Vektoren und Matrizen: Mit einem Anhang: Aufgaben zur Vektorrechnung [Reprint 2019 ed.] 9783111360393, 9783111003108

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Vektoren und Matrizen von

Dr. Siegfried Valentiner Prof. emer. der Physik an der Techn. Hochschule Clausthal Mit 35 Figuren 4. Auflage (11., erweiterte Auflage der „Vektoranalysis")

Mit einem Anhang:

Aufgaben zur Vektorrechnung von

Dr. Hermann König Prof. emer. der Mathematik an der Techn. Hochschule Clausthal

Sammlung Göschen Band 354/354a

Walter de Gruyter & Co • Berlin 1967 vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • K a r l J. Trübner • Veit &jComp.

© Copyright 1967 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung — J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg lteimer — Karl J. Trübner — Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, vom Verlag vorbehalten. — Archiv-Nr. 7713677. — Satz und Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin. — Printcd in Germany.

Inhaltsverzeichnis Seite

Schrifttum Einleitung

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§ 1. D a r s t e l l u n g der R e s u l t a n t e eines K r a f t s y s t e m s

6

I. Teil Rechenregeln der Vektoranalysis § 2. D e f i n i t i o n des V e k t o r s u n d d e r s k a l a r e n Größe § 3. A d d i t i o n , S u b t r a k t i o n v o n V e k t o r e n , M u l t i p l i k a t i o n der V e k t o r e n mit skalaren Größen § 4. Zerlegung v o n V e k t o r e n § 5. Gleichungen zwischen V e k t o r e n § 6. M u l t i p l i k a t i o n v o n V e k t o r e n | 7. Skalares P r o d u k t § 8. A n w e n d u n g e n § 9. Vektorielles P r o d u k t § 10. A n w e n d u n g a u f die S t a t i k § 11. D a s s k a l a r e T r i p e l p r o d u k t r[ait] § 12. D a s vektorielle T r i p e l p r o d u k t [c[ab]] § 13. P r o d u k t e a u s V e k t o r p r o d u k t e n § 14. Die F r a g e d e r D i v i s i o n v o n V e k t o r e n § 15. R e z i p r o k e V e k t o r t r i p e l § 16. P r o d u k t e im schiefwinkligen B e z u g s s y s t e m § 17. Über die E r w e i t e r u n g des V e k t o r b e g r i f f s auf d e n m e h r d i m e n s i o n a l e n Raum § 18. D i f f e r e n t i a t i o n eines V e k t o r s n a c h einer s k a l a r e n Größe § 19. Der G r a d i e n t einer s k a l a r e n F u n k t i o n § 20. D i f f e r e n t i a t i o n einer s k a l a r e n F u n k t i o n n a c h einer s k a l a r e n G r ö ß e in einer v o r g e g e b e n e n l l i c h t u n g § 21. D i f f e r e n t i a t i o n eines V e k t o r s n a c h einer s k a l a r e n Größe in einer vorgegebenen Richtung § 22. Die O p e r a t i o n V bei v e k t o r i e l l e m A r g u m e n t § 23. Die s k a l a r e O p e r a t i o n V bei v e k t o r i e l l e m A r g u m e n t . I n t e g r a l s a t z von Gauß § 24. A n w e n d u n g e n . Die B e z e i c h n u n g Divergenz § 25. Die vektorielle O p e r a t i o n V. Die R o t a t i o n § 26. Satz v o n Stokes § 27. A n w e n d u n g § 28. M e h r f a c h e A n w e n d u n g der D i f f e r e n t i a l o p e r a t i o n V § 29. Die D i f f e r e n t i a l o p e r a t i o n e n bei B e n u t z u n g r e c h t w i n k l i g e r , k r u m m liniger K o o r d i n a t e n

11 15 18 20 21 23 25 26 30 32 35 30 38 38 41 42 42 47 48 50 f>2 54 59 60 63 66 69 71

II. Teil Anwendungen in einigen physikalischen Gebieten 530. E i n t e i l u n g

75

4

Inhaltsverzeichnis Kapitel 1 Einige S ä t z e der P o t e n t i a l t h e o r i e

§ § § §

Seite

31. 32. 33. 34.

Die B e d e u t u n g des P o t e n t i a l s in der Mechanik Newtonsches Potential H i l f s s ä t z e v o n Green A b l e i t u n g der P o t e n t i a l f u n k t i o n V a u s d e n c h a r a k t e r i s t i s c h e n Bedingungen § 35. D e u t u n g der einzelnen Glieder der L ö s u n g

77 79 80 82 84

Kapitel 2 Einige S ä t z e der H y d r o d y n a m i k §36. § 37. § 38. § 39. § 40.

E i n f ü h r u n g der Flächenkräfte E u l e r s c h e Gleichungen f ü r reibungslose F l ü s s i g k e i t e n Sätze v o n H e l m h o l t z ü b e r die W i r b e l b e w e g u n g Solenoidaler V e k t o r Flächenwirbel

86 90 91 94 96

Kapitel 3 E i n i g e s aus der Theorie der E l e k t r i z i t ä t § 41. E l e k t r o m a g n e t i s c h e Gleichungen v o n M a x w e l l - L o r e n t z § 42. B i o t - S a v a r t s c h e s Gesetz

09 102

III. Teil Lineare Yektorfunktionen, Matrizen, Dyaden § 43. § 44. § 45. § 46. §47. § 48. § 49. § 50. § 51. § 52. § 53. § § § § § § § § § §

54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63.

Lineare Vektorfunktionen D r e h u n g eines B e z u g s s y s t e m s u m den A n f a n g s p u n k t Matrizen Rechenregeln f ü r Matrizen Wiederholte Matrizenoperation Einfache Anwendungen Einige bemerkenswerte Folgerungen Die M a t r i x als S u m m e v o n D y a d e n Einige Regeln f ü r die R e c h n u n g m i t D y a d e n Die r o t o r i s c h e D y a d e A u f l ö s u n g linearer i n h o m o g e n e r Gleichungen m i t n U n b e k a n n t e n (Gaußscher Algorithmus) Der E l i m i n a t i o n s p r o z e ß selbst G a u ß s c h e Schreibweise d e r E l i m i n a t i o n s g l e i c h u n g c n Die K e h r m a t r i x Die K e h r m a t r i x in b e s o n d e r e n F ä l l e n Zahlenbeispiel zu § 54 u n d 56 Die Matrizen in der M e t h o d e der k l e i n s t e n Q u a d r a t e D u r c h r e c h n u n g zweier Beispiele Die M a t r i x in d e r Gleichung 2. G r a d e s A n w e n d u n g bei D e f o r m a t i o n s b e h a n d l u n g Die M a t r i x in einer E i g e n w e r t a u f g a b e

103 106 108 109 112 115 117 122 123 125 126 129 132 134 137 139 142 146 151 152 155

Anhang 1. 42 A u f g a b e n zur V e k t o r r e c h n u n g 2. Z u s a m m e n s t e l l u n g einiger wichtiger F o r m e l n

162 199

Schrifttum Aus der ersten Zeit der Entwicklung der Vektorrechnung M ö b i u s , Der baryzentrische Kalkül, ein neues Hilfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie dargestellt und insbes. auf die Bildung neuer Klassen von Aufgaben und die Entwicklung mehrerer Eigenschaften der Kegelschnitte angewendet. Leipzig 1827. G r a ß m a n n , Die Ausdehnungslehre von 1844 oder die lineare Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik. 2. Aufl. Leipzig 1878. — Die Ausdehnungslehre. Berlin 1862. H a m i l t o n , Elemente der Quaternionen: deutsch von Glan. Leipzig 1884. T a i t , Elementares Handbuch der Quaternionen: deutsch von v. Scherff. Leipzig 1880. Die moderne Behandlung der Vektoranalysis und ihrer Verwendungsmöglichkeit findet m a n in zahlreichen Lehrbüchern der Vektorrechnung; mehr oder weniger ausführlich dargestellt ist sie in allgemeinen Hand- und Lehrbüchern der Mathematik und in Lehrbüchern der theoretischen Physik.

Zur Matrizenrechnung F. N e i s s , Determinanten und Matrizen. Spring er-Verlag, 1948. L. C o l l a t z , Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen. Akad. Verlagsges. 1949. K. Z u r m ü h l . Praktische. Mathematik f ü r Ingenieure und Physiker. SpringerVerlag. 5. Aufl. I n Vorbereitung. K. Z u r m ü h l , Matrizen und ihre technischen Anwendungen. 4. Auf). SpringerVerlag, 1964. A. D u s c h c k u. A. H o c h r a i n e r , Tensorrechnung in analytischer Darstellung. Bd. 1. Tensoralgebra. 4. Aufl. Springer-Verlag, 1960.

Einleitung § 1. Darstellung der Resultante eines Kraftsystems Die Vektoranalysis ist eine mathematische Disziplin, die sich in ihrem Aufbau fast so vollkommen an die Anschauung anlehnt wie die Geometrie selbst: sie bildet ihre Begriffe und Schlüsse gerade denen der Geometrie nach. Insofern sie dadurch zu einer knapperen, übersichtlicheren und anschaulicheren Darstellung aller solcher Erfahrungen führt, die auf den zwei- oder dreidimensionalen Raum sich beziehen, als die gewöhnliche Analysis, will ich in dem ersten Paragraphen an einem Beispiel zeigen. Dasselbe ist zugleich geeignet, den Unterschied der beiden wichtigsten Begriffe der Vektoranalysis: der skalaren Größe und des Vektors, hervortreten zu lassen. Es mögen an n Punkten eines freien, starren Körpers Pi • • • p B die Kräfte P1- • • Pn angreifen. Ein solches System von Kräften läßt sich ersetzen durch eine resultierende Einzelkraft und ein Kräftepaar, das von dem Angriffspunkt der Einzelkraft abhängig ist. Der analytische Ausdruck der Einzelkraft und des Kräftepaars wird gewonnen, indem man die Kräfte in Komponenten nach drei Richtungen, z. B. eines rechtwinkligen Koordinatensystems x, y, z zerlegt und diese in geeigneter Weise zu drei resultierenden Komponenten einer Einzelkraft und eines Kräftepaars wieder zusammensetzt. So lehrt es die analytische Mechanik. Anschaulicher und, man möchte sagen, direkter wird die Aufgabe auf geometrischem Wege ohne Zerlegung in Komponenten in folgender Weise durch wiederholte Anwendung der Sätze vom Parallelogramm der Kräfte und der statischen Momente gelöst.

§ 1. Darstellung der Resultante eines Kraftsystems

7

Man denkt sich (vgl. Fig. 1) zwei neue Kraftsysteme dem ursprünglichen Pi • • • Pn zugefügt, die dadurch gewonnen

werden, daß man in einem und demselben, aber beliebigen P u n k t K r ä f t e P[ • • • P'n angreifen läßt, die den gegebenen gleich u n d gleich gerichtet sind, u n d solche P'i • • • P'n, die ihnen gleich, aber entgegengesetzt gerichtet sind. Das System P[ • • • P'n setzt m a n nach dem Satz vom Parallelogramm der K r ä f t e oder, wie man kurz zu sagen % pflegt, durch geometrische Addition zu der Resultierenden R zusammen:

(i)

Ä = pu+)---(+)p;,

Hg. 2

wo das Zeichen ( + ) anzeigen soll, daß die K r ä f t e geometrisch zu addieren sind, also mit Rücksicht auf die Richtung der K r a f t , wie es z. B. auf dem Zeichenbrett geschehen kann. Die beiden anderen K r a f t s y s t e m e stellen ein System

8

Einleitung

von K r ä f t e p a a r e n dar, deren statische Momente dem absoluten Betrage nach, also abgesehen vom Richtungssinn, den W e r t h a b e n : PiU sin

(P,rt),

wenn r,- die E n t f e r n u n g des Angriffspunktes der K r a f t P f von dem willkürlich gewählten Angriffspunkt A der resul-

£ichtr/Mung

S ichtrichtung Drehachse

Drehachse Fig. 2 a

Fig. 2b

Fig. 2 c

Fig. 2 d

tierenden Einzelkraft R bedeutet u n d nach dem Angriffsp u n k t der letzteren gerichtet ist, u n d wenn f ü r den Winkel (Pifi) immer der W e r t gesetzt wird, der < iz ist. Die Größe dieser Momente tragen wir als Strecken von dem beliebig gewählten P u n k t A aus parallel der Drehungsachse nach der Richtung hin ab, daß die Drehungsrichtung des Kräftepaares, von dieser Richtung aus betrachtet, positiv, d. h. entgegen der

§ 1. Darstellung der Resultante eines Kraftsystems

9

Bewegung des Uhrzeigers gerichtet1) (vgl. Fig. 2) erscheint. Diese Strecken addieren wir geometrisch in gleicher Weise wie vorher die Kräfte und erhalten als resultierendes statisches Moment: M = [Plh

sin ( P l f l ) ] ( + ) • • • ( + ) [ P n r n sin

(Pnrn)].

