Theorie zufälliger Prozesse [Reprint 2022 ed.] 9783112650806

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A. D. W E N T Z E L L

THEORIE ZUFÄLLIGER PROZESSE

MATHEMATISCHE LEHRBÜCHER UND M O N O G R A P H I E N H E R A U S G E G E B E N VON D E R AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN DER

DDR

Z E N T R A L I N S T I T U T F Ü R M A T H E M A T I K UND M E C H A N I K

II. A B T E I L U N G

MATHEMATISCHE

MONOGRAPHIEN

B A N D 50

T H E O R I E ZUFÄLLIGER PROZESSE VON

A. D. W E N T Z E L L

AKADE MI E-VERLAG 1979

•

BERLIN

A. D. W E N T Z E L L

THEORIE ZUFÄLLIGER PROZESSE In deutscher Sprache herausgegeben von Hans Jürgen Engelbert und Jürgen Groh

Mit 40

A K A D E M I E

Abbildungen

- V E R L A G

1979

•

B E R L I N

A . Xt. BeHTiiejib K y p c TeopHH c j i y q a i i n t i x npoaeccoB © TjiaBHaH peflaKUHH H3HKO-MaTeMaTHHecKOii jiHTepaxypbi H3naTejibCTBa ((Hayna», 1975

Deutsche Übersetzung Dr. Jürgen Groh, Jena

Erschienen im Akademie-Verlag, DDR-108 Berlin, Leipziger Straße 3—4 Lektor: Dr. Reinhard Höppner © der deutschsprachigen Ausgabe Akademie-Verlag Berlin 1979 Lizenznummer: 202 100/407/79 Einband und Schutzumschlag: Rolf Kunze Gesamtherstellung: VEB Druckerei „Thomas Müntzer", 582 Bad Langensalza Bestellnummer: 7624531 (6434)-LSV 1075 Printed in GDR DDR 4 8 , - M

V O R W O R T

D E R

H E R A U S G E B E R

A. D. W E N T Z E L L hat als einer der führenden Vertreter der Moskauer wahrscheinlichkeitstheoretischen Schule wesentlichen Anteil an der sich seit den fünfziger Jahren stürmisch entwickelnden Theorie zufälliger Prozesse genommen. Seit längerer Zeit hält er an der Moskauer Staatlichen Universität Vorlesungen zu diesem Gebiet. Seine reichen Erfahrungen in Forschung und Lehre fanden ihren Niederschlag in diesem, nunmehr in deutscher Übersetzung vorliegenden Lehrbuch. Auf hohem mathematischem Niveau wird der Leser behutsam in die moderne Theorie eingeführt. Eine große Zahl zum Teil vollständig durchgerechneter Aufgaben unterstützen dieses Anliegen wirksam. Die Herausgeber waren bemüht, die Diktion des Originales weitgehend zu bewahren, vor kleineren Änderungen und Anpassungen an den deutschen Gebrauch von Fachausdrücken scheuten wir uns jedoch nicht. Freundlicherweise wurden uns vom Autor eine Reihe kleinerer Verbesserungen und eine Überarbeitung des Abschnittes 5.1 mitgeteilt, die wir ohne besondere Kennzeichnung in den Text eingearbeitet haben. Das Literaturverzeichnis wurde von uns erheblich — zumeist um Lehrbuchtitel — erweitert, dabei wurden sowohl die Originalarbeiten, als auch uns bekannt gewordene Übersetzungen angegeben. Herrn Dr. R E I N H A R D H Ö P P N E R vom Akademie-Verlag danken wir für die gute Zusammenarbeit. Wir wünschen dem Werk bei Lehrenden und Lernenden eine gute Aufnahme und sehen in seiner Herausgabe einen Beitrag zu tieferer internationaler Verständigung unter den Wissenschaftlern dieses Fachgebietes. Jena, im Herbst 1979

