Vektoren und Matrizen [8., erw. Aufl. der "Vektoranalysis". Reprint 2019] 9783111370132, 9783111013138

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

354/354a

V E K T O R E N U N D MATRIZEN von

Dr.

SIEGFRIED

VALENTINER

Prof. emer. der Physik an der Bergakademie Clausthal Mit 35 Figuren 8., erweiterte Auflage der „Vektoranalysis" Mit einem A n h a n g :

A U F G A B E N ZUR V E K T O R R E C H N U N G von

DR. H E R M A N N Prof. der Mathematik

KÖNIG

an der Bergakademie Clausthal

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . Gultentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . T r ü b n e r • Veit & Comp

BERLIN

1958

© Copyright 1958 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35, Genthiner Str. 13. Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 1103 54. — Satz: Walterde Gruyter & Co., Berlin W 35. Druck: Paul Funk, BerlinW35. Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis Seite

Schrifttum Einleitung §

5

1. D a r s t e l l u n g der K e s u l t a n t e eines K r a f t s y s t e m s

6

I. Teil

Rechnungsregeln der Vektoranalysis S 2. D e f i n i t i o n des V e k t o r s u n d der s k a l a r e n G r ö ß e § 3. A d d i t i o n , S u b t r a k t i o n v o n V e k t o r e n , M u l t i p l i k a t i o n der V e k t o r e n m i t s k a l a r e n Größen § 4. Zerlegung v o n V e k t o r e n § 5. Gleichungen zwischen V e k t o r e n § 6. M u l t i p l i k a t i o n v o n V e k t o r e n l 7. Skalares P r o d u k t § 8. A n w e n d u n g e n § 9. Vektorielles P r o d u k t § 10. A n w e n d u n g a u f die S t a t i k § 11. M u l t i p l i k a t i o n v o n m e h r als zwei vektoriellen F a k t o r e n § 12. Skalares P r o d u k t eines p o l a r e n u n d eines a x i a l e n Vektors, o d e r c [ab] § 13. V e k t o r p r o d u k t eines p o l a r e n u n d eines a x i a l e n Vektors, o d e r [a[bc]] § 14. P r o d u k t e zweier axialer V e k t o r e n § 15. R e z i p r o k e V e k t o r t r i p e l § 16. P r o d u k t e i m schiefwinkligen B e z u g s s y s t e m § 17. Ü b e r die E r w e i t e r u n g des V e k t o r b e g r i f f s a u f d e n m e h r d i m e n s i o n a l e n Raum § 18. D i f f e r e n t i a t i o n eines V e k t o r s n a c h einer s k a l a r e n Größe § 19. Der G r a d i e n t einer s k a l a r e n F u n k t i o n § 20. D i f f e r e n t i a t i o n einer S k a l a r e n n a c h einer S k a l a r e n in einer vorgegebenen Richtung § 21. D i f f e r e n t i a t i o n eines V e k t o r s n a c h einer s k a l a r e n Größe in einer vorgegebenen Richtung § 22. Die O p e r a t i o n V bei v e k t o r i e l l e m A r g u m e n t § 23. Die s k a l a r e O p e r a t i o n V bei v e k t o r i e l l e m A r g u m e n t . I n t e g r a l s a t z von Gauß § 24. A n w e n d u n g e n . Die B e z e i c h n u n g Divergenz § 25. Die v e k t o r i e l l e O p e r a t i o n V. Die R o t a t i o n § 26. Satz v o n Stokes § 27. A n w e n d u n g § 28. M e h r f a c h e A n w e n d u n g der D i f f e r e n t i a l o p e r a t i o n V § 29. Die D i f f e r e n t i a l o p e r a t i o n e n bei B e n u t z u n g rechtwinkliger, k r u m m liniger K o o r d i n a t e n

11 15 18 20 21 23 25 26 30 32 32 35 36 38 41 42 42 47 48 50 52 54 59 60 63 66 69 71

II. Teil

Anwendung in einigen physikalischen Gebieten § 30. E i n t e i l u n g

75

4

Inhaltsverzeichnis Kapitel 1 Einige Sätze der P o t e n t i a l t h e o r i e

§ § § §

Seite

31. 32. 33. 34.

Bedeutung des Potentials in der Mechanik Newtonsches Potential Hilfsßätze von Green Ableitung der Potentialfunktion V aus den charakteristischen Bedingungen § 35. Deutung der einzelnen Glieder der Lösung

77 79 80 82 84

Kapitel 2 Einige Sätze der H y d r o d y n a m i k §36. §37. § 38. § 39. § 40.

Einführung der Flächenkräfte Eulersche Gleichungen für reibungslose Flüssigkeiten Sätze von Helmholtz über die Wirbelbewegung Solenoidaler Vektor Flächenwirbel

86 90 91 94 96

Kapitel 3 Einiges aus der Theorie der E l e k t r i z i t ä t § 41. Elektromagnetische Gleichungen von Maxwell-Lorentz § 42. Biot-Savartsches Gesetz

99 102

III. Teil Lineare Vektorfunktionen, Matrizen, Dyaden § 43. § 44. §45. §46. §47. § 48. § 49. § 50. § 51. § 52. § 53. § 54. jj 55. § 56. § 57. § 58. § 59. § 60. § 61. § 62. §«>3.

Lineare Vektorfunktionen Drehung eines Bezugssystems um den Anfangspunkt Matrizen Rechenregeln für Matrizen Wiederholte Matrizenoperation Einfache Anwendungen Einige bemerkenswerte Folgerungen Die Matrix als Summe von Dyaden Einige Regeln für die Rechnung mit Dyaden Die rotorische Dyade Auflösung linearer inhomogener Gleichungen mit n Unbekannten (Gaußscher Algorithmus) Der Eliminationsprozeß selbst Gaußsche Schreibweise der Eliminationsgleichungen Die Kehrmatrix Die Kehrmatrix in besonderen Fällen Zahlenbeispiel zu § 54 und 56 Die Matrizen in der Methode der kleinsten Quadrate Durchrechnung zweier Beispiele Die Matrix in der Gleichung 2. Grades Anwendung bei Deformationsbehandlung Die Matrix in einer Eigenwertaufgabe

103 106 108 109 112 115 117 122 123 125 126 129 132 134 137 139 142 146 151 152 156

Anhang 1. 42 Aufgaben zur Vektorrechnung 2. Zusammenstellung einiger wichtiger Formeln

162 199

Schrifttum Aus der ersten Zeit der Entwicklung der Vektorrechnung M ö b i u s , Der baryzentrische Kalkül, ein neues Hilfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie dargestellt und insbes. auf die Bildung neuer Klassen von Aufgaben und die Entwicklung mehrerer Eigenschaften der Kegelschnitte angewendet. Leipzig 1827. G r a ß m a n n , Die Ausdehnungslehre von 1844 oder die lineare Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik. 2. Aufl. Leipzig 1878. — Die Ausdehnungslehre. Berlin 1862. H a m i l t o n , Elemente der Quaternionen: deutsch von Glan. Leipzig 1884. T a i t , Elementares H a n d b u c h der Quaternionen: deutsch von v. Scherff. Leipzig 1880. Die moderne Behandlung der Vektoranalysis und ihrer Verwendungsmöglichkeit f i n d e t man in zahlreichen Lehrbüchern der Vektorrechnung; mehr oder weniger ausführlich dargestellt ist sie in allgemeinen Hand- und Lehrbüchern der Mathematik und in Lehrbüchern der theoretischen Physik.

