Zahlentheorie [2. erweiterte Auflage, Reprint 2021] 9783112478202, 9783112478196

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Berichtigungen während des Druckes

S. XVI, Z. 16 v.u., statt „Anordnungen" lies: Anwendungen S. 242,

Z. 5 v.u., statt I lies: I '

S. 303,

Z. 13 v. u., statt 298 lies: 120 statt 120 lies: 298

S. 358,

Z. 13 v. o., statt \m lies: |m

S. 359,

Z. 5 v.u., statt 335 lies: 235

S. 363,

Z. 2 v.u., statt 343 lies: 342

S. 377,

Z. 14 v. o., statt 392 lies: 329

S. 414,

Z. 7 v.o., statt 378 lies: 378 ff.

S. 480,

Z. 3 v.o., statt 320 lies: 325

S. 518,

Z. 16 v. u., ersetze den Punkt nach „hinzu" durch ein Komma

S. 528,

in der Fußnote füge an: — Für die größere Klasse aller abelschen Zahlkörper siehe den grundsätzlichen Ansatz zu einem solchen Verfahren bei H.-W. LEOPOLDT, Über ein Fundamentalproblem der Theorie der Einheiten algebraischer Zahlkörper, Sitz. Ber. Bayr. Akad. d. Wiss., Math.-Naturwiss. Kl., 1956, Nr. 5.

S. 542,

Z. 6 v. o., statt 1 lies: 2

S. 545,

Fußnote, Z. 12 v. o., nach „durch" füge ein: positive Z. 10 v. u., statt = lies: SS

S. 557,

Z. 12 v.o., zu 2 ~ 32 füge als Fußnote an: Schon hieraus folgt 3 4 ~ 2 ! s 2 , also 3 4 ~ 1, was zusammen mit 3 2 1 und unter Beachtung von 3' — 3 - 1 den Schluß auf h — 4 erlaubt.

S. 562,

Z. 9 v. o., streiche: wegen iV(a+) > 0

S. 563,

Z. 13 v. u., statt d < 0 lies: d > 0 Z. 1 v.u., statt e lies: a

S. 564,

Z. 1 v.o., statt der beiden e lies: a

S. 576,

Z. 8 v.u., statt 551 lies: 521

S. 577,

Fußnote, Z. 2 v.u., statt BLICKFELD lies: BLICHFELDT

S. 578,

Z. 10 v.o., nach

S. 588,

Z. 3 v.u., statt

S. 592,

Z. 14 v. o., statt - 4 lies: 4 statt 5 lies: — 5

S. 602 und S. 604, S. 603,

füge ein: — ihre Anzahl ist ersichtlich mindestens 2" — np [z| lies:

n p |x 1. Wir nehmen an, die Behauptungen seien bereits f ü r jede natürliche Zahl < a bewiesen, und zeigen, daß sie dann auch f ü r a zutreffen. Unter allen von 1 verschiedenen natürlichen Teilern von a gibt es einen kleinsten p, und dieser ist Primzahl; denn ein nicht-trivialer natürlicher Teiler von p wäre ein von 1 verschiedener natürlicher Teiler auch von a und kleiner als p, was der Wahl von p widerspricht. Man hat somit eine Zerlegung a = pb in eine Primzahl p und eine natürliche Zahl b < a. Diese Zahl b h a t nach der Induktionsannahme eine Primzerlegung. Daher hat auch a eine Primzerlegung. Die Primzerlegung von b ist ferner nach der Induktionsannahme eindeutig. Daher hat a jedenfalls keine andere Primzerlegung, in der p vorkommt. I n jeder etwa vorhandenen anderen Primzerlegung von a können also nur von p verschiedene Primzahlen vorkommen. Angenommen nun, es gäbe noch eine andere Primzerlegung von a. Dann sei q eine in ihr vorkommende Primzahl und a — qc . Wie gesagt ist dabei q 4= p. Wegen der Wahl von p ist dann q > p, also q — p eine natürliche Zahl, und diese ist < q. Bilden wir also ag = a — p c = 1*

p{b — c)l (q — p)c\ '

4

I, § 1. Primzahlzerlegung

so ist a0 eine natürliche Zahl und < a, und auch die Faktoren b — c, q — p, c sind natürliche Zahlen < a. Nach der Induktionsannahme besitzen daher die Zahlen a0, b—C, q—p, c sämtlich eindeutige Primzerlegungen. Die Gleichung a0 = p(b—c) lehrt, daß in der Primzerlegung von a0 die Primzahl p vorkommt. Wegen der Eindeutigkeit dieser Zerlegung lehrt die Gleichung a 0 = (q — p) c, daß p auch entweder in der Primzerlegung von q — p oder in der von c vorkommt. In der Primzerlegung von q — p kann aber p nicht vorkommen, weil p sonst auch in (q — p) 4- p — q aufginge, also p = q folgte. Und in der Primzerlegung von c k a n n p nicht vorkommen, weil ja alle in der angenommenen anderen Primzerlegung von a vorkommenden Primzahlen von p verschieden sind. Damit ist die Annahme, es gäbe eine weitere Primzerlegung von a, zum Widerspruch geführt. Das vollendet den Induktionsbeweis. Der Satz von der eindeutigen Primzerlegung läßt zwar die Primzahlen als die multiplikativen Bausteine der unendlichen Menge der natürlichen Zahlen erkennen, er liefert aber nicht unmittelbar einen Beweis der Tatsache, daß die Menge dieser Bausteine selbst unendlich ist: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Dieser Satz wird bereits in EUKLIDS Elementen (Buch IX, Satz 20) ausgesprochen und bewiesen. Die dortige Formulierung ist insofern bemerkenswert, als sie das Wort unendlich nicht verwendet; sie lautet: Ol TtQiötoL aQi'&fiol nXeiovq eicrl navtag rov TiQOie&evTog nÄrftovQ tiqwtcov äoi&fiüiv, zu deutsch: Die Primzahlen sind mehr als jede vorgegebene Menge von Primzahlen. Beweis (nach EUKLID). Seien plt . . . , pn gegebene Primzahlen. Wir bilden die natürliche Zahl « = Vi • • • Vn + 1 • Da a > 1 ist, gibt es eine in a aufgehende Primzahl p. Diese Primzahl p k o m m t aber nicht schon unter den Primzahlen plt..., pn vor, weil sie sonst in a — Vi" ' Tn — 1 aufginge. Daher ist p eine weitere Primzahl. Es ist amüsant zu bemerken, daß dieser Euklidische Schluß schon von n = 0 an gilt. Er liefert also die Existenz unendlich vieler Primzahlen, ohne daß man auch nur f ü r eine einzige Zahl die Primzahleigenschaft besonders festzustellen hat. Wir runden jetzt den H a u p t s a t z ab, indem wir erstens gleiche Primfaktoren immer zu Potenzen zusammenfassen, zweitens von den natürlichen Zahlen zum vollen Integritätsbereich T der ganzen rationalen Zahlen übergehen, und drittens dann von T zum Quotientenkörper P der rationalen Zahlen übergehen. 1. Die Zusammenfassung zu Potenzen ergibt folgende Formulierung des Hauptsatzes : Jede natürliche Zahl a besitzt eine und nur eine Darstellung a = Vi ' • ' Vrr als Potenzprodukt einer Anzahl r ^ 0 verschiedener Primzahlen pi mit ganzzahligen Exponenten ^ 1. Man nennt diese Darstellung die kanonische Zerlegung der natürlichen Zahlen. Sie wird in dieser Form außer bei elementar-zahlentheoretischen Untersuchungen

5

Zahlkörper

vor allem in der analytischen Zahlentheorie zugrunde gelegt. Für unsere mehr algebraische Zielsetzung ist es vorteilhafter, die Primzerlegung der natürlichen Zahlen in der Form a

U v

=

p

p

zu schreiben, wo das Produkt formal über alle Primzahlen p erstreckt ist und die Exponenten ap für die Primzahlen Pi gleich 0. Da ersichtlich auch umgekehrt jedes derartige Exponentensystem a p eindeutig eine natürliche Zahl a bestimmt, können wir sagen: Die natürlichen Zahlen a sind auf Grund, ihrer Primzerlegung a = f[pXp v umkehrbar eindeutig den ganzzahligen Exponentensystemen ap mit den Eigenschaften ap 22 0 0

für alle p, für nur endlich viele p

zugeordnet. Die Zweckmäßigkeit dieser scheinbar umständlicheren Schreibweise liegt darin, daß sich bei ihr die Multiplikation einfacher als bei der kanonischen Zerlegung darstellt: Der Multiplikation der natürlichen Zahlen a entspricht die gliedweise Addition der Exponentensysteme ap. 2. Beim Übergang zum vollen Integritätsbereich T der ganzen rationalen Zahlen kommt zu dem Primzahlpotenzprodukt ]~[ p*v noch ein Einheitsfaktor e hinzu, der v durch das Vorzeichen von a eindeutig bestimmt ist: a = g /7 p"p . p

Bei Multiplikation der Zahlen a multiplizieren sich diese Einheitsfaktoren E für sich. Die Zahl 0 haben wir dabei außer Betracht zu lassen. 3. Beim Übergang zum Quotientenkörper P der rationalen Zahlen kommen noch endlich viele Exponenten a p < 0 hinzu. Wir beweisen: Jede rationale Zahl a =|= 0 besitzt eine eindeutige Primzerlegung a = e /p7 p"p mit ganzzahligen Exponenten av, von denen nur endlich viele °°. p also für jedes p den Exponenten 00 zuordnet, wobei Rechen- und Anordnungsregeln f ü r 00 a u f die in der Analysis beim Rechnen mit Grenzwerten übliche Weise erklärt sein sollen. Anders als in der Analysis, wo 0 die dem Betrage nach kleinste Zahl ist, ist 0 in der Zahlentheorie als die im Sinne der Teilbarkeit größte Zahl anzusehen. Eine H a u p t a u f g a b e der Teilbarkeitslehre besteht darin, eine Übersicht über alle gemeinsamen Teiler und alle gemeinsamen Vielfachen gegebener rationaler Zahlen a, b, . . . zu geben. F ü r nur e i n e gegebene rationale Zahl a wird diese Aufgabe durch das Teilbarkeitskriterium gelöst. Wir bemerken dazu noch folgendes: F ü r eine ganze rationale Zahl a =j= 0 kommen unter den Teilern von a natürlich diejenigen endlich vielen Primzahlen p vor, die in der Primzerlegung von a wirklich, d. h. mit einem Exponenten ap > 0 vorkommen. Nach dem Teilbarkeitskriterium sind diese p aber auch die einzigen Primzahlen, die Teiler von a sind. Man nennt sie die Primteiler von a. Allgemeiner nennen wir f ü r eine rationale Zahl a 4= 0 diejenigen endlich vielen Primzahlen p, die in der Primzerlegung von a wirklich, d. h. mit einem Exponenten ap 4= 0 vorkommen — sie sind nicht notwendig Teiler von a —, die Primfaktoren von a oder die in a steckenden Primzahlen.

