Vorlesungen über Technische Mechanik: Band 1 Einführung in die Mechanik 9783486777055, 9783486777048

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VORLESUNGEN ÜBER TECHNISCHE MECHANIK VON

A U G U S T FÖPPL

ERSTER

BAND

E I N F U H R U N G IN DIE M E C H A N I K 14, A U F L A G E . M I T 104

ABBILDUNGEN

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LEIBNIZ VERLAG M Ü N C H E N B I S H E R R. O L D E N B O U R G

VERLAG

Prof. Dr. August Föppl, geb. a m 25.1.1854 in Groß U m s t a d t (Hessen), Professor an der T e c h n i s c h e n Hochschule München, gest. a m 12. 8. 1924. Copyright 1921 hy B. C. T e u b n e r , Leipzig. Veröffentlicht 1948 im Leibniz Verlag (bisher R . Oldenbourg Verlag) München unter der Z u l a s s u n g s n u m m e r US-E-179 der N a c h r i c h tenkontrolle d e r Militärregierung (Dr. M a n f r e d Schröter u n d Dr. Rudolf C. Oldenbourg). Aufl. 5000. Druck u n d B u c h b i n d e r : R. Oldenbourg, G r a p h . Betriebe G m b H . , M ü n c h e n .

A U S DEM V O R W O R T Z U R E R S T E N

AUFLAGE

Der in diesem Bande behandelte Stoff ist zur Einführung der im zweiten Studiensemester stehenden Hörer in das Gebiet der technischen Mechanik bestimmt. E r erstreckt sich auf die wichtigsten grundlegenden Begriffe, auf die sich an diese unmittelbar anschließenden Sätze und auf eine Reihe der einfacheren Anwendungen, darunter auch auf solche, die in den späteren Bänden ausführlicher behandelt werden sollen. Es mag vielleicht sein, daß ich ängstlicher, als gerade nötig gewesen wäre, in diesem ersten Teile auf die Vermeidung aller verwickeiteren Betrachtungen bedacht gewesen bin. Gelegentliche Äußerungen meiner Hörer lassen wenigstens darauf schließen, daß ich nach deren Ansicht bei der Einführung in die Mechanik eher zu langsam als zu schnell vorangehe. Man m u ß aber bedenken, wie wichtig es ist, den Lehren, mit denen die Mechanik beginnt, eine eingehende und sorgfältige Besprechung zuteil werden zu lassen, um dadurch eine nach allen Seiten hin gefestigte Grundlage für den weiteren Aufbau zu gewinnen. Diese Rücksicht verbietet es, über manche Dinge, von denen sich freilich annehmen läßt, d a ß sie den Hörern der Vorlesung schon ziemlich gut bekannt sind, allzuschnell hinwegzugehen. Auch dem Leser dieses Buches, der sich in die Mechanik einzuarbeiten wünscht, möchte ich daher sehr empfehlen, auch solche Ausführungen, die ihm auf den ersten Blick vielleicht entbehrlich erscheinen, weil er über den Gegenstand bereits hinreichend unterrichtet zu sein glaubt, immerhin mit aller Aufmerksamkeit durchzulesen. In der Regel dürfte er sich dabei noch über manchen Umstand klar werden, der hier in Erwägung gezogen ist, während er ihm bis dahin entgangen war. Später wird sich diese Mühe reichlich lohnen, denn von den Schwierigkeiten, die sich dem Eindringen in die höheren Teile der Mechanik entgegenzustellen pflegen, sind wohl die meisten darauf zurückzuführen, daß der Leser an den Gegenstand herantritt, bevor er die Elemente genügend beherrscht. J e genauer man sich mit diesen bekannt macht, um so besser ist man auf das Studium der schwierigeren Probleme vorbereitet. Es schadet auch jedenfalls nicht gar zu viel, wenn man wirklich einmal einer zur vollständigen Darstellung des ganzen Systems gehörigen Auseinandersetzung gefolgt ist, ohne dabei irgend etwas Xeues erfahren zu haben. Viel größer wäre dagegen der Schaden, wenn man im trügerischen Vertrauen auf vermeintlich ausreichende Vorkenntnisse flüchtig über einen wichtigen Gegenstand hinwegeilte und darüber einer Bemerkung verlustig ginge, die für das Verständnis späterer Untersuchungen von Bedeutung ist. Die Mechanik macht ausgiebigen Gebrauch von den Hilfsmitteln der Mathematik. Bei aller Anerkennung dieser schätzenswerten Dienste darf man aber darum die Rolle, die die Mathematik in der Mechanik spielt, auch nicht überschätzen oder gar das mathematische Gewand, in das die Lehren der Mechanik gekleidet sind, als die Hauptsache betrachten. -Je weniger Rechnung für die Lösung einer Aufgabe der Mechanik aufgewendet zu werden braucht, desto besser ist diese Lösung vielmehr. Durch die Vermeidung von entbehrlichem Rechenbeiwerk

IV

Aus dem Vorwort zur ersten Auflage

erreicht man nämlich, daß die Aufmerksamkeit vorwiegend den konkreten Vorgängen, auf deren Untersuchung es ankommt, zugewendet bleibt und daß sie nicht durch die formalen Rechenoperationen abgelenkt wird. Jedenfalls m u ß der Mechanik die Freiheit gewahrt werden, sich nach Möglichkeit der ihren Zwecken am besten angepaßten Ausdrucks weisen zu bedienen. I n der Tat t r i t t auch bei den neueren Bearbeitungen der Mechanik der Begriff der gerichteten Größe oder des Vektors allmählich immer mehr in den Vordergrund, und zwar auch in solchen Arbeiten, die bei den Ausrechnungen den Vektor noch überall in seine Komponenten zerlegen. Ich selbst habe mich schon seit langer Zeit dazu entschlossen, soweit es angesichts der mathematischen Vorkenntnisse, die man voraussetzen darf, zulässig ist, überall mit den Vektoren selbst zu rechnen. Vor allem kann die Mechanik ohne erhebliche Einbuße an Klarheit u n d Übersichtlichkeit nicht auf den Begriff der geometrischen Summe zweier gerichteter Größen verzichten. Das ist heute wohl allgemein anerkannt. Man darf aber dabei nicht stehen bleiben: auch die beiden Arten des geometrischen Produktes sind in so enger Weise mit den Hauptbegriffen der Mechanik verbunden, daß ihre Einführung dringend geboten erscheint. Mit diesen drei Begriffen der Vektor-Algebra rechne ich in meinen Vorlesungen, u n d ich k a n n es, ohne voraussetzen zu müssen, daß der Hörer oder der Leser auf ihren Gebrauch schon vorbereitet sei. Die Mechanik f ü h r t vielmehr von selbst mit Notwendigkeit auf sie hin, und es bleibt nur übrig, für das, was ohnehin erörtert werden muß, eine bestimmte einfache Bezeichnung einzuführen. So f ü h r t die Zusammensetzung der K r ä f t e von selbst zum Begriffe der geometrischen Summe, die Arbeit u n d das sta'tische Moment führen zu den beiden geometrischen Produkten und das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten und der Momentensatz stellen sich von selbst als Multiplikationssätze heraus. Wie in den anderen Bänden habe ich auch in diesem zur weiteren Ergänzung einiges zugefügt, was in der Vorlesung selbst aus Mangel an Zeit nicht besprochen werden kann. Der m i t der Mechanik vorher schon gut vertraute Leser darf in diesem ersten Bande, der sich mit den einfachsten und seit langer Zeit untersuchten Erscheinungen beschäftigt, natürlich sachlich nicht viel Neues erwarten. Ich hoffe aber, daß sich die Art der Darstellung meiner Arbeit eine freundliche Beachtung auch bei ihm sichern wird. M ü n c h e n , im J u n i 1898.

A. Föppl.

AUS DEN V O R W O R T E N ZUR D R I T T E N U N D S I E B E N T E N A U F L A G E Wie schon in der ersten Auflage beginnt das B u c h a u c h diesmal wieder m i t d e m Satze: „Die Mechanik ist ein Teil der P h y s i k . " D a m i t ist die R i c h t s c h n u r bezeichnet, die ich bei der Abfassung des ganzen Werkes als maßgebend b e t r a c h t e t habe. I c h will d a m i t n i e m a n d das R e c h t bestreiten, die Mechanik, im Gegensatze zu mir, als einen Teil der M a t h e m a t i k zu b e t r a c h t e n u n d sie so vorzutragen, wie es diesem anderen Leitgedanken angemessen ist. Dagegen m u ß ich es freilich als einen Mißgriff betrachten, wenn sich ein Vortrag, der von dieser Anschauung d u r c h d r u n g e n ist, an Hörer oder Leser wendet, die zum praktischen H a n d e l n berufen sind u n d d a f ü r Belehrung u n d Unterweisung suchen. Die E r f a h r u n g h a t dies stets eindringlich genug bestätigt u n d wird es immer wieder von neuem lehren. Dieser B a n d h a t wie das ganze Werk, zu dem er gehört, in den älteren Auflagen manche recht abfällige Urteile über sich ergehen lassen müssen. Später ist der Widerspruch v e r s t u m m t . I c h bin aber weit d a v o n entfernt, hierin einen Beweis d a f ü r zu erblicken, d a ß jetzt nichts mehr gegen meine Arbeit einzuwenden w ä r e : so wenig wie ich mich f r ü h e r durch alle absprechenden Urteile darin irremachen ließ, t r o t z d e m an allen wichtigeren Grundlinien a u c h weiterhin festzuhalten. Aber ich weiß wohl, d a ß jedes Menschenwerk, u n d wenn es selbst ein Meisterwerk wäre, m i t mancherlei Schwächen b e h a f t e t ist, sobald m a n n u r etwas genauer hinsieht. Auf jeden Fall aber darf ich m i t Befriedigung feststellen, d a ß es mir gelungen ist, den H a u p t f e h l e r zu vermeiden, m i t d e m die meisten Lehrbücher b e h a f t e t sind, die schon viele Auflagen hinter sich haben, nämlich den, d a ß sie z u dickleibig geworden sind. U m dies zu verhindern, war ich stets darauf bedacht, sobald ich neuen Stoff zufügen m u ß t e , d a f ü r a n anderen Stellen n a c h Möglichkeit zu streichen u n d zu kürzen. F ü r den Hochschulunterricht ist ein solches Verfahren ü b e r h a u p t sehr wichtig, u m die Überfüllung der Lehrpläne z u vermeiden, über die j e t z t o f t m i t R e c h t geklagt wird. Diese neueste Auflage unterscheidet sich von der u n m i t t e l b a r vorhergehenden hauptsächlich d u r c h einige kleinere Zusätze, die sich auf die Relativitätstheorie beziehen. I m letzten J a h r e ging der N a m e von E i n s t e i n durch alle Zeitungen u n d seine große Schöpfung wurde zum Modewort der ganzen gebildeten Welt u n d aller, die sich dazu zählen. E s k o n n t e nicht ausbleiben, d a ß d a d u r c h vielfach der E i n d r u c k erweckt wurde, als wenn die alte Mechanik ü b e r h a u p t nichts mehr zu sagen h ä t t e u n d alle ihre Lehren berichtigt oder neu aufgebaut werden m ü ß t e n . Auch in m a n c h e n technischen Kreisen h a t es n i c h t an einer weitgehenden Uberschätzung der Tragweite der neuen Lehre f ü r die Lösung von p r a k t i s c h wichtigen Aufgaben gefehlt. Demgegenüber war eine Klarstellung des Sachverhalts erforderlich. Sie soll dem Leser zeigen, d a ß u n d w a r u m sich f ü r das ganze Gebiet der technischen

VI

Vorwort zur achten und zehnten Auflage

Mechanik durch die Relativitätstheorie bisher überhaupt nichts ändern konnte. Dagegen habe ich es nicht für zweckmäßig gehalten, die Transformationsformeln abzuleiten oder auch nur anzuführen, die den Eingang zur Relativitätstheorie bilden. Meiner Meinung nach beschäftigt man sich mit diesen Fragen am besten erst später, nachdem man sich mit der klassischen Mechanik vollständig vert r a u t gemacht hat. M ü n c h e n , im April 1921.