Zur Matrizenrechnung F. N e i s s , Determinanten und Matrizen. Springer-Verlag, 1948. L. C o l l a t z , Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen. Akad. Verlagsges. 1949. R. Z u r m ü h l , Matrizen, eine Darstellung f ü r Ingenieure. Springer-Verla«, 1950. R. Z u r m ü h l , Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker. SpringerVerlag. 1953.

Einleitung § 1. Darstellung der Resultante eines Kraftsystems Die Vektoranalysis ist eine mathematische Disziplin, die sich in ihrem Aufbau fast so vollkommen an die Anschauung anlehnt wie die Geometrie selbst: sie bildet ihre Begriffe und Schlüsse gerade denen der Geometrie nach. Insofern sie dadurch zu einer knapperen, übersichtlicheren und anschaulicheren Darstellung aller solcher Erfahrungen führt, die auf den zwei- oder dreidimensionalen Raum sich beziehen, als die gewöhnliche Analysis, will ich in dem ersten Paragraphen an einem Beispiel zeigen. Dasselbe ist zugleich geeignet, den Unterschied der beiden wichtigsten Begriffe der Vektoranalysis: der skalaren Größe und des Vektors, hervortreten zu lassen. Es mögen an n Punkten eines freien, starren Körpers Vi''' Vn die Kräfte P1- • • Pn angreifen. Ein solches System von Kräften läßt sich ersetzen durch eine resultierende Einzelkraft und ein Kräftepaar, das von dem Angriffspunkt der Einzelkraft abhängig ist. Der analytische Ausdruck der Einzelkraft und des Kräftepaars wird gewonnen, indem man die Kräfte in die Komponenten nach den drei Richtungen, z. B. eines rechtwinkligen Koordinatensystems zerlegt und diese in geeigneter Weise zu drei resultierenden Komponenten einer Einzelkraft und eines Kräftepaars wieder zusammensetzt. So lehrt es die analytische Mechanik. Anschaulicher und, man möchte sagen, direkter wird die Aufgabe auf geometrischem Wege ohne Zerlegung in Komponenten in folgender Weise durch wiederholte Anwendung der Sätze vom Parallelogramm der Kräfte und der statischen Momente gelöst.

§ 1. Darstellung der Resultante eines Kraftsystems

7

Man denkt sich (vgl. Fig. 1) zwei neue Kraftsysteme dem ursprünglichen P1- • • P„ zugefügt, die dadurch gewonnen

Fig. 1

werden, daß man in einem und demselben, aber beliebigen Punkt Kräfte P[ • • • P'n angreifen läßt, die den gegebenen gleich und gleich gerichtet sind, und tZnsinfPiTi) solche P'i • • • P'n , die ihnen gleich, aber entgegengesetzt gerichtet sind. Das System P[- • • P'n setzt man nach dem Satz vom Parallelogramm der Kräfte oder, wie man kurz zu sagen pflegt, durch geometrische Addition zu der Resultierenden R zusammen:

wo das Zeichen ( + ) anzeigen soll, daß die Kräfte geometrisch zu addieren sind, also mit Rücksicht auf die Richtung der Kraft, wie es z. B. auf dem Zeichenbrett geschehen kann. Die beiden anderen Kraftsysteme stellen ein System

8

Einleitung

von Kräftepaaren dar, deren statische Momente dem absoluten Betrage nach, also abgesehen vom Richtungssinn, den W e r t h a b e n : P j i sin { P s i ) , wenn r{ die Entfernung des Angriffspunktes der K r a f t P , von dem willkürlich gewählten Angriffspunkt A der resul-

tierenden Einzelkraft R bedeutet und nach dem Angriffspunkt der letzteren gerichtet ist, und wenn für den Winkel ( P j r , ) immer der W e r t gesetzt wird, der < j t ist. Die Größe dieser Momente tragen wir als Strecken von einem beliebig gewählten P u n k t aus parallel der Drehungsachse nach der Richtung hin ab, daß die Drehungsrichtung des Kräftepaares, von dieser Richtung aus letrachtet, positiv, d. h. entgegen der

§ 1. Parstellung der Resultante eines Kraftsystems

9

1

Bewegung des Uhrzeigers gerichtet ) (vgl. Fig. 2) erseheint. Diese Strecken addieren wir geometrisch in gleicher Weise wie vorher die Kräfte und erhalten als resultierendes statisches Moment: M = [ P l f l sin ( P ^ ) ] ( + ) • • • ( + ) [Pnrn sin ( P n r n ) ] . Diesen Ausdruck können wir in eindeutiger "Weise kürzer auch so schreiben: (2)

M = ( P ^ ) ( + ) (P 2 r 2 ) ( + ) • • • ( + ) ( P n r n ) ,

wenn wir unter (P,r,) eine Strecke verstehen, deren absoluter Betrag gleich ist dem Produkt: P,r f sin (P,r,), und die senkrecht zu der Ebene P h r ( nach der Seite der Ebene gerichtet ist, daß der Übergang der Richtung P t in die Richtung rit von der Strecke (P,-^) aus gesehen, einer positiven Drehung entspricht. In Fig. 1 ist die resultierende Einzelkraft R und die beiden Momente ( P ! ^ ) und {P^r^) für die beiden an den Punkten pj, resp. p2 des starren Körpers angreifenden Kräfte konstruiert worden mit der willkürlichen Wahl des Angriffspunktes A der Resultierenden. Die Punkte pv p2 und A mögen mitsamt der Kraftrichtung Pl in der Zeichenebene liegen, P 2 sei aus der Ebene heraus nach oben gerichtet. In Fig. 3 ist die Konstruktion des resultierenden statischen Momentes M ausgeführt. Die Zeichenebene ist parallel der Drehungsachse des Kräftepaares (Plrx); die die Momente darstellenden Strecken sind der Größe und Richtung nach von einem Punkt aus abgetragen und ergeben durch geometrische Addition die Strecke M, die der Größe und Richtung nach das resultierende Drehmoment darstellt. Die Gleichungen (1) und (2) geben eine symbolische Darstellung der geometrischen Konstruktion. Während man in 1 ) I n Richtung der Drehachse gesehen erscheint die Drehung in der Bewegung des Uhrzeigers. (Vgl. Fig. 2 a — d . )

