Vektoren und Matrizen [Reprint 2019 ed.] 9783111587219, 9783111213675

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GÖSCHEN

BAND

3547354a

VEKTOREN UND MATRIZEN von

DR. S I E G F R I E D

VALENTINER

Prof. einer, der Physik an der Bergakademie Clausthal Mit 35 Figuren 2. Auflage (9., erweiterte Auflage der ,.VektoranaIysis") Mit einem Anhang:

AUFGABEN ZUR

VEKTORRECHNUNG von

DR. HERMANN KÖNIG Prof. der Mathematik an der Bergakademie Clausthal

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J . Gösdlen'sche Verlagshaadlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp.

BERLIN

1960

© Copyright 1960 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35, Genthincr Str. 13. Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 1103 54. — Satz und Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35. Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis Seite

Schrifttum Einleitung

5

§ 1. Darstellung der Resultante eines Kraftsystems

0

I. Teil Rechnungsrcgeln der Vektoranalysis | 2. Definition des Vektors und der skalaren Größe : § 3. Addition, Subtraktion von Vektoren, Multiplikation der Vektoren mit skalaren Größen § 4. Zerlegung von Vektoren § 5. Gleichungen zwischen Vektoren § 6. Multiplikation von Vektoren § 7. Skalares Produkt § 8. Anwendungen § 0. Vektorielles Produkt § 10. Anwendung auf die Statik i 11. Das skalare Tripelprodukt r[jf>] . . § 1 2 . Das vektorielle Tripelprodukt [c[af>]] § 13. Produkte aus Vektorprodukten § 14. Die Präge der Division von Vektoren § 15. Reziproke Vektortripel § 1 6 . Produkte im schiefwinkligen Bezugssystem § 17. Über die Erweiterung des Vektorbegriffs auf den mehrdimensionalen Raum § 18. Differentiation eines Vektors nach einer skalaren Größe § 19. Der Gradient einer skalaren Funktion § 20. Differentiation einer Skalaren nach einer Skalaren in einer vorgegebenen Richtung § 2 1 . Differentiation eines Vektors nach einer skalaren Größe in einer vorgegebenen Richtung § 22. Die Operation V bei vektoriellem Argument § 23. Die skalare Operation V bei vektoriellem Argument. Integralsatz von Gauß § 24. Anwendungen. Die Bezeichnung Divergenz § 25. Die vektorielle Operation V. Die Rotation § 26. Satz von Stokes § 27. Anwendung § 28k Mehrfache Anwendung der Differentialoperation V § 29. Die Differentialoperationen bei Benutzung rechtwinkliger, krummliniger Koordinaten

11 15 18 20 21 23 25 26 30 32 36 36 38 38 41 42 42 47 48 50 52 54 59 60 63 66 69 71

II. Teil Anwendung in einigen physikalischen Gebieten s 30. Einteilung

75

4

Inhaltsverzeichnis Kapitel 1 Einige Sätze der P o t e n t i a l t h e o r i e

Seite

§ 31. § 32. § 33. jj 34.

B e d e u t u n g des P o t e n t i a l s in der M e c h a n i k Jiewtonsches Potential H i l f s s ä t z e v o n Green A b l e i t u n g der P o t e n t i a l f u n k t i o n V a u s d e n c h a r a k t e r i s t i s c h e n Bedingungen § 35. D e u t u n g der einzelnen Glieder d e r L ö s u n g

77 79 80 82 84

Kapitel 2 Einige Sätze der Hydrodynamik §36. §37.. § 38. § 39. § 40.

E i n f ü h r u n g der F l ä c h e n k r ä f t e E u l e r s c h e Gleichungen f ü r reibungslose Flüssigkeiten S ä t z e v o n H e l m h o l t z ü b e r die "Wirbelbewegung Solenoidaler V e k t o r Flächenwirbel

86 90 91 94 96

Kapitel 3 Einiges aus der Theorie der E l e k t r i z i t ä t § 41. E l e k t r o m a g n e t i s c h e Gleichungen v o n M a x w e l l - L o r e n t z § 42. B i o t - S a v a r t s c h e s Gesetz

99 102

III. Teil Lineare Vektorfunktionen, Matrizen, Dyaden § 43. § 44. jj 45. §46. §47. § 48. §49. § 50. §51. §52. § 53. § § § § § § § § § §

54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63.

Lineare Vektorfunktionen D r e h u n g eines B e z u g s s y s t e m s u m d e n A n f a n g s p u n k t Matrizen Rechenregeln f ü r Matrizen Wiederholte Matrizenoperation Einfache Anwendungen Einige b e m e r k e n s w e r t e F o l g e r u n g e n Die M a t r i x als S u m m e v o n D y a d e n Einige R e g e l n f ü r die R e c h n u n g m i t D y a d e n . Die r o t o r i s c h e D y a d e A u f l ö s u n g linearer i n h o m o g e n e r Gleichungen m i t n U n b e k a n n t e n (Gaußscher Algorithmus) Der E l i m i n a t i o n s p r o z e ß selbst G a u ß s c h e Schreibweise der E l i m i n a t i o n s g l e i c h u n g e n Die K e h r m a t r i x . Die K e h r m a t r i x in b e s o n d e r e n F ä l l e n Zahlenbeispiel zu § 54 u n d 56 Die Matrizen in der M e t h o d e der kleinsten Q u a d r a t e D u r c h r e c h n u n g zweier Beispiele Die M a t r i x in der Gleichung 2. Grades A n w e n d u n g bei D e f o r m a t i o n s b e h a n d l u n g Die M a t r i x in einer E i g e n w e r t a u f g a b e

103 106 108 109 112 115 117 122 123 125 126 129 132 134 137 139 142 146 151 152 155

Anhang 1, 42 A u f g a b e n zur V e k t o r r e c h n u n g 2 . Z u s a m m e n s t e l l u n g einiger wichtiger F o r m e l n

162 199

Schrifttum Aus der ersten Zeit der Entwicklung der Vektorrechnung M ö b i u s , Der baryzentrische Kalkül, ein neues Hilfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie dargestellt und insbes. auf die Bildung neuer Klassen von Aufgaben und die Entwicklung mehrerer Eigenschaften der Kegelschnitte angewendet. Leipzig 1827. G r a ß m a n n , Die Ausdehnungslehre von 1844 oder die lineare Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik. 2. Aufl. Leipzig 1878. — Die Ausdehnungslehre. Berlin 1862. H a m i l t o n , Elemente der Quaternionen: deutsch von Glan. Leipzig 1884. T a i t , Elementares Handbuch der Quaternionen: deutsch von v. Scherff. Leipzig 1880. Die moderne Behandlung der Vektoranalysis und ihrer Verwendungsmöglichkeit findet man in zahlreichen Lehrbüchern der Vektorrechnung; mehr oder weniger ausführlich dargestellt ist sie in allgemeinen Hand- und Lehrbüchern der Mathematik und in Lehrbüchern der theoretischen Physik.

Zur Matrizenrechnung F. N e i s s , Determinanten und Matrizen. Springer-Verlag, 1948. L. C o l l a t z , Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen. Akad. Verlagsges. 1949. K. Z u r m ü h l , Matrizen, eine Darstellung f ü r Ingenieure. Springer-Verlag, 1950. R. Z u r m ü h l , Praktische Mathematik f ü r Ingenieure und Physiker. SpringerVerlag. 1953.

Einleitung § 1. Darstellung der Resultante eines Kraftsystems Die Vektoranalysis ist eine mathematische Disziplin, die sich in ihrem Aufbau fast so vollkommen an die Anschauung anlehnt wie die Geometrie selbst: sie bildet ihre Begriffe und Schlüsse gerade denen der Geometrie nach. Insofern sie dadurch zu einer knapperen, übersichtlicheren und anschaulicheren Darstellung aller solcher Erfahrungen führt, die auf den zwei- oder dreidimensionalen Raum sich beziehen, als die gewöhnliche Analysis, will ich in dem ersten Paragraphen an einem Beispiel zeigen. Dasselbe ist zugleich geeignet, den Unterschied der beiden wichtigsten Begriffe der Vektoranalysis: der skalaren Größe und des Vektors, hervortreten zu lassen. Es mögen an n Punkten eines freien, starren Körpers Vi'' "Pn die Kräfte P1- • • Pn angreifen. Ein solches System von Kräften läßt sich ersetzen durch eine resultierende Einzelkraft und ein Kräftepaar, das von dem Angriffspunkt der Einzelkraft abhängig ist. Der analytische Ausdruck der Einzelkraft und des Kräftepaars wird gewonnen, indem man die Kräfte in die Komponenten nach den drei Richtungen, z. B. eines rechtwinkligen Koordinatensystems zerlegt und diese in geeigneter Weise zu drei resultierenden Komponenten einer Einzelkraft und eines Kräftepaars wieder zusammensetzt. So lehrt es die analytische Mechanik. Anschaulicher und, man möchte sagen, direkter wird die Aufgabe auf geometrischem Wege ohne Zerlegung in Komponenten in folgender Weise durch wiederholte Anwendung der Sätze vom Parallelogramm der Kräfte und der statischen Momente gelöst.

