschließt, ist m* negativ. Das ist der Fall, wenn die Ladungsträger „Löcher" sind. Ein Spezialfall liegt bei einem fast gefüllten Band vor. F ü r freie Elektronen gilt p2 — pl) = Jt(2rae — pl) ,

8 — np2± =

und folglich ist (1/251) dSjde

=

m

die Masse des freien Elektrons. Von der Bewegung der Elektronen im Impulsraum kann man leicht zu der im Ortsraum übergehen. Die Gleichung (5.1) kann in der Form dp

= — [drH]

(5.10)

geschrieben werden. Hieraus folgt, daß die Projektion der Elektronenbahn auf die Ebene senkrecht zu H im wesentlichen die Bahn im Impulsraum mit geänderten Koordinaten x -* — (cjeH) py, y —• (cjeH) px wiederholt. Außerdem bleibt die Bewegung in z-Richtung mit der Geschwindigkeit vz = dsjdpz erhalten. Wenn der erwähnte Schnitt der FERMi-Fläche mit der Ebene pz = const geschlossen ist, dann ist die Trajektorie im Ortsraum eine Spirale mit der Achse in Richtung von H. Falls jedoch die Bahn im Impulsraum offen ist, so ist die Trajektorie in der (x, i/)-Ebene ebenfalls offen. Bei Anliegen eines Magnetfeldes führt man zweckmäßigerweise statt px und pv zwei neue Veränderliche ein: die Energie e und die „Bewegungszeit entlang der Trajektorie"

Man muß sich vor Augen halten, daß dies im vorliegenden Fall nicht die wahre Zeit, sondern eine Funktion von px und pv ist, mit denen sie über die Gleichung (5.4) zusammenhängt. Entsprechend den obigen Aussagen ist fdpx

dpv

= /

de dl\vL

.

Da (cjeH) (dl/v^) = di2, stellen sich die Integrale über den Impulsraum folgendermaßen dar: (5.11) 6

Abrikossow

82

5. Galvanomagnetische

Eigenschaften

der

Metalle

Die kinetische Gleichung kann bei vorliegendem konstanten elektrischen und magnetischen Feld in der Form df •

df

.

df .

geschrieben werden. F ü r e erhält man de 8

d t

de dp

dp

~ dp dt ~

V

dt '

Bei vorliegendem elektrischen und magnetischen Feld ist d» e ^=-c[vH]

+ eE

(5.13)

und daher e = evE ,

(5.14)

pz = eEz.

(5.15)

Die Variable ergibt sich aus der Gleichung (5.4), die sich von (5.13) durch das Fehlen eines elektrischen Feldes unterscheidet. I n Metallen ist bei nicht zu kleinen Magnetfeldern stets (v/c) H größer als E. Daher ist der Unterschied zwischen ij und t gering und dtjdt ¡^ 1. Damit folgt df

df

df

/ wird in der Form t = t . ~

d

b

angesetzt. Da e, und tx unabhängige Variable sind, muß man /„ als unabhängig von pz annehmen. Damit ergibt sich beim Einsetzen von (5.17) in (5.16) in niedrigster Ordnung in y ^

- J( V ) = evE .

(5.18)

Diese allgemeine Gleichung ist für die verschiedenen konkreten Fälle zu lösen. Die Randbedingungen bezüglich tx sind folgende: Wenn die Elektronenbahn geschlossen ist, muß die Funktion ip offensichtlich periodisch von abhängen. Ist die Bahn offen, dann ist ip nicht unbedingt periodisch, muß jedoch überall endlich sein. Diese Bedingungen liefern eine eindeutige Lösung der Gleichung (5.18).

5.2. Galvanomagnetische

5.2.

Erscheinungen

im schwachen Magnetfeld

83

Galvanomagnetische Erscheinungen im schwachen Magnetfeld

Zunächst wird ein schwaches Magnetfeld betrachtet. I n diesem Fall sind die Streuprozesse wesentlich, u n d es wird nur die Größenordnung der Effekte abgeleitet. U m die Lösung der kinetischen Gleichung (5.18) an einem einfachen Beispiel zu erläutern, wird das isotrope Modell mit I(y>) = —y/t betrachtet. Die kinetische Gleichung erhält die Form dw

w

+

(5-19)

Die Lösung dieser Gleichung ist k y , = f ev{t2) c

di 2 .

Ee-Vi-''^

(5.20)

Die Konstante c muß aus den Randbedingungen bestimmt werden. Die Funktion y ist periodisch, da im isotropen Fall alle Bahnen geschlossen sind (die Flächen konstanter Energie sind Kugeln). Dabei muß in (5.20) c = — oo gesetzt werden, denn ipfa +

h+T / ev{t2)

T) = —

=

E e-(t'

+ T t ) r

~'l

dt2

00

/ ev(t2 — oo

+

E e - ' ' 1 ' 1 ' " 1 di 2 =

T)

,

da v(t2 + T) = v(t2) eine periodische Funktion ist. Gemäß (5.11), (5.17) und (5.20) ist der elektrische Strom

J * (ääji-J djJ j f dtpM J

2e L

r

=

fv d3p = Po

(2Tthf

2He2

r

-

T

-Po

r

dp

'

dk bezeichnet. Die Konstanten Ck können durch Mittelung der Gleichungen (5.28), (5.29), ... bestimmt werden. Die Endlichkeit von ip in allen Fällen ergibt äv

.. =

1 fty ~r

lim

o

y(T 1 ) -

di

1 =

T

lim

y(0) =

0

-

Daher folgt = eEv ,

-7^o)

= 0

(Jfc = 1, 2, ...) .

Mit den Bezeichnungen ipk = y>k + C k und 7 (const) = 7 0 ist ~I0(C0)

= eEv ,

-I0(Ck)

= Jfoj"

(5.32) (k = 1, 2, ...) .

(5.33)

Die letzteren Gleichungen bestimmen die Konstanten Ck. Für den Fall geschlossener Bahnen sind vx und vy periodisch und vx = vy = 0. Aus (5.32) kann man schließen, daß C0 nur von vzEz abhängt. Daher können Glieder, die zu Ex und Ev proportional sind, nur in y>L vorkommen. Wenn man vx und vy aus den Gleichungen (5.4) bestimmt, erhält man h

0 =

Gx +

wobei cpih) Ez =

^ (EvVz

-

k / 7(C 0 ) dt2 + o

Expv)

+ cp^) Et,

k e / vz(t2) di 2 o

Ez.

(5.34)

88

5. Galvanomagnetische Eigenschaften

der Metalle

F ü r die Stromkomponente jx zum Beispiel erhält man in erster Näherung 2 He* U

=

(2?rh f c

T

T

F^ F^

V * (K)

0

r

t

% = " ¿

dpy

3

/ ^

JW^

^

C

dTJ^^h

/

_O

T

0

T

0

0

(dabei wurden die Gleichung vx = — (c/eH) (dpyjdl-^ und die Formel (5.34) verwendet). Das zweite und dritte Integral verschwinden wegen der Periodizität von py: py(T) = £>¡,(0). Daher ist die »^/-Komponente des Leitfähigkeitstensors T 2ec

f

f

dpy

o

2 ec (2 n h f H ^

dpz

(ß px

dpy

2 ec {2n%f

H

dp,

fäfa,

fi) -

S2(p„

p)] .

(5.35)

Dabei sind S1 und S2 die entsprechenden Schnittflächen der FEBMi-Fläche mit der Ebene pz = const für die Fälle, daß sich innerhalb der Umrandung ein Gebiet kleinerer (Sj) oder größerer (S2) Energie befindet. Die Vorzeichenänderung bei den Löchern (S2) kommt daher, daß ihre Bahnbewegung in entgegengesetzter Richtung zu der der Elektronen verläuft. Allgemein kann das Vorzeichen leicht durch Vergleich mit dem isotropen Fall (px = pj_ cos Qt, py = — pj_ sin Qt) gefunden werden. Integration über dpz liefert axy =

(eclH)

(mj — n2) ,

(5.36)

wobei Wj die Elektronendichte (N = 2F F /(2?rÄ) 3 , VF ist das von der FebmiFläche eingeschlossene Volumen im Impulsraum) und n2 die Löcherdichte bezeichnet. E s wird hierbei vorausgesetzt, daß beide Zahlen nicht gleich sind. Die Gleichung (5.36) hat auch in dem Fall einen Sinn, wenn die FEBMi-Fläche offen ist und bei gegebener Feldrichtung alle ihre Schnitte mit den Ebenen pz = const geschlossen sind. Dabei ist unter VF das durch die FERMi-Fläche und die Grenzen der BBiLLOUiN-Zone eingeschlossene Volumen zu verstehen. Eine weitere aus dem Ausdruck für jx zu ziehende Schlußfolgerung ist das Fehlen von in y linearen Gliedern in der Komponente axx des Leitfähigkeitstensors. Daher ist axx höchstens quadratisch von y abhängig. Das Auftreten

5.3. Galvanomagnetische Erscheinungen im hohen Magnetfeld

89

derartiger Glieder kann mit Hilfe der nächsten Näherung gezeigt werden. Das gleiche gilt auch für ayy. Aus dem Ausdruck für jx folgt, daß axz linear in y ist. Ferner kann man zeigen, daß a yz von erster Ordnung und azz von nullter Ordnung in y ist. Alle in y linearen Koeffizienten haben die Eigenschaft erijfc = — aki. Dies ist eine Folge des allgemeinen OusAGERschen Symmetrieprinzips für die k i n e t i s c h e n K o e f f i z i e n t e n : aik(H)

=

aki(—

H).