10

Einleitung

der analytischen Darstellung nur Größen gleicher Richtung, die Komponenten, addiert, hat man es hier mit einer Addition von Gliedern zu tun, welche sich nicht allein durch ihre Größe, ihren absoluten Betrag, sondern auch durch ihre Richtung voneinander unterscheiden, mit welchen also nur unter Rücksichtnahme auf ihre Richtung gerechnet werden darf. Zum Unterschied von den reinen Zahlen, d e n s k a l a r e n G r ö ß e n , bezeichnet man solche Glieder, die sich von ihresgleichen durch Größe und Richtung unterscheiden können, als gerichtete Größen oder V e k t o r e n . Können nun diese

Fig. 3

Symbole auch zur Beschreibung anderer geometrischer Konstruktionen oder gar physikalischer Erfahrungen benutzt werden und lassen sich einfache analytische Rechnungsregeln für dieselben angeben, die nicht für jeden weiteren Schluß eine Übertragung der Symbole in die gewöhnliche analytische Schreibweise erfordern, so können sie eine brauchbare und infolge der Anlehnung an die Geometrie beträchtlich einfachere Beschreibung liefern als die rein algebraisch analytische Ausführung. In der Tat ist man imstande gewesen, eine Reihe von Rechnungsregeln abzuleiten, die den Regeln der gewöhnlichen Analysis mit skalaren Größen analog sind. Der Ableitung dieser Regeln, welche die

§ 2. Definition des Vektors und der skalaren Größe

H

notwendige Grundlage der Darstellungsmethode durch Vektoren bildet, ist der erste Teil dieses Bändchens gewidmet. Zur Übung in der Handhabung der Rechnungsregeln werden im zweiten Teil einige Anwendungen aus physikalischen Gebieten besprochen. Endlich soll im. dritten Teil auf eine wichtige Erweiterung der Vektorrechnung, die Behandlung der linearen Vektorfunktionen (Matrizen, Dyaden) eingegangen werden. Als die eigentlichen Begründer der Vektorrechnung sind Graßmann und Hamilton zu nennen, die nahezu gleichzeitig und ganz unabhängig voneinander den Vektorbegriff in die analytische Rechnung eingeführt haben, wenn auch in jener Zeit (um 1844) Ansätze zu dieser Methode von anderen versucht worden sind oder schon vorhanden waren, wie in dem „baryzentiischen Kalkül ' von Möbius (1828). Mehr als alle anderen waren sich jene beiden der Bedeutung der neuen Methode bewußt. Die Gesichtspunkte, von denen sie ausgingen, sind außerordentlich verschieden, indem Hamilton sich mehr der Geometrie anschloß, während Graßmann die Geometrie nur dazu verwenden wollte, anschauliche Beispiele für seine umfassender angelegte Theorie zu gewinnen. Seine Sätze sollten keine bloßen Übertragungen geometrischer Sätze in die abstrakte Sprache sein, sondern durch Erweiterung auf mehr als dreidimensionale Gebilde eine allgemeine Bedeutung gewinnen. Man unterscheidet dementsprechend zwei Richtungen in der Darstellungsweise der Vektorrechnung, die sich aber in den Anwendungen auf die Geometrie oder physikalische Beschreibung aufs engste berühren und zum Teil ergänzen. I. T e i l

Rechnungsregeln der Vektoranalysi s § 2. Definition des Vektors und der skalaren Größe Wir nannten in § 1 die Kräfte und die statischen Momente sowie auch die Resultierenden, die im dreidimensionalen Raum als gerichtete Strecken abgebildet werden können, Vektoren. Zur völligen Bestimmung der als erste Beispiele angeführten Vektoren sind drei Angaben, entsprechend den Komponenten in der analytischen Darstel-

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Rechnungsregeln der Vektoranalysis

lung, hinreichend und notwendig. Drei solche Angaben sind: die Länge des Vektors und die zwei Winkel, die seine Richtung gegen feste Achsen bestimmen. Da es also nur auf die Größe und Richtung der den Vektor darstellenden Strecke ankommen kann, so ist die Darstellung unabhängig von der Lage des Anfangspunktes der Strecke. Soll daher z. B. die Einzelkraft P mit den Komponenten Px, Py, Pz, die im P u n k t x, y, z eines durch Achsen festgelegten Raumes „ A " angreift, in dem dreidimensionalen Bildraum „B" durch eine Strecke dargestellt werden, so ist die Darstellung insofern auf unendlich vielfache Weise möglich, als der Anfangspunkt der darstellenden Strecke mit dem willkürlich gewählten Koordinatenanfangspunkt des Bildraumes zusammenfallen kann oder nicht. In dem Bildraum sind also parallele gleichgerichtete und gleich große Strecken bezüglich ihrer Bedeutung für das dargestellte Objekt völlig äquivalent. Wir setzen daher als Definition des Vektors fest: Eine Größe soll V e k t o r genannt werden, wenn die Gesamtheit der verschiedenen Werte, die sie annehmen kann, in umkehrbar eindeutiger und stetiger Weise der Gesamtheit der Strecken im Raum zugeordnet werden kann, die von einem willkürlich gewählten Anfangspunkt ausgehen1). Vektoren sind danach außer den genannten, der K r a f t und dem statischen Moment, z. B. die folgenden Größen: Verrückung, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Strömung. Bei den genannten Größen ist kein Zweifel, daß sie definitionsgemäß als Vektoren anzusprechen sind. Es muß indessen noch auf eine andere Gruppe von Vektoren hingewiesen werden, bei denen die Berechtigung des Namens Vektor nicht sofort erkannt werden könnte. Der absolute Betrag des statischen Moments, d. h. die Größe ohne Bezugnahme auf die Richtung, ') Vektoren sind gerichtete Größen — Größen, die durch eine gerichtete Strecke im Baume dargestellt werden können.

§ 2. Definition des Vektors und der skalaren Größe

PiU sin (P{,

13

rt),

kann aufgefaßt werden als der Flächeninhalt des Parallelogramms mit den Seiten Pt, rt und dem Winkel

, ist die vom willkürlich gewählten Anfangspunkt 0 ausgehende Diagonale des Parallelogramms O A C B , dessen zwei an den Anfangspunkt der Diagonale stoßende Seiten die von dem P u n k t e 0 aus beginnenden Strecken sind.

16

Rechnungsregeln der Vektoranalysis

Da die Vektoren, wie aus der Definition hervorgeht, durch Strecken darzustellen sind, werden Vektoren addiert wie Strecken. Wir wählen als Operationszeichen für die Addition von Vektoren das algebraische Additionszeichen + , indem wir jedes Mißverständnis durch die Anwendung der deutschen Buchstaben für Vektoren vermeiden können. In Fig. 4 ist (1) a + t) = c. Die Differenz zweier Vektoren ist nichts anderes als die Summe des ersten und des in entgegengesetzter Richtung genommenen zweiten Vektors, also darstellbar durch die von 0 ausgehende Diagonale des Parallelogramms O A D B ' , dessen an 0 anstoßende Seiten der erste Vektor und der nach entgegengesetzter Richtung gezeichnete zweite Vektor, also — b = b', sind. Oder es ist also (2)

a — b = b.

