Vektoren [Reprint 2019 ed.] 9783486775105, 9783486775099

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Heinrich Dörrie

Vektoren

München und B e r l i n 1941

V e r l a g y o n R. O l d e n b o u r g

Copyright 1941 by R.Oldenbourg, München und Berlin Druck von R . Oldenbourg, München Printed in Germany

Dem Andenken meiner gewidmet

Frau

Vorwort. Das vorliegende Buch bringt eine Einführung in die Vektorrechnung und zeigt an zahlreichen Beispielen die große, bisweilen erstaunliche Anwendungsfähigkeit dieses Kalküls auf mathematische und physikalische Fragen. Es verfolgt damit den Zweck, die Verbreitung der Vektorrechnung zu fördern, dieses reizvollen Zweiges der Mathematik, der trotz seiner augenfälligen Vorzüge noch weit davon entfernt ist, Gemeingut aller mathematisch interessierten Kreise zu sein. Die Vektorrechnung ist im Verhältnis zu den seit nunmehr bald drei Jahrhunderten entwickelten und ausgebildeten Methoden der Analysis noch eine junge Wissenschaft. In dem für die Geschichte der Mathematik bedeutsamen Jahre 1844 erschienen, unabhängig voneinander, die beiden wichtigen Werke, die die Grundgedanken der Vektorrechnung enthalten: »Die Wissenschaft der extensiven Größen oder die Ausdehnungslehre« des deutschen Mathematikers Hermann Günther Graßmann (1809—1877) und die Abhandlungen »On Quaternions, or a new System of Imaginaries in Algebra« des englischen Astronomen William Rowan Hamilton (1805—1865). [Hamiltons Hauptwerk »Elements of Quaternions« kam erst ein Jahr nach seinem Tode heraus.] Die heutige Form der Vektorrechnung entstand durch eine Verschmelzung der Gedanken Graßmanns und Hamiltons und ist im wesentlichen das Ergebnis der Arbeiten des durch seine berühmte Abhandlung »On the Equilibrium of Heterogeneons Substances« bekannt gewordenen amerikanischen Physikers Josiah Willard Gibbs (1839— 1903), des englischen Telegrapheningenieurs Oliver Heaviside (1850— 1925), dessen vektorische Untersuchungen sich vorwiegend in seinem 1893—1912 erschienenen Hauptwerke »Elektromagnetic Theory« finden, und des deutschen Physikers August Föppl (1854—1924), dessen Darlegungen namentlich in seinen »Vorlesungen über Technische Mechanik« und in seiner »Einführung in die Maxwellsche Theorie der Elektrizität« enthalten sind. Die Fruchtbarkeit der neuen Ideen wurde zuerst von den Technikern erkannt. Vermag doch der Vektorkalkül dem Ingenieur bei seinen theoretischen Arbeiten wertvolle Dienste zu leisten. Diesem Sachverhalt entsprechend gehört denn auch die neue Disziplin zu den unentbehrlichen Gegenständen der heutigen Hochschulvorlesungen.

— VI — Von einer sonderlichen Einwirkung der neuen Gedanken auf den mathematischen oder physikalischen Unterricht der Höheren Schulen oder auf die Literatur der elementarmathematischen oder -physikalischen Lehrbücher jedoch kann noch keine Rede sein, trotzdem die vektorischen Betrachtungen so elementar sind wie man es nur wünschen mag. Vergeblich sucht man nach einer plausiblen Erklärung für diese auffällige und bedauerliche Erscheinung. Fest dürfte nur stehen, daß der Ausbreitung der Vektorrechnung befremdlicherweise die Geringschätzung im Wege stand, die viele Mathematiker dem neuen Kalkül zeigten. Hat doch sogar ein so genialer und weitblickender Mathematiker wie Felix Klein die Bemühungen der Vektorrechner »nicht verstehen können« (»Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus«, Bd. II). Doch es ist nicht zu bezweifeln: die Vektorrechnung bedeutet bei allen in ihren Bereich fallenden Problemen den alten Methoden z. B. auch der klassischen Koordinatenmethode gegenüber einen großen Fortschritt. Sie gestattet meist eine kürzere, klarere Darstellung, gewährt eine bessere Übersicht und verschafft dadurch jedem Erleichterungen und Bequemlichkeiten, der die geringe Mühe ihrer Erlernung nicht scheut. So ist nicht die Vektorrechnung das Entlegene, die gebräuchlichen Koordinatenformeln der klassischen Analysis sind umständliche Übertragungen kurzer vektorischer Aussagen. Wer einmal den Kosinussatz der Sphärik, die Frenetschen Formeln der Kurvenlehre oder die Keplerschen Gesetze, die Eulerschen Drehungsgleichungen, die Relativbewegung auf rotierender Erde oder die Vorgänge in Wechselstromkreisen, die Grundgesetze des Elektromagnetismus und der Induktion auf vektorische Art betrachtet hat, wird es nie mehr anders machen. Darum gebe ich mich der Hoffnung hin, daß dieses Buch helfen wird, eine Lücke auszufüllen, daß es dazu beitragen wird, die Kenntnis der Vektorrechnung zu verbreiten. Möge es zugleich Freuden bereiten allen denen, deren Neigungen mit mathematischem oder physikalischem Denken verwoben sind! Den Setzern des Hauses R. Oldenbourg, München, die in dieser schweren Zeit trotz stärkster Arbeitsbeanspruchung mit steter Sorgfalt und unermüdlichem Eifer den nicht leichten Satz des Buches hergestellt haben, möchte ich an dieser Stelle meinen herzlichen Dank zum Ausdruck bringen. Desgleichen bin ich Herrn Dr. med- et phil. H. Heiß, der sich meiner Arbeit aufs freundlichste angenommen hat, mir auch bei der Korrektur seine wertvolle Hilfe zuteil werden ließ, zu großem Danke verpflichtet. Wiesbaden, im Frühjahr 1941. Heinrich Dörrie.

Inhaltsverzeichnis. Theorie.

„ .. Seite

§ 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10. §11. § 12. § 13. § 14. §15. §16.

Der Vektorbegriff Vektorielle Addition Multiplikation von Vektoren Tripelprodukte Lineare Abhängigkeit und Grundvektoren P r o d u k t e von Vektoren in Koordinatendarstellung Viererprodukte T r a n s f o r m a t i o n von Vektoren u n d Koordinaten Die Eulenvinkel Das Zentroid Vektorische Ableitung Relativbewegung Nabla R e c h n u n g mit den Operatoren grad, div, rot Krummlinige Koordinaten Nablaintegrale

1 4 11 22 30 40 45 48 57 60 69 76 82 94 99 105

Anwendungen. Geometrische Anwendungen. Planimetrische Anwendungen Trigonometrische Anwendungen Stereometrische Anwendungen Aus der analytischen Geometrie der E b e n e Aus der analytischen Geometrie des R a u m e s Frenets Formeln Flächenkurven Krümmungslinien

116 128 133 146 154 162 172 181

A n w e n d u n g e n auf M e c h a n i k . 25. Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften 26. Gleichgewicht des starren Systems 27. Der S c h w e r p u n k t 28. D y n a m i k des Massenpunktes 29. Gleichförmige Kreisbewegung 30. Harmonische Bewegung 31. Keplers Gesetze 32. Relativbewegung auf der Erdoberfläche 33. Grundgleichungen der D y n a m i k 34. W u c h t z u s a m m e n s e t z u n g 35. Dynamische Grundgleichung f ü r Achsendrehung 36. Die Eulerschen Gleichungen

189 197 203 207 211 214 221 226 230 236 239 241

§17. §18. § 19. § 20. §21. § 22. §23. § 24. § § § § § § § § § § § §

— VIII — A n w e n d u n g e n auf E l e k t r i z i t ä t . §37. § 38. § 39. § 40. §41. § 42. § 43. § 44. § 45.

Der sinusförmige Wechselstrom Spule und Kondensator im Wechselstromkreis Reihenschaltung von Spule und Kondensator Nebenschaltung von Spule und Kondensator Elektrische Schwingungen in Kondensatorkreisen Das Grundgesetz des Elektromagnetismus Das Grundgesetz der Induktion Maxwells Gleichungen Elektromagnetische Wellen

Seite

249 252 256 260 266 271 280 282 289

Theorie. § 1. Der Vektorbegriff. Von einem Punkte 0 des Raumes gehen unendlich viele Richtungen aus, die man erhält, wenn man den Punkt 0 mit den Punkten einer um 0 als Zentrum beschriebenen Kugelfläche verbindet. Ist P ein beliebiger Punkt dieser Kugelfläche, so bestimmt der Radius O P die von seinem Anfangspunkte 0 nach seinem Endpunkte P führende Richtung. Wählt man sonach den einen Regrenzungspunkt A einer Strecke AB als ihren A n f a n g s p u n k t , den andern, B, als ihren E n d p u n k t , und durcheilt die Strecke vom Anfangspunkt zum Endpunkt, so erteilt man ihr damit eine bestimmte Richtung — die von A n a c h B —: die Strecke heißt g e r i c h t e t . Legt man in dieser Weise einer Strecke A B außer ihrer Länge noch die von A nach B führende Richtung bei, so wird sie zu einem neuen geometrischen das wir nicht mehr einfach durch A B, > Gebilde, ' > sondern durch A B bezeichnen. Die so gebildete »Größe« A B nennen wir einen Vektor. >

Um für den Vektor A B eine möglichst kurze Bezeichnung zu haben, bezeichnen wir ihn durch einen d e u t s c h e n Buchstaben, etwa 0, und schreiben demgemäß 0=

AB.

Der Punkt A heißt A n f a n g s p u n k t , der Punkt B E n d p u n k t oder S p i t z e des Vektors. Wir sagen kurz: E i n V e k t o r i s t eine g e r i c h t e t e S t r e c k e . Ausführlicher: Ein V e k t o r ist eine G r ö ß e , die d u r c h zwei A n g a b e n : eine B e t r a g s a n g a b e u n d eine R i c h t u n g s a n g a b e b e s t i m m t ist. Unter dem B e t r a g e oder der L ä n g e des V e k t o r s b = AB versteht man die Länge der Strecke A B, unter seiner R i c h t u n g die durch den Pfeil angedeutete von A nach B zielende Richtung. Ein Vektor vom Betrage Eins wird E i n h e i t s v e k t o r genannt. Bisweilen spricht man vom v e k t o r i e l l e n A b s t ä n d e des Punktes >

B von A und meint damit den Vektor A B. Dörrie, Vektoren.