Somit kann der gesamte Leitfähigkeitstensor in folgender Form geschrieben werden:

(

y2axx

yaxv

yaxz\

yavx

y2avv

yay2

yazx

yazy

azz

I.

(5.37)

J

Hieraus ergibt sich der Widerstandstensor Qik = o ^ . Behält man die Glieder kleinster Ordnung von y bei, 1 so erhält man bxx

bxz

yb*y

1

Qik

~byx

byy

byz

bzx

bzy

bzz.

wobei bxx

=

Q'yyQ'zz

b„

a rro

Q'zyQ'yz

Q,zya,yxazz

(5.38)

y

a.zy

=

dTZa,,

77

byy

>

b,„ =

Q'xyQ'zz

—

l t>xy —

M'/j *>VX

,

byx =

(5.39)

">xy

Mit der üblichen Definition der HALL-Konstanten R =

EyjjxH

R =

!/(«!

=

qvxIH

=

1 ¡axyH

,

ergibt sich — n2) ec .

(5.40)

Die HAiL-Konstante wird also in hohen Magnetfeldern durch die Zahl der Elektronen und Löcher festgelegt. Die Komponenten qxx und o yy hängen nicht von H ab. Das bedeutet, daß die transversale Leitfähigkeit in starken Feldern eine Tendenz zur Sättigung hat.1) *) Die lineare Zunahme des Magnetowiderstandes, die für Qt 1 in den Alkalimetallen beobachtet war, ist jetzt hinreichend gut erklärt als Folge der Krümmung der Stromlinien in realen inhomogenen Metallproben [82].

90

5. Galvanomagnetische Eigenschaften der Metalle

Bis jetzt wurde der Fall n^ =j= n2 betrachtet. Wie bereits erwähnt, muß jedoch jedes Metall, das eine gerade Elektronenzahl in einer Zelle enthält, die gleiche Zahl Elektronen und Löcher besitzen. In dem Fall verschwindet das lineare Glied in der Komponente axy, so daß diese quadratisch von y abhängt. Wenn man das in (5.37) berücksichtigt, folgt für die Komponenten des reziproken Tensors e«/3 0 0

00 R i

r

>

e«* 0 0 ~

00 H

y

> e« = e o n s t '

y- (5.41)

Das bedeutet, daß in diesem Fall der transversale Widerstand quadratisch mit H wächst. In den Experimenten zum HALL-Effekt erhält man gewöhnlich die Differenz der HALL-Felder für unterschiedliches Vorzeichen von H

MÜ [ E y { H ) ~ E y { ~ H ) ] = ¿ [ Q y x { H ) ~ Q y x { ~ Ä ) ] • ( 5 - 4 2 ) Offensichtlich verschwindet diese Differenz für den Fall n^ = n2, wo oyx H2 ist. Ev selbst ist jedoch nicht konstant, sondern wächst mit dem Feld wie II 2. r

5.4.

=

Galvanomagnetische Erscheinungen im hohen Feld und Topologie offener Fermi-Flächen

In diesem Abschnitt werden offene FEBMI-Flächen betrachtet

(LIFSCHIZ,

PESTSCHANSKI 1 9 5 8 [ 1 4 ] ) . Die durch die Gleichungen s = const und pz =

const bestimmten Elektronenbahnen können in diesem Fall offen oder auch geschlossen sein. I m folgenden werden einige Beispiele untersucht, die am häufigsten in Metallen realisiert sind.

1. Die Fläche konstanter Energie sei topologisch einem Zylinder äquivalent (s. Abb. 16a). Wenn dann das Magnetfeld senkrecht zur Zylinderachse liegt, V / .

J OL a) Abb. 17

DOC ••o n r c>

d)

Impulsbahnen von Elektronen im Magnetfeld auf (a) einem gewellten Zylinder (Abb. 16a) und (b) bis (d) einem Röhrengitter (Abb. 16c). Das Magnetfeld liegt bei (a) senkrecht zur Zylinderachse, bei (b) in Richtung der Normalen zu einer Gitterebene und ist bei (c) schwach bzw. bei (d) stärker aus der Normalenrichtung gedreht (kleiner bzw. großer Winkel 0 in Abb. 18)

5.4. Galvanomagnetische Erscheinungen und Topologie

91

ist die Bahn im Impulsraum offen. Diesen Fall zeigt Abbildung 17 a. Ist jedoch das Magnetfeld nicht senkrecht zur Zylinderachse, dann sind die Bahnen geschlossen. Daher liegt bei einer zylindrischen Fläche der Fall vor, daß offene Bahnen nur dann auftreten, wenn die Richtung des Magnetfeldes in einer Ebene senkrecht zur Zylinderachse liegt.

Abb. 18

Drehung des Magnetfeldes H aus einer Normalrichtung n zu einer Röhrenebene, die zu einem stetigen Übergang von offenen Bahnen (Abb. 17 c) zu geschlossenen Bahnen (Abb. 17d) führt

Abb. 19

Stereografische Projektion von Magnetfeldrichtungen im Röhrengitter (Abb. 16 c). In der Umgebung von Symmetrieachsen ( / / / / / ) mit Ausnahme der Symmetrieachsen selbst (•) sowie auf Symmetrieebenen ( ) treten offene Bahnen und in der Umgebung dieser Gebiete ( ) ausgedehnte geschlossene Bahnen auf

2. In diesem Fall soll die FERMi-Fläche annähernd einem Gitter ähneln, das aus Röhren besteht (s. Abb. 16c J )). Wenn das Magnetfeld in Richtung der Normalen zu einer dieser Ebenen liegt, treten nur geschlossene Bahnen auf (Abb. 17b). Wenn jetzt das Magnetfeld gedreht wird, ergeben sich innerhalb eines bestimmten Winkelintervalls um diese Normale Bahnen, die in einer Richtung offen sind. Eine Vergrößerung des Winkels 0 in Abbildung 18 führt zum Beispiel zu einer stetigen Änderung der Bahnen vom Typ der Abbildung 17 c zum Typ der Abbildung 17 d. Wenn jedoch das Magnetfeld innerhalb einer der Basisl

) Der Fall 16 b tritt wesentlich seltener auf.

92

5. Galvanomagnetische Eigenschaften der Metalle

ebenen gedreht wird, dann ist es stets senkrecht zur Achse einer Röhre, was das Auftreten offener Bahnen bedeutet. Die angegebenen topologischen Besonderheiten können mit Hilfe der stereografischen Projektion dargestellt werden (Abb. 19). Der Kreismittelpunkt entspricht der Normalen in Abbildung 18 und die Kreislinie dem Winkel 0 = 90°. Innerhalb der schraffierten Flächen treten offene Bahnen auf. Die ausgezogenen Linien vom Mittelpunkt zum R a n d und der Kreis 0 = 90° selbst entsprechen offenen Bahnen, die bei Drehung des Feldes in einer Hauptebene entstehen. Die Punkte im Mittelpunkt und auf dem Kreis entsprechen Richtungen, in denen wiederum nur geschlossene Bahnen auftreten. Die gestrichelten Linien schließen Bereiche ein, in denen die Bahnen zwar geschlossen sind, sich jedoch über mehrere Perioden des reziproken Gitters erstrecken. Die einfachste Variante ist der gewellte Zylinder für den Fall, daß das Magnetfeld senkrecht zur Zylinderachse liegt (Abb. 20). Die Lage der Achsen ist in der Abbildung angegeben (Zylinderachse in Richtung px). Aus Abbildung 20 ist ersichtlich, daß sich das Elektron in Richtung px bis ins Unendliche bewegen kann, jedoch ist die Bewegung in Richtung py begrenzt. Durch Mittelung der Gleichung (5.4) findet man vx = 0 und vy =f= 0. Letzteres folgt aus c

-

Pz(0)

und der Tatsache, daß sich das Elektron in Richtung px bis ins Unendliche bewegen kann. I m Gegensatz zu dem Fall geschlossener Bahnen, wo vx = vy = 0 gilt, ist hier nur vx = 0. Man kann daher aus (5.32) folgern, daß = C0 nicht nur von Ez, sondern auch von Ey abhängt. Deshalb enthält die Komponente o vy ebenso wie die cr zz -Komponente keinen kleinen Faktor mehr. Schließlich sind auch die Nichtdiagonalelemente a yz = a l y in diesem Fall nicht klein. Die restlichen Komponenten a i k haben die gleiche Größenordnung wie auch im Fall geschlossener Bahnen. Der Leitfähigkeitstensor hat dann die Form

(5.43) Daraus folgt der Widerstandstensor 1

Qlk =

K2 1

— byz

1

y

hxy

y

hxz

(5.44)