Die beiden Diagonalen des aus den Vektoren a und b gebildeten Parallelogramms stellen nach Größe und Richtung die Summe resp. die Differenz der zwei Vektoren dar. Die Differenz zweier Vektoren ist Null, die Vektoren also einander gleich, wenn sie gleiche Größe und gleiche Richtung haben. Aus der Anschauung ergibt sich sofort, daß i + fl2 = Q2 + a i ist, d. h. das kommutative Gesetz Gültigkeit besitzt. Die Summe mehrerer Vektoren a x • • • a„ wird gewonnen durch Addition des dritten zu der Summe der ersten beiden, des vierten zu der Summe der ersten drei usw. Da es wieder auf die Reihenfolge nicht ankommt, so kann auch die Gruppierung geändert werden, d. h. es gilt auch das assoziative Gesetz: a

(dj + a 2 ) + a 3 + • • • = a x + (a ä + a 3 ) + '

§ 3. Addition, Subtraktion, Multiplikation

17

Bei"piel: Gleichung (1) können wir schreiben: a+ 6 -

c = 0,

oder wenn wir setzen: — c = c',

a + b + c' = 0. Fassen wir die Vektoren a, 6, c' als K r ä f t e auf, so haben wir den bekannten Satz: Lassen sich Kräfte, die an einem P u n k t angreifen, der Größe und Richtung nach durch solche Strecken darstellen, daß man sie durch parallele Verschiebung zu einem geschlossenen Polygon zusammensetzen kann, so halten sie sich das Gleichgewicht.

Addieren wir m gleiche (d. h. gleich große und gleichgerichtete) Vektoren, so erhalten wir einen Vektor von gleicher Richtung und der m-faehen Länge. Ist der absolute Betrag des Vektors a gleich a, | o | =

a,

so stellt ? einen Vektor von gleicher Richtung wie a und dem absoluten Betrag 1 dar. Man nennt einen solchen Vektor einen E i n h e i t s v e k t o r . Im allgemeinen ist also ein Vektor das Produkt einer skalaren Größe mit einem Einheitsvektor. Für diese „skalare" Multiplikation gilt, wie aus der Anschauung hervorgeht, ebenfalls wie bei der Addition das kommutative und assoziative Gesetz. Wir wollen festsetzen, daß die Einheitsvektoren als dimensionslose Größen anzusehen sind. Die Dimension legen wir dem absoluten Betrage bei, der Einheitsvektor gebe allein die Richtung an. Ist z. B. die Geschwindigkeit einer Kugel 400 m/s, und h a t die durch die Winkel q> und & gegen feste Achsen bestimmte Richtung, so sagen wir, daß der Einheitsvektor vom absoluten Betrage 1 die Richtung ( gebildete Flächenstück mit bestimmtem Umlauffssinn; den dazu senkrechten Vektor c nennt man dann die „Ergänzung der Plangröße".

§ 9. Vektorielles Produkt

27

Die Multiplikation mit einer skalaren Größe, eine Operation die sich j a n u r auf den absoluten B e t r a g der Vektoren, nicht auf die R i c h t u n g beziehen k a n n , m u ß wieder der distributiven Regel folgen: [xa, b] = [a, xb] = x[a, t>]. Ebenso behält das distributive Gesetz für die vektorielle Produktbildung mehrerer Vektoren Gültigkeit, d. h. es ist (3)

[et + i>, c] = [a, c] + [i>, c].

Erster Fall. E s sei c nicht k o m p l a n a r m i t a u n d b. Wir setzen a + b = b . Der E i n f a c h h e i t halber nehmen wir an, c sei ein E i n h e i t s v e k t o r c; d a n n ist der Vektor [b, c] seinem absoluten B e t r a g nach gleich (Fig. 8). Ebenso:

| [bc] | = d sin (bc) = d', | [ac] | = a sin (ac) = a!, | [bc] | = b sin (bc) = V.

Die R i c h t u n g e n der drei Vektoren sind senkrecht zu den P a r a l l e l o g r a m m e n : (b, c) resp. (a, c), (b, c). d',a',b' sind gleich den absoluten Beträgen der Projektionen b', a', b', durch welche die Vektoren b, a, b in einer zu c senkrechten E b e n e abgebildet werden; da n u n die drei Vektoren a, b, — b ein geschlossenes Dreieck bilden, so bilden auch die P r o j e k t i o n e n in ein u n d dieselbe E b e n e ein geschlosssenes Dreieck, u n d es ist o' + b' = b ' . Drehen wir u m c als Drehungsachse das Dreieck u m 90°, so fallen die Seiten b', a', b' der Größe u n d R i c h t u n g n a c h m i t den Vektoren [a + b , c ] , [ac], [bc] z u s a m m e n , so daß die Richtigkeit der obigen Gleichung u n d d a m i t die Gültigkeit des distributiven Gesetzes f ü r den ersten F a l l erwiesen ist.

28

Rechnungsregeln der Vektoranalysis

Zweiter Fall, c, a und b liegen in einer Ebene, dann sind alle Kichtungen der Vektoren [a + b, c], [ac], [bc] parallel, und für die absoluten Beträge, die gleich dem Flächeninhalt

der Parallelogramme (et + b, c), (a c), (b c) sind, gilt die Beziehung: | [ a c ] | + | [ b c ] | = | [ a + b, c ] | , also ist [ac] + [bc] = [a + b, c]. 2. Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ab sin (a, b) mit parallelen Seiten (a, b) ist Null wegen sin 0° = 0, es kann also

§ 9. Vektorielles Produkt (4)

29

[ab] = 0

als der Ausdruck der Parallelität zweier Vektoren b e t r a c h t e t w e r d e n . Dagegen ist der absolute Betrag des Produktes senkrechter Vektoren gleich dem Produkt der absoluten Beträge.

F ü r die Einheitsvektoren t , j , ! folgt hieraus: (5)

M

[ i i ] = [ i j ] = [f!] = 0, = - tii] = i , m = - mi = i . p i ] = -

[Ü]=i.

Das P r o d u k t zweier durch die Einheitsvektoren i, j , ! dargestellter Vektoren a u n d b läßt sich in F o r m einer Determinante schreiben: (6)

[o, 6] = [ij] (a1b2 - « A ) + Qi] (3 -

c3 = bj.