HANS JÜRGEN ENGELBERT JÜRGEN GROH

VORWORT

Dem Buch liegen Vorlesungen über die Theorie zufälliger Prozesse zugrunde, die vom Autor im J a h r e 1969 für Studenten des I I I . und IV. Kurses der Mechanische Mathematischen Fakultät an der Moskauer Staatlichen Universität gehalten worden sind. Diese Lektionen wurden als Rotaprints herausgegeben (A. D. W E N T Z E L L , Zufällige Prozesse (Vorlesungen für Studenten des I I I . Kurses), Moskau 1969; Zufällige Prozesse (Vorlesungen für Studenten des IV. Kurses), Moskau 1970) und danach bedeutend überarbeitet. Das Interesse am Studium der Theorie zufälliger Prozesse ist weit verbreitet, und offensichtlich bedarf es hier keiner Erläuterung, welche Bedeutung dieses Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie hat und wie viele Anwendungen es besitzt. Der Autor sieht sein Ziel nicht darin, die Sätze in einer möglichst vollendeten Form zu formulieren und zu beweisen, sondern den Leser mit dem Wesen der benutzten Methoden an — nach Möglichkeit — einfachem Material vertraut zu machen. I m Zusammenhang damit enthält das Buch nicht sehr viele bedeutende Sätze, aber eine ganze Reihe kleinerer Aussagen (einen Teil hiervon in Form von Aufgaben). Obgleich zwischen den Sätzen und Aussagen keine vollkommen scharfe Grenze besteht, hält der Autor die Benutzung des Begriffes der Aussage für prinzipiell wichtig. Wer irgendein Gebiet der Mathematik beherrschen will, muß sich eine große Zahl solcher Aussagen überlegen; von ihnen sind 60% leicht zu beweisen, 30% erweisen sich als unrichtig und leicht zu widerlegen, aber sich die verbleibenden 10% klarzumachen, ist schwieriger — aus ihnen kann man dann auch echte Sätze erhalten. Ein Teil des Materials ist in Form von Aufgaben gegeben. Die Lösungen zu den Aufgaben machen einen gesonderten Teil des Buches aus, damit die Wahrscheinlichkeit, d a ß der Leser die Aufgaben auch wirklich löst, größer ist. Die Lösungen werden nicht zu allen Aufgaben gegeben und sind nicht sehr ausführlich; es wird erwartet, daß sich der Leser ihre Lösungen mit genügender Ausführlichkeit selbst niederschreibt (aber sich auch den fortgelassenen Teil von Beweisen überlegt und auch die zum Verständnis nötigen Skizzen anfertigt). Die in gewöhnlicher Schrift gegebenen Aufgaben müssen sogleich gelöst werden; bei Aufgaben im Kleindruck kann man warten und sie am Ende des Paragraphen oder Kapitels lösen. Mit einem Sternchen versehene Aufgaben sind nicht obligatorisch zu lösen, auf sie stützt sich nichts anderes. Natürlich ist es im Rahmen eines Buches unvermeidlich, ganze Teile der Theorie nicht zu behandeln. Gut ist es, wenn der Leser sich bemüht, sein Wissen über die Theorie zufälliger Prozesse zu ergänzen und zusätzlich irgendein Buch mit reicherem Material, zum Beispiel das Werk von D O O B [ 1 ] studiert. Das betrifft nicht nur neues Material, sondern auch eine allgemeinere Behandlung, andere Methoden, neue Gesichtspunkte.

VIII

Vorwort

Fragen der Priorität zu den angegebenen Resultaten, Historisches oder Literatuzum Gegenstand werden nur episodisch berührt; Literaturhinweise werden in der Regel dann gegeben, wenn irgendeine Hilfsbehauptung ohne Beweis angeführt ist. Die Auswahl des Materials ist durch pädagogische Überlegungen bedingt. Was den allgemeinen Zugang zum Stoff betrifft, so wird systematisch der Zusammenhang unserer Theorie mit der Funktionalanalysis hervorgehoben. Wenn die Wahl stand, eine Überlegung zu den zufälligen Prozessen auf unabhängige Weise oder unter Bezug auf dieses oder jenes analytische Resultat (zum Beispiel die Isomorphie aller unendlichdimensionalen HiLBEBT-Räume) anzustellen, so wurde letzteres bevorzugt. Das Buch ist in Kapitel eingeteilt, die Kapitel in Paragraphen (bei Zitaten innerhalb eines Kapitels geben wir nur die Nummer des Paragraphen an, beim Verweis auf einen Paragraphen eines anderen Kapitels die Nummer von Kapitel und Paragraph, zum Beispiel § 2.1), die Paragraphen in P u n k t e : 1, 2 usw., die Punkte manchmal in Unterpunkte a), b), . . . (bei Zitaten beispielsweise so: P.2a)). Die Numerierung der Formeln, Sätze, Aufgaben und dergleichen erfolgt innerhalb eines Paragraphen (bei Zitaten innerhalb eines Paragraphen wird die Nummer der Formel, Aufgabe usw. angegeben, außerhalb eines Paragraphen auch die Nummer des Paragraphen). Bei den Lösungen der Aufgaben werden Formeln innerhalb der Lösung numeriert: (*), (**) usw.; ein Zitat von Formel (5) oder Aufgabe 3 bedeutet eine Formel oder Aufgabe desjenigen Paragraphen, in dem die Aufgabe gestellt worden ist. Bei Verweisen auf das Literaturverzeichnis wird der Familienname des Autors (die Namen der Autoren) und die jeweilige Nummer angegeben. Der Autor bringt seinen Dank für die Durchsicht verschiedener Teile und gegebene Bemerkungen zu ihrer Verbesserung gegenüber S. A. MOLTSCHANOW, E. B. D Y N K I N , E. S. W E N T Z E L L und insbesondere A. N . S C H I R J A J E W zum Ausdruck. Ebenfalls Dank gebührt O . A. B O J A R DSTOWA, ohne deren selbstlose Hilfe das Buch nicht zustande gekommen wäre, und auch T. PACHAMOWA, W . ORLOW, N . G O S und anderen Studenten, die einen Teil der Arbeit übernommen hatten.