5.4. Galvanomagnetische Erscheinungen

Abb. 20

93

und Topologie

Offene Bahnen ( -) und ausgedehnte geschlossene Bahnen ( auf einem gewellten Zylinder

)

Bemerkenswert ist, daß qxx H2 ist. Ein Vergleich von oxy in (5.44) mit (5.38) für den Fall geschlossener Bahnen zeigt, daß in beiden Fällen diese Komponente linear von H abhängt; jedoch kann man zeigen, daß die entsprechenden Konstanten bxy nicht identisch sind. Von Interesse ist jetzt die Frage nach der Änderung der Abhängigkeit der galvanomagnetischen Koeffizienten vom Magnetfeld beim Übergang von geschlossenen zu offenen Bahnen, wobei das Magnetfeld allmählich seine Richtung ändert. Das Magnetfeld sei um einen kleinen Winkel gegen die Senkrechte zur Zylinderachse geneigt (Abb. 20, gestrichelte Achsen). Die Bahnlänge des Elektrons wächst offensichtlich bei Verkleinerung des Winkels 0 proportional zu 1 ¡0. Folglich wächst die Umlaufperiode auf dieser Bahn gemäß Formel (5.6) proportional zu 1 / 0 ist stets von der Größenordnung v), und die Umlaufsfrequenz ist Q ~

üo0

,

wobei ü0 ~ eHjmc die gewöhnliche Zyklotronfrequenz ist. Bei hinreichend kleinem Winkel 0 ist die Frequenz Q so klein, daß die Bedingung Qx 1 verletzt wird. Offensichtlich findet dabei gerade der Übergang von Ott des Typs (5.37) zum Typ (5.43) statt. Der entsprechende Winkelbereich ist 0 ~ l/ü0r ~ y < 1. ex*

a) Abb. 21

0

R

9

b)

0

ß

(a) Transversaler Magnetowiderstand Qxx und (b) HALL-Koeffizient R für einen gewellten Zylinder in Abhängigkeit vom Neigungswinkel & des Magnetfeldes zur Normalebene des Zylinders (Abb. 20). Die Strukturen bei 0 = 0 entstehen durch offene Bahnen

94

5. Oalvanomagnetische

Eigenschaften

der

Metalle

Bei diesen Winkeln verändert sich der Tensor Qik = all kontinuierlich von der Form (5.38) zur Form (5.44). Insbesondere ist die Komponente o x x in einem kleinen Winkelbereich 0 ~ y l/ß 0 T proportional zu II2, bei allen übrigen Winkeln jedoch eine Konstante. Demnach muß die Abhängigkeit des Widerstandes vom Winkel so verlaufen, wie es Abbildung 21a darstellt. Das bisher Gesagte trifft selbstverständlich nur für einen Metalleinkristall zu. Aus dem Ausdruck (5.44) kann man außerdem noch Schlußfolgerungen bezüglich des HAiL-Koeffizienten ziehen. Die Komponente axy ist sowohl für große als auch für kleine Winkel linear in H, aber die Proportionalitätsfaktoren sind in beiden Fällen unterschiedlich. Der Übergang vom einen zum anderen Fall erfolgt in einem schmalen Winkelbereich 0 ~ y. Eine eingehende Analyse zeigt, daß der HALL-Koeffizient im Gebiet kleiner Winkel kleiner sein muß (Abb. 21b). Bei Vergrößerung des Feldes verringert sich die Breite des Minimums, seine Tiefe bleibt jedoch ebenso wie der Wert für größere Winkel unverändert. Für FEBMi-Flächen des in Abbildung 16 a dargestellten Typs hängt ferner der HALL-Koeffizient in starken Feldern nicht von den Winkeln ab (mit Ausnahme sehr kleiner Winkel 0) und ist gleich 1 /(«i — n2) ec, wobei nx und n2 durch die Volumina im Impulsraum bestimmt sind, die von der FERMi-Fläche und den BBILLOUIE-Zonengrenzen eingeschlossen werden (Abb. 22). Davon war bereits im Abschnitt 5.3. die Rede.

Abb. 22

Winkelabhängigkeit des HALL-Koeffizienten B für einen gewellten Zylinder wie in Abb. 21 b, jedoch bei vollständiger Drehung des Magnetfeldes in einer Ebene, die die Zylinderachse enthält

Wenn die Topologie der FEBMI-Fläche der Abbildung 16 c entspricht, dann kann die Winkelabhängigkeit von g xx in starken Feldern verschiedene Besonderheiten aufweisen. Wenn man in der stereografischen Projektion in Abbildung 19 von einem der vier Sektoren zu einem anderen übergeht und dabei den Durchmesser schneidet, so liegt eine Singularität von der in Abbildung 21a gezeigten Art vor, weil die durch gestrichelte Linien umrandeten Durchmesser diejenigen Richtungen sind, die senkrecht zu zylindrischen Teilen der FEBMI-Fläche liegen. Eine weitere Singularität kann beim Grenzübergang zwischen dem schraffierten und dem unschraffierten Gebiet auftreten. Die schraffierten Bereiche

5.4. Oalvanomagnetische Erscheinungen und Topologie

95

entsprechen Feldrichtungen, bei denen die Bahnen in einer Richtung offen sind. Der Widerstand muß daher in diesem Gebiet mit H 2 wachsen, während er im unschraffierten Bereich konstant bleibt. Diese Art von Singularität ist in Abbildung 23 a dargestellt. Qxx

Qxx

fhs i

a) Abb. 23

b)

0

M

B

Winkelabhängigkeit des Magnetowiderstands qxx für ein Röhrengitter (Abb. 16 c) (a) bei Übergang von geschlossenen zu offenen Bahnen (Eintritt der Magnetfeldrichtung in einen schraffierten Bereich in Abb. 19), (b) beim Passieren einer isolierten Symmetrierichtung (Punkte in Abb. 19) mit geschlossenen Bahnen. In den schraffierten Bereichen treten offene Bahnen in einer Richtung auf

Ferner gibt es ausgezeichnete Feldrichtungen, die durch Punkte in der stereografischen Projektion der Abbildung 19 bezeichnet sind. Für diese Richtungen gibt es nur geschlossene Bahnen, so daß qxx konstant bleibt. Diese Punkte sind jedoch von schraffierten Bereichen umgeben, wo qxx ~ H 2 , das heißt groß ist. Dieser Typ von Singularität ist in Abbildung 23 b dargestellt. Auf diese Weise ist also zu erkennen, daß die Untersuchung des Widerstandes einkristalliner Metallproben in starken Magnetfeldern in Abhängigkeit von der Richtung und Größe des Feldes eine Möglichkeit zur Bestimmung der Topologie

+90

WO Abb. 24

Experimentelles Polardiagramm des transversalen Magnetowiderstands von Gold (nach [17])

96

5. Galvanomagnetische

Eigenschaften

der Metalle

der FERMI-Fläche darstellt. Diese Methode liefert jedoch keine Aussagen über die geschlossenen Teile der FEBMi-Fläche. Sie ist in der Praxis verhältnismäßig einfach anwendbar und wurde zur Untersuchung der FEBMi-Fläche vieler Metalle benutzt. Bemerkenswert ist, daß in den meisten Fällen die FERMI-Flächen offene Teile haben. In Abbildung 24 ist als Beispiel für ein Polardiagramm von qxx das Ergebnis für Gold dargestellt [17]. Eine Einschränkung dieser Methode ist die Bedingung Q t 1. Diese Bedingung kann in die folgende Form umgeschrieben werden: vT ^vt oder rL das Potential des elektrischen Feldes (E = — V f ) ist, so erhält man eine Beziehung zwischen der Leitfähigkeit und dem Diffusionskoeffizienten o =

e2v{/x) D .

(5.45)

5.5. Magnetowiderstand

eines

Polykristalls

97

Diese Formel ist das Analogon zur bekannten EmsTEiNschen Beziehung f ü r ein entartetes FERMi-System. Somit k a n n man anstelle von a den Diffusionskoeffizienten D bestimmen. Der Erhaltungssatz der elektrischen Ladung (oder der Teilchenzahl) wird durch die Kontinuitätsgleichung beschrieben: d(en)

_ + d i v J

= 0.

Setzt m a n den Ausdruck f ü r den Diffusionsstrom ein, erhält m a n die bekannte Diffusionsgleichung dn

m =

D A n

-

Folglich ist der mittlere Abstand, den das Teilchen in der Zeit t durchfliegt, durch die Formel r*(i) ~ Dt

(5.46)

gegeben. Natürlich gilt sie n u r f ü r t r, wobei r die Stoßzeit ist. D a r a u s wird n u n die Größe D bestimmt. Ein Elektron bewege sich im Verlaufe einer bestimmten Zeit t. Das Q u a d r a t seiner Verschiebung senkrecht zur Richtung des Magnetfeldes ist in jedem Kristallit D{&) d 0O zum Bereich mit

5.5. Magnetowiderstand eines Polylcristalls

99

0 < @0 stetig erfolgen. Mit anderen Worten bestimmt sich &0 aus der Bedingung, daß beide Glieder in (5.49) von der gleichen Größenordnung sind, das heißt ©o ~ y 2 ' 3 .