A. Föppl.

V O R W O R T ZUR A C H T E N A U F L A G E August Föppl ist im August 1924 einem Herzschlag erlegen. Seinem Wunsche gemäß sollen die Neuauflagen seiner Werke von seinen beiden Söhnen und seinen beiden Schwiegersöhnen (L. Prandtl, Göttingen und H. Thoma, Karlsruhe) bearbeitet werden. Gegenüber der vorausgehenden Auflage enthält die vorliegende nur geringfügige Abänderungen, die vor allem stilistische Verbesserungen betreffen. Die Abänderungen sind noch von A. Föppl selbst, kurz vor seinem Tode, verfaßt worden. B r a u n s c h w e i g , im August 1925.

0 . Föppl.

VORWORT ZUR ZEHNTEN, ELFTEN UND ZWÖLFTEN AUFLAGE Die ersten vier Bände der „Vorlesungen" sind vom Jahre 1938 ab in den Verlag R . Oldenbourg, München, übergegangen, der schon früher den Verlag des zweibändigen Werkes „Drang und Zwang" von A. und L. Föppl übernommen hatte. Die damals erschienene 9. Auflage des 1. Bandes ist überraschend schnell ausverkauft worden, so daß schon 2Y> Jahre später die 10. Auflage und weitere 2 J a h r e später die 11. Auflage folgen mußte. B r a u n s c h w e i g , im Xovember 1940 und im November 1942. 0 . Föppl.

V O R W O R T ZUR V I E R Z E H N T E N

AUFLAGE

Die 13. Auflage des Bandes 1 ist dem Bombenhagel in München zum Opfer gefallen. D a dabei die Filme, mit denen die vorausgehenden Auflagen hergestellt worden sind, verbrannt sind, müssen sämtliche Bände neu gesetzt werden. E s sollen bei dieser Gelegenheit durch das ganze Werk gehende Veränderungen vorgenommen werden. Insbesondere wird das Flächenträgheitsmoment in Übereinstimmung mit den DINormen durch das Zeichen J dargestellt werden. Für das Massenträgheitsmoment wird aber wie bisher der Buchstabe 0 verwendet werden. Bei der Herausgabe des 1. Bandes bin ich durch Herrn Dipl.-Ing. F r . Landwehr und seine Frau Irene, eine Enkelin von A. Föppl, unterstützt worden. B r a u n s c h w e i g , den 15. 3. 48

O. Föppl.

INHALTSÜBERSICH I Einleitung. Ursprung und Ziel der Mechanik Relativitätstheorie . . Begriff der Gleichzeitigkeit Erster Abschnitt. Mechanik des materiellen Punktes § 1. Begriff des materiellen Punktes Erste Einführung der Masse - . Punkthaufen § 2. Das Trägheitsgesetz Abhängigkeit vom Aufstellungsort Absolute und relative Bewegung § 3. Die Kräfte Kraftsinn Fern- und Nal ekräfte § 4. Der freie Fall Geschwindigkeit, Definition Beschleun gung der Schwere .• Gewicht und Masse Dynamisches Grundgesetz § 5. Die deduktive Ableitung der Fallgesetze Allgemeinere Definition der Beschleunigung § 6. Die gleichförmig verzögerte Bewegung Zusammenstellung der Formeln für die gleichförmig veränderte Bewegung § 7. Dimensionen und Maßsysteme Fundamentaleinheiten und abgeleitete Einheiten Physikalisches und technisches Maßsystem Kilobar Dyn Zahl der Fundamentaleinheiten in den anderen Zweigen der Physik § 8. Die ungleichförmig beschleunigte geradlinige Bewegung Widerstehende Mittel, Ansatz von Newton Freier Fall mit Luftwiderstand § 9. Arbeit und lebendige Kraft Linienintegral der Kraft § 10. Antrieb und Bewegungsgröße Zeitintegral der Kraft § 11. Krummlinige Bewegung des materiellen Punktes Radiusvektor und Koordinaten Geometrische Summe von Strecken Geometrisches Differential eines Vektors § 12. Das Prinzip der Unabhängigkeit verschiedener Bewegungen voneinander und der Satz vom Kräfteparallelogramm Dynamische Grundgleichung für die krummlinige Bewegung . . . Kräfteparallelogramm und Kräftepolygon Komponentengleichungen

Seite

1—8 4 4

9—67 9 10 10 11 12 13 13 13 14 15 16 17 18 18 19 19 21 21 21 22 24 24 -25 26 26 27 27 30 31 31 32 32 32 33 33 35 37 37 38

VIII

Inhaltsübersicht Seite

§ 13. Der schiefe Wurf Ballistische Kurve

38 40

§ 14. Zentripetal- und Zentrifugalkraft Doppelbedeutung des Wortes Zentrifugalkraft Überhöhung der äußeren Schiene im gekrümmten Eisenbahngleise

40 42 44

§ 15. Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten Das innere geometrische Produkt Linienintegral der Kraft Satz von der lebendigen Kraft für die krummlinige Bewegung Virtuelle Verschiebungen Multiplikationssatz

45 45 46 46 46 47

§ 16. Momentensatz Das äußere geometrische Produkt Momentendreieck Das Moment als gerichtete Größe (Momentenvektor) Vertauschung der Faktoren im äußeren Produkt Rechtssystem im Räume Gegensatz zwischen Rechts- und Linkssystem Produkte aus den Richtungsfaktoren Beweis des Momentensatzes für den allgemeinsten Fall Multiplikationssatz

.

'

48 48 48 50 51 52 52 53 54 55

§ 17. Weitere Folgerungen aus dem, Momentensatz Moment einer Kraft in bezug auf eine Achse Koordinatendarstellung für das äußere Produkt

55 55 57

§ 18. Bewegung auf vorgeschriebener Bahn Schiefe Ebene Zentrifugalpendel A u f g a b e n 1—9a Wurfbahn mit Luftwiderstand (Aufg.. 9a)

58 59 60 62 66

Zweiter Abschnitt. Mechanik des starren Körpers

68—99

§ 19. Begriff des starren Körpers Der starre Körper als Bild

68 68

§ 20. Lehre von der Bewegung des starren Körpers Winkelgeschwindigkeit Ebene Bewegung Pol der Bewegung Bewegung auf der Kugelfläche Momentanachse Allgemeinste Bewegung Änderung des Bezugspunktes Elementarschraubenbewegung Freiheitsgrade Aufeinanderfolge von zwei Drehungen Zerlegung der Winkelgeschwindigkeit in Komponenten

69 70 71 72 72 73 75 75 76 77 78 79

§ 21. Gleichgewicht der Kräfte am starren Körper Angriffspunkt der Kraft Innere Kräfte, Wechselwirkungsgesetz Verschiedene Fassungen des Wechselwirkungsgesetzes Erste Gleichgewichtsbedingung Kräftepaar Momentenbedingung Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten Allgemeinere Fassung des Wechselwirkungsgesetzes

80 81 81 82 84 84 85 86 86

Inhaltsübersicht

IX Seite

§21a. Notwendige und hinreichende Gleichgewichtsbedingungen Satz von lebendiger Kraft für starren Körper Verschwinden der Arbeitsleistung für jede virtuelle Bewegung als hinreichende Gleichgewichtsbedingung Andere Fassung der hinreichenden Bedingungen

87 88

§ 22. Zusammensetzen der Kräfte am starren Körper Satz von der Verschiebung des Angriffspunktes Angriffspunkte von Resultierenden Parallele Kräfte Kräftepaar als unendlich ferne Kraft Darstellung des Kräftepaares durch ein Parallelogramm Arbeit eines Kräftepaares bei der Drehung

90 90 91 91 93 93 93

§ 23. Hebel, Balken und Platte A u f g a b e n 10—15 Falltür (Aufg. 13) Stange an drei Seilen (Aufg. 14)

Dritter Abschnitt. Die Lehre vom Schwerpunkt § 24. Der Schwerpunkt als Massenmittelpunkt Graphisches Mittel der Massenabstände Schwerpunktsbedingung (Gl. 69) Gruppenschwerpunkte Schwerpunkt bei Parallelprojektion Schwerlinie Abstände von einer Ebene . . '

89 90

94 98 98 99

100—127 100 100 101 101 102 103 104

§ 25. Der Schwerpunkt als Mittelpunkt paralleler Kräfte

104

§ 26. Resultierende von Zentrifugalkräften

106

§ 27. Ermittlung des Schwerpunktes Schwerpunkt einer krummen Linie Schwerpunkt eines Kreisbogens Analytisches Verfahren Schwerpunkt von Flächen Schwerpunkt eines Trapezes Schwerpunkt von Vielecken

107 107 108 108 108 110 110

§ 28. Die Guldinsche Regel Schwerpunkt einer Halbkreisfläche

111 112

§ 29. Stabiles, labiles und indifferentes Gleichgewicht Kugel auf Kugel

112 113

§ 30. Satz von der Bewegung des Schwerpunktes Drehung um Schwerpunktsachse durch Kräftepaar Lokomotive, Massenausgleich

115 117 118

§ 31. Lebendige Kraft eines starren Körpers Drehwucht und Fortschreitungswucht Trägheitsmoment Dynamische Grundgleichung für die Drehbewegung

119 120 120 122

A u f g a b e n 16—22 Parabelsegment Trapez-Schwerpunkt nach Stelzel Trapez-Schwerpunkt nach Schmitz Trägheitsmoment vom Zylinder Stangenkette

122 122 123 124 125 126

X

Inhal tsubersicht

Vierter Abschnitt. Energieumwandlungen § 32. Berechnung des Schwungrades einer Dampfmaschine Kurbelmechanismus Ungleichformigkeitsgrad § 33. Der Massendruck des Dampfmaschinengestänges Diagramm f ü r den Massendruck § 34. Die Energieströme Definition des Energiebegriffes W a n d e r u n g der Energie Pferdestärke Zusammenstellung der physikalischen u n d technischen Maßeinheiten A u f g a b e n 23—24

Seite

128—137 128 128 131 131 133 133 134 134 136 137 137

Fünfter Abschnitt. Die Reibung 138—178 § 35. Die gleitende Reibung 138 R i c h t u n g der R e i b u n g 138 R e i b u n g zwischen festen Körpern 138 Reibungskoeffizient 138 E i n f l u ß von Kräften, die senkrecht zur Gleitrichtung stehen . . . . 139 Gleichgewicht durch Reibung 141 E i n f l u ß der Geschwindigkeit ohne Schmierung 141 Ä n d e r u n g der R e i b u n g bei größeren Gleitgeschwindigkeiten . . . 142 Versuchsergebnisse hierzu für Eisenbahnbetrieb 142 Vollkommene Schmierung 142 S c h l i t t s c h u h f a h r e n ; Stearinschmierung 144 § 36. Reibungswinkel und Reibungskegel 145 R e i b u n g an der Leiter 145 R e i b u n g an der schiefen Ebene 148 § 37. Reibung in Führungen 148 Fahrstuhl 149 § 38. Reibung zwischen Zahnrädern 150 Wirkungsgrad von Stirnrädern 152 und Reibungskreis 152 § 39. Zapfenreibung Zapfenreibungskoeffizient 153 Zug- oder Druckstange mit Zapfen 154 § 0 besitzen konnte, ohne daß dadurch unsere Betrachtungen ungültig würden. Nur die eine Voraussetzung ist dabei als selbstverständlich beizubehalten, daß alle Bewegungen und Kräfte in die gleiche Richtung fallen. Die vorige Gleichung kann auch in der Form ds dJ = v0 + bt geschrieben werden, die sich sofort nochmals nach l integrieren läßt. Wir erhalten bfi s = s0 + v0t + -y • Hier ist s 0 eine neue Integrationskonstante, nämlich der Weg, den der Körper bereits zu Anfang der Zeitrechnung (für t = 0) zurückgelegt hatte. Gewöhnlich entscheidet man sich dafür, unter s nur jenen Weg zu verstehen, der von dem Augenblick t = 0 an zurückgelegt wurde, und dann ist s0 gleich Null zu setzen. Die Gleichung vereinfacht sich mit dieser Festsetzung zu s=

+

bfi

(12)

In ihr erkennen wir, falls wir v0 = 0 setzen, die Ausgangsgleichung (2) des vorigen Paragraphen wieder. In Gl. (11) kommt s und in Gl. (12) kommt v nicht vor. Für die Auflösung von Aufgaben über die gleichförmig beschleunigte Bewegung ist es bfequem, aus der Verbindung beider Gleichungen miteinander noch zwei neue Gleichungen abzuleiten, in denen b oder t nicht vorkommen. Zu diesem Zweck lösen wir Gl. (11) zunächst nach b auf und setzen den Wert b

