VEKTORGEOMETRIE: Introducción a los vectores reales en dos y tres dimensiones (Geometría diferencial) [1 ed.] 9789585601161

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VEKTORGEOMETRIE ERSTER BAND . DIE VEKTOREN

Introducción a los vectores reales en dos y tres dimensiones

Leonardo Solanilla Ch. Rubén Darío Gutiérrez P.

Ibagué, Colombia

VEKTORGEOMETRIE ERSTER BAND . DIE VEKTOREN

Leonardo Solanilla Ch. Rubén Darío Gutiérrez P.

Departamento de Matemáticas y Estadística Facultad de Ciencias Universidad del Tolima

© 2021

ISBN: 978-958-56011-6-1

Este libro ha sido diagramado por sus autores.

Todos los derechos reservados. Este libro no podrá ser reproducido, ni total ni parcialmente sin permiso escrito. Hecho el depósito legal.

En la sencillez y humildad de tu corazón se encuentran las semillas de una nueva humanidad. Iván D. Montoya Q.E.P.D. (Periódico Triunfadores)

92. Darum weg mit allen jenen Propheten, die den Christen predigen:“Friede, Friede”, und ist doch kein Friede. 93.Wohl möge es gehen allen den Propheten, die den Christen predigen: “Kreuz, Kreuz”, und ist doch kein Kreuz. 92. Que se vayan todos aquellos profetas que predican sobre Cristo: “Paz, paz”; y no hay paz. 93. Que vengan todos aquellos profetas que predican sobre Cristo: “Cruz, cruz”; y no hay cruz. Martín Lutero, 92 y 93 de sus 95 Tesis de Wittenberg (Disputatio pro declaratione virtutis indulgentiarum)

PREFACIO

Algunos eruditos creen adivinar a los vectores en un tratado perdido de Aristóteles y en la Mecánica de Herón de Alejandría (primer siglo después de Cristo). Las ideas detrás de los vectores también se dejan adivinar en los albores del Cálculo Infinitesimal, por ejemplo, en Roberval y Newton. A pesar de tales elucubraciones, los vectores propiamente dichos se deben remontar a ciertos cálculos con varias variables que datan de finales del siglo XVIII y comienzos del XIX. También se pueden relacionar –de manera más fácil– con las representaciones geométricas de los números complejos y los cuaterniones en la primera mitad del XIX. A tales propósitos están asociados los nombres de Gaspar Wessel, Jean Robert Argand, Carl Friedrich Gauss y William Rowan Hamilton. Peter Guthrie Tait, alumno de Hamilton, aplicó los cuaterniones al estudio de la electricidad y el magnetismo. En el paso definitivo y contundente, Hermann Grassmann concibe El cálculo de la extensión lineal o, más propiamente, Die lineale Ausdehnungslehre (1844). Con él pudo simplificar y automatizar

VI

PREFACIO

cómputos recurrentes en famosas obras de Lagrange y Laplace sobre Mecánica. Entre otras cosas, Grassmann generalizó sus ideas a arreglos de un número finito de dimensiones, usando incluso matrices. Sin embargo, los descubrimientos de Grassmann no tuvieron el impacto esperado (quizás por sus notaciones o su estilo, quizás por hecho de que era profesor de bachillerato, sin gran renombre científico). La obra de Grassmann no fue entendida sino hasta finales del siglo XIX. Uno de sus primeros adeptos fue nada menos que Giuseppe Peano, autor del Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnungslehre de H. Grassmann (1888). En los Estados Unidos, Benjamín Peirce, admirador de Hamilton, compone su Álgebra lineal asociativa en 1870, una obra de álgebra abstracta. En Física, el escocés James Clerk Maxwell, inspirado por Lord Kelvin, aplica las “ideas de los cuaterniones o doctrina de los vectores” en sus estudios de electricidad y magnetismo. De otro lado, William Kingdon Clifford, más admirador de Grassmann que de Hamilton, favorece los vectores sobre los cuaterniones en sus Elementos de dinámica de 1878. Allí se definen el producto escalar y el producto vectorial de vectores. Clifford muere muy joven augurando el futuro prometedor de los vectores. Los vectores elementales, como los conocemos hoy, se deben a Willard Gibbs, quien los ensayó con sus estudiantes en la Universidad de Yale. Edwin B. Wilson, alumno de Gibbs, publica un Análisis vectorial en 1901. Otras contribuciones importantes se deben a Jean Frenet, famoso por las fórmulas de Frenet-Serret que caracterizan las curvas en Geometría Diferencial. La batalla final en favor de los vectores sobre los cuaterniones la dio Oliver Heaviside, quien introdujo las teorías

VII

de Maxwell en Alemania. Muchos libros de texto en alemán vieron entonces la luz. La teoría se propagó pronto a Rusia y a Holanda. Recomendamos asimismo cuatro textos introductorios a los vectores, todos en castellano: • Espacios vectoriales y geometría analítica (1968) del famoso maestro español Luis Antonio Santaló Sors, exiliado en la Argentina. • Geometría vectorial. Introducción intuitiva al Álgebra lineal (1968) del doctor Norberto Cuesta Dutari, de la Universidad de Salamanca. • Geometría vectorial y analítica. Una introducción al álgebra lineal (2009) de los profesores Alberto Jaramillo A. y Grimaldo Oleas L., de la Universidad de Antioquia en Medellín. • Geometría vectorial y analítica. Una introducción al Álgebra Lineal (2012) de Abraham Asmar Charris, Patricia Restrepo de Vélez, Rosa Franco Arbeláez y Fernado Vargas Hernández, de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín. Los dos últimos muestran que el interés por la Geometría Vectorial ha renacido en nuestro país, sobre todo en el Departamento de Antioquia. No obstante, este texto quiere rescatar los vectores que soñó Grassmann. Ellos son los verdaderos vectores que conducen a la sencillez y complejidad del Álgebra Lineal. A propósito, los franceses –léase bourbakistas– identifican prácticamente a la geometría euclidiana con el estudio de los espacios afines reales de dimensión finita en el bachillerato y los primeros ciclos universitarios. Al respecto, la sola estructura de espacio vectorial no es –por ella sola– suficiente como sistema axiomático de la geometría elemental,

VIII

PREFACIO

como tampoco lo es para el Análisis. Es preciso enriquecerla con otras estructuras. Claro está, el espacio vectorial es el corazón u órgano más importante, pero se hace necesario agregar la noción de espacio afín y la noción de espacio con producto interior para recuperar todos los resultados del maestro Euclides. Al respecto, remitimos el lector a la interesante reflexión matemática y didáctica contenida en Dieudonné (1964) (sí, se trata del famoso y beligerante miembro del grupo Bourbaki). Hoy por hoy, estas reflexiones yacen olvidadas en el alma matemática y, en la opinión de muchos, la Geometría Vectorial es simplemente una colección casi trivial de algoritmos en coordenadas cartesianas. El problema radica en que algunos matemáticos se han acostumbrado a dotar a los espacios vectoriales con más propiedades que las que realmente contienen. Esperamos que este librito contribuya en algo a aclarar todas estas cuestiones, las cuales, por cierto, iluminan y brillan con gran altura los mencionados textos de los maestros Santaló (1968) y Cuesta (1968). Leonardo Solanilla Ch. Rubén Darío Gutiérrez P. Ibagué, octubre de 2018

IX

Hermann Graßmann (1809-1887).

ÍNDICE

PREFACIO

GENERAL

V

ÍNDICE GENERAL

XI

ÍNDICE DE FIGURAS INTRODUCCIÓN

XVI

1

I

INTUICIÓN DE LOS VECTORES

1

P S E U D OV E C TO R E S Y V E C TO R E S P L A N O S 1.1. Pseudovectores

5

7

1.2. Equivalencia de pseudovectores 1.3. Vectores Ejercicios 2

6

8

10

12

OPERACIONES CON VECTORES PLANOS 2.1. Escalamiento de un vector

14

13

XII

ÍNDICE GENERAL

2.2. Suma de vectores 2.3. Compatibilidad Ejercicios 3

16 18

19

PROYECCIÓN ORTOGONAL Y PRODUCTO INTERIOR 3.1. Proyección ortogonal de un vector sobre otro 3.2. Producto interior 3.3. Propiedades Ejercicios

4

23

25

ÁREA Y PRODUCTO EXTERIOR

4.2. Producto exterior 4.3. Propiedades Ejercicios BASES

27 27

28

30

33 34

5.1. Independencia lineal 5.2. Bases, dimensión

35

37

5.3. Productos punto y cruz Ejercicios

21

23

4.1. Área de un paralelogramo

5

20

39

40

II

PODER DE LOS VECTORES

6

PRIMEROS TEOREMAS

41

42

6.1. Perpendicularidad de las bisectrices de ángulos adyacentes suplementarios

43

6.2. Bisección de las diagonales de un paralelogramo

44

ÍNDICE GENERAL

XIII

6.3. Teorema del ángulo inscrito Ejercicios

7

47

T R I G O N O M E T R Í A P L A N A , E L “ E S PA C I O ” 7.1. Resolución de triángulos

7.3. Producto triple Ejercicios

56

8.1. Identidad de Gibbs

8.3. Fórmulas de Bessel

58

59

8.2. Identidad de Lagrange

9

52

55

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

Ejercicios

48

49

7.2. Geometría del “espacio”

8

45

61

61

64

M O T I VA C I Ó N D E G E O M E T R Í A P R O Y E C T I VA 1 9.1. Noción de recta proyectiva 9.2. Teorema de Ceva

67

70

9.3. Teorema de Menelao Ejercicios

66

74

75

1 0 M O T I VA C I Ó N D E G E O M E T R Í A P R O Y E C T I VA 2

77

10.1. Cuadriláteros proyectivos y cuaterna armónica 10.2. Invarianza de la razón doble

79

10.3. Movimientos en la recta proyectiva Ejercicios

84

81

78

XIV

ÍNDICE GENERAL

III FORMALIZACIÓN DE LOS VECTORES 1 1 E S PA C I O S V E C T O R I A L E S R E A L E S

86

87

11.1. Estructura de espacio vectorial 11.2. Primeras consecuencias

90

11.3. Existencia de muchas bases Ejercicios

88

92

94

1 2 E S PA C I O S V E C T O R I A L E S C O N P R O D U C T O I N T E R I O R 12.1. Producto interior

97

12.2. Cauchy-Schwarz y ángulo

98

12.3. Gram–Schmidt y bases canónicas Ejercicios

101

1 3 E S PA C I O S A F I N E S Y M É T R I C O S 13.1. Espacios afines

103

104

13.2. Espacios métricos

105

13.3. Coordenadas cartesianas Ejercicios

106

108

1 4 R E C TA S A B S T R AC TA S E N E L P L A N O 14.1. Rectas, encuentro de rectas

109 109

14.2. Ecuación cartesiana de la recta 14.3. Rectas métricas Ejercicios

100

114

116

1 5 R E C T A S Y P L A N O S E N E L E S PA C I O 15.1. Rectas en el espacio

119

15.2. Planos en el espacio

121

119

112

96

ÍNDICE GENERAL

XV

15.3. Ángulos en el espacio Ejercicios

123

125

A P É N D I C E S 127 A

SECCIONES CÓNICAS

128

A.1. Circunferencia, esfera, cono

129

A.2. Secciones o cortes de un cono

131

A.3. Caracterización de las (secciones) cónicas B

C Ó N I C A S E N C U A N T O C U R VA S P L A N A S B.1. Ejes de simetría

134

138

138

B.2. Definiciones comunes

145

B.3. Ecuaciones cartesianas

146

C C U R VA S D E S E G U N D O G R A D O E N E L P L A N O

149

C.1. Cambio de coordenadas, curvas degeneradas C.2. Dos simplificaciones

152

C.3. Discriminante de una cónica BIBLIOGRAFÍA

156

ÍNDICE ALFABÉTICO

158

154

150

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN

DE FIGURAS

1

I

INTUICIÓN DE LOS VECTORES

1

P S E U D OV E C TO R E S Y V E C TO R E S

6 6

1.1. Pseudovector nulo (C, C) y pseudovector no nulo (A, B) 1.2. (A, B) ≡ (A0 , B0 ) y (C, D) ≡ (C 0 , D 0 )

9

1.3. Todas las flechas representan al mismo vector 1.4. Vectores referidos a un origen O

2

7

11

12

OPERACIONES CON VECTORES PLANOS

2.1. Escalamientos del pseudovector (O, A)

13 14

2.2. Independencia de la elección de (O, A)

15

2.3. “Ley del triángulo o del paralelogramo”

16

2.4. Independencia de la selección de los pseudovectores 2.5. Propiedad asociativa de la suma de vectores

17

17

ÍNDICE DE FIGURAS

3

XVII

PROYECCIÓN ORTOGONAL Y PRODUCTO INTERIOR

3.1. θ es el ángulo geométrico entre los vectores 3.2. La proyección ortogonal es la longitud de OA0 3.3. Proyección ortogonal negativa

20

21 22

22

3.4. “Lema de la proyección ortogonal para la suma de vectores”

24

3.5. “Lema de la proyección ortogonal para el producto por escalar”

4

25

ÁREA Y PRODUCTO EXTERIOR

4.1. A = b · h

27

28

4.2. “Regla de la mano derecha”

30

4.3. Producto exterior de dos vectores planos

30

4.4. Relación de las áreas - suma de vectores

31

4.5. Relación de las áreas - producto por escalar a > 0 4.6. Otra situación para la distributividad

5

BASES

32

33

34

5.1. Generación de un vector plano a partir de dos vectores linealmente independientes. Por el punto X se trazan paralelas a las rectas (generadas) por los vectores (Postulado 5 de Euclides)

36

5.2. Generación del mismo vector con otro par de vectores linealmente independientes

37

5.3. Generación del vector en una base ortogonal

38

XVIII

ÍNDICE DE FIGURAS

II

PODER DE LOS VECTORES

6

PRIMEROS TEOREMAS

42

42

6.1. Bisectrices de ángulos adyacentes suplementarios 6.2. Diagonales de un paralelogramo 6.3. Ángulo inscrito y ángulo central

44 45

6.4. Triángulo inscrito en una semicircunferencia

7

T R I G O N O M E T R Í A P L A N A , E L “ E S PA C I O ”

7.1. Ley del coseno y ley del seno 7.2. Seno y coseno de α − β

9

48

51

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

8.1. Triángulo esférico

47

50

7.3. Significado del producto triple

8

43

56

58

62

M O T I VA C I Ó N D E L A G E O M E T R Í A P R O Y E C T I VA 1

9.1. Rayos de luz, lienzo y ojo

66

67

9.2. Rectas emanadas y puntos de L 9.3. Teorema de Ceva (concurrencia)

68 71

9.4. Teorema de Ceva (rectas paralelas, concurrencia en el infinito)

73

9.5. Teorema de Menelao

10

74

M O T I VA C I Ó N D E L A G E O M E T R Í A P R O Y E C T I VA 2

10.1. Cuadrivértice o cuadrilátero completo

77

79

10.2. Le birapport est invariant par projection centrale

80

ÍNDICE DE FIGURAS

XIX

10.3. Proyecciones centrales π, $ : L → L 10.4. Proyectividad de L sobre L0

82

83

II

FORMALIZACIÓN DE LOS VECTORES

87

11

E S PA C I O S V E C T O R I A L E S R E A L E S

12

E S PA C I O S V E C T O R I A L E S C O N P R O D U C T O I N T E R I O R

87

12.1. Representación del espacio tridimensional

13

E S PA C I O S A F I N E S Y M É T R I C O S

96

97

103

13.1. Distancia en el plano euclidiano

14

R E C TA S A B S T R AC TA S E N E L P L A N O

15

R E C T A S Y P L A N O S E N E L E S PA C I O

106

109

119

A P É N D I C E S 127

A SECCIONES CÓNICAS

128

Cono de revolución o cono circular recto Vista lateral del cono

130

131

Edición medieval de las Cónicas de Apolonio, corregida y reconstruida

132

Vista lateral del cono con un plano secante Intuición de las cónicas

134

133

XX

ÍNDICE DE FIGURAS

Esfera de Dandelin

135

B C Ó N I C A S E N C U A N T O C U R VA S P L A N A S

138

Eje de simetría, vértice y latus rectum 139 Vértices, focos y directrices de una hipérbola Otro foco, otra directriz

142

143

Vértices, focos y directrices de una elipse

145

C C U R VA S D E S E G U N D O G R A D O E N E L P L A N O BIBLIOGRAFÍA

156

149

INTRODUCCIÓN

[...] Dass dadurch wieder eine Strecke entsteht, ist schon in §18 gezeigt, dass sie der ersteren gleich sei, folgt durch dieselben Formeln wie in §16 am Schlusse. Nämlich ist [αβ] die ursprüngliche Strecke, und [αα 0 ] = [ββ 0 ], so ist [α 0 β 0 ] = [α 0 α] + [αβ] + [ββ 0 ] = [αβ], da sich nämlich [α 0 α] und [ββ 0 ] als entgegengesetzte bei der Addition aufheben. H. Grassmann, Die lineale Ausdehnungslehre (1844), §19. È stato dimostrato che se i vettori I e J non coincidono, ogni altro vettore K (del piano) si può mettere sotto la forma (1)

K = xI + yJ.

I numeri x ed y diconsi le coordinate del vettore K rispetto ai vettori di riferimento I e J. Moltiplicando l’equazione precedente per J e per I si ricava, dopo aver diviso per IJ: (2)

x=

KJ KI , y= . IJ IJ

Giuseppe Peano, Calcolo geometrico (1888).

2

INTRODUCCIÓN

En este curso, los vectores son lo que les corresponde por su historia y por el estatuto propio de las Matemáticas: un lenguaje (un sistema de signos humanos, muy visual por cierto) para escribir con sencillez y elegancia relaciones en espacios de varias dimensiones, de tal suerte que lo que ellos (los vectores) nos dicen permanece invariante bajo ciertas transformaciones imprescindibles para la Geometría, el Análisis y la Física. Para cumplir con este gran desafío hemos dividido esta obrita en tres partes o momentos: la intuición de los vectores, el poder de los vectores y la formalización de los vectores. El primer momento tiene el objetivo de desarrollar rápidamente una noción intuitiva de vector como una suerte de flecha, con la cual podamos demostrar muchos hechos geométricos. En especial, nos interesa poder demostrar la mayor cantidad de teoremas de la Geometría Euclidiana, ya conocida por los estudiantes de este curso en la Universidad del Tolima. Esto incluye la intuición del producto de un vector por un escalar, la suma de vectores por la ley del paralelogramo, el producto interior y el producto exterior de vectores planos. Algo alcanzamos a decir, también, sobre bases y dimensión de un espacio de vectores. La segunda parte, o segundo momento, quiere enseñar al estudiante a usar los vectores intuitivos aprendidos antes. Y las aplicaciones de ellos son muchas más de las que podemos dar en el espacio limitado de este libro. Ellas incluyen aquí la demostración sencilla de variados teoremas de la Geometría Euclidiana plana, la Trigonometría plana y esférica, con una introducción a las tres dimensiones reales, desde luego. Para ello, se introduce el producto triple y las

3

identidades de Gibbs y Lagrange. Para el profesor es importante mencionar que, en lo que se pueda, las pruebas deben hacerse sin referencia a un sistema coordenado particular, de suerte que sean válidas bajo el grupo más grande de transformaciones posible. Claro, las coordenadas cartesianas rectangulares también deben enseñarse. Los estudiantes deben ser advertidos sobre el alcance de sus propios cálculos y demostraciones. Además, hemos agregado dos capítulos sobre hechos básicos de la Geometría Proyectiva real, en los cuales es crucial el uso de los vectores. Según las necesidades de la carrera, estos dos capítulos se podrían cambiar por aplicaciones a la Física, por ejemplo. Finalmente, se aborda el asunto de la formalización de los vectores reales en dos y tres dimensiones: la estructura de espacio vectorial, la estructura de espacio con producto interior y el concepto correspondiente de distancia, y la noción de espacio afín. Para algunos reconocidos matemáticos, ésta última no es necesaria, lo cual conlleva a agregar cierta manera de trabajar con los puntos de cierto espacio. Como este texto es de enseñanza, defendemos la noción de espacio afín, pues ella aclara explícitamente a los estudiantes la diferencia entre los puntos de un espacio euclidiano y los vectores (invariantes). A este respecto, nuestra presentación sigue un orden histórico: el paso de los pseudovectores a los vectores produce el olvido de los puntos y la noción de espacio afín asociado a un espacio vectorial sirve para recordar dichos puntos olvidados. En algunos otros textos se relata esto de manera contraria, o sea, el espacio afín sirve para olvidar los puntos. Esta manera de ver las cosas es equivalente a la nuestra, aunque parte del formalismo actual,

4

INTRODUCCIÓN

no de la historia misma de las matemáticas. Terminamos el libro con el estudio formal de las rectas y los planos en los espacios de dos y tres dimensiones. Hasta aquí lo que Dieudonné llama “pensamiento lineal”. A manera de cierre o conclusión, hemos puesto tres apéndices sobre las secciones cónicas, para que sirvan de motivación e introducción a la Geometría Analítica. Agradecemos a todos los que se nos unen en esta aventura por la tierra fecunda de los vectores. Como siempre, damos especiales gracias, en primer lugar, al profesor doctor Arnold Oostra, quien ha detectado las frecuentes imperfecciones e inexactidudes del primer manuscrito, amén de otras importantes observaciones. Todas sus recomendaciones han sido atendidas y, si queda alguna imprecisión, ella deberá achacarse a la terquedad de los autores. Muchas gracias también para los estudiantes de Matemáticas de la Universidad del Tolima, quienes han soportado con valor y buena disposición las distintas pruebas de imprenta de este libro durante los últimos años.

I INTUICIÓN

DE LOS

VECTORES

Como todos los conceptos geométricos, los vectores han sido en un principio tomados de manera intuitiva de la naturaleza. Se desarrolló con ellos un cálculo útil a la física y también a la geometría. Luis A. Santaló en Espacios vectoriales y geometría analítica

CAPÍTULO

P S E U D OV E C TO R E S

1

Y

VECTORES PLANOS

Los vectores han emergido muy despacio en las Matemáticas. Surgieron primero como herramientas prácticas de cálculo en Física y Geometría. Más tarde fueron axiomatizados dentro del Álgebra Lineal, una parte de las Matemáticas que se entiende mejor después de un curso de Geometría Vectorial. Por el momento, no nos preocuparemos por dicha formalización y simplemente nos concentraremos en dibujar correctamente algunas figuras planas al modo euclidiano.

1.1

7

P S E U D OV E C TO R E S

1.1

P S E U D OV E C TO R E S

C

OMO EL LECTOR

ya ha estudiado la Geometría Euclidiana, saca-

mos provecho de los puntos y los segmentos del plano eucli-

diano, con sus cinco postulados. Un pseudovector real bidimensional es una pareja ordenada de puntos del plano euclidiano. El primer punto se llama origen o cola y el segundo, extremo, flecha o punta. El prefijo grecolatino pseudo- indica que no es todavía un vector y la palabra “vector” proviene el verbo latino veho, vexi, vectum, llevar. O sea, el origen se lleva al extremo, tal como en un desplazamiento o traslación física. En concordancia, los pseudovectores se representan gráficamente como flechas o segmentos orientados. Dado un pseudovector (A, B), A es el origen y B es el extremo. Lo dibujamos como en la Figura 1.1. Los pseudovectores nulos son aquellos en los cuales el origen coincide con el extremo, o sea, aquellos de la forma (C, C). Tales pseudovectores se dibujan simplemente como el punto C.

F IGURA 1.1 – Pseudovector nulo (C, C) y pseudovector no nulo (A, B).

