Theorie der linearen parametrischen Optimierung [Reprint 2021 ed.] 9783112471548, 9783112471531

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F. NOZICKA/J. GUDDAT/H. HOLLATZ / B. BANK

THEORIE

DER LINEAREN

PARAMETRISCHEN

OPTIMIERUNG

MATHEMATISCHE LEHRBÜCHER UND

MONOGRAPHIEN

H E R A U S G E G E B E N VON DER AKADEMIE DER W I S S E N S C H A F T E N DER DDR Z E N T R A L I N S T I T U T F Ü R MATHEMATIK UND MECHANIK

I. A B T E I L U N G MATHEMATISCHE

LEHRBÜCHER

BAND 24

THEORIE DER LINEAREN PARAMETRISCHEN OPTIMIERUNG VON F. N O Z I C K A • J. G U D D A T • H. H O L L A T Z

B. B A N K

AKADEMIE-VERLAG - BERLIN 197 4

THEORIE DER LINEAREN PARAMETRISCHEN OPTIMIERUNG Von

P R O F E S S O R DR. F R A N T I S E K N O Z I C K A DR. J Ü R G E N G U D D A T • DR. H O R S T H O L L A T Z DR. B E R N D B A N K

Mit

16

Abbildungen

AKADEMIE-VERLAG - BERLIN 19 7 4

Erschienen im Akademie-Verlag, 108 Berlin, Leipziger Straße 3 —4 © Akademie-Verlag, Berlin, 1974 L i z e n z n u m m e r : 202 • 100/563/74 Gesamtherstellung: V E B Druckerei „ T h o m a s M ü n t z e r " , 582 B a d Langensalza B e s t e l l n u m m e r : 761763 0 (6057) • LSV 1084 Printed in G D R EVP 5 2 , -

VORWORT

In jeder Wissenschaft werden die anstehenden Probleme, Gesetzmäßigkeiten und Zusammenhänge in Begriffen formuliert, die dieser Disziplin eigen sind. Die Mathematik, die offenbar nicht zu den Naturwissenschaften gehört, besitzt eine Denkweise und Begriffsbildung, die in anderen Wissenschaften im allgemeinen nicht üblich sind. Auch neue Erkenntnisse werden auf einem anderen Weg gewonnen. Jedoch läßt sich die Mathematik in zahlreichen Gebieten anwenden, sofern es gelingt, ein in einem Zweig einer Wissenschaft oder ihrer Anwendungen interessierendes Problem mathematisch zu modellieren, d. h. das Problem mit mathematischen Begriffen und Zusammenhängen hinreichend genau zu beschreiben. I m allgemeinen stellen mathematische Modelle hochgradige Idealisierungen der Wirklichkeit dar. Die in der linearen Optimierung untersuchten Modelle haben sich in der ökonomischen und technischen Praxis bewährt, weil sie trotz ihrer einfachen mathematischen Struktur in vielen Fällen eine befriedigende Widerspiegelung der Realität liefern, und weil die existierenden Lösungsverfahren dank der elektronischen Rechentechnik für Fachleute der unterschiedlichsten Disziplinen ein leicht verwendbares Handwerkszeug werden konnten. Die statischen linearen Optimierungsmodelle besitzen jedoch Nachteile: einerseits berücksichtigen sie nicht die Tatsache, daß die Anforderungen der Wirklichkeit eine gewisse Willkür in den Ausgangsdaten verlangen, und andererseits sind sie nicht in der Lage, dem Rechnung zu tragen, daß mehrere Varianten zur Aufstellung eines Modells existieren können, von welchen eine solche ausgewählt werden soll, die alle berücksichtigt. Derartige Fragestellungen führen in natürlicher Weise zur parametrischen Optimierung. Im vorliegenden Buch wird eine Theorie linearer Optimierungsprobleme mit veränderlichen Koeffizienten in der Zielfunktion und im Begrenzungsvektor der linearen Restriktionen vorgestellt. Diese Theorie bildet eine Grundlage für eine Reihe im Werk beschriebener numerischer Verfahren zur Lösung der betrachteten Klassen von Aufgaben. Die Entwicklung der hier dargestellten Theorie begann im Jahre 1967 mit den von F . N O Z I Ö K A vor Mathematik-Studenten der Humboldt-Universität zu Berlin gehaltenen Vorlesungen über parametrische Optimierung. Inzwischen sind die hier veröffentlichten Ergebnisse ein fester Bestandteil im Vorlesungszyklus „Optimierung" an der Sektion Mathematik der Humboldt-Universität zu Berlin. Das Werk wendet sich an Mathematiker, Wirtschaftswissenschaftler, Ingenieure,

VI

Vorwort

Rechentechniker sowie an Studierende der entsprechenden Fachrichtungen. Der Leser sollte über Grundkenntnisse der linearen Algebra, der analytischen Geometrie und der linearen Optimierung verfügen. Die Monographie baut auf dem 1 9 7 2 im gleichen Verlag erschienenen Lehrbuch von N O Z I Ö K A , G U D D A T , H O L L A T Z : Theorie der linearen Optimierung auf. Mit dem angeführten Literaturverzeichnis von über 200 Arbeiten erheben wir keinerlei Anspruch auf Vollständigkeit. Die Autoren möchten an dieser Stelle besonders Herrn Dr. H. W E I N E R T für die Zusammenstellung des Literaturverzeichnisses sowie Herrn Dr. K . T A M M E R für die wertvolle Unterstützung bei der Korrektur danken. Unser herzlicher Dank gilt weiter dem Akademie-Verlag, Berlin für die freundliche Aufnahme des Werkes in die Reihe seiner mathematischen Lehrbücher und sein stetes Entgegenkommen und Eingehen auf unsere Wünsche. Berlin, im Oktober 1973

Die Verfasser

INHALT

Kapitel 1. Einleitung

1

Kapitel 2. Lineare einparametrische Optimierung — Parameter in der Zielfunktion

. . .

2.1. Einleitung und geometrische Interpretation 2.2. Qualitative Untersuchungen 2.3. Lösungsverfahren Kapitel 3. Lineare einparametrische Optimierung

5 5 9 20

— Parameter im Restriktionsvektor

3.1. Problemstellung und geometrische Interpretation 3.2. Qualitative Untersuchungen 3.3. Lösungsverfahren

33 33 35 58

Kapitel 4. Lineare parametrische Optimierung — zwei voneinander unabhängige Parameter in der Zielfunktion und im Restriktionsvektor 4.1. Einleitung 4.2. Qualitative Untersuchungen 4.3. Lösungsverfahren

65 65 66 93

Kapitel 5. Lineare Optimierungsprobleme mit dem gleichen Parameter in der Zielfunktion und in den rechten Seiten der Restriktionen 110 5.1. Einleitung 5.2. Qualitative Untersuchungen

110 111

Kapitel 6. Lineare Optimierungsprobleme mit veränderlichen Koeffizienten in der Zielfunktion bzw. in den rechten Seiten der Restriktionen 119 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

Einleitung 119 Einige Eigenschaften der Lösbarkeitsmenge und der Lösungsfunktion . . 122 Einige geometrische Betrachtungen 126 Hauptsätze und Zusammenhänge zwischen den dualen Problemen P(X, 0) und _D(0, A) 154

Kapitel 7. Mehrparametrische lineare Optimierung — Parameter in der bzw. in den rechten Seiten der Restriktionen 7.1. Einleitung 7.2. Qualitative Untersuchungen

Zielfunktion 170 170 171

Kapitel 8. Lineare Optimierungsprobleme mit veränderlichen Koeffizienten in der Zielfunktion und in den rechten Seiten der Restriktionen 178 8.1. Einleitung 8.2. Eigenschaften

der Lösbarkeitsmenge

178 179

Inhalt

Vili

8.3. Lokale Stabilitätsbereiche 182 8.4. Invariante Zerlegung und invariante Einteilung der Lösbarkeitsmenge . . . 2 1 6 8.5. Eigenschaften der Lösungsfunktion 219 Kapitel 9. Mehrparametrische lineare Optimierung — Parameter in der und in den rechten Seiten der Restriktionen 9.1. 9.2. 9.3. 9.4.

Zielfunktion

Einleitung Charakterisierung der Lösbarkeitsmenge Lokale Stabilitätsbereiche Einteilung der Lösbarkeitsmenge und Eigenschaften der Lösungsfunktion

226 226 229 230 238

Kapitel 10. Mehrparametrische Optimierung — gleiche Parameter in der Zielfunktion und im Restriktionsvektor 241 Kapitel 11. Lösungsverfahren für mehrparametrische lineare Optimierungsprobleme . . 244 11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5.

Über polyedrische Kegel und konvexe Polyeder Bestimmung von Fundamentalsystemen bei polyedrischen Kegeln . . . . Konstruktion von Fundamentalsystemen Lösungsverfahren für die Probleme P(X, o) und P(o, ft) Lösungsverfahren für das Problem P(X, fi)

Literaturverzeichnis

244 252 260 272 292 303

KAPITEL 1 EINLEITUNG

Die Theorie der linearen Optimierung kann bis auf zwei Problemstellungen als erschöpfend untersucht betrachtet werden. Die wesentlichen Fragestellungen innerhalb der linearen Optimierung sind die folgenden: 1° 2° 3° 4° 5°

Existenz einer Lösung, Eindeutigkeit der Lösung, Lösungsverfahren, Abschätzung der Schritte bei einem Lösungsverfahren, Stabilitätsuntersuchungen.

Das Simplexverfahren k a n n die Antwort auf die ersten drei Problemstellungen geben. Das Problem einer nicht trivialen bzw. scharfen Abschätzung der Schritte bei einem Lösungsverfahren ist bisher ungelöst. Was die Stabilitätsuntersuchungen bzw. die Sensitivitätsanalyse bei linearen Optimierungsproblemen betrifft, so wurden Untersuchungen bereits durch die stochastische Optimierung durchgeführt. Die parametrische Optimierung ist jedoch in der Lage, das Problem der Stabilität global zu behandeln. I n vielen Literaturstellen finden Stabilitätsuntersuchungen mit Hilfe der Simplexmethode s t a t t , wodurch jedoch die betreffenden Stabilitätsbereiche nicht vollständig charakterisiert sind. An dieser Stelle sei bemerkt, d a ß das Problem der Stabilität der Lösung eines linearen Optimierungsproblems nur ein Teil der innerhalb der parametrischen Optimierung behandelten Problematik ist. Wir möchten zunächst auf einige weitere — auch f ü r die praktische Anwendung interessante — Aufgabenstellungen hinweisen, die sich mit Hilfe der parametrischen Optimierung behandeln lassen: 1° lineare Optimierungsprobleme mit mehreren Zielfunktionen; 2° Übersicht über alle Lösungen einer Klasse überabzählbar vieler linearer Optimierungsprobleme; 3° Änderung der Lösungen in Abhängigkeit von Parametern in den Koeffizient e n eines linearen Optimierungsproblems; 4° Einfluß von Störungen (Parameteränderungen) auf die Zielfunktionswerte. I n dem vorliegenden Buch sind nur solche Probleme der linearen parametrischen Optimierung behandelt, bei denen die Parameter in den Koeffizienten der Zielfunktion oder in den rechten Seiten der Restriktionen auftreten. Parameteränderungen in der Koeffizientenmatrix eines linearen Optimierungsproblems werden hier nicht untersucht. Einmal sind die Untersuchungen dazu

