Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja : jednovarijabilni sustavi 953773837X, 9789537738372

Citation preview

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

Dubravko Majetić Danko Brezak Josip Kasać

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA JEDNOVARIJABILNI SUSTAVI

Zagreb, 2015.

UDŽBENICI SVEUČILIŠTA U ZAGREBU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS

Recenzenti: Prof.dr.sc. Želimir Kurtanjek, Prehrambeno-biotehnološki fakultet, Zagreb Prof.dr.sc. Branko Novaković, FSB, Zagreb Prof.dr.sc. Mladen Crneković, FSB, Zagreb Izdavač: Fakultet strojarstva i brodogradnje, Ivana Lučića 5, Zagreb Glavni urednik: XXXXXXX Odobrenje Senata Sveučilišta u Zagrebu 11.ožujka 2015. Udžbenik CIP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i sveučilišna knjižnica, Zagreb UDK 007.52 MAJETIĆ, Dubravko Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi / Dubravko Majetić, Danko Brezak, Josip Kasać. - Zagreb : Fakultet strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Zagrebu, 2015. - 389 str. – (Udžbenici Sveučilišta u Zagrebu = Manualia Universitatis studiorum Zagrabiensis) ISBN xxxxxxxxxx 1. BREZAK, Danko 2. KASAĆ, Josip xxxxxxxxxxxxx

Grafičko rješenje naslovnice: Prof.dr.sc. Dubravko Majetić Tehničko uređenje teksta na računalu: Prof.dr.sc. Dubravko Majetić Copyright © Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb Tisak: X-Press, Zagreb Naklada: 500

Zbirka zadataka iz teorije upravljanja

Predgovor S obzirom na kontinuirani trend posvemašnje automatizacije sustava koji nas okružuju, metode iz područja teorije automatskog upravljanja predstavljaju nezaobilazni dio inženjerske edukacije, a njihov razvoj predstavlja istraživački izazov koji vremenom dobiva sve više na značaju. U tom je smislu nastala i ova knjiga kao presjek najznačajnijih metoda analize i sinteze sustava automatskog upravljanja čiji su smisao i primjena detaljno objašnjeni u nizu izloženih primjera. Metode prikazane u nekoliko cjelina pokrivaju područja analize i sinteze jednovarijabilnih linearnih kontinuiranih i diskretnih sustava. Uz standardne opće forme zadataka, izložen je i niz primjera konkretnih tehničkih sustava, u nastojanju da se olakša shvaćanje i jednostavnije sagleda potencijal primjene razmatranih metoda iz teorije automatskog upravljanja. Uz gotovo sve zadatke, osim rješenja, priložen je i postupak rješavanja, a pojedine su cjeline još i dodatno popraćene kratkim uvodnim razmatranjima. Jednako tako brojni su zadaci popraćeni dodatnim grafičkim ilustracijama dobivenih rezultata. Knjiga je prije svega namijenjena studentima Fakulteta strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Zagrebu i pokriva područje teorije automatskog upravljanja koje se predaje u okviru grupe predmeta iz automatske regulacije i teorije sustava na studijima strojarstva, brodogradnje i zrakoplovstva. Međutim, ona može korisno poslužiti i studentima ostalih fakulteta i studija u sklopu kojih se izučava razmatrana materija. Koristimo ovdje priliku da se još jednom zahvalimo prof. dr. sc. Želimiru Kurtanjeku s Prehrambeno-biotehnološkog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu, te prof. dr. sc. Branku Novakoviću i prof. dr. sc. Mladenu Crnekoviću s Fakulteta strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Zagrebu na korisnim sugestijama i uloženom trudu pri recenziranju ove knjige. Također se zahvaljujemo i svim ostalim kolegama s Fakulteta strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Zagrebu na podršci u pisanju i izdavanju ove knjige.

U Zagrebu, veljača 2015.

Autori

Zbirka zadataka iz teorije upravljanja

Sadržaj

SADRŽAJ Predgovor.......................................................................................................... IV  Oznake ............................................................................................................ VII  1. Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi........................ 1  1.1  Laplaceova direktna i inverzna transformacija ............................................. 1  1.2  Prijenosna funkcija ................................................................................ 39  1.3  Algebra blokova .................................................................................... 48  1.4  Određivanje stabilnosti sustava u kompleksnom području ........................... 65  1.5  Vremenski odzivi sustava – prijelazna i težinska funkcija ............................ 87  1.6  Točnost sustava ................................................................................... 182  1.7  Frekvencijsko područje ......................................................................... 213  1.7.1  Nyquistov i Bodeovi dijagrami .....................................................216  1.7.2  Određivanje stabilnosti sustava u frekvencijskom području ..............251  1.8  Sinteza vremenski-invarijantnih kontinuiranih P-I-D regulatora .................. 286  1.8.1  Analitičke metode podešavanja parametara regulatora ....................286  1.8.2  Eksperimentalne metode podešavanja parametara regulatora .........324  2. Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni diskretni sustavi ......................... 337  2.1  Jednadžbe diferencija ........................................................................... 337  2.2  Z-transformacija .................................................................................. 342  2.3  Impulsna prijenosna funkcija ................................................................. 350  2.4  Stabilnost u diskretnom području ........................................................... 359  2.5  Sinteza vremenski-invarijantnih diskretnih P-I-D regulatora ...................... 365  3. Literatura..................................................................................................... 373  4. Prilog .......................................................................................................... 374 

VI

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Oznake

Oznake

D

Koeficijent trenja

DR

Dobrota regulacije

E

Regulacijsko odstupanje

e0

Trajno regulacijsko odstupanje, greška u stacionarnom stanju

g(t)

Težinska funkcija

G(s)

Prijenosna funkcija

h(t)

Prijelazna funkcija

J

Moment inercije

KD

Derivacijsko pojačanje regulatora

KI

Integralno pojačanje regulatora

KP

Proporcionalno pojačanje regulatora

M

Masa (kg)

n

red sustava

s

Laplaceov operator

T

Vremenska konstanta (s)

T0

Period uzorkovanja (s)

x

Pomak

xi, y

Izlazna varijabla vremenski kontinuiranog sustava

xu, u

Ulazna varijabla vremenski kontinuiranog sustava

z

Diskretni operator

Ostale oznake, kao i oznake s drugim značenjem, objašnjene su u tekstu.

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

VII

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

1 1.. JJe ed dn no ov va arriijja ab biilln nii lliin ne ea arrn nii v en nssk av kii--iin vii nv va arriijja an nttn nii k ko on nttiin nu uiirra an nii ssu vrre em me usstta Jednovarijabilne (vremenski

linearne

invarijantnim)

vremenski

koeficijentima

kontinuirane moguće

je

sustave

analizirati

s u

konstantnim vremenskom,

kompleksnom i frekvencijskom području, kao i u prostoru stanja. Primjeri izloženi u ovom, prvom poglavlju zbirke objedinjuju metode analize iz prva tri područja s naglaskom na kompleksno i frekvencijsko područje. U tom su smislu najprije izloženi primjeri

transformacija

matematičkih

zapisa

dinamika

sustava

iz

vremenskog

u

kompleksno područje i obratno primjenom Laplaceove transformacije, odnosno inverzne Laplaceove transformacije, uz određivanje odziva sustava. U nastavku su zatim prikazane osnovne funkcije na kojima se zasniva analiza razmatranih sustava, pristup rješavanja blok-dijagrama primjenom algebre blokova, analiza stabilnosti i točnosti, te dvije metode analize sustava u frekvencijskom području. U posljednjem potpoglavlju izloženo je i nekoliko

standardnih

metoda

sinteze,

tj.

podešavanja

parametara

vremenski

kontinuiranih P-I-D tipova regulatora.

1 1..1 1 L an La nssffo ap plla orrm acce ma eo acciijja ov va ad a diirre ek kttn na a ii iin nv ve errzzn na a ttrra Laplaceova transformacija koristi se u rješavanju linearnih diferencijalnih jednadžbi (određivanju odziva sustava), pri čemu se složnije operacije derivacije i integracije zamjenjuju jednostavnijim operacijama množenja i dijeljenja. Pritom je njezina primjena ograničena na linearne vremenski-invarijantne sustave s usredotočenim i raspodijeljenim parametrima, tj. na linearne sustave s konstantnim koeficijentima opisane običnim ili parcijalnim diferencijalnim jednadžbama (više detalja u priloženim referencama). U slijedećim je primjerima prikazan postupak direktne i inverzne Laplaceove transformacije običnih diferencijalnih jednadžbi n–tog reda (vremensko područje) u polinome n-tog stupnja (kompleksno ili s-područje), i obratno. Također su prikazani postupci rješavanja diferencijalne jednadžbe primjenom metoda iz kompleksnog i vremenskog područja. U rješavaju zadataka preporuča se korištenje poznatih transformiranih oblika često korištenih funkcija, kao i osnovnih svojstava transformacije prikazanih u Tablicama 1.1 i 1.2 iz Priloga.

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

1

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Zadatak 1.1

Odredite

Laplaceovu

transformaciju

sustava

prikazanih

sljedećim

diferencijalnim jednadžbama uz početne uvjete jednake nuli (PU = 0): t

(1)

i  4 xi  x i  6 xi  xu dt , x  0

(2)

i  2xi  9x i  18xi  xu  xu , x

(3)

i  8 xi  19 x i  12 xi  2 xu  x u  xu  t  5  u  t  5  , x

(4)

i  10 xi  23 x i  14 xi  2 xu  3x u  3e4t xu . x

Zadani su primjeri riješeni primjenom izraza za transformaciju derivacije i integracije (Tablica 1.1). Kako su početni uvjeti (koji opisuju količinu pohranjene energije u spremnicima sustava u početnom trenutku njegove analize) u svim primjerima jednaki nuli, svi članovi transformiranog izraza koji se odnose na početne uvjete također su jednaki nuli. Stoga je samo u prva dva primjera prikazan potpun oblik transformacije svakog člana jednadžbe, dok su u preostala dva primjera članovi koji opisuju početne uvjete izostavljeni, čime je skraćen postupak rješavanja. Rješenja: (1) Iz Tablice 1.1 slijedi Laplaceova transformacija n-tog reda derivacije funkcije f(t) n

n i 1 L f    t    s n F  s    s n  i f    0  ,





i 1

kao i Laplaceova transformacija jednostrukog integrala funkcije f(t): 1 F  s  f   0   1   L f t   s  s . 

Kada primijenimo navedene izraze za transformaciju na zadanu diferencijalnu jednadžbu t

i  4xi  x i  6 xi  xudt L , tj. xi3  4 xi2   xi1  6 xi0   xu 1 L , x  0

dobivamo





s3 Xi  s    s2 xi  0   sx i  0   xi  0    4 s2 Xi  s    sxi  0   x i  0    sXi  s   xi  0   6 Xi  s  

Xu  s  s



 xu 0 , s

što uz PU  0  xi  0   x i  0   xi  0   xu  0   0 , daje konačni polinom

s3 Xi  s   4s2 Xi  s   sXi  s   6 Xi  s  

2

Xu  s  s

.

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

(2)

i  2xi  9x i  18xi  xu  xu L , x





s3 Xi  s    s2 xi  0   sx i  0   xi  0    2 s2 Xi  s    sxi  0   x i  0    9  sXi  s   xi  0    18 Xi  s   s2 Xu  s    sxu  0   x u  0    Xu  s  , s3 X i  s   2s2 X i  s   9sX i  s   18 X i  s   s2 X u  s   X u  s  .

(3) i  8 xi  19 x i  12 xi  2 xu  x u  xu  t  5  L , x s3 X i  s   8s2 X i  s   19sX i  s   12 X i  s   2s2 X u  s   sX u  s   e 5 s X u  s  .

Zadnji član desne strane diferencijalne jednadžbe transformira se prema teoremu pomaka: Primjerice,

L  f  t  a  u  t  a    e  as F  s  , a  0 , u  t   0 za t  0 ukoliko

t 5 L e  u  t  5   





je

xu

eksponencijalna

funkcija,

(Tablica slijedi

1.1). da

je

1 e 5 s (Tablica 1.1 i 1.2). s 1

(4) i  10 xi  23 x i  14 xi  2 xu  3 x u  3e4t xu L , x s3 X i  s   10s2 X i  s   23sX i  s   14 X i  s   2s2 X u  s   3sX u  s   3 X u  s  4  .

Zadnji član desne strane diferencijalne jednadžbe ( 3e4t xu ) transformira se prema teoremu

prigušenja:

L 3te4t   3Xu  s  4 

L e  at f  t    F  s  a  . 3

 s  4

2

Ukoliko

je

npr.

xu  t   t ,

imamo:

(Tablica 1.1 i 1.2).

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

3

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Odredite Laplaceovu transformaciju odziva sustava u slučajevima

Zadatak 1.2

(PU ≠ 0): (1) xi  4 x i  6 xi  xu , xi  0   3 , xu  t   δ  t  , (2)

2 xi  3x i  xi  7 x u  xu , x i  0   2 , xu  0   5 , xu  t   8 u  t  za t  0 ,

(3)

9 x i  2 xi  x u  xu , xi  0   2 , xu  t   t 2 ,

(4)

i  xi  x i  xi  xu , x i  0   5 , xu  t   t 2e t , x

(5)

2 xi  5x i  5xi  xu , xi  0   1, xu  t   sin( 2t )  cos(5t ) .

Napomena: svi ostali početni uvjeti koji nisu zadani jednaki su nuli.

Rješenja:

Izrazi se najprije transformiraju u s-područje, a zatim se uvrste zadani početni uvjeti i transformirane funkcije pobude - Xu(s), koje je potrebno odabrati prema Tablici 1.2. Nakon sređivanja, dobiva se izraz za funkciju odziva zapisan u s-području. (1)

xi  4x i  6 xi  xu L , s2 X i  s    sxi  0   x i  0    4  sX i  s   xi  0    6 X i  s   X u  s  .

Uz xi  0   3 i xu  t   δ  t  L  Xu  s   1 ( L δ  t    1 iz Tablice 1.2) slijedi s2 X i  s   3s  4sX i  s   12  6 X i  s   1 ,

s

2



 4s  6 Xi  s   1  3s  12 ,

Xi  s  

1  3s  12 . s 2  4s  6

(2)

2xi  3x i  xi  7x u  xu L ,





2 s2 Xi  s    sxi  0   x i  0    3  sX i  s   xi  0    Xi  s   7  sXu  s   xu  0    X u  s  .

8 slijedi Uz x i  0   2 , xu  0   5 i xu  t   8u  t  L  Xu  s   s 2s2 X i  s   4  3sX i  s   X i  s   7sX u  s   35  X u  s  .

Prema teoremu linearnosti vrijedi da je L  a f  t    a F  s  , gdje je a neka konstantna

4

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

1 vrijednost (Tablica 1.1). Stoga je L 8 u  t    8  s

(Tablica 1.2). Nakon sređivanja

dobivamo:

 2s

2

 3s  1 Xi  s   56  35 



2s

3

 3s2  s Xi  s   25s  8 ,

Xi  s  

8  4 s, s



25s  8 . 2s  3s2  s 3

(3)

9x i  2xi  x u  xu L , 9  sX i  s   xi  0    2 X i  s   sX u  s   xu  0   X u  s  .

Uz xi  0   2 i xu  t   t 2 L  Xu  s   9sXi  s   18  2 Xi  s   s

9s  2 Xi  s   Xi  s  

2 n! ( L t n ,n  0  n 1 iz Tablice 1.2) slijedi: 3 s s

2 2  3 , 3 s s

2s  2  18s3 , s3

2s  2  18s3 . 9s4  2s3

Do istog se rješenja dolazi ukoliko se u diferencijalnu jednadžbu najprije uvrste funkcije 2t umjesto x u  t  i t 2 umjesto xu  t  , pa se zatim provede Laplaceova transformacija. (4)

i  xi  x i  xi  xu L , x s3 Xi  s    s2 xi  0   sx i  0   xi  0    s2 Xi  s    sxi  0   x i  0    sXi  s   xi  0   Xi  s    Xu  s  .

Uz x i  0   5 i xu  t   t 2et L  Xu  s  

2

 s  1

3

( L t n e at ,  n  0  

n!

 s  a

n 1

iz Tablice

1.2) slijedi:

s3 Xi  s   5s  s2 Xi  s   5  sXi  s   Xi  s  

2

 s  1

3

,

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

5

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

s

3



 s2  s  1 Xi  s  

Xi  s  

2

 s  1

3

2  5s  5  s  1

 s  1

3

 5s  5

,

3

 s  1

3

s

3



 s2  s  1

.

(5)

2xi  5x i  5xi  xu L , 2 s 2 X i  s   2  sxi  0   x i  0    5  sX i  s   xi  0    5 X i  s   X u  s  .

Uz xi  0   1 i xu  t   sin( 2t )  cos(5t ) L  Xu  s  

2 s ω  2 ( L sin  ωt    2 s  4 s  25 s  ω2 2

s iz Tablice 1.2 i teorem linearnosti L  f1  t   f2  t    F1  s   F2  s  i L cos  ωt    2 s  ω2 iz Tablice 1.1) slijedi: 2s2 Xi  s   2  5sXi  s   5  5 Xi  s  

 2s

2



 5s  5 Xi  s  

Xi  s  

6

s 2 ,  2 s  4 s  25 2

s3  2s2  4s  50

s

2



2

 4 s  25





7



s

s3  2s2  4s  50  7 s2  4 s2  25

2s

2





 5s  5 s2  4 s2  25



2





 4 s2  25 ,

.

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Zadatak 1.3

Odredite Laplaceovu transformaciju signala sa slike.

Rješenja: (1)

u(t) je jedinična odskočna funkcija (Heavisideova funkcija) definirana prema izrazu: u(t)

u  t   1  t  za t  0    za t  0   u  t   0

1



0 t

0

Matematički zapis signala sa slike glasi: x  t   u  t   2u  t  a   u  t  2a  L , tj. X  s   L u  t    L 2u  t  a    L u  t  2a    L u  t    2 L u  t  a    L u  t  2a   .

1 1 Iz L u  t    i L  f  t  a  u  t  a    e as F  s   e as slijedi s s X s 

1 1 1 1 1  2e  as  e2 as .  2e  as  e 2 as  s s s s





(2) Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

7

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Funkcija koja opisuje signal sa slike glasi x  t   u  t  t1   u t   t1  a    u  t  t2   u t   t2  a   L ,

a nakon transformacije poprima oblik X  s   e t1s





1 1 1 t1s  t a s 1  t a s 1 e e 1   et2s  e  2    et2s 1  e as . s s s s s



(3)

Za potpuno definiranje sinusne funkcije sa slike, x  t   X 0sin  ωt  , potrebno je odrediti kružnu frekvenciju () i amplitudu (X0). Iz izraza za kružnu frekvenciju

  2 f 

2



, te uz periodu signala  = 2 ms, proizlazi   103  rad s1 . Kako je

amplituda definirana slikom (X0 = 0,7), konačni izraz glasi





x  t   0 , 7sin 103 t .

ω , dobivamo Transformacijom tog izraza u s-područje, uz L sin  ωt    2 s  ω2

X  s   0,7

103  . s2  106 2

(4)

Trokutni signal sa slike opisan je funkcijom x  t   tu  t   2  t  2  u  t  2    t  4  u  t  4  . Taj se izraz prije transformacije može zapisati u formi x  t   tu  t   2t u  t  2   4u  t  2   t u  t  4   4u  t  4  . d d   as Iz L t f  t     e F  s   (Tablica 1.1) i F  s  , tj. L t f  t  a     ds ds  X  s   L t u  t    2 L t u  t  2    4 L  u  t  2    L t u  t  4    4 L u  t  4   slijedi:

X s  

 d  2 s 1    d  4s 1   d 1 2 s 1 4 s 1  2    e e ,   4e   4e     ds s s  s  ds  s  s  ds 

X s 

  2 s 2   4 s 4 1 1    1    4 2 s  2 s 4 4 s            e 4 s , e e e e e 2          2 2 2   s s   s s s  s     s     

X s 

1 4 2 4 4 1 4  e 2s  e 2 s 2  e 2s  e 4s  e 4 s 2  e 4s , 2 s s s s s s s

X s 

1 2 1  e 2s 2  e 4s 2 . 2 s s s

8

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Zadatak 1.4

Matematički zapišite dinamiku sljedećih sustava u vremenskom području u obliku diferencijalne jednadžbe: (1)

s3 Xi  s   3s2 Xi  s   2sX i  s   5s2 Xu  s   9sXu  s   7 Xu  s  

(2)

s2 Xi  s   2sXi  s   2 Xi  s   e s Xu  s  

(3)

s3 Xi  s   s2 Xi  s   sXi  s  

(4)

Xi  s  

(5)

6s2 Xi  s   2 Xi  s  

(6)

5s4 Xi  s   s2 Xi  s   7 Xi  s  



10

s s2  4



2 , s

3 , s2

X  s 1 3 5 u  , s4 s s

Xu  s  2  ,

10 s  s  3

2

,

s3

 s  1

2

4

.

Rješenja: (1) s3 Xi  s   3s2 Xi  s   2sXi  s   5s2 Xu  s   9sXu  s   7 Xu  s  

2 L s

-1

,

i  3xi  2 x i  5xu  9 x u  7 xu  2u  t  . x

(2)

s2 Xi  s   2sXi  s   2 Xi  s   e s Xu  s  

3 s2

L

-1

,

xi  2 x i  2 xi  xu  t  1 u  t  1  3t .

(3)

s3 Xi  s   s2 Xi  s   sXi  s  

X  s 1 3 5 u  , s4 s s t

i  xi  x i  3e4t  5  t   xudt  u  t  uz PU=0 , ili x  0

t

i  xi  x i  e4t  5  t   xudt , uz xu 1  0  1  PU  0 . x  0

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

9

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

(4) Xi  s  



10 2

s s 4



Xu  s  2  L

-1

,

s3 Xi  s   4sX i  s   10 X u  s  2  ,

i  4 x i  10 xue2t . x

(5)

6s2 Xi  s   2 Xi  s  

6 xi  2 xi 

10

L

s  s  3

2

-1

,

10 1  e3t  3te3t . 9





Desna strana jednadžbe transformirana je prema



L 1  K  

   K 1 1  e at  ate at 2 a2 s  s  a  1



 uz K=10 i a=-3.

(6)

Imajući u vidu transformirane oblike funkcija iz Tablice 1.2, desna strana jednadžbe može se prilagoditi u formu

5s4 Xi  s   s2 Xi  s   7 Xi  s  

s3

 s  1

2

4



2

 s  1

2

4



s 1

 s  1

2

4

.

Sada primjenom

L

1

      e at sin t  i L 2 2   s  a     

1

  sa    e at cos t  uz a=1 i   2 rad s1 2 2   s  a     

dobivamo:

5s4 Xi  s   s2 Xi  s   7 Xi  s  

2

 s  1

2

4



s 1

 s  1

2

4

L

-1

,

5  xi  xi  7 xi  e t sin 2t   cos 2t   .

10

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Pronađite rješenja diferencijalnih jednadžbi (odzive) zadanih sustava

Zadatak 1.5

korištenjem Laplaceove transformacije. i  2 xi  5x i  6 xi  xu , xu  2u  t  , (1) x (2)

i  3 xi  2 x i  x u  2 xu  3 x u  xu , xu    t  , x

(3)

xi  3x i  2xi  xu , xu  t ,

(4)

 xi  2 xi  xi  2  t  .

Za svaki će se sustav opisan diferencijalnom jednadžbom najprije odrediti funkcija odziva u s-području - Xi(s). Navedena će funkcija spadati u skupinu racionalnih funkcija (funkcije definirane omjerom dva polinoma), te će ju prije transformacije u vremensko područje, a zbog njezine složenosti, najčešće biti potrebno rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka. Inverznom Laplaceovom transformacijom svakog dobivenog razlomka i njihovim međusobnim sumiranjem dobiti ćemo vremenske odzive zadanih sustava, tj. rješenja diferencijalnih jednadžbi. Detaljnija analiza vremenskih odziva s obzirom na karakteristike prijelaznog i stacionarnog ponašanja sustava razmotrena je u potpoglavlju 1.5. Rješenja: (1)

i  2xi  5x i  6 xi  xu L , x s3 X i  s   2s2 X i  s   5sX i  s   6 X i  s   X u  s  ,

xu  2u  t   2 / L



Xu  s  

2 , s

s3 Xi  s   2s2 Xi  s   5sX i  s   6 Xi  s  



2 , s



s s 3  2 s 2  5s  6 X i  s   2 ,

Xi  s  



2 3

s s  2s2  5s  6



.

Dobivenu racionalnu funkciju zapisati ćemo sada u formi parcijalnih razlomaka

Xi  s   Xi  s  

B  s

n

A

 i , gdje je n red polinoma nazivnika. N  s  i 1 s  si





2 3

2

s s  2s  5s  6





4

A

 s i s i 1

, (n=4).

i

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

11

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Sada se za svaki parcijalni razlomak moraju odrediti dva tipa nepoznanica: si i Ai. Ako nazivnik zapišemo u faktoriziranom obliku n

N  s   an s n  an 1s n 1  ...  a1s  a0  an   s  si  , i 1

onda je očito da si predstavljaju rješenja N  s   an s n  an 1s n 1  ...  a1s  a0  0 , odnosno nul-točke polinoma N(s). U ovom konkretnom slučaju imamo:





N  s   s s3  2s2  5s  6  0 , s1  0

  s2  1    s3  2  s4  3 

jednostruka rješenja  ne ponavljaju se !  .





N  s   s s 3  2 s 2  5s  6   s  0   s  1  s  2   s  3  .