Diesen Ausdruck können wir in eindeutiger Weise kürzer auch so schreiben: (2)

M = ( P ^ ) ( + ) (P 2 r 2 ) ( + ) • • • ( + ) ( P „ r n ) ,

wenn wir unter ( P ^ ) eine Strecke verstehen, deren absoluter Betrag gleich ist dem P r o d u k t : P,rt sin (Pi-r,), und die senkrecht zu der Ebene Pu r,- nach der Seite der Ebene gerichtet ist, daß der Übergang der Richtung P,- in die Richtung r(, von der Strecke ( P , r , ) aus gesehen, einer positiven Drehung entspricht. In Fig. 1 sind die resultierende Einzelkraft R und die beiden Momente ( P ^ j ) und (P 2 r 2 ) für die beiden an den Punkten pv resp. p2 des starren Körpers angreifenden Kräfte konstruiert worden mit der willkürlichen Wahl des Angriffspunktes A der Resultierenden. Die Punkte pv p2 und A mögen mitsamt der Kraftrichtung P1 in der Zeichenebene liegen, P 2 sei aus der Ebene heraus nach oben gerichtet. In Fig. 3 ist die Konstruktion des resultierenden statischen Momentes M ausgeführt. Die Zeichenebene ist parallel der Drehungsachse des Kräftepaares ( P i ^ ) ; die die Momente darstellenden Strecken sind der Größe und Richtung nach von einem P u n k t aus abgetragen und ergeben durch geometrische Addition die Strecke M, die der Größe und Richtung nach das resultierende Drehmoment darstellt. Die Gleichungen (1) und (2) geben eine symbolische Darstellung der geometrischen Konstruktion. Während man in J ) I n Richtung der Drehachse gesehen erscheint die Drehung in der Bewegung des Uhrzeigers. (Vgl. Fig. 2 a — d . )

10

Einleitung

der analytischen Darstellung nur Strecken gleicher Richtung, die Komponenten, addiert, hat man es hier mit einer Addition von Strecken zu tun, welche sich nicht allein durch ihre Größe, ihren absoluten Betrag, sondern auch durch ihre Richtung voneinander unterscheiden, mit welchen also nur unter Rücksichtnahme auf ihre Richtung gerechnet werden darf. Zum Unterschied von reinen Zahlen, „ s k a l a r e n G r ö ß e n " , bezeichnet man solche Größen, die sich von ihresgleichen durch Größe und Richtung unterscheiden können, als gerichtete Größen oder V e k t o r e n . Können nun diese

Symbole auch zur Beschreibung anderer geometrischer Konstruktionen oder gar physikalischer Erfahrungen benutzt werden und lassen sich einfache analytische Rechenregeln f ü r dieselben angeben, die nicht für jeden weiteren Schluß eine Übertragung der Symbole in die gewöhnliche analytische Schreibweise erfordern, so können sie eine brauchbare und infolge der Anlehnung an die Geometrie beträchtlich einfachere Beschreibung liefern als die rein algebraisch analytische Ausführung. In der Tat ist man imstande gewesen, eine Reihe von Rechenregeln abzuleiten, die den Regeln der gewöhnlichen Algebra mit skalaren Größen analog sind. Der Ableitung dieser Regeln, weiche die

§ 2. Definition des Vektors und der skalaren Größe

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notwendige Grundlage der Darstellungsmethode durch Vektoren bildet, ist der erste Teil dieses Bändchens gewidmet. Zur Übung in der Handhabung der Rechenregeln werden im zweiten Teil einige Anwendungen aus physikalischen Gebieten, im Anhang einige Aufgaben besprochen. Endlich soll im dritten Teil auf eine wichtige Erweiterung der Vektorrechnung, die Behandlung der linearen Vektorfunktionen (Matrizen, Dyaden) eingegangen werden. Als die eigentlichen Begründer der Vektorrechnung sind Graßmann und Hamilton zu nennen, die nahezu gleichzeitig und ganz unabhängig voneinander den Vektorbegriff in die analytische Rechnung eingeführt haben, wenn auch in jener Zeit (um 1844) Ansätze zu dieser Methode von anderen versucht worden sind oder schon vorhanden waren, wie in dem „baryzentrischen Kalkül" von Möbius (1828). Mehr als alle anderen waren sich jene beiden der Bedeutung der neuen Methode bewußt. Die Gesichtspunkte, von denen sie ausgingen, sind außerordentlich verschieden, indem Hamilton sich mehr der Geometrie anschloß, wählend Graßmann die Geometrie nur dazu verwenden wollte, anschauliche Beispiele für seine umfassender angelegte Theorie zu gewinnen. Seine Sätze sollten keine bloßen Übertragungen geometrischer Sätze in die abstrakte Sprache sein, sondern durch Erweiterung auf mehr als dreidimensionale Gebilde eine allgemeine Bedeutung gewinnen. Man unterscheidet dementsprechend zwei Richtungen in der Darstellungsweise der Vektorrechnung, die sich aber in den Anwendungen auf die Geometrie oder physikalische Erkenntnisse aufs engste berühren und zum Teil ergänzen. I. T e i l

Rechenregcln der Vektoranalysis § 2. Definition des Vektors und der skalaren Größe Wir nannten in § 1 die Kräfte und die statischen Momente sowie auch die Resultierenden, die im dreidimensionalen Raum als gerichtete Strecken abgebildet werden können, Vektoren. Zur völligen Bestimmung der als erste Beispiele angeführten Vektoren sind drei Angaben, entsprechend den Komponenten in der analytischen Darstel-

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Rechenregeln der Vektoranalysis

lung, hinreichend und notwendig. Drei solche Angaben sind: die Länge des Vektors und die zwei Winkel, die seine Richtung gegen feste Achsen bestimmen. Da es also nur auf die Länge und Richtung der den Vektor darstellenden Strecke ankommen kann, so ist die Darstellung unabhängig von der Lage des Anfangspunktes der Strecke. Soll daher z. B. die Einzelkraft P mit den Komponenten Px, Pv, Pz, die im Punkt x, y, z eines durch Achsen festgelegten Raumes ,,A" angreift, in dem dreidimensionalen Bildraum „ B u durch eine Strecke dargestellt werden, so ist die Darstellung insofern auf unendlich vielfache Weise möglich, als der Anfangspunkt der darstellenden Strecke mit dem willkürlich gewählten Koordinatenanfangspunkt des Bildraumes „ £ " zusammenfallen kann oder nicht. In dem Bildraum sind also parallele gleichgerichtete und gleich große Strecken bezüglich ihrer Bedeutung für das dargestellte Objekt völlig äquivalent. Ein Vektor behält danach z. B. seinen Wert (Länge und Richtung) bei Parallelverschiebung des Koordinatensystems, ist invariant gegenüber einer solchen Verschiebung. Das gilt nicht von einer Strecke, die z. B. von Punkt A mit den Koordinaten x, y, z zum Anfang des Koordinatensj'stems führt; sie wird als Ortsvektor oderFahr s t r a h l bezeichnet, ist also nicht ein Vektor im strengen Sinne, wenn er auch in der Rechnung wie ein solcher zu behandeln ist. Als Richtung des Fahrstrahls sei im folgenden die vomAnfangspunkt wegweisende angenommen, wenn nicht ausdrücklich anderes gesagt ist. Wir setzen daher als Definition des Vektors fest: Eine Größe soll V e k t o r genannt werden, wenn die Gesamtheit der verschiedenen Werte, die sie annehmen kann, in umkehrbar eindeutiger Weise der Gesamtheit der Strecken im Raum zugeordnet werden kann, die von einem willkürlich gewählten Anfangspunkt ausgehen1). 1 ) V e k t o r e n sind S t r e c k e n — Größen, die d u r c h eine g e r i c h t e t e S t r e c k e im R ä u m e d a r g e s t e l l t w e r d e n k ö n n e n . — "Über die A u f f a s s u n g der V e k t o r e n als Tensoren 1. Stufe s. § 43.

§ 2. Definition des Vektors und der skalaren Größe

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Daraus folgt: Vektoren sind einander gleich, wenn sie durch Parallelvcrschiebung nach Länge und Richtung zur Deckung gebracht werden können. Vektoren sind danach außer den genannten, der Kraft und dem statischen Moment, z. B. die folgenden Größen: Verrückung, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Feldstärke. Bei den genannten Größen ist kein Zweifel, daß sie definitionsgemäß als Vektoren anzusprechen sind. Es muß indessen noch auf eine andere Gruppe von Vektoren hingewiesen werden, bei denen die Berechtigung des Namens Vektor nicht sofort erkannt werden könnte. Der absolute Betrag des statischen Moments, d. h. die Größe ohne Bezugnahme auf die Richtung, ¿ V i sin (P( r(), kann aufgefaßt werden als der Flächeninhalt des Parallelogramms mit den Seiten Ph r, und dem Winkel (p = (Pt ?•;). Als Richtung des das statische Moment darstellenden Vektors wurde bei der geometrischen Addition in § 1 die Normalenrichtung auf die durch P( und r, gelegte Ebene benutzt. Wir können danach ein Parallelogramm von bestimmter Größe und gegebener Normalenrichtung ebenfalls als einen Vektor ansehen. Es gehören also unter die oben definierten Vektoren auch solche Größen, die vorgestellt werden können als durch den Anfangspunkt gehende, beliebig begrenzte, ebene Flächenstücke. Endlich ist noch eine dritte Gruppe von Vektoren hervorzuheben, nämlich solche Größen, die unter dem Bilde von unbegrenzten, nicht durch den Anfangspunkt gehenden Ebenen betrachtet werden können. Die Größe und Richtung dieser Vektoren ist offenbar eindeutig definiert durch Größe und Richtung der vom Anfangspunkt auf die Ebene gefällten Normalen.

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Rechenregeln der Vektoranalysis

Zwischen den ursprünglich ins Auge gefaßten Vektoren und den beiden zuletzt hervorgehobenen Gruppen wird ein Unterschied bemerkbar, sobald man von der Vektordarstellung auf Koordinatendarstellung übergehen will und z. B. eine Transformation von einem „positiven" zu einem „negativen" Koordinatensystem ausführen muß, also von einem Koordinatensystem mit den Achsen x,y,z zu einem solchen mit entgegengesetzt gerichteten Achsen; bei einer solchen Transformation wechseln die Komponenten von P das Vorzeichen; die durch P dargestellte Kraft würde durch — P wiedergegeben werden; dagegen würde der das statische Moment darstellende Vektor sein Zeichen nicht ändern, falls wir, wie in § 1, dem Moment stets das positive Zeichen beilegen, wenn die Drehung von der positiven Seite der Drehungsachse aus gesehen positiv, d. h. entgegen der Uhrzeigerbewegung, gerichtet ist. Man nennt wohl Vektoren, die ihr Vorzeichen bei der genannten Transformation ändern, also etwa durch Pfeile darstellbar sind, p o l a r e Vektoren, solche, die es behalten, darstellbar durch Ebenenstücke mit Umlaufsinn oder rotierende dünne Zylinder von bestimmter Länge, a x i a l e Vektoren 1 ). Da in der Rechnung mit Vektoren gerade eben nicht auf ein Koordinatensystem Bezug genommen werden braucht, ist der Unterschied für die Rechnung mit Vektoren offenbar bedeutungslos. Die Abhängigkeit des Vektors vom Ort oder von der Zeit muß natürlich auf den Bildraum selbst oder die den Vektor abbildende Strecke übertragen werden. Ist in einem Gebiet jedem Punkt ein beliebiger, im allgemeinen stetig mit dem Ort sich ändernder Wert eines Vektors zugeordnet, so nennt man dies Gebiet ein Vektorfeld und spricht in diesem Sinn von Kraftfeld, Momentenfeld, Geschwindigkeitsfeld usw. Im Gegensatz zu den Vektoren stehen die Größen, zu deren vollständiger Bestimmung nur eine Angabe, der absolute Betrag, notwendig ist, weil ihrem Begriff jede Beziehung zu einer Richtung im Raum fehlt. Als Beispiele solcher Größen, der sogenannten Skalare, sind an erster 1 ) Die Bezeichnung s t a m m t v o n W. Voigt. Maxwell (Treatise on electricity and magnetism. London 1873, 1, Art. 15) bezeichnete die Vektoren als transiatorisch und rotatorisch. Wiechert (Ann. Phys. u. Chem. 59, 1896, S. 187) nannte sie Vektoren und Rotoren.