2

1. Einleitung

noch nicht abgeschlossen, zum anderen würde eine Darstellung der bisher vorliegenden Resultate den Rahmen dieses Buches sprengen. Eine der ältesten Arbeiten zur parametrischen Optimierung veröffentlichten SAATY und GASS [ 1 7 4 ] im Jahre 1 9 5 7 über lineare Probleme mit einem Parameter in den Koeffizienten der Zielfunktion. Darin werden einige Eigenschaften dieses Optimierungsproblems beschrieben, und es wird bereits ein Lösungsverfahren konzipiert. Auch viele andere Bücher und Arbeiten enthalten Lösungsverfahren auf der Grundlage der Simplexmethode für Probleme mit einem Parameter in der Zielfunktion. Von linearen Problemen mit einem Parameter im Restriktionsvektor sind seit mehreren Jahren wichtige Eigenschaften bekannt. Man findet sie etwa in den Büchern von GASS [ 7 6 ] und DINKELBACH [ 4 9 ] . In Arbeiten von NOZIÖKA [210], [ 2 1 1 ] sowie HOLLATZ und WEINERT [ 1 0 5 ] werden insbesondere die weiter unten formulierten Fragestellungen für doppelt — einparametrische Probleme hinreichend vollständig beantwortet. Die Entwicklung der mehrparametrischen Optimierung begann etwa im Jahre 1962 mit einer Veröffentlichung der Ergebnisse von SIMONS [185], wo die Konvexität der Lösbarkeitsmenge linearer Probleme mit mehreren Parametern in der Zielfunktion gezeigt wurde. Die Konvexität der Lösungsfunktion bewiesen 1 9 6 3 CHARNES und COOPER [36]. Eine qualitative Theorie findet man bei SOKOLOVA-GRYGOROVA [186]. Entsprechende Aussagen für lineare Optimierungsprobleme mit mehreren Parametern im Beschränkungsvektor findet man z. B. in einem Artikel von BEREANU [ 2 4 ] aus dem Jahre 1 9 6 5 . In den folgenden Jahren erschienen zahlreiche Publikationen auf dem Gebiet der linearen und zum Teil auch nichtlinearen parametrischen Optimierung. Eine erste größere Zusammenfassung der vorliegenden Ergebnisse über lineare parametrische Probleme gab 1 9 6 9 DINKELBACH mit seinem Buch „Sensitivitätsanalysen und parametrische Programmierung" [49]. Den qualitativen Untersuchungen in den meisten erschienenen Aufsätzen und Büchern liegt das Simplexverfahren zugrunde. Zwangsläufig unterliegen alle derartig gewonnenen Aussagen den Schwierigkeiten, die bei Beweisführungen mit Hilfe der Simplexmethode im Falle der Entartung auftreten. In einigen Arbeiten wurde ein rein algebraischer Weg verfolgt, der in gewissen Spezialfällen zu Resultaten führte, im allgemeinen aber bisher keine qualitative Analyse lieferte. Im vorliegenden Buch wird bei der Entwicklung einer Theorie der linearen parametrischen Optimierung ein grundsätzlich anderer Weg beschritten. Auf der Basis der elementaren Theorie konvexer Polyeder und insbesondere auf der Grundlage eines von F. NOZIÖKA [152] geführten geometrischen Beweises des Dualitätssatzes der linearen Optimierung werden Existenz — und Eindeutigkeitsfragen für die Lösungen linearer parametrischer Optimierungsprobleme beantwortet. Im folgenden werden wir nun die wesentlichen Zielstellungen für alle in diesem Buch betrachteten parametrischen Optimierungsprobleme angeben Um uns

1. Einleitung

3

kurz u n d verständlich ausdrücken zu können, soll bereits a n dieser Stelle der Begriff der Einteilung eines Polyeders eingeführt werden. | D. 1.1 Es seien 2i und 211, . . . , 2iA" konvexe Polyeder. Wir sagen, das Mengensystem {2l\ . . . , 21^} ist eine Einteilung der Menge 2(, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: (a) 2t = U 81* , 1 (b) int 21*' n int 91*» = 0 , (c) dim 21 = dim 21*

+ k2) ,

(k = 1, . . . , N) .

Hierin ist unter „ i n t " das relative Innere zu verstehen.

|

Wir formulieren n u n die Ziele und Aufgabenstellungen: 1° Eigenschaften u n d Berechnung der Lösbarkeitsmenge eines linearen parametrischen Optimierungsproblems; 2° Geeignete Definition eines lokalen Stabilitätsbereiches, seine Eigenschaften u n d seine Berechnung; 3° Einteilung der Lösbarkeitsmenge in lokale Stabilitätsbereiche, Eigenschaften und Berechnung der Einteilung; 4° Charakterisierung der Einteilung im Inneren und auf dem R a n d e eines Stabilitätsbereiches, vor allem bezüglich der Menge der Optimalpunkte; 5° Geometrische Charakterisierung der Zielfunktion in den Optimalpunkten bei Änderung der P a r a m e t e r ; 6° Bedeutung der Einteilung f ü r das duale parametrische Problem. Eine wesentliche Rolle in der hier zu entwickelnden Theorie wird der lokale Stabilitätsbereich spielen. Bei der Definition dieses Begriffs wird von der wohlbekannten geometrischen Interpretation eines linearen Optimierungsproblems ausgegangen, wonach sich die Aufgabe, eine optimale Lösung zu finden, als Bestimmung einer Stützhyperebene an die gegebene polyedrische Restriktionsmenge auffassen läßt. Geometrisch interpretiert, bedeutet eine Änderung der Koeffizienten in der Zielfunktion eine Drehung der gesuchten Stützhyperebene. Eine Änderung des Begrenzungsvektors in den linearen Restriktionen bewirkt dagegen eine Parallelverschiebung der Seiten des Restriktionspolyeders. U n t e r einem lokalen Stabilitätsbereich zu einem festen P a r a m e t e r p u n k t werden wir im Fall von Änderungen in den Koeffizienten der Zielfunktion die Menge aller der P a r a m e t e r p u n k t e verstehen, f ü r welche die zugehörigen Optimalmengen (Menge aller optimalen Punkte) übereinstimmen. Bei veränderlichen rechten Seiten der Restriktionen wollen wir in einem lokalen Stabilitätsbereich zu einem festen P a r a m e t e r p u n k t die P a r a m e t e r p u n k t e vereinigen, welche die Eigenschaft haben, d a ß die zugehörigen Optimalmengen durch eine Parallelverschiebung der zum betrachteten festen P a r a m e t e r p u n k t gehörenden Optimal-

4

1. Einleitung

menge entstehen. Für Probleme, wo sowohl Änderungen der Zielfunktion als auch des Begrenzungsvektors auftreten, ist ein lokaler Stabilitätsbereich analog erklärt (vgl. [211]). Es wird sich zeigen, daß die Frage nach der Bestimmung eines lokalen Stabilitätsbereiches auf die Ermittlung der Lösbarkeitsinenge führt. Ein zentrales Ergebnis ist, daß eine eindeutige Einteilung der Lösbarkeitsmenge in lokale Stabilitätsbereiche existiert. Besondere Aufmerksamkeit wird den Eigenschaften eines lokalen Stabilitätsbereiches sowohl im Inneren als auch auf dem Rande bezüglich der Dimension der Optimalmengen gewidmet. Das Buch besteht aus 11 Kapiteln. Die Theorie wird zunächst an einfachen einparametrischen Problemen vorgeführt (z. B. Kapitel 2, wo ein Parameter in der Zielfunktion auftritt). Die zentralen Kapitel sind Kapitel 6 und 8, wo einmal lineare Optimierungsprobleme mit veränderlichen Koeffizienten in der Zielfunktion bzw. in den rechten Seiten der Restriktionen und zum anderen lineare Optimierungsprobleme mit veränderlichen Koeffizienten in der Zielfunktion und im Beschränkungsvektor untersucht werden. Eigentlich sind für die gesamte Theorie die Untersuchungen in Kapitel 8 ausreichend. Durch Spezialisierung (lineare Transformationen und gewisse Zusatzuntersuchungen) kann man entsprechende Resultate für die ein- und mehrparametrische lineare Optimierung gewinnen (siehe Kapitel 5, 7, 9, 10). Für die Kapitel 2, 3 und 4 haben wir jedoch diesen Weg nicht beschritten. Das hat einerseits didaktische Gründe und andererseits wird der Leser feststellen, daß gewisse Aussagen verlorengehen würden. Wir möchten auch darauf hinweisen, daß ein wesentlicher Unterschied in den Lösungsverfahren zur Behandlung der einparametrischen und der mehrparametrischen Optimierungsprobleme besteht. Bei den einparametrischen Problemen sind die Verfahren Modifikationen der Simplexmethode, während sich die Lösungsmethoden für die Probleme aus Kapitel 6 bis 10 aus der dort entwickelten Theorie und der Methode der vollständigen Beschreibung ergeben. Die von H . HOLLATZ entwickelten, im Kapitel 11 dargestellten Lösungsverfahren sind so konzipiert, daß sie die Bestimmung der Lösbarkeitsmenge, ihrer Einteilung in lokale Stabilitätsbereiche, der Optimalmengen sowie der Lösungsfunktion gestatten. Wiederkehrende Begriffe werden, wenn ihr Inhalt aus bereits betrachteten einfacheren Problemen klar ist, nicht neu definiert. Die unterschiedliche Kennzeichnung der Symbole für derartige Begriffe ermöglicht ein einfaches Verweisen auf Resultate in anderen Kapiteln.

KAPITEL 2

L I N E A R E E I N P AR A M E T R I S C H E O P T I M I E R U N G PARAMETER IN D E R Z I E L F U N K T I O N

-

2.1. Einleitung und geometrische Interpretation Es seien cx, c'x, arx, b, (r = 1, . . . , m; a = 1, . . . , n) gegebene reelle Zahlen mit den folgenden Eigenschaften: br ^ 0 ,

r = 1, . . . , m ,

V 2.1

1 ^ m< n ; der Rang der Matrix

V 2.2

(

®u

•••

ml

• • •

a

ist gleich m; der Rang der Matrix lci

• • • c„\

Vi

• • •

a

i»\ I mnf

a

V 2.3

V 2.4

n)

C

ist gleich 2. Wir stellen unseren Untersuchungen das folgende Grundproblem dieses Kapitels voraus: wobei

P(0, rj): max {F(x, n) | « 6 Sfl} , F(x, 7]) = £ (C. + Ca rj) a;. 0, O2 ^ 0. Offenbar gilt: = max F(X, r/x); ^ F(X°, RJJ) = max F(X, RH); XZW atiSBl F(X°, RJ2) = max F(X, RJ2); Q2 F(X°, RJ2) = max Q2 F(X, RJ2); F(X°, RJX)

XI%N

XEWL

der Leser überzeugt sich nun leicht davon, daß F{X, Q1 RJX + O2 %) SS F(X°,

QL

RTL + Q2 RJ2)

ist für alle X € 9JI, d. h. = max F(X, ^ + ß2 VI) • X€9Ji Jeder Punkt RJ = R^ + Q2 R)2 mit GT ;> 0, Q2 ^ 0, + Q2 = 1 sowie RJV RJ2 6 I(X°) ist also ein Element von I(X°), d. h. aber die Menge I(X°) ist konvex. Beim Beweis der Abgeschlossenheit von I(X°) können wir von vornherein von den Fällen I(X°) — {RJ*} und I(X°) = EX absehen. I(X°) ist dann als konvexe Teilmenge des E1 entweder ein endliches oder unendliches Intervall und besitzt mindestens einen Randpunkt. 0. B. d. A. sei rj der Anfangspunkt von /(a?°); dann gelte RJ < ry *. Für jeden Punkt X 6 SJl und für alle R] 6 (RJ, RJ*) ergibt sich, da (RJ, RJ*) c: I(X°) ist, F(X, RJ) < F(X°, RJ). Infolge der Stetigkeit der Funktionen F(X, RJ) und F(X°, RJ) bezüglich RJ, ergibt sich beim Grenzübergang RJ -+RJ+ die Relation F(X°,

RH + Q2 RJ2)

F(X, RJ) ^ F(X°, RJ) Somit gehört aber RJ zur Menge I(X°). Vgl. auch Bemerkung 2.3. 2

Optimierung

für alle

Xe

. |

10

2. Parameter in der Zielfunktion

| B. 2.3 Die Menge I(x°) ist also die Menge aller Parameterwerte rj 6 Elt für welche die Zielfunktion F(x, rj) ihr Maximum bezüglich des Polyeders SU in der betreffenden Ecke ae° e 3Ji annimmt. Aus dem Satz 2.1 geht hervor, daß die Menge I(x°) entweder einelementig (d. h. I(x°) = {rj*}), ein abgeschlossenes endliches Intervall (d. h. I(x°) — (rjv %))> e i n unendliches von ,.links" abgeschlossenes Intervall (d. h. I(x°) = (rjlt oo)) bzw. ein unendliches von „rechts" abgeschlossenes Intervall (d. h. I(x°) = ( —oo, %)) ist. oder I(x°) fällt mit dem Raum Ex zusammen. l(x°) = Ex tritt z. B. ein, wenn 3JI = {x0} ist. | | D. 2.1 Die Menge 2I0lJ aller Parameter rj* € Elt für welche die linearen Optimierungsaufgaben P(0, rj*) Lösungen besitzen, heißt Lösbarkeitsmenge des parametrischen Problems P(0,rj) (2.1). | |

S. 2.2 Die Lösbarkeitsmenge

2I0 n ist konvex und abgeschlossen im E1.

|

| Bws. Die Aussage des Satzes ist offenbar richtig, wenn die Lösbarkeitsmenge leer, einelementig oder der Kaum E x ist. Angenommen, rj lt r]2 € s2i0 n mit rjx < rj2 sind Zahlen derart, daß rj S 2I0»j ist, aber rj e (rjlt rj2) gilt; dann muß die Zielfunktion F(x, rj) über dem Bereich 3Jt nach oben unbeschränkt sein (da 3Ji =\= 0). Es existiert dann aber eine Halbgerade L={xe$R\x

= x + tv,

t^O,

w=#o}

wobei x 6 9JI ist, entlang welcher die Zielfunktion F(x, r]) streng monoton wächst. Für x e L ist also

(2.7) Wir haben nun zwei Möglichkeiten zu untersuchen: 1° vT c' ^ 0. Für % < e r h a l t e n wir — rjVTc'

¡ä — rjx vT c ' ,

und für die Punkte der Halbgeraden L gilt dann wegen (2.7) F{x, r^) = (c + c' mit

x + t(c + & rj^f v

(c + c' rj-^f v > 0 .