§ 1. Darstellung der Resultante eines Kraftsystems

7

Man denkt sich (vgl. Fig. 1) zwei neue Kraftsysteme dem ursprünglichen P1- • • P„ zugefügt, die dadurch gewonnen

Fig. 1

werden, daß man in einem und demselben, aber beliebigen Punkt Kräfte P[ - • • P'n angreifen läßt, die den gegebenen gleich und gleich gerichtet sind, und s ^ l sin tf> solche P'i • • • P',1, die ihnen gleich, aber entgegengesetzt gerichtet sind. Das System P[ - • • P'„ setzt man nach dem Satz vom Parallelogramm der Kräfte oder, wie man kurz zu sagen pflegt, durch geometrische Addition zu der Resultierenden R zusammen: (i)

B-=Pi(+)-••(+)?;,

2

wo das Zeichen ( + ) anzeigen soll, daß die Kräfte geometrisch zu addieren sind, also mit Rücksicht auf die Richtung der Kraft, wie es z. B. auf dem Zeichenbrett geschehen kann. Die beiden anderen Kraftsysteme stellen ein System

8

Einleitung

von Kräftepaaren dar, deren statische Momente dem absoluten Betrage nach, also abgesehen vom Richtungssinn, den Wert haben: PiU sin (P.Tj), wenn r( die Entfernung des Angriffspunktes der Kraft P , von dem willkürlich gewählten Angriffspunkt A der resul-

tierenden Einzelkraft R bedeutet und nach dem Angriffspunkt der letzteren gerichtet ist, und wenn für den Winkel ( P j r , ) immer der Wert gesetzt wird, der < 71 ist. Die Größe dieser Momente tragen wir als Strecken von einem beliebig gewählten P u n k t aus parallel der Drehungsachse nach der Richtung hin ab, daß die Drehungsrichtung des ICräflepaares, von dieser Richtung aus betrachtet, positiv, d. h. entgegen der

§ 1. Darstellung der Resultante eines Kraftsystems

9

Bewegung' des Uhrzeigers gerichtet1) (vgl. Fig. 2) erscheint. Diese Strecken addieren wir geometrisch in gleicher Weise wie vorher die Kräfte und erhalten als resultierendes statisches Moment: M = [ P ^ sin ( P ^ ) ] ( + ) • • • ( + ) [ P n r n sin

(Pnrn)].

Diesen Ausdruck können wir in eindeutiger Weise kürzer auch so schreiben: (2)

M = (PlTl)

( + ) (P 2 r 2 ) ( + ) • • • ( + ) ( P n r n ) ,

wenn wir unter (P,»";) eine Strecke verstehen, deren absoluter Betrag gleich ist dem Produkt: P , r ( sin (P,rj), und die senkrecht zu der Ebene P „ rt nach der Seite der Ebene gerichtet ist, daß der Übergang der Richtung P,- in die Richtung rj, von der Strecke (P,-r,) aus gesehen, einer positiven Drehung entspricht. In Fig. 1 ist die resultierende Einzelkraft R und die beiden Momente ( P j ^ ) und (P 2 r 2 ) für die beiden an den Punkten pv resp. p2 des starren Körpers angreifenden Kräfte konstruiert worden mit der willkürlichen Wahl des Angriffspunktes A der Resultierenden. Die Punkte plt p2 und A mögen mitsamt der Kraftrichtung P t in der Zeichenebene liegen, P 2 sei aus der Ebene heraus nach oben gerichtet. In Fig. 3 ist die Konstruktion des resultierenden statischen Momentes M ausgeführt. Die Zeichenebene ist parallel der Drehungsachse des Kräftepaares ( P j ^ ) ; die die Momente darstellenden Strecken sind der Größe und Richtung nach von einem P u n k t aus abgetragen und ergeben durch geometrische Addition die Strecke M, die der Größe und Richtung nach das resultierende Drehmoment darstellt. Die Gleichungen (1) und (2) geben eine symbolische Darstellung der geometrischen Konstruktion. Während man in J ) I n Richtung der Drehachse gesehen erscheint die Drehung in der Bewegung des Uhrzeigers. (Vgl. Fig. 2a—d.)

10

Einleitung

der analytischen Darstellung nur Größen gleicher Richtung, die Komponenten, addiert, hat man es hier mit einer Addition von Gliedern zu tun, welche sich nicht allein durch ihre Größe, ihren absoluten Betrag, sondern auch durch ihre Richtung voneinander unterscheiden, mit welchen also nur unter Rücksichtnahme auf ihre Richtung gerechnet werden darf. Zum Unterschied von den reinen Zahlen, den s k a l a r e n G r ö ß e n , bezeichnet man solche Glieder, die sich von ihresgleichen durch Größe und Richtung unterscheiden können, als gerichtete Größen oder V e k t o r e n . Können nun diese

Fig. 3

Symbole auch zur Beschreibung anderer geometrischer Konstruktionen oder gar physikalischer Erfahrungen benutzt werden und lassen sich einfache analytische Rechnungsregeln für dieselben angeben, die nicht für jeden weiteren Schluß eine Übertragung der Symbole in die gewöhnliche analytische Schreibweise erfordern, so können sie eine brauchbare und infolge der Anlehnung an die Geometrie beträchtlich einfachere Beschreibung liefern als die rein algebraisch analytische Ausführung. In der Tat ist man imstande gewesen, eine Reihe von Rechnungsregeln abzuleiten, die den Regeln der gewöhnlichen Analysis mit skalaren Größen analog sind. Der Ableitung dieser Regeln, welche die

§ 2. Definition des Vektors und der skalaren Größe

11

notwendige Grundlage der Darstellungsmethode durch Vektoren bildet, ist der erste Teil dieses Bändchens gewidmet. Zur Übung in der Handhabung der Rechnungsregeln werden im zweiten Teil einige Anwendungen aus physikalischen Gebieten, im Anhang einige Aufgaben besprochen. Endlich soll im dritten Teil auf eine wichtige Erweiterung der Vektorrechnung, die Behandlung der linearen Vektorfunktionen (Matrizen, Dyaden) eingegangen werden. Als die eigentlichen Begründer der Vektorrechnung sind Graßmairn und Hamilton zu nennen, die nahezu gleichzeitig und ganz unabhängig voneinander den Vektorbegriff in die analytische Rechnung eingeführt haben, wenn auch in jener Zeit (um 1844) Ansätze zu dieser Methode von anderen versucht worden sind oder schon vorhanden waren, wie in dem „baryzentrischen Kalkül" von Möbius (1828). Mehr als alle anderen waren sich jene beiden der Bedeutung der neuen Methode bewußt. Die Gesichtspunkte, von denen sie ausgingen, sind außerordentlich verschieden, indem Hamilton sich mehr der Geometrie anschloß, während Graßmann die Geometrie nur dazu verwenden wollte, anschauliche Beispiele für seine umfassender angelegte Theorie zu gewinnen. Seine Sätze sollten keine bloßen Ubertragungen geometrischer Sätze in die abstrakte Sprache sein, sondern durch Erweiterung auf mehr als dreidimensionale Gebilde eine allgemeine Bedeutung gewinnen. Man unterscheidet dementsprechend zwei Richtungen in der Darstellungsweise der Vektorrechnung, die sich aber in den Anwendungen auf die Geometrie oder physikalische Beschreibung aufs engste berühren und zum Teil ergänzen.

I. T e i l

Rechnungsregeln der Vektoranalysis § 2. Definition des Vektors und der skalaren Größe Wir nannten in § 1 die Kräfte und die statischen Momente sowie auch die Resultierenden, die im dreidimensionalen Raum als gerichtete Strecken abgebildet werden können, Vektoren. Zur völligen Bestimmung der als erste Beispiele angeführten Vektoren sind drei Angaben, ent-

12

Rechnungsregeln der Vektoranalysis

sprechend den Komponenten in der analytischen Darstellung, hinreichend und notwendig. Drei solche Angaben sind: die Länge des Vektors und die zwei Winkel, die seine Richtung gegen feste Achsen bestimmen. Da es also nur auf die Größe und Richtung der den Vektor darstellenden Strecke ankommen kann, so ist die Darstellung unabhängig von der Lage des Anfangspunktes der Strecke. Soll daher z. B. die Einzelkraft P mit den Komponenten Px, Py, Pz, die im Punkt x, y, z eines durch Achsen festgelegten Raumes „ 4 " angreift, in dem dreidimensionalen Bildraum durch eine Strecke dargestellt werden, so ist die Darstellung insofern auf unendlich vielfache Weise möglich, als der Anfangspunkt der darstellenden Strecke mit dem willkürlich gewählten Koordinatenanfangspunkt des Bildraumes „Bu zusammenfallen kann oder nicht. In dem Bildraum sind also parallele gleichgerichtete und gleich große Strecken bezüglich ihrer Bedeutung für das dargestellte Objekt völlig äquivalent. Wir setzen daher als Definition des Vektors fest: Eine Größe soll V e k t o r genannt werden, wenn die Gesamtheit der verschiedenen Werte, die sie annehmen kann, in umkehrbar eindeutiger und stetiger Weise der Gesamtheit der Strecken im Raum zugeordnet werden kann, die von einem willkürlich gewählten Anfangspunkt ausgehen1). Vektoren sind danach außer den genannten, der K r a f t und dem statischen Moment, z. B. die folgenden Größen: Verrückung, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Strömung. Bei den genannten Größen ist kein Zweifel, daß sie definitionsgemäß als Vektoren anzusprechen sind. Es muß indessen noch auf eine andere Gruppe von Vektoren hingewiesen werden, bei denen die Berechtigung des Namens Vektor nicht sofort erkannt werden könnte. r ) Vektoren sind gerichtete Größen — Größen, die durch eine gerichtete Strecke im Räume dargestellt werden können.