(5.50)

Diese Abschätzung kann man auch anders erhalten. Während der Zeit x wandert das Elektron entlang der gesamten Weglänge L und verbringt im Mittel die gleiche Zeit auf einem beliebigen Abschnitt. Folglich befindet es sich während einer Zeit der Größenordnung x{a\L) im ersten besonderen Kristalliten und wird größenordnungsmäßig um

t

a

ay

T -

D^O)

verschoben (hier sind die Werte von r, L sowie ein £)j(0) eingesetzt, das dem nichtintegrierten Wert (5.47) für den betreffenden Winkel entspricht). Der Winkel 0 O bestimmt sich aus der Bedingung, daß die Verschiebung von der Größenordnung a wird, woraus sich die Formel (5.50) ergibt. Setzt man diesen Wert in (5.49) ein, erhält man D ~ D0yil3 oder aL ~ er0//3.

(5.51)

Jedoch muß wie früher berücksichtigt werden, daß im Experiment nicht sondern bestimmt wird. Für die Komponente des inversen Tensors erhält man Q | ~

Falls °xy

— axy und aus (6.44) erhält man *ik = - j ^ - Oik •

(6.46)

Es zeigt sich also die Gültigkeit des WiEDEMANN-FBANZschen Gesetzes bei elastischen Stößen auch für den Fall eines starken Magnetfeldes.

6.3. Thermoelektrische Effekte im hohen Magnetfeld

111

Der Wärmeleitungskoeffizient zeigt demnach die gleichen Besonderheiten wie Om, die im Abschnitt 5.3. beschrieben wurden. Insbesondere ist festzustellen, daß die Komponenten x,, und x yy (die 2-Achse liege in Richtung des Magnetfeldes) für alle Richtungen des Magnetfeldes, bei denen geschlossene Bahnen auftreten, mit dem Feld wie 1 ¡H2 abnehmen. Damit ergibt sich die Möglichkeit, den nicht magnetfeldabhängigen Phononenanteil der Wärmeleitung zu ermitteln, so daß man damit beide Anteile der gesamten Wärmeleitfähigkeit des Metalls trennen kann. Weiterhin hat die Komponente xxy für ein Metall mit unterschiedlichen Elektronen- und Löcherzahlen nach (5.36) und (6.46) die Form n2Tc %xy =

lieH ^

_

n^

'

Das bedeutet, daß die Differenz zwischen Elektronen- und Löcherzahl nicht nur aus dem HALL-Effekt, sondern auch aus dem LEDUC-RIGHI-Effekt bestimmt werden kann (xxy entspricht — LH in (6.31)). Zur Bestimmung des Tensors der Thermo-EMK Qilc wird mit Hilfe von (2.25) das Integral über £ ermittelt, so daß man

=

leWn*T

d

3c(2jrÄ)3

dp

~~

fVil

(pn dtx dpz

erhält (s. (6.40) und (6.38)). Der Vergleich mit dem Ausdruck für a ik ergibt bei Berücksichtigung von \pk = (pk n*T d fr—äTä^M-

(fU8)

Man erkennt hieraus, daß die Magnetfeldabhängigkeit der Koeffizienten ßilc im allgemeinen die gleiche ist wie die der Koeffizienten a ik . Eine Ausnahme stellt der Fall geschlossener FEBMI-Flächen bei n^ = n2 dar, da hierbei im alld gemeinen — [^(/x) — n2(/x)] =f= 0 ist. Es soll nun der Tensor Qik für einige grundlegende Fälle bestimmt werden. 1. Geschlossene FERMI-Flächen mit % =|= n2. Der Tensor ßik sieht wegen (6.48) und (5.37) folgendermaßen aus:

( --

y2cxx

ycxy

c%y 7 yCzz

yc x A

2cm cvz I • YCzz - y yCyz )

(6-49)

Multiplikation von vorn mit — Qik (5.38) ergibt

Qik = I yvvx

vyy

vyz .

(6.50)

112

6. Thermoelektrische und thermomagnetische Erscheinungen

Dabei ist vxx = vyy = bxycxy. Bei Berücksichtigung von bxy (s. (5.37)) und Verwendung von (6.48) und (6.36) erhält man Qxx = Qyy = ^

^ {In K(ft) - «,(/«)]} .

= 1 ¡ayx = — 1 jaxy (6.51)

Die transversale Thermo-EMK ist also isotrop, unabhängig von den Stoßprozessen und bestimmt sich lediglich aus dem Energiespektrum. Man kann hieraus eine weitere charakteristische Größe des Spektrums ermitteln, die auf a . keine andere Weise gefunden werden kann, nämlich — {In [m1(/x) — w2(/i)]}. 2. Geschlossene ~E~ERM1-Flächen (6.49), während der Tensor gik

yih** Qik =

yih*V

y2

1

r 1

mit

= n2. Der Tensor ßik behält die Form

h

*y yy

1

yz

Vyz

ist. Nach (6.45) folgt 1 — vx

Y Qik = 1

1

— V. xy — vx, y y 1

i

— V„

y

r

(6.52)

-zy In diesem Fall ist Qxz = — Qyy, jedoch hängt die konkrete Gestalt dieser Komponenten vom Stoßintegral ab. Die beiden oberen Zeilen des Tensors Qik wachsen proportional zu H an, das heißt, die Thermo-EMK kann in solchen Metallen in hohen Magnetfeldern sehr groß werden. 3. Jp-ERMi-Fläche, hierfür

(

die in Richtung px offen ist. Nach (6.48) und (5.43) fo

y2cxx ycxy ycXz\

- ycxy Cyy cyz ]• (6-53) c c y xz yz czz / gegeben. Aus (6.45) erhält man Der Tensor gih ist durch die Formel (5.44) l ^XX — vxy — vVxz xz\ y ry Qik = [ ' . (6-54) y»y* vyy Vyz >yvZx Vzy

6.3. Thermoelektrische

Effekte im hohen

Magnetfeld

113

In diesem Fall wachsen also die Komponenten Qxy und Qxz schnell, während im Gegensatz dazu die Komponenten Qyx und Qzx mit dem Feld abnehmen. Ähnlich wie beim Tensor Qik erfolgt der Übergang von der Form (6.50) zu (6.54) in einem schmalen Bereich von Magnetfeldrichtungen der Größenordnung 6>~ l j ü x um die „kritische" Richtung, in der offene Bahnen vorliegen. Es soll nochmals hervorgehoben werden, daß viele Herleitungen in diesem Abschnitt ungültig werden, wenn die Stöße nicht rein elastisch sind, das heißt die Elektronenstreuung nicht nur an Störstellen, sondern auch an Phononen erfolgt.

8

Abrikossow

7.

Das Metall im hochfrequenten elektromagnetischen Feld. Zyklotronresonanz

7.1.

Normaler Skineffekt

I m folgenden wird ein Metall untersucht, das sich in einem hochfrequenten elektromagnetischen Feld befindet. Zunächst wird der Fall betrachtet, daß der übliche Ausdruck für den Strom j = oE anwendbar ist, und der Einfachheit halber das Metall als isotrop vorausgesetzt. Die MAXWELL-Gleichungen haben die Form 1 dH rot JE = — —, (7.1) c et 4?r rot H = —j c

4jt = — oE . c

(7.2)

Das Metall befinde sich im Halbraum x > 0, und die Welle falle senkrecht zu seiner Oberfläche ein, wobei der Vektor E in ^/-Richtung und der Vektor H in z-Richtung liegt (Abb. 27). Es wird eine Lösung gesucht, die proportional zu e t k x ~ t w t ist. Durch Einsetzen in (7.1) und (7.2) erhält man i(0 ikEy = — Hz, c

. ijt — ilcHz = — oEy . c

Durch Kombination dieser Gleichungen erhält man den Wert des Wellenvektors 4?lim Folglich ist

y

4jrxft)

i /2jiwa ao0 sin (jr/3) '

C^-H)

Die Oberflächenimpedanz kann aus Gleichung (7.7) errechnet werden: flncoYI 3 / l V \

c2 I

\aaoJ

vi'/TuoYi'/iyi*,

Somit hat man folgende Ergebnisse erhalten: a) Z ist proportional zu a>2'3, b) X = /3 R, c) die Leitfähigkeit geht in (7.11) und (7.12) nur in der Form a0ß ein; da aber cr0 ~ ne2r/m ~ ne2llp0, ist ajl ~ ne2/p0 (diese Beziehung hängt nicht von der Temperatur ab und ist nur durch das Elektronenspektrum bestimmt). Wenn man die erhaltenen Ergebnisse graphisch in der Form 1/iü als Funktion von /er aufträgt, erhält man Abbildung 29, wobei das Gebiet A dem normalen und B dem anomalen Skineffekt entspricht. Der normale Skineffekt tritt im Gebiet niedriger Leitfähigkeit (hoher Temperaturen) auf; dort ist R ~ 1 /)/cf.

118

7. Das Metall im hochfrequenten elektromagnetischen

Feld

Im Gebiet hoher Leitfähigkeit liegt der anomale Skineffekt vor, und R hängt nicht von a ab. Diese Kurve wird durch das Experiment bestätigt.