=

~ c

in Gl. (12) ein. Diese geht dadurch über in

Ebenso erhalten wir durch Auflösen von Gl. (11) nach t v — vp b

§ 6. Die gleichförmig verzögerte Bewegung — § 7. Dimensionen und Maßsysteme

21

und durch Einsetzen in Gl. (12) 2b Man kann auch noch eine Gleichung ableiten, die v0 nicht enthält, und findet auf demselben Wege bt2 s= o t - - r Von dieser letzten Gleichung wird indessen seltener Gebrauch gemacht. § 6. Die gleichförmig verzögerte Bewegung

Wenn die K r a f t P zur Anfangsgeschwindigkeit v0 entgegengesetzt gerichtet ist, bringt sie eine Verminderung der Geschwindigkeit hervor, die nach denselben Gesetzen vor sich geht wie das Anwachsen der Geschwindigkeit im vorigen Falle. Zu den Bewegungsvorgängen dieser Art gehört der Wurf eines Steines senkrecht nach oben oder die Bewegung eines gebremsten Eisenbahnzuges, vorausgesetzt, daß im letzten Falle die Bremswirkung dauernd die gleiche Stärke behält. Aus Gl. (8) wird hier do b = - J v und die Gleichungen (11) und (12) ändern sich in bt2 v — ü0 — bt\ s = v0t — Man erkennt daraus, daß man alle Formeln des vorigen Paragraphen auch f ü r die gleichförmig verzögerte Bewegung beibehalten kann, wenn man darin nur b negativ setzt. Fassen wir daher nochmals alle Formeln übersichtlich zusammen, so haben wir für die gleichförmig beschleunigte Bewegung gleichförmig verzögerte Bewegung «) • v = v0 + b t, v = v0 — bt, bt2 b t2 s = v t — ~ , a ß) « = M + -2-,

ö)

s =

v2—vn2 2b '

(13)

ÜQ2 V2 2b § 7. Dimensionen und Maßsysteme

U m eine Größe zu messen, vergleicht man sie m i t einer anderen, die von der gleichen Art ist und die man als Einheit gewählt hat, und drückt das Verhältnis, in dem sie zu ihr steht, durch eine Zahl aus. Diese Zahl h a t daher nur insofern Bedeutung, als sie auf die gewählte Einheit bezogen wird, d. h. nur als benannte Zahl. Die zur reinen Zahl hinzutretende Benennung wird in der Mechanik u n d überhaupt in der theoretischen Physik die Dimension der gemessenen Größe genannt. Sie kennzeichnet die Größe der Art nach. Die bisher in Betracht gezogenen Größen waren Längen, Zeiten, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen oder Verzögerungen, die beide unter sich von gleicher Art sind, ferner K r ä f t e und Massen. Die Einheiten dieser Größen dürfen indessen

22

Erster Abschnitt. Mechanik des materiellen Punktes

nicht alle ganz willkürlich gewählt werden. So ist z. B. die Geschwindigkeit der gleichförmigen Bewegung als jene Strecke bezeichnet worden, die in der Zeiteinheit zurückgelegt wird. Mit der Wahl der Längen- und der Zeiteinheit ist daher zugleich die Einheit der Geschwindigkeit festgesetzt, und ähnlich ist es in anderen Fällen. Jene Einheiten, deren Wahl uns völlig frei steht, bezeichnet man als F u n d a m e n t a l e i n h e i t e n oder Grundeinheiten, die anderen als abg e l e i t e t e E i n h e i t e n . Dabei ist übrigens wohl zu beachten, daß es unserer Wahl überlassen bleibt, welche Einheiten wir als die ursprünglichen und welche wir als die abgeleiteten ansehen wollen. So können wir unter den drei Einheiten der Länge, der Zeit und der Geschwindigkeit irgend zwei als Fundamentaleinheiten auswählen, die dritte ist dann eine abgeleitete Einheit. In der technischen Mechanik hat man sich dafür entschieden, die Längeneinheit und die Zeiteinheit als Fundamentaleinheiten einzuführen und die Geschwindigkeitseinheit daraus abzuleiten, und zwar aus dem einfachen Grund, weil wir Längen und Zeiten sehr bequem unmittelbar messen können, Geschwindigkeiten aber nicht. Es genügt indessen nicht, die Geschwindigkeitseinheit ganz allgemein als abhängig von der Längen- und der Zeiteinheit zu bezeichnen, sondern man muß auch die Art dieser Abhängigkeit näher zum Ausdruck bringen. Beachten wir nun, daß die Geschwindigkeit durch Division des zurückgelegten Weges durch die Zeit gefunden wird, so erhalten wir die Dimensionsformel M = y =

(14)

Dadurch, daß eine eckige Klammer um die Größe v gezogen ist, soll nämlich zum Ausdruck gebracht werden, daß es sich hier nur um die Einheit oder um die Dimension dieser Größe handelt. Unter L und T sind dagegen die willkürlich zu wählenden Längen- und Zeiteinheiten zu verstehen. Man vermeidet bei dem Anschreiben der Dimensionsformeln zuweilen gern die Brüche und ersetzt diese durch negative Exponenten, wie es in der zuletzt gewählten Form geschehen ist. Durch diese Art der Bezeichnung wird namentlich der Vorteil erreicht, daß man von einem Maßsystem sehr leicht auf ein anderes übergehen kann. Hatte man z. B. vorher eine Geschwindigkeit auf cm und s bezogen, also etwa v = a cm/s gefunden, wobei nun a der Zahlenwert von v in diesem Maßsystem ist, so erhält man, wenn später die Längen in Metern und die Zeiten in Minuten ausgedrückt werden sollen, für dasselbe v cm 0,01 m m v= a - = a1 — = 0,6 a • s /6o min ' min Der Umrechnungsfaktor 0,6 auf das neue Maßsystem kann demnach aus der Dimensionsbezeichnung cm/s ohne weiteres entnommen werden. Auch schon bei rein geometrischen Betrachtungen spielen die abgeleiteten Einheiten eine wichtige Rolle. So sieht man als Einheit der Fläche allgemein den Inhalt eines Quadrats an, dessen Seite gleich der Längeneinheit ist. Wir drücken dies in der von uns gewählten Bezeichnung dadurch aus, daß wir die Dimension einer Fläche gleich L 2 , also etwa gleich cm2 setzen, wenn wir nach cm rechnen. Ebenso ist die Dimension eines Rauminhaltes L 3 . Von einer Winkelgröße sagen wir, daß èie die Dimension Null hat, denn ein Winkel wird bei den Formeln der Mechanik stets durch das Verhältnis zwischen der Länge des Bogens, der zu

§ 7. Dimensionen und Maßsysteme

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i h m als Zentriwinkel gehört, u n d der Länge des zugehörigen Halbmessers gemessen. E i n solches Verhältnis ist aber keine benannte, sondern eine reine Zahl, u n d dies soll eben d a d u r c h ausgedrückt werden, d a ß wir die Dimension gleich E i n s setzen. A u c h die E i n h e i t der Beschleunigung oder Verzögerung wird d u r c h die Längenu n d die Zeiteinheit m i t b e s t i m m t . D e n n m a n f i n d e t die Beschleunigung d u r c h Division des Geschwindigkeitszuwachses, der in einer gewissen Zeit z u s t a n d e k o m m t , durch diese Zeit. Die Dimension der Beschleunigung ist daher [6] =

= A = L T~*.

(15)

Die beiden noch übrig bleibenden E i n h e i t e n der K r a f t u n d der Masse sind m i t den vorigen n i c h t so v e r k n ü p f t , d a ß sie ganz auf sie zurückgeführt werden k ö n n t e n . Die K r a f t steht zwar i m Z u s a m m e n h a n g m i t der Beschleunigung, die sie h e r v o r b r i n g t ; in diese Beziehung t r i t t aber a u ß e r d e m noch die Masse ein. E s bleibt daher nichts übrig, als noch eine d r i t t e F u n d a m e n t a l e i n h e i t einzuf ü h r e n , u n d zwar bleibt es uns, wie vorher, überlassen, welche von beiden wir d a z u wählen wollen. W ä h r e n d aber i m f r ü h e r e n Falle kein Zweifel d a r ü b e r bestehen konnte, d a ß sich die Längen- u n d die Zeiteinheit a m besten als Grundeinheiten eignen, sind hier die Meinungen geteilt, u n d in der T a t laufen h e u t e zwei ganz verschiedene Maßsysteme ziemlich u n a b h ä n g i g nebeneinander her, von denen das eine die K r a f t - , das andere die Masseneinheit als F u n d a m e n t a l einheit b e n ü t z t . Das ältere von beiden Maßsystemen ist auf die W a h l der K r a f t e i n h e i t als F u n d a m e n t a l m a ß begründet. Die ursprüngliche Definition von 1 K i l o g r a m m ist die des Gewichtes von 1 cdm Wasser i m Zustande größter Dichte bei normalem D r u c k . S p ä t e r h a t m a n d a f ü r das Gewicht eines gewissen in den Archiven a u f b e w a h r t e n P l a t i n s t ü c k s gesetzt, das so bemessen wurde, d a ß es n a c h genauen Versuchen jenem Wasserwürfel die W a a g e hielt. Noch später verstand m a n aber u n t e r einem K i l o g r a m m nicht mehr das Gewicht, sondern die Masse jenes Urgewichtsstücks. Der G r u n d f ü r den Wechsel ist leicht einzusehen. Das deutsche U r k i l o g r a m m wurde m i t d e m französischen in P a r i s d u r c h Abwägen verglichen. Als es d a n n nach Berlin gebracht wurde, behielt es zwar seine Masse; das Gewicht ä n d e r t e sich aber ein wenig, weil die Fallbeschleunigung in Berlin etwas größer ist als in Paris. I n der T a t stellt a u c h n a c h dem W o r t l a u t der Gesetzesbestimmungen das U r k i l o g r a m m die E i n h e i t der Masse dar. Das W o r t K i l o g r a m m h a t d e m n a c h zwei ganz verschiedene u n d sorgfältig auseinanderzuhaltende Bedeutungen, je n a c h d e m m a n es als E i n h e i t der Masse oder als E i n h e i t des Gewichts, d. h. als K r a f t e i n h e i t gebraucht. Unserem Gefühl entspricht es zunächst ohne Zweifel a m besten, wenn m a n das K i l o g r a m m als K r a f t e i n h e i t d e u t e t . D e n n wir sind gewohnt, ein Gewichtsstück d a d u r c h einer ungefähren Schätzung zu unterwerfen, d a ß wir es a u f h e b e n u n d d i e K r a f t ä u ß e r u n g abschätzen, die wir h i e r f ü r a u f w e n d e n müssen. W e n n die Fallbeschleunigung überall auf der E r d e denselben W e r t h ä t t e , wäre m a n d a v o n sicherlich niemals abgegangen. Als es aber nötig geworden war, bei genauen Messungen von K r ä f t e n , die an verschiedenen Orten der E r d e a u s g e f ü h r t wurden, auf die Veränderlichkeit der Schwere R ü c k s i c h t zu nehmen, u m die Ergebnisse vergleichbar miteinander zu machen, empfahl es sich, zu der anderen Definition des K i l o g r a m m s überzugehen, die jede Vieldeutigkeit ausschloß. D a s auf das K i l o g r a m m als K r a f t e i n h e i t gegründete Maßsystem h a t seinen U r s p r u n g , wie das ganze metrische System ü b e r h a u p t , in Frankreich. D o r t