Im Widerspruch zu unseren Voraussetzungen ist die Zielfunktion F(x, rjt) über äR nach oben unbeschränkt.

11

2.2. Qualitative Untersuchungen

2o

cT v' > 0. F ü r r¡2^> r¡ erhalten wir analog (c + c' r¡2f wodurch im Widerspruch zu j?2

e

v>0,

2íor, das Problem P(0, r¡2) unlösbar wäre.

Damit ist aber die Konvexität der Lösbarkeitsmenge bewiesen. Der Beweis f ü r die Abgeschlossenheit von 2i 0l) im Ex ergibt sich folgendermaßen aus dem Satz 2.1: Zu jedem r¡* € 210>j existiert eine optimale Ecke x* € Ü0Í, der eine abgeschlossene konvexe Menge I(x*) 0 nach (2.6) zugeordnet ist. Da die Anzahl der Ecken von 501 endlich ist, kann die Anzahl der Ecken, die als optimale P u n k t e bei beliebiger Wahl von r¡ 6 9í 0j) des jeweiligen Optimierungsproblems in Frage kommen, nur endlich sein. Seien dies die Ecken x1, . . ,, x* e 3JÍ; dann gilt = IJ I ( x * ) . Damit ist aber 2Í0 n als Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen selbst abgeschlossen. | | S. 2.3 Es sei r¡ = r¡* ein Parameter wert, für welchen die Zielfunktion F(x, rj*) über der Menge 3JÍ nach oben unbeschränkt ist; dann existiert ein unendliches offenes Intervall mit den Eigenschaften: i° > ? * e / « , ; 2° die Optimierungsaufgaben P(0, rj), rj 6 sind sämtlich unlösbar; 3° J r o ist bezüglich der Eigenschaften I o und 2° maximal.

|

( Bws. Offenbar ist r¡* t [ 0l) ; diese Menge ^XSIQn ist auf Grund des Satzes 2.2 eine offene Menge im Ev Die Menge besteht aus mindestens einem und höchstens zwei disjunkten offenen Intervallen (da 2i0lJ konvex u n d abgeschlossen im El ist). Handelt es sich nur um ein Intervall, so gilt = = E^tyl 0r¡ . I m Fall von zwei Intervallen fällt mit demjenigen Intervall zusammen, das r¡* enthält. | und die | S. 2.4 Es seien x1 und x2 zwei verschiedene Ecken des Polyeders Mengen I(xJ) und /(sc2) nach (2.6) seien nicht leer. Existiert ein rj* 6 int [/(a;1) n I(x2)], so sind Hx1) und I(x2) gleich. | |

Bws.

Wenn rj* e I(x2) ein innerer Punkt F(x\rj*)

Die

des Intervalls

= F(x\r¡*)

.

Hx1) ist, so gilt (2.8)

Funktionen m

= F(x\

n) ,

MV) = F{x\

n)

beschreiben zwei Geraden Lx = {(rj, z) | z = Mtj) , {(r¡,z)\z=f2(rj) ,

rjeEJ, r¡ £ Ex]

(2.9)

12

2. Parameter in der Zielfunktion

in der ( r j , z)-Ebene. Die beiden Geraden haben den Punkt ( r j * , z * ) gemeinsam, wobei z * =/i(»7*) = f % ( r j * ) ist. Betrachten wir ein beliebiges abgeschlossenes Teilintervall ( r j , r j } von /(a:1), wobei r j * € ( r j , r j ) ist. ( r j , r j y mit dieser Eigenschaft existiert wegen r j * 6 int /(ac1). Für die Funktionswerte f-^rj) und f 2 ( r j ) unterscheiden wir drei Fälle: i° m

< m ,

2° f M > M v ) , 3° m

= u v ) .

1° Es ist f t ( r j ) < f 2 ( r j ) für alle rj € ( r j , r j * ) (Abb. 3); nach (2.9) folgt

F ( x 1, r j ) < F ( x 2 , r j ) ,

rje F ( x 2 , r j ) xem für alle rj 6 I ( x l ) gilt. Der Fall 1° kann also nicht eintreten.

2° In diesem Fall ist offensichtlich f ^ r j ) < J 2 ( r j ) (Abb. 4). Es gilt daher ¡ ¿ r j ) daraus folgt

rh) = max F(x,

, (2 141 ' '

x m

rj2) < F(x°, rj2) = max F(x, r)2) .

Fix 1,

y

»effll Die in der euklidischen (t], z)-Ebene definierten Geraden La = =

{(r), z) | 2 = Fix 0,

v

{(»?, z)\z

r j ) , rjt

= F(x\

),

rj e EJ

,

Ey}

haben wegen (2.14) genau einen Schnittpunkt (rjv Zj) mit z1 = Fix 1, r^) = = F(x°, r j j (Abb. 5)..

Aus der Abb. 5 lesen wir ab Fix 1,

r¡) < F(x°,

rj)

für

r¡~>

Fix ,

rj) > Fix ,

r¡)

für

r¡ < r j 1 .

1

0

r¡x,

Nun ist aber rjx € int I(x°), daher existieren Punkte r¡ 6 /( X o) mit rj < rjv für die Fix 0, r¡) < Fix 1, rj) ist. Das steht aber im Widerspruch zu der Tatsache, daß für alle Punkte rj 6 /(£C°) die Relation

Fix, rj) < Fix 0, r¡)

für alle

x 6 3R

erfüllt ist. 2° Es sei rj* € E-¡\Iix°) ein beliebiger Parameter. Die Optimalmenge 3JÍ0pt(??*) ist leer, falls P(0, r¡ *) unlösbar ist; dann ist aber die Behauptung richtig. Setzen wir voraus, daß die Optimalmenge 9Jiopt(^ *) nicht leer ist. Der Punkt x° e W gehört nicht zu Sfíoptí^*)- Daraus und aus I o ergibt sich dann die Behauptung 2°. 3 o O. B. d. A. sei rj° 6 I(x°) „linker" Randpunkt des Intervalls 7(35°). Weiter sei x* ein beliebiger Punkt der Optimalmenge 9Jiopt(®0)- Dann gilt

Fix*,

rj) > Fix,r¡)

für alle

x €

und

r¡ € int /(ac0) .

15

2.2. Qualitative Untersuchungen

Durch Grenzübergang r) —> rj 0+ erhalten wir für alle

F(x*, rf>) ^ F(x, rf)

x 6 SR;

das bedeutet, daß x* € W zur Optimalmenge 3Jiopt(»? ) gehört. Damit ist aber 9KoPt(®°) eine Teilmenge von 3Jfopt(^°). Wir haben nun zu zeigen, daß SRopt(i7°) = 3JJopt(£C°) nicht möglich ist. E s sei SR0 die Menge aller Ecken des Polyeders SR. Jedem xe € SJt0 ist eindeutig die Menge 7(x e ) nach (2.6) zugeordnet, die auch leer sein kann. Die Lösbarkeitsmenge 2l0lJ läßt sich daher darstellen in der Form u xeeSB Auf Grund von Satz 2.2 sind zwei Fälle möglich 0

%>„ =

(a) rj°, der betrachtete Randpunkt von I(x°), ist aus int 3i0r;, (b) der Punkt rj° ist Randpunkt der Lösbarkeitsmenge 2l0j) („linker" Randpunkt). (a) E s gibt eine von der Ecke x° verschiedene Ecke xQ« des Polyeders SR, für welche die Menge I(xe°) ebenfalls ein Intervall ist und die Eigenschaft I{x°) n I(x")

= {r]°}

hat (vgl. Satz 2.4 und Bemerkung 2.4). Daraus folgt, daß xe° wohl zur Menge ÜDJoptfa0) gehört, jedoch nicht zur Optimalmenge 3Kopt(a:0). Aus der bereits bewiesenen Inklusion 3Ji0pt(®0) äRopt(ry°) ergibt sich weiter, daß SRopt(®°) echte Teilmenge von SDiopti*?0) ist(b) Aus Satz 2.2 bzw. Satz 2.3 ergibt sich, daß die linearen Optimierungsprobleme P(0,rj) für alle t] € (— oo, rj°) unlösbar sind. Da der Restriktionsbereich SJi nicht leer vorausgesetzt wurde, ist das Polyeder SR im En unbeschränkt. Das Polyeder SR besitzt immer Ecken und deren Anzahl ist endlich, deshalb gibt es eine Zahl k > 0 mit der Eigenschaft, daß alle Ecken des Polyeders SR im offenen Halbraum H(k) =

6 En |

¿a^fcj

enthalten sind. Die Menge SR* = SK n Utk) ist dann offenbar ein Polyeder im En mit den Eigenschaften («) m k c Stt , (ß) SR* ist beschränkt. (y) Die Menge SR0 der Ecken von SR ist eine echte Teilmenge der Menge SR£ der Ecken von SR*. Die Ecken von SR* aus 3R*\SR° liegen offenbar in der Randhyperebene R(k) = jac e En |

xa

= fcj d e s Halbraumes H(k). Wir betrachten nun das parametri-

2. Parameter in der Zielfunktion

16

sehe Optimierungsproblem max {F(x, rj) | x 6 9J4 }, rj 6 E1; dann ist die Lösbarkeitsmenge Sij, dieses Problems der ganze Ex, da SJJj. kompakt und F(x, rj) stetig ist für jedes t] e Ev Der oben betrachtete Randpunkt t]° von 2i0l) ist ein innerer Punkt von 2t*. Aus demselben Grund wie im Fall (a) existiert dann eine von £c° verschiedene Ecke®* des Polyeders 9J4, für die I(x*) aus (2.6) ein Intervall mit der Eigenschaft n I(x*) =

I(x°)

{t]°}

ist. Weiterhin gilt

wobei (%)opt(«°) =

* * « (2Rfc)opt(®°) ,

(2.15)

* * e (äjyoVt(v°) >

(2.16)

I F(x,

{* € %

(analog zu (2.12) und Aussage 1°), Wk)0Vt(v°)

=

ry) = m a x F(x, xiWt

{X e mk I F(x,

rj)} ,

°) = m a x F(x, xiWi

v

r, e int

I(x°)

rj 0)}

Optimalmengen gemäß Definition 2.2 sind. Da F(x°, r/ c) = F(x*, rj°) ist, folgt aus (2.16), daß F ( x * , Tj°) = max F(x, rj°) = F(x°,

ist, d. h.