Abb. 29

Reziproker Realteil R der Oberflächenimpedanz als Funktion der Quadratwurzel der Gleichstromleitfähigkeit a. Der Skineffekt ist im Gebiet A normal und im Gebiet B anomal

Der anomale Skineffekt kann nur oberhalb einer Grenzfrequenz beobachtet werden. Aus der Bedingung b ^ l , der Gleichung (7.1) und dem Ausdruck für die Leitfähigkeit 0 folgt m >

2:rneW'

Mit 7i ~ 1022 cm" 3 , p0 = h{3n2n)il3 ~ 10"19 (das gilt für ein gutes Metall) folgt (o > 10- 2 l- 3 . Wenn l ~ 10 - 3 cm (das ist schon das Gebiet des Rest Widerstandes), dann ist tu > 107 s- 1 . 7.3.

Anomaler Skineffekt. Lösung der kinetischen Gleichung

I m vorhergehenden Abschnitt wurde bemerkt, daß die Oberflächenimpedanz im Gebiet des anomalen Skineffektes die Größe aß enthält, die nur von den Parametern des Elektronenspektrums und nicht von den Streuprozessen abhängt. Daher ist zu erwarten, daß die Untersuchung des anomalen Skineffektes Kenntnisse über das Elektronenspektrum vermitteln kann. Zu diesem Zweck wird eine strenge Ableitung der Oberflächenimpedanz auf der Grundlage der kinetischen Gleichung durchgeführt (Reuteb, Sondheimer 1948 [22]). Aus den Gleichungen (7.1) und (7.2) ergibt sich 4?r 2 — r o t r o t E = g r a d d i v E + SJ E =

2

icoj .

Jedoch ist div E — 0, weil vorausgesetzt wurde, daß der Vektor E nur y- und z-Komponenten hat, die nur von x abhängen. Daher kann man d2E„

4Tiico

7.3. Anormaler Skineffekt. Lösung der kinetischen Gleichung

119

schreiben (da alle Größen proportional zu e imt sind). Zur Bestimmung des Stromes muß man die Verteilungsfunktion kennen, die in der Form df° / /

gesucht wird. Damit ergibt sich LL

f

6?p

= 2eJ

=

=

2e

C

d8

(7-14)

Dabei wurde die Umformung des Impulsintegrals nach (2.23) und die Näherung dfjds pn —ö(s — ¡jl) verwendet. Die Integration in (7.14) erstreckt sich über die FERMI-Fläche. Die kinetische Gleichung wird in der Form (3.12) geschrieben. Die Darstellung des Stoßintegrals W

=

-

(/ -

/„)/*

ist für anisotrope Metalle im allgemeinen nicht gültig. Dennoch kann man sie verwenden. Das hängt in erster Linie damit zusammen, daß im extrem anomalen Fall das Ergebnis überhaupt nicht von r abhängt. Außerdem ist es eine interessante Besonderheit dieses Falles, daß das Stoßintegral tatsächlich diese Form hat, und zwar mit einem r, das von p abhängt (s. Schluß dieses Abschnitts). Wenn man den angegebenen Ausdruck für die Verteilungsfunktion in Gleichung (3.12) einsetzt, erhält man dw

w

Hierbei ist berücksichtigt, daß E nur y- und z-Komponenten hat und daher die Indizes durch E(x) aus, und ihre Lösung erlaubt die Berechnung von j{E). Der Strom wird dann in die MAXWELL-Gleichung (7.13) eingesetzt und daraus E und schließlich die Impedanz bestimmt. Wenn man Gleichung (7.15) durch vx dividiert und (1/t — ico)/vx mit L bezeichnet, erhält man dxp ~ + Ltp = ox

eEava vx

.

Die Lösung dieser Gleichung ist X

y> = e

T

r eEJx.) * I

J

VX

11

V, T " e

1

d^ ,

(7.16)

120

7. Das Metall im hochfrequenten

elektromagnetischen

Feld

wobei c eine Konstante ist, die durch die Randbedingungen bestimmt werden muß. Zunächst ist klar, daß bei x —• oo y> -» 0 gelten muß. Die andere Randbedingung hängt von der Art der Metalloberflache ab. Bekanntlich erleidet das Potential an der Oberfläche einen Sprung, der den Austritt der Elektronen aus dem Metall verhindert. Dieser Potentialsprung reflektiert die Elektronen in das Metallinnere. Bei idealer Oberfläche werden die Elektronen spiegelnd reflektiert. Im isotropen Metall bedeutet das, daß sich pv und pz nicht ändern, jedoch px sein Vorzeichen ändert. I m hier betrachteten anisotropen Fall ist der Vorgang komplizierter. Infolge der Homogenität des Problems in y- und z-Richtung bleiben nach wie vor pv und pz erhalten, jedoch muß nun statt der Änderung des Vorzeichens von px die Energieerhaltung gefordert werden. I m isotropen Metall addieren sich die Wellen mit px und —px, die die gleiche Energie haben, derart, daß die Wellenfunktion bei x = 0 gegen Null geht (Potential wall). I m vorliegenden Fall findet ebenfalls eine Superposition der Wellen statt, wobei die eine Welle eine Geschwindigkeit vx — de/dpx > 0 und die andere vx < 0 hat. Jedoch ist für e{px, pv, pz) = e(p'x, py, pz) im allgemeinen p'x =)= —px, was zu erheblichen Komplikationen führt. I n dem betrachteten extrem anomalen Skineffekt sind jedoch nur die Elektronen von Bedeutung, die sich fast parallel zur Oberfläche bewegen, das heißt, für die w O ist (s. den vorhergehenden Abschnitt und auch die folgende Ableitung). I n einer kleinen Umgebung dieser Impulse hat die Energie der Elektronen die Form e =

® (Pv, Pz) (Px ~

b(py,

pz))2

+

d(py,

pz)

(für px = b{py, pz) ist deldpx = 0). Bei spiegelnder Reflexion bedeutet die Erhaltungsbedingung für py und pz, daß sich vy ¡=a dd/dpy und vz fa ddjdpz nicht ändern. Die Energieerhaltung beim Übergang von vx > 0 zu vx •< 0 bedeutet, daß — b(pv> Pz) in —px + b(py, pz) und folglich vx = 2 a { p v , pz) (px — b{pv,pz)) in — vx übergeht. Somit kann man unter den Bedingungen des extrem anomalen Skineffektes für die spiegelnde Reflexion die Randbedingung bei x = 0 in folgender Form schreiben: ip(vx,

Vy, Vz)

=

V x , Vy,

vz)

(Fall 1)

Normalerweise liegen sogar bei einer sehr guten Metalloberfläche Inhomogenitäten in der Größenordnung der Atomabstände vor. Da die freie Weglänge der Elektronen von der gleichen Größenordnung ist, werden sie an der Oberfläche diffus reflektiert, mit anderen Worten, sie verlieren das Gedächtnis an ihre ursprüngliche Bewegungsrichtung. In diesem Fall kann man für x = 0

7.3. Anomaler

Skineffekt.

Lösung der kinetischen

121

Gleichung

und vx > O1) setzen: y> = 0 .

(Fall 2)

Die Randbedingung ip 0 für x -* oo bestimmt die Konstante c in (7.16) für f-t < 0. Da hierbei im Exponent der Realteil von ¿negativist, muß man c = oo wählen. Damit ergibt sich fvx 0, dann geht e~Lx für x -* oo gegen Null. Daher muß die Konstante c aus der Bedingung für x = 0 bestimmt werden, wobei das Ergebnis natürlich in beiden Fällen unterschiedlich ist. Fall

1.

Für vx > 0 erhält man im Fall spiegelnder Reflexion bei x = 0 f

J c

e E

^ v)

*

V

'

eLXl d*

=

-

J oo

e - .

vx

,

weil — vx < 0 für vx > 0 wird (man muß beachten, daß L proportional zu l/vx ist). Folglich erhält man aus (7.16) V»x>o =

vxeL(Zl~x)

CeE^x,) I

[

eE^xJ

+

dxt OO

eEMi) 1

J

«*

0 0 Wenn man (7.17) und (7.18) in den Ausdruck für den Strom (7.14) einsetzt und vjv mit na bezeichnet, ergibt sich 2e 2 3« =

(2tth f

njiß

d8 -

EJxj)

dXl

%> o EJxJ

e~L(x = 0, vx > 0) = const, d a s h e i ß t U n a b h ä n g i g k e i t der S t r e u f u n k t i o n reflektierter E l e k t r o n e n v o n d e r Reflexionsrichtung. Der W e r t dieser K o n s t a n t e n ist d u r c h das Verschwinden des S t r o m e s senkrecht zur Grenzfläche, das heißt jx = 0 bei x = 0 b e s t i m m t . Diese Bedingung m u ß f ü r beliebige Grenzflächen erfüllt sein. I m vorliegenden Fall ebener Grenzflächen bei e x t r e m a n o m a l e m Skineffekt (x = 0, vx > 0) = 0.