24

Erster Abschnitt. Mechanik des materiellen Punktes

ist es heute selbst bei den Physikern noch häufig im Gebrauch. Außerdem wird es überwiegend von den Technikern bis auf den heutigen Tag benutzt, jedoch mit Ausnahme der Elektrotechniker, die sich meistens dem anderen Maßsystem angeschlossen haben. Dieses zweite Maßsystem, das die Masseneinheit als Fundamentaleinheit annimmt, wurde zuerst von den deutschen Gelehrten G a u ß und W i l h e l m W e b e r aufgestellt. Es ist heute bei den Physikern fast aller Länder das herrschende geworden und wird von diesen gewöhnlich als das absolute Maßsystem bezeichnet. D a ß sich die Elektrotechniker dieser Wahl angeschlossen haben, ist hauptsächlich darauf zurückzuführen, d a ß sich die Elektrotechnik als besonderer Wissenszweig von der allgemeinen Physik erst zu einer Zeit abzweigte, als das sogenannte absolute Maßsystem in dieser schon allgemein zur Einführung gelangt war. — Ich selbst halte es f ü r wahrscheinlich, daß man später auch in der Technik allgemein zu dem physikalischen Maßsystem übergehen wird. Vielleicht wird ein solcher Übergang, der sonst noch lange Zeit in Anspruch nehmen könnte, durch die Annahme passend gewählter Bezeichnungen etwas erleichtert werden. So wird neuerdings vorgeschlagen, neben der Bezeichnung „Kilogramm" f ü r die Masse des Urgewichtsstückes noch die Bezeichnung „Kilobar" zu gebrauchen und darunter das Gewicht des Urgewichtsstücks an einer gewissen Stelle der E r d e (in Paris oder an einem sonst geeignet gewählten Orte in Europa) zu verstehen. Man vergleiche hierzu die Aufsätze von Budde und von Emde in der Zeitschrift d. Ver. D. Ing. 1913 S. 303 und S. 1954. Vorläufig überwiegt aber in der Technik noch das „französische" oder „technische" Maßsystem, und ich werde es daher meistens ebenfalls anwenden, ohne jedoch das „deutsche" oder „physikalische" Maßsystem deshalb ganz zu übergehen. Hierbei erwähne ich noch, daß sich die Physiker heute ganz allgemein auch darüber geeinigt haben, die Zeiten stets nach Sekunden, die Längen nach Zentimetern und die Massen nach Grammen (also nicht nach Kilogrammen) auszumessen. G a u ß u n d W e b e r benutzten a n s t a t t dessen Millimeter u n d Milligramm. Indessen ist der bloße Übergang zu einem Vielfachen der Fundamentaleinheiten verhältnismäßig nebensächlich gegenüber der W a h l einer Pundamentaleinheit von ganz anderer Art. Das physikalische Maßsystem, wie es heute gebraucht wird, f ü h r t mit Rücksicht auf die getroffene Wahl auch den Namen Zentimeter - Gramm - Sekunden - System, gewöhnlich abgekürzt C. G. S. geschrieben. Der Zusammenhang zwischen den Dimensionen der K r a f t u n d der Masse geht aus der dynamischen Grundgleichung hervor. Nach dieser ist (vgl. Gl. 6) P=

mb,

also auch [P] = [m] •

[6]j

wobei die Dimension der Beschleunigung aus Gl. (15) eingesetzt werden kann. I m französischen oder technischen Maßsystem ist die Krafteinheit die dritte Fundamentaleinheit: sie mag mit K bezeichnet werden. Dann h a t m a n als Dimension der Masseneinheit [ m ] = KL-iT2. (16) Umgekehrt ist im „physikalischen" oder „deutschen" Maßsystem die Masseneinheit die dritte Grundeinheit — und als solche sei sie mit M bezeichnet. Dann

§ 7.

25

Dimensionen und Maßsysteme

ist die Krafteinheit eine abgeleitete Einheit und man hat dafür [P] = MLT-*.

(17)

Am anschaulichsten wird der erhebliche Unterschied zwischen beiden Maßsystemen dadurch hervortreten, daß ich die dynamische Grundgleichung auf das Gewicht und die Masse eines Kilogramms anwende. Hiernach ist unter Benutzung der vorher eingeführten Bezeichnung „Kilobar" 1 Kilobar = 1 kg Gewicht = 1 kg Masse • 981 cm/s2, wenn am Bezugsort für die Festsetzung des Begriffes „Kilobar" die Beschleunigung der Fallbewegung gleich 981 cm/s2 gesetzt werden kann. Was unter dem kg in jedem Falle verstanden wird, ist in dieser Gleichung durch die besondere Benennung ersichtlich gemacht. Im technischen Maßsystem ist demnach die Masse des Urkilogramms , 1 Gewichts-kg s 2 1 Gewichts-kg 1 Massen-kg == ^-r^ = ^-ppr 6 981 cm 9,81

s2 — m

gegeben, und im physikalischen Maßsystem ist umgekehrt das Gewicht des Urkilogramms durch die Gleichung 1 Kilobar = 1 Gewichts-kg = 9,81 m/s2 • 1 Massen-kg bestimmt. Um Verwechslungen zu entgehen, die wegen der Zweideutigkeit der Bezeichnung Kilogramm (oder Gramm) sonst leicht entstehen, ist es nützlich, wenn man für die abgeleitete von den beiden Einheiten einen besonderen Namen gebraucht, der Mißverständnisse ausschließt. Das ist hier für das Gewichts-kg durch die Einführung der Bezeichnung „Kilobar" bereits geschehen. Im technischen Maßsystem fehlt bisher ein allgemein angenommener Name für die abgeleitete Masseneinheit. Dagegen benutzt man im C. G. S.-System außer dem Kilobar noch eine besondere Bezeichnung für die abgeleitete Krafteinheit. Nach dem dynamischen Grundgesetz wird die Kraft P zu Eins, wenn m = 1 und b = 1 ist; also [P] = 1 g Masse • 1 cm/s2 und die so definierte abgeleitete Krafteinheit heißt ein Dyn. Es ist also jene Kraft, die einem Gramm Masse die Beschleunigung von 1 cm, auf die Sekunde bezogen, erteilt. Der Vergleich mit der technischen Krafteinheit gestaltet sich hiernach wie folgt 1 Gewichts-g = 981 dyn oder 1 Gewichts-kg = 981000 dyn. Genau gilt diese Beziehung indessen nur an solchen Stellen der Erde, für die die Fallbeschleunigung 981 cm/s2 beträgt. Eine Million Dynen bezeichnet man auch als ein Megadyn; man kann daher sagen, daß das Gewichts-kg des Technikers etwas weniger als ein Megadyn des Physikers ist. Sein genauer Wert wechselt mit dem Orte auf der Erde. Dagegen ist das dyn unabhängig von dem Ort; es würde auf dem Monde oder auf einem anderen Planeten, wenn dort Wesen wohnten, mit denen wir uns verständigen könnten, genau in demselben Sinne gebraucht werden können wie bei uns, und es wäre uns möglich, diesen Wesen, wenn wir etwa eine telegraphische Verbindung mit ihnen hätten, genau zu bezeichnen, was wir unter 1 dyn verstehen, so daß sie nachher imstande wären, die Kräfte auf ihrem Planeten ebenfalls nach unseren Dynen auszumessen.

26

Erster Abschnitt. Mechanik des materiellen P u n k t e s

Voraussetzung wäre nur, daß dort Wasser oder ein anderer Körper in demselben Zustand wie auf der Erde vorkäme, und daß sie imstande wären, astronomische Beobachtungen, zur Feststellung unserer Längen- und Zeiteinheit ebenso genau auszuführen, als wir dies vermögen. Aus diesen Gründen hat das physikalische Maßsystem die Bezeichnung des absoluten Maßsystems erhalten. Das Kilobar fällt mit dem Gewichts-kg zusammen unter der Voraussetzung, d a ß dieses für jenen Ort der Erde bestimmt wird, der als die Normalstelle angesehen werden soll. Es möge noch bemerkt werden, d a ß man im Bereiche der Mechanik mit drei F u n d a m e n t a l einheiten vollständig auskommt. Die Einheiten allerübrigen Größen, die in der Mechanik auftreten, sind abgeleitete Einheiten. Man n i m m t heute meistens an, d a ß es in Zukunft gelingen wird, auch alle in anderen Zweigen der Physik auftretenden Größen auf die drei Grundeinheiten der Mechanik einwandfrei zurückzuführen. Bisher ist dies aber noch nicht vollständig geglückt. So t r i t t in der Elektrizitätslehre heute noch eine vierte Fundamentaleinheit auf, deren Wahl willkürlich ist. In der T a t hat man auch dort diese Wahl auf verschiedene Art getroffen und unterscheidet danach verschiedene elektrische Maßsysteme. Auch über die Dimension, die man der Temperatur in der Wärmelehre, beizulegen hat, herrscht noch keine Einstimmigkeit. Auf diese Dinge kann ich aber im Rahmen dieser Vorlesungen nicht näher eingehen.

Auf einen Umstand soll aber noch einmal nachdrücklich hingewiesen werden, nämlich, daß zwei physikalische Größen nur dann als gleich angesehen werden können, wenn sie nicht nur gleiche Maßzahlen, sondern auch gleiche Benennungen (oder Dimensionen) haben. Man kann auch nur gleich benannte Größen zueinander addieren oder sie voneinander subtrahieren. Daraus folgt, daß in einer Gleichung der Mechanik oder der theoretischen Physik beide Seiten und auch alle durch Plus- oder Minuszeichen miteinander verbundenen Glieder die gleiche Dimension haben müssen. Eine Gleichung, bei der dies nicht zuträfe, müßte notwendig falsch sein, und in der Tat besteht darin ein sehr einfaches Prüfungsverfahren, das man nach Durchführung einer längeren Rechnung stets anwenden sollte, um etwa vorgekommene Fehler aufzufinden. Nicht jeder Rechenfehler, den man begeht, beeinflußt zwar die Dimensionen der vorkommenden Ausdrücke, und man hat daher keine Sicherheit, daß die Rechnung richtig ist, wenn jene Probe stimmt. Gewöhnlich findet man aber die Fehler auf diesem Wege heraus, und da die Probe sehr schnell und bequem ausgeführt werden kann, ist sie sehr wertvoll. § 8. Die ungleichförmig beschleunigte geradlinige Bewegung

Für eine solche Bewegung kann die Fragestellung nach zwei entgegengesetzten Richtungen hin erfolgen. Entweder nämlich ist der Ablauf der Bewegung in der Zeit von vofnherein (etwa auf Grund von Beobachtungen) gegeben und man soll die Größe der Kraft ermitteln, die in jedem Augenblick auf den materiellen Punkt übertragen wird; oder man kennt umgekehrt die Kraft und soll danach schließen, wie die Bewegung unter ihrem Einfluß erfolgen muß. In beiden Fällen führt die dynamische Grundgleichung

zur Lösung der Aufgabe ; im ersten Falle durch Ausführung der Differentiation an dem als Funktion der Zeit bekannten Wege s und im zweiten Falle durch Integration der Gleichung.

§ 8. Die ungleichförmig beschleunigte geradlinige Bewegung

27

Der erste Fall macht niemals irgendwelche Schwierigkeiten; etwas verwickelter ist die Lösung im zweiten Falle, und dafür soll hier ein das ganze Vorgehen näher erläuterndes Beispiel gegeben werden. Vorher sind die Fallgesetze ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes besprochen worden, und jetzt wollen wir diese Betrachtung auf den Fall ausdehnen, daß der Luftwiderstand so groß ist, daß er nicht mehr vernachlässigt werden darf. Um den Verlauf der Fallbewegung unter diesen Umständen vorausberechnen zu können, müssen wir wissen, in welcher Weise sich der Luftwiderstand geltend macht. Dies konnte anfänglich nur induktiv, also aus der Beobachtung der wirklichen Fallbewegung geschlossen werden. Aus diesen Beobachtungen wurde der Schluß gezogen, daß der Luftwiderstand bei sehr kleinen Geschwindigkeiten unmerklich ist und mit der Geschwindigkeit anwächst. Schon von N e w t o n rührt auf Grund solcher Betrachtungen die Annahme her, daß der Luftwiderstand für einen Körper von gegebener Größe und Gestalt der Oberfläche mit dem Quadrat der Geschwindigkeit anwächst. Diese Annahme wird auch heute noch in der Regel der deduktiven Ableitung des Fallgesetzes im „widerstehenden Mittel" (das außer Luit auch Wasser oder eine andere Flüssigkeit sein kann) zugrunde gelegt. Im Gegensatz zu anderen Ansätzen der Mechanik, die wir als streng gültig ansehen können, ist diese Annahme aber nur ungefähr und nur für die gewöhnlich vorkommenden Geschwindigkeiten genau genug richtig. Bei ganz kleinen Geschwindigkeiten kommt man dem wirklichen Verhalten näher, wenn man den Widerstand des Mittels der ersten Potenz der Geschwindigkeit proportional setzt, und bei Geschwindigkeiten, die sich der Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Schalles nähern, wächst der Widerstand noch schneller als mit der zweiten Potenz. Wenn wir solche Fälle ausdrücklich ausschließen und nur Bewegungen mit Endgeschwindigkeiten von etwa einem Meter bis zu etwa 100 oder 200 Metern in der Sekunde betrachten, finden wir jedoch die aus dem quadratischen Gesetz abgeleitete Formel für praktische Zwecke hinreichend genau durch die Erfahrung bestätigt. An einem Körper, der durch die Luft herabfällt, haben wir jetzt zwei Kräfte von entgegengesetzter Richtung ins Auge zu fassen. Die eine ist, wie früher, das nach abwärts beschleunigte Gewicht Q, die andere der Luftwiderstand, den wir nach dem quadratischen Gesetz gleich kv2 setzen können, wo nun k eine Konstante des Körpers ist, die von der Größe und Gestalt der Oberfläche, sowie von der Beschaffenheit des Mittels, in dem er sich bewegt, abhängt. Der Luftwiderstand wirkt dem Gewicht entgegen, und für die wirklich erfolgende Bewegung ist daher nur der Unterschied zwischen beiden Kräften in Ansatz zu bringen. Die im gegebenen Augenblick an dem Körper im ganzen auftretende beschleunigende Kraft P ist daher P = Q — kv2 und die dynamische Grundgleichung, die wir hier in der Form