INHALT

Einführung

1

Kapitel 1. Grundlegende Begriffe

6

§ § § §

1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

W a s ist ein zufälliger P r o z e ß ? Beispiele zufälliger Prozesse. D e r WIENER-Prozeß Ü b e r b l i c k ü b e r die M e t h o d e n d e r Theorie zufälliger Prozesse Wichtige Klassen zufälliger Prozesse

6 7 14 19

Kapitel 2. Elemente der stochastischen Analysis

23

§ 2.1. K o n v e r g e n z a r t e n . Stetigkeit. Ableitungen. I n t e g r a l e § 2.2. Stochastische I n t e g r a l e nichtzufälliger F u n k t i o n e n

23 31

Kapitel 3. Einige Begriffe der allgemeinen Theorie zufälliger Prozesse und der Korrelationstheorie

35

§ 3.1. Mit zufälligen F u n k t i o n e n z u s a m m e n h ä n g e n d e cr-Algebren, R ä u m e von Zufallsgrößen § 3.2. V e r s c h i e b u n g s o p e r a t o r e n § 3.3. A u f g a b e n d e r b e s t e n S c h ä t z u n g "

35 39 42

Kapitel 4. Korrelationstheorie (im weiteren Sinne) stationärer zufälliger Prozesse . .

49

§ 4.1. K o r r e l a t i o n s f u n k t i o n e n § 4.2. S p e k t r a l d a r s t e l l u n g e n § 4.3. Die L ö s u n g d e r A u f g a b e d e r linearen Vorhersage

49 53 58

Kapitel 5. Unendlichdimensionale Verteilungen. Eigenschaften mit Wahrscheinlichkeit 1

65

§ 5.1. Verteilungen zufälliger F u n k t i o n e n . D e r Satz v o n K O L M O G O R O W ü b e r die endlichdimensionalen Verteilungen § 5.2. E i g e n s c h a f t e n m i t W a h r s c h e i n l i c h k e i t 1 § 5.3. A b s o l u t s t e t i g k e i t unendlichdimensionaler Verteilungen u n d D i c h t e n . . . .

65 73 80

Kapitel 6. Markow-Zeiten. Progressiv meßbare zufällige Funktionen

85

Kapitel 7. Martingale

91

§ 7.1. Martingale. S u b m a r t i n g a l e . S u p e r m a r t i n g a l e § 7.2. Mit Martingalen z u s a m m e n h ä n g e n d e Ungleichungen u n d Gleichungen § 7.3. Sätze ü b e r die K o n v e r g e n z von S u p e r m a r t i n g a l e n

. . .

91 95 99

Kapitel 8. Markow-Prozesse. Grundbegriffe

104

§

104

8.1. MABKOW-Prozesse u n d MA&Kow-Familien

§ 8.2. Verschiedene F o r m e n d e r MARKOW-Eigenschaft § 8.3. E n d l i c h d i m e n s i o n a l e Verteilungen von MARKOW-Prozessen

110 115

X

Inhalt

§ 8.4. Familien von Operatoren, die mit MARKOW-Prozessen zusammenhängen § 8.5. Homogene MARKOW-Familien §