Xi  s  

2  4 3 s  2s  5s2  6s

4

A

 s i s i 1

i



A3 A1 A2 A4 .    s s 1 s 2 s 3

Sada je potrebno još odrediti i koeficijente Ai. Izračun Ai-ova za slučaj jednostrukih rješenja:

Ai 

B s

N ' s

, s  si

B s  2 , N  s   s 4  2 s 3  5s 2  6 s , N '  s   4s3  6 s2  10s  6 ,

A1 

A2 

A3 

B s

N ' s

12



2 1  , 4s  6s  10s  6 s  1 3



2 1  , 4s  6s  10s  6 s 2 15

s  s2

B s

N ' s

2 1  , 3 4s  6s  10s  6 s  0

s  s1

B s

N ' s



s  s3

3

3

3

2

2

2

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

A4 

B s

N ' s

 s  s4

2 1  . 15 4s  6s  10s  6 s  3 3

2

1 1 1 1   2 Xi  s   4  3  3  15  15 s s 1 s 2 s 3 s  2s3  5s2  6s xi  t   

-1

L

,

1 1 t 1 2t 1  3t e  e .  e  3 3 15 15

Na kraju ovog primjera, spomenuti ćemo još jednu metodu određivanja koeficijenata parcijalnih razlomaka koja se zasniva na uvrštavanju svakog jednostrukog rješenja polinoma N(s) u izraz za Xi(s). Konkretno,

A1

dobivamo

množenjem

izraza

Xi(s)

s

pripadajućim

nazivnikom

uvrštavanjem s=s1=0: A3 A A2 A4 2  1    s, 2 s s 1 s 2 s 3 s  2s  5s  6s

Xi  s  

4

3

As As As 2  A1  2  3  4 , s 1 s 2 s 3 s  2 s  5s  6 3

A1 

2

As As As 2 1  2  3  4  . 3 s  2s  5s  6 s  1 s  2 s  3 s  0 3

2

Na isti se način određuju i preostali koeficijenti: Xi  s  

A2 

 s  1

A3 A A2 A4 2  1    s  s  1  s  2   s  3  s s 1 s 2 s 3

A  s  2  A2  s  2  A4  s  2  2  1   s  s  1  s  3 s s 1 s3

Xi  s  

A4 

3

A  s  1 A3  s  1 A4  s  1 2  1   s  s  2   s  3 s s 2 s3

Xi  s  

A3 

A3 A A2 A4 2 2   1    2 s s 1 s 2 s 3 s  2s  5s  6s s  s  1  s  2   s  3 4

A  s  3 A2  s  3 A3  s  3 2  1   s  s  1  s  2  s s 1 s 2

1 , 3

 s  2 , 

s 2

A3 A A2 A4 2  1    s  s  1  s  2   s  3  s s 1 s 2 s 3

 s  1 ,

1 , 15

 s  3 , 

s  3

1 . 15

(2) i  3 xi  2 x i  x u  2 xu  3 x u  xu , xu    t  x

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

13

i

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

- (t) je jedinična impulsna funkcija (Diracova funkcija) definirana prema:    t   0 za t  0     t    za t  0      t   0 za t  0 



s3 X i  s   3s2 X i  s   2sX i  s   s3 X u  s   2s2 X u  s   3sX u  s   X u  s  ,

xu    t  L

s

3



Xu  s   1 ,



 3s 2  2 s X i  s   s 3  2 s 2  3 s  1 ,

Xi  s  

B s

N s



s3  2s2  3s  1 . s3  3s2  2s

Kako je u ovom slučaju m=n=3, tj. red polinoma brojnika B(s) jednak je redu polinoma nazivnika N(s), prije rastavljanja gornjeg razlomka na sumu parcijalnih razlomaka potrebno je podijeliti polinom brojnika s polinomom nazivnika, jer se na parcijalne razlomke može rastaviti samo prava racionalna funkcija (ona za koju vrijedi da je m0 (2, 1, 3, 5, 10). No budući da je ovdje riječ o sustavu 4. reda, moramo ispitati i dovoljni uvjet stabilnosti:

R4 2 3 10 R3 1 5 R2 7 10 R1 6 , 43 R0 10

b1 

13  2 5  7 1

b2 

c1 

7  5  1  10 45   6 , 43 7 7

c2 

d1 

6 , 43  10   7   0 6 , 43

1  10  2  0  10 1

 7  0  1  0  0 7

 10 .

Kako je u prvom stupcu došlo do promijene predznaka, sustav je nestabilan. Dvije promijene predznaka (1-7 i -76,43) govore o pojavi dva korijena s pozitivnim realnim dijelom (s1,2 =0,755±1,444j, uz koje imamo još i s3,4 =-1,005±0,933j). Prema Hurwitzovom kriteriju stabilnosti, koeficijente karakteristične jednadžbe potrebno je smjestiti u matricu dimenzija nxn, čija determinanta (Hn), kao i sve dijagonalne subdeterminante (H1, H2, …, Hn-1), mora biti pozitivna. Time je ispunjen dovoljan uvjet stabilnosti. H1  an 1  0 ;

H2 

an 1 an

an 3  0; an 2

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

69

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

an 1 H3  an 0

an  3 an 2 an 1

an 5 an  4  0; an  3

an 1 an 0 Hn  0  0



an  3 an  2 an 1 an  0

an 5 an  4 an  3 an 2 

an  7 an  6 an 5 an  4 

0 0 0  0. 0   a0    

Hurwitzova determinanata u ovom primjeru poprima formu: 1 5 0 2 3 10 H4  0 1 5 0 2

3

0 0 . 0 10

Na temelju iznosa dijagonalnih subdeterminanti proizlazi: H1  1  0 ; H2 

1 5  1  3  2  5  7  0  sustav je nestabilan, 2 3

jer je druga subdeterminanta negativna. Time više nije potrebno analizirati iznose subdeterminante H3 i glavne determinante H4. (2)

K.J. s5  6s 4  14s3  16 s2  9s  2  0 . Nužni uvjet stabilnosti je zadovoljen, jer su svi ai>0 (1, 6, 14, 16, 9, 2). Iz dovoljnog uvjeta stabilnosti primjenom Routhovog kriterija proizlazi:

R5 1 14 9 R4 6 16 2 R3 11, 34 8 , 67 R2 11, 41 2 R1 6 , 68 R0 2

b1 

c1 

d1 

6  14  1  16  11, 34 6

11, 34  16  6  8 , 67  11, 41 11, 34

11, 41  8 , 67  11, 34  2  6 , 68 11, 41

b2 

c2 

e1 

6 9 12  8 , 67 6 11, 34  2  6  0 2 11, 34

6 , 68  2  11, 41  0  2. 6 , 68

U ovom su primjeru svi elementi prvog stupca istog predznaka, tj. pozitivni, pa je sustav stabilan (s1 =-2; s2,3 =-1,0002±0,0002j, uz koje imamo još i s4,5 =-0,9998±0,0002j). Hurwitzova determinanta glasi: 6 16 2 0 1 14 9 0 H5  0 6 16 2 0 1 14 9 0 0 6 16 70

0 0 0 . 0 2

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Izračunom sub-determinanti i glavne determinante slijedi isti zaključak o stabilnosti, jer sve poprimaju pozitivne vrijednosti: 6 16 2 6 16  68  0 , H3  1 14 9  776  0 , H1  6  0 , H2  1 14 0 6 16

6 16 2 0 6 16 2 0 1 14 9 0 1 14 9 0 H4   5184  0 , H5  0 6 16 2 0 6 16 2 0 1 14 9 0 1 14 9 0 0 6 16

0 0 0  10368  0 . 0 2

Kod sustava višeg reda, kao što je to bio slučaj u ovom primjeru, Hurwitzova metoda postaje računalno zahtjevnija zbog potrebe za određivanjem determinanti matrica višeg reda. Stoga je u preostalim primjerima naglasak stavljen samo na Routhov kriterij stabilnosti. (3)

K.J. s6  2s5  8s 4  15s3  20s2  16s  16  0 . Analizom koeficijenata karakteristične jednadžbe proizlazi da je nužni uvjet stabilnosti zadovoljen, jer su svi ai>0 (1, 2, 8, 15, 20, 16, 16). Iz Routhove tablice R6 1 8 20 16 R5 2 15 16 R4 0 ,5 12 16 R3 33 48 R2 11, 27 16 R1 1,15 R0 16

proizlazi da je u prvom stupcu također došlo do promjene predznaka, pa je sustav nestabilan. Četiri promjene predznaka upućuju na činjenicu da četiri od ukupno šest korijena sustava imaju pozitivan realni dio (s1,2=0,1776±2,352j, s3,4=-1,2224 ±0,8169j, s5,6 =0,0447±1,1526j). (4)

K.J. s 4  s3  2s2  2s  3  0 . Nužan uvjet stabilnosti je zadovoljen  ai = (1, 1, 2, 2, 3).

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

71

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Routhova tablica ima izgled R4 R3 R2 R1 R0

1 2 3 1 2 0 3  ?

Iz tablice je vidljiva pojava nule u prvom stupcu trećeg retka, pri čemu su ostali elementi retka različiti od nule. Ovo je jedan od dva posebna slučaja u kojima treba modificirati elemente Routhove tablice kako bi se izbjegla pojava beskonačne vrijednosti u prvom elementu sljedećeg retka i pokušala odrediti stabilnost. U ovom se slučaju modifikacija provodi zamjenom nule s nekom malom pozitivnom vrijednošću parametra ε s kojim se zatim nastavlja izračun preostalih elemenata tablice. U zadanom primjeru tablica sada poprima formu:

R4 R3

1 1

R2  R1 2  3

2 3 2 3

R4 

R2 R1

 R0

1 1

R3

3

2 3 2 3

 2

R0

3



3

Kako je ε mala pozitivna vrijednost, proizlazi da je 2 

3



 0 . Promjena predznaka

označava nestabilan sustav što potvrđuju i korijeni sustava (s1,2=0.4057±1.2928j, s3,4=-0.9057±0.9020j). Prethodno

opisana

metoda

može

dovesti

do

pogrešnog

zaključka

ukoliko

je

karakteristična jednadžba opisana parom korijena s potpuno imaginarnim vrijednostima (realni dio jednak je nuli). Međutim, u takvim slučajevima nužan uvjet stabilnosti neće biti zadovoljen, jer svi koeficijenti karakteristične jednadžbe neće biti različiti od nule, pa možemo i bez Routhova kriterija zaključiti da sustav neće biti stabilan. Iz ovog također proizlazi da nužan uvjet stabilnosti ujedno predstavlja i uvjet primjene Routhovog kriterija, jer bi njegovo zanemarivanje i daljnja primjena kriterija mogli dovesti do pogrešnog zaključka. Uz navedeno, moguće su i situacije gdje će nužni uvjet stabilnosti biti zadovoljen (nisu svi korijeni sustava čisto imaginarni), ali će Routhov kriterij dati pogrešnu informaciju o stabilnosti. Slijedeći primjer prikazuje jednu takvu situaciju. (5)

K.J. s5  4s 4  8s3  8s2  7s  4  0 . Ovaj primjer (u kojem je zadovoljen nužan uvjet stabilnosti) predstavlja drugi slučaj modifikacije Routhove tablice kod kojeg se nule pojavljuju u cijelom retku tablice. 72

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Raspored elemenata u tablici sada izgleda: R5 R4 R3 R2 R1 R0

1 4 6 4 0 ?

8 7 8 4 6 . 4 0

Korijeni karakteristične jednadžbe sustava su: s1,2=±j, s3,4=-1,5±1,3229j i s5=-1. Upravo je konjugirano-kompleksni par s nultim realnim djelom uzrokovao pojavu retka s nulama u Routhovoj tablici. Da bi izbjegli pojavu nula u cijelom retku formirati ćemo pomoćnu jednadžbu korištenjem koeficijenata iz prethodnog retka: A  s  =4s2  4s0  4s2  4  0 . Vrijednosti potencija su uvijek parne (s0, s2, s4,…), a rješenja jednadžbe A(s)=0 poklapaju se s nekim rješenjima karakteristične jednadžbe sustava (ovdje su to s1,2 =±j). Derivacijom gornje jednadžbe dobivamo

dA =8s+0  0 , ds

pri čemu će dobiveni koeficijenti 8 i 0 zamijeniti nule u retku R1 i omogućiti izračun preostalih elemenata tablice R5 R4 R3 R2 R1 R0

1 4 6 4 8 4

8 7 8 4 6 . 4 0

Ovim je pristupom izbjegnut pogrešan zaključak o nestabilnom sustavu, jer su svi predznaci elemenata prvog stupca pozitivni (sustav nema niti jedan korijen s desne strane kompleksne ravnine). Međutim, dobivena ocjena stabilnosti je nedovoljno precizna, budući da Routhova tablica sugerira stabilan odziv (svi korijeni na lijevoj strani kompleksne ravnine), dok konjugirano-kompleksni par korijena s nultim realnim dijelom jasno ukazuje na graničnu stabilnost sustava. U dodatne nedostatke Routhove i Hurwitzove metode spada i činjenica da obje metode pružaju samo informaciju o apsolutnoj stabilnosti sustava, dok je podatak o relativnoj stabilnosti sakriven (pojava prigušenih oscilacija u odzivu). Ograničenja također predstavljaju i koeficijenti karakteristične jednadžbe koji moraju biti realne vrijednosti, a jednadžba mora biti algebarska, tj. može sadržavati samo polinomijalne funkcije (ne i eksponencijalne, trigonometrijske, itd.). Uz navedeno, treba i napomenuti da metode nisu upotrebljive za određivanje stabilnosti sustava definiranih u diskretnom području.

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

73

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Zadatak 1.13

Primjenom Routhova kriterija stabilnosti riješite sljedeće probleme. (1)

Za koja će pojačanja KP zatvoreni regulacijski krug biti stabilan ako mu karakteristična jednadžba glasi s3  3KP s2   KP  2  s  4  0 ?

(2)

Zadana je prijenosna funkcija otvorenog regulacijskog kruga s jediničnom povratnom vezom: KP

a) GO  s  

4

3

s  2s  5s2  2s  1 KP  s  4   s  20 

b) GO  s  

s

2

 s  100   s  500 

,

.

Za koja će pojačanja KP krug biti stabilan? (3)

Regulacijski krug je sastavljen od staze opisane prijenosnom 3 , 2s  1  4s  1 8s  1

GS  s  

funkcijom

mjernim

članom

zanemarive dinamike i regulatorom: a) GR  s   KP - proporcionalni (P) regulator nultog reda,  1  b) GR  s   KP 1   -proporcionalno-integralni (PI)  Ti s   regulator nultog reda, c)

GR  s   KP 1  Td s  - proporcionalno-derivacijski (PD) regulator

nultog reda. Sve su vremenske konstante regulatora pozitivne. Za koje će parametre regulatora krug biti stabilan? (4)

Regulacijski krug je sastavljen od staze opisane prijenosnom funkcijom GS  s  

2 , mjernim članom opisanim dinamikom 3s  s 2

proporcionalnog člana s kašnjenjem prvog reda GM  s  

1 i s 1

regulatorima iz prethodnog primjera (s pozitivnim vremenskim konstantama). Odredite parametre regulatora za koje će krug biti stabilan. Grafički (u "K–T" dijagramu) prikažite područje stabilnog i nestabilnog odziva te krivulju granice stabilnosti. (5)

Zadana je prijenosna funkcija otvorenog regulacijskog kruga

GO  s  

KP  s  5

s  s  2 1  Ts 

.

Regulator je idealni P regulator pojačanja KP, a mjerni je član zanemarive dinamike. Vremenska konstanta regulacijske staze je pozitivna (T>0). 74

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Potrebno je grafički skicirati krivulju granične stabilnosti u "K–T" dijagramu, te naznačiti područja stabilnog i nestabilnog odziva.

Rješenja: (1)

K.J. s3  3KP s2   KP  2  s  4  0 . Iz nužnog uvjeta stabilnosti proizlazi: 3KP > 0 i (KP+2) > 0, jer su i an = a3 te an-3 = a0 pozitivni (a3 = 1, a0 = 4). Iz prvog uvjeta proizlazi KP > 0, a iz drugog KP > -2. U konačnici proizlazi da će nužni uvjet stabilnosti biti ispunjen za sve KP > 0. Dovoljni uvjet stabilnosti određuje se iz Routhove tablice: R3 1 R2 3KP R1 b1 R0 4

KP  2 4

.

Kako su prvi i zadnji element prvog stupca pozitivni, to moraju biti i preostali elementi, pa slijedi:

3KP  0  KP  0 , b1 

3KP  KP  2   4 3KP

 0  3KP  KP  2   4  0 ,

jer će nazivnik zbog gornjeg uvjeta biti veći od nule. Iz uvjeta 3KP2  6KP  4  0 ,

proizlaze dva rješenja:

KP  2 ,528 i KP  0 ,528 . Uzevši u obzir sva ograničenja na KP dobivena iz nužnih i dovoljnih uvjeta, može se zaključiti da je za stabilnost zadanog regulacijskog kruga nužno odabrati KP > 0,528. (2)

Da bismo odredili stabilnost regulacijskog kruga potrebno je najprije postaviti njegovu prijenosnu funkciju. Iz elementarne forme blok-dijagrama regulacijskog kruga bez poremećaja proizlazi da se odziv sustava (Xi) kvantificira pomoću mjernog člana (GM) i njegova se vrijednost negativnom povratnom vezom vraća na ulaz kruga u cilju usporedbe sa željenom (nazivnom, vodećom) vrijednosti (Xu). Razlika tih dviju vrijednosti (Xu-Xi) predstavlja grešku koju regulator (GR) svojim djelovanjem na regulacijsku stazu (GS) nastoji eliminirati ili smanjiti na željenu vrijednost.

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

75

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Iz pravila algebre blokova slijedi prijenosna funkcija kruga: G

GR GS . 1  GR GSGM

Otvoreni regulacijski krug pretpostavlja prekinutost povratne veze, pri čemu svi elementi kruga time postaju serijski vezani.

U tom je smislu i prijenosna funkcija otvorenog kruga definirana kao

GO  GR GSGM . Ove su dvije funkcije očito povezane preko izraza G

GR GS , 1  GO

a ukoliko je mjerni član zanemarive dinamike (GM=1), što je slučaj u ovom zadatku (jedinična povratna veza!), prethodni izraz poprima slijedeću formu korištenu u daljnjem računu ovog primjera: G

GO . 1  GO

a) G s 

KP 4

3

s  2s  5s2  2s  1  KP

,

K.J. s4  2s3  5s2  2s  1  KP   0 . Iz nužnog uvjeta stabilnosti proizlazi:

1  KP  0  KP  -1 ; Dovoljni uvjet stabilnosti:

76

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

R4 R3 R2 R1 R0

1 5 1  KP 2 2 , 4 1  KP c1 d1

c1 

4  2  2  1  KP  4

c1, d1 > 0.

 0  6  2KP  0  KP  3 ,

d1  1  KP  0  KP  -1 . Na temelju dobivenih nužnih i dovoljnih uvjeta stabilnosti proizlazi da je pojačanje KP ograničeno na interval: -1 < KP < 3. b) G s 

KP  s  4   s  20 

s  600s  s2  KP  50000   24KP s  80KP 4

3

,

K.J. s4  600s3  s2  KP  50000   24KP s  80KP  0 . Iz nužnog uvjeta stabilnosti proizlazi:

KP  50000  0  KP  50000 ; 24KP  0  KP  0 ; 80KP  0  KP  0 . Dovoljni uvjet stabilnosti: R4 R3 R2 R1 R0

KP  50000 80KP 1 600 24KP , b1 80KP c1 d1

b1  c1 

600  KP  50000  24KP 600

b1, c1, d1 > 0.

 0  600KP  24KP  30  106  0  KP  52083, 34 .

b1  24KP  600  80KP  0  b1  24KP  48000KP  0 , b1

 600  KP  50000   24KP   600 

600K

P



   24KP  48000KP  0 ,  

 24KP  30  106  24KP  28 , 8  106 KP 600

0 ,

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

77

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi





13824KP2  691, 2  106 KP  0  KP 13824KP  691, 2  106  0 , kako KP ne može biti negativan zbog nužnih uvjeta stabilnosti, proizlazi da je KP > 0,

KP  50000 . d1  80KP  0  KP  0 . Uzevši u obzir sve nužne i dovoljne uvjete stabilnosti, konačni kriterij za odabir pojačanja je KP > 0. (3)

U

ovome

primjeru

valja

zapaziti

da

je

regulacijska

staza

opisana

dinamikom

proporcionalnog člana 3. reda (P3) što govori o njezinoj stabilnosti. No, za analizu stabilnosti cijelog kruga potrebno je najprije odrediti prijenosnu funkciju kruga, tj. njegovu karakterističnu jednadžbu. Prijenosna funkcija regulacijskog kruga u ovom je primjeru definirana izrazom G s 

GR GS , 1  GR GS

jer je mjerni član ponovno zanemarive dinamike (GM=1). Kako je stabilnost potrebno ispitati za tri vrste regulatora morati će se odrediti i tri prijenosne funkcije. a) Prijenosna funkcija regulacijskog kruga nakon sređivanja glasi:

G s 

3KP

64s  56s  14s  1  3KP  3

2

.

K.J. 64s3  56s2  14s  1  3KP   0 . Iz nužnog uvjeta stabilnosti slijedi:

1  3KP  0  KP  -

1 . 3

Routhova tablica za određivanje dovoljnih uvjeta stabilnosti: R3 64 14 R2 56 1  3KP . R1 b1 R0 1  3KP Iz dovoljnih uvjeta stabilnosti proizlazi da

b1 

56  14  64 1  3KP  56

0 i

1  3KP  0 , što je uvjet koji je već ispitan kod nužnih uvjeta stabilnosti. 78

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Iz uvjeta postavljenog na element b1 slijedi 56  14  64 1  3KP   0 , tj.

720  192KP  0  KP 

15 . 4

U konačnici možemo zaključiti da će regulacijski krug biti stabilan ukoliko su pojačanja odabranog P regulatora u intervalu -0,33 < KP < 3,75. b) Prijenosna funkcija regulacijskog kruga u ovom slučaju glasi: G s 

3  KPTi s  KP 

64Ti s  56Ti s  14Ti s2  s Ti  3KPTi   3KP 4

3

.

K.J. 64Tis4  56Tis3  14Tis2  s Ti  3KPTi   3KP  0 . Nužni uvjeti stabilnosti:

Ti  0 (ovaj je uvjet zadan i u samom tekstu zadatka), Ti  3KPTi  0  Ti 1  3KP   0  1  3KP  0  KP  0 , 33 ,

3KP  0  KP  0 . Routhova tablica na temelju koje će se odrediti dovoljni uvjet stabilnosti poprima formu: R4 R3 R2 R1 R0

64Ti 14Ti 3KP 56Ti Ti  3KPTi . b1 b2 c1 d1

Dovoljni uvjeti stabilnosti uz Ti > 0, koji predstavlja jedan od nužnih uvjeta stabilnosti, su: b1, c1, d1 > 0.

b1 

56Ti  14Ti  64Ti Ti  3KPTi  56Ti

 0.

Uz uvjet Ti > 0, brojnik i nazivnik prethodnog izraza mogu se pokratiti s Ti, te se nakon sređivanja dobiva izraz

b1 

90 24 T  K T  0. 7 i 7 P i

Kako bi se riješili razlomaka, te uzevši u obzir da se bilo koji redak Routhove tablice može pomnožiti s nekim pozitivnim brojem, a da kriterij i dalje ostane primjenjiv, treći redak tablice se množi sa 7 i modificira u

b1  90Ti  24KPTi  0 , b2  3KP  7  21KP .

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

79

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Kako je Ti > 0, proizlazi da je

b1  90  24KP  0  KP  3, 75 . Parametar četvrtog retka (c1) računa se sada prema izrazu

c1 

b1  Ti  3KPTi   56Ti  b2 b1

 0 , tj.

b1  Ti  3KPTi   56Ti  b2  0 , jer iz prethodnog uvjeta slijedi b1 > 0.

Nakon uvrštavanja i sređivanja dobivamo

90Ti  24KPTi   Ti  3KPTi   1176KPTi

 0,

90Ti2  246KPTi2  72KP2Ti2  1176KPTi  0

: Ti ,

90Ti  246KPTi  72KP2Ti  1176KP  0 , iz čega slijedi

Ti 

1176KP 90  246KP - 72KP2

.

Posljednji dovoljni uvjet stabilnosti nema utjecaja na prethodno određene uvjete stabilnosti

d1  b2  21KP  0  KP  0 . Na temelju svih izračunatih uvjeta stabilnosti proizlazi da se pojačanja regulatora mogu mijenjati u intervalu 0 < KP < 3,75, dok se vremenska konstanta integracije Ti određuje uvrštavanjem odabranog pojačanja u prethodno definirano ograničenje za Ti dobiveno iz uvjeta c1 > 0. c) U slučaju PD regulatora imamo: G s 

3  KP  KPTds 

64s  56s  s 14  3KPTd   1  3KP  3

2

.

K.J. 64s3  56s2  s 14  3KPTd   1  3KP   0 . Nužni uvjeti stabilnosti:

14  3KPTd  0  KPTd   1  3KP  0  KP  -

80

14 14 14  KP   , Td   , 3 3Td 3KP

1 . 3

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Routhova tablica za određivanje dovoljnih uvjeta stabilnosti ima formu: R3 64 14  3KPTd R2 56 1  3KP . R1 b1 R0

c1

Dovoljni uvjeti stabilnosti:

b1  c1 

56  14  3KPTd   64 1  3KP 

 0,

56 b1  1  3KP   56  0 b1

0 

c1  1  3KP   0 .