(18)

dv mdt

P =

anschreiben, liefert

dv

„

, „

Beachten wir noch, daß Q = mg gesetzt werden kann, und schreiben wir zur Abkürzung den konstanten Wert

28

Erster Abschnitt. Mechanik des materiellen Punktes

so vereinfacht sich dies zu dv

T t = s -

k

v i

U m aus dieser Differentialbeziehung v als F u n k t i o n von t zu finden, formen wir die Gleichung u m zu . dv dt — =— g— k d in der die Veränderlichen g e t r e n n t sind. W e n n die Differentialausdrücke gleich sein sollen, d ü r f e n sich auch ihre u n b e s t i m m t e n Integrale n u r u m eine k o n s t a n t e Größe voneinander unterscheiden. D u r c h Integration erhalten wir daher J g — k V2 Die Integration k a n n nach den Regeln der höheren M a t h e m a t i k ohne weiteres ausgeführt werden; m a n f i n d e t d a n n 2igk'

°}/gk'

— k'D

Die I n t e g r a t i o n s k o n s t a n t e C ist vorläufig u n b e k a n n t ; wir finden aber ihren W e r t aus den Anfangsbedingungen, die bei der Stellung der Aufgabe m i t gegeben sind. N e h m e n wir hier an, d a ß die Bewegung vom Z u s t a n d der R u h e aus beginnt, d a ß also zur Zeit t = 0 die Geschwindigkeit v — 0 ist, so folgt, d a ß wir in der vorausgehenden Gleichung a u c h C = 0 setzen müssen, d a m i t beide Seiten der Gleichung zu A n f a n g gleichen W e r t miteinander h a b e n . N a c h d e m dies geschehen ist, g e s t a t t e t uns die vorstehende Gleichung bereits, die Zeit zu berechnen, die verstreichen m u ß , bis der K ö r p e r eine b e s t i m m t e Geschwindigkeit v erlangt h a t . W i r sehen auch, d a ß die Geschwindigkeit v niemals den W e r t ^mar

1/ J^

überschreiten k a n n u n d d a ß sie sich diesem Grenzwert bei unendlich wachsendem t n ä h e r t . Gewöhnlich wird aber verlangt, v u n m i t t e l b a r als F u n k t i o n von t darzustellen, u n d zu diesem Zweck ist es nötig, die vorige Gleichung n a c h v aufzulösen, was leicht a u s g e f ü h r t werden k a n n . Man erhält d a n n /--" v = -Jlk'

e2

t V^k' — 1 , i e2 < V ah'

(19)

Auch der W e g s wird hieraus ohne Schwierigkeit als F u n k t i o n von t gefunden, indem m a n beachtet, d a ß u = dsjdt ist, u n d den vorstehenden Ausdruck n a c h t integriert. Zur B e s t i m m u n g der hierbei a u f t r e t e n d e n neuen I n t e g r a t i o n s k o n stanten dient die Bemerkung, d a ß s — 0 ist f ü r t — 0. Man f i n d e t so S =

1 f e« t Yak' i i — ft7Vg

i i V g A

J

(20)

D a ß die Integration u n d die B e s t i m m u n g der I n t e g r a t i o n s k o n s t a n t e n richtig a u s g e f ü h r t wurde, folgt nachträglich leicht daraus, d a ß m a n bei Differentiation von Gl. (20) wieder auf Gl. (19) z u r ü c k k o m m t u n d d a ß ferner Gl. (20) f ü r t = 0 in der T a t s = 0 liefert, wie es der Anfangsbedingung entspricht.

§ 8. Die ungleichförmig beschleunigte geradlinige Bewegung

29

Die K o n s t a n t e k k a n n n u r aus Versuchen ermittelt werden u n d aus ihr folgt d a n n k'. Die Dimension von k folgt daraus, d a ß k m i t dem Q u a d r a t einer Geschwindigkeit multipliziert eine K r a f t liefert, also im technischen Maßsystem zu KL~2T2. Um eine Vorstellung d a v o n zu geben, wie groß der numerische W e r t von k beim Fall d u r c h die L u f t ausfällt, erwähne ich, d a ß u n g e f ä h r k = 0,12 kg m - 2 s 2 ist, v e n n die beim Fall vorausgehende Fläche des fallenden K ö r p e r s 1 m 2 groß, eben u n d senkrecht zur Fallrichtung ist. Bei einer anderen Größe der F l ä c h e ist k dem Flächeninhalt proportional; bei anderer Gestalt der Fläche ä n d e r t sich k ebenfalls, worauf aber j e t z t nicht weiter eingegangen werden soll. Die Dimension von k' folgt aus der von k d u r c h Division m i t einer Masse, also im technischen Maßsysteme nach Gl. (16) KL'2?2 1 KL~i L Hiernach h a t 2 t ~\/gk' die Dimension Null, d. h. es ist eine absolute Zahl. Der E x p o n e n t einer Exponentialgröße, ebenso a u c h ein W e r t , von dem der Sinus oder eine andere goniometrische F u n k t i o n in einer Gleichung der Mechanik v o r k o m m t , k a n n i m m e r n u r eine absolute Zahl sein. Dies b e s t ä t i g t die Richtigkeit der Gleichurgen (19) u n d (20), die auch bei weiterem Einsetzen der Dimensionen als homogen in bezug auf die Dimensionen e r k a n n t werden. n.'i 1

Außerdem kann man die Gültigkeit der Gleichungen (19) und (20) auch noch einer andern nachträglichen Probe unterwerfen. Wenn nämlich k und hiermit auch k' zu Null werden, kommen wir wieder auf die Fallbewegung ohne Luftwiderstand zurück. Die Formeln müssen also auch die früheren einfacheren mit in sich enthalten. Zunächst liefern beide Gleichungen für k = 0 den Wert 0/0. Um den wirklichen Wert dieses unbestimmten Ausdrucks zu ermitteln, denken wir uns z. B. in Gl. (20) zunächst \!k' unendlich klein. Mit Vernachlässigung unendlich kleiner Glieder höherer Ordnung wird dann nach Entwicklung der Exponentialgröße in eine Reihe e 21

VIT' = 1 + 2 t

+ 2 i 2 g k'

und mit Berücksichtigung der Reihenentwicklung ig(i + x) = x — y2 x2 -f- v3 x3 finden wir, gleichfalls unter Beiseitelassung der unendlich kleinen Glieder höherer Ordnung ig

e2 y9 fe + 1 ' 0

= i g Q + t ) f i W + figV) = t i / T e + p g V — V z f g k ' .

Setzen wir dies in Gl. (20) ein, so finden wir in der Tat s=y2gt2, also die Formel für die Fallbewegung ohne Luftwiderstand, wie wir es erwarten mußten. — Auch diese Pi üfung der Ergebnisse einer verwickelten Betrachturg durch Zurückgehen auf einen darin mit enthaltenen einfacheren Fall findet in der Mechanik sehr häufig Anwendung. Auch dann, wenn k' nicht sehr klein ist, kann für sehr kleine Werte von t die vorige Entwicklung beibehalten werden, d . h . die Fallbewegung erfolgt zu Anfang so wie im luftleeren Räume, und erst späterhin treten größere Abweichungen davon ein. Bei sehr großen Werten von «wird schließlich v nahezu konstant; der Luftwiderstand hebt dann das Gewicht, abgesehen von einer sehr kleinen Differenz, gerade auf. In diesem Bewegungszustand befindet sich z. B. ein Fallschirm, der von einem Luftballon herabgelassen wird, schon nach ziemlich kurzer Zeit, weil bei ihm k' infolge der großen Oberfläche im Vergleich zum Gewicht sehr groß ist. A n m e r k u n g . Bei den Rechnungen, die in diesem Paragraphen vorzunehmen waren, bin ich auf Einzelheiten nicht näher eingegangen, was von einem Studierenden der ersten

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Erster Abschnitt. Mechanik des materiellen Punktes

Semester vielleicht als Mangel empfunden werden mag. Man darf es aber nicht als Aufgabe der Mechanik ansehen, nebenbei auch noch das Integrieren zu lehren. Die Mechanik hat genug damit zu tun, die ihr selbst eigentümlichen Schwierigkeiten zu überwinden und m u ß wegen etwaiger Rechenschwierigkeiten auf die mathematischen Vorlesungen oder Lehrbücher verweisen. § 9. Arbeit und lebendige Kraft

Die vierte von den Gleichungen (13) für die gleichförmig beschleunigte Bewegung lautete „ „ V*

S:

Vrf

2b

'

Multipliziert man beiderseits zuerst mit b und dann auch noch mit der Masse m, und beachtet man, daß das Produkt aus Masse und Beschleunigung gleich der Kraft P ist, so geht die Gleichung über in m v* m ün,2_ P ' = - r — r -

(2i>

Das Produkt Ps aus Kraft und Weg wird die A r b e i t d e r K r a f t , das halbe Produkt aus der Masse und dem Quadrat der Geschwindigkeit wird die l e b e n d i g e K r a f t des materiellen Punktes genannt. In Worten spricht man daher Gl. (21) dahin aus, daß die Arbeit der Kraft bei einer geradlinigen, gleichförmig beschleunigten Bewegung gleich dem Zuwachs an lebendiger Kraft ist, den der materielle Punkt zur gleichen Zeit erfährt. Für die lebendige Kraft gebraucht man häufig die neueren Bezeichnungen „kinetische Energie" oder auch „Wucht". Das letzte Wort ist ohne Zweifel sehr gut gewählt; es hat sich aber bisher noch nicht recht einbürgern können. An und für sich läßt sich indessen auch gegen die alte Bezeichnung „lebendige K r a f t " wohl nicht allzuviel einwenden, falls man sich nur stets in Erinnerung hält, daß die lebendige Kraft eine Größe von ganz anderer Art (und auch von anderer Dimension) als die beschleunigende Kraft ist. Es ist freilich mit dem Gebrauch des Wortes noch der Mißstand verbunden, daß Leibniz, der das Wort einführte, darunter mv 2 und nicht wie wir die Hälfte davon verstand. Im Sinne von Leibniz ist das Wort bis in das neunzehnte Jahrhundert hinein gebraucht worden und vereinzelt wird es selbst jetzt noch so gebraucht. Derartigen Mißverständnissen entgeht man vollständig, wenn man eine der beiden anderen Bezeichnungen wählt; indessen wird heute in der deutschen technischen Literatur die lebendige Kraft immer nur als gleichbedeutend mit Wucht gebraucht, und es steht daher der Anwendung des Wortes kein besonderes Bedenken entgegen. Die vorige Ableitung von Gl. (21) knüpfte an die Formeln für die gleichförmig beschleunigte Bewegung an. Der Satz gilt aber viel allgemeiner, wie hier zunächst für die beliebig ungleichförmig beschleunigte, aber immer noch geradlinige Bewegung gezeigt werden soll. Aus der Definition der Geschwindigkeit und der Beschleunigung folgen die beiden Gleichungen vdt—ds

und

dv =

bdt.