30 Oi =

Rechnungsregeln der Vektoranalysis t 6 ! ^ ' °3 = + y [ M a L

°2 = +

[6361],

also «U = + y [ C i C 3 ] = +

[(62—63) (&1—Ba)] = -

Oi-a2-a3

oder 27 a, = 0. Allgemein gilt diese Beziehung f ü r geschlossene Polyeder, da sie aus Tetraedern zusammengesetzt gedacht werden können. § 10. Anwendung au! die Statik Bin System von Kräften ^ • • • 9ß„, die an den Punkten p1- • • pn eines freien, starren Körpers angreifen, halten sich das Gleichgewicht, wenn die resultierende Einzelkraft und das resultierende statische Moment in bezug auf den Koordinatenanfangspunkt Null sind (vgl. § 1). Die Gleichgewichtsbedingungen lauten also: (1)

=

(2)

=

wenn r; der Radiusvektor des Punktes p,- von einem willkürlich gewählten Koordinatenanfangspunkt 0 ist. Ist kein Gleichgewicht vorhanden, so stellen 27 resp. 27[ri5ßj] die am Bezugspunkt 0 angreifende resultierende Kraft und das resultierende statische Moment für den Bezugspunkt 0 dar. Eine Änderung des Bezugspunktes ändert im allgemeinen 27 [r,-^,-]; es sei der ntue Bezugspunkt 0 ' durch den Vektor a, der von 0 nach 0 ' geht, gegeben, so ist (3)

^ f e S P d = + ¿ [ a f y ] + 2 ! [ t i iß,],

worin sich auf den neuen Koordinatenanfangspunkt 0 ' beziehen soll. Ist a so gewählt, daß 2[a%] =

= 0,

d. h. fällt a in die Richtung der resultierenden Einzelkraft, so ist das statische Moment in bezug auf den neuen Koordinatenanfangspunkt 0' gleich dem in bezug auf 0; d. h. es kann der Bezugspunkt des statischen Momentes, ohne eine Änderung desselben hervorzurufen, in Richtung der resultierenden Einzelkraft verschoben werden.

§ 10. Anwendung auf die Statik

31

Ist der Körper an dem Punkt 0 ' drehbar befestigt, so wird am Gleichgewicht des Systems nichts geändert, wenn an diesem Punkt eine neue Kraft SR, von welcher Größe und Richtung sie auch sei, angreift. Wählen wir 0 ' als Anfangspunkt, so lauten die Gleichgewichtsbedingungen : ^•SP,-+ 9t = 0 und

j ; [ r i , $ < ] + [0,8t] = 0.

SR kann nun immer so gewählt werden, daß der ersten Bedingung genügt wird, d. h. kann jeden beliebigen Wert annehmen; es Weiht nur die zweite Bedingung zur Existenz des Gleichgewichts übrig:

Ist der Körper an zwei Punkten 0 und 0 ' befestigt, also um die Achse 00' = a drehbar, so wird wieder am Gleichgewicht nichts geändert, wenn man in den Punkten 0 und 0 ' der Achse neue Kräfte 31 und 9}', von welcher Größe und Richtung sie auch sein mögen, angreifen läßt. Den Punkt 0 ' der Achse wählen wir als Bezugspunkt, dann lauten die Gleichgewichtsbedingungen:

(4)

r + k + s r = o l Hki-a, SR] = 0 .

Statt der zweiten Gleichung können wir schreiben: oder (5)

-

[tt^SM -

[OSR] = 0

2 ; [ r ( ¥ < ] + [oSR'] = 0,

worin SR' willkürlich gewählt werden kann. Nun ist aber [aSR'] ein zu a senkrechter Vektor. Die Gleichgewichtsbedingung (5) fordert also, daß auch 27[rf i ß j ein zu et senkrechter Vektor sei. Da Gleichung (4i) infolge des noch frei verfügbaren SR stets erfüllt werden kann, heißt das, daß immer dann Gleichgewicht der Kräfte, die an einem um eine Achse drehbaren Körper angreifen, vorhanden ist und nur dann, wenn das resultierende Moment 9JI = Z , [r i ?ß i ] der angreifenden Kräfte der Bedingung genügt: (6)

(ä»a)=0.

Im Anschluß hieran wird in Aufgabe 33 (Seite 189) der Satz vom kleinsten statischen Moment abgeleitet.

32

Rechnungsregeln der Vektoranalysis

§ 11. Multiplikation von mehr als zwei vektoriellen Faktoren Wir haben in § 2 zwei verschiedene Arten von Vektoren kennengelernt, die polaren und die axialen Vektoren. In der Definition der Vektorenprodukte ist auf diesen Unterschied entsprechend der obigen Bemerkung von der Bedeutungslosigkeit des Unterschiedes für die Rechnungsregeln nicht Bezug genommen worden. Da nun die zur Ableitung der Definition benutzten Beispiele nur von Produkten handeln, die aus polaren Vektoren gebildet sind, so ist es, um die Richtigkeit der obigen Bemerkung zu beweisen, notwendig, die anderen Kombinationen zu besprechen; wir werden dabei erkennen, ob die Produkte anders gearteter Vektoren eine besondere Bedeutung haben, und speziell erkennen, ob diese Produkte axialer oder polarer Natur sind. Eine einfache Überlegung ergibt — und die Betrachtungen der folgenden Paragraphen werden das im einzelnen bestätigen —, daß ein Produkt von Vektoren stets axialer Natur sein muß (also von der Richtungsänderung der drei Bezugsachsen unabhängig ist), wenn es alle Faktoren sind oder wenn wenigstens nur eine gerade Anzahl von Faktoren polarer Natur ist (also mit Änderung des Vorzeichens der Bezugsachsen das Vorzeichen ändert). Deshalb und auch im Hinblick darauf, daß, wie oben bemerkt, ein axialer Vektor als das Vektorprodukt zweier polarer betrachtet werden darf, können wir Produkte aus zwei Vektoren, von denen wenigstens einer ein axialer Vektor ist, als ein Produkt von mehr als zwei polaren Vektoren ansehen. § 12. Skalares Produkt eines polaren und eines axialen Vektors oder c [ a 6 ] Ein axialer Vektor ist darstellbar durch die Größe eines Parallelogramms und die Richtung seiner Normalen. Das Produkt eines solchen mit einem polaren Vektor ist gleich

§ 12. Skalares Produkt eines polaren und eines axialen Vektors

33

dem Inhalt dieses Parallelogramms multipliziert mit der Projektion des polaren Vektors auf die Normale, d. h. gleich dem Inhalt des Parallelepipeds, das über dem Parallelogramm als Basis mit dem polaren Vektor als dritter bestimmender Kante errichtet werden kann. Für den axialen Vektor können wir symbolisch [ab] schreiben, so daß das skalare Produkt eines polaren und eines axialen Vektors die Form annimmt: c[ab], worin o,b,c nun polare Vektoren vorstellen. Ist daher andererseits nicht bloß das Produkt [ab] durch Angabe eines axialen Vektors gegeben, sondern die Faktoren a und b selbst, so ist das dreifache Produkt oder „skalare Tripelprodukt" c[ab] gleich dem Inhalt des Parallelepipedes mit den drei bestimmenden Kanten a, b, c. Wenn wir sämtliche Richtungen, auf welche die Vektoren bezogen werden, umkehren, so ändert der polare Vektor c sein Zeichen, während der axiale sein Zeichen behält. Es ändert also auch das Produkt c[ab] das Vorzeichen; es ist daher, obgleich es als skalares Produkt eingeführt worden ist, doch von den Richtungen in gewissem Sinne abhängig. Man nennt solche skalare Größen, welche das Zeichen bei Änderung der Bezugsrichtungen in das entgegengesetzte ändern, P s e u d o s k a l a r e 1 ) . Die Multiplikation eines polaren Vektors mit einer Pseudoskalaren muß danach offenbar einen axialen Vektor ergeben. Durch zyklische Vertauschung der Achsenrichtungen wird das Vorzeichen nicht geändert, es ist also (1)

f=

c[ab] = b[ca] = a[bc]

l = — c[ba] = — a[cb] = — b [ a c ] . Ohne Mißverständnisse befürchten zu müssen, können wir 1 ) Klein und Timerding unterscheiden die beiden Arten durch die Bezeichnung: Skaiar erster und zweiter Art.