I u ovom slučaju posljednji dovoljni uvjet stabilnosti nema utjecaja na prethodno određene uvjete stabilnosti, jer je identičan jednom od nužnih uvjeta stabilnosti. Dovoljni uvjet stabilnosti morati će se izraziti iz nejednadžbe s članom b1: 56  14  3KPTd   64 1  3KP   0 ,

784  168KPTd  64  192KP  0 , 720  168KPTd  192KP  0 : 24 , 30  7KPTd  8KP  0 , Td 

-30  8KP , 7KP

KP 

-30 . 7Td  8

Usporedba ograničenja na vremensku konstantu derivacije Td iz nužnog i dovoljnog uvjeta stabilnosti pokazuje da vrijedi: -30  8KP 14  , tj. 7KP 3KP -30  8KP 14  7KP 3KP

21KP

  90  24KP  98  KP  

1 . 3

Drugim riječima, ograničenje na Td dobiveno iz dovoljnog uvjeta stabilnosti uključuje i ono dobiveno iz nužnog uvjeta stabilnosti, pa se stoga iz dovoljnog uvjeta stabilnosti Td 

-30  8KP (pri čemu je Td  0  zadano u tekstu zadatka) određuje vremenska 7KP

konstanta derivacije regulatora koja će stabilizirati krug.

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

81

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Iz preostalih ograničenja na KP ( KP   Td  0 ,14  vrijediti ograničenje KP > -

14 -30 1 , KP   i KP  ) slijedi da će za 3Td 7Td  8 3

-30 1 , dok će za Td  14 ,  vrijediti KP > , jer 7Td - 8 3

ćemo u tom slučaju imati:

30 1    90  7Td  8   98  7Td  Td  14 , odnosno 7Td  8 3 30 14    90Td  98Td  112  8Td  112  Td  14 . 7Td  8 3Td (4)

Zadana regulacijska staza je nestabilna, jer joj od dva pola jedan ima pozitivni realni dio (sp1=0, sp2=1/3). Dodatno, mjerni član nije zanemarive dinamike, već unosi kašnjenje u krug (P1 član). Dakle, prijenosna funkcija regulacijskog kruga se u ovom primjeru određuje iz G s 

GR GS , 1  GR GSGM

I u ovom će se slučaju morati postaviti tri prijenosne funkcije, po jedna za svaki tip regulatora. a) Prijenosna funkcija regulacijskog kruga nakon sređivanja glasi:

G s 

2KP  s  1 3

3s  2s2  s  2KP

.

K.J. 3s3  2s2  s  2KP  0 . Kako su koeficijenti a3=3 i a2=2 pozitivni, a a1=-1 negativan nužni uvjet stabilnosti neće biti zadovoljen ni za jedan KP, pa možemo zaključiti da je ovakav krug s P regulatorom strukturno nestabilan. b) Promjenom dinamike regulatora, tj. uvođenjem PI regulatora, dobivamo prijenosnu funkciju regulacijskog kruga:

G s 

2  KPTis  KP   s  1 4

3Tis  2Tis3  Tis2  2KPTis  2KP

.

K.J. 3Ti s 4  2Ti s3  Ti s2  2KPTi s  2KP  0 , tj. 3s 4  2s3  s2  2K P s  2

KP  0. Ti

Očito da ni ovaj tip regulatora nije u stanju stabilizirati krug, jer koeficijenti koji ne ovise o parametrima regulatora (a2=-1, a3=2 i a4=3) neće biti istog predznaka.

82

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

c) Preostaje još da analiziramo i treći slučaj s PD regulatorom gdje prijenosna funkcija sustava ima formu: G s 

2  KP  KPTd s   s  1

3s  2s2  s 2KPTd  1  2KP 3

.

K.J. 3s3  2s2  s 2KPTd  1  2KP  0 . Nužni uvjeti stabilnosti:

2KPTd  1  0  2KPTd  1  KP 

1 1 , Td  , 2Td 2KP

2KP  0  KP  0 . Routhova tablica za određivanje dovoljnih uvjeta stabilnosti ima formu: R3 R2 R1

3 2KPTd  1 2 2KP . b1

R0

c1

Dovoljni uvjeti stabilnosti:

b1  c1 

2  2KPTd  1  3  2KP 2

 0,

b1  2KP  2  0 0  b1

c1  2KP  0 .

Uvjet za c1 ponovno je identičan jednom od nužnih uvjeta stabilnosti, dok će iz preostalog dovoljnog uvjeta stabilnosti slijediti: 2  2KPTd  1  3  2KP  0 ,

4KPTd  2  6KP  0 ,

KP 

1 1  3KP . , Td  2Td - 3 2KP

Sada je ponovno potrebno usporediti ograničenja na vremensku konstantu derivacije Td iz nužnog i dovoljnog uvjeta stabilnosti iz čega proizlazi da za bilo koji KP iz intervala 0 ,  vrijedi:

1  3KP  1 3 1    . 2KP  2KP 2  2KP Stoga će ograničenje na Td dobiveno iz dovoljnog uvjeta stabilnosti ( Td >

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

1 + 3K P ) biti 2KP

83

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

uzeto u određivanju parametara regulatora koji stabiliziraju krug, jer ono očito uključuje i ograničenje na Td dobiveno iz nužnog uvjeta stabilnosti. Usporedbom ograničenja na vrijednosti pojačanja KP ( KP  proizlazi da će konačno ograničenje na KP biti KP > prethodno definirano ograničenje Td  3 , 2

parametara regulatora Td 

1 1 , KP  0 i KP  ), 2Td 2Td - 3

1 1 1   0 uz , jer je 2Td - 3 2Td - 3 2Td

1  3KP . Time smo dobili intervale vrijednosti 2KP

i KP  0 , 

za koje je krug stabilan. Navedena ćemo

ograničenja sada iskoristiti u grafičkom prikazu parametara regulatora, tj. skicirati ćemo samo dio funkcije KP 

1 3 i to za KP  0 i Td  . 2Td - 3 2

3 2

(5)

Regulacijska staza u ovom primjeru GS  s  

s 5 ima tri pola (0, -2, -1/T), te s  s  2 1  Ts 

uz uvjet da je T>0 ona se očito nalazi na granici stabilnosti. Mjerni član je zanemarive dinamike (GM=1), a regulator je idealni P član pojačanja KP, što znači da nema kašnjenja (spremnika energije), već je opisan samo preko pojačanja KP, tj. GR=KP. Analizirajmo sada mogućnost stabilizacije tog kruga. Prijenosna funkcija regulacijskog kruga definirana je izrazom: G s 

GO  s 

1  GO  s 



KP  s  5 

Ts  s 1  2T   s 2  KP   5KP 3

2

.

K.J. Ts3  s2 1  2T   s 2  KP   5KP  0 .

84

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Nužni uvjeti stabilnosti:

T  0, 1  2T  0

T   0 ,5 ,



2  KP  0  KP  2 , 5KP  0  KP  0 . Dovoljni uvjeti stabilnosti: R3 T R2 1  2T R1 b1 R0 5KP

2  KP 5KP

 T  0 , 1  2T   0 , b1  0 i 5KP  0 .

Tri su uvjeta identična nužnim uvjetima stabilnosti, a iz b1 > 0 proizlazi

b1 

1  2T 2  KP   T  5KP 1  2T

1  2T  2  KP   T  5KP

 0 , tj. uz prethodno definirani uvjet (1+2T) > 0 slijedi

 0 , odnosno

KP 1  3T    4T  2 .

Uzevši u obzir predznak izraza u zagradi s lijeve strane (1-3T), prethodna nejednadžba poprima dvije forme: -

KP 

- 4T - 2 1 ukoliko je 1  3T   0 , tj. za 0  T  , i 1 - 3T 3

-

KP 

4T  2 1 ukoliko je 1  3T   0 , tj. za T  . 3T - 1 3

Da bi se nacrtala krivulja granične stabilnosti zadnji je uvjet stabilnosti potrebno zapisati u formi jednadžbe

KP 

-4T - 2 , 1 - 3T

te izračunati KP za niz odabranih vrijednosti T. Kako za T=0 pojačanje KP ima negativnu vrijednost, za T 

1 1 pozitivnu, a za T  neizmjerno veliku vrijednost, za ispravno 2 3

crtanje krivulje provjeriti će se iznosi pojačanja u okolini T  je T 

1 . Prema tome, za slučaj da 3

1   i uz ε≈0 vrijedi 3

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

85

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

 4T  2 KP  lim  lim   0 1  3T  0



10 4 3  . 3

1 U drugom slučaju, uz T    3 T

0

KP

-2

10 4 4T  2 3   0 , vrijedi K  lim  lim  .   P   0 3T  1  0 3

1   (uz ε≈0) 3 -∞

1   (uz ε≈0) 3 ∞

0,5

1

8

3

5

∞

1,57 1,45 4/3

Dakle, imati ćemo negativne KP-ove za vrijednosti T-ova 0  T 

T 

10

1   , a pozitivne za 3

1   . Uzevši u obzir i ostale uvjete stabilnosti (KP > 0 i T > 0), proizlazi da će se u 3

određivanju područja stabilnosti koristiti i ograničenje KP
0. Na odziv takvog sustava utjecaj ima samo energija u njegovim spremnicima, pa se nakon njihova pražnjenja on očekivano smiruje u nuli. Prijelazna funkcija h(t) predstavlja omjer izlazne i ulazne funkcije sustava, pri čemu je

ulazna funkcija ili pobuda definirana u formi odskočne funkcije amplitude ili pojačanja Au:

h t  

xi  t 

Au  u  t 

.

Iz prethodnog zapisa proizlazi da prijelazna funkcija zapravo predstavlja odziv sustava na jediničnu odskočnu ili Heavisideovu funkciju (xu(t)=u(t), Au=1 - pogledajte zadatak 1.31), ili drugim riječima, odziv sustava sveden na jediničnu odskočnu funkciju (za slučaj xu(t)=Auu(t), Au≠1). Njome je definiran "prijelaz" sustava iz mirovanja na novu vrijednost odziva karakteriziranu jediničnom skokovitom funkcijom pobude. Imajući u vidu činjenicu da u ovom zadatku nije eksplicite definirano pojačanje Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

89

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

(amplituda) odskočne funkcije, prijelazna je funkcija u nastavku definirana za pobudu u obliku jedinične odskočne funkcije:

xu  u  t   1  t  L

Xu  s  



1 . s

Ovdje ćemo sada uvesti pravilo da će se jedinična skokovita pobuda koristiti u izračunu prijelazne funkcije u svim zadacima u nastavku ukoliko u samom tekstu zadatka nije drugačije navedeno. Laplaceova transformacija odziva poprima formu: 1 3 s 2 2 . Xi  s   G  s  Xu  s   s  s  2   s  3 

Izračun si-ova: s  s  2   s  3   0 , s1  0 

jednostruko rješenje (ovisi o pobudi !),

s2  2   s3  3

jednostruka rješenja (korijeni sustava  ovise o sustavu !) .

Zapis Xi(s) u formi sume parcijalni razlomaka glasi: 1 3 1 3 s  s A3 A A2 2 2 . Xi  s   G  s  Xu  s    3 2 2 2  1   s  s  2   s  3  s  5s  6 s s s2 s3 

Izračun koeficijenata A1, A2 , A3:

A1 

A2 

A3 

1 3 s 2 2  3s2  10s  6 

B s

N ' s

s  s1

1 3 s 2 2  2 3s  10s  6 

s  s2



s  s3

5 , 4

s  2

1 3 s 2 2  3s2  10s  6 

B s

N ' s

1 , 4

s 0

B s

N ' s



 1. s  3

Uvrštavanjem vrijednosti koeficijenata i inverznom Laplaceovom transformacijom sume parcijalnih razlomaka dobivamo prijelaznu funkciju: 1 3 1 5 s  2 2 4  1 Xi  s    4  L s  s  2   s  3 s s2 s3 

90

-1

,

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

xi  t   h  t   x

1 5  e2t  e3t .  4 4   x t  i1

t 

x

i2

t 

i3

1 4



5 4

U slučaju odskočne pobudne funkcije, odlika stabilnog sustava je da se po završetku prijelaznih pojava njegov odziv stacionira na nekoj vrijednosti, jer okolina na sustav djeluje nekom konstantnom pobudom. U ovom primjeru, u kojem odziv ujedno predstavlja i prijelaznu funkciju, ta će vrijednost iznositi 1/4, uzevši u obzir da će iznosi preostala dva člana rješenja prijelazne funkcije (xi2, xi3) vremenom aperiodski težiti nuli zbog e-2t (s1=-2) i e-3t (s3=-3). Iz dobivenih rješenja za težinsku i prijelaznu funkciju može se uočiti da su te dvije funkcije povezane na način da je:

g t  

dh  t  dt

,

što vrijedi i u ovom konkretnom slučaju, gdje je

g t  

dh  t  dt



d  1 5 2t 5 5   e  e3t   0   2  e2t   3 e3t  e2t  3e3t .  dt  4 4 4 2 

Dokaz ovdje nećemo izvoditi, ali ćemo napomenuti da se on temelji na činjenici da je derivacija jedinične odskočne funkcije jednaka jediničnoj impulsnoj funkciji

du  t  dt

  t  .

Što se navedene povezanosti tiče, oprez je potreban kod sustava koji imaju derivacijski karakter (m≥n), a što se ogleda u skokovitom porastu prijelazne funkcije u t=0. Upravo je jedan takav tip sustava obrađen u prvom primjeru sljedećeg zadatka.

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

91

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Zadatak 1.15

Za sustave opisane slijedećim izrazima odredite prijelaznu i težinsku funkciju: i  3xi  2x i  3x u  6 xu  4xu , (1) x (2)

G s 

3e2 s



s s2  4

.



Rješenja: (1)

i  3xi  2x i  3x u  6 xu  4xu L , x

s

3







 3s2  2s Xi  s   3s3  6s2  4 Xu  s  ,

G s 

Xi  s 

Xu  s 



3s3  6s2  4 . s3  3s2  2s

Sada ćemo zbog m=n=3 najprije zapisati prijenosnu funkciju u formi sume polinoma nultog reda (m-n) i prave racionalne funkcije

3s

3

 



 6s2  4 : s3  3s2  2s  3 ,

3

2

3s  9s  6s  3s2  6s  4

G s  3 

 ostatak

3s2  6s  4 . s3  3s2  2s

Iako će oba oblika biti podesna za izračun prijelazne funkcije, jer ćemo dobiti Xi(s) u formi prave racionalne funkcije (m=3, n=4), pa će se inverzna Laplaceova transformacija moći ispravno provesti, za težinsku će se funkciju morati koristiti onaj drugi oblik funkcije, jer se do težinske funkcije dolazi inverznom transformacijom prijenosne funkcije kod koje je m=n=3. Promotrimo najprije izračun prijelazne funkcije (uz xu(t)=u(t)).

xu  u  t   1  t  L Xi  s   G  s  Xu  s  



Xu  s  

1 . s

3s3  6s2  4



s s3  3s2  2s



 m  3, n  4 .

Izračun si-ova:

s2  s  1  s  2   0 ,

92

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

s1  0    višestruka rješenja, s2  0 s3  1    jednostruka rješenja. s4  2 Zapis Xi(s) u formi sume parcijalni razlomaka glasi:

Xi  s  

A3 D D A4 3s3  6s2  4 3s3  6s2  4 1   1  22   . 4 3 2 2 2 s s 1 s 2 s  3s  2s s  3s  2 s s

Izračun koeficijenata: D2  R  s 

s 0

3s3  6s2  4  2 , s2  3s  2 s  0



'

 3s3  6s2  4  1 D1  R'  s    2  s 0 1!  s  3s  2  A3 

A4 

B s

N ' s

 s  s3

B s

N ' s

Xi  s  

 s  s4

3s3  6s2  4 4s3  9s2  4s

 s 0



1  1 , 1



4  1. 4

s  1

3s3  6s2  4 4s3  9s2  4s

1 3 2 1  2   L s s s 1 s 2

3s 4  18s3  36s2  32s  12

s  2

-1

s

2

 3s  2





2

12  3, 4

s 0

,

xi  t   h  t   3  2t  et  e2t . Očito da će u ovom slučaju prijelazna funkcija ima skokoviti karakter u t=0, jer iz prethodnog izraza slijedi da je h(0)=3. Ako bismo sada htjeli odrediti g(t) iz relacije g(t)=dh(t)/dt, dobili bi

g t  

d  3  2t  et  e2t   2  et  2e2t . dt 

Kako vrijedi da je G  s   L  g  t   , prijenosna funkcija bi glasila

2 1 2 3s2  6s  4 G  s   L  2  et  2e2t      3 . s s  1 s  2 s  3s2  2s Dobili smo zapravo samo drugi član iz gornjeg zapisa prijenosne funkcije, a izgubili smo konstantu 3. Očito da funkcija dobivena prvom derivacijom prijelazne funkcije u ovom slučaju neće opisivati odziv sustava na jediničnu impulsnu pobudu. Ako uzmemo u obzir i navedenu konstantu, težinska funkcija konačno glasi

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

93

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

g t   L

-1

G  s    L

-1

 3 s 2  6 s  4  3  3 L s  3s2  2s  

-1

2 1 2   3  s  s  1  s  2  ,  

g  t   3   t   2  et  2e2t . Razlika između ova dva izraza za g(t) je samo u prvom članu 3δ(t). On u konačnom odzivu nema značajnijeg učinka osim u t=0, jer je 3δ(t)=0 za t>0, ali nedvojbeno predstavlja dio težinske funkcije i mora ga se uzeti u obzir, jer u ovom slučaju jedino s tim članom vrijedi odnos G  s   L  g  t   i obratno. (2)

Zadana funkcija G s 

3e2 s



s s2  4



,

spada u skupinu tzv. transcedentnih prijenosnih funkcija zbog eksponencijalne funkcije e-2s (član s mrtvim vremenom ili transportno kašnjenje) koja se ne da rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka. Stoga je prije izračuna težinske i prijelazne funkcije potrebno najprije prilagoditi zapis funkcije u formu G  s   e2 s G1  s   e2 s



3 2

s s 4



.

Prijenosnu funkcije G1(s) ćemo sada rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i svakom razlomku dodati funkciju e-2s.





K.J. s s2  4  0 , s1  0

  s2  2j   s3   2j

G1  s  



jednostruka rješenja .

3 2

s s 4





A3 A A2 3  1   . s s  2j s  2j s  4s 3

A1 

B 3 3   , 2 N ' 3s  4 s  0 4

A3 

B 3 3   , 2 N ' 3s  4 s  2j 8

A2 

B 3 3   , 2 N ' 3s  4 s 2j 8

3 3 3 G1  s   4  8  8 . s s  2j s  2j

94

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

G  s   e2 s G1  s  

3 2 s 1 3 2 s 1 3 1 . e  e  e 2 s 4 s 8 s  2j 8 s  2j

Primjenom teorema pomaka (Tablica 1.1) i Eulerove formule (pogledajte zadatak 1.5/4) dobiva se težinska funkcija: g t   L

-1

G  s    L

-1

 3 2 s 1 3 2 s 1 3 1  ,  e  e 2 s 4 e s 8 s  2j 8 s  2j  

3  j2 t 2   3 3 j2 t 2 g t     e    e    u t  2 , 8 4 8 





 3 3 j2 t  2 3 3   j2 t  2  g t     e  e    u  t  2     cos 2t  4   u  t  2  . 4 8  4 4  Rješenje se još može zapisati i u formi 3 3   cos 2t  4  , t  2 g t    4 4 .  0, t 2  Izračun prijelazne funkcije: X i  s   G  s  Xu  s  



3e2 s

A3 D A4  D 1 1  3e2 s  3e2 s  1  22   . 2 2 s  2j s  2j  s s s 4 s s s 4  s



2









s2 s2  4  s 4  4s2  0 , s1  0    višestruka rješenja, s2  0 s3  2j    s4   2j

jednostruka rješenja .

D2  R  s 

1 1  , s  4 s 0 4

s 0



2

'

D1 

A3 

A4 

1  1  R'  s   2  s 0 1!  s  4 B 1  3 N ' 4s  8s

 s  2j

 s 0

2s

s

2

4



 0,

2

s 0

1 j 1  j, 16j j 16

B 1 1 j 1    j, 3 N ' 4s  8s s  2j 16j j 16

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

95

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

1 1   1  j j  Xi  s   3e2 s  42  16  16  s  2j s  2j   s   

L

1

,





3 3 j2 t  2  j2 t  2  xi  t     t  2   j e    e    u t  2 , 16 4  3 3 3  h  t    t   sin 2t  4   u  t  2  , odnosno 2 8 4  3 3 3  t   sin 2t  4  , t  2 h t    4 . 2 8  0 , t 2  

Zadatak 1.16

Odredite

težinsku

funkciju

regulacijskog

kruga

sastavljenog

od

regulatora opisanog PD članom nultog reda (pojačanja 1 i derivacijske vremenske konstante 2), regulacijske staze opisane jednadžbom i  5x i  3xi  xu i mjernim članom zanemarive dinamike. Komentirajte x stabilnost i na temelju tih zaključaka skicirajte prijelaznu funkciju kruga.

Rješenje:

Iz zadanih opisa dinamika pojedinih elemenata kruga slijedi: GR  s   KP TD s  1  2s  1 ,

i  5x i  3xi  xu L x

 GS  s  

1 , s  5s  3 3

GM  s   1 .

Prijenosna funkcija regulacijskog kruga (sustava): G s 

GR GS 1  2s  3  Xi  s  , jer je zadano xu (t )   (t )  Xu (s)  1 . 1  GR GSGM s  3s  2

Do težinske funkcije se dolazi inverznom Laplaceovom transformacijom prijenosne funkcije: K.J. s3  3s  2  0 , s1  2 

jednostruko rješenje,

s2  1   višestruka rješenja . s3  1

96

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Xi  s   G  s  

A1 D1 D2 1  2s 1  2s 1 .     2 s  2  s  1 s  2 s  1  s  12 s  3s  2  3

Rs

A1 

B 1  2s 5   , 2 N ' 3s  3 s  2 9

D2  R  s 

s  1



1  2s s 2

 s  1

1 , 3

'

D1 

1  1  2s   R'  s   s  1 1!  s 2 

 s  1

5 5 1  9 9 3 Xi  s     s  2 s  1  s  12

xi  t   g  t  

5

 s  2



2

1

L

s  1

5 , 9

,

5 2t 5  t 1  t e  e  te . 9 9 3

Iz rješenja karakteristične jednadžbe proizlazi da dva korijena imaju negativan realni dio (što upućuje na stabilnost sustava), ali preostali korijen ima pozitivan realni dio zbog čega je u konačnici sustav nestabilan. Imaginarni dio svih korijena jednak je nuli, pa u odzivu neće biti oscilacija. Iz dobivene težinske funkcije vidi se da je korijen s pozitivnim realnim dijelom (s1=2) "ugrađen" u ukupno rješenje preko potencije prvog člana

5 2t e , 9

zbog kojeg težinska funkcije s vremenom poprima sve veće vrijednosti (eksponencijalni rast). Što se tiče preostala dva člana u rješenju, koji su vezani uz ponavljajući korijen (s2=s3=-1), oni asimptotski teže u nulu. U ovom se primjeru dade jasno uočiti kako je za stabilnost sustava potrebno da svi korijeni imaju negativan realni dio, tj. da je dovoljan barem jedan korijen s pozitivnim realni dijelom, pa da sustav bude nestabilan. Prijelaznu funkciju je bez dodatnih izračuna moguće skicirati samo na temelju informacije o aperiodski nestabilnom odzivu koji također upućuje na eksponencijalni porast vrijednosti funkcije u vremenu.

 

Skicirana je jedna od njenih mogućih formi, a stvarni je izgled, dobiven također uz uvjet jedinične odskočne pobudne funkcije, prikazan na donjoj slici.

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

97

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Prijelazna funkcija, h(t)

15

Zadatak 1.17

10

5

0 0

0,5

Odredite

prijelaznu

1 Vrijeme (s)

funkciju

1,5

regulacijskog

2

kruga

sastavljenog

od

regulatora čija prijelazna funkcija glasi h  t   1    t  , regulacijske staze opisane dinamikom P2 člana i mjernim članom opisanim P1 članom. Pojačanja i vremenske konstante regulacijske staze i mjernog člana iznose 1. Komentirajte stabilnost i na temelju tih zaključaka skicirajte težinsku funkciju kruga.

Rješenje:

Slično kao i u prethodnom zadatku, potrebno je najprije postaviti prijenosnu funkciju kruga. Za početak će se odrediti prijenosna funkcija regulatora čija je dinamika opisana zadanom prijelaznom funkcijom. Kako u zadatku nije eksplicite definirana amplituda odskočne funkcije, uzimamo da je ona jedinična, tj. xu(t) = u(t). Tada slijedi:

h  t   xi  t   1    t  L  Xi  s  

1 1 s 1  , s s

1 s GR  s    s  1  s (PD regulator pojačanja i vremenske konstante 1). 1 Xu  s  s Xi  s 

Prijenosne funkcije preostalih članova glase (Tablica 1.5): GS  s  

GM  s  

98

KP T22 s2

 T1s  1



1 , s  s 1 2

KP 1  , Ts  1 s  1 Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

pa je ukupna prijenosna funkcija kruga

GR GS  s  1 G s   3 . 1  GR GSGM s  2s2  3s  2 2

Jedno rješenje karakteristične jednadžbe s3  2s2  3s  2  0 je s1  1 , tj. prijenosnu funkciju možemo zapisati u formi

 s  1 . G s   s  1  s 2  s  2  2

Sada je nužno pokratiti zajednički pol i nulu u cilju dobivanja konačnog oblika prijenosne funkcije

G s 

 s  1  s  1  s2  s  2 2



s 1 . s s2 2

Uvrštavanjem jedinične odskočne funkcije u gornji izraz dobivamo Xi  s   G  s  Xu  s  





s 1 2

s s s2



.



s s2  s  2  0 ,

s1  0 s2   0 , 5 

7 2

s3   0 , 5 

7 2

    j    j 

jednostruka rješenja .