Zahlkörper

9

Es seien jetzt e n d l i c h viele rationale Zahlen a ^ f [ p

a

P ,

b ^

f [ pßP ,

v

gegeben.

. . .

v

Gemeinsame Teiler. Die gemeinsamen Teiler x ^ Y l v ' v V

von et, b, . . . sind nach dem Teilbarkeitskriterium durch ^ «P,

oder also durch

ig

mit

dp

• •

S p ^ ß p , . dp

— Min

(c 1 geht mindestens eine Primzahl p auf (Buch VII, Satz 31). Die Existenzaussage bildete auch für den Zermeloschen Beweis des Hauptsatzes die Grundlage, die Eindeutigkeitsaussage aber ergibt sich bei uns erst als einfache Folge des Hauptsatzes (Teilbarkeitskriterium). Wir haben am Schluß von §,1 die eigentliche Bedeutung des Hauptsatzes von der eindeutigen Primzerlegung darin erkannt, daß dadurch die Struktur der Multiplikationsgruppe P x der rationalen Zahlen auf die Struktur der Additionsgruppe r+ der ganzen rationalen Zahlen zurückgeführt wird. Der dem Hauptsatz über den größten gemeinsamen Teiler zugrundeliegende Satz über T-Ideale von P gibt dann weiter einen Einblick in die Struktur dieser Additionsgruppe T + . Wir führen das noch etwas näher aus. Die Gruppe l~+ der ganzen rationalen Zahlen ist dem Typus nach die unendliche zyklische Gruppe, erzeugt durch 1 oder —1. Da für den Integritätsbereich T die Idealeigenschaft (2) eine Folge aus (1) ist — man kann die Multiplikation mit einer ganzen Zahl als wiederholte Addition oder Subtraktion darstellen —, sind die Ideale in T einfach die Untergruppen =j= 0 der Additionsgruppe T+. Der Hauptsatz, daß jedes Ideal in T ein Hauptideal ist, besagt demnach: Die einzigen additiven Gruppen =)= 0 aus ganzen Zahlen sind die Gruppen aus den Vielfachen einer natürlichen Zahl. Wir entwickeln zum Schluß noch einen in die Teilbarkeitslehre gehörigen Formalismus, der an die MÖBiusscAe Funktion fi{n) anknüpft: Sei ( r ^ O ; Vi ^ 1) n = P[' • • • PVS eine natürliche Zahl in kanonischer Zerlegung (§ 1, S. 4). Dann ist , . _ | (—l) r , wenn r = 0 ist oder alle vt = 1 sind (n quadratfrei ist) fi(n) = 0 sonst Diese Funktion hat ersichtlich die folgenden Eigenschaften: /¿(l) = 1, M?) = —1 fi(pv) = 0 fi(nn') = [¿(n) fi(n'), 2*

für Primzahlen p, für Primzahlpotenzen pv mit v > 1, wenn (n, n') = 1,

20

I, § 2. Teilbarkeit

und sie kann auch mittelbar durch diese Eigenschaften definiert werden, wobei man die Forderung /¿(l) = 1 noch weglassen kann, da sie aus der letzten Forderung für n' = 1 folgt. Für unseren Zweck wesentlich ist die Tatsache: v1

dI| M n

/j\

i

\

\ 1 für

* ) = *(»)=

1

n =

ofür

1

n > \

Dabei bedeutet £ , daß über alle natürlichen Teiler d von n summiert werden soll. d|n Wir beweisen f ü r eine spätere Anwendung gleich allgemeiner die folgende Tatsache : Ist

f(n)

irgendeine

Funktion

im

Bereich

der

natürlichen

Zahlen

n mit

den

Eigen-

schaften

/(l) = 1 , f(n so

n')

=

f(n)

f(n) ,

wenn

(n,n')

=

1 ,

gilt

¿ V e o t{d) = 7 7 (i - m ) -

d|n

p| n

Dabei bedeutet / / , daß über alle (verschiedenen) Primteiler p von n multipliv I«

ziert werden soll; speziell für n = 1 soll das dann leere Produkt wie üblich als 1 verstanden werden. Die Werte der Funktion f(n) können Zahlen sein, oder allgemeiner auch in irgendeinem gegebenen Ring mit Einselement liegen. Beweis. Die natürlichen Teiler d von n sind in kanonischer Zerlegung durch d = Pl> • • • V6/

(C)W> I l

n

f

'\ t

=g(n).

Ist die abelsche Gruppe f ü r die Werte von f(n), g(n) in multiplikativer Schreibweise f ü r die Verknüpfung gegeben, so lautet der Formalismus entsprechend: Wenn [ ] f(d) = g(n) d|n gilt, so gilt auch

und

umgekehrt.

Jn\ ff g(d)^d' = f(n) d|n

für alle n

für alle n ..

Funktionenkörper

Für den Körper P = Cl(t) und den darin enthaltenen Integritätsbereich r = fi[£] ist außer den allgemeinen in § 1 angegebenen Änderungen noch folgende Änderung vorzunehmen:

I, § 2. Teilbarkeit

22

Bei der Division mit Rest (S. 15) a

ist die Bedingung 0

=

q

m

+

r

r < m durch Grad r < Grad m

zu ersetzen. Dabei sei Grad 0 = —• oo festgesetzt, wie es sich von einem späteren allgemeinen Standpunkt aus rechtfertigen wird. Der Beweis kann durch das in der elementaren Algebra behandelte systematische Divisionsverfahren für Polynome geführt werden. Verzichtet man auf den konstruktiven Teil dieses Verfahrens, so läßt sich der darin steckende Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis für q, r auf folgende kürzere Form bringen: Sei das Polynom q so bestimmt, daß r — a —-qm möglichst niedrigen Grad hat. Wäre dann Grad r S; Grad m , so folgte entsprechend wie in § 1, S. 7 die Existenz eines Polynoms h derart, daß Grad (r — hm) < Grad r ist. Weil aber r —-hm = a — (q + h) m ist, ist dies ein Widerspruch zur Auswahl von q. Somit ist Grad r < Grad m. Damit ist die Existenz von q, r bewiesen. Hat man auch mit Grad / < Grad m , a = q'm + r' so folgt durch Subtraktion ( q

—

q ' ) m

=

r '

—

r

und daraus der Widerspruch Grad m < Grad ( / — r) ®r = (Ii, • • • > lr—i, aT) Untergruppen ©j, . . ., © r , die vermöge der kanonischen Zuordnungen «j —> ay, . . ., ar —> a, zu ©j, . . ., © r isomorph sind. Die Systemdarstellung der Elemente aus © schreibt sich nach Einführung der Untergruppen © 1 , . . ., @r als Produktdarstellung a = ax • • • aT

(ät in ©, )

mit untereinander vertauschbaren Faktoren, und wegen der Eindeutigkeit der Systemdarstellung ist auch diese Produktdarstellung eindeutig. Demnach ist die Gruppe © aus den Untergruppen ©,, . . ., © r folgendermaßen aufgebaut: (1) Jedes Element a aus © besitzt eine eindeutige a = «!•••

är

Komponentenzerlegung (äi in

©J.

(2) Die Elemente aus ©j sind jeweils mit den Elementen aus allen ©,- (j =)=- i) vertauschbar. Sei umgekehrt von einer Gruppe © vorausgesetzt: (V x ) © besitze ein System von Untergruppen (1). (2).

. . . , @r mit den Eigenschaften

42

I, § 4. Struktur d. Restklassenrings u. d. primen Restklassengruppe mod m

Dann ist zunächst dem Typus nach da ja nach (1), (2) Vergleich und Rechnen für die Elemente aus © komponentenweise erfolgt. Weil aber hier die Gruppen ©j, . . . , © r selbst Untergruppen von © sind, ist außerdem nach (1), (2) auch ihr Kompositum. Dementsprechend schreibt man bei dieser Sachlage genauer r

i=1 mit dem Gleichheitszeichen. Für manche Anwendungen ist es zweckmäßig, den Typus der direkten Faktoren ®i von © in folgender Weise durch eine Faktorgruppenbildung in © zu beschreiben. Nach (1), (2) sind die Untergruppen ©, Normalteiler von ©. Für jeden von ihnen ist die Zuordnung a -> äi, die jedem Element a aus @ seine Komponente äj in ©j zuordnet, nach (1), (2) ein Homomorphismus von © auf ©j. Sein Kern ist durch ä f = 1 gekennzeichnet, also der durch = ©,: gegebene Normalteiler von ©. Nach dem Homomorj =M phiesatz hat man dann Unter der Voraussetzung (V x ) gilt somit: Für © besteht dem Typus nach die direkte Produktzerlegung © s ©i X • • X © r

mit

©i = ©/£>«,

wo die ipj die Kerngrwppen der Komponentenhomomorphismen a -> ä» sind, und zwar r erhält man einen kanonischen Isomorphismus von © auf J*f @u indem man jedem i=1 _ Element a aus © als Komponenten das System der Restklassen a aus den ©, zuordnet. 2. Im kommutativen Fall erhält man durch Umdeutung in die additive Schreibweise den Begriff der direkten Summe © Ä © ! © . . . © © f = jk ®( 4= 1

endlich vieler additiver abelscher Gruppen © 1; . . . , @ r . Die bisherige Rolle der Einselemente 11( . . . , l r übernehmen dabei natürlich die Nullelemente 0X, . . . , 0 r von ©!, . . . , © r . 3. Wendet man dies auf die Additionsgruppen kommutativer Ringe an und fordert dabei das komponentenweise Rechnen nicht nur für die Addition sondern auch für die Multiplikation: a,) + (K • • •» br) = K + K • • • > ar + K) . (a1; . . . , aT) (61; . . . , br) = (ax b^ . . . , aT bt) ,