3

V a l e n t i n e r , Vektoren und Matrizen

34

Rechnungsregeln der Vektoranalysis

in diesen Ausdrücken die Klammern ganz fortlassen und, wie es häufig geschieht, schreiben: c[ab] = cob = — acb, oder auch [cab]. Sind die drei Vektoren durch die Komponenten nach den Einheitsvektoren i,}, f gegeben, so kann das skalare Tripelprodukt in der Determinantenform geschrieben werden: «i afte = h Cx

«2 K

h H

Denn die Komponenten des axialen Vektors [ab] sind die Unterdeterminanten dieser Determinante, und das skalare Produkt zweier Vektoren ist gleich der Summe der Produkte der Komponenten. Liegt c in der Ebene von a und 6, so ist der Inhalt des aus den drei Vektoren gebildeten Parallelepipeds Null, also c[ab] = 0. Dies geht auch unmittelbar aus der Rechnung hervor, wenn wir c durch die Vektoren a und 6 ausdrücken, welches in dem Fall der Komplanarität möglich ist. Es sei c = xa+

yi,

dann lautet das Produkt:

¡ra[ab] + j/B [ab] = x£>[aa] + 2/a[bb] = 0. Ein wichtiges Beispiel eines solchen skalaren Produktes dreier Vektoren liefert der sogenannte V e k t o r f l u ß durch eine Fläche. Die Wassermenge in einem Strom, die in der Zeiteinheit durch eine Fläche von beliebiger, vorgegebener Lage und Größe innerhalb des von der Wassermasse durchströmten Raumes hindurchtritt, ist gleich der Menge, die in den Zylinder hineingeht, dessen Basis die vorgegebene Fläche ist und dessen Leitlinie der Größe und Richtung nach gleich der Geschwindigkeit des Wassers an dieser Stelle ist. Ist die Basis das Parallelogramm [ab], so ist die pro Zeiteinheit hindurchtretende Wassermenge, wenn dieselbe

§ 13. Vektorprodukt eines polaren und eines axialen Vektors

35

sich mit der Geschwindigkeit c bewegt, gegeben durch das skalare P r o d u k t : c[ab]. Man nennt dasselbe den Fluß, Durchfluß des Vektors c, den Geschwindigkeitsjluß durch die Fläche. Ist c ein K r a f t v e k t o r , so spricht man von Kraftfluß; stehen z. B. zwei entgegengesetzt elektrisch geladene, unendlich große, leitende P l a t t e n einander parallel gegenüber, einen freien R a u m einschließend, so daß zwischen ihnen ein homogenes elektrisches Feld besteht, welches die Feldstärke c besitzt — d. h. auf den positiv geladenen elektrischen Einheitspol die K r a f t c an jeder Stelle des Feldes ausübt —, so ist der K r a f t f l u ß durch eine irgendwie gelegene Fläche [ab] durch das skalare Prod u k t c [ab] gegeben. Man nennt den numerischen Wert dieses Produktes die Zahl der Strömungs- oder Kraftlinien durch die Fläche von der vorgegebenen Richtung. § 13. Vektorprodukt eines polaren und eines axialen Vektors oder [aL&c]] Nach der Definition des Vektorproduktes steht der dadurch bestimmte Vektor senkrecht auf der Ebene, die durch die vektorischen F a k t o r e n geht, also im Fall des Produktes [a[bc]] durch die Normale des aus b und c gebildeten P a r allelogramms und den polaren Vektor a. E r liegt also jedenfalls in der Ebene des Parallelogramms (b, c) und m u ß sich schreiben lassen: (1)

[a[bc]] =xb

+

yc.

U m x u n d y zu finden, rechnen wir die linke Seite mit Benutzung der Komponentendarstellung der Vektoren aus. Wir legen der bequemeren Rechnung wegen den Einheitsvektor i in die Richtung des Vektors c, den Vektor j in die E b e n e von b und c; dann ist 3*

36

Rechnungsregeln der Vektoranalysis C = Cii,

also:

b = Sji + \ h a = axi + a2i + [a[bc]] = - c 1 l 2 [ a l ] = - c j ^ a j . -

^j).

Die rechte Seite der letzten Gleichung muß sich in der F o r m xh + 2/c schreiben lassen, d. h. es muß sein x\x daher:

+ xi2 i + ycx i = -c^a^x x = c ^ = (ca), y = — a2i2 -

= -

+

c^a^,

(ba).

Das Vektorprodukt aus den drei Vektoren a, b, c nimmt also die F o r m a n : (2)

[a[fcc]] = ( c o ) 6 -

(&', c' sein, demnach auf Flächen b'c', c'a', a ' b ' senkrecht stehen. Aus Gleichung (2) folgt

den

und im besonderen (ijf) = 1. Beim Übergang von einem Bezugssystem zu einem anderen, dessen Achsen I', m', n' das reziproke Vektortripel der Achsen I, nt, n des anderen sind, vereinfachen sich die Transformationsformeln für die Koeffizienten eines Vektors. Er sei in den beiden Systemen (6)

SS = djt + a2m + a 3 n bzw. SS' = V

+ ¿>2™' +

M'-

Für den Übergang von einem zum anderen System mögen gelten

bzw.

durch Multiplikation der Gleichungen mit I, m, n bzw. I', m', n' ergibt sich bei Berücksichtigung von Gleichungen (5) ^

j II = 4 U , mm = Ana, n n = Ä 3 S , [ Im = A12 = Asl, In = A13 = A31, bzw.

m n = A23 =

A32,

'33 > '32

und die allgemein geltenden Formeln

§ 16. Produkte im schiefwinkligen Bezugssystem

41

~ % ^11 ~f~ "1" = "I" ^2-^22 "1" ^3 ^ 23 > 63 = «1^.31 + 0 2 A 32 + «3.A33,

(9) bzw.

«1 =

(9')

h

B

U

+

6

2 B12

+

hB13>

a2 = 6j B21 + b2 B22 -j- 63 B2S, a3 = b1 B31 + b2 B32 + &3 B3S,

gehen über in = + a2 Im + a 3 I n , b2 = ä^Im + a2mm + a 3 m n , &3 = a - J n + a 2 m r t + « 3 ttrt,

(10) bzw.

