Vermessungskunde: Band 1 Stückvermessung und Nivellieren [12., verbes. Aufl. Reprint 2020] 9783112321836, 9783112310649

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S A M M L U N G

G Ö S C H E N

B A N D

468

VERMESSUNGSKUNDE i

STÜCKVERMESSUNG U N D NIVELLIEREN von

Dr.-Ing., Dr.-Ing. E. h. W A L T E R G R O S S M A N N o. Professor an der Technischen Hochschale Hannover

12., verbesserte Auflage

H i t 122 Figuren

W A L T E R D E G R U Y T E R & CO. vormals G. J . Gtoehen'sche Verlagshandlung • J . G u t t e n t a g , Verlagsbuchhandlung • Georg R e i m e r • K a r l J . T r ü b n e r • Veit & Comp.

B E R L I N 1965

Die Gesamtdarstellung umfaßt noch folgende Bände: Band II: Horizontalaufnahmen und ebene Rechnungen. (Sammlung Göschen Band 469). Inhalt: Der Theodolit und das Messen von Horizontalwinkeln; Streckenmessung mit Streckenmeßgeräten; Polygonometrische Punktbestimmung ; Trigonometrische Punktbestimmung. Band III: Trigonometrische und barometrische Höhenmessung. Tachymetrie und Absteckungen (Sammlung Göschen Band 862). Inhalt: Trigonometrische Höhenmessung; Barometrische Höhenmessung; Tachymetrische Instrumente ; Tachymetrische und topographische Aufnahmeverfahren, Absteckungsarbeiten.

© Copyright 1905 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung \ J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung / Georg Reimer / Karl J. Trübner / Veit ]-Probe und die [wi]-Probe (14.5 Ziffer 4. und 5.) die Formen [vp] = 0 [vvp] = [Up] -

(23)

[Ij»l Sx = [Up] -

Ä

.

(24)

Zahlenbeispiel: Ein Winkel wurde am 1. Tage 8 mal, am 2. Tage 4 mal, am 3. Tage 12 mal und am 4. Tage 8 mal gemessen. Man erhielt als Tagesmittel der Reihe nach 40,1714", 40,1718», 40,1721» und 40,1725». Gesucht sind der Mittelwert und sein mittl. Fehler. Als Näherungswert sei 40,17» gewählt. Die Gewichtseinheit sei ein viermal gemessener Winkel. Damit erhält man h = —x 0

IP

cc 14 18 21 25

cc 28 18 63 50

vp

159

Up

3 10

cc' 72 4 3 50

cc 392 324 1323 1250

13

129

3289

cc 12 2

+6

+2 —1 —5

159 öx -

vvp

14

= 19,88"«; [vp] = + lc°

[vvp] = 3289—159 • öx = 3289

(soll = Null)

1592

=

129; soll 129.

(Beachte: Damit die [wp]-Probe stimmt, muß öx auf 1 bis 2 Stellen genauer gerechnet werden, als sachlich notwendig ist). Ausgleichungsergebnisse: x = 4 0 , 1 7 » + 20 cc = 40,1720»; n

°= ±

= ±

«

. = VM

t

P

F = fö

=

±

•

14 Fehlerrechnung und Bilden von Mittelwerten

23

14.7 A u s g l e i c h u n g von d i r e k t e n B e o b a c h t u n g e n m i t e i n e r S u m m e n b e d i n g u n g . Oftmals müssen die ausgeglichenen Werte mehrerer Messungen L{ einer mathematischen Bedingung genügen, z. B. muß die Summe der den Horizont füllenden Winkel 400" betragen, und eine Nivellementsschleife, die zum Ausgangspunkt zurückgeführt wird, muß mit Null abschließen. Für die Ausgleichung solcher Messungen ergibt das Prinzip des allgemeinen arithmetischen Mittels folgenden Weg: Ist S der Sollwert und [L] die Summe aus den Ergebnissen der n die Summe bildenden Messungen, so wird der Widerspruch w = [L] — S bei lauter gleichgewichtigen Messungen auf alle Einzelmessungen zu gleichen Teilen verteilt. Die mittl. Fehler einer ursprünglichen Messung L{ bzw. die einer ausgeglichenen Messung x { sind mi=±-^=yn

bzw.

mxi = ± m

i

y 1 1

5-,

n

(25)

Bei ungleichen Gewichten der Einzelmessungen dagegen wird der Widerspruch proportional zu den reziproken Gewichten 1 Jp{ verteilt. Die mittl. Fehler einer ursprünglichen Messung vom Gewicht 1 bzw. die einer ausgeglichenen Messung a;,- sind dann

±w.

(26)

1 4 . 8 B e r e c h n u n g m i t t l e r e r F e h l e r aus D o p p e l m e s s u n gen. Oftmals werden der Sicherheit halber n gleichartige Größen (Winkel, Strecken, Höhenunterschiede, Flächeninhalte usw.) je zweimal mit gleicher Genauigkeit beobachtet. L( und ef seien die Beobachtungen und die wahren Fehler der ersten Serie, L\ und die der zweiten Serie. Beobachtung + wahrer Fehler ergeben laut Definition den wahren Wert einer Größe. Also muß sein Li +

= L'i + e'i oder

L{ — L\ = dt = — e f + e\ .