A cada pseudovector no nulo se le pueden asignar tres características inherentes, a saber: • Una dirección, formada por la colección de todas las rectas paralelas a la recta determinada por los puntos A y B (primer postulado

8

1.

P S E U D OV E C TO R E S Y V E C TO R E S P L A N O S

de Euclides).1 • Un sentido u orientación (para estas rectas), que distingue al pseudovector (A, B) del pseudovector (B, A). • Una magnitud igual a la longitud del segmento AB. Los pseudovectores nulos carecen de dirección y sentido, pero tienen longitud igual a cero (número real). Los pseudovectores reales del plano son “demasiados en número” y no dejan revelar su utilidad para el estudio de la geometría del plano. Además, tienen un problema insalvable: están fijos a su origen y a su extremo (no son invariantes bajo traslaciones). Esto representa también una dificultad si queremos definir operaciones con ellos, ya que dos de ellos no son siempre “adyacentes”, o sea no se pueden poner uno junto al otro. Por ello, debemos clasificarlos o meterlos en clases, según sus características, para poder “sumarlos”, por ejemplo.

1.2

E Q U I VA L E N C I A D E P S E U D O V E C T O R E S

D

OS PSEUDOVECTORES SON EQUIVALENTES

si bien ambos son nulos; o

bien ambos no son nulos, contenidos en rectas paralelas con el

mismo sentido y la misma magnitud. Es decir, los dos tienen la misma dirección, orientación y magnitud. Esta relación entre los pseudovectores se puede caracterizar en diferentes términos con ayuda de la Geometría Euclidiana.

1 Esta noción de dirección es diferente de la que se usa a veces en la Geometría

Euclidiana. Hay que tener cuidado y distinguir los dos conceptos. En este libro solamente usamos la noción definida en esta página.

1.2

E Q U I VA L E N C I A D E P S E U D O V E C T O R E S

9

P ROPOSICIÓN 1 – Sean dos pseudovectores reales planos (A, B) y (A0 , B0 ). Las tres afirmaciones siguientes son equivalentes para ellos: • (A, B) y (A0 , B0 ) son equivalentes. • La lista o enumeración de puntos A, B, B0 , A0 provee los vértices de un paralelogramo de manera que A sigue a A0 . El paralelogramo puede ser no degenerado (no contenido en una recta) o degenerado (contenido en una recta). • Los segmentos AB0 y BA0 son las diagonales de un paralelogramo (degenerado o no), o sea, se cortan en sus puntos medios.

La demostración de estos hechos se desprende de la teoría euclidiana de los paralelogramos y se deja como ejercicio. La equivalencia de los pseudovectores (A, B) y (A0 , B0 ) se denota como (A, B) ≡ (A0 , B0 ). La Figura 1.2 ilustra dos casos distinguidos de equivalencia de pseudovectores. Ella posee las propiedades que se suelen atribuir a su nombre.

F IGURA 1.2 – (A, B) ≡ (A0 , B0 ) y (C, D) ≡ (C 0 , D 0 ).

P ROPOSICIÓN 2 – La equivalencia de pseudovectores es reflexiva, simétrica y transitiva.

10

1.

P S E U D OV E C TO R E S Y V E C TO R E S P L A N O S

Estas propiedades son cruciales para la clasificación que buscamos para los pseudovectores.

1.3

VECTORES

U

N VECTOR REAL BIDIMENSIONAL

es una clase de equivalencia de

pseudovectores reales bidimensionales planos. En otras pala-

bras, fijado un pseudovector, se obtiene el vector formado de todos los pseudovectores equivalentes al susodicho pseudovector. El vec−−→ tor obtenido del pseudovector (A, B) se denota como AB 2 . Dicho aún de otra manera, −−→  0 0 AB = (A , B ) | (A0 , B0 ) ≡ (A, B) . En particular, el vector (real bidimensional) nulo es la clase de equivalencia de todos los pseudovectores (reales bidimensionales) nulos. Por las propiedades de la relación ≡ en la Proposición 2, cada pseudovector está en uno y solo un vector. Así, la unión de todos los vectores es igual a todos los pseudovectores. También, dos vectores distintos son siempre disyuntos. A diferencia de los pseudovectores, que están atados a puntos específicos del plano, los vectores contienen todas las posibilidades pertinentes de origen y extremo para cierto pseudovector. Por ello se interpreta que los vectores son libres de moverse por todo el plano, mientras que los pseudovectores permanecen encarcelados entre su origen y su extremo. Por esta interpretación, dibujamos los vectores 2 De nuevo, algunas notaciones de la Geometría Euclidiana no valen en Geo-

−−→ metría Vectorial, por ejemplo, en este libro AB es un vector y no la semirrecta emanada de A que pasa por B.

1.3

VECTORES

11

como pseudovectores, pero con una diferencia fundamental: su cola u origen puede estar en cualquier punto del plano. La Figura 1.3 pretende ilustrar las maneras de dibujar un mismo vector.

F IGURA 1.3 – Todas las flechas representan al mismo vector.

También se puede decir que los vectores se obtienen de los pseudovectores “olvidando los puntos que los encierran”. Las propiedades que estudiemos de los vectores deben ser independientes del pseudovector particular que escojamos dentro de un vector. O sea, dichas propiedades se deben cumplir sin importar el pseudovector particular que se elija para verificarlas. Para tener una visión global de todos los vectores planos y, a la vez, hacer los dibujos más sencillos, se acostumbra elegir un punto O cualquiera, desde donde se trazan los representantes de cada vector o clase de pseudovectores. Dicho punto se llama origen y en él se encuentran los orígenes de todos los pseudovectores que representan a los vectores. La elección de O es irrelevante por definición de vector. En la Figura 1.4 se muestra un bosquejo de esta −−−→ representación. Elegido un origen O, el vector OA se denotará de → − → − ahora en adelante sencillamente como A . O es el vector nulo. Esto simplifica mucho la escritura. En términos físicos, los pseudovectores indican la posición de un

12

1.

P S E U D OV E C TO R E S Y V E C TO R E S P L A N O S

punto con respecto a otro y los vectores indican desplazamientos o cambios de posición.

F IGURA 1.4 – Vectores referidos a un origen O.

EJERCICIOS

1.

Demuestre en detalle la Proposición 1.

2.

Proponga al menos otras tres condiciones equivalentes a aquellas que se dan en la Proposición 1. Ellas deberían ofrecer definiciones alternativas de equivalencia de vectores. (Ayuda: nuestro conocimiento de la teoría de los paralelogramos)

3.

Pruebe la Proposición 2.

4.

Use la Proposición 2 para demostrar que nuestra clasificación de los pseudovectores es buena. En concreto: a. la reunión de todos los vectores planos es –precisamente– la colección de todos los pseudovectores planos; b. si dos vectores planos son diferentes, entonces no tienen ningún pseudovector en común.

CAPÍTULO

OPERACIONES

2

CON

VECTORES PLANOS

La innovación más sobresaliente del lenguaje vectorial es su éxito para convertir razonamientos geométricos en manipulaciones algebraicas. Para ello, se vale de dos operaciones básicas: suma de vectores y producto por escalar, las cuales introducimos en este capítulo. Más adelante, en los capítulos posteriores, estudiaremos otras operaciones con vectores que sirven grandemente a la Geometría.

14

2.

2.1

S

OPERACIONES CON VECTORES PLANOS

ESCALAMIENTO DE UN VECTOR

→ − −−−→ A = OA , para un origen cualquiera O. Dado un → − número real o escalar a, se define un vector a A de la siguiente EA UN VECTOR

manera: −−−→ • Se elige un pseudovector (O, A) de OA . • Si a = 0 ∈ R, se pone a(O, A) = (O, O) (pseudovector nulo). Si a > 0 (a positivo) se define que a(O, A) tiene la misma dirección y sentido de (O, A) con magnitud igual a la multiplicación real a · `(OA), de a por la longitud del segmento OA. Si a < 0 (a negativo) a(O, A) tiene la misma dirección de (O, A) y su magnitud es igual producto (−a)·`(OA), pero su sentido es opuesto al de (O, A), o sea, tiene el sentido del pseudovector (A, O). Cuando O y A son distintos, a(O, A) yace siempre ← → en la recta OA. → − • a A es la clase de equivalencia de a(O, A). → − → − a A es el escalamiento de A por el escalar a. También diremos → − → − que a A es el producto del escalar1 a por el vector A . La Figura 2.1 pudiera ayudar a aclarar la intuición detrás de esta definición.

F IGURA 2.1 – Escalamientos del pseudovector (O, A).

Esta definición es correcta puesto que no depende del origen particular O, ni del pseudovector representante (O, A) escogido en 1 Del latín scalaris, ¯ propio de una escala o escalera.

2.1

15

ESCALAMIENTO DE UN VECTOR

→ − A . La Figura 2.2 no sólo sugiere, sino también contiene toda una larga redacción que prueba este hecho.

F IGURA 2.2 – Independencia de la elección de (O, A).

El producto de un escalar por un vector tiene las siguientes propiedades, que se pueden “demostrar” con ayuda de un dibujo parecido al anterior. • Compatibilidad con la multiplicación de números reales. Para dos escalares cualesquiera a, b ∈ R y un vector plano real bidimensio→ − nal cualquiera A , se cumple que → − → − a(b A ) = (ab) A . → − • Elemento identidad. Para cada vector plano A , → − → − 1A = A . → − −−−→ También se tiene que todo A = OA se anula al multiplicarse por → − → − 0 ∈ R, es decir, 0 A = O . De otro lado, la siguiente convención es muy útil para lo que sigue: −−−→ −−−→ −−−→ − OA := (−1) OA = AO .

16

2.

2.2

S

OPERACIONES CON VECTORES PLANOS

SUMA DE VECTORES

EAN DOS VECTORES

→ − −−−→ → − −−→ A = OA y B = OB . Su suma, denotada como

→ − → − A + B , es un vector que se construye como se explica a continua-

ción: → − • Se elige un pseudovector cualquiera (O, A) de A . → − • En la clase B se escoge el pseudovector con origen o cola en A, denotado aquí como (A, B). Con esto, se obtiene el pseudovector de O a B, es decir, (O, B). → − → − • A + B es la clase de equivalencia a la que pertenece (O, B). El procedimiento descrito se llama “ley del triángulo” o “ley del paralelogramo”, nombre justificado por la ilustración de la Figura 2.3.

F IGURA 2.3 – “Ley del triángulo o del paralelogramo”.

Claramente, cuando los vectores tienen la misma dirección, esta suma se reduce a la suma usual de números reales. Tal como con el producto por escalar, hay que comprobar que la definición de suma no depende de los representantes particulares → − → − tomados de A y B . Damos por sentado este asunto mediante la Figura 2.4.

2.2

17

SUMA DE VECTORES

F IGURA 2.4 – Independencia de la selección de los pseudovectores.

La suma de vectores posee las importantes propiedades siguientes: → − → − − → • Asociatividad. Dados tres vectores A , B y C , se tiene que → − → → − → − − − → − → ( A + B ) + C = A + ( B + C ). → − → − − → Con esto, la suma A + B + C de tres vectores tiene un único significado. Esta propiedad se entiende mirando con cuidado a la Figura 2.5.

F IGURA 2.5 – Propiedad asociativa de la suma de vectores.

18

2.

OPERACIONES CON VECTORES PLANOS

• Conmutatividad. Para cada par de vectores planos (reales → − → − bidimensionales) A y B , se tiene → − → − − → − → A + B = B + A. → − → − • Identidad aditiva. Sea A un vector plano cualquiera y sea O el vector nulo. Entonces, → − → − → − A + O = A. → − O también se llama (vector) cero. • Opuestos o inversos aditivos. Para cada vector plano real bidi→ − → − mensional A , existe un vector plano real bidimensional − A tal que → − → − → − A + (− A ) = O (vector nulo). En efecto, tomando origen O, −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ → − OA + (− OA ) = OA + AO = O . Es costumbre resumir estas cuatro propiedades diciendo que los vectores planos con la adición de vectores forman un grupo abeliano. La existencia de opuestos aditivos permite definir la resta de vectores mediante → − → → − − → − A − B := A + (− B ), → − → − para vectores cualesquiera A y B .

2.3

C O M PA T I B I L I D A D

H

AY, ADEMÁS , DOS PROPIEDADES

importantes que expresan la com-

patibilidad del producto de un vector por un escalar con la

suma de números reales y la suma de vectores:

2.3

19

C O M PA T I B I L I D A D

• Distributividad del producto por escalar con respecto a la suma → − de números reales. Sean a, b ∈ R y A un vector plano. Entonces, → − → − → − (a + b) A = a A + b A . • Distributividad del producto por escalar con respecto a la suma de vectores. Para todo escalar a ∈ R y todo par de vectores (planos → − → − reales bidimensionales, por el momento) A y B , se cumple que → − → → − − → − a( A + B ) = a A + a B .

EJERCICIOS

1.

Esboce algunos buenos dibujos para verificar la validez de las propiedades del producto de un vector por un escalar dadas al final de la Sección 2.1.

2.

Verifique con dibujos las propiedades de la suma de vectores que quedaron pendientes de comprobación (conmutatitividad, existencia de identidad y existencia de opuestos o inversos).

3.

Compruebe con la ayuda de algunos dibujos las propiedades de compatibilidad –o propiedades distributivas– del producto por escalar con la suma de reales y la suma de vectores.

CAPÍTULO

PROYECCIÓN

3

ORTOGONAL

Y PRODUCTO INTERIOR

Además de las operaciones básicas (suma y escalamiento), es útil introducir otras “operaciones” que automatizan procedimientos recurrentes en la Geometría Vectorial. Ellas provienen de cómputos que se repetían en muchas situaciones, los cuales terminaron finalmente sistematizándose como producto interior y producto exterior de dos vectores. En este capítulo estudiamos el producto interior (o producto escalar, o producto punto). Su razón y su utilidad yacen en la noción

3.1

PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN VECTOR SOBRE OTRO

21

de proyección ortogonal.

3.1

PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN VECTOR SOBRE OTRO

la magnitud (también llamada norma) de un vec→ − → − tor A con el símbolo | A |. El ángulo geométrico formado por dos → − → − vectores (distintos del vector nulo) A y B es el menor de los ángulos

D

ENOTAREMOS

que se forman cuando los vectores se refieren a un origen común O. Observemos que el ángulo θ puede tomar sólo valores entre 0◦ y 180◦ . La Figura 3.1 bosqueja este concepto de ángulo (geométrico).

F IGURA 3.1 – θ es el ángulo geométrico entre los vectores.

Emplearemos sin remordimiento algunos elementos de Trigonometría elemental, por ejemplo, las funciones trigonométricas seno y coseno. → − La proyección ortogonal del vector (no nulo) A sobre el vector → − (no nulo) B es el número real → − → → − − π( A ; B ) = | A | · cos θ, → − → − donde θ es el ángulo (geométrico) formado por A y B . Como el lector se puede dar cuenta mediante un ejemplo simple, en general se tiene que → − → − − → − → π( A ; B ) , π( B ; A ).

22

3.

PROYECCIÓN ORTOGONAL Y PRODUCTO INTERIOR

La igualdad de las proyecciones (ortogonales) se obtiene precisamente cuando → − → − | A | = | B |. → − → − La Figura 3.2 ilustra la proyección ortogonal π( A ; B ) y justifica su → − → − nombre: es la “parte o porción” de A en la dirección de B . La proyección puede ser negativa, tal como lo ilustra el caso dibujado en la Figura 3.3. → − → − Si alguno de los vectores A , B es nulo, se pone por definición → − → − − → − → π( A ; B ) = π( B ; A ) = 0 ∈ R.

F IGURA 3.2 – La proyección ortogonal es la longitud de OA0 .

F IGURA 3.3 – Proyección ortogonal negativa.

3.2

23

PRODUCTO INTERIOR

3.2

PRODUCTO INTERIOR

P

UES BIEN , EL PRODUCTO INTERIOR

→ − → − de A y B se denota con un punto

(notorio y grande) y de define mediante → − → → − → → − → − − → − − A • B = π( A ; B ) · | B | = | A | · | B | · cos θ,

→ − → − donde, como antes, θ es el ángulo entre A y B . Nótese que el resultado de este producto es un escalar (numero real). De aquí el nombre de producto escalar. → − → → − → − − Si alguno de los vectores A , B es nulo, A • B = 0.

3.3

E

P R O P I E DA D E S

L PRODUCTO

• de vectores reales bidimensionales posee algunas

propiedades características que lo hacen muy útil al momento

de su aplicación. → − → − • Conmutatividad. Para todo par de vectores planos A y B , → − → − − → − → A • B = B • A. • No negatividad. El producto interior de un vector por sí mismo es igual a la magnitud del vector al cuadrado y, por lo tanto, es una cantidad no negativa. Es decir, → − → − → − A • A = | A |2 ≥ 0, → − para todo vector plano A . El cero se obtiene únicamente para el vector nulo. • Distributividad o compatibilidad con la suma de vectores. Para → − → − − → vectores planos reales cualesquiera A , B y C , → − → − → − → − → − − → − → A •(B + C ) = A • B + A • C .

24

3.

PROYECCIÓN ORTOGONAL Y PRODUCTO INTERIOR

La demostración de esta propiedad se puede lograr con ayuda del llamado “lema de la proyección ortogonal para la suma”: − → − − → − → − → − → → − → π( B + C ; A ) = π( B ; A ) + π( C ; A ). Este hecho se entiende fácilmente reparando en la Figura 3.4.

F IGURA 3.4 – “Lema de la proyección ortogonal para la suma de vectores”.

De este modo, − → − → − → → − | B + C | cos α = | B | cos β + | C | cos γ. → − Después de multiplicar esta igualdad por | A |, obtenemos la distributividad buscada. • Homogeneidad o compatibilidad con el producto por escala→ − → − res. Si a ∈ R y A , B son vectores bidimensionales reales, entonces → − → − → → − − A • (a B ) = a · ( A • B ). Para demostrar este hecho apelamos al “lema de la proyección ortogonal para el producto por escalar”. Sea, por ejemplo, a > 0. Con la asistencia de la Figura 3.5, − − → − → → − → π(a B ; A ) = a · π( B ; A ). O sea, → − → − |a B | cos θ = a| B | cos θ.

3.3

25

P R O P I E DA D E S

→ − Para terminar, multiplicamos la igualdad por | A |.

F IGURA 3.5 – “Lema de la proyección ortogonal para el producto por escalar”.

Si contemplamos con cuidado lo que hemos hecho, descubriremos que estamos mezclando Geometría Euclidiana con ciertas operaciones puramente algebraicas. La motivación del producto interior a partir de la proyección ortogonal nos lleva a caracterizar la perpendicularidad como una condición algebraica. Dos vectores son ortogonales (o perpendiculares, ¡por esto no vale la pena discutir!) si ellos forman ángulo geométrico recto. → − → − • Criterio de ortogonalidad. Dos vectores A y B son ortogonales si y sólo si → − → − A • B = 0. En particular, el vector nulo es ortogonal a todos los vectores del plano.

EJERCICIOS

1.

Mediante un dibujo, dé un ejemplo en el cual se verifique que la proyección de un vector no nulo sobre un (otro) vector no nulo cambia cuando se conmutan los vectores.

26

3.

2.

PROYECCIÓN ORTOGONAL Y PRODUCTO INTERIOR

Verifique en detalle la conmutatividad y la no negatividad del producto interior de vectores planos.

3.

Compruebe la homogeneidad del producto interior cuando el escalar a es cero o negativo.

4.

Pruebe sin dibujar que − → − → − → − → − → − → − → (B + C )• A = B • A + C • A, → − → − − → para vectores planos arbitrarios A , B y C .

5.

→ − → − Demuestre sin dibujar que, para vectores cualesquiera A , B y b ∈ R (escalar cualquiera), se cumple → − → → − → − − (b A ) • B = b · ( A • B ).

6.

¿Cuáles resultados de la Geometría Euclidiana se requieren para demostrar el “lema de la proyección ortogonal para el producto por escalar”?

7.

Compruebe detalladamente la validez del criterio de ortogonalidad de vectores en términos del producto interior entre ellos.

CAPÍTULO

ÁREA

4

Y PRODUCTO

EXTERIOR

La otra operación que ayuda mucho al estudio la geometría del plano es el producto exterior. Como su nombre lo indica, se trata de una operación que se sale del plano, creando una dimensión nueva. Por ello, con él se inaugura propiamente la geometría del “espacio”.

4.1

Á R E A D E U N PA R A L E L O G R A M O

D

ADOS DOS VECTORES PLANOS REALES

→ − → − A y B no nulos que forman

ángulo geométrico θ, la diferencia de dirección entre ellos se

28

4.

ÁREA Y PRODUCTO EXTERIOR

define como → − → − δ( A ; B ) = sen θ. La diferencia de dirección de dos vectores es, en consecuencia, un número real entre 0 y 1 (recordemos que θ está entre 0 y 180◦ ). Los dos vectores tienen la misma dirección si y sólo si su diferencia o cambio de dirección es nulo. → − → − El área A del paralelogramo que determinan los vectores A y B es igual a su base por la altura, es decir, → − → → − → → − → − − − A = | A | · | B | · δ( A ; B ) = | A | · | B | · sen θ. Esta expresión se explica por la Figura 4.1. Naturalmente, en el caso interesante, θ , 0◦ , 180◦ (paralelogramo no degenerado).

F IGURA 4.1 – A = b · h.

4.2

E

PRODUCTO EXTERIOR

L PRODUCTO EXTERIOR DE DOS VECTORES PLANOS REALES

→ − → − A y B se de-

nota mediante → − → − A6B .

Por ello, también se acostumbra referirse a este producto como producto “cruz”. Pero, ¿qué es esto?

4.2

PRODUCTO EXTERIOR

29

El producto cruz de dos vectores es un vector completamente determinado por las siguientes características: • Su magnitud es igual al área encerrada por los vectores, o sea, → − → → − → − − | A 6 B | := A = | A | · | B | · sen θ. → − → − • Se trata de un vector ortogonal a los dos vectores dados A y B . Así, es perpendicular al plano de estos dos vectores. Su dirección es, en fin, la de una recta del espacio que es perpendicular al plano. • De las dos posibilidades que surgen para el sentido del producto exterior, se elige la que da la “regla de la mano derecha”. El dedo índice de la mano derecha apunta como la flecha del primer vector y el dedo corazón de la misma mano señala como la flecha del segundo vector; con esto, el dedo pulgar de la mano derecha indica el sentido del producto vectorial1 . El procedimiento descrito se ilustra en la Figura 4.2. Claramente, hay otras maneras de realizar la elección correcta del sentido, las cuales equivalen a la explicación anterior. En particular, recordamos el cuarto postulado de Euclides, entendido como la elección de un sentido de giro “absoluto” para el plano euclidiano. Con la ayuda de una representación plana de un hecho que sucede en el espacio, resumimos el procedimiento completo para el cómputo del producto exterior de dos vectores planos en la Figura 4.3. El producto exterior de dos vectores se llama también producto vectorial, puesto que el resultado de la operación es un vector. 1 Se hubiese podido elegir la mano izquierda, pero la mayoría de las personas son diestras.

30

4.

ÁREA Y PRODUCTO EXTERIOR

F IGURA 4.2 – “Regla de la mano derecha”.

F IGURA 4.3 – Producto exterior de dos vectores planos.

→ − → − → → − → − − Cuando A o B es nulo, A 6 B := O , el vector nulo del espacio, que se puede identificar con el vector nulo del plano, en cuanto elemento neutro de la suma.

4.3

E

P R O P I E DA D E S

L PRODUCTO

6 de vectores reales bidimensionales tiene las siguien-

tes propiedades. Ellas son muy significativas y útiles para la de-

mostración de teoremas de la Geometría Euclidiana.