§2. Definition des Vektors und der skalaren-Größe

13

D e r absolute Betrag des s t a t i s c h e n M o m e n t s , d. h. die G r ö ß e ohne B e z u g n a h m e auf die R i c h t u n g , P . r , sin ( P i , r , ) , k a n n a u f g e f a ß t w e r d e n als der F l ä c h e n i n h a l t des P a r a l l e l o g r a m m s m i t den Seiten P,-, r , u n d d e m W i n k e l = (P,-, r , ) . Als R i c h t u n g des das s t a t i s c h e M o m e n t d a r s t e l l e n d e n V e k t o r s w u r d e bei der g e o m e t r i s c h e n A d d i t i o n in § 1 die N o r m a l e n r i c h t u n g auf d i e ^ d u r c h Pf u n d r , gelegte E b e n e ben u t z t . W i r k ö n n e n d a n a c h ein P a r a l l e l o g r a m m v o n bes t i m m t e r G r ö ß e u n d gegebener N o r m a l e n r i c h t u n g ebenfalls als einen V e k t o r a n s e h e n . E s g e h ö r e n also u n t e r die oben d e f i n i e r t e n V e k t o r e n a u c h solche G r ö ß e n , die v o r g e s t e l l t w e r d e n k ö n n e n als d u r c h den A n f a n g s p u n k t gehende, beliebig b e g r e n z t e , ebene F l ä c h e n s t ü c k e . E n d l i c h ist n o c h eine d r i t t e G r u p p e v o n V e k t o r e n h e r v o r z u h e b e n , n ä m l i c h solche G r ö ß e n , die u n t e r d e m Bilde v o n unbegrenzten, nicht durch den Anfangspunkt gehenden E b e n e n b e t r a c h t e t w e r d e n k ö n n e n . Die Größe u n d R i c h t u n g dieser V e k t o r e n ist o f f e n b a r e i n d e u t i g definiert d u r c h G r ö ß e u n d R i c h t u n g der v o m A n f a n g s p u n k t auf die E b e n e gefällten Normalen. Zwischen den ursprünglich ins Auge gefaßten Vektoren und den beiden zuletzt hervorgehobenen Gruppen wird ein Unterschied bemerkbar, sobald man von der Vektordarstellung auf Koordinatendarstellung übergehen will und z. B. eine Transformation von einem „positiven" zu einem „negativen" Koordinatensystem ausführen muß, also von einem Koordinatensystem mit den Achsen x, y, z zu einem solchen mit entgegengesetzt gerichteten Achsen; bei einer solchen Transformation würde die Kraft P in die Kraft — P übergehen; dagegen würde der das statische Moment darstellende Vektor sein Zeichen nicht ändern, falls wir, wie in § 1, dem Moment stets das positive Zeichen beilegen, wenn die Drehung von der positiven Seite der Drehungsachse aus gesehen positiv, d. h. entgegen der Uhrzeigerbewegung, gerichtet ist.

14

Rechnungsregeln der Vektoranalysis

Man nennt wohl Vektoren, die ihr Vorzeichen bei der genannten Transformation ändern, also etwa durch Pfeile darstellbar sind, p o l a r e Vektoren, solche, die es behalten, darstellbar durch Ebenenstücke mit Umlaufsinn oder rotierende dünne Zylinder von bestimmter Länge, a x i a l e Vektoren 1 ). Da in der Rechnung mit Vektoren gerade eben nicht auf ein Koordinatensystem Bezug genommen werden soll, ist der Unterschied für die Rechnung mit Vektoren offenbar bedeutungslos.

Die Abhängigkeit des Vektors vom Ort oder von der Zeit muß natürlich auf den Bildraum selbst oder die den Vektor abbildende Strecke übertragen werden. Ist in einem Gebiet jedem Punkt ein beliebiger, im allgemeinen stetig mit dem Ort sich ändernder Wert eines Vektors zugeordnet, so nennt man dies Gebiet ein Vektorfeld und spricht in diesem Sinn von Kraftfeld, Momentenfeld, Geschwindigkeitsfeld usw. Im Gegensatz zu den Vektoren stehen die Größen, zu deren vollständiger Bestimmung nur eine Angabe, der absolute Betrag, notwendig ist, weil ihrem Begriff jede Beziehung zu einer Richtung im Raum fehlt. Als Beispiele solcher Größen, der sogenannten Shalaren, sind an erster Stelle die absoluten Beträge der Vektoren zu nennen, d. h. die Längen der Vektoren ohne Rücksicht auf ihre Richtung. Andere derartige Größen, die durch Angabe einer sich auf ein bestimmtes Maßsystem beziehenden Zahl vollständig bestimmt werden, sind die Temperatur, die Zeit, die Verhältnisse gleichgerichteter Vektoren usw. Wir nennen eine Größe einen S k a l a r , wenn die Gesamtheit der verschiedenen Werte, die sie annehmen kann, in stetiger, *) Die Bezeichnung s t a m m t von W. Vogt. Maxwell (Treatise on electricity and magnetism. London 1873, 1, Art. 15) bezeichnete die Vektoren als transiatorisch und rotatorisch. Wiechert (Ann. Phys. u. Chem. 59, 1898, S. 187) nannte sie Vektoren und Rotoren.

§ 3. Addition, Subtraktion, Multiplikation

15

umkehrbar eindeutiger Weise einer Reihe reeller Zahlen zugeordnet werden kann. Es sind Größen ohne Richtung. Um im folgenden durch den Anblick der Zeichen schon erkennen zu lassen, ob eine Größe Vektor oder Skalar ist, wollen wir, wie üblich ist, die Vektoren stets durch deutsche kleine oder große Buchstaben bezeichnen, die skalaren Größen durch lateinische. Den absoluten Betrag eines Vektors und den Vektor selbst werden wir stets durch gleichlautende Buchstaben angeben. § 3. Addition, Subtraktion von Vektoren, Multiplikation der Vektoren mit skalaren Größen Zwei beliebig gerichtete Strecken a und b (Fig. 4) im Raum werden addiert, indem man den Anfangspunkt der

J'ig. 4

zweiten Strecke an den Endpunkt der ersten verschiebt und die Verbindungslinie vom Anfangspunkt der ersten zum Endpunkt der zweiten zieht. Diese Verbindungslinie OC, die Summe der beiden Strecken a und b, ist die vom willkürlich gewählten Anfangspunkt 0 ausgehende Diagonale des Parallelogramms O A G B , dessen zwei an den Anfangspunkt der Diagonale stoßende Seiten die von dem Punkte 0 aus beginnenden Strecken sind.

16

Rcchnungsregeln der Vektoranalysis

Da die Vektoren, wie aus der Definition hervorgeht, durch Strecken darzustellen sind, werden Vektoren addiert wie Strecken. Wir wählen als Operationszeichen für die Addition von Vektoren das algebraische Additionszeichen + , indem wir jedes Mißverständnis durch die Anwendung der deutschen Buchstaben für Vektoren vermeiden können. In Fig. 4 ist (1) a + b = c. Die Differenz zweier Vektoren ist nichts anderes als die Summe des ersten und des in entgegengesetzter Richtung genommenen zweiten Vektors, also darstellbar durch die von 0 ausgehende Diagonale des Parallelogramms O A D B ' , dessen an 0 anstoßende Seiten der erste Vektor und der nach entgegengesetzter Richtung gezeichnete zweite Vektor, also — b = b', sind. Oder es ist also (2)

o - b = b.

Die beiden Diagonalen des aus den Vektoren o und b gebildeten Parallelogramms stellen nach Größe und Richtung die Summe resp. die Differenz der zwei Vektoren dar. Die Differenz zweier Vektoren ist Null, die Vektoren also einander gleich, wenn sie gleiche Größe und gleiche Richtung haben. Aus der Anschauung ergibt sich sofort, daß Oi + a 2 = a 2 + a x ist, d. h. das kommutative Gesetz Gültigkeit besitzt. Die Summe mehrerer Vektoren c^ • • • an wird gewonnen durch Addition des dritten zu der Summe der ersten beiden, des vierten zu der Summe der ersten drei usw. Da es wieder auf die Reihenfolge nicht ankommt, so kann auch die Gruppierung geändert werden, d. h. es gilt auch das assoziative Gesetz: (fli + a 2 ) + a 3 H ü j + (a 2 + a 3 ) + •

§ 3. Addition, Subtraktion, Multiplikation Beispiel:

17

Gleichung (1) können wir schreiben: a + 6 — c = 0,

oder wenn wir setzen: — c = c', a + b + c' = 0. Fassen wir die Vektoren a, 6, c' als Kräfte auf, so haben wir den bekannten Satz: Lassen sich. Kräfte, die an einem Punkt angreifen, der Größe und Richtung nach durch solche Strecken darstellen, daß man sie durch parallele Verschiebung zu einem geschlossenen Polygon zusammensetzen kann, so halten sie sich das Gleichgewicht. Addieren wir m gleiche (d. h. gleich große und gleichgerichtete) Vektoren, so erhalten wir einen Vektor von gleicher Richtung und der m-fachen Länge. Ist der absolute Betrag des Vektors a gleich a, I a | = a, so stellt ^ einen Vektor von gleicher Richtung wie o und dem absoluten Betrag 1 dar. Man nennt einen solchen Vektor einen E i n h e i t s v e k t o r . Im allgemeinen ist also ein Vektor das Produkt einer skalaren Größe mit einem Einheitsvektor. F ü r diese „skalare" Multiplikation gilt, wie aus der Anschauung hervorgeht, ebenfalls wie bei der Addition das kommutative und assoziative Gesetz. Wir wollen festsetzen, daß die Einheitsvektoren als dimensionslose Größen anzusehen sind. Die Dimension legen wir dem absoluten Betrage bei, der Einheitsvektor gebe allein die Richtung an. Ist z. B. die Geschwindigkeit einer Kugel 400 m/s, und hat die durch die Winkel

'32

und die allgemein geltenden Formeln

§ 16. Produkte im schiefwinkligen Bezugssystem =

/

(9)

An

=

< J2

a 3 -^13 i ®3 ^23 '

-^31 "I" a2 -^32

=

a

=

i1 B

n

=

\ B

2 1

l

&2 ^12 "1" a2 ^22

41

®3 ^33 >

bzw. f

(9')

I

a2

+ ¿2ß12 + +

b2 B22

+

b3B13, b3

< a 3 = ll1 ß 3 1 + & 2 B 32 +

B23,

^33.

gehen über in f i 1 = dJI + a2 I m + a3 I n , -j b2 = a j l m + a 2 m m + a 3 m n , v ü>3 = a x I n + a 2 m n + a 3 n n ,

(10) bzw.