1

—

2

—

Um vom Vektorbegriff eine anschauliche Vorstellung zu bekommen, denke man an die physikalischen Größen Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, Magnetische Feldstärke, Elektrische Stromstärke usw.; sie alle sind Vektoren. Man benötigt zu ihrer völligen Bestimmung eine Betragsangabe u n d eine Richtungsangabe. Sie lassen sich demgemäß geometrisch durch gerichtete Strecken darstellen. Dem Begriff des V e k t o r s steht, vornehmlich in der Physik, der des S k a l a r s gegenüber. Ein S k a l a r ist eine Größe, die schon durch eine Zahlangabe allein völlig bestimmt ist. Die Temperatur einer Gasmenge, die Dichte eines Körpers, der elektrische Widerstand eines Leiters z. B. sind skalare Größen oder Skalare. •>

Bei der Bestimmung des Vektors ü = A B sehen wir von der L a g e der Strecke A B im Räume ab, setzen vielmehr fest: V e k t o r e n h e i ß e n g l e i c h , wenn ihre Beträge und Richtungen übereinstimmen. Die beiden an verschiedenen Stellen des Raumes liegenden Vektoren 0 = AB und b' = A'B' sind also gleich, wenn AB durch eine Parallelverschiebung mit A'B' derart zur Deckung gebracht werden kann, daß A auf A' und B auf B' fällt. E i n V e k t o r k a n n demnach p a r a l l e l m i t s i c h s e l b s t v e r s c h o b e n w e r d e n , o h n e d a ß s i c h s e i n e G r ö ß e (sein Wert) ä n d e r t . Aus diesem Grunde wird der Vektor auch »freier« Vektor genannt. Es ist oft nützlich, die Lagen von Punkten P durch die Spitzen P von Vektoren OP zu bestimmen, deren Anfangspunkte mit einem festen Punkte 0 zusammenfallen. Der Fixpunkt 0 heißt dann U r s p r u n g , der Vektor OP O r t s v e k t o r des Punktes P (auch v e k t o r i e l l e r A b s t a n d des Punktes P von 0). Es kommt auch vor, daß n u r Vektoren betrachtet werden, die denselben Anfangspunkt 0 haben (z. B. in der Mechanik die in einem Punkte O angreifenden Kräfte); solche Vektoren heißen g e b u n d e n e V e k t o r e n (sie sind an den Punkt O »gebunden«). Bisweilen treten auch l i n i e n f l ü c h t i g e V e k t o r e n auf. Der Vektor t> = AB heißt linienflüchtig, wenn er (wie eine Kraft auf ihrer Wirkungslinie) nur auf der Geraden (A B), auf der er liegt, verschoben werden soll. Im folgenden haben wir es, wenn nicht ausdrücklich anders verfügt wird, stets mit freien Vektoren zu tun. Der Betrag des Vektors b = A B wird durch |ü| oder A B oder bequemer v bezeichnet. Im allgemeinen wird man den Betrag jedes

—

3

—

mit einem deutschen Buchstaben benannten Vektors zweckmäßig durch den entsprechenden lateinischen Buchstaben bezeichnen. Wir wählten oben als Anfangspunkt der Strecke A B den Punkt A und erhielten den Vektor b = A B. Wählt man als Anfangspunkt B, als Endpunkt A, so entsteht der neue Vektor SS = BA, der dem Betrage nach mit b übereinstimmt, aber entgegengesetzte Richtung hat. Aus diesem Grunde nennt man die beiden Vektoren SS und b e n t g e g e n g e s e t z t g l e i c h und schreibt 35 = — b oder b = — 93. Ist also 5 ein Vektor, so bedeutet —§ den entgegengesetzt gleichen Vektor, d. h. den Vektor, der denselben Betrag wie s, aber entgegengesetzte Richtung hat. Es ist auch möglich, einen Vektor statt durch eine Zahlenangabe (Betragsangabe) und eine Richtungsangabe nur durch Zahlenangaben festzulegen. Denkt man z. B. daran, daß jeder Punkt P der Erdkugel und damit die vom Erdzentrum nach P führende Richtung durch die beiden Zahlenangaben »Länge« und »Breite« bestimmt ist, so erkennt man, daß eine Richtung durch zwei Zahlenangaben festgelegt werden kann. Ein Vektor kann also durch drei Zahlenangaben bestimmt werden. Näheres über diese Bestimmung findet sich im § 5. Dieser Bestimmungsart gemäß können die in diesem Buche vorkommenden Vektoren auch d r e i g l i e d r i g e V e k t o r e n genannt werden. Die Verallgemeinerung des obenerörterten Vektorbegriffs f ü h r t zum rc-gliedrigen Vektor, dessen E r k l ä r u n g noch kurz angegeben werden möge. w - g l i e d r i g e V e k t o r e n sind geordnete Systeme von je n Zahlen, die die Vorschriften der Unterscheidung, Addition u n d Verteilung befolgen (s. u.). Ein System von n Zahlen z2, . . ,,zn — den Gliedern des Systems — heißt g e o r d n e t , wenn die Zahlen in b e s t i m m t e r Reihenfolge stehen. Denken wir uns die Glieder variabel, so erhalten wir unendlich viele Systeme. Wir unterwerfen sie den aufgezählten Vorschriften u n d erhalten die Gesamtheit der n-gliedrigen Vektoren. Wir bezeichnen einen solchen V e k t o r etwa durch (%, z 2 , . . zn) oder kürzer durch j, so daß

ä = (Sj, ~2> • • • i :n)

ist. Glieder, die in zwei Vektoren an derselben Stelle (etwa der heißen h o m o l o g . U n d n u n die drei Vorschriften!

vten

Stelle) stehen,

1. U n t e r s c h e i d u n g s v o r s c h r i f t : Zwei Vektoren

> x2> • • • , xn)

1" =

und

t) = (t/i, y2, . . . , yn)

heißen d a n n und nur d a n n gleich, wenn je zwei homologe Glieder gleich s i n d , wenn nlso gleichzeitig x

i — Vi >

x

2 — Vi >

•••>

x

n — Vn

st. 2. A d d i t i o n s v o r s c h r i f t : Zwei Vektoren werden addiert, indem m a n je zwei homologe Glieder addiert. Genauer: 1*

_

4

—

Die Summe der Vektoren l = (xit

x2,

. . . , xn)

%=

+ Vi,

und

t) = (yu

y2,

. . . , yn)

ist der Vektor X 2 +Vi,

•••, Xn + Vn) •

3. V e r t e i l u n g s v o r s c h r i f t : Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl ist auf sämtliche Vektorglieder zu verteilen. M. a. W. Das /tfache des Vektors

t> = K , v2, . . v n )

ist der Vektor

fl\3 =

(nvu

flV2,

. . .,

flVn).

§ 2. Vektorielle Addition. U n t e r der S u m m e z w e i e r V e k t o r e n a und b versteht m a n den Vektor § — OS, den m a n erhält, indem man von einem willkürlich gewählten Ausgangspunkte O den Vek> tor 0A = q, darauf von A aus den Vektor

= b zieht und endlich die >

gerichtete Strecke O S zeiclinet. e Anders ausgedrückt: Die Summe der Vektoren n und b ist der Vektor dessen Anfangs- und E n d p u n k t Anfangs- und Endp u n k t des Streckenzuges sind, den man erhält, wenn man b an a reiht. Man schreibt s n -f- b.

Iiild 1.

Zieht m a n noch OB = b und BS, so ist das Viereck OASB wegen der Gleichheit und Parallelität der Strecken O B und 5 ein Parallelog r a m m , mithin BS = a, so daß der Vektor OS — s auch durch An•>

einanderreihung von a ( = BS)

>

an b ( = 0B)

entsteht.

Deshalb ist

a + b= 6+ a , in W o r t e n : Die v e k t o r i e l l e A d d i t i o n ist

kommutativ.

Das Parallelogramm O A S B heißt das P a r a l l e l o g r a m m der > V e k t o r e n a u n d b, der Vektor = § die D i a g o n a l e des V e k t o r parallelogramms. D a m i t entsteht die Die

Regel vom V e k t o r p a r a l l e l o g r a m m : S u m m e von zwei V e k t o r e n wird n a c h

Größe

und

—

Richtung durch d argestellt.

die

5

—

Diagonale

ihres

Parallelogramms

S u b t r a k t i o n v o n zwei V e k t o r e n . Unter der Differenz b = n—b der beiden Vektoren a und b versteht man die Summe der beiden Vektoren a und 58 = — b. Um also den Vektor 6 von a zu subtrahieren, trägt man an den Endpunkt Ä von (JA — a den dem Vektor b e n t g e g e n g e s e t z t g l e i >

c h e n Vektor A I) — ® an; dann ist OD = b = o — b . Wir merken uns die Gleichung >

OB-

>

OA =

>

AB

Sie enthält die R e g e l : Die D i f f e r e n z v o n zwei c o i n i t i a l e n * ) V e k t o r e n i s t d e r V e k t o r , d e s s e n A n f a n g s p u n k t die S p i t z e d e s S u b t r a h e n d e n , dessen E n d p u n k t die S p i t z e des M i n u e n d e n ist. Lesen wir die letzte Gleichung von rechts nach links: AB

OB

OA.

so entsteht die oft verwandte R e g e l : J e d e r V e k t o r l ä ß t s i c h als D i f f e r e n z v o n z w e i c o i n i t i a len*) V e k t o r e n d a r s t e l l e n , d e r e n S p i t z e n E n d p u n k t u n d A n f a n g s p u n k t des gegebenen V e k t o r s sind. Mnemotechnisches Mittel: In den Relationen OB

OA>

=

AB>

und

>

AB

OB>

OA>

folgen die Buchstaben A und B auf den beiden Seiten der Gleichung in v e r s c h i e d e n e r R e i h e n f o l g e . Addition von drei Vektoren. > Wir zeichnen, in irgendeinem Punkte 0 beginnend, OA = a, .4 / / == b und MS — c. Dann ist einerseits *) Vektoren heißen c o i n i t i a l ,

w e n n sie denselben A n f a n g s p u n k t haben.

— 6 — Ol / = o + b und

OS --OH

(1)

-T / / £ = (a + b) + c. Anderseits haben wir A S == .1 U mithin

IIS

= = b • c.

(2) O ^ S - ^ O A + A S ,= a + (b + c). ^

Aus (1) und (2) ergibt sich die Formel (a

a Biui 3.

' A

die das V e r b i n d u n g s g e s e t z der vektoriellen Addition darstellt.