4.3

31

P R O P I E DA D E S

→ − → − • Anticonmutatividad. Para todo par de vectores A y B del plano, → − → − − → − → A 6B = −B 6A . Se trata de una consecuencia inmediata de la “regla de la mano derecha”. • Aniquilación. → − → − → − A 6A = O , → − para todo vector plano A ; ya sea nulo, ya no. • Distributividad o compatibilidad con la suma de vectores. Para → − → − − → vectores bidimensionales reales cualesquiera A , B y C , → − → − → − → − → − − → − → A 6( B + C ) = A 6 B + A 6 C . Para la demostración de esta propiedad debemos considerar magnitud, dirección y sentido. La dirección y el sentido no ofrecen problema porque vienen dados por la perpendicularidad y la “mano derecha”. Para la magnitud nos ayudamos de la Figura 4.4.

F IGURA 4.4 – Relación de las áreas - suma de vectores.

En efecto, − → − → − → → − | B + C | sen α = hB+C = hB + hC = | B | sen β + | C | sen γ. → − La igualdad de las magnitudes se obtiene tras multiplicar por | A |.

32

4.

ÁREA Y PRODUCTO EXTERIOR

• Homogeneidad o compatibilidad con el producto por esca→ − → − lares. Dados dos vectores planos cualesquiera A , B y un escalar a ∈ R, → − → − → → − − A 6(a B ) = a( A 6 B ). De nuevo, la dirección y el sentido de los dos miembros de la igualdad coinciden. Para la magnitud, en el caso a > 0, mirando la Figura 4.5, −−→ → − | aB | sen θ = haB = ahB = a| B | sen θ. → − Para terminar, se multiplica por | A |.

F IGURA 4.5 – Relación de las áreas - producto por escalar a > 0.

• Criterio para el cambio de dirección. Dos vectores planos reales → − → − no nulos A y B tienen (o señalan) la misma dirección si y sólo si → − → − A 6 B = 0. Claramente, tienen la misma dirección si y sólo si el área que encierran es nula. En el próximo capítulo reelaboramos este criterio con mayor detenimiento dentro de la noción de dependencia lineal.

4.3

33

P R O P I E DA D E S

EJERCICIOS

1.

Compruebe detalladamente la anticonmutatividad y la aniquilación para el producto exterior de vectores planos.

2.

Verifique la validez de la propiedad distributiva → − → − → − → − → − − → − → A 6( B + C ) = A 6 B + A 6 C para los vectores de la Figura 4.6.

F IGURA 4.6 – Otra situación para la distributividad.

3.

→ − → − Para vectores planos cualesquiera A , B , pruebe sin dibujar que − → − → − → − → − → − → − → ( B + C )6 A = B 6 A + C 6 A ,

4.

Verifique la homogeneidad → − → − → → − − A 6(a B ) = a( A 6 B ) del producto 6 (cruz) en el caso en el que el escalar a es negativo o cero.

5.

→ − → − Para vectores cualesquiera A , B y un escalar arbitrario b ∈ R, verifique sin dibujar que → − → → − → − − (b A )6 B = b · ( A 6 B ).

6.

Convénzase de la validez del criterio de cambio de dirección para los vectores reales planos.

CAPÍTULO

5

BASES

Los vectores que hemos venido estudiando son planos o bidimensionales porque existen pares de ellos que “generan” todos los demás vectores. En este capítulo aprendemos que dicha “generación” ocurre por “combinaciones lineales”, un concepto central en el estudio de los vectores. Dos vectores pueden ser o no “linealmente independientes” y, cuando lo son, forman una “base del plano” real bidimensional.

5.1

35

INDEPENDENCIA LINEAL

5.1

S

INDEPENDENCIA LINEAL

EAN DOS VECTORES PLANOS REALES NO NULOS

−−→ −−→ B1 y B2 . Si tienen di-

recciones diferentes, su diferencia de dirección −−→ −−→ δ( B1 ; B2 ) , 0.

Recordemos lo dicho en el capítulo anterior: estos dos vectores tienen la misma dirección si y sólo si su cambio de dirección es nulo. En este caso, también tenemos − −−→ −−→ → B1 6 B2 , O . Aún de otra manera: el área del paralelogramo determinado por −−→ −−→ ellos no es nula. En fin, cuando esto sucede decimos que B1 y B2 son linealmente independientes. Esta condición también se puede definir por medio del producto por escalar. Los dos vectores son linealmente independientes si ninguno de ellos es un múltiplo escalar del otro. Esta caracterización tiene la ventaja de excluir inmediatamente el caso en que uno o los dos vectores son nulos. En verdad, si uno de ellos es nulo, basta multiplicar al otro por el escalar cero, para obtenerlo. Por esta razón, esta redacción se toma a menudo como definición de independencia lineal. Cada vez que encontremos dos vectores planos linealmente −−→ −−→ → − independientes B1 y B2 , se cumple que todo vector X del plano se puede escribir en la forma → − −−→ −−→ X = x1 B1 + x2 B2 ,

36

5.

BASES

para ciertos escalares x1 , x2 ∈ R. Se acostumbra leer esta expresión → − −−→ −−→ diciendo que X es una combinación lineal de B1 y B2 . También → − se puede decir que estos dos vectores generan a X . La Figura 5.1 sugiere una manera de entender este hecho.

F IGURA 5.1 – Generación de un vector plano a partir de dos vectores linealmente independientes. Por el punto X se trazan paralelas a las rectas (generadas) por los vectores (Postulado 5 de Euclides).

Naturalmente, el lector ya se habrá dado cuenta de que hay −−→ −−→ muchas maneras de elegir los vectores B1 y B2 . Cada vez que los cambiamos, obtenemos distintos valores para los escalares x1 y x2 que producen la combinación lineal. Para ilustrar este hecho, presentamos la Figura 5.2, donde hemos usado otro par de vectores linealmente independientes. Aún otra manera de enunciar la independencia lineal de dos −−→ −−→ vectores en nuestro plano: B1 y B2 son linealmente independientes si y solamente si la ecuación vectorial − −−→ −−→ → x1 B1 + x2 B2 = O , tiene solución única x1 = x2 = 0.

5.2

BASES, DIMENSIÓN

37

F IGURA 5.2 – Generación del mismo vector con otro par de vectores linealmente independientes.

5.2

BASES, DIMENSIÓN

D

OS VECTORES ,

como en la Figura 5.1 o la Figura 5.2, forman una

base para el plano. En verdad, ellos son verdaderos “ladrillos”

o “piezas fundamentales” que nos permiten construir cualquier otro vector real bidimensional mediante una combinación lineal. La manera correcta de recordar este concepto es como sigue. −−→ −−→ B1 y B2 forman una base del plano real si cumplen con las condiciones a continuación: −−→ −−→ • B1 y B2 son linealmente independientes, y → − • todo vector X del plano real se puede escribir como una com−−→ −−→ binación lineal de B1 y B2 . Hemos dicho muchas veces que los vectores son bidimensionales o que tienen dos dimensiones. Esta manera de hablar tiene que ver con el hecho de que las bases de nuestro plano tienen siempre dos elementos. El tratamiento formal del concepto de dimensión de un espacio de vectores es un tema más avanzado, que no se trata en

38

5.

BASES

este curso. El producto punto de vectores se vuelve muy útil cuando elegimos una base de vectores ortogonales. En este caso afortunado, los → − escalares x1 , x2 que expresan el vector X como combinación lineal de los vectores de la base son, sencillamente, las proyecciones ortogonales en el sentido de dichos vectores: −−→ −−→ → − → − −−→ B1 → − −−→ B2 X = π( X ; B1 ) −−→ + π( X ; B2 ) −−→ . | B1 | | B2 | Esta situación particular se ilustra en la Figura 5.3. Se dice también −−→ −−→ que B1 y B2 forman una base ortogonal del plano.

F IGURA 5.3 – Generación del vector en una base ortogonal.

Para simplificar la escritura, exigimos que los vectores de la base ortogonal sean unitarios. Con esta mejora, se obtiene que → − → − −−→ −−→ → − −−→ −−→ X = ( X • B1 ) B1 + ( X • B2 ) B2 . Cuando esto pasa, se dice que la base es ortonormal o canónica. Las bases canónicas son muy útiles para realizar cómputos con vectores, como lo veremos en la sección siguiente.

5.3

PRODUCTOS PUNTO Y CRUZ

39

−−→ Resumiendo, las condiciones para que una base formada por B1 −−→ y B2 sea una base ortonormal o canónica son: −−→ −−→ −−→ −−→ • | B1 | = | B2 | = 1 y • B1 • B2 = 0.

5.3

E

PRODUCTOS PUNTO Y CRUZ

→ − → − • de dos vectores X , Y toma una forma muy sencilla −−→ −−→ si expresamos estos factores en una base ortonormal B1 , B2 : L PRODUCTO

→ − −−→ −−→ X = x1 B1 + x2 B2 , → − −−→ −−→ Y = y1 B1 + y2 B2 . Como consecuencia de la propiedad distributiva del producto punto con la suma y las propiedades de la base canónica, → − → − X • Y = x1 y1 + x2 y2 . De una manera similar, el producto 6 de estos dos vectores está dado por → − → − −−→ X 6 Y = (x1 y2 − x2 y1 ) B3 , −−→ −−→ −−→ donde B3 = B1 6 B2 es un vector unitario perpendicular al plano de → − → − los vectores X , Y . Las propiedades de los vectores planos deberían ser, en lo posible, independientes de la base elegida para ellos. Por ello, es costumbre generalizada trabajar en una base canónica debido a la sencillez de los cálculos que se realizan con ella.

40

5.

BASES

EJERCICIOS

1.

Dibuje un par de vectores reales planos (no nulos) que sean linealmente independientes. Dibuje otros dos pares diferentes con esta misma propiedad.

2.

→ − Dibuje un vector cualquiera X en el plano y bosqueje cómo se expresaría como combinación lineal de cada uno de los

3.

tres pares de vectores del ejercicio anterior. −−→ −−→ Para una base ortonormal cualquiera B1 , B2 , pruebe en deta→ − → − lle que el producto escalar de dos vectores X , Y está dado por → − → − X • Y = x1 y1 + x2 y2 .

4.

→ − → − Para vectores planos reales cualesquiera X y Y , verifique la fórmula del producto vectorial en una base ortonormal → − → − −−→ X 6 Y = (x1 y2 − x2 y1 ) B3 .

5.

¿Cómo luce el producto escalar de dos vectores en una base cualquiera?

6.

¿Cómo se ve el producto vectorial de dos vectores planos en una base arbitraria?

II PODER

DE LOS VECTORES

Es absurdo e inhumano, y contra el obvio funcionamiento de nuestro entendimiento, proponer cálculos sin mostrar cómo surgen en los problemas intuitivos, o en los ya conocidos, y sin hacer vislumbrar siquiera a dónde nos llevan. Nuestra mente repugna ese tipo de enseñanza dogmática: al guía hay que seguirlo ciegamente. Norberto Cuesta en Geometría vectorial. Introducción intuitiva al Álgebra lineal

CAPÍTULO

PRIMEROS

6

TEOREMAS

En éste y en los próximos capítulos aplicaremos los vectores intuitivos que hemos aprendido al estudio de varios subcampos de la Geometría, en particular, a demostrar teoremas de la Geometría Euclidiana. Enseguida, en este capítulo, reencontramos algunos resultados conocidos sobre ciertas figuras geométricas. Observamos que tales resultados son independientes de la ubicación actual de los puntos en el plano, debido a nuestra definición de vector.

6.1

P E R P E N D I C U L A R I D A D D E L A S B I S E C T R I C E S D E Á N G U L O S A D YA C E N T E S

43

S U P L E M E N TA R I O S

6.1

P E R P E N D I C U L A R I DA D D E L A S B I S E C T R I C E S D E Á N G U L O S A D YA C E N T E S S U P L E M E N T A R I O S

L

A SITUACIÓN SE SIMPLIFICA

grandemente si consideramos vectores

de igual magnitud “anclados” en un origen O. Entre todos éstos,

elegimos dos sobre un diámetro y otro en una posición cualquiera. En → − → − − → la Figura 6.1, ellos se designan respectivamente como A , B y C . Sea r la magnitud común a ellos, es decir, el radio de la circunferencia asociada.

F IGURA 6.1 – Bisectrices de ángulos adyacentes suplementarios.

Notemos primero que el ángulo entre las bisectrices es precisamente el ángulo entre los vectores − → − → − → P =A+C y

→ − → − − → Q = B +C.

¿Por qué? (Recuerde la Geometría Euclidiana.) Con este propósito en mente, calculamos el producto punto − → − → → − → − → − → − → − → − − → P • Q = A • B + (A + B ) • C + C • C . Entonces se usa el hecho de que todos los vectores tienen mag→ − → − − → nitud r. También A + B = O , y así − → − → P • Q = −r 2 + r 2 = 0. Es decir, los vectores son ortogonales y las bisectrices perpendiculares.

44

6.

6.2

PRIMEROS TEOREMAS

B I S E C C I Ó N D E L A S D I A G O N A L E S D E U N PA R A L E L O G R A MO

D

ADO UN PARALELOGRAMO

OABC, buscamos determinar el punto

X donde se encuentran sus diagonales. Nos ayudamos de la → − → − Figura 6.2 y tomamos como base los vectores A y B (lados del paralelogramo).

F IGURA 6.2 – Diagonales de un paralelogramo.

El punto X de encuentro queda determinado por la ecuación vectorial −−→ → − −−−→ → − −−→ → − X = u OB = A + AX = A + v AC , para ciertos escalares –por determinar– u, v. Ahora, refiriendo todo a la base elegida, −−→ → − → − OB = A + B

y

−−→ → − → − AC = − A + B .

Por lo tanto, → − − → − → (−1 + u + v) A + (u − v) B = O . → − → − Como A y B son linealmente independientes, nos quedamos con el sistema lineal u+v = 1 u − v = 0.

6.3

TEOREMA DEL ÁNGULO INSCRITO

45

La solución es u = v = 1/2. Con esto termina la demostración. Con esta herramienta –proveída por el producto de un vector por un escalar–, el lector debería poder resolver muchos problemas. En particular, debería poder encontrar la ubicación del baricentro de un triángulo (Ejercicio 4). Ahora enfrentemos un resultado más exigente.

6.3

S

TEOREMA DEL ÁNGULO INSCRITO

EA UNA CIRCUNFERENCIA

de centro O y radio r. Sean dos puntos

fijos A, B en ella. Sea, además, un punto X, no necesariamente

fijo en la circunferencia. Nos referimos a la situación descrita en la Figura 6.3.

F IGURA 6.3 – Ángulo inscrito y ángulo central.

→ − → − Supongamos que los vectores A , B son linealmente independientes. Así, podemos escribir → − → − → − X = uA +vB, para ciertos escalares reales u, v. Nos interesa calcular del ángulo θ −−−→ −−→ entre los vectores XA , XB . Para ello necesitamos la tangente de θ.

46

6.

PRIMEROS TEOREMAS

Calculamos, de este modo, el seno y el coseno de este ángulo. O mejor: los productos cruz y punto de los dos vectores. De un lado, −−−→ −−→ −−−→ −−→ − → − → → − → − | XA || XB | sen θ = | XA 6 XB | = |(− X + A )6(− X + B )|. Esta cantidad es igual a → − → − → → − → − → → − − → − → − − → − → − | A 6 B − ( A − B )6 X | = | A 6 B − ( A − B )6(u A + v B )|. Por lo tanto, −−−→ −−→ → − → − | XA || XB | sen θ = |1 − u − v|| A 6 B |. → − → − Notamos que hemos expresado todos los vectores en la base A , B . De otro lado, de manera similar, −−−→ −−→ −−−→ −−→ − → − → → − → − | XA || XB | cos θ = XA • XB = (− X + A ) • (− X + B ). En consecuencia, esta cantidad es → − → − → → − → − → − → − → − − r 2 + A • B − ( A + B ) • (u A + v B ) = (1 − u − v)r 2 + (1 − u − v) A • B . Poniendo todo junto → − → − sen θ |A 6B | tan θ = =± → − → −. cos θ r2 + A • B Esta expresión sorprende porque no depende de la posición del punto X. Por lo tanto, el ángulo inscrito θ = ∠AXB está en función de la ubicación de los puntos fijos A, B, además del radio. Para determinar completamente la relación basta considerar una posición cualquiera de X, por ejemplo, en la bisectriz del ángulo central α = ∠AOB. En tal caso, y en el caso general, m(α) = 2 × m(θ). ¿Por qué?

6.3

TEOREMA DEL ÁNGULO INSCRITO

47

EJERCICIOS

1.

→ − → − ¿Por qué los vectores P y Q tienen las direcciones de las bisectrices de los ángulos suplementarios de la Figura 6.1?

2.

Dada una semicircunferencia, construimos un triángulo con dos vértices en los extremos del diámetro y con el otro vértice en un punto cualquiera de la semicircunferencia. Pruebe que dicho triángulo es rectángulo con ángulo recto sobre la semicircunferencia. Ver Figura 6.4.

F IGURA 6.4 – Triángulo inscrito en una semicircunferencia.

3.

Demuestre con vectores que la diagonales de un rombo se encuentran perpendicularmente.

4.

Las tres medianas de un triángulo se encuentran en un mismo punto, llamado baricentro del triángulo. Dicho punto está ubicado a 2/3 de cada mediana, medidos desde el vértice correspondiente.

5.

Las tres alturas de un triángulo se encuentran en un mismo punto u ortocentro del triángulo.

6.

En la Figura 6.3, suponga que X está en la bisectriz del ángulo central α. Demuestre que α es el doble del ángulo inscrito ∠AXB = θ.

CAPÍTULO

TRIGONOMETRÍA

7

PLANA, EL

“ E S PA C I O ”

Uno de los terrenos geométricos donde son más útiles los vectores es la Trigonometría. Algunos teoremas sobre los triángulos, cuyas demostraciones son muy largas e intrincadas en la Geometría Euclidiana, se dejan probar muy sencillamente cuando se usa el lenguaje vectorial. Veamos.

7.1

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

7.1

49

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

D

ADO UN TRIÁNGULO

4ABC, uno cualquiera de sus lados se inter-

preta vectorialmente como la suma de los otros dos.

Ley del coseno Con referencia a la Figura 7.1, consideramos el lado AB como el −−→ vector AB y, por lo tanto, −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ c2 = AB • AB = ( AC + CB ) • ( AC + CB ). Sin embargo, esto es igual a −−→ −−→ −−→ −−→ ( CB − CA ) • ( CB − CA ) = a2 + b2 − 2ab cos C. Esta es la conocida ley del coseno. De manera similar, se obtiene b2 = a2 + c2 − 2ac cos B y a2 = b2 + c2 − 2bc cos A. Como utilísimo corolario, obtenemos para los triángulos rectángulos el celebrado Teorema de Pitágoras: si C es recto, entonces c2 = a2 + b2 , el cuadrado de la hipotenusa (lado opuesto que subtiende el ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (piernas o lados restantes).

50

7.

TRIGONOMETRÍA PLANA, EL

“ E S PA C I O ”

F IGURA 7.1 – Ley del coseno y ley del seno.

Ley del seno De manera similar, con el producto cruz, se puede obtener otra famosa ley para el seno. Comencemos por observar que, de la definición de producto exterior (Figura 7.1), −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ AB 6 AC = BC 6 BA = CA 6 CB . Así, la magnitud de estos vectores es igual: bc sen A = ac sen B = ab sen C. De esta manera, al dividir entre abc, sen A sen B sen C 2 × área del 4ABC = = = . a b c abc Ésta es la ley del seno. La solutio triangulorum (solución de triángulos) es probablemente el problema más importante de la trigonometría plana. Consiste en determinar los ángulos y los lados de un triángulo a partir de un subconjunto mínimo de estos elementos. Las leyes del seno y del coseno son herramientas indispensables para la solución de los triángulos.

7.1

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

51

Fórmulas de adición para seno y coseno En una circunferencia unitaria, distinguimos dos de sus puntos por sendos ángulos α y β, tal como en la Figura 7.2. A dichos puntos → − → − corresponden entonces vectores A y B . Una vez referimos estos −−→ −−→ vectores a la base canónica pertinente B1 , B2 , obtenemos que → − −−→ −−→ A = cos α B1 + sen α B2 → − −−→ −−→ B = cos β B1 + sen β B2 .

F IGURA 7.2 – Seno y coseno de α − β.

El producto punto de estos vectores arroja: cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β. De forma análoga, la magnitud del producto cruz produce: sen(α − β) = sen α cos β − cos α sen β. Este par de expresiones se conocen como fórmulas de adición, para el coseno y el seno, respectivamente. La búsqueda de tales fórmulas se remonta a Ptolomeo, en la Grecia antigua, quien usaba

52

7.

TRIGONOMETRÍA PLANA, EL

“ E S PA C I O ”

cuerdas en lugar de ángulos. La notación actual tiene sus inicios en los estudios trigonométricos de los grandes matemáticos del Islam medieval. Puesto que el coseno es una función par (cos(−α) = cos α) y el seno una función impar (sen(−α) = − sen α), tenemos también las siguientes fórmulas generales: cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β, sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β.

7.2

GEOMETRÍA DEL

A

“ E S PA C I O ”

L ACEPTAR EL PRODUCTO EXTERIOR

para los vectores planos, he-

mos aceptado también la existencia de un espacio de “tres

dimensiones” en el cual caben tres vectores linealmente independientes. Si bien este libro no busca extenderse demasiado en tales vectores “tridimensionales”, sí queremos dar una introducción a ellos. Tenemos, en fin, para estos nuevos vectores del espacio, escalamiento y suma tal como antes. Las propiedades algebraicas de estas operaciones son las mismas que para los vectores del plano. También tenemos ahora los productos punto y cruz. Y aún mejor: el producto exterior de dos vectores del espacio es un vector del espacio (no se sale de él). Insistimos: la diferencia significativa para el manejo de los vectores del espacio es que existen tres vectores linealmente independientes, o sea, que apuntan en direcciones distintas. En concordancia, una base del espacio está formada por tres −−→ −−→ −−→ vectores linealmente independientes B1 , B2 y B3 . Asimismo, para → − cualquier vector X del espacio existen escalares (únicos) x1 , x2 , x3

7.2

GEOMETRÍA DEL

“ E S PA C I O ”

53

tales que → − −−→ −−→ −−→ X = x1 B1 + x2 B2 + x3 B3 . Es decir, cualquier vector del espacio se representa de manera única como una combinación lineal de los (tres) elementos de la base. Producto escalar

S

EAN DADOS DOS VECTORES

→ − → − X , Y del espacio referidos a una base

−−→ −−→ −−→ ortonormal B1 , B2 y B3 . Esto significa que     − → −→  1 si i = j, Bi • Bj = δij =     0 si i , j,

i, j ∈ {1, 2, 3}. El signo δij se suele llamar delta de Kronecker. Ahora, → − −−→ −−→ −−→ X = x1 B1 + x2 B2 + x3 B3 , → − −−→ −−→ −−→ Y = y1 B1 + y2 B2 + y3 B3 . Mutatis mutandis, se prueba tal como en el caso del plano que → − → − X • Y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 . Como dos vectores independientes generan un plano, también es posible interpretar el producto interior, punto o escalar en términos de la proyección ortogonal de un vector en el sentido del otro. Las propiedades de producto punto son las mismas que para los vectores planos. Producto vectorial El producto vectorial también se interpreta como en el Capítulo 4 y tiene las mismas propiedades. Notamos, en particular, que nuestra

54

7.