Da zajednički pol i nula nisu pokraćeni u prijenosnoj funkciji, do njihova bi kraćenja došlo u izrazu za Xi(s). Ovako, izraz za Xi(s) u formi parcijalnih razlomaka glasi

Xi  s  

A s 1  1  2 s s  s  2s 3

A2  7 s    0 ,5   2 

A1 

B s 1   0 ,5 , 2 N ' 3s  2s  2 s  0

A2 

B s 1  2 N ' 3s  2s  2 s  0 ,5 

A3 

B s 1  2 N ' 3s  2s  2 s  0 ,5 

7 j 2

7 j 2





 j  



A3  7  s    0 ,5  j  2  

0 ,5  j0 ,5 7 3,5  j0 ,5 7 0 ,5  j0 , 5 7 3,5  j0 ,5 7





1 j 7



.

7  j 7

7  j 7 7  j 7 1 j 7



7  j 7

7  j 7 7  j 7

 0 , 25  0 , 284j ,

 0 , 25  0 , 284j .

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

99

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Xi  s  

0 ,5 0 , 25  0 , 284j 0 , 25  0 , 284j   s   7  7  s   0 , 5  j  s   0 , 5  j   2  2     7  jt  0 ,5   2  

xi  t   h  t   0 ,5   0 , 25  0 , 284j e  0 ,5  0 , 25e0 ,5t  e h  t   0 ,5  0 , 25e

j

7 t 2

0 ,5t

 j0 , 284e0 ,5t  e

(e

j

7 t 2

e

j

7 t 2

j

7 t 2

1

L

,

 7  jt  0 ,5   2  

  0 , 25  0 , 284j e

 0 , 25e0 ,5t  e

)  j0 , 284 e

0 ,5t

(e

j

7 t 2

j

e

7 t 2

j



 j0 , 284 e0 ,5t  e 7 t 2

j

7 t 2

,

).

Primjenom Eulerove formule gornji se izraz konačno zapisuje u formi:

 7   7  h  t   0 , 5  0 ,5e0 ,5t cos  t   0 ,567e0 ,5t sin  t .  2   2      Iz prijelazne se funkcije može zaključiti da je sustav stabilan, tj. da će se odziv ustaliti na vrijednosti 1/2, jer se iznosi preostala dva člana rješenja zbog e-0,5t vremenom smiruju u nuli. Kao i u prethodnom zadatku, i ovdje smo u mogućnosti preko korijena sustava, koji se nalaze u konačnom rješenju prijelazne funkcije, odrediti stabilnost kruga. Pritom treba pripaziti da se u zadatku oni adekvatno definiraju i izdvoje od ostalih rješenja koji njima ne pripadaju. Naime, kako bi raspisali funkciju Xi(s) na sumu parcijalnih razlomaka,





pronašli smo tri rješenja (s1, …, s3) jednadžbe s s2  3s  2  0 . Sva ta tri rješenja ne predstavljaju ujedno i korijene sustava, jer ta jednadžba nije i karakteristična jednadžba sustava. Karakteristična jednadžba sustava proizlazi iz nazivnika prijenosne funkcije sustava, tj. ona u ovom slučaju glasi s2  3s  2  0 . Stoga su od tri rješenja samo s2 i s3 ujedno i korijeni sustava, a s1 nije, jer se odnosi na nazivnik funkcije pobude Xu(s)=1/s. Uzevši u obzir da oba korijena imaju negativan realni dio (-0,5; -0,5) sustav će imati stabilan odziv. Dodatno, kako korijeni imaju i imaginarni dio (  j

7 ), odziv će imati 2

oscilatorni karakter (prigušene oscilacije). Navedeno ponašanje sustava ovisi samo o sustavu, pa je logično da će manifestirati i u slučaju težinske funkcije (mijenja se samo pobuda, ne i sustav). Na temelju iznesenih spoznaja o sustavu skicirana je jedna od mogućih formi težinske funkcije (prigušene oscilacije oko nule),

100

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

dok u stvarnosti, za konkretan slučaj, ona izgleda vrlo slično.

1

Težinska funkcija, g(t)

0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4 0

10

20 Vrijeme (s)

30

40

U ovome zadatku valja primijetiti da je razmatrani sustav zapravo imao tri prirodna moda ili spremnika energije, jer je karakteristična jednadžba prije kraćenja nule s polom bila trećeg

reda.

Međutim

dobivena

prijelazna

funkcija

obuhvaća

samo

dva

moda

 7   7  t  i 0 ,567e0 ,5t sin  t ), jer smo do nje došli preko prijenosne ( 0 ,5e0 ,5t cos   2   2      funkcije sustava koja je obuhvatila samo dva korijena sustava, ali ne i treći, tzv. „nedostajući“ pol (s=-1). Time je prijenosna funkcija u ovom slučaju samo djelomično opisala dinamiku našeg regulacijskog kruga. Kako izostavljeni pol ima negativan realni dio, zaključak o stabilnosti dobiven na temelju izračunate prijelazne funkcije ostaje nepromijenjen. Problem bi se, međutim, javio da je pokraćeni pol ili korijen sustava imao pozitivan realni dio. Promotrimo još i tu situaciju kao dodatak ovom zadatku. Dodatak

Uzmimo da je prijenosna funkcija regulacijskog kruga glasila G s 

GR GS s2  1 .  3 1  GR GSGM s  s 2

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

101

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Konačna forma prijenosne funkcije onda glasi

G s 

 s  1  s  1  s  1  s2  s  2



s 1 . s s2 2

Dobivena prijenosna funkcija jednaka je onoj iz prvog dijela ovog zadatka, pa će uz korištenu

odskočnu

funkciju

jediničnog

pojačanja

i

prijelazna

funkcija

ostati

nepromijenjena:

 7   7  h  t   0 , 5  0 ,5e0 ,5t cos  t  0 ,567e0 ,5t sin  t .  2   2      Iz prikazane prijelazne funkcije slijedi i isti zaključak o stabilnosti sustava. Međutim, kako je u ovom slučaju nedostajući pozitivni pol (s=1) vezan uz nestabilni prirodni mod sustava izostao iz postavljene prijenosne funkcije sustava, a time i iz funkcije odziva, zaključak o stabilnom odzivu regulacijskog kruga biti će pogrešan. Iz grafičkog je prikaza prijelazne i težinske funkcije vidljivo da će se odziv stabilizirati nakon završetka prijelaznih pojava (prva slika), ali će nakon otprilike 35s ipak doći do njegova raspirivanja (druga slika). U ovom je slučaju raspireni odziv posljedica numeričke pogreške nastale u simulaciji odziva sustava opisanog prijenosnom funkcijom kojoj prethodno nije pokraćena zajednička nula i pol. Međutim, i u praksi bi se također manifestirao nestabilan odziv sustava uslijed nestabilnog moda sustava opisanog pozitivnim polom čiji utjecaj neće biti u potpunosti prigušen kraćenjem s identičnom nulom iz brojnika. Stoga se u cilju postavljanja ispravnog zaključka o stabilnosti sustava na temelju njegova odziva, u obzir moraju uzeti i iznosi eventualno pokraćenih polova prijenosne funkcije sustava. 1

Težinska funkcija, g(t) Prijelazna funkcija, h(t)

0,8

g(t), h(t)

0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4 0

102

5

10 Vrijeme (s)

15

20

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

20

Težinska funkcija, g(t) Prijelazna funkcija, h(t)

15

g(t), h(t)

10 5 0 -5 -10 -15 -20 0

Zadatak 1.18

10

20 Vrijeme (s)

30

40

Regulacijski krug je sastavljen od regulatora opisanog P članom nultog reda pojačanja 1/2, a mjerni član ima zanemarivu dinamiku. Prijenosna funkcija regulacijske staze glasi: (1)

GS  s  

2s  2 , s  7 s2  1

(2)

GS  s  

6s  4 , s  2s 2  2

(3)

GS  s  

2s2  10s  20 , s 4  s3  4s2  10

(4)

GS  s  

6 . s  8s2  13

3

3

4

Izračunajte prijelaznu i težinsku funkciju zadanih regulacijskih krugova, te na temelju dobivenih funkcija komentirajte stabilnost sustava.

Rješenja:

I u ovom je zadatku potrebno najprije postaviti prijenosnu funkciju kruga. Prijenosne funkcija regulatora i mjernog člana glase:

GR  s   KP 

1 , GM  s   1 . 2

(1)

Prijenosna funkcija kruga je: G

GR GS s 1  3 . 1  GR GSGM s  7s 2  s Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

103

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi





K.J. s3  7s2  s  s s2  7s  1  0 ,

s1  0

  s2  3 ,5  1,5 5   0 ,146    s3  3 , 5  1,5 5   6 , 854

jednostruka rješenja.

Do težinske funkcije se dolazi inverznom Laplaceovom transformacijom prijenosne funkcije: Xi  s   G  s  

A3 A A2 s 1 ,  1   2 s s  0 ,146 s  6 , 854 s  7s  s 3

A1 

B s 1   1, 2 N' 3s  14s  1 s 0 1

A2 

B s 1    0 , 873 , 2 N' 3s  14s  1 s   0 ,146 2

A3 

B s 1    0 ,127 , 2 N ' 3s  14s  1 s   6 ,854 3

Xi  s  

1  0 , 873  0 ,127   s s  0 ,146 s  6 , 854

L

1

,

xi  t   g  t   1  0 , 873e 0 ,146t  0 ,127e 6 ,854t .

1

xi(t) = g(t)

0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

20

40 Vrijeme (s)

60

80

Iz dobivenog izraza i njegovog grafičkog prikaza vidljivo je da će se odziv zbog prvog člana izraza stacionirati na vrijednosti 1. Utjecaj preostala dva člana na ukupno rješenje je s protekom vremena sve manji i teži u nulu. Očito da u ovom primjeru imamo slučaj

104

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

granično stabilnog sustava, jer se težinska funkcija ne smiruje u nuli (stabilan sustav), ali i vremenom ne divergira (nestabilan sustav), već se stacionirala na nekoj vrijednosti. Ovakav smo odziv mogli i pretpostaviti na temelju izračunatih korijena sustava od kojih su dva imala negativan realni dio, ali je realni dio trećeg korijena bio jednak nuli što je karakteristika granično stabilnog sustava. Dodatno, niti jedan korijen nije imao imaginarne dijelove, pa je odziv aperiodski. Pogledajmo sada kako u slučaju granično stabilnog sustava izgleda prijelazna funkcija.

Xi  s   G  s   Xu  s  , Xu  s  

1 (amplituda odskočne funkcije u ovom zadatku nije s

definirana, pa je ponovno uzeto xu(t) = u(t)).

Xi  s  

s 1



3

2

s s  7s  s





s

2

s

s 1 2



 7s  1

.

U cilju zapisa prethodne funkcije u formi parcijalnih razlomaka moramo pronaći rješenja jednadžbe





s2 s2  7s  1  0 , pri čemu dobivamo dva poznata jednostruka rješenja i jedan par višestrukih:

s1  0    višestruka rješenja , s2  0 s3  3 ,5  1, 5 5   0 ,146    jednostruka rješenja . s4  3 ,5  1, 5 5   6 , 854 Xi  s  

s

2

s

s 1 2



 7s  1



A3 D D A4 1 s 1 .  1  22   2  0 146  6 854 s s , s ,  7  1 s s s s  2

Rs

Određivanje koeficijenata za jednostruka rješenja:

A3 

B s 1   5, 981 , 3 N ' 4s  21s2  2s s   0 ,146 3

A4 

B s 1   0 , 019 . 3 N' 4s  21s2  2s s  6 ,854 4

Određivanje koeficijenata za ponavljajuća rješenja:

D2  R  s 

s2



s 1  1, s  7s  1 s2  0 2

'

1 s 1   D1  R'  s    2  s 1 1!  s  7s  1 

 s1  0

s2  2s  6





s2  7s  1

 6.

2 s1  0

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

105

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Prijelazna funkcija glasi:

Xi  s  

s

2



s 1



2

s  7s  1



6 1 5, 981 0 , 019  2   s s  0 ,146 s  6 , 854 s

L -1 ,

xi  t   h  t   6  t  5 , 981e 0 ,146t  0 , 019e 6 ,854t .

3000

xi(t) = h(t)

2500 2000 1500 1000 500 0 0

20

40 Vrijeme (s)

60

80

Odziv granično stabilnog sustava na jediničnu odskočnu funkciju (prijelazna funkcija) nakon nekog vremena postaje praktički linearan zbog prevladavajućeg utjecaja drugog člana u rješenju (t), te slabljenja utjecaja trećeg i četvrtog člana s eksponencijalnim funkcijama ( 5 , 981e 0 ,146t i 0 , 019e 6 ,854t ). (2)

U ovom slučaju prijenosna funkcija kruga glasi: G

GR GS 3s  2  3 . 1  GR GSGM s  2s2  3s





K.J. s3  2s2  3s  s s2  2s  3  0

s1  0

  s2   1  j 2    s3   1  j 2 

jednostruka rješenja .

Inverzna Laplaceova transformacija prijenosne funkcije dati će težinsku funkciju: Xi  s   G  s  

106

A3 A A2 3s  2 ,  1   2 s s  2s  3s s  1  j 2 s  1  j 2 3









Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

A1 

B 3s  2 2  2  , N' 3s  4s  3 s 0 3 1

A2 

B 3s  2  2 N' 3s  4s  3 s   1 j 2

2

B 3s  2  2 N ' 3s  4s  3 s   1 j 3

2

A3 

  0 , 333  0 , 825j ,

  0 , 333  0 , 825j ,

2  0 , 333  0 , 825j  0 , 333  0 , 825j Xi  s   3   s s  1  j 2 s  1  j 2







xi  t  

2  1 j    0 , 333  0 , 825j e 3

xi  t  

2  0 , 333et e j 3



2t

 e j

2t

L



1

,

   0 , 333  0 , 825j e 1 j 2 t ,  

2 t

  0,825je e t

j 2t

 e j

2t

,

odnosno uz primjenu Eulerove formule:

xi  t   g  t  

2  0 , 666 et cos 3

 2t   1, 65 e

t

sin

 2t  .

1,4 1,2

xi(t) = g(t)

1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

1

2

3

4 5 6 Vrijeme (s)

7

8

9

10

Kao što je to bio slučaj u prethodnom primjeru ovog zadatka, odziv regulacijskog kruga na jediničnu impulsnu funkciju pobude se umjesto u nulu (stabilan sustav) stacionirao na nekoj vrijednosti (2/3), što je indikator granične stabilnosti sustava. U prilog tome govore i korijeni sustava od kojih je ponovno jedan s nultim realnim dijelom, a preostala dva čine konjugirano-kompleksni par s negativnim realnim dijelom. Uslijed postojanja korijena s imaginarnim dijelom odziv će biti oscilatoran. Zanimljivo da on nije značajnije

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

107

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

oscilirao (neprigušene oscilacije), jer su imaginarni dijelovi korijena vezani uz korijene s negativnim realnim dijelom, a preostali korijen s nultim realnim dijelom nema imaginarnog dijela. U konačnom se rješenju vidi da će se utjecaj korijena s imaginarnim dijelom na ponašanje sustava vremenom slabiti zbog funkcije e-t, tj. zbog njihova negativnog realnog dijela (efekt prigušenja – prigušene oscilacije). Da je kojim slučajem grafički prikaz odziva s prethodne slike opisivao ponašanje sustava na odskočnu funkciju, tada bi on jasno ukazivao na stabilnost sustava (odlika stabilnog sustava kod takve pobude je njegovo smirivanje na nekoj vrijednosti). Naravno, dinamika sustava zadana u ovom primjeru rezultirati će sasvim drugačijim odzivom. Slijedi izračun prijelazne funkcije sustava.

Xi  s   G  s   Xu  s  

3s  2 1 3s  2   . 2 s  2s  3s s s2 s2  2s  3



3



Izračun koeficijenata parcijalnih razlomaka:





s2 s2  2s  3  0 , s1  0    višestruka rješenja , s2  0 s3  1  j 2    s4  1  j 2  Xi  s  

jednostruka rješenja .

3s  2

s

2

s

2

 2s  3





A3 D D A4 3s  2 1  1  22   2 s 2s  3 s s  s s  1  j 2 s  1  j 2 



2

Rs





Koeficijenti za jednostruka rješenja:

A3 

A4 

B 3s  2  3 N' 4s  6s2  6s s  1 j 3

2

B 3s  2  3 N' 4s  6s2  6s s  1 j 4

2

 0 , 278  0 , 432 j ,

 0 , 278  0 , 432 j .

Koeficijenti za ponavljajuća rješenja:

D2  R  s 

s2



3s  2 2  , s  2s  3 s2 0 3 2

'

D1 

1  3s  2  R'  s    2  s 1 1!  s  2s  3 

108

 s1  0

3s2  4s  5

s

2

 2s  3





2

5 . 9

s1  0

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi



Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Prijelazna funkcija: Xi  s  

s

2



5 2 0 , 278  0 , 432j 0 , 278  0 , 432j  9  32   2 s s s  7s  1 s  1  j 2 s  1  j 2 s 1





xi  t  

5 2  1 j  t    0 , 278  0 , 432j e 9 3

xi  t  

5 2  t  0 , 278et e j 9 3

xi  t   h  t  



2t

 e j

5 2  t  0 ,556 et cos 9 3

2t







L -1 ,

   0 , 278  0 , 432j e 1 j 2 t ,  

2 t

  j0, 432 e e t

 2t   0, 864 e

t

j 2t

sin

 e j

2t

,

 2t  .

Prijelazna funkcija također pokazuje početno blago oscilatorno ponašanje da bi zatim njezin trend postao linearno rastući - treći i četvrti član se relativno brzo prigušuju u nulu, a dominantni utjecaj preuzima drugi (linearni) član (2t/3).

8 7

xi(t) = h(t)

6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4 5 6 Vrijeme (s)

7

8

9

10

(3)

Treći slučaj vrlo je sličan prethodnom, ali s jednom manjom razlikom u odzivu. Prijenosna funkcija kruga glasi: G 

GR GS s2  5s  10 .  4 1  GR GSGM s  s3  5s2  5s





K.J. s 4  s3  5s2  5s  s s3  s2  5s  5  0

s1  0

  s2  0  j 5    s3  0  j 5   s4   1 

jednostruka rješenja .

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

109

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Težinsku funkciju ponovno dobivamo iz inverzne Laplaceove transformacije prijenosne funkcije:

Xi  s   G  s  

A3 A A2 A4 s2  5s  10  1    , 4 3 2 s s 1 s  s  5s  5s s 0 j 5 s 0j 5



B s2  5s  10 A1   N ' 4s3  3s2  10s  5 s







 2,

1 0

A2 

B s2  5s  10  N ' 4s3  3s2  10s  5 s



1 , 2

B s2  5s  10  N ' 4s3  3s2  10s  5 s



1 , 2

B s2  5s  10  N ' 4s3  3s2  10s  5 s

 1 ,

2  0 j 5

A3 

3  0 j 5

A4 

4 1

Xi  s  

2 0 ,5 0 , 5 1    s s 0 j 5 s 1 s 0j 5



xi  t   2  0 , 5e







L



1

0  j 5 t  0 ,5e0  j 5 t  et  2  0 ,5 e j

xi  t   g  t   2  cos

 5t   e

t

,

5t

 e j

5t

e

t

, tj.

.

3

xi(t) = g(t)

2,5 2 1,5 1 0,5 0 0

2

4

6

8 10 12 Vrijeme (s)

14 16 18

20

Analizom korijena sustava očito je da je i ovo slučaj granične stabilnosti (imamo tri korijena s nultim realnim dijelom koji se ne ponavljaju i jedan s negativnim realnim

110

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

dijelom). No, za razliku od prethodnog slučaja, ovdje smo dobili značajnije, tzv. neprigušene oscilacije. Dakle, umjesto da se odziv nakon početnih oscilacija smiri na nekoj vrijednosti (u ovom slučaju 2), on će neprigušeno oscilirati oko te vrijednosti (pogledajte dobiveni izraz za težinsku funkciju). Razlika u odzivu između ovog i prethodnog primjera je u tome što je konjugirano-kompleksni par „odgovoran“ za oscilatorni odziv u ovom slučaju imao realni dio jednak nuli. Time su oscilacije ostale vremenom neprigušene - trigonometrijska funkcija u izrazu za g(t) sada nema uz sebe eksponencijalnu funkciju s negativnim predznakom potencije koja bi s vremenom prigušila njen oscilatorni utjecaj. Slična će se situacija manifestirati i u slučaju prijelazne funkcije sustava. Xi  s   G  s   Xu  s  

s2  5s  10 1 s2  5s  10 .   s 4  s3  5s2  5s s s2 s3  s2  5s  5





Izračun koeficijenata parcijalnih razlomaka:





s2 s3  s2  5s  5  0 , s1  0    višestruka rješenja , s2  0 s3  0  j 5   s4  0  j 5   jednostruka rješenja .  s5  1  Xi  s  



s2  5s  10

s2 s3  s2  5s  5





A3 A5 D D A4 s2  5s  10 1 .  1  22    3 2 2 s s  s  5s  5 s s s  j 5 s  j 5 s 1  Rs

Koeficijenti za jednostruka rješenja:

A3 

A4 

A5 

B s2  5s  10  N ' 5s 4  4s3  15s2  10s B s2  5s  10  N ' 5s 4  4s3  15s2  10s

 s3  j 5

5 j, 10

 s4   j 5

B s2  5s  10  N ' 5s 4  4s3  15s2  10s s

5 j, 10

 1.

5  1

Koeficijenti za ponavljajuća rješenja:

D2  R  s 

s2



s2  5s  10 s3  s2  5s  5 s

 2,

2 0

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

111

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

'

 s2  5s  10  1 D1  R'  s    3  2 s1 1!  s  s  5s  5 



s 4  10s3  30s2  10s  25



s1  0

s3  s2  5s  5



 1 .

2

s1  0

Prijelazna funkcija glasi: Xi  s  

s2  5s  10

s

2

s

3

2

 s  5s  5

xi  t   1  2t  j0 , 224e j





5t



xi  t   1  2t  0 , 224j e j

1 2 0 , 224j 0 , 224j 1  2    s s 1 s sj 5 sj 5

 j0 , 224e j

5t

 e j

xi  t   h  t   1  2t  0 , 448 sin

5t

5t

e

t

 5t   e

L -1 ,

 e t , ,

t

.

40 35

xi(t) = h(t)

30 25 20 15 10 5 0 0

2

4

6

8 10 12 14 Vrijeme (s)

16 18

20

Prema očekivanju, i prijelazna funkcija pokazuje rastući trend kao i u prethodnom primjeru, i to zbog drugog člana u prethodnom izrazu (2t), ali sada s blagim neprigušenim oscilacijama do kojih je došlo zbog utjecaja trećeg člana koji sadrži sinusnu funkciju. (4)

U posljednjem, četvrtom primjeru ovog zadatka prijenosna funkcija kruga glasi: G 

GR GS 3 .  4 1  GR GSGM s  8s2  16



K.J. s4  8s2  16  s2  4

112



2

 0,

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

s1  0  2j   s2  0  2j    višestruka rješenja  s1 , s3 i s2 , s4  . s3  0  2j  s4  0  2j 

Xi  s   G  s  

D1 D2 E1 E2 3     . 2 2 s  2j  s  2j2 s  8s  16 s  2j  s  2j 4

Budući da se u ovom slučaju dva različita rješenja ponavljaju jednom, vrijednosti brojnika parcijalnih razlomaka vezanih uz rješenja s = 2j odrediti ćemo pomoću funkcije R1(s), a za slučaj rješenja s = -2j pomoću R2(s). Xi  s  

B s

N s



B s

1



N1  s   s  2j

2

3

1

 s  2j  s  2j  2

2

,

R1  s 

D2  s   R1  s 

D1  s  

Xi  s  

s  s3



3

 s  2j



2 s  2j

1 ' 6  R1  s  3 1! s  s1  s  2j

B s

N s



B s

1

N2  s   s  j

2

3 3 ,  2 16 16j

 s 2 j



6 3 j 3   j. 3 32j j 32 64j

3

1

 s  2j  s  2j  2

2

,

R2  s 

E2  s   R2  s 

E1  s  

s  s4



3

 s  2j



2 s  2j

1 ' 6  R2  s  3 1! s  s2  s  2j

3 3 ,  2 16 16j

 s   2j

6 3 j 3   j. 3 32j j 32 64j

Inverzna Laplaceova transformacija prijenosne funkcije daje nam težinsku funkciju: 3 3 3 3 j j    3 32 16 32 16 Xi  s   4     s  8s2  16 s  2j  s  2j2 s  2j  s  2j2

xi  t    j

L

1

.

3 j2t 3 3  j2t 3  j2t 3 3 e  e e j2t  e j2t  te j2t  j  te  j t e j2t  e j2t , 32 16 32 16 32 16

xi  t   g  t  









3 3 sin 2t   t cos 2t  . 16 8

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

113

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

30

xi(t) = g(t)

20 10 0 -10 -20 -30 0

10

20

30 40 50 Vrijeme (s)

60

70

80

Očito da je u ovom slučaju riječ o nestabilnom sustavu s jasno izraženim oscilacijama, tzv. raspirenim oscilacijama. To je situacija kada među korijenima sustava imamo one s nultim realnim dijelom, ali koji se ponavljaju! Tada sustav više nije granično stabilan, već nestabilan. Kako su korijeni s nultim realnim dijelom ujedno imali i konjugiranokompleksni imaginarni dio, dobiven je izrazito oscilatorni odziv. Vrlo sličan odziv dobit ćemo i u slučaju prijelazne funkcije.

