Vektoren und Matrizen [Reprint 2019 ed.] 9783111370125, 9783111013121

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

354/354*

VEKTOREN UND MATRIZEN von

DR. S I E G F R I E D

VALENTINER

Prof', emer. d e r Physik an der Bergakademie Clausthal Mit 35 Figuren 3. Auflage (10., erweiterte Auflage der „ Vektoranal ysis") Mit einem A n h a n g :

AUFGABEN ZUR

VEKTORRECHNUNG von

D lt. H E K M A N N K Ö N I G Prof. emer. der M a t h e m a t i k an der Bergakademie Clausthal

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J . Göschen'eche Verlagshandlung • J . Guttentag, V e r l a g s b u c h h a n d l u n g • Georg Reimer • Karl J. T r ü b n e r • Veit & C o m p .

BERLIN

1963

© Copyright 1963 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. GöscheD'sche Verlagshandlung — J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J. Trübner — Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, vom Verlag vorbehalten. — Archiv-Nr. 7713637. — Satz und Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin 30. — Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis Seite

Schrifttum Einleitung

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§ 1. D a r s t e l l u n g d e r R e s u l t a n t e eines K r a f t s y s t e m s

6

I. Teil Rech eil regeln der Vektoranalysis § 2. D e f i n i t i o n des V e k t o r s u n d d e r s k a l a r e n Größe § 3. A d d i t i o n , S u b t r a k t i o n v o n V e k t o r e n , M u l t i p l i k a t i o n der V e k t o r e n m i t s k a l a r e n Größen . . § 4. Zerlegung v o n V e k t o r e n § 5. Gleichungen zwischen V e k t o r e n § 6. M u l t i p l i k a t i o n v o n V e k t o r e n § 7. Skalares P r o d u k t § 8. A n w e n d u n g e n § 9. Vektorielles P r o d u k t § 10. A n w e n d u n g auf die S t a t i k § 11. D a s s k a l a r e T r i p e l p r o d u k t r[a 6] § 12. D a s vektorielle T r i p e l p r o d u k t [c[ab]J § 13. P r o d u k t e a u s V e k t o r p r o d u k t e n § 14. D i e F r a g e d e r Division v o n V e k t o r e n § 15. R e z i p r o k e V e k t o r t r i p e l § 16. P r o d u k t e i m schiefwinkligen B e z u g s s y s t e m § 17. Über die E r w e i t e r u n g des V e k t o r b e g r i f f s auf d e n m e h r d i m e n s i o n a l e n Raum § 18. D i f f e r e n t i a t i o n eines V e k t o r s n a c h einer s k a l a r e n Größe § 19. Der G r a d i e n t einer s k a l a r e n F u n k t i o n § 20. D i f f e r e n t i a t i o n einer s k a l a r e n F u n k t i o n n a c h einer s k a l a r e n G r ö ß e in einer v o r g e g e b e n e n R i c h t u n g § 21. D i f f e r e n t i a t i o n eines V e k t o r s n a c h einer s k a l a r e n Größe in einer vorgegebenen Richtung § 22. Die O p e r a t i o n V bei v e k t o r i e l l e m A r g u m e n t § 23. Die s k a l a r e O p e r a t i o n V bei v e k t o r i e l l e m A r g u m e n t . I n t e g r a l s a t z von Gauß § 24. A n w e n d u n g e n . Die B e z e i c h n u n g D i v e r g e n z § 25. Die vektorielle O p e r a t i o n V. Die R o t a t i o n § 26. S a t z von Stokes § 27. A n w e n d u n g § 28. M e h r f a c h e A n w e n d u n g d e r D i f f e r e n t i a l o p e r a t i o n V | 29. Die D i f f e r e n t i a l o p e r a t i o n e n bei B e n u t z u n g r e c h t w i n k l i g e r , k r u m m liniger K o o r d i n a t e n

11 15 18 20 21 23 25 26 30 32 35 36 38 33 41 42 42 47 48 50 52 54 59 60 63 66 69 71

II. Teil Anwendung in einigen physikalischen Gebieten § 30. E i n t e i l u n g

75

4

Inhaltsverzeichnis Seite

Kapitel 1 E i n i g e S ä t z e der P o t e n t i a l t h e o r i e §31. § 32. § 33. § 34.