= \ t'i' + &2t'm' + J 3 f n', a2 = ¿^'m' + b2vci'm' + &3m'n', a 3 = J J ' n ' + &2m'n' + 6 3 n'n'. H

(ioo

§ 16. Produkt« im schiefwinkligen Bezugssystem Sind die Vektoren 9t u n d 35 auf die nicht komplanaren, aber unter irgendeinem Winkel zueinander stehenden Vektoren a, b, c bezogen, also 9t = ^a + Z^b + c1 c © = a2a + Z>2b + c2 c, so ist [2193] = [ab] (ßlb2 - aM + [bc] {\e2 [ca] {cxa2 c2aj

- Vi)

+

und mit E i n f ü h r u n g des reziproken Vektortripels [2133] = ( c ' ( « A -

a2\)

+ a'(J 1 e 2 - btcj

c

2 a i)) • (ftbc) a'b'c' = (abc) ^2

+ b'( C l a 2

-

42

Rechnungsregeln der Vektoranalysis

Das +

Tripelprodukt 2X586 mit C C 3 läßt sich schreiben:

dem Vektor © = a3a

a1b1c1 91936 = (abc) #2 ^2 ^2 a 3 ^3 C3 § 17. Über die Erweiterung des Vektorbegriffes auf den mehrdimensionalen Raum Die bisher benutzten Vektoren beziehen sich auf den dreidimensionalen Raum, entsprechend der unmittelbaren Anschaulichkeit. Die Regeln können mit gewissen Änderungen auch auf Gebilde übertragen werden, die in einem mehrdimensionalen Raum vorstellbar sind. Mit Größen dieser Art zu rechnen, fordert u. a. die Relativitätstheorie, deren Beziehungen durch Benutzung eines Systems mit 4 statt mit 3 Koordinaten an Übersichtlichkeit gewinnen. Zu den 3 Ortskoordinaten tritt in dem Fall als gleichberechtigte Koordinate die Zeit. Die Größe, die dem polaren Vektor des dreidimensionalen Raumes entspricht, der „Vierervektor", ist der Inbegriff von 4 Komponenten Px, Py, Pz, P f ) nach den Richtungen der Achsen des vierdimensionalen Systems. Dem axialen Vektor, der im dreidimensionalen Raum durch drei auf je zwei Koordinatenachsen bezogenen Komponenten bestimmt wird, entspricht der Sechservektor, der aus den 6 Komponenten gebildet wird, die sich auf die 6 Kombinationen je zweier Achsen beziehen. Die Rechnung mit Vierer- und Sechservektoren („Weltvektoren") und ihren linearen Vektorfunktionen („Welttensoren") ist von Sommerfeld entwickelt worden. Ihre Behandlung würde hier zu weit führen. Von Vektorgebilden im n-dimensionalen Raum macht die moderne Quantenmechanik Gebrauch. § 18. Differentiation eines Vektors nach einer skalaren Größe 1. Der Vektor a mag sich in der Folge auf ein Vektorfeld mit den Koordinaten x, y, z beziehen, also etwa der Ausdruck der Eigenschaft eines materiellen Trägers an der Stelle 1 ) F ü r die v i e r t e K o o r d i n a t e w u r d e infolge i h r e r speziellen B e d e u t u n g v o n S o m m e r f e l d die B e z e i c h n u n g „1" g e w ä h l t : sie soll a n „ L i c h t w e g " = c • t e r i n n e r n , w o r i n c die L i c h t g e s c h w i n d i g k e i t ist.

§ 18. Differentiation eines Vektors nach einer skalaren Größe

43

x, y, z des Raumes sein, a sei also eine Funktion von x, y, z. Außerdem sei a eine Funktion der Zeit t. E r sei, im Bildraum mit den Achsen t, j, f dargestellt, zur Zeit t = t0 gegeben durch a = ax i + av\ + azl. Die Änderung des Vektors während des Zeitelementes dt an derselben Stelle x, y, z ist dann durch da 8t

=

8ax. ~8t 1

Za,y • 8az * ~8t * + ~8i

+

gegeben, da die Abbildung in demselben Abbildungsraum geschieht, d. h. die Achsen t, j , ! unabhängig von der Zeit sind. Diese Änderung kann man als lokale Änderung mit der Zeit bezeichnen, indem hier zunächst von einer gleichzeitigen Änderung des Ortes x, y, z abgesehen ist. Bei mehrfacher Differentiation gilt entsprechend: 8na _ c^ax . S^y . SX f 8tn ~ 8t" 1 St" * 8tn Die Differentiation von Produkten folgt den bekannten Regeln der Analysis. Es ist ^ - ¿ { ( a

+ ^

+

^ - a b J - g b + l a

und

Ida, dt6

+i

db] dt

a

im letzteren Falle muß, den Regeln der Vektormultiplikation entsprechend, auf die Reihenfolge der Faktoren geachtet werden. In gleicher Weise läßt sich die Änderung des Vektors a bei Änderung irgendeines skalaren Argumentes von û, aus der Änderung der Komponenten berechnen, so z. B.:

44

Rechnungsregeln der Vektoranalysis

da _ Sa^. Soy . S^« 8x 8x 8x 1 8x 2. Der Differentialquotient eines Einheitsvektors a(t) nach seinem Skalaren Argument ist ein Vektor, der auf dem Einheitsvektor senkrecht steht. Denn die Differentiation der Bedingung, daß ä ein Einheitsvektor ist, nämlich der Gleichung: ä2 = 1 nach seinem skalaren Argument, ergibt:

d. h. ä und da sind zwei aufeinander senkrechte Vektoren. (Das gilt natürlich nur so lange, als die Größe des Einheitsvektors die Einheit bleiben soll.) Es ist im Gegensatz hierzu die Formel anzumerken: d ,

N

d , -N

-da

,

da

worin wieder ä und da aufeinander senkrecht stehen. Also auch der Differentialquotient eines Vektors von unveränderlicher Länge nach seinem Argument steht auf dem Vektor senkrecht. 3. Ist a der Größe und Richtung nach der Radiusvektor einer durch die Polarkoordinaten r und

über, wenn

§ die Richtung des Stromes (bzw. des Leiters) ist. Die magnetische Wirkung, die von demselben ausgeht, ist gegeben durch: r o t £ = 3 = gb

div § = 0.

In diesem einfachen Fall können wir den Wert von ip berechnen. In § 39 haben wir die Lösung des Gleichungssystems formal abgeleitet, und um die dortige Gleichung (8) auf den hier vorliegenden Fall anwenden zu können, brauchen wir nur, wie der Vergleich der dortigen Gleichung (2) mit der hier behandelten zeigt, t) = § und 4ttU 0 = sowie

y l

dt = qds

zu setzen. Es folgt so = rot (£> y r Die rechte Seite läßt sich umformen in

Das ist der Ausdruck des Biot-Savartschen Gesetzes, das aussagt: man kann den Vektor ig als eine Summe von Elementen ~ [rö, r] auffassen.