122

7. Das Metall im, hochfrequenten

elektromagnetischen

Feld

Die beiden letzten Integrale können zusammengefaßt werden, wenn das letzte Integral auf das Gebiet nx > 0 transformiert wird. Dazu verändert man im Integral die Vorzeichen aller Impulse, wobei alle Geschwindigkeiten ebenfalls ihr Vorzeichen ändern. Somit ergibt sich 2e2 U

(2n•%) 3 nx> 0 00

+

E f a ) *-*'+*•>

dx,i + J

Eß(*i)

eL(x-Xl)

dXi

Die «j-Integration erstreckt sich über das Metallinnere. Wenn man jedoch formal annimmt, daß sich außerhalb des Metalls das elektrische Feld symmetrisch fortsetzt, kann im zweiten Integral x1 durch —x1 ersetzt werden, wobei man o / E ß ( x j ) e - ^ - ^ dxx — OO erhält. Dann ergibt die Summe der ersten beiden Integrale im Ausdruck für j L< x x

E f a ) e- - - J dxj. —¡ O O Wird dieses Integral mit dem letzten Term in der Gleichung für j zusammengefaßt, so ergibt sich

>• = 0

njnR d S

~ t f

l*n% l + (l*nxk)>

•

^

Dieser Ausdruck vereinfacht sich wesentlich für den Fall des extrem anomalen Skineffekts, das heißt für k ~ 1/5 l. Zuvor soll bemerkt werden, daß man von der Integration über die F E R M I Fläche erheblich einfacher zum Integral über die Winkel übergehen kann, die die Richtung der Normalen zu dieser Fläche (d. h. der Geschwindigkeit v = dejdp) charakterisieren. In Abbildung 30 sei ein Oberflächenelement dS dargestellt. Die Hauptkrümmungsradien seien R 1 und JR2. Das Flächenelement der Oberfläche ist offenbar R1B2 d01 d0 2 . Nun wird ein Polarkoordinatensystem 0, q> für die Normalenrichtung derart gewählt, daß die Ebene des Winkels Qx mit der

124

7. Das Metall im hochfrequenten elektromagnetischen Feld

Ebene cp = const zusammenfällt, d© 2 = sin 0 äq). Hieraus folgt

das heißt A01 = d@. Dann ist

d8 = R ^ dQ = dü/K{0,

ist. Somit ergibt sich In nl 2 4e2 l* - sin 0 d0 . (7.25) Kaß = (l*k cos @) 2 #(1 = cos 0 (9.23) liefert. Aus (9.22) folgt, daß für cos 0 = 0 nur noch ein Wellentyp existiert. Dieser Schluß ist jedoch nicht völlig korrekt, da bei der Ableitung des Tensors A a ß (9.17) cos 0 ^>wjQ angenommen wurde. Falls die entgegengesetzte Ungleichung gilt, das heißt 0 sehr nahe bei jr/2 ist, so muß die Rechnung neu durchgeführt werden. Trotzdem existiert auch dann, wie aus den Rechnungen folgt, nur ein Wellentyp mit linearem Dispersionsgesetz. 11 Abrikossow

162

9. Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im Magnetfeld

9.3.

Experimentelle Untersuchungen

E s gibt eine Reihe von experimentellen Methoden zur Untersuchung von Wellen. Eine dieser Methoden (Technik stehender Wellen) besteht in der Messung der Hochfrequenzoberflächenimpedanz metallischer Proben in Abhängigkeit vom Magnetfeld. Durch Änderung des Magnetfeldes bei fester Frequenz variiert man die Wellenlänge der sich im Metall ausbreitenden Wellen. Bei gewissen Werten von H ist die Probendicke gleich einem ganzzahligen Vielfachen der halben Wellenlänge (D — qí.¡2, q — ganze Zahl). Das ist die Bedingung für das Auftreten stehender Wellen. Man kann also eine periodische Abhängigkeit der Oberflächenimpedanz von DjX oder Dk erwarten. I m ersten betrachteten Fall ist CD ~ Hlc2. Folglich wird die Oberflächenimpedanz eine periodische Funktion von 1 //ff. Wenn ff ~ 10 4 Oe und D ~ 1 mm, so wird in normalen Metallen der Effekt bei Frequenzen der Größenordnung (oj2n = v ~ cH¡D2en ~ 10 4 Hz auftreten, das heißt bei relativ niedrigen Frequenzen. Experimentell wurden Wellen dieses Typs an Na, Cu, Ag, Au, AI und vielen anderen Metallen untersucht. Wellen des zweiten Typs sind an Wismut beobachtet worden, das gleiche Ladungsträgerkonzentrationen von Elektronen und Löchern besitzt. I n diesem Falle sind die Werte von n und m* sehr klein (n ~ 1017 c m - 3 , m* ~ 1 0 - 2 m). Deshalb muß v ~ ff/D(wm*)1/2 ~ 10 10 Hz bei Feldern von ~ 10 3 Oe sein (D ~ 1 mm). Wiederum traten stehende Wellen auf, jedoch hing die Oberflächenimpedanz periodisch von 1 /ff ab. Auf diese Weise wurden beide Typen von Magnetoplasmawellen beobachtet. Wenn dabei das Magnetfeld in Richtung einer Hauptachse des Kristalls orientiert ist, genügen die Frequenzen der Relation (9.23). Eine andere Methode der Untersuchung von Wellen ist die sogenannte Interferenztechnik, die sich mit den Interferenzerscheinungen auffallender und durchgehender Wellen befaßt. Außer dem Dispersionsgesetz, das heißt der Funktion co(fc), ist die Dämpfung elektromagnetischer Wellen im Metall von besonderem Interesse. Das trifft speziell für solche Frequenzen und Magnetfelder zu, bei denen Resonanzmechanismen der Dämpfung wesentlich werden, die nicht mit Stößen der Elektronen zusammenhängen (d. h., die auch für x —• oo existieren). Einer dieser Mechanismen, der erstmalig bei der Untersuchung von Schwingungen im Gasplasma beobachtet wurde, ist die LANDAU-Dämpfung, die in folgendem besteht. I m Magnetfeld führt ein Elektron eine spiralförmige Bewegung aus, wobei seine mittlere Geschwindigkeit in Richtung des Magnetfeldes gleich vz sein möge. Geht man zu einem neuen Koordinatensystem über, das sich mit dieser Geschwindigkeit bewegt, so wird das Feld der elektromagnetischen Welle, das im Ausgangssystem proportional zu e l k r ~ l m t war, im neuen Koordinatensystem zu e~tn

a) Abb. 58

)

b)

Übergang eines Zustandes mit (a) n (;j> 1) besetzten LANDAU-Niveaus in einen nahezu äquivalenten Zustand mit (b) n — 1 besetzten LANDAU-Niveaus unterhalb der FERMi-Energie p bei Erhöhung der Magnetfeldstärke um eine DE-HAAS-VAN-ALPHEN-Periode

Magnetfeld zu, dann wächst der Abstand zwischen den Niveaus an, und eines der niederen Niveaus schneidet schließlich die FERMI-Grenze e = fj, (Abb. 58b). Die Verteilung der Energieniveaus hat sich dabei kaum geändert, allerdings existieren jetzt nur noch n — 1 Niveaus unterhalb fj, statt n. D a nun n sehr große Werte annimmt, ist dieser Unterschied unbedeutend, und man kann erwarten, daß der neue Zustand dem alten äquivalent ist. Das bedeutet aber gerade eine periodische Abhängigkeit vom Magnetfeld. Außerordentlich einfach kann man die Oszillationen des magnetischen Moments mit Hilfe eines zweidimensionalen Modells (ohne pz) bei T = 0 herleiten [47]. I n diesem Modell besitzen die Niveaus das. Aussehen e = ßH (2n + 1). Jedes Niveau ist entartet, und die entsprechende Anzahl von Zuständen beträgt pH (p = eV/2jthc = const). Wenn die Gesamtzahl der Elektronen kleiner als pH ist, befinden sich alle auf dem untersten Niveau mit der Energie ßH. Folglich wird in diesem Fall die Gesamtenergie E =

NßH

und das magnetische Moment MV

=

-

{dEjdH)

=

-

Nß .

181

10.5. d b - H a a s - v a n - A l p h e n - E f f e k t

Wenn sich nun das Magnetfeld verringert derart, daß 2pH > N > pH oder Nßp N > 2pH oder Nßp < H < Nßp, dann spielt auch das Niveau mit n = 2 eine Rolle, und man erhält E = ßHpH + 3ßHpH + (N - 2pH) 5ßH = 5ßHN MV = -

(ißpll*,

5 ß N + 12ßpH .

Stellt man die Kurve M(H) graphisch dar, dann erhält man den in Abbildung 59 gezeigten Verlauf. Die Sprünge treten bei H = N/qp oder 1/H = qp/N auf, wobei q eine ganze Zahl bedeutet. Natürlich gibt dieses zweidimensionale Modell nicht alle Einzelheiten des tatsächlichen dreidimensionalen Falles wieder, aber es erklärt den Effekt qualitativ.