§ 3. Addition, Subtraktion, Multiplikation

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Stelle die absoluten Beträge der Vektoren zu nennen, d. h. die Längen der Vektoren ohne Rücksicht auf ihre Richtung, ferner Winkel, Temperaturspannen, Zeitspannen u. a. 1 ). Wir nennen eine Größe einen Skalar, wenn die Gesamtheit der verschiedenen Werte, die sie annehmen kann in umkehrbar eindeutiger Weise einer Reihe reeller Zahlen zugeordnet werden kann. Es sind Größen ohne Richtung 2 ). Um im folgenden durch den Anblick der Zeichen schon erkennen zu lassen, ob eine Größe Vektor oder Skalar ist, wollen wir, wie üblich ist, die Vektoren in der Regel durch deutsche kleine oder große Buchstaben bezeichnen, die skalaren Größen i. a. durch lateinische. Den absoluten Betrag eines Vektors und den Vektor selbst werden wir i. a. durch gleichlautende Buchstaben angeben. § 3. Addition, Subtraktion von Vektoren, Multiplikation der Vektoren mit skalaren Größen Zwei beliebig gerichtete Strecken a und b (Fig. 4) werden addiert, indem man den Anfangspunkt der zweiten

Fig. 4 ') Zuweilen w u r d e n a u c h G r ö ß e n , die d u r c h A n g a b e einer sich auf ein M a ß s y s t e m beziehenden Zahl b e s t i m m t sind, als Slcalare b e z e i c h n e t , wie die T e m p e r a t u r selbst., die Zeit selbst. I n dieser allgemeineren B e d e u t u n g ist a b e r „ S k a l a r " n i c h t s a n d e r e s als „ Z a h l " u n d die E i n f ü h r u n g der B e z e i c h n u n g ist überflüssig. Skalare i m s t r e n g e r e n Sinne sind bei Ä n d e r u n g e n des Bezugssystems invariant. 2 ) S k a l a r e als Tensoren nullter Stufe s. § 43.

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Rechenregeln der Vektoranalysis

Strecke an den Endpunkt der ersten parallel verschiebt und die Verbindungslinie vom Anfangspunkt der ersten zum Endpunkt der verschobenen zweiten zieht. Diese Verbindungslinie OG, die Summe der beiden Strecken a und b, ist die vom willkürlich gewählten Anfangspunkt 0 ausgehende Diagonale des Parallelogramms OACB, dessen zwei an den Anfangspunkt der Diagonale stoßende Seiten die von dem Punkte 0 aus beginnenden Strecken sind. Da die Vektoren entspr. der Definition durch gerichtete Strecken darzustellen sind, werden Vektoren addiert wie gerichtete Strecken. Operationszeichen für die Addition von Vektoren ist das algebraische Additionszeichen + , indem ein Mißverständnis durch die Anwendung der deutschen Buchstaben für Vektoren vermieden werden kann. In Fig. 4 ist (1)

a + b = c.

Die Differenz zweier Vektoren ist nichts anderes als die Summe des ersten und des in entgegengesetzter Richtung genommenen zweiten Vektors, also darstellbar durch die von 0 ausgehende Diagonale des Parallelogramms O A D B ' , dessen an 0 anstoßende Seiten der erste Vektor und der nach entgegengesetzter Richtung gezeichnete zweite Vektor, also — b = b', sind. Oder es ist also (2)

a — b = b. Die leiden Diagonalen des aus den Vektoren a und b gebildeten Parallelogramms stellen nach Oröße und Richtung die Summe resp. die Differenz der zwei Vektoren dar. Die Differenz zweier Vektoren ist Null, die Vektoren sind einander gleich, wenn sie gleiche Größe und gleiche Richtung haben. (Vergl. die Folgerung aus der Definition, S. 12). Aus der Anschauung ergibt sich sofort, daß a + b = b + et ist, d. h. das kommutative Gesetz gilt.

§ 3. Addition, Subtraktion, Multiplikation

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Die Summe mehrerer Vektoren • • • an wird gewonnen durch Addition des dritten zu der Summe der ersten beiden, des vierten zu der Summe der ersten drei usw. D a es auch hier auf die Reihenfolge nicht ankommt, so kann die Gruppierung geändert werden, d. h. es gilt auch das assoziative Gesetz: (qx + q 2 ) + o 3 H ö! + (a 2 + a 3 ) Beispiel: Gleichung (1) können wir schreiben: 0 + B — c = 0, oder wenn wir setzen: — c = c', a + b + c' = 0 . Fassen wir die Vektoren a, 6, c' als Kräfte auf, so haben wir den bekannten Satz: Lassen sich Kräfte, die an einem Punkt angreifen, der Größe und Richtung nach durch solche Strecken darstellen, daß man sie durch parallele Verschiebung zu einem geschlossenen Polygon zusammensetzen kann, so halten sie sich das Gleichgewicht. Addieren wir m gleiche (d. h. gleich große und gleichgerichtete) Vektoren, so erhalten wir einen Vektor von gleicher Richtung und der m-fachen Länge. Ist der absolute Betrag des Vektors a gleich a, \a \

=a,

so stellt ^ einen Vektor von gleicher Richtung wie a und dem absoluten Betrag 1 dar. Man nennt einen solchen Vektor einen E i n h e i t s v e k t o r 1 ) . I m allgemeinen ist also ein Vektor das Produkt einer skalaren Größe mit einem Einheitsvektor. F ü r diese „skalare" Multiplikation gilt, wie aus der Anschauung hervorgeht, ebenfalls wie bei der Addition das kommutative und assoziative Gesetz. Wir wollen festsetzen, daß die Einheitsvektoren als dimensionslose Größen anzusehen sind. Die Dimension legen wir dem absoluten Betrage bei, der Einheitsvektor gebe allein die Richtung an. Ist z. B. die Geschwindigkeit einer Kugel 400 m/s, und hat die durch die Winkel

=

xx

+

y\

+

zt,

wo x, y, z skalare Größen bedeuten. Diese skalaren Größen selbst, u n d damit die Komponenten in 3 willkürlich vorgegebenen Richtungen B1, b 2 , b 3 oder j , t), ¡5, vektoriell zu finden, k a n n erst später (in §7, §13 u n d § 15) gelehrt werden.

§ 5. Gleichungen zwischen Vektoren Aus diesen Betrachtungen ergeben sich die folgenden Sätze: 1. Zwei Vektoren sind einander gleich dann und nur dann, wenn die sie definierenden drei Bestimmungsstücke paarweise einander gleich sind. Eine lineare Gleichung zwischen Vektoren ist somit drei Gleichungen zwischen skalaren Größen, d. h. drei gewöhnlichen algebraischen Gleichungen, äquivalent. 2. Die Gleichung: Q1

=

x a

s

+

ya3

ist bei variablem x und y die vektoranalytische Darstellung einer Ebene, die die beiden Vektoren a 2 und a 3 enthält, denn sie stellt die Gesamtheit aller in dieser Ebene liegenden Geraden dar. a j = x a 2 + ya3 + a 4 ist die Gleichung einer Ebene, die den Vektoren a 2 und a 3 parallel ist u n d durch den E n d p u n k t von a 4 geht. 3. Ferner ist a i = °2 + xa3 der Ausdruck einer zu a 3 parallelen, durch den E n d p u n k t von a 2 hindurchgehenden Geraden. 4. Die Endpunkte von drei (bzw. vier) von demselben Ausgangspunkt ausgehenden Vektoren liegen in einer Geraden (bzw. Ebene), wenn zwischen den drei (bzw. vier) Vektoren eine lineare Gleichung existiert, in der die Summen aller Vektorkomponenten zu beiden Seiten des Gleichheitszeichens einander gleich sind. Denn liegt der E n d p u n k t von a x auf der Geraden durch die Endpunkte von a 2 und a 3 (bzw. in der Ebene durch die E n d p u n k t e von a 2 , a 3 , Q4), SO gilt: x(a 2 — a 3 ) = Qj — a 3 [bzw. x(a 2 - a 4 ) + y(a3 - a 4 ) = a t — a 4 ]. In diesem Lehrsatz lassen sich Haupt- und Nebensatz miteinander vertauschen.

§ 6. Multiplikation v o n Vektoren

21

Beispiel. E s soll gezeigt werden, daß die Diagonale eines Parallelogramms i m Verhältnis v o n n : 1 durch die Verbindungslinie einer Ecke m i t dem (n — l ) t e n Teil der Gegenseite geteilt wird. In Fig. 6 sei

N a c h Voraussetzung ist oder

&i = % + «2. B1=

0 l

+ (n - l ) a ' .

D a der Endpunkt v o n c so gewählt werden soll, daß er auf der Geraden durch die Endpunkte v o n (>! u n d a' liegt, so muß nach dem eben ausgesprochenen Satz x = 1 + (n — 1) = n sein, was zu beweisen war.

§ 6. Multiplikation von Vektoren Die Multiplikation skalarer Größen untereinander oder mit Vektoren folgt den Regeln der gewöhnlichen Algebra (vgl. § 3), es gilt das assoziative und kommutative Gesetz, d. h. es ist m(na)

= n(ma)

wie auch das distributive und

m(a

+

= (mn)

a,

Gesetz, d. h. es ist b) = ma +

m 6

(w + w ) a = m a + n a . Die Multiplikation von Vektoren untereinander folgt anderen Regeln. Um diese abzuleiten, gehen wir von der E r f a h r u n g aus, auf die sie ja anwendbar sein soll. 1. Das P r o d u k t aus der der Größe und Richtung nach gegebenen K r a f t ^ß und der in gleicher Weise gegebenen

22

Rechenregeln der Vektoranalysis

Wegstrecke längs welcher sie wirkt, bestimmt der Größe nach eine Arbeit: Ä = Ps c o s ( i p ) . 2. Das Produkt aus einer Kraft die an einem P u n k t eines um einen P u n k t drehbaren Körpers angreift, und der Entfernung r der beiden Punkte bestimmt der Größe und Richtung nach einen Vektor, das statische Moment 9JI; der absolute Betrag desselben ist M = Pr sin Oßr); seine Richtung ist senkrecht zur Ebene (^ß, t) und zwar so, daß die kürzeste Drehung der Kraftrichtung in die Richtung: Angriffspunkt —> Drehpunkt, von der positiven Seite der Drehungsachse gesehen, entgegen dem Sinn des Uhrzeigers verläuft, in Übereinstimmung mit der Festsetzung in § 1 . Aus dem 1. Beispiel folgt: Das Produkt zweier Vektoren kann eine skalare Größe sein, deren Betrag gleich ist dem Produkt der absoluten Beträge der zwei Vektoren, multipliziert mit dem Kosinus des Winkels zwischen den beiden Richtungen der Vektoren, oder gleich dem Produkt des absoluten Betrages des einen Vektors und der Projektion des anderen auf die Richtung des ersteren. Aus dem 2. Beispiel folgt: Das Produkt zweier Vektoren kann einen neuen Vektor darstellen, dessen absoluter Betrag gleich dem Flächeninhalt des aus den Vektoren als Seiten gebildeten Parallelogramms ist, und dessen Richtung senkrecht zu der Ebene der beiden Vektoren zeigt und nach der Seite, daß f ü r einen, der in dieser Richtung steht, die kürzeste Drehung des bei Angabe des Produktes zuerst genannten Vektors in die Richtung des anderen entgegen dem Sinn des Uhrzeigers verläuft.

23

§ 7. Skalares Produkt

Das erste Produkt bezeichnet man als s k a l a r e s P r o d u k t 1 ) mit der symbolischen Schreibweise (a, b) oder ab oder a - b ; das zweite f ü h r t den Namen v e k t o r i e l l e s P r o d u k t oder V e k t o r p r o d u k t 2 ) mit dem im folgenden benutzten Symbol [ab] oder [a • £>] oder [a, b] oder dem jetzt wieder häufiger gebrauchten a X b. § 7. Skalares Produkt 1. Aus der Definition des skalaren Produktes: ab = | a [ • | b | • cos (ab) folgt unmittelbar die Gültigkeit des kommulativen (1) ab = b a , da

cos (ab) = cos (ba)

Gesetzes:

ist.

Für die Multiplikation mit skalaren Größen besteht das assoziative Gesetz, es ist (xa) b = z ( a b ) = x | a | • | b | • cos (ab), da das assoziative Gesetz für die Multiplikation der absoluten Beträge nach den Regeln der Algebra Gültigkeit besitzt. Endlich ergibt sich aus der Definition des skalaren Produktes und der Tatsache, daß die Summe der Projektionen von Strecken auf eine Strecke gleich der Projektion der Summe der Strecken ist, das distributive Gesetz: (a + b) c = ac + bc. 2. Das skalare Produkt eines Vektors mit einem Einheitsvektor ist nichts anderes als die senkrechte Projektion des Vektors Die B e z e i c h n u n g g e h t a u f H a m i l t o n z u r ü c k , negativ genommenen Betrag das Symbol:

er b e n u t z t e f ü r

den

S a b = — | o | • | b | • cos (a, 6 ) ; G r a ß m a n n n a n n t e d a s s e l b e inneres P r o d u k t u n d schrieb [a | b l ; Gibbs s p r a c h von einem ,,direct p r o d u c t " , oder „ d o t p r o d u c t " , a • b oder (a, b); H e a v i s i d e schrieb a b . 2 ) G r a ß m a n n : ä u ß e r e s P r o d u k t , [ a b l ; H a m i l t o n : vektorieller Teil des Q u a t e r n i o n e n p r o d u k t e s , V u b ; G i b b s : V e k t o r p r o d u k t oder ,,skew p r o d u c t " oder „ c r o s s p r o d u c t " , a X b .