¡rsSDU

r f ) = max F(x,

rj°)

scۊ)I

* * e Süiopt(r)°) . Andererseits ergibt sich aus (2.15) und wegen d,

entweder eine abgeschlossene

mit der Eigenschaft

SfczSf"

(bzw.dk+1>d,

StczSfi),

oder sie ist das Polyeder 9Jl selbst. 3° Es gilt SWopt(Vk) n 9Jiopt(% + l) = äßoptfo) ,

V 6 (rjk, 7]k + 1 )

SRoptfo») 4= aRopt(%+i) , SRoptfoi) *

ßr

l ^ k ,

l,ke

{1,

+ 1}.

|

| Bws. Es sei 9Ji° die Menge aller Ecken vom Polyeder 3)f. Jedem x" e 9Jl° ist auf Grund von (2.6) eindeutig eine Menge I(xv) zugeordnet, die leer, einelementig oder ein abgeschlossenes Intervall sein kann. Andererseits läßt sich jedem rj e 2I0r) (3t0^ =(= 0, da 2I0)) als Intervall vorausgesetzt wurde) eine Ecke xv 6 9Jl° zuordnen, die einen Optimalpunkt von P(0, rj) darstellt. Man k a n n also 2t0„ = U schreiben. Da 2i0j) ein abgeschlossenes Intervall im E1 ist (vgl. Satz 2.2), existiert mindestens eine Ecke xe € 3Ji°, für welche I(xe) ein abgeschlossenes x ) Ist 9I0rj = {rj*}, so kann man auch von einer eindeutigen, jedoch trivialen Einteilung sprechen; P(0, rj) ist für alle rj e ( — oo, rj*) und tj e (rj*, oo) unlösbar. 2 ) Für d = 0 ist Sf eine Ecke von M. 3 ) Für Sio?) = {»?*} ist 3Jiopt('i*) eine abgeschlossene d-dimensionale Seite von 2)1 mit 0 5S d < n — m oder das Polyeder SR selbst.

18

2. Parameter in der Zielfunktion

Intervall bildet. Sei nun $01° die Menge aller Ecken xe 6 mit dieser Eigenschaft. Zwei Intervalle I(xei) und I(xe') zu verschiedenen Ecken xei und xQ' aus 3Ji° fallen entweder zusammen oder haben höchstens einen gemeinsamen Randpunkt (wegen Satz 2.4 und Bemerkung 2.4). Es gilt also

= u I(xe) • xeeffli«

Die Menge SR0 ist endlich, also auch die Menge 9? aller Randpunkte der Intervalle I(ace) mit xe 6 501°. Falls 3t = 0 ist, so existiert eine Ecke x°-> e 501°, für die sich I(xe') = ( — oo, oo) ergibt. Dann ist aber = 2Io\ = /(«*) = ( - o o , oo) . Da hier int I(a5e") = I(xe>) gilt, ist auf Grund von Satz 2.5 (1°) und Bemerkung 2.5 für den Fall s = 1 der Hauptsatz bewiesen. Sei 9? =)= 0, so kann man die Elemente der eindeutig bestimmten Menge 91 in einer monoton wachsenden Folge schreiben; o. B . d. A. Vi tjk-i) die aus dem Tableau berechnete obere ^-Grenze. J

) Genauer: Der Wert der Zielfunktion ist für alle rj e (rjk-l>

00

) nach oben unbeschränkt.

24

2. Parameter in der Zielfunktion

Fall 2.1: Es gilt xk* =

xk.

I n diesem Falle ist Xk ein entarteter Basispunkt V e

und optimal für alle

-

Fall 2.2: Es gilt xk> 4= xk und h ^ t - i ) = K i v t - i ) • Wir zeigen, daß in diesem Falle ist. Dazu genügt es, die Gleichung

ebenfalls optimal für alle

xk

F(xk,

rj) =

F(xk',

v

F(xk,

nt-1)

e

(,rjk_lt

)

für alle rj € ( j j k - \ , i j * - i ) nachzuweisen. Die Gleichung gleichbedeutend mit k

rj

h0(rj*_

1)

= Ao(*?*-i) ist

=

k

Da x und x * beide für rj — rjk_1 optimal sind, folgt F(xk,

=

F(xk>,

r

j k

^) .

Die Funktionen Mrj)

=

F(xk,

rj) ,

f2(rj)

=

F(x*>,

rj)

sind linear und haben die beiden Punkte "rjk-i'Vk-i gemeinsam; also ist = f2(rj) für alle rj € (rjk_:, rj*_j), womit die Behauptung bewiesen ist.

fx(rj)

4= A* I n diesem Falle ist klar, Fall 2.3: Es gilt xk> 4= xk und h0(rjt_1) daß rjk_l die obere Intervallgrenze eines Einteilungsintervalls /(äs*) der Einteilung aus dem Satz 2.6 ist. Wir bemerken, daß nach endlich vielen Simplextransformationen ein zu xk optimales Tableau gefunden sein muß, das die obere »j-Grenze des Einteilungsintervalls I(xk) gemäß (2.26) liefert, da nur endlich viele optimale Tableaus besitzt. Bevor das obige Lösungsverfahren entsprechend der vorangegangenen Untersuchungen modifiziert wird, soll noch die Berechnung von rj* gemäß (2.23) betrachtet werden. Eine nähere Untersuchung des Schrittes 3 im Lösungsverfahren ist jedoch nur erforderlich im Falle k = 1, also zu Beginn des Verfahrens, wenn noch kein rj 6 2I0jJ gefunden wurde. Gerät man nämlich mit einem anderen r]k in den Schritt 3 1), so ist nach Satz 2.6 das Problem (2.21) für alle rj 6 (rjk, 00) unlösbar, und die Berechnung nach (2.23) reduziert sich auf die Festsetzung rj* rj. Es sei somit (2.24) ein Simplextableau, aus dem für rj = rj die Unlösbarkeit abgelesen werden kann, d. h. es existiert ein s mit hs(rj) < 0 und drs

dm0

dm

•

•

i

•

d

m i

n-m n-m

drn_m dm,n—m

Hierbei ist wegen der Optimalität doi^O,

i — 1, . . ., n — m .

Aus diesem Endtableau interessieren besonders die Menge 7° pt der Indizes aller Elemente in der charakteristischen Zeile, die gleich Null sind und die Menge I d e r Indizes aller Werte von Basisvariablen, die gleich Null sind, d. h. A>t = i s I d o, = 0 } =

fo

«p} ,

= {r I dro = 0 } = {rlt . . ., r j . Satz A. Es gilt SKopt = {xtEn

| xir = dT0 -

2

dri xat ^ 0 ,

se/;t;

»„ = 0 ,

r =\,..

,,m-,

i e {1, . . . , n - m}\/»pt} .

Satz B . Der Optimalpunkt x° ist genau dann eindeutig bestimmt, wenn sämtliche Elemente der charakteristischen Zeile im Tableau ( * * ) positiv sind, d. h. 3*

28

2. Parameter in der Zielfunktion

/° p t = 0 oder die Menge 3)1* = {x e En | Z *r,

^ 0,

*«.£,

5 € /° p t }

nur Punkte x* 6 2Ji enthält mit a£, = 0 (s 6 /° p t ). Satz C. Die Menge 3ftopt ist dann und nur dann Abschließung einer d-dimensionalen Seite (1 ^ d si n — m) von 9JI, wenn I„ pt mindestens d Indizes enthält (d. h. p > d) und der Kegel K =

. . .,

e Ep | f dfSv x ^

0,

r6

;

v= 1

i>|

die Dimension d hat (vgl. [152]). Wegen Satz 2.6 ist es lediglich erforderlich, die Optimalbereiche 9Jcopt(^) in den Einteilungspunkten rjk zu bestimmen. Nach Satz A geschieht dies in folgender Weise: Es sei (2.24) ein optimales Tableau für Problem (2.21) bei»; = rj k _ 1 . Aus ihm entnehmen wir die Indexmengen Iovi = {* I

= 0} ,

Ilr1 = {r \ dr0 = 0 } .

(2.28)

Nach Satz A ist SK0pt(%-i) = {xtEn\

xir = dr0iä 0 ,

£ sei*-1,

drsxXt^

0,

xai=0,

r = 1, . . ., m; ie {l,...,n-m}\Ik-l}

. (2.29)

Somit hat man die Berechnungen von (2.29) bei Schritt 4 in dem obigen Verfahren durchzuführen. Hierbei ist 3Jt opt (%_i) aus demjenigen optimalen Tableau abzulesen, aus dem rj Jc _ 1 berechnet wurde. Der Satz C erlaubt es außerdem noch, die Dimension von 3ft0pt(%-i) z u berechnen. Im Zusammenhang mit den oben angegebenen Lösungsverfahren kann man auch leicht die Lösung des Problems max {max F{x, rj) | rj e 2l0„ n o = J

? = ö

-

30

2. Parameter in der Zielfunktion

Schritt 3 : Das benachbarte Tableau l a u t e t

0 4 4

2

1

0

1

-

1

-

1

0

-

3

(2/i. • •

0 0

2

4

0

Vi) = (0, 0, 0, 0, 0, 5, 5) rj*

= min [2; 0] = 0

1

da x1 =(= y folgt Schritt 4 : Der Vektor

0, 0, y , y , 0, y j ¿ = 2; nx =

Schritt 2 :

= 2;

Schritt 3 :

4

¥

=

0;

g- = p =

»4

»5 4

1

2

0

3 2

5 Y l 2

1 2

«2 0

T 2 1 2

1 2

1 2

3 2 1 2

5

0

4

1

0

0

—

O

-

4

_

5 Y

—

1 Y

0

2

0

4

1

0

0

10 3

2 ¥

1 ¥

wegen x2

= y folgt T)! '

Schritt 2 :

= l ; Po

o.

= 0 . «i

1 0

( » » , . . . , « ? ) = (0,0, 0 , 0 , 0 , 5 , 5);

nt

p0 =

ist optimal für alle r\ e ^—2,

T

4 und ¥

_ ¿10 du

_

10 y •

= (0, 0, 0, 0, 0, 5, rj*

m i n

3 '

[

2

4 < ¥ '

5); 2

]

31

2.3. Lösungsverfahren

Schritt 3: 1 13

¥

4 3

x7

«3

1 7

19 7

26 7 16 7

10 7 5 7

2 7 1 7

1 7 4 7

1 7 3 7

7 3 7 2 7

5

0

4

1

0

0

¥

1 8

33 8

5 8

2 7

«5

4 7 3 7

CEl

«4 20 7 15 7

-

1

2 ¥

10

(yv • ••>yi)

=

= ( y , y , 0, 0, 0, 0, ö) ; 13

1

¥

21 8

0

wegen x2 4= y folgt Schritt 4:

Der Vektor xa = (0, 0, 0, 0, 0, 5, 5)T

ist

optimal

für

alle

^(-y-y); =

= 3; 13

g-;

Schritt2:

= 3;

x3 = ( y , y ,

20

g= - y ;

2>o = T 5 =

v =

1

15 2

4 7

24 7

13 14

13 8

5

3 7

3 7

5 4 5 4 5

2 7 1 7

2 7 1 7

T

0

4 7 1 28 3 28 1

5 8

1 8

-

•

«5

X7

»3

7

5 j ;

T

Schritt 3:

ar2

15

0, 0, 0, 0,

1 33 8

7

0

11 14 5 7 11 28 5 28 1

T

21 8

(yi> • • •» /5

6

Vi)

5

= 2;

= \

32

2. Parameter in der Zielfunktion

(

10

5

y , y , 0, 0, 0, 0, 0) ist optimal für alle r; e

15

rj 3 % = = 2; 2 folgt q= p = 5 . N^1 Schritt 2: Wegen 5 «-5 =— 5 1; und

Schritt 7: Ende.

(

—, -j-, -j-, 0, 0, 0, Ol ist optimal für alle rj

KAPITEL 3

L I N E A R E E I N P AR A M E T R I S C H E O P T I M I E R U N G P A R A M E T E R IM R E S T R I K T I O N S V E K T O R

-

3.1. Problemstellung und geometrische Interpretation E s seien c a , aTa, br,b'r (r = 1, . . ., m ; a = 1, . . ., n) gegebene Zahlen mit folgenden Eigenschaften: n

m

Z\K\>0,

n=l

V 3.1

r=1

1 ^ m „ ist gleich m.