,a1 = b1l'l' + & 2 l'm' + & 3 l'n', ^ a 2 = ^ l ' m ' + Z>2m'm' + J 3 m ' n ' , ^ a3 = fcj'n' + & 2 m'n' + 6 s n ' n ' .

(10')

§ 16. Produkte im schiefwinkligen Bezugssystem Sind die Vektoren 91 und 33 auf die nicht komplanaren, aber unter irgendeinem Winkel zueinander stehenden Vektoren a, b, c bezogen, also 91 = «jQ + \ b + c t c 83 = o 2 a + J 2 b + c 2 c, so ist [9t SB] = [ab] ( M 2 - a M + [bc] ( V 2 - V i ) [co] (c±a2 — c 2 a x )

+

und mit E i n f ü h r u n g des reziproken Vektortripels [9133] = ( c ' f a i ,

-

a26x) + a ' ( \ c 2 «2%)) • (abc) a'b'c',1 , ! = (abc) « 1 V 1 \ a^b2c2

\

btcJ

+ b'(c x a 2

-

42

Rechnungsregeln der Vektoranalysis

Das

Tripelprodukt 2iS3E mit + c 3 c läßt sich schreiben:

dem Vektor © = a3a

+

I | 91836 = (abc) a2b2c2 j . | °3^3C3 | § 17. über die Erweiterung des Vektorbegriffes auf den mehrdimensionalen Kaum Die bisher benutzten Vektoren beziehen sich auf den dreidimensionalen Raum, entsprechend der unmittelbaren Anschaulichkeit. Die Regeln können mit gewissen Änderungen auch auf Gebilde übertragen werden, die in einem mehrdimensionalen Raum vorstellbar sind. Mit Größen dieser Art zu, rechnen, fordert u. a. die Relativitätstheorie, deren Beziehungen durch Benutzung eines Systems mit 4 statt mit 3 Koordinaten an Übersichtlichkeit gewinnen. Zu den 3 Ortskoordinaten tritt in dem Fall als gleichberechtigte Koordinate die Zeit. Die Größe, die dem polaren Vektor des dreidimensionalen Raumes entspricht, der „Vierervektor", ist der Inbegriff von 4 Komponenten Px, P„, P3, P f ) nach den Richtungen der Achsen des vierdimensionalen Systems. Dem axialen Vektor, der im dreidimensionalen Raum durch drei auf je zwei Koordinatenachsen bezogenen Komponenten bestimmt wird, entspricht der Sechservektor, der aus den 6 Komponenten gebildet wird, die sich auf die 6 Kombinationen je zweier Achsen beziehen. Die Rechnung mit Vierer- und Sechservektoren („Weltvektoren") und ihren linearen Vektorfunktionen („Welttensoren") ist von Sommerfeld entwickelt worden. Ihre Behandlung würde hier zu weit führen. Von Vektorgebilden im n-dimensionalen Raum macht die moderne Quantenmechanik Gebrauch. § 18. Differentiation eines Vektors nach einer skalaren Größe 1. Der Vektor a mag sich in der Folge auf ein Vektorfeld mit den Koordinaten x, y, z beziehen, also etwa der Ausdruck der Eigenschaft eines materiellen Trägers an der Stelle *) T ü r die vierte K o o r d i n a t e w u r d e infolge i h r e r speziellen B e d e u t u n g von S o m m e r f e l d die B e z e i c h n u n g „1" g e w ä h l t : sie soll a n , , L i c h t w e g " = c • t erinnern, worin c die L i c h t g e s c h w i n d i g k e i t ist.

§ 18. Differentiation eines Vektors nach einer skaJaren Größe

43

x, y, z des Raumes sein, a sei also eine Funktion von x, y, z. Außerdem sei o eine Funktion der Zeit t. E r sei, im Bildraum mit den Achsen i, j, f dargestellt, zur Zeit t = t0 gegeben durch a = axi + av\ + a2 f. Die Änderung des Vektors während des Zeitelementes dt an derselben Stelle x, y, z ist dann durch 3a

8ax .

. 8av .

— = —• t T-1 8t

8t

8t

, 8a,

1 -1

1

^

dt

6

r

gegeben, da die Abbildung in demselben Abbildungsraum geschieht, d. h. die Achsen i, j , ! unabhängig von der Zeit sind. Diese Änderung kann man als lokale Änderung mit der Zeit bezeichnen, indem hier zunächst von einer gleichzeitigen Änderung des Ortes x, y, z abgesehen ist. Bei mehrfacher Differentiation gilt entsprechend: 8na

_ dna^

.

8nay

8t"

~~ dl"

1

' ' 8tn

8naz

. * '

~dtn

Die Differentiation von Produkten folgt den bekannten Regeln der Analysis. Es ist

und - ¿ r = ar{[(a + da , dt

+

&

H

6

+

Ä

)]-[ttb]}

db a

dt

im letzteren Falle muß, den Regeln der Vektormultiplikation entsprechend, auf die Reihenfolge der Faktoren geachtet werden. In gleicher Weise läßt sich die Änderung des Vektors a bei Änderung irgendeines skalaren Argumentes von et, aus der Änderung der Komponenten berechnen, so z. B.:

44

Rechnungsregeln der Vektoranalysis

8a

8a- . , 8av . , 8a,„

— = —- t

1 4

f.

2. Der Differentialquotient eines Einheitsvektors ä(t) nach seinem skalaren Argument ist ein Vektor, der auf dem Einheitsvektor senkrecht steht. Denn die Differentiation der Bedingung, daß ä ein Einheitsvektor ist, nämlich der Gleichung: ä2 = 1 nach seinem skalaren Argument, ergibt:

d. h. ä und da sind zwei aufeinander senkrechte Vektoren. (Das gilt natürlich nür so lange, als die Größe des Einheitsvektors die Einheit bleiben soll.) Es ist im Gegensatz hierzu die Formel anzumerken: d , , d , -, -da a ) = J t ( a a ) = a

J t {

w

, da + a w ,

worin wieder ä und da aufeinander senkrecht stehen. Also auch der Differentialquotient eines Vektors von unveränderlicher Länge nach seinem Argument steht auf dem Vektor senkrecht. 3. Ist a der Größe und Richtung nach der Radiusvektor einer durch die Polarkoordinaten r und

und ist der Ort des Punktes auf der Kurve gegeben durch die auf derselben gemessene Entfernung s von einem beliebig gewählten Kurvenpunkt, so ist der absolute Betrag der Geschwindigkeit des Punktes in der Kurve: v =

ds

die

46

Rechnungsregeln der Vektoranalysis

Richtung der Geschwindigkeit fällt in jedem Augenblick mit der Richtung des Kurvenelementes d§> zusammen. Also ist die Geschwindigkeit, d. h. die zeitliche Änderung des Vektors a der Richtung und Größe nach pro Zeiteinheit gegeben durch: da dt

ds ds dt

_

Der Vektor der Beschleunigung ist dargestellt durch: k _ dti _ ddi dt ds

^

dv dt

, ein nach seinem Argument differenzierter Einheitsvektor, muß senkrecht stehen zu dem Einheitsvektor dd§ gibt die Richtungsänderung der Tangente, wenn wir auf der Kurve von x, y, z zu xt, yx, z1 weitergehen (vgl. Fig. 10). Die Normalen in der Ebene des Krümmungskreises zu den Tangenten in diesen beiden Punkten schneiden sich im Krümmungsmittelpunkt. Die vektorielle Änderung des Krümmungsradius vom Punkt x, y, z zu x y v zr ist (1)

ä »ä& = {di V) (S, % gegeben sein, und zwar: (2)

((W)

+ ((SP) y ) 2 = i n o j ,

80

Anwendungen in einigen physikalischen Gebieten

(3)

71 - V2 = in

x,

wobei die Indizes zur Unterscheidung der Werte an den beiden Seiten der Fläche beigefügt und die Normalen beiderseits nach außen gerichtet sind. Diese Bedingungen bestimmen eindeutig das Potential; die denselben genügende Funktion V lautet (nach § 34 und §35): (4)

- V = f ° -

r

* + f Z d f - f (

x

w i ) * f -

§ 33. Hilfssätze von Green Nach dem Satz von Gauß: (1)

f div adr = (|) ado

ergibt sich, wenn wir statt a das Produkt aus einem Vektor a in eine skalare Größe V einsetzen (wobei die Endlichkeit und Stetigkeit des Vektors und des Skalars in denl betrachteten Kaum vorausgesetzt wird): (2) Nun ist

/ d i v ( a - V)dr

= (aV)-äo.

div (o • V) = V div a + a grad V; setzen wir daher a = grad U, so folgt aus (2) : (3)

(fj (VVü)

do=f

( F f 7 2 U)äx + J (ViUVV)

dr.

Durch Vertauschung von U und V erhält man eine entsprechende Gleichung. Subtrahieren wir diese beiden voneinander, so kommt: (4)

(fj (VVU - UVV) do=f

(VV*U - UV2V)

Ist V = U, so entsteht aus Gleichung (3): (5)

in Gleichung (3) der Nebenbedingung unterwerfen: (5)

div W = 0.