24

Rechenregeln der Vektoranalysis

auf die Richtung des Einheitsvektors. Das skalare P r o d u k t zweier Einheitsvektoren ist gleich dem Kosinus des Winkels zwischen ihren Richtungen. Die Gleichung: (2)

ab = 0

zwischen zwei Vektoren von endlichem Betrag ist somit der Ausdruck dafür, daß die Vektoren senkrecht zueinander stehen (Bedingung der Orthogonalität). Um nicht Widerspruch mit der definitionsmäßig geforderten Regel der Algebra zu empfinden, nach welcher ein Produkt nur verschwinden kann, wenn einer der Faktoren Null ist, müssen wir uns immer daran erinnern, daß das Zeichen (a, b) oder ab ein Symbol ist und nicht Produkt der beiden Größen a und b, sondern das Produkt der einen mit der Projektion der anderen auf die erste darstellt. Fallen die Richtungen der Vektoren zusammen, so ist das skalare P r o d u k t der Vektoren gleich dem P r o d u k t der absoluten Beträge. I m besonderen ist (3)

a

2

^ a - a = ö2.

Q2 wird als Norm des Vektors et bezeichnet. Hieraus folgen f ü r die Einheitsvektoren in 3 zueinander senkrechten Achscnrichtungen i, j , ! die Beziehungen: m

i t = Ü = ff = l , i j = jf = ü = 0 . Sind die Vektoren a und b durch die Einheitsvektoren t, j , ! ausgedrückt, W

a = aji + a2 j + a3!, b ^ t + M + M. so kann auf Grund der Gleichungen (4) das skalare P r o d u k t geschrieben werden: ( )

(6)

ab =

bx + a2b2 +

a3b3

und a 2 = a 2 = a® + a 2 4- o*.

§ 8. Anwendungen

25

Der absolute Betrag a eines Vektors a ist also: (7)

| a |= a = +

j/a2

+

a22 +

a*.

Durch Multiplikation der Gleichung (5 X ) mit dem Einheitsvektor i, resp. j , ! , erhalten wir: ( ax = a i = a cos ( a i ) , < a 2 = a j = a cos ( a j ) , ^ as = a i = a cos ( a i ) ,

(8)

woraus die Bedeutung dieser skalaren Komponenten als der mit dem absoluten Betrag a des Vektors multiplizierten Richtungskosinus zu erkennen ist. Sind die Vektoren durch drei nicht in einer Ebene liegende, schiefwinklig zueinanderstehende Einheitsvektoren I, tn, n ausgedrückt: n = + a 2 tn + a 3 n , b = 6jl + h m + h n > so nimmt das Produkt die Form an: (9)

ob = a ^ + a2Z>2 + asb3 + (a^ + b^) ml + (a2&3 + b2a3) nm + (a^ + b3at) In. § 8. Anwendungen 1. In nebenstehendem Dreieck (Fig. 7) ist

(1)

a + 6 + c = 0,

also a 2 = B2 + 26c + c 2 ; in die Sprache der Geometrie übersetzt, ist das der Kosinussatz: «2 = J2 + c2 + 2bc cos (180 - e x ) = 62 + c2 — 2 J e c o s a .

i'ig- 7

2. Multiplizieren wir Gleichung (1) mit dem Einheitsvektor von a, so kommt:

26

Rechenregeln der Vektoranalysis — a = i cos (6a) -+- c cos (ca),

eine bekannte Dreiecksformel. 3. In einem Parallelogramm ist die Summe der Quadrate der Diagonalen gleich der doppelten Summe der Quadrate der nichtparallelen Seiten: c2 = (a + b)2 b2 = (a — b) 2 , c 2 -f-b 2 = 2(a 2 + b 2 ); ferner: c 2 - b2 = 4ab. § 9. Vektorielles Produkt Das zur Ableitung der Definition des vektoriellen Produkts gewählte Beispiel läßt uns sofort die Beziehungen erkennen, die zwischen dem einen Vektor darstellenden Produkt und seinen vektorischen Faktoren bestehen müssen. Sie gelten ganz allgemein ohne Rücksicht auf den Charakter oder die spezielle Bedeutung jener Vektoren (polar oder axial). Die Definition des Vektorproduktes tischer Schreibweise: (1)

lautet in velctoranaly-

c = [a, b] = ab sin (a i>) c,

wenn c ein Einheitsvektor senkrecht zu der E b e n e der Vektoren a und b und so gerichtet ist, daß für diese Richtung die kürzeste Drehung des Vektors a in die Richtung b in dem früher definierten Sinn positiv genannt werden kann; c bestimmt der Größe und Richtung nach ein Parallelogramm 1 ). 1. D a

sin (ab) =

— sin ( b a ) ,

so gilt für dieses Produkt nicht das hommutative Gesetz, es ist (2)

[ab] =

-[ba].

*) Man s p r i c h t hier zuweilen von „ P l a n g r ö ß e n " und meint d a m i t das durch a und b gebildete P a r a l l e l o g r a m m ; den dazu s e n k r e c h t e n V e k t o r c n e n n t m a n d a n n die „ E r g ä n z u n g der P l a n g r ö ß e " .

§ 9. Vektorielles Produkt

27

Die Multiplikation m i t einer skalaren Größe, eine Operation, die sich j a n u r auf den absoluten Betrag der Vektoren, nicht auf die R i c h t u n g beziehen k a n n , m u ß wieder der assoziativen Regel folgen: \xa, b] = [et, xb] = x[a, b]. Ebenso b e h ä l t das distributive Gesetz für die velctorielle Produktbüdung mehrerer Vektoren Gültigkeit, d. h. es ist (3)

[a + b , c ] = [ a , c ] + [ b , c ] .

Erster Fall. E s sei c nicht k o m p l a n a r m i t a u n d b. Wir setzen a + b = b . Der E i n f a c h h e i t halber nehmen wir an, c sei ein E i n h e i t s v e k t o r c; dann ist der V e k t o r [b, c] seinem absoluten B e t r a g nach gleich (Fig. 8). Ebenso:

| [bc] | = d sin (bc) = | [ac] | = a sin (ac) = | [bc] [ = b sin (bc) =

d', a', b'.

Die R i c h t u n g e n der drei Vektoren sind senkrecht zu den P a r a l l e l o g r a m m e n : (b, c) resp. (o, c), (b, c). d',a',b' sind gleich den absoluten Beträgen der P r o j e k t i o n e n b', a', b \ durch welche die Vektoren b, a, b in einer zu c senkrechten E b e n e abgebildet w e r d e n ; da n u n die drei Vektoren a, b, — b ein geschlossenes Dreieck bilden, so bilden auch die Projektionen in ein u n d dieselbe E b e n e ein geschlosssenes Dreieck, u n d es ist a' + b' = b ' . Drehen wir um c als Drehungsachse das Dreieck u m 90°, so fallen die Seiten b', a', b' der Größe u n d R i c h t u n g nach mit den Vektoren [a + b , c ] , [ac], [bc] zusammen, so daß die Richtigkeit der obigen Gleichung und d a m i t die Gültigkeit des distributiven Gesetzes f ü r den ersten Fall erwiesen ist.

28

Rechenregeln der Vektoranalysis

Zweiter Fall, c, a und b liegen in einer Ebene, dann sind alle Richtungen der Vektoren [a -{- b, c], [ac], [bc] parallel, und für die absoluten Beträge, die gleich dem Flächeninhalt

der Parallelogramme (et + b, c), (a, c), (b, c) sind, gilt die Beziehung: | [ a c ] | + | [ b c ] | = | [ a + 6, c]|, also ist [ac] + [bc] = [a + b, c]. 2. Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ab sin (ab) mit parallelen Seiten (a, b) ist Null wegen sin 0° = 0, es kann also

§ 9. Vektorielles Produkt (4)

29

[ab] = 0

als der Ausdruck der Parallelität zweier Vektoren betrachtet werden. Dagegen ist der absolute Betrag des Produktes senkrechter Vektoren gleich dem Produkt der absoluten Beträge. F ü r die Einheitsvektoren t , } , ! folgt hieraus: { >

ipü = - m

= ?> ß i ] = -

ra

= i. p i ] = -

m=i-

Das P r o d u k t zweier durch die Einheitsvektoren i, j, f dargestellter Vektoren a und b läßt sich in F o r m einer Determinante schreiben: (6)

[et, 5 ] = [ i j J K & ü -

+ + = + +

a2\)

Ü£] M s - «3^2) [fi] (a3bx - ^ 6 3 ) i'(«i&2 — M l ) = i{a2b3 - rt3fc2) i(« 3 &i - « A )

l h

I a 9 a-, b2

Die Unterdeterminanten stellen die Projektionen des durch den Vektor [ab] der Größe und Richtung nach definierten Parallelogramms in die jf, fi, i j - E b e n e dar und sind mit i, bzw. j, I multipliziert die Komponenten des Vektors [ab] in den Richtungen i, j, !. 3. Die Summe der die Flächen eines Tetraeders darstellenden Vektoren a x , a 2 , a 3 , ai mit Richtung nach außen, vgl. Fig. 9, ist Null. D e n n : Cl

ferner

= b 2 - b 3 , c2 = b 3 - b j , c3 = b x -

b2,

30

Rechenregeln der Vektoranalysis = + y

[ M a L o3 = + y [ M s ] >

a2 =

+-i[Mi]>

also 04 =

+

Y[

C

1

C

3]

=

+

[ ^ 2 — 63) ( & 1 — 6 2 ) ]

=

-

a

i

— Ö

2

— a

3

oder J J a , = 0. Allgemein gilt diese Beziehung für geschlossene Polyeder, da sie aus Tetraedern zusammengesetzt gedacht werden können. § 10. Anwendung auf die Statik Ein System von Kräften • •• , die an den Punkten Vi''' Vn eines freien, starren Körpers angreifen, halten sich das Gleichgewicht, wenn die resultierende Einzelkraft und das resultierende statische Moment in bezug auf den Koordinatenanfangspunkt Null sind (vgl. § 1). Die Gleichgewichtsbedingungen lauten also: 0, j ; m m = O,

(1)

(2)

wenn r,- der Radiusvektor des Punktes p,- von einem willkürlich gewählten Koordinatenanfangspunkt 0 ist. Ist kein Gleichgewicht vorhanden, so stellen resp. -27 [t,- ißj] die am Bezugspunkt 0 angreifende resultierende Kraft und das resultierende statische Moment für den Bezugspunkt 0 dar. Eine Änderung des Bezugspunktes ändert im allgemeinen ¿ , [r j Sßi]; es sei der neue Bezugspunkt 0 ' durch den Vektor a, der von 0 nach 0 ' geht, gegeben, so ist (3)

^ [ t i ^

+ ^ M l

+

^ K ^ ] -

worin sich ri auf den neuen Koordinatenanfangspunkt 0 ' beziehen soll. Ist a so gewählt, daß d. h. fällt a in die Richtung der resultierenden Einzelkraft, so ist das statische Moment in bezug auf den neuen Koordinatenanfangspunkt 0' gleich dem in bezug auf 0; d. h. es kann der Bezugspunkt des statischen Momentes, ohne eine Änderung desselben hervorzurufen, in Richtung der resultierenden Einzelkraft verschoben werden.

§ lü. Anwendung auf die Statik

31

Ist der Körper an dem Punkt 0 ' drehbar befestigt, so wird am Gleichgewicht des Systems nichts geändert, wenn an diesem Punkt eine neue Kraft 91, von welcher Größe und Richtung sie auch sei, angreift. Wählen wir 0 ' als Anfangspunkt, so lauten die Gleichgewichtsbedingungen : 2 ^ und

+ 31 = 0

J 7 [ r i , S P < ] + [ 0 , 9 t ] = 0.

9t kann nun immer so gewählt werden, daß der ersten Bedingung genügt wird, d. h. ¿riß,- kann jeden beliebigen Wert annehmen; es bleibt nur die zweite Bedingung zur Existenz des Gleichgewichts übrig:

Ist der Körper an zwei Punkten 0 und 0 ' befestigt, also um die Achse 00' = o drehbar, so wird wieder am Gleichgewicht nichts geändert, wenn man in den Punkten 0 und 0 ' der Achse neue Kräfte SR und 9t', von welcher Größe und Richtung sie auch sein mögen, angreifen läßt. Den Punkt 0 ' der Achse wählen wir als Bezugspunkt, dann lauten die Gleichgewichtsbedingungen: (4)

r i W t + 9t + = o l U l x t - a , «p < ]-[o,SR] = 0.

Statt der zweiten Gleichung können wir schreiben: oder

(5)

- S M d -

- [aSR] = 0

n[tm+m=o.

worin 9t' willkürlich gewählt werden kann. Nun ist aber [a9t'] ein zu a senkrechter Vektor. Die Gleichgewichtsbedingung (5) fordert also, daß auch Z [r,- 9ßf] ein zu a senkrechter Vektor sei. Da Gleichung (4j) infolge des noch frei verfügbaren 9t stets erfüllt werden kann, heißt das, daß immer dann Gleichgewicht der Kräfte, die an einem um eine Achse drehbaren Körper angreifen, vorhanden ist und nur dann, wenn das resultierende Moment SR = 2 , [r f 9ß,] der angreifenden Kräfte der Bedingung genügt: (6)

(SJta) = 0.

Im Anschluß hieran wird in Aufgabe 33 (Seite 189) der Satz vom kleinsten statischen Moment abgeleitet.

