Teorija automatskog upravljanja 2

Citation preview

LINEARNI I NELINEARNI, VREMENSKI KONTINUALNI SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

K?

ISTOČNO SARAJEVO, 2007.

Čedomir S. Milosavljević (1940., s. Jovac, Vladičin Han, Srbija). Osnovnu školu pohađao u s. Jovcu, Vranju i s. Stublu, a srednju (elektroenergetika) diplomirao 1959. u Nišu. Kao tehničar radio u Termoelektrani RTB-Bor. Studije započeo 1960. u Skoplju (elektromašinstvo), nastavio u Nišu (elektronika), gde 1962. postaje pogonski inženjer. Kao stipendista EI-Niš (1962.-66.) studije nastavlja u Moskvi, na Moskovskom energetskom institutu (Fakultet za Automatiku i računarsku tehniku, Profil za automatiku). Kao Dipl. inž. radio u EI-Niš (Fabrika profesionalne elektronike (1966.-74.), Istraživačko razvojni institut (1974.-77.)). Magistrirao (1975.) na Elektronskom fakultetu u Nišu iz oblasti automatike (Optimalno upravljanje procesom apsorpcije u apsorberima sa ispunom). 1977.-78. godine je profesor Više škole za obrazovanje radnika u Nišu. Od 1978. radi na Elektronskom fakultetu u Nišu. Doktorirao na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (1982.) iz oblasti Automatskog upravljanja (Neki problemi diskretne realizacije zakona upravljanja sistema sa promenljivom strukturom). Osnivač je Katedre za automatiku na Elektronskom fakultetu u Nišu i njen šef (1985.2002.) Organizovao je diplomsku i postdiplomsku nastavu iz oblasti automatike na Elektronskom fakultetu u Nišu.

Autor je osam udžbeničkih publikacija i preko 200, stručnih i drugih radova, objavljenih u poznatim nacionalnim i internacionalnim časopisima ili u zbornicima radova naučnih konferencija. Pionir je u istraživanju digitalnih sistema promenljive strukture, sa u svetu zapaženim rezultatima (Citation index iznad 100). Autor je V poglavlja: “Discrete-Time VSS” u monografiji: “Variable structure systems: from principles to implementation”, Ed.: A. Šabanović, L. Fridman, S. Spurgeon, The IEE Press, London, 2004. Osnivač je Laboratorije za automatiku na Elektronskom fakultetu. Konstruisao je oko 50 uređaja i sistema iz oblasti automatike za lab. vežbe studenata i za industrijsku proizvodnju a neki od njih su bili u serijskoj proizvodnji (servostabilizatori mrežnog napona, tiristorski stabilizatori napona, tiristorski regulatori brzine obrtanja jednosmernih motora, regulatori temperature, frekventni regulatori brzine obrtanja asinhronih motora i dr.). Kao mentor uspešno je vodio veliki broj diplomaca, 12 magistranata i četiri doktoranta. Kao gostujući profesor od 1997. god. izvodi nastavu iz Teorije automatskog upravljanja na Elektrotehničkom fakultetu u Istočnom Sarajevu. Recenzent je časopisa: Automatica Internacionalne federacije za automatiku (IFAC); IEEE Trans. on Automatic Control, IEEE Trans. on Industrial electronics i dr. Bio je External examiner jedne doktorske disertacije na Indian Institut of Technology, Bombay. Jedan je od osnivača Društva za energetsku elektroniku u N. Sadu, član je Programskog odbora konferencija: Ee, N. Sad i CONTI Temišvar, Rumunija. Detaljne reference videti na sajtu:

http://www.elfak.ni.ac.yu/phptest/ne w/licne_prezentacije/cedomir_milos avljevic/index.htm

KRATAK SADRŽAJ Predgovor Glava 1:

Matematičko modelovanje dinamičkih sistema

1

Glava 2: Određivanje odziva sistema na osnovu modela u prostoru stanja45 Glava 3: Prostor stanja i osobine sistema 67

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja 91 Glava 5: Uvod u nelinearne SAU Glava 6: Metoda faznog prostora

133

143

Glava 7: Metoda harmonijske linearizacije. Opisna funkcija 157 Glava 8: Stabilnost nelinearnih sistema Glava 9: Nelinearni zakoni upravljanja

203

169

Registar 239

a

DETALJAN SADRŽAJ Predgovor

Glava 1: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema 1 1.1 Uvod 1 1.2 Modelovanje mehaničkih sistema 2 1.3 Metoda prostora stanja sistema 8 1.3.1 Matrični model linearnih električnih mreža 11 1.4 Transformacija matematičkih modela iz prostora stanja u kompleksni domen 14 1.4.1 Primena MATLAB-a za transformacija modela iz prostora stanja - kompleksni domen 16 1.5 Transformacija modela ulaz-izlaz u prostor stanja. Računarska simulacija dinamičkih sistema 18 1.5.1 Simulacija dinamičkih sistema na osnovu funkcije prenosa 22 1.5.1.1 a) b) c) 1.5.1.2 a) b) 1.5.1.3 a) b)

Direktno programiranje 22 Kanonička kontrolabilna forma 22 Modifikovana kanonička forma 24 Kanonička opservabilna forma 25 Redno programiranje 30 Redno programiranje sistema bez konačnih nula 30 Redno programiranje sistema s konačnim nulama 31 Paralelno programiranje 34 Funkcija prenosa ima proste polove. Dijagonalna forma 34 Funkcija prenosa ima višestruke polove. Blok-dijagonalna forma 35

1.5.2 MATLAB transformacija modela ulaz-izlaz - prostor stanja Literatura 40 Pitanja za samoproveru 40 Zadaci za vežbu 42

38

Glava 2: Određivanje odziva sistema na osnovu modela u prostoru stanja45 2.1 Fundamentalna matrica i odziv sistema 45 2.1.1 Primena MATLAB-a za nalaženje odziva sistema 47 2.2 Diskretni model vremenski kontinualnog sistema 48 2.2.1 Primena MATLAB-a za transformaciju modela u diskretni domen 50 2.3 Fundamentalna matrica Džordanove submatrice 51 2.4 Fundamentalna matrica kompanjon forme 52 2.5 Transformacija modela u prostoru stanja 55 2.5.1 Svođenje sistema na dijagonalnu formu 56 2.5.1.1

58

Primena MATLAB-a za transformaciju u dijagonalnu formu

2.5.2 Svođenje sistema na kanoničku kontrolabilnu formu

57

a

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2 2.5.2.1

Primena MATLAB-a za transformaciju u kontrolabilnu formu 60

2.5.3 Svođenje sistema na Džordanov oblik 2.5.3.1

62

60

Primena MATLAB-a za svođenje na Džordanov oblik

2.6 Procesi u linearnim SAU Literatura 64 Pitanja za samoproveru 65 Zadaci za vežbu 66

Glava 3: Prostor stanja i osobine sistema 67 3.1 Uvod 67 3.2 Kontrolabilnost (Upravljivost) 68 3.2.1 Kontrolabilnost vremenski diskretnih sistema 69 3.2.2 Kontrolabilnost vremenski kontinualnih sistema 70

62

71

3.2.3 Kontrolabilnost izlaza sistema 72 3.3 Opservabilnost (stanjemerljivost) sistema 72 3.3.1 Primena MATLAB-a za utvrđivanje opservabilnosti 3.4 Princip dualnosti 73 3.5 Alternativni testovi kontrolabilnosti i opservabilnosti 74 3.5.1 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti na osnovu simulacionih šema (grafa toka signala) 74 3.5.2 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti na osnovu kanoničke dijagonalne forme 75 3.5.3 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti u s-domenu 76 3.6 Superkontrolabilnost 78 3.7 Dekompozicija sistema 78 3.7.1 Primena MATLAB-a za dekompoziciju sistema 80 3.8 Stabilizabilnost sistema 81 3.9 Zadatak minimalne realizacije 82 3.10 Prostor stanja i stabilnost sistema 83 3.10.1 Druga (direktna) metoda Ljapunova 83 3.2.2.1 Primena MATLAB-a za utvrđivanje kontrolabilnosti

Literatura 87 Pitanja za samoproveru Zadaci za vežbu 89 3.10.1.1

Primena MATLAB-a za ispitivanje stabilnosti sistema

87

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja 91 4.1 Uvod 91 4.2 Povratna sprega po stanju ili po izlazu 91 4.2.1 Sistem s povratnom spregom po stanju 92 4.2.2 Sistem s povratnom spregom po izlazu 93 4.3 Projektovanje povratne sprege po stanju 93 4.3.1 Izbor spektra polova 93 4.3.2 Podešavanje spektra polova sistema 94 4.3.2.1 4.3.2.2

Sistemi sa skalarnim upravljanjem 95 Akermanova formula 98

4.3.2.2.1 MATLAB i Akermanova formula 4.3.3 Sistemi s vektorskim upravljanjem 99

b

86

TAU-2: Sadržaj

4.3.3.1 Prvi način sinteze - svođenje na skalarni slučaj 99 4.3.3.2 Drugi način sinteze - slučaj prostih sopstvenih vrednosti 4.3.3.2.1 MATLAB i podešavanje polova 102 4.3.3.3 Treći način sinteze - opšti slučaj 105

100

Projektovanje optimalne povratne sprege po stanju 111 4.4.1 MATLAB i optimalna povratna sprega 4.5 Sinteza neinteraktivnih sistema. Rasprezanje 116 4.5.1 Metoda Boksenboma i Huda 117 4.5.2 Rasprezanje kombinovanim kompenzatorom 121 4.6 Opserveri. Sinteza opservera 122 Literatura 129 Pitanja za samoproveru 130 Zadaci za vežbu 131 4.4

Glava 5: Uvod u nelinearne SAU 133 5.1 Uvod 133 5. 2 Strukturna blok-šema nelinearnih SAU 134 5.3 Tipične nelinearnosti i njihove karakteristike 135 5.4 Matematički modeli nelinearnih elemenata 137 5. 5 Linearizacija nelinearnih elemenata 138 5.5.1 Satička linearizacija 138 5.5.2 Diferencijalna linearizacija 138 5.5.3 harmonijska linearizacija 138 5.5.4 Stohastička linearizacija 139 Literatura 141 Pitanja za samoproveru 141 Zadaci za vežbu 142

Glava 6: Metoda faznog prostora 143 6.1 Pojam faznih trajektorija, fazne ravni i faznog portreta 143 6.2 Osobine faznih trajektorija 144 6.3 Jednačine faznih trajektorija 144 6.4 Načini konstrukcije faznih trajektorija 146 6.5 Fazni portreti linearnih sistema 146 6.6 Singularne fazne trajektorije 150 Literatura 154 Pitanja za samoproveru 155 Zadaci za vežbu 156

Glava 7: Metoda harmonijske linearizacije. Opisna funkcija 157 7.1 Uvod 157 7.2 Određivanje koeficijenata harmonijske linearizacije 159 7.3 Primena kriterijuma Mihajlova za utvrđivanje parametara samooscilacija 162 7.4 Primena kriterijuma Nikvista za utvrđivanje parametara samooscilacija. Metoda Goljdfarba 163 Literatura 167 Pitanja za samoproveru 167 Zadaci za vežbu 168

c

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

Glava 8: Stabilnost nelinearnih sistema 169 8.1 Definicija stabilnosti nelinearnih sistema 169 8.2 Definicija stabilnosti po Ljapunovu 172 8.2.1 Prva (indirektna) metoda Ljapunova 175 8.2.2 Druga (direktna) metoda Ljapunova 177 8.3 Lurjeov problem 181 8.4 Frekvencijska metoda Popova 184 8.4.1 Geometrijska interpretacija kriterijuma Popova 187 8.4.2 Modifikacija kriterijuma stabilnosti Popova 189

190

8.4.3 Apsolutna stabilnost sistema sa nestacionarnom nelinearnošću 192 8.5 Stabilnost prinudnih procesa u nelinearnim sistemima 193 Literatura 199 Pitanja za samoproveru 199 Zadaci za vežbu 201 8.4.2.1

Cipkinov parabolični kriterijum apsolutne stabilnosti

Glava 9: Nelinearni zakoni upravljanja 203 9.1 Klasični nelinearni zakoni upravljanja 203 9.1.1 Dvopozicioni regulatori 203 9.1.1.1

9.1.1.2 9.1.1.3 9.1.1.4 9.1.1.5 9.1.1.6 9.1.1.7 9.1.1.8

9.2

Dvopozicioni regulator s histerezisom na astatičkom objektu prvog reda bez kašnjenja 205 Dvopozicioni regulator s histerezisom na astatičkom objektu prvog reda s kašnjenjem 207 Dvopozicioni regulator bez histerezisa na astatičkom objektu prvog reda s kašnjenjem 208 Dvopozicioni regulator s histerezisom na statičkom objektu prvog reda bez kašnjenja 208 Dvopozicioni regulator s histerezisom na statičkom objektu prvog reda s kašnjenjem 209 Dvopozicioni regulator bez histerezisa na statičkom objektu prvog reda s kašnjenjem 213 Dvopozicioni regulator s histerezisom na astatičkom objektu drugog reda 213 Dvopozicioni impulsni regulator 214

Zakoni upravljanja promenljive strukture. Klizni režimi 9.2.1 Uvod 215 9.2.2 SUPS Jemeljjanova s kliznim režimom. Kvazirelejni algoritam upravljanja 217 9.2.3 Relejni algoritam upravljanja 221 9.2.4 Kombinovani i drugi algoritmi upravljanja 223 9.2.5 Metoda ekvivalentnog upravljanja 230 9.2.5.1 9.2.5.2

Skalarno upravljanje Vektorsko upravljanje

Literatura 236 Pitanja za samoproveru 236 Zadaci za vežbu 238 Registar 239

d

230 232

215

PREDGOVOR Teorija automatskog upravljanja (TAU) - naučno-tehnička disciplina s burnim razvojem u drugoj polovini XX veka. Ova knjiga je udžbenik za predmet pod nazivom TAU-2, za studente Elektrotehničkog fakulteta Univerziteta u Istočnom Sarajevu, gde je autor izvodio nastavu u proteklom desetogodišnjem periodu u okviru predmeta: TAU, za studente profila Automatika i elektronika i Sistemi automatskog upravljanja (SAU), za studente profila Elektroenergetika. Prelaskom na Bolonjski proces studiranja, nastava iz TAU odvija se u dva jednosemestralna predmeta: TAU-1 i TAU-2. Prvi predmet obuhvata klasičnu teoriju vremenski kontinualnih SAU, u kojoj se analiza i sinteza vrši u kompleksnom domenu, primenom funkcija prenosa sistema odnosno modela ulaz-izlaz. Drugi predmet obuhvata oblast koja se može nazvati savremena teorija vremenski kontinualnih SAU i sastoji se iz dve tematske celine: koncepcija prostora stanja u analizi i sintezi linearnih sistema upravljanja (četiri poglavlja) i osnove teorije nelinearnih sistema upravljanja (pet poglavlja). U prvom poglavlju - Matematičko modelovanje dinamičkih sistema- opisane su metode za dobijanje matematičkih modela dinamičkih sistema u prostoru stanja. Najpre se daju Lagranžeove jednačine kao najpogodniji način za dobijanje matematičkih modela mehaničkih (i ne samo mehaničkih) dinamičkih sistema. Na nekoliko primera linearnih i nelinearnih sistema prikazan je postupak primene ovog načina. Zatim se prikazuje jedan postupak za dobijanje matematičkog modela u prostoru stanja linearnih električnih mreža, a koji se uspešno može koristiti i za mehaničke i elektromehaničke sistema uz primenu elektromehaničkih analogija. Nakon dobijanja matematičkog modela u prostoru stanja, daje se postupak transformacije tog modela u model ulaz-izlaz. U

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja -2 drugom delu ovog poglavlja obrađeni su postupci transformacije matematičkog modela ulaz-izlaz u model u prostoru stanja putem tzv. metoda programiranja analognih računara. Na taj način se delimično dotiču problemi simulacije dinamičkih sistema na računarima. S obzirom na to da današnji personalni računari imaju mogućnost imitacije rada analogmnih računara, ova oblast modelovanja je od izuzetne važnosti za savremene inženjere. Detaljno su obrađene tehnike direktnog, rednog i paralelnog programiranja i neke njihove modifikacije. Na nizu primera prikazuju se postupci primene ovih tehnika za dobijanja matematičkih modela sistema u prostoru stanja. Savremena softverska podrška omogućava brza i tačna rešavanja niza praktičnih problema iz područja upravljanja na personalnim računarima. Zbog toga su u ovom kursu uključeni elementi MATLAB-a, jednog od najpoznatijih softverskih paketa za sisteme upravljanja. U ovom poglavlju su dati instrukcije i primeri za primenu MATLAB-a u transformaciji modela iz prostora stanja u funkciju prenosa, kao i transformacije funkcije prenosa u model u prostoru stanja. Drugo poglavlje - Odzivi sistema u prostoru stanja- je posvećeno nalaženju odziva sistema na osnovu modela u prostoru stanja. Najpre se definiše fundamentalna matrica sistema i njen oblik za kanoničku dijagonalni formu matematičkog modela sistema. Zatim se definišu impulsni i odskočni odzivi sistema u prostoru stanja i odziv na bilo koju pobudu uz istovremeno delovanje i početnih uslova. Takođe se uvodi diskretni model vremenski kontinualnog sistema. U nastavku su izvedene relacije za određivanje fundamentalne matrice za blok-dijagonalnu (Džordanovu) formu i kompanjon formu matrice stanja. S obzirom na pogodnosti primene različitih modela u analizi i sintezi, date su metode za transformaciju matematičkih modela u prostoru stanja: svodjenje na dijagonalnu formu, svodjenje na kanoničku kontrolabilnu formu i svodjenje na blok-dijagonalnu formu. Poglavlje se završava analizom procesa u linearnom sistemu. Sva teorijska izlaganja su propraćena odgovarajućim numeričkim primerima. Takođe su dati MATLAB prilazi za određivanje odziva sistema i transformaciju matematičkih modela u prostoru stanja. Treće poglavlje- Prostor stanja i osobine sistema- je posvećeno osobinama sistema proisteklim iz koncepcije prostora stanja sistema kao što su: kontrolabilnost, opservabilnost, stabilizabilnost. Najpre je dat kraći istorijski osvrt njihovog nastanka, a zatim su izvedeni uslovi kontrolabilnosti vremenski diskretnih i vremenski kontinualnih sistema; uslovi opservabilnosti, princip dualnosti, dekompozicija sistema, stabilizabilnost, minimalna realizacija. Poglavlje se završava analizom stabilnosti sistema u prostoru stanja na osnovu direktne metode Ljapunova. Kao i u prethodna dva poglavlja izlaganje je propraćeno nizom numeričkih primera i instrukcijama za primenu MATLAB-a u određivanju kontrolabilnosti, opservabilnosti, dekompozicije i stabilnosti sistema. Četvrto poglavlje - Sinteza sistema u prostoru stanja - započinje analizom primene povratne sprege po stanju i povratne sprege po izlazu. Zatim se razmatra problem podešavanja sopstvenih vrednosti sistema uvodjenjem povratne ii

Predgovor sprege po stanju. Date su dve metode projektovanja sistema sa skalarnim upravljanjem. Prva metoda je izvedena preko kanoničkog kontrolabilnog modela sistema, a druga koristi Akermanovu formulu. Za projektovanje sistema sa vektorskim upravljanjem daju se tri načina sinteze. Prvi svodi problem na skalarni slučaj. Drugi prilaz se odnosi na sisteme sa zahtevanim prostim sopstvenim vrednostima, dok je treći - opšti prilaz koji se može primeniti kako za proste tako i za višestruke zahtevane sopstvene vrednosti. Dalje se izlaže projektovanje optimalne povratne sprege (Kalmanovog regulatora), sinteza raspregnutih sistema, gde si izlažu dva prilaza: metoda Boksenboma i Huda, pogodna za sisteme sa manjim brojem ulaza i izlaza i model sistema ulaz-izlaz i kombinovana metoda za primenu na modele u prostoru stanja. Poglavlje se završava sintezom opservera. Sva izlaganja su propraćena adekvatnim numeričkim primerima i primerima korišćenja MATLAB-a u sintezi povratne sprege po stanju i Kalmanovog regulatora. U petom poglavlju - Uvod u nelinearne SAU - date su osnovne odlike nelinearnih u odnosu na linearne SAU, tipizacija nelinearnih elemenata, matematičko modelovanje istih i metode linearizacije nelinearnih elemenata. Šesto poglavlje - Metoda faznog prostora- je skoncentrisano na faznu ravan i definiciju osnovnih tipova faznih portreta linearnih sistema, na odlikama faznih portreta nelinearnih sistema kao i na mogućnost kompozicije faznih portreta nelinearnih sistema na osnovu faznih portreta linearnih sistema. Na jednom primeru je detaljno pokazan način kompozicije faznih portreta sa različitim tipovima nelinearnih elemenata u upravljačkom delu sistema. Sedmo poglavlje- Metoda harmonijske linearizacije - je posvećeno jednoj inženjerskoj metodi analize nelinearnih sistema u kojima je oscilatorni režim normalni radni režim rada, a zadatak se svodi na određivanju parametara samooscilacija. Najpre je definisana opisna funkcija nelinearnih elemenata, zatim način određivanja koeficijenata harmonijske linearizacije. Zatim se daju dve metode za utvrđivanje egzistencije samooscilacija u sistemu: prva je zasnovana na kriterijumu stabilnosti Mihajlova, a druga - na kriterijumu stabilnosti Nikvista. Daju se numerički primeri određivanja koeficijenata harmonijske linearizacije i nalaženja parametara samooscilacija u sistemu. Osmo poglavlje - Stabilnost nelinearnih sistema - detaljno obrađuje osnovne probleme u analizi stabilnosti nelinearnih SAU. Izložene su osnovne istorijske činjenice u vezi sa ovom složenom materijom u okviru kojih su istaknute hipoteze Ajzermana i hipoteza Kalmana, zatim su obrađene indirektna i direktna metoda Ljapunova, Lurjeov problem u određivanju funkcije Ljapunova sa prilogom Lefšeca i Lasala. Detaljno je izvedena frekvencijska metoda Popova za sisteme sa stabilnim i njene modifikacije za sisteme sa nestabilnim linearnim delom. Poglavlje se završava analizom stabilnosti procesa neautonomnog nelinearnog sistema. Materija je ilustrovana brojnim numeričkim primerima. U poslednjem, devetom poglavlju - Nelinearni zakoni upravljanja - dati su neki nelinearni zakoni upravljanja, U prvom delu su analizirani sistemi sa dvopozicionim regulatorima sa ili bez histerezisa u upravljanju statičkim ili iii

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja -2 astatičkim objektima prvog reda sa ili bez transportnog kašnjenja. Osnovna pažnja je posvećena određivanju parametara samooscilacija u sistemu. U drugom delu su dati osnove teorije sistema upravljanja promenljive strukture kao jedne podklase nelinearnih sistema sa relejnim upravljanjem. Sva izlaganja su propraćena numeričkim primerima i simulacionim rezultatima. Svako poglavlje u knjizi se završava spiskom korišćene literature za to poglavlje. Posebno treba istaći da se na kraju svakog poglavlja nalaze Pitanja za samoproveru znanja i Zadaci za vežbu. Pitanja za samoproveru su tako koncipirana da se na njih može odgovarati ako se dobro poznaje materija predmetnog poglavlja. To su ustvari iskazi u kojima su izostavljene pojedine ključne reči koje treba student da unese. Ova pitanja - iskazi- mogu poslužiti kao test pitanja prilikom polaganja kolokvijuma ili ispita. Zadaci za vežbu se mogu koristiti kao domaći zadaci koje studenti rešavaju u procesu učenja. Ova knjiga se bazira na materiji izloženoj u knjigama Osnovi automatike - I deo (koncepcija prostora stanja) i Osnovi automatike - II deo u izdanju Elektronskog fakulteta u Nišu i Elektrotehničkog fakulteta u Istočnom Sarajevu, 2002. godine. Pored ispravke uočenih grešaka, u ovoj knjizi su unete brojne izmene kao što su uvođenje elemenata primene MATLAB-a u analizi i sintezi sistema, nove opšte metode za sintezu povratne sprege po stanju, proširen je broj numeričkih primera, uvedena su Pitanja za samoproveru znanja i Zadaci za vežbu. U procesu učenja kod studenata postoje dva prilaza. Dominantan prilaz je da se učenje odvija putem rešavanja numeričkih zadataka bez dubljeg ulaženja u teoriju. Drugi prilaz je da se najpre dobro izuči teorija a da se provera usvojenosti gradiva vrši na numeričkim primerima. Dugogodišnje nastavno iskustvo autora je pokazalo da prvi prilaz učenju ne daje dobre rezultate. Moj savet studentima je da se orjentišu na drugi način osvajanja znanja iz ove (i drugih) oblasti. Osim toga, proces studiranja podrazumeva svestrano izučavanje odgovarajuće oblasti putem praćenja klasične i savremene literature. Ako se u procesu učenja najpre redovno pohađaju sva predavanja i vežbe i na njima aktivno sudeluje vođenjem beležaka, postavljanjem pitanja i aktivnim učešćem u rešavanju zadataka na auditornim vežbama; izučavanjem tih beležaka istog dana nakon nastave, uz konsultaciju sa osnovnim udžbenikom i drugom dostupnom literaturom, tada je za završnu pripremu ispita potrebno samo nekoliko dana na osnovu beležaka, odnosno ispit se uspešno završava putem kolokvijuma i domaćih zadataka.

Avgusta 2007.

iv

Autor

Glava 1: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema 1.1 Uvod 1 1.2

Modelovanje mehaničkih sistema 2

1.3

Metoda prostora stanja sistema

8

11

1.3.1 Matrični model linearnih električnih mreža 1.4

Transformacija matematičkih modela iz prostora stanja u kompleksni domen

14

1.4.1 Primena MATLAB-a za transformacija modela iz prostora stanja - kompleksni domen 1.5

16

Transformacija modela ulaz-izlaz u prostor stanja.

Računarska simulacija dinamičkih sistema 18

1.5.1 Simulacija dinamičkih sistema na osnovu funkcije prenosa 22 1.5.1.1

Direktno programiranje

a) Kanonička kontrolabilna forma b) Modifikovana kanonička forma c) Kanonička opservabilna forma 1.5.1.2

Redno programiranje

22

22

24

25

30

a) Redno programiranje sistema bez konačnih nula b) Redno programiranje sistema s konačnim nulama 1.5.1.3

Paralelno programiranje

34

30

31

a) Funkcija prenosa ima proste polove. Dijagonalna forma

34

b) Funkcija prenosa ima višestruke polove. Blok-dijagonalna forma

1.5.2 MATLAB transformacija modela ulaz-izlaz - prostor stanja Literatura

40

Pitanja za samoproveru Zadaci za vežbu

42

40

35

38

Glava 1. MATEMATIČKO MODELOVANJE DINAMIČKIH SISTEMA 1.1 Uvod U prethodnom kursu »Teorija automatskog upravljanja-1« istaknut je značaj matematičkog modelovanja sistema automatskog upravljanja kao dinamičkih sistema radi njihove naučne (matematičke) analize i sinteze. Istaknuto je da se matematički modeli dinamičkih sistema dobijaju na dva načina: (i) na osnovu primene fiziko-hemijskih zakona na procese koji se odvijaju u sistemu i (ii) na osnovu eksperimentalnih ogleda. Kod linearnih dinamičkih sistema matematički model se može zadavati u dva osnovna oblika: (i) u obliku funkcija prenosa ili (ii) u obliku diferencijalnih jednačina. Kada se radi o nelinearnim dinamičkim sistemima, modelovanje primenom funkcija prenosa nije moguće, osim kao simbolički prikaz, već se isključivo mora koristiti modelovanje pomoću difrencijalnih jednačina koje postaju nelinearne. Jedan poseban oblik zapisivanja diferencijalnih jednačina je tzv. normalan Košijev oblik, kada se na levoj strani nalaze prvi izvodi promenljivih sistema. Njegova primena na dinamičke sisteme je korišćena još u 19. veku. Međutim, u prvoj polovini 20. veka, kada su intenzivno izučavani procesi u linearnim sistemima upravljanja, dominantan način modelovanja sistema je bio putem funkcija prenosa, tj. analiza i sinteza sistema upravljanja se vršila u kompleksnom, odnosno frekvencijskom domenu. Sadržaj kursa »Teorija automatskog upravljanja-1« bio je u celosti posvećen analizi i sintezi sistema u tom domenu. U drugoj polovini 20. veka, u vezi sa intenzivnim razvojem sistema upravljanja i njihove primene za rešavanje problema vođenja složenih, nelinearnih procesa, sve više se koristi modelovanje, analiza i sinteza sistema u vremenskom domenu, korišćenjem diferencijalnih jednačina kao prirodnog matematičkog prilaza. Upotrebom Košijeve normalne forme kao oblika zapisivanja diferencijalne jednačine, kod sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom, odnosno sistema diferencijalnih jednačina, kod sistema sa više ulaza i više izlaza, dovodi do intenzivnog korišćenja matrično-vektorskog prilaza u

^. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2 opisivanju sistema, što je rezultovalo uvođenjem prostora stanja sistema kao kompaktnog oblika matematičkog modelovanja dinamičkih sistema. U nastavku ovog poglavlja najpre ćemo dati jedan opšti postupak dobijanja matematičkog modela mehaničkih sistema primenom Lagranžeovih jednačina, na osnovu kojih se može lako dobiti model u Košijevom normalnom obliku. Nakon toga biće date osnovne definicije modela sistema u prostoru stanja i pokazati kako se dobija model u prostoru stanja linearnih električnih mreža. Zatim ćemo dati postupak transformacije linearnog matematičkog modela iz prostora stanja u kompleksni domen u cilju korišćenja metoda analize i sinteze sistema upravljanja u kompleksnom domenu. Drugi deo ovog poglavlja je posvećen transformaciji linearnih modela iz kompleksnog domena u prostor stanja. Radi toga se najpre uvodi simulacija dinamičkih sistema na računaru i tehnike programiranja analognih računara koje će nam pomoći da dobijamo različite pogodne modele u prostoru stanja za linearne dinamičke sisteme.

1.2 Modelovanje mehaničkih sistema Najopštiji način modelovanja mehaničkih sistema1 je primena jednačine, koja predstavlja sistem od n diferencijalnih jednačina koje opisuju dinamiku sistema pomoću generalisanih koordinata sanih brzina q&i . Lagranžeova jednačina u vektorskom obliku, konzervativan sistem, je: d  ∂Wk (q, q& )  ∂Wk (q, q& ) =Q, − ∂q& ∂q dt   a u skalarnom obliku: d  ∂Wk  ∂Wk = Qi , i = 1, n. −  dt  ∂q& i  ∂qi

Lagranžeove drugog reda, qi i generaliza slobodan

(1.1)

(1.2)

U ovim izrazima su: Wk - ukupna kinetička energija sistema koja je skalarna veličina, a Q-generalisana sila, n - je broj stepena slobode mehaničkog sistema. Ako sistem nije konzervativan, tada Lagranžeova jednačina ima oblik d  ∂L(q, q& )  ∂L(q, q& ) ∂D(q& ) =k , (1.3) + − ∂q& dt  ∂q&  ∂q ili d  ∂L(q, q& )  ∂L(q, q& ) ∂D(q& ) (1.4) = k i , i = 1, n. . +  − dt  ∂q& i  ∂q& i ∂qi U ovim izrazima su: L(q, q& ) - Lagranžeova funkcija, koja predstavlja razliku između kinetičke Wk (q, q& ) i potencijalne Wp(q) energije sistema, tj. ) (1.5) L(q, q& ) = Wk (q, q& ) − W p (q) , a D(q& ) - je disipativna Relejeva funkcija 1

2

Ovaj prilaz se može primeniti i na druge fizičke sisteme.

Glava 1.: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema

1 n 1 (1.6) ∑ bi q&i2 = 2 q& T Bq& ; B = diag[b1 , b2 ,..., bn ] , 2 i =1 k - vektor spoljašnjih sila, bi-koeficijent viskoznog trenja. Primer 1.1. Razmotrimo mehanički sistem koji se sastoji od tela mase m koje se D(q& ) =

pod dejstvom sile F translatorno kreće brzinom v, u sredini bez trenja. Ukupna kinetička 1 2 energija sistema je mv , potencijalna 2 energija je ravna nuli. Lagranžova jednačina je: a) b) d ∂ 1 2 dv =F, ( ( mv )) = F ⇒ m Sl. 1. 1. Grafički prikazi dt ∂v 2 dt sistema iz primera 1.1. što predstavlja Njutnov zakon: sila je proizvod mase i ubrzanja. Primenjujući Laplasovu transformaciju na ovu relaciju, pri nultim početnim uslovima, i razrešavajući je u odnosu na brzinu V(s) dobija se 1 V (s) = F (s) , sm što se može predstaviti blok dijagramom ili signalnim grafom kao na sl. 1.1.

Nulti početni uslovi ukazuju na to, da u sistemu nije bilo akumulirane energije u trenutku dovođenja ulaznog signala. U posmatranom slučaju to znači da je telo mirovalo do trenutka delovanja sile. Primer 1.1 je prost primer u kome sistem čini samo jedan element. Razmotrimo sada složeniji mehanički sistem koji se sastoji iz više elemenata. Primer 1.2. Primenićemo Lagranžeovu jednačinu za dobijanje matematičkog modela mehaničkog sistema sastavljenog iz dve rotirajuće mase momenata inercije J1 i J2, spojene međusobno elastičnom spregom koeficijenta krutosti k12 2, a koje rotiraju u sredini gde postoji viskozno trenje okarakterisano koeficijentima viskoznog trenja b1, b2.. Na date mase deluju spoljašnji momenti M1 i M2, sl. 1.2. U ovom slučaju brzine i generalisane koordinate su: q&1 = ω1 ; q& 2 = ω 2 ; q1 = ∫ ω1 dt = θ1 ; q 2 = ∫ ω 2 dt = θ 2 .

Sl. 1.2 . Šematski prikaz mehaničkog sistema s dve mase.

Ukupna kinetička energija je Wk = W1k + W2 k = 0,5( J 1ω12 + J 2 ω 22 ) , a potencijalna, usled elastične veze (opruge), je W p = 0,5k12 (θ1 − θ 2 ) 2 .

Funkcija Lagranža (1.5) je ω  θ  1 L(q, q& ) = [ J 1 ω12 + J 2 ω 22 − k12 (θ1 − θ 2 ) 2 ]; q& = ω =  1 ; q = θ =  1  . ω 2  2 θ 2 

Relacija (1.4) se može sada napisati u obliku

2

Često se koeficijent krutosti k pogrešno poistovećuje s koeficijentom elastičnosti.

3

^. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

d ∂ 1 ∂ 1 [ ( J 1ω12 + J 2 ω22 − k12 ( θ1 − θ 2 ) 2 ) − [ J 1ω12 + J 2 ω22 − k12 ( θ1 − θ 2 ) 2 ] dt ∂ω 2 ∂θ 2 ∂ 1 [b1ω12 + b2 ω22 ] = M; + ∂ω 2

dω1 + k12 (θ1 − θ 2 ) + b1ω1 = M 1 , dt dω 2 − k12 (θ1 − θ 2 ) + b2 ω1 = − M 2 . J2 dt Pri izvođenju ovog modela vodilo se računa o smeru delovanja spoljašnjih sila, u datom slučaju: momenta M1 koji deluje u smeru brzine ω1 i momenta M2, koji deluje suprotno od smera brzine ω2, pa nosi znak minus. Prethodne relacije se mogu napisati u Košijevom normalnom obliku3 dω1 k b 1 = M 1 − 12 ( θ1 − θ 2 ) − 1 ω1 , dt J1 J1 J1 (1.7) k12 b2 dω2 1 =− + θ − θ − ω ( ) , M2 2 1 2 J2 J2 dt J2 ili u operatorskom obliku, nakon primene Laplasove transformacije, 1 [M 1 ( s) − k12 (θ1 ( s) − θ 2 ( s )) − b1Ω1 ( s)] , Ω1 ( s ) = sJ 1 odnosno

J1

1 [− M 2 ( s) + k12 (θ1 ( s) − θ 2 ( s )) − b2 Ω 2 ( s )]. sJ 2 Strukturna blok-šema i graf toka signala ovog sistema prikazani su na sl. 1.3a i b, respektivno Ω 2 ( s) =

Sl. 1.3 Strukturna blok-šema (a) i graf toka signala (b) mehaničkog rotacionog sistema s dve mase. 3

Gore je rečeno da se primenom Lagranžovih jednačina dobija n jednačina drugog reda. Ako se uzme u obzir da je ugaona brzina izvod ugla po vremenu, ove jednačine će postati jednačine drugog reda.

4

Glava 1.: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema Prethodni primeri su bili primeri koji se mogu modelovati linearnim diferencijalnim jednačinama. Razmotrimo sada dva primera čije modelovanje dovodi do nelinearnih difrencijalnih jednačina. Primer 1.3 Na sl. 1.4 prikazan je mehanički sistem. Telo mase m1 se pod dejstvom sile F kreće translaciono duž x- ose bez trenja. Za to telo je, preko štapa, čija se masa može zanemariti, obešeno telo mase m2, koje se u trenutku posmatranja nalazi pod uglom θ u odnosu na vertikalnu y-osu. Na telo m2 deluje zemljina teža. Odrediti matematički model ovog sistema.

Sl. 1.4. Mehanički sistem sa kombinovanim kretanjem. U posmatranom sistemu imamo kombinovano kretanje: translaciono i rotaciono. Masa m1 se kreće translaciono pa je njena kinetička energija 1 (1.8) Wk1 = m1v x2 . 2 Masa m2 kreće se translaciono, brzinom vx, i rotaciono, brzinom ω = θ& . S obzirom na to da je ova masa vezana za štap koji se ne deformiše, ona ima samo jedan stepen slobode i kreće se po kružnoj putanji poluprečnika l. Tangencijalna komponenta brzine usled lučnog kretanja je (1.9) v θ = lω , a njene projekcije na x i y osu su: v θx = v θ cos θ, (1.10) v θy = v θ sin θ . Rezultujuća brzina centra mase m2 je vc2 = (v x + vθx ) 2 + vθ2y = v x2 + l 2 ω2 + 2v x lω cos θ . Stoga je kinetička energija mase m2 v2 v2 1 Wk 2 = m2 c = m2 x + m2 l 2 ω2 + m2 lωv x cos θ . 2 2 2 Ukupna kinetička energija sistema je 1 1 Wk = Wk1 + Wk 2 = (m1 + m2 )v x2 + m2 l 2 ω2 + m2 lωv x cos θ . 2 2 Primena Lagranžeove jednačine daje: - za kretanje duž x ose

(1.11)

(1.12)

(1.13)

5

^. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2 1 d  ∂ 1  (m1 + m2 )v x2 + m2 l 2 ω2 + m2 lωv x cos θ    2 dt  ∂v x  2 

1 ∂ 1  −  (m1 + m2 )v x2 + m2 l 2 ω2 + m2 lωv x cos θ = F 2 ∂x  2 

[

(1.14)

]

d (m1 + m2 )v x + m2 lω cos θ = F ⇒ dt (m1 + m1 ) &x& + m2 lθ& cos θ − m2 lω 2 sin θ = F . - za kružno kretanje d  ∂ 1 1  2 2 2   ( m1 + m 2 )v x + m2 l ω + m 2 lωv x cos θ  − dt  ∂ω  2 2 

(1.15)

(1.16) 1 ∂ 1  2 2 2 ( m1 + m2 )v x + m 2 l ω + m2 lωv x cos θ = M G ∂θ  2 2  d [m2 l 2 ω + m2 lv x cos θ] + m2 lv x ω sin θ = M G ⇒ dt (1.17) dθ 2 & & + m2 lv x ω sin θ = m2 gl sin θ m2 l ω + m2 lv x cos θ − m2 lv x sin(θ) dt (1.18) ⇒ l&θ& + (cos θ) &x& − g sin θ = 0 . Prema tome, posmatrani mehanički sistem se opisuje sledećim matematičkim modelom4 (m1 + m2 ) &x& + m2l&θ& cos θ − m2lθ& 2 sin θ = F , (1.19) l&θ& + &x& cos θ − g sin θ = 0. Kao što se vidi (1.19) je sistem od dve nelinearne diferencijalne jednačine drugog reda. Uvodeći oznake: x1 = x, x 2 = x&1 ; θ1 = θ ; θ 2 = θ& 1 , (1.19) se može zapisati u Košijevom normalnom obliku:

4

Do istog rezultata može se doći i primenom drugog zakona mehanike i Dalamberovog principa. Sile koje deluju duž x-ose su: aktivna sila F i sile inercije masa m1 i m2. Međutim, i sila teže G, iako deluje vertikalno, dovodi do lučnog kretanja mase m2 pa će zbog toga postojati horizontalna projekcija sile inercije usled ovog lučnog kretanja. Tangencijalna brzina lučnog kretanja je vθ = lθ& , a njena projekcija na x-osu je vθx = lθ& cos θ . S toga je komponenta ubrzanja duž x-ose ε = dv / dt = l&θ& cos θ − lθ& 2 sin θ . Komponenta sile inercije mase m2 duž x-ose usled θx

θx

tangencijalnog ubrzanja je Fθx = m2 ε θx . Druge dve sile inercije duž x- ose su Fm1x = m1 &x&; Fm 2 x = m2 &x& . Jednačina ravnoteže sila duž x-ose je Fm1x + Fm 2 x + Fθx = F , što daje prvu relaciju u (1.19). S druge strane, tangencijalna komponenta sile inercije usled kretanja mase m2 duž ose x je Fxθ = Fm 2 x cos θ = m 2 &x& cos θ . Moment ove sile u odnosu na tačku oko koje

rotira masa m2 je

M xθ = lm2 &x& cos θ , a moment inercije usled rotacionog kretanja

je M θ = J&θ& = ml 2 &θ& . Moment usled sile teže G je M G = lG sin θ = lm 2 g sin θ Jednačina ravnoteže momenata u zglobu je M θ + M xθ = M G , što dovodi do druge relacije u (1.19).

6

Glava 1.: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema

x&1 = x 2 , x& 2 = f x (θ1 , θ 2 , F ), θ& = θ ,

θ& 2 = f θ (θ1 , θ 2 , F ), 1

2

gde su: f x i f θ izrazito nelinearne funkcije.

Primer 1.4. U sistemu iz prethodnog zadatka postoji statčko (Kulonovo) trenje tela mase m1 sa vođicama. Odrediti matematički model sistema. Sila usled trenja odredjuje se kao proizvod koeficijenta trenja (f) i sile koja deluje normalno na površinu trenja. U ovom zadatku postoje statičke i dinamičke sile. Statičke sile su sila težine masa. One deluju u celosti vertukalno na ravan kretanja. Dinamičke sile su sila inercije mase m1. Postoje dve sile inercije - tangencijalna i radijalna. Tangencijalnu sila inercije projektovana na y-osu je d (1.20) Fθ = m2 ε θy = m2 (lθ& sin θ) = m2l&θ& sin θ + m2lθ& 2 cos θ . dt Radijalna komponenta, koju u prethodnom zadatku nismo uzimali u obzir, jer se uravnotežava unutrašnjim silama u štapu, je v2 (1.21) Fr = m2 θ = m2 lθ& 2 , l a njena projekcija na y-osu je (1.22) Fry = m2lθ& 2 cos θ . Sila trenja menja smer sa promenom smera kretanja. S obzirom da se suprotstavlja kretanju ona nosi znak minus. U ovom slučaju slila trenja je Ftr = f [(m1 + m2 ) g + m2l (&θ& sin θ + θ& 2 cos θ)]sgn( x) . Sada je matematički model sistema sa trenjem (m1 + m1 ) &x& + m2l (θ& 2 sin θ + &θ& cos θ) + (1.24) f [(m1 + m2 ) g + m2l (&θ& sin θ + θ& 2 cos θ)] sgn( x) = F , & & lθ + &x& cos θ + g sin θ = 0.

U poslednja dva primera imali smo nelinearni dinamičke sisteme. Njihova analiza je znatno složenija od analize linearnih sistema. Obično je prvi korak u analizi nelinearnih dinamičkih sistema njihova linearizacija u okolini mirne radne tačke, odnosno stanja ravnoteže. Model u primeru 1.3 dozvoljava linearizaciju u okolini stanja ravnoteže ( x = 0; θ = 0; x = 0; θ = π) . U primeru 1.4 nije moguća linearizacija razvojem u Tajlorov red, već se mora primenjivati drugi tip linearizacije. O linearizaciji dinamičkih sistema biće reči u drugom delu ovog kursa. Prvi deo biće posvećen analizi i sintezi linearnih sistema upravljanja korišćenjem metoda prostora stanja sistema, pretpostavljajući da je model nelinearnog sistema sveden na linearni model primenom tzv. diferencijalne realizacije.

7

^. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

1.3 Metoda prostora stanja sistema Metoda prostora stanja zasniva se na pojmu stanja sistema. Stanje dinamičkog sistema opisuje se skupom promenljivih x1, x2,...,xn, koje karakterišu buduće ponašanje sistema ako su poznati početno stanje istog i spoljašnje sile koje na njega deluju. Matematički model sistema u prostoru stanja je zapravo Košijev oblik zapisivanja diferencijalne jednačine (sistema diferencijalnih jednačina) u kome se na levoj strani nalaze prvi izvodi, a na desnoj - neka funkcionalna zavisnost u kojoj diferencijali ne učestvuju. Takav matematički model se zapisuje obično u vektorsko-matričnoj formi: dx (1.25) x& = = f ( x, u , t ) , dt kao diferencijalna jednačina stanja sistema, gde su: x = [ x1 , x2 ,..., xn ]T - n - dimenzionalni vektor koordinata stanja sistema, čije

su komponente koordinate stanja xi, i = 1, n . U opštem slučaju broj koordinata stanja, n, jednak je broju elemenata koji mogu da akumuliraju energiju, odnosno broju elemenata koji imaju sposobnost da »pamte«. x& = [ x&1 , x& 2 ,..., x& n ]T - n-dimenzionalni vektor prvih izvoda koordinata stanja sistema, odnosno diferencijal vektora stanja; u = [u1 , u 2 ,..., u r ]T -r-dimenzionalni vektor upravljačkih veličina (upravljanja), čije su koordinate spoljašnje sile koje deluju na sistem; f (x, u, t ) = [ f1 (x, u, t ), f 2 ( x, u, t ),..., f n (x, u, t )]T - n - dimenzionalna vektorfunkcija promenljivih stanja i upravljanja. Znak T označava transpoziciju vektora, odnosno transpoziciju matrice. Izraz (1.25) nije dovoljan za potpuni opis sistema, jer on povezuje koordinate stanja (unutrašnje promenljive sistema) sa spoljašnjim uticajima (ulazima u sistem). Zbog toga je neophodna još jedna vektorska relacija koja povezuje unutrašnje promenljive (koordinate stanja) i upravljanja s izlazima sistema. Ta funkcionalna zavisnost se naziva jednačina izlaza. Ona je algebarska jednačina, u opštem slučaju nelinearna, oblika c = g( x, u, t ) , (1.26) gde su:

c = [c1 , c2 ,..., cm ]T - m-dimenzionalni vektor izlaznih veličina (signala);

g (x, u, t ) = [ g1 (x, u, t ), g 2 (x, u, t ),..., g m (x, u, t )]T -m-dimenzionalni vektorfunkcija izlaza zistema. Ako je sistem linearan ali nestacionaran, vektor-funkcije stanja i izlaza su linearne funkcije. Tada diferencijalna jednačina stanja (1.25) ima oblik x& (t ) = A (t )x(t ) + B(t )u(t ) , (1.27) a algebarska jednačina izlaza: c(t ) = D(t ) x(t ) + H (t )u(t ) , (1.28) gde su: A(t) - n × n - matrica stanja sistema; B(t) - n × r - matrica ulaza;

8

Glava 1.: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema

D(t) - m × n - matrica izlaza sistema;H(t) - m × r - matrica direktne sprege ulaz-izlaz.5 Ako je dinamički sistem linearan i stacionaran (vremenski invarijantan) tada su sve matrice u (1.27) i (1.28) konstantne matrice. Međutim, ako je makar i jedan član u bilo kojoj matrici nestacionaran tada će i sistem u celini biti nestacionaran. Takođe, treba ukazati da sistem može biti u celini nelinearan ali linearan po upravljanju. U tom slučaju model sistema ima oblik (1.29) x& (t ) = f (x, t ) + B(t )u(t ) , i predstavlja jednu potklasu nelinearnih sistema veoma interesantnu sa stanovišta mogućnosti kvalitetnog upravljanja istim. Kada su upravljanje i izlaz istovremeno vektori, tada imamo multivarijabilni sistem upravljanja. Bez obzira na broj izlaza sistema, ako je upravljanje vektorska veličina, imamo sistem s vektorskim upravljanjem. Ako je, pak, upravljanje skalarna veličina (sistem s jednim ulazom) onda govorimo o sistemu sa skalarnim upravljanjem, bez obzira na broj izlaza. Kada su i upravljanje i izlaz sistema skalari, onda imamo, sistem s jednim ulazom i jednim izlazom. Pre nego što razmotrimo primere, potrebno je ukazati i na još jedan oblik zapisivanja modela sistema u prostoru stanja. Kako na sistem deluju spoljašnje sile, a neke od njih možemo da kontrolišemo, odnosno da njima upravljamo, takve spoljašnje uticaje zaista treba nazivati upravljanjem. Međutim, neke spoljašnje sile koje deluju na sistem ne možemo da menjamo, tj. da na njih utičemo. Takve sile nazivamo poremećajima. Zbog toga je, umesto modela sistema u obliku (1.28) ispravniji zapis u formi: x& (t ) = A(t )x(t ) + B(t )u(t ) + p(t ) . (1.30) Pored spoljašnjih poremećaja, u sistemu postoje i unutrašnji - parametarski poremećaji kao posledica promene parametara sistema u vremenu. U opštem slučaju smatraćemo da su svi poremećaji obuhvaćeni vektorom poremećaja p(t). Primer 1.5. Razmotrimo, ponovo, mehanički sistem sa sl. 1.2. Odredimo njegov model u prostoru stanja. Ranije smo, primenjujući Lagranžove jednačine, dobili matematički model ovog sistema u Košijevom normalnom obliku, relacije (1.7). Posmatrajući ovaj model, vidimo da na desnoj strani imamo veličine θ1 i θ2 koje treba da imaju ulogu koordinata stanja, a to znači da, u matematičkom modelu, njihov izvod mora biti na levoj strani. Ako ovaj model preuredimo, uzimajući u obzir da su brzine obrtanja diferencijali ugla obrtanja, dobićemo: dθ1 = ω1 , dt dω1 k b k 1 = − 12 θ1 − 1 ω1 + 12 θ 2 + M 1 , dt J1 J1 J1 J1

5

(1.31a)

U savremenoj literaturi matematički model linearnog dinamičkog sistema se zapisuje u obliku: x& = Ax + Bu x ∈ ℜn ; u ∈ ℜr ; c ∈ ℜm ; ; c = Dx + Hu A ∈ ℜ n×n ; B ∈ ℜ n×r ; D ∈ ℜ m×n ; H ∈ ℜ m×r .

9

^. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

dθ 2 = ω2 , dt dω 2 k12 k b 1 M 2. = θ1 − 12 θ 2 − 2 ω 2 − dt J2 J2 J2 J2 ili u matričnom obliku

 0  θ1   k12   d  ω1   J1 = dt  θ 2   0    k12 ω 2   J  2

1 b − 1 J1 0

0 k12 J1 0 k − 12 J2

0

(1.31b)

0   0  0   θ1   0  0    1  ω     1   + J M + M . 1   θ 2   01  1  0  2  1 b2      -  − ω   J 2   2   0   J2 

(1.32)

U ovom slučaju smo pretpostavili da moment M2 ima ulogu poremećaja, a M1 ulogu upravljanja, pa sistem ima oblik zapisivanja (1.32), tj.  0  θ1   k12 ω  - J 1 x =  ; A =  1 θ2   0    k12 ω 2   J 2

−

1 b1 J1 0 0

0 k12 J1 0 k − 12 J2

0   0   1 0   ; b =  J 1 ; p(t ) =  1   0 b2   0   J 2 

0   0   0   0  .  M = 0  2  0   M2  1    J2   J2 

Na osnovu datog modela, zaključujemo da je sistem četvrtog reda, jer se opisuje sistemom od četiri diferencijalne jednačine prvog reda. Treba obratiti pažnju i na činjenicu da će, na primer, matrica stanja A imati drugačiji oblik ako promenimo redosled jednačina u (1.32). To ukazuje na činjenicu da za jedan te isti dinamički sistem mogu postojati, po formi, različiti matematički modeli, što nije slučaj u primeni koncepcije ulaz-izlaz sistema, tj. funkcije prenosa sistema. .

U sistemu iz ovog primera, koordinate stanja su veličine koje imaju fizički smisao, jer se mogu meriti neposredno ili posredno. U opštem slučaju, u matematičkom modelu sistema u prostoru stanja, koordinate stanja ne moraju imati fizički smisao, pa se zbog toga ne mogu ni meriti. Osim toga u ovom primeru koordinate stanja su neposredno povezane s elementima koji imaju mogućnost da akumuliraju energiju. U datom slučaju, obrtne mase, okarakterisane momentima inercije J1 i J2, imaju sposobnost akumuliranja kinetičke, a torziona opruga (k12) akumulira potencijalnu energiju. U sledećem odeljku prikazaćemo jedan način dobijanja matematičkog modela u prostoru stanja za linearne električne mreže. S obzirom na to da se linearni mehanički sistemi mogu, primenom elektromehaničkih analogija, svesti na ekvivalentnu šemu električnog sistema, postupak koji će biti izložen može se primeniti i na linearne mehaničke sisteme i za linearne elektromehaničke sisteme. Kod nelinearnih elektromehaničkih sistema može se koristiti prilaz preko Lagranžeovih jednačina u kojima se koriste pojmovi generalisane kinetičke i potencijalne energije.

10

Glava 1.: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema

1.3.1 Matrični model linearnih električnih mreža Za elektroinženjere je od posebnog interesa poznavanje metoda dobijanja matematičkog modela u prostoru stanja električnih mreža. Pre nego što pristupimo uopštavanju i prikazu jednog pogodnog algoritma za dobijanje tog modela, obratimo ponovo pažnju na naš primer mehaničkog sistema, čija je analogna električna šema data na sl. 1.5, i u koju su, radi lakšeg razumevanja, uvedene uobičajene oznake električnih elemenata. Prirodne promenljive stanja u ovom sistemu, koje se mogu meriti, su struje kroz induktivne kalemove i napon na kondenzatoru. Prema tome, u jednačinama stanja sistema, na levoj strani moraju biti diferencijali struja kalemova i diferencijal napona na kondenzatoru, dok je jednačina izlaza algebarska jednačina. Usvojićemo da je izlazni signal napon na kondenzatoru. Prema tome, opšti oblik jednačina stanja za posmatranu

Sl. 1.5. Električna šema sistema.