TRIGONOMETRÍA PLANA, EL

“ E S PA C I O ”

definición de producto cruz se generaliza sin problemas al espacio tridimensional porque dos vectores independientes producen un plano. En otras palabras, el producto de dos vectores en el espacio es un vector del espacio, perpendicular al plano de esos dos vectores, según la regla de la mano derecha y cuya magnitud es igual al área del palalegramo que ellos encierran. Para encontrar su valor en la base ortogonal tomada, aplicamos la propiedad distributiva a → − → − −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ X 6 Y = (x1 B1 + x2 B2 + x3 B3 )6(y1 B1 + y2 B2 + y3 B3 ). Para ello, hay que tener en cuenta las propiedades del producto cruz y elegir la base de tal suerte que −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ B1 6 B2 = B3 , B2 6 B3 = B1 , B3 6 B1 = B2 . Con todo esto, se halla que → − → − −−→ −−→ −−→ X 6 Y = (x2 y3 − x3 y2 ) B1 − (x1 y3 − x3 y1 ) B2 + (x1 y2 − x2 y1 ) B3 . Para recordar el resultado se usa la notación −→ −−→ −−→ − B1 B2 B3 → − → − X 6 Y = x1 x2 x3 . y y2 y3 1 La mnemotecnia consiste en tomar cada vector básico, eliminar su fila y su columna para luego multiplicar en cruz lo que queda en −−→ este arreglo. Pero cuidado: para B2 se debe cambiar el signo de tal operación.

7.3

55

PRODUCTO TRIPLE

7.3

S

PRODUCTO TRIPLE

UPONGAMOS AHORA TRES VECTORES

→ − → − → − X , Y , Z , no nulos y linealmente

independientes en el espacio, referidos a la mencionada base

canónica: → − −−→ −−→ −−→ X = x1 B1 + x2 B2 + x3 B3 , → − −−→ −−→ −−→ Y = y1 B1 + y2 B2 + y3 B3 , → − −−→ −−→ −−→ Z = z1 B1 + z2 B2 + z3 B3 . Observemos que para calcular el volumen del paralelepípedo cuyas aristas determinan estos vectores, basta calcular la expresión → − → − → − → − → − → − → − → − → − (X 6Y ) • Z = (Y 6Z ) • X = (Z 6X ) • Y . Atención: cualquier otra operación similar implica conmutar un producto vectorial y, por lo tanto, un cambio de signo. Con el fin de tener siempre una cantidad positiva (o, en general, no negativa) se define el volumen del susodicho paralelepípedo como → − → − → − → − → − → − vol( X , Y , Z ) = |( X 6 Y ) • Z |. Notamos que, en general, el resultado de las operaciones entre las barras del valor absoluto es negativo cuando los vectores no están dispuestos según la mano derecha. A propósito, el resultado se conoce como producto triple de los vectores, también producto vectorial-escalar de ellos. Para él, usaremos la notación → − → − → − → − → − → − [ X , Y , Z ] := ( X 6 Y ) • Z . Para ver que este escalar nos da –quizás con una corrección de signo– el volumen correspondiente, nos podemos ayudar de la

56

7.

TRIGONOMETRÍA PLANA, EL

“ E S PA C I O ”

Figura 7.3. Recordemos que el volumen de un paralelepípedo está dado por el producto del área de su base por su altura: → − → − → − → − → − → − vol( X , Y , Z ) = | X 6 Y || Z || cos ψ|, donde ψ es el ángulo en la Figura 7.3. Finalmente, por lo dicho más arriba, la expresión del producto triple cuando los vectores se refieren a una base ortonormal es z z z 1 2 3 → − → − → − [ X , Y , Z ] = x1 x2 x3 y y y 1 2 3 = z1 (x2 y3 − x3 y2 ) − z2 (x1 y3 − x3 y1 ) + z3 (x1 y2 − x2 y1 ).

F IGURA 7.3 – Significado del producto triple.

EJERCICIOS

1.

Pruebe la fórmula de adición para la función tangente tan(α − β) =

tan α − tan β . 1 + tan α tan β

7.3

57

PRODUCTO TRIPLE

2.

Dé los detalles de la demostración de la fórmula → − → − X • Y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 para el producto interno de dos vectores del espacio referidos a una base canónica.

3.

Provea todos los detalles para establecer la validez de la fórmula

→ − → − X 6 Y =

−−→ B1

−−→ B2

x1

x2

y1

y2

−−→ B3 x3 , y3

usada para calcular el producto externo de dos vectores del espacio expresados en una base ortonormal. 4.

Con ayuda de los dos ejercicios anteriores, aporte los detalles faltantes para establecer la fórmula del producto triple z z z 1 2 3 → − → − → − [ X , Y , Z ] = x1 x2 x3 . y y y 1 2 3

CAPÍTULO

TRIGONOMETRÍA

8

ESFÉRICA

Hay una trigonometría, tal vez más o –al menos– tan antigua como la trigonometría plana, que no es tan conocida como ésta. Se trata de la trigonometría esférica. Ella estudia ángulos y distancias en triángulos dibujados sobre una esfera, superficie tan útil a los astrónomos como a los geógrafos. Los lados de estos triángulos son segmentos de las circunferencias grandes que se pueden trazar sobre la esfera. Los ángulos en los vértices se definen con ayuda de los vectores. Las reglas habituales de la trigonometría plana no se verifican para los triángulos esféricos. Sin embargo, los triángulos esféricos satisfacen leyes diferentes llamadas identidades de Bessel

8.1

59

I D E N T I DA D D E G I B B S

(1784-1846). El lenguaje vectorial permite recoger lo fundamental de los triángulos esféricos a través de las identidades vectoriales de Gibbs y Lagrange.

8.1

I D E N T I DA D D E G I B B S

C

IERTA TRADICIÓN DEFIENDE

que el primero en considerar la impor-

tancia del doble producto vectorial → − → − − → A 6( B 6 C )

fue el distinguido científico norteamericano Josiah Willard Gibbs (1839-1903). Para descubrir un significado de esta expresión notemos que ella → − denota un vector ortogonal al vector A , por lo que podemos escribir → − → − → − − → → − A 6( B 6 C ) = b B + c C , para ciertos escalares b, c ∈ R, que debemos determinar. Luego de − → − → multiplicar escalarmente a esta expresión por B y C , − → − − → − → − → → − → − → − → B • ( A 6( B 6 C )) = b B • B + c B • C , → − → − → − → − → → − → − − → − C • ( A 6( B 6 C )) = b C • B + c C • C . Ahora bien, es fácil ver –por nuestra definición de producto triple, − → − → considerando a B 6 C como un solo vector– que − → − → − − → → − → − → → − → − B • ( A 6( B 6 C )) = A • (( B 6 C )6 B ), → − → − → − → − − → − − → → − → C • ( A 6( B 6 C )) = A • (( B 6 C )6 C ).

60

8.

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

Más aún, − → − → − → − → − → |( B 6 C )6 B | = | B |2 | C | sen α − → − → para cierto ángulo α. Supongamos primeramente que B y C son − → → − → − ortogonales (α = π/2). Entonces, el vector ( B 6 C )6 B tiene la misma → − dirección y sentido que C , entonces − → → − → − → − → − ( B 6 C )6 B = | B |2 sen α · C . − → − − → − → → − → De manera similar, ( B 6 C )6 C tiene magnitud | B || C |2 sen α con misma → − dirección, pero sentido opuesto a B , entonces − → − → − → − → → − ( B 6 C )6 C = −| C |2 sen α · B . Poniendo todo junto en las ecuaciones de arriba, − → − → − → − → − → → − b| B |2 + c B • C = | B |2 sen α · ( A • C ), − → − → − → − → → − → − b B • C + c| C |2 = −| C |2 sen α · ( A • B ). Por el supuesto de ortogonalidad, la solución es fácil: → − → − → − → − b = A • C y c = −A • B . En este caso ya se cumple la llamada identidad de Gibbs: → − → − → − → − → − → − − → − → − → A 6( B 6 C ) = ( A • C ) B − ( A • B ) C . − → − → Para el caso general, en el que los vectores B y C no son ortogonales, se descompone → − → − → − B = B ⊥ + B k, → − → → − → − − donde B ⊥ es ortogonal a C y B k es paralelo a C . Los detalles se dejan al lector. Preferimos esta demostración a otras demostraciones conocidas (e incompletas) basadas la elección de una base canónica. En verdad, la demostración nuestra es independiente de tal elección.

8.2

I D E N T I DA D D E L AG R A N G E

8.2

I D E N T I DA D D E L AG R A N G E

M

UCHO ANTES QUE

61

G IBBS, incluso mucho antes que Grassmann,

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) hacía muchos cómputos

con triplas de números reales. Uno de sus descubrimientos más conocidos es la utilísima o “fecundísima” identidad → − → → − → → − → − → − → − → − − − → − → − → − ( A 6 B ) • ( C 6 D ) = ( A • C )( B • D ) − ( B • C )( A • D ). Para demostrarla, basta aplicar la identidad de Gibbs a → − → → − → → − → − − − − → → − ( A 6 B ) • ( C 6 D ) = (( A 6 B )6 C ) • D . ¡Compruébelo!

8.3

FÓRMULAS DE BESSEL

A

LOS AXIOMAS DE LA

G EOMETRÍA E UCLIDIANA hay que agregar otro

para la geometría del espacio: por tres puntos no colineales

pasa un único plano. Este nuevo axioma de incidencia se enriquece por otro hecho básico de la geometría: por tres puntos no colineales pasa una única circunferencia. Consideremos pues, en una esfera de radio unitario, al centro O y a dos puntos no colineales, o sea, dos puntos que no yacen en un mismo diámetro de la esfera. El plano determinado por estos tres puntos corta a la esfera precisamente en la circunferencia que tales tres puntos determinan. Las circunferencias formadas por este procedimiento son las circunferencias grandes de la esfera. Todas ellas tienen radio igual a la unidad. Un triángulo esférico se construye como se explica enseguida. Se toma la circunferencia grande determinada por el centro O y

62

8.

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

dos puntos A, B, que no yacen sobre el mismo diámetro esférico. Esta circunferencia grande particiona la esfera en tres partes: dos hemisferios disyuntos y ella misma (dicha circunferencia grande). En uno de tales hemisferios se elige un punto C. La figura formada por las circunferencias grandes determinadas por O, A, B; O, A, C; O, B, C constituye el triángulo esférico A, B, C, de la misma manera que tres rectas en un plano determinan un triángulo plano. La Figura 8.1 ilustra la situación. c b = AC c y c = AB. c Los lados del triángulo ABC son los arcos a = BC, Como ellos son arcos de circunfenrencia (grande), ellos se dejan entender también como ángulos ∠BOC, ∠AOC y ∠AOB respectivamente (Postulado 2 de Euclides). Por esta razón, podemos aplicarles funciones trigonométricas.

F IGURA 8.1 – Triángulo esférico.

Los ángulos “internos” del triángulo ABC son fáciles de determinar,

8.3

FÓRMULAS DE BESSEL

63

pero exigen reflexiones adicionales. En cada vértice de este triángulo se tiene un ángulo, el cual se denota con la letra griega respectiva. El ángulo en el vértice A se llama α y es claramente el ángulo entre los planos por AOB y por AOC. Y aquí es donde los vectores entran en escena. Se consideran, pues, los vectores → − −−−→ → − −−−→ − −−→ → A = OA , B = OB y C = OC . Con ellos, el ángulo entre los planos AOB y AOC es precisamente el ángulo entre sus vectores (orto)normales. Esto es, α es el ángulo → − → − → − − → entre los vectores A 6 B y C 6 A . De la misma manera se pueden determinar β y γ. Los triángulos esféricos también se pueden resolver con ayuda de ciertas relaciones entre lados y ángulos (leyes del seno y del coseno o identidades de Bessel). Una primera relación surge del producto punto. Ciertamente, por un lado, → − → → − → − → − → → − → − − − ( A 6 B ) • ( C 6 A ) = −( A 6 B ) • ( A 6 C ) = − sen c sen b cos α. Por otro lado, la identidad de Lagrange arroja → − → → − → − − ( A 6 B ) • ( C 6 A ) = cos b cos c − cos a. Igualando las dos últimas expresiones, se obtiene la ley esférica del coseno o primera fórmula de Bessel cos a = cos b cos c + sen b sen c cos α. Por un proceso análogo, se obtiene verbatim, cos b = cos c cos a + sen c sen a cos β, cos c = cos a cos b + sen a sen b cos γ.

64

8.

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

Con el producto cruz se encuentra otra relación. En primer lugar, → − → → − → − → − − ( A 6 B )6( C 6 A ) = sen c sen b sen α A . Y, por la identidad de Gibbs, → − → → − → − → − → − → − − − → ( A 6 B )6( C 6 A ) = −[ A , B , C ] A . Esto quiere decir que → − → − − → sen α sen b sen c = −[ A , B , C ]. Por razonamientos similares, − → − → − → sen β sen c sen a = −[ B , C , A ], → − → − → − sen γ sen a sen b = −[ C , A , B ]. Como los lados derechos de las tres últimas igualdades son iguales, dividimos por sen a sen b sen c para obtener la ley esférica del seno o segunda fórmula de Bessel sen α sen β sen γ = = . sen a sen b sen c Hay aún una tercera fórmula de Bessel, que se dejará como ejercicio. Las tres fórmulas de Bessel constituyen la herramienta más importante para resolver triángulos esféricos. El lector interesado en este tema –tan olvidado hoy por los matemáticos, pero tan vivo entre muchos usuarios de las matemáticas– puede consultar los numerosos ejemplos y ejercicios en Ayres (1954).

EJERCICIOS

1.

Demuestre en detalle la identidad de Gibbs para el caso general en que los vectores no son ortogonales.

8.3

65

FÓRMULAS DE BESSEL

2.

¿Es asociativo el producto vectorial de vectores en el espacio? ¿Bajo cuáles condiciones geométricas generales se cumple la asociatividad?

3.

Dé los detalles de la demostración de la identidad de Lagrange.

4.

La identidad de Lagrange se demuestra muy fácilmente en el caso en que → − → − → − → − A = C y B = D. ¿Cómo? Ayuda: identidad pitagórica.

5.

Encuentre un triángulo esférico para el cual la suma de sus tres ángulos es igual a 270◦ . Esto prueba que, en un triángulo esférico, los ángulos pueden sumar más de 180◦ .

6.

F Para el triángulo esférico de la Figura 8.1 pruebe que cos a sen c = sen a cos c cos β + sen b cos α. Esta es la tercera fórmula de Bessel. ¿Cuáles son las otras dos (o sea, para los otros lados y ángulos)?

CAPÍTULO

M O T I VA C I Ó N

9

DE

G E O M E T R Í A P R O Y E C T I VA

1

La Geometría Proyectiva sirve para modelar las nociones intuitivas de perspectiva y horizonte. Desde un punto de vista más contemporáneo, ella estudia los invariantes de las figuras bajo ciertas proyecciones. Esto la hace un ejemplo de geometría no métrica. La tradición ha querido que la Geometría Proyectiva reciba su partida de bautismo de Girard Desargues (1591-1661), aunque sus ideas se pueden remontar a Pappus de Alejandría (s. III DC) y al arquitecto italiano Filippo Brunelleschi (1404–1472), entre otros.

9.1

N O C I Ó N D E R E C T A P R O Y E C T I VA

67

La potencia de los vectores alcanza incluso a la Geometría Proyectiva. En verdad, la perspectiva tiene que ver con la representación plana de una figura tridimensional y así, con los rayos de luz que nuestro ojo plasma en un lienzo. Como este curso es principalmente de geometría plana, consideramos los puntos de encuentro de las rectas emanadas de un punto O con una recta L que no pasa por dicho punto. Tal es la situación que se esboza en la Figura 9.1.

F IGURA 9.1 – Rayos de luz, lienzo y ojo.

9.1

N O C I Ó N D E R E C T A P R O Y E C T I VA

A, B en L, de tal manera que los −−−→ → − −−→ → − vectores OA = A y OB = B son linealmente independientes.

S

EAN DADOS DOS PUNTOS DISTINTOS

Las rectas emanadas de O se representan como vectores de una

68

9.

M O T I VA C I Ó N D E G E O M E T R Í A P R O Y E C T I VA

1

−−−→ → − circunferencia centrada en O. Sea OX = X uno cualquiera de estos vectores. Sabemos que podemos escribir → − → − → − X = aA + b B , para ciertos escalares reales a, b. Denotemos con Y al punto donde → − la recta asociada a X encuentra la recta L. Vamos a demostrar que −−→ − −−→ → aY A + bY B = O . Notamos que esta expresión contiene una propiedad de invarianza, puesto que es independiente de la elección de la recta L y los puntos A, B en ella. Nos ayudamos de la Figura 9.2.

F IGURA 9.2 – Rectas emanadas y puntos de L.

Primero se observa que, refiriendo los vectores a la base elegida, −−−→ → − −−→ → − − → − − → → − → → − OY =: Y = A + AY = A + u( B − A ) = (1 − u) A + u B , −−−→ → − → − − → − −−→ → − → − → → − OY =: Y = B + BY = B + v( B − A ) = (1 − v) B + v A , para escalares u, v ∈ R. Luego de multiplicar la primera igualdad por v y la segunda por u, sumando se obtiene que → − → − → − (u + v) Y = u B + v A .

9.1

69

N O C I Ó N D E R E C T A P R O Y E C T I VA

O sea, → − → − → − → − → − (u + v)w X = (u + v)w(a A + b B ) = u B + v A , → − → − para cierto w ∈ R. Como los vectores A , B forman una base, u = (u + v)wb

y v = (u + v)wa.

De aquí se desprende la relación fundamental ua−vb = 0. Finalmente, −−→ −−→ → − −−→ a Y A + b Y B = (au − bv) BA = O . Notamos, por cierto, que la construcción anterior establece una función de la circunferencia centrada en O en la recta L. Sin embargo, queda un punto suelto, un punto sin imagen. Tal punto corres→ − ponde al caso en que X es linealmente dependiente (paralelo) a −−→ AB . Ciertamente, sin pérdida de generalidad, con A , B, se toma −−→ → − → − → − − → − → X = AB , O y X = B − A , pero no existe ningún punto Y en L tal que −−→ −−→ → − −Y A + Y B = O . La solución natural –dada históricamente– ha sido la de agregar un punto a L: el punto impropio o punto en el infinito, el cual corresponde a X recién considerado. Esto coincide con la afirmación intuitiva de que “dos rectas paralelas se encuentran en el infinito”. De esta manera se ha obtenido una función biyectiva de la circunferencia con la recta aumentada con el punto impropio. Esta biyección encierra la invarianza de la proporción −−→ | Y A | |b| −−→ = , a , 0, o bien, | Y B | |a|

−−→ | Y B | |a| −−→ = , b , 0, | Y A | |b|

con respecto a L y a los puntos escogidos en ella.

70

9.

M O T I VA C I Ó N D E G E O M E T R Í A P R O Y E C T I VA

1

Hemos, pues, descubierto un nuevo conjunto “sin perder la continuidad de los puntos”, o sea, puntos “cercanos” se envían a puntos “cercanos”. Este conjunto se puede entender como la recta L con un punto más (en el infinito), o como el conjunto de las rectas que se emanan de un punto, o aún como el conjunto de parejas de puntos antipodales de una circunferencia. El nombre de dicho conjunto es el de recta proyectiva (real). Como el origen en sí no se ha usado, es costumbre pinchar el plano en O, o sea, quitar este punto. Este proceder se justifica por el próximo resultado y por otros resultados similares. N OTACIÓN – Para lo que sigue necesitaremos conservar la información del signo de los escalares a y b que aparecen reiteradamente más arriba en esta sección. Para aclarar que usamos tal información, usaremos las notaciones −−→ dY A e b −−→ = , a , 0, o bien, bY B c a

9.2

S

−−→ dY B e a −−→ = , b , 0, bY A c b

T E O R E M A D E C E VA

E TRATA DE UN RESULTADO

aparecido en De lineis rectis se invicem

secantibus statica constructio (1678), obra del italiano Giovanni

Ceva (1647-1734), quien parece haberse nutrido de las ideas de algunos matemáticos y astrónomos españoles y árabes. El teorema al que nos referimos vale para un triángulo cualquiera 4ABC. Supongamos que, en los lados opuestos a los vértices A, B, C, se escogen puntos A0 , B0 , C 0 respectivamente. Una condición necesaria y

9.2

71

T E O R E M A D E C E VA

suficiente para que las rectas ←−→0 AA ,

←→0 BB ,

←−→0 CC

sean concurrentes es que se tenga −−−→ −−−→ −−−→ d A0 B e d B0 C e d C 0 A e −−−→ −−−→ −−−→ = −1. b A0 C c b B0 A c b C 0 B c La Figura 9.3 ilustra la situación.

F IGURA 9.3 – Teorema de Ceva (concurrencia).

Para la necesidad, supongamos que las tres rectas concurren en el punto O. Entonces, existen b, c ∈ R tales que −−−→ −−→ −−−→ OA = b OB + c OC . Así pues, −−→ 1 −−−→ c −−−→ OB = OA − OC , b b

−−−→ 1 −−−→ b −−→ OC = OA − OB . c c

Por lo aprendido en la sección anterior, se obtiene −−−→ −−−→ −−−→ d A0 B e 1 d C0A e c d B0 C e 1/b −b/c = − , −−−→ = − = , −−−→ = − = b. −−− → b b B0 A c −c/b c b C 0 B c 1/c b A0 C c La conclusión se sigue inmediatamente. Para la suficiencia, se asume que −−−→ −−−→ −−−→ d A0 B e d B0 C e d C 0 A e −−−→ −−−→ −−−→ = −1. b A0 C c b B0 A c b C 0 B c

72

9.

M O T I VA C I Ó N D E G E O M E T R Í A P R O Y E C T I VA

1

←−→ ←→ Sea O el punto donde las rectas AA0 y BB0 se cortan y sea C 00 el punto ←→ donde OC encuentra el lado opuesto a C. Necesariamente, −−−→ −−−→ −−−−→ d A0 B e d B0 C e d C 00 A e −−−→ −−−→ −−−−→ = −1. b A0 C c b B0 A c b C 00 B c Así pues,

−−−−→ −−−→ d C 0 A e d C 00 A e −−−→ = −−−−→ . b C 0 B c b C 00 B c

En consecuencia, C 0 = C 00 y terminamos. Hasta aquí todo nos parece Geometría Euclidiana. Sin embargo, esto solamente revela la punta del iceberg proyectivo. En efecto, si asumimos que las rectas concurren en el infinito (son paralelas), existirían escalares b, c tales que −−−→0 −−−→ BB = b AA0 ,

−−−→0 −−−→ CC = c AA0 .

Escribiendo ahora −−−→0 −−→ −−→ AA = u AB + v AC , se logra   −−−→0 −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ BB = b(u AB + v AC ) = b u AB + v( AB + BC ) −−→ −−→ = b(u + v) AB + bv BC ;   −−−→0 −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ CC = c(u AB + v AC ) = c u( AC + CB ) + v AC ) −−→ −−→ = c(u + v) AC − cu BC . De nuevo, en concordancia con los principios proyectivos, −−−→ −−−→ d A0 B e v d B0 C e b(u + v) −−−→ = , −−−→ = bv , b A0 C c u b B0 A c

−−−→ d C0A e −cu −−−0→ = c(u + v) . bC B c

9.2

73

T E O R E M A D E C E VA

F IGURA 9.4 – Teorema de Ceva (rectas paralelas, concurrencia en el infinito).