Mithin sind die d( = — e, + als die Differenzen L, — L\ bekannt. Werden die n möglichen Gleichungen für die dt zuerst quadriert, dann aufsummiert und schließlich durch n geteilt, so erhält man, weil wie in 14.4 die gemischten Glieder gegen Null gehen, -t—— = m2 + m - .

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1 Grundlagen

Da aber m und m', wenn beide Male nach dem gleichen Verfahren gemessen wird, als gleich angenommen werden können, erhält man bei gleichgewichtigen Messungen als mittl. Fehler einer einzelnen •> / dd Beobachtung m = ± 1/ (27) 2n als mittl. Fehler einer aus beiden j it~{dd Messungen gemittelten Beobachtung M = ± 1/ (28) Bei Messungen mit v e r s c h i e d e n e n Gewichten ist der mittlere Fehler einer Beobachtung vom Gewicht 1 m„ •

Ì

[ddp] (29) 2n Beim Nivellement ist das Gewicht, da der mittl. Fehler nach der Regel bei (11) mit der Wurzel aus der nivellierten Strecke wächst, gemäß (17) der Strecke umgekehrt proportional; also ist, wenn die Strecke r, heißt, p{ = 1/r,-. Für die Fehlerrechnung ergeben sich dann die in 75 (3) und (5) (S. 150) aus (29) und (26) abgeleiteten Formeln, die a. a. 0. durch ein Beispiel erläutert sind. 14.9 F e h l e r g r e n z e n u n d V e r t r a u e n s b e r e i c h . Die Fläche unter der Kurve Bild 2 repräsentiert die Gesamtheit aller aufgetretenen Fehler. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung einen Fehler zwischen den Grenzen e = a und e = b zu begehen, erhält man demnach durch Integration von 14 (1) zu b 0(e) = j = J

e-h"de.

(30)

Wählt man als Grenzen a = —• ujj. und b = + ujx, wobei u s ein Zahlenfaktor und fi der nach (4) für den Fall n oo gefundene theoretische Wert des mittl. Fehlers ist, so gewinnt man für bestimmte Werte Tabelle 1 von us die in der Tabelle 1 vermerkten Prozentsätze der Sicherheit 8 dafür, tt« s% daß die Beobachtungen in dem Vertrauensbereich 1 68,3 x ± us/x (31) 1,96 95 2 95,4 liegen. Nacli der letzten Zeile dieser Ta2,58 99 belle wird also der dreifache Wert von 3 99,7 ¡x nur in 0,3% aller Fälle überschritten.

14 Fehlerrechnung und Bilden von Mittelwerten

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Gestützt au! diese Erkenntnis und auf langjährige praktische Erfahrungen betrachten die Vermessungsverwaltungen den 3 bis 4-fachen Betrag des mittl. Fehlers der verschiedenen Messungsarten als Fehlergrenze und schreiben vor, daß Messungen, bei denen die jeweiligen Fehlergrenzen überschritten werden, wiederholt werden müssen (vgl. 26.2, 45.3, 75.3). Diese Vorschrift führt vielfach zu der Auffassung, daß ein Messungsergebnis, bei dem die Messungsunsicherheit den durch die Fehlergrenzen gesteckten Rahmen nicht überschreitet, als gesichert angesehen werden kann. Das trifft in dieser Allgemeinheit n i c h f z u . Aus der begrenzten Zahl der Messungen gewinnt man nämlich nicht den in (4) definierten theoretischen Wert /i des mittl. Fehlers, sondern z. B . nach (5) oder (29) lediglich den Näherungswert m. m aber ist um so ungenauer, je kleiner die Anzahl / der zur Berechnung von m verwandten überschüssigen Messungen ist. Die mathematische Statistik verzichtet daher auf den Begriff der Fehlergrenze und ermittelt s t a t t dessen den Vertrauensbereich für das Messungsergebnis, Tabelle 2 ausgehend von der Anzahl / der zur Berechnung von m benutzten Wert von t. für / überschüssigen Messungen. Hier8 = 95% 8 = 99% für steht die „Studentsche" Formel zur Verfügung, nach der die 1 12,71 63,66 Tabelle 2 berechnet ist. In diese 9,92 2 4,30 geht man ein mit / und findet 3,18 5,84 3 rechts daneben die Faktoren ts. 4 2,78 4,60 Der Erwartungswert oder wahre 2,57 4,03 5 Wert der Messungsgröße liegt 3,36 8 2,31 dann mit der im Kopf der Ta2,23 3,17 10 belle 2 angegebenen Sicherheit 2,85 2,09 20 in dem Vertrauensbereich 2,68 50 2,01 oo x ±