I

1/ w>i

1/ I i Abb. 59

A//2p

/ V/p H

de-Haas-van-Alphen-Oszillationen der Magnetisierung M als Punktion der Magnetfeldstärke H in einem zweidimensionalen Modell für die Temperatur T = 0. N ist die Anzahl der Elektronen und -pH der Entartungsgrad der LANDAU-Xiveaus

Um die Bedingungen für die Beobachtbarkeit des Effektes zu finden, geht man von der Formel (10.35) aus. Nimmt man an, daß das Metall hinreichend rein ist, so wird der Faktor (10.37), der von % herrührt, gleich Eins. (Der Ausdruck im Exponenten ist von der Größenordnung 27tjQt, wobei ü die Zyklotronfrequenz ist, so daß Qx ¡¿>> 2n sein muß.) Im Exponenten des Temperaturfaktors steht 2n2Tjß*II » 20T\ß*H. Wenn m* ~ TO, so daß ß* ~ ß und T ~ 1 K , so wird der Exponent näherungsweise Eins bei FeldernH ~ 5 • 105 Oe. Solche Felder kann man im Prinzip erzeugen, wenn auch nicht einfach. Weiterhin hat für ßH ~ 20 K das Argument im Sinus von (10.35) die Größenordnung ¡i/ßH ~ 10 3 , da fi ~ (2 - 3) • 104 K, während die Oszillationsperiode gleich 2n ist. Folglich muß man das Feld mit einer

182

10. Magnetische

Suszeptibilität

und DÜ-HAAS-V AN-ALTHEN-Effekt

Genauigkeit bis zu 1—0,1% homogen und konstant halten, was die experimentelle Beobachtung des Effektes relativ schwierig macht. 1 ) In Halbmetallen jedoch reichen wegen m* ~ 0,01 m und ß* ~ 100 ß schon Felder von der Größenordnung 10 4 Oe bei T ~ 1 K . Da die Ladungsträgerkonzentration in Halbmetallen ebenfalls gering ist, beträgt auch die FERMi-Energie nur einige Hundertstel ihres Wertes in normalen Metallen. Infolgedessen wird das Argument im Sinus von der Größenordnung Eins, und die Anforderungen an die Feldhomogenität sind nicht mehr so streng. In „guten" Metallen existieren ebenfalls Teile der FERMi-Fläche mit kleinen Querschnitten und geringen effektiven Massen. Diese Teile sind daher mit Hilfe der Methoden, die in den vorigen Kapiteln beschrieben wurden, schwer zu untersuchen, da ihr Einfluß auf die Leitfähigkeit verschwindend gering ist. Die DE-HAAS-VAN-AiiPHEN-Oszillationen dieser Teile jedoch besitzen eine große Amplitude und eine große Periode. Natürlich ist die Fläche eines Extremalquerschnitts nicht in dem Maße eine direkte Charakteristik des Spektrums wie zum Beispiel der unmittelbare Wert des FERMi-Impulses. Trotzdem kann man durch Messung dieser Größe bei verschiedenen Richtungen des Magnetfeldes praktisch die gesamte FERMi-Fläche mit guter Genauigkeit konstruieren. Da, historisch gesehen, der DE-HAAS-VAN-ALPHEN-Effekt zum ersten Male die Möglichkeit bot, Energiespektren zu untersuchen, ist das Energiespektrum des Halbmetalls Wismut zuerst bestimmt worden (SHOENBERG 1939 [42]).

10.6.

Diamagnetische Domänen

In den Formeln des vorhergehenden Abschnittes fungierte das äußere Feld H als wirksames Feld. Tatsächlich unterscheiden sich natürlich die Felder im Innern und Äußern eines Metalls. Solange jedoch die magnetische Suszeptibilität gering ist, kann man diesen Unterschied vernachlässigen. Der DE-HAAS-VANALPHEN-Effekt kann jedoch offenbar zu großen magnetischen Suszeptibilitäten führen. Tatsächlich erhält man aus (10.33) bei T SS ßH %=

dMjdH

~

(nlßHf2

>

1 .

Infolgedessen muß man klären, welches Feld in die Formeln (10.33) und (10.35) für M einzusetzen ist. Bekanntlich bewegen sich die Elektronen in Metallen auf LARMOR-Bahnen. Deshalb ist das von ihnen erzeugte Magnetfeld über Gebiete mit Abmessungen der Größenordnung r L ~ cp0jeH ~ 10~ 3 cm (bei Feldern von ~ 10 4 Oe) gemittelt. Da der mittlere Abstand zwischen den Elektronen 10~ 8 cm beträgt, wirkt auf die Elektronen im Metall ein gemitteltes Feld. Bekanntlich ist aber der v

) Die Forderung nach Homogenität des Feldes ist keine unüberwindliche Schwierigkeit, da es mit Hilfe moderner Anlagen bereits gelungen ist, Homogenitäten mit einer Genauigkeit bis zu 1 0 - 3 — 1 0 - 4 % zu erreichen.

10.6. Diamagnetische Domänen

Abb. 60

183

Magnetfeldstärke H als Punktion der magnetischen Induktion B beim DEHAAS-VAN-ALPHEN-Effekt für (a) tiefe und (b) sehr tiefe Temperaturen. Der Bereich a — b ist thermodynamisch instabil

Mittelwert des mikroskopischen Feldes nichts anderes als die Induktion B, und folglich hat man in der Formel für das Moment H durch B zu ersetzen, wenn die Suszeptibilität groß wird. Dabei ergibt sich die Abhängigkeit B(H) oder M(H) schon nicht mehr aus der Formel (10.33), sondern muß aus der Gleichung H = B — 4jtM(B)

(10.38)

bestimmt werden. Dieser Umstand führt zu unerwarteten Folgerungen. F ü r nicht zu tiefe Temperaturen ist M(B) B, und die Abhängigkeit H(B) hat die in Abbildung 60a dargestellte Form. Bei Erniedrigung der Temperatur jedoch wächst die Am-

Abb. 61

Druck jo als Funktion des Volumens V bei konstanter Temperatur (Isotherme) für ein VAN-DER-WAALSsches Gas. Der Bereich a — b ist thermodynamisch instabil

plitude der Oszillationen, und man kommt zu dem in Abbildung 60 b gezeigten Verlauf. Dabei entstehen Gebiete, in denen einem Wert des Magnetfeldes H drei verschiedene Werte B entsprechen. Eine solche Mehrdeutigkeit zeugt von einer Instabilität des Zustandes, wie sie zum Beispiel auch für die Zustandsgleichung eines VAN-DER-WAALSschen Gases existiert (Abb. 61). Diese Analogie ist nicht zufällig. So wie im Falle der V A N - D E R - W A A L S s c h e n Gleichung infolge der thermodynamischen Ungleichung (dp/dV)T < 0 der Kurventeil zwischen den Punkten a und b nicht realisiert werden kann, existiert auch im betrachteten Fall eine thermodynamische Ungleichung dH/dB '> 0, die den Teil ab in Ab-

184

10. Magnetische Suszeptibilität und DE-HAAS-VAN-ALPHEN-Effekt

bildung 60b verbietet (SHOENBERG 1962 [48]). Die Analogie geht noch weiter. So wie die V A N - D E R - W A A L S S c h e Kurve in Wirklichkeit einen Phasenübergang erster Art aus dem gasförmigen in den flüssigen Zustand beschreibt, stellt die Kurve in Abbildung 60 b aufeinanderfolgende Phasenübergänge mit sprungartiger Änderung der Induktion dar (PIPPARD 1963 [49]). Zwar ist die Situation im Magnetfeld wegen des Entmagnetisierungseffektes komplizierter, doch bleibt die Analogie vollständig erhalten, wenn man einen langgestreckten Zylinder im Längsfeld annimmt. H

B2 ß

Bj Abb. 62

Magnetfeldstärke H als Funktion der magnetischen Induktion B mit einem instabilen Bereich wie in Abb. 60b. Das Magnetfeld H 0 und der Sprung der Induktion B2 — B beim Phasenübergang bestimmen sich aus der Gleichheit der gestrichelten Flächen

Somit erweist sich das Auftreten von Kurventeilen in der Abhängigkeit H(B) mit dHjdB < 0 oder X = dM(B)ldB

> l/4:rr

(10.39)

als Bedingung für eine sprungartige Änderung der Induktion. Der Sprung der Induktion erfolgt im konstanten äußeren Feld und wird durch die Gleichheit der freien Energien im gegebenen Feld, das heißt / B dH, bestimmt. Diese Gleichheit kann man als f B dH = H0(B2

-

Bx) -

JH

dB =

(10.40)

0

darstellen, was zur Gleichheit der gestrichelten Flächen in Abbildung 62 führt. Während also die Kurve B(H) aus glatten Stücken und Sprüngen besteht, besitzt die Abhängigkeit M{H) den in Abbildung 63 a dargestellten Verlauf. M

M

a)

Abb. 63

H

b)

H

Magnetisierung M als Funktion der Magnetfeldstärke H (a) ohne und (b) mit Entmagnetisierungseffekten

10.6.

Diamagnetische

Domänen

185

Zur Betrachtung nichtzylindrischer Geometrien nimmt man ein beliebiges Ellipsoid mit einem Entmagnetisierungsfaktor n an (für einen Zylinder im Längsfeld ist n = 0, für einen Zylinder im transversalen Feld ist n = für eine Kugel n = und für eine unendliche Scheibe im senkrechten Feld ist n = 1). Das effektive innere Feld ist bekanntlich Ht = H — 4jinM, gleichzeitig aber auch nach (10.38) B — 4JxM. Hieraus findet man H = B -

4TT(1 -

n) M .