Y el mismo resultado se cumple. La situación se esboza en el Figura 9.4: se trata de un triángulo degenerado. Es sorprendente que, una vez introducidas estas ideas proyectivas, el paralelismo y la concurrencia de rectas produzcan los mismos resultados. Este punto impropio donde se encuentran las paralelas es un punto más, que se comporta como un simple punto propio. Hay otros casos interesantes para la ubicación de los puntos, como el que se deja en el Ejercicio 4, al final del Capítulo. Al resolver el Ejercicio 3 se tendrá que el baricentro, el incentro y el ortocentro son puntos de concurrencia que satisfacen la relación de Ceva. De paso, este ejercicio y la Figura 9.4 nos dejan ver que los puntos A0 , B0 , C 0 pueden yacer en cualquier parte de las rectas, no sólo en los segmentos opuestos a los ángulos en A, B, C. De hecho, las mismas demostraciones dadas siguen siendo válidas en este caso más general. En fin, el enunciado completo de este teorema es como sigue: T EOREMA DE C EVA. En un triángulo cualquiera 4ABC, se esco← →← →← → gen puntos A0 , B0 , C 0 respectivamente sobre las rectas BC, AC, AB. Las ←−→ ←→ ←−→ tres rectas AA0 , BB0 , CC 0 (llamadas cevianas) concurren a un punto (propio o impropio) si y sólo si −−−→ −−−→ −−−→ d A0 B e d B0 C e d C 0 A e −−−→ −−−→ −−−→ = −1. b A0 C c b B0 A c b C 0 B c

74

9.

9.3

M O T I VA C I Ó N D E G E O M E T R Í A P R O Y E C T I VA

1

T E O R E M A D E M E N E L AO

N

O HABLAMOS DE UN TEOREMA DEL REY DE

E SPARTA, guerrero en Tro-

ya, esposo de Helena y hermano de Agamenón; sino del mate-

mático Menelao de Alejandría (ca. 70 d. C.-ca 140 d. C.). En este resultado se revela otra característica de lo proyectivo, a saber: la dualidad entre los conceptos de punto y recta. Veamos. T EOREMA DE M ENELAO. Sea, como antes, un triángulo 4ABC y A0 , B0 , C 0 puntos respectivos en las rectas ← → BC,

← → AC,

← → AB.

Para que estos puntos sean colineales es necesario y suficiente que −−−→ −−−→ −−−→ d A0 B e d B0 C e d C 0 A e −−−→ −−−→ −−−→ = 1. b A0 C c b B0 A c b C 0 B c

F IGURA 9.5 – Teorema de Menelao.

Consideremos la Figura 9.5. Si A0 , B0 , C 0 son colineales, entonces la recta que los contiene pasa por uno de ellos con cierta dirección −−−→ −−−→ → − D = b C0B + c C0C ,

9.3

75

T E O R E M A D E M E N E L AO

para ciertos escalares b, c. Por lo tanto (primera sección del Capítulo), −−−→ c d A0 B e =− . −−− → b b A0 C c También existe un escalar a ∈ R que provee −−−0→ −−−→ C B = a C0A . Por lo tanto,

−−−→ d C0A e 1 −−−→ = . b C0B c a

Pero, además, −−−→ −−−→ → − D = ba C 0 A + c C 0 C . De donde

−−−→ d B0 C e ba =− . −−− → c b B0 A c

Al multiplicar las proporciones se halla el Teorema de Menelao. El recíproco corre como el similar para el Teorema de Ceva y se deja como ejercicio.

EJERCICIOS

1.

En la Figura 9.2, tómese un punto genérico X en el plano. Sean A, B puntos fijos y a, b constantes reales. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación −−−→ −−−→ −−→ XY = a XA + b XB ?

2.

Demuestre que los teoremas del baricentro, del incentro y del ortocentro son corolarios del Teorema de Ceva.

76

9.

3.

M O T I VA C I Ó N D E G E O M E T R Í A P R O Y E C T I VA

1

Dibuje varios 4ABC con puntos A0 , B0 , C 0 para los cuales el punto de concurrencia O en el Teorema de Ceva (no necesariamente como en el ejercicio anterior) yace fuera del triángulo.

4.

Demuestre el Teorema de Ceva para el caso en que las rectas −−−→0 −−→ AA y BC son paralelas. Dibuje para entender la situación.

5.

Pruebe la implicación faltante en la demostración del Teorema de Menelao.

6.

F En el caso de que alguno de los puntos A0 , B0 , C 0 sea impropio, el Teorema de Menelao se sigue trivialmente con algunas convenciones sobre la distancia al punto en el infinito. En tal caso, con ayuda de la Figura 9.5, si C 0 está en el infinito, las ←−→ ← → rectas A0 B0 y AB serían paralelas y −−−→ −−−→ d A0 B e d B0 C e −−−→ −−−→ = 1. b A0 C c b B0 A c De la misma manera, si C 0 y B0 están en el infinito, −−−→ d A0 B e −−−→ = 1. b A0 C c

7.

F ¿Son equivalentes los teoremas de Ceva y de Menelao? Ayuda: Demuestre que el teorema de Ceva implica el teorema de Menelao. ¿Qué podemos decir de la implicación recíproca?

CAPÍTULO

M O T I VA C I Ó N

10

DE

G E O M E T R Í A P R O Y E C T I VA

2

La Geometría Proyectiva, que ha sido tan importante para el devenir histórico de las matemáticas, se ha vuelto hoy en día una materia avanzada, reservada para el final de las carreras de matemáticas y los posgrados, acaso. Este proceder no se compadece con la naturaleza de la Geometría, dentro de la cual esta materia sigue siendo un ejemplo sencillo de geometría elemental que no es métrica. Por esta razón, nos damos la licencia y el gusto de incluir este capítulo, para finalizar la segunda parte de este curso.

78

10.

M O T I VA C I Ó N D E G E O M E T R Í A P R O Y E C T I VA

2

Las aplicaciones de los vectores son inmensas y muy variadas, tanto en la geometría y las matemáticas en general, como en la física y otras ciencias que utilizan el lenguaje geométrico-matemático.

10.1

C UA D R I L ÁT E R O S P R OY E C T I VO S Y C UAT E R N A A R M Ó N I CA

U

N CUADRIVÉRTICE COMPLETO

se forma con cuatro puntos tales que

no hay tres de ellos colineales. Es decir, la definición coincide

con la de la Geometría Euclidiana. Aquí, sin embargo, se permite que los vértices estén en el infinito. De forma dual, esta misma figura se llama cuadrilátero completo y está formada por cuatro rectas tales que no más de dos de ellas pasen por un punto, propio o impropio. En fin, agregando las diagonales que resultan, se obtienen seis rectas en total. La situación se esboza en la Figura 10.1. Las cuatro rectas y puntos originales se muestran en un color más tenue; lo que resulta de las diagonales y la prolongación de los lados se resalta con un tono más oscuro. Los puntos E, F, G se suelen llamar diagonales. Las rectas que se muestran punteadas también se suelen llamar diagonales. Como este modo de hablar puede producir confusión, no usaremos la terminología dada en este párrafo. Lo interesante de esta construcción tienen que ver con lo que pasa en el segmento AE. T EOREMA DEL CUADRILÁTERO. Los puntos A, G0 , B, E que resultan de la anterior construcción a partir del cuadrilátero ABCD forman una

10.2

79

I N VA R I A N Z A D E L A R A Z Ó N D O B L E

F IGURA 10.1 – Cuadrivértice o cuadrilátero completo.

cuaterna armónica. Esto quiere decir que −−−→ −−→ d G0 B e d EB e ÷ −−−→ −−→ = −1. b G0 A c b EA c En efecto, notamos que en el 4ABG se presentan las situaciones de Ceva y Menelao: −−−→ −−−→ −−−→ d G0 B e d E 0 A e d CG e × × −−−→ −−−→ −−→ = −1 b G0 A c b E 0 G c b CB c

y

−−−→ −−−→ −−→ d EB e d E 0 A e d CG e × × −−−→ −−→ −−→ = 1. b EA c b E 0 G c b CB c

El resultado queda claro. Se suele decir también –recordando otros tiempos– que el lado AE queda dividido armónicamente en su recta por los puntos G0 y E. Lo propio sucede sobre los otros lados, naturalmente.

10.2

E

I N VA R I A N Z A D E L A R A Z Ó N D O B L E

L BICOCIENTE , O RAZÓN DOBLE,

o birapport, de cuatro puntos A, B,

C, D alienados en una recta es el cociente −−→ −−−→ d AC e d AD e (ABCD) := −−→ ÷ −−→ . b BC c b BD c

80

10.

M O T I VA C I Ó N D E G E O M E T R Í A P R O Y E C T I VA

2

Un hecho fundamental de la Geometría Proyectiva es la invarianza de la razón doble bajo las proyecciones centrales. Para verlo, consideremos la situación de la Figura 10.2. Proyectando los rayos desde el origen o centro O sobre dos rectas secantes a dichos rayos (que no pasan por O), se obtiene que el bicociente permanece invariante: (ABCD) = (A0 B0 C 0 D 0 ) = (A00 B00 C 00 D 00 ) = · · ·

F IGURA 10.2 – Le birapport est invariant par projection centrale.

→ − −−−→ En verdad, podemos referir nuestros cálculos a la base A = OA , → − −−→ B = OB . Al escribir −−−→ → − → − → − OC = C = a A + b B ,

−−−→ → → − − → − OD = D = c A + d B ,

se obtiene (sección primera del capítulo anterior) que −−→ −−−→ d AC e b d AD e d −−→ = − a , −−→ = − c . b BD c b BC c Ahora bien, para escalares convenientes m, n, −−−→ −→ → − A = m OA0 = m A0 ,

−−−→ − → → − B = n OB0 = n B0 .

−→ − → → − C = am A0 + bn B0 ,

−→ − → → − D = cm A0 + dn B0 .

De este modo,

10.3

M O V I M I E N T O S E N L A R E C T A P R O Y E C T I VA

81

En consecuencia, −−−−→ d A0 C 0 e bn , =− −−− − → am b B0 C 0 c

−−−−→ d A0 D 0 e dn =− . −−− − → cm b B0 D 0 c

Se concluye que (ABCD) =

10.3

L

b d bn dn ÷ = ÷ = (A0 B0 C 0 D 0 ). a c am cm

M O V I M I E N T O S E N L A R E C T A P R O Y E C T I VA

A SECCIÓN ANTERIOR SACÓ

a relucir las proyecciones centradas en

un punto cualquiera de la recta proyectiva. El procedimiento

usado allí puede formalizarse en términos del concepto conjuntista de aplicación o función. Si tomamos un punto O cualquiera, propio o impropio, podemos considerar como antes el “haz” de rectas que pasan por él. Para dejar en claro de cuál aplicación estamos hablando, debemos definir su dominio y su codominio. Esto se resuelve muy fácilmente, pues basta tomar dos rectas que no pasen por el mencionado punto. Una de ellas, digamos L, es el dominio. El codominio se denota aquí como L0 . La proyección central desde O de L sobre L0 queda entonces bien definida como una biyección. Los puntos del dominio L se notan con letras y la letra correspondiente con el signo 0 (“prima”) denota su imagen. Así, por ejemplo, A ∈ L tiene imagen π(A) = A0 ∈ L0 , donde hemos usado la letra griega π para escribir la aplicación (proyección central desde P ) π : L → L0 . La Figura 10.3 ilustra dos ejemplos de este tipo de aplicaciones. Cada punto y cada par que rectas que no pasen por él determinan una proyección central.

82

10.

M O T I VA C I Ó N D E G E O M E T R Í A P R O Y E C T I VA

2

F IGURA 10.3 – Proyecciones centrales π : L → L0  L, $ : L → L00  L.

Dando un paso más allá, caemos en la cuenta de que L y L0 se pueden identificar como una única recta proyectiva, una vez se les pone el punto en el infinito. Con esta licencia, hablaremos de ahora en adelante de proyecciones centrales π : L → L, donde L es la recta proyectiva. Las aplicaciones de la geometría de la recta proyectiva se obtienen como composición de un número finito de tales proyecciones centrales Π = πn ◦ · · · ◦ π2 ◦ π1 ,

n ∈ N.

Estas composiciones se llaman proyectividades u homologías. También, cada punto de la recta proyectiva y su imagen bajo una proyectividad conforman un par de puntos homólogos. No es difícil ver que las proyectividades forman un grupo con la operación de composición de funciones. Sea Π : L → L una proyectividad y A, B, C y D puntos de la recta proyectiva L. Si, Π(A) = A0 , Π(B) = B0 , Π(C) = C 0 y Π(D) = D 0 , por inducción del resultado en la sección anterior, (ABCD) = (A0 B0 C 0 D 0 ).

10.3

M O V I M I E N T O S E N L A R E C T A P R O Y E C T I VA

83

Pues bien, esta condición también es suficiente para garantizar la existencia de una proyectividad. Concretamente, vamos a probar que toda biyección L → L de la recta proyectiva que deje invariante la razón doble determina una proyectividad. La demostración consiste, entonces, en construir dicha proyectividad. Para hacer más claro este proceso vamos a realizar una proyectividad Π de una copia L de la recta proyectiva sobre otra copia L0 de la misma recta.

F IGURA 10.4 – Proyectividad de L sobre L0 .

Sea L una recta proyectiva donde ubicamos los puntos A, B, C y D y sea L0 una recta proyectiva donde tenemos las imágenes A0 , ←−→ B0 , C 0 y D 0 . En la recta AA0 elegimos puntos P y Q que no estén en las →← ← →← → ←−→ ←−→ ←−→ rectas y trazamos las rectas P B, P C, P D y QB0 , QC 0 , QD 0 . ← → ←−→ Sean β el punto de intersección de P B y QB0 , γ el punto de inter← → ←−→ ← → ←−→ sección de P C y QC 0 , y δ el punto de intersección de P D y QD 0 . La situación se presenta en la Figura 10.4. Los puntos β, γ y δ son

84

10.

M O T I VA C I Ó N D E G E O M E T R Í A P R O Y E C T I VA

2

colineales en un recta M, tras varias aplicaciones del Teorema de ← → Menelao. Sea además, α la intersección de M con P Q. Entonces, la compuesta de la proyección central desde P , dada por πP : L → M, −1 con la inversa de la proyección desde Q, πQ : M → L0 , produce la

aplicación buscada. Este procedimiento prueba que una biyección de la recta proyectiva es una proyectividad si y sólo si preserva las razones dobles de puntos homólogos. Notemos también el parecido entre esta demostración y el Teorema de las tres reflexiones para la Geometría Euclidiana.

EJERCICIOS

1.

F Pruebe el Teorema del cuadrilátero a partir de la invarianza de la razón doble. Ayuda: use dos proyecciones centrales.

2.

Las permutaciónes de cuatro puntos alineados A, B, C y D son 24. Demuestre, para los bicocientes correspondientes, que a.

El valor del bicociente no se altera por transposiciones: (ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA).

b. Cuando los dos primeros puntos se fijan y se transponen los restantes, se obtiene (ABCD) × (ABDC) = 1. c. Cuando los puntos extremos se fijan y se transponen los intermedios, se halla que (ABCD) + (ACBD) = 1.

10.3

3.

M O V I M I E N T O S E N L A R E C T A P R O Y E C T I VA

85

Pruebe que todas la proyectividades de la recta proyectiva forman un grupo con la composición de aplicaciones.

4.

La aplicación repetida del Teorema de Meneleo en la Sección 10.3 deja ver cierta redundancia. Pruebe que la definición de una proyectividad en tres puntos (distintos) de la recta proyectiva determina completamente dicha proyectividad.

III FORMALIZACIÓN

DE LOS

VECTORES

Il en est tout autrement aujourd’hui, où la tendance essentielle des mathématiques modernes, depuis environ un siècle, a été de chercher, par un effort supplémentaire d’abstracción, à decomposer en quelque sorte ces “idées fondamentales”, [...] Jean Dieudonné en Algèbre linéaire et géométrie élémentaire

CAPÍTULO

E S PA C I O S

11

VECTORIALES

REALES

Hoy en día es todo lo contrario y la tendencia esencial de las matemáticas modernas, luego de más o menos un siglo, ha sido la de buscar descomponer, mediante un esfuerzo adicional de abstracción, las cosas en ciertas “ideas fundamentales”, un poco como los físicos han analizado el átomo, que era “indivisible” para los antiguos. Jean Dieudonné en Algèbre linéaire et géométrie élémentaire

De aquí hasta el final nos damos a la tarea de reescribir lo apren-

88

11.

E S PA C I O S V E C T O R I A L E S R E A L E S

dido en las dos partes anteriores según los requisitos de rigor que exigen las matemáticas de hoy. La tarea nos proveerá los elementos esenciales para comprender la Geometría como una verdadera parte de las matemáticas de nuestro siglo. De cierta manera, en los capítulos anteriores, ya nos habíamos dado cuenta de que la geometría se nos había vuelto álgebra. Veamos.

11.1

D

E S T R U C T U R A D E E S PA C I O V E C T O R I A L

ENOTEMOS CON

R al conocido cuerpo de los números reales.

Una colección o conjunto de elementos E está dotado de una

estructura de espacio vectorial sobre R si, en él, estan definidas dos operaciones: •

Una suma, representada por el signo usual +, tal que si A, B ∈ E, entonces A + B ∈ E.

•

Un escalamiento o producto por escalar, tal que si A ∈ E y a ∈ R, entonces el producto de a y A, denotado aA, pertenece a E.

Los elementos de E se llaman vectores y los números reales se llaman escalares. Además, las dos operaciones mencionadas deben satisfacer las siguientes propiedades o axiomas: V1

P ROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA SUMA. Para todos A, B ∈ E, A + B = B + A.

V2

P ROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA. Para cualesquiera A, B, C ∈ E, A+(B+C) = (A+B)+C. Por lo tanto podemos escribir sin confusión A + B + C y lo mismo para cualquier suma finita de vectores.

11.1

V3

E S T R U C T U R A D E E S PA C I O V E C T O R I A L

89

E XISTENCIA DE NEUTRO PARA LA SUMA. Existe un O ∈ E, llamado vector nulo (o cero, o neutro), tal que para todo A ∈ E, se tiene O + A = A.

V4

E XISTENCIA DE OPUESTOS ADITIVOS. Para todo A ∈ E, existe un −A ∈ E, llamado inverso u opuesto aditivo de A, tal que A + (−A) = O.

V5

P ROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO POR ESCALAR CON LA SUMA DE ESCALARES .

La suma de escalares es compatible con el

escalamiento en el sentido de que si a, b ∈ R y A ∈ E, entonces (a + b)A = aA + bA. V6

P ROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO POR ESCALAR CON LA SUMA DE VECTORES.

La suma de escalares es compatible con la suma

de vectores, es decir, si a ∈ R y A, B ∈ E, entonces a(A + B) = aA + aB. V7

Para todo par de escalares a, b ∈ R y todo A ∈ E, se tiene a(bA) = (ab)A.

V8

Para todo vector A ∈ E, se tiene 1A = A, donde 1 es la identidad o neutro multiplicativo de los números reales.

Por las características de nuestro curso, en el que nos interesa particularmente el plano y el espacio de tres dimensiones, debemos agregar uno solo de los dos siguientes axiomas: D2

Existen dos vectores I, J ∈ E tales que • ninguno de ellos se puede expresar como múltiplo escalar del otro y • todo A ∈ E se puede escribir como una combinación lineal A = aI + bJ, para ciertos a, b ∈ R.

D3

Existen tres vectores I, J, K ∈ E tales que • ninguno de ellos se puede expresar como una combina-

90

11.

E S PA C I O S V E C T O R I A L E S R E A L E S

ción lineal de los otros dos y • todo A ∈ E se puede escribir como una combinación lineal A = aI + bJ + cK, para ciertos a, b, c ∈ R. Cuando se cumple D2, se dice que E es una espacio vectorial real bidimensional; cuando se cumple D3, E es un espacio vectorial real tridimensional. Debemos llamar la atención sobre el hecho de que esta definición está inspirada por los vectores intuitivos de dos y tres dimensiones. Simplemente, hemos puesto sus propiedades como axiomas. Sin embargo la definición anterior es muy abstracta, pues los vectores pueden ser elementos de cualquier conjunto que cumpla con todos los requisitos dados. Por ejemplo, R2 = R × R, el producto cartesiano de los reales por sí mismos, es un espacio vectorial real bidimensional con las operaciones (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ) y c(a, b) = (ca, cb). También, los polinomios de primer grado ax + b (con coeficientes reales) conforman un espacio vectorial real bidimensional con las operaciones (a1 x + b1 ) + (a2 x + b2 ) = (a1 + a2 )x + (b1 + b2 ) y c(ax + b) = (ca)x + cb.

11.2

D

PRIMERAS CONSECUENCIAS

E LOS AXIOMAS ANTERIORES

se desprenden consecuencias (pro-

posiciones, teoremas, lemas, etc.) para los espacios que esta-

11.2

PRIMERAS CONSECUENCIAS

91

mos estudiando. Todas las proposiciones siguientes se refieren a un espacio vectorial real de dos o tres dimensiones. En efecto, ellas dependen solamente de los axiomas V1 a V8.

P ROPOSICIÓN 3 – La ley de cancelación a la izquierda se verifica. Es decir, si A + B = A + C, entonces B = C. Por lo tanto, la ley de cancelación a la derecha también se cumple.

P ROPOSICIÓN 4 – La ecuación vectorial A + X = B tiene solución única X = B − A.

P ROPOSICIÓN 5 – El neutro O ∈ E es único.

P ROPOSICIÓN 6 – El inverso aditivo −A de un vector A es único.

P ROPOSICIÓN 7 – Si a es un escalar cualquiera y O es el vector nulo, entonces aO = O.

P ROPOSICIÓN 8 – Si 0 es el cero de los reales y A es un vector cualquiera, entonces 0A = O, el vector nulo.

P ROPOSICIÓN 9 – Para todo vector A ∈ E, se tiene que su opuesto −A = (−1)A.

La demostración de estas proposiciones es una simple aplicación de los axiomas. Por esta razón se dejan como ejercicios para el lector. Salvo las proposiciones 7 y 8, ellas tienen que ver con la parte de la

92

11.

E S PA C I O S V E C T O R I A L E S R E A L E S

estructura: la que corresponde a un “grupo abeliano”.

11.3

Y

EXISTENCIA DE MUCHAS BASES

A SE HABRÁ PERCATADO EL LECTOR

de que los axiomas D2 y D3 ase-

guran la existencia de bases de dos y tres vectores respectiva-

mente. Pues bien, en cada uno de estos casos, el axioma correspondiente asegura que no solamente se tiene una base, sino que, por el contrario, hay muchas posibilidades para elegir una base. Vamos a demostrar este hecho con D2 (espacio bidimensional).

T EOREMA 1 – Sean U , V dos vectores no nulos de un espacio vectorial real de dos dimensiones E, tales que para ningún escalar a ∈ R se tiene V = aU (es decir no son escalarmente proporcionales); entonces todo vector X ∈ E se puede expresar como una combinación lineal X = uU + vV , para ciertos u, v ∈ R.

Demostración. En virtud de D2, U = ui I + uj J

y V = vi I + vj J.

Multiplicando estas expresiones respectivamente por vi y ui obtenemos vi U = ui vi I + uj vi J

y

ui V = ui vi I + ui vj J.

Así que, restando, podemos eliminar I: (uj vi − ui vj )J = vi U − ui V .

11.3

93

EXISTENCIA DE MUCHAS BASES

De una forma similar, se elimina J: (ui vj − uj vi )I = vj U − uj V . Esto nos permite encontrar una forma para “cambiar de base”, a saber: 1 I = (vj U − uj V ) δ

y

1 J = − (vi U − ui V ), δ

donde δ = ui vj − uj vi . Ahora bien, por D2, X = xi I + xj J, para ciertos escalares xi , xj . Al remplazar finalmente I, J en esta expresión se obtiene que X=

xi vj − xj vi δ

U+

xj ui − xi uj δ

V.