1. Allgemeines über direkte Produkte und direkte Summen

so entsteht der Begriff der direkten Summe

43

r

M ^ Mj © • • • © M r = 2 ? ¿=i endlich vieler kommutativer Ringe M 1; . . . , M,. Dabei bilden die Elemente von der Form E1=(a1, 02, . . . , 0 r ), . . . , äT = (01; . . . , 0 f _!, at) Unterringe M l t . . . , M r von M, die vermöge der Zuordnungen a1 —>• aj, . . ., ar —> ar zu M1( . . . , M r isomorph sind. Haben die Ringe M^ . . . , M r Einselemente lj, . . . , l r , so hat auch M ein Einselement 1, nämlich 1 - (Ii, • • • , 1,) • Es hat die Komponentenzerlegung 1 = l , + • • • + I,

in die Einselemente

Ii = (11; Oa, . . . , 0 r ), . . . , I r = (0lf . . . , 0 r _ 1 ; l r ) der Unterringe M1( . . . , M r . Diese Einselemente I,- sind zueinander orthogonale Idempotente, d. h. es gelten für sie die Relationen: j j * '

—

{0

für i = j (Idempotenz) 1 für i 4= i (Orthogonalität)} "

Mittels der orthogonalen Idempotente I.; erhält man die Komponenten a t in M, eines Elements a = ä1 + •• • + är aus M in der Form Sei umgekehrt von einem Ring M mit Einselement 1 vorausgesetzt: (V+) 1 besitze eine Zerlegung 1 = Ii + • • • + Ir in zueinander orthogonale Idempotente I ¿. Dann bilden die Elemente der Form a{ = a I j

(a in M)

jeweils einen Unterring Mj von M; denn Summe, Differenz und Produkt solcher Elemente sind wieder von dieser Form: ® Ii ± b lj = (a ± b) Ii, (a Ii) (b I;) = (ab) (I, IJ = (ab) h . Die Elemente a aus M haben Komponentenzerlegungen r r t _ a — a 1 = a^J 1» = £ a Ii = 2J i=1 i=1 ¿==1

_

'

44

I, § 4. Struktur d. Restklassenrings u. d. primen Restklassengruppe mod m

Und diese Komponentenzerlegungen sind eindeutig; denn ist a =

r

a'i mit äj = a\ I j in Mj (a4' in M) i=1 eine weitere solche Zerlegung, so folgt durch Multiplikation mit den I,- auch durchweg r

a I,- =2J

r

_

1»

1= 1

a

*'

=

a

'>

=

'

1=1

also = ä'j. Nach alledem hat man unter der Voraussetzung (V+) die direkte Summenzerlegung M = Mx © • • • © M r mit Mi = M ^ . Für manche Anwendungen ist es wieder zweckmäßig, den Typus der direkten Summanden M; von M in folgender Weise durch eine Restklassengruppenbildung in M zu beschreiben. In Analogie zu der obigen Normalteilereigenschaft der Untergruppen &>{ in & sind hier die Unterringe Mj Ideale i n M (§2, S. 16), und zwar Hauptideale, jeweils durch I j erzeugt. Für jedes von ihnen ist die Zuordnung a

• äj = a Ij ,

die jedem Element a aus M seine Komponente ät in Mj zuordnet, ein Homomorphismus von M auf Mj. Sein Kern N j ist durch äj = 0 gekennzeichnet, also das durch N j = Mj gegebene Ideal in M. Nach dem Homomorphiesatz hat man ?+i dann _ M mod N j • ^

Mj.

Unter der Voraussetzung (V+) gilt somit: Für M besteht dem Typus nach die direkte M = M1 © • • • © M r

mit

Summenzerlegung Mj = • M mod N , ,

wo die Nj die Kernideale der Komponentenhomomorphismen a -> • ät = a sind, r und zwar erhält man einen kanonischen Isomorphismus von M auf Mj, indem man jedem Element a aus M als Komponenten das System der Restklassen a mod N j aus den Mj zuordnet. 2. Direkte Zerlegung des Restklassenrings mod m und der primen Restklassengruppe mod m 1. Wir wenden jetzt die vorstehend entwickelten allgemeinen Tatsachen auf den Restklassenring mod m für eine natürliche Zahl m an, oder also, ausführlich gesagt, auf den Restklassenring M = • T mod m des Integritätsbereichs T der ganzen rationalen Zahlen nach dem durch eine natürliche Zahl m erzeugten Hauptideal T m. Es sei m = mx • • • mr

2. Direkte Zerlegung d. Restklassenrings u. d. primen Restklassengruppe mod m

45

irgendeine Zerlegung von m in paarweise teilerfremde natürliche Zahlen m 1 ; . . . , m r . Setzt man dann m = m,TO;, so sind, wie in § 2, S. 13 bewiesen, die mt teilerfremde natürliche Zahlen. Nach dem additiven Teilerfremdheitskriterium (§2, S. 18) gibt es daher ganze Zahlen x l t . . . , z r mit x

i

m

i + ' ' ' + xrmr = 1 .

Wählt man dann weiter ganze Zahlen Ij, . . . , I r mit = x i m, mod m , etwa die kleinsten Reste mod m der Zahlen xt ml oder auch diese Zahlen selbst, so hat man zunächst ersichtlich sowie ferner

! ! + •••

I r = 1 mod m ,

I j I,- = 0 mod m

(¿4= j)>

weil rhi m, durch m,- rhj = m teilbar ist. Durch Multiplikation der ersteren Kongruenz mit den I t folgt unter Beachtung der letzteren Kongruenzen schließlich Ij I 4 = I j mod m . Zusammengenommen ist damit eine Zerlegung des Einselements 1 mod m des Restklassenrings mod m in zueinander orthogonale Idempotente I x , . . . , I r modm gewonnen. Nach dem zuvor allgemein Bewiesenen ist daher der Restklassenring M = • T mod m die direkte Summe M =

© • • • © M,

der Unterringe M ( = • T I, mod m, jeweils bestehend aus' den Restklassen von der Form Oj = a I j mod m, und die dementsprechende eindeutige Komponentenzerlegung einer Restklasse a mod m ist a = ay -f- • • • + aT mod m mit den wie angegeben bestimmten a* mod m. Wir vermerken für nachher gleich noch das für die orthogonalen Idempotente I, mod m auf Grund ihrer Konstruktion bestehende Kongruenzensystem (I)

I f = 1 mod m,,

Ij = 0 mod rrij

(j

i)»

sowie das daraus für die Komponenten a,- mod m von a mod m nach deren Bildungsregel folgende Kongruenzensystem (K)

a, = a mod m,, a,- = 0 mod rtij

(j =|= i).

Um nun weiter die Typen der erhaltenen direkten Summanden M f nach der zuvor entwickelten allgemeinen Methode zu beschreiben, haben wir die Kernideale N,- der Komponentenhomomorphismen a mod m • von M auf die Mj zu bestimmen.

• dj = a I j mod m

46

I, § 4. Struktur d. Restklassenrings u. d. primen Restklassengruppe mod m

Ein solches Kernideal N j besteht aus den Restklassen a mod m mit ä{ = 0 mod m. Für a,- = 0 mod m ist nun sicher ä,- = 0 mod und daher nach (K) auch a = 0 mod m,-. Umgekehrt ist für a = 0 mod m,- nach (K) äj =s 0 mod m v . . . , « , = 0 mod m r ,

also

ä,- = 0 mod [w1; . . ., m r ] , und da wegen der paarweisen Teilerfremdheit [wx, . . ., m r ] = m l - - - m r = m ist (§ 2, S. 13), bedeutet das «, = 0 mod m. Demnach besteht das Kernideal N, genau aus den Restklassen a mod m mit a = 0 mod m,-. Stellt man den obigen Komponentenhomomorphismen von M auf die Mi den Restklassenhomomorphismus a • a mod m von f auf f mod m • = M mit dem Kernideal f m voran (Abb. 2), so entspricht _ I•

r

mod m

,. mM

'«,

N,

Vm

>0 Abb. 2

demnach dem Kernideal N, das Urbild T m^. Daher wird Mj = • M mod N j • ~ • r mod m 4 , d. h. die direkten Summanden Mi des Restklassenrings M = • T mod m sind isomorph zu den Restklassenringen Mj = • T mod m,-, und zwar auf Grund der Isomorphismen äi = a Ii mod m-

• a mod

.

Nach dem zuvor allgemein Gezeigten haben wir somit: Zerlegungssatz für den Restklassenring mod m. Ist m = m^ • • • mr mit paarweise teilerfremden m¡, so ist der Restklassenring mod m isomorph zur direkten Summe der Restklassenringe mod m», und zwar erhält man einen kanonischen Isomorphismus, iriderà man jeder Restklasse a mod m als Komponenten das System der Restklassen a mod w-,- zuordnet.

2. Direkte Zerlegung d. Restklassenrings u. d. primen Restklassengruppe mod m

47

Die Komponenten a mod rrij einer Restklasse a mod m sind einfach diejenigen eindeutig bestimmten Restklassen mod m„ in denen die Restklasse a mod m enthalten ist. Auf Grund des Zerlegungssatzes gilt demnach: Ist m = ml • • • m, mit paarweise teilerfremden mit so gibt es zu jedem System von Restklassen at mod ml genau eine Restklasse a mod m, die in allen diesen Restklassen enthalten ist, d. h. die dem simultanen Kongruenzensystem (A)

a = ax mod mx , . . . , a = ar mod mr

genügt, und zwar ist die Restklasse a mod m im Hinblick auf ihre eindeutige Bestimmtheit sogar der genaue Durchschnitt der Restklassen at mod m,-. Dieser Satz ist als der handgreifliche Kern unserer begrifflichen Beschreibung des Restklassenrings mod m anzusehen. Rechnerisch erhält man die eindeutig bestimmte Lösung des allgemeinen Kongruenzensystems (A) aus den zuvor konstruierten Lösungen I, mod m der r speziellen Kongruenzensysteme (I) durch die Superposition a = i ! + • • • -j- ar I, mod m . Diese Formel setzt übrigens die isomorphe Beziehung zwischen den Restklassen a mod m und den Restklassensystemen % mod mv, . . . , ar mod mr rechnerisch in Evidenz. Ist a mod m eine prime Restklasse, so sind nach (A) auch die Komponenten a{ mod m i prime Restklassen. Sind umgekehrt die Komponenten a t mod m,- prime Restklassen, so ist a nach (A) zu jedem einzelnen w,-, also auch zum Produkt m prim, d. h., es ist auch a mod m eine prime Restklasse. Demnach folgt aus dem Zerlegungssatz für den Restklassenring mod m durch Beschränkung auf die primen Restklassen und deren Multiplikation: Zerlegungssatz für die prime Restklassengruppe mod m. Ist m = m1 • • • m, mit paarweise teilerfremden mu so ist die prime Restklassengruppe mod m isomorph zum direkten Produkt der primen Restklassengruppen mod mu und zwar erhält man einen kanonischen Isomorphismus, indem man jeder primen Restklasse a mod m als Komponenten das System der primen Restklassen a mod ml zuordnet. Rechnerisch erhält man die demnach in der Gruppe @m der primen Restklassen a mod m bestehende eindeutige Zerlegung a = ä± • • • aT mod m in Komponenten ä ( mod m aus Untergruppen ® m „ die zu den Gruppen primen Restklassen a { mod mt- isomorph sind, wie folgt: ä1 = a

+ I2 4

-f I r , . . . , o, =

der

+ • • • + I r _ i + a lr mod m .