32

Rechenregeln der Vektoranalysis

§ 11. Das skalare Tripelprodukt ([n6] Mit den Regeln für die Multiplikation zweier Vektoren sind auch die für die Multiplikation mehrerer Vektoren miteinander gegeben. Durch die Schreibweise muß aber kenntlich gemacht werden, in welcher Reihenfolge die Vektoren miteinander zu multiplizieren sind. In diesem Paragraphen und den folgenden sollen die verschiedenen Möglichkeiten der Produktbildung in den Fällen von 3 und von 4 Vektoren behandelt werden, wobei sich einige wichtige Umrechnungsformeln ergeben. 1. Einfach liegt die Sache, wenn es sich um das Produkt eines Vektors c mit einem skalaren Produkt zweier Vektoren (ab) handelt, also um c(ab), den mit einer skalaren Größe (ab) multiplizierten Vektor c ab cos (ab). In dem Fall muß auf die Stellung der Klammer geachtet werden; c(ab), (ca)b und (cb)a sind völlig verschiedene Vektoren. 2. Das skalare Produkt eines Vektors C mit einem Vektorprodukt b = [ab] hat eine anschauliche Bedeutung; es gibt den Inhalt des Parallelepipeds an, das über dem Parallelogramm [a, b] als Basis mit dem Vektor c als dritter bestimmender Kante errichtet werden kann. Es ist gleich dem Inhalt des Zylinders mit der Grundfläche b = [ab] und der Höhe cb oder gleich dem Inhalt des Parallelepipeds mit den 3 Kanten a, b, c. Aus dieser Bedeutung folgt, daß wir ohne Änderung des Wertes dieses „skalaren Tripelproduktes" die 3 Vektoren in dem Produkt zyklisch vertauschen können, daß also ist: (1)

c[ab] = b [ : a ] = a[bc].

§ 11. Das skalare Tripelprodukt

33

Denn bei zyklischer Vertauschung behält die Aufeinanderfolge der 3 Vektoren den gleichen Richtungssinn, d. h. -wenn die Vektoren c und b = [ab] einen spitzen Winkel bilden, gilt dasselbe von den Vektoren b und [ca] und von den Vektoren a und [bc]. Dagegen fordert die nicht-zyklische Vertauschung die Änderung des Vorzeichens; es ist (2)

c[ab] = — c[ba] = — b[ac] = — a[cb].

Ohne Mißverständnisse befürchten zu müssen, können wir in diesen Ausdrücken die Klammern ganz fortlassen und, wie es häufig geschieht, schreiben: (3)

c[ab] = cab = — acb, oder auch [cab].

Sind die 3 Vektoren durch die Komponenten nach den Einheitsvektoren t, j, f gegeben, so kann das skalare Tripelprodukt in der Determinantenform geschrieben werden: a

(4)

ofic = bL

b2

z bs

Denn die Komponenten des Vektorprodukts [ab] sind die Unterdeterminanten dieser Determinante, und das skalare Produkt zweier Vektoren ist gleich der Summe der Produkte der Komponenten. Beziehen wir pie Vektoren auf ein entgegengesetzt gerichtetes Achsensystem, so ändern die Vektoren ihr Vorzeichen, damit auch die skalare Größe (ctfic). Man hat skalare Größen, deren Vorzeichen von der Richtung des Bezugssystems abhängig ist, P s e u d o s k a l a r e genannt; Klein und Timerding unterschieden die beiden Arten durch die Bezeichnung: Skalar erster und zweiter Art.

Liegt c in der Ebene von a und b, so ist der Inhalt des aus den drei Vektoren gebildeten Parallelepipeds Null, also 3

V a l e n t i n e r , Vektoren und Matrizen

34

Rechenregeln der Vektoranalysis

c[ab] = 0. Dies geht auch unmittelbar aus der Rechnung hervor, wenn wir c durch die Vektoren a und b ausdrücken, welches in dem Fall der K.omplanarität möglich ist. E s sei c = xa + y i , d a n n lautet das P r o d u k t : z a [ a b ] + 2/b[ab] = zfefaa] + ?/a[bb] = 0 . E i n wichtiges Beispiel eines solchen skalaren P r o d u k t e s dreier Vektoren liefert der sogenannte V e k t o r f l u ß durch eine Fläche. Die Wassermenge in einem Strom, die in der Zeiteinheit durch eine Fläche von beliebiger, vorgegebener Lage u n d Größe innerhalb des von der Wassermasse durchströmten Raumes hindurchtritt, ist gleich der Menge, die in den Zylinder hineingeht, dessen Basis die vorgegebene Fläche ist u n d dessen Leitlinie der Größe u n d R i c h t u n g nach gleich der Geschwindigkeit des Wassers an dieser Stelle ist. Ist die Basis das Parallelogramm [o,b], so ist die pro Zeiteinheit hindurchtretende Wassermenge, wenn dieselbe sich mit der Geschwindigkeit c bewegt, gegeben durch das skalare P r o d u k t : c[ab]. Man nennt dasselbe den Fluß, Durchfluß des Vektors c, den Geschwindigkeitsfluß durch die Fläche. Ist c ein K r a f t v e k t o r , so spricht m a n von Kraftfluß; stehen z. B. zwei entgegengesetzt elektrisch geladene, unendlich große, leitende P l a t t e n einander parallel gegenüber, einen freien R a u m einschließend, so daß zwischen ihnen ein homogenes elektrisches Feld besteht, welches die Feldstärke c besitzt — d. h. auf den positiv geladenen elektrischen Einheitspol die K r a f t c an jeder Stelle des Feldes a u s ü b t —, so ist der K r a f t f l u ß durch eine irgendwie gelegene Fläche [a, b] durch das skalare Prod u k t c[ab] gegeben. Man nennt den numerischen W e r t dieses

§ 12. Das vektorielle Tripelprodukt

35

Produktes die Zahl der Strömungs- oder Kraftlinien die Fläche von der vorgegebenen Richtung.

durch

§ 12. Das vektorielle Tripelprodukt [c[af>]] Nach der Definition des Vektorproduktes steht der dadurch bestimmte Vektor senkrecht auf der Ebene, die die vektorischen Faktoren enthält, also im Fall des Produktes [c[ab]] die Normale des aus a und b gebildeten Parallelogramms und den Vektor c. E r liegt also jedenfalls in der Ebene des Parallelogramms [a, b] und muß sich schreiben lassen: (1)

[c [ob]] = xa +

yb.

Um x und y zu finden, rechnen wir die linke Seite mit B e nutzung der Komponentendarstellung der Vektoren aus. Wir legen der bequemeren Rechnung wegen den Einheitsvektor i in die Richtung des Vektors b, den Vektor j in die Ebene von a und b; dann ist (vgl. Fig. 9 a) b = , a = aj + a2 i, c = cxi + c 2 j +

c3f,

also [ c [ a b ] ] = — b^a^e^x — c x i). Die rechte Seite der letzten Gleichung muß sich in der Form xa + yh schreiben lassen, d. h. es muß sein: xaj daher

+ xa2\ + y

x = b^

= — b^a^x + b^cß

,

= (b c ) ,

y = — a^

— a2c2 = — (a c ) .

Das Vektorprodukt aus den 3 Vektoren a, b, c nimmt also die Form an: 3'

36

Rechenregeln der Vektoranalysis

(2)

[c[a£>]] = ( b c ) a — (ac)b.

Es folgt hieraus die Beziehung: (3)

[a[Bc]] + [b[ca]] + [c[ab]] = 0 .

Man kann sie durch Ausmultiplizieren mit Benutzung von Gleichnung (6) in § 9 leicht direkt verifizieren; die Rechnung wird vereinfacht, wenn man den einen Vektor in die Richtung einer der Achsen i, j, f legt. Man bezeichnet die durch (2) angegebene Entwicklung als den Entwiclclungssatz des „vektorischen Tripelprodukts", der ebenso wie die Beziehung (3) häufig Anwendung findet. § 13. Produkte aus Vektorprodukten 1. Skalares Produkt [ab][cb]. Wir setzen [ab] = e und finden mit den Ergebnissen der beiden letzten Paragraphen (1)

[ab] [cb] = e[cb] = b[ec] = b[[ab]c] = b{(ac)b —(bc)a} = (ac)(bb)-(bc)(ab),

§ 13. Produkte aus Vektorprodukten

37

d . h . für das skalare Produkt [ab][cb] die Differenz der skalaren Produkte je zweier skalarer Produkte aus je 2 der 4 Vektoren in den 2 noch möglichen Kombinationen. 2. Vektorprodukt [[ab][cb]]. Wir setzen wieder [ab] = e und finden (2)

[[ab][cb]] = [e[cb]] = c(eb) — b(ec) = c([ab]b)-b([ab]c). = c(abb) — b ( a b c ) .

Das ist die Differenz der letzten beiden Vektoren nach ihrer Multiplikation mit den skalaren Tripelprodukten der 3 übrigen. Das Vektorprodukt aus 2 polaren und aus 2 axialen Vektoren stellt einen axialen Vektor dar, das Vektorprodukt aus einem polaren und einem axialen Vektor einen polaren.

3. Da [[ob][cb]] = - [ [ c b ] [ a b ] ] , so ist auch (3)

[[ab][cb]] = — a(bcb) + b ( a c b ) .

F ü r b = c geht diese Gleichung über in [[ab][bb]] = b ( a b b ) . Wir erhalten hieraus die wichtige Beziehung zwischen 4 Vektoren, von denen nicht 3 in einer Ebene liegen: b([ab]c) = ct(bcb) — b(acb) + c(abb), oder, da ([ab]c) eine skalare Größe ist und Vektoren durch skalare Größen dividiert werden, indem man den absoluten Betrag durch die skalare Größe dividiert, nach Division: (4)

a

beb , cab b — ü + — ü + cab cab

c

abb — cab

38

Rechenregeln der Vektoranalysis § 14. Die Frage der Division von Vektoren

Es liegt auf der Hand zu fragen, ob auch eine Division einer skalaren Größe oder eines Vektors durch einen Vektor als eine Operation definiert werden kann, die auf ein eindeutiges Ergebnis führt. Die algebraische Definition einer Division auf die Vektorrechnung übertragen würde lauten: Eine Größe 0 (Skalar oder Vektor) durch einen Vektor B dividieren, heißt die Größe W (Skalar oder Vektor) aufsuchen, die mit dem Divisor (dem Vektor B) nach den Regeln der Vektorrechnung skalar oder vektoriell multipliziert den Dividend 0 ergibt. Eine leichte Rechnung zeigt, daß, wenn 0 eine skalare Größe ist, W ein Vektor sein muß, der aber nur bis auf eine unbestimmte additive Komponente senkrecht zur Richtung von B angegeben werden kann, und daß, wenn 0 ein Vektor ist, SP nur dann eine eindeutig bestimmte Größe, und zwar ein Skalar sein kann, wenn 0 und B in einer Richtung liegen. Weiter kommt man, wenn man fordert, der reziproke Wert des Vektors B sei ein Vektor von gleicher Richtung wie B und dem reziproken Betrag, und dann definiert: Eine Größe 0 (Skalar oder Vektor) durch einen Vektor B dividieren, heißt die Größe 0 mit dem reziproken Vektor 6' = 1/B = B/i skalar oder vektoriell multiplizieren. Dann ist die Division durch einen Vektor auf eine skalare oder vektorielle Multiplikation zurückgeführt. § 15. Reziproke Vektortripel Die Gleichung (4) des § 13 ist auch deshalb von besonderer Bedeutung, weil sie die Regel angibt, nach der wir einen Vektor b durch drei willkürlich gewählte, nicht in eine Ebene fallende Vektoren a, b, c ausdrücken, also die Größen A, B,C in dem Ausdruck: (1)

b = 4 a + £ b + Cc

bestimmen können. Wir müssen, u m diese Komponenten zu erhalten, bilden:

§ 15. Reziproke Vektortripol

EN abc

(v 2 )

'

=

a',

[ca] abc

=

b,)

[ob] = abc

39

c,

und skalar mit b multiplizieren. Denn es ist, wie der Vergleich zeigt: A =

, - = Da' usw. abc

Gleichung (4) des § 13 oder mit den Abkürzungen (2): (3)

b = ( b a ' ) a + (bb')i> + (t)c')c

schreibt man auch in der F o r m : (4)

b = b ( a ' ; a + b ' ; b + c'; c) oder

b == (a; a ' + b; b' + c; c') b

und nennt den symbolischen Klammerausdruck einen T e n s o r oder eine vollständige D y a d e , u n d zwar, weil er mit dem Vektor b multipliziert den Vektor b selbst ergibt, einen Einheitstensor oder eine Identitätsdyade (vgl. § 4 3 u n d 50) (a'; a) ist eine eingliedrige Dyade. E s ist leicht zu sehen, daß die Vektoren a', b', c' senkrecht stehen auf den Flächen bc, ca, a b ; man nennt a', i)', c' das zu a, b, c „ r e z i p r o k e V e k t o r t r i p e l " . Stehen die Vektoren a, b, c, also auch a', b', c', aufeinander senkrecht, so gilt: w

i ab' = ac' = 0 , usw. l a a ' = b b ' = cc' = 1.

u n d weiter a'b'c' =

abc

im besonderen ( i j f ) = 1 . — Beim Übergang von einem Bezugssystem zu einem anderen, dessen aufeinander senkrechte Achsen I', m ' , n ' das reziproke Vektortripel der Achsen I, tu, n des anderen sind, vereinfachen sich die Transformationsformeln f ü r die Koordi-

40

Rechenregeln der Vektoranalysis

naten bzw. beiden Systemen (6)

b9,

eines Vektors. Er sei in den

SS = «jl + a2m + a 3 n bzw. SS = &xr + &2m' + &3n'.