El lector recordará de su bachillerato la famosa regla de Cramer. Este teorema permite decir que los vectores U , V forman una base para nuestro espacio E. Existen, pues, muchas posibilidades de obtener una base de este tipo.

C OROLARIO 1 – El axioma D2 es equivalente a decir que •

para toda tripla A, B, C ∈ E existen escalares a, b, c ∈ R, no todos nulos, tales que aA + bB + cC = O y (¡conjunción!)

•

existen dos I, J ∈ E tales que la relación aI + bJ = 0 (a, b ∈ R) implica a = b = 0.

C OROLARIO 2 – El axioma D3 equivale a lo siguiente: •

para toda cuádrupla de vectores A, B, C, D ∈ E, existen cuatro reales a, b, c, d, no todos nulos, tales que aA + bB + cC + dD = O y (¡conjunción!)

94

11.

•

E S PA C I O S V E C T O R I A L E S R E A L E S

existen tres vectores I, J, K ∈ E tales que, de la relación aI + bJ + cK = O, se sigue que a = b = c = 0.

C OROLARIO 3 – En el caso de un espacio vectorial real bidimensional (respectivamente, tridimensional) la representación de un vector en una base cualquiera es única. O sea, los escalares de la combinación lineal son únicos.

En cursos posteriores (como, por ejemplo, Álgebra Lineal) se comprenderá que los resultados que se obtengan en un espacio vectorial son independientes de la base elegida para trabajar en él. A propósito, ¿podemos rescatar el concepto de base canónica? La respuesta es afirmativa y se resuelve en el próximo capítulo.

EJERCICIOS

1.

Verifique que R2 , con las operaciones dadas arriba en la primera sección del Capítulo, tiene estructura de espacio vectorial real de dos dimensiones.

2.

Compruebe que los polinomios de primer grado con coeficientes reales son un espacio vectorial real bidimensional, con las operaciones dadas más arriba.

3.

¿Cómo se podrían definir la suma y el producto por escalar en R3 para dotarlo con una estructura de espacio vectorial real de tres dimensiones? ¡Compruébelo!

4.

¿Cómo se debería definir la suma y el producto por escalar en los polinomios de segundo grado con coeficientes reales ax2 +

11.3

EXISTENCIA DE MUCHAS BASES

95

bx + c para que sean un espacio vectorial real tridimensional? ¡Compruébelo! 5.

Pruebe rigurosamente las proposiciones 3 a 9 de la segunda sección del Capítulo.

6.

¿Por qué δ , 0 en la demostración del T EOREMA 1?

7.

Demuestre, usando D3, que si U , V , W son tres vectores no nulos tales que ninguno de ellos es combinación lineal de los otros dos, entonces, para todo vector X de un espacio vectorial real tridimensional E, existen tres escalares u, v, w tales que X = uU + vV + wW .

8.

Pruebe los Corolarios 1, 2 y 3 de la tercera sección de este Capítulo.

CAPÍTULO

E S PA C I O S

12

VECTORIALES

CON PRODUCTO INTERIOR

La poderosa noción de espacio vectorial real no es suficiente para reconstruir formalmente la Geometría Euclidiana. Para tal fin, se debe agregar una noción de producto punto o escalar, o más propiamente, producto interior. La idea de fondo aquí es buscar una noción de distancia para el plano y el espacio. Con ello, recuperamos además muchos conceptos geométricos, por ejemplo, el de ángulo.

12.1

PRODUCTO INTERIOR

12.1

E

97

PRODUCTO INTERIOR

L ESPACIO VECTORIAL REAL BIDIMENSIONAL (respectivamente tridimen-

sional, ver Figura 12.1) E se dice dotado con un producto inte-

rior si es posible definir una correspondencia funcional E × E → R, (A, B) 7→ A • B, que satisfaga los siguientes axiomas: E1

P ROPIEDAD CONMUTATIVA , TAMBIÉN LLAMADA SIMETRÍA. Para todos A, B ∈ E, A • B = B • A.

E2

P ROPIEDAD DISTRIBUTIVA CON RESPECTO A LA SUMA DE VECTORES. Para cualesquiera A, B, C ∈ E, A • (B + C) = A • B + A • C.

E3

H OMOGENEIDAD. Para todos A, B ∈ E y cualquier escalar a ∈ R, se cumple que a(A • B) = (aA) • B.

E4

N O NEGATIVIDAD DEL CUADRADO. Para todo vector A ∈ E, se tiene que A • A ≥ 0. Además, A • A = 0 si y sólo si A es el vector nulo O.

F IGURA 12.1 – Representación plana del espacio tridimensional.

98

12.

E S PA C I O S V E C T O R I A L E S C O N P R O D U C T O I N T E R I O R

A propósito, no tenemos todavía una definición de norma o magnitud |A| de un vector A . Pues bien, esto se soluciona simplemente poniendo (motivados por la intuición) |A|2 := A • A

√ |A| = A • A.

, es decir,

Observamos que esto es posible por E4. También por lo visto en la parte intuitiva, vamos a decir que dos vectores A, B –de un espacio con producto interior– son ortogonales si su producto escalar es nulo: A • B = 0. Es fácil ver, con la ayuda de E2, que el vector nulo es ortogonal a todos los vectores de un espacio vectorial con producto interior. O sea, O • A = 0, para todo A ∈ E.

12.2

H

C A U C H Y- S C H W A R Z Y Á N G U L O

AY OTRA PROPIEDAD MUY IMPORTANTE

de los espacios con produc-

to interior, que se establece con un poco más de trabajo. Por

ello, preferimos enunciarla como un teorema.

T EOREMA 2 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) – Para todo par de vectores A, B de un espacio bidimensional (respectivamente tridimensional) real con producto interior, se verifica que |A • B| ≤ |A||B|.

12.2

C A U C H Y- S C H W A R Z Y Á N G U L O

99

Demostración. Si al menos uno de los vectores es nulo, la desigualdad se cumple trivialmente como una igualdad. Lo mismo vale si los dos vectores son múltiplos escalares el uno del otro (o sea, si son linealmente dependientes). Esto es una consecuencia de las propiedades de los números reales. Por ello, supondremos, sin pérdida de generalidad, que A y B no son nulos, ni (escalarmente) proporcionales. En consecuencia, para todo x ∈ R, el vector xA + B , O. En virtud de E4, (xA + B) • (xA + B) = |A|2 x2 + (2A • B)x + |B|2 > 0. Por lo tanto, la ecuación cuadrática (en x) correspondiente tiene raíces complejas. En otras palabras, su discriminante debe ser negativo y así, (A • B)2 − |A|2 |B|2 < 0. Pero esto es precisamente lo que buscábamos: |A • B| ≤ |A||B|. Aquí ya hemos recogido todos los casos posibles, incluido el caso de la igualdad. Observemos que la tesis del Teorema anterior se deja escribir también como −1 ≤

A•B ≤ 1, |A||B|

siempre y cuando ni A ni B sean nulos. Esto nos recuerda el rango de las funciones trigonométricas. Por ello, podemos definir el ángulo entre dos vectores no nulos A, B como el único valor θ entre 0◦ y 180◦ (ángulo geométrico) que satisface cos θ =

A•B |A||B|

 si y sólo si

θ = arc cos

 A•B . |A||B|

100

12.

E S PA C I O S V E C T O R I A L E S C O N P R O D U C T O I N T E R I O R

De paso, podemos hablar también de la proyección ortogonal de A sobre B (no nulos): π(A; B) = |A| cos θ, donde θ se define como en el párrafo inmediatamente anterior.

12.3

Y

GRAM–SCHMIDT Y BASES CANÓNICAS

A VIMOS EN EL CAPÍTULO ANTERIOR

que los espacios vectoriales rea-

les (de dos y tres dimensiones) poseen muchas bases. Ahora, con

la introducción del producto interior, podemos volver ortonormal a cualquier base dada. Este proceso se llama ortonormalización de Gram-Schmidt. Veamos. Comencemos por el plano con producto interior. Sea U , V una de sus posibles bases. Como |U | , 0, podemos normalizar a U , es decir, podemos volverlo unitario mediante U0 =

U . |U |

Esto nos da un primer vector de una nueva base. Para garantizar que el otro vector es ortogonal a U 0 , ponemos primero V 00 = V − π(V ; U 0 )U 0 . Claramente, V 00 es ortogonal a U 0 (¡verifíquelo!). Lo único que hace falta es dividir a V 00 entre su norma (no nula) para obtener el otro vector V0 =

V 00 . |V 00 |

De esta manera hemos logrado una nueva base U 0 , V 0 tal que U0 • V 0 = 0

y

|U 0 | = |V 0 | = 1.

12.3

GRAM–SCHMIDT Y BASES CANÓNICAS

101

Estas condiciones se toman como definición de base canónica u ortonormal del espacio vectorial real bidimensional con producto interior. De la misma manera, si U , V , W forman una base del espacio real tridimensional, entonces es siempre posible obtener una base canónica U 0 , V 0 , W 0 , o sea, U 0 • V 0 = U 0 • W 0 = V 0 • W 0 = 0 y |U 0 | = |V 0 | = |W 0 | = 1. Con esto hemos podido formalizar todas las nociones intuitivas de los vectores planos y espaciales. En otros términos, hemos reducido el estudio de la Geometría elemental a las consecuencias de un conjunto de axiomas bastante fáciles de recordar: los axiomas de espacio vectorial y los axiomas de producto interno.

EJERCICIOS

1.

Pruebe que en un espacio con producto interior de dos –o de tres– dimensiones, el vector nulo es ortogonal a todos los vectores del espacio.

2.

Aporte los detalles faltantes en la demostración de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. En particular, justifique completamente el valor negativo del discriminante de la ecuación cuadrática.

3.

Provea los detalles faltantes en el proceso de Gram-Schmidt para ortonormalizar vectores planos.

4.

Generalice el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt para lograr una base ortonormal U 0 , V 0 , W 0 de una base cual-

102

12.

E S PA C I O S V E C T O R I A L E S C O N P R O D U C T O I N T E R I O R

quiera U , V , W del espacio (tridimensional). Aproveche el concepto de proyección ortogonal. 5.

Pruebe que a. Si un vector plano A se expresa en una base ortonormal U , V como A = aU U + aV V , entonces |A|2 = a2U + a2V . b.

Si un vector del espacio A se expresa en una base ortonormal U , V , W como A = aU U + aV V + aW W , entonces |A|2 = a2U + a2V + a2W .

CAPÍTULO

E S PA C I O S

13

AFINES Y

MÉTRICOS

Todavía nos falta algo más para poder realizar la Geometría Euclidiana de manera formal con ayuda de los vectores. Se trata de un asunto sutil: los vectores nos dan traslaciones del espacio, pero hemos perdido en el camino los puntos del espacio. La manera de recuperar los puntos se hace con la noción de estructura de espacio afín. Una vez tengamos los puntos podremos definir la distancia entre ellos, con ayuda del producto interior. Esto hace que nuestros espacios con producto interior se vuelvan métricos, o sea, provistos

104

13.

E S PA C I O S A F I N E S Y M É T R I C O S

de una distancia. Por último, todo lo anterior nos permite definir coordenadas cartesianas. Y por fin: ¡quedamos listos para hacer Geometría Analítica!

13.1

E

E S PA C I O S A F I N E S

L ESPACIO AFÍN ASOCIADO A UN ESPACIO VECTORIAL (real, con produc-

to interior, de dos o tres dimensiones) es un espacio cuyos ele-

mentos se llaman puntos. La construcción se realiza formalmente, es decir, dichos puntos son objetos que satisfacen algunos axiomas. En concreto, un espacio afín A asociado a un espacio vectorial real E es un conjunto en el cual está definida una operación externa llamada diferencia, cuyo resultado se escribe P − Q ∈ E (es un vector), para cada par de puntos P , Q ∈ A. Esta operación debe cumplir con los siguientes axiomas: A1

Para todos P , Q ∈ A, P − Q = −(Q − P ).

A2

Para cualesquiera P , Q, R ∈ A, (P − Q) + (Q − R) = P − R.

A3

E LECCIÓN DEL ORIGEN. Fijado un O ∈ A cualquiera, a cada vector A ∈ E le corresponde un único punto P tal que P − O = A.

Los puntos se obtienes por A3. A cada vector A ∈ E le asignamos el punto (relativo a O) PA = O + A

, es decir, el punto tal que PA − O = A.

Aquí hemos abusado un poco del lenguaje, pero el sentido queda claro. La suma de puntos no está definida, pero sí la suma de un punto con un vector.

13.2

105

E S PA C I O S M É T R I C O S

13.2

U

E S PA C I O S M É T R I C O S

N PLANO EUCLIDIANO

(respectivamente, un espacio –tridimensio-

nal– euclidiano), es el espacio afín asociado a un espacio vecto-

rial real bidimensional (respectivamente tridimensional) con producto interior. Tales planos y espacios son métricos, puesto que en ellos se puede definir una métrica o distancia. Veamos. En un plano, o en un espacio euclidiano, se llama distancia entre los puntos P , Q al número real: d(P , Q) = |P − Q|.

T EOREMA 3 – La distancia entre dos puntos cualesquiera de un plano (o espacio euclidiano) A cumple las tres propiedades fundamentales siguientes: M1

S IMETRÍA. Para todos P , Q ∈ A, d(P , Q) = d(Q, P ).

M2

N O NEGATIVIDAD. Para todos P , Q ∈ A, d(P , Q) ≥ 0. Además, d(P , Q) = 0 si y sólo si P = Q.

M3

D ESIGUALDAD TRIANGULAR. Para cualesquiera P , Q, R ∈ A, d(P , Q) ≤ d(P , R) + d(R, Q).

Ver Figura 13.1.

Demostración. M1 y M2 son consecuencias inmediatas de la definición de magnitud de un vector. Para M3, ponemos por simplicidad A = P − Q, B = P − R y C = R − Q. Puesto que A = B + C, |A|2 = |B|2 + 2B • C + |C|2 .

106

13.

E S PA C I O S A F I N E S Y M É T R I C O S

F IGURA 13.1 – Noción abstracta de distancia.

Ahora bien, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, B • C ≤ |B||C|. Por lo tanto, |A|2 ≤ |B|2 + 2|B||C| + |C|2 = (|B| + |C|)2 . Y de aquí se sigue la desigualdad triangular.

13.3

U

C O O R D E N A DA S CA R T E S I A N A S

NA VEZ FIJAMOS UN ORIGEN

O ∈ A en un plano euclidiano y una

base U , V en su espacio vectorial subyacente E, podemos escri-

bir cada punto P del espacio en la forma P = O + uP U + vP V , para ciertos escalares únicos uP , vP ∈ R. Para simplificar la escritura, abreviaremos esta expresión bajo la forma P (uP , vP ), o mejor, P (u, v), si la información queda clara del contexto. La tripla (O; U , V ) constituye un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares para el plano euclidiano y los números reales

13.3

C O O R D E N A DA S CA R T E S I A N A S

107

uP , vP son las coordenadas cartesianas de P en dicho sistema coordenado. Queda claro que las coordenadas cartesianas del punto O son uO = vO = 0 ∈ R. De manera totalmente análoga, se puede definir un sistema de coordenadas cartesianas (O; U , V , W ) para el espacio euclidiano, con el cual cada punto P de este espacio queda descrito por tres coordenadas uP , vP , wp ∈ R. Nos interesa, naturalmente, estudiar propiedades geométricas del plano y el espacio euclidiano que no dependan de la elección de un sistema particular de coordenadas cartesianas. Por ello, podemos recurrir a la facilidad que provee una base ortonormal y referir los vectores a ella. En particular, la expresión para la distancia se hace muy sencilla con un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares planas (O; I, J), en el cual I, J forman una base canónica del plano. En efecto, dados dos puntos P (u, v) y Q(w, x) –en tal sistema de coordenadas cartesianas ortonormales– la distancia viene dada por

d(P , Q) =

q (u − w)2 + (v − x)2 .

Para dos puntos del espacio, de manera similar, se tiene –en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonormales o canónicas (O; I, J, K)– que la distancia entre P (u, v, y) y Q(w, x, z) es

q d(P , Q) =

(u − w)2 + (v − x)2 + (y − z)2 .

108

13.

E S PA C I O S A F I N E S Y M É T R I C O S

EJERCICIOS

1.

Explique con sus propias palabras la manera en que los axiomas A1 a A3 permiten recuperar la noción de punto de la Geometría Euclidiana.

2.

Provea los detalles faltantes en la demostración del Teorema 3.

3.

Demuestre en detalle la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano (y del espacio) para un sistema de coordenadas cartesianas ortonormales.

CAPÍTULO

R E C TA S

14

A B S T R AC TA S E N E L

PLANO

La formalización de los capítulos anteriores permite revisitar algunas nociones básicas de la Geometría en el nuevo contexto. Comenzaremos con el estudio de la recta en el plano euclidiano.

14.1

S

R E C TA S , E N C U E N T R O D E R E C TA S

EAN DOS PUNTOS DISTINTOS

P , Q en el plano euclidiano. Una recta

determinada por P , Q (o una recta que pasa por estos puntos) es

110

14.

R E C TA S A B S T R AC TA S E N E L P L A N O

el subconjunto L del plano euclidiano formado por los puntos X = P + u(Q − P ), donde u asume todos los valores reales. Tomando u = 0, se encuentra que P está en L; tomando u = 1, se tiene que Q está en L.

P ROPOSICIÓN 10 – El subconjunto L es el mismo para dos puntos cualesquiera en él. Es decir, el subconjunto L no depende de la elección de dos puntos diferentes particulares en él.

Demostración. Sean dos puntos P 0 = P + u 0 (Q − P )

y

Q0 = P + u 00 (Q − P ),

con P , Q, es decir, u 0 , u 00 . Consideremos el conjunto L0 de puntos X = P 0 + u(Q0 − P 0 ),

u ∈ R.

Como X = P + u 0 (Q − P ) + u(u 00 − u 0 )(Q − P ) = P + (u 0 − u(u 00 − u 0 )) (Q − P ) y la correspondencia u 7→ u 0 − u(u 00 − u 0 ) es biunívoca (biyección de la recta real), se tiene L = L0 . Por lo tanto, podemos hablar de la (artículo definido) recta determinada por dos puntos distintos cualesquiera en ella. El vector D = Q − P es un vector director de la recta, el cual indica su dirección. Con él la recta está dada por la expresión X = P + uD, para todos los u ∈ R.

14.1

R E C TA S , E N C U E N T R O D E R E C TA S

111

C OROLARIO 4 – L tampoco cambia si cambiamos a D por otro vector D 0 , que sea linealmente dependiente con D.

Ahora pasemos al encuentro de dos rectas. Decimos que dos rectas L y M son paralelas si, bien L = M; o bien, si L y M no se encuentran (L ∩ M = ∅). Sean, pues, dos rectas X = P + uD

y

X = R + vE,

con vectores directores D y E respectivamente (nótese que estos vectores no son nulos). Su encuentro está dado por la igualdad algebraica P + uD = R + vE

si y sólo si

P − R = vE − uD.

Los puntos de encuentro o intersección de las rectas quedan determinados por los valores u, v ∈ R que verifican esta última igualdad. De esta manera, distinguimos los siguientes casos: •

D, E son linealmente dependientes. Cuando P = R, las dos rectas coinciden y así, son paralelas. Cuando P , R, las rectas no se encuentran y, por lo tanto, también son paralelas.

•

D, E son linealmente independientes. Si P = R, las dos rectas se encuentran en el único punto P = R. Si P , R, las dos rectas se encuentran en un único punto.

Con lo anterior, se cumplen los mismos resultados de la Geometría Euclidiana. Sin embargo, debemos observar que las razones son puramente algebraicas. El lector deberá ser capaz de proveer dichas razones. En particular, llamamos la atención sobre el hecho de que las rectas son paralelas precisamente en el caso en que los

112

14.

R E C TA S A B S T R AC TA S E N E L P L A N O

vectores directores D, E son linealmente dependientes. En el caso contrario, las rectas son concurrentes, o sea, se encuentran en un punto (consecuencia del primer postulado de Euclides). Por si fuera poco, también hemos encontrado otro hecho muy famoso e importante: por un punto exterior a una recta pasa una y solo una recta paralela a ella (quinto postulado o de las paralelas).

14.2

U

E C UAC I Ó N CA R T E S I A N A D E L A R E C TA

NA VEZ ESCOGIDO UN SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS rectan-

gulares (O; U , V ), referimos los puntos de interés a él: X = O + xU + yV , P = O + uP U + vP V , Q = O + uQ U + vQ V .

En este sistema, la ecuación X = P + u(Q − P ) se escribe     xU + yV = uP + u(uQ − uP ) U + vP + u(vQ − vP ) V . Por lo tanto, x = uP + u(uQ − uP ), y = vP + u(vQ − vP ). Éstas son las ecuaciones paramétricas de la recta en el plano, es decir, las coordenadas se expresan como funciones del parámetro u. También es posible (siempre y cuando no incurramos en una división por cero) eliminar este parámetro para obtener y − vP x − uP = . uQ − uP vQ − vP

14.2

E C UAC I Ó N CA R T E S I A N A D E L A R E C TA

113

O mejor, (vQ − vP )x − (uQ − uP )y − uP (vQ − vP ) + vP (uQ − uP ) = 0. Esto se simplifica a (vQ − vP )x − (uQ − uP )y + (vP uQ − uP vQ ) = 0. Poniendo α = vQ − vP , β = −(uQ − uP ) y γ = (vP uQ − uP vQ ), obtenemos la ecuación cartesiana de la recta en el plano αx + βy + γ = 0. Se trata de una ecuación lineal en las variables x, y. Observemos que α y β no pueden anularse al mismo tiempo porque los puntos P , Q son distintos. Para devolvernos, dada una ecuación cartesiana, podemos encontrar dos puntos que determinen una recta. Por ejemplo, si α , 0, entonces tenemos una recta que pasa por los puntos P (0, −γ/β) y Q(1, −(α + γ)/β). Si α = 0, se trata de la recta que para todo valor de x tiene y = −γ/β. En particular, pasa por los puntos P (0, −γ/β) y Q(1, −γ/β). Con las anteriores reflexiones hemos probado que la ecuación cartesiana de la recta no es única: si λ ∈ R es distinto de cero, entonces las ecuaciones αx + βy + γ = 0 describen la misma recta.

y

(λ · α)x + (λ · β)y + λ · γ = 0

114

14.

14.3

H

R E C TA S A B S T R AC TA S E N E L P L A N O

R E C TA S M É T R I CA S

ASTA AHORA NO HEMOS USADO

el producto interior, ni la métrica

que viene con él. En otras palabras, nos hemos limitado al estu-

dio afín de la recta. Enseguida estudiamos una manera de describir la recta con ayuda de dicho producto interior.

L EMA 1 – Sea A un vector plano no nulo. Entonces, existen infinitos vectores A0 (no nulos) que son ortogonales a A.