Denn die so definierten Restklassen a j m o d m bilden jeweils eine Untergruppe @m. von die auf Grund der Zuordnungen äi mod m •

• a = at mod m{

zu & m . isomorph ist, und ihr Produkt ist die Restklasse a r= cij I j -f • • • -1- ar I r mod m .

48

I, § 4. Struktur d. Restklassenrings u. d. primen Restklassengruppe mod m A u f Grund der direkten Zerlegung X • • • X &mr

besteht für die Ordnungen die Beziehung 0) zu beschränken, weil für die übrigen Primzahlen fi v — 0 ist, und damit auch die ^ p = 0 sind. Nach dem speziellen Zerlegungssatz (S. 46) ist das Bestehen einer einzelnen Kongruenz a = ai mod m, gleichbedeutend mit dem Bestehen der Kongruenzen a = a% mod pH>v

(p | m)

(unter denen die mit /ui p = 0 als trivialerweise erfüllt weggelassen werden könnten). Demnach ist das Kongruenzensystem (A) äquivalent mit dem Kongruenzensystem (A*)

a = a{ mod j A p

Für jedes p | m sei nun i(p) ein Index mit System (A) das Teilsystem (AJ)

a = am mod p^vW

(p | m, i = 1

r).

= fiv. Dann greifen wir aus dem , d. h. mod -fv ,

(p \ m)

heraus; es wird nach dem speziellen Zerlegungssatz durch genau eine Restklasse a mod m gelöst. Diese Lösung von (A*) genügt aber auch den übrigen Kon-

2. Direkte Zerlegung d. Restklassenrings u. d. primen Restklassengruppe modm

51

gruenzen aus ( A * ) ; denn wegen ¡m, p £a/%,).z> ist ja pH>v | (m i; mm) und daher nach (B) a% = am mod p"1-* (p \m, i = 1, . . . , r) so daß aus (A*) auf ( A * ) geschlossen werden kann. Damit ist die behauptete Kennzeichnung von N in M bewiesen. Die Behauptung über die Homomorphismen H( ergibt sich ohne weiteres daraus, daß die Verträglichkeitsbedingungen (B) für eine einzelne Komponente al mod m4 keinerlei Einschränkung bedeuten; denn jede Restklasse at mod m% kommt als wi>-Komponente einer Restklasse a mod m vor, etwa mit a = at oder allgemeiner nur a = « j mod mj. Bei Beschränkung auf die primen Restklassen übertragen sich die vorstehenden Schlüsse ohne weiteres. Lediglich für den letzten Schluß ist noch festzustellen, daß jede prime Restklasse a { mod m4- wirklich als »»¿-Komponente einer primen Restklasse a mod m vorkommt. Die Richtigkeit dieser Behauptung erkennt man analog wie vorher, unter Zuhilfenahme der folgenden häufig gebrauchten Tatsache : In jeder primen Restklasse al mod ml gibt es Vertreter a = al mod ml, die zu einer vorgegebenen wxtiirlichen Zahl m prim sind. Beweis. Sei t das Produkt der Primzahlen, die in m, aber nicht in m' aufgehen. Dann ist {rri, t) = 1. Nach dem speziellen Zerlegungssatz (S. 47) gibt es daher ein a mit a ^=a' mod ml , a prim zu t (etwa a = 1 mod i) . Jedes solche a leistet das Verlangte. Der handgreifliche Kern des damit bewiesenen allgemeinen Zerlegungssatzes ist, wie schon im Beweis hervortrat, die folgende Aussage: Das Kongruenzensystem (A)

a = % mod Wf

(i = 1, . . . , r)

mit irgendwelchen natürlichen m4 ist bei gegebenen Restklassen ai mod dann lösbar, wenn die Verträglichkeitsbedingungen (B)

genau

al = a, mod (m„ m ; )

für alle Indexpaare i, j erfüllt sind, und zwar bilden die Lösungen dann genau eine Restklasse a mod [m1 w,]. Dieser Aussage ordnet sich der auf S. 47 hervorgehobene handgreifliche.Kern des dortigen speziellen Zerlegungssatzes formal unter, indem im Spezialfall paarweise teilerfremder mt alle (mt, m,j) = 1 sind, so daß die Verträglichkeitsbedingungen (B) als Kongruenzen mod 1 trivialerweise erfüllt sind. 3. Mittels des allgemeinen Zerlegungssatzes wollen wir jetzt noch eine in § 5 anzuwendende Aussage über prime Restklassengruppen © m beweisen. Diese Aussage bezieht sich auf eine Bildung, die wir zunächst definieren müssen. Für ml | m ist die Abbildung a mod m • 4*

• a mod m',

52

I, § 4. Struktur d. Restklassenrings u. d. primen Restklassengruppe mod m

die jeder primen Restklasse mod m die sie enthaltende prime Restklasse mod m/ zuordnet, ein Homomorphismus jedenfalls von & m i n ®m-, nach dem allgemeinen Zerlegungssatz (mit m 1 = m, ra2 = m ) oder auch der in seinem Beweis auf S. 51 festgestellten Tatsache aber sogar von % m a u f Es handelt sich dann um den K e r n dieses Homomorphismus, für den nach dem Gesagten die Isomorphie ©l»/ m' = besteht. Seine Elemente sind die Restklassen (K m t m ')

a mod m

mit

a = 1 mod m'.

Die zu beweisende Aussage betrifft eine Beziehung zwischen solchen Kernen $m,m' für mehrere Teiler m' von m. Sie lautet: Sei m irgendein Vielfaches von [m^ . . . , raf] und sei m0 = (mv . . . , mr). Dann ist ®»n, m0 =

(K-)

ml

'

'

'

mr

•

Später wird zwar nur der Spezialfall m = [m1( . . . , mT] benötigt; erst die Verallgemeinerung auf beliebige Vielfache m von [m lt . . . , m r ] ermöglicht jedoch den nachstehenden Beweis durch vollständige Induktion nach r. Beweis. Für r = 1 ist m0 = m 1; also die Behauptung $ m>m „ = Ml trivialerweise richtig. Sei r > 1, und sei die Behauptung schon bis r —• 1 bewiesen. Aus der dann gültigen Beziehung ^m, (m1

m

m

r-~

i ' ' ' ^m>mr-i

folgt jedenfalls {m^,..., mr_i)

mr

r

m^ ' * ' ^-m,

mr •

Ist nun sogar r > 2, so daß die Behauptung für 2 in der Induktionsannahme eingeschlossen ist, so gilt im Hinblick auf ((m v . . . , mr—i), mr) = (wi x ,..., m r _i, m r ) = m 0 weiter m — (m1 r ' Zusammengenommen ergibt sich dann die Behauptung für r. Zur Vollendung des Induktionsschlusses bleibt demnach noch der Beweis der Behauptung für r = 2 zu erbringen. Sei demgemäß weiterhin r = 2, und sei zunächst m = [m1, m2]. Es genügt dann, die zu (K) analoge Beziehung für die Bildgruppen 2m, m, > 2m, m,, 2m, ms von )»,> Ä'm, m1, m2 bei dem im allgemeinen Zerlegungssatz (S. 49) festgestellten Isomorphismus a mod m -> (a mod m1, a mod m2) von % m in % m = X ©m2 zu beweisen. Nach jenem Zerlegungssatz und der obigen Kennzeichnung (Km>m-) der m> bestehen diese Bildgruppen aus den primen Restklassenpaaren: (2 m, mj (2m,ml) (2m, m„)

^o = (ai m o d m 1; a2 mod m2) mit -41 = (1 mod m 1; a 2 mod m8) mit = ( a i m ° d mv 1 mod m2) mit

e^ = a 2 = 1 mod (m^ m2) , a2 = 1 mod (m lt m2) , a1 = 1 mod (mu m2) .

3. Die Struktur der Additionsgruppe des Restklassenrings mod m

53

Ersichtlich ist A0 = A1 A2, also Qm, m0

=

ßm, m1 Qm, m2 (sogar = Olm, ml X

m2) >

und daher wie gesagt auch (sogar = ®m>OTl X

.