Sl. 1.6. Pomoćna električna mreža.

mrežu imaće oblik si1 = a11i1 + a12 i2 + a13uc + b11u1 + b12 u2 ,

si2 = a 21i2 + a 22 i2 + a 23uc + b21u1 + b22 u2 ,

suc = a 31i1 + a 32i2 + a33uc + b31u1 + b32 u2 ,

c = uc . Ovde s ima ulogu operatora diferenciranja. Uzimajući u obzir da su: uL uL i ic = i1 − i2 , si1 = 1 , si2 = 2 , suc = c , C L1 L2 (1.33) se može napisati u obliku u L1 = L1a11i1 + L1a12i2 + L1a13uc + L1b11u1 + L1b12u2 ,

u L 2 = L2 a21i2 + L2a22i2 + L2 a23uc + L2b21u1 + L2b22u2 , ic = Ca31i1 + Ca32i2 + Ca33uc + Cb31u1 + Cb32u2 ,

(1.33)

(1.34)

(1.35)

c = uc . Posmatrajući ove relacije, uočavamo da se na njihovoj levoj strani nalaze naponi na krajevima induktivnih kalemova i struja kroz kondenzator. Ako taj oblik zapisivanja primenimo, koristeći poznate zakone elektrotehnike dobićemo za posmatranu mrežu, sl. 1.5, relacije 11

^. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

u L1 = − R1i1 − u c + u1 ,

u L2 = − R2 i2 + u c − u 2 , ic = i1 − i2 ,

(1.36)

c = uc , kojima odgovara električna otporna mreža kao na sl. 1.6. sa strujnim i naponskim izvorima. U njoj su sve induktivnosti zamenjene pseudoizvorima struja, a kapacitivnosti - pseudoizvorima napona. Zamenjujući (1.36) u (1.34) dobija se si1 = −

R1 1 1 i1 − uc + u1 , L1 L1 L1

si 2 = − su c =

R2 1 1 i2 + uc − u2 , L2 L2 L2

1 (i1 − i 2 ), C c = uc , ili u matričnom obliku: 0  i1  − R1 / L1 d   0 - R2 / L2 i2 = dt    uc   1 / C − 1/ C

0  - 1/L1   i1  1/L1 u      1/L 2   i2  +  0 1/L 2   1 , u 0   2  0  uc   0

(1.37)

c = uc . Način dobijanja matematičkog modela u prostoru stanja za električne nedegenerisane mreže se može uopštiti i iskazati sledećim algoritmom: 1. Svi kondenzatori i svi kalemovi (elementi koji akumuliraju energiju) zamenjuju se ekvivalentnim naponskim i strujnim izvorima, respektivno. Na taj način se data električna mreža transformiše u otpornu mrežu s izvorima napona i struja, gde su, pored stvarnih izvora napona i struja, uključeni i pseudoizvori napona i struja, kondenzatora i kalemova, respektivno. 1. Na osnovu tako dobijene otporničke mreže, koristeći osnovne zakone elektrotehnike, nalaze se izrazi za napone na pseudoizvorima struja i struje kroz pseudoizvore napona, u funkciji napona i struja stvarnih izvora napona i struja, prisutnih otpornosti kao i struja pseudoizvora struja i napona pseudoizvora napona. Time se dobija sistem algebarskih jednačina na čijoj levoj strani se nalaze naponi na krajevima induktivnih kalemova i struje kroz kondenzatore. 3. Na kraju se, na levoj strani tako dobijenih jednačina, umesto izraza za napone na induktivnim kalemovima i struja kroz kondenzatore zapisuju di L j dU C k Lj , Ck , respektivno, i deli leva i desna strana sa Lj, odnosno Ck. dt dt Na taj način se dobija sistem jednačina stanja u opštem obliku: 12

Glava 1.: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema

  R ji      L j  p× p d iL j  u  =  dt  Ck  n×1   N ki    C k  q× p 

  Pjz    M jv           L j  p×r   L j  p×q   i L j   u;  u  +   Gkv    Ck  n×1   Qkz       C k    C k  q×q  n×n q×r  n×r 

(1.38)

i, j = 1, p; v, k = p + 1, n; z = 1, r ; u ∈ ℜ r U onim slučajevima kada su mreže degenerisane, dati postupak se ne može primeniti. Pod degenerisanim mrežama se podrazumevaju električne mreže u kojima se ne mogu nezavisno zadavati početni uslovi na induktivnim kalemovima ili na kondenzatorima. Na primer, ako se neka zatvorena kontura sastoji iz dva ili više redno vezanih kondenzatora s naponskim izvorom, tada se na kondenzatorima ne mogu proizvoljno zadavati početni uslovi. Isto tako, ako su u jednom čvoru sa strujnim izvorom nalazi veći broj induktivnih kalemova, na njima se, takođe, ne mogu proizvoljno zadavati početni uslovi. O načinu dobijanja matematičkih modela takvih mreža videti u [5]. Primer 1.6 Obratimo ponovo pažnju na matematički model sistema sa sl. 1.2, koji je analog sistema sa sl. 1.4. Zamenjujući električne veličine njihovim mehaničkim ekvivalentima, model (1.37) postaje -1/J 1   ω1  1 / J1 0 0   ω1  − b1 / J M  d       ω2  =  0 − b2 / J 2 1/ J 2   ω2  +  0 − 1 / J 2   1 , (1.39) M dt   M 12   k12 − k12 0   M 12   0 0   2 

c = M 12 . Upoređujući modele (1.7), (1.32) i (1.39), koji opisuju jedan te isti mehanički sistem sa sl. 1.2, uočava se njihova različitost. Prvi ima dve, drugi - četiri, a treći - tri diferencijalne jednačine. Na prvi pogled reklo bi se da dati modeli ne opisuju isti sistem. Već smo konstatovali da model (1.7) iako formalno ima normalnu Košijevu formu, ne može se smatrati valjanim modelom prostora stanja, jer na njegovoj desnoj strani figurišu veličine θ1 i θ2, koje su s koordinatama stanja ω1 i ω2 u funkcionalnoj zavisnosti, što je i iskorišćeno za dobijanje modela (1.32), koji ima valjanu formu modela u prostoru stanja. Model (1.39) se, u suštini, ne razlikuje od modela (1.32), samo je kompaktniji. Naime, ako se moment koji deluje na krajevima spiralne opruge M12 izrazi putem koeficijenta torzione krutosti i uglova obrtanja dveju obrtnih masa dobija se: M 12 = k12 (θ1 − θ 2 ) Diferencirajući ovaj izraz po vremenu dobija se d dθ dθ M 12 = k12 1 − k12 2 = k12 ω1 − k12 ω2 , dt dt dt što je, zapravao, treća jednačina u modelu (1.39). Ona se može dobiti iz modela (1.32) oduzimanjem treće od prve jednačine i množenjem leve i desne strane s k12. Prema tome, pokazali smo da su sva tri modela ekvivalentna, a da je model (1.39) najkompaktniji u smislu modela sistema u prostoru stanja. Ukažimo, ponovo, da taj model sadrži tri diferencijalne jednačine i da su promenljive stanja posledica prisustva

13

^. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2 tri fizička elementa koji mogu akumulirati energiju: dve obrtne mase i jedne opruge (dva induktivna kalema i jednog kondenzatora).

Pored opšteg postupka dobijanja modela u prostoru stanja, na osnovu električnih šema, mogući su i drugi prilazi. S obzirom na to da je funkcija prenosa takođe matematički model sistema, postoje metode za prevođenje funkcije prenosa u model u prostoru stanja, odnosno modela prostora stanja u funkciju prenosa.

1.4 Transformacija matematičkih modela iz prostora stanja u kompleksni domen Neka je dat linearan, stacionaran sistem opisan diferencijalnom jednačinom stanja i algebarskom jednačinom izlaza: x& (t ) = Ax(t ) + Bu(t ) , (1.40) c(t ) = Dx(t ) + Hu(t ) . (1.41) Zahteva se da se ovaj model sistema, dat u vremenskom domenu, transformiše u kompleksni (s) domen. Usvajajući nulte početne uslove (x(0)=0) u sistemu (1.40) i primenjujući Laplasovu transformaciju na (1.40), (1.41), dobija se: sX( s) = AX( s) + BU ( s), (1.42) C( s) = DX( s) + HU ( s). Rešavajući prvu matričnu algebarsku jednačinu u (1.42) po X(s) ima se X( s ) = [ sI − A]−1 Bu( s ) , (1.43) gde je I - jedinična n×n matrica. Sada se, zamenom X(s) u izraz za C(s), dobija C( s ) = [D[ sI − A]−1 B + H ]U( s ) . (1.44) Relacija (1.44) povezuje kompleksne likove ulaznih i izlaznih signala sistema. Zbog toga se izraz G ( s ) = D[ sI − A]−1 B + H (1.45) naziva matricom funkcija prenosa sistema. Ona ima sledeći opšti oblik:  G11 ( s ) G12 ( s ) ... G1r ( s )   G ( s ) G ( s ) ... G ( s )  22 2r . G ( s ) =  21 (1.46)  ... ... ... ...    G m1 ( s ) G m 2 ( s ) ... G mr ( s ) Elementi matrice su funkcije prenosa. Tako na primer, element Gij je funkcija prenosa od j-tog ulaza do i-tog izlaza, koja se definiše kao odnos kompleksnih likova signala na i-tom izlazu i j-tom ulazu, pri svim početnim uslovima i svim ostalim ulaznim signalima jednakim nuli. Na sličan način, izraz G 1 ( s ) = [ sI − A ]−1 B (1.47) je matrica funkcija prenosa od ulaza do stanja sistema. 14

Glava 1.: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema Ako je sistem s jednim ulazom i jednim izlazom (skalarni ulaz - skalarni izlaz) tada se veza između ulaza i izlaza određuje izrazom G ( s ) = d T [ sI − A ]−1 b + h , (1.48) koji predstavlja klasičnu definiciju funkcije prenosa sistema, određenu na osnovu modela sistema u prostoru stanja. modelom (1.39) za ulaz M1 i izlaz ω2, pri M2=0. Relevantne matrice sistema su:

Primer 1.7. U cilju ilustracije metode odredimo funkciju prenosa sistema datog  b1 − J  1 A= 0  k  12 

0 −

b2 J2 − k12

1 1 J1  J   1   1 ; b =  0 ; d T = [0 1 0]; h = 0 ; J2  0 0       

−

1  b1  0 s + J J1  1   1 b s + 2 − ; det[sI − A ] = sI − A =  0  J2 J2    −k s k 12   12   1 J1 J 2 s 3 + (b1 J 2 + b2 J1 ) s 2 + (b1b2 + k12 ( J1 + J 2 ))s + k12 (b1 + b2 . J1 J 2 S obzirom na to da vektor b ima samo prvi, a vektor d - samo drugi element različit od nule, za dobijanje inverzne matrice matrici [sI − A ] u adj[sI − A ] treba odrediti samo član u prvoj koloni i drugoj vrsti, a to znači kofaktor determinante matrice [sI − A ] kada se precrta njena prva vrsta i druga kolona, uz izmenu znaka. Tako se dobija

[

 x k adj[sI − A ] =  12  J2  x

]

x  x ,  x  T

x x x

sledi:

 x  adj[sI − A ] 1 [0 1 0] k12 b= G( s) = d det[sI − A ] det[sI − A ]  J2  x

Zamenom det[ sI − A ] , posle sređivanja, dobija se izraz

x x x

1 k12 x J  1   J1J 2 x 0  =    det[sI − A ] x   0   

15

^. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

G( s) =

Ω 2 (s) k12 . = M 1 ( s ) J 1 J 2 s 3 + (b1 J 2 + b2 J 1 ) s 2 + (b1b2 + k12 ( J 1 + J 2 ) s + k12 (b1 + b2 )

1.4.1 Primena MATLAB-a za transformaciju modela iz prostora stanja u funkciju prenosa U programskom paketu MATLAB postoji potprogram za transformaciju modela iz prostora stanja u funkciju prenosa. Moguće su dve opcije: ss2tf, ss2zp. Prva daje nefaktorizovan, a druga - faktorizovan oblik funkcije prenosa. Ako je dat model (1.40), (1.41) naredbe su oblika, respektivno: [NUM, den] = ss2tf(A, B, D, H, iu) , [Z, p, k] = ss2zp(A, B, D, H, iu) , gde su: NUM - u principu matrica koja ima onoliko vrsta koliko sistem ima izlaza, a svaka vrsta sadrži onoliko elemenata koliki je red sistema; den je vektor-vrsta koji sadrži koeficijente polinoma u imeniocu funkcije prenosa; iu je indeks koji definiše ulaz u odnosu na koji se određuje funkcija prenosa; Z- je matrica koja sadrži nule sistema, takva da svakom izlazu odgovara jedna kolona; p-vektor kolona koja sadrži polove funkcije prenosa; k- vektor kolona koja sadrži pojačanja sistema sa onoliko elemenata koliko ima izlaza. Primer 1.8 Model sistema u prostoru stanja je 1 0 0 0   0 1 ; b = 0; d T = [− 47 − 38 − 20]; h = 8. A= 0      − 6 − 5 − 3 1 prevesti dati model u funkciju prenosa. Kao rešenja u MATLABU dobijaju se: >> A=[0,1,0;0,0,1;-6,-5,-3];B=[0;0;1];D=[-47,-38,-20]; H=8; [NUM,den]=ss2tf(A,B,D,H,1) NUM = Columns 1 through 2 8.0000 4.0000 Columns 3 through 4 2.0000 1.0000 den = Columns 1 through 2 1.0000 3.0000 Columns 3 through 4 5.0000 6.0000 Dakle, funkcija prenosa je: 8s 3 + 4 s 2 + 2 s + 1 W (s) = 3 s + 3s 2 + 5s + 6

16

>> [Z,p,k]=ss2zp(A,B,D,H,1) Z= 0.0000 + 0.5000i 0.0000 - 0.5000i -0.5000 p= -2.0000 -0.5000 + 1.6583i -0.5000 - 1.6583i k= 8 Dakle, funkcija prenosa je: 8( s − j 0.5)( s + j 0.5)( s + 0.5) W ( s) = ( s + 2)( s + 0.5 − j1.6538)(( s + 0,5 + j1.6538)

Glava 1.: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema Primer 1.9. Model sistema u prostoru stanja je dat sa:

0 − 6 0 1   A = − 2 − 5 0 ; b = 1; d T = [− 16 − 16 − 8]; h = 8.  − 1 − 1 − 2 1 Prevesti dati model u kompleksni domen tako da je funkcija prenosa u faktorizovanom obliku. >> A=[-6,-2,-1;0,-5,-1;0,0,-2];B=[1;1;1];D=[-16,-16,-8];H=8; [Z,p,k]=ss2zp(A,B,D,H) Z= -4.0000 -1.0000 -3.0000 Dakle, funkcija prenosa je p= ( s + 1)( s + 3)( s + 4) . W ( s) = 8 -6 ( s + 2)( s + 5)( s + 6) -5 -2 k= 8 Primer 1.10 Model sistema u prostoru stanja je dat sa 0 1  1 0 − 1 0  ;B =  ;D =  A=    1 0 1 1  2 − 5 >> A=[-1,0;2,-5];B=[1,0;1,1];D=[0,1;1,0];H=[0,0;0,0]; [Z1,p1,k1]=ss2zp(A,B,D,H,1) Z1 = Napomena 1.1: program zahteva da matrice B i H imaju -3.0000 -5.0000 isti broj kolona, a D i H isti broj vrsta pa je zbog toga p1 = uvedena nulta 2 x 2 matrica H. -5 -1 C ( s) s+3 k1 = ; W11 ( s ) = 1 = 1 U 1 ( s ) ( s + 1)( s + 5) 1 C ( s) 1 [Z2,p2,k2]=ss2zp(A,B,D,H,2) ; W21 ( s ) = 2 = Z2 = U 1 ( s ) ( s + 1) -1 Inf C (s) 1 p2 = ; W12 ( s ) = 1 = -5 U 2 ( s ) ( s + 5) -1 C ( s) k2 = W22 ( s ) = 2 = 0. 1 U 2 ( s) 0 Kao što se vidi, program daje vrednosti nula za sve izlaze pri odgovarajućem ulazu, vrednosti polova, koji su isti bez obzira na ulaz, i vrednosti pojačanja za odgovarajuće ulaze i izlaze. Prema dobijenim u MATLAB-u rezultatima dati su elementi matrice funkcije prenosa sistema.

17

^. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

1.5 Transformacija modela ulaz-izlaz u prostor stanja. Računarska simulacija dinamičkih sistema

U tehnici, a u automatici posebno, veoma često se primenjuje računarska simulacija sistema iz više razloga kao što su: složenost matematičkih modela kojima se opisuju realni dinamički procesi, postojanje nelinearnih i/ili nestacionarnih funkcionalnih veza koje onemogućavaju analitičko rešavanje. Ali i onda kada je analitičko rešavanje moguće, pogotovu kada se koriste inženjerske metode za sintezu sistema, poželjno je dobijene rezultate proveriti modelovanjem. Pored fizičkog modelovanja koristi se matematičko modelovanje, odnosno računarska simulacija, kao poseban oblik matematičkog modelovanja sistema. U realizaciji konkretnog sistema, posle analitičkog projektovanja, sledi računarsko modelovanje (simulacija), a zatim fizičko modelovanje, putem izrade laboratorijskog modela sistema, kao prethodne etape u izradi industrijskog prototipa. Iako je računarska simulacija ponikla u okrilju automatike, danas je to oblast od izuzetnog značaja ne samo za tehničke već i za mnoge druge naučne discipline (ekonomija, medicina, meteorologija, astronomija...). Za potrebe automatike najpre su bili razvijeni elektronski analogni računari koji su odigrali izuzetno značajnu ulogu u razvoju teorije dinamičkih sistema. S razvojem digitalnih računara, s porastom njihove brzine računanja, uloga analognih računara sve vreme slabi. Danas su razvijeni softverski paketi koji imitiraju rad analognih računara, smanjujući vreme potrebno za razvoj i izradu programa primenom standardnih programskih jezika tipa FORTRAN, BASIC, C i dr. Široko korišćenje personalnih računara sa simulacionim programskim paketima kao što su: Vissim, Simnon, MATLAB-Simulink, i dr. omogućava široko korišćenje računarske simulacije u svakodnevnoj delatnosti inženjera. S obzirom da je problem računarske simulacije i modelovanja sistema posebna oblast, koja se detaljnije izučava na odgovarajućem kursu, ovde će biti govora samo o osnovama računarske simulacije sa stanovišta dobijanja matematičkih modela sistema u prostoru stanja na osnovu funkcija prenosa, odnosno matrica funkcija prenosa. U ovom odeljku biće isključivo reči o simulaciji linearnih dinamičkih sistema. Za simulaciju linearnog dinamičkog sistema na digitalnom računaru, koji oponaša analogni računar, neophodni su sledeći operacioni elementi6: integratori, sumatori, pojačavači (atenuatori). Za njih su usvojene grafičke oznake kao na sl. 1.7. (u donjem redu su oynake u MATLAB-Simulinku). Integrator ostvaruje sledeću matematičku funkciju y ( t ) = y ( 0) +

∫0 x(τ)dτ . t

y (t ) = ∑i =1 xi (t ) .

(1.49)

Sumator algebarski sumira signale dovedene na njegove ulaze, tj. k

6

(1.50)

Različiti programski jezici za simulaciju linearnih dinamičkih sistema na digitalnom računaru imaju različite pristupe i oznake elemenata. Neki koriste integratore samo s jednim ulazom, dok drugi koriste sumacione integratore, kao npr. na sl. 1.15., str. 27.

18

Glava 1.: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema

Sl. 1.7. Oznake operacionih elemenata analognog računara: a) integratora, b) sumatora, c) pojačavača (k>1) ili atenuatora (k NUM=[8,4,2,1];den=[1,3,5,6];[A, [B,D,H]=tf2ss(NUM,den) A= -3 -5 -6 1 0 0 0 1 0 B= 1 0 0 D= -20 -38 -47 H= 8

Napomena 1.6: Treba obratiti pažnju da u MATLAB rešenju matrica stanja A, matrica (vektor) ulaza b, i matrica (vektor) d su dati u kanoničkoj kontrolabilnoj formi (direktno programiranje). Dobijeni model ima ovaj oblik  x&1   − 3 − 5 − 6  x1  1  x&  =  1 0 0   x 2  + 0u;  2   x& 3   0 1 0   x 3  0  x1  c = [− 20 − 38 − 47] x 2  + 8u.  x 3 

Vidite napomenu programiranje.

Primer 1.16 . Prevesti funkciju prenosa W (s) = 8

u

paragrafu

za

direktno

( s + 1)(s + 3)(s + 4) u model u ( s + 2)(s + 5)(s + 6)

prostoru stanja primenom MATLAB-a >> z=[-1;-3;-4];p=[-2;-5;-6];k=8; Prema tome, model je >> [A,B,D,H]=zp2ss(z,p,k) 0 0   x1  1 A=  x&1  − 2  x&  =  − 1 -1.0000 0 0 − 11 − 5,4772  x2  + 1u;  2  -1.0000 -11.0000 -5.4772  x&3   0 5,4772 0   x3  0 0 5.4772 0 B=  x1  1 c = [− 8 − 32 − 26,2907] x2  + 8u. 1  x3  0 D= -8.0000 -31.0000 -26.2907 H= 8 Dobijeni model se razlikuje od polaznog koji je generisao funkciju prenosa u zadatku transformacije modela iz prostora stanja u funkciju prenosa (videti primer 1.9). To još jedanput potvrđuje da ne postoji jednoznačnost modela u prostoru stanja.

39

^. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2 LITERATURA [1] [2]. [3] [4] [5]. [6]. [7] [8] [9] [10]

Kuo, B. C.: Automatic Control Systems, Prentice-Hall, Inc. Englewood Clifs, NJ,1982. Stojić, M.: Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, »Nauka«, Beograd, 1996. Ча , Ф.: ,« », а, 1975. Ч , . ., К , . И., Са , А. С.: , «Э », а, 1979. Mayhan, J. R.: Discrete-Time and Continuous-Time Systems, Addison-Wesley Publishing comp, 1984. Franklin, G. F., Powel, J. D., Emami-Naeni, A.: Feedback Control of Dynamic Systems, Addison-Wesley Publishing comp., 1986. ч , ,, « а а», , А. А.: а, 1979. х х , А. А.: В , « а а», а, 1975. ч ,« а C , ., , А.: », а, 1972. Ćalasan, L., Petkovska, M.: MATLAB i dodatni moduli Control Systems Toolbox i SIMULINK, »Mikro knjiga«, Beograd, 1995.

Pitanja za samoproveru U navedenim rečenicama (iskazima) treba popuniti izostavljene reči ili matematičke izraze 1. Za dobijanje matematičkog modela mehaničkog sistema u opštem slučaju najpogodnija je primena _______________________ jednačina. 2. Lagranžeova funkcija predstavlja razliku ______________ i ____________ energije sistema. 3. Generalisane koordinate predstavljaju translacione ili rotacione_____________ i ___________ . 4. Relejeva funkcija je reprezent ________________sila u mehaničkom sistemu. 5. Košijeva normalna forma zapisivanja diferencijalnih jednačina pretpostavlja da se na levoj strani modela nalaze ___________________ promenljivih veličina, a na desnoj strani _______________ zavisnost tih veličina i spoljnih uticaja. 6. Matematički model u prostoru stanja je definisan ____________ jednačinom stanja i ____________ jednačinom izlaza. 7. Diferencijalna jedčina stanja sistema je u opštem obliku data relacijom _________, a za linearne stacionarne sisteme ima formu _____________. 8. Algebarska jednačina izlaza u opštem obliku se daje izrazom _________, a za linearne stacionarne sisteme se zapisuje relacijom _____________. 9. Matrica stanja linearnog sistema je _______-dimenzionalna matrica koja definiše funkcionalnu zavisnost između vektora___________________________ i vektora ____________. 10. Matrica izlaza linearnog sistema je _________- dimenzionalna matrica koja definiše funkcionalnu zavisnost između vektora _______________________ i vektora _______.

40

Glava 1.: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema 11. 12. 13. 14. 15.

16.

17.

18. 19. 20.

21. 22.

23.

24.

25.

Matrica ulaza definiše funkcionalnu zavisnost između vektora ___________ i vektora _____________________. Matrica direktne sprege određuje funkcionalnu zavisnost između vektora _______ i vektora _______________. Matrica funkcija prenosa sistema na osnovu modela sistema u prostoru stanja ___________________definiše se relacijom__________________________. Za jedan dinamički sistem broj koordinata stanja jednak je broju elemenata koji mogu da ____________________energiju. Električna linearna mreža se svodi na mrežu sa otpornicima tako što se svi ________ i __________ zamene pseudoizvorima _________ i ________, respektivno. MATLAB naredba za transformaciju sistema iz prostora stanja u kompleksni domen, kada se funkcija prenosa dobija u nefaktorizovanom obliku je data relacijom_______________________________________. MATLAB naredba za transformaciju sistema iz prostora stanja u kompleksni domen, kada se funkcija prenosa dobija u faktorizovanom obliku je data relacijom ________________________________. Za simulaciju linearnih dinamičkih sistema na analognom računaru potrebna su sledeća tri operaciona elementa _______________________________________. Za simulaciju diferencijalne jednačine n-tog reda potrebno je ______ integratora. Za transformaciju modela ulaz-izlaz u model u prostoru stanja koristimo tri osnovne tehnike programiranja analognih računara i to:_____________ _____________________________________. Sa stanovišta brzine dobijanja modela u prostoru stanja na osnovu modela ulazizlaz najbolje je koristiti tehniku __________________programiranja. Primenom tehnike direktnog programiranja matrica stanja sistema ima oblik koji se naziva _____________forma, a ceo model sistema se naziva ______________ _______________________ forma. Primenom tehnike paralelnog programiranja, kada su polovi funkcije prenosa prosti, dobija se matrica stanja sistema u _______________ obliku, a matematički model se naziva ___________ ili ______________ forma. Primenom tehnike paralelnog programiranja, kada su polovi funkcije prenosa višestruki, dobija se matrica stanja sistema u _______________________ obliku, a matematički model se naziva ________________________ forma. Data je funkcija prenosa sistema C ( s ) / U ( s ) = ( s + s q ) /( s + s j ) simulaciona

šema sistema za analogni računar je kao na slici,

26.

a matematički model u prostoru stanja ima oblik ________________________ Za jedan te isti matematički model u kompleksnom domenu postoji _________ modela u prostoru stanja.

41

^. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

Zadaci za vežbu 1. Za mehaničke sisteme sa slika 1.24 i 1.25 formirati matematički model: a) primenom Lagranžeovih jednačina; b) na osnovu ekvivalentne šeme Komentarisati dobijene modele. x1

x1

x2

k2

F2

K2 K1

x

m2

x2

m1

b2

b m1

F1 b1

m2

m

θ

F2

F1 M

x1 F

Sl. 1.26 Sl. 1.24 Sl. 1.25 2. Za mehanički sistem dat na slici 1.26 primenom Lagranžeovih jednačina naći matematički model, a zatim napisati isti u Košijevom normalnom obliku. 3. Za električne mreže prikazane na slikama 1.27a-f odrediti matematičke modele u prostoru stanja u(t) L

i(t)

R2

R1 C

u

c=uC

c

a)

b)

d)

c)

R1 u

R2

R2 L

c(t)

C1 R3

C2

L

C1

f) Sl. 1.27.

R4

R3

u

e) 42

R1

c(t) C2

Glava 1.: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema 4. Odrediti funkciju prenosa sistema čija se dinamika opisuje relacijama: a) A = [−1,0;0,−2]; b = [1;1]; d = [1,3] ;. b) A = [−1,0,0;0,−2,−4;2,0,5]; b = [1;1;2]; d = [1,3,0] ;[0,4,-39,-73];[1,-2,-13,-10] c) A = [0,1,0;0,−2,2;4,0,1]; b = [1;1;0]; d = [0,1,3] ; d) A = [−1,0,0,2;0,−2,0,5;2,−5,10,0;0,1,1,0]; b = [1;1;0;1]; d = [1,3,0,0] . 5. Odrediti matricu funkcija prenosa sistema opisanog sa: a) A = [0,1,0;0,−4,3;−1,−1,2]; B = [0,0;1,0;0,1]; D = [1,0,0;0,0,1] ; b) A = [1,1,0;2,−4,3;−1,−1,2]; B = [1,0;1,0;1,1]; D = [1,1,0;1,0,1] ; c) A = [ 2,1,0;4,−4,3;8,−1,2]; B = [5,0;1,0;8,1]; D = [1,1,1;1,0,1] ; d) A = [1,0,1,0; 0,2,−4,3; − 1,−1,2,0; 0,1,2,0]; B = [0,0;1,0; 0,1;1,0]; D = [1,0,0,1; 0,0,1,1] 6. Na slici 1.28 je prikazan graf toka signala sistema. a) Nacrtati simulacioni dijagram za simulaciju datog sistema na računaru. b) Napisati model sistema u prostoru stanja.

jω

-2 u s-1

k

s-1 s-1

Sl. 1.28

1

j2

x

1

1

2

c

-6

-4

-2 x x

k σ 0 -j2

Sl. 1.29 7. Povratni prenos sistema ima raspored kritičnih frekvencija kao na slici 1.29. Sistem je obuhvaćen negativnom povratnom spregom. Nacrtati simulacioni dijagram sistema i napisati matematički model sistema u prostoru stanja. 8. Sistem je opisan sa: &y&1 + 4 y& 1 + 3 y 2 = u1 + u 2 , &y&2 + 5 y& 2 + y& 1 = 2u 2 Napisati model sistema u prostoru stanja i nacrtati simulacioni dijagram. 9. Dat je sistem opisan modelom s 2 + 6s + 8 . W ( s) = 2 2 s ( s + 4s + 3) Primenom tehnika programiranja nacrtati simulacione dijagrame i napisati odgovarajući model u prostoru stanja primenom: a) direktnog programiranja; b) paralelnog programiranja; c) rednog programiranja 10. Funkcija prenosa sistema je ( s + 1)( s 2 + 4s + 8) W (s) = ( s + 5)( s 2 + 4 s + 3) Primenom tehnika programiranja nacrtati simulacione dijagrame i napisati odgovarajući model u prostoru stanja primenom: a) direktnog programiranja; b) paralelnog programiranja; c) rednog programiranja.

43

Glava 2: Određivanje odziva sistema na osnovu modela u prostoru stanja45 2.1

Fundamentalna matrica i odziv sistema

45

2.1.1 Primena MATLAB-a za nalaženje odziva sistema

47

Diskretni model vremenski kontinualnog sistema

48

2.3

Fundamentalna matrica Džordanove submatrice

51

2.4

Fundamentalna matrica kompanjon forme

2.5

Transformacija modela u prostoru stanja

2.2

2.2.1 Primena MATLAB-a za transformaciju modela u diskretni domen 50

2.5.1 Svođenje sistema na dijagonalnu formu 2.5.1.1

52

55

56

Primena MATLAB-a za transformaciju u dijagonalnu formu

2.5.2 Svođenje sistema na kanoničku kontrolabilnu formu

Primena MATLAB-a za transformaciju u kontrolabilnu formu 60

2.5.2.1

2.5.3 Svođenje sistema na Džordanov oblik 2.5.3.1

2.6

60

Primena MATLAB-a za svođenje na Džordanov oblik

Procesi u linearnim SAU

Literatura

58

57

64

Pitanja za samoproveru Zadaci za vežbu

66

62

62

65

a

Glava 2. ODREDJIVANJE ODZIVA SISTEMA NA OSNOVU MODELA U PROSTORU STANJA 2.1 Fundamentalna matrica i odziv sistema Modeli sistema u prostoru stanja, kao što je već rečeno, obezbeđuju kompaktnost zapisivanja složenih, multivarijabilnih ili velikih sistema. Oni su omogućili otkrivanje novih osobina nepoznatih u klasičnoj teoriji SAU, kao što su kontrolabilnost, opservabilnost, stabilizabilnost, o čemu ćemo govoriti kasnije. Posebna pogodnost modela u prostoru stanja je istovremeno određivanje odziva sistema na svim izlazima, pri delovanju pobudnih signala na svim ulazima, uz prisustvo svih početnih uslova. Neka je, najpre, dat sistem s jednim ulazom i jednim izlazom, čiji je model u prostoru stanja x& = Ax + bu , (2.1) c = d T x. Potrebno je odrediti impulsni, odskočni ili odziv sistema na bilo koju pobudu. Za rešavanje tog zadatka može se poći različitim putevima. Jedan od njih je, s obzirom da je sistem s jednim ulazom i jednim izlazom, pretpostaviti nulte početne uslove, prevesti model u oblik funkcije prenosa, uz korišćenje ranije datih postupaka u kursu TAU-1. Pretpostavimo najpre da je sistem autonoman i da se on kreće samo pod dejstvom nenultih početnih uslova. Tada model (2.1) postaje x& = Ax, x(0) = x o = const ≠ 0, (2.2) c = d T x. Primenimo li na ovu homogenu diferencijalnu jednačinu, u cilju njenog rešavanja, Laplasovu transformaciju dobijamo:

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja -2

sX( s ) − x(0) = AX( s ) ⇒ [ sI − A ]X( s ) = x o ⇒

X( s ) = [ sI − A]−1 x 0 ⇒ x(t ) = L−1{[ sI − A ]−1}x 0 = Φ (t )x 0 .

(2.3)

Obratimo sada pažnju na Φ (t ) = L−1{[ sI − A ]−1 } . Očigledno je da je to matrica, jer je [ sI − A] matrica. Pretpostavimo dalje da je matrica A dijagonalna (dobijena postupkom paralelnog programiranja). Njeni dijagonalni elementi si su polovi funkcije prenosa, odnosno sopstvene vrednosti matrice stanja A, sistema (2.1), pa je matrica [ sI − A] : 0 ... 0   s − s1  0 s − s2 0 ...  . = [ sI − A ] = dij{s − si }  ... ... ... ...  i =1,n   ... 0 s − sn   0 Zbog specifičnog oblika ove matrice, njena inverzna matrica je [ sI − A]−1 = dij{( s − si ) −1}i =1,n ,

(2.4)

(2.5)

  1   si t Φ (t ) = L−1 dij (2.6)   = dij[e ] .   s − si   Rešavajući, sada, zadatak - određivanje normalnih odziva (početni uslovi su nulti), primenjujući isti postupak, dobija se:

pa je

X( s ) = [ sI − A]−1 bU ( s ) ⇒ x(t ) = L−1{[ sI − A]−1 bU ( s )} ⇒

x(t ) = ∫ Φ (t − τ)bu ( τ)dτ = ∫ Φ(τ)bu (t − τ)dτ, t

t

0

0

(2.7)

jer se inverzna Laplasova transformacija proizvoda dveju kompleksnih funkcija dobija konvolucionim integralom. Na taj način određene su sve koordinate stanja sistema. Izlaz sistema, pri delovanju Dirakovog/Hevisajdovog signala, uzimajući u obzir (2.6) i (2.7) biće, respektivno: w(t ) = d T ∫ Φ (t − τ)bδ ( τ) dτ = d T ∫ Φ ( τ)bδ (t − τ ) dτ , t

t

0 t

0 t

0

0

j ( t ) = d T ∫ Φ (t − τ)bh( τ ) dτ = d T ∫ Φ ( τ)bh(t − τ ) dτ .

(2.8a) (2.8b)

Ako se zahteva određivanje odziva na bilo koji ulazni signal s nenultim početnim uslovima, koristeći princip superpozicije, dobiće se izrazi: x (t ) = Φ ( t )x o + ∫ Φ (t − τ)bu( τ ) dτ = Φ (t )x o + ∫ Φ (t )bu(t − τ ) dτ , c( t ) = d T x ( t ) .

46

t

t

0

0

(2.9a) (2.9b)

Glava 2.: Određivanje odziva sistema u prostoru stanja Drugi način za dobijanje rešenja diferencijalne jednačine stanja sistema (2.1) je korišćenje analogije s načinom rešavanja skalarnih diferencijalnih jednačina. Razmotrimo, opet, samo homogeni deo matrične diferencijalne jednačine stanja x& (t ) = Ax(t ), x 0 − dato . (2.10) Odgovarajuća skalarna diferencijalna jednačina ima oblik x& (t ) = ax(t ), x0 − dato, a njeno rešenje je x(t ) = e at x0 . Pretpostavimo da je i rešenje naše homogene matrične diferencijalne jednačine analogno rešenju skalarne, x(t ) = e At x 0 . (2.11) Ako je (2.11) zaista rešenje, onda ono mora da zadovoljava datu diferencijalnu jednačinu. Diferencirajući (2.11) po t i zamenjujući u (2.10) dobija se identitet. Prema tome, (2.11) je zaista rešenje (2.10). Upoređujući (2.3) i (2.11) dolazimo do zaključka da je Φ (t ) = e At . (2.12) Matrica Φ (t ) se naziva fundamentalnom matricom, tranzijentnom matricom ili matričnim eksponentom ( e At ). Treći prilaz u nalaženju fundamentalne matrice se zasniva na metodi sukcesivne integracije diferencijalne jednačine, dovodeći do izraza [6]: ∞ 1 Φ (t ) = e At = ∑k =0 A k t k , (2.13) k! što je, zapravo, razvoj matričnog eksponenta u red. Ovaj poslednji način se koristi pri numeričkom izračunavanju fundamentalne matrice. Pri tome se uzima konačan broj članova i, naravno, fundamentalna matrica se izračunava s određenom greškom koja se može unapred zadati. Mi ćemo dalje pokazati da takav numerički postupak nije neophodan, jer se analitička forma fundamentalne matrice može dobiti u eksplicitnom obliku ne samo za sisteme s dijagonalnom matricom stanja, dobijene paralelnim programiranjem u prisustvu prostih polova, već i za matrice stanja sistema dobijene postupkom direktnog programiranja, odnosno postupkom paralelnog programiranja, kada postoje višestruke sopstvene vrednosti matrice stanja. 2.1.1 Primena MATLAB-a za nalaženje odziva sistema Za određivanje odziva sistema, kada su nam potrebni numerički odnosno grafički rezultati može se koristiti MATLAB programski paket. Naredba je oblika [Y,X,t]=initial(A,B,D,H,x0) za odziv sistema na početne uslove, [Y,X]=impulse(A,B,D,H,iu,t), za normalni impulsni odziv; [Y,X]=step(A,B,D,H,iu,t), za normalni odskočni odziv; [Y,X]=lsim(A,B,D,H,U,t), za normalni odziv na bilo koju pobudnu funkciju. Ovde su: Y - matrica izlaznih promenljivih, X - matrica promenljivih stanja, t - vreme trajanja odziva, x0-vektor početnih uslova, iu, su odgovarajuće ulazne funkcije.

47

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja -2

0  0 1  ; b =  ; d = [1 0]; h = 0; Primenom  1 0 0  MATLAB-a odrediti odskočni odziv izlaza i stanja sistema u intervalu vremena od 0 do 1 s. t=linspace(0,1,11);A=[0,1;0,0];B=[0;1];D=[1,0];H=0; >> [Y,X]=step(A,B,D,H,1,t) Nakon startovanja izvršenja programa dobijaju se vektori Y,X i t (u sledećoj tabeli su samo date vrednosti za t , x1 i x2, jer je Y=x1.

Primer 2.1 Sistem je dat sa: A = 

t x1

0 0

0,1 0,1

0,2 0,2

0,3 0,3

0,4 0,4

0,5 0,5

0,6 0,6

0,7 0,7

0,8 0,8

0,9 0,9

1 1

x2

0

0.005

0.02

0.045

0.08

0.125

0.180

0.245

0.320

0.405

0.500

Posle dobijenih numeričkih vrednosti u MATLAB-u komandom plot(t,X) dobiće se grafički prikaz x1 i x2 u funkciji od vremena. Izgled je prikazan na sl. 2.1 (kontinualne linije). Naredba t=linspace(0,1,11) definiše vreme od 0 do 1s u 11 diskretnih ekvidistantnih trenutaka.

Primer 2.2 Odrediti normalni nagibni odziv sistema iz prethodnog zadatka t=linspace(0,1,11);A=[0,1;0,0];B=[0;1];D=[1,0];H=0;U=t; [Y,X]=lsim(A,B,D,H,U,t) Posle izvršenja programa dobijaju se numeričke vrednosti promenljivih:t,Y i X. Komandom plot(t,X) dobiće se grafički prikaz kao na slici 2.2 (kontinualne linije).

2.2 Diskretni model vremenski kontinualnog sistema Za simulaciju vremenski kontinualnih dinamičkog sistema pomoću digitalnog računara, kao što je rečeno, koriste se specijalni programi. S obzirom na to da je digitalni računar sekvencijalni automat koji radi u diskretnim vremenskim trenucima, matematički model sistema mora biti prilagođen takvom načinu računanja. Pomenute metode za simulaciju rada analognog računara na digitalnom računaru pretpostavljaju da se signali upravljanja dinamičkog sistema ne menjaju u toku trajanja jedne periode diskretizacije (T). Naime, računar uzima vrednost signala upravljanja na početku periode odabiranja; s tom vrednošću računa odziv sistema koji će biti na kraju te periode i upisuje taj odziv u svoju memoriju. Novodobijena vrednost odziva je novo početno stanje sistema. S početkom naredne periode odabiranja uzima se nova vrednost signala upravljanja i ceo proces računanja ponavlja. Sa stanovišta tačnosti simulacije poželjno je da perioda diskretizacije bude što manja. Međutim, to usporava rad računara i predstavlja poseban problem za rad sistema u realnom vremenu, kada se računar nalazi u konturi regulacije. Osim toga, zbog ograničene tačnosti u predstavljanju analognih signala, zbog diskretizacije, može doći do nagomilavanja grešaka u računanju. Zato se izboru periode odabiranja, kako pri simulaciji dinamičkih sistema, tako i za rad računara u upravljačkoj konturi, u realnom vremenu, mora posvetiti dužna pažnja. Preporučuje se da perioda odabiranja bude bar nekoliko puta manja od najmanje vremenske konstante dinamičkog sistema koji se simulira ili upravlja 48

Glava 2.: Određivanje odziva sistema u prostoru stanja pomoću računara. Pri tome treba voditi računa ne samo o dinamici objekta upravljanja, već i o dinamici celokupnog (spregnutog) sistema u čijoj konturi radi računar. Mi ćemo ovde, polazeći od odziva sistema na bilo koje upravljanje, odrediti diskretni model sistema koji će davati vrednosti stanja sistema i izlaza u trenutcima odabiranja, pretpostavljajući da se signal upravljanja do početka nove periode diskretizacije nije promenio. Pođimo od izraza za odziv stanja sistema (2.9a), napisanom u obliku x (t ) = e At x (0) + ∫ e A τ Bu(t − τ) dτ , t

(2.14)

0

i pretpostavimo da su stanje sistema i upravljanje poznati na početku k-te periode odabiranja. Usvojimo početak k-te periode kao nulti trenutak i pretpostavimo da se upravljanje ne menja do kraja te periode odabiranja. Tada je stanje sistema na kraju te periode odabiranja: x (( k + 1)T ) = e AT x ( kT ) + ∫ e A τ Bu( kT )dτ . T

(2.15)

0

S obzirom na to da je u(kT)=const, (2.15) možemo zapisati kao x (( k + 1)T ) = e AT x ( kT ) + ( ∫ e A τ Bdτ)u( kT ) . T

(2.16)

0

Izraz (2.16) je rekurentna relacija za izračunavanje stanja sistema. To znači da se proces računanja odziva stanja dinamičkog sistema na digitalnom računaru opisuje relacijom x((k + 1)T ) = A d x(kT ) + B d u(kT ); k = 0,1,2,... (2.17) gde su: A d = A (T ) = e

, B d = B(T ) = ∫ e A τ Bdτ , T

AT

(2.18)

0

matrica stanja i ulaza vremenski diskretizovanog sistema. Naravno, izlaz sistema se izračunava na osnovu poznate algebarske jednačine izlaza kao: c( kT ) = Dx ( kT ) + Hu( kT ) . (2.19) Na taj način se određuju odzivi sistema putem sekvencijalnog računanja. 0 1  0  ; b = 1; 0 0     T d = [1 0]; . H = 0 . Model sistema je dat u kanoničkoj kontrolabilnoj formi Fundamentalna matrica sistema je, na osnovu (2.3):  s − 1 −1  1 t  1 T  = e At ⇒ A(T ) =  Φ (t ) = L−1  = .   0 1  0 s   0 1

Primer 2.3. Neka se dinamički sistem opisuje sa A = 

49

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja -2

1,0

0,50

0,9

0,45

0,8

0,40 0,35

x2

0,6 0,5 0,4

x1

0,3

x(t), x(kT )

x(t),x(kT )

0,7

0,30 0,25 0,20

x2

0,15

x1

0,2

0,10

0,1

0,05

0,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,00 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

t, s

t, s

Sl. 2.1. Odzivi stanja sistema iz primera Sl. 2.2. Odzivi stanja sistema iz primera 2.2: stvarnog (kontinualne linije) i diskretizovanog modela (stepenaste linije) pri delovanju jediničnog odskočnog signala.

2.2: stvarnog (kontinualne linije) i diskretizovanog modela (stepenaste linije) pri delovanju jediničnog nagibnog signala.

T T 2 / 2 1 τ 0 Aτ b d d e τ = τ = ∫ ∫ 0 1 1  T  = b(T ). 0 0

T

Prema tome, diskretni model sistema je

 x1 ((k + 1)T )  1 T   x1 (kT )  T 2 / 2 u (k )  x ((k + 1)T ) =  +   0 1   x 2 (kT )  T   2

Neka je T=0,1 s i neka je upravljanje Hevisajdova funkcija. Tada je x1 ((k + 1)T ) = x1 (kT ) + 0,1x2 (kT ) + 0,005u (kT ), x2 ((k + 1)T ) = x2 (kT ) + 0,1u (kT ); u (kT ) = 1.

Pretpostavimo nulte početne uslove. Odziv stanja sistema biće kao na sl. 2.1. Kao što se sa slike vidi, diskretne vrednosti se u trenucima odabiranja poklapaju sa stvarnim vrednostima, dok izmedu trenutaka odobiranja diskretizovani signali imaju konstantnu vrednost. U cilju isticanja značaja nepromenljivosti signala upravljanja između trenutaka odabiranja, na sl. 2.2 je prikazan odziv kontinualnog i diskretnog modela sistema pri delovanju jediničnog nagibnog signala na ulazu. Kao što se s te slike vidi, vrednosti stanja diskretizovanog sistema u trenucima odabiranja nisu više jednake vrednostima kontinualnog modela u tim istim vremenskim trenucima. Iz ovog primera se i vidi značaj korišcenja što manje periode diskretizacije. Medutim, kao što je ranije rečeno, nije celishodno ići na suviše malu periodu diskretizacije zbog dužine računanja, kao i zbog mogućeg gomilanja grešaka usled diskretizacije.

2.2.1 Primena MATLAB-a za transformaciju model u diskretni domen Za transformaciju vremenski kontinualnog modela sistema u vremenski diskretni model može se koristiti MATLAB. Naredba je oblika [Ad,Bd]=c2d(A,B,T), gde su Ad=A(T) i Bd=B(T), T - perioda diskretizacije. 50

Glava 2.: Određivanje odziva sistema u prostoru stanja

2.3 Fundamentalna matrica Džordanove submatrice Postupkom paralelnog programiranja, kada funkcija prenosa poseduje višestruke polove (videti odeljak 2.4.1.3b), dolazi se do matrice stanja sistema koja ima blok-dijagonalni oblik, s Džordanovim submatricama oblika s k 1 0 0  0 s 1 0  k  . Jk = ... ... ... ...     0 ... 0 s k  p × p Sl. 2.3. Simulacioni model za određiDo izraza za fundamentalnu matricu vanje fundamentalne matrice Džordanove doći ćemo posmatrajući simulacioni submatrice dijagram dela sistema koji odgovara višestrukom polu sk, sl. 2.3. S obzirom na to da smo u odeljku 2.1 fundamentalnu matricu određivali iz homogenog dela diferencijalne jednačine stanja, pri dejstvu početnih uslova, i ovde ćemo postupiti na isti način. Iz simulacionog dijagrama se vidi da je: x p (0) x& p = sk x p ⇒ sX p ( s ) − x p (0) = sk X p ( s ) ⇒ X p ( s ) = , s − sk x& p −1 = x p + sk x p −1 ⇒ X p −1 ( s ) =

+

(s − sk ) x p ( 0)

2

x p −1 (0) s − sk

,

......

x& p −i = x p −i +1 + s k x p −i ; i = 0, p − 1; ⇒ X p−i ( s ) =

(s − s k )

x p (0)

i +1

+

(s − s k )

x p −1 (0) i

+

(s − s k )

x p − 2 ( 0)

i −1

+ ... +

(s − sk ) x p−i (0)

.

(2.20)

Koristeći sledeće pravilo inverzne Laplasove transformacije: t n −1 − at  1  e , L−1  =   ( s + a ) n  (n − 1)!

original (2.20) postaje x p −i ( t ) =

...+ e

sk t

t i sk t t i −1 sk t t i −2 e x p ( 0) + e x p −1 ( 0 ) + e sk t x p − 2 (0) + i! (i − 1)! (i − 2 )!

x p −i (0); i = 0, p − 1.

(2.21)

Na taj način se dobija: - za i=p-1: t p−1 t p−2 t p−3 x1 (t ) = e sk t x p (0) + e sk t x p −1 (0) + e sk t x p −2 (0)+...+e sk t x1 (0) ( p − 1)! ( p − 2)! ( p − 3)! 51

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja -2 - za i=p-2:

t p −2 t p −3 t p−4 e sk t x p (0) + e sk t x p −1 (0) + e sk t x p − 2 (0)+..+e sk t x 2 (0) ( p − 2)! ( p − 3)! ( p − 4)! .............................................................................................. x 2 (t ) =

- za i=2: - za i=1:

x p −2 (t ) =

t 2 sk t e x p (0) + te sk t x p −1 (0) + e sk t x p − 2 (0); 2!

x p −1 ( t ) = te s k t x p ( 0) + e sk t x p −1 (0);

- za i=0: x p (t ) = e sk t x p ( 0) .

Ove relacije možemo napisati u matričnom obliku  sk t e  x1 (t )    x (t )      2 x(t ) =  ...  =      x p −1 (t )   x p (t )       

te sk t

t 2 e sk t 2!

e sk t

te sk t

0

...

...

t 2 e sk t . ... 2! ... sk t ... e ...

t p −1e sk t   ( p - 1)!   x (0)  1 t p − 2 e sk t    x 2 (0)  ( p - 2)!     ...   ...  = Φ(t )x(0) . ...   x p −1 (0)   x (0)   te sk t   p  sk t e 

Fundamentalna matrica, za ovaj slučaj, može se napisati u kompaktnom obliku   t j −v ... ... 1 ( j − v)!   1 ... ..  ; (2.22) Φ (t ) = e J k t = e sk t  ...  0 .. ..   1  p× p  j = 2, p − redni broj kolone, v = 1, p − 1 − redni broj vrste .

2.4 Fundamentalna matrica kompanjon forme Postupajući na isti način kao u prethodnom slučaju, tj. razmatrajući autonomni sistem koji se kreće pod dejstvom samo početnih uslova, nalazeći kompleksne likove koordinata stanja u funkciji početnih uslova i njihovih inverznih Laplasovih transformacija, dobiće se eksplicitni oblik fundamentalne matrice kanoničke kontrolabilne forme. Na sl. 2.4 prikazan je graf toka signala dela sistema, predstavljenog u kompanjon formi, koji se sada razmatra. Determinanta grafa je s n + a n s n −1 +...+ a 2 s + a 1 D( s) (2.23) = n . ∆( s) = sn s Odredimo, najpre, operatorsku vrednost stanja x1 u funkciji od svih početnih uslova promenljivih stanja. S grafa se uočava da je prenos direktnog puta i-tog 52

Glava 2.: Određivanje odziva sistema u prostoru stanja početnog uslova Pi ( s) = s − i . (2.24) Osim toga, vidi se da se sve zatvorene putanje dodiruju, a direktnu putanju i-tog početnog uslova ne dodiruje samo n-i zatvorenih putanja koje joj prethode. Zbog toga su pridružene determinante grafa k =n− j n-i a 1 n (2.25) ∆ i ( s ) = 1 + ∑ n −kk +1 = n − i ∑ a j +1 s j − i , a n +1 = 1. s s j=i k =1 1 1 n 1 n (2.26) Pi ∆ i ( s ) = i n − i ∑ a j +1 s j − i = n ∑ a j +1 s j − i . s s j=i s j=i xn(0) .

xn

s-1 s-1

xn-1(0)

x3(0)

s-1

s-1

s-1 xn -an

x3

xn-1 -an-1

-a3

x2(0) s-1 s-1 -a2

x2

x1(0) s-1

s-1

x1

-a1

Sl. 2. 4. Graf toka signala dela sistema opisanog modelom u prostoru stanja u kanoničkom kontrolabilnom obliku.

⇒ X 1 ( s) =

1 n n −  ∑  ∑ a j +1 s j i xi (0); D ( s) i = 1  j = i 

Kako je sistem linearan, koordinata X1(s) se dobija na osnovu principa superpozicije: 1 n ∑ Pi ∆ i xi (0) ∆ ( s) i = 1 1 n 1 n − = ∑ ∑ a j +1 s j i x i (0) ∆( s) i =1 s n j =i X 1 ( s) =

(2.27)

D( s) = ∑ a n −i +1 s n −i − karakteristični polinom sistema. n

i =0

 j   1  −1  s ( j) Označimo sa w(t ) = w = L−1  , a sa = w L   -j-ti izvod w(t).   D( s)   D ( s)  Tada se original x1(t) dobija iz (2.27) u obliku n n  n n s j−i  ( j − i)  x 1 (t ) = L−1 ∑ ∑ a j +1  x i ( 0) = ∑ ∑ a j +1 w  x i (0) , D( s )    i =1  j = i  i =1  j = i odnosno u vektorsko-matričnom obliku  x1 (0)  n n n   x2 (0)   . x1 (t ) = ∑ a j +1w ( j −1) ∑ a j +1w( j −2 ) ... ∑ a jk +1 w( j −n+1) w    ... j =2 j = n −1    j =1   xn (0) Vektor-vrsta u prethodnom izrazu je prva vrsta fundamentalne matrice Φ(t) posmatranog sistema. S obzirom na specifičan oblik matematičkog modela, kada je naredna promenljiva stanja diferencijal prethodne, ostale vrste se dobijaju diferenciranjem prethodnih. Međutim, daljim korišćenjem gore datog pos53

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja -2 tupka i na ostale promenljive stanja, dobiće se, za teorijsku analizu, pogodniji oblik fundamentalne matrice, koji glasi [4]: 1. kolona ................r - ta kolona ...............n - ta kolona n ( j −1) ∑ a j +1 w j = 1  ...   (u −2 ) Φ (t ) =  − a1 w  ...   ...  