Demostración. Sea B un vector plano linealmente independiente con A. Un vector ortogonal a A se puede obtener por el proceso de Gram-Schmidt: A0 = B − π(B; A)

A . |A|

Ahora, todos los múltiplos escalares de rA0 , r ∈ R también son ortogonales a A. Con esto, tomemos una recta formada por los puntos X − P = u(Q − P ) = uD, tal como antes. Puesto que el vector director D = Q − P , 0, podemos encontrar, tal como en el lema, un vector (no nulo) N ortogonal a él. Luego de multiplicar escalarmente esta última ecuación por N , obtenemos N • (X − P ) = 0. Recíprocamente, supongamos que esta relación se cumple para cierto punto X. Como N es ortogonal a D, los vectores D, N forman

14.3

115

R E C TA S M É T R I CA S

una base del plano. Escribamos, pues, X − P = uD + vN . Luego de multiplicar escalarmente por N , tenemos que v|N |2 = O. Así, v = 0 y X − P = uD. Es decir, X es un punto de la recta. La ecuación N • (X − P ) = 0 constituye, pues, otra manera de describir la recta, dado un punto en ella y un vector normal u ortogonal a ella misma. Ciertamente, esta representación de la recta nos permite reencontrar la ecuación cartesiana de la recta. Sea (O; U , V ) un sistema cartesiano ortonormal del plano, en el cual escribimos X − P = (O + xU + yV ) − (O + uP U + vP V ), N = αU + βV . Entonces, αx + βy − (αuP + βvP ) = 0. De manera que tenemos que γ = −(αuP + βvP ). Distancia de una recta al origen Esta última ecuación nos dice que la ecuación de una recta se puede describir como N • (X − O) = −γ. Sea ahora P el pie de la perpendicular del origen O sobre esta recta. Así pues, se cumplen dos condiciones; •

|N • (P − O)| = |γ|, ya que P1 yace en la recta, y

•

|N • (P − O)| = |N | · d, donde d es la distancia de O a la recta, por la definición de producto escalar. Ciertamente, N y P − O son linealmente dependientes.

Por lo tanto, d=

|γ| |γ| =p . |N | α2 + β2

116

14.

R E C TA S A B S T R AC TA S E N E L P L A N O

Ángulo entre dos rectas Con el producto interior y su métrica también podemos hablar del ángulo que forman dos rectas. El ángulo entre dos rectas es simplemente el ángulo que forman sus vectores directores. En concreto, si X − P = uD

y X 0 − P 0 = u0 D 0

son las ecuaciones de dos rectas, el ángulo θ entre ellas es aquel que satisface cos θ =

D • D0 . |D||D 0 |

Si las rectas están dadas en la forma N • (X − P ) = 0

N 0 • (X 0 − P 0 ) = 0,

y

θ cumple también cos θ =

N • N0 . |N ||N 0 |

¿Por qué?

EJERCICIOS

1.

Demuestre el C OROLARIO 4.

2.

En relación con el encuentro de las rectas X = P + uD

y X = R + vE,

justifique algebraicamente los distintos casos presentados para los puntos P , Q y los vectores D, E.

14.3

3.

117

R E C TA S M É T R I CA S

Pruebe que la ecuación cartesiana de la recta se puede escribir en forma de determinante como u − u v − v u vP P Q P Q P = − u x y Q vQ

4.

.

Pruebe que dos ecuaciones cartesianas αx + βy + γ = 0

y

α0 x + β0 y + γ 0 = 0

describen la misma recta si y sólo si α0 β0 γ 0 = = = λ , 0. α β γ Esta identidad debe entenderse en el sentido de que al menos dos de estas fracciones existen. 5.

Demuestre que dos ecuaciones αx + βy + γ = 0

y

α0 x + β0 y + γ 0 = 0

describen rectas paralelas distintas si y sólo si α0 β0 γ 0 = , . α β γ La identidad y la desigualdad deben interpretarse en el mismo sentido del ejercicio anterior. 6.

Use la ecuación de la recta en la forma N • (X − P ) = 0 para demostrar que la ecuación de la recta paralela –a una recta dada– por un punto R es N • (X − R) = 0.

7.

Suponga que la ecuación de una recta está dada en la forma X − P = uD. Pruebe que la recta perpendicular a ella por el punto M está dada por (X − M) • D = 0.

118

8.

14.

R E C TA S A B S T R AC TA S E N E L P L A N O

Suponga que una recta está dada en la forma (X − P ) • N = 0. Pruebe que la recta perpendicular a ella por M queda descrita por X − M = uN .

9.

Sea una recta L dada por αx+βy +γ = 0 y sea R = O+uR U +vR V un punto, expresado en cierto sistema cartesiano ortonormal (O; U , V ). Pruebe que la distancia de R a L se puede hallar fácilmente mediante d=

|αuR + βvR + γ| . p α2 + β2

10. ¿Por qué el ángulo entre dos rectas es igual al ángulo entre dos vectores ortogonales a ellas?

CAPÍTULO

R E C TA S

15

Y PLANOS EN EL

E S PA C I O

El concepto de recta en el espacio es muy parecido al análogo en el plano. Sin embargo, en el espacio aparecen los planos como elementos importantísimos para entender su geometría.

15.1

P

R E C T A S E N E L E S PA C I O

ARTIMOS DE UN CONCEPTO

totalmente similar, en cuanto forma, al

de las rectas planas. Por este parecido, nuestra presentación

120

15.

R E C T A S Y P L A N O S E N E L E S PA C I O

será más rápida y con menos detalles, los cuales quedan de tarea para el lector. Sean P , Q puntos del espacio euclidiano. Una (la) recta determinada por dos puntos P , Q es el subconjunto L del espacio cuyos puntos son X = P + u(Q − P ) = P + uD,

u ∈ R,

donde D = Q − P es el vector director de la recta. Dadas dos rectas X = P + uD

y X = R + uE,

el ángulo entre ellas es –como antes– aquel ángulo θ tal que cos θ =

D •E . |D||E|

Si, al elegir un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares (O; I, J, K) –donde I, J, K forman una base canónica–, escribimos D = dI I + dJ J + dK K

y E = eI I + eJ J + eK K,

entonces dI eI + dJ eJ + dK eK cos θ = q . q 2 dI2 + dJ2 + dK2 eI2 + eJ2 + eK Para encontrar la ecuación cartesiana o coordenada de la recta usamos el mismo sistema cartesiano (O; I, J, K): X = O + xI + yJ + zK, P = O + pI I + pJ J + pK K, Q = O + qI I + qJ J + qK K.

15.2

121

P L A N O S E N E L E S PA C I O

Así pues, las ecuaciones paramétricas de la recta son x = pI + u(qI − pI ), y = pJ + u(qJ − pJ ), z = pK + u(qK − pK ). Eliminando u e igualando, se obtienen las ecuaciones cartesianas y − pJ x − pI x − pK = = . qI − PI qJ − PJ qK − PK Aquí vale la convención usual: estas ecuaciones valen siempre y cuando el denominador no sea nulo.

15.2

U

P L A N O S E N E L E S PA C I O

N PLANO DETERMINADO

por tres puntos no colineales P , Q, R es un

subconjunto Π del espacio cuyos puntos tienen la forma X = P + u(Q − P ) + v(R − P ),

donde los escalares u, v asumen todos los valores reales. El siguiente resultado se deja como ejercicio:

P ROPOSICIÓN 11 – El conjunto Π queda determinado por tres puntos cualesquiera (no colineales) en él. O sea, no depende de la elección particular de dichos puntos.

Con esto, podemos hablar del único plano en el espacio determinado por tres puntos que no yazcan en una misma recta.

122

15.

R E C T A S Y P L A N O S E N E L E S PA C I O

Los puntos del plano dependen, pues, de dos parámetros u, v y dos vectores directores D = Q − P y E = R − P : X = P + uD + vE,

(u, v) ∈ R2 .

De paso, observamos que Π se puede representar con otro par de vectores directores D 0 , E 0 , correspondientes a otra elección de los tres puntos no colineales que determinan dicho plano. Algunas ecuaciones del plano Tal como antes, introduciendo un sistema de coordenadas cartesianas (O; I, J, K) y empleando la notación anterior para los puntos P , Q, R, las ecuaciones paramétricas del plano están dadas por x = pI + u(qI − pI ) + v(rI − pI ), y = pJ + u(qJ − pJ ) + v(rJ − pJ ), z = pK + u(qK − pK ) + v(rK − pK ). A diferencia de las rectas, los planos se describen con dos parámetros u, v. Otra forma de describir los puntos del plano se logra como sigue. Sea N un vector ortogonal a cada uno de los vectores Q − P y R − P (¿cómo se puede hacer esto?). Es decir, N •(Q −P ) = N •(R−P ) = 0. De esta manera, al multiplicar escalarmente a X − P = u(Q − P ) + v(R − P ) por N , se obtiene N • (X − P ) = 0. Ahora podemos sacar provecho de las propiedades del espacio afín: X − P = (X − O) − (P − O).

15.3

123

Á N G U L O S E N E L E S PA C I O

Así obtenemos la expresión muy útil N • (X − O) = δ, donde δ = N • (P − O). Esta ecuación resulta ser equivalente a la ecuación vectorial paramétrica original. Busquemos ahora ecuaciones en coordenadas cartesianas. Primero notemos que N • (X − P ) = 0 se escribe en dichas coordenadas como nI (x − pI ) + nJ (y − pJ ) + nK (z − pK ) = 0. Esta expresión también se puede simplificar un poco en nI x + nJ y + nK z = δ. No hemos hecho tampoco el ejercicio de eliminar los parámetros en las ecuaciones paramétricas. Después de organizar las soluciones se llega a x − p I [X − P , Q − P , R − P ] = qI − pI r − p I I

y − pJ qJ − pJ rJ − pJ

z − pK qK − pK = 0. rK − pK

Esta es la llamada ecuación cartesiana o coordenada del plano en el espacio.

15.3

L

Á N G U L O S E N E L E S PA C I O

A ESTRUCTURA MÉTRICA DEL PLANO

también nos ayuda a sistematizar

algunos procedimientos que ya habíamos encontrado en nuestro

estudio de la trigonometría esférica.

124

15.

R E C T A S Y P L A N O S E N E L E S PA C I O

Ángulo entre dos planos Para encontrar el ángulo que forman dos planos conviene describirlos en términos de los vectores normales. Sean, pues, dos planos tales dados por N • (X − P ) = 0

N 0 • (X − P 0 ) = 0,

y

respectivamente. Por nuestra experiencia anterior, definimos el ángulo ϑ entre estos dos planos como aquel tal que cos ϑ =

N • N0 . |N ||N 0 |

De aquí que digamos los planos son perpendiculares si N • N 0 = 0. También diremos que ellos son paralelos si existe un escalar n , 0 tal que N 0 = nN . Al escribir, en un sistema cartesiano ortonormal, N = nI I + nJ J + nK K, N 0 = n0I I + n0J J + n0K K,

obtenemos nI n0I + nJ n0J + nK n0K cos ϑ = q . q n2I + n2J + n2K (n0I )2 + (n0J )2 + (n0K )2 Ángulo entre una recta y un plano De manera similar, sea una recta y un plano en el espacio dados respectivamente por X = P + uD

y N • (X − O) = δ.

15.3

125

Á N G U L O S E N E L E S PA C I O

El ángulo ϑ entre la recta y el plano es aquel que produce cos ϑ =

D •N . |D||N |

EJERCICIOS

1.

Demuestre la P ROPOSICIÓN 11.

2.

En relación con la ecuación del plano N • (X − P ) = 0, explique cómo encontrar un vector N que sea ortogonal a Q − P y a R−P.

3.

Elimine los parámetros u, v de las ecuaciones paramétricas del plano para obtener [X − P , Q − P , R − P ] = 0.

4.

Demuestre que la distancia desde un punto P (pI , pJ , pK ) a un plano, descrito por la ecuación nI x + nJ y + nK z = δ, está dada por d=

5.

|nI pI + nJ pJ + nK pK − δ| . q n2I + n2J + n2K

Proponga y demuestre una fórmula útil para determinar la distancia de una recta a un plano. Por supuesto, el caso interesante se da cuando la recta no corta el plano. Este hecho simplifica el problema.

6.

En relación con la fórmula para el ángulo entre dos planos nI n0I + nJ n0J + nK n0K cos ϑ = q , q n2I + n2J + n2K (n0I )2 + (n0J )2 + (n0K )2 pruebe que los dos planos son paralelos y distintos si nI nJ nK δ 0 = 0 = 0 , 0, nI nJ nK δ

126

15.

R E C T A S Y P L A N O S E N E L E S PA C I O

donde δ y δ0 son las constantes que aparecen en las ecuaciones de los planos N • (X − O) = δ

y

N 0 • (X − O) = δ0 .

Demuestre que si la última desigualdad es igualdad, es decir, si nI nJ nK δ 0 = 0 = 0 = 0, nI nJ nK δ entonces los dos planos coinciden totalmente. 7.

Defina lo que se debe entender por recta perpendicular a un plano. Defina también recta paralela a un plano.

APÉNDICES

Tant que l’Algèbre et la Géométrie ont été séparées, leurs progrès ont été lents et leurs usages bornés; mais lorsque ces deux sciences se sont réunies, elles se sont prêté des forces mutuelles et ont marché ensemble d’un pas rapide vers la perfection. Joseph-Louis Lagrange en Leçons élémentaires de mathématiques

APÉNDICE

SECCIONES

A

CÓNICAS

Mientras el Álgebra y la Geometría han estado separadas, su progreso ha sido lento y sus aplicaciones limitadas; pero cuando estas dos ciencias se han rencontrado, se han fortalecido mutuamente y han caminado juntas hacia la perfección. Joseph-Louis Lagrange en Leçons élémentaires de mathématiques

En estos apéndices que siguen queremos mostrar la validez de esta afirmación de Lagrange para el estudio de esas famosas curvas llamadas secciones cónicas. Ellas son curvas cuadráticas y así, van más allá de la linealidad a la que nos hemos apegado en este libro.

A.1 CIRCUNFERENCIA, ESFERA, CONO

A.1

129

CIRCUNFERENCIA, ESFERA, CONO

C

OMENCEMOS PUES , POR SALIRNOS

de lo lineal para considerar cier-

tas figuras más complicadas.

En un plano euclidiano provisto de un sistema cartesiano canónico (O; I, J), la circunferencia de radio r > 0 centrada en el punto O + hI + kJ es el subconjunto de puntos X = O + xI + yJ tales que (x − h)2 + (y − k)2 = r 2 . Esto es una sencilla consecuencia de nuestra fórmula para la distancia dada al final del Capítulo 13, la cual se suele llamar ecuación cartesiana de la circunferencia. Cuando el centro es el mismo origen de coordenadas, esta ecuación se reduce a x2 + y 2 = r 2 . De manera similar, sea (O; I, J, K) un sistema coordenado cartesiano ortonormal del espacio euclidiano. La esfera de radio r > 0 centrada en el punto O + hI + kJ + lK es el conjunto de puntos del espacio X = O + xI + yJ + xK tales que (x − h)2 + (y − k)2 + (z − l)2 = r 2 . Ésta es la ecuación cartesiana de la esfera, la cual se simplifica a x2 + y 2 + z2 = r 2 . cuando su centro coincide con el origen. Ahora bien, un cono circular recto –o simplemente cono para lo que sigue– es para nosotros la superficie obtenida por rotación de

130

A. SECCIONES CÓNICAS

Cono de revolución o cono circular recto. una recta alrededor de otra recta a la cual encuentra en un único punto. Dicho punto es el vértice del cono y la recta rotada es la generatriz del cono. Por facilidad, tomamos al eje de rotación como vertical, es decir, en la dirección que determina el vector K (eje z). Supongamos que la recta generatriz forma un ángulo β con un plano normal al eje del cono. Entonces, puesto que dicho cono se puede considerar como la reunión de circunferencias con centros en el eje de rotación, los puntos X = O+xI +yJ +xK del cono satisfacen la relación o ecuación cartesiana z2 = (x2 + y 2 ) tan2 β. Esto se puede entender con ayuda de una vista lateral del cono. En particular, si β = 45◦ , entonces z2 = x2 + y 2 .

Esta manera de considerar las figuras mediante fórmulas algebraicas comenzó a tomar fuerza desde los albores de la Modernidad. En el siglo XVI puede verse ya en los trabajos de François Viète (1540–

A.2 SECCIONES O CORTES DE UN CONO

131

Vista lateral del cono. 1603). En el sorprendente siglo XVII, sobresale en las obras de Pierre ´ de Fermat (1601–1665) y René Descartes (1596–1650). La Geometría Analítica es el estudio de conjuntos de puntos descritos mediante expresiones algebraicas. Así, ella plantea dos tipos de problemas básicos: • Dado un lugar geométrico, cuyos puntos satisfacen ciertas condiciones, determinar su representación algebraica. • Dada la ecuación o representación algebraica en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación.

A.2

SECCIONES O CORTES DE UN CONO

A

L LADO DEL MAESTRO

E UCLIDES , se erige en las matemáticas grie-

gas de la Antiguedad el nombre de Apolonio de Perga (ca.

132

A. SECCIONES CÓNICAS

262–ca. 190 A.C.). Su opus magnum está formada por los ocho libros de Las Cónicas o Elementos de las Cónicas. Parte de ellas se conserva en el original griego, parte en traducción árabe. El octavo libro está desaparecido.

Edición medieval de las Cónicas de Apolonio, corregida y reconstruida. Como el título lo indica, para Apolonio las curvas que nos ocupan resultan de las secciones o cortes de un plano con un cono –no necesariamente recto como el que consideramos aquí–. Las distintas secciones cónicas dependen de la inclinación del plano con respecto a la generatriz del cono, que tiene dos hojas. Veamos. Para comenzar descartamos dos casos triviales, a saber: • Si el plano pasa por el vértice, se obtiene un punto (el mismo vértice), o bien una recta, o bien dos triángulos no acotados. Como ya hemos estudiado tales figuras, este

A.2 SECCIONES O CORTES DE UN CONO

133

caso lineal no merece mayor atención. • Si el plano no pasa por el vértice y es ortogonal al eje de rotación –es decir, si z es constante– obtenemos una circunferencia. Dicho esto, nos concentramos en los casos interesantes. D EFINICIÓN . Una sección cónica es el lugar geométrico o conjunto de puntos del espacio euclidiano donde se encuentra un cono y un plano que no pasa por el vértice ni es ortogonal al eje (de rotación) del cono. La excentricidad de dicho lugar de encuentro o intersección es la cantidad =

sen α , sen β

donde α es el ángulo de inclinación del plano con respecto a un plano ortogonal al eje del cono.

Vista lateral del cono con un plano secante. La palabra excentricidad proviene del latín medieval eccentricus (del griego ἐκ-κέντρος), alejado o corrido del centro. Se trata de un

134

A. SECCIONES CÓNICAS

concepto prometedor. En verdad, en el caso de la circunferencia, su centro yace en el eje de rotación o “centro del cono”. En el caso general, sin embargo, ¿qué debemos entender por centro de una cónica? Dejémonos llevar más por la intuición, como lo hemos hecho sobradamente hasta el momento. La curva que hemos llamado circunferencia es una cónica que se obtiene cuando el plano de corte es ortogonal al eje. Si el plano secante es paralelo a la (una) generatriz del cono, la “curva” obtenida es una parábola. Si el plano secante no es perpendicular al eje, ni paralelo a una generatriz y corta una única hoja del cono, obtenemos una elipse. Por último, si el plano no es perpendicular al eje ni paralelo a una generatriz y encuentra las dos hojas del cono, obtenemos una hipérbola.

Intuición de las cónicas.

A.3

L

CARACTERIZACIÓN DE LAS

(SECCIONES)

AS CÓNICAS POSEEN OTRA PROPIEDAD DEFINITORIA ,

CÓNICAS

la cual se atribu-

ye generalmente a Germinal Pierre Dandelin (1794–1847), mate-

mático belga, soldado y profesor de ingeniería.

A.3 CARACTERIZACIÓN DE LAS

(SECCIONES)

CÓNICAS

135

L EMA DE DANDELIN ( DEFINICIÓN APOLONIANA ). Sea dada una (sección) cónica (no trivial). Entonces, en el plano de corte existen un punto F y una recta L, que no pasa por F, tales que, para todo punto X en la cónica, d(X, F) =  = constante, d(X, L) donde  es la mentada excentricidad de la cónica. La distancia del punto X a la recta L se toma en el sentido euclidiano (distancia mínima en la perpendicular de X sobre L). El punto F se llama foco y la recta L se llama directriz de la cónica. Demostración. Nos ayudamos de una vista lateral como las que hemos usado más arriba. Naturalmente, 0 < α ≤ 90◦ y 0 < β < 90◦ .

Esfera de Dandelin. Consideremos la esfera inscrita en el cono que se encuentra con el plano secante en el punto de tangencia F, en el plano secante. Esta esfera, conocida como esfera de Dandelin, aparece como una circunferencia en nuestra representación o vista plana. Dicha esfera

136

A. SECCIONES CÓNICAS

se corta con el cono en cierta circunferencia K, que aparece como un segmento en nuestra vista lateral. Sea L la recta de encuentro entre el plano de corte y el plano que contiene a esta circunferencia (punto ahuecado en el dibujo, con la misma letra denotamos tanto la recta como su intersección con el plano del dibujo). Tomemos, pues, un punto cualquiera X de la cónica, o sea, un punto que yace tanto en el cono como en el plano secante. Debemos encontrar una expresión sencilla para

d(X,F) . d(X,L)

Primero que todo, ubicamos el

punto E en la circunferencia K tal que d(X, F) = d(X, E). Su existencia se desprende de nuestro conocimiento de la Geometría Euclidiana. Con esto, d(X, F) d(X, E) = . d(X, L) d(X, L) Ahora bien, por el punto X trazamos • el plano ortogonal al eje del cono, al cual llamamos P 1, ← → • el plano P 2, paralelo a la generatriz EX del cono, el cual contiene a la recta L. • el plano P 3, que contiene a los puntos X, F y E (plano de la vista plana lateral). Notemos que la existencia de estos tres planos está justificada vectorialmente. Sea E 0 el punto donde se encuentran los planos P 1, P 2 y P 3. Nos quedamos, pues, con el 4XE 0 L en el plano de nuestra vista lateral: d(X, E) `(E 0 L) = . d(X, L) `(XL) Finalmente, por la ley del seno, `(E 0 L) `(XL)

=

sen α sen α = = . ◦ sen(180 − β) sen β

A.3 CARACTERIZACIÓN DE LAS

(SECCIONES)

CÓNICAS

137

D EFINICIÓN . Una elipse es una sección cónica para la cual α < β ( < 1). Una parábola es una sección cónica con α = β ( = 1). Una sección cónica con α > β ( > 1) es una hipérbola. En el próximo apéndice dotaremos al plano secante con coordenadas cartesianas apropiadas para obtener ecuaciones sencillas para las secciones del cono.

APÉNDICE

CÓNICAS

B

EN CUANTO

C U R VA S P L A N A S

Las secciones cónicas están contenidas en el plano secante. Resulta muy conveniente estudiarlas como subconjuntos o lugares geométricos de dicho plano. En particular, se obtienen ecuaciones cuadráticas muy sencillas para estudiarlas.

B.1

EJES DE SIMETRÍA

U

N EJE DE SIMETRÍA

de una sección cónica es una recta en el plano

de corte tal que la reflexión alrededor de ella envía la cónica

B.1 EJES DE SIMETRÍA

139

considerada sobre sí misma. Tomamos, pues, como universo a dicho plano de corte. Por lo visto en el Apéndice anterior, la perpendicular S de un foco F sobre la directriz L es un eje de simetría para cualquier cónica C. Un punto V de intersección de C con un eje de simetría es un vértice de la cónica.