Sei jetzt allgemein m ein Vielfaches von m* = [m1( m 2 ]. Dann ist nach dem eben Gezeigten jedenfalls ^m*, ma ~ ^m*, mx ^ m m 2 • Die hierin auftretenden Gruppen sind die Bilder der Gruppen aus der Behauptung bei dem Homomorphismus a mod m a mod m* von @m auf @ m «. Da dessen Kern definitionsgemäß ®m> m* ist, folgt für die Urbilder: m0

m* ~

rn1

mz

m* •

Weil nun ra0, mlt m2 Teiler von m* sind, ist — wie aus der obigen Kennzeichnung (K m,m' ) der ®m,m< klar ist •—• ^IV»,m* in $rntm0> »^»1,7%) $m,m2 enthalten, k a n n also in der erhaltenen Beziehung beiderseits fortgelassen werden. Das ergibt die noch zu beweisende Behauptung (K) f ü r r = 2 im allgemeinen Falle. Wir bemerken schließlich, daß sich auch der allgemeine Zerlegungssatz und die Kompositionsbeziehung (K) ohne weiteres auf Moduln m im Sinne von § 3, S. 36 verallgemeinern, wobei das bereits dort über die Verallgemeinerung der Begriffe Teiler, größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches auf derartige Moduln Gesagte zu beachten ist. 3. Die Struktur der Additionsgruppe des Restklassenring» mod m Die Additionsgruppe des Restklassenrings mod m ist dem Typus nach die zyklische Gruppe der Ordnung m, etwa durch die Restklasse 1 mod m erzeugt. Für sie ist die direkte Summenzerlegung nach den m zusammensetzenden Primzahlpotenzen nichts anderes als ein Spezialfall des Basissatzes f ü r endliche abelsche Gruppen, der aussagt, daß jede endliche abelsche Gruppe bei additiver Schreibweise als direkte Summe von zyklischen Untergruppen von Primzahlpotenzordnung darstellbar ist, wobei zwar nicht die zyklischen Untergruppen selbst, wohl aber die direkten Summen der jeweils zur gleichen Primzahl gehörigen unter ihnen eindeutig bestimmt sind. Wir wollen noch etwas näher auf die Struktur der Additionsgruppe mod m eingehen. Für jeden natürlichen Teiler d von m bilden die Restklassen a mod m mit a = 0 mod d eine Untergruppe. Diese ist zyklisch von der Ordnung m' =

~ , d denn durch Wegdivision von d wird sie isomorph auf die Additionsgruppe aller Restklassen a' mod m' abgebildet. Umgekehrt bilden f ü r jede Untergruppe der Additionsgruppe mod m die in ihr liegenden Zahlen a eine additive Gruppe, die m enthält, weil die Untergruppe die Restklasse 0 mod m enthält, die also aus allen Vielfachen eines natürlichen Teilers d von m besteht (§ 2, S. 19). Es gibt daher auch nur die angegebenen Untergruppen. Erzeugende Elemente der Additionsgruppe mod m sind nach dem Divisionssatz in § 3, S. 26 genau die primen Restklassen k mod m. Die Automorphismen werden

54

I, § 4. Struktur d. Restklassenrings u. d. primen Restklassengruppe mod m

also durch die Substitutionen 1 k mod m oder allgemeiner a -> k a mod m beschrieben. Ihrer Nacheinanderausführung entspricht die Multiplikation der primen Restklassen k mod m, die Automorphismengruppe ist also zur primen Restklassengruppe mod m isomorph. Da die Additionsgruppe mod m dem Typus nach die zyklische Gruppe 3m der Ordnung m ist, haben wir damit, zur multiplikativen Schreibweise übergehend, die folgenden häufig benutzten gruppentheoretischen Sätze: Für jede Ordnung m' | m (und nur für diese Ordnungen) gibt es in Qm genau eine Untergruppe, und diese ist vom Typus . Sie besteht aus den d-ten Potenzen der Elemente von wo m = dm'. Die Automorphismengruppe von Qm ist zur primen Restklassengruppe mod m isomorph, und zwar auf Grund der Zuordnung (a -> ak)

• k mod m

(k prim zu m) .

Wir wenden uns jetzt der gemäß 2, S. 46 verbliebenen Aufgabe zu, die Struktur des Restklassenrings mod p>* und der primen Restklassengruppe mod p* für eine Primzahlpotenz pP (¡j, 2; 1) zu beschreiben. 4. Zur Struktur des Rcstklassenrings mod p" Über die Struktur des Restklassenrings mod p ß beweisen wir hier nur: Die Restklassen mod pß werden in eindeutiger Darstellung durch a = a0 + at p + • • • +

p"~1 mod p"

in SR)

gegeben, wo 9? irgendein volles Restsystem mod p ist. Beweis. Für ¡j, = 1 ist das klar. Ist ¡i > 1, so sei es für (JL — 1 bereits bewiesen. Man hat dann eindeutig also

a = a0 + aL p + • • • + a„_ 2

mod p"~1

a = a0 + a1 p + • • • -f aß_2

+ g p""1

mit einem f ü r p ganzen g. Dann bestimmt sich g = a.^—i mod p

(at in SR),

eindeutig aus {a/i—i in

•

Das ergibt den Beweis durch vollständige Induktion. Für ¡j, = 1 ist der Restklassenring mod p, wie schon früher festgestellt, ein Körper, der Primkörper der Charakteristik p. Für [i > 1 gibt die hergeleitete eindeutige Darstellung insofern noch keinen befriedigenden Einblick in die Struktur des Restklassenrings mod p f , als aus ihr nicht unmittelbar der Verlauf der Rechenoperationen ablesbar ist. Um diese zu beschreiben, kommt es wesentlich noch auf die Angabe an, wie die eindeutigen Darstellungen für Summe und Produkt zweier Vertreter a0, b0 aus SR lauten. Nimmt man SR als das kleinste Restsystem mod p, so lautet diese Angabe für die Summe so: , . , rvj , (0 für a0 + b0 < p I a0 + b0 = cQ + ep mit c0 m SR und t = j l f ü r ^ £j• + weil im letzteren Falle jedenfalls a0

b0 * in einfacher Weise erkennen. Natürlich ist eine Restklasse a mod pf dann und nur dann prim, wenn a prim zu p ist, und dies wiederum ist dann und nur dann der Fall, wenn a ^ 0 mod p ist. Da n u n a = a0 mod p ist, ergibt sich, daß die primen Restklassen mod pß in jener Darstellung durch a0 ^p 0 mod p , ax, . . . , a^—i

beliebig mod p

gekennzeichnet sind. Daraus folgt f ü r ihre Anzahl die Bestimmung 9>(P") = (P — 1) V"1

= P" ( l — j j •

Nimmt man die in 2, S. 48 erhaltene Zurückführung von (p(m) auf die (p{p"p) hinzu, so ist damit die in § 3, S. 29 rechnerisch bewiesene Formel f ü r die Eulersche Funktion *—1. Auf Grund der Eindeutigkeitsaussage des Basissatzes sind das die ein-

56

I, § 4. Struktur d. Restklassenrings u. d. primen Restklassengruppe mod in

zigen Untergruppen mit diesen Ordnungen, und sie bestehen aus allen Elementen, deren Ordnungen in p — 1 bzw. p'~l aufgehen. Explizit bestimmen sie sich, indem man die durch Potenzierung mit p — 1 bzw. p»—1 bewirkten Homomorphismen von ^ betrachtet. Einerseits hat man dabei im Hinblick auf die Ordnungen SS P _ 1 = 1 ,

= 1. 1

Andrerseits bewirkt die Potenzierung mit bzw. p — 1 nach dem Satz in 3, S. 54 einen Automorphismus jedes direkten Faktors von SB bzw. also auch dieser Gruppen selbst, und daher ist

SB ,

W/'1

=

%

•

Zusammengenommen ergeben sich damit die expliziten Darstellungen 2B = 5ßf"~\

«K-SST1.

Wir bestimmen zunächst die Struktur der Untergruppe SB. Einerseits liefert nach dem eben Gesagten die Zuordnung a mod jy • -> • a^"1

mod pf

einen Homomorphismus von ^ auf SB mit dem Kern phismus von typlty'ß auf SB. Andrerseits liefert die Zuordnung a mod p* •

also einen Isomor-

• a mod p

einen Homomorphismus von auf ^ßj. Sein Kern die Gruppe der Restklassen a' mod pP mit a' = 1 mod p (die Gruppe ®p/tt v in der Bezeichnung von 2, S. 52), hat den Index p— 1, also die Ordnung p1"1. Nach dem zuvor Gesagten ist also = Daher liegt ein Isomorphismus von auf vor. Zusammengenommen liefert dann die Zuordnung a mod p • einen Isomorphismus von ^

• o ? " - 1 mod p>*

auf SB. Hiernach ist

also SB zyklisch. Darüber hinaus können wir folgendes sagen. Die einer primen Restklasse a0 mod p aus ^ bei dem angegebenen kanonischen Isomorphismus zugeordnete Restklasse (1)

a = a f m o d pf

aus SB hat nach dem kleinen Fermatschen Satz (§3, S. 29) die Eigenschaften: (2)

a = a0 mod p ,

a?—1 = 1 mod pt1.

Sie ist durch diese Eigenschaften eindeutig gekennzeichnet; denn die zweite Kongruenz bedeutet die Zugehörigkeit von a mod p>* zu SB = X " , und die erste Kongruenz hebt unter den p — 1 Restklassen mod pß aus SB gerade die der Restklasse a0 mod p aus ^ isomorph zugeordnete heraus. Somit gilt:

57

5. Die Struktur der primen Restklassengruppe mod p*

Zu jeder primen Restklasse a0 mod p gibt es genau eine Restklasse mit den Eigenschaften (2), nämlich die Restklasse (1) aus SB.

a mod p*

Insbesondere erhält man, ausgehend von einer primitiven Wurzel w0 mod p, in der Form w = M'P"-1 mod pf ein Basiselement von SB, eindeutig gekennzeichnet durch w = w0 mod p ,

w^1

= 1 mod pß .

Nach der ersten Kongruenz ist w eine primitive Wurzel mod p, und nach der zweiten Kongruenz ist w mod p^ so normiert, daß die stets bestehende Kongruenz w?~1 = 1 mod p sogar mod pß gilt. Wir reden in diesem Sinne von einer mod pP normierten primitiven Wurzel mod p und können dann abschließend sagen: SB ist zyklisch und wird durch eine mod p^ normierte primitive erzeugt.

Wurzel mod p

Im Falle p — 2 sind alle diese Aussagen trivial, weil dann 38 = 1, also ^ ist.

=

^

Wir wenden uns weiter der Untergruppe ^ zu. Wie wir oben (S. 56) schon sahen, besteht ^ = ^ aus den Restklassen a' mod p^ mit a' == 1 mod p. Über die Struktur dieser Gruppe ^ (fi 2: 2) beweisen wir: Für p =j= 2 ist ^ zyklisch und wird durch die Für p = 2 ist ^ = ^ das direkte Produkt zyklischen Untergruppe der Ordnung 2 und der mit a" = 1 mod 2a bestehenden Untergruppe typ ist zyklisch und wird durch die Restklasse

Restklasse 1 + p mod pf erzeugt. der durch — 1 mod 2" erzeugten aus den Restklassen a" mod 2" der Ordnung 2 /i_a . Diese Gruppe 1 + 2 2 mod 2" erzeugt.