Xi  s   G  s   Xu  s  

3 1 3   2 s  8s  16 s s2  4



4



2

s

.

Izračun koeficijenata parcijalnih razlomaka:

s

2





 4 s2  4 s  0 ,

s1  0  2j  s2  0  2j   s3  0  2j  s4  0  2j s5  0

 višestruka rješenja  s1 , s3 i s2 , s4  ,



Xi  s   G  s   Xi  s  

B s

N s



jednostruko rješenje.

A5 D1 D2 E1 E2 3      . s s5  8s3  16s s  2j  s  2j2 s  2j  s  2j2 B s

1

N1  s   s  2j

2



3

1

s  s  2j  s  2j  2

2

.

R1  s 

114

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

D2  s   R1  s 

D1  s  

Xi  s  

s  s3



3 s  s  2j

3 j 3  j, 32 32j j



2 s  2j

1 ' 9s2  j24s  12 R1  s   2 1! s  s1 s3  j4s2  4s



B s

N s



B s



1



N2  s   s  2j

2



96 3  . 32  1024

s  2j

3

1

s  s  2j  s  2j  2

2

,

R2  s 

E2  s   R2  s 

E1  s  

A5 

s  s4



3 s  s  2j



2 s   2j

3 j 3  j, 32j j 32

1 ' 9s2  j24s  12 R2  s   2 1! s  s2 s3  j4s2  4s







96 3  . 32 1024

s  2 j

B 3 3   . 4 2 N' 5s  24s  16 s  0 16 5

Funkcija odziva raspisana u formi sume parcijalnih razlomaka glasi: 3 3 3 3 3    j j 3 32  32  32  32   16 Xi  s   G  s   5 s s  8s3  16s s  2j  s  2j2 s  2j  s  2j2

L

1

,

a prijelazna funkcija ima oblik 3 j2t 3 3  j2t 3 3 e j e te j2t  j te j2t   32 32 32 32 16 3 3 3 e j2t  e j2t  j  t e j2t  e j2t  , 32 32 16

xi  t   









odnosno

xi  t   h  t  

3 3 3 cos 2t    t sin 2t  . 16 16 16

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

115

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

15

xi(t) = h(t)

10 5 0 -5 -10 -15 0

10

20

30 40 50 Vrijeme (s)

60

70

80

I u slučaju prijelazne funkcije dolazi do pojave raspirenih oscilacija koje jasno ukazuju na nestabilnost razmatranog regulacijskog kruga.

Zadatak 1.19

Dinamika sustava određena je prijelaznom funkcijom

1 1 t  e cos  t  uz početne uvjete jednake nuli. Odredite odziv 2 2 sustava na Diracovu pobudnu funkciju uz uvjet x i  0   1 (ostali su uvjeti h t  

jednaki nuli). Komentirajte stabilnost na temelju dobivene funkcije odziva. Koji dio rješenja predstavlja slobodni, a koji prinudni odziv?

Rješenje:

U ovom je zadatku najprije potrebno odrediti diferencijalnu jednadžbu sustava opisanog zadanom prijelaznom funkcijom, a zatim ju ponovno transformirati u s-područje, ali sada s uvrštenim početnim uvjetima. Radi jednostavnijeg transformiranja prijelazne funkcije u s-područje, tj. transformiranja umnoška eksponencijalne (e-t) i trigonometrijske funkcije (cos(t)), kosinus će se primjenom Eulerove formule modificirati u eksponencijalnu formu:





h t  

1 1 t 1 1 1   e cos  t    e t  e j t  e j t  , tj. 2 2 2 2 2 

h t  

1 1  1 j t 1  1 j t  e  e . 2 4 4

Kako u zadatku nije zadana amplituda odskočne funkcije uzima se

116

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

1   xu (t )  1 Xu  s    xi  t   h t  . s  

xi  t  

1 1  1 j t 1  1 j t  e  e L 2 4 4

1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 , tj.   2   Xi  s   2  s s   1  j s   1  j s s 1 j s 1 j 1 s 1 2 . Xi  s   s s 2  2s  2





Uzevši u obzir da je Xu  s  

1 , prijenosna funkcija glasi s

1 s 1 , a diferencijalna jednadžba sustava s PU=0  22 G s  X u  s  s  2s  2 Xi  s 

1 xi  2 x i  2 xi  x u  xu . 2

Ponovnom transformacijom diferencijalne jednadžbe, uz uvrštavanje Diracove funkcije (jedinična impulsna pobuda) i zadanog početnog uvjeta dobivamo

1 xi  2x i  2xi  x u  xu L , 2 1 1 s2 Xi  s   sxi  0   x i  0   2sXi  s   2xi  0   2 Xi  s   sXu  s   xu  0   Xu  s  , 2 2 x i  0   1,

xu  t     t 

s



2

 2s  2 Xi  s   1 

 X  s   1 , u

1 s  1 , tj. 2

1 s2 A1 A2 .   Xi  s   22 s  2s  2 s   1  j s   1  j

Koeficijenti u brojnicima parcijalnih razlomaka dobiveni su metodom Heavisideovog razvoja za slučaj kad se rješenja ne ponavljaju: s2  2s  2  0 ,

s1  1  j    s2  1  j

jednostruka rješenja ,

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

117

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

A1 

A2 

1 s2  2 2s  2

B s

N ' s

s  s1

s  1  j

B s

N ' s

1 1 3 1  j2  j 2j 3j  1 1 3  2 2  2 2     j, 4 2  1  j  2 2j 2j 4 4 

s  s2

1 s2  2 2s  2

1 1 3 1  j2  j 2j 3j  1 1 3  2 2  2 2     j. 2j 2  1  j  2 2j 4 4 4 

s  1  j

Inverznom Laplaceovom transformacijom izraza za Xi(s) dobivamo: 1 3 1 3  j  j Xi  s   4 4 L -1 ,  4 4 s   1  j s   1  j

3  1 3  -1 j t  1 3  -1- j t 1 t jt    j e  e e  e jt  j et e jt  e jt , xi  t     j  e 4 4 4 4 4 4    



xi  t   Iz







1 t 3 1 e 2 cos  t   j et 2j sin  t   et cos  t   3sin  t   . 4 4 2

dobivenog

odziva

sustava

može

se

zaključiti

da

će

s

porastom

vremena

eksponencijalna funkcija iz rješenja biti sve manja i time će prigušiti oscilacije opisane sumom trigonometrijskih funkcija. To znači da će odziv biti prigušeno oscilatoran, tj. smiriti će se u nuli, što je odlika stabilnog sustava na impulsnu funkciju pobude (pogledajte grafički prikaz). Na kraju zadatka ostalo je još da se odredi koji dio ukupnog rješenja predstavlja slobodni, a koji dio prinudni odziv. Slobodni odziv ( x i  0   1, a xu  0 ): s2 X i  s   sxi  0   x i  0   2sX i  s   2 xi  0   2 X i  s   0 ,

1 1 j  j 1 2 2 XiSO  s   2 L  2   s  2s  2 s  2s  2 s   1  j s   1  j x i  0 

xiSO  t    j

1

,

1 -1 j t 1 -1- j t 1 e j e   j et e jt  e jt  et sin  t  . 2 2 2





Prinudni odziv ( xu    t  , a PU=0):

1 1 s2 Xi  s   sxi  0   x i  0   2sXi  s   2xi  0   2 Xi  s   sXu  s   xu  0   Xu  s  2 2 1  1 1 1 1  j  j  2 s  1   4 4   4 4 L XiPO  s   2 s  2s  2 s   1  j s   1  j

118

1

,

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

1  1 1  -1 j t  1 1  -1- j t 1 t jt    j e  e e  e  jt  j e  t e jt  e  jt , xiPO  t     j  e 4 4 4 4  4 4 



xiPO  t  







1 t 1 e cos  t   et sin  t  . 2 2

Točnost dobivenih rješenja može se provjeriti i iz uvjeta xi  t   xiSO  t   xiPO  t  koji je u ovom slučaju zadovoljen. U slučaju da nema pobude iz okoline, i uz energiju u spremnicima zadanu preko početnog x i  0   1 , sustav bi se ponašao prema funkciji xiSO  e  t sin  t  , a uz prazne

uvjeta

spremnike

xiPO 

energije

i

uz

pobudu

xu    t 

njegov

bi

odziv

bio

1 t 1 e cos  t   et sin  t  . Kako iz ukupnog odziva sustava proizlazi da će se sustav 2 2

vremenom smiriti (što je karakteristika odziva stabilnog sustava na impulsnu funkciju pobude), i slobodni i prinudni odziv moraju vremenom težiti nuli (pogledajte grafički prikaz).

0,8

Slobodni odziv, xiSO(t)

0,7

Prinudni odziv, xiPO(t)

xi, xiSO, XiPO

0,6

Odziv sustava, xi(t)

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 0

Zadatak 1.20

1

2

3 4 5 Vrijeme (s)

6

7

8

Dinamika sustava određena je težinskom funkcijom g  t   2et cos 2t  uz početne uvjete jednake nuli. Odredite odziv sustava ako je zadano xu(t)=7, xu(0)=4, xi(0)=2. Na temelju dobivenog rješenja komentirajte stabilnost sustava, te odredite slobodni i prinudni odziv.

Rješenje:

Dinamika sustava definirana je zadanom težinskom, odnosno prijenosnom funkcijom

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

119

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

g  t   2et cos 2t   2et G s 





1 j2t 12j t  e12j t L , e  e j2t   et e j2t  et e j2t   e 2

1 1 1 1 2s  2 .     2 s  1  2j s  1  2j s  1  2j s  1  2j s  2s  5

Do prijenosne smo funkcije mogli doći i korištenjem transformiranih funkcija iz Tablice 1.2, pri čemu je

G  s   L  g  t   = L e at cos t    G  s   L  2et cos 2t    2

sa

 s  a

2

s 1

 s  1

2

2

2



 2

, odnosno

2s  2 . s  2s  5 2

Diferencijalna jednadžba dobivena iz prijenosne funkcije glasi: xi  2 x i  5 xi  2 x u  2 xu .

Njezinom transformacijom u s-područje uz uvrštavanje početnog uvjeta i pobude dobivamo: xi  2 x i  5 xi  2 x u  2 xu L ,

s2 X i  s  - sxi  0  - x i  0   2sX i  s   2 xi  0   5 Xi  s   2sXu  s   2 xu  0   2 X u  s  ,

7  xu  t   7 Xu  s    , xu  0   4 , xi  0   2 , s 

s

2



 2s  5 X i  s   10 

Xi  s  

2s2  10s  14



s s2  2s  5





14  2s , s

A3 A1 A2 .   s s  1  2j s  1  2j

Koeficijenti parcijalnih razlomaka računaju se metodom Heavisideovog razvoja za rješenja koja se ne ponavljaju:





s s2  2s  5  0 , s1  0

  s2  1  2j  s3  1  2j

A1 

B s

N ' s

120

jednostruka rješenja ,

 s  s1

2s2  10s  14 14  , 2 5 3s  4s  5 s  0

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

A2 

A3 

B s

N ' s

2s2  10s  14 2  12j 2 13    j, 2 8  4j 5 10 3s  4s  5 s 1 2j



2s2  10s  14 2  12j 2 13    j. 2 8  4j 5 10 3s  4s  5 s 12j

s  s2

B s

N ' s



s  s3

U konačnici, odziv sustava slijedi iz: 14 2 13 2 13     j j 5 5 10 5 10    Xi  s   s s  1  2j s  1  2j s s2  2s  5 2s2  10s  14





L

1

,

xi  t  

14  2 13  1 2j t  2 13  12j t       , j e j e 5  5 10   5 10 

xi  t  

14 2 t j2t 13 t j2t 14 4 t 13 t  e e  e j2t  j e e  e j2t   e cos 2t   e sin 2t  . 5 5 10 5 5 5









U ovom će slučaju, zbog funkcije et vezane uz sinusnu i kosinusnu funkciju, odziv sustava poprimiti oblik raspirenih oscilacija (pogledajte grafički prikaz). Iz navedenog očito slijedi da je sustav nestabilan. Stabilnost sustava se u ovom zadatku mogla pretpostaviti i prije izračuna prijelazne funkcije.

Analizom

korijena

sustava

(K.J.

s2  2s  5  0  s1  1  2j ; s2  1  2j )

možemo također primijetiti da je sustav nestabilan, jer im je realni dio pozitivan. Dodatno, korijeni imaju i imaginarni dio što upućuje na oscilatoran odziv (raspirene oscilacije). Imajući u vidu da je riječ o sustavu drugog reda kojemu svi koeficijenti nisu istog predznaka, i bez analize korijena sustava moglo se doći do zaključka da sustav neće biti stabilan. Uz navedene pokazatelje, postoji i još jedan koji upućuje na nestabilnost sustava, a nalazi se u samom tekstu zadatka. Naime, iz teksta se dade uočiti da se vrijednost težinske funkcije neće vremenom smiriti u nuli, već će odziv poprimiti oblik raspirenih oscilacija zbog člana et. Kako u zadatku nije mijenjana dinamika sustava (stabilnost ovisi samo o sustavu ne i pobudi!), očito je da će se nestabilnost morati manifestirati i u slučaju promijenjene, tj. nove (skokovite) pobude. Nakon analize stabilnosti, ostaje još da se odredi kako izgledaju slobodni i prinudni odzivi. Slobodni odziv ( xu  0   4 , xi  0   2 , a xu  t   0 za t  0 ): s2 X i  s  - sxi  0  - x i  0   2sX i  s   2 xi  0   5 Xi  s   2sXu  s   2 xu  0   2 X u  s  ,

3 3 1 j 1 j 2s  4 2 2 XiSO  s   2 L   s  2s  5 s  1  2j s  1  2j

1

,

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

121

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

3  1 2j t  3  1-2j t 3   1  j  e  et e j2t  e j2t  j et e j2t  e j2t , xiSO  t   1  j  e 2  2  2  









xiSO  t   2et cos 2t   3et sin 2t  .

Prinudni odziv ( xu  7  t  , a PU=0): s2 X i  s  - sxi  0  - x i  0   2sX i  s   2 xi  0   5 Xi  s   2sXu  s   2 xu  0   2 X u  s  ,

14 7 14 7 14     j j 5  5 5 5 5   XiPO  s   2 Xu  s   s s  1  2j s  1  2j s  2s  5 s s 2  2s  5

 2 s  2 

14s  14





L

1

,

xiPO  t  

14  7 14  1 2j t  7 14  1-2j t       j e j e , 5  5 5  5   5

xiPO  t  

14 7 t j2t 14 t j2t 14 14 t 28 t e e  e j2t  e cos 2t   e sin 2t  .  e e  e j2t  j  5 5 5 5 5 5









Zbroj slobodnog i prinudnog odziva ponovno je jednak ukupnom odzivu sustava. Kako je sustav nestabilan, a u početnom trenutku njegove analize postoji energija pohranjena u spremnicima, slobodni odziv se neće vremenom smiriti u nuli, već će, baš kao i prinudni, težiti u beskonačnost.

1500 1000

Slobodni odziv, xiSO(t) Prinudni odziv, xiPO(t)

xi, xiSO, XiPO

Odziv sustava, xi(t) 500 0 -500 -1000 0

1

2

3 4 Vrijeme (s)

5

6

Da je sustav bio stabilan, energija iz spremnika bi se vremenom potrošila i slobodni bi se odziv sveo u nulu, a prinudni bi poprimio stvarnu vrijednost odziva. Navedeni slučaj možemo promotriti u dodatku ovog zadatka, gdje ćemo uzeti da je dinamika sustava određena

s

neznatno

modificiranom

težinskom

funkcijom

koja

sada

glasi

g  t   2e t cos 2t  . Modifikacija se očituje u negativnom eksponentu eksponencijalne

122

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

funkcije, pa sada imamo stabilan sustav s prigušeno oscilatornim odzivom.

 1 2j t  e 12j t L

g  t   2et cos 2t    e G s 

2s  2 . s  2s  5 2

Transformacijom diferencijalne jednadžbe uz uvrštavanje početnih uvjeta dobivamo: Xi  s  

2

2s  2s  14



2

s s  2s  5

xi  t   







14 12 3 12 3   j j 5  5 10  5 10 s s  1  2j s  1  2j

L 1 ,

14 24 t 3 e cos 2t   et sin 2t  .  5 5 5

Pritom je slobodni odziv jednak ( xu  0   4 , xi  0   2 , a xu  t   0 za t  0 ): 5 5 1 j 1 j 2s  12 2 2 XiSO  s   2 L   s  2s  5 s  1  2j s  1  2j

1

,

xiSO  t   2e t cos 2t   5e t sin 2t  ,

a prinudni odziv iznosi ( xu  7  t  , uz PU=0): 2 s  2 14s  14  XiPO  s   2 Xu  s   s  2s  5 s s2  2s  5



xiPO  t   





14 7 14 7 14   j j 5  5 5 5 5  s s  1  2j s  1  2j

L

1

,

14 14 t 28 t e cos 2t   e sin 2t  .  5 5 5

Utjecaj slobodnog odziva, te drugog i trećeg člana prinudnog odziva vremenom će slabiti, a ukupni odziv sustava na kraju će se stacionirati na vrijednosti prvog člana prinudnog odziva.

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

123

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

xi, xiSO, XiPO

4 3

Slobodni odziv, xiSO(t)

2

Prinudni odziv, xiPO(t)

1

Odziv sustava, xi(t)

0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0

Zadatak 1.21

1

2

3 4 5 Vrijeme (s)

6

7

8

Odredite diferencijalnu jednadžbu koja opisuje prikazani RLC krug, a koji se sastoji od kondenzatora kapaciteta C, otpornika otpora R, zavojnice induktiviteta L i istosmjernog izvora napajanja napona u0.

Analizirajte dinamiku punjenja kondenzatora uz R = 1 k, L = 4 mH, C = 8 mF, u0 = 24 V i početne uvjete jednake nuli (uR = uL = uC = 0 V). Također analizirajte ponašanje sustava za slučaj kad se otpor u krugu smanjuje.

Rješenje:

Na temelju 2. Kirchhoffovog zakona (zakona o električnom naponu) suma napona unutar zatvorene petlje jednaka je nuli, tj. napon izvora (u0) jednak je sumi napona na otporniku, zavojnici i kondenzatoru. Iz navedenog proizlazi:

di 1 u0  t   Ri   i dt . L dt  C uR  uL

Ovaj se izraz uz uc 

124

uC

1 idt  i  Cu c može zapisati i u formi: C

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

LCuC  RCu C  uC  u0  t  .

Dobivena

diferencijalna

jednadžba

opisuje

dinamiku

zadanog

RLC

kruga,

tj.

proporcionalnog člana drugog reda T22 xi  T1 x i  xi  KP xu (Tablica 1.5) pri čemu možemo pisati da je: xi  uC , KP xu  u0 , T22  LC , T1  RC .

Sustav ima dva spremnika energije: zavojnicu i kondenzator. Da bismo odredili dinamiku punjenja kondenzatora uz zadane parametre sustava, poslužiti ćemo se Laplaceovom transformacijom diferencijalne jednadžbe sustava. Kako je zadano da su početni uvjeti jednaki nuli (u početnom trenutku razmatranja sustava struja ne teče kroz krug, a kondenzator je prazan) slijedi prijenosna funkcija sustava LCuC  RCu C  uC  u0  t  L ,

 LCs

2



 RCs  1 UC  s   U0  s  ,

G s 

UC 1 , u0  24 V , ili  2 U0 LCs  RCs  1

Kp X G s  i  , xu  1 V , KP  24 2 Xu LCs  RCs  1

... 1 .

U slučaju da je, primjerice, na kondenzatoru postojao neki napon u početnom trenutku razmatranja odziva sustava - uC(0)≠0, njegov bi iznos također morali uzeti u obzir kod transformacije diferencijalne jednadžbe u s-područje. Naravno, u tom bi slučaju zapis sustava preko prijenosne funkcije izostao. Iz karakteristične jednadžbe nadalje proizlazi: K.J. LCs2  RCs  1  0 ,

s1,2 

RC  R2C 2  4LC R   2LC 2L

Uz s1 ,2    j p ,  p  n2   2 , i  

R2 1  . 2 LC 4L

   p  n 1   2 , gdje je σ faktor prigušenja, n

p je prigušena vlastita frekvencija sustava, n neprigušena vlastita frekvencija sustava, a ζ stupanj prigušenja, slijedi da je

 

R , n  2L

1 R ,   LC 2

C . L

U slučaju oscilatornog odziva koji se javlja kad je faktor prigušenja manji od neprigušene vlastite frekvencije (   n , tj.   1 ) prigušena frekvencija sustava se računa iz izraza:

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

125

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

p 

1 R2  2 . LC 4L

Analizom prethodnih izraza proizlazi da će u slučaju zadanog RLC kruga za bilo koji (R,L,C) > 0 krug biti stabilan (realni dio oba korijena biti će negativan). Nadalje, porast otpora R i kapaciteta kondenzatora C, kao i smanjenje induktiviteta zavojnice L pozitivno utječe na aperiodski odziv, tj. punjenje kondenzatora. Suprotni trendovi uzrokuju oscilatorno ponašanje kruga. U našem slučaju (R = 1 k, L = 4 mH, C = 8 mF i U0 =24V) imamo: 1  176 , 77 rad s ;   707 ,1 , tj.   n ,   1 , LC

  12 ,5  104 Ω H ; n 

pa će odziv za zadane parametre kruga biti aperiodski. Do odziva kruga dolazimo slijedećim izračunom:

u0  t   24 L  U0  s        s3  2 ,5  105  s1  0 s2  0 ,125

UC  s  

A1 

A2 

A3 

jednostruka rješenja ,

A3 A A2 1 24 U0  s    1   , 5 2 s s  0 ,125 s  2 , 5  105 LCs  RCs  1 s 3 , 2  10 s  8s  1



2

B s

N ' s

N ' s

N ' s



24  24 , 9 , 6  10 s  16s  1 s  0



24  24 , 9 , 6  10 s  16s  1 s  0 ,125



24  1, 2  105 , 9 , 6  10 s  16s  1 s  2.5105

s  s2

B s

s  s3



 s  s1

B s

Uc  s  

24 , s

5 2

5 2

5 2

24 5

2



s 3 , 2  10 s  8s  1



24 24 1, 2  105   s s  0 ,125 s  2 ,5  105

L

1

,

uc  t   24  24e0 ,125t  1, 2  105 e2 ,510 t . 5

Dobiveni izraz predstavlja dinamiku punjenja kondenzatora priključenog (sklopka se zatvori u t=0) na konstantni napon izvora od 24 V (odskočna funkcija). Do tog smo izraza mogli doći i na temelju prijelazne funkcije P2 člana iz Tablice 1.5, koja vrijedi za slučaj aperiodskog odziva i uz različite korijene sustava:

126

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

t t    T3 T4 T3 T4   e e h  t   KP 1   T3  T4 T3  T4 

   xi  t   uc  t  ,  

gdje je T3=8, a T4=4·10-6. No, da bi gornji izraz dao ispravno rješenje, morali bi uzeti pobudu u obliku jedinične odskočne funkcije xu  1 V , jer iz izraza proizlazi h(t)=xi(t). Stoga bi u cilju dobivanja ekvivalentne dinamike koja vrijedi i kod našeg polaznog sustava pojačanja KP=1 pobuđenog odskočnom funkcijom u0  24 V , morali modificirati i pojačanje sustava na KP=24, jer vrijedi u0  KP xu . Drugim riječima, promjenu dinamike pobude bi u cilju zadržavanja istog odziva morala kompenzirati promijenjena dinamika sustava (pogledajte prijenosne funkcije iz izraza 1). U nastavku je dan i grafički prikaz dobivenog odziva, koji ima vrlo sličan izgled P1 članu. Ovo je i logično ako se pobliže promotri prijenosna funkcija sustava iz koje je vidljiv mali iznos vremenske konstante T2 ( T2  G s 

LC  0 , 0056 ; T22  3 , 2  105 ),

Xi 24 24   . 5 2 Xu 3 , 2  10 s  8s  1 8s  1

25

uc, u0 (V)

20 15 10 5 0 0

u0=24V uc 10

20

30 40 Vrijeme (s)

50

60

Ostaje još da se analizira ponašanje kruga u slučaju smanjenja otpora u krugu uz nepromijenjene ostale parametre. Iz izraza  

R , n  2L

1 R i  LC 2

C L

može se

zaključiti da će smanjenjem otpora smanjiti prigušenje sustava (σ, ζ) što će u konačnici rezultirati oscilatornim odzivom. R  2Ω,   1  granični aperiodski slučaj , R  0 ,1Ω ,   0 , 0707  1  prigušene oscilacije , R  0Ω ,   0  neprigušene oscilacije.