Die v e k t o r i e l l e A d d i t i o n ist Ihm a + und b+

+ b) + c = a + (b + c) |,

assoziativ.

zufolge besteht zwischen den beiden Vektoren (a + b) + c und (b + c) kein Unterschied, so daß die Klammern überflüssig sind wir die S u m m e der drei Vektoren a, b, c, a + b -}- c oder c + a oder c —— f a — — } b usw. schreiben können. Die R e i h e n f o l g e , in der b e l i e b i g v i e l e V e k t o r e n a d d i e r t w e r d e n , i s t g l e i c h g ü l t i g ; die entstehende Vektorsumme ist immer dieselbe. Unsere B e t r a c h t u n g führt zu dem wichtigen B e g r i f f d e s Y e k torecks. Unter dem E c k m e h r e r e r V e k t o r e n versteht man den aus gerichteten Strecken bestehenden Streckenzug, den m a n erhält, wenn man die Vektoren aneinanderreiht, so zwar, daß jeweils der Anfangsp u n k t eines zu zeichnenden Vektors auf den E n d p u n k t des vorhergehenden fällt. Den v o m Anfangspunkt des Ecks bis zum End- oder Schlußpunkt laufenden neuen Vektor nennt m a n — nicht gerade glücklich — die S c h l u ß s t r e c k e des Vektorecks. Das Vektoreck heißt g e s c h l o s s e n , wenn sein E n d p u n k t zufällig auf seinen A n f a n g s p u n k t fällt. Die Schlußstrecke eines geschlossenen Vektorecks verschwindet. Bei der Zeichnung des Vektorecks ist es nach Vorstehendem gleichgültig, in welcher Reihenfolge die beteiligten Vektoren aneinandergereiht werden: m a n erhält stets dieselbe Schlußstrecke. Denn es gilt der Satz vom Vektoreck: Die S u m m e m e h r e r e r V e k t o r e n ist die S c h l u ß s t r e c k e ihres Ecks.

—

7

—

Vektorielle Zerlegung. Die Lösung der Aufgabe, »zwei gegebene Vektoren a und b zu addieren«, liefert nach der eingangs dieses Paragraphen angegebenen Vorschrift als Summe den Vektor §. Wir stellen jetzt die umgekehrte Aufgabe: Einen gegebenen Vektor g in zwei Summanden a und b zu zerlegen. In dieser Fassung ist die Aufgabe allerdings nicht bestimmt, da sie unendlich viele Lösungen besitzt. Man braucht ja nur vom Anfangspunkte 0 des Vektors OS = § i r g e n d e i n e n Vektor 0A = a zu >

ziehen und den Vektor 5 gleich b zu nehmen; dann ist §> in die beiden Summanden a und b zerlegt. Um die Aufgabe zu einer bestimmten zu machen, müssen wir die Summanden oder K o m p o n e n t e n — wrie man sie wegen ihrer Eigenschaft, den Vektor § zusammenzusetzen, nennt — noch einer geeigneten Bedingung unterwerfen. Als einfachste derartige Bedingung erscheint die Forderung, daß die beiden Komponenten zwei gegebenen Geraden parallel laufen sollen. So ergibt sich folgende Fassung: F u n d a m e n t a l a u f g a b e 1: E i n e n g e g e b e n e n V e k t o r in zwei K o m p o n e n t e n zu z e r l e g e n , die zwei g e g e b e n e n m i t d e m V e k t o r in e i n e r E b e n e l i e g e n d e n G e r a d e n p a r a l l e l s i n d . Lösung: Die gegebenen Geraden seien I und II, der gegebene Vektor OS — ¡B. Wir bestimmen den Schnittpunkt A der durch 0 laufenden Parallele zu I und der durch S laufenden Parallele zu II. Dann sind ÜA=a und AS = b die gesuchten Komponenten. Man kann natürlich auch () B //11 und S B l / l ziehen; dann sind die Komponenten OB = t und In beiden Fällen ist § = a + b.

BS=ra. Bild

Die gefundenen Vektoren a und b nennt man die K o m p o n e n t e n des V e k t o r s § n a c h d e n G e r a d e n I u n d II. Auch sagt man: Der Vektor § ist n a c h d e n G e r a d e n I u n d II z e r l e g t . Man kann die Aufgabe auf den Fall erweitern, wo der Vektor § als Summe 3= a b+ c

_

8 —

von drei Summanden oder Komponenten a, b, c erscheint. steht

Dann ent-

F u n d a m e n t a l a u f g a b e 2. E i n e n g e g e b e n e n V e k t o r i n d r e i K o m p o n e n t e n zu z e r l e g e n , d i e d r e i d u r c h s e i n e n A n f a n g s p u n k t l a u f e n d e n , n i c h t in e i n e r E b e n e l i e g e n d e n g e g e b e n e n G e r a d e n parallel sind. L ö s u n g : Die gegebenen Geraden seien I, II, III, der gegebene Vektor OS = Wir bringen die durch S laufenden Parallelen zu I, II, I I I mit den Ebenen II I I I , I I I I, I II in H, K, L zum Schnitt und ergänzen die Figur unter Zuhilfenahme der drei auf I, II, III liegenden Strecken O A # S H ,

zum Spat (Parallelepiped)

O B x S K , O A L B C K S H .

O C # S L

Dann ist ->

>

OS--=OA

>

+

A L

•>

+

L S

oder, da A L

=

und

0 ß

L S

0

=

C

ist, •>

OS

»

----0

A

»

-

r

; o

c

~Y~ oder endlich A

a.

Ol)

b.

OC------ c

setzend, 3 = o + b -f c. Die Vektoren a, b, c sind die gesuchten » K o m p o n e n t e n d e s V e k t o r s $ n a c h d e n d r e i G e r a d e n I, II, I I I « ; wir haben, wie man sagt, d e n V e k t o r § n a c h d e n d r e i G e r a d e n I, I I , I I I z e r l e g t . Von besonderer Bedeutung wird die hier beschriebene zwei- bzw. dreigliedrige Zerlegung eines Vektors bei Zugrundelegung eines Koordinatensystems. H a n d e l t es sich um die Betrachtung von Vektoren, die alle in einer Ebene liegen, und ist in der Ebene ein rechtwinkliges oder schiefwinkliges Koordinatensystem — xy-System — vorgelegt, so zerlegt m a n jeden Vektor § auf die beschriebene Weise in eine der x-Achse parallele Komponente oder x- Komponente 5 und eine der //-Achse parallele Komponente oder y-Komponente t): 3 = S + t)Bei willkürlich im R ä u m e liegenden Vektoren benutzt man ein drei-

9 achsiges (meist rechtwinkliges, bisweilen auch schiefwinkliges) Koordinatensystem — rri/z-System — und zerlegt jeden Vektor § in seine drei Komponenten j, t), J nach den Koordinatenachsen: ^ = e + 1 ) + aBei diesen Zerlegungen wählt man zweckmäßig als Anfangspunkt des zu zerlegenden Vektors § den Ursprung O des KoordinatenT2 syste— c 1 "7\

Vektorprojektion*). Auch wenn in einer Ebene nur e i n e Gerade und ein Vektor gegeben sind, spricht man von der K o m p o n e n t e d e s V e k t o r s n a c h d e r G e r a d e und meint damit die Projektion des Vektors auf die Gerade. Unter der P r o j e k t i o n e i n e s V e k t o r s auf e i n e G e r a d e versteht man den Vektor, dessen Anfangspunkt bzw. Endpunkt die Projektion des Anfangspunktes bzw. Endpunktes des Vektors auf die Gerade ist. Diese Projektion heißt auch die d e r G e r a d e n p a r a l l e l e K o m p o n e n t e d e s V e k t o r s oder auch die P a r a l l e l k o m p o n e n t e des V e k t o r s nach der Geraden. Neben der Parallelkomponente betrachtet man die Normalkomponente des Vektors, wobei aber Vektor und Gerade in einer Ebene liegen. Die N o r m a l k o m p o n e n t e d e s V e k t o r s n a c h d e r G e r a d e n ist die Projektion des Vektors auf die der Ebene angehörige Normale der Geraden. Da ein Vektor eine Gerade bestimmt, die, in der er liegt, so spricht man auch von der P r o j e k t i o n e i n e s V e k t o r s b auf e i n e n z w e i t e n V e k t o r g und meint damit die Projektion von b auf die durch g bestimmte Gerade. Ebenso bedeutet » P a r a l l e l k o m p o n e n t e b z w . N o r m a l k o m p o n e n t e d e s V e k t o r s 0 n a c h d e m V e k t o r g« die Parallel- bzw. Normalkomponente des Vektors nach der durch g bestimmten Geraden. Endlich betrachtet man noch die zu e i n e r E b e n e parallele und normale Komponente eines Vektors. *) Das Wort »Projektion« bedeutet im folgenden stets Orthogonalprojektion.

—

10

—

Die P a r a l l e l - b z w . N o r m a l k o m p o n e n t e e i n e s V e k t o r s n a c h e i n e r E b e n e ist die Projektion des Vektors auf die Ebene bzw. auf eine Normale der Ebene. (»Projektion des Vektors b auf die Ebene E« bedeutet natürlich den Vektor, dessen Anfangspunkt bzw. E n d p u n k t die Projektion des Anfangspunkts

llild 8.

Bild 9.

Zwischen dem Vektor b, seiner Parallelkomponente b' und seiner Normalkomponente b" nach einer Geraden g oder Ebene E besteht die Beziehung b = b' + b"

.

Bildet der Vektor b m i t g oder E den s p i t z e n Winkel 0, und sind v, v', v" die Beträge des Vektors, seiner Parallel- und seiner Normalkomponente, so gelten, wie leicht zu sehen, die fundamentalen Formeln v = v cos 0,

u" = v sin 0

Parallel- wie Normalkomponente bleiben bei Parallelverschiebung der Geraden oder Ebene oder auch des Vektors unverändert. Die Formel v' -- u cos 0 gilt auch noch, wenn der Vektor b und die Gerade g nicht in einer Ebene liegen, sondern windschief sind. Man vergleiche die Formel mit der Fundamentalformel

g'= a'+ b'+f B i l d 10

e£ ^ / x von § 3. Von besonderem Interesse ist die Projektion eines Vektorecks aufeine Gerade oder Ebene. Da die Projektionen der einzelnen Vektorendes Ecks in derselben Reihenfolge aneinandergereiht werden wie die Vektoren selbst, so ist die Projektion der Schlußstrecke des vorgelegten Ecks zugleich die Schluß-

—

11

s t r e c k e der P r o j e k t i o n des E c k s . legung ist der sehr wichtige

—

Das E r g e b n i s dieser k u r z e n Über-

Satz von der P r o j e k t i o n des Vektorecks: Die P r o j e k t i o n der S u m m e m e h r e r e r V e k t o r e n auf eine Gerade oder E b e n e ist gleich der S u m m e der P r o j e k tionen der Vektoren. Da der S a t z ü b e r die P r o j e k t i o n einer V e k t o r s u m m e , d. Ii. einer S u m m e von V e k t o r e n , A u s k u n f t gibt, wird er a u c h S a t z v o n d e r P r o j e k t i o n d e r V e k t o r s u m m e genannt.