Multipliziert man beide Gleichungen miteinander und hebt den Faktor dt auf beiden Seiten gegeneinander weg, so bleibt vdv=

bds,

§10. Antrieb und Bewegungsgröße

31

w o f ü r n a c h Multiplikation m i t m a u c h

geschrieben werden k a n n , denn die A u s f ü h r u n g des Differentials von u 2 /2 liefert sofort wieder vdv. D a m eine k o n s t a n t e Größe ist, k a n n es übrigens a u c h m i t u n t e r das Differentialzeichen als F a k t o r gesetzt werden. Die so gewonnene Gleichung (22> spricht bereits den Satz von der lebendigen K r a f t f ü r den Vorgang w ä h r e n d eines unendlich kleinen Weg- u n d Zeitelements aus. Man b r a u c h t sich n u r die Gleichung f ü r alle Elemente, in die sich eine endliche Bewegung zerlegen l ä ß t , angeschrieben u n d d a n n alle s u m m i e r t zu denken, u m die F o r m des Satzes f ü r einen endlichen W e g zu erhalten. Auf der linken Seite t r i t t hierbei die S u m m e aller E l e m e n t a r a r b e i t e n Pds auf, die als die gesamte Arbeitsleistung der ihrer Größe nach veränderlichen K r a f t P bezeichnet wird. F ü r k o n s t a n t e s P folgt d a r a u s wieder wie vorher Ps; andernfalls aber m u ß die S u m m i e r u n g auf irgendeine Art angedeutet werden, u n d m a n w ä h l t dazu in der Regel ein Integralzeichen, a u s Gründen, die dem K e n n e r der Integralrechnung ohne weiteres klar sind. Auf der rechten Seite der Gl. (22) s t e h t das Differential der lebendigen K r a f t . W e n n m a n die Summierung über alle Differentiale a u s f ü h r t , k o m m t m a n d a m i t auf die endliche Differenz zwischen Anfangs- u n d E n d w e r t der lebendigen K r a f t . D u r c h A u s f ü h r u n g der S u m m i e r u n g erhält m a n d e m n a c h aus Gl. (22) (23) Von (Gl. 21) weicht diese Aussage n u r insofern ab, als f ü r die Arbeit der K r a f t ein allgemeinerer Ausdruck eingetreten ist. Wegen der besonderen F o r m dieses Ausdrucks pflegt m a n die Arbeit a u c h als das L i n i e n i n t e g r a l der K r a f t z u bezeichnen, eine Benennung, die n a m e n t l i c h in der Elektrizitätslehre sehr gebräuchlich ist. § 10. Antrieb und Bewegungsgröße

Aus der dynamischen Grundgleichung in der F o r m P

=

dv dt

m

folgt d u r c h Multiplikation m i t d e m Zeitelement dt Pdt = mdv =

d{mv),

d a der k o n s t a n t e F a k t o r m auch m i t u n t e r das Differentialzeichen a u f g e n o m m e n werden k a n n . Diese Gleichung spricht schon den Satz v o m Antrieb f ü r ein Zeitelement aus. U m d a r a u s eine Gleichung in endlicher F o r m zu gewinnen, denke ich m i r f ü r jedes der Zeitelemente, in die m a n die ganze D a u e r des B e wegungsvorgangs zerlegen kann, eine solche Gleichung angeschrieben u n d alle addiert. W i r erhalten d a n n , ganz ähnlich wie i m vorigen P a r a g r a p h e n , (24)

32

Erster Abschnitt. Mechanik des materiellen Punktes

L i n k s s t e h t j e t z t das „ Z e i t i n t e g r a l " der K r a f t , u n d dieses bezeichnet m a n als den A n t r i e b oder auch als den I m p u l s der K r a f t . Das P r o d u k t mv aus. Masse u n d Geschwindigkeit wird die B e w e g u n g s g r ö ß e des materiellen P u n k t e s g e n a n n t . Gl. (24) k a n n d a n n d a h i n ausgesprochen werden, d a ß der A n t r i e b der K r a f t bei irgendeiner geradlinigen Bewegung gleich dem Zuwachs der Bewegungsgröße ist. Von diesem Satz wird namentlich bei der U n t e r s u c h u n g des Stoßes Gebrauch gemacht. E r stellt ebenso wie der Satz von der lebendigen K r a f t n u r eine andere, f ü r die betreffenden Anwendungen bequemere Aussageform der dynamischen Grundgleichung d a r . Von J u n g (Jahresbericht d. Math. Ver. 1917, S. 20) u n d von T o l l e (Z. d. V. D . Ing. 1918, S. 326) w u r d e a n Stelle von „Bewegungsgröße" die Bezeichnung „ S c h w u n g " f ü r das P r o d u k t mv vorgeschlagen, wie noch hier e r w ä h n t werden möge. § 11. Krummlinige Bewegung des materiellen Punktes

Bei der geradlinigen Bewegung k o n n t e die augenblickliche Lage des bewegten P u n k t e s durch eine einzige Zahlenangabe, nämlich d u r c h Angabe der Länge des von Anbeginn an zurückgelegten Weges beschrieben werden. Bei der k r u m m linigen Bewegung b e d ü r f e n wir dazu im allgemeinen drei Zahlenangaben, nämlich die Angabe der drei K o o r d i n a t e n des P u n k t e s in bezug auf irgendein räumliches K o o r d i n a t e n s y s t e m oder a n s t a t t dessen a u c h die Angabe einer gerichteten Größe. Hier werde ich in der Regel d e m letzten Verfahren den Vorzug geben, weil es den Blick u n m i t t e l b a r auf das hinlenkt, worauf es a n k o m m t . Indessen l ä ß t sich die eine Darstellung sehr leicht auf die andere z u r ü c k f ü h r e n . I n Abb. 1 sei A die augenblickliche Lage des bewegten P u n k t e s . Diese l ä ß t sich von einem festen A n f a n g s p u n k t 0 aus d u r c h Angabe der gerichteten Strecke — des R a d i u s v e k t o r s — § bestimmen. Projiziert m a n 3 auf die drei d u r c h den P u n k t 0 gezogenen rechtwinkligen Koordinatenachsen OX, OY, OZ, so erhält m a n die K o o r d i n a t e n x, y, z. Bei den Koordinaten ist die R i c h t u n g selbstverständlich; m a n sieht d a h e r x, y, z als richtungslose Größen an. Andererseits ist es aber zulässig, die R i c h t u n g e n besonders hervorzuheben, u n d m a n k a n n dies bei der K o o r d i n a t e x z. B. d a d u r c h bewirken, d a ß m a n ihr einen R i c h t u n g s f a k t o r beigibt, also z. B. i x d a f ü r schreibt. Dieser R i c h t u n g s f a k t o r t soll die Dimension Null u n d den W e r t 1 h a b e n . D u r c h Multiplikation m i t i h m wird daher weder an der Dimension noch an d e m numerischen W e r t e des P r o d u k t s eine Änderung h e r b e i g e f ü h r t ; n u r eine b e s t i m m t e R i c h t u n g wird d e m P r o d u k t d a d u r c h zugeschrieben. Die Richtungsf a k t o r e n f ü r die Y- u n d die Z-Achse bezeichnen wir m i t j| u n d f. Schon d u r c h die Schreibweise ist hervorgehoben, d a ß diese F a k t o r e n gerichtete Größen bed e u t e n . W i r können a n s t a t t dessen f ü r ix auch einfach j usw. schreiben u n d h a b e n d a n n zur E r l ä u t e r u n g des Sinnes, in dem wir die R i c h t u n g s f a k t o r e n gebrauchen, die Gleichungen Abb. l.

$=ix;

t) = j y;

ä=fz.

§11.

Krummlinige Bewegung des materiellen

33

Punktes

Denkt man sich von 0 aus zuerst ix abgetragen, am Endpunkt dieser Strecke \ y und hierauf wiederum tz angereiht, so gelangen wir zum Punkt A. Man sieht auch aus Abb. 1 sofort, daß es gleichgültig ist, in welcher Reihenfolge wir diese gerichteten Strecken aneinander tragen; nachdem alle drei in beliebiger Aufeinanderfolge zu einem polygonalen Zuge zusammengesetzt sind, treffen wir stets wieder auf den Punkt A. Man kann dies auch dahin ausdrücken, daß es gleichgültigist, ob wir vom Anfangspunkt^ aus unmittelbar um die gerichtete Strecke Ö weiter gehen oder ob wir nacheinander die drei Verschiebungen g, t), j ausführen. Diese Art der Zusammensetzung gerichteter Größen spielt in vielen Teilen der Mechanik eine wichtige Rolle. Man hat daher eine anschauliche Bezeichnung dafür eingeführt und nennt Ö die g e o m e t r i s c h e oder auch die g r a p h i s c h e S u m m e der Strecken g, i), $. In Form einer Gleichung kann man den Zusammenhang der vier Strecken dadurch zum Ausdruck bringen, daß man 8 = S + U + S = t * + i y + t* (25) setzt und unter dem Pluszeichen, durch das die Glieder verbunden sind, die Vorschrift für die geometrische Summierung versteht. Ein Pluszeichen zwischen zwei gerichteten Größen ist immer nur in diesem Sinne aufzufassen. Haben beide Vektoren zufällig gleiche Richtung, so geht die geometrische Summierung in die gewöhnliche, haben sie entgegengesetzte Richtung, so geht sie in die algebraische Summierung über. Eine gerichtete Größe und eine richtungslose können in der Mechanik niemals durch ein Pluszeichen miteinander verbunden werden, da eine solche Summierung überhaupt keinen physikalischen Sinn hätte. Zu irgendwelchen Mißverständnissen kann daher die Übertragung des Pluszeichens der Algebra auf das Rechnen mit gerichteten Größen in diesem erweiterten Sinne niemals Veranlassung geben. Treten in einer geometrischen Summe Glieder auf, die mit einem Minuszeichen behaftet sind, so bedeutet dies, daß sie mit umgekehrter Richtung in den polygonalen Zug aufzunehmen sind, durch den man die geometrische Summe erhält. Da die Reihenfolge der Summierung gleichgültig ist, bleibt eine Gleichung zwischen gerichteten Größen immer noch richtig, wenn man beiderseits denselben Vektor zufügt oder ihn subtrahiert; kurzum, wir können uns, solange nur Additionen und Subtraktionen oder auch Multiplikationen mit richtungslosen Größen in Frage kommen, beim Rechnen mit gerichteten Größen ganz an die gewöhnlichen algebraischen Sätze halten. Nach dem Verlauf der Zeit dt wird der bewegte materielle Punkt in eine benachbarte Lage A' übergegangen sein. Auch den unendlich kleinen Weg AA' wollen wir als gerichtete Größe auffassen und ihn, um dies zum Ausdruck zu bringen, mit c/S bezeichnen. Die Projektionen auf die Koordinatenachsen bezeichnen wir mit dx, dy, dz, so daß = idx + \dy + Uz

(26)

ist. Der Radiusvektor ö' des Punktes A ' wird aus 5 gefunden, indem man am Endpunkt von 6 den Vektor' c/ö anträgt, d. h. nach dem Begriff der geometrischen Summe ist 8' = S - M ä und hierdurch rechtfertigt es sich, daß wir den Weg AA' als das geometrische Differential des Radiusvektors § ansehen. Wir fanden schon früher, daß man die Größe der Geschwindigkeit in einem gegebenen Augenblick als Grenzwert des Verhält3 F o p p I, Mechanik. Bd.I

A

dt /

Ä

V A \ \

A bb.

2.

34

Erster Abschnitt.