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

127

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

50 u0=24V uc1  R=1,414

40 uc, u0 (V)

uc2  R=0,1 30 20 10 0 0

0,1

0,2 Vrijeme (s)

0,3

0,4

50 u0=24V

uc, u0 (V)

40

uc  R=0

30 20 10 0 0

0,1

0,2 Vrijeme (s)

0,3

0,4

Drugim riječima, nakon što se otpor (prigušenje) smanji ispod vrijednosti koja osigurava granično

aperiodski

odziv

(   1 ),

kondenzator

i

zavojnica

počinju

međusobno

izmjenjivati energiju što uzrokuje oscilacije u naponu na kondenzatoru. Za vrijeme nabijanja kondenzatora na napon izvora, zavojnica je akumulirala određenu količinu magnetske energije. Nakon što se kondenzator nabije na napon izvora, ta će energija još neko vrijeme održavati struju u istom smjeru, tj. nastaviti će puniti kondenzator. Kada kondenzator dosegne vršni napon (koji je sada veći od napona izvora) on se počne izbijati, tj. vraćati pohranjenu energiju zavojnici. Ukoliko krug ima prigušene oscilacije (u krugu postoji nekakav otpor), dio izmijenjene energije pretvoriti će se u toplinu, pa će se u konačnici napon na kondenzatoru stabilizirati na vrijednosti napona izvora (pogledajte odziv za R=0,1 ). U slučaju da otpora nema, krug bi oscilirao neprigušenim oscilacijama 128

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

1 , tj. proces izmijene energije između zavojnice i kondenzatora bio bi LC

frekvencije n 

stalan (bez gubitaka), pri čemu bi vršna vrijednost napona iznosila 2u0 (pogledajte odziv za R = 0 ). Pristup analizi sustava preko proporcionalnog člana drugog reda čest je slučaj u praksi, gdje se sustavi proporcionalne dinamike višeg reda uglavnom svode na model drugog reda na temelju kojeg se zatim projektiraju parametri regulatora. Stoga se čitatelja svakako potiče da samostalno analizira utjecaj preostala dva parametra na krug (C i L), kao i dinamiku tzv. MDS sustava (engl. Mass-Damper-Spring), tj. mehaničkog tipa P2 člana. U cilju lakšeg snalaženja, ovdje je u nastavku samo postavljen njegov model, a u nekim od zadataka koji slijede pobliže su razmotrene različite složenije izvedbe mehaničkih sustava zasnovanih na masi, prigušnici (trenje) i opruzi (elastičnost). Dodatak – MDS sustav

Za sustav prikazan slikom, za koji je potrebno odrediti pomak x mase uz djelovanje sile iz

okoline

f(t),

matematički

se

model

može

odrediti

iz

ravnoteže

sila

(suma vanjskih sila = suma unutarnjih sila), tj. fM  fD  fK  f  t  .

Uvrštavanjem izraza za silu inercije (fM=Ma, M – masa tijela), silu trenja – viskozno trenje (fD=Dv, D - koeficijent viskoznog trenja) i silu opruge koja je definirana Hookeovim zakonom (fK=Kx, K – konstanta opruge) dobivamo linearni model MDS sustava (uzimamo linearnu karakteristiku opruge i laminarno strujanje ulja u cilindru uz konstantni iznos viskoznog trenja): Ma  Dv  Kx  f  t  , tj. Mx  Dx  Kx  f  t  L ,

 Ms

2



 Ds  K X  s   F  s  ,

G s 

X 1  . 2 F Ms  Ds  K

K.J. Ms2  Ds  K  0 ,

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

129

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

s1,2 

 

D  D2  4MK D   2M 2M

D , n  2M

K D ,   M 2

D2 K  . 2 M 4M

1 . MK

U slučaju oscilatornog odziva (   n    1 ) prigušena frekvencija sustava se računa iz izraza:

p 

K D2  . M 4M2

Spremnici energije MDS sustava su očito masa i opruga. Do odziva sustava x može se doći na isti način kao i u slučaju RLC kruga ili direktno odabirom odgovarajućeg izraza iz Tablice 1.5 koji će ovisiti o iznosima korijena sustava. Izračun će se prepusti čitatelju, kao i analiza utjecaja trenja, elastičnosti opruge i mase na odziv sustava. Ovdje će se još samo na kraju prikazati sličnost RLC i MDS sustava iz koje proizlazi da se jedan može predstaviti pomoću drugog i obratno. Za serijski spoj RLC kruga imamo: Ri  L

1  di 1  idt  u0  t  L   Ls  R    I  s   U0  s  ... RLC . dt C  Cs  





Mx  Dx  Kx  f  t  L  Ms2  Ds  K X  s   F  s  ... MDS . Kako struja i pomak nisu podudarni, lijeva strana izraza za MDS sustav će se proširiti u formu:

 Ms2  Ds  K  K    sX  s   F  s    Ms  D   V  s   F  s  , s s    gdje je V(s) brzina mase M definirana u s-području, pa usporedbom dobivenog izraza s izrazom za RLC krug proizlazi:

u0  f ; i  v; L  M; R  D; C 

1 . K

U slučaju paralelnog RLC kruga imamo:

u0  t   uR  t   uL  t   uC  t  (iz 2. Kirchhoffovog zakona), 130

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

i1  i2  i3 ; i2  i4  i5 ;  i1  i  i3  i4  i5 (iz 1. Kirchhoffovog zakona),

uR 1  Cu C   uL dt  i  R L    i i3

4

L

1 1 1  1 UR  CsUC  UL  I    Cs  U  I. R Ls Ls  0 R



i5

Usporedbom ovog izraza s gornjim prilagođenim izrazom za MDS sustav proizlazi slijedeća veza:

u0  v; i  f ; C  M; R 

Zadatak 1.22

Odredite

1 1 ; L . D K

matematički

zapis

zadanog

kruga

i

dinamiku

punjenja

kondenzatora - uC(t) uz R1 = 1 , R2 = 5 , L1 = 1 H, L2 = 5 H, C = 2 F, u0 = 12 V i početne uvjete jednake nuli. Koja će biti maksimalna vrijednost napona na koju će se kondenzator nabiti?

Rješenje:

Iz 1. Kirchhoffovog zakona proizlazi: i1  i2  i3  i3  i1  i2 ,

a primjenom 2. Kirchhoffovog zakona dobivamo: R1i1  L1

di1  uC  t   u0  t  , dt

R2 i2  L2

di2  uC  t  , pri čemu je dt

uC  t  

1 1 i3dt   C C

  i1  i2  dt .

Laplaceovom transformacijom prethodna tri izraza proizlazi: R1 I1  s   L1sI1  s   UC  s   U0  s  ... 1 , R2 I2  s   L2 sI2  s   UC  s  ... 2  ,

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

131

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

UC  s  

1  I  s   I2  s   ... 3 . Cs  1

Uvrštavanjem (3)  (2) slijedi:

R2 I2  L2 sI2 

1 1 I2  I Cs , Cs Cs 1





I1  R2Cs  L2Cs2  1 I2 ...  4  . Uvrštavanjem (3)  (1) slijedi:

R1 I1  L1sI1  I1 

1 1 I1  I  U0 Cs , Cs Cs 2

I2  CsU0 R1Cs  L1Cs2  1

... 5  .

Konačno, nakon uvrštavanja (5)  (4) dobivamo I2  CsU0 2

R1Cs  L1Cs  1





 R2Cs  L2Cs2  1 I2

 R Cs  L Cs 1

1

2



1 ,

I2 1 1   ...  6  , 3 2 U0 ∆ L1L2Cs  s C  R1L2  R2 L1   s  L1  R1R2C  L2   R1  R2

a iz (6)  (4) I1 R Cs  L2Cs2  1  2 ... 7  . U0 ∆

Veza između pobude (u0) i odziva (uC) određena je izrazima (3), (6) i (7), i glasi: CsUC I1  I2 R Cs  L2Cs2  2  U0 ∆ U0 G s 

: Cs ,

UC R  L2 s R2  L2 s .  2  3 2 U0 ∆ L1L2Cs  s C  R1L2  R2 L1   s  L1  R1R2C  L2   R1  R2

Iz karakterističnog polinoma (nazivnik) proizlazi da je ovo sustav 3. reda, tj. ima tri spremnika energije (dvije zavojnice i kondenzator), a iz brojnika se može zaključiti i da posjeduje jednu konačnu nulu koja ovisi o parametrima R2 i L2. Dinamika ovakvog sustava zapravo je analogna serijskom spoju PD člana nultog reda (brojnik),

 L  R2  L2 s  KP 1  TD s   R2 1  2 s  , R2   i P3 člana 1 1 .  3 2 ∆ L1L2Cs  s C  R1L2  R2 L1   s  L1  R1R2C  L2   R1  R2 132

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Uvrštavanjem zadanih vrijednosti parametara kruga slijedi G s 

UC R  L2 s 5s  5 12 , U0   2  , tj. 3 2  U0 s 10s  20s  16s  6

uz xi=uc, u0=12xu, xu=1(t), prijenosna funkcija se može zapisati i u formi G s 

12  R2  L2 s  Xi 60s  60 30s  30 1    , Xu  . 3 2 3 2 ∆ Xu s 10s  20s  16s  6 5s  10s  8s  3

K.J. 5s3  10s2  8s  3  0 s1  1; s2  0 , 5 

 ili 10s

3



 20s2  16s  6  0 ,

35 35 j ; s3  0 , 5  j. 10 10

Svi korijeni imaju negativan realni dio (sustav stabilan), a dva korijena imaju i imaginarni dio što upućuje na oscilatorni odziv. Izraz koji opisuje dinamiku punjenja kondenzatora slijedi iz:

UC 

5s  5 30s  30 12 U0  , uz U0  . 2 3 2 s 10s  20s  16s  6 s 5s  10s  8s  3



3



Rastavljanjem gornjeg izraza u sumu parcijalnih razlomaka, te njihovom inverznom Laplaceovom transformacijom dobivamo:

 35   1 t 10 35  35   1 t 2 sin  uc  t   10  10 cos  t e t e 2 .   10   10  7     Dakle, napon na kondenzatoru će se uz blage oscilacije stacionirati na 10 V. 14 12

uc, u0 (V)

10 8 6 4 u0

2 0 0

uc 10

20 Vrijeme (s)

30

40

Do izraza (4) i (5) mogli smo doći i primjenom metode konturnih struja, gdje prema priloženom shematskom prikazu,

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

133

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

iz prvog kruga (struja i1) dobivamo: R1i1  L1

di1 1 1 1 1  i dt   i2dt  u0  R1 I1  L1sI1  I  I  U0 , dt C  1 C Cs 1 Cs 2

a iz drugog (struja i2): R2 i2  L2

di2 1 1 1 1   i2dt   i1dt  0  R2 I2  L2 sI2  I2  I  0. dt C C Cs Cs 1

Zadatak 1.23

Odredite i komentirajte promijene napona na kondenzatorima i zavojnici zadanog električnog kruga uz početne uvjete jednake nuli.

Rješenje:

U ovom se zadatku očekuje da komentiramo dinamiku promjene napona na tri elementa kruga, pa možemo govoriti o viševarijabilnom sustavu s jednim ulazom i tri izlaza. No, kako ovo poglavlje zbirke obuhvaća samo analizu jednovarijabilnih sustava, mi ćemo sustav "rastaviti" na tri jednovarijabilna sustava. U tom smislu ćemo postaviti tri prijenosne funkcije, pri čemu će svaka biti vezana uz istu pobudu (u0), ali će im funkcije odziva biti različite (uC1, uC2, uL). Na taj način ćemo zasebno odrediti tri različita odziva, a sve zajedno ih uz komentar i grafički prikazati. Identičan pristup imati ćemo i u ostalim sličnim zadacima izloženima u nastavku, gdje će sustav biti potrebno analizirati s obzirom na više različitih funkcija odziva. Iz 1. Kirchhoffovog zakona ponovno proizlazi: i1  i2  i3 , tj. I1  s   I2  s   I3  s  ,

dok iz 2. Kirchhoffovog zakona dobivamo:

134

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

R1i1 

1 1 i1dt  R2 i3   C1 C2

R3i2  L

 i3dt

 u0  t  , i

di2 1  R2 i3  i dt , tj. dt C2  3

  1  1   R1   I1  s    R2   I  s   U0  s  ... 1 , i C1s  C2 s  3   

1   I3  s  ... 2 . 2s 

 R3  Ls  I2  s    R2  C 

Određivanje uL(t)

Uvrštavanjem izraza I3  s   I1  s   I2  s  u jednadžbe (1) i (2) dobivamo:

  1 1  1    R1  R2   I1  s    R2   I  s   U0  s  ... 3 , i C1s C2 s  C2 s  2     1  1   R3  R2  Ls   I2  s    R2   I  s  ...  4 . C2 s  C2 s  1   Sređivanjem izraza (4) i uvrštavanjem zadanih vrijednosti pojedinih komponenata slijedi:

 R C s  R2C2 s  LC2 s2  1  I1   3 2  I2 ,  R2C2 s  1  

 s2  2s  1  I1    I ... 5 . s  1  2  Ako isto to napravimo i s izrazom (3), te zatim u njega uvrstimo (5) imamo: 2 1    2  s  I1  1  s  I2  U0 ,    

2   s2  2s  1  1   2    I2  1   I2  U0 .   s  s 1  s   Iz dobivenog izraza proizlazi: di U U I2 s2  s , tj. uz uL  L 2  I2  L  L , dobivamo  3 2 dt Ls s U0 2s  5s  4s  1





s s2  s UL   G1  s  . U0 2s3  5s2  4s  1 Uz uvjet da je u0  12 V  U0 

12 promjena napona na zavojnici opisana je slijedećom s

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

135

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

funkcijom:

12s2  s  1 12 s3  s2 UL  s    , 2s3  5s2  4s  1 s 2s3  5s2  4s  1 s



UL  s  

12s2  s  1 2  s  1

2

 s  0 , 5 s

uL  t   xi  t   12et  6e

1  t 2





6s 12 6   L -1  s  1  s  0,5 s  1 s  0,5

.

Određivanje uC1(t)

Iz izraza (5) slijedi: s 1   I2   2  I1 .  s  2s  1  Ako taj izraz uvrstimo u (3) imamo: 2 1 s 1     2  s  I1  1  s   2  I1  U0 , iz čega proizlazi      s  2s  1 





s s 2  2s  1 I1 1  , te uz uC1  i dt  I1  C1sUC1  sUC1 , dobivamo 3 2 U0 2s  5s  4s  1 C1  1





s s2  2s  1 UC1   G2  s  . U0 s 2s3  5s2  4s  1









12s  s  1 12 UC1  s    , 2 s 2s3  5s2  4s  1 s s2 2  s  1  s  0 ,5 2

s s2  2s  1



UC1  s  



6 12 12 L -1   s  s  0 ,5 s s  0 ,5

uC1  t   xi  t   12  12e

1  t 2

.

Određivanje uC2(t)

Za kraj je još ostalo postaviti izraz za promjenu napona na kondenzatoru C2. U tu svrhu ćemo izraz za 1. Kirchhoffov zakon (I1=I2+I3) uvrstiti u (1):

  1  1 1    R1   I2  s    R1  R2   I  s   U0  s  , C1s  C1s C2 s  3   1 2   1  s  I2   2  s  I3  U0 ,     136

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

a iz (2) imamo I2  s  

R2C2 s  1 R3C2 s  LC2 s

I3  s   I2 

2

s 1 I3 . s2  s

Ako ova dva izraza međusobno integriramo, dobivamo: 1 s 1  2   1  s   2  I3   2  s  I3  U0 , tj.   s  s   

s2  s  1 I3 1  , te uz uC2  i dt  I3  C2 sUC2  sUC2 , dobivamo 3 2 U0 2s  5s  4s  1 C2  3 s2  s  1 UC2   G3  s  . U0 s 2s3  5s2  4s  1





U konačnici imamo:

s2  s  1

12s2  s  1 12 UC2  s    , s 2s3  5s2  4s  1 s s2 2s3  5s2  4s  1



UC2  s  



12s2  s  1 s 2  s  1

2

2

 s  0 , 5

uC2  t   xi  t   12et  12e





1  t 2



6 12 12   L -1 ,  s  1  s  0,5 s  1 s  0,5 .

Grafički prikazi dobivenih odziva odabranih komponenata kruga prikazani su na slijedećoj slici. 14 12

uC, uL, u0 (V)

10 u0

8

uL

6

uC1

4

uC2

2 0 0

5

10 Vrijeme (s)

15

20

Očekivano, dobiveni odzivi u skladu su s dinamikom zadanog RLC kruga. Oni ukazuju na aperiodsko punjenje kondenzatora C1 na vrijednost napona izvora (svi su korijeni

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

137

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

negativne realne vrijednosti), što će istovremeno posljedično rezultirati postupnim pražnjenjem drugog kondenzatora (C2) i zavojnice (L).

Zadatak 1.24

Odredite odziv na skokovitu promjenu napona uu uz PU=0 i komentirajte prijenosnu funkciju sustava.

Rješenje:

Zadani električni sklop sastoji se od jednog para otpornika i kondenzatora, te neinvertirajućeg operacijskog pojačala pojačanja A. Uzevši u obzir karakteristike idealnog pojačala ( pojačanje  , ulazniotpor  , izlazniotpor  0 ), vrijedi: ui  t   A  uu   uu   ... 1 , i ui  t   i  Z1  Z2  ... 2  ,

gdje su Z1 i Z2 nadomjesne impedancije paralelnog (R1,C1) i serijskog (R2, C2) spoja, respektivno.

Ako promotrimo najprije paralelni spoj (R1,C1), tj. razliku potencijala između točaka x i y, onda proizlazi da na temelju Kirchhoffovih zakona vrijedi: UXY 

Uz

1 I  R1 I2  Z1 I . C1s 1

I  I1  I2 , slijedi:

138

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

UXY  Z1 I  Z1  I1  I2  , Z1  I1  I2  

1 I , C1s 1

Z1  I1  I2   R1 I2  I2 

Z1 I , R1  Z1 1

   Z1  Z1 R1 1 Z1  I1  I1   I1  Z1C1s  .   1  Z1C1s  Z1  R1  Z1  C1s 1  R1C1s   R1  Z1  Na sličan način dolazimo i do izraza za Z2:

 1  1 UYW    R2  I  Z2 I  Z2   R2 . C2 s  C2 s  Nakon određivanja nadomjesnih impedancija, vratimo se sada izrazima (1) i (2) koji određuju dinamiku sklopa. Uzevši u obzir da je uu   uu , a uu   Z1 i , izraz (1) se može zapisati u formi: ui  t   A  uu  Z1 i   Ui  s   A Uu  Z1 I   I 

AUu  Ui . AZ1

Uvrštavanjem izvedenog izraza za struju I u transformiranu formu izraza (2) Ui  s   I  Z1  Z2  , dobivamo:

Ui 

AUu  Ui  Z1  Z2  , AZ1

 AZ1  Z1  Z2  Ui

 AUu  Z1  Z2   Ui 

A  Z1  Z2  AZ1  Z1  Z2

Uu 

1 Z1 1  Z1  Z2 A

Uu .

Uz A   : R1   1   R2    Z  Z2  1  R1C1s C2 s u , Ui  s    1  Uu  s    R   u Z 1 1     1  R1C1s  

Ui  s 

Uu  s 

 G s 

R1R2C1C2 s2  s  R1C1  R2C2  R1C2   1 R1C2 s

.

Dobivena prijenosna funkcija identična je prijenosnoj funkciji PID člana (regulatora) koja u općoj formi glasi (Tablica 1.5):

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

139

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

  K K s2  KP s  KI 1 G  s   KP 1   TD s   KP  I  KD s  D . TI s s s   U konkretnom slučaju, pojačanja ovog člana ovisila bi o elementima sklopa na slijedeći način: KD  R2C1 ; KP 

C1 R2 1   1; KI  . C2 R1 R1C2

Odziv sustava (i grafički prikaz) na jediničnu skokovitu promjenu napona uu slijedi iz Tablice 1.5:

  t h  t   KP 1   TD  t    KP  KIt  KD  t  , TI   odnosno, budući da znamo da vrijedi h  t  

xi  t 

Au  1  t 

, i da u našem slučaju imamo

uu  t   5 V  uu  t   Au  1  t   5  1  t  , konačni izraz za ui(t) glasi:

  C  R 1 ui  t   5  h  t   5 KP  KIt  KD  t    5 R2C1  t   1  2  1  t  . R1C2   C2 R1  

Zadatak 1.25

Odredite dinamiku zadanog sustava uz skokovitu promjenu napona uu, R1 = 1 , R2 = 2 , C1 = 3 F, C2 = 0,5 F i uz početne uvjete jednake nuli.

Rješenje:

U ovom se primjeru pojavljuje sklop s invertirajućim pojačalom za koji vrijedi: ui  t   A  uu   uu     Auu    A  uu  Z1 i  ... 1 , i ui  t   uu  t   i  Z1  Z2  ... 2  ,

gdje su Z1 i Z2 također nadomjesne impedancije serijskog (R1, C1) i paralelnog (R2, C2) 140

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

spoja, respektivno, tj. Z1 

R2 1  R1 ; Z2  . C1s 1  R2C2 s

Transformacijom izraza (1) i (2) u s-područje i eliminacijom struje dobivamo:

 AUu  Ui  Ui   A Uu  Z1I   I    ,  AZ1  Ui  Uu  I  Z1  Z2  ,

 AUu  Ui  Ui  Uu     Z1  Z2  AZ1 ,  AZ1  Ui  AZ1  Z1  Z2    AZ2Uu ,

Ui  AZ2  G s   Uu AZ1  Z1  Z2

G s 

Ui 

Ui  Uu



 Z2  Z2  , uz A   . Z  Z2 Z1 Z1  1 A

R2 R2C1s 1  R2C2 s 6s   . 2 2 1 R1R2C1C2 s  s  R1C1  R2C2   1 3s  4s  1  R1 C1s

6s 6s 5 10 Uu   , 2 3s  4s  1 3s  4s  1 s s2  4 s  1 3 3 2

ui  t   15et  15e

1  t 3

.

Gledano u apsolutnim iznosima, izlazni napon na početku procesa raste (negativan predznak zbog utjecaja invertirajućeg pojačala) dok se istovremeno kondenzator C1 polako puni na vrijednost napona izvora. S vremenom, vrijednost izlaznog napona sklopa postaje sve manja, a u trenutku kad punjenje kondenzatora završi i krugom prestane teći struja ui postaje jednak nuli. Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

141

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

6 4

uu, ui (V)

2 0 -2 uu=5V

-4 -6 0

Zadatak 1.26

ui 5

10 Vrijeme (s)

15

20

Odredite prijelazne funkcije vezane uz pomake x1 i x2, te analizirajte ponašanje mehaničkog sustava sa slike uz: M1 = 2 kg, M2 = 0,5 kg, D1 = 5 Ns/m, D2 = 1 Ns/m, K = 2 N/m. U početnom trenutku sustav miruje (PU=0).

Rješenje:

Dinamiku zadanog sustava opisati ćemo jednadžbama gibanja. Do njih ćemo doći primjenom metode dijagrama slobodnog tijela (engl. free-body diagram). Na svako tijelo koje čini sustav postaviti ćemo sve sile koje na njega djeluju, a iz ravnoteže sila dobiti ćemo diferencijalne jednadžbe gibanja. Broj jednadžbi gibanja kod mehaničkih će sustava biti će jednak broju stupnjeva slobode tog sustava, tj. broju linearno neovisnih gibanja neovisno gibanje podrazumijeva gibanje jedne točke sustava dok istovremeno druge 142

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

miruju. U ovom konkretnom slučaju, imamo sustav s dva stupnja slobode gibanja ili dva moguća neovisna gibanja – gibanje mase M1 dok M2 miruje i obratno. Stoga ćemo do jednadžbi gibanja doći tako da nacrtamo dijagram slobodnog tijela za svaku od ovih dviju masa. Za svaki dijagram ćemo najprije postaviti sile na jednu masu koja se giba dok druga miruje, a zatim ćemo postaviti sile na istu tu masu koja će mirovati dok će se druga masa gibati. Evo kako to izgleda u konkretnom primjeru. A1) x1≠0 (M1 se giba), a x2=0 (M2 miruje)

Kako sila f(t) djeluje prema dolje, na tijelo mase M1 djelovati će sile prema slici.

K x1 M1 x1

D1 x 1

D2 x 1

Vanjskoj sili na sustav f(t) otpor će pružati sila opruge (Kx1), sila inercije ( M1 x1 ), i sile trenja u oba cilindra ( D1 x 1 i D2 x 1 ). A2) x1=0 (M1 miruje), a x2≠0 (M2 se giba)

U drugom slučaju držimo tijelo mase M1 u stanju mirovanja, a tijelo mase M2 se giba u istom pravcu kao i M1 u prethodnom slučaju. U tom slučaju na tijelo mase M1 djeluje samo sila trenja D2x2 .

D2 x 2

Ravnoteža svih sila proizašlih iz ove analize glasi: M1 x1  D1 x 1  D2 x 1  Kx1  f (t )  D2 x 2

... 1  .

Time smo dobili jednadžbu gibanja koja se odnosi na tijelo mase M1, pa je za određivanje ukupne dinamike sustava potrebno još pronaći i jednadžbu gibanja za tijelo mase M2. Nju ćemo dobiti ponavljanjem prethodnog postupka, ali sada uzevši u obzir masu M2. B1) x2≠0 (M2 se giba), x1=0 (M1 miruje)

U slučaju gibanja samo tijela mase M2, na to tijelo djeluju sile inercije i trenja u cilindru i to u suprotnom pravcu od kretanja tijela (djelovanja vanjske sile). Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

143

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

M2 x2 D2 x 2

M2

B2) x2=0 (M2 miruje), a x1≠0 (M1 se giba)

Ako se pomiče samo masa M1, na tijelo mase M2 djeluje sila trenja iz drugog cilindra kao reakcija gibanja prvog tijela na drugo.

D2 x 1

Iz ove analize slijedi i druga jednadžba gibanja koja zajedno s prvom opisuje dinamiku našeg sustava: M2 x2  D2 x 2  D2 x 1 ... 2  .

Transformacijom dobivenih jednadžbi gibanja u s-područje dobivamo:

M1s2   D1  D2  s  K  X1  F  D2 sX2 ... 3  

M s 2

2



 D2 s X2  D2 sX1 ...  4  .