V 3.3

Den Untersuchungen in diesem Kapitel liegt das parametrische Problem P{v, 0):

m a x {F(x)

| x e 9Jl(r)} ,

F(x)

c.xa

» 6 ^ ,

(3.1)

zugrunde. Dabei sind =

S

«=i

(=

cT x)

(3.2)

die Zielfunktion und für festes v 6 E1 9 % ) = ja? e E„ | 2 " ara xa = bT + v b't, r = (=

{x 6 E„ | A x =

1, . . . , m; xa ^ 0, a = 1, . . . , rcj

b + v b', x > o})

(3.3)

die Restriktionsmenge. Die Menge 9Ji(r) ist für einen festen Parameterwert v € Et ein Polyeder. Das parametrische Problem P(v, 0) läßt sich ebenso wie das Problem P(0, rj) aus dem Kapitel 2 als eine Klasse von Optimierungsaufgaben interpretieren. Für festes v* € E1 erhält man aus P(v, 0) entweder ein lösbares lineares Optimierungsproble mP(r *, 0), oder dieses Problem ist unlösbar. Analog zur Definition 2.1 heißt die Menge aller Parameter v* € Elt für welche die Aufgabe P(v*, 0) eine optimale Lösung besitzt, Lösbarkeitsmenge des Problems P(v, 0) und wird mit 2t,, 0 bezeichnet. Offenbar gehören zu 9i v 0 alle Parameter v* 6 E1 und nur diese, für welche das Polyeder %R(v*) =)= 0 und die Zielfunktion F(x) über dem Polyeder 9Ji(r *) nach oben beschränkt sind. Das Ziel unserer Betrachtungen besteht darin, qualitative Aussagen über das Problem P(v, 0) treffen zu können, ähnlich wie schon im Kapitel 2 über das Problem P(0, rj), die eine Grundlage zur Konstruktion eines Lösungsverfahrens für konkrete Probleme der Art P(v*, 0) für alle v* aus einer gewissen Teilmenge des Ej^ bilden. Insbesondere interessiert uns wieder eine eindeutige Einteilung der Lösbarkeitsmenge 2( v0 in Teilmengen, über welchen gewisse Eigenschaften invariant sind. Das betrifft u. a. die Mengen der optimalen

34

3. Parameter im Restriktionsvektor

Punkte (die Optimalmengen 3Ji0pt(v)) u n ( l die Lösungsfunktion 0,

i = 1, . . . , s j .

Ist dim K = m + 1 (bzw. ra), so gilt 0 5Í d sí m (bzw. 0 ^ d

m — 1).

(3.16)

38

3. Parameter im Restriktionsvektor

Setzt man I(Zt) =

{1,...,»}

\ {(v)= max G(u, v) , um

ve2f,0

bei

P(v, 0) ,

(3.46)

»e 21,0

bei

m

v),

(3.47)

reCo

bei

D(0, v) .

(3.48)

| S. 3.4 Die Lösbarkeitsmengen der dualen parametrischen Probleme P(v, 0) und D(0, v) sowie P(v, 0) und D(0, v) sind jeweils gleich. Für die Lösungsfunktionen gilt 0, so daß die Funktion ip(v) linear über Falls Sl, o = {»>*} ist, so gilt sinngemäß alles, was in den Fußnoten 1) und 2) beim Satz 2.6 gesagt ist.

3. Parameter im Restriktionsvektor

56

(v — e, v + e) c int I k ist, das ist aber ein Widerspruch dazu, daß y>(v) über keinem Intervall (v — e, v + e) linear sein könne. Daraus folgt aber: v € N2. Falls das Intervall 0 endliche Grenzen hat, gehören diese sowohl zur Menge N t als auch zu N2, also gilt (3.77). Es sei nun — Einteilungsintervall von (3.53) für das Problem P(v, 0). Der Punkt y* =

{W0^{v*))

ist für einen festen Parameter v* 6 int 31'0 ein Punkt aus dem Inneren der abgeschlossenen Kante ht des Polyeders D (3.51), wobei nach (3.58) gilt ht = {y e Em+1

I y = &(x), x e 2J}opt(v), v e 2iJ 0 } .

Folgende zwei Fälle müssen wir betrachten: (a) A, er Zd, wobei Zd eine bestimmte abgeschlossene Seite des Kegels K (3.10) ist, und es gilt ht n Zd 4= 0. (b) ht enthält innere Punkte des Kegels K.1) Ein Punkt u° € ist nach Lemma 3.5 genau dann optimal für die Aufgabe Z>(0, r * ) , wenn die Hyperebene R(n°) nach (3.29) eine Stützhyperebene an den Kegel K ist mit y* = 0(2Jf o p t (v*)) e R(u°). Im Fall (a) berührt eine derartige Stützhyperebene den Kegel K entlang der abgeschlossenen Seite Zd; im Fall (b) existiert genau eine derartige Hyperebene im Em+l, und sie enthält den Kegel K. Alle Stützhyperebenen B(u°) an K mit y* 6 R(n°) sind offensichtlich für alle Punkte y 6 int Zd = Zd dieselben (bzw. für alle y € int K). Damit ist aber auch für alle y = 0(Wlovt(v)) E v e int 21' 0 die Menge der Stützhyperebenen R(u°) mit y e R(u°) unabhängig davon, wie man v aus int 21'0 wählt. Aus dem Lemma 3.5 folgt deshalb weiter, daß die Mengen 9iopt(f) =

6

| G (u°, v) = min G(u, v)} ,

untereinander alle gleich sind. daher

v 6 int

0

Weil i > * e i n t 2 l ' 0 vorausgesetzt wurde, gilt

9 W " ) = WoPt(v*)

für alle

v € int 2i'v0 •

(3.78)

Wir nehmen nun an, daß ein Punkt v 6 2i, 0 existiert, für welchen gilt v 6 int 21' o ;

veN2,

H l , .

(3.79)

Die Randpunkte des Intervalls 21' 0 sind, falls sie existieren, wegen Nx C N2 Elemente von N 2 . Da der Punkt v mit den Eigenschaften (3.79) zwischen den Randpunkten von 2i£o liegt, zerfällt 21' o mindestens in zwei Teilintervalle, die zur Einteilung von 2l„ 0 für das Dualproblem D{0, v) gehören. Der Punkt v aus (3.79) ist dann aber Randpunkt zweier derartiger Teilintervalle 1' und I " . Der Fall (b) kommt nur in Frage, wenn A (3.9) vom Range m ist, d. h. dim K = m (vgl. Beweis für Satz 3.7, 2°).

3.2. Qualitative Untersuchungen

57

Nach Satz 2.6, 2° gilt SßoptM = SKoptC')

für alle v e int I'

und festes v' € int T. Jedes v" € int I' hingegen und insbesondere jedes v" e int I" führt auf 3fi0pt(''") 4= S^opt^')) w a s aber, da v' und v" aus dem Inneren von 2lJ0 sind, ein Widerspruch zu (3.78) bedeutet. Ein Fall (3.79) kann also nicht auftreten. Das Intervall o wurde als beliebiges Einteilungsintervall aus (3.53) für P(v, 0) vorausgesetzt, mit (3.77) folgt daher, daß die Mengen und N2 gleich sind. Damit ist aber der Satz 3.10 bewiesen. | Wir wollen noch zeigen, wie man die zulässige Parametermenge $8„ bestimmen k a n n ; bekanntlich fällt sie mit der Lösbarkeitsmenge 0 zusammen, falls es einen Parameter v e E1 gibt, für welchen die Aufgabe P(v, 0) lösbar ist. Wir betrachten dazu im Raum En+1, in dem xlt . . . , xn, v kartesische Koordinaten sind, die Menge

SR

A x — b'v = b ,

x

è

O ; V 6 -E^j

.

(3.80)

Weiterhin definieren wir v1 =

inf

j>2 =

v,

sup v

(3.81)

(?) ,

/x*\ ~ betrachtet wird, nimmt im Punkt / ^ I 6 3Ji den Wert v * an, der aber auf Grund unserer Voraussetzungen nicht zwischen dem Minimum v1 und dem Maximum v2 der Funktion / = v liegt, was aber offenbar ein Widerspruch ist. Daher gilt (v1, v2> = iÖ„, falls v1 < v2 ist, und S8V = (v1), wenn v1 = v2 gilt. Die verbleibenden Fälle aus (3.83) beweist man analog. | | B. 3.10 Ist eine konkrete Aufgabe vom Typ P(v, 0) gegeben, so kann man mit der im Satz 3.11 formulierten Aussage, die zulässige Parametermenge 50,, bestimmen, falls bekannt ist, ob 9JI 4= 0 ist und ein Basispunkt (x0T, v0) existiert. Man löst dann nämlich folgende Optimierungsaufgaben min {*| und maxj,| mit der gewöhnlichen Simplexmethode. Stellt sich heraus, daß eines der beiden Probleme (bzw. beide) nicht lösbar ist, so setzt man entweder v1 = — oo oder v2 = co (bzw. v1 = — oo und v2 = oo). Ist für einen beliebigen Parameter v£ die Aufgabe P(v, 0) lösbar, so ist die derartig bestimmte Menge von Parametern die Lösbarkeitsmenge 3t, 0 .

3.3. Lösungsverfahren Der Satz 3.10 ist nicht nur ein wichtiges Resultat für parametrische lineare Optimierungsprobleme mit einem Parameter im Restriktionsvektor, sondern er zeigt auch die enge Verknüpfung eines Paares dualer einparametrischer Probleme. Insbesondere folgt aus ihm, daß die Bestimmung der eindeutigen Einteilung der Lösbarkeitsmenge 2t, 0 auf die Ermittlung der entsprechenden Einteilung für das duale parametrische Problem D{0, v) zurückgeführt werden kann. Daher ist hier das in 2.3 dargestellte Lösungsverfahren vom Prinzip her anwendbar, jedoch mit Hilfe der dualen Simplexmethode. Wir gehen sogleich zur Beschreibung des Verfahrens über. Ausgangspunkt sei das Problem max {cT x \ A x ^ b + b'v, x^o}

(3.84)

mit v v ^ v. Es ist klar, daß man jedes Problem in Gleichungsform auf diese Gestalt bringen kann. Dem Problem (3.84) stellen wir das Dualproblem mit

3.3. Lösungsverfahren

59

S chlupfvariablen

{ m

^

Z ( b

r=1

T

+

m

b'Tv)

u

| Z a

r

r

r r= 1^

« u

—

T

0,

u

u

m + l x

=

c„, a

= 1, . . . ,

r

m ;

u

=

1,

. . . ,

n ;

^ 0, a = 1, . . . , » j

m + o t

(3.85)

gegenüber. Es sei u ° = (u'[, . . . , u" ) ein beliebiger (zulässiger) Basispunkt von (3.85) mit den Basisvariablen Uj , . . . , Wenn wir die Restriktionen in (3.85) nach diesen Variablen auflösen und in die Zielfunktion (die wir mit u 0 bezeichnen) einsetzen, erhalten wir m+n

T

m uU

=

d

0 «

u

=

(rf0>

-

d r « 2 r = 1

u

i r

,

a

=

1,

. . ., n

,

v

u

m

Falls

dT:

- i

—

v

0

d

0

¡ä 0

r 0

-

v d

0 0

)

Z

—

r=1

(dr,

- l

-

d

r 0

)

i t

= 1, . . ., m) gilt, so ist der Punkt

(r

x"r

=


0 (a = 1, . . ., n). Wenn I(u°) das größte Parameterintervall ist, innerhalb dessen u° optimal für (3.85) bleibt, so folgt aus Satz 3.10 und Satz 3.7, daß dieses Intervall zur Einteilung von 2i v0 gehört und ihm die Indexmenge {« | > 0 } als charakteristische Indexmenge zugeordnet ist. Unter Berücksichtigung von Satz 3.10 und den Darlegungen zum Lösungsverfahren A L[P(0, rj)] in 2.3 ergibt sich ein analoges Verfahren zur Bestimmung der eindeutigen Einteilung von 9t v0 . 5

60

3. Parameter im Restriktionsvektor

Wegen der vorhandenen Dualität kann das Verfahren — wir nennen es A L[P(v, 0)] — ohne weitere Erklärung angegeben werden. AL[P(v,

0)]:

Schritt 0: k : = 1;

: = v;

v := 0 .

Schritt 1: Man setze in (3.84) v = vJc_1 und wende auf (3.84) die (duale) Simplexmethode an. Es sei (3.86) ein Endtableau für v — vk_1. Wenn es ein r (1

wir : = 0 , :

=

min

a. =

. . .,n ,

r = 1, . . ., m; [v; inf j - j ^ | dro > o j j ;

wenn uk = w oder Z 0 ( r *-i) = ? +

p, so vk_1 : = v*_x und Schritt 2.