Mechanik des materiellen Punktes

nisses zwischen dem durchlaufenen Wegelement u n d dem inzwischen verstrichenen Zeitelement erhält. Bei der krummlinigen Bewegung genügt es aber nicht, die Geschwindigkeit nur der Größe nach anzugeben; man m u ß auch die Richtung bezeichnen, nach der die Bewegung im gegebenen Augenblick vor sich geht. Diese wird durch die Tangente der Bahn oder auch durch die Richt u n g des Bahnelementes AA' bezeichnet. Wir bekommen demnach die Geschwindigkeit sowohl der Größe als der Richtung nach, wenn wir d% setzen. Zerlegen wir ds in seine drei Kompoiienten nach Gl. (26), so geht Gl. (27) über in . dx .dy „dz ^ ' d t + I - d T + 'di

und hierdurch ist b zugleich als geometrische Summe von drei in den Richtungen der Koordinatenachsen gezählten Komponenten dargestellt. Wenn wir die Komponenten von b ihrer Größe nach außerdem noch mit u1; v2, u3 bezeichnen, so haben wir demnach dx dy dz Vi= v * = lü' v * = lTt> dt>

einen Gleichungssatz, in dem die Richtungen als selbstverständlich nicht besonders hervorgehoben sind. Auch der Begriff der Beschleunigung, der früher bei der Betrachtung der geradlinigen Bewegung gewonnen wurde, ist jetzt sinngemäß auf die krummlinige Bewegung zu übertragen. Wir müssen dabei daran festhalten, daß die Beschleunigung das Maß f ü r die Änderung der Geschwindigkeit bildet. Hier ist aber noch besonders darauf zu achten, d a ß eine Änderung der Geschwindigkeit nicht nur der Größe, sondern auch der Richtung nach möglich ist. Zu Anfang eines Zeitelementes dt sei die Geschwindigkeit b, zu Ende desselben 1)'. Wenn keine Kräfte, wirkten, wäre b' in jeder Hinsicht gleich b nach dem Trägheitsgesetz. Wenn nicht gerade unendlich große K r ä f t e auftreten, kann sich b in dem Zeitelement dt nur unendlich wenig — sowohl der Größe als der Richtung nach — geändert haben. Wir bilden die geometrische Differenz von b' und b und setzen sie dt) = b' — b. D a n n gibt uns das Differential d b die in dt stattfindende Änderung der Geschwindigkeit sowohl der Größe als der Richtung nach an. Dividieren wir d b durch dt, so erhalten wir die auf die Zeiteinheit bezogene Änderung der Geschwindigkeit in derjenigen Größe und Richtung, die f ü r den Augenblick gerade zutrifft. Wir bleiben also in Übereinstimmung mit den früheren Festsetzungen und ergänzen sie nur so weit, d a ß auch die Richtungsänderungen mit einbezogen werden, wenn wir die Beschleunigung 1) > 4 » setzen. Verbinden wir hiermit Gl. (27), so erhalten wir auch

(30)

§ 12. Das Prinzip d. Unabhängigk. versch. Bewegungen voneinand. usw.

35

Auch hier können wir sofort wieder auf die Komponenten nach den Achsenrichtungen zurückgehen und erhalten .d*x

frz

oder, wenn wir die Komponenten von t) der Größe nach mit bv b2, b3 bezeichnen, dt ~ d*

'

b i

- d i - d t ' '

Ö3-dt~dt*'

E s fragt sich jetzt, in welchem Zusammenhang die hiermit näher definierte Beschleunigung i) mit der Kraft steht, die während der Bewegung an dem materiellen Punkt angreift, d. h. welche Passung wir in diesem allgemeinen Fall der dynamischen Grundgleichung zu geben haben. Um diese Frage zu entscheiden, müssen wir noch einige Erörterungen über die Zusammensetzung verschiedener Bewegungen vorausgehen lassen. §12. Das Prinzip der Unabhängigkeit verschiedener Bewegungen voneinander und der Satz vom Kräfteparallelogramm

Wir wollen uns die Bewegung eines materiellen Punktes von einem Koordinatensystem aus beobachtet denken, das selbst eine Translationsbewegung (aber mit Ausschluß jeder Drehung) ausführt, und daneben sei auch auf die absolute Bewegung sowohl des Punktes als des Koordinatensystems geachtet. Nach Ablauf der Zeit t möge jeder Punkt des Koordinatensystems den Weg 5' zurückgelegt haben, imd der materielle Punkt soll sich relativ zum Koordinatenanfang, mit dem er anfänglich zusammenfiel, um 8 " verschoben haben. Dann finden wir den absoluten Weg 8 des Punktes durch Ausführung der geometrischen Summierung 8 = 8 ' + 8", und es ist dabei gleichgültig, ob wir uns erst die Bewegung 8' und nachher 8 " oder ob wir uns beide in umgekehrter Reihenfolge oder schließlich ob wir uns beide gleichzeitig ausgeführt denken. Dies geht unmittelbar aus der geometrischen Anschauung hervor, und es steht uns offenbar frei, jede beliebige Bewegung 8 eines Punktes durch Einführung solcher bewegter Koordinatensysteme, deren Wahl ganz beliebig ist, in mehrere Komponenten in Gedanken zu zerlegen. Man pflegt dies dahin auszudrücken, daß ein materieller Punkt gleichzeitig mehrere Bewegungen nebeneinander ausführen kann. Früher war z. B. die Rede von der Bewegung, die ein Gepäckstück ausführt, das in einem Eisenbahnwagen herabfällt. Hierbei ergibt sich ganz ungezwungen die Zerlegung der absoluten Bewegung des fallenden Körpers in die Bewegung, die er mit dem Eisenbahnwagen nach wie vor zusammen ausführt, und in die Bewegung relativ zum Eisenbahnwagen. Offenbar steht es uns auch frei, uns beim schiefen Wurf eines Steines ein Koordinatensystem, so wie vorher den Eisenbahnwagen, in horizontaler Richtung mit dem Stein bewegt zu denken; so daß wir von diesem Koordinatensystem aus gesehen nur noch mit der Bewegung des Steines in vertikaler Richtung zu tun haben. Diese Zerlegungen sind rein geometrischer Art und an sich willkürlich. Wenn wir sagen, daß die einzelnen Bewegungskomponenten unabhängig voneinander erfolgen, kommt aber noch etwas anderes hinzu. Man denke sich eine Anzahl materieller Punkte von gleicher Masse, die unabhängig voneinander sind und die zu Anfang alle dieselbe Geschwindigkeit t) hatten, während weiterhin auf 3*

36

E r s t e r Abschnitt.

Mechanik des materiellen Punktes

jeden eine Kraft von gleicher Größe und Richtung einwirkt. Da gleiche Ursachen gleiche Wirkungen haben, muß auch in jedem folgenden Augenblick t) bei allen gleich sein; alle legen daher gleiche und parallele Bahnen zurück, und die Gestalt des Punkthaufens ändert sich dabei nicht. Wir können uns ferner vorstellen, daß ein Koordinatensystem die Translationsbewegung mit derselben Geschwindigkeit b mitmacht. Dann sind alle Punkte relativ zu diesem Koordinatensystem in Ruhe. Sollte nun unter diesen Punkten einer sich be finden, an dem außer der allen gemeinsamen Kraft S)S noch eine andere Kraft angreift, so bewegt er sich nun anders als die übrigen, d. h. er führt außer der gemeinsamen Bewegung auch noch eine Bewegung relativ zu dem Koordinatensystem aus. Das Prinzip der Unabhängigkeit der Bewegungen voneinander sagt nun aus, daß die Relativbewegung in diesem Falle genau so erfolgt, als wenn das Koordinatensystem selbst ruhte und die einzige Kraft wäre, die an dem Punkt angriffe. Mit anderen Worten: ein Beobachter, der die Bewegung des Koordinatensystems mitmachte, würde auf die Kraft gar nicht zu achten brauchen und die Bewegung des Punktes, die er wahrnimmt, ausschließlich auf die Wirkung der Kraft zurückführen können. Ausdrücklich betont möge aber noch einmal werden, daß die Bewegung des Koordinatensystems nur in einer Translation bestehen darf, wenn die vorausgehenden Betrachtungen anwendbar sein sollen. Dieses Prinzip der Unabhängigkeit — auch Superpositionsprinzip genannt — kann nicht mathematisch bewiesen, es kann durch die vorhergehenden Erörterungen nur wahrscheinlich gemacht werden, weil wir dadurch auf Erfahrungen hingewiesen werden, die uns geläufig sind (wie die von der Fallbewegung im Eisenbahnwagen). Nach allen Erfahrungen, die jemals daraufhin geprüft wurden, hat es sich aber stets als streng gültig bewiesen. Wir besitzen daher in diesem Prinzip einen überaus einfachen und bequem anwendbaren Satz, der einen sehr reichen Erfahrungsschatz zusammenfaßt, und wir sind den vorausgegangenen Geschlechtern für wenige wissenschaftliche Überlieferungen zu soviel Dank verbunden, als für diesen dem Geschehen in der Außenwelt abgelauschten Satz. Den ersten Urheber des Satzes vermag man nicht anzugeben. Vermutungen dieser Art dürften wohl schon in sehr frühen Zeiten bestanden haben; aber erst ganz allmählich gewannen sie an Sicherheit und Bestimmtheit. Der Satz vom Parallelogramm der Kräfte ist, wie man sofort sehen wird, nur eine andere Aussageform des Prinzips der Unabhängigkeit, und dieser Satz wird gewöhnlich N e w t o n und V a r i g n o n , die ihn ungefähr gleichzeitig und unabhängig voneinander gefunden haben sollen, zugeschrieben. Nach anderen Angaben soll aber der Satz auch schon G a l i l e i in seinen beiden Formen geläufig gewesen sein, der ihm nur keine besondere Bedeutung beigemessen haben soll. Daß die Relativitätstheorie auch diesem Satze keine strenge Gültigkeit zugesteht, möge hier nebenbei erwähnt werden. Praktisch hat dies aber keine Bedeutung. Die vorausgehenden Untersuchungen setzen uns jetzt auch in den Stand, die schon am Schlüsse des vorigen Paragraphen aufgeworfene Frage zu beantworten, in welchem Zusammenhang die Beschleunigung t) mit der Kraft bei der krummlinigen Bewegung des materiellen Punktes steht. Wir wissen jetzt, daß die von der Kraft 5)3 für sich hervorgebrachten Geschwindigkeiten ganz unabhängig sind von jenen, die schon bestanden haben oder die von anderen Ursachen herrühren. Wir können daher, um in einem gegebenen Augenblick dt/dt zu berechnen, von dem schon bestehenden to ganz absehen, d. h. die Bewegung in das schon vorhandene b und in die durch die Wirkung von 5JJ veranlaßte Änderung

§ 12. Das P r i n z i p d. U n a b h a n g i g k . verseil. Bewegungen voneinand. usw.

37

der Geschwindigkeit zerlegen. Dieser letzte Anteil der Geschwindigkeit beginnt dann von der Ruhe aus, im Sinne der Kraft !|5 und nach dem schon bei der geradlinigen Bewegung dafür festgestellten Gesetz. Für den Zusammenhang zwischen den augenblicklich gültigen Werten dieser Größen kann es nämlich nichts ausmachen, wenn etwa später 5)5 die Richtung ändern sollte; für die Dauer eines Zeitelementes dt kann die Richtung der Kraft 5)5 jedenfalls als konstant angesehen werden. Auf Grund dieser Erwägungen erweitert sich die dynamische Grundgleichung jetzt einfach zu y =

mi>

=

m

dt d t =

m

d2 § d ¥ '

(33)

Der Unterschied gegen früher besteht nur darin, daß jetzt deutsche an die Stelle der lateinischen Buchstaben getreten sind. Die dynamische Grundgleichung bleibt demnach in der früheren Aussageform ganz allgemein richtig, sobald man bei allen in ihr vorkommenden Größen die Richtung beachtet. Wirken zwei Kräfte 5)5X und 5)52 gleichzeitig auf einen materiellen Punkt ein, so kann man dessen Bewegung in der vorher geschilderten Weise in zwei Anteile ^ und ö2 zerlegen, wovon der Weg durch 5)^ und S2 durch 5)52 bedingt ist. Man hat dann «

d2 §

1

«i

d2

Andererseits ist aber der absolute Weg § — 5X + 52 und daher d2 §

» d i r = • * + *«• Auch diese Gleichung hat die Form des dynamischen Grundgesetzes und sie zeigt uns, daß die absolute Bewegung so vor sich geht, als wenn an dem materiellen Punkt in jedem Augenblick eine Kraft 9t 5R = + (34) wirkte. Die Kraft iK ersetzt die beiden gleichzeitig einwirkenden Kräfte 5)5X und 5)52 vollständig und sie wird deren Resultierende genannt. Gl. (34) spricht daher den Satz vom Parallelogramm der Kräfte aus, denn die Parallelogrammkonstruktion wird ja in der Tat nur benutzt, um die geometrische Summe aus Sßjund 5)52 zu bilden. An Stelle des Parallelogramms genügt auch ein Dreieck, das aus den Seiten Sßj, 5|52 und zusammengesetzt ist. Diese Betrachtung bleibt ohne weiteres gültig, wenn auch mehr als zwei Kräfte 5)5 an dem materiellen Punkt angreifen. Die Resultierende wird in jedem Falle durch die geometrische Summierung gefunden. Indem wir das Zeichen Z, falls es vor einer Vektorgröße steht, als Zeichen für die geometrische Summe auffassen, haben wir für die Resultierende 3? aus beliebig vielen Kräften, die alle an demselben materiellen Punkt wirken, 91 = Z 5)5

(35)

und diese Gleichung zeigt uns an, daß SR die letzte Seite in einem Vieleck ist, dessen übrige Seiten aus den $ gebildet werden. Wenn man den Umfang dieses Vielecks im Sinne des Pfeiles von einer der Kräfte 5)5 durchläuft, gehen die Pfeile von allen 5)5 im Umlaufsinn; der Pfeil von SK ist aber entgegengesetzt dem Ümlaufssinn gerichtet (Abb. 3).