U postavljenim jednadžbama gibanja izostavljena je gravitacijska sila. Njezin je utjecaj kompenziran time što se sustav u početnom trenutku razmatranja nalazi u ravnotežnom stanju, pri čemu su pomaci obiju masa jednaki nuli (x1=x2=0). Kako se u zadatku traži da analiziramo ponašanje sustava, primijeniti ćemo isti pristup kao i u zadatku 1.23, tj. odrediti ćemo x1(t) i x2(t), te ćemo još pronaći i razliku ta dva pomaka kako bi mogli promotriti gibanje jednog tijela u odnosu na drugo. 1) x1(t)=?

Iz izraza (4) i uvrštavanjem konkretnih zadanih vrijednosti parametara sustava dobivamo: X2 

D2 s 2

M2 s  D2 s

X1 

s X1 . 0 , 5s 2  s

Uvrštavanjem prethodnog izraza u (3) imamo:

2s

2



 6 s  2 X1  F  s

s X1 . 0 , 5s 2  s

Sređivanjem tog izraza dobivamo prijenosnu funkciju:

144

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

G1  s  

s  0 ,5s  1 X1 0 ,5s  1   3 . 3 2 F s  5s2  6s  2 s s  5s  6s  2





Iz dobivene prijenosne funkcije i uz f  1N L  F  s  

X1  s  



0,5s  1 3

2

s s  5s  6s  2





1 slijedi: s

0 ,5 0 ,5 1, 037 0 , 03    L, s s  1 s  0 ,59 s  3, 41

x1  t   h1  t   0 , 5  0 , 5e t  1, 037e 0 ,59t  0 , 03e 3 ,41t .

2) x2(t)=?

Iz izraza (4) slijedi:

 M s2  D2 s  M  X1   2  X2   2 s  1  X2   0 , 5s  1 X2 .  D2 s  D2    Uvrštavanjem prethodnog izraza u (3) dobivamo:

2s

2



 6s  2  0 ,5s  1 X2  F  sX2 , tj.

G2  s  

X2 1 .  3 2 F s  5s  6s  2

Korištenjem dobivene prijenosne funkcije i F  s  

X2  s  



1 3

2

s s  5s  6s  2





1 slijedi: s

1.47 0 , 043 0 ,5 1    L , s s  1 s  0 ,59 s  3, 41

x2  t   h2  t   0 , 5  e  t  1, 47e 0 ,59t  0 , 043e 3 ,41t .

3) x2(t)-x1(t)=?

Relativni pomaci tijela mase M2 spram tijela mase M1 mijenjati će se u vremenu prema relaciji: x 2  x1  0 , 5e  t  0 , 433e 0 ,59 t  0 , 073e 3 ,41t .

Iz dobivenih je odziva očito da je ovdje riječ o stabilnom sustavu čije će ponašanje biti aperiodskog karaktera. Do istih smo saznanja mogli doći i korištenjem karakteristične jednadžbe s3  5s2  6 s  2  0 , tj. analizom korijena sustava ili primjenom npr. Routhova kriterija stabilnosti, što se ostavlja zainteresiranom čitatelju za dodatnu vježbu. Nakon smirivanja prijelaznih pojava mase M1 i M2 će se u stacionarnom stanju zaustaviti na udaljenosti od 0,5 m od inicijalnog položaja. Promotrimo detaljnije grafički prikaz dobivenih odziva. Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

145

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

0,5

Pomak (m)

0,4 x1

0,3

x2

0,2

x2-x1

0,1 0 -0,1 0

5

Vrijeme (s)

10

15

On ukazuje na nešto brži pomak mase M1 u odnosu na masu M2 u prvih 5 sekundi gibanja, do kojeg je došlo pod utjecajem drugog cilindra (D2) i inercije mase M2. To drugim riječima znači da će se u početku mase približiti, (x2-x1)0 (zadano u zadatku) imamo da su oba ograničenja negativna,

KP  

7 16 i KP  , 2T 5T  2

donju će granicu intervala vrijednosti pojačanja KP predstavljati onaj uvjet koji je veći. Njihovom usporedbom dobivamo:



7 -16    7 5T  2   16 2T    35T  14  32T   14  3T . 2T 5T  2

Prema tome, točnost sustava razmatrati ćemo samo za interval pojačanja za koji je sustav stabilan, tj.

-16 3 < KP < . 5T + 2 4 Regulacijsko odstupanje iznosi:

E s 



W  s

 s2 5  2KPT   s 7  4KP   3 a , uz s3  5s2  s 7  2KPT   3  4KP s

1  Gd Gp  1 1  GdGp

w t   a  W  s   Gd  GR GS 

Gp  GM 

3

a , s

KP 2Ts  4 2KPTs  4KP i  2 s 1 s 3 s  4s  3

1 . s 1

Primjenom teorema konačne vrijednosti dobivamo:

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

197

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

3 2 3a a s  s 5  2KPT   s 7  4KP   3 ,  e0  lim sE  s   lim s 3 2 s 0 s 0 3  4KP s s  5s  s 7  2KPT   3  4KP

iz čega proizlazi da zadani regulator (uzevši u obzir i uvjete stabilnosti) ne može ukloniti trajno regulacijsko odstupanje. (8)

U posljednjem primjeru ovog zadatka zadana je prijenosna funkcija regulacijske staze GS  s  

KP KM s 2 , regulatora GR  s   KR i mjernog člana GM  s    . Ts  1 s  1 s s3 2

Prijenosna funkcija kruga glasi KR  s  2   s  1

G s 

s  2s  s  4  KR KM   3  2KR KM 3

2

.

K.J. s3  2s2  s  4  KR KM   3  2KR KM  0 . Iz nužnog uvjeta stabilnosti dobivamo: 4  KR KM  0  KR KM  4 , i

3  2KR KM  0  KR KM 

3 . 2

Dovoljni uvjet stabilnosti: R3 R2 R1 R0

1 4  KR KM 2 3  2KR KM , b1 c1

b1 

c1 

8  2KR KM  3  2KR KM 5  0  5  4KR KM  0  KR KM  - , 2 4

b1 3  2KR KM   2  0 b1

 0  3  2KR KM  0  KR KM 

3 . 2

Iz dobivenih ograničenja u konačnici proizlazi:

-5 3 < KR KM < . 4 2 Regulacijsko odstupanje uz w  t   a  W  s  

E s 



 W  W 1  G

1  Gd Gp  1

198

1  GdGp



 s  

a iznosi: s

 KR  s  2   s  1 a 1  3 . s  s  2s2  s  4  KR KM   3  2KR KM 

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Primjenom teorema konačne vrijednosti dobivamo pogrešku kruga u ustaljenom stanju: 3 2 a s  s 2  KR   s  4  KR KM  KR   3  2KR KM  2KR , e0  lim sE  s   lim s s 0 s 0 s3  2s2  s  4  KR KM   3  2KR KM s

e0  a

  3  2KR KM  2KR 2KR  a 1   . 3  2KR KM 3  2KR KM  

Zadatak 1.38

Odredite točnost sustava zadanih slijedećim blok-dijagramom.

(1)

Regulator je opisan proporcionalnim članom nultog reda pojačanja 2, prijenosna funkcija regulacijske staze je određena izrazom GS  s  

2 s , a G1  s   . Nazivna veličina određena je u s 1 s  s 1 2

općoj formi w  t   a , a poremećaj z  t   c ; (2)

Regulator

je

opisan

PD

derivacijske

vremenske

regulacijske

staze

G1  s   1.

je

članom

nultog

konstante određena

1,

reda

pojačanja

prijenosna

izrazom

Željena i neželjena pobuda su:

GS  s  

1

i

funkcija

1

 s  2

3

,

a

w  t   bt , b  0

i

z t   c ;

(3)

Regulator je opisan prijenosnom funkcijom GR  s   parametri sustava su: GS  s  

(4)

1 , a ostali TI s

1 , G1  s   1 , w  t   a, z  t   c ; 5s  1

Regulator je opisan proporcionalnim članom nultog reda, prijenosna funkcija regulacijske staze je GS  s  

1 , a G1  s   1 . Željena i s 1

neželjena pobuda su: w  t   a i z  t   c .

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

199

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Rješenje: (1)

Uzevši u obzir GR  s   2 , te zadane prijenosne funkcije preostala dva elementa sustava, dobivamo: GO  s  

Xi 2s  GR GS  2 W s  s 1

GZ  s  

Xi 2s 2s  G1GS   3 2 2 Z s  s  1  s  1 s  2s  2s  1



 za Z

 0 i



 za W  0 .

Kako bi mogli primijeniti teorem konačne vrijednosti u izračunu trajnog regulacijskog odstupanja,

obje

prijenosne

funkcije

moraju

imati

polove

u

lijevoj

poluravnini

kompleksne s-ravnine ili u ishodištu s-ravnine (s=0). Što se tiče prijenosne funkcije otvorenog kruga GO(s), oba će pola biti negativna, tj. ležati će u lijevoj poluravnini, jer je nazivnik opisan polinomom drugog reda sa svim koeficijentima različitim od nule i istog predznaka. S druge strane, polovi prijenosne funkcije GZ(s)  s1=-1, s2,3=-0.5±0.866j ukazuju da su i u ovom slučaju nužni i dovoljni uvjeti stabilnosti zadovoljeni 

svi ai>0,

R3 R2 R1 R0

1 2 2 1 , 1, 5 1

pa će primjena teorema konačne vrijednosti biti moguća. Kako je u primjeru zadan sustav temeljen na otvorenom upravljačkom lancu, regulacijsko odstupanje moći će se izračunati samo na temelju izraza E=W-Xi, jer ostali prethodno izvedeni oblici vrijede samo za regulacijski krug (sustav s negativnom povratnom vezom). Prema tome, u ovom slučaju imamo: E  s   W  s   Xi  s   W  WGR  ZG1  GS  W 1  GR GS   ZG1GS .

Uz W  s  

a c i Z s  dobivamo s s

 s2  s  1   s2  s  1  a  2s 2s   c   E  s    2 W Z   2    3  3   2 2 s  s  2s  2s  1   s  2 s  2s  1  s  s  s  1  s  s  1

    s2  s  1  a  2s  c  3 e0  lim sE  s   lim s  2     a. 2 s 0 s 0 s  s  1  s  s  2s  2s  1  s      a 0

200

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Možemo zaključiti da trajno regulacijsko odstupanje neće ovisiti o intenzitetu poremećaja (e0 vezan uz poremećaj "c" biti će jednak 0), već će ono biti jednako nazivnoj veličini, tj. pojačanju "a" odskočne funkcije. (2)

Prijenosna funkcija regulatora glasi: GR  s   KP (1  TD s)  1  s .

Provjera stabilnosti, odnosno primjene teorema konačne vrijednosti: GO  s  

Xi 1 s 1 s  GR GS   3 3 2 W  s  2  s  6s  12s  8

 za Z

 0 ,

GZ  s  

Xi 1 1  G1GS   3 3 2 Z  s  2  s  6s  12s  8

 za W

 0 ,

K .J.

s  2

3

 0  s1  s2  s3  2 .

Kako obje prijenosne funkcije imaju isti nazivnik sastavljen od tri ponavljajuća korijena s negativnim realnim dijelom sustav je stabilan, tj. teorem je primjenjiv, pa slijedi izračun regulacijskog odstupanja: E  s   W  s   Xi  s   W 1  GR GS   ZG1GS .

Uz W  s  

c b ,b  0 i Z  s   dobivamo 2 s s

 1  s  1 E  s   1  W Z, 3 3   s 2 s 2                1 s  b 1 c e0  lim sE  s   lim s 1   .  3 s 0 s 0   s 2  s  2 3 s   2 s        c    8   Na ovom se primjeru pokazalo, a i općenito možemo ustvrditi, da upravljački sustav bez povratne petlje neće biti u stanju slijediti sa ili bez greške nagibnu funkciju, kao i funkcije višeg reda. On će biti jedino u stanju pratiti skokovitu promjenu nazivne veličine i to uz određenu grešku, što je pokazao prethodni primjer. Dodatno, nemogućnost uklanjanja trajnog regulacijskog odstupanja u ovom smo primjeru mogli i predvidjeti analizom prijenosnih funkcija članova sustava, gdje se primjećuje potpuni izostanak integracijskog djelovanja bez kojeg se ne može postići

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

201

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

točnost sustava. Pogledajmo sada kako na točnost otvorenog kruga utječe uvođenje jednog takvog člana. (3)

U zadatku je zadano:

GR  s  

1 1 (I član), GS  s   , G1  s   1 , w  t   a, a  0 i z  t   c . 5s  1 TI s

GO  s  

Xi 1  GR GS  W TI s 5s  1

GZ  s  

Xi 1  G1GS  5s  1 Z

Iz GZ(s) slijedi s  

 za Z

 0 , i

 za W  0 .

1 1 , a iz GO(s) dobivamo s1  0 , s2   . Prema tome, sustav je zbog 5 5

regulatora, tj. integralnog člana na granici stabilnosti, pa će teorem konačne vrijednosti biti primjenjiv (jedan je korijen na lijevoj strani, a drugi u ishodištu), ali praćenje neće biti moguće.

  1 1 E  s   W  s   Xi  s   W 1  GR GS   ZG1GS  1  Z, W    T s s s   5 1 5 1     I       1 1 c a    .  e0  lim sE  s   lim s 1   s 0 s 0 TI s 5s  1  s 5s  1 s        c   Primjena integracijskog člana u otvorenom krugu vremenom samo povećava grešku. Potpuno drugačiji efekt se postiže zatvaranjem kruga negativnom povratnom vezom. Taj je slučaj za ovaj primjer sustava obrađen u sljedećem zadatku (1.39/1). (4)

U ovom je primjeru regulacijska staza nestabilna (s-1=0, s=1), pa ćemo uz GR  s   KP i G1  s   1 u obje prijenosne funkcije imati korijene na desnoj strani s-ravnine:

GO  s  

Xi KP  GR GS  W s 1

 za Z  0 , i

GZ  s  

Xi 1  G1GS  Z s 1

 za W

 0 .

Kako ovaj sustav nije u stanju stabilizirati regulacijsku stazu, neće moći niti pratiti nazivnu veličinu ( e0   ). Eventualna primjena teorema konačne vrijednosti navela bi nas na pogrešan zaključak.

202

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

KP   1 E  s   W 1  GR GS   ZG1GS   1  Z, W  s  1 s 1       1 c  s  1  KP a e0  lim sE  s   lim s    1  KP  a  c . s 0 s 0 s 1 s  s 1 s         c   1 KP  a 

I za ovaj ćemo slučaj u sljedećem zadatku (1.39/2) analizirati točnost sustava nakon zatvaranja negativne povratne veze (regulacijski krug). Ovdje ćemo još samo napomenuti da bi se vrlo slična situacija desila kada bi se regulacijska staza opisala stabilnim P1 članom GS  s   uz poremećaj nestabilnim članom G1  s  

1 , a prijenosna funkcija vezana s 1

1 , uz nepromijenjenu dinamiku regulatora. s 1

Sada nam korijeni GO(s) sugeriraju stabilnost sustava (dobili smo novi P1 član pojačanja KP), GO  s  

Xi KP  GR GS  W s 1

 Z  0 , s  1 ,

ali nam jedan korijen funkcije GZ(s) leži u desnoj poluravnini s-ravnine, GZ  s  

Xi 1 1  G1GS  W  0 , s1  1, s2  1 , Z s 1 s 1

pa također možemo zaključiti da je e0   . Teorem konačne vrijednosti ponovno daje pogrešan rezultat. KP   1 E  s   W 1  GR GS   ZG1GS   1  Z, W  2 s  1 s 1 

    1 c  s  1  KP a e0  lim sE  s   lim s   2  1  KP  a  c . s 0 s 0 s  1 s 1 s  s     c  1 KP  a 

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

203

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Zadatak 1.39

Odredite točnost zadanih regulacijskih krugova s poremećajima. Sustavi su određeni prijenosnim funkcijama članova čiji su indeksi prilagođeni oznakama u blok-dijagramu iz uvoda (GS1, GS2, …).

(1)

Regulator je opisan prijenosnom funkcijom GR  s   parametri

sustava

su:

GS1  s  

1 , 5s  1

1 , a ostali TI s

GS2  s   1 ,

GM  s   1 ,

G2  s   1 , G1  s   G3  s   0 , w  t   a , z2  t   c (blok-dijagram je

identičan onom iz zad. 1.38/3 uz dodatak jedinične negativne povratne veze); (2)

Regulator je opisan proporcionalnim članom nultog reda, prijenosna funkcija regulacijske staze je GS1  s   GS2  s   1 ,

GM  s   1 ,

G2  s   1 ,

1 , a ostali članovi su: s 1

G1  s   G3  s   0 .

Pobuda

i

poremećaj su: w  t   a i z2  t   c (blok-dijagram je identičan onom iz zad. 1.38/4 uz dodatak jedinične negativne povratne veze); (3)

Zadani

GS2  s  

su

članovi

kruga:

GR  s   KR ,

GS1  s  

1 , s  s  1

1 1 , GM  s   1 , G1  s   , G2  s   G3  s   0 . Vodeća s2 s 1

veličina i poremećaj su definirani izrazima: w  t   t , z1  t   c (predznak je pozitivan); (4)

Članovi

kruga

su:

GR  s   KR ,

GS1  s  

1 , Ts2

GS2  s   1 ,

GM  s   1  TD s , G2  s   G3  s   1 , G1  s   0 . Željena i neželjena

204

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

pobuda

w t   2  t ,

su:

z2  t   c

(predznak

je

negativan),

z 3  t   d (predznak je pozitivan). Vremenske konstante članova su

pozitivne; (5)

Zadano

GR  s   10 1  0 ,1s  ,

je:

GM  s   1 ,

G2  s   1 ,

GS1  s  

G1  s   G3  s   0 ,

1 , 2s  1

w  t   2t ,

GS2  s  

1 , s

z2  t   5t

(predznak je negativan); (6)

Zadano

je:

GM  s  

KM , s 1

GR  s   KR ,

G2  s   1 ,

GS1  s  

G3  s  

1 , s 1

1 , s 1

GS2  s  

G1  s   0 ,

1 , s 5

w t   a ,

z2  t   c , z3  t   d (predznaci uz poremećaje su negativni).

Rješenja: (1)

Za razliku od slučaja opisanog u trećem primjeru prethodnog zadatka, ovdje je otvoreni upravljački lanac zatvoren negativnom povratnom vezom u formu regulacijskog kruga.

krug

sastoji

od

integralnog

člana

GR  s  

1 , TI s

regulacijske

staze

Pritom

se

GS1  s  

1 i mjernog člana zanemarive dinamike, a pobuđen je s w(t)=a i z2  t   c . 5s  1

Stoga imamo: G s G s

Z2  0

W 0



GR GS1 Xi 1 ,i   2 W 1  GR GS1 5TI s  TI s  1



TI s Xi 1 GR GS1 .   2 Z2 GR 1  GR GS1 5TI s  TI s  1

Do izraza za drugu prijenosnu funkciju došli smo prebacivanjem točke zbrajanja preko regulacijskog člana i uvođenjem W=0.

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

205

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

1 GR

Kako su korijeni obje prijenosne funkcije uz Ti>0 negativni, sustav je stabilan, a i teorem konačne vrijednosti je primjenjiv. U izračunu regulacijskog odstupanja koristiti ćemo sada izraz:

E  s   W  s   Xi  s  



W 

1  Gd Gp  1 1  GdGp

U našem slučaju imamo: E  s  

k

  GZ j 1

j

Zj

1  GdGp

.

GS1 1 W Z , 1  GR GS1 1  GR GS1 2

pri čemu smo indeks uz poremećaj (Z2) prilagodili oznaci u blok-dijagramu, odnosno tekstu zadatka (u protivnom bi pisali Z1, jer j=1, …, k). Na isti će se način označavati poremećaji i u ostalim primjerima ovog zadatka, pazeći pritom da se analiziranom poremećaju pridruži pripadajuća prijenosna funkcija GZj.

E s 

5TI s2  TIs

TIs a c  , 2 5TIs  TIs  1 s 5TIs  TIs  1 s 2

   5T s2  T s a TI s c  I I e0  lim sE  s   lim s   0.  s 0 s 0  5TI s2  TI s  1 s 5TI s2  TI s  1 s      0 0  

Dok je u slučaju otvorenog upravljačkog lanca primjena I regulatora vremenom povećavala grešku, uvođenjem povratne petlje postignuta je dinamika kruga u kojoj je navedeni regulator uspješno uklonio trajno regulacijsko odstupanje za zadanu funkciju pobude i uz konstantni poremećaj (sustav s astatizmom prvog reda ili jednostrukim integracijskim djelovanjem u stanju je ukloniti trajno regulacijsko odstupanje u slučaju odskočne funkcije - pogledajte zadatak 1.36/a). To međutim nije uvijek slučaj, pa ćemo stoga kao dodatak ovom primjeru promotriti još i situaciju kad na krug s istim regulatorom, stazom i poremećajem z2 djeluje dodatno i konstantni poremećaj ispred regulatora, z1(t)=b (pogledajte blok dijagram). Dodatak

206

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Uvođenjem još jednog poremećaja moramo analizirati korijene još jedne prijenosne funkcije i to za slučaj w=z2=0, a z1≠0. Imamo: G s

W  0 , Z2  0



GR GS1 Xi 1 .   Z1 1  GR GS1 5TI s2  TI s  1

Ova je funkcija identična prethodno dobivenoj za z2=0 i w≠0, pa uz iste zaključke o korijenima možemo preći na izračun trajnog regulacijskog odstupanja:

E s 

E s 



1  Gd Gp  1 1  GdGp

W 

k

  GZ j 1

j

Zj

1  GdGp



GR GS1 GS1 1 W Z1  Z , 1  GR GS1 1  GR GS1 1  GR GS1 2

5TI s2  TIs

TIs a 1 b c   , 2 2 5TIs  TIs  1 s 5TIs  TIs  1 s 5TIs  TIs  1 s 2

   5T s2  T s a TI s c  1 b I I  e0  lim sE  s   lim s  b .   s 0 s 0  5TI s2  TI s  1 s 5TI s2  TI s  1 s 5TI s2  TI s  1 s             0 b 0  

Očito da u slučaju djelovanja konstantnog poremećaja ispred regulatora, I regulator neće biti u stanju ukloniti trajno regulacijsko odstupanje. Ono će po apsolutnom iznosu biti upravo jednako iznosu navedenog poremećaja e0  z1  b . (2)

U ovom je primjeru zbog nestabilne regulacijske staze otvoreni krug iz prethodnog zadatka (primjer 4.) bio nestabilan za bilo koje pojačanje zadanog P regulatora ( GR  s   KR ). Zatvaranjem negativne povratne petlje (pogledajte prvi blok-dijagram iz prethodnog primjera ovog zadatka) i uz zadane dinamike članova kruga dobivamo:

G s G s

Z2  0

W 0



GR GS1 Xi KR   ,i W 1  GR GS1 s  1  KR



Xi 1 GR GS1 1   . Z2 GR 1  GR GS1 s  1  KR

Kako obje prijenosne funkcije ponovno imaju zajednički nazivnik, slijedi da će zadani regulator uz djelovanje negativne povratne petlje uspjeti stabilizirati stazu, pri čemu će njegova pojačanja morati biti KR>1. Za takva će pojačanja vrijediti:

E s 

k



W   G

1  Gd Gp  1 1  GdGp

j 1

Zj Z j

1  GdGp



GS1 1 W Z , 1  GR GS1 1  GR GS1 2

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

207

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

s 1 a 1 c  , s  1  KR s s  1  KR s

E s 

     s 1 a 1 c 1  e0  lim sE  s   lim s    c  a . s 0 s 0 s  1  KR s s  1  KR s  KR  1       a c   1  KR 1  KR Možemo zaključiti da će nam zadani regulacijski krug moći pratiti nazivnu veličinu uz određenu grešku koju možemo smanjiti povećanjem pojačanja regulatora ili čak potpuno eliminirati, ali samo u slučaju kada poremećaj bude jednak nazivnoj veličini (c=a). (3)

Na temelju zadanih elemenata sustava ( GR  s   KR , GS1  s  

G1  s  

1 1 , GS2  s   , s2 s  s  1

1 , GM  s   1 , G2  s   G3  s   0 ), vodeće veličine i poremećaja koji djeluje na s 1

ulaz kruga ( w  t   t , z1  t   c - predznak uz poremećaj je pozitivan) te blok dijagrama,

dobivamo: G s

G s

Z1  0

W 0



GR GS1GS2 Xi KR ,i   3 2 W 1  GR GS1GS2 s  3s  2s  KR



GR GS1GS2 Xi KR  G1  4 . 3 2 1  GR GS1GS2 s  4s  5s  s 2  KR   KR Z1

Iz karakterističnih

polinoma navedenih prijenosnih

funkcija

primjenom nužnog i

dovoljnog uvjeta stabilnosti proizlazi 0  KR  6 . Za odabrano pojačanje iz ovog intervala vrijedi:

E s 

k



1  Gd Gp  1

208

1  GdGp

W   G j 1

Zj Z j

1  GdGp



GG G G 1 W  1 R S1 S2 Z1 , 1  GR GS1GS2 1  GR GS1GS2

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

E s 

KR s3  3s2  2s 1 c  4 , 3 2 2 3 2 s  3s  2s  KR s s  4s  5s  s 2  KR   KR s

      3 2 KR c s  3s  2s 1   4 e0  lim sE(s)  lim s 3 , s 0 s 0  s  3s2  2s  KR s 2 s  4s3  5s2  s 2  KR   KR s      2 c   KR  

e0 

2 c. KR

Iz konačnog rješenja proizlazi zaključak da će regulacijski krug moći pratiti vodeću veličinu bez greške samo uz uvjet c 

2 . KR

(4)

Parametri kojima je određen sustav, vodeća veličina i poremećaji su: GR  s   KR , 1 , Ts2

GS1  s   z2  t   c

GS2  s   1 ,

GM  s   1  TD s ,

(predznak je negativan),

G2  s   G3  s   1 ,

z3  t   d

G1  s   0 , w  t   2  t ,

(predznak je pozitivan). Na temelju

prikazanog blok-dijagrama dobivamo:

G s G s

G s

Z2  0 , Z3  0

W  0 , Z3  0

W  0 , Z2  0



GR GS1 Xi KR ,   2 W 1  GR GS1GM Ts  KRTD s  KR



GR GS1 Xi 1 1 ,i   2 Z2 GR 1  GR GS1GM Ts  KRTD s  KR



GR GS1 Xi 1 Ts2   2 . Z3 GR GS1 1  GRGS1GM Ts  KRTDs  KR

Uz zadane pozitivne vremenske konstante i uz činjenicu da su sva tri polinoma nazivnika analiziranih prijenosnih funkcija drugog reda, slijedi da je potencijalna točnost sustava moguća samo uz  KR ,T ,TD   0 .