Beweis, a) p 4= 2. Es genügt zu zeigen, daß die Restklasse 1 + p mod p" die Ordnung pf—1 hat. Da als Elementordnungen lediglich Teiler der Gruppenordnung pP~1 in Frage kommen, läuft das auf (1 + p K - 2 4= 1 mod p" hinaus. Für fi = 2 ist das richtig. Ist fi~> 2, so sei es für ¡x — 1 bereits be3 hat, ist jedenfalls wiesen. Weil 2 die Ordnung (1 + pY"~ z = I mod p « - 2 ,

oder also

(1 + p)?""3 = 1 +

gp"~2

mit ganzem g. Nach Induktionsannahme ist dies ¡ 7 ^ 0 mod p. Durch Potenzieren mit p folgt dann: (1 + p ) P =

1 + l^gr-2

+ (f) • a mod 22 von ^ = ^ auf den Index 2, also die Ordnung 2"~ 2 . Die Restklasse — 1 mod 2" liegt nicht in erzeugt also die zyklische Faktorgruppe von der Ordnung 2. Da diese Restklasse wegen (— l) a = 1 nicht nur in der Faktorgruppe sondern auch in der Gruppe ^ selbst die Ordnung 2 hat, ist ^ das direkte Produkt aus der durch sie erzeugten zyklischen Untergruppe der Ordnung 2 und der Untergruppe ; letztere tritt nur für [i > 2 in nicht-trivialer Weise (Ordnung 4= 1) auf. Entsprechend wie für p 4= 2 ist dann hier zu zeigen, daß für fj, S: 3 die Restklasse 1 + 22 mod 2" die Ordnung 2"~ 2 hat, oder also, daß (1 + 2 2 ) 2 " - 3 =f= 1 mod 2" ist. Für fi = 3 ist das richtig. Ist ¡i > 3, so sei es f ü r ¡x — 1 bereits bewiesen. Unter Beachtung, daß die Ordnung 2' i—4 hat, hat man entsprechend wie vorher (I + 2 2 ) 2 " - 4 = 1 + gr2"-2 mit ganzem g ^ 0 mod 2. Durch Potenzieren mit 2 folgt daraus: (I + 2 2 ) 2 " - 3 = 1 -t- 2 g 2"- 2 + g2 22("-2> s I 4-g2"-1mod2"; denn wegen fi, > 3 ist 2{¡i — 2) fx. Wegen g ^ 0 mod 2 ist damit die Behauptung durch vollständige Induktion bewiesen. Auf Grund der vorstehend bewiesenen Strukturaussagen gilt: Die primen Restklassen a mod p1 sind in eindeutiger Basisdarstellung gegeben: a) für p 4= 2, fi 1 durch a = vf- (1 + pY mod pp

(a mod p — 1, a' mod pf~1)

mit einer mod j/ 1 normierten primitiven Wurzel w mod p, wobei für ¡x = 1 der Beitrag des Basiselementes 1 + V fortfällt; b) für p = 2, fx 2g 2 durch a = (—• 1)" (1 + 2 2 ) a ' mod 2"

(a mod 2, * zu verallgemeinern, hat man nach § 3, S. 34 lediglich noch p als Basiselement von unendlicher Ordnung hinzuzunehmen. In der nachstehenden Formulierung dieser Basisdarstellung lassen wir, im Sinne der in § 3, S. 35 getroffenen Verabredung, zur Abrundung auch noch ¡x — 0 zu. Ferner fügen wir, im Hinblick auf die direkte Zerlegung der vollen Restklassengruppe ©moo (2, S. 49), den vorstehend behandelten Fall formal als Fall p = oo, (i = 1 hinzu; andere Exponenten als fj, = 0, 1 sollen bei p — oo nicht in Betracht kommen. Dann können wir abschließend feststellen: Die Restklassen a mod* p>* sind in eindeutiger Basisdarstellung gegeben: a) für p =(= 2, oo durch a = px w"' (1 + P)* mod x pP

(a ganz,

mod p — 1, a " mod p^^1) ,

mit einer mod p^ normierten primitiven Wurzel w mod p, wobei für fi = 1 der Beitrag des dritten und für ¡i = 0 auch der Beitrag des zweiten Basiselements fortfällt; b) für p = 2 durch a = 2" (— l) a ' (1 + 22)®" mod x 2"

(a ganz, a' mod 2, a " mod 2**-2) ,

wobei für fi = 2 der Beitrag des dritten und für /u = 1,0 auch der Beitrag des zweiten Basiselements fortfällt-, c) für p — oo durch a = (—l)amod,

weil mit a auch a0a durch © läuft. Daraus folgt 2J X( a) = 0. Man kann die a

zweite Formel auch ganz entsprechend aus (2) herleiten. Ist § eine Untergruppe von © und % ein Charakter von © mit der Eigenschaft X{a) = 1 für jedes a aus § , so hängt X(a) für die Elemente a aus © nur von deren Restklasse nach § ab. Dann ist also x auch ein Charakter der Faktorgruppe ©/§. Umgekehrt kann so jeder Charakter von ©/£) auch als Charakter von © mit der angegebenen Eigenschaft aufgefaßt werden. Diese Charaktere bilden eine Untergruppe H von X, die Charaktergruppe von ©/§. Man hat dann also nach der Definition dieser Untergruppe: (1')

x(a) = 1 für jedes a aus §

ist gleichbedeutend mit

% in H.

Diese Aussage ist von der Form (1) mit § und X/H anstelle von © und X. Wendet man (2) auf © / § an, so ergibt sich die nach dem Dualitätsprinzip der Charaktertheorie entsprechende Tatsache: (2') 5

%{a) = 1 für jedes X aus H

Hasse, Zahlentheorie

ist gleichbedeutend mit

a in Q.

66

I, § 5. Quadratische Reste

Hiernach besteht der folgende dem Hauptsatz der Galoisschen Theorie ähnliche Sachverhalt (sogen. Galoisscher Zusammenhang): Ist der Untergruppe § nach (1') die Untergruppe H zugeordnet, so ist der Untergruppe H nach (2') wieder die Untergruppe zugeordnet, und umgekehrt: Ig —>• H nach (1') ist gleichbedeutend mit H § nach (2'), und bei dieser eineindeutigen Zuordnung § *- H zwischen den sämtlichen Untergruppen § von © und H von X gilt: H ist die Charaktergruppe von ©/§. Überdies gilt dabei für § H, — H': § S ist gleichbedeutend mit H 2 H'. Letzteres ersieht man ohne weiteres aus den Zuordnungsvorschriften (1'), (2'). Speziell für die Untergruppe § = © 2 der Quadrate in & sind die Charaktere % aus der zugeordneten Untergruppe H = X 2 von X nach (1') durch die Eigenschaft X ( x 2 ) = 1 für jedes x gekennzeichnet, was wegen %{x2) — %2(x) auf X2=l hinausläuft. Charaktere % mit dieser Eigenschaft heißen quadratische Charaktere. Nach (2') ist dann umgekehrt die Untergruppe © 2 der Quadrate in & durch die Eigenschaft %(a) = 1 für jeden quadratischen Charakter % von © ihrer Elemente gekennzeichnet. Demnach gilt: Ein Element a aus © ist dann und nur dann Quadrat in ©, wenn %(a) == 1 für jeden quadratischen Charakter % von © ist. Die quadratischen Charaktere % sind diejenigen Charaktere, deren Wert eine der beiden 2-ten Einheitswurzeln ± 1 ist- Man erhält sie. wenn man jedem Basiselement wt von durch 2 teilbarer Ordnung als Charakterwert x^w%) = e i eine beliebige 2-te Einheitswurzel S j = f 1 zuordnet, während für die Basiselemente wit deren Ordnung n{ nicht durch 2 teilbar ist, x ( w i ) = 1 zu setzen ist. Bezeichnet also s die Anzahl der Basiselemente von durch 2 teilbarer Ordnung, so ist die Gruppe X 2 der quadratischen Charaktere vom s-gliedrigen Typus (2, . . ., 2). Da X 2 als die Charaktergruppe von ©/© 2 zu dieser Faktorgruppe isomorph ist, hat auch @/©2 den s-gliedrigen Typus (2, . . ., 2). Wir betrachten schließlich für ein a aus © 2 die Lösungen x von x% = a. Sie entstehen aus einer festen x0 in der Form x = x0y, wo y die Lösungen von y2 = 1 durchläuft. Diese bilden eine Untergruppe © 2 von @, die ganz entsprechend erklärt ist, wie die Untergruppe X 2 von X. Da ® zu X isomorph ist, ist also © 2 zu X 2 isomorph. Daher ist auch © 2 vom s-gliedrigen Typus (2, . . ., 2). Demnach gilt: Die Gleichung x2 = a für ein Element a aus © hat, wenn sie überhaupt lösbar ist (a in ©2 liegt), genau 2" Lösungen in @, wo 2* die Anzahl der quadratischen Charaktere von © ist. Alles dies zeigt, wie die Charaktere von © zur Beschreibung von Sachverhalten in © dienen können.

67

2. Restklassencharaktere und Zahlcharaktere mod m

2. Restklassencharaktere und Zahlcharaktere mod m Wir wenden jetzt die vorstehend entwickelten allgemeinen Begriffe und Tatsachen auf die prime Restklassengruppe & m nach einem Modul m im Sinne von § 3, S . 3 6 an. Die Charaktere von & m nennt m a n die Restklassencharaktere

m o d m,

weil ihre Argumente die primen Restklassen a mod m sind. Ersetzt man im Argument eines solchen Charakters % die Restklassen durch die in ihnen enthaltenen Zahlen, so erhält man eine Funktion in der Gruppe der zu m primen rationalen Zahlen a mit den Eigenschaften: (1)

= 1

%(a)

X(a

(2)

für

1 mod

a =

m

,

a') = %(a) *(«') .

Umgekehrt liefert jede derartige Zahlfunktion % einen mod m; denn aus (1), (2) folgt (3)

X(a)

=

xia )

für

a

=

a

Restklassencharakter

mod m ,

so daß der Funktionswert %(a) wirklich nur von der Restklasse a mod m abhängt. Die so den Restklassencharakteren mod m isomorph zugeordneten Zahlfunktionen seien die Zahlcharaktere mod m genannt. Wenn gesagt werden soll, daß % ein Zahlcharakter mod m ist, und wenn dabei % und mod m im Text unmittelbar aufeinanderfolgen, werden wir x | mod m schreiben, um eine Verwechslung mit der Restklassenschreibweise a mod m auszuschließen. Solange nur ein fester Modul m betrachtet wird, braucht man die Begriffe Restklassencharakter und Zahlcharakter nicht zu unterscheiden. Eine solche Unterscheidung wird jedoch erforderlich, sobald es sich um Beziehungen zwischen Charakteren nach verschiedenen Moduln m, m' handelt. Denn während bei den Restklassencharakteren mod m und mod m' die Definitionsbereiche © m und ® m für m =f= m' keine Elemente gemeinsam haben, haben bei den zugeordneten Zahlcharakteren die Definitionsbereiche einen nichtleeren Durchschnitt, nämlich die Gruppe der zu m und m' oder also zu [m, m'] primen rationalen Zahlen. An diesen Umstand knüpfen die nachstehenden Ausführungen an. Zwei Zahlcharaktere x | mod m und %' ! mod m! sollen einander gleich heißen, wenn sie im Durchschnitt ihrer Definitionsbereiche, also in der Gruppe der zu m und m' primen rationalen Zahlen übereinstimmen: (4)

% = x'

%{a) = x'(a)

für alle zu m und m! primen a .