§ 3. Multiplikation von Vektoren. Man u n t e r s c h e i d e t drei M u l t i p l i k a t i o n s a r t e n : I. M u l t i p l i k a t i o n eines V e k t o r s m i t einer Zahl, II. skalare M u l t i p l i k a t i o n v o n zwei V e k t o r e n , I I I . vektorielle M u l t i p l i k a t i o n von zwei V e k t o r e n . 1. M u l t i p l i k a t i o n

eines Vektors mit einer

U n t e r d e m P r o d u k t des V e k t o r s m i t d e m V e k t o r 8$), geschrieben s SB oder z • % (auch

Zahl.

m i t der Zahl z (oder der Zahl z oder $ • z)

v e r s t e h t m a n den Vektor, dessen B e t r a g das P r o d u k t der B e t r ä g e von ^ u n d z ist, dessen R i c h t u n g m i t der des V e k t o r s ^ oder des V e k t o r s — ® ü b e r e i n s t i m m t , ie n a c h d e m c positiv oder n e g a t i v ist. Wie m a n sofort sieht, ist z. B. 3 23 n i c h t s a n d e r e s als SS -f- SB, so d a ß sich diese erste, e i n f a c h s t e A r t der M u l t i p l i k a t i o n u n m i t t e l b a r a n die A d d i t i o n v o n V e k t o r e n a n l e h n t . II. S k a l a r e

Multiplikation.

U n t e r d e m s k a l a r e n P r o d u k t oder S k a l a r p r o d u k t v o n z w e i V e k t o r e n v e r s t e h t m a n d a s P r o d u k t aus den B e t r ä g e n der V e k t o r e n u n d d e m Cosinus des Zwiscaenwinkels der V e k t o r e n . Man schreibt das S k a l a r p r o d u k t der b e i d e n V e k t o r e n n u n d b (die als die F a k t o r e n des S k a l a r p r o d u k t s bezeichnet werden) a • b oder ( a b ) oder einfach ab. W i r w e r d e n in diesem B u c h e a u ß e r den Schreibweisen a - b

und

ab

a u c h n o c h die S c h r e i b u n g a b v e r w e n d e n . Mit B e z u g auf die v o n d e m A m e r i k a n e r Gibbs gewählte Schreibweise a • b wird das S k a l a r p r o d u k t auch P u n k t p r o d u k t genannt. E s gilt also die Definitionsgleichung a b = a • b = a b = ab cos y,

—

12

—

wo a den B e t r a g von o, b den Betrag von b und y den Zwischenwinkel von a und b bedeutet. Wir prägen uns ein: Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ist ein Skalar, k e i n V e k t o r ! Von besonderer Bedeutung sind die Fälle, wo die beiden Vektoren einen Winkel von 1. 0 Grad,

2. 90 Grad,

3. 180 Grad

miteinander bilden. 1. H a b e n die b e i d e n V e k t o r e n dieselbe R i c h t u n g , so ist ihr S k a l a r p r o d u k t einfach gleich dem P r o d u k t i h r e r Beträge. Im besonderen ist b . o = b2 = v2 , wenn v den Betrag von b bedeutet. Das s k a l a r e Q u a d r a t eines V e k t o r s ist gleich d e m Q u a d r a t des V e k t o r b e t r a g e s . Sonderfall: D a s s k a l a r e Q u a d r a t e i n e s E i n h e i t s v e k t o r s ist Eins. 2. B i l d e n d i e b e i d e n V e k t o r e n e i n e n r e c h t e n W i n k e l m i t e i n a n d e r (stehen sie aufeinander senkrecht), so i s t i h r S k a l a r p r o d u k t Null. Die Gleichung p •q - 0 ist also die B e d i n g u n g f ü r O r t h o g o n a l i t ä t der Vektoren ^ und q. 3. H a b e n d i e b e i d e n V e k t o r e n e n t g e g e n g e s e t z t e R i c h t u n g e n , so i s t i h r S k a l a r p r o d u k t d e m P r o d u k t i h r e r B e t r ä g e e n t g e g e n g e s e t z t gleich. (ci • b = ab cos 180° = — ab). Ein anderer wichtiger Sonderfall liegt vor, wenn einer der beiden Faktoren des Skalarprodukts ein Einheitsvektor ist. Das S k a l a r p r o d u k t eb a u s d e m E i n h e i t s v e k t o r e u n d dem b e l i e b i g e n V e k t o r b ist der B e t r a g oder der e n t g e g e n g e s e t z t e B e t r a g der P r o j e k t i o n des V e k t o r s b auf den E i n h e i t s v e k t o r e, je nachdem diese beiden Vektoren einen spitzen oder stumpfen Winkel miteinander bilden; d i e P r o j e k t i o n s e l b s t ist ebe. Bestimmt man die Lage jedes Punktes X einer gerichteten Geraden durch seinen Abstand x von einem festen P u n k t e F der Geraden (durch seine S t a n d g r ö ß e oder K o o r d i n a t e x), wobei in bekannter Weise dieser Abstand positiv oder negativ gerechnet wird, je nachdem der

— 13 — Vektor F X = £ mit der Geraden gleich oder entgegengesetzt gerichtet ist, und bedeutet 1 den Cosinus des Winkels, den der Einheitsvektor e mit der Richtung der Geraden bildet, so gilt, wie man leicht bestätigt, die f u n d a m e n t a l e F o r m e l e • £ = 1 oc Aus der Definition des Skalarprodukts ergibt sich unmittelbar die Formel a • £> = b • a die das V e r t a u s c h u n g s g e s e t z d e r s k a l a r e n Multiplikation darstellt. Die skalare M u l t i p l i k a t i o n ist kommut-ativ. Zu einer zweiten wichtigen Eigenschaft des Skalarprodukts a • b gelangen wir durch Einführung der Projektion a' von a auf i> bzw. der Projektion b' von b auf a. Nennen wir die Beträge von a' und b' a' und b s o ist a' = ™ a cos y

bzw.

b' = — b cos y,

wo das obere oder untere Zeichen gilt, je nachdem der Zwischenwinkel y der Vektoren a und b spitz oder stumpf ist. Hieraus ergibt sich die wichtige Formel n • b = a • b' = b • a' D a s S k a l a r p r o d u k t v o n zwei V e k t o r e n i s t g l e i c h d e m S k a l a r p r o d u k t a u s e i n e m d i e s e r V e k t o r e n und d e r P r o j e k tion des a n d e r n auf ihn. Wir machen von diesem Satze gleich eine wichtige Anwendung zur Ermittlung des]Skalarprodukts m • (a + b) aus dem Vektor m und der Summe § — et -)- b der beiden Vektoren a und b. Bedeuten a', b', §' die Projektionen von a, b, § auf m, so können wir auf Grund unseres Satzes schreiben: m • g = m•

= nt • (a' -(- b'),

da nach dem Satze von der Projektion der Vektorsumme s' = a' + ist. Wir sehen weiter, daß

b'

m • (a' - f b') = m • a' -f- m • b' ist, da die drei Vektoren m, a' und b' auf einer Geraden liegen. Schrei-

— 14 — ben wir nun wieder auf Grund des obigen Satzes statt nt • a' und m • b' m • a und m • b, so erhalten wir m , 3 = m*a-|-m-& oder

m • (et + b) = m • a + m • b

Diese fundamentale Formel enthält das V e r t e i l u n g s g e s e t z der skalaren Multiplikation: Die s k a l a r e M u l t i p l i k a t i o n ist d i s t r i b u t i v . Aus diesem Gesetz folgt dann weiter, genau wie in der elementaren Arithmetik, die wichtige Klammerregel über skalare Multiplikation: Zwei V e k t o r s u m m e n werden skalar m i t e i n a n d e r m u l t i p l i z i e r t , i n d e m m a n jedes Glied der einen S u m m e m i t j e d e m Gliede der andern Summe skalar m u l t i p l i z i e r t . So ist z. ß. (a + b) • (p — q) — a • p — a • q 4- b • p — b • q oder kürzer (a + b) (.p — q) = a p — aq + bp — bq. Ferner: (?í + W - 912 + © 2 + 2 9Í58. Wir erwähnen noch zwei Formeln, die für das Skalarprodukt von zwei Vektoren wichtige algebraische Ausdrücke liefern. Wir betrachten zunächst zwei Vektoren

»

OA=--p

und

OB = q

m i t g e m e i n s a m e m A n f a n g s p u n k t O und den Vektor >

A B = c = q — p. Durch Quadrierung ergibt sich c2 = p 2 + q2 — 2 pq oder (1)

2

2 f q = P 2 + ?:

Dies ist die eine der angedeuteten Formeln. Sie heißt in Worten: M a n e r h ä l t d a s d o p p e l t e S k a l a r p r o d u k t v o n zwei V e k toren mit gemeinsamem Anfangspunkt, indem man die Norm der V e k t o r e n um das Q u a d r a t der V e r b i n d u n g s l i n i e d e r V e k t o r e n d p u n k t e v e r m i n d e r t . Sodann betrachten wir die beiden Vektoren ^ AE = © und ae = §

mit verschiedenen Anfangspunkten A und a und verknüpfen sie durch ihre »Zwischenvektoren«

»

Ea= i

eA = S

und

zu dem geschlossenen Vektoreck A E a e A , so daß

> > OP=p = bx c. OQ = q --= c x a , ()R =

als K a n t e n h a t . S p a t s k a n n als Vektoren x=

axb

als »Vektoren« d e r d u r c h die K a n t e n p a a r e (b, c), (c, a), (a, b) e r z e u g t e n G r u n d f l ä c h e n , so d a ß der B e t r a g eines G r u n d f l ä c h e n v e k t o r s den I n h a l t d e r G r u n d f l ä c h e darstellt. D a s Tripel der drei V e k t o r e n a, b, c — in dieser Reihenfolge — h e i ß t R e c h t s t r i p e l ( R e c h t s s y s t e m ) oder L i n k s t r i p e l ( L i n k s *) Drei oder mehr Vektoren heißen k o m p l a n a r (§ 5), wenn sie ein u n d derselben Ebene parallel sind.