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

209

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

k

E s 



1  Gd Gp  1 1  GdGp

W   G j 1

Zj Z j

1  GdGp



1  GR GS1  GM  1 1  GR GS1GM 

E s 

W

GS1 Z  1  GR GS1GM 2

1 Z , 1  GR GS1GM 3

Ts2  KRTD s

1 c Ts2 d 2 1     , s 2 2  2 2 Ts  KRTDs  KR  s  Ts  KRTDs  KR s Ts  KRTD s  KR s

     Ts2  K T s  2 2s  1 1 c Ts d R D  2 e0  lim s  2  2 , s 0  Ts  KRTD s  KR s 2 Ts  KRTD s  KR s Ts  KRTD s  KR s       c  T 0   KR   D

e0 

c  TD . KR

Slično kao i u prethodnom primjeru, i u ovom je slučaju moguće postići točan odziv, ali samo ukoliko se usklade neki parametri kruga (KR i TD) s poremećajem z2, tj. u slučaju

c  TD . Utjecaj konstantnog poremećaja z3=d regulacijski krug uspješno otklanja. KR (5)

U ovom je primjeru zadano: GR  s   10 1  0.1s  , GS1  s  

1 1 , GS2  s   , GM  s   1 , 2s  1 s

G2  s   1 , G1  s   G3  s   0 , w  t   2t i z2  t   5t (predznak je negativan).

Proizlazi nadalje da je: G s

G s

Z2  0

W 0

210



GR GS1GS2 Xi 10  s   ,i 2 W 1  GR GS1GS2 2s  2s  10



Xi 1 GR GS1GS2 1 10  s 10  s .    2 3 Z2 GR 1  GR GS1GS2 10  s 2s  2s  10 2s  22s2  30s  100

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Korijeni oba polinoma nazivnika leže u lijevoj poluravnini kompleksne ravnine (s1=-10; s2=s3=-0,5±2,18j), što se može zaključiti iz nužnih i dovoljnih uvjeta stabilnosti, pa je trajno regulacijsko odstupanje kruga jednako:

E s 

E s 



1  Gd Gp  1 1  GdGp

W 

k

  GZ j 1

j

Zj

1  GdGp



GS1GS2 1 W Z , 1  GR GS1GS2 1  GRGS1GS2 2

2s 2  s 2 1 5  2 , 2 2 2s  2s  10 s 2s  2s  10 s2

     2s 2  s 2 1 5   e0  lim s  2   . s 0 2s  2 s  10 s 2  2s2  2 s  10 s 2       1   5

Analizirani regulacijski krug s PD regulatorom i stazom sastavljenom od serijski vezanih P1 i I članova (staza s astatizmom prvog reda) za zadanu vodeću veličinu i poremećaj ne može ostvariti praćenje željene pobude. Ukoliko bi se red funkcije poremećaja smanjio za jedan (konstantni poremećaj) tada bi praćenje bilo moguće uz neko stacionarno odstupanje. Dodatno smanjenje reda polinoma funkcije pobude za jedan (konstantna, odskočna pobuda) ne bi doprinijelo uklanjanju trajnog regulacijskog odstupanja, jer u ovako konfiguriranom sustavu zadani regulator ne može u potpunosti eliminirati negativan utjecaj poremećaja na točnost. (6)

U posljednjem primjeru ovog zadatka imamo: GR  s   KR , GS1  s   GM  s  

1 1 , GS2  s   , s 1 s 5

KM 1 , G2  s   1 , G3  s   , G1  s   0 , w  t   a , z2  t   c , s 1 s 1

z3  t   d , a

predznaci uz poremećaje su negativni.

Zbog ukupno tri pobude na sustav (nazivna veličina i dva poremećaja) imamo tri prijenosne funkcije:

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

211

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

G s G s G s



KR  s  1 GRGS1GS2 Xi   3 , W 1  GR GS1GS2GM s  7s2  11s  5  KR KM



GR GS1GS2 Xi 1 s  1 ,i   3 2 Z2 GR 1  GR GS1GS2GM s  7s  11s  5  KR KM



G3 GR GS1GS2 Xi s  1 .   3 2 Z3 GR GS1 1  GR GS1GS2GM s  7s  11s  5  KR KM

Z2  0 , Z3  0

W  0 , Z3  0

W  0 , Z2  0

Iz nužnih i dovoljnih uvjeta stabilnosti proizlazi da analiza točnosti ima smisla uz

5  KR KM  72 .

E s 

k



W   G

1  Gd Gp  1 1  GdGp

j 1

Zj Z j

1  GdGp



1  GR GS1GS2  GM  1 1  GR GS1GS2GM 

W

GS1GS2 Z  1  GR GS1GS2GM 2

G3GS2 Z , 1  GR GS1GS2GM 3

s3  7s2  s 11  KR   5  KR KM  KR a s 1 c  d , E s   3 3 2 2 s s  7s  11s  5  KR KM  s  s  7s  11s  5  KR KM

     3  2  c  d  s 1  s  7s  s 11  KR   5  KR KM  KR a  3 e0  lim s    , 3 2 2 s 0 s  s  s   K K s  7 s  11 s  5  K K 7 11 5 s s  R M R M       c d   KR 1 a 5  KR KM     5  K K R M    

e0  a 

 c  d  KR a . 5  KR KM

Iz dobivenog se rješenja može zaključiti da će zadani krug moći pratiti nazivnu veličinu, ali realno uvijek uz određenu grešku. Praćenje bez greške biti će moguće jedino u slučajevima kada su svi parametri kruga dovedeni u međusobni odnos definiran izrazom

a

cd , te uz 5  KR KM  72 (uvjet stabilnosti). KR  5  KR KM

212

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

1 1..7 7 F Frre ek kv ve en ncciijjssk ko op po od drru uččjje e

Za razliku od niza standardnih i prethodno spomenutih funkcija pobude (impulsna, odskočna, nagibna, parabolična), koje se koriste u analizi/sintezi sustava u vremenskom i kompleksnom području, te u prostoru stanja, metode iz frekvencijskog područja podrazumijevaju primjenu sinusne pobudne funkcije. Pritom će zaključci o dinamici linearnih sustava postavljeni u frekvencijskom području vrijediti i u vremenskom području. Prednosti analize i sinteze sustava u frekvencijskom području su višestruke metode su grafičkog tipa i nisu limitirane na sustave nižeg reda, primjena harmoničke pobude često više odgovara stvarnoj dinamici sustava, kvalitetnije je određivanje osjetljivosti sustava na šum i utjecaja varijacija parametara sustava na odziv, određivanje stabilnosti zatvorenog regulacijskog kruga provodi se na temelju dinamike otvorenog kruga, i druge. Jedna od značajnijih prednosti je i mogućnost analize sustava u slučajevima pobude sa složenim funkcijama koje je teško ili nemoguće transformirati u kompleksno područje. Naime, bilo koja funkcija ili signal pobude se primjenom Fourierove transformacije može predočiti kontinuiranim frekvencijskim spektrom, tj. nizom sinusnih funkcija različitih frekvencija, amplituda i faza. Upravo je takav oblik signala pogodan za daljnju analizu sustava u frekvencijskom području. Suma dobivenih sinusoidalnih funkcija biti će jednaka originalnoj ili transformiranoj funkciji.

Iako rasprava o Fourierovoj transformaciji prelazi sadržaj ove zbirke, samo ćemo ukratko navesti da se ona zasniva na multipliciranju funkcije ili signala x(t) s eksponencijalnom funkcijom kompleksne varijable, koja se (otprije je poznato) primjenom Eulerove transformacije može prikazati preko funkcija sinus i kosinus:

X   



 x t   e

 j t

dt , e jt  cos t   jsin t  .



Ako se u signalu x(t) nalazi spektralna komponenta (sinusoida) na frekvenciji , vrijednost integrala biti će proporcionalna amplitudi te komponente. U slučaju da komponenta na frekvenciji  u signalu x(t) ne postoji, integral će biti jednak nuli. Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

213

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Analiza dinamike linearnog sustava pobuđenog sinusnom funkcijom kružne frekvencije () i amplitude (Xu) – xu  Xusin  t  zasniva se na usporedbi s parametrima sinusoide izlaznog signala amplitude (Xi) i faznog pomaka () – xi  Xisin t    .

xu  X u sin   t 

xi  X i sin   t   

Pritom nam je od interesa ustanoviti omjer amplituda (pojačanje sustava) i iznos faznog pomaka (kašnjenje izlaznog signala za ulaznim, kašnjenje sustava). Preostali parametar kružna frekvencija, kod linearnih sustava ostaje nepromijenjen. Do omjera amplituda i faznog pomaka dolazimo preko prijenosne funkcije sustava: xu  Xusin t  L

 Xu  s   Xu

xi  Xisin t    L

G s 

Xi  s 

Xu  s 



 s  2

 Xi  s   Xi

s  sin      cos  

Xi  s  sin      cos    Xu 

(Tablica 1.2),

2

s2   2

(Tablica 1.2),

.

Na temelju prijenosne funkcije formirati ćemo sinusnu prijenosnu funkciju G(j) ili frekvencijsku karakteristiku sustava, uzevši u obzir da vrijedi G  j   G  s 

G  j  

Xi  j 

Xu  j 



Xi  j  sin      cos    Xu 



s  j

:

Xi X  jsin    cos     i e j , uz Xu Xu

e j  cos    j sin   .

Iz navedenog proizlazi da sinusna prijenosna funkcija predstavlja oblik prijenosne funkcije pomoću koje se opisuju neprigušene oscilacije nastale uslijed sinusne funkcije pobude ( s    j  j , jer je realni dio ili prigušenje σ=0). Drugim riječima, ona predstavlja odziv sustava u stacionarnom stanju uz sinusnu pobudu. Iz nje slijede traženi parametri: G  j  

Xi j e  G  j  e j , Xu

gdje modul funkcije (|G(j)|) predstavlja omjer amplituda izlaznog i ulaznog signala ili pojačanje sustava, a argument funkcije () kašnjenje ili fazni pomak izlaznog signala za 214

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

ulaznim. Modul od G(j) još se naziva i amplitudno-frekvencijska karakteristika (AFK), a fazni pomak fazno-frekvencijska karakteristika (FFK). U slučaju kad je sinusna prijenosna funkcija zapisana u obliku sume njezina realnog i imaginarnog dijela: G  j   Re G  j    j Im G  j   , modul i argument od G(j) mogu se izračunati prema izrazima G  j  

 Im G  j     . i   arctg   Re G  j      

 Re G  j     Im G  j   2

2

Ako je funkcija G(j) zapisana u formi kojom realni i imaginarni dio funkcije nisu jasno naznačeni, već se zapisuju posebno za brojnik, a posebno za nazivnik,

G  j  

Re G  j  

B

 j Im G  j  

B

Re G  j    j Im G  j   N N

,

tada se do traženih parametara dolazi pomoću izraza:

G  j  

     Re G  j     Im G  j   Re G  j  

2

B

 Im G  j   B

2

N

2

2

,i

N

 Im G  j          arctg  Im G  j    .  Re G  j     Re G  j      B   N  

  B  N  arctg 

Navedene je parametre sada potrebno odrediti za niz frekvencija ulaznog/izlaznog signala (od 0 do ∞), te ih zatim za cijeli frekvencijski raspon i grafički prikazati. Na temelju tako dobivenih grafičkih prikaza provodi se zatim analiza i sinteza sustava. U okviru ovog poglavlja odabrane su dvije najčešće grafičke metode iz frekvencijskog područja – Nyquistov i Bodeovi dijagrami, te će one biti detaljnije izložene u zadacima koji slijede. Ovom potpoglavlju pridružena je i Tablica 1.6 iz Priloga, u kojoj su izloženi Nyquistovi i Bodeovi dijagrami odabranih osnovnih dinamičkih članova i njihovih spojeva izvedenih u paralelnoj formi.

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

215

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

1 1..7 7..1 1 N Ny yq qu uiisstto ov v ii B Bo od de eo ov vii d diijja ag grra am mii

Zadatak 1.40

Riješite sljedeće primjere. (1)

Nacrtajte Nyquistov dijagram sustava opisanog prijenosnom funkcijom

(2)

2

Nacrtajte Nyquistov dijagram sustava opisanog prijenosnom funkcijom

(3)

2s  1 ; 2s  5s  5

G s 

10  s  1

G s 

s2

;

Nacrtajte Nyquistov dijagram zatvorenog regulacijskog kruga čiji su članovi opisani slijedećim Nyquistovim dijagramima.

G =1

G  0,5



(4)

1 1 TI

Nacrtajte Nyquistov dijagram otvorenog regulacijskog kruga čiji su članovi opisani slijedećim Nyquistovim dijagramima.

G=

(5)

Regulacijski

krug

regulacijske staze dinamike.

se

1 2

 =-

sastoji

GS  s  

Pojačanje

od

1 2s  3

amplitude

G =5

 4

 I

regulatora

1 1 TI ( GR  s  

K ), s

i mjernog člana zanemarive izlaznog

signala

otvorenog

regulacijskog kruga kod frekvencije  = 2 rad/s iznosi 4. Koliko iznosi pojačanje kruga (regulatora)? Nacrtajte Nyquistov dijagram zatvorenog regulacijskog kruga.

216

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Nyquistov dijagram podrazumijeva prikaz parametara sinusne prijenosne funkcije (AFK i FFK) u kompleksnoj (Gaussovoj) ravnini. Pritom svaka točka dijagrama pripada jednoj vrijednosti frekvencije ulaznog/izlaznog signala, a pozicija te točke u ravnini određena je parametrima AFK i FFK koji pripadaju toj frekvenciji. Stoga je prije samog crtanja potrebno za nekoliko odabranih vrijednosti frekvencija ulaznog/izlaznog signala odrediti parametre funkcije G(j) i zatim aproksimativno nacrtati krivulju koja opisuje odziv sustava za sve frekvencije od 0 do ∞. Pritom se dijagram može crtati na temelju iznosa parametara AFK i FFK (polarne koordinate) ili korištenjem iznosa realnog ( Re G  j   ) i imaginarnog ( Im G  j   ) dijela sinusne prijenosne funkcije (Kartezijeve koordinate). Ovdje će se u svakom zadatku s Nyquistovim dijagramom izračunati i tablično prikazati svi parametri za odabrane frekvencije, ali je općenito dovoljno odabrati jedan pristup, jer oba vode k istom obliku krivulje. Rješenja: (1)

2s  1 slijedi sinusna prijenosna funkcija 2s  5s  5

Iz prijenosne funkcije G  s   G  j  

2j  1 2  j   5j  5 2

2





1  2j



5  2 2  5j

.

Uzevši u obzir da u dobivenom izrazu za funkciju G(j) nemamo jasno naznačeni realni i imaginarni dio, do AFK i FFK ćemo doći primjenom izraza

12  2 

2

G  j  

5  2 

2

2

 5 

2

12  4 2



...

4 4  5 2  25

 AFK  , i

 Im G  j          arctg  Im G  j    ,  Re G  j     Re G  j      B   N  

  B  N  arctg 

 2   5    B  N  arctg   arctg   2   1   5  2 

...

 FFK  .

Prije izračuna AFK i FFK za različite odabrane frekvencije, odrediti ćemo još i realni i imaginarni dio G(j), te i njih unijeti u tablicu. U tu ćemo svrhu racionalizirati nazivnik G(j) kako bismo se riješili imaginarnog dijela u nazivniku.

G  j  

5  2   5j  8  5  j 4  5 4  5  25 4  5  25    5j 5  2   5j 

1  2j

5  2

2

2

2

2

4

3

2

Re G  j  

4

2

Im G  j  

U slučaju da je sinusna prijenosna funkcija bila zadana u gornjem obliku, do AFK i FFK mogli smo doći i primjenom izraza Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

217

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

2

 Re G  j     Im G  j  



G  j  

64 6  24 4  105 2  25

 4

 4

4

2

 5 2  25



2



2

   4 3  5  8 2  5      , 4 2 4 2   4  5  25   4  5  25 

G  j  

2

4



 5 2  25 1  4 2

 4

4

 5 2  25



2



1  4 2 , 4 4  5 2  25

odnosno  4 3  5    3  Im G  j    4 2     arctg  4  5  25   arctg  4  5  .   arctg    2  Re G  j      8 2  5  8  5        4 4  5 2  25   xy  Uzevši u obzir da vrijedi relacija arctg  x   arctg  y   arctg   , proizlazi da je  1  xy 

  B  N

5   2   2   5  5  2 2  arctg   arctg   arctg   2   1   5  2   1  2 5  5  2 2 

   4 3  5    arctg  . 8 2  5     

Prema tome, i u jednom i u drugom slučaju dolazimo do istih izraza za frekvencijske karakteristike AFK i FFK, što je i logično s obzirom na činjenicu da ti parametri proizlaze iz iste sinusne prijenosne funkcije sustava. Nakon postavljanja svih potrebnih izraza, a prije crtanje dijagrama, sada možemo odrediti i našu tablicu. U odabiru frekvencija za koje ćemo računati parametre funkcije G(j) polazimo od uvriježenog pravila da se za prvu i zadnju vrijednost uzimaju =0 rad/s i =∞ rad/s, a uz njih još i proizvoljni broj proizvoljno odabranih vrijednosti potrebnih za ispravno skiciranje Nyquistovog dijagrama. U ovom je slučaju odabrano pet frekvencija =[0, 1, 2, 3, ∞] rad/s.

 rad/s

0

1

2

3

∞

G  j 

0,2

0,38

0,39

0,31

0

0

4,4

-30,74

-50,38

-90

Re G  j  

0,2

0,38

0,34

0,2

0

Im G  j  

0

0,03

-0,2

-0,24

0



0

Fazni pomak ili fazno-frekvencijska karakteristika može biti izražena u stupnjevima ili radijanima.

Uvrštavanjem

zadanih

vrijednosti

kružnih

frekvencija

u

prethodno

postavljene izraze za FFK dobiva se iznos faznog pomaka u radijanima, jer su kružne frekvencije definirane u rad/s.

218

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

Kako je u zadacima koji slijede odabran grafički prikaz FFK u stupnjevima, dobiveni su kutovi prije uvrštavanja u tablicu preračunati u stupnjeve – 

  rad  .    180  0

Na primjeru odabrane dvije točke dijagrama, koje pripadaju frekvencijama  = 1 rad/s i

 = 2 rad/s, pokazuje se crtanje dijagrama preko polarnih koordinata, dok su za preostale tri točke naznačene samo vrijednosti pripadajućih frekvencija i frekvencijskih karakteristika.

0,1 0,05

Im

0 -0,05 -0,1 -0,15 -0,2 -0,25 -0,1

0

0,1

0,2 Re

0,3

0,4

Udaljenost od ishodišta do točke na krivulji koja pripada razmatranoj frekvenciji predstavlja modul sinusne prijenosne funkcije ili amplitudno-frekvencijsku karakteristiku. Kut koji s pozitivnim dijelom realne osi (Re≥0, Im=0) zatvara pravac koji spaja razmatranu točku s ishodištem predstavlja argument sinusne prijenosne funkcije ili fazno-frekvencijsku karakteristiku. U slučaju pozitivnih vrijednosti FFK (izlazni signal prethodi ulaznom), otklon pravca s obzirom na pozitivni dio realne osi suprotan je smjeru kretanja kazaljke na satu, a za negativne vrijednosti (izlazni signal kasni za ulaznim) pravac je zakrenut u smjeru kazaljke sata. U slučaju crtanja Nyquistovog dijagrama korištenjem polarnih koordinata potrebno je još i poznavati kvadrant u kojem se nalazi analizirana točka dijagrama, jer FFK nije jednoznačno određena svojom arkus tangens funkcijom. Ukoliko se točka nalazi u I. ili II. kvadrantu izračunati fazni kut biti će jednak stvarnom kutu. Međutim, ukoliko je točka u III. ili IV. kvadrantu, tada se do stvarnog kuta dolazi oduzimanjem izračunatog kuta sa 1800 (  ).

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

219

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

U tom će slučaju funkcija arctg biti ista za oba kuta, ali će samo onaj korigirani rezultirati točnim izgledom krivulje. Odluka o tome u kojem će se kvadrantu nalaziti razmatrana točka dijagrama ovisiti će o trendu krivulje, odnosno pozicijama ostalih točaka (vidi slijedeći primjer), ili iznosima realnih i imaginarnih vrijednosti funkcije G(j). U tom smo smislu do prethodno prikazanog Nyquistovog dijagrama mogli doći i korištenjem iznosa Re G  j   i Im G  j   za odabrane frekvencije, tj. Kartezijevih koordinata, koje omogućuju nešto jednostavniji pristup crtanju dijagrama. Ovaj pristup će se koristiti i u preostalim zadacima u nastavku koji uključuju crtanje Nyquistovog dijagrama. S tim u svezi slijedi jedna bitna opaska. U većini prikazanih dijagrama u nastavku zbirke mjerila na realnoj i imaginarnoj osi nisu ista i to u cilju što jasnijeg prikaza krivulja i njihovih parametara. Stoga čitateljima koji se odluče na crtanje Nyquistovih dijagrama preko polarnih koordinata, tj. primjenom AFK i FFK, savjetujemo primjenu istog mjerila na obje osi kompleksne ravnine kako bi se olakšao postupak crtanja i dobio što precizniji oblik krivulje pogodan za daljnju analizu sustava.

Re=0,38 Im=0,03 =1

0,1 Re=0 Im=0 =

0,05

Im

0

Re=0,2 Im=0 =0

-0,05 -0,1 -0,15

Re=0,2 Im=-0,24 =3

-0,2 -0,25 -0,1

0

0,1

0,2 Re

0,3

Re=0,34 Im=-0,2 =2

0,4

Iz dobivenog se dijagrama zadanog sustava može zaključiti da će izlazni signal kod nižih frekvencija (do približno 1 rad/s) prethoditi ulaznom (utjecaj D djelovanja u sustavu), a nakon toga će porastom frekvencija početi sve više kasniti za ulaznim (prevladavajući utjecaj proporcionalnog djelovanja u sustavu). Maksimalno kašnjenje iznositi će 900. S druge strane, amplituda izlaznog signala također će rasti porastom frekvencija sve do neke frekvencije 21 rad/s sustav će prigušivati signal pobude (|G(j)|dB0 R

-180 -2

10

-1

10

0

10

1

10  (rad/s)

2

10

3

10

Budući da se FFK asimptotski približava vrijednosti -1800, možemo reći da frekvencija kritične faze 2  ∞. Kako je vrijednost 1 negdje oko 20 rad/s (točna vrijednost je nešto

264

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

manja, jer je AFK nacrtan u formi asimptotskog prikaza, a ne stvarne krivulje!), proizlazi

1  2  zatvoreni je sustav stabilan (postoji fazna rezerva). I korijeni sustava to potvrđuju.

GZ  s  

2s  10  s1 = -4,26; s2,3 = -13, 37 ±18, 37j . 0, 005s + 0,155s2 + 3,15s +11 3

(4)

U ovom je primjeru GO  s  

2s2  10s . 20s2  12s  1

|G(j )| (dB)

20  ' 1

0

1

-20 -2

-1

10

10

0

10  (rad/s)

1

10

2

10

90 45 0

o

( )

 ''

 ( ')>0

-90 -180

1

 ( ")>0 1

-2

10

-1

10

0

10  (rad/s)

1

10

2

10

Prema asimptotskom prikazu proizlazi da će nam u intervalu frekvencija [1', 1''] pojačanje sustava biti |G(j)|=1, tj. |G(j)| dB = 0. Kako su u tom području frekvencija kašnjenja sustava [ (1'),  (1")] > -1800 sustav je stabilan. Realno, stvarna AFK ne siječe os  (|G(j)| dB < 0 za sve frekvencije), već se u navedenom području samo približi toj osi (maksimalni |G(j)| = 0,83 < 1), a što se može vidjeti iz Nyquistovog dijagrama, koji također potvrđuje stabilnost zatvorenog kruga.

Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja – Jednovarijabilni sustavi

265

Jednovarijabilni linearni vremenski-invarijantni kontinuirani sustavi

0,5

 ' 1

0,4 0,3 0,2 Im

0,1 0

(-1, 0j)

= =0

-0,1 -0,2 -0,3

 '' 1

-0,4 -0,5

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 Re

0,2 0,4 0,6 0,8

(5)

Otvoreni regulacijski krug u posljednjem primjeru ovog zadatka ima član s transportnim kašnjenjem u direktnoj grani, a prijenosna funkcija otvorenog kruga glasi: 10s  60 e0 ,4 s . s  7s  12

G s 

|G(j )| (dB)

2

20 

AR