(10.41)

Das ist eine neue Kurve H(B). Da im vorliegenden Fall Ht die Rolle von H übernimmt, ist die Abhängigkeit Ht(B) wie gehabt durch Abbildung 60 gegeben. Folglich ergibt sich für die „besonderen" Kurventeile H0 = H — 4nnM oder M =

(H -

H0)¡á7in

,

(10.42)

das heißt eine lineare Abhängigkeit anstelle von Sprüngen. Diese Abhängigkeit tritt in einem Intervall B1 daher eine oszillierende Funktion von 1 ¡H mit der Periode /1 \ 2 ne Natürlich hängt die Differenz p^ — p^ von pz ab, und die wirklichen Oszillationen entsprechen dem Extremwert von p ^ — Dieser Effekt ist dem nichtresonanten Größeneffekt in metallischen Schichten (Abschn. 8.3.) analog; er heißt geometrische Resonanz (BOMMEL 1955 [61]; PIPPABD 1957 [62]).

12.4.

Magnetoakustische Resonanzerscheinungen

Wenn die Bahn im Impulsraum geschlossen ist und k nicht senkrecht zu H ist, beschreibt das Elektron im Ortsraum eine spiralförmige Bewegung in Richtung des Magnetfeldes. Man muß nun beachten, daß für die Absorption nur Elektronen mit kv 0 wesentlich sind. Zu irgendeinem Zeitpunkt möge das Elektron eine Geschwindigkeit senkrecht zu k haben (Abb. 75). Natürlich liegt dieselbe Situation nach Verlauf der Periode T vor. In dieser Zeit bewegt sich das Elektron in Richtung von H um den Abstand vzT und in Richtung von k 14*

212

12. Schallabsorption in Metallen

um die Entfernung vzT cos 0 (0 ist der Winkel zwischen k und H). Offenbar wird der Effekt dann maximal, wenn sich die Phase der Schallwelle dabei um 2mi ändert oder, mit anderen Worten, wenn kvzT cos 0 =

2nn .

Offenbar spielen die Extremwerte von vzT eine wesentliche Rolle. Die Zustandsdichte nimmt für diese Werte stark zu, und man kann einen Resonanzeffekt in der Absorption erwarten. Setzt man T — 2jtm*cjeH ein, findet man für das Magnetfeld die Bedingung Hn =

kc en

(m*vz)extT

cos 0

Unter Berücksichtigung von m* =

,

(1/2 n) dSße

erhält man

,

vz =

kc cos 0 i SS

Hn

=

2nen

l)

\dpz /extr /

dejdpz

(12.23)

Dieser Effekt ist der Driftfokussierung des Hochfrequenzfeldes verwandt (Abschn. 8.6.), und er gestattet die Bestimmung derselben Größe {dSldp2)extT.

!

i i i

i i i i

i 0 i ¡ i i i i n i i i i

I l 1 i I i I I l i

i 1

¡ i Abb. 75

Magnetpakustische Resonanz durch eine spiralförmige Elektronenbahn. Innerhalb einer Bahnperiode liegt eine ganze Anzahl von Schallwellen, so daß diese Bahn maximal zur Schallabsorption beiträgt

Offensichtlich kann dSjdpz nur für eine nichtkonvexe FEBMi-Fläche (s. Abb. 46) oder für Grenzpunkte extremal werden. Außer den Punkten mit (m*v z ) extT spielen, wenn k nicht zu H senkrecht ist, die sogenannten Grenzbahnpunkte eine besondere Rolle. Die Bedingung kv = 0, die für die Absorption eines Phonons notwendig ist, wird nicht von allen Elektronen erfüllt, sondern nur von einem Teil (Abb. 76). Verfolgt man die Linie pz = const, so wird im Innern der Fläche die Bedingung in zwei Punkten erfüllt. Ändert sich pz in der einen oder der anderen Richtung, so nähern sich diese Punkte und fallen zusammen; danach wird die Bedingung kv = 0 für keinen Punkt der Linie mehr erfüllt. Daher kann man bei Hin =

kc cos 0 2nen

dPz/gi

(12.24)

12.4. Magnetoakustische

Resonanzerscheinungen

213

eine Besonderheit des Absorptionskoeffizienten erwarten; der Index bedeutet die Ableitung an der Stelle des Impulsgrenzwertes pz = p2gI.

Abb. 76

Grenzbahnen auf der FERMi-Fläche mit den Impulskomponenten Pzigr und Pz2.gr im zur Schallrichtung geneigten Magnetfeld H, die zur magnetoakustischen Resonanz beitragen. Die Grenzbahnen tangieren die effektive Zone kv = 0, auf der die Elektronengeschwindigkeit v senkrecht zum Ausbreitungsvektor k der Schallwelle gerichtet ist

I m Fall einer offenen Trajektorie beschreibt das Elektron eine Driftbewegung quer zum Feld. Als charakteristische Zeit an Stelle der LAKMOR-Periode tritt in diesem Fall die Zeit, in der das Elektron eine Periode im Impulsraum durchläuft. Wenn die Bahn in ^ - R i c h t u n g offen ist, erhält man durch Integration der Gleichung dpz

di über t die

eH =

c

vv

Resonanzbedingung eH ___ ,C eH HK = — Ij vVydt TT nX v di == c cos (y C J

Dabei bedeuten K die kleinste Periode des reziprokem Gitters, A die Schallwellenlänge und 0 den Winkel zwischen k und der y-Richtung. Mit anderen Worten, die Resonanzwerte von H sind in diesem Fall gleich chKk =

cos © —

(

1

2

-

2

5

>

Die Gesamtheit aller dieser Erscheinungen erhielt die Bezeichnung „magnetoakustische Resonanzen" ( K A N E R , PESTSCHANSKI, PKIWOKOZKI 1961 [63]).

214

12. Schallabsorption

12.5.

Quantitative Theorie der geometrischen Resonanz

in Metallen

Im folgenden wird der Fall einer geschlossenen FERMi-Fläche betrachtet. Das Magnetfeld bewirkt das Auftreten eines zusätzlichen Terms dipjdty in Gleichung (12.5). Wenn E = 0 ist und ip in der Form e t ( f c r _ a , i ) von den Koordinaten und der Zeit abhängt, erhält man dw v) + ^ + Qtj t

i(kv

(12.26)

wobei g = Aiküilc. Multipliziert man diese Gleichung mit ip* und addiert die mit y> multiplizierte komplex konjugierte Gleichung, so findet man 1 d \ip\2 Y

1 + —

(9V* +

= y

9*V>) = R e (g*ip) .

In den Absorptionskoeffizienten geht das Integral J d 3 p |y|2/t 3/0/9e ein. Durch Substitution der Variablen (s. (5.11)) sieht man, daß der Term d lyP/d^ bei der Integration über fx verschwindet. Hieraus folgt R e (g*ip) di x .

(12.27)

Unten wird« 1/r angenommen, daher kann a> vernachlässigt werden. Löst man Gleichung (12.26) in analoger Weise wie in Abschnitt 5.2. und in Kapitel 7, erhält man h t, i> V(h)

=

j

g{k)

exp

•

J ikv(t3)

H

11

dt3

dig .

(12.28)

«i Nun zerlegt man das Integral J — di2 in Einzelintegrale mit dem Integrations— oo bereich T und führt in jedem Integral eine Variablensubstitution durch, so daß alle Summanden gleiche Integrationsgrenzen haben, z. B . h-Tn f m h-T(n +1)

dt2 =

h+T f f[t2 i,

• T(n

+

1)] dt2 .

Da g{t2) eine periodische Funktion von t2 ist, ändert sie ihren Wert bei einer solchen Substitution nicht, und folglich nimmt der Integrand die Form

i

i,-I-(n+l) /

1 [ikv(t3)

+

1/r] d U

an. Da jedoch der Integrand im Exponenten eine periodische Funktion von t3 ist, erhält man g(t2)

exp \ J (ikv + IM dt3 \ exp { - T(n + 1) (ikv + 1/r)}

12.5. Quantitative Theorie der geometrischen

u n d folglich

h+T

=

Wi)

/

( t, ex

9(k)

Resonanz

215

\

P | / (ikv + 1/t) di 3 j df 2

X j ? exp { + 1) (ifer + 1/t)} n=0 D u r c h Summation über n ergibt sich h+T f gih) h

Wik) =

exP j / V f c f + 1/T) d i 3 J d t 2 eT(ikv

(12.29)

+l / i ) _ 1

Der I n t e g r a n d im Zähler enthält einen großen Exponenten, u n d auf d a s Integral wird die Methode der stationären P h a s e angewendet. Die stationären P u n k t e des Exponenten bestimmen sich durch die Bedingung 11

ikv(t3)

-3

Wählt man die x-Achse in Richtung von k und wendet man Gleichung &Pv

e

dt

c

-77=

VXH

an, ergibt sich

kv(t3)

d