— 24 — s y s t e m ) , je nachdem Spat und Grundflächenvektor auf derselben Seite der Grundfläche liegen oder nicht. Man kann auch sagen: Das Tripel (a, b, c) heißt Rechtssystem oder Linkssystem, je nachdem sich die Vektoren in der genannten Reihenfolge durch die drei ersten Finger (Daumen, Zeigefinger, Mittelfinger) der rechten oder der linken Hand versinnlichen lassen. Beim Rechtstripel ist der Winkel zwischen jf z. B. den beiden Vektoren a und b x c spitz, beim / Linkstripel stumpf. / h ß Wir bestimmen das Spatvolumen V. Zu dem / Zwecke wählen wir etwa die von den Kanten F

\ ^Vq Bild. 20.

OA = a und OB = b erzeugte Seitenfläche des Spats als Grundfläche, nennen die zugehörige Höhe FC = h und haben v = rh,

unter r den Betrag von r = a x b verstanden. >

Da der Höhenvektor F C = f) die zu r parallele Komponente von c ist, hat das Mischprodukt M = axb• c= r•c

den Wert

M =-= r • t). Nun hat t • I) als Skalarprodukt von zwei parallelen Vektoren den Wert r • I) =

r h,

wo das obere oder untere Vorzeichen gilt, je nachdem die Vektoren r und 1} gleich oder entgegengesetzt gerichtet sind, r und i) haben aber gleiche oder entgegengesetzte Richtungen, je nachdem Spat und Grundflächenvektor t auf derselben Seite der Grundfläche liegen oder nicht, d. h. je nachdem (o, b, c) ein Rechts- oder Linkstripel ist. So entsteht die einfache Formel .1/

r.

Sie enthält den Satz vom Das M i s c h p r o d u k t

Mischprodukt:

M = a

x

b• c

i s t d e m I n h a l t d e s a u s d e n V e k t o r e n a, b, c e r z e u g t e n S p a t s gleich oder e n t g e g e n g e s e t z t gleich, je n a c h d e m die d r e i V e k t o r e n a, b, c ein R e c h t s - o d e r L i n k s s y s t e m bilden.

-

25 —

Unsere Betrachtung liefert zugleich die Formel (1)

i/ = i)xc-a = c x a - b = axf)'c

und, da man im Skalarprodukt zweier Vektoren [z. B. in (b x c) • (a)J die F a k t o r e n miteinander vertauschen kann, auch noch die Formel (2)

J¥

= a-bxc = b-cxa =

cxa-b.

Aus dem Anblick der Formeln (1) und (2) ergeben sich zwei wichtige Regeln: M i s c h p r o d u k t r e g e l 1: Ein Mischprodukt ändert seinen Wert nicht, wenn P u n k t und Kreuz m i t e i n a n d e r v e r t a u s c h t .

man

M i s c h p r o d u k t r e g e l 2: Ein M i s c h p r o d u k t b l e i b t bei seiner Faktoren ungeändert. W a s die Vertauschung von z w e i untereinander anbetrifft, so ist z. B.

zyklischer Faktoren

des

Vertauschung Mischprodukts

(a x b) • c = — (b x a) • c, da die beiden Vektoren a x b und b x a entgegengesetzt gleich sind. Im Zusammenhang mit den Regeln (1) und (2) f ü h r t diese Gleichung zur M i s c h p r o d u k t r e g e l 3: V e r t a u s c h t m a n zwei F a k t o r e n eines Mischprodukts m i t e i n a n d e r , so n i m m t d a s M i s c h p r o d u k t d e n e n t g e g e n g e s e t z t e n W e r t an. Die Regeln (1) und (2) berechtigen uns dazu, das Mischprodukt d e r drei Vektoren n, b, c einfach M abc zu schreiben, wobei die Faktoren auch noch zyklisch vertauscht werden dürfen, dagegen im Hinblick auf die dritte Regel die alleinige Vertauschung von zwei F a k t o r e n miteinander nicht gestattet ist [da sie das Vorzeichen von M umkehren würde]. Geht das Mischprodukt in Rechnungen ein, so wird es etwa (abc) geschrieben. Z u s a t z . Unsere Betrachtung bezog sich auf Mischprodukte aus nichtkomplanaren Vektoren. Sind a, b, c komplanar, so verschwindet > - -» M, da nämlich OC — c dann in der Ebene der beiden Vektoren O A=-a > und O B — b liegt, also auf dem Vektor r -= a x b senkrecht steht, so daß M = r • c Null wird.

—

26

—

Umgekehrt folgt aus dem Verschwinden von M die K o m p l a n a r i t ä t seiner Faktoren a, 6, c, insofern sich z. B. aus a x b•c= 0 die Orthogonalität der beiden Vektoren o >; b und c ergibt, so daß c in der Ebene der beiden Vektoren OA — a und OB = b untergebracht werden kann. Daher gilt der wichtige Satz: Ein Mischprodukt verschwindet dann und nur dann, w e n n seine F a k t o r e n k o m p l a n a r sind. Unsere soeben angestellte Überlegung ist noch durch die Betracht u n g des Falles zu vervollständigen, daß ein F a k t o r des Mischprodukts verschwindet. In diesem Falle verschwindet auch das Mischprodukt, und die Komplanarität seiner drei Faktoren besteht ebenfalls, so daß unser Satz auch auf diesen Ausnahmefall Anwendung findet. Man merke besonders die oft vorkommende Gleichung aab

0

oder

abn

oder

baa^--0,

die die Regel e n t h ä l t : S i n d z w e i F a k t o r e n e i n e s M i s c h p r o d u k t s g l e i c h , so v e r schwindet das Mischprodukt. Zum Schluß unserer Betrachtung über das Mischprodukt möge noch der Sonderfall erörtert werden, in dem die drei Faktoren a, b, c des Mischprodukts m — a b c Einheitsvektoren sind. In diesem Sonderfalle sind die Skalarprodukte a - - b c, ß -== c a , y --- a b die Cosinus der Winkel, die die jeweiligen Faktoren miteinander bilden. Gleichzeitig ist wie oben in =

rh,

wo r den Inhalt des Parallelogramms der beiden Vektoren n und b, hier also den Sinus des Winkels AOB bedeutet, dessen Cosinus y ist. Wir fällen von F die Lote FH auf OA und FK auf OB, so daß auch CH auf OA und CK auf OB senkrecht stehen (§ 19) und OH = ß, OK = « ist. Da das Viereck OHFK ein Kreisviereck ist, dessen Umkreis den Durchmesser OF ~ d besitzt (Bild 20), so h a t die Sehne II K dieses Kreises die Länge l == d sin AOB

=

dr.

Gleichzeitig folgt aus dem rechtwinkligen Dreieck O F C h* + rf2 = 1. Schließlich ist noch nach dem auf das Dreieck N O K angewandten Cosinussatze l2 = x2 ß2 — 2 xßy.

N u n m e h r wird rzh2 - r2 (1 — d2) - r2 — r2d2 oder

m2

1

r°- --12

ß2 — y2 + 2 ,-v ß y

\-

oder endlicl m— a b c — / 1

ß*-y*

+ 2

->

OB - b

0 M - m

in einer E b e n e E liegen und daß außerdem a und b nicht parallel l a u f e n . Da der Multiplikand 9Jl = a b = a x b auf E und das P r o d u k t = m x 2Ji auf üöt senkrecht steht, so liegt auch der V e k t o r > OT : in E. Zerlegen wir also X in zwei K o m p o n e n t e n : 8t, parallel zu a, und parallel zu b, so ist 91 ein gewisses Vielfaches Xa von a, ebenso SB ein Multiplum ( «b von b und £ = 9 1 + 3 3 = /a + / > Da aber OX Folglich ist

OY.

mit n, OY mit b kollinear ist, gelten die Formeln OX=--xa,

OY

y b.

b= x a+ yb womit die behauptete lineare Abhängigkeit dargetan ist. Die gefundene Darstellung von b als Linearkompositum von rt und b ist n u r auf e i n e Weise möglich. Wäre nämlich b = f a + r) b eine zweite Darstellung, so h ä t t e man rjh = xa

oder (f

-

X

) a + (>, -

yh y) b = 0 .

— 32 — Da aber die beiden Vektoren a und b nichtkollinear sind, können sie nicht linear abhängig sein, muß also £ — x — ry — y = 0 ,

d. h.

f =- x , rj — y

sein. Unsere Überlegung liefert zugleich den Fundament aisatz: J e d e r m i t zwei n i c h t k o l l i n e a r e n V e k t o r e n k o r n p l a n a r e V e k t o r ist auf eine einzige W e i s e als L i n e a r k o m p o s i t u m j e n e r zwei V e k t o r e n d a r s t e l l b a r . Der obige Satz gilt auch umgekehrt: Drei linear a b h ä n g i g e V e k t o r e n sind In der T a t folgt aus • f'-Ci • yx 0 •etwa „^ i r = Ap + //q ,

komplanar.

so daß r in der Ebene des Parallelogramms der beiden Vektoren und q eingezeichnet werden kann. Die gefundene Darstellung eines beliebigen Vektors ö durch zwei ihm kornplanare nichtkollineare andere, a und i), findet besonders Verwendung, wenn ein zweiachsiges Koordinatensystem mit 0 A als x-Achse und O B als ?/-Achse vorgelegt ist. Auf dieses wird jeder der Ebene >

0 A B parallele Vektor b in der Weise bezogen, daß man O V = ü macht und den Vektor b durch die Koordinaten x und y seines E n d p u n k t s V festlegt, die m a n dann die M a ß z a h l e n oder K o o r d i n a t e n d e s V e k t o r s b nennt. Man wählt zwei den positiven Richtungen der Koordinatenachsen gleichgerichtete E i n h e i t s v e k t o r e n et und b als » G r u n d v e k t o r e n « des Koordinatensystems, die m a n die B a s i s des Systems nennt und h a t d a n n den Satz: J e d e r V e k t o r b der K o o r d i n a t e n e b e n e ist auf eine einzige W e i s e als L i n e a r k o m p o s i t u m b = x o + // b der b e i d e n G r u n d v e k t o r e n a u n d b d a r s t e l l b a r ; die K o e f f i z i e n t e n x und y der D a r s t e l l u n g sind die Koordinaten des Vektors. I I I . V e k t o r e n im R ä u m e . Vier V e k t o r e n im R ä u m e sind s t e t s l i n e a r a b h ä n g i g . Beweis, a, b, c und b seien vier beliebige Vektoren, von denen die drei ersten nichtkomplanar seien. Wir wählen einen F i x p u n k t 0 und zeichnen die drei nichtkomplanaren Vektoren

> () C

O B = b.