Man sagt dann, m und m' seien Erklärungsmoduln für den Zahlcharakter X ~ X < und nennt diesen sowohl mod m als auch mod m' erklärbar. Diese über die formale Identität hinausgehende Gleichheitsdefinition rechtfertigt sich dadurch, daß die Zahlcharaktere % \ mod m und \ mod m! bereits durch die Werte im Durchschnitt ihrer Definitionsbereiche eindeutig festgelegt sind, sich also gegenseitig bestimmen. Da es nämlich nach § 4, 2, S. 51 in jeder primen Restklasse a mod m Zahlen a' gibt, die zu einem beliebigen weiteren Modul m' prim sind, ist ein Zahlcharakter % | mod m nach (3) bereits durch seine Werte in der Gruppe aller zu m und mf primen rationalen Zahlen eindeutig festgelegt. Es entsteht die Aufgabe, für einen im Sinne der Gleichheitsdefinition (4) verstandenen Zahlcharakter den weitestmöglichen Definitionsbereich'zu bestimmen. 5*

68

I, § 5. Quadratische Reste

Dazu gehen wir von folgender Feststellung aus. Ist speziell m' ein Teiler von m, so liefert in der Gruppe der zu m primen Zahlen der Homomorphismus a mod m • -s- • a mod m' mit dem Kern ®m> m>, bestehend aus allen a mod m mit a = 1 mod m', nach § 4, 2, S. 52 einen Isomorphismus von & m l^ m ,m' auf ©m-. Demnach erhält man aus den R e s t k l a s s e n c h a r a k t e r e n % [ mod m' durch die Festsetzung x(a

(5)

mo(

i m)

=

X(a

m

°d

m

)

Restklassencharaktere % \ mod m. Genauer liefert die Zuordnung X X einen Isomorphismus der Charaktergruppe X«,- von &m- auf diejenige Untergruppe HOTi mder Charaktergruppe XTO von © m , deren Elemente % der Bedingung (F)

x(a

m

° d m) = 1 für alle a mod m aus

m'

genügen. Auf Grund dieses Isomorphismus kann man, wie das meist geschieht (siehe auch schon 1, S. 64), Xm- mit der Untergruppe Hm,m- von Xm identifizieren. Als Zahlcharaktere sind % und % im Sinne der Definition (4) einander gleich, da sie nach (5) in der Gruppe der zu m primen a übereinstimmen, und man kann % als Fortsetzung von % auf die Gruppe der nur zu m primen a' ansehen, explizit gegeben durch (5)

%'(a') = %(a)

mit

a = a' mod m,

a prim zu m .

Hieraus erkennt man die Richtigkeit der folgenden beiden Tatsachen: I. Ist m' ein Erklärungsmodul für so ist auch jedes Vielfache m von m! Erklärungsmodul für II. Ist m ein Erklärungsmodul für so ist ein Teiler m' von m genau dann ebenfalls Erklärungsmodul für wenn % der Fortsetzbarkeitsbedingung (F)

%(a) = 1 für alle a = 1 mod m! mit a prim zu m

genügt. Wir beweisen weiter: III. Sind mv . . mr Erklärungsmoduln für x, so ist auch der größte gemeinsame Teiler m0 = (mL, . . ., mr) Erklärungsmodul für Beweis. Nach I ist das kleinste gemeinsame Vielfache m = [m^ . . ., mr] Erklärungsmodul für x- Nach II genügt der Zahlcharakter x | mod m für jedes m, (in der Rolle von m') der Fortsetzbarkeitsbedingung (F). Als Restklassencharakter mod m hat daher % nach (F) in jeder der Gruppen m . durchweg den Wert I. Auf Grund der in § 4, 2, S. 52 bewiesenen Kompositionsbeziehung (K) gilt das dann auch für die Gruppe §im, m0> und das bedeutet, daß der Zahlcharakter X | mod m auch für den Teiler m0 von m der Fortsetzbarkeitsbedingung (F) genügt. Nach II ist somit m0 Erklärungsmodul für wie behauptet. Nunmehr ergibt sich der weitestmögliche Definitionsbereich eines Zahlcharakters x wie folgt. Sei / der größte gemeinsame Teiler a l l e r Erklärungsmoduln m für x• Deren gibt es nach I zwar u n e n d l i c h viele; nach dem in § 2, S. 11 bewiesenen Endlichkeitssatz für den größten gemeinsamen Teiler — er verallgemeinert sich ohne weiteres auf Moduln im hier betrachteten Sinne —- besitzt jedoch / bereits eine Darstellung / = (mlt . . ., mr) als größter gemeinsamer Teiler

2. Restklassencharaktere und Zahlcharaktere mod m

nur e n d l i c h vieler Erklärungsmoduln m i für Erklärungsmodul für Demnach gilt:

69

Nach I I I ist daher / selbst ein

IV. Die Erklärungsmoduln m eines Zahlcharakters % sind die sämtlichen Vielfachen eines im Teilbarkeitssinne kleinsten unter ihnen. Diesem kleinsten Erklärungsmodul f entspricht als weitestmöglicher Definitionsbereich von % die Gruppe der zu f primen rationalen Zahlen. Der durch % eindeutig bestimmte kleinste Erklärungsmodul / = f{%) heißt der Führer von Wenn ^ nach seinem Führer / erklärt ist, redet man von einem eigentlichen Charakter-, meist denkt man sich jedoch einen Zahlcharakter von vornherein auf den weitesten Definitionsbereich fortgesetzt, d. h. nach seinem Führer erklärt, und braucht dann diese Bezeichnung nicht. Unter den Zahlcharakteren % | mod m hat lediglich der Hauptcharakter % = 1 den Führer f(%) = 1, wie man ohne weiteres aus (F) abliest. Das Produkt von Zahlcharakteren % werde durch das Produkt der ihnen nach irgendeinem gemeinsamen Erklärungsmodul m zugeordneten Restklassencharaktere definiert. Für m kommen nach IV genau die gemeinsamen Vielfachen der Führer f(%) in Frage; jedoch kommt es im Sinne der Gleichheitsdefinition (4) auf die Wahl von m nicht an. Auf Grund dieser Produktdefinition bilden die Zahlcharaktere eine unendliche abelsche Gruppe. In dieser Gruppe gilt: Komponentenzerlegung der Zahlcharaktere. Führer f. Ist

Es sei % ein Zahlcharakter

vom

TJfp p\/ die Zerlegung von f in die Beiträge fp der einzelnen Primzahlen p (einschl. benenfalls oo), so besitzt £ eine eindeutige Komponentenzerlegung

gege-

f=

X= in (mod / erklärte) Zahlcharaktere Xp(a) = X(av)

J1'/P

p 1/

%p, die sich nach dem

Schema

aP = a mod fp,

ap = 1 mod -jTP bestimmen, und zwar haben diese Komponenten %v die Führer fp. mit

Beweis. Bis auf die Schlußbehauptung erkennt man das mittels der in § 4, 2, S. 47 u. S. 48 bewiesenen direkten Zerlegung p\r p der primen Restklassengruppe mod / nach dem in 1, S. 64 über die zugeordnete direkte Zerlegung i =

R \ p\f v ihrer Charaktergruppe Gesagten, wenn man nur folgendes beachtet: a) Die dortige Festsetzung, welche die Komponentencharaktere Xi v o n @t z u Charakteren von © macht, läuft hier (wie bereits oben S. 67 bemerkt wurde) darauf hinaus, die Komponenten %v, die zunächst Restklassencharaktere mod fp sind, als Zahlcharaktere aufzufassen und zur Erklärung mod / überzugehen. x

70

I, § 5. Quadratische Reste

b) Die dortigen at sind hier die wie angegeben definierten Restklassen ap mod / ; denn deren Komponenten im Sinne des Zerlegungssatzes aus § 4, 2 S. 47 sind j a die Restklassensysteme ap mod fp, 1 mod jp, (p' 4= V)Was die Schlußbehauptung betrifft, so ist der Führer j'v von %p nach I V jedenfalls ein Teiler von fp, und zwar nach I I mit der Eigenschaft Xp(a)

1

=

für alle a = 1 mod f'v mit a prim zu fp .

Durch Rückgang zu % nach dem Bestimmungsschema für yp folgt daraus X(ap)

=

1

für alle ap = 1 mod fp

fp

mit ap prim zu / .

Dies besagt aber nach I I , daß fp y- ein Erklärungsmodul für % und daher nach fp

I V ein Vielfaches von / ist, und das ergibt fp [ f'p, also, da auch f'p | fp, die Behauptung fp = fp. Durch die damit bewiesene Komponentenzerlegung wird die Aufgabe, den Führer / eines Zahlcharakters % zu bestimmen, auf die Bestimmung der Führer fp seiner Komponenten %v zurückgeführt, und zwar liefern diese Komponentenführer gerade die p-Beiträge von /, kurz fP(X)

=

HxP)

•

In diesem Sinne kann man sagen, daß sich der Führer eines Zahlcharakters komponentenweise bestimmt. Auf die für die begriffliche Klarheit der vorstehenden Ausführungen erforderliche Unterscheidung zwischen Restklassencharakteren und Zahlcharakteren mod m wird es weiterhin nicht mehr ankommen. Wir werden daher im folgenden einfach von Charakteren mod m reden. 3. Die Grundtatsachen über quadratische Reste Wir kommen jetzt zur Behandlung der Theorie der quadratischen Reste mod m, wobei wir m etwas allgemeiner als zu Beginn dieses Paragraphen als Kongruenzmodul ( § 3 , S. 36) voraussetzen wollen. Die quadratischen Reste a mod m werden durch die Eigenschaft %(a) = 1

für jeden quadratischen Charakter

% \ mod m

gekennzeichnet. Diese Kennzeichnung zerfällt der Primzerlegung von m entsprechend in Komponenten: %p(a) = I

für jeden quadratischen Charakter

y_v \ mod m p .