∑ a j +1w( j −r ) n

... ... ... ...

j =r

∑ a j +1w

( j − r + q −1)

∑ a j +1w

( j − r + z −1)

...

n

j =r

...

r

...

j =0

... ... ... ... ...

 w   ...  u = 2, n;  r = 2, n - 1; w (u −1) ;  q = 2, r ; ...  z = r + 1, n. ...  

(2.28)

Konačno, kada se radi o konkretnom sistemu, fundamentalna matrica se prosto dobija korišćenjem opšteg člana prve vrste oblika φ1r (t ) =

∑ a j +1 w ( j − r ) , n

j =r

r = 1, n .

(2.29)

čijim se sukcesivnim diferenciranjem dobijaju opšti članovi 2., 3., ..., n-te vrste. Osnovni problem u nalaženju ove fundamentalne matrice sastoji se u dređivanju w(t ) = w = L−1 D −1 ( s ) . To zahteva nalaženje korena karakteristične jednačine. Ali, i kada je polazni sistem dat u obliku funkcije prenosa sa nefaktorizovanim imeniocem, za korišćenje drugih tipova modela (dijagonalna, blok-dijagonalna forma) moraju se, takođe, odrediti koreni karakteristične jednačine. Tada postupak preko direktnog programiranja u mnogim slučajevima može biti kraći.

{

}

Primer 2.4. Za sistem dat sa:

 0 I 2 x2  T T A= ; a = [− 11 − 6]; b = [0 0 1] ; d = [1 1 0] . a 6 − 1x 2   Odrediti normalni odskočni odziv. Karakteristični polinom sistema je s 3 + 6s 2 + 11s + 6 . Njegovi koreni su: s1 =

−1, s 2 = −2, s3 = −3. Stoga je w(t ) = L−1{D −1 ( s )} = 0,5e − t − e −2t + 0,5e −3t Normalni odskočni odziv biće

∫

j (t ) = d e t

A (t −τ)

0

∫

 φ11 (t − τ) φ12 (t − τ) φ13 (t − τ)  0 bh( τ)dτ = [1 1 0] φ 21 (t − τ) φ 22 (t − τ) φ 23 (t − τ) 0 h( τ)dτ    0  φ ( t − τ ) φ ( t − τ ) φ ( t − τ )  1  32 33  31  

∫ t

∫

∫

∫

= φ13 (t − τ)dτ + φ 23 (t − τ)dτ = w(t − τ)dτ + w' (t − τ)dτ t

=

t

∫ [0,5e 0 t

[

t

0

−( t − τ )

0

t

] ∫[

0

]

1 1 = ∫ e −2( t − τ ) − e −3( t − τ) dτ = (1 − e −3t ) − (1 − e −2t ) . 3 2 0 0

t

54

]

− e − 2( t − τ ) + 0,5e −3( t − τ) dτ + − 0,5e −( t − τ ) + 2e − 2( t − τ) − 1,5e −3( t − τ) dτ t

0

Glava 2.: Određivanje odziva sistema u prostoru stanja

2.5 Transformacije modela u prostoru stanja U prethodnim odeljcima smo pokazali kako se vrši transformacija matematičkog modela sistema iz prostora stanja u funkciju prtenosa i obrnuto - funkcije prenosa u prostor stanja. Na osnovu direktnog, rednog i paralelnog programiranja uveli smo nekoliko različitih modela zapisivanja sistema u prostoru stanja. Često puta je potrebno transformisati jedan oblik matematičkog modela u prostoru stanja u drugi. Osnovna potreba za takvom transformacijom leži u pogodnosti jednog modela nad drugim pri rešavanju konkretnih problema analize i sinteze. Generalno uzevši, najpogodniji oblik je dijagonalna forma, koju smo dobijali postupkom paralelnog programiranja, kada sistem poseduje proste polove. Ako svi polovi nisu prosti, dobija se blok-dijagonalni oblik matrice stanja sistema s Džordanovim submatricama. Konačno direktno programiranje dovodi do kanoničke kontrolabilne forme, veoma pogodne za projektovanje povratne sprege po stanju sistema. Neka je dat model sistema u prostoru stanja, dobijen nekim od načina programiranja: x& (t ) = Ax(t ) + Bu(t ), (2.30) c(t ) = Dx(t ) + Hu(t ), i neka je model tog istog sistema dobijen drugim načinom programiranja: )) ) ) x& (t ) = Ax(t ) + Bu(t ), (2.31) )) ) c(t ) = Dx(t ) + Hu(t ). Potrebno je naći konstantnu nesingularnu matricu P koja sistem (2.31) prevodi ) u sistem (2.30), odnosno koja stanje x transformiše u stanje x, tj.: ) ) x = Px ⇒ x& (t ) = Px& (t ) .1 (2.32) Sprovodeći očigledne transformacije: ) ) Px& (t ) = APx(t ) + Bu(t ) ⇒ ) ) x& (t ) = P −1 APx(t ) + P −1Bu(t ), ) c(t ) = DPx(t ) + Hu(t ), dobijaju se: ) ) A = P −1 AP, B = P −1B, ) ) D = DP, H = H. ili ˆ P −1 , B = PBˆ , A = PA ) D = DP −1 , H = H.

11

(2.33a)

(2.33b)

Moguće je postupiti i na sledeći način: xˆ = Tx ⇒ x = T xˆ ⇒ xˆ& = TAT xˆ + TBu −1

−1

55

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja -2

2.5.1 Svodjenje sistema na dijagonalnu formu U cilju određivanja elemenata matrice transformacije P, prvu relaciju iz (2.33a) zapišimo u obliku ) (2.34) PA = AP . ) U (2.34) znamo matricu A i znamo da matrica A mora biti dijagonalna, s elementima ravnim sopstvenim vrednostima matrice A, pa prethodni izraz zapisujemo u obliku:  s1 0 ... ...   0 s 0 ...  2  = A[p p ... p ] , [p1 p 2 ... p n ]  (2.35) n 1 2 ... ... ... ...     0 ... 0 sn  gde su p i , i = 1, n - vektori kolone matrice P. Posle množenja dobija se: (2.36) si p i = Ap i ⇒ ( si I − A)p i = 0, i = 1, n. Ova matrična algebarska jednačina predstavlja sistem od n-skalarnih, algebarskih, homogenih jednačina čije su nepoznate veličine elementi vektora pi (pi1, pi2 , pi3,..., pin, koji će imati jedinstvena rešenja samo u slučaju ako je njegova determinanta jednaka nuli [11], tj: (2.37) det[ sI − A ] = 0 , za svako s = si , i = 1, n . Prema tome, koreni karakteristične jednačine sistema, odnosno polovi funkcije prenosa, su ujedno i sopstvene vrednosti matrice stanja sistema. Vektori pi se nazivaju sopstevnim vektorima sistema.

Napomena 2.1: Kada je matrica polaznog sistema A u kompanjon formi i ima sve proste sopstvene vrednosti (si≠sj), tada se kao matrica transformacije za prevođenje u dijagonalnu formu može primeniti Van der Mondova matrica: 1 1 1   1  s s2 ... sn   12 P = W =  s1 (2.38) s22 ... sn2  .   ... ...   ...n−1 ... n −1 s2 ... snn−1   s1 −1

Primer 2.5: Dat je sistem A =  0

1 1 1  0 1  ; B =  ; D =  . −2  1 0 1 2 

Prevesti dati sistem u dijagonalni oblik. Sopstvene vrednosti ove matrice su koreni jednačine s = −1 , s +1 −1 det[sI − A ] = 0 ⇒ = 0 ⇒ ( s + 1)(s + 2) = 0 ⇒ 1 s 2 = −2 . s+2 0 Koristeći (2.34) može se napisati

56

Glava 2.: Određivanje odziva sistema u prostoru stanja  p11 p12  − 1 0  − 1 1   p11 p12  ⇒ p   =  21 p 22   0 − 2  0 − 2  p 21 p 22   − p11 − 2 p12  − p11 + p 21 − p12 + p 22  ⇒ = − p − 2 p 22   21 − 2 p 22   − 2 p 21 p 21 = 0; p 22 = 1 (proizvoljno odabrano); ⇒

p11 = 1 (proizvoljno odabrano) - 2p12 = − p12 + p 22 ⇒ p12 = −1.

1 − 1 −1 1 1 P=  , P = 0 1 ,   0 1  ) ) 1 0   2 1 ) 0 1 , B = P −1B =  , D = DP =  A = P −1 AP =    .  0 - 2 1 0  1 1 Iz prethodnog se vidi da matrica transformacije nije jedinstvena.

2.5.1.1 Primena MATLAB-a za transformaciju u dijagonalni formu U MATLAB-u postoji potprogram za ovu transformaciju. Koristi se naredba oblika [Ab,Bb,Db,Hb,T]=canon(A,B,D,H,’modal’), što u primeni na ovaj primer imamo: >> A=[-1,1;0,-2];B=[1,1;1,0];D=[0,1;1,2];H=[0,0;0,0]; [Ab,Bb,Db,Hb,T]=canon(A,B,D,H,'modal') Ab = -1 0 0 -2 Bb = 2.0000 1.4142 Db = 0 1.0000 Hb = 0 0 0 0 T= 1.0000 0

1.0000 0 0.7071 0.7071

1.0000 1.4142.

Napomena 2.2: u MATLAB-u je korišćena zamena xˆ = Tx . Veza između matrica transformacije P i T je P=T-1. Takođe treba primetiti da su element matrice P p11 i p22 proizvoljno izabrane da imaju vrednost 1. Za drugu izabranu vrednost, matrica P (odnosno matrica T) imaće drugu vrednost, tj. ne postoji jednoznačnost u izboru transformacionih matrica. Na primer, da smo usvojili p 22 = 0,7071 imali bi 1 − 0,7071 −1 kao što je u MATLAB-u P= =T 0 0 , 7071   dobijeno.

Primer 2.5. Naći matricu transformacije koja prevodi sistem iz primera 2.4 u dijagonalni oblik. S obzirom da je matrica stanja datog sistema u kompanjon formi i njene sopstvene vrednosti su proste, kao matrica transformacije se može primeniti Van der Mondova matrica 1 1 1 P = W = − 1 − 2 − 3 .  1 4 9 

57

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja -2 Zaista, proverom dobijamo: >> A=[0,1,0;0,0,1;-6,-11,-6];B=[0;0;1];C=[1,1,0];D=[0;0;0]; >> P=[1,1,1;-1,-2,-3;1,4,9]; >> P^-1*A*P ans = Columns 1 through 2 -1.0000 0.0000 0.0000 -2.0000 -0.0000 -0.0000 Column 3 -0.0000 0.0000 -2.0000

Napomena 2.3: Linearna transformacija ne menja sopstvene vrednosti sistema niti relacije ulaz-izlaz, u šta se možemo uveriti prelazeći iz prostora stanja u domen funkcija prenosa sistema. U to se možemo uveriti i na ovom primeru prevodeći polazni i transformisani model u kompleksni domen. Preporučuje se čitaocima da to sami urade.

2.5.2 Svodjenje sistema na kanoničku kontrolabilnu formu Neka je linearni stacionarni sistem sa skalarnim upravljanjem opisan relacijama (2.31) i neka ispunjava uslov ˆ bˆ A ˆ 2 bˆ .... A ˆ n−1bˆ ] = n , (2.39) rang[bˆ A koji se naziva uslovom potpune kontrolabilnosti sistema, o čemu će biti reči kasnije. Tada postoji nesingularna transformaciona matrica Pˆ koja (2.31) prevodi u (2.30), tj. xˆ = Pˆ x , u kome matrica stanja A ima kanoničku kontrolabilnu formu. Jasno je da relacije (2.33), s izmenjenim označavanjem, važe i u ovom slučaju, pa i relacija (2.34). Na osnovu nje, može se napisati:  pˆ 1   0 pˆ   ˆ = 0  2 A  ...   .    − a1 pˆ n  što daje sledeće relacije ˆ = pˆ , pˆ 1 A 2 ˆ = pˆ , ˆp A 2

3

............ ˆ = pˆ , pˆ n −1 A n odakle se mogu napisati: 58

1

0

...

0 .

1 .

0 .

a2

... − a n −1

0   pˆ 1  ...  pˆ 2  , .   ...    − a n  pˆ n 

(2.40)

(2.41)

Glava 2.: Određivanje odziva sistema u prostoru stanja ˆ ; i = 2, n; pˆ i = pˆ i −1 A ˆ j ; i = 2, n; j = 1, n − 1 pˆ i = pˆ i − j A

(2.42)

Iz poslednjeg izraza zaključujemo da je za određivanje matrice Pˆ potrebno odrediti samo njenu prvu vrstu, tj. vektor vrstu pˆ 1 . Ovaj vektor ćemo odrediti koristeći specifičnost vektora b sistema datog u kanoničkom kontrolabilnom prostoru. S obzirom na drugu relaciju u (2.33) i na činjenicu da vektor-kolona b ima sve elemente jednake nuli, osim zadnjeg, koji je jednak jedinici, može se napisati:  pˆ 1   0   pˆ 1   0   pˆ 1bˆ   0  pˆ   ...  pˆ A    2 ˆ ˆˆ    bˆ = ... ⇒  pˆ 1Ab  = ... . ˆPbˆ = b ⇒  2 bˆ =   ⇒  1  ...   0   ...   0   ...   0       ˆ n−1     ˆ n−1 ˆ     1  pˆ 1A   1  pˆ 1A b   1  pˆ n 

Poslednja relacija, nakon transpozicije, postaje ˆ bˆ ... A ˆ n−1bˆ ] = [0 ... 0 1] . pˆ [bˆ A 1

(2.43)

(2.44)

Rešavajući po pˆ 1 dobija se:

ˆ bˆ ... A ˆ n−1bˆ ]−1 . pˆ 1 = [0 ... 0 1][bˆ A (2.45) Prema tome, ako je ispunjen uslov potpune kontrolabilnosti (2.39), tada postoji inverzna matrica matrice kontrolabilnosti, a vektor pˆ 1 se nalazi kao njena poslednja vrsta. 0 0 − 3 1   ˆ ˆ Primer 2.6. Sistem: A = 2 0 7 ; b = 0 prevesti u kanoničku kontrolabilnu 0 − 1 0  0 formu. Na osnovu datih matrica proveravamo uslov potpune kontrolabilnosti, prema (2.39):

1 0 0  2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ rang[b Ab A b] = rang 0 2 0  = 3 . 0 0 − 2

Sistem je potpuno kontrolabilan, pa je

− 4 0 0 1 0 0  1 ˆp1 = [0 0 1] 0 2 0  = [0 0 1]  −   0 − 2 0 = [0 0 − 0,5] .     4   0 0 − 2 0 2 0 Ostali vektori-vrste matrice transformacije su: −1

ˆ = [0 0,5 0]; pˆ 2 = pˆ 1 A ˆ = [1 0 3,5]. pˆ 3 = pˆ 2 A

Tražena matrica transformacije je

59

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja -2

0 0 − 0,5 0  . Pˆ = 0 0,5 1 0 3,5  Sada je transformisani sistem dat sa: 0 1 0  0    −1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A = PAP = 0 0 1; b = Pb = 0 . 6 − 7 0 1

2.5.2.1

Primena MATLAB-a za transformaciju u kontrolabilnu formu

MATLAB-ov potprogram za ovu transformaciju je oblika [Ab,Bb,Db,Hb,T]=canon(A,B,D,H,’companion’). Za ovaj zadatak ima se: >> A=[0,0,-3;2,0,7;0,-1,0];B=[1;0;0];D=[1,0,0];H=0; [Ab,Bb,Db,Hb,T]=canon(A,B,D,H,'companion') Ab = 0 0 6 1 0 -7 0 1 0 Napomena 2.4: Dobijeno rešenje u MATLAB-u ima Bb = zaista kompanjon formu ali različitu od one koju 1 smo dobili prikazanim analitičkim postupkom. Lako 0 se uočava da se transpozicijom matrice dobijene 0 MATLAB programom dobija matrica nađena Db = analitički i obrnuto. 1 0 0 Hb = 0 T= 1.0000 0 0 0 0.5000 0 0 0 -0.5000

2.5.3 Svodjenje sistema na Džordanov oblik Kada su sopstvene vrednosti matrice stanja višestruke, tada se takav sistem može transformisati u Džordanovu blok dijagonalnu formu. Kao i u prethodnom slučaju, potrebno je nesingularnom transformacionom matricom P prevesti sistem (2.30) u sistem (2.31), tako da dobijena matrica Aˆ ima Džordanov, a vektor bˆ odgovarajući oblik (videti odeljak 2.4.1.3b). Koristeći (2.34) može se napisati  s j 1 0 .....   0 s 1 0 ... j  = A[p p ... p ] , [p1 p 2 ... p n ] (2.46) n 1 2 . . . .     0 ... 0 s j  odakle se dobijaju relacije 60

Glava 2.: Određivanje odziva sistema u prostoru stanja

s j p 1 = Ap 1

⇒ ( s j I − A )p 1 = 0,

p 1 + s j p 2 = Ap 2 ⇒ ( s j I − A )p 2 = −p 1 , . . . .

. .

(2.47)

p n-1 + s j p n = Ap n ⇒ ( s j I − A )p n = −p n −1 .

Na osnovu njih nalaze se vrednosti vektora pi , pri čemu se neke njegove komponente zadaju proizvoljno. 0 6 −5 Primer 2.7. Data je matrica A = 1 0 2  čije se sopstvene vrednosti nalaze 3 2 4  iz relacije det[sI − A ] = 0 . 5   s −6  det[sI − A ] = det  − 1 s − 2  = s 3 − 4 s 2 + 5s − 2 = ( s − 2)( s − 1) 2 , − 3 − 2 s − 4

pa su sopstvene vrednosti: s1 = 2 , s 2 = 1, s 3 = 1.

Pošto imamo jednu sopstvenu vrednost višestrukosti 2, možemo matricu A svesti na Džordanov oblik  2 0 0 ˆ = 0 1 1  , A   0 0 1 a za transformaciju polaznog sistema treba odrediti transformacionu matricu P. Primenjujući relacije iz (2.47), za nađene sopstvene vrednosti, dobiće se:

 2 − 6 − 5  p11   − 1 2 − 2  p  = 0 ⇒ za p = 1 dobijaju se p = −0,5, p = −1. 11 21 31   21   − 3 − 2 − 2  p31 

 1   1 − 6 5   p12      ( s 2 I − A)p 2 = 0 ⇒  − 1 1 − 2  p 22  = 0 ⇒ p 2 = − 3 / 7  , − 5 / 7 − 3 − 2 − 3  p 23 

1   1 − 6 5   p12   1          ( s 2 I − A)p 3 = −p 2 ⇒  − 1 1 − 2  p 22  = − 3 / 7  ⇒ p 3 = − 22 / 49 , − 3 − 2 − 3  p 23  − 5 / 7 − 46 / 49

Matrica transformacije je P = [p1

p2

p3 ],

1 1   1  P = − 1 / 2 − 3 / 7 − 22 / 49 .  − 1 − 5 / 7 − 46 / 49

61

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja -2 2.5.3.1

Primena MATLAB-a za svođenje na Džordanov oblik

Primenom MATLAB-a se dobija >> A=[0,6,-5;1,0,2;3,2,4];B=[1;0;0];D=[1,0,0];H=0; >> [Ab,Bb,Db,Hb,T]=canon(A,B,D,H,'modal') Ab = 2.0000 0 0 0 1.0000 0 Napomena 2.5: Kao što se vidi, naredba 0 0 1.0000 je ista kao za svođenje na dijagonalni Bb = oblik, jer se ovde problem svodi na 1.0e+007 * transformaciju u blok-dijagonalni oblik -0.0000 -2.8780 -2.8780 Db = 0.6667 -0.7683 0.7683 Hb = 0 T= 1.0e+008 * -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.2878 -1.1512 0.2878 -0.2878 -1.1512 0.2878

Napomena 2.6: Prikazani analitički postupak ne zahteva poznavanje matrica B,D i H, dok MATLAB-ov program zahteva obavezno unošenje podataka za ove matrice. One se mogu uneti kao nulte matrice, što neće uticati na rezultat dobijanja transformisane matrice A i transformacione matrice T. Dobijena matrica T je analogna matrici P-1 u prikazanom analitičkom postupku, uz konstataciju da transformaciona matrica nije jedinstvena.

2.6 Procesi u linearnim SAU Kretanje sistema pod dejstvom pobudnih signala nazivamo procesom. Pri tizučavanju odziva najveću pažnju smo posvetili tipičnim normalnim odzivima sistema, kada na ulaz deluje tipična pobudna funkcija. Pod dejstvom pobudne funkcije nastaje prinudno kretanje - prinudni proces. Pored prinudnog kretanja, definisali smo i autonomno (slobodno) kretanje sistema, koje se, bez spoljašnje pobude, odvija na račun nenultih početnih uslova. U delu određivanja odziva sistema na osnovu modela u prostoru stanja, autonomnom kretanju smo, bez posebnog isticanja, posvetili više pažnje zbog određivanja fundamentalne matrice, dok smo za odziv na osnovu funkcije prenosa isključivu pažnju posvetili procesima izazvanim samo pobudnim signalom. Posmatrajući relaciju c(t ) = d T Φ (t )x(0) + d T ∫ Φ (t − τ)bu (τ)dτ , t

0

(2.48)

koja definiše odziv sistema na bilo koji pobudni signal pri nenultim početnim uslovima, jasno uočavamo dve komponente: prva potiče od nenultih početnih 62

Glava 2.: Određivanje odziva sistema u prostoru stanja uslova sistema x(0), a druga - `od spoljašnje pobude u(t). Prvu prvenstveno definiše fundamentalna matrica, dok drugu - konvolucioni integral te matrice i spoljašnje pobude. Pre nego što pristupimo daljoj analizi procesa u linearnom sistemu, razmotrimo jedan prost primer sistema sa skalarnim upravljanjem. Primer 4.8. Neka je dat sistem prvog reda x& = −ax + u , c = x , na koga u trenutku

t=0 deluje Hevisajdov jedinični odskočni signal u (t ) = h(t ) , pri čemu je sistem imao nenulte početne uslove x (0) ≠ 0 . Na osnovu (2.8b) odziv sistema je c(t ) = e −at x(0) + ∫ e −a (t −τ) h(τ)dτ = e −at x(0) +

1 (1 − e −at )h(t ) a h(t )  −at 1 1 1  = e -at x(0) − e −at h(t ) + h(t ) =  x(0) − e + h(t ). a a a  a  t

0

U u odzivu sistema iz ovog primera uočavamo tri komponente: 1.- uslov-

ljenu nenultim početnim uslovima (e − at x ( 0) ); 2.- koja isključivo zavisi od ulaznog pobudnog signala ( (1 / a )h( t ) ), i 3.- koja zavisi od pobudnog signala i

fundamentalne matrice ( (1 / a )e − at h(t ) ). Nazovimo ove komponente procesa: slobodnim, prinudnim i prelaznim procesom, respektivno. I u opštem slučaju, kod bilo kog sistema, kada jednovremeno deluju nenulti početni uslovi i spoljašnja pobuda, istovremeno postoje sve tri komponente procesa. Ukoliko su početni uslovi nulti, imaćemo samo dve komponente procesa: prelazni proces i prinudni proces. Isto tako, možemo uočiti da se komponenta prinudnog procesa dobija kao rešenje algebarske jednačine, nastale iz diferencijalne jednačine u kojoj su svi diferencijali anulirani. Prema tome, komponenta prinudnog procesa u sistemu opisanom modelom x& = Ax + bu , c = d T x, se određuje na osnovu relacije

c∞ = −d T A −1bu . Komponenta prelaznog procesa se, dakle, može odrediti iz izraza c p (t ) = d T [ ∫ Φ (t − τ)bu (τ)dτ + A −1bu ] . t

0

(2.49) (2.50)

S druge strane, prinudni proces se može tretirati kao proces koji nastaje posle dovoljno dugog vremena od dovođenja pobude na sistem. S obzirom na to da, po pretpostavci, početni uslovi deluju u trenutku t=0 i ono je isključivo za njih rezervisano, da bi imali dovoljno dug vremenski interval za nastanak prinudnog procesa u trenutku posmatranja t, pobudni signal treba da deluje ne u trenutku t=0 već u trenutku t=-∞. Tada se može napisati c∞ (t ) = d T ∫ Φ (t − τ)bu (τ)dτ . t

−∞

(2.51)

Zamenom promenljivih t − τ = v ⇒ dτ = − dv , τ = −∞ ⇒ v = ∞ , τ = t ⇒ v = 0 i oznaka v → τ dobija se c∞ (t ) = d T ∫ Φ (τ)bu (t − τ)dτ . ∞

0

(2.52) 63

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja -2 Mogli bi smo zaključiti da su prinudni procesi opisivani relacijama (2.49) i (2.52) identični. Ta konstatacija važi samo za stabilne sisteme. Za nestabilne sisteme relacija (2.52) nije validna. Ako proces u sistemu, nastao delovanjem samo spoljašnje pobude, c(t ) = d T ∫ Φ (t − τ)bu (τ)dτ , t

(2.53)

0

nazovemo opštim procesom, tada se prelazni proces u sistemu nalazi kao razlika opšteg (2.53) i prinudnog procesa (2.52), tj. c p (t ) = c(t ) − c∞ (t ) = −d T ∫ Φ ( τ)bu (t − τ)dτ . ∞

(2.54)

t

Izvedeni zaključci o procesima važe kako za sisteme sa skalarnim, tako i za sisteme s vektorskim upravljanjem, za sisteme s jednim ili s više izlaza.

Literatura [1]

Dorf, R. C., Bishop, R. H.: Modern Control Systems, Addison-Wesley Publishing Compani, 1995.

[2]

,

.: А

.

, »

«,

,

1978.

[3] [4] [5] [6] [7] [8]

Kuo, B. C.: Automatic Control Systems, Prentice-Hall, Inc. Englewood Clifs, NJ, 1982. Milosavljević, Č.: Matematički model jedne klase diskretnih sistema promenljive strukture, Automatika 5-6 (1983), 267-271. Novaković, B.: Regulacijski sistemi, Sveučilište u Zagrebu, 1985. Stojić, M.: Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, »Nauka«, Beograd, 1996. C , »

Д.,

,

С

.: «,

я

я

я,

, 1972.

Ćalasan, L., Petkovska, M.: MATLAB i dodatni moduli Control Systems Toolbox i SIMULINK, »Mikro knjiga«, Beograd, 1995.

[9]

,

.

.: О

я : О , «Э

[10]

,

.

.:

»,

я

, 1981. я, « ы

»,

,

1986.

[11] [12] « [13]

64

., К.: М я,« ы я , . .: С », , 1981. , . .: О ,

ы

»,

, 1971. я, ,«

»,

, 1977.

Glava 2.: Određivanje odziva sistema u prostoru stanja

Pitanja za samoproveru

Dinamički sistem, opisan modelom x& = Ax + Bu; c = Dx + Hu , ima fundamentalnu matricu _____ koja se može odrediti na osnovu izraza __________________. 2. Fundamentalna matrica se može dobiti i na osnovu sume beskonačnog reda, tj. __________________ 3. Odziv stanja autonomnog sistema na nenulte početne uslove određen je izrazom _________________________, a odziv izlaza sistema - izrazom _________________. 4. Normalni impulsi odziv sistema određen je izrazom ______________________, normalni odskočni odziv - izrazom __________________________, a normalni odziv na bilo koju podudnu funkciju - izrazom ______________________________. 5. Odziv neautonomnog sistema pri nenultim početnim uslovima za bilo koji ulazni signal odrejuje se izrazom ____________________________. 6. Matrica stanja diskretizovanog vremenski kontinualnog sistema određuje se izrazom ______________________. 7. Matrica ulaza diskretizovanog vremenski kontinualnog sistema određena je izrazom _____________________. 8. Diskretizovani model vremenski kontinualnog sistema je dat izrazom _________________________________. 9. Periodu diskretizacije (odabiranja) ______ treba birati tako da bude manja od ____________________________ vremenski kontinualnog sistema koji se diskretizuje. 10. Vrednosti odziva diskretizovanog i vremenski kontinualnog sistema biće iste u trenucima odabiranja ako je _____________________ nepromenljiv u toku _______________________. 11. Fundamentalna matrica kanoničke dijagonalne forme može se predstaviti izrazom __________________________, gde su si - rešenja jednačine ______________. 12. Fundamentalna matrica sistema čija matrica stanja je Džordanovog oblika i sastoji se od dva moda J1 i J2. Prvi mod, J1, odgovara prostim sopstvenim vrednostima, a drugi, J2, višestrukim sopstvenim vrednostima. Oba moda su dimenzija 2 x 2. Fundamentalna matrica takvog sistema data je izrazom: 1.

13. Sistem je opisan modelom dobijenim direktnim programiranjem. Fundamentalna matrica se može dobiti na taj način što se izraz za prvu vrstu te matrice, koji je dat izrazom ______________________________________ diferencira n-1 puta i svaka vrsta fundamentalne matrice je diferencijal prethodne. U navedenom izrazu w(t) su normalni _____________ odziv prenosa ______________, gde je D(s) karakteristični polinom sistema. 14. Osnovna relacija za transformaciju linearnog modela x& = Ax + Bu; c = Dx + Hu s ˆ xˆ + Bˆ u; c = D ˆ x + Hu ima oblik ____________________________, u model xˆ& = A gde je P - matrica transformacije.

65

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja -2 15. Linearna transformacija menja ne menja sopstvene vrednosti sistema niti relaciju ulaz izlaz (podvucite odgovarajuću reč napisanu kurzivom). 16. Za transformaciju sistema iz kompanjon forme u dijagonalni oblik, kada su sve sopstvene vrednosti proste, može se koristiti __________________ matrica kao transformaciona matrica, čije se vrste mogu napisati kao ________________________, gde su si - sopstvene vrednosti sistema. 17. MATLAB naredba za transformaciju sistema u dijagonalni (blok-dijagonalni) oblik je __________________________________. 18. MATLAB naredba za transformaciju sistema u kanonički kontrolabilni oblik je _____________________________________. 19. MATLAB naredba za dobijanje odskočnog odziva je ____________________ 20. MATLAB naredba za dobijanje odziva na bilo koji signal je oblika _____________________________________. 21. MATLAB naredba za dobijanje odziva na nenulte početne uslove je ___________________________.

Zadaci za vežbu

s 2 + b2 s + b1 s 2 ( s 2 + a 2 s + a1 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 а1 -3 3 5 12 16 32 40 60 56 а2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 b1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 b2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 a) Napisati model u prostoru stanja primenom direktnog programiranja b) Naći fundamentalnu matricu datog sistema c) Odrediti jedinični odskočni odziv datog sistema d) Odrediti odziv sistema bez pobude, kada je početna vrednost vektora stanja sistema x(0)=[0,0,0,1] e) Odziv sistema pri delovanju jediničnog odskočnog signala na ulazu sistema i nenultih početnih uslova definisanih pod d).

1. Sistem upravljanja je opisan funkcijom prenosa W ( s ) =

2. Dinamički sistem je opisan relacijama 0  0  0 1   1 ; b = 0; d T = [1 0 0] . A = 0 0  1 0 − a1 − a 2  Prevesti dati model u dijagonalnu formu. Parametri sistema su dati u gornjoj tabeli. 3. Vremenski kontinualni sistem je opisan modelom 1   0 0 ; b =  ; d T = [1 b2 ] . A=   − a1 − a 2  b1  Odrediti vremenski diskretni model datog sistema i nacrtati normalni jedinični odskočni odziv sistema za izabranu periodu diskretizacije.

66

Glava 3: Prostor stanja i osobine sistema 67 67

3.1

Uvod

3.2

Kontrolabilnost (Upravljivost)

68

69

3.2.1 Kontrolabilnost vremenski diskretnih sistema

3.2.2 Kontrolabilnost vremenski kontinualnih sistema 70 3.2.2.1 Primena MATLAB-a za utvrđivanje kontrolabilnosti

72

3.2.3 Kontrolabilnost izlaza sistema 3.3

Opservabilnost (stanjemerljivost) sistema

71

72

3.3.1 Primena MATLAB-a za utvrđivanje opservabilnosti 73

3.4

Princip dualnosti

3.5

Alternativni testovi kontrolabilnosti i opservabilnosti 3.5.1 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti na osnovu simulacionih šema (grafa toka signala) 3.5.2 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti na osnovu kanoničke dijagonalne forme

74 74

75

3.5.3 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti u s-domenu 76 3.6

Superkontrolabilnost

3.7

Dekompozicija sistema

78

78

3.7.1 Primena MATLAB-a za dekompoziciju sistema 81

3.8

Stabilizabilnost sistema

3.9

Zadatak minimalne realizacije

3.10

Prostor stanja i stabilnost sistema

82

3.10.1 Druga (direktna) metoda Ljapunova 3.10.1.1

Literatura

83

83

Primena MATLAB-a za ispitivanje stabilnosti sistema

87

Pitanja za samoproveru Zadaci za vežbu

80

89

86

87

a

Glava 3. PROSTOR STANJA I OSOBINE SISTEMA 3.1 Uvod Metode analize i sinteze SAU u prostoru stanja se intenzivno koriste od sedamdesetih godina XX veka. Do tada su, uglavnom, korišćeni matematički modeli u obliku funkcije prenosa, tj. modeli tipa ulaz-izlaz. Taj prilaz je čisto inženjerski, jer se, na tom stadijumu razvoja tehnike, od inženjera zahtevalo da projektuje stabilan sistem za regulaciju (stabilizaciju) ili praćenje zadatog referentnog signala s tačnošću i brzinom ne manjom od zadate. Pri tome se nisu postavljali strogi uslovi na druge performanse sistema kao što su minimalizacija nekih kriterijuma kvaliteta: optimalnost po brzini delovanja, po utrošku energije i dr. S razvojem tehnike, a posebno u vezi s kosmičkim istraživanjima, u prvi plan se ističu problemi optimalnosti, što dovodi do razvoja teorije optimalnih sistema. Umesto inženjera, razvoj tih sistema preuzimaju matematičari. Oni, za razliku od inženjera, problemu prilaze analitički, bez početnih uprošćavanja koje, obično, inženjeri koriste. S obzirom na nelinearnosti, prisutne u elementima sistema, ili zbog potrebe uvođenja nelinearnih zakona upravljanja, inženjerski prilazi preko modela ulaz-izlaz (funkcija prenosa) nisu pogodni, pa se prešlo na metode analize u vremenskom domenu, putem neposrednog korišćenja diferencijalnih jednačina. Najpogodniji oblik zapisivanja diferencijalnih jednačina je Košijev normalni oblik, što je i dovelo do uvođenja pojma prostora stanja. Pri prevođenju matematičkog modela iz prostora stanja u model ulaz-izlaz mogu se događati skraćivanja polova i nula. Ta skraćivanja dovode do toga da se dinamika tog dela sistema ne manifestvuje na izlazu i, za inženjera, kao da taj deo sistema ne postoji. Ako se skraćivanje ostvaruje u stabilnoj oblasti, ono neće, s inženjerske tačke gledišta, stvoriti posebne probleme. Ali, ako se skraćivanje odvija u nestabilnoj oblasti, tada se u sistemu mogu dogoditi unutrašnja katastrofična kretanja čije se odvijanje ne može uvek pratiti spolja, već se samo konstatuje neobjašnjiva havarija sistema.

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja - 2 Dublja analiza, preko prostora stanja, ukazala je na neophodnost uvođenja novih osobina sistema: kontrolabilnosti (upravljivosti), opservabilnosti (stanjemerljivosti) i stabilizabilnosti. Upravljanje sistema se može ostvariti na dva načina: upravljanje vektorom stanja x(t) ili vektorom izlaza c(t) pomoću vektora ulaznih signala u(t). S obzirom na to da su stanja i izlazi sistema povezani algebarskim relacijama, najpotpuniji prilaz upravljanju je upravljanje vektorom stanja. Zbog toga se postavlja umesno pitanje: da li je moguće, izabravši na odgovarajući način vektor upravljanja, prevesti stanje sistema iz bilo kog početnog u bilo koje krajnje stanje, ostvarujući pri tome minimalizaciju (maksimalizaciju) nekog kriterijuma kvaliteta? Odgovor na to pitanje daje pojam kontrolabilnosti (upravljivosti) sistema (engl. controllability, ruski: e ь). S druge strane, za ostvarivanje optimalnog upravljanja, u navedenom smislu, ali i drugih savremenih metoda upravljanja, potrebno je, u svakom vremenskom trenutku, posedovati informaciju o stanju sistema. S obzirom na to da se fizički mogu meriti samo izlazi sistema koji, u opštem slučaju, nisu neposredno povezani sa svim koordinatama stanja, potrebno je, na osnovu merenih izlaza, rekonstruisati stanje sistema. To nije uvek moguće, na primer, ako postoji skraćivanje polova i nula u funkciji prenosa ili ako neka koordinata stanja nema uticaja na izlaz. Odgovor na pitanje da li je moguće na osnovu merenja izlaza sistema c(t), u nekom konačnom vremenskom intervalu, rekonstruisati stanje sistema x(t) na početku tog intervala, daje pojam opservabilnosti sistema (engl.: opservability; ruski: nabl daemostь). Pored ova dva značajna pojma, za savremenu teoriju sistema veoma važan je i pojam stabilizabilnosti (engl.: stabilizability; ruski: stabiliziruemostь) koji potencira problem upravljanja sistema u slučaju njegove nepotpune upravljivosti. S ovim pojmovima su neposredno povezani i pojmovi: dualni sistemi, dekompozicija sistema i minimalna realizacija.

3.2 Kontrolabilnost (upravljivost). Potpuna kontrolabilnost (upravljivost) sistema se definiše na sledeći način: Sistem se naziva potpuno kontrolabilnim (upravljivim) ako za bilo koje vremenske trenutke t0 i t1 (t1>t0) i bilo koja zadata stanja x0 i x1 postoji upravljanje u(t), (t0 A=[0,1,0;5,0,2;-2,0,-2];B=[-1;1;-1]; Mc=ctrb(A,B) Mc = -1 1 -7 1 -7 13 -1 4 -10 >> r=rank(Mc); r= 2

71

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja - 2

3.2.3 Kontrolabilnost izlaza sistema. Uslov kontrolabilnosti izlaza sistema se može dobiti na sličan način. Naime, znajući stanje sistema u funkciji ulaznih signala, može se lako naći izraz za izlaz sistema u funkciji ulaza, jednostavnim množenjem izraza za stanje matricom D. Prema tome, za utvrđivanje izlazne kontrolabilnosti potrebno je i dovoljno zatražiti da bude zadovoljen uslov: (3.23) rang[DB DAB DA 2 B ... DA n−1B] = m , gde je m- broj izlaza sistema.

0 1 0  − 1   Primer 3.1. Dat je sistem A =  5 0 2 ; b =  1 ; d T = [− 2 1 0]; − 2 0 − 2  − 1 Ispitati kontrolabilnost stanja i kontrolabilnost izlaza sistema. Sistem je trećeg reda (n=3) i ima samo jedan izlaz (m=1). Formirajmo matricu kontrolabilnosti stanja sistema 1 −7 − 1  2 M c = [b Ab A b] =  1 − 7 13  Determinanta ove matrice je − 1 4 − 10

[

]

jednaka nuli, pa sistem nije potpuno kontrolabilan po stanju, rangMc=2to> A=[0,1,0;5,0,2;-2,0,-2];D=[-2,1,0];Mo=obsv(A,D) Mo = Napomena 3.2: Treba primetiti da je matrica opservabilnosti -2 1 0 u MATLAB-u transponovana u odnosu na onu koju smo 5 -2 2 definisali, što ni u kom slučaju ne menja izvedeni zaključak, -14 5 -8 jer se transponovanjem ne menja rang matrice. >>r=rank(Mo) r=2

3.4 Princip dualnosti Kalman je otkrio sledeći princip dualnosti sistema: ako imamo dva sistema: x& = Ax + Bu, (3.26a) c = Dx + Hu, i

xˆ& = A T xˆ + D T u,

(3.26b) cˆ = B T xˆ + H T u, tada su ta dva sistema međusobno dualni. očigledno je da je matrica kontrolabinosti prvog sistema istovremeno matrica opservabilnosti drugog i obrnuto. Drugim rečema, prvi sistem je kontrolabilan ako je njemu dualan sistem opservabilan, odnosno drugi je kontrolabilan ako je prvi opservabilan. Napomena 3.3: Modeli kanoničke kontrolabilne forme i opservabilne forme su primer dualnih sistema, kao i modeli dobijeni paralelnim programiranjem sa promenom mesta koeficijenata pojačanja (videti odeljak 1.4.1.1 i 1.4.1.3). 73

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja - 2

3.5 Alternativni testovi kontrolabilnosti i opservabilnosti Kalmanovi matrični uslovi kontrolabilnosti (3.21) i opservabilnosti (3.25) su najpouzdaniji kriterijumi za utvrđivanje tih osobina sistema. Ipak, moguća je primena i drugih načina: na osnovu simulacionih šema (grafa toka signala), na osnovu određenih oblika matrica A, B i D sistema ili na osnovu prevođenja modela sistema u s-domen - u matricu funkcija prenosa. Razmotrimo, ukratko svaki od navedenih načina. 3.5.1 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti na osnovu simulacionih šema (grafa toka signala). Na osnovu simulacione šeme (grafa toka signala, strukturne blok-šeme) može se uočiti nepotpuna kontrolabilnost i nepotpuna opservabilnost. Naime, ako u simulacionoj šemi (grafu toka signala) ne postoji signalna veza koja spaja, direktno ili indirektno, neko (bilo koje) stanje sistema s nekim od ulaznih signala ili/i neko stanje sistema s nekim od izlaza, onda takav sistem nije potpuno kontrolabilan ili/i potpuno opservabilan. Ovi iskazi su ilustrovano na sl. 3.1a. Iz datog simulacionog dijagrama zaključujemo da stanja x1 i x5 nisu kontrolabilna, a stanja x4 i x5 nisu opservabilna, odnosno stanje x5 nije ni kontrolabilno niti opservabilno. Stanje x2 nije neposredno vezano s upravljanjem ali je kontrolabilno, jer ima posrednu vezu s ulaznim signalom. Isto tako, stanje x3 nije neposredno vezano s izlazom ali je opservabilno, jer ima posrednu vezu s izlazom.

Sl. 3.1 Simulacioni dijagrami sistema. Treba ukazati na mogućnost pogrešnog zaključivanja o kontrolabilnosti (opservabilnosti) na osnovu simulacionih dijagrama. Naime, pretpostavimo da imamo sistem drugog reda koga čine dva podsistema vezana paralelno, na primer, kao na sl. 3.1b. Očigledno je da postoje neposredne veze između signala upravljanja i stanja sistema (preko integratora), pa bi se moglo tvrditi da je sistem potpuno kontrolabilan bez obzira na veličine s1 i s2. Primenimo li Kalmanov uslov kontrolabilnosti dobijamo:

74

Glava 3.: Prostor stanja i osobine sistema

1 s1  M c = [b Ab] =  ; det M c = s2 − s1 ⇒ rang M c = 2 za s1 ≠ s2 . 1 s2 

Drugim rečima, sistem nije potpuno kontrolabilan ako ima paralelno vezane iste modove (s1=s2). Ovaj rezultat se objašnjajva na sledeći način: posmatrani sistem se ne može prevesti iz bilo kog u bilo koje stanje, već samo u stanja x1=x2. S druge strane, ako preko simulacione šeme analiziramo opservabilnost, lako možemo doći, opet, do pogrešnog zaključka da je sistem na sl. 3.1b uvek opservabilan. Ako, pak, primenimo Kalmanov uslov opservabilnosti (3.25) imamo: s1  d M o = dT A TdT =  1 ; det M o = s1 − d1s2 ⇒ − 1 − s2 

[

]

rang M o = 2 za d1 s2 ≠ s1 . Zaključujemo da nećemo uvek imati potpunu opservabilnost datog sistema.

3.5.2 Utvrdjivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti na osnovu kanoničke dijagonalne forme. Ako su sve sopstvene vrednosti matrice stanja (svi polovi funkcije prenosa) proste, tada se, kao što znamo, model sistema može svesti na kanoničku dijagonalnu formu, korišćenjem odgovarajuće transformacione matrice, odnosno primenom paralelnim programiranja. Imajući u vidu prethodno pokazan alternativni postupak utvrđivanja kontrolabilnosti i opservabilnosti putem simulacione šeme, možemo zaključiti: Ako u matrici B sistema, svedenog na kanoničku dijagonalnu formu, postoji makar i jedna nulta vrsta ili/i u matrici D postoje makar i jedna nulta kolona, tada posmatrani sistem nije potpuno kontrolabilan ili/i nije potpuno opservabilan. Ako sistem poseduje višestruke polove (sopstvene vrednosti), onda se on postupkom paralelno-rednog programiranja, odnosno odgovarajućom transformacionom matricom, svodi na blok-dijagonalnu ili Džordanovu formu. Za modove koji odgovaraju prostim sopstvenim vrednostima važi prethodna tvrdnja, a za modove proistekle od višestrukih sopstvenih vrednosti važi sledeće pravilo: Potpuna kontrolabilnost sistema, svedenog na blok-dijagonalnu formu, se utvrđuje na osnovu potpune kontrolabilnosti pojedinih blokovskih celina, s tim što će potpuna kontrolabilnost bloka s Džordanovom submatricom postojati ako u odgovarajućoj submatrici ulaza poslednja vrsta nije nulta. Što se potpune opservabilnosti tiče, za submatrice od prostih sopstvenih vrednosti važi ranija tvrdnja, a za submatrice Džordanovog tipa u odgovarajućoj submatrici izlaza nesme biti prazna prva kolona. Ovim iskazima nisu potrebni dalji komentari, osim jednog primera.

75

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja - 2 Primer 3.3. Sistem sa sl. 3.1a. za s1=-1, s2=s3=-2, s4=4, s5=2, d1=2, ima model u prostoru stanja dat sa : 0 0 0 0  − 1 0 0   0 − 2 1 0 0     A=0 0 − 2 0 0; b = 1; d T = [2 1 0 0 0] .     0 0 4 0 1 0 0  0  0 0 0 2 Ovde imamo tri submatrice u matrici stanja i odgovarajuće subvektore u vektoru b i vektoru d. Na osnovu njih zaključujemo: da je prvo stanje nekontrolabilno, jer je odgovarajući subvektor u vektoru b nulti, što se odnosi i na peto stanje. Isto tako se zaključuje da su četvrto i peto stanje neopservabilni, jer su odgovarajuće kolone u vektoru d nulte. To se u pogledu kontrolabilnosti ne odnosi na drugo stanje, a u pogledu opservabilnosti na treće stanje, jer odgovarajući subvektori ulaza i izlaza imaju drugi, odnosno prvi element različit od nule.

3.5.3 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti u s-domenu. Već smo napomenuli, da postojanje dipola (istih nula i polova) u funkciji prenosa ukazuje na postojanje nekontrolabilnosti ili neopservabilnosti u sistemu. Navešćemo, najpre, jedan primer [3]. Neka se sistem sastoji iz redne veze dva podsistema, čije su funkcije prenosa, respektivno, s−1 ( s + 1) W1 ( s) = ; W2 ( s) = , ( s + 1)( s + 2 ) ( s − 1)( s + 3) i neka su ova dva podsistema povezana redno naznačenim redosledom. Rezultujuća funkcija prenosa je 1 W ( s) = . ( s + 2 )( s + 3) Kao što se vidi, funkcija prenosa celog sistema je degenerisana, jer su iz nje ispali modovi (s+1) i (s-1). Objasnićemo da takvo skraćivanje nije korektno i može dovesti do katastrofalnih posledica. Pretpostavimo da smo na ulaz celog sistema doveli Hevisajdov signal. Prvi podsistem je stabilan i njegova reakcija biće ograničena. Prema tome, na ulaz drugog podsistema pojaviće se ograničen signal. Drugi podsistem je nestabilan (ima pol u desnoj poluravni)3 pa će se na izlazu uočiti enormno veliki signal koji je posledica eksponencijalnog rasta stanja koje odgovara modu (s-1) u funkciji prenosa drugog podsistema. Drugim rečima, ovaj nestabilan mod je opservabilan, jer se on nalazi bliže izlazu, ali je nekontrolabilan, jer ga dejstvo prethodne nule s=1 maskira. Pretpostavimo sada obrnuti redosled spajanja navedenih podsistema. Sada će stanje koje odgovara modu (s-1) biti kontrolabilno, međutim, neće biti opservabilno, jer se maskira nulom s=1, koja zatim sledi. U ovom slučaju mi nećemo spolja primetiti enormno povećanje unutrašnje koordinate stanja, jer sistem nije potpuno opservabilan. Izloženo se odnosi i na mod s polom s= -1, 3 Sistem je stabilan ako su sve sopstvene vrednosti matrice stanja ili svi polovi funkcije prenosa s negativnim realnim delom.

76

Glava 3.: Prostor stanja i osobine sistema koji se maskira odgovarajućom nulom (s= -1) u pogledu kontrolabilnosti i opservabilnosti. Međutim, takav stabilni dipol ne može dovesti do unutrašnjih katastrofa. Na osnovu ovog razmatranja zaključujemo: Ako se u funkciji prenosa sistema koja poseduje dipole, krećući se u smeru prostiranja signala, od ulaza prema izlazu, najpre javlja pol dipola a zatim njegova nula, takav mod je kontrolabilan ali neopservabilan; ako se najpre javlja nula dipola a zatim njegov pol, tada je posmatrani mod opservabilan ali nekontrolabilan. Skraćivanje dipola u desnoj poluravni je nedopustivo! Iz ovog prostog primera uočava se složenost problema određivanja potpune kontrolabilnosti i/ili opservabilnosti u s-domenu. Može se zaključiti sledeće: ako pri nalaženju matrice funkcije prenosa od ulaza do stanja ili/i od stanja do izlaza, po formulama, G(s) =

adj[sI − A ] adj[sI − A ] B , G o (s) = D B, det[sI − A ] det[sI − A ]

respektivno, u svim njihovim elementima dolazi do skraćivanja brojioca imeniocem istim faktorima, tada takav sistem nije potpuno kontrolabilan i/ili nije potpuno opservabilan; ako se skraćivanje događa samo u nekom od elemenata matrice funkcija prenosa, tada taj element nije potpuno kontrolabilan/opservabilan po nekom od separatnih ulaza. Naprimer, sistem iz zadatka 1.10 nije potpuno kontrolabilan (observabilan) po nekom od ulaza (izlaza) jer u matrici funkcija prenosa njeni elementi nemaju iste imenioce. Ovaj sistem nije kontrolabilan po drugom ulazu, i neopservabilan po drugom ilazu, ali je u celini uzevši potpuno kontrolabilan i opservabilan. Navedene iskaze treba uzimati s određenom rezervom. Pokazano je [1,2] da svako skraćivanje pri dobijanju funkcije prenosa i ne mora da znači, po automatizmu, nekontrolabilnost ili neopservabilnost. Na primer, ako se funkcija prenosa dobija primenom Kramerovih pravila, iz odgovarajućih operatorskih algebarskih jednačina, moguće je da se veštački poveća red sistema i da dolazi do skraćivanja, ali tako dobijena funkcija prenosa nije degenerisana i ne radi se o nekontrolabilnosti ili/i neopservabilnosti. Kada se radi o sistemu s povratnom spregom, sve promenljive u njemu su spregnute, a karakteristični polinom za bilo koju promenljivu imaće isti red, ako se sistem ne degeneriše. Znači, različiti stepen karakterističnog polinoma u sistemu sa zatvorenom povratnom spregom već ukazuje na degenerisanost. Ukažimo i na još jedan važan problem koji je u vezi sa skraćivanjem polova i nula dipola. Naime, u inženjerskoj praksi se veoma često koristi metoda kaskadne kompenzacije, čija je suština u eliminaciji neželjenih polova nepromenljivog dela sistema. Obično se eliminišu polovi blizu koordinatnog početka, jer oni usporavaju dinamiku sistema. Uvodeći kompenzacione nule ispred nepromenljivog dela sistema, mi te modove činimo nekontrolabilnim, pa je takva kompenzacija dozvoljena samo za polove u levoj poluravni s-ravni. 77

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja - 2

3.6 Superkontrolabilnost Sistem s vektorskim upravljanjem koji je potpuno kontrolabilan po svakom skalarnom ulazu pojedinačno nazvaćemo superkontrolabilnim. To je najkvalitetnija forma kontrolabilnosti. Uslov superkontrolabilnosti se, tada, izražava sa:

rang[b i , Ab i , A 2 b i ,..., A n−1b i ] = n, i = 1, r. bi - su kolone matrice B.

(3.27)

Primer 3.4. Dat je sistem A =  ; B = 1 0; d = [0 1] . Ispitati njegove    1 3 2 0

1 1

osobine. S obzirom da su n=2, r=2, m=1, koristeći (3.21) ili (3.22) sistem je potpuno kontrolabilan, jer je rangB=2. Osim toga, na osnovu B = [b1 b 2 ] , utvrđujemo potpunu kontrolabilnost po svakom ulazu 1 2 1 2 = 2; rang[b 2 Ab 2 ] = rang  rang[b1 Ab1 ] = rang   = 2.  0 1  1 4 Prema tome, sistem je potpuno kontrolabilan po svakom ulazu, tj. superkontrolabilan je. 1 0 Ako bi matrica B bila B =   , sistem bi bio potpuno kontrolabilan po prvom 1 1 ulazu, a nekontrolabilan po drugom, tj. on bi bio potpuno kontrolabilan ali ne i superkontrolabilan.

3.7 Dekompozicija sistema U opštem slučaju, sistem može posedovati: kontrolabilna i opservabilna; kontrolabilna, a neopservabilna; nekontrolabilna, a opservabilna; i nekontrolabilna i neopservabilna stanja. Od praktičnog interesa je izvršiti rastavljanje sistema na podsisteme koji će imati date osobine. Ta operacija se naziva dekompozicija sistema. Pretpostavimo da je ona izvršena i da sistem predstavlja paralelnu vezu takvih podsistema. Imajući u vidu ranije dat alternativni postupak za određivanje potpune kontrolabilnosti i potpune opservabilnosti sistema, putem njegovog svođenja na dijagonalni oblik, dekomponovani sistem možemo predstaviti u sledećem obliku:  x& a   A11 A12 A13 A14   x a   B1   x&   0 A 22 0 A 24   x b  B 2   b= + u,  x& c   0 0 A 33 A 34   x c   0  (3.28)        0 0 A 44  x d   0  x& d   0 c = [0 D 2

78

0 D 4 ][x a

xb

xc

x d ]T .

Glava 3.: Prostor stanja i osobine sistema Iz ove relacije se vidi da je grupa stanja: xa i xb kontrolabilna, xc i xd nekontrolabilna, xa i xc - neopservabilna, a xb i xd - opservabilna; prema tome, xa - je kontrolabilno, a neopservabilno; xb - je kontrolabilno i opservabilno; xc - je nekontrolabilno i neopservabilno; a xd - je nekontrolabilno, a opservabilno. Dalje ćemo pokazati jedan način dekompozicije sistema na kontrolabilni i nekontrolabilni podsistem [6]. Neka je data matrična diferencijalna jednačina stanja sistema: x& = Ax + B u (3.29) koji je nekontrolabilan, što znači da par ( A, B ) nije potpuno kontrolabilan, tj. da Kalmanova matrica kontrolabilnosti M c = [B A B A 2 B ... A n−1 B ] (3.30) ima rang manji od reda sistema, tj. rang M c = n < n . (3.31) Potrebno je odrediti nesingularnu transformacionu matricu T=[T1,T2] koja će razdvojiti kontrolabilne i nekontrolabilne podsisteme. Neka se matrica T1 sastoji iz skupa bazisnih vektora-kolona matrice kontrolabilnosti Mc, a matrica T2 iz takvih vektora-kolona da kvadratna matrica T bude nesingularna. Jednačina kretanja sistema u odnosu na novi vektor stanja, Tx = x , (3.32) ima oblik x& = T −1 ATx + T −1 B u . (3.33) Rastavimo T-1 na dve submatrice U  (3.34) T −1 =  1  , U 2  tako da matrica U1 ima iste dimenzije kao transponovana matrica T1. Tada se može napisati očigledna jednakost  U T U1T2  U  (3.35) T −1T =  1  [T1 T2 ] =  1 1  = In x n . U 2 T1 U 2 T2  U 2  Jasno je da je U 2 T1 = 0 , što implicira U 2 x = 0 . Sada se može napisati:  U AT U  A = T −1 AT =  1  A[T1 T2 ] =  1 1 U 2  U 2 AT1

U1AT2  , U 2 AT2 

(3.36)  U1B   U1  B = T B =  B =  . U 2  U 2 B  Uzimajući u obzir da su U 2 AT1 = 0, U 2 B = 0 , konačno, transformisani sistem se može napisati u obliku −1

x& a   A11  x&  =  0  b 

A12  x a  B1  u, + A 22   x b   0 

(3.37)

i time je dekompozicija sistema izvršena. 79

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja - 2 Primer 3.5: Dat je sistem

5 7 − 1 − 1 6 A =  − 1 0 − 1 , B =  1 0  .  0 1  − 3 − 3 − 4

Izvršiti dekompoziciju sistema na kontrolabilni i nekontrolabilni deo.

− 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 − 1 1 − 1   rang M c = rang  1 0 1 0 1 0  = rang  1 0 0  = 2 < 3 4.  0 1 0 − 1 0 1   0 − 1 1 

Izaberimo matricu T1 na osnovu Mc , uzimajući, na primer, njene prve dve kolone: − 1 1  T1 =  1 0   0 − 1

T2 = [− 1 − 1 1] ,

i odredimo matricu T2 tako da dobijemo nesingularnu matricu T. Biramo proizvoljno: T

što daje:

− 1 0 − 1  − 1 1 − 1 T =  1 0 − 1 ⇒ T −1 = − 1 − 1 − 2 , − 1 − 1 − 1   0 − 1 1  1 0 2 A A = T −1 AT = 0 − 1 0 =  11 0 0 0 2 

1 0  A12  0 − 1 = B1  . −1 B T B ; = =   0 A 22  0 0   

Korišćenjem principa dualnosti neopservabilan sistem se može prethodno datim postupkom razložiti na opservabilni i neopservabilni deo. 3.7.1 Primena MATLAB-a za dekompoziciju sistema

U MATLAB-u postoji potprogram za dekompoziciju sistema. Razlaganje sistema na kontrolabilni i nekontrolabilni deo se ostvaruje naredbom [ARC,BRC,CRC,T,k]=crbf(A,B,D), Za dekompoziciju sistema na opservabilni i neopservabilni deo naredba je [ARO,BRO,CRO,T,k]=obsvf(A,B,D), gde su, redom: ARC (ARO), BRC (BRO) i CRC (CRO) - matrica stanja A, matrica ulaza B i matrica izlaza D transformisanog sistema, T- matrica transformacije, a k - ukazuje na indeks kontrolabilnosti (opservabilnosti). 4

U matrici Mc 1., 3. i 5. kolona su iste tako da se mogu dve odstraniti. Takođe su i 2. i 6. iste pa se jedna od njih odstranjuje.

80

Glava 3.: Prostor stanja i osobine sistema Primer 3.6 . Za sistem iz primera 3.5 imamo: >>A=[6,5,7;-1,0,-1;-3,-3,-4];B=[-1,-1;1,0;0,1]; BRC = Mc=ctrb(A,B); 0 -0.0000 Mc = -0.7071 0.7071 Columns 1 through 4 1.2247 1.2247 -1 -1 -1 1 CRC = 1 0 1 0 Columns 1 through 2 0 1 0 -1 -0.5774 -0.7071 Columns 5 through 6 Column 3 -1 -1 2.0412 1 0 T= 0 1 Columns 1 through 2 >> r=rank(Mc) 0.5774 0.5774 r= -0.0000 -0.7071 2 -0.8165 0.4082 Sistem nije potpuno kontrolabilan Column 3 [ARC,BRC,CRC,T,k]=ctrbf(A,B,D) 0.5774 ARC = 0.7071 Columns 1 through 2 0.4082 2.0000 0 k= -3.2660 -0.0000 2 0 0 -11.3137 -1.7321 >> Column 3 -0.0000 -0.5774 -0.0000 Dobijen je transformisani sistem 2 0 0 0     0    ˆ ˆ 0 A = − 11,3137 − 3,266 − 0.5774; B = − 0,7071 0,7071;    1,2247 1,2247  − 11.3137 − 1,7321 0 iz koga se vidi da jedno stanje nije kontrolabilno, u ovom slučaju x1.

3.8 Stabilizabilnost sistema Od posebnog praktičnog interesa je dati odgovor na pitanje: da li je moguće stabilisati svaki dinamički sistem, primenom povratne sprege po stanju ili izlazu? Jasno je da se povratnom spregom utiče na sistem posredstvom promene upravljačkog signala u(t). S obzirom na to da se nepotpuno kontrolabilni sistem, postupkom dekompozicije, može dekomponovati na upravljivi i neupravljivi deo, proizilazi da se povratnom spregom po stanju, ili po izlazu ne može uticati na neupravljivi deo. Ako je neupravljivi deo nestabilan, tada će i ceo sistem, bez obzira na primenjenu povratnu spregu, biti nestabilan. Prema tome, potpuno kontrolabilan je istovremeno i stabilizabilan sistem. Ako je sistem nepotpuno kontrolabilan, potreban i dovoljan uslov stabilizabilnosti je da su nekontrolabilni modovi sistema stabilni. 81

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja - 2 Primer 3.7. Sistem u primeru 3.5 nije stabilizabilan jer neupravljivi deo ima nestabilni mod. S obzirom da se linearnom transformacijom sistema ne menjaju njegove sopstvene vrednosti, one su na osnovu matrice A: s1 = 1, s2 = −1 i s3 = 2 . Prve dve sopstvene vrednosti pripadaju kontrolabilnom modu, dok treća - nekontrolabilnom. Iako kontrolabilan mod ima nestabilnu sopstvenu vrednost on se može stabilisati odgovarajućim upravljanjem. Međutim, zbog nestabilnog neupravljivog moda sistem u celini nije stabilizabilan.

3.9 Zadatak minimalne realizacije Na osnovu matrice stanja i matrice izlaza dekomponovanog sistema (3.28), matricu funkcija prenosa sistema možemo dobiti na osnovu (1.45), tj.: −1 G( s ) = D[sI − A ] B = [0 D 2 0 D 4 ] × ( sI1 − A 11 ) −1  0   0  0 

×

( sI 2 − A 22 ) −1

×

×

0

( sI 3 − A 33 ) −1

0

0

  B1    ×  B 2  =  0  ×   ( sI 4 − A 44 ) −1   0  ×

(3.38)

D 2 ( sI 2 − A 22 ) −1 B 2 . Odavde se zaključuje da se ovaj sistem, u pogledu relacija ulaz-izlaz, svodi na sistem x& 2 = A 22 x 2 + B 2 u, (3.39) c = D2x 2 . Prema tome, matrica funkcija prenosa sistema je reprezent samo kontrolabilnog i opservabilnog dela sistema. Ona ne sadrži informaciju o nekontrolabilnom i neopservabilnom delu sistema. To, s druge strane, nameće problem korektnosti prelaska s matrice funkcije prenosa na model u prostoru stanja. Najpre je potrebno odrediti triplet A, B, D tako da se dobije zadata matrica funkcija prenosa. Međutim, relaciji G ( s ) = D[ sI − A ]−1 B (3.40) odgovara beskonačan broj takvih tripleta ali nisu svi oni rešenje postavljenog zadatka. Dimenzije vektora stanja nisu definisane ovim izrazom, jer se tom izrazu može dodati bilo koji broj suvišnih koordinata stanja, a da se matrica funkcija prenosa ne promeni. Te suvišne promenljive su nekontrolabilne i neopservabilne promenljive. Prema tome, za opisivanje sistema u obliku matrice funkcije prenosa moraju se rešiti dva zadatka: (i) triplet matrica (A,B, D) mora zadovoljiti relaciju (3.40); (ii) triplet mora biti kontrolabilan i opservabilan, tj. da matrica D mora da ima minimalnu realizaciju. Rešenje prvog zadatka je jednostavno, a drugog - prilično komplikovano.

82

Glava 3.: Prostor stanja i osobine sistema

3.10 Prostor stanja i stabilnost sistema U prethodnom kursu TAU-1 razmotreni su kriterijumi stabilnosti koji polaze od karakterističnog polinoma (jednačine) sistema ili od funkcije povratnog prenosa. Kada je model sistema dat u prostoru stanja u obliku x& = Ax , (3.41) tada je karakteristični polinom određen izrazom D( s ) = det[ sI − A ] , (3.42) na osnovu koga se, primenom odgovarajućih algebarskih kriterijuma stabilnosti ili metode Mihajlova, može ustanoviti stabilnost sistema.

3.10.1 Druga (direktna) metoda Ljapunova (1892.)* Drugi prilaz za utvrđivanje stabilnosti, na osnovu modela u prostoru stanja, zasniva se na primeni druge (direktne) metode Ljapunova. Ljapunov je za svoju metodu koristio model sistema u Košijevom normalnom obliku i, prema tome, prvi je primenio koncepciju prostora stanja u ispitivanju stabilnosti. Metoda Ljapunova je nezamenljiva u ispitivanju stabilnosti nelinearnih sistema, o čemu će biti više reči u II delu ove knjige. Njena primena na linearne sisteme nema posebnih prednosti u odnosu na druge metode i obično se ne koristi i ne izlaže u klasičnim udžbenicima iz teorije linearnih SAU. Međutim, s obzirom na to da se ta metoda može uspešno koristiti u oceni kvaliteta ponašanja linearnih sistema, kao i za sintezu optimalnih linearnih regulatora, mi ćemo joj posvetiti odgovarajuću pažnju i u ovom delu teorije linearnih SAU. Za ispitivanje stabilnosti sistema opisanog sa (3.41), primenom direktne metode Ljapunova, koristi se skalarna funkcija V vektora stanja x, V(x), koja mora da ispunjava sledeća tri uslova: (i) da je neprekidna funkcija koordinata stanja u nekoj oblasti prostora stanja koja obuhvata stanje ravnoteže; (ii) da u toj oblasti ima neprekidne parcijalne izvode po koordinatama stanja sistema; (iii) da je u toj oblasti V(x)>0, osim za x=0 kada je jednaka nuli, tj. da je pozitivno definitna funkcija. Primer 3.8: Funkcije V ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x22 + x32 i V ( x1 , x 2 , x3 ) = x14 + x 24 + x 32 su

pozitivno definitne funkcije, dok funkcija V ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x22 nije pozitivno definitna, jer je jednaka nuli, ne samo za x1 = x2 = x3 = 0 , već i za proizvoljno x3, kada su x1 = x2 = 0 .

Takođe funkcija V ( x1 , x2 ) = x12 + 2 x1 x2 + x22 nije pozitivno definitna, jer je, osim za

x1 = x 2 = 0 , jednaka nuli i za x1 = − x2 .

Funkcija V ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x22 + 3x32 − x34 je pozitivno definitna u oblasti x3 < 3 .

U opštem slučaju, kvadratna forma oblika

V (x ) = x T Px

*

в, A. M., O o щe

(3.43) ч

, Ха

в, 1892.

83

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja - 2 biće pozitivno definitna ako je matrica P pozitivno definitna, tj. ako ona ispunjava Silvestrov kriterijum, koji zahteva da su sve njene dijagonalne determinante pozitivne. p12  p Na primer, kvadratna forma s matricom P =  11  biće pozitivno  p12 p22 

2 definitna za p11 > 0 ∩ p11 p22 − p12 >0. Za utvrđivanje stabilnosti po Ljapunovu primenjuje se sledeća teorema: Stanje ravnoteže, x=0, linearnog sistema (3.41) je asimptotski stabilno ako i samo ako, za bilo koju realnu, simetričnu, pozitivno definitnu matricu P postoji realna, simetrična, pozitivno definitna matrica Q, takva da je zadovoljena matrična algebarska jednačina Ljapunova A T P + PA = − Q . (3.44) Relacija (3.44) se dobija iz osnovne teoreme Ljapunova koja se može iskazati na sledeći način: Ako postoji pozitivno definitna funkcija V(x) takva da je njen izvod po vremenu, duž trajektorija kretanja sistema ( V& (x) ), negativno definitna funkcija, tj. ∃V (x) > 0 : V& (x) < 0 , tada je posmatrano stanje ravnoteže asimptotski stabilno. Zaista, neka je V(x)>0 dato s (3.43). Tada je, uzimajući u obzir (3.44), dV d T V& (x) = = x Px = x& T Px + x T Px& = ( Ax) T Px + x T PAx = dt dt = x T [ A T P + PA ]x = − x T Qx; Q = −[ A T P + PA ] negativno definitna funkcija ako i samo ako je Q pozitivno definitna matrica, odnosno ako su ispunjeni uslovi navedene teoreme.

x&1 = − x1 , x& 2 = −2 x2 .

Primer 3.9: Ispitati asimptotsku stabilnost sistema drugog reda Neka je p12 = 0, p11 = p12 = 1 , tj. P=I, gde je I - jedinična matrica. Stoga je

[

]

− 1 0   − 1 0  2 0 Q = − A T + A = − − = .  0 − 2  0 − 2 0 4 Dobijena je pozitivno definitna matrica Q pa je sistem asimptotski stabilan.

Kod linearnih sistema pojam stabilnosti označava zapravo asimptotsku stabilnost, jer se svi koreni karakteristične jednačine strogo levi5. Za takve sisteme važi sledeća teorema: 5

Stabilnost nelinearnih sistema po Ljapunovu je slojevita. Pored asimptotski stabilnih sistema postoje i prosto stabilni sistemi, kao analog linearnim sistemima na oscilatornoj granici stabilnosti.

84

Glava 3.: Prostor stanja i osobine sistema Stanje ravnoteže, x=0, linearnog sistema (3.41) je asimptotski stabilno sa stepenom eksponencijalne stabilnosti σ ako i samo ako za bilo koju realnu, simetričnu, pozitivno definitnu matricu P u (3.43) postoji realna, simetrična, pozitivno definitna matrica Q, takva da je zadovoljena matrična algebarska jednačina Ljapunova −2σP + A T P + PA = − Q . (3.45) Primer 3.10. Odrediti stepen eksponencijalne stabilnosti sistema iz prethodnog primera. Na osnovu (3.58) i matrice P iz prethodnog primera ima se 0  2(σ + 1) − 2σI + A T + A = −Q ⇒ Q =  . 2(σ + 2)  0

Da bi matrica Q bila pozitivno definitna mora biti ispunjen uslov σ>-1. Prema tome, dati sistem ima stepen eksponencijalne stabilnosti σ≤1. Zaista, koreni karakteristične jednačine sistema su -1 i -2, i realni deo najbližeg korena jω - osi definiše stepen eksponencijalne stabilnosti.

Izbor funkcije Ljapunova, čak i za linearne sisteme, nije jednostavan. Može se dogoditi da je izabrana pozitivno definitna funkcija V(x) koja, posle provedenog ispitivanja ukazuje na nestabilnost sistema, iako je on u stvarnosti stabilan. Pre nego što ukažemo na opšti prilaz ispitivanja stabilnosti za linearne sisteme na osnovu matrične jednačine Ljapunova, ilustrovaćemo prethodnu tvrdnju na jednom primeru. x&1 = x 2 x& 2 = −a1 x1 − a 2 x 2 ; a1 , a 2 > 0, ispitati asimptotsku stabilnost stanja ravnoteže. Nije teško uočiti da je dati sistem asimptotski stabilan. Međutim, ako izaberemo matricu P kao u prethodnom zadatku, za matricu Q dobijamo ( a1 − 1)  0 Q= , − ( a 1 ) 2a 2   1

Primer 3.11. Neka je dat je sistem drugog reda

koja nije pozitivno definitna pa sistem nije asimptotski stabilan ?!

S obzirom na to da u ovom primeru matrica Q nije pozitivno definitna, nesme se tvrditi da je sistem nestabilan niti da je stabilan. To samo znači da možda nismo izabrali odgovarajuću funkciju Ljapunova i da treba probati s nekim drugim kandidatom za funkciju Ljapunova. Za linearne sisteme opšti postupak ispitivanja asimptotske stabilnosti prikazaćemo na prethodnom primeru. Primer 3.12. Na osnovu matrične jednačine Ljapunova sledi 0 − a1   p11 1 − a   p 2   12 

p12   p11 + p22   p12

p12   0 p 22  − a1

1  q = −  11  − a2  q12

q12  . q 22 

Birajući elemente matrice Q tako da ona bude pozitivno definitna nalaze se elementi

85

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja - 2 matrice P. Ako se kao rezultat dobija pozitivno definitna matrica P, posmatrani sistem je asimptotski stabilan. Neka je Q=I. Tada je − a1 p22   − a1 p12 p11 − a2 p12   − a1 p12 + = −I , p − a p p12 − a2 p22  − a1 p22 p12 − a2 p22  2 12  11

− 2a1 p12  p − a p − a p 2 12 1 22  11 odakle sledi:

p11 − a 2 p12 − a1 p 22  = −I , 2( p12 − a 2 p 22 ) 

2a1 p12 = 1, p11 − a 2 p12 − a1 p 22 = 0, 2( p12 − a 2 p 22 ) = −1,

p12 =

1 1 1 ; p 22 = (1 + ), a1 2a1 2a 2 ⇒ a2 a1 1 + p11 = (1 + ). 2a1 2a 2 a1 S obzirom na to da su a1 , a 2 > 0 ⇒ p11 > 0, p 22 > 0 . Lako se proverava da je i

p11 p 22 − p122 > 0 , pa je dati sistem asimptotski stabilan.

3.10.1.1 Primena MATLAB-a za ispitivanje stabilnosti sistema MATLAB potprogram za utvrđivanje stabilnosti linearnih kontinualnih sistema primenom algebarske jednačine Ljapunova ostvaruje se naredbama: P=lyap(A,Q);det(P); Prvom naredbom se odredjuje matrica P, a drugom determinanta matrice P. Pri tome da bi sistem bio stabilan mora da se utvrdi pozitivna definitnost dobijene matrice P (primena Silvestrovog kriterijuma), tj. moraju sve dijagonalne determinante matrice P biti veće od nule.

Primer 3.13 >> A=[1,0,0;-1,0,2;0,-1,1];Q=eye(3); eye(3)=I3x3 >> P=lyap(A,Q) P= -0.5000 -0.2500 -0.1250 Napomena 3.4: Dobijena matrica P nije -0.2500 -2.0000 -0.3750 pozitivno definitna jer je prvi element u prvoj -0.1250 -0.3750 -0.8750 vrsti negativan i sistem je nestabilan. . Primer 3.14 A=[-5,8,0;-1,0,2;0,-1,1];P=lyap(A,Q) P= >> det(P1) 19.8333 12.3333 8.7500 ans = 12.3333 8.0000 5.9167 6.5635 8.7500 5.9167 5.4167 >> det(P) >> P1=[19.8333,12.333;12.333,8]; ans = 5.7188 Ovaj sistem je asimptotski stabilan.

Prikazan prilaz je opšti za linearne sisteme bilo kog reda. Može se uočiti da je primena metode Ljapunova na linearne sisteme dosta glomazna i zbog toga se, kao što je ranije rečeno, ređe koristi u odnosu na druge metode. Međutim, njena primena na nelinearne sisteme je veoma delotvorna. 86

Glava 3.: Prostor stanja i osobine sistema

Literatura [1] В [2] В [3]

в, А. А.: У ва,1979. в, А. А: В ва,1985. в в, В. В. ( , « аш

,

,

,

« а а», , « а а»,

.): О »,

ва, 1985.

[4] Stojić, R. M.: Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, »Nauka«, Beograd, 1996. , Д., ,А.: « аш », [6] У , В. И.: С ва, 1981. [5]

С

ва, 1972.

щ

. « а а»,

[7] Franklin, G. F., Powel, J. D., Emami-Naeni, A.: Feedback Control of Dynamic Systems, Addison-Wesley Publishing Comp., 1986. [8] Ćalasan, L., Petkovska, M.: MATLAB i dodatni moduli Control Systems Toolbox i SIMULINK, »Mikro knjiga«, Beograd, 1995. [9]

, У.: М

, «M

»,

ва, 1983.

Pitanja za samoproveru 1. 2. 3.

4.

5.

6. 7.

8.

9.

Kontrolabilnost je osobina sistema koja ukazuje na mogućnost da se sistem može prevesti iz ____________ u _________________ stanje. Kalmanov uslov potpune kontrolabilnost za sistem opisan diferencijalnom jednačinom stanja ____________ iskazuje se relacijom_____________________. Kontrolabilnost izlaza sistema opisanog diferencijalnom jednačinom stanja ________________ i algebarskom jednačinom izlaza _________________ definiše se relacijom ______________________________. Opservabilnost sistema je takva osobina koja omogućava da se na osnovu merenja ________________ sistema može u konačnom vremenu odrediti _____________ ________________sistema. Kalmanov uslov potpune opservabilnosti sistema opisanog diferencijalnom jednačinom stanja ____________________ i algebarskom jednačinom izlaza _____________________ definiše se relacijom _________________. Alternativni testovi za utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti sistema su: ________________________________________________________________, Ako je model sistema dat u dijagonalnom obliku i matrica stanja ima sve proste sopstvene vrednosti, potpuna kontrolabilnost je obezbeđena ako u matrici _____ ______________________________, a potpuna opservabilnost - ako u matrici __ _______________________________. Ako je model sistema dat u blok dijagonalnom obliku i sopstvene vrednosti dijagonalnih matrica su višestruke, potpuna kontrolabilnost biće obezbeđena ako u matrici ___ koja korespondira odgovarajućem dijagonalnom modu u poslednjoj _________ ima vrednost ____________________________. Ako je sistem sveden na dijagonalnu formu i sve sopstvene vrednosti matrice _____ su proste, potpuna opservabilnost sistema je obezbeđena ako u matrici ___________ ne postoji ________________________.

87

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja - 2 10.

11.

12.

13.

14.

15. 16.

17.

18. 19.

20. 21.

22. 23. 24.

Sistem je sveden na blok dijagonalnu formu. Podsistem koji odgovara modu sa višestrukim sopstvenim vrednostima biće opservabilan ako u odgovarajućoj submatrici _________ prva _________ nije ______________. Ako u matrici funkcija prenosa u svim njenim elementima nisu ______________ identični sistem nije ________________________ ili ______________________ po svakom od ___________ ili _____________. Sistem je predstavljen simulacionom šemom dobijenom paralelnim programiranjem. Taj sistem biće sigurno nepotpuno kontrolabilan i/ili nepotpuno opservabilan ako ne postoje __________ ili ___________ veze između upravljanja i _____________ u sve modove i/ili između svih modova i ______________ sistema. Sistem se sastoji iz dva na red vezana podsistema, a predstavljen je modelom u kompleksnom domenu. Prvi podsistem ima nulu jednaku polu drugog podsistema. Takav sistem je nepotpuno _______________ ali ________________.. Sistem se sastoji iz dva na red vezana podsistema, a predstavljen je modelom u kompleksnom domenu. Prvi podsistem ima pol jednak nuli drugog podsistema. Takav sistem je nepotpuno ______________ ali ______________. Superkontrolabilnost je takva osobina sistema kada je on _________________ po svakom od ________________. Sistem upravljanja koji nije potpuno kontrolabilan i potpuno opservabilan može se dekomponovati na sledeća četiri podsistema: (1) kontrolabilan i opservabilan, (2)________________________, (3) __________________________________ (4) __________________________. Nepotpuno kontrolabilan sistem opisan modelom x& = Ax + Bu se može dekomponovati na nekontrolabilan i kontrolabilan mod, tj. može se svesti na normalnu formu koja se zapisuje u obliku: _____________________________ _____________________________ Sistem se smatra stabilizabilnim ako njegov _________________ mod ima sve sopstvene vrednosti _________________________________________________. Dva dinamička sistema se nazivaju dualnim ako su njihovi modeli dati relacijama: ______________________ _______________________ ______________________ _______________________ Matrica funkcija prenosa dinamičkog sistema je reprezent samo ______________ i __________________ dela sistema. Autonomni linearni dinamički sistem je dat diferencijalnom jednačinom stanja oblika ____________. Dati sistem biće stabilan samo onda ako su sve _______________________ matrice stanja ___________________________. Matrica P dimenzija n x n je pozitivno definitna ako ona ispunjava ___________ kriterijum, tj. ako su sve njene _________________ determinante ___________. Skalarna funkcija V(x) je pozitivno definitna ako je ona ______________ u celom prostoru stanja i jednaka __________ za ______. Linearan sistem je stabilan po Ljapunovu ako se iz matrične algebarske jednačine Ljapunova _________ za datu pozitivno definitnu simetričnu matricu _____ može naći ________________________________ matrica _____.

Zadaci za vežbu 1. Sistem je dat modelom prikazanim na slici i parametrima datim u tabeli 3.1

88

Glava 3.: Prostor stanja i osobine sistema Σ

k1

W1(s)

k4

k8

u2

k9 k2

u1

W2(s)

k5

k7 k3

Σ

Σ

c1

Wi(s)= Σ

b2s+b1 a3s2+a2s+a1

c2

k6

Tabela 3.1 1 2 3 4 5 6 a1 1 -1 -1 -1 1 0 1 1 a2 1 1 1 1 a 0 0 0 0 0 0 W1 ( s ) 3 b1 1 1 1 2 -2 1 0 0 0 1 1 1 b2 4 3 3 3 0 4 a1 -4 4 4 -4 a2 4 0 1 1 1 1 1 1 W2 ( s ) a3 -2 -1 1 -1 2 -1 b1 1 1 1 1 0 1 b2 2 2 -2 a1 -2 1 0 a2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 W3 ( s ) a3 1 b1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 b2 k1 1 0 1 0 1 0 k2 1 1 1 0 0 1 k3 0 1 0 1 1 1 k4 1 0 1 0 1 1 ki k5 0 1 1 0 0 0 k6 1 0 0 1 1 0 k7 0 0 0 1 1 1 k8 1 0 1 0 1 0 k9 1 1 0 1 1 1 Za dati sistem napisati model u prostoru stanja i odrediti: I. kontrolabilnost i opservabilnost primenom: a) Kalmanovih uslova; b) svođenjem sistema na dijagonalni oblik; c) na osnovu modela ulaz-izlaz; d) na osnovu simulacionog dijagrama; II. minimalnu realizaciju sistema

Sl. 3.2 7 1 1 0 0 1 3 -4 1 1 0 -2 1 0 2 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0

8 -1 1 0 0 1 3 4 1 1 0 -4 1 0 4 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0

9 2 1 0 1 0 0 0 1 1 1 4 1 0 -4 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1

2. Ako je sistem iz zadatka 1. nekontrolabilan, odrediti: a) transformacionu matricu koja dekomponuje sistem na upravljivi i neupravljivi mod; b) stabilizabilnost datog sistema.

89

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja - 2

A = [ a11 , a12 , a13 ; a21 , a22 , a23 ; a31 , a32 , a33 ].

3. Dat je autonomni sistem definisan sa

Vrednosti elemenata matrice A su date u tabeli 3.2

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

1 0 1 0 5 0 2 -2 0 -2

2 0 0 1 1 -5 4 0 -4 -2

3 0 -1 0 0 4 0 2 -6 0

4 0 0 1 -2 1 0 1 0 -5

5 1 0 0 -8 0 4 2 1 0

6 1 0 -1 1 10 0 5 0 -4

7 10 -2 0 5 4 0 -3 2 1

Tabela 3.2 8 9 0 1 10 20 -2 1 0 -2 5 1 1 -1 -8 0 0 5 4 -10

Ispitati stabilnost datog sistema primenom metode Ljapunova, a rezultat proveriti primenom nekog od algebarskih kriterijuma stabilnosti. 4. Dat je sistem sa matricom stanja A čije su vrednosti elemenata kao u tabeli 3.2, osim elemenata navedenih u tabeli 3.3 koje se smatraju nepoznatim. Tabela 3.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Odrediti vrednosti tih elemenata tako da sistem, čija je matrica ulaza B sa elementima navedenim u tabeli 3.4, dobije maksimalni indeks kontrolabilnosti. Tabela 3.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 b11 0 1 0 0 1 1 1 0 1 b12 1 0 -1 1 0 0 -2 1 2 b21 0 1 0 1 0 -1 0 -2 1 b22 1 1 1 -2 -1 1 1 0 -2 b31 1 0 1 1 0 1 1 0 1 b32 0 1 1 0 1 0 0 1 0 5. Sistem je sastavljen od elemenata opisanih funkcijama prenosa s −1 ( s + 1) . W1 ( s ) = ; W2 ( s ) = ( s + 1)( s + 2) ( s − 1)( s + 3) a) Elementi su povezani redno naznačenim redosledom; b) Elementi su povezani redno obrnutim redosledom. Nacrtati simulacione dijagrame sistema pod a) i pod b), na osnovu kojih napisati: (i) matematičke modele u prostoru stanja; (ii) utvrditi kontrolabilnost i opservabilost tih sistema; (iii) u slučaju nekontrolabilnosti i neopservabilnosti izvršiti njihovu dekompoziciju.

90

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja 91 91

4.1

Uvod

4.2

Povratna sprega po stanju ili po izlazu

91

92

4.2.1 Sistem s povratnom spregom po stanju

93

4.2.2 Sistem s povratnom spregom po izlazu 4.3

Projektovanje povratne sprege po stanju 93

4.3.1 Izbor spektra polova

93

94

4.3.2 Podešavanje spektra polova sistema 4.3.2.1

Sistemi sa skalarnim upravljanjem 95

4.3.2.2

Akermanova formula

98

4.3.2.2.1 MATLAB i Akermanova formula 4.3.3 Sistemi s vektorskim upravljanjem

99

4.3.3.1

Prvi način sinteze - svođenje na skalarni slučaj 99

4.3.3.2

Drugi način sinteze - slučaj prostih sopstvenih vrednosti

4.3.3.2.1 MATLAB i podešavanje polova

Treći način sinteze - opšti slučaj 105

4.3.3.3

4.4

102

Projektovanje optimalne povratne sprege po stanju 111 4.4.1 MATLAB i optimalna povratna sprega

4.5

Sinteza neinteraktivnih sistema. Rasprezanje 4.5.1 Metoda Boksenboma i Huda

117

4.5.2 Rasprezanje kombinovanim kompenzatorom 4.6

100

Opserveri. Sinteza opservera

Literatura

129

Pitanja za samoproveru Zadaci za vežbu

131

122

116 121

130

a

Glava 4. SINTEZA SAU METODAMA PROSTORA STANJA 4.1 Uvod U prethodnom kursu, TAU-1, izložene su, na osnovu modela ulaz-izlaz (funkcije prenosa), klasične metode sinteze SAU. Problem sinteze se svodio na problem izbora tipa i parametara kompenzatora. Pri tome smo imali u vidu sisteme s jednim ulazom i jednim izlazom, kada je povratna sprega skalarnog tipa. Koncepcija prostora stanja sistema pruža izvanredne mogućnosti za sintezu visokokvalitetnih i optimalnih sistema u odnosu na izabrani kriterijum kvaliteta (videti odeljak 4.5). Sinteza na bazi koncepcije prostora stanja u osnovi pretpostavlja da se radi o multivarijabilnom sistemu, a da se za upravljanje objektom primenjuje povratna sprega po stanju ili po izlazu. U narednim odeljcima najpre će biti definisane povratne sprege po stanju i po izlazu. Zatim će biti prikazane metode za sintezu sistema sa skalarnim i sistema sa vektorskim upravljanjem. Kod sistema sa skalarnim upravljanjem detaljno se obrazlaže metoda projektovanja na osnovu kanoničke kontrolabilne forme, a zatim se ukratko opisuje primena Akermanove formule. Kod sistema sa vektorskim upravljanjem navode se tri metode. Prva koristi postupak svođenja na skalarni slučaj. Druge dve se odnose direktno na vektorsko upravljanje. Jedna od njih se koristi kada su željene sopstvene vrednosti sistema proste, dok je druga metoda univerzalna. Na kraju glave se daje postupak sinteze linearnog kvadratnog regulatora - Kalmanovog regulatora, sinteza neinteraktivnih sistema i sinteza opservera.

4.2 Povratna sprega po stanju ili po izlazu Neka je objekat, kojim treba upravljati, opisan relacijama x& = Ax + Bu, x ∈ ℜ n , u ∈ ℜ r ;

(4.1) c = Dx + Hu, c ∈ ℜ m . Zadatak sistema je da prati zadati referentni signal r(t)=const ili r(t)=var. U cilju formiranja potrebnog signala upravljanja u(t), možemo primeniti dva prilaza: (i) povratnu spregu po stanju ili (ii) povratnu spregu po izlazu.

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

4.2.1 Sistem s povratnom spregom po stanju. U ovom slučaju, prema sl. 4.1, matematički model sistema upravljanja postaje x& = Ax + Bu, c = Dx + Hu,

(4.2)

u = r − K x x. Posle zamene poslednje relacije u prvu i sređivanja, dobija se ~ x& = (A − BK x )x + Br ⇒ x& = Ax + Br , (4.3) ~ c = (D − HK x )x + Hr ⇒ c = Dx + Hr. S obzirom da stabilnost linearnih SAU ne zavisi od veličine ulaznih signala pa samim tim i od poremećaja (ako su oni ograničeni), ona je određena matricom (A-BKx). Ako jednačina det[ sI − A + BK x ] = 0 (4.4) ima sve leve korene, posmatrani sistem je stabilan, pa se zaključuje: povratna sprega po stanju utiče na stabilnost. Nestabilan objekat, ako ispunjava uslove potpune kontrolabilnosti ili uslove stabilizabilnosti, može se učiniti stabilnim primenom povratne sprege po stanju. H r +

Σ

u B _

Σ

x

x

D

c

OBJEKT

A

Kx

Σ

a) H r +

Σ

Kc

u B _

Σ

x

x

D

A

Σ

c

OBJEKT

b) Sl. 4.1. Sistem s povratnom spregom: (a) po stanju i (b) po izlazu. Uvedena povratna sprega po stanju objekta, kao što se vidi, omogućava stabilizaciju nestabilnih objekata. S tim u vezi, a s ciljem upravljanja sistemom na globalnom nivou, može se postaviti pitanje: da li povratna sprega po stanju menja uslove kontrolabilnosti i opservabilnosti tako dobijenog sistema u odnosu na polazni objekat? Matrica kontrolabilnosti sistema s povratnom spregom po stanju je 92

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja ~ ~ ~ ~ M c = [B AB A 2 B ... A n −1B]; A = A − BK x .

(4.5) Ako je objekat bio kontrolabilan (nekontrolabilan), sistem s tim objektom i povratnom spregom po stanju može postati nekontrolabilan (kontrolabilan), jer zatvaranje povratne sprege po stanju može učiniti nekontrolabilnim (kontrolabilnim) neke modove (videti primere 4.4, 4.5). S druge strane, matrica opservabilnosti sistema s povratnom spregom po stanju postaje ~ ~ ~ 2~ ~ n −1 ~ T  ~ M 0 = D T A T D T A T D T ... A T D , (4.6)   na osnovu koje se može zaključiti da povratna sprega po stanju može imati ~ uticaj na osobinu opservabilnosti. Naime ako je D = 0 , tj. ako je D = HK x , sistem gubi osobinu opservabilnosti. Videti primer 4.16.

( )

( )

4.2.2 Sistem s povratnom spregom po izlazu, sl. 4.1b, definiše se relacijama: u = r − K c c = r − K c Dx − K c Hu ⇒ u = (I + K c H ) −1[r − K c Dx] , ~ ~ x& = A − B(I + K c H ) −1 K c D x + B(I + K c H ) −1 r , ⇒ x& = A1x + Br, (4.7) ~ ~ c = D − H (I + K c H ) −1 K c D x + H (I + K c H ) −1 r , ⇒ c = D1x + Hr. ~ ~ ~ ~ Na osnovu ovih izraza, odnosno matrica A, B, D i H , mogu se proveriti stabilnost, Kalmanovi uslovi kontrolabilnosti i opservabilnosti. Međutim, iz razmatranja fizičke prirode problema, opservabilnost sistema posle uvođenja povratne sprege po izlazu neće biti narušena, jer ako su stanja bila opservabila sa izlaza sistema bez povratne sprege ona će biti opservabiulna i sa povratnom spregom pošto upravljanje nema uticaj na opservabilnost. Dakle, pod uslovom ~ ~ da su matrice A 1 ≠ 0, I i D1 ≠ 0 , osobine kontrolabilnosti i opservabilnosti sistema se ne menjaju u odnosu na adekvatne osobine objekta. Prema tome: Povratna sprega po izlazu ne menja kontrolabilnost i opservabilnost sistema u odnosu na iste osobine objekta, ako su ispunjeni uslovi ~ ~ A 1 ≠ 0, I i D1 ≠ 0 .

( (

) )

4.3 Projektovanje povratne sprege po stanju Cilj projektovanja je ostvariti: (i) željeni spektar polova (sopstvenih vrednosti matrice stanja) ili (ii) optimalizaciju željenog kriterijuma kvaliteta.

4.3.1 Izbor spektra polova U klasičnom prilazu sintezi sistema, na primer na osnovu metode geometrijskog mesta korena, polazili smo od toga da se sistemi višeg reda ponašaju približno kao sistemi drugog reda s dominantnim konjugovanokompleksnim polovima. Međutim, pri projektovanju sistema s povratnom spregom po stanju, potrebno je imati informaciju o položaju svih polova 93

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2 sistema, jer i nedominantni polovi imaju svoj doprinos u ukupnom ponašanju sistema. Stoga je, za sintezu kvalitetnog sistema, potrebno imati međusobni raspored polova u zavisnosti od reda projektovanog sistema. Kao osnova za dobro projektovanje primenjuju se tzv. prototipi. Najčešće se koriste dva prototipa [5]. Jedan se zasniva na optimalizaciji kriterijuma kvaliteta oblika ∞

J = ∫ t e ( t ) dt ,

(4.8)

0

koji se u literaturi na engleskom jeziku skraćeno naziva ITAE (integral od proizvoda vremena i apsolutne vrednosti signala greške). Drugi prototip se zasniva na odzivu Beselovih funkcija. Kod prvog je karakterističan brži odziv ali i preskok u odzivu, dok je drugi bez preskoka u odzivu, ali je sporiji. U sledećim tabelama date su vrednosti polova za navedena dva prototipa, za normalizovanu sopstvenu frekvenciju oscilovanja, za sisteme do šestog reda. Za druge vrednosti sopstvenih frekvencija, vrednosti polova se dobijaju tako što se vrednosti iz tabele podele s želejnim ωn. n 1 2 3 4 5 6 n 1 2 3 4 5 6

Spektar polova za ωn=1 rad/s po ITAE kriterijumu

−1 − 0,707 ± j 0,707 − 0,708 ; - 0,521 ± j1,068 − 0,424 ± j1,263; − 0,626 ± j 0,4141 − 0,8955;−0,3764 ± j1,292; − 0,5758 ± j 0,5339 − 0,3099 ± j1,2634; − 0,5805 ± j 0,7828; − 0,7346 ± j 0,2873

Spektar polova za ωn=1 rad/s po Beselovoj funkciji prenosa

−1 − 0,866 ± j 0,5 − 0,942 ; - 0,7455 ± j 0,7112 − 0,06573 ± j 0,8302; − 0,9047 ± j 0,27111 − 0,9264;−0,5906 ± j 0,9072; − 0,8516 ± j 0,4427 − 0,5385 ± j 0,9617; − 0,7998 ± j 0,5622; − 0,9093 ± j 0,1856

4.3.2 Podešavanje spektra polova sistema Za obezbeđenje željene lokacije sopstvenih vrednosti matrice stanja kompenzovanog sistema, putem uvođenja povratne sprege po stanju, koristi se veći broj metoda [3, 4, 5, 6]. Neke od njih se zasnivaju na primeni kanoničkog kontrolabilnog modela sistema i jednostavne su za primenu kod sistema sa skalarnim upravljanjem [4]. Na bazi njih je razvijena i tzv. Akermanova formula [5]. Jedna od metoda koristi opšti prilaz na osnovu fundamentalne matrice sistema i pogodna je za sisteme s vektorskim upravljanjem [3, 10]. 94

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja 4.3.2.1 Sistemi sa skalarnim upravljanjem Neka je polazni model objekta dat u kontrolabilnoj kanoničkoj formi. Tada je matrica stanja A u kompanjon formi i na osnovu nje može se direktno napisati karakteristični polinom polaznog (nekompenzovanog) sistema (4.9) Dn ( s ) = s n + an s n−1 + an−1s n−2 + ... + a2 s + a1 . Od sistema se zahteva da mu spektar sopstvenih vrednosti matrice stanja kompenzovanog sistema bude: s1, s2 ,..., sn . Pri tome, u spektru željenih sopstvenih vrednosti, kompleksne vrednosti moraju biti u konjugovano-kompleksnim parovima. Tada se, na osnovu zadatog spektra, može napisati karakteristični polinom željenog (kompenzovanog) sistema: Dk ( s ) = ∏ ( s − si ) =s n + an s n−1 + an−1s n−2 + ... + a2 s + a1 . n

i =1

(4.10)

Istaknimo da se kontrolabilni kanonički prostor generiše modelom dobijenim direktnim programiranjem, sl. 4.2, u kome su koeficijenti karakterističnog polinoma ustvari pojačanja lokalnih povratnih sprega od koordinata stanja do ulaza u sistem. Na slici su označeni koeficijenti karakterističnih polinoma nekompenu

xn

-an

-an

xn-1

-an-1 -an-1

x2

-a2

-a2 -a1

x1

-a1

Sl. 4.2. Model sistema bez konačnih nula sa skalarnim upravljanjem u normalnoj, kanoničkoj kontrolabilnoj formi.

zovanog (ai) i kompenzovanog sistema ( ai ). Nije teško zaključiti da se kompenzator, ostvaren povratnom spregom po stanju, dobija tako što se svakom elementu ai lokalne povratne sprege, u modelu nekompenzovanog sistema, dodaje (paralelno vezuje) element: k i = ai − ai , i = 1, n . (4.11) Prema tome, matrica povratne sprege po stanju je vektor-vrsta, čiji su elementi pojačanja ki . Pretpostavili smo da je polazni model sistema dat u kanoničkoj kontrolabilnoj formi, što, naravno, nije uvek slučaj. Međutim, ako je par (A,b) kontrolabilan, sistem se može uvek svesti na taj oblik. U drugoj glavi je dat jedan postupak transformacije sistema u kanoničku kontrolabilnu formu. Ovde ćemo dati, kao gotov rezultat, matricu transformacije polaznog sistema u kontrolabilni kanonički model, koja se odlikuje eksplicitnošću, tj. ona se može direktno napisati na osnovu modela i koeficijenata karakterističnog polinoma nekompenzovanog sistema. Ta transformaciona matrica ima oblik (4.14) [1,2,4], gde su: Mc - matrica kontrolabilnosti, a ai-koeficijenti karakterističnog polinoma polaznog, nekompenzovanog sistema. Prema tome, postupak projektovanja sistema svodi se na sledeći algoritam: 95

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2 , (4.12) 1. Proverava se potpuna kontrolabilnost nekompenzovanog sistema (objekta) proverom ispunjenja relacije rang M c = n. (4.12) Ako je ovaj uslov ispunjen, projektovanje se nastavlja. U suprotnom slučaju potrebno je dekomponovati sistem na upravljivi i neupravljivi deo i proveriti uslov stabilzabilnosti. Ako je on ispunjen, može se dalji postupak sprovesti na upravljivi deo sistema ali ne mogu da se ostvare sve željene sopstvene vrdnosti već samo onoliko koliki je indeks kontrolabilnosti sistema. 2. Izračunavaju se koeficijenti karakterističnog polinoma ai nekompenzova nog sistema na osnovu relacije det[ sI − A] = 0 (4.13) i formira vektor-vrsta od ovih koeficijenata po rastućim indeksima: a = [a1 a2 ... an ] . 3. Određuje se matrica transformacije T i njena inverzna matrica T-1na osnovu a 2 a  3 T = M c  ...  a n  1

a3 a4 ... 1 0

... a n ... 1 ... ... 0 ... 0 ...

1 0  ...  0 0 

(4.14)

4. Na osnovu zahtevanog spektra sopstvenih vrednosti, sračunava se karakteristični polinom kompenzovanog sistema po formuli (4.10) i formira vektor-vrsta čiji su elementi koeficijenti polinoma po rastućim indeksima: a = [ a1 a2 ... an ] . 5. Potrebna matrica povratne sprege po stanju kk je vektor-vrsta s elementima ki određenim izrazima , tj. k k = [ a − a] . 6. Dobijena matrica povratne sprege po stanju transformiše se u originalni (polazni) prostor stanja, tj. k = k k T −1 = [ a − a]T −1 . (4.15) Primer 4.1. Nekompenzovani sistem je neprigušeni oscilator prirodne frekvencije oscilovanja ωn. Naći matricu povratne sprege po stanju, koja će obezbediti dvostruko veću prirodnu frekvenciju samooscilovanja i koeficijent relativnog prigušenja ζ=1. Matematički model sistema u kanoničkom kontrolabilnom prostoru stanja je x&1 = x2 ,

x& 2 = −ω2n x1 + u . Karakteristični polinom nekompenzovanog sistema je s −1 det[ sI − A] = 0 ⇒ 2 = 0 ⇒ s 2 + ω 2n = 0 , ωn s odakle nalazimo: a2 = 0, a1 = ωn2 ⇒ a = [ωn2 0] .

96

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja Zahtevani spektar sopstvenih vrednosti je s1, 2 = −ζ 2ωn ± j 2ωn 1 − ζ 2 = −2ωn . Zato je karakteristični polinom kompenzovanog sistema : ( s + 2ωn ) 2 = s 2 + 4ωn s + 4ω2n ⇒ a1 = 4ω2n , a 2 = 4ωn ⇒ a = [4ω2n 4ωn ] . Elementi matrice povratne sprege po stanju su:

k1 = a1 − a1 = 3ω 2n ; k 2 = a 2 − a 2 = 4ω n . Matrica povratne sprege po stanju je k k = 3ω2n 4ωn . Na sl. 4.3 prikazan je rezultat simulacije polaznog i kompenzovanog sistema za iste početne uslove

[

]

x1 (0) = 0,3; x 2 (0) = −0,5 i ω o = 1 s −1 . Primer 4.2. Sistem bez povratne sprege je dat parom (A,b):  1 0 0 1      A = −1 0 2 ; b = 0 .  0 −1 1  0

Sl. 4.3. Odzivi nekompenzovanog (1) i kompenzovanog (2) sistema.

Odrediti koeficijente povratne sprege po stanju, tako da spregnuti sistem ima spektar polova: -1, -1, -2. 1 1 1  M c = 0 −1 −1; rangM c = 3 sistem je 0 0 1 

potpuno kontrolabilan. det[sI − A] = 0 ⇒ s 3 − 2s 2 + 3s − 2 = 0 ⇒ a1 = −2, a2 = 3, a3 = −2 . Kao što se vidi, polazni sistem je nestabilan. Matrica transformacije je, shodno (4.12), 1   3 − 2 1  2 − 1 1 1 1 1 0 0 ( 4.12 )        −1 T = 0 − 1 − 1 − 2 1 0 = 1 − 1 0 ; det T = 1; T = 0 − 1 1  .        0 0 1 − 1 − 1 1   1 0 0 1 0 0 Karakteristični polinom kompenzovanog sistema je (s + 2)(s + 1) 2 = s 3 + 4s 2 + 5s + 2 . Razlika koeficijenata zahtevanog i nekompenzovanog karakterističnog polinoma daje k k = [4 2 6] , pa je vektor koeficijenata povratne sprege po stanju kompenzovanog sistema 0 0 1  −1 k = k k T = [4 2 6]0 − 1 1  = [6 − 8 0] . 1 − 1 − 1 Model kompenzovanog sistema je  1 0 0 1 − 5 8 0 x& = − 1 0 2 x − 0 [6 − 8 0]x =  − 1 0 2 x ,  0 − 1 1 0  0 − 1 1  čije su sopstvene vrednosti jednake traženim.

97

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

4.3.2.2 Akermanova formula Osim datog, u literaturi se često koristi još jedan postupak - Akermanova formula koju dajemo bez dokaza. Vektor povratne sprege po stanju sistema izračunava se po formuli: k x = e Tn M −c 1 D(A) , (4.16) gde su: en- n-ti stubac jedinične matrice, Mc - matrica kontrolabilnosti sistema, a D(A) - karakteristični polinom željenog sistema s matricom stanja umesto kompleksne promenljive. Primenu Akermanove formule prikazaćemo na sledećem primeru. Primer 4.3. Odrediti vektor povratne sprege po stanju za sistem iz prethodnog primera primenom Akermanove formule. Karakteristični polinom željenog sistema je D ( s ) = s 3 + 4 s 2 + 5s + 2 .

Stoga je D( A) = A 3 + 4 A 2 + 5A + 2I . Na osnovu Mc nalazi se njena inverzna matrica, a na osnovu date matrice A njen kvadrat i kub, tako da se može primeniti Akermanova formula : 1 1 1  k x = [0 0 1]0 − 1 − 1 0 0 1 

−1

[A

3

]

+ 4 A 2 + 5 A + 2I ⇒

0 1 0 0   1 0 0   1 0 0 1 1 0  1 0           k x = [ 0 0 1] 0 −1 −1 1 −2 −2  + 4 −1 −2 2  + 5−1 0 2  + 2 0 1 0  0 0 1    1 −1 −1  0 −1 1  0 0 1  2 1 −3

k x = [6 − 8 0] .

4.3.2.2.1 MATLAB i Akermanova formula Korišćenjem programskog paketa MATLAB, naredbom

k = acker(A, B, p) ,

gde je p-vektor željenih sopstvenih vrednosti sistema, može se dobiti vrednost vektora k povratne sprege po stanju. Primenom MATLAB-a za prethodni primer imamo: A=[1,0,0;-1,0,2;0,-1,1];B=[1;0;0];p=[-1;-1;-2];k=acker(A,B,p); Warning: Pole locations are more than 10% in error. >> k k= 6 -8 0. Napomena 4.1: Akermanova formula je numerički nepouzdana, naročito za sisteme reda većeg od 10 i za slabo kontrolabilne sisteme.

98

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja

4.3.3 Sistemi s vektorskim upravljanjem. 4.3.3.1 Prvi način sinteze - svođenje na skalarni slučaj Prethodno opisana metoda može se primeniti i na sisteme s vektorskim upravljanjem. Najpre, moguće je da se vektorsko upravljanje svede na skalarni slučaj relacijom Bu = Bqu = bu , (4.17) gde je q- r-dimenzionalni vektor. Pri tome, sistem mora biti potpuno kontrolabilan po vektoru ulaznih signala. Zatim, moguće je, takođe, ako je sistem potpuno kontrolabilan po nekom od r kanala upravljanja, uvesti na prethodno opisani način povratnu spregu po stanju samo po tom upravljanju.  2 0 1 0 ; B = 1 1; d = [0 1] . Izabrati 1 3     povratnu spregu po stanju tako da sistem ima sopstvene vrednosti s1 = −1, s2 = −5 . Uočimo da je nekompenzovani sistem nestabilan, a da će postupak sinteze automatski dovesti do stabilnog sistema. Najpre ćemo pokazati kako se ovaj zadatak može rešiti svodeći dati sistem s vektorskim upravljanjem na prethodno opisan slučaj sa skalarnim upravljanjem. Zapišimo sistem u obliku  2 0 1 0  x& =   x + 1u1 + 1u 2 . 1 3      i proverimo potpunu kontrolabilnost sistema po svakom od ulaza. Lako se utvrđuje da je sistem potpuno kontrolabilan po prvom, a nepotpuno kontrolabilan po drugom ulazu. Stoga ćemo uvesti povratnu spregu po stanju po prvom ulazu. Drugim rečima, dalje ćemo razmatrati redukovani sistem1 2 0 1 x& =  x +  u1 .  1 3 1

Primer 4.4. Dat je sistem opisan sa A = 

Karakteristični polinom nekompenzovanog sistema je a = [6 - 5] . Matrica transformacije je

s 2 − 5s + 6 , tj. imamo

− 5 1 1 2 − 5 1 − 3 1 1 − 1 1 T = Mc  = = ⇒ T −1 =       . 2 − 1 3  1 0 1 4  1 0  − 1 1 Zahtevani karakteristični polinom kompenzovanog sistema je ( s + 1)( s + 5) = s 2 + 6 s + 5 ⇒ a = [5 6] . Prema tome, vektor povratne sprege po stanju je

− 1 1 1 k = [a − a] T −1 = [− 1 11]   = [− 5 16] . − 1 3 2 Kompenzovani sistem imaće sledeći matematički model  x   0  2 0 1  x& =  x +    r1 − [− 5 16]  1   +   r2 ⇒  1 3  1   x2   1 1

Uvodeći, prema (4.17), vektror q=[1 0,5]T zadatak se svodi na isto.

99

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

1 0 7 − 16 x& =  x+  r; c = x 2 .  1 1 6 − 13 Njegova karakteristična jednačina je ( s − 7)( s + 13) + 96 = s 2 + 6s + 5 = 0 . Prema tome, dati prilaz je dao traženi spektar polova. Interesantno je zadatak posmatrati i preko simulacionih dijagrama i strukturnih blok šema. Na osnovu modela sistema, može se nacrtati simulacioni dijagram i strukturna blok-šema polaznog i kompenzovanog sistema, sl. 4.4. I iz ovih dijagrama vidi se da je polazni sistem nepotpuno kontrolabilan po upravljanju u2 kao i potvrda napred sprovedenog postupka. Istaknimo da će spregnuti sistem imati željeni spektar polova, bez obzira u odnosu na koji ulaz deluje upravljanje,. Uočimo da je uvođenjem povratne sprege po stanju dobijeni sistem postao superkontrolabilan.

u2 x1

u1

x2

u2 u1

c

1 s-3

1 s-2

c

3

2 r2

r2 r1

r1

x1

x2 3

2

c

1 s-3

1 s-2

c

5

5

-16 -16

Sl. 4.4. Simulacioni dijagram i strukturna blok-šema sistema: a) nekompenzovani sistem ; b) kompenzovani sistem.

4.3.3.2 Drugi način sinteze - slučaj prostih sopstvenih vrednosti U ovom odeljku biće izložen jedan postupak projektovanja povratne sprege po stanju za sisteme s vektorskim upravljanjem i prostim sopstvenim vrednostima, polazeći od karakteristične jednačine, napisane u obliku det{[ sI − A][I + ( sI − A) −1 BK x ]} = det[ sI − A] det[I + ( sI − A) −1 BK x ] = 0 .(4.18)

Prethodni izraz biće ispunjen ako je makar jedan od činilaca jednak nuli. Prvi, det[ sI − A ] , je jednak nuli u polovima (sopstvenim vrednostima) polaznog, nekompenzovanog sistema, jer je to njegov karakteristični polinom. Prema tome, ako želimo da karakteristični polinom kompenzovanog sistema ima zadati spektar polova dovoljno je zahtevati da det[I + ( sI − A) −1 BK x ] = 0 . S druge strane, poznato je da je Φ (t ) = L−1{( sI − A ) −1 } ⇒ ( sI − A) −1 = Φ ( s ) , pa se (4.18) može napisati u obliku det[I + Φ ( s)BK x ] = det[I + K x Φ ( s)B] = 0 . 100

(4.19)

(4.20)

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja Iz ove jednačine potrebno je odrediti matricu Kx, tako da sistem ima željeni spektar polova, tj. ta relacija mora biti zadovoljena za svako s=sj, j=1,...,n, tj. za svako Φ( s j ) . Pošto imamo n sopstvenih vrednosti, potrebno je imati sistem od n algebarskih jednačina. Taj sistem se dobija izjednačavanjem s nulom svih elemenata bilo koje vrste ili kolone determinante (4.20). Napišimo (4.20) u obliku det{[e1 e 2 ... e n ] + K x [f1 ( s j ) f 2 ( s j ) ... f n ( s j )]} = 0 , (4.21) gde su: ei- i-ti vektor-kolona jedinične matrice (i-ti ort), fi(sj)-i-ti vektor-stubac proizvoda matrica Φ( s j )B =F(sj). Na osnovu (4.21) dobijamo sistem od n algebarskih jednačina zapisanih u vektorskom obliku (4.22) K x f i ( s j ) = −e i . Međutim, ovaj sistem imaće jedinstvena rešenja samo ako predstavlja skup od n linearno nezavisnih jednačina. To će biti ispunjeno samo ako je polazni sistem potpuno kontrolabilan. Ograničavajući se samo na sisteme s prostim željenim polovima, uvek se može naći skup linearno nezavisnih jednačina, na osnovu koga se može napisati matrična algebarska jednačina oblika K x [f i1 ( s1 ) f i 2 ( s2 ) ... f in ( sn )] = −[e i1 e i 2 ... e in ] , iz koje se dobija matrica povratne sprege po stanju K x = −[e i1 e i 2 ... e in ][f i1 ( s1 ) f i 2 ( s 2 ) ... f in ( s n )]−1 . (4.23) Primer 4.5. Prethodni primer (primer 4.4) rešićemo i na upravo opisani način. Najpre, lako se utvrđuje da je sistem potpuno kontrolabilan, jer je 1 0 2 0 M c = [B AB] =  ; rang M c = 2 . 1 1 4 3 Zatim određujemo kompleksni lik fundamentalne matrice 1   −1 0   0  s − 2 −1 2 s − Φ ( s) = [sI − A ] =   = 1 1 .  − 1 s − 3    ( s − 2)( s − 3) s − 3  Dalje je 1 1     0 1 0 0      s−2 s−2 F ( s ) = Φ ( s )B =  s −1 1 1  1 1 =  1 =       ( s − 2)9s − 3) s − 3   ( s − 2)( s − 3) s − 3 

[f1 (s) f 2 (s)] . Nalazimo vektore

f1 ( s1 = −1) = [−

1 T 1 3 − ]T ; ] ; f1 ( s 2 = −5) = [− 6 7 28 1 1 f 2 ( s1 = −1) = [0 − ]T ; f 2 ( s 2 ) = [0 − ]T . 4 8 1 3

101

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

[f1 ( s1 ) f 2 ( s2 )] ili [f1 ( s2 ) f 2 ( s1 )]

Izborom grupe linearno nezavisnih vektora nalazimo dva moguća rešenja za matricu povratne sprege po stanju: a) K = −[e1 b) K = −[e1

 1 1 0 − 3 −1 e 2 ][f1 ( s1 ) f 2 ( s 2 )] = −   0 1   1  6

 1 1 0  − 7 −1 e 2 ][f1 ( s 2 ) f 2 ( s1 )] = −   0 1   − 3  28

Neposrednom proverom može se utvrditi da obe zadati spektar polova. Zaista: 2 0 1 0  3 ~ a) A = A − BK =  −  1 3 1 1 − 4

 0 1 −  8

−1

 0 1 −  4

 3 0 = ; − 4 8 −1

 7 0 = .  − 3 4

nađene matrice stanja obezbeđuju

0 − 1 0  ; = 8  2 − 5 2 0 1 0  7 0 − 5 0  ~ b) A = A − BK =   = . − 1 3 1 1 − 3 4 − 3 − 1 Na sl. 4.5 prikazani su simulaciona šema i strukturni blok dijagram kompenzovanog sistema s matricom povratne sprege date pod a), čiji je matematički model  x&1  2 0  x1  1 0  3 0  x1  1 0  r1   x&  =    +    ⇒   −    2  1 3  x2  1 1 − 4 8  x2  1 1 r2   x&1  − 1 0   x1  1 0  r1   x&  =    +    .  2   2 − 5  x2  1 1 r2 

4.3.3.2.1 MATLAB i podešavanje polova Za projektovanje povratne sprege po stanju može se koristiti gotov programski paket MATLAB-a. Komanda je: K = place(A, B, p) , gde je p-vektor željenog spektra sopstvenih vrednosti sistema. Primenom MATLAB-a za prethodni primer imamo: >> A=[2,0;1,3];B=[1,0;1,1];p=[-1;-5]; >> K=place(A,B,p) place: ndigits= 15 K= Uočava se da je u MATLAB-u dobijena 3.0000 0 matrica povratne sprege po stanju različita od -2.0000 8.0000 prethodno dobijenih, koja daje isti željeni >> s=eig(A-B*K) spektar polova. s= -5.000 -1.000

102

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja 4

Iz ovih primera može se videti da su moguća različita rešenja postavljenog -8 r2 zadatka. Poslednje tri varijante se, u r1 suštini, ne razlikuju. Razlika postoji u x1 x2 c prilazu putem svođenja zadatka na skalarni slučaj i vektorskog prilaza. Prvi 3 2 prilaz ima manji broj povratnih sprega. -3 Međutim, konačni sud se može meritorno izvesti samo nakon analize spregr2 nutog sistema, jer ponašanje sistema r1 c zavisi i od konačnih nula. 1 1 s-3 s-2 Nalazeći funkcije prenosa od svakog ulaza do izlaza za prvi (skalarni) i drugi 8 4 3 (vektorski) način rešavanja zadatka, Sl. 4.5 Simulacioni dijagram i strukturna dobija se: a) za slučaj primene skalarne blok-šema kompenzovanog sistema. povratne sprege, sl. 4.4b: )   s −1 s−7 C ( s ) = G ( s)R ( s ) = d[ sI − A]−1 BR ( s) =   R( s) ;  ( s + 1)( s + 5) ( s + 1)( s + 5)  b) za slučaj primene vektorske povratne sprege (primer 4.5) G(s) je:    1 s+3 s+2 1  1  1  2 b1)  ; b2)  ; b3)  .)  ( s + 1)( s + 5) ( s + 5)   ( s + 1)( s + 5) ( s + 5)   ( s + 5) ( s + 5)  Kao što se vidi, polovi spregnutog prenosa sistema su jednaki zahtevanim (-1, -5) u slučaju a). U prenosu prva metoda je dala neminimalno fazni sistem (desne konačne nule: 1 i 7). U drugom slučaju, u prenosu po r2 dolazi do skraćivanja pola i nule, pa je dobijeni sistem ostao nekontrolabilan po tom ulazu, a u slučaju b3) skraćivanja ima u oba kanala. To se vidi i na dijagramu na sl. 4.5, što kod prvog prilaza nije slučaj. Štaviše, polazni objekat je bio nepotpuno kontrolabilan po ulazu u2, a uvođenjem skalarne povratne sprege po stanju učinili smo da je sistem poprimio osobinu superkontrolabilnosti, tj. postao je potpuno upravljiv po svakom ulazu. U posmatranom primeru bolji je drugi prilaz, jer nema desnih nula. U svakom konkretnom slučaju projektant mora detaljno analizirati ponašanje projektovanog sistema i po potrebi izvršiti promenu zahtevanog spektra polova u cilju dobijanja što kvalitetnijeg sistema. Sa ciljem da se uoči razlika u projektovanju kada je matrica B m × n, m < n razmotrimo sledeći primer 1 1 0 1 0 Primer 4.6. A = 0 1 − 5; B = [b1 b 2 ] = 0 1; Od sistema se zahteva da mu 0 − 2 0  1 1 sopstvene vrednosti budu S = {−1,−3,−5} . Proveravamo sopstvene vrednosti matrice stanja: eig(A)= 1.0000; 3.7016;-2.7016. Prema tome sistem je nestabilan. Proverom kontrolabilnosti po svakom ulazu lako se nalazi da je sistem superkontrolabilan. To znači da se za dobijanje traženog spektra polova može primeniti skalarni slučaj po jednom od ulaza ili vektorski slučaj, što ćemo i uraditi. Kompleksni oblik fundamentalne matrice je: 2

b1) i b2) su varijante iz primera 4.5, a b3) je rešenje dobijeno primenom MATLAB-a.

103

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2 Φ ( s ) = [sI − A ]

−1

 1  s −1  = 0   0 

−2

( s − 1)( s − s − 10) s 2

( s 2 − s − 10) −2

( s 2 − s − 10)

  ( s − s − 10)  −5  ; 2 ( s − s − 10)   s −1  ( s 2 − s − 10)  1

2

Sada je

  s 2 − 11 s−3   2 2  ( s − 1)( s − s − 10) ( s − 1)( s − s − 10)  s−5 −5   F( s ) = Φ ( s ) B =   = [f1 ( s ) f 2 ( s )]3×2 . 2 2 s s s s − − − − ( 10 ) ( 10 )   s −1 s−3    ( s 2 − s − 10) ( s 2 − s − 10)  Pošto je naš sistem trećeg reda (n=3), a broj ulaza m=2, matrica povretne sprege po stanju mora biti dimenzija m × n = 2 × 3 . Ona se određuje iz izraza (4.23) koji će za ovaj slučaj biti: K = −EG −1 , gde se matrica G dobija na osnovu linearno nezavisnih vektora f i ( s j ), i = 1,2; j = 1,2,3 , a matrica E se sastoji iz jediničnih ortova-kolona koji korespondiraju indeksu i vektora f i ( s j ) . Na taj način moguće su različite varijante rešenja: 1 / 15  − 5 / 8 1 / 4 1 1 0   a) G a = [f1 ( s1 ) f1 ( s 2 ) f 2 ( s 3 )]; E a =   ; Ga =  5 / 8 − 5 / 2 − 1/ 2 0 0 1    1 / 4 − 2 − 2 / 5  − 5 / 8 3 / 4 1 / 15  1 0 0   b) G b = [f1 ( s1 ) f 2 ( s 2 ) f 2 ( s 3 )]; E b =   ; Gb =  5 / 8 − 4 − 1/ 2 0 1 1  − 3 − 2 / 5  1 / 4

− 1 / 4 1 / 4 0 1 0 c) G c = [f 2 ( s1 ) f1 ( s 2 ) f 2 ( s 3 )]; E c =  ; G c =  3 / 4 − 5 / 2  1 0 1  1 / 2 −2 − 5 / 8 1 / 4 1 1 1   G = d) G d = [f1 ( s1 ) f1 ( s 2 ) f1 ( s 3 )]; E d =  ;  a  5/8 − 5/ 2 0 0 0    1 / 4 −2

1 / 15  − 1 / 2  − 2 / 5

− 7 / 60 − 1 / 4  − 3 / 10 

− 1 / 4 3 / 4 1 / 15   0 0 0   e) G e = [f 2 ( s1 ) f 2 ( s 2 ) f 2 ( s 3 )]; E e =   ;Ga =  2 / 3 − 4 − 1/ 2 1 1 1    1 / 2 − 3 − 2 / 5 Ovi slučajevi biće validni samo ako su dobijene matrice Gk nesingularne. Kao što se vidi, u formiranju matrice G moraju učestvovati sve zahtevane sopstvene vrednosti sistema. Poslednja dva slučaja se svode na skalarno upravljanje. Dobijaju se sledeća rešenja:

104

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja  12.00 19.20 - 22.00  Ka =  ; - 60.00 - 114.00 135.00  12.00 16.00 - 18.00  Kc =  ;  - 60.00 - 98.00 115.00

 3.6923 3.6923 - 4.00 Kb =  ;  - 27.6923 - 53.6923 65.00  - 4.80 - 12.72 15.80  Kd =  ; 0 0 0

0 0 0   Ke =  .  9.3333 - 16.6667 24.8889 Lako se može proveriti da se sa datim povratnim spregama dobijaju tražene sopstvene vrednosti matrice stanja sistema. Prema tome, možemo da biramo najpogodnije u nekom smislu rešenje. Rešnje Kc je, na primer, najpogodnije zbog toga što su koeficijenti povratne sprege celobrojni.

4.3.3.3 Treći način sinteze - opšti slučaj U prethodnom odeljku opisan je postupak projektovanja povratne sprege po stanju u slučajevima kada željeni spektar ima samo proste polove. U slučaju kada željeni spektar sadrži i višestruke polove, izloženi postupak se mora modifikovati. O jednoj modifikaciji videti u [3]. Ovde ćemo prikazati postupak, predložen u [10], koji se može primenjivati bez obzira na to da li zadati spektar polova ima proste ili višestruke polove. Neka je dinamički sistem opisan sa x& = Ax + Bu;

x ∈ ℜ n , u ∈ ℜ r , A ∈ ℜ n×n , B ∈ ℜ n×r .

(4.24)

Uvodi se povratna sprega po stanju u = −Kx;

K ∈ ℜ r×n .

(4.25)

Pretpostavlja se da je par (A,B) potpuno kontrolabilan, tj. da matrica kontrolabilnosti, M c = [B, AB, A 2 B,..., A n−1B] ,

(4.26)

ima rang n. Sada se umesto matrice kontrolabilnosti (4.26) formira matrica M na sledeći način: najpre se, koristeći prvi stubac b1 matrice B = [b1 , b 2 ,..., b r ] , formira prvi deo matrice M na način kao što se formira matrica kontrolabilnosti sistema s jednim ulazom (skalarni slučaj), tj.: M 1 = [b 1 , Ab 1 , A 2 b 1 ,..., A m1 −1b 1 ] ,

(4.27)

gde je m1 - indeks kontrolabilnosti sistema po prvom ulazu. Drugim rečima, ova matrica kontrolabilnosti po prvom ulazu se formira dotle dok se ne pojavi kolona m1 koja je linearno zavisna od prethodnih kolona. Dalje formiranje matrice M1 se prekida, a kolona m1 se isključuje iz matrice M. Zatim se na isti način postupa sa kolonoma b2, b3,..., br matrice B dok se ne dobije matrica M punog ranga, tj. ranga n. Ta matrica će u opštem slučaju imati oblik

M = [M1 , M 2 ,..., M r ] = [b1 , Ab1 , A 2b1 ,..., A m1 −1b1 ;

b 2 , Ab 2 , A 2b 2 ,..., A m2 −1b1 ,....Ab r , A 2b r ,..., A mr −1b r ],

(4.28) 105

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

∑m

pri čemu je

=n.

r

i =1

i

(4.29)

Napomena 4.2: Može se dogoditi da je sistem potpuno kontrolabilan po prvom ulazu. Tada se vektorski slučaj projektovanja povratne sprege po stanju može svesti na skalarni ako se formira matrica (4.26) do m1=n. Međutim, matrice Mi ne moraju se formirati u celosti, tj. dok postoje linearno nezavisni vektori, već se njihovo formiranje može prekinuti i ranije. Bitno je da je dobijena matrica M punog ranga. Na primer, ako je rang matrice B jednak redu sistema, tada se odmah kao matrica M može primeniti matrica B, pri čemu će mi=1 za svako i=1,2,..

Pošto je matrica M nesingularna, ona će imati inverznu matricu. Definišimo q-vektor vrstu te inverzne matrice: gde je

q iT = δ i - vrsta matrice M −1 , i = 1,2,...r ,

(4.30)

δi =

(4.31)

∑m i

j =1

j

.

Neka je željeni spektar polova sistema podeljen u r grupa, odnosno neka je karakteristični polinom sistema dat u obliku D( s ) =

gde je

∏ D ( s) , r

i =1

i

Di ( s ) = s mi + a i ,1 s mi −1 + ... + ai ,mi .

(4.32)

(4.33)

Matrica povratne sprege po stanju određuje se po formuli

K = Q −1G , gde su matrice Q i G date izrazima:  q1T A m1 −1B   T m2 −1  q A B Q= 2 ,  .......   T m −1  q r A r B   q1T D1 ( A)   T  q D ( A) , G= 2 2  .......   T  q r Dr ( A) 

(4.34)

(4.35)

(4.36)

a Di (A) je

Di ( A) = A mi + a i ,1 A mi −1 + ... + a i mi ; i = 1,2,..., r.

Primenu ove metode prikazaćemo na nekoliko primera. 106

(4.37)

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja 0 0 1 0 2; B = 0 , 0  0 − 1 1  projektovati povratnu spregu po stanju tako da željeni karakteristični polinom sistema bude 1

Primer 4.7. Dat je sistem opisan sa A = − 1

D( s ) = ( s + 1) 2 ( s + 2) . Neposrednom proverom (videti primer 4.2) se utvrdjuje da je sistem potpuno kontrolabilan. S obzirom da je sistem sa skalarnim upravljanjem, onda je matrica M u ovom slučaju identična s matricom kontrolabilnosti datog sistema. Matrica kontrolabilnosti i njena inverzna matrica su 1 1 0  1 1 1    −1 M = M c = 0 − 1 − 1 ; M = 0 − 1 − 1 . 0 0 1  0 0 1  Sada je m1=3, pa je δ 1 = −1

M . Sada je

Q = [0 1 0 1 − 2  2 1

[

∑ m1 = 3 , te je 1

j =1

q1T = [0 0 1] , tj. to je treća vrsta matrice

1 0 1]A b = [0 0 1] − 1 = 1; D( A) = A 3 + 4 A 2 + 5A + 2I =  1  0  1 0 0   1 0 0 1 0 0 − 2 + 4- 1 - 2 2  + 5− 1 0 2 + 20 1 0;  1 − 1 − 1  0 − 1 1 0 0 1 − 3 2

]

G = q1T D1 ( A) = [0 0 1]D( A) = [0 0 1]{[2 1 − 3] + 4[1 − 1 − 1] + 5[0 − 1 1] + 2[0 0 1]} = [6 − 8 0].

S obzirom na to da je Q = Q −1 = 1, potrebna povratna sprega po stanju je k = [6 − 8 0] . Ovaj rezultat smo već dobili na osnovu kanoničkog kontrolabilnog modela sistema kao i primenom Ackermanove formule.

Primer 4.8. Sistem je opisan sa A =  ; B = 1 1; d = [0 1] . Projektovati 1 3     2 0

1 0

povratnu spregu po stanju tako da spektar polova sistema bude: s1 = −1, s 2 = −5. 1. Način. Sistem je potpuno kontrolabilan po prvom ulazu. Formiramo matricu M1 1 2 1  4 − 2 ⇒ M = M1 ⇒ M −1 =  M1 = [b1 Ab1 ] =   , 2 − 1 1  1 4  2 δ1 = 2 ⇒ q1T = [− 0,5 0,5]; Q = [− 0,5 0.5]   = 1,  4 2 D( s ) = s + 6s + 5 ⇒

107

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

4 0 12 0  5 0 21 0  D( A ) = A 2 + 6A + 5I =  ; = + + 5 9  6 18 0 5 11 32 21 0  G = q1T D( A) = [− 0.5 0.5]   = [− 5 16]. ⇒ k = [−5 16]. 11 32 Vidi se da je rezultat isti kao u primeru 4.4.

[ ]

2. Način. Ovaj zadatak možemo rešiti i na sledeći način (videti napred datu napomenu): formirajmo matricu M tako što ćemo usvojiti da su m1=m2=1, što daje M=B. Pošto je rangB=2, to znači da je posmatrani sistem drugog reda potpuno kontrolabilan. Sada je:  1 0 M −1 = B −1 =  ; δ1 = 1, δ 2 = 2; ⇒ q1 = [1 0]; q 2 = [− 1 1] . − 1 1 D( s ) = ( s + 1)( s + 5) ⇒ 3 0  D1 ( A) = A + I =  ; 1 4 7 0 D2 ( A) = A + 5I =  . 1 8 

 1 0  [1 0]⋅    1 0  q1 A 0 B    1 1  =  = Q= 0 1  , 0    1 0   q A B    2  [− 1 1] ⋅ 1 1     

 3 0   [1 0] ⋅    q1 D1 ( A)   1 4  =  3 0 , = G=    q 2 D2 ( A) [− 1 1] ⋅ 7 0  − 6 8  1 8     

1 0  3 0  3 0 K = Q −1G =  =  . 0 1   − 6 8   − 6 8  Zaista je 0  1 0  3 0  s − 2 0   3 0 s − 2 sI − A + BK =   + 1 1 − 6 8 =  − 1 s − 3 + − 3 8 = − − 1 3 s          0  s + 1  − 4 s + 5 ⇒ det( sI − A + BK ) = 0 ⇒ ( s + 1)( s + 5).   Prema tome, data povratna sprega po stanju je obezbedila traženi spektar sopstvenih vrednosti. Model ulaz-izlaz sistema je 0  s + 5  4 s + 1 1 0 adj[ sI − A + BK ] = W( s ) = d B = [0 1]  det[ sI − A + BK ] ( s + 1)( s + 5) 1 1

108

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja

0   1 s+5 1 1  [0 1]  =  s + 1 s + 5 , 5 1 + + s s ( s + 1)( s + 5)     a simulacioni dijagram i strukturna blok-šema sistema sa povratnom spregom po stanju prikazana je na sl. 4.6. Ovde u modelu ulaz-izlaz došlo je do skraćivanja

6 -8

r2

r2

r1

x1 2

x2

c r1

3

-3

1 s-3

1 s-2 3

6

c

8

Sl. 4.6 Simulacioni dijagram i strukturna blok-šema projektovanog sistema. Može se uočiti da se ovim načinom projektovanja dobio sličan rezultat kao kod prethodnog postupka projektovanja ali ipak različit. Ovde se drugi mod (s+5) skraćuje delovanjem preko upravljanja u1, dok drugi ulaz nema uticaj na stanje x1. S obzirom na to da se skraćivanje odvija u levoj poluravni, stabilnost sistema se ne može narušiti. Međutim, ovde drugi mod nije kontrolabilan sa strane prvog ulaza, a prvi mod nije opservabilan sa izlaza sistema. Primer 4.9. Sistem je opisan modelom

1 1 1 0 4 2    2 5 1 0 ; B = 1 1 . A= 0 1  3 8 2 1      1 0 0 0 6 2 Projektovati povratnu spregu po stanju tako da spektar polova bude definisan sa D ( s ) = ( s + 2) 2 ( s + 4) 2 = ( s 2 + 4 s + 4)( s 2 + 8s + 16) . Koristićemo programski paket MATLAB za izračunavanja, pa matrice A i B zapisujemo u obliku: A=[1,0,4,2;2,5,1,0;3,8,2,1;0,0,6,2];B=[1,1;0,1;1,1;1,0]; Odredimo najpre spektar polova polaznog sistema naredbom eig(A). Dobija se odgovor: eig(A)=[9.2835; 0.9625 + 1.3221i ; 0.9625 + 1.3221i; -1.2084] Kao što se vidi, spektar polova nije onaj koji se traži; sistem nije stabilan, jer ima tri pola u desnoj poluravni. Sada ispitujemo potpunu kontrolabilnost sistema. MC=[B, A*B,A^2*B,A^3*B]; rank(MC) =4. Sistem je potpuno kontrolabilan. Utvrdimo kontrolabilnost po svakom od ulaza: >> b1=[1;0;1;1];b2=[1;1;1;0]; >> Mc1=[b1, A*b1,A^2*b1,A^3*b1];Mc2=[b2, A*b2,A^2*b2,A^3*b2]; >> rank(Mc1) = 4 >> rank(Mc2) = 4 Dakle, sistem je superkontrolabilan i zadatak se može rešiti na više načina. Usvojićemo m1=m2=2. Prema (4.31) nalazimo

109

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

δ1 = ∑ m j = 2; δ 2 = ∑ m j = 2 + 2 = 4 , 1

2

j =1

j =1

a zatim matricu M i njenu inverznu matricu M-1: >> M1=[b1, A*b1];M2=[b2, A*b2];M=[M1,M2];  0.5366 - 1.7073 1.1707 - 0.7073   0.0244 0.1951 - 0.2195 0.1951  . M −1 =   0.9024 0.2195 - 0.1220 - 0.7805    - 0.1220 0.0244 0.0976 0.0244  Sada se, na osnovu (4.30), izdvajaju druga i četvrta vrsta matrice M-1 kao vektori q1 i q2: >> q1=[ 0.0244 0.1951 - 0.2195 0.1951]; >> q2=[ -0.1220 0.0244 0.0976 0.0244 ]; Zatim se sračunavaju karakteristični polinomi D1(A) i D2(A): >> D1=A^2+4*A+4*eye(4); D2=A^2+8*A+16*eye(4); i nalazimo: >> Q=[q1*A*B;q2*A*B];G=[q1*D1;q2*D2]; K=Q^-1*G; Konačno se dobija matrica K:  0.3902 1.9512 4.8293 2.6341  K=  1.4634 11.1463 1.5366 - 0.2683 Proveravamo ispravnost nadjenog rešenja: >> eig(A-B*K) = [-4.0000 + 0.0000i; -4.0000 - 0.0000i; -2.0000 + 0.0000i; -2.0000 0.0000i] Kao što se vidi, uvođenjem povratne sprege po stanju, dobili smo traženi spektar polova. Rešićemo ovaj zadatak i primenom MATLAB-a. >> A=[1,0,4,2;2,5,1,0;3,8,2,1;0,0,6,2];B=[1,1;1,1;0,1;1,0];p=[-2;-2;-4;-4]; >> K=place(A,B,p) place: ndigits= 15 K= Columns 1 through 3 -4.4348 8.0870 -24.5217 4.9130 2.2174 23.6957 Column 4 -13.4783 12.3043 >> e=eig(A-B*K) e= -2.0000 -2.0000 -4.0000 -4.0000 Kao što se može videti dobijeno je drugačije rešenje za matricu povratne sprege K, ali je ostvaren isti spektar polova. To još jednom potvrđujemo da zadatak nema jednoznačno rešenje.

110

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja

4.4 Projektovanje optimalne povratne sprege po stanju Poseban značaj u teoriji SAU ima optimalizacija parametara povratne sprege u odnosu na postavljeni kriterijum kvaliteta. Ta oblast teorije upravljanja prerasla je u samostalnu disciplinu pod nazivom Optimalni sistemi upravljanja. Mi ćemo se, ovde, ograničiti samo na jedan prilaz, s ciljem da ukažemo na izvanredne mogućnosti teorije optimalnog upravljanja. Razmatraćemo opštiji slučaj minimalizacije kriterijuma oblika J = ∫ ( x T Qx + u T Ru)dt , ∞

0

(4.38)

gde su Q i R-pozitivno definitne, simetrične matrice odgovarajućih dimenzija, koji problem svodi na projektovanje Kalmanovog regulatora, korišćenjem Rikatijeve algebarske (diferencijalne) jednačine.3 Ovaj zadatak ima rešenje ako je par (A,B) sistema x& = Ax + Bu potpuno kontrolabilan. Tada se uvođenjem povratne sprege po stanju u = − Kx kriterijum kvaliteta (4.38) svodi na J = ∫ x T (Q + K T RK )xdt . ∞

0

(4.39)

Uvedena povratna sprega mora da obezbedi stabilnost sistema, pa će sistem posedovati funkciju Ljapunova. Neka je ona data kao kvadratna forma oblika V = x T Px , (4.40) gde je P-realna, simetrična, pozitivno definitna matrica. Ako je to funkcija Ljapunova, njen izvod biće negativno definitna funkcija. Neka je on, s negativnim znakom, jednak poditegralnoj veličini (4.39). Tada se može napisati d x T (Q + K T RK )x = − x T Px . (4.41) dt Nakon sprovedenog diferenciranja, prethodna relacija se svodi na (4.42) A T P − K T B T P + PA − PBK + Q + K T RK = 0 . Iz ove matrične algebarske jednačine, treba naći vrednost matrice K koja minimalizuje kriterijum kvaliteta (4.39). Diferencirajući levu stranu (4.42) po K i izjednačavajući diferencijal s nulom dobija se − B T P − PB + RK + K T R = 0. Uzimajući u obzir da je B T P = (PB ) T ; K T R = (RK ) T prethodna relacija postaje − ( BP) T − PB + RK + ( RK ) T = 0.

Ovaj izraz biće sigurno jednak nuli ako je (BP ) T = RK i PB = (RK ) T . Ovo su

identične relacije. Koristeći, npr., relaciju PB = ( RK ) T ⇒ RK = B T P , minimalizacija se postiže ako se matrica K odredi na osnovu izraza 3

Ako se optimalizacija kriterijuma (4.38) vrši na konačnom vremenskom intervalu, tada se problem svodi na rešavanje Rikatijeve diferencijalne jednačine, a ako se, pak, on vrši na beskonačnom vremenskom intervalu - na rešavanje algebarske Rikatijeve jednačine [11].

111

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

K = R −1B T P , (4.43) Zamenjujući (4.43) u (4.42) dobija se A T P − (R −1B T P) T B T P + PA − PBR −1B T P + Q + (R −1B T P ) T RR −1B T P = 0;

Uzimajući u obzir da je RR −1 = I , poslednji član u prethodnom izrazu identičan je drugom članu tog izraza i međusobno se potiru, pa se dobija A T P + PA − PBR −1B T P + Q = 0 . (4.44) Ova algebarska jednačina je poznata kao Rikatijeva matrična algebarska jednačina iz koje se nalazi matrica P pomoću koje se određuje matrica povratne sprege po stanju K (4.43). Prema tome, algoritam projektovanja optimalne povratne sprege po stanju se svodi na sledeće korake: 1. Na osnovu datog matematičkog modela nekompenzovanog sistema, najpre se utvrđuje kontrolabilnost sistema. Ako sistem nije potpuno kontrolabilan dalji postupak je bespredmetan. 2. Zatim se, na osnovu zadate matrice Q, utvrđuje stabilizabilnost sistema, tj. vrši provera da li će matrica K, nađena po (4.43), dovesti do stabilnog sistema, odnosno da li će matrica A − BK biti stabilna. S obzirom da još uvek nije poznata matrica K, Kalman je pokazao da će taj uslov biti ostvariv ako je par (A,S) potpuno opservabilan, gde S zadovoljava jednakost S T S = Q . 3. Iz Rikatijeve matrične algebarske jednačine (4.44) nalazi se matrica P. 4. Najzad, matrica povratne sprege po stanju K određuje se na osnovu (4.43). Dati postupak prikazaćemo na jednom primeru. 0 1

1 0

1 0

Primer 4.10. Objekat upravljanja opisan je sa: A =  ; B = 1 1; D = 0 0 . 1 1     Projektovati povratnu spregu po stanju tako da se optimalizuje kriterijum kvaliteta 1 0 1 0 (4.38) određen sa: Q =  ;R =   . 0 4  0 1  Neposrednom proverom lako se utvrđuje da je sistem potpuno kontrolabilan, što 1 0 znači da je moguće rešiti postavljeni zadatak. Osim toga je S =   i par (A,S) je 0 2  potpuno opsrevabilan, pa će matrica A-BK biti stabilna. Koristeći matričnu Rikatijevu algebarsku jednačinu (4.44) dobijamo njen početni oblik: 0 1  p11 1 1  p    12

p12   p11 + p 22   p12

p12  0 1  p11 − p 22  1 1  p12

p12  1 0 1 0 1 1  p11 p 22  1 1 0 1 0 1  p12

Posle njenog sređivanja dobijamo tri simultane algebarske jednačine 1 + 2 p12 − p11 ( p11 + p12 ) − p12 ( p11 + 2 p12 ) = 0,

p11 + p12 + p 22 − p11 ( p12 + p 22 ) − p12 ( p12 + 2 p 22 ) = 0,

4 + 2( p12 + p 22 ) − p12 ( p12 + p 22 ) − p 22 ( p12 + 2 p 22 ) = 0.

112

p12  1 0 + =0. p 22  0 4

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja Ovaj sistem jednačina je nelinearan i može se rešiti jedino primenom računara4. Kao metoda rešavanja može se koristiti metoda analogne simulacije sistema diferencijalnih jednačina koje se dobijaju iz datih algebarskih jednačina kada se desna strana zameni diferencijalima traženih promenljivih, tj u obliku: − p& 11 = 1 + 2 p12 − p11 ( p11 + p12 ) − p12 ( p11 + 2 p12 ), − p& 12 = p11 + p12 + p 22 − p11 ( p12 + p 22 )

− p12 ( p12 + 2 p 22 ), − p& 22 = 4 + 2( p12 + p 22 ) − p12 ( p12 + p 22 )

− p 22 ( p12 + 2 p 22 ), a zatim nalaze rešenja ovog sistema u ustaljenom stanju. Sl. 4.7. Simulacioni model za rešavanje Simulacioni model je prikazan na sl. matrične Rikatijeve jednačine. 4.7, a rezultat simulacije na sl. 4.8. Vrednosti traženih elemenata matrice P u ustaljenom stanju su p11 = 0,94466; p12 = 0,261274; p 22 = 1,906753. 5 Matrica povratne sprege po stanju je, na osnovu (4.43) 1 1  p11 K = R −1B T P = I   0 1  p12

 p11 + p12 p12 + p 22  =  p p 22  12  1,205934 2,168027 0,261274 1,906753  .  

p12  = p 22 

Upravljanje je

Sl. 4.8. Rešenja sistema diferencijalnih jednačina.

1,205934 x1 + 2,168027 x 2  . u = −Kx = −   0,261274 x1 + 1,906753 x 2 

Na sl. 4.9 prikazan je simulacioni dijagram optimalnog sistema, a na sl. 4.10 odzivi stanja i signali upravljanja takvog sistema dobijeni simulacijom. Obratimo pažnju na činjenicu da je polaznii sistem nestabilan, a da je realizovani sistem asimptotski stabilan. 4

Za rešavanje Rikatijeve jednačine može se koristiti MATLAB. Naredba je: G=BR-1BT; P=are(A,G,Q), 5 Primenom MATLAB-a dobija se rešenje Rikatijeve algebarske jednačine: >> A=[0,1;1,1];B=[1,0;1,1];R=[1,0;0,1];G=B*(R^-1)*B'; Q=[1,0;0,4];P=are(A,G,Q) P = 0.94466286696867 0.26127418172707 0.26127418172707 1.90675389432997

113

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2 Prikazani prilaz projektovanja optimalnih sistema može se ostvariti i ako se kriterijum kvaliteta izrazi u funkciji izlaza sistema: ˆ c + u T Ru)dt . J = ∫ (c T Q ∞

(4.45)

Zamenjujući c = Dx ovaj kriterijum kvaliteta se svodi na (4.38) sa ˆD. Q = DT Q Na prethodno opisan postupak sinteze optimalnog regulatora može se svesti i problem projektovanja povratne sprege po Sl. 4.9. Simulacioni dijagram sistema stanju, koja sistemu daje unapred definis optimalnim regulatorom. san stepen eksponencijalne stabilnosti. 0

a)

b) Sl. 4.10. Odziv optimalnog sistema:

a) regulacija nultog stanja ravnoteže; b) signali upravljanja.

Kao što je poznato, sistem će imatu unapred zadati stepen eksponencijalne stabilnosti ako mu se svi koreni nalaze u levoj poluravni s- ravni, levo od zadate prave paralelne imaginarnoj osi na rastojanju σ od nje. Uvodeći kriterijum kvaliteta oblika J = ∫ e 2σt (x T Qx + u T Ru)dt , ∞

(4.46)

i smenu xˆ (t ) = e σt x(t ) , uˆ (t ) = e σt u(t ) , ovaj zadatak se svodi na optimalizaciju sistema x&ˆ = ( A + σI )xˆ + Buˆ , (4.47) s kriterijumom kvaliteta 0

J = ∫ (xˆ T Qx + uˆ T Ruˆ )dt , ∞

(4.48)

ˆ = A + σI , koja igra ulogu matrice A u Rikatijevoj i matricom stanja A matričnoj jednačini (4.44). 0

114

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja Prethodno opisana metoda optimalizacije s proporcionalnom povratnom spregom po stanju omogućava dovođenje u nulto stanje ravnoteže samo ako su poremećaji tipa početnih uslova ili kratkovremenih impulsa. Ako na sistem deluju konstantni ili sporopromenljivi poremećaji, pored proporcionalne povratne sprege po stanju mora se primeniti i povratna sprega koja će biti proporcionalna integralu vektora stanja. Takvi regulatori se nazivaju proporcionalnointegralnim (PI) regulatorima stanja. S obzirom na to da se u regulacionim sistemima zahteva stabilizacija ili praćenje zadatog ulaznog (referentnog) signala i eliminacija ili minimalizacija uticaja poremećaja, obično se ovaj zadatak rešava kombinovanjem PI povratne sprege po izlazu (signalu greške) i proporcionalne povratne sprege po stanju objekta. Taj zadatak može se rešavati i svođenjem složenog, interaktivnog (spregnutog) objekta s vektorskim upravljanjem na slučaj neinteraktivnog (raspregnutog) objekta, svodeći problem vektorskog upravljanja sistemom na upravljanje n skalarnih podsistema. O takvom načinu sinteze sistema biće reči u narednom odeljku ovog poglavlja. 4.4.1 MATLAB i optimalna povratna sprega Prethodni zadatak se može rešti jednostavnije, ako se raspolaže programskim paketom MATLAB. Procedura je sledeća: Najpre se unesu podaci za matrice A,B,Q i R. Zatim se potraži rešenje u formi: [ [K,P,s]=lqr(A,B,Q,R), gde su:K - matrica optimalne povratne sprege po stanju, P - matrica-rešenje Rikatijeve algebarske jednačine, s - sopstvene vrednosti sistema sa optimalnom povratnom spregom po stanju, tj. rešenja karakteristične jednačine: det[ sI − A + BK ] = 0 . Na taj način se za prethodni primer dobija: >>A=[0,1;1,1];B=[1,0;1,1];Q=[1,0;0,4]; >>R=[1,0;0,1]; [K,P,s]=lqr(A,B,Q,R) K= 1.20593704869574 2.16802807605704 0.26127418172707 1.90675389432997 P= 0.94466286696867 0.26127418172707 0.26127418172707 1.90675389432997 s= -0.94919991909356 -3.33151909998919 U MATLABU postoji potprogram za izračunavanje optimalne povratne sprege kada je kriterijum kvaliteta oblika J = ∫ (c T Qc + u T Ru)dt ∞

0

tj. matrica Q ponderiše značaj izlaza. Ta naredba je: (K, P, s) = lqry(A, B, D, H, Q, R) , Program zahteva da matrice B,D i H imaju isti broj kolona

115

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2 Primer 4.11. Projektovati optimalnu povratnu spregu za sistem iz prethodnog

1 0 0 0  zadatka pri čemu je D =  ; H = 0 0  . 0 0     Primenićemo MATLAB >> A=[0,1;1,1];B=[1,0;1,1];D=[1,0;0,0];H=[0,0;0,0]; >> Q=[1,0;0,4];R=[1,0;0,1];[K,P,s]=lqry(A,B,D,H,Q,R) K= s= 1.3066 1.3827 -1.8478 0.4588 0.9239 -0.7654 P= 0.8478 0.4588 0.4588 0.9239

4.5. Sinteza neinteraktivnih sistema. Rasprezanje Kod multivarijabilnih objekata, u opštem slučaju, postoje unakrsne veze između svakog ulaza i svakog izlaza, tj. matrica funkcija prenosa ima sve elemente različite od nule. U procesu regulacije bilo koje izlazne veličine, mora se delovati istovremeno na svim ulazima tako da se obezbedi željeni izlaz, na primer, nepromenljivost svih izlaza osim jednog, koga treba prevesti iz jednog u drugo zadato stanje. To veoma otežava proces sinteze upravljačkog sistema. Sa stanovišta sinteze multivarijabilnih sistema upravljanja, najjednostavniji su oni objekti čija je matrica funkcija prenosa dijagonalna, tj. čiji su svi elementi van glavne dijagonale jednaki nuli. U tom slučaju se kaže da je objekat raspregnut i moguća je potpuno autonomna regulacija bilo kog izlaza, jer ne postoje unakrsne veze. Projektovanje upravljačkog sistema za takve objekte se svodi na projektovanje n skalarnih podsistema. S tim u vezi, postavlja se sledeći problem: može li se uvođenjem odgovarajućih kompenzatora učiniti objekat upravljanja raspregnutim? U opštem slučaju, taj zadatak se ne može u potpunosti rešiti. Postoje različite metode koje omogućavaju potpuno ili delimično rasprezanje. U onim slučajevima kada nije moguće potpuno rasprezanje, teži se da se sistem svede na dijagonalno dominantni sistem. Dijagonalno dominantni sistem je onaj sistem, čiji elementi u glavnoj dijagonali matrice funkcije prenosa dominiraju nad ostalim elementima. Pri tome se koristi pojam dijagonalne dominantnosti nad vrstama ili nad kolonama matrice funkcije prenosa. Sistem se smatra dijagonalno dominantnim nad vrstama (kolonama) ako je, u nekoj oblasti Γ, apsolutna vrednost funkcije prenosa dijagonalnog elementa u posmatranoj vrsti (koloni) veća od sume apsolutnih vrednosti funkcija prenosa elemenata te vrste (kolone), tj. Gii ( s) ≥ ∑ Gij ( s) , ∀s ∈ Γ . n

j =1 j ≠i

116

(4.49)

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja U literaturi je poznato nekoliko metoda za rasprezanje kao što su: metoda Voznesenskog, metoda Boksenboma i Huda, metoda Mejerova, primena kliznih režima. Prve dve metode su u osnovi iste i zasnivaju se na uvođenju dinamičkih kompenzatora uzajamnih sprega. Zadržćemo se samo na metodi Boksenboma. Druge dve metode zasnivaju se na sistemima s velikim koeficijentima pojačanja u petlji. O primeni kliznih režima biće reči u drugom delu ovog kursa. Osim navedenih metoda, koristi se i kombinovani prilaz putem uvođenja dva kompenzatora proporcionalnog tipa. Jedan od njih uvodi povratnu spregu po stanju, a drugi modifikuje ulazni vektor sistema.

4.5.1 Metoda Boksenboma i Huda Proces (objekat) se opisuje relacijama C( s) = G( s)U ( s) ,

[

]

G ( s ) = Gij ( s ) ; i = 1, m; j = 1, r =; Gij ( s ) ≠ 0 ∀i, j .

(4.50)

Treba naći matricu funkcija prenosa kaskadnog kompenzacionog uređaja K(s): U ( s) = K ( s)E( s) , (4.51) gde je E(s) - kompleksni lik vektora signala greške sistema, sl. 4.11, takvu da obezbedi željeno ponašanje izlaza C(s), određeno referentnim ulazom R(s), te da eliminiše unakrsne veze. Očigledno je da će rasprezanje biti ostvareno, ako je matrica W ( s ) = G ( s )K ( s ) (4.52) dijagonalna. Primer 4.12. Objekat je opisan sa

Sl. 4.11. Uvođenje kompenzatora za

G ( s ) G12 ( s )  . G ( s ) =  11  G 21 ( s ) G 22 ( s)

Matrica za rasprezanje je

rasprezanje. Sada je

 K ( s) K 12 ( s)  . K ( s) =  11   K 21 ( s ) K 22 ( s)

 G ( s) K11 ( s ) + G12 ( s ) K 21 ( s ) G11 ( s) K12 ( s ) + G12 ( s ) K 22 ( s)  W( s ) =  11  G21 ( s) K11 ( s ) + G22 ( s ) K 21 ( s ) G21 ( s) K12 ( s ) + G22 ( s ) K 22 ( s)

Iz uslova dijagonalnosti matrice W(s) sledi izbor K 12 ( s ) = −

G12 ( s ) G ( s) K 22 ( s ); K 21 ( s ) = − 21 K 11 ( s ) . G11 ( s ) G22 ( s )

Međutim, ovde su nepoznate K11(s) i K22(s). Njih možemo da biramo tako da funkcije prenosa dijagonalnih članova matrice funkcije prenosa poprime potreban oblik, jer matrica funkcija prenosa kompenzovanog sistema postaje G12 ( s)   0 G11 ( s) K 11 ( s) − G21 ( s) G ( s) K 11 ( s) . 22  W( s ) =  ( ) G s  0 G22 ( s) K 22 ( s) − G12 ( s) 21 K 22 ( s)   G22 ( s)

117

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2 Razlikuju se dva slučaja: (i) kada je isti broj ulaza i izlaza objekta; (ii) kada je broj izlaza manji od broja ulaza. U slučaju manjeg broja ulaza od izlaza nije moguće ostvariti rasprezanje. U slučaju (ii), dodatni ulazi mogu se koristiti za ostvarivanje posebnih osobina sistema. Posmatraćemo samo slučaj (i), pa će, nadalje, matrica funkcija prenosa G(s) biti kvadratna n× n matrica. Iz primera se vidi da je, za rešenje datog zadatka, potrebno obezbediti

∑ Gij ( s) K jl ( s) = 0, n

j =1

i, l = 1, n, i ≠ l.

(4.53)

Ovaj izraz se, primenom Kronekerovog simbola 0, za i ≠ j , δ ij =  1, za i = j može napisati u obliku

∑ Gij ( s) K jl (s) = ∑ δij Gij ( s) K jl ( s), i, l = 1, n . n

n

j =1

j =1

(4.54)

(4.55)

Ako označimo u determinanti matrice funkcija prenosa G(s) algebarsku dopunu elementu Gij(s) sa detGil(s) , doći ćemo do poznate relacije n  0, za j ≠ l , (4.56) ∑ Gij ( s) det G il ( s) = det G ( s), za j = l . j =1  Množeći levu i desnu stranu (4.56) sa detGir i ostvarujući sumiranje po indeksu i, dobija se

∑ ∑ det G ir ( s)Gij ( s) K jl ( s) = ∑ ∑ det G ir ( s)δ ij Gij ( s) K jl ( s). n

n

n

j =1 i =1

n

j =1 j =1

(4.57)

Leva strana ovog izraza može se, iznoseći ispod znaka sume po i množitelja Kjl(s) i uzimajući u obzir (4.56), svesti na oblik

∑ K jl ( s) ∑ det G ir ( s)Gij ( s) = K rl det G( s) . n

n

j =1

i =1

(4.58)

Desna strana (4.57), posle iznošenja ispod znaka sume po i množioca Kjl, zapisuje se u obliku

∑ K jl ( s) ∑ δ il Gij ( s) det G ir ( s) = det G ir ( s) ∑ Gij ( s) K jl ( s) . n

n

n

j =1

i =1

j =1

(4.59)

S obzirom na to da je unutrašnja suma na levoj strani ovog izraza različita od nule samo za i=l, dobija se K rl ( s) det G( s) = det G lr ( s) ∑ Gij ( s) K jl ( s) . n

j =1

(4.60)

U posebnom slučaju, za r=l, dobija se

K ll ( s) det G( s) = det G ll ( s) ∑ Gij ( s) K jl ( s) . n

j =1

118

(4.61)

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja Deleći (4.60) sa (4.61), dobijaju se izrazi za izračunavanje nedijagonalnih elementa kompenzacione matrice za rasprezanje sistema det G lr ( s) (4.62) K ll ( s) . K rl = det G ll ( s) Pošto je izbor dijagonalnih elemenata kompenzacione matrice K(s) proizvoljan, postoji sloboda u njihovom izboru, pa se, pored rasprezanja, može obezbediti ispunjenje i drugih uslova, npr., potreban stepen stabilnosti, željena statička greška, uslov optimalizacije po nekom od kriterijuma kvaliteta i dr. Primer 4.13. Primenimo dobijenu formulu (4.62) na prethodni primer sistema drugog reda. Za r = 1, l = 2 ⇒ G 21 ( s) = −G12 ( s ); G 22 ( s) = G11 ( s) . Za r = 2, l = 1 ⇒ G 12 ( s) = −G21 ( s); G 11 ( s) = G22 ( s) . Stoga je: K 12 ( s ) = −

G (s) G12 ( s ) K 22 ( s); K 21 ( s) = − 21 K 11 ( s ) . G22 ( s ) G11 ( s )

Prema tome, dobijen je isti rezultat kao u prethodnom slučaju. Primer 4.14. Objekat regulacije je opisan matricom funkcija prenosa 1   s+2 1 G(s) = 2 − ( s + 1) s + 1 . s + 4s + 3   Na osnovu rezultata iz prethodnog zadatka sledi: 1 (s + 1) K12 ( s ) = − K 22 ( s ); K 21 = K11 = K11 ( s ) . (s + 1) s+2 Na sl. 4.12. prikazana je strukturna blok-šema objekta s kompenzatorom za rasprezanje, a na slikama 4.13 i 4.14 dati su rezultati simulacije spregnutog i raspregnutog sistema, respektivno. Treba istaći činjenicu da smo ovde izabrali da je K11 = K 22 = 1 . Mogli smo izabrati i Sl. 4.12. Primer objekta s kompenzatorom za rasprezanje. neke druge funkcije prenosa kojima bi uticali na karakter odziva sistema. U tom slučaju, s obzirom na izraze kompenzacionih kanala K12 i K 21 , na njihove ulaze bi se vodili signali s izlaza K 22 i K11 , respektivno. Iz rezultata simulacije se jasno vidi da je ostvareno potpuno rasprezanje objekta i da su elementi kompenzacione matrice fizički ostvarljivi. Ukažimo na činjenicu da ovo nije jedina moguća struktura kompenzatora za rasprezanje. Moguća je, na primer, struktura kao na sl. 4.15, a i druge kombinacije.

119

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

b)

a)

Sl. 4.13. Odziv objekta na odskočne ulazne signale a) u1=h(t),u2=0; b) u1=0; u2=h(t).

b)

a)

Sl. 4.14. Odziv objekta s blokom za rasprezanje na odskočne ulazne signale a)u1=h(t),u2=0; b) u1=0; u2= h(t).

Sl. 4.15. Jedna od mogućih struktura kompenzatora za rasprezanje. Pre nego što pređemo na drugi način sinteze kompenzatora za rasprezanje objekta, navešćemo i primer sistema s tri ulaza i tri izlaza, iz koga se lako uočava da se s porastom broja ulaza i izlaza kompenzator veoma usložnjava. 120

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja Primer 4.15. Neka je dat sistem s tri ulaza i tri izlaza. Tada je

G11 ( s) G12 ( s) G13 ( s)   K11 ( s ) K12 ( s) K13 ( s)  G ( s) = G21 ( s) G22 ( s) G23 ( s); K ( s) =  K 21 ( s) K 22 ( s) K 23 ( s) . G31 ( s) G32 ( s) G33 ( s )  K 31 ( s) K 32 ( s) K 33 ( s) G ( s ) G13 ( s) − 12 G32 ( s ) G33 ( s) [G (s)G33 (s) − G13 (s)G32 (s)] K (s). G K 12 = 21 K 22 = K 22 ( s) = − 12 22 G11 ( s) G13 ( s) G11 ( s)G33 ( s) − G13 ( s)G31 ( s) G 22 G31 ( s ) G33 ( s)

K 21

G = 12 K 11 = G 11

−

G21 ( s ) G23 ( s) G31 ( s) G33 ( s ) G22 ( s) G23 ( s) G32 ( s ) G33 ( s)

K 11 ( s) = −

[G21 (s)G33 (s) − G23 (s)G31 (s)] K G22 ( s)G33 ( s ) − G23 ( s)G32 ( s)

11

(s) .

I td.

Treba istaći da problem nije tako jednostavan kao što se, na prvi pogled, može steći utisak. Osnovni problem može biti problem fizičke realizacije dobijenih kompenzacionih funkcija prenosa. Funkcije prenosa elemenata kompenzacione matrice moraju biti u obliku pravilnih razlomaka a, osim toga, ne smeju se narušiti osobine kontrolabilnosti i opservabilnosti.

4.5.2. Rasprezanje kombinovanim kompenzatorom Drugi prilaz, kao što je rečeno, uvodi kaskadnu proporcionalnu kompenzaciju i proporcionalnu negativnu povratna spregu po stanju, sl. 4.16, tj. upravljanje se definiše kao u = Fr v − K r x . (4.63) Izborom matrica Kr i Fr obezbeđuje se da matrica funkcija prenosa sistema G ( s ) = D[ sI − A + BK r ]−1 BFr . (4.64) dobije dijagonalni oblik.

Sl. 4.16. Struktura sistema s kombinovanim kompenzatorom za rasprezanje. E T = [E1

... E m ]

Ovo je moguće samo u slučaju ako je matrica E2

(4.65)

nesingularna. Njeni elementi se određuju na osnovu relacije E i = d i A pi B; i = 1, m , gde su: d i − i − ta vrsta matrice D,

{

}

min j , pri kome je d i A j B ≠ 0, j = 0, n − 1 ; pi =   n − 1, ako je d i A j B = 0, za ∀j.

(4.66)

(4.67) 121

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2 Ako je prethodni uslov ispunjen, matrice kompenzatora su: Fr = E −1 ,

 d1A p1 +1    d 2 A p2 +1   K r = Fr .  ...    pm +1 d m A  Primer 4.16. Objekat upravljanja je opisan sa

(4.68)

(4.69)

 0 2 0 1 0 1 0 0   A =  0 0 4; B = 0 1; D =  .  0 1 0 - 2 2 3 1 1 Lako se može proveriti, prevođenjem sistema u dijagonalni oblik ili nalaženjem matrice funkcija prenosa, da je dati sistem spregnut Primenom izložene procedure imamo: j = 0 ⇒ d1 A 0 B = d1B = [1 0] ≠ 0 ⇒ p1 = 0; d 2 A 0 B = d 2 B = [0 1] ≠ 0 ⇒ p2 = 0.

 d A p1 B   d IB  1 0 −1 E= 1 p = 1 = ; Fr = E = I; d 2 A 2 B d 2 IB 0 1

 d A p1 +1  0 2 0 K r = Fr  1 p +1  =  . 2  0 0 4 d 2 A

 s −1 0  −1 W ( s ) = D[sI − A + BK r ] BFr =  . −1  0 s  Iz poslednje matrice funkcija prenosa vidi se da je sistem raspregnut. Ovde treba istaći da metoda uvek dovodi do rasprezanja u kaskadu čistih integratora, što bi se moglo ubrojati u njen nedostatak, jer objekti upravljanja sačinjeni od kaskade integratora dovode do strukturno nestabilnih sistema. Ali to je poseban problem koji se može uspešno razrešiti uvođenjem dodatne povratne sprege po stanju, odnosno primenom odgovarajućih tehnika upravljanja. Napomena 4.3: Istaknimo, takođe, da je polazni sistem trećeg reda. Posle rasprezanja smo dobili sistem drugog reda. To je zbog toga što je razmatrani sistem postao nepotpuno observabilan posle uvođenja povratne sprege po stanju. Isto bi se dogodilo ako bi sistem bio nepotpuno kontrolabilan.

4.6 Opserveri. Sinteza opservera Za sintezu visokokvalitetnih SAU od izuzetne važnosti je poznavanje svih koordinata stanja objekta. Kako one, u opštem slučaju, nisu dostupne za neposredno merenje, potrebno je ustanoviti mogućnosti i načine rekonstrukcije (estimacije) stanja na bazi informacije o dostupnim signalima s objekta. Ranije je istaknuto da ako sistem poseduje osobinu opservabilnosti, tada se na bazi merenja izlaza sistema u konačnom vremenskom intervalu, može rekonstruisati 122

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja stanje sistema na početku tog intervala. Međutim, nas zanima ne samo mogućnost off-line merenja koordinata stanja već mogućnost on-line6 merenja, tj. merenja koje će obezbediti kvalitetnu (dovoljno brzu i dovoljno tačnu) informaciju za upravljanje objektom u petlji povratne sprege. Dalje ćemo pretpostavljati da je uslov opservabilnosti objekta ispunjen. Na objektu, pored izlaznih signala, mogu se neposredno meriti i ulazni signali, koji dolaze iz upravljačkog uređaja. Znajući matematički model objekta i njegove parametre, mogli bi da formiramo model objekta analognim operacionim elementima ili programski (digitalnim računarskim elementima), tako da za poznati ulaz objekta, koji istovremeno uvodimo u model, dobijamo u svakom vremenskom trenutku koordinate stanja. Međutim, takav prilaz je nerealan, jer na ulazima objekta, osim signala upravljanja koje generiše upravljački uređaj, deluju i poremećaji, koji, u opštem slučaju, nisu dostupni za merenje. Osim toga, postoji i problem početnih uslova. Naime, i kad ne bi postojali poremećaji, zbog nepoznavanja početnih uslova objekta, odnosno zbog razlike u početnim uslovima objekta i modela, navedeni prilaz nije primenjiv u praksi. U cilju rešenja ovih problema Luenberger (1968.) je došao na ideju da se posluži povratnom spregom koja će delovati na ulaz modela, zajedno s upravljanjem, radi dobiSl. 4.17. Blok-šema sistema upravljanja s povratnom janja, nakon dovoljno spregom po stanju ostvarenom pomoću opservera. kratkog vremenskog intervala, što manje razlike između izlaza objekta i njegovog modela. Takva konfiguracija dodatnog dinamičkog sistema, koja uključuje model objekta i povratnu spregu po signalu razlike izlaza objekta i modela, naziva se opserver. Na sl. 4.17 prikazana je blok-šema objekta s opserverom i povratnom sprgom po stanju opsercera prema upravo opisanom prilazu. Na osnovu sl. 4.17, mogu se napisati sledeće očigledne relacije7:

6

Engleski termin off-line označava da se naznačeni proces odvija bez povretne sprege, tj. dobijeni rezultati se ne koriste neposredno za formiranje upravljanja, dok termin on-line ima suprotno značenje - naznačeni proces se koristi za formiranje upravljanja, tj. za upravljanje u zatvorenoj petlji povratne sprege, odnosno za upravljanje u tzv. realnom vremenu. 7 Blokovi i signali označeni isprekidanim linijama na sl. 4.17 se ne uzimaju u obzir za dati model. Njihovo eventualno prisustvo u razmatranom sistemu biće objašnjeno na kraju ovog odeljka.

123

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

x& = Ax + Bu,

c = Dx, za objekat i xˆ& = Axˆ + Bu + B c (c − cˆ ) = Axˆ + Bu + B c D(x − xˆ ),

(4.70)

(4.71) cˆ = Dxˆ , za opserver, gde su sa x i c , odnosno sa xˆ i cˆ označene koordinate stanja i izlazi objekta, odnosno opservera, respektivno. Ako definišemo grešku opservacije kao e = x − xˆ ⇒ e& = x& − x&ˆ , (4.72) pa u izraz za diferencijal signala greške uvrstimo prve relacije iz (4.70) i (4.71) dobićemo relaciju e& = ( A − B c D)e ⇒ e& = A o e , (4.73) koja predstavlja diferencijalnu jednačinu sistema po signalu greške opservacije. Ako je ona stabilna, tada će stanje opservera asimptotski težiti stanju objekta. Izborom matrice povratne sprege Bc, može se učiniti da brzina konvergencije bude proizvoljno velika. Naravno, u praksi je dovoljno da sopstvene vrednosti matrice Ao budu dva do četiri [3] pa i do šest puta [5]8 levlje od sopstvenih vrednosti projektovanog sistema s povratnom spregom. Podešavanje sopstvenih vrednosti opservera se svodi na problem podešavanja spektra polova u sistemu s povratnom spregom po stanju, koji je već razmatran. Pošto su koordinate stanja opservera dostupne za neposredno merenje, a one dovoljno brzo postaju bliske koordinatama stanja objekta, tada se na osnovu njih može konstruisati sistem s povratnom spregom po stanju. Pretpostavljajući da je matrica povratne sprege po stanju K realna matrica, posmatrani dinamički sistem je reda 2n (gde je n -red objekta). Problem je olakšan time što se sopstvene vrednosti opservera i sistema s povratnom spregom po stanju mogu birati nezavisno. Ovo je posledica principa separacije, koji ćemo sada pokazati [1]. Matematički model sistema s povratnom spregom po stanju opservera je − BK   x  B  x&   A (4.74) xˆ&  = B D A − BK − B D xˆ  + B r . c        c Kao što je poznato, linearna transformacija ne menja sopstvene vrednosti sistema. Ako na (4.74) primenimo transformaciju koordinata stanja oblika −1  x  I 0   x   x  I 0   x  I 0   x  (4.75)  xˆ  = I − I  xˆ  ⇒ xˆ  = I − I   xˆ  = I − I   xˆ  ,               dobija se:

8

S obzirom da opserver ima ulogu mernog elementa nedostajućih koordinata stanja objekta, poželjno je da njegova inercija bude značajno manja od inercije objekta. S tog stanovišta, spektar polova opservera treba birati da bude nekoliko puta levlje od spektra polova opserviranog objekta.

124

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja

− BK  x&  I 0   A  I 0   x  I 0  B  & =      r , (4.76)   +    xˆ  I − I  B c D A − BK − B c D I − I   xˆ  I − I  B  što, posle množenja, daje − BK   x  B   x&   A − BK ~ ~ x + Br . +  r = A~ (4.77) & =     ˆ 0 A B D − ˆ x 0 x c        Sopstvene vrednosti (4.77), odnosno (4.74) se dobijaju iz karakterističnog polinoma det[ sI − A] = det( sI − A + BK ) det( sI − A + B c D) = ∆( s )∆ o ( s ) , gde je ∆(s) - karakteristični polinom sistema bez opservera, a ∆o(s) - karakteristični polinom opservera. Na taj način, pokazano je da se sopstvene vrednosti opservera i sistema mogu birati nezavisno, odnosno separatno. S obzirom na izloženo, za projektovanje opservera koristi se (4.73) i metoda podešenja spektra polova, primenom povratne sprege po izlazu opservera, putem izbora matrice B c . Polazeći od uslova det[ sI − A o ] = 0 ⇒ det[ sI − A + B c D] = 0 ⇒ det[ sI − A ] det[I + D[ sI − A]−1 B c ] = 0 ⇒ det[ sI − A] = 0

ili

(4.78)

det[I + D[ sI − A]−1 B c ] ⇒ det[I + DΦ( s )B c ] = 0 ⇒ det[I + F( s )B c ] = 0, poslednji izraz može se napisati u obliku skalarnih relacija, zahtevajući da jedna (bilo koja) vrsta determinante bude jednaka nuli, tj.

e iT + f iT B c = 0 T . (4.79) S obzirom na to da je matrica Bc dimenzija n×m, samo (4.79) nije dovoljna za nalaženje te matrice. Definišimo novu n×n matricu Gc, čije su vrste nezavisni vektori f iT ( sk ) . Tada se prethodna relacija svodi na oblik G c B c = −E c , (4.80) gde je Ec - n×m matrica čije su vrste ortovi e iT . Tada je rešenje dato u obliku

B c = − G c−1E c .

(4.81)

Primer 4.17. Dat je sistem opisan sa

− 2 1 0 0 0  0 0 1  A =  0 − 2 0, B = 0 1, D =  , 1 0 0   0 1 0 0 4 za koga treba projektovati opserver identiteta (Luenbergerov potpuni opserver). Lako se proverava da je sistem potpuno opservabilan. Sopstvene vrednosti polaznog sistema su: det[sI − A ] = 0 ⇒ s1 = −2, s 2 = −2, s3 = 4 . S obzirom na preporuke izabraćemo sledeće polove opservera: so1 = −6, so 2 = −6, so3 = −10.

125

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2 Postupak projektovanja se svodi na izbor matrice povratne sprege Bc, koja će obezbediti podešavanje spektra polova opservera, a čiji elementi su dati relacijom (4.81). Najpre, odredimo kompleksni lik fundamentalne matrice modela opservera  1  ( s + 2)  adj[sI − A ]  0 = Φ (s) = det[sI − A ]    0 

 1  ( s + 2)  0 0 1   0 DΦ ( s ) =    1 0 0    0 

1

( s + 2) 2 1 ( s + 2) 0

1

( s + 2) 2 1 ( s + 2) 0

   0 =  1   ( s − 4)  0

   0 .  1   ( s − 4)  0

  0   1  ( s + 2)

0 1

( s + 2) 2

1  ( s − 4)  f1T ( s ) . = T  0  f 2 ( s )  

Izaberimo kao nezavisne vektore-vrste f1T ( s1o ), f 2T ( s 2o ), f 2T ( s 3o ) . Tada matrica Gc postaje 1  0 0 −   f1T ( s1o )   10 4 − 16   0 1 0     1 1 0  ⇒ G c−1 =  0 32 − 64, ⇒ E c = 0 1 ⇒ G c = f 2T ( s 2o ) = −  f T ( s )   41 16 − 10 0 0 1 0  1  2 3o   − 0   8 64   0 12  −1 B c = −G c E c =  0 32 . 10 0  Neposrednom proverom dobijamo: 0 − 2 1 0  0 12   − 14 1  0 0 1       A o = A − B c D =  0 − 2 0 −  0 32   = − 32 − 2 0  . 1 0 0   0  0 0 4 10 0   0 − 6  0   s + 14 − 1  s+2 det[sI − A o ] = det  32 0  = ( s + 6)( s 2 + 16s + 60) =  0 s + 6 0

( s + 6) 2 ( s + 10). Prema tome, polovi opservera imaju tražene vrednosti i postupak je sproveden korektno.

U opštijem slučaju sistem (4.70) može imati oblik x& = Ax + Bu,

(4.82) c = Dx + Hu. Tada se projektovanje opservera samo neznatno modifikuje. Naime, s obzirom na to da sada izlaz sistema sadrži dodatnu aditivnu komponentu Hu koja, posredstvom povratne sprege po grešci opservacije, dolazi na ulaz opservera kao 126

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja dodatni član BcHu, njegov uticaj na opserver stanja može se eliminisati tako što se direktno na ulaz opservera, s ulaza objekta, osim signala Bu dovodi i signal BcHu, koji je na sl. 4.17 dat isprekidanim linijama. Dati opserver se često naziva potpunim opserverom, opserverom identiteta ili Luenbergerovim opserverom identiteta. U realnom sistemu neke koordinate stanja mogu biti neposredno merljive pa nije potrebno konstruisati opserver za sve koordinate stanja, već samo za one nemerljive. Takav opserver se naziva nepotpunim ili redukovanim opserverom. Međutim, u praksi se češće koristi potpuni opserver, čak i kad su neke koordinate stanja merljive, jer je celi sistem manje osetljiv na uvek prisutne smetnje ili šumove. Drugim rečima, potpuni opserver ima sposobnost filtriranja šumova. Kasnije ćemo, u drugom delu ove knjige, ukazati na veoma delotvornu primenu opservera u realizaciji sistema upravljanja promenljiive strukture s kliznim radnim režimima radi filtracije inherentno prisutnih visokofrekvencijskih signala. Analizirani opserver ima jedan suštinski nedostatak, koji se ogleda u tome da sistem s njim poseduje statičku grešku, ako je poremećaj koji deluje na objekat upravljanja sporopromenljiva veličina i nije dostupna za merenje. Ovu negativnu osobinu možemo objasniti na sledeći način: neka na sl. 4.17 poremećaj vrednosti p(t) deluje na izlaz objekta, na mestu delovanja signala Hu. Tada će se to delovanje pojaviti kao poremećaj, koji se prenosi na ulaz opservera kao signal Bcp. On dovodi do pojave dodatne komponente izlaznog signala opservera ali, s obzirom da dati opserver ima osobinu statičkog sistema, izlaz opservera odstupaće od izlaza objekta. Zaista, jednačina sistema po signalu opservacije eˆ (t ) u kompleksnom domenu je ˆ ( s ) = [I + D( sI − A ) −1 B ]−1 P ( s ) . E (4.83) c

Ako je p(t) sporopromenljivi ili konstantni poremećaj, a s obzirom da opserver ne poseduje astatizam, signal greške opservacije imaće konačnu vrednost eˆ (∞) = [I + D(− A) −1 B c ]−1 P(0) , (4.84) gde je P(0) vrednost kompleksnog lika poremećaja za s=0. U cilju eliminacije ovog nedostatka, u kolo signala greške opservacije eˆ (t ) unosi se integrator, u sastavu matrice Bc, koji uvodi astatizam u opserver i teorijski svodi grešku opservacije na nulu. Navedeni postupak sinteze opservera je opšti i predstavlja praktični interes kao metoda pogodna za multivarijabilne sisteme. U inženjerskoj praksi, izbor strukture i parametara opservera može se modifikovati, što ćemo prikazati na primeru opservacije ubrzanja motora jednosmerne struje. Primer 4.18. Za regulaciju brzine obrtanja radnog mehanizama primenjen je motor jednosmerne struje s nezavisnom pobudom, s dω Rr (i − i ), = ugrađenim tahogeneratorom i PI regulator om dt cTm r o podešenim na tehnički optimum. Treba projek- di 1 1 c r u, (4.85) = − ir − ω+ tovati potpuni opserver za estimaciju ubrzanja. Matematički model motora dat je izrazom (4.85).

c = [ω ir ] . dt

Tr

Rr Tr

Rr Tr

T

127

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

Sl. 4.18. Strukturna blok-šema DC motora s opserverom identiteta.

S obzirom da su na motoru dostupni za merenje brzina i struja rotora iskoristićemo oba ova izlaza. Strukturni blokdijagram motora s opserverom prikazan je na sl. 4.18. S obzirom da je u ustaljenom & = 0 , tada je stanju ω i r = io = M / c , pa struja rotora može služiti kao mera mehaničkog opterećenja u ustaljenom stanju i kao takva je uvedena u opserver, čime se eliminiše potreba za primenom proširenog opservera.

a)

b)

c)

d)

Sl. 4.19 Rezultati simulacije odziva motora i njegovog opservera kada na motor deluje odskočni signal 5 V u trenutku t=0 i opterećenje od 1,5 Nm, od trenutka t1 =0,15 s: a) sistem bez kompenzacije opterećenja b) sistem s kompenzacijom opterećenja, c) signal greške po brzini e(t) bez kompenzacije opterećenja; d) signal greške po ubrzanju s kompenzacijom opterećenja ki=1, kω=4.

128

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja Matematički model opservera je ˆ R dω ˆ ), = r (iˆr − iˆo ) + k ω (ω − ω dt cTm diˆr c 1 1 ˆr + = − iˆ − ω u + ki (ir − iˆr ), dt Tr Rr Tr Rr Tr

[

]

(4.86)

T ˆ iˆr . cˆ = ω

Prema tome, potrebno je izabrati koeficijente kω , ki tako da polovi opservera zadovolje postavljene uslove. Neka su parametri motora: Rr = 1 Ω, Tr = 5 ms, Tm = 30 ms, c = 0,333 . Tada je funkcija povratnog prenosa (nula PI regulatora skraćuje veću vremensku konstant motora - mehaničku vremensku konstantu motora). 20000 . W pm ( s ) = s ( s + 200) Za ki =1 i kω=4, realni delovi polova opservera su -400, što znaci da su osam puta levlje od polova spregnutog sistema, odnosno cetiri puta levlje od realnog dela polova objekta (motora). Na sl. 4.19 prikazan je rezultat simulacije za date koeficijente povratne sprege. Iz rezultata simulacije vidi se da greška opservacije u ustaljenom stanju postaje jednaka nuli, a da u prelaznim režimima postoje odstupanja.Takođe, zapaža se da, bez obzira na različite početne uslove, opserver uspeva da stigne da prati stanje objekta.

LITERATURA , А. А.: У ,1979. , А. А: В ,1984.

[1]

В

[2]

В

[3]

Stojić, R. M.: Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, »Nauka«, Beograd, 1996. «

[6]

,

, «

»,

, «

»,

щ , В. И.: С », , 1981.

[4]

[5]

,

.

Franklin, G. F., Powel, J. D., Emami-Naeni, A.: Feedback Control of Dynamic Systems, Addison-Wesley Publishing Comp., 1986. Kuo, B. C.: Automatic Control Systems, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ., 1982. , . В.: С , . В.: », , 1986.

ее ее

[7] [8] «

,«

»,

, 1964. ,

Ćalasan, L., Petkovska, M.: MATLAB i dodatni moduli Control Systems Toolbox i SIMULINK, »Mikro knjiga«, Beograd, 1994. [10] Y. J. Huang, T. C. Kuo: “A state tracking control algorithm with pole assignment”, Electrical Engineering 85 (2003) 267-273, Springer Verlag

[9]

[11] Р

е

е , . .: А

,«

»,

, 1978.

129

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

Pitanja za samoproveru 1.

2. 3. 4. 5. 6.

7.

8. 9. 10.

11.

12.

13.

14.

15.

130

Za stabilizaciju sistema, odnosno za promenu njegovih dinamičkih karakteristika može se koristiti povratna sprege po ____________ ili povratna sprega po ___________. Povratna sprega po stanju menja/ne menja uslove kontrolabilnosti sistema. Zaokružite pretpostavljeni odgovor. Povratna sprega po stanju menja/ne menja uslove opservabilnosti sistema. Zaokružite pretpostavljeni odgovor. Povratna sprega po izlazu menja/ne menja uslove kontrolabilnosti sistema. Zaokružite pretpostavljeni odgovor. Povratna sprega po izlazu menja/ne menja uslove opservabilnosti sistema. Zaokružite pretpostavljeni odgovor. Ako je sistem potpuno kontrolabilan on se može svesti na kanoničku kontrolabilnu formu primenom transformacione matrice: T= Vektor povratne sprege po stanju sistema sa skalarnim upravljanjem koji je sveden na kanoničku kontrolabilnu formu dobija se po formuli: k=___________________, gde su: a = [ ] -____________________ _____________________________________, a = [ ] - ____________ ______________________________________. Projektovanje povratne sprege po stanju sistema sa vektorskim upravljanjem može se svesti na projektovanje sistema sa skalarnim upravljanjem na dva načina, i to: 1.________________________________; 2. ____________________________ ___________________________________. Akermanova formula se primenjuje za projektovanje ______________________ _______________________ . Ona ima oblik ___________________________, gde su: e - __________________, Mc - ____________________, D(A) _______ _________________________. Matrica povratne sprege po stanju sistema sa vektorskim upravljanjem dobija se na osnovu izraza: ___________________________________, gde su: e - ______ _________________________, fi (sj)- __________________________________ Kriterijum optimalnosti pri projektovanju Kalmanovog regulatora izražava se relacijom: _________________________________, gde su Q - _____________ ____________________________, R- __________________________________. Rikatijeva algebarska jednačina je data izrazom ___________________________ gde su: ___________________________________________________________ __________________________________________________________________ Matrica povratne sprege po stanju sistema sa Kalmanovim regulatorom je data izrazom: _________________________, gde su ___________________________ ________________________________________________________________, Sistem sa Kalmanovim regulatorom biće stabilan ako je par ___________ opservabilan, gde je S=____________________________________________.

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja 16.

17.

18. 19. 20. 21.

MATLAB naredba za sračunavanje matrice povratne sprege po stanju sistema sa Kalmanovim regulatorom je: ____________________, gde su: ______________ ________________________________________________________________. MATLAB naredba za projektovanje povratne sprege po stanju radi dobijanja željenog spektra sopstvenih vrednosti je data izrazom: _____________________, gde su:___________________________________________________________. Za rasprezanje dinamičkog sistema koriste se metode: _____________________ _________________________________________________________________. Kombinovana metoda rasprezanja uvek dovodi do sistema od niza ____________ ___________________. Sopstvene vrednosti opservera treba da budu ________________ levlje od _____ _______________________________________. Posebna odlika sistema sa opserverom je što se sopstvene vrednosti opservera mogu podešavati ___________________ od sopstvenih vrednosti sistema sa povratnom spregom po stanju.

Zadaci za vežbu Zadatak 1. Sistem je opisan modelom: x& = Ax + Bu; c = Dx; A ∈ ℜ3×3 ; B ∈ ℜ3×2 ; D ∈ ℜ1×3 ; x ∈ ℜ3 ; u ∈ ℜ 2 ; c ∈ ℜ1 . 1. Projektovati povratnu spregu po stanju sistema primenom: ) metode projektovanja sistema sa skalarnim upravljanjem na bazi kanoničkog kontrolabilnog modela ) Akermanove formule; ) metode projektovanja sistema sa vektorskim upravljanjem, tako da sistem ima zadati spektar sopstvenih vrednosti (polova) {s1 , s2 , s3 } . 2. Nakon projektovanja prevesti modele projektovanih sistema u s - domen, nacrtati simulacione dijagrame i strukturne blok-šeme i komentarisati dobijene rezultate u pogledu kontrolabilnosti, opservabilnosti i neminimalno faznosti. Parametri sistema i elementi sopstvenih vrednosti dati su u tabeli 1. е 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 0 2 0 1 0 0 1 11 1 0 2 0 8 1 1 0 0 2 0 1 0 1 0 4 0 1 0 13 0 0 0 0 1 4 1 1 1 21 0 1 0 1 4 3 1 0 0 22 1 -5 4 2 0 2 0 0 0 23 -1 0 -2 0 -1 -2 -2 2 -1 31 -2 -2 2 1 0 0 -4 4 -4 32 -3 0 3 5 -10 -4 -8 8 -6 33 b11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b12 0 0 0 0 0 0 0 0 0

131

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2 b21 b22 b31 b32 d1 d2 d3 s1 s2 s2

0 1 1 1 1 0 0 -1 -2 -4

0 1 1 1 1 0 0 -1 -3 -5

0 1 1 1 1 0 0 -5 -4 -2

0 1 1 1 1 0 0 -1 -4 -6

0 1 1 1 1 0 1 -2 -8 -4

0 1 1 1 1 0 0 -1 -6 -2

0 1 1 1 1 0 1 -3 -5 -4

0 1 1 1 1 0 0 -4 -8 -5

0 1 1 1 1 0 1 -8 -1 -10

2. Sistem je opisan modelom: x& = Ax + Bu; c = Dx; A ∈ ℜ 2×2 ; B ∈ ℜ 2×2 ; D ∈ ℜ1×2 ; x ∈ ℜ 2 ; u ∈ ℜ 2 ; c ∈ ℜ1 . Parametri sistema dati su u tabeli 1. Projektovati linearni kvadratni (Kalmanov) regulator koji će minimalizovati kriterijum kvaliteta J =

∫ 0 (x ∞

T

Qx + u T Ru)dt ; Q = [1,0;0,9]; R = [1,0;0,1].

3. Sistem je opisan modelom: x& = Ax + Bu; c = Dx; A ∈ ℜ 3×3 ; B ∈ ℜ 3×2 ; D ∈ ℜ 2×3 ; x ∈ ℜ 3 ; u ∈ ℜ 2 ; c ∈ ℜ 2 . Parametri matrica A i B su dati u tabeli 1, a matrica D = [1,0,0;0,1,0]. a) Projektovati opserver tako da sopstvene vrednosti opservera budu dva puta levlje od sopstvenih vrednosti sistema sa povratnom spregom po stanju, datih u tabeli 1.. b) Simulirati sistem sa opserverom i projektovanom (u zadatku 1) povratnom spregom po stanju pri delovanju Hevisajdovog signala pojedinačno na ulazima, sa nultim i nenultim početnim uslovima. 4. Sistem je opisan modelom: x& = Ax + Bu; c = Dx; A ∈ ℜ 3×3 ; B ∈ ℜ 3×2 ; D ∈ ℜ 2×3 ; x ∈ ℜ 3 ; u ∈ ℜ 2 ; c ∈ ℜ 2 . D = [1,0,0;0,1,0] . Parametri matrica A i B su dati u tabeli 1. Projektovati kompenzator a) metodom Boksenboma i Huda i b) kombinovanim kompenzatorom, koji će izvršiti rasprezanje sistema.

132

Glava 5: Uvod u nelinearne SAU 133

133

5.1

Uvod

5. 2

Strukturna blok-šema nelinearnih SAU

5.3

Tipične nelinearnosti i njihove karakteristike

5.4

Matematički modeli nelinearnih elemenata

5. 5

Linearizacija nelinearnih elemenata

5.5.1 Satička linearizacija

138

5.5.2 Diferencijalna linearizacija 5.5.3 harmonijska linearizacija 5.5.4 Stohastička linearizacija Literatura

141

Pitanja za samoproveru Zadaci za vežbu

142

134

138

135

137

138

138

139

141

a

Glava 5. UVOD U NELINEARNE SAU 5. 1 UVOD U kursu TAU-1 i u prvom delu ove knjige razmatrani su linearni SAU, njihovo matematičko modelovanje, analiza prelaznih procesa, ustaljenog stanja i stabilnosti, kriterijumi kvaliteta i metode projektovanja korišćenjem dva prilaza. Prvi se zasnivao na matematičkom modelu sistema u obliku funkcije prenosa ili modelu ulaz-izlaz. Drugi koristi koncept prostora stanja. Kod prvog prilaza je dominirao algebarski, odnosno frekvencijski domen, a u drugom - diferencijalne jednačine i vremenski domen. Oba se mogu ravnopravno koristiti, mada je prvi pogodniji za sisteme s jednim ulazom i jednim izlazom, a drugi - za multivarijabilne sisteme. Često se u analizi sistema koriste oba prilaza, jer se neke osobine lakše sagledavaju u frekvencijskom, a druge - u vremenskom domenu. Prostor posvećen linearnim sistemima (TAU-1 i prvi deo ove knjige zajedno uzeti) po obimu značajno prevazilazi drugi deo ove knjige, u kome se obrađuju nelinearni SAU. U praksi, rigorozno posmatrano, linearni sistemi su retki. Kako reče Cipkin [1] “Linearni sistemi su samo malo ostrvce u beskrajnom okeanu nelinearnih sistema”. Polazeći od te činjenice, prirodno bi bilo da se teoriji nelinearnih SAU posveti osnovna pažnja, a da se linearni sistemi posmatraju kao njihov parcijalan slučaj. Odomaćena suprotna praksa ima opravdanja. Najpre, teorija SAU kao nauka o dinamičkim sistemima ima svoj istorijski razvoj. Prirodno je da se razvoj nauke, pa i proces učenja, odvija po spirali, na čijem se polazištu nalaze rešenja najprostijih problema. Zatim, mnogi nelinearni SAU se mogu linearizovati u okolini ravnotežnog stanja i posmatrati kao linearni, što se najčešće i koristi kao prva etapa analize, te se mnoge metode, razvijene za analizu linearnih, mogu, uz izvesnu modifikaciju, primenjivati i za analizu nelinearnih SAU. Najzad, terminologija razvijena u teoriji linearnih SAU koristi se i za nelinearne SAU, uz razumljivu dogradnju. Tako, na primer,

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2 funkcija prenosa za nelinearne sisteme nema smisla ali se u terminološkom smislu koristi u praksi. S obzirom na to da su nelinearni sistemi “beskrajan okean” ne može se očekivati da teorija nelinearnih SAU bude konačno oformljena naučna oblast, kao što je to teorija linearnih SAU. Osnovna, dominantna razlika između linearnih i nelinearnih SAU je u korišćenju principa superpozicije. On se obilato koristi u teoriji linearnih, a neprimenljiv je u teoriji nelinearnih SAU. Do danas su razvijene mnoge metode za analizu nelinearnih sistema. Neke od njih imaju širi značaj, druge služe samo za rešavanje parcijalnih problema. Univerzitetski kursevi su obično posvećeni onim problemima koji se najčešće susreću u inženjerskoj praksi i baza su za dalje praćenje literature.

5. 2 Strukturna blok-šema nelinearnih SAU Kao što je u uvodu rečeno, beskrajne su mogućnosti kombinacije različitih nelinearnih elemenata u SAU. Pokušaj da se sistematizuju svi u praksi mogući slučajevi je unapred osuđen na neuspeh. Pojedini autori navode nekoliko tipičnih, najčešće sretanih konfiguracija. Tako Besekerskij V. A. i Popov E. P. [3] izdvajaju dve klase nelinearnih sistema. U prvu svrstavaju sisteme s jednim ili dva nelinearna elementa čiji izlazi su eksplicitna ili implicitna funkcija ulaznog ili izlaznog signala i njihovih diferencijala. Sistemi iz ove klase se u krajnjoj liniji svode na tzv. osnovnu strukturu, sl. 5.1, koja, pored detektora signala greške, sadrži samo dva elementa: nelinearni (NE) i linearni LE) element. Na primer, sistem čija je strukturna blokšema prikazana na sl. 5.2a se lako svodi na osnovnu strukturu, sl. 5.2c, nakon očiglednih transformacija, sl. 5.2b. Pri tome, treba istaći, dobijena struktura sadrži ulazne i izlazne elemente van osnovne petlje, kojih nema u osnovnoj strukturi, sl. 5.1a. Međutim, ti elementi nemaju uticaj na osobine sistema u Sl. 5.1. Strukturna blok-šema (a) i graf pogledu stabilnosti (ako su stabilni) kao toka signala (b) nelinearnog sistema. najvažnijoj karakteristici SAU. Tako u strukturi (c) ispred detektora signala greške je linearni element G1(s) koji samo transformiše ulazni signal, a na izlazu imamo takođe linearni element [G1 ( s ) + G4 ( s )]−1 koji nema uticaja na stabilnost osnovne petlje povratne sprege, pod pretpostavkom da je sam stabilan. Dati postupak za sisteme s jednim NE je opšti, tj.: Bilo koji nelinearni SAU s jednom nelinearnošću može se uvek svesti na osnovnu strukturu s jednim nelinearnim i jednim linearnim elementom obuhvaćenih povratnom spregom. U drugu klasu nelinearnih sistema Besekrskij i Popov svrstavaju sisteme s proizvoljnim brojem nelinearnih elemenata, čiji izlazi zavise od različitih 134

Glava 5.: Uvod u nelinearne SAU promenljivih sistema povezanih linearnim ili nelinearnim diferencijalnim jednačinama. U ovu klasu oni ubrajaju i sisteme s logičkim elementima. Mi ćemo se, dalje, ograničiti na nelinearne sisteme koji se mogu svesti na osnovnu strukturu.

Sl. 5.2. Prikaz svođenja složenog nelinearnog sistema na osnovnu strukturu.

5.3 Tipične nelinearnosti i njihove karakteristike Mnoštvo nelinearnih elemenata korišćenih u SAU mogu se klasifikovati po različitim kriterijumima. Najpre, možemo da govorimo o prirodnim i veštačkim nelinearnostima. Prirodne su one koje su neminovno prisutne u osnovnim elementima sistema: objektima regulacije, izvršnim organima, mernim elementima, pojačavačima. Na sl. 5.3 dati su primeri karakteristika pojačavača sa zasićenjem(a) i motora (b) koji ima mrtvu zonu, usled Kulonovog trenja, i zasićenje, usled nemogućnosti da se napaja naponom (strujom) iznad dozvoljene ili raspoložive vrednosti. Veštačke nelinearnosti se namerno unose radi postizanja željenih karakteristika sistema kao što su: ekonomičnost, brzina reagovanja, pouzdanost itd. Veštačke nelinearnosti se, obično, pridodaju upravljačkom sistemu - regulatoru. Na primer, u sistemima za regulaciju temperature

a) b) Sl. 5.3. Prirodne statičke karakteristike pojačavača (a) i motora (b).

Sl. 5.4. Statička karakteristika bimetalnog relea kao veštačka nelinearnost uneta u sistem. 135

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2 pećnica, tostera i pegli koristi se bimetalni rele, a kod bojlera, frižidera i zamrzivača - kapilarni termoregulatori kao najjednostavnija i najekonomičnija rešenja. Njihove statičke karakteristike imaju oblik kao na sl. 5.4. S druge strane, nelinearne karakteristike se mogu klasifikovati na jednoznačne i višeznačne. Jednoznačne karakteristike, za određeni ulazni signal, imaju uvek tačno definisani, jedinstveni izlazni signal. Višeznačne nelinearnosti imaju izlazni signal koji zavisi i od znaka promene ulaznog signala. Karekteristike na sl. 5.3 su jednoznačne, dok je karakarakteristika na sl. 5.4 višeznačna. Treći pravac klasifikacije se odnosi na mogućnost linearizacije nelinearnih karakteristika. S tog stanovišta razlikujemo nesuštinske i suštinske nelinearnosti. Prve se mogu linearizovati postupkom diferencijalne linearizacije u mirnoj radnoj tački, dok druge takvu vrstu linearizacije ne dopuštaju. Na primer, karakteristike na sl. 5.3 su nesuštinske nelinearnosti dok je karakteristika na sl. 5.4 suštinska nelinearnost. Višeznačne nelinearnosti mogu imati pozitivan ili negativan histerezis, sl. 5.5a i b, respektivno. Dalje, možemo govoriti o tipičnim i netipičnim nelinearnostima. Tipične nelinearnosti su one koje se često susreću u elementima sistema upravljanja kao njihove a) b) prirodne karakteristike. Netipične Sl. 5.5. Nelinearna karakteristika s pozitivnelinearnosti se susreću retko i nim (a) i s negativnim (b) histerezisom. najčešće kao veštačke karakteristike pomoću kojih se sistemu pridaju željene osobine.

a)

b)

d)

c)

e)

Sl. 5.6. Tipične jednoznačne karakteristike: a) pojačavača sa zasićenjem, b) pojačavača s mrtvom zonom, c) pojačavača s mrtvom zonom i zasićenjem, d) u = e 2 sgn(e) e), u =

136

e sgn(e) .

Glava 5.: Uvod u nelinearne SAU Tipične nelinearnosti su: karakteristika pojačavača sa zasićenjem (limiter), sl. 5.6a; karakteristika pojačavača s mrtvom zonom (engl. dead zone), sl. 5.6b; pojačavača s mrtvom zonom i zasićenjem, sl. 5.6c; kvadratora sl. 5.6d; korenatora sl. 5.6e.; idealnog relea, ili signum kola, ili dvopozicionog relea, sl. 5.7a; relea s mrtvom zonom ili tropozicionog relea, sl. 5.7b, itd. Sve napred navedene karakteristike su jednoznačne. Tipične višeznačne karakteristike su: dvopozicioni rele s histerezisom, sl. 5.8a; tropozicioni rele s histerezisom (i mrtvom zonom), sl. 5.8b; karakteristika tipa zazora (lufta, engl. backlash) prisutna kod zupčastih prenosnika (reduktora), sl. 5.8c. u

+Uo

u Uo

Uo e

0

−λ

λ

0 -Uo

e

-Uo

a) b) Sl. 5.7. Tipične jednoznačne nelinearnosti: a) idealnog relea, b) tropozicionog relea.

u

−λ

λ e -Uo

Uo

−λ −ε

u ε

u λ

e

e

-Uo

a) b) c) Sl. 5.8. Tipične višeznačne nelinearnosti: a ) dvopozicionog releas histerezisom, b) tropozicionog relea s histerezisom, c) zazora (lufta).

5.4 Matematički modeli nelinearnih elemenata Statičke karakteristike nelinearnih elemenata se opisuju matematičkim modelima čija složenost zavisi od tipa nelinearnosti. Jednoznačne nelinearnosti se opisuju funkcionalnom zavisnošću u = F (e) , (5.1) a višeznačne relacijom oblika u = F (e, e&) . (5.2) Modeli nekih tipičnih nelinearnosti su dati u sledećoj tabeli: Nelinearnost tipa zasićenja: Nelinearnost tipa idealnog relea: +U za e > 0 U o =1  −U o za e < -λ k = λ =1 u= o ⇒ sgn(e) (5.4)  u =  k za e < λ ⇒ sat (e) (5.3) −U o za e < 0 U za e > λ  o Dvopozicioni rele: Tropozicioni rele:  e > λ , e& > 0  + U o za    e > λ , e& > 0  e > ε, e& < 0  + U o za  & e e , 0 > − λ <   − ε < e < λ, e& > 0  (5.5) u= (5.6) u = 0 za  & e e , 0 < − λ <  - λ < e < ε, e& < 0  − U za    o   e < −λ , e& < 0  e < λ, e& > 0  − U o za   e < −ε, e& > 0  137

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2

5. 5 Linearizacija nelinearnih elemenata Kao što je rečeno, prvi prilaz u analizi i oceni stabilnosti nelinearnih SAU je, obično, linearizacija karakteristike nelinearnog elementa u okolini radne tačke. Istaknimo, ponovo, da, sa stanovišta linearizacije, postoje dva tipa nelinearnih karakteristika: suštinske i nesuštinske, koji su dominantni u izboru načina linearizacije. Koriste se sledeći načini linearizacije nelinearnih elemenata: statička, diferencijalna, harmonijska i stohastička. Ako je koeficijent linearizacije k tada se statička karakteristika nelinearnog elementa u = F ( e) (5.7) zamenjuje, u okolini radne tačke, relacijom (5.8) uˆ = ke . Razmotrićemo, ukratko, sva četiri načina linearizacije. 5.5.1 STATIČKA LINEARIZACIJA predstavlja zamenu izlaza nelinearnog elementa njegovom vrednošću u radnoj tački, odakle se dobija koeficijent statičke linearizacije F ( e0 ) . (5.9) ks = e0 Ako radna tačka nije fiksirana, koeficijent statičke linearizacije se može napisati u opštem oblliku F ( e) ks = , (5.10) e odakle sledi da je  F ( e)  (5.11) e, uˆ =   e  što predstavlja samo drugi način zapisivanja karakteristike nelinearnosti. 5.5.2 DIFERENCIJALNA LINEARIZACIJA u opštem obliku predstavlja diferencijal nelinearne funkcije po ulaznom signalu, tj. dF (e) kd = , (5.12) de a za fiksiranu radnu tačku e=eo je dF (e) kd = (5.13) e = eo , de što predstavlja koeficijent nagiba tangente na karakteristiku nelinearnog elementa u radnoj tački. Ovaj način linearizacije se veoma često koristi u oceni stabilnosti nelinearnih sistema s nesuštinskom nelinearnošću pri malim poremećajima. 5.5.3 HARMONIJSKA LINEARIZACIJA je interesantan prilaz linearizaciji nelinearnih elemenata sa suštinski nelinearnom karakteristikom. On se može uvesti na dva načina: (i) preko minimuma srednjekvadratne greške aproksi138

Glava 5.: Uvod u nelinearne SAU macije i (ii) na osnovu Furijeove harmonijske analize. Ovde ćemo obrazložiti prvi način [1], a kasnije ćemo dati i drugi. Neka je ulaz u nelinearni element prostoperiodična funkcija vremena e = A sin ωt . (5.14) Tada će izlaz iz nelinearnog elementa u = F ( A sin ωt ) (5.15) biti složenoperiodična funkcija koja će sadržati osnovni harmonik frekvencije ω i komponente s višim frekvencijama 2ω, 3ω,.... Postavimo zahtev da izlaz nelinearnog elementa aproksimiramo (linearizujemo) tako da sadrži samo harmonijske komponente osnovne frekvencije iz Furijeovog spektra, tj. da je uˆ = A(N1 sin ωt + N 2 cos ωt ) (5.16) i da koeficijenti N1 i N2, koje ćemo, dalje, nazivati koeficijentima harmonijske linearizacije, obezbede minimum srednjekvadratne razlike između izlaza nelinearnog elementa (1.15) i izlaza linearizovanog elementa (5.16): 2 ∫ [u − uˆ ] d(ωt ) =

. ∫ [F ( A sin ωt ) − A( N1 sin ωt + N 2 cos ωt )] d(ωt ) → Nmin ,N

2π

2π

0

0

2

1

2

Diferencirajući ovaj izraz po N1 i N2 i izjednačavajući dobijeni diferencijal s nulom dobija se:

∫[

2π

∫[

0 2π 0

F ( A sin ωt ) − A( N 1 sin ωt + N 2 cos ωt )] sin ωtd(ωt ) = 0,

F ( A sin ωt ) − A( N 1 sin ωt + N 2 cos ωt )] cos ωtd(ωt ) = 0.

(5.18)

Rastavljajući prethodne integrale na sabirke i uzimajući u obzir da su 2π

2π

2π

0

0

0

2 ∫ sin ωt cos ωtd(ωt ) = 0; ∫ sin ωtd(ωt ) =

∫ cos

2

ωtd(ωt ) =π ,

lako se dobijaju izrazi za koeficijente harmonijske linearizacije: 1 2π N 1 ( A, ω ) = ∫ F ( A sin ωt ) sin ωtdωt , πA 0 N 2 ( A, ω ) =

1 2π ∫ F ( A sin ωt ) cos ωtdωt . πA 0

(5.19) (5.20)

S obzirom na to da je uˆ = A( N1 sin ωt + N 2 cos ωt ) ⇒ uˆ = AN sin(ωt − φ); N = N12 + N 22 ; φ = − arctg

N2 , N1

( ili, ako se umesto ulaznog signala e = A sin ωt koristi e = Ae jωt , tada se može napisati (( ( uˆ = Ne = ( N1 − jN 2 )e = Ne − jφ Ae jωt = ANe j ( ωt −φ) . (5.21) 139

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2 5.5.4 STOHASTIČKA LINEARIZACIJA

Stohastička linearizacija se koristi u teoriji SAU sa slučajnim signalima primenjujući teoriju verovatnoće i matematičku statistiku1. Osnovna ideja se sastoji u sledećem: na ulaz nelinearnog elementa deluje korisni signal zajedno s šumom. Pretpostavlja se da ulazni signal pripada klasi signala s normalnom raspodelom, dok izlazni signal nelinearnog elementa, u opštem slučaju, neće imati normalnu, već kvazinormalnu raspodelu. Zanemarujući devijaciju izlaznog signala od normalne forme, dobija se linearna zavisnost slučajnog ulaznog i slučajnog izlaznog signala. S tog stanovišta stohastička linearizacija je analogna harmonijskoj linearizaciji. Ne ulazeći u detalje stohastičke linearizacije, pojasnićemo osnovnu ideju. Neka je, na primer, nelinearni element limiter (pojačanje linearog dela je 1) na čiji se ulaz dovodi signal s šumom koji se može opisati sa: e(t ) = me (t ) + ne (t ) . (5.22) Na izlazu nelinearnosti imaćemo u( t ) = mu (t ) + nu (t ) , (5.23) gde su: m(t) - korisni, deterministički signali, n (t) - prisutni šumovi. Ako ulazni signal nema šum i ne dostiže granicu zasićenja, koristan izlazni signal biće jednak ulaznom signalu. Kada se zalazi u oblast zasićenja limitera, srednja vredost izlaznog signala razlikovaće se od vrednosti ulaznog signala, utoliko više ukoliko se dublje zalazi u oblast zasićenja. Ako je koristan Sl. 5.9. Slučajni signali na ulazu i izlazu ulazni signal zašumljen, tada se nelinearnog elementa tipa limitera. mž matematičko očekivanje (srednja matematičko očekivanje izlaznog signala. vrednost) izlaznog signala takođe menja u odnosu na matematičko očekivanje ulaznog signala, utoliko više ukoliko je amplituda šuma veća. Ako je šum suviše veliki, matematičko očekivanje izlaznog signala težiće nuli i koristan signal se ne može preneti, odnosno koeficijent pojačanja nelinearnog elementa se smanjuje u prisustvu šuma. Ako se izlazni signal zamenjuje linearnom zavisnošću u = K m me + K s ne (5.24) tada su Km i Ks - koeficijenti stohastičke linearizacije nelinearnog elementa. Oni se definišu odnosom matematičkih očekivanja izlaznog u ulaznog signala i odnosom standardne devijacije izlaznog i ulaznog signala, respektivno. Detaljnije o stohastičkoj linearizaciji može se naći u [1, 5].

1

U [5] je koeficijent statisticke linearizacije a ne stohasticke.

140

Glava 5.: Uvod u nelinearne SAU LITERATURA ы е че х е ,« , . .: », , 1977. я е е ых е че е я, , . .: е « . х , , 1955. я е че е я, . ., П , . П.: е « », ,1972. ы е че е я: ые е ые , . .: е е ые е ы, « Э », , 1981. е е я е я е я, « , Ф.: », ,1975. е ые е ы е я, « , ., , .: е », ,1987 е е я е я е е я, « , . .: », ,1970 я че е я, « , . .: е », , 1976.

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

Stojić, R. M.: Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, »Nauka«, Beograd, 1996.

[9] [10]

,

., е е

е, «

,

.:

е е

я »,

е

я , 1972.

че

е

я

ее

Pitanja za samoproveru Osnovna razlika između linearnih i nelinearnih sistema je u principu _______ _______. On se __________ primenjivati kod nelinearnih SAU. 2. Po Cipkinu »Nelinearni SAU su samo ______________ u ___________ okeanu nelinearnih sistema«. 3. Jedna klasa nelinearnih SAU se uvek može svesti na _________ strukturu, koja se sastoji iz redne veze _________ elementa i ________ elementa obuhvaćenih negativnom povratnom spregom. 4. Nelinearni elementi se mogu svrstati u nekoliko grupa i to: a) prirodni i _________; b) jednoznačni i ___________; c) tipični i __________; d) suštinski i ____________. 5. Višeznačne nelinearnosti mogu biti sa pozitivnim ili sa ____________________. 6. Jednoznačne nelinearnosti se opisuju funkcijom, a višeznačne - ___________. 7. Prvi prilaz u analizi nelinearnih SAU je ___________ nelinearnog elementa i primena metoda teorije ________________ SAU. 8. Za linearizaciju nelinearnih elemenata na raspolaganju su sledeće metode linearizacije: a) ______________________; b) _______________________ c) __________________________; d) ____________________________. 9. Za inženjersku primenu u prvom stadijumu izučavanja nelinearnih SAU najčešće se primenjuju ______________________ i __________________ linearizacija. 10. Diferencijalna linearizacija se naziva i __________________ linearizacija. 11. Koeficijenti harmonijske linearizacije se dobijaju iz uslova ___________ srednje kvadratne greške između __________ izlaza _________ elementa i prvog _____________ tog izlaza. 12. _____________ linearizacija se naziva i statističkom linearizacijom. Ona je po formi slična ______________ linearizaciji. 1.

141

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2

Zadaci za vežbu Zadatak 1. Strukturna blok-šema nelinearnog SAU prikazana je na slici. Svesti dati sistem na osnovnu strukturu.

sA E(s)

R(s)

K

NE

K1

C(s)

n1

nt

sKt n2 Sl. 5.10.

Zadatak 2. Na sl. 5.11 data je principska šema sistema za stabilizaciju napona generatora jednosmerne struje. Imajući u vidu da je indukovana elektromotorna sila u namotaju rotora generatora proporcionalna brzini obrtanja rotora (Ω) i pobudnoj struji koja protiče kroz namotaj statora (Ip) i struji opterećenja (Io), ovaj sistem je nelinearan ali sa nesuštinskom nelinearnošću. Za dati sistem potrebno je: a) Nacrtati strukturnu blok-šemu sa jasno istaknutim nelinearnim elementom; b) Izvršiti diferencijalnu linearizaciju nelinearnog elementa i nacrtati strukturnu blok-šemu sistema u kome će promena brzine obrtanja rotora generatora oko ravnotežne brzine (Ω0) i promena struje opterećenja oko nominalne vrednosti (I0) imati ulogu poremećaja. Io Ω Rp, Lp Ip

>

+ R1

Io Ω

K Ro

G R2

U1 Ur

Sl. 5.11

Ub

Uo

Rp, Lp

Re + R1 Uo

G

Ip

R2

Sl. 5.12

Zadatak 3. Na sl. 5.12 prikazana je šema sistema za regulaciju napona generatora jednosmerne struje koja se koristi u automobilima (regulator je poznat pod nazivom REGLER). Izlazni napon zavisi od brzine obrtanja rotora generatora, pobudne struje i struje opterećenja. Kada je napon ispod neke »donje« vrednosti koja zavisi od postavljene vrednosti potenciometra R2 i osobina relea (Re), rele otpušta i njegov kontakt kratkospaja otpornik R1 vezan na red pobudnom namotaju. Usled toga pobudna struja raste pa i napon na krajevima generatora Uo. Kada on dostigne neku »gornju« vrednost, rele se aktivira, na red pobudnom namotaju vezuje R1, struja pobude opada pa i napon Uo. Kada se dostigne donja tolerantna vrednost izlaznog napona, rele se deaktivira i td. Uzimajući u obzir rezultate prethodnog zadatka, posle primene diferencijalne linearizacije, i suštinsku nelinearnost koju unosi elektromehanički rele (Re) kao dvopozicioni regulator sa histerezisom, nacrtati strukturnu blok-šemu ovog sistema.

142

Glava 6: Metoda faznog prostora

143

6.1

Pojam faznih trajektorija, fazne ravni i faznog portreta 143

6.2

Osobine faznih trajektorija

6.3

Jednačine faznih trajektorija

6.4

Načini konstrukcije faznih trajektorija

6.5

Fazni portreti linearnih sistema

6.6

Singularne fazne trajektorije

Literatura

154

Pitanja za samoproveru Zadaci za vežbu

156

144

144 146

146

150

155

a

Glava 6. METODA FAZNOG PROSTORA 6.1 Pojam faznih trajektorija, fazne ravni i faznog portreta Analiza nelinearnih SAU je složen problem, posebno ako se traže tačna rešenja dinamičkog stanja koordinata sistema. Metode za analizu nelinearnih SAU se svrstavaju u dve grupe: tačne i približne. U tačne metode se ubrajaju: metode faznog prostora i metode zasnovane na primeni računara. U približne metode se svrstavaju: metoda harmonijske linearizacije (metoda opisne funkcije), metoda separacije kretanja (metoda singularne perturbacije) i dr. Ova glava je posvećena metodi fazne ravni. Pojam faznih trajektorija i fazne ravni uveo je Poenkare (1881.). U analizi sistema ovu metodu je prvi primenio Leote (1885.). Medjutim, potpun razvoj metode fazne ravni je ostvario Andronov (1925.) sa svojim saradnicima. Iako metoda spada u grupu tačnih metoda, danas je dobrim delom prevaziđena iz više razloga kao što su: efikasnost metode samo za sisteme drugog reda; zahteva grafičku konstrukciju čime je ograničena njena tačnost1. Ipak, i pored navedenih nedostataka, poželjno je poznavanje ove metode iz sledećih razloga: -neki termini u teoriji SAU su proizašli iz pojmova vezanih za fazni prostor; -metoda daje vrlo jasnu geometrijsku predstavu o karakteru kretanja sistema i tipu ravnotežnog stanja; -neke klase nelinearnih sistema su uvedene (razvijene) preko pojma faznog prostora (optimalni sistemi, sistemi promenljive strukture). U daljem izlaganju ograničićemo se na faznu ravan. To je ravan s pravouglim Dekartovim koordinatnim sistemom, mada, u opštem slučaju, može biti uveden i drugi tip koordinatnog sistema (na primer, Flige-Loc (Flüge-Lotz) je 1

Problem tačnosti crtanja danas nije ograničavajući faktor, jer se mogu koristiti kompjuteri sa moćnim programima za crtanje, a prilaz analizi preko faznog prostora može dati jasnu sliku o ponašanju sistema ne samo drugog reda.

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja -2 uvela polarni koordinatni sistem za proučavanje relejnih sistema). Na apscisnu osu se nanosi analizirana promenljiva stanja sistema (ili izlazna promenljiva, odnosno signal greške), a na ordinatu - diferencijal posmatrane promenljive, tj. brzina njene promene u vremenu. Metoda fazne ravni se koristi, uglavnom, za analizu autonomnih sistema, tj. sistema čije se kretanje odvija pod dejstvom nenultih početnih uslova, ili za sisteme tipa regulatora, koji se jednostavnom transformacijom svode na autonomni sistem. Prema tome, stanje autonomnog sistema, opisanog diferencijalnom jednačinom drugog reda, u svakom remenskom trenutku je određeno tačkom u ravni, čije su koordinate x, x& . Posmatrana ravan se naziva fazna ravan, a tačka s datim koordinatama - fazna tačka. Pri kretanju sistema fazna tačka će se pomerati po trajektoriji - faznoj trajektoriji, duž koje se vreme javlja kao parametar. Skup faznih trajektorija sistema za različite početne uslove naziva se fazni portret sistema. U mnogim slučajevima prisutna nelinearnost u sistemu se može predstaviti skupom linearnih segmenata, koji se medjusobno spajaju pri odredjenoj vrednosti posmatranog signala. Tada se fazni portret nelinearnog sistema može dobiti "ušivanjem" ili "lepljenjem" faznih portreta linearnih sistema. U tom cilju dalje se daju osnovne osobine faznih trajektorija sistema, njihove jednačine, način konstruisanja i osnovni tipovi faznih portreta linearnih sistema.

6.2 Osobine faznih trajektorija

Sl. 6.1. Orjentacija faznih trajektorija.

S obzirom na to da je u faznoj ravni ordinata x& = x&1 = x2 , očigledno je da važe sledeće konstatacije: a) ako je x2 > 0, tada x1 raste, b) ako je x2 < 0, tada x1 opada, c) ako je x2 = 0, tada je x1 = const. Na osnovu ovoga se zaključuje, sl. 6.1: Kretanje po faznim trajektorijama odvija se u smeru kretanja kazaljke na satu, a fazne trajektorije seku x1-osu pod pravim uglom

6.3 Jednačine faznih trajektorija Neka je dat nelinearni SAU kao na sl. 6.2. Za dati sistem se mogu napisati sledeće relacije: X ( s) = R ( s) − C ( s), (6.1) 2 U ( s ) = L{F ( y )}, Y ( s) = W ( s ) X ( s) , (6.2) 1 1 C ( s ) = 2 U ( s ) = 2 L{F ( y )}. (6.3) s s Za sada ćemo smatrati da je funkcija prenosa bloka između detektora greške i nelinearnog elementa, F(y), nepoznata.

2

144

Glava 6. Metoda faznog prostora Zamenom (6.3) u (6.1) dobija se: s 2 X ( s ) = s 2 R (s) - L{F ( y )}. Prelazeći u vremenski domen (s=d/dt) dobija se diferencijalna jednačina &x&(t ) + F2 ( x& ) + F1 ( x ) = &r&(t ). Dalje ćemo razmatrati autonomni sistem (r(t)=0), ili sistem tipa regulatora (r(t) =const). Tada se prethodna diferencijalna jednačina svodi na &x&(t ) + F 2( x& ) + F 1( x) = 0.

Sl. 6.2 Blok-šema običnog nelinearnog sistema. Uvodeći smenu: x=x1 , x&1=x2 , ovu diferencijalnu jednačinu možemo napisati u Košijevoj normalnoj formi: x&1 = x2 , x& 2 = − F1 ( x1 ) − F2 ( x2 ). Eliminacijom vremena iz ovog sistema jednačina, deljenjem druge jednačine prvom, dobija se diferencijalna jednačina faznih trajektorija: dx 2 F(y ) , =x2 dx1

(6.4)

kao nelinearna jednačina prvog reda. Za date početne uslove x& (0) , x (0) dobija se: dx 2 F ( y (0)) =d, = x 2 ( 0) dx1

(6.5)

gde je d- neki realni broj, što znači da postoji tangenta fazne trajektorije u tački x2(0), x1(0) i njen nagib je jednak d, a on, sa svoje strane, definiše pravac fazne trajektorije. Može se dogoditi slučaj da je izraz (6.5) neodređen, tj. (dx2 /dx1)=0/0, jer su: F(y(0))=0 i x2(0)=0. Tada pravac faznih trajektorija nije definisan. Kakvom fizičkom stanju sistema to odgovara? F(y(0))=0 je jednačina statike, a x2=0 označava da je (dx1/dt)=0, tj. da je x1=const., što znači da je sistem u stanju ravnoteže. Ovakve tačke u faznoj ravni u kojima se sistem nalazi u stanju ravnoteže nazivaju se singularnim tačkama i samo u njima fazne trajektorije nemaju definisan pravac. Uočava se, takođe, da se singularne tačke nalaze samo na x1-osi. U daljem izlaganju navešćemo načine konstrukcije faznih trajektorija. 145

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja -2

6.4 Načini konstrukcije faznih trajektorija

x2

Integraljenje jednačine (6.4) u opštem slučaju nije moguće, jer je ona nelinearna. Razmotrićemo posebne, linearne slučajeve. Neka je, na primer, F(y) = ω 20 x1 . Tada izraz za fazne trajektorije (6.4) posta6 je 4 ω 2 x1 dx 2 =- 0 . (6.6) 2 dx1 x2 3 2 1 0 Razdvajajući promenljive i intagraleći, dobija se relacija -2 x22 = −ω 20 x12 + C ,

-4

gde je C - konstanta integraljenja koju treba odrediti. x1 Pretpostavimo da je x2=0. Tada Sl. 6.3. Fazni portret tipa centra. x1 ima maksimalnu vrednost: x1 =A, pa je C = ω 20 A i izraz za fazne trajektorije se može napisati u obliku x22 x12 + = 1. ω02 A 2 A 2 To je jednačina elipse u ravni x10x2. S obzirom na to da se početna vrednost x1(0)=A može proizvoljno odabirati, za različite početne vrednosti dobićemo familije elipsi. Ovaj skup faznih trajektorija se naziva fazni Sl. 6.4. Vremenski odzivi sistema za dve portret. Fazni portret za posmatrani početne vrednosti označene tačkama 2 i 3. slučaj nosi naziv fazni portret tipa centra, a prikazan je na sl.6.3. Na sl. 6.4 prikazani su odzivi x1i x2. U slučajevima kada integraljenje diferencijalne jednačine faznih trajektorija (6.4) nije moguće, za njihovu konstrukciju koristila se metoda izoklina (grčki: izo=isti, klina=nagib), tj. metoda istih nagiba. Danas, kada su računari sastavni deo opreme s kojom su inženjeri svakodnevno u kontaktu, dobijanje faznog portreta bilo kog sistema nije više problem. S tog stanovišta potrebno je samo poznavati tipove faznih portreta linearnih sistema i imati uvid u osobenosti faznih portreta nelinearnih sistema. -6 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

6.5 Fazni portreti linearnih sistema Primenom diferencijalne linearizacije može se bilo koji nelinearni sistem s nesuštinskom nelinearnošću linearizovati u okolini ravnotežnog stanja. Ova linearizacija će biti dobra aproksimacija dinamike sistema za male promene oko ravnotežnog stanja. Zbog toga je veoma važno poznavati fazne portrete linearnih sistema. Osim toga, kao što će se videti na kraju na jednom primeru, 146

Glava 6. Metoda faznog prostora sistemi sa suštinskim nelinearnostima mogu se posmatrati kao u delovima linearni, a fazni portret celog sistema dobiti “ušivanjem”, odnosno lepljenjem faznih portreta linearnih delova sistema. Razlikovaćemo šest osnovnih i dva posebna slučaja. Osnovni slučajevi se definišu na osnovu korena karakteristične jednačine sistema drugog reda i to: 1. koreni su imaginarni, 2. koreni su konjugovano-kompleksni s negativnim realnim delom, 3. koreni su konjugovano-kompleksni s pozitivnim realnim delom, 4. koreni su realni i pozitivni, 5. koreni su realni i negativni, 6. koreni su realni i različitog znaka. Prvi slučaj je već razmotren. Taj fazni portret nosi naziv tipa centra, sl. 6.3.

a)

b) Sl. 6.5. Fazni portreti tipa stabilnog (a) i nestabilnog (b) fokusa s odgovarajućim vremenskim tokom izlaznog signala za različite početne uslove.

U drugom i trećem slučaju su koreni konjugovano-kompleksni. Svodeći sistem u kanonični dijagonalni oblik, slobodno kretanje sistema biće opisano matričnom relacijom:  x1 (t )  es1t 0   x1 (0)  ,  x (t ) =  s t  2   0 e 2   x 2 (0) 

147

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja -2 iz koje zaključujemo da će koordinate stanja x1(t) i x2(t) imati oscilatorni karakter s prigušenim oscilacijama, u slučaju korena s negativnim realnim delovima, ili s rastućim oscilacijama, kada su koreni s pozitivnim realnim delovima. Ako bi, na primer, signal x1(t) doveli na x-osu osciloskopa, a signal x2 (t)-na y-osu, dobili bi smo fazne portrete sistema za drugi i treći slučaj kao na sl. 6.5a i b, respektivno. Na istim slikama su dati i vremenski signali x1(t) i x2(t). Prikazani fazni portreti sistema nose naziv tipa stabilnog fokusa, odnosno nestabilnog fokusa, respektivno.

a)

b) Sl. 6.6. Fazni portreti tipa stabilnog (a) i nestabilnog (b) čvora i odgovarajući vremenski dijagrami za različite početne uslove.

Ako su koreni realni: s1=σ1, s2=σ2 , fazne koordinate biće definisane sledećim izrazima: x1 (t ) = A1e σ1t + A2 e σ2t ,

x2 (t ) = σ1 A1e σ1t + σ 2 A2 e σ2t , gde su A1 i A2 - konstante integraljenja zavisne od početnih uslova. Ako, na primer, izaberemo početne uslove tako da je A2 = 0, tada se prethodne relacije svode na relaciju x2=σ1x1; a ako se početni uslovi izaberu tako da je A1= 0, onda se dobija x2=σ2x1. U zavisnosti od toga da li su koreni karakteristične jednačine negativni ili pozitivni, to će biti prave linije s negativnim, odnosno pozitivnim nagibom, što znači da su fazne trajektorije za ove početne uslove prave linije i nazivaju se singularne prave. 148

Glava 6. Metoda faznog prostora Za ostale početne uslove fazne trajektorije su krive linije. Fazni portreti analiziranih sistema dati su na sl. 6.6a i b i nose nazive stabilni čvor i nestabilni čvor, respektivno. Na istim slikama su prikazani i vremenski tokovi izlaznih signala. U poslednjem, šestom slučaju koreni su realni i različitog znaka. Koristeći prethodnu proceduru, zaključujemo da će postojati dve fazne trajektorije u obliku pravih linija s negativnim i pozitivnim nagibom. Ostale fazne trajektorije su hiperboličnog oblika. Fazni portret je prikazan na sl. 6.7 i nosi naziv fazni portret tipa sedla.

Sl. 6.7. Fazni portret tipa sedla i odgovarajući vremenski dijagrami za različite početne uslove. Tačka (0,0) je tačka labilnog ravnotežnog stanja.

Najzad, razmotrimo i dva posebna slučaja. Neka je sistem opisan diferencijalnom jednačinom &x& = -2kx& , ili: x&1 = x2 , x&2 = -2kx2 , pa je jednačina faznih trajektorija dx2 = −2k ili x2 = −2kx1 + C , dx1 gde je C- konstanta integraljenja koja zavisi od početnih uslova. Napomenimo da u ovom slučaju imamo jedan koren karakteristične jednačine jednak nuli, a drugi je negativan, Sl. 6.8. Fazni portreti posebnih odnosno pozitivan. slučajeva. Na sl. 6.8 dati su fazni portreti za te posebne slučajeve, za pozitivnu i negativnu vrednost faktora k. U tim slučajevima ne postoji samo jedna tačka ravnoteže, već je to cela x1 -osa i ona je za k>0 stabilna, a za k 0, U sgn( x1 ) dx2 =− 0 ; sgn( x1 ) =  dx1 x2  − 1 za x1 < 0. S obzirom na to da je nelinearna funkcija prekidna, a fazne trajektorije su kontinualne krive, jasno je da će se fazni portret celog sistema sastojati iz dva fazna portreta koja treba međusobno spojiti (“ušiti”) u trenucima prekida funkcije. Pre nego što to uradimo, napišimo izraz za diferencijalnu jednačinu autonomnog sistema. Ona je: &x& = −u ili x&1 = x2 , x& 2 = −u , u = U 0 sgn( x1 ), gde je U0 - vrednost relejne funkcije, sl. 6.11. U cilju pojednostavljenja daljeg izlaganja smatraćemo da je Uo=1. Sl. 6.11. Nelinearnost Razmotrimo najpre slučaj x1 > 0. Razdvajajući protipa idealnog relea. menljive, jednačina faznih trajektorija postaje x2 dx2 = −dx1 . x2 Integraleći ovu diferencijalnu jednačinu dobijamo x22 = − x1 + C , 2 x1 gde je C - konstanta integraljenja. S obzirom na 0 to da se preključenja odvijaju za x1=0 i x2(0), konstanta C se lako nalazi. Prethodna relacija je jednačina parabole koja je simetrična u odnosu na x1 - osu, s temenom u tački (C, 0). Na isti način se dobijaju i relacije za fazne Sl. 6.12. Fazni portret sistema trajektorije kada je x1 ε  x& 2 = −u , u =  0 za x ≤ ε , − 1 za x < ε 

151

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja -2

Sl. 6.13. Nelinearnost tipa idealnog relea s mrtvom zonom.

Sl. 6.14. Fazni portret sistema s releom s mrtvom zonom bez histerezisa.

Nije teško zaključiti da će se fazni portret takvog sistema dobiti ušivanjem faznih portreta dva prethodna slučaja, sl. 6.14. 4. Slučaj. Neka je nelinearnost dvopozicioni rele s histerezisom. Karakteristika nelinearnosti i fazni portret prikazani su na sl. 6.15 i 6.16, respektivno.

Sl. 6.15 Nelinearnost tipa dvopozicionog relea s histerezisom

Sl. 6.16 Fazni portret sistema s nelinearnošću tipa relea s histerezisom

Iz faznog portreta se vidi da će se amplitude samooscilacija s vremenom povećavati, tj. sistem je nestabilan s rastućim oscilacijama. 5. Slučaj. Nelinearnost tipa tropozicionog regulatora s histerezisom, sl. 6.16. I u ovom slučaju je karakter kretanja isti - sistem je nestabilan s rastućim oscilacijama, sl. 6.18.

Sl. 6.17. Nelinearnost tipa tropozicionog relea s mrtvom zonom i histerezisom.

152

Sl. 6.18. Fazni portret sistema s nelinearnošću tipa releja a histerezisom i mrtvom zonom.

Glava 6. Metoda faznog prostora 6. Slučaj. Pretpostavimo da smo primenili proporcionalni regulator sa zasićenjem, čija je statička karakteristika - karakteristika pojačavača sa zasićenjem. Fazni portret ovog sistema je tipa centra. Tada će se satelit “njihati” oko ravnotežnog stanja. Kao što se vidi, primenom navedenih regulatora bez dodatnih elemenata za stabilizaciju ne može se posmatrani sistem učiniti stabilnim. 6. Slučaj. Pretpostavimo, sada, da je k d ≠ 0 . Neka je, na primer, kd=1. Razmotrimo slučaj kada je regulator idealni rele. Matematički model sistema biće tada: x&1 = x2 , x& 2 = −u , u = sgn (ax1 + x2 ). Sada se preključivanje relea ostvaruje ne kada je x1=0, već kada funkcija ax1 + x2

postane jednaka nuli, tj linija x2 = −ax1 , a>0, je linija preključenja. Fazni portret sistema u tom slučaju postaje kao na sl. 6.19. Postavlja se umesno pitanje koji nagib linije preključenja izabrati? Sa slike se vidi de je proces oscilatorniji što je nagib veći i da u graničnom slučaju, a=∞, imamo stabilne oscilacije.

Sl. 6.19. Fazni portret sistema

Sl. 6.20. Fazni portret optimalnog

s diferencijalnim delovanjem.

sistema. Linija preključenja je parabolična.

8. Slučaj. Očigledno je da se može izabrati a tako da posle preključenja fazna trajektorija prođe kroz koordinatni početak i sistem dovede u stanje ravnoteže (0,0). Međutim, to se može dogoditi samo pri nekom početnom uslovu ako je linija preključenja prava. Pretpostavimo da linija preključenja nije prava, već parabolična linija i to ona fazna trajektorija sistema koja prolazi kroz koordinatni početak, sl. 6.20. Tada fazni portret sistema postaje kao na slici 6.20 i dobija se optimalan sistem po brzini. Matematički model sistema tada postaje: x&1 = x2 ,

1   x& 2 = −u , u = F ( x1 , x2 ) = sgn  x1 + x2 x2 . 2   Klasa relejnih optimalnih sistema je interesantna potklasa optimalnih sistema, koja zbog svoje jednostavnosti i efikasnosti predstavlja praktični interes za primenu u rešavanju mnogih zadataka u praksi. Detaljnije informacije o tim sistemima mogu se naći u [9].

153

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja -2 9. Slučaj. Prethodni slučaj pruža izvanredne mogućnosti da se sistem stabiliše za najkraće moguće vreme. Međutim, tu se mogu uočiti dva nedostatka. Prvi je neophodnost modelovanja linije preključenja koja zahteva primenu složenije mreže ili računara. Drugi nedostatak leži u promenljivosti parametara sistema i neidealnosti relejnog uređaja za preključivanje. Problem se može rešiti korišćenjem ne parabole kao linije preključenja, već prave linije na kojoj se organizuje tzv. klizni režim. Tada sistem postaje suboptimalan po brzini reagovanja. Da bi smo uočili pojavu kliznog režima smanjujmo nagib linije preključenja, sl. 6.21, sve dotle dok nju, posle preključenja, ne tangira fazna trajektorija. Sa slike se vidi da će sve trajektorije koje presecaju liniju preključenja (pravu) između tačaka preseka te linije i paraboločne linije preključenja optimalog sistema imati tok kretanja bliže liniji preključenja, ukoliko je kašnjenje u preključenju manje. U graničnom slučaju, kada nema kašnjenja, fazna tačka jednostavno sklizne duž prave u stanje ravnoteže. Ukažimo da linija preključenja na kojoj se realizuje klizni režim ne mora biti prava linija, već da to može biti i linija paraboličnog oblika, kada se mogu ostvarivati Sl. 6.21 Fazni portret sistema u optimalni klizni režimi. kome se javlja klizni režim. Na osnovu kliznih režima osnovana je jedna nova klasa SAU pod nazivom sistemi promenljive strukture s kliznim radnim režimima. Ovim sistemima posvetićemo posebnu pažnju u 9. glavi, kao jednoj klasi nelinearnih sistema upravljanja u kojima je primenjena veštačka nelinearnost radi postizanja željenih osobina sistema.

LITERATURA 1. 2. 3. 4. 5.

,И

. ., ,« », , ., , .: , . .: К е , ЭИ, , Э., , . (

,

.,

« 7.

9.

154

е е

,«

е

е

»,

,1987 е

е щ е , 1963.

е

-

е

е-

Netushil, A. (Edit.): Theory of Automatic Control, Mir Publisher, Moscow, 1978.

6.

8.

, . .: е ,1972. е е е е е е , 1962. .): П ,

Ф

,

е е , 1972. е

.: »,

, .: , 1959. , . , 1963. , . е е

е е

.: .,

е

е

е

е

е е

е

, «

е ,

е

е .

.,

е

, ,«

.

., »,

, «Ф

, », »,

, . Ф.: , 1969.

Glava 6. Metoda faznog prostora

Pitanja za samoproveru 1. Metodu fazne ravni je uveo francuski naučnik _____________, a do detalja je razradio ruski naučnik ______________. 2. Fazna tačka predstavlja _______________ sistema u određenom vremenskom trenutku. 3. Fazne trajektorije su ______________________u faznoj ravni po kojima se __________________sistema. 4. Fazne trajektorije su orjentisane u pravcu _________________________. 5. Fazne trajektorije presecaju x1 osu pod ___________________ uglom. 6. Singularne tačke faznih portreta korespondiraju _____________ stanju sistema. 7. Po definiciji, fazni portret je skup _______________________ pri različitim početnim uslovima. 8. Fazni portret tipa centra implicira da su sopstvene vrednosti sistema _____________. 9. Fazni portret tipa sedla implicira da su koreni karakteristične jednačine sistema _____________________________. 10. Fazni portret tipa stabilnog (nestabilnog) fokusa implicira da su sopstvene vrednosti matrice stanja sistema _______________ ( _____________). 11. Fazni portret tipa stabilnog (nestabilnog) čvora implicira da su koreni karakteristične jednačine _____________________ (_______________________). 12. Granični krug u faznom portretu nelinearnog sistema je ____________________ ________________. 13. Nagib faznih trajektorija je definisan u svakoj tački prostora stanja osim u tzv. ________________________. 14. Faznom portretu tipa centra korespondira _____________ način promene faznih koordinata. 15. Faznom portretu tipa stabilnog (nestabilnog) fokusa korespondira _____________ (______________________) način promene faznih koordinata. 16. Faznom portretu tipa stabilnog (nestabilnog) čvora korespondira _____________ (______________________) način promene faznih koordinata. 17. Singularne trajektorije faznih portreta tipa stabilnog/nestabilnog čvora su ______________ linije koje imaju ____________/ ____________ nagib. 18. Singularne trajektorije faznog portreta tipa sedla su ____________ linije koje imaju _________________________ nagib. 19. Fazni portret nelinearnog sistema čija se nelinearnost može predstaviti linearnim segmentima može se dobiti ______________ faznih portreta odgovarajućih linearnih sistema. 20. Linearni sistem drugog reda ima matricu stanja datu u kompanjon formi i fazni portret tipa sedla. Kada se matrica stanja sistema transformiše u dijagonalni oblik, fazni portret sistema će biti tipa _____________. 21. Za dobijanje faznih portreta nelinearnih sistema ranije se koristila grafička metoda koja se zove ___________________________.

155

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja -2

Zadaci za vežbu

1. Linearni sistem drugog reda opisan funkcijom prenosa W ( s ) = ( s 2 + 2ζω n s + ω 2n ) −1 Napisati jednačine faznih trajektorija sistema, koristeći: A) model sistema dobijen direktnim programiranjem; B) model sistema u dijagonalnom obliku, za slučajeve: a) polovi su imaginarni; b) polovi su realni i istog znaka; c) polovi su realni i različitog znaka; d) polovi su konjugovano kompleksni sa negativnim realnim delom; e) polovi su konjugovano kompleksni sa pozitivnim realnim delom. 2. Nelinearni sistem osnovne strukture ima linearni deo opisan funkcijom prenosa oscilatornog elementa drugog reda čiji su polovi −1 ± j1 . Nelinearni deo sistema je: a) idealni rele sa Uo =2;

b) rele sa mrtvom zonom, čiji su parametri λ = 1, U o = 2. ;

c) rele s histerezisom λ = 1, U o = 2. ;

d) rele s histerezisom i mrtvom zonom ε = 0,2; λ = 1, U o = 2.

Konstruisati fazne portrete ovih sistema i odrediti tipove ravnotežnih stanja. 3. Nelinearni sistem osnovne strukture ima linearni deo opisan funkcijom prenosa koja predstavlja rednu vezu integracionog elementa i inercijalnog elementa prvog reda (T=1 s). Nelinearni deo sistema je: a) idealni rele sa Uo =2; b) rele sa mrtvom zonom, čiji su parametri λ = 1, U o = 2. ; c) rele s histerez isom λ = 1, U o = 2. ;

d) rele s histerezisom i mrtvom zonom ε = 0,2; λ = 1, U o = 2. Konstruisati fazne portrete ovih sistema i odrediti tipove ravnotežnih stanja. 4. Nelinearni sistem osnovne strukture ima linearni deo opisan funkcijom prenosa koja

predstavlja rednu vezu integracionog elementa i inercijalnog elementa prvog reda (T=1 s) i predikcionog elementa prvog reda (T=2 s). Nelinearni deo sistema je: a) idealni rele sa Uo =2; b) rele sa mrtvom zonom, čiji su parametri λ = 1, U o = 2. ; c) rele s histerezisom λ = 1, U o = 2. ;

d) rele s histerezisom i mrtvom zonom ε = 0,2; λ = 1, U o = 2. Konstruisati fazne portrete ovih sistema i odrediti tipove ravnotežnih stanja.

156

Glava 7: Metoda harmonijske linearizacije. Opisna funkcija 157 7.1

157

Uvod

7.2

Određivanje koeficijenata harmonijske linearizacije 159

7.3

Primena kriterijuma Mihajlova za utvrđivanje

7.4

Primena kriterijuma Nikvista za utvrđivanje

parametara samooscilacija 162

parametara samooscilacija. Metoda Goljdfarba Literatura

167

Pitanja za samoproveru Zadaci za vežbu

168

163

167

a

Glava 7. METODA HARMONIJSKE LINEARIZACIJE. OPISNA FUNKCIJA 7.1 Uvod Kao što je u petoj glavi rečeno, u SAU se često namerno unose nelinearnosti radi postizanja posebnih karakteristika, kao što su: veća brzina reagovanja, visoka pouzdanost, ekonomičnost i dr. Sa stanovišta jednostavnosti konstrukcije, pouzdanosti, brzine ragovanja i, naročito, niske cene koštanja, posebno se ističu sistemi automatske regulacije (SAR) s regulatorima relejnog tipa (dvopozicioni i tropozicioni regulatori s histerezisom ili bez njega). Sistemi ovog tipa imaju široku primenu u regulaciji električih mašina (generatora, motora), u sistemima za regulaciju temperature i drugih parametara tehnoloških procesa. Bez obzira na tehniku realizacije (bimetalni rele, elektromehanički rele, kontaktor, elektronski rele) osnovna osobina im je suštinska nelinearna karakteristika. U sistemima s takvom karakteristikom nije moguće primeniti metodu diferencijalne linearizacije za izučavanje ponašanja sistema s povratnom spregom u okolini ravnotežnog stanja. Dugogodišnja praksa korišćenja sistema s relejnim regulatorima pokazala je da njihov normalni stacionarni režim rada je, zapravo, dinamički režim u kome se javljaju samooscilacije. Za projektanta regulatora s relejnim elektromehaničkim elementom je, tada, od prvorazredne važnosti amplituda i frekvencija tih samooscilacija. Prva veličina definiše zonu odstupanja regulisane promenljive od srednje vrednosti i, prema tome, tačnost, dok je druga veoma bitna za životni vek regulatora, jer se on za elektromehaničke releje (kontaktore) određuje ukupnim brojem preklapanja. U cilju utvrđivanja egzistencije stabilnih periodičnih kretanja, njihovih amplituda i frekvencija, a na bazi teorije sistema s povratnom spregom, osnovna ideja koja se nameće, a koju su iskoristili Goljdfarb, u Rusiji, Kohenberger, u SAD, i Tastin, u Velikoj Britaniji, je da se sistem posmatra kao oscilator. Nai-

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2 me, ako se u sistemu javljaju stabilne samooscilacije, on se tada nalazi na oscilatornoj granici stabilnosti i može se primeniti Nikvistov ili Mihajlovljev uslov oscilovanja sistema. Ali problem nije tako jednostavan, jer sistem nije linearan. Svodeći nelinearni sistem na osnovnu strukturu: linearni deo plus nelinearnost, kako je u V glavi rečeno, potrebno je, za primenu navedenih kriterijuma, izvršiti linearizaciju sistema odnosno nelinearnog elementa. Kako diferencijalna linearizacija nije moguća, bilo je potrebno primeniti druge načine za rešenje ovog problema. Primena metode faznog prostora nije pogodna zbog grafičkog prilaza i zbog nemogućnosti njene praktične primene na sisteme višeg reda. Spasonosno rešenje je pronađeno u primeni hipoteze niskopropusnog filtra i Furijeve harmonijske analize. Naime, linearni deo sistema, koji predstavlja objekat regulacije u širem smislu (izvršni organ, objekat, merno-pretvarački element) ima izrazite osobine niskopropusnog filtra. On značajno slabi više frekvencije, a niske prenosi s neznatnim slabljenjem ili bez slabljenja. Pretpostavlja se da na izlazu objekta (sistema) imamo prostoperiodičan signal, x (t ) = A ⋅ sin Ωt , (7.1) koji, sa suprotnim znakom, dolazi na ulaz nelinearnog elementa (razmatra se autonomni sistem, r(t)=0). Ovaj signal prouzrokuje na izlazu NE složenoperiodičnu funkciju koja se, primenom Furijeove analize, može rastaviti na jednosmerni i niz harmonijskih signala, tj. u(t ) = F ( A sin Ωt, AΩ cos Ωt ) = C0 + A1 sin Ωt + B1 cos Ωt + A2 sin 2Ωt +.. (7.2) Dalje ćemo uvesti dva ograničenja: (i) smatraćemo da su nelinearne funkcije simetrične u odnosu na x- osu i (ii) da je karakteristika nelinearnosti simetrična u odnosu na koordinatni početak u x0u-ravni. Tada je jednosmerna komponenta izlaznog signala NE jednaka nuli, a F(-x)=-F(x). S obzirom na hipotezu da je linearni deo sistema niskopropusni filter, u daljoj analizi se zanemaruju svi harmonici osim prvog, a problem se rešava nalaženjem jednog oblika frekvencijske funkcije prenosa nelinearnog elementa. Polazeći od izraza (7.2) u( t ) = F ( A sin Ωt , AΩ cos Ωt ) = A1 sin Ωt + B1 cos Ωt , (7.3) i zamenjujući u njemu sin Ωt i cos Ωt , izvedenih iz (7.1) neposredno i posle diferenciranja, respektivno, dobijamo 1 d x (t ) x (t ) . u( t ) = A1 + B1 (7.4) A AΩ d t Iz (7.4) se vidi da je dobijena linearna zavisnost između ulaznog x(t) i izlaznog u(t) signala nelinearnog elementa. Ova linearna zavisnost je približna i ona važi samo ako je ulazni signal harmonijski. A1 i B1 su koeficijenti Furijeve analize koji se određuju po formulama: 1 2π A1 = ∫ F ( A sin Ωt , AΩ cos Ωt ) sin Ωtd(Ωt ), π 0 (7.5) 1 2π B1 = ∫ F ( A sin Ωt , AΩ cos Ωt ) cos Ωtd(Ωt ). π 0 Sada se (7.4) može napisati u obliku 158

Glava 7.: Metoda harmonijske linearizacije u( t ) = N 1 ( A, Ω) x ( t ) + N 2 ( A, Ω)

1 d x (t ) , AΩ dt

(7.6)

1 2π F ( A sin Ωt , AΩ cos Ωt ) sin Ωtd(Ωt ), πA ∫ 0 (7.7) 1 2π N2 = F ( A sin Ωt , AΩ cos Ωt ) cos Ωtd(Ωt ) πA ∫ 0 koeficijenti harmonijske linearizacije nelinearnog elementa. Ove koeficijente smo ranije (poglavlje 5.5.3) odredili na sasvim drugačiji način, polazeći od minimuma srednje kvadratne greške, što njima daje poseban značaj. Primenjujući na poslednji izraz Laplasovu transformaciju dobija se relacija U ( s) s (7.8) WNE ( s) = = N 1 ( A, Ω) + N 2 ( A, Ω) , X ( s) Ω koja je u literaturi dobila naziv opisna funkcija (engl.:describing function, ruski: oписивa щa нкци ) harmonijski linearizovanog nelinearnog elementa. Sada se, formalno, mogu primeniti metode analize linearnih sistema. Međutim, pre nego što pređemo na te metode treba upozoriti na dve važne činjenice: (i) metoda je utoliko tačnija ukoliko je hipoteza o niskopropusnom filtru istinitija; ona može dati pogrešne zaključke ukoliko se o tome ne vodi računa; (ii) u određenim, istina veoma retkim, slučajevima mogu se javiti subharmonijske oscilacije, tj oscilacije nižih frekvencija od osnovne. gde su:

N1 =

7. 2 Određivanje koeficijenata harmonijske linearizacije Za utvrđivanje parametara samooscilcija potrebno je, najpre, pokazati postupak određivanja koeficijenata harmonijske linearizacije. Iako u mnogim publikacijama, koje tretiraju ovu oblast, postoje tablice koeficijenata harmonijske linearizacije za mnoge tipične nelinearnosti, u praksi se mogu sresti nelinearni elementi neobuhvaćeni raspoloživim tabelama. Zato ćemo prikazati postupak određivanja koeficijenata harmonijske linearizacije na opštoj, tipičnoj nelinearnosti histerezisnog tipa s mrtvom zonom, pomoću koje se, izmenom parametara mogu generisati mnoge tipične nelinearne karakteristike. Neka je dat NE čija je statička karakteristika prikazana na sl. 7.1. U cilju određivanja koeficijenata harmonijske linearizacije, na ulaz elementa se dovodi sinusoidalni signal. Grafičkom konstrukcijom, sl. 7.2, određuje se oblik izlaznog signala u = F ( A sinΩt ). Zatim, analiSl. 7.1 tičkim putem, primenjujući definicione obrasce StatIčka karakteristika NE. (7.7), nalazimo tražene koeficijente: 1 2π 2 π N1 ( A, Ω) = F ( A sin Ωt ) sin Ωt d(Ωt ) = F ( A sin Ωt ) sin Ωt d(Ωt ) = ∫ 0 πA πA ∫ 0

159

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2

ψ3 ψ4 2 ψ2 [ ∫ kA sin 2 Ωt d(Ωt ) + ∫ c sin Ωt d(Ωt ) + ∫ kA sin 2 Ωt d(Ωt )]; ψ2 ψ3 πA ψ1 gde su:

λk + U o λεk + U o λ λε , ψ3 = π − arcsin , ψ 4 = π − arcsin . ψ1 = arcsin , ψ 2 = arcsin A Ak Ak A

Integraleći prethodni izraz, vršeći zamene granica, i uzimajući u obzir da je

Sl. 7.2 Grafički prikaz transformacije harmonijskog prostoperiodičnog signala u složenoperiodični signal korišćenjem nelinearnog elementa.

sin (arcsin (m)) = m i cos(arcsin(m)) = 1 − m 2 , posle sređivanja, dobija se: N1 =

U 0 + kλε U + kλ λε λ k + arcsin 0 − arcsin − arcsin − arcsin π kA kA A A

(U 0 + kλ) 2 λε (U + kλε) 2 U 0 + kλ U 0 + kλε (λε) 2 − − + − + 1 1 1− 0 A kA kA (kA) 2 (kA) 2 A2 (U + kλ) 2 (U 0 + kλε) 2 λ λ2 2U 0   1− 0 + − 1− 2 + 1 kA  A (kA) 2 (kA) 2 A 

(7.9)

  U + kλ  , A ≥ 0 .  k 

Na sličan način se može dobiti i N2. Međutim, nije neophodno primenjivati ovakav glomazan prilaz, jer se ovaj koeficijent određuje elementarno na osnovu oblika statičke karakteristike NE. Lako se može pokazati da je koeficijent harmonijske linearizacije N2 proporcionalan površini koju zahvata statička karakteristika NE. Zaista, neka je ova karakteristika histerezisnog tipa, sl. 7.3, i neka na ulazu deluje signal x=AsinΩt. 160

Glava 7.: Metoda harmonijske linearizacije Odakle sledi da je

dx 1 dx . = A cos Ωt ⇒ cos Ωt = A d(Ωt ) dΩt

Na osnovu izraza (7.7) za N2 imamo: N2 =

1 2π dx ∫ F ( A sin Ωt ) Ad(Ωt ) d(Ωt ) = πA 0

[ ∫ F ( A sin Ωt )d x + ∫ F ( A sin Ωt )d x ] = πA 2 C1 C2 S 1 (8.10) [ ∫ F ( A sin Ωt )dx] = − 2 , 2 πA C1 +C2 πA 1

Sl. 7.3. Statička karakteristika nejednoznačne nelinearnosti.

jer je konturni integral u zagradama ravan površini S koju obuhvata kriva NE, a znak minus je

zbog toga što se kontura obilazi u suprotnom smeru kretanja kazaljke na satu. Kao posledica ovoga sledi zaključak: Koeficijent hatrmonijske linearizacije N2(A,Ω) je proporcionalan (koeficijent proporcionalnosti je −(1 / πA 2 ) ) površini koju zahvata statička karakteristika nelinearnog elementa. Jednoznačne nelinearnosti imaju N2=0. Primer 7.1. Odrediti koeficijent harmonijske linearizacije N2 za nelinearnost sa sl. 7.1. Na osnovu ralacije (7.10) je N2 = -

Sl. 7.4. Statička karakteristika NE za primer 7.2. 70 60

30

λ=0,5

20 10 1

A≥

4U o λ2 1− 2 , πA A N 2 = 0, A ≥ λ.

N1 =

40

N1(A)

πA 2

,

2

A

U o + kλ . (7.11) k

Primer 7.2. Odrediti koeficijente harmonijske linearizacije za nelinearnost čija je statička karakteristika prikazana na sl. 7.4. Koeficijenti se mogu odrediti iz (7.9), zamenjujući ε=1, i k=∞ pa je:

50

0 0

2U o (1 - ε)λ

3

4

(7.12)

Na sl. 7.5 prikazan je dijagram zavisnosti N1(A) za λ=0,5.

sa sl. 7.4, za λ=0,5.

Sl. 7.5. Zavisnost N1(A) za nelinearnost

161

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2

7.3 Primena kriterijuma Mihajlova za utvrđivanje parametara samooscilacija

Iz teorije linearnih sistema je poznato da će se sistem s negativnom povratnom spregom naći na oscilatornoj granici stabilnosti ako hodograf Mihajlova prolazi kroz koordinatni početak D(jω)-ravni. Uslovi pri kojima se to događa utvrđuju se lako. Zamenom u karakterističnom polinomu sistema D(s) s sa jω, rastavljanjem realnog i imaginarnog dela i njihovim simulatanim izjednačavanjem s nulom dobija se sistem od dve algebarske jednačine, na osnovu koga se mogu odrediti dva parametra: frekvencija i amplituda samooscilacija. Za nelinearni sistem ovaj prilaz je prvi primenio ruski naučnik E. P. Popov. Koristeći opisnu funkciju WNE(s) nelinearnog elementa i prenos linearnog dela sistema, karakteristična jednačina sistema postaje: 1 + WNE ( s)W ( s) = 0 , (7.13) ili s 1 + [ N 1 ( A, Ω) + N 2 ( A, Ω) ]W ( s) = 0 , Ω odnosno jω Q ( j ω ) + [ N 1 ( A , Ω ) + N 2 ( A, Ω ) ] P ( jω ) = 0 , (7.14) Ω posle zamene W(s)=P(s)/Q(s) i s=jω. Obratimo pažnju na sledeću činjenicu: ukoliko postoji rešenje (7.14), za neko realno ω, to ω mora biti jednako Ω, jer smo u procesu dobijanja opisne funkcije smatrali da u sistemu egzistiraju samooscilacije te frekvencije. Na taj način, prethodni izraz postaje D( A, jΩ) = Q( jΩ) + [ N 1 ( A, Ω) + jN 2 ( A, Ω)]P( jΩ) = 0 . (7.15) ili Re{D ( A, jΩ)} = 0, (7.16) Im D{( A, jΩ)} = 0. Ako u analiziranom sistemu postoje samooscilacije, ovaj sistem algebarskih jednačina imaće realna rešenja po Ω i A, koja se smatraju približnim, ali za praktičnu primenu dobrim rešenjima postavljenog problema. Ukoliko postoje realna rešenja date jednačine to još uvek ne znači da će u sistemu i zaista egzistirati takve stabilne oscilacije. Naime, od više mogućih rešenja koja se dobijaju iz algebarskih jednačina, treba izabrati samo ona koja su stabilna. Nestabilna rešenja ukazuju na eventualno prolazno pojavljivanje samooscilacija koje brzo iščezavaju, odnosno da sistem ulazi privremeno u nestabilni granični krug. Stabilna rešenja ustvari predstavljaju stabilan granični krug u posmatranom nelinearnom sistemu. Stabilnost tog graničnog kruga se proverava, takođe, na osnovu kriterijuma stabilnosti Mihajlova na sledeći način. Pretpostavimo da hodograf Mihalova prolazi kroz koordinatni početak D(jω)ravni i da je došlo do male perturbacije amplitude za iznos ±δA. Ako se sa povećanjem (smanjenjem) amplitude kriva Mihajlova pomera u pravcu nestabilnosti (stabilnosti) onda dobijena rešenja nisu stabilna. U suprotnom 162

Glava 7.: Metoda harmonijske linearizacije slučaju dobijena rešenja su stabilna. Ovo se može utvrditi i analitičkim putem, primenom formule

 ∂ Re   ∂ Im   ∂ Re   ∂ Im  (7.17)     −    >0,  ∂A   ∂Ω   ∂Ω   ∂A  čije ispunjenje garantuje stabilnost samooscilacija. Ovde * označava da se u izvodima Re{D( A, jΩ)} = Re i Im{D( A, jΩ)} = Im zamenjuju nađene vrednosti za A i Ω. Relacija (7.17) se može dokazati analitički. *

*

*

*

Primer 7.3. Odrediti da li u sistemu čiji je linearni deo opisan funkcijom prenosa W (s) =

K

; K = 100 s −1 ; T = 0,6; ζ = 0,4 ,

s ( s T + 2ζTs + 1) a nelinearnost je tipa idealnog releja, sl. 6.7a, postoje samooscilacije? Ako one postoje, utvrditi njihove parametre (A, Ω). Karakteristični polinom sistema se dobija kao brojilac izraza 4U o K 1+ , 2 2 s ( s T + 2ζTs + 1) πA što daje, posle njegovog svođenja na zajednički imenilac, 4 KU o . D( s ) = s 3T 2 + 2ζTs 2 + s + πA Zamenjujući u D(s) s=jω, rastavljajući dobijeni izraz na realni i imaginarni deo i simultano ih izjednačavajući s nulom, dobijaju se relacije 4 KU o − 2 ζ Tω 2 = 0 , πA 2

2

ω − T 2 ω 3 = 0. Iz druge relacije se dobija netrivijalno rešenje ω = Ω = 1 / T , što zamenom u prvu rela2 KU o T A 2 KT . Za date parametre je Ω = 1,66 s −1 , ili = ciju daje A = πζ πζ Uo A = 95,5U o , Primenom (7.17) lako se utvrđuje da su oscilacije stabilne, jer je (∂ Im/ ∂A) = 0, (∂ Re/ ∂A)* = −(4 KU o / πA 2 )* < 0, (∂Im/∂Ω)* = (1 − 2T 2 Ω 2 )* < 0.

7.4 Primena kriterijuma Nikvista za utvrđivanje parametara samooscilacija. Metoda Goljdfarba Ruski naučnik Goljdfarb L. S. je, koristeći metodu harmonijskog balansa, čiju su ideju iskazali tridesetih godina Krilov i Bogoljubov, primenio Nikvistov kriterijum stabilnosti za određivanje parametara oscilacija nelinearnog sistema. Kao što znamo, sistem je po Nikvistu na oscilatornoj granici stabilnosti, ako Nikvistova kriva prolazi kroz kritičnu tačku (-1, j0). Kako se Nikvistova kriva dobija iz funkcije povratnog prenosa sistema kao amplitudno-fazno-frekvencijska (kraće: amplitudno-fazna) karakteristika sistema bez povratne sprege, 163

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2 tada se, koristeći opisnu funkciju nelinearnog elementa i funkciju prenosa linearnog dela sistema može napisati polazna relacija W ( jω ) N ( A, Ω) = −1 , (7.18) na osnovu koje sledi ekvivalentna relacija 1 W ( jω ) = − (7.19) N ( A, Ω) ili 1 N ( A, Ω ) = − . (7.20) W ( jω ) Ove relacije se mogu rešavati grafo-analitički, odnosno primenom računara. Postupak je jednostavan. U kompleksnoj ravni frekvencijske funkcije prenosa linearnog dela sistema konstruiše se amplitudno-fazna karakteristika W(jω), na koju se nanose vrednosti ω kao tekućeg parametra. U istoj ravni se konstruiše inverzna karakteristika nelinearnog elementa s negativnim znakom, -1/N(A,Ω), na koju se nanose vrednosti amplitude A kao promenljivog parametra. Ako u sistemu postoje samooscilacije postojaće i presek datih grafika (karakteristika), jer će samo tada biti zadovoljena relacija (7.19). Na karakteristici W(jω) se, u tački preseka grafika, očita frekvencija samooscilovanja ω = Ω , a na karakteristici -1/N(A,Ω) vrednost amlitude A samooscilacija sistema. Međutim, samo postojanje preseka karakteristika ne garantuje egzistenciju stabilnih oscilacija. Krive se mogu presecati međusobno u dve ili više tačaka, što implicira različite frekvencije i/ili amplitude samooscilacija. Koja će od tih vrednosti parametara samooscilacija (A,Ω) stvarno egzistirati u sistemu potrebno je utvrditi naknadnim ispitivanjem stabilnosti tih samooscilacija. Metoda ispitivanja stabilnosti parametara samooscilacija u presecima karakteristika utvrđuje se na osnovu sledećeg kriterijuma koji nije analitički dokazan, ali nije ni ustanovljena njegova netačnost u praktičnoj primeni1. Naime, posmatrajući kao kritičnu tačku, u smislu Nikvistovog kriterijuma, tačku preseka posmatranih karakteristika, a kao Nikvistovu krivu amlitudno-frekvencijsku karakteristiku linearnog dela sistema, uvedimo perturbaciju amplitude samooscilacija na karakteristici nelinearnog elementa za mali iznos ±δA. Ako se s povećanjem (smanjenjem) amplitude kritična tačka izmešta van (unutar) Nikvistove krive, uz stabilnost linearnog dela sistema, tada je presečna tačka tačka stabilnih oscilacija. U suprotnom slučaju oscilacije su nestabilne i mogu se samo pojaviti u prelaznim režimima kao kratkotrajne oscilacije. Datu metodu utvrđivanja samooscilacija i njihovih parametara ilustrovaćemo na sledećim primerima: Primer 7.4.

Funkcija prenosa linearnog dela sistema je W ( s) =

1

1 , a nelinearnost je pos2 s(1 + s)

Ovaj prilaz daje samo potrebne ali ne i dovoljne uslove stabilnosti. Međutim, u većini praktičnih primena on daje i dovoljne uslove stabilnosti [4].

164

Glava 7.: Metoda harmonijske linearizacije sledica primene dvopozicionog regulatora (rele s histerezisom, sl. 7.5). Odrediti da li u datom sistemu postoje stabilne samooscilacije i, ako postoje, naći njihove parametre za:Uo=π, λ=1. Amplitudno-fazna karakteristika linearnog dela ima izraz: 1 1 −j . W ( jω) = − 2 2(1 + ω ) 2ω(1 + ω2 ) Koeficijenti harmonijske linearizacije se mogu dobiti iz izraza (7.9) i (7.10) za:

k=∞, ε=-1, tj. N1 ( A) =

4U 0 πA 2

A 2 − ε 2 , N 2 ( A) = −

N ( A) = N1 ( A) + jN 2 ( A) =

Sl. 7.5 Statička karakteristika NE u primeru 7.4.

1 = N ( A)

A −1 1 +j . 4 4

4U 0 πA

2

4U 0 πA 2

, pa je

( A2 − ε 2 − j) =

2

Na sl. 7.6 prikazana je grafička konstrukcija, iz koje se vidi da postoji presek dveju karakteristika, što znači da će u sistemu postojati samooscilacije čiji su parametri: Ω= 1 s-1 i A = 2 = 1,41 . Oscilacije su stabilne, jer dodavajući pozitivan priraštaj δA u tački preseka, ona se izvlači van amplitudno-fazne karakteristike linearnog dela sistema, i obrnuto dodavajući mali negativni priraštaj tačka se uvlači unutar amplitudno -fazne karakteristike. U ovom slučaju se lako može dobiti i analitičko rešenje izjednačavanjem realnih i imaginarnih delova W(jω) i -1/N(A). Tako se dobija sistem: 1 1 = , 2 2ω(1 + ω ) 4

Sl. 7.6. Grafičko određivanje samooscilacija u primeru 7.4.

A2 − 1 −1 = . 2 4 2(1 + ω ) Na osnovu prve relacije se dobija kubna jednačina: ω3 + ω − 2 = 0 , čije je jedino realno

rešenje ω=Ω= 1 s-1, a zamenom u drugu relaciju dobija se A= 2 .

Primer 7.5 Linearni deo sistema je motor jednosmerne struje s nezavisnom pobudom s rotorskim upravljanjem. Za regulaciju pozicije primenjen je rele bez histerezisa. Odrediti parametre samooscilacija sistema za regulator bez mrtve zone i s njom. Parametri motora su: Tr = 8 ms, Tm = 25 ms, c = 0,33, U o = 50 V. Analizirati ponašanje sistema u zavisnosti od širine mrtve zone λ.

165

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2 Funkcija prenosa motora je 1/ c Wm ( s ) = . 2 s ( s TmTr + sTm + 1) Ovde ćemo iskoristiti relaciju (7.20). Iz nje, za s=jω, koristeći relaciju (7.12) sledi: − ω2 cTm + jω(1 − ω2TmTr ) =

4U 0 λ 1 − ( )2 . A πA Izjednačavajući realni i imaginarni deo leve i desne strane dobija se: −

ω=

Sl. 7.7. Samooscilacije sistema (primer 7.5) oko ravnotežnog stanja A=

1 Tm Tr

s -1 ;

2 2TrU 0 cπ 1± 1− ( λ) 2 . 2TrU o cπ

Iz ovih izraza se vidi da frekvencija oscilovanja ne zavisi od veličine mrtve zone relea i ona iznosi

ω = 1 / 8 ⋅ 25 ⋅10 −6 = 50 2 s -1. Ako je rele bez mrtve zone, λ=0, amplituda oscillacija je jedinstvena

4 ⋅ 8 ⋅10 −3 ⋅ 50 = 1,543 rad . 0,33π Na sl. 7.7 prikazan je rezultat simulacije Sl. 7.8. Samooscilacije nestaju ako je datog sistema, na kojoj se vide oscilacije širina mrtve zone veća od amplitude ugaone pozicije θ i signal upravljanja u. oscilacija sistema bez mrtve zone. Ako rele ima mrtvu zonu 2λ 0, (8.2) poznatom kao Van der Polova jednačina. Ona opisuje elektronski oscilator. To je nelinearna diferencijalna jednačina drugog reda čiji je koeficijent uz prvi izvod zavisan od promenljive stanja. Stanje ravnoteže je jedinstveno ( x& , x) = (0,0) . Iz (8.2) se vidi da će proces biti nestabilan u oblasti malih vrednosti x, kada je x2m tada, nasuprot prethodnom, diferencijalna jednačina (8.2) je stabilna pa će stanje sistema težiti nuli. Iz ovoga se vidi da će u sistemu egzistirati stabilan granični krug kao singularna trajektorija u ovom nelinearnom sistemu. Za određivanje parametara tog graničnog kruga (amplitude i frekvencije) može se primeniti metoda harmonijske linearizacije. Za njenu primenu, u ovom slučaju, potrebno je formirati sistem s povratnom spregom čija je karakteristična jednačina oblika (8.2), a koji poseduje linearni element (LE) s osobinama niskopropusnog filtra (NF) i nelinearni element (NE). Ta kompozicija sistema prikazana je na sl. 8.1. LE ima izražene osobine NF filtra, jer je njegova amplitudnofrekvencijska karakteristika data izrazom 1 , A(ω) = Sl. 8.1. Van der Polov oscilator. (1 + ω2 ) 2 + (kmω) 2 te se metoda harmonijske linearizacije može primeniti. Ovde nećemo određivati koeficijente harmonijske linearizacije na prethodno opisani način, već ćemo potražiti izraz za izlaz nelinearnog elementa, u, kada se na njegov ulaz dovodi harmonijski signal x (t ) = A sin Ωt ,  2 d u ( A sin Ωt ) = [A sin Ωt ]  (− A sin Ωt ) = − A3Ω sin 2 Ωt cos Ωt = dt   − A3Ω(1 − cos 2 Ωt ) cos Ωt = − A3Ω(cos Ωt − cos 3 Ωt ) =

1 1   − A3Ω cos Ωt − (cos 3Ωt + 3 cos Ωt ) = − A3Ω (cos Ωt − cos 3Ωt ). 4 4   170

Glava 8.: Stabilnost nelinearnih SAU Zanemarujući treći harmonik (zbog izraženih filterskih osobina linearnog dela) dobija se A3 A3 d A2 u ( A sin Ωt ) = − sin Ωt = − sx . Ω cos Ωt = − 4 4 dt 4 Prema tome, funkcija povratnog prenosa harmonijski linearizovanog sistema je A2 −k s 4 . W p (s) = 2 s − kms + 1 Karakteristična jednačina sistema je A2 s2 − k( + m) s + 1 = 0 . 4

a)

b)

d) c) Sl. 8.2. Fazni portreti i odzivi Van der Polovog oscilatora: a, b) k=0,2, m=1; c, d) k=0.2, m=9.

Primenjujući Mihajlovljev uslov oscilovanja dobija se ω = Ω = 1s −1 , A = 2 m . Na sl. 8.2 prikazani su fazni portreti i odzivi Van der Polovog oscilatora za različite vrednosti parametara. Kao što se sa slika vidi, metoda harmonijske linearizacije je dala dobre rezultate. Međutim, ovde je najbitnije da se uoči da je 171

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2

stanje ravnoteže ( x1 = 0, x2 = 0) lokalno nestabilno (nestabilno “u malom”). Pri velikim odstupanjima od stanja ravnoteže, van graničnog kruga, sistem je stabilan, jer se njegovo stanje približava stanju ravnoteže. Iz ovog primera, kao i iz prethodnog, uočava se složenost problema stabilnosti nelinearnih sistema čak i u relativno jednostavnim slučajevima, kada sistem poseduje samo jedno stanje ravnoteže. U slučaju postojanja mnogih stanja ravnoteže analiza stabilnosti se, naravno, još više usložnjava. Pre nego što pređemo na metode analize stabilnosti nelinearnih sistema koje se danas koriste, ukazaćemo na neke interesantne istorijske činjenice u okviru kojih ćemo istaći dve hipoteze. U savremenoj teoriji stabilnosti dominira direktna metoda Ljapunova za analizu stabilnosti sistema, a i mnogi postupci sinteze se na njoj baziraju. Ljapunov je svoju teoriju stabilnosti publikovao 1892. Ona je, u međuvremenu, bila “zaboravljena”. Problemi upravljanja u oblasti naoružanja i kosmičkih letova, posle Drugog svetskog rata, podstakli su intenzivno istraživanje problema stabilnosti nelinearnih sistema. U Rusiji je Ajzerman predložio jedan prilaz, koji se u literaturi naziva Hipoteza Ajzermana, zasnovan na statičkoj linearizaciji nelinearnog elementa i stabilnosti tako dobijenog linearizovanog sistema. Po toj definiciji: Ako se statički koeficijent linearizacije nelinearnog elementa nalazi u opsegu [0,K] i za te vrednosti pojačanja je linearizovani sistem stabilan, tada je i polazni nelinearni sistem stabilan. Iako hipoteza u mnogim slučajevima daje dobre rezultate, ona je oborena na nizu primera. Međutim, odigrala je pozitivnu ulogu u teoriji stabilnosti, uvodeći pojam sektora u kome se nalazi karakteristika nelinearnog elementa. Drugu hipotezu je predložio američki naučnik Kalman (Hipopteza Kalmana). Za razliku od Ajzermana, Kalman predlaže da se za koeficijent pojačanja linearizovane nelinearnosti usvoji ne statički, već dinamički koeficijent, dobijen diferencijalnom linearizacijom nelinearnosti. Sve ostale tvrdnje Ajzermana ostaju u važnosti. Jasno je da je ova hipoteza mnogo strožija i gotovo da rešava problem analize stabilnosti nelinearnih sistema u opštem slučaju. Međutim, i ona je oborena na jednom primeru (Fits, 1966. [12]), simulacijom na analognom računaru i analizom pomoću metode harmonijske linearizacije. Igrom slučaja, u Centralnoj biblioteci u Moskvi, jedan od istraživača je naišao na doktorsku disertaciju Ljapunova, tako da se u Rusiji već od 1940. god. javljaju radovi u vezi s teorijom Ljapunova, a na Zapadu tek posle 1950. god. Time započinje preporod teorije stabilnosti Ljapunova i njena opšta primena.

8.2 Definicija stabilnosti po Ljapunovu

Neka se u faznom prostoru stanja ε-okolina ravnotežnog stanja xe definiše ndimenzionalnom sferom x − xe < ε . Kaže se da je taj položaj ravnoteže stabilan ako sistem, započinjući kretanje iz proizvoljne δ-okoline (δ=f(ε)) tog ravnotežnog stanja, celo vreme ostaje unutar ε-okoline. Drugim rečima, položaj 172

Glava 8.: Stabilnost nelinearnih SAU ravnoteže je stabilan ako, pri malim perturbacijama tog ravnotežnog stanja, kretanje sistema ostaje unutar neke oblasti koja zavisi isključivo od veličine perturbacije. Stroga definicija stabilnosti po Ljapunovu je sledeća: Neka je x=x0 početno stanje sistema u trenutku t=t0. Stanje ravnoteže je stabilno ako za bilo koje ε > 0 postoji δ > 0, zavisno samo od ε, i pri tome iz uslova x 0 − x e < δ sledi x − x e < ε za svako t>t0. Ova definicija stabilnosti po Ljapunovu ilustrovana je na sl. 8.3, kriva 1, za slučaj sistema drugog reda, kada sfera postaje krug. Primer 8.1: Sistem od dva redno vezana čista integratora obuhvaćena negativnom povratnom spregom je stabilan u smislu Ljapunova. Pri bilo kojim početnim uslovima kretanje sistema ostaje ograničeno, pošto su fazne trajektorije zatvorene krive linije (elipse), čije je maksimalno odstupanje od položaja ravnoteže definisano isključivo početnim uslovima. Primer 8.2: Nulto stanje ravnoteže sistema opisanog Van der Polovom jednačinom je nestabilno u smislu Ljapunova. Analiza položaja ravnoteže putem faznih portreta kao što su stabilan fokus ili stabilan čvor, u kojima se završavaju sva kretanja sistema, pri bilo kojim početnim uslovima, omogućava da se formuliše uža klasa sistema s asimptotskom stabilnošću: Stanje sistema je asimptotski stabilno ako je ono, najpre, stabilno i ako postoji δa > 0 takvo da svako kretanje koje polazi iz δa-okoline ravnotežnog stanja teži Sl. 8.3. Ilustracija definicije stabil- stanju ravnoteže x za t → ∞ . e nosti po Ljapunovu: trajektorije kretaDefinicija asimptotske stabilnosti je nja sistema: stabilnog 1 i asimptotski ilustrovana na sl. 8.3, kriva 2. stabilnog 2 Napomena 8.1: U jednoj klasi nelinearnih sistema dolazak u stanje ravnoteže iz neke šire oblasti početnih uslova se odvija za konačno vreme. Takve sisteme možemo nazvati sistemima stabilnim u konačnom vremenu1. Osim navedenih definicija stabilnosti i asimptotske stabilnosti, u savremenoj teoriji stabilnosti postoje i druge kao što su orbitalna stabilnost, globalna stabilnost, globalna asimptotska stabilnost i dr. Na primer, Van der Polov oscilator ima osobinu orbitalne stabilnosti, a pojam globalnosti obuhvata ceo prostor stanja, a ne samo mala odstupanja od položaja ravnoteže. S obzirom da nelinearni sistemi, u opštem slučaju, mogu imati veći broj (pa i bezbroj) stanja ravnoteže, uputno je uvek ukazati u odnosu na koje stanje ravnoteže se odnosi stabilnost (nestabilnost). Pri tome, razmatrajući konkretno 1

Cipkin je takve sisteme nazvao sistemi sa beskonačnim stepenom stabilnosti [13].

173

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2 stanje ravnoteže, mi ćemo dalje ishodište koordinatnog sistema prostora stanja smeštati u posmatrano stanje ravnoteže. Primer 8.3. U cilju ilustracije problema stabilnosti različitih stanja ravnoteže, razmotrićemo jedan primer sistema drugog reda u kome figuriše nelinearnost tipa pojačavača sa zasićenjem (limiter), sl.8.4. Dati sistem se opisuje sledećim relacijama: x1 = −c, − 4 za x1 < −1  x&1 = x2 , ; u = F ( x1 ) =  4 x1 za x1 ≤ 1 .  4 za x > 1 x& 2 = 3x1 − 2 x2 − u , 1  Stanja ravnoteže se dobijaju tako što se svi izvodi u matematičkom modelu izjednače s nulom. U datom slučaju se dobija: x2 = 0, 3x1 − u = 0.

Sl. 8.4. Nelinearni sistem s limiterom. Zamenjujući u iz modela u ovaj sistem algebarskih jednačina dobijaju se sledeća tri stanja ravnoteže: 1. 2. 3. x1 -4/3 0 4/3 x2 0 0 0 Fazni portret sistema je dat na sl. 8.5. Svako Sl. 8. 5. ravnotežno stanje ima svoje osobenosti. Prvo i Fazni portret sistema sa sl. 8.8. treće su tipa sedla, dok je drugo (nulto) stanje ravnoteže tipa stabilnog čvora. Prema tome, nulto stanje ravnoteže je lokalno stabilno (stabilno za male poremećaje - stabilno “u malom”). Oblast asimptotske stabilnosti ovog stanja ravnoteže se sigurno definiše naznačenim krugom na faznom portretu. Međutim, treba istaći da će nulto stanje ravnoteže sistema biti asimptotski stabilno i za neke druge početne uslove. Na primer, za početne uslove koji se nalaze između singularnih stabilnih trajektorija druga dva fazna portreta tipa sedla (nešrafirana oblast na faznom portretu). Druga dva stanja ravnoteže su nestabilna.

Složenost problema stabilnosti nelinearnih sistema se vidi i iz ovog jednostavnog primera. Posmatrajući dati sistem, na prvi pogled se zaključuje da će on biti stabilan samo ako je ispunjen uslov x1 < 1 . Na osnovu faznog portreta, dobijenog simulacijom na računaru, vidi se da će on biti stabilan i kada je taj uslov narušen, ali bitnu ulogu ima znak i veličina diferencijala x1. Ovo ukazuje na činjenicu da sve analitičke metode određivanja stabilnosti nelinearnih sistema daju samo dovoljne uslove stabilnosti. 174

Glava 8.: Stabilnost nelinearnih SAU Na složenost problema ukazuje i analiza stabilnosti sistema u posmatranom primeru pri delovanju referentnog ulaznog signala. Na osnovu razmatranja faznog portreta autonomnog sistema može se, na prvi pogled, doći do zaključka (pogrešnog) da će posmatrani sistem biti stabilan za sve konstantne referetne signale r (t ) < 1 !? Ako model sistema, pri delovanju konstantnog ulaza, napišemo u odnosu na signal greške dobićemo: &x& + 2 x& − 3(r − x) = − F ( x) ; r=const.

U oblasti x < 1, ova jednačina postaje &x& + 2 x& + x = −3r . Posmatrani sistem je drugog reda s koeficijentom relativnog prigušenja ζ=1, što znači da će odziv sistema monotono rasti do vrednosti pobudne funkcije, koja u ovom slučaju iznosi 3r. Da sistem ostane unutar linearne oblasti mora biti r ≤ 1 / 3 , što je i granica ulaznog signala pri kome je sistem stabilan. Iz izloženog se može zaključiti da je analiza stabilnosti nelinearnog sistema “u malom” bremenita opasnostima, ali se ovaj tip ispitivanja stabilnosti veoma često koristi u inženjerskoj praksi zbog linearizacije - analize sistema pri malim poremećajima u okolini mirne radne tačke. Zbog toga ćemo se, najpre, osvrnuti na indirektnu metodu Ljapunova, koja koristi linearizovani model nelinearnog sistema u okolini stanja ravnoteže. 8.2.1 PRVA (INDIREKTNA) METODA LJAPUNOVA

Prva metoda Ljapunova je, u stvari, teorema koja definiše uslove čije ispunjenje omogućava da se na osnovu linearizacije može vršiti ocena stabilnosti nelinearnog sistema u okolini stanja ravnoteže. Ta teorema važi samo za autonomne sisteme. Zbog toga je, najpre, potrebno razjasniti problem uticaja ulaznih signala. Ako je za sistem x& = f(x, u) vektor upravljanja, u, konstantan, tada takav sistem možemo analizirati kao sistem bez ulaznog signala, pomerajući položaj ravnoteže za veličinu ulaznog signala. Drugim rečima, sistem x& = f(x, u = u 0 ) , u 0 = const , s nultim početnim uslovima, ima isti oblik kretanja kao autonomni sistem s pomerenim stanjem ravnoteže po x1-osi. To stanje ravnoteže se određuje iz uslova x& = f(x, u 0 ) = 0. Jasno je da se u slučaju linearnog sistema

x& = Ax + Bu položaj ravnoteže određuje realcijom x = − A −1 Bu 0 . Ako ulazni signal zavisi od vremena, onda u opštem slučaju nije moguće uvesti takvu transformaciju koja bi definisala jedinstveni položaj ravnoteže. Zbog toga se ideje Ljapunova moraju na drugi način primeniti na takve sisteme upravljanja, o čemu će biti govora u odeljku o stabilnosti procesa u nelinearnim sistemima. Za autonomne sisteme, sisteme s konstantnim ulazom i sisteme čije se parcijalno stanje ravnoteže poznaje, stabilnost se na osnovu diferencijalne linearizacije određuje sledećom teoremom Ljapunova: 175

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2

Neka je za autonomni sistem x& = f(x) jednačina poremećenog stanja ∂f ravnoteže x e oblika δx& = δx + h(x e , δx), pri čemu je ∂x  df 1 / dx1  ∂f df 2 / dx1 = . ∂x   df n / dx1

df 1 / dx 2 df 2 / dx 2 . df n / dx 2

... df 1 / dx n  ... df 2 / dx n  ;  . .  ... df n / dx n 

δx → 0

lim

h(x e , δx ) δx

=0;

∂f δx : ∂x a) ima sve leve sopstvene vrednosti, tada je posmatrano stanje ravnoteže asimptotski stabilno; b) ima makar i jednu desnu sopstvenu vrednost, tada posmatrano stanje ravnoteže nije stabilno; c) postoje neke sopstvenu vrednosti na imaginarnoj osi, a sve ostale su leve, tada se o stabilnosti sistema u okolini stanja ravnoteže ne može suditi na osnovu linearizacije, već je potrebno primeniti druge metode. ako jednačina linearizovanog sistema δx& =

Na osnovu ovih definicija treba očekivati da će u okolini stanja ravnoteže tip faznog portreta linearizovanog sistema biti identičan tipu faznog portreta polaznog nelinearnog sistema. U posebnom slučaju, za nelinearne sisteme drugog reda, fazne trajektorije, u okolini stanja ravnoteže, biće određene jednačinom linearizovanog sistema, uz uslov da njegove sopstvene vrednosti nisu na imaginarnoj osi. Primer 8.4. Razmotrimo sistem iz prethodnog primera. Za njegovu linearizaciju, u odnosu na svaki od tri položaja ravnoteže, uvedimo sledeću smenu: δx1 = x1 − x1e ; δx 2 = x 2 − x 2 e . Za nulto stanje ravnoteže imamo: δx&1 = δx2 , δx& 2 = −δx1 − 2δx2 .

Karakteristična jednačina ovog sistema je s 2 + 2 s + 1 =0. Ona ima dvostruki levi koren s=-1, pa je po Ljapunovu takvo stanje ravnoteže asimptotski stabilno. Fazni portret u okolini ovog stanja ravnoteže je tipa stabilnog čvora. U položaju ravnoteže (4/3, 0) linearizacijom se dobija δx&1 = δx2 , δx& 2 = 3δx1 − 2δx2 .

Karakteristična jednačina sistema je s 2 + 2 s − 3 = 0. Njeni koreni su 1 i -3. Prema tome, ovo stanje ravnoteže je nestabilno. Do istih rezultata se dolazi i za stanje ravnoteže (-4/3, 0). Ovde treba napomenuti očiglednost nestabilnosti sistema pri većim poremećajima, kada pojačavač ulazi u zonu zasićenja. Tada se sistem raspreže i postaje sistem bez delovanja povratne sprege, s konstantnim signalom upravljanja. Stabilnost sistema je, tada, određena polovima funkcije prenosa linearnog dela sistema.

176

Glava 8.: Stabilnost nelinearnih SAU 8.2.2 DRUGA (DIREKTNA) METODA LJAPUNOVA

Kao što smo videli, kod linearnih sistema nismo bili u stanju da određujemo korene karakteristične jednačine kao algebarske jednačine visokog stepena, te smo pribegavali primeni kriterijuma stabilnosti. Još manje smo u mogućnosti da sudimo o stabilnosti nelinearnih sistema neposrednim putem. Jedan od prilaza je već dat u vidu indirektne metode Ljapunova. Vršeći linearizaciju sistema u okolini stanja ravnoteže, problem stabilnosti svodimo na problem stabilnosti linearnih sistema. Primenjujući uslove navedene teoreme, možemo suditi o stabilnosti sistema samo pri malim poremećajima, pri kojima je linearizovani matematički model sistema blizak originalnom nelinearnom modelu. Ali i tu, kako tvrdi navedena teorema, u slučaju da postoje koreni na granici stabilnosti, o stabilnosti se ne može ništa određeno zaključiti, pa je potrebno primeniti neki druge prilaze. Jedan od njih je direktna metoda Ljapunova. Analizirajući problem stabilnosti nelinearnih sistema, Ljapunov je došao do veoma interesantne ideje. Predložio je kriterijum stabilnosti takav da možemo zaključivati o stabilnosti sistema ne rešavajući njegovu difrencijalnu jednačinu i ne vršeći njenu linearizaciju u okolini stanja ravnoteže. Ljapunovljev prilaz se u literaturi obično objašnajva upoređivanjem s mehaničkim sistemom koji je izveden iz ravnotežnog stanja dejstvom neke sile. Ta sila je njemu predala neku količinu energije. Usled toga su se unutrašnje energije sistema, kinetička i potencijalna, promenile. Dalje njegovo kretanje se odvija pod dejstvom te unutrašnje energije. Ako se, tokom tog slobodnog kretanja, njegova unutrašnja energija stalno troši (disipira), tada će se on, istrošivši svu energiju, naći u stanju mirovanja - u stanju ravnoteže. Sistem je tada asimptotski stabilan po Ljapunovu. Ako, pak, u tom sistemu postoji neprestana konverzija potencijalne energije u kinetičku i obrnuto (konzervativan sistem), tada će taj sistem, u smislu definicije stabilnosti po Ljapunovu, biti stabilan. Kod sistema automatskog upravljanja, zbog delovanja signala u zatvorenoj petlji, može doći do povećanja unutrašnje energije sistema, na račun izvora za napajanje, te do neprekidnog udaljavanja stanja sistema od ravnoteže. Ljapunov je predložio da se za dinamički nelinearni sistem, opisan modelom x& (t ) = f (x) , odredi, kao ekvivalent unutrašnjoj energiji, posebna skalarna funkcija njegovih koordinata stanja (vektorskog argumenta), V(x), koja će: (i) biti pozitivno definitna:V ( x) > 0 za ∀x ≠ 0, V ( x) = 0 za x = 0 , što znači da je ona pozitivna u svim tačkama prostora stanja, obuhvaćenim εokolinom ravnotežnog stanja sistema, osim u koordinatnom početku, kada je jednaka nuli. Pretpostavlja se da je koordinatni početak prostora stanja smešten u stanju ravnoteže. (ii) Ako je izvod V(x), duž trajektorija kretanja sistema, negativno semidefinitna funkcija, tj ako je dV (x) ∂V ∂x ∂V ∂V x& = f (x) ≤ 0 za ∀x ≠ 0, V& (x) = 0 za x = 0, = V& (x) = = dt ∂x ∂x ∂t ∂x 177

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2 tada kažemo da je sistem stabilan u smislu Ljapunova i njegovo kretanje će uvek ostajati u ε- okolini ravnotežnog stanja. Tada se funkcija V(x) naziva funkcijom Ljapunova. (iii) Ako je izvod funkcije Ljapunova strogo negativno definitna funkcija tada je ravnotežno stanje, u posmatranoj δ-okolini, asimptotski stabilno. (iv) Ako se napred definisani uslovi ispunjavaju za ceo prostor stanja, i važe uslovi: V ( x) → ∞ za

∑ xi2 n

i =1

→ ∞, x i → ∞,

tada se za sistem kaže da je globalno stabilan, kada je V& (x) ≤ 0 , odnosno, globalno asimptotski stabilan za V& (x) < 0 . Za primenu takvog prilaza moraju biti ispunjeni sledeći uslovi: a) da je vektor f(x) neprekidna funkcija argumenta; b) da je funkcija Ljapunova realna funkcija i ima neprekidne diferencijale prvog reda. Izbor funkcije Ljapunova nije jednostavan problem. Za jedan te isti sistem možemo imati veliki broj pozitivno definitnih funkcija V(x). Neke od njih mogu imati negativno definitan izvod u određenim oblastima ravnotežnog stanja, druge - izvod jednak nuli ili pozitivno definitan. Zbog toga, pri izboru V(x), možemo govoriti samo o kandidatu funkcije Ljapunova. Ako je izvod te funkcije, duž trajektorija kretanja sistema: negativno definitna, semidefinitna, pa čak i funkcija jednaka nuli, tada takva funkcija V(x) je funkcija Ljapunova. Tada je sistem zaista asimptotski stabilan ili stabilan u oblasti definisanoj funkcijom Ljapunova. Ako nismo u stanju da nađemo funkciju Ljapunova to još uvek ne znači da dati sistem nije stabilan. Ako smo odredili stabilnost sistema u ograničenoj oblasti, u okolini ravnotežnog stanja, to nikako ne znači da sistem nije stabilan i za početna stanja iz druge oblasti. To, pre svega, govori o tome da direktna metoda Ljapunova daje samo dovoljne ali ne i potrebne uslove stabilnosti, a zatim, i da izbor funkcije Ljapunova nije uvek jednostavan zadatak. Ipak za neke klase sistema razvijeni su prilazi koji omogućavaju relativno jednostavan postupak utvrđivanja stabilnosti sistema na osnovu unapred poznatog oblika kandidata funkcije Ljapunova. Takvi postupci su, na primer, metoda Ajzermana i prilaz Lurje-Postnjikova. Postupak Ajzermana ilustrovaćemo na jednom primeru. Primer 8.5. Ispitati stabilnost nelinearnog autonomnog sistema prikazanog na sl. 8.6, čija je nelinearnost jednoznačna i može se aproksimirati linearnom karakteristikom s koeficijentom statičke linearizacije k=2. Po metodi Ajzermana, posle aproksimacije nelinearnosti, nalaze se koeficijenti kvadratne forme tako da ona postane kandidat funkcije Ljapunova za linearizovani sistem (videti poglavlje 3.10). Zatim se tako dobijena kvadratna forma primenjuje na polazni nelinearan sistem i određuju se granice nelinearnosti. Za autonomni sistem matematički model se može napisati u obliku 178

Glava 8.: Stabilnost nelinearnih SAU k =2 x&1 = x2 , ⇒ x& 2 = −2 x2 − F ( x1 ).

x&1 = x2 , x& 2 = −2 x1 − 2 x2 . Generalisana kvadratna forma kandidat funkcije Ljapunova ima oblik &x& + 2 x& = − F ( x) ⇒

V (x ) = x T Px , (8.3) gde je x- vektor stanja sistema, a P - realna simetrična pozitivno definitna matrica. Diferencirajući V(x) po vremenu duž trajektorija kretanja sistema i zahtevajući da ta funkcija bude negativno definitna, dobija se poznata matrična algebarska jednačina Ljapunova (videti poglavlje 3.10), A T P + PA = −Q , (8.4) gde je Q - realna, simetrična, pozitivno definitna matrica. Pozitivna definitnost se utvrđuje na osnovu kriterijuma Silvestra, koji zahteva da dijagonalne determinante posmatrane matrice budu pozitivne. Usvajajući za Q jediničnu matricu, iz prethodne relacije nalazimo Sl. 8.6 Nelinearni sistem za primer 8.5. vrednosti za članove matrice P:

0 −2   p11   1 −2   p12

p12   p11 + p22   p12

p12   0 1   −1 0  = .  p22  −2 −2   0 −1

Rešenja ove matrične jednačine su: p11 = 5 / 4; p12 = 1 / 4; p22 = 3 / 8. Dobijena matrica 5 / 4 1 / 4  P=  1 / 4 3 / 8

je pozitivno definitna. Prema tome, funkcija V ( x ) =

5 2 1 3 x1 + x1 x 2 + x 22 je funkcija 4 2 8 Ljapunova za linearizovani sistem. Diferencijal ove funkcije duž trajektorija kretanja nelinearnog sistema je: 3x 5 1 1 V& (x) = x1 x2 + x22 + ( x1 + 2 ) x& 2 ; x& 2 = −2 x2 − F ( x1 ) ⇒ 2 2 2 2 3 1 3 2 V& (x) = x1 x2 − x2 − x1 F ( x1 ) − x2 F ( x1 ). 2 2 4 Poslednji izraz se može napisati u obliku 1  F ( x1 )  2  3  F ( x1 )  3   -  x1 x2 - x22 =  x1 -   V& ( x) = -  2  x1   4  x1  2   1  F (x )  1     x 2  1   − xT      3  F ( x1 )  − 3    8  x1  4  

 3  F ( x1 )  3    −      8  x1  4   x .  1  

Da bi data V(x) bila funkcija Ljapunova i za posmatrani nelinearni sistem, poslednja matrica u kvadratnoj formi mora biti pozitivno definitna. To će biti ispunjeno ako je:

179

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2 F ( x1 ) > 0 , tj. ako karakteristika nelinearnosti pripada I i III kvadrantu, što je u x1 ovom slučaju ispunjeno. (ii) determinanta date matrice veća od nule, tj.:  1  F (x )   3  F ( x1 )  3   F ( x1 ) 1  =z  −        x1 4 8 2 x x 68   1     1    ⇒ det  z2 − z + 4 < 0. >0  3  F ( x1 )  3  9    −  1    8  x1  4    (i)

Rešenja ove nejednačine su F ( x1 ) 0,57284 < z = < 6,9827. x1 Prema tome, posmatrani sistem je asimptotski stabilan ako se koeficijent statičke linearizacije nelinearne karakteristike nalazi u ukazanom opsegu. Obratimo pažnju na to da je linearizovani sistem stabilan za sva pojačanja 0 0 i skalarna je veličina. Uvedimo matricu  Q − 1 0 R= T , 1 0 čija je determinanta pozitivna, a 0-je n-dimenzionalni nulti vektor. Na osnovu ovog razmatranja sledi da det[RD] mora biti veća od nule da bi izvod funkcije Ljapunova (8.9) bio negativno definitna funkcija, tj. Q −1 0  Q − g − Q −1g I = hI − g T Q −1g > 0 , = RD =  T  T  T − g h − 1 g 0 h    odakle se konačno dobija nejednakost Lefšeca, koja garantuje da je funkcija V(x,e) oblika (8.7) funkcija Ljapunova, tj.

h > g T Q −1 g . (8.10) Ako se pri tome postavi dopunski uslov da integral u (8.7) →∞, kada e(t)→∞, onda će V(x,e)→∞, pa je stanje ravnoteže sistema (8.6) globalno asimptotski stabilno ili apsolutno stabilno2.

s+6 . ( s + 2)( s + 3) Koristeći metod Lefšeca za Lurjeov problem, odrediti najmanju vrednost parametra h tako da nelinearni sistem s Lurjeovom nelinearnošću bude apsolutno stabilan. Primenjujući postupak paralelnog programiranja na funkciju prenosa linearnog dela sistema, matematički model posmatranog nelinearnog sistema se može napisati u obliku (8.6), gde su: −2 0  1 4 A= , b = 1, d = −3 . − 0 3      Linearni deo sistema je stabilan. Neka je matrica Q, kao realna, simetrična, pozitivno definitna matrica data u obliku α 0  Q= ; α , β > 0 .  0 β Elemente matrice P odredićemo iz matrične jednačine Ljapunova −2 0   p11 p12   p11 p12  −2 0  α 0  = − +    p ,   0 −3  12 p22   p12 p22   0 −3  0 β

Primer 8.6: Linearni deo sistema je zadat funkcijom prenosa W (s) =

odakle se dobija 2

Apsolutna stabilnost nelinearnog sistema označava da je sistem globalno asimptotski stabilan. Ovaj pojam je u teoriju nelinearnih SAU uveo Lurje.

183

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2

0  α / 4 P= . β / 6  0 Vektor g je 0  1 1  4   (α / 4) - 2  d α / 4 g = Pb − =    −   =  . β / 6 1 2 −3 (β + 9) / 6 2  0 Primenjujući uslov (8.10) dobija se 1 α 1 β+9 2 ) . h > ( - 2) 2 + ( α 4 β 6 Za ∀ α, β > 0 mogli bi odrediti odgovarajuće h. Međutim, pošto se zahteva minimalna vrednost za h, posle diferenciranja poslednjeg izraza po α i β i izjednačavanja diferencijala s nulom, dobijaju se rešenja α=8 i β= 9, koja daju minimum desne strane u poslednjem izrazu jednak 1, pa je h>1 rešenje postavljenog zadatka.

8.4 Frekvencijska metoda Popova Problem stabilnosti nelinearnih sistema s nelinearnošću Lurjeovog tipa, sa stanovišta inženjerske primene, na veoma efektan način je rešio rumunski naučnik Popov Vasile Mihaj (1959.). On je predložio kriterijum stabilnosti nelinearnih sistema analogan kriterijumu Nikvista za linearne sisteme. Interesantno je napomenuti da je prvobitno Popov svoj kriterijum objavio u rumunskom časopisu. Da taj rad nije publikovan i u ruskom časopisu Avtomatika i telemehanika (1961.), a koji se prevodi na engleski, u Americi, metoda Popova bi dugo vremene ostala nepoznata stručnjacima iz oblasti automatskog upravljanja. Za primenu frekvencijskog kriterijuma Popova potrebno je imati amplitudno-faznu karakteristiku (AFFK) linearnog dela sistema. Shodno Lurjeovom zadatku, linearni deo sistema je, po pretpostavci, stabilan pa se amplitudno-fazna karakteristika može i eksperimentalno snimiti. Polazeći od sistema prikazanog na sl. 8.9, za osnovni slučaj, i od funkcije Ljapunova Lurjeovog tipa, prikazaćemo jedan od načina [4] matematičkog izvođenja frekvencijskog kriterijuma Popova. Neka se nelinearni sistem opisuje relacijama x& = Ax + bu , u = F (e),

e = −d T x, i neka je funkcija Ljapunova izabrana u obliku (8.7), tj. V (x, e) = x T Px + ∫ F ( z )dz . e

0

(8.11)

(8.12)

Diferencirajući (8.12) po vremenu dobija se d V& (x, e) = ( x T Px ) + F (e)e& = x T ( A T P + PA )x + 2x T PbF (e) − F (e)d T x& (8.13) dt T T T T = x ( A P + PA )x + 2x PbF (e) − d (Ax + bF (e) )F (e). Dodajmo relaciji (8.13) izraz 184

Glava 8.: Stabilnost nelinearnih SAU

− gF (e)(e + d T x ) + hF 2 ( e) − hF 2 (e) = 0 ,

(8.14)

koji je jednak nuli, jer je e = −d x . Parametri g i h se biraju proizvoljno, u opsegu koji ćemo kasnije utvrditi. Uzmimo, takođe, u obzir i relaciju x T Pb = b T Px , (8.15) koja je skalarna veličina, pa joj transpozicija ne menja vrednost. Zamenom (8.14) u (8.13), uz uzimanje u obzir (8.15), dobija se: V& ( x, e) = x T ( A T P + PA )x + 2x T PbF ( e) − d T ( Ax + bF ( e)) F ( e) T

= x T ( A T P + PA )x + ( 2b T P − d T A )xF ( e) − d T bF 2 ( e) − gF ( e)( e + d T x ) + hF 2 ( e) − hF 2 ( e)

= x ( A P + PA )x + ( 2b P − d A − gd )xF ( e) + T

T

T

T

(8.16)

T

[hF ( e) − ge]F ( e) + ( −d T b − h ) F 2 ( e). Ako je linearni deo sistema stabilan, uvek se može naći realna, simetrična, pozitivno definitna matrica P takva da je, shodno Ljapunovljevom kriterijumu stabilnosti za linearni sistem, matrica A T P + PA realna, simetrična i negativno definitna matrica. Prema tome, prvi sabirak u poslednjem izrazu (8.16) je negativan. Za ocenu ostalih članova koristi se Kalmanova teorema: Ako je σ>0 - realan broj, v, b - dva realna vektora dimenzije n×1, n-broj koordinata stanja sistema, P, A - prethodno date kvadratne matrice, tada će postojati vektor r, koji zadovoljava relacije: A T R + RA = − r ⋅ r T , (8.17) Pb − v = r σ , ako je ispunjen uslov

σ + 2 Re[ v T ⋅ ( jωI − A ) ⋅ b] ≥ 0 , za sve realne vrednosti ω. Primenjujući ovu teoremu na izraz za V& , i izborom 1 1 T v = (A + gI ) d = ( A T d + gd), 2 2 T σ = h + d b, za V& tada važe sledeće jednakosti: A T P + PA = −r ⋅ r T , −1

(8.18)

(8.18a)

2b T P − d T A − gd T = 2b T P − 2 v T = 2r T σ = 2 h + d T b r T ,

V& = − x T rr T x + 2 h + d T b r T xF (e) + [hF (e) − ge]F (e) − (h + d T b) F 2 (e). Kod prvog člana u poslednjem izrazu imamo proizvod ( x T r)( r T x) proizvoda dva vektora, koji su skalari, prema tome, to je kvadrat neke skalarne veličine, tj. (r T x) 2 . Obratimo pažnju da tada prvi, drugi i poslednji član tog izraza predstavljaju kvadrat razlike, s negativnim znakom, te se može napisati: 185

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2 g (8.19) V& = −[r T x − h + d T b F (e)]2 + hF (e)[ F (e) − e] . h Prema Ljapunovu, sistem (8.11) biće stabilan ako je V& (x, e) < 0, ∀x ≠ 0, e ≠ 0. Prvi član (8.19) je očigledno negativan. Potrebno je još samo naći uslove pri kojima će i drugi član biti negativan. S obzirom da je drugi član proizvod dve veličine, očigledno je da će on biti negativan ako su ispunjeni uslovi: g F (e) > 0 i F ( e) ≤ e = ke za e > 0, h (8.20) g F (e) < 0 i F ( e) ≥ e = ke za e < 0. h & Za e=0 je i x=0 i V = 0 .

Sl. 8. 10. Prema (8.19), ako se nelinearnost nalazi u sektoru, izvod funkcije Ljapunova je negativan te je sistem stabilan.

Uslovi (8.20) ustvari označavaju da se nelinearnost nalazi u sektoru [0,k], sl. 8.10, što je osnovna pretpostavka u Lurjeovom zadatku.

Međutim, treba istaći da je osnovni uslov, koji nas je doveo do relacije (8.19) dat izrazom (8.18) koji se, uzimajući u obzir drugu relaciju u (8.18a), može napisati u obliku (8.21) h + d T b + Re{d T ( A + gI )( jωI − A ) −1 b} ≥ 0. Ovaj izraz se može pogodno interpretirati, jer sadrži amplitudno-faznu karakteristiku linearnog dela sistema. Radi te interpretacije, zapišimo prvu relaciju u (8.11) u operatorskom obliku i rešimo je po vektoru stanja: −1 sX( s ) = AX( s ) + bU ( s ) ⇒ X( s ) = (sI − A ) bU ( s ); (8.22) −1 E ( s ) = −d T X( s ) = −d T (sI − A ) bU ( s ) ⇒ E ( s ) = −W ( s )U ( s ), gde je W(s) - funkcija prenosa linearnog dela sistema. Prelazeći u frekvencijski domen (s=jω), dobija se e = − d T ( jωI − A ) −1 bu = −W ( jω )u, (8.22a) gde je W(jω)- amplitudno-fazna karakteristika linearnog dela sistema. S druge strane je, na osnovu (8.11) i prve relacije u (8.22),

[

]

se = −d T sx = −d T Ax − d T bu ⇒ jωe = −d T A ( jωI − A ) −1 bu − d T bu, s = jω

ge = − gd ( jωI − A ) bu ⇒ ge = −d gI( jωI − A ) bu. Sumirajući poslednje dve jednačine dobija se ( jω + g )e = − d T ( A + gI )( jωI − A ) −1 bu − d T bu, ⇒ T

−1

T

−1

(8.22b)

( jω + g )e = − d T A ( jωI − A ) −1 bu − d T bu − gd T ( jωI − A ) −1 bu ⇒ (8.23)

( jω + g )e = − ( jω + g )W ( jω )u. Poslednja relacija u (8.23) proizilazi iz (8.22a,b). Ako se (8.23) zameni u uslov (8.21) za negativnu definitnost izvoda funkcije Ljapunova dobija se: 186

Glava 8.: Stabilnost nelinearnih SAU

h + d T b + Re{d T ( A + gI )( jω − A ) −1 b)} =

h + d T b + Re{( jω + g )W ( jω)} − d T b ≥ 0.

Potirući članove d T b , a pošto je g≠0, moguća je sledeća transformacija h ω h + Re{( jω + g )W ( jω)} ≥ 0 ⇒ + Re{(1 + j )W ( jω)} ≥ 0 ⇒ g g 1 1 g Re{(1 + jqω)W ( jω)} + ≥ 0; q = , k = . k g h & Ako je ispunjena poslednja relacija, V (x, e) < 0, ∀x ≠ 0, e ≠ 0 i sistem će biti stabilan. Na taj način je dobijena nejednakost Popova 1 Re{(1 + jqω)W ( jω)} + ≥ 0, (8.24) k koja, zajedno s uslovom da se statička karakteristika nelinearnosti nalazi u prvom i trećem kvadrantu i da prolazi kroz koordinatni početak, predstavlja dovoljan uslov apsolutne stabilnosti nelinearnog sistema. Sada se može formulisati frekvencijski kriterijum apsolutne stabilnosti Popova za nelinearne sisteme: Nelinearni sistem s linearnim delom frekvencijske funkcije prenosa W(jω) i F ( e) statičkom nelinearnošću koja ispunjava uslov 0 ≤ ≤ k , ako W(s) ima e F ( e) samo leve polove, ili uslov 0 < ≤ k , kada W(s) ima sve leve polove e osim jednog u koordinatnom početku, je apsolutno stabilan ako postoji realan broj q takav da je ispunjena nejednakost Popova (8.24) za svako ω≥0. Ova teorema Popova ima veoma zgodnu geometrijsku interpretaciju, što će biti pokazano u daljem izlaganju. 8.4.1 GEOMETRIJSKA INTERPRETACIJA KRITERIJUMA POPOVA

Polazeći od (8.24), rastavljajući W(jω) na realni, U(ω), i imaginarni, V(ω), deo može se, najpre, napisati 1 Re{(1 + jqω)(U (ω) + jV (ω))} + ≥ 0 . k Vršeći ukazana množenja i uzimajući samo naznačeni realni deo dobija se 1 U (ω ) − qωV (ω ) + ≥ 0 . k Uvedimo pojam modifikovane frekvencijske funkcije prenosa Wm ( jω ) = U m (ω ) + jVm (ω ) = U (ω ) + jωV (ω ) , koja se od obične frekvencijske karakteristike razlikuje samo time što ima imaginarni deo ω puta veći. Tada nejednakost Popova postaje 187

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2 U ( ω ) − q Vm ( ω ) +

1 ≥0. k Ako uzmemo znak jednakosti i ovu relaciju napišemo u obliku 1 1 Vm (ω) = U (ω) + , q kq ona, u ravni modifikovane frekvencijske funkcije prenosa, predstavlja pravu liniju (pravu Popova) koja ima nagib 1 / q u odnosu na U(ω) - osu, i istu preseca u Sl. 8.11. Primena kriterijuma tački -1/k. Sada se uslov Teoreme Popova stabilnosti Popova. svodi na to da modifikovana AFFK sistema bude desno od prave Popova, sl. 8.11. Granični slučaj je kada se ta prava i modifikovana frekvencijska karakteristika dodiruju (u jednoj ili više tačaka). Sada se kriterijum stabilnosti Popova može definisati na sledeći način: Nelinearni SAU sa stabilnim linearnim delom, frekvencijske funkcije prenosa W(jω), i statičkom nelinearnošću F(e) koja ispunjava uslov F ( e) (8.25) 0< 0. r k r k kr Ako se leva strana (8.28) izjednači s nulom, u ravni modifikovane AFFK polaznog sistema taj izraz će predstavljati jednačinu parabole koja preseca negativni deo realne ose u tačkama − 1 / r i − 1 / k , a tangente u tim tačkama imaju nagibe: − 1 / q i 1 / q , respektivno, pri čemu se one seku u tački čije su koordinate, sl. 8.14: − 0,5( r -1 + k −1 ); − 0,5q −1 ( r -1 − k −1 ) . (8.29) Cipkin [13] je ovu parabolu nazvao (q,k,r)-parabola. Za apsolutnu stabilnost posmatranog sistema dovoljno je da modifikovana AFFK linearnog dela polaznog sistema ne preseca datu parabolu. U celini, ovaj kriterijum glasi:

(

)

Stanje ravnoteže x=0, nelinearnog sistema je apsolutno stabilno ako karakteristika nelinearnog elementa pripada sektoru [r,k], a modifikovana amplitudno-fazna karakteristika linearnog dela sistema ne preseca (q,k,r)parabolu. Za r→0, (q,k,r)-parabola se transformiše u pravu i parabolični kriterijum se svodi na običan kriterijum Popova. Treba još napomenuti da je ravan polazne modifikovane-fazne karakteristike, a ne transformisane. Primer 8.7. Utvrditi uslove apsolutne stabilnosti nultog stanja ravnoteže nelinearnog sistema iz primera 8.3. Dati sistem ima tri stanja ravnoteže. Nulto stanje ravnoteže nije apsolutno stabilno, jer se ne može naći parametar r takav da se stabiliše nestabilan linearni deo, a da pri tome karakteristika nelinearnosti ostane u sektoru (r,k). Naime, minimalno r koje stabiliše linearni deo je r>3. Međutim, za takvo r karakteristika nelinearnosti ne ispunjava donju granicu, što se vidi na slici 8.15. 190

Glava 8.: Stabilnost nelinearnih SAU Za ovaj sistem se može reći da je stabilan “u malom” i stabilan “u velikom”, pri čemu je oblast stabilnosti “u velikom” diskutovana u primeru 8.3.

Primer 8.8. Ako je statička karakteristika nelinearnosti sistema iz zadatka 8.3 kao na sl. 8.16, utvrditi njegovu apsolutnu stabilnost.

Sl. 8.14. (q,k,r)-parabola i ilustracija apsolutno stabilnog sistema po Cipkinovom paraboličnom kriterijumu.

Sl. 8.15.

Ovaj sistem će imati samo jedno stanje ravnoteže (0,0). Statička karakteristika se nalazi u sektoru (3,∞). Stoga, prema paraboličnom kriterijumu, kako je nelinearna karakteristika, sl. 8.16, jednoznačna, biramo q proizvoljno u opsegu (-∞,∞) (izabrano je q=10/6), zaključujemo da će posmatrani sistem biti apsolutno stabilan, prema sl. 8.17. Na sl. 8.18 je prikazan odziv sistema za dva početna uslova .

Sl. 8.17. Primena paraboličnog kriterijuma Sl. 8.16.

u primeru 8.8.

Sl. 8.18. Odziv sistema na poremećaje tipa početnih uslova. 191

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2 8.4.3 APSOLUTNA STABILNOST SISTEMA SA NESTACIONARNOM NELINEARNOŠĆU

Neka je nelinearna karakteristika sistema nestacionarna, u = F (e, t ) , (8.30) tj. zavisi kako od signala greške tako i od vremena, i neka je, u opštem slučaju, i linearni deo sistema nestabilan, ali se može stabilisati primenom proporcionalne negativne povratne sprege koeficijenta pojačanja r, sl. 8.13. Pretpostavimo,dalje, da se data nestacionarna nelinearnost uvek nalazi u sektoru [r, k] i da uvek prolazi kroz koordinatni početak, tj. F (0, t ) = 0, (8.31) F (e, t ) r< < k. e Kao što je napred rečeno, u nejednakosti Popova (8.24) parametar q postaje jednak nuli. Koristeći (8.28) za q=0, dobija se: 1 1 1 U 2 (ω) + ( + )U (ω) + V 2 (ω) + (8.32) >0. r k kr U ravni obične, a ne modifikovane, amplitudno-fazne karakteristike, W(jω), relacija (8.32), sa znakom jednakosti u njoj, predstavlja jednačinu kruga s centrom na negativnom delu realne ose, koji nju preseca u tačkama (-1/r) i (-1/k). Ako ovaj krug nazovemo (k,r)-krugom, on se može tretirati analogno kritičnoj tački kod Nikvistovog kriterijuma za linearne sisteme (tačka se ovde proširila u krug). Stoga se apsolutna stabilnost nelinearnih sistema s nestacionarnom nelinearnošću može formulisati slično Nikvistovom kriterijumu [13]: Nelinearan sistem s nestacionarnom nelinearnom karakteristikom, koja se uvek nalazi u sektoru [r,k], i linearnim delom, funkcije prenosa W(s) koji ima indeks nestabilnosti p, biće apsolutno stabilan ako amplitudno-fazna karakteristika linearnog dela sistema, pri promeni frekvencije od 0 do ∞, obuhvata (k,r)-krug u suprotnom smeru kretanja kazaljke na satu (p/2) puta.

Sl. 8.19. a) nestacionarna nelinearnost u [r,k] sektoru; b) apsolutno stabilan sistem s indeksom nestabilnosti linearnog dela p=1; c) apsolutno stabilan sistem sa stabilnim linearnim delom.

192

Glava 8.: Stabilnost nelinearnih SAU Na sl. 8.19 dat je grafički prikaz nestacionarne nelinearnosti koja ispunjava date uslove i dva primera apsolutno stabilnih sistema s indeksima nestabilnosti p=1 i p=0. Primer 8.9. Ako je u primeru 8.8 nelinearnost nestacionarna i uvek se nalazi u sektoru [r, k]=[3,∞] utvrditi da li takav sistem može biti apsolutno stabilan. Koristeći fazno frekvencijsku karakteristiku linearnog dela sistema (netransformisanu i nemodifikovanu) i konstruišući (k,r)-krug možemo zaključiti da će sistem biti apsolutno stabilan ako karakteristika nelinearnosti fluktuira u sektoru [2,5], jer Sl. 8.20. sistem ima indeks nestabilnosti p=1, a amlitudno-fazna karakteristika obuhvata (k,r)-krug 1/2 puta u suprotnom smeru kazaljke na satu, sl. 8.20.

8.5 Stabilnost prinudnih procesa u nelinearnim sistemima Razmatraćemo običan nelinearni sistem, sl. 8.21a, koji se sastoji iz stabilnog linearnog dela, funkcije prenosa W(s), i jedne statičke nelinearnosti, F(x). Kao što znamo, na ovu strukturu se može svesti bilo koji nelinearni sistem s jednom nelinearnošću, a pod određenim uslovima i sistemi s više nelinearnosti. Osnovni problem koji želimo izučiti je stabilnost takvog sistema, ali ne stabilnost stanja ravnoteže, pri kretanju sistema pod dejstvom nenultih početnih uslova, već stabilnost pri delovanju referentnog signala ograničenog po apsolutnoj vrednosti, tj. sup f (t ) ≤ Ro < ∞ . (8.33) Pri tome, kvalitet procesa i stabilnost posmatraćemo u odnosu na signal greške, koji se tada naziva procesom u nelinearnom sistemu. Naime, osnovna intencija je da se ideje Ljapunova, definisane za stabilnost stanja ravnoteže, prošire i na stabilnost procesa. Prinudno kretanje sistema, koje se odvija po nekoj trajektoriji u prostoru stanja, biće stabilno, u smislu Ljapunova, ako se, usled delovanja kratkotrajnih poremećaja, koje ga izvode s posmatrane trajektorije, ono vraća na prethodnu trajektoriju ili u njenu blisku okolinu. Drugim rečima, stanje ravnoteže više nije tačka u koordinatnom početku već je to cela trajektorija prinudnog kretanja signala greške sistema usled delovanja samo referentnog ulaznog signala. Dalje ćemo, osim prinudnog kretanja, posmatrati i poremećeno kretanje, nastalo usled dejstva nenultih početnih uslova ili neke poremećajne funkcije y(0), koja deluje na linearni deo sistema. Pretpostavimo da je referentni ulazni signal jednak nuli i da se kretanje odvija samo na račun datih nenultih početnih 193

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2 uslova. Ako bi linearni deo sistema bio izolovan (u(t)=0), onda bi reakcija objekta na ove početne uslove bila c(t ) = d T e At y (0) = co (t ) . (8.34) S obzirom na to da je linearni deo sistema stabilan, (8.34) će tokom vremena opadati, asimptotski težeći nuli. Zbog toga se može napisati ∞

∫ c0 ( τ) dτ = Co < ∞ .

(8.35)

0

Ovakve funkcije se nazivaju funkcijama tipa početnih uslova. Razmotrimo, sada, signal greške nelinearnog sistema kada deluje samo poremećajna funkcija y(0). Pošto je, po pretpostavci, nelinearnost Lurjeovog tipa, može se napisati: x(t ) = −c(t ) , (8.36) u = F ( x(t )) = F (−c(t )) = − F (c(t )) , (8.37) c(t ) = c0 (t ) + ∫ w(t − τ)u (τ)dτ = c0 (t ) − ∫ w(t − τ) F (c(τ))dτ . t

t

0

0

(8.38)

ili, zamenom (8.36) u (8.38),

x(t ) = −c0 (t ) + ∫ w(t − τ) F (c(τ))dτ = f 0 (t ) − ∫ w(t − τ) F ( x( τ))dτ , t

t

0

0

(8.39)

gde je f0(t)=x0(t)=-c0(t) - komponenta signala greške usled nenultih početnih uslova. Shodno (8.39) strukturni blok-dijagram sistema može se transformisati tako da nema početnih uslova na linearnom delu sistema, a da se to dejstvo prenese na referentni ulaz sistema, sl. 8.21b. y(0) x(t)

F(x)

u(t)

W(s)

c(t)

f0 (t)

x(t)

F(x)

u(t)

W( s)

c(t)

a) b) Sl. 8.21. Strukturna blok-šema običnog nelinearnog sistema; (a) bez referentnog ulaza s nenultim početnim uslovima na linearnom delu; (b) ekvivalentni sistem bez početnih uslova na objektu i s ekvivalentnim referentnim ulazom.

Pretpostavimo, dalje, da na referentni ulaz sistema, umesto f0(t), deluje neki signal f(t) ograničen po apsolutnoj vrednosti Tada će se proces u sistemu opisivati relacijom x (t ) = f (t ) − ∫ w(t − τ ) F ( x ( τ ))dτ . t

(8.40)

0

Ako je sistem stabilan, posle prelaznog procesa nastupiće ustaljeno kretanje, koje nazivamo prinudnim. Signal greške će tada opisivati neku trajektoriju u prostoru stanja. Relaciju (8.40), prema tome, možemo nazvati opštim procesom 194

Glava 8.: Stabilnost nelinearnih SAU u sistemu. On se sastoji iz dve komponente: komponente prelaznog procesa ili komponente slobodnog kretanja i prinudne komponente. Prinudna komponenta se može odrediti iz uslova da t→∞, što je ekvivalentno da je referentni signal f(t) delovao na sistem beskonačno davno do trenutka posmatranja, te se na osnovu (8.40) može napisati x pr (t ) = f (t ) − ∫ w(t − τ) F ( x pr (τ))dτ . t

(8.41)

−∞

Razlika između opšteg (8.40) i prinudnog procesa (8.41) daje komponentu slobodnog procesa

[

]

x(t ) − x pr (t ) = f ↓ (t ) − ∫ w(t − τ) F ( x pr (τ) + xsl (τ)) − F ( x pr (τ) dτ , (8.42) t

0

gde je

f ↓ (t ) =

0

∞

−∞

t

∫ w(t − τ) F ( x pr ( τ))dτ = ∫ w( τ) F ( x pr (t − τ))dτ ,

(8.43)

funkcija koju možemo smatrati uzrokom pojave slobodnog procesa u posmatranom sistemu, usled dovođenja referentnog ulaza, f(t), na sistem koji se do tog momenta nalazio u stanju mirovanja. Ako u sistemu, na linearnom delu, postoje i početni uslovi, čije delovanje vezujemo za trenutak t=0, tada će relacije za opšti i slobodni proces biti x (t ) = f (t ) + f 0 (t ) − ∫ w(t − τ ) F ( x ( τ ))dτ , t

(8.44)

x sl (t ) = f 0 (t ) + f ↓ (t ) − ∫ w(t − τ)[ F ( x pr ( τ) + x sl ( τ)) − F ( x pr (τ)]dτ . (8.45) 0

t

0

Relacija za prinudni proces ostaće ista, jer ona ne zavisi od početnih uslova. Na osnovu (8.45) može se zaključiti da u nelinearnom sistemu slobodan proces zavisi kako od početnih uslova tako i od prinudnog procesa, odnosno od pobudne (referentne) funkcije. Interesantno je ukazati da se kod linearnih sistema, s obzirom da je F(x)=Kx, jednačina slobodnog procesa (8.45) svodi na x sl (t ) = f 0 (t ) + f ↓ (t ) − ∫ w(t − τ) x sl ( τ)dτ . t

(8.46)

0

Posmatrajući (8.45), ako su funkcije f0(t) i f↓(t) ograničene po apsolutnoj vrednosti, tada se slobodan proces u sistemu može predstaviti relacijom x sl (t ) = f ↓ − ∫ w(t − τ ) Ψ ( x ( τ), τ )dτ , t

(8.47)

0

koja se od relacije za opisivanje kretanja sistema pod dejstvom samo početnih uslova razlikuje po tipu ograničene funkcije f(t) i po tome što nelinearna podintegralna funkcija Ψ(x(t),t) postaje nestacionarna. Zbog toga se može 195

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2 primeniti kružni kriterijum apsolutne stabilnosti. Pri tome se pripadnost nelinearnosti I i III kvadrantu određuje relacijom Ψ ( x (t ), t ) F ( x pr (t ) + xsl (t )) − F ( x pr (t )) 0< = = F ' ( xsl (t )) < k , (8.48) xsl (t ) xsl (t ) iz koje proizilazi da izvod nelinearne funkcije, tj. dinamički a ne statički koeficijent pojačanja, mora ležati unutar zadatog sektora (I-III kvadrant). Na taj način se utvrđivanje apsolutne stabilnosti prinudnih procesa u nelinearnom sistemu svodi na poznati kriterijum stabilnosti stanja ravnoteže nelinearnog sistema s nestacionarnom nelinearnošću. Pre nego što definitivno formulišemo kriterijum stabilnosti za ovaj slučaj, razmotrimo problem uključivanja i slučajeva nelinearnih sistema s nestabilnim linearnim delom. Kao i ranije, ako je moguće da se uvođenjem krute negativne povratne sprege na linearnom delu sistema on stabiliše, tada je transformacijom nelinearnosti, ali i referentnog Sl. 8.22. Ekvivalentni nelinearni sistem. ulaza, potrebno obezbediti da proces x(t) u sistemu ostane nepromenjen. Na taj način se dobija strukturna blok-šema nelinearnog sistema kao na sl. 8.22. Signali greške netransformisanog i transformisanog sistema su, respektivno, X ( s ) = f ( s ) − W ( s ) L{F ( x(t ))},

W ( s) L{F ( x(t )) − rx(t )}. 1 + rW ( s ) Uzimajući u obzir linearnost Laplasove transformacije, rešavajući drugu relaciju po X(s), i izjednačavanjem desnih strana tako dobijene relacije i prve relacije, dobija se uslov ekvivalentnosti f ( s) f tr ( s) = . (8.49) 1 + rW ( s) S obzirom da je u polaznom sistemu f(t)-funkcija ograničena po apsolutnoj vrednosti, a da imenilac (8.49) nema korene u desnoj poluravni, onda će i ftr(t) biti takođe funkcija ograničena po apsolutnoj vrednosti. Stoga se uslovi stabilnosti procesa mogu primeniti i na ovaj sistem, s tom razlikom što se sektor u kome se nalazi nelinearna funkcija modifikuje. Naime, iz uslova da transformisana nelinearnost pripada sektoru [0,k] proizilazi F ( x) F ( x) 0< −r