OA =-. a . sowie d e n V e k t o r

> OV

b.

> Zeiclinen wir j e t z t die drei K o m p o n e n t e n OX, b nach den drei Geraden O A , O H , O C , so ist ov

u

= ox

+ oy

c,

» > O Y, OZ des V e k t o r s

+ oz.

, \ n n ist a b e r n a c h I etwa O X ^ x a ,

OY — yb,

OZ==zc,

niithin

n n d die b e h a u p t e t e lineare Abh ä n g i g k e i t ist erwiesen. Die g e f u n d e n e D a r s t e l l u n g von b als L i n e a r k o m p o s i t u m v o n n, b, c ist n u r auf e i n e Weise möglich. G ä b e es nämlich noch eine zweite D a r s t e l l u n g b == H + 11b +

£c,

so wäre + ¡/b + i c = xa + yb -j- zc oder Da aber a, b, c n i c h t k o m p l a n a r sind, k ö n n e n sie nicht linear a b h ä n g i g sein, k a n n also die letzte Gleichung n u r b e s t e h e n , w e n n alle drei Koeffizienten | — x , Tj — y , C — ; v e r s c h w i n d e n . Folglich ist £ = x,

ij

y,

; = 5.

Unsere U n t e r s u c h u n g liefert den Fundamentalsatz: J e d e r V e k t o r ist auf eine e i n z i g e W e i s e als L i n e a r k o m p o s i t u m von drei n i c h t k o m p l a n a r e n Vektoren darstellbar. Sei n u n m e h r ein beliebiges dreiachsiges K o o r d i n a t e n s y s t e m — :r ¿/¿-System — m i t d e m U r s p r u n g 0 vorgelegt, auf welches wir alle R a u m p u n k t e beziehen. W i r w ä h l e n drei E i n h e i t s v e k t o r e n a, b, c, die die R i c h t u n g e n der positiven K o o r d i n a t e n a c h s e n h a b e n u n d n e n n e n sie die G r u n d D ö r r i e , Vektoren.

3

— 34 — v e k t o r e n des Koordinatensystems. Der Inbegriff der drei vektoren wird als B a s i s des Koordinatensystems bezeichnet. Daraus legen wir jeden Vektor r durch den Ortsvektor

Grund-

OP = x fest und nennen die Koordinaten x, y, z seiner Spitze P die M a ß z a h l e n oder K o o r d i n a t e n d e s V e k t o r s r. Um die Abhängigkeit des Vektors r von seinen Koordinaten zum Ausdruck zu bringen, schreiben wir x = (x\y\z) oder kurz x= x\y\z. Der obige F u n d a m e n t a l s a t z n i m m t jetzt die Form a n : Jeder Vektor kompositum

r ist

auf

eine einzige Weise

x = xa-\r yb

als

Linear-

zt

d e r d r e i G r u n d v e k t o r e n a, b, c d a r s t e l l b a r ; d i e K o e f f i z i e n t e n x, y, z d e s K o m p o s i t u m s s i n d d i e K o o r d i n a t e n des V e k t o r s . Die bei unserer linearen Darstellung auftretenden Vektoren xa, yb, zc, deren Summe den Vektor r ausmacht, heißen die K o m p o n e n t e n des V e k t o r s r im xyz-System. Bisweilen findet m a n auch x, y, z selbst als Komponenten bezeichnet. Solange kein Mißverständnis zu befürchten ist, erscheint das nicht weiter bedenklich. Im allgemeinen sollte m a n aber x, y, z ausdrücklich als » a r i t h m e t i s c h e « Komponenten von den » g e o m e t r i s c h e n « oder vektoriellen Komponenten xa, yb, zc unterscheiden (falls m a n nicht vorzieht, f ü r x, y, z die Benennung »Maßzahlen« oder »Koordinaten« zu verwenden). Es bleibt noch übrig,—>die Maßzahlen (Koordinaten) eines beliebig gelegenen Vektors b =HK anzugeben, dessen A n f a n g s p u n k t H die Koordinaten x, y, z, E n d p u n k t K die Koordinaten X, Y, Z hat. Da OH = xa + yb + zc, und

0 K = Xa+Yb

+ Zc

^ H K = 0 K — OH

ist, folgt HK = (X — z ) a + ( Y — y)b + (Z — z)c

.

Die M a ß z a h l e n o d e r K o o r d i n a t e n des V e k t o r s m i t dem A n f a n g s p u n k t (z, y, z) u n d d e m E n d p u n k t (X, Y, Z) s i n d X — x,

Y — y,

Z — z.

— 35 — Die Darstellung von Vektoren durch Koordinaten und Grundvektoren bietet besondere Vorteile, wenn das Koordinatensystem r e c h t w i n k l i g ist, wenn m. a. W . die Systembasis ein Dreibein ist. Unter einem D r e i b e i n versteht man den Inbegriff von drei Einheitsvektoren — den B e i n e n — mit gemeinsamem Anfangspunkt, die paarweise aufeinander senkrecht stehen. Die die positiven Richtungen der x-Achse, i/-Achse, ¿-Achse charakterisierenden Beine dieses Dreibeins werden meist mit i, j , ! oder mit f j , e 2 , e 3 oder auch mit @ 2 , ®3 bezeichnet. Die zumeist gebrauchte an sich durchaus praktische Bezeichnung (i, j , f) ist allerdings nicht zu empfehlen, wenn — wie es bei zeitlich veränderlichen Dreibeinen der Fall ist — auch die Anstiege der Beine, d. h. ihre nach der Zeit genommenen Ableitungen auftreten, da die übliche Bezeichnungsweise des Anstiegs durch drübergesetzten Punkt auf die unschönen Zeichen i und j führt; auch nicht zu empfehlen, wenn man, was gleichfalls häufig vorkommt, dem Dreibein (i, j , !) ein zweites durch die gleichlautenden großen Buchstaben zu bezeichnendes Dreibein zuordnen will, da zwischen dem großen i und großen j kein ausgeprägter Unterschied besteht. Deshalb wird in diesem Buche auch die Dreibeinbezeichnung (e, o, u) bzw. ( 6 , ö , II) Verwendung finden, deren Buchstaben die Anfangsbuchstaben des deutschen Wortes »eins«, englischen Wortes »one« und französischen Wortes »un« sind. F ü r die Beine i, j , f eines Dreibeins gelten die sechs

Fundamentalformeln:

i2 = 1 , jf = 0,

i2 = 1 , I i - 0,

I 2 = 1, i j = 0.

Wir können auch sagen: /ti Die M a t r i x I j i

ij jj

Vit

fi

if\ j f I ist eine

Einheitsmatrix.

ii/

Einer der großen Vorteile, die die Verwendung rechtwinkliger Koordinaten gewährt, besteht in der Möglichkeit, die K o o r d i n a t e n eines V e k t o r s als S k a l a r p r o d u k t e aus ihm und den G r u n d v e k t o r e n zu s c h r e i b e n . Aus der Darstellung t = xt + y\-f zl des Vektors r durch Koordinaten und Grundvektoren folgt nämlich durch sukzessive skalare Multiplikation mit i, j , I

x = xx,

2/ = j r ,

z = Ir

.

3*

3G — D i e S k a l a r p r o d u k t e e i n e s \" e k t o r s m i t d e n G r u n d v e k t o r e n eines O r t h o g o n a l s y s t e m s sind die K o o r d i n a t e n des V e k t o r s in diesem System. Es gilt die Darstellung: r = tri — — j i r j —"i r I Richtungs cosinus. Ist der durch seine rechtwinkligen Koordinaten und die Basis (i, }, !) festgelegte Vektor speziell ein E i n h e i t s v e k t o r (5, so nennt m a n die Koordinaten oder Maßzahlen des Vektors seine R i c h t u n g s c o s i n u s und bezeichnet sie gewöhnlich durch die Buchstaben v , ß, y oder / , //, v oder l, m, n u. dgl., so daß etwa (S = + ist. Multipliziert man diese Gleichung skalar sukzessive mit i, j, f, so ergeben sich auf Grund der obigen Fundamentalformeln für die Richtungscosinus die W e r t e « = J+ A'is ^ A23 3 k 21 x i k%2 y ( w • -k3i x "i k,i2 y + A*33 nämlich oder

bzw.

U - A „ .V r- ki2 Y T" /• , , / , V ,-. k,, X - A'22 r k23 Z I II = A',, V r k, 2 Y I" k% 3 Z

— 45 — I n s o n d e r h e i t e n t s t e l l t für das Q u a d r a t des V e k t o r s s e2 = x ii + y v -j- ; w ausführlich

,

geschrieben

s 2 = kn x2 - f k22 y2 + A-33 -;2 4- 2 k23 y z + 2 Ä 31 s i + 2 /c12

die

X

y

.

F ü r das V e k t o r p r o d u k t der beiden V e k t o r e n 3 und 5 e r h a l t e n wir Formel 2

-

V.y) ; i

(V:

• (Z .r

.V z) Fi + ( X y -

Y x) F j ,

die durch E i n f ü h r u n g des dem Tripel (i, j, f) reziproken 3 — j f : m,

wo

3 =-- f i : tn, m

das M i s c h p r o d u k t nimmt :

Ü

tj :m ,

ij f

der drei G r u n d v e k t o r e n

m Wä=-(Yz

Tripels

— Z y) Ö - f (Z x

i, j ,

f ist, die F o r m

• X z) 3 + ( X y - - ) ' x) Ä

an-

.

§ 7. Viererprodukte. V o n den zahlreichen Möglichkeiten, v i e r V e k t o r e n a , t>, p , q mult i p l i k a t i v m i t e i n a n d e r zu v e r k n ü p f e n , erörtern wir hier n u r die beiden wichtigsten: das

Skalarprodukt q. —- a b • p q

oder

(p ••=- (a x b) • (p x q)

von zwei V e k t o r p r o d u k t e n a x b und p x q, und das ö — ab xpq dieser beiden

oder

Vektorprodukt

0 — (a x b) x (p x q)

Vektorprodukte. Skalarviererprodukt.