61

3.3. Lösungsverfahren

Schritt 4: Es sei I(uk) = {« | u*> 0}. Für alle r 6 O i _ i , gilt äJlopti") = \x 6 En+m | 2" afot xa + xn+r = 6, + b'rv , t.^ö,

« = 1 ,...,n

+ m;

r=l,...,m; xa = 0,

a€J(«*)|;

wenn v = 1, so Schritt 7; vk := r t _ i ; fc := & + 1; wenn = oo, so Schritt 6; uk := w;

:=

; y :=

p := d00; Schritt 2.

Schritt 5: Wenn es ein (1 ^ k^ ^ m) mit lkt(vk_i) gibt, so Schritt 6; r * : = min v; sup

< 0 und dkt „ ^ 0 (a = 0, 1, . . ., »)

| lr(vk_x) < 0;

dTa ^ 0,

v) 6 > (4-5) wobei m G(u, v)= Z (&r + K v) ur (= (b + b' vf u) (4.6) r= l

die Zielfunktion ist, und durch 3 •

(4-10)

Schließlich führen wir noch die über 2iv n definierten Lösungsfunktionen rj) — max F(x, rj)

(4.11)

bzw. ip(v,rj)=

min G(u,v) w€9J(»J)

f ü r die Probleme P(v,rj) bzw. D(rj, v) ein. Die Lösbarkeitsmenge maximale Definitionsbereich beider Funktionen.

(4.12) ist der

4.2. Qualitative Untersuchungen | S. 4.1 Ist 91,, 4= 0, so stellt 2i„, das kartesische Produkt von 58, (4.4) und $8, (4.8) dar, d. h. 2I„ = 58, X » „ . i ) (4.13)| | Bws. Für jeden Punkt (v, rj) $ 58„ X 58, muß offenbar v 5 58, oder rj 5 58, sein. Falls v 9 58, ist, so ist wegen (4.4) = 0, d. h. (v, rj) S 9t,, für alle rj e Ev Ist rj 5 SS,,, so ist das duale Problem D(r/, v) unlösbar für alle v € Ev denn 3l(rj) = 0. Da 21,, auch Lösbarkeitsmenge von D(rj, v) ist, folgt (v, rj) € für alle v 6 Ex. Damit ist aber die folgende Implikation bewiesen: {v,rj)S®,

X $8, = M r , i f ) « 8 U ,

(4-14)

d . h . St,, c 58, X 58,. Es seien (v, rj) 6 58, X 58, beliebig u n d (v*, rj*) 6 91,,. Die Aufgabe P(v*,rj*) ist dann lösbar, und P(v, rj*) ist auf Grund von Satz 3.3 f ü r alle v 6 58v lösbar, also auch f ü r v = v. Nach dem Dualitätssatz h a t d a n n aber auch die Aufgabe 1

) Die Mengen S3, und S3, sind nach Satz 3.1 konvex und abgeschlossen im Da Sl,,, =t= 0 ist, so muß S8, (bzw. S9,) entweder einelementig oder ein abgeschlossenes endliches bzw. unendliches Intervall im Ex sein.

4.2. Qualitative Untersuchungen

67

D(rj*, v) einen optimalen P u n k t . Daher ist aber auch D(rj, v) f ü r alle rj 6 lösbar (Satz 3.3), insbesondere auch für rj = rj 6 93,,. D. h. aus (v, rj) i iÖ„X 33,, folgt (r, rj) e %v, also X S3„ ^ Mit (4.14) ergibt das aber die Behauptung. | | B. 4.1 Die Beschreibung der Restriktionsmenge SJl(v) (4.3) in Gleichungsform spielt offensichtlich f ü r die Aussage des Satzes 4.1 keine Rolle, denn ein lineares Optimierungsproblem mit gemischten Restriktionen (d. h. Gleichungen und Ungleichungen) läßt sich bekanntlich durch Einführung sogenannter Schlupfvariablen auf ein äquivalentes Problem überführen, bei dem die Nebenbedingungen Gleichungen sind. | | B. 4.2 Falls $(,,„ 4= 0 ist u n d die Menge einelementig, d. h. S8„ = {r*}, so liegt mit P(v*, rj) eine parametrische Aufgabe des T y p s vor, der im zweiten Kapitel behandelt wurde. Dort findet m a n f ü r diesen Fall auch die entsprechende qualitative Untersuchung. Ist dagegen 33,, = {rj*}, so ist f ü r die Aufgabe P(v, rj*) die Theorie dem Kapitel 3 zu entnehmen. I n beiden Fällen wird die Menge St,, eindimensional, und wir setzen 2lVI) = 9 l 0 i m ersten und 2lv ,, = 2Iv0 i m zweiten Fall. I n diesem Kapitel geht es u m Untersuchungen f ü r den Fall, d a ß die Lösbarkeitsmenge St,,, zweidimensional ist. | | B. 4.3 F ü r festes (v*, rj*) € 21, „ 4= 0 stellt die Optimalmenge äK0pt("*> V*) aus (4.9) entweder eine bestimmte abgeschlossene Seite des Polyeders $R(v*) bzw. das Polyeder 9Jt(v*) selbst dar. Wegen (4.3) existiert daher eindeutig eine charakteristische Indexmenge I,n(v*,rj*) ^ {1, ...,n} (vgl. D. 3.3), so d a ß gilt und

3Ropt(»*, V*) = {* € m(v*) 1 ^ = 0, « 6 I,n(v*,rj*)} L(v*) = {xe En\Ax

= b + b' v*,

,

(4.15)

= 0, « c Ivn(v*, rj*)}

(4.16)

v

ist derjenige lineare U n t e r r a u m kleinster Dimension, der W0pt( *> V*) enthält. Als charakteristische Indexmenge ist Irn(v*,rj*) die maximale Teilmenge aus {1, . . ., n) mit der Eigenschaft (4.15), d. h., falls I,n{v*, rj*) =)= {1, . . ., n} ist, existiert ein P u n k t 3tt o p t (v*,??*), J e d e m P u n k t (v*, rj*) 6 I,r,(v*,rj*) zugeordnet.

a£>0,

« € {1, . . .,n}\I„n{v*,rj*)

.

(4.17)

ist eindeutig eine charakteristische Indexmenge |

Wir beweisen zunächst einige Hilfssätze, die uns die qualitative Untersuchung erleichtern und die Ergebnisse deutlich werden lassen. E s seien 21,,, =|= 0 und (v*,rj*) 6 2t,,, ein beliebiger P u n k t . Wir definieren die Mengen fi(v) = {x e Wl(v) \xx = 0, a e /,„(**, rj*)} , A(v*,rj*)

= {vtE1

| 2(v) 4= 0} .

»6^,

(4.18) (4.19)

68

4. Voneinander unabhängige Parameter in Zielfunktion und Restriktionsvektor

Wegen (4.15) gilt d. h. A(v*, rj*) 4= 0- Für festes v 6 A(v*, fj*) stellt £(i) eine bestimmte abgeschlossene Seite von SOi(r) bzw. 3JJ(i) selbst dar, und wegen (4.15) und (4.18) gilt dim £(i) ^ dim W o p t(v*,y*) • Aus (4.19) ergibt sich sofort v

9

A ( v * , t ] * )

=#•

£ ( r )

=

0

.

Betrachten wir die Klasse von Aufgaben (bei festem t]* 6 $9,) { F ( x ,

m a x

r j * )

| x

€

% f l ( v ) }

,

(v, r j * )

€

8 1 , ,

,

so liegt ein parametrisches Problem der Form P(v, 0) aus dem Kapitel 3 vor. Nach Bemerkung 4.2 gilt 2Iv0 = {v € Ex | (v, rj*) 6 21,„ ,

rj* € 0)- Da 9ivo 4= 0 ist ({v*, ry *) e Si,,,,), ist auch 2i, 0 = Besteht = 9l„0 n u r a u s einem Element, d. h. = (c* }, dann ist äfl(v) = 0 für alle v 4= v * . I n diesem Fall ist daher auch A ( v * , r j * ) einelementig, d. h. A(v*, rj*) = {v*}. Andernfalls ist SB, = 21,0 nach Satz 3.3 ein abgeschlossenes endliches bzw. unendliches Intervall im Ev Nach Satz 3.7 existiert dann eine eindeutige Einteilung von 9tv0 in Intervalle, d . h . nach (3.53) 8

2l„o = U 21* o (s

1). Über diese Einteilung gelten die Aussagen 2° bis 5° des Satzes 3.7. Für v* 6 A(v*, rj*) müssen wir zwei Fälle unterscheiden: k =

l

(a) Der P u n k t v* ist Randpunkt eines Einteilungsintervalls 2t*o v o n dann folgt aus Satz 3.7 und (4.18), daß 2(v) = 0 ist für alle v 4= v*. (b) Ist v* kein Randpunkt eines der Einteilungsintervalle (k = 1, . . ., s), so muß v* innerer Punkt eines bestimmten Intervalls 0 aus (3.53) sein, also v* 6 int 91'0 (1 ^ l < s). Wegen (4.18) erhalten wir dann aus dem Satz 3.7 (2° bis 5°) 2 ( v )

=

m

o v t

( v ,

v

*

)

=

{sc e EK(r) | « . = 0 , « e

Falls I ( v * , r j * ) 4= {1, . . ., destens einen P u n k t v r !

®eS(r), Für v 9 2li0> v 6 2I r0 =

n )

«a>0,

I

v r >

{ v * ,

ist, gibt es für jedes

r j * ) }

v

*

r e 9lt 0 •

6 int 2l' 0 daher min-

«e{l

mit

2Wopt(v. V*) = ( x 6 3R(i) j

0 ,

= 0, a e /,„(*, rj*)}

4.2. Qualitative Untersuchungen

69

gilt weder Irtj(v, rj*) ci Ivr](v*, r]*) noch die Umkehrung, d. h. aber 2(v) — 0 für v € 3li0. Daraus folgt aber wegen (4.19) A(v *, r}*) = 2i',,0Aus den Aussagen 3° und 4° des Satzes 3.7 ergibt sich, daß die Mengen S(rj) und 2(V2) mit r 1; r 2 € int 0 = int A(v*, rj*) dieselbe Dimension haben, und es gilt dim £(1^) = dim ä(v2) = dim £(v*) = dim SKopt^*, rj*) . In einem Randpunkt v 6 A(v*, rj*), falls ein solcher existiert, gilt dim £(v) = dim 3 K 0 p t M * ) g dim &(v*) , 2(v) = {x 6 2R(i) | « . = 0 , wobei Ivri(v*,t]*)

1 ein festes Paar-, dann gelten die Aussagen:

1° Die Menge A(v*,rj*) ist entweder einelementig, d. h. A(v*,rj*) = { r * } , oder ein abgeschlossenes endliches bzw. unendliches Intervall im Ex mit v* € g int A(v*, rj*). 2° Ist A(v*, rj*) ein Intervall, so ist dim Wenn Ivn(v*, Punkt

= dim £(i>*) ,

v 6 int A(v*, rj*) .

rj*) 4= {!> • • • > n) ist, so existiert zu jedem v 6 int A(v*, rj*) ein

*e£(v),

*«>,

«6

{1,

...,n}\Itv(v*,rj*),

d. h. Ivr){v*, rj*) ist für SKoptlv, rj*), v e int A(v*, rj*), charakteristische Indexmenge. Für alle v 6 A(v*, rj*) gilt

Gibt es einen Randpunkt v e A(v*, rj*), so ist dim 2(v) ^ dim £(v*) , und für jedes x e 2(v) gilt xa = 0, a e Ivrß>, rj*), wobei Ivn(v*,rj*) Teilmenge von Ivrfi,v]*) ist, also Ivn(v*,rj*) ,

75

4.2. Qualitative Untersuchungen

wobei Sö* aus (4.22) und 50* aus (4.25) sind. Im Lemma 4.3 zeigten wir A{v*, Tj*) c $8* und v * ) = S5*. Somit erhalten wir Q(v*, rj*) = {(v >i? ) €

| (v.jj) 6 A(v*,rj*)xB(v*,rj*)}

,

d. h. Q(v*, rj*) = ??*) xB(v*, f]*); das beweist aber 1°. Ist Q(v*,rj*) ein zweidimensionales Intervall im E2, so folgt aus Q(v*,rj*) = A(v*,rj*)xB(v*, rj*), daß A(v*, rj*) und B(v*, rj*) abgeschlossene Intervalle im E1 sind. Nach Lemma 4.1, 1° gilt v* € int A(v*, rj*) und wegen Lemma 4.3, 3° ist auch rj* 6 int B{v*, rj*), das besagt aber insgesamt (v*, rj*) € int Q(v*, rj*). Aus Lemma 4.1 folgt dim £(r) = dim 2{v*) = dim 3Ji0pt(J'*' V*) für alle v e int A(v*, rj*), sowie S(»*) = aKoPt(» * , » ? * ) • (4.47) Wegen Lemma 4.3, 3° ergibt sich aus Satz 2.6 über das Intervall B(v*, rj*) die Aussage movi{v*,rj*)

rj € int B(v*, rj*);

= movt(v*,rj),

daraus folgt aber nach (4.15) ä J W " * ' n) =

€ SK(v*) I

= 0, « 6 J „ ( r * . ) ? * ) } ,

i j e i n t B(v*,rj*) .