38

E r s t e r Abschnitt.

p

Mechanik des materiellen Punktes

Es kann auch sein, daß sich die Wirkungen aller Kräfte i|ä, die an einem materiellen Punkt angreifen, gerade aufheben. Der Punkt bleibt dann in Ruhe, wenn er vorher in Ruhe war, oder er behält die Geschwindigkeit, die er besaß, unverändert nach Größe und Richtung bei. Für diesen G l e i c h g e w i c h t s f a l l bildet die Gleichung 0

A b b . 3.

die notwendige und hinreichende Bedingung. Alle diese Vektorgleichungen können auch wieder in ihre Komponenten nach den Koordinatenachsen zerlegt werden. Da gleiche und gleichgerichtete Strecken gleiche Projektionen auf irgendeine Ebene oder irgendeine Achse ergeben, kann man stets auf einfachste Art zu den Komponentengleichungen übergehen, sobald die Vektorgleichungen bekannt sind. So zerfällt Gl. (33), wenn man nur die darin zuletzt angegebene Form in Berücksichtigung zieht, in I\

1

d t* '

P9 = m

d2_y d t2 '

d*z Pa = m d¥-

wobei P1: P2, P3 die drei rechtwinkligen Komponenten von 5)5 sind. Ebenso wird au^ Gl. (35) =

Rt=£Pt;

R,

usw. Man sieht auch leicht ein, daß zwischen den Parallelprojektionen 9T von 9t und Sß' von. den Kräften iß auf irgendeine Ebene die aus Gl. (35) hervorgehende Gleichung = 21 gä' (37) und ebenso für den Gleichgewichtsfall die Bedingungsgleichung = 0

(38)

besteht. Dies folgt nämlich daraus, daß sich jedes geschlossene Polygon wieder als ein geschlossenes Polygon projiziert und daß in diesem die Seiten unmittelbar die Kräfteprojektionen 5)5' bzw. 91' darstellen. § 13. Der schiefe Wurf

Ein Stein, der in einer Richtung, die den Winkel , so erhalten wir die Änderung dv des Absolutbetrages v von V» w ä h r e n d des Zeitelementes; also auch

u n d wenn wir hieraus die S u m m e f ü r alle Wegelemente bilden, (43) d. h. die Arbeit der K r a f t ü|5, die allein an einem materiellen P u n k t angreift, ist gleich dem Zuwachs, den die lebendige K r a f t e r f ä h r t . So ist z. B. die Arbeit der Z e n t r i p e t a l k r a f t immer gleich Null, weil diese in jedem Augenblick senkrecht zur Bewegungsrichtung steht, u n d die lebendige K r a f t erfährt d u r c h sie keine Änderung, weil es bei der lebendigen K r a f t nicht auf die Richtung, sondern n u r auf die Größe der Geschwindigkeit a n k o m m t . Wir wollen j e t z t ferner annehmen, d a ß mehrere K r ä f t e S)52, . . . an einem materiellen P u n k t angreifen, deren Resultierende 91 =

%+ %+

+ * " • =

sei. Außer den besonders n a m h a f t gemachten K r ä f t e n können zugleich noch andere £l 1 ; £t 2 usw. an dem materiellen P u n k t wirken, u m die wir uns aber jetzt nicht k ü m m e r n wollen. W i r wollen a u ß e r d e m annehmen, d a ß sich der materielle P u n k t u m irgendeine Strecke 5 verschiebe. Dabei ist wohl zu beachten, d a ß die Verschiebung S nicht durch die von uns b e t r a c h t e t e n K r ä f t e hervorgebracht zu sein b r a u c h t ; wir können vielmehr durch geeignete Anbringung der übrigen K r ä f t e & bewirken, d a ß sich der materielle P u n k t in irgendeiner beliebigen Richt u n g verschiebt. Man n e n n t deshalb die Verschiebung eine „ v i r t u e l l e " , womit n u r gesagt sein soll, d a ß sie an sich möglich ist. U m die Arbeit der K r a f t während dieser virtuellen Verschiebung zu berechnen, projizieren wir ^ auf den

§ 15. Prinzip der virtuellen

Geschwindigkeiten

47

u n d ebenso verfahren wir mit den Weg ä u n d bilden so das innere Produkt ^ anderen K r ä f t e n u n d m i t ihrer Resultierenden üt. Wir sahen aber schon in § 12, daß zwischen den Projektionen der K r ä f t e auf irgendeine Gerade die Beziehung R' =

EP'

gilt. Multiplizieren wir diese Gleichung mit s, so wird auch R's=

ZP's

oder, mit Rücksicht auf die Bedeutung des inneren Produkts, (44) d, h. in W o r t e n : Bei jeder Verschiebung, die wir mit dem materiellen P u n k t vornehmen mögen oder die wir uns auch nur vorgenommen denken können, ist die Arbeit der Resultierenden gleich der algebraischen Summe der Arbeiten der Komponenten. F ü r den besonderen Fall, daß sich die K r ä f t e ^ im Gleichgewicht halten, wird 91 zu Null und Gl. (44) geht über in z s ß g = 0.

(45)

Die a l g e b r a i s c h e S u m m e d e r A r b e i t e n von K r ä f t e n , die sich an einem' m a t e r i e l l e n P u n k t im Gleichgewicht h a l t e n , ist d e m n a c h f ü r jede virtuelle Verschiebung gleich Null. Die Gleichungen (44) und (45) sprechen das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten aus. Dieser Satz wird ein „Prinzip", also ein grundlegender Satz genannt, obschon er bei unserer Darstellung nur eine einfache mathematische Folgerung aus d e m Satz vom Kräfteparallelogramm bildet. Die Bezeichnung s t a m m t daher, daß man ihn in der T a t hypothetisch zum Ausgangspunkt bei der Aufrichtung des Lehrgebäudes der Mechanik wählen kann und ihn oft dazu gewählt h a t . Geht man so vor, dann erscheint der Satz vom Kräfteparallelogramm oder das Prinzip der Unabhängigkeit der verschiedenen Bewegungen voneinander als eine aus dem Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten abgeleitete Folgerung. An Stelle von virtuellen „Geschwindigkeiten" würde man besser von virtuellen „Verschiebungen" sprechen; der Name hat sich aber nun einmal in dieser Form seit mehr als einem J a h r h u n d e r t eingebürgert und er soll daher beibehalten werden. Analytisch betrachtet geht Gl. (44) aus 91 = Z'Sp dadurch hervor, daß hierin jedes Glied mit der beliebigen Strecke § auf innere Art multipliziert wird. Man kann daher das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten auch als einen Satz über das Rechnen mit gerichteten Größen auffassen, der dann freilich noch allgemeiner gültig ist, als jenes Prinzip. Offenbar bleibt nämlich die f ü r Gl. (44) gegebene Ableitung ohne jede Änderung anwendbar, falls nur überhaupt die SJ5 gerichtete Größen sind, deren geometrische Summe 9i ist. In der T a t werden wir später manchmal Gelegenheit haben, Gl. (44) auch auf solche Fälle anzuwenden, bei denen die 5JS keine K r ä f t e sind. Wir fassen daher Gl. (44) und hiermit zugleich das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten noch in den sich dem Gedächtnis leicht einprägenden Wortlaut zusammen: E i n e g e o m e t r i s c h e S u m m e w i r d mit j e d e r b e l i e b i g e n g e r i c h t e t e n G r ö ß e auf i n n e r e Art multipliziert, i n d e m man jedes Glied d a m i t multipliziert.

48

E r s t e r Abschnitt.

Mechanik des materiellen

Punktes

§ 16. Momentensatz

Auch der Satz von den statischen Momenten ist, wie sich alsbald zeigen wird, nichts anderes, als ein Multiplikationssatz. Außer den inneren Produkten aus Kräften und Strecken, die wir im vorigen Paragraphen betrachteten, bildet man nämlich in der Mechanik daraus auch geometrische Produkte auf ä u ß e r e Art. Dazu multipliziert man die eine der beiden gerichteten Größen mit der zu ihr senkrecht stehenden Komponente der anderen. In Abb. 8 sei A der Angriffspunkt der Kraft 5|S, 0 ein beliebig gewählter Anfangspunkt und r der von diesem aus nach A gezogene Radiusvektor. Das äußere geometrische Produkt aus 5J5 und r wird das statische Moment der Kraft 5p in bezug auf den Punkt 0 genannt; außerdem heißt in diesem Zusammenhang 0 der Momentenpunkt und r der Hebelarm. Die letzte Bezeichnung wird freilich' öfters nur auf die äußere (d. h. die zu S)S senkrechte) Komponente von r angewendet; ich halte es aber für besser, das Wort in dem allgemeineren Sinne zu gebrauchen. Ein Mißverständnis kann übrigens aus diesen verAbb 8 schiedenen Bedeutungen des Wortes kaum entstehen, da bei der Bildung des statischen Momentes in jedem Falle nur die äußere Komponente von t in Betracht kommt. Wenn ÜJJ nicht eine Kraft, sondern eine Strecke wäre, hätte das äußere Produkt aus und ï eine sehr einfache Bedeutung; es würde nämlich den doppelten Inhalt des Dreiecks angeben, in dem und r als Seiten vorkommen. Denn die zu äußere Komponente von l wäre nichts anderes, als die zur Grundlinie gehörige Höhe jenes Dreiecks, und ebenso würde man zu dem doppelten Dreiecksinhalt auch gelangen, wenn man die Grundlinie r mit der „äußeren" (also zu ihr rechtwinkligen) Komponente von ijs multiplizierte. In Wirklichkeit ist nun freilich bei den Anwendungen des äußeren Produkts in der Mechanik 5|ä gewöhnlich eine Kraft; obschon uns auch andere Fälle späterhin vorkommen werden. Das äußere Produkt aus ^ und r, also das statische Moment der Kraft, kann dann nicht mehr gleich dem doppelten Flächeninhalt des Dreiecks gesetzt werden, da beide Größen von ganz verschiedenen physikalischen Dimensionen sind. Immerhin kann aber unter Zugrundelegung eines passend gewählten Maßstabes jede gerichtete Größe durch eine Strecke dargestellt werden, und bei den Kräften macht man davon in der Mechanik ganz regelmäßig Gebrauch. In demselben Sinne nun wie 5)5 durch eine Strecke, kann auch das äußere Produkt aus und t durch eine Fläche, also durch die doppelte Fläche jenes Dreiecks dargestellt werden. Das Dreieck, das 5p zur Grundlinie und den Momentenpunkt zur gegenüberliegenden Spitze hat, wird daher auch als das M o m e n t e n d r e i e c k bezeichnet. Wenn und t gleich gerichtet sind, geht das Momentendreieck in eine einzige Linie über, d. h. das Moment einer Kraft ist Null für jeden Momentenpunkt, der auf ihrer Richtungslinie enthalten ist. Die Größe des Moments ist durch die vorausgehenden Bemerkungen schon vollständig festgesetzt. Bezeichnet man den Winkel zwischen den von demselben Scheitel, etwa von A aus in den Pfeilrichtungen abgetragenen Vektoren 5)5 und t mit (p (Abb. 8), so ist die Größe des statischen Moments auch gleich Pr sin