§ 39. Solenoidaler V e k t o r

95

Dann folgt aus (4): (6)

F2TT> = — 4TZ:U0.

Diese Gleichung ist drei analytischen Gleichungen zwischen den drei Komponenten äquivalent, und die Form dieser Gleichungen ist dieselbe, die wir in § 32 kennengelernt haben. Übertragen wir die obigen Resultate auf den vorliegenden Fall, so können wir schreiben: (7)

t v = f ^ d r ,

wenn wir von tü Stetigkeit im ganzen Raum voraussetzen und annehmen, daß es im Unendlichen wie — verschwindet, . 1 r wodurch festgesetzt wird, daß t> wie im Unendlichen verschwindet. Man bezeichnet in Analogie zu dem skalaren Potential tt) als das Vektorpotential der Vektorverteilung u„. Daß diese Lösung der Bedingung (5) genügt, ist durch direkte Berechnung von div J ^ d r leicht zu zeigen. Da die Rechnung indessen etwas weitläufig ist, so benutzen wir zu der Verifikation von Gleichung (5) einen anderen, bequemeren Weg. Wir bilden von Gleichung (6) die Divergenz, also div F2tt> = div grad div ix» = F 2 div tu = — div

4JIU0.

Nun folgt aus Gleichung (2), daß d i v 4TT:U0 =

also

F2

0,

div tt) = 0.

Das ist nichts anderes als die Laplacesche Gleichung für div tt). Da nun to wie — im Unendlichen verschwinden soll,

96

Anwendungen in einigen physikalischen Gebieten

also div tb wie

, so muß nach § 32 div tu = 0 sein, was

wir beweisen wollten. Es läßt sich somit der Geschwindigkeitsvektor b schreiben: b = rot f ^ d r (8)

/f/ot», J inr hierin bezieht sich die Differentiation unter dem Integralzeichen auf die Änderung von b an der Stelle des Elementes dr in der Entfernung r von dem Punkt, für welchen b bestimmt wird, und dessen Koordinaten die Differentiationsvariablen des Integrals sind. =

1

§ 40. Flächenwirbel Unterwerfen wir das Vektorpotential tt> einer allgemeineren Bedingung, nämlich der, daß beim Durchschreiten von gewissen Flächen die ersten Ableitungen von ttj in Richtung der Flächennormale Unstetigkeiten besitzen können, so daß ((n P) »»X + ((nF) » ) , = 4jr S ist, so muß nach § 32 die Lösung der Gleichung (6) des vorigen Paragraphen lauten:

Für b ergibt sich daraus folgende Eigenschaft. Wir bilden das Vektorprodukt des Wertes, den der Vektor b an einer Stelle des Raumes in unmittelbarer Nähe der Unstetigkeitsfläche annimmt, in die Normale der Unstetigkeitsfläche an dieser Stelle: [it, b] = [tt, rot tt)] = grad (ntü) n — (n V) tt>. Daraus folgt: 4 m = (grad ( n v o ) ^ + (grad (tttt>)n)2 - [nbli - [itb] 2 .

§ 40. Flächenwirbel

97

Nun ist grad (nm) lt = n div tc, und div to auf beiden Seiten der Unstetigkeitsfläche Null, so daß (grad (ithOn)! + (grad (ntr)„) 2 = 0 ist. Es bleibt also: [ n ö ^ ¡ttb]2 = - 4 n % . Die tangentiale Komponente von b erleidet leim Durchtritt durch die Fläche eine Unstetigkeit. Die normale Komponente bleibt davon unberührt. Das ergibt sich auch aus der Bedingung, daß div b im ganzen Raum Null sein soll; denn die Annahme einer Unstetigkeit der normalen Komponente an einer Fläche würde nach § 35 die Bedeutung haben, daß die Fläche eine Flächenergiebigkeit besitzt. Zur weiteren Untersuchung der Unstetigkeit umgeben wir die Unstetigkeitsfläche mit einer sich zu beiden Seiten der Unstetigkeitsfläche möglichst eng anschließenden, geschlossenen Fläche und bilden längs einer geschlossenen Linie auf derselben das Integral (£> b • dS>. Der Integrationsweg soll so zu beiden Seiten der Unstetigkeitsfläche verlaufen, daß jedem Linienelement auf der einen Seite ein in entgegengesetzter Richtung zu durchlaufendes, benachbartes auf der anderen entspricht. Wie wir sogleich erkennen werden, gibt das Integral uns die Wirbelstärke durch die von dem Integrationsweg eingeschlossene Fläche, die zu einem um so schmäleren Streifen zusammenschwindet, je enger die Umschließungslinie an die Unstetigkeitsfläche sich anlegt. Den schmalen Streifen zerlegen wir nun in Streifenelemente, deren Umrandung aus den Wegelementen ds des Integralweges zu beiden Seiten der Un7 Valentiner, Vektoren und Matrizen

98

Anwendungen in einigen physikalischen Gebieten

stetigkeitsfläche, vgl. Fig. 19, und den gegenüber ds sehr kleinen Verbindungsstücken dit gebildet wird, die senkrecht durch die Unstetigkeitsfläche hindurchführen. (Die Normalkomponente von D beim Durchtritt durch die Fläche bleibt ja stetig.) Die Integralelemente längs dieser Verbindungsstücke liefern zum Wert des Gesamtintegrals keinen Beitrag, da sie in benachbarten Streifenelementen in entgegengesetzter Richtung durchlaufen werden. Der Beitrag, den das

Integral der Umrandung eines solchen Streifenelementes liefert, ist also nur, vgl. Gl. (5) in § 26:' (öj - b2) dZ = rot b[d§ • dn], oder bezogen auf die Längeneinheit von d§ in: ( ö i — b 2 )-dä = rot Auf der linken Seite steht die Differenz der Tangentialkomponenten von b in der Richtung dä zu beiden Seiten der Unstetigkeitsfläche, welche nach unserer obigen Annahme einen endlichen Wert haben soll; also ist auch der auf der rechten Seite stehende Ausdruck von endlichem Wert. Derselbe ist gleich der Wirbelkomponente durch das

§ 41. Elektromagnetische Gleichungen von Maxwell-Lorentz

99

kleine Flächenelement [¿födtt] in der Normalenrichtung dieser kleinen Fläche. Es fließt also in der Unstetigkeitsfläche ein Wirbel von sehr großer Stärke, so daß das Produkt aus dem Querschnitt der Fläche in die Wirbelstärke von endlichem Betrage ist, d. h. von der Größenordnung einer Raumwirbelstärke. Man nennt solche in der Fläche verlaufende Wirbel Flächenwirbel und schreibt 9?ot ö statt rot ü. Kapitel 3

Einiges aus der Theorie der Elektrizität § 41. Elektromagnetische Gleichungen von Maxwell-Lorentz Die wichtigste Anwendung in der mathematischen Physik hat die Vektorentheorie seit Maxwell bei der Darstellung der. elektrischen und magnetischen Erscheinungen gefunden. Die Maxwellsche Beschreibung dieser Erscheinungen verwendet die folgenden Vektoren. (S resp. § die elektrische, resp. magnetische Feldstärke, welche der Größe und Richtung nach die Kraft eines elektrischen, resp. magnetischen Feldes auf die Elektrizitätsmenge e, resp. den magnetischen Pol m, an dem betreffenden P u n k t bestimmt, nachdem wir die Kraft durch Division mit e resp. m auf die Einheitsladung reduziert haben (e resp. m als klein und von unendlich kleiner materieller Ausdehnung vorausgesetzt). Die Einheitsladung ist dadurch festgesetzt, daß die Größe der abstoßenden Kraft zweier in der E n t fernung r befindlicher Körper mit den Ladungen e und e', resp. m und m' ee' mm' 4 7tr*'

res

P-

4j( r 2

beträgt. ® die elektrische Erregung oder die dielektrische Verschiebung. Dieser Vektor wird so gewählt, daß der Vektorfluß 7*

100

Anwendungen in einigen physikalischen Gebieten

durch das Flächenelement do, also gleich ist der Elektrizitätsmenge, welche das Element seit der Zeit durchflössen hat, zu welcher die Materie keinen elektrischen u n d magnetischen Einflüssen ausgesetzt war. I n der Elektrostatik ist also =

He,

die gesamte elektrische Erregung durch eine geschlossene Fläche gleich den gesamten von der Fläche umschlossenen elektrischen wahren Ladungen. F ü r isotrope Körper mit der Dielektrizitätskonstante e besteht zwischen ® u n d (5 die Beziehung ® = eS. Die Änderung von ® mit der Zeit an einem b e s t i m m t e n P u n k t des Raumes konstituiert einen elektrischen Strom, den Maxwell VerscMebungsstrom nennt. I m Inneren der leitenden Materie besteht außer diesem Verschiebungsstrom ein Konvektionsstrom elektrisch geladener Teilchen, dessen Geschwindigkeit durch den Vektor ü gegeben sein mag u n d der mit dem „elektrischen S t r o m " durch den Einheitsquerschnitt zusammenfällt. Der Gesamtstrom durch den Einheitsquerschnitt ist danach, wenn Q die Dichte der Elektrizität,

Diesen Vektor $ n i m m t die Theorie als stets solenoidal verteilt an, so daß er als Rotation eines anderen Vektors sich schreiben lassen m u ß . 85 die magnetische Induktion oder Iiraftflußdichte. Von diesem Vektor erhalten wir eine Anschauung, wenn wir an die durch das F a r a d a y s c h e Induktionsgesetz angegebene E r f a h r u n g erinnern. E s wird in einem geschlossenen Stromkreis ein elektrischer Strom induziert, wenn an der Stelle