Für festes rj 6 int B(v*, rj*) gilt auf Grund von Lemma 4.1, 3°: 3Ropt(", j?) =

e 3R(jO 1 ^ = 0, a e I^(v*,rj*)}

,

v 6 int A{v*,rj*)\

wegen (4.18) ergibt sich daraus 2{v) = äRoptiv, rj) >

(". V)

e int A v

( *> »?*) X i n t B(v*, rj*) ,

d. h. (4.44)a. Da nach Lemma 4.1, 2° auch £(v) = {x e SDi(v) |

= 0, a € Ivri{v*,r]*)} ,

v e int ¿ ( r * , rj*)

gilt, wobei Ivn(v*, rj*) charakteristische Indexmenge für 2(i>) ist, ist aber damit die Aussage 2° bewiesen. Die Aussage 5° ergibt sich unmittelbar aus 3° von Lemma 4.1 und 3° von Lemma 4.3. Wir beweisen nun die Behauptung 3° des Satzes. Es sei (v, rj) 6 int Q(v*, rj*), und wir definieren die Menge Q(v, ij) analog zu (4.20), d. h. Q(v,~rj)= {(v, n) 6 81, J r e A(v, rj), ß(v) dim Sftopt^ V) > V * i n t •£("*> »7*) » " rj e int B(v*, rj*) , äR opt (v, rj) cz movt(v, rj) , SRoptfc wobei Ivr!(v,rj) dim äJ?opt("*> V*) = dim £("*); da aber nach Lemma 4.1, 2° dim £(i) = dim Z(v*) ist, folgt dim 2tf opt (i, rj) > dim £(r) . Wegen (v, rj) 6 Q(v*,rj*) ist £(v) er 9J!opt(r, rj); aus der letzten Ungleichung folgt aber £(*)

ly n{v, y)

(4.60)

wobei I, V(v, rj) rj) = dim 9ft opt (i, rj) , rj € int [B(v*,rj*)

J

= vV(v, rj)t(v, V) > |

(4.62)

80

4. Voneinander unabhängige Parameter in Zielfunktion und Restriktionsvektor

Wegen (4.18) erhalten wir aus (4.62) S(v) = {x e 2R(i) | « . = 0,

v 6 int {A{v*,

V*)

n « J 0 ];

(4.65) SR^tfr V) = 6 2R(ü) | xa = 0, « e Iv„(v, Tj)}, wobei Ivn(v, rj) er Ivn{v, rj) ist für v 6 int [A(v*,rj*) n 2i' 0 ]- (Ivv(v, rj) und /„„(»>, rj) sind charakteristische Indexmengen der entsprechenden Optimalmengen.) Weiterhin gilt äKoptfr n) = ffloptfr v)>

n* int [B(v*, rj*) n B{v, rj)];

dim 3Jiopt(v, rj) = dim 3K opt (i, rj) ,

rj 6 int [B(v*, rj*) n B(v, rt)};

V) = Ivß> n)> V e int L5^*. »?*) n '"?)] • In einer ähnlichen Weise wie im Fall 1.1 ergibt sich für v € int [A(v*, r] *) n 21'0] und rj e int [B{v*, rj*) n dim 9K0pt(v, rj) = dim 9Jfopt(r, rj) ^ dim ffliopt(v*, rj*) < dim 9Jfopt(i», rj); rj 6 int [B(v*, rj*)

Irn(v, rj)'> r¡) treffen kann. Auch läßt sich nicht sagen, wie die Indexmengen Ifr¡(v*,r¡*) und Ivr¡(v,r¡) zueinander stehen. I n (4.69) sind lediglich Schranken angegeben, die durch den Charakter der Optimalmengen 9Ji0pt(v5 rl) und 2J?opt(i>, rj) in hinreichend kleiner Umgebung des Punktes (v, rj) festgelegt sind. Nach Lemma 4.1, 2° gilt £W = aKopt(»,»?*),

veA(v*,r¡*).

Für beliebiges 6 int [A(v*, r¡*) n 91'0] und beliebiges % € int [B(v*, r/*) n muß»»! e int A(v*, r¡*) u n d ^ € int B(v*, r¡*) sein, d. h. aber (vv r¡2) € int Q(y* r¡*). Nach 3° folgt dann aber Q(vlt rj^ = Q{v*,rj*). Daraus ergibt sich wiederum

82

4. Voneinander unabhängige Parameter in Zielfunktion und Restriktionsvektor

nach Lemma 4.1, 2° £(") = 9JtoPt("> Vi) >

vzA{v*,rj*),

daher gilt aber auch £(*) = aRopt^,

v)>

y z

i n t

[B(v*,y*)

n «5,1 •

Damit und mit (4.69) folgt dim ß(v) = dim SERopt(r, rj) < dim 2Jl opt (r, rj) , und weil S(i) c aw0pt(», y) ist, denn (v,rj) gehört zu Q(v*,rj*),

muß

S(i) cz 3RoPt(i, n) (4.70) sein. Aus (4.70) sieht man aber, daß auch im Fall 2. die Bedingungen (4.44) nicht erfüllt sind. Wir haben aber damit gezeigt, daß kein Punkt des Randes von Q(v*,rj*) und kein Punkt aus 21,,,,, der nicht zu Q(v*, rj*) gehört, die Bedingungen (4.44) erfüllt. Die Menge int Q(v*, rj*) ist also maximal bezüglich der Eigenschaften (4.44). Damit ist die Aussage 4° bewiesen, und daher auch der Satz 4.2. |

| B. 4.5 I m Beweis des Satzes 4.2 haben wir mehr gezeigt, als erforderlich gewesen wäre. Dadurch haben wir aber die Optimalmengen 3Dri0pt(v> rl) i n den Randpunkten der Menge Q(v*, rj*) in hinreichender Weise charakterisiert, und daher können wir sie mit den Optimalmengen für (v, rj) 6 int Q(v*,rj*) vergleichen. I m Satz 4.3 wird das zum Ausdruck kommen. | | B. 4.6 Eine Folgerung der Aussage 3° des Satzes 4.2 ist, daß für zwei beliebige Punkte (v^rji) und (v2, r/2) aus mit Q(vlt rfo) 4= Q(v2, rj2) die Mengen

4.2. Qualitative Untersuchungen

83

Q{vlt y/j) und Q(V2, RJ2) höchstens gemeinsame Randpunkte besitzen, d. h. entweder Q(vi, vi) n Q(?2> Vi) = 0 oder (Q(VI,VI)

N

Q(V2,

% ) )

£

Q(VI,M)\INT

Q(vLT

VI);

sie überlappen" sich also nicht. Der Satz 4.2 und die Bemerkung 4.6 gestatten die folgende Definition. | D. 4.1 Die Menge Q{v*,ij*) aus (4.20) heißt lokaler Stabilitätsbereich Parameterpunktes (r *, rj*) € 2t„,,.

des |

Wegen (4.20) ist offenbar jeder Punkt der abgeschlossenen Seite S(v) des Polyeders 9Jt(v), welche die Eigenschaft 0 #= £(v) £ 3Kopt(r, n ) besitzt, optimal für das lineare Optimierungsproblem P(v, rj), (v, rf) € Q(v*, rj*)Der lokale Stabilitätsbereich Q(v*, rj*) ist nach Satz 4.2 die größte Menge mit dieser Eigenschaft. | S. 4.3 Die Lösbarkeitsmenge sei ein zweidimensionales Intervall1), dann existiert eine eindeutige Einteilung von iiivv in endlich viele zweidimensionale abgeschlossene Intervalle = 1) mit folgenden Eigenschaften: 1°

Die Einteilungsintervalle

^ (k = 1, . . ., s) sind lokale

2°

Jedem lokalen Stabilitätsbereich Indexmenge Ikvn zugeordnet mit

ist eindeutig

(a)

£*(r) = Wopt{v, rj) ,

(v, rj) e int

(b)

dim 3Kopt(v, rj) = const ,

Stabilitätsbereiche.

eine ,

(v, rj) 6 int

charakteristische 1

, J

(

'

,

wobei 2k(v) = {x 6

| a;a = 0, ol € / * , }

(4.72)

ist. 3° 1 Ist hkv eine zur v-Achse des E2 parallele (offene) Kante von für beliebiges (v, rj) dim 9Jiopt(r, rj) ,

(v, rj) e int 2I*„

SKopt^. y) £ 3JioPt(*'» y)> (v, y) e int , S M * . y) = 6 TO | i . = 0 , « 6 /,„(*, ij)} Itn{v,ri)cilkvri.

Über die anderen Fälle gibt Bemerkung 4.2 Auskunft.

< 4 - 73 )

84

4. Voneinander unabhängige Parameter in Zielfunktion und Restriktionsvektor

3° 2

Ist h* eine zur rj-Achse für (a) (b)

mii

(offene)

von 21^, so gelten

Kante

Aussagen

& k (v) = 3Diopt(i, n) , dim 5D?opt(i, n) ?) € int 2l*„,

(4.76)

= 0,

(c)

2R op t(v.

mit I„Ti{v,

3Ropt(f. V) '

dim

=

e SR(i) |

("> V) 6 int

= 0, « 6 I r r t (v, i j ) }

rj)c/v\r

oder (a) (b) (c)

S * ( i ) = aRopt(i, v ) . dim SK opt (v, n) < dim aR0pt(v, rj) . SWopt^.

=

e W, (v) | s „ = 0 ,

« f / , n {v, i j ) }

.

mii I * n er 7V „(v, jj) oder (4.77)

# ( * ) cz an o p t (*, »j) «rnd Aussagen

über Zusammenhänge

9Kopt(v> rl)> (v> V) teristischen 4°

e int

Indexmengen 6

Ist (v*,rj*)

I*n

von 3)i 0 p t (v, rj) und

der Dimensionen

sowie über Beziehungen und I,v{v,

zwischen

rj) sind nicht

= 0 oder £>*)$

so muß entweder £*(r*)

den

charak-

möglich. S ^ p t i " * . V*)

sein. int 21' v und

Falls (v*,rj*)€ Indexmenge

Ivrj(v*,rj*) Ivn(v*,r,*)

|

Bws.