Für den Übergang vom einen zum anderen System mögen gelten (7) bzw. (inverse (7')

r I = Änv + A21 m' + A31n', ^ m = ¿ 1 2 I ' + Ä 2 2 m' + ¿ 3 2 n ' , ^ n = A13V + A23 m' + A^n', Transformation) rV = ß 1 1 I + B 2 1 m + ß 3 1 n , J m' = £ 1 2 l + B 2 2 tn + £ 3 2 n , ^n' = ß 1 3 t + ß 2 3 m + ß 3 3 n ;

dann bestehen für die Koordinaten die Beziehungen = a1 An -(- a2 A12 + l2 = axA21 + a2A22 +

a3Al3, a3A23,

bzw. (8')

r a1 = b1 £>u + b2 B12 + bs B13, j « 2 = bxB21 + b2B22 + b3 B23, ^a3 = b1B31 + b2B32 + b3 B3Z,

Durch Multiplikation der Gleichungen mit I, m, n bzw. I', m', n' ergibt sich bei Berücksichtigung von Gleichungen (5) (9) ( 1 1 = Ä l 1 ' m m = A 2 2 ' n n = Ä s 3 ' l Im = A12 = A2l, In = A13 = A31, tnn = A23 =

A32,

bzw. (9')fl' V = Bn, m'm' = B22, n' n' = B33, Ii' m' = B 1 2 = B21,1' n' = B13 = But, m' n' = B23 = B32

§ 16. Produkte im schiefwinkligen Bezugssystem

41

und die allgemein geltenden Formeln (8) bzw. (8') gehen über in / 6j = djlt + az\vx + « 3 l n , \ h = + «gttttn + « 3 m n , ^ J3 = a ^ n + a 2 m n + a 3 n n ,

(10) bzw.

+ & 8 I'n', (-a1 = b1VV + 6 a I ' m ' 1 a2 = JJ'm' + &2m'm' + &3m'n', ^ a3 = \Vn' + & 2 m'n' + Z>3n'n'.

(10')

§ 16. Produkte im schielwinkligen Bezugssystem Sind die Vektoren 21 und 93 auf die nicht komplanaren, aber unter irgendeinem Winkel zueinander stehenden Vektoren q, b, c bezogen, also 91 = ^ o + ^ b + CiC 95 = a2a + &2b + c2 c, so ist [9193] = [ab] ( « A - a M + [bc] ( V 2 - V i ) + [ca] ( ^ a 2 und mit Einführung des reziproken Vektortripeis [9193] = (c'K&Ü - a M + a' c2 - b¡¡q) + b ' f o a g " (abc) a'b'c' Cx = (abc)

-

dnbnCn

Das

Tripelprodukt 91936 mit + e 3 c läßt sich schreiben:

dem Vektor 6 = a 3 a +

ax c1 91936 = (abc) ^2 ^2 ^2 ^3 C3

42

Rechenregeln der Vektoranalysis § 17. Über die Erweiterung des Vektorbegriffes auf den mehrdimensionalen Baum

Die bisher benutzten Vektoren beziehen sich auf den dreidimensionalen Raum, entsprechend der unmittelbaren Anschaulichkeit. Die Regeln können mit gewissen Änderungen auch auf Gebilde übertragen werden, die in einem mehrdimensionalen Raum vorstellbar sind. Mit Größen dieser Art zu rechnen, fordert u. a. die Relativitätstheorie, deren Beziehungen durch Benutzung eines Systems mit 4 statt mit 3 Koordinaten an Übersichtlichkeit gewinnen. Zu den 3 Ortskoordinaten tritt in dem Fall als gleichberechtigte Koordinate die Zeit. Die Größe, die dem polaren Vektor des dreidimensionalen Raumes entspricht, der „Vierervektor", ist der Inbegriff von 4 Komponenten Px, Py, Pt, Pj 1 ) nach den Richtungen der Achsen des vierdimensionalen Systems. Dem axialen Vektor, der im dreidimensionalen Raum durch drei auf je zwei Koordinatenachsen bezogenen Komponenten bestimmt wird, entspricht der Sechservektor, der aus den 6 Komponenten gebildet wird, die sich auf die 6 Kombinationen je zweier Achsen beziehen. Die Rechnung mit Vierer- und Sechservektoren („Weltvektoren") und ihren linearen Vektorfünktionen („Welttensoren") ist von Sommerfeld entwickelt worden. Ihre Behandlung würde hier zu weit führen. Von Vektorgebilden im w-dimensionalen Raum macht die Quantenmechanik Gebrauch. § 18. Differentiation eines Vektors nach einer skalaren Größe 1. Der Vektor a mag sich in der Folge auf ein Vektorfeld mit den Koordinaten x, y, z beziehen, und damit z.B. der Ausdruck der Eigenschaft eines materiellen Trägers an der Stelle x, y, z des Raumes sein, a sei also eine Funktion von x, y, z. Außerdem sei a eine Funktion der Zeit t . a sei, im Bildraum mit den Achsen t, j , ! dargestellt, zur Zeit t = t 0 gegeben durch a = ax\ + ay\ + a z I. *) F ü r die vierte Koordinate wurde infolge ihrer speziellen Bedeutung von Sommerfeld die Bezeichnung „1" gewählt: sie soll an „Lichtweg" = c • i erinnern, worin c die Lichtgeschwindigkeit ist.

§ 18. Differentiation eines Vektors nach einer skalaren Größe

43

Die Änderung des Vektors während des Zeitelementes dt an derselben Stelle x, y, z ist dann durch 8ax. 8t

da 8t

.Soy. 8a¡ 8t * ' 8t m

gegeben, da die Abbildung in demselben Abbildungsraum geschieht, d. h. die Achsen i, j, f unabhängig von der Zeit sind. Diese Änderung kann man als lokale Änderung mit der Zeit bezeichnen, indem hier zunächst von einer gleichzeitigen Änderung des Ortes x, y, z abgesehen ist. Bei mehrfacher Differentiation gilt entsprechend: 8na 8tn

8nax 81"

8nav • , 8tn ^

dnaz, 8tn

Die Differentiation von Produkten folgt den bekannten Regeln der Analysis. E s ist db dt ' und

da , dfh

+

1

dt

im letzteren Falle muß, den Regeln der Vektormultiplikation entsprechend, auf die Reihenfolge der Faktoren geachtet werden. In gleicher Weise läßt sich die Änderung des Vektors a bei Änderung irgendeines skalaren Argumentes von a, aus der Änderung der Komponenten berechnen, so z. B . : Sa ßX

8a. A = yh = dx Sy dz das sind die Änderungen des Vektors, wenn wir von P u n k t x, y, z übergehen zu dem Punkt x + dx, y, z resp. x, y -f dy, z, oder x,y,z-\-dz, dividiert durch die jedesmalige Entfernung des neuen Punktes vom alten. Sie sind gleich den Einheitsvektoren der Richtungen, auf die die Änderung von a sich bezieht. Allgemein gilt: Die Änderung des Ortsvektors a in einer bestimmt vorgegebenen Richtung pro Längeneinheit ist gleich dem Einheitsvektor, der in diese Richtung fällt. Bewegt sich der Massenpunkt von x, y, z auf einer Kurve s = Eds und ist der Ort des Punktes auf der Kurve gegeben durch die auf derselben gemessene Entfernung s von einem beliebig gewählten Kurvenpunkt, so ist der absolute Betrag ds der Geschwindigkeit des Punktes auf der Kurve: v = die

46

Rechenregeln der Vektoranalysis

Richtung der Geschwindigkeit fällt in jedem Augenblick mit der Richtung des Kurvenelementes d§ zusammen. Also ist die Geschwindigkeit, d. h. die zeitliche Änderung des Vektors a der Richtung und Größe nach pro Zeiteinheit gegeben durch: da eis yr jT = ds J - JdtT = = 1:1 • dt Der Vektor der Beschleunigung ist dargestellt durch: d\) dd$ „ , rr- dv r dt ds dl ^ , ein nach seinem Argument differenzierter Einheitsvektor, muß senkrecht stehen zu dem Einheitsvektor d§-, ddZ gibt die Richtungsänderung der Tangente, wenn wir auf der Kurve von x, y, z zu x1: yv z1 weitergehen (vgl. Fig. 10). Die Normalen in der Ebene des Krümmungskreises zu den Tangenten in diesen beiden Punkten schneiden sich im Krümmungsmittelpunkt und sind die Fahrstrahlen der Kurvenpunkte x, y, z und x1, yv z1 vom Krümmungsmittelpunkt aus. Die vektorielle Änderung des Fahrstrahls (oder des Krümmungsradius) d=g + ^ - [ ü r o t b ] = $

+ j F p .

Hierzu kommt als weitere Fundamentalgleichung die Inkompressibilitätsbedingung, nach welcher die in ein Volumenelement einströmende Flüssigkeitsmasse Null sein muß. Die Flüssigkeitsmasse pro Zeiteinheit und Flächeneinheit ist gleich dem Produkt der Dichte mal der Geschwindigkeit. Soll die Dichte konstant sein, so ergibt sich (5)

div t) = 0.

§ 38. Sätze von Helmholtz über die Wirbelbewegung

91

§ 38. Sätze von Helmholtz über die Wirbelbewegung ein Potential V, ist also

Besitzt die Kraft

so läßt die Gleichung (4) des § 37 sich einfacher schreiben, es ist (1)

|

+ (ÖF)Ö = F ( 7

+

1

P

) .

Hieraus können wir sofort eine Gleichung ableiten, die eine allgemeine Eigenschaft der Bewegung von Flüssigkeiten darstellt, was für Kräften die Teilchen der Flüssigkeit auch unterworfen sein mögen, wenn dieselben nur ein Potential besitzen. (Nach den Vorstellungen, die man sich von den Reibungskräften macht, gehören diese nicht dazu.) Wir haben oben gezeigt, daß die Rotation eines Gradienten Null ist; daraus folgt in vorliegendem Fall: (2)

r

o t g

(t,F)ö)=0.

+

Nennen wir die Rotationsgeschwindigkeit y r o t b = u, so können wir die Gleichung schreiben: 2 ^ — rot [b rot b] = 0 .

et

Benutzen wir die Gleichung (5) in § 28, so kommt: ^+(til7)u-(uF)b=0, oder nach Gleichung (4) in § 21: (3)

i

=

92

Anwendungen in einigen physikalischen Gebieten

Diese Gleichung ist der Ausdruck der von Helmholtz zuerst erkannten Eigenschaft reibungsloser Flüssigkeiten: Diejenigen Wasserteilchen, bewegungen haben, bekommen Rotationsbewegungen.

welche nicht schon Rotationsauch im Verlaufe der Zeil Iceine

Die Richtung des Vektors u fällt nach der Definition in die Achse der Rotation, oder nach Helmholtz in die Richtung der Wirbellinie durch den betreffenden Punkt, indem er definiert: „Wirbellinien sind Linien, welche durch die Flüssigkeitsmasse so gezogen sind, daß ihre Richtung überall mit der Richtung der augenblicklichen Rotationsachse der in ihnen liegenden Wasserteilchen zusammenfällt." Die Entfernung zweier in einer Wirbellinie zu Beginn des Zeitelements dt befindlicher, benachbarter Teilchen sei der Richtung und Größe nach durch (e • u) gegeben. Am Ende des Zeitelementes dt ist die Entfernung: (eu) + J - ( e u ) dt, oder mit Benutzung der Gleichung (3): = (eil) + (eu V) b d t = c (u + ^ d t j , d. h. die Verbindungslinie der Teilchen fällt in die Richtung der Rotationsachse am Ende der Zeit dt, es bleiben also die Teilchen in ein und derselben Wirbellinie. Eine jede Wasserteilchen Wasserteilchen

Wirbellinie bleibt zusammengesetzt, in der Flüssigkeit

fortdauernd aus denselben während sie mit diesen fortschwimmt.

Wirbelfäden nennt Helmholtz Teile der Wassermasse, welche man dadurch aus ihr herausschneidet, daß man durch alle Punkte des Umfanges eines unendlich kleinen Flächenelementes die entsprechenden Wirbellinien konstruiert.

§ 38. Sätze von Heimholtz über die Wirbelbewegung

93

Man sieht sofort, daß das Produkt aus der Rotationsgeschwindigkeit und dem Querschnitt in der ganzen Länge desselben Wirbelfadens konstant ist. Denn wenn wir von einem Querschnitt eines Wirbelfadens zum benachbarten übergehen, so ist die Änderung des Integrals dieses Produktes über den Querschnitt nach Gleichung (5) in § 27 (uF) f u - d o

=0.