Bedeutung des Potentials in der Mechanik . Newtonsches Potential Hilfssätze von Green Ableitung der Potentialfunktion V aus den charakteristischen Bedingungen § 35. Deutung der einzelnen Glieder der Lösung

77 79 80 82 84

Kapitel 2 E i n i g e S ä t z e der H y d r o d y n a m i k S 36. § 37. § 38. § 39. | 40.

Einführung der Flächenkräfte Kulersche Gleichungen f ü r reibungslose Flüssigkeiten Sätze von Helmholtz über die "Wirbelbewegung Solenoidaler Vektor Klächenwixbel

86 90 91 94 90

Kapitel 3 E i n i g e s aus der T h e o r i e der E l e k t r i z i t ä t | 41. Elektromagnetische Gleichungen von Maxwell-Lorentz § 42. Biut-Savartsches Gesetz

99 . 102

III. Teil Lineare Vektorfunktionen, Matrizen, Dyaden § 43. § 44. § 45. §46. §47. § 48. § 49. § 50. §51. §52. § 53. § § § § § § § § § §

54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63.

Lineare Vektorfunktionen Drehung eines Bezugssystems um den Anfangspunkt Matrizen Rechenregeln f ü r Matrizen Wiederholte Matrizenoperation Einfache Anwendungen Einige bemerkenswerte Folgerungen Die Matrix als Summe von Dyaden Einige Regeln für die Rechnung mit Dyaden Die rotorische Dyade Auflösung linearer inhomogener Gleichungen mit n Unbekannten (Gaußscher Algorithmus) Der Eliminationsprozeß selbst Gaußsche Schreibweise der Eliniinationsgleichungon Die Kehrmatrix Die Kehrmatrix in besonderen Fällen Zahlenbeispiel zu § 54 und 56 Die Matrizen in der Methode der kleinsten Quadrate Durchrechnung zweier Beispiele Die Matrix in der Gleichung 2. Grades Anwendung bei Deformationsbehandlung Die Matrix in einer Eigenwertaufgabe

103 106 108 109 112 115 117 122 123 125 126 129 132 134 137 139 142 146 151 152 155

Anhang 1. 42 Aufgaben zur Vektorrechnung 2. Zusammenstellung einiger wichtiger Formeln

162 . 199

Schrifttum Aus der ersten Zeit der Entwicklung der Vektorrechnung M ö b i u s , Der bar y zentrische Kalkül, ein neues Hilfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie dargestellt und insbes. auf die Bildung neuer Klassen von Aufgaben und die Entwicklung mehrerer Eigenschaften der Kegelschnitte angewendet. Leipzig 1827. G r a ß m a n n , Die Ausdchnungslehre von 1844 oder die lineare Ausdehnungs* lehre, ein neuer Zweig der Mathematik. 2. Aufl. Leipzig 1878. — Die Ausdehnungslehre. Berlin 1862. H a m i l t o n , Elemente der Quaternionen: deutsch von Glan. Leipzig 1884. T a i t , Elementares Handbuch der Quaternionen: deutsch von v. Scherff. Leipzig 1880. Die moderne Behandlung der Vektoranalysis und ihrer Verwendungsmöglichkeit findet man in zahlreichen Lehrbüchern der Vektorrechnung; mehr oder weniger ausführlich dargestellt ist sie in allgemeinen Hand- und Lehrbüchern der Mathematik und in Lehrbüchern der theoretischen Physik.

Zur Matrizenrechnung F. N e i s s , Determinanten und Matrizen. Springer-Verlag, 1948. L. C o l l a t z , Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen. Akad. Verlagsges. 1949. R. Z u r m ü h l , Praktische Mathematik f ü r Ingenieure und Physiker. SpringerVerlag. 1953. R. Z u r m ü h l , Matrizen und ihre technischen Anwendungen. 3. Aufl. SpringerVerlag, 1961.