U m das

Skalarprodukt cp — a b • p q

u m z u f o r m e n , schreiben wir es z u n ä c h s t als M i s c h p r o d u k t : rp = n x b • p q . H i e r v e r t a u s c h e n wir, was n a c h § 4 zulässig ist, die Zeichen m i t e i n a n d e r . D a d u r c h ergibt sich + / U | u =---*" g-i-/?" D - f - y " U gelten. Die Größen x, ß, y sind also die Richtungscosinus des Einheitsvektors e im alten System, zugleich die Skalarprodukte @e, D e , IXe;

— 49 — ebenso sind x', ß', y' die Richtungscosinus von o ira alten S y s t e m und zugleich die Skalarprodukte (So, £ ) o , XIü; endlich tx", ß", y" sind die Richtungscosinus von u im X Y Z - S y s t e m und gleichzeitig die S k a l a r produkte G u , D u , U u . Demgemäß b e s t e h t die Matrixgleichung ß ß' ft"

«

7 \ ;•' y" J

/@c I li-o \Gu

De Oo Du

Ue Uo Uu

Sie liefert, wenn man sie s t a t t nach Zeilen nach Spalten und zwar von rechts nach links liest, die l'mkehrungsformeln j G : ^ JC + i O - f V u (T)

C

ßc

• ¡¡' o •

( U ----- y c + y' o +

y" it.

Ks ist bequem und übersichtlich, die sechs F o r m e l n (1) und ( 1 ) durch das S c h e m a lt CS c V

c (I)

0 CK"

u

ß

7

ß'

y'

ft"

ii / '

zu einer »einzigen Beziehung« zusammenzufassen, was so zu verstehen ist, daß wir aus dem S c h e m a (I) j e nach Bedarf die F o r m e l n (1) oder ( f ) oder auch beide Formelgruppen zugleich »ablesen«. ->

Die Darstellung des Vektors 0 P = r durch die Basen der beiden S y s t e m e führt zu den Gleichungen r === A'g +

FG +

ZU

und

r = x e -f- y o +

- u,

aus denen die wichtige Formel X® + y ß + Z U - i c + y o - f i U folgt, Multiplizieren wir sie sukzessive skalar mit c, o, u, so entstehen die gesuchten T r a n s f o r m a t i o n s f o r m e l n f ü r d i e K o o r d i n a t e n : |

i ^ Ä ' @ c + y D c + Z U e , y - X ®o + Y Do + Z U o , - = A'Cu + y Du + Z U u ,

die sich gemäß obiger Matrixgleichung einfacher x — cc X + ß Y-1- y z y --- x X + ß' Y -L y' z z =-X + ß"Y -- V z

(2) schreiben. I)öri ic,

Vektoren.

— 50 — Multiplizieren wir sie dagegen sukzessive skalar mit erhalten wir ähnlich

D, II, so

X = « x -)- tx' y +

A A •

\A„

B B '

r R

B„

r

die durch d geteilten Adjunkten der homologen Elemente von d sind. Multiplizieren wir die erste Gleichung von [1] skalar sukzessive mit den zu 6, D, IX reziproken Vektoren Dj, Ul5 so bekommen wir für die Koeffizienten O r t s v e k t o r () P — r .

—

61

-

U n t e r dem . M o m e n t des Punktes 7 J für den Ursprung verstellt man das P r o d u k t aus seiner S t ä r k e und seinem Ortsvektor. Im Hinblick auf diese Redeweise nennt man den Ursprung auch M o m e n t e n punkt, Unter dem . M o m e n t e i n e s P u n k t Ii a u f e n s S u m m e der Momente seiner P u n k t e .

versteht

man

die

U n t e r dem Z e n t r o i d d e s P u n k t h a u f e n s endlich versteh! man den P u n k t , dessen S t ä r k e mit der S t ä r k e des Haufens, dessen Moment mit dem Moment des Haufens übereinstimmt, Sind P1, P2, . . . , Pn die Haufenpunkte, /*,, /r2, . . . , iin ihre Stärken, r , , r 2 , r» ihre Ortsvektoren, so ist das Z e n t r o i d d e s H a u f e n s oder, wie man auch sagt, das Z e n t r o i d d e r P u n k t e J*,. J'„ der P u n k t Z

»

mit dem Ortsvektor O Z ----- r, dessen (I)

/'

dessen. .Moment (2)

/< r

"| -j~

Stärke • ...

//, r x - f /ia' ä

j ll„ .

. . .

— t „

ist. Die Wichtigkeit des Zentroidhegriffes gründet sich auf seine drei Kundamentaleigenschaften, die in den folgenden drei Sätzen ihren .Niederschlag finden. S a t z L Das Z e n t r o i d ä n d e r t seine L a g e n i c h t , wenn die S t ä r k e n a l l e r P u n k t e des H a u f e n s und seines Z e n t r o i d s m i t ein und d e m s e l b e n F a k t o r m u l t i p l i z i e r t w e r d e n . S a t z 2. D a s Z e n t r o i d i s t v o n d e r L a g e punkts oder Ursprungs unabhängig.

des

Satz Das Zentroid eines P u n k t h a u f e n s das Z e n t r o i d der Z e n t r o i d e seiner Teile.

Momentenist

zugleich

Der Beweis des Satzes 1 folgt ohne weiteres aus den Definitionsformeln ( I ) und (2). B e w e i s zu S a t z 2. Bei Einführung punkts ()' gilt neben (2) die Gleichung

II x'

(2')

eines

v e k t o r 0 ' Z ' des neuen Zentroids bedeutet, t,'. == (V Py = ()' t) t' -

Momenten-

Ui ri - f U., X'., -j- • • • — ,"n tn ,

wo r,'. den neuen Ortsvektor O' P,. des P u n k t e s P,., >

sowie

neuen

r' den neuen Orts-->

Nun ist mit ( ) ' ( ) = o

0 P„ = o + r,.

O'Z' == 0' 0 - f OZ + ZZ' = 0 - r -{- Z Z'.

—

62

—

Substituieren wir diese Werte in (2'), so verwandelt sie sich wegen (1) und (2) in + ,uZZ' = 0. > Folglich ist ZZ' gleich Null, und das neue Zentroid Z' fällt mit dem alten, Z, zusammen. Das Zentroid ändert sich also bei Änderung des Ursprungs nicht. B e w e i s zu S a t z 3. Wir zerlegen den Punkthaufen ( i ^ , P2, . . Pn) in etwa drei Teile: I, bestehend aus den P u n k t e n ^ , A2, . . ., Aa mit den.Stärken oc1, « 2 , . . ., ;\0 und den Ortsvektoren 9i l5 §i 2 , . . ., 9i a . II, bestehend aus den Punkten B1, B2, . . ., Bb mit den Stärken ß1, ß2,. . . ., ßb und den Ortsvektoren SS2, • • ., S3b und I I I , bestehend aus den Punkten C\, C2, . . ., (',. mit den Stärken yl, y2, . . ., yc und den Ortsvektoren @ 2 , . . ., (£,.. Setzen wir dann « 21 = ,1-$

+ P',^, •

+ • • • + xa 9(« • ••• + ßb®b

mit *=>

•{-*,•{-

m i t •

;i2 • ...

a« , Ii,,,

y& =yi (Sj f y2 ß 2 — • • • + Yc mit y •= 7i r 72 + ••• rVc, so sind Ü8, S die Ortsvektoren der Zentroide der drei Teile I, II, I I I mit den Stärken ix, ß, y. Daher bestimmt sich der Ortsverkehr 3 des Zentroids dieser drei Zentroide durch die Vorschrift (x + ß + y) i - * 9t + ß 93 + y Anderseits ist der Ortsvektor x des Zentroids des vorgelegten Haufens durch die Gleichung (« + ß + y ) x = + . . . + x„?itt + A + - f ßb + - f . . . - f yc&c definiert. Aus der Übereinstimmung der rechten Seiten der beiden gefundenen Gleichungen folgt die der linken und damit 5 = r, Z e n t r o i d des

w. z. b. w.

Punktpaares.

Um das Zentroid Z der beiden Punkte A und B mit den Stärken x und ß zu ermitteln, wählen wir zweckmäßig Z als Ursprung. Wir haben dann ± ^ v Z . 4 + ßZB = 0 > > und damit Kollinearität der beiden Vektoren ZA und Z B. D a s Z e n t r o i d Z d e s P u n k t p a a r e s (A, B) l i e g t a u f d e r V e r b i n d u n g s l i n i e AB, und zwar i n n e r h a l b oder außerh a l b d e r S t r e c k e AB, j e n a c h d e m d i e S t ä r k e n mit /. -f- = 1. > Ist umgekehrt der Ortsvektor OP = p eines Punktes P Linearkompositum mit p x a + t* b + ß =1 der beiden Vektoren > OA = a und OB = b, so liegt seine Spitze P auf der Geraden A B und teilt A B im Verhältnis /x : L Daher gilt der Kollinearitätssatz: Die n o t w e n d i g e und h i n r e i c h e n d e B e d i n g u n g für K o l l i n e a r i t ä t v o n d r e i P u n k t e n A, B, P i s t die G l e i c h u n g

- 64 — p —- / a 4

/< b

m i t / . - j - f i — 1,

in w e l c h e r a, 0, p d i e O r t s v e k t o r e n d e r d r e i P u n k t e H, P s i n d u n d // : /. = A P : B P d a s T e i I v e r h ä l t n i s des P u n k t e s B bedeutet.

A,

P f ü r die P u n k t e A u n d

Dabei gilt das Teilverhältnis als positiv oder negativ, je nachdem I' innerhalb oder außerhalb der Strecke A B liegt. In der Proportion ii : / »• = -4 P : BP sind also AP und BP keine Strecken, sondern Koordinaten. Die Koordinate AP {BP) wird positiv oder negativ

»

->

->

gerechnet, je nachdem die Vektoren A B und A P (DA oder entgegengesetzt gerichtet sind. Läßt man in der Gleichung p = /. a 4 ii b

»

und DP)

mit,

gleich

-j-

/i

— I

die P a r a m e t e r / und // variieren, so durchläuft der P u n k t P sämtliche P u n k t e der geraden Linie A B. Die G l e i c h u n g p - - / a 4 II b mit /. ; /« = l ist die >>Ycktorgleichung« der g e r a d e n Linie A B . Wir bringen die Kollinearitätsbedingung noch auf eine etwas andere Form. Sind a, b, c die Ortsvektoren von drei kollinearen Punkten ^t. B, (', so besteht etwa die Gleichung C

/. Ct --i- (i b

mit /. - /1 = 1.