4=

so gilt für die

von 9Jiopt(r*, $

charakteristische

rj*)

,

q*)

$ Jf,.

|

M i t I * bezeichnen wir die Menge aller Teilmengen I aus {1, . . ., » }

m i t der Eigenschaft, daß fi(r) =

{ » € 3H(r) | ¡r. = 0, ]*) die charakteristische Indexmenge zur Optimalmenge 2Jtopt(v*, ''?*) i s t — wegen (v*, r, *) 6 2i„, folgt 3J! opt (r*, "»?*) =t= 0 — dann gilt im Falle £*(v*) = 0 mit £*(r*) nach (4.80) (4.81) Ist dagegen wohl £*(i>*) =j= 0 a b e r S ^ * ) £t 3^opt(v*> ??*)> s o ergibt sich ebenfalls (4.81). Sei S(v) = {x 6 M(v) | xa = 0, 0 , ist r° aus genau einem Intervall

r = 1, . . . . , m

mit s 0 € I(rj).

|

Das soeben bewiesene Lemma sichert den eindeutigen Übergang insbesondere über eine »^-Grenze, falls überhaupt ein solcher Übergang möglich ist. Um die Rechtecke 21^ (k = 1, . . . ,N) mit den entsprechenden (von v abhängenden) optimalen Lösungen ermitteln zu können, benötigen wir noch weitere Untersuchungen. Dazu führen wir den Begriff des Umschaltpunktes ein. | D. 4.3 Ein Punkt (i>°, r/°) heißt primaler Umschaltpunkt erster Art, wenn für jedes hinreichend kleine e > 0 das Problem (4.89) mit v = r°, f j = rf + £ und v = r°, rj — t]° — e verschiedene optimale Punkte besitzt. Ein P u n k t (v°, rj°) heißt primaler Umschaltpunkt zweiter Art, wenn für jedes hinreichend kleine e > 0 das Problem (4.89) mit einem der Punkte rf + e), (i>°, rj0 — e) lösbar ist, aber mit dem anderen unlösbar. Entsprechend heißt (j»°, r f ) dualer Umschaltpunkt erster Art, wenn Problem (4.89) für (i>° + e, rj°),

97

4.3. Lösungsverfahren

(v° — e, verschiedene optimale Punkte besitzt und dualer Umschaltpunkt zweiter Art, wenn es für einen der beiden Punkte lösbar, aber für den anderen unlösbar ist. | Die Menge Up{rj°) aller (v, rf) von primalen Umschaltpunkten erster Art (bei festem r f , freiem v) enthält somit alle und nur die Punkte (v, i f ) , für die rf obere oder untere ^-Grenze eines der gesuchten Rechtecke 21^ ist. Die Menge Up(rj°) von primalen Umschaltpunkten zweiter Art enthält genau jene Punkte (v, rf), für die ein Überschreiten der Grenze (zu einem neuen optimalen Punkt) nicht möglich ist. Entsprechendes gilt für die Menge Ul(v°) aller dualen Umschaltpunkte (v°, rf) erster Art und die Menge ü2d{v°) aller dualen Umschaltpunkte (v°, rj) zweiter Art. Man sieht leicht folgende Eigenschaften: 1° Ist (v°, r f ) primaler Umschaltpunkt erster Art, so gibt es auf der Geraden rj = -rf keine primalen Umschaltpunkte zweiter Art. Ist umgekehrt (r°, r f ) primaler Umschaltpunkt zweiter Art, so gibt es auf der Geraden rj = rf keine primalen Umschaltpunkte erster Art. Entsprechendes gilt für die dualen Umschaltpunkte. 2° Die Menge Ul(rj°) aller primalen Umschaltpunkte zweiter Art ist dasjenige Intervall auf der Geraden r) — r f , das durch mindestens einen der Punkte (vi> V0)' (r2> oder einen anderen Punkt (v*, r f ) anstelle eines oder beider genannter Punkte begrenzt wird, wobei ( v * , r f ) jeweils dualer Umschaltpunkt zweiter Art ist. Für die Menge ü ^ r f ) aller dualen Umschaltpunkte zweiter Art gilt eine analoge Aussage; beide berücksichtigen (P). 3° Für alle rj mit r^ ^ rj 0 falls ¿

0 ä

0 gewählt wird, h a t man nach endlich vielen Schritten ein r¡ € (r¡v r¡¿) gefunden, f ü r das ein v 6 v2} existiert, so daß Problem (4.89), lösbar ist oder r]2 überschritten. D a m i t wäre Problem (4.89) d a n n vollständig untersucht. Auf die beschriebene Weise ist r¡° definiert. N i m m t man an, d a ß Problem (4.89) in {(j>, r¡) | rf ^ rj ^ rjs, v° á v á vT} c

P

lösbar ist, so verläuft der Lösungsalgorithmus zur Bestimmung aller 21*,,Bereiche innerhalb von P = X r¡2> in folgender Weise. Innerhalb des offenen Intervalls (v°, vT) h a t Problem (4.89) f ü r rj = r¡° + e höchstens endlich viele duale Umschaltpunkte erster Art, die m a n beim Durchlaufen des Intervalls nach wachsender Größe erhält: v° < v\rf) {vz{rf)

< • • • < v\rf)

< • • • < vV )
C«)T >

i,

h*T y = 0 beschriebenen

r« u>T - c x o = l \r = l d. h., der Kegel K ist in der Hyperebene R* enthalten. | D. 6.2 Der Kegel K* (3.10).

|

aus (6.31) heißt der Polarkegel zum Kegel K aus |

134

|

6. Veränderliche Koeffizienten in Zielfunktion bzw. Restriktionen

L. 6.4 1° Die Menge Q = j y e Em+1

| yr = 2 > r a xa, r=l,...,m;

ym+1 = 0; x ^ o j (6.52)

ist ein m-dimensionaler polyedrischer Kegel im Raum Em + 1 mit einem Scheitelpunkt o. Der Kegel Q ist in der Hyperebene R0 aus (6.32) enthalten und entsteht durch die Projektion von K in Richtung der ym+1-Achse in die Hyperebene R0. 2° Die Menge Q* = j y 6 Em+1

| %arx

hat die Eigenschaft

yr 0 gibt, T= 1

der überdies in Q* liegt. Da y° g Q ist, existiert ein Punkt x° mit X° x° 4= o, so daß n y°, = Z arßZß , r = 1, . . ., m , ß=i gilt. Da andererseits y° zu Q* gehört, erhalten wir m m n S «rc y"r = 2 2 ®rc 0 . ¿e O'i. • • >>)

2 ^>0; Ii {i„ . .., «>>,}

Es sei nun h2k (k e {1, . . ., * 2 }) eine von der Ecke u2 des Polyeders ausgehende beschränkte Kante, d. h. in Richtung dieser Kante existiert eine mit w2 benachbarte Ecke u2k des Polyeders Es gibt dann eine Zahl gk mit 2 2 k u* = Qkh *, e* > 0 , u (6.83) wobei der Vektor h2 k in Richtung der Kante h2 k weist. Andererseits existieren Zahlen (l = 1, . . ., x j mit « « = m1 + Z ' r f h 1 1 , i=i

>? ;> 0

(1=1,.

(6.84)

denn die Vektoren h11 (l = 1, . . ., x^) haben die Richtungen aller von der Ecke u1 ausgehenden Kanten des Polyeders -Ji. Da nach (6.82) «i = m 2 -

2 fijh11 U {H, . . ., ¿„i>

gilt, erhalten wir zusammen mit (6.83) und (6.84) e»*"= d. h. Q* h2k =

2 fc» 1=1

Z'rfh111=1 -

z U {¿i

2 ¡4 le{ t, ¿vi)

iAhu, ¿vi} r=l,

m

(6.85)

wobei et > 0 ,

>? ^ 0 ,

l = 1,

,

jx\ ^ 0,

Z =

. . ., ^

ist. Für einen beliebigen Punkt y e Sf gilt auf Grund von (6.80) und (6.85) m m e* 2h2kyr = 2 r= l 1(1* r = l und daher wegen Qk > 0 Z Kkyr

r= l

^0.

Falls Ä; 6 {1, . . eine unbeschränkte von der Ecke it a ausgehende Kante des Polyeders -Ji sein sollte, so weist nach Lemma 6.5 der Vektor (— h\k, . . ., — h^f, 0) in Richtung einer Kante des Kegels Q* aus (6.53). Da

147

6.3. Geometrische Betrachtungen

alle Punkte y aus Sfl auch in Q liegen und nach (6.72) die Beziehung Qi ci Q gilt, erhalten wir unter Benutzung von (6.55) -

z h?*y r 2 : 0 .

r=l

Wir haben gezeigt, daß abgesehen davon, ob die Kante h2 k beschränkt oder unbeschränkt ist, das Ungleichungssystem

m Zh2rkyr^

0,

r=l

k=

l,...,x2

für alle y 6 /S'^1 gilt. Wir erkennen, daß derartige y in der Menge Q2 liegen, d. h., die Seite Sf 1 ist eine Teilmenge von Q2. Daraus folgt wegen (6.77), daß die Seite /Sf1 zum Rande des Kegels Q2 gehören muß. Sie muß daher eine Teilmenge derjenigen Seite des Kegels Q2 sein, die den Punkt y 6 Q1 n Q2 enthält. Sie muß also eine Teilmenge der Seite Äf" sein. Daher gilt insbesondere d1 )

yr

2? 0

und daher auch m I K" r =1

V r ^ O -

I m anderen Falle (unbeschränkte Kante h'°v), folgt aus Lemma 6.5, daß der Vektor (— h 1^",..., — h]^, 0) in Richtung einer bestimmten Kante h des Polyeders Q* aus (6.53) weist. Da y e Q ist, gilt dann nach (6.55) m Z K ~ y r =1

m r

=

-

o ,

r= l

d.h. m Z K" r =1

V r ^ O ,

wie im Falle einer beschränkten Kante h*'". Wir können demnach m z

r= l

hi" yr

^

0 ,

v = \ , . . . , x

1

schreiben, d. h., der fragliche P u n k t y aus Q liegt in der Menge Q'".

150

6. Veränderliche Koeffizienten in Zielfunktion bzw. Restriktionen N

Es gilt dann auch y e IJ Ql. Da y aus Q beliebig gewählt wurde, erhalten »=i N wir die Inklusion Q c. [J Ql. Daraus und aus (6.92) ergibt sich unter Berück¿=i sichtigung von (6.77) die Behauptung. Es sei 9? = { u ° } , das Polyeder enthalte also genau einen Punkt. Ist der Rang der Matrix A aus (3.9) gleich m + 1, so ist nach Lemma 6.6 die Menge Q° mit der Hyperebene R0 aus (6.32) identisch. Wenn andererseits die Matrix A vom Range m ist, so gelangen wir auf Grund von Lemma 6.2, 4° zum gleichen Ergebnis. Ordnet man nun dem Punkt u° die Menge Q° = R0 zu, so stellt im betrachteten Fall die Menge Q° eine triviale Einteilung der Menge Q dar. | Auf Grund von Lemma 6.10 ist die Anzahl der Teilmengen in der Einteilung (6.91) gleich der Anzahl der Ecken des Polyeders 3i. Die Einteilung (6.91) ist genau dann trivial, wenn das Polyeder 9i genau eine Ecke besitzt. |

L. 6.11 Es gelten die Voraussetzungen aus Lemma 6.10. Wenn wir die Mengen Kl = Jy e Em+1

I (ylt . . . , ym, 0) e Q\ ym+1

J

^

yT j ,

i=\,...,N, (6.94)

definieren, so gilt für den Kegel K1 aus (6.17) U K1.

Kt=

|

(6.95)

|

Bws. Wir wählen i0 e {1, . . . , N} fest und bezeichnen S1' = |jy € Em+1

| yeKi

;

f

yt -

ym+1 = o j ,

(6.96)

wobei K x durch (6.62) beschrieben ist. Aus (6.96) und (6.62) folgt, daß

0,v = l,...,x1;

ym+1 = o j

(6.98)

6.3. Geometrische Betrachtungen

151

und eine weitere Menge Q{° = ji/ 6 Em+1

Iy e Q, f

K -

M

r') V* S o, i = 1, . . . , N, i 4= ¿„} • (6-99)

Wir wollen nun zeigen, daß Q'« = Q;°

(6.100)

gilt. Auf Grund von Lemma (6.8) erhalten wir die Inklusion tf'ce.

(6.101)

Da sich jeder Punkt u aus dem Polyeder 3i durch *i U = u{« + 21 n' h , p' ^ 0 , V = 1, v= 1 darstellen läßt, gibt es Zahlen (v = 1, . . . = 1, . . . ,N,i u:r - K« = Z P ' i K " , V=1

»=1,

t =M 0 ;

x1, =4= ¿o)

r = l , ...,»»;

m

it

/liäO. (6.102)

Für einen beliebigen Punkt y aus Q'° gilt nach (6.98) 2 K" y, ^ o ,

r= 1

v = i,...,xi,

und daher nach (6.102) 2 K-K«)

yt ^ 0 ,

r= l

i = l,...,N,

» =Mo .

Daraus sowie aus (6.101) und (6.99) folgt die Inklusion Q*' £