Einleitung § 1. Darstellung der Resultante eines Kraftsystems Die Vektoranalysis ist eine mathematische Disziplin, die sich in ihrem Aufbau fast so vollkommen an die Anschauung anlehnt wie die Geometrie selbst: sie bildet ihre Begriffe und Schlüsse gerade denen der Geometrie nach. Insofern sie dadurch zu einer knapperen, übersichtlicheren und anschaulicheren Darstellung aller solcher Erfahrungen führt, die auf den zwei- oder dreidimensionalen Raum sich beziehen, als die gewöhnliche Analysis, will ich in dem ersten Paragraphen an einem Beispiel zeigen. Dasselbe ist zugleich geeignet, den Unterschied der beiden wichtigsten Begriffe der Vektoranalysis: der skalaren Größe und des Vektors, hervortreten zu lassen. Es mögen an w Punkten eines freien, starren Körpers Pi • • • p« die Kräfte P x • • • Pn angreifen. Ein solches System von Kräften läßt sich ersetzen durch eine resultierende Einzelkraft und ein Kräftepaar, das von dem Angriffspunkt der Einzelkraft abhängig ist. Der analytische Ausdruck der Einzelkraft und des Kräftepaars wird gewonnen, indem man die Kräfte in die Komponenten nach den drei Richtungen, z. B. eines rechtwinkligen Koordinatensystems zerlegt und diese in geeigneter Weise zu drei resultierenden Komponenten einer Einzelkraft und eines Kräftepaars wieder zusammensetzt. So lehrt es die analytische Mechanik. Anschaulicher und, man möchte sagen, direkter wird die Aufgabe auf geometrischem Wege ohne Zerlegung in Komponenten in folgender Weise durch wiederholte Anwendung der Sätze vom Parallelogramm der Kräfte und der statischen Momente gelöst.

§ 1. Darstellung der Resultante eines Kraftsystems

7

Man denkt sich (vgl. Fig. 1) zwei neue Kraftsysteme dem ursprünglichen Pi - • • Pn zugefügt, die dadurch gewonnen

Fig. 1

werden, daß man in einem, und demselben, aber beliebigen P u n k t Kräfte P[ - • - P'n angreifen läßt, die den gegebenen gleich und gleich gerichtet sind, und J?»T sin (Pirj) solche P'i • • • P'n , die ihnen gleich, aber entgegengesetzt gerichtet sind. Das System P[- • • P'n setzt man nach dem Satz vom Parallelogramm der Kräfte oder, wie man kurz zu sagen pflegt, durch geometrische Addition zu der Resultierenden R zusammen: (i)

fi

=

pu+)-••(+)?;,

wo das Zeichen ( + ) anzeigen soll, daß die Kräfte geometrisch zu addieren sind, also mit Rücksicht auf die Richtung der Kraft, wie es z. B. auf dem Zeichenbrett geschehen kann. Die beiden anderen Kraftsysteme stellen ein System

8

Einleitung

von Kräftepaaren dar, deren statische Momente dem absoluten Betrage nach, also abgesehen vom Richtungssinn, den Wert haben: PiU sin ( j ^ ) , wenn r{ die Entfernung des Angriffspunktes der Kraft Pt von dem willkürlich gewählten Angriffspunkt A der resul-

tierenden Einzelkraft R bedeutet und nach dem Angriffspunkt der letzteren gerichtet ist, und wenn f ü r den Winkel ( P ^ i ) immer der Wert gesetzt wird, der < n ist. Die Größe dieser Momente tragen wir als Strecken von einem beliebig gewählten P u n k t aus parallel der Drehungsachse nach der Richtung hin ab, daß die Drehungsrichtung des Kräftepaares, von dieser Richtung aus betrachtet, positiv, d. h. entgegen der

§ 1. Darstellung der Resultante eines Kraftsystems

9

Bewegung des Uhrzeigers gerichtet1) (vgl. Fig. 2) erscheint. Diese Strecken addieren wir geometrisch in gleicher Weise wie vorher die Kräfte und erhalten als resultierendes statisches Moment: M = [PlTl

sin ( P ^ ) ] ( + ) • • • ( + ) [Pnrn

sin ( P „ r n ) ] .

Diesen Ausdruck können wir in eindeutiger Weise kürzer auch so schreiben: (2)

M = ( P l f l ) ( + ) (P 2 r 2 ) ( + ) • • • ( + ) ( P n r n ) ,

wenn wir unter (P^r,) eine Strecke verstehen, deren absoluter Betrag gleich ist dem P r o d u k t : P,r t - sin (P,•»•