Den Betrag des Vektors u bezeichnet man als Wirbelstärke, das Produkt aus Wirbelstärke in den Querschnitt eines Wirbelfadens als das Moment des Wirbelfadens. Es folgt hieraus, daß Wirbelfäden und daher auch Wirbellinien stets geschlossen sein müssen. Besitzt die Kraft (4)

rot g

kein Potential, so ist

+ (b V) b) - 2 ( g - (u (7) b) = rot iß.

Umgekehrt folgt hieraus, daß, wenn die Bewegung der Teilchen so vor sich geht, daß ein Geschwindigkeitspotential besteht, d. h. daß rot ö = 2u = 0, die Bewegung unter dem Einfluß von Kräften erfolgen muß, die ein Potential besitzen, so daß Gleichung (1) gilt, oder

Setzen wir b = Va, so folgt nach Integration: (6)

^ + ^ (Va)2 = V + j

p + Funktion der Zeit.

Die Inkompressibilitätsbedingung geht über in: F 2 a = 0.

94

Anwendungen in einigen physikalischen Gebieten § 39. Solenoidaler Vektor

I m allgemeinen w i r d die G e s c h w i n d i g k e i t der Teilchen in einer i n k o m p r e s s i b l e n F l ü s s i g k e i t die b e i d e n D i f f e r e n t i a l gleichungen e r f ü l l e n : (1) div b = 0 , (2)

rot b = 4nvi0.

D e r G e s c h w i n d i g k e i t s v e k t o r der F l ü s s i g k e i t s t e i l c h e n ist n a c h § 30 ein solenoidaler V e k t o r eines quellenfreien bietes. Seine V e r t e i l u n g ist d u r c h G l e i c h u n g (1) u n d bestimmt. D a div b = 0 ist, so k ö n n e n wir n a c h § 28 b als die t a t i o n eines a n d e r e n V e k t o r s darstellen, wir s e t z e n : (3)

also Ge(2) Ro-

b = r o t tt>.

D a n n g e h t Gleichung (2) ü b e r i n : (4)

r o t r o t tu = g r a d div tt> — V 2 t v =

Die allgemeinste F o r m eines V e k t o r s ist die S u m m e d e r R o t a t i o n eines a n d e r e n V e k t o r s u n d des G r a d i e n t e n einer s k a l a r e n G r ö ß e . W i r k ö n n e n also s c h r e i b e n : to = r o t tu' + g r a d w". Die Gleichung (3) b e s t i m m t n u n v o n d e m V e k t o r to n u r d e n e r s t e n Teil, w ä h r e n d g r a d w " willkürlich g e w ä h l t werden kann, denn b = r o t tu = r o t r o t In', da

rot grad w" — 0.

D e r V e k t o r b l ä ß t sich also j e d e n f a l l s d u r c h einen V e k t o r darstellen, der w i e d e r d u r c h die R o t a t i o n eines n e u e n V e k t o r s d a r s t e l l b a r ist, d. h. d u r c h einen V e k t o r , dessen D i v e r g e n z N u l l ist. W i r d ü r f e n d a h e r tu i n G l e i c h u n g (3) der N e b e n b e d i n g u n g u n t e r w e r f e n : (5)

div tu = 0 .

§ 39. Solenoidaler Vektor

95

Dann folgt aus Gleichung (4): (6)

F2TO = — inVL0.

Diese Gleichung ist drei analytischen Gleichungen zwischen den drei Komponenten äquivalent, und die Form dieser Gleichungen ist dieselbe, die wir in § 32 kennengelernt haben. Übertragen wir die obigen Resultate auf den vorliegenden Fall, so können wir schreiben: (7)

tv=f^dr,

wenn wir von TO Stetigkeit im ganzen Raum voraussetzen und annehmen, daß es im Unendlichen wie — verschwindet, 1 r wodurch festgesetzt wird, daß b wie im Unendlichen verschwindet. Man bezeichnet in Analogie zu dem skalaren Potential TO als das VeMorpotential der Vektorverteilung u0. Daß diese Lösung der Bedingung (5) genügt, ist durch direkte Berechnung von div J ^ d r leicht zu zeigen. Da die Rechnung indessen etwas weitläufig ist, so benutzen wir zu der Verifikation von Gleichung (5) einen anderen, bequemeren Weg. Wir bilden von Gleichung (6) die Divergenz, also div F2TO = div grad divTO= F 2 divTO= — div

4JTU0.

Nun folgt aus Gleichung (2), daß div 47tu 0 = 0, also

F 2 divTO= 0.

Das ist nichts anderes als die Laplacesche Gleichung für divTO.Da nun TO wie — im Unendlichen verschwinden soll,

96

Anwendungen in einigen physikalischen Gebieten

also div tt) wie

, so muß nach § 32 div tt> = 0 sein, was

wir beweisen wollten. Es läßt sich somit der Geschwindigkeitsvektor ö schreiben: ö = rot f y d r (8) =

. C rot t> , J 4nr

hierin bezieht sich die Differentiation unter dem Integralzeichen auf die Änderung von b an der Stelle des Elementes dT in der Entfernung r von dem Punkt, für welchen ü bestimmt wird, und dessen Koordinaten die Differentiationsvariablen des Integrals sind. § 40. Flächenwirbel Unterwerfen wir das Vektorpotential to einer allgemeineren Bedingung, nämlich der, daß beim Durchschreiten von gewissen Flächen die ersten Ableitungen von tt) in Richtung der Flächennormale Unstetigkeiten besitzen können, so daß ((it F) to)i + ((itP) » ) , = 4 w e ist, so muß nach § 32 die Lösung der Gleichung (6) des vorigen Paragraphen lauten:

Für b ergibt sich daraus folgende Eigenschaft. Wir bilden das Vektorprodukt des Wertes, den der Vektor ü an einer Stelle des Raumes in unmittelbarer Nähe der Unstetigkeitsfläche annimmt, in die Normale der Unstetigkeitsfläche an dieser Stelle: [tt, b] = [it, rot to] = grad (ntt>)„ — (tt V) tt). Daraus folgt: = (grad ( n t t ) ) ^ + (grad (itw) n ) 2 - [nb], - [ttb] 2 .

§ 40. Flächenwirbcl

97

Nun ist grad (nit)),, = ix div h), und div tr» auf beiden Seiten der Unstetigkeitsfläche Null, so daß (grad (nto)„)i + (grad (ttfö) n ) 2 = 0 ist. Es bleibt also: [ n b ] ^ [ttb] 2 = -471%. Die tangentiale Komponente von b erleidet leim Durchtritt durch die Fläche eine Unstetigkeit. Die normale Komponente bleibt davon unberührt. Das ergibt sich auch aus der Bedingung, daß div b im ganzen Raum Null sein soll; denn die Annahme einer Unstetigkeit der normalen Komponente an einer Fläche würde nach § 35 die Bedeutung haben, daß die Fläche eine Flächenergiebigkeit besitzt. Zur weiteren Untersuchung der Unstetigkeit umgeben wir die Unstetigkeitsfläche mit einer sich zu beiden Seiten der Unstetigkeitsfläche möglichst eng anschließenden, geschlossenen Fläche und bilden längs einer geschlossenen Linie auf derselben das Integral -d§. Der Integrationsweg soll so zu beiden Seiten der Unstetigkeitsfläche verlaufen, daß jedem Linienelement auf der einen Seite ein in entgegengesetzter Richtung zu durchlaufendes, benachbartes auf der anderen entspricht. Wie wir sogleich erkennen werden, gibt das Integral uns die Wirbelstärke durch die von dem Integrationsweg eingeschlossene Fläche, die zu einem um so schmäleren Streifen zusammenschwindet, je enger die Umschließungslinie an die Unstetigkeitsfläche sich anlegt. Den schmalen Streifen zerlegen wir nun in Streifenelemente, deren Umrandung aus den Wegelementen d§ des Integralweges zu beiden Seiten der Un7

V a l e n t i n e r , Vektoren und Matrizen

98

Anwendungen in einigen physikalischen Gebieten

stetigkeitsfläche, vgl. Fig. 19, und den gegenüber d§ sehr kleinen Verbindungsstücken dn gebildet wird, die senkrecht durch die Unstetigkeitsfläche hindurchführen. (Die Normalkomponente von b beim Durchtritt durch die Fläche bleibt ja stetig.) Die Integralelemente längs dieser Verbindungsstücke liefern zum Wert des Gesamtintegrals keinen Beitrag, da sie in benachbarten Streifenelementen in entgegengesetzter Richtung durchlaufen werden. Der Beitrag, den das

Integral der Umrandung eines solchen Streifenelementes liefert, ist also nur, vgl. Gleichung (5) in § 26: (bx — t>2) dZ = rot t)[ifö dn], oder bezogen auf die Längeneinheit von dä in: (b t - b2) dä = rot b[(tödn]. Auf der linken Seite steht die Differenz der Tangentialkomponenten von b in der Richtung d§ zu beiden Seiten der Unstetigkeitsfläche, welche nach unserer obigen Annahme einen endlichen Wert haben soll; also ist auch der auf der rechten Seite stehende Ausdruck von endlichem Wert. Derselbe ist gleich der Wirbelkomponente durch das

§ 41. Elektromagnetische Gleichungen von Maxwell-Lorentz

99

kleine Flächenelement [ifödn] in der Normalenrichtung dieser kleinen Fläche. Es fließt also in der Unstetigkeitsfläche ein Wirbel von sehr großer Stärke, so daß das Produkt aus dem Querschnitt der Fläche in die Wirbelstärke von endlichem Betrage ist, d. h. von der Größenordnung einer Raumwirbelstärke. Man nennt solche in der Fläche verlaufende Wirbel Flächenwirbel und schreibt Rot b statt rot b. Kapitel 3

Einiges aus der Theorie der Elektrizität § 41. Elektromagnetische Gleichungen von Maxwell-Lorentz Die wichtigste Anwendung in der mathematischen Physik hat die Vektorrechnung seit Maxwell bei der Darstellung der elektrischen und magnetischen Erscheinungen gefunden. Die Maxwellsche Beschreibung dieser Erscheinungen verwendet die folgenden Vektoren. G die elektrische, ö die magnetische Feldstärke, welche der Größe und Richtung nach die Kraft eines elektrischen, bzw. magnetischen Feldes auf die Elektrizitätsmenge e, bzw. den magnetischen Pol m, an dem betreffenden Punkt bestimmt, nachdem wir die Kraft durch Division mit e bzw. m auf die Einheitsladung reduziert haben (e und m als klein und von unendlich kleiner materieller Ausdehnung vorausgesetzt). Die Einheitsladung ist dadurch festgesetzt, daß die Größe der abstoßenden Kraft zweier in der Entfernung r befindlicher Körper mit den Ladungen e und e', bzw. m und m' ee' , mm' , ,, und „ 47ir2 inr2 beträgt. % die elektrische Erregung oder die dielektrische Verschiebung. Dieser Vektor wird so gewählt, daß der Vektorfluß 7*

100

Anwendungen in einigen physikalischen Gebieten

durch das Flächenclement do, also S) do gleich ist der Elektrizitätsmenge, welche das Element seit der Zeit durchflössen hat, zu welcher die Materie keinen elektrischen und magnetischen Einflüssen ausgesetzt war. In der Elektrostatik ist also (ß $do

=

die gesamte elektrische Erregung durch eine geschlossene Fläche gleich den gesamten von der Fläche umschlossenen elektrischen wahren Ladungen. F ü r isotrope Körper mit der Dielektrizitätskonstante s besteht zwischen ® und (5 die Beziehung $ = e®. Die Änderung von ® mit der Zeit an einem bestimmten Punkt des Raumes konstituiert einen elektrischen Strom, den Maxwell Verschiebungsstrom nennt. Im Inneren der leitenden Materie besteht außer diesem Verschiebungsstrom ein Konvektionsstrom elektrisch geladener Teilchen, dessen Geschwindigkeit durch den Vektor b gegeben sein mag und der mit dem „elektrischen Strom" durch den Einheitsquerschnitt zusammenfällt. Der Gesamtstrom durch den Einheitsquerschnitt ist danach, wenn g die Dichte der Elektrizität,

Diesen Vektor ^ nimmt die Theorie als stets solenoidal verteilt an, so daß er als Rotation eines anderen Vektors sich schreiben lassen muß. SS die magnetische Induktion oder Krajtflußdichte. Von diesem Vektor erhalten wir eine Anschauung, wenn wir an die durch das Faradaysche Induktionsgesetz angegebene Erfahrung erinnern. Es wird in einem geschlossenen Stromkreis ein elektrischer Strom induziert, wenn die magnetische Kraft-

§ 41. Elektromagnetische Gleichungen von Maxwell-Lorentz

101

flußdichte, die durch die vom Stromkreis umrandete Fläche hindurchtritt, eine Änderung erfährt. Die Elektrizitätsmenge, die durch den Querschnitt des Stromleiters bei der Änderung der magnetischen Kraftf luß dichte hin durchtritt, ist proportional der von dem Leiter umschlossenen Fläche und der Änderung der magnetischen Kraftflußdichte durch die Fläche, die wesentlich von dem Medium, in dein sie stattfindet, abhängig ist. Im einfachsten Fall, dem Vakuum und dem isotropen, nicht ferromagnetischen Medium, ist die Induktion der dort vorhandenen Feldstärke § proportional; der konstante Proportionalitätsfaktor ist die Permeabilität ¡j, des Mediums, so daß 58 = / ( £ • Diese Vektoren G, ip, 2), % 83 stehen miteinander durch die folgenden Grundgleichungen in Beziehung: (1) (2)

rot(p = 3 =

(Ö!+eö),

rot n, oder mit

m n, daß mehr (m) lineare Gleichungen vorhanden sind als Unbekannte n, also, daß wenigstens m — n Gleichungen von den n anderen Gleichungen abhängig sind, sich auf die n anderen Gleichungen zurückführen lassen, oder daß sie mit einigen der n anderen oder allen im Widerspruch stehen. Man sagt, die Matrix hat den R a n g r, wenn von den m Gleichungen nur r Gleichungen (r kann kleiner als n sein) voneinander unabhängig sind. Besteht das System aus in < n Gleichungen, so sind offenbar nicht alle Unbekannten bestimmbar. Sind nur die Diagonalkoeffizienten einer quadratischen Matrix von Null verschieden, so spricht man von einer Diagonalmatrix und wenn die Koeffizienten sämtlich gleich 1 sind, von einer E i n h e i t s m a t r i x es ist also (1) $ = (d{) = A 0 0 • • • . und g = 4 0 0 0 • • . 0 1 0 00 iL 0 x in' 1' Wie für die 3-dimensionalen Vektorfunktionen gilt

(2)

9tE1 + 2iE2 = 3i(Ei + E2).