. . 120 128

8 . 6 . S t r e n g MARKOWSche P r o z e s s e

131

§ 8.7. Stationäre MAßKOW-Prozesse

139

Kapitel 9. Markow-Prozesse mit stetiger Zeit. Eigenschaften der Trajektorien. Die strenge Markow-Eigenschaft . 140 § 9.1. Eigenschaften der Trajektorien § 9.2. Die strenge MASKOW-Eigenschaft rechtsstetigen Trajektorien Kapitel 10. Infinitesimale Operatoren

für

FEiXERsche

MARKOW-Familien

•

mit

140 143 146

§ 10.1. Der infinitesimale Operator einer Halbgruppe § 10.2. Die Besolvente. Der Satz von H i l l e - Y o S i d a . '. § 10.3. Infinitesimale Operatoren und MAKKOW-Prozesse

146 151 154

Kapitel 11. Die Diffusion

162

§ 1 1 . 1 . Was ist eine Diffusion ? § 1 1 . 2 . Kolmogorows Ergebnisse. R ü c k w ä r t s - u n d Vorwärts-Gleichungen

162 164

Kapitel 12. Stochastische Gleichungen

171

§ 1 2 . 1 . Stochastische Integrale zufälliger Funktionen 171 § 1 2 . 2 . Stochastische Differentiale. Die ITÖ-Formel 179 § 12.3. Die Lösung stochastischer Gleichungen mit der Methode der sukzessiven Approximation 186 § 1 2 . 4 . Durch eine stochastische Gleichung beschriebene Diffusion 191 Kapitel 18. Zusammenhang von Diffusionsprozessen und Differentialgleichungen

. . 196

§ 13.1. Gleichungen, die mit diskreten MARKOW-Ketten zusammenhängen § 1 3 . 2 . Lösungen, die eine glatte Fortsetzung gestatten § 13.3. Reguläre und singuläre Randpunkte

196 198 205

Lösungen der Aufgaben

212

Verzeichnis der Symbole

246

Literatur

248

Sachverzeichnis

251

EINFÜHRUNG

Beim Studium verschiedenster Erscheinungen der Realität stoßen wir auf Prozesse, deren Verlauf wir nicht voraussagen können: zum Beispiel die Schwankung der Höhe eines Flugzeuges um den Wert, den der K u r s vorschreibt, die Bewegung eines einzelnen Moleküles in einem Gas, das in ein Gefäß eingeschlossen ist oder die Vermehrung von Bakterien auf einem Nährboden. Wir können z. B. nicht vorhersagen, ob zu einem bestimmten Zeitpunkt eine derartige Kolonie aus 1001 oder 1002 Bakterien besteht, und an welcher Stelle sich die Bakterien befinden werden. Solche Prozesse lassen sich als zufällige Bewegung eines Punktes in einem f ü r jedes Problem speziell gewählten R a u m darstellen. So wird die Schwankung der Höhe des Flugzeuges durch einen Punkt beschrieben, der sieh auf der Zahlengeraden bewegt und die Bewegung des Moleküles durch einen Punkt eines dreidimensionalen Raumes, der die Form des Gefäßes besitzt (eigentlich ist das Molekül selbst fast ein Punkt). Zur Beschreibung der Vermehrung von Bakterien muß man einen komplizierteren R a u m konstruieren. Der Nährboden sei in das Innere eines gläsernen Röhrchens eingeschlossen, dessen Stärke wir vernachlässigen können. Unseren R a u m bilden wir aus einem P u n k t * , aus demlntervall [0, l] (l ist die Länge des Röhrchens), dem Dreieck { ( x , y): 0 ^ y x ^ l), dem Tetraeder { ( x , y, z): 0 ^ z y ^ x ^ 1}, dem vierdimensionalen Simplex {(x, y, z, u): 0 ^ u ^ z ^ y ^ x 1} usw., d. h., wir bilden eine abzählbare Vereinigung von Mengen wachsender Dimension (Abb. 1). Der P u n k t

Abb. 1 -X-wird bedeuten, daß überhaupt keine Bakterie vorhanden ist; der Punkt x des Intervalles [0, l] bedeutet, daß es genau eine Bakterie gibt und diese sich im Abstand x vom linken Ende des Röhrchens befindet; der P u n k t (x, y) des Dreiecks bezeichnet, daß es zwei Bakterien mit den Abständen x und y vom linken Ende gibt, usw. Bei Teilung irgendeiner der Bakterien springt der das System beschreibende P u n k t in den Simplex der nächsthöheren Dimension; stirbt dagegen eine der.Bakterien, so springt er in den Simplex niedrigerer Dimension. Manchmal muß man noch kompliziertere Räume betrachten.