§ 41. Elektromagnetische Gleichungen von Maxwell-Lorentz

101

ein magnetisches Feld erregt oder verändert wird. Die Elektrizitätsmenge, die durch den Querschnitt des Stromleiters bei der Erregung eines magnetischen Feldes hindurchtritt, ist proportional der von dem Leiter umschlossenen Fläche und der Änderung der magnetischen Kraftfluß dichte durch die Fläche, die wesentlich von dem Medium, in dem die Erregung stattfindet, abhängig ist. Im einfachsten Fall, dem Vakuum und dem isotropen, nicht ferromagnetischen Medium, ist die Induktion der dort vorhandenen Feldstärke ig proportional; der konstante Proportionalitätsfaktor ist die Permeabilität fj, des Mediums, so daß ® =¿1©. Diese Vektoren (5, 95 stehen miteinander durch die folgenden Grundgleichungen in Beziehung: (1)

rot© = 3 =

(2)

(§+eb),

=

wenn wir geeignete Einheiten der Vektoren wählen. Außerdem gilt: div 95 = 0 , div ® = Q , wenn g die Dichte der Elektrizität an der betreffenden Stelle bedeutet. Aus der Allgemeingültigkeit der Gleichung (1) folgt: d i v

3 = |-e +

div(eb)

= o,

welches aussagt, daß die Ladung jedes Massenelementes während der Bewegung unverändert bleiben soll. (Kontinuitätsgleichung der Elektrizität.)

102

Anwendungen in einigen physikalischen Gebieten § 42. Biot-Savartsches Gesetz

Haben wir es mit einem stationären Strom i in einem Draht vom Querschnitt q zu tun, so geht der Gesamtstrom 5 i n den Konvektionsstrom pb über, wenn § die Richtung des Stromes (bzw. des Leiters) ist. Die magnetische Wirkung, die von demselben ausgeht, ist gegeben durch: r o t © = 3 = ßö = - i - I ;

div § = 0 .

In diesem einfachen Fall können wir den Wert von § berechnen. In § 39 haben wir die Lösung des Gleichungssystems formal abgeleitet, und um die dortige Gleichung (8) auf den hier vorliegenden Fall anwenden zu können, brauchen wir nur, wie der Vergleich der dortigen Gleichung (2) mit der hier behandelten zeigt, b = § und 4?ru 0 = y 3 sowie

dr = qds

zu setzen. Es folgt so 4TT§ = r o t (p Y

dä.

Die rechte Seite läßt sich umformen in - (/> £id§

= - t(j)

Das ist der Ausdruck des Biot-Savartschen Gesetzes, das aussagt: man kann den Vektor § als eine Summe von Elementen

r] auffassen. Jedes Stromelement

ids

ruft in der Entfernung r eine magnetische Kraft hervor, welche proportional dem Sinus des Winkels zwischen Stromelement und Verbindungslinie, umgekehrt proportional dem

§ 43. Lineare Vektorfunktionen

103

Quadrat der Entfernung ist und auf der Ebene der Verbindungslinie und des Stromelementes senkrecht steht. Die Vektoren d§, r, ~ [d§, r] = 471(1$ folgen aufeinander, wie es die Amperesche Schwimmerregel verlangt. III. Teil

Lineare Yektorfunktionen, Matrizen, Dyaden § 43. Lineare Vektorfunktionen Wenn die Komponenten eines Vektors a = a1i-)-a2\-\-a9t homogene, lineare Funktionen der Komponenten eines anderen £ = a^i + x2\ -f- x3l sind, so sagt man, daß a eine l i n e a r e homogene V e k t o r f u n k t i o n von 5 ist. Dann bestehen die drei skalaren Gleichungen: l = allxl ^12^2 (1) «2 — 21 1 + 23 3' a3 = ^31*^1 "I- ®32®2 "I- %3^3 j und man schreibt: a

(2)

a = /( E ).

Darin sind im allgemeinen die aik neun voneinander unabhängige konstante Koeffizienten. Eine solche lineare Vektorfunktion trat uns in den Transformationsgleichungen (9) des § 15 und in dem totalen Differentialquotienten eines Vektors nach einer bestimmten Richtung in § 21 entgegen. Im letzteren Fall setzten wir x =

a

8VX ,

* ~0x

+

8VX , 8VX "~dy + a'~dz

a

und entsprechend Wy und Wz als Komponenten der linearen homogenen Vektorfunktion

SB = däS3 = ö ©rab S3

104

Lineare Vektorfunktionen, Matrizen, Dyaden

von 5 = 0^.1 + a y \ + a z I, die wir in dem speziellen Fall der Abhängigkeit SB von SS den Vektorgradienten von S8 in der Richtung ä nannten.

Bestehen zwischen den neun Koeffizienten die Beziehungen: (3)

d12 =

^21'

®13

=

®31>

®23

=

a

32>

die die neun auf sechs unabhängige Koeffizienten reduzieren, dann nennt man die Vektorfunktion s y m m e t r i s c h . Sind die neun Koeffizienten den Gleichungen unterworfen: (3')

au = a22 = «33 = 0 a

l2

=

^21»

a

l3

=

®31>

a

23 ~

und ®32'

so spricht man von einer a n t i s y m m e t r i s c h e n (oder antimetrischen) linearen Vektorfunktion. Das für eine lineare Vektorfunktion charakteristische ist, wie aus dem System (1) hervorgeht, daß, wenn i i = /(Ei) ist, die Beziehung gilt:

und

a 2 = /(S2)

ii + = /(Ei) + /(E2) = /(Ei + Ea)> und wenn c eine skalare Größe ist, ca = /(ej). Wir sagen daher: Eine Funktion eines Vektors ist eine lineare Vektorjunktion, wenn die Funktion der Summe zweier Vektoren gleich der Summe der Funktionen dieser Vektoren ist. Als Bezeichnung einer linearen Vektorfunktion eines Vektors schreiben wir vor diesen Vektor einen großen deutschen Buchstaben 1 ). Das Gleichungssystem (1) lautet dann: 1 ) Es sind im I. und II. Teil dieses Bandes einige wenige große deutsche Buchstaben zur Bezeichnung gewisser Vektoren entsprechend der Gepflogenheit in der Physik benutzt worden. Mißverständnisse sind nicht zu befürchten. Die Verwendung oben ist in der Matrizenrechnung gebräuchlich geworden.

§ 43. Lineare Vektorfunktionen

(4)

105

a = 2tj.

2t ist definiert durch die neun Koeffizienten aik. In nicht mißverständlicher Weise kann man schreiben: (5) und es gilt: (6)

91 = «11 «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «3S > 9iEi + 9iE2 = 9i(Ei + E2)-

Das Symbol oder der Operator 21 wird A f f i n o r genannt und Gleichung (4) sagt aus: Das Produkt eines Affinors mit einem Vektor ergibt wieder einen Vektor; oder der Affinor 91 führt den Vektor 5 in den Vektor a über oder ordnet dem Vektor j den Vektor a oder die lineare Vektorfunktion a zu. Die Bezeichnung „Affinor" soll daran erinnern, daß die Gleichung (4) oder das System (1) eine affine Raumtransformation (Raumabbildung) bestimmt, durch die die Koordinaten x2, x3 in die Koordinaten a^, a 2 , O3 übergeführt werden (vgl. § 15). Die aik können wir als die Komponenten von 3 Vektoren a i> a2> a 3 auffassen, wenn

Qi = «iii + «12I + «ls*. a 2 = a n t + a 2 2 j + a 2 3 {, a 3 = «3li + a 32l + «33^. so daß Gleichungen (1) übergehen in

Die

°2 = «3 = E°3a a , a3 sind die Koordinatenvektoren des Affinors 2t.

Mit dem Index ' wollen wir die Symbole der Vektorfunktionen versehen, wenn dieselben durch Vertauschen der Horizontal- und Vertikalreihen, der sogenannten Z e i l e n und S p a l t e n aus den indexfreien Symbolen entstanden sind. Man nennt sie transponiert zu den ursprünglichen. Der zu dem Affinor 21, Gleichung (5), transponierte lautet also:

106

Lineare Vektorfunktionen, Matrizen, Dyaden

(?)

2t' = an a21 ®12 a22 a l3 a23

an 32 a 3S •

a

Ist 2t = 91', so ist 2i offenbar das Symbol einer symmetrischen, linearen Vektorfunktion; dieses Symbol heißt T e n s o r . Ist 2 1 = —21', so ist 2t das Symbol einer antisymmetrischen Vektorfunktion. Durch den Namen „Tensor" wird daran erinnert, daß, wie die Elastizitätstheorie lehrt, bei einer infinitesimalen allgemeinen Deformation die Streckung in einer bestimmten Richtung eine symmetrische lineare Vektorfunktion dieser Richtung ist. Das Ensemble der 3 Gleichungen (1) bezeichnet man dann als Tensortripel, die Koeffizienten au, Oj2 - • • als Tensorkomponenten. Das Symbol reduziert sich, auf einen skalaren Faktor, mit dem der Vektor j zu multiplizieren ist, wenn alle Koeffizienten einander gleich werden. Insofern kann man die mit dem Symbol 9t ausgeführte Operation als Erweiterung einer Multiplikation eines Vektors mit einer skalaren Größe ansehen. § 44. Drehung eines Bezugssystems um den Anfangspunkt Es sei hier noch eine andere Deutung des Systems (1) in § 43 angegeben. Die Gleichungen liefern die Abhängigkeit der Vektorkomponenten voneinander, wenn ein und derselbe Vektor in zwei verschiedenen Bezugssystemen 'dargestellt ist. Im einen sei er (vgl. Gleichung (6) in § 15) 5 = x j + x2m +

x3n,

im anderen E = Ü2 == A2iXi -j- A22X2 a3 = A31X^ -f- ^32^2 ^33 ^31

die

die in die Gleichungen (1) übergehen, wenn die Aik durch die ä i k ersetzt werden. Wenn die beiden Bezugssysteme den gleichen Anfangspunkt und gleich große Einheitsvektoren haben, die außerdem aufeinander senkrecht stehen, so bedeutet die Transformation, also or _ , . A .a — -^ii 13 -42I A22 A23 -^31 -^32 -^33' (oder auch 21') eine Drehung des einen Bezugssystems in das andere (evt. mit Spiegelung, wenn die beiden Bezugssysteme nicht gleichsinnig gerichtet sind), die wir aus 3 Operationen zusammengesetzt denken können, z. B. aus einer Drehung um die I-, einer Drehung um die round einer Drehung um die n-Achse. Jede Drehung ist durch die Größe eines Win\ kels, als eines Parameters, *2 \3 \ ^ ^ bestimmt. Die Determia °3 * nante der linearen Vektorfunktion, also (s. § 49 Nr. 10) det S( =

; A n A 1 27; A, i 13: Fig. 20 : -^21-^22-^23 I I -^31 ^32 ^33 i hat in solchem Fall den Wert 1. Als Beispiel schreiben wir, (vgl. Fig. 20) die Transformationsgleichungen für die Drehung mit der Achse I um den Winkel

1-E =

(r*t1)-(t2;r*)S.

3. Handelt es sich um Vektoren im 3-dimensionalen Raum, so läßt sich eine Summe von beliebig vielen Dyaden stets auf eine Summe von höchstens 3 Dyaden zurückführen. Denn da sich in #=c;f+b;g+e;i) +

o;p

mit den drei nichtkomplanaren Vektoren f, g, i) der Vektor p durch die 3 Vektoren f, g, i) ausdrücken läßt, also gesetzt werden kann: so ist nach Nr. 1 : (3)

P = Pif + P 2 0 + P3t>.

0 = (c + o f t ) ; f + (b + op 2 ); g + (e + op 3 )\I)

= c 0 ; f + *>; 9 + e o; *)> wenn wir für die Klammerausdrücke die Vektoren c 0 , b 0 , e 0 setzen. Eine solche aus 3 Summanden bestehende vollständige Dyade läßt sich auf die Summe von 2 einzelnen Dyaden zurückführen, wenn entweder die Antezedenten oder die Konsequenten komplanare Vektoren sind, — auf eine einzige Dyade, wenn die Antezedenten oder die Konsequenten kollinear sind, bei beliebig vorgegebener Wahl der nicht komplanaren anderen Dyadenteile. 4. Unschwer zu überlegen ist — der Beweis sei dem Leser überlassen —, daß eine jede vollständige Dyade sich durch zwei Gruppen von je drei zueinander senkrechten Vektoren darstellen läßt. E s ist das die Darstellung in der Normalform: 4)

0 = (ai*;i +

&i*;i+ci*;l)

mit den beiden Gruppen zueinander senkrechter Vektoren i * , j * , ! * und i, j , ! .

§ 52. Die rotorische Dyade

125

Drückt man die i*, {*, I* in den i, j, ! aus, so nimmt 0 die sogenannte Neunerform der vollständigen Dyade an, in der man die „;" in der Regel fortläßt, da ein Mißverständnis nicht zu befürchten ist: (5) 0 = ( a n i i + a 1 2 ij + a 1 3 i! + flfoii + a 2 2 jj + o 23 jf + j*; j* + ßf*;!*) (i*; i + {*; j + !*;!).

Von ihnen bedeutet die zweite eine Drehung des Systems t , } , ! in das t*, j*, f* und die erste eine Streckung in den Richtungen t*, j*, f* um das o, 5, c-fache des Vektors, auf den 0 angewandt wird. Die durch 0 definierte Vektor-Transformation ist also gleichbedeutend mit einer Drehung und gleichzeitiger Streckung. 0 ist ein „Drehsirecker" und wenn a = b = c = 1, ein „Versor". Ist endlich a = S = c = 1 und t* = i, j* = j, !* = !, so spricht man von einer Einheits- oder Identilätsdyade (7)

J = (i;i + i ; i + i ; f ) . § 62. Die rotorische Dyade

(1)

In der Darstellung der linearen Vektorfunktion a = $3: = (c; f + b; g + e; ij) £

= c(Ef) + b(i B )+e(s$)

tritt der Vektor j als Faktor in skalaren Produkten auf. Man kann die lineare Vektorfunktion auch durch eine Summe von dreifachen Vektorprodukten darstellen, in die der Vektor j, das Argument der linearen Funktion, als Faktor eintritt, abgesehen von einem additiv hinzukommenden Glied, welches aus dem mit einer Skalaren multiplizierten Argument gebildet ist. Aus Gleichung 2 in § 12 folgt: (2)

a = [ f [ c S ] ] + [0P> E ]]+ [t)[e S ]] + i ( f c + 9 b + Eje),

wobei keine anderen Voraussetzungen über die Richtungen f, g, f) gemacht sind, als daß sie nicht komplanar sind. Symbolisch schreibt man: (3) a = [ f c + g b + t|e] x E + ß j . Man bezeichnet auch diese durch eckige Klammern und x oder * angemerkte Operation als Dyade, und zwar zum Unterschied der

126

Lineare Vektorfunktionen, Matrizen, Dyaden

früher abgeleiteten Form, der sJcalaren oder linearen Dyade, als rotorische oder planare Dyade. Auch für rotorische Dyaden gilt der Satz, daß die Summe beliebig vieler Dyaden sich zu einer Summe von höchstens drei Dyaden zusammenfassen läßt. Der Beweis sei dem Leser überlassen.

§ 53. Auflösung linearer inhomogener Gleichungen mit n Unbekannten (Gaußscher

Algorithmus)

Um das System von n Gleichungen (1)

21 S = a,

21 = («,*),

nach den Unbekannten xx • • • xn aufzulösen, ein System, dessen Determinante, wie wir annehmen wollen, nicht verschwindet 1 ), könnten wir das Eliminationsverfahren von Gauß, denQaußschen Algorithmus, anwenden. Wir würden aus den n Gleichungen zunächst die Unbekannte xl eliminieren und auf diese Weise (n — 1) Gleichungen mit den Unbekannten x2 • • • xn erhalten; aus diesen würden wir x2 eliminieren und (n — 2) Gleichungen mit den Unbekannten x3 • • • xn bekommen. So könnten wir fortfahren, bis wir auf die Beziehung für xn von der Form kämen (2)

b n n x n = &n,

aus der xn zu entnehmen wäre. Den Wert von xn = inßnn würden wir dann in die vorhergefundene Gleichung von der Form einsetzen: (3)

in-1,

n-1 xn-1

n xn

=

^n-n

und daraus xnberechnen. So fortfahrend könnten wir sämtliche x t finden mittels einer Gleichung von der Form (4) z , = ( - & f + bit„xn + li^x,,^

+ • • • +bit i+iZi+i): (~hi) •

*) Nur dann h a t man es bekanntlich mit n voneinander unabhängigen Gleichungen zur Auflösung nach n Unbekannten zu tun.

§ 63. Auflösung linearer inhomogener Gleichungen

127

Ohne auf Einzelheiten des Eliminationsverfahrens eingehen zu müssen, sehen wir, daß ein System von Gleichungen aus diesem Verfahren zu gewinnen ist, das mit Benützung von Matrizen geschrieben werden kann: (5)

S3E =

b,

und dem System (1) äquivalent ist. Da die Zahl der Unbekannten von Gleichung zu Gleichung dieses Systems um 1 abnimmt, so ist S3 eine Matrix, deren unter den Diagonalgliedern stehende Koeffizienten Null sind, eine Dreiecksmatrix (s. § 46). Die Aufgabe, das System (1) aufzulösen, ist also auf die andere zurückgeführt, die Matrix (5) aufzustellen, d. h. ihre Koeffizienten b durch die a auszudrücken. Wäre uns die Matrix ß = (cik) bekannt, die auf 23 angewandt 21 ergäbe, so könnten wir prinzipiell die bik aus den Gleichungen (5) in § 47 berechnen und die auf der rechten Seite der Gleichung (5) aus den n Gleichungen: n

(6)

ß b = a oder

cikbk = a,- mit i = 1, 2 , . . . n; i =1

denn es ist nach Gleichung (5) wegen ©33 = 91 (6')

©b = e S 3 s = 2Ie = a.

Letzteres ist, wie wir sehen werden, infolge der besonderen Beschaffenheit der Matrix © ohne Schwierigkeit und ohne erheblichen Zeitaufwand durchführbar. Zur Aufsuchung von E stehen uns die n2 Gleichungen (5) fl (fl I ' 1 ^ in § 47 zur Verfügung, von denen

aber zur Be-

rechnung der bik erforderlich sind. (Da 33 eine Dreiecksmatrix, sind

—— Koeffizienten von S3 bekannt, = 0.)

2

Koeffizienten der Matrix © können "also nur

Von den n

128

Lineare Vektorfunktionen, Matrizen, Dyaden

—

1 — - bestimmt w e r d e n , n sind willkürlich zu wähu u len. Welche Koeffizienten das zweckmäßiger Weise sind und welche Werte wir ihnen geben sollen, zeigt sich sogleich, wenn wir einmal anfangen, die Gleichungen (5) in § 47 für die aik wirklich hinzuschreiben, indem wir mit a u beginnen und zeilenweise fortfahren. E s ergibt sich so, wenn wir beachten, daß die ersten Gleichungen der Systeme (1) und (5) zusammenfallen:

«11 =

c

«12 =

c

11^12 +

C

«13

C

ll&13 +

C

«21 «22

=

u

6

u

mit

c

u

12 ^22 13^33

=

1

mit c 1 2 mit c13

= c 2 1 bu = C2i b12 -j- C22 ^22 mit

die Beziehung: bn

=

a

=

0

b12

=

fl

=

0

^13

=

=

1

C C

22

&22 =

J3

«23

usw.

«22

mit C23 = 0 I23 623 =

21 = —

"

u

,

i21

«13 i

«2l/«ll>

«12 « 2 l / « 1 1 > «13 « 2 l / « 1 1

Man erkennt, daß mit cu = 1 und cik = 0, wenn k > i, der Reihe nach sich die bik und die übrigen cik berechnen fl (fl -i- 1 \ lassen. Diese Wahl von - — - — - Koeffizienten ergibt für 6 eine Dreiecksmatrix, deren Diagonalglieder gleich 1 und deren über diesen Gliedern stehende Koeffizienten sämtlich gleich Null sind. Dadurch vereinfachen sich aber sowohl die Bestimmungsgleichungen für die restlichen cik und die bik, wie auch die Bestimmungsgleichungen (6) für die Die Werte der letzteren kann man, von i 1 anfangend, der Reihe nach durch die einfache Addition von Produkten mit 2 Faktoren aus (7)

b( = at — cn bx — ci2b2

gewinnen.

— ei3 b3 — • • • — c f ) t _ r

b^

§ 54. Der Eliminationsprozeß selbst

129

Die Willkür in der Wahl einiger Koeffizienten von die hier zur Berechnung der gesuchten Koeffizienten von S3 führt, mag bedenklich erscheinen, wenn sie sich auch als besonders einfach empfiehlt. Darum wollen, wir zeigen, daß ihre innere Begründung aus dem oben angedeuteten Eliminationsprozeß hervorgeht. Wir betrachten ihn ein wenig näher. § 64. Der Eliminationsprozeß selbst

Wir gehen aus von der 1. Gleichung des Systems (5) in §53, die mit der 1. des Systems (1.) übereinstimmt: (1) + b12x2 + (- blnxn = \ und multiplizieren sie, um ein übersichtliches Schema zu erhalten, der Reihe nach mit c u , ctl, c 3 1 ,..., so daß Gleichungen entstehen, die wir mit 1', 2', 3' •• • bezeichnen wollen. Wir ziehen sie der Reihe nach ab von den Gleichungen 1,2, 3 • • • des Systems (1) in § 53, bilden also (2) (1) - (!'), (2) - (2% (3) - (3') usf. Wenn aus diesen Differenzgleichungen x1 verschwinden soll, so muß gesetzt werden: a

u ~ cu\i = d. h. c u = 1, daraus ati = blit c (-g-j . a2i ~ cn\i = 0, n — a2i/au> a e 3l ~ 31 ~ ^31 = a3l/ all) «¿1 — C(1bn = 0, c fl = «ü/On, und die Gleichungen ohne x1 lauten: f (a22 C21 ^12) X2 (a23 C21 ^ia)X3 ' ' ' = (®2 — C21 ^l) > ( 4 ) i («32 - C31b12)X2 + 33 - C3lhi)X3 + ' ' " = («3 ~ C3lh) { usf. Um das Schema fortzusetzen, schreiben wir die 1. dieser Gleichungen, die wir als die 2. des Systems (5) in § 53 ansehen können: (5) b22x2 + ¿¡¡3^3 + • • • = b2 9

V a l e n t i n e r , Vektoren und Matrizen

130

Lineare Vektorfunktionen, Matrizen, Dyaden

und multiplizieren sie der Reihe nach m i t c 2 2 ( = l ) , mit c32, mit c42 • • •, so daß Gleichungen entstehen, die wir schematisch folgerichtig mit 2 " , 3", 4" • • • bezeichnen. Wir ziehen sie der Reihe nach ab von den Gleichungen (2) — (2'), (3) — (3'),. . . bilden also (6)

(2

)-(2')-(2"),

(3)

-

(3')

- (3") usf.

Soll aus diesen x2 verschwinden, so muß sein: ( ^22 (7)

^21^12

^22^22

:

0,

C31®12 C32^22 = 'S ®32 ^ «42 — C42&12 — C42 ^22 = 0

U S f-

(2) — (2') — (2") liefert außerdem: a2i — c21 — c22b2i = 0. Man sieht, wie sich das Schema fortsetzt und daß die Größen c,j = 1 sind und cik mit k > i nicht vorkommen, also Null zu setzen sind. Zur Bestimmung der bik und der restlichen c{k(i > k) ergeben sich aber nun gerade die Gleichungen (5) in § 47, die wir in der nach den h it und e ik aufgelösten Form schreiben: ^

bik = aik ~ cil 1>lk — C12 für ilk ~ Ci2 für i > k.

—• • •—

bi-lt k

— ' ' ' — Cif

ik-i, k) : ikk

Man würde statt dessen zwei Reihen von Additionen vorzunehmen haben, was für das Arbeiten mit einer Rechenmaschine angenehmer wäre, wenn man an Stelle der Matrix E = (cik) die negative Matrix — K = (— cik) = (cm) in Gleichung (1) bzw. (4) des § 47 einführen würde und darin statt der — cik die Größen c'k schriebe. Dieses Vorgehen ist in dem speziellen Fall der Anwendung der Gleichung (4) auf die Aufgabe, ein Gleichungssystem (1) aufzulösen, üblich geworden, und es lautet dann die Beziehung für die Matrizen: (9)

- £ • 83 = 91 = (eÄ) (blk)

§ 54. Der Eliminationsprozeß selbst mit der Maßgabe (die £ (10)

131

beziehen sich auf g):

i J l k = a"c ^ clQ l c'k =(«,4 + £ 4 buk) • ( - hk)

*Ur 4 — ' fiir i > fc

und (11)

6, =

+

i Vgl. hierzu das.Zahlenbeispiel in § 5 8 . Die Vorschriften (10) zur Berechnung der ^ « ( ¿ ^ &) und der Cffc (i > k) werden sofort durchsichtig, wenn m a n sie einmal auf den Anfang eines Systems von n linearen Gleichungen anwendet. Wir schreiben daher die Vorschriften (10) f ü r die ersten 5 Zeilen der Matrix eines solchen Systems mit Vorwegnahme der Beziehungen: ¿>11 = 0*11, Z»J2 = ÖJ2, ?>13 = 0>i2t ' ' •> = «Ii, «l'l =

«2*2 =

«3*3 =

••• =

— 1,

. «21 — — — . «31 — — — > . — — — "ll "11 °11 in der Reihenfolge, wie sie zur Berechnung der b und e* dienen, hier a n : ¿22 = «22 + "21 &12, ¿23 =

«23 +

«21 ¿ 1 3 ,

¿24 =

«24 +

«21 ¿ 1 4 .

¿2t =

«2» +

C 2 'l ¿ 1 » ,

«3*2 = ( « 3 2 +

C'l ¿12) : ( — 622) 1

¿33 =

«33 +

«31 ¿ 1 3 +

634 =

«34 +

"3*1 ¿ 1 4 +

«3*2 ¿ 2 4 ,

=

«3i +

«3*1 ¿ 1 i +

«3*2 ¿ 2 i ,

hi

«32 ¿ 2 3 ,

«42 = ( « 4 2 +

«4*1 612) : ( -

«4*3 = ( « 4 3 +

«41 &13 +

«42 ¿ 2 3 ) :

633),

¿44 =

«41 ¿ 1 4 +

«42 ¿24 +

«43 ¿ 3 4 ,

«44 +

^22,)

I i i - ü u + C41 i l i + C42 hi + «43 h i '

132

Lineare Vektorfunktionen, Matrizen, Dyaden

Ist die Matrix des Systems linearer Gleichungen symmetrisch, gilt also 91 =

, a

I

u

a12

a13

• •

,

22 a23 ' " ' |

®12 a

\%3

I

so bestehen zwischen den l i k und Ca der Dreiecksmatrizen, in die 21 zwecks Auflösung des Systems zu zerlegen ist, die Beziehungen (12)

cik =

oder e „ = ^ kk

.ü

, (z. B .

C

»

i

3

=

b

f , i > 33

s ) '

wie durch Ausmultiplizieren von a = A 0 c21 i ^31

Ci2

Ai o- • • W o 1 • • • / l 0

&22 & „ • • • ] 0

633 • •

- j

und Gleichsetzen der entstehenden Koeffizienten mit den entsprechenden von 21 sich leicht ergibt. Das bedeutet eine große Vereinfachung, denn mit den 6 , t sind sämtliche cik bekannt. § 55. Gaußsche Schreibweise der Eliminationsgleichungen Das angegebene Eliminationsverfahren findet seit Gauß besonders in der Ausgleichsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate Verwendung. F ü r d e n ' F a l l von 3 Unbekannten ¡Tj, x3 sei es hier in der üblich gewordenen Gaußschen Bezeichnungsweise noch einmal mitgeteilt. Aus Gründen, die in § 59 ersichtlich werden, wollen wir für die Koeffizienten a i k von 91 andere Bezeichnungen einführen, wobei wir zugleich beachten, daß 21 symmetrisch ist. E s wird gesetzt:

§ 55. Gaußsche Schreibweise der Eliminationsgleichungen

133

r a u = [aa], a 22 = [66], a x = [al], (1) -j a12 = a21 = [a&], a 23 = a 32 = [6c], a2 = [6Z], ^ «13 = «31 = [ a c L