Eje de simetría, vértice y latus rectum. Sea ` la distancia entre los dos puntos de una cónica que yacen sobre la perpendicular a un eje de simetría S que se levanta por un foco F. Este parámetro se llama (ver Figura) latus rectum de C y es importante porque indica el tamaño de la cónica. En la Figura se muestra la mitad de dicho “lado recto” y la otra mitad es su reflexión sobre S, por definición de eje de simetría. Por el Lema de Dandelin aplicado al vértice V , d(V , F) = . d(V , L) Además, si G denota un extremo del segmento que define el latus

140

B . C Ó N I C A S E N C U A N T O C U R VA S P L A N A S

rectum, debemos tener que d(G, F) `/2 = = d(G, L) d(O, F)

si y sólo si d(O, F) =

`/2 , 

donde O es el pie de la perpendicular de F sobre L. Según el tipo particular, una cónica (no trivial) puede tener uno o dos ejes de simetría. L EMA DE LOS EJES DE SIMETRÍA . •

Las parábolas tienen un único eje de simetría.

•

Las elipses y las hipérbolas tienen dos ejes de simetría.

Demostración. Sea  > 0 una excentricidad cualquiera de una parábola, una elipse o una hipérbola. Introducimos un sistema ortonormal de coordenadas cartesianas (O; I, J) en el plano secante, tomando como origen al pie O en la Figura de arriba y vectores unitarios en las direcciones de O “hacia la derecha” y desde O “hacia arriba”. Con esto, tenemos que X = O + xI + yJ, F =O+

` I + 0J. 2

La ecuación cartesiana de la recta L es x = 0 de tal suerte que d(X, L) = x. Por la caracterización de Dandelin, usando la fórmula de la distancia al cuadrado, ` x− 2

!2 + y 2 = 2 x2 .

O sea, ! ` `2 2 (1 −  )x − x + + y = 0.  42 2

2

B.1 EJES DE SIMETRÍA

141

En el caso de una parábola ( = 1), la ecuación no es cuadrática en x y así, hay dos valores de y para cada x ∈ R, x > `/2 > 0. Y no más: un sólo eje de simetría. La Figura anterior ilustra muy bien la situación. En verdad, dicha Figura ha sido dibujada con  = 1. En el caso de una hipérbola o una elipse ( , 1), es posible resolver x (ecuación cuadrática):   s ! !2  2  ` ` 1  `  2) 2   ± − 4(1 −  + y x=    2(1 − 2 )   42   s !2   1  ` `  . 2 )y 2   ± = − (1 −   2  1 − 2  2 Así para cada y hay dos valores de x; y para cada x, dos valores de y. Es decir, hay dos ejes de simetría. y = 0 es un eje de simetría para cualquier tipo de cónica. Observamos que el análisis de las secciones cónicas se ha reducido a un análisis algebraico de las soluciones a ciertas ecuaciones de segundo grado. Y dicho análisis va más allá... En una hipérbola ( > 1), para cualquier valor real de y, hay dos valores reales de x. De paso, las x no asumen ciertos valores:     ` 1 ` ` 1 ` x≤ +1 = yx≥ −1 = . 2 2 2(1 − ) 2(1 + ) 2(1 −  )  2(1 −  )  De este modo, una hipérbola tiene dos vértices V =O+

` I + 0J 2(1 + )

y V0 =O+

` I + 0J. 2(1 − )

Asimismo, el nuevo eje de simetría S 0 de una hipérbola es simplemente la bisectriz perpendicular del segmento V V 0 : x =

` . 2(1−2 )

El

142

B . C Ó N I C A S E N C U A N T O C U R VA S P L A N A S

punto M =O+

` I + 0J 2(1 − 2 )

se llama centro de la hipérbola. Dicha hipérbola tiene, entonces, otra directriz L0 con ecuación x=

` (1 − 2 )

y otro foco en F0 = O +

  ` 1 1 ` 1 + 2 − I + 0J. I + 0J = O +  1 − 2 2 2 1 − 2

Con este foco F 0 y la directriz L0 se obtiene una nueva rama para cada hipérbola.

Vértices, focos y directrices de una hipérbola. Más aún, en un hipérbola vale lo siguiente. P ROPOSICIÓN . La directriz L0 y el punto F 0 sirven para definir la misma hipérbola de excentricidad  > 1. Es decir, todo punto X dicha hipérbola satisface d(X, F 0 ) = . d(X, L0 )

B.1 EJES DE SIMETRÍA

143

Demostración. En primer lugar, sabemos que las reflexiones son isometrías del plano. Así, en la figura de abajo, d(X 0 , F 0 ) = d(X, F) = d(X, L) = d(X 0 , L0 ). En particular, esto permite reducir la tesis al estudio de los triángulos 4F 0 X 0 P 0 y 4F 0 XP 0 .

Otro foco, otra directriz. Aquí reconocemos la situación que nos llevó a definir la recta proyectiva en la Sección 9.1. Poniendo convenientemente el origen vectorial en el punto P 0 , tenemos que −−−→ −−−→ | P 0X | | F0 X | −−−−→ = −−−−→ . | P 0 X0 | | F0 X0 | Con esto,

−−−→ −−−−→ d(X, F 0 ) | F 0 X | | F 0 X 0 | = −−→ = −−−−→ = , d(X, L0 ) | − P 0X | | P 0X0 |

por reflexión. La demostración resulta de la aplicación de un principio proyectivo, el cual resulta ser solamente la “punta del iceberg” de la íntima relación de las cónicas con la Geometría Proyectiva.

144

B . C Ó N I C A S E N C U A N T O C U R VA S P L A N A S

Para una elipse ( < 1), el análisis es similar. Esta vez, sin embargo, los valores de y están acotados por la condición siguiente sobre el discriminante: ` 2

!2 − (1 − 2 )y 2 ≥ 0

si y sólo si

` ` − √ ≤y≤ √ . 2 2 1− 2 1 − 2

Por lo tanto, los valores de x también están limitados (puntos con y = 0): ` ` ≤x≤ . 2(1 + ) 2(1 − ) El nuevo eje de simetría S 0 es, de nuevo, x =

` 2(1−2 )

` y M = O + 2(1− 2) I +

0J es el centro de la elipse. En consecuencia, una elipse tiene cuatro vértices: ` I + 0J, 2(1 + ) ` V 00 = O + 0I + √ J, 2 1 − 2

` I + 0J, 2(1 − ) ` V 000 = O + 0I − √ J. 2 1 − 2 V0 =O+

V =O+

La nueva directriz L0 es, otra vez, x = F0 = O +

` . (1−2 )

El nuevo foco es también

` 1 + 2 I + 0J. 2 1 − 2

P ROPOSICIÓN . La directriz L0 y el punto F 0 sirven para definir la elipse de excentricidad  < 1. O sea, todo punto X de la elipse es tal que d(X, F 0 ) = . d(X, L0 ) ¡Hubiésemos podido presentar con una sola redacción a la hipérbola y la elipse juntas!

B.2 DEFINICIONES COMUNES

145

Vértices, focos y directrices de una elipse. B.2

DEFINICIONES COMUNES

C

ON LO QUE TENEMOS

podemos dar definiciones más sencillas y

prácticas para las secciones cónicas (no triviales) que estamos

estudiando. T EOREMA ( DEFINICIONES USALES DE LAS CÓNICAS ). • Una parábola es el lugar geométrico de los puntos en el plano euclidiano que equidistan de una recta (directriz) y un punto exterior a ella (foco). • Una elipse es el lugar geométrico formado por los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es una cantidad constante, mayor que la distancia entre tales puntos fijos. • Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano euclidiano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre tales focos.

146

B . C Ó N I C A S E N C U A N T O C U R VA S P L A N A S

Demostración. Para una parábola,  = 1 y la caracterización de Dandelin coincide con la nueva definición. Para una elipse,  < 1 y tenemos un nuevo eje se simetría. Por lo tanto, si X es un punto de una elipse y X 0 es el punto reflejado por tal simetría, d(X, F) + d(X, F 0 ) = d(X, F) + d(X 0 , F) = (d(X, L) + d(X 0 , L)) =

` . 1 − 2

Esta cantidad es constante para cada elipse y mayor que la distancia entre los focos (debido a la desigualdad triangular). Para las hipérbolas,  > 1 y el procedimiento es similar, teniendo la precaución de tomar el valor absoluto. B.3

L

ECUACIONES CARTESIANAS

AS SECCIONES CÓNICAS

se pueden representar algebraicamente

por otras ecuaciones cartesianas sencillas y llenas de significado.

Para encontrarlas, basta ubicar el origen de coordenadas en lugares convenientes. Origen en el vértice Tomemos como origen de coordenadas al vértice V de una cónica. Entonces, en la expresión de partida (comienzo de este capítulo) ! ` `2 2 + y = 0, (1 −  )x − x +  42 2

2

` hacemos x = ξ + 2(1+) , para obtener

` (1 −  ) ξ + 2(1 + ) 2

!2

! ! ` ` `2 2 − ξ+ + + y = 0.  2(1 + ) 42

B.3 ECUACIONES CARTESIANAS

147

Por simplificación algebraica, esta ecuación se convierte en (1 − 2 )ξ 2 − `ξ + y 2 = 0. De esta manera, la ecuación de la parábola referida a su vértice es y 2 = `ξ. Notemos que la parábola es una cónica sin centro. Además, si consideramos el caso límite (principio de continuidad)  = 0, encontramos –completando el cuadrado– la ecuación ` ξ − `ξ + y = ξ − 2 2

2

!2 + y2 =

`2 . 4

Esto es, una circunferencia de radio `/2, centrada en (`/2, 0). Origen en el centro Para las cónicas centrales (es decir, con centro: elipses e hipérbolas) los dibujos sugieren tomar el origen de coordenadas en el centro M. En estos casos,  , 1 y en la ecuación de partida ! ` `2 2 + y = 0, (1 −  )x − x +  42 2

2

` ponemos x = ξ + 2(1− 2 ) . Esta vez se llega a

(1 − 2 )2 ξ 2 + (1 − 2 )y 2 −

`2 = 0, o sea,  4

ξ2 ` 2(1−2 )

2 +

Para la elipse ( < 1), se suele poner a=

` 2(1 − 2 )

` y b= √ . 2 1 − 2

y2 `2 4(1−2 )

= 1.

148

B . C Ó N I C A S E N C U A N T O C U R VA S P L A N A S

De esta forma, la ecuación se simplifica en ξ2 y2 + = 1. a2 b 2 Las cantidades importantes de la elipse pueden, entonces, determinarse de los valores de a, b, los cuales tienen también un importante significado: d(M, V 00 ) = b,

d(M, V ) = a, √ d(M, F) = a2 − b2 , Además,  =

d(L, F) = √

b2 , a a2 d(L, M) = √ . a2 − b 2 `=2

b2 a2 − b2

√ a2 −b2 . a

Para la hipérbola ( > 1), conviene fijar a=

` 2(2 − 1)

` y b= √ . 2 2 − 1

La ecuación sencilla es ξ2 y2 − = 1. a2 b 2 y d(M, V ) = a, √ d(M, F) = a2 + b2 ,

d(M, V˜ ) = b, b2 d(L, F) = √ a2 + b 2

b2 , a a2 d(L, M) = √ . a2 + b2 `=2

Naturalmente, el punto V˜ no es un vértice de la hipérbola. Se trata simplemente del punto sobre el eje de simetría con coordenadas canónicas ` V˜ = M + 0I + √ J. 2 2 − 1 √ a2 + b2 Para la hipérbola también se tiene  = . a

APÉNDICE

C U R VA S

C

DE SEGUNDO

GRADO EN EL PLANO

Vamos a darle a nuestra teoría un enfoque algebraico. Una curva de segundo grado en el plano euclidiano es el lugar geométrico o subconjunto de puntos del plano, el cual, en un sistema coordenado cartesiano canónico (O; I, J), se deja describir mediante una ecuación (general) de segundo grado Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, para ciertos A, B, C, D, E, F ∈ R, donde A, B y C no se anulan simultáneamente. Sabemos que las cónicas son curvas planas de segundo

150

C . C U R VA S D E S E G U N D O G R A D O E N E L P L A N O

grado. El problema que queremos discutir en este apéndice final es el inverso: ¿podemos determinar una sección cónica a partir de una ecuación (general) de segundo grado dada?

C.1

P

C A M B I O D E C O O R D E N A D A S , C U R VA S D E G E N E R A D A S

ARA COMENZAR NOTEMOS

que el cambio del sistema de coorde-

nadas (O; I, J) por otro sistema canónico (O0 ; I 0 , J 0 ) implica simple-

mente una rotación y una traslación de las coordenadas. Es decir, las coordenadas x, y cambian a x0 , y 0 (y viceversa) según una aplicación afín de la forma x = x0 cos θ − y 0 sen θ + x0 , y = x0 sen θ + y 0 cos θ + y0 , donde θ es el ángulo de la rotación y O0 = O + x0 I + y0 J es el nuevo origen de coordenadas, resultante de la traslación del primer origen O. Esta aplicación afín se puede recordar fácilmente si introducimos, como antes, la notación (matricial)     x   cos θ − sen θ      =     sen θ cos θ y

     x0   x     0       0  +  y y0

    . 

Observamos que las nuevas coordenadas x0 , y 0 aparecen siempre en primer grado (característica de lo lineal). De este modo, toda ecuación de segundo grado se transforma por estos cambios de coordenadas en otra ecuación de segundo grado. Los coeficientes A, B, C, D, E, F cambian, en el caso general. Los nuevos coeficientes se denotan como A0 , B0 , C 0 , D 0 , E 0 , F 0 .

C . 1 C A M B I O D E C O O R D E N A D A S , C U R VA S D E G E N E R A D A S

151

Antes de proseguir con nuestro propósito debemos considerar un asunto delicado: puede que la ecuación de segundo grado no nos lleve a una cónica, sino a una solución trivial, de las que ya hemos hablado. Veamos algunos ejemplos sobresalientes. La ecuación de segundo grado x2 −y 2 = (x −y)(x +y) = 0 define las dos rectas x = ±y. La ecuación x2 + y 2 = (x − iy)(x + iy) = 0 determina el único punto x = y = 0 y no se puede reducir a dos ecuaciones de primer grado sobre los reales, pero sí sobre los complejos. La ecuación x2 + y 2 + 1 = 0 no tiene solución alguna, es decir, su conjunto solución es el conjunto vacío. Esto nos lleva a precisar un concepto. D EFINICIÓN . Una curva plana de segundo grado no es degenerada si • El conjunto solución de su ecuación de segundo grado no es vacío. • Su ecuación de segundo grado es irreducible sobre los complejos, es decir, no se deja factorizar (reducir) en polinomios de primer grado con coeficientes complejos. Con esto, resolvemos una propiedad importante. T EOREMA . Una curva de segundo grado en el plano es una cónica si y sólo si no es degenerada. La demostración de este resultado depende un resultado del Álgebra Lineal y no la damos aquí. En el resto de este Apéndice, presentamos algunas transformaciones útiles que nos sacar información de la ecuación general de segundo grado.

152

C . C U R VA S D E S E G U N D O G R A D O E N E L P L A N O

C.2

DOS SIMPLIFICACIONES

V

AMOS A ESTUDIAR PRIMERO

el efecto de una rotación sobre la

ecuación general de segundo grado.

L EMA . Una rotación pura x = x0 cos θ − y 0 sen θ, y = x0 sen θ + y 0 cos θ transforma la ecuación de segundo grado en otra similar con A0 = A cos2 θ + B cos θ sen θ + C sen2 θ, B0 = B(cos2 θ − sen2 θ) + 2(C − A) cos θ sen θ, C 0 = C cos2 θ − B cos θ sen θ + A sen2 θ, D 0 = D cos θ + E sen θ, E 0 = E cos θ − D sen θ, F 0 = F. Se trata de una simple sustitución algebraica, que tiene una consecuencia crucial para nuestro estudio. C OROLARIO. Mediante un cambio conveniente de coordenadas, la ecuación de una curva no degenerada de segundo grado siempre se puede simplificar a la forma Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, en la cual se tiene B = 0 y, así, A y C no se anulan al mismo tiempo. Demostración. En verdad, observando la expresión para B0 y recordando las fórmulas trigonométricas para el ángulo doble, basta

C.2 DOS SIMPLIFICACIONES

153

elegir una rotación tal que   B 1    2 arctan A−C θ=    45◦

si A , C, si A = C.

Para simplificar las notación hemos quitado en todas partes el signo 0

(“prima”). Este corolario significa que, cuando tenemos B , 0, la recta que

une los focos (eje focal) está en posición oblicua con respecto a las rectas que define el sistema coordenado (ejes coordenados). Exploremos ahora el efecto de las traslaciones sobre esta ecuación simplificada. L EMA . Una traslación pura x = x 0 + x0 , y = y 0 + y0 transforma la ecuación de segundo grado Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 en otra ecuación similar con A0 = A,

B0 = 0,

C 0 = C,

D 0 = D + 2Ax0 ,

E 0 = E + 2Cy0

F 0 = F + Ax02 + By02 .

Se trata, otra vez, de un cambio de variables muy sencillo. Esta vez, las consecuencias nos llevan al destino deseado.

154

C . C U R VA S D E S E G U N D O G R A D O E N E L P L A N O

C OROLARIO. Si una ecuación de segundo grado describe una sección cónica, entonces existe un cambio de coordenadas que convierte la ecuación en otra de segundo grado de las formas cartesianas estándar estudiadas en el apéndice anterior para la elipse, la hipérbola o la parábola. Demostración. Recordemos que A y C no pueden ser las dos cero. Si A y C no son nulas, entonces podemos eliminar los términos de primer grado en la ecuación cuadrática mediante x0 = −

D 2A

y y0 = −

E . 2C

En este caso, nos quedamos con la ecuación cartesiana de una cónica central, referida a su centro. Si bien A, o bien C, se anula, entonces podemos eliminar el término de primer grado correspondiente a la otra indeterminada. Estamos, pues, en presencia de la ecuación de una parábola, referida a su vértice.

C.3

DISCRIMINANTE DE UNA CÓNICA

M

UCHAS CANTIDADES CAMBIAN

con los cambios de coordenadas

cartesianas canónicas. Hay, sin embargo, una cantidad inva-

riante bajo tales cambios de coordenadas. La indicatriz de una curva de segundo grado es la cantidad I := B2 − 4AC. Es fácil ver, con un poco de paciencia para los procedimientos algebraicos, que I no cambia ni por rotaciones ni por traslaciones. Así

C.3 DISCRIMINANTE DE UNA CÓNICA

155

pues no cambia por cambios de coordenadas cartesianas ortonormales. Cuando la curva describe una sección cónica, la indicatriz se suele llamar discriminante. Si lo pensamos un momento, en este discriminante está la respuesta al interrogante del comienzo de este apéndice. L EMA . Supongamos que una ecuación general de segundo grado Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 describe una cónica. Entonces, si I = 0 (respectivamente I < 0, I > 0), tal cónica es una parábola (respectivamente una elipse, una hipérbola). Hay muchísimas otras propiedades interesantes de las cónicas. Invitamos al lector a mirar el delicioso –y muy actualizado– libro de Glaeser, Stachel y Odehnal (2016).

BIBLIOGRAFÍA

[1] H. Grassman. Die lineale Ausdehnungslehre. Verlag von Otto Wigand, Leipzig, 1844. [2] G. Peano. Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann. Fratelli Bocca Editori, Torino, 1888. [3] L. A. Santaló. Espacios vectoriales y geometría analítica. Secretaría General de la O.E.A., segunda edición, 1968. [4] N. Cuesta. Geometría vectorial. Introducción intuitiva al Álgebra lineal. Editorial Alhambra S. A., Madrid, 1968. [5] A. Jaramillo y G. Oleas. Geometría Vectorial y Analítica. Una introducción al álgebra lineal. Universidad de Antioquia, Medellín, tercera edición, 2009. [6] A. Asmar, P. Restrepo, R. Franco y F. Vargas. Geometría Vectorial y Analítica. Una introducción al Álgebra Lineal. Universidad Nacional de Colombia, Medellín, tercera reimpresión, 2012.

BIBLIOGRAFÍA

157

[7] J. Dieudonné. Algèbre linéare et géométrie élémentaire. Hermann, Paris, trosième édition corrigée et augmentée, 1964. [8] L. Zerraga. Geometría vectorial. Recuperado de http://www. luiszegarra.cl/moodle/course/view.php?id=8, 30-04-2018. [9] F. Ayres Theory and Problems of Plane and Spherical Trigonometry. Schaum, New York, 1954. [10] M. Audin Géométrie. EDP Sciences; Les Ulis, France; 2006. [11] C. E. Lehmann Geometría Analítica. Limusa, México, 1990. [12] G. Glaeser, H. Stachel & B. Odehnal The Universe of Conics. From the ancient Greeks to 21st century developments. Springer, New York, 2016.

ÍNDICE

ALFABÉTICO

Apolonio de Perga, 131 base canónica del plano, 38 base ortogonal del plano, 38 base ortonormal del plano, 38 base para el plano, 37 bicociente o razón doble, 79 bisección diagonales paralelogramo, 44 bisectrices perpendiculares ángulos suplementarios, 43 cambio de dirección, 32 circunferencia, 134 combinación lineal, 36 compatibilidad, 18 cono circular recto, 129 criterio de ortogonalidad, 25

cuadrivértice completo, 78 curva de segundo grado, 149 no degenerada, 151 definiciones usuales de las cónicas, 145 desigualdad de Cauchy-Schwarz, 98 diferencia de dirección, 27 dirección, 7 directriz de una cónica, 135 discriminante de una cónica, 155 distancia, 105 distancia origen-recta en plano, 115 ecuaciones cartesianas recta

159

ÍNDICE ALFABÉTICO

en espacio, 121

existencia de muchas bases, 92

ecuaciones paramétricas plano en espacio, 122 ecuaciones paramétricas rec-

foco de una cónica, 135 fórmulas adición seno y coseno, 51

ta en espacio, 121

Geometría Analítica, 131

en plano, 112

Geometría Proyectiva, 66

ecuación cartesiana

grupo abeliano, 18

circunferencia, 129 cono, 130 esfera, 129

hipérbola, 134, 137 identidad

plano en espacio, 123

de Gibbs, 60

recta en plano, 113 eje de simetría de una cónica, 138

de Lagrange, 61 identidades de Bessel, 63 indicatriz de curva segundo gra-

elipse, 134, 137

do, 154

escalamiento de un vector, 14 esfera, 129 de Dandelin, 135

latus rectum, 139 Lema

espacio afín, 104

de Dandelin, 135

espacio métrico, 105

de los ejes de simetría, 140

espacio vectorial real, 88

ley del coseno, 49

bidimensional, 90

del paralelogramo, 16

con producto interior, 97

del seno, 50

tridimensional, 90

del triángulo, 16

excentricidad, 133

linealmente independientes, 35

160

ÍNDICE ALFABÉTICO

magnitud, 8 norma de un vector, 21 ortonormalización de Gram-Schmidt, 100 parábola, 134, 137 perpendicularidad diagonales rombo, 47 perspectiva, 67 plano en el espacio, 121 producto cruz, 29 producto exterior, 28 producto exterior o vectorial tridimensional, 53 producto interior, 23 producto interior o escalar tridimensional, 53 producto triple, 55

recta en el plano, 110 recta proyectiva real, 70 regla mano derecha, 29 sección cónica, 133 sentido, 8 sistema de coordenadas cartesianas, 106 solución de triángulos, 50 suma de vectores, 16 Teorema de Ceva, 73 de Menelao, 74 de Pitágoras, 49 del cuadrilátero, 78 del ángulo inscrito, 45 trigonometría esférica, 58 triángulo esférico, 61

proyección ortogonal, 21

vector real bidimensional, 10

proyectividades u homologías,

vector tridimensional, 52

82 pseudovector, 7 nulo, 7 pseudovectores equivalentes, 8 recta en el espacio, 120

vértice de una cónica, 139 ángulo entre planos en espacio, 124 ángulo entre rectas en plano, 116 ángulo geométrico, 21

ÍNDICE ALFABÉTICO

ángulo recta-plano en espacio, 125 área de un paralelogramo, 28

161