Jedes Stromelement

id§

ruft in der Entfernung r eine magnetische Kraft hervor, welche proportional dem Sinus des Winkels zwischen Stromelement und Verbindungslinie, umgekehrt proportional dem

§ 43. Lineare Vektorfunktionen

103

Quadrat der E n t f e r n u n g ist u n d auf der Ebene der Verbindungslinie und des Stromelementes senkrecht steht. Die Vektoren

r,

r] = i n d t g folgen aufeinander, wie es die

Amperesche Schwimmerregel verlangt.

I I I . Teil

Lineare Vektorfunktionen, Matrizen, Dyaden § 43. Lineare Vektorfunktionen W e n n die Komponenten eines Vektors a = a 1 i + ffl2j, + a 3 ! homogene, lineare F u n k t i o n e n der Komponenten eines anderen j = a^i + x2\ - f xst sind, so sagt man, daß o eine l i n e a r e h o m o g e n e V e k t o r f u n k t i o n von j ist. D a n n bestehen die drei skalaren Gleichungen: a

(1)

l = "1" al2®2 "H aiaxs> $2 ~ "1" ^22^2 ~t~ ^23^3' a 3 = a31Xl 4" ^32*^2 "i" ®83®3i

u n d man schreibt:

(2)

a = /(j).

Darin sind im allgemeinen die aik neun voneinander u n a b hängige konstante Koeffizienten. Eine solche lineare Vektorf u n k t i o n t r a t uns in den Transformationsgleichungen (9) des § 15 u n d in dem totalen Differentialquotienten eines Vektors nach einer bestimmten Richtung in § 21 entgegen. Im letzteren Fall setzten wir svx und entsprechend W y und genen Vektorfunktion

,

evx

,

8VX

als Komponenten der linearen homo-

38 = d-SS = a®rab SS

104

Lineare Vektorfunktionen, Matrizen, Dyaden

von ä = axi + ay \ + azl, die wir in dem speziellen Fall der Abhängigkeit 28 von SB den Vektorgradienten von SS in der Richtung "a nannten.

Bestehen ziehungen: (3)

zwischen «12

=

a

den neun

21)

®13

=

a

31i

Koeffizienten die a

23 =

Be-

®32'

die die neun auf sechs unabhängige Koeffizienten reduzieren, dann nennt man die Vektorfunktion s y m m e t r i s c h . Sind die neun Koeffizienten den Gleichungen unterworfen: (3')

a u = a 2 2 = «33 = 0 a

l2

=

®21>

®13

=

®31>

a

23

und =

®32'

so spricht man von einer a n t i s y m m e t r i s c h e n (oder antimetrischen) linearen Vektorfunktion. Das für eine lineare Vektorfunktion charakteristische ist, wie aus dem System (1) hervorgeht, daß, wenn Oi = /(Ei)

u n d

a

2 = /fe)

ist, die Beziehung gilt: fli +

= /(Ei) + /(Ez) = /(Ei + E2)>

und wenn c eine skalare Größe ist, ca = /(es). Wir sagen daher: Eine Funktion eines Vektors ist eine lineare Vektorfunktion, wenn die Funktion der Summe zweier Vektoren gleich der Summe der Funktionen dieser Vektoren ist. Als Bezeichnung einer linearen Vektorfunktion eines Vektors schreiben wir vor diesen Vektor einen großen deutschen Buchstaben 1 ). Das Gleichungssystem (1) lautet dann: Es sind im I. und II. Teil dieses Bandes einige wenige große deutsche Buchstaben zur Bezeichnung gewisser Vektoren entsprechend der Gepflogenheit in der Physik benutzt worden. Mißverständnisse sind nicht zu befürchten. Die Verwendung oben ist in der Matrizenrechnung gebräuchlich geworden.

§ 43. Lineare Vektorfunktionen

(4)

105

o = 211.

21 ist definiert durch die neun Koeffizienten aik. In nicht mißverständlicher Weise kann man schreiben: (5)

2t = a u a 12 a 1 3 ^21 ^22 ^23 ®31 ®32 >

und es gilt: (6)

9iEi + 9lE2 = 3l(E1 + E2)-

Das Symbol oder der Operator 2t wird A f f i n o r genannt und Gleichung (4) sagt aus: Das Produkt eines Affinors mit einem Vektor ergibt wieder einen Vektor; oder der Affinor 21 f ü h r t den Vektor j in den Vektor a über oder ordnet dem Vektor £ den Vektor a oder die lineare Vektorfunktion a zu. Die Bezeichnung „Affinor" soll daran erinnern, daß die Gleichung (4) oder das System (1) eine affine Raumtransformation (Raumabbildung) bestimmt, durch die die Koordinaten (Tg) ^ die Koordinaten Oj, a 2 , a3 übergeführt werden (vgl. § 15). Die aik können wir als die Komponenten von 3 Vektoren Oi, a 2 , a 3 auffassen, wenn a

i = «u* + «12! +

a 2 = a21 i + a 2 2 j + a 2 3 f ,

^3 = ®3li + a32\ + «33f. so daß Gleichungen (1) übergehen in

(h = i h z + "3*2 h s , C3*1 hi + C3*2 hi, C3* hu + Ca2 &2i, C4* &12) : (— 622,) c 'l &13 + C12 hi) : (— 633) , c'l hi + c'-2 hi + 64*3 hi. eil hi + C4*2 hi + c'3 hi-

132

Lineare Vektorfunktionen, Matrizen, Dyaden

Ist die Matrix des Systems linearer Gleichungen symmetrisch, gilt also

so bestehen zwischen den ~bik und c'k der Dreiecksmatrizen, in die 31 zwecks Auflösung des Systems zu zerlegen ist, die Beziehungen

wie durch Ausmultiplizieren von

und Gleichsetzen der entstehenden Koeffizienten mit den entsprechenden von 21 sich leicht ergibt. Das bedeutet eine große Vereinfachung, denn mit den l i l t sind sämtliche c t i bekannt. § 65. Gaußsche Schreibweise der Eliminationsgleichungen Das angegebene Eliminationsverfahren findet seit Gauß besonders in der Ausgleichsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate Verwendung. Für den Fall von 3 Unbekannten ¡T^ SGI es hier in der üblich gewordenen Gaußschen Bezeichnungsweise noch einmal mitgeteilt. Aus Gründen, die in § 59 ersichtlich werden, wollen wir für die Koeffizienten aik von 21 andere Bezeichnungen einführen, wobei wir zugleich beachten, daß 2t symmetrisch ist. Es wird gesetzt:

§ 55. Gaußsche Schreibweise der Eliminationsgleichungen

133

t a n = [aa], a 2 2 = [66], a ± = [aZ], (1) -j a12 = a21 = [a6], a23 = a32 = [6c], a2 = [6Z], ^ «13 = 031 = «33 = [cc], a 3 = [ei], u n d 2 I j = a ist ausführlich