Wir schreiben sie \ a

ßb4 yc

0

mit \ = /. ß

¡i. y

so daß \

ß

-j-

4

y

= 0

ist. Gilt umgekehrt die Gleichung \ n -)-

ß

b 4-

y

c • -- 0

mit der .\ebenbedingung ^ + ß +

o,

so ist, etwa y als von Xull verschieden voraussetzend, c =

/ n +

," b

mit /

— x : y,

II

—

—ß :y

und

/. -j-

II

-----

1.

i,

— 65 — Die drei Punkte A, B, C sind daher kollinear. Nun stellt die Relation « a + ySb + yc = 0 die Bedingung für lineare Abhängigkeit der drei Vektoren a, b, c dar. Unser K o l l i n e a r i t ä t s s a t z erhält also die Form: Drei P u n k t e sind dann und n u r dann kollinear, wenn i h r e O r t s v e k t o r e n l i n e a r a b h ä n g i g s i n d u n d die K o e f f i z i e n t e n s u m m e der A b h ä n g i g k e i t s r e l a t i o n verschwindet. In Zeichen: mit

oca + ßb + yc = 0

ot-j-ß-f-y = 0

Z e n t r o i d des P u n k t t r i p e i s . Um das Zentroid der drei Punkte A, B, C mit den Stärken «, ß, y zu finden, verfährt man nach Zentroidsatz 3 etwa folgendermaßen. Man zerlegt den Punkthaufen in die beiden Teile (^4, B) und C, bestimmt zunächst das auf der Geraden A B liegende Zentroid K des Punktpaares (^4, B), das die Stärke x = oc -f- ß besitzt, sodann das Zentroid Z der beiden Punkte K und C mit den Stärken K und y. Es teilt die Verbindungslinie C K im Verhältnis CZ : KZ =

y.:y.

Z ist das Zentroid des Punkttripeis (^4, B, C). D a s Z e n t r o i d v o n d r e i P u n k t e n l i e g t a l s o s t e t s in d e r E b e n e d i e s e r d r e i Punkte. Wie beim Punktpaar finden wir hier die Bedingungsgleichung «ZA+ßZB

+ yZC = 0

für das Zentroid Z des Tripels (A, B, C). Auch sie bestätigt die Kom- >

>

>

planarität der drei Vektoren ZA, ZB, ZC Ist P ein beliebiger Punkt einer Ebene > der Komplanarität der drei Vektoren PA, sämtlich verschwindende Konstanten ß, oc PA + ß PB+

(§ 5). ABC,

so existieren wegen > PB, PC stets drei nicht y derart, daß

y PC = 0

ist. Da A, B, C nicht kollinear sind, kann die Summe « ß -f- y nicht verschwinden. [Wäre « + ß + y = 0, so wäre « -(- ß = — y und >

PC ---

(X

>

PA

1 ,PB, oc + ß

lägen daher nach dem oben über die Endpunkte von Ortsvektoren angegebenen Satze die Punkte A, B, C auf einer Geraden.] D ö r r i e , Vektoren.

5

—

66

—

Da ferner nur das Verhältnis x : ß : y angebbar ist, so denken wir K, ß u n d y so g e w ä h l t , d a ß i h r e S u m m e E i n s ist. Durch das so bestimmte Zahlentripel (x, ß, y) ist der Punkt P eindeutig festgelegt; einen von P verschiedenen Punkt Q mit der Eigenschaft

>

QA = QP + PA und den entsprechenden Werten für Q B und QC folgt * QA + ß QB + y QC = (« + ß + y) Q^P + « PA + ß P R + y P C oder wegen x

ß

y — 1 QP = 0

oder

Q

P.

Unser Tripel («, ß, y) bestimmt also eindeutig die Lage oder den Stand des Punktes P; wie nennen a, ß, y deshalb die S t a n d g r ö ß e n des Punktes P. Wir kommen nunmehr zu der wichtigen A u f g a b e : G e g e b e n s i n d ein D r e i e c k ABC, ein U r s p r u n g 0, d e r d e r E b e n e d e s Dreiecks nicht a n z u g e h ö r e n b r a u c h t , und die O r t s v e k t o r e n o \ = a,

OB = b,

OC=c.

Gesucht wird der O r t s v e k t o r ÖP = p e i n e s in d e r D r e i e c k s e b e n e l i e g e n d e n P u n k t e s S t a n d g r ö ß e n «, ß, y g e g e b e n s i n d . Lösung. Wir gehen aus von der Relation

P,

dessen

, sonach in einer Sekunde den Weg tu : t ; der Quotient Q

= tu : r

— 72 — ist die durchschnittliche Geschwindigkeit der Yektorspitze während der Spanne r. Demnach ist der Grenzwert des Quotienten g für unbegrenzt abnehmendes x als die wahre Geschwindigkeit b der Vektorspitze (nach Betrag und Richtung) im Augenblicke t anzusprechen. Nun ist aber ^ Xo =

PQ=ÖQ-OP

mithin

=

%{T)-%{t),

_ tp T - t

T

9

Der genannte Grenzwert von g ist daher der Differentialquotient & der Funktion § = § (t) an der Stelle t, in Zeichen: b= § in Worten: d e r A n s t i e g t des W e g v e k t o r s § i s t d i e der V e k t o r s p i t z e .

Geschwindigkeit

Aus diesem Grunde wird der Anstieg § auch die G e s c h w i n d i g k e i t d e s V e k t o r s § genannt. Die analogen Betrachtungen über den Vektor b führen uns zu dem Satze: der A n s t i e g b der V e k t o r g e s c h w i n d i g k e i t s c h l e u n i g u n g q der W e g v e k t o r s p i t z e .

b ist die

Be-

In Zeichen b= § Aus diesem Grunde wird die zweite Ableitung i des Vektors § nach der Zeit auch als B e s c h l e u n i g u n g des V e k t o r s § bezeichnet. Die einfachsten Bahnen einer Wegvektorspitze sind die geradlinige und die kreisförmige. Im ersten Falle ist b zu § gleich oder entgegengesetzt gerichtet, also § x b = 0, im zweiten Falle steht b auf § senkrecht, ist also § • b = 0. Umgekehrt folgt aus § x b — 3 x 1 = 0 die Unveränderlichkeit der Richtung von §, aus § • b = § • § = 0 die Konstanz des Vektorbetrages s. Beweis. Im ersten Falle bilden wir den Anstieg des mit § gleichgerichteten Einheitsvektors §1 = § : s. Wir bekommen • 1

S§ — s2

—§§§

= s3

s3

Nach dem Entwicklungssatze ist aber der Zähler des letzten Bruches das Kreuzkreuzprodukt § X § X §,

— 73 —

bei dem es übrigens einerlei ist, ob man es 3 x (§ x 3) oder (§ x 3) x § liest, folglich nach Voraussetzung Null. Aus dem Verschwinden von folgt aber die Konstanz von 6

und hieraus

i = Es. Der Vektor 3 hat daher dauernd die Richtung von (£. Im zweiten Falle folgt aus 3 • $ = 0 die Konstanz der Primitivfunktion § 2 von 2 5 • ¡> und damit die Konstanz von s\ Das Ergebnis dieser Überlegung ist der Satz: Die G l e i c h u n g 8-3 = 0

bzw.

SX § : 0

ist die n o t w e n d i g e und h i n r e i c h e n d e B e d i n g u n g f ü r die U n v e r ä n d e r l i c h k e i t d e s B e t r a g e s bzw. d e r R i c h t u n g d e s Vektors Als Nebenergebnis der obigen Umformung des anstiegs I j buchen wir die bemerkenswerte Formel

Einheitsvektor-

§X §X § für den mit s> gleichgerichteten Einheitsvektor s r Neben dem Vektorprodukt p = § x § fassen wir auch seinen Anstieg p ins Auge und bilden das Vektorprodukt beider: Hier wenden wird rechts den Entwicklungssatz an und erhalten {> x p =

3 — p l § = £ 3 g,

insofern das Mischprodukt § x § • § (= p • s) verschwindet. Da aber £ • I das Mischprodukt vW = § § § der drei Vektoren §,

ä ist, so entsteht die bemerkenswerte Formel p x p = M§

mit p = § x § und M = S § i.

Aus ihr folgt in dem besonderen Falle, wo das Mischprodukt M verschwindet, nach dem obigen Satze die Unveränderlichkeit der Richtung des Vektors £ = § x L Da nun die Faktoren § und I zur Rieh-

— 74 — t u n g von p senkrecht laufen und d a m i t jeder zu dieser Richtung normalen E b e n e parallel laufen, s o gilt noch der S a t z : Das Verschwinden des M i s c h p r o d u k t s S S S b e d e u t e t P a r a l l e l i t ä t der V e k t o r e n S und § zu einer f e s t e n E b e n e . Zum Schluß unserer Betrachtung über den Vektoranstieg noch ein W o r t über die Projektion dieses Anstiegs auf eine Gerade bzw. Ebene. Die Projektion eines Vektors werde wie im § 2 durch einen a n g e h ä n g t e n Strich bezeichnet. Wir bilden die Differenz

zwischen dem Differenzenquotienten ® und dem Anstieg ü -— S des Vektors S und wenden auf sie den S a t z von der Projektion der Vektors u m m e (§ 2) an. Das gibt —

S'

=

—

Ö',

wo der Minuend der rechten Seite den Differenzenquotient der Vektorprojektion §', der Subtrahend die Projektion des Vektoranstiegs darstellt . Wenn T dem festgehaltenen Argumentwerte t unbegrenzt zustrebt, konvergiert die linke Seite dieser Gleichung gegen Null, der Minuend der rechten Seite gegen den Anstieg der Vektorprojektion S'. Dieser Anstieg ist deshalb gleich b'. D a m i t haben wir den einprägsamen S a t z : Die P r o j e k t i o n des A n s t i e g s eines V e k t o r s d e m A n s t i e g der P r o j e k t i o n des Vektors.

ist

gleich

Hier kann s t a t t »Anstieg« auch »Geschwindigkeit« g e s a g t werden. Bezeichnet man den Anstieg bzw. die Projektion des Vektors S mit AS bzw. PS, so gestattet der S a t z die kurze Schreibung P

A

S

=

A P S .

Wenden wir diese Formel auf den Vektor P A t i

=

A

3) a n :

P t i ,

und bedenken, daß .4t) die Beschleunigung S von S, ferner Pv = A PS AS' ist, so folgt P S

=

A

PAS

A s ' ,

in W o r t e n : Die P r o j e k t i o n der B e s c h l e u n i g u n g eines V e k t o r s ist gleich der B e s c h l e u n i g u n g der P r o j e k t i o n des Vektors. Sind mehr als eine unabhängige Variable vorhanden, etwa die drei A r g u m e n t e u, v, w, die ein gewisses z. B . durch die Bedingungen \ u

—

«

0

j