Dem transponierten Affinor entspricht die transponierte Matrix 21', die man erhält, wenn Zeilen und Spalten der Matrix 2t vertauscht werden. Ist 21' = 21, so heißt die Matrix symmetrisch, ist 21' = — 21, antimetrisch. Weiter gilt 21^ + 21 2 j = (3^ + 91 2 )j oder (3) 2I1 + 2I2 = 21 = 212 + 21!, woraus die Möglichkeit der Zerlegung von 21 in einen symmetrischen und einen antimetrischen Teil folgt: 21 = m

+ 91') +

- 21').

Man kann die einzelnen Zeilen und ebenso die einzelnen Spalten einer Matrix selbst als Matrix ansehen und spricht

§ 46. Rechenregeln für Matrizen

111

dann, wenn die Zeile oder Spalte n Vektoren enthält in Verallgemeinerung des 3-dimensionalen Vektors (o^ ct2, o 3 ) = (vgl. Vorbemerkung S. 162) von den n-dimensionalen Vektoren einer Matrix. Man schreibt daher auch symbolisch: (4) 21 = ( a 1 a 2 a 3 - - - a „ ) = ,

wenn die a< durch die Spaltenköeffizienten aua2i • • • ami definiert sind, die k a durch die Zeilenkoeffizienten ' ' ' a hn- Konsequenterweise wird z. B.

Spaltenvektor und 5 a = (a 5 1 a 5 2 • • • a 6 n ) Zeilenvektor genannt, und es ist: 2J' == n n n . . . _ m j t den Zeilenvektoren: oi =

(«Ü %

• • •)•

In Übereinstimmung damit soll ein Vektor, dessen Komponenten xv x2 • • • eine ein zeitige Matrix bilden, [also der Vektor (xxx2 • • •)] weiterhin mit 5' bezeichnet, d. h. mit ' versehen werden als dem Kennzeichen einer transponierten Matrix [5' = faxz • • •)], im Gegensatz z . B . zu dem als einspaltige Matrix gedachten Vektor t) = , Diese

Festsetzung ermöglicht, wie wir sehen werden, die eindeutige Anwendbarkeit der Multiplikationsregeln auf die Multiplikation von Vektor und Matrix.

112

Lineare Vektorfunktionen, Matrizen, Dyaden

Für die Einheitsmatrix bedeutet (4): (5)

® = ( e l i v . . ) = /V\ mit z . B .

e3 =

/ 0 \ und

('•)

5e

= (000010•• •)•

§ 47. Wiederholte Matrizenoperation Wenn (1) ®E = J) und =3, so stellt (2) afe =©(SÖE) = E S 8 s = s ein System von linearen, nicht homogenen Gleichungen zwischen den Komponenten der mehr-dimensionalen Vektoren £ und i dar. Ausführlich geschrieben lautet es: (3) und (4)

Zj = üi^X^ -}- di2^2 -]- * ' * ESS = / e 1 1 e 1 2 - •

ßin^n

• / & u & i 2 - A = 91 =

/ % « « • A •

Es ist (5 SS = 91 wieder eine Matrix, deren Koeffizienten a ^ mit den Koeffizienten der Matrizen © und S5 durch die Gleichungen zusammenhängen: (5) aik = Cabtf + ci2b2k ^ = ciebek. Q Man überzeugt sich davon leicht, wenn man eine kleine Zahl von Systemgleichungen einmal ausführlich hinschreibt. Man bezeichnet die hier vorgenommene wiederholte Operation von Matrizen als eine Multiplikation, 5 9 3 als Produkt zweier Matrizen. Aus der Entwicklung geht un-

§ 47. Wiederholte Matrizenoperation

113

mittelbar hervor, daß die Faktoren nicht vertauscht werden dürfen, daß ©93 =1= 93© sein muß. Gleichung (5) besagt: Um den Koeffizienten aik der Matrix 21 = © 93 in der t-ten Zeile und der fc-ten Spalte zu erhalten, muß man die Koeffizienten der ¿-ten Zeile von © der Reihe nach von links anfangend mit je einem Koeffizienten der &-ten Spalte von 93 der Reihe nach von oben anfangend multiplizieren und die Produkte aus den Koeffizienten der i-ten Zeile von © und der fc-ten Spalte von $8 (also die Produkte aus den Faktoren ciQ und lek f ü r alle g von 1 bis n) addieren. Wenn z. B. die i'-te Zeile und die k-te Spalte der beiden Matrizen aus den in (6) angeschriebenen Zahlen bestehen:

t k-te Spalte, so ist a ifc = 6 - 2 + 5 - l + 3 - 0 + 2- 7 + 7 - 2 + l - 3 = 4 8 . Steht eine Rechenmaschine zur Verfügung, so lassen sich die aik auch im Falle mehrstelliger Zahlen cit und igk mühelos durch „Auflaufenlassen" 1 ) finden. Um Fehler bei der Durchführung der Matrizenproduktbildung zu vermeiden, bediene man sich als eines mnemotechnischen Hilfsmittels des vielfach empfohlenen schematischen Bildes Fig. 21 (nach Zurmühl, 1. c.). Die Schnittpunkte der Zeilen der Matrix S und der Spalten der Matrix 93 nach ihrer Übertragung in die Produkt„ A u f l a u f e n l a s s e n " h e i ß t : Iis m u ß das E r g e b n i s einer m i t der R e c h e n m a s c h i n e a u s g e f ü h r t e n M u l t i p l i k a t i o n zweier F a k t o r e n (z. Ii. c ^ • bjf.) in der R e c h e n m a s c h i n e s t e h e n gelassen w e r d e n , so d a ß sich das E r g e b n i s der n ä c h s t e n M u l t i p l i k a t i o n (also der F a k t o r e n c ^ ' ^ f c ) a u t o m a t i s c h a d d i e r t . 8

V a l e n t i n e r , V e k t o r e n u n d Matrizen

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Lineare Vektorfunktionen, Matrizen, Dyaden

matrix 21 geben die Lage der durch die Produktsumme gewonnenen Koeffizienten. Man mache es sich zur Regel, zuerst die oberste Zeile von (S mit allen Spalten von 93 der Reihe nach zu multiplizieren, dann die zweitoberste Zeile usf. In dem Bild ist angenommen, daß ß w Spalten und m Zeilen, S3 p Spalten und n Zeilen hat; für 21 ergeben sich daraus p Spalten und m Zeilen. Es ist also hier der allgemeine Fall der nicht quadratischen Matrizen zugelassen, auf den die obigen Betrachtungen in gleicher Weise wie auf die quadratischen Matrizen anwendbar sind. Eine eindeutige Multiplikation zweier Matrizen ist aber in Übereinstimmung mit dem Schema der Fig. 21 offenbar nur möglich, wenn die Zeilenzahl des 2. Faktors mit der Spaltenzahl des 1. Faktors übereinstimmt.

& F i g . 21

Das Produkt aus mehr als zwei Faktoren berechnet man, indem man zuerst das Produkt zweier Faktoren bildet, dann mit diesem den benachbarten Faktor multipliziert und so fortfährt. Man muß auf die Reihenfolge achten, aber es ist ohne Bedeutung, mit welchen zwei benachbarten Faktoren man anfängt und welche zwei man etwa zuerst zusammenfaßt, d. h. es gilt das assoziative Gesetz.

§ 48. Einfache Anwendungen

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(7) 21 (33 (6 $ ) ) = ((21 SB) (© ®)) = ((2158)®) wenn durch die Klammern die vorzunehmenden Operationen angedeutet werden. Das ergibt sich unmittelbar, wenn man den Sinn der mehrfachen Matrizenoperation beachtet, der aus den Gleichungen (1) bis (4) hervorgeht. § 48. Einfache Anwendungen Die konsequente D u r c h f ü h r u n g der Multiplikationsregel f ü r Matrizen ergibt folgende unmittelbar verständliche Schreibmöglichkeiten und Ergebnisse. 1. F ü r t) = 21J können wir schreiben 9

=

=

y2\

/ a ii®i2 ' ' / a21a22 •••]

/Xl\ = / z2 \

a /a11X1 izx2 + ' " / a21x± + a22x2 H

1 \

2/n ®nlan2 ' woraus folgt y, = «¡1^1 + «¿2^2 + «(3*3 H 2.

c,*e

A W 0

x

1

1 = l, 2,. . . n.

• (0 0 • • • 1 0 • • •) t k

ist eine Matrix, deren Koeffizienten bis auf den in der i-ten Zeile und der &-ten Spalte Null sind; dieser eine Koeffizient hat den Wert 1. 3.

*ee, = (0 0 • • • 1 0 • • •) • / 0 \ = 1 wenn k = i, j 0 \ = 0 wenn k =j= i.

w 8*

(Man vergleiche §9).

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Lineare Vektorfunktionen, Matrizen, JJyaden

4. Verallgemeinerung von Nr. 2 : D a s P r o d u k t aus einer ein-spalt.igen u n d einer ein-zeiligen M a t r i x ist wieder eine M a t r i x , deren A n w e n d u n g auf einen V e k t o r diesen in einen Vektor überführt. n b ' = a • b' = / a • (JjS 2 • • •) = «2

2

"' " \ •

Mi

E i n e solche K o m b i n a t i o n zweier V e k t o r e n begegnete u n s in § 15, Gl. (4) u n d w u r d e d o r t Dyade g e n a n n t . Z u m U n t e r s c h i e d v o n d e m skalaren u n d d e m vektoriellen P r o d u k t s e t z t e n wir d o r t zwischen die V e k t o r e n das Zeichen „ ; " . Die D y a d e oder das dyadische Produkt auf den V e k t o r £ a n g e w a n d t liefert einen V e k t o r g' von der R i c h t u n g a, dagegen ist j ( a ; b ) = (b;n)E = (ja)b ein solcher v o n der R i c h t u n g b. Man n e n n t (b; a) die zu (a; b) konjugierte

w

Dyade.

5. I m Gegensatz zur K o m b i n a t i o n a b' ist a ' b = (aj^IIÄ • • •) • /ZM = ax\

+ a2b2 + a3b3

.

das skalare P r o d u k t der V e k t o r e n a u n d b. I m A n s c h l u ß d a r a n sei a n g e m e r k t (a'b)' = b ' a , wobei die Reihenfolge zu b e a c h t e n ist. — E n t s p r e c h e n d der B e d e u t u n g von a b = 0 zweier 3-dimensionaler V e k t o r e n als der B e d i n g u n g der O r t h o g o n a l i t ä t sagt a u c h i m erweiterten (verallgemeinerten) F a l l w-dimensionaler V e k t o r e n die Beziehung « H

§ 51. Einige Regeln für die Rechnung mit Dyaden

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oder indem wir den Vektor j , auf den 2t angewandt werden soll, symbolisch herausnehmen (3)

a = E[(«n

+

+ ( 0 ^ + • • - ) 2 e + •••],

wofür wir endlich schreiben können (4)

a = 2i£ = ( a i t ) s = ( a i k e { ; h ) i .

E s mag hier noch einmal auf die Identitätsdyade in § 15 als ein Beispiel der Gleichung (4) eingegangen werden. Dort war gesetzt b = Aa + Bb + Cc = b ( a ' ; a + b ' ; b + c'; c). "Wir ersetzen die a, b, C durch die orthogonalen Einheitsvektoren ev e 2 , e 3 und setzen für A, B, C die Buchstaben dv d2 ¿ 3 ; so ergibt sich für die Matrix 91 = M i