2

Einführung

Die Bewegung eines Punktes in einem bestimmten Raum ist eine Funktion des Argumentes t (der Zeit) mit Werten in diesem Raum; eine zufällige Bewegung ist eine Funktion von der Zeit mit zufälligen Werten in dem betreffenden Raum. So ist ein mathematisches Modell eines zufälligen Prozesses der realen Welt eine Funktion von t, deren Werte zufällige Größen sind, wobei es notwendig ist, nicht nur zahlenwertige Zufallsgrößen im engeren Sinne, sondern solche mit Werten in einem mehr oder weniger beliebigen Räume zuzulassen. (Nicht erörtern werden wir die Bedingungen, unter denen allgemein wahrscheinlichkeitstheoretische Begriffe auf Erscheinungen der realen Welt anwendbar sind.) Nachdem wir zu einem solchen mathematischen Modell gekommen sind, kann man es in verschiedenen Richtungen verallgemeinern. Eine sinnvolle Verallgemeinerung ist, zufällige Funktionen eines Argumentes t zu betrachten, das nicht die Bedeutung der Zeit hat und nicht nur Werte auf der Zahlengeraden, sondern in einer beliebigen anderen Menge annimmt. Das ist insbesondere nötig zum Studium der Abhängigkeit der einen oder anderen Größe nicht nur von der Zeit, sondern vom Raum. Vorläufige Erläuterungen. Bezeichnungen. Vor allem wird vorausgesetzt, daß der Leser gut mit der Analysis vertraut ist (im Umfang der ersten drei Jahre eines Universitätskurses), insbesondere mit Maßen, dem LEBESGUE-Integral und den Elementen der Funktionalanalysis

(HILBEBT- und BANACH-Raum, lineare Operatoren).

Der

Autor bemüht sich, die Terminologie des Buches von K O L M O G O K O W und F O M T N ZU verwenden und hauptsächlich die in diesem Buche enthaltene Darstellung der Maßtheorie und Funktionalanalysis zu benutzen; ist der Autor gezwungen, diesen Rahmen zu verlassen, so wird er den Leser auf ein weit verbreitetes Lehrbuch verweisen. M e n g e n bezeichnen w i r gewöhnlich m i t großen lateinischen oder griechischen Buchstaben; Mengensysteme durch Schreibschrift (Jl, ¿9, ...); verschiedene Funktionenräume m i t f e t t g e d r u c k t e n Buchstaben (z. B . C, L2). E i n e M e n g e v o n E l e m e n t e n x, die eine gewisse E i g e n s c h a f t erfüllen, w i r d durch { x : ...} bezeichnet. E s wird vorausgesetzt, daß der Leser m i t f o l g e n d e n Ausdrücken und B e g r i f f e n v e r t r a u t ist: Euklidischer R a u m , HILBERTK a u m , BANACH-Raum (KOLMOGOROW und FOMIN [1], K a p . I I I , §§ 3, 4), durch ein S y s t e m Í? erzeugte ff-Algebra (in Zeichen ff(if)), die ff-Algebra der BoRELschen T e i l m e n g e n eines metrischen (topologischen) R a u m e s X (das ist die durch die o f f e n e n Mengen erzeugte a - A l g e b r a ; in Zeichen J9x)-> meßbarer R a u m , meßbare A b b i l d u n g , meßbare zahlenwertige F u n k t i o n , Maße, der A u s d r u c k : fast überall bezüglich des Maßes p (oder: //-fast überall), der Satz über die eindeutige F o r t s e t z b a r k e i t eines Maßes v o n einem H a l b r i n g auf eine ff-Algebra (KOLMOGOROW und FOMIN [1], K a p . V , §§ 3, 4). Sind ,A irgendeine Algebra von Teilmengen der Menge X und /j, ein endliches Maß auf der durch diese Algebra erzeugten a-Algebra a( 0 eine Menge Ae € tA, so daß für das Maß der symmetrischen Differenz ¡x(A A Ae) < e gilt (siehe HALMOS [1], § 13, T h e o r e m 4). Wenn p. ein endliches Maß auf den Boreischen Teilmengen eines lokalkompakten metrischen Raumes X ist, so ist das Maß jeder Borel-Menge gleich der oberen Grenze der Maße aller in ihr enthaltenen Kompakta (HALMOS [1], § 52, T h e o r e m 7). D a s LEBESGUE-Integral bezeichnen wir m i t J f(x) fi(dx) oder, abkürzend, m i t J f dp; es gilt A A f o l g e n d e A u s s a g e über die Substitution i m LEBESGUE-Integral: Sind g eine meßbare Abbildung des meßbaren Raumes (X, 0 eine positive K o n s t a n t e K existiert, so d a ß f ü r alle F u n k t i o n e n der Familie /

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