Die quadratischen Charaktere mod m p ergeben sich au? den in § 4, 5, S. 58 behandelten Basisdarstellungen der primen Restklassengruppen mod m p , wenn man den Basiselementen von durch 2 teilbarer Ordnung unabhängig voneinander die Charakterwerte i 1 zuschreibt. Für p =(= 2, 00 hat nun nur das eine der beiden Basiselemente w, 1 + p, nämlich w, durch 2 teilbare Ordnung, für p = 2 haben beide Basiselemente — 1 , 1 + 2 2 durch 2 teilbare Ordnung (sofern sie wirklich

71

3. Die Grundtatsachen über quadratische Reste

auftreten), und für p = oo hat das einzige Basiselement — 1 durch 2 teilbare Ordnung. Man erhält also folgende unabhängigen quadratischen Charaktere: f ü r a = w' (1 + p)*' mod pf, Xv ( a ) = (— ! ) " p 4= 2, oo p = 2 Xt{a) = (— 1)". *£(«) = ( - 1 ) " für a = (— 1)" (1 + 2»)" mod 2", p = oo Xoo(a) = ( — 1)" für a = ( — 1)* mod oo . Von der Mitführung der davon abhängigen Charaktere, d. h. des Hauptcharakters und für p — 2 noch des Produkts x'z, können wir natürlich absehen. Die Führer dieser Charaktere sind ersichtlich: HXp) = V, /(*.) =22, f(x 2)=23, f(Xoo) = OO . Unsere allgemeinen Ergebnisse führen damit zu den folgenden Tatsachen: Damit a quadratischer ferner Mwd auch schließlich

Rest mod m ist, ist notwendig und hinreichend,

Xp(a)

=

1

daß

für jede Primzahl p =(= 2 mii p | m,

Xi(a) = 1,

falls 2 2 | m,

Xz{a) = 1,

falls auch 2 3 | m,

X°o(a) = 1» falls oo | m ist. Die Untergruppe der quadratischen Reste mod m hat in der primen Restklassengruppe mod m dew Index 2r+äa+Ä00, wo r die Anzahl der Primteiler p 4= 2, 00 von m ist, ferner d2 = 0, 1, 2, nachdem für den Beitrag von 2 zu m gilt fi2 = 2, und Soo — 0, 1, je nachdem 00 nicht oder doch in m steckt. Ist a quadratischer Rest mod m, so hat die Kongruenz x2 = a mod m genau 2r+ 0, 6. Allgemeiner a—1 6—1 sgn a—1 sgn b—1

1 T vH' " " " für zu 2 prime, zueinander stark kernprime a, b.

83

5. Das quadratische Reziprozitätsgesetz für das Jacobische Symbol

Daß die erste Formel des quadratischen Reziprozitätsgesetzes dasselbe aussagt wie die zweite, folgt genau wie oben beim Legendreschen Symbol aus dem ersten Ergänzungssatz. Beweis der Ergänzungssätze. Die Formeln stimmen für den Fall b = p (Primzahl) und auch für b = e (Einheit). Allgemein ist b multiplikativ aus Primzahlen p =(= 2 und einer Einheit e zusammengesetzt. Daraus ergeben sich die Behauptungen, da beide Seiten in b multiplikativ sind, die linken Seiten definitionsgemäß, .-Ii-

a

i .. i

6 — 1 6 * — 1 sgn b — 1

die rechten Seiten, weil die Ausdrucke — — , — - — , Li

Li

-

_

mod 2 als die Ex-

Li

ponenten in den Basisdarstellungen von b mod 22, 23, oo (§ 4, 5, S. 59) sich bei multiplikativer Zusammensetzung von b additiv zusammensetzen. Statt der letzteren, im Hinblick auf den nachfolgenden Beweis des Reziprozitätsgesetzes gewählten Begründung kann man auch einfach sagen, daß die linken Seiten als die in 3, S. 71 eingeführten Charaktere %i(b), %2(b) £«,(&), %'z(b) multiplikativ in b sind. Beweis des Reziprozitätsgesetzes. Die letzte (allgemeine) Formel stimmt für Primzahlen a = q, b = p, und nach dem ersten Ergänzungssatz auch, wenn a oder b eine Einheit ist. Ganz entsprechend wie im vorigen Beweis genügt es daher festzustellen, daß dieAusdrücke a _ l b _ l sgna-lsgnft-1 JO _ _ _ _ m o d 2 , mod2 sich bei multiplikativer Zusammensetzung von a und b entsprechend additiv zusammensetzen. Da dies nach dem vorigen Beweis für die ersten und zweiten Faktoren einzeln stimmt, ist es auch für die Produkte richtig. Wir kommen noch einmal auf die Berechnung des Restcharakters gegebener Zahlen zurück. Während man bei Benutzung des Legendreschen Symbols vor Anwendung des Reziprozitätsgesetzes den „Zähler" des Symbols in Primfaktoren zerlegen muß, kommt man bei Benutzung des Jacobischen Symbols bis auf die Abspaltung der Potenzen von 2 ohne diese Zerlegung aus. Wir erläutern das an dem früher behandelten Beispiel: / 50009 \ /129061 \ _/—20966\ _ /2 • (—10483)\ _ , , , . / 50009 \ _ /— 2406 \ \ 129 061 / ^ 50009 / ~\~5ÖbÖ9/ ~ \ 50009 j ~ ' { — 10483/ ~ ^ 10483 / _ /2 • (— 1203) \ _ / 10483 \ _ _ /— 344 \ _ _ /2 • 22 • (— 43)\ _ \ 10483 j _ ' H— 1 2 0 3 / \ 1203 / _ \ 1203 /

Nunmehr können wir die Frage, wie das Jacobische Symbol

bei festem a

von b abhängt, in erschöpfender Weise beantworten und erhalten damit durch Anwendung auf den engeren Argumentbereich b — p eine erschöpfende Antwort auf die zum Ausgang genommene entsprechende Frage für das Legendresche

Symbol(i)'

...

Sei also jetzt eine rationale Zahl a =|= 0 beliebig gegeben. Dann ist I—J definiert

für alle diejenigen rationalen b 4= 0, die kernprim zu 2 und a sind, für die also k(b) prim zu 2 , 6*

k(b) prim zu a

84

I, § 5. Quadratische Reste

ist. Um das Reziprozitätsgesetz anwenden zu können, wollen wir vorerst b noch weiter durch die Forderungen b prim zu 2 , b prim zu k(a) beschränken, so daß also zusammengenommen b prim zu 2 , a und b stark kernprim zueinander vorausgesetzt wird. Für unseren gegenwärtigen Zweck ist jedoch die Beibehaltung der getrennten Formulierung als Einschränkungen für b bei gegebenem a vorteilhafter. Über die explizite Bedeutung dieser Einschränkungen braucht man hier nicht nachzudenken. Wir werden nachher eine explizite Beschreibung des größtmöglichen Bereichs von zulässigen b geben. Es sei a = 2?' a0 mit a0 prim zu 2 und genauer modx 4 , wo das HiLBEBTscAe

Symbol, einzuführen. Wir kommen zu diesem Symbol, wenn wir den Umkehrfaktor {a, b} = ^ y j

j des Jacobischen Symbols als Funktion der beiden Zahlen

a, b in Komponenten aufspalten, die seine Abhängigkeit von den multiplikativen Restklassen der Zahlen a, b nach den einzelnen Moduln p bzw. 2 3 und 00 in Erscheinung treten lassen. Wir setzen dazu die am Schluß von §4, 5 entwickelten Basisdarstellungen von a, b a n : p =)= 2, 00 p = 2

b = pßP v/v m o d x p ,

a = p"P w"'v ,

a = 2" (— l)a'* (1 + 2 2 p , a = (— I)*00 ,

p = 00

b = 2 a (— l f (1 + 22/' b =e (— lf°°

modx 2 3 ,

m o d x 00 .

Die Reziprozitätsformel (R) kann dann als {a, b} (— \f'ß' geschrieben werden.

(— l)"»*» = 1

Wir werden die Hilbertschen Symbole'

» w o V alle

Primzahlen und den Modul 00 durchläuft, im wesentlichen als die p-Komponenten des Ausdrucks auf der linken Seite dieser Formel definieren, also dadurch, daß wir als Charakter y>a(b) und

als Charakter ipb{a) nach der Formel (X)aus 5, S. 84

in p-Komponenten zerlegen und zu diesen f ü r p = 2,00 noch die beiden in der Formel auftretenden Zusatzfaktoren hinzunehmen. Im Definitionsbereich von

{«, b] =

gilt dann auf Grund dieser Definition die Produktformel

Die p-Komponenten

bestimmen sich im einzelnen wie folgt.

6. Das quadratische Reziprozitätsgesetz für das Hilbertsche Symbol

89

Für p 4= 2, oo hat y j die p-Komponente Xp(b)"p = (— 1)"pßp < y j die p-Komponente %v(a)ßv = (— 1 )"PßP , also {a, b} die p-Komponente ( — l)'pß'p+'pßp

.

Dabei ist im Definitionsbereich von {a,b} entweder ap = 0 mod 2 oder ßp = 0 mod 2, d. h. stets a,pßp = 0 mod 2. Demgemäß können wir im Exponenten von — 1 noch ein Glied cp +a"A

, ,

also {a, b} die 2-Komponente ( — l)"ß'2' Unter Hinzunahme des obigen Zusatzfaktors (— 1)

m

j

+ 0 äquivalent, soweit sie überhaupt Bewertungen darstellen. Letzteres ist nicht notwendig für jedes reelle s > 0 der Fall, weil zwar die multiplikativen Forderungen (1), (1'), (2) sich stets übertragen, aber nicht notwendig auch die additive Forderung (3). Da die Funktion xs im Bereich der reellen Zahlen x 2g 0 für 0 < s sS 1 die Eigenschaft (x + x'Y < x8 + x's hat, so überträgt sich auch (3) jedenfalls für 0 < s für unsere Zwecke nicht an. Wir beweisen jetzt auch umgekehrt:

1; doch kommt es darauf

Jede zu einer Bewertung

0. Beweis. Sei